Matematika2:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201115:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 18. 9. 201109:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201410:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 13. 6. 201909:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 19. 3. 202007:35 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 30. 3. 202017:33 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201512:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201910:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Integrace racionálních funkcí]{\fbox{Integrace racionálních funkcí}}
 
	\begin{define}[Racionální funkce]
	Racionální funkcí nazýváme funkci $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$, kde $p$ a $q$ jsou polynomy.
	\end{define}
 
 
	\begin{remark}
	Chceme spočítat $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$ umíme-li spočítat $\int\frac{\ud x}{(x-a)^k}$, $\int\frac{2x+b}{(x^2+bx+c)^k}\ud x$, $\int\frac{\ud x}{(x^2+bx+c)^k}$.
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}[Rovnost polynomů]\label{thm:rovnost:polynomu}
	Dva polynomy $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ a $q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ se na $\R$ rovnají právě tehdy, když $n=m$ a $a_k=b_k$ pro všechna $k=0,1,\dots,n$.
	\end{theorem}
 
 
	\begin{define}[Ireducibilní polynom nad $\R$]
	Polynom $p$ nazýváme ireducibilním nad $\R$ pokud nemá žádný reálný kořen.
	\end{define}
 
 
	\begin{remark}
	Polynom $(ax^2+bx+c)^k$ je ireducibilní nad $\R$, právě když $b^2-4ac < 0$.
	\end{remark}
 
	\begin{postup}[Postup integrace racionální funkce pomocí rozkladu na parciální zlomky]\label{postup:1}
	Postup integrace racionální funkce  $\int\frac{p(x)}{q(x)}\ud x$, kde $\st{p} < \st{q}$.
	\begin{enumerate}
	 \item Faktorizace polynomu $q$ na ireducibilní polynomy nad $\R$:
	$$
		q(x) = \prod\limits_{i=1}^{k} (x-a_i)^{n_i} \prod\limits_{i=1}^{\ell} (x^2+b_ix+c_i)^{m_i}
	$$
	\item Rozložení $\frac{p(x)}{q(x)}$ na parciální zlomky podle následujících pravidel:
		\begin{enumerate}
		\item Faktor typu $(x-a)^n$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky 
		$$
			\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots +\frac{A_n}{(x-a)^n}.
		$$
		\item Faktor typu $(x^2+bx+c)^m$ ve jmenovateli vede na parciální zlomky 
		$$
			\frac{B_1x+C_1}{x^2+bx+c} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+bx+c)^2}+ \dots +\frac{B_mx+C_m}{(x^2+bx+c)^m}.
		$$
		\end{enumerate}
	\item	Neznámé koeficienty (viz $A_i$, $B_i$ a $C_i$) v čitatelích všech parciálních zlomků je nutné spočítat pomocí zpětného sloučení parciálních zlomků na společný jmenovatel.
	\item	Porovnáním výsledného polynomu v čitateli pomocí věty~\ref{thm:rovnost:polynomu} s původním polynomem $p(x)$ podle koeficientů u jednotlivých mocnin $x^k$ dostaneme soustavu lineárních rovnic.
	\item 	Řešením soustavy lineárních rovnic dostaneme rozklad racionální funkce na parciální zlomky.
	\item 	Postupná integrace jednotlivých parciálních zlomků.
	\end{enumerate}
	\end{postup}