Verze z 11. 1. 2011, 14:25

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Popis stavů kvantové částice}
\ll{Popisstavu}
 
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního 
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, 
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a 
\qv é mechanice.
 
 
 
 
\subsection{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
 
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných 
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno 
volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e (\rf{sr}) popisuje 
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří 
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka (\rf{konecnanorma}) platí pro libovolný čas 
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)
\be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné 
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 
\bc
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
  \ll{ex:pstvodat}
\ec
 
Díky Minkowského nerovnosti
\[
  \left( \int_{\real^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} 
    \leq \left( \int_{\real^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\real^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující (\rf{konecnanormag}), tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, 
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
 
\bc
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení (\rf{ex:vlnbal}) kvadraticky integrovatelná?
  \ll{ex:hilbspvb}
\ec
 
\bc
  Leží \db ova vlna (\rf{dbvlna}) ve výše uvedeném prostoru?
\ec
 
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku (\rf{konecnanorma}) je možno zavést ještě bohatší matematickou 
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, 
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
 
 
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). 
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
  \emph{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení 
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
  \[
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
  \]
  \[
    F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g),
  \]
  kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení.
\ed
 
\bp
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
 
\bd
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \emph{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee
\ed
 
\bc
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in \real$.
  \ll{symfor}
\ec
 
\bd
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \emph{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
  Pokud navíc
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
  pak tuto formu nazveme \emph{striktně pozitivní}.
\ed
 
\bp Sesquilineární forma (\rf{ss}) je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
 
\bt
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
 
  \begin{proof}
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme (\rf{schwarz}). Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního 
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~(\rf{possesq}), pak 
    dostaneme nerovnost (\rf{schwarz}). Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~(\rf{schwrovn}). Z~nerovnosti
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~(\rf{schwarz}) dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost 
    platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~(\rf{schwrovn}).
  \end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
 
\bd 
  Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \emph{skalární součin}. Lineární 
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \emph{unitární} nebo též \emph{pre-hilbertův}.
\ed
 
\bp 
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
 
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru 
$V$ normu $||f||:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=||f-g||$
 
\bd 
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \emph{Hilbertův}.
\ed
 
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem (\rf{sscn}) je Hilbertův. \ep
 
{\small
Sesquilineární forma (\rf{ss}) na prostoru kvadraticky integrabilních
funkcí
není striktně pozitivní.
Považujeme-li však funkce lišící se na množině míry nula za
"stejné", tzn. provedeme-li jistou faktorizaci (viz
\cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný
obvykle \qintrn, na kterém pak (\rf{ss}) definuje
skalární součin.
V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor
úplný, a tedy Hilbertův.% (viz \cite{beh:lokf}).
}%small
\\\textbf{Příklad:} Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na
intervalu $(a,b)\subset\real$, kde $a$ i $b$ mohou být i
$\pm\infty$ a
\[ (f,g):=\int_a^b f^*(x)g(x)dx \]
je Hilbertův.
 
\special{src: 200 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi
kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami
funkcí lišícími se na množině míry nula.
Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{%fyzikálně interpretovatelná řešení
funkce (\rf{konecnanormag}) popisující stavy kvantové částice
tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
\bt [Rieszovo lemma] Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak
existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna
$f\in\hil$ platí
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$
je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce
%Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
 $\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~"bra--ketového formalismu",
který je v~\qv é \mi ce často používán.
 
\vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální
baze.
(často ne zcela správně nazývaná ortonormální baze). {\small \bd Vektory $x,y$ v~Hilbertově
prostoru $\hil$ nazveme \emph{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme
\emph{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z
množiny $M$ platí $||x||=1$ nazveme ji \emph{ortonormální} \ed \bd Vektor $x\in \hil$ nazveme {\em
ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
nazýváme \emph{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$. \ed Je snadné ukázat, že
ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$. \bt Je-li ${\cal G}$ uzavřený
podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in{\cal G}$ a $z\in {\cal G}^\perp$, tak
že $x=y+z$, t.zn. $\hil={\cal G}\bigoplus{\cal G}^\perp$. \et Důsledkem tohoto tvrzení je existence
lineárního operátoru $E_{\cal G}:x\lim y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na ${\cal G}$.
}%small
\bd \emph{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový
prostor, $B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$. \ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém
smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární kombinaci prvků baze.
Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako "nekonečnou lineární kombinaci" prvků
ortonormální baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ ||f||:=(f,f)$. \\\textbf{Příklad:}
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\real,\ c:=b-a,\ m\in \integer$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi
imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.
\bd Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \emph{Fourierovými koeficienty vektoru}
$f\in\hil$ \emph{pro bazi $B$} nazveme skalární součiny (b,f), kde $b\in B$. \ed
 
\special{src: 272 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme
(například \qintspace),
%jsou seperabilní a pro ně platí, že
mají nejvýše spočetnou
ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V~takovýchto
prostorech platí pro každé $f\in\hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp}\ee
\be ||f||^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2 \ll{parseval}\ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova
rovnost.}
 
\special{src: 285 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze,
jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
\bc Najděte ortonormální bazi  v~$\complex^2$, jejíž prvky jsou
vlastními vektory matice
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}
0&1\\1&0
\end{array}
\right)
\]
\ec
Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových
prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
%\input{pozorova.sub}
 
 
 
 
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
 
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět
výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny
(energie, momentu hybnosti, ...).
 
\special{src: 305 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Stav systému (např.~jedné či
více částic) je určen
bodem {fázového} prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností,
 podle toho zda používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu
formulaci) a
fyzikální veličiny -- \emph{pozorovatelné} %-- v~klasické mechanice je pak možno
jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. %Víme též, že t
%Tento  popis %stavu soustavy hmotných bodů,
% je {úplný}, neboť h
Hodnotu každé mechanické veličiny
%můžeme vypočítat ze znalosti
pro systém v~daném stavu dostaneme
vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím
bodu fázového prostoru.
Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je
dáno oborem hodnot této funkce.
Např. kinetická energie stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{kin}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její spektrum je $\real_+$.
 
\special{src: 327 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
{Tento popis je nezávislý na dynamice}, tj.~na časovém vývoji systému,
a je
tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak
podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis
těchže kinematických pojmů v~kvantové mechanice.
%Výše uvedená fakta lze pak shrnout např.~tak, že stav
%klasického mechanického systému lze popsat bodem
%soustavy $N$ hmotných bodů bez vazeb je popsán bodem
%$6N$-rozměrného --
%, který je určen okamžitou hodnotou
%všech poloh a hybností jednotlivých hmotných bodů.
}
 
\special{src: 343 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní:
%, je třeba napřed znát odpověď na druhou otázku:
{Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce
pozorovatelným?}
{Jak bylo konstatováno v~minulém paragrafu, { stavový prostor
kvantové částice} je %lineární prostor
množina kvadraticky integrabilních funkcí
tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným přiřazovali funkce na
tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou
teorii pole, která se pro náš cíl -- popis objektů mikrosvěta --
ukázala neadekvátní.}
Místo toho \textbf{kvantová %mechanika
teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené
lineární operátory na %stavovém
prostoru stavových funkcí}. Způsob
přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán
fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným
experimentálním ověřováním  %kvantové
teorie.
 
\special{src: 365 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti.
V~kvantové mechanice hmotné částice je \textbf{kartézským složkám polohy částice
přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$}
\ll{xoper}\ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální
derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial
x_j}(\vec x)$}
\ll{poper}\ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de
facto použili při odvozování \sv y \rc e (\rf{srvolna})
z \db ovy hypotézy.
 
\special{src: 381 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Existuje mnoho zdůvodnění %tohoto
přiřazení (\rf{xoper},\ref{poper}).
%která zatím pomineme. Poznamenejme pouze, že v
V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké
předpoklady, které jsou více či méně ekvivalentní
(\rf{xoper},\ref{poper}).
 
\special{src: 390 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících
klasickou analogii jsou
konstruovány podle \emph{principu korespondence}, tzn. jsou
formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako
odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.
operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =
 -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.
 
\special{src: 403 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti.
\ec
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor,
důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich
definičních oborů, což je obecně dosti delikátní problém.
Je samozřejmě nutné, aby příslušné
operace byly na funkcích z~definičního oboru
definovány a jejich výsledek ležel v~\qintspace {}
(takže například funkce z~definičního
oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné
a  derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
%plynou z~následujícího
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že
%Základní předpoklad pro \oper y odpovídající fyzikálním veličinám zní:
\textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného
fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, které lze
pro danou veličinu naměřit}.%, přičemž
 
\special{src: 423 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc\ll{nekpoja} Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní "nekonečně hluboké potenciálové jámě", tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní  potenciálové jámě tj.~v~potenciálu $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \real$.
\ec
 
\special{src: 434 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma
samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat
obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze
nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
\special{src: 443 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme
rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde
definiční obor $D_T$ je lineární podprostor $\hil$.
Je-li Hilbertův prostor %je lineární vektorový prostor. Je-li
konečně
rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic.
V~\qv é teorii se však vyskytují především  nekonečně rozměrné
prostory, což přináší mnoho technických problémů.
% pro teorii lineárních operátorů.
Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze
%Budeme se zabývat výhradně tzv.
\emph{hustě definované}
operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, kde pruh
značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou
$\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
\special{src: 462 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\special{src: 465 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako
operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
\bd Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je \emph{omezený},
pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí
\[ ||\hat B g||\leq c||g|| \]
\ed
 
\special{src: 474 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Normou $||g||$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním
součinem $||g||:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze spojitě
rozšířit na celé $\hil$.
\\ \pri Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice
vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\cap L^1(\real^3,dx^3)$. Pro
ostatní funkce je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}}
\[ \tilde g(\vec p)\equiv(\hat F g)(\vec p):=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\real^3}
e^{-i\vec p\vec x}g(\vec x)dx^3                                \]
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
 
\special{src: 486 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bd
Nechť $\hat B$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat B^\dagger $
nazveme \emph{sdruženým k} $\hat B$, pokud pro všechna $f,g\in\hil$
\[ (f,\hat Bg)=(\hat B^\dagger f,g) \]
\ed
Z Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému
operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol}\ee
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be (a\hat B +\hat C)^\dagger =a^*\hat B^\dagger +\hat C^\dagger ,\ \ (\hat B\hat
C)^\dagger =\hat C^\dagger \hat B^\dagger . \ll{algop}\ee
\bc
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu
operátoru $\hat M$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice
odpovídá operátoru $\hat M^\dagger$?
\ec
\bd Operátor $\hat B$ na $\hil$ nazýváme \emph{hermitovský}, pokud je
omezený a platí $\hat B^\dagger =\hat B$.
\ed
\pri Operátor $\hat Q$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde
$b-a<\infty$,
definovaný
\[ (\hat Q f)(x):=xf(x) \]
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat Q$ není omezený.)
\bt Operátor $\hat E$ je ortogonální projektor (na $Ran\ \hat E$)
právě tehdy, když je hermitovský a
splňuje $\hat E^2=\hat E$.
\et
 
\special{src: 517 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě
definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich definice vychází z~následujícího faktu:
 
\special{src: 522 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bt Je-li $\hat T$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro
každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové,
že pro všechna $g\in D_T$ platí
\be (f,\hat Tg)=(h,g) \ll{sad1}\ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd Nechť $\hat T$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor
operátoru $\hat T^\dagger $ \emph{sdruženého k} $\hat T$ je množina všech
$f\in\hil$,  pro které existuje $h$ splňující (\rf{sad1}), přičemž $\hat T^\dagger f:=h$
\ed
\bd Operátor $\hat T$ je \emph{samosdružený}, pokud je hustě
definovaný a $\hat T=\hat T^\dagger $.
\ed
 
\special{src: 538 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\special{src: 542 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bd Operátor $\hat S$ je \emph{symetrický}, pokud je hustě
definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat Sg)=(\hat Sf,g) $, tj.
$D_S\subset D_{S^\dagger}$.
\ed
 
\special{src: 549 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je zřejmé, že každý hermitovský operátor je samosdružený; opak
neplatí.
\\ \pri Operátor $\hat Q, (\hat Q\psi)(x):=x\psi(x)$
s definičním oborem $D_X:=\{\psi\in
L^2(\real,dx):\int_\real x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ je samosdružený.
 
\special{src: 557 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Doplníme-li definici (\rf{poper}) operátoru $\hat P_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené (viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
\special{src: 561 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Hustě definované operátory
 netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy
(\rf{algop}) musí být proto pro neomezené operátory
náležitě modifikovány, stejně jako i (\rf{invol}).
 
\special{src: 568 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru,
což je rozšíření
pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
\emph{Spektrum $\sigma(\hat T)$ %uzavřeného
operátoru} $\hat T$ je množina
komplexních čísel $\lambda $ pro které operátor $(\hat
T-\lambda\hat\unit)$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.
\ed
 
\special{src: 589 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna
vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$
takový, že $\hat T\psi=\lambda \psi$, pak operátor $\hat
T-\lambda\hat\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat T)$ vlastních čísel
operátoru $\hat T$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}.
Mimo těchto bodů však do spektra
patří i komplexní čísla pro která operátor $\hat T - \lambda\hat\unit
$
není surjektivní. Ty tvoří
body tzv.~\emph{spojité či  reziduální části spektra}.
 
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly
přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí
\bt
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\real$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty
pozorovatelných.
}
 
\special{src: 612 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů (\rf{xoper},\ref{poper})
je \textbf{R}
(viz \cite{beh:lokf}),
což odpovídá experimentálnímu faktu, že ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
 
\special{src: 622 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Na druhé straně  jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle
Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité
zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}\ll{qho}
Ukážeme, že přiřazení
(\rf{xoper},\ref{poper}) a princip korespondence  vysvětlují
Planckův předpoklad o diskrétnosti spektra energie harmonického
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz \ref{podkap:coulomb} ) jeden z~hlavních argumentů pro správnost
takto budované teorie.
Operátor energie -- hamiltonián
\qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického
oscilátoru je podle principu korespondence
\be \hat H
= -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2.
\ll{lho3}\ee
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na
kvadraticky integrovatelné funkce,
%splňující podmínku (\rf{konecnanorma}),
pak množina vlastních hodnot
, tj.~čísel $\lambda$ pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$
splňující
\be \hat H\psi=\lambda\psi, \ll{vlfce}\ee
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
 
\special{src: 648 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Operátor (\rf{lho3}) je součtem tří operátorů \[\hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3,\]
\[H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \] a můžeme se pokusit hledat
vlastní funkce operátoru (\rf{lho3}) ve faktorizovaném tvaru \be \psi(\vec
x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi}\ee Rovnice (\rf{vlfce}) pak přejde na tvar \be (\hat
H_1\psi_1)\psi_2 \psi_3+\psi_1(\hat H_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat
H_3\psi_3)=\lambda\psi_1\psi_2\psi_3. \ll{rozkladH}\ee Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ %a vlastní
funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$ \[ \hat H_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \] pak získáme i vlastní
čísla operátoru (\rf{lho3}) \be \lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \ee Později ukážeme, že tímto postupem
jsme získali všechna vlastní čísla.
 
\special{src: 668 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
%Spektrum tohoto operátoru vyšetříme v~. Nyní se omezíme na
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy %nalezení vlast
operátor
\be \fbox{\Large$\hat H
= -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ .
\ll{lho1}\ee
 Tento operátor lze považovat za operátor energie {\em
jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e
pohybující se pouze v~jednom rozměru (na přímce).
 
\special{src: 680 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\begin{tvr} Množina vlastních čísel operátoru (\rf{lho1})
působícího v~prostoru %$\cal L^2(\bf R,dx)$
kvadraticky integrovatelných %spojitých
funkcí jedné proměnné %je čistě bodové a
je tvořena reálnými čísly \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\bf
Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu
právě jedna vlastní funkce
\be \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $}\ee
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy
polynomy}
\be H_n(z):=
\sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},
\ll{herpoldef}\ee
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.
\ll{slho}\end{tvr}
Důkaz:
%Bodové spektrum operátoru (\rf{lho1}) je tvořeno
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky
integrabilní řešení $\psi: \real\rightarrow\complex$ diferenciální rovnice
\be %\hat H\psi=
 -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2
{x}^2\psi=\lambda\psi.
\ll{eqlho1}\ee
Tato rovnice je lineární ODR 2.řádu a v~oboru spojitě
diferencovatelných funkcí má řešení pro každé
$\lambda$.
Ukážeme, že podmínka kvadratické integrability je splněna jen pro
\be \lambda=\hbar \omega(n+\half). \ll{hokvan}\ee
%Pro zjednodušení zápisu
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné
$\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x,\ \psi(x)=\phi(\xi)$ dostaneme
rovnici ve tvaru
\be \phi''-\xi^2\phi+\Lambda\phi=0 \ll{hobezr}\ee
kde $\Lambda=2\lambda/(\hbar\omega)$.
 
\special{src: 717 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný
bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice (\rf{hobezr}) singularitu,
je nekonečno.
Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$
se řešení této rovnice chová jako
\be \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}%(const+O(\xi))
.\ll{rozphi}\ee
Je zřejmé, že
kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle
ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě
(\rf{rozphi}). Zvolíme tedy ansatz
\be \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi) \ll{hoansatz}\ee
a budeme se zajímat o řešení rovnice
\be u'' = 2\xi u' +(1-\Lambda)u \ll{hermrce}\ee
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
 
\special{src: 735 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Rozšíříme-li rovnici (\rf{hermrce}) do
komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi,u$
a $u'$ a její řešení je holomorfní funkcí $\xi$ v~celé komplexní
rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
\be u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\
s\in\integer_+ \ll{radau}\ee
Jejím dosazením do (\rf{hermrce}) a porovnáním členů se stejnou
mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
\[ s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0 \]
\be a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
\ll{rran}\ee
 
\special{src: 749 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
%Neboť rekurentní relace \rf/rran/((0
Pokud čitatel na pravé straně (\rf{rran}) je nenulový pro všechna
$m$, pak se řada (\rf{radau}) pro $\xi\lim\infty$ chová jako
$exp(\xi^2)$ a řešení \rc e (\rf{hobezr}) není kvadraticky
integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule (\ref{rran}) pro dosti velká $m$ se stejným vztahem pro koeficienty řady $exp(\xi^2)$.
Kvadraticky integrovatelná řešení mohou
existovat pouze tehdy, pokud řada (\ref{radau}) je konečná, tj.~existuje $N$ takové, že $a_m=0$ pro
$m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
\be a_1=0, \ 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \ N \ \text{sudé nezáporné}.\ll{kvantlam} \ee
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce
(\rf{hoansatz}) je kvadraticky integrovatelná.
 
\special{src: 763 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z podmínky (\rf{kvantlam}) plyne, že \rc e (\rf{hermrce}) má
kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud
$ \Lambda=1+2n$, takže rovnice (\rf{eqlho1}) má kvadraticky
integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí (\rf{hokvan}).
 
\special{src: 770 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
\be H_n(\xi)=\sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol}\ee
jež řeší rovnici (\rf{hermrce}) jsou pak určeny rekurentní relací
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m,
\ll{rrherpol}\ee
přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se
sudým respektive lichým $m$.
 
\special{src: 780 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak
řešením relace (\rf{rrherpol}) je
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\
k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee
%Polynomy (\rf{herpol}) se nazývají\emph{Hermitovy}.
{\flushright Q.E.D.}
\bc Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
\ec
\bc Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
Návod: Ukažte že pravá strana (\rf{herpol2}) splňuje rovnici
(\rf{hermrce}).
\ec
\bc \ll{cvvytvfce}Ukažte, že
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp[x^2-(x-\xi)^2] \]
\ec
 
\special{src: 799 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Důsledkem tvrzení (\rf{slho}) je, že
energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s
potenciálem $V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může
nabývat  pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$,
\  $n\in \Z_+\}$.
 
\special{src: 807 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro
odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého
tělesa až na člen $\half\hbar\omega$, představující tzv.~"nulové
kmity". Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní
konstantu, kterou (ve shodě s~tzv.~renormalizační procedurou
kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně
energie.
\bc Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky 1 m a hmotnosti 1 kg.
\ec
 
\special{src: 819 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru (\rf{lho3}). Z rozkladu (\rf{rozkladH})
je zřejmé, že funkce \be \psi(x_1,x_2,x_3)=\psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3),
\ll{rozkladvlfci}\ee kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{vlfcelho}), jsou vlastními \fc emi \oper u
(\rf{lho3}) s~vlastními čísly $\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
 
\special{src: 831 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To
plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např \cite{beh:lokf} 4.3.4, 4.3.5).
\bt \ll{tr38}
Množina vlastních funkcí operátoru (\rf{lho1})
\be \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}
x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x),   \ \
K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
\ll{nvlfcelho}\ee
je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky
integrovatelných funkcí \qintline.
\et
 
\special{src: 845 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bt \ll{tr39}
Množina funkcí (\rf{rozkladvlfci}),
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem (\rf{nvlfcelho})
je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky
integrovatelných funkcí \qintspace.
\et
Pro \fc e (\ref{nvlfcelho}) a (\ref{rozkladvlfci}) se často používá ketové značení $\psi_n\equiv |\,n>,\ \psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3}\equiv |\,n_1n_2n_3>$.
 
\special{src: 855 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Z tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů (\rf{lho1}) a
(\rf{lho3}) jsou čistě bodová (\cite{beh:lokf} 7.3.9). Nejsou však stejná.
Množina vlastních hodnot hamiltoniánu (\rf{lho1}) -- operátoru energie
jednorozměrného harmonického oscilátoru -- se liší od spektra
trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega$.
 
\special{src: 863 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor
každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na
multiplikativní konstantu, %-- jednorozměrný podprostor,
pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních
funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například podprostor vlastních
funkcí operátoru (\rf{lho3}) s~vlastním číslem
$\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí
(\rf{rozkladvlfci}), kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot
$(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$.
Rozměr tohoto podprostoru je šest. Jednoduchou
kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr
podprostoru vlastních
funkcí operátoru (\rf{lho3}) s~vlastním číslem
$\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.
 
\special{src: 880 KINKVACE.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
\bc Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
\ec
\bc Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í (\ref{nvlfcelho}).
\ec
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}\ll{Slmomhyb}
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou
složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim
odpovídají operátory
\be \hat L_j =\epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l=
-i\hbar\epsilon_{jkl}x_k
\frac{\partial}{\partial x_l}.
\ll{momhyb}\ee
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší
přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
\be x=r\sin \theta \cos\phi,\ y=r\sin \theta \sin\phi,\ z=r\cos \theta
\ll{sfersource}\ee
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess}\ee
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\
\hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích?
\ec
Operátory $\hat L_j$ mají  ve sférických souřadnicích tvar
\be \hat L_x= i\hbar (\cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
\ll{lx}\ee
\be \hat L_y= i\hbar(\sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}
-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta})
\ll{ly}\ee
\be \hat L_z= -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.\ll{lz}\ee
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i
všechny operátory $L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky
nejjednodušší však je hledat spektrum operátoru $L_z$, neboť to
znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi)=
\lambda\Psi(r,\theta,\phi).\ee
Její řešení je
\be
\psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
\ee
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. %Vzhledem k~tomu že
Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen %(absolutně)
spojitými funkcemi v~$\real^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a
$\phi$ je
azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru.
%předpokládáme, že vlnová funkce je v~prostoru spojitá,
Musí tedy platit
\[ \psi(r,\theta,\phi=0)=\psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
Z této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti
mohou nabývat pouze hodnot}
\be \lambda=  m\hbar, {\rm kde}\ m\in\integer. \ee
\bc "Kvantové tuhé těleso" (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\ec
 
 
 
 
\subsection{Stav kvantového systému}
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou 
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému 
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že 
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci 
elektronů).
 
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} 
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést 
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu 
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}
 
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému 
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:
 
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí 
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee
 
\bc
  Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a 
  nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.
\ec
 
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, 
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou 
energií.
 
\bc
  Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?
\ec
 
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější 
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl 
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska 
popisu stavu nepřípustné.
 
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho 
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich 
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.
 
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných 
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
 
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných 
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů 
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
 
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y 
(\rf{xoper}) a (\rf{poper}), pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou 
nekompatibilní, neboť
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti 
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
 
\bc
  Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?
\ec
 
\bc
  Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?
\ec
 
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou 
třeba \fc e (\rf{rozkladvlfci}), které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu (\rf{lho3}) pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ 
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné 
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. 
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení 
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
 
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím 
\be \hat A_i g = \alpha_i  g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}
 
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} 
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.
 
\bt
  Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný 
  soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr 
  podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.
 
  \begin{proof}
    Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf} (14.2.2).
  \end{proof}
\et
 
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např.~jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících 
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od 
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.
 
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to 
relativně snadno měřitelná veličina.
 
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát 
momentu hybnosti a jedna jeho složka.
 
 
 
 
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
\ll{ssec:csympot}
 
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je 
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
kde
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián (\rf{sspot}) má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami 
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
\bc
  Spočítejte komutátory
  \be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee
  kde
  \be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
\ec
 
\bc
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory (\rf{sspot}), $L_3\equiv L_z$ a
  \be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
\ec
 
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee
\be 
  \hat L^2 
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right]
  \ll{lkvadsfer}
\ee
\be
  \hat H 
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} 
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] 
      + \hat V(r)
  \ll{hsfer}
\ee
 
\bc
  S~použitím vzorců (\rf{lx}-\rf{lz}) ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{lkvadsfer}).
\ec
\bc Dokažte formuli (\rf{hsfer}). \ec
 
 
 
 
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}
\ll{ssmomhyb}
 
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty 
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru (\rf{lkvadsfer}) plyne, že řešením \rc e 
(\rf{vlfcel2}) budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici 
\be 
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
  = 0.
  \ll{pdrl2}
\ee 
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení (\rf{vlfcel2}), která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole 
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru 
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
budeme hledat řešení rovnice (\rf{vlfcel2}) rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
 
Rovnice (\rf{pdrl2}) přejde faktorizací (\rf{vlfcelz}) na obyčejnou diferenciální rovnici 
\be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee 
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je 
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability (\rf{konecnanorma})  pro $F$ 
v~tomto případě zní
\[
  \int_{\real^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz 
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi 
\]
\be
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty.
  \ll{kvadintss}
\ee
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná 
na $\langle -1,1 \rangle$.
 
Řešení rovnice (\rf{odrl2}) je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
kde
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však 
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ 
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
Řešení rovnice (\rf{odrl2}) v~tomto případě má tvar
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
 
\bc
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
 
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee
které jsou řešením (\rf{pdrl2}) a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times 
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina
\be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často 
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro 
$l=0,1,2,\ldots$
 
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost 
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee
 
\bc
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
\ec
 
 
 
 
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců (\ref{vlfcelz}), (\ref{fakf}), (\ref{ylm}) plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián 
(\rf{sspot}) má ve sférických souřadnicích tvar (\rf{hsfer}) a díky (\rf{lkvadsfer}) jej lze vyjádřit způsobem
\be 
  \hat H 
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} 
      + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) 
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] 
      + \hat V(r).
  \ll{hsfer2}
\ee
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce (\rf{fakpsi}), pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň 
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
kde
\be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ 
přejde na podmínku
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru (\rf{hsfer}) (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. 
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace 
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
 
Úplná specifikace rovnice (\rf{rcekhi}) je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
 
 
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
 
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
 
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení (\rf{dghgr2}) lze v~okolí nuly 
zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
Dosazením (\rf{resrada}) do (\rf{dghgr2}) a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
 
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada (\rf{resrada}) tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice (\rf{dghgr2})
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
takže obecným řešením rovnice (\rf{dghgr1}) pro necelá $b$ je
\be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee
 
Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz 
\cite{baterd})
\be
  \ll{rtoplusinf}
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
Pro $z\lim -\infty\ $
\be
  \ll{rtominusinf}
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
 
 
 
 
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních 
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií 
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického potenciálu 
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee 
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného 
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
 
Zavedeme-li v~rovnici (\rf{rcekhi}) stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde 
$a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} 
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme 
ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru (\rf{dghgr2})
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku 
(\rf{nulchi}). Obecné řešení rovnice (\rf{dghyrce}) pro necelá $\gamma$ má tvar (\rf{obres2}), takže řešení, které vyhovuje podmínce 
(\rf{nulchi}) je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není 
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné 
Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
 
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které 
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ 
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, 
  \ll{resiho}
\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou 
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), 
  \ll{resiho2}
\ee
a zvolíme-li
\be 
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz (\rf{normconsY})), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
 
\bc 
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními 
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
 
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo 
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
 
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} 
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali 
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 
 
 
 
\subsubsection{Coulombův potenciál}
\ll{podkap:coulomb}
 
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, 
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie 
elektronu v~elektrostatickém poli (\rf{coul}), kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. 
Dosadíme-li (\rf{coul}) do (\rf{veff}), pak \rc e (\rf{rcekhi}) přejde na tvar
\be 
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
  \ll{rcekhicp}
\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce (\rf{dghgr1}). Řešení splňující podmínku (\rf{nulchi}) je podle (\rf{obres1})
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
odkud díky (\rf{kap}) plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli (\rf{coul}) jsou}
\be 
  \fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .
  \ll{ecoul}
\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta 
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro 
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. 
Degenerovaná hypergeometrická funkce (\rf{dghgcoul}) pro (\rf{pintcoul}) opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e 
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í 
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 má tvar}
\be
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},
  \ll{nlmcoul}
\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou 
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
\be 
  \ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi),
  \ll{nlmcoul1}
\ee
kde
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je 
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.
 
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
 
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
 
Z~výrazu (\rf{ecoul}) je zřejmé, že všechny stavy (\rf{nlmcoul}), pro které $(l,m)$ leží v~množině (\rf{setlm}) mají tutéž energii. 
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
 
Hodnoty energie (\rf{ecoul}) částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už 
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum 
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip 
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee 
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů 
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme 
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee 
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě 
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy 
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.
 
\textbf{Množina vlastních \fc í (\rf{nlmcoul}) je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
 
 
 
 
 
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}
\ll{posunovacioperatory}
 
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem 
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud
\be [\hat B,\hat A] = \Delta \hat A. \ll{posop} \ee
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak 
ze (\rf{posop}) ihned plyne
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\Delta) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
 
Ze vztahu (\rf{posop}) rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$, 
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený 
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že 
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
 
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
 
 
 
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie 
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou 
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee
neboť
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
Navíc platí
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \hat\unit. \ll{acoma} \ee
 
Ze (\rf{posunl}) a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ (\rf{vlfcelho})
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se 
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
 
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací (\rf{hcoma},\rf{acoma}) platí
\be
  \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).
\ee
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
 
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho 
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee
a dosadíme-li do (\rf{kreanop}) vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ (\rf{xoper},\rf{poper}), rovnice (\rf{anih0}) přejde na tvar
\be \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0 = 0, \ee
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee
Porovnáním této \fc e s~(\rf{vlfcelho}) zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním 
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií 
\be
  \psi_n(\xi)
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
  K_n^{-1}
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
  \ll{ntylho}
\ee
Volba fáze normalizačních konstant (\rf{nvlfcelho}) vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů 
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí (\rf{nvlfcelho}), kde všechny normalizační koeficienty jsou 
kladné.
 
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec
 
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~(\rf{akopnavlfci}). \ec
 
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou 
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}. \ll{kohstav} \ee
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.
 
 
 
\subsubsection{Moment hybnosti}
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, 
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee
a přechodem do sférických souřadnic
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad  \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice (\rf{posalpha}) 
a (\rf{yll0}) použít pro výpočet kulových funkcí.
 
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
 
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec
 
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací (\rf{posalpha}) až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ 
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant 
$C_{lm}$ (\rf{normconsY}) pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
 
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
 
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec
 
 
 
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{~}$ a \uv{bra} $\bra{~}$, což obecně není nic jiného než označení prvků 
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, 
pak ketové vyjádření vztahu (\rf{ntylho}) je
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in$\qintline
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi 
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \hat\unit$.
 
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy
\be
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \mathrm{pro} \ n<m
  \qquad \mathrm{a} \qquad
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \mathrm{pro}\ n\geq m,
\ee
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee
 
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\bOpk{n}{\hat O}{m}$ způsobem
\be
  \hat O f \equiv \hat O |f\rangle 
    = \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \bOpk{n}{\hat O}{f} 
    = \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \bOpk{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},
\ee
kde
\be \bOpk{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat O\psi_m). \ee
 
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec
 
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického 
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.
 
 
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}
\ll{zobvlf}
 
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce
souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled jednoduchý. Podmínka \be
\hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee dává diferenciální rovnice \be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial
x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee které mají řešení \be \phi_{\vec p}(\vec x)=Ae^{i\vec p\, \vec x/\hbar},
\ll{zvfoh}\ee jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e
nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné $\vec p\in\complex^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v
Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich
spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
však do spojité nikoliv bodové části spektra.
 
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem
(\rf{spvv}) je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části
spektra odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra
lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, které
nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat
skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky
integrovatelných funkcí.
 
Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} ${\cal S}(\real^3)$ obsahující
funkce $f\in$ \qintspace splňující \be {\rm sup}|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial
x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f|<\infty
\ll{prryubfci}\ee pro všechna $(\vec j,\vec k)\in\integer_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~${\cal
S}(\real^3)$  je, že Fourierova transformace \be \tilde f(\vec k) \equiv ({\cal F}f)(\vec
k):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{-i\vec k \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee je bijekcí ${\cal
S}(\real^3)$ na ${\cal S}(\real^3)$ (viz \cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar \be ({\cal
F}^{-1}\tilde f)(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\real^3} e^{i\vec k \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde
f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee odkud snadno dostaneme, že \begin{equation}\label{FfFg}
    ({\cal F}f,{\cal F}g)=(f,g)
\end{equation}
 
Pro $f\in{\cal S}(\real^3)$ můžeme definovat "skalární součiny" $(\phi_{\vec p},f)$ a $(f,\phi_{\vec p})$
(přesněji lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec p}$ ležely v
\qintspace{}. \be\ll{psip} \Phi_{\vec p}(f)\equiv(\phi_{\vec p},f)
:=\int_{\real^3} A^*e^{-i\vec p \vec x/\hbar}f(\vec x)d^3x
=A^*({2\pi})^{3/2}({\cal F}f)(\frac{\vec p}{\hbar}), \ee
\be \ll{invft}
(f,\phi_{\vec p}):=(\phi_{\vec p},f)^*
=A({2\pi})^{3/2}({\cal F}f^*)(-\frac{\vec p}{\hbar}),\ee neboť tyto integrály jsou
(inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~${\cal
S}(\real^3)$. Rovnice pro funkcionály $\Phi_{\vec p}$ má tvar \be (\hat P_j\Phi_{\vec p})(f)=
(\hat P_j \phi_{\vec p},f)=(\phi_{\vec p},\hat P_j f)=p_j(\phi_{\vec p},f)=p_j\Phi_{\vec p}(f),\ \forall
f\in {\cal S}(\real^3) \ll{rceprophip}\ee a funkce (\rf{zvfoh}) nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e
hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. To je také
důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap. \ref{potrozptyl}), jež
jsou určeny počáteční a konečnou hybností. \bc Nechť \[ \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}
\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon
x}{\hbar}. \] Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$ \ec
 
 
Ještě výraznější je "zobecněnost" vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice \[ \hat
Q_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3 \] má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové
\fc e jsou však v~\qintspace { ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení problému konstrukce zobecněných
vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\real^3$, %zavést. K
jejich konstrukci lze použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující
vlastnosti: \be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda
\ll{dcond1}\ee \be \int_\real \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
 
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky
(\rf{dcond1},\ref{dcond2}), nicméně lze definovat jiné matematické
objekty pro které lze obě podmínky splnit.
\\\textbf{Příklad}: Nejjednodušší způsob je pohlížet na
$\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
\[ f_{a,\lambda}(x):= 0\ \for |x-\lambda|>a \]
\[ f_{a,\lambda}(x):= 1/2a\ \for |x-\lambda|\leq a. \]
Pak podmínky (\rf{dcond1}), (\rf{dcond2}) jsou splněny pro
%každou $f_{a,\lambda}$ a podmínku (\rf{dcond1}) lze splnit, když
$a\rightarrow 0$.\\
Z tohoto příkladu je snadno vidět, že i
zobecněné vlastní funkce operátoru polohy  (\rf{zvfop})
lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně jako
zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti (\rf{zvfoh}).
 
Přesnější definici pojmu $\delta$-- \fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou
spojité lineární funkcionály na ${\cal S}(\real^n)$. Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná)
$\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,.)$ na ${\cal S(\real)}$ definovaného ve
shodě s~(\rf{dcond2})způsobem %Definujeme-li pro $f\in{\cal S(\real)}$
\be
\int_\real\delta_\lambda(x)f(x)\equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).\ee  Rovnost \[
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x) \] pak znamená \be (\hat Q
\delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat Q f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in {\cal S}(\real^3), \ee
(což je vztah analogický k~(\rf{rceprophip}) ) a v~tomto smyslu je \be \delta_{\vec a}(\vec
x)\equiv\delta(\vec a-\vec x):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3) \ll{zvfop}\ee zobecněnou
vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec a$.
 
Z definice Fourierovy transformace (\ref{Fourier}) a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
\be \int_{\real^3}e^{i{\vec z}(\vec
x-\vec y)} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vec x-\vec y), \ee t.j.
\be {\cal F}[\phi_{\vec p}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec p/\hbar} \ll{fourfip}\ee
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í (\rf{zvfoh}), totiž
že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ \be (\phi_{\vec
p'},\phi_{\vec p}) \equiv \int_{\real^3}\phi_{\vec p}(\vec x)\phi_{\vec p'}^*(\vec x) d^3x=\delta(\vec
p-\vec p') .\ll{dnormp}\ee Podobně  i pro (\rf{zvfop}) platí \be (\delta_{\vec a'},\delta_{\vec a}) \equiv
\int_{\real^3}\delta_{\vec a}(\vec x)\delta_{\vec a'}(\vec x) d^3x=\delta(\vec a-\vec a') .\ll{dnormx}\ee
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na ${\cal S}(\real^n)$ a
zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
 
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec a}\equiv |\,\vec a>,\ \phi_{\vec
p}\equiv|\,\vec p>$. Vztahy (\rf{zvfoh}), (\ref{dnormx}), (\ref{dnormp}), (\ref{dcond2}) a (\ref{invft}) pak
lze zapsat jako \[  <\vec x\,|\vec p\,>=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec p\, \vec x/\hbar},\   <\vec
x\,|\vec x\,'>=\delta (\vex-\vex\,'),\ <\vec p\,|\vec p\,'>=\delta(\vec p-\vec p\,'), \] \[ <\vec
x\,|\,\psi>=\psi(\vec x),\ \ <\vec p\,|\,\psi>=\hbar^{-3/2}\tilde\psi(\frac{\vec p}{\hbar}) \]
a je možno psát analog relace úplnosti (\ref{relupl}) \[ |\psi>=\int_{\real^3}d^3x\,|\vec x><\vec
x\,|\psi>=\int_{\real^3}d^3p\,|\vec p><\vec p\,|\psi>. \]
 
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části
spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům
částice v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní
\fc e
\be \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm}, \ee
kde $k=\pm\sqrt{2mE}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce (\rf{ylm}) a
\be
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr}
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
 \ll{zovlfcecoul}.\ee
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru
konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
\[ \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r}
F^*(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr)
F(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r)r^2dr\]\be=K_{kl}\delta(k-k'),
\ee
kde $K_{kl}$ je konstanta.
 
Z výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o chování objektů mikrosvěta.
 
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.