https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Sedlam18&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-29T11:36:56ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=456701ALG:Kapitola82012-01-24T13:22:53Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie svazů}<br />
<br />
\xxxx{Svazy}<br />
<br />
\define<br />
\defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br />
se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br />
\item<br />
$a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br />
<br />
\lemma<br />
Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br />
(tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br />
<br />
\proof<br />
$a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(princip duality v teorii svazů)<br />
Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br />
pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br />
<br />
\xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br />
<br />
\remark<br />
Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br />
\item<br />
Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br />
Pro $s=\sup A$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br />
\item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\item<br />
$\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\item<br />
$\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br />
má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br />
<br />
\lemma<br />
Pro libovolné prvky svazu platí, že<br />
$$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br />
pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br />
\item<br />
Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br />
Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br />
pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br />
\ditem{antisymetrie}<br />
$a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br />
\ditem{transitivita}<br />
Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br />
\ditem{je svazové}<br />
Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br />
%TODO<br />
Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br />
\end{description}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{komutativita}<br />
$a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br />
\ditem{asociativita}<br />
$(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br />
s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br />
\ditem{pohlcení}<br />
$\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br />
\end{description}<br />
Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br />
Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br />
Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$i\leq a,b,c$}<br />
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br />
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br />
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br />
tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br />
\end{description}<br />
<br />
Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br />
$\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br />
Potom platí<br />
$$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br />
<br />
\proof<br />
Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br />
pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br />
Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br />
Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br />
<br />
Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br />
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br />
<br />
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br />
\item<br />
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br />
<br />
Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br />
\item<br />
Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br />
(vždy to bude jeden z obou prvků).<br />
Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br />
\item<br />
Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br />
Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br />
Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br />
\item<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br />
Označme $(\SA)=(\cap)$.<br />
Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br />
Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br />
Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br />
Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br />
\item<br />
$N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br />
Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br />
\item<br />
Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $a,b\in S\supdot$, $a<b$.<br />
Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br />
Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br />
Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br />
Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Ideály}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br />
<br />
\lemma[lattice123]<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br />
Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br />
\item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$1\Limpl2$}<br />
Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br />
Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br />
\ditem{$2\Limpl3$}<br />
Buď $a\SV b\in I$.<br />
Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br />
\ditem{$3\Limpl1$}<br />
Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br />
Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br />
Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br />
<br />
\proof<br />
$I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br />
<br />
Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br />
<br />
\xxxx{Izomorfismus svazů}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br />
$$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br />
\defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br />
Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br />
<br />
\proof<br />
Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br />
Zbývá tedy opačná implikace.<br />
Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br />
Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br />
a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br />
Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br />
Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br />
Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br />
a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br />
Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br />
Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br />
Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br />
\defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br />
Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br />
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br />
Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br />
Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br />
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br />
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br />
Tedy $m$ je první a je nulou.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Úplné svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br />
má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br />
<br />
\remark<br />
V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br />
V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br />
<br />
\lemma<br />
Úplný svaz má nulu a jednotku.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br />
\item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br />
a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br />
<br />
\theorem(o pevném bodě)<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br />
Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br />
Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br />
Označme $u:=\sup U$.<br />
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br />
tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br />
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br />
Celkově máme $f(u)=u$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $N\sse M$.<br />
Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br />
Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br />
Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br />
<br />
Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br />
Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br />
A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br />
Tedy $\sup N=\inf Z$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br />
Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br />
Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br />
a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br />
tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br />
existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br />
Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br />
<br />
\proof<br />
Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br />
Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0<x)$.<br />
Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br />
<br />
\def\NN{{\mathscr N}}<br />
\def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br />
\def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br />
\def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br />
\def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br />
Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br />
Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br />
Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br />
Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br />
a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br />
$\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br />
Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br />
je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
<br />
Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br />
máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$h$ je prosté}<br />
Nechť $h(a)=h(b)$.<br />
Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br />
\ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br />
Mějme $a, b\in M$.<br />
Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br />
\ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br />
Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br />
Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br />
A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x<r}$ pro všechna $r\in\R$.<br />
<br />
\xxxx{Distributivní svazy}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br />
Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br />
\item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br />
Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br />
$\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br />
\item<br />
Symetricky z~duality.<br />
\item<br />
Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br />
Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br />
<br />
\lemma<br />
$\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br />
$(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br />
=a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Příklady distributivních svazů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
množinové svazy;<br />
\item<br />
úplně uspořádané množiny;<br />
\item<br />
$(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br />
<br />
\proof<br />
Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br />
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br />
$$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br />
Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br />
<br />
\remark<br />
V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br />
<br />
\remark<br />
V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br />
pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br />
Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br />
<br />
\example<br />
Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br />
Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br />
Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br />
<br />
Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br />
tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br />
Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br />
Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br />
$$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br />
dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br />
Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br />
$x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br />
Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br />
Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br />
Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br />
<br />
Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br />
$x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br />
Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br />
$(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br />
<br />
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br />
Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a>b$ nebo nejsou srovnatelné).<br />
Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br />
tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br />
Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br />
V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br />
která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br />
Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br />
Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br />
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br />
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br />
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br />
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br />
<br />
Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br />
Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br />
$b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br />
Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br />
tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br />
$b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br />
Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br />
<br />
Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(Stone)<br />
Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br />
Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br />
Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br />
Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br />
<br />
\begin{description}<br />
\ditem{injekce}<br />
Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br />
Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br />
tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br />
\stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br />
\stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br />
\end{description}<br />
<br />
Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Modulární svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br />
vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný distributivní svaz je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br />
Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br />
$$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br />
Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} <br />
Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br />
$$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br />
<br />
Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br />
Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br />
Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br />
taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br />
$\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br />
Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n>m$.<br />
<br />
\define<br />
Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br />
<br />
\theorem(Schreier)<br />
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br />
<br />
\theorem(Jordan, H\H older)<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br />
\item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br />
Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\item<br />
Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br />
Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br />
Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br />
Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br />
Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br />
tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a<b$.<br />
Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br />
a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br />
Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br />
korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br />
<br />
Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br />
$g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br />
je $g(f(x))=x$.<br />
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br />
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br />
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br />
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br />
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br />
Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br />
$\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br />
<br />
\proof<br />
Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
1. věta o dimenzi.<br />
<br />
\remark<br />
Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br />
<br />
\xxxx{Komplement}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA a'=0$;<br />
\item $a\SV a'=1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br />
<br />
\example<br />
Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br />
<br />
\example<br />
$0'=1$; $1'=0$.<br />
<br />
\example<br />
Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br />
\item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(24,35)(-12,0)<br />
\put(2,3){\line(2,3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(2,31){\line(2,-3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(-10,13){\line(0,1){8}}<br />
\put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br />
Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br />
Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br />
Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br />
což je protipříklad proti podmínce modularity.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br />
Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)<(a\SA b)\SV c$.<br />
Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br />
<br />
Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a<c$.<br />
<br />
Nechť $b<a\Tor b<c$, pak jistě $b<c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a<c\leq(a\SA b)\SV c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br />
Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br />
<br />
\example<br />
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br />
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(40,24)(-20,0)<br />
\put(3,3){\line(2,1){14}}<br />
\put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br />
\put(0,3){\line(0,1){7}}<br />
\put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br />
\put(3,21){\line(2,-1){14}}<br />
\put(0,21){\line(0,-1){7}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br />
<br />
\theorem<br />
V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br />
Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br />
$a_1\leq a_2$.<br />
Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br />
má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br />
<br />
\example<br />
Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br />
<br />
\example<br />
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br />
(přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br />
<br />
\put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br />
\put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br />
<br />
\put(1,2){\line(1,4){6}}<br />
\put(1,2){\line(2,3){16}}<br />
\put(1,2){\line(1,1){24}}<br />
\put(1,2){\line(3,2){36}}<br />
\put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br />
\put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br />
\put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br />
\put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br />
\put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br />
\put(1,56){\line(1,-4){6}}<br />
\put(1,56){\line(2,-3){16}}<br />
\put(1,56){\line(1,-1){24}}<br />
\put(1,56){\line(3,-2){36}}<br />
<br />
\put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br />
\put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br />
\put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br />
\put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br />
\put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br />
\put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br />
\put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br />
\put(-18,21){\line(6,5){12}}<br />
\put(-10,21){\line(1,2){5}}<br />
\put(-4,21){\line(0,1){10}}<br />
\put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br />
\put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br />
\put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br />
<br />
\put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br />
\put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br />
<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
<br />
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br />
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br />
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br />
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br />
<br />
\xxxx{Booleova algebra}<br />
<br />
\define<br />
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br />
a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br />
Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br />
\item $\qlb{a'}'=a$;<br />
\item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br />
\item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br />
\begin{enumerate}<br />
\addtocounter{enumi}{2}<br />
\item<br />
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br />
$(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a'\SV b')\SA(b\SV a'\SV b')=1\SA1=1$;<br />
%\item<br />
%$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br />
$$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme libovolné $x$.<br />
Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br />
Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolné prvky $a,b$.<br />
Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br />
Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br />
\ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br />
\ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br />
\item<br />
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br />
<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{center}<br />
\def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br />
~<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\put(0,0){\line(0,1){16}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\POINT(8,8)<br />
\POINT(-8,8)<br />
\put(0,0){\line(1,1){8}}<br />
\put(0,0){\line(-1,1){8}}<br />
\put(0,16){\line(1,-1){8}}<br />
\put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br />
\def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br />
\def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br />
\def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br />
%0 (0,0)<br />
\POINT(0,0)<br />
\LINEA(0,0)<br />
\LINEB(0,0)<br />
\LINEC(0,0)<br />
%A (-9,6)<br />
\POINT(-9,6)<br />
\LINEB(-9,6)<br />
\LINEC(-9,6)<br />
%B (0,4)<br />
\POINT(0,4)<br />
\LINEA(0,4)<br />
\LINEC(0,4)<br />
%C (9,6)<br />
\POINT(9,6)<br />
\LINEA(9,6)<br />
\LINEB(9,6)<br />
%AB (-9,10)<br />
\POINT(-9,10)<br />
\LINEC(-9,10)<br />
%AC (0,12)<br />
\POINT(0,12)<br />
\LINEB(0,12)<br />
%BC (9,10)<br />
\POINT(9,10)<br />
\LINEA(9,10)<br />
%ABC (0,16)<br />
\POINT(0,16)<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
~<br />
\end{center}</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=456601ALG:Kapitola82012-01-24T13:19:23Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie svazů}<br />
<br />
\xxxx{Svazy}<br />
<br />
\define<br />
\defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br />
se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br />
\item<br />
$a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br />
<br />
\lemma<br />
Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br />
(tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br />
<br />
\proof<br />
$a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(princip duality v teorii svazů)<br />
Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br />
pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br />
<br />
\xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br />
<br />
\remark<br />
Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br />
\item<br />
Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br />
Pro $s=\sup A$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br />
\item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\item<br />
$\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\item<br />
$\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br />
má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br />
<br />
\lemma<br />
Pro libovolné prvky svazu platí, že<br />
$$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br />
pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br />
\item<br />
Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br />
Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br />
pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br />
\ditem{antisymetrie}<br />
$a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br />
\ditem{transitivita}<br />
Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br />
\ditem{je svazové}<br />
Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br />
%TODO<br />
Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br />
\end{description}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{komutativita}<br />
$a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br />
\ditem{asociativita}<br />
$(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br />
s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br />
\ditem{pohlcení}<br />
$\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br />
\end{description}<br />
Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br />
Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br />
Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$i\leq a,b,c$}<br />
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br />
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br />
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br />
tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br />
\end{description}<br />
<br />
Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br />
$\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br />
Potom platí<br />
$$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br />
<br />
\proof<br />
Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br />
pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br />
Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br />
Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br />
<br />
Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br />
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br />
<br />
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br />
\item<br />
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br />
<br />
Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br />
\item<br />
Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br />
(vždy to bude jeden z obou prvků).<br />
Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br />
\item<br />
Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br />
Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br />
Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br />
\item<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br />
Označme $(\SA)=(\cap)$.<br />
Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br />
Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br />
Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br />
Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br />
\item<br />
$N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br />
Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br />
\item<br />
Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $a,b\in S\supdot$, $a<b$.<br />
Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br />
Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br />
Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br />
Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Ideály}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br />
<br />
\lemma[lattice123]<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br />
Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br />
\item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$1\Limpl2$}<br />
Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br />
Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br />
\ditem{$2\Limpl3$}<br />
Buď $a\SV b\in I$.<br />
Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br />
\ditem{$3\Limpl1$}<br />
Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br />
Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br />
Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br />
<br />
\proof<br />
$I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br />
<br />
Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br />
<br />
\xxxx{Izomorfismus svazů}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br />
$$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br />
\defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br />
Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br />
<br />
\proof<br />
Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br />
Zbývá tedy opačná implikace.<br />
Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br />
Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br />
a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br />
Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br />
Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br />
Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br />
a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br />
Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br />
Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br />
Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br />
\defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br />
Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br />
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br />
Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br />
Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br />
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br />
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br />
Tedy $m$ je první a je nulou.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Úplné svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br />
má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br />
<br />
\remark<br />
V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br />
V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br />
<br />
\lemma<br />
Úplný svaz má nulu a jednotku.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br />
\item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br />
a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br />
<br />
\theorem(o pevném bodě)<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br />
Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br />
Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br />
Označme $u:=\sup U$.<br />
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br />
tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br />
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br />
Celkově máme $f(u)=u$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $N\sse M$.<br />
Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br />
Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br />
Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br />
<br />
Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br />
Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br />
A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br />
Tedy $\sup N=\inf Z$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br />
Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br />
Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br />
a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br />
tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br />
existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br />
Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br />
<br />
\proof<br />
Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br />
Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0<x)$.<br />
Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br />
<br />
\def\NN{{\mathscr N}}<br />
\def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br />
\def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br />
\def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br />
\def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br />
Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br />
Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br />
Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br />
Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br />
a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br />
$\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br />
Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br />
je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
<br />
Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br />
máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$h$ je prosté}<br />
Nechť $h(a)=h(b)$.<br />
Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br />
\ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br />
Mějme $a, b\in M$.<br />
Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br />
\ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br />
Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br />
Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br />
A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x<r}$ pro všechna $r\in\R$.<br />
<br />
\xxxx{Distributivní svazy}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br />
Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br />
\item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br />
Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br />
$\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br />
\item<br />
Symetricky z~duality.<br />
\item<br />
Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br />
Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br />
<br />
\lemma<br />
$\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br />
$(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br />
=a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Příklady distributivních svazů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
množinové svazy;<br />
\item<br />
úplně uspořádané množiny;<br />
\item<br />
$(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br />
<br />
\proof<br />
Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br />
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br />
$$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br />
Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br />
<br />
\remark<br />
V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br />
<br />
\remark<br />
V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br />
pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br />
Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br />
<br />
\example<br />
Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br />
Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br />
Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br />
<br />
Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br />
tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br />
Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br />
Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br />
$$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br />
dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br />
Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br />
$x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br />
Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br />
Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br />
Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br />
<br />
Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br />
$x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br />
Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br />
$(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br />
<br />
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br />
Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a>b$ nebo nejsou srovnatelné).<br />
Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br />
tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br />
Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br />
V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br />
která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br />
Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br />
Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br />
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br />
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br />
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br />
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br />
<br />
Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br />
Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br />
$b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br />
Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br />
tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br />
$b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br />
Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br />
<br />
Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(Stone)<br />
Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br />
Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br />
Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br />
Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br />
<br />
\begin{description}<br />
\ditem{injekce}<br />
Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br />
Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br />
tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br />
\stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br />
\stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br />
\end{description}<br />
<br />
Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Modulární svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br />
vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný distributivní svaz je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br />
Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br />
$$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br />
Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} <br />
Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br />
$$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br />
<br />
Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br />
Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br />
Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br />
taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br />
$\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br />
Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n>m$.<br />
<br />
\define<br />
Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br />
<br />
\theorem(Schreier)<br />
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br />
<br />
\theorem(Jordan, H\H older)<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br />
\item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br />
Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\item<br />
Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br />
Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br />
Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br />
Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br />
Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br />
tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a<b$.<br />
Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br />
a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br />
Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br />
korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br />
<br />
Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br />
$g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br />
je $g(f(x))=x$.<br />
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br />
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br />
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br />
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br />
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br />
Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br />
$\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br />
<br />
\proof<br />
Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
1. věta o dimenzi.<br />
<br />
\remark<br />
Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br />
<br />
\xxxx{Komplement}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA a'=0$;<br />
\item $a\SV a'=1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br />
<br />
\example<br />
Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br />
<br />
\example<br />
$0'=1$; $1'=0$.<br />
<br />
\example<br />
Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br />
\item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(24,35)(-12,0)<br />
\put(2,3){\line(2,3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(2,31){\line(2,-3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(-10,13){\line(0,1){8}}<br />
\put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br />
Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br />
Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br />
Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br />
což je protipříklad proti podmínce modularity.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br />
Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)<(a\SA b)\SV c$.<br />
Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br />
<br />
Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a<c$.<br />
<br />
Nechť $b<a\Tor b<c$, pak jistě $b<c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a<c\leq(a\SA b)\SV c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br />
Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br />
<br />
\example<br />
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br />
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(40,24)(-20,0)<br />
\put(3,3){\line(2,1){14}}<br />
\put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br />
\put(0,3){\line(0,1){7}}<br />
\put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br />
\put(3,21){\line(2,-1){14}}<br />
\put(0,21){\line(0,-1){7}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br />
<br />
\theorem<br />
V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br />
Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br />
$a_1\leq a_2$.<br />
Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br />
má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br />
<br />
\example<br />
Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br />
<br />
\example<br />
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br />
(přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br />
<br />
\put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br />
\put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br />
<br />
\put(1,2){\line(1,4){6}}<br />
\put(1,2){\line(2,3){16}}<br />
\put(1,2){\line(1,1){24}}<br />
\put(1,2){\line(3,2){36}}<br />
\put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br />
\put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br />
\put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br />
\put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br />
\put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br />
\put(1,56){\line(1,-4){6}}<br />
\put(1,56){\line(2,-3){16}}<br />
\put(1,56){\line(1,-1){24}}<br />
\put(1,56){\line(3,-2){36}}<br />
<br />
\put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br />
\put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br />
\put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br />
\put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br />
\put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br />
\put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br />
\put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br />
\put(-18,21){\line(6,5){12}}<br />
\put(-10,21){\line(1,2){5}}<br />
\put(-4,21){\line(0,1){10}}<br />
\put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br />
\put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br />
\put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br />
<br />
\put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br />
\put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br />
<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
<br />
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br />
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br />
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br />
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br />
<br />
\xxxx{Booleova algebra}<br />
<br />
\define<br />
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br />
a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br />
Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br />
\item $\qlb{a'}'=a$;<br />
\item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br />
\item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br />
\begin{enumerate}<br />
\addtocounter{enumi}{2}<br />
\item<br />
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br />
$(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a\SV b')\SA(b\SV a'\SV a')=1\SA1=1$;<br />
%\item<br />
%$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br />
$$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme libovolné $x$.<br />
Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br />
Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolné prvky $a,b$.<br />
Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br />
Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br />
\ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br />
\ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br />
\item<br />
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br />
<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{center}<br />
\def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br />
~<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\put(0,0){\line(0,1){16}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\POINT(8,8)<br />
\POINT(-8,8)<br />
\put(0,0){\line(1,1){8}}<br />
\put(0,0){\line(-1,1){8}}<br />
\put(0,16){\line(1,-1){8}}<br />
\put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br />
\def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br />
\def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br />
\def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br />
%0 (0,0)<br />
\POINT(0,0)<br />
\LINEA(0,0)<br />
\LINEB(0,0)<br />
\LINEC(0,0)<br />
%A (-9,6)<br />
\POINT(-9,6)<br />
\LINEB(-9,6)<br />
\LINEC(-9,6)<br />
%B (0,4)<br />
\POINT(0,4)<br />
\LINEA(0,4)<br />
\LINEC(0,4)<br />
%C (9,6)<br />
\POINT(9,6)<br />
\LINEA(9,6)<br />
\LINEB(9,6)<br />
%AB (-9,10)<br />
\POINT(-9,10)<br />
\LINEC(-9,10)<br />
%AC (0,12)<br />
\POINT(0,12)<br />
\LINEB(0,12)<br />
%BC (9,10)<br />
\POINT(9,10)<br />
\LINEA(9,10)<br />
%ABC (0,16)<br />
\POINT(0,16)<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
~<br />
\end{center}</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=456501ALG:Kapitola82012-01-24T13:15:57Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie svazů}<br />
<br />
\xxxx{Svazy}<br />
<br />
\define<br />
\defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br />
se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br />
\item<br />
$a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br />
<br />
\lemma<br />
Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br />
(tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br />
<br />
\proof<br />
$a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(princip duality v teorii svazů)<br />
Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br />
pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br />
<br />
\xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br />
<br />
\remark<br />
Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br />
\item<br />
Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br />
Pro $s=\sup A$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br />
\item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\item<br />
$\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\item<br />
$\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br />
má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br />
<br />
\lemma<br />
Pro libovolné prvky svazu platí, že<br />
$$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br />
pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br />
\item<br />
Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br />
Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br />
pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br />
\ditem{antisymetrie}<br />
$a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br />
\ditem{transitivita}<br />
Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br />
\ditem{je svazové}<br />
Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br />
%TODO<br />
Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br />
\end{description}<br />
\item<br />
\begin{description}<br />
\ditem{komutativita}<br />
$a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br />
\ditem{asociativita}<br />
$(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br />
s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br />
\ditem{pohlcení}<br />
$\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br />
\end{description}<br />
Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br />
Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br />
Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$i\leq a,b,c$}<br />
Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br />
\ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br />
Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br />
tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br />
\end{description}<br />
<br />
Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br />
$\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br />
A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br />
Potom platí<br />
$$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br />
<br />
\proof<br />
Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br />
pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br />
Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br />
Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br />
<br />
Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br />
Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br />
<br />
Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br />
\item<br />
Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br />
<br />
Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br />
\item<br />
Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br />
(vždy to bude jeden z obou prvků).<br />
Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br />
\item<br />
Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br />
Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br />
Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br />
\item<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br />
Označme $(\SA)=(\cap)$.<br />
Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br />
Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br />
Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br />
Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br />
\item<br />
$N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br />
Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br />
\item<br />
Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $a,b\in S\supdot$, $a<b$.<br />
Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br />
Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br />
Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br />
Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Ideály}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br />
<br />
\lemma[lattice123]<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br />
Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br />
\item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br />
\item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$1\Limpl2$}<br />
Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br />
Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br />
\ditem{$2\Limpl3$}<br />
Buď $a\SV b\in I$.<br />
Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br />
\ditem{$3\Limpl1$}<br />
Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br />
Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br />
Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br />
<br />
\proof<br />
$I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br />
<br />
Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
\defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br />
$$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br />
<br />
\xxxx{Izomorfismus svazů}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br />
$$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br />
\defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br />
Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br />
Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br />
<br />
\proof<br />
Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br />
Zbývá tedy opačná implikace.<br />
Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br />
Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br />
a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br />
Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br />
Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br />
Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br />
a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br />
Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br />
Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br />
Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br />
\defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br />
Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br />
\item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br />
Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br />
Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br />
Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br />
Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br />
Tedy $m$ je první a je nulou.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Úplné svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br />
má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br />
<br />
\remark<br />
V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br />
V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br />
<br />
\lemma<br />
Úplný svaz má nulu a jednotku.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br />
\item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br />
a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br />
<br />
\theorem(o pevném bodě)<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br />
Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br />
Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br />
Označme $u:=\sup U$.<br />
Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br />
tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br />
Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br />
Celkově máme $f(u)=u$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $N\sse M$.<br />
Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br />
Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br />
Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br />
<br />
Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br />
Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br />
A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br />
Tedy $\sup N=\inf Z$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br />
<br />
\consequence<br />
Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br />
Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br />
Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br />
Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br />
a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br />
tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br />
existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br />
Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br />
<br />
\proof<br />
Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br />
Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0<x)$.<br />
Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br />
<br />
\def\NN{{\mathscr N}}<br />
\def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br />
\def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br />
\def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br />
\def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br />
Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br />
Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br />
Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br />
Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br />
a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br />
$\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br />
Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br />
je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br />
<br />
Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br />
máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$h$ je prosté}<br />
Nechť $h(a)=h(b)$.<br />
Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br />
\ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br />
Mějme $a, b\in M$.<br />
Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br />
\ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br />
Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br />
Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br />
A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x<r}$ pro všechna $r\in\R$.<br />
<br />
\xxxx{Distributivní svazy}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br />
Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br />
\item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br />
Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br />
$\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br />
\item<br />
Symetricky z~duality.<br />
\item<br />
Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br />
\ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br />
Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br />
<br />
\lemma<br />
$\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br />
$(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br />
=a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Příklady distributivních svazů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
množinové svazy;<br />
\item<br />
úplně uspořádané množiny;<br />
\item<br />
$(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br />
<br />
\proof<br />
Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br />
Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br />
Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br />
$$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br />
Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br />
<br />
\remark<br />
V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br />
<br />
\remark<br />
V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br />
pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br />
Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br />
<br />
\example<br />
Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br />
Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br />
Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br />
<br />
Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br />
tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br />
Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br />
Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br />
$$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br />
dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br />
Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br />
$x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br />
Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br />
Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br />
Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br />
<br />
Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br />
$x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br />
Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br />
$(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br />
<br />
\item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br />
Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a>b$ nebo nejsou srovnatelné).<br />
Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br />
tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br />
Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br />
V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br />
která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br />
Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br />
Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br />
<br />
Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br />
Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br />
Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br />
Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br />
Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br />
<br />
Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br />
Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br />
$b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br />
Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br />
tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br />
$b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br />
Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br />
<br />
Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem(Stone)<br />
Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br />
Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br />
Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br />
Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br />
<br />
\begin{description}<br />
\ditem{injekce}<br />
Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br />
Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br />
tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br />
\stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br />
\ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br />
Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br />
\stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br />
\end{description}<br />
<br />
Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Modulární svazy}<br />
<br />
\define<br />
Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br />
vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný distributivní svaz je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br />
Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br />
$$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br />
Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} <br />
Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br />
<br />
\proof<br />
Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br />
$$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br />
<br />
Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br />
Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br />
Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
\defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br />
taková, že $1=a_0>a_1>\cdots>a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br />
$\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br />
Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n>m$.<br />
<br />
\define<br />
Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br />
<br />
\theorem(Schreier)<br />
Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br />
<br />
\theorem(Jordan, H\H older)<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br />
\item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br />
Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\item<br />
Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br />
Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br />
Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br />
Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br />
Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br />
tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a<b$.<br />
Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br />
a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br />
Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br />
korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br />
<br />
Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br />
$g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br />
je $g(f(x))=x$.<br />
Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br />
Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br />
Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br />
Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br />
Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br />
Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br />
$\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br />
<br />
\proof<br />
Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
1. věta o dimenzi.<br />
<br />
\remark<br />
Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br />
<br />
\xxxx{Komplement}<br />
<br />
\define<br />
Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br />
Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\SA a'=0$;<br />
\item $a\SV a'=1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br />
<br />
\example<br />
Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br />
<br />
\example<br />
$0'=1$; $1'=0$.<br />
<br />
\example<br />
Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br />
\item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(24,35)(-12,0)<br />
\put(2,3){\line(2,3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(2,31){\line(2,-3){8}}<br />
\put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br />
\put(-10,13){\line(0,1){8}}<br />
\put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br />
Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br />
Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br />
Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br />
což je protipříklad proti podmínce modularity.<br />
\ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br />
Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)<(a\SA b)\SV c$.<br />
Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br />
<br />
Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a<c$.<br />
<br />
Nechť $b<a\Tor b<c$, pak jistě $b<c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a<c\leq(a\SA b)\SV c$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br />
Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br />
<br />
\example<br />
Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br />
\begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(40,24)(-20,0)<br />
\put(3,3){\line(2,1){14}}<br />
\put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br />
\put(0,3){\line(0,1){7}}<br />
\put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br />
\put(3,21){\line(2,-1){14}}<br />
\put(0,21){\line(0,-1){7}}<br />
\put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br />
\put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br />
\put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br />
\put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br />
\put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br />
<br />
\theorem<br />
V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br />
Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br />
$a_1\leq a_2$.<br />
Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br />
má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br />
<br />
\example<br />
Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br />
<br />
\example<br />
Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br />
(přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br />
\begin{center}<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br />
<br />
\put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br />
\put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br />
<br />
\put(1,2){\line(1,4){6}}<br />
\put(1,2){\line(2,3){16}}<br />
\put(1,2){\line(1,1){24}}<br />
\put(1,2){\line(3,2){36}}<br />
\put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br />
\put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br />
\put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br />
\put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br />
\put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br />
\put(1,56){\line(1,-4){6}}<br />
\put(1,56){\line(2,-3){16}}<br />
\put(1,56){\line(1,-1){24}}<br />
\put(1,56){\line(3,-2){36}}<br />
<br />
\put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br />
\put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br />
\put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br />
\put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br />
\put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br />
\put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br />
\put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br />
\put(-18,21){\line(6,5){12}}<br />
\put(-10,21){\line(1,2){5}}<br />
\put(-4,21){\line(0,1){10}}<br />
\put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br />
\put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br />
\put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br />
<br />
\put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br />
\put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br />
<br />
\end{picture}<br />
\end{center}<br />
<br />
Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br />
Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br />
Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br />
Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br />
<br />
\xxxx{Booleova algebra}<br />
<br />
\define<br />
Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br />
Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br />
a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br />
Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br />
\item $\qlb{a'}'=a$;<br />
\item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br />
\item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br />
\begin{enumerate}<br />
\addtocounter{enumi}{2}<br />
\item<br />
$b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br />
\item<br />
$(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br />
$(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a\SV b')\SA(b\SV a'\SV a')=1\SA1=1$;<br />
%\item<br />
$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br />
$$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme libovolné $x$.<br />
Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br />
Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolné prvky $a,b$.<br />
Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br />
Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br />
Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br />
\ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br />
\ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br />
\item<br />
K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br />
<br />
\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br />
\begin{center}<br />
\def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br />
~<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\put(0,0){\line(0,1){16}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br />
\POINT(0,0)<br />
\POINT(0,16)<br />
\POINT(8,8)<br />
\POINT(-8,8)<br />
\put(0,0){\line(1,1){8}}<br />
\put(0,0){\line(-1,1){8}}<br />
\put(0,16){\line(1,-1){8}}<br />
\put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
\begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br />
\def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br />
\def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br />
\def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br />
%0 (0,0)<br />
\POINT(0,0)<br />
\LINEA(0,0)<br />
\LINEB(0,0)<br />
\LINEC(0,0)<br />
%A (-9,6)<br />
\POINT(-9,6)<br />
\LINEB(-9,6)<br />
\LINEC(-9,6)<br />
%B (0,4)<br />
\POINT(0,4)<br />
\LINEA(0,4)<br />
\LINEC(0,4)<br />
%C (9,6)<br />
\POINT(9,6)<br />
\LINEA(9,6)<br />
\LINEB(9,6)<br />
%AB (-9,10)<br />
\POINT(-9,10)<br />
\LINEC(-9,10)<br />
%AC (0,12)<br />
\POINT(0,12)<br />
\LINEB(0,12)<br />
%BC (9,10)<br />
\POINT(9,10)<br />
\LINEA(9,10)<br />
%ABC (0,16)<br />
\POINT(0,16)<br />
\end{picture}<br />
\hfill<br />
~<br />
\end{center}</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=456401ALG:Kapitola52012-01-24T13:08:28Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH Ky$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map {f_B}{B}{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=456301ALG:Kapitola52012-01-24T13:07:06Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH Ky$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map f_BB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=456201ALG:Kapitola52012-01-24T13:01:24Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH Ky$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola6&diff=456101ALG:Kapitola62012-01-24T12:59:50Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Okruhy}<br />
<br />
\xxxx{Okruh}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že algebra $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[okruh]{okruh} (angl. \defined{ring}), pokud platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
algebra $(M,+)$ je Abelova grupa; nazýváme ji \defined[grupa!aditivní okruhu]{aditivní grupa} okruhu $R$<br />
a značíme $R\subplus$;<br />
\item<br />
algebra $(M,\cdot)$ je grupoid; nazýváme jej \defined[grupoid!multiplikativní okruhu]{multiplikativní grupoid}<br />
okruhu $R$ a značíme $R\subdot$;<br />
\item<br />
\defined[zákon!distributivní]{distributivní zákon}, tj.<br />
$$(\AA a,b,c\in M)(a(b+c)=(ab)+(ac)\;\Land\; (b+c)a=(ba)+(ca)).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Někdy se v literatuře očekává od okruhu ještě asociativita.<br />
<br />
\example<br />
$Z=(\Z,+,\cdot)$ je \defined[okruh!celých čísel]{okruh celých čísel}.<br />
<br />
\remark<br />
Jak jsme zvyklí, má operace násobení větší prioritu než operace sčítání, tj. $ab+c:=(ab)+c$.<br />
<br />
\define<br />
$E=(\{0\},+,\cdot)$ je \defined[okruh!triviální]{triviální okruh}.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že okruh $R$ je \defined[okruh!asociativní]{asociativní}, resp. je \defined[okruh!komutativní]{komutativní},<br />
resp. \defined[okruh!s jednotkou]{má jednotku}, má-li stejnou vlastnost i multiplikativní grupoid $R\subdot$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Okruh $Z=(\Z,+,\cdot)$ je asociativní, komutativní a má jednotku.<br />
\item<br />
Okruh $(\C^{n,n}, +, \cdot)$ je asociativní, má jednotku (jednotkovou matici),<br />
ale není komutativní.<br />
\item<br />
Vektorový prostor $(V,+)$ s~vektorovým součinem $\times$ tvoří okruh $(V,+,\times)$,<br />
který není ani asociativní, ani komutativní.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[okruh!zerový]{Zerový okruh} je okruh $R=(M,+,\cdot)$, kde $(\AA a,b\in M)(ab:=0)$.<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[rozdíl!prvků]{rozdíl prvků}, $(\AA a,b\in M)(a-b:=a+(-b))$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh, nechť $a,b\in M$.<br />
Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $c(a-b)=ca-cb$; $(a-b)c=ac-bc$;<br />
\item $0\cdot a=a\cdot0=0$;<br />
\item $(-a)b=a(-b)=-(ab)$;<br />
\item $(-a)(-b)=ab$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Všechno je podobné, ukážeme první dvě.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $c(a-b)=c(a-b)+cb-cb=c(a-b+b)-cb=ca-cb$.<br />
\item $0\cdot a=(b-b)a=ba-ba=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[okruh!číselný]{Číselný okruh} je libovolný okruh<br />
s~přirozenými číselnými operacemi a s~nosičem, který je číselnou množinou.<br />
<br />
\define<br />
\defined[dělitelé nuly]{Dělitelé nuly} jsou libovolné $a,b\in R\supdot$ takové, že $a,b\neq0$, ale $ab=0$.<br />
\defined[okruh!bez dělitelů nuly]{Okruhem bez dělitelů nuly} rozumíme okruh, ve kterém neexistují dělitelé nuly.<br />
<br />
\example<br />
Např. $\matrixtwo1000\matrixtwo0010=\matrixtwo0000$.<br />
<br />
\theorem<br />
Číselné okruhy jsou bez dělitelů nuly, tj. pro $a,b\in R\supdot$ platí, že<br />
$$(ab=0 \Limpl (a=0\,\Lor\,b=0)).$$<br />
<br />
\define<br />
\defined[obor integrity]{Oborem integrity} rozumíme asociativní a komutativní okruh bez dělitelů nuly.<br />
<br />
\define<br />
Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh.<br />
Formálním \defined[polynom]{polynomem nad okruhem $R$} rozumíme libovolnou nekonečnou posloupnost<br />
$(a_n)_{n=0}^\infty$ prvků z $M$, v~níž je konečný počet prvků nenulových.<br />
<br />
Takové $n\in\Nz$, že $a_n\neq 0$ a $(\AA i>n)(a_i=0)$, nazveme \defined[polynom!stupeň]{stupeň polynomu}.<br />
Pro \defined[polynom!nulový]{nulový polynom} $\theta=0\,0\,0\,0\ldots$ nedefinujeme stupeň.<br />
<br />
Posloupnost $(a_n)_{n=0}^\infty$ označíme $\sum a_nx^n$ nebo $a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_sx^s$,<br />
kde $s$ je stupeň polynomu.<br />
Jde o formální zápis, nikoli sumu.<br />
Množinu všech polynomů nad okruhem $R$ označíme $R[x]\supdot$.<br />
<br />
\remark<br />
Skalní algebraici říkají $x$ neurčitá (nejedná se o proměnnou).<br />
<br />
\define<br />
Mějme okruh $R$ a polynomy $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$.<br />
Potom definujeme \defined[polynom!součet]{součet polynomů} jako $P+Q:=\sum (a_i+b_i)x^i$<br />
a \defined[polynom!součin]{součin polynomů} jako $PQ:=\sum c_kx^k$, kde $c_k:=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$.<br />
<br />
\remark<br />
Součet i součin polynomů jsou opět polynomy a operace jsou přirozené, jaké známe z analýzy.<br />
<br />
\define<br />
$R[x]=(R[x]\supdot, +, \cdot)$ nazveme \defined[okruh!polynomů]{okruh polynomů} nad okruhem $R$.<br />
<br />
\lemma<br />
Pokud okruh $R$ je asociativní, resp. je komutativní, resp. má jednotku,<br />
má odpovídající vlastnost i $R[x]$.<br />
Jednotkou v okruhu polynomů je $1x^0=1\,0\,0\,0\ldots$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nemá-li okruh $R$ dělitele nuly, nemá je ani okruh $R[x]$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $P,Q\in R[x]\sm\{\Pzero\}$, $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$ a nechť stupeň $P$ je $p$ a $Q$ je $q$.<br />
Mějme součin $PQ=\sum c_kx^k$, pak je speciálně $c_{p+q}=\sum_0^{p+q}a_ib_{p+q-i}$.<br />
Pro $i>p$ je $a_i=0$ a pro $i<p$ je $p+q-i>q$ a $b_i=0$.<br />
Tedy $c_{p+q}=a_pb_q$, a neboť oba jsou nenulové a $R$ nemá dělitele nuly, je $c_{p+q}\neq 0$, a tedy $PQ\neq\Pzero$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $x_1\cldc x_n$ soubor neučitých.<br />
Pak definujeme $R[x_1\cldc x_n]$ indukcí jako $R[x_1\cldc x_n]:=(R[x_1\cldc x_{n-1}])[x_n]$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $R$ obor integrity, pak také $R[x_1\cldc x_n]$ je obor integrity.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme snadno indukcí podle $n$ s~využitím předchozího lemmatu.<br />
%TODO<br />
\QED<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\xxxx{Těleso}<br />
<br />
\define<br />
Okruh $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[těleso]{těleso}, pokud platí, že algebra $(M\sm\{0\},\cdot)$ je grupa.<br />
Grupu $(M\sm\{0\},\cdot)$ nazýváme \defined[těleso!multiplikativní grupa]{multiplikativní grupa} tělesa<br />
a značíme $T\subast$.<br />
Těleso značíme $T$, a je-li $T\subast$ Abelova, řekneme, že těleso $T$ je \defined[těleso!komutativní]{komutativní}.<br />
<br />
\lemma<br />
Těleso vždy obsahuje alespoň 2 prvky, a to nulu a jednotku.<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[těleso!triviální]{triviální těleso} $F=(\{0,1\},+,\cdot)$.<br />
Operace na triviálním tělese se definují pomocí \defined[tabulky!Cayleyovy]{Cayleyových tabulek}:<br />
<br />
$$<br />
\begin{array}{c||c|c|}+&0&1\\\hline\hline0&0&1\\\hline1&1&0\\\hline\end{array}<br />
\qquad<br />
\begin{array}{c||c|c|}\cdot&0&1\\\hline\hline0&0&0\\\hline1&0&1\\\hline\end{array}<br />
$$<br />
<br />
\define<br />
Základní číselná tělesa:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q:=(\Q,+,\cdot)$;<br />
\item $R:=(\R,+,\cdot)$;<br />
\item $C:=(\C,+,\cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$ není tělesem!<br />
<br />
\example<br />
Položme $M=\set{a+\sqrt2b}{a,b\in\Q}$, pak $(M,+,\cdot)$ je těleso takové, že $\Q\ssn M\ssn\R$.<br />
Jediné zajímavé je ukázat přítomnost inverzního prvku: $(a+\sqrt2b)^\1=\frac{a-\sqrt2b}{a^2-2b^2}$.<br />
<br />
Obecně lze definovat $\Q_{\sqrt n}=((\Q+\sqrt n\Q),+,\cdot)$ pro libovolné $n\in\N$.<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Těleso nemá dělitele nuly.<br />
\item<br />
Komutativní těleso je obor integrity.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nenulové prvky tělesa tvoří grupu, tedy jsou uzavřené vůči násobení, a tedy nemůže $ab=0$.<br />
\item<br />
Těleso je vždy asociativní, tedy je-li i komutativní, je oborem integrity z~definice.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a $T=(N,+,\cdot)$ těleso.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řekneme, že $A\sse M$, $A\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v~okruhu]{uzavřená v~okruhu $R$}, platí-li<br />
$$(\AA a,b\in A)(ab\in A\;\Land\;a-b\in A).$$<br />
Algebru $Q=(A,+,\cdot)$ nazveme \defined[podokruh]{podokruh} okruhu $R$ a značíme $Q\sg R$.<br />
\item<br />
Řekneme, že $B\sse N$, $B\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v tělese]{uzavřená v~tělese $T$}, platí-li<br />
$$\bigl(\AA a,b\in B\bigr)\bigl(b\neq0\Limpl(ab^\1\in B\;\Land\;a-b\in B)\bigr).$$<br />
Algebru $U=(B,+,\cdot)$ nazveme \defined[podtěleso]{podtěleso} tělesa $T$ a značíme $U\sg T$.<br />
Těleso $T$ nazýváme \defined[nadtěleso]{nadtěleso} tělesa $U$<br />
a relaci $\sg$ \defined[těleso!rozšíření]{rozšířením těles}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $S=\set{2k}{k\in\Z}$.<br />
Pak platí (pro okruhy) $(S,+,\cdot)\sg_O(\Z,+,\cdot)\sg_O(\Q,+,\cdot)$.<br />
\item<br />
Pro tělesa platí $(\Q,+,\cdot)\sg_T(\R,+,\cdot)\sg_T(\C,+,\cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, resp. těleso a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů, resp. podtěles.<br />
Pak $\bigcap_{i\in I}G_i$ je podokruh, resp. podtěleso $R$.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, $A\sse M$.<br />
Pak $\anglevector A:=\bigcap\set{Q\sg R}{A\sse Q}$ nazýváme<br />
\defined[podokruh!generovaný množinou]{podokruh generovaný množinou $A$}.<br />
<br />
\lemma<br />
$$\anglevector A\supdot=\set{k_1\times a_{11}\ldots a_{1m_1}+\cdots+k_n\times a_{n1}\ldots a_{nm_n}}%<br />
{n\in\Nz, m_i\in\N, k_i\in\Z, a_{ij}\in A}$$<br />
<br />
\proof<br />
Množina obsahuje $A$, nelze nic vyjmout a je uzavřená v~$R$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů.<br />
Pak definujeme \defined[součet!podokruhů]{součet podokruhů} jako<br />
$\sum_{i\in I}Q_i:=\anglevector{\bigcup_{i\in I}Q_i\supdot}$<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh a $\equiv$ ekvivalence na $M$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (okruhy)]{kongruence} na okruhu $R$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b,c,d\in M)\big((a\equiv b \;\Land\; c\equiv d)\Limpl (a+c\equiv b+d \;\Land\; ac\equiv bd)\big).$$<br />
<br />
\define<br />
Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$.<br />
Pak $R\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv,+,\cdot)$ s~operacemi $T_a+T_b:=T_{a+b}$ a $T_{ab}:=T_aT_b$<br />
nazýváme \defined[faktorokruh]{faktorokruh} okruhu $R$ podle kongruence $\equiv$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$.<br />
Pak faktorokruh $R\factorset\equiv$ je okruh.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li okruh $R$ asociativní, resp. komutativní, resp. má jednotku,<br />
potom má tutéž vlastnost i faktorokruh $R\factorset\equiv$.<br />
<br />
\remark<br />
Neplatí obecně, že faktorokruh tělesa je tělesem (nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly).<br />
<br />
\define<br />
Nechť $Q\sg R$ je okruh a jeho podokruh.<br />
Pak definujeme ekvivalenci $\EH Q$ na $R$ tak, že $a\EH Qb\Lequiv a-b\in Q$.<br />
<br />
\remark<br />
$R\subplus$ je Abelova, tedy $\EH Q$ je kongruence na grupě $R\subplus$, ne však kongruence na okruhu $R$.<br />
<br />
\define<br />
Podokruh $I$ okruhu $R$ nazýváme \defined[ideál (okruhy)]{ideál} v~$R$ a značíme $I\nsg R$, platí-li, že<br />
$$(\AA a\in I\supdot)(\AA r\in R\supdot)(ra\in I\supdot \;\Land\; ar\in I\supdot).$$<br />
<br />
\remark<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Při ověřování, že $I$ je ideál, je nejprve nutno ověřit, že je podokruhem,<br />
a pak teprve definující podmínku ideálu.<br />
\item Definující vlastnost ideálu je silnější než uzavřenost vůči násobení,<br />
tedy stačí ověřit tuto podmínku a uzavřenost vůči sčítání.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Ekvivalence $\equiv$ na $R$ je kongruencí právě tehdy, je-li ekvivalencí indukovanou ideálem, tj.<br />
$(\EE I\nsg R)((\equiv)=(\EH I))$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Vezměme třídu $T_0$ kongruence $\equiv$ a ukážeme, že $I=(T_0,+,\cdot)$ je hledaný ideál.<br />
<br />
Platí $a\equiv 0$ a $b\equiv 0$, tedy $a-b\equiv 0$, a tedy $a-b\in T_0$.<br />
Dále $a\equiv 0$ a $r\equiv r$, tedy $ar\equiv 0$ a $ra\equiv 0$, a tedy $ar,ra\in T_0$.<br />
<br />
Z~grup víme, že $(\equiv)=(\EH{T_0})$, což jsme chtěli ukázat.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme $I\nsg R$.<br />
Pak $a\EH Ib\Lequiv a-b\in I\supdot$.<br />
Ekvivalence $\EH I$ je kongruencí na $R\subplus$, tedy zbývá ukázat druhá podmínka, tj. že<br />
$ac\EH I bd$, pokud $a\EH I b$ a $c\EH I d$.<br />
Platí $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+(a-b)d$, a neboť $(c-d),(a-b)\in I$ a ideál je uzavřený<br />
na násobení všemi prvky $R$ a na sčítání, je i $a(c-d)+(a-b)d\in I$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Mějme okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$.<br />
Pak pro libovolné $m\in\Nz$ definujeme $\EH m$ jako $a\EH mb\Lequiv (\EE s\in\Z)(a-b=sm)$.<br />
Pak $I_m:=\set{sm}{s\in\Z}$ je ideál a $I_m$ jsou všechny ideály na $Z$.<br />
<br />
Zjevně splývá $Z\factorset{\EH m}$ a $Z\factorset{I_m}$.<br />
Budeme proto používat společnou značku $Z_m$ a název \defined[okruh!zbytkových tříd]{okruh zbytkových tříd} modulo $m$.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $m\in\N$ (tedy $m\neq 0$).<br />
Pak v~jedné třídě $Z_m$ leží 2 čísla $a,b$ právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Okruh zbytkových tříd $Z_m$ má řád $m$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $R$ okruh s jednotkou, $I\nsg R$ a nechť $1\in I\supdot$.<br />
Pak $I=R$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolné $r\in R\supdot$ a $1\in I\supdot$.<br />
Pak nutně $r\cdot1\in I$, a tedy $R\supdot\sse I\supdot$.<br />
Opačná inkluze plyne z~definice ideálu.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $R$ okruh. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $R\nsg R$;<br />
\item $E\nsg R$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Ideál $I\nsg R$ nazveme \defined[ideál (okruhy)!netriviální]{netriviální}, pokud $I\neq R$ a $I\neq E$.<br />
\item<br />
Okruh $R$ označujeme \defined[okruh!jednoduchý]{jednoduchý}, pokud nemá netriviální ideály.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Jednoduché okruhy}<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $R$ je okruh a $I\nsg R$.<br />
Pak $I\subplus\nsg R\subplus$.<br />
(Tedy je-li $I$ ideál, pak je i normální podgrupou aditivní grupy $R\subplus$.)<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Okruh $R$ prvočíselného řádu $p$ je jednoduchý.<br />
\item<br />
Libovolné těleso $T$ je jednoduchý okruh.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Pokud by $R$ měl netrivální ideál, pak by $R\subplus$ měla netriviální normální podgrupu,<br />
ale z~prvočíselnosti řádu víme, že taková normální podgrupa neexistuje.<br />
\item<br />
Mějme libovolný ideál $I\nsg T$.<br />
Ukážeme, že $I\neq E\Limpl I=T$, tedy existují pouze triviální ideály.<br />
Ideál je nenulový, tedy $(\EE a\in I\supdot\sm\{0\})$.<br />
Pak $a^\1\in T$, tedy $aa^\1=1\in I\supdot$, a tedy $I=T$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Lze definovat jednostranné ideály, ale z~důkazu je vidět, že těleso nemá ani jednostranné ideály.<br />
<br />
\theorem<br />
Průnik i součet libovolného systému ideálů v~okruhu $R$ je ideál v~$R$.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme systém $I_\alpha\nsg R$ pro $\alpha\in J$.<br />
Označme $A=\bigcap I_\alpha$ a $B=\sum I_\alpha$<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Průnik je podokruhem, tedy stačí ukázat definiční podmínku ideálu.<br />
Mějme libovolné $a\in A$ a $r\in R\supdot$.<br />
Pak $(\AA\alpha\in J)(a\in I_\alpha)$, tedy $(\AA\alpha\in J)(ar\in I_\alpha)$, tedy $ar\in A$.<br />
<br />
\ditem{součet}<br />
Součet je podokruhem, tedy opět stačí ukázat definiční podmínku ideálu.<br />
Mějme libovolné $a\in B$ a $r\in R\supdot$.<br />
Pak $a$ je tvaru $a=k_1\times a_{11}\ldots a_{1n_1}+\cdots+k_m\times a_{m1}\ldots a_{mn_m}$,<br />
kde $k_i\in\Z$ a $a_{i\ell}\in\bigcup I_\alpha$.<br />
Tedy zvláště $a_{i1}\in I_{\alpha_i}\supdot$ ($\alpha_i$ vybere příslušný ideál).<br />
Pak součin $a_{i1}a_{i2}\ldots a_{in_i}$ je tvaru $a_{i1}r_i$ pro nějaké $r_i\in R\supdot$,<br />
tedy neboť $I_\alpha$ je ideál, je $a_{i1}r_i\in I_\alpha$ a také $b_i=k_i\times a_{i1}r_i\in I_\alpha$.<br />
Potom $a=b_1+\cdots+b_m$.<br />
Pro libovolné $r\in R\supdot$ je $ra=rb_1+\cdots+rb_m$ a platí $(\AA i)(rb_i\in I_{\alpha_i})$.<br />
Ale $I_{\alpha_i}\sse \bigcup I_\alpha\sse \anglevector{\bigcup I_\alpha}=B$.<br />
Z~uzavřenosti $B$ na součty je $ra\in B$ a podobným způsobem ukážeme, že $ar\in B$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh.<br />
\defined[ideál (okruhy)!hlavní]{Hlavním ideálem} generovaným prvkem $a\in M$ (značíme $I_a$)<br />
rozumíme nejmenší ideál v~$R$ obsahující prvek $a$.<br />
<br />
\remark<br />
Definice je korektní, neboť každý prvek leží v~nějakém ideálu (přinejhorším $a\in R\nsg R$),<br />
a existuje nejmenší, neboť průnik systémem ideálů obsahujících $a$ je ideál obsahující $a$<br />
a je nutně nejmenší:<br />
$$I_a=\bigcap_{J\nsg R\atop a\in J} J.$$<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $R$ je asociativní a komutativní okruh, $a\in R$ a označme $J_a:=\set{ra}{r\in R\supdot}$.<br />
Pak $J_a$ je ideál a platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Má-li $R$ jednotku, je $I_a=J_a$ (tedy $J_a$ je hlavní ideál generovaný $a$).<br />
\item<br />
Nemá-li $R$ jednotku, je $I_a=\anglevector{J_a\cup\{a\}}=\set{ra+k\times a}{r\in R\supdot, k\in\Z}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolné $b=ra\in J_a$, kde $r\in R$ a $a\in J_a$ a libovolné $q\in R$.<br />
Pak $bq=qb=qra\in R\supdot a=J_a\supdot$, tedy $J_a$ splňuje definiční vlastnost ideálu.<br />
V~hlavním ideálu gerenrovaném $a$ leží všechny součiny tvaru $ra$, tedy nutně $J_a\sse I_a$.<br />
Pokud navíc existuje jednotka, je $a=1a\in J_a$, a tedy $J_a=I_a$.<br />
Pokud jednotka neexistuje, je nutné $J_a$ rozšířit o násobky $a$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Asociativní a komutativní okruh nazveme \defined[okruh!hlavních ideálů]{okruhem hlavních ideálů},<br />
je-li v~něm každý ideál hlavní.<br />
<br />
\example<br />
Ukážeme, že $Z=(\Z,+,\cdot)$ je okruh hlavních ideálů.<br />
Ideály $I_m=\set{sm}{s\in\Z}$ jsou hlavní.<br />
Vezměme si libovolný ideál $I\nsg Z$, pak víme, že $I\subplus$ je normální podgrupa $Z\subplus$.<br />
Ale $Z\subplus$ je cyklická, tedy i $I\subplus$ je cyklická,<br />
a tedy existuje generátor $m$ takový, že $I=I\subplus=\anglevector m=\set{k\times m}{k\in\Z}=\set{sm}{s\in\Z}$.<br />
Tedy $I=I_m$ a je hlavní.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $R_i=(M_i,+,\cdot)$.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (okruhy)]{homomorfismus okruhů}, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\big(h(x+y)=h(x)+h(y)\;\Land\;h(xy)=h(x)h(y)\big).$$<br />
(Tedy $h$ je homomorfismus na okruhu, pokud je homomorfismem na aditivním i multiplikativním grupoidu.)<br />
<br />
Značíme $\map h{R_1}{R_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Podobně, jako na grupách, definujeme na okruzích \defined[monomorfismus (okruhy)]{monomorfismus},<br />
\defined[epimorfismus (okruhy)]{epimorfismus},<br />
\defined[izomorfismus (okruhy)]{izomorfismus},<br />
\defined[endomorfismus (okruhy)]{endomorfismus},<br />
\defined[automorfismus (okruhy)]{automorfismus}.<br />
<br />
\define<br />
Okruhy $R_1$ a $R_2$ jsou izomorfní (značíme $R_1\cong R_2$),<br />
pokud existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h(R_1)\sg R_2$.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $R_1$ asociativní, resp. komutativní, resp s~jednotkou,<br />
pak tutéž vlastnost má i $h(R_1)$.<br />
<br />
\remark<br />
Nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly a býti tělesem.<br />
<br />
\define<br />
\defined[homomorfismus (okruhy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $\map h{R_1}{R_2}$ rozumíme množinu<br />
$\ker h:=h^\1(\{0\})=\set{x\in R_1\supdot}{h(x)=0}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $h$ je homomorfismus. Pak<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\ker h\nsg R_1$;<br />
\item $h$ je monomorfní (prostý) právě tehdy, když $\ker h=\{0\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Podokruh okruhu $R$ je ideál právě tehdy, je-li jádrem nějakého homomorfismu definovaného na $R$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu okruhů)<br />
Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy a nechť $\map h{R_1}{R_2}$ je homomorfismus.<br />
Potom $h(R_1)\cong {R_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $\map h{R_1}{R_2}$ monomorfismus.<br />
Je-li $R_1$ bez dělitele nuly, resp. tělesem, pak má odpovídající vlastnost i podokruh $h(R_1)$ okruhu $R_2$.<br />
<br />
\xxxx{Podílová tělesa}<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $m\geq2$.<br />
Okruh $Z_m$ je okruhem s~děliteli nuly pro $m$ složené a je komutativním tělesem pro $m$ prvočíselné.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Mějme $m=uv$ takové, že $u,v<m$.<br />
Pak $T_0=T_m=T_uT_v$ a $T_u, T_v$ jsou dělitelé nuly.<br />
\item<br />
Mějme $m\in\bbP$ a nechť $k$ je takové, že $0<k<m$.<br />
Pak, neboť $\delta(k,m)=1$, existují $u,v\in\Z$ taková, že $uk+vm=1$, z čehož $T_uT_k=T_1-T_vT_m=T_1$,<br />
a tedy $T_u=T_k^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $R$ okruh.<br />
Potom $R$ je bez dělitelů nuly právě tehdy, lze-li v~jeho multiplikativním grupoidu $R\subdot$<br />
krátit nenulovým prvkem, tj.<br />
$$(\AA a,b,c\in R\supdot, c\neq0)\bigr((ac=bc \Lor ca=cb) \Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Platí $0=ac-bc=(a-b)c$.<br />
Neboť $c\neq 0$ a $R$ je bez dělitelů nuly, je $a-b=0$, a tedy $a=b$.<br />
Krácení zleva se ukáže obdobně.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $ab=0=0\cdot b$ nebo $ba=0=b\cdot0$.<br />
Tedy pro $b\neq 0$ je $a=0$, což znamená, že nejsou oba nenulové.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
\remark<br />
Má-li se okruh $R$ vnořit do tělesa, nutně nesmí mít dělitele nuly.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť okruh $R_1$ lze izomorfně vnořit do okruhu $R_2$ a nechť $R_1\supdot\cap R_2\supdot=\emptyset$.<br />
Pak existuje okruh $Q$ takový, že $R_1\sg Q$ a $Q\cong R_2$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujme $Q\supdot=(R_2\supdot\sm h(R_1))\cup R_1\supdot$ a definujme zobrazení $\map g{Q\supdot}{R_2\supdot}$<br />
následovně:<br />
$$g(x)=\left\{\begin{array}{l}h(x)\text{\ pro $x\in R_1\supdot$}\\x\text{\ jinak}\end{array}\right. .$$<br />
<br />
Zjevně $g$ je bijekce. To nám umožňuje definovat $Q=(Q\supdot,\oplus,\odot)$ s~operacemi<br />
$a\oplus b:=g^\1(g(a)+g(b))$ a $a\odot b:=g^\1(g(a)\cdot g(b))$.<br />
Pak $g(a\oplus b)=g(a)+g(b)$ a $g(a\odot b)=g(a)\cdot g(b)$, tedy $g$ je homomorfismus, a tedy izomorfismus.<br />
<br />
Celkově tedy máme, že $Q\cong R_2$ a $R_1\sg Q$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolný obor integrity $R$ lze vnořit do komutativního tělesa.<br />
<br />
\proof<br />
Je-li $R=E$, pak jej lze vnořit do triviálního tělesa $F$.<br />
Tedy předpokládejme $R\neq E$.<br />
<br />
Definujme množinu $M:=\set{\anglecouple ab}{a,b\in R\supdot, b\neq0}$.<br />
Dále definujeme $\equiv$ jako $\anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$ a ukážeme, že je ekvivalencí.<br />
Reflexivita a symetrie je zřejmá, ukážeme transitivitu.<br />
Nechť $ad=bc$ a $cf=de$.<br />
Pak $adf=bcf=bed$ a z~předchozího lemmatu, z~nenulovosti $d$ a z~komutativity vidíme, že $af=be$.<br />
<br />
Vezměme faktor-množinu $M\factorset\equiv$ a označujme $\frac ab$ třídu $M\factorset\equiv$<br />
obsahující prvek $\anglecouple ab$, tedy $\anglecouple ab\in\frac ab\in M\factorset\equiv$.<br />
\uv{Zlomky} se chovají přirozeně:<br />
$\frac ab=\frac cd \Lequiv \anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$.<br />
Lze také krátit nenulovým prvkem: $\frac{ae}{be}=\frac ab$.<br />
<br />
Definujeme okruh $U_R:=(M\factorset\equiv,\oplus,\odot)$ jako $\frac ab\oplus\frac cd:=\frac{ad+bc}{bd}$<br />
a $\frac ab\odot\frac cd:=\frac{ac}{bd}$.<br />
Neboť $R$ neobsahuje dělitele nuly, nemáme ve jmenovateli nulu.<br />
Zbývá ukázat korektnost definice:<br />
Mějme $\frac{a'}{b'}=\frac ab$, tj. $a'b=ab'$, a $\frac{c'}{d'}=\frac cd$, tj. $c'd=cd'$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a'd'+b'c'}{b'd'}$, tj.<br />
$bd(a'd'+b'c')\stackrel?=b'd'(ad+bc)$, tj. $bda'd'+bdb'c'\stackrel?=b'd'ad+b'd'bc$,<br />
tj. $(a'b)dd'+(c'd)bb'\stackrel?=(ab')dd'+(cd')bb'$, ale $a'b=ab'$ a $c'd=cd'$, tedy rovnost platí.<br />
Podobně lze rozepsat operaci $\odot$.<br />
\QED<br />
<br />
Dále definujeme $\map hR{U_R}$ jako $h(x)=\frac{xa}a$ pro $a\neq 0$ (nezávislost na výběru $a$ je zřejmá).<br />
Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br />
Platí $h(x+y)=\frac{(x+y)a}a=\frac{xa+ya}{a}=\frac{(xa)a+(ya)a}{aa}=\frac{xa}a\oplus\frac{ya}a$<br />
a $h(x)\odot h(y)=\frac{xa}a\odot\frac{ya}a=\frac{xaya}{aa}=\frac{xya}{a}$.<br />
Nechť $h(x)=0$, tj. $ax=0$, ale $a\neq0$ a nejsou dělitelé nuly, tedy $x=0$ a $h$ je prosté.<br />
<br />
Celkově tedy máme $R\cong h(R)\sg U_R$ a podle předchozího lemmatu existuje těleso $T_R$ takové,<br />
že $R\sg T_R\cong U_R$.<br />
<br />
\define<br />
Okruh $U_R$ z předchozí věty nazveme \defined[těleso!zlomků]{těleso zlomků}.<br />
<br />
\remark<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Každý zlomek tvaru $\frac 0b$ je nulou.<br />
\item<br />
Každý zlomek tvaru $\frac aa$ je jednotkou.<br />
\item<br />
Platí $-\frac ab=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}$.<br />
\item<br />
Pro $a\neq 0$ je $\qlb{\frac ab}^\1=\frac ba$.<br />
\item<br />
$U_R$ je obor integrity s~jednotkou, tedy těleso.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Těleso $T_R$ z~předchozí věty nazveme \defined[těleso!podílové]{podílové těleso} oboru itegrity $R$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $R_1$, $R_2$ obory integrity a $T_1$, $T_2$ jejich podílová tělesa.<br />
Pak $R_1\cong R_2 \;\Limpl\; T_1\cong T_2$.<br />
<br />
\proof<br />
Existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$ a definujme izomorfismus $\map{\bar h}{U_1}{U_2}$<br />
jako $\bar h\qlb{\frac ab}=\frac{h(a)}{h(b)}$.<br />
Je třeba triviálně ukázat, že obraz nezavisí na reprezentantu $\frac ab$, že $h(b)\neq 0$<br />
a že $\bar h$ je izomorfismus.<br />
Tedy máme $T_1\cong U_1\cong U_2\cong T_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Těleso $T_R$ je nejmenší těleso obsahující obor integrity $R$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $S$ je libovolné těleso a $R\sg S$.<br />
Definujeme $\map h{U_R}S$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$, což můžeme, protože $a$, $b$ jsou prvky tělesa a $b\neq0$.<br />
Opět definice nezávisí na reprezentantu.<br />
<br />
Ukážeme, že zobrazení $h$ je homomorfismus.<br />
$h\qlb{\frac ab\oplus\frac cd}=h\qlb{\frac{ad+bc}{bd}}=(ad+bc)(bd)^\1=add^\1b^\1+bcd^\1b^\1=<br />
ab^\1+cd^\1=h\qlb{\frac ab}+h\qlb{\frac cd}$.<br />
Zachování součinu se ověří podobně.<br />
Opomněli jsme ověřit, že prvky inverzní k~prvkům z~oboru integrity komutují.<br />
Tedy nechť $xy=yx$, pak $y=x^\1yx$, a tedy $yx^\1=x^\1y$.<br />
Opět $h\qlb{\frac ab}=0 \Lequiv ab^\1=0 \Lequiv a=0$, tedy $h$ je prosté.<br />
<br />
Celkově dostáváme, že $T_R\cong U_R\cong h\qlb{U_R}\sg S$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Podílové těleso komutativního tělesa $T$ (jako oboru integrity) je izomorfní s~$T$.<br />
<br />
\xxxx{Charakteristika tělesa}<br />
<br />
\remark<br />
Řád jednotky $1$ jako prvku aditivní grupy $T\subplus$ tělesa $T$<br />
je nejmenší přirozené číslo $n\in\N$ takové, že $n\times 1=\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$n$-krát}}=0$.<br />
Pokud $(\AA n\in\N)(n\times 1\neq 0)$, má jednotka nekonečný řád.<br />
<br />
\lemma<br />
Jednotka má v~$T\subplus$ řád nekonečný nebo prvočíselný.<br />
<br />
\proof<br />
Lemma dokážeme sporem.<br />
Nechť $n=uv$ a $u,v<n$.<br />
Pak $(u\times 1)\cdot(v\times 1)=(1+\ldots+1)(1+\ldots+1)=(uv)\times 1=n\times 1=0$,<br />
tedy $u\times 1$ a $v\times 1$ jsou dělitelé nuly, což je spor.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že těleso $T$ má \defined[těleso!charakteristika]{charakteristiku} (značíme $ch\ T$) $p\in\bbP$, resp. 0,<br />
má-li jednotka v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Všechna číselná tělesa (např. $Q$, $R$, $C$) mají charakteristiku 0.<br />
\item<br />
Každé konečné těleso má nenulovou charakteristiku.<br />
\item<br />
Těleso zbytkových tříd $Z_p$ má charakteristiku $p$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $T$ těleso charakteristiky $p$, resp. 0.<br />
Pak libovolný prvek $a\in T\supdot$, $a\neq 0$ má v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $n\times a=a+\ldots+a=1a+\ldots+1a=(1+\cdots+1)a=(n\times 1)a$.<br />
Tedy $n\times a=0\Lequiv n\times 1=0$, což jsme chtěli ukázat.<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Prvotěleso}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvotěleso]{Prvotělesem} tělesa $T$ rozumíme jeho nejmenší podtěleso (průnik všech jeho podtěles).<br />
Prvotěleso značíme $P_T$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $T$ těleso charakteristiky $p$, resp. 0.<br />
Potom prvotěleso $T$ je izomorfní s~tělesem zbytkových tříd $Z_p$, resp. s~tělesem racionálních čísel $Q$.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $P_T$ prvotěleso tělesa $T$.<br />
Pak nutně $1\in P_T$.<br />
Definuji $S:=\set{k\times1}{k\in\Z}$ a nutně $S \subseteq P_T$.<br />
Platí $(k\times1)-(\ell\times1)=(k-\ell)\times1\in S$ a $(\ell\times1)(k\times1)=\ell k\times1\in S$,<br />
tedy $S$ je podokruh okruhu $T$.<br />
<br />
Definujeme $\map hZS$ jako $h(k)=k\times 1$.<br />
Snadno ukážeme, že $h$ je epimorfismus.<br />
Podle věty o homomorfismu je $h(Z)=S\cong Z\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
Zkoumejme následující 2 možné případy:<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\ch T=p\in\bbP$} Pak $\ker h=\set{k\in\Z}{k\times 1=0}=I_p$.<br />
Tedy $S\cong Z\factorset{I_p}=Z_p$, a protože $p$ je prvočíslo, je $Z_p$ těleso.<br />
Z~izomorfie $S$ je také tělesem a platí $S\subset P_T$, a neboť $S$ je těleso a $P_T$ je nejmenší podtěleso,<br />
platí $S=P_T$ a $P_T\cong Z_p$.<br />
<br />
\ditem{$\ch T=0$} Pak $k\times1=0\Lequiv k=0$ a $\ker h=E=\{0\}$.<br />
A tedy $S\cong Z\factorset E\cong Z$, ale $Z$ není tělesem, je pouze oborem integrity,<br />
tedy i $S$ je oborem integrity a existují podílová tělesa $T_S$ a $T_Z$, která jsou izomorfní.<br />
Vezměme $U_S$ a definujme $\map g{U_S}T$ jako $g\qlb{\frac ab}=ab^\1$.<br />
O tomto zobrazení jsme již dříve ukázali, že je monomorfismus, tedy $U_S\cong g\qlb{U_S}\sg T$ (podtělesem).<br />
Ukážeme, že $g\qlb{U_S}=P_T$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
$P_T$ je nejmenší podtěleso, tedy $P_T\sse g\qlb{U_S}$.<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
Mějme libovolné $y\in g\qlb{U_S}$, $y=ab^\1$, kde $a,b\in S\sse P_T$.<br />
Ale $P_T$ je těleso, tedy $y\in P_T$.<br />
\end{description}<br />
Tedy celkově máme $P_T=g\qlb{U_S}\cong U_S\cong T_S\cong T_Z=Q$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\remark<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Okruh $Z$ nemá dělitele nuly, ale $Z_m$ pro $m$ složené mají dělitele nuly.<br />
To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachová vlastnost nemíti dělitele nuly.<br />
\item<br />
Nechť $T$ je jednoduchý okruh, tj. jediné jeho ideály jsou $E$ a $T$.<br />
Ale všechny ideály jsou jádra všech homomorfismů.<br />
Tedy buď $\ker h=E$ a $h$ je monomorfismus, nebo $\ker h=T$ a $h(T)=\{0\}$, což zjevně není tělesem.<br />
To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachovává tělesovost.<br />
\end{enumerate}</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=456001ALG:Kapitola52012-01-24T12:54:17Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455901ALG:Kapitola52012-01-24T12:52:01Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455801ALG:Kapitola52012-01-24T12:49:49Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455701ALG:Kapitola52012-01-24T12:49:08Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455601ALG:Kapitola52012-01-24T12:47:43Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebruss $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455501ALG:Kapitola52012-01-24T12:47:04Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EH y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455401ALG:Kapitola52012-01-24T12:42:14Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455301ALG:Kapitola52012-01-24T12:39:15Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455201ALG:Kapitola52012-01-24T12:37:25Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455101ALG:Kapitola52012-01-24T12:35:23Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=455001ALG:Kapitola52012-01-24T12:27:48Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=454901ALG:Kapitola52012-01-24T12:26:24Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Teorie grup}<br />
<br />
\xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br />
<br />
\define<br />
Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br />
Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br />
nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br />
$(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br />
<br />
\def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br />
\define<br />
Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br />
$(a_1)=a_1$;<br />
$(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br />
$(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br />
$$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br />
\bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br />
\item[($n\rightarrow n+1$)]<br />
$(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br />
=(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br />
=\\<br />
((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br />
=(\aldotsa 1{m+n+1})<br />
$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br />
platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br />
$(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br />
<br />
\define<br />
$\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br />
<br />
\lemma<br />
V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br />
$$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br />
<br />
\proof<br />
Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br />
$$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br />
V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br />
\item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br />
přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br />
\defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br />
\item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br />
\end{enumerate}<br />
\item $(\Z, -)$ je grupoid.<br />
\item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br />
Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br />
\defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br />
\item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
\defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br />
$e\in M$ takový, že<br />
$(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br />
Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br />
a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br />
<br />
\lemma<br />
Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br />
Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br />
\defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br />
Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br />
nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br />
V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br />
$$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br />
<br />
\example<br />
V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br />
ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br />
Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br />
<br />
\xxxx{Grupa}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa $G$, ve které lze dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br />
Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br />
<br />
\theorem<br />
V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br />
Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br />
Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br />
Mějme libovolné $b\in M$.<br />
Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br />
Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br />
Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br />
Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br />
Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br />
Tedy existuje inverzní a je jeden.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br />
vzhledem k~$e$.<br />
Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br />
<br />
\proof<br />
$$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br />
tedy $e$ je i levou jednotkou.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a^n$ definované dříve;<br />
\item $a^0:=1$;<br />
\item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br />
v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br />
\item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br />
multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br />
\item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br />
\item<br />
Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br />
Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br />
Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br />
\item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br />
\item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br />
\item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br />
\defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br />
Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l>n$).<br />
Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br />
Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br />
Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br />
\item<br />
Nechť $V$ je vektorový prostor.<br />
Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br />
<br />
\example<br />
Monoid slov.<br />
Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br />
Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br />
Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br />
a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br />
Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br />
Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br />
<br />
\xxxx{Podgrupa}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br />
Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br />
$$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[(existence jednotky)]<br />
Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br />
Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br />
<br />
\item[(invertibilita)]<br />
K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br />
Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br />
<br />
\item[(uzavřenost vůči operaci)]<br />
K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br />
Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
$H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$G\sg G$, $E\sg G$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br />
Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br />
<br />
\proof<br />
Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br />
$(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br />
Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br />
tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br />
<br />
\proof<br />
Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br />
Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br />
$\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br />
Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br />
<br />
\lemma<br />
$\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br />
<br />
\proof<br />
Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br />
Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br />
$ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $H, K\sg G$.<br />
Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br />
\item<br />
Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br />
Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br />
Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br />
Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br />
\item<br />
$\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br />
Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br />
a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br />
Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br />
<br />
$\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br />
\item<br />
$(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Řád prvku grupy}<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br />
\item<br />
Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br />
a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br />
Pak $r\mid k$.<br />
<br />
\proof<br />
V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br />
$$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R<r)(k=r\ell+R).$$<br />
Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R<r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br />
Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br />
Řekneme, že $G$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br />
\item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br />
\item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná konečná grupa je periodická.<br />
<br />
\example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br />
Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br />
$(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br />
Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br />
Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br />
\item<br />
$(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br />
\item<br />
$(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br />
$$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r<\abs\ell).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{existence}<br />
Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}<q'+1$.<br />
Pak $q'\abs\ell\leq k<q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r<\abs\ell$.<br />
Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br />
že $q\neq\tilde q$.<br />
Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br />
\abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br />
Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br />
Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br />
\item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br />
<br />
\theorem<br />
K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br />
$$d=uk+v\ell.$$<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $k,\ell\neq0$.<br />
Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br />
Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br />
Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x>0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br />
<br />
$k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r<d$.<br />
$r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r<d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r>0\Land r<d$.<br />
Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br />
<br />
Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br />
Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br />
Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br />
a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br />
<br />
\xxxx{Cyklické grupy}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br />
$(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br />
Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Každá cyklická grupa je Abelova.<br />
\item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br />
$$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br />
\item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br />
generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br />
<br />
\proof<br />
$G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br />
Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br />
Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br />
\begin{description}<br />
\item[($\sse$)]<br />
Zřejmé.<br />
\item[($\supseteq$)]<br />
Vezměmě libovolné $x\in H$.<br />
Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br />
Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br />
Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br />
$p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br />
Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br />
Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($\Rightarrow$)]<br />
$G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br />
Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br />
\item[($\Leftarrow$)]<br />
Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br />
Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br />
Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br />
z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br />
<br />
\lemma<br />
$n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br />
<br />
\xxxx{Kongruence}<br />
<br />
\define<br />
Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br />
Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br />
tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br />
Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br />
$$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br />
Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br />
(Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br />
Pak $G\factorset\equiv$<br />
je pologrupa, resp.<br />
je komutativní, resp.<br />
má jednotkou,<br />
resp. je grupa,<br />
má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br />
Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br />
Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br />
Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br />
$$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br />
Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br />
Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br />
\ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br />
\ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br />
\ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br />
\end{description}<br />
<br />
\lemma<br />
Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br />
když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br />
Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br />
Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br />
Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br />
ale protože $0\leq r_{1,2}<m$, je nutně $r_1=r_2$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br />
\ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br />
Toto je zjevné z předchozího.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br />
<br />
\xxxx{Homomorfismus}<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br />
Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br />
$$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br />
a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br />
<br />
\define<br />
Homomorfismus $h$ se nazývá:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br />
\item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br />
\item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br />
\item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br />
\item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br />
a značíme $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\example<br />
$G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br />
Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br />
Tedy $G_1\cong G_2$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br />
Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br />
(\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br />
jako $h\subnat(x)=T_x$.<br />
<br />
\lemma<br />
$h\subnat$ je epimorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br />
Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br />
Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br />
Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br />
Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br />
Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br />
Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br />
je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\define<br />
Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br />
Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br />
je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br />
Značíme $H\sg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu)<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br />
<br />
\proof<br />
Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br />
(je definovaná pomocí rovnosti)<br />
Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br />
Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br />
<br />
Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br />
Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br />
Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br />
Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br />
Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br />
Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br />
a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br />
Pak $h\subnat=g^\1h$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br />
má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br />
<br />
\proof<br />
Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br />
Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br />
Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br />
Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br />
$A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br />
(Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br />
Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br />
<br />
\define<br />
Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br />
\item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br />
\end{enumerate}<br />
které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br />
resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br />
<br />
\lemma<br />
Indukované relace jsou ekvivalence.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{reflexivita}<br />
$a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br />
\ditem{symetrie}<br />
$a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br />
\Lequiv a\HE Hb$.<br />
\ditem{tranzitivita}<br />
$a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br />
c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br />
\end{description}<br />
Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br />
tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br />
<br />
\lemma<br />
Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br />
Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br />
<br />
\proof<br />
Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br />
$T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br />
Mějme libovolné $x\in G$.<br />
Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br />
(\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br />
\item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br />
(\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item<br />
Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br />
Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br />
Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br />
Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br />
Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br />
Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br />
že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br />
\item <br />
Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br />
Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br />
Platí:<br />
$g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br />
\Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br />
tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br />
<br />
\theorem (Lagrange)<br />
Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br />
<br />
\proof<br />
Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\item<br />
Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\consequence<br />
Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br />
Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br />
<br />
\proof<br />
Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br />
Vezmu $a\neq1$.<br />
Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br />
Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{existence}<br />
Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br />
Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br />
Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br />
<br />
\ditem{jednoznačnost}<br />
Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br />
a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br />
Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br />
(\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br />
a značíme $H\nsg G$.<br />
<br />
\lemma<br />
$E\nsg G$; $G\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
$a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br />
\item<br />
$a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br />
<br />
\theorem<br />
Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br />
Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br />
Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br />
<br />
Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br />
Vezměme lib. $x\in M$.<br />
Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br />
\Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br />
Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br />
Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br />
Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br />
Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br />
Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br />
Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Vnitřní automorfismy}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br />
Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $G$ je grupa.<br />
Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br />
<br />
\proof<br />
Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br />
Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br />
pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br />
=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br />
tedy inverzní je opět morfismem.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br />
Pak $\AL a$ je automorfismus.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{morfismus}<br />
Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br />
<br />
\ditem{bijekce}<br />
Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br />
Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br />
obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br />
právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br />
Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br />
<br />
Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br />
<br />
\lemma<br />
$\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br />
<br />
\proof<br />
Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br />
$(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br />
Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br />
a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br />
Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br />
Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br />
existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br />
Značíme $x\EK y$.<br />
<br />
\lemma<br />
Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br />
<br />
\consequence<br />
Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
\defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br />
rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br />
Pak $\ker h\nsg G_1$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
<br />
\ditem{je podgrupa}<br />
Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br />
Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br />
<br />
\ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br />
Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br />
Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br />
Pak $\ker h\subnat=H$.<br />
<br />
\proof<br />
$\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br />
$$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br />
<br />
\proof<br />
Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br />
$1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $\ker h=\{1\}$.<br />
Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br />
Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br />
Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br />
<br />
\proof<br />
$a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o homomorfismu pro grupy)<br />
Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br />
Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br />
<br />
\proof<br />
$h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br />
Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{průnik}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br />
Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br />
<br />
\ditem{součin}<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br />
Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br />
Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br />
$\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br />
A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br />
Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma (o tečce)<br />
Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br />
Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\sse$}<br />
Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br />
Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br />
Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br />
Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br />
=a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br />
=\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br />
Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br />
Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br />
<br />
\ditem{$\supseteq$}<br />
V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Buď $G$ grupa.<br />
Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br />
(tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br />
<br />
\lemma<br />
Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br />
\item<br />
$C_G\nsg G$;<br />
\item<br />
$G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br />
\item<br />
Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br />
Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br />
Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br />
\item<br />
Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br />
Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br />
Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br />
(\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (o izomorfismu)<br />
Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br />
Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br />
<br />
\proof<br />
Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br />
Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br />
Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br />
Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br />
Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br />
Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br />
ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br />
se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $E$ je jednoduchá.<br />
\item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br />
Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$G$ je cyklická}<br />
Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br />
neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br />
\ditem{$G$ je konečná}<br />
Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br />
ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br />
\ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br />
Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Grupy permutací}<br />
<br />
\define<br />
Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br />
Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br />
Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br />
<br />
\define<br />
\defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br />
<br />
\theorem (Cayley)<br />
Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br />
Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br />
<br />
Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br />
Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br />
<br />
Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br />
$\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br />
<br />
Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br />
\QED<br />
<br />
\remark<br />
Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br />
<br />
\remark<br />
Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br />
<br />
\remark<br />
$\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br />
<br />
\example<br />
$\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br />
$1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br />
Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br />
Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br />
<br />
\define<br />
Mějme $\pi\in\pS n$.<br />
Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br />
Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br />
<br />
\lemma<br />
$$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br />
<br />
\proof<br />
Obrázkem.<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
Transpozice generují $\pS n$.<br />
(Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br />
<br />
\remark<br />
Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br />
Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br />
které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br />
$\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br />
Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$m=1$}<br />
Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br />
tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br />
$\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br />
<br />
Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br />
To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br />
<br />
Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br />
Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br />
<br />
Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br />
<br />
\ditem{$m\in\N$}<br />
S využitím případu $m=1$ dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
&\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br />
\AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br />
&\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\consequence<br />
$(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br />
$\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br />
pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br />
(Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br />
<br />
\proof<br />
Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br />
Rozklad je tedy jednoznačný.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br />
$\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br />
<br />
\consequence<br />
$\pA n\nsg \pS n$.<br />
<br />
\lemma<br />
Nechť $A\sg B\sg G$.<br />
Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br />
<br />
\proof<br />
Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br />
\ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br />
\ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br />
\ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br />
a je jednoduchá.<br />
\ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br />
a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br />
Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br />
např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br />
A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br />
<br />
<br />
$\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br />
Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br />
$\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br />
jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br />
<br />
$\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br />
<br />
Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br />
(má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br />
Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br />
\end{description}<br />
<br />
\theorem<br />
Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br />
<br />
\proof<br />
Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br />
Tedy nechť $n\geq5$.<br />
Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br />
Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br />
\begin{description}<br />
\ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br />
Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br />
Určitě není transpozice (ta je lichá).<br />
Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br />
Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br />
\item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br />
\end{enumerate}<br />
Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br />
Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br />
V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br />
Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br />
<br />
Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br />
<br />
(2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br />
Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br />
Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br />
Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br />
<br />
Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br />
<br />
\ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br />
Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br />
Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br />
Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br />
Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br />
<br />
\ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br />
Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
<br />
\xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br />
<br />
\define<br />
Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br />
Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br />
Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br />
Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br />
a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br />
<br />
\define<br />
Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br />
Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br />
je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br />
Značíme $G=A\odot B$.<br />
<br />
\remark<br />
Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
$ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
$f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br />
<br />
\proof<br />
$A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\ditem{$\Rightarrow$}<br />
Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br />
Nechť $c\in A\cap B$.<br />
Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br />
A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br />
<br />
\ditem{$\Leftarrow$}<br />
Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br />
Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br />
\item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br />
\item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br />
<br />
\theorem<br />
Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br />
\item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br />
\item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br />
\item<br />
Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br />
Pak<br />
$$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br />
a<br />
$$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br />
<br />
\item<br />
Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br />
<br />
\item<br />
Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br />
Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br />
<br />
\example<br />
Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br />
Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br />
<br />
\theorem<br />
Buď $G=A\odot B$.<br />
Pak $G\factorset A\cong B$.<br />
<br />
\proof<br />
Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br />
ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br />
\QED</div>Sedlam18https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola3&diff=454801ALG:Kapitola32012-01-24T12:18:33Z<p>Sedlam18: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ALG}<br />
<br />
\xxx{Uspořádané množiny}<br />
<br />
\xxxx{Uspořádané množiny. Řetězce}<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Množina $M$ s uspořádáním $\leq$ se nazývá \defined[množina!usporádaná]{uspořádaná množina} $(M, \leq)$.<br />
\item Přirozeným způsobem jsou na $M$ definovány operace $\geq$, $<$, $>$.<br />
\item Nechť $R\subseteq M$ je úplně uspořádaná, pak ji nazveme \defined[rzetězec@řetězec]{řetězcem}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina, $a\in M$.<br />
Pak $a$ je:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \defined[prvek (teorie množin)!největší]{největší prvek}<br />
(\defined[prvek (teorie množin)!poslední]{poslední prvek}) $\iff$ $(\forall x\in M)(x\leq a)$;<br />
\item \defined[prvek (teorie množin)!nejmenší]{nejmenší prvek}<br />
(\defined[prvek (teorie množin)!první]{první prvek}) $\iff$ $(\forall x\in M)(x\geq a)$;<br />
\item \defined[prvek (teorie množin)!maximální]{maximální prvek} $\iff$ $(\forall x\in M)(x\geq a \Rightarrow x=a)$;<br />
\item \defined[prvek (teorie množin)!minimální]{minimální prvek} $\iff$ $(\forall x\in M)(x\leq a \Rightarrow x=a)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\lemma<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $a\in M$ poslední, je maximální.<br />
\item Je-li $a\in M$ první, je minimální.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\N, \;\mid\;)$. Relace \uv{dělí}: $a\mid b \Leftrightarrow (\exists c\in\Z)(b=ac)$.<br />
První prvek je $1$, poslední není.<br />
\item $(\Nz, \;\mid\;)$.<br />
Prvním prvkem zůstává $1$, ale posledním je $0$, neboť $n\mid 0$ pro všechna celá čísla.<br />
\item $(\N\sm\{1\}, \;\mid\;)$.<br />
Nemá nejmenší, ale má minimální -- jsou to všechna prvočísla.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina, $N\sse M$.<br />
Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z\in M$ je \defined[závora!horní]{horní závora} podmnožiny $N$ $\iff$ $(\forall x\in N)(x\leq z)$.<br />
\item $z\in M$ je \defined[závora!dolní]{dolní závora} podmnožiny $N$ $\iff$ $(\forall x\in N)(x\geq z)$.<br />
\item $N$ je \defined[množina!shora omezená]{shora omezená} $\iff$ existuje horní závora $N$.<br />
\item $N$ je \defined[množina!zdola omezená]{zdola omezená} $\iff$ existuje dolní závora $N$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(A, \leq)$ a $(B, \leq)$ jsou 2 uspořádané množiny, $f:A\rightarrow B$.<br />
Pak řekneme, že $f$ je \defined[zobrazení!izotonní]{izotonní} (\defined[zobrazení!izotonie]{izotonie}) $\iff$<br />
$(\forall x,y\in A)\big(x\leq y \Limpl f(x)\leq f(y)\big)$.<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(A, \leq)$ a $(B, \leq)$ jsou 2 uspořádané množiny. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $f:A\rightarrow B$ je \defined[izomorfismus (teorie množin)]{izomorfizmus},<br />
pokud je bijektivní a $f$ i $f^\1$ jsou izotonní, tj.<br />
$$(\forall x,y\in A)\big(x\leq y \Lequiv f(x)\leq f(y)\big).$$<br />
\item $A$ a $B$ jsou \defined[množiny!izomorfní]{izomorfní} (značíme $A\cong B$),<br />
pokud existuje izomorfismus $A\rightarrow B$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
<br />
\xxxx{Ekvivalence, subvalence množin}<br />
<br />
\define<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Řekneme, že $M$ a $N$ jsou \defined[množiny!ekvivalentní]{ekvivalentní}<br />
(\defined[množiny!ekvipotenční]{ekvipotenční}) $\iff$<br />
existuje bijekce $M$ na $N$. <br />
Značíme $M\approx N$.<br />
\item Řekneme, že $M$ je \defined[množiny!subvalentní]{subvalentní} $N$ $\iff$<br />
existuje injekce (prosté zobrazení) $M$ do $N$.<br />
Značíme $M\pce N$.<br />
\item Řekneme, že $M$ je \defined[množiny!subvalentní!ostře]{ostře subvalentní} $N$<br />
$\iff$ $M\pce N \Land M\not\approx N$.<br />
Značíme $M\pna N$ nebo $M\prec N$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\remark<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\approx$ je ekvivalence.<br />
\item Třídám ekvivalence $\UU_{/\approx}$ přiřazujeme<br />
\defined[czíslo@číslo!kardinální]{kardinální číslo}.<br />
\item $\pce$ není uspořádání, neboť $A\pce B \Land B\pce A \Limpl A\approx B$, nikoli $A=B$ ($\pce$ je reflexivní, tranzitivní, ale není slabě antisymetrická).<br />
Lze tedy uspořádat kardinální čísla.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (Cantor, Bernstein)<br />
Nechť $M$ a $N$ jsou libovolné množiny. Pak <br />
$$M\pce N \;\;\Land\;\; N\pce M \quad\Limpl\quad M\approx N.$$<br />
<br />
\proof<br />
Víme, že existují injekce $\map fMN$ a $\map gNM$.<br />
Označme $N_1:=f(M)$, $M_1:=g(N)$, $N_1':=N\sm N_1$, $M_1':=M\sm M_1$.<br />
Pak $\maptype fM{bij}{N_1}$ a $\maptype gN{bij}{M_1}$.<br />
<br />
Definujme posloupnost $x_n$ následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $x_1\in M$;<br />
\item pokud $x_1\in M_1$, definuji $x_2:=g^\1 x_1$, jinak je $x_1$ poslední v~posloupnosti;<br />
\item pokud $x_2\in N_1$, definuji $x_3:=f^\1 x_2$, jinak je $x_2$ poslední v~posloupnosti;<br />
\item ...<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Posloupnost je jednoduše rekurentní (každý prvek závisí pouze na nejbližším předchozím),<br />
tedy se množina $M$ direktně rozkládá na 3 podmnožiny:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $x\in M_M\sse M$, pokud poslední člen posloupnosti obsahující $x$ je v~$M$;<br />
\item $x\in M_N\sse M$, pokud poslední člen posloupnosti obsahující $x$ je v~$N$;<br />
\item $x\in M_\infty\sse M$, pokud je posloupnost obsahující $x$ nekonečná.<br />
\end{enumerate}<br />
Obdobně definujeme $N_M$, $N_N$ a $N_\infty$.<br />
<br />
Potom nutně $N_1'\sse N_N$, a tedy platí, že $\maptype {f_{/M_M}}{M_M}{bij}{N_M}$ je prosté, protože $f$ je prosté,<br />
a na, protože $N_M\sse f(M)$.<br />
Obdobně $\maptype {g_{/N_N}}{N_N}{bij}{M_N}$ a konečně $\maptype{f_{/M_\infty}}{M_\infty}{bij}{N_\infty}$.<br />
Tedy $M_M\approx N_M$; $M_N\approx N_N$ a $M_\infty\approx N_\infty$,<br />
z~čehož díky disjunktnosti rozkladů plyne $M\approx N$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (Cantor)<br />
$$M\pna \PP M.$$<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[($M\pce \PP M$)] Položme $f(x):=\{x\}$.<br />
\item[($M\not\approx \PP M$)] Důkaz sporem.<br />
Předpokládejme, že $M\approx \PP M$.<br />
\\<br />
Pak $(\EE g:M\stackrel{\mathrm{bij.}}{\longrightarrow} \PP M)$.<br />
Označme $D:=\{x\in M\mid x\notin g(x)\}$, $d=g^\1(D)$.<br />
Pak<br />
\begin{itemize}<br />
\item $d\in D \Limpl d\notin g(d)=D$;<br />
\item $d\notin D \Limpl d\in g(d)=D$,<br />
\end{itemize}<br />
což je spor. (Tento typ důkazu se nazývá \defined[argument!Cantorův diagonální]{Cantorův diagonální argument}.)<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\xxxx{Úplně uspořádané množiny}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(A, \leq)$, $(B, \leq)$ jsou 2 úplně uspořádané množiny.<br />
Potom řekneme, že $A$ \defined[množiny!podobné]{je podobná} $B$<br />
(relace \defined[relace!podobnost]{podobnost}; značíme $A\cong B$),<br />
pokud existuje zobrazení $\map fAB$ nazývané \defined[zobrazení!podobnost]{podobnost}, které je bijektivní a izotonní.<br />
<br />
\lemma<br />
Podobnost je ekvivalence na třídě všech úplně uspořádaných množin.<br />
<br />
\proof<br />
\begin{description}<br />
\item[(reflexivita)] Podobností je identita.<br />
\item[(symetrie)] Podobností $\map gBA$ je inverzní zobrazení k~podobnosti $\map fAB$.<br />
\item[(transitivita)] existence podobností $\map fAB$ a $\map gBC$ zajišťuje existenci podobnosti $\map hAC$,<br />
$h=g\circ f$.<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
\defined[typ!ordinální]{Ordinální typ} je charakteristická vlastnost tříd ekvivalence<br />
na všech úplně uspořádaných množinách podle $\cong$. Značí se $\ord A$.<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\ord \emptyset=:0$.<br />
\item Nechť $K$ je úplně uspořádaná a $\abs K=k\in\N$.<br />
Pak $\ord K=:k$. (Jednoznačnost lze ukázat matematickou indukcí, každá má první prvek.)<br />
\item $\ord\,(\N, \leq)=:\omega$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $A$ a $B$ jsou podobné množiny.<br />
Pak má-li $A$ první prvek, má jej i $B$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $p$ je první v~$A$ a $\map fAB$ je podobnost. Ukážeme, že $f(p)$ je první v~$B$, tj.<br />
$(\AA y\in B)(\EE x\in A)(y=f(x))$.<br />
Ale $p$ je první v~$A$, tedy $x\geq p$ $\Limpl$ $y=f(x)\geq f(p)$.<br />
\QED<br />
<br />
\lemma<br />
Libovolné 2 úplně uspořádané konečné množiny o stejném počtu prvku jsou podobné.<br />
<br />
\proof<br />
Ukážeme indukcí podle počtu prvků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n = 1, n = 2$: zřejmé<br />
\item $n \geq 2: |A| = |B| = n$.\\<br />
Definujeme $p,q$ jako nejmenší prvky v $A$ resp. $B$, $A' = A - \{p\}, B' = B - \{q\}$. Pro $A'$ a $B'$ máme z indukčního předokladu podobnost $f': A' \cong_{f'} B'$\\<br />
Pro $A, B$ definujeme podobnost:\\<br />
$f(x) = \left\{ <br />
\begin{array}{l l}<br />
f'(x) & \quad \text{pro } x \in A'\\<br />
q & \quad \text{pro } x=p\\<br />
\end{array} \right.$<br />
\end{enumerate}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $S=\set{2n}{n\in\N}\cong \N$, $\map fS\N$, $f(x)=x/2$.<br />
\item $\Nz\cong\N$, $f(x)=x+1$.<br />
\item $(\Z, \leq) \ncong (\N, \leq)$, neboť $\N$ má první a $\Z$ nikoliv, ale $\Z\approx\N$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že úplné uspořádání $(M, \leq)$ je husté, právě když:<br />
$$(\AA x,y\in M, x<y)(\EE z\in M)(x<z<y).$$<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Z, \leq)$ není husté uspořádání.<br />
\item $(\Q, \leq)$ je husté uspořádání.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\theorem (Cantor)<br />
Libovolná spočetná hustě uspořádaná množina, která nemá ani první, ani poslední prvek, je podobná $(\Q, \leq)$.<br />
<br />
\define<br />
Nechť $A$ je úplně uspořádaná množina, $a\in A$.<br />
Pak \defined[usek@úsek]{úsekem} množiny $A$ určeným prvkem $a$ rozumíme $A_a:=\set{x\in A}{x<a}$.<br />
<br />
\theorem<br />
$A$ úplně uspořádaná:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $a$ první v~$A \iff A_a=\emptyset$.<br />
\item Je-li $a$ poslední v~$A$, pak $A_a=A\sm\{a\}$.<br />
\item Ze 2 různých úseků množiny $A$ je jeden úsekem druhého.<br />
\item $a\leq b \iff A_a\sse A_b$.<br />
\item $(\set{A_a}{a\in A}, \sse)$ je úplně uspořádaná množina.<br />
\item $(\set{A_a}{a\in A}, \sse)\cong(A, \leq)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Dobré uspořádání}<br />
<br />
\define<br />
Řekneme, že množina $M$ je \defined[množina!uspořádaná!dobře]{dobře uspořádaná},<br />
má-li libovolná neprázdná podmnožina $M$ první prvek.<br />
<br />
\theorem<br />
Dobré uspořádání je úplné.<br />
<br />
\proof<br />
Mějme libovolné $a,b\in M$, $a\neq b$. Pak množina $\{a,b\}\sse M$ má první prvek, a tedy $a<b$ nebo $b<a$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Neprázdná dobře uspořádaná množina má první prvek.<br />
\item Libovolná podmnožina dobře uspořádané množiny je dobře uspořádaná.<br />
\item Množina podobná dobře uspořádané množině je dobře uspořádaná.<br />
(Dobře uspořádané množiny mají tedy vlastní třídy ekvivalence podle $\cong$<br />
a jejich ordinální typ nazýváme \defined[czíslo@číslo!ordinální]{ordinální číslo}.)<br />
\item Libovolný prvek dobře uspořádané množiny $M$, který není poslední (poslední však nemusí existovat),<br />
má následníka, tj.<br />
$$(\AA x\in M, \text{$x$ není poslední})(\EE y\in M)(\AA z\in M)(z\leq x \Lor z\geq y).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\example<br />
Mějme $(\Z, \pce)$ s uspořádáním definovaným následovně:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $x,y\geq0$ \quad $x\prec y \Lequiv x<y$;<br />
\item $x,y<0$ \quad $x\prec y \Lequiv -x<-y$;<br />
\item $x<0\leq y$ \quad $y\prec x$.<br />
\end{enumerate}<br />
Pak $\ord\,(\Z, \pce)=\omega+\omega\neq\omega$ ($\ord \N = \ord \N_0 = \omega$).<br />
<br />
\axiom(A9)Axiom výběru.<br />
Na libovolném $M\neq\emptyset$ existuje \defined[selektor]{selektor} (\defined[funkce!výběrová]{výběrová funkce})<br />
$\map\phi{\PP M\sm \{\emptyset\}}{M}$ a platí:<br />
$(\AA A\sse M, A\neq\emptyset)(\phi(A)\in A)$.<br />
<br />
\define<br />
Zermelova-Frankelova axiomatika s~axiomem výběru se označuje \defined[ZFC]{ZFC}.<br />
<br />
\theorem (Zermelo, v~ZFC)<br />
Na libovolné množině existuje binární relace, která je jejím dobrým uspořádáním.<br />
<br />
\theorem (v~ZFC)<br />
Nechť $M$ je úplně uspořádaná množina. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $M$ je dobře uspořádaná;<br />
\item na $M$ platí \defined[podmínka!indukční]{indukční podmínka}:<br />
$$\big(\AA N\sse M\big)\Big(\AA x\in M\big(\AA y\in M(y<x \Limpl y\in N)\Limpl x\in N\big)\Limpl N=M\Big);$$<br />
\item na $M$ platí \defined[podmínka!konečnosti klesajících řětežců]{podmínka konečnosti klesajících řetězců}<br />
(každý ostře klesající řetězec má konečnou délku).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\proof<br />
Pro $M=\emptyset$ je důkaz triviální. Tedy nechť $M\neq\emptyset$.<br />
\begin{description}<br />
<br />
\item[($1\Limpl2$)]<br />
Důkaz sporem.<br />
Nechť $(\EE N\sse M)(\AA x\in M(\AA y\in M(y<x \Limpl y\in N)\Limpl x\in N) \Land N\varsubsetneq M)$.<br />
$M$ je dobře uspořádaná, tedy má první prvek $p$ a podle předpokladu (neexistuje $y<p$) je $p\in N$,<br />
tedy $N\neq\emptyset$.<br />
Dále $M\sm N\neq\emptyset$ ($N$ je vlastní podmnožina), tedy existuje první prvek $q\in M\sm N$.<br />
Potom $(\AA y<q)(y\in N)$ $\Limpl$ $q\in N$, což je spor s $q\in M\sm N$.<br />
<br />
\item[($2\Limpl3$)]<br />
Nechť $N$ je množina všech $z\in M$, pro které neexistuje nekonečný ostře klesající řetězec začínající v~$z$.<br />
<br />
<br />
\item[($3\Limpl1$)] Dokážeme sporem.<br />
Nechť $M$ není dobře uspořádaná, tedy nechť existuje neprázdná $N\sse M$, která nemá první prvek.<br />
Pak pro libovolné $a\in N$ je úsek $N_a$ neprázdný (jinak by $a$ byl první prvek) a podle axiomu výběru<br />
$(\EE \map\phi{\PP N\sm\{\emptyset\}}N)(\phi(x)\in x)$. Definujme posloupnost $(a_k)_1^\infty$ následovně:<br />
$a_1:=\phi(N)$; $a_{k+1}:=\phi(N_{a_k})$.<br />
Protoře $N_a$ je neprázdná pro všechna $a$ a $a_{k+1}<a_k$ (vlastnost úseku),<br />
je $(a_k)$ nekonečný ostře klesající řetězec, což je spor.<br />
<br />
\end{description}<br />
\QED<br />
<br />
\example<br />
$\emptyset$ je dobře uspořádaná, $\N$ je dobře uspořádaná, $\ord \N = \omega = \ord \N_0$.\\<br />
$\Z$ není při přirozeném uspořádání dobře uspořádaná, $\Q$ také není.<br />
<br />
\lemma<br />
Buďte $A, B$ podobné dobře uspořádané množiny. Pak existuje pouze jedna podobnost $A$ na $B$.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $\map fAB,\ \map gAB,\ f \neq g,\ M:=\set{x\in A}{f(x) \neq g(x)} \neq \emptyset,\ M \subseteq A,\ p$~první prvek v $M$. $b_1 = f(p),\ b_2 = g(p)$, nechť $b_1 < b2$. Nechť $a \in A$ takové, že $g(a) = b_1,\ g(a) < b_2 = g(p)$. Z izotonie máme $f(a) < f(p) = b_1 = g(a)$. Z toho dostáváme $a \in M$, což je spor.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Uspořádaná množina $(\N, \leq)$ je uspořádaná dobře.<br />
<br />
\theorem<br />
Nechť $A$ je dobře uspořádaná množina, $B\sse A$, $B\cong A$, $\map fAB$ je podobnost.<br />
Pak $(\AA x\in A)(f(x)\geq x)$.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $M:=\set{x\in A}{f(x)<x}$. Ukážeme sporem, že $M$ je prázdná.<br />
<br />
Nechť $M\neq\emptyset$. Pak $M\sse A$, tedy má první prvek $p$.<br />
Platí $f(p)<p$, tedy z~izotonie $f$ je $f(f(p))<f(p)$, a tedy $f(p)$ je prvek $M$ menší než $p$, což je spor.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem<br />
Ze 2 dobře uspořádaných množin je vždy jedna podobná druhé nebo jejímu úseku.<br />
<br />
\consequence<br />
Dobře uspořádaná množina není podobná žádné podmnožině svého úseku ani žádnému úseku své podmnožiny, tedy ani žádnému svému úseku.<br />
<br />
\theorem (princip maximality, Zornovo lemma, Kuratowského lemma)<br />
Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina.<br />
Pak má-li libovolný řetězec z~$M$ horní závoru v~$M$,<br />
pak libovolný prvek $a\in M$ je srovnatelný s~nějakým maximálním prvkem v~$M$.<br />
(A tedy existuje alespoň jeden maximální prvek v $M$.)<br />
<br />
\theorem (speciální případ Zornova lemmatu)<br />
Nechť $(\calS, \sse)$ je systém množin uspořádaný inkluzí.<br />
Pokud pro každý řetězec $R$ z~$\calS$ je $\bigcup R\in\calS$, pak<br />
$(\AA A\in\calS)(\EE B\in\calS, \text{$B$ maximální})(A\sse B)$.<br />
<br />
\theorem<br />
Relace subvalence je trichotonická na třídě všech množin<br />
(tj. libovolné 2 prvky jsou srovnatelné).<br />
<br />
\proof<br />
Mějme 2 neprázdné množiny $A, B\in\UU$.<br />
Označme $M$ množinu všech prostých zobrazení z~$A$ do $B$, tedy<br />
$M=\set f{f:(A)\stackrel{\mathrm{inj.}}{\longrightarrow}B}$.<br />
Každé $f$ je speciální podmnožina $A\times B$, tedy $(M, \sse)$ je uspořádání.<br />
Nechť $R\sse M$ je řetězec.<br />
Označme $g:=\bigcup R$<br />
Ukážeme, že $g\in M$.<br />
<br />
\begin{description}<br />
\item[($g$ je zobrazení)]<br />
Nechť $\anglevector{a, b_1}\!, \anglevector{a, b_2}\in g$.<br />
Pak $(\EE f_1, f_2\in R)\bigl(\anglevector{a, b_1}\in f_1, \anglevector{a, b_2}\in f_2\bigr)$.<br />
Bez újmy na obecnosti je $f_1\sse f_2$, a tedy $\anglevector{a, b_1}, \anglevector{a, b_2}\in f_2$,<br />
tedy (neboť $f_2$ je zobrazení) $b_1=b_2$.<br />
\item[($g$ je injekce)]<br />
Vezmeme $\anglevector{a_1, b}\!, \anglevector{a_2, b}\in g$.<br />
Stejným postupem dostaneme $a_1=a_2$.<br />
\end{description}<br />
<br />
Tedy v~$M$ existuje maximální prvek $f$.<br />
Ukážeme, že je buďto $\mathdef f=A$ nebo $f(A)=B$.<br />
Nechť $(\EE a\in A)(a\notin\mathdef f)$ a $(\EE b\in B)(f^\1(\{b\})=\emptyset)$.<br />
Pak $f':=f\cup\anglevector{a, b}$ je bijekce z~$A$ do $B$ a $f\pce f'$, což je spor s~maximalitou $f$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem Libovolný netriviální vektorový prostor $V$ má (konečnou nebo Hammelovu) bázi.<br />
<br />
\proof<br />
Označme $\calS$ systém všech lineárně nezávislých podmnožin $V$ uspořádaný inkluzí.<br />
Ukážeme, že pro libovolný řetězec $R=\set{A_i}{i=1\cldc n,\infty}\sse\calS$ je $A:=\bigcup R\in\calS$.<br />
Mějmě konečnou lineární kombinaci $\sum_{j=1}^k\alpha_ja_j$ prvků z~$A$.<br />
Pro každé $a_j$ existuje $A_{i_j}$ takové, že $a_j\in A_{i_j}$.<br />
Označme $i_m=\max_{j\in \widehat k} i_j$.<br />
Pak $(\AA j\in\widehat k)(a_j\in A_{i_m}\in\calS)$, tedy $\sum_{j=1}^k\alpha_ja_j=0 \Lequiv (\AA j)(\alpha_j=0)$,<br />
což znamená, že $A\in\calS$.<br />
Tedy podle Zornova lemmatu existuje maximální prvek $B\in\calS$.<br />
<br />
Ukážeme, že $B\sublin=V$. Zjevně $B\sublin\sse V$, tedy zbývá ukázat, že generuje:<br />
Vezměme $v\in V\sm B$.<br />
Pak $B\cup\{v\}\varsupsetneq B$ je lineárně závislá (jinak by $B$ nebyla maximální v~$\calS$).<br />
Tedy existuje konečná lineární kombinace z~$B\cup\{v\}$ a nutně je koeficient u $v$ nenulový<br />
(jinak by kombinace byla nulová a z~$B$, ale $B$ je lineárně nezávislá).<br />
Tedy $v\in B\sublin$.<br />
\QED<br />
<br />
\theorem (Hausdorffův princip, v~ZFC)<br />
V~libovolné uspořádané množině je každý řetězec částí nějakého maximálního řetězce (ve smyslu inkluze).<br />
<br />
\theorem<br />
V~ZF axiomatice jsou následující výroky ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item axiom výběru;<br />
\item princip dobrého uspořádání (Zermelova věta);<br />
\item princip maximality (Zornovo lemma);<br />
\item Hausdorffův princip.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\xxxx{Uspořádání kartézského součinu}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $(A, \leq)$, $(B, \leq)$, $A\times B=\set{\anglevector{a,b}}{a\in A, b\in B}$.\\<br />
Pak definuji \defined[uspořádání!lexikografické]{lexikografické uspořádání}:<br />
$$\anglecouple ab\leq\anglecouple cd\iff(a<c \;\lor\; (a=c\land b\leq d)).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Jsou-li $A$, $B$ dobře uspořádané, pak i lexikografické uspořádání na $A\times B$ je dobré.<br />
<br />
\proof<br />
Nechť $\emptyset\neq M\sse A\times B$. Položme $M_A:=\set{a\in A}{(\EE b\in B)(\anglecouple ab\in M)}$.<br />
$\emptyset\neq M_A\sse A$, tedy má první prvek $p$. Položme $M_B:=\set{b\in B}{\anglecouple pb\in M}$.<br />
$\emptyset\neq M_B\sse B$, tedy má první prvek $q$.<br />
<br />
Ukážeme, že $(\AA\anglecouple ab\in M)(\anglecouple pq\leq\anglecouple ab)$.<br />
Z~definice $M_A$ je $p\leq a$ a pokud $p=a$, je z~definice $M_B$ $q\leq b$.<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $A$, $B$ jsou dobře uspořádané množiny, $\alpha=\ord A$, $\beta=\ord B$.<br />
Definujeme \defined[součin!ordinálních čísel]{součin ordinálních čísel}:<br />
$$\alpha\cdot\beta:=\ord(B\times A).$$<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\ord\N=\omega$.<br />
\item $\omega\cdot\omega=\ord(\N\times\N)=:\omega^2$.<br />
\item $\omega\cdot2=\ord(\{a,b;a<b\}\times\N)=\omega+\omega\neq\omega$.<br />
\item $2\cdot\omega=\ord(\N\times\{a,b\})=\ord\N=\omega$. Tedy $\omega\cdot2\neq2\cdot\omega$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\define<br />
Nechť $\calS=\set{A_i}{i\in I}$ je systém po dvou disjunktních množin<br />
(disjunktnost lze zaručit položenín $A'_i:=\{i\}\times A_i$.<br />
Nechť $(I, \leq_I)$ je uspořádání, stejně tak pro všechna $i\in I$ je $(A_i, \leq_i)$ uspořádání.<br />
Pak definujeme \defined[sjednocení!uspořadané uspořádaných množin]{uspořádané sjednocení uspořádaných množin}<br />
na množině $A=\bigcup\calS$.<br />
Nechť $a, b\in A$, $a\in A_i$, $b\in A_j$.<br />
Pak<br />
$$a\leq b \Lequiv (i<_Ij \Lor (i=j \Land a\leq_ib)).$$<br />
<br />
\lemma<br />
Uspořádání $\leq$ na $A$ je úplné/dobré, pokud $\leq_I$ i všechna $\leq_i$ jsou úplná/dobrá.<br />
<br />
\proof<br />
Obdobně jako pro kartézský součin<br />
\QED<br />
<br />
\define<br />
Nechť $A_1$, $A_2$ jsou dobře uspořádané množiny, $\alpha=\ord A_1$, $\beta=\ord A_2$.<br />
Definujeme \defined[součet!ordinálních čísel]{součet ordinálních čísel}:<br />
$$\alpha+\beta:=\ord\bigcup\{A_1, A_2\}.$$<br />
<br />
\example<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $1+\omega=\ord\bigcup\{A_1=\{a\}; A_2=\N\}=\omega.$<br />
\item $\omega+1=\ord\bigcup\{A_1=\N; A_2=\{a\}\}\neq\omega.$<br />
\end{enumerate}</div>Sedlam18