02VOAFskriptum:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
%\setcounter{chapter}{1}
\chapter{Postupné vlny}
\section{Postupné vlny na struně}
\begin{quote}
{\it d'Alembertovo řešení vlnové rovnice a jeho fyzikální smysl.
Fáze, fázová rychlost, retardovaný čas.}
\end{quote}
 
Soustavy, které jsme doposud uvažovali, byly {\it uzavřené\/},
ohraničené, takže energie kmitání zůstávala v mezích soustavy. Kmity
struny upevněné na obou koncích byly popsány jako superpozice módů
--- stojatých vln.
 
Nyní budeme uvažovat soustavy {\it otevřené}, neohraničené. Vlny
vzbuzené v otevřeném prostředí se nazývají {\it postupné vlny}.
Putují od zdroje, který je budí, nenávratně pryč. Případné vzdálené
meze soustavy mohou vést k odrazům, které si podrobně popíšeme v
kapitole 5.
 
Vraťme se opět k jednorozměrné modelové soustavě --- {\it homogenní
struně\/} --- nyní natažené podél osy $z$ od $-\infty$ do
$+\infty$. Zapišme pohybovou rovnici struny
\be                                        \label{eq:2.1}
\f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}\ ,\qq\qq
v^2 = \f{T}{\varrho}\ .
\ee
Obecné řešení určíme d'Alembertovou metodou. Zavedeme nové
nezávislé proměnné
\be
(z,\,t)\ \longmapsto\ (\xi=z-vt,\,\eta=z+vt)
\ee
a položíme $\tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=\psi(z,\,t).$
Pak transformujeme parciální derivace
\bea
\f{\pad \psi}{\pad t} & = & \f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad
t}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad t}=
\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,,\\
\f{\pad \psi}{\pad z}&=&\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad
z}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad z}=
\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,.
\eea
Druhé derivace vzniknou iterací předešlých operací,
\bea
\f{\pad^2 \psi}{\pad t^2}&=&\f{\pad}{\pad t}\f{\pad}{\pad t}
\psi=\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)
\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,,
\\
\f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}&=&\f{\pad}{\pad z}\f{\pad}{\pad z}
\psi=\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)
\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,.
\eea
Po dosazení do vlnové rovnice (\ref{eq:2.1}) zbudou v ní pouze
smíšené derivace
\be           \label{eq:2.2}
4\f{\pad^2\tilde{\psi}}{\pad\xi\pad\eta}=0\,,
\ee
neboť pro dostatečně hladkou funkci platí
$\pad^2\tilde{\psi}/\pad\xi\pad\eta=\pad^2\tilde{\psi}/
\pad\eta\pad\xi\,.$
 Řešení rovnice (\ref{eq:2.2}) --- {\it d'Alembertovo řešení
vlnové rovnice} ---
\be
\tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=F(\xi)+G(\eta)
\ee
je součtem dvou libovolných funkcí, z nichž každá triviálně řeší
(\ref{eq:2.2}). V původních souřadnicích $z,\,t$
\be                  \label{eq:2.3}
 \fbox{$\disp\psi(z,\,t)=F(z-vt)+G(z+vt)\,.$}
\ee
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c1}\\
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm
%\mbox{\epsffile{ob2c1.eps}}\\
% Obr. 2.1  Význam fázové rychlosti
 \caption{Význam fázové rychlosti}
 \label{obr2.1}
\end{center}
\end{figure}
 
 
 
Jaký fyzikální smysl má d'Alembertovo řešení (\ref{eq:2.3})\,?
Všimněte si průběhu řešení s $G\equiv 0,$ tj. $\psi(z,\,t)=
F(z-vt)$, v časech $t_1$ a $t_2>t_1$ podle obr. \ref{obr2.1}, kde
$F$ je krátký puls. Argument $z-vt$ funkce $F$ se nazývá {\it fáze}.
Na obr. \ref{obr2.1} místo s určitou hodnotou fáze \be
\label{eq:2.4} z_1-vt_1=z_2-vt_2=C \ee odpovídá stejné výchylce \be
F(z_1-vt_1)=F(z_2-vt_2)=F(C). \ee Toto {\it místo konstantní fáze}
se podle (\ref{eq:2.4}) pohybuje ve směru osy $z$ {\it fázovou
rychlostí} $v$: \be z_2-z_1=v(t_2-t_1)\,. \ee Celý puls tedy
postupuje ve směru $+z$ {\it beze změny tvaru.} Podobně funkce
$G(z+vt)$ představuje (obecně jiný) puls postupující po struně beze
změny tvaru rychlostí $-v$, tedy ve směru $-z$.
 
{\bf Příklad.} {\em Vyzařování postupných vln.} Nechť je struna
upevněna v bodě $z=0$ a sahá velmi daleko (podél kladné osy $z$).
Předpokládejme, že počátkem struny pohybuje hnací mechanismus
(vysílač) předepsaným způsobem \be \label{eq:2.5}
\psi(0,\,t)=x(t)\,, \ee kde $x(t)$ je daná funkce času (obr.
\ref{obr2.2}). Jde vlastně o vysílání vlny po struně z počátku
$z=0$. Pro jednoznačnost řešení této úlohy je nutné předepsat ještě
tzv. {\it podmínku vyzařování} \be G\equiv 0\,, \ee tj. že se po
struně nešíří žádný signál z $+\infty$. Pak \be
\psi(z,\,t)=F(z-vt)\,, \ee kde funkci $F$ určíme z podmínky
(\ref{eq:2.5}): \be
\psi(z,\,t)=F(z-vt)=F\left(0-v\left(t-\f{z}{v}\right)\right)=
\psi\left(0,\,t-\f{z}{v}\right)=x\left(t-\f{z}{v}\right)\,. \ee
Výchylky počátku se šíří po struně směrem $+z$ rychlostí $v$.
Výchylka $ \psi(z,\,t)$ v místě $z$ v čase $t$ je stejná jako v
$z=0$ v dřívějším, tzv. {\it retardovaném čase} \be t'=t-\f{z}{v}\ .
\ee
 
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c2}\\
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm
%\mbox{\epsffile{ob2c2.eps}}\\
% Obr. 2.2  Vysílání postupné vlny na struně
 \caption{Vysílání postupné vlny na struně}
 \label{obr2.2}
 
\end{center}
\end{figure}
 
 
 
\section{Harmonická postupná vlna}
Jestliže hnací mechanismus vykonává harmonický pohyb \be
x(t)=A\cos(\om t+\alpha)\,, \ee pak se po struně šíří {\it
harmonická postupná vlna}
\be
\psi(z,\,t)=x\left(t-\f{z}{v}\right)=A\cos(\om t-k z+\alpha)\,, \ee
kde $k=\om/v$ se nazývá vlnové číslo. {\it Fáze} vlny je $\om
t-kz+\alpha$, {\it frekvence} $\nu=\om/2\pi$, perioda $T=1/\nu$,
{\it vlnová délka} $\lambda=2\pi/k$. Jakou fázi má harmonická
postupná vlna šířící se ve směru záporné osy $z$?
 
Vztah
\be
\om=vk\,,\qq\qq v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}\,,
\ee
je {\it disperzní vztah } pro strunu. Jiné, nelineární disperzní
vztahy $\om=\om(k)$ budeme studovat v kap. 3.
 
Ukažme si ještě na příkladě, jak řešení pomocí stojatých vln z
oddílu 1.2 lze převést na superpozici stojatých vln postupujících
proti sobě: \bea \psi(z,\,t)&=&\sum
%\limits
_{m=1}^\infty A_m \sin k_m z \sin \om_m t=\\
&=&\f{1}{2}\sum_{m=1}^\infty A_m\cos( k_m z-\om_m t)-\f{1}{2}
\sum_{m=1}^\infty A_m \cos(k_m z+\om_m t)\,.
\eea
 
\section{Rovinná vlna}
Přímým zobecněním postupných vln v trojrozměrném případě jsou {\it
rovinné vlny}. Vztah \be                     \label{eq:2.7}
\psi(x,\,y,\,z,\,t)=F(z-vt) \ee totiž definuje vlnu v prostoru, pro
niž množina bodů konstantní fáze (v daném čase $t_1$) je rovina \be
z-vt_1=C \ee kolmá k ose $z$ a protínající ji v bodě $z_1=vt_1+C$
(obr. \ref{obr2.3}).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c3}\\
 \caption{Rovinná vlna}
 \label{obr2.3}
\end{center}
\end{figure}
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm
%\mbox{\epsffile{ob2c3.eps}}\\
% Obr. 2.3 \\ Rovinná vlna
 Rovinná vlna (\ref{eq:2.7}) je řešením vlnové rovnice v
 trojrozměrném prostoru
 \be
 \label{eq:2.8} \fbox{$\disp
\f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\Delta\psi= v^2\left(\f{\pad^2\psi}{\pad
x^2}+\f{\pad^2\psi}{\pad y^2} +\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}\right)\, ,$}
 \ee
 neboť parciální derivace podle $x$ a $y$ jsou nulové.
 
Vzhledem k tomu, že Laplaceův operátor $\Delta=\nabla . \nabla$ je
invariantní  při rotaci souřadného systému \cite{ST}, je řešením
prostorové vlnové rovnice (\ref{eq:2.8}) rovinná vlna šířící se v
libovolném směru určeném jednotkovým vektorem $\mbf{s}$:
 \be
\label{eq:2.9} \mbox{
$\disp\psi(\mbf{r},\,t)=F(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)\,,\qq|\mbf{s}|=1\,.$}
 \ee
 Výraz (\ref{eq:2.9}) přechází zřejmě v (\ref{eq:2.7}),
zvolíme-li $\mbf{s}=(0,\,0,\,1)$. {\it Rovina konstantní fáze} (v
čase $t_1$) je nyní dána rovnicí \be
\mbox{$\disp\mbf{s}.\mbf{r}-vt_1=C$}\,, \ee neboli známou rovnicí
roviny kolmé k vektoru $\mbf{s}=(s_x,\,s_y,\,s_z)$,
 \be s_{x} x
+s_{y} y+s_{z} z-vt_{1}-C=0\,.
 \ee
 Harmonickou rovinnou vlnu obdržíme z
(\ref{eq:2.9}) pro funkci
$$F(-vt)=A\cos(\om t+\alpha)\,,$$
tj.
$$
\mbox{$\disp\psi(\mbf{r},\,t)=$}
\mbox{$\disp\psi\left(0,\,t-
{{\mbox{\bf s.r} \over{v}}}
\right)=$}
\mbox{$\disp A\cos(\om t- \mbf{k} . \mbf{r} +\alpha)\,.$}
$$
Zde zavedený vektor ve směru šíření
$$\mbox{$\mbf{k}=k\mbf{s}$}$$
se nazývá {\it vlnový vektor}. Příslušný disperzní vztah je nyní
$$ \om=vk=v\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\,.$$
 
{\bf Poznámka.} Od rovinné vlny musíme odlišovat sférickou vlnu
vysílanou bodovým zdrojem. Množina bodů konstantní fáze
(vlnoplocha) takové vlny
\be
rx-vt_1=const.
\ee
je sféra o poloměru $r$ se středem ve zdroji. Potom například
{\it harmonická sférická vlna} má tvar
$$ \psi(r,\,t)=A\cos(k(r+\lambda)+\alpha)=A\cos(kr+2\pi+\alpha) $$
a rovnice sférické vlnoplochy je
$$\om t_1 -kr +\alpha = C\,.$$
 
{\bf Matematická poznámka.} V d'Alembertově řešení (\ref{eq:2.3})
lze elegantním způsobem uplatnit počáteční podmínky
 \bea
\psi(z,\,0)&=&f(z)\,,\\                     \label{eq:21.10}
 \f{\pad\psi}{\pad t}(z,\,0)&=&g(z)\,.    \label{21.11} \eea
  Dosazením
(\ref{eq:2.3}) do (\ref{eq:21.10})  a (\ref{21.11}) dostaneme vztahy
 \bea
F(z)+G(z)&=&f(z)\,,    \label{21.12}\\
-vF'(z)+vG'(z)&=&g(z)\,.   \label{21.13} \eea Rovnici (\ref{21.13})
vynásobíme $-1/v$ a zintegrujeme od 0 do $z$ \be \label{21.14}
F(z)-G(z)-F(0)+G(0)=-\f{1}{v}\int_0^z g(z')\d z'\,. \ee Lineární
rovnice (\ref{21.12}), (\ref{21.14}) pro $F(z),\,G(z)$ snadno
vyřešíme: \bea F(z)&=&\f{1}{2} f(z)-\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d
z'+\f{1}{2}F(0)-\f{1}{2}G(0)\,,\\
G(z)&=&\f{1}{2} f(z)+\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d
z'-\f{1}{2}F(0)+\f{1}{2}G(0)\,.
\eea
Dosazením do (\ref{eq:2.3}) pak dostaneme konečný výsledek
\be
\psi(z,\,t)=\f{1}{2}f(z-vt)+\f{1}{2}f(z+vt)+
\f{1}{2v}\int_{z-vt}^{z+vt}g(z')\d z'\,.
\ee
 
{\bf Cvičení.\ }Rozmyslete si, jaké vlny se šíří po struně
\begin{list}{}{\leftmargin 4ex \itemsep=0pt \topsep=\parsep}
\item[a)] když je struna v čase $t=0$ vychýlena podle
$\psi(z,\,0)=f(z)$ a puštěna s nulovou počáteční rychlostí
$g(z)\equiv 0\,$,
\item[b)] při rozkmitání úderem $g(z)\neq 0$ z rovnovážné polohy
$f(z)=0$\ .
\end{list}