Matematika1:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Spojitost funkce} \begin{define}[Spojitost funkce v bodě $c$]~\\ Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(c-p, c+p)$ částí $...) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika1} | %\wikiskriptum{Matematika1} | ||
− | \section{Spojitost funkce} | + | \section[Spojitost funkce]{\fbox{Spojitost funkce}} |
− | + | \subsection{Definice} | |
− | + | \begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$] | |
− | + | Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$ | |
− | + | je spojitá v bodě $a$, právě když $$\lim\limits_{x\to c} f(x) = f(c).$$ | |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \begin{ | + | \begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$ zleva a zprava] |
− | + | Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, p]$, resp. $[a,a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$ | |
− | \ | + | je \textbf{spojitá} v bodě $a$ zleva, resp. zprava, právě když |
− | + | $$ | |
− | + | \lim\limits_{x\to c-} f(x) = f(c), \quad \hbox{resp.~~} | |
− | + | \lim\limits_{x\to c+} f(x) = f(c). | |
+ | $$ | ||
+ | \end{define} | ||
− | \begin{ | + | \begin{define}[Spojitost na uzavřeném intervalu] |
− | + | Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$, právě když je spojitá v každém bodě \mbox{$x\in(a,b)$}, spojitá zprava v bodě $a$ a zleva v bodě $b$. | |
− | + | \end{define} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | $ | + | |
− | \end{ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | \begin{define}[Odstranitelná nespojitost] |
− | Odstranitelná a | + | Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{odstranitelnou nespojitost} $\ekv$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existuje, ale $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$ |
− | + | \end{define} | |
+ | |||
+ | \begin{define}[Skoková nespojitost] | ||
+ | Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{skokovou nespojitost} $\ekv$ existují obě jednostranné limity, ale nerovnají se. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Podstatná nespojitost] | ||
+ | Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{podstatnou nespojitost} $\ekv$ alespoň jedna jednostranná limita je nekonečná nebo neexistuje. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ $\ekv$ Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva i zprava. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť jsou funkce $f$ a $g$ spojitá v bodě $a$ a buď $\alpha\in\R$. Potom funkce $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\alpha~f$ i $\frac{f}{g}$ pro $g(a)\neq0$ jsou spojité v $a$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť je funkce $g$ spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ spojitá v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je spojitá v $a$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \subsection{Vlastnosti spojitých funkcí} | ||
+ | \begin{theorem}[Bolzano -- o existenci nulového bodu spojité funkce]\label{thm:sp} | ||
+ | Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$ a $f(a)f(b)<0$. Potom existuje $c\in(a, b)$ tak, že $f(c)=0$. | ||
+ | \begin{proof}~ | ||
+ | Obrázkový -- graf spojité funkce nutně musí protnout osu $x$, pokud $f(a)$ a $f(b)$ mají opačná znamení. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Darboux -- o existenci řešení $f(c)=d$ pro spojitou funkci $f$] | ||
+ | Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom pro každé číslo $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b))$ existuje $c \in (a, b)$, že $f(c)=d$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Je-li $f$ spojitá funkce, je i $f-d$ je spojitá a pro $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b)$ platí, že \mbox{$(f(a)-d)(f(b)-d) \leq 0$}. | ||
+ | Proto podle Věty \ref{thm:sp} aplikované na funkci $f-d$ existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f(c)-d=0$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Maximum a minumum funkce] | ||
+ | Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$ \textbf{maximum}, resp. \textbf{minimum} právě tehdy, když $f(a) \geq f(x)$, resp. $f(a) \leq f(x)$ pro všechny $x\in D_f$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[Omezená funkce] | ||
+ | Řekneme, že funkce $f$ je omezená na množině $M\subset D_f$ $\ekv$ $(\exists K > 0)(\forall x \in M)( |f(x)| \leq K)$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Weierstrass -- extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu]\label{thm:weierstrass} | ||
+ | Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom funkce $f$ je omezená a nabývá na $[a, b]$ svého minima i maxima, tj. $\exists c \in [a, b]$ a $\exists d \in [a, b]$ tak, že funkce $f$ nabývá v bodě | ||
+ | $c$ svého maxima a v bodě $d$ svého minima. | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 5. 8. 2011, 17:40
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 11:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 08:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 11:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 10:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 16:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 19:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 23:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 13:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 06:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 12:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 10:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Spojitost funkce]{\fbox{Spojitost funkce}} \subsection{Definice} \begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$] Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když $$\lim\limits_{x\to c} f(x) = f(c).$$ \end{define} \begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$ zleva a zprava] Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, p]$, resp. $[a,a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je \textbf{spojitá} v bodě $a$ zleva, resp. zprava, právě když $$ \lim\limits_{x\to c-} f(x) = f(c), \quad \hbox{resp.~~} \lim\limits_{x\to c+} f(x) = f(c). $$ \end{define} \begin{define}[Spojitost na uzavřeném intervalu] Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$, právě když je spojitá v každém bodě \mbox{$x\in(a,b)$}, spojitá zprava v bodě $a$ a zleva v bodě $b$. \end{define} \begin{define}[Odstranitelná nespojitost] Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{odstranitelnou nespojitost} $\ekv$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existuje, ale $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$ \end{define} \begin{define}[Skoková nespojitost] Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{skokovou nespojitost} $\ekv$ existují obě jednostranné limity, ale nerovnají se. \end{define} \begin{define}[Podstatná nespojitost] Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{podstatnou nespojitost} $\ekv$ alespoň jedna jednostranná limita je nekonečná nebo neexistuje. \end{define} \begin{theorem} Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ $\ekv$ Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva i zprava. \end{theorem} \begin{theorem} Nechť jsou funkce $f$ a $g$ spojitá v bodě $a$ a buď $\alpha\in\R$. Potom funkce $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\alpha~f$ i $\frac{f}{g}$ pro $g(a)\neq0$ jsou spojité v $a$. \end{theorem} \begin{theorem} Nechť je funkce $g$ spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ spojitá v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je spojitá v $a$. \end{theorem} \subsection{Vlastnosti spojitých funkcí} \begin{theorem}[Bolzano -- o existenci nulového bodu spojité funkce]\label{thm:sp} Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$ a $f(a)f(b)<0$. Potom existuje $c\in(a, b)$ tak, že $f(c)=0$. \begin{proof}~ Obrázkový -- graf spojité funkce nutně musí protnout osu $x$, pokud $f(a)$ a $f(b)$ mají opačná znamení. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Darboux -- o existenci řešení $f(c)=d$ pro spojitou funkci $f$] Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom pro každé číslo $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b))$ existuje $c \in (a, b)$, že $f(c)=d$. \begin{proof} Je-li $f$ spojitá funkce, je i $f-d$ je spojitá a pro $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b)$ platí, že \mbox{$(f(a)-d)(f(b)-d) \leq 0$}. Proto podle Věty \ref{thm:sp} aplikované na funkci $f-d$ existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f(c)-d=0$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[Maximum a minumum funkce] Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$ \textbf{maximum}, resp. \textbf{minimum} právě tehdy, když $f(a) \geq f(x)$, resp. $f(a) \leq f(x)$ pro všechny $x\in D_f$. \end{define} \begin{define}[Omezená funkce] Řekneme, že funkce $f$ je omezená na množině $M\subset D_f$ $\ekv$ $(\exists K > 0)(\forall x \in M)( |f(x)| \leq K)$. \end{define} \begin{theorem}[Weierstrass -- extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu]\label{thm:weierstrass} Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom funkce $f$ je omezená a nabývá na $[a, b]$ svého minima i maxima, tj. $\exists c \in [a, b]$ a $\exists d \in [a, b]$ tak, že funkce $f$ nabývá v bodě $c$ svého maxima a v bodě $d$ svého minima. \end{theorem}