Zobrazení zdroje stránky 01MAA4:Kapitola27

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Limitní přechody}
 
\begin{lemma}
Nechť $\phi_0,\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$
\item $\beta=\limsup_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$
\item
\[-\II\phi_0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le
\limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le\II\beta\le\II\phi_0.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
Buďte
\[\alpha=\liminf_{k\to\infty}\phi_k,\quad\beta=\liminf_{k\to\infty}\phi_k.\]
 
\[-\phi_0\lesssim\alpha_m^{(n)}:=\min_{n\le k\le m}\phi_k,\quad\beta_m^{(n)}:=\max_{n\le k\le m}\phi_k\lesssim\phi_0.\]
Zřejmě je $\alpha_m^{(n)}\in\LL$, $\beta_m^{(n)}\in\LL$ a
\[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\quad
\beta_m^{(n)}\nearrow\beta_n=\sup_{k\ge n}\phi_k.\] Podle věty \ref{levi-dusledek}
jsou $\alpha_n$ a $\beta_n\in\LL$ a současně
$\alpha_n\nearrow\alpha\in\Lambda$,
$\beta_n\searrow\beta\in\Lambda$. Protože $\II\alpha_n\le\II\phi_0$ a
$\II\beta_n\ge -\II\phi_0$, jsou i $\alpha,\beta\in\LL$.
Platí:
$-\phi_0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n\lesssim\beta_n\lesssim\phi_0$.
Integrací dostaneme
\[
-\II\phi_0\le\liminf_{n\to\infty}\II\alpha_n\le
\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le
\limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le
\limsup_{n\to\infty}\II\beta_n\le\II\phi_0.
\]
Protože limity \[\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n \, \quad \mathrm{a} \, \quad \lim_{n\to\infty}\II\beta_n \] existují, vyplývá odtud již tvrzení věty.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}[Lebesgue]
\label{lebesgue}
Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a
$(\exists\phi_0\in\LL)(\forall n\in\N)(\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0)$.
Pak $\phi\in\LL$ a
\[\II\phi=\lim_{n\to\infty}\II\phi_n.\]
Posloupnost integrabilních funkcí je integrabilní, jestliže existuje
integrabilní majoranta.
\begin{proof}
Vyplývá z~minulé věty, pokud položíme $\limsup=\liminf$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
%\label{lebesgue-poznamka}
\item Weierstrass:
\[\sum_{n=1}^\infty f_n(x),\quad \abs{f_n(x)}\le c_n,\]
analogicky
\[\int\phi_n(x),\quad \abs{\phi_n(x)}\le\phi_0(x).\]
% %\item
% %\[
% %\text{Z}\mathfrak R\!\int_a^b f=\mathfrak{L}\!\int_a^b f
% %\]
% %\[
% %f_n(x)=
% %\begin{cases}
% %f(x)&\text{pro }x\in\left[  a,b-\frac1n\right] \cup\left[  a,a+n\right] \\
% %0&\text{jinak}
% %\end{cases}
% %\]
% %\[\lim_{n\to\infty}\II f_n=\II f\]
% %Jestliže Riemann konverguje absolutně, pak $\abs{f}=f^+ +f^-$ (obě
% %konečné), tedy $f\in\LL$.
% %
% %Jestliže Riemann konverguje neabsolutně, pak $f=f^+ -f^-$
% %\[\text{NAZ}\mathfrak R\!\int_a^b f\implies\int_a^b f^+=\int_a^b f^-=+\infty\]
% %a neexistuje Lebesgueův integrál.
% %
% %Lebesgue do své teorie zahrne absolutně konvergentního Riemanna,
% %ale neabsolutního ne. Lze zavést zobecněného Lebesgua.
\item Buď $\posl{\phi_n}\in\LL$, $\phi_n\to\phi$,
$(\exists\phi_0\in\LL)(\abs{\phi}\lesssim\phi_0)$. Pak $\phi\in\LL$.
\begin{proof}
$\phi_n$ se oříznou pomocí $\phi_0$. $\psi_n=\max(-\phi_0,\min(\phi_0,\phi_n))\in\LL$,
$\abs{\psi_n}\le\phi_0$, $\phi_n\to\phi$, $\psi_n\to\phi$, tedy podle
předchozí věty $\phi\in\LL$.
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{lemma}
Nechť $\phi_n\gtrsim 0$, $\phi_n\in\LL$ a
$\II\phi_n\le c$ pro každé $n$. Pak
\[\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL\]
a platí
\[0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le c.\]
\begin{proof}
Položme
\[\alpha_m^{(n)}=\min_{n\le k\le m}\phi_k\in\LL,\]
zřejmě je $\II\alpha_m^{(n)}\le c$ a platí, že
\[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\]
podle věty \ref{levi-dusledek} je $\alpha_n\in\LL$ a $\II\alpha_n\le c$. Protože je
$\alpha_n\nearrow\alpha$, podle Leviovy věty je $\alpha\in\LL$ a
$\II\alpha=\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n$. Pro $\forall n$ platí
$0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n$, tedy
$0\le\II\alpha_n\le\II\phi_n\le c$ a
$0\le\lim\II\alpha_n= \II\alpha\le \liminf\II\phi_n\le c$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Z existence integrabilní majoranty plyne omezenost  $\II\phi_n$, opačně to platit nemusí. 
 \end{remark}
 
 
\begin{theorem}[Fatou]
\label{Fatou}
Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a $\II\abs{\phi_n}\le
c$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}\le c$.
\begin{proof}
Položíme $\psi_n=\abs{\phi_n}$. Posloupnost $\psi_n$ splňuje
předpoklady předchozí věty a tedy platí, že $\II\abs{\phi}\le
c$. %Protože $\phi\lesssim\psi$, je $\phi\in\LL$ a$\abs{\II\phi}\le\II\psi\le c$.
Z poznámky \ref{lebesgue}.2, kde bude $\phi_0:= \abs{\phi}\in \LL$ plyne, že $\phi \in \LL$
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $L^1$ množina všech tříd rozkladu $\LL$ podle ekvivalence $\!\sim$ s~obvykle definovanými
operacemi součtu a násobení číslem. Je-li $[\phi]\in L^1$, položme
normu $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$. Potom $L^1$
je normovaný lineární prostor.
\begin{proof}
Pro operace platí
\[[\phi]+[\psi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\phi_1+\psi_1,~\phi_1\in[\phi],\psi_1\in[\psi]\right.\right\},\]
\[\alpha[\phi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\alpha\phi_1,~\phi_1\in[\phi]\right.\right\} \quad \forall\alpha \in \R.\]
Axiomy lineárního prostoru zřejmě platí. Norma je pozitivní
$\norm{[\phi]}\ge 0$ a platí, že\\
$\norm{[\phi]}=0\implies[\phi]=[o]$ (nulová funkce). Norma je tedy skutečně normou splňující axiom pozitivní definitnosti.
\end{proof}
\end{theorem}

\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Prostor $ L^1$ neobsahuje funkce, nýbrž třídy ekvivalence funkcí. Vzhledem k definici tedy neexistuje pojem funkční hodnota, neboť funkce v rámci třídy se od sebe liší na množině míry nula. Budeme-li tedy brát prvek z $ L^1$, budeme tím mít na mysli reprezentanta dané třídy. Ne každá třída má však spojitého reprezentanta! To platí v tzv. Sobolevově prostoru.
\item Důvod zavedení tohoto prostoru tkví v tom, že jsme takto získali prostor, z němž základní integrál generuje normu. V $\LL$ sice normu můžeme zavést stejným způsobem, nesplňuje však třetí axiom normy --- nejen nulová funkce má nulovou normu. (jedná se tedy o seminormu).
\end{enumerate}

\end{remark}
 
%\begin{define}
%Označme symbolem $\LL_1$ lineární prostor na $\Sim\LL$ s~definovanou
%normou $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$.
%\end{define}
%\begin{proof}
%Množina $\LL$, ekvivalence $\sim$; $L/\sim=\Sim\LL$ {\bf
%faktormnožina}, $[\phi]\in\Sim\LL$,
%$\psi_1,\psi_2\in[\phi]\iff\psi_1\sim\psi_2$.
%
%Třídy jsou buď totožné nebo disjunktní,
%$[\phi]\cap[\psi]\not=\emptyset\implies[\phi]=[\psi]$.
%
%$[\phi]+[\psi]=\widehat{\phi+\psi}$ 
%$\alpha[\phi]=\widehat{\alpha\phi}$ jsou operace na $\Sim\LL$.
%\end{proof}
 
\begin{theorem}[Riesz, Fischer]
Prostor $ L^1$ je Banachův (úplný normovaný vektorový prostor)
\begin{proof}
Vezmu posloupnost tříd $\posl{[\phi_n]}\subset L^1$. Nechť
$\posl{[\phi_n]}$ je cauchyovská, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(m,n>n_0)
\left(\norm{[\phi_n]}-[\phi_m]<\epsilon\right).\]
Položme \[\epsilon=\frac1{2^k},\] tedy
\[(\forall k\in\N)(\exists n_k)(\forall m>n_k)
\left(\norm{[\phi_m]-[\phi_{n_k}]}<\frac1{2^k}\right).\]
Vytvořím z~$n_k$ rostoucí posloupnost, stačí dokázat, že konverguje
vybraná posloupnost $\phi_{n_k}$.
\[\II\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}=
\norm{[\phi_{n_{k+1}}]-[\phi_{n_k}]}\le
\frac1{2^k}\]
a proto
\[\II\sum_{k=1}^m\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\le 1\]
pro každé $m\in\N$. Podle Leviho má řada
\[\sum_{k=1}^\infty\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\]
integrabilní součtovou funkci a proto skoro všude absolutně konverguje, a~tedy
konverguje skoro všude i~řada
\[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\]
Současně platí
\[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right)\sim
\underbrace{\lim_{k\to\infty}\phi_{n_k}}_{\phi}-\phi_{n_1}.
\]
Posloupnost $\phi_{n_k}$ tedy skoro všude konverguje k funkci
\[ \lim_{k\to\infty}\phi_{n_k} = \phi=\phi_{n_1}+
\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\]
Dokážeme, že $\phi$ je integrabilní. Buď $k\in\N$ pevné,
$p>k$,
\[\II\abs{\phi_{n_p}-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k},\]
\[\phi_{n_p}-\phi_{n_k}\to\underbrace{\phi-\phi_{n_k}}.\]
Podle věty \ref{Fatou} je $\abs{\phi-\phi_{n_k}}\in\LL$
a tedy $\phi\in\LL$ a $[\phi]\in L^1$. Teď má smysl psát
\[\norm{\phi-\phi_{n_k}}=\II\abs{\phi-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k}.\]
Sestrojili jsme tak podposloupnost, která konverguje k~integrabilní
funkci, tedy cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Množina $\HH$ je v~$\LL$ hustá, tj. $\HH\subset\LL\wedge\LL\subset\uz{\HH}$.
\begin{proof}
Buď $\phi\in\LL$, $\phi\sim f-g$, $f,g\in\LL^+$, $h_n,k_n$
posloupnosti $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$. Sestrojím
$l_n=h_n-k_n$, pak
\[\norm{\Sim{l_n}-[\phi]}=\II\abs{l_n-\phi}\le
\II\abs{h_n-f}+\II\abs{k_n-g}=(\II f-\II h_n)+(\II g-\II k_n)\to 0,\]
tedy $\LL\subset\uz{\HH}$.
\end{proof}
\end{theorem}