https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Sedlam18&feedformat=atom WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs] 2024-03-29T11:36:56Z Příspěvky uživatele MediaWiki 1.25.2 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=4567 01ALG:Kapitola8 2012-01-24T13:22:53Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie svazů}<br /> <br /> \xxxx{Svazy}<br /> <br /> \define<br /> \defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br /> se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br /> \item<br /> $a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br /> <br /> \lemma<br /> Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br /> (tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br /> <br /> \proof<br /> $a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(princip duality v teorii svazů)<br /> Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br /> pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br /> <br /> \xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br /> <br /> \remark<br /> Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br /> \item<br /> Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br /> Pro $s=\sup A$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br /> \item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br /> \end{enumerate}<br /> \item<br /> $\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \item<br /> $\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br /> má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br /> <br /> \lemma<br /> Pro libovolné prvky svazu platí, že<br /> $$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br /> pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br /> \item<br /> Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br /> Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br /> pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br /> \ditem{antisymetrie}<br /> $a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br /> \ditem{transitivita}<br /> Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br /> \ditem{je svazové}<br /> Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br /> %TODO<br /> Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br /> \end{description}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{komutativita}<br /> $a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br /> \ditem{asociativita}<br /> $(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br /> s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br /> \ditem{pohlcení}<br /> $\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br /> \end{description}<br /> Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br /> Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br /> Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$i\leq a,b,c$}<br /> Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br /> \ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br /> Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br /> tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br /> \end{description}<br /> <br /> Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br /> $\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br /> Potom platí<br /> $$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br /> <br /> \proof<br /> Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br /> pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br /> Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br /> Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br /> <br /> Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br /> Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br /> <br /> Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br /> \item<br /> Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br /> <br /> Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br /> \item<br /> Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br /> (vždy to bude jeden z obou prvků).<br /> Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br /> \item<br /> Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br /> Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br /> Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br /> \item<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br /> Označme $(\SA)=(\cap)$.<br /> Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br /> Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br /> Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br /> Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br /> \item<br /> $N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br /> Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br /> \item<br /> Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $a,b\in S\supdot$, $a&lt;b$.<br /> Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br /> Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br /> Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br /> Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Ideály}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br /> <br /> \lemma[lattice123]<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br /> Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br /> \item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$1\Limpl2$}<br /> Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br /> Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br /> \ditem{$2\Limpl3$}<br /> Buď $a\SV b\in I$.<br /> Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br /> \ditem{$3\Limpl1$}<br /> Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br /> Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br /> Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br /> <br /> \proof<br /> $I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br /> <br /> Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br /> <br /> \xxxx{Izomorfismus svazů}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br /> $$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br /> \defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br /> Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br /> <br /> \proof<br /> Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br /> Zbývá tedy opačná implikace.<br /> Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br /> Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br /> a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br /> Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br /> Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br /> Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br /> a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br /> Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br /> Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br /> Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br /> \defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br /> Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br /> \item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br /> Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br /> Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br /> Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br /> Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br /> Tedy $m$ je první a je nulou.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Úplné svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br /> má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br /> <br /> \remark<br /> V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br /> V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br /> <br /> \lemma<br /> Úplný svaz má nulu a jednotku.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br /> \item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br /> a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br /> <br /> \theorem(o pevném bodě)<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br /> Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br /> Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br /> Označme $u:=\sup U$.<br /> Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br /> tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br /> Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br /> Celkově máme $f(u)=u$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $N\sse M$.<br /> Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br /> Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br /> Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br /> <br /> Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br /> Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br /> A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br /> Tedy $\sup N=\inf Z$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br /> Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br /> Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br /> a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br /> tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br /> existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br /> Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br /> <br /> \proof<br /> Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br /> Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0&lt;x)$.<br /> Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br /> <br /> \def\NN{{\mathscr N}}<br /> \def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br /> \def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br /> \def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br /> \def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br /> Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br /> Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br /> Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br /> Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br /> a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br /> $\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br /> Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br /> je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> <br /> Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br /> máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$h$ je prosté}<br /> Nechť $h(a)=h(b)$.<br /> Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br /> \ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br /> Mějme $a, b\in M$.<br /> Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br /> \ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br /> Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br /> Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br /> A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x&lt;r}$ pro všechna $r\in\R$.<br /> <br /> \xxxx{Distributivní svazy}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br /> Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br /> \item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br /> Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br /> $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br /> \item<br /> Symetricky z~duality.<br /> \item<br /> Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br /> Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br /> <br /> \lemma<br /> $\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br /> $(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br /> =a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Příklady distributivních svazů:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> množinové svazy;<br /> \item<br /> úplně uspořádané množiny;<br /> \item<br /> $(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br /> <br /> \proof<br /> Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br /> Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br /> $$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br /> Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br /> <br /> \remark<br /> V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br /> <br /> \remark<br /> V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br /> pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br /> Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br /> <br /> \example<br /> Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br /> Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br /> Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br /> <br /> Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br /> tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br /> Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br /> Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br /> $$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br /> dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br /> Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br /> $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br /> Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br /> Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br /> Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br /> <br /> Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br /> $x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br /> Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br /> $(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br /> <br /> \item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br /> Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a&gt;b$ nebo nejsou srovnatelné).<br /> Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br /> tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br /> Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br /> V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br /> která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br /> Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br /> Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br /> Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br /> Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br /> Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br /> Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br /> <br /> Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br /> Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br /> $b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br /> Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br /> tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br /> $b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br /> Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br /> <br /> Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(Stone)<br /> Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br /> Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br /> Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br /> Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br /> <br /> \begin{description}<br /> \ditem{injekce}<br /> Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br /> Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br /> tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br /> \stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br /> \stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br /> \end{description}<br /> <br /> Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Modulární svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br /> vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný distributivní svaz je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br /> Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br /> $$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br /> Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} <br /> Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br /> $$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br /> <br /> Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br /> Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br /> Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> \defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br /> taková, že $1=a_0&gt;a_1&gt;\cdots&gt;a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br /> $\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br /> Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n&gt;m$.<br /> <br /> \define<br /> Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br /> <br /> \theorem(Schreier)<br /> Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br /> <br /> \theorem(Jordan, H\H older)<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br /> \item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br /> Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \item<br /> Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br /> Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br /> Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br /> Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br /> Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br /> tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a&lt;b$.<br /> Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br /> a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br /> Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br /> korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br /> <br /> Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br /> $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br /> je $g(f(x))=x$.<br /> Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br /> Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br /> Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br /> Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br /> Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br /> Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br /> $\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br /> <br /> \proof<br /> Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> 1. věta o dimenzi.<br /> <br /> \remark<br /> Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br /> <br /> \xxxx{Komplement}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA a'=0$;<br /> \item $a\SV a'=1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br /> <br /> \example<br /> Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br /> <br /> \example<br /> $0'=1$; $1'=0$.<br /> <br /> \example<br /> Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br /> \item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(24,35)(-12,0)<br /> \put(2,3){\line(2,3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(2,31){\line(2,-3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(-10,13){\line(0,1){8}}<br /> \put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br /> Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br /> Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br /> Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br /> což je protipříklad proti podmínce modularity.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br /> Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)&lt;(a\SA b)\SV c$.<br /> Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br /> <br /> Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a&lt;c$.<br /> <br /> Nechť $b&lt;a\Tor b&lt;c$, pak jistě $b&lt;c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a&lt;c\leq(a\SA b)\SV c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br /> Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br /> <br /> \example<br /> Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br /> \begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(40,24)(-20,0)<br /> \put(3,3){\line(2,1){14}}<br /> \put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br /> \put(0,3){\line(0,1){7}}<br /> \put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br /> \put(3,21){\line(2,-1){14}}<br /> \put(0,21){\line(0,-1){7}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br /> <br /> \theorem<br /> V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br /> Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br /> $a_1\leq a_2$.<br /> Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br /> má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br /> <br /> \example<br /> Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br /> <br /> \example<br /> Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br /> (přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br /> <br /> \put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br /> \put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br /> <br /> \put(1,2){\line(1,4){6}}<br /> \put(1,2){\line(2,3){16}}<br /> \put(1,2){\line(1,1){24}}<br /> \put(1,2){\line(3,2){36}}<br /> \put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br /> \put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br /> \put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br /> \put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br /> \put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br /> \put(1,56){\line(1,-4){6}}<br /> \put(1,56){\line(2,-3){16}}<br /> \put(1,56){\line(1,-1){24}}<br /> \put(1,56){\line(3,-2){36}}<br /> <br /> \put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br /> \put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br /> \put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br /> \put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br /> \put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br /> \put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br /> \put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br /> \put(-18,21){\line(6,5){12}}<br /> \put(-10,21){\line(1,2){5}}<br /> \put(-4,21){\line(0,1){10}}<br /> \put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br /> \put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br /> \put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br /> <br /> \put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br /> \put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br /> <br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> <br /> Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br /> Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br /> Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br /> Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br /> <br /> \xxxx{Booleova algebra}<br /> <br /> \define<br /> Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br /> a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br /> Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br /> \item $\qlb{a'}'=a$;<br /> \item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br /> \item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br /> \begin{enumerate}<br /> \addtocounter{enumi}{2}<br /> \item<br /> $b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br /> $(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a'\SV b')\SA(b\SV a'\SV b')=1\SA1=1$;<br /> %\item<br /> %$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br /> $$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme libovolné $x$.<br /> Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br /> Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolné prvky $a,b$.<br /> Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br /> Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br /> \ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br /> \ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br /> \item<br /> K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> 2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br /> <br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{center}<br /> \def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br /> ~<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \put(0,0){\line(0,1){16}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \POINT(8,8)<br /> \POINT(-8,8)<br /> \put(0,0){\line(1,1){8}}<br /> \put(0,0){\line(-1,1){8}}<br /> \put(0,16){\line(1,-1){8}}<br /> \put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br /> \def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br /> \def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br /> \def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br /> %0 (0,0)<br /> \POINT(0,0)<br /> \LINEA(0,0)<br /> \LINEB(0,0)<br /> \LINEC(0,0)<br /> %A (-9,6)<br /> \POINT(-9,6)<br /> \LINEB(-9,6)<br /> \LINEC(-9,6)<br /> %B (0,4)<br /> \POINT(0,4)<br /> \LINEA(0,4)<br /> \LINEC(0,4)<br /> %C (9,6)<br /> \POINT(9,6)<br /> \LINEA(9,6)<br /> \LINEB(9,6)<br /> %AB (-9,10)<br /> \POINT(-9,10)<br /> \LINEC(-9,10)<br /> %AC (0,12)<br /> \POINT(0,12)<br /> \LINEB(0,12)<br /> %BC (9,10)<br /> \POINT(9,10)<br /> \LINEA(9,10)<br /> %ABC (0,16)<br /> \POINT(0,16)<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> ~<br /> \end{center}</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=4566 01ALG:Kapitola8 2012-01-24T13:19:23Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie svazů}<br /> <br /> \xxxx{Svazy}<br /> <br /> \define<br /> \defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br /> se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br /> \item<br /> $a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br /> <br /> \lemma<br /> Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br /> (tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br /> <br /> \proof<br /> $a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(princip duality v teorii svazů)<br /> Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br /> pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br /> <br /> \xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br /> <br /> \remark<br /> Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br /> \item<br /> Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br /> Pro $s=\sup A$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br /> \item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br /> \end{enumerate}<br /> \item<br /> $\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \item<br /> $\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br /> má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br /> <br /> \lemma<br /> Pro libovolné prvky svazu platí, že<br /> $$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br /> pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br /> \item<br /> Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br /> Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br /> pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br /> \ditem{antisymetrie}<br /> $a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br /> \ditem{transitivita}<br /> Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br /> \ditem{je svazové}<br /> Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br /> %TODO<br /> Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br /> \end{description}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{komutativita}<br /> $a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br /> \ditem{asociativita}<br /> $(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br /> s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br /> \ditem{pohlcení}<br /> $\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br /> \end{description}<br /> Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br /> Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br /> Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$i\leq a,b,c$}<br /> Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br /> \ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br /> Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br /> tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br /> \end{description}<br /> <br /> Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br /> $\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br /> Potom platí<br /> $$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br /> <br /> \proof<br /> Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br /> pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br /> Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br /> Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br /> <br /> Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br /> Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br /> <br /> Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br /> \item<br /> Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br /> <br /> Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br /> \item<br /> Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br /> (vždy to bude jeden z obou prvků).<br /> Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br /> \item<br /> Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br /> Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br /> Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br /> \item<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br /> Označme $(\SA)=(\cap)$.<br /> Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br /> Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br /> Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br /> Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br /> \item<br /> $N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br /> Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br /> \item<br /> Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $a,b\in S\supdot$, $a&lt;b$.<br /> Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br /> Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br /> Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br /> Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Ideály}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br /> <br /> \lemma[lattice123]<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br /> Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br /> \item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$1\Limpl2$}<br /> Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br /> Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br /> \ditem{$2\Limpl3$}<br /> Buď $a\SV b\in I$.<br /> Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br /> \ditem{$3\Limpl1$}<br /> Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br /> Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br /> Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br /> <br /> \proof<br /> $I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br /> <br /> Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br /> <br /> \xxxx{Izomorfismus svazů}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br /> $$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br /> \defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br /> Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br /> <br /> \proof<br /> Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br /> Zbývá tedy opačná implikace.<br /> Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br /> Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br /> a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br /> Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br /> Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br /> Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br /> a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br /> Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br /> Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br /> Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br /> \defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br /> Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br /> \item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br /> Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br /> Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br /> Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br /> Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br /> Tedy $m$ je první a je nulou.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Úplné svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br /> má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br /> <br /> \remark<br /> V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br /> V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br /> <br /> \lemma<br /> Úplný svaz má nulu a jednotku.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br /> \item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br /> a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br /> <br /> \theorem(o pevném bodě)<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br /> Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br /> Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br /> Označme $u:=\sup U$.<br /> Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br /> tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br /> Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br /> Celkově máme $f(u)=u$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $N\sse M$.<br /> Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br /> Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br /> Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br /> <br /> Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br /> Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br /> A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br /> Tedy $\sup N=\inf Z$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br /> Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br /> Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br /> a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br /> tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br /> existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br /> Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br /> <br /> \proof<br /> Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br /> Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0&lt;x)$.<br /> Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br /> <br /> \def\NN{{\mathscr N}}<br /> \def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br /> \def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br /> \def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br /> \def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br /> Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br /> Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br /> Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br /> Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br /> a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br /> $\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br /> Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br /> je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> <br /> Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br /> máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$h$ je prosté}<br /> Nechť $h(a)=h(b)$.<br /> Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br /> \ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br /> Mějme $a, b\in M$.<br /> Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br /> \ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br /> Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br /> Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br /> A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x&lt;r}$ pro všechna $r\in\R$.<br /> <br /> \xxxx{Distributivní svazy}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br /> Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br /> \item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br /> Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br /> $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br /> \item<br /> Symetricky z~duality.<br /> \item<br /> Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br /> Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br /> <br /> \lemma<br /> $\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br /> $(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br /> =a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Příklady distributivních svazů:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> množinové svazy;<br /> \item<br /> úplně uspořádané množiny;<br /> \item<br /> $(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br /> <br /> \proof<br /> Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br /> Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br /> $$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br /> Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br /> <br /> \remark<br /> V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br /> <br /> \remark<br /> V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br /> pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br /> Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br /> <br /> \example<br /> Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br /> Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br /> Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br /> <br /> Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br /> tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br /> Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br /> Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br /> $$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br /> dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br /> Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br /> $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br /> Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br /> Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br /> Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br /> <br /> Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br /> $x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br /> Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br /> $(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br /> <br /> \item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br /> Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a&gt;b$ nebo nejsou srovnatelné).<br /> Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br /> tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br /> Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br /> V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br /> která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br /> Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br /> Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br /> Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br /> Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br /> Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br /> Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br /> <br /> Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br /> Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br /> $b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br /> Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br /> tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br /> $b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br /> Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br /> <br /> Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(Stone)<br /> Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br /> Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br /> Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br /> Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br /> <br /> \begin{description}<br /> \ditem{injekce}<br /> Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br /> Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br /> tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br /> \stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br /> \stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br /> \end{description}<br /> <br /> Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Modulární svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br /> vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný distributivní svaz je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br /> Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br /> $$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br /> Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} <br /> Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br /> $$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br /> <br /> Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br /> Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br /> Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> \defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br /> taková, že $1=a_0&gt;a_1&gt;\cdots&gt;a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br /> $\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br /> Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n&gt;m$.<br /> <br /> \define<br /> Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br /> <br /> \theorem(Schreier)<br /> Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br /> <br /> \theorem(Jordan, H\H older)<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br /> \item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br /> Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \item<br /> Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br /> Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br /> Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br /> Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br /> Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br /> tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a&lt;b$.<br /> Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br /> a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br /> Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br /> korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br /> <br /> Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br /> $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br /> je $g(f(x))=x$.<br /> Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br /> Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br /> Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br /> Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br /> Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br /> Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br /> $\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br /> <br /> \proof<br /> Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> 1. věta o dimenzi.<br /> <br /> \remark<br /> Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br /> <br /> \xxxx{Komplement}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA a'=0$;<br /> \item $a\SV a'=1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br /> <br /> \example<br /> Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br /> <br /> \example<br /> $0'=1$; $1'=0$.<br /> <br /> \example<br /> Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br /> \item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(24,35)(-12,0)<br /> \put(2,3){\line(2,3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(2,31){\line(2,-3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(-10,13){\line(0,1){8}}<br /> \put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br /> Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br /> Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br /> Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br /> což je protipříklad proti podmínce modularity.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br /> Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)&lt;(a\SA b)\SV c$.<br /> Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br /> <br /> Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a&lt;c$.<br /> <br /> Nechť $b&lt;a\Tor b&lt;c$, pak jistě $b&lt;c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a&lt;c\leq(a\SA b)\SV c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br /> Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br /> <br /> \example<br /> Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br /> \begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(40,24)(-20,0)<br /> \put(3,3){\line(2,1){14}}<br /> \put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br /> \put(0,3){\line(0,1){7}}<br /> \put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br /> \put(3,21){\line(2,-1){14}}<br /> \put(0,21){\line(0,-1){7}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br /> <br /> \theorem<br /> V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br /> Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br /> $a_1\leq a_2$.<br /> Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br /> má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br /> <br /> \example<br /> Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br /> <br /> \example<br /> Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br /> (přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br /> <br /> \put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br /> \put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br /> <br /> \put(1,2){\line(1,4){6}}<br /> \put(1,2){\line(2,3){16}}<br /> \put(1,2){\line(1,1){24}}<br /> \put(1,2){\line(3,2){36}}<br /> \put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br /> \put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br /> \put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br /> \put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br /> \put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br /> \put(1,56){\line(1,-4){6}}<br /> \put(1,56){\line(2,-3){16}}<br /> \put(1,56){\line(1,-1){24}}<br /> \put(1,56){\line(3,-2){36}}<br /> <br /> \put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br /> \put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br /> \put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br /> \put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br /> \put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br /> \put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br /> \put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br /> \put(-18,21){\line(6,5){12}}<br /> \put(-10,21){\line(1,2){5}}<br /> \put(-4,21){\line(0,1){10}}<br /> \put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br /> \put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br /> \put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br /> <br /> \put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br /> \put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br /> <br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> <br /> Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br /> Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br /> Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br /> Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br /> <br /> \xxxx{Booleova algebra}<br /> <br /> \define<br /> Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br /> a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br /> Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br /> \item $\qlb{a'}'=a$;<br /> \item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br /> \item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br /> \begin{enumerate}<br /> \addtocounter{enumi}{2}<br /> \item<br /> $b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br /> $(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a\SV b')\SA(b\SV a'\SV a')=1\SA1=1$;<br /> %\item<br /> %$a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br /> $$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme libovolné $x$.<br /> Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br /> Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolné prvky $a,b$.<br /> Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br /> Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br /> \ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br /> \ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br /> \item<br /> K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> 2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br /> <br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{center}<br /> \def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br /> ~<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \put(0,0){\line(0,1){16}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \POINT(8,8)<br /> \POINT(-8,8)<br /> \put(0,0){\line(1,1){8}}<br /> \put(0,0){\line(-1,1){8}}<br /> \put(0,16){\line(1,-1){8}}<br /> \put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br /> \def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br /> \def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br /> \def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br /> %0 (0,0)<br /> \POINT(0,0)<br /> \LINEA(0,0)<br /> \LINEB(0,0)<br /> \LINEC(0,0)<br /> %A (-9,6)<br /> \POINT(-9,6)<br /> \LINEB(-9,6)<br /> \LINEC(-9,6)<br /> %B (0,4)<br /> \POINT(0,4)<br /> \LINEA(0,4)<br /> \LINEC(0,4)<br /> %C (9,6)<br /> \POINT(9,6)<br /> \LINEA(9,6)<br /> \LINEB(9,6)<br /> %AB (-9,10)<br /> \POINT(-9,10)<br /> \LINEC(-9,10)<br /> %AC (0,12)<br /> \POINT(0,12)<br /> \LINEB(0,12)<br /> %BC (9,10)<br /> \POINT(9,10)<br /> \LINEA(9,10)<br /> %ABC (0,16)<br /> \POINT(0,16)<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> ~<br /> \end{center}</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola8&diff=4565 01ALG:Kapitola8 2012-01-24T13:15:57Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie svazů}<br /> <br /> \xxxx{Svazy}<br /> <br /> \define<br /> \defined[svaz]{Svazem} (angl. \defined{lattice}) rozumíme algebru $S=(M,\SA,\SV)$<br /> se dvěma binárními operacemi takovou, že pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\SA b=b\SA a$, \; $a\SV b=b\SV a$ (komutativní zákon);<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA c=a\SA (b\SA c)$, \; $(a\SV b)\SV c=a\SV (b\SV c)$ (asociativní zákon);<br /> \item<br /> $a\SA (b\SV a)=a$, \; $a\SV(b\SA a)=a$ (\defined[zákon!absorpce]{zákon absorpce}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> Operaci $\SA$ nazýváme \defined[průsek]{průsek} a operaci $\SV$ \defined[spojení]{spojení}.<br /> <br /> \lemma<br /> Ve svazu $S=(M,\SA,\SV)$ platí pro libovolný prvek $a\in M$, že $a\SA a=a$ a $a\SV a=a$<br /> (tzv. \defined[idempotentnost]{idempotentnost})<br /> <br /> \proof<br /> $a\SA a=a\SA(a\SV(b\SA a))=a$, druhá rovnost symetricky.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(princip duality v teorii svazů)<br /> Máme-li formuli v~teorii svazů, která platí ve všech svazech,<br /> pak duální formule vzniklá prohozením operací průseku a spojení opět platí ve všech svazech.<br /> <br /> \xxxx{Svazově uspořádaná množina}<br /> <br /> \remark<br /> Připomeneme důležité pojmy pro uspořádané množiny $(M,\leq)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Horní závora množiny $A\sse M$ je každé takové $a\in M$, že $(\AA x\in A)(x\leq a)$.<br /> \item<br /> Má-li množina horních závor první prvek, nazveme jej supremum $A$.<br /> Pro $s=\sup A$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A)(a\leq s)$;<br /> \item $\bigl(\AA t\in M\bigr)\bigl((\AA a\in A)(a\leq t)\Limpl s\leq t\bigr)$.<br /> \end{enumerate}<br /> \item<br /> $\sup \emptyset$ je první prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \item<br /> $\sup M$ je poslední prvek množiny $M$ (pokud existuje).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že uspořádaná množina $(M,\leq)$ je \defined[uspořádání!svazové]{svazově uspořádaná},<br /> má-li v~ní libovolná 2prvková množina infimum a supremum.<br /> <br /> \lemma<br /> Pro libovolné prvky svazu platí, že<br /> $$a\SA b=a \iff a\SV b=b.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} $a\SV b=(a\SA b)\SV b=b$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} $a\SA b=a\SA(a\SV b)=a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Definujme-li na $M$ binární relaci $\leq$ jako $a\leq b\Lequiv a\SA b=a$,<br /> pak $(M,\leq)$ je svazově uspořádaná.<br /> \item<br /> Buď $(M,\leq)$ svazově uspořádaná množina.<br /> Definujeme-li na $M$ binární operace $\SA, \SV$ jako $a\SA b:=\inf\{a,b\}$ a $a\SV b:=\sup\{a,b\}$,<br /> pak $(M,\SA,\SV)$ je svazem.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\leq a\Lequiv a\SA a=a$.<br /> \ditem{antisymetrie}<br /> $a\SA b=a$ a $b\SA a=b$, a z~komutativity plyne $a=b$.<br /> \ditem{transitivita}<br /> Nechť $a\leq b$ a $b\leq c$, pak $a\SA c=a\SA b\SA c=a\SA b=a$.<br /> \ditem{je svazové}<br /> Ukážeme, že $\inf\{a,b\}=a\SA b$.<br /> %TODO<br /> Obdobně $\sup\{a,b\}=a\SV b$.<br /> \end{description}<br /> \item<br /> \begin{description}<br /> \ditem{komutativita}<br /> $a\SA b=\inf\{a,b\}=\inf\{b,a\}=b\SA a$.<br /> \ditem{asociativita}<br /> $(a\SA b)\SA c=\inf\{\inf\{a,b\},c\}=\inf\{a,b,c\}=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=a\SA(b\SA c)$<br /> s~využitím následujícího lemmatu a faktu, že každá 2prvková má infimum.<br /> \ditem{pohlcení}<br /> $\inf\{a,\sup\{b,a\}\}=a$ z~definice. %TODO 1.,2.<br /> \end{description}<br /> Druhý z~každé dvojice axiomů dokážeme podobně.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme uspořádanou množinu $(M,\leq)$ a $a,b,c\in M$.<br /> Potom pokud existuje $\inf\{\inf\{a,b\},c\}=:i$, je $i=\inf\{a,b,c\}$.<br /> Pokud je navíc $(M,\leq)$ svazově uspořádaná, platí $i=\inf\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$i\leq a,b,c$}<br /> Je $i\leq c$ a $i\leq\inf\{a,b\}$, tedy $i\leq a,b$.<br /> \ditem{$d\leq a,b,c\Limpl d\leq i$}<br /> Neboť $d\leq a$ a $d\leq b$, je $d\leq\inf\{a,b\}$ a současně je $d\leq c$,<br /> tedy \hbox{$d\leq\inf\{c,\inf\{a,b\}\}=i$}.<br /> \end{description}<br /> <br /> Pokud je navíc uspořádaní svazové, pak existuje infimum 2prvkové množiny $\{b,c\}$ a také infimum 2prvkové množiny<br /> $\{a,\inf\{b,c\}\}$.<br /> A tedy je podle prvního tvzení $\inf\{a,\inf\{b,c\}\}=\inf\{a,b,c\}=i$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Operace jsou jednoznačně svázané, neboť např. pomocí $\SA$ definujeme $\leq$ a to nám definuje $\SV$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a nechť $a,b,c\in M$.<br /> Potom platí<br /> $$(a\leq b)\Limpl(a\SA c\leq b\SA c \;\Tand\; a\SV c \leq b\lor c).$$<br /> <br /> \proof<br /> Z definice: $a\SA c\SA b\SA c=a\SA c$, $a\SV c\SV b\SV c=b\SV c$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak pro $N\sse M$ je $T=(N,\SA,\SV)$ \defined[podsvaz]{podsvazem} svazu $S$,<br /> pokud je $T$ svazem, tj. pokud je $N$ neprázdná a uzavřená vůči oběma operacím.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> \defined[svaz!množinový]{Množinový svaz} $S=(M,\cap,\cup)$, kde $M$ je systém množin uzavřený na operace.<br /> Speciálním případem je $M=\PP A$, kde snadno ověříme platnost axiomů svazu.<br /> Svazové uspořadání množinového svazu je inkluze $\sse$.<br /> <br /> Mějme $A$ množinu a $B\sse A$ její podmnožinu.<br /> Pak $(\PP B,\cap,\cup)$ je podsvazem svazu $(\PP A,\cap,\cup)$.<br /> <br /> Dále např. $\varsigma$-algebry tvoří množinové svazy.<br /> \item<br /> Pro libovolné $a\in S\supdot$ je $(\{a\},\SA,\SV)$ podsvazem $S$.<br /> <br /> Pro libovolné $a,b\in S\supdot$ je $(\{a,b\},\SA,\SV)$ podvazem $S$, pokud jsou srovnatelné.<br /> \item<br /> Úplně uspořádaná množina je uspořádaná svazově a supremum a infimum přecházi v~maximum a minimum<br /> (vždy to bude jeden z obou prvků).<br /> Příkladem jsou číselné množiny $(\Nz,\leq)$ či $(\R,\leq)$.<br /> \item<br /> Mějme uspořádání $(\Nz,\divides)$ s~uspořádáním \uv{dělí}.<br /> Pak $k\SA l$ je největší (podle $\divides$) takové $d$, že $d\divides k$ a $d\divides l$, tj. $k\SA l=\gcd(k,l)$.<br /> Obdobně $k\SV l=\lcm(k,l)$.<br /> \item<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$ grupu a označme $M_G$ systém všech jejích podgrup.<br /> Označme $(\SA)=(\cap)$.<br /> Pak umíme definovat $(\leq)$ jako $a\leq b\Lequiv a\cap b=a \Lequiv a\sse b$.<br /> Tedy průsek i relace jsou stejné jako v množinovém svazu, ale víme, že sjednocení nemůže být spojením.<br /> Definujeme ji $a\SV b:=\sup\{a,b\}$, to je nejmenší podgrupa $G$ obsahující $a$ i $b$, což je $ab$.<br /> Tedy platí $(\SV)=(\cdot)$.<br /> \item<br /> $N_G=(N_G\supdot,\cap,\cdot)$ je svaz všech normálních podgrup grupy $G$.<br /> Pak $N_G$ je podsvazem svazu $S_G$.<br /> \item<br /> Podobně tvoří svazy systémy podokruhů, ideálů, podtěles, podprostorů vektorového prostoru, doplněné o průnik a součet.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $a,b\in S\supdot$, $a&lt;b$.<br /> Pak \defined[interval]{intervalem} nazveme množinu $\anglecouple ab=\set x{a\leq x\leq b}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Interval $\anglecouple ab$ je podsvazem $S$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $x,y\in\anglecouple ab$.<br /> Ukážeme, že $x\SA y\in\anglecouple ab$.<br /> Platí $x\geq a$ a $y\geq a$, tedy $x\SA y\geq a\SA y\geq a\SA a=a$.<br /> Obdobně pro $b$ a pro druhou operaci.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Ideály}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[ideál (svazy)]{Ideálem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $I$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I).$$<br /> <br /> \lemma[lattice123]<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $I$ jeho podsvaz.<br /> Následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$ \quad (tj. $I$ je ideál);<br /> \item $(\AA a\in I)(\AA b\in S)(b\leq a \Limpl b\in I)$;<br /> \item $(\AA a,b\in S)(a\SV b\in I \Limpl a,b\in I)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$1\Limpl2$}<br /> Mějme $a\in I$ a $b\leq a$.<br /> Pak podle předpokladu $a\SA b\in I$, ale současně $a\SA b=b$, tedy $b\in I$.<br /> \ditem{$2\Limpl3$}<br /> Buď $a\SV b\in I$.<br /> Platí $a\leq a\SV b$ a $b\leq a\SV b$ a podle (2) je $a\SV b\in I$.<br /> \ditem{$3\Limpl1$}<br /> Mějme $a\in I$ a $s\in M$.<br /> Pak $a=a\SV(a\SA s)\in I$, a tedy $a\SA s\in I$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Ideály ve svazu $S$ jsou takové $I\sse M$, $I\neq\emptyset$, že platí $(\AA a,b\in M)(a,b\in I\Lequiv a\SV b\in I)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz a $a\in M$.<br /> Pak množina $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ je ideálem.<br /> <br /> \proof<br /> $I_a$ je uzavřená vůči $\SV$ a platí (2) v~\ref{lattice123}.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Ideál $I_a:=\set{x\in M}{x\leq a}$ nazýváme \defined[ideál (svazy)!hlavní]{hlavní ideál} generovaný prvkem $a$.<br /> <br /> Je-li ve svazu každý ideál hlavní, nazveme jej \defined[svaz!hlavních ideálů]{svaz hlavních ideálů}.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> \defined[filtr]{Filtrem} rozumíme libovolný jeho podsvaz $F$ takový, že platí<br /> $$(\AA a\in F)(\AA s\in M)(a\SV s\in F).$$<br /> <br /> \xxxx{Izomorfismus svazů}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ nazveme \defined[homomorfismus (svazy)]{homomorfismus}, platí-li<br /> $$(\AA x,y\in M_1)(h(x\SA y)=h(x)\SA h(y)\Tand h(x\SV y)=h(x)\SV h(y)).$$<br /> \defined[izomorfismus (svazy)]{Izomorfismus} je takový homomorfismus, který je bijektivní.<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus svazů je izotonní zobrazení.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $\map h{S_1}{S_2}$ a $x,y\in S_1\supdot$, $x\leq y$.<br /> Potom $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)=h(x)$, tedy $h(x)\leq h(y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S_1=(M_1,\SA,\SV)$ a $S_2=(M_2,\SA,\SV)$ svazy.<br /> Zobrazení $\map h{M_1}{M_2}$ je izomorfismem svazů právě tehdy, je-li izomorfismem svazově uspořádaných množin.<br /> <br /> \proof<br /> Pro obě implikace je předpokladem bijekce, a tedy existence $h^\1$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Podle předchozího lemmatu je $x\leq y\Limpl h(x)\leq h(y)$.<br /> Zbývá tedy opačná implikace.<br /> Předpokládejme $h(x)\SA h(y)=h(x)$.<br /> Potom díky bijekci je $x\SA y=x$, a tedy $x\leq y$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Platí $x\SA y\leq x$, tedy $h(x\SA y)\leq h(x)$ a $h(x\SA y)$ je dolní závora $h(x)$<br /> a podobně je dolní závorou $h(y)$.<br /> Mějme libovolné $d\in S_2\supdot$ takové, že $d\leq h(x)$ a $d\leq h(y)$.<br /> Neboť $h$ je bijekce, existuje $c\in S_1$ takové, že $h(c)=d$.<br /> Platí $h(c)\leq h(x)$ a $h(c)\leq h(y)$, čili $c\leq x$ a $c\leq y$,<br /> a tedy $c\leq\inf\{x,y\}$ a konečně $d=h(c)\leq h(x\SA y)$.<br /> Tedy každá dolní závora $h(x),h(y)$ je nejvýše rovna $h(x\SA y)$.<br /> Tedy $h(x)\SA h(y)=h(x\SA y)$.<br /> Obdobně ukážeme, že $h(x)\SV h(y)=h(x\SV y)$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Má-li svaz nejmenší (první), resp. největší (poslední) prvek, nazveme jej \defined[nula (svazy)]{nulou}, resp.<br /> \defined[jednotka (svazy)]{jednotkou} a značíme $0$, resp. $1$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme množinu $A$ a množinový svaz $(\PP A,\cap,\cup)$ s~uspořádáním $\sse$.<br /> Pak jednotkou je $A$ a nulou je $\emptyset$.<br /> \item Mějme svaz $(\Nz,\gcd,\lcm)$ s uspořádáním $({\divides})$.<br /> Pak jednotkou je číslo $0$ (platí $n\divides0$) a nulou je číslo $1$ (platí $1\divides n$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolný minimální prvek svazu je nulou.<br /> Libovolný maximální prvek svazu je jednotkou.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze první tvrzení, druhé lze ukázat obdobně.<br /> Mějme $m$ minimální a libovolné $x\in S\supdot$.<br /> Pak $x\SA m\leq m$, ale to je možné jen tehdy, když $x\SA m=m$, a tedy $m\leq x$.<br /> Tedy $m$ je první a je nulou.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Úplné svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!úplný]{úplným svazem},<br /> má-li v~něm libovolná podmnožina $N\sse M$ infimum i supremum.<br /> <br /> \remark<br /> V každém svazu existuje infimum a supremum konečné podmnožiny.<br /> V úplném svazu vyžadujeme existenci infima a suprema pro každou (prázdnou, konečnou, spočetnou, nespočetnou) podmnožinu.<br /> <br /> \lemma<br /> Úplný svaz má nulu a jednotku.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $1=\sup M=\inf\emptyset$.<br /> \item $0=\inf M=\sup\emptyset$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> V~množinovém svazu $S=(\PP M,\cap,\cup)$ je infimem $\calA\sse\PP M$ množina $\bigcap\calA\sse M$<br /> a supremem $\bigcup\calA\sse M$, tedy $S$ je úplný svaz.<br /> <br /> \theorem(o pevném bodě)<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz a buď $\map fMM$ izotonie.<br /> Pak existuje pevný bod izotonie $f$, tj. $$(\EE u\in M)(f(u)=u).$$<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $U=\set{a\in M}{f(a)\geq a}$.<br /> Jistě $0\in U$, tedy $U$ je neprázdná.<br /> Označme $u:=\sup U$.<br /> Mějme libovolné $a\in U$, pak $u\geq a$ a z izotonie je $f(u)\geq f(a)\geq a$,<br /> tedy $f(u)$ je horní závora $U$, a tedy $u\leq f(u)$.<br /> Z~izotonie dále dostáváme, že $f(u)\leq f(f(u))$, a tedy $f(u)\in U$, tedy $f(u)\leq u$.<br /> Celkově máme $f(u)=u$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, pak má každá podmnožina $M$ supremum.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $N\sse M$.<br /> Nechť $Z$ je množina horních závor $N$.<br /> Dále $Z\neq\emptyset$, neboť v~ní je největší prvek $M$, což je $\inf\emptyset$.<br /> Pokud $N=\emptyset$, pak $\sup N$ je $\inf M$.<br /> <br /> Nyní máme $(\AA n\in N)(\AA z\in Z)(n\leq z)$.<br /> Tedy každý prvek $N$ je dolní závorou $Z$ a platí $n\leq\inf Z$, jehož existenci předpokládáme.<br /> A neboť $(\AA n\in N)(n\leq\inf Z)$, tedy $\inf Z$ je horní závora a je nemenší z~nich.<br /> Tedy $\sup N=\inf Z$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak má každá podmnožina $M$ infimum.<br /> <br /> \consequence<br /> Buď $(M,\leq)$ uspořádaná množina.<br /> Má-li každá podmnožina $M$ infimum, nebo má-li každá podmnožina $M$ supremum, pak $(M,\SA,\SV)$ je úplný svaz.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> Potom průnik libovolného systému ideálů v~$S$ je ideál.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $J_\alpha$ jednotlivé ideály a $I:=\bigcap J_\alpha$.<br /> Neboť $0\in M$ a $0\in J_\alpha$, je $0\in I$ a $I\neq\emptyset$.<br /> Dále platí $a\in I\Lequiv(\AA\alpha)(a\in J_\alpha)$<br /> a pro všechna $\alpha$ je $(\AA a\in J_\alpha)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$,<br /> tedy máme $(\AA a\in I)(\AA s\in M)(a\SA s\in I)$, což je definiční podmínka ideálu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz $S_1$ lze \defined[vnoření!izomorfní (svazy)]{izomorfně vnořit} do svazu $S_2$,<br /> existuje-li monomorfismus $\map h{S_1}{S_2}$.<br /> Potom platí $S_1\cong h(S_1)\sg S_2$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný svaz lze izomorfně vnořit do úplného svazu.<br /> <br /> \proof<br /> Předpokládejme, že svaz $S_0=(M_0,\SA,\SV)$ nemá nulu.<br /> Pak definujeme množinu $M:=M_0\cup\{0\}$ a pokládáme $(\AA x\in M_0)(0&lt;x)$.<br /> Tedy $S_0\sg S:=(M,\SA,\SV)$.<br /> <br /> \def\NN{{\mathscr N}}<br /> \def\II#1{{\mathscr I}_{#1}}<br /> \def\ZZ#1{{\mathscr Z}_{#1}}<br /> \def\UU#1{{\mathscr U}_{#1}}<br /> \def\HH#1{{\mathscr H}_{#1}}<br /> Označme $\II S$ množinu všech ideálů svazu $S$.<br /> Je neprázdná, neboť např. $\{0\},S\in\II S$.<br /> Pak $(\II S, \sse)$ je uspořádaná množina.<br /> Pro libovolné $\NN\sse \II S$ je $\inf\NN=\bigcap\NN\in\II S$,<br /> a pokud označíme $\ZZ\NN$ množinu všech horních závor $\NN$, platí<br /> $\sup\NN=\inf\ZZ\NN=\bigcap\set{I\in\II S}{(\AA J\in\NN)(J\sse I)}$.<br /> Tedy pokud položíme $I\SA J:=I\cap J$ a $I\SV J:=\bigcap\set{K\in\II S}{I,J\sse K}$,<br /> je $\UU S:=(\II S,\SA,\SV)$ úplný svaz.<br /> <br /> Definujeme zobrazení $\map hM{\II S}$ jako $h(a)=I_a$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus svazů, tj. pokud označíme $\HH S$ množinu všech hlavních ideálů $S$,<br /> máme $\maptype hM{na}{\HH S}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$h$ je prosté}<br /> Nechť $h(a)=h(b)$.<br /> Pak $I_a=I_b$, tedy $a\leq b$ a $b\leq a$, tedy $a=b$.<br /> \ditem{$h$ je množinový izomorfismus $(M,\leq)$ a $(\HH S,\sse)$}<br /> Mějme $a, b\in M$.<br /> Pak $a\leq b \Lequiv I_a\sse I_b \Lequiv h(a)\sse h(b)$.<br /> \ditem{$h$ je svazový izomorfismus}<br /> Vyplývá z~předchozího bodu a předchozího výkladu.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Věta nám umožňuje přechod od $\Q$ k $\R$.<br /> Hlavními ideály v~$(\Q,\leq)$ jsou $I_a=\set{x\in\Q}{x\leq a}$.<br /> A všemi ideály jsou $\set{x\in\Q}{x\leq r}$ a $\set{x\in\Q}{x&lt;r}$ pro všechna $r\in\R$.<br /> <br /> \xxxx{Distributivní svazy}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ libovolný svaz.<br /> Pak pro libovolné prvky $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA(b\SV c)\geq (a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \item $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)$;<br /> \item je-li $a\leq c$, platí $a\SV(b\SA c)\leq(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Platí $b\leq b\SV c \Limpl a\SA b\leq a\SA(b\SV c)$ a podobně $a\SA c\leq a\SA(b\SV c)$.<br /> Tedy $a\SA(b\SV c)$ je horní závora $\{a\SA c, a\SA b\}$, a tedy je větší nebo rovno než<br /> $\sup \{a\SA c, a\SA b\}=(a\SA c)\SV(a\SA b)$.<br /> \item<br /> Symetricky z~duality.<br /> \item<br /> Platí $a\SV c=c$, tedy podle (2) je $a\SV(b\SA c)\leq (a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!distibutivní]{distributivní}, pokud pro libovolné $a,b,c\in M$ platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \ditem{D1} $a\SA(b\SV c)=(a\SA b)\SV(a\SA c)$;<br /> \ditem{D2} $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA(a\SV c)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Pro rovnosti máme ve všech svazech zaručeno platnost jedné nerovnosti.<br /> Stačí tedy dokázat nerovnosti opačné než v~předchozí větě.<br /> <br /> \lemma<br /> $\text{(D1)} \Limpl \text{(D2)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Vyjdu z pravé strany (D2) a použiji (D1):<br /> $(a\SV b)\SA(a\SV c)=((a\SV b)\SA a)\SV((a\SV b)\SA c)=a\SV((a\SV b)\SA c)<br /> =a\SV((a\SA c)\SV(b\SA c))=(a\SV(a\SA c))\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Příklady distributivních svazů:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> množinové svazy;<br /> \item<br /> úplně uspořádané množiny;<br /> \item<br /> $(\Nz,\divides)=(\Nz,\gcd,\lcm)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> Svazy podgrup, normálních podgrup, \ldots nejsou obecně distributivní.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný podsvaz i libovolný homomorfní obraz distributivního svazu je distributivní.<br /> <br /> \proof<br /> Distributivita je obecná podmínka, tedy se nemůže po zmenšení nosiče porušit.<br /> Homomorfismus zachovává průsek i spojení, tedy zachovává distributivitu.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz.<br /> Filtr $F$ se nazývá \defined[ultrafiltr]{ultrafiltr}, je-li $F\neq M$ a platí<br /> $$(\AA a,b\in M)(a\SV b\in F \Limpl (a\in F \Tor b\in F)).$$<br /> Množinu všech ultrafiltrů na $S$ označujeme $\UM S$.<br /> <br /> \remark<br /> V definiční podmínce ultrafiltru platí z~definice filtru i zpětná implikace.<br /> <br /> \remark<br /> V matematické logice hrají filtry důležitou roli, pokud položíme spojení jako \uv{nebo} a průsek jako \uv{a zároveň},<br /> pak podmínka ultrafiltru vyjadřuje, kdy je konjunkce pravdivá.<br /> Podmínka filtru pak bude $a\SA b\in F \Lequiv (a\in F \Tand b\in F)$.<br /> <br /> \example<br /> Mějme $S=(\PP A,\cap,\cup)$ a $a\in A$, tedy $\{a\}\in\PP A$.<br /> Pak definujeme hlavní filtr $F_{\{a\}}:=\set{B\in\PP A}{\{a\}\sse B}=\set{B\sse A}{a\in B}$.<br /> Pak $F_{\{a\}}\not\ni\emptyset$, tedy $F_{\{a\}}\neq\PP A$.<br /> <br /> Mějme $B_1,B_2\in\PP A$ a nechť $a\in B_1\cup B_2$, pak $a\in B_1$ nebo $a\in B_2$,<br /> tedy $B_1\in F_{\{a\}}$ nebo $B_2\in F_{\{a\}}$.<br /> Tedy $F_{\{a\}}$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Ale $F_{\{a,b\}}$ pro $a\neq b$ není ultrafiltr.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ a nechť $\emptyset\neq N\sse M$.<br /> Pak definujeme $\anglevector N$ jako nejmenší filtr ve svazu $S$ obsahující $N$:<br /> $$\anglevector N=\bigcap\set{F\in\FM S}{N\sse F}.$$<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S$ svaz, $F$ filtr ve svazu $S$ a buď $a_0\in S\supdot$,<br /> dále označme $H:=\set{x\in S\supdot}{(\EE d\in F)(x\geq d\SA a_0)}$<br /> Potom $\anglevector{F\cup\{a_0\}}=H$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> Pokud $d\in F$, je $d\SA a_0\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$, a tedy<br /> $x=x\SV(d\SA a_0)\in\anglevector{F\cup\{a_0\}}$.<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $F\cup\{a_0\}\sse H$.<br /> Pro $d\in F$ platí, že $d\geq d\SA a_0$.<br /> Dále mějme libovolné $d\in F$, pak $a_0\geq d\SA a_0$.<br /> Pokud ukážeme, že $H$ je filtr, bude nutně nejmenší filtr nad $F\cup\{a_0\}$ jeho podmnožinou.<br /> <br /> Mějme $x_1\geq d_1\SA a_0$ a $x_2\geq d_2\SA a_0$ pro nějaká $d_{1,2}\in F$, pak<br /> $x_1\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA x_2\geq d_1\SA a_0\SA d_2\SA a_0$.<br /> Položme $d:=d_1\SA d_2\in F$, pak $x_1\SA x_2\geq d\SA a_0$, tedy $x_1\SA x_2\in H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Sjednocení řetězce filtrů $\calR$ je filtr.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\in\bigcup\calR, b\in S\supdot, b\geq a$.<br /> $(\EE F)(a\in F\in\calR)$, tedy $b\in F$, tedy $b\in\bigcup\calR$.<br /> <br /> \item $a,b\in\bigcup\calR$. Pak $a\in F_1$, $b\in F_2$, bez újmy na obecnosti nechť $F_1\sse F_2$.<br /> Potom $a,b\in F_2$, a tedy $a\SA b\in F_2\sse\bigcup\calR$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz, $a,b\in M$ a nechť neplatí $a\leq b$ (tedy $a&gt;b$ nebo nejsou srovnatelné).<br /> Potom existuje ultrafiltr $F$ svazu $S$ tak, že $a\in F$ a současně $b\notin F$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $\calF$ je množina všech filtrů, které obsahují $a$, ale neobsahují $b$,<br /> tedy platí $\calF=\set{F\in\FM S}{a\in F\Tand b\notin F}$.<br /> Nutně $F_a=\set{x\in S}{x\geq a}\not\owns b$, tedy $F_a\in\calF$.<br /> V~$\calF$ uspořádané inkluzí má libovolný řetězec $\calR$ horní závoru $F=\bigcup\calF$,<br /> která podle předcházejícího lemmatu je opět filtrem, a tedy triviálně $F\in\calF$, neboť $a\in F\Tand b\notin F$.<br /> Dle Zornova lemmatu existuje v~$\calF$ maximální prvek $F_0$.<br /> Ukážeme sporem, že $F_0$ je ultrafiltr.<br /> <br /> Nechť $F_0$ není ultrafiltr.<br /> Tedy existují $a_1,a_2\in S$ takové, že $a_1\SV a_2\in F_0$, ale $a_1\notin F_0$ ani $a_2\notin F_0$.<br /> Definujme $F_1:=\anglevector{F_0\cup\{a_1\}}$ a $F_2:=\anglevector{F_0\cup\{a_2\}}$, přičemž $F_i\varsupsetneq F_0$<br /> Ukážeme sporem, že $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$ a tím vytvoříme spor s~maximalitou $F_0$.<br /> Tedy musíme ukázat, že $b\notin F_1\Tor b\notin F_2$.<br /> <br /> Nechť $b\in F_1\Tand b\in F_2$.<br /> Platí $F_i=\set{x}{(\EE c_i\in F_0)(x\geq c_i\SA a_i)}$, tedy i pro $b$ existují $c_i$ tak, že<br /> $b\geq c_1\SA a_1$ a $b\geq c_2\SA a_2$.<br /> Položme $c:=c_1\SA c_2\in F_0$, tedy $b\geq c\SA a_1$ a $b\geq c\SA a_2$,<br /> tedy $b\geq(c\SA a_1)\SV(c\SA a_2)$ a díky distributivitě je<br /> $b\geq c\SA(a_1\SV a_2)\in F_0$, neboť $c\in F_0$, $a_1\SV a_2\in F_0$.<br /> Ale filtr je uzavřený vůči větším prvkům, tedy $b\in F_0$, což je spor.<br /> <br /> Tedy máme $F_1\in\calF\Tor F_2\in\calF$, což je spor s~maximalitou $F_0$ v $\calF$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem(Stone)<br /> Libovolný distributivní svaz je izomorfní s nějakým množinovým svazem.<br /> Jinými slovy: libovolný distributivní svaz lze izomorfně vnořit do svazu všech podmnožin nějaké množiny.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $S=(M,\SA,\SV)$ distributivní svaz.<br /> Označme $\calU=(\PP{\UM S},\cap,\cup)$.<br /> Definujeme $\map hM{\PP{\UM S}}$ jako $h(x):=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br /> <br /> \begin{description}<br /> \ditem{injekce}<br /> Mějme $a,b\in M$, $a\neq b$, tj. $(\Tnot a\leq b)\Tor(\Tnot b\leq a)$.<br /> Pak $(\EE F_1\in\UM S)(a\in F_1 \Tand b\notin F_1) \Tor (\EE F_2\in\UM S)(b\in F_1 \Tand a\notin F_2)$,<br /> tedy $(\EE F_1\in h(a)\sm h(b)) \Tor (\EE F_2\in h(b)\sm h(a))$, tedy $h(a)\neq h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SA b)=h(a)\cap h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SA b)\Lequiv a\SA b\in F<br /> \stackrel{\text{filtr}}\Lequiv (a\in F\Tand b\in F) \Lequiv (F\in h(a) \Tand F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cap h(b)$.<br /> \ditem{$h(a\SV b)=h(a)\cup h(b)$}<br /> Mějme libovolné $F\in\UM S$. Pak $F\in h(a\SV b)\Lequiv a\SV b\in F<br /> \stackrel{\text{ultrafiltr}}\Lequiv (a\in F\Tor b\in F) \Lequiv (F\in h(a)\Tor F\in h(b)) \Lequiv F\in h(a)\cup h(b)$.<br /> \end{description}<br /> <br /> Celkově tedy máme $S\cong h(S)\stackrel{\text{svaz}}\sg U$.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Modulární svazy}<br /> <br /> \define<br /> Svaz $S=(M,\SA,\SV)$ nazveme \defined[svaz!modulární]{modulární}, platí-li pro libovolné $a,b,c\in M$, $a\leq c$<br /> vztah $a\SV(b\SA c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný distributivní svaz je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a\leq c$, tedy $c=a\SV c$<br /> Pak $a\SV(b\SA c)\stackrel{\text{(D2)}}=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Svaz $S$ je modulární právě tehdy, když pro libovolné $a,b,c\in S\supdot$ platí<br /> $$a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> V definičním vztahu položíme místo $c$ spojení $a\SV c\geq a$.<br /> Dostaneme přímo dokazovanou rovnost.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} <br /> Pro libovolné $c\geq a$ je $a\SV c=c$, a tedy $a\SV(b\SA c)=a\SV(b\SA(a\SV c))=(a\SV b)\SA(a\SV c)=(a\SV b)\SA c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech normálních podgrup libovolné grupy $G$ je modulární.<br /> <br /> \proof<br /> Nerovnost $\geq$ v definiční podmínce platí vždy, tedy ukážeme, že <br /> $$(\AA A,B,C\nsg G, A\supdot\sse C\supdot)(AB\cap C\sse A(B\cap C)).$$<br /> <br /> Mějme libovolné $x\in (AB\cap C)\supdot$, tedy $x\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$ a existují $x=ab$, kde $a\in A\supdot\sse C\supdot$ a $b\in B\supdot$, tedy $b=a^\1 x$, ale $a^\1$ i $x$ leží v~$C\supdot$, tedy $b\in C\supdot$.<br /> Tedy $x=ab$, kde $a\in A\supdot$ a $b\in B\supdot\cap C\supdot=(B\cap C)\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz všech ideálů libovolného okruhu je modulární.<br /> Svaz všech podprostorů libovolného vektorového prostoru je modulární.<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> \defined[rzada@řada!normální]{Normální řada} ve svazu $S$ je libovolná posloupnost $(a_i)_{i=0}^m$ prvků z $M$<br /> taková, že $1=a_0&gt;a_1&gt;\cdots&gt;a_m=0$. Číslo $m$ nazveme \defined[délka normální řady]{délkou normální řady}.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že normální řada $(b_j)_{i=0}^n$ je \defined[zjemnění]{zjemněním} normální řady $(a_i)_{i=0}^m$, pokud<br /> $\{a_i\}_{i=0}^m\sse\{b_j\}_{i=0}^n.$<br /> Zjemnění nazveme \defined[zjemnění!vlastní]{vlastní}, pokud $n&gt;m$.<br /> <br /> \define<br /> Normální řada, která nemá žádné vlastní zjemnění, se nazývá \defined[rzada@řada!hlavní]{hlavní řada}.<br /> <br /> \theorem(Schreier)<br /> Libovolné 2 normální řady v modulárním svazu mají zjemnění stejných délek.<br /> <br /> \theorem(Jordan, H\H older)<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 hlavní řady v modulárním svazu mají stejnou délku.<br /> \item Existuje-li v modulárním svazu hlavní řada, pak libovolnou normální řadu lze zjemnit na hlavní řadu.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť je $(a_i)$ kratší hlavní řada.<br /> Pak ji podle Schreierovy věty lze zjemnit (vlastním zjemněním), což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \item<br /> Buď $(a_i)$ hlavní řada a $(b_j)$ libovolná normální řada.<br /> Nechť $(b_j)$ nelze zjemnit na hlavní řadu.<br /> Pak existuje zjemnění $(c_k)$ delší, než $(a_i)$ a podle Schreierovy věty lze najít jejich zjemnění stejných délek.<br /> Protože $(c_k)$ je delší než $(a_i)$, museli bychom $(a_i)$ zjemnit, což je spor s~tím, že je hlavní.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ svaz a $a,b\in M$.<br /> Pro interval $\anglecouple ab$ použijeme označení $b/a$,<br /> tedy $b/a:=\anglecouple ab=\set{x\in M}{x\geq a \Tand x\leq b}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $S=(M,\SA,\SV)$ modulární svaz s nulou a jednotkou a $a,b\in M$, $a&lt;b$.<br /> Pak $(a\SV b)/a\cong b/(a\SA b)$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujme 2 zobrazení, $\map f{\anglecouple a{a\SV b}}{\anglecouple{a\SA b}b}$ jako $f(x)=x\SA b$<br /> a $\map g{\anglecouple{a\SA b}b}{\anglecouple a{a\SV b}}$ jako $g(y)=y\SV a$.<br /> Ukážeme korektnost definice, tedy mějme $a\leq x\leq a\SV b$, pak $x\SA b\geq a\SA b$ a $x\SA b\leq(a\SV b)\SA b=b$;<br /> korektnost druhé definice ukážeme obdobně.<br /> <br /> Zkoumejme zobrazení $g\circ f$, tedy mějme $x\in\anglecouple a{a\SV b}$, pak<br /> $g(f(x))=g(x\SA b)=(x\SA b)\SV a$, a neboť $x\geq a$, je $g(f(x))=x\SA(b\SV a)$, a neboť $x\leq a\SV b$,<br /> je $g(f(x))=x$.<br /> Podobně ukážeme, že $f\circ g=\id$, a tedy $f$ i $g$ jsou bijekce.<br /> Ukážeme, že $f$ a $g$ jsou izomorfismy uspořádaných množin, tedy $x\leq y\Lequiv f(x)\leq f(y)\Lequiv g(x)\leq g(y)$.<br /> Směr vpravo je snadný, pokud $x\leq y$, je $f(x)=x\SA b\leq y\SA b=f(y)$ a podobně pro $g$.<br /> Pro směr vlevo předpokládejme, že $f(x)\leq f(y)$, pak dostáváme $x=g(f(x))\leq g(f(y))=y$, a podobně pro $g$.<br /> Tedy jsme našli množinový, a tím i svazový izomorfismus obou intervalů.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Mějme modulární svaz, ve kterém existují hlavní řady (tedy svaz musí mít nulu a jednotku).<br /> Definujeme-li $\abs a$ jako délku libovolné hlavní řady hlavního ideálu prvku $a$, pak platí<br /> $\abs{a\SV b}+\abs{a\SA b}=\abs a+\abs b$.<br /> <br /> \proof<br /> Dle předchozí věty je $\abs{a\SV b}-\abs a=\abs b-\abs{a\SA b}$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> 1. věta o dimenzi.<br /> <br /> \remark<br /> Pokud ve svazu najdeme 2 hlavní řady různé délky, tak víme, že svaz není modulární.<br /> <br /> \xxxx{Komplement}<br /> <br /> \define<br /> Buď $S=(M,\SA,\SV)$ svaz s~nulou a jednotkou.<br /> Řekneme, že prvek $a'\in M$ je \defined[komplement]{komplementem} prvku $a\in M$, platí-li:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\SA a'=0$;<br /> \item $a\SV a'=1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Zvláště v množinových svazech používáme často pro komplement prvku $A$ značku $\CO A$.<br /> <br /> \example<br /> Ve svazu $S=(\PP A,\cap,\cup)$ platí pro $B\sse A$, že $B'=A\sm B$ a komplement existuje právě jeden.<br /> <br /> \example<br /> $0'=1$; $1'=0$.<br /> <br /> \example<br /> Komplement nemusí existovat, ale může jich i existovat více.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Mějme svaz s prvky $\{0,a,1\}$, pak prvek $a$ nemá komplement.<br /> \item Mějme svaz $\Nf$ nazývaný \defined[pentagon]{pentagon}:<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(24,35)(-12,0)<br /> \put(2,3){\line(2,3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(2,31){\line(2,-3){8}}<br /> \put(-2,3){\line(-2,1){8}}<br /> \put(-10,13){\line(0,1){8}}<br /> \put(-2,31){\line(-2,-1){8}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,33){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(10,17){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-10,10){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \put(-10,24){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(10,12){\makebox(0,0){$\relax$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Prvek $c$ představuje nulu, prvek $d$ jednotku. K~prvku $a$ existují 2 různé srovnatelné komplementy $a_1$ a $a_2$.<br /> Dále svaz $\Nf$ má 2 hlavní řady různé délky ($d, a, c$ a $d, a_1, a_2, c$), tedy není modulární, a není ani distributivní.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> V~modulárním svazu nemá žádný prvek 2 různé srovnatelné komplementy.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou komplementy $a$ a nechť $a_1\leq a_2$.<br /> Pak platí $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV a_2=0\SV a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz $\Nf$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$} Sporem, tedy nechť obsahuje pentagon.<br /> Pak platí $(a_2\SV a)\SA a_1=d\SA a_1=a_1\neq a_2=a_2\SV c=a_2\SV(a\SA a_1)$,<br /> což je protipříklad proti podmínce modularity.<br /> \ditem{$\Leftarrow$} Sporem, tedy nechť není modulární.<br /> Tedy existují $a,b,c$ takové, že $a\leq c$ ale $a\SA(b\SV c)&lt;(a\SA b)\SV c$.<br /> Ukážeme, že $a\neq c$ a $b$ je s~nimi nesrovnatelný.<br /> <br /> Nechť $a=c$, pak $a\SA(b\SV a)=a=(a\SA b)\SV a$, což je spor, tedy $a&lt;c$.<br /> <br /> Nechť $b&lt;a\Tor b&lt;c$, pak jistě $b&lt;c$ a $a\SA(b\SV c)\leq a&lt;c\leq(a\SA b)\SV c$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark (algebraický vtip, který nezazněl na přednášce)<br /> Víte, proč je Sovětský svaz modulární? Protože nemá Pentagon.<br /> <br /> \example<br /> Definujeme svaz $\Mf$ nazývaný \defined[diamant]{diamant}:<br /> \begin{center}\setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(40,24)(-20,0)<br /> \put(3,3){\line(2,1){14}}<br /> \put(-3,3){\line(-2,1){14}}<br /> \put(0,3){\line(0,1){7}}<br /> \put(-3,21){\line(-2,-1){14}}<br /> \put(3,21){\line(2,-1){14}}<br /> \put(0,21){\line(0,-1){7}}<br /> \put(0,1){\makebox(0,0){$c$}}<br /> \put(0,23){\makebox(0,0){$d$}}<br /> \put(0,12){\makebox(0,0){$a$}}<br /> \put(-17,12){\makebox(0,0){$a_1$}}<br /> \put(17,12){\makebox(0,0){$a_2$}}<br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> Pak $\Mf$ je modulární, ale není distributivní, prvek $a$ má 2 komplementy, které nejsou srovnatelné.<br /> <br /> \theorem<br /> V libovolném distributivním svazu s nulou a jednotkou má každý prvek nejvýše jeden komplement.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $a$ a $a_1$, $a_2$ jeho komplementy.<br /> Pak $a_1=a_1\SA 1=a_1\SA(a\SV a_2)=(a_1\SA a)\SV(a_2\SA a_1)=0\SV(a_2\SA a_1)=a_1\SA a_2$, tedy<br /> $a_1\leq a_2$.<br /> Ale distributivní svaz je modulární a $a_1$, $a_2$ jsou komplementy stejného prvku, tedy $a_1=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Svaz je distributivní právě tehdy, když neobsahuje jako podsvaz ani $\Nf$, ani $\Mf$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!komplementární]{komplementární},<br /> má-li v~něm libovolný prvek alespoň jeden komplement.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že svaz s nulou a jednotkou je \defined[svaz!Booleův]{Booleův}, je-li distributivní a komplementární.<br /> <br /> \example<br /> Příkladem Booleových svazů jsou svazy množinové.<br /> <br /> \example<br /> Vraťme se k~12prvkové alternující grupě $\AM 4$, která není jednoduchá a nemá žádnou 6prvkovou podgrupu<br /> (přestože $6\divides12$), a nakresleme schéma svazu jejích podgrup.<br /> \begin{center}<br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{picture}(80,63)(-30,-3)<br /> <br /> \put(0,-1){\makebox(0,0){$E_{\vphantom1\;}$}}<br /> \put(15,-1){\makebox(0,0){1 prvek}}<br /> <br /> \put(1,2){\line(1,4){6}}<br /> \put(1,2){\line(2,3){16}}<br /> \put(1,2){\line(1,1){24}}<br /> \put(1,2){\line(3,2){36}}<br /> \put(4,28){\makebox{$\AM 3^{(1)}$}}<br /> \put(14,28){\makebox{$\AM 3^{(2)}$}}<br /> \put(24,28){\makebox{$\AM 3^{(3)}$}}<br /> \put(34,28){\makebox{$\AM 3^{(4)}$}}<br /> \put(47,28){\makebox{3 prvky}}<br /> \put(1,56){\line(1,-4){6}}<br /> \put(1,56){\line(2,-3){16}}<br /> \put(1,56){\line(1,-1){24}}<br /> \put(1,56){\line(3,-2){36}}<br /> <br /> \put(-1,2){\line(-1,4){3}}<br /> \put(-1,2){\line(-3,4){9}}<br /> \put(-1,2){\line(-4,3){16}}<br /> \put(-22,16){\makebox{$\LM 2^{(1)}$}}<br /> \put(-13,16){\makebox{$\LM 2^{(2)}$}}<br /> \put(-5,16){\makebox{$\LM 2^{(3)}$}}<br /> \put(-42,16){\makebox{2 prvky}}<br /> \put(-18,21){\line(6,5){12}}<br /> \put(-10,21){\line(1,2){5}}<br /> \put(-4,21){\line(0,1){10}}<br /> \put(-7,32){\makebox{$\KM 4$}}<br /> \put(-30,32){\makebox{4 prvky}}<br /> \put(0,56){\line(-1,-5){4}}<br /> <br /> \put(0,59){\makebox(0,0){$\AM 4$}}<br /> \put(17,59){\makebox(0,0){12 prvků}}<br /> <br /> \end{picture}<br /> \end{center}<br /> <br /> Vidíme, že svaz všech podgrup $\AM 4$ není modulární, neboť má hlavní řady různé délky.<br /> Je to protipříklad, kdyby si někdo myslel, že svaz všech (nejen normálních) podgrup je modulární.<br /> Dále svaz podgrup $\AM 4$ ani svaz podgrup $\KM 4$ není distributivní.<br /> Navíc všechny podgrupy $\KM 4$ jsou normální, tedy neplatí, že by libovolný svaz normálních podgrup byl distributivní.<br /> <br /> \xxxx{Booleova algebra}<br /> <br /> \define<br /> Mějme Booleův svaz $S=(M,\SA,\SV)$.<br /> Pak algebru $Q=(M,\SA,\SV,{'},0,1)$, kde operace $({'})$ je komplement a je unární<br /> a operace $0$ a $1$ jsou nulární, tedy konstanty, nazveme \defined[algebra!Booleova]{Booleova algebra}.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $A$ Booleova algebra a nechť $a,b\in A\supdot$.<br /> Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $0'=1$,\quad $1'=0$;<br /> \item $\qlb{a'}'=a$;<br /> \item $a\SA b=0\Lequiv b\leq a'$,\quad $a\SV b=1\Lequiv b\geq a'$;<br /> \item $(a\SA b)'=a'\SV b'$,\quad $(a\SV b)'=a'\SA b'$ (\defined[zákon!De Morganův]{De Morganovy zákony}).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme pouze tvrzení 3 a 4.<br /> \begin{enumerate}<br /> \addtocounter{enumi}{2}<br /> \item<br /> $b=b\SA 1=b\SA(a\SV a')=(b\SA a)\SV(b\SA a')=0\SV(b\SA a')=b\SA a' \Lequiv b\leq a'$<br /> \item<br /> $(a\SA b)\SA(a'\SV b')=(a\SA b\SA a')\SV(a\SA b\SA b')=0\SV0=0$,\\<br /> $(a\SA b)\SV(a'\SV b')=(a\SV a\SV b')\SA(b\SV a'\SV a')=1\SA1=1$;<br /> %\item<br /> $a\leq b$; $b'\SA a'=(b\SV a)'=b'$; $b'\leq a'$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Filtr $F$ ve Booleově svazu je ultrafiltr právě tehdy, platí-li <br /> $$(\AA x\in S\supdot)(x\in F \Lequiv x'\notin F).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme libovolné $x$.<br /> Pak $x\SV x'=1\in F$, tedy $x\in F\Tor x'\in F$.<br /> Kdyby $x,x'\in F$, pak $0=x\SA x'\in F$, což je spor s tím, že $F\neq S\supdot$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolné prvky $a,b$.<br /> Nechť $a\SV b\in F$, ale $a,b\notin F$.<br /> Pak $a',b'\in F$, tedy $a'\SA b'=(a\SV b)'\in F$, což je spor.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná Booleova algebra je izomorfní s~nějakou množinovou Booleovou algebrou.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme zobrazení $f(x)=\set{F\in\UM S}{x\in F}$.<br /> Víme, že $f$ zachovává průsek a spojení.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{${'}$} $f(x')=\set{F\in\UM S}{x\in F}=\set{F\in\UM S}{x\notin F}=\CO f(x)$<br /> \ditem{$0$} $f(0)=\set{F\in\UM S}{0\in F}$, ale $0\in F\Limpl F=S\supdot$, což není filtr. Tedy $f(0)=\emptyset$.<br /> \ditem{$1$} $f(1)=\set{F\in\UM S}{1\in F}=\UM S$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná konečná Booleova algebra je izomorfní množinové Booleově algebře tvořené všemi podmnožinami vhodné množiny.<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Libovolná konečná Booleova algebra má počet prvků roven číslu $2^n$, $n\in\N$.<br /> \item<br /> K libovolnému $n\in\N$ existuje až na izometrii právě jedna Booleova algebra s~$2^n$ prvky.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> 2-, 4- a 8prvková Booleova algebra.<br /> <br /> \setlength{\unitlength}{\stdunitlength}<br /> \begin{center}<br /> \def\POINT(#1,#2){\put(#1,#2){\circle{1}}}<br /> ~<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(4,18)(-9,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \put(0,0){\line(0,1){16}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(20,18)(-10,-1)<br /> \POINT(0,0)<br /> \POINT(0,16)<br /> \POINT(8,8)<br /> \POINT(-8,8)<br /> \put(0,0){\line(1,1){8}}<br /> \put(0,0){\line(-1,1){8}}<br /> \put(0,16){\line(1,-1){8}}<br /> \put(0,16){\line(-1,-1){8}}<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> \begin{picture}(22,18)(-11,-1)<br /> \def\LINEA(#1,#2){\put(#1,#2){\line(-3,2){9}}} %(-9,6)<br /> \def\LINEB(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 0,1){4}}} %( 0,4)<br /> \def\LINEC(#1,#2){\put(#1,#2){\line( 3,2){9}}} %( 9,6)<br /> %0 (0,0)<br /> \POINT(0,0)<br /> \LINEA(0,0)<br /> \LINEB(0,0)<br /> \LINEC(0,0)<br /> %A (-9,6)<br /> \POINT(-9,6)<br /> \LINEB(-9,6)<br /> \LINEC(-9,6)<br /> %B (0,4)<br /> \POINT(0,4)<br /> \LINEA(0,4)<br /> \LINEC(0,4)<br /> %C (9,6)<br /> \POINT(9,6)<br /> \LINEA(9,6)<br /> \LINEB(9,6)<br /> %AB (-9,10)<br /> \POINT(-9,10)<br /> \LINEC(-9,10)<br /> %AC (0,12)<br /> \POINT(0,12)<br /> \LINEB(0,12)<br /> %BC (9,10)<br /> \POINT(9,10)<br /> \LINEA(9,10)<br /> %ABC (0,16)<br /> \POINT(0,16)<br /> \end{picture}<br /> \hfill<br /> ~<br /> \end{center}</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4564 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T13:08:28Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH Ky$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map {f_B}{B}{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4563 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T13:07:06Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH Ky$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map f_BB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4562 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T13:01:24Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH Ky$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola6&diff=4561 01ALG:Kapitola6 2012-01-24T12:59:50Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Okruhy}<br /> <br /> \xxxx{Okruh}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že algebra $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[okruh]{okruh} (angl. \defined{ring}), pokud platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> algebra $(M,+)$ je Abelova grupa; nazýváme ji \defined[grupa!aditivní okruhu]{aditivní grupa} okruhu $R$<br /> a značíme $R\subplus$;<br /> \item<br /> algebra $(M,\cdot)$ je grupoid; nazýváme jej \defined[grupoid!multiplikativní okruhu]{multiplikativní grupoid}<br /> okruhu $R$ a značíme $R\subdot$;<br /> \item<br /> \defined[zákon!distributivní]{distributivní zákon}, tj.<br /> $$(\AA a,b,c\in M)(a(b+c)=(ab)+(ac)\;\Land\; (b+c)a=(ba)+(ca)).$$<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Někdy se v literatuře očekává od okruhu ještě asociativita.<br /> <br /> \example<br /> $Z=(\Z,+,\cdot)$ je \defined[okruh!celých čísel]{okruh celých čísel}.<br /> <br /> \remark<br /> Jak jsme zvyklí, má operace násobení větší prioritu než operace sčítání, tj. $ab+c:=(ab)+c$.<br /> <br /> \define<br /> $E=(\{0\},+,\cdot)$ je \defined[okruh!triviální]{triviální okruh}.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že okruh $R$ je \defined[okruh!asociativní]{asociativní}, resp. je \defined[okruh!komutativní]{komutativní},<br /> resp. \defined[okruh!s jednotkou]{má jednotku}, má-li stejnou vlastnost i multiplikativní grupoid $R\subdot$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Okruh $Z=(\Z,+,\cdot)$ je asociativní, komutativní a má jednotku.<br /> \item<br /> Okruh $(\C^{n,n}, +, \cdot)$ je asociativní, má jednotku (jednotkovou matici),<br /> ale není komutativní.<br /> \item<br /> Vektorový prostor $(V,+)$ s~vektorovým součinem $\times$ tvoří okruh $(V,+,\times)$,<br /> který není ani asociativní, ani komutativní.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[okruh!zerový]{Zerový okruh} je okruh $R=(M,+,\cdot)$, kde $(\AA a,b\in M)(ab:=0)$.<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[rozdíl!prvků]{rozdíl prvků}, $(\AA a,b\in M)(a-b:=a+(-b))$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh, nechť $a,b\in M$.<br /> Potom platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $c(a-b)=ca-cb$; $(a-b)c=ac-bc$;<br /> \item $0\cdot a=a\cdot0=0$;<br /> \item $(-a)b=a(-b)=-(ab)$;<br /> \item $(-a)(-b)=ab$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Všechno je podobné, ukážeme první dvě.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $c(a-b)=c(a-b)+cb-cb=c(a-b+b)-cb=ca-cb$.<br /> \item $0\cdot a=(b-b)a=ba-ba=0$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[okruh!číselný]{Číselný okruh} je libovolný okruh<br /> s~přirozenými číselnými operacemi a s~nosičem, který je číselnou množinou.<br /> <br /> \define<br /> \defined[dělitelé nuly]{Dělitelé nuly} jsou libovolné $a,b\in R\supdot$ takové, že $a,b\neq0$, ale $ab=0$.<br /> \defined[okruh!bez dělitelů nuly]{Okruhem bez dělitelů nuly} rozumíme okruh, ve kterém neexistují dělitelé nuly.<br /> <br /> \example<br /> Např. $\matrixtwo1000\matrixtwo0010=\matrixtwo0000$.<br /> <br /> \theorem<br /> Číselné okruhy jsou bez dělitelů nuly, tj. pro $a,b\in R\supdot$ platí, že<br /> $$(ab=0 \Limpl (a=0\,\Lor\,b=0)).$$<br /> <br /> \define<br /> \defined[obor integrity]{Oborem integrity} rozumíme asociativní a komutativní okruh bez dělitelů nuly.<br /> <br /> \define<br /> Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh.<br /> Formálním \defined[polynom]{polynomem nad okruhem $R$} rozumíme libovolnou nekonečnou posloupnost<br /> $(a_n)_{n=0}^\infty$ prvků z $M$, v~níž je konečný počet prvků nenulových.<br /> <br /> Takové $n\in\Nz$, že $a_n\neq 0$ a $(\AA i&gt;n)(a_i=0)$, nazveme \defined[polynom!stupeň]{stupeň polynomu}.<br /> Pro \defined[polynom!nulový]{nulový polynom} $\theta=0\,0\,0\,0\ldots$ nedefinujeme stupeň.<br /> <br /> Posloupnost $(a_n)_{n=0}^\infty$ označíme $\sum a_nx^n$ nebo $a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_sx^s$,<br /> kde $s$ je stupeň polynomu.<br /> Jde o formální zápis, nikoli sumu.<br /> Množinu všech polynomů nad okruhem $R$ označíme $R[x]\supdot$.<br /> <br /> \remark<br /> Skalní algebraici říkají $x$ neurčitá (nejedná se o proměnnou).<br /> <br /> \define<br /> Mějme okruh $R$ a polynomy $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$.<br /> Potom definujeme \defined[polynom!součet]{součet polynomů} jako $P+Q:=\sum (a_i+b_i)x^i$<br /> a \defined[polynom!součin]{součin polynomů} jako $PQ:=\sum c_kx^k$, kde $c_k:=\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$.<br /> <br /> \remark<br /> Součet i součin polynomů jsou opět polynomy a operace jsou přirozené, jaké známe z analýzy.<br /> <br /> \define<br /> $R[x]=(R[x]\supdot, +, \cdot)$ nazveme \defined[okruh!polynomů]{okruh polynomů} nad okruhem $R$.<br /> <br /> \lemma<br /> Pokud okruh $R$ je asociativní, resp. je komutativní, resp. má jednotku,<br /> má odpovídající vlastnost i $R[x]$.<br /> Jednotkou v okruhu polynomů je $1x^0=1\,0\,0\,0\ldots$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nemá-li okruh $R$ dělitele nuly, nemá je ani okruh $R[x]$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $P,Q\in R[x]\sm\{\Pzero\}$, $P=\sum a_ix^i$, $Q=\sum b_ix^i$ a nechť stupeň $P$ je $p$ a $Q$ je $q$.<br /> Mějme součin $PQ=\sum c_kx^k$, pak je speciálně $c_{p+q}=\sum_0^{p+q}a_ib_{p+q-i}$.<br /> Pro $i&gt;p$ je $a_i=0$ a pro $i&lt;p$ je $p+q-i&gt;q$ a $b_i=0$.<br /> Tedy $c_{p+q}=a_pb_q$, a neboť oba jsou nenulové a $R$ nemá dělitele nuly, je $c_{p+q}\neq 0$, a tedy $PQ\neq\Pzero$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $x_1\cldc x_n$ soubor neučitých.<br /> Pak definujeme $R[x_1\cldc x_n]$ indukcí jako $R[x_1\cldc x_n]:=(R[x_1\cldc x_{n-1}])[x_n]$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $R$ obor integrity, pak také $R[x_1\cldc x_n]$ je obor integrity.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme snadno indukcí podle $n$ s~využitím předchozího lemmatu.<br /> %TODO<br /> \QED<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> \xxxx{Těleso}<br /> <br /> \define<br /> Okruh $R=(M,+,\cdot)$ je \defined[těleso]{těleso}, pokud platí, že algebra $(M\sm\{0\},\cdot)$ je grupa.<br /> Grupu $(M\sm\{0\},\cdot)$ nazýváme \defined[těleso!multiplikativní grupa]{multiplikativní grupa} tělesa<br /> a značíme $T\subast$.<br /> Těleso značíme $T$, a je-li $T\subast$ Abelova, řekneme, že těleso $T$ je \defined[těleso!komutativní]{komutativní}.<br /> <br /> \lemma<br /> Těleso vždy obsahuje alespoň 2 prvky, a to nulu a jednotku.<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[těleso!triviální]{triviální těleso} $F=(\{0,1\},+,\cdot)$.<br /> Operace na triviálním tělese se definují pomocí \defined[tabulky!Cayleyovy]{Cayleyových tabulek}:<br /> <br /> $$<br /> \begin{array}{c||c|c|}+&amp;0&amp;1\\\hline\hline0&amp;0&amp;1\\\hline1&amp;1&amp;0\\\hline\end{array}<br /> \qquad<br /> \begin{array}{c||c|c|}\cdot&amp;0&amp;1\\\hline\hline0&amp;0&amp;0\\\hline1&amp;0&amp;1\\\hline\end{array}<br /> $$<br /> <br /> \define<br /> Základní číselná tělesa:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Q:=(\Q,+,\cdot)$;<br /> \item $R:=(\R,+,\cdot)$;<br /> \item $C:=(\C,+,\cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$ není tělesem!<br /> <br /> \example<br /> Položme $M=\set{a+\sqrt2b}{a,b\in\Q}$, pak $(M,+,\cdot)$ je těleso takové, že $\Q\ssn M\ssn\R$.<br /> Jediné zajímavé je ukázat přítomnost inverzního prvku: $(a+\sqrt2b)^\1=\frac{a-\sqrt2b}{a^2-2b^2}$.<br /> <br /> Obecně lze definovat $\Q_{\sqrt n}=((\Q+\sqrt n\Q),+,\cdot)$ pro libovolné $n\in\N$.<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Těleso nemá dělitele nuly.<br /> \item<br /> Komutativní těleso je obor integrity.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nenulové prvky tělesa tvoří grupu, tedy jsou uzavřené vůči násobení, a tedy nemůže $ab=0$.<br /> \item<br /> Těleso je vždy asociativní, tedy je-li i komutativní, je oborem integrity z~definice.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a $T=(N,+,\cdot)$ těleso.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řekneme, že $A\sse M$, $A\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v~okruhu]{uzavřená v~okruhu $R$}, platí-li<br /> $$(\AA a,b\in A)(ab\in A\;\Land\;a-b\in A).$$<br /> Algebru $Q=(A,+,\cdot)$ nazveme \defined[podokruh]{podokruh} okruhu $R$ a značíme $Q\sg R$.<br /> \item<br /> Řekneme, že $B\sse N$, $B\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v tělese]{uzavřená v~tělese $T$}, platí-li<br /> $$\bigl(\AA a,b\in B\bigr)\bigl(b\neq0\Limpl(ab^\1\in B\;\Land\;a-b\in B)\bigr).$$<br /> Algebru $U=(B,+,\cdot)$ nazveme \defined[podtěleso]{podtěleso} tělesa $T$ a značíme $U\sg T$.<br /> Těleso $T$ nazýváme \defined[nadtěleso]{nadtěleso} tělesa $U$<br /> a relaci $\sg$ \defined[těleso!rozšíření]{rozšířením těles}.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $S=\set{2k}{k\in\Z}$.<br /> Pak platí (pro okruhy) $(S,+,\cdot)\sg_O(\Z,+,\cdot)\sg_O(\Q,+,\cdot)$.<br /> \item<br /> Pro tělesa platí $(\Q,+,\cdot)\sg_T(\R,+,\cdot)\sg_T(\C,+,\cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, resp. těleso a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů, resp. podtěles.<br /> Pak $\bigcap_{i\in I}G_i$ je podokruh, resp. podtěleso $R$.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh, $A\sse M$.<br /> Pak $\anglevector A:=\bigcap\set{Q\sg R}{A\sse Q}$ nazýváme<br /> \defined[podokruh!generovaný množinou]{podokruh generovaný množinou $A$}.<br /> <br /> \lemma<br /> $$\anglevector A\supdot=\set{k_1\times a_{11}\ldots a_{1m_1}+\cdots+k_n\times a_{n1}\ldots a_{nm_n}}%<br /> {n\in\Nz, m_i\in\N, k_i\in\Z, a_{ij}\in A}$$<br /> <br /> \proof<br /> Množina obsahuje $A$, nelze nic vyjmout a je uzavřená v~$R$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buďte $R=(M,+,\cdot)$ okruh a nechť $Q_i\sg R, i\in I$ je systém podokruhů.<br /> Pak definujeme \defined[součet!podokruhů]{součet podokruhů} jako<br /> $\sum_{i\in I}Q_i:=\anglevector{\bigcup_{i\in I}Q_i\supdot}$<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh a $\equiv$ ekvivalence na $M$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (okruhy)]{kongruence} na okruhu $R$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b,c,d\in M)\big((a\equiv b \;\Land\; c\equiv d)\Limpl (a+c\equiv b+d \;\Land\; ac\equiv bd)\big).$$<br /> <br /> \define<br /> Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$.<br /> Pak $R\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv,+,\cdot)$ s~operacemi $T_a+T_b:=T_{a+b}$ a $T_{ab}:=T_aT_b$<br /> nazýváme \defined[faktorokruh]{faktorokruh} okruhu $R$ podle kongruence $\equiv$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $\equiv$ kongruence na okruhu $R$.<br /> Pak faktorokruh $R\factorset\equiv$ je okruh.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li okruh $R$ asociativní, resp. komutativní, resp. má jednotku,<br /> potom má tutéž vlastnost i faktorokruh $R\factorset\equiv$.<br /> <br /> \remark<br /> Neplatí obecně, že faktorokruh tělesa je tělesem (nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly).<br /> <br /> \define<br /> Nechť $Q\sg R$ je okruh a jeho podokruh.<br /> Pak definujeme ekvivalenci $\EH Q$ na $R$ tak, že $a\EH Qb\Lequiv a-b\in Q$.<br /> <br /> \remark<br /> $R\subplus$ je Abelova, tedy $\EH Q$ je kongruence na grupě $R\subplus$, ne však kongruence na okruhu $R$.<br /> <br /> \define<br /> Podokruh $I$ okruhu $R$ nazýváme \defined[ideál (okruhy)]{ideál} v~$R$ a značíme $I\nsg R$, platí-li, že<br /> $$(\AA a\in I\supdot)(\AA r\in R\supdot)(ra\in I\supdot \;\Land\; ar\in I\supdot).$$<br /> <br /> \remark<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Při ověřování, že $I$ je ideál, je nejprve nutno ověřit, že je podokruhem,<br /> a pak teprve definující podmínku ideálu.<br /> \item Definující vlastnost ideálu je silnější než uzavřenost vůči násobení,<br /> tedy stačí ověřit tuto podmínku a uzavřenost vůči sčítání.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Ekvivalence $\equiv$ na $R$ je kongruencí právě tehdy, je-li ekvivalencí indukovanou ideálem, tj.<br /> $(\EE I\nsg R)((\equiv)=(\EH I))$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Vezměme třídu $T_0$ kongruence $\equiv$ a ukážeme, že $I=(T_0,+,\cdot)$ je hledaný ideál.<br /> <br /> Platí $a\equiv 0$ a $b\equiv 0$, tedy $a-b\equiv 0$, a tedy $a-b\in T_0$.<br /> Dále $a\equiv 0$ a $r\equiv r$, tedy $ar\equiv 0$ a $ra\equiv 0$, a tedy $ar,ra\in T_0$.<br /> <br /> Z~grup víme, že $(\equiv)=(\EH{T_0})$, což jsme chtěli ukázat.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme $I\nsg R$.<br /> Pak $a\EH Ib\Lequiv a-b\in I\supdot$.<br /> Ekvivalence $\EH I$ je kongruencí na $R\subplus$, tedy zbývá ukázat druhá podmínka, tj. že<br /> $ac\EH I bd$, pokud $a\EH I b$ a $c\EH I d$.<br /> Platí $ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+(a-b)d$, a neboť $(c-d),(a-b)\in I$ a ideál je uzavřený<br /> na násobení všemi prvky $R$ a na sčítání, je i $a(c-d)+(a-b)d\in I$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Mějme okruh celých čísel $Z=(\Z,+,\cdot)$.<br /> Pak pro libovolné $m\in\Nz$ definujeme $\EH m$ jako $a\EH mb\Lequiv (\EE s\in\Z)(a-b=sm)$.<br /> Pak $I_m:=\set{sm}{s\in\Z}$ je ideál a $I_m$ jsou všechny ideály na $Z$.<br /> <br /> Zjevně splývá $Z\factorset{\EH m}$ a $Z\factorset{I_m}$.<br /> Budeme proto používat společnou značku $Z_m$ a název \defined[okruh!zbytkových tříd]{okruh zbytkových tříd} modulo $m$.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $m\in\N$ (tedy $m\neq 0$).<br /> Pak v~jedné třídě $Z_m$ leží 2 čísla $a,b$ právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Okruh zbytkových tříd $Z_m$ má řád $m$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $R$ okruh s jednotkou, $I\nsg R$ a nechť $1\in I\supdot$.<br /> Pak $I=R$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolné $r\in R\supdot$ a $1\in I\supdot$.<br /> Pak nutně $r\cdot1\in I$, a tedy $R\supdot\sse I\supdot$.<br /> Opačná inkluze plyne z~definice ideálu.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $R$ okruh. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $R\nsg R$;<br /> \item $E\nsg R$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Ideál $I\nsg R$ nazveme \defined[ideál (okruhy)!netriviální]{netriviální}, pokud $I\neq R$ a $I\neq E$.<br /> \item<br /> Okruh $R$ označujeme \defined[okruh!jednoduchý]{jednoduchý}, pokud nemá netriviální ideály.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Jednoduché okruhy}<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $R$ je okruh a $I\nsg R$.<br /> Pak $I\subplus\nsg R\subplus$.<br /> (Tedy je-li $I$ ideál, pak je i normální podgrupou aditivní grupy $R\subplus$.)<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Okruh $R$ prvočíselného řádu $p$ je jednoduchý.<br /> \item<br /> Libovolné těleso $T$ je jednoduchý okruh.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Pokud by $R$ měl netrivální ideál, pak by $R\subplus$ měla netriviální normální podgrupu,<br /> ale z~prvočíselnosti řádu víme, že taková normální podgrupa neexistuje.<br /> \item<br /> Mějme libovolný ideál $I\nsg T$.<br /> Ukážeme, že $I\neq E\Limpl I=T$, tedy existují pouze triviální ideály.<br /> Ideál je nenulový, tedy $(\EE a\in I\supdot\sm\{0\})$.<br /> Pak $a^\1\in T$, tedy $aa^\1=1\in I\supdot$, a tedy $I=T$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Lze definovat jednostranné ideály, ale z~důkazu je vidět, že těleso nemá ani jednostranné ideály.<br /> <br /> \theorem<br /> Průnik i součet libovolného systému ideálů v~okruhu $R$ je ideál v~$R$.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme systém $I_\alpha\nsg R$ pro $\alpha\in J$.<br /> Označme $A=\bigcap I_\alpha$ a $B=\sum I_\alpha$<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Průnik je podokruhem, tedy stačí ukázat definiční podmínku ideálu.<br /> Mějme libovolné $a\in A$ a $r\in R\supdot$.<br /> Pak $(\AA\alpha\in J)(a\in I_\alpha)$, tedy $(\AA\alpha\in J)(ar\in I_\alpha)$, tedy $ar\in A$.<br /> <br /> \ditem{součet}<br /> Součet je podokruhem, tedy opět stačí ukázat definiční podmínku ideálu.<br /> Mějme libovolné $a\in B$ a $r\in R\supdot$.<br /> Pak $a$ je tvaru $a=k_1\times a_{11}\ldots a_{1n_1}+\cdots+k_m\times a_{m1}\ldots a_{mn_m}$,<br /> kde $k_i\in\Z$ a $a_{i\ell}\in\bigcup I_\alpha$.<br /> Tedy zvláště $a_{i1}\in I_{\alpha_i}\supdot$ ($\alpha_i$ vybere příslušný ideál).<br /> Pak součin $a_{i1}a_{i2}\ldots a_{in_i}$ je tvaru $a_{i1}r_i$ pro nějaké $r_i\in R\supdot$,<br /> tedy neboť $I_\alpha$ je ideál, je $a_{i1}r_i\in I_\alpha$ a také $b_i=k_i\times a_{i1}r_i\in I_\alpha$.<br /> Potom $a=b_1+\cdots+b_m$.<br /> Pro libovolné $r\in R\supdot$ je $ra=rb_1+\cdots+rb_m$ a platí $(\AA i)(rb_i\in I_{\alpha_i})$.<br /> Ale $I_{\alpha_i}\sse \bigcup I_\alpha\sse \anglevector{\bigcup I_\alpha}=B$.<br /> Z~uzavřenosti $B$ na součty je $ra\in B$ a podobným způsobem ukážeme, že $ar\in B$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $R=(M,+,\cdot)$ okruh.<br /> \defined[ideál (okruhy)!hlavní]{Hlavním ideálem} generovaným prvkem $a\in M$ (značíme $I_a$)<br /> rozumíme nejmenší ideál v~$R$ obsahující prvek $a$.<br /> <br /> \remark<br /> Definice je korektní, neboť každý prvek leží v~nějakém ideálu (přinejhorším $a\in R\nsg R$),<br /> a existuje nejmenší, neboť průnik systémem ideálů obsahujících $a$ je ideál obsahující $a$<br /> a je nutně nejmenší:<br /> $$I_a=\bigcap_{J\nsg R\atop a\in J} J.$$<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $R$ je asociativní a komutativní okruh, $a\in R$ a označme $J_a:=\set{ra}{r\in R\supdot}$.<br /> Pak $J_a$ je ideál a platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Má-li $R$ jednotku, je $I_a=J_a$ (tedy $J_a$ je hlavní ideál generovaný $a$).<br /> \item<br /> Nemá-li $R$ jednotku, je $I_a=\anglevector{J_a\cup\{a\}}=\set{ra+k\times a}{r\in R\supdot, k\in\Z}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolné $b=ra\in J_a$, kde $r\in R$ a $a\in J_a$ a libovolné $q\in R$.<br /> Pak $bq=qb=qra\in R\supdot a=J_a\supdot$, tedy $J_a$ splňuje definiční vlastnost ideálu.<br /> V~hlavním ideálu gerenrovaném $a$ leží všechny součiny tvaru $ra$, tedy nutně $J_a\sse I_a$.<br /> Pokud navíc existuje jednotka, je $a=1a\in J_a$, a tedy $J_a=I_a$.<br /> Pokud jednotka neexistuje, je nutné $J_a$ rozšířit o násobky $a$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Asociativní a komutativní okruh nazveme \defined[okruh!hlavních ideálů]{okruhem hlavních ideálů},<br /> je-li v~něm každý ideál hlavní.<br /> <br /> \example<br /> Ukážeme, že $Z=(\Z,+,\cdot)$ je okruh hlavních ideálů.<br /> Ideály $I_m=\set{sm}{s\in\Z}$ jsou hlavní.<br /> Vezměme si libovolný ideál $I\nsg Z$, pak víme, že $I\subplus$ je normální podgrupa $Z\subplus$.<br /> Ale $Z\subplus$ je cyklická, tedy i $I\subplus$ je cyklická,<br /> a tedy existuje generátor $m$ takový, že $I=I\subplus=\anglevector m=\set{k\times m}{k\in\Z}=\set{sm}{s\in\Z}$.<br /> Tedy $I=I_m$ a je hlavní.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $R_i=(M_i,+,\cdot)$.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (okruhy)]{homomorfismus okruhů}, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\big(h(x+y)=h(x)+h(y)\;\Land\;h(xy)=h(x)h(y)\big).$$<br /> (Tedy $h$ je homomorfismus na okruhu, pokud je homomorfismem na aditivním i multiplikativním grupoidu.)<br /> <br /> Značíme $\map h{R_1}{R_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Podobně, jako na grupách, definujeme na okruzích \defined[monomorfismus (okruhy)]{monomorfismus},<br /> \defined[epimorfismus (okruhy)]{epimorfismus},<br /> \defined[izomorfismus (okruhy)]{izomorfismus},<br /> \defined[endomorfismus (okruhy)]{endomorfismus},<br /> \defined[automorfismus (okruhy)]{automorfismus}.<br /> <br /> \define<br /> Okruhy $R_1$ a $R_2$ jsou izomorfní (značíme $R_1\cong R_2$),<br /> pokud existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h(R_1)\sg R_2$.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $R_1$ asociativní, resp. komutativní, resp s~jednotkou,<br /> pak tutéž vlastnost má i $h(R_1)$.<br /> <br /> \remark<br /> Nepřenáší se vlastnost nemíti dělitele nuly a býti tělesem.<br /> <br /> \define<br /> \defined[homomorfismus (okruhy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $\map h{R_1}{R_2}$ rozumíme množinu<br /> $\ker h:=h^\1(\{0\})=\set{x\in R_1\supdot}{h(x)=0}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $h$ je homomorfismus. Pak<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\ker h\nsg R_1$;<br /> \item $h$ je monomorfní (prostý) právě tehdy, když $\ker h=\{0\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Podokruh okruhu $R$ je ideál právě tehdy, je-li jádrem nějakého homomorfismu definovaného na $R$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu okruhů)<br /> Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy a nechť $\map h{R_1}{R_2}$ je homomorfismus.<br /> Potom $h(R_1)\cong {R_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $R_1$, $R_2$ okruhy, $\map h{R_1}{R_2}$ monomorfismus.<br /> Je-li $R_1$ bez dělitele nuly, resp. tělesem, pak má odpovídající vlastnost i podokruh $h(R_1)$ okruhu $R_2$.<br /> <br /> \xxxx{Podílová tělesa}<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $m\geq2$.<br /> Okruh $Z_m$ je okruhem s~děliteli nuly pro $m$ složené a je komutativním tělesem pro $m$ prvočíselné.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Mějme $m=uv$ takové, že $u,v&lt;m$.<br /> Pak $T_0=T_m=T_uT_v$ a $T_u, T_v$ jsou dělitelé nuly.<br /> \item<br /> Mějme $m\in\bbP$ a nechť $k$ je takové, že $0&lt;k&lt;m$.<br /> Pak, neboť $\delta(k,m)=1$, existují $u,v\in\Z$ taková, že $uk+vm=1$, z čehož $T_uT_k=T_1-T_vT_m=T_1$,<br /> a tedy $T_u=T_k^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $R$ okruh.<br /> Potom $R$ je bez dělitelů nuly právě tehdy, lze-li v~jeho multiplikativním grupoidu $R\subdot$<br /> krátit nenulovým prvkem, tj.<br /> $$(\AA a,b,c\in R\supdot, c\neq0)\bigr((ac=bc \Lor ca=cb) \Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Platí $0=ac-bc=(a-b)c$.<br /> Neboť $c\neq 0$ a $R$ je bez dělitelů nuly, je $a-b=0$, a tedy $a=b$.<br /> Krácení zleva se ukáže obdobně.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $ab=0=0\cdot b$ nebo $ba=0=b\cdot0$.<br /> Tedy pro $b\neq 0$ je $a=0$, což znamená, že nejsou oba nenulové.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> \remark<br /> Má-li se okruh $R$ vnořit do tělesa, nutně nesmí mít dělitele nuly.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť okruh $R_1$ lze izomorfně vnořit do okruhu $R_2$ a nechť $R_1\supdot\cap R_2\supdot=\emptyset$.<br /> Pak existuje okruh $Q$ takový, že $R_1\sg Q$ a $Q\cong R_2$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujme $Q\supdot=(R_2\supdot\sm h(R_1))\cup R_1\supdot$ a definujme zobrazení $\map g{Q\supdot}{R_2\supdot}$<br /> následovně:<br /> $$g(x)=\left\{\begin{array}{l}h(x)\text{\ pro $x\in R_1\supdot$}\\x\text{\ jinak}\end{array}\right. .$$<br /> <br /> Zjevně $g$ je bijekce. To nám umožňuje definovat $Q=(Q\supdot,\oplus,\odot)$ s~operacemi<br /> $a\oplus b:=g^\1(g(a)+g(b))$ a $a\odot b:=g^\1(g(a)\cdot g(b))$.<br /> Pak $g(a\oplus b)=g(a)+g(b)$ a $g(a\odot b)=g(a)\cdot g(b)$, tedy $g$ je homomorfismus, a tedy izomorfismus.<br /> <br /> Celkově tedy máme, že $Q\cong R_2$ a $R_1\sg Q$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolný obor integrity $R$ lze vnořit do komutativního tělesa.<br /> <br /> \proof<br /> Je-li $R=E$, pak jej lze vnořit do triviálního tělesa $F$.<br /> Tedy předpokládejme $R\neq E$.<br /> <br /> Definujme množinu $M:=\set{\anglecouple ab}{a,b\in R\supdot, b\neq0}$.<br /> Dále definujeme $\equiv$ jako $\anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$ a ukážeme, že je ekvivalencí.<br /> Reflexivita a symetrie je zřejmá, ukážeme transitivitu.<br /> Nechť $ad=bc$ a $cf=de$.<br /> Pak $adf=bcf=bed$ a z~předchozího lemmatu, z~nenulovosti $d$ a z~komutativity vidíme, že $af=be$.<br /> <br /> Vezměme faktor-množinu $M\factorset\equiv$ a označujme $\frac ab$ třídu $M\factorset\equiv$<br /> obsahující prvek $\anglecouple ab$, tedy $\anglecouple ab\in\frac ab\in M\factorset\equiv$.<br /> \uv{Zlomky} se chovají přirozeně:<br /> $\frac ab=\frac cd \Lequiv \anglecouple ab\equiv\anglecouple cd \Lequiv ad=bc$.<br /> Lze také krátit nenulovým prvkem: $\frac{ae}{be}=\frac ab$.<br /> <br /> Definujeme okruh $U_R:=(M\factorset\equiv,\oplus,\odot)$ jako $\frac ab\oplus\frac cd:=\frac{ad+bc}{bd}$<br /> a $\frac ab\odot\frac cd:=\frac{ac}{bd}$.<br /> Neboť $R$ neobsahuje dělitele nuly, nemáme ve jmenovateli nulu.<br /> Zbývá ukázat korektnost definice:<br /> Mějme $\frac{a'}{b'}=\frac ab$, tj. $a'b=ab'$, a $\frac{c'}{d'}=\frac cd$, tj. $c'd=cd'$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a'd'+b'c'}{b'd'}$, tj.<br /> $bd(a'd'+b'c')\stackrel?=b'd'(ad+bc)$, tj. $bda'd'+bdb'c'\stackrel?=b'd'ad+b'd'bc$,<br /> tj. $(a'b)dd'+(c'd)bb'\stackrel?=(ab')dd'+(cd')bb'$, ale $a'b=ab'$ a $c'd=cd'$, tedy rovnost platí.<br /> Podobně lze rozepsat operaci $\odot$.<br /> \QED<br /> <br /> Dále definujeme $\map hR{U_R}$ jako $h(x)=\frac{xa}a$ pro $a\neq 0$ (nezávislost na výběru $a$ je zřejmá).<br /> Ukážeme, že $h$ je monomorfismus.<br /> Platí $h(x+y)=\frac{(x+y)a}a=\frac{xa+ya}{a}=\frac{(xa)a+(ya)a}{aa}=\frac{xa}a\oplus\frac{ya}a$<br /> a $h(x)\odot h(y)=\frac{xa}a\odot\frac{ya}a=\frac{xaya}{aa}=\frac{xya}{a}$.<br /> Nechť $h(x)=0$, tj. $ax=0$, ale $a\neq0$ a nejsou dělitelé nuly, tedy $x=0$ a $h$ je prosté.<br /> <br /> Celkově tedy máme $R\cong h(R)\sg U_R$ a podle předchozího lemmatu existuje těleso $T_R$ takové,<br /> že $R\sg T_R\cong U_R$.<br /> <br /> \define<br /> Okruh $U_R$ z předchozí věty nazveme \defined[těleso!zlomků]{těleso zlomků}.<br /> <br /> \remark<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Každý zlomek tvaru $\frac 0b$ je nulou.<br /> \item<br /> Každý zlomek tvaru $\frac aa$ je jednotkou.<br /> \item<br /> Platí $-\frac ab=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}$.<br /> \item<br /> Pro $a\neq 0$ je $\qlb{\frac ab}^\1=\frac ba$.<br /> \item<br /> $U_R$ je obor integrity s~jednotkou, tedy těleso.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Těleso $T_R$ z~předchozí věty nazveme \defined[těleso!podílové]{podílové těleso} oboru itegrity $R$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $R_1$, $R_2$ obory integrity a $T_1$, $T_2$ jejich podílová tělesa.<br /> Pak $R_1\cong R_2 \;\Limpl\; T_1\cong T_2$.<br /> <br /> \proof<br /> Existuje izomorfismus $\map h{R_1}{R_2}$ a definujme izomorfismus $\map{\bar h}{U_1}{U_2}$<br /> jako $\bar h\qlb{\frac ab}=\frac{h(a)}{h(b)}$.<br /> Je třeba triviálně ukázat, že obraz nezavisí na reprezentantu $\frac ab$, že $h(b)\neq 0$<br /> a že $\bar h$ je izomorfismus.<br /> Tedy máme $T_1\cong U_1\cong U_2\cong T_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Těleso $T_R$ je nejmenší těleso obsahující obor integrity $R$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $S$ je libovolné těleso a $R\sg S$.<br /> Definujeme $\map h{U_R}S$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$, což můžeme, protože $a$, $b$ jsou prvky tělesa a $b\neq0$.<br /> Opět definice nezávisí na reprezentantu.<br /> <br /> Ukážeme, že zobrazení $h$ je homomorfismus.<br /> $h\qlb{\frac ab\oplus\frac cd}=h\qlb{\frac{ad+bc}{bd}}=(ad+bc)(bd)^\1=add^\1b^\1+bcd^\1b^\1=<br /> ab^\1+cd^\1=h\qlb{\frac ab}+h\qlb{\frac cd}$.<br /> Zachování součinu se ověří podobně.<br /> Opomněli jsme ověřit, že prvky inverzní k~prvkům z~oboru integrity komutují.<br /> Tedy nechť $xy=yx$, pak $y=x^\1yx$, a tedy $yx^\1=x^\1y$.<br /> Opět $h\qlb{\frac ab}=0 \Lequiv ab^\1=0 \Lequiv a=0$, tedy $h$ je prosté.<br /> <br /> Celkově dostáváme, že $T_R\cong U_R\cong h\qlb{U_R}\sg S$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Podílové těleso komutativního tělesa $T$ (jako oboru integrity) je izomorfní s~$T$.<br /> <br /> \xxxx{Charakteristika tělesa}<br /> <br /> \remark<br /> Řád jednotky $1$ jako prvku aditivní grupy $T\subplus$ tělesa $T$<br /> je nejmenší přirozené číslo $n\in\N$ takové, že $n\times 1=\underbrace{1+\cdots+1}_{\text{$n$-krát}}=0$.<br /> Pokud $(\AA n\in\N)(n\times 1\neq 0)$, má jednotka nekonečný řád.<br /> <br /> \lemma<br /> Jednotka má v~$T\subplus$ řád nekonečný nebo prvočíselný.<br /> <br /> \proof<br /> Lemma dokážeme sporem.<br /> Nechť $n=uv$ a $u,v&lt;n$.<br /> Pak $(u\times 1)\cdot(v\times 1)=(1+\ldots+1)(1+\ldots+1)=(uv)\times 1=n\times 1=0$,<br /> tedy $u\times 1$ a $v\times 1$ jsou dělitelé nuly, což je spor.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že těleso $T$ má \defined[těleso!charakteristika]{charakteristiku} (značíme $ch\ T$) $p\in\bbP$, resp. 0,<br /> má-li jednotka v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Všechna číselná tělesa (např. $Q$, $R$, $C$) mají charakteristiku 0.<br /> \item<br /> Každé konečné těleso má nenulovou charakteristiku.<br /> \item<br /> Těleso zbytkových tříd $Z_p$ má charakteristiku $p$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $T$ těleso charakteristiky $p$, resp. 0.<br /> Pak libovolný prvek $a\in T\supdot$, $a\neq 0$ má v~$T\subplus$ řád $p$, resp. nekonečný.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $n\times a=a+\ldots+a=1a+\ldots+1a=(1+\cdots+1)a=(n\times 1)a$.<br /> Tedy $n\times a=0\Lequiv n\times 1=0$, což jsme chtěli ukázat.<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Prvotěleso}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvotěleso]{Prvotělesem} tělesa $T$ rozumíme jeho nejmenší podtěleso (průnik všech jeho podtěles).<br /> Prvotěleso značíme $P_T$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $T$ těleso charakteristiky $p$, resp. 0.<br /> Potom prvotěleso $T$ je izomorfní s~tělesem zbytkových tříd $Z_p$, resp. s~tělesem racionálních čísel $Q$.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $P_T$ prvotěleso tělesa $T$.<br /> Pak nutně $1\in P_T$.<br /> Definuji $S:=\set{k\times1}{k\in\Z}$ a nutně $S \subseteq P_T$.<br /> Platí $(k\times1)-(\ell\times1)=(k-\ell)\times1\in S$ a $(\ell\times1)(k\times1)=\ell k\times1\in S$,<br /> tedy $S$ je podokruh okruhu $T$.<br /> <br /> Definujeme $\map hZS$ jako $h(k)=k\times 1$.<br /> Snadno ukážeme, že $h$ je epimorfismus.<br /> Podle věty o homomorfismu je $h(Z)=S\cong Z\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> Zkoumejme následující 2 možné případy:<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\ch T=p\in\bbP$} Pak $\ker h=\set{k\in\Z}{k\times 1=0}=I_p$.<br /> Tedy $S\cong Z\factorset{I_p}=Z_p$, a protože $p$ je prvočíslo, je $Z_p$ těleso.<br /> Z~izomorfie $S$ je také tělesem a platí $S\subset P_T$, a neboť $S$ je těleso a $P_T$ je nejmenší podtěleso,<br /> platí $S=P_T$ a $P_T\cong Z_p$.<br /> <br /> \ditem{$\ch T=0$} Pak $k\times1=0\Lequiv k=0$ a $\ker h=E=\{0\}$.<br /> A tedy $S\cong Z\factorset E\cong Z$, ale $Z$ není tělesem, je pouze oborem integrity,<br /> tedy i $S$ je oborem integrity a existují podílová tělesa $T_S$ a $T_Z$, která jsou izomorfní.<br /> Vezměme $U_S$ a definujme $\map g{U_S}T$ jako $g\qlb{\frac ab}=ab^\1$.<br /> O tomto zobrazení jsme již dříve ukázali, že je monomorfismus, tedy $U_S\cong g\qlb{U_S}\sg T$ (podtělesem).<br /> Ukážeme, že $g\qlb{U_S}=P_T$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> $P_T$ je nejmenší podtěleso, tedy $P_T\sse g\qlb{U_S}$.<br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> Mějme libovolné $y\in g\qlb{U_S}$, $y=ab^\1$, kde $a,b\in S\sse P_T$.<br /> Ale $P_T$ je těleso, tedy $y\in P_T$.<br /> \end{description}<br /> Tedy celkově máme $P_T=g\qlb{U_S}\cong U_S\cong T_S\cong T_Z=Q$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \remark<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Okruh $Z$ nemá dělitele nuly, ale $Z_m$ pro $m$ složené mají dělitele nuly.<br /> To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachová vlastnost nemíti dělitele nuly.<br /> \item<br /> Nechť $T$ je jednoduchý okruh, tj. jediné jeho ideály jsou $E$ a $T$.<br /> Ale všechny ideály jsou jádra všech homomorfismů.<br /> Tedy buď $\ker h=E$ a $h$ je monomorfismus, nebo $\ker h=T$ a $h(T)=\{0\}$, což zjevně není tělesem.<br /> To dává protipříklad k~domněnce, že obecný homomorfismus zachovává tělesovost.<br /> \end{enumerate}</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4560 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:54:17Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2)^\1<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4559 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:52:01Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h\subnat=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h\subnat=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4558 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:49:49Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4557 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:49:08Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4556 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:47:43Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebruss $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4555 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:47:04Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EH y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4554 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:42:14Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA r_1,r_2\in\Z, 0\leq r_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{r_1-r_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4553 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:39:15Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a\supdot=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4552 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:37:25Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. Podgrupu $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4551 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:35:23Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$. $\anglevector a$ nazýváme \defined[podgrupa!cyklická]{cyklická podgrupa} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4550 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:27:48Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze jednoznačně dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola5&diff=4549 01ALG:Kapitola5 2012-01-24T12:26:24Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Teorie grup}<br /> <br /> \xxxx{Grupoid. Pologrupa}<br /> <br /> \define<br /> Algebru $G=(M, \omega)$ s~binární operací $\omega$ nazýváme \defined[grupoid]{grupoid}.<br /> Operaci $\omega$ obvykle značíme $\cdot$ a říkáme \defined[grupoid!multiplikativní]{multiplikativní grupoid},<br /> nebo $+$ a říkáme \defined[grupoid!aditivní]{aditivní grupoid}.<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je asociativní neboli \defined[pologrupa]{pologrupa}, platí-li \defined[zákon!asociativní]{asociativní zákon}:<br /> $(\AA a,b,c\in M)((ab)c=a(bc))$.<br /> <br /> \def\aldotsa#1#2{a_{#1}\ldots a_{#2}}<br /> \define<br /> Definujeme \defined[součin!standardní]{standardní součin}:<br /> $(a_1)=a_1$;<br /> $(a_1 a_2)=a_1\cdot a_2$;<br /> $(\aldotsa 1n\,a_{n+1})=(\aldotsa 1n)a_{n+1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Platí-li asociativní zákon, pak platí i \defined[zákon!asociativní!zobecněný]{zobecněný asociativní zákon}:<br /> $$\bigl(\AA m,n\in\N\bigr)\bigl(\AA a_i\in M\bigr)<br /> \bigl((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})=(\aldotsa1{m+n})\bigr).$$<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($n=1$)] Plyne z~definice standardního součinu.<br /> \item[($n\rightarrow n+1$)]<br /> $(\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n}\, a_{m+n+1})<br /> =(\aldotsa 1m)((\aldotsa{m+1}{m+n}) a_{m+n+1})<br /> =\\<br /> ((\aldotsa 1m)(\aldotsa{m+1}{m+n})) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n}) a_{m+n+1}<br /> =(\aldotsa 1{m+n+1})<br /> $.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupoid $G=(M, \cdot)$ je \defined[grupoid!komutativní]{komutativní grupoid},<br /> platí-li \defined[zákon!komutativní]{komutativní zákon}:<br /> $(\AA a,b\in M)(ab=ba)$.<br /> <br /> \define<br /> $\pS n$ je množina všech permutací množiny $\widehat n$.<br /> <br /> \lemma<br /> V komutativní pologrupě platí \defined[zákon!komutativní!zobecněný]{zobecněný komutativní zákon}:<br /> $$(\AA n\in\N)(\AA\pi\in\pS n)(\aldotsa 1n=\aldotsa{\pi(1)}{\pi(n)})$$<br /> <br /> \proof<br /> Platí, že každé $\pi\in\pS n$ je konečným složením sousedních transpozicí.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V~pologrupě definujeme pro $a\in M$ a $n\in\Nz$ \defined[mocnina!přirozená]{přirozenou mocninu}:<br /> $$a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}_{\text{$n$-krát}}.$$<br /> V~aditivní pologrupě používáme označení $n\times a$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $G = (\Q, \oplus), x \oplus y = \frac{x+y}{2}$ není asociativní.<br /> \item $(\C^{n,n}, +)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[pologrupy!číselné]{Číselné pologrupy}: nosičem je vždy podmnožina $\C$, operace jsou<br /> přirozené operace na číslech, tj. $(+)$ nebo $(\cdot)$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, +)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!aditivní celých čísel]{aditivní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\Z, \cdot)$ je komutativní pologrupa nazývaná<br /> \defined[pologrupa!multiplikativní celých čísel]{multiplikativní pologrupa celých čísel}.<br /> \item $(\N, \cdot)$ je komutativní pologrupa.<br /> \end{enumerate}<br /> \item $(\Z, -)$ je grupoid.<br /> \item Nechť $A\neq\emptyset$ a $M=\{\map fAA\}$ a $\omega=\circ$ je operace složení zorazení.<br /> Pak $(M, \circ)$ je pologrupa (nekomutativní) a nazývá se<br /> \defined[pologrupa!symetrická]{symetrická pologrupa} na $A$.<br /> \item $(\C^{n,n}, \cdot)$ je pologrupa (nekomutativní).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> \defined[prvek (algebra)!neutrální]{Neutrálním prvkem} grupoidu $G=(M, \cdot)$ rozumíme libovolný prvek<br /> $e\in M$ takový, že<br /> $(\AA a\in M)(ea=ae=a)$.<br /> Obyčejně značíme v~multiplikativním grupoidu $e:=1$ a nazýváme \defined[jednotka (grupoidy)]{jednotka}<br /> a v~aditivním $e:=0$ a nazýváme \defined[nula (grupoidy)]{nula}.<br /> <br /> \lemma<br /> Grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $e_1$, $e_2$ jsou neutrální prvky.<br /> Pak $e_1=e_1e_2=e_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupoid s~jednotkou.<br /> \defined[prvek (algebra)!inverzní]{Inverzním prvkem} k~$a\in M$ je prvek $a^\1$ takový, že $a^\1a=aa^\1=1$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~pologrupě s~jednotkou má každý prvek nejvýše jeden prvek inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $a_1$ a $a_2$ jsou inverzní k~$a$.<br /> Pak $a_1=a_11=a_1(aa_2)=(a_1a)a_2=a_2$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Prvky, ke kterým existuje inverzní prvek, se nazývají \defined[prvek (algebra)!invertibilní]{invertibilní}<br /> nebo \defined[prvek (algebra)!regulární]{regulární}.<br /> V aditivním grupoidu používáme název \defined[prvek (algebra)!opačný]{opačný prvek} a značku $-a$.<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s dělením]{lze dělit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b\in M)(\EE x,y\in M)(ax=b\;\Land\;ya=b).$$<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že v grupoidu $G=(M,\cdot)$ \defined[grupoid!s krácením]{lze krátit}, platí-li, že<br /> $$(\AA a,b,c\in M)\bigl((ac=bc \Lor ca=cb)\Limpl a=b\bigr).$$<br /> <br /> \example<br /> V~pologrupě $(\N,+)$ lze krátit, neboť $a+c=b+c\Limpl a=b$,<br /> ale nelze dělit, neboť $a+x=b$ nemá vždy řešení.<br /> Má tedy smysl pojmy zavádět nezávisle, neboť krácení a dělení ze sebe nevyplývají.<br /> <br /> \xxxx{Grupa}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa $G$, ve které lze dělit, se nazývá \defined[grupa]{grupa}.<br /> Je-li navíc $G$ komutativní, nazývá se \defined[grupa!Abelova]{Abelova grupa}.<br /> <br /> \theorem<br /> V~libovolné grupě existuje jednotka a každý prvek má inverzní.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Víme, že $(\AA a,b)(\EE x,y)(ax=b\;\Land\;ya=b)$.<br /> Tedy pro konkrétní $a$ existuje $e$ tak, že $ae=a$.<br /> Ukážeme, že $e$ je jednotka.<br /> Mějme libovolné $b\in M$.<br /> Pak $(\EE y)(ya=b)$ a $be=(ya)e=y(ae)=ya=b$.<br /> Tedy $e$ je univerzální pravá jednotka.<br /> Symetricky ukážeme existenci univerzální levé jednotky $e'$.<br /> Platí $e'=e'e=e=:1$, tedy existuje jen jedna jednotka a je pravá i levá.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> Označme $a_P$ řešení $ax=1$ a $a_L$ řešení $ya=1$.<br /> Pak $a_L=a_L1=a_L(aa_P)=(a_La)a_P=1a_P=a_P$.<br /> Tedy existuje inverzní a je jeden.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $G$ je pologrupa, ve které existuje pravá jednotka $e$ a libovolný prvek $a$ má zprava inverzní prvek $a^\1$<br /> vzhledem k~$e$.<br /> Pak $G$ je grupa (tj. lze v~$G$ dělit).<br /> <br /> \proof<br /> $$ea=eae=eaa^\1(a^\1)^\1=ee(a^\1)^\1=e(a^\1)^\1=aa^\1(a^\1)^\1=ae=a,$$<br /> tedy $e$ je i levou jednotkou.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> V grupě definujeme pro $a\in G^\bullet$ a pro $n\in\Z$ \defined[mocnina!celá]{celou mocninu}:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a^n$ definované dříve;<br /> \item $a^0:=1$;<br /> \item $a^{-n}:=(a^\1)^n=(a^n)^\1$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> V~aditivní grupě $G=(G^\bullet, +)$ používáme pro $n\geq1$ zápis $n\times a:=\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{$n$-krát}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> V~libovolné grupě platí $\left(a^n\right)^l=a^{nl}$,<br /> v~Abelově grupě navíc $(ab)^n=a^nb^n$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z; +)$ je \defined[grupa!aditivní celých čísel]{aditivní grupa celých čísel} a je Abelova.<br /> \item $(\Q\sm\{0\},\cdot)$ je \defined[grupa!multiplikativní nenulových racionálních čísel]{%<br /> multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel} a je Abelova.<br /> \item Obdobně pro $\R\sm\{0\}$ a $\C\sm\{0\}$.<br /> \item<br /> Nechť $A\neq\emptyset$, $M=\{\maptype fA{bij}A\}$.<br /> Pak $(M, \circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa} na $A$.<br /> Jednotkou je identické zobrazení a inverzním prvkem k $f$ je $f^\1$.<br /> \item Symetrickou grupu na $\hatn n$ značíme $\pS n$.<br /> \item $E=(\{1\}, \cdot)$ je nejmenší možná grupa nazývaná \defined[grupa!triviální]{triviální grupa}.<br /> \item Pro $n\in\N$ a pro $k\in\hatn n$ definujeme $a_k=\cos\frac{2k\pi}n+i\sin\frac{2k\pi}n$ a nazýváme je\break<br /> \defined[komplexní $n$-té odmocniny z~1]{komplexní $n$-té odmocniny z~1}.<br /> Platí $a_ka_l=a_{k+l}$ (nebo $a_ka_l=a_{k+l-n}$ pokud $k+l&gt;n$).<br /> Jednotka je $1=a_n$ a $a_k^\1=a_{n-k}$.<br /> Označme $\sqrt[n]1=\set{a_k}{k\in\hatn n}$.<br /> Pak $(\sqrt[n]1, \cdot)$ je Abelova grupa.<br /> \item<br /> Nechť $V$ je vektorový prostor.<br /> Pak $(V, +)$ je Abelova grupa.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Pologrupa s~jednotkou se nazývá \defined[monoid]{monoid}.<br /> <br /> \example<br /> Monoid slov.<br /> Nechť $\bbA\neq\emptyset$ je abeceda.<br /> Pak $\alpha=a_1\ldots a_n$ je slovo.<br /> Označme $\bbA^+$ množinu všech neprázdných slov, $\varepsilon$ prázdné slovo<br /> a $\bbA^*=\bbA^+\cup\{\varepsilon\}$ množinu všech slov.<br /> Definujme operaci zřetězení $\circ$ tak, že $\alpha\circ\beta=a_1\ldots a_n\,b_1\ldots b_m$.<br /> Pak $(\bbA^+, \circ)$ je pologrupa a $(\bbA^*, \circ)$ je monoid.<br /> <br /> \xxxx{Podgrupa}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupa.<br /> Řekneme, že množina $N\sse M$, $N\neq\emptyset$ je \defined[uzavřenost!v grupě]{uzavřená} v~$G$, platí-li:<br /> $$(\AA a,b\in N)(ab^\1\in N).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $N$ uzavřená v~$G=(M, \cdot)$, pak je $H=(N, \cdot)$ grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $H$ splňuje základní vlastnosti grupy:<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[(existence jednotky)]<br /> Vezmu libovolné pevné $a\in N$ a položím $b:=a$.<br /> Pak vím, že $aa^\1=1\in N$.<br /> <br /> \item[(invertibilita)]<br /> K~libovolnému $b\in N$ položím $a:=1$.<br /> Pak vím, že $1b^\1=b^\1\in N$.<br /> <br /> \item[(uzavřenost vůči operaci)]<br /> K~libovolným $a,c\in N$ položím $b:=c^\1$.<br /> Pak vím, že $ac^\1=ab\in N$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> $H$ definované v~předchozím lemmatu nazýváme \defined[podgrupa]{podgrupa} grupy $G$ a značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $G\sg G$, $E\sg G$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[podgrupa!netriviální]{Netriviální podgrupa} je taková $H\sg G$, že platí $H\neq G$ a $H\neq E$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa a pro $i\in I$ buď $H_i=(N_i,\cdot)$ systém jejích podgrup.<br /> Potom $H:=\bigcap\limits_{i\in I}H_i=\Bigl(\bigcap\limits_{i\in I}N_i, \cdot\Bigr)\sg G$.<br /> <br /> \proof<br /> Nezbytně $1\in H_i$ tedy $H\neq\emptyset$.<br /> $(\AA a,b\in H)(\AA i\in I)(a,b\in H_i)\Limpl (\AA a,b\in H)(ab^\1\in H_i)\Limpl ab^\1\in H$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ a $a\in M$.<br /> Pak označujeme $\anglevector a$ nejmenší podgrupu (ve smyslu inkluze) grupy $G$ obsahující $a$,<br /> tj. $\anglevector a=\bigcap\limits_{{H\sg G}\atop{\;a\in H,}} H$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector a=\set{a^k}{k\in\Z}.$<br /> <br /> \proof<br /> Je uzavřená vůči testovací podmínce, je podgrupou a je zjevně nejmenší.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M, \cdot)$ je grupa, $N\sse M$ libovolná její podmnožina.<br /> Pak definujeme \defined[podgrupa!generovaná množinou]{podgrupu generovanou $N$} jako<br /> $\anglevector N=\bigcap\set{H\sg G}{N\sse H\supdot}$.<br /> Množinu $N$ nazýváme \defined[podgrupa!generátor]{generátor} $\anglevector N$.<br /> <br /> \lemma<br /> $\anglevector N\supdot=\set{a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}}{n\in\Nz, a_i\in N, k_i\in\Z}=:K$.<br /> <br /> \proof<br /> Zjevně nemůže být $\anglevector N\supdot$ menší, stačí tedy ukázat, že $K$ je podgrupou:<br /> Nechť $a=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\in K$ a $b=b_1^{\ell_1}\cdots b_m^{\ell_m}\in K$ a potom<br /> $ab^\1=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}\,b_m^{-\ell_m}\cdots b_1^{-\ell_1}$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $H, K\sg G$.<br /> Pak definujeme \defined[součin!podgrup]{součin podgrup} $H\cdot K=\anglevector{H\supdot\cup K\supdot}$.<br /> \item<br /> Nechť pro všechna $i\in I$ je $H_i\sg G$.<br /> Pak definujeme $\prod\limits_{i\in I}H_i=\Bigl\langle\bigcup\limits_{i\in I}H_i\supdot\Bigr\rangle$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Nechť $S$ je množina sudých celých čísel.<br /> Pak $(S,+)\sg(\Z, +)$ je netriviální podgrupa.<br /> Ověříme uzavřenost: $(\AA a,b\in S)(a-b\in S)$, což ale zjevně platí.<br /> \item<br /> $\pS n$ je grupa permutací $\hatn n$, nechť $\AM n$ je množina všech sudých permutací (přesná definice dále).<br /> Pak všechna $\pi,\sigma\in\AM n$ jsou složením sudého počtu transpozicí<br /> a inverze vznikne přečtením transpozic pozpátku.<br /> Tedy $(\AM n, \circ)\sg(\pS n, \circ)$, kterou nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující grupa}.<br /> <br /> $\abs{\pS n}=n!$; pro $n\geq 2$ je $\abs{\pA n}=n!/2$.<br /> \item<br /> $(\sqrt[n]1, \cdot)\sg(\C, \cdot)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Řád prvku grupy}<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $a\in M$.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a$ má \defined[prvek (algebra)!řád!nekonečný]{nekonečný řád}, pokud $(\AA k,\ell\in\Z, k\neq\ell)(a^k\neq a^\ell)$.<br /> \item<br /> Nemá-li $a$ nekonečný řád, pak má \defined[prvek (algebra)!řád!konečný]{konečný řád}<br /> a \defined[prvek (algebra)!řád]{řádem prvku} $a$ rozumíme $\min\set{r\in\N}{a^r=1}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in G$ má řád $r$ a pro nějaké $k\in\Z$ je $a^k=1$.<br /> Pak $r\mid k$.<br /> <br /> \proof<br /> V~celých číslech platí princip dělení se zbytkem (důkladně probereme níže):<br /> $$(\AA k, r\in\Z, r\neq 0)(\EE \ell, R\in\Z, 0\leq R&lt;r)(k=r\ell+R).$$<br /> Platí $a^R=a^k(a^r)^{-\ell}=1$, tedy $R\in\N$ a $R&lt;r$, což je spor s~tím, že $r$ je řád $a$.<br /> Tedy $R=0$ a $r\mid k$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa.<br /> Řekneme, že $G$ je<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[grupa!periodická]{periodická}/\defined[grupa!torzní]{torzní}, má-li libovolný její prvek konečný řád;<br /> \item \defined[grupa!bez torze]{bez torze}, pokud má každý prvek různý od $1$ nekonečný řád;<br /> \item \defined[grupa!smíšená]{smíšená} v~ostatních případech.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná konečná grupa je periodická.<br /> <br /> \example Ukážeme, že nekonečné grupy mohou být periodické, bez torze i smíšené.<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Označme $G_n=(\sqrt[n]1,\cdot)$ a $M=\bigcup\limits_{n\in\N}G_n=\set{\cos2q\pi+i\sin2q\pi}{q\in\Q}$.<br /> Pak $M$ je uzavřená v~$(\C,\cdot)$: $a,b\in M$, $a\in G_k$, $b\in G_\ell$.<br /> $(ab^\1)^{kl}=(a^k)^\ell(b^\ell)^{-k}=1\cdot1=1$, tedy $ab^\1\in G_{k\ell}$.<br /> Zjevně $(M, \cdot)$ je nekonečná grupa a řád prvku $a\in G_k$ je nejvýše roven $k$.<br /> Tedy $(M, \cdot)$ je nekonečná a periodická.<br /> \item<br /> $(\Z,+)$ je zjevně bez torze, neboť pro $z\in\Z$ je $k\times n=0 \Lequiv z=0$.<br /> \item<br /> $(\C,\cdot)$ je smíšená, neboť $(M,\cdot)\sg(\C,\cdot)$ je periodická a např. číslo $2\in\C$ má nekonečný řád.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (algoritmus dělení, o dělení se zbytkem)<br /> $$(\AA k, \ell\in\Z, \ell\neq0)(\EE_1 q,r\in\Z)(k=q\ell+r \;\Land\; 0\leq r&lt;\abs\ell).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{existence}<br /> Položme $q':=\intpart{\frac k{\abs\ell}}$, tedy $q'\leq\frac k{\abs\ell}&lt;q'+1$.<br /> Pak $q'\abs\ell\leq k&lt;q'\abs\ell+\abs\ell$, tedy pro $r:=k-q'\abs\ell$ platí $0\leq r&lt;\abs\ell$.<br /> Položme $q:=q'\sgn\ell$, pak platí $q\ell+r=q'\ell\sgn\ell+r=q'\abs\ell+k-q'\abs\ell=k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Mějme druhou dvojici $\tilde q, \tilde r$ splňující tvrzení věty a pro spor nejprve předpokládejme,<br /> že $q\neq\tilde q$.<br /> Potom $\abs{\tilde r-r}=\abs{(k-\tilde q\ell)-(k-q\ell)}=\abs{q\ell-\tilde q\ell}=<br /> \abs\ell\abs{q-\tilde q}\geq\abs\ell\cdot1$.<br /> Ale $(\AA q_1,q_2\in\Z, 0\leq q_{1,2}\leq\abs\ell-1)(\abs{q_1-q_2}\leq\abs\ell-1)$, což je spor.<br /> Tedy $q=\tilde q$ a $r=k-q\ell=k-\tilde q\ell=\tilde r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[největší společný dělitel]{Největší společný dělitel} $k,\ell\in\Z$ je takové $d\in\Z$, že:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $d\mid k$, $d\mid\ell$;<br /> \item $d'\mid k \Land d'\mid\ell \Limpl d'\mid d$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> Je-li číslo $d$ největší společný dělitel, pak i číslo $-d$ je největší společný dělitel.<br /> <br /> \theorem<br /> K libovolným číslům $k,\ell\in\Z$ existuje největší společný dělitel $d$ a existují $u,v\in\Z$ takové, že<br /> $$d=uk+v\ell.$$<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $k,\ell\neq0$.<br /> Označme $D:=\set{uk+v\ell}{u,v\in\Z}\sse\Z$.<br /> Množina $D$ je uzavřená na součty a $\Z$-násobky.<br /> Definujme $d:=\min\set{x\in D}{x&gt;0}$ a ukážeme, že je největší společný dělitel.<br /> <br /> $k=dq+r$, kde $q\in\Z$ a $0\leq r&lt;d$.<br /> $r=k-dq$, kde $k\in D$ a $dq\in D$, tedy $r\in D$ a $r&lt;d$, tedy musí $r=0$, jinak by $r&gt;0\Land r&lt;d$.<br /> Tedy $d\mid k$ a sjeným postupem $d\mid\ell$.<br /> <br /> Nechť $d'\mid k$ a $d'\mid\ell$.<br /> Z~toho vyplývá, že $d'$ dělí všechna čísla v~$D$, tedy i $d'\mid d$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nezáporný největší společný dělitel $k$ a $\ell$ budeme značit $\gcd(k,\ell)$.<br /> Řekneme, že $k$ a $\ell$ jsou \defined[nesoudělnost]{nesoudělná}, když $\delta(k,\ell)=1$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[násobek!nejmenší společný]{Nejmenší společný násobek} čísel $k$ a $\ell$ označujeme $\lcm(k,\ell)$<br /> a je to nejmenší takové $m\in\N$, že $k\divides m$ a $\ell\divides m$.<br /> <br /> \xxxx{Cyklické grupy}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že grupa $G$ je \defined[grupa!cyklická]{cyklická}, je-li rovna některé ze svých cyklických podgrup, tedy<br /> $(\EE a\in G)(G=\anglevector a=\set{a^n}{n\in\Z})$.<br /> Prvek $a$ nazýváme \defined[grupa!cyklická!generátor]{generátor} grupy $G$.<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Každá cyklická grupa je Abelova.<br /> \item Každá cyklická grupa je nejvýše spočetná.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $Z=(\Z,+)$ je nekonečná cyklická grupa generovaná prvkem $1$ nebo $-1$:<br /> $$Z=(\Z,+)=\anglevector 1=\anglevector\1.$$<br /> \item Pro každé $n\in\N$ je $\sqrt[n]1$ konečná cyklická grupa s~řádem $n$,<br /> generátorem je např. $a_1=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolná podgrupa cyklické grupy je cyklická.<br /> <br /> \proof<br /> $G=\anglevector a$, $H\sg G$. Pro $H=E$ je generátorem jednotka.<br /> Označme $p=\min\set{i\in\N}{a^i\in H}$.<br /> Ukážeme, že $\anglevector {a^p}=H$.<br /> \begin{description}<br /> \item[($\sse$)]<br /> Zřejmé.<br /> \item[($\supseteq$)]<br /> Vezměmě libovolné $x\in H$.<br /> Pak $(\EE q\in\Z)(x=a^q)$.<br /> Označme $d=\delta(p,q)=up+vq$.<br /> Potom $a^d=a^{up+vq}=\left(a^p\right)^u\cdot\left(a^q\right)^v\in H$.<br /> $p$ je nejmenší, tedy $d\geq p$, ale $d\mid p$, tedy $d\leq p$, což dohromady dává $p=d$.<br /> Současně $d\mid q$, tedy $q=pr$ a $a^q=\left(a^p\right)^r\in\anglevector{a^p}$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nekonečná cyklická grupa $\anglevector a$ má právě 2 generátory, a to $a$ a $a^\1$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=\anglevector a$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $1\leq k\leq n$.<br /> Potom $a^k$ generuje $G$ právě tehdy, když jsou $k$ a $n$ nesoudělná.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($\Rightarrow$)]<br /> $G=\anglevector{a^k}$. Tedy $a=\qlb{a^k}^u$. Z~toho vyplývá, že $a^{ku-1}=1$.<br /> Každý generátor má řád $n$, tedy $a$ má řád $n$, tedy $ku-1=vn$, tedy $uk-vn=1$, tedy $\delta(k,n)=1$.<br /> \item[($\Leftarrow$)]<br /> Z~nesoudělnosti existují $u$, $v$ tak, že $uk+vn=1$.<br /> Dále $a=a^1=a^{uk+vn}=\qlb{a^k}^u\qlb{a^n}^v=\qlb{a^k}^u1^v=\qlb{a^k}^u$.<br /> Tedy pro libovolné $x\in G$ je $x=a^r=\qlb{a^{uk}}^r$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Definujeme \defined[funkce!Eulerova]{Eulerovu funkci} $\map\phi\N\N$, kde $\phi(n)$ je počet čísel<br /> z~$\hatn n$ nesoudělných s $n$.<br /> <br /> \lemma<br /> $n$ je prvočíslo právě tehdy, když $\phi(n)=n-1$.<br /> <br /> \xxxx{Kongruence}<br /> <br /> \define<br /> Mějme grupoid $G=(M,\cdot)$ a mějme ekvivalenci $\equiv$ na $M$.<br /> Pak pro libovolné $x\in M$ definujeme $T_x$ jako třídu ekvivalence podle $\equiv$, která obsahuje $x$,<br /> tedy $x\in T_x\in M\factorset\equiv$ (korektnost je zajištěna disjunktností tříd ekvivalence).<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ ekvivalence na $G$.<br /> Řekneme, že $\equiv$ je \defined[kongruence (grupy)]{kongruence} na $G$, platí-li, že<br /> $$\bigl(\AA a,b,c,d\in M\bigr)\bigl((a\equiv b\Land c\equiv d)\Limpl ac\equiv bd\bigr).$$<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $G$.<br /> Pak definujeme součin tříd ekvivalence $M\factorset\equiv$ jako $T_a\cdot T_b=T_{ab}$.<br /> (Korektnost definice je zajištěna definující vlastností kongruence.)<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak definujeme \defined[faktorgrupoid]{faktorgrupoid} $G$ jako $G\factorset\equiv:=(M\factorset\equiv, \cdot)$<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G=(M,\cdot)$ grupoid a $\equiv$ kongruence na $M$.<br /> Pak $G\factorset\equiv$<br /> je pologrupa, resp.<br /> je komutativní, resp.<br /> má jednotkou,<br /> resp. je grupa,<br /> má-li odpovídající vlastnost i $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny body jsou obdobné, ukážeme asociativitu (pologrupa).<br /> Nechť $T_a, T_b, T_c\in M\factorset\equiv$.<br /> Pak $(T_a T_b)T_c=T_{ab}T_c=T_{(ab)c}=T_{a(bc)}=T_aT_{bc}=T_a(T_bT_c)$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Mějme $Z=(\Z,+)$ a libovolné $m\in\Z$.<br /> Pak definujeme \defined[kongruence!modulo $m$]{kongruenci modulo $m$} (značíme $\equiv_m$) následovně:<br /> $$a\equiv_m b\iff(\EE s\in\Z)(a-b=sm).$$<br /> Třídy $Z\factorset{\equiv_m}$ se nazývají \defined[třídy!zbytkové]{zbytkové třídy} po dělení $m$.<br /> Faktorgrupu $Z\factorset{\equiv_m}$ označujeme $Z_m$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace $\equiv_m$ je kongruence na $Z$.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme, že $\equiv_m$ je ekvivalence a splňuje definiční podmínku kongruence.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita} Platí $a-a=0=0m$.<br /> \ditem{symetrie} Nechť $a-b=sm$. Pak $b-a=-sm=(-s)m$.<br /> \ditem{tranzitivita} Nechť $a-b=sm$ a $b-c=tm$. Pak $a-c=(a-b)+(b-c)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \ditem{kongruence} Nechť $a-b=sm$ a $c-d=tm$. Pak $(a+c)-(b+d)=sm+tm=(s+t)m$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=0$} $a\equiv_0 b\Lequiv 0\mid a-b\Lequiv a=b$, tedy každý prvek má svou jednoprvkovou třídu.<br /> \ditem{$m=1$} $a\equiv_1 b\Lequiv 1\mid a-b$, tedy všechny prvky leží ve stejné třídě.<br /> \end{description}<br /> <br /> \lemma<br /> Pro $m\geq 1$ platí, že dvě celá čísla jsou v~jedné třídě $\Z\factorset{\equiv_m}$ právě tehdy,<br /> když dávají stejný zbytek po dělení $m$.<br /> Tedy tříd ekvivalence podle $\equiv_m$ je $m$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $a_1, a_2\in\Z$, $a_1\EH m a_2$.<br /> Pak $a_1=mq_1+r_1$, $a_2=mq_2+r_2$ a $a_1-a_2=sm$.<br /> Odečtením prvních dvou máme $a_1-a_2=m(q_1-q_2)+(r_1-r_2)=sm$, $r_1-r_2=m(q_1-q_2-s)$, tedy $m\mid r_1-r_2$,<br /> ale protože $0\leq r_{1,2}&lt;m$, je nutně $r_1=r_2$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Víme, že $r_1=r_2$, tedy $a_1-a_2=m(q_1-q_2)$, tedy $s=q_1-q_2$ a $a_1\equiv_m a_2$.<br /> \ditem{$\abs{\Z\factorset{\equiv_m}}=m$}<br /> Toto je zjevné z předchozího.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Faktorgrupa $Z_m$ grupy $Z = (\Z, +)$ podle $\equiv_m$ je cyklická s generátorem $T_1$, tedy $Z_m=\anglevector{T_1}$.<br /> <br /> \xxxx{Homomorfismus}<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1=(M_1, \cdot)$, $G_2=(M_2, \cdot)$ grupoidy.<br /> Řekneme, že $\map h{M_1}{M_2}$ je \defined[homomorfismus (grupoidy)]{homomorfismus} grupoidů, pokud platí:<br /> $$(\AA x,y\in M_1)\bigl(h(xy)=h(x)h(y)\bigr)$$<br /> a budeme též značit $\map h{G_1}{G_2}$.<br /> <br /> \define<br /> Homomorfismus $h$ se nazývá:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[monomorfismus (grupoidy)]{monomorfismus}, je-li prostý (injekce);<br /> \item \defined[epimorfismus (grupoidy)]{epimorfismus}, je-li na (surjekce);<br /> \item \defined[izomorfismus (grupoidy)]{izomorfismus}, je-li prostý a na (bijekce);<br /> \item \defined[endomorfismus (grupoidy)]{endomorfismus}, je-li $G_1=G_2$.<br /> \item \defined[automorfismus (grupoidy)]{automorfismus}, je-li izomorfní endomorfismus (bijekce $G\rightarrow G$).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Existuje-li izomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$, nazýváme grupoidy \defined[grupoid!izomorfismus]{izomorfní}<br /> a značíme $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \example<br /> $G_1:=(\R^+, \cdot)$, $G_2:=(\R, +)$. Definujeme $\map h{G_1\supdot}{G_2\supdot}$ jako $h(x)=\ln x$.<br /> Zjevně $h(xy)=h(x)+h(y)$, tedy $h$ je morfismus a z analýzy víme, že je bijekcí.<br /> Tedy $G_1\cong G_2$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G=(M, \cdot)$ grupu a kongruenci $\equiv$ na $G$.<br /> Definujeme \defined[zobrazení!přirozené]{přirozené zobrazení}<br /> (\defined[epimorfismus (grupoidy)!přirozený]{přirozený epimorfismus}) $\map{h\subnat}{G}{G\factorset\equiv}$<br /> jako $h\subnat(x)=T_x$.<br /> <br /> \lemma<br /> $h\subnat$ je epimorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> Platí $h\subnat(xy)=T_{xy}=T_xT_y=h\subnat(x)h\subnat(y)$, tedy $h$ je homomorfismus.<br /> Současně pro každou třídu $T_x$ platí $T_x=h\subnat(x)$, tedy je na.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Libovolné 2 nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní.<br /> Libovolné 2 cyklické grupy s~počtem prvků $n\in\N$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolnou $G=\anglevector a$ nekonečnou.<br /> Ukážeme, že $G\cong Z=(\Z, +)$.<br /> Definujeme $\map hGZ$ jako $h(a^n)=n\times1=n$.<br /> Pak $h$ je prosté zobrazení ($m\neq n \Lequiv a^m\neq a^n$), a neboť je $G$ nekonečná, je na.<br /> Operace $\cong$ na grupách je ekvivalencí, tedy pro libovolné $G_1$, $G_2$<br /> je $G_1\cong Z$ a $G_2\cong Z$, tedy $G_1\cong G_2$.<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \define<br /> Nechť $G=(M,\cdot)$ je grupoid, $N\sse M$.<br /> Pak $H=(N,\cdot)$ nazveme \defined[podgrupoid]{podgrupoid} grupoidu $G$, pokud<br /> je $H$ grupoid, tedy $(\AA x,y\in H)(xy\in H)$.<br /> Značíme $H\sg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $h(G_1)\sg G_2$.<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu)<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak existuje kongruence (označovaná $\equiv_h$) na $G_1$ taková, že<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}$, kde $h(G_1)$ značí obor hodnot $h$.<br /> <br /> \proof<br /> Definujeme $\equiv_h$ jako $x\equiv_h y\Lequiv h(x)=h(y)$, tedy $\equiv_h$ je zjevně ekvivalence<br /> (je definovaná pomocí rovnosti)<br /> Nechť $a\equiv_hb$ a $c\equiv_hd$.<br /> Pak $h(ac)=h(a)h(c)=h(b)h(d)=h(bd)$, tedy $ac\equiv_h bd$ a $\equiv_h$ je kongruence.<br /> <br /> Definujeme $\map g{{G_1}\factorset{\equiv_h}}{h(G_1)}$ jako $g(T_x)=h(x)$.<br /> Definice je korektní, neboť $T_x=T_y \Lequiv h(x)=h(y)$, z~toho též vyplývá, že $g$ je prosté.<br /> Z definice $g$ pomocí $h$ plyne, že pokryje celé $h(G_1)$, tedy je na.<br /> Je homomorfismus, neboť $g(T_xT_y)=g(T_{xy})=h(xy)=h(x)h(y)=g(T_x)g(T_y)$.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Všimněme si, jak souvisí korektnost definice s~prostotou.<br /> Pokud by bylo $T_x=T_y$ a zároveň $h(x)\neq h(y)$, pak definice není korektní.<br /> Pokud by bylo $h(x)=h(y)$ a zároveň $T_x\neq T_y$, pak zobrazení není prosté.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grupoidů<br /> a buď $g$ zobrazení definované v~důkazu předchozí věty.<br /> Pak $h\subnat=g^\1h$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupoidy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Je-li $G_1$ pologrupa, resp. je komutativní, resp. má jednotku, resp. je grupa,<br /> má tutéž vlastnost i grupoid $h(G_1)$.<br /> <br /> \proof<br /> Důkaz všech bodů je obdobný, ukážeme přenos jednotky.<br /> Nechť $1\in G_1$, pak $h(1)$ je jednotkou v~$h(G_1)$.<br /> Neboť pro libovolné $y\in h(G_1)$ existuje $x\in G_1$ takové, že $y=h(x)$.<br /> Potom $yh(1)=h(x)h(1)=h(x1)=h(x)=y$. Podobně zleva.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sse M$. Pak definujeme \defined[součin!podmnožin]{součin podmnožin} $A\cdot B$ jako<br /> $A\cdot B:=\set{ab}{a\in A, b\in B}$.<br /> (Vztah mezi součinem podmnožin a podgrup osvětlíme později.)<br /> Je-li $B=\{b\}$, pak značíme $AB=Ab=\set{xb}{x\in A}$.<br /> <br /> \define<br /> Buď $H\sg G$ podgrupa grupy, definujeme následující 2 relace:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $a\HE Hb\Lequiv b^\1a\in H$;<br /> \item $a\EH Hb\Lequiv ab^\1\in H$;<br /> \end{enumerate}<br /> které nazýváme \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!levá]{levá},<br /> resp. \defined[ekvivalence indukovaná podgrupou!pravá]{pravá ekvivalence} indukovaná podgrupou $H$.<br /> <br /> \lemma<br /> Indukované relace jsou ekvivalence.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{reflexivita}<br /> $a\HE H a\Lequiv a^\1a\in H$, ale $a^\1a=1$.<br /> \ditem{symetrie}<br /> $a\HE Hb \Lequiv b^\1a\in H\supdot \Lequiv\qlb{b^\1a}^\1=a^\1b\in H\supdot<br /> \Lequiv a\HE Hb$.<br /> \ditem{tranzitivita}<br /> $a\HE Hb \Land b\HE Hc \Lequiv b^\1a,c^\1b\in H\supdot \Limpl c^\1bb^\1a\in H\supdot \Limpl<br /> c^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hc$.<br /> \end{description}<br /> Podobně lze ukázat totéž pro $\EH H$.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> Zvolme $b=1$. Pak $a\HE H1\Lequiv a\in H$ a současně $a\EH H1\Lequiv a\in H$,<br /> tedy $H$ je jedna ze tříd ekvivalence podle obou indukovaných ekvivalencí.<br /> <br /> \lemma<br /> Označme $T^L_a$ resp. $T^P_a$ třídu ekvivalence podle $\HE H$, resp. $\EH H$ obsahující $a\in G\supdot$.<br /> Potom $T^L_a=aH\supdot$ a $T^P_a=H\supdot a$.<br /> <br /> \proof<br /> Opět lemma ukážeme pro levou ekvivalenci.<br /> $T^L_a$ je třída $\HE H$ obsahující $a$.<br /> Mějme libovolné $x\in G$.<br /> Pak $x\in T^L_a \Lequiv x\HE Ha \Lequiv a^\1x\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(a^\1x=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ah) \Lequiv x\in aH\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Libovolné 2 třídy rozkladů dle $\HE H$ či $\EH H$ jsou (množinově) ekvivalentní.<br /> (\uv{Každá třída má stejně prvků.})<br /> \item Levý rozklad je (množinově) ekvivalentní s~pravým rozkladem.<br /> (\uv{Levých a pravých tříd je stejný počet.})<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> <br /> \item<br /> Libovolné 2 levé třídy $aH\supdot$ a $bH\supdot$.<br /> Definujme $\map f{aH\supdot}{bH\supdot}$ jako $f(x)=ba^\1x$.<br /> Nechť $x=ah$, pak $f(x)=bh\in bH\supdot$ tedy definice je korektní.<br /> Mějme $y=bh$, pak $y=f(x) \Lequiv ba^\1x \Lequiv h=a^\1x \Lequiv x=ah\in aH\supdot$.<br /> Podobně dokážeme, že všechny pravé jsou ekvivalentní.<br /> Z~tranzitivity a z~toho, že $H\supdot$ je v~obou faktorizacích, vyplývá,<br /> že všechny levé třídy jsou ekvivalentní se všemi pravými.<br /> \item <br /> Definujeme $\map g{M\factorset{\HE H}}{M\factorset{\EH H}}$ jako $g(aH\supdot)=H\supdot a^\1$.<br /> Zjevně je na, neboť $a^\1$ projde celé $G$ právě tehdy, když $a$ projde celé $G$.<br /> Platí:<br /> $g(aH\supdot)=g(bH\supdot) \Lequiv H\supdot a^\1=H\supdot b^\1 \Lequiv a^\1\EH H b^\1<br /> \Lequiv a^\1b\in H\supdot \Lequiv (a^\1b)^\1=b^\1a\in H\supdot \Lequiv a\HE Hb \Lequiv aH\supdot=bH\supdot$,<br /> tedy $g$ je prosté (směr $\Rightarrow$) a definice je korektní (směr $\Leftarrow$).<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Počtu rozkladových tříd podle indukovaných ekvivalencí se říká \defined[podgrupa!index]{index} podgrupy $H$.<br /> <br /> \theorem (Lagrange)<br /> Součin řádu a indexu libovolné podgrupy $H$ konečné grupy $G$ je roven řádu $G$.<br /> <br /> \proof<br /> Všechny třídy mají počet prvků, jako je řád $H$, a je jich tolik, jako je index $H$.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> Řád libovolné podgrupy konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \item<br /> Řád libovolného prvku konečné grupy $G$ dělí řád $G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \consequence<br /> Má-li grupa $G$ prvočíselný řád, je cyklická a nemá žádné netriviální podgrupy.<br /> Všechny grupy s~prvočíselným řádem $p$ jsou izomorfní.<br /> <br /> \proof<br /> Grupa není triviální (má řád nejméně 2).<br /> Vezmu $a\neq1$.<br /> Pak řád prvku $a$ je $p$, (jednotkový řád má jen jednotka), tedy $a$ generuje $G$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $n$ a nechť $k\mid n$.<br /> Potom existuje právě jedna podgrupa grupy $G$ řádu $k$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{existence}<br /> Nechť $a\in G$ je generátor grupy.<br /> Položme $H:=\anglevector{a^{n/k}}$.<br /> Pak $\qlb{a^{n/k}}^k=1$ a platí, že pokud $\qlb{a^{n/k}}^\ell=1$, tak $n\ell/k=sn$, tedy $\ell=ks$ a $\ell\geq k$.<br /> <br /> \ditem{jednoznačnost}<br /> Nechť $K\sg G$ je řádu $k$. Pak $K=\anglevector{a^\ell}$ a $\qlb{a^\ell}^k=1$ a $\ell k=sn=skn/k$<br /> a tedy $\ell=sd$ a $a^\ell=\qlb{a^{n/k}}^s\in H$.<br /> Tedy $K\sg H$ a z~rovnosti počtu prvků plyne $K=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že podgrupa $H\sg G$ je \defined[podgrupa!normální]{normální}<br /> (\defined[podgrupa!invariantní]{invariantní}), pokud $\HE H$ a $\EH H$ splývají,<br /> a značíme $H\nsg G$.<br /> <br /> \lemma<br /> $E\nsg G$; $G\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> $a\HE Eb\Lequiv b^\1a=1 \Lequiv a=b$; $a\EH Eb\Lequiv ab^\1=1 \Lequiv a=b$.<br /> \item<br /> $a\HE Gb\Lequiv b^\1a\in G$, což platí pro libovolné $a$, $b$; stejně tak pro $\EH G$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li grupa $G$ Abelova, je libovolná její podgrupa $H\sg G$ normální.<br /> <br /> \theorem<br /> Rozklad grupy $G$ je rozkladem podle kongruence právě tehdy, je-li rozkladem podle některé normální podgrupy $H\nsg G$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Nechť $\equiv$ je kongruence na grupě $G=(M,\cdot)$.<br /> Vezměme třídu $T_1$ a $a,b\in T_1$.<br /> Pak $a\equiv1$ a $b\equiv1$, tedy $ab\equiv1$. Také $a^\1\equiv a^\1$, tedy $1\equiv a^\1$.<br /> <br /> Ukážeme, že $H=(T_1,\cdot)\sg G$ je normální.<br /> Vezměme lib. $x\in M$.<br /> Pak $x\in T_a \Lequiv x\equiv a \Lequiv xa^\1\equiv1 \Lequiv xa^\1\in H\supdot \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(xa^\1=h)<br /> \Lequiv (\EE h\in H\supdot)(x=ha) \Lequiv x\in H\supdot a$.<br /> Budeme-li násobit $a^\1$ zleva, dostaneme $x\in aH\supdot$.<br /> Tedy $T_a=aH\supdot=H\supdot a$, což znamená, že $H\nsg G$ a $(\equiv)=(\HE H)=(\EH H)$<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $H\nsg G$, ukážeme, že $\EH H$ je kongruence.<br /> Mějme $a,b,c,d\in M$ takové, že $a\EH Hb$ a $c\EH Hd$.<br /> Potom $ac(bd)^\1=acd^\1b^\1$.<br /> Označme $h:=cd^\1\in H\supdot$, pak existuje $h'\in H\supdot$ takové, že $ah=h'a$.<br /> Tedy celkově dostáváme $ac(bd)^\1=ahb^\1=h'ab^\1\in h'H\supdot=H$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Vnitřní automorfismy}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\AM G\supdot$ je množina všech automorfismů na $G$.<br /> Pak definujme $\AM G=(\AM G\supdot,\circ)$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $G$ je grupa.<br /> Pak $\AM G$ je grupa a $\AM G\sg \pS G$.<br /> <br /> \proof<br /> Součin (složení) 2 automorfismů je automorfismus, existuje jednotka (identita) a každý automorfismus má inverzní.<br /> Nechť $x,y\in G\supdot$, $\alpha\in\AM G\supdot$,<br /> pak $\alpha^\1(xy)=\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x))\alpha(\alpha^\1(y)))<br /> =\alpha^\1(\alpha(\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)))=\alpha^\1(x)\alpha^\1(y)$,<br /> tedy inverzní je opět morfismem.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $a\in M$, $\AL a(x)=axa^\1$.<br /> Pak $\AL a$ je automorfismus.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{morfismus}<br /> Pro libovolné $x,y\in M$ platí $\AL a(x)\AL a(y)=axa^\1\,aya^\1=axya^\1=\AL a(xy)$.<br /> <br /> \ditem{bijekce}<br /> Ukážeme, že $\AL {a^\1}$ je inverzní k~$\AL a$, tj. $(\AA x\in M)(\AL {a^\1}\AL a=\AL a\AL{a^\1}=\id)$.<br /> Pro všechna $x\in M$ platí $\qlb{\AL{a^\1}\AL a}(x)=\AL{a^\1}(axa^\1)=a^\1axa^\1a=1x1=x$,<br /> obdobně $\qlb{\AL a\AL{a^\1}}(x)=x$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Automorfismus $\alpha$ na $G$ je \defined[automorfismus!vnitřní]{vnitřní},<br /> právě když $(\EE a\in G\supdot)(\alpha(x)=axa^\1)$.<br /> Takový automorfismus značíme $\alpha_a$.<br /> <br /> Označme $\IM G\supdot$ množinu všech vnitřních automorfismů.<br /> <br /> \lemma<br /> $\IM G=(\IM G\supdot, \circ)\sg \AM G$ je grupa.<br /> <br /> \proof<br /> Jednotkou je $\alpha_1$, $\alpha_1(x)=1x1^\1=x$.<br /> $(\alpha_a\alpha_b^\1)(x)=ab^\1xba^\1=(ab^\1)x(ab^\1)^\1=\alpha_{ab^\1}(x)$<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\AA a\in G\supdot)(\AA x\in H\supdot)(\AL a(x)\in H\supdot).$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Mějme $H\nsg G$ a libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in H\supdot$.<br /> Pak $ax\in aH\supdot=H\supdot a \Limpl (\EE h\in H\supdot)(ax=ha) \Limpl axa^\1\in H\supdot$.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Mějme libovolný $x\in aH\supdot$, tedy $x=ah=aha^\1a=\AL a(h)a$ a neboť $\AL a(h)\in H\supdot$, je $x\in aH\supdot$<br /> a $aH\supdot \sse H\supdot a$.<br /> Obrácenou inkluzi dokážeme obdobně, tedy $aH\supdot=H\supdot a$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Věta dává návod, jako ověřit, že $H$ je normální.<br /> Ale nesmíme opomenout ověřit, že $H$ vůbec je podgrupou.<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Řekneme, že $x,y\in G\supdot$ jsou \defined[konjungace]{konjungované},<br /> existuje-li $a\in G\supdot$ takové, že $y=\AL a(x)$.<br /> Značíme $x\EK y$.<br /> <br /> \lemma<br /> Relace konjungovanosti je ekvivalence na $G$.<br /> <br /> \consequence<br /> Podgrupa $H$ grupy $G$ je normální právě tehdy, je-li sjednocením nějakých tříd konjungovaných prvků.<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> \defined[homomorfismus (grupoidy)!jádro]{Jádrem} homomorfismu $h$<br /> rozumíme množinu $\ker h:=h^\1(\{1\})=\set{h\in G_1\supdot}{h(x)=1}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $G_1$, $G_2$ grupy, $\map h{G_1}{G_2}$ homomorfismus.<br /> Pak $\ker h\nsg G_1$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> <br /> \ditem{je podgrupa}<br /> Mějme libovolné $x,y\in\ker h$, tj. $h(x)=h(y)=1$.<br /> Pak $h(xy^\1)=h(x)h(y^\1)=h(x)h(y)^\1=11^\1=1$.<br /> <br /> \ditem{je uzavřená vůči automorfismům}<br /> Nechť $a\in G_1\supdot$, $x\in\ker h$.<br /> Pak $h(axa^\1)=h(a)h(x)h(a^\1)=h(a)h(a^\1)=h(aa^\1)=h(1)=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Mějme $H\nsg G$, faktorgrupu $G\factorset H$ a přirozený epimorfismus $h\subnat(x)=T_x$.<br /> Pak $\ker h\subnat=H$.<br /> <br /> \proof<br /> $\ker h=\set{x\in G\supdot}{T_x=T_1}$, ale $T_1=H\supdot$, tedy $\ker h=H\supdot$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Normální podgrupy grupy $G$ jsou právě všechna jádra homomorfismů na $G$, tj.<br /> $$H\nsg G \iff (\EE h, \text{$h$ je homomorfismus na $G$})(H=\ker h).$$<br /> <br /> \proof<br /> Věta shnuje předchozí 2~tvrzení.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Homomorfismus $\map h{G_1}{G_2}$ je prostý právě tehdy, je-li $\ker h=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Obrazem jednoprvkové množiny je nejvýše jednoprvková množina a<br /> $1$ je v~jádru pro všechny homomorfismy.<br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $\ker h=\{1\}$.<br /> Mějme $x,y\in G_1$ takové, že $h(x)=h(y)$.<br /> Pak $1=h(x)h(y^\1)=h(xy) \Limpl xy^\1\in\ker h \Limpl xy^\1=1 \Limpl x=y$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus.<br /> Pak $a\EH{\ker h}b$ právě tehdy, je-li $h(a)=h(b)$.<br /> <br /> \proof<br /> $a\EH{\ker h}b \Lequiv ab^\1\in\ker h \Lequiv h(ab^\1)=1 \Lequiv h(a)=h(b)$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o homomorfismu pro grupy)<br /> Nechť $\map h{G_1}{G_2}$ je homomorfismus grup.<br /> Potom $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\ker h}$.<br /> <br /> \proof<br /> $h(G_1)\cong {G_1}\factorset{\equiv_h}={G_1}\factorset{\equiv_{\ker h}}$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ grupa a buďte $H_i\nsg G$ pro $i\in I$.<br /> Potom $$A:=\bigcap_{i\in I} H_i\nsg G \quad\text a\quad B:=\prod_{i\in I} H_i\nsg G.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{průnik}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in A$.<br /> Pak $(\AA i\in I)(x\in H\supdot) \Limpl (\AA i)(\AL a(x)\in H_i) \Limpl \AL a(x)\in A$.<br /> <br /> \ditem{součin}<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $x\in B$. Platí $B=\anglevector{\bigcup_I H_i\supdot}$.<br /> Pak $x=a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n}$, kde $k_j\in\Z$ a $(\AA j)(\EE i_j)(a_j\in H_{j_i}\supdot)$.<br /> Protože $H_{j_i}$ je podgrupa, je $a_i^{k_i}\in H_{j_i}\supdot$ a protože, je normální, je<br /> $\AL a(a_i^{k_i})\in H_{j_i}\supdot$.<br /> A konečně $\AL a(x)=\AL a(a_1^{k_1}\cdots a_n^{k_n})=\AL a(a_1^{k_1})\cdots \AL a(a_n^{k_n})$.<br /> Tedy každý prvek součinu je ve sjednocení podgrup, tedy je i v~produktu podgrup.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma (o tečce)<br /> Buď $G$ grupa, $A\nsg G$ a $B\sg G$.<br /> Potom $(AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $AB=\anglevector{A\supdot\cup B\supdot}$, ale $A\supdot B\supdot=\set{ab}{a\in A\supdot, b\in B\supdot}$.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\sse$}<br /> Ukážeme, že $A\supdot B\supdot$ je uzavřená v~grupě $G$.<br /> Platí $A\cup B\sse A\supdot B\supdot$<br /> Zvolme libovolné $x,y\in A\supdot B\supdot$, $x=a_1b_1$, $y=a_2b_2$.<br /> Potom $xy^\1=a_1b_1(a_2b_2^\1)<br /> =a_1\underbrace{b_1b_2^\1a_2^\1(b_1b_2^\1)^\1}_{\AL{b_1b_2^\1}(a_2^\1)\in A\supdot}b_1b_2^\1<br /> =\tilde{a}\tilde{b}$, kde $\tilde a\in A\supdot$ a $\tilde b\in B\supdot$.<br /> Tedy $A\supdot B\supdot$ je podgrupa obsahující $A\supdot\cup B\supdot$.<br /> Ale $AB$ je nejmenší taková, tedy inkluze platí.<br /> <br /> \ditem{$\supseteq$}<br /> V~$AB$ jsou všechny součiny $x_1\cdots x_n$, kde $x_i\in A\cup B$ tedy i všechny součiny tvaru $ab$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Buď $G$ grupa.<br /> Pak $C_G:=\set{c\in G}{(\AA x\in M)(cx=xc)}$ nazveme \defined[grupa!centrum]{centrum grupy}<br /> (tedy centrum grupy obsahuje právě ty prvky grupy, které komutují s každým prvkem.)<br /> <br /> \lemma<br /> Buď $G$ grupa, $C_G$ její centrum. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> je-li $G$ Abelova, je $C_G=G$;<br /> \item<br /> $C_G\nsg G$;<br /> \item<br /> $G\factorset{C_G}\cong \IM G$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}<br /> \item<br /> V~Abelově grupě komutují každé 2 prvky.<br /> \item<br /> Ukážeme, že $C_G$ je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům.<br /> Mějme libovolné $a\in G\supdot$ a $c\in C_G$.<br /> Pak $\AL a(c)=aca^\1=caa^\1=c\in C_G$.<br /> \item<br /> Definujme $\map hG{\IM G}$ jako $h(a)=\alpha_a$, $h$ je epimorfismus.<br /> Pak $I_G=h(G)\cong G\factorset{\ker h}$.<br /> Platí $x\in\ker h\Lequiv {h(x)=\AL1=\id_G} \Lequiv (\AA y\in G\supdot)(xyx^\1=y) \Lequiv<br /> (\AA y\in G\supdot)(xy=yx) \Lequiv x\in C_G$, tedy $\ker h=C_G$ a $I_G\cong G\factorset{C_G}$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (o izomorfismu)<br /> Buď $G=(M,\cdot)$ grupa, $A,B\sg G$.<br /> Je-li $A\nsg AB$, potom $A\cap B\nsg B$ a $AB\factorset A\cong B\factorset{(A\cap B)}$.<br /> <br /> \proof<br /> Třídy $AB\factorset A$ jsou tvaru $A\supdot c$, kde $c\in (AB)\supdot=A\supdot B\supdot$.<br /> Tedy $(\EE a\in A\supdot, b\in B\supdot)(c=ab)$.<br /> Vezměme $\map{f\subnat}{AB}{AB\factorset A}$ a položme $f_B=f\subnat/B$.<br /> Ukážeme, že $\map fB{AB\factorset A}$ je epimorfismus, tedy, že v každé třídě $A\supdot ab$ leží prvek z~$B$.<br /> Tedy i $a^\1ab=b$ je v~každé třídě.<br /> Podlě věty o homomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{\ker f_B}$,<br /> ale $\ker f_B=\set{x\in B}{f_B(x)=T_1=A}=\set{x\in B}{x\in A}=A\cap B$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Grupa, která nemá netriviální normální podgrupy, tj. $H\nsg G \Limpl H=G \Lor H=E$,<br /> se nazývá \defined[grupa!jednoduchá]{jednoduchá}.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $E$ je jednoduchá.<br /> \item $G$ o $p\in P$ prvcích jsou jednoduché, současně jsou cyklické, tedy Abelovy.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G\neq E$ Abelova grupa.<br /> Potom $G$ je jednoduchá právě tehdy, má-li prvočíselný řád $p$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$G$ je cyklická}<br /> Nebyla-li by cyklická, obsahovala by netriviální podgrupu, která by byla normální,<br /> neboť všechny by byly normální (netriviální podgrupou by bylo libovolné $\anglevector a$, kde $a\neq1$).<br /> \ditem{$G$ je konečná}<br /> Pokud není konečná, pak $G\cong Z=(\Z, +)$,<br /> ale např. $S=(\mathbb S, +)\nsg Z$ a $S$ odpovídá nějaké netriviální podgrupa $G$.<br /> \ditem{neex. $1\neq q\mid p$}<br /> Podle předházející věty existuje podgrupa $H$ řádu $q$, která je v~Abelově normální, a tedy $G$ není jednoduchá.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Grupy permutací}<br /> <br /> \define<br /> Buď $A$ množina a $M$ množina všech bijekcí $A\rightarrow A$.<br /> Pak $\pS A(M,\circ)$ je grupa nazývaná \defined[grupa!symetrická]{symetrická grupa}.<br /> Označme $\epsilon$ identitu v~$\pS A$.<br /> <br /> \define<br /> \defined[grupa!permutací]{Grupa permutací} je libovolná podgrupa symetrické grupy $\pS A$.<br /> <br /> \theorem (Cayley)<br /> Libovolná grupa je izomorfní s~nějakou grupou permutací.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme $G=(M,\cdot)$, $a\in M$; definujeme $\map{\pi_a}MM$ jako $\pi_a(x)=ax$.<br /> Pro libovolné $y\in M$ řešme $\pi_a(x)=ax=y$, dostaneme jedno řešení $x=a^\1y$, tedy $\pi_a$ je bijekce (permutace).<br /> <br /> Definujme $\map hM{\pS M}$ jako $h(a)=\pi_a$ a ukážeme, že $h$ je homomorfismus:<br /> Mějme $a,b,x\in M$; pak $h(ab)(x)=\pi_{ab}(x)=abx=\pi_a(bx)=\pi_a(\pi_b(x))=(\pi_a \pi_b)(x)=(h(a)h(b))(x)$.<br /> <br /> Ukážeme, že je $h$ je monomorfní (prostý):<br /> $\ker h=\set{a\in M}{h(a)=\epsilon}$, $(\AA x\in M)(\epsilon(x)=x)$, $\pi_a(x)=\epsilon(x)=x$, $a=1$.<br /> <br /> Platí $G\cong h(G)\sg\pS M$. Tedy $h(G)$ je grupa permutací.<br /> \QED<br /> <br /> \remark<br /> Cayleyova věta se dá formulovat i následovně: Libovolnou grupu lze izomorfně vnořit do symetrické grupy.<br /> <br /> \remark<br /> Pro $M=\hatn n$ se $G$ izomorfně vnoří do $\pS{\hatn n}=:\pS n$.<br /> <br /> \remark<br /> $\pi\in\pS n$ zapisované $\pi=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$ je zobrazení.<br /> <br /> \example<br /> $\pi\in\pS 8$, $\pi=\qlb{{1\atop2}{2\atop4}{3\atop5}{4\atop1}{5\atop4}{6\atop7}{7\atop6}{8\atop8}}$ lze zapsat jako<br /> $1\rarr2\rarr4(\rarr1); 3\rarr5(\rarr3); 6\rarr7(\rarr6); 8(\rarr8)$, ale zkráceně jako $(124)(35)(67)(8)$.<br /> Zápis současně vyjadřuje složení cyklů a můžeme vynechat cykly s~1 prvkem.<br /> Tedy můžeme psát $\pi=(124)(35)(67)$.<br /> <br /> \define<br /> Mějme $\pi\in\pS n$.<br /> Pak $\pi$ je \defined[cyklus]{cyklus}, pokud $\pi=(p_1p_2...p_k)$, $1\leq k\leq n$, $p_k$ jsou různá.<br /> Cykly jsou \defined[cyklus!nezávislost]{nezávislé}, pokud neobsahují společný prvek.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná permutace lze rozepsat jako součin nezávislých cyklů.<br /> <br /> \lemma<br /> $$(k_1\cdots k_p)=(k_1k_p)(k_1k_{p-1})\cdots(k_1k_3)(k_1k_2).$$<br /> <br /> \proof<br /> Obrázkem.<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> Transpozice generují $\pS n$.<br /> (Každá permutace lze zapsat jako součin transpozic.)<br /> <br /> \remark<br /> Lze ukázat, že i sousední transpozice generují $\pS n$.<br /> Dále lze ukázat, že pro jakékoli $n$ existují 2 permutace,<br /> které generují $\pS n$, a to např. $\tau=(12)$ a $\pi=(123\ldots n)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $n\in\N$ a $\sigma,\pi\in\pS n$,<br /> $\sigma=(k^1_1\cdots k^1_{p_1})\cdots(k^m_1\cdots k^m_{p_m})$ je rozklad na (ne nutně nezávislé) cykly.<br /> Potom $\AL\pi(\sigma)=(\pi(k^1_1)\cdots \pi(k^1_{p_1}))\cdots(\pi(k^m_1)\cdots \pi(k^m_{p_m}))$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$m=1$}<br /> Máme $\sigma=\qlb{k_1\ldots k_p}$, označme $\sigma_\pi:=\qlb{\pi\qlb{k_1}\ldots\pi\qlb{k_p}}$,<br /> tedy chceme $\AL\pi\qlb\sigma=\sigma_\pi$, což, protože $\pi$ je bijekce, je ekvivalentní<br /> $\AL\pi\qlb\sigma\circ\pi=\sigma_\pi\circ\pi$.<br /> <br /> Ukážeme, že $\qlb{\AA k\in\hatn n}\qlb{\AL\pi\qlb\sigma\qlb{\pi\qlb k}=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}}$.<br /> To jest $\qlb{\pi\sigma\pi^\1}\qlb{\pi\qlb k}=\pi\qlb{\sigma\qlb k}?=\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb k}$.<br /> <br /> Nechť $k=k_i$, pak $\sigma\qlb k=k_{i+1}$ (položíme $k_{p+1}:=k_1$), tedy $\pi\qlb{\sigma\qlb{k}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$.<br /> Současně $\sigma_\pi\qlb{\pi\qlb{k_i}}=\pi\qlb{k_{i+1}}$, což jsme potřebovali.<br /> <br /> Pro $k\neq k_i$ jsou obě strany rovny $\pi\qlb{k}$.<br /> <br /> \ditem{$m\in\N$}<br /> S využitím případu $m=1$ dostaneme<br /> \begin{eqnarray*}<br /> &amp;\AL\pi\qlb{\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}}=<br /> \AL\pi\qlb{k^1_1\ldots k^1_{p_1}}\ldots\AL\pi\qlb{k^m_1\ldots k^m_{p_m}}=\\<br /> &amp;\qlb{\pi\qlb{k^1_1}\ldots \pi\qlb{k^1_{p_1}}}\ldots\qlb{\pi\qlb{k^m_1}\ldots \pi\qlb{k^m_{p_m}}}.<br /> \end{eqnarray*}<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \consequence<br /> $(\AL\pi(\sigma))(\pi(k))=\pi(\sigma(k))$,<br /> $\sigma=\qlb{{1\atop p_1}{\cdots\atop\cdots}{n\atop p_n}}$,<br /> pak $\AL\pi\qlb\sigma=\qlb{{\pi\qlb1\atop \pi\qlb{p_1}}{\cdots\atop\cdots}{\pi\qlb{n}\atop \pi\qlb{p_n}}}$.<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolná podgrupa $H$ grupy $G$, která má index 2, je normální.<br /> (Index je počet rozkladových tříd $G\factorset H$).<br /> <br /> \proof<br /> Jedna ze tříd je $H$, druhá tedy nutně $G\sm H$.<br /> Rozklad je tedy jednoznačný.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Označme $\pA n$ grupu sudých permutací (ověření, že je grupa, je triviální). Pak<br /> $\pA n$ nazýváme \defined[grupa!alternující]{alternující (pod)grupa}.<br /> <br /> \consequence<br /> $\pA n\nsg \pS n$.<br /> <br /> \lemma<br /> Nechť $A\sg B\sg G$.<br /> Pak $A\nsg G\Limpl A\nsg B$.<br /> <br /> \proof<br /> Lze jednoduše ukázat pomocí uzavřenosti na vnitřní automorfismy.<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$n=1$} $\pA1=\pS1=E$.<br /> \ditem{$n=2$} $\pA2=E$.<br /> \ditem{$n\geq3$} $\pA n$ je netriviální normální podgrupa.<br /> \ditem{$n=3$} $\pS3=\{\id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$ a $\pA3=\{\id, (123), (132)\}$ má prvočíselný počet prvků<br /> a je jednoduchá.<br /> \ditem{$n=4$} $\pA4$ má řád 12 a není jednoduchá, neboť obsahuje např. $\pp K4:=\{\id, (12)(34), (13)(24), (23)(14)\}$<br /> a platí $\pp K4\nsg\pA4$.<br /> Předně je $\pp K4$ uzavřená na skládání, součin 2 se vždy zobrazí na třetí,<br /> např. $(12)(34)\cdot(13)(24)=(23)(14)$.<br /> A každá permutace je sama sobě inverzní, tedy $\pp K4$ je grupa.<br /> <br /> <br /> $\pp K4$ jsou všechny $(ij)(k\ell)$, kde tato 4 čísla jsou různá.<br /> Ukážeme, že $\pp K4$ je uzavřená vůči vnitřním automorfismům.<br /> $\AL\pi((ij)(k\ell))=(\pi(i)\pi(j))(\pi(k)\pi(\ell))$, ale neboť $\pi$ je bijekce,<br /> jsou to opět čísla $1,2,3,4$, jenom případně přeházená.<br /> <br /> $\pp K4$ nazýváme \defined[grupa!Kleinova]{Kleinova grupa} (matracová grupa - podle otáčení matrace).<br /> <br /> Všimněme si, že také $\pp L2:=\{\id, (12)(34)\}\nsg\pp K4$<br /> (má polovinu prvků, tedy index rozkladu podle $\pp L2$ je 2 a je normální).<br /> Ale $\pp L2\not\nsg\pA4$.<br /> \end{description}<br /> <br /> \theorem<br /> Alternující grupy $\pA n$ jsou pro $n\neq 4$ jednoduché (tedy nemají netriviální normální podgrupu).<br /> <br /> \proof<br /> Pro $n\leq3$ jsme platnost ukázali v~předchozím příkladě.<br /> Tedy nechť $n\geq5$.<br /> Mějme libovolnou $H\nsg\pA n$, $H\neq E$. Ukážeme, že $H=\pA n$.<br /> Důkaz se rozpadá do 3 kroků.<br /> \begin{description}<br /> \ditem{v~$H$ existuje 3cykl $(u,v,w)$}<br /> Vezměme $\pi\in H\supdot$ takovou, která mění nejmenší co počet prvků a není identitou.<br /> Určitě není transpozice (ta je lichá).<br /> Sporem, nechť $\pi\neq(u,v,w)$.<br /> Pak rozklad na nezávislé cykly může vypadat následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\pi=(pq)(rs)\cdots$. Pak existuje páté číslo, označme jej $t$.<br /> \item $\pi=(pqr\cdots)\cdots$ A mění ještě nejméně 2~další čísla $s,t$.<br /> \end{enumerate}<br /> Mějme $\varrho:=(rst)\in\pA n$ sudou permutaci.<br /> Pak $\AL\varrho(\pi)=\varrho\pi\varrho^\1\in H\supdot$ (neboť $H$ je normální).<br /> V prvním případě $\AL\varrho(\pi)=(pq)(st)\cdots\neq\pi$ a ve druhém $\AL\varrho(\pi)=(pqs)\cdots\neq\pi$.<br /> Definujeme $\sigma:=\pi^\1(\varrho\pi\varrho^\1)\in H$ a není jednotková.<br /> <br /> Ukážeme, že $\sigma$ nechává na místě více prvků než $\pi$.<br /> <br /> (2) Mějme libovolné $k\in\hatn n$ tak, že $\pi(k)=k$. Pak $k\not\in\{p,q,r,s,t\}$ a $\varrho(k)=k$.<br /> Pak $\sigma(k)=k$, neboť žádná z~permutací $\pi$, $\pi^\1$, $\varrho$ a $\varrho^\1$ nemění $k$.<br /> Ale $\pi(p)=q$ a $\sigma(p)=p$ TODO.<br /> Tedy $\sigma$ mění nejméně o 1 méně čísel než $\pi$.<br /> <br /> Obdobně pro (1). Tedy $\sigma$ nechává na místě více čísel než $\pi$.<br /> <br /> \ditem{je-li v~$H$ jeden 3cyklus $(u,v,w)$, jsou tam všechny 3cykly}<br /> Zvolme libovolný 3cyklus $(p,q,r)$.<br /> Položme $\pi:=({u\atop p}{v\atop q}{w\atop r}{y\atop Y}{z\atop Z})$.<br /> Nutně existují takové $y,z,Y,Z$, že $\pi$ je sudá, tj. $\pi\in\pA n$.<br /> Potom $\AL\pi((u,v,w))=(\pi(u),\pi(v),\pi(w))=(p,q,r)$ a neboť $H$ je normální, je $(p,q,r)\in H$.<br /> <br /> \ditem{3cykly generují $\pA n$} Ukážeme, že součin $\pi$ 2 libovolných transpozicí lze rozložit na 3cykly.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,r)=(prq)$ je 3cyklus.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(r,s)=(p,r,s)(p,q,s)$.<br /> Je-li $\pi=(p,q)(p,q)=(p,q,r)(r,q,p)$ pro libovolné $r$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> <br /> \xxxx{Kartézský a direktní součin grup}<br /> <br /> \define<br /> Mějme $G_1\cldc G_n$ grupy, $G_i=(M_i,\cdot)$.<br /> Označme $M:=M_1\times\cdots\times M_n$ a definujme operaci $\cdot$: $(a_1\cldc a_n)\cdot(b_1\cldc b_n):=(a_1b_1\cldc a_nb_n)$.<br /> Jednotkou bude $1_M=(1\cldc1)$ a inverzním prvkem $(a_1\cldc a_n)^\1=(a_1^\1\cldc a_n^\1)$.<br /> Grupu $G:=(M,\cdot)$ nazýváme \defined[součin!kartézský grup]{kartézský součin grup}<br /> a značíme $G=\mathop{\rm\times}\limits_1^n G_i$..<br /> <br /> \define<br /> Buďte $G$ grupa a $A,B\sg G$.<br /> Řekneme, že $G$ je \defined[součin!podgrup!direktní]{direktní součin} podgrup $A,B$,<br /> je-li zobrazení $\map f{A\times B}G$, $f(x,y)=xy$ izomorfismem grup.<br /> Značíme $G=A\odot B$.<br /> <br /> \remark<br /> Direktní součin lze přirozeně zobecnit na konečné i spočetné systémy podgrup.<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je homomorfismus právě tehdy, když $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> $ab=f(\anglecouple ab)=f(\anglecouple1b\anglecouple a1)=f(1,b)f(a,1)=ba$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> $f(\anglecouple{a_1}{b_1}\anglecouple{a_2}{b_2})=f(\anglecouple{a_1a_2}{b_1b_2})=a_1a_2b_1b_2=a_1b_1a_2b_2=f(\anglecouple{a_1}{b_1})f(\anglecouple{a_2}{b_2})$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Zobrazení $f$ z~předchozí definice je \uv{na} právě tehdy, když $A\supdot B\supdot=G\supdot$.<br /> <br /> \proof<br /> $A\supdot B\supdot$ je z~definice obor hodnot $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Je-li $f$ z~předchozí definice homomorfismus, pak je $f$ prostý právě tehdy, je-li $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \ditem{$\Rightarrow$}<br /> Víme, že $\ker f=\{\anglecouple11\}$.<br /> Nechť $c\in A\cap B$.<br /> Pak triviálně $c\in A$ a $c^\1\in B$ a $\anglecouple c{c^\1}\in A\times B$.<br /> A neboť $f(\anglecouple c{c^\1})=cc^\1=1$, je $\anglecouple c{c^\1}=\anglecouple11$, tedy hlavně $c=1$.<br /> <br /> \ditem{$\Leftarrow$}<br /> Nechť $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> Mějme libovolné $\anglecouple ab\in\ker f$.<br /> Pak $f(a,b)=ab=1$, tedy $a=b^\1$ a nutně $a=b^\1\in A\supdot\cap B\supdot$ a tedy $a=b=1$.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Platí $G=A\odot B$ právě tehdy, když platí:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\AA a\in A\supdot, b\in B\supdot)(ab=ba)$;<br /> \item $A\supdot B\supdot=G\supdot$;<br /> \item $A\supdot\cap B\supdot=\{1\}$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> V~aditivní grupě používáme název \defined[součet!direktní]{direktní součet}.<br /> <br /> \theorem<br /> Je-li $G=A\odot B$, pak platí<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item $A\nsg G$, $B\nsg G$;<br /> \item $AB=G$ (tedy $A$ a $B$ komutují);<br /> \item $(\AA x\in G\supdot)(\EE_1\, a\in A\supdot, b\in B\supdot)(x=ab=ba)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> \begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{3}<br /> \item<br /> Mějme $c\in G\supdot$, $x\in A$, $y\in B$ a podle (2) je $c=ab$, $a\in A\supdot$, $b\in B\supdot$.<br /> Pak<br /> $$\AL c(x)=cxc^\1=abxb^\1a^\1\stackrel{(1)}{=\!\!=}axbb^\1a^\1=axa^\1\in A\supdot$$<br /> a<br /> $$\AL c(y)=cyc^\1=a\overbrace{byb^\1}^{\in B\supdot}a^\1=byb^\1aa^\1=byb^\1\in B\supdot.$$<br /> <br /> \item<br /> Podle lemmatu o tečce je $G\supdot=A\supdot B\supdot\sse (AB)\supdot=G\supdot$, tedy $AB=G$.<br /> <br /> \item<br /> Zobrazení $f$ je bijekce, tedy existuje právě jedna dvojice $a,b$ taková, že $f(a,b)=c$.<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G$ cyklická grupa řádu $p_1^{k_1}\cdots p_n^{k_n}$ -- standardní rozklad na prvočísla.<br /> Pak $G=A_1\odot\cdots\odot A_n$, kde $A_i$ má řád $p_i$. (v roce 2010/2011 nedělal)<br /> <br /> \example<br /> Pro $Z_6=Z\factorset{\equiv_6}=(\{0,1\cldc 5\}, +)$ má řád $6=2\cdot 3$ a lze ji napsat jako $Z_6=A\oplus B$.<br /> Platí $A\supdot=\{0,3\}$ a $B\supdot=\{0,2,4\}$.<br /> <br /> \theorem<br /> Buď $G=A\odot B$.<br /> Pak $G\factorset A\cong B$.<br /> <br /> \proof<br /> Z věty o izomorfismu je $AB\factorset A\cong B\factorset{A\cap B}$,<br /> ale $AB=G$, $A\cap B=E$, tedy $B\factorset E\cong B$, tedy $G\factorset A\cong B$.<br /> \QED</div> Sedlam18 https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola3&diff=4548 01ALG:Kapitola3 2012-01-24T12:18:33Z <p>Sedlam18: </p> <hr /> <div>%\wikiskriptum{01ALG}<br /> <br /> \xxx{Uspořádané množiny}<br /> <br /> \xxxx{Uspořádané množiny. Řetězce}<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Množina $M$ s uspořádáním $\leq$ se nazývá \defined[množina!usporádaná]{uspořádaná množina} $(M, \leq)$.<br /> \item Přirozeným způsobem jsou na $M$ definovány operace $\geq$, $&lt;$, $&gt;$.<br /> \item Nechť $R\subseteq M$ je úplně uspořádaná, pak ji nazveme \defined[rzetězec@řetězec]{řetězcem}.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina, $a\in M$.<br /> Pak $a$ je:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item \defined[prvek (teorie množin)!největší]{největší prvek}<br /> (\defined[prvek (teorie množin)!poslední]{poslední prvek}) $\iff$ $(\forall x\in M)(x\leq a)$;<br /> \item \defined[prvek (teorie množin)!nejmenší]{nejmenší prvek}<br /> (\defined[prvek (teorie množin)!první]{první prvek}) $\iff$ $(\forall x\in M)(x\geq a)$;<br /> \item \defined[prvek (teorie množin)!maximální]{maximální prvek} $\iff$ $(\forall x\in M)(x\geq a \Rightarrow x=a)$;<br /> \item \defined[prvek (teorie množin)!minimální]{minimální prvek} $\iff$ $(\forall x\in M)(x\leq a \Rightarrow x=a)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \lemma<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Je-li $a\in M$ poslední, je maximální.<br /> \item Je-li $a\in M$ první, je minimální.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\N, \;\mid\;)$. Relace \uv{dělí}: $a\mid b \Leftrightarrow (\exists c\in\Z)(b=ac)$.<br /> První prvek je $1$, poslední není.<br /> \item $(\Nz, \;\mid\;)$.<br /> Prvním prvkem zůstává $1$, ale posledním je $0$, neboť $n\mid 0$ pro všechna celá čísla.<br /> \item $(\N\sm\{1\}, \;\mid\;)$.<br /> Nemá nejmenší, ale má minimální -- jsou to všechna prvočísla.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina, $N\sse M$.<br /> Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $z\in M$ je \defined[závora!horní]{horní závora} podmnožiny $N$ $\iff$ $(\forall x\in N)(x\leq z)$.<br /> \item $z\in M$ je \defined[závora!dolní]{dolní závora} podmnožiny $N$ $\iff$ $(\forall x\in N)(x\geq z)$.<br /> \item $N$ je \defined[množina!shora omezená]{shora omezená} $\iff$ existuje horní závora $N$.<br /> \item $N$ je \defined[množina!zdola omezená]{zdola omezená} $\iff$ existuje dolní závora $N$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(A, \leq)$ a $(B, \leq)$ jsou 2 uspořádané množiny, $f:A\rightarrow B$.<br /> Pak řekneme, že $f$ je \defined[zobrazení!izotonní]{izotonní} (\defined[zobrazení!izotonie]{izotonie}) $\iff$<br /> $(\forall x,y\in A)\big(x\leq y \Limpl f(x)\leq f(y)\big)$.<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(A, \leq)$ a $(B, \leq)$ jsou 2 uspořádané množiny. Pak:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $f:A\rightarrow B$ je \defined[izomorfismus (teorie množin)]{izomorfizmus},<br /> pokud je bijektivní a $f$ i $f^\1$ jsou izotonní, tj.<br /> $$(\forall x,y\in A)\big(x\leq y \Lequiv f(x)\leq f(y)\big).$$<br /> \item $A$ a $B$ jsou \defined[množiny!izomorfní]{izomorfní} (značíme $A\cong B$),<br /> pokud existuje izomorfismus $A\rightarrow B$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> <br /> <br /> \xxxx{Ekvivalence, subvalence množin}<br /> <br /> \define<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Řekneme, že $M$ a $N$ jsou \defined[množiny!ekvivalentní]{ekvivalentní}<br /> (\defined[množiny!ekvipotenční]{ekvipotenční}) $\iff$<br /> existuje bijekce $M$ na $N$. <br /> Značíme $M\approx N$.<br /> \item Řekneme, že $M$ je \defined[množiny!subvalentní]{subvalentní} $N$ $\iff$<br /> existuje injekce (prosté zobrazení) $M$ do $N$.<br /> Značíme $M\pce N$.<br /> \item Řekneme, že $M$ je \defined[množiny!subvalentní!ostře]{ostře subvalentní} $N$<br /> $\iff$ $M\pce N \Land M\not\approx N$.<br /> Značíme $M\pna N$ nebo $M\prec N$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \remark<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\approx$ je ekvivalence.<br /> \item Třídám ekvivalence $\UU_{/\approx}$ přiřazujeme<br /> \defined[czíslo@číslo!kardinální]{kardinální číslo}.<br /> \item $\pce$ není uspořádání, neboť $A\pce B \Land B\pce A \Limpl A\approx B$, nikoli $A=B$ ($\pce$ je reflexivní, tranzitivní, ale není slabě antisymetrická).<br /> Lze tedy uspořádat kardinální čísla.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (Cantor, Bernstein)<br /> Nechť $M$ a $N$ jsou libovolné množiny. Pak <br /> $$M\pce N \;\;\Land\;\; N\pce M \quad\Limpl\quad M\approx N.$$<br /> <br /> \proof<br /> Víme, že existují injekce $\map fMN$ a $\map gNM$.<br /> Označme $N_1:=f(M)$, $M_1:=g(N)$, $N_1':=N\sm N_1$, $M_1':=M\sm M_1$.<br /> Pak $\maptype fM{bij}{N_1}$ a $\maptype gN{bij}{M_1}$.<br /> <br /> Definujme posloupnost $x_n$ následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $x_1\in M$;<br /> \item pokud $x_1\in M_1$, definuji $x_2:=g^\1 x_1$, jinak je $x_1$ poslední v~posloupnosti;<br /> \item pokud $x_2\in N_1$, definuji $x_3:=f^\1 x_2$, jinak je $x_2$ poslední v~posloupnosti;<br /> \item ...<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> Posloupnost je jednoduše rekurentní (každý prvek závisí pouze na nejbližším předchozím),<br /> tedy se množina $M$ direktně rozkládá na 3 podmnožiny:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $x\in M_M\sse M$, pokud poslední člen posloupnosti obsahující $x$ je v~$M$;<br /> \item $x\in M_N\sse M$, pokud poslední člen posloupnosti obsahující $x$ je v~$N$;<br /> \item $x\in M_\infty\sse M$, pokud je posloupnost obsahující $x$ nekonečná.<br /> \end{enumerate}<br /> Obdobně definujeme $N_M$, $N_N$ a $N_\infty$.<br /> <br /> Potom nutně $N_1'\sse N_N$, a tedy platí, že $\maptype {f_{/M_M}}{M_M}{bij}{N_M}$ je prosté, protože $f$ je prosté,<br /> a na, protože $N_M\sse f(M)$.<br /> Obdobně $\maptype {g_{/N_N}}{N_N}{bij}{M_N}$ a konečně $\maptype{f_{/M_\infty}}{M_\infty}{bij}{N_\infty}$.<br /> Tedy $M_M\approx N_M$; $M_N\approx N_N$ a $M_\infty\approx N_\infty$,<br /> z~čehož díky disjunktnosti rozkladů plyne $M\approx N$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (Cantor)<br /> $$M\pna \PP M.$$<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[($M\pce \PP M$)] Položme $f(x):=\{x\}$.<br /> \item[($M\not\approx \PP M$)] Důkaz sporem.<br /> Předpokládejme, že $M\approx \PP M$.<br /> \\<br /> Pak $(\EE g:M\stackrel{\mathrm{bij.}}{\longrightarrow} \PP M)$.<br /> Označme $D:=\{x\in M\mid x\notin g(x)\}$, $d=g^\1(D)$.<br /> Pak<br /> \begin{itemize}<br /> \item $d\in D \Limpl d\notin g(d)=D$;<br /> \item $d\notin D \Limpl d\in g(d)=D$,<br /> \end{itemize}<br /> což je spor. (Tento typ důkazu se nazývá \defined[argument!Cantorův diagonální]{Cantorův diagonální argument}.)<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \xxxx{Úplně uspořádané množiny}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(A, \leq)$, $(B, \leq)$ jsou 2 úplně uspořádané množiny.<br /> Potom řekneme, že $A$ \defined[množiny!podobné]{je podobná} $B$<br /> (relace \defined[relace!podobnost]{podobnost}; značíme $A\cong B$),<br /> pokud existuje zobrazení $\map fAB$ nazývané \defined[zobrazení!podobnost]{podobnost}, které je bijektivní a izotonní.<br /> <br /> \lemma<br /> Podobnost je ekvivalence na třídě všech úplně uspořádaných množin.<br /> <br /> \proof<br /> \begin{description}<br /> \item[(reflexivita)] Podobností je identita.<br /> \item[(symetrie)] Podobností $\map gBA$ je inverzní zobrazení k~podobnosti $\map fAB$.<br /> \item[(transitivita)] existence podobností $\map fAB$ a $\map gBC$ zajišťuje existenci podobnosti $\map hAC$,<br /> $h=g\circ f$.<br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> \defined[typ!ordinální]{Ordinální typ} je charakteristická vlastnost tříd ekvivalence<br /> na všech úplně uspořádaných množinách podle $\cong$. Značí se $\ord A$.<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\ord \emptyset=:0$.<br /> \item Nechť $K$ je úplně uspořádaná a $\abs K=k\in\N$.<br /> Pak $\ord K=:k$. (Jednoznačnost lze ukázat matematickou indukcí, každá má první prvek.)<br /> \item $\ord\,(\N, \leq)=:\omega$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $A$ a $B$ jsou podobné množiny.<br /> Pak má-li $A$ první prvek, má jej i $B$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $p$ je první v~$A$ a $\map fAB$ je podobnost. Ukážeme, že $f(p)$ je první v~$B$, tj.<br /> $(\AA y\in B)(\EE x\in A)(y=f(x))$.<br /> Ale $p$ je první v~$A$, tedy $x\geq p$ $\Limpl$ $y=f(x)\geq f(p)$.<br /> \QED<br /> <br /> \lemma<br /> Libovolné 2 úplně uspořádané konečné množiny o stejném počtu prvku jsou podobné.<br /> <br /> \proof<br /> Ukážeme indukcí podle počtu prvků:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $n = 1, n = 2$: zřejmé<br /> \item $n \geq 2: |A| = |B| = n$.\\<br /> Definujeme $p,q$ jako nejmenší prvky v $A$ resp. $B$, $A' = A - \{p\}, B' = B - \{q\}$. Pro $A'$ a $B'$ máme z indukčního předokladu podobnost $f': A' \cong_{f'} B'$\\<br /> Pro $A, B$ definujeme podobnost:\\<br /> $f(x) = \left\{ <br /> \begin{array}{l l}<br /> f'(x) &amp; \quad \text{pro } x \in A'\\<br /> q &amp; \quad \text{pro } x=p\\<br /> \end{array} \right.$<br /> \end{enumerate}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $S=\set{2n}{n\in\N}\cong \N$, $\map fS\N$, $f(x)=x/2$.<br /> \item $\Nz\cong\N$, $f(x)=x+1$.<br /> \item $(\Z, \leq) \ncong (\N, \leq)$, neboť $\N$ má první a $\Z$ nikoliv, ale $\Z\approx\N$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že úplné uspořádání $(M, \leq)$ je husté, právě když:<br /> $$(\AA x,y\in M, x&lt;y)(\EE z\in M)(x&lt;z&lt;y).$$<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $(\Z, \leq)$ není husté uspořádání.<br /> \item $(\Q, \leq)$ je husté uspořádání.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \theorem (Cantor)<br /> Libovolná spočetná hustě uspořádaná množina, která nemá ani první, ani poslední prvek, je podobná $(\Q, \leq)$.<br /> <br /> \define<br /> Nechť $A$ je úplně uspořádaná množina, $a\in A$.<br /> Pak \defined[usek@úsek]{úsekem} množiny $A$ určeným prvkem $a$ rozumíme $A_a:=\set{x\in A}{x&lt;a}$.<br /> <br /> \theorem<br /> $A$ úplně uspořádaná:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Je-li $a$ první v~$A \iff A_a=\emptyset$.<br /> \item Je-li $a$ poslední v~$A$, pak $A_a=A\sm\{a\}$.<br /> \item Ze 2 různých úseků množiny $A$ je jeden úsekem druhého.<br /> \item $a\leq b \iff A_a\sse A_b$.<br /> \item $(\set{A_a}{a\in A}, \sse)$ je úplně uspořádaná množina.<br /> \item $(\set{A_a}{a\in A}, \sse)\cong(A, \leq)$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Dobré uspořádání}<br /> <br /> \define<br /> Řekneme, že množina $M$ je \defined[množina!uspořádaná!dobře]{dobře uspořádaná},<br /> má-li libovolná neprázdná podmnožina $M$ první prvek.<br /> <br /> \theorem<br /> Dobré uspořádání je úplné.<br /> <br /> \proof<br /> Mějme libovolné $a,b\in M$, $a\neq b$. Pak množina $\{a,b\}\sse M$ má první prvek, a tedy $a&lt;b$ nebo $b&lt;a$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> \begin{enumerate}<br /> \item Neprázdná dobře uspořádaná množina má první prvek.<br /> \item Libovolná podmnožina dobře uspořádané množiny je dobře uspořádaná.<br /> \item Množina podobná dobře uspořádané množině je dobře uspořádaná.<br /> (Dobře uspořádané množiny mají tedy vlastní třídy ekvivalence podle $\cong$<br /> a jejich ordinální typ nazýváme \defined[czíslo@číslo!ordinální]{ordinální číslo}.)<br /> \item Libovolný prvek dobře uspořádané množiny $M$, který není poslední (poslední však nemusí existovat),<br /> má následníka, tj.<br /> $$(\AA x\in M, \text{$x$ není poslední})(\EE y\in M)(\AA z\in M)(z\leq x \Lor z\geq y).$$<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \example<br /> Mějme $(\Z, \pce)$ s uspořádáním definovaným následovně:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $x,y\geq0$ \quad $x\prec y \Lequiv x&lt;y$;<br /> \item $x,y&lt;0$ \quad $x\prec y \Lequiv -x&lt;-y$;<br /> \item $x&lt;0\leq y$ \quad $y\prec x$.<br /> \end{enumerate}<br /> Pak $\ord\,(\Z, \pce)=\omega+\omega\neq\omega$ ($\ord \N = \ord \N_0 = \omega$).<br /> <br /> \axiom(A9)Axiom výběru.<br /> Na libovolném $M\neq\emptyset$ existuje \defined[selektor]{selektor} (\defined[funkce!výběrová]{výběrová funkce})<br /> $\map\phi{\PP M\sm \{\emptyset\}}{M}$ a platí:<br /> $(\AA A\sse M, A\neq\emptyset)(\phi(A)\in A)$.<br /> <br /> \define<br /> Zermelova-Frankelova axiomatika s~axiomem výběru se označuje \defined[ZFC]{ZFC}.<br /> <br /> \theorem (Zermelo, v~ZFC)<br /> Na libovolné množině existuje binární relace, která je jejím dobrým uspořádáním.<br /> <br /> \theorem (v~ZFC)<br /> Nechť $M$ je úplně uspořádaná množina. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $M$ je dobře uspořádaná;<br /> \item na $M$ platí \defined[podmínka!indukční]{indukční podmínka}:<br /> $$\big(\AA N\sse M\big)\Big(\AA x\in M\big(\AA y\in M(y&lt;x \Limpl y\in N)\Limpl x\in N\big)\Limpl N=M\Big);$$<br /> \item na $M$ platí \defined[podmínka!konečnosti klesajících řětežců]{podmínka konečnosti klesajících řetězců}<br /> (každý ostře klesající řetězec má konečnou délku).<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \proof<br /> Pro $M=\emptyset$ je důkaz triviální. Tedy nechť $M\neq\emptyset$.<br /> \begin{description}<br /> <br /> \item[($1\Limpl2$)]<br /> Důkaz sporem.<br /> Nechť $(\EE N\sse M)(\AA x\in M(\AA y\in M(y&lt;x \Limpl y\in N)\Limpl x\in N) \Land N\varsubsetneq M)$.<br /> $M$ je dobře uspořádaná, tedy má první prvek $p$ a podle předpokladu (neexistuje $y&lt;p$) je $p\in N$,<br /> tedy $N\neq\emptyset$.<br /> Dále $M\sm N\neq\emptyset$ ($N$ je vlastní podmnožina), tedy existuje první prvek $q\in M\sm N$.<br /> Potom $(\AA y&lt;q)(y\in N)$ $\Limpl$ $q\in N$, což je spor s $q\in M\sm N$.<br /> <br /> \item[($2\Limpl3$)]<br /> Nechť $N$ je množina všech $z\in M$, pro které neexistuje nekonečný ostře klesající řetězec začínající v~$z$.<br /> <br /> <br /> \item[($3\Limpl1$)] Dokážeme sporem.<br /> Nechť $M$ není dobře uspořádaná, tedy nechť existuje neprázdná $N\sse M$, která nemá první prvek.<br /> Pak pro libovolné $a\in N$ je úsek $N_a$ neprázdný (jinak by $a$ byl první prvek) a podle axiomu výběru<br /> $(\EE \map\phi{\PP N\sm\{\emptyset\}}N)(\phi(x)\in x)$. Definujme posloupnost $(a_k)_1^\infty$ následovně:<br /> $a_1:=\phi(N)$; $a_{k+1}:=\phi(N_{a_k})$.<br /> Protoře $N_a$ je neprázdná pro všechna $a$ a $a_{k+1}&lt;a_k$ (vlastnost úseku),<br /> je $(a_k)$ nekonečný ostře klesající řetězec, což je spor.<br /> <br /> \end{description}<br /> \QED<br /> <br /> \example<br /> $\emptyset$ je dobře uspořádaná, $\N$ je dobře uspořádaná, $\ord \N = \omega = \ord \N_0$.\\<br /> $\Z$ není při přirozeném uspořádání dobře uspořádaná, $\Q$ také není.<br /> <br /> \lemma<br /> Buďte $A, B$ podobné dobře uspořádané množiny. Pak existuje pouze jedna podobnost $A$ na $B$.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $\map fAB,\ \map gAB,\ f \neq g,\ M:=\set{x\in A}{f(x) \neq g(x)} \neq \emptyset,\ M \subseteq A,\ p$~první prvek v $M$. $b_1 = f(p),\ b_2 = g(p)$, nechť $b_1 &lt; b2$. Nechť $a \in A$ takové, že $g(a) = b_1,\ g(a) &lt; b_2 = g(p)$. Z izotonie máme $f(a) &lt; f(p) = b_1 = g(a)$. Z toho dostáváme $a \in M$, což je spor.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Uspořádaná množina $(\N, \leq)$ je uspořádaná dobře.<br /> <br /> \theorem<br /> Nechť $A$ je dobře uspořádaná množina, $B\sse A$, $B\cong A$, $\map fAB$ je podobnost.<br /> Pak $(\AA x\in A)(f(x)\geq x)$.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $M:=\set{x\in A}{f(x)&lt;x}$. Ukážeme sporem, že $M$ je prázdná.<br /> <br /> Nechť $M\neq\emptyset$. Pak $M\sse A$, tedy má první prvek $p$.<br /> Platí $f(p)&lt;p$, tedy z~izotonie $f$ je $f(f(p))&lt;f(p)$, a tedy $f(p)$ je prvek $M$ menší než $p$, což je spor.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem<br /> Ze 2 dobře uspořádaných množin je vždy jedna podobná druhé nebo jejímu úseku.<br /> <br /> \consequence<br /> Dobře uspořádaná množina není podobná žádné podmnožině svého úseku ani žádnému úseku své podmnožiny, tedy ani žádnému svému úseku.<br /> <br /> \theorem (princip maximality, Zornovo lemma, Kuratowského lemma)<br /> Nechť $(M, \leq)$ je uspořádaná množina.<br /> Pak má-li libovolný řetězec z~$M$ horní závoru v~$M$,<br /> pak libovolný prvek $a\in M$ je srovnatelný s~nějakým maximálním prvkem v~$M$.<br /> (A tedy existuje alespoň jeden maximální prvek v $M$.)<br /> <br /> \theorem (speciální případ Zornova lemmatu)<br /> Nechť $(\calS, \sse)$ je systém množin uspořádaný inkluzí.<br /> Pokud pro každý řetězec $R$ z~$\calS$ je $\bigcup R\in\calS$, pak<br /> $(\AA A\in\calS)(\EE B\in\calS, \text{$B$ maximální})(A\sse B)$.<br /> <br /> \theorem<br /> Relace subvalence je trichotonická na třídě všech množin<br /> (tj. libovolné 2 prvky jsou srovnatelné).<br /> <br /> \proof<br /> Mějme 2 neprázdné množiny $A, B\in\UU$.<br /> Označme $M$ množinu všech prostých zobrazení z~$A$ do $B$, tedy<br /> $M=\set f{f:(A)\stackrel{\mathrm{inj.}}{\longrightarrow}B}$.<br /> Každé $f$ je speciální podmnožina $A\times B$, tedy $(M, \sse)$ je uspořádání.<br /> Nechť $R\sse M$ je řetězec.<br /> Označme $g:=\bigcup R$<br /> Ukážeme, že $g\in M$.<br /> <br /> \begin{description}<br /> \item[($g$ je zobrazení)]<br /> Nechť $\anglevector{a, b_1}\!, \anglevector{a, b_2}\in g$.<br /> Pak $(\EE f_1, f_2\in R)\bigl(\anglevector{a, b_1}\in f_1, \anglevector{a, b_2}\in f_2\bigr)$.<br /> Bez újmy na obecnosti je $f_1\sse f_2$, a tedy $\anglevector{a, b_1}, \anglevector{a, b_2}\in f_2$,<br /> tedy (neboť $f_2$ je zobrazení) $b_1=b_2$.<br /> \item[($g$ je injekce)]<br /> Vezmeme $\anglevector{a_1, b}\!, \anglevector{a_2, b}\in g$.<br /> Stejným postupem dostaneme $a_1=a_2$.<br /> \end{description}<br /> <br /> Tedy v~$M$ existuje maximální prvek $f$.<br /> Ukážeme, že je buďto $\mathdef f=A$ nebo $f(A)=B$.<br /> Nechť $(\EE a\in A)(a\notin\mathdef f)$ a $(\EE b\in B)(f^\1(\{b\})=\emptyset)$.<br /> Pak $f':=f\cup\anglevector{a, b}$ je bijekce z~$A$ do $B$ a $f\pce f'$, což je spor s~maximalitou $f$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem Libovolný netriviální vektorový prostor $V$ má (konečnou nebo Hammelovu) bázi.<br /> <br /> \proof<br /> Označme $\calS$ systém všech lineárně nezávislých podmnožin $V$ uspořádaný inkluzí.<br /> Ukážeme, že pro libovolný řetězec $R=\set{A_i}{i=1\cldc n,\infty}\sse\calS$ je $A:=\bigcup R\in\calS$.<br /> Mějmě konečnou lineární kombinaci $\sum_{j=1}^k\alpha_ja_j$ prvků z~$A$.<br /> Pro každé $a_j$ existuje $A_{i_j}$ takové, že $a_j\in A_{i_j}$.<br /> Označme $i_m=\max_{j\in \widehat k} i_j$.<br /> Pak $(\AA j\in\widehat k)(a_j\in A_{i_m}\in\calS)$, tedy $\sum_{j=1}^k\alpha_ja_j=0 \Lequiv (\AA j)(\alpha_j=0)$,<br /> což znamená, že $A\in\calS$.<br /> Tedy podle Zornova lemmatu existuje maximální prvek $B\in\calS$.<br /> <br /> Ukážeme, že $B\sublin=V$. Zjevně $B\sublin\sse V$, tedy zbývá ukázat, že generuje:<br /> Vezměme $v\in V\sm B$.<br /> Pak $B\cup\{v\}\varsupsetneq B$ je lineárně závislá (jinak by $B$ nebyla maximální v~$\calS$).<br /> Tedy existuje konečná lineární kombinace z~$B\cup\{v\}$ a nutně je koeficient u $v$ nenulový<br /> (jinak by kombinace byla nulová a z~$B$, ale $B$ je lineárně nezávislá).<br /> Tedy $v\in B\sublin$.<br /> \QED<br /> <br /> \theorem (Hausdorffův princip, v~ZFC)<br /> V~libovolné uspořádané množině je každý řetězec částí nějakého maximálního řetězce (ve smyslu inkluze).<br /> <br /> \theorem<br /> V~ZF axiomatice jsou následující výroky ekvivalentní:<br /> \begin{enumerate}<br /> \item axiom výběru;<br /> \item princip dobrého uspořádání (Zermelova věta);<br /> \item princip maximality (Zornovo lemma);<br /> \item Hausdorffův princip.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \xxxx{Uspořádání kartézského součinu}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $(A, \leq)$, $(B, \leq)$, $A\times B=\set{\anglevector{a,b}}{a\in A, b\in B}$.\\<br /> Pak definuji \defined[uspořádání!lexikografické]{lexikografické uspořádání}:<br /> $$\anglecouple ab\leq\anglecouple cd\iff(a&lt;c \;\lor\; (a=c\land b\leq d)).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Jsou-li $A$, $B$ dobře uspořádané, pak i lexikografické uspořádání na $A\times B$ je dobré.<br /> <br /> \proof<br /> Nechť $\emptyset\neq M\sse A\times B$. Položme $M_A:=\set{a\in A}{(\EE b\in B)(\anglecouple ab\in M)}$.<br /> $\emptyset\neq M_A\sse A$, tedy má první prvek $p$. Položme $M_B:=\set{b\in B}{\anglecouple pb\in M}$.<br /> $\emptyset\neq M_B\sse B$, tedy má první prvek $q$.<br /> <br /> Ukážeme, že $(\AA\anglecouple ab\in M)(\anglecouple pq\leq\anglecouple ab)$.<br /> Z~definice $M_A$ je $p\leq a$ a pokud $p=a$, je z~definice $M_B$ $q\leq b$.<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $A$, $B$ jsou dobře uspořádané množiny, $\alpha=\ord A$, $\beta=\ord B$.<br /> Definujeme \defined[součin!ordinálních čísel]{součin ordinálních čísel}:<br /> $$\alpha\cdot\beta:=\ord(B\times A).$$<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $\ord\N=\omega$.<br /> \item $\omega\cdot\omega=\ord(\N\times\N)=:\omega^2$.<br /> \item $\omega\cdot2=\ord(\{a,b;a&lt;b\}\times\N)=\omega+\omega\neq\omega$.<br /> \item $2\cdot\omega=\ord(\N\times\{a,b\})=\ord\N=\omega$. Tedy $\omega\cdot2\neq2\cdot\omega$.<br /> \end{enumerate}<br /> <br /> \define<br /> Nechť $\calS=\set{A_i}{i\in I}$ je systém po dvou disjunktních množin<br /> (disjunktnost lze zaručit položenín $A'_i:=\{i\}\times A_i$.<br /> Nechť $(I, \leq_I)$ je uspořádání, stejně tak pro všechna $i\in I$ je $(A_i, \leq_i)$ uspořádání.<br /> Pak definujeme \defined[sjednocení!uspořadané uspořádaných množin]{uspořádané sjednocení uspořádaných množin}<br /> na množině $A=\bigcup\calS$.<br /> Nechť $a, b\in A$, $a\in A_i$, $b\in A_j$.<br /> Pak<br /> $$a\leq b \Lequiv (i&lt;_Ij \Lor (i=j \Land a\leq_ib)).$$<br /> <br /> \lemma<br /> Uspořádání $\leq$ na $A$ je úplné/dobré, pokud $\leq_I$ i všechna $\leq_i$ jsou úplná/dobrá.<br /> <br /> \proof<br /> Obdobně jako pro kartézský součin<br /> \QED<br /> <br /> \define<br /> Nechť $A_1$, $A_2$ jsou dobře uspořádané množiny, $\alpha=\ord A_1$, $\beta=\ord A_2$.<br /> Definujeme \defined[součet!ordinálních čísel]{součet ordinálních čísel}:<br /> $$\alpha+\beta:=\ord\bigcup\{A_1, A_2\}.$$<br /> <br /> \example<br /> \begin{enumerate}<br /> \item $1+\omega=\ord\bigcup\{A_1=\{a\}; A_2=\N\}=\omega.$<br /> \item $\omega+1=\ord\bigcup\{A_1=\N; A_2=\{a\}\}\neq\omega.$<br /> \end{enumerate}</div> Sedlam18