Zobrazení zdroje stránky 01FA2:Kapitola8

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Kompaktní operátory}

V této kapitole po uvedení potřebných definic formulujeme Arzelovu--Ascoliovu větu a nakonec uvedeme důležitá tvrzení o kompaktních operátorech z FA3.

\begin{define}
Buď $X$ metrický prostor. Množina $K$ je totálně omezená, právě když pro každé $\epsilon>0$ existuje konečná $\epsilon$-síť $x_1,\dots,x_n\in X$, tj. taková množina, že $K\subset\bigcup_{j=1}^n B(x_j,\epsilon)$.
\end{define}

\begin{remark}
Snadno vidíme, že totální omezenost je skutečně zesílení pojmu omezenosti (tj. totální omezenost implikuje omezenost).
\end{remark}

\begin{define}
Množina $K$ je prekompaktní, právě když je $\uz{K}$ kompaktní.
\end{define}

Následující tvrzení se na FA2 nedokazuje; v podstatě jde o opakování z MAA3.

\begin{tvrzeni}
 \begin{enumerate}
	\item Buď $X$ úplný metrický prostor. Pak $K\subset X$ je kompaktní, právě když je uzavřená a totálně omezená. Ekvivalentně $K\subset X$ je prekompaktní, právě když je totálně omezená.

	\item Buď $X$ jakýkoliv metrický prostor. Pak $K\subset X$ je kompaktní, právě když každá posloupnost prvků z $K$ má konvergentní podposloupnost.
 \end{enumerate}
\end{tvrzeni}

\begin{tvrzeni}
\label{separabilita}
Kompaktní metrický prostor $(K,\rho)$ je separabilní.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Ukážeme nejprve, že kompaktní metrický prostor je úplný. Nechť $x_k\in K$ je cauchyovská posloupnost. Z kompaktnosti $K$ pak plyne, že má alespoň jeden hromadný bod, z cauchyovskosti naopak plyne, že je nejvýše jeden.

Uvedli jsme, že kompaktní množina v úplném prostoru je totálně omezená. Pro každé $n\in\N$ tedy existuje $N\in \N$ bodů $S_n=\{x_{n1},\dots,x_{nN}\}$ tak, že $K\subset\bigcup_{k=1}^N B(x_{nk},1/n)$. Snadno pak ukážeme, že spočetná množina $S:=\bigcup_{n=1}^N S_n$ je hustá. Pro $y\in K$ a $\epsilon>0$ stačí volit $n>1/\epsilon$, abychom našli $x\in S_n\subset S$ tak, že $y\in B(x,1/n)\subset B(x,\epsilon)$.

\textbf{Alternativní důkaz:} Totální omezenost $K$ lze dokázat bez berličky v podobě úplnosti a odvolání se na známé tvrzení. Pro zadané $\epsilon$ uvážíme množinu všech koulí o poloměru $\epsilon$ se středy kdekoliv v $K$. Jde o systém otevřených pokrývajících množin, takže existuje konečný pokrývající podsystém. Středy příslušných koulí tvoří požadovanou $\epsilon$-síť.
\end{proof}

\begin{tvrzeni}
Nechť $(\Omega,\rho)$ je kompaktní metrický prostor. Pak normovaný prostor spojitých funkcí $(\c(\Omega),\norm{\cdot}_\infty)$ je úplný.
\end{tvrzeni}
\begin{proof}
Na přednášce se nedělá, nicméně patrně půjde pouze o zobecnění vět o funkčních posloupnostech probíraných na začátku MAA3 (BC kriterium a věta o zachování spojitosti při stejnoměrné konvergenci).
\end{proof}
 
\begin{define}
  Množina $S\subset\c(X)$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když
  \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S)(\forall x,y\in X)
  (\rho(x,y)<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\]
\end{define}
 
\begin{theorem}[Arzel\`a--Ascoli]
  Nechť $(\Omega,\rho)$ je kompaktní metrický prostor a $S\subset\c(\Omega)$. $S$
  je kompaktní, právě když je omezená, uzavřená a je tvořena stejně
  spojitými funkcemi.
\end{theorem}
  \begin{proof}
  \begin{enumerate}
    \item[($\Rightarrow$):] 
    
    Protože $S$ jakožto podmnožina úplného metrického prostoru $\c(\Omega)$ je uzavřená a dokonce totálně omezená, stačí ověřit jen to, že $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi.
    
    Chceme tedy odhadnout výraz $|f(x)-f(y)|$ nezávisle na konkrétní volbě $f\in S$ a $x,y\in\Omega$, pouze za předpokladu, že vzdálenost $\rho(x,y)<\delta$.
    Víme, že $S$ je totálně omezená množina, tedy pro každé $\epsilon>0$ existuje konečný počet $\epsilon$-okolí pokrývajících normovaný prostor $\c(\Omega)$:
    \[(\forall \epsilon>0) (\exists g_1,\dots, g_n\in S)(\forall f\in S)(\exists j \in\{1,\dots,n\})(\forall x\in\Omega)(\abs{f(x)-g_j(x)}<\epsilon)\]
    
    Nabízí se tedy možnost aproximovat danou funkci $f\in S$ některou z funkcí $g_j$. Pro dané $\epsilon>0$ tedy najdeme $\epsilon$-síť $g_1,\dots,g_n$ a pro danou $f\in S$ najdeme to pravé $j$ tak, že $|f(x)-g_j(x)|<\epsilon$ nezávisle na volbě $x$. Nyní již stačí využít odhadu
\[\abs{f(x)-f(y)}\leq \abs{f(x)-g_j(x)}+\abs{g_j(x)-g_j(y)}+\abs{g_j(y)-f(y)}\]
	Oba krajní členy budou menší než $\epsilon$ nezávisle na $f\in S$ i na $x,y\in\Omega$. Prostřední člen lze zajisté rovněž odhadnout díky spojitosti funkcí $g_j\in S$, ovšem je třeba ukázat, že daný odhad rovněž nezávisí na volbě $j$, $x$ a $y$. Jinými slovy potřebujeme vědět, že konečný systém $g_1,\dots,g_n$ je stejně spojitý.
    To však skutečně splněno je. Díky tomu, že $\Omega$ je kompaktní množina, jsou z Cantorovy věty funkce $g_j\in\c(\Omega)$ spojité stejnoměrně. Díky tomu, že je daných funkcí konečně mnoho, jsou spojité stejně. Skutečně, stejnoměrná spojitost znamená
    \[(\forall j)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta_j>0)(\forall x,y\in\Omega)(\rho(x,y)<\delta_j\implies\abs{g_j(x)-g_j(y)}<\epsilon.\]
    Zvolíme-li pro dané $\epsilon>0$ $\delta:=\min\delta_j$, bude splněno
    \[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall j)(\forall x,y\in\Omega)(\rho(x,y)<\delta\implies\abs{g_j(x)-g_j(y)}<\epsilon.\]
    
    I prostřední člen tedy můžeme odhadnout nezávisle na bodech $x,y\in\Omega$ a na tom, ve kterém z pokrývajících okolí se funkce $f\in S$ nacházela.
    
    
    \item[($\Leftarrow$):] 
    
    Chceme ukázat, ze $S$ je kompaktní množina. V metrickém prostoru kompaktnost znamená, že ke každé posloupnosti existuje konvergentní podposloupnost. Nechť je tedy $(f_n)_{n=1}^\infty$ libovolná posloupnost z $S$, budeme hledat její konvergentní podposloupnost.
    
    Tvrzení \ref{separabilita} říká, že $\Omega$ je separabilní. Existuje tedy spočetná hustá množina $\{x_k\}_{k=0}^{+\infty}\subset\Omega$. V následujícím textu sestrojíme posloupnost $(g_n)$ vybranou z $(f_n)$, která bude konvergentní v každém bodě této husté podmnožiny. Nakonec pak ukážeme, že to implikuje konvergenci samotné $(g_n)$.
    
    Snadno rozmyslíme, že omezenost množiny $S$, a tedy i posloupnosti $(f_n)$ znamená, že je i pro každý bod $x\in\Omega$ číselná posloupnost $(f_n(x))$ omezená. Z MAA1 víme, že z omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Při výběru $(g_n)$ tedy můžeme postupovat následujícím způsobem.
    
    Z číselné posloupnosti $(f_n(x_1))_{n=1}^\infty$ vybereme konvergentní posloupnost $(f_n^{(1)}(x_1))_{n=1}^\infty$. Získáme tak funkční posloupnost $(f_n^{(1)})$, která je vybraná z $(f_n)$ a konverguje v $x_1$. Podobně z posloupnosti $(f_n^{(1)})_{n=1}^\infty$ vybereme podposloupnost $(f_n^{(2)})_{n=1}^\infty$, která konverguje i v bodě $x_2$. Obecně lze z posloupnosti $(f_n^{(k)})_{n=1}^\infty$, která konverguje v bodech $x_1,\dots,x_k$, vybrat podposloupnost $(f_n^{(k+1)})_{n=1}^\infty$, která konverguje i v bodě $x_{k+1}$. 
    
    Pro výběr posloupnosti $(g_n)$ nakonec použijeme tzv. diagonální schéma -- definujeme ji jako $g_n:=f_n^{(n)}$. Tato posloupnost jistě konverguje v každém bodě $x_k$, neboť tvoří pro každé $k$ až na prvních $k$ členů vybranou posloupnost z $(f_n^{(k)})$, která v $x_k$ konverguje.
    
    Víme tedy, že funkční posloupnost $(g_n)$ konverguje ve všech bodech husté množiny $\{x_k\}$. Zbývá ukázat, že konverguje jakožto funkční posloupnost v prostoru $S$ (tj. že konverguje stejnoměrně na celém $\Omega$ a limitní funkce leží v $S$). Protože $S$ jakožto uzavřená podmnožina úplného prostoru $\c(\Omega)$ tvoří úplný prostor, stačí ukázat, že je posloupnost $(g_n)$ cauchyovská. Budeme se tedy snažit odhadnout výraz $\abs{g_n(x)-g_m(x)}$ nezávisle na volbě $x\in\Omega$. Nabízí se využít odhad
\[\abs{g_n(x)-g_m(x)}\leq\abs{g_n(x)-g_n(x_k)}+\abs{g_n(x_k)-g_m(x_k)}+\abs{g_m(x_k)-g_m(x)}\]

Krajní členy odhadneme snadno -- bod $x_k$ lze díky hustotě $\{x_k\}$ vybrat libovolně blízko danému $x$ (tj. pro každé $\delta$ existuje $k$ tak, že $\rho(x,x_k)<\delta$). Díky tomu, že jsou funkce $g_n$ stejně spojité, lze tyto členy volit menší než libovolné $\epsilon$ nezávisle na volbě $n$ či $x$. Prostřední člen bychom chtěli odhadnout s využitím toho, že $(g_n)$ konverguje v každém bodě $x_k$ (a je tedy zde cauchyovská). Nevíme ovšem, zda v každém z těchto bodů konverguje stejně. Náš odhad by tedy závisel na daném $x_k$, a tím i na $x$. Řešení je následující: pro každé dané $\epsilon$ stačí vybrat z husté množiny $\{x_k\}$ konečnou $\delta$-síť. V bodech $\delta$-sítě pak díky její konečnosti konverguje posloupnost $(g_n)$ stejně.

Nadšený čtenář jistě důkaz dokončí sám, pro ostatní ho školometsky rozepíšeme. Pro dané $\epsilon>0$ hledáme $n_0$ tak, že pro každé $n,m>n_0$ a každé $x\in\Omega$ je $|g_n(x)-g_m(x)|<\epsilon$. Víme, že posloupnost $(g_n)$ tvoří stejně spojité funkce, tj. existuje $\delta>0$ takové, že pro každé $n\in\N$ a každé $x,y\in\Omega$ je $|g_n(x)-g_n(y)|<\epsilon/3$. Vezmeme dané $\delta$ a z množiny $\{x_k\}_{k=0}^\infty$ vybereme konečnou $\delta$ síť $\{\tilde x_k\}_{k=0}^N$. Díky hustotě $\{x_k\}$ totiž systém $\{B(x_k,\delta)\}$ pokrývá $\Omega$ a díky kompaktnosti z něj lze vybrat konečné podpokrytí, které bude tvořit hledanou konečnou $\delta$-síť\footnote{Tvrzení je však jasné už jenom z toho jak jsme v důkazu tvrzení \ref{separabilita} hustou množinu konstruovali -- bylo to právě sjednocení konečných $\epsilon$-sítí pro menší a menší $\epsilon$.}. Posloupnost $(g_n)$ konverguje ve všech bodech $\tilde x_k$, tj. pro každé $k\in\{0,\dots,N\}$ a každé $\epsilon>0$ existuje $n_k$ tak, že pro každé $n,m>n_k$ je $|g_n(\tilde x_k)-g_m(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. Nyní stačí volit $n_0:=\max_{0\le k\le N}n_k$. Našli jsme totiž pro každé $\epsilon>0$ číslo $n_0$ a body $\tilde x_1,\dots,\tilde x_N$ takové, že pro libovolné $x\in\Omega$ najdeme $\tilde x_k$ tak, že $\rho(x,\tilde x_k)<\delta$, a tedy pro libovolné $n>n_0$ je $|g_n(x)-g_n(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. Dále je pro libovolné $n,m>n_0$ a libovolné $k\in\{0,\dots,N\}$ i $|g_n(\tilde x_k)-g_m(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. S využitím odhadu výše je tvrzení dokázáno.
      \end{enumerate}
  \end{proof}

\begin{define}
Buďte $\X$, $\Y$ Banachovy prostory. Omezený operátor $A\in\B(\X,\Y)$ nazveme kompaktní, je-li obraz každé omezené množiny prekompaktní.
\end{define}

\begin{theorem}
Buď $\H$ Hilbertův prostor, $A\in\B(\H)$. Pak $A$ je kompaktní, právě když $A$ zobrazuje každou slabě konvergentní posloupnost na silně konvergentní.
\end{theorem}

\begin{theorem}
Kompaktní operátory v $\B(\H)$ tvoří uzavřený podprostor, který je uzávěrem podprostoru všech konečněrozměrných operátorů (tj. $\dim\Ran<+\infty$) a představuje dvoustranný $*$-ideál (tj. pro $A,B\in\B(\H)$, $A$ kompaktní jsou i $AB$, $BA$ a $A^*$ kompaktní).
\end{theorem}

\begin{theorem}
Nechť $\X$ je nekonečněrozměrný Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ kompaktní. Pak
 \begin{enumerate}
	\item $0\in\sigma(A)$;
	\item $\sigma(A)\sm\{0\}\subset\sigma_p(A)$;
	\item pro nenulové vlastní hodnoty $\lambda$ je dimenze vlastního podprostoru $\Ker{(A-\lambda I)}$ konečná;
	\item $\sigma(A)\sm\{0\}$ nemá nenulový hromadný bod (tj. pro $\epsilon>0$ je $(\C\sm B_\epsilon)\cap\sigma(A)$ konečná).
 \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Na přednášce se neuvádí, lze ho nalézt například v Modré smrti na straně 181. Vysvětleme pouze ekvivalenci z bodu (4): Spektrum celé leží v uzavřené kouli o poloměru $\norm{B}$. To je kompaktní množina, takže pokud je spektrum nekonečná množina, musí mít hromadný bod. Stejně tak je kompaktní i tatáž koule, když z ní vyjmeme otevřenou kouli $B_\epsilon$. Kdyby v ní leželo nekonečně mnoho bodů spektra, existovala by tedy nenulová hromadná hodnota.
\end{proof}


\begin{theorem}[Hilbert--Schmidt]
Je-li $A\in\B(\H)$ kompaktní a $A=A^*$, pak $A$ má čistě bodové spektrum. (Tzn. existuje ON báze z vlastních vektorů $A$.)
\end{theorem}

\begin{remark}
Buď $(f_n)$ ortonormální báze z vlastních vektorů $A=A^*$, tj. $Af_n=\lambda_nf_n$. Pak lze psát $Ax=\sum_n \la f_n,Ax\ra f_n=\sum_n\la Af_n,x\ra f_n=\sum_n\lambda_n\la f_n,x\ra f_n$.
\end{remark}

\begin{remark}
Modrá smrt na straně 182 uvádí Hilbert--Schmidtovu větu s předpokladem, že $A$ je normální. Pro hermitovské operátory ale věta samozřejmě platí tím spíš.
\end{remark}