https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Veselvo2&feedformat=atom
WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]
2024-03-28T23:08:08Z
Příspěvky uživatele
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola12&diff=5170
01MAA3:Kapitola12
2014-01-19T14:56:08Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Totální derivace}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom $f$ je<br />
spojité.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}<br />
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}<br />
=\norm{\vec x-\vec y}K.<br />
\]<br />
Jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,<br />
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě<br />
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $f$ je spojité.<br />
\item $f$ je spojité v~$\vec o$.<br />
\item $f$ je omezené, tj.<br />
$(\exists k)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.<br />
\item $f$ je lipschitzovské, tj.<br />
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}<br />
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\VEC X})$.<br />
\item $f$ je stejnoměrně spojité.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $1\implies 2$: zřejmé.<br />
\item $2\implies 3$:<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že<br />
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.<br />
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí<br />
\[<br />
\norm{<br />
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)<br />
}\le 1,<br />
\]<br />
s~využitím linearity pak dostáváme<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
\item $3\implies 4$:<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}<br />
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.<br />
\]<br />
\item $4\implies 5$: zřejmé.<br />
\item $5\implies 1$: zřejmé.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{norma lineárního zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom<br />
\[<br />
\norm{f}=\inf\{<br />
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})<br />
\}<br />
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\vec o}<br />
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem<br />
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních<br />
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X\mapsto \VEC Y$ s~normou z~předchozí<br />
definice.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,<br />
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné<br />
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(<br />
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}<br />
\right)=\vec o.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{diferencovatelnost v~bodě}<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové<br />
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,<br />
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:<br />
\[<br />
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o<br />
\]<br />
\item<br />
Derivace ve směru <br />
\[<br />
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(<br />
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-<br />
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}<br />
\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}<br />
\] \label{poznamkaderivace}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{derivace zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$<br />
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme<br />
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.<br />
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu, význam však mají stejný. Přesto je třeba tyto termíny důsledně rozlišovat. Více v~MAA4.<br />
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve~fyzice platí následující rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]<br />
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.<br />
\begin{proof}<br />
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že<br />
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve<br />
směru. Platí, že<br />
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]<br />
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$<br />
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak<br />
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak<br />
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec o.\]<br />
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu<br />
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1210}<br />
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,<br />
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,<br />
\item <br />
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item<br />
\begin{multline*}<br />
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}<br />
\end{multline*}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-<br />
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot<br />
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+<br />
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\<br />
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen<br />
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to<br />
zřejmé).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}[Riezsova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.<br />
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{gradient}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná<br />
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!<br />
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$<br />
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj. parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.<br />
\item<br />
\[<br />
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\<br />
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\norm{\grad f(x_0)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:<br />
\[<br />
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),<br />
\]<br />
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1212}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto<br />
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}<br />
\right) & =<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}<br />
\right)=\\<br />
& = \lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-<br />
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)<br />
}{\tau}<br />
\right)+\\<br />
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\<br />
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na<br />
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že<br />
$f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty<br />
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde<br />
$\xi\in(0,1)$. Potom<br />
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=<br />
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}<br />
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na<br />
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že<br />
\[<br />
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1215}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na<br />
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ (nulový kovektor) pro každé $x\in<br />
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,<br />
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď<br />
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.<br />
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.<br />
\end{enumerate}<br />
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:<br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 , +\infty)$ do $\R$ předpisem <br />
\[<br />
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).<br />
\]<br />
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= f'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí <br />
\[<br />
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).<br />
\]<br />
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost <br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).<br />
\]<br />
<br />
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí <br />
\[<br />
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).<br />
\]<br />
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení <br />
\[<br />
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).<br />
\]<br />
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\<br />
& = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 , +\infty)$ a platí<br />
\[<br />
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na<br />
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom<br />
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.<br />
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]<br />
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,<br />
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:<br />
\[<br />
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=<br />
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+<br />
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)<br />
\]<br />
Potom<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=<br />
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))<br />
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}<br />
=0.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$<br />
$\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\<br />
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| <br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\index{$\c{1}$ třída}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,<br />
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné<br />
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé<br />
$i\in\widehat{\dim X}$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$<br />
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě<br />
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí<br />
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\<br />
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+<br />
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+<br />
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\<br />
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.<br />
\[<br />
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)<br />
\]<br />
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty.<br />
\[<br />
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)<br />
\]<br />
\[<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)<br />
=<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{x=x_0}<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{t=t_0}<br />
\]<br />
<br />
Značíme takto<br />
\[<br />
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=<br />
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot<br />
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}<br />
\],<br />
kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát<br />
\[<br />
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)<br />
\].<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>
Veselvo2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola12&diff=5169
01MAA3:Kapitola12
2014-01-18T23:52:42Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Totální derivace}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom $f$ je<br />
spojité.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}<br />
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}<br />
=\norm{\vec x-\vec y}K.<br />
\]<br />
Jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,<br />
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě<br />
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $f$ je spojité.<br />
\item $f$ je spojité v~$\vec o$.<br />
\item $f$ je omezené, tj.<br />
$(\exists k)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.<br />
\item $f$ je lipschitzovské, tj.<br />
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}<br />
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\VEC X})$.<br />
\item $f$ je stejnoměrně spojité.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $1\implies 2$: zřejmé.<br />
\item $2\implies 3$:<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že<br />
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.<br />
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí<br />
\[<br />
\norm{<br />
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)<br />
}\le 1,<br />
\]<br />
s~využitím linearity pak dostáváme<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
\item $3\implies 4$:<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}<br />
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.<br />
\]<br />
\item $4\implies 5$: zřejmé.<br />
\item $5\implies 1$: zřejmé.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{norma lineárního zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom<br />
\[<br />
\norm{f}=\inf\{<br />
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})<br />
\}<br />
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\vec o}<br />
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem<br />
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních<br />
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X\mapsto \VEC Y$ s~normou z~předchozí<br />
definice.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,<br />
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné<br />
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(<br />
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}<br />
\right)=\vec o.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{diferencovatelnost v~bodě}<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové<br />
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,<br />
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:<br />
\[<br />
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o<br />
\]<br />
\item<br />
Derivace ve směru <br />
\[<br />
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(<br />
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-<br />
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}<br />
\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}<br />
\] \label{poznamkaderivace}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{derivace zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$<br />
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme<br />
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.<br />
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu, význam však mají stejný. Přesto je třeba tyto termíny důsledně rozlišovat. Více v~MAA4.<br />
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve~fyzice platí následující rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]<br />
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.<br />
\begin{proof}<br />
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že<br />
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve<br />
směru. Platí, že<br />
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]<br />
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$<br />
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak<br />
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak<br />
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec o.\]<br />
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu<br />
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1210}<br />
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,<br />
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,<br />
\item <br />
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item<br />
\begin{multline*}<br />
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}<br />
\end{multline*}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-<br />
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot<br />
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+<br />
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\<br />
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen<br />
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to<br />
zřejmé).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}[Riezsova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.<br />
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{gradient}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná<br />
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!<br />
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$<br />
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj. parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.<br />
\item<br />
\[<br />
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\<br />
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\norm{\grad f(x_0)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:<br />
\[<br />
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),<br />
\]<br />
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1212}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto<br />
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}<br />
\right) & =<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}<br />
\right)=\\<br />
& = \lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-<br />
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)<br />
}{\tau}<br />
\right)+\\<br />
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\<br />
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na<br />
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že<br />
$f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty<br />
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde<br />
$\xi\in(0,1)$. Potom<br />
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=<br />
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}<br />
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na<br />
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že<br />
\[<br />
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1215}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na<br />
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ (nulový kovektor) pro každé $x\in<br />
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,<br />
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď<br />
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.<br />
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.<br />
\end{enumerate}<br />
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:<br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 , +\infty)$ do $\R$ předpisem <br />
\[<br />
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).<br />
\]<br />
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí <br />
\[<br />
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).<br />
\]<br />
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost <br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).<br />
\]<br />
<br />
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí <br />
\[<br />
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).<br />
\]<br />
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení <br />
\[<br />
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).<br />
\]<br />
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\<br />
& = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 , +\infty)$ a platí<br />
\[<br />
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na<br />
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom<br />
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.<br />
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]<br />
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,<br />
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:<br />
\[<br />
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=<br />
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+<br />
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)<br />
\]<br />
Potom<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=<br />
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))<br />
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}<br />
=0.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$<br />
$\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\<br />
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| <br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\index{$\c{1}$ třída}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,<br />
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné<br />
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé<br />
$i\in\widehat{\dim X}$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$<br />
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě<br />
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí<br />
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\<br />
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+<br />
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+<br />
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\<br />
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.<br />
\[<br />
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)<br />
\]<br />
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty.<br />
\[<br />
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)<br />
\]<br />
\[<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)<br />
=<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{x=x_0}<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{t=t_0}<br />
\]<br />
<br />
Značíme takto<br />
\[<br />
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=<br />
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot<br />
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}<br />
\],<br />
kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát<br />
\[<br />
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)<br />
\].<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>
Veselvo2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola8&diff=5168
01MAA3:Kapitola8
2014-01-18T23:50:57Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Kompaktní prostory}<br />
<br />
\index{pokrytí}<br />
\index{podpokrytí}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin<br />
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall<br />
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.<br />
<br />
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\S_1\subset\S$,<br />
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se prý hodí pro použití v integrálech.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{kompaktní prostor}<br />
\begin{define}<br />
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené<br />
pokrytí má konečné podpokrytí.\bigskip<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\index{kompaktní množina}<br />
\item Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako<br />
topologický podprostor je kompaktní.\bigskip<br />
\item Každá konečná množina je kompaktní.\bigskip<br />
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.\bigskip<br />
\item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je. \bigskip<br />
\item Kompaktnost nezávisí na metrice. \bigskip<br />
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní.\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin<br />
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.<br />
\begin{proof}<br />
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako<br />
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále<br />
platí, pomocí de Morganových zákonů :<br />
\[<br />
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=<br />
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=<br />
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\iff<br />
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\]<br />
a existuje konečné podpokrytí. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu<br />
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]<br />
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.<br />
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí<br />
platit:<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]<br />
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,<br />
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$<br />
takové, že platí<br />
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{theorem}<br />
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.<br />
% dodělat důkaz<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je<br />
uzavřená.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:<br />
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]<br />
Dále platí:<br />
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]<br />
tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je<br />
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy<br />
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]<br />
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí<br />
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$<br />
platí:<br />
\[<br />
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,<br />
\]<br />
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je<br />
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve<br />
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí<br />
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným<br />
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené<br />
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém<br />
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.<br />
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. <br />
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i ~|~ i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. <br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\VEC X$ konečnědimenzionální lineární prostor. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,<br />
právě když je uzavřená a omezená.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.<br />
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
$A$ je omezená, tudíž $A\subset<br />
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je<br />
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je<br />
kompaktní.<br />
<br />
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových<br />
vektorů<br />
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]<br />
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfním<br />
zobrazením $V^n$ do $R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a<br />
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.<br />
<br />
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.<br />
<br />
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:<br />
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le<br />
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=<br />
K\norm{\vec x}_\infty,\]<br />
<br />
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto<br />
vztahu vyplývá spojitost identity <br />
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.<br />
<br />
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky<br />
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená<br />
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,<br />
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
<br />
Dále platí:<br />
\[<br />
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,<br />
\]<br />
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy<br />
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.<br />
<br />
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.<br />
<br />
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,<br />
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<<br />
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,<br />
\]<br />
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty<1)$.<br />
<br />
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou<br />
část nerovnosti.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{hromadná hodnota}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,<br />
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho<br />
členů posloupnosti.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$.<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu<br />
hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,<br />
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:<br />
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]<br />
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že <br />
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). <br />
\end{proof}<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má<br />
právě jednu hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci<br />
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí<br />
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně<br />
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy<br />
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí<br />
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Lebesgue]<br />
\label{lebesgue}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto<br />
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru<br />
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.<br />
\bigskip<br />
\begin{proof}<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.<br />
<br />
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.<br />
<br />
Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.<br />
<br />
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.<br />
<br />
Po volbě $n_0 = \max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Borel]<br />
\label{borel}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná<br />
\index{$\epsilon$ síť}<br />
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy<br />
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).<br />
\begin{proof}<br />
<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.<br />
<br />
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Weierstrass]<br />
Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá<br />
posloupnost má konvergentní podposloupnost.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.<br />
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru<br />
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá<br />
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících<br />
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto<br />
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí<br />
$B(x_i,\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení topologického prostoru. Potom<br />
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek<br />
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má<br />
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak<br />
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A\mapsto\R$. Potom $f$<br />
nabývá na $A$ svého infima a supréma.<br />
\begin{proof}<br />
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a<br />
suprémum v~ní leží.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
\bigskip<br />
\index{stejnoměrná spojitost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité<br />
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě<br />
když <br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Cantor]<br />
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí <br />
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)<br />
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]<br />
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí<br />
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]<br />
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní<br />
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí<br />
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]<br />
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.<br />
<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro<br />
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je<br />
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$<br />
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a<br />
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }<br />
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<<br />
\epsilon,<br />
\]<br />
což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip</div>
Veselvo2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola10&diff=5167
01MAA3:Kapitola10
2014-01-18T23:49:21Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Úplné prostory}<br />
<br />
\index{Cauchyovská posloupnost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf<br />
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)<br />
(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je<br />
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. existuje racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $i\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to i$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{úplný prostor}<br />
\begin{define}<br />
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá<br />
cauchyovská posloupnost konverguje.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.<br />
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý<br />
kompaktní metrický prostor je úplný}.<br />
\item Prostor, jehož uzavřené koule jsou kompaktní, je úplný.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je<br />
úplná.<br />
\item Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.<br />
\item \emph{(sporem) }Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x$ z doplňku a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\index{kontrahující zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},<br />
právě když<br />
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{hustá množina}<br />
<br />
Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá <br />
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.<br />
\index{separabilní prostor}<br />
Prostor, který má hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.<br />
\index{řídká množina}<br />
Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou v~$X$}, právě když $X\sm\uz{B}$<br />
je hustá v~$X$.<br />
<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Například, je-li $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$ potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní. <br />
\end{example}<br />
<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Banachova o pevném bodě]<br />
\index{Banachova věta o pevném bodě}<br />
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný<br />
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že <br />
\[<br />
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le<br />
k\rho(x_m,x_{m-1})\le k^m\rho(x_1,x_0)=k^m\rho(f(x_0),x_0)<br />
\]<br />
což můžeme použít v cauchyovské podmínce<br />
\[<br />
\rho(x_{n+p},x_n)\le\sum_{i=1}^p\rho(x_{n+i-1},x_{n+i})\le<br />
\sum_{i=1}^p k^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\le<br />
\frac{k^n}{1-k}\rho(x_1,x_0)<\epsilon<br />
\]<br />
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje<br />
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.<br />
<br />
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem<br />
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.<br />
<br />
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:<br />
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy<br />
$\rho(x,x')\le k\rho(x,x')<\rho(x,x')$, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické<br />
matematice. V~praxi často nelze zajistit, aby zobrazení $f$ bylo<br />
kontrahující, přesto ale posloupnost postupných aproximací<br />
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení<br />
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.<br />
<br />
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:<br />
\[<br />
f_i(f(x))=f_{i+1}(x)=f(f_i(x))=f(x),<br />
\]<br />
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak<br />
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.<br />
<br />
Sestrojme pak $i$ posloupností:<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
1 & 2 & 3 & & i \\ \hline<br />
x_0 & x_1=f(x_0) & x_2=f_2(x_0) & \cdots & x_{i-1}=f_{i-1}(x_0) \\<br />
x_i=f_i(x_0) & x_{i+1}=f_{i+1}(x_0) & x_{i+2}=f_{i+2}(x_0) & \cdots & x_{2i-1}=f_{2i-1}(x_0) \\<br />
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Všechny posloupnosti jsou posloupnostmi aproximací $i$-té iterace pro<br />
různé počáteční body. Všechny konvergují k~$x$ a podle věty o~pokrytí<br />
celá posloupnost postupných aproximací pro zobrazení $f$ konverguje<br />
k~$x$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\bf bezvýhradně} vyžadován (i na E). Věta má význam především v numerické matematice.<br />
\end{remark}</div>
Veselvo2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola13&diff=5166
01MAA3:Kapitola13
2014-01-18T23:47:53Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Derivace vyšších řádů}<br />
<br />
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~každém bodě definičního<br />
oboru. Nechť $f'$ je diferencovatelné v~$x_0$. Potom řekneme, že<br />
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci<br />
2. řádu).<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{druhá derivace}<br />
\begin{define}<br />
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací $f''(x_0)$ rozumíme prvek<br />
$\L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$, tedy $f''(x_0)(\vec h,\vec<br />
k)=\left((f')(x_0)\vec h\right)'\vec k=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu<br />
v~libovolných dvou směrech a platí<br />
\[f_{\vec v\vec w}(x_0)=\frac{\pd^2}{\pd w\pd v}f(x_0)=<br />
f''(x_0)(\vec w,\vec v)=<br />
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení.<br />
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]<br />
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f:X \mapsto \R$] Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h), (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$ leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in\left[ \vec o,\vec h\right] $ lze definovat<br />
\[<br />
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=<br />
g(\vec h)-g(\vec o)=g'(\vec \xi)\vec h=\\<br />
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Protože<br />
\[<br />
f'(x)=f'(x_0)+(f')'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0},<br />
\]<br />
platí<br />
\[<br />
F(t)=t\left((f')'(x_0)t\vec k+\omega(x_0+t(\vec\xi+\vec k))<br />
\norm{t(\vec\xi+\vec k)}-\omega(x_0+t\vec\xi)\norm{t\vec\xi}\right)\vec h.<br />
\]<br />
(členy $f'(x_0)$ a $f'(t\vec\xi)$ se odečtou)<br />
\[<br />
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h+\nu(t),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\nu(t)=0.<br />
\]<br />
Protože $F(t)$ je symetrické v~$\vec k$ a $\vec h$, analogickými<br />
úpravami lze dospět ke vztahu<br />
\[<br />
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k+\eta(t),<br />
\]<br />
takže 2. derivace je symetrická.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Matici druhé derivace jakožto matici kvadratické formy nazýváme {\bf Hessovou maticí} a její determinant {\bf Hesiánem}. Pro Hessovu matici platí polarizační identity a další vlastnosti kvadratických forem. Navíc $f''(x_0)\sim\J\!(\grad f(x_0))$ ($\sim$ značí ekvivalenci matic).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Jestliže v~bodě $x_0$ má zobrazení $f$ spojitou derivaci $f_{\vec<br />
v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Derivace m-tého řádu je symetrický tenzor m-tého řádu, tj.:<br />
\[<br />
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=<br />
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}<br />
\]<br />
Směrové derivace m-tého řádu nezávisí na pořadí derivování, pokud je zobrazení v daném bodě m-krát diferencovatelné.<br />
\end{remark}<br />
% skripta str. 75. opravit<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení, nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom<br />
existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega:\H_{x_0}\mapsto Y$<br />
takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí<br />
\[<br />
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+<br />
\omega(x)\norm{\vec h}^m,<br />
\]<br />
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a<br />
\[L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.\]<br />
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Řekněme, že $m=1$ a to věta platí neboť platí klasická věta o "přírůstku". Předpokládejme tedy platnost pro $m$ a nyní je naše zobrazení $m+1$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$. <br />
Zavedeme pomocnou funkci<br />
\[<br />
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i<br />
\]<br />
a budeme chtít ukázat, že platí existuje zbytek $\mu$ tak že platí $\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0$ a<br />
\[<br />
g(\vec h)=\mu(x)\norm{\vec h}^{m+1}<br />
\]<br />
neboť potom bude platné tvrzení věty.<br />
Uvědomíme-li si, že $g$ má derivaci rovnou <br />
\[<br />
g'(\vec\xi)=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}f^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i-1}=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}<br />
\]<br />
na nějakém okolí. Podle indukčního předpokladu nyní existuje zbytek $\omega(x)$<br />
\[<br />
f'(x_0+\vec\xi)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}+\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m<br />
\]<br />
Tedy že platí <br />
\[<br />
g'(\vec\xi)=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m<br />
\]<br />
Pak tedy platí (druhé rovnítko umíme zatím ukázat jen v případě, že~$Y \subset \R$)<br />
\[<br />
g(\vec h)=g(\vec h)-g(\vec o)=g'(\vec\xi)\vec h=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m\vec h \leq \mu(x)\norm{\vec h}^{m+1},<br />
\]<br />
kde<br />
\[\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0\]<br />
což nám dostačuje.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Taylor]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na úsečce $\left[ x_0,x\right] $ a diferencovatelná do řádu m+1<br />
na $(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:<br />
\[<br />
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+<br />
\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Definujme funkci<br />
\[<br />
\phi(t)=f(x_0+t(x-x_0)).<br />
\]<br />
Pak<br />
\[<br />
\phi'(t)=f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0),\quad<br />
\phi'(0)=f'(x_0)(x-x_0),<br />
\]<br />
\[<br />
\phi''(0)=f''(x_0)(x-x_0)^2,\quad<br />
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.<br />
\]<br />
$\phi(t)$ je zobrazení $\R\mapsto\R$, lze tedy uplatnit klasickou<br />
verzi Taylorovy věty:<br />
\[<br />
\phi(1)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\phi^{(i)}(0)+\frac{\phi^{(m+1)}(\vartheta)}{(m+1)!}.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>
Veselvo2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola12&diff=5165
01MAA3:Kapitola12
2014-01-18T23:47:01Z
<p>Veselvo2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Totální derivace}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ a $\dim\VEC X<\infty$, potom $f$ je<br />
spojité.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\norm{f\vec x-f\vec y}=\norm{\sum_{i=1}^n(x^i-y^i)f\vec{e_i}}<br />
\le\norm{\vec x-\vec y}\sum_{i=1}^n\norm{f\vec{e_i}}<br />
=\norm{\vec x-\vec y}K<br />
\]<br />
jako normu si zvolíme maximovou (spojitost je topologická vlastnost,<br />
tak si můžeme zvolit libovolnou), potom z~uvedeného vztahu okamžitě<br />
vyplývá spojitost zobrazení $f$ ($\delta=\epsilon/K$).<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$. Potom následující tvrzení jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $f$ je spojité.<br />
\item $f$ je spojité v~$\vec o$.<br />
\item $f$ je omezené, tj.<br />
$(\exists k)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})$.<br />
\item $f$ je lipschitzovské, tj.<br />
$(\exists L)(\norm{f\vec x-f\vec y}_{\vec Y}<br />
\le L\norm{\vec x-\vec y}_{\VEC X})$.<br />
\item $f$ je stejnoměrně spojité.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $1\implies 2$: zřejmé.<br />
\item $2\implies 3$:<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá, že<br />
$(\exists\delta>0)(\forall\vec x\in\VEC X)<br />
(\norm{\vec x}<\delta\implies\norm{f\vec x}\le 1)$.<br />
Pro každý vektor $\vec x\in\VEC X$ pak platí<br />
\[<br />
\norm{<br />
f\left(\frac{\delta\vec x}{\norm{\vec x}}\right)<br />
}\le 1,<br />
\]<br />
s~využitím linearity pak dostáváme<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)}\le\frac1\delta\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
\item $3\implies 4$:<br />
\[<br />
\norm{f(\vec x)-f(\vec y)}=\norm{f(\vec x-\vec y)}<br />
\le\frac1\delta\norm{\vec x-\vec y}.<br />
\]<br />
\item $4\implies 5$: zřejmé.<br />
\item $5\implies 1$: zřejmé.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{norma lineárního zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ omezené. Potom<br />
\[<br />
\norm{f}=\inf\{<br />
k\in\R|(\forall\vec x\in X)(\norm{f\vec x}\le k\norm{\vec x})<br />
\}<br />
=\sup_{\vec x\in\VEC X\sm\vec o}<br />
\frac{\norm{f\vec x}}{\norm{\vec x}}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\VEC X$, $\VEC Y$ lineární normované prostory. Potom symbolem<br />
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ budeme rozumět {\bf normovaný} lineární prostor všech lineárních<br />
{\bf spojitých} zobrazení $\VEC X\mapsto \VEC Y$ s~normou z~předchozí<br />
definice.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení afinního normovaného prostoru,<br />
$x_0\in\vn{(\df f)}$. Potom zobrazení $f$ je diferencovatelné<br />
v~$x_0$, existuje-li $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že platí<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\norm{x-x_0}}\left(<br />
f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}<br />
\right)=\vec o.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{diferencovatelnost v~bodě}<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobrazení $f$ je diferencovatelné v~$x_0$, právě když existuje takové<br />
$L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$, $\H_{x_0}$, $\omega:\H_{x_0}\mapsto\vec Y$,<br />
že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí:<br />
\[<br />
f(x)=f(x_0)+L\vecc{(x-x_0)}+\omega(x)\norm{x-x_0}\quad\text{a}\quad<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\vec o<br />
\]<br />
\item<br />
Derivace ve směru <br />
\[<br />
L\vec h=\lim_{t\to 0}\frac1tL\left(t\vec h\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(<br />
f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)-<br />
\omega\left(x_0+t\vec h\right)\norm{t\vec h}<br />
\right)=<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec h\right)-f(x_0)}{t}<br />
\] \label{poznamkaderivace}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{derivace zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Je-li $f$ diferencovatelné zobrazení v~bodě $x_0$, potom zobrazení $L$<br />
z~předchozí definice nazýváme {\bf totální derivací $f$ v~bodě $x_0$}, značíme<br />
\[\frac{\d f}{\d x}(x_0)\] nebo s~použitím lineárního diferenciálního operátoru $D$ tak, že $D f(x_ 0)=\frac{\d }{\d x}f(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přívlastek \textit{totální} vynecháváme, nedojde-li k záměně s~derivací parciální.<br />
\item Totální derivace je objekt matematicky odlišný od totálního diferenciálu, význam však mají stejný. Přesto je třeba tyto termíny důsledně rozlišovat. Více v~MAA4.<br />
\item Pro Hamiltonovu funkci $H(p_i,q_i,t)$ ve~fyzice platí následující rovnost (viz TEF2) \[\frac{\d H}{\d t}=\frac{\pd H}{\pd t}\]<br />
\item Existence derivace funkce je {\bf topologická vlastnost}!<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li zobrazení $f$ derivaci v~bodě $x_0$, je v~bodě $x_0$ spojité.<br />
\begin{proof}<br />
Jestliže zobrazení $f$ má derivaci, pak z~definice derivace plyne, že<br />
pro $x\to x_0$ se $f(x)$ blíží k~$f(x_0)$, tedy $f$ je spojité v~$x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li $f$ derivaci v~$x_0$, pak má v~$x_0$ všechny derivace ve<br />
směru. Platí, že<br />
\[\frac{\pd f}{\pd\vec v}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_{\vec v}f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_{\vec v}(x_0)=f'(x_0)\vec v,\]<br />
\[\frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}\pd_i f(x_0)\overset{\text {ozn.}}{=}<br />
f_i(x_0)=f'(x_0)\vec{e_i}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f$ je diferencovatelné v bodě $x_0$. Podle poznámky (\ref{poznamkaderivace}) za definicí derivace<br />
\[<br />
\lim_{t\to 0}\frac{f\left(x_0+t\vec v\right)-f(x_0)}{t}=f'(x_0)\vec v<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ spojité afinní zobrazení $X\mapsto Y$, $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$<br />
jeho přidružené lineární zobrazení. Pak<br />
$(\forall x_0\in X)(f'(x_0)=L)$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in X$, $f(x)-f(x_0)=L\vecc{(x-x_0)}$. Pak<br />
\[f(x)-f(x_0)-L\vecc{(x-x_0)}=\vec o.\]<br />
Ze spojitosti $f$ a $L$ pak vyplývá, že totéž platí i pro limitu<br />
uvedeného výrazu. Proto $L$ je derivací $f$ v~bodě $x_0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1210}<br />
Buďte $f,g:X\to\R$ a nechť existují $f'(x_0)$ a $g'(x_0)$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,<br />
\item $(fg)'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0)$,<br />
\item <br />
\[\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item<br />
\begin{multline*}<br />
\abs{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(f'(x_0)+g'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
=\abs{f(x)-f(x_0)-f'(x-x_0)+g(x)-g(x_0)-g'(x-x_0)}<br />
\end{multline*}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{(fg)(x)-(fg)(x_0)-(f(x_0)g'(x_0)+g(x_0)f'(x_0))(x-x_0)}=\\<br />
&=\abs{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-<br />
\quad f(x_0)g'(x_0)(x-x_0)-g(x_0)f'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{(f(x)-f(x_0))(g(x)-g(x_0))}\le\\<br />
&\le\abs{g(x_0)(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))+<br />
f(x_0)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))}+\\<br />
&\quad+\abs{\,\norm{f'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}\cdot<br />
\abs{\,\norm{g'(x_0)}\norm{x-x_0}+\abs{\omega(x)}\norm{x-x_0}\,}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\abs{\left(\frac1g\right)(x)-\frac1g(x_0)+<br />
\frac1{g^2(x_0)}g'(x_0)(x-x_0)}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{g^2(x_0)-g(x)g(x_0)+g(x)g'(x_0)(x-x_0)}=\\<br />
&=\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{-g(x)(g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0))+(g(x)-g(x_0))^2}\le \\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\abs{g'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\,}^2}\le\\<br />
&\le\frac1{g^2(x_0)g(x)}<br />
\abs{\abs{g(x)}\abs{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)(x-x_0)}+<br />
\norm{g'(x_0)}^2\norm{x-x_0}^2+\abs{\omega(x)}^2\norm{x-x_0}^2\,}\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Limita tohoto výrazu děleného $\norm{x-x_0}$ jde k~nule (první člen<br />
v~abs. hodnotě je část výrazu z~definice derivace, u~druhého členu je to<br />
zřejmé).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}[Riezsova věta o reprezentaci] Přiřazení kovektoru k vektoru je vzájemně jednoznačné, tj.<br />
$(\forall \covecc{f'(x_0)} \in \covec X)(\exists_1 \vec k \in \VEC X) (\forall \vec h \in \VEC X) (\covecc {f'(x_0)}\vec h=\la \vec k,\vec h \ra )$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{gradient}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ afinní eukleidovský prostor, funkce $f:X\to\R$ diferencovatelná<br />
v~bodě $x_0$. Pak $f'(x_0) \in \L(\VEC X, \R)={\covec X}$ a vektor $\vec k$ z~Riezsovy věty nazýváme {\bf gradientem} funkce $f$ v~bodě $x_0$, značíme $\grad f(x_0)=\vec k$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Gradient je {\bf vektor}, avšak totální derivace je vektor k němu {\bf duální} (kovektor)!<br />
\item Ve fyzice (pouze $\R^3$) používáme symbol nabla tj. $\grad U\equiv \nabla U$<br />
\item Vzorec na výpočet parciální derivace: $\covecc{f'(x_0)}\vec{e_i}=\la\vec k,\vec{e_i}\ra=f_i(x_0)$, tj. parciální derivaci lze vypočítat jako skalární součin.<br />
\item<br />
\[<br />
\vec n=\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f_{\vec n}(x_0) & =\covecc{f'(x_0)}\frac{\grad f(x_0)}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\frac{1}{\norm{\grad f(x_0)}}\covecc{f'(x_0)}\grad f(x_0)= \\<br />
& = \frac{\la\grad f(x_0),\grad f(x_0)\ra}{\norm{\grad f(x_0)}}=<br />
\norm{\grad f(x_0)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Z~předchozího a za použití Schwarzovy-Cauchyovy nerovnosti vyplývá:<br />
\[<br />
|f_{\vec{v}}(x_0)|=|\covecc{f'(x_0)}\vec v|=|\la\grad f(x_0),\vec v\ra|\le\norm{\grad f(x)}\cdot 1=f_{\vec n}(x_0),<br />
\]<br />
tj. ve směru gradientu má funkce největší spád. Gradient ovšem neleží intuitivně na tečně ke grafu, nýbrž na normále (viz MAA4).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1212}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~$x_0+t \vec h$. Potom $\phi:\tau\mapsto<br />
f(x_0+\tau\vec h)$ má v~$t$ derivaci $\phi'(t)=f'(x_0+t\vec h)\vec h$<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{\phi(t+\tau)-\phi(t)}{\tau}<br />
\right) & =<br />
\lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)}{\tau}<br />
\right)=\\<br />
& = \lim_{\tau\to 0}\left(<br />
\frac{f(x_0+t\vec h+\tau\vec h)-f(x_0+t\vec h)-<br />
f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)<br />
}{\tau}<br />
\right)+\\<br />
&\quad + \lim_{\tau\to 0}\frac1\tau f'(x_0+t\vec h)(\tau\vec h)=\\<br />
& = f'(x_0+t\vec h)\vec h<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podobně se dá ukázat, že zobrazení $\phi:\vec k \mapsto f(x_0+t\vec k)$ má v~$\vec h$ derivaci $\phi'(\vec h)=tf'(x_0+t\vec h)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku]<br />
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) diferencovatelná na<br />
$(x_0,x)$. Potom existuje $y\in(x_0,x)$ takové, že<br />
$f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\varphi(t)=f(x_0+t\vec h)$, $\vec h=x-x_0$. Pak podle věty<br />
o~přírůstku funkce platí $\phi(1)-\phi(0)=\phi'(\xi)$, kde<br />
$\xi\in(0,1)$. Potom<br />
\[f(x)-f(x_0)=\covecc{f'(x_0+\xi\vec h)}\vec h=<br />
\covecc{f'(x_0+\xi(x-x_0))}\vecc{(x-x_0)}=\covecc{f'(y)}\vecc{(x-x_0)}.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předpoklad zobrazení do $\R$ je zde nutný. Uvažujme funkci $f(t)=e^{\im t}$ na $\left[ 0,2\pi\right] $ pak $0=\varphi(2\pi)-\varphi(0)=\im e^{\im \xi} \cdot 2 \pi$ což rozhodně neplatí pro žádné $\xi$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o přírůstku zobrazení] \label{oprirustkuzobrazeni}<br />
Buď $f : X \mapsto Y$ zobrazení mezi afinními prostory spojité na $\left[ x_0,x\right] $ (úsečka mezi $x$ a $x_0$) a diferencovatelné na<br />
$(x_0,x)$. Nechť dále existuje nezáporné číslo $c$ tak, že pro všechna $y \in(x_0,x)$ je $||f'(y)||\leq c$. Potom platí, že<br />
\[<br />
\|f(x)-f(x_0)\|\leq c \|x-x_0\|<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem} \label{1215}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ ($\dim X<\infty$) zobrazení diferencovatelné na<br />
oblasti $A\subset X$, nechť $f'(x)=\covec o$ (nulový kovektor) pro každé $x\in<br />
A$. Potom $f(x)=\text{konst.}$<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in A$, $B=\{x\in A~|~f(x)=f(x_0)\}$. $B\not=\emptyset$,<br />
neboť přinejmenším $x_0\in B$. Dokážeme, že $B$ je obojetná.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Důkaz, že $B$ je otevřená: Buď $x\in B$, $B(x,r)\subset A$. Buď<br />
$y\in B(x,r)$. Pak podle věty \ref{oprirustkuzobrazeni}, kde klademe $c=0$, $\|f(y)-f(x)\|\leq c \|(y-x)\|=0$, tedy $B(x,r)\subset B$. Když tedy víme, že $\|f(y)-f(x)\|$=0, dostáváme $f(y)=f(x)=f(x_0)$.<br />
\item Důkaz, že $B$ je uzavřená: Vzor $f(x_0)$, tj. uzavřené množiny při spojitém zobrazení je uzavřená množina. $B$ je tedy uzavřená.<br />
\end{enumerate}<br />
$B$ je obojetná a neprázdná v souvislém prostoru, je tedy $A=B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{funkce homogenní stupně $\alpha$}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\alpha \in \R$. Řekneme, že zobrazení $f$ z prostoru $E$ do $\R$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0 \in E$, pokud platí, že $f$ je definované na množině $E \sm \{ x_0 \}$ a $(\forall t > 0)(f(x_0+t(x-x_0)=t^\alpha f(x))$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $x_0 \in E$, $f$ zobrazení do $\R$, diferencovatelné na množině $E \sm \{ x_0 \}$. Potom zobrazení $f$ je homogenní stupně $\alpha$ se středem v $x_0$ právě tehdy, platí-li pro všechna $x \in E \sm \{ x_0 \}$:<br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x-x_0)}=\alpha f(x)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item $\implies$: Předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné v bodě $x \neq x_0$ a homogenní stupně $\alpha$ se středem v bodě $x_0$. Definujme zobrazení $\varphi$ intervalu $(0 , +\infty)$ do $\R$ předpisem <br />
\[<br />
\varphi (t)= f \left (x_0 + t \left (x - x_0 \right )\right ) \overbrace{=}^{\text{homogenita}} t^\alpha f(x).<br />
\]<br />
Zřejmě $\varphi (1) = f(x)$. Dále, dle \ref{1212} je $$\left(\varphi (t) \right)'= tf'\left(x_0 + t(x - x_0)\right)\left(x - x_0 \right).$$ Stejně tak ale platí <br />
\[<br />
\left(\varphi (t) \right)'=\frac{d}{dt}\left(t^\alpha f(x)\right) = \alpha t^{\alpha - 1} f(x).<br />
\]<br />
Z předchozích dvou vztahů dostáváme po dosazetní $t = 1$ rovnost <br />
\[<br />
\covecc{f'(x)}\vecc{(x - x_0)} = \alpha f(x).<br />
\]<br />
<br />
\item $\impliedby$: Zvolme pevně $x \neq x_0$ a předpokládejme, že zobrazení $f$ je diferencovatelné na polopřímce $\left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0\right \}$. Nechť dále pro všechna $y \in \left \{x_0 + t(x - x_0)~|~t > 0 \right \}$ platí <br />
\[<br />
\covecc{f'(y)}\vecc{(y - x_0)} = \alpha f(y).<br />
\]<br />
Definujme na intervalu $(0 , +\infty)$ zobrazení <br />
\[<br />
\psi (t) = \frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}).<br />
\]<br />
Pak dle \ref{1212} a dle silnější obdoby \ref{1210} (kdy v předpokladu věty by jedno ze zobrazení nemusí být nutně do tělesa ale obecně do normovaného lineárního prostoru) má zobrazení $\psi$ derivaci $\psi '$ na intervalu $(0 , +\infty)$ (povšimněme si, že tento interval je oblast v $\R$) a pro všechny $t \in (0 , +\infty)$ platí <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\psi '(t) & = - \frac{\alpha}{t^{\alpha + 1}} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) + \frac{1}{t^\alpha} f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})\vecc{(x-x_0)} = \\<br />
& = \frac{1}{t^{\alpha + 1}} \left( f'(x_0+t\vecc{(x-x_0)})t\vecc{(x-x_0)} - \alpha f(x_0+t\vecc{(x-x_0)}) \right) = 0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{1215} pak platí, že je $\psi$ konstantní na intervalu $(0 , +\infty)$ a platí<br />
\[<br />
\frac{1}{t^\alpha} f(x_0+t\vecc{(x-x_0)})=\psi (t) = \psi (1) = f(x).<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $\dim X < \infty$ , nechť $f$ má na<br />
$\H_{x_0}$ všechny parciální derivace 1. řádu spojité v~$x_0$. Potom<br />
$f$ je v~$x_0$ diferencovatelné.<br />
\begin{proof}[Důkaz (pouze pro $Y=\R$)]<br />
Buď $B(x_0,r)$. Pak existují body $x_1,\dots,x_n$,<br />
$\norm{x_i-x_0}\le\norm{x-x_0}$, tak, že platí:<br />
\[<br />
f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^n f_i(x_i)(x^i-x^i_0)=<br />
\sum_{i=1}^n f_i(x_0)(x^i-x^i_0)+<br />
\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))(x^i-x^i_0)<br />
\]<br />
Potom<br />
\[<br />
\lim_{x\to x_0}\omega(x)=<br />
\lim_{x\to x_0}\sum_{i=1}^n(f_i(x_i)-f_i(x_0))<br />
\frac{x^i-x_0^i}{\norm{x-x_0}}<br />
=0.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
$\forall i \in \hat{n}$ jsou $f_i$ spojité $\Rightarrow$<br />
$\exists f'$ $\Rightarrow$ $\forall i \in \hat{n}$ existují $f_i$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Spojitost parciálních derivací implikuje spojitou diferencovatelnost.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\|(g'(x)-g'(x_0))\vec h\| & =\|(g'(x)-g'(x_0))\sum \la\vec h,\vec e_i\ra\vec e_i\|\leq\|\vec h\| \cdot \sum \|(g'(x)-g'(x_0))\vec e_i\| = \\<br />
= & \|\vec h\| \cdot \sum \|g_i(x)-g_i(x_0)\| <br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\index{$\c{1}$ třída}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že $f$ je třídy $\c{1}$, právě když $f'$ je třídy $\c{0}$,<br />
tj. $f'$ je spojité na otevřeném definičním oboru. V~prostoru konečné<br />
dimenze: $f\in\c 1$, právě když $f_i\in\c 0$ pro každé<br />
$i\in\widehat{\dim X}$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $D$, $X$, $Y$ normované afinní prostory, $f:X\mapsto Y$<br />
diferencovatelné v~$x_0$, $g:D\mapsto\df f$ diferencovatelné v~bodě<br />
$t_0$, $x_0=g(t_0)$. Potom složené zobrazení $F(t)=f(g(t))$ je diferencovatelné v bodě $t_0$ a platí<br />
$F'(t_0)=f'(x_0)g'(t_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{F(t)-F(t_0)-f'(x_0)g'(t_0)(t-t_0)}=\\<br />
&=\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{f(g(t))-f(g(t_0))-f'(x_0)(g(t)-g(t_0))+<br />
f'(x_0)(g(t)-g(t_0)-g'(t_0)(t-t_0))}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\norm{\omega(g(t))}\norm{g(t)-g(t_0)}+f'(x_0)(\mu(t)\norm{t-t_0})}\le\\<br />
&\le\frac{1}{\norm{t-t_0}}<br />
\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}}+<br />
\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}\le\\<br />
&\le\norm{\omega(g(t))}\norm{g'(t_0)}+\norm{\mu(t)}+\norm{f'(x_0)}\norm{\mu(t)}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Derivovat složenou vektorovou funkci znamená násobit dvě tzv. Jacobiho matice.<br />
\[<br />
F_k^i(t_0)=\frac{\pd F^i}{\pd t^k}(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^nf_j^i(x_0)g_k^j(t_0)=<br />
\sum_{j=1}^n\frac{\pd f^i}{\pd x^j}(x_0)\frac{\pd g^j}{\pd t^k}(t_0)<br />
\]<br />
\item V~případě, že $m=r=n$, jsou tyto matice regulární a můžeme namísto nich pracovat se jejich determinanty.<br />
\[<br />
\det F'(t_0)=\det f'(x_0)\det g'(t_0)<br />
\]<br />
\[<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd F^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd F^m}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd F^m}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)<br />
=<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd f^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^1}{\pd x^n} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd f^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd f^m}{\pd x^n} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{x=x_0}<br />
\left(<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd g^1}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^1}{\pd t^r} \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\frac{\pd g^n}{\pd t^1} & \hdots & \frac{\pd g^n}{\pd t^r} \\<br />
\end{matrix}<br />
\right)_{t=t_0}<br />
\]<br />
<br />
Značíme takto<br />
\[<br />
\frac{\pd(F^1,\dots,F^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}=<br />
\frac{\pd(f^1,\dots,f^n)}{\pd(x^1,\dots,x^n)}\cdot<br />
\frac{\pd(g^1,\dots,g^n)}{\pd(t^1,\dots,t^n)}<br />
\],<br />
kde $\J\! F:=\det F'$ značí Jacobiho determinant (Jacobián). V této symbolice můžeme psát<br />
\[<br />
\J\! F(t_0)=\J\! f(x_0)\,\J\! g(t_0)<br />
\].<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>
Veselvo2