https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Stepazb2&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-29T04:55:53ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRnew:Kapitola0&diff=445201DIFRnew:Kapitola02011-11-02T08:47:47Z<p>Stepazb2: překlep</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01DIFRnew}<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Předmluva<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter*{Předmluva}<br />
\pdfbookmark[0]{Předmluva}{predmluva}<br />
<br />
Materiál byl sestaven z~přednášek doc.~Dr.~Ing.~Michala Beneše, které proběhly v~letním semestru akademického roku 2009/2010 na Fakultě jaderné a <br />
fyzikálně inženýrské ČVUT v~Praze.<br />
<br />
Tento učební text je určen posluchačům 2.~ročníku základního studia navštěvujícím kurs 01DIFR \emph{Diferenciální rovnice}, který je zařazen <br />
mezi předměty Matematika A. Při sestavování textu se předpokládaly znalosti základů matematiky na úrovni absolvování kurzů 01LA1 <br />
\emph{Lineární algebra 1}, 01LAP \emph{Lineární algebra plus}, 01LAA2 \emph{Lineární algebra A2}, 01MA1 \emph{Matematická analýza 1}, <br />
01MAP \emph{Matematická analýza plus}, 01MAA2 \emph{Matematická analýza A2} a 01MAA3 \emph{Matematická analýza A3}.<br />
<br />
~<br />
<br />
\textbf{Doporučená literatura:}<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item J. Kluvánek, L. Mišík a M. Švec: \textit{Matematika II}, Bratislava 1959.<br />
\item L. S. Pontrjagin: \textit{Obyknovennyje differencialnyje uravnenija}, Nauka, Moskva 1965.<br />
\item V. V. Stěpanov: \textit{Kurs diferenciálních rovnic}, Praha 1950.<br />
\item M. W. Hirsch, S. Smale: \textit{Differential Equations, Dynamical systems and Linear Algebra}, Academic Press, Boston, 1974.<br />
\item F. Verhulst: \textit{Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems}, Springer-Verlag, Berlin 1990.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%Diferenciální rovnice navazují na kurz lineární algebry a matematická analýzy. Na tento předmět budou v dalších semestrech navazovat:<br />
%\begin{enumerate}<br />
% \item 01SEDR --- Seminář diferenciálních rovnic (náplní geometrická teorie diferenciálních rovnic)<br />
% \item 01MMNS --- Matematické modelování nelineárních systému<br />
% \item 01MMF --- Metody matematické fyziky (náplní parciální diferenciální rovnice)<br />
%\end{enumerate}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=438202KVAN:Header2011-09-12T07:38:06Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
%\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\eqref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-kety, střední hodnoty atd...<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
\newcommand{\mean}[2]{\langle#1\rangle_{#2}}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola7&diff=438102KVAN:Kapitola72011-09-12T07:37:24Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Systémy více částic}<br />
<br />
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních <br />
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, <br />
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. <br />
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.<br />
<br />
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém <br />
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých <br />
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě <br />
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme <br />
rozlišitelné.<br />
<br />
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. <br />
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou <br />
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}<br />
<br />
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení <br />
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc<br />
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných <br />
týkajících se jednotlivých \cc.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}<br />
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou <br />
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt <br />
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i <br />
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} <br />
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ <br />
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.<br />
<br />
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í <br />
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na <br />
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá <br />
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.<br />
<br />
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci<br />
\[<br />
\psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x)<br />
\]<br />
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}<br />
\[<br />
\mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x).<br />
\]<br />
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že<br />
\[<br />
L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x)<br />
\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N,<br />
\]<br />
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze <br />
v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde<br />
\[<br />
e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)<br />
\]<br />
je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$.<br />
<br />
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn.<br />
\[<br />
\hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit<br />
\]<br />
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice<br />
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem <br />
lze definovat vícečásticové operátory.<br />
<br />
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je <br />
třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí <br />
vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem <br />
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$.<br />
\[<br />
\hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.<br />
\]<br />
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem<br />
\be<br />
(\psi,\phi)<br />
:= \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}<br />
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
d^{3N}x.<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar<br />
\[<br />
\hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).<br />
\]<br />
Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}<br />
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na <br />
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, <br />
popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.<br />
<br />
Zavedením nových proměnných<br />
\be<br />
\vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2<br />
\ll{nsour}<br />
\ee<br />
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru<br />
\be<br />
L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).<br />
\ee<br />
Kanonicky sdružené hybnosti jsou<br />
\begin{align}<br />
\vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\<br />
\vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}<br />
\end{align}<br />
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí<br />
\be<br />
H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).<br />
\ee<br />
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště <br />
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.<br />
<br />
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i <br />
systému jako \fc i nových souřadnic<br />
\be<br />
\Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),<br />
\ee<br />
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\<br />
\frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}<br />
\end{align}<br />
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.<br />
<br />
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc<br />
\be<br />
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)<br />
\ee<br />
transformací \rf{nsour} přejde na tvar<br />
\be<br />
\hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex),<br />
\ee<br />
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a <br />
druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.<br />
<br />
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro <br />
Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu <br />
a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Skládání momentů hybnosti}<br />
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}<br />
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}<br />
\def\hj{{\hat J}}<br />
V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých <br />
složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze <br />
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost <br />
problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve<br />
vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$.<br />
<br />
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$, <br />
$m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i <br />
$\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$<br />
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak <br />
můžeme popsat vlnovou \fc í<br />
\[<br />
\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).<br />
\]<br />
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro <br />
který platí<br />
\begin{align}<br />
(\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\<br />
(\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\<br />
\lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm3} \\<br />
\l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4}<br />
\end{align}<br />
Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit<br />
\textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í?<br />
<br />
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze <br />
na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ <br />
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že<br />
\be<br />
[\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m.<br />
\ee<br />
Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ <br />
a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že<br />
\be<br />
[\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0,<br />
\ee<br />
takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné <br />
množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, <br />
že splňuje rovnice<br />
\begin{align}<br />
(\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\<br />
(\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\<br />
\hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\<br />
\hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4}<br />
\end{align}<br />
Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti <br />
jednotlivých \cc.<br />
<br />
V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$. <br />
Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}. <br />
K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule<br />
\begin{equation}<br />
\hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,<br />
\label{jjll}<br />
\end{equation}<br />
kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že <br />
$\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$.<br />
<br />
Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů <br />
\[<br />
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2<br />
\]<br />
působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří <br />
tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.)<br />
<br />
V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů <br />
$\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.<br />
Jeden z~nich je<br />
% \begin{align}<br />
% \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1} <br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\<br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\<br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} <br />
% + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).<br />
% \end{align}<br />
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}<br />
\IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} <br />
+ \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).<br />
\end{IEEEeqnarray}<br />
O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž<br />
\[<br />
\frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} <br />
\left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right),<br />
\]<br />
lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. <br />
Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$.<br />
<br />
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,<br />
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů<br />
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z<br />
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je<br />
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}<br />
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,<br />
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.<br />
<br />
Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně <br />
ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze <br />
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a <br />
$m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.<br />
<br />
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným <br />
momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi <br />
spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=1/2$ a hledat tak stavy <br />
částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm 1/2$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}<br />
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné <br />
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.<br />
<br />
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, <br />
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami<br />
\be<br />
\hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots<br />
\ll{ab12}<br />
\ee<br />
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné <br />
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit<br />
\be<br />
\hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots<br />
\ee<br />
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$ jsou určeny jednoznačně až na <br />
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že<br />
\be<br />
\psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),<br />
\ll{asymvlnfce}<br />
\ee<br />
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.<br />
<br />
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi <br />
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými <br />
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.<br />
<br />
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách <br />
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.<br />
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze <br />
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, <br />
$j\neq k$.<br />
<br />
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive <br />
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako <br />
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. <br />
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
ale současně<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
takže $C_1=C_2$.<br />
<br />
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové <br />
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) <br />
:= \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do <br />
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$.<br />
<br />
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či <br />
antisymetrických \fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.<br />
<br />
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\be<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})<br />
\ll{bosvlf}<br />
\ee<br />
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
:= \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) <br />
\psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),<br />
\ll{antisym}<br />
\end{multline}<br />
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou <br />
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
= \det\left(<br />
\ba{cccc}<br />
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\<br />
& & \ddots & \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\<br />
\ea \right).<br />
\ll{slaterd}<br />
\end{multline}<br />
<br />
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená <br />
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli <br />
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto <br />
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$<br />
\be<br />
P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})<br />
\ee<br />
<br />
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické <br />
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento <br />
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.<br />
<br />
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, resp.~$L_2(\R^{3},d^{3}x)\ox\C^{2}$, <br />
pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru <br />
$\hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\hil^A$ popisující soustavu fermionů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli <br />
harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).<br />
\ec</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola4&diff=438002KVAN:Kapitola42011-09-11T10:26:37Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Výsledky měření}<br />
\ll{Vysledkymereni}<br />
<br />
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném <br />
funkcí $g$?}<br />
<br />
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží <br />
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou <br />
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.<br />
<br />
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit <br />
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím <br />
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem <br />
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další <br />
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás <br />
informuje Bornův postulát.<br />
<br />
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:<br />
\be<br />
\mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}.<br />
\ll{xbar}<br />
\ee<br />
<br />
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}<br />
<br />
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen <br />
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu <br />
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.<br />
<br />
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem <br />
\be<br />
\int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),<br />
\ll{psixpsi}<br />
\ee<br />
takže<br />
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee<br />
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené <br />
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně <br />
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření <br />
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{aavr}<br />
\ee<br />
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální <br />
vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti <br />
(elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.<br />
\ec<br />
<br />
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních <br />
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í <br />
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.<br />
<br />
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu<br />
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní <br />
pozorovatelné.<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření <br />
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné <br />
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}<br />
<br />
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, <br />
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í <br />
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika<br />
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstprech}<br />
\ee<br />
Veličina $A_{\psi\to\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee<br />
S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud <br />
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve <br />
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů <br />
$\alpha_k$}, tj.<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstnamer}<br />
\ee<br />
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že <br />
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee<br />
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee<br />
S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření <br />
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. <br />
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.<br />
<br />
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává <br />
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu <br />
$(x,y)$<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ ,<br />
\ll{pstnamersp}<br />
\ee<br />
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť <br />
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit <br />
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti<br />
\be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee<br />
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.<br />
<br />
\bc<br />
Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete <br />
hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.<br />
\ec<br />
<br />
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či <br />
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} <br />
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů<br />
\be<br />
W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} <br />
= \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}<br />
+ \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right],<br />
\ee<br />
kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, <br />
resp.~k~$\delta$-funkci.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}<br />
\ll{relneu}<br />
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. <br />
V~\qv é \mi ce je definována způsobem<br />
\be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee<br />
Je snadné ukázat, že<br />
\be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee<br />
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor<br />
\be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee<br />
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
\ll{dpx}<br />
Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. <br />
Ukažte, že pro tento stav platí<br />
\be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.<br />
<br />
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$<br />
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí<br />
\be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|<br />
\ll{dadb}\ee<br />
<br />
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které<br />
platí<br />
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee<br />
kde $\kappa\in\R$.<br />
\et<br />
<br />
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí<br />
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee<br />
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .<br />
\ll{dxdp2}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními <br />
jsou funkce %(\rf{mvb})<br />
\[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \]<br />
které jsme nazvali minimální vlnové balíky.<br />
\ec<br />
<br />
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou <br />
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou <br />
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu<br />
\[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \]<br />
<br />
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, <br />
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou <br />
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.<br />
<br />
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než <br />
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné <br />
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&diff=437902KVAN:Kapitola32011-09-11T10:25:10Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Popis stavů kvantové částice}<br />
\ll{Popisstavu}<br />
<br />
\sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního <br />
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, <br />
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a <br />
\qv é mechanice.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stavový prostor}<br />
\ll{stavprost}<br />
<br />
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných <br />
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}<br />
<br />
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno <br />
volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje <br />
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří <br />
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.<br />
<br />
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas <br />
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)<br />
\be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee<br />
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné <br />
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí<br />
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee<br />
kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.<br />
\ll{ex:pstvodat}<br />
\ec<br />
<br />
Díky Minkowského nerovnosti<br />
\[<br />
\left( \int_{\R^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} <br />
\leq \left( \int_{\R^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2},<br />
\]<br />
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{<br />
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, <br />
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}<br />
<br />
\bc<br />
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?<br />
\ll{ex:hilbspvb}<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?<br />
\ec<br />
<br />
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou <br />
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, <br />
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}<br />
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). <br />
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.<br />
{\small<br />
\bd<br />
\textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení <br />
$F:V\times V\rightarrow \C$ splňující<br />
\[<br />
F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\<br />
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),<br />
\]<br />
\[<br />
F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g),<br />
\]<br />
kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem<br />
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí<br />
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee<br />
\ed<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.<br />
\ll{symfor}<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí<br />
\be F(f,f) \geq 0. \ee<br />
Pokud navíc<br />
\be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee<br />
pak tuto formu nazveme \textbf{striktně pozitivní}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep<br />
<br />
\bt<br />
Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}<br />
\be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee<br />
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že<br />
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$<br />
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee<br />
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního <br />
čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~\rf{possesq}, pak <br />
dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti<br />
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]<br />
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost <br />
platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
} %konec prostředí \small<br />
<br />
\bd <br />
Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární <br />
vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp <br />
Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem<br />
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee<br />
\ep<br />
<br />
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru <br />
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$<br />
<br />
\bd <br />
Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep<br />
<br />
{\small<br />
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na <br />
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle <br />
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův.<br />
}%small<br />
<br />
\bp<br />
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$ a <br />
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)dx \]<br />
je Hilbertův.<br />
\ep<br />
<br />
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry <br />
nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.<br />
<br />
\bt [Rieszovo lemma]<br />
Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna $f\in\hil$ platí<br />
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]<br />
\et<br />
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$ je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:<br />
$\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.<br />
<br />
\vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální baze (často ne zcela správně nazývaná <br />
ortogonální baze).<br />
{\small<br />
\bd<br />
Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme<br />
\textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme <br />
ji \textbf{ortonormální}.<br />
\ed<br />
\bd<br />
Vektor $x\in \hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů<br />
nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.<br />
\ed<br />
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$.<br />
\bt<br />
Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že <br />
$x=y+z$, tzn.~$\hil=\mathcal{G}\bigoplus\mathcal{G}^\perp$.<br />
\et<br />
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.<br />
}%small<br />
\bd<br />
\textbf{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$.<br />
\ed<br />
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární <br />
kombinaci prvků baze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální <br />
baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.<br />
\bp<br />
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd <br />
kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\hil$ \textbf{pro bazi $B$} nazveme <br />
skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.<br />
\ed<br />
<br />
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V~takovýchto <br />
prostorech platí pro každé $f\in\hil$<br />
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee<br />
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee<br />
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}<br />
<br />
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte ortonormální bazi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice<br />
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]<br />
\ec<br />
<br />
Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}<br />
\ll{pozorovatelne}<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, <br />
momentu hybnosti,...).<br />
<br />
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda <br />
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné <br />
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím <br />
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie <br />
stavu $(\vec p,\vec q)$ je<br />
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]<br />
a její spektrum je $\R_+$.<br />
<br />
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná <br />
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických <br />
pojmů v~kvantové mechanice.}%small<br />
<br />
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno <br />
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným <br />
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů <br />
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru <br />
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným <br />
experimentálním ověřováním teorie.<br />
<br />
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je <br />
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} \ll{xoper} \ee<br />
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial x_j}(\vec x)$} \ll{poper} \ee<br />
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.<br />
<br />
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně <br />
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.<br />
<br />
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, <br />
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém<br />
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je<br />
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]<br />
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.<br />
<br />
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, <br />
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich <br />
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a <br />
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další<br />
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, <br />
které lze pro danou veličinu naměřit}.<br />
<br />
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.<br />
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.<br />
\bc<br />
\ll{nekpoja}<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě}, <br />
tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu <br />
$V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}<br />
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. <br />
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.<br />
<br />
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde definiční obor <br />
$D_T$ je lineární podprostor $\hil$. Je-li Hilbertův prostor konečně rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá<br />
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických <br />
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, <br />
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou $\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.<br />
<br />
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.<br />
<br />
\bd<br />
Lineární operátor $\hat B:D_B\to\hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí<br />
\[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]<br />
\ed<br />
<br />
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze <br />
spojitě rozšířit na celé $\hil$.<br />
<br />
\bp<br />
Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$ \cap L_1(\R^3,d^3x)$. Pro ostatní funkce <br />
je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}<br />
\[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} \me^{-i\vec{p}\vec{x}}g(\vec{x})d^3x \]<br />
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna <br />
$f,g\in\hil$<br />
\[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]<br />
\ed<br />
<br />
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí <br />
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee<br />
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí<br />
\be<br />
(a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger . <br />
\ll{algop}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá <br />
operátoru $\hat{M}^\dagger$?<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{B}$ na $\hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný<br />
\[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]<br />
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)<br />
\ep<br />
<br />
\bt<br />
Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\mathop{\mathrm{Ran}} \hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje <br />
$\hat{E}^2 = \hat{E}$.<br />
\et<br />
<br />
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich <br />
definice vychází z~následujícího faktu:<br />
<br />
\bt<br />
Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové, že <br />
pro všechna $g\in D_T$ platí<br />
\be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee<br />
\et<br />
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina <br />
všech $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$<br />
\ed<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.<br />
\ed<br />
<br />
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $, <br />
tj.~$D_S \subset D_{S^\dagger}$.<br />
\ed<br />
<br />
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$, $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $D_Q:=\{\psi\in L^2(\R,dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ <br />
je samosdružený.<br />
\ep<br />
<br />
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené <br />
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).<br />
<br />
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě <br />
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.<br />
<br />
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.<br />
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně<br />
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.<br />
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic<br />
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]<br />
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},<br />
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$.<br />
%\ed<br />
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří<br />
%celá komplexní rovina.<br />
\bd<br />
\textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného<br />
operátoru} $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $D_T\to\hil$.<br />
\ed<br />
<br />
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že <br />
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\hat{\unit}$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel<br />
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor <br />
$\hat{T} - \lambda\hat{\unit}$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.<br />
<br />
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí<br />
\bt<br />
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.<br />
\et<br />
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.<br />
}<br />
<br />
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že <br />
ani pro \qv ou částici<br />
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a<br />
%hybnosti částice.<br />
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.<br />
<br />
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, <br />
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}<br />
\ll{qho}<br />
<br />
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického <br />
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. <br />
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence<br />
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2. \ll{lho3} \end{equation}<br />
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$ <br />
pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ splňující<br />
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}<br />
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.<br />
<br />
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů<br />
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]<br />
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]<br />
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru<br />
\begin{equation} \psi(\vec x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}<br />
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar<br />
\begin{equation}<br />
(\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.<br />
\ll{rozkladH}<br />
\end{equation}<br />
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$<br />
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]<br />
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}<br />
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}<br />
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.<br />
<br />
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor<br />
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}<br />
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom <br />
rozměru (na přímce).<br />
<br />
\begin{tvr}<br />
\ll{slho}<br />
Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly <br />
\fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce <br />
\begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}<br />
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}<br />
\begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}<br />
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno<br />
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální <br />
rovnice<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.<br />
\ll{eqlho1}<br />
\end{equation}<br />
Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické <br />
integrability je splněna jen pro<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).<br />
\ll{hokvan}<br />
\end{equation}<br />
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\xi := \sqrt{M\omega/\hbar}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0<br />
\ll{hobezr}<br />
\end{equation}<br />
kde $\Lambda := 2\lambda / (\hbar\omega)$.<br />
<br />
Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,<br />
je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{\pm \xi^2/2}.<br />
\ll{rozphi}<br />
\end{equation}<br />
Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}. <br />
Zvolíme tedy ansatz<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{-\xi^2/2}u(\xi)<br />
\ll{hoansatz}<br />
\end{equation}<br />
a budeme se zajímat o~řešení rovnice<br />
\begin{equation}<br />
u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u<br />
\ll{hermrce}<br />
\end{equation}<br />
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $\me^{+\xi^2/2}$.<br />
<br />
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní <br />
funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady<br />
\begin{equation}<br />
u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+<br />
\ll{radau}<br />
\end{equation}<br />
Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$<br />
\[<br />
s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m<br />
\ll{rran}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení <br />
\rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem <br />
pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrovatelná řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$ <br />
takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když<br />
\be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee<br />
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrovatelná.<br />
<br />
Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1} <br />
má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.<br />
<br />
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$<br />
\be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee<br />
jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentní relací<br />
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee<br />
přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.<br />
<br />
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je<br />
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee<br />
\end{proof}<br />
\end{tvr}<br />
<br />
\bc<br />
Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem<br />
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee<br />
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{cvvytvfce}<br />
Ukažte, že<br />
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]<br />
\ec<br />
<br />
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem <br />
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, \ $n\in \Z_+\}$.<br />
<br />
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen <br />
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě <br />
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.<br />
<br />
\bc<br />
Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.<br />
\ec<br />
<br />
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce <br />
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}<br />
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly <br />
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.<br />
<br />
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).<br />
\bt<br />
\ll{tr38}<br />
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}<br />
\begin{equation}<br />
\psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}\me^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}<br />
\ll{nvlfcelho}<br />
\end{equation}<br />
je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.<br />
\et<br />
<br />
\bt<br />
\ll{tr39}<br />
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky <br />
integrovatelných funkcí \qintspace.<br />
\et<br />
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$, <br />
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.<br />
<br />
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}). <br />
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se <br />
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega\hbar$.<br />
<br />
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na <br />
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například <br />
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí <br />
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto <br />
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním <br />
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.<br />
<br />
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.<br />
\bc<br />
Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že<br />
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]<br />
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}<br />
\ll{Slmomhyb}<br />
<br />
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory <br />
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\partial}{\partial x_l}. \ll{momhyb} \ee<br />
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$<br />
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee<br />
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee<br />
<br />
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec<br />
<br />
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar<br />
\begin{eqnarray}<br />
\hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{lx} \\<br />
\hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{ly} \\<br />
\hat L_z &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}. \ll{lz}<br />
\end{eqnarray}<br />
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší <br />
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici<br />
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee<br />
Její řešení je<br />
\be<br />
\Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},<br />
\ee<br />
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi <br />
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit<br />
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]<br />
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}<br />
\be \lambda = m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee<br />
<br />
\bc <br />
\uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stav kvantového systému}<br />
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou <br />
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému <br />
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že <br />
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci <br />
elektronů).<br />
<br />
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} <br />
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést <br />
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu <br />
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}<br />
<br />
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému <br />
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:<br />
<br />
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí <br />
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}<br />
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a <br />
nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.<br />
\ec<br />
<br />
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, <br />
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou <br />
energií.<br />
<br />
\bc<br />
Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?<br />
\ec<br />
<br />
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější <br />
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl <br />
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska <br />
popisu stavu nepřípustné.<br />
<br />
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho <br />
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich <br />
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných <br />
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}<br />
<br />
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných <br />
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}<br />
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee<br />
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů <br />
$(\hat A_1\ldots,\hat A_K)$.<br />
<br />
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y <br />
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou <br />
nekompatibilní, neboť<br />
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee<br />
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti <br />
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou <br />
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ <br />
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné <br />
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. <br />
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení <br />
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.<br />
<br />
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:<br />
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin<br />
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím <br />
\be \hat A_i g = \alpha_i g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee<br />
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}<br />
<br />
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} <br />
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.<br />
<br />
\bt<br />
Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný <br />
soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr <br />
podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
<br />
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících <br />
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od <br />
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.<br />
<br />
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to <br />
relativně snadno měřitelná veličina.<br />
<br />
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát <br />
momentu hybnosti a jedna jeho složka.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}<br />
\ll{ssec:csympot}<br />
<br />
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je <br />
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.<br />
<br />
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee<br />
kde<br />
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee<br />
<br />
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami <br />
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.<br />
<br />
\bc<br />
Spočítejte komutátory<br />
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee<br />
kde<br />
\be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $L_3\equiv L_z$ a<br />
\be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.<br />
<br />
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar<br />
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee<br />
\be <br />
\hat L^2 <br />
= - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right]<br />
\ll{lkvadsfer}<br />
\ee<br />
\be<br />
\hat H <br />
= - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)<br />
+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} <br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] <br />
+ \hat V(r)<br />
\ll{hsfer}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.<br />
\ec<br />
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}<br />
\ll{ssmomhyb}<br />
<br />
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty <br />
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee<br />
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e <br />
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici <br />
\be <br />
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)<br />
+ \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi<br />
= 0.<br />
\ll{pdrl2}<br />
\ee <br />
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole <br />
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru <br />
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee<br />
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.<br />
<br />
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici <br />
\be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee <br />
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je <br />
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$ <br />
v~tomto případě zní<br />
\[<br />
\int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz <br />
= \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi <br />
\]<br />
\be<br />
= 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta<br />
= 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty.<br />
\ll{kvadintss}<br />
\ee<br />
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná <br />
na $\langle -1,1 \rangle$.<br />
<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem<br />
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee<br />
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i<br />
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee<br />
kde<br />
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]<br />
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci<br />
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee<br />
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však <br />
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ <br />
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky<br />
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar<br />
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee<br />
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem<br />
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.<br />
\ec<br />
<br />
Funkce<br />
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee<br />
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly<br />
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí<br />
\[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]<br />
kde<br />
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee<br />
tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times <br />
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina<br />
\be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee<br />
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.<br />
<br />
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často <br />
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro <br />
$l=0,1,2,\ldots$<br />
<br />
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost <br />
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$<br />
\be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee<br />
<br />
\bc<br />
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}<br />
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar<br />
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee<br />
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián <br />
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem<br />
\be <br />
\hat H <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} <br />
+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) <br />
- \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] <br />
+ \hat V(r).<br />
\ll{hsfer2}<br />
\ee<br />
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň <br />
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee<br />
kde<br />
\be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee<br />
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee<br />
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ <br />
přejde na podmínku<br />
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee<br />
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku<br />
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee<br />
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž<br />
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).<br />
<br />
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. <br />
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace <br />
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.<br />
<br />
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}<br />
<br />
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice<br />
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee<br />
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee<br />
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.<br />
<br />
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly <br />
zapsat jako řadu<br />
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee<br />
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme<br />
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee<br />
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee<br />
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.<br />
<br />
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde<br />
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee<br />
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$<br />
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee<br />
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}<br />
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee<br />
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je<br />
\be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\to 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz <br />
\cite{baterd})<br />
\be<br />
\ll{rtoplusinf}<br />
F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
Pro $z\to -\infty\ $<br />
\be<br />
\ll{rtominusinf}<br />
F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}<br />
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních <br />
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií <br />
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru <br />
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee <br />
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného <br />
směru (směr osy $z$ není ničím určen).<br />
<br />
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde <br />
$a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici<br />
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee<br />
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} <br />
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme <br />
ansatz<br />
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee<br />
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee<br />
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku <br />
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce <br />
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není <br />
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné <br />
Laguerrovy polynomy}<br />
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee<br />
definované též způsobem<br />
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee<br />
<br />
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které <br />
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ <br />
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, <br />
\ll{resiho}<br />
\ee<br />
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), <br />
\ll{resiho2}<br />
\ee<br />
a zvolíme-li<br />
\be <br />
|K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}<br />
\ee<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.<br />
<br />
\bc <br />
Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními <br />
\fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.<br />
\ec<br />
<br />
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo <br />
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.<br />
<br />
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} <br />
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali <br />
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Coulombův potenciál}<br />
\ll{podkap:coulomb}<br />
<br />
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál<br />
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee<br />
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, <br />
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie <br />
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. <br />
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar<br />
\be <br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).<br />
\ll{rcekhicp}<br />
\ee<br />
Substitucí<br />
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee<br />
kde<br />
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee<br />
převedeme tuto rovnici na tvar<br />
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee<br />
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}<br />
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee<br />
Podmínka kvadratické integrability pak zní<br />
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee<br />
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}<br />
\be <br />
\fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .<br />
\ll{ecoul}<br />
\ee<br />
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta <br />
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro <br />
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. <br />
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e <br />
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í <br />
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$<br />
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee<br />
má tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},<br />
\ll{nlmcoul}<br />
\ee<br />
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety<br />
\be <br />
\ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi),<br />
\ll{nlmcoul1}<br />
\ee<br />
kde<br />
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je <br />
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.<br />
<br />
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec<br />
<br />
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec<br />
<br />
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii. <br />
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je<br />
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee<br />
<br />
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už <br />
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum <br />
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip <br />
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee <br />
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů <br />
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme <br />
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee <br />
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě <br />
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy <br />
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.<br />
<br />
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),<br />
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra<br />
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}<br />
\ll{posunovacioperatory}<br />
<br />
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem <br />
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud<br />
\be [\hat B,\hat A] = \Delta \hat A. \ll{posop} \ee<br />
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak <br />
ze \rf{posop} ihned plyne<br />
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\Delta) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee<br />
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.<br />
<br />
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$, <br />
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený <br />
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že <br />
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.<br />
<br />
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}<br />
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie <br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee<br />
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou <br />
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee<br />
neboť<br />
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee<br />
Navíc platí<br />
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \hat\unit. \ll{acoma} \ee<br />
<br />
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}<br />
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee<br />
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se <br />
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.<br />
<br />
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí<br />
\be<br />
\hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).<br />
\ee<br />
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.<br />
<br />
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho <br />
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit<br />
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee<br />
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar<br />
\be \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0 = 0, \ee<br />
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme<br />
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee<br />
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním <br />
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií <br />
\be<br />
\psi_n(\xi)<br />
= K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)<br />
= \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \<br />
K_n^{-1}<br />
=\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.<br />
\ll{ntylho}<br />
\ee<br />
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů <br />
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou <br />
kladné.<br />
<br />
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec<br />
<br />
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou <br />
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru<br />
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee<br />
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme<br />
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}. \ll{kohstav} \ee<br />
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti}<br />
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, <br />
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory<br />
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee<br />
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace<br />
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee<br />
a přechodem do sférických souřadnic<br />
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee<br />
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee<br />
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha} <br />
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.<br />
<br />
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec<br />
<br />
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec<br />
<br />
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ <br />
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant <br />
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.<br />
<br />
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}<br />
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{~}$ a \uv{bra} $\bra{~}$, což obecně není nic jiného než označení prvků <br />
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, <br />
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je<br />
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]<br />
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in$\qintline<br />
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]<br />
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi <br />
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar<br />
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee<br />
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \hat\unit$.<br />
<br />
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy<br />
\be<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m<br />
\qquad \mathrm{a} \qquad<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,<br />
\ee<br />
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů<br />
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]<br />
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar<br />
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee<br />
<br />
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem<br />
\be<br />
\hat O f \equiv \hat O |f\rangle <br />
= \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f} <br />
= \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},<br />
\ee<br />
kde<br />
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat{O}\psi_m). \ee<br />
<br />
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec<br />
<br />
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického <br />
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}<br />
\ll{zobvlf}<br />
<br />
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled <br />
jednoduchý. Podmínka<br />
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee<br />
dává diferenciální rovnice<br />
\be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee<br />
které mají řešení<br />
\be \phi_{\vec{p}}(\vec{x})=Ae^{i\vec{p}\, \vec{x}/\hbar}, \ll{zvfoh} \ee<br />
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné <br />
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. <br />
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří<br />
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.<br />
<br />
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra <br />
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, <br />
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi <br />
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.<br />
<br />
Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} $\mathcal{S}(\R^3)$ obsahující funkce $f\in$ \qintspace <br />
splňující<br />
\be<br />
\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f \right| < \infty<br />
\ll{prryubfci}<br />
\ee<br />
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathcal{S}(\R^3)$ je, že Fourierova transformace<br />
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee <br />
je bijekcí $\mathcal{S}(\R^3)$ na $\mathcal{S}(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar<br />
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee<br />
odkud snadno dostaneme, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{FfFg}<br />
(\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pro $f\in\mathcal{S}(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na <br />
$\mathcal{S}(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.<br />
\be<br />
\ll{psip}<br />
\Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),<br />
\ee<br />
\be<br />
\ll{invft}<br />
(f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),<br />
\ee<br />
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathcal{S}(\R^3)$. Rovnice pro <br />
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar<br />
\be<br />
(\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3) <br />
\ll{rceprophip}<br />
\ee<br />
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. <br />
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou <br />
hybností.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť<br />
\[<br />
\phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. <br />
\]<br />
Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice<br />
\[<br />
\hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3<br />
\]<br />
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení <br />
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze <br />
použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:<br />
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee<br />
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee<br />
<br />
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze <br />
obě podmínky splnit.<br />
\bp<br />
Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť<br />
\[<br />
f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}<br />
\]<br />
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\<br />
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně <br />
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.<br />
\ep<br />
<br />
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathcal{S}(\R^n)$. <br />
Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná) $\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathcal{S(\R)}$ definovaného ve<br />
shodě s~\rf{dcond2} způsobem <br />
\be<br />
\int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).<br />
\ee<br />
Rovnost<br />
\[<br />
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)<br />
\]<br />
pak znamená<br />
\be<br />
(\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3),<br />
\ee<br />
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je<br />
\be<br />
\delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)<br />
\ll{zvfop}<br />
\ee<br />
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.<br />
<br />
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že<br />
\be<br />
\int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}(\vex-\vec{y})} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),<br />
\ee<br />
tj.<br />
\be<br />
\mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}<br />
\ll{fourfip}<br />
\ee<br />
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$<br />
\be<br />
(\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').<br />
\ll{dnormp}<br />
\ee<br />
Podobně i pro \rf{zvfop} platí<br />
\be<br />
(\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').<br />
\ll{dnormx}<br />
\ee<br />
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathcal{S}(\R^n)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.<br />
<br />
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh}, <br />
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad<br />
\braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad<br />
\braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),<br />
\]<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad<br />
\braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)<br />
\]<br />
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}<br />
\[<br />
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.<br />
\]<br />
<br />
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice <br />
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice <br />
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e<br />
\be<br />
\psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},<br />
\ee<br />
kde $k=\pm\sqrt{2ME}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a<br />
\be<br />
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)<br />
\ll{zovlfcecoul}.<br />
\ee<br />
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí<br />
\[<br />
\int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr<br />
\]<br />
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee<br />
kde $K_{kl}$ je konstanta.<br />
<br />
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. <br />
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.<br />
<br />
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=437802KVAN:Header2011-09-11T10:16:46Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
%\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\eqref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-kety, střední hodnoty atd...<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
\newcommand{\mean}[2]{\langle#1\rangle_{#2}}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola9&diff=437702KVAN:Kapitola92011-09-11T10:15:22Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}<br />
\ll{potrozptyl}<br />
<br />
Rozptylový experiment je obvykle uspořádán tak, že proud částic s~dobře určenými vlastnostmi (hmota, energie, hybnost, \ldots) dopadá na nějaký <br />
objekt (tenká folie) či dokonce se sráží s~jiným proudem \cc{} a měří se charakteristiky rozptýlených \cc. Klasický popis takovýchto experimentů <br />
se provádí pomocí výpočtu drah daných pohybovými rovnicemi (viz např.~Rutherfordův rozptyl v~\cite[kap.~3.4]{sto:tf}). V~této kapitole popíšeme <br />
nejjednodušší popis rozptylu metodami kvantové mechaniky.<br />
<br />
První předpoklad je, že dosah vzájemné interakce \cc{} je mnohem menší než jsou charakteristické vzdálenosti částic v~terčovém objektu, takže problém <br />
rozptylu lze redukovat na interakci dvou \cc{} se známou interakcí popsanou potenciálem $V(\vex_1-\vex_2)$ s~konečným dosahem. Dále předpokládáme, že <br />
terč je dost tenký, takže nemusíme uvažovat vícenásobnou interakci. To nám umožňuje převést problém rozptylu na úlohu o~pohybu jedné \cc e <br />
(s~redukovanou hmotou) v~potenciálu $V(\vex)$.<br />
<br />
Dopadající \cc i můžeme popsat vlnovým balíkem $\psi_{\mathrm{in}}$ a s~grupovou rychlostí ve směru dopadu. Kvantově mechanický popis rozptylu pak spočívá <br />
především ve výpočtu pravděpodobnosti nalezení \cc e v~oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$.<br />
<br />
Proces rozptylu lze v~\qv é \mi ce popsat časovým vývojem stavu daného počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$, přičemž v~čase $t_0$ je interakce <br />
částic nulová. Je tedy třeba nalézt řešení časové \sv y rovnice s~počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$. Nalézt příslušné řešení \sv y rovnice se <br />
však obvykle nepodaří a je třeba se uchýlit k~aproximativním metodám. Ukážeme, že výše popsanou nestacionární úlohu lze převést na úlohu stacionární <br />
a některé důležité charakteristiky rozptylu lze získat ze znalosti zobecněných stacionárních stavů odpovídajících danému potenciálu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rozptyl \cc{} na přímce}<br />
\ll{rnap}<br />
Začněme s~nejjednodušším případem rozptylu bezspinových částic na přímce, kde jsou jen dva možné úhly rozptylu: totiž 0 a 180 stupňů. Po redukci úlohy <br />
dvou těles vede tento případ na problém časového vývoje vlnové \fc e v~jednorozměrném potenciálu, pro který navíc budeme předpokládat že má konečný dosah, <br />
tzn.~$V(x)=0$ pro $|x|>a$. Dopadající částici lokalizovanou v~čase $t_0$ v~okolí $x_0<-a$ můžeme dobře posat vlnovým balíkem<br />
\be<br />
\psi_{in}(x)=\psi_{x_0,p_0,\sigma_0}(x)= Ce^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} + i\frac{p_0}{\hbar}x},<br />
\ee<br />
kde $p_0>0$ a $\sigma_0$ je střední kvadratická odchylka souřadnice, která s~časem roste (viz cvičení \ref{casvmvb}). Čas počátku interakce $t_1$, tj.~čas, <br />
kdy \uv{okraj vlnového balíku} dospěje do oblasti interakce, lze definovat způsobem <br />
\be <br />
x_0 +2\sigma(t_1)+\frac{p_0}{M}(t_1-t_0)=-a.<br />
\ee<br />
Pro $t\in(t_0,t_1)$ se částice pohybuje téměř jako volná, přesněji, časový vývoj vlnového balíku se příliš neliší od<br />
\be<br />
\psi_0(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(p)e^{i\frac{p}{\hbar}x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)}dp, \ll{psi0xt}<br />
\ee<br />
kde<br />
\be<br />
F(p)=(2\pi\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\frac{p}{\hbar}x'} \psi(x',t_0)dx'= Ce^{-\sigma^2\frac{(p-p_0)^2}{\hbar^2} - i\frac{p}{\hbar}x_0},<br />
\ee<br />
<br />
Pro časy srovnatelné a větší než $t_1$, \rf{psi0xt} již nevystihuje ani přibližně skutečný časový vývoj dopadající \cc e, neboť je superposicí \fc í <br />
$e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}$, což jsou zobecněné vlastní stavy energie pouze pro $V=0$, zatímco pro $t\ge t_1$ se podstatným <br />
způsobem začne projevovat vliv potenciálu na řešení \sv y \rc e.<br />
<br />
Chceme-li dostat přesný časový vývoj funkce $\psi_{\mathrm{in}}$ musíme nahradit zobecněné vlastní \fc e $e^{i\frac{p}{\hbar}x}$ hamiltoniánu volné \cc e vlastními stavy<br />
%je dán rozkladem počátečního stavu podle zobecněných<br />
%vlastních stavů energie<br />
$\Phi_{p/\hbar}$ úplného hamiltoniánu, tj. \fc emi splňujícími bezčasovou \sv u rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\Phi_\frac{p}{\hbar}}{dx^2} + V\Phi_\frac{p}{\hbar}=E\Phi_\frac{p}{\hbar},\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr1dim} \ee<br />
%kde $V$ je rozptylující potenciál,<br />
takže časový vývoj \cc e je dán \fc í<br />
\be {\Large \fbox{$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\Phi_{p/\hbar}(x)dp. $}}\ll{psixt} \ee<br />
%V důsledku předpokládaného tvaru balíku %\rf{dopcce})<br />
Zde předpokládáme, že díky vlastnostem \fc e $F(p)$, nejdůležitější roli hraje oblast energií v okolí $\frac{p_0^2}{2M}$ a k časovému vývoji rozhodujícím způsobem přispějí tedy pouze stacionární stavy s kladnou energií.<br />
<br />
\special{src: 67 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro účely teorie rozptylu je vhodné zapsat \sv u rovnici \rf{bcsr1dim} v~integrálním (Lippmannově--Schwingerově) tvaru<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^\infty G_k(x-x')U(x')\Phi_k(x')dx',<br />
\ll{lipsch1}\ee<br />
kde<br />
\be U(x):=\frac{2M}{\hbar^2}V(x)\ee<br />
a $G_k(x)$ je Greenova \fc e bezčasové \sv y \rc e pro volnou jednorozměrnou \cc i<br />
splňující<br />
\be (\frac{d^2}{dx^2} + k^2)G_k(x)=\delta(x).\ll{rcegf}\ee<br />
<br />
\special{src: 78 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
\bc Ukažte, že \fc e %$G_k^{(+)}$<br />
\be G_k^{(+)}(x):=\frac{e^{ik|x|}}{2ik} \ll{grfbsr} \ee<br />
splňuje \rc i \rf{rcegf}<br />
přesněji<br />
\[ (G_k'',h)\equiv(G_k,h'') = -k^2(G_k,h) +h(0)<br />
\] pro $h\in{\cal S}(\R)$.<br />
\ec<br />
Pomocí \rf{rcegf} lze snadno ukázat, že $\Phi_k$ splňující \rf{lipsch1} jsou též řešením \rf{bcsr1dim}.<br />
<br />
\special{src: 89 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením explicitního tvaru Greenovy \fc e do \rf{lipsch1} dostaneme<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}(1+C(k,x)) +A(k,x)e^{-ikx} ,\ll{phikx}\ee<br />
kde<br />
\be A(k,x)=\int_x^a \frac{e^{ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx', \ll{akx}\ee<br />
\be C(k,x)=\int^x_{-a} \frac{e^{-ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx'. \ll{ckx}\ee<br />
Odtud je ihned vidět, že v oblasti nulového potenciálu je \fc e $\Phi_{\frac{p}{\hbar}}$ superposicí zobecněných vlastních \fc í hybnosti $e^{\pm i \frac{p}{\hbar}x}$.<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+A(k)e^{-ikx} {\rm\ pro\ } x < -a,\ll{phivlevo}\ee<br />
\be \Phi_k(x)=B(k)e^{ikx} {\rm\ pro\ } x > a,\ll{phivpravo}\ee<br />
kde $A(k):=A(k,-a)$, $B(k):=1+C(k,a)$.<br />
%\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx'}U(x')\Phi_k(x') dx',<br />
%\ll{koefak}\ee<br />
%\be B(k)=1+\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} %e^{-ikx'}U(x')\Phi_k(x')dx'.\ll{koefbk} \ee<br />
<br />
\special{src: 104 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením \rf{phikx} do \rf{psixt}, zjistíme, že vlnovou \fc i \cc e v libovolném čase je možno zapsat jako součet tří členů<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_A(x,t)+\psi_C(x,t).\ll{psi123}\ee<br />
První člen je dán vzorcem \rf{psi0xt} a<br />
představuje volně se pohybující vlnový balík s rychlostí $\frac{p_0}{M}$, o kterém víme, že absolutní hodnota vlnové funkce exponencielně klesá k nule <br />
všude kromě okolí $x_0+\frac{p_0}{M}t$ nacházející se pro $t\gg t_0$ v oblasti $x>a$.<br />
Mimo to, \fc e<br />
\be \psi_A(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)A(\frac{p}{\hbar},x) e^{-i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi1xt}\ee<br />
\be \psi_C(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)C(\frac{p}{\hbar},x) e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi2xt}\ee<br />
jsou nulové v oblastech $x>a$ resp. $x<-a$ a pomocí tzv.~Riemannovy-Lebesgueovy věty<br />
%{\em Pro $f\in L_1(\R)$, t.j.<br />
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(\xi)|{\rm d} \xi<\infty\ \Rightarrow\ \lim_{\tau\rightarrow\pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\tau\xi}{\rm d} \xi=0.$$<br />
%}\vskip 2mm \noindent<br />
lze dokázat, že funkce \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
konvergují k 0 pro $t\to\infty$ dokonce i v oblastech $x>-a$, resp. $x<a$. Transformací<br />
$p=\mp\sqrt{\xi}$ pro $p\lessgtr 0$ přejdou totiž pravé strany \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
na součet integrálů tvaru $$ \int_{0}^{\infty}g_x(\xi)e^{-i(t-t_0)\xi/(2M\hbar)}{\rm d} \xi,$$<br />
a o odpovídajících \fc ích $g_x(\xi)$ se dá ukázat, že pro $x>-a$, resp. $x<a$ leží v $L_1(\R)$,<br />
tj. splňují předpoklad Riemannovy-Lebesgueovy věty.<br />
Znamená to, že pro $t\to\infty$ je \fc e $\psi$ nenulová pouze pro $|x|>a $.<br />
<br />
\special{src: 121 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Veličiny, které nás z hlediska rozptylu zajímají především a které jsou experimentálně měřitelné, jsou tzv. koeficienty odrazu a průniku potenciálem<br />
\be R:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int^{-a}_{-\infty}|\psi(x,t)|^2dx} {\|\psi(t)\|^2},\ \<br />
P:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi(x,t)|^2dx} {\|\psi(t)\|^2},<br />
\ll{koefop} \ee<br />
udávající pravděpodobnosti, že za dost dlouhou dobu bude částice nalezena v oblasti \uv{před potenciálem} (odrazí se) či \uv{za potenciálem} (projde).<br />
Vzhledem k tomu, že pro $t\to\infty$ amplituda vlnové \fc e v oblasti potenciálu vymizí platí<br />
\be P+R=1.\ee<br />
Ukážeme, že k výpočtu těchto koeficientů nebude nakonec zapotřebí řešit pohybovou \sv u \rc i, nýbrž pouze její bezčasovou variantu určující stacionární stavy.<br />
<br />
\special{src: 132 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro $t\gg t_0$ je funkce $\psi$ superposicí dvou vlnových balíků pohybujících se přibližně rychlostmi $\pm\frac{p_0}{M}$. Z \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
\be \psi(x,t)=\psi_1(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[-px-\frac{p^2}{2M}(t-t_0)]}A(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x<-a ,\ll{psixtvlevo} \ee<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_2(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[px-\frac{p^2}{2M}t(t-t_0)]}B(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x>a .\ll{psixtvpravo} \ee<br />
<br />
\special{src: 138 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Všimněme si, že koeficienty $A(k),\ B(k)$ dané původně integrálními formulemi můžeme též určit řešením bezčasové \sv y \rc e \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami \rf{phivlevo} a \rf{phivpravo}. Nalezneme-li tedy řešení \rc e \rf{bcsr1dim} splňující tyto okrajové podmínky, pak koeficienty odrazu a průchodu potenciálem jsou dány vzorci \rf{koefop}, \rf{psixtvpravo} a \rf{psixtvlevo}.<br />
<br />
\special{src: 142 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro dopadající vlnové balíky s malou disperzí, tj. takové, že \fc e $F(p)$ je soustředěna v malém okolí $p_0$, kde \fc e $A(\frac{p}{\hbar}),B(\frac{p}{\hbar})$ lze nahradit jejich hodnotou v $\frac{p_0}{\hbar}$, dostaneme zvláště jednoduché vyjádření koeficientů odrazu a průniku.<br />
\[ P=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {\|\psi(t)\|^2}=\ \]<br />
\be=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_{-\infty}^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {\|\psi(t_0)\|^2}<br />
%|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\frac{||\psi_0(t_0)||^2dx} {||\psi(t_0)||^2}<br />
=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{pkoef}\ee<br />
kde jsme použili nezávislost normy stavu na čase a vymizení \fc e $\psi_0$ pro $t\to\infty,\ x<a$. Podobně<br />
\be R=|A(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{rkoef}\ee<br />
kde $p_0$ je hybnost dopadající částice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Tunelový jev pro pravoúhlou bariéru}<br />
Jako ilustraci použití předchozího postupu předvedeme výpočet koeficientů odrazu a průchodu potenciálem<br />
\be V(x)=0,\ \ {\rm pro}\ |x|>a,\ V(x)=V_0,\ \ {\rm pro}\ |x|<a. \ll{prabar}\ee<br />
Jako první krok je třeba řešit bezčasovou \sv u \rc i \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami.<br />
<br />
\special{src: 157 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Ze tvaru potenciálu a podmínek \rf{phivlevo}, \rf{phivpravo}<br />
ihned plyne, že<br />
\[ \Phi_k(x) =e^{ikx} +A(k)e^{-ikx} \ {\rm pro}\ x<-a, \]<br />
\be \Phi_k(x) = C(k)e^{ik'x} +D(k)e^{-ik'x} \ {\rm pro}\ -a<x<a, \ee<br />
\[ \Phi_k(x) = B(k)e^{ikx} \ {\rm pro}\ a<x, \]<br />
kde<br />
\be k^2=\frac{2ME}{\hbar^2},\ k'^2=\frac{2M(E-V_0)}{\hbar^2}\ee<br />
a $E$ je energie nalétávající \cc e $E>0,\ E>V_0$.<br />
<br />
\special{src: 168 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z podmínek spojitosti vlnové \fc e a její derivace v bodech $\pm a$ dostaneme soustavu čtyř lineárních nehomogenních rovnic pro koeficienty $A,B,C,D$. Vyloučením $C$ a $D$ dostaneme<br />
\be B(k)=e^{2ik'a}\left[e^{-2ika}+\frac{k'-k}{k'+k}A(k)\right],\ee<br />
\be A(k)=e^{-2ika}V_0 [2E-V_0+2i\sqrt{E(E-V_0)}\cot(2k'a)]^{-1}.\ee<br />
Dosazením do vzorců \rf{rkoef}, \rf{pkoef} pak dostaneme koeficienty odrazu a průchodu pravo\'uhlou bariérou \rf{prabar} pro \cc i s energií $E>0,\ E>V_0$<br />
\be R=\left[1+\frac{4E(E-V_0)}{V_0^2\sin^2(2k'a)}\right]^{-1}, \ll{rprabar}\ee<br />
\be P=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(2k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}. \ll{pprabar}\ee<br />
Tyto vzorce poskytují zajímavé srovnání s chováním klasické \cc e v témže potenciálu. Ta, pro $E>V_0$, bariérou vždy projde zatímco pro $E<V_0$ se vždy odrazí. Kvantová \cc e naopak projde s pravděpodobností 1 pouze pro $2k'a=\pi n$, neboli pro<br />
tzv. {\em resonanční energie}<br />
\be E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2}{8Ma^2}n^2,\ n\in \Z\setminus\{0\}.\ee<br />
(Porovnejte tyto energie s vlastními hodnotami energie v \uv{nekonečné potenciálové jámě} ze cvičení \ref{nekpoja}.) Mimo to se lze snadno přesvědčit, že uvedený postup nezávisí na znaménku $V_0$,<br />
%nepředpokládali, že $V_0>0$ plyne z \rf{rprabar}), \rf{rprabar}),<br />
takže dochází k odrazu dokonce i na potencálové jámě. Na druhé straně pro $E\gg V_0$ $P\approx 1$, takže tyto \qv é jevy přecházejí v klasické chování.<br />
<br />
Pro energie \cc e které jsou menší než \uv{výška bariéry} $0<E<V_0$ je $k'^2<0$ a ve formulích \rf{rprabar} a \rf{pprabar} je třeba zaměnit $\sin (2k'a)$ na $i\sinh|2k'a|$, takže např.<br />
\be P=\left[1-\frac{V_0^2\sinh^2|2k'a|}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}, \ll {pprabar2}\ee<br />
což pro $|2k'a|\gg 1$ (mohutné potenciálové bariéry) přejde na<br />
\be P\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-\sqrt{2M(V_0-E)}\frac{4a}{\hbar}}, \ee<br />
takže pravděpodobnost průchodu bariérou klesá exponencielně s její šířkou, nicméně je nenulová. Tomuto experimentálně pozorovanému faktu se říká tunelový jev.<br />
\bc Spočítejte koeficienty odrazu a průchodu pro $E=V_0>0$ a porovnejte je s \rf{pprabar} a \rf{pprabar2}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Prostorový rozptyl}<br />
Rozptyl \cc{} v 3--rozměrném prostoru se řeší analogicky, tedy analýzou časového vývoje počátečního stavu<br />
\be \psi_{in}(\vex)=\psi(\vex,t_0)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{i\vec p\vex/\hbar}d^3p, \ee<br />
representující vlnový balík soustředěný v oblasti, ve které je potenciál nulový a pohybující se grupovou rychlostí $\vec p_0/M$.<br />
<br />
\special{src: 192 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Časový vývoj vlnové \fc e opět popíšeme pomocí stacionárních stavů,<br />
$\Phi_{\vec p/\hbar}$, přesněji<br />
řešeními Lippmannovy--Schwingerovy \rc e v $\R^3$ %tvaru<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+\int_{\R^3}G_{\vec k}(\vex-\vex')U(\vex')\Phi_{\vec k}(\vex')d^3x',<br />
\ll{lipsch}\ee<br />
kde nyní<br />
\be G_{\vec k}(\vex)=-\frac{e^{i|\vec k||\vex|}}{4\pi|\vec x|}\ll{gfce3}\ee<br />
je Greenova \fc e 3--rozměrné bezčasové \sv y \rc e pro volnou částici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle =E\Phi,\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr} \ee<br />
splňující<br />
\be (\triangle + \vec k^2)G_{\vec k}(\vex)=\delta(\vex).<br />
\ee<br />
Dosadíme-li \rf{gfce3} do \rf{lipsch}, kde $U$ odpovídá potenciálu s konečným dosahem, tj. $U(\vex)=\frac{2M}{\hbar^2}V(\vex)=0$ pro $|\vex|>R$,<br />
%lze ukázat, (viz \cite{for:ukt} kap 4.2.1) že<br />
pak pro $|\vex|\gg R$<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+f(\vec \xi,\vec k)\frac{e^{i|\vec k||\vex| }}{|\vex|}, \ee<br />
kde $\vec \xi=\frac{\vex}{|\vex|}|\vec k|$ a<br />
\be f(\vec \xi,\vec k):=\frac{-1}{4\pi}\int_{\R^3}e^{-i\vec \xi\vex '} U(\vex ')\Phi_{\vec k}(\vex ') d^3x'.\ee<br />
<br />
\special{src: 213 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z Lippmannovy--Schwingerovy \rc e plyne, že časový vývoj vlnové \fc e<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}<br />
\Phi_{\vec p/\hbar}(\vex)d^3p\ll{psixt3} \ee<br />
lze zapsat jako součet (analogický \rf{psi123})<br />
\be \psi(\vex,t)=\psi_0(\vex,t)+\psi_R(\vex,t),\ee<br />
kde první člen představuje volně se pohybující vlnový balík<br />
zatímco druhý představuje rozptýlenou vlnu, která pro $t\gg t_0$<br />
exponencielně klesá k nule všude kromě tenké kulové slupky rozbíhající se z centra konstantní rychlostí.<br />
<br />
\special{src: 224 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Fyzikálně důležitá veličina pro prostorový rozptyl je {\bf diferenciální \'učinný průřez} $\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)$ definovaný jako počet částic, které se rozptýlí za jednotku času do jednotkového prostorového \'uhlu okolo $(\theta,\varphi)$ při jednotkové intenzitě dopadajících částic. V kvantové mechanice je tato veličina dána \pst í nalezení částice v oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$. Z Bornova interpretačního postulátu pak plyne, že<br />
\be {d\sigma}={d\Omega}\,\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty |\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2r^2dr \cdot \|\psi (t)\|^{-2}\ee<br />
Podobnými \'uvahami jako v podkapitole \ref{rnap} lze ukázat, že<br />
\be {\Large \fbox{$ \frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)=|f(\frac{\vec p_{\mathrm{out}}}{\hbar},\frac{\vec p_{\mathrm{in}}}{\hbar})|^2 $}}\ ,\ee<br />
kde $(\theta,\varphi)$ jsou sférické souřadnice vektoru $\vec p_{\mathrm{out}}$ v soustavě kde vektor $\vec p_{\mathrm{in}}$ směřuje ve směru $z$. (Analogií tohoto vzorce v jednorozměrném případě jsou \rf{rkoef}, \rf{pkoef}).</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola9&diff=437602KVAN:Kapitola92011-09-11T10:07:28Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}<br />
\ll{potrozptyl}<br />
<br />
Rozptylový experiment je obvykle uspořádán tak, že proud částic s~dobře určenými vlastnostmi (hmota, energie, hybnost, \ldots) dopadá na nějaký <br />
objekt (tenká folie) či dokonce se sráží s~jiným proudem \cc{} a měří se charakteristiky rozptýlených \cc. Klasický popis takovýchto experimentů <br />
se provádí pomocí výpočtu drah daných pohybovými rovnicemi (viz např.~Rutherfordův rozptyl v~\cite[kap.~3.4]{sto:tf}). V~této kapitole popíšeme <br />
nejjednodušší popis rozptylu metodami kvantové mechaniky.<br />
<br />
První předpoklad je, že dosah vzájemné interakce \cc{} je mnohem menší než jsou charakteristické vzdálenosti částic v~terčovém objektu, takže problém <br />
rozptylu lze redukovat na interakci dvou \cc{} se známou interakcí popsanou potenciálem $V(\vex_1-\vex_2)$ s~konečným dosahem. Dále předpokládáme, že <br />
terč je dost tenký, takže nemusíme uvažovat vícenásobnou interakci. To nám umožňuje převést problém rozptylu na úlohu o~pohybu jedné \cc e <br />
(s~redukovanou hmotou) v~potenciálu $V(\vex)$.<br />
<br />
Dopadající \cc i můžeme popsat vlnovým balíkem $\psi_{\mathrm{in}}$ a s~grupovou rychlostí ve směru dopadu. Kvantově mechanický popis rozptylu pak spočívá <br />
především ve výpočtu pravděpodobnosti nalezení \cc e v~oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$.<br />
<br />
Proces rozptylu lze v~\qv é \mi ce popsat časovým vývojem stavu daného počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$, přičemž v~čase $t_0$ je interakce <br />
částic nulová. Je tedy třeba nalézt řešení časové \sv y rovnice s~počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$. Nalézt příslušné řešení \sv y rovnice se <br />
však obvykle nepodaří a je třeba se uchýlit k~aproximativním metodám. Ukážeme, že výše popsanou nestacionární úlohu lze převést na úlohu stacionární <br />
a některé důležité charakteristiky rozptylu lze získat ze znalosti zobecněných stacionárních stavů odpovídajících danému potenciálu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rozptyl \cc{} na přímce}<br />
\ll{rnap}<br />
Začněme s~nejjednodušším případem rozptylu bezspinových částic na přímce, kde jsou jen dva možné úhly rozptylu: totiž 0 a 180 stupňů. Po redukci úlohy <br />
dvou těles vede tento případ na problém časového vývoje vlnové \fc e v~jednorozměrném potenciálu, pro který navíc budeme předpokládat že má konečný dosah, <br />
tzn.~$V(x)=0$ pro $|x|>a$. Dopadající částici lokalizovanou v~čase $t_0$ v~okolí $x_0<-a$ můžeme dobře posat vlnovým balíkem<br />
\be<br />
\psi_{in}(x)=\psi_{x_0,p_0,\sigma_0}(x)= Ce^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} + i\frac{p_0}{\hbar}x},<br />
\ee<br />
kde $p_0>0$ a $\sigma_0$ je střední kvadratická odchylka souřadnice, která s~časem roste (viz cvičení \ref{casvmvb}). Čas počátku interakce $t_1$, tj.~čas, <br />
kdy \uv{okraj vlnového balíku} dospěje do oblasti interakce, lze definovat způsobem <br />
\be <br />
x_0 +2\sigma(t_1)+\frac{p_0}{M}(t_1-t_0)=-a.<br />
\ee<br />
Pro $t\in(t_0,t_1)$ se částice pohybuje téměř jako volná, přesněji, časový vývoj vlnového balíku se příliš neliší od<br />
\be<br />
\psi_0(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(p)e^{i\frac{p}{\hbar}x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)}dp, \ll{psi0xt}<br />
\ee<br />
kde<br />
\be<br />
F(p)=(2\pi\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\frac{p}{\hbar}x'} \psi(x',t_0)dx'= Ce^{-\sigma^2\frac{(p-p_0)^2}{\hbar^2} - i\frac{p}{\hbar}x_0},<br />
\ee<br />
<br />
Pro časy srovnatelné a větší než $t_1$, \rf{psi0xt} již nevystihuje ani přibližně skutečný časový vývoj dopadající \cc e, neboť je superposicí \fc í <br />
$e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}$, což jsou zobecněné vlastní stavy energie pouze pro $V=0$, zatímco pro $t\ge t_1$ se podstatným <br />
způsobem začne projevovat vliv potenciálu na řešení \sv y \rc e.<br />
<br />
Chceme-li dostat přesný časový vývoj funkce $\psi_{in}$ musíme nahradit zobecněné vlastní \fc e $e^{i\frac{p}{\hbar}x}$ hamiltoniánu volné \cc e vlastními stavy<br />
%je dán rozkladem počátečního stavu podle zobecněných<br />
%vlastních stavů energie<br />
$\Phi_{p/\hbar}$ úplného hamiltoniánu, tj. \fc emi splňujícími bezčasovou \sv u rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\Phi_\frac{p}{\hbar}}{dx^2} + V\Phi_\frac{p}{\hbar}=E\Phi_\frac{p}{\hbar},\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr1dim} \ee<br />
%kde $V$ je rozptylující potenciál,<br />
takže časový vývoj \cc e je dán \fc í<br />
\be {\Large \fbox{$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\Phi_{p/\hbar}(x)dp. $}}\ll{psixt} \ee<br />
%V důsledku předpokládaného tvaru balíku %\rf{dopcce})<br />
Zde předpokládáme, že díky vlastnostem \fc e $F(p)$, nejdůležitější roli hraje oblast energií v okolí $\frac{p_0^2}{2M}$ a k časovému vývoji rozhodujícím způsobem přispějí tedy pouze stacionární stavy s kladnou energií.<br />
<br />
\special{src: 67 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro účely teorie rozptylu je vhodné zapsat \sv u rovnici \rf{bcsr1dim} v~integrálním (Lippmannově--Schwingerově) tvaru<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^\infty G_k(x-x')U(x')\Phi_k(x')dx',<br />
\ll{lipsch1}\ee<br />
kde<br />
\be U(x):=\frac{2M}{\hbar^2}V(x)\ee<br />
a $G_k(x)$ je Greenova \fc e bezčasové \sv y \rc e pro volnou jednorozměrnou \cc i<br />
splňující<br />
\be (\frac{d^2}{dx^2} + k^2)G_k(x)=\delta(x).\ll{rcegf}\ee<br />
<br />
\special{src: 78 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
\bc Ukažte, že \fc e %$G_k^{(+)}$<br />
\be G_k^{(+)}(x):=\frac{e^{ik|x|}}{2ik} \ll{grfbsr} \ee<br />
splňuje \rc i \rf{rcegf}<br />
přesněji<br />
\[ (G_k'',h)\equiv(G_k,h'') = -k^2(G_k,h) +h(0)<br />
\] pro $h\in{\cal S}(\R)$.<br />
\ec<br />
Pomocí \rf{rcegf} lze snadno ukázat, že $\Phi_k$ splňující \rf{lipsch1} jsou též řešením \rf{bcsr1dim}.<br />
<br />
\special{src: 89 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením explicitního tvaru Greenovy \fc e do \rf{lipsch1} dostaneme<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}(1+C(k,x)) +A(k,x)e^{-ikx} ,\ll{phikx}\ee<br />
kde<br />
\be A(k,x)=\int_x^a \frac{e^{ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx', \ll{akx}\ee<br />
\be C(k,x)=\int^x_{-a} \frac{e^{-ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')dx'. \ll{ckx}\ee<br />
Odtud je ihned vidět, že v oblasti nulového potenciálu je \fc e $\Phi_{\frac{p}{\hbar}}$ superposicí zobecněných vlastních \fc í hybnosti $e^{\pm i \frac{p}{\hbar}x}$.<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+A(k)e^{-ikx} {\rm\ pro\ } x<-a,\ll{phivlevo}\ee<br />
\be \Phi_k(x)=B(k)e^{ikx} {\rm\ pro\ } x>a,\ll{phivpravo}\ee<br />
kde $A(k):=A(k,-a)$, $B(k):=1+C(k,a)$.<br />
%\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx'}U(x')\Phi_k(x') dx',<br />
%\ll{koefak}\ee<br />
%\be B(k)=1+\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} %e^{-ikx'}U(x')\Phi_k(x')dx'.\ll{koefbk} \ee<br />
<br />
\special{src: 104 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením \rf{phikx} do \rf{psixt}, zjistíme, že vlnovou \fc i \cc e v libovolném čase je možno zapsat jako součet tří členů<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_A(x,t)+\psi_C(x,t).\ll{psi123}\ee<br />
První člen je dán vzorcem \rf{psi0xt} a<br />
představuje volně se pohybující vlnový balík s rychlostí $\frac{p_0}{M}$, o kterém víme, že absolutní hodnota vlnové funkce exponencielně klesá k nule všude kromě okolí $x_0+\frac{p_0}{M}t$ nacházející se pro $t\gg t_0$ v oblasti $x>a$.<br />
Mimo to, \fc e<br />
\be \psi_A(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)A(\frac{p}{\hbar},x) e^{-i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi1xt}\ee<br />
\be \psi_C(x,t):=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)C(\frac{p}{\hbar},x) e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi2xt}\ee<br />
jsou nulové v oblastech $x>a$ resp. $x<-a$ a pomocí tzv.~Riemannovy-Lebesgueovy věty<br />
%{\em Pro $f\in L_1(\R)$, t.j.<br />
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(\xi)|{\rm d} \xi<\infty\ \Rightarrow\ {\rm lim}_{\tau\rightarrow\pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\tau\xi}{\rm d} \xi=0.$$<br />
%}\vskip 2mm \noindent<br />
lze dokázat, že funkce \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
konvergují k 0 pro $t\lim\infty$ dokonce i v oblastech $x>-a$, resp. $x<a$. Transformací<br />
$p=\mp\sqrt{\xi}$ pro $p\lessgtr 0$ přejdou totiž pravé strany \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
na součet integrálů tvaru $$ \int_{0}^{\infty}g_x(\xi)e^{-i(t-t_0)\xi/(2M\hbar)}{\rm d} \xi,$$<br />
a o odpovídajících \fc ích $g_x(\xi)$ se dá ukázat, že pro $x>-a$, resp. $x<a$ leží v $L_1(\R)$,<br />
tj. splňují předpoklad Riemannovy-Lebesgueovy věty.<br />
Znamená to, že pro $t\lim\infty$ je \fc e $\psi$ nenulová pouze pro $|x|>a $.<br />
<br />
\special{src: 121 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Veličiny, které nás z hlediska rozptylu zajímají především a které jsou experimentálně měřitelné, jsou tzv. koeficienty odrazu a průniku potenciálem<br />
\be R:=lim_{t \-> \infty}\frac{\int^{-a}_{-\infty}|\psi(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2},\ \<br />
P:=lim_{t \-> \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2},<br />
\ll{koefop} \ee<br />
udávající pravděpodobnosti, že za dost dlouhou dobu bude částice nalezena v oblasti "před potenciálem" (odrazí se) či "za potenciálem" (projde).<br />
Vzhledem k tomu, že pro $t\lim\infty$ amplituda vlnové \fc e v oblasti potenciálu vymizí platí<br />
\be P+R=1.\ee<br />
Ukážeme, že k výpočtu těchto koeficientů nebude nakonec zapotřebí řešit pohybovou \sv u \rc i, nýbrž pouze její bezčasovou variantu určující stacionární stavy.<br />
<br />
\special{src: 132 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro $t\gg t_0$ je funkce $\psi$ superposicí dvou vlnových balíků pohybujících se přibližně rychlostmi $\pm\frac{p_0}{M}$. Z \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
\be \psi(x,t)=\psi_1(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[-px-\frac{p^2}{2M}(t-t_0)]}A(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x<-a ,\ll{psixtvlevo} \ee<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_2(x,t)=\int_{-\infty}^\infty dp F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[px-\frac{p^2}{2M}t(t-t_0)]}B(\frac{p}{\hbar})\ {\rm pro}\ x>a .\ll{psixtvpravo} \ee<br />
<br />
\special{src: 138 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Všimněme si, že koeficienty $A(k),\ B(k)$ dané původně integrálními formulemi můžeme též určit řešením bezčasové \sv y \rc e \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami \rf{phivlevo} a \rf{phivpravo}. Nalezneme-li tedy řešení \rc e \rf{bcsr1dim} splňující tyto okrajové podmínky, pak koeficienty odrazu a průchodu potenciálem jsou dány vzorci \rf{koefop}, \rf{psixtvpravo} a \rf{psixtvlevo}.<br />
<br />
\special{src: 142 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro dopadající vlnové balíky s malou disperzí, tj. takové, že \fc e $F(p)$ je soustředěna v malém okolí $p_0$, kde \fc e $A(\frac{p}{\hbar}),B(\frac{p}{\hbar})$ lze nahradit jejich hodnotou v $\frac{p_0}{\hbar}$, dostaneme zvláště jednoduché vyjádření koeficientů odrazu a průniku.<br />
\[ P=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {||\psi(t)||^2}=\ \]<br />
\be=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_{-\infty}^\infty|\psi_0(x,t)|^2dx} {||\psi(t_0)||^2}<br />
%|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\frac{||\psi_0(t_0)||^2dx} {||\psi(t_0)||^2}<br />
=|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{pkoef}\ee<br />
kde jsme použili nezávislost normy stavu na čase a vymizení \fc e $\psi_0$ pro $t\to\infty,\ x<a$. Podobně<br />
\be R=|A(\frac{p_0}{\hbar})|^2,\ll{rkoef}\ee<br />
kde $p_0$ je hybnost dopadající částice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Tunelový jev pro pravoúhlou bariéru}<br />
Jako ilustraci použití předchozího postupu předvedeme výpočet koeficientů odrazu a průchodu potenciálem<br />
\be V(x)=0,\ \ {\rm pro}\ |x|>a,\ V(x)=V_0,\ \ {\rm pro}\ |x|<a. \ll{prabar}\ee<br />
Jako první krok je třeba řešit bezčasovou \sv u \rc i \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami.<br />
<br />
\special{src: 157 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Ze tvaru potenciálu a podmínek \rf{phivlevo}, \rf{phivpravo}<br />
ihned plyne, že<br />
\[ \Phi_k(x) =e^{ikx} +A(k)e^{-ikx} \ {\rm pro}\ x<-a, \]<br />
\be \Phi_k(x) = C(k)e^{ik'x} +D(k)e^{-ik'x} \ {\rm pro}\ -a<x<a, \ee<br />
\[ \Phi_k(x) = B(k)e^{ikx} \ {\rm pro}\ a<x, \]<br />
kde<br />
\be k^2=\frac{2ME}{\hbar^2},\ k'^2=\frac{2M(E-V_0)}{\hbar^2}\ee<br />
a $E$ je energie nalétávající \cc e $E>0,\ E>V_0$.<br />
<br />
\special{src: 168 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z podmínek spojitosti vlnové \fc e a její derivace v bodech $\pm a$ dostaneme soustavu čtyř lineárních nehomogenních rovnic pro koeficienty $A,B,C,D$. Vyloučením $C$ a $D$ dostaneme<br />
\be B(k)=e^{2ik'a}\left[e^{-2ika}+\frac{k'-k}{k'+k}A(k)\right],\ee<br />
\be A(k)=e^{-2ika}V_0 [2E-V_0+2i\sqrt{E(E-V_0)}\cot(2k'a)]^{-1}.\ee<br />
Dosazením do vzorců \rf{rkoef}, \rf{pkoef} pak dostaneme koeficienty odrazu a průchodu pravo\'uhlou bariérou \rf{prabar} pro \cc i s energií $E>0,\ E>V_0$<br />
\be R=\left[1+\frac{4E(E-V_0)}{V_0^2\sin^2(2k'a)}\right]^{-1}, \ll{rprabar}\ee<br />
\be P=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(2k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}. \ll{pprabar}\ee<br />
Tyto vzorce poskytují zajímavé srovnání s chováním klasické \cc e v témže potenciálu. Ta, pro $E>V_0$, bariérou vždy projde zatímco pro $E<V_0$ se vždy odrazí. Kvantová \cc e naopak projde s pravděpodobností 1 pouze pro $2k'a=\pi n$, neboli pro<br />
tzv. {\em resonanční energie}<br />
\be E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2}{8Ma^2}n^2,\ n\in \Z\setminus\{0\}.\ee<br />
(Porovnejte tyto energie s vlastními hodnotami energie v \uv{nekonečné potenciálové jámě} ze cvičení \ref{nekpoja}.) Mimo to se lze snadno přesvědčit, že uvedený postup nezávisí na znaménku $V_0$,<br />
%nepředpokládali, že $V_0>0$ plyne z \rf{rprabar}), \rf{rprabar}),<br />
takže dochází k odrazu dokonce i na potencálové jámě. Na druhé straně pro $E\gg V_0$ $P\approx 1$, takže tyto \qv é jevy přecházejí v klasické chování.<br />
<br />
Pro energie \cc e které jsou menší než \uv{výška bariéry} $0<E<V_0$ je $k'^2<0$ a ve formulích \rf{rprabar} a \rf{pprabar} je třeba zaměnit $\sin (2k'a)$ na $i\sinh|2k'a|$, takže např.<br />
\be P=\left[1-\frac{V_0^2\sinh^2|2k'a|}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}, \ll {pprabar2}\ee<br />
což pro $|2k'a|\gg 1$ (mohutné potenciálové bariéry) přejde na<br />
\be P\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-\sqrt{2M(V_0-E)}\frac{4a}{\hbar}}, \ee<br />
takže pravděpodobnost průchodu bariérou klesá exponencielně s její šířkou, nicméně je nenulová. Tomuto experimentálně pozorovanému faktu se říká tunelový jev.<br />
\bc Spočítejte koeficienty odrazu a průchodu pro $E=V_0>0$ a porovnejte je s \rf{pprabar} a \rf{pprabar2}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Prostorový rozptyl}<br />
Rozptyl \cc{} v 3--rozměrném prostoru se řeší analogicky, tedy analýzou časového vývoje počátečního stavu<br />
\be \psi_{in}(\vex)=\psi(\vex,t_0)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{i\vec p\vex/\hbar}d^3p, \ee<br />
representující vlnový balík soustředěný v oblasti, ve které je potenciál nulový a pohybující se grupovou rychlostí $\vec p_0/M$.<br />
<br />
\special{src: 192 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Časový vývoj vlnové \fc e opět popíšeme pomocí stacionárních stavů,<br />
$\Phi_{\vec p/\hbar}$, přesněji<br />
řešeními Lippmannovy--Schwingerovy \rc e v $\R^3$ %tvaru<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+\int_{\R^3}G_{\vec k}(\vex-\vex')U(\vex')\Phi_{\vec k}(\vex')d^3x',<br />
\ll{lipsch}\ee<br />
kde nyní<br />
\be G_{\vec k}(\vex)=-\frac{e^{i|\vec k||\vex|}}{4\pi|\vec x|}\ll{gfce3}\ee<br />
je Greenova \fc e 3--rozměrné bezčasové \sv y \rc e pro volnou částici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle =E\Phi,\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr} \ee<br />
splňující<br />
\be (\triangle + \vec k^2)G_{\vec k}(\vex)=\delta(\vex).<br />
\ee<br />
Dosadíme-li \rf{gfce3} do \rf{lipsch}, kde $U$ odpovídá potenciálu s konečným dosahem, tj. $U(\vex)=\frac{2M}{\hbar^2}V(\vex)=0$ pro $|\vex|>R$,<br />
%lze ukázat, (viz \cite{for:ukt} kap 4.2.1) že<br />
pak pro $|\vex|\gg R$<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+f(\vec \xi,\vec k)\frac{e^{i|\vec k||\vex| }}{|\vex|}, \ee<br />
kde $\vec \xi=\frac{\vex}{|\vex|}|\vec k|$ a<br />
\be f(\vec \xi,\vec k):=\frac{-1}{4\pi}\int_{\R^3}e^{-i\vec \xi\vex '} U(\vex ')\Phi_{\vec k}(\vex ') d^3x'.\ee<br />
<br />
\special{src: 213 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z Lippmannovy--Schwingerovy \rc e plyne, že časový vývoj vlnové \fc e<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}<br />
\Phi_{\vec p/\hbar}(\vex)d^3p\ll{psixt3} \ee<br />
lze zapsat jako součet (analogický \rf{psi123})<br />
\be \psi(\vex,t)=\psi_0(\vex,t)+\psi_R(\vex,t),\ee<br />
kde první člen představuje volně se pohybující vlnový balík<br />
zatímco druhý představuje rozptýlenou vlnu, která pro $t\gg t_0$<br />
exponencielně klesá k nule všude kromě tenké kulové slupky rozbíhající se z centra konstantní rychlostí.<br />
<br />
\special{src: 224 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Fyzikálně důležitá veličina pro prostorový rozptyl je {\bf diferenciální \'učinný průřez} $\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)$ definovaný jako počet částic, které se rozptýlí za jednotku času do jednotkového prostorového \'uhlu okolo $(\theta,\varphi)$ při jednotkové intenzitě dopadajících částic. V kvantové mechanice je tato veličina dána \pst í nalezení částice v oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$. Z Bornova interpretačního postulátu pak plyne, že<br />
\be {d\sigma}={d\Omega}\,\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty |\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2r^2dr \cdot \|\psi (t)\|^{-2}\ee<br />
Podobnými \'uvahami jako v podkapitole \ref{rnap} lze ukázat, že<br />
\be {\Large \fbox{$ \frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\varphi)=|f(\frac{\vec p_{\mathrm{out}}}{\hbar},\frac{\vec p_{\mathrm{in}}}{\hbar})|^2 $}}\ ,\ee<br />
kde $(\theta,\varphi)$ jsou sférické souřadnice vektoru $\vec p_{\mathrm{out}}$ v soustavě kde vektor $\vec p_{\mathrm{in}}$ směřuje ve směru $z$. (Analogií tohoto vzorce v jednorozměrném případě jsou \rf{rkoef}, \rf{pkoef}).</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=437502KVAN:Header2011-09-11T09:54:36Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\eqref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-kety, střední hodnoty atd...<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
\newcommand{\mean}[2]{\langle#1\rangle_{#2}}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola8&diff=437402KVAN:Kapitola82011-09-11T09:52:23Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}<br />
<br />
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u~velmi omezeného počtu fyzikálně <br />
zajímavých případů. Některé z~nich jsme již uvedli: energie harmonického oscilátoru, energie \cc e v~Coulombově poli, moment hybnosti. Pro <br />
mnohé další případy se musíme většinou uchýlit k~přibližným metodám. Jednou z~nich je tzv.~poruchová teorie, kterou popíšeme v~následujících <br />
podkapitolách. Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde spektrum <br />
operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v~nějakém smyslu považovat za malou opravu --- \uv{poruchu} --- <br />
operátoru $\hat A$.<br />
<br />
Přesněji, nechť $\hat A$ a $\hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor<br />
\be \hat A + \epsilon\hat B, \ll{aeb} \ee<br />
kde $\epsilon$ leží v~okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v~závislosti na parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně <br />
nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou vlastní čísla a funkce blížit k~odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a <br />
pro $\epsilon\rightarrow 1$ za příznivých okolností též k~vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech, jako <br />
je např.~Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.<br />
<br />
Než přejdeme k~výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených předpokladů. Nechť $\lambda(\epsilon)$, $\lambda_K^{(0)}$ a <br />
$\psi(\epsilon)$, $\psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$<br />
\be<br />
(\hat A + \epsilon\hat B ) \psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon) \psi(\epsilon), \ \ <br />
\hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}.<br />
\ll{apsilam}<br />
\ee<br />
Odtud snadno dostaneme<br />
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\Delta\psi_K = (\Delta\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon), \ll{startpm} \ee<br />
kde<br />
\be \Delta\psi_K = \psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \Delta\lambda_K = \lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}. \ee<br />
Vynásobíme-li skalárně rovnost \rf{startpm} funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost <br />
v~\rf{apsilam}, dostaneme<br />
\be<br />
(\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\Delta\psi_K) <br />
= \Delta\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).<br />
\ll{dpsieps}<br />
\ee<br />
Pro $J=K$ odtud plyne<br />
\be \Delta\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon)) = \epsilon(\psi_K^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)). \ll{dlameps} \ee<br />
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu. Jako první rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové <br />
spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}<br />
<br />
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s~navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$. Odpovídající vlastní funkce označme <br />
$\psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A + \epsilon\hat B$ napsat jako <br />
nekonečnou řadu v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na <br />
$\hat A$, lze očekávat, že <br />
\be \lambda(\epsilon) = \lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\cdots \ll{lamep} \ee<br />
\be \psi(\epsilon) = \psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\cdots \ll{psiep} \ee<br />
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep} a \rf{psiep} a odtud usoudit na konvergenci či dokonce provést <br />
součet. V~praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů, jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají <br />
experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep} a \rf{psiep} do <br />
\rf{dpsieps} a \rf{dlameps}. Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dlameps} zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední <br />
hodnota operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$<br />
\be \lambda_k^{(1)} = \mean{\hat B}{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc} \ee<br />
Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dpsieps} dostaneme<br />
\be<br />
(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)}) = \frac{ (\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)}) }{ \lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)} }, \ \ j \neq k, \ll{1oprvlf} \ee<br />
odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je<br />
\be<br />
\psi_k^{(1)} <br />
= \gamma \psi_k^{(0)} <br />
+ \sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},<br />
\ll{1oprvlfce}<br />
\ee<br />
kde<br />
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce $\psi(\epsilon)$.<br />
<br />
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v~$\epsilon$ vypočteme porovnáním členů \rf{dlameps} u~druhé mocniny $\epsilon$<br />
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}<br />
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}<br />
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v~druhém rovnítku jsme<br />
použili vztahy \rf{1oprvlc}, \rf{1oprvlfce}.<br />
<br />
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel<br />
formule jsou pak již tak komplikované, že pro většinu případů jsou prakticky nepoužitelné. Použijeme-li však<br />
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)<br />
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\Delta\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee<br />
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů \rf{dlameps} a \rf{dpsieps} u~s-té mocniny<br />
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace<br />
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}<br />
\lambda_k^{(s)}=\frac{(\psi_k^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})}{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation}\label{oprvlcvlf2}<br />
\psi_k^{(s)}=\sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})-<br />
\sum_{r=1}^{s-1}\lambda_k^{(r)}(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(s-r)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}\psi_j^{(0)},<br />
\end{equation}<br />
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.<br />
<br />
\bc<br />
Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$<br />
(harmonický oscilátor v~homogenním poli).<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e v~potenciálu<br />
\[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \]<br />
(Anharmonický oscilátor.)<br />
\ec<br />
<br />
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla}<br />
V~předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat <br />
pro \textbf{konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v~případě, kdy vlastní \fc e příslušné k~číslu <br />
$\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální baze v~prostoru vlastních \fc í <br />
operátoru $\hat A$ příslušných k~vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.<br />
<br />
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v~obecném případě změní i vlastní čísla a jejich násobnost. Opět <br />
budeme předpokládat, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu <br />
v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence, takže vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro <br />
$\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k~$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako<br />
\be \lambda_{k,n}(\epsilon) = \lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{lamepdg} \ee<br />
a<br />
\be \psi_{k,n}(\epsilon) = \psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{psiepdg} \ee<br />
kde $ \ n=1,\ldots,N$.<br />
<br />
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)} = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného<br />
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou<br />
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %<br />
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady \rf{lamepdg}, \rf{psiepdg} do úlohy pro<br />
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první<br />
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B<br />
\psi_{k,n}^{(0)}=\lambda_{k,n}^{(0)}\psi_{k,n}^{(1)}+ \lambda_{k,n}^{(1)}\psi_{k,n}^{(0)}. \ll{1raddg}\ee<br />
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že<br />
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =<br />
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem \rf{psipresf} a využijeme ortonormálnost<br />
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N<br />
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be<br />
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak<br />
dostaneme z~řešení úlohy \rf{matvlc}, tedy jako kořeny sekulární rovnice<br />
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee<br />
Řešením úlohy \rf{matvlc} pak dostaneme též koeficienty $a_{kn,i}$, které určují \uv{nultou opravu} $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí <br />
$\psi_{k,n}(\epsilon)$. Výpočet dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět.<br />
<br />
\subsubsection{Starkův jev na vodíku}<br />
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole. Elektron v~atomu vodíku v~homogenním <br />
elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat hamiltoniánem<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vec x. \ee<br />
Pro slabé elektrické pole tj.~$\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2} \gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední<br />
člen považovat za malou opravu předchozí části hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti vnějšího elektrického pole. <br />
Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z~podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme, že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou <br />
degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro degenerované spektrum.<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ <br />
hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku <br />
$E_k=-R/k^2$ v~závislosti na síle elektrického pole $\epsilon$.<br />
<br />
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k~$E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem \rf{nlmcoul}, kde $N=k$. Matice $B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty, <br />
představují první opravy energie má v~tomto případě elementy<br />
\[ B_{ji} \equiv B_{lm,l'm'} = e (\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'}) = \]<br />
\be = e \int R_{kl}^*(r)R_{kl'}(r)r^3dr \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega. \ll{starkmatel} \ee<br />
Druhý integrál je roven (viz např.~\cite[G.29]{for:ukt})<br />
\be<br />
\int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega <br />
= \delta_{mm'} \left( \delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}} \right), \ll{YzzY}<br />
\ee<br />
takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro $m=m'$ a $l'=l \pm 1$. Výpočet prvního integrálu v~\rf{starkmatel} je obecně dosti složitý <br />
a proto se omezíme na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a <br />
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v~$\epsilon$ nezmění. Pro první excitovanou hladinu je <br />
$k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v~důsledku \rf{YzzY} jsou<br />
\be e (\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200}) = e (\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee<br />
Matice $B_{ij}$ v~tomto případě má tvar<br />
\be B = \left( \begin{array}{cccc} 0&0&-3ea&0\\0&0&0&0\\-3ea&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array} \right), \ee<br />
a kořeny sekulární rovnice \rf{sekub} jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná, <br />
se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s hodnotami $-3,4$ eV a $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$ <br />
je Bohrův poloměr vodíku $a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4$eV <br />
zůstane degenerovaná i v~elektrickém poli, avšak pouze dvakrát --- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor lineárních kombinací <br />
$a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$ jsou již nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e <br />
$a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$ jsou normalizované k~jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná <br />
intenzitě elektrického pole. Podobně se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá <br />
(lineární) Starkův jev.<br />
<br />
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec<br />
\bc Existuje lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz<br />
Podrobnosti k~této části viz \cite[kap.~10.6]{for:ukt}. Atomy se skládají z~kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem <br />
k~rozdílu hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s~dobrou<br />
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} --- elektronů --- pohybujících se v~potenciálovém<br />
poli jádra.<br />
<br />
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Zabývejme se tedy atomem s~atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících<br />
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\triangle_j -<br />
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}<br />
\frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}. \ll{hamatob}\ee<br />
<br />
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v~\rf{hamatob}<br />
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu \rf{hamatob} je prakticky<br />
nemožné. Ukazuje se však, že stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací<br />
jednočásticových vlnových \fc í v~poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv.~Hartreeho<br />
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.<br />
<br />
\special{src: 366 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Předpokládejme, že jsou známy polohy všech elektronů obalu atomu kromě j-tého. Hamiltonián j-tého elektronu pak<br />
má tvar \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|}<br />
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z \frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}, \ll{hamatj}\ee kde $\vex_k,\ k\neq j$<br />
jsou parametry hamiltoniánu. Tento předpoklad však bohužel není splněn, neboť polohy všech elektronů jsou<br />
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.<br />
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián<br />
\rf{hamatj} nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j -<br />
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z<br />
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v~tom, že funkce<br />
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat<br />
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v<br />
\rf{hamatj2} se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.<br />
<br />
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Hartreeho metoda spočívá v~iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,<br />
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v~prvním kroku dosazeny do<br />
\ha nu \rf{hamatj2}, přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním<br />
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be<br />
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2} a tento postup se<br />
opakuje tak dlouho až $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat<br />
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee<br />
<br />
\special{src: 391 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Mimo to se obvykle při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen<br />
\rf{hamatj2} vystředuje přes prostorové úhly, tzn.~nahradí se členem \be<br />
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j d\theta_j d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z<br />
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto<br />
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be<br />
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee<br />
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v~odpudivém<br />
elektrostatickém poli ostatních.<br />
<br />
\special{src: 403 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
<br />
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Vlnovou \fc i atomového obalu Z~proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např.~jako Slaterův determinant \rf{slaterd},<br />
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.<br />
<br />
\special{src: 410 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Celková vnitřní energie atomu ve výše uvedené aproximaci je součtem energií jednotlivých elektronů obalu \be<br />
E_{atom}=\sum_{j=1}^Z E_{n_j,l_j}.\ee<br />
<br />
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl} nezávisí na projekci spinu ani magnetickém<br />
kvantovém čísle $m$ má každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a<br />
$l_j$ tvoří tzv.~\emph{slupky atomu}. Z~Pauliho principu plyne, že \emph{žádná energetická slupka nemůže být<br />
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.<br />
<br />
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro atomy v~základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie<br />
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř<br />
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[<br />
E_{10}<<E_{20}<E_{21}<<E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}<<(E_{50},E_{42})<E_{51}<<\cdots \] Energie uvedené<br />
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $<<$<br />
jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s~největší energií (klasicky:<br />
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v~základním stavu mají \uv{obsazené} energie stejných skupin tvoří periody<br />
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v~jednotlivých skupinách 2, 8, 8, 18, 18,...<br />
odpovídají délkám period.<br />
<br />
\bc<br />
Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém <br />
poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?<br />
\ec</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola7&diff=437302KVAN:Kapitola72011-09-05T07:19:52Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Systémy více částic}<br />
<br />
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních <br />
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, <br />
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. <br />
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.<br />
<br />
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém <br />
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých <br />
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě <br />
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme <br />
rozlišitelné.<br />
<br />
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. <br />
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou <br />
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}<br />
<br />
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení <br />
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc<br />
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných <br />
týkajících se jednotlivých \cc.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}<br />
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou <br />
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt <br />
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i <br />
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} <br />
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ <br />
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.<br />
<br />
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í <br />
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na <br />
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá <br />
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.<br />
<br />
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci<br />
\[<br />
\psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x)<br />
\]<br />
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}<br />
\[<br />
\mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x).<br />
\]<br />
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že<br />
\[<br />
L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x)<br />
\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N,<br />
\]<br />
kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze <br />
v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde<br />
\[<br />
e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)<br />
\]<br />
je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$.<br />
<br />
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn.<br />
\[<br />
\hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit<br />
\]<br />
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice<br />
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem <br />
lze definovat vícečásticové operátory.<br />
<br />
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba <br />
výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle <br />
$\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem <br />
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$.<br />
\[<br />
\hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.<br />
\]<br />
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem<br />
\be<br />
(\psi,\phi)<br />
:= \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}<br />
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
d^{3N}x.<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar<br />
\[<br />
\hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).<br />
\]<br />
Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}<br />
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na <br />
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme <br />
napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.<br />
<br />
Zavedením nových proměnných<br />
\be<br />
\vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2<br />
\ll{nsour}<br />
\ee<br />
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru<br />
\be<br />
L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).<br />
\ee<br />
Kanonicky sdružené hybnosti jsou<br />
\begin{align}<br />
\vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\<br />
\vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}<br />
\end{align}<br />
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí<br />
\be<br />
H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).<br />
\ee<br />
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště <br />
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.<br />
<br />
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako <br />
\fc i nových souřadnic<br />
\be<br />
\Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),<br />
\ee<br />
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\<br />
\frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}<br />
\end{align}<br />
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.<br />
<br />
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc<br />
\be<br />
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)<br />
\ee<br />
transformací \rf{nsour} přejde na tvar<br />
\be<br />
\hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex),<br />
\ee<br />
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a druhá <br />
je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.<br />
<br />
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro Rydbergovu <br />
energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se <br />
zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Skládání momentů hybnosti}<br />
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}<br />
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}<br />
\def\hj{{\hat J}}<br />
V klasické \mi ce je<br />
moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, t.j.<br />
vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro<br />
kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce<br />
momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze<br />
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy<br />
složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost<br />
problému skládání momentů hybnosti narůstá s počtem složek a proto<br />
se v dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve<br />
vlastních stavu momentu hybnosti, t.j. společném vlastním stavu<br />
$\hat L^2$ a $\hat L_z$.<br />
<br />
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic pro<br />
které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti %$\vec L^2, \ L_z$<br />
$l_1(l_1+1)\hbar^2,m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2,m_2\hbar$. Znamená<br />
to tedy, že první z \cc{} mohu přiřadit \fc i<br />
$\psi_{a_1,l_1,m_1}\equiv|a_1,l_1,m_1>$<br />
a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2}\equiv|a_2,l_2,m_2>$, kde hodnoty $a_1,a_2$<br />
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s<br />
$\hat L^2$ a $\hat L_z$, např. celkové energie. Stav celého sytému<br />
pak můžeme popsat vlnovou \fc í<br />
$$\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\otimes\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)<br />
=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).$$<br />
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme<br />
této funkci přiřadit ket $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ pro který<br />
platí \begin{eqnarray}<br />
(\lj)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm1}\\<br />
(\l2)^2 |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm2}\\<br />
\lj_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_1\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2> \label{lmlm3}\\<br />
\l2_z |l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>&=& m_2\hbar|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>.\label{lmlm4}<br />
\end{eqnarray} Pro dané $l_1,l_2$ (a $a_1,a_2$) tvoří tyto stavy<br />
podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit<br />
{\bf hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s jakou \pst í?<br />
<br />
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence<br />
přiřadíme operátory $\hat J_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze<br />
na funkce v proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v<br />
proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$<br />
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat J_k,\hat<br />
J_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z~podkapitoly \ref{atmh} pak<br />
plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat J_z$ mohou<br />
mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$<br />
jsou (polo)celá čísla, $|m|\leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be<br />
[\hat J_k,(\lj)^2]=0,\ \ [\hat J_k,(\l2)^2]=0, \ee takže operátory<br />
$(\lj)^2,\,(\l2)^2,\,\hat J^2,\,\hat J_z$ vzájemně komutují a mohou<br />
(spolu s dalšími operátory) být součástí úplné množiny<br />
pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $|l_1,l_2,j,m>$ ket,<br />
který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, že<br />
splňuje rovnice \begin{eqnarray}<br />
(\lj)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_1(l_1+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm1}\\<br />
(\l2)^2 |l_1,l_2,j,m>&=& l_2(l_2+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm2} \\<br />
\hj^2 |l_1,l_2,j,m>&=& j(j+1)\hbar^2|l_1,l_2,j,m> \label{lljm3} \\<br />
\hj_z |l_1,l_2,j,m>&=& m\hbar|l_1,l_2,j,m>.\label{lljm4}<br />
\end{eqnarray} Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji,<br />
sestavit je ze stavů $|l_1,m_1>\otimes \, |l_2,m_2>$ popisujících<br />
momenty hybnosti jednotlivých \cc.<br />
<br />
V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $|l_1,l_1>\otimes \,<br />
|l_2,l_2>$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro<br />
$j=m=l_1+l_2$. Rovnice \rf{lljm1},\rf{lljm2} se shodují s<br />
\rf{lmlm1},\rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým<br />
důsledkem \rf{lmlm1},\rf{lmlm2}. K odvození \rf{lljm3} se<br />
hodí formule \begin{equation}\label{jjll}<br />
\hj^2=\hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2=(\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,<br />
\end{equation}kterou lze snadno odvodit z definice posunovacích<br />
operátorů $L_\pm$. Znamená to tedy, že $|l_1,l_1>\otimes \,<br />
|l_2,l_2>=|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$<br />
<br />
Ze stavu $|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2>$ nyní můžeme snadno vytvořit<br />
$2(l_1+l_2)+1$ stavů $|l_1,l_2,l_1+l_2,m>$ kde $<br />
m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2$ působením posunovacích operátorů<br />
$J_\pm=J_1\pm iJ_2=\lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří tzv.<br />
ireducibilní reprezentaci algebry $su(2)$.)<br />
<br />
V dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy<br />
$|l_1,l_2,j,m>$ s $j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů<br />
$|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>$ a $|l_1,l_1-1>\otimes \,<br />
|l_2,l_2>$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.<br />
Jeden z nich je\begin{eqnarray}<br />
|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1>&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}<br />
J_-|l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2> \nonumber\\<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}<br />
(\lj_- +\l2_-)|l_1,l_l>\otimes \, |l_2,l_2>\nonumber<br />
\end{eqnarray}<br />
\begin{equation}<br />
= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}<br />
(\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>+<br />
\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>).<br />
\end{equation} O druhém, který je k němu ortogonální, totiž $$<br />
\frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}<br />
(\alpha^{(-)}_{l_2,l_2}|l_1,l_l-1>\otimes \, |l_2,l_2>-<br />
\alpha^{(-)}_{l_1,l_1}|l_1,l_1>\otimes \, |l_2,l_2-1>),$$<br />
lze ukázat že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro<br />
$j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $<br />
|l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1>$. Postupnou aplikací operátoru $J_-$<br />
na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s $j=l_1+l_2-1,\<br />
|m|\leq j$.<br />
<br />
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,<br />
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů<br />
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z<br />
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je<br />
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}<br />
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,<br />
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.<br />
<br />
Vzhledem k tomu, že stavy $|l_1,l_2,j,m>$ splňují rovnice<br />
\rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být<br />
vzájemně ortogonální stejně jako stavy $|l_1,m_1>\otimes \,<br />
|l_2,m_2>$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v podprostoru<br />
dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito<br />
dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s<br />
daným $j$ a $m$ se nazývají Clebsch--Gordanovy koeficienty. Způsob<br />
jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.<br />
<br />
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda<br />
neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s<br />
daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze<br />
komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s komutačními<br />
relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc,<br />
ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat<br />
tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu<br />
hybnosti $j=l\pm \half$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}<br />
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné <br />
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.<br />
<br />
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, <br />
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami<br />
\be<br />
\hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots<br />
\ll{ab12}<br />
\ee<br />
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné <br />
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit<br />
\be<br />
\hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots<br />
\ee<br />
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$ jsou určeny jednoznačně až na <br />
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že<br />
\be<br />
\psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),<br />
\ll{asymvlnfce}<br />
\ee<br />
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.<br />
<br />
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi <br />
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými <br />
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.<br />
<br />
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách <br />
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.<br />
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze <br />
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, <br />
$j\neq k$.<br />
<br />
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive <br />
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako <br />
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. <br />
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
ale současně<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
takže $C_1=C_2$.<br />
<br />
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové <br />
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do <br />
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$.<br />
<br />
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických <br />
\fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.<br />
<br />
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\be<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})<br />
\ll{bosvlf}<br />
\ee<br />
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
:= \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) <br />
\psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),<br />
\ll{antisym}<br />
\end{multline}<br />
kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou <br />
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
= \det\left(<br />
\ba{cccc}<br />
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\<br />
& & \ddots & \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\<br />
\ea \right).<br />
\ll{slaterd}<br />
\end{multline}<br />
<br />
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená <br />
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli <br />
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto <br />
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$<br />
\be<br />
P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})<br />
\ee<br />
<br />
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické <br />
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento <br />
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.<br />
<br />
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, respektive $L_2(\R^{3},d^{3}x)\otimes \C^{2}$, pak<br />
funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří<br />
ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, respektive $\hil^A$ popisující soustavu fermionů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli <br />
harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).<br />
\ec</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola6&diff=437202KVAN:Kapitola62011-08-31T06:34:58Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin}<br />
<br />
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že<br />
hamiltonián je tvaru<br />
\[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta+\hat V(\vex). \]<br />
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla<br />
\begin{equation}<br />
\vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)],<br />
\end{equation}<br />
která působí na nabitou částici v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé <br />
straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu<br />
\[ U(\vex,\vec{v},t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]<br />
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.<br />
\begin{equation}<br />
\vec{E} = -\grad\phi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}.<br />
\end{equation}<br />
Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í<br />
\begin{equation}<br />
H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - e \vec{A}(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t).<br />
\end{equation}<br />
\emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} = \frac{1}{2M}[-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] \cdot [-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] + e\hat{\phi}(\vex,t)<br />
\ll{hem}<br />
\end{equation}<br />
a snadnými úpravami je možno jej přepsat na tvar<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \vec{\nabla}<br />
+ \frac{i\hbar e}{2M}\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)<br />
+ \frac{e^2}{2M} \hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{A}}(\vex,t)<br />
+ e\hat{\phi}(\vex,t).<br />
\ll{hem2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{P}_j$ a $\hat{A}_j$ <br />
vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem} odpovídá jistému výběru uspořádání <br />
těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v~tomto případě z~požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem <br />
stojícím před členem $\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)$. Pro případ homogenních polí, který budeme v~dalším uvažovat tento člen vymizí.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ <br />
jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Částice v~homogenním magnetickém poli}<br />
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$.<br />
<br />
Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat <br />
způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta - \frac{e}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}}<br />
+ \frac{e^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + e\hat{\phi}(\vex),<br />
\ll{hhommag}<br />
\end{equation}<br />
kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti.<br />
<br />
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek <br />
od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B},<br />
\end{equation}<br />
kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali <br />
doposud) a<br />
\begin{equation}<br />
\hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{e}{2M}\hat{\vec{L}}<br />
\ll{orbmgm}<br />
\end{equation}<br />
je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem.<br />
<br />
Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak <br />
lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz <br />
\ref{ssec:csympot})<br />
\begin{align}<br />
\hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\<br />
\hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\<br />
\hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3}<br />
\end{align}<br />
<br />
Odtud plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému <br />
bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž<br />
platí<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} \psi_{E,l,m} = (E - \mu_0 m |\vec{B}|) \psi_{E,l,m},<br />
\ll{vlfcemagp}<br />
\end{equation}<br />
kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$.<br />
<br />
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované, <br />
\textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0|\vec B|$.}<br />
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné <br />
intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).<br />
<br />
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin <br />
v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,<br />
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}<br />
\label{vmmsc}<br />
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického <br />
momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě <br />
dvou hodnot} $\pm|\mu|$.<br />
<br />
Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v~základním stavu nehomogenním <br />
magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.<br />
\begin {figure}[hbtp]<br />
\hskip 1cm<br />
\vskip 1cm<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1.00mm<br />
\linethickness{0.4pt}<br />
\begin{picture}(127.00,150.00)<br />
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)<br />
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)<br />
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)<br />
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)<br />
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}<br />
%\end<br />
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}<br />
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}<br />
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}<br />
%\end<br />
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)<br />
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)<br />
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}<br />
%\end<br />
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)<br />
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)<br />
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)<br />
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)<br />
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)<br />
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}<br />
%\end<br />
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)<br />
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)<br />
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}<br />
%\end<br />
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)<br />
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)<br />
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}<br />
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)<br />
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)<br />
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)<br />
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)<br />
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}<br />
%\end<br />
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}<br />
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}<br />
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}<br />
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}<br />
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}<br />
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}<br />
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}<br />
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1 Svazek atomů }}<br />
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2 P\'oly magnetu}}<br />
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3 Rozštěpené svazky částic}}<br />
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}}<br />
\end{picture}<br />
\caption{Sternův-Gerlachův pokus}<br />
\end{figure}<br />
Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je<br />
\[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \]<br />
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů <br />
v~základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického <br />
momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu. <br />
Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$.<br />
<br />
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho<br />
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou <br />
vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen <br />
jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky.<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right).<br />
\ll{vekvlnfce}<br />
\end{equation}<br />
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá <br />
pouze dvou hodnot $\pm$, tj.<br />
\[<br />
\psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex).<br />
\]<br />
<br />
Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární <br />
součin v~tomto prostoru je definován vztahem <br />
\begin{equation}<br />
(\psi,\phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x<br />
\end{equation}<br />
a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých <br />
magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí <br />
$\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \unit_{\C^2}.$<br />
<br />
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí<br />
netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou.<br />
\begin{equation}<br />
\hat{\mu}_{z} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right)<br />
\ll{muz}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925), <br />
že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato <br />
veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický<br />
moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}<br />
\begin{equation}<br />
{\Large\mbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l. $}}<br />
\ll{relspin}<br />
\end{equation}<br />
Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat{S}_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.~\emph{Pauliho matice}<br />
\begin{equation}<br />
\sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\<br />
\sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\<br />
\sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),<br />
\ll{paulimat}<br />
\end{equation}<br />
splňuje relace \rf{relspin}.<br />
<br />
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je<br />
\be<br />
{\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ ,<br />
\ee<br />
což je v~souhlasu s~\rf{muz}. Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat <br />
až v~rámci relativistické kvantové mechaniky.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}$ jsou $\pm \mu_0 |\vec{B}|$. Najděte vlastní \fc e.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové, <br />
resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\hbar/2$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\hbar/2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve <br />
směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Vedle relace<br />
\begin{equation}<br />
[\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,<br />
\ll{sigmarel}<br />
\end{equation}<br />
ze které plyne \rf{relspin}, mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich<br />
\begin{align}<br />
\sigma _j &= \sigma _j^\dagger, \\<br />
\Tr \sigma _j &= 0, \\<br />
\{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\unit. \ll{anticomsig}<br />
\end{align}<br />
Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$. <br />
Násobení Pauliho matic<br />
\begin{equation}<br />
\sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\unit+i\epsilon_{jkl}\sigma _l<br />
\ll{nassig}<br />
\end{equation}<br />
plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\unit$. Porovnejte tento výsledek s~\rf{vlfceelm2}.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem<br />
\[<br />
\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \unit + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \unit + \frac{\hbar \omega}{2} \unit \otimes \sigma_{3}.<br />
\]<br />
Dále je dán operátor<br />
\[<br />
\hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).<br />
\]<br />
Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké <br />
omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou <br />
část spektra.)<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}<br />
Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy \cc{} <br />
v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v~magnetickém <br />
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v~\emk ém poli <br />
na tvar<br />
\be<br />
{\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} - e\hat{\vec{A}}]^2 + e\hat{\phi} - \mu_0 \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$}} \ .<br />
\ll{pauham}<br />
\ee<br />
Rovnice<br />
\[<br />
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi,<br />
\]<br />
kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\psi=E\psi$ <br />
se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.<br />
<br />
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť <br />
přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e<br />
\[<br />
i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial t}=\hat H_1\phi,<br />
\]<br />
kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right)<br />
= \exp \left\{ \frac{i}{\hbar}\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} t \right\} \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right),<br />
\ll{respauli}<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\be<br />
\exp \left\{ \frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec{B}t \right\}<br />
= \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right) <br />
+ i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{|\vec{B}|} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right).<br />
\ll{expmb}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její <br />
$z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady<br />
\be<br />
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!},<br />
\ll{defexp}<br />
\ee<br />
pak platí<br />
\be<br />
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(|\vec{a}|) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{|\vec{a}|} \sin(|\vec{a}|).<br />
\ee<br />
\ec<br />
<br />
Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem<br />
\be<br />
\hat{H}_P = \hat{H}_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}},<br />
\ee<br />
kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián \cc e v~coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e <br />
$\hat{H}_P\psi=E\psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním <br />
Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e.<br />
<br />
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se <br />
přesvědčit, že pokud \cc e má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu <br />
$\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e<br />
\be<br />
\psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad<br />
\psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right)<br />
\ee<br />
jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu <br />
je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se<br />
Sternovým-Gerlachovým pokusem.<br />
<br />
Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv.~anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané <br />
tzv.~spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např.~\cite[kap.~7.5]{for:ukt}).<br />
<br />
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. <br />
V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba <br />
přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných <br />
sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}<br />
\ll{atmh}<br />
Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace<br />
\begin{equation}<br />
[\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\varepsilon_{kmn}\hat{J}_n.<br />
\label{imcr}<br />
\end{equation}<br />
Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou <br />
otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat{J}_3$ a <br />
$\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze <br />
využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry, <br />
to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací.<br />
<br />
Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů<br />
\begin{equation}\label{jpm}<br />
\hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm<br />
\end{equation}<br />
s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že<br />
\begin{equation}<br />
\hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3.<br />
\label{jmjp}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$<br />
\begin{equation}\label{j2eigen}<br />
\hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}.<br />
\end{equation}<br />
Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí<br />
\[<br />
(\phi,({\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2)\phi) = \|{\hat{J}_1}\phi\|^2 + \|{\hat{J}_2}\phi\|^2 \geq 0,<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu}<br />
= \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu}<br />
= (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2<br />
\]<br />
je rovněž nezáporné, z~čehož plyne<br />
\begin{equation}\label{lamgeqmu}<br />
\lambda\geq\mu^2.<br />
\end{equation}<br />
Na druhé straně díky \rf{jpm}<br />
\[<br />
\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)} \ket{\lambda,\mu+\hbar},<br />
\]<br />
takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$. <br />
V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na <br />
$\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme<br />
\[<br />
0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}<br />
= (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}<br />
= (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}},<br />
\]<br />
odkud plyne<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}.<br />
\label{lameq}<br />
\end{equation}<br />
Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$, <br />
pro kterou platí<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}.<br />
\label{lameqi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením <br />
operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje <br />
celé nezáporné $k$ tak, že<br />
\[<br />
\mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad j\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\ldots\},<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
\lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\} \cdot \hbar.<br />
\label{lamu}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich <br />
komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$ <br />
nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou <br />
existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo <br />
experimentálně potvrzeno.<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} (tyto matice určují <br />
reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\frac{1}{2}$ jsou shodné se složkami spinu.<br />
\ec</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola5&diff=437102KVAN:Kapitola52011-08-31T06:33:56Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Časový vývoj kvantové částice}<br />
\ll{Casovyvyvoj}<br />
<br />
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím <br />
z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í<br />
\be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity}<br />
Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i}<br />
\begin{equation}<br />
\vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)],<br />
\ll{tokpsti}<br />
\end{equation}<br />
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity}<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\partial\rho}{\partial t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0.<br />
\ll{rcekont}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností<br />
\begin{equation} \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation}<br />
plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stacionární stavy}<br />
Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou <br />
v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota <br />
libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit<br />
\be \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee<br />
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase.<br />
<br />
Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$<br />
\begin{equation}<br />
\psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0),<br />
\ll{stacstav}<br />
\end{equation}<br />
pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení <br />
v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, <br />
že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární.<br />
<br />
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou <br />
hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, <br />
pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne<br />
\begin{equation}<br />
C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0).<br />
\end{equation}<br />
Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$.<br />
<br />
Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H}\psi_E=E\psi_E,<br />
\ll{vlstham}<br />
\end{equation}<br />
pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť <br />
řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je<br />
\be<br />
\fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ .<br />
\ee<br />
Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často<br />
nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.}<br />
<br />
Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární <br />
stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.}<br />
<br />
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e <br />
s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž <br />
prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem<br />
\be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee<br />
a odpovídající řešení \sv y \rc e je<br />
\be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee<br />
Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost.<br />
<br />
Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé <br />
fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli.<br />
\bc<br />
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové <br />
spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po <br />
čase $t$?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je <br />
superpozicí stacionárních stavů)<br />
\[<br />
\psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+\sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ \mathrm{pro} \ |x|<a.<br />
\]<br />
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy}<br />
V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože <br />
jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e.<br />
<br />
I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory <br />
odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase.<br />
<br />
Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} <br />
$\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako<br />
\be<br />
{\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{dA}{dt}} := \dfrac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \dfrac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ .<br />
\ll{casderoper}<br />
\ee<br />
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici <br />
je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\hil$ platí<br />
\be<br />
\frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{dA}{dt}} \right\rangle_\psi.<br />
\ll{casderop}<br />
\ee<br />
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} <br />
= (\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) <br />
+ (\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) <br />
+ (\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].<br />
\end{equation}<br />
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}.<br />
<br />
\bc<br />
Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
<br />
\emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou <br />
explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.}<br />
<br />
Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice <br />
či hybnosti dostaneme<br />
\begin{align}<br />
\frac{d}{dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\<br />
\frac{d}{dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp}<br />
\end{align}<br />
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice <br />
ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě <br />
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud<br />
\[<br />
\left\langle {-\hat{\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi).<br />
\]<br />
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových <br />
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda <br />
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola5&diff=437002KVAN:Kapitola52011-08-31T06:29:07Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Časový vývoj kvantové částice}<br />
\ll{Casovyvyvoj}<br />
<br />
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím <br />
z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í<br />
\be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity}<br />
Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i}<br />
\begin{equation}<br />
\vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)],<br />
\ll{tokpsti}<br />
\end{equation}<br />
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity}<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\partial\rho}{\partial t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0.<br />
\ll{rcekont}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností<br />
\begin{equation} \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation}<br />
plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stacionární stavy}<br />
Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou <br />
v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota <br />
libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit<br />
\be \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee<br />
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase.<br />
<br />
Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$<br />
\begin{equation}<br />
\psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0),<br />
\ll{stacstav}<br />
\end{equation}<br />
pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení <br />
v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, <br />
že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární.<br />
<br />
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou <br />
hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, <br />
pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne<br />
\begin{equation}<br />
C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0).<br />
\end{equation}<br />
Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$.<br />
<br />
Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H}\psi_E=E\psi_E,<br />
\ll{vlstham}<br />
\end{equation}<br />
pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť <br />
řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je<br />
\be<br />
\fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ .<br />
\ee<br />
Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často<br />
nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.}<br />
<br />
Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární <br />
stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.}<br />
<br />
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e <br />
s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž <br />
prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem<br />
\be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee<br />
a odpovídající řešení \sv y \rc e je<br />
\be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee<br />
Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost.<br />
<br />
Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé <br />
fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli.<br />
\bc<br />
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové <br />
spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po <br />
čase $t$?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je <br />
superpozicí stacionárních stavů)<br />
\[<br />
\psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+\sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ \mathrm{pro} \ |x|<a.<br />
\]<br />
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy}<br />
V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože <br />
jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e.<br />
<br />
<br />
I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory <br />
odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase.<br />
<br />
\special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} <br />
$\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako<br />
\be<br />
{\LARGE \fbox{$ \hat{\frac{dA}{dt}} := \frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ .<br />
\ll{casderoper}<br />
\ee<br />
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici <br />
je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\hil$ platí<br />
\be<br />
\frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{dA}{dt}} \right\rangle_\psi.<br />
\ll{casderop}<br />
\ee<br />
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} <br />
= (\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) <br />
+ (\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) <br />
+ (\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].<br />
\end{equation}<br />
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}.<br />
<br />
\bc<br />
Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
<br />
\emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou <br />
explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.}<br />
<br />
Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice <br />
či hybnosti dostaneme<br />
\be<br />
\frac{d}{dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} = \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi,<br />
\ll{ehrx}<br />
\ee<br />
\be<br />
\frac{d}{dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} = \left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi.<br />
\ll{ehrp}<br />
\ee<br />
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice <br />
ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě <br />
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud<br />
\[<br />
\left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi).<br />
\]<br />
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových <br />
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda <br />
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=436902KVAN:Header2011-08-31T06:27:44Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\ref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-kety, střední hodnoty atd...<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
\newcommand{\mean}[2]{\langle#1\rangle_{#2}}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola4&diff=436802KVAN:Kapitola42011-08-31T06:26:36Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Výsledky měření}<br />
\ll{Vysledkymereni}<br />
<br />
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném <br />
funkcí $g$?}<br />
<br />
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží <br />
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou <br />
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.<br />
<br />
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit <br />
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím <br />
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem <br />
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další <br />
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás <br />
informuje Bornův postulát.<br />
<br />
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:<br />
\be<br />
\mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vec x)d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vec x)|^2d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vec x)|^2d^3x}.<br />
\ll{xbar}<br />
\ee<br />
<br />
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}<br />
<br />
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen <br />
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu <br />
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.<br />
<br />
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem <br />
\be<br />
\int_{\R^3}\psi^*(\vec x)x_j\psi(\vec x)d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vec x)[\hat Q_j\psi](\vec x)d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),<br />
\ll{psixpsi}<br />
\ee<br />
takže<br />
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee<br />
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené <br />
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně <br />
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření <br />
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{aavr}<br />
\ee<br />
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální <br />
vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vec x_0$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti <br />
(elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.<br />
\ec<br />
<br />
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních <br />
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í <br />
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.<br />
<br />
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu<br />
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní <br />
pozorovatelné.<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření <br />
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné <br />
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}<br />
<br />
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, <br />
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í <br />
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika<br />
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi\rightarrow\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstprech}<br />
\ee<br />
Veličina $A_{\psi\lim\alpha} := (\psi,\alpha)/\sqrt{(\psi,\psi)}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\lim\alpha$}.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee<br />
S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud <br />
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve <br />
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů <br />
$\alpha_k$}, tj.<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstnamer}<br />
\ee<br />
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že <br />
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\Theta+\cos\Theta )g(r)\ee<br />
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-\vec x^2 + i\vec k\vec x}. \ll{cvic3}\ee<br />
S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření <br />
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. <br />
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.<br />
<br />
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává <br />
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu <br />
$(x,y)$<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^yda|(\alpha_a,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}}\ ,<br />
\ll{pstnamersp}<br />
\ee<br />
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť <br />
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit <br />
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti<br />
\be \phi_{\vec p}(\vec x) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vec x \right\}. \ee<br />
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.<br />
<br />
\bc<br />
Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete <br />
hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.<br />
\ec<br />
<br />
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či <br />
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} <br />
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů<br />
\be<br />
W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} <br />
= \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}<br />
+ \int_{k_1}^{k_2}dk \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi})\right],<br />
\ee<br />
kde $k_i=\sqrt{2ME_i/\hbar^2}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, <br />
resp.~k~$\delta$-funkci.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}<br />
\ll{relneu}<br />
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. <br />
V~\qv é \mi ce je definována způsobem<br />
\be \Delta_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee<br />
Je snadné ukázat, že<br />
\be [\Delta_{\psi}(A)]^2 = \mean{(\widehat{\Delta_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee<br />
kde $\widehat{\Delta_\psi A}$ je lineární operátor<br />
\be \widehat{\Delta_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee<br />
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
\ll{dpx}<br />
Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. <br />
Ukažte, že pro tento stav platí<br />
\be \Delta_{\psi}(X_{\underline k})\Delta_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.<br />
<br />
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$<br />
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí<br />
\be \Delta_{\psi}(A)\Delta_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|<br />
\ll{dadb}\ee<br />
<br />
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které<br />
platí<br />
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee<br />
kde $\kappa\in\R$.<br />
\et<br />
<br />
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí<br />
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee<br />
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE$\Delta_{\psi}(X_j)\Delta_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .<br />
\ll{dxdp2}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními <br />
jsou funkce %(\rf{mvb})<br />
\[ g(\vec x) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\vec x \right\}, \qquad A>0, \]<br />
které jsme nazvali minimální vlnové balíky.<br />
\ec<br />
<br />
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou <br />
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou <br />
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu<br />
\[ \Delta x\Delta p_x\Delta y\Delta p_y\Delta z\Delta p_z \geq \hbar^3/8. \]<br />
<br />
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, <br />
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou <br />
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.<br />
<br />
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než <br />
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné <br />
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=436602KVAN:Header2011-08-30T06:46:52Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\ref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-ketový formalismus<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=436502KVAN:Header2011-08-30T06:46:13Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
\def \nn {\nonumber}<br />
\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \ca {{\cal A}}<br />
\def \ox {\otimes}<br />
\def \lim {\rightarrow}<br />
\def \unit {{\bf 1}}<br />
\def \complex {{\bf C}}<br />
\def \real {{\bf R}}<br />
\def \integer {{\bf Z}}<br />
\def \qintline {$ L_2(\real,dx)$}<br />
\def \qintspace {$L_2(\real^3,dx^3)$}<br />
\def \qintrn {$L_2(\real^N,dx^N)$}<br />
\def \hil {\cal H}<br />
\newcommand \hhat[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\ref}<br />
\def \-> {\rightarrow}<br />
\def \half {\frac{1}{2} }<br />
\def \vex {\vec x}<br />
<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {{částic}}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbf{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbf{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbf{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbf{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbf{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbf{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbf{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % příkaz \konst<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
<br />
% bra-ketový formalismus<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\bOpk}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&diff=436402KVAN:Kapitola32011-08-30T06:44:40Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Popis stavů kvantové částice}<br />
\ll{Popisstavu}<br />
<br />
\sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního <br />
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, <br />
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a <br />
\qv é mechanice.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stavový prostor}<br />
\ll{stavprost}<br />
<br />
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných <br />
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}<br />
<br />
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno <br />
volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje <br />
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří <br />
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.<br />
<br />
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas <br />
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)<br />
\be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee<br />
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné <br />
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí<br />
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee<br />
kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.<br />
\ll{ex:pstvodat}<br />
\ec<br />
<br />
Díky Minkowského nerovnosti<br />
\[<br />
\left( \int_{\R^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} <br />
\leq \left( \int_{\R^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2},<br />
\]<br />
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{<br />
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, <br />
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}<br />
<br />
\bc<br />
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?<br />
\ll{ex:hilbspvb}<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?<br />
\ec<br />
<br />
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou <br />
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, <br />
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}<br />
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). <br />
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.<br />
{\small<br />
\bd<br />
\textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení <br />
$F:V\times V\rightarrow \C$ splňující<br />
\[<br />
F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\<br />
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),<br />
\]<br />
\[<br />
F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g),<br />
\]<br />
kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem<br />
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí<br />
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee<br />
\ed<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.<br />
\ll{symfor}<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí<br />
\be F(f,f) \geq 0. \ee<br />
Pokud navíc<br />
\be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee<br />
pak tuto formu nazveme \textbf{striktně pozitivní}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep<br />
<br />
\bt<br />
Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}<br />
\be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee<br />
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že<br />
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$<br />
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee<br />
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního <br />
čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~\rf{possesq}, pak <br />
dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti<br />
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]<br />
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost <br />
platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
} %konec prostředí \small<br />
<br />
\bd <br />
Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární <br />
vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp <br />
Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem<br />
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee<br />
\ep<br />
<br />
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru <br />
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$<br />
<br />
\bd <br />
Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep<br />
<br />
{\small<br />
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na <br />
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle <br />
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův.<br />
}%small<br />
<br />
\bp<br />
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$ a <br />
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)dx \]<br />
je Hilbertův.<br />
\ep<br />
<br />
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry <br />
nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.<br />
<br />
\bt [Rieszovo lemma]<br />
Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna $f\in\hil$ platí<br />
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]<br />
\et<br />
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$ je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:<br />
$\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.<br />
<br />
\vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální baze (často ne zcela správně nazývaná <br />
ortogonální baze).<br />
{\small<br />
\bd<br />
Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme<br />
\textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme <br />
ji \textbf{ortonormální}.<br />
\ed<br />
\bd<br />
Vektor $x\in \hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů<br />
nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.<br />
\ed<br />
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$.<br />
\bt<br />
Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že <br />
$x=y+z$, tzn.~$\hil=\mathcal{G}\bigoplus\mathcal{G}^\perp$.<br />
\et<br />
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.<br />
}%small<br />
\bd<br />
\textbf{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$.<br />
\ed<br />
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární <br />
kombinaci prvků baze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální <br />
baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.<br />
\bp<br />
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd <br />
kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\hil$ \textbf{pro bazi $B$} nazveme <br />
skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.<br />
\ed<br />
<br />
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V~takovýchto <br />
prostorech platí pro každé $f\in\hil$<br />
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee<br />
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee<br />
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}<br />
<br />
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte ortonormální bazi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice<br />
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]<br />
\ec<br />
<br />
Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}<br />
\ll{pozorovatelne}<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, <br />
momentu hybnosti,...).<br />
<br />
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda <br />
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné <br />
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím <br />
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie <br />
stavu $(\vec p,\vec q)$ je<br />
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]<br />
a její spektrum je $\R_+$.<br />
<br />
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná <br />
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických <br />
pojmů v~kvantové mechanice.}%small<br />
<br />
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno <br />
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným <br />
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů <br />
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru <br />
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným <br />
experimentálním ověřováním teorie.<br />
<br />
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je <br />
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} \ll{xoper} \ee<br />
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial x_j}(\vec x)$} \ll{poper} \ee<br />
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.<br />
<br />
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně <br />
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.<br />
<br />
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, <br />
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém<br />
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je<br />
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]<br />
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.<br />
<br />
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, <br />
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich <br />
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a <br />
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další<br />
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, <br />
které lze pro danou veličinu naměřit}.<br />
<br />
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.<br />
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.<br />
\bc<br />
\ll{nekpoja}<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě}, <br />
tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu <br />
$V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}<br />
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. <br />
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.<br />
<br />
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde definiční obor <br />
$D_T$ je lineární podprostor $\hil$. Je-li Hilbertův prostor konečně rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá<br />
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických <br />
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, <br />
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou $\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.<br />
<br />
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.<br />
<br />
\bd<br />
Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí<br />
\[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]<br />
\ed<br />
<br />
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze <br />
spojitě rozšířit na celé $\hil$.<br />
<br />
\bp<br />
Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$ \cap L_1(\R^3,d^3x)$. Pro ostatní funkce <br />
je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}<br />
\[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} \me^{-i\vec{p}\vec{x}}g(\vec{x})d^3x \]<br />
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna <br />
$f,g\in\hil$<br />
\[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]<br />
\ed<br />
<br />
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí <br />
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee<br />
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí<br />
\be<br />
(a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger . <br />
\ll{algop}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá <br />
operátoru $\hat{M}^\dagger$?<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{B}$ na $\hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný<br />
\[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]<br />
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)<br />
\ep<br />
<br />
\bt<br />
Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\mathop{\mathrm{Ran}} \hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje <br />
$\hat{E}^2 = \hat{E}$.<br />
\et<br />
<br />
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich <br />
definice vychází z~následujícího faktu:<br />
<br />
\bt<br />
Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové, že <br />
pro všechna $g\in D_T$ platí<br />
\be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee<br />
\et<br />
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina <br />
všech $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$<br />
\ed<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.<br />
\ed<br />
<br />
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $, <br />
tj.~$D_S \subset D_{S^\dagger}$.<br />
\ed<br />
<br />
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$, $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $D_Q:=\{\psi\in L^2(\R,dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ <br />
je samosdružený.<br />
\ep<br />
<br />
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené <br />
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).<br />
<br />
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě <br />
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.<br />
<br />
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.<br />
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně<br />
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.<br />
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic<br />
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]<br />
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},<br />
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$.<br />
%\ed<br />
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří<br />
%celá komplexní rovina.<br />
\bd<br />
\textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného<br />
operátoru} $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.<br />
\ed<br />
<br />
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že <br />
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\hat{\unit}$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel<br />
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor <br />
$\hat{T} - \lambda\hat{\unit}$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.<br />
<br />
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí<br />
\bt<br />
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.<br />
\et<br />
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.<br />
}<br />
<br />
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že <br />
ani pro \qv ou částici<br />
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a<br />
%hybnosti částice.<br />
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.<br />
<br />
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, <br />
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}<br />
\ll{qho}<br />
<br />
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického <br />
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. <br />
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence<br />
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2. \ll{lho3} \end{equation}<br />
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$ <br />
pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ splňující<br />
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}<br />
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.<br />
<br />
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů<br />
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]<br />
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]<br />
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru<br />
\begin{equation} \psi(\vec x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}<br />
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar<br />
\begin{equation}<br />
(\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.<br />
\ll{rozkladH}<br />
\end{equation}<br />
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$<br />
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]<br />
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}<br />
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}<br />
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.<br />
<br />
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor<br />
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}<br />
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom <br />
rozměru (na přímce).<br />
<br />
\begin{tvr}<br />
\ll{slho}<br />
Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly <br />
\fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce <br />
\begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}<br />
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}<br />
\begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}<br />
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno<br />
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\rightarrow\C$ diferenciální <br />
rovnice<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.<br />
\ll{eqlho1}<br />
\end{equation}<br />
Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické <br />
integrability je splněna jen pro<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).<br />
\ll{hokvan}<br />
\end{equation}<br />
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\xi := \sqrt{M\omega/\hbar}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0<br />
\ll{hobezr}<br />
\end{equation}<br />
kde $\Lambda := 2\lambda / (\hbar\omega)$.<br />
<br />
Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,<br />
je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{\pm \xi^2/2}.<br />
\ll{rozphi}<br />
\end{equation}<br />
Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}. <br />
Zvolíme tedy ansatz<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{-\xi^2/2}u(\xi)<br />
\ll{hoansatz}<br />
\end{equation}<br />
a budeme se zajímat o~řešení rovnice<br />
\begin{equation}<br />
u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u<br />
\ll{hermrce}<br />
\end{equation}<br />
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $\me^{+\xi^2/2}$.<br />
<br />
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní <br />
funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady<br />
\begin{equation}<br />
u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+<br />
\ll{radau}<br />
\end{equation}<br />
Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$<br />
\[<br />
s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m<br />
\ll{rran}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení <br />
\rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem <br />
pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrovatelná řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$ <br />
takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když<br />
\be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee<br />
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrovatelná.<br />
<br />
Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1} <br />
má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.<br />
<br />
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$<br />
\be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee<br />
jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentní relací<br />
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee<br />
přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.<br />
<br />
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je<br />
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee<br />
\end{proof}<br />
\end{tvr}<br />
<br />
\bc<br />
Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem<br />
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee<br />
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{cvvytvfce}<br />
Ukažte, že<br />
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]<br />
\ec<br />
<br />
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem <br />
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, \ $n\in \Z_+\}$.<br />
<br />
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen <br />
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě <br />
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.<br />
<br />
\bc<br />
Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.<br />
\ec<br />
<br />
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce <br />
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}<br />
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly <br />
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.<br />
<br />
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).<br />
\bt<br />
\ll{tr38}<br />
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}<br />
\begin{equation}<br />
\psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}\me^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}<br />
\ll{nvlfcelho}<br />
\end{equation}<br />
je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.<br />
\et<br />
<br />
\bt<br />
\ll{tr39}<br />
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky <br />
integrovatelných funkcí \qintspace.<br />
\et<br />
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$, <br />
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.<br />
<br />
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}). <br />
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se <br />
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega\hbar$.<br />
<br />
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na <br />
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například <br />
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí <br />
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto <br />
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním <br />
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.<br />
<br />
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.<br />
\bc<br />
Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že<br />
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]<br />
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}<br />
\ll{Slmomhyb}<br />
<br />
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory <br />
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\partial}{\partial x_l}. \ll{momhyb} \ee<br />
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$<br />
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee<br />
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee<br />
<br />
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec<br />
<br />
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar<br />
\begin{eqnarray}<br />
\hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{lx} \\<br />
\hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{ly} \\<br />
\hat L_z &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}. \ll{lz}<br />
\end{eqnarray}<br />
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší <br />
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici<br />
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee<br />
Její řešení je<br />
\be<br />
\Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},<br />
\ee<br />
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi <br />
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit<br />
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]<br />
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}<br />
\be \lambda = m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee<br />
<br />
\bc <br />
\uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stav kvantového systému}<br />
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou <br />
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému <br />
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že <br />
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci <br />
elektronů).<br />
<br />
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} <br />
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést <br />
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu <br />
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}<br />
<br />
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému <br />
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:<br />
<br />
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí <br />
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}<br />
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a <br />
nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.<br />
\ec<br />
<br />
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, <br />
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou <br />
energií.<br />
<br />
\bc<br />
Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?<br />
\ec<br />
<br />
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější <br />
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl <br />
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska <br />
popisu stavu nepřípustné.<br />
<br />
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho <br />
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich <br />
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných <br />
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}<br />
<br />
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných <br />
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}<br />
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee<br />
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů <br />
$(\hat A_1\ldots,\hat A_K)$.<br />
<br />
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y <br />
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou <br />
nekompatibilní, neboť<br />
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee<br />
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti <br />
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou <br />
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ <br />
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné <br />
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. <br />
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení <br />
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.<br />
<br />
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:<br />
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin<br />
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím <br />
\be \hat A_i g = \alpha_i g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee<br />
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}<br />
<br />
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} <br />
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.<br />
<br />
\bt<br />
Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný <br />
soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr <br />
podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
<br />
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících <br />
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od <br />
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.<br />
<br />
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to <br />
relativně snadno měřitelná veličina.<br />
<br />
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát <br />
momentu hybnosti a jedna jeho složka.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}<br />
\ll{ssec:csympot}<br />
<br />
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je <br />
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.<br />
<br />
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee<br />
kde<br />
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee<br />
<br />
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami <br />
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.<br />
<br />
\bc<br />
Spočítejte komutátory<br />
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee<br />
kde<br />
\be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $L_3\equiv L_z$ a<br />
\be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.<br />
<br />
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar<br />
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee<br />
\be <br />
\hat L^2 <br />
= - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right]<br />
\ll{lkvadsfer}<br />
\ee<br />
\be<br />
\hat H <br />
= - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)<br />
+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} <br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] <br />
+ \hat V(r)<br />
\ll{hsfer}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.<br />
\ec<br />
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}<br />
\ll{ssmomhyb}<br />
<br />
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty <br />
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee<br />
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e <br />
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici <br />
\be <br />
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)<br />
+ \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi<br />
= 0.<br />
\ll{pdrl2}<br />
\ee <br />
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole <br />
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru <br />
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee<br />
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.<br />
<br />
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici <br />
\be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee <br />
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je <br />
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$ <br />
v~tomto případě zní<br />
\[<br />
\int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz <br />
= \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi <br />
\]<br />
\be<br />
= 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta<br />
= 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty.<br />
\ll{kvadintss}<br />
\ee<br />
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná <br />
na $\langle -1,1 \rangle$.<br />
<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem<br />
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee<br />
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i<br />
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee<br />
kde<br />
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]<br />
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci<br />
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee<br />
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však <br />
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ <br />
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky<br />
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar<br />
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee<br />
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem<br />
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.<br />
\ec<br />
<br />
Funkce<br />
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee<br />
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly<br />
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí<br />
\[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]<br />
kde<br />
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee<br />
tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times <br />
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina<br />
\be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee<br />
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.<br />
<br />
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často <br />
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro <br />
$l=0,1,2,\ldots$<br />
<br />
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost <br />
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$<br />
\be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee<br />
<br />
\bc<br />
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}<br />
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar<br />
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee<br />
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián <br />
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem<br />
\be <br />
\hat H <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} <br />
+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) <br />
- \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] <br />
+ \hat V(r).<br />
\ll{hsfer2}<br />
\ee<br />
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň <br />
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee<br />
kde<br />
\be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee<br />
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee<br />
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ <br />
přejde na podmínku<br />
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee<br />
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku<br />
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee<br />
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž<br />
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).<br />
<br />
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. <br />
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace <br />
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.<br />
<br />
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}<br />
<br />
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice<br />
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee<br />
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee<br />
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.<br />
<br />
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly <br />
zapsat jako řadu<br />
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee<br />
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme<br />
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee<br />
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee<br />
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.<br />
<br />
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde<br />
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee<br />
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$<br />
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee<br />
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}<br />
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee<br />
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je<br />
\be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz <br />
\cite{baterd})<br />
\be<br />
\ll{rtoplusinf}<br />
F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
Pro $z\lim -\infty\ $<br />
\be<br />
\ll{rtominusinf}<br />
F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}<br />
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních <br />
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií <br />
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru <br />
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee <br />
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného <br />
směru (směr osy $z$ není ničím určen).<br />
<br />
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde <br />
$a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici<br />
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee<br />
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} <br />
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme <br />
ansatz<br />
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee<br />
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee<br />
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku <br />
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce <br />
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není <br />
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné <br />
Laguerrovy polynomy}<br />
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee<br />
definované též způsobem<br />
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee<br />
<br />
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které <br />
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ <br />
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, <br />
\ll{resiho}<br />
\ee<br />
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), <br />
\ll{resiho2}<br />
\ee<br />
a zvolíme-li<br />
\be <br />
|K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}<br />
\ee<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.<br />
<br />
\bc <br />
Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními <br />
\fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.<br />
\ec<br />
<br />
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo <br />
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.<br />
<br />
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} <br />
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali <br />
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Coulombův potenciál}<br />
\ll{podkap:coulomb}<br />
<br />
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál<br />
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee<br />
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, <br />
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie <br />
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. <br />
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar<br />
\be <br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).<br />
\ll{rcekhicp}<br />
\ee<br />
Substitucí<br />
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee<br />
kde<br />
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee<br />
převedeme tuto rovnici na tvar<br />
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee<br />
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}<br />
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee<br />
Podmínka kvadratické integrability pak zní<br />
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee<br />
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}<br />
\be <br />
\fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .<br />
\ll{ecoul}<br />
\ee<br />
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta <br />
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro <br />
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. <br />
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e <br />
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í <br />
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$<br />
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee<br />
má tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},<br />
\ll{nlmcoul}<br />
\ee<br />
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety<br />
\be <br />
\ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi),<br />
\ll{nlmcoul1}<br />
\ee<br />
kde<br />
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je <br />
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.<br />
<br />
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec<br />
<br />
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec<br />
<br />
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii. <br />
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je<br />
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee<br />
<br />
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už <br />
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum <br />
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip <br />
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee <br />
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů <br />
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme <br />
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee <br />
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě <br />
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy <br />
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.<br />
<br />
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),<br />
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra<br />
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}<br />
\ll{posunovacioperatory}<br />
<br />
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem <br />
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud<br />
\be [\hat B,\hat A] = \Delta \hat A. \ll{posop} \ee<br />
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak <br />
ze \rf{posop} ihned plyne<br />
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\Delta) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee<br />
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.<br />
<br />
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$, <br />
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený <br />
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že <br />
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.<br />
<br />
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}<br />
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie <br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee<br />
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou <br />
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee<br />
neboť<br />
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee<br />
Navíc platí<br />
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \hat\unit. \ll{acoma} \ee<br />
<br />
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}<br />
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee<br />
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se <br />
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.<br />
<br />
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí<br />
\be<br />
\hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).<br />
\ee<br />
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.<br />
<br />
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho <br />
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit<br />
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee<br />
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar<br />
\be \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0 = 0, \ee<br />
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme<br />
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee<br />
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním <br />
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií <br />
\be<br />
\psi_n(\xi)<br />
= K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)<br />
= \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \<br />
K_n^{-1}<br />
=\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.<br />
\ll{ntylho}<br />
\ee<br />
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů <br />
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou <br />
kladné.<br />
<br />
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec<br />
<br />
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou <br />
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru<br />
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee<br />
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme<br />
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}. \ll{kohstav} \ee<br />
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti}<br />
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, <br />
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory<br />
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee<br />
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace<br />
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee<br />
a přechodem do sférických souřadnic<br />
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee<br />
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee<br />
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha} <br />
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.<br />
<br />
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec<br />
<br />
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec<br />
<br />
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ <br />
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant <br />
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.<br />
<br />
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}<br />
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{~}$ a \uv{bra} $\bra{~}$, což obecně není nic jiného než označení prvků <br />
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, <br />
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je<br />
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]<br />
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in$\qintline<br />
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]<br />
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi <br />
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar<br />
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee<br />
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \hat\unit$.<br />
<br />
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy<br />
\be<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m<br />
\qquad \mathrm{a} \qquad<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,<br />
\ee<br />
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů<br />
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]<br />
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar<br />
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee<br />
<br />
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem<br />
\be<br />
\hat O f \equiv \hat O |f\rangle <br />
= \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f} <br />
= \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},<br />
\ee<br />
kde<br />
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat{O}\psi_m). \ee<br />
<br />
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec<br />
<br />
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického <br />
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}<br />
\ll{zobvlf}<br />
<br />
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled <br />
jednoduchý. Podmínka<br />
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee<br />
dává diferenciální rovnice<br />
\be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee<br />
které mají řešení<br />
\be \phi_{\vec{p}}(\vec{x})=Ae^{i\vec{p}\, \vec{x}/\hbar}, \ll{zvfoh} \ee<br />
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné <br />
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. <br />
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří<br />
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.<br />
<br />
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra <br />
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, <br />
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi <br />
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.<br />
<br />
Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} $\mathcal{S}(\R^3)$ obsahující funkce $f\in$ \qintspace <br />
splňující<br />
\be<br />
\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f \right| < \infty<br />
\ll{prryubfci}<br />
\ee<br />
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathcal{S}(\R^3)$ je, že Fourierova transformace<br />
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee <br />
je bijekcí $\mathcal{S}(\R^3)$ na $\mathcal{S}(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar<br />
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee<br />
odkud snadno dostaneme, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{FfFg}<br />
(\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pro $f\in\mathcal{S}(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na <br />
$\mathcal{S}(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.<br />
\be<br />
\ll{psip}<br />
\Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),<br />
\ee<br />
\be<br />
\ll{invft}<br />
(f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),<br />
\ee<br />
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathcal{S}(\R^3)$. Rovnice pro <br />
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar<br />
\be<br />
(\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3) <br />
\ll{rceprophip}<br />
\ee<br />
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. <br />
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou <br />
hybností.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť<br />
\[<br />
\phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. <br />
\]<br />
Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice<br />
\[<br />
\hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3<br />
\]<br />
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení <br />
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze <br />
použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:<br />
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee<br />
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee<br />
<br />
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze <br />
obě podmínky splnit.<br />
\bp<br />
Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť<br />
\[<br />
f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}<br />
\]<br />
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\<br />
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně <br />
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.<br />
\ep<br />
<br />
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathcal{S}(\R^n)$. <br />
Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná) $\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathcal{S(\R)}$ definovaného ve<br />
shodě s~\rf{dcond2} způsobem <br />
\be<br />
\int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).<br />
\ee<br />
Rovnost<br />
\[<br />
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)<br />
\]<br />
pak znamená<br />
\be<br />
(\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3),<br />
\ee<br />
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je<br />
\be<br />
\delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)<br />
\ll{zvfop}<br />
\ee<br />
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.<br />
<br />
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že<br />
\be<br />
\int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}(\vex-\vec{y})} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),<br />
\ee<br />
tj.<br />
\be<br />
\mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}<br />
\ll{fourfip}<br />
\ee<br />
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$<br />
\be<br />
(\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').<br />
\ll{dnormp}<br />
\ee<br />
Podobně i pro \rf{zvfop} platí<br />
\be<br />
(\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').<br />
\ll{dnormx}<br />
\ee<br />
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathcal{S}(\R^n)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.<br />
<br />
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh}, <br />
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad<br />
\braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad<br />
\braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),<br />
\]<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad<br />
\braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)<br />
\]<br />
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}<br />
\[<br />
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.<br />
\]<br />
<br />
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice <br />
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice <br />
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e<br />
\be<br />
\psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},<br />
\ee<br />
kde $k=\pm\sqrt{2ME}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a<br />
\be<br />
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)<br />
\ll{zovlfcecoul}.<br />
\ee<br />
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí<br />
\[<br />
\int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr<br />
\]<br />
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee<br />
kde $K_{kl}$ je konstanta.<br />
<br />
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. <br />
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.<br />
<br />
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&diff=436302KVAN:Kapitola32011-08-30T06:24:17Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Popis stavů kvantové částice}<br />
\ll{Popisstavu}<br />
<br />
\sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního <br />
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, <br />
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a <br />
\qv é mechanice.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stavový prostor}<br />
\ll{stavprost}<br />
<br />
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných <br />
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}<br />
<br />
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno <br />
volbou počáteční podmínky $\psi (\vec{x},t=t_0)= g(\vec{x})$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje <br />
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří <br />
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.<br />
<br />
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas <br />
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vec x)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vec x\equiv (x,y,z)$)<br />
\be \int_{\R^3} |g(\vec x)|^2 d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee<br />
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $d^3x$). Mimo to funkce $g$ a $Cg$, kde $C$ je libovolné <br />
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí<br />
\be g(x,y,z)=Ae^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}/a_0}, \ll{zsv} \ee<br />
kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.<br />
\ll{ex:pstvodat}<br />
\ec<br />
<br />
Díky Minkowského nerovnosti<br />
\[<br />
\left( \int_{\R^3}|f+g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} <br />
\leq \left( \int_{\R^3}|f|^2d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2d^3x \right)^\frac{1}{2},<br />
\]<br />
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{<br />
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, <br />
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}<br />
<br />
\bc<br />
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?<br />
\ll{ex:hilbspvb}<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?<br />
\ec<br />
<br />
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou <br />
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, <br />
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}<br />
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). <br />
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.<br />
{\small<br />
\bd<br />
\textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení <br />
$F:V\times V\rightarrow \C$ splňující<br />
\[<br />
F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\<br />
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),<br />
\]<br />
\[<br />
F(af,g)=a^*F(f,g),\ F(f,ag)=aF(f,g),<br />
\]<br />
kde $a\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička znamená komplexní sdružení.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem<br />
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vec x)g_2(\vec x)d^Nx. \ll{ss} \ee<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí<br />
\be F(g,f)=[F(f,g)]^* \ll{ss2} \ee<br />
\ed<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.<br />
\ll{symfor}<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí<br />
\be F(f,f) \geq 0. \ee<br />
Pokud navíc<br />
\be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee<br />
pak tuto formu nazveme \textbf{striktně pozitivní}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep<br />
<br />
\bt<br />
Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}<br />
\be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee<br />
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že<br />
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$<br />
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee<br />
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F(f,g)^*$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního <br />
čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-F(f,g)^*/F(g,g)$ v~\rf{possesq}, pak <br />
dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti<br />
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]<br />
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost <br />
platí, pak pro $\alpha=-F(g,f)/F(g,g)$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
} %konec prostředí \small<br />
<br />
\bd <br />
Sesquilineární striktně pozitivní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární <br />
vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp <br />
Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem<br />
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee<br />
\ep<br />
<br />
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru <br />
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$<br />
<br />
\bd <br />
Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep<br />
<br />
{\small<br />
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na <br />
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle <br />
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův.<br />
}%small<br />
<br />
\bp<br />
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$ a <br />
\[ \sprod{f}{g} := \int_a^b f^*(x)g(x)dx \]<br />
je Hilbertův.<br />
\ep<br />
<br />
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry <br />
nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.<br />
<br />
\bt [Rieszovo lemma]<br />
Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\hil$ takový, že pro všechna $f\in\hil$ platí<br />
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]<br />
\et<br />
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\hil$ je isomorfní $\hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:<br />
$\hil^*\leftrightarrow\hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.<br />
<br />
\vskip 1cm Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální baze (často ne zcela správně nazývaná <br />
ortogonální baze).<br />
{\small<br />
\bd<br />
Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $\sprod{x}{y}=0$. Množinu $M\subset\hil$ nenulových vektorů nazveme<br />
\textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme <br />
ji \textbf{ortonormální}.<br />
\ed<br />
\bd<br />
Vektor $x\in \hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \hil$, pokud $\sprod{x}{y}=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů<br />
nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.<br />
\ed<br />
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\hil$ je lineární podprostor $\hil$.<br />
\bt<br />
Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\hil$, pak pro každé $x\in\hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že <br />
$x=y+z$, tzn.~$\hil=\mathcal{G}\bigoplus\mathcal{G}^\perp$.<br />
\et<br />
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.<br />
}%small<br />
\bd<br />
\textbf{Ortonormální bazí} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\Theta\}\subset\hil$.<br />
\ed<br />
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální baze není bazí v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako {konečnou}(!) lineární <br />
kombinaci prvků baze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální <br />
baze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.<br />
\bp<br />
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bazí v~prostoru tříd <br />
kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)$.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $B$ je ortonormální baze v~Hilbertově prostoru $\hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\hil$ \textbf{pro bazi $B$} nazveme <br />
skalární součiny $\sprod{b}{f}$, kde $b\in B$.<br />
\ed<br />
<br />
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bazi $B=\{e_j\}$. V~takovýchto <br />
prostorech platí pro každé $f\in\hil$<br />
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee<br />
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee<br />
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}<br />
<br />
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální baze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte ortonormální bazi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice<br />
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]<br />
\ec<br />
<br />
Příklady ortonormálních bazí v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}<br />
\ll{pozorovatelne}<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, <br />
momentu hybnosti,...).<br />
<br />
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda <br />
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné <br />
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím <br />
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie <br />
stavu $(\vec p,\vec q)$ je<br />
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]<br />
a její spektrum je $\R_+$.<br />
<br />
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná <br />
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických <br />
pojmů v~kvantové mechanice.}%small<br />
<br />
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno <br />
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným <br />
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů <br />
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru <br />
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným <br />
experimentálním ověřováním teorie.<br />
<br />
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je <br />
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vec x):=x_j\psi(\vec x)$} \ll{xoper} \ee<br />
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vec x):=-i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial x_j}(\vec x)$} \ll{poper} \ee<br />
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.<br />
<br />
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně <br />
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.<br />
<br />
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, <br />
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém<br />
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je<br />
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + V(\vec{x}) = \hat H, \]<br />
kde $\triangle=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$.<br />
<br />
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, <br />
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich <br />
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a <br />
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další<br />
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, <br />
které lze pro danou veličinu naměřit}.<br />
<br />
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.<br />
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.<br />
\bc<br />
\ll{nekpoja}<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě}, <br />
tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu <br />
$V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}<br />
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. <br />
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.<br />
<br />
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:D_T\rightarrow\hil$, kde definiční obor <br />
$D_T$ je lineární podprostor $\hil$. Je-li Hilbertův prostor konečně rozměrný pak teorie lineárních zobrazení je relativně jednoduchá<br />
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických <br />
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{D_T}=\hil$, <br />
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie definované metrikou $\hil$ plynoucí ze skalárního součinu.<br />
<br />
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.<br />
<br />
\bd<br />
Lineární operátor $\hat B:D_B\rightarrow\hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in D_B$ platí<br />
\[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]<br />
\ed<br />
<br />
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze <br />
spojitě rozšířit na celé $\hil$.<br />
<br />
\bp<br />
Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$ \cap L_1(\R^3,d^3x)$. Pro ostatní funkce <br />
je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}<br />
\[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} \me^{-i\vec{p}\vec{x}}g(\vec{x})d^3x \]<br />
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna <br />
$f,g\in\hil$<br />
\[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]<br />
\ed<br />
<br />
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí <br />
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee<br />
Omezené operátory na $\hil$ tvoří komplexní algebru a platí<br />
\be<br />
(a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger . <br />
\ll{algop}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá <br />
operátoru $\hat{M}^\dagger$?<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{B}$ na $\hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný<br />
\[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]<br />
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)<br />
\ep<br />
<br />
\bt<br />
Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\mathop{\mathrm{Ran}} \hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje <br />
$\hat{E}^2 = \hat{E}$.<br />
\et<br />
<br />
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich <br />
definice vychází z~následujícího faktu:<br />
<br />
\bt<br />
Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\hil$, pak pro každé $f\in\hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\hil$ takové, že <br />
pro všechna $g\in D_T$ platí<br />
\be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee<br />
\et<br />
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina <br />
všech $f\in\hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$<br />
\ed<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.<br />
\ed<br />
<br />
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in D_S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $, <br />
tj.~$D_S \subset D_{S^\dagger}$.<br />
\ed<br />
<br />
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$, $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $D_Q:=\{\psi\in L^2(\R,dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ <br />
je samosdružený.<br />
\ep<br />
<br />
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené <br />
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).<br />
<br />
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $D_T\neq\hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě <br />
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.<br />
<br />
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.<br />
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně<br />
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.<br />
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic<br />
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\hil\times\hil; x\in D_T\} \]<br />
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},<br />
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\hil\times\hil$.<br />
%\ed<br />
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří<br />
%celá komplexní rovina.<br />
\bd<br />
\textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného<br />
operátoru} $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $D_T\lim\hil$.<br />
\ed<br />
<br />
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že <br />
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\hat{\unit}$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel<br />
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor <br />
$\hat{T} - \lambda\hat{\unit}$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.<br />
<br />
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí<br />
\bt<br />
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.<br />
\et<br />
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.<br />
}<br />
<br />
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že <br />
ani pro \qv ou částici<br />
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a<br />
%hybnosti částice.<br />
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.<br />
<br />
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, <br />
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}<br />
\ll{qho}<br />
<br />
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického <br />
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. <br />
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence<br />
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle + \frac{M}{2}\omega^2 \vec{x}^2. \ll{lho3} \end{equation}<br />
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$ <br />
pro která existuje funkce $\psi(\vec x)$ splňující<br />
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}<br />
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.<br />
<br />
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů<br />
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]<br />
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]<br />
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru<br />
\begin{equation} \psi(\vec x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}<br />
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar<br />
\begin{equation}<br />
(\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.<br />
\ll{rozkladH}<br />
\end{equation}<br />
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$<br />
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]<br />
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}<br />
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}<br />
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.<br />
<br />
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor<br />
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}<br />
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom <br />
rozměru (na přímce).<br />
<br />
\begin{tvr}<br />
\ll{slho}<br />
Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly <br />
\fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce <br />
\begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\xi^2/2}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}<br />
kde $\xi=\sqrt{M\omega/\hbar}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}<br />
\begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{[n/2]}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}<br />
kde $[r]$ je celá část reálného čísla $r$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno<br />
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\rightarrow\C$ diferenciální <br />
rovnice<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.<br />
\ll{eqlho1}<br />
\end{equation}<br />
Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické <br />
integrability je splněna jen pro<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).<br />
\ll{hokvan}<br />
\end{equation}<br />
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\xi := \sqrt{M\omega/\hbar}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0<br />
\ll{hobezr}<br />
\end{equation}<br />
kde $\Lambda := 2\lambda / (\hbar\omega)$.<br />
<br />
Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,<br />
je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\lim\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{\pm \xi^2/2}.<br />
\ll{rozphi}<br />
\end{equation}<br />
Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}. <br />
Zvolíme tedy ansatz<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=\me^{-\xi^2/2}u(\xi)<br />
\ll{hoansatz}<br />
\end{equation}<br />
a budeme se zajímat o~řešení rovnice<br />
\begin{equation}<br />
u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u<br />
\ll{hermrce}<br />
\end{equation}<br />
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $\me^{+\xi^2/2}$.<br />
<br />
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní <br />
funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady<br />
\begin{equation}<br />
u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+<br />
\ll{radau}<br />
\end{equation}<br />
Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$<br />
\[<br />
s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m<br />
\ll{rran}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení <br />
\rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem <br />
pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrovatelná řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$ <br />
takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když<br />
\be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee<br />
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrovatelná.<br />
<br />
Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1} <br />
má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.<br />
<br />
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$<br />
\be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee<br />
jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentní relací<br />
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee<br />
přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.<br />
<br />
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je<br />
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,[n/2], \ll{hercoef}\ee<br />
\end{proof}<br />
\end{tvr}<br />
<br />
\bc<br />
Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem<br />
\be H_n(z):=(-)^ne^{z^2}(\frac{d}{dz})^ne^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee<br />
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{cvvytvfce}<br />
Ukažte, že<br />
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]<br />
\ec<br />
<br />
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem <br />
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)$, \ $n\in \Z_+\}$.<br />
<br />
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen <br />
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě <br />
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.<br />
<br />
\bc<br />
Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.<br />
\ec<br />
<br />
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce <br />
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}<br />
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly <br />
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.<br />
<br />
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).<br />
\bt<br />
\ll{tr38}<br />
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}<br />
\begin{equation}<br />
\psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}\me^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n(\sqrt{M\omega/\hbar} x), \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}<br />
\ll{nvlfcelho}<br />
\end{equation}<br />
je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.<br />
\et<br />
<br />
\bt<br />
\ll{tr39}<br />
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bazí v~Hilbertově prostoru kvadraticky <br />
integrovatelných funkcí \qintspace.<br />
\et<br />
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$, <br />
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.<br />
<br />
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}). <br />
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se <br />
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega\hbar$.<br />
<br />
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na <br />
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například <br />
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí <br />
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto <br />
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním <br />
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $(n+1)(n+2)/2$.<br />
<br />
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.<br />
\bc<br />
Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že<br />
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=2^n n!\pi^{1/2}\delta_{nm}. \]<br />
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}<br />
\ll{Slmomhyb}<br />
<br />
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory <br />
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\partial}{\partial x_l}. \ll{momhyb} \ee<br />
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$<br />
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee<br />
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee<br />
<br />
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec<br />
<br />
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar<br />
\begin{eqnarray}<br />
\hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}+\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{lx} \\<br />
\hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta} \right), \ll{ly} \\<br />
\hat L_z &=& -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}. \ll{lz}<br />
\end{eqnarray}<br />
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší <br />
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici<br />
\be -ih \frac{\partial}{\partial\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee<br />
Její řešení je<br />
\be<br />
\Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},<br />
\ee<br />
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi <br />
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit<br />
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]<br />
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}<br />
\be \lambda = m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee<br />
<br />
\bc <br />
\uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stav kvantového systému}<br />
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou <br />
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému <br />
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že <br />
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci <br />
elektronů).<br />
<br />
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} <br />
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést <br />
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu <br />
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}<br />
<br />
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému <br />
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:<br />
<br />
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí <br />
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}<br />
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a <br />
nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.<br />
\ec<br />
<br />
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, <br />
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou <br />
energií.<br />
<br />
\bc<br />
Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?<br />
\ec<br />
<br />
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější <br />
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl <br />
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska <br />
popisu stavu nepřípustné.<br />
<br />
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho <br />
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich <br />
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných <br />
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}<br />
<br />
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných <br />
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}<br />
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee<br />
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů <br />
$(\hat A_1\ldots,\hat A_K)$.<br />
<br />
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y <br />
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou <br />
nekompatibilní, neboť<br />
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee<br />
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti <br />
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou <br />
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ <br />
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné <br />
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. <br />
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení <br />
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.<br />
<br />
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:<br />
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin<br />
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím <br />
\be \hat A_i g = \alpha_i g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee<br />
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}<br />
<br />
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} <br />
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.<br />
<br />
\bt<br />
Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný <br />
soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr <br />
podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
<br />
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících <br />
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od <br />
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.<br />
<br />
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to <br />
relativně snadno měřitelná veličina.<br />
<br />
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát <br />
momentu hybnosti a jedna jeho složka.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}<br />
\ll{ssec:csympot}<br />
<br />
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je <br />
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.<br />
<br />
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \triangle + \hat V(r), \ll{sspot} \ee<br />
kde<br />
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee<br />
<br />
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami <br />
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.<br />
<br />
\bc<br />
Spočítejte komutátory<br />
\be [L_j,X_k],\ [L_j,P_k],\ [L_j,L_k],\ \ll{loper1} \ee<br />
kde<br />
\be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $L_3\equiv L_z$ a<br />
\be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.<br />
<br />
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar<br />
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi} \ll{lzsfer} \ee<br />
\be <br />
\hat L^2 <br />
= - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right) \right]<br />
\ll{lkvadsfer}<br />
\ee<br />
\be<br />
\hat H <br />
= - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right)<br />
+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} <br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta} \right)\right)\right] <br />
+ \hat V(r)<br />
\ll{hsfer}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.<br />
\ec<br />
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}<br />
\ll{ssmomhyb}<br />
<br />
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty <br />
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee<br />
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e <br />
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici <br />
\be <br />
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\theta} \left(\sin\theta\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\right)<br />
+ \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi<br />
= 0.<br />
\ll{pdrl2}<br />
\ee <br />
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole <br />
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru <br />
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee<br />
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.<br />
<br />
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici <br />
\be \frac{d}{dt}\left[ (1-t^2)\frac{dF}{dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee <br />
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je <br />
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$ <br />
v~tomto případě zní<br />
\[<br />
\int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2dxdydz <br />
= \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle} |\Psi(r,\theta,\phi)|^2 r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi <br />
\]<br />
\be<br />
= 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 r^2 dr \sin\theta d\theta<br />
= 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2 dr dt < \infty.<br />
\ll{kvadintss}<br />
\ee<br />
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná <br />
na $\langle -1,1 \rangle$.<br />
<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem<br />
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee<br />
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i<br />
\be x(x-1)\frac{d^2U}{dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{dU}{dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee<br />
kde<br />
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]<br />
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci<br />
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee<br />
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však <br />
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ <br />
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky<br />
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar<br />
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee<br />
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem<br />
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{d^{l+m}}{dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.<br />
\ec<br />
<br />
Funkce<br />
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee<br />
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly<br />
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí<br />
\[ \{ Y_{lm}, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]<br />
kde<br />
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee<br />
tvoří ortonormální bazi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times <br />
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina<br />
\be \{l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee<br />
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.<br />
<br />
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často <br />
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro <br />
$l=0,1,2,\ldots$<br />
<br />
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost <br />
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$<br />
\be dw = w(\theta,\phi) d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega. \ee<br />
<br />
\bc<br />
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}<br />
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar<br />
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee<br />
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián <br />
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem<br />
\be <br />
\hat H <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} <br />
+ \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} \right) <br />
- \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] <br />
+ \hat V(r).<br />
\ll{hsfer2}<br />
\ee<br />
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň <br />
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{eff}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee<br />
kde<br />
\be V_{eff}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee<br />
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee<br />
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ <br />
přejde na podmínku<br />
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 dr < \infty. \ee<br />
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku<br />
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee<br />
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž<br />
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).<br />
<br />
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. <br />
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace <br />
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.<br />
<br />
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}<br />
<br />
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice<br />
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee<br />
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee<br />
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.<br />
<br />
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly <br />
zapsat jako řadu<br />
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee<br />
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme<br />
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee<br />
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee<br />
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.<br />
<br />
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde<br />
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee<br />
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$<br />
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee<br />
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}<br />
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee<br />
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je<br />
\be y(x) = C_1 F(\frac{c}{a},b,-ax) + C_2 x^{1-b} F(\frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax). \ll{obres1} \ee<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že $a_n/a_{n-1}\lim 1/n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\lim \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz <br />
\cite{baterd})<br />
\be<br />
\ll{rtoplusinf}<br />
F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
Pro $z\lim -\infty\ $<br />
\be<br />
\ll{rtominusinf}<br />
F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}<br />
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních <br />
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií <br />
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru <br />
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee <br />
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného <br />
směru (směr osy $z$ není ničím určen).<br />
<br />
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=r/a$, kde <br />
$a=\sqrt{\hbar/(M\omega)}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici<br />
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee<br />
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} <br />
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme <br />
ansatz<br />
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee<br />
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee<br />
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku <br />
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce <br />
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není <br />
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné <br />
Laguerrovy polynomy}<br />
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee<br />
definované též způsobem<br />
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee<br />
<br />
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $(2n+l+3/2)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které <br />
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ <br />
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, <br />
\ll{resiho}<br />
\ee<br />
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{M\omega/\hbar}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), <br />
\ll{resiho2}<br />
\ee<br />
a zvolíme-li<br />
\be <br />
|K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}<br />
\ee<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.<br />
<br />
\bc <br />
Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními <br />
\fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.<br />
\ec<br />
<br />
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo <br />
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.<br />
<br />
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} <br />
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali <br />
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Coulombův potenciál}<br />
\ll{podkap:coulomb}<br />
<br />
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál<br />
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee<br />
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, <br />
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie <br />
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. <br />
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar<br />
\be <br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).<br />
\ll{rcekhicp}<br />
\ee<br />
Substitucí<br />
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee<br />
kde<br />
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee<br />
převedeme tuto rovnici na tvar<br />
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee<br />
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}<br />
\be w(r)=C_1\,F(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r). \ll{dghgcoul} \ee<br />
Podmínka kvadratické integrability pak zní<br />
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee<br />
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}<br />
\be <br />
\fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .<br />
\ll{ecoul}<br />
\ee<br />
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta <br />
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro <br />
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. <br />
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e <br />
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í <br />
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$<br />
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee<br />
má tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} (\frac{2r}{Na}) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},<br />
\ll{nlmcoul}<br />
\ee<br />
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety<br />
\be <br />
\ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{Na}) Y_{lm}(\theta,\phi),<br />
\ll{nlmcoul1}<br />
\ee<br />
kde<br />
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je <br />
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.<br />
<br />
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec<br />
<br />
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec<br />
<br />
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii. <br />
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je<br />
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee<br />
<br />
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už <br />
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum <br />
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip <br />
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee <br />
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů <br />
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme <br />
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee <br />
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě <br />
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy <br />
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.<br />
<br />
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bazi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),<br />
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra<br />
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}<br />
\ll{posunovacioperatory}<br />
<br />
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem <br />
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud<br />
\be [\hat B,\hat A] = \Delta \hat A. \ll{posop} \ee<br />
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak <br />
ze \rf{posop} ihned plyne<br />
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\Delta) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee<br />
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.<br />
<br />
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$, <br />
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený <br />
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že <br />
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.<br />
<br />
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}<br />
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie <br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee<br />
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou <br />
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee<br />
neboť<br />
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee<br />
Navíc platí<br />
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \hat\unit. \ll{acoma} \ee<br />
<br />
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}<br />
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee<br />
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se <br />
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.<br />
<br />
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí<br />
\be<br />
\hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).<br />
\ee<br />
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.<br />
<br />
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho <br />
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit<br />
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee<br />
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar<br />
\be \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi+\frac{d}{d\xi})\psi_0 = 0, \ee<br />
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme<br />
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee<br />
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním <br />
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií <br />
\be<br />
\psi_n(\xi)<br />
= K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)<br />
= \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}(\xi-\frac{d}{d\xi})^ne^{-\xi^2/2},\ \ \<br />
K_n^{-1}<br />
=\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.<br />
\ll{ntylho}<br />
\ee<br />
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů <br />
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou <br />
kladné.<br />
<br />
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec<br />
<br />
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou <br />
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru<br />
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee<br />
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme<br />
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2/2}. \ll{kohstav} \ee<br />
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti}<br />
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, <br />
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory<br />
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee<br />
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace<br />
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee<br />
a přechodem do sférických souřadnic<br />
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee<br />
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee<br />
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha} <br />
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.<br />
<br />
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec<br />
<br />
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec<br />
<br />
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ <br />
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant <br />
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.<br />
<br />
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}<br />
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{~}$ a \uv{bra} $\bra{~}$, což obecně není nic jiného než označení prvků <br />
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, <br />
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je<br />
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]<br />
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in$\qintline<br />
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]<br />
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bazi <br />
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar<br />
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee<br />
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \hat\unit$.<br />
<br />
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy<br />
\be<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m<br />
\qquad \mathrm{a} \qquad<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,<br />
\ee<br />
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů<br />
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]<br />
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar<br />
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee<br />
<br />
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem<br />
\be<br />
\hat O f \equiv \hat O |f\rangle <br />
= \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f} <br />
= \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},<br />
\ee<br />
kde<br />
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := \sprod{\psi_n}{\hat O\psi_m}. \ee<br />
<br />
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec<br />
<br />
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického <br />
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}<br />
\ll{zobvlf}<br />
<br />
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled <br />
jednoduchý. Podmínka<br />
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee<br />
dává diferenciální rovnice<br />
\be -i\hbar\frac{\partial\phi}{\partial x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee<br />
které mají řešení<br />
\be \phi_{\vec{p}}(\vec{x})=Ae^{i\vec{p}\, \vec{x}/\hbar}, \ll{zvfoh} \ee<br />
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné <br />
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. <br />
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří<br />
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.<br />
<br />
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra <br />
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, <br />
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi <br />
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.<br />
<br />
Příkladem takové husté podmnožiny je \emph{prostor rychle ubývajících funkcí} $\mathcal{S}(\R^3)$ obsahující funkce $f\in$ \qintspace <br />
splňující<br />
\be<br />
\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}} \frac{\partial^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}} \frac{\partial^{k_3}}{\partial x_3^{k_3}} f \right| < \infty<br />
\ll{prryubfci}<br />
\ee<br />
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathcal{S}(\R^3)$ je, že Fourierova transformace<br />
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)d^3x \ll{Fourier}\ee <br />
je bijekcí $\mathcal{S}(\R^3)$ na $\mathcal{S}(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar<br />
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee<br />
odkud snadno dostaneme, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{FfFg}<br />
(\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pro $f\in\mathcal{S}(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na <br />
$\mathcal{S}(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.<br />
\be<br />
\ll{psip}<br />
\Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),<br />
\ee<br />
\be<br />
\ll{invft}<br />
(f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),<br />
\ee<br />
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathcal{S}(\R^3)$. Rovnice pro <br />
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar<br />
\be<br />
(\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3) <br />
\ll{rceprophip}<br />
\ee<br />
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. <br />
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou <br />
hybností.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť<br />
\[<br />
\phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. <br />
\]<br />
Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice<br />
\[<br />
\hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3<br />
\]<br />
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení <br />
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze <br />
použít tzv.~$\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:<br />
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee<br />
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee<br />
<br />
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze <br />
obě podmínky splnit.<br />
\bp<br />
Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť<br />
\[<br />
f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}<br />
\]<br />
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\<br />
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně <br />
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.<br />
\ep<br />
<br />
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathcal{S}(\R^n)$. <br />
Uvedeme pouze, že v~této teorii je (jednorozměrná) $\delta$--\fc e formálním analogem \fc ionálu $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathcal{S(\R)}$ definovaného ve<br />
shodě s~\rf{dcond2} způsobem <br />
\be<br />
\int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).<br />
\ee<br />
Rovnost<br />
\[<br />
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)<br />
\]<br />
pak znamená<br />
\be<br />
(\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathcal{S}(\R^3),<br />
\ee<br />
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je<br />
\be<br />
\delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)<br />
\ll{zvfop}<br />
\ee<br />
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.<br />
<br />
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že<br />
\be<br />
\int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}(\vex-\vec{y})} d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),<br />
\ee<br />
tj.<br />
\be<br />
\mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}<br />
\ll{fourfip}<br />
\ee<br />
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$<br />
\be<br />
(\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').<br />
\ll{dnormp}<br />
\ee<br />
Podobně i pro \rf{zvfop} platí<br />
\be<br />
(\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').<br />
\ll{dnormx}<br />
\ee<br />
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathcal{S}(\R^n)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.<br />
<br />
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh}, <br />
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad<br />
\braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad<br />
\braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),<br />
\]<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad<br />
\braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)<br />
\]<br />
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}<br />
\[<br />
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.<br />
\]<br />
<br />
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice <br />
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice <br />
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e<br />
\be<br />
\psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},<br />
\ee<br />
kde $k=\pm\sqrt{2ME}/\hbar$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a<br />
\be<br />
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)<br />
\ll{zovlfcecoul}.<br />
\ee<br />
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí<br />
\[<br />
\int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr<br />
\]<br />
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee<br />
kde $K_{kl}$ je konstanta.<br />
<br />
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. <br />
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.<br />
<br />
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola1&diff=436202KVAN:Kapitola12011-08-30T06:23:36Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Charakteristické rysy \qv é mechaniky}<br />
<br />
Technická dokonalost přístrojů a metod dosáhla na přelomu 19.~a 20.~století takové kvality, že bylo možno zkoumat fyzikální jevy, <br />
na které mají podstatný vliv elementární procesy na úrovni atomů (tj.~při charakteristických rozměrech $10^{-10}$ m a hybnostech<br />
řádu $10^{-24}$ kg m/s). Při jejich zkoumání se objevují nové \textbf{fyzikální objekty} jako elektron či foton, \textbf{které <br />
nemají ani čistě částicové ani čistě vlnové vlastnosti}. Můžeme je nazývat \textbf{kvanta} (odtud kvantová mechanika --- mechanika <br />
kvant) či \textbf{kvantové \cc e}. Teoreticko-fyzikální popis takových objektů je obsahem \qv é mechaniky.<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že s~mikroskopickými jevy a procesy nemáme přímou smyslovou zkušenost, \textbf{chybí nám pro jejich popis <br />
přirozený jazyk}. Pomáháme si proto pojmy známými z~makrosvěta, které ale nemusí být vždy adekvátní. Příkladem toho jsou například <br />
různé pokusy vysvětlit pojem spinu analogiemi s~momentem hybnosti. Dokonce se zdá, že při popisu jevů v~mikrosvětě někdy selhává i <br />
přirozená intuice a tzv.~zdravý rozum. To ale nemusí být příliš překvapivé, neboť i ty jsou extrapolací a zevšeobecněním zkušeností <br />
z~makrosvěta. Je proto třeba jako vždy se nakonec uchýlit k matematice a konfrontaci teorie s~experimentem.<br />
<br />
Hlavním matematickým nástrojem kvantové mechaniky je funkcionální analýza, neboť fyzikální stavy kvant jsou popsány prvky Hilbertova <br />
prostoru a pozorovatelné veličiny lineárními operátory na něm. Jakkoliv se zdá tento popis při prvním setkání nepřirozený a abstraktní,<br />
dává správné předpovědi experimentálních výsledků.<br />
<br />
Předpovědi \qv é mechaniky mají \textbf{téměř výlučně statistický charakter}. Předpovídají pouze pravděpodobnosti fyzikálních jevů,<br />
nikoliv jejich deterministický vývoj. Tento statistický charakter není důsledkem matematického popisu předpokládané nedokonalosti <br />
našich přístrojů, nýbrž, jak uvidíme později, je přímým důsledkem postulátů kvantové mechaniky tzn.~matematického popisu mikrosvěta.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru s~energií $E$ v intervalu $(x,x+dx)$? Co potřebujeme <br />
znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v~deterministickou předpověď?<br />
\ec<br />
<br />
Jako každá fundamentálně nová teorie, i kvantová mechanika mění naše představy o~vlastnostech materiálního světa. Relace neurčitosti, <br />
které jsou jejím důsledkem, představují fyzikální zákon, který omezuje možnosti poznání přírody a má nemalý vliv na filosofické <br />
aspekty vědy.<br />
<br />
Studium \qv é mechaniky a její postupné chápání je náročné nejen kvůli nutnosti naučit se mnoho nových faktů a matematiky, ale i kvůli <br />
psychologické bariéře, která vzniká, kdykoliv se setkáme s~něčím, co nás nutí opustit zažitá schemata pramenící z~extrapolace <br />
každodenní zkušenosti.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola2&diff=436102KVAN:Kapitola22011-08-30T06:21:52Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Zrod \qv é mechaniky}<br />
\ll{ZrodQM}<br />
<br />
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a<br />
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou <br />
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a <br />
magnetická intenzita, teplota, objem atd.<br />
<br />
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální <br />
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých <br />
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že <br />
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika <br />
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}<br />
<br />
\bc<br />
Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište <br />
rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?<br />
\ec<br />
<br />
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty <br />
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. <br />
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.<br />
<br />
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné <br />
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím, <br />
které jsou v~rozporu s~pozorováními.<br />
<br />
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo <br />
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od <br />
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly <br />
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}<br />
<br />
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi <br />
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se <br />
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující <br />
se po nějaké dráze.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze <br />
o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).<br />
\ec<br />
<br />
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt <br />
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i <br />
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.<br />
<br />
<br />
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}<br />
<br />
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost <br />
na frekvenci záření a teplotě tělesa.<br />
<br />
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou <br />
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené <br />
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.<br />
<br />
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem <br />
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů<br />
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0, \ll{ml1} \ee<br />
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \ll{ml2} \ee<br />
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz <br />
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.<br />
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee<br />
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto <br />
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.<br />
<br />
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické <br />
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem <br />
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee<br />
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují <br />
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.<br />
<br />
Kalibrační transformace<br />
\be \phi(\vec x,t) = \phi'(\vec x,t)-\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t) \ee<br />
\be \vec A(\vec x,t) = \vec A'(\vec x,t) + \grad \lambda(\vec x,t), \ee<br />
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice<br />
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee<br />
\be \triangle \lambda = -\div \vec A' \ee<br />
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách<br />
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee<br />
<br />
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a<br />
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.<br />
<br />
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz <br />
např.~\cite{uhl:uvaf})<br />
<br />
\be A_1(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L), \ll{Four1} \ee<br />
\be A_2(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L), \ll{Four2}\ee<br />
\be A_3(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L). \ll{Four3}\ee<br />
<br />
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují<br />
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]<br />
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou <br />
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$. <br />
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí $\sin mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé <br />
funkce pomocí funkcí $\cos mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka<br />
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]<br />
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí <br />
$\cos mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.<br />
<br />
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci<br />
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle A_i=0, \ll{vlnrce} \ee<br />
které dostaneme z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice <br />
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e<br />
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee<br />
kde<br />
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee<br />
a $c$ je rychlost světla.<br />
<br />
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar<br />
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee<br />
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující <br />
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.<br />
<br />
\bc<br />
Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t)$ a $\vec B(\vec x,t)$.<br />
\ec<br />
<br />
Energie elektromagnetického pole<br />
\[ \mathcal{E} = \frac{1}{2}\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]<br />
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar<br />
\be <br />
\mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2). <br />
\ll{ergempole}<br />
\ee<br />
<br />
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických <br />
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.<br />
<br />
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii <br />
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že <br />
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami statistické fyziky.<br />
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí <br />
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou <br />
statistikou s~rozdělovací funkcí<br />
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee<br />
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou<br />
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]<br />
<br />
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi<br />
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi) = c|\vec{m}|/(2L)$<br />
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]<br />
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet <br />
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.<br />
<br />
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů <br />
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ <br />
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2Ld\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi <br />
v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy<br />
\be <br />
d\bar{\mathcal{E}} <br />
= 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm <br />
= \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu<br />
= V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu} \ee<br />
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je<br />
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee<br />
<br />
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot <br />
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je<br />
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]<br />
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$<br />
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee<br />
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ je<br />
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]<br />
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková <br />
hustota energie elektromagnetického pole<br />
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll{heemp}\ee<br />
diverguje.}<br />
<br />
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec<br />
<br />
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee<br />
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).<br />
<br />
\begin {figure}[hbtp]<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}<br />
\caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\bc <br />
Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou <br />
(Wienův posunovací zákon)?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě <br />
Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti <br />
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro <br />
danou teplotu.<br />
\ec<br />
<br />
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):<br />
<br />
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat <br />
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.<br />
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}<br />
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]<br />
<br />
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a <br />
energií $E_n$ je<br />
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]<br />
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady<br />
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]<br />
<br />
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak<br />
\[ <br />
\overline{\epsilon(\nu,T)} <br />
= \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n<br />
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} <br />
= A^{-1}\left[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}\right]<br />
= \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. <br />
\]<br />
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin <br />
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož <br />
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.<br />
<br />
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost<br />
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.<br />
\[<br />
\epsilon(T)<br />
= \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu<br />
= \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx<br />
= \kappa T^4, <br />
\]<br />
kde<br />
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]<br />
<br />
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru <br />
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.<br />
<br />
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou <br />
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.<br />
<br />
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919 <br />
(viz \cite{uhl:uvaf}).<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Fotoefekt}<br />
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise <br />
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.<br />
<br />
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do <br />
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj <br />
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.<br />
<br />
\begin{figure}[hbtp]<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1mm<br />
\linethickness{0.4pt}<br />
\begin{picture}(105.00,85.00)<br />
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)<br />
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}<br />
%\end<br />
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}<br />
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)<br />
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)<br />
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)<br />
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)<br />
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)<br />
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)<br />
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)<br />
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)<br />
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)<br />
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)<br />
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)<br />
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)<br />
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)<br />
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)<br />
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)<br />
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)<br />
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)<br />
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)<br />
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)<br />
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}<br />
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}<br />
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}<br />
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného <br />
záření je lineární.<br />
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]<br />
<br />
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že <br />
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou<br />
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\emph{"...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without <br />
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole."}) Kinetická energie emitovaného elektronu je<br />
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee<br />
<br />
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází <br />
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají <br />
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie <br />
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.<br />
<br />
\bc<br />
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka <br />
pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Comptonův rozptyl}<br />
<br />
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle <br />
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož <br />
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.<br />
<br />
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce <br />
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou <br />
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii <br />
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření<br />
\be (\Delta\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee<br />
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou <br />
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}<br />
<br />
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz <br />
obr.~\ref{fig:compton}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1.00mm<br />
\linethickness{0.2pt}<br />
\begin{picture}(90.00,50.00)<br />
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}<br />
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)<br />
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)<br />
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}<br />
%\end<br />
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}<br />
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}<br />
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}<br />
\end{figure}<br />
<br />
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\emph{"... when an X-ray quantum <br />
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."}), při které se celková energie a hybnost zachovává.<br />
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee<br />
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee<br />
kde<br />
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]<br />
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]<br />
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne<br />
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]<br />
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]<br />
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee<br />
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.<br />
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.<br />
<br />
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$, <br />
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee<br />
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však <br />
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je <br />
nepřímo úměrná vlnové délce záření $|\vec{p}| = h/\lambda$.<br />
<br />
\bc<br />
Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace<br />
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]<br />
v~klidu?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Shrnutí}<br />
<br />
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.<br />
\item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit <br />
pouze o~konečné přírustky.<br />
\end{enumerate}<br />
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a <br />
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických<br />
fyzikálních systémů.<br />
<br />
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.<br />
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme <br />
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.} <br />
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}<br />
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter <br />
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující <br />
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.<br />
<br />
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech <br />
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo <br />
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba <br />
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu <br />
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice, <br />
přesněji funkci}<br />
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee<br />
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.<br />
<br />
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové <br />
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na <br />
krystalech.<br />
<br />
\bc<br />
Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$ <br />
pohybující se rychlostí zvuku.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech <br />
$1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností <br />
atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?<br />
\ec<br />
<br />
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\vec{p}^{~2}/2m$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{~2}c^2+m^2c^4}$ <br />
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která <br />
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese <br />
jeho jméno.<br />
<br />
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují <br />
disperzní relace, a použít identity<br />
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps} \ee<br />
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu<br />
\be <br />
\frac{\partial\psi}{\partial t} <br />
= -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi <br />
= -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x_j^2})\psi.<br />
\ll{srvolna}<br />
\ee<br />
<br />
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice<br />
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee<br />
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci <br />
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee<br />
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee<br />
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)<br />
<br />
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není <br />
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice <br />
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vex-\frac{\vec{p}^2}{2m}t)}d^3p. \ll{vlnbalik} \ee<br />
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou <br />
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti, <br />
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar<br />
\be g(\vec x)=C\exp \left\{ -A\vex^2+\vec B\vec x \right\} \ll{mvb}\ee<br />
Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y<br />
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$<br />
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),<br />
kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.<br />
\ll{ex:vlnbal}<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že<br />
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6) \right\} \, \psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]<br />
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}<br />
<br />
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich<br />
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.<br />
<br />
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální <br />
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním <br />
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.<br />
<br />
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho <br />
statistická interpretace (Max Born, 1926):<br />
<br />
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y <br />
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice <br />
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}<br />
<br />
\bc<br />
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{casvmvb}<br />
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení<br />
\be \psi(\vec x,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee<br />
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]<br />
z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění <br />
s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě <br />
$1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?<br />
\ll{ex:pstvb}<br />
\ec<br />
<br />
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $O\subset{\bf R}^3$ je úměrná<br />
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]<br />
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno <br />
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou<br />
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee<br />
kde<br />
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz, \ll{norma} \ee<br />
pokud tento integrál existuje.<br />
<br />
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují<br />
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee<br />
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola2&diff=436002KVAN:Kapitola22011-08-30T06:19:56Z<p>Stepazb2: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Zrod \qv é mechaniky}<br />
\ll{ZrodQM}<br />
<br />
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a<br />
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou <br />
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a <br />
magnetická intenzita, teplota, objem atd.<br />
<br />
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální <br />
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých <br />
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že <br />
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika <br />
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}<br />
<br />
\bc<br />
Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište <br />
rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?<br />
\ec<br />
<br />
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty <br />
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. <br />
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.<br />
<br />
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné <br />
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím, <br />
které jsou v~rozporu s~pozorováními.<br />
<br />
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo <br />
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od <br />
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly <br />
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}<br />
<br />
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi <br />
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se <br />
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující <br />
se po nějaké dráze.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze <br />
o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).<br />
\ec<br />
<br />
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt <br />
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i <br />
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.<br />
<br />
<br />
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}<br />
<br />
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost <br />
na frekvenci záření a teplotě tělesa.<br />
<br />
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou <br />
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené <br />
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.<br />
<br />
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem <br />
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů<br />
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0, \ll{ml1} \ee<br />
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \ll{ml2} \ee<br />
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz <br />
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.<br />
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee<br />
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto <br />
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.<br />
<br />
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické <br />
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem <br />
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee<br />
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují <br />
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.<br />
<br />
Kalibrační transformace<br />
\be \phi(\vec x,t) = \phi'(\vec x,t)-\frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t) \ee<br />
\be \vec A(\vec x,t) = \vec A'(\vec x,t) + \grad \lambda(\vec x,t), \ee<br />
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice<br />
\be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee<br />
\be \triangle \lambda = -\div \vec A' \ee<br />
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách<br />
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee<br />
<br />
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a<br />
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.<br />
<br />
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz <br />
např.~\cite{uhl:uvaf})<br />
<br />
\be A_1(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L), \ll{Four1} \ee<br />
\be A_2(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L), \ll{Four2}\ee<br />
\be A_3(\vec x,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L). \ll{Four3}\ee<br />
<br />
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují<br />
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]<br />
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou <br />
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$. <br />
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí $\sin mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé <br />
funkce pomocí funkcí $\cos mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka<br />
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]<br />
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí <br />
$\cos mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.<br />
<br />
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci<br />
\be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle A_i=0, \ll{vlnrce} \ee<br />
které dostaneme z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice <br />
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e<br />
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee<br />
kde<br />
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee<br />
a $c$ je rychlost světla.<br />
<br />
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar<br />
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee<br />
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující <br />
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.<br />
<br />
\bc<br />
Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t)$ a $\vec B(\vec x,t)$.<br />
\ec<br />
<br />
Energie elektromagnetického pole<br />
\[ \mathcal{E} = \frac{1}{2}\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]<br />
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar<br />
\be <br />
\mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2). <br />
\ll{ergempole}<br />
\ee<br />
<br />
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických <br />
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.<br />
<br />
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii <br />
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že <br />
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami statistické fyziky.<br />
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí <br />
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou <br />
statistikou s~rozdělovací funkcí<br />
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee<br />
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou<br />
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]<br />
<br />
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi<br />
$\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi) = c|\vec{m}|/(2L)$<br />
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]<br />
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet <br />
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.<br />
<br />
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů <br />
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ <br />
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2Ld\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi <br />
v~intervalu $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy<br />
\be <br />
d\bar{\mathcal{E}} <br />
= 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm <br />
= \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu<br />
= V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu} \ee<br />
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je<br />
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee<br />
<br />
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot <br />
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je<br />
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]<br />
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$<br />
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee<br />
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ je<br />
\[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]<br />
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková <br />
hustota energie elektromagnetického pole<br />
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll{heemp}\ee<br />
diverguje.}<br />
<br />
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec<br />
<br />
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee<br />
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).<br />
<br />
\begin {figure}[hbtp]<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.18]{blackbody.eps}<br />
\caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\bc <br />
Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou <br />
(Wienův posunovací zákon)?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě <br />
Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti <br />
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro <br />
danou teplotu.<br />
\ec<br />
<br />
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):<br />
<br />
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat <br />
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.<br />
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}<br />
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]<br />
<br />
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a <br />
energií $E_n$ je<br />
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]<br />
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady<br />
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]<br />
<br />
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak<br />
\[ <br />
\overline{\epsilon(\nu,T)} <br />
= \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n<br />
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} <br />
= A^{-1}\left[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}\right]<br />
= \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. <br />
\]<br />
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin <br />
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož <br />
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.<br />
<br />
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost<br />
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.<br />
\[<br />
\epsilon(T)<br />
= \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu<br />
= \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}dx<br />
= \kappa T^4, <br />
\]<br />
kde<br />
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]<br />
<br />
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru <br />
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.<br />
<br />
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou <br />
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.<br />
<br />
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919 <br />
(viz \cite{uhl:uvaf}).<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Fotoefekt}<br />
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise <br />
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.<br />
<br />
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do <br />
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj <br />
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.<br />
<br />
\begin{figure}[hbtp]<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1mm<br />
\linethickness{0.4pt}<br />
\begin{picture}(105.00,85.00)<br />
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)<br />
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}<br />
%\end<br />
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}<br />
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)<br />
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)<br />
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)<br />
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)<br />
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)<br />
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)<br />
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)<br />
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)<br />
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)<br />
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)<br />
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)<br />
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)<br />
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)<br />
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)<br />
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)<br />
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)<br />
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)<br />
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)<br />
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)<br />
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}<br />
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}<br />
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}<br />
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného <br />
záření je lineární.<br />
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]<br />
<br />
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že <br />
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou<br />
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\emph{"...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without <br />
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole."}) Kinetická energie emitovaného elektronu je<br />
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee<br />
<br />
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází <br />
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají <br />
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie <br />
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.<br />
<br />
\bc<br />
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka <br />
pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Comptonův rozptyl}<br />
<br />
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle <br />
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož <br />
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.<br />
<br />
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce <br />
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou <br />
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii <br />
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření<br />
\be (\Delta\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee<br />
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou <br />
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}<br />
<br />
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz <br />
obr.~\ref{fig:compton}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1.00mm<br />
\linethickness{0.2pt}<br />
\begin{picture}(90.00,50.00)<br />
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}<br />
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)<br />
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)<br />
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}<br />
%\end<br />
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}<br />
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}<br />
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}<br />
\end{figure}<br />
<br />
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\emph{"... when an X-ray quantum <br />
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."}), při které se celková energie a hybnost zachovává.<br />
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee<br />
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee<br />
kde<br />
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]<br />
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]<br />
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne<br />
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]<br />
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]<br />
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee<br />
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.<br />
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.<br />
<br />
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$, <br />
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee<br />
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však <br />
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je <br />
nepřímo úměrná vlnové délce záření $|\vec{p}| = h/\lambda$.<br />
<br />
\bc<br />
Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace<br />
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]<br />
v~klidu?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Shrnutí}<br />
<br />
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.<br />
\item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit <br />
pouze o~konečné přírustky.<br />
\end{enumerate}<br />
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a <br />
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických<br />
fyzikálních systémů.<br />
<br />
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.<br />
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme <br />
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.} <br />
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}<br />
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter <br />
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující <br />
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.<br />
<br />
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech <br />
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo <br />
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba <br />
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu <br />
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice, <br />
přesněji funkci}<br />
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee<br />
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.<br />
<br />
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové <br />
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na <br />
krystalech.<br />
<br />
\bc<br />
Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$ <br />
pohybující se rychlostí zvuku.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech <br />
$1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností <br />
atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?<br />
\ec<br />
<br />
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\vec{p}^{~2}/2m$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{~2}c^2+m^2c^4}$ <br />
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která <br />
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese <br />
jeho jméno.<br />
<br />
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují <br />
disperzní relace, a použít identity<br />
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps} \ee<br />
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu<br />
\be <br />
\frac{\partial\psi}{\partial t} <br />
= -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi <br />
= -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x_j^2})\psi.<br />
\ll{srvolna}<br />
\ee<br />
<br />
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice<br />
\be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee<br />
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci <br />
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee<br />
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee<br />
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)<br />
<br />
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není <br />
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice <br />
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vex-\frac{\vec{p}^2}{2m}t)}d^3p. \ll{vlnbalik} \ee<br />
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou <br />
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti, <br />
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar<br />
\be g(\vec x)=C\exp \left\{ -A\vex^2+\vec B\vec x \right\} \ll{mvb}\ee<br />
Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y<br />
\rc e $\psi(\vec x,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$<br />
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),<br />
kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.<br />
\ll{ex:vlnbal}<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že<br />
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6) \right\} \, \psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]<br />
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}<br />
<br />
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich<br />
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.<br />
<br />
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální <br />
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním <br />
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.<br />
<br />
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho <br />
statistická interpretace (Max Born, 1926):<br />
<br />
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y <br />
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice <br />
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}<br />
<br />
\bc<br />
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{casvmvb}<br />
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení<br />
\be \psi(\vec x,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee<br />
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]<br />
z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění <br />
s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě <br />
$1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?<br />
\ll{ex:pstvb}<br />
\ec<br />
<br />
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $O\subset{\bf R}^3$ je úměrná<br />
\[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]<br />
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno <br />
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou<br />
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee<br />
kde<br />
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz, \ll{norma} \ee<br />
pokud tento integrál existuje.<br />
<br />
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují<br />
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee<br />
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.</div>Stepazb2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRnew:Kapitola3&diff=435901DIFRnew:Kapitola32011-08-29T06:05:27Z<p>Stepazb2: gramaticka uprava</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01DIFRnew}<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic}<br />
\label{chap:teor_vlastnosti}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% SEKCE: Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\section{Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% PODSEKCE: Existence řešení<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\subsection{Existence řešení}<br />
\begin{define}<br />
\index{funkce!stejně spojité}<br />
\index{funkce!stejně omezené}<br />
Nechť $I\subset\R$ je omezený interval a $\Ms$ je množina funkcí definovaných na $I$. Potom říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně omezené} <br />
právě tehdy, když <br />
\begin{equation*}<br />
\Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \abs{f(x)} < K \Bigr).<br />
\end{equation*}<br />
Říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně spojité} právě tehdy, když<br />
\begin{equation*}<br />
\Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists \delta>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x_1,x_2 \in I \Bigr) <br />
\Bigl( \abs{x_1 - x_2}<\delta \Rightarrow \abs{f(x_1) - f(x_2)} < \epsilon \Bigr).<br />
\end{equation*}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzanova\footnote{\textbf{Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano} (1781-1848), německy hovořící český matematik, filozof a katolický <br />
kněz.}-Weierstrassova\footnote{\textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (1815-1897), německý matematik.} věta (viz~např.~\cite[Věta 3.6]{rudin1}) nám zaručuje, že <br />
máme-li posloupnost definovanou na kompaktním intervalu $\langle a,b \rangle$, lze z~ní vybrat konvergentní podposloupnost. Následující věta nám poskytuje <br />
analogické tvrzení pro funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Arzelàova\footnote{\textbf{Cesare Arzelà} (1847-1912), italský matematik.}-Ascoliova\footnote{\textbf{Guilio Ascoli} (1843-1896), italský matematik.}]<br />
\index{věta!Arzelàova-Ascoliova}<br />
\label{theo:arzela}<br />
Nechť $\Ms$ je množina funkcí definovaných na omezeném intervalu $I\subset\R$, které jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité. Pak z~každé posloupnosti <br />
funkcí $\{g_n\}_{n\geq1}$ v~$\Ms$ lze vybrat podposloupnost $\{g_{n'}\}_{n'\geq1}$, která je na $I$ stejnoměrně konvergentní.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme např.~$I=(a,b)$. O~intervalu $I$ víme, že je částí $\R$ a je omezený. Na intervalu $I$ zkonstruujeme hustou množinu bodů (tj.~množinu, jejíž uzávěr je <br />
roven celému intervalu $I$). Tuto množinu navíc zkonstruujeme tak, aby byla spočetná.<br />
<br />
V~prvním kroku rozdělíme interval $I=(a,b)$ na dvě poloviny. Dělící bod označíme $x_1$ a zřejmě platí<br />
\[<br />
x_1 = a + \frac{b-a}{2}.<br />
\]<br />
Ve druhém kroku rozdělíme dvě poloviny intervalu $I$ opět na dvě poloviny. Tím dostaneme dělící body $x_2$ a $x_3$, pro které platí <br />
<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_2 &=& a + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}<br />
\hfill a \hfill<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}<br />
<br />
Ve třetím analogicky sestrojíme body $x_4$ až $x_7$ definované následujícím způsobem<br />
<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_4 &=& a + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_5 &=& x_2 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}<br />
\hfill a \hfill<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_6 &=& x_1 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_7 &=& x_3 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}<br />
<br />
Dále postupujeme analogicky. Je zřejmé, že takto konstruujeme posloupnost bodů z~$I$. Tyto body jsou rozmístěny rovnoměrně a neustále se přibližují. Množina těchto <br />
bodů je tedy hustá v~$I$. V~každém kroku konstrukce jsou vzdálenosti mezi body stejné.<br />
<br />
Nechť $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~množiny $\Ms$. %(tím máme na mysli, že funkce $g_n$ jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité)<br />
Potom<br />
\begin{enumerate}<br />
\item pro $x=x_1$ je číselná posloupnost $\{ g_n (x_1) \}_{n \geq 1}$ omezená na kompaktu a podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty existuje její konvergentní <br />
číselná podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(1)} (x_1) \}_{n \geq 1}$. Posloupnost $\{ g_n^{(1)} \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost vybraná z~původní <br />
funkční posloupnosti $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ a má tedy i příslušné vlastnosti.<br />
\item pro $x=x_2$ je číselná posloupnost $\{ g_n^{(1)} (x_2) \}_{n \geq 1}$ omezená a opět tedy existuje její konvergentní podposloupnost, kterou analogicky označíme <br />
$\{ g_n^{(2)} (x_2) \}_{n \geq 1}$. Potom $\{ g_n^{(2)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost, která konverguje v~bodě $x_1$ a $x_2$.<br />
\item V~procesu můžeme pokračovat matematickou indukcí. Předpokládejme, že $\{ g_n^{(k)} (x) \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~$\Ms$, konvergující <br />
v~bodech $x=x_1,\ldots,x_k$. Potom v~$(k+1)$-ním kroku položme $x=x_{k+1}$. Pak číselná posloupnost $\{ g_n^{(k)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$ je omezená. A opět tedy <br />
existuje její konvergentní podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(k+1)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$. Potom analogicky $\{ g_n^{(k+1)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční <br />
posloupnost v~$\Ms$, která konverguje v~bodech $x=x_1,\ldots,x_{k+1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Z~množiny vybraných posloupností vybereme jednu za pomoci diagonálního schématu. Uvažujeme tedy posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$, pro kterou platí:<br />
je-li $x=x_k$, $k\in\N$ pevné, potom číselná posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x_k) \}_{n \geq 1}$ konverguje.<br />
<br />
Stejnoměrnou konvergenci takto sestrojené funkční posloupnosti $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$ nám zaručí následující lemma. Tím bude důkaz ukončen.<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Posloupnost $\{g_n^{(n)}(x)\}_{n \geq 1}$ je na $I$ stejnoměrně konvergentní.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
K~důkazu použijeme Bolzanovo-Cauchyovo\footnote{\textbf{Augustin-Louis Cauchy} (1789-1857), francouzský matematik.} kritérium (viz~např.~\cite[Věta 3.11]{rudin1}), <br />
podle něhož zkoumaná posloupnost konverguje na $I$ stejnoměrně právě tehdy, když<br />
\begin{equation*}<br />
\Bigl( \forall \epsilon > 0 \Bigr) \Bigl( \exists n_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall n > n_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) <br />
\Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon \Bigr).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Mějme tedy zadáno libovolné $\epsilon > 0$. Dále využijeme vlastností posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$. Především víme, že tato posloupnost je <br />
stejně spojitá, což znamená, že platí<br />
\[<br />
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \forall x',x'' \in I \Bigr) \Bigl(\abs{x'-x''}<\delta \Rightarrow <br />
\abs{g_n^{(n)}(x') - g_n^{(n)}(x'')}<\frac{\epsilon}{3}\Bigr).<br />
\]<br />
Z~konstrukce posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ je pak zřejmé, že existuje $\ol{p}\in\N$ takové, že sousední body v~množině <br />
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ jsou k~sobě blíže než $\delta$ (o~němž víme, že existuje ze stejné spojitosti). Posloupnost $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ <br />
v~těchto bodech $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ konverguje, tzn.~pro libovolné $\epsilon > 0$ platí<br />
\[<br />
\Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl(\forall p\in\N\Bigr) \Bigl( \forall j=1,\ldots,\ol{p}\Bigr) <br />
\Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_j) - g_{n}^{(n)}(x_j)} < \frac{\epsilon}{3} \Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Zřejmě platí, že vezmeme-li libovolný bod $x \in I$, pak tento bod určitě leží v~některém z~interválků vyrobených prostřednictvím bodů <br />
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$. Tj.~existují jeho sousední body $x_l,x_{l'}\in\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ tak, že $x\in\langle x_l,x_{l'} \rangle$<br />
a $\abs{x_l - x_{l'}} < \delta$.<br />
<br />
Z~trojúhelníkové nerovnosti zřejmě platí<br />
\[<br />
\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} \leq \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n+p}^{(n+p)}(x_l)}}_{A} <br />
+ \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x_l)}}_{B} <br />
+ \ub{\abs{g_{n}^{(n)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x)}}_{C}.<br />
\]<br />
Ze stejné spojitosti posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ plyne $A,C < \epsilon/3$. Z~konvergence $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ v~bodech <br />
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ pak plyne $B < \epsilon/3$. Shrneme-li dosavadní výsledky, zjistíme, že pro libovolné $\epsilon > 0$ existuje <br />
$n_0\in\N$ tak, že pro každé $n>n_0$, $p\in\N$ a $x \in I$ platí<br />
\[<br />
\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon,<br />
\]<br />
což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
Důkazem tohoto lemmatu je zakončen i důkaz Arzelàovy-Ascoliovy věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zabývejme se \textbf{existencí řešení počáteční úlohy}<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:poculo}<br />
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}<br />
y' & f(x,y), \\<br />
y(x_0) & y_0,<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
kde $f: \Gamma \to \R$, $\Gamma \subset \R^2$, $\Gamma$ je oblast, $[x_0,y_0]\in\Gamma$ a $f \in \Cc(\Gamma)$. Důkaz existence řešení této úlohy je konstrukční a <br />
postupuje se podle úvah Leonharda Eulera\footnote{\textbf{Leonhard Euler} (1707-1783), švýcarský matematik a fyzik.}. Pro ilustraci použijeme následující příklad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Mějme sklenici s~pivem, jehož pěna postupně v~čase opadává. Zajímal by nás časový průběh rozpadu pivní pěny. Předpokládejme, že rozpad pivní pěny se řídí diferenciální <br />
rovnicí ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:pivnipena}<br />
y' = -\alpha y,<br />
\end{equation}<br />
kde $\alpha>0$ je konstanta rozpadu pěny a $y$ označuje výšku pěny. Dále předpokládejme, že počáteční výška pěny v~čase $t=0$ je $y(0) = y_0$. Je zřejmé, že řešíme <br />
úlohu typu \eqref{eq:poculo}.<br />
<br />
Označme $\tau>0$ časový krok řešení. Derivaci aproximujeme diferencí<br />
\[<br />
y'(k\tau) \approx \frac{y(k\tau) - y((k-1)\tau)}{\tau}.<br />
\]<br />
Označme $y(k\tau) = y_k$. Potom diferenciální rovnici \eqref{eq:pivnipena} nahradíme diferenční rovnicí ve tvaru<br />
\[<br />
\frac{y_k - y_{k-1}}{\tau} = -\alpha y_{k-1},<br />
\]<br />
kterou lze postupnými úpravami převést do tvaru<br />
\[<br />
y_k = (1-\alpha\tau)^k y_0.<br />
\]<br />
Nechť $\ol{t}\in\Rp$ je libovolný, ale pevně zvolený, časový okamžik. Pak pro libovolné $n\in\N$ lze interval $\langle 0,\ol{t} \rangle$ rozdělit na <br />
kroky $\tau = \ol{t}/n$. Potom lze psát<br />
\[<br />
y_n = (1-\alpha\tau)^n y_0 = \left( 1-\alpha\frac{\ol{t}}{n} \right)^n y_0.<br />
\]<br />
Přejdeme-li v~předchozí rovnosti k~limitě $n\to\infty$, dojdeme k~přesnému řešení<br />
\[<br />
y(t) = \me^{-\alpha t} y_0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\index{funkce!Eulerova lomená}<br />
\index{čára!Eulerova lomená}<br />
Pokračujme dále v~úvahách o~existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zkonstruujeme tzv.~\textbf{Eulerovu lomenou čáru} (resp.~\textbf{funkci}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_lomene_care.pdf}<br />
\caption{Ke konstrukci Eulerovy lomené čáry.}<br />
\label{fig:klomcare}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Předpokládejme, že máme oblast $\Gamma$, dále nechť bod $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Pak zřejmě existuje okolí $U$ bodu $[x_0,y_0]$ tak, že <br />
je omezené a $U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. Zřejmě platí následující tvrzení<br />
\[<br />
f \in \Cc(\ol{U}) \Rightarrow \Bigl(\exists M>0\Bigr) \Bigl(\forall [x,y]\in U\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y)} \leq M \Bigr).<br />
\]<br />
Potom volíme $b \geq aM$ tak, aby $\langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \subset U$. Tak okolo bodu $[x_0,y_0]$ sestrojíme <br />
obdélník o~délkách hran $2a$ a $2b$, který celý leží v~$U$ (viz~obr.~\ref{fig:klomcare}). <br />
<br />
Dále se zabývejme intervalem $\langle x_0, x_0+a \rangle$ (všechny úvahy, které dále provedeme, bude možné analogicky provést i v~intervalu <br />
$\langle x_0-a,x_0 \rangle$). Interval $\langle x_0, x_0+a \rangle$ rovnoměrně rozdělíme na $m$ podintervalů tvaru $\langle x_{j-1},x_j \rangle_{j=1,\ldots,m}$, <br />
kde $x_m = x_0 + a$. Délka jednotlivých dílčích intervalů je zřejmě $h = a/m$. V~jednotlivých dílčích intervalech pak začneme postupně konstruovat Eulerovu<br />
lomenou funkci $\phi_m(x)$ (o~této funkci lze také říci, že je po částech lineární). Definujme tedy<br />
\[<br />
\phi_m(x) = y_0 + f(x_0,y_0) (x-x_0) \qquad \text{pro } x \in \langle x_0,x_1 \rangle.<br />
\]<br />
Dále označme<br />
\[<br />
y_1 = \phi_m(x_1) = y_0 + f(x_0,y_0) h.<br />
\]<br />
Tím jsme sestrojili bod $[x_1,y_1]$, který je východiskem pro další krok konstrukce. Ve druhém podintervalu postupujeme analogicky a klademe<br />
\[<br />
\phi_m(x) = y_1 + f(x_1,y_1) (x-x_1) \qquad \text{pro } x \in \langle x_1,x_2 \rangle.<br />
\]<br />
Pro krajní bod pak platí<br />
\[<br />
y_2 = \phi_m(x_2) = y_1 + f(x_1,y_1) h.<br />
\]<br />
Takto postupujeme dále. Obecně tedy můžeme psát <br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:eulomfce}<br />
\phi_m(x) = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) (x - x_{j-1}) \qquad \text{pro } x \in \langle x_{j-1},x_{j} \rangle,<br />
\end{equation}<br />
pro $j=1,\ldots,m$ a kde $y_j = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) h$.<br />
<br />
O~právě zkonstruované funkci $\phi_m$ je třeba ověřit, že pro libovolné $x\in\langle x_0,x_0+a\rangle$ splňuje $\phi_m(x) \in \langle y_0-b,y_0+b \rangle$. Jinými <br />
slovy, požadujeme, aby funkce $\phi_m$ protínala náš obdélník pouze na svislých hranách. Tuto vlastnost nám zaručí následující lemma.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Funkce $\phi_m(x)$ má pro $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ hodnoty z~intervalu $\langle y_0-b,y_0+b \rangle$. Přitom využíváme vztahu $b \geq M a$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Chceme dokázat, že pro libovolné $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$. Jestliže $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$, pak zřejmě<br />
$\exists k \in \{ 1,\ldots,m \}$ tak, že $x \in \langle x_{k-1}, x_k \rangle$.<br />
<br />
Z~trojúhelníkové nerovnosti plyne následující odhad<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_m(x) - y_0} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})} + \abs{\phi_m(x_{k-1}) - \phi_m(x_{k-2})} + \cdots \\<br />
& & \cdots + \abs{\phi_m(x_2) - \phi_m(x_1)} + \abs{\phi_m(x_1) - \phi_m(x_0)},<br />
\end{eqnarray*}<br />
kde jsme označili $y_0 = \phi_m(x_0)$. Uvědomíme-li si, že $\phi_m(x_j) = y_j$, můžeme prostřednictvím \eqref{eq:eulomfce} jednotlivé absolutní hodnoty na pravé straně <br />
nerovnosti odhadnout následujícím způsobem<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})} &\leq& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_{k-1}}, \\<br />
\abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &\leq& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,<br />
\end{eqnarray*}<br />
kde $j=1,\ldots,k-1$. Můžeme tedy psát<br />
\begin{equation*}<br />
\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq \ub{\abs{f(x_{k-1},y_{k-1})}}_{\leq M} \abs{x-x_{k-1}} + \sum_{j=1}^{k-1}\ub{\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})}}_{\leq M} h <br />
\leq M \abs{x-x_0} \leq Ma \leq b.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Tuto úvahu provádíme postupně pro $x \in \langle x_0,x_1 \rangle$, poté pro $x \in \langle x_1,x_2 \rangle,\ldots,x \in \langle x_{m-1},x_m \rangle$. Tak je zajištěno, <br />
že pro všechna $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ je $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$, což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konstrukcí funkcí $\phi_m(x)$ pro $m=1,2,\ldots$ vzniká funkční posloupnost<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:poslomfci}<br />
\{ \phi_m(x) \}_{m \geq 1}<br />
\end{equation}<br />
na intervalu $\langle x_0, x_0+a \rangle$. Zabývejme se dále vlastnostmi této posloupnosti.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lem:1}<br />
Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} je stejně omezená.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Z~předchozího lemmatu víme, že platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$ pro libovolné $m$. Odtud zřejmě<br />
\[<br />
\Bigl(\forall m\in\N \Bigr) \Bigl( \abs{\phi_m(x)} \leq \abs{y_0} + b \Bigr),<br />
\]<br />
což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lem:2}<br />
Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} obsahuje stejně spojité funkce.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Podle definice stejné spojitosti chceme ukázat, že platí<br />
\[<br />
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) \Bigl(\forall x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle\Bigr)<br />
\Bigl(\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon\Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Protože $x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m}$ tak, že $x\in\langle x_{k-1},x_k \rangle$ a $x'\in\langle x_{l-1},x_l\rangle$. <br />
Bez újmy na obecnosti nechť $k \leq l$. Potom tedy platí<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)} + \abs{\phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1})} + \cdots \\<br />
& & \cdots + \abs{\phi_m(x_{l-2}) - \phi_m(x_{l-1})} + \abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odhadneme-li dílčí absolutní hodnoty na pravé straně této nerovnosti pomocí vztahu \eqref{eq:eulomfce}, dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)} &=& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_k}, \\<br />
\abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')} &=& \abs{f(x_{l-1},y_{l-1})} \abs{x'-x_{l-1}}, \\<br />
\abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &=& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,<br />
\end{eqnarray*}<br />
kde $j=k+1,\ldots,l-1$. Uvážíme-li, že pro každé $j\in\widehat{m}$ platí $\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} \leq M$, dostáváme odhad<br />
\[<br />
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} \leq M \left(\abs{x-x_k} + \abs{x_k-x_{k+1}} + \cdots + \abs{x'-x_{l-1}} \right) = M \abs{x-x'}.<br />
\]<br />
Potom tedy pro libovolné $\epsilon>0$ položíme $\delta = \epsilon / M$ a pak pro každé $m\in\N$ a pro každé $x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle$ platí <br />
$\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon$. Tím je důkaz ukončen.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Sestrojili jsme funkční posloupnost $\{ \phi_m \}_{m \geq 1}$, o~níž jsme zjistili, že obsahuje funkce stejně omezené a stejně spojité na intervalu <br />
$\langle x_0,x_0+a \rangle$. Podle věty \ref{theo:arzela} lze z~této posloupnosti vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost na $\langle x_0,x_0+a \rangle$.<br />
Zřejmě tedy<br />
\[<br />
\Bigl(\exists y(x) \text{ na } \langle x_0,x_0+a \rangle \Bigr) \Bigl( \phi_{m'} \stackrel{\langle x_0,x_0+a \rangle}{\rightrightarrows} y \Bigr).<br />
\]<br />
O~funkci $y$ je třeba dokázat, že řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item Zřejmě platí $(\forall m\in\N) (\phi_m(x_0) = y_0)$, odkud $y(x_0) = y_0$ a funkce $y$ tedy splňuje počáteční podmínku.<br />
\item O~tom, že funkce $y$ vyhovuje i příslušné diferenciální rovnici, nás přesvědčí následující lemma.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lem:3}<br />
Platí<br />
\[<br />
\Biggl( \forall x \in (x_0,x_0+a) \Biggr) \Biggl( \lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0 \Biggr).<br />
\]<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Zvolíme $\ol{x}\in(x_0,x_0+a)$ pevně a $\ol{h}\in\R$ tak, aby $\ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$ a budeme zkoumat chování výrazu<br />
\[<br />
\abs{\phi_{m'}(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_{m'}(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} \stackrel{\text{ozn.}}{=} A<br />
\]<br />
pro vysoká $m'$.<br />
<br />
Protože $\ol{x}, \ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m'}$ tak, že $\ol{x}\in\langle x_{k-1},x_k \rangle$ a <br />
$\ol{x} + \ol{h}\in\langle x_{l-1},x_l \rangle$. Bez újmy na obecnosti nechť $\ol{h} > 0$, tj.~také $k \leq l$ a pro dostatečně vysoká $m'$ bude <br />
tato nerovnost ostrá --- k~tomu stačí\footnote{Požadujeme totiž $h<\ol{h}$, kde $h=a/m'$, odkud $m'>a/\ol{h}$.} $m' > a/\ol{h}$ (toho ještě později <br />
využijeme). Zkoumaný výraz pak lze přepsat a odhadnout následujícím způsobem<br />
\begin{eqnarray*}<br />
A%\abs{\phi_m(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_m(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_m(\ol{x}))} <br />
% & = & \vert \phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k) + \phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1}) + \phi_m(x_{k+1}) - \cdots + \phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) + \\<br />
& = & \Big\vert \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[\phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1})\bigr] + \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + \\<br />
% & & + (x_k - \ol{x} + x_{k+1} - x_k + \cdots + x_{l-1} - x_{l-2} + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_m(\ol{x})) \vert \\<br />
& & + (x_k - \ol{x} + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[x_{j+1}-x_j\bigr] + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \Big\vert \\<br />
&\leq& \abs{ \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + (x_k-\ol{x}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) } + \\<br />
& & + \sum_{j=k}^{l-2} \big\vert \phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1}) + (x_{j+1}-x_j) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \big\vert + \\<br />
& & + \abs{ \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + (\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) }.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Využijeme-li definice funkce Eulerovy lomené funkce $\phi_m$ \eqref{eq:eulomfce} dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k) &=& f(x_{k-1},y_{k-1}) (\ol{x}-x_k), \\<br />
\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j+1}) &=& f(x_j,y_j) (x_j-x_{j+1}), \\<br />
\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) &=& f(x_{l-1},y_{l-1}) (x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})),<br />
\end{eqnarray*}<br />
pro $j=k,\ldots,l-2$. V~souladu se zavedeným značením platí $x_j-x_{j+1} = -h$. Pomocí právě získaných vztahů upravíme odhad výrazu $A$, čímž dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
A &\leq& \abs{\ol{x}-x_k} \abs{f(x_{k-1},y_{k-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\<br />
& & + \sum_{j=k}^{l-2} h \abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\<br />
& & + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \abs{f(x_{l-1},y_{l-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
%Vidíme, že v~odhadu výrazu $A$ vystupují rozdíly tvaru<br />
Protože $f\in \Cc(\Gamma)$ je funkce $f$ spojitá také na kompaktu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \subset \Gamma$. Funkce spojitá na <br />
kompaktu je na něm spojitá stejnoměrně \cite[Věta 4.19]{rudin1} a platí tedy<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall (x,y),(x',y') & \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \Bigr) \\<br />
& \Bigl( \abs{x-x'}<\delta \wedge \abs{y-y'}<\delta \Rightarrow \abs{f(x,y)-f(x',y')}<\frac{\epsilon}{2}\Bigr).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dále víme, že funkce $\{\phi_m\}$ jsou stejně spojité na $\langle x_0,x_0+a \rangle$ a platí tedy<br />
\[<br />
\Bigl(\forall\delta>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta'=\delta/M>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) <br />
\Bigl(\abs{x-\ol{x}}<\delta' \Rightarrow \abs{\phi_m(x)-\phi_m(\ol{x})}<\delta \Bigr).<br />
\]<br />
V~předchozí poznámce jsme ukázali, že funkční podposloupnost $\{\phi_{m'}\}$ konverguje stejnoměrně k~$y(x)$ na $\langle x_0,x_0+a \rangle$ a rovněž tedy platí <br />
\[<br />
\lim_{m'\to\infty} \phi_{m'}(x) = y(x),<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle x_0,x_0+a \rangle$.<br />
<br />
Vezměme $m'>a/\ol{h}$ (viz začátek důkazu, zajímá nás $m' \to +\infty$). Dále zvolme pevné $\ol{h}$ tak, aby $\ol{h}<\min\{\delta,\delta/M\}$. <br />
Potom zřejmě $\abs{\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}},\ldots,\abs{x_k-\ol{x}} \leq \ol{h}$ a také $\abs{x_j - \ol{x}} \leq \ol{h}$ pro všechna $j\in\{k-1,\ldots,l-1\}$. <br />
Potom tedy<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_{m'}(x_{j}) - \phi_{m'}(\ol{x})} &<& \delta, \\<br />
\abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} &<& \frac{\epsilon}{2}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
Pomocí provedených odhadů můžeme dokončit odhad výrazu $A$, čímž dostaneme<br />
\[<br />
A < \frac{\epsilon}{2} \ub{\Bigl[\abs{\ol{x}-x_k} + \sum_{j=k}^{l-2} h + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \Bigr]}_{=\ol{h}} = \frac{\ol{h} \epsilon}{2}.<br />
\]<br />
<br />
Provedeme-li nyní v~nerovnosti limitní přechod $m' \to \infty$ obdržíme vztah<br />
\[<br />
\abs{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},y(\ol{x})} \leq \frac{\ol{h} \epsilon}{2},<br />
\]<br />
odkud zřejmě <br />
\[<br />
\Biggl( \forall \epsilon > 0 \Biggr) \Biggl(\exists h_0 > 0 \Biggr) \Biggl(\forall \ol{h} < h_0 \Biggr) <br />
\Biggl( \abs{\frac{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x})}{\ol{h}} - f(\ol{x},y(\ol{x})} < \epsilon \Biggr),<br />
\]<br />
a tedy<br />
\[<br />
\lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0,<br />
\]<br />
pro libovolné $x \in (x_0,x_0+a)$, což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podle právě dokázaného lemmatu a jemu předcházející poznámky je tedy funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$, řešením úlohy <br />
\eqref{eq:poculo}.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Peanova\footnote{\textbf{Giuseppe Peano} (1858-1932), italský matematik.}, o~existenci]<br />
\index{věta!Peanova}<br />
\label{theo:peano}<br />
Nechť funkce $f$ je spojitá na oblasti $\Gamma\subset\R^2$, $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku<br />
$y(x_0)=y_0$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Podle předchozí poznámky je hledaným řešením funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Peanova věta nám dává k~dispozici \textbf{postačující podmínku} existence řešení, nikoliv však nutnou. Uvažme diferenciální rovnici<br />
\[<br />
y' = \sgn y.<br />
\]<br />
Je zřejmé, že funkce $f(x,y) = \sgn y$ není spojitá na $\R^2$, proto na tuto rovnici nelze rovnou použít Peanova věta. Snadno se však <br />
přesvědčíme, že každým bodem $\R^2$ prochází právě jedna integrální křivka.<br />
<br />
Pro $y>0$ dostáváme $y'=1$ odkud pro hledané řešení získáme vztah $y(x)=x+C_1$ pro $x>-C_1$. Konstantu $C_1$ dopočítáme jednoznačně <br />
z~počátečních podmínek. Podobně pro $y<0$ je zřejmě $y'=-1$ a tedy hledané řešení má tvar $y(x)=-x+C_2$ pro $x<C_2$. Konstantu $C_2$ opět <br />
jednoznačně určíme z~počátečních podmínek. Nakonec uvažme, že funkce $y(x) \equiv 0$ také vyhovuje dané diferenciální rovnici pro <br />
všechna $x\in\R$. Integrální křivky jsou zachyceny na obr.~\ref{fig:k_pean_vete}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_peanove_vete.pdf}<br />
\caption{Integrální křivky rovnice $y'=\sgn y$.}<br />
\label{fig:k_pean_vete}<br />
\end{figure}<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% PODSEKCE: Jednoznačnost řešení<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\subsection{Jednoznačnost řešení}<br />
\begin{remark}<br />
Peanova věta \textbf{nezaručuje jednoznačnost řešení}. Uvažme rovnici<br />
\[<br />
y' = \sqrt[3]{y^2}.<br />
\]<br />
Podle Peanovy věty prochází každým bodem $\R^2$ alespoň jedna integrální křivka této rovnice. Snadno se však přesvědčíme, že funkce<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y(x) &=& 0, \\<br />
y(x) &=& \frac{x^3}{27},<br />
\end{eqnarray*}<br />
řeší tuto diferenciální rovnici pro všechna $x\in\R$. Bodem $[0,0]$ tedy prochází alespoň dvě různé integrální křivky.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Osgoodova\footnote{\textbf{William Fogg Osgood} (1864-1943), americký matematik.}, o~jednoznačnosti]<br />
\index{věta!Osgoodova}<br />
\label{theo:osgood}<br />
Nechť funkce $f=f(x,y)$ má vlastnost <br />
\[<br />
\Bigl(\forall[x,y_1],[x,y_2]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq\Phi\left(\abs{y_2-y_1}\right)\Bigr),<br />
\]<br />
kde $\Phi: \langle 0,C \rangle \to \Rop$ je funkce spojitá a kladná na $(0,C\rangle$, $\Phi(0)=0$ a dále platí, že<br />
\[<br />
\lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{C} \frac{\dif u}{\Phi(u)} = +\infty.<br />
\]<br />
Potom každým bodem $[x_0,y_0]\in\Gamma$ prochází nejvýše jedna integrální křivka rovnice \eqref{eq:poculo}.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz se provede sporem. Nechť funkce $y_1$ a $y_2$ jsou dvě navzájem různá řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zřejmě tedy platí <br />
$y_1(x_0) = y_2(x_0) = y_0$ a zároveň existuje $x_1$ (bez újmy na obecnosti nechť např.~$x_1>x_0$) takové, že $y_1(x_1)\neq y_2(x_1)$.<br />
<br />
Dále definujme $z(x) = y_1(x)-y_2(x)$. Zřejmě tedy $z(x_0) = 0$. Bez újmy na obecnosti nechť $z(x_1) > 0$. Funkce $z$ je zřejmě <br />
spojitá, a proto $\exists H_{x_1}$ tak, že $z(x)>0$ pro $\forall x \in H_{x_1}$. Potom podle předpokladů můžeme psát<br />
\[<br />
z'(x) = y'_1(x) - y'_2(x) = f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x)) \leq \abs{f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))} \leq \Phi(\abs{z(x)}),<br />
\]<br />
kde jsme využili odhadu, že žádné číslo nepřevýší svoji absolutní hodnotu a předpokladů věty. Protože $z(x)>0$ na $H_{x_1}$, platí <br />
$\abs{z(x)}=z(x)$ na $H_{x_1}$.<br />
<br />
Je tedy potřeba řešit diferenciální nerovnici ve tvaru <br />
\[<br />
z'(x) \leq \Phi(z(x)) \qquad \forall x \in H_{x_1}.<br />
\]<br />
Nerovnici lze upravit na tvar<br />
\[<br />
\frac{z'(x)}{\Phi(z(x))} \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad \int_x^{x_1} \frac{z'(x) \dif x}{\Phi(z(x))} \leq x_1-x.<br />
\]<br />
Podle věty o~integraci substitucí (\cite[Věta 6.19]{rudin1}) upravíme integrál v~nerovnosti pomocí substituce $u=z(x)$ na tvar<br />
\[<br />
\int_{z(x)}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)} \leq x_1-x.<br />
\]<br />
<br />
Uvážíme-li, že funkce $z$ je spojitá, zřejmě $\exists x_2 \in \langle x_0,x_1)$ tak, že $z(x_2) = 0$. Bodů splňujících tento požadavek <br />
může být v~intervalu $\langle x_0,x_1)$ více. Určitě je tam alespoň jeden, a to přímo bod $x_0$. Bod $x_2$ vybereme tedy tak, aby <br />
platilo $z(x_2)=0$ a zároveň $z(x)>0$ pro $x_2 < x \leq x_1$ (je tedy co nejblíže bodu $x_1$). Potom přejdeme v~nerovnosti k~limitě <br />
$x \to x_2$, odkud $z(x) \to 0$ a dostaneme<br />
\[<br />
\ub{\lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)}}_{+\infty} \leq \ub{x_1 - x_2}_{\in\R},<br />
\]<br />
což je ovšem spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Osgoodova věta neurčuje přesně funkci $\Phi$. Pouze nám říká, jaké vlastnosti mít musí. V~praxi se funkce $\Phi$ nejčastěji<br />
volí ve tvaru<br />
\[<br />
\Phi(u) = ku.<br />
\]<br />
Dále se také můžeme setkat s~volbami<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u}, \\<br />
\Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u} \cdot \abs{\ln\abs{\ln u}}<br />
\end{eqnarray*}<br />
a podobně.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{podmínka!Lipschitzova}<br />
\index{funkce!lipschitzovská}<br />
\index{funkce!lokálně lipschitzovská}<br />
Nechť funkce $f=f(x,y)$ je definová na oblasti $\Gamma\subset\R^2$. Pak říkáme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ Lipschitzovu}\footnote{<br />
\textbf{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz} (1832-1903), německý matematik.} \textbf{podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když <br />
\[<br />
\Bigl(\forall[x,y_1],[x,y_2]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1-y_2}\Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ lokálně Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když $\forall[x_0,y_0]\in\Gamma$ <br />
existuje okolí $H$ bodu $[x_0,y_0]$ tak, že $f$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
O~funkci $f$, která na $\Gamma$ splňuje (resp.~lokálně splňuje) Lipschitzovu podmínku s~konstatnou $L$ vzhledem k~$y$ také říkáme, že je<br />
\textbf{lipschitzovská} (resp.\textbf{~lokálně lipschitzovská}) \textbf{na $\Gamma$ vzhledem k~$y$}.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť je $f: \Gamma \to \R$, kde $\Gamma$ je oblast v~$\R^2$ a dále nechť $\partial_y \in \Cc(\Gamma)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská <br />
na $\Gamma$ vzhledem k~$y$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme libovolný bod $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Protože podle předpokladů je funkce $\partial_y f\in \Cc(\Gamma)$, existuje konstanta $L>0$ a okolí $H$ <br />
bodu $[x_0,y_0]$ takové, že $\forall [x,y]\in H$ platí, že $\abs{\partial_y f(x,y)} \leq L$. Okolí $H$ lze zřejmě zvolit konvexní.<br />
<br />
Pro pevné $x$ se můžeme na funkci $f(x,y)$ dívat jako na funkci jedné reálné proměnné $y$ a na rozdíl $\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}$ aplikovat větu <br />
o~přírůstku funkce (viz~\cite[Věta 5.10]{rudin1}). Potom pro libovolné $[x,y_1],[x,y_2]\in H$ platí<br />
\[<br />
\abs{f(x,y_1) - f(x,y_2)} = \abs{\partial_y f(x,\xi)} \abs{y_1-y_2} \leq L \abs{y_1-y_2},<br />
\]<br />
což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť funkce $f$ je spojitá na $\Gamma$ a lokálně lipschitzovská vzhledem k~$y$ na $\Gamma$. Potom každým bodem $[x_0,y_0]\in\Gamma$ prochází právě <br />
jedna integrální křivka úlohy \eqref{eq:poculo}.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Věta je důsledkem věty \ref{theo:peano} a \ref{theo:osgood}.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% PODSEKCE: Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\subsection{Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení}<br />
\begin{remark}<br />
Podle důkazu Peanovy věty \ref{theo:peano} jsme k~bodu $[x_0,y_0] \in \Gamma$ sestrojili obdélník tak, že funkce $y(x)$ definovaná na intervalu <br />
$\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ splňovala pro všechna $x\in(x_0-a,x_0+a)$ rovnici $y'(x)=f(x,y(x))$ a zároveň $y(x_0)=y_0$. Peanova věta nám tedy zaručuje <br />
existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo} \textbf{lokálně}, na jistém okolí (viz~obr.~\ref{fig:kprodlouzeni}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodlouzeni.pdf}<br />
\caption{Peanova věta zaručuje existenci řešení lokálně, ke konstrukci prodloužení řešení.}<br />
\label{fig:kprodlouzeni}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Označme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
x_1 &=& x_0 + a, \\<br />
y_1 &=& y(x_0 + a).<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
Zřejmě platí $[x_1,y_1]\in\Gamma$ a lze tedy řešit úlohu s~novou počáteční podmínkou (díky tomu, že nalezené řešení bylo definované na uzavřeném <br />
intervalu)<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y' &=& f(x,y), \\<br />
y(x_1) &=& y_1.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z~Peanovy věty vyplývá existence funkce $y^{(1)}(x)$ definované na intervalu $\langle x_1-a_1,x_1+a_1 \rangle$, která řeší uvedenou úlohu <br />
na otevřeném intervalu $(x_1-a_1,x_1+a_1)$. Původní funkci $y(x)$ definovanou na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ lze zřejmě prodloužit <br />
na interval $\langle x_0-a,x_1+a_1 \rangle$ tak, že položíme<br />
\[<br />
y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{ pro } x\in\langle x_0-a,x_0+a \rangle\\ y^{(1)}(x) & \text{ pro } x\in(x_0+a,x_1+a_1\rangle \end{cases}.<br />
\]<br />
Prodloužená funkce $y$ potom řeší původní úlohu na prodlouženém intervalu $(x_0-a,x_1+a_1)$.<br />
<br />
Tímto postupem lze pokračovat v~prodlužování řešení úlohy \eqref{eq:poculo} dále. V~$k$-tém kroku prodlužování položíme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
x_k &=& x_{k-1}+a_{k-1}, \\<br />
y_k &=& y^{(k-1)}(x_{k-1}+a_{k-1}).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Platí $[x_k,y_k]\in\Gamma$ a z~Peanovy věty existuje $y^{(k)}(x)$ definované na intervalu $\langle x_k-a_k,x_k+a_k \rangle$. Původní řešení tedy <br />
můžeme prodloužit o~interval $\langle x_k,x_k+a_k \rangle$ a pro každé $x\in(x_0-a,x_k+a_k)$ je splněna rovnice $y'(x) = f(x,y(x))$.<br />
<br />
Z~provedených úvah je zřejmé, že analogicky bychom mohli původní řešení prodlužovat doleva.<br />
<br />
V~dalším textu se budeme zabývat definicí prodloužitelného a neprodloužitelného řešení, existencí neprodloužitelného řešení a budeme zkoumat, kam <br />
až lze řešení prodloužit.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{řešení!prodloužitelné}<br />
\index{řešení!neprodloužitelné}<br />
Nechť funkce $\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo} na $\langle\alpha,\beta\rangle$. Říkáme, že řešení $\phi$ je \textbf{prodloužitelné} <br />
právě tehdy, jestliže existuje funkce $\phi_1(x)$, definovaná na $\langle\alpha_1,\beta_1\rangle$ (takovém, že $\alpha_1\leq\alpha$, $\beta_1\geq\beta$ <br />
a přitom $\alpha_1<\alpha \vee \beta_1>\beta$), taková, že $\phi_1\vert_{\langle\alpha,\beta\rangle} = \phi$ a $\phi_1$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.<br />
<br />
Funkce $\phi_1$ se pak nazývá \textbf{prodloužením} funkce $\phi$.<br />
Řešení úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$, pro které neexistuje prodloužení, se nazývá \textbf{neprodloužitelné}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Řešení definované na uzavřeném intervalu lze vždy prodloužit. Neprodloužitelné řešení je definováno pouze na otevřených intervalech.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{theo:krit_prodl}<br />
Nechť $f\in \Cc(\Gamma)$. Pak řešení $\phi=\phi(x)$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$ je neprodloužitelné právě tehdy, když platí<br />
alespoň jedna z~následujících podmínek (pro neprodloužitelnost v~daném směru):<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item $\beta = +\infty$ (ve směru doprava), resp.~$\alpha=-\infty$ (ve směru doleva),<br />
\item $\abs{\phi(x)} \to +\infty$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$,<br />
\item $\rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma) \to 0$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Věta je ekvivalencí a je tedy třeba dokázat obě implikace.<br />
\begin{enumerate}<br />
%\item<br />
\item \underline{$\Leftarrow$:} Předpokládejme postupně splnění podmínky (1), (2) a (3).<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item Nechť $\beta=+\infty$. Potom $(\alpha,\beta)$ nelze prodloužit za $\beta$, a tedy $\phi$ je neprodloužitelné (doprava). Analogicky se <br />
ukáže neprodloužitelnost doleva pro bod $\alpha$.<br />
\item Pokud $\phi$ lze prodloužit za $\beta$, pak lze určitě vyčíslit $\phi$ v~bodě $x=\beta$, tzn.~$\phi$ je řešením \eqref{eq:poculo}. Potom <br />
$\exists \lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$, což je spor s~podmínkou (2).<br />
\item Pokud lze $\phi$ prodloužit za $\beta$, pak $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$. Potom také <br />
$\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \Gamma$. Z~podmínky (3) pak plyne $\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \partial\Gamma$. Pak <br />
tedy $\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \Gamma \cap \partial\Gamma$, což je spor s~předpokladem, že $\Gamma$ je oblast.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%\item<br />
\item \underline{$\Rightarrow$:} Důkaz se provede sporem. Nechť $\phi=\phi(x)$ je neprodloužitelné řešení a zároveň nechť není splněna žádná z~podmínek <br />
(1), (2), (3), tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} pak $\exists\lim\limits_{x\to\beta_-}[x,\phi(x)]\in\R^2$<br />
a ze spojitosti funkce $\rho([x,y],\partial\Gamma)$ (kde za argument funkce považujeme $[x,y]$) plyne, že <br />
\[<br />
\exists \lim_{x\to\beta_-} \rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma) \stackrel{\text{ozn.}}{=} \ub{d > 0}_{\text{z }\neg(3)}.<br />
\]<br />
Tento limitní bod tedy leží uvnitř $\Gamma$, tj.~platí<br />
\[<br />
\lim_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] = [\beta, \lim_{x\to\beta_-} \phi(x)] \in \Gamma.<br />
\]<br />
Označme $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) = \phi(\beta)$. Lze tedy řešit počáteční úlohu $y'=f(x,y)$, $y(\beta) = \phi(\beta)$ a řešení $\phi$ <br />
prodloužit za bod $\beta$, což je spor.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lem:k_prodl}<br />
Nechť platí předpoklady předchozí věty a navíc nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Potom existuje $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Při dokazování využijeme následující lemma:<br />
\begin{lemma}<br />
Spojitá funkce na $\langle a,b \rangle$ nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem, resp.~mezi hodnotami $f(x')$ a $f(x'')$ pro každé <br />
$x', x'' \in \langle a,b \rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Viz~např.~\cite[Věta 4.23]{rudin1}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma.pdf}<br />
\caption{Ke konstrukci bodů $P$ a $Q$.}<br />
\label{fig:kprodlem}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Z~předpokladu $\neg (1)$ plyne $\beta\in\R$. Definujme<br />
\[<br />
\pi = \Big\{ \{x_n\}_{n \geq 1} \ \Big\vert \ x_n \xrightarrow{n\to\infty} \beta_- \Big\}<br />
\]<br />
množinu všech posloupností, které konvergují k~bodu $\beta$ zleva. Dále označme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
P &=& \inf \Big\{ \liminf_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}, \\<br />
Q &=& \sup \Big\{ \limsup_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z~konstrukce je zřejmé, že $P \leq Q$ a jistě také platí: $P<+\infty$ a $Q>-\infty$. <br />
%Z~podmínky $\neg(2)$ plyne, že $\phi$ je omezená\footnote{To by chtělo nějak rozebrat --- já to nevidím.}, tj.~$P>-\infty$ a $Q<+\infty$.<br />
Dále budeme uvažovat případ, kdy $P,Q\in\R$ --- situace by tedy mohla vypadat např.~jako na obr.~\ref{fig:kprodlem}. <br />
Případ, kdy alespoň jedno z~$P$ nebo $Q$ není konečné si laskavý čtenář jistě s~radostí přidokáže sám.<br />
Hledaná limita zřejmě existuje právě, když $P=Q$ (a v~tom případě je reálná). Při dokazování této rovnosti budeme postupovat sporem, tj.~předpokládejme, že $P<Q$. <br />
Nejdříve vyslovíme pomocné tvrzení.<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
\[<br />
\Bigl(\forall y\in\langle P,Q \rangle \Bigr) \Bigl( y\text{ je hromadný bod hodnot } \phi(x) \text{ pro } x\to\beta_- \Bigr).<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Chceme ukázat, že platí<br />
\[<br />
\Bigl(\forall y\in\langle P,Q\rangle\Bigr) \Bigl( [\beta,y] \text{ je hromadný bod grafu funkce } \phi\Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Body $[\beta,P]$ a $[\beta,Q]$ tento požadavek zřejmě splňují, což okamžitě vyplývá z~definice $P$ a $Q$ (jako limes superior a limes inferior). Pro body <br />
$[\beta,y]$ takové, že $y\in(P,Q)$ postupujume následujícím způsobem.<br />
<br />
Vezměme $0 < \epsilon' < \frac{1}{2} \min \{ \abs{y-P}, \abs{y-Q} \}$. Z~definice bodu $P$ pak plyne<br />
\[<br />
\Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \liminf_{n\to\infty} \phi(x'_n) \in \langle P,P+\epsilon' ) \Bigr).<br />
\]<br />
Podobně z~definice bodu $Q$ plyne<br />
\[<br />
\Bigl( \exists \{x''_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \limsup_{n\to\infty} \phi(x''_n) \in ( Q-\epsilon',Q \rangle \Bigr).<br />
\]<br />
Z~vlastností limes superior a limes inferior a posloupností $\{x'_n\}$ a $\{x''_n\}$ plyne existence vybraných posloupností (vzhledem k~tomu, že původní posloupnosti<br />
už nebudeme potřebovat, označíme tyto vybrané posloupnosti stejně jako ty původní), pro něž platí<br />
\[<br />
\Bigl( \exists n_0 \Bigr) \Bigl( \forall n>n_0 \Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) \in \langle P,P+2\epsilon' ) \wedge \phi(x''_n) \in ( Q-2\epsilon',Q \rangle \Bigr).<br />
\]<br />
Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodtvrz}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_tvrz.pdf}<br />
\caption{Ke konstrukci posloupností $\{x'_n\}_{n\geq1}$ a $\{x''_n\}_{n\geq1}$.}<br />
\label{fig:kprodtvrz}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Potom pro $n>n_0$ máme $x'_n,x''_n \in (\alpha,\beta)$ a <br />
\begin{eqnarray*}<br />
\phi(x'_n) &<& P+2\epsilon' < y, \\<br />
\phi(x''_n) &>& Q-2\epsilon' > y. <br />
\end{eqnarray*}<br />
Funkce $\phi$ je spojitá a tedy pro každé $n_1,n_2 > n_0$ nabývá všech hodnot mezi $\phi(x'_{n_1})$ a $\phi(x''_{n_2})$. Speciálně tedy $\phi$ nabývá i hodnoty<br />
$y$. Potom tedy musí platit<br />
\[<br />
\Bigl( \exists \{x'''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl( \phi(x'''_n) = y \Bigr).<br />
\]<br />
Odtud zřejmě $\lim\limits_{n\to\infty} [x'''_n,\phi(x'''_n)] = [\beta,y]$ a tedy $[\beta,y]$ je hromadný bod grafu $\phi$, což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
Ukázali jsme, že všechny body úsečky<br />
\[<br />
M = \Big\{ [\beta,y] \ \Big\vert \ y \in \langle P,Q \rangle \Big\}<br />
\]<br />
jsou hromadnými body grafu $\phi$. Z~předpokladu $\neg(3)$\footnote{tj.~$\neg\left(\rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma)\xrightarrow{x\to\beta_-}0\right)$.} <br />
plyne, že graf funkce $\phi$ se neblíží k~hranici $\partial\Gamma$. Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodlem2}.<br />
Zřejmě každý bod úsečky $M$ leží buď v~$\Gamma$ anebo v~$\partial\Gamma$, není však možné, aby všechny tyto body ležely v~$\partial\Gamma$ (to by byl <br />
spor s~$\neg (3)$).<br />
<br />
Zvolme libovolné $y_0 \in (P,Q)$ tak, aby $[\beta,y_0] \in \Gamma$. Okolo bodu $[\beta,y_0]$ sestrojíme obdélník (viz~obr.~\ref{fig:kprodlem2})<br />
\[<br />
D = \langle \beta-\delta_1,\beta \rangle \times \langle y_0-\epsilon_1,y_0+\epsilon_1 \rangle,<br />
\]<br />
kde konstanty $\epsilon_1,\delta_1$ volíme tak, aby $D\subset\Gamma$. Označme dále<br />
\[<br />
M = \max \Big\{ \abs{f(x,y)} \ \Big\vert \ [x,y] \in D \Big\}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma_2.pdf}<br />
\caption{Ke konstrukci obdélníku $D\subset\Gamma$.}<br />
\label{fig:kprodlem2}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Potom <br />
\[<br />
\Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}, \{x''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) = y_0-\epsilon_1 \wedge \phi(x''_n) = y_0+\epsilon_1 \Bigr).<br />
\]<br />
Zvolme $\delta>0$ tak, že $\delta<\delta_1 \wedge \delta<\epsilon_1/2M$. Potom<br />
\[<br />
\Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl( x'_n,x''_n \in (\beta-\delta,\beta) \Bigr)<br />
\]<br />
a přitom platí<br />
\[<br />
\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1.<br />
\]<br />
Protože však $\phi$ je řešením, musí zároveň platit<br />
\[<br />
\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = \ub{\abs{\phi'(\xi_n)}}_{=\abs{f(\xi_n,\phi(\xi_n))} \leq M} \ub{\abs{x'_n - x''_n}}_{<\delta} < M\delta < \frac{\epsilon_1}{2}.<br />
\]<br />
Odtud $\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1 < \frac{\epsilon_1}{2}$, což je spor.<br />
<br />
Potom tedy $P=Q$ a $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $\Gamma\subset\R^2$ omezená oblast, potom<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item $\alpha,\beta \in \R \Rightarrow \neg (1)$,<br />
\item $\abs{\phi(x)} \text{ omezené } \Rightarrow \neg (2)$.<br />
\end{enumerate}<br />
Může tedy nastat pouze podmínka (3).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, $f \in \Cc(\Gamma)$, $[x_0,y_0] \in \Gamma$. Potom existuje alespoň jedno neprodloužitelné řešení úlohy \eqref{eq:poculo}.<br />
<br />
% NOVÝ DŮKAZ<br />
\begin{proof}<br />
Opakovaně využijeme Peanovy věty a její konstrukce. Řešení budeme prodlužovat bez újmy na obecnosti doprava. Definujme<br />
\[<br />
E_n = \left\{ [x,y] \in \Gamma \ \Big| \ \abs{x-x_0} < n, \ \abs{y-y_0} < n, \ \rho([x,y],\partial \Gamma) > \frac{1}{n} \right\}.<br />
\]<br />
Potom platí $\overline{E}_n \subset E_{n+1}$ a dále<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( [x_0,y_0] \in E_n \Bigr), \\<br />
&&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \exists M_n > 0 \Bigr) \Bigl( \forall [x,y] \in E_n \Bigr) \Bigl( \abs{f(x,y)} \leq M_n \Bigr).<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
V~$E_1$ lze pomocí Peanovy věty sestrojit řešení $\psi$ definované na intervalu $\langle x_0-\tilde{a},x_0+\tilde{a} \rangle$. Prodlužováním tohoto<br />
řešení stejnou konstrukcí lze získat řešení $\phi$ na intervalu $\langle x_0,a_0 \rangle$ tak, že $[a_0,\phi(a_0)] \notin \ol{E}_1$ (kdyby <br />
to nešlo, tj.~kdyby neprodloužitelné řešení $\phi$ bylo celé v~$\ol{E}_1$, pak by bylo omezené a daleko od $\partial \Gamma$, což by byl spor s~větou<br />
\ref{theo:krit_prodl}). <br />
<br />
Bod $[a_0,\phi(a_0)] \in \Gamma$. Nechť $n_1$ je největší index takový, že $[a_0,\phi(a_0)] \in \ol{E}_{n_1}$. Vezmeme tento bod za počáteční podmínku <br />
a (opakovanou) Peanovou konstrukcí $\phi$ prodloužíme na $\langle x_0,a_1 \rangle$ tak, že $[a_1,\phi(a_1)] \notin \ol{E}_{n_1}$.<br />
<br />
Bod $[a_1,\phi(a_1)] \in \Gamma$. Nechť $n_2$ je největší index takový, že $[a_1,\phi(a_1)] \in \ol{E}_{n_2}$. Opakovaně prodloužíme na <br />
$\langle x_0,a_2 \rangle$ tak, že $[a_2,\phi(a_2)] \notin \ol{E}_{n_2}$.<br />
<br />
Takto sestrojíme posloupnosti $\{ n_k \}_{k \geq 1}$, $\{ a_k \}_{k \geq 1}$ rostoucí, <br />
tj.~$\exists \lim\limits_{k \to \infty} a_k \in \R \cup \{ +\infty \}$ <br />
a přitom <br />
\[<br />
\Bigl( \forall k \in \N \Bigr) \Bigl( [a_k,\phi(a_k)] \notin \ol{E}_{n_k} \Bigr)<br />
\]<br />
a řešení $\phi$ je prodlouženo na $\langle x_0, \lim\limits_{k \to \infty} a_k \rangle$. Označme $\ol{a} = \lim\limits_{k \to \infty} a_k$.<br />
<br />
Nechť neplatí ani jedna z~podmínek věty \ref{theo:krit_prodl} (tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$). Potom, podle lemmatu <br />
\ref{lem:k_prodl}, existuje <br />
$\lim\limits_{k \to \infty} [a_k, \phi(a_k)]$ a je rovna $[\ol{a},\phi(\ol{a})] \in \Gamma$ a tedy<br />
\[<br />
\Bigl( \exists \rho_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \ol{B}([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) \subset \Gamma \Bigr).<br />
\]<br />
Pak <br />
\[<br />
\Bigl( \exists d_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_0 \Bigr) \Bigl( [a_k,\phi(a_k)] \in B([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) <br />
\ \wedge \ \rho([a_k,\phi(a_k),\partial\Gamma]) > d_0 \Bigr).<br />
\]<br />
Navíc<br />
\[<br />
\Bigl( \exists k_1 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_1 \Bigr) \Bigl( d_0 > \frac{1}{n} \ \wedge \ \abs{x_0 - \ol{a}} + \rho_0 + \abs{y_0 - \phi(\ol{a})} < n_k \Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Pak ovšem <br />
\[<br />
\Bigl( \forall k > \max \{ k_0,k_1 \} \Bigr) \Bigl( [a_k,\phi(a_k)] \in E_{n_k} \Bigr), <br />
\]<br />
což je spor s~předpokladem $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~věty \ref{theo:krit_prodl} pak plyne, že $\phi$ je neprodloužitelné.<br />
\end{proof}<br />
<br />
% PŮVODNÍ DŮKAZ Z PŘEDNÁŠKY (2009/2010)<br />
% \begin{proof}<br />
% Je dáno $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\phi_0$ na intervalu $\langle x_0-a_0,x_0+a_0 \rangle$. Obor hodnot <br />
% $\phi_0$ je interval $\langle y_0-b_0,y_0+b_0 \rangle$, kde $a_0 M_0 \leq b_0$. Označme $x_1 = x_0+a_0$ a $y_1 = \phi_0 (x_1)$. Analogicky bychom postupovali <br />
% pro bod $x_0-a_0$.<br />
%<br />
% Zformulujeme úlohu $y'=f(x,y)$, $y(x_1)=y_1$. Z~Peanovy věty plyne existence řešení $\phi_1$ definovaného na $\langle x_1-a_1,x_1+a_1 \rangle$ s~hodnotami<br />
% v~intervalu $\langle y_1-b_1,y_1+b_1 \rangle$, kde $a_1 M_1 \leq b_1$.<br />
%<br />
% V~$k$-tém kroku tedy položme $x_k = x_{k-1} + a_{k-1}$, $y_k = \phi_{k-1}(x_k)$. Z~Peanovy věty máme opět zaručenu existenci řešení $\phi_k$ úlohy <br />
% $y'=f(x,y)$, $y(x_k)=y_k$ definovaného na intervalu $\langle x_k-a_k,x_k+a_k \rangle$ s~hodnotami v~intervalu $\langle y_k-b_k,y_k+b_k \rangle$, kde <br />
% $a_k M_k \leq b_k$.<br />
%<br />
% Protože posloupnost $\{x_k\}_{k\geq1}$ je monotonní, má zřejmě i limitu. Označme <br />
% \[<br />
% \beta = \lim\limits_{k\to+\infty} x_k.<br />
% \]<br />
% Potom zřejmě $\forall x \in \langle x_0,\beta )$ existuje $k_0$ tak, že $x \in \langle x_0,x_{k_0}+a_{k_0} \rangle$. Definujme funkci $\phi$<br />
% \[<br />
% \phi(x) = \phi_{k_0}(x),<br />
% \]<br />
% která řeší úlohu \eqref{eq:poculo} na $\langle x_0,\beta )$. Je zřejmé, že analogickou úvahou při rozšiřování doleva bychom <br />
% získali bod $\alpha$ a sestrojili bychom řešení $\phi$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na intervalu $(\alpha,\beta)$.<br />
%<br />
% Zajímá nás, zda je $\phi$ neprodloužitelné. Pokud je splněna alespoň jedna z~podmínek (1), (2) nebo (3), je řešení $\phi$ neprodloužitelné. Zbývá vyšetřit <br />
% případ, kdy není splněna ani jedna z~podmínek (1), (2) a (3), tj.~nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} plyne <br />
% \[<br />
% \exists \lim_{x\to\beta_-} \phi(x) \stackrel{\text{ozn.}}{=} B \in \R.<br />
% \]<br />
% Z~$\neg (1)$ plyne, že $\beta\in\R$ a tedy, přidáme-li předpoklad $\neg (3)$, $[\beta,B]\in\Gamma$. Potom lze zřejmě řešit úlohu<br />
% \begin{eqnarray*}<br />
% y' &=& f(x,y), \\<br />
% y(\beta) &=& B.<br />
% \end{eqnarray*}<br />
% Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\tilde{\phi}$ na $\langle \beta-\tilde{a},\beta+\tilde{a} \rangle$ s~hodnotami v~intervalu <br />
% $\langle B-\tilde{b},B+\tilde{b} \rangle$, kde $\tilde{a} \tilde{M} \leq \tilde{b}$. Zřejmě tedy $\tilde{\phi}$ prodlužuje řešení $\phi$ za bod $\beta$, což <br />
% je spor s~konstrukcí bodu $\beta$\footnote{Tady může taky být problém --- podle Peanovy věty lze volit $a_k$ malé a v~každém dalším kroku o~tolik menší než v~předchozím kroku, že posloupnost $\{x_k\}$ nepřeleze určitou pevnou mez, přitom při jiné volbě $a_k$ by tu mez přelezla.}. <br />
% Situace $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$ tedy nemůže nastat a $\phi$ je neprodloužitelné.<br />
% \end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% PODSEKCE: Věta o hladkosti a o spojité závislosti na datech<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\subsection{Věta o~hladkosti a o~spojité závislosti na datech}<br />
\begin{theorem}[o~hladkosti, resp.~o~tzv.~regularitě]<br />
Nechť $f=f(x,y)$ má na $\Gamma$ spojité derivace vzhledem k~$x$ a $y$ řádu $p \geq 0$. Pak řešení úlohy \eqref{eq:poculo} má spojité derivace podle $x$ řádu $p+1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Řešíme úlohu<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y' &=& f(x,y), \\<br />
y(x_0) &=& y_0,<br />
\end{eqnarray*}<br />
kde $f \in \Cc^{(p)}(\Gamma)$, $p \geq 0$. Důkaz se provede neúplnou matematickou indukcí podle $k \leq p$.<br />
<br />
Zvolme $k=0$. Potom z~Peanovy věty \ref{theo:peano} máme řešení $\phi=\phi(x)$ na $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$, a platí $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ pro <br />
$\forall x \in (x_0-a,x_0+a)$. Funkce $\phi$ je tedy spojitá ($f$ je také spojitá), a tedy $f(x,\phi(x))$ je také spojitá. Odtud zřejmě $\phi'$ je <br />
spojitá, což znamená $\phi \in \Cc^{(1)}$.<br />
<br />
Předpokládejme, že tvrzení věty platí, pro $0 \leq k-1 < p$ a dokažme jej i pro $k$. Víme tedy, že $\phi \in \Cc^{(k)} \wedge f \in \Cc^{(k)}$. Potom zřejmě <br />
$\phi'(x) = f(x,\phi(x)) \in \Cc^{(k)}$, a tedy $\phi \in \Cc^{(k+1)}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následovat by měla věta o~spojité závislosti na datech. Při jejím dokazování však narazíme na nerovnost, s~níž se ještě setkáme i v~dalších částech textu. <br />
Připravíme si pro ni proto zvláštní způsob zpracování --- pomocí tzv.~Grönwallova lemmatu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}[Grönwallovo\footnote{\textbf{Thomas Hakon Grönwall} (1877-1932), švédský matematik.}]<br />
\label{lem:gronwall}<br />
\index{lemma!Grönwallovo}<br />
Nechť $u : \langle x_0-a,x_0+a \rangle \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí<br />
\[<br />
u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\beta \geq 0$.<br />
<br />
Potom $\forall x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ platí<br />
\[<br />
u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme <br />
\[<br />
v(x) = \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi.<br />
\]<br />
Funkce $v$ je zřejmě spojitě diferencovatelná a pro její derivaci platí<br />
\[<br />
v'(x) = \beta u(x) \leq \beta v(x).<br />
\]<br />
<br />
Dostali jsme diferenciální nerovnost, kterou po snadné úpravě a po vynásobení kladným výrazem $\me^{-\beta(x-x_0)}$ převedeme na tvar<br />
\[<br />
v'(x)\me^{-\beta(x-x_0)} - \beta v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x-x_0)}\right) \leq 0.<br />
\]<br />
Tuto nerovnost můžeme integrovat (v~mezích $x_0$ až $x$). Z~věty o~nerovnostech v~integrálech (\cite[Věta 6.12]{rudin1}) plyne, že nerovnost mezi integrandy se <br />
po integraci zachová. Dostaneme tedy<br />
\[<br />
v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} - v(x_0) \leq 0,<br />
\]<br />
odkud<br />
\[<br />
v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.<br />
\]<br />
Potom tedy platí<br />
\[<br />
u(x) \leq v(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)},<br />
\]<br />
čímž je důkaz lemmatu ukončen.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\label{rmrk:gronwall}<br />
Snadno si také rozmyslíme, že lze vyslovit i následující tvrzení. <br />
<br />
Nechť $u : \langle x_0-a,x_0+a \rangle \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí<br />
\[<br />
u(x) \leq \alpha + \Bigg| \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \Bigg|,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\beta \geq 0$.<br />
<br />
Potom $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí<br />
\[<br />
u(x) \leq \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.<br />
\]<br />
<br />
% \begin{proof}<br />
% ~<br />
%<br />
% \begin{enumerate}[(1)]<br />
%%\item <x_0,x_0+a><br />
% \item Nechť $x\in\langle x_0,x_0+a \rangle$. Z~Grönwallova lemmatu pak přímo plyne<br />
% \[<br />
% u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.<br />
% \]<br />
%<br />
%%\item <x_0-a,x_0><br />
% \item Uvažme případ $x\in\langle x_0-a,x_0 \rangle$. Danou nerovnost lze nyní přepsat do tvaru<br />
% \[<br />
% u(x) \leq \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.<br />
% \]<br />
% V~analogii s~důkazem Grönwallova lemmatu položme<br />
% \[<br />
% v(x) = \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.<br />
% \]<br />
% Potom<br />
% \[<br />
% v'(x) = -\beta u(x) \geq -\beta v(x).<br />
% \]<br />
% Snadnou úpravou získáme nerovnost<br />
% \[<br />
% 0 \leq v'(x) \me^{-\beta(x_0-x)} + \beta v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} \right).<br />
% \]<br />
% Integrací tohoto vztahu od $x$ do $x_0$ dostaneme<br />
% \[<br />
% 0 \leq v(x_0) - v(x) \me^{-\beta(x_0-x)},<br />
% \]<br />
% odkud<br />
% \[<br />
% u(x) \leq v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x_0-x)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.<br />
% \]<br />
% \end{enumerate}<br />
% \end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[o~spojité závislosti na datech]<br />
Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, nechť<br />
\[<br />
\Fs = \Big\{ f:\Gamma\to\R \ \Big\vert \ f \text{ je spojitá }, \abs{f(x,y)} \leq M \text{ na } \Gamma, \abs{f(x,y) - f(x,\ol{y})} \leq L\abs{y-\ol{y}} \Big\},<br />
\]<br />
kde $M,L>0$. Nechť $[x_0,y_0]\in\Gamma$, $y=y(x)$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo} pro $f\in\Fs$ a je definováno na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$.<br />
<br />
Potom $\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall\ol{x}_0\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\forall\ol{y}_0\in\R\Bigr) \Bigl(\forall\ol{f}\in\Fs\Bigr)$: \\<br />
pokud $\Bigl(\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\forall[x,y]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr)$, \\<br />
pak $\Bigl(\forall x\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{y}(x)-y(x)}<\epsilon\Bigr)$, kde $\ol{y}=\ol{y}(x)$ řeší úlohu $y'=\ol{f}(x,y)$, $y(\ol{x}_0) = \ol{y}_0$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Potom zřejmě existuje okolí $U$ takové, že $[x_0,y_0] \in U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. V~blízkosti bodu $[x_0,y_0]$ zvolíme<br />
bod $[\ol{x}_0,\ol{y}_0]$ tak, aby ležel v~obdélníku sestrojeném během Eulerovy konstrukce okolo bodu $[x_0,y_0]$ (viz~obr.~\ref{fig:kestab}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=1.0]{ke_spoj_zav_na_datech.pdf}<br />
\caption{K~důkazu věty o~spojité závislosti na datech.}<br />
\label{fig:kestab}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Potom počáteční úlohy<br />
<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}<br />
\hfill a \hfill<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& \ol{f}(x,y) \\ y(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}\linebreak<br />
mají jednoznačně určená řešení definovaná na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$, která označíme postupně $y=y(x)$ a $\ol{y} = \ol{y}(x)$. Tyto funkce tedy <br />
splňují na intervalu $(x_0-a,x_0+a)$ rovnosti<br />
<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y'(x) &=& f(x,y(x)) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}<br />
\hfill a \hfill<br />
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} (\ol{y})'(x) &=& \ol{f}(x,\ol{y}(x)) \\ \ol{y}(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}<br />
<br />
Po integraci uvedených rovnic s~přihlédnutím k~počátečním podmínkám obdržíme rovnice<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi, \\<br />
\ol{y}(x) &=& \ol{y}_0 + \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Snadno si rozmyslíme, že integrály na pravé straně uvedených rovnic jsou vlastní Riemannovy. Jejich odečtením dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
y(x) - \ol{y}(x) &=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi - \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi \\<br />
&=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi + \int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
Výraz $y(x)-\ol{y}(x)$ budeme chtít odhadnout. Proto si připravíme odhady pro jednotlivé výrazy na pravé straně.<br />
\begin{enumerate}[(a)]<br />
\item Zřejmě lze volit $\abs{y_0-\ol{y}_0}<\delta$, kde $\delta>0$.<br />
\item Protože $\ol{f} \in \Fs$ a lze volit $\abs{x_0-\ol{x}_0}<\delta$, platí odhad<br />
\[<br />
\abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi} \leq \abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ub{\abs{\ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq M} \dif \xi} <br />
\leq M \ub{\abs{x_0-\ol{x}_0}}_{<\delta}.<br />
\]<br />
\item Při odhadu prostředního členu využijeme toho, že při konstrukci, podle předpokladů věty, rovnou požadujeme splnění podmínky <br />
\[<br />
\Bigl(\forall[x,y]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr).<br />
\]<br />
Označme $A = \abs{\int_{x_0}^{x} \bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \bigr] \dif \xi}$. Protože $f\in\Fs$, platí<br />
\begin{eqnarray*}<br />
% \abs{\int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi} <br />
A &\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))} \dif \xi} \\<br />
&\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,y(\xi)) - f(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq L\abs{y(\xi)-\ol{y}(\xi)}} \dif \xi} + \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,\ol{y}(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{<\delta} \dif \xi} \\<br />
&\leq& L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi} + \delta \ub{\abs{x-x_0}}_{\leq a}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Potom zřejmě platí následující odhad<br />
\[<br />
\abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq \delta + M\delta + a\delta + L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi}.<br />
\]<br />
Označíme-li $u(x) = \abs{y(x)-\ol{y}(x)}$ ($u$ je zřejmě spojitá a nezáporná na $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$), můžeme výše uvedenou nerovnost přepsat<br />
do tvaru<br />
\[<br />
u(x) \leq (1+M+a) \delta + L \Bigg| \int_{x_0}^{x} u(\xi) \dif\xi \Bigg|.<br />
\]<br />
<br />
Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, potom $\forall x\in\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí<br />
\[<br />
\abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{L \abs{x-x_0}} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{La}.<br />
\]<br />
<br />
Potom pro libovolné $\epsilon>0$ klademe<br />
\[<br />
\delta = \frac{\epsilon}{1+M+a} \me^{-La}<br />
\]<br />
a, volíme-li $\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta$, $\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta$ a lib.~$\ol{f}\in\Fs$ takovou, že $\abs{f(x,y)-\ol{f}(x,y)}<\delta$, pak<br />
$\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí, že $\abs{y(x)-\ol{y}(x)}<\epsilon$, což jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% SEKCE: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\section{Soustavy diferenciálních rovnic 1.~řádu}<br />
\begin{define}<br />
\index{soustava diferenciálních rovnic}<br />
Nechť $F = (F^1,\ldots,F^n)$, kde $F^k : (\R^{1+n+n}) \to \R$, $k\in\widehat{n}$.<br />
Potom soustava<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sysdr}<br />
\begin{array}{rcl}<br />
F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) & = & 0 \\<br />
&\vdots& \\<br />
F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) & = & 0<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$, kde $y^k : (\R) \to \R$, $k\in\widehat{n}$ se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Libovolný systém vyššího řádu (tím máme na mysli, že na levé straně soustavy \eqref{eq:sysdr} by vystupovaly netriviálně i derivace vyšších řádů), lze <br />
převést na systém 1.~řádu. Uvažme následující soustavu diferenciálních rovnic řádu $k\in\N$<br />
\begin{eqnarray*}<br />
F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) & = & 0 \\<br />
&\vdots& \\<br />
F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) & = & 0<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
Do této soustavy zavedeme substituci ve tvaru<br />
\[<br />
z^l_j = \frac{\dif^l y^j}{\dif x^l},<br />
\]<br />
pro všechna $j\in\widehat{n}$ a pro všechna $l = 0,1,\ldots,k-1$. Uvedená soustava pak přejde do tvaru<br />
\begin{eqnarray*}<br />
F^1 \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) & = & 0 \\<br />
&\vdots& \\<br />
F^n \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) & = & 0 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
\[<br />
\begin{array}{rclcrcl}<br />
\dfrac{\dif z^0_1}{\dif x} & = & z^1_1, & \ldots, & \dfrac{\dif z^0_n}{\dif x} & = & z^1_n \\<br />
&\vdots& & & & \\<br />
\dfrac{\dif z^{k-2}_1}{\dif x} & = & z^{k-1}_1, & \ldots, & \dfrac{\dif z^{k-2}_n}{\dif x} & = & z^{k-1}_n<br />
\end{array}<br />
\]<br />
což už je soustava 1.~řádu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{eq:sysdrnorm}<br />
\index{soustava diferenciálních rovnic!v~normálním tvaru}<br />
Nechť $f=(f^1,\ldots,f^n)$, kde $f^k : (\R^{1+n})\to\R$, $k\in\widehat{n}$. Pak soustava<br />
\begin{equation}<br />
\begin{array}{rcl}<br />
\dfrac{\dif y^1}{\dif x} & = & f^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\<br />
% \dfrac{\dif y^2}{\dif x} & = & f^2 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\<br />
&\vdots& \\<br />
\dfrac{\dif y^n}{\dif x} & = & f^n \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu v~normálním tvaru} s~vektorovým zápisem<br />
\begin{equation}<br />
y' = f(x,y),<br />
\end{equation}<br />
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{řešení!diferenciální rovnice}<br />
Vektorová funkce $y : I\to\R^n$, $I\subset\R$ je otevřený interval, je \textbf{řešením} soustavy \eqref{eq:sysdrnorm} právě tehdy, když splňuje \eqref{eq:sysdrnorm}<br />
$\forall x \in I$ (tj.~bodově).<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{podmínka!Lipschitzova}<br />
Nechť funkce $g=g(x,y^1,\ldots,y^n)$ je definována na $A\subset\R^{1+n}$ ($g : A \to \R$). Říkáme, že \textbf{$g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku vzhledem <br />
k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$} právě tehdy, když platí<br />
\[<br />
% \Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n) \in A \Bigr) \Bigl( \forall (x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr)<br />
\Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n),(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr) <br />
\Bigl( \abs{g(x,y^1,\ldots,y^n)-g(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n)} \leq L \sum_{k=1}^n \abs{y^k-\hat{y}^k} \Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Říkáme, že funkce $g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku \textbf{lokálně} právě tehdy, když pro každý bod $(x_0,y^1_0,\ldots,y^n_0) \in A$ existuje<br />
jeho okolí $H \subset A$ tak, že $g$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud $A$ je otevřená a $\dfrac{\partial g}{\partial y^j} \in \Cc(A)$, $j\in\widehat{n}$, pak $g$ splňuje na $A$ lokálně Lipschitzovu podmínku.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]<br />
Nechť $\Gamma\subset\R^{1+n}$ je oblast, $f : \Gamma\to\R^n$, $f \in \Cc(\Gamma)$ a <br />
\[<br />
\Bigl( \forall j,k\in\widehat{n} \Bigr) \left( \frac{\partial f^k}{\partial y^j} \in \Cc(\Gamma) \right).<br />
\]<br />
Nechť dále $[x_0,y_0]\in\Gamma$.<br />
<br />
Potom existuje $\delta>0$ a $\phi : (x_0-\delta,x_0+\delta) \to \R^n$ tak, že funkce $\phi=\phi(x)$ řeší počáteční úlohu s~vektorovým zápisem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:poculo2}<br />
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}<br />
y' & f(x,y), \\<br />
y(x_0) & y_0.<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pokud $I\subset\R$ je otevřený, $x_0 \in I$, $\psi : I\to\R^n$ je řešení \eqref{eq:poculo2}, potom platí<br />
\[<br />
\Bigl( \forall x \in I \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).<br />
\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\label{rmrk:sysdr_ex_jedn}<br />
Důkaz právě uvedené věty vynecháváme. Analogický důkaz bude proveden pro větu o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních <br />
diferenciálních rovnic. Postup důkazu však shrneme do krátkého komentáře.<br />
<br />
Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. Zabývejme se nejdříve existencí řešení počáteční úlohy \eqref{eq:poculo2}. Existence se dokazuje pomocí<br />
tzv.~\textbf{Picardových}\footnote{\textbf{Charles Émile Picard} (1856-1941), francouzský matematik.} \textbf{iterací}. Snadno si rozmyslíme, <br />
že funkce $\phi=\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2} právě tehdy, vyhovuje-li integrální rovnici (ve vektorovém tvaru)<br />
\[<br />
y = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,y) \dif\xi.<br />
\]<br />
Nechť je funkce $\phi$ řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}. Potom zřejmě platí $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$. Integrací této rovnosti, s~přihlédnutím k~počátečním <br />
podmínkám, přejdeme ke tvaru<br />
\[<br />
\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi(\xi)) \dif\xi.<br />
\]<br />
Odtud tedy plyne, že řešení úlohy \eqref{eq:poculo2} vyhovuje i uvedené integrální rovnici (tato rovnice v~sobě automaticky zahrnuje i příslušné počáteční <br />
podmínky). Naopak nechť funkce $\phi$ splňuje uvedenou integrální rovnici. Potom je $\phi$ zřejmě diferencovatelná a také vyhovuje počátečním podmínkám <br />
úlohy \eqref{eq:poculo2}. Derivací integrální rovnosti pak dostaneme rovnost $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$, tj.~funkce $\phi$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}.<br />
<br />
Nyní provedeme Picardovy iterace. Budeme pracovat na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, kde parametr $\delta$ se blíže určí v~průběhu důkazu. V~prvním <br />
kroku označme<br />
\[<br />
\phi_1(x) = y_0<br />
\]<br />
a položme<br />
\[<br />
\phi_2(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_1(\xi))\dif\xi.<br />
\]<br />
Tímto způsobem postupujeme dále. V~$k$-tém kroku tedy položíme<br />
\[<br />
\phi_k(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_{k-1}(\xi)) \dif\xi.<br />
\]<br />
Vytváříme tak posloupnost funkcí definovaných na symetrickém intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. O~této posloupnosti ukážeme, že pro vhodné <br />
$\delta>0$ na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ stejnoměrně konverguje k~limitní funkci $\phi$, která je řešením dané úlohy.<br />
<br />
Jednoznačnost se dokazuje pomocí Grönwallova lemmatu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% SEKCE: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\section{Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu}<br />
\begin{define}<br />
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních}<br />
Nechť $a_{ij} : (\R)\to\R$, $b_i : (\R)\to\R$. Pak soustava<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sysdrlin}<br />
\begin{array}{lcr}<br />
\dfrac{\dif y^1}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{1j}(x) y^j + b_1 (x) \\<br />
&\vdots& \\<br />
\dfrac{\dif y^n}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{nj}(x) y^j + b_n (x)<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu} s~vektorovým zápisem<br />
\[<br />
y' = \mat{A}(x) y + b(x),<br />
\]<br />
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Soustavu \eqref{eq:sysdrlin} lze formulovat také pro případ<br />
\begin{eqnarray*}<br />
a_{ij} &:& (\R)\to\C,\\<br />
b_j &:& (\R)\to\C,\\<br />
y^j &:& (\R)\to\C.<br />
\end{eqnarray*}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]<br />
\label{theo:exajedn_sysdrlin}<br />
Nechť $I\subset\R$ je otevřený interval, $a_{ij}: I\to\R$, $b_j: I\to\R$ jsou spojité, $x_0 \in I$, $y_0\in\R^n$. Pak úloha<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:poculo3}<br />
\begin{array}{rcl}<br />
y' &=& \mat{A}(x) y + b(x) \\<br />
y(x_0) &=& y_0<br />
\end{array}<br />
\end{equation}<br />
má na $I$ řešení $\phi=\phi(x)$. Je-li $J\subset\R$ otevřený interval, $x_0 \in J$, $\psi : J\to\R^n$ řešení \eqref{eq:poculo3}, pak<br />
\[<br />
\Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).<br />
\]<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podle poznámky \ref{rmrk:sysdr_ex_jedn}.<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
%\item EXISTENCE<br />
\item Nejprve dokážeme existenci. Uvažme, že $\phi : I\to\R^n$ řeší \eqref{eq:poculo3} právě tehdy, když<br />
\[<br />
\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.<br />
\]<br />
<br />
Položme (Picardovy iterace) pro každé $x \in I$, $k\in\N$<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\phi_0(x) & = & y_0, \\<br />
& \vdots & \\<br />
\phi_k(x) & = & y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi_{k-1}(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Tak jsme na intervalu $I$ sestrojili vektorovou funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$. Dále dokážeme následující lemma.<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje stejnoměrně na libovolném intervalu $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$ takovém, <br />
že $x_0 \in (\alpha,\beta)$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme libovolně $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$, $x_0 \in (\alpha,\beta)$. Chceme ukázat, že $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$<br />
konverguje na $\langle \alpha,\beta \rangle$ stejnoměrně. K~tomu využijeme Bolzanovo-Cauchyovo kritérium (viz např. \cite[Věta 7.8]{rudin1}),<br />
které lze zformulovat ve tvaru<br />
\[<br />
\Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall k\in\N, k>k_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr) <br />
\Bigl( \forall x\in\langle \alpha,\beta \rangle \Bigr) \Bigl( \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_{k}(x)} < \epsilon \Bigr),<br />
\]<br />
pro všechna $i\in\widehat{n}$.<br />
<br />
Dále víme, že funkce $a_{ij}(x)$ a $b_i(x)$ jsou spojité na kompaktním intervalu $\langle \alpha,\beta \rangle$ a jsou tedy omezené, tj.~platí<br />
\[<br />
\Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall i,j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\langle \alpha,\beta \rangle \Bigr) <br />
\Bigl( \abs{a_{ij}(x)} \leq K, \abs{b_i(x)} \leq K \Bigr).<br />
\]<br />
Zřejmě také platí<br />
\[<br />
\Bigl( \exists Y > 0 \Bigr) \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \abs{y_0^j} \leq Y \Bigr).<br />
\]<br />
<br />
Z~B.-C.~kritéria je zřejmé, že budeme muset odhadovat rozdíly tvaru $\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)}$. Proto si tyto odhady nejprve připravíme.<br />
Zřejmě $\forall i\in\widehat{n}$ platí<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi^i_1(x) - \phi^i_0(x)} <br />
& = & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) y^j_0 + b_i(\xi) \Bigl] \dif\xi \Bigg| <br />
\leq \Bigg| \int_{x_0}^x \Biggl[ \sum_{j=1}^n \ub{|a_{ij}(\xi)|}_{\leq K} \ \ub{|y^j_0|}_{\leq Y} + \ub{|b_i(\xi)|}_{\leq K} \Biggl] \dif\xi \Bigg| \\<br />
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n KY + K \Bigl] \dif\xi \Bigg| = (nY+1)K\abs{x-x_0}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Při odhadu $(k+1)$-ního rozdílu dojdeme k~rekurentnímu vztahu $\forall i\in\widehat{n}$<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)} <br />
& = & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) (\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)) \Bigl] \dif\xi \Bigg| \\<br />
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ \abs{\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)} \dif\xi \Bigg|.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Abychom tuto rekurenci vyřešili, odhadněme nejdříve rozdíl $\abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)}$, který nám pomůže určit tvar řešení. Jeho platnost potom ověříme <br />
prostřednictvím matematické indukce. Zřejmě tedy $\forall i\in\widehat{n}$<br />
\[<br />
\abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)} \leq \Bigg| \int_{x_0}^x (nY+1)K^2\abs{\xi-x_0}n \ \dif\xi \Bigg| = \frac{1}{2} (nK)^2 \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^2.<br />
\]<br />
<br />
Očekáváme tedy, že platí $\forall i\in\widehat{n}$<br />
\[<br />
\abs{\phi^i_k(x) - \phi^i_{k-1}(x)} \leq \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^k.<br />
\]<br />
Pro $k=1,2$ již máme platnost tohoto vztahu ověřenu. Předpokládejme, že pro $k$ platí a dokažme ji i pro $k+1$. Pro každé $i\in\widehat{n}$<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)} <br />
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n K \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{\xi-x_0}^k \ \dif\xi \Bigg| \\<br />
&\leq& \frac{1}{(k+1)!} (nK)^{k+1} \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^{k+1}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Tím je platnost našeho odhadu ověřena.<br />
<br />
Potom $\forall i\in\widehat{n}$<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_k(x)} <br />
&\leq& \sum_{l=1}^p \abs{\phi^i_{k+l}(x) - \phi^i_{k+l-1}(x)} \\<br />
&\leq& \ub{\sum_{l=1}^p \left(Y+\frac{1}{n}\right) \frac{1}{(k+l)!} (nK)^{k+l} \abs{x-x_0}^{k+l}}_{\text{úsek řady SK na lib.~omez.~intervalu}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že na pravé straně našeho odhadu stojí úsek řady, která je stejnoměrně konvergentní na libovolném omezeném intervalu (poloměr konvergence<br />
této řady je zjevně $+\infty$, stejnoměrná konvergence pak plyne např.~z~\cite[Věta 5.5]{vrana1}). V~důsledku toho se zřejmě pro $k \to +\infty$ a <br />
$p \to +\infty$ musí pravá strana blížit k~$0$ a lze ji tedy udělat libovolně malou. Odtud funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje <br />
na $\langle \alpha,\beta \rangle$ stejnoměrně a na $I$ lokálně stejnoměrně (vzhledem k~libovolnosti $\langle \alpha,\beta \rangle$).<br />
<br />
Tím je důkaz lemmatu dokončen.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
Pokračujeme v~dokazování věty o~existenci a jednoznačnosti. Označme<br />
\[<br />
\phi_* (x) = \lim_{k\to+\infty} \phi_k(x).<br />
\]<br />
Potom v~iteračním vztahu<br />
\[<br />
\phi_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_k(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi<br />
\]<br />
provedeme limitní přechod $k\to+\infty$, přičemž využijeme stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ na libovolném intervalu<br />
$\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$ (tj.~i na intervalu s~krajními body $x_0$ a $x$). Lze tedy provést záměnu limity a integrálu. Dostaneme<br />
\[<br />
\phi_*(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi.<br />
\]<br />
Odtud vidíme, že platí<br />
\[<br />
\Bigl( \phi_*(x_0) = y_0 \Bigr) \wedge \Bigl( \exists \phi'_*(x) \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \phi'_*(x) = \mat{A}(x) \phi_*(x) + b(x) \Bigr).<br />
\]<br />
To ale znamená, že $\phi_*$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo3}, což jsme chtěli dokázat.<br />
<br />
%\item JEDNOZNAČNOST<br />
\item Zbývá dokázat jednoznačnost řešení. Nechť $\psi = \psi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo3} na intervalu $J \subset \R$. Nechť z~předchozího postupu<br />
máme řešení $\phi_*$ na intervalu $I$. Dosadíme obě řešení do \eqref{eq:poculo3} a dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\phi_*(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi, \\<br />
\psi(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \psi(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odečtením obou rovnic získáme rovnici<br />
\[<br />
\phi_*(x) - \psi(x) = \int_{x_0}^x \mat{A}(\xi) (\phi_*(\xi) - \psi(\xi)) \dif\xi.<br />
\]<br />
<br />
Uvažme nyní $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I \cap J$, $x_0\in(\alpha,\beta)$. Potom<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} <br />
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ub{\abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}}_{\leq\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2} \dif\xi \Bigg| \\<br />
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\<br />
% &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{=\left(\sum\limits_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}^2\right)^{1/2}} \dif\xi \Bigg| \\<br />
% &\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{\stackrel{\text{ozn}}{=}u(\xi)} \dif\xi \Bigg|.<br />
\end{eqnarray*}<br />
kde jsme využili zřejmou nerovnost<br />
\[<br />
\abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} \leq \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 = \left( \sum_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}^2 \right)^{1/2}<br />
\]<br />
a odhadů z~předchozích částí důkazu. Potom můžeme psát<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 & = & \left(\sum_{i=1}^n \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}^2 \right)^{1/2} \\<br />
&\leq& \left(\sum_{i=1}^n \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|^2 \right)^{1/2} \\<br />
&\leq& n^{1/2} \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\<br />
&\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
Označíme-li tedy $u(x) = \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2$, dostáváme nerovnost<br />
\[<br />
u(x) \leq n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x u(\xi) \dif\xi \Bigg|.<br />
\]<br />
Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, pak plyne<br />
\[<br />
u(x) \leq 0.<br />
\]<br />
Odtud zřejmě<br />
\[<br />
\Bigl( \forall x \in \langle \alpha,\beta \rangle \subset I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr),<br />
\]<br />
<br />
Sporem ukážeme, že uvedená rovnost musí platit i pro ostatní $x \in I \cap J$. Nechť tedy existuje<br />
$x_1 \in I \cap J$ tak, že $\phi_*(x_1) \neq \psi(x_1)$. Potom zřejmě existuje interval $\langle \alpha_1,\beta_1 \rangle \subset I \cap J$ tak, že <br />
$x_1 \in \langle \alpha_1,\beta_1 \rangle$ a $x_0 \in (\alpha_1,\beta_1)$. Zopakujeme-li nyní předchozí postup, dojdeme ke sporu. Platí tedy<br />
\[<br />
\Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr).<br />
\]<br />
Tím je důkaz věty dokončen.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Stepazb2