Zobrazení zdroje stránky 02KVANCV:Kapitola1

%\wikiskriptum{02KVANCV}

\chapter{Klasická mechanika a statistická fyzika}

\begin{cvi}
Napište rozdělovací funkci Gaussova pravděpodobnostního rozdělení. Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro
\[ I(n,a,b):=\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-ax^2+bx}dx,\ n\in\integer,\ a,b\in\complex,\ {\rm Re}\ a>0. \]
(Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!)
\end{cvi}
\navod
Rozdělovací funkce
$$
\rho(x)=N e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} .
$$
Normalizace:
$$
\int\limits_\mathds{R} \rho(x) dx = N \sqrt{2 \pi} \sigma = 1 ,\quad  \mathrm{tj.}\quad  N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}.
$$
Momenty: definice
$$
\langle (x-\alpha)^{n} \rangle_{\rho} = N \int\limits_\mathds{R} (x-\alpha)^{n} e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2 \sigma^2}} dx.
$$
Výsledky se liší pro $n$ liché, resp. sudé:
$$
\langle (x-\alpha)^{2n+1} \rangle_{\rho} =0, \quad \langle (x-\alpha)^{2n} \rangle_{\rho} = \sigma^{2n} (2n-1)!!
$$
Hledaný vzorec:
$$
I(n,a,b) = \frac{\partial^n}{\partial b^n} I(0,a,b) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\partial^n}{\partial b^n} e^{\frac{b^2}{4a}}
$$

\begin{cvi} Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
veličiny jsou určeny?
\end{cvi}
\navod $H(p,q)=\frac {p^2}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2}{q}^{2}$ \\
Pohybové rovnice
$$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \; \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}, $$
tj.
$$ \dot{q}=\frac{p}{M}, \; \dot{p}= - M \omega^2 q.$$
Řešení: $q(t)=A \sin ( \omega t + \alpha) $, $p(t)= A \omega M \cos ( \omega t + \alpha)$, \\
Rovnice pro fázové trajektorie -- získáme vyloučením času z pohybových rovnic, jsou určeny hodnotou energie
$$ \frac{p^2}{2 A^2 \omega^2 M^2}+\frac{q^2}{2A^2}=1.$$

\begin{cvi}
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru
s energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$ ? Co potřebujeme znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v deterministickou předpověď?
\end{cvi}
\navod
$$
\rho(x) dx = \frac{\hbox{doba strávená v intervalu $\langle x,x+dx \rangle$}}{\hbox{půlperioda}} = \frac{\frac{dx}{|v(x)|}}{T/2} = { \frac{dx}{\pi \sqrt{\frac{2 E}{M \omega^2} - x^2}}}.
$$
Je vhodné si ověřit normalizaci
$$
\int\limits_{-x_0}^{x_0} \rho(x) dx = 1, \quad x_0 = \sqrt{\frac{2 E}{M \omega^2}}.
$$
K deterministické předpovědi potřebujeme znát polohu a rychlost či hybnost v jednom časovém okamžiku (tj. počáteční podmínku).

\begin{cvi} Nechť statistická rozdělovací funkce stavů klasického mechanického oscilátoru je dána Gibbsovou formulí
\[ w(p,q) = \frac 1 Z \ e^{-\frac{H(p,q)}{kT} }. \]
Spočtěte střední hodnotu energie.
\end{cvi}
\navod
Normalizace:
$$
\frac{1}{Z} \int\limits_{\mathds{R}^2}  {e^{-\frac{1}{k T} (\frac {{p}^{2}}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq}=1, \qquad \mathrm{tj.}\quad  Z={\frac {2 \pi k T } {\omega}}
$$

Střední hodnota energie:
$$
\frac{1}{Z}\int\limits_{\mathds{R}^2}  \left(\frac {{p}^{2}}{2M} + \frac{1}{2}M \omega^{2} {q}^{2}\right) {e^{-\frac{1}{2 k T} (\frac {{p}^{2}}{M}+M \omega^{2}{q}^{2})}} {dp}\,{dq} = { k T }
$$