https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Zuzka&feedformat=atom
WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]
2024-03-28T21:41:03Z
Příspěvky uživatele
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola29&diff=4258
01MAA4:Kapitola29
2011-06-26T10:39:51Z
<p>Zuzka: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Měřitelné množiny}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M\subset X$. Položme<br />
\[<br />
\chi_M(x)=<br />
\begin{cases}<br />
1 & x\in M\\<br />
0 & x\in X\sm M<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
$\chi_H$ nazveme {\bf charakteristickou funkcí množiny $M$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M\subset X$, $\chi_M(x)$. Pak $M$ je {\bf měřitelná}, právě když<br />
$\chi_M$ je měřitelná.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\chi_M\in\M$, právě když $\chi_M\in\Lambda$ ($\chi$ je nezáporná).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M$ měřitelná množina, pak míru množiny $M$ definujeme<br />
$\mu(M)=\II\chi_M$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\mu(Z)=0$ $\iff$ $Z$ je nulové míry $\iff$ $\chi_Z\sim 0$<br />
$\iff$ $\chi_Z$ je nulová skoro všude, nenulová na množině nulové míry<br />
$\iff$ $Z$ je množina nenulových bodů.<br />
\item Pomocí axiomu výberu lze zkonstruovat neměřitelnou množinu a tedy i neměřitelnou funkci. (Vrána skripta str. 59)<br />
%\item $\mu(\I)=\V(\I)=\II\chi_\I$, neboť $\chi_\I$ je stupňovitá.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posloupnost{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nějaký spočetný systém měřitelných množin. Pak platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $M=\bigcup_k M_k$ je měřitelná,<br />
\item $N=\bigcap_k M_k$ je měřitelná,<br />
\item $M_1\sm M_2$ je měřitelná.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[\chi_M(x)=\sup_k\chi_{M_k}(x),\]<br />
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\]<br />
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost}<br />
\[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2}.\]<br />
\[\chi_M{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x),\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V~$\R^n$ jsou prvky topologie (tj. otevřené množiny) měřitelné.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu<br />
interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří<br />
spočetný systém, takže podle předchozí věty $A$ je<br />
měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$.<br />
\end{proof}<br />
\item Uzavřené množiny jsou též měřitelné.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A=\uz{A}$, pak $A=\R^n\sm B$, kde $B=\vn{B}$, takže podle<br />
předchozí věty je $A$ měřitelná.<br />
\end{proof}<br />
\item Množiny typu $G_\delta$ (spočetný průnik otevřených množin) a<br />
$F_\sigma$ (spočetné sjednocení uzavřených množin) jsou<br />
měřitelné. Díky tomu jsou měřitelné i~polouzavřené intervaly.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin,<br />
$M=\bigcup_k M_k$ a nechť $M_j\cap M_i=\emptyset$ pro navzájem různá<br />
$i,j$. Pak<br />
\[\mu(M)=\mu\left(\bigcup_k M_k\right)=<br />
\sum_{i=1}^{n,\infty}\mu(M_i).\]<br />
\begin{proof}<br />
Díky disjunktnosti $M_k$ platí<br />
\[\chi_M=\sum_k\chi_{M_k}.\]<br />
\begin{enumerate}<br />
\item konečný případ: aditivita integrálu<br />
\[\II\chi=\sum_{i=1}^n\II\chi_{M_i}.\]<br />
\item spočetný případ: Leviova věta<br />
\[\II\chi=\sum_{i=1}^\infty\II\chi_{M_i}.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Lebesgueova míra je $\sigma$-aditivní (spočetně aditivní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin, buďte<br />
\[M=\bigcup_{k=1}^\infty M_k,\quad N=\bigcap_{k=1}^\infty M_k.\]<br />
Pak platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Je-li $M_k\subset M_{k+1}$, pak $\mu(M)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.<br />
\item Je-li $M_{k+1}\subset M_k$ a $\exists n \in \N$, že $\mu(M_n)<+\infty$, pak<br />
$\mu(N)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item<br />
\[\chi_M=\sup_{k\in\N}\chi_{M_k}=\lim_{m\to\infty}\max_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]<br />
<br />
\[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\]<br />
Z rozšíření Lebeguovy věty plyne<br />
\[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]<br />
\item<br />
\[\chi_M=\inf_{k\in\N}\chi_{M_k}=<br />
\lim_{m\to\infty}\min_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]<br />
\[\chi_{M_k}\searrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}<+\infty\]<br />
\[\mu(N)=\II\chi_N=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{example}<br />
$(-\infty,-n)\cup(n,+\infty)=A_n$, $\mu(A_n)=+\infty$,<br />
$\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\emptyset$; bez podmínky<br />
$\mu(M_i)\le+\infty$ to nejde.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nejvýše spočetný systém měřitelných množin<br />
$M=\bigcup_k M_k$. Platí<br />
\[<br />
\mu(M)\le\sum_k\mu(M_k).<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup(M_2\sm M_1)$;\\<br />
$\mu(M)=\mu(M_1)+\mu(M_2\sm M_1)\le\mu(M_1)+\mu(M_2)$.<br />
\item Spočetný případ:<br />
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\]<br />
z 1. bodu minulé věty plyne<br />
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty K_k\right)=<br />
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\]<br />
neboť<br />
\[<br />
\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)<br />
\subset\left(\bigcup_{k=1}^{n+1}M_k\right)<br />
\]<br />
množinově \uv{roste}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $M\subset N$. Pak $\mu(M)\le\mu(N)$ a dokonce<br />
$\mu(M)<+\infty\implies\mu(N)-\mu(M)=\mu(N\sm M)$.<br />
\begin{proof}<br />
$N=M\cup(N\sm M)$, proto $\mu(N)=\mu(M)+\mu(N\sm M)\ge\mu(M)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}</div>
Zuzka
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola29&diff=4257
01MAA4:Kapitola29
2011-06-26T10:37:02Z
<p>Zuzka: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Měřitelné množiny}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M\subset X$. Položme<br />
\[<br />
\chi_M(x)=<br />
\begin{cases}<br />
1 & x\in M\\<br />
0 & x\in X\sm M<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
$\chi_H$ nazveme {\bf charakteristickou funkcí množiny $M$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M\subset X$, $\chi_M(x)$. Pak $M$ je {\bf měřitelná}, právě když<br />
$\chi_M$ je měřitelná.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\chi_M\in\M$, právě když $\chi_M\in\Lambda$ ($\chi$ je nezáporná).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M$ měřitelná množina, pak míru množiny $M$ definujeme<br />
$\mu(M)=\II\chi_M$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\mu(Z)=0$ $\iff$ $Z$ je nulové míry $\iff$ $\chi_Z\sim 0$<br />
$\iff$ $\chi_Z$ je nulová skoro všude, nenulová na množině nulové míry<br />
$\iff$ $Z$ je množina nenulových bodů.<br />
\item Pomocí axiomu výberu lze zkonstruovat neměřitelnou množinu a tedy i neměřitelnou funkci. (Vrána skripta str. 59)<br />
%\item $\mu(\I)=\V(\I)=\II\chi_\I$, neboť $\chi_\I$ je stupňovitá.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posloupnost{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nějaký spočetný systém měřitelných množin. Pak platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $M=\bigcup_k M_k$ je měřitelná,<br />
\item $N=\bigcap_k M_k$ je měřitelná,<br />
\item $M_1\sm M_2$ je měřitelná.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[\chi_M(x)=\sup_k\chi_{M_k}(x),\]<br />
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\]<br />
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost}<br />
\[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2}.\]<br />
\[\chi_M{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x),\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V~$\R^n$ jsou prvky topologie (tj. otevřené množiny) měřitelné.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu<br />
interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří<br />
spočetný systém, takže podle předchozí věty $A$ je<br />
měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$.<br />
\end{proof}<br />
\item Uzavřené množiny jsou též měřitelné.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A=\uz{A}$, pak $A=\R^n\sm B$, kde $B=\vn{B}$, takže podle<br />
předchozí věty je $A$ měřitelná.<br />
\end{proof}<br />
\item Množiny typu $G_\delta$ (spočetný průnik otevřených množin) a<br />
$F_\sigma$ (spočetné sjednocení uzavřených množin) jsou<br />
měřitelné. Díky tomu jsou měřitelné i~polouzavřené intervaly.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin,<br />
$M=\bigcup_k M_k$ a nechť $M_j\cap M_i=\emptyset$ pro navzájem různá<br />
$i,j$. Pak<br />
\[\mu(M)=\mu\left(\bigcup_k M_k\right)=<br />
\sum_{i=1}^{n,\infty}\mu(M_i).\]<br />
\begin{proof}<br />
Díky disjunktnosti $M_k$ platí<br />
\[\chi_M=\sum_k\chi_{M_k}.\]<br />
\begin{enumerate}<br />
\item konečný případ: aditivita integrálu<br />
\[\II\chi=\sum_{i=1}^n\II\chi_{M_i}.\]<br />
\item spočetný případ: Leviova věta<br />
\[\II\chi=\sum_{i=1}^\infty\II\chi_{M_i}.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Lebesgueova míra je $\sigma$-aditivní (spočetně aditivní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin, buďte<br />
\[M=\bigcup_{k=1}^\infty M_k,\quad N=\bigcap_{k=1}^\infty M_k.\]<br />
Pak platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Je-li $M_k\subset M_{k+1}$, pak $\mu(M)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.<br />
\item Je-li $M_{k+1}\subset M_k$ a $\exists n \in \N$, že $\mu(M_n)<+\infty$, pak<br />
$\mu(N)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item<br />
\[\chi_M=\sup_{k\in\N}\chi_{M_k}=\lim_{m\to\infty}\max_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]<br />
<br />
\[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\]<br />
Z rozšíření Lebeguovy věty plyne<br />
\[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]<br />
\item<br />
\[\chi_M=\inf_{k\in\N}\chi_{M_k}=<br />
\lim_{m\to\infty}\min_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]<br />
\[\chi_{M_k}\searrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}<+\infty\]<br />
\[\mu(N)=\II\chi_N=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{example}<br />
$(-\infty,-n)\cup(n,+\infty)=A_n$, $\mu(A_n)=+\infty$,<br />
$\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\emptyset$; bez podmínky<br />
$\mu(M_i)\le+\infty$ to nejde.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nejvýše spočetný systém měřitelných množin<br />
$M=\bigcup_k M_k$. Platí<br />
\[<br />
\mu(M)\le\sum_k\mu(M_k).<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup(M_2\sm M_1)$;\\<br />
$\mu(M)=\mu(M_1)+\mu(M_1\sm M_2)\le\mu(M_1)+\mu(M_2)$.<br />
\item Spočetný případ:<br />
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\]<br />
z 1. bodu minulé věty plyne<br />
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty K_k\right)=<br />
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\]<br />
neboť<br />
\[<br />
\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)<br />
\subset\left(\bigcup_{k=1}^{n+1}M_k\right)<br />
\]<br />
množinově \uv{roste}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $M\subset N$. Pak $\mu(M)\le\mu(N)$ a dokonce<br />
$\mu(M)<+\infty\implies\mu(N)-\mu(M)=\mu(N\sm M)$.<br />
\begin{proof}<br />
$N=M\cup(N\sm M)$, proto $\mu(N)=\mu(M)+\mu(N\sm M)\ge\mu(M)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}</div>
Zuzka
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola23&diff=4255
01MAA4:Kapitola23
2011-06-24T20:15:31Z
<p>Zuzka: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Stupňovité funkce}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:\I\mapsto\R$ omezená funkce na (kompaktním) intervalu<br />
$\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf stupňovitá} na $\I$, jestliže existuje<br />
rozdělení $\sigma$ intervalu $\I$ takové, že $f$ je konstantní na<br />
vnitřku každého částečného intervalu $\I$ podle $\sigma$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Označme $\HH(\I)$ množinu všech stupňovitých funkcí na $\I$. Pak platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $h+k\in \HH(\I)$.<br />
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\alpha h\in \HH(\I)$.<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\min(h,k)\in \HH(\I)$, $\max(h,k)\in \HH(\I)$.<br />
\item Je-li $h\in \HH(\I)$, pak $\abs{h}\in \HH(\I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Určitě platí, že funkce stupňovitá při $\sigma$ je stupňovitá i~při<br />
zjemnění $\sigma^*$ a z~toho to plyne.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li funkce $h$ stupňovitá při $\sigma$ i~při $\sigma^+$, pak platí:<br />
\[\sum_{j=1}^p h_j V(\I_j)=\sum_{j=1}^{p^+}h_j^+ V(\I_j^+)\]<br />
\begin{proof}<br />
Uděláme společné zjemnění.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $h$ stupňovitá na $\I$, $\sigma$ rozdělení $\I$, při kterém je $h$<br />
stupňovitá. Pak definujeme<br />
\[\II h=\sum_{k=1}^ph_k V(\I_k)\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Díky minulé větě je $\II h$ nezávislé na $\sigma$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\II(h+k)=\II h+\II k$.<br />
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\II(\alpha h)=\alpha\II h$.<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, $h\le k$, pak $\II h\le\II k$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Jasné z~definice, rozdělení beru takové, aby $h$ i $k$ bylo při něm<br />
stupňovité.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $Z\subset\I$. Řekneme, že {\bf $Z$ je míry} (Lebesgueovy) {\bf<br />
nula} ($\mu(Z)=0$), jestliže pro každé $\epsilon>0$ existuje nejvýše<br />
spočetný systém intervalů $\K_j$ tak, že $Z\subset\bigcup_j\vn{\K_j}$ a současně<br />
\[\sum_j V(\K_j)<\epsilon\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Množiny Jordanovy míry nula jsou Lebesgueovy míry nula.<br />
\item Stačí předpokládat právě spočetný systém. Buď $\K_p$ poslední<br />
interval, $\alpha=\sum_1^p V(\K_j)<\frac\epsilon2$. Pak<br />
\[\K_{p+j}=\bigx_{i=1}^n\la -\eta_j, \eta_j\ra,\]<br />
zvolme<br />
\[V(\K_{p+j})=(2\eta_j)^n<\frac{\epsilon-\alpha}{2^{j+1}}.\]<br />
Pak<br />
\[\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon-\alpha}{2}<\epsilon.\]<br />
\item Stačí, aby $Z\subset\bigcup_j\K_j$, bez vnitřků a otevřenosti se<br />
obejdu:<br />
\[\K_j=\bigx_{i=1}^n\la a_j^i,b_j^i\ra\quad<br />
\K_j\subset\vn{\I_j}\quad<br />
\I_j=\bigx_{i=1}^n\la a_j^i-\eta_j, b_j^i+\eta_j\ra\]<br />
\[\sum_{j}^\infty V(\I_j)=<br />
\sum_j^\infty\underbrace{\left(V(\I_j)-V(\K_j)\right)}<br />
_{\substack{\text{spojitý polynom}\\p(\eta_j)-p(0)}}<br />
+\underbrace{\sum_j^\infty V(\K_j)}_{<\epsilon}< 2\epsilon.\]<br />
Zvolím $\eta_j$ tak, aby<br />
\[p(\eta_j)-p(0)<\frac{\epsilon}{2^j}.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nejvýše spočetné sjednocení množin nulové míry je opět nulové míry.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $Z_1,Z_2,\dots,Z_m,\dots$ Máme dokázat, že $Z=\bigcup_{j=1}^\infty<br />
Z_j$ je nulové míry.<br />
<br />
$Z_m$ pokryji systémem $\system{j=1}{\infty}{K_j^m}$.<br />
\[Z_m\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(K_j^m\right)};\quad<br />
\sum_{j=1}^\infty V(K_j^m)<\frac\epsilon{2^m}\]<br />
\[Z\subset\bigcup_{m,j=1}^\infty K_j^m;\quad<br />
\sum_{m,j=1}^\infty V(K_j^m)<\epsilon\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jednobodová množina je nulové míry, takže i $\Q$ nulové míry.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $Z\subset\I$. $Z$ je míry nula, právě když pro každé $\epsilon>0$<br />
existuje rostoucí posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí ($h_n\ge<br />
0$, $h_n\le h_{n+1}$, $h_n\in \HH(\I)$) taková, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1$ pro každé $x\in Z$,<br />
\item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $(\Rightarrow)$ Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém<br />
$\system{j=1}{\infty}{\K_j}$ takový, že<br />
\[Z\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(\K_j\right)}<br />
\quad\wedge\quad<br />
\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\epsilon.\]<br />
Sestrojíme posloupnost funkcí:<br />
\[<br />
h_m(x)=<br />
\begin{cases}<br />
1 & \text{pro }x\in\left(\bigcup_{j=1}^m \K_j\right)\cap\I\\<br />
0 & \text{jinak.}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Posloupnost je rostoucí pro každé $x\in\I$, funkce jsou stupňovité a<br />
nezáporné, $\sup\ge 1$. Dále platí<br />
\[\II h_m\le\sum_{j=1}^m V(K_j)<\epsilon\]<br />
a je-li $x\in Z$, potom existuje $m\in\N$ tak, že $x\in\K_m\cap\I$,<br />
tudíž $h_m(x)=1$ a $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$.<br />
<br />
\item $(\Leftarrow)$ Buď $\epsilon>0$. Potom existuje rostoucí<br />
posloupnost $\posl{h_m}$ nezáporných stupňovitých funkcí taková, že<br />
$\II h_m\le\frac\epsilon3$ pro každé $m\in\N$. Buď dále $\sigma_m$<br />
rozdělení, při kterém je $h_m$ stupňovitá pro každé $m\in\N$. Bez újmy<br />
na obecnosti předpokládejme, že $\sigma_m$ je posloupnost zjemňujících<br />
se rozdělení. Buď $Z'$ množina všech hraničních bodů všech částečných intervalů<br />
všech rozdělení $\sigma_m$. Platí, že $\mu(Z')=0$.<br />
<br />
Zvolme $k\in\N$ tak, aby funkční hodnota funkce $h_k$ již byla ve<br />
vnitřku některého částečného intervalu rozdělení $\sigma_k$ alespoň<br />
$\frac12$. Označme $\K_1,\dots,\K_{r_k}$ částečné intervaly rozdělení<br />
$\sigma_k$, na jejichž vnitřcích má funkce $h_k$ funkční hodnotu větší<br />
nebo rovnu $\frac12$. Označme dále $\K_{r_k+1},\dots,\K_{r_{k+1}}$<br />
částečné intervaly rozdělení $\sigma_{k+1}$, na jejichž vnitřcích má<br />
funkce $h_k$ funkční hodnotu větší nebo rovnu $\frac12$, ale které<br />
nejsou obsaženy v~$\bigcup_{j=1}^{r_k}\K_j$. Získáme tak rostoucí<br />
posloupnost $\posloupnost{m=k}{\infty}{r_m}$ a nejvýše spočetný systém<br />
intervalů $\system{j=1}{r}{\K_j}$, kde $r=\lim_{m\to\infty}r_m$ <br />
s~vzájemně disjunktními vnitřky.<br />
<br />
Protože $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je<br />
$Z\sm Z'\subset\bigcup_{j=k}^r\vn{\K_j}$. Přitom pro všechna $m\ge k$<br />
platí<br />
\[\frac12\sum_{j=1}^{r_m}{V(\K_j)}\le\II h_m<\frac\epsilon3.\]<br />
V~limitě pak<br />
\[\frac12\sum_{j=1}^r{V(\K_j)}\le\II h_m\le\frac\epsilon3<\epsilon,\]<br />
tedy $Z''$ je nulové míry.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_n}$ posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí. Nechť<br />
platí $h_{n+1}\le h_n$. Pak platí:<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0\implies<br />
\mu\left(<br />
\left\{x\in\I\left|\lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right.\right\}<br />
\right)=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď<br />
\[Z_p=\left\{x\in\I\left|\lim_{m\to\infty}h_m(x)<br />
\ge\frac1p\right.\right\}\]<br />
pak platí $ph_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$ a všechna $m\in N$.<br />
Protože $\lim_{m\to\infty}\II(ph_m)=p\lim_{m\to\infty}\II h_m=0$, lze<br />
při libovolném $\epsilon>0$ nalézt $m\in\N$ tak, že<br />
$\II(ph_m)<\epsilon$ a $(ph_m)(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$. Z~toho<br />
vyplývá, že $\mu(Z_p)=0$ a protože<br />
\[Z=\bigcup_{p=1}^\infty Z_p,\]<br />
je i $\mu(Z)=0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_m}$ klesající posloupnost nezáporných stupňovitých<br />
funkcí. Pak platí:<br />
\[\mu\left(<br />
\left\{<br />
x\in\I\left|\lim_{m\to\infty}h_m(x)>0\right.<br />
\right\}<br />
\right)=0\implies\lim_{m\to\infty}\II h_m=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $Z_1$ je množina všech hraničních bodů všech částečných<br />
intervalů, při nichž jsou všechny $h_m$ stupňovité, buď<br />
$Z_2=\{x\in\I|\lim_{m\to\infty} h_m(x)>0\}$. Potom, protože množina<br />
$Z_1$ má nulovou míru, je $\mu(Z_1\cup Z_2)=0$.<br />
<br />
Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém intervalů $\sys{\K_j}$ takový,<br />
že platí<br />
\[<br />
Z_1\cup Z_2\subset\bigcup_{j=1}^\infty\K_j<br />
\quad\wedge\quad<br />
\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)},<br />
\]<br />
kde $M>h_1(x)$ pro každé $x\in\I$.<br />
<br />
Pro každé $x\in\I\sm(Z_1\cup Z_2)$ platí, že<br />
$\lim_{m\to\infty}h_m(x)=0$, tedy existuje $m(x)$ takové, že<br />
\[h_m(x)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }m\ge m(x).\]<br />
Protože $x$ leží ve vnitřku nějakého částečného intervalu $\I_x$<br />
rozdělení, při němž je $h_m$ stupňovitá, platí dále<br />
\[h_{m(x)}(y)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }y\in\vn{\I_x}.\]<br />
Systém intervalů $\sys{\K_j}\cup\{\I_y\}_{y\in\I\sm Z}$ pokrývá<br />
množinu $\I$. Protože $\I$ je kompaktní, existuje konečné podpokrytí<br />
\[\I\subset\bigcup_{i=1}^r\vn{\K_{j_i}}\cup\bigcup_{k=1}^s\vn{\I_{x_k}}.\]<br />
Buď $m_0=\max(m(x_1),\dots,m(x_s))$. Pak pro každé $m>m_0$ platí<br />
\[\II h_m\le M\frac{\epsilon}{M+V(\I)}+<br />
\frac{\epsilon}{M+V(\I)}V(\I)=\epsilon,\]<br />
tedy pro každé $\epsilon$ existuje $m_0$, od kterého je $\II h_m<\epsilon$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f$ omezená funkce na intervalu $\I$. Je-li $x_0\in\I$, položme<br />
\[\underline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to 0+}\inf_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x),<br />
\quad\overline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to<br />
0+}\sup_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x).\]<br />
Funkci $\underline f$ resp. $\overline f$ nazýváme {\bf dolní}<br />
resp. {\bf horní funkcí} k~funkci $f$ na intervalu $\I$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. Pak $f$ je riemannovsky<br />
integrabilní, právě když množina bodů nespojitosti má nulovou<br />
Lebesgueovu míru.<br />
\begin{proof}<br />
Funkce $f$ je riemannovsky integrabilní právě tehdy, je-li<br />
$\underline{\int_\J}f=\overline{\int_\J}f$. Tato rovnost je splněna<br />
právě tehdy, existuje-li posloupnost zjemňujících se rozdělení<br />
$\posl{\sigma_m}$ taková, že<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II\overline{h}_f^{\sigma_m}=<br />
\lim_{m\to\infty}\II\underline{h}^f_{\sigma_m},\]<br />
tj.<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II\left(<br />
\overline{h}_f^{\sigma_m}-\underline{h}^f_{\sigma_m}<br />
\right)=0.\]<br />
Tato rovnost je splněna právě tehdy, má-li množina<br />
\[<br />
Z=\left\{<br />
x\in\I\left|<br />
\lim_{m\to\infty}\left(<br />
\overline{h}_f^{\sigma_m}(x)-\underline{h}^f_{\sigma_m}(x)<br />
\right)>0<br />
\right.<br />
\right\}=<br />
\{x\in\I|<br />
\overline{f}^\sigma(x)-\underline{f}_\sigma(x)>0<br />
\}<br />
\]<br />
nulovou míru.<br />
<br />
Platí, že $\overline{f}^\sigma(x)=\overline{f}(x)$ a<br />
$\underline{f}_\sigma(x)=\underline{f}(x)$ až na množinu nulové<br />
míry. Platí, že $\overline{f}(x)=\underline{f}(x)$, právě když $f$ je<br />
v~$x$ spojitá.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. $f$ je riemannovsky<br />
integrabilní na $\I$, právě když existují posloupnosti $(k_m)$ a<br />
$(l_m)$ stupňovitých funkcí takové, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $(k_m)$ je rostoucí a <br />
\[(\forall x\in\I\sm Z_1)\left(\lim_{m\to\infty} k_m(x)=f(x)\right)<br />
\text{, kde }\mu(Z_1)=0,\]<br />
\item $(l_m)$ je klesající a <br />
\[(\forall x\in\I\sm Z_2)\left(\lim_{m\to\infty} l_m(x)=f(x)\right)<br />
\text{, kde }\mu(Z_2)=0,\]<br />
\item $(\forall x\in\I)(k_m(x)\le f(x)\le l_m(x))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $(\Rightarrow)$ Buď $f$ riemannovsky integrabilní na $\I$,<br />
$(\sigma_m)$ posloupnost zjemňujících se rozdělení.<br />
Pak $k_m=\underline{h}_{\sigma_m}$ a $l_m=\overline{h}_{\sigma_m}$.<br />
\item $(\Leftarrow)$ Buď $\posl{\sigma_m^{(1)}}$ posloupnost,<br />
rozdělení, při nichž jsou $k_m$ stupňovité, $\posl{\sigma_m^{(2)}}$<br />
posloupnost, rozdělení, při nichž jsou stupňovité $l_m$,<br />
$\posl{\sigma_m^{(3)}}$ libovolná normální posloupnost<br />
rozdělení. Definujme<br />
$\sigma_1=(\sigma_1^{(1)},\sigma_1^{(2)},\sigma_1^{(3)})^*$,<br />
$\sigma_{m+1}=(\sigma_m,\sigma_{m+1}^{(1)},<br />
\sigma_{m+1}^{(2)},\sigma_{m+1}^{(3)})^*$. Pak platí<br />
<br />
\[k_m\le\underline{h}_{\sigma_m}\le f\le<br />
\overline{h}^{\sigma_m}\le l_m,\]<br />
tedy<br />
\[\II k_m\le\II\underline{h}_{\sigma_m}\le<br />
\II\overline{h}^{\sigma_m}\le\II l_m\]<br />
a<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II k_m\le\underline{\int_\I}f\le<br />
\overline{\int_\I}f\le\lim_{m\to\infty}\II l_m.\]<br />
<br />
$k_m$ je klesající, $l_m$ je rostoucí a platí, že<br />
\[\lim_{m\to\infty}(l_m-k_m)(x)=0\]<br />
pro všechna $x\in\I$ až na množinu nulové míry. Z~toho vyplývá<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II(l_m-k_m)=0,\]<br />
tedy<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II k_m=\lim_{m\to\infty}\II l_m=<br />
\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\int_\I f.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
K~existenci Riemanna jsou tedy nutné existence dvou posloupností<br />
stupňovitých funkcí. Lebesguovi stačí jen jedna. Tím odstraní problém<br />
normy na prostoru funkcí:<br />
\[\int f^2=0\not\implies f=0\]<br />
je seminorma, norma je to pouze na prostoru spojitých funkcí, který<br />
ale není úplný.<br />
\end{remark}</div>
Zuzka
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola24&diff=4252
01MAA4:Kapitola24
2011-06-24T16:42:30Z
<p>Zuzka: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Lebesgueův integrál}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ libovolná množina. Množinu $\HH(X)$ reálných omezených funkcí<br />
$X\mapsto\R$ nazveme {\bf souborem základních funkcí}, platí-li<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(X)$, pak $h+k\in \HH(X)$,<br />
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(X)$, pak $\alpha h\in \HH(X)$,<br />
\item Je-li $h\in \HH(X)$, pak $\abs{h}\in \HH(X)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\max(h,k)-\min(h,k)=\abs{h-k}$; $\max(h,k)+\min(h,k)=h+k$.<br />
\item $\max(h,k)\in\HH(x)$; $\min(h,k)\in\HH(x)$<br />
\item $h^+=\max(h,0)\in\HH(x)$; $h^-=\max(-h,0)\in\HH(x)$. Nulová<br />
funkce patří do $\HH$ díky (II).<br />
\item $h=h^+-h^-$; $\abs{h}=h^++h^-$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\II$ funkcionál definovaný na $\HH(X)$ a nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(\forall h,k\in\HH(X),\forall\alpha\in\R)<br />
(\II(\alpha h+k)=\alpha\II h+\II k)$,<br />
\item $(\forall h\in\HH(x))(h\ge 0\implies\II h\ge 0)$,<br />
\item \[(\forall\posl{h_n}\in\HH(x),h_n\ge 0\wedge h_n\ge h_{n+1})<br />
\left(<br />
\lim_{n\to\infty}h_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0<br />
\right)\]<br />
\end{enumerate}<br />
$\II$ pak nazýváme {\bf základní integrál}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $h\le k$, pak $\II h\le\II k$.Plyne z axiomu I a II<br />
\item Platí, že $h\le\h^+\le\abs{h}$, $-h\le h^-\le\abs{h}$. Tedy<br />
$\II h\le\II\abs{h}$, $\II h\ge-\II\abs{h}$.<br />
\item Zvolím-li interval $\I\subset\R^n$, $\HH(\I)$ stupňovité funkce,<br />
$\II h$ jako v~předchozím odstavci, je $\II$ základní integrál.<br />
\item Buď $\I\subset\R^n$ kompaktní interval, $\HH(\I)=\c{0}(\I)$,<br />
pak $\II h=\mathfrak R\!\int_\I h$ je základní integrál. Linearita a<br />
pozitivnost je jasná, (III) plyne z~Diniovy věty.<br />
\item Nevlastní integrál: Buď $\J\subset\R^n$ jakýkoli interval, třeba<br />
neomezený. Pak řekneme, že $h\in\HH(\J)$ je stupňovitá na $\J$,<br />
jestliže existuje $\I\subset\J$ kompakt tak, že $h|_\I\in\HH(\I)\wedge<br />
h(x)=0$ pro $x\in\J\sm\I$. Zavedu $\II$ vztahem $\II h=\II(h|_\I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $Z\subset X$. Pak množina $Z$ je nulové míry ($\mu(Z)=0$), právě<br />
když pro každé $\epsilon>0$ existuje rostoucí posloupnost<br />
nezáporných základních funkcí $\posl{h_n}\in\HH(X)$ tak, že platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\forall x\in Z)(\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1)$,<br />
\item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že výrok $V$ {\bf platí skoro všude} na množině $X$, právě<br />
když existuje $Z\subset X$ taková, že $\mu(Z)=0$ a výrok $V$ platí pro<br />
každé $x\in X\sm Z$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Sjednocení nejvýše spočetného systému množin nulové míry je opět<br />
množina nulové míry.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud volíme $\II$ stejně jako v předchozíme odstavci<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Skoro každé číslo je iracionální.<br />
\item Omezená monotonní funkce je spojitá skoro v~každém bodě.<br />
\end{enumerate}<br />
Pokud volíme $\HH(\R)$ a definujeme $\II h=h(0)$ je množina $\R \setminus \{0\}$ množina nulové míry.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_n}$ posloupnost funkcí z~$\HH$; $h_n\ge h_{n+1}\ge<br />
0$. Nechť $\lim_{n\to\infty}h_n(x)=0$ skoro všude na $X$. Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď<br />
\[Z=\left\{x\in X|\lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right\},\]<br />
pak $\quad\mu(Z)=0$. Označme $M=\sup_{x\in X}h_1(x)$. Pro každé<br />
$\epsilon>0$ existuje posloupnost $\posl{k_m}\in\HH$, $0\le k_n\le<br />
k_{n+1}$ taková, že $\II k_n<\frac{\epsilon}{M}$ a pro každé $x\in Z$ je<br />
$(\sup_{n\in\N}k_n(x)\ge 1)$.<br />
<br />
Posloupnost $h_n-{Mk_n}$ klesá, má tedy limitu pro každé $x$. Současně<br />
pro každé $x$ platí<br />
\[\lim_{n\to\infty}(h_n-Mk_n)(x)\le 0,\]<br />
tedy<br />
\[\lim (h_n-Mk_n)^+(x)=0.\]<br />
Podle axiomu (III) je $\lim\II(h-Mk_n)^+=0$.<br />
Protože $h_n-Mk_n\le (h_n-Mk_n)^+$, je i<br />
$\II(h_n-Mk_n)\le\II(h_n-Mk_n)^+$, takže $\exists n_0$, že pro $n>n_0$ platí<br />
\[0\le\II h_n\le M\II k_n\le\epsilon,\]<br />
tedy <br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_n}\in\HH$. Nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $h_n(x)\ge h_{n+1}(x)\ge 0$ skoro všude na $X$ pro každé $n\in\N$,<br />
\item $\lim_{n\to\infty} h_n(x)=0$ skoro všude na $X$.<br />
Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost<br />
$\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ skoro všude na $X$ a podle<br />
minulé věty<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies<br />
\lim_{n\to\infty}\II k_n=\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dvě funkce jsou ekvivalentní, značíme $f\sim g$, právě když<br />
$f(x)=g(x)$ skoro všude na $X$.<br />
\item $f\lesssim g$, právě když $f(x)\le g(x)$ skoro všude na $X$.<br />
\item $h_n\nearrow$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé<br />
$n\in\N$.<br />
\item $h_n\nearrow f$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé<br />
$n\in\N$ a navíc $lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ skoro všude na $X$.<br />
\item $h_n\searrow$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé<br />
$n\in\N$.<br />
\item $h_n\searrow f$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé<br />
$n\in\N$ a navíc $lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ skoro všude na $X$.<br />
\item $h_n\rightarrow$, právě když $\exists\lim_{n\to\infty}h_n(x)$<br />
skoro všude na $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí věta: $h_n\searrow 0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $h_n,k_n\in\HH$. Nechť $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$ a<br />
$f\lesssim g$. Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{n\to\infty}\II k_n.\]<br />
\begin{proof}<br />
Platí, že<br />
\[(h_n-k_m)\searrow (h_n-g)\lesssim (f-g)\lesssim 0,\quad<br />
\text{kde $n$ je pevné}\]<br />
tedy<br />
\[(h_n-k_m)^+\searrow(h_n-g)^+\sim 0.\]<br />
Podle axiomů<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)\le\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)^+=0,\]<br />
tedy<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{m\to\infty}\II k_m.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>
Zuzka
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFsbirka:Kapitola3&diff=4196
02TSFsbirka:Kapitola3
2011-03-27T09:55:00Z
<p>Zuzka: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFsbirka}<br />
\chapter{Termodynamické potenciály a identity}<br />
<br />
\section{Diferenciální formy}<br />
<br />
{\bf Diferenciální forma } 1. stupně je zobrazení $\omega: \mathds{R}^n\rightarrow\left(\mathds{R}^{n}\right)^*$.<br />
<br />
\pr Nechť $f:\mathds{R}^n\rightarrow\mathds{R}$ je hladká funkce. Derivace $f$ v bodě $x_0$ je lineární funkcionál<br />
$$<br />
df(x_0) = \sum_i \left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x_0}dx_i .<br />
$$<br />
Diferenciál funkce je tedy diferenciální forma 1. stupně. Obecně můžeme zapsat diferenciální formu ve tvaru<br />
$$<br />
\omega(x) = \sum_i \omega_i(x)dx_i .<br />
$$<br />
<br />
Diferenciální forma $\omega$ je {\bf exaktní}, existuje-li funkce $f$, taková, že $\omega$ je její diferenciál. $\omega$~je uzavřená, platí-li<br />
$$<br />
\frac{\partial\omega_i}{\partial x_j} = \frac{\partial\omega_j}{\partial x_i}.<br />
$$<br />
Diferenciální formy můžeme integrovat po dráze. Je-li $\varphi:\langle a,b\rangle\rightarrow\mathds{R}^n$ dráha, pak platí<br />
$$<br />
\int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b\omega(\varphi(t))\varphi'(t) dt.<br />
$$<br />
Je-li $\omega$ exaktní, pak snadno zjistíme, že integrál nezávisí na trajektorii<br />
$$<br />
\int\limits_\varphi \omega = \int\limits_a^b f'(\varphi(t))\varphi'(t) dt = \int\limits_a^b \left(f\circ\varphi\right)'(t) dt = f(\varphi(b)) - f(\varphi(a)).<br />
$$<br />
Diferenciální forma $\omega$ je konzervativní, platí-li<br />
$$<br />
\int\limits_{\varphi_1} \omega = \int\limits_{\varphi_2} \omega,<br />
$$<br />
pro všechny dráhy $\varphi_1, \varphi_2$ které mají společný počáteční a koncový bod. Platí následující tvrzení:<br />
$$<br />
\omega \hbox{ je exaktní} \Longleftrightarrow \oint\limits_\varphi\omega = 0 \Longleftrightarrow \omega \hbox{ je konzervativní}.<br />
$$<br />
<br />
\pr První princip termodynamiky můžeme zapsat ve tvaru<br />
$$<br />
dU = dQ - dW.<br />
$$<br />
Diferenciály $dQ$ a $dW$ nejsou exaktní. Dodané teplo a vykonaná práce závisí na tom, jaký děj soustava koná. Diferenciál $dU$ ale exaktní je, existuje tedy funkce $U$ -- vnitřní energie. Změna vnitřní energie tedy nezávisí na ději, jen na počátečním a koncovém stavu soustavy. Proto se také $U$ říká stavová funkce.<br />
<br />
<br />
\section{Termodynamické potenciály}<br />
<br />
\subsection{Vnitřní energie}<br />
\label{chap3:U}<br />
<br />
Z prvního principu termodynamiky můžeme vyjádřit diferenciál vnitřní energie ve tvaru<br />
$$<br />
dU = T dS - P dV + \mu dN.<br />
$$<br />
Protože je to exaktní diferenciál, existuje vnitřní energie $U$ jako stavová funkce. Její přirozené proměnné jsou $S, V, N$. Z exaktnosti $dU$ plyne<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = T,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -P,\quad \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} = \mu,<br />
$$<br />
což je část první série Maxwellových vztahů (viz. kapitola \ref{chap3:maxwell}). V termodynamické rovnováze dále platí<br />
$$<br />
U(S,V,N) = N U(s,v,1),\qquad s = \frac{S}{N},\quad v = \frac{V}{N}.<br />
$$<br />
Vnitřní energie je tedy homogenní funkce 1. stupně, z čehož plyne vztah<br />
$$<br />
U(S,V,N) = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} V + \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} N = TS - PV + \mu N.<br />
$$<br />
Při adiabatickém ději ($dQ = 0, dS = 0$) koná soustava práci na úkor svojí vnitřní energie,<br />
$$<br />
dW_S = - dU.<br />
$$<br />
<br />
\subsection{Volná energie}<br />
\label{chap3:F}<br />
<br />
K volné energii se dostaneme od vnitřní energie Legendreovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(T,V,N)$. Volná energie je definována jako<br />
$$<br />
F = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} F = U - TS.<br />
$$<br />
Přirozené proměnné volné energie jsou $(T,V,N)$, což jsou také přirozené proměnné kanonického souboru (viz kapitola \ref{chap5:K}). Pro diferenciál volné energie dostaneme vztah<br />
$$<br />
dF = dU - TdS - SdT = -SdT - PdV + \mu dN.<br />
$$<br />
Protože $dF$ je exaktní, platí vztahy<br />
$$<br />
S = - \left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N},\quad P = - \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,V}.<br />
$$<br />
Při izotermickém ději a konstantním počtu částic koná soustava práci na úkor svojí volné energie<br />
$$<br />
dW_T = - dU + TdS = -d(U - TS) = -dF.<br />
$$<br />
<br />
\subsection{Entalpie}<br />
\label{chap3:H}<br />
<br />
Entalpii dostaneme z vnitřní energie Legendreovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow(S,P,N)$<br />
$$<br />
H = U - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{V,N} V = U + PV.<br />
$$<br />
Přirozené proměnné entalpie jsou tedy $(S,P,N)$. Diferenciál entalpie je roven<br />
$$<br />
dH = dU + PdV + VdP = TdS + VdP + \mu dN.<br />
$$<br />
Z exaktnosti $dH$ plynou vztahy<br />
$$<br />
T = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N}, \quad \mu = \left(\frac{\partial H}{\partial N}\right)_{S,P}.<br />
$$<br />
<br />
\subsection{Gibbsův potenciál}<br />
\label{chap3:G}<br />
<br />
Ke Gibbsovu potenciálu se dostaneme Legendreovou transformací vnitřní energie vzhledem k $(S,V,N)\longrightarrow(T,P,N)$. Platí tedy<br />
$$<br />
G = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} V = U - TS + PV = \mu N.<br />
$$<br />
Přirozené proměnné Gibbsova potenciálu $(T,P,N)$ jsou také přirozené proměnné izotermicko-izobarického souboru (viz kapitola \ref{chap5:TP}).<br />
Diferenciál Gibbsova potenciálu je roven<br />
$$<br />
dG = -SdT + VdP + \mu dN,<br />
$$<br />
z jeho exaktnosti pak plynou vztahy<br />
$$<br />
S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N},\quad V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N},\quad \mu = \left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}.<br />
$$<br />
Vyjádřením diferenciálu $dG$ ve tvaru<br />
$$<br />
dG = \mu dN + Nd\mu = -SdT + VdP + \mu dN<br />
$$<br />
dostaneme Gibbs-Duhemův vztah<br />
$$<br />
SdT - VdP + N d\mu = 0,<br />
$$<br />
který je matematickým vyjádřením toho, že k popisu stavu soustavy nestačí pouze intenzivní proměnné $T,P,\mu$. Vždy potřebujeme alespoň jednu extenzivní proměnnou ($S$, $V$, nebo $N$). Z Gibbs-Duhemova vztahu se dá odvodit např. následující rovnost<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial P}{\partial \mu}\right)_{T} = \frac{N}{V}.<br />
$$<br />
<br />
\subsection{Grandkanonický potenciál}<br />
\label{chap3:GK}<br />
<br />
Grandkanonický potenciál dostaneme z vnitřní energie Legendreovou transformací $(S,V,N)\longrightarrow (T,V,\mu)$<br />
$$<br />
\Omega = U - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} S - \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} N = U - TS - \mu N = -PV.<br />
$$<br />
Přirozené proměnné grandkanonického potenciálu jsou $(T,V,\mu)$, což jsou také přirozené proměnné grandkanonického souboru (viz kapitola \ref{chap5:GK}). Diferenciál $\Omega$ je roven<br />
$$<br />
d\Omega = -SdT - PdV - Nd\mu.<br />
$$<br />
<br />
\section{Maxwellovy vztahy}<br />
\label{chap3:maxwell}<br />
<br />
Shrňme si nejprve diferenciály termodynamických potenciálů<br />
\begin{eqnarray}<br />
\nonumber dU & = & TdS - PdV + \mu dN, \\<br />
\nonumber dF & = & -SdT - PdV + \mu dN, \\<br />
\nonumber dH & = & TdS + VdP + \mu dN, \\<br />
\nonumber dG & = & -SdT + VdP + \mu dN, \\<br />
\nonumber d\Omega & = & -SdT - PdV - Nd\mu.<br />
\end{eqnarray}<br />
Z jejich exaktnosti plyne 1. série Maxwellových vztahů<br />
\begin{eqnarray}<br />
\nonumber T & = & \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P,N}, \\<br />
\nonumber P & = & -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N} = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}, \\<br />
\nonumber S & = & -\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N} = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P,N}, \\<br />
\nonumber V & = & \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T,N}.<br />
\end{eqnarray}<br />
Pokud jsou navíc potenciály dostatečně hladké funkce, pak ze záměnnosti druhých parciálních derivací dostaneme 2. sérii Maxwellových vztahů<br />
\begin{eqnarray}<br />
\nonumber dU & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S,N} = - \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V,N}, \\<br />
\nonumber dF & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T,N} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V,N}, \\<br />
\nonumber dH & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S,N} = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P,N}, \\<br />
\nonumber dG & \Longrightarrow & \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T,N} = - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P,N}.<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
\section{Jakobiány, záměna proměnných}<br />
<br />
Uvažujme hladké zobrazení $f: (x,y)\mapsto (u,v)$. Jeho derivace v bodě $(x_0,y_0)$ je lineární zobrazení vyjádřené maticí<br />
$$<br />
df(x_0,y_0) = \left(<br />
\begin{array}{cc}<br />
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\<br />
\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\<br />
\end{array}<br />
\right)_{(x_0,y_0)}.<br />
$$<br />
{\bf Jakobián} zobrazení $f$ je determinant matice derivace (pro jednoduchost zápisu nebudeme explicitně vypisovat bod $(x_0,y_0)$).<br />
$$<br />
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \left|<br />
\begin{array}{cc}<br />
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\<br />
\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} \\<br />
\end{array}<br />
\right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)_{x} - \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{y}.<br />
$$<br />
Pomocí jakobiánu můžeme vyjádřit i samostatnou parciální derivaci jako<br />
$$\frac{\partial(u,y)}{\partial(x,y)} = \left|<br />
\begin{array}{cc}<br />
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y} & \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{x} \\<br />
0 & 1 \\<br />
\end{array}<br />
\right| = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{y}.$$<br />
Z vlastností determinantu plynou pro jakobiány vztahy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item prohození proměnných odpovídá změně znaménka,<br />
$$\frac{\partial(v,u)}{\partial(x,y)} = -\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)},$$<br />
\item jakobián inverzního zobrazení je převrácená hodnota,<br />
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}},$$<br />
\item jakobián můžeme rozšířit jedničkou:<br />
$$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(t,s)} = \frac{\partial(u,v)}{\partial(t,s)}\frac{\partial(t,s)}{\partial(x,y)}.$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Při úpravě parciálních derivací je často potřeba přejít k novým proměnným. Uvažujme funkci $f(x,y)$, její diferenciál je<br />
\begin{equation}<br />
\label{chap3:df1}<br />
df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} dy.<br />
\end{equation}<br />
Od proměnné $y$ přejdeme k nové proměnné $z$. V nových proměnných $(x,z)$ má diferenciál funkce $f$ tvar<br />
\begin{equation}<br />
\label{chap3:df2}<br />
df = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x} dz.<br />
\end{equation}<br />
Abychom mohli předchozí výrazy porovnat, budeme uvažovat $z$ jako funkci $(x,y)$. Diferenciál $dz$ pak můžeme zapsat ve tvaru<br />
$$<br />
dz = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.<br />
$$<br />
Dosazením do (\ref{chap3:df2}) dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{chap3:df3}<br />
df = \left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}\right]dx + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} dy.<br />
\end{equation}<br />
Porovnáním koeficientů u diferenciálů $dx$ a $dy$ ve výrazech (\ref{chap3:df1}) a (\ref{chap3:df3}) dostaneme vztahy<br />
\begin{eqnarray}<br />
\nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{z} + \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}, \\<br />
\nonumber \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} & = & \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_{x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}.<br />
\end{eqnarray}<br />
Ke stejným vztahům můžeme snadno dospět i použitím úprav jakobiánů, např.<br />
\begin{equation}<br />
\nonumber<br />
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{x} = \frac{\partial (f,x)}{\partial (y,x)} = \frac{\partial (f,x)}{\partial (y,x)} \frac{\partial (z,x)}{\partial (z,x)} = \frac{\partial (f,x)}{\partial (z,x)} \frac{\partial (z,x)}{\partial (y,x)} = \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)_x \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_x.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\section{Příklady}<br />
<br />
\bc<br />
Dokažte ****-vztah<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P.<br />
$$<br />
\ec<br />
\navod Analogie 2. série Maxwellových vztahů pro diferenciál entropie.<br />
<br />
\bc<br />
Tepelné kapacity jsou definovány jako<br />
$$<br />
C_P = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P},\qquad C_V = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{V} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}.<br />
$$<br />
Dokažte Mayerův vztah<br />
$$<br />
C_P - C_V = T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.<br />
$$<br />
\ec<br />
\navod Vyjádřete diferenciál entropie v proměnných $T,P$ a převeďte ho do proměnných $T,V$.<br />
<br />
\bc<br />
Dokažte platnost vztahu<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_{T} = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_{P}.<br />
$$<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Dokažte platnost vztahu<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S} = \frac{C_P}{C_V}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}.<br />
$$<br />
\ec<br />
\navod Použijte jakobiány.<br />
<br />
\bc<br />
Dokažte platnost vztahu<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} + \frac{C_V}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}.<br />
$$<br />
\ec<br />
\navod Vyjádřete diferenciál $dP$ v proměnných $T,V$ a převeďte ho do proměnných $T,S$.<br />
<br />
\bc<br />
Dokažte platnost vztahu<br />
$$<br />
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_G = \frac{C_P}{T}\left[\frac{V}{S}-\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_P\right].<br />
$$<br />
\ec<br />
\navod Využijte toho, že při $G=\mathrm{konst}.$ je $dG = -SdT + VdP = 0$.</div>
Zuzka