https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Vezous&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-29T15:31:49ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola14&diff=418501MAA3:Kapitola142011-02-19T12:21:25Z<p>Vezous: kosmetická změna ještě</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Lokální extrémy}<br />
<br />
\index{lokální maximum}<br />
\index{lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{<br />
resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Extrém může mít pouze reálná funkce. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ostré lokální maximum}<br />
\index{ostré lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak<br />
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.<br />
<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-<br />
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0<br />
\]<br />
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M=\left\{\vec h | \norm{\vec h}=1\right\}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima<br />
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]<br />
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2.\]<br />
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec<br />
h)}<\frac14a$, pak<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]<br />
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0<br />
\]<br />
\item Podobně jako výše.<br />
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a<br />
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného<br />
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které<br />
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola14&diff=418401MAA3:Kapitola142011-02-19T12:15:43Z<p>Vezous: stále ta poslední věta, díky neznalosti syntaxe na několikátý (snad už poslední) pokus</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Lokální extrémy}<br />
<br />
\index{lokální maximum}<br />
\index{lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{<br />
resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Extrém může mít pouze reálná funkce. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ostré lokální maximum}<br />
\index{ostré lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak<br />
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.<br />
<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-<br />
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0<br />
\]<br />
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M=\{\vec h | \norm{\vec h}=1\}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima<br />
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]<br />
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2.\]<br />
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec<br />
h)}<\frac14a$, pak<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]<br />
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0<br />
\]<br />
\item Podobně jako výše.<br />
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a<br />
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného<br />
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které<br />
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola14&diff=418301MAA3:Kapitola142011-02-19T12:10:18Z<p>Vezous: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Lokální extrémy}<br />
<br />
\index{lokální maximum}<br />
\index{lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{<br />
resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Extrém může mít pouze reálná funkce. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ostré lokální maximum}<br />
\index{ostré lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak<br />
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.<br />
<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-<br />
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0<br />
\]<br />
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M={\vec h | /norm{\vec h}=1}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima<br />
\[(\forall \vec h \in M)(f''(x_0)\vec h^2 \ge f''(x_0)\vec h_0^2= a \ge 0 ).\]<br />
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2.\]<br />
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec<br />
h)}<\frac14a$, pak<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]<br />
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0<br />
\]<br />
\item Podobně jako výše.<br />
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a<br />
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného<br />
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které<br />
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola14&diff=418201MAA3:Kapitola142011-02-19T11:51:09Z<p>Vezous: Zrušena verze 4181 od uživatele Vezous (diskuse)</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Lokální extrémy}<br />
<br />
\index{lokální maximum}<br />
\index{lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{<br />
resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Extrém může mít pouze reálná funkce. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ostré lokální maximum}<br />
\index{ostré lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak<br />
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.<br />
<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-<br />
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0<br />
\]<br />
\item $f''(x)>0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že<br />
$f(x_0+t\vec h)-f(x_0)>0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální<br />
minimum<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0<br />
\]<br />
\item $f''(x)<0$, takže existuje okolí $\H_{x_0}$ takové, že<br />
$f(x_0+t\vec h)-f(x_0)<0$, tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální<br />
maximum<br />
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a<br />
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného<br />
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které<br />
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola14&diff=418101MAA3:Kapitola142011-02-19T11:49:01Z<p>Vezous: důkaz věty o extrémech opraven podle Vrány</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Lokální extrémy}<br />
<br />
\index{lokální maximum}<br />
\index{lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\le f(a)),\mbox{<br />
resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a)(f(x)\ge f(a))\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Extrém může mít pouze reálná funkce. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ostré lokální maximum}<br />
\index{ostré lokální minimum}<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f$ má v~bodě $a$ ostré lokální maximum (minimum), právě když<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)<f(a)),\mbox{ resp.}\]<br />
\[(\exists\H_a)(\forall x\in\H_a-\{a\})(f(x)>f(a))\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f'(x_0)=\Theta$. Potom $x_0$ nazýváme stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ v~$x_0$ lokální extrém a je-li tam diferencovatelná, pak<br />
$x_0$ je stacionárním bodem funkce $f$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2>0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně definitní.<br />
<br />
Buď $f''(x_0)\vec h^2\ge 0$ pro každý $\vec h\in X\sm\{0\}$. Pak řekneme,<br />
že $f''(x_0)$ je pozitivně semidefinitní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$ a $f'(x_0)=\theta$.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního minima $f$, potom je $f''(x_0)$ pozitivní (tj. pozitivně definitní nebo pozitivně semidefinitní).<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ pozitivně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Je-li $x_0$ bodem lokálního maxima $f$, potom je $f''(x_0)$ negativní.<br />
\item Je-li na prostoru konečné dimenze $f''(x_0)$ negativně definitní, má funkce $f$ v~$x_0$ ostré lokální maximum.<br />
\item Je-li $f''(x_0)$ indefinitní, funkce $f$ v~$x_0$ nemá lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
f(x_0+\vec h)=f(x_0)+\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f''(x_0)\vec h^2&=\lim_{t\to 0}\frac{f''(x_0)(t\vec h)^2}{t^2}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)-<br />
\omega(x_0+t\vec h)\norm{t\vec h}^2}{t^2}\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\ge 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\ge 0<br />
\]<br />
\item Díky konečné dimenzi je uzavřená a omezená množina $M={\vec h | /norm{\vec h}=1}$ kompaktní. Spojité zobrazení $f''(x_0)$ na ní tedy nabívá svého minima<br />
\[(\exists \vec h_0)(\forall \vec h\inM)(f''(x_0)\vec h^2\ge f''(x_0)\vec h_0^2= a\ge 0 ).\]<br />
Pak na jistém okolí $\H_{x_0}$ platí<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)=\frac12f''(x_0)\vec h^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2\ge \frac12a\norm{\vec h}^2+\omega(x_0+\vec<br />
h)\norm{\vec h}^2.\]<br />
Vybereme podokolí, kde $\abs{\omega(x_0+\vec<br />
h)}<\frac14a$, pak<br />
\[f(x_0+\vec h)-f(x_0)\ge \frac14a\norm{\vec h}^2>0,\]<br />
tedy funkce má v~$x_0$ ostré lokální minimum.<br />
\item Protože existuje $\H_{x_0}$ takové, že $f(x_0+t\vec<br />
h)-f(x_0)\le 0$, platí, že<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t\vec h)-f(x_0)}{t^2}\le 0<br />
\]<br />
\item Podobně jako výše.<br />
\item Existují vektory $\vec{h_1}$ takový, že $f''(x)\vec{h_1}^2<0$ a<br />
$\vec{h_2}$ takový, že $f''(x)\vec{h_2}^2>0$. Pak ale z~výše uvedeného<br />
plyne, že v~libovolné blízkosti $x_0$ se nacházejí body, pro které<br />
platí jak $f(x)>f(x_0)$, tak $f(x)<f(x_0)$. Funkce tedy nemá v~bodě<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola13&diff=418001MAA3:Kapitola132011-02-17T20:52:41Z<p>Vezous: Další výraz do definice, v důkazu 13.4 pak změna volby delta (pro okolí)</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Derivace vyšších řádů}<br />
<br />
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~každém bodě definičního<br />
oboru. Nechť $f'$ je diferencovatelné v~$x_0$. Potom řekneme, že<br />
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci<br />
2. řádu).<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{druhá derivace}<br />
\begin{define}<br />
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací $f''(x_0)$ rozumíme prvek<br />
$\L_2(\vec X,\vec X;\vec Y)$, tedy $f''(x_0)(\vec h,\vec<br />
k)=\left((f')(x_0)\vec h\right)'\vec k=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu<br />
v~libovolných dvou směrech a platí<br />
\[f_{\vec v\vec w}(x_0)=\frac{\pd^2}{\pd w\pd v}f(x_0)=<br />
f''(x_0)(\vec w,\vec v)=<br />
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení.<br />
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]<br />
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f:X \mapsto \R$] Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h), (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$ leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in<\theta,\vec h>$ lze definovat<br />
\[<br />
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=<br />
g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec \xi)\vec h=\\<br />
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Protože<br />
\[<br />
f'(x)=f'(x_0)+(f')'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0},<br />
\]<br />
platí<br />
\[<br />
F(t)=t\left((f')'(x_0)t\vec k+\omega(x_0+t(\vec\xi+\vec k))<br />
\norm{t(\vec\xi+\vec k)}-\omega(x_0+t\vec\xi)\norm{t\vec\xi}\right)\vec h.<br />
\]<br />
(členy $f'(x_0)$ a $f'(t\vec\xi)$ se odečtou)<br />
\[<br />
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h+\nu(t),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\nu(t)=0.<br />
\]<br />
Protože $F(t)$ je symetrické v~$\vec k$ a $\vec h$, analogickými<br />
úpravami lze dospět ke vztahu<br />
\[<br />
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k+\eta(t),<br />
\]<br />
takže 2. derivace je symetrická.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Jestliže v~bodě $x_0$ má zobrazení $f$ spojitou derivaci $f_{\vec<br />
v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\[<br />
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=<br />
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
% skripta str. 75. opravit<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení, nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom<br />
existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega:\H_{x_0}\mapsto Y$<br />
takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí<br />
\[<br />
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+<br />
\omega(x)\norm{\vec h}^m,<br />
\]<br />
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a<br />
\[L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.\]<br />
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Řekněme, že $m=1$ a to věta platí neboť platí klasická věta o "přírůstku". Předpokládejme tedy platnost pro $m$ a nyní je naše zobrazení $m+1$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$. <br />
Zavedeme pomocnou funkci<br />
\[<br />
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i<br />
\]<br />
a budeme chtít ukázat, že platí existuje zbytek $\mu$ tak že platí $\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0$ a<br />
\[<br />
g(\vec h)=\mu(x)\norm{\vec h}^{m+1}<br />
\]<br />
neboť potom bude platné tvrzení věty.<br />
Uvědomíme-li si, že $g$ má derivaci rovnou <br />
\[<br />
g'(\vec\xi)=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}f^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i-1}=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}<br />
\]<br />
na nějakém okolí. Podle indukčního předpokladu nyní existuje zbytek $\omega(x)$<br />
\[<br />
f'(x_0+\vec\xi)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}+\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m<br />
\]<br />
Tedy že platí <br />
\[<br />
g'(\vec\xi)=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m<br />
\]<br />
Pak tedy platí (druhé rovnítko umíme zatím ukázat jen v případě, že~$Y \subset \R$)<br />
\[<br />
g(\vec h)=g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec\xi)\vec h=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m\vec h \leq \mu(x)\norm{\vec h}^{m+1},<br />
\]<br />
kde<br />
\[\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0\]<br />
což nám dostačuje.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Taylor]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na úsečce $\la x_0,x\ra$ a diferencovatelná do řádu m+1<br />
na $(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:<br />
\[<br />
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+<br />
\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Definujme funkci<br />
\[<br />
\phi(t)=f(x_0+t(x-x_0)).<br />
\]<br />
Pak<br />
\[<br />
\phi'(t)=f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0),\quad<br />
\phi'(0)=f'(x_0)(x-x_0),<br />
\]<br />
\[<br />
\phi''(0)=f''(x_0)(x-x_0)^2,\quad<br />
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.<br />
\]<br />
$\phi(t)$ je zobrazení $\R\mapsto\R$, lze tedy uplatnit klasickou<br />
verzi Taylorovy věty:<br />
\[<br />
\phi(1)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\phi^{(i)}(0)+\frac{\phi^{(m+1)}(\vartheta)}{(m+1)!}.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola12&diff=417901MAA3:Kapitola122011-02-17T20:48:01Z<p>Vezous: překlep v důkazu 12.10 - II</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Derivace}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ a $\dim\vec X<\infty$, potom $f$ je<br />
spojité.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}<br />
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}<br />
=\norm{\vec x-\vec y}K<br />
\]<br />
jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,<br />
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě<br />
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$. Potom následující tvrzení jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $f$ je spojité.<br />
\item $f$ je spojité v~$\theta$.<br />
\item $f$ je omezené, tj.<br />
$(\exists k)(\forall\vec x\in\vec X)<br />
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.<br />
\item $f$ je lipschitzovské, tj.<br />
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}<br />
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\vec X})$.<br />
\item $f$ je stejnoměrně spojité.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $1\implies 2$: zřejmé.<br />
\item $2\implies 3$:<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že<br />
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\vec X)<br />
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.<br />
Pro každý vektor $\vec x\in\vec X$ pak platí<br />
\[<br />
\norm{<br />
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)<br />
}\le 1,<br />
\]<br />
s~využitím linearity pak dostáváme<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
\item $3\implies 4$:<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}<br />
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.<br />
\]<br />
\item $4\implies 5$: zřejmé.<br />
\item $5\implies 1$: zřejmé.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{norma lineárního zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f\in\L(\vec X,\vec Y)$ omezené. Potom<br />
\[<br />
\norm{f}=\inf\{<br />
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})<br />
\}<br />
=\sup_{\vec x\in\vec X\sm\{\theta\}}<br />
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\vec X$, $\vec Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem<br />
$\L(\vec X,\vec Y)$ budeme rozumět lineární prostor všech lineárních<br />
spojitých zobrazení $\vec X\mapsto \vec Y$ s~normou z~předchozí<br />
definice.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,<br />
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné<br />
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ takové, že platí<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(<br />
f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)<br />
\right)=\theta.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{diferencovatelnost v~bodě}<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové<br />
$L\in\L(\vec X,\vec Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,<br />
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:<br />
\[<br />
f(x)=f(x_0)+L(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\theta<br />
\]<br />
\item<br />
Derivace ve směru <br />
\[<br />
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(<br />
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-<br />
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}<br />
\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}<br />
\] \label{poznamkaderivace}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{derivace zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$<br />
z~předchozí definice nazýváme {\bf derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme<br />
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.<br />
\begin{proof}<br />
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že<br />
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve<br />
směru. Platí, že<br />
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)=<br />
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]<br />
\[\frac{\pd f}{\pd x_i}(x_0)=<br />
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\vec X,\vec Y)$<br />
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak<br />
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$. Pak<br />
\[f(x)-f(x_0)-L(x-x_0)=\theta.\]<br />
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu<br />
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1210}<br />
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,<br />
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,<br />
\item <br />
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item<br />
\begin{multline*}<br />
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}<br />
\end{multline*}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-<br />
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot<br />
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+<br />
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\<br />
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen<br />
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to<br />
zřejmé).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{gradient}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná<br />
v~bodě $x_0$. Potom vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty ($(\vec k,\vec<br />
h)=f'(x_0)\vec h$ pro každé $h\in\vec X$) nazýváme {\bf gradientem}<br />
funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\vec k,\vec{e_i})=f'(x_0)\vec{e_i}=f_i(x_0)$<br />
\item<br />
\[<br />
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f_{\vec n}(x_0) & =f'(x_0)\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}f'(x_0)\grad f(x_0)= \\<br />
& = \frac{(\grad f(x_0),\grad f(x_0))}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\norm{\grad f(x_0)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Z~předchozího a za použití Schwarzovy nerovnosti vyplývá:<br />
\[<br />
|f_v(x_0)|=|f'(x_0)\vec v|=|(\grad f(x_0),\vec v)|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),<br />
\]<br />
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1212}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto<br />
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}<br />
\right) & =<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}<br />
\right)=\\<br />
& = \lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-<br />
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)<br />
}{\tau}<br />
\right)+\\<br />
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\<br />
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\la x_0,x\ra$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na<br />
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že<br />
$f(x)-f(x_0)=f'(y)(x-x_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty<br />
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde<br />
$\xi\in(0,1)$. Potom<br />
\[f(x)-f(x_0)=f'(x_0+\xi\vec h)\vec h=<br />
f'(x_0+\xi(x-x_0))(x-x_0)=f'(y)(x-x_0).\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{i t}$ na $<0,2\pi>$ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=ie^{i \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}<br />
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\la x_0,x\ra$ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na<br />
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že<br />
\[<br />
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1215}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na<br />
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\Theta$ pro každé $x\in<br />
A$. Potom $f(x)=konst.$<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A|f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,<br />
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď<br />
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.<br />
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.<br />
\end{enumerate}<br />
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru E do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \setminus \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \setminus \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \setminus \{ x_0 \}$:<br />
\[<br />
f'(x)(x-x_0)=\alpha f(x)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 ; +\infty)$ do $\R$ předpisem <br />
\[<br />
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{homogenita} t^\alpha f(x).<br />
\]<br />
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí <br />
\[<br />
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).<br />
\]<br />
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost <br />
\[<br />
f'(x)(x - x_0) = \alpha f(x).<br />
\]<br />
<br />
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí <br />
\[<br />
f'(y)(y - x_0) = \alpha f(y).<br />
\]<br />
Definujme na intervalu $(0 ; +\infty)$ zobrazení <br />
\[<br />
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0)).<br />
\]<br />
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 ; +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 ; +\infty)$ platí <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha - 1}} f(x_0+t(x-x_0)) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0) = \\<br />
& = \frac{1}{t^{\alpha - 1}} \left( f'(x_0+t(x-x_0))t(x-x_0) - \alpha f(x_0+t(x-x_0)) \right) = 0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 ; +\infty)$ a platí<br />
\[<br />
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t(x-x_0))=\psi (t) = \psi (1) = f(x).<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $X$ konečnědimenzionální, nechť $f$ má na<br />
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom<br />
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.<br />
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]<br />
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,<br />
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:<br />
\[<br />
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=<br />
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+<br />
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)<br />
\]<br />
Potom<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=<br />
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))<br />
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}<br />
=0.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$<br />
$\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{align}<br />
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h \|&=\|(g'(x)-g'(x_0))\sum (\vec h,\vec e_i)\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| \notag \\<br />
&=\|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| \notag<br />
\end{align}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\index{$\c{1}$ třída}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,<br />
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné<br />
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé<br />
$i\in\widehat{\dim X}$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$<br />
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě<br />
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí<br />
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\<br />
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+<br />
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+<br />
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\<br />
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)<br />
\]<br />
\item V~případě, že $m=r=n$, platí<br />
\[<br />
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)<br />
\]<br />
\[<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)<br />
=<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{x=x_0}<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{t=t_0}<br />
\]<br />
\[<br />
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=<br />
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot<br />
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}<br />
\]<br />
$\J\! F:=\det F'$ --- Jacobiho determinant, Jacobián<br />
\[<br />
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola11&diff=417801MAA3:Kapitola112011-02-17T20:44:20Z<p>Vezous: Oprava chybky v poznámce 11.3.1</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Afinní prostor}<br />
<br />
\index{afinní prostor}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\vec X$ lineární prostor nad $T$. Buď<br />
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\vec X$ takové, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\forall x,y,z\in X\ \vec{xy}+\vec{yz}+\vec{zx}=\theta$. (Schwartzova rovnost)<br />
\item Pro každé pevné $x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vec{xy}$<br />
bijekce.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom uspořádanou dvojici $(X,\vec X)$ nazveme {\bf afinním prostorem<br />
nad $T$}.<br />
<br />
\index{přidružený lineární prostor}<br />
\index{volný vektor}<br />
Prvky (body) afinního prostoru se myslí prvky $X$. $\vec X$ se nazývá<br />
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné<br />
vektory}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vec{xy}=y-x=\vec h$.<br />
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$<br />
takové, že $y-x=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$<br />
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:<br />
\[\theta=\vec{xx}+\vec{xx}+\vec{xx}=3\vec{xx}\implies x-x=\theta\]<br />
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:<br />
\[\theta=\vec{xy}+\vec{yx}+\vec{xx}=\vec{xy}+\vec{yx}\implies<br />
\vec{xy}=-\vec{yx}\implies -(y-x)=x-y\]<br />
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.<br />
\item<br />
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=<br />
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
0 & =(x+\vec h)-x+(z-y)+x-(x+\vec h+\vec k)=<br />
\vec h+(z-y)+(-(\vec h+\vec k)) \\<br />
&=\vec h+(z-y)-\vec h-\vec k=(z-y)-\vec k,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
(z-y)=\vec k,<br />
\]<br />
takže rovnost platí.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,<br />
eukleidovský, unitární atd., právě když to platí o~jeho přidruženém<br />
lineárním prostoru.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{afinní zobrazení}<br />
\index{přidružené lineární zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje<br />
zobrazení $L\in\L(\vec X,\vec Y)$ takové, že<br />
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L(x-y)).\]<br />
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přidružené lineární zobrazení je jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). $$a(x)=a(0)+L(x-0)=q + L(\vec x)=k \vec x +q$$<br />
\item Normovaný a úplný afinní prostor se nazývá {\bf Banachův}.<br />
\item Úplný afinní prostor se skalárním součinem se nazývá {\bf<br />
Hilbertův}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,<br />
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li <br />
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}(\phi(t)-\phi(t_0)),\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ v bodě $t_0$ a označíme ji <br />
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{směr}<br />
\begin{define}<br />
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:<br />
$\vec v\in\vec X$, $\norm{\vec v}=1$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{derivace ve směru}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme<br />
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf<br />
má derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec<br />
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[f(x,y)=<br />
\begin{cases}<br />
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0) \\<br />
1 & (x,y)=(0,0)<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\[<br />
\vec v=(\cos\vartheta,\sin\vartheta)\quad\vartheta\in(-\pi,\pi\ra<br />
\]<br />
\[<br />
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=<br />
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=<br />
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi(0)=1<br />
\]<br />
$\phi$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,<br />
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\index{souřadný systém}<br />
\begin{define}<br />
Buď E prostor konečné dimenze. Pak n+1-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na E právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{parciální derivace}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na<br />
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě<br />
$x_0$ {\bf parciální derivaci} podle $i$-té proměnné.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(<br />
\frac{\pd f}{\pd v}<br />
\right)(x_0)=<br />
f_{\vec v\vec w}(x_0)=<br />
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)<br />
\]<br />
\item<br />
\[<br />
f(x,y)=<br />
\begin{cases}<br />
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\<br />
0 & (x,y)=(0,0)<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě<br />
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při<br />
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace<br />
v~$(0,0)$ ale existují:<br />
\[<br />
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}<br />
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi(0)=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}<br />
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=<br />
\begin{cases}<br />
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\<br />
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[\uv{o přírůstku funkce}]<br />
Buď $X$ Euklidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f:X\mapsto \mathbb{R}$ definované na kouli<br />
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný<br />
systém na $X$, nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální<br />
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in<br />
B(x_0,r)$ tak, že<br />
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]<br />
kde<br />
\[<br />
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Nejdříve předpokládejme \[<br />
\begin{split}<br />
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\<br />
y_0&=x_0\\<br />
y_n&=x\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pak<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(x)-f(x_0) & =<br />
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\<br />
& =\sum_{i=1}^n\left(<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\<br />
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola8&diff=417701MAA3:Kapitola82011-02-17T20:37:33Z<p>Vezous: chyba v zápisu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Kompaktní prostory}<br />
<br />
\index{pokrytí}<br />
\index{podpokrytí}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin<br />
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall<br />
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in\vn{V})$.<br />
<br />
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\S_1\subset\S$,<br />
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se prý hodí pro použití v integrálech.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{kompaktní prostor}<br />
\begin{define}<br />
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené<br />
pokrytí má konečné podpokrytí.\bigskip<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\index{kompaktní množina}<br />
\item Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako<br />
topologický podprostor je kompaktní.\bigskip<br />
\item Každá konečná množina je kompaktní.\bigskip<br />
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.\bigskip<br />
\item $\R$ není kompakt, ale $\uz{\R}$ už kompakt je. \bigskip<br />
\item Kompaktnost nezávisí na metrice. \bigskip<br />
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin<br />
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.<br />
\begin{proof}<br />
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako<br />
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále<br />
platí, pomocí de Morganových zákonů :<br />
\[<br />
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=<br />
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=<br />
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\iff<br />
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\]<br />
a existuje konečné podpokrytí. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu<br />
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]<br />
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.<br />
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí<br />
platit:<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]<br />
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,<br />
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$<br />
takové, že platí<br />
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{theorem}<br />
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.<br />
% dodělat důkaz<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je<br />
uzavřená.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:<br />
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]<br />
Dále platí:<br />
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]<br />
tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je<br />
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy<br />
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]<br />
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí<br />
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$<br />
platí:<br />
\[<br />
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,<br />
\]<br />
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je<br />
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve<br />
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí<br />
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným<br />
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené<br />
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém<br />
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.<br />
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. <br />
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i,i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i; i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. <br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $X$ konečnědimenzionální lineární prostor. Potom $A\subset X$ je kompaktní,<br />
právě když je uzavřená a omezená.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.<br />
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
$A$ je omezená, tudíž $A\subset<br />
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je<br />
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je<br />
kompaktní.<br />
<br />
\item $X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových<br />
vektorů<br />
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]<br />
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfním<br />
zobrazením $V^n$ do $R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a<br />
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.<br />
<br />
\item $X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.<br />
<br />
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:<br />
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le<br />
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=<br />
K\norm{\vec x}_\infty,\]<br />
<br />
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto<br />
vztahu vyplývá spojitost identity <br />
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.<br />
<br />
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky<br />
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená<br />
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,<br />
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
<br />
Dále platí:<br />
\[<br />
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,<br />
\]<br />
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy<br />
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.<br />
<br />
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.<br />
<br />
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,<br />
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<<br />
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,<br />
\]<br />
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty<1)$.<br />
<br />
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou<br />
část nerovnosti.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{hromadná hodnota}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(x_n)\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,<br />
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho<br />
členů posloupnosti.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $(x_n)$.<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu<br />
hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,<br />
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:<br />
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]<br />
kde $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti.<br />
\end{proof}<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má<br />
právě jednu hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci<br />
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí<br />
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně<br />
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy<br />
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí<br />
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Lebesgue]<br />
\label{lebesgue}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto<br />
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru<br />
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.<br />
\bigskip<br />
\begin{proof}<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.<br />
<br />
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $(\epsilon_n)=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $B_n = (x_n,\epsilon_n)$ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.<br />
<br />
Dle předpokladu věty existuje pro $x_n$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.<br />
<br />
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.<br />
<br />
Po volbě $x_0 = max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(B_{k_n} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $B_n$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Borel]<br />
\label{borel}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná<br />
\index{$\epsilon$ síť}<br />
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy<br />
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).<br />
\begin{proof}<br />
<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.<br />
<br />
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $(B(x_n,\epsilon))$. Posloupnost $(x_n)\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Weierstrass]<br />
Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá<br />
posloupnost má konvergentní podposloupnost.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.<br />
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru<br />
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá<br />
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících<br />
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto<br />
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí<br />
$B(x_i,\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení topologického prostoru. Potom<br />
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek<br />
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má<br />
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak<br />
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A\mapsto\R$. Potom $f$<br />
nabývá na $A$ svého infima a supréma.<br />
\begin{proof}<br />
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a<br />
suprémum v~ní leží.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
\bigskip<br />
\index{stejnoměrná spojitost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité<br />
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě<br />
když <br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí <br />
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)<br />
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]<br />
Buď $(x_n)$,$(y_n)$ posloupnosti takové, že platí<br />
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]<br />
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní<br />
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí<br />
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]<br />
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.<br />
<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro<br />
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je<br />
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$<br />
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a<br />
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }<br />
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<<br />
\epsilon,<br />
\]<br />
což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola8&diff=417601MAA3:Kapitola82011-02-17T20:34:21Z<p>Vezous: chybka v důkazu poslední věty a poupravená definice pokrytí a otevřeného pokrytí</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Kompaktní prostory}<br />
<br />
\index{pokrytí}<br />
\index{podpokrytí}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin<br />
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall<br />
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in\vn{V})$.<br />
<br />
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\S_1\subset\S$,<br />
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se prý hodí pro použití v integrálech.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{kompaktní prostor}<br />
\begin{define}<br />
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené<br />
pokrytí má konečné podpokrytí.\bigskip<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\index{kompaktní množina}<br />
\item Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako<br />
topologický podprostor je kompaktní.\bigskip<br />
\item Každá konečná množina je kompaktní.\bigskip<br />
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.\bigskip<br />
\item $\R$ není kompakt, ale $\uz{\R}$ už kompakt je. \bigskip<br />
\item Kompaktnost nezávisí na metrice. \bigskip<br />
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin<br />
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.<br />
\begin{proof}<br />
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako<br />
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále<br />
platí, pomocí de Morganových zákonů :<br />
\[<br />
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=<br />
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=<br />
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\iff<br />
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\]<br />
a existuje konečné podpokrytí. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu<br />
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]<br />
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.<br />
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí<br />
platit:<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]<br />
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,<br />
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$<br />
takové, že platí<br />
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{theorem}<br />
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.<br />
% dodělat důkaz<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je<br />
uzavřená.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:<br />
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]<br />
Dále platí:<br />
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]<br />
tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je<br />
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy<br />
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]<br />
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí<br />
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$<br />
platí:<br />
\[<br />
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,<br />
\]<br />
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je<br />
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve<br />
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí<br />
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným<br />
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené<br />
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém<br />
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.<br />
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. <br />
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i,i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i; i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. <br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $X$ konečnědimenzionální lineární prostor. Potom $A\subset X$ je kompaktní,<br />
právě když je uzavřená a omezená.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.<br />
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
$A$ je omezená, tudíž $A\subset<br />
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je<br />
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je<br />
kompaktní.<br />
<br />
\item $X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových<br />
vektorů<br />
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]<br />
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfním<br />
zobrazením $V^n$ do $R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a<br />
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.<br />
<br />
\item $X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.<br />
<br />
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:<br />
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le<br />
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=<br />
K\norm{\vec x}_\infty,\]<br />
<br />
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto<br />
vztahu vyplývá spojitost identity <br />
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.<br />
<br />
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky<br />
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená<br />
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,<br />
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
<br />
Dále platí:<br />
\[<br />
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,<br />
\]<br />
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy<br />
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.<br />
<br />
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.<br />
<br />
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,<br />
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<<br />
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,<br />
\]<br />
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty<1)$.<br />
<br />
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou<br />
část nerovnosti.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{hromadná hodnota}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(x_n)\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,<br />
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho<br />
členů posloupnosti.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $(x_n)$.<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu<br />
hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,<br />
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:<br />
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]<br />
kde $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti.<br />
\end{proof}<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má<br />
právě jednu hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci<br />
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí<br />
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně<br />
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy<br />
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí<br />
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Lebesgue]<br />
\label{lebesgue}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto<br />
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru<br />
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.<br />
\bigskip<br />
\begin{proof}<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.<br />
<br />
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $(\epsilon_n)=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $B_n = (x_n,\epsilon_n)$ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.<br />
<br />
Dle předpokladu věty existuje pro $x_n$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.<br />
<br />
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.<br />
<br />
Po volbě $x_0 = max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(B_{k_n} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $B_n$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Borel]<br />
\label{borel}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná<br />
\index{$\epsilon$ síť}<br />
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy<br />
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).<br />
\begin{proof}<br />
<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.<br />
<br />
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $(B(x_n,\epsilon))$. Posloupnost $(x_n)\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Weierstrass]<br />
Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá<br />
posloupnost má konvergentní podposloupnost.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.<br />
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru<br />
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá<br />
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících<br />
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto<br />
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí<br />
$B(x_i,\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení topologického prostoru. Potom<br />
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek<br />
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má<br />
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak<br />
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A\mapsto\R$. Potom $f$<br />
nabývá na $A$ svého infima a supréma.<br />
\begin{proof}<br />
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a<br />
suprémum v~ní leží.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
\bigskip<br />
\index{stejnoměrná spojitost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité<br />
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě<br />
když <br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí <br />
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y in X)<br />
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]<br />
Buď $(x_n)$,$(y_n)$ posloupnosti takové, že platí<br />
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]<br />
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní<br />
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí<br />
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]<br />
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.<br />
<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro<br />
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je<br />
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$<br />
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a<br />
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }<br />
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<<br />
\epsilon,<br />
\]<br />
což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola7&diff=417501MAA3:Kapitola72011-02-17T20:20:20Z<p>Vezous: oprava chyby v poznámce za předposlední větou (v topologickém prostoru platí pouze implikace)</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Spojitost}<br />
<br />
\index{spojitost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení. Řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité<br />
v~$x_0$}, právě když vzor každého okolí bodu $f(x_0)$<br />
$f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je okolí bodu $x_0$. Řekneme, že $f$ je spojité,<br />
je-li spojité v~každém bodě.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$. Potom následující<br />
tři tvrzení jsou ekvivalentní.<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f$ je spojité.<br />
\item pro každé $B=\vn{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ otevřená v~$X$, tj,<br />
$f^{-1}(B)=\vn{f^{-1}(B)}^X$.<br />
\item pro každé $B=\uz{B}^Y$ je $f^{-1}(B)$ uzavřená v~$X$, tj,<br />
$f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item (ii) $\iff$ (iii):<br />
Pro libovolnou množinu $B \subset Y$ platí $f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B).$ <br />
Ukážeme nyní implikaci (ii) $\implies$ (iii), obrácená implikace se dokazuje analogicky.\\<br />
Nechť $B=\uz{B}^Y$. Potom<br />
$Y \sm B = \vn{(Y \sm B)}^Y.$ Podle předpokladu je vzor této množiny otevřený v X, tj.<br />
$\vn{(f^{-1}(Y \sm B))}^X = f^{-1}(Y \sm B)= X \sm f^{-1}(B) = \vn{( X \sm f^{-1}(B))}^X$. Odtud dostáváme $f^{-1}(B)=\uz{f^{-1}(B)}^X$.\\<br />
\item (i) $\implies$ (ii):<br />
Buď $B=\vn{B}^Y$, $x\in f^{-1}(B)$. Pak $f(x)\in B$ a ze spojitosti<br />
$f$ vyplývá $f^{-1}(B)=\H_x$, tedy $f^{-1}(B)$ je okolím všech svých<br />
bodů, tedy je otevřená.<br />
\bigskip\item (ii) $\implies$ (i):<br />
Buď $\H_{f(x_0)}$ okolí bodu $f(x_0)$. Pak existuje $B=\vn{B}$ tak, že<br />
platí $f(x_0)\subset B\subset\H_{f(x_0)}$, tedy $x_0\in<br />
f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\H_{f(x_0)})$, tedy $f^{-1}(\H_{f(x_0)})$ je<br />
okolím $x_0$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{homeomorfismus}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f$ zobrazení topologického prostoru $X$ do $Y$ tak, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $f$ je bijekcí,<br />
\item $f$ a $f^{-1}$ jsou spojité.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom $f$ nazýváme {\bf homeomorfismem} $X$ na $Y$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předpoklad spojitosti $f^{-1}$ není nadbytečný --- například identické<br />
zobrazení $(\R,d)\mapsto(\R,\abs{\ })$ spojité je, zatímco inverzní ne.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ bijekce $X$ na $Y$. Potom následující výroky jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f$ je homeomorfismus.\bigskip<br />
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\vn{A}^X\iff f(A)=\vn{(f(A))}^Y$.\bigskip<br />
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $A=\uz{A}^X\iff f(A)=\uz{f(A)}^Y$.\bigskip<br />
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\vn{A}^X)=\vn{(f(A))}^Y$.\bigskip<br />
\item Pro každé $A\subset X$ platí: $f(\uz{A}^X)=\uz{f(A)}^Y$.\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Zřejmé :-)<br />
\index{zřejmý důkaz}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{ekvivalence metrik}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že dvě metriky $\rho$ a $\sigma$ na množině $X$ jsou<br />
{\bf ekvivalentní}, právě když indukují tutéž topologii. Jinými slovy:<br />
identita $(X,\rho)\mapsto(X,\sigma)$ je homeomorfismus.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\tau = \tau'$ pokud $\forall A \in \tau$ existuje $A'\in \tau'$, že $A'\subset A$ a <br />
zároveň pokud $\forall B' \in \tau'$ existuje $B\in \tau$, že $B\subset B'$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{ekvivalence norem}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že dvě normy jsou {\bf ekvivalentní}, právě když indukují ekvivalentní metriky.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{hom_lin}<br />
Buď $X$ lineární prostor. Potom dvě normy $\norm{\ }_1$, $\norm{\ }_2$<br />
jsou ekvivalentní, právě když platí:<br />
\[k\norm{\vec x}_1\le\norm{\vec x}_2\le K\norm{\vec x}_1\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $(\Rightarrow)$: {\bf V~lineárním prostoru} platí, že uzávěr<br />
$\uz{B(x,r)}$ otevřené koule $B(x,r)$ je uzavřená koule $S(x,r)$.<br />
<br />
Otevřená koule $B_2(0,1)$ v~prostoru s~normou $\norm{\ }_2$ je<br />
otevřená množina. V~prostoru s~normou $\norm{\ }_1$ proto existuje<br />
koule $B_1(0,r)$ tak že platí: $B_1(0,r)\subset<br />
B_2(0,1)$. Z~vlastnosti uzávěru a výše uvedené poznámky pak platí, že<br />
$S_1(0,r) \subset S_2(0,1)$, tedy $\norm{\vec x}_1\le<br />
r\implies \norm{\vec x}_2\le 1$.<br />
<br />
Pro {\bf libovolný} vektor $\vec y$ pak platí:<br />
\[\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_1\le r,\]<br />
z~čehož vyplývá:<br />
\[\norm{r\frac{\vec y}{\norm{\vec y}_1}}_2\le 1\implies<br />
\frac{r}{\norm{\vec y}_1}\norm{\vec y}_2\le 1\implies<br />
\norm{\vec y}_2\le\frac1r\norm{\vec y}_1,<br />
\]\bigskip<br />
kde $\frac1r$ je konstanta $K$ z~tvrzení věty. Druhá nerovnost se<br />
dokáže analogicky.\bigskip<br />
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A=\vn{A}$ otevřená množina z~(X, $\norm{\<br />
}_1$), $x\in A$. Pak existuje koule $B_1(x,r_1)\subset<br />
A$. Z~předpokladu věty a z~definice koule pak ale vyplývá, že koule<br />
$B_2(x,kr_1)$ z~(X, $\norm{\ }_2$) je podmnožinou koule $B_1$, tudíž<br />
$B_2\subset A$. Tedy v~(X, $\norm{\ }_2$) pro každý bod $x\in A$<br />
existuje koule $B_2(x,r_2)\subset A$, tedy $A$ je v~(X, $\norm{\ }_2$)<br />
otevřená.<br />
<br />
Opačná inkluze se dokáže analogicky<br />
($B_1(x,r_1)\subset B_2(x,K r_2)$).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{konvergence posloupnosti}<br />
\index{limita}<br />
\begin{define}<br />
Buď $x_n$ posloupnost bodů z~topologického prostoru $X$. Potom<br />
posloupnost konverguje k~bodu $x$ ($x_n\to x$), právě když leží<br />
v~každém jeho okolí až na konečně mnoho bodů. Bod $x$ se nazývá {\bf<br />
limita}.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $f$ bijekce $\N\biject\N$, pak <br />
$x_n\to x\iff x_{f_n}\to x$.\bigskip<br />
\item Posloupnost má nejvýše jednu limitu (důsledek Hausdorffova<br />
axiomu).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že topologický prostor $(X,\tau)$ je {\bf metrizovatelný},<br />
právě když na $X$ existuje metrika $\rho$ taková, že indukuje $\tau$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $A\subset X$. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $x\in\uz{A}$, právě když $(\exists x_n\in A)(x_n\to x)$.\bigskip<br />
\item $x\in\hr{A}$, právě když $(\exists x_n\in A)(x_n\to x)\bigskip<br />
\wedge(\exists y_n\in X\sm A)(y_n\to x)$.<br />
\item $x\in A'$, právě když $(\exists x_n\in A\sm\{x\})(x_n\to x)$.\bigskip<br />
\item $x\in\vn{A}$, právě když $(\forall x_n)<br />
(x_n\to x\implies x_n\in A\text{ až na konečný počet výjimek})$.\bigskip<br />
\item $x\in\iz{A}$, právě když $(\forall x_n\in A)(x_n\to x\implies<br />
x_n=x\text{ až na konečný počet výjimek})$.\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Zřejmé :-)<br />
\index{zřejmý důkaz}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
V topologickém prostoru platí pouze implikace, pro první tři $\Leftarrow$ a pro ostatní $\Rightarrow$, <br />
protože tam nemůžeme zajistit konvergenci těch posloupností. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Heinova věta]<br />
Buď $X$ metrizovatelný topologický prostor, $f:X\mapsto Y$ zobrazení,<br />
$A\subset X$. Potom $\lim_{x\to x_0,x\in A}f(x)=l$, právě když pro<br />
každou posloupnost $x_n:x_n\in A,x_n\not=x_0,x_n\to x_0$ platí: $f(x_n)\to l$.<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=U%C5%BEivatel:Vezous&diff=4174Uživatel:Vezous2011-02-17T20:08:28Z<p>Vezous: Založena nová stránka: Antonín Povolný vezous@seznam.cz</p>
<hr />
<div>Antonín Povolný<br />
vezous@seznam.cz</div>Vezoushttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola4&diff=417301MAA3:Kapitola42011-02-17T20:06:57Z<p>Vezous: Poznámka do začátku důkazu Bessela. Odůvodnění existence Fourierovy řady.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Trigonometrické řady}<br />
<br />
\index{trigonometrická řada}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\poslo{a_n}$ a $\posl{b_n}$ dvě posloupnosti reálných<br />
čísel. Potom řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje-li $a\in\R$ tak, že trigonometrická řada konverguje na<br />
intervalu $\la a,a+2\pi)$ resp. $(a,a+2\pi\ra$, konverguje na celé množině<br />
reálných čísel a její součtová funkce je periodická s~periodou $2\pi$.<br />
\item Z~předchozí poznámky plyne, že při studiu trigonometrické řady<br />
se můžeme omezit pouze na jeden interval délky $2\pi$. Za tento<br />
interval budeme v~dalším textu obvykle volit interval $\la -\pi,\pi\ra$.<br />
\item Členy trigonometrické řady jsou funkce s~periodou<br />
$2\pi$. Lineární transformací však můžeme docílit libovolné<br />
periody. Např. řada<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
kde $\lambda>0$, má za členy funkce periodické s~periodou<br />
$2\lambda$. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval<br />
$\la -\lambda,\lambda\ra$. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat<br />
jako trigonometrickou řadu s~periodou $2\lambda$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť trigonometrická řada <br />
$\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$<br />
konverguje stejnoměrně na $\R$ a buď $F$ její součtová funkce. Potom<br />
pro všechna $n\in\No$ platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx\text{ a }<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje<br />
stejnoměrně na intervalu $\la -\pi,\pi\ra$ a tudíž podle věty<br />
\ref{ointegraci-r} je<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\dx=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi\dx+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\int_{-\pi}^\pi \cos nx\dx+<br />
b_n\int_{-\pi}^\pi \sin nx\dx<br />
\right)=a_0\pi.<br />
\]<br />
Podobně pro $n\in\N$ podle věty \ref{veta69} dostáváme<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cos nx\dx<br />
\right)=a_n\pi.<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin nx\dx<br />
\right)=b_n\pi,<br />
\]<br />
neboť pro $k\not=n$ je<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos kx\cos nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin kx\cos nx\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin kx\sin nx\dx=0<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx\dx=\pi<br />
\text{ pro všechna $k,n\in\No$}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
na $\R$ k~součtové funkci $F$ plyne pro všechna $n\in\No$:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx\text{ a }<br />
b_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx.<br />
\]<br />
\item Výše uvedená vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí<br />
její součtové funkce bývají označována jako Eulerovy vzorce.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{Fourierova řada}<br />
\begin{define}<br />
\label{deffour}<br />
Nechť funkce $f$ má absolutně konvergentní zobecněný integrál na<br />
intervalu $(a,b)$, kde $b-a=2\pi$. Položme<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\cos nx\dx \ldots \text{ pro všechna }n\in\No,\quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\sin nx\dx \ldots \text{ pro všechna }n\in\N.<br />
\]<br />
Potom trigonometrickou řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf Fourierovou řadou} funkce $f$ na intervalu $(a,b)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Obecně --- pro případ pouze omezeného intervalu $(a,b)$ ---<br />
klademe<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx,\quad<br />
b_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx,<br />
\]<br />
kde $2\lambda=b-a$. Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$<br />
potom rozumíme trigonometrickou řadu<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right).<br />
\]<br />
<br />
\item Má-li periodická funkce s~periodou $\omega$ absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na některém z~intervalů délky<br />
$\omega$, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném<br />
intervalu.<br />
<br />
\item Buď $g$ periodická funkce s~periodou $\omega$ a nechť existuje<br />
$a\in\R$ tak, že integrál $\int_a^{a+\omega}g(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom pro libovolné $b\in\R$ je <br />
\[\int_b^{b+\omega}g(x)\dx=\int_0^\omega g(x)\dx.\]<br />
<br />
\item Z~předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v~definici<br />
\ref{deffour} lze pro funkci s~periodou $2\pi$ psát také ve tvaru<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\dx \ldots \text{ pro všechna }n\in\No,\quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\dx \ldots \text{ pro všechna }n\in\N.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichletův integrální vzorec]<br />
\label{dirichlet}<br />
Buď $f$ funkce periodická s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom pro $n$-tý<br />
částečný součet její Fourierovy řady platí:<br />
\[<br />
F_n(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac t2}\dt<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\R$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\R$ a $n\in\N$. Potom podle poznámek \ref{deffour} je:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
F_n(x) & =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dt +<br />
\frac1\pi\sum_{k=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(\cos kt\cos kx+<br />
\sin kt\sin kx)\dt= \\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left(<br />
\frac12+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t)<br />
\right)\dt =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)<br />
\frac{\sin\left((n+\frac12)(x-t)\right)}{2\sin\frac{x-t}{2}}\dt =<br />
\\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\tau)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)\tau}{2\sin\frac{\tau}{2}}\,\d \tau =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac{t}{2}}\dt.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Přitom jsme použili vyjádření<br />
\[<br />
\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\cos\frac n2x\cdot\sin\frac{n+1}2x}<br />
{\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]}{2\sin\frac x2}-\frac12<br />
\]<br />
platné pro všechna $x\in\R$, $x\not=2\pi m$, kde $m\in\Z$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Užijeme-li aditivity integrálu, můžeme nalézt ještě následující<br />
integrální vyjádření $n$-tého součtu Fourierovy řady:<br />
\[F_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi(f(x+t)+f(x-t))<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{2\sin\frac t2}\dt.\]<br />
<br />
\item Volíme-li v~předcházející poznámce $f(x)=1$ pro všechna<br />
$x\in\R$, je $a_0=2$, $a_k=b_k=0$ pro všechna $k\in\N$ a tudíž pro<br />
všechna $n\in\N$ platí:<br />
\[1=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\left[\sin(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichlet]<br />
\label{dirichlet2}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom její Fourierova<br />
řada (s~periodou $2\pi$) konverguje v~bodě $x$ právě tehdy,<br />
existuje-li číslo $s$ tak, že platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt=0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Z~poznámek \ref{dirichlet}.1 a \ref{dirichlet}.2 plyne, že pro všechna<br />
$x,s\in\R$ a všechna $n\in\N$ platí:<br />
\[<br />
F_n(x)-s=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt.<br />
\]<br />
Odtud již plyne tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[pravý Bessel]<br />
\label{bessel}<br />
Buď $f$ funkce zobecněně integrabilní na intervalu $(-\pi,\pi)$<br />
taková, že zobecněný integrál $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$<br />
konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují nerovnosti<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\le<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Díky kovergenci $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$ zobecněný integrál<br />
z $f$ konverguje absolutně (Hoëlderova nerovnost - mimo rozsah<br />
přednášky). Má tedy smysl mluvit o Fourierově řadě.<br />
Označíme-li opět $F_n$ $n$-tý částečný součet Fourierovy řady funkce<br />
$f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$, platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
0 & \le \int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))^2\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - 2\int_{-\pi}^\pi f(x)F_n(x)\dx + <br />
\int_{-\pi}^\pi F_n^2(x)\dx= \\<br />
& = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx +<br />
\sum_{k=1}^n\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\dx +<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\dx<br />
\right)<br />
\right) + \\<br />
& \quad + \frac{a_0^2}2\pi + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi =<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - \left(<br />
\frac{a_0^2}2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Pro všechna $n\in\N$ je tedy<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\le<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Z~věty \ref{bessel} resp. jejího důkazu vyplývá několik velice<br />
důležitých poznatků. Předně: Řada<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)<br />
\]<br />
konverguje, pokud konverguje integrál<br />
\[\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.\]<br />
<br />
\item Buďte $\posloupnost{0}{n}{c_k}$, $\posloupnost{0}{n}{d_k}$ dvě<br />
posloupnosti reálných čísel, $n\in\N$. Položme<br />
\[<br />
T_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\R$. Potom funkci $T_n$ nazýváme {\bf trigonometrický<br />
polynom stupně nejvýše $n$-tého}<br />
\index{trigonometrický polynom}<br />
resp. {\bf trigonometrický polynom<br />
stupně $n$-tého}, je-li alespoň jedno z~čísel $c_n$, $d_n$ nenulové.<br />
<br />
\item Zopakujme si nyní důkaz věty \ref{bessel} s~tím, že nahradíme<br />
součet $F_n$ trigonometrickým polynomem $T_n$. Obdržíme:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\int_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\dx&=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{c_0a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k a_k+d_k b_k)<br />
\right) \pi+<br />
\left(<br />
\frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2)<br />
\right)\pi=\\<br />
&=\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx +<br />
\left[<br />
\frac12(a_0-c_0)^2+\sum_{k=1}^n(a_k-c_k)^2+\sum_{k=1}^n(b_k-d_k)^2<br />
\right]\pi-\\<br />
& \quad-<br />
\left(<br />
\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi\ge<br />
\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost platí právě tehdy, je-li $a_k=c_k$ pro všechna<br />
$k\in\hat{n_0}$ a $b_k=d_k$ pro všechna $k\in\hat{n}$.<br />
<br />
\item Číslo $\int_a^b(f(x)-g(x))^2\dx$ se někdy nazývá {\bf střední<br />
kvadratická odchylka} funkcí $f$ a $g$ na intervalu $(a,b)$. V~této<br />
terminologii lze potom výsledek předchozí poznámky vyslovit takto: Ze<br />
všech trigonometrických polynomů stupně nejvýše $n$ má střední<br />
kvadratickou odchylku od funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$ nejmenší<br />
právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady.<br />
<br />
\item V~lineárním prostoru $R_2(a,b)$ všech funkcí, pro které<br />
zobecněné integrály <br />
\[\int_a^b f(x)\dx\text{ a }\int_a^b f^2(x)\dx\]<br />
konvergují, je zobrazení<br />
\[f\mapsto\sqrt{\int_a^b f^2(x)\dx}\]<br />
seminorma (seminorma $\norm{\ }$ splňuje všechny vlastnosti normy až<br />
na to, že rovnost $\norm{f}=0$ platí i~pro nějaký nenulový prvek<br />
$f$). Konvergence posloupnosti funkcí definovaných na intervalu<br />
$(a,b)$, které odpovídá konvergence v~prostoru $R_2(a,b)$ s~výše<br />
definovanou seminormou, se nazývá {\bf konvergence podle středu}.<br />
\index{konvergence podle středu}<br />
Platí tedy: Jsou-li $f_n\in R_2(a,b)$ pro $n\in\N$ a $f\in<br />
R_2(a,b)$, potom posloupnost $\posl{f_n}$ konverguje podle středu<br />
k~funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, platí-li:<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b(f_n(x)-f(x))^2\dx=0.\]<br />
Řada $\rada f_n$ konverguje na intervalu $(a,b)$ podle středu k~funkci<br />
$F$, jestliže posloupnost částečných součtů této řady konverguje na<br />
intervalu $(a,b)$ podle středu k~funkci $F$.<br />
<br />
\item (o~jednoznačnosti) Jediná trigonometrická řada, která může na<br />
intervalu $(-\pi,\pi)$ konvergovat podle středu k~funkci <br />
$f\in R_2(-\pi,\pi)$, je právě Fourierova řada funkce $f$.<br />
<br />
Označme totiž<br />
\[F_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)\]<br />
a nechť posloupnost $\posl{F_n}$ konverguje podle středu na intervalu <br />
$(-\pi,\pi)$ k~funkci $f$. Potom např. platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin mx\dx=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F_n(x)\sin mx\dx=\\<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+d_m<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro všechna $n,m\in\N$, $n\ge m$. Nyní stačí užít Besselovy nerovnosti<br />
\[<br />
\abs{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))\sin mx\dx}\le<br />
\sqrt{\pi\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx}<br />
\]<br />
a provést limitní přechod pro $n\to\infty$.<br />
<br />
\item (Parseval) Buď $f\in R_2(-\pi,\pi)$. Potom Fourierova řada<br />
funkce $f$ konverguje na intervalu $(-\pi,\pi)$ podle středu k~funkci<br />
$f$ právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
<br />
\item Z~Besselovy nerovnosti vyplývá, že pro každou funkci $f\in<br />
R_2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riemann]<br />
\label{riemann}<br />
Nechť existují $a,b\in\RR$ tak, že zobecněný integrál<br />
$\int\limits_a^bf(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx= 0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť je nejdříve funkce $f$ na {\bf uzavřeném }intervalu<br />
$\la a,b\ra$ riemannovsky integrabilní. Položme<br />
\[m=\left[\frac{b-a}{2\pi}\right]<br />
\quad<br />
\text{a}<br />
\quad<br />
f^*(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{pro }x\in\la a,b\ra\\<br />
0 & \text{pro } x\in(b,a+2(m+1)\pi><br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $f^*$ je riemannovsky integrabilní na intervalu<br />
$\la a,a+2(m+1)\pi\ra$ a platí:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx=\int_a^{a+2(m+1)\pi}f^*(x)\cos nx\dx=<br />
\sum_{k=1}^{m+1}\int_{a+2(k-1)\pi}^{a+2k\pi}f^*(x)\cos nx\dx.<br />
\]<br />
Nyní již stačí provést limitní přechod pro $n\to\infty$ a užít<br />
poznámku \ref{bessel}.8.<br />
\item Nechť $\int\limits_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje jako<br />
nevlastní Riemannův integrál a nechť např. $b$ je jediný kritický bod<br />
tohoto integrálu. Zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $c\in (a,b)$<br />
tak, že <br />
\[\int\limits_c^b \abs{f(x)}\dx<\frac\epsilon2.\] <br />
Protože podle bodu a) je<br />
\[\lim_{n \to \infty}\int_a^c f(x)\cos nx\dx=0,\]<br />
existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ platí<br />
\[\int_a^c f(x)\cos nx\dx<\frac\epsilon2.\]<br />
Odtud již dostáváme, že pro všechna $n>n_0$ je:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx\le<br />
\abs{\int_a^c f(x)\cos nx\dx}<br />
+<br />
\abs{\int_c^b f(x)\cos nx\dx}<\epsilon.<br />
\]<br />
Analogicky dokážeme, že také<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Aplikujme nyní větu \ref{riemann} na limitu ve větě<br />
\ref{dirichlet2}. Předpokládejme v~následujících poznámkách, že funkce<br />
$f$ je periodická s~periodou $2\pi$ a že má absolutně konvergentní<br />
zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Protože podle věty<br />
\ref{riemann} pro libovolné $s\in\R$ je<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cos nt\dt=0,<br />
\]<br />
dostáváme:<br />
\item \label{p773} Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item Buď $c\in(0,\pi)$. Potom pro libovolné $s\in\R$ je podle věty<br />
\ref{riemann}<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_c^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0<br />
\]<br />
a tudíž Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item Z~předchozí poznámky plyne tzv. {\bf Riemannova věta<br />
o~lokalizaci}. Konvergence Fourierovy řady funkce $f$ i~hodnota jejího<br />
součtu v~bodě $x$ závisí pouze na průběhu funkce $f$ v~bezprostředním<br />
okolí tohoto bodu.<br />
\item (Dini) Pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$ stačí konvergence integrálu<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{t}\dt<br />
\]<br />
pro některé $c\in(0,\pi)$. Skutečně --- z~konvergence výše uvedeného<br />
integrálu plyne konvergence integrálu <br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{2}<br />
\,\cotg\frac t2 \dt<br />
\]<br />
a ostatní je již důsledek věty \ref{riemann} a poznámky<br />
\ref{riemann}.\ref{p773}.<br />
<br />
\item (Lipschitz) Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$, existují-li kladné číslo $L,\alpha\in(0,1\ra$ a pravé okolí<br />
$\H_0$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H_0$ platí:<br />
\[\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}\le Lt^\alpha.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{souc1}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$, která má absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. buď dále<br />
$x_0\in\R$ a nechť platí jeden z~následujících výroků:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Funkce $f$ má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné derivace.<br />
\item Funkce $f$ je v~prstencovém okolí bodu $x_0$ diferencovatelná a<br />
její derivace má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné limity.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) funkce $f$ konverguje v~bodě<br />
$x_0$ a její součet je:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}F_n(x_0) = <br />
\begin{cases}<br />
f(x_0) & \text{v~případě (I)} \\<br />
\displaystyle\frac12\left(\lim_{x\to x_0+}f(x)+<br />
\lim_{x\to x_0-}f(x)\right) &<br />
\text{v~případě (II)}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť platí (I). Položme $L=2\max(\abs{f'_+(x_0)},\abs{f'_-(x_0)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje pravé okolí bodu $\H$ bodu $0$ tak, že pro všechna<br />
$t\in\H$ platí:<br />
\[\abs{f(x_0+t)-f(x_0)}\le\frac12Lt\quad\wedge\quad\abs{f(x_0-t)-f(x_0)}\le\frac12Lt,\]<br />
a tedy<br />
\[\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2f(x_0)}\le Lt.\]<br />
To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka 4.7.6)<br />
Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x_0$ k~součtu $f(x_0)$.<br />
<br />
\item Nechť platí (II). Označme $f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)$,<br />
$f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)$ a položme<br />
$L=2\max(\abs{f'(x_0+)},\abs{f'(x_0-)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $x\in(x_0,x_0+\delta)$<br />
je $\abs{f'(x)}\le\frac12L$. Zvolíme-li nyní libovolně dva body<br />
$x_1,x_2\in(x_0,x_0+\delta)$, existuje podle věty o~přírůstku funkce<br />
$\xi\in(x_1,x_2)$ takové, že platí:<br />
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{f'(\xi)}\,\abs{x_2-x_1}\le\frac12L\abs{x_2-x_1}.\]<br />
Odtud dle Bolzanova-Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity<br />
funkce $f$ v~bodě $x_0$ zprava.<br />
<br />
Položme opět $f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$ a definujme funkci $g$<br />
takto:<br />
\[<br />
g(t)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x_0+t) & \text{pro $t\in(0,\delta)$} \\<br />
f(x_0+) & \text{pro $t=0$}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $g$ je spojitá zprava v~bodě $0$, diferencovatelná na intervalu<br />
$(0,\delta)$ a platí<br />
\[\lim_{t\to 0+}g'(t)=\lim_{t\to 0+}f'(x_0+t)=f'(x_0+).\]<br />
Potom funkce $g$ má v~bodě $0$ derivaci zprava a platí<br />
$g'_+(0)=f'(x_0+)$, tj.<br />
\[\lim_{t\to 0+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+)}{t}=f'(x_0+).\]<br />
Podobně dokážeme, že<br />
\[\lim_{t\to 0-}\frac{f(x_0+t)-f(x_0-)}{t}=f'(x_0-).\]<br />
Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí $\H$ bodu $0$, že pro<br />
všechna $t\in\H$ platí:<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)-f(x_0+)}\le\frac12Lt,\ \abs{f(x_0-t)-f(x_0-)}\le\frac12Lt<br />
\]<br />
a tedy<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-(f(x_0+)+f(x_0-))}\le Lt.<br />
\]<br />
Podle poznámky \ref{riemann}.6 odtud plyne, že Fourierova řada funkce $f$<br />
konverguje v~bodě $x_0$ k~číslu \[\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Předpoklady (I) a (II) ve větě \ref{souc1} jsou vzájemně<br />
nezávislé. Z~(I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z~platnosti<br />
(II) neplyne (právě když funkce $f$ není spojitá v~bodě $x_0$)<br />
platnost předpokladu (I). Pro funkci spojitě diferencovatelnou v~bodě<br />
$x_0$ jsou ovšem oba předpoklady (I) a (II) ekvivalentní.<br />
<br />
\item Poznámkami \ref{riemann}.2--\ref{riemann}.6 a větou \ref{souc1}<br />
je v~podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady<br />
funkce $f$. Poněkud omezující (i~když pro rozvoj v~trigonometrickou<br />
řadu zcela logickou) se již vzhledem k~definici \ref{deffour} zdá<br />
skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou<br />
funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i~pro funkci<br />
definovanou na omezeném intervalu, pomůžeme si periodickým<br />
prodloužením.<br />
<br />
\item Buďte $a,b\in\R$ a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu<br />
$\la a,b)$. Potom periodickým prodloužením funkce $f$ (na intervalu<br />
$\la a,b)$) rozumíme funkci $f^*$ definovanou na množině $\R$ následovně:<br />
\[<br />
f^*(x)=f\left(x-\left[\frac{x-a}{b-a}\right](b-a)\right)<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\R$.<br />
<br />
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu<br />
délky $2\pi$ je funkce sinus. Periodickým prodloužneím funkce<br />
$x\mapsto\sin x$ na intervalu $\la 0,\pi)$ je absolutní hodnota funkce<br />
sinus. Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto x$ na intervalu $\la<br />
0,1)$ je funkce $x\mapsto x-[x]$.<br />
<br />
\item Buď nyní $f$ funkce definovaná na intervalu $\la a,b)$,<br />
$b-a=2\pi$ a nechť zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom, užijeme-li větu \ref{souc1} na periodické<br />
prodloužení $f^*$ funkce $f$ na intervalu $\la a,b)$, dostáváme:<br />
<br />
Buď $x_0\in(a,b)$ a nechť je splněn alespoň jeden z~předpokladů (I) a<br />
(II) věty \ref{souc1}. Potom platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=<br />
\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx,\quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\sin nx\dx\]<br />
pro všechna $n\in\No$ a symboly $f(x_0+)$ resp. $f(x_0-)$ chápeme ve<br />
smyslu užitém v~důkazu věty \ref{souc1}.<br />
<br />
\item Buďte $a,b$ libovolná různá reálná čísla, $x_0$ vnitřní bod<br />
intervalu o~krajních bodech $a,b$. Nechť dále zobecněný integrál<br />
$\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, je-li splněn alespoň<br />
jeden z~předpokladů (I), (II) věty \ref{souc1}, platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos\frac{2\pi n}{b-a}x_0+b_n\sin\frac{2\pi n}{b-a}x_0<br />
\right)=\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
a_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\cos\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
b_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\sin\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
\]<br />
pro všechna $n\in\No$.<br />
<br />
\item Nevyřešena v~předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka<br />
konvergence Fourierovy řady funkce $f$ v~krajních bodech intervalu<br />
$(a,b)$. Předpokládáme opět, že zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$<br />
absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z~následujících<br />
předpokladů:<br />
\begin{enumerate}[(I$^*$)]<br />
\item $f(a)=f(b)$ a existují jednostranné derivace $f_+'(a)$ a $f_-'(b)$.<br />
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v~jistém pravém okolí bodu $a$ a<br />
levém okolí bodu $b$, přičemž existují vlastní limity<br />
$\lim_{x\to a+}f'(x)$ a $\lim_{x\to b-}f'(x)$. <br />
\end{enumerate}<br />
Potom, aplikujeme-li větu \ref{souc1} na periodické prodloužení funkce<br />
$f$ na intervalu $\la a,b)$, dostáváme:<br />
Fourierova řada funkce $f$ z~poznámky \ref{souc1}.5<br />
resp. \ref{souc1}.6 konverguje v~bodě $a$ (a~tím i~v~bodě $b$) a její<br />
součet je $\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{soucet}<br />
Nechť funkce $f$ je po částech spojitá a má po částech spojitou<br />
derivaci na intervalu $\la a,b\ra$. Potom Fourierova řada funkce $f$ na<br />
intervalu $(a,b)$ konverguje na celé množině $\R$ a označíme-li $F$<br />
její součtovou funkci, platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Funkce $F$ je periodická s~periodou $b-a$.<br />
\item $F(x)=\frac12(f(x+)+f(x-))$ pro všechna $x\in(a,b)$.<br />
\item $F(a)=F(b)=\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z~předchozích poznámek, nebo přímo z~věty \ref{souc1}, jestliže ji<br />
aplikujeme na periodické prodloužení funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Tvrzení (ii) věty \ref{soucet} můžeme vyslovit také<br />
v~následující podrobnější formě:<br />
\begin{enumerate}[(ii)]<br />
\item Pro všechna $x\in(a,b)$ platí:<br />
\[<br />
F(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{je-li funkce $f$ v~bodě $x$ spojitá}\\<br />
\displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)} & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$<br />
odstranitelnou nespojitost}\\<br />
\frac12(f(x+)+f(x-)) & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ nespojitost<br />
I. druhu}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\item Nechť integrál $\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx$ absolutně konverguje a<br />
buď<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Potom platí:<br />
Je-li funkce $f$ lichá, jsou<br />
\[a_n=0,\ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\dx\text{ pro }n\in\No;\]<br />
je-li funkce $f$ sudá, jsou<br />
\[b_n=0,\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx\dx\text{ pro }n\in\No.\]<br />
<br />
\item Buď $\alpha\in\R$ a položme $f(x)=\cos\alpha x$ pro všechna<br />
$x\in\la -\pi,\pi\ra$. Je-li $\alpha\in\Z$, je triviálně funkce $f$<br />
součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu $\la -\pi,\pi\ra$. Buď<br />
dále $\alpha\in\R-\Z$; potom podle předchozí poznámky platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos\alpha x\cos nx\dx=\frac1\pi\left(<br />
\frac{\sin(\alpha+n)\pi}{\alpha+n} +<br />
\frac{\sin(\alpha-n)\pi}{\alpha-n}<br />
\right)=<br />
\frac1\pi\frac{2\alpha(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\sin\alpha\pi<br />
\]<br />
a $b_n=0$ pro všechna $n\in\No$.<br />
Z~věty \ref{soucet} potom plyne:<br />
\[<br />
\cos\alpha x=\frac{\sin\alpha\pi}{\alpha\pi}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n<br />
\frac{2\alpha\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\cos nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\la -\pi,\pi\ra$.<br />
Analogicky obdržíme<br />
\[<br />
\sin\alpha<br />
x=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\sin nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\la -\pi,\pi\ra$.<br />
<br />
\item Položme ve vyjádření pro $\cos\alpha x$ v~předchozí poznámce<br />
$x=0$ a $\alpha\pi=z$ resp. $x=\pi$ a $\alpha\pi=z$. Potom dostáváme:<br />
\[<br />
\frac1{\sin z}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^nz}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\cotg z=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R-\pi\Z$ (tj. všechna reálná $z$, která nejsou celým<br />
násobkem $\pi$). Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních<br />
funkcí na parciální zlomky. Položíme-li v~rozkladech<br />
$z=\frac{-\pi}2-y$, obdržíme také rozklad funkcí $\frac1{\cos z}$ a<br />
$\tg z$ na parciální zlomky.<br />
<br />
\item Buď $x\in(0,\pi)$. Potom podle předcházející poznámky pro<br />
všechna $y\in(0,x>$ je<br />
\[<br />
\cotg y-\frac1y=\sum_{n=1}^\infty\frac{2y}{y^2-(n\pi)^2}.<br />
\]<br />
Protože řada na pravé straně rovnosti podle Weierstrassova kritéria<br />
konverguje stejnoměrně na $\la 0,x\ra$, platí podle věty \ref{ointegraci-r}<br />
\[<br />
\int_0^x\left(\cotg y-\frac1y\right)\dy=<br />
\sum_{n=1}^\infty\int_0^x\frac{2y\dy}{y^2-(n\pi)^2},<br />
\]<br />
tj.<br />
\[<br />
\left[\ln\frac{\sin y}{y}\right]_x^0=<br />
\sum_{n=1}^\infty\left[\ln\abs{y^2-(n\pi)^2}\right]_0^x<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\ln\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^\infty\ln<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Ze spojitosti funkce $\ln$ potom plyne<br />
\[<br />
\sin x=x\prod_{n=1}^\infty<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední rovnost platí evidentně na intervalu $\la -\pi,\pi\ra$ a<br />
užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé<br />
množině $\R$. Speciálně pro $z=\frac\pi 2$ obdržíme<br />
\[<br />
1=\frac\pi 2\prod\frac{(2k+1)(2k-1)}{(2k)^2},<br />
\]<br />
tj. Wallisovu formuli.<br />
Ze vztahu $\sin2z=2\sin z\cos z$ ještě plyne, že<br />
\[<br />
\cos z=\prod_{n=1}^\infty\left(<br />
1-\frac{4z^2}{(2n-1)^2\pi^2}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Jordan]<br />
Buď $f$ funkce definovaná na intervalu $\la a,b\ra$ s~následujícími<br />
vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f(a)=f(b)$.<br />
\item $f$ je spojitá na intervalu $\la a,b\ra$.<br />
\item Funkce $f$ má po částech spojitou derivaci na intervalu $\la a,b\ra$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $\la a,b\ra$ konverguje<br />
stejnoměrně na množině $\R$.<br />
\begin{proof}<br />
Větu stačí zřejmě dokázat pro případ $b-a=2\pi$.<br />
<br />
Buďte $c_1<c_2<\dots<c_{n-1}$ všechny body nespojitosti derivace<br />
funkce $f$. Označíme-li $c_0=a$, $c_n=b$, platí pro všechna $n\in\N$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
a_n & =\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\frac1\pi\sum_{i=1}^n\int_{c_{i-1}}^{c_i} f(x)\cos nx\dx= \\<br />
& = \frac1{n\pi}\sum_{i=1}^n<br />
\left(<br />
[f(x)\sin nx]_{c_{i-1}}^{c_i}-<br />
\int_{c_{i-1}}^{c_i}f'(x)\sin nx\dx<br />
\right)= \\<br />
& = \frac1{n\pi}(f(b)\sin nb-f(a)\sin na)-<br />
\frac1{n\pi}\int_a^b f'(x)\sin nx\dx = -\frac1n b_n',<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde jsme písmenem $b_n'$ označili příslušný Fourierův koeficient<br />
funkce $f'$. Analogicky dokážeme, že pro všechna $n\in\N$ platí<br />
\[b_n=\frac1n a_n'.\]<br />
Pro všechna $n\in\N$ a pro všechna $x\in\R$ tedy platí:<br />
\[<br />
\abs{a_n\cos nx+b_n\sin nx}\le \abs{a_n}+\abs{b_n}=<br />
\frac{\abs{a_n'}}{n}+\frac{\abs{b_n'}}{n}\le<br />
\frac12\left(<br />
\abs{a_n'}^2+\frac1{n^2}+\abs{b_n'}^2+\frac1{n^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední krok platí protože:<br />
\[<br />
0\leq(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \Rightarrow 2ab\leq a^2+b^2<br />
\]<br />
<br />
Z~Besselovy nerovnosti (věta \ref{bessel}) vyplývá, že výraz na pravé<br />
straně nerovnosti je $n$-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení<br />
věty nyní plyne z~Weierstrassova kritéria.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Vezous