https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Nguyebin&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-28T13:41:02ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola3&diff=575802GR:Kapitola32015-12-26T16:30:37Z<p>Nguyebin: drobné úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Faktor grupy<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
\chapter{Faktor grupy}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Studium faktor grup dané grupy $G$ nám umožňuje zkoumat její strukturu a je ekvivalentní zkoumání homomorfismů $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$. \textbf{Vláknem} homomorfismu $\varphi$ příslušejícím prvku $x \in H$ nazýváme množinu $\{y \in G|\varphi(y)=x\}$, tedy množina všech prvků, které se zobrazí na $x$. (Obr. \ref{fig:vlakna}).<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{figure}[!htbt]<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.8]{vlakna.PNG}<br />
\caption{Znázornění vláken homomorfismu. Převzato z \cite{AA}.}<br />
\label{fig:vlakna}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Pro homomorfismus $\varphi$ : $G \rightarrow H$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\varphi(e_G)=e_H$<br />
\item $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$<br />
\item $\varphi(g^{n})=\varphi(g)^{n}$<br />
\item $\Ker\varphi \le G$<br />
\item $\varphi(G) \le H$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\Ker\varphi=K$. Potom \textbf{faktor grupa} $G/K$ ($G$ mod $K$) je grupa na vláknech $\varphi$ s operací definovanou pomocí reprezentantů: pokud $X$ je vlákno nad $a$ a $Y$ je vlákno nad $b$, pak prvek $XY \in G/K$ je vlákno nad $ab$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
To, že faktor grupa má skutečně vlastnosti grupy, se lehce ověří z platnosti těchto vlastností v $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Levé a pravé třídy}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:tridy}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\Ker\varphi=K$ a nechť $X_a \in G/K$ je vlákno nad $a \in H$, tedy $X_a=\varphi^{-1}(a)$. Potom platí: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{uk|k \in K\}$,<br />
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{ku|k \in K\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Dokážeme pouze první bod (druhý se dokazuje analogicky). Označme $uK = \{uk|k \in K\}$, mějme $u \in X_a$ (tedy $\varphi(u)=a$) a ukážeme, že $uK \subset X_a$: $\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=\varphi(u)e=a$. (Využili jsme nejprve toho, že $\varphi$ je homomorfismus a pak toho, že $k$ je z jádra.) <br />
Pro důkaz opačné inkluze mějme libovolné $g \in X_a$ a vezměme $k=u^{-1}g$. Jelikož $\varphi(k)=\varphi(u^{-1}g)=\varphi(u^{-1})\varphi(g)=a^{-1}a=e$, $k$ patří do jádra. Dále zřejmě $g=uk$, tedy $g \in uK$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pro libovolnou $H \le G$ a libovolné $g \in G$ nazýváme množiny $gH=\{gh|h \in H\}$ respektive $Hg=\{hg|h \in H\}$ \textbf{levé} respektive \textbf{pravé třídy} $H$ v $G$. Libovolný prvek třídy nazýváme jejím \textbf{reprezentantem}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $G$ grupa a $K$ jádro nějakého homomorfismu $\varphi$ z $G$ do nějaké grupy. Potom množina levých tříd $K$ v $G$ s operací definovanou jako $aK \otimes bK = (ab)K$ je grupa $G/K$. Tedy tato operace je dobře definovaná (nezávisí na výběru reprezentanta). (Obr. \ref{fig:nasobeni_reprezentanti})<br />
\begin{proof}<br />
Mějme $X,Y \in G/K$, $X=\varphi^{-1}(a)$, $Y=\varphi^{-1}(b)$ a $Z=XY \in G/K$. Podle definice operací v $G/K$ je $Z=\varphi^{-1}(ab)$. Z věty \eqref{v:tridy} víme, že prvky $G/K$ jsou levé třídy $K$. Je třeba ukázat, že i operace, kterou zde definuje pomocí reprezentantů odpovídá původní definici násobení v $G/K$ bez ohledu na výběr reprezentanta. Mějme $u \in X$ a $v \in Y$, tedy $\varphi(u)=a$, $\varphi(v)=b$ a $X=uK$ a $Y=vK$. Určíme, zda $uv \in Z$. <br />
\begin{align}<br />
\varphi(uv)=\varphi(u)\varphi(v)=ab \nonumber <br />
\end{align}<br />
Odtud tedy plyne, že $uv \in Z$, a tedy $Z=uvK$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=0.6]{nasobeni_reprezentanti.PNG}<br />
\caption{Znázornění násobení v $G/K$ pomocí reprezentantů levých tříd. Převzato z \cite{AA}.}<br />
\label{fig:nasobeni_reprezentanti}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $N \le G$, potom množina levých tříd $N$ v $G$ tvoří rozklad $G$ (jejich sjednocením je $G$ a jednotlivé třídy mají prázdný průnik). Dále $\all u,v \in G $ platí $uN=vN$ právě tehdy, když $u^{-1}v \in N$, tedy když $u$ a $v$ jsou reprezentanty stejné třídy.<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že sjednocením levých tříd je celé $G$. Jelikož $N$ je grupa, pak $e \in N$, a tedy platí:<br />
\begin{align}<br />
\bigcup_{g \in G} gN \subset \bigcup_{g \in G} ge = G. \nonumber <br />
\end{align}<br />
Pro důkaz druhé části vezmeme $uN \cap vN \neq \emptyset$ a ukážeme, že potom platí $uN = vN$. Vezměme $x \in uN \cap vN$, tedy $x$ můžeme napsat jako $x= un_1 = vn_2$ pro nějaká $n_1,n_2 \in N$. Rovnost vynásobíme zprava $n_1^{-1}$ a dostaneme $u = vn_2 n_1^{-1} = vn_3$ pro nějaké $n_3 \in N$. Tedy vidíme, že $u \in vN$. Dále pro libovolné $t \in uN$ platí $t = un_4 = (vn_3)n_4 = vn_5$, takže $t \in vN$ pro $\all t \in uN$, tedy $uN \subset vN$. Opačnou inkluzi dostaneme záměnou role $u$ a $v$.<br />
<br />
Jelikož víme, že $u=vn_3$, pak platí $v^{-1}u=n_3$, tedy $v^{-1}u \in N$ a to platí pro libovolné reprezentanty tříd.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:normalni}<br />
Buď $G$ grupa a $N \le G$. Potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Operace na levých třídách definovaná jako $uNvN=(uv)N$ je dobře definovaná právě tehdy, když $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G $ a $ \all n \in N)$.<br />
\item Je-li výše uvedená operace dobře definovaná, pak je množina levých tříd $N$ grupou s jednotkou $eN$ a inverzním prvkem $(gN)^{-1}=g^{-1}N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\ra$)] Nechť je operace na levých třídách dobře definovaná, tedy<br />
\begin{align}<br />
(\all u,v \in G)(u,u_1 \in uN \text{ a } v,v_1 \in vN \ra uvN=u_1v_1N).<br />
\end{align}<br />
Nechť $g \in G$ a $n \in N$ libovolné. Položíme $u = e$, $u_1 = n$ a $v = v_1 = g^{-1}$ a z předpokladu dostaneme<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}N=ng^{-1}N<br />
\end{align}<br />
Protože $e \in N$, $ng^{-1} \in g^{-1}N$. Tedy $ng^{-1}=g^{-1}n_1$, pro nějaké $n_1 \in N$. Vynásobením $g$ zleva dostáváme požadovanou rovnost $gng^{-1}=n_1 \in N$.<br />
\item[$\la$)] Předpokládáme $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G$ a $\all n \in N)$ a vezmeme $u,u_1 \in uN$ a $v,v_1 \in vN$. Pak můžeme psát $u_1=un$ a $v_1=vm$ pro nějaké $n,m \in N$. Musíme ukázat, že $u_1v_1 \in uvN$:<br />
\begin{align}<br />
u_1v_1=(un)(vm)=u(vv^{-1})nvm=(uv)(v^{-1}nv)m=(uv)(n_1)=uvn_2 \in uvN,<br />
\end{align}<br />
kde $n_1=v^{-1}nv=(v^{-1})n(v^{-1})^{-1} \in N$ z předpokladu a $n_2 = n_1m \in N$ z definice. Protože $u_1v_1 \in uvN \cap u_1v_1N$, plyne z předchozí věty rovnost $uvN = u_1v_1N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\item Je-li operace na levých třídách dobře definovaná, axiomy grupy se přenášejí z $G$. Asociativita:<br />
\begin{align}<br />
(uN)(vNwN)=uN(vwN)=u(vw)N=(uv)wN=(uNvN)(wN),\quad \all u,v,w \in G<br />
\end{align}<br />
Z definice násobení je vidět že jednotka v $G/N$ je $N$ a $g^{-1}N$ je inverze $gN$.<br />
\end{enumerate}<br />
%str 81/95<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx<br />
<br />
<br />
<br />
%\begin{define}<br />
% Operce na levých třídách (na pravých obdobně) $N$ v $G$ je \textbf{dobře definovaná}, pokud $(\all u,u_1 \in uN)(\all v,v_1 \in vN)$ platí $(uvN=u_1v_1 N)$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%<br />
%\begin{theorem}<br />
% Máme-li $N \le G$, potom:<br />
% \begin{enumerate}<br />
% \item Operace na levých třídách je dobře definovaná $\lra$ $(\all n \in N)(\all g \in G)(gng{-1}N)$.<br />
% \item Je-li operace dobře definovaná, pak množina tříd s touto operací tvoří grupu. (Tedy jsem schopen vytvořit faktor grupu.)<br />
% \end{enumerate}<br />
% \begin{proof}<br />
% \begin{enumerate}<br />
% \item $\la)$ Nechť ($u=e, u_1 \in N, v=v_1=g^{-1} \in G) \le (eg^{-1}N=u_1g^{-1}) \le (N=gug^{-1}N)$.\\<br />
% $\ra) (\all n\in N, \all g \in G)(gng^{-1}\in N).$ Mějme $u_1,u_2 \in u_1 N$ a $v_1,v_2 \in v_1 N$ ??????????<br />
% \item $eN=N$ (jednotka je $N$), $(gN)^{-1}=g^{-1}N$, asociativita.<br />
% \end{enumerate}<br />
% \end{proof}<br />
%\end{theorem}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Normální podgrupy}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Prvek $m=gng^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaný} k $n$ prvkem $g$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $A \subset G$ libovolná podmnožina grupy. Množina $M=gAg^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaná} k $A$ prvkem $g$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%\begin{define}<br />
% Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Množinu $C_G(A)=\{g\in G|(gag^{-1}=a )(\all a \in A)\}$ nazveme \textbf{centralizátor} $A$ v $G$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{theorem}<br />
% $C_G(A) \le G$.<br />
% \begin{proof}<br />
% $e \in C_G(A), g_1 g_2 = a, g_1^{-1} g_2^{-1} = a$ <br />
% \end{proof}<br />
%\end{theorem}<br />
%<br />
%<br />
%\begin{define}<br />
% \textbf{Centrum} grupy je $Z_G=\{z \in G|gzg^{-1}=z \all g \in G\}=C_G(G)$. (Neboli $gz=zt$ - všechny prvky, které komutují s celou grupou. Je to množina, kterou centralizuje celá grupa.)<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{define}<br />
% Množinu $N_G(A)=\{g\in G|gAg^{-1}=A\}$ nazveme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{remark}<br />
% $C_G(A) \le N_G(A)$.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pokud pro $N \le G$ platí $N_G(N)=G$ (normalizátor $N$ v $G$), pak $N$ nazýváme \textbf{normální} podgrupa. Značíme $N \npg G$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro ověření, zda podgrupa $N \le G$ je normální, stačí ověřit, že komutuje s generátory množiny $G \setminus N$ (množinový rozdíl), pokud tyto generátory známe.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:ekvivalence_normalni}<br />
Nechť $N \le G$, potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $N \npg G$<br />
\item $N_G(N)=G$<br />
\item $gN=Ng$<br />
\item Operace na třídách je dobře definovaná.<br />
\item $gNg^{-1} \subset N$<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Přepsání definic.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $N \le G$, potom $N \npg G$ právě tehdy když $\exists$ homomorfismus $\varphi$ takový, že $N=\Ker\varphi$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\la$)] Podle věty \eqref{v:tridy} víme, že levé a pravé třídy jsou stejné ($gN = Ng$), což je podle věty \eqref{v:ekvivalence_normalni} ekvivalentní normálnosti grupy.<br />
<br />
\item[$\ra$)] Nyní máme $N \npg G$ a označíme $H = G/N$ (podle věty \eqref{v:normalni} je operace na levých třídách pro normální grupu dobře definovaná). Definujeme zobrazení $\pi: G \rightarrow G/N$ jako $\pi(g) = gN$ pro $\all g \in G$. Z definice operací v $G/N$ platí pro $\all f,g \in G$: $\pi(fg) = (fg)N = fNgN = \pi(f)\pi(g)$, tedy $\pi$ je homomorfismus. Jeho jádro je: $\Ker(\pi) = \{g \in G | \pi(g) = eN\} = \{g \in G | gN = eN \} = \{g \in G | g \in N\} = N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nyní můžeme faktorizovat podle normální podgrupy $G/N$, aniž bychom měli homomorfismus.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $N \npg G$, pak zobrazení $\pi:G \rightarrow G/N: \pi(g)=gN$ nazýváme \textbf{přirozená projekce} $G$ na $G/N$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Index grupy, Lagrangeova věta}<br />
<br />
\begin{theorem}[Lagrange]<br />
\label{v:lagrange}<br />
Nechť $G$ je konečná, $H \le G$, potom $|H|$ dělí $|G|$. Navíc počet levých tříd $H$ v $G$ je roven $\frac{|G|}{|H|}$.<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že všechny levé třídy mají stejně prvků. Označme $|H|=n$ a $k$ počet levých tříd a pro $\all g \in G$ definujme zobrazení z $H$ do $gH$ přiřazující $h \rightarrow gh$. Podle definice levých tříd je toto zobrazení surjektivní a jelikož $gh_1=gh_2$ právě, když $h_1 = h_2$, je i injektivní. Odtud plyne $|gH|=|H|$.<br />
<br />
Jelikož je tedy $G$ rozděleno na $k$ levých tříd o $n$ prvcích, platí $|G|=kn$, a tedy $k=\frac{|G|}{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Komutativní grupa prvočíselného řádu nemůže mít netriviální normální podgrupu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $G$ grupa (i nekonečného řádu) a $H \le G$. Potom počet levých tříd $H$ v $G$ nazýváme \textbf{index} $H$ v $G$ a značíme $|G:H|$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro konečné grupy tedy platí $|G:H|=\frac{|G|}{|H|}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Pro konečnou grupu $G$ a $x \in G$ platí $|x|$ dělí $|G|$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Grupa prvočíselného řádu je cyklická.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupu $G$, jejíž jediné normální podgrupy jsou triviální ($e$ a $G$), nazýváme \textbf{prostá}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Opačné tvrzení k Lagrangeově větě neplatí. Tedy konečná grupa $G$, jejíž řád má dělitele $n$, nemusí mít podgrupu řádu $n$. (Platí to pro konečné abelovské grupy.) <br />
\end{remark}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Součinová podgrupa}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Zavádíme \uv{součin} podgrup $K,H \le G$ jako: $KH= \{kh | k \in K, h \in H \}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%A další věci od strany 93... nevím, co z toho se dělalo na přednášce.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $H$ a $K$ jsou podgrupy nějaké grupy, pak<br />
\begin{align}<br />
|HK|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}.<br />
\end{align}<br />
\begin{proof}<br />
$HK$ můžeme napsat jako sjednocení levých tříd $K$,<br />
\begin{align}<br />
HK = \bigcup_{h \in H}hK.<br />
\end{align}<br />
Protože všechny levé třídy mají stejný počet prvků $|K|$, stačí zjistit počet různých levých tříd tvaru $hK, h \in H$. Ale $h_1K = h_2K$ pro $h_1,h_2 \in H$, právě když $h_2^{-1}h_1 \in K$. Tedy<br />
\begin{align}<br />
h_1K=h_2K \Leftrightarrow h_2^{-1}h_1 \in H \cap K \Leftrightarrow h_1(H \cap K) = h_2(H \cap K).<br />
\end{align}<br />
To znamená, že počet různých levých tříd tvaru $hK, h \in H$ je stejný jako počet levých tříd tvaru $h(H \cap K), h \in H$. A to je, z Lagrangeovy věty, rovno $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ . Tedy $HK$ obsahuje $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ různých levých tříd K, kde každá má $|K|$ prvků, čímž dostáváme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $H,K \le G$, pak $HK \le G$ právě tehdy, když $HK = KH$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\la$)] Nechť $HK = KH$ a $a,b \in HK$. Ukážeme, že $ab^{-1} \in HK$, takže $HK$ je podgrupa. Můžeme psát $a = h_1k_1$ a $b = h_2k_2$ pro nějaké $h_1,h_2 \in H$ a $k_1,k_2 \in K$. Tedy<br />
\begin{align}<br />
ab^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1k_3h_2^{-1}<br />
\end{align}<br />
kde $k_3 = k_1k_2^{-1} \in K$. Užitím předpokladu můžeme napsat $k_3h_2^{-1}=h_4k_4$ a dostáváme<br />
\begin{align}<br />
ab^{-1}=(h_1h_4)k_4 \in HK.<br />
\end{align} <br />
\item[$\ra$)] Když $HK \le G$, pak protože $K \le HK$ a $H \le HK$, platí $KH \subset HK$. Pro důkaz opačné inkluze vezmeme $hk \in HK$. Protože $HK$ je podgrupa, můžeme psát $hk = a^{1}$ pro nějaké $a \in HK$. Ale taky $a = h_1k_1$ pro nějaké $h_1 \in H$, $k_1 \in K$. Dostáváme tedy<br />
\begin{align}<br />
hk=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH.<br />
\end{align} <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof} <br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Nechť $H,K \le G$ a $H \le N_G(K)$, pak $HK \le G$. Speciálně pokud $K \npg G$, pak $HK \le G$ pro libovolnou $H \le G$.<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme že $HK = KH$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Z předpokladu máme $hkh^{-1} \in K$, tudíž<br />
\begin{align}<br />
hk=(hkh^{-1})h \in KH.<br />
\end{align}<br />
Ukázali jsme tedy, že $HK \subset KH$. Opačná inkluze se ukáže analogicky a z předchozí věty už plyne, co jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Věty o isomorfismech}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[1. VOI] Pokud $\varphi : G \rightarrow H$ je homomorfismus, pak $\Ker\varphi \npg G$ a $G/\Ker \varphi \cong \varphi(G)$.<br />
\begin{proof}<br />
Cvičení.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $\varphi : G \rightarrow H$ homomorfismus. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\varphi$ je monomorfní, právě když $\Ker \varphi = e$,<br />
\item $|G:\Ker\varphi| = |\varphi(G)|$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[2. VOI, \uv{diamantová}] Buď $G$ grupa a $A \le G$, $B \le G$ a $A \le N_G(B)$. Potom $AB \le G$, $B \npg AB$, $A \cap B \npg A$ a $AB/B \cong A/A \cap B$. <br />
\begin{proof}<br />
Z předchozího důsledku plyne, že $AB \le G$. Protože $A \le N_G(B)$ z předpokladu a $B \le N_G(b)$ triviálně, je taky $AB \le N_G(B)$, tedy $B \npg AB$ a faktorgrupa $AB/B$ je dobře definována. Definujeme proto homomorfismus $\varphi :A \rightarrow AB/B$ předpisem $\varphi(a)= aB$:<br />
\begin{align}<br />
\varphi(a_1a_2)=(a_1a_2)B=a_1Ba_2B=\varphi(a_1)\varphi(a_2).<br />
\end{align}<br />
Z definice je vidět, že $\varphi$ je surjektivní. Jednotkový prvek v $AB/B$ je $B$, tedy $\Ker\varphi = \{a \in A,\ aB = B\} = A \cap B$. Z 1. VOI už plyne, že $A \cap B \npg A$ a $A/A \cap B \cong AB/B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[3. VOI] Buď $G$ grupa a $H \npg G$, $K \npg G$ a $H \le K$. Potom $K/H \npg G/H$ a $(G/H)/(K/H)\cong G/K$. Označíme-li faktor grupu podle $H$ pruhem, tvrzení lze přepsat ve tvaru $\bar{G}/\bar{K} \cong G/K$. <br />
\begin{proof}<br />
Definujeme homomorfismus<br />
$\varphi : G/H \rightarrow G/K$ předpisem $\varphi(gH) = gK$. Abychom ukázali že $\varphi$ je dobře definované, vezmeme $g_1H = g_2H$. Potom $g_1 = g_2h$ pro nějaké $h \in H$. Protože $H \le K$, je taky $h \in K$, proto $g_1K = g_2K$. Tudíž $\varphi(g_1H) = \varphi(g_2H)$ a $\varphi$ je dobře definované. Protože $g$ může být libovolné, je $\varphi$ taky surjektivní. Dále<br />
\begin{align}<br />
\Ker\varphi = \{gH \in G/H | \varphi(gH) = K\} = \{gH \in G/H | gK = K\} = \{gH \in G/H | g \in K \} = K/H,<br />
\end{align}<br />
z 1. VOI už plyne $(G/H)(K/H) \cong G/K$. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následují věta hovoří o vztahu struktury podgrup původní grupy $G$ a faktorgrupy $G/N$. Vlastně říká, že struktura podgrup faktorgrupy je stejná jako struktura podgrup $G$, které obsahují $N$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[4. VOI, \uv{mřížková}] Buď $G$ grupa a $N \npg G$. Potom existuje bijekce z množiny podgrup $G$ obsahujících $N$ na množinu podgrup $G/N$, která každé podgrupě $A$ z první množiny přiřazuje podgrupu $A/N$ ze druhé.<br />
\begin{proof}<br />
Str. 99/113.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Kompoziční řady}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}\label{v: cauchy abel}<br />
Je-li $G$ konečná Abelovská grupa a $p$ prvočíslo, které dělí $|G|$, pak $G$ obsahuje prvek řádu $p$.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz se provádí pomocí takzvané úplné indukce podle řádu $G$. Tedy se předpokládá, že tvrzení platí pro všechny grupy řádu ostře menšího než $|G|$ a ukáže se platnost pro $|G|$. Pro $|G|=1$ je tvrzení triviální.<br />
<br />
Mějme $|G|>1$, tedy existuje $x \in G, x \neq e$. Pokud $|G|=p$ je v důsledku Lagrangeovy věty \eqref{v:lagrange} $G$ cyklická a tedy generovaná nějakým prvkem řádu $|G|$. Dále tedy předpokládejme $|G|>p$. <br />
<br />
Pokud bychom vzali prvek, jehož řád je dělitelný číslem $p$ (tedy $|x|=pn$), pak stačí vzít prvek $x^n$, který je řádu $|x^n|=p$. Dále tedy uvažujeme $p \nmid |x|$.<br />
<br />
Buď $N = \cycl x$. Jelikož $G$ je abelovská, pak $N \npg G$ a z Lagrangeovy věty máme $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$, respektive $|G/N||N|=|G|$. Protože $|N|>1$, musí platit $|G/N|<|G|$. Dále jelikož $p \mid |G|$, ale $p \nmid |N|$, musí platit $p \mid |G/N|$. Z indukčního předpokladu pak $G/N$ obsahuje prvek $\bar{y} = yN$ řádu $p$. Jelikož $y \notin N$, ale $y^p \in N$, musí být $\cycl{y^p} \neq \cycl y$, a tedy $|y^p|<|y|$. Podle věty \eqref{v:rady} tedy platí $p \mid |y|$ a dostáváme se k předchozímu případu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupa $G$ (konečná i nekonečná) se nazývá \textbf{jednoduchá}, pokud $|G|>1$ a jejími jedinými normálními podgrupami jsou $e$ a $G$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
V grupě $G$ řadu podgrup $e=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_{k-1} \le N_k = G$ nazýváme \textbf{kompoziční řada}, pokud $(\all i, 0\le i\le k-1)(N_i \npg N_{i+1})$ a $N_{i+1}/N_i$ je jednoduchá. Faktor grupy $N_{i+1}/N_i$ se pak nazývají \textbf{kompoziční faktory} $G$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[Jordan-Hölder] Buď $G \neq e$ konečná grupa. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G$ má kompoziční řadu,<br />
\item kompoziční faktory této řady jsou dány jednoznačně. Konkrétně pokud $e=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_r = G$ a $e=M_0 \le M_1 \le \ldots \le M_s = G$ jsou dvě kompoziční řady $G$, pak $r=s$ a existuje permutace $\pi$ $r$-tice $(1, 2, \ldots, r)$ taková, že <br />
\begin{equation}<br />
M_{\pi(i)}/M_{\pi(i)-1} \cong N_i/N_{i-1} \quad 1 \le i \le r.<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
117<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Existuje 18 (nekonečných) rodin jednoduchých grup a 26 jednoduchých grup, které nepatří do žádné z těchto skupin (sporadické jednoduché grupy) takových, že každá konečná jednoduchá grupa je isomorfní s některou z výše uvedených. <br />
\begin{proof}<br />
Výsledek cca 100 let práce mnoha matematiků na 5000-10000 stránkách odborných časopisů. Ponecháno čtenáři jako snadné cvičení.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $G$ jednoduchá grupa prvočíselného řádu, pak $G \cong \mathbb{Z}_p$ pro nějaké prvočíslo $p$.<br />
\begin{proof}<br />
255 stran... <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: akce grupy na množině<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
<br />
<br />
\chapter{Akce grupy na množině}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\textbf{Akcí grupy $G$ na množině $A$} nazveme zobrazení $\cdot:G\times A \rightarrow A$ (značíme $g\cdot a$), které splňuje:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\all g_1,g_2 \in G)(\all a \in A)(g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1 g_2)\cdot a),$<br />
\item $(\all a \in A)(e\cdot a = a)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\cdot$ akce grupy $G$ na množině $A$. Zaveďme pro pevně zvolené $g \in G$ zobrazení $\sigma_g:A \rightarrow A$ vztahem $(\sigma_g(a)=g\cdot a) (\all a \in A)$. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\all g \in G)$ je zobrazení $\sigma_g$ permutací množiny $A$,<br />
\item zobrazení $\varphi: G \rightarrow S_A$ (permutace množiny $A$) definované $\varphi(g) = \sigma_g$ je homomorfismus.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
<br />
1) Dokážeme, že $\sigma_g$ má oboustrannou inverzi, a to konkrétně $(\sigma_g)^{-1}=\sigma_{g^-1}$. Z vlastností akce platí: $(\sigma_{g^-1}\circ \sigma_g)(a) = g^{-1}\cdot(g\cdot a) = (g^{-1}g)\cdot a = e \cdot a = a$. Záměnou $g$ za $g^{-1}$ dostaneme, že také $(\sigma_g\circ \sigma_{g^-1})(a) = a$.<br />
<br />
2) Z bodu 1) víme, že skutečně $\sigma_g \in S_A$. Nyní jen ukážeme, že $\all a \in A$ a $\all f,g \in G$ platí $(\varphi(f)\circ \varphi(g))(a) = \sigma_f (\sigma_g(a)) = f\cdot (g \cdot a) = (fg) \cdot a = \sigma_{fg}(a) = \varphi(fg)(a)$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Pro každou grupu $G$ a neprázdnou množinu $A$ existuje bijekce mezi akcemi $G$ na množině $A$ a homomorfismy $G$ do symetrické grupy $S_A$.<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\section{Stabilizátory a orbity}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme grupu $G$ a její akci $\cdot: G\times S \rightarrow S$ na množinu $S$ a nechť $s \in S$ je pevně zvolený prvek. Potom \textbf{stabilizátor} $s$ v $G$ je: $G_s = \{g \in G | g\cdot s = s\}$. \textbf{Orbita} $s$ v $G$ je $O_s = \{ g \cdot s | g \in G \}$, občas značeno též $G\cdot s$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Platí $G_s \le G$.<br />
\begin{proof}<br />
Víme, že $e \in G_s$ z axiomu akce ($e\cdot s = s$). S využitím akce pak máme pro libovolné $y \in G_s$: $s = e\cdot s = (y^{-1}y)\cdot s = [$axiom akce$] = y^{-1}\cdot(y\cdot s) = y^{-1}\cdot s$, tedy $y^{-1} \in G_s$. Konečně pro $x,y \in G_s$ platí: $(xy)\cdot c = x\cdot(y\cdot s) = x \cdot s = s$, tedy i součin $xy$ patří do $G_s$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Definujeme \textbf{jádro} akce jako: $\Ker(\cdot) = \{g \in G | g\cdot s = s $ pro $ \all s \in S\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Platí, že $\Ker(\cdot) \le G$, navíc je průnikem všech stabilizátorů, tedy<br />
\begin{align}<br />
\Ker(\cdot)=\bigcap_{a\in A}G_a.<br />
\end{align}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že akce je \textbf{věrná}, pokud $\Ker(\cdot)=e$, respektive \textbf{tranzitivní}, existuje-li právě jedna orbita.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $H\leq G$, akce $G$ působí na levých třídách ${g_iH}_i=A$ a $\pi_H$ permutační reprezentace. Potom<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G$ působí tranzitivně na $A$,<br />
\item stabilizátor $eH$ v $A$ je roven $H$, <br />
\item jádro akce je největší normální podgrupa $H$, tj. $$\Ker(\pi_H)=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1}.$$<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
$<br />
\Ker(\pi_H)=\{g\in G\mid gxH=xH, \all x\in G\}=\{g\in G\mid x^{-1}gxH=H\},<br />
$<br />
kde $x^{-1}gx\in H$, tj. $g\in xHx^{-1}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cayley]<br />
Každá grupa je isomorfní nějaké podgrupě grupy permutací.<br />
\begin{proof}<br />
Bez důkazu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $p$ nejmenší prvodělitel $|G|$ a podgrupa $H\leq G$ taková, že $|G:H|=p$. Potom $H\npg G$.<br />
\begin{proof}<br />
Je třeba doplnit.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $G$ grupa a $S=\mathcal{P}(G)$. Pak $G$ působí na $S$ konjugací, tedy přiřazuje $B \mapsto gBg^{-1}$ pro $\all B \in S$ a $g \in G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Normalizátor $N_G(A)$ je tedy stabilizátor konjugace $A$ v $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
%___________________________________________________Rovnice trid____________________________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Rovnice tříd}<br />
<br />
\begin{theorem}\label{v: pocet trid ekvivalence}<br />
Nechť $G$ je grupa, $A$ neprázdná množina. Pak platí: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relace na $A$ definovaná přes akci G jako $a \sim b \lra a = g \cdot b$ pro $g \in G$ je ekvivalence.<br />
\item $\all a \in A$ je počet prvků ve třídě ekvivalence obsahující $a$ roven $|G:G_a|$ (indexu stabilizátoru $a$).<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Reflexivita je jasná, pro ověření symetrie nechť $a \sim b$. Pak $a = g \cdot b$, takže $g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot g \cdot b = b$, tedy $b \sim a$. Nakonec pro důkaz tranzitivity mějme $a \sim b$ a $b \sim c$, tedy $a = g \cdot b$ a $b = h \cdot c$ pro nějaké $g, h \in G$. Dostáváme $a = g \cdot b = g \cdot (h \cdot c) = (gh) \cdot c$, proto $a \sim c$.<br />
\item Sestrojíme bijekci mezi levými třídami $G_a$ v $G$ a třídami ekvivalence $a$ (orbitami $a$). Nechť tedy $O_a = \{ g \cdot a | g \in G \}$. Pak zobrazení $g \cdot a \mapsto gG_a$ zobrazuje $O_a$ do množiny levých tříd $G_a$ v $G$ a je očividně surjektivní. Protože $g \cdot a = h \cdot a \lra h^{-1}g \in G_a \lra gG_a = hG_a$ je taky prosté. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof} <br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konjugace splňuje axiomy akce a platí $G_s = C_G(s) = N_G({s})$ pro akci $G$ na $S, s \in S$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Dále budeme pod pojmem orbita rozumět příslušnou třídu ekvivalence konjugace. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[rovnice tříd] Nechť $G$ je konečná grupa a $g_1, g_2, \dots g_r$ reprezentanti různých orbit neobsažených v $Z(G)$. Pak<br />
\begin{align*}<br />
|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align*}<br />
\begin{proof}<br />
Orbita $x$ obsahuje jenom jeden prvek právě tehdy, když $x \in Z(G)$, protože $gxg^{-1} = x$ pro $\all g \in G$. Nechť $Z(G) = \{e, z_2, \dots, z_m\}$ a $\{O_1, O_2, \dots, O_r\}$ buď orbity neobsažené v centru a $g_i$ reprezentant $O_i$ pro $\all i$. Potom všechny orbity (třídy ekvivalence) jsou:<br />
\begin{align*}<br />
\{e\}, \{z_2\}, \dots, \{z_m\}, O_1, O_2, \dots, O_r.<br />
\end{align*}<br />
Protože třídy ekvivalence tvoří disjunktní rozklad $G$, máme díky předchozí větě<br />
\begin{align*}<br />
|G|=\sum_{i=1}^{m}1+\sum_{i=1}^{r}|O_i|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align*} <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Sylowova věta<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
<br />
\chapter{Sylowova věta}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $G$ grupa a $p$ prvočíslo.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Grupu řádu $p^\alpha$ pro nějaké $\alpha \geq 1$ se nazývá \textbf{p-grupa}. Podgrupy $G$ řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{p-podgrupy} $G$.<br />
\item Je-li $G$ řádu $p^\alpha m$ a $p \nmid m$, pak podgrupu řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{Sylowova p-podgrupa} $G$.<br />
\item Množinu všech Sylowových $p$-podgrup značíme $Syl_p(G)$ a počet těchto podgrup $n_p(G)$ (nebo jen $n_p$, je-li grupa jasná z kontextu).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $P \in Syl_p(G)$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak $N_G(P) \cap Q= P \cap Q$.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $H = N_G(P) \cap Q$. Protože $P \le N_G(P)$, je jasné že $P \cap Q \le H$, musíme tedy ukázat opačnou inkluzi. Z definice je $H \le Q$, stačí proto ukázat, že $H \le P$. Protože $H \le N_G(P)$, je $PH$ podgrupa a platí<br />
\begin{align*}<br />
|PH|=\frac{|P||H|}{|P \cap H|}.<br />
\end{align*}<br />
Všechny členy na pravé straně jsou mocniny $p$, proto $PH$ je $p$-podgrupa a protože $P \le PH$ je p-podgrupa maximálního řádu, musí platit $|PH| = |P| = p^\alpha$, tedy $PH =P$ a $H \le P$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[Sylow] Buď $G$ grupa řádu $p^\alpha m$, kde $p$ je prvočíslo a $p \nmid m$. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje Sylowova $p$-podgrupa, tedy $Syl_p(G) \neq \emptyset$.<br />
\item Je-li $P$ Sylowova $p$-podgrupa $G$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak existuje $g \in G$ takové, že $Q \le gPg^{-1}$, tedy $Q$ je obsažena v nějakém sdružení $P$. Speciálně každé dvě Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou vzájemně sdružené v $G$.<br />
\item Počet Sylowových $p$-podgrup je tvaru $1+kp$, tedy $n_p \equiv 1\mod p$. Dále $n_p$ je index grupy $N_G(P)$ v $G$ pro každou Sylowovu $p$-podgrupu $P$, a tedy $n_p | m$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Důkaz provedeme úplnou indukcí na $|G|$, přičemž pro $|G| = 1$ není co dokazovat. Nechť tedy existuje Sylowova $p$-podgrupa pro všechny grupy menšího řádu než $|G|$.<br />
<br />
Když $p \mid |Z(G)|$, pak podle věty (\ref{v: cauchy abel}) existuje $N \le Z(G)$ řádu $p$. Pak $|\overline{G}| = |G/N| = p^{\alpha-1}m$ a z indukčního předpokladu existuje $\overline{P} \le \overline{G}$ řádu $p^{\alpha -1}$. Takže pro $P$ podgrupu $G$ obsahující $N$ takovou, že $P/N = \overline{P}$, platí $|P| = |P/N||N| = p^{\alpha}$ a $P$ je Sylowova $p$-podgrupa G. Omezíme se proto na případ $p \nmid |Z(G)|$.<br />
<br />
Nechť $g_1, g_2, \dots, g_r$ jsou reprezentanti různých tříd neobsažených v centru G, pak platí rovnice tříd<br />
\begin{align}<br />
|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align}<br />
Pokud by platilo $p \mid |G:C_G(g_i)|, \all i$, pak by platilo taky $p \mid |Z(G)|$, protože $p \mid |G|$. Proto pro nějaké $i$ musí platit $p \nmid |G:C_G(g_i)|$. Označíme $H = C_G(g_i)$ pro dané $i$ a máme<br />
\begin{align}<br />
|H| = p^\alpha k, \quad \text{kde }p \nmid k,<br />
\end{align}<br />
a jelikož $g_i \notin Z(G), |H| < |G|$. Z indukčního předpokladu má $H$ Sylowovu $p$-podgrupu $P$, která je taky podgrupou $G$. Navíc $|P| = p^\alpha$, takźe $P$ je Sylovova $p$-podgrupa $G$.<br />
<br />
\item Nechť $Q$ je libovolná $p$-podgrupa G a nechť <br />
\begin{align}<br />
\mathcal{S} = \{ gPg^{-1} | g \in G\} \overset{ozn.}{=} \{ P_1, P_2, \dots, P_r \} = \mathcal{S}.<br />
\end{align}<br />
Z definice $\mathcal S$ může $G$, tedy taky $Q$, působit na $\mathcal{S}$ konjugací. $\mathcal{S}$ lze proto zapsat jako sjednocení orbit akce $Q$:<br />
\begin{align}<br />
\mathcal{S} = O_1 \cup O_2 \cup \dots \cup O_s<br />
\end{align}<br />
kde $r = |O_1|+|O_2|+\dots+|O_s|$. Je potřeba si uvědomit, že $r$ nezávisí na $Q$, ale počet orbit $s$ ano ($G$ má z definice jenom jednu orbitu na $\mathcal{S}$, ale $Q$ jich může mít víc). Přeuspořádáme prvky $\mathcal{S}$ tak, aby prvních $s$ bylo reprezentanty $Q$-orbit: $P_i \in O_i, 1 \le i \le s$. Pak z věty (\ref{v: pocet trid ekvivalence}) plyne $|O_i| = |Q: N_Q(P_i)$. Z definice platí $N_Q(P_i) = N_G(P_i) \cap Q$ a podle předchozího lemmatu, $N_G(P_i) \cap Q = P_i \cap Q$. Celkem tedy máme<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |Q : P_i \cap Q|,\quad 1 \le i \le s.<br />
\end{align}<br />
<br />
Teď můžeme ukázat, že $r \equiv 1\mod p$. Díky libovolnosti $Q$ můžeme položit $Q = P_1$, takže <br />
\begin{align}<br />
|O_1| = 1,<br />
\end{align}<br />
a $\all i > 1, P_1 \neq P_i$, tedy $P_1 \cap\ P_i < P_1$ , proto<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |P_1 : P_1 \cap P_i| > 1,\quad 2 \le i \le s.<br />
\end{align}<br />
Protože $P_1$ je $p$-grupa, $|P_1 : P_1 \cap P_i|$ musí být mocnina $p$, tedy<br />
\begin{align}<br />
p \mid |O_i|, \quad 2 \le i \le s.<br />
\end{align} <br />
Odtud<br />
\begin{align}<br />
r = |O_1| + (|O_2|+ \dots +|O_s|) \equiv 1 (mod\ p)<br />
\end{align}<br />
<br />
Nyní buď $Q$ libovolná $p$-podgrupa G. Kdyby $Q \notin P_i, \all i \in \hat{r}$, pak $Q \cap P_i < Q, \all i$, tedy<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |Q:Q \cap P_i| > 1, \quad 1 \le i \le s.<br />
\end{align} <br />
Tudíž $p \mid |O_i|, \all i$ a $p \mid r$, což je spor s $r \equiv 1\mod p$. Proto $Q \le gPg^{-1}$, pro nějaké $g \in G$.<br />
<br />
Pro důkaz ekvivalence Sylowových $p$-podgrup stačí za $Q$ volit libovolnou Sylowovu $p$-podgrupu. Pak $Q \le gPg^{-1}$ a zároveň $|gPg^{-1}| = |Q| = p^\alpha$, proto $gPg^{-1} = Q$.<br />
<br />
\item Stačí si uvědomit že $\mathcal{S} = Syl_p(G)$ protože každá Sylowova $p$-podgrupa je konjugovaná k $P$, tedy $n_p = r \equiv 1\mod p$. Nakonec díky \eqref{v: pocet trid ekvivalence} a tomu, že všechny Sylowovy $p$-podgrupy jsou konjugované, dostáváme<br />
\begin{align}<br />
n_p = |G:N_G(P)|, \quad \all P \in Syl_p(G).<br />
\end{align} <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $P$ Sylowova $p$-podgrupa grupy $G$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $P$ je jediná Sylowova $p$-podgrupa v $G$, tedy $n_p = 1$,<br />
\item $P \npg G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{dusl}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola5&diff=575702GR:Kapitola52015-12-26T16:01:30Z<p>Nguyebin: drobné úpravy, přidání charakterových tabulek</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Reprezentace<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Reprezentace grup}<br />
<br />
\section{Základní definice}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $G$ grupa a $V$ vektorový prostor nad tělesem $T$. Potom \textbf{lineární reprezentací} grupy $G$ na prostoru $V$ nazýváme každý homomorfismus $T: G \rightarrow GL(V)$, který každému prvku $g \in G$ přiřazuje lineární zobrazení $T(g)$ takové, že $(\all g,h \in G)(T(g)T(h)=T(gh))$. <br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Prostor $V$ nazýváme \textbf{reprezentativní prostor} a jeho dimenzi \textbf{rozměr} reprezentace.<br />
\item Je-li navíc $T$ isomorfismus, nazýváme takovou reprezentaci \textbf{věrná}.<br />
\item Je-li $\dim V<\infty$ (existuje tedy konečná báze $V$), mluvíme o \textbf{maticové} reprezentaci.<br />
\end{itemize} <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{itemize} <br />
\item $T$ je vždy věrnou reprezentací faktor grupy $G/\Ker T$.<br />
\item Prostá grupa má jen věrné reprezentace (kromě triviální).<br />
\end{itemize} <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Je-li $\mathcal{H}$ Hilbertův prostor a $T$ homomorfismus grupy $G$ do množiny unitárních operátorů na $\mathcal{H}$, nazýváme $T$ \textbf{unitární} reprezentací $G$ na $\mathcal{H}$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Dvě reprezentace $T: G \rightarrow V$ a $T': G \rightarrow V'$ nazýváme \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje lineární isometrie $A: V \rightarrow V'$ taková, že $\all g \in G$ platí $T'(g)=AT(g)A^{-1}$ a $\| A\varphi \| = \| \varphi \|$, $\all \varphi \in V$. Je-li navíc $A$ unitární, říkáme, že reprezentace jsou \textbf{unitárně ekvivalentní}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}[Hilbert] Každá maticová reprezentace grupy maticemi s nenulovým determinantem je ekvivalentní unitární reprezentaci.<br />
\begin{proof}<br />
Konstrukcí: Buď $A_i$ matice reprezentující prvek $g_i \in G$. Sestrojíme nejprve hermitovskou matici $H=\sum_{i=1}^r A_i A_i^\dagger$. Hermitovské matice můžeme diagonalizovat pomocí unitární matice $U$. Nechť tato diagonálizované matice je:<br />
\begin{align}<br />
D = U^{-1}HU = \sum_i U^{-1}A_i A_i^\dagger U = \sum_i U^{-1}A_i UU^{-1} A_i^\dagger U = \sum_i A_i' A_i'^\dagger, \nonumber<br />
\end{align}<br />
kde jsme označili $A_i' = U^{-1}A_i U$. Navíc $D$ je nejen diagonální, ale její prvky jsou reálné kladné a proto můžeme vytvořit matice $D^{\frac{1}{2}}$ a $D^{-\frac{1}{2}}$. Potom z definice zřejmě platí:<br />
\begin{align}<br />
I = D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}}. \nonumber<br />
\end{align}<br />
Nyní již definujeme matice finální reprezentace $A_i''= D^{-\frac{1}{2}} A_i' D^{\frac{1}{2}}$, o kterých ukážeme, že jsou unitární:<br />
\begin{align}<br />
A_j''A_j''^\dagger &= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} I D^{\frac{1}{2}} A_j'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\<br />
&= D^{-\frac{1}{2}} A_j' D^{\frac{1}{2}} D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_i' A_i'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} D^{\frac{1}{2}} A_j'^<br />
\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\<br />
&= D^{-\frac{1}{2}} \sum_i A_j'A_i'(A_j' A_i')^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = \nonumber \\<br />
&= D^{-\frac{1}{2}} \sum_k A_k'A_k'^\dagger D^{-\frac{1}{2}} = I. \nonumber<br />
\end{align}<br />
Tím je důkaz dokončen.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Reducibilní a ireducibilní reprezentace}<br />
<br />
\begin{define}<br />
$V_1 \subset V$ se nazývá \textbf{invariantní} podprostor příslušný operátoru $A$, když $(\all \varphi \in V_1)(A\varphi \in V_1)$, tedy $A(V_1) \subset V_1$. Pokud se nejedná o triviální invariantní podprostor, nazývá se takový podprostor \textbf{vlastní}.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Říkáme, že $T$ je \textbf{ireducibilní} reprezentace grupy $G$ na prostoru $V$, pokud neexistuje vlastní invariantní podprostor $V$ příslušný všem operátorům $T(g)$ pro všechna $g \in G$. Tedy $(\all g \in G)(T(g)(V_1) \subset V_1) \Rightarrow (V_1 = 0 \vee V_1 = V)$. V opačném případě se reprezentace nazývá \textbf{reducibilní}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Reprezentace je ireducibilní, pokud neexistuje taková podobnostní transformace, která by převedla současně všechny $T(g)$ na blokově diagonální tvar.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Reducibilní reprezentace, kterou je možné napsat jako direktní součet ireducibilních reprezentací se nazývá \textbf{úplně reducibilní}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $T$ úplně reducibilní reprezentace grupy $G$ na Hilbertově prostoru $\mathcal{H}$. Potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Ortogonální doplněk k $\mathcal{H}_1$ (označme $\mathcal{H}_2$) je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ $\mathcal{H}_1$ je invariantní podprostor.<br />
\item $\mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}$ je invariantní podprostor $\Leftrightarrow$ projektor $E_1$ na $\mathcal{H}_1$ splňuje podmínku: $(T(g)E_1=E_1 T(g))(\all g \in G)$.<br />
\end{enumerate} <br />
<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $\psi_1 \in \mathcal{H}_1$ a $\psi_2 \in \mathcal{H}_2$, pak z předpokladu máme $T(g) | \psi_1 \rangle \in \mathcal{H}_1 = \mathcal{H}_2^\perp$ a platí<br />
\begin{align}<br />
\langle \psi_2 | T(g) \psi_1 \rangle = 0= \langle T^\dagger(g) \psi_2 | \psi_1 \rangle.<br />
\end{align}<br />
\item Můžeme psát $\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2$, tedy $\all | \psi\rangle \in \mathcal{H}$ platí $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle$, kde $|\psi_1\rangle \in \mathcal{H}_1$ a $|\psi_2\rangle \in \mathcal{H}_2$. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\ra$)] Předpokládáme, že $\mathcal{H}_1$, a z předchozího bodu též $\mathcal{H}_2$, jsou invariantní.<br />
\begin{align}<br />
E_1T(g)|\psi\rangle = E_1T(g)|\psi_1\rangle + E_1T(g)|\psi_2\rangle = E_1T(g)E_1|\psi\rangle = T(g)E_1|\psi\rangle. <br />
\end{align}<br />
\item[$\la$)] Z rovnosti $E_1T(g)|\psi\rangle = T(g)E_1|\psi\rangle$ plyne že $T(g)\mathcal{H}_1 \subset \mathcal{H}_1$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}[Maschke]<br />
Reducibilní unitární reprezentace je úplně reducibilní.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Každá unitární ireducibilní reprezentace konečné grupy má konečnou dimenzi.<br />
\begin{proof}<br />
Bez důkazu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Schurova lemmata}<br />
<br />
\begin{theorem}[1. Schurovo lemma] Každá matice, která komutuje se všemi maticemi ireducibilní reprezentace je násobkem jednotkové matice.<br />
\begin{proof}<br />
Víme, že se můžeme omezit je na unitární matice. Mějme tedy matici $M$, pro kterou platí $MA_i = A_i M$ pro $\all i$. Sdružením obou stran dostaneme $M^\dagger A_i^\dagger = A_i^\dagger M^\dagger$ a vynásobením maticí $A_i$ zprava i zleva dostaneme $A_i M^\dagger = M^\dagger A_i$, tedy i $M^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace. Nyní můžeme vytvořit hermitovské matice $H_1 = M + M^\dagger$ a $H_2=i(M - M^\dagger)$ a vyjádřit $M = H_1 -iH_2$. Potom $M$ je konstantní právě tehdy, když tyto hermitovské matice jsou konstantní, a proto se můžeme omezit na hermitovské komutující matice.<br />
<br />
Hermitovskou matici můžeme diagonalizovat, tedy $D=U^{-1}MU$ a definujeme $A_i'=U^{-1}A_iU$. Potom platí $A_i'D=DA_i'$ díky invarianci maticových rovnic vůči unitárním transformacím. Nyní musíme ukázat, že $D$ je nejen diagonální, ale přímo násobkem jednotkové matice. Napíšeme po složkách $(A_i')_{\mu \nu}d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}(A_i')_{\mu \nu}$, tedy $(A_i')_{\mu \nu}(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu})=0$. Pokud by pro nějaké $\mu \nu$ bylo $(d_{\nu \nu}-d_{\mu \mu}) \neq 0$, muselo by být $(A_i')_{\mu \nu}=0$ pro $\all i$, což je spor s ireducibilitou reprezentace. Odtud dostáváme $d_{\nu \nu}=d_{\mu \mu}$ pro $\all \mu \nu$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[2. Schurovo lemma]<br />
\label{v:komutace}<br />
Máme-li dvě ireducibilní reprezentace $T_1$ a $T_2$ rozměru $l_1$ a $l_2$ jedné grupy $G$ a dále existuje obdélníková matice $M$, pro kterou platí: $MT_1(g) = T_2(g)M$ pro $\all g \in G$, pak <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(l_1 \neq l_2) \ra M = 0$ (nulová matice) <br />
\item a pro $l_1 = l_2$ je buď $M=0$, nebo $\det M\neq 0$, a tedy existuje $M^{-1}$, z čehož dostáváme $MT_1(g)M^{-1} = T_2(g)$ pro $\all g \in G$, a tedy obě reprezentace jsou ekvivalentní.<br />
\end{enumerate} <br />
<br />
\begin{proof}<br />
Opět uvažujeme pouze unitární matice a bez újmy na obecnosti nechť $l_1 \le l_2$. Nyní sdružením rovnice pro $M$ dostaneme: $T_1(g)^\dagger M^\dagger = M^\dagger T_2(g)^\dagger$, neboli $T_1(g^{-1}) M^\dagger = M^\dagger T_2(g^{-1)}$. Nyní obě strany vynásobíme $M$ a využijeme toho, že rovnost platí pro všechny $g_i^{-1}$ stejně jako pro všechna $g_i$. Dostaneme (použitím základní rovnosti) <br />
\begin{align}<br />
T_2(g_i^{-1})MM^\dagger = MM^\dagger T_2(g_i^{-1}). \nonumber<br />
\end{align}<br />
Tedy matice $MM^\dagger$ komutuje se všemi maticemi reprezentace a podle předchozího lemmatu musí platit $MM^\dagger = cI$. <br />
<br />
Uvažujme nejprve $l_1=l_2$, tedy $M$ je čtvercová matice. Pomocí pravidel počítání determinantů máme $(\det M)^2=c^{l_1}$. Nyní pokud $c \neq 0$, musí mít $M$ nenulový determinant. V případě, že $c=0$ máme $MM^\dagger = 0$. Po složkách tedy $\sum_\alpha M_{\mu \alpha}M^*_{\nu \alpha} = 0$ pro $\all \mu \nu$. Speciálně volbou $\mu = \nu$ dostáváme $\sum_\alpha |M_{\mu \alpha}|^2=0$, a tedy $M_{\mu \alpha}=0$ pro $\all \mu \alpha$. <br />
<br />
V případě, že $l_1 < l_2$, tedy $M$ má $l_1$ sloupců a $l_2$ řádků, doplní $M$ přidáním $l_2-l_1$ sloupců na čtvercovou matici $N$. Platí, že $NN^\dagger=MM^\dagger$. Jelikož $N$ má zřejmě nulový determinant, dostáváme případ, kdy $M=0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Velká věta ortogonality}<br />
<br />
\begin{theorem}[velká věta ortogonality] Uvažujme všechny neekvivalentní ireducibilní unitární reprezentace grupy $G$. Platí:<br />
\begin{align}<br />
\sum_{g \in G} T_i(g)_{\mu \nu}^* T_j(g)_{\alpha \beta} = \frac{|G|}{l_i}\delta_{ij} \delta_{\mu \alpha} \delta_{\nu \beta}, <br />
\end{align}<br />
kde $l_i$ je rozměr reprezentace $T_i$.<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve uvažujeme dvě neekvivalentní reprezentace $T_1$ a $T_2$. Zkonstruujeme matici:<br />
\begin{align}<br />
M = \sum_{g} T_2(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber<br />
\end{align}<br />
kde $X$ je zatím zcela libovolní obdélníková matice, která odpovídá rozměrem. Nyní použijeme větu \ref{v:komutace}, a proto ukážeme potřebnou rovnost:<br />
\begin{align}<br />
T_2(f)M &= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1}) = \nonumber \\<br />
&= \sum_g T_2(f)T_2(g)XT_1(g^{-1})T_1(f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\<br />
&= \sum_g T_2(fg)XT_1(g^{-1}f^{-1})T_1(f) = \nonumber \\<br />
&= \sum_g T_2(fg)XT_1((fg)^{-1})T_1(f) = \nonumber \\<br />
&= \sum_{h} T_2(h)XT_1(h^{-1})T_1(f) = MT_1(f). \nonumber \\<br />
\end{align}<br />
Musí tedy platit, že $M=0$, tedy<br />
\begin{align}<br />
M_{\alpha \mu} = 0 = \sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_2(g)_{\alpha \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu}. <br />
\end{align}<br />
Nyní si zvolíme konkrétní matici $X$ a to tak, že $X_{\beta \nu}=1$ (jeden prvek je jedna) a ostatní prvky jsou nulové. Pak předchozí rovnost dává:<br />
\begin{align}<br />
0 = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g^{-1})_{\nu \mu} = \sum_g T_2(g)_{\alpha \beta} T_1(g)^*_{\mu \nu}, <br />
\end{align}<br />
kde poslední úprava je z unitarity matice. To nám tedy dává člen $\delta_{ij}$ ve výsledku (pro různé reprezentace je skalární součin vždy 0).<br />
<br />
Nyní mějme jednu reprezentaci a znovu zkonstruujeme matici $M$ jako:<br />
\begin{align}<br />
M = \sum_{g} T_1(g)XT_1(g^{-1}), \nonumber<br />
\end{align}<br />
a ze Schurova lemmatu máme $M = cI$. Vezměme prvek $\mu \mu'$, což nám dá rovnici:<br />
\begin{align}<br />
\sum_g \sum_{\kappa \lambda} T_1(g)_{\mu \kappa} X_{\kappa \lambda} T_1(g^{-1})_{\lambda \mu'}=c\delta_{\mu \mu'}. \nonumber<br />
\end{align}<br />
Opět zvolíme $X$ jen s jedním nenulovým prvkem $X_{\nu \nu'}=1$. Potom:<br />
\begin{align}<br />
\sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=c_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'}, \nonumber<br />
\end{align}<br />
kde indexy u $c$ značí, že jeho hodnota závisí na volbě matice $X$. Nyní zvolíme $\mu = \mu'$ a sečteme přes $\mu$.<br />
\begin{align}<br />
\sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu}&=l_1 c_{\nu \nu'}, \nonumber \\<br />
\sum_g T_1(gg^{-1})_{\nu' \nu} & = \sum_g T_1(e)_{\nu' \nu} = |G| \delta_{\nu \nu'}.\nonumber <br />
\end{align}<br />
Odtud máme $c_{\nu \nu'} = \frac{|G|\delta_{\nu \nu'}}{l_1}$. Zpětným dosazením za $c$ dostaneme:<br />
\begin{align}<br />
\sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g^{-1})_{\nu' \mu'}=\frac{|G|}{l_1}\delta_{\nu \nu'}\delta_{\mu \mu'} = \sum_g T_1(g)_{\mu \nu} T_1(g)^*_{\mu' \nu'}, \nonumber<br />
\end{align}<br />
což dokazuje tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Velká věta ortogonality tedy říká, že pokud vytvoříme vektory čísel o počtu prvků $|G|$ tak, že si zvolíme jednu reprezentaci a v ní $\mu$-tý řádek a $\nu$-tý sloupec a prvky vektoru jsou prvky matice reprezentace pro jednotlivé prvky grupy $G$, pak jsou tyto vektory vzájemně kolmé pro různé reprezentace nebo různé pozice v matici. (Musíme mít stanovené pořadí prvků v $G$.) Označme $|G|=n$. Vektory s $n$ prvky tvoří $n$-dimenzionální vektorový prostor. V takovém prostoru tedy může být maximálně $n$ vzájemně kolmých vektorů, a proto platí, že $\sum_i l_i^2 \le n$, kde suma jde přes všechny neekvivalentní ireducibilní reprezentace. (Později se zde ukáže, že vždy platí rovnost.)<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Tabulky charakterů}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro maticové reprezentace zavedeme užitečnou veličinu nezávisející na bázi -- tzv. charakter reprezentace. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Označme stopu $\Tr{(T(g))}=\chi(g)$. Uspořádanou $n$-tici stop matic $T(g)$ nazveme \textbf{charakter} reprezentace.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Charaktery ekvivalentních reprezentací jsou zřejmě stejné. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Velká věta ortogonality pro charaktery prvků grupy:<br />
\begin{align}<br />
\sum_{g \in G} \chi^{(\mu)}(g)^*\chi^{(\nu)}(g)=n\delta_{\nu \mu}. <br />
\end{align}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Charaktery všech konjugovaných prvků grupy jsou stejné.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Velká věta ortogonality pro charaktery konjugovaných prvků grupy:<br />
\begin{align}<br />
\sum_{i} n_i \chi^{(\mu)}(C_i)^*\chi^{(\nu)}(C_i)=n\delta_{\nu \mu},<br />
\end{align}<br />
kde $G=C_1\cup\cdots\cup C_k$ a $n_i$ je počet prvků v konjugované třídě. Prvky<br />
\begin{align}<br />
\chi'^{(\mu)}(C_i)=\sqrt{\frac{n_i}{n}}\chi^{(\mu)}(C_i)<br />
\end{align}<br />
tvoří ortonormální systém, který je větší nebo roven počtu neekvivalentních reprezentací.<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Mějme unitární reducibilní reprezentaci $T(g)$ rozepsanou pomocí ireducibilních reprezentací jako $T(g)=\bigoplus_\nu a_\nu T^{(\nu)}(g)$. Označme $\chi(C_i)=\sum_{\nu}a_\nu\chi^{(\nu)}(C_i)$. Potom pro koeficienty rozkladu $a_\mu$ platí<br />
\begin{align}<br />
a_\mu=\frac{1}{n}\sum_{i} n_i \chi^{(\mu)}(C_i)^*\chi(C_i). <br />
\end{align}<br />
\begin{proof}<br />
Rovnost $\chi(C_i)=\sum_{\nu}a_\nu\chi^{(\nu)}(C_i)$ vynásobme $n_i\chi^{(\mu)}(C_i)$ a vysčítáme přes $i$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Z definice je $T(g)$ ireducibilní transformace, právě když $a_\mu=1$. Poté platí<br />
\begin{align}<br />
\sum_{i} \chi^{(\mu)}(g_i)^*\chi(g_i)=n.<br />
\end{align}<br />
Tomuto vztahu se říká Frobeniova podmínka.<br />
\end{dusl}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola4&diff=575602GR:Kapitola42015-12-26T16:00:45Z<p>Nguyebin: formální a gramatické úpravy a opravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Přímý a polopřímý součin grup<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Přímý a polopřímý součin grup}<br />
<br />
Jedná se o způsob konstrukce větších grup z menších.<br />
<br />
\begin{define} Přímý součin definujeme pro konečné a spočetně nekonečné množiny grup (rozdíl definice je jen formální).<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots \ast_n$ po řadě, je množina $n$-tic $(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:<br />
\begin{equation}<br />
(g_1, g_2, \ldots, g_n)\ast(h_1, h_2, \ldots, h_n) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots, g_n \ast_n h_n).<br />
\end{equation}<br />
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots $ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots $, po řadě, je množina posloupností $(g_1, g_2, \ldots )$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:<br />
\begin{equation}<br />
(g_1, g_2, \ldots)\ast(h_1, h_2, \ldots) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots).<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
Je zřejmé, že výsledkem přímého součinu grup je opět grupa a to řádu $|G| = |G_1||G_2|\ldots|G_n|$ nebo nekonečného.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Klasifikace Abelovských grup}<br />
<br />
\begin{define} <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Grupa $G$ je \textbf{konečně generovaná}, pokud existuje konečná množina $A\subset G$ taková, že $G=\cycl A$.<br />
\item Pro každé $r\in \mathbb{Z}$, $r \geq 0$, buď $\mathbb{Z}^r=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}$ direktní součet $r$ kopií grupy $\mathbb{Z}$, kde $\mathbb{Z}^0=e$. Grupa $\mathbb{Z}^r$ se nazývá \textbf{volná Abelovská grupa řádu $r$}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[základní věta Abelovských grup] Buď $G$ konečně generovaná Abelovská grupa. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1}\times Z_{n_2} \times \ldots \times Z_{n_s}$ pro nějaká celá čísla splňující následující podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $r \geq 0$ a $n_j \geq 2$ pro všechna $j$,<br />
\item $n_{i+1}|n_i$ pro $1\leq i \leq s-1$,<br />
\end{enumerate}<br />
\item a rozklad je jednoznačný.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Bez důkazu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Každý prvočíselný dělitel $|G|$ musí dělit $n_1$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $G$ grupa řádu $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$. Potom<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G \cong A_1 \times A_2\times \ldots \times A_k$, kde $|A_i|=p_i^{\alpha_i}$,<br />
\item pro každé $A\in {A_1, A_2, \ldots, A_k}$, kde $|A|=p^\alpha$ je $A \cong Z_{p^{\beta_1}} \times Z_{p^{\beta_2}} \times \ldots \times Z_{p^{\beta_t}}$, kde $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_t \geq 1$ a $\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_t = \alpha$ ($t$ a $\beta_j$ závisí na $i$)<br />
\item a rozklad v 1) a 2) je jednoznačný.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Bez důkazu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $m,n \in \Z^+$, pak $\Z_m \times \Z_n \cong \Z_{mn} \lra \gcd{(m,n)}=1$ (tj. $m$ a $n$ jsou nesoudělná).<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\ra$)] Nechť $\Z_m = \cycl x$, $\Z_n = \cycl y$ a $l = \lcm{(m,n)}$ (nejmenší společný násobek). Všimneme si, že $l = mn$, právě když $\gcd{(m,n)} = 1$. Dále nechť $x^a y^b \in \Z_m \times \Z_n$ libovolné, pak<br />
\begin{align*}<br />
(x^a y^b)^l = x^{la} y^{lb} = e^a e^b = e,<br />
\end{align*}<br />
protože $m \mid l$ a taky $n \mid l$. Pokud $\gcd{(m,n)} \neq 1$, každý element $\Z_m \times \Z_n$ je řádu nanejvýš $l$, tedy ostře menšího než $mn$, tedy $\Z_m \times \Z_n $ nemůže být isomorfní $\Z_{mn}$.<br />
\item[$\la$)] Naopak, pokud $\gcd{(m,n)} = 1$, pak $|xy| = \lcm{(|x|,|y|)} = mn$. Tudíž $\Z_m \times \Z_n = \cycl{xy}$. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $h,k \le G$. Počet různých způsobů, jak napsat libovolný element z $HK$ ve tvaru $hk$ pro nějaké $h \in H$ a $k \in K$, je $|H \cap K|$. Speciálně když $H \cap K = e$, pak pro každý element existuje pouze jeden způsob.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $x \in HK$ a $y \in H \cap K$ libovolné, pak $x = yy^{-1}x = yz$, kde $z = y^{-1}x$ je element $H$ nebo $K$. Takže existuje alespoň $|H \cap K|$ možností, jak zvolit $y$. Kdyby existovalo $x \in HK$, které lze zapsat více způsoby než $H \cap K$, pak celkový počet způsobů, jak zapsat všechny prvky, by byl větší než <br />
\begin{align*}<br />
|HK||H \cap K| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H||K|<br />
\end{align*}<br />
a to by znamenalo spor s jednoznačností zápisu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $H, K \npg G$ a $H \cap K = e$, pak $HK \cong H \times K$.<br />
\begin{proof}<br />
Protože $H,K \npg G$, je $HK \le G$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Protože $H \npg G$, platí $k^{-1}hk \in H$, tedy taky $h^{-1}(k^{-1}hk) \in H$. Analogicky, $(h^{-1}k^{-1}h)k \in K$. Dále díky tomu, že $H \cap K = e$, máme $h^{-1}k^{-1}hk = e$, tedy $hk=kh$, takže prvky $H$ komutují s prvky $K$. Podle předcházející věty lze každý prvek $HK$ zapsat právě jedním způsobem ve tvaru $hk$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Zobrazení<br />
\begin{align*}<br />
\varphi : HK \rightarrow H \times K : hk \rightarrow (h,k)<br />
\end{align*}<br />
je proto dobře definované. Pro důkaz toho, že $\varphi$ je homomorfismus, vezměme $h_1, h_2 \in H$ a $k_1, k_2 \in K$. Pak díky tomu, že prvky $H$ a $K$ spolu komutují, platí<br />
\begin{align*}<br />
(h_1k_1)(h_2k_2) = (h_1h_2)(k_1k_2)<br />
\end{align*}<br />
a tento tvar je jednoznačně zapsán ve tvaru $hk$, kde $h \in H$, $k \in K$. Takže<br />
\begin{align*}<br />
\varphi(h_1k_1h_2k_2) = \varphi(H_1h_2k_1k_2) = (h_1h_2, k_1k_2) = (h_1,k_1)(h_2,k_2) = \varphi(h_1k_1)\varphi(h_2k_2),<br />
\end{align*}<br />
tedy $\varphi$ je homomorfismus. Zároveň je to ale bijekce, proto $\varphi$ je isomorfizmus. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Polopřímý součin}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Polopřímý součin je další způsob, jak z menších grup vyrobit grupu větší. Ve výsledku dostaneme z grup $H$ a $K$ grupu $G$, ve které bude platit $H \npg G$, ale $K \le G$ nemusí být normální. Jako motivaci předpokládejme, že už takovou $G$ máme a platí $H \cap K = e$. Platí, že $HK \le G$ a existuje bijekce mezi prvky $HK$ a dvojicemi $(h,k)$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Chceme-li součin dvou prvků z $HK$ opět napsat ve tvaru $hk$, postupujeme takto:<br />
<br />
<br />
\begin{align}<br />
(h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2 = h_1 h_3 k_3 = h_4 k_3, \nonumber<br />
\end{align}<br />
<br />
kde jsme využili toho, že $H$ je normální podgrupa. Cílem polopřímého součinu je zavést grupu s obdobným násobením bez \uv{zastřešující} grupy, která nám umožňuje násobit mezi sebou prvky z $K$ a $H$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $H$ a $K$ grupy a $\varphi:K\rightarrow\Aut H$ je homomorfismus (každému prvku $k \in K$ přiřadí nějakou permutaci $H$). Dále buď $\cdot$ akce grupy $K$ na $H$ daná vztahem $\varphi(k)h=k\cdot h$. Buď $G$ množina dvojic $(h,k)$, $h \in H$ a $k \in K$ a definuje násobení těchto dvojic jako: <br />
\begin{align}<br />
(h_1,k_1)(h_2,k_2) = (h_1 k_1 \cdot h_2,k_1 k_2). \nonumber<br />
\end{align} <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G$ s takto definovanou operací je grupa řádu $|G| = |K||H|$.<br />
\item Množiny $\{(h,1) |h \in H\}$ a $\{(1,k) |k \in K\}$ jsou podgrupy $G$ isomorfní grupám $H$ a $K$. (Dále mezi nimi nerozlišujeme.)<br />
\item $H \npg G$.<br />
\item $H \cap K = e$.<br />
\item $(\all h \in H, k \in K)(khk^{-1} = k \cdot h)$. <br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Asociativita platí, protože pro libovolné $(a,x), (b,y), (c,z) \in G$ platí<br />
\begin{align*}<br />
((a,x)(b,y))(c,z) &= (a x \cdot b, x y)(c, z) \nonumber \\<br />
&= (a x \cdot b (xy) \cdot c, x y z) \nonumber \\<br />
&= (a x \cdot b x \cdot (y \cdot c), x y z) \nonumber \\<br />
&= (a x \cdot (b y \cdot c), x y z) \nonumber \\<br />
&= (a, x)(b y \cdot c, y z) \nonumber \\<br />
&= (a, x)((b, y)(c, z)). \nonumber<br />
\end{align*}<br />
Dále je z definice vidět, že $(1,1)$ je jednotkový prvek, $(h,k)^{-1} = (k^{-1} \cdot h^{-1}, k^{-1})$ je inverzní prvek pro libovolné $(h,k) \in G$ a $|G| = |H||K|$.<br />
\item Nechť $\tilde{H} = \{ (h, 1) | h \in H \}$ a $\tilde{K} = \{ (1, k) | k \in K \}$. Máme<br />
\begin{align*}<br />
(a, 1)(b, 1) = (a 1 \cdot b, 1) = (ab, 1), \qquad \all a,b \in H.<br />
\end{align*}<br />
Analogicky, <br />
\begin{align*}<br />
(1, x)(1, y) = (1, xy), \qquad \all x,y \in K,<br />
\end{align*} <br />
takže $\tilde{H},\tilde{K} \le G$ isomorfní $H,K$.<br />
\item[4.] Je jasné, že $\tilde{H} \cap \tilde{K} =e$.<br />
\item[5.] Dále platí<br />
\begin{align*}<br />
(1, k)(h, 1)(1, k)^{-1} &= ((1, k)(h, 1))(1, k^{-1}) \\<br />
&= (k \cdot h, k)(1, k^{-1}) \\<br />
&= (k \cdot h k \cdot 1, k k^{-1}) \\<br />
&= (k \cdot h, 1),<br />
\end{align*} <br />
tedy přiřazením $h \leftrightarrow (h, 1)$ a $k \leftrightarrow (1,k)$ z bodu (2.) dostáváme $khk^{-1} = k \cdot h$.<br />
\item[3.] Nakonec, protože $K \le N_G(H)$, platí $G = HK$ a zároveň $H \leq N_G(H)$, dostáváme $N_G(H) = G$, tedy $H \npg G$. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{define} <br />
Grupu $G$ z předchozí věty nazýváme \textbf{polopřímý součin} grup $H$ a $K$ a značíme $H \rtimes_\varphi K$.<br />
\end{define}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola3&diff=575502GR:Kapitola32015-12-26T15:59:50Z<p>Nguyebin: celková úprava, přeházení pořadí</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Faktor grupy<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
\chapter{Faktor grupy}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Studium faktor grup dané grupy $G$ nám umožňuje zkoumat její strukturu a je ekvivalentní zkoumání homomorfismů $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$. \textbf{Vláknem} homomorfismu $\varphi$ příslušejícím prvku $x \in H$ nazýváme množinu $\{y \in G|\varphi(y)=x\}$, tedy množina všech prvků, které se zobrazí na $x$. (Obr. \ref{fig:vlakna}).<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{figure}[!htbt]<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.8]{vlakna.PNG}<br />
\caption{Znázornění vláken homomorfismu. Převzato z \cite{AA}.}<br />
\label{fig:vlakna}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Pro homomorfismus $\varphi$ : $G \rightarrow H$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\varphi(e_G)=e_H$<br />
\item $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$<br />
\item $\varphi(g^{n})=\varphi(g)^{n}$<br />
\item $\Ker\varphi \le G$<br />
\item $\varphi(G) \le H$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\Ker\varphi=K$. Potom \textbf{faktor grupa} $G/K$ ($G$ mod $K$) je grupa na vláknech $\varphi$ s operací definovanou pomocí reprezentantů: pokud $X$ je vlákno nad $a$ a $Y$ je vlákno nad $b$, pak prvek $XY \in G/K$ je vlákno nad $ab$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
To, že faktor grupa má skutečně vlastnosti grupy, se lehce ověří z platnosti těchto vlastností v $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Levé a pravé třídy}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:tridy}<br />
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\Ker\varphi=K$ a nechť $X_a \in G/K$ je vlákno nad $a \in H$, tedy $X_a=\varphi^{-1}(a)$. Potom platí: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{uk|k \in K\}$,<br />
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{ku|k \in K\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Dokážeme pouze první bod (druhý se dokazuje analogicky). Označme $uK = \{uk|k \in K\}$, mějme $u \in X_a$ (tedy $\varphi(u)=a$) a ukážeme, že $uK \subset X_a$: $\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=\varphi(u)e=a$. (Využili jsme nejprve toho, že $\varphi$ je homomorfismus a pak toho, že $k$ je z jádra.) <br />
Pro důkaz opačné inkluze mějme libovolné $g \in X_a$ a vezměme $k=u^{-1}g$. Jelikož $\varphi(k)=\varphi(u^{-1}g)=\varphi(u^{-1})\varphi(g)=a^{-1}a=e$, $k$ patří do jádra. Dále zřejmě $g=uk$, tedy $g \in uK$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pro libovolnou $H \le G$ a libovolné $g \in G$ nazýváme množiny $gH=\{gh|h \in H\}$ respektive $Hg=\{hg|h \in H\}$ \textbf{levé} respektive \textbf{pravé třídy} $H$ v $G$. Libovolný prvek třídy nazýváme jejím \textbf{reprezentantem}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $G$ grupa a $K$ jádro nějakého homomorfismu $\varphi$ z $G$ do nějaké grupy. Potom množina levých tříd $K$ v $G$ s operací definovanou jako $aK \otimes bK = (ab)K$ je grupa $G/K$. Tedy tato operace je dobře definovaná (nezávisí na výběru reprezentanta). (Obr. \ref{fig:nasobeni_reprezentanti})<br />
\begin{proof}<br />
Mějme $X,Y \in G/K$, $X=\varphi^{-1}(a)$, $Y=\varphi^{-1}(b)$ a $Z=XY \in G/K$. Podle definice operací v $G/K$ je $Z=\varphi^{-1}(ab)$. Z věty \ref{v:tridy} víme, že prvky $G/K$ jsou levé třídy $K$. Je třeba ukázat, že i operace, kterou zde definuje pomocí reprezentantů odpovídá původní definici násobení v $G/K$ bez ohledu na výběr reprezentanta. Mějme $u \in X$ a $v \in Y$, tedy $\varphi(u)=a$, $\varphi(v)=b$ a $X=uK$ a $Y=vK$. Určíme, zda $uv \in Z$. <br />
\begin{align}<br />
\varphi(uv)=\varphi(u)\varphi(v)=ab \nonumber <br />
\end{align}<br />
Odtud tedy plyne, že $uv \in Z$, a tedy $Z=uvK$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=0.6]{nasobeni_reprezentanti.PNG}<br />
\caption{Znázornění násobení v $G/K$ pomocí reprezentantů levých tříd. Převzato z \cite{AA}.}<br />
\label{fig:nasobeni_reprezentanti}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $N \le G$, potom množina levých tříd $N$ v $G$ tvoří rozklad $G$ (jejich sjednocením je $G$ a jednotlivé třídy mají prázdný průnik). Dále $\all u,v \in G $ platí $uN=vN$ právě tehdy, když $u^{-1}v \in N$, tedy když $u$ a $v$ jsou reprezentanty stejné třídy.<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že sjednocením levých tříd je celé $G$. Jelikož $N$ je grupa, pak $e \in N$, a tedy platí:<br />
\begin{align}<br />
\bigcup_{g \in G} gN \subset \bigcup_{g \in G} ge = G. \nonumber <br />
\end{align}<br />
Pro důkaz druhé části vezmeme $uN \cap vN \neq \emptyset$ a ukážeme, že potom platí $uN = vN$. Vezměme $x \in uN \cap vN$, tedy $x$ můžeme napsat jako $x= un_1 = vn_2$ pro nějaká $n_1,n_2 \in N$. Rovnost vynásobíme zprava $n_1^{-1}$ a dostaneme $u = vn_2 n_1^{-1} = vn_3$ pro nějaké $n_3 \in N$. Tedy vidíme, že $u \in vN$. Dále pro libovolné $t \in uN$ platí $t = un_4 = (vn_3)n_4 = vn_5$, takže $t \in vN$ pro $\all t \in uN$, tedy $uN \subset vN$. Opačnou inkluzi dostaneme záměnou role $u$ a $v$.<br />
<br />
Jelikož víme, že $u=vn_3$, pak platí $v^{-1}u=n_3$, tedy $v^{-1}u \in N$ a to platí pro libovolné reprezentanty tříd.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:normalni}<br />
Buď $G$ grupa a $N \le G$. Potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Operace na levých třídách definovaná jako $uNvN=(uv)N$ je dobře definovaná právě tehdy, když $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G $ a $ \all n \in N)$.<br />
\item Je-li výše uvedená operace dobře definovaná, pak je množina levých tříd $N$ grupou s jednotkou $eN$ a inverzním prvkem $(gN)^{-1}=g^{-1}N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\ra$)] Nechť je operace na levých třídách dobře definovaná, tedy<br />
\begin{align}<br />
(\all u,v \in G)(u,u_1 \in uN \text{ a } v,v_1 \in vN \ra uvN=u_1v_1N).<br />
\end{align}<br />
Nechť $g \in G$ a $n \in N$ libovolné. Položíme $u = e$, $u_1 = n$ a $v = v_1 = g^{-1}$ a z předpokladu dostaneme<br />
\begin{align}<br />
g^{-1}N=ng^{-1}N<br />
\end{align}<br />
Protože $e \in N$, $ng^{-1} \in g^{-1}N$. Tedy $ng^{-1}=g^{-1}n_1$, pro nějaké $n_1 \in N$. Vynásobením $g$ zleva dostáváme požadovanou rovnost $gng^{-1}=n_1 \in N$.<br />
\item[$\la$)] Předpokládáme $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G$ a $\all n \in N)$ a vezmeme $u,u_1 \in uN$ a $v,v_1 \in vN$. Pak můžeme psát $u_1=un$ a $v_1=vm$ pro nějaké $n,m \in N$. Musíme ukázat, že $u_1v_1 \in uvN$:<br />
\begin{align}<br />
u_1v_1=(un)(vm)=u(vv^{-1})nvm=(uv)(v^{-1}nv)m=(uv)(n_1)=uvn_2 \in uvN,<br />
\end{align}<br />
kde $n_1=v^{-1}nv=(v^{-1})n(v^{-1})^{-1} \in N$ z předpokladu a $n_2 = n_1m \in N$ z definice. Protože $u_1v_1 \in uvN \cap u_1v_1N$, plyne z předchozí věty rovnost $uvN = u_1v_1N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\item Je-li operace na levých třídách dobře definovaná, axiomy grupy se přenášejí z $G$. Asociativita:<br />
\begin{align}<br />
(uN)(vNwN)=uN(vwN)=u(vw)N=(uv)wN=(uNvN)(wN),\quad \all u,v,w \in G<br />
\end{align}<br />
Z definice násobení je vidět že jednotka v $G/N$ je $N$ a $g^{-1}N$ je inverze $gN$.<br />
\end{enumerate}<br />
%str 81/95<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx<br />
<br />
<br />
<br />
%\begin{define}<br />
% Operce na levých třídách (na pravých obdobně) $N$ v $G$ je \textbf{dobře definovaná}, pokud $(\all u,u_1 \in uN)(\all v,v_1 \in vN)$ platí $(uvN=u_1v_1 N)$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%<br />
%\begin{theorem}<br />
% Máme-li $N \le G$, potom:<br />
% \begin{enumerate}<br />
% \item Operace na levých třídách je dobře definovaná $\lra$ $(\all n \in N)(\all g \in G)(gng{-1}N)$.<br />
% \item Je-li operace dobře definovaná, pak množina tříd s touto operací tvoří grupu. (Tedy jsem schopen vytvořit faktor grupu.)<br />
% \end{enumerate}<br />
% \begin{proof}<br />
% \begin{enumerate}<br />
% \item $\la)$ Nechť ($u=e, u_1 \in N, v=v_1=g^{-1} \in G) \le (eg^{-1}N=u_1g^{-1}) \le (N=gug^{-1}N)$.\\<br />
% $\ra) (\all n\in N, \all g \in G)(gng^{-1}\in N).$ Mějme $u_1,u_2 \in u_1 N$ a $v_1,v_2 \in v_1 N$ ??????????<br />
% \item $eN=N$ (jednotka je $N$), $(gN)^{-1}=g^{-1}N$, asociativita.<br />
% \end{enumerate}<br />
% \end{proof}<br />
%\end{theorem}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Normální podgrupy}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Prvek $m=gng^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaný} k $n$ prvkem $g$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $A \subset G$ libovolná podmnožina grupy. Množina $M=gAg^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaná} k $A$ prvkem $g$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%\begin{define}<br />
% Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Množinu $C_G(A)=\{g\in G|(gag^{-1}=a )(\all a \in A)\}$ nazveme \textbf{centralizátor} $A$ v $G$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{theorem}<br />
% $C_G(A) \le G$.<br />
% \begin{proof}<br />
% $e \in C_G(A), g_1 g_2 = a, g_1^{-1} g_2^{-1} = a$ <br />
% \end{proof}<br />
%\end{theorem}<br />
%<br />
%<br />
%\begin{define}<br />
% \textbf{Centrum} grupy je $Z_G=\{z \in G|gzg^{-1}=z \all g \in G\}=C_G(G)$. (Neboli $gz=zt$ - všechny prvky, které komutují s celou grupou. Je to množina, kterou centralizuje celá grupa.)<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{define}<br />
% Množinu $N_G(A)=\{g\in G|gAg^{-1}=A\}$ nazveme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$.<br />
%\end{define}<br />
%<br />
%\begin{remark}<br />
% $C_G(A) \le N_G(A)$.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pokud pro $N \le G$ platí $N_G(N)=G$ (normalizátor $N$ v $G$), pak $N$ nazýváme \textbf{normální} podgrupa. Značíme $N \npg G$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro ověření, zda podgrupa $N \le G$ je normální, stačí ověřit, že komutuje s generátory množiny $G \setminus N$ (množinový rozdíl), pokud tyto generátory známe.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:ekvivalence_normalni}<br />
Nechť $N \le G$, potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $N \npg G$<br />
\item $N_G(N)=G$<br />
\item $gN=Ng$<br />
\item Operace na třídách je dobře definovaná.<br />
\item $gNg^{-1} \subset N$<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Přepsání definic.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $N \le G$, potom $N \npg G$ právě tehdy když $\exists$ homomorfismus $\varphi$ takový, že $N=\Ker\varphi$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\la$)] Podle věty \ref{v:tridy} víme, že levé a pravé třídy jsou stejné ($gN = Ng$), což je podle věty \ref{v:ekvivalence_normalni} ekvivalentní normálnosti grupy.<br />
<br />
\item[$\ra$)] Nyní máme $N \npg G$ a označíme $H = G/N$ (podle věty \ref{v:normalni} je operace na levých třídách pro normální grupu dobře definovaná). Definujeme zobrazení $\pi: G \rightarrow G/N$ jako $\pi(g) = gN$ pro $\all g \in G$. Z definice operací v $G/N$ platí pro $\all f,g \in G$: $\pi(fg) = (fg)N = fNgN = \pi(f)\pi(g)$, tedy $\pi$ je homomorfismus. Jeho jádro je: $\Ker(\pi) = \{g \in G | \pi(g) = 1N\} = \{g \in G | gN = 1N \} = \{g \in G | g \in N\} = N$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nyní můžeme faktorizovat podle normální podgrupy $G/N$, aniž bychom měli homomorfismus.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $N \npg G$, pak zobrazení $\pi:G \rightarrow G/N: \pi(g)=gN$ nazýváme \textbf{přirozená projekce} $G$ na $G/N$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Index grupy, Lagrangeova věta}<br />
<br />
\begin{theorem}[Lagrange]<br />
\label{v:lagrange}<br />
Nechť $G$ je konečná, $H \le G$, potom $|H|$ dělí $|G|$. Navíc počet levých tříd $H$ v $G$ je roven $\frac{|G|}{|H|}$.<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že všechny levé třídy mají stejně prvků. Označme $|H|=n$ a $k$ počet levých tříd a pro $\all g \in G$ definujme zobrazení z $H$ do $gH$ přiřazující $h \rightarrow gh$. Podle definice levých tříd je toto zobrazení surjektivní a jelikož $gh_1=gh_2$ právě, když $h_1 = h_2$, je i injektivní. Odtud plyne $|gH|=|H|$.<br />
<br />
Jelikož je tedy $G$ rozděleno na $k$ levých tříd o $n$ prvcích, platí $|G|=kn$, a tedy $k=\frac{|G|}{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Komutativní grupa prvočíselného řádu nemůže mít netriviální normální podgrupu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $G$ grupa (i nekonečného řádu) a $H \le G$. Potom počet levých tříd $H$ v $G$ nazýváme \textbf{index} $H$ v $G$ a značíme $|G:H|$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro konečné grupy tedy platí $|G:H|=\frac{|G|}{|H|}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Pro konečnou grupu $G$ a $x \in G$ platí $|x|$ dělí $|G|$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Grupa prvočíselného řádu je cyklická.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupu $G$, jejíž jediné normální podgrupy jsou triviální ($1$ a $G$), nazýváme \textbf{prostá}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Opačné tvrzení k Lagrangeově větě neplatí. Tedy konečná grupa $G$, jejíž řád má dělitele $n$ nemusí mít podgrupu řádu $n$. (Platí to pro konečné abelovské grupy.) <br />
\end{remark}<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Součinová podgrupa}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Zavádíme \uv{součin} podgrup $K,H \le G$ jako: $KH= \{kh | k \in K, h \in H \}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
%A další věci od strany 93... nevím, co z toho se dělalo na přednášce.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $H$ a $K$ jsou podgrupy nějaké grupy, pak<br />
\begin{align}<br />
|HK|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}.<br />
\end{align}<br />
\begin{proof}<br />
$HK$ můžeme napsat jako sjednocení levých tříd $K$,<br />
\begin{align}<br />
HK = \bigcup_{h \in H}hK.<br />
\end{align}<br />
Protože všechny levé třídy mají stejný počet prvků $|K|$, stačí zjistit počet různých levých tříd tvaru $hK, h \in H$. Ale $h_1K = h_2K$ pro $h_1,h_2 \in H$, právě když $h_2^{-1}h_1 \in K$. Tedy<br />
\begin{align}<br />
h_1K=h_2K \Leftrightarrow h_2^{-1}h_1 \in H \cap K \Leftrightarrow h_1(H \cap K) = h_2(H \cap K).<br />
\end{align}<br />
To znamená, že počet různých levých tříd tvaru $hK, h \in H$ je stejný jako počet levých tříd tvaru $h(H \cap K), h \in H$. A to je, z Lagrangeovy věty, rovno $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ . Tedy $HK$ obsahuje $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ různých levých tříd K, kde každá má $|K|$ prvků, čímž dostáváme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $H,K \le G$, pak $HK \le G$ právě tehdy, když $HK = KH$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\la$)] Nechť $HK = KH$ a $a,b \in HK$. Ukážeme, že $ab^{-1} \in HK$, takže $HK$ je podgrupa. Můžeme psát $a = h_1k_1$ a $b = h_2k_2$ pro nějaké $h_1,h_2 \in H$ a $k_1,k_2 \in K$. Tedy<br />
\begin{align}<br />
ab^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1k_3h_2^{-1}<br />
\end{align}<br />
kde $k_3 = k_1k_2^{-1} \in K$. Užitím předpokladu můžeme napsat $k_3h_2^{-1}=h_4k_4$ a dostáváme<br />
\begin{align}<br />
ab^{-1}=(h_1h_4)k_4 \in HK.<br />
\end{align} <br />
\item[$\ra$)] Když $HK \le G$, pak protože $K \le HK$ a $H \le HK$, platí $KH \subset HK$. Pro důkaz opačné inkluze vezmeme $hk \in HK$. Protože $HK$ je podgrupa, můžeme psát $hk = a^{1}$ pro nějaké $a \in HK$. Ale taky $a = h_1k_1$ pro nějaké $h_1 \in H$, $k_1 \in K$. Dostáváme tedy<br />
\begin{align}<br />
hk=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH.<br />
\end{align} <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof} <br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Nechť $H,K \le G$ a $H \le N_G(K)$, pak $HK \le G$. Speciálně pokud $K \npg G$, pak $HK \le G$ pro libovolnou $H \le G$.<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme že $HK = KH$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Z předpokladu máme $hkh^{-1} \in K$, tudíž<br />
\begin{align}<br />
hk=(hkh^{-1})h \in KH.<br />
\end{align}<br />
Ukázali jsme tedy, že $HK \subset KH$. Opačná inkluze se ukáže analogicky a z předchozí věty už plyne, co jsme chtěli dokázat.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Věty o isomorfismech}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[1. VOI] Pokud $\varphi : G \rightarrow H$ je homomorfismus, pak $\Ker\varphi \npg G$ a $G/\Ker \varphi \cong \varphi(G)$.<br />
\begin{proof}<br />
Cvičení.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $\varphi : G \rightarrow H$ homomorfismus. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\varphi$ je monomorfní, právě když $\Ker \varphi = 1$,<br />
\item $|G:\Ker\varphi| = |\varphi(G)|$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[2. VOI, \uv{diamantová}] Buď $G$ grupa a $A \le G$, $B \le G$ a $A \le N_G(B)$. Potom $AB \le G$, $B \npg AB$, $A \cap B \npg A$ a $AB/B \cong A/A \cap B$. <br />
\begin{proof}<br />
Z předchozího důsledku plyne, že $AB \le G$. Protože $A \le N_G(B)$ z předpokladu a $B \le N_G(b)$ triviálně, je taky $AB \le N_G(B)$, tedy $B \npg AB$ a faktorgrupa $AB/B$ je dobře definována. Definujeme proto homomorfismus $\varphi :A \rightarrow AB/B$ předpisem $\varphi(a)= aB$:<br />
\begin{align}<br />
\varphi(a_1a_2)=(a_1a_2)B=a_1Ba_2B=\varphi(a_1)\varphi(a_2).<br />
\end{align}<br />
Z definice je vidět, že $\varphi$ je surjektivní. Jednotkový prvek v $AB/B$ je $B$, tedy $\Ker\varphi = \{a \in A,\ aB = B\} = A \cap B$. Z 1. VOI už plyne, že $A \cap B \npg A$ a $A/A \cap B \cong AB/B$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[3. VOI] Buď $G$ grupa a $H \npg G$, $K \npg G$ a $H \le K$. Potom $K/H \npg G/H$ a $(G/H)/(K/H)\cong G/K$. Označíme-li faktor grupu podle $H$ pruhem, tvrzení lze přepsat ve tvaru $\bar{G}/\bar{K} \cong G/K$. <br />
\begin{proof}<br />
Definujeme homomorfismus<br />
$\varphi : G/H \rightarrow G/K$ předpisem $\varphi(gH) = gK$. Abychom ukázali že $\varphi$ je dobře definované, vezmeme $g_1H = g_2H$. Potom $g_1 = g_2h$ pro nějaké $h \in H$. Protože $H \le K$, je taky $h \in K$, proto $g_1K = g_2K$. Tudíž $\varphi(g_1H) = \varphi(g_2H)$ a $\varphi$ je dobře definované. Protože $g$ může být libovolné, je $\varphi$ taky surjektivní. Dále<br />
\begin{align}<br />
\Ker\varphi = \{gH \in G/H | \varphi(gH) = K\} = \{gH \in G/H | gK = K\} = \{gH \in G/H | g \in K \} = K/H,<br />
\end{align}<br />
z 1. VOI už plyne $(G/H)(K/H) \cong G/K$. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následují věta hovoří o vztahu struktury podgrup původní grupy $G$ a faktorgrupy $G/N$. Vlastně říká, že struktura podgrup faktorgrupy je stejná jako struktura podgrup $G$, které obsahují $N$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[4. VOI, \uv{mřížková}] Buď $G$ grupa a $N \npg G$. Potom existuje bijekce z množiny podgrup $G$ obsahujících $N$ na množinu podgrup $G/N$, která každé podgrupě $A$ z první množiny přiřazuje podgrupu $A/N$ ze druhé.<br />
\begin{proof}<br />
Str. 99/113.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%____________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\section{Kompoziční řady}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}\label{v: cauchy abel}<br />
Je-li $G$ konečná Abelovská grupa a $p$ prvočíslo, které dělí $|G|$, pak $G$ obsahuje prvek řádu $p$.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz se provádí pomocí takzvané úplné indukce podle řádu $G$. Tedy se předpokládá, že tvrzení platí pro všechny grupy řádu ostře menšího než $|G|$ a ukáže se platnost pro $|G|$. Pro $|G|=1$ je tvrzení triviální.<br />
<br />
Mějme $|G|>1$, tedy existuje $x \in G, x \neq 1$. Pokud $|G|=p$ je v důsledku Lagrangeovy věty \ref{v:lagrange} $G$ cyklická a tedy generovaná nějakým prvkem řádu $|G|$. Dále tedy předpokládejme $|G|>p$. <br />
<br />
Pokud bychom vzali prvek, jehož řád je dělitelný číslem $p$ (tedy $|x|=pn$), pak stačí vzít prvek $x^n$, který je řádu $|x^n|=p$. Dále tedy uvažujeme $p \nmid |x|$.<br />
<br />
Buď $N = \cycl x$. Jelikož $G$ je abelovská, pak $N \npg G$ a z Lagrangeovy věty máme $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$, respektive $|G/N||N|=|G|$. Protože $|N|>1$, musí platit $|G/N|<|G|$. Dále jelikož $p \mid |G|$, ale $p \nmid |N|$, musí platit $p \mid |G/N|$. Z indukčního předpokladu pak $G/N$ obsahuje prvek $\bar{y} = yN$ řádu $p$. Jelikož $y \notin N$, ale $y^p \in N$, musí být $\cycl{y^p} \neq \cycl y$, a tedy $|y^p|<|y|$. Podle věty \ref{v:rady} tedy platí $p \mid |y|$ a dostáváme se k předchozímu případu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupa $G$ (konečná i nekonečná) se nazývá \textbf{jednoduchá}, pokud $|G|>1$ a jejími jedinými normálními podgrupami jsou $1$ a $G$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
V grupě $G$ řadu podgrup $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_{k-1} \le N_k = G$ nazýváme \textbf{kompoziční řada}, pokud $(\all i, 0\le i\le k-1)(N_i \npg N_{i+1})$ a $N_{i+1}/N_i$ je jednoduchá. Faktor grupy $N_{i+1}/N_i$ se pak nazývají \textbf{kompoziční faktory} $G$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[Jordan-Hölder] Buď $G \neq 1$ konečná grupa. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G$ má kompoziční řadu,<br />
\item kompoziční faktory této řady jsou dány jednoznačně. Konkrétně pokud $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_r = G$ a $1=M_0 \le M_1 \le \ldots \le M_s = G$ jsou dvě kompoziční řady $G$, pak $r=s$ a existuje permutace $\pi$ $r$-tice $(1, 2, \ldots, r)$ taková, že <br />
\begin{equation}<br />
M_{\pi(i)}/M_{\pi(i)-1} \cong N_i/N_{i-1} \quad 1 \le i \le r.<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
117<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Existuje 18 (nekonečných) rodin jednoduchých grup a 26 jednoduchých grup, které nepatří do žádné z těchto skupin (sporadické jednoduché grupy) takových, že každá konečná jednoduchá grupa je isomorfní s některou z výše uvedených. <br />
\begin{proof}<br />
Výsledek cca 100 let práce mnoha matematiků na 5000-10000 stránkách odborných časopisů. Ponecháno čtenáři jako snadné cvičení.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $G$ jednoduchá grupa prvočíselného řádu, pak $G \cong \mathbb{Z}_p$ pro nějaké prvočíslo $p$.<br />
\begin{proof}<br />
255 stran... <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: akce grupy na množině<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
<br />
<br />
\chapter{Akce grupy na množině}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\textbf{Akcí grupy $G$ na množině $A$} nazveme zobrazení $\cdot:G\times A \rightarrow A$ (značíme $g\cdot a$), které splňuje:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\all g_1,g_2 \in G)(\all a \in A)(g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1 g_2)\cdot a),$<br />
\item $(\all a \in A)(1\cdot a = a)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\cdot$ akce grupy $G$ na množině $A$. Zaveďme pro pevně zvolené $g \in G$ zobrazení $\sigma_g:A \rightarrow A$ vztahem $(\sigma_g(a)=g\cdot a) (\all a \in A)$. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\all g \in G)$ je zobrazení $\sigma_g$ permutací množiny $A$,<br />
\item zobrazení $\varphi: G \rightarrow S_A$ (permutace množiny $A$) definované $\varphi(g) = \sigma_g$ je homomorfismus.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
<br />
1) Dokážeme, že $\sigma_g$ má oboustrannou inverzi, a to konkrétně $(\sigma_g)^{-1}=\sigma_{g^-1}$. Z vlastností akce platí: $(\sigma_{g^-1}\circ \sigma_g)(a) = g^{-1}\cdot(g\cdot a) = (g^{-1}g)\cdot a = 1 \cdot a = a$. Záměnou $g$ za $g^{-1}$ dostaneme, že také $(\sigma_g\circ \sigma_{g^-1})(a) = a$.<br />
<br />
2) Z bodu 1) víme, že skutečně $\sigma_g \in S_A$. Nyní jen ukážeme, že $\all a \in A$ a $\all f,g \in G$ platí $(\varphi(f)\circ \varphi(g))(a) = \sigma_f (\sigma_g(a)) = f\cdot (g \cdot a) = (fg) \cdot a = \sigma_{fg}(a) = \varphi(fg)(a)$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Pro každou grupu $G$ a neprázdnou množinu $A$ existuje bijekce mezi akcemi $G$ na množině $A$ a homomorfismy $G$ do symetrické grupy $S_A$.<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\section{Stabilizátory a orbity}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme grupu $G$ a její akci $\cdot: G\times S \rightarrow S$ na množinu $S$ a nechť $s \in S$ je pevně zvolený prvek. Potom \textbf{stabilizátor} $s$ v $G$ je: $G_s = \{g \in G | g\cdot s = s\}$. \textbf{Orbita} $s$ v $G$ je $O_s = \{ g \cdot s | g \in G \}$, občas značeno též $G\cdot s$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Platí $G_s \le G$.<br />
\begin{proof}<br />
Víme, že $1 \in G_s$ z axiomu akce ($1\cdot s = s$). S využitím akce pak máme pro libovolné $y \in G_s$: $s = 1\cdot s = (y^{-1}y)\cdot s = [$axiom akce$] = y^{-1}\cdot(y\cdot s) = y^{-1}\cdot s$, tedy $y^{-1} \in G_s$. Konečně pro $x,y \in G_s$ latí: $(xy)\cdot c = x\cdot(y\cdot s) = x \cdot s = s$, tedy i součin $xy$ patří do $G_s$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Definujeme \textbf{jádro} akce jako: $\Ker(\cdot) = \{g \in G | g\cdot s = s $ pro $ \all s \in S\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Platí, že $\Ker(\cdot) \le G$, navíc je průnikem všech stabilizátorů, tedy<br />
\begin{align}<br />
\Ker(\cdot)=\bigcap_{a\in A}G_a.<br />
\end{align}<br />
\end{corollary}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že akce je \textbf{věrná}, pokud $\Ker(\cdot)=e$, respektive \textbf{tranzitivní}, existuje-li právě jedna orbita.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $H\leq G$, akce $G$ působí na levých třídách ${g_iH}_i=A$ a $\pi_H$ permutační reprezentace. Potom<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $G$ působí tranzitivně na $A$,<br />
\item stabilizátor $eH$ v $A$ je roven $H$, <br />
\item jádro akce je největší normální podgrupa $H$, tj. $$\Ker(\pi_H)=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1}.$$<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
$<br />
\Ker(\pi_H)=\{g\in G\mid gxH=xH, \all x\in G\}=\{g\in G\mid x^{-1}gxH=H\},<br />
$<br />
kde $x^{-1}gx\in H$, tj. $g\in xHx^{-1}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cayley]<br />
Každá grupa je isomorfní nějaké podgrupě grupy permutací.<br />
\begin{proof}<br />
Bez důkazu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $p$ nejmenší prvodělitel $|G|$ a podgrupa $H\leq G$ taková, že $|G:H|=p$. Potom $H\npg G$.<br />
\begin{proof}<br />
Je třeba doplnit.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $G$ grupa a $S=\mathcal{P}(G)$. Pak $G$ působí na $S$ konjugací, tedy přiřazuje $B \mapsto gBg^{-1}$ pro $\all B \in S$ a $g \in G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Normalizátor $N_G(A)$ je tedy stabilizátor konjugace $A$ v $G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
%___________________________________________________Rovnice trid____________________________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Rovnice tříd}<br />
<br />
\begin{theorem}\label{v: pocet trid ekvivalence}<br />
Nechť $G$ je grupa, $A$ neprázdná množina. Pak platí: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relace na $A$ definovaná přes akci G jako $a \sim b \lra a = g \cdot b$ pro $g \in G$ je ekvivalence.<br />
\item $\all a \in A$ je počet prvků ve třídě ekvivalence obsahující $a$ roven $|G:G_a|$ (indexu stabilizátoru $a$).<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Reflexivita je jasná, pro ověření symetrie nechť $a \sim b$. Pak $a = g \cdot b$, takže $g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot g \cdot b = b$, tedy $b \sim a$. Nakonec pro důkaz tranzitivity mějme $a \sim b$ a $b \sim c$, tedy $a = g \cdot b$ a $b = h \cdot c$ pro nějaké $g, h \in G$. Dostáváme $a = g \cdot b = g \cdot (h \cdot c) = (gh) \cdot c$, proto $a \sim c$.<br />
\item Sestrojíme bijekci mezi levými třídami $G_a$ v $G$ a třídami ekvivalence $a$ (orbitami $a$). Nechť tedy $O_a = \{ g \cdot a | g \in G \}$. Pak zobrazení $g \cdot a \mapsto gG_a$ zobrazuje $O_a$ do množiny levých tříd $G_a$ v $G$ a je očividně surjektivní. Protože $g \cdot a = h \cdot a \lra h^{-1}g \in G_a \lra gG_a = hG_a$ je taky prosté. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof} <br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konjugace splňuje axiomy akce a platí $G_s = C_G(s) = N_G({s})$ pro akci $G$ na $S, s \in S$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Dále budeme pod pojmem orbita rozumět příslušnou třídu ekvivalence konjugace. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[rovnice tříd] Nechť $G$ je konečná grupa a $g_1, g_2, \dots g_r$ reprezentanti různých orbit neobsažených v $Z(G)$. Pak<br />
\begin{align*}<br />
|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align*}<br />
\begin{proof}<br />
Orbita $x$ obsahuje jenom jeden prvek právě tehdy, když $x \in Z(G)$, protože $gxg^{-1} = x$ pro $\all g \in G$. Nechť $Z(G) = \{1, z_2, \dots, z_m\}$ a $\{O_1, O_2, \dots, O_r\}$ buď orbity neobsažené v centru a $g_i$ reprezentant $O_i$ pro $\all i$. Potom všechny orbity (třídy ekvivalence) jsou:<br />
\begin{align*}<br />
\{1\}, \{z_2\}, \dots, \{z_m\}, O_1, O_2, \dots, O_r.<br />
\end{align*}<br />
Protože třídy ekvivalence tvoří disjunktní rozklad $G$, máme díky předchozí větě<br />
\begin{align*}<br />
|G|=\sum_{i=1}^{m}1+\sum_{i=1}^{r}|O_i|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align*} <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Sylowova věta<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
<br />
<br />
\chapter{Sylowova věta}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $G$ grupa a $p$ prvočíslo.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Grupu řádu $p^\alpha$ pro nějaké $\alpha \geq 1$ se nazývá \textbf{p-grupa}. Podgrupy $G$ řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{p-podgrupy} $G$.<br />
\item Je-li $G$ řádu $p^\alpha m$ a $p \nmid m$, pak podgrupu řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{Sylowova p-podgrupa} $G$.<br />
\item Množinu všech Sylowových $p$-podgrup značíme $Syl_p(G)$ a počet těchto podgrup $n_p(G)$ (nebo jen $n_p$, je-li grupa jasná z kontextu).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $P \in Syl_p(G)$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak $N_G(P) \cap Q= P \cap Q$.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $H = N_G(P) \cap Q$. Protože $P \le N_G(P)$, je jasné že $P \cap Q \le H$, musíme tedy ukázat opačnou inkluzi. Z definice je $H \le Q$, stačí proto ukázat, že $H \le P$. Protože $H \le N_G(P)$, je $PH$ podgrupa a platí<br />
\begin{align*}<br />
|PH|=\frac{|P||H|}{|P \cap H|}.<br />
\end{align*}<br />
Všechny členy na pravé straně jsou mocniny $p$, proto $PH$ je $p$-podgrupa a protože $P \le PH$ je p-podgrupa maximálního řádu, musí platit $|PH| = |P| = p^\alpha$, tedy $PH =P$ a $H \le P$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
[Sylow] Buď $G$ grupa řádu $p^\alpha m$, kde $p$ je prvočíslo a $p \nmid m$. Pak:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje Sylowova $p$-podgrupa, tedy $Syl_p(G) \neq \emptyset$.<br />
\item Je-li $P$ Sylowova $p$-podgrupa $G$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak existuje $g \in G$ takové, že $Q \le gPg^{-1}$, tedy $Q$ je obsažena v nějakém sdružení $P$. Speciálně každé dvě Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou vzájemně sdružené v $G$.<br />
\item Počet Sylowových $p$-podgrup je tvaru $1+kp$, tedy $n_p \equiv 1\mod p$. Dále $n_p$ je index grupy $N_G(P)$ v $G$ pro každou Sylowovu $p$-podgrupu $P$, a tedy $n_p | m$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Důkaz provedeme úplnou indukcí na $|G|$, přičemž pro $|G| = 1$ není co dokazovat. Nechť tedy existuje Sylowova $p$-podgrupa pro všechny grupy menšího řádu než $|G|$.<br />
<br />
Když $p \mid |Z(G)|$, pak podle věty (\ref{v: cauchy abel}) existuje $N \le Z(G)$ řádu $p$. Pak $|\overline{G}| = |G/N| = p^{\alpha-1}m$ a z indukčního předpokladu existuje $\overline{P} \le \overline{G}$ řádu $p^{\alpha -1}$. Takže pro $P$ podgrupu $G$ obsahující $N$ takovou, že $P/N = \overline{P}$, platí $|P| = |P/N||N| = p^{\alpha}$ a $P$ je Sylowova $p$-podgrupa G. Omezíme se proto na případ $p \nmid |Z(G)|$.<br />
<br />
Nechť $g_1, g_2, \dots, g_r$ jsou reprezentanti různých tříd neobsažených v centru G, pak platí rovnice tříd<br />
\begin{align}<br />
|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|.<br />
\end{align}<br />
Pokud by platilo $p \mid |G:C_G(g_i)|, \all i$, pak by platilo taky $p \mid |Z(G)|$, protože $p \mid |G|$. Proto pro nějaké $i$ musí platit $p \nmid |G:C_G(g_i)|$. Označíme $H = C_G(g_i)$ pro dané $i$ a máme<br />
\begin{align}<br />
|H| = p^\alpha k, \quad \text{kde }p \nmid k,<br />
\end{align}<br />
a jelikož $g_i \notin Z(G), |H| < |G|$. Z indukčního předpokladu má $H$ Sylowovu $p$-podgrupu $P$, která je taky podgrupou $G$. Navíc $|P| = p^\alpha$, takźe $P$ je Sylovova $p$-podgrupa $G$.<br />
<br />
\item Nechť $Q$ je libovolná $p$-podgrupa G a nechť <br />
\begin{align}<br />
\mathcal{S} = \{ gPg^{-1} | g \in G\} \overset{ozn.}{=} \{ P_1, P_2, \dots, P_r \} = \mathcal{S}.<br />
\end{align}<br />
Z definice $\mathcal S$ může $G$, tedy taky $Q$, působit na $\mathcal{S}$ konjugací. $\mathcal{S}$ lze proto zapsat jako sjednocení orbit akce $Q$:<br />
\begin{align}<br />
\mathcal{S} = O_1 \cup O_2 \cup \dots \cup O_s<br />
\end{align}<br />
kde $r = |O_1|+|O_2|+\dots+|O_s|$. Je potřeba si uvědomit, že $r$ nezávisí na $Q$, ale počet orbit $s$ ano ($G$ má z definice jenom jednu orbitu na $\mathcal{S}$, ale $Q$ jich může mít víc). Přeuspořádáme prvky $\mathcal{S}$ tak, aby prvních $s$ bylo reprezentanty $Q$-orbit: $P_i \in O_i, 1 \le i \le s$. Pak z věty (\ref{v: pocet trid ekvivalence}) plyne $|O_i| = |Q: N_Q(P_i)$. Z definice platí $N_Q(P_i) = N_G(P_i) \cap Q$ a podle předchozího lemmatu, $N_G(P_i) \cap Q = P_i \cap Q$. Celkem tedy máme<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |Q : P_i \cap Q|,\quad 1 \le i \le s.<br />
\end{align}<br />
<br />
Teď můžeme ukázat, že $r \equiv 1\mod p$. Díky libovolnosti $Q$ můžeme položit $Q = P_1$, takže <br />
\begin{align}<br />
|O_1| = 1,<br />
\end{align}<br />
a $\all i > 1, P_1 \neq P_i$, tedy $P_1 \cap\ P_i < P_1$ , proto<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |P_1 : P_1 \cap P_i| > 1,\quad 2 \le i \le s.<br />
\end{align}<br />
Protože $P_1$ je $p$-grupa, $|P_1 : P_1 \cap P_i|$ musí být mocnina $p$, tedy<br />
\begin{align}<br />
p \mid |O_i|, \quad 2 \le i \le s.<br />
\end{align} <br />
Odtud<br />
\begin{align}<br />
r = |O_1| + (|O_2|+ \dots +|O_s|) \equiv 1 (mod\ p)<br />
\end{align}<br />
<br />
Nyní buď $Q$ libovolná $p$-podgrupa G. Kdyby $Q \notin P_i, \all i \in \hat{r}$, pak $Q \cap P_i < Q, \all i$, tedy<br />
\begin{align}<br />
|O_i| = |Q:Q \cap P_i| > 1, \quad 1 \le i \le s.<br />
\end{align} <br />
Tudíž $p \mid |O_i|, \all i$ a $p \mid r$, což je spor s $r \equiv 1\mod p$. Proto $Q \le gPg^{-1}$, pro nějaké $g \in G$.<br />
<br />
Pro důkaz ekvivalence Sylowových $p$-podgrup stačí za $Q$ volit libovolnou Sylowovu $p$-podgrupu. Pak $Q \le gPg^{-1}$ a zároveň $|gPg^{-1}| = |Q| = p^\alpha$, proto $gPg^{-1} = Q$.<br />
<br />
\item Stačí si uvědomit že $\mathcal{S} = Syl_p(G)$ protože každá Sylowova $p$-podgrupa je konjugovaná k $P$, tedy $n_p = r \equiv 1\mod p$. Nakonec díky \eqref{v: pocet trid ekvivalence} a tomu, že všechny Sylowovy $p$-podgrupy jsou konjugované, dostáváme<br />
\begin{align}<br />
n_p = |G:N_G(P)|, \quad \all P \in Syl_p(G).<br />
\end{align} <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $P$ Sylowova $p$-podgrupa grupy $G$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $P$ je jediná Sylowova $p$-podgrupa v $G$, tedy $n_p = 1$,<br />
\item $P \npg G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{dusl}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola2&diff=575402GR:Kapitola22015-12-26T15:58:19Z<p>Nguyebin: celková úprava, přidání svazů a přeházení pořadí</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Podgrupy<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Podgrupy}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množina $H\neq \emptyset$ je \textbf{podgrupa} grupy $G$ (značíme $H \leq G$), pokud je grupou vůči násobení v $G$. (Tedy obsahuje jednotku z $G$ a je uzavřená vůči násobení prvků z $H$ a jejich inverzi.)<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Množina $\{E,A\}$ je podgrupou v $D_6$ ($A^2=E$, $A^{-1}=A$).<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Množina $\emptyset \neq H \subset G$ je podgrupa $\lra$ $(\all x,y \in H)(xy^{-1} \in H)$. <br />
\begin{proof}<br />
Implikace $\ra$ plyne přímo z definice podgrupy. Dokážeme opačnou implikaci. Z definice je $H$ neprázdná, a tedy můžeme vzít $g \in H$. Pokud nyní položíme $x = g$ a $y = g$, máme $gg^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje jednotku. Dále tedy volíme $x = 1$ a $y = g$ a dostáváme $1g^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje inverzi $g$. Nakonec pro libovolné prvky $f,g \in G$ volíme $x = f$ a $y = g^{-1}$, dostáváme $f(g^{-1})^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje součin $fg$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x|\le \infty$).<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
%________________________________________Centralizátory, normalizátory, stabilizátory__________________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Centralizátory a normalizátory}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{centralizátor} množiny $A$ v $G$ jako: $C_G(A)=\{g \in G | gag^{-1} = a $ pro $ \all a \in A\}$. <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jelikož $(gag^{-1} = a) \lra (ga = ag)$, je centralizátor množiny $A$ množina všech prvků z $G$, které komutují se všemi prvky z $A$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Množina $C_G(A)$ je podgrupa v $G$.<br />
\begin{proof}<br />
Víme, že $C_G(A)$ je neprázdná, jelikož $1 \in C_G(A)$ (z definice komutuje se vším). Dále mějme $x \in C_G(A)$. Pak pro $\all a \in A$ platí:<br />
\begin{align}<br />
x^{-1} | \quad xax^{-1} &= a \quad | x \nonumber \\<br />
a &= x^{-1}ax, \nonumber <br />
\end{align}<br />
tedy $x^{-1} \in C_G(A)$. Pro dva prvky $x,y \in C_G(A)$ pak máme:<br />
\begin{align}<br />
(xy)a(xy)^{-1} = x(yay^{-1})x^{-1} = xax^{-1} = a, \nonumber <br />
\end{align} <br />
a tedy centralizátor je uzavřený i vůči násobení.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Definujeme \textbf{centrum} grupy $G$ jako: $Z(G) = \{g \in G | gfg^{-1} = f $ pro $ \all f \in G\}$. <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí, že $Z(G)=C_G(G)$, tedy je to množina prvků $G$, které komutují se všemi ostatními. Jako speciální případ předchozí věty platí $Z(G) \le G$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pro $A \subset G$ a $g \in G$ zavádíme značení: $gA = \{ga | a \in A\}$. Obdobně pro $Ag$, a tedy konkrétně $gAg^{-1} = \{gag^{-1} | a \in A\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$ jako: $N_G(A) = \{g \in G | gAg^{-1} = A\}$. <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Normalizátor se od centralizátoru liší tím, že může prvky $A$ zpermutovat (množina $A$ se tím nezmění). Grupové vlastnosti $N_G(A)$ se ukáží podobně jako u $C_G(A)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{corollary}<br />
Platí, že $C_G(A) \le N_G(A)\le G$.<br />
\end{corollary}<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________<br />
<br />
\section{Cyklické grupy}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupu nazýváme \textbf{cyklická}, pokud je generována jen jedním prvkem $a$ a značíme $H=\cycl{a}=\{a^n|n \in \mathbb{Z},a^0=e\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Cyklická grupa je vždy abelovská (komutativní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Dvě cyklické grupy $\cycl{x}$ a $\cycl\xi$ stejného řádu jsou isomorfní ($\varphi(x^n)=\xi^n$).<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Pro grupu $G=\cycl x$ platí $|G|=|x|$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro $|x|=\infty$ jsou všechny prvky $c^\alpha$ různé pro $\all \alpha \in \N$, tedy jich je nekonečně mnoho.<br />
\item Nechť $|x|=n$. Platí $(\all \alpha \in \Z)(\alpha = kn+m)$, pro nějaké $n \in \Z$ a $(m \in \Z^+)(m \le n)$. Potom $s^\alpha = x^{kn}x^m = e x^m$. Máme tedy právě $n$ prvků v $G$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Největší společný dělitel čísel $n$ a $m$ značíme $\gcd{(n,m)}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{v:rady}<br />
Mějme grupu $G = \cycl{x}$. Potom platí: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $|G|=\infty \ra |x^\alpha|=\infty$ a navíc $(x^\alpha \neq x^\beta)(\all \alpha,\beta \in \Z\setminus\{0\})$,<br />
\item $|G|=n \ra |x^\alpha|=\frac{n}{\gcd{(n,\alpha)}}$ pro $\alpha \in \Z\setminus\{0\}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
1) $|G|=\infty$ znamená, že $|x|=\infty$, tedy $(\all a \in \N)((x^\alpha)^n = x^{n\alpha} \neq e)$. Důkaz druhé části provedeme sporem, tedy nechť $x^\alpha = x^\beta$. Potom $x^{\alpha - \beta} = x^0 = 1$ (tedy $|x|=\alpha-\beta$), což je spor.<br />
<br />
2) Víme tedy, že $|x|=n$. Označme si $d=\gcd{(n,\alpha)}$. Musí existovat celé číslo $c$ takové, že $\alpha = c d$. Jelikož $\alpha$ i $n$ jsou pevná, pak i $c$ je pevně určeno. Nyní budeme hledat nejmenší $a \in \N$ takové, aby $(x^\alpha)^a=x^{\alpha a} = e$. Musí tedy platit $\alpha a = bn$ pro nějaké $b \in \N$, které si můžeme volit. To dále upravíme:<br />
\begin{align}<br />
\alpha a &= b n \nonumber \\<br />
c d a &= b n \nonumber \\<br />
a &= \frac{b}{c} \frac{n}{d}. \nonumber <br />
\end{align}<br />
<br />
Víme, že $\frac{n}{d}$ je celé číslo. Jelikož $a$ musí být také celé číslo a navíc chceme, nejmenší možné, zvolíme $b=c$. Nemůžeme volit $b < c$, protože aby pak bylo $a$ celé, muselo by mít $c$ a $n$ společného dělitele, což je spor s definicí $c$. Tím dostáváme tvrzení věty. (Doporučuji si to vyzkoušet na konkrétních číslech, třeba $n=4$ a $\alpha = 6$.)<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Každá podgrupa grupy $\cycl x$ je cyklická.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Podgrupa \textbf{generovaná podmnožinou} $M \subset G$ je nejmenší podgrupa $G$ obsahující všechny prvky $M$. Tedy $$\cycl M=\bigcap_{H_i \le G \atop M \subset H_i} H_i.$$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Snadno se ukáže, že průnik dvou podgrup je opět podgrupa.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%________________________________________Uspořádání__________________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Svazy podgrup}<br />
<br />
Nyní zavedeme relaci uspořádání, abychom mohli zavést svazy podgrup a kreslit tzv. Hasseho diagramy.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Relaci $\preceq$ na množině $M$ nazýváme \textbf{částečné uspořádání}, pokud platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item reflexivita: $(\all x \in M)(x \preceq x)$,<br />
\item tranzitivita: $(\all x,y,z \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq z \ra x \preceq z)$,<br />
\item slabá antisymetrie: $(\all x,y \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq x \ra x=y)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Mějme libovolnou množinu $A$ a její potenční množinu $\mathcal{P}(A)=2^A$. Zavedeme uspořádání $(\all M,N \in 2^A)(M \preceq N \lra M \subset N)$.<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Grupa $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ má podgrupy $\{e\}$, $\cycl a$, $\cycl b$ a $G$. Můžeme zavést uspořádání pomocí relace "být podgrupou", tedy způsobem: $G_1 \preceq G_2 \lra G_1 \le G_2$. Obr. \ref{fig:usporadani}.<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.4]{usporadani.jpg}<br />
\caption{Uspořádání na $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ podle relace \uv{být podgrupou}.}<br />
\label{fig:usporadani}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a $A\subset M$ její podmnožina. Prvek $x\in M$ nazveme<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{horní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(x\preceq a)$,<br />
\item \textbf{dolní závora} množiny $A$, pokud $(\all a \in A)(a\preceq x)$,<br />
\item \textbf{supremum} množiny $A$ ($x=\sup_\preceq A$), je-li $x$ nejmenší prvek množiny horních závor $A$,<br />
\item \textbf{infimum} množiny $A$ ($x=\inf_\preceq A$), je-li $x$ největší prvek množiny dolních závor $A$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním. Pak $\all x,y\in M$ definujeme operace<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{spojení} $x\vee y=\sup_\preceq \{x,y\}$.<br />
\item \textbf{průsek} $x\wedge y=\inf_\preceq \{x,y\}$,<br />
\end{itemize}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Neplést spojení a průsek ($\vee,\wedge$) s operacemi sjednocení a průnik ($\cup,\cap$).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\{M,\preceq\}$ množina s částečným uspořádáním a operacemi $\wedge, \vee$. Potom $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{svaz}, pokud $(\all x,y \in M)((x\vee y \in M)$ a zároveň $(x\wedge y \in M))$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Svaz $\{ M,\wedge,\vee\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all x,y,z \in M)((z \preceq x) \ra a\wedge (b\vee c)=(a \wedge b)\vee c)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%________________________________________Zobrazení grupy přes podgrupy__________________________________________<br />
<br />
%<br />
%\section{Zobrazení grupy přes podgrupy}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
%V této sekci popíšeme, jak je možné zobrazit strukturu grupy pomocí jejích podgrup.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Hasseovy diagramy}<br />
<br />
Konstrukce \textbf{Hasseova diagramu} podgrup konečné grupy $G$:<br />
\begin{remark}<br />
Najdeme všechny podgrupy $G$ a seřadíme je podle jejich řádu. Grupu $G$ umístíme nejvýše a grupu $1$ nejníže. Zbytek podgrup rozmístíme podle jejich řádu a čarami spojíme všechny grupy $A$ a $B$, pro něž $A \le B$ a neexistuje podgrupa $C$, pro kterou $C < B$ (vlastní podgrupa) a zároveň $A < C$. (Tedy spojujeme jen \uv{nejbližší} podgrupy.)<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mezi každými dvěma podgrupami $A \le B$ existuje spojnice, ale může vést přes celý řetězec podgrup a těchto spojnic může být i více. Příklad je na Obr. \ref{fig:mrizka}.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=0.6]{mrizka.PNG}<br />
\caption{Svaz podgrup grupy $\Z/12\Z.$ Převzato z \cite{AA}.}<br />
\label{fig:mrizka}<br />
\end{figure}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola1&diff=575302GR:Kapitola12015-12-26T15:57:04Z<p>Nguyebin: drobné úpravy zejména v kapitole o homomorfismech</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Grupy<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Grupy}<br />
<br />
\section{Algebraický koncept}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{operace n-ární}<br />
\label{def:nArniOperace}<br />
Mějme libovolnou množinu $M$. Potom \textbf{n-ární operací} na $M$ nazveme zobrazení $f: M \times M \times \ldots \times M \rightarrow M$. <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{součin vnitřní}<br />
\label{def:vnitrniSoucin}<br />
Operaci $f: M \times M \rightarrow M$ (binární operace) budeme nazývat \textbf{vnitřní součin} a místo $f(x,y)=z$ ji budeme značit $xy=z$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Neplést vnitřní součin s pojmem skalární součin (angl.: scalar product = inner product). Příkladem binární operace na vektorovém prostoru je vektorový součin vektorů.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{grupid}<br />
\label{def:grupid}<br />
Dvojici $\{M,\cdot\}$ nazýváme \textbf{grupoid}. Dále při splnění dodatečných podmínek zavádíme:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item ($\forall a,b,c \in M$)($(ab)c=a(bc)$): \textbf{pologrupa} (asociativní grupoid),<br />
\item ($\forall a,b \in M$)($ab=ba$): \textbf{komutativní grupoid},<br />
\item počet prvků $M$ je konečný: \textbf{konečný grupoid}.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Levou resp. pravou \textbf{jednotkou} v grupoidu nazýváme takový prvek $e$, pro který platí $eg=g$ respektive $ge=g$ pro každé $g$ z grupoidu.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{theo:jednotka}<br />
Má-li grupoid levou a pravou jednotku, pak jsou stejné. <br />
\begin{proof}<br />
$e_l=e_l e_p=e_p$ <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{monoid}<br />
\label{def:monoid}<br />
Pologrupu s jednotkovým prvkem nazýváme \textbf{monoid}. Navíc pokud pro $m \in M$ existuje $m^{-1} \in M$ takový, že $m^{-1}m=e$, nazýváme $m^{-1}$ \textbf{inverzním} prvkem k $m$. (Pak platí i $m m^{-1}=e$.)<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{theo:inverze}<br />
Každý prvek monoidu má nejvýše jeden inverzní prvek. <br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f,g,m \in M$ a platí $fm=e$ a $gm=e$, pak $f=ef=gmf=ge=g$. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{kraceni}<br />
\label{def:kraceni}<br />
Zavádíme:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item grupoid \textbf{s krácením}, pokud ($\forall x,y,z \in M$)($zx=zy \Rightarrow x=y$),<br />
\item grupoid \textbf{s dělením}, pokud ($\forall x,y \in M$)($\exists u,v \in M$)($ux=xv=y$).<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{grupa}<br />
\label{def:grupa}<br />
Monoid, ve kterém ke každému prvku existuje inverzní prvek nazýváme \textbf{grupa}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\label{rmrk:grupa}<br />
Grupa $\{M,\cdot\}$ tedy splňuje vlastnosti:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item ($\forall a,b,c \in M$)($(ab)c=a(bc)$),<br />
\item ($\exists e \in M$)($\forall m \in M$)($em=m$),<br />
\item ($\forall m \in M$)($\exists m^{-1} \in M$)($mm^{-1}=e$).<br />
\end{enumerate} <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Příkladem grupy může být:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item množina všech matic rozměru $n \times n$ s maticovým násobením,<br />
\item množina čísel ${\{0, 1, 2, \ldots, p-2, p-1\}}$ se sčítáním modulo (značená $\mathbb{Z}_p \equiv \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$), tedy $a \oplus_{modulo} b \equiv a+b \mod p$, pro nějaké prvočíslo $p$, <br />
\item množina kvaternionů s násobením.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{abelovska}<br />
\label{def:abelovska}<br />
Komutativní grupu nazýváme \textbf{abelovská}.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{okruh}<br />
\label{def:okruh}<br />
Mějme množinu se dvěma vnitřními součiny $\{M, \oplus, \odot\}$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a pologrupa s distributivním zákonem vůči $\odot$ (tedy $a\odot (b\oplus c)=ab \oplus ac$), nazýváme ji \textbf{okruh}.<br />
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a $M \setminus \{0\}$ grupa vůči $\odot$, nazýváme $M$ \textbf{okruh s dělením}.<br />
\item Pokud je $M$ Abelovská grupa vůči $\oplus$ a $M \setminus \{0\}$ Abelovská grupa vůči $\odot$, nazýváme $M$ \textbf{těleso}.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Značku $0$ používáme pro jednotkový prvek vůči operaci značené $\oplus$ a značku $1$ pro jednotkový prvek vůči operaci značené $\odot$ nebo $\otimes$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Dalším příkladem grupy je množina $\mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{m+n\sqrt{p} | m,n \in \mathbb{Q}\}$ s normálním násobením, kde $\mathbb{Q}$ jsou racionální čísla a $p$ je prvočíslo. (Odmocnina z prvočísla je vždy iracionální.) Jedná se o určitou analogii komplexních čísel: $a\cdot b = (a_1+a_2\sqrt{p})(b_1+b_2\sqrt{p})=a_1b_1+a_2b_1\sqrt{p}+a_1b_2\sqrt{p}+a_2b_2 p$. <br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme množinu $M$, těleso $\mathbb{T}$, vnitřní součin $+: M\times M \rightarrow M$ a vnější součin $\times: \mathbb{T} \times M \rightarrow M$. Čtveřici $\{M,\mathbb{T},+,\times\}$ nazýváme \textbf{vektorový prostor}, pokud je grupou vůči $+$ a platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item ($\forall \alpha \in \mathbb{T}$)($\forall x,y \in M$)($\alpha \times (x+y)=\alpha \times x + \alpha \times y$),<br />
\item ($\forall \alpha,\beta \in \mathbb{T}$)($\forall x \in M$)($(\alpha+\beta) \times x=\alpha \times x + \beta \times x$),<br />
\item ($\forall x \in M$)($1 \times x=x$),<br />
\item ($\forall x \in M$)($0 \times x=0$).<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme $\{M,\mathbb{T},+,\times,\odot\}$ vektorový prostor s dodatečným vnitřním součinem $\odot$. Zavádíme pojmy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item pro $M$ grupoid s distributivním zákonem vůči $\odot$ \textbf{lineární algebra} nad $\mathbb{T}$,<br />
\item pro $M$ pologrupu s distributivním zákonem vůči $\odot$ \textbf{asociativní algebra} nad $\mathbb{T}$,<br />
\item pro $M$ pologrupu s distributivním a komutativním zákonem vůči $\odot$ \textbf{komutativní algebra} nad $\mathbb{T}$.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%___________________________________klasifikace grup_____________________________________________<br />
<br />
\section{Vlastnosti grup}<br />
<br />
Jednou z možností je klasifikace grup podle počtu prvků na konečné, diskrétní nekonečné (spočetné), nespočetné.<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme grupu $G=\{M,\cdot\}$ a topologii na $M$. $G$ nazýváme \textbf{topologickou grupou}, pokud pro $\forall x,y \in M$ jsou zobrazení $f_y(x)=x\cdot y$ a $g(x)=x^{-1}$ spojitá.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Mějme grupu $G=\{\{e,a,b\},\odot\}\equiv \mathbb{Z}_3=\{\{0,1,2\},+_{mod 3}\}$. Její strukturu můžeme zobrazit pomocí tabulky.<br />
<br />
\vspace{10pt}<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}<br />
\hline<br />
$\odot$ & e & a & b \\ \hline<br />
e & e & a & b \\ \hline<br />
a & a & b & e \\ \hline<br />
b & b & e & a \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
\vspace{10pt}<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | c | c |}<br />
\hline<br />
+ & 0 & 1 & 2 \\ \hline<br />
0 & 0 & 1 & 2 \\ \hline<br />
1 & 1 & 2 & 0 \\ \hline<br />
2 & 2 & 0 & 1 \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
\vspace{10pt}<br />
<br />
Pokud zvolíme topologii $\tau=\{\emptyset, e, a, \{e,a\}, G\}$, nedostaneme topologickou grupu, protože vzor otevřené množiny $\{a\}$ při zobrazení $g(x)=x^{-1}$ je množina $\{b\}$, která není otevřená.<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Topologický prostor $\{M,\{\nu_i\}\}$ nazýváme \textbf{homogenní}, pokud $(\forall x,y \in M)$ existuje homeomorfismus (spojitá bijekce se spojitou inverzí) takový, že $f(x)=y$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Každá topologická grupa je homogenní topologický prostor.<br />
\begin{proof}<br />
Mějme $x,y \in G$ a nechť $a=yx^{-1}$. Určitě platí $a \in G$ a $ax=yx^{-1}x=y$. Hledaný homeomorfismus tedy bude $f(x)=ax$ (spojitost operací v topologické grupě).<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Topologická grupa má lokální vlastnosti $\mathbb{R}^n.$ <br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Topologickou grupu $G$ nazýváme \textbf{$n$-parametrická}, pokud:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item ($\exists$ systém souřadnic $\{\varphi\}$ v $G$)($\varphi: G \rightarrow \mathbb{R}^n : x \rightarrow (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n)$),<br />
\item $\varphi$ může být i pouze lokální, ale pro každé dva souřadné systémy $\varphi, \psi$ musí být $\varphi \circ \psi^{-1}$ spojité (tam, kde je definované),<br />
\item souřadnice bodu $c=a\cdot b$ jsou spojitou funkcí $a$ a $b$.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Grupa $G=GL(n,\mathbb{R})$ je množina všech nesingulárních ($\det \neq 0$) reálných matic rozměru $n \times n$. Zavedeme $n^2$ souřadnic tak, že prvku $x\in G$, kde $x=\mathbb{I}+\tilde{x}$ ($\mathbb{I}$ je jednotková matice), přiřadíme prvky matice $\tilde{x}$, tedy $\{x_{i,j}\}_{i,j=1}^n$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
I u grupového násobení používáme mocniny jako u násobení čísel, tedy pro $g \in G$ píšeme $g^n$ místo $g\cdot g \cdot \ldots \cdot g $ ($n$-krát).<br />
\end{remark} <br />
<br />
\begin{define}<br />
\textbf{Řád prvku} $a$ v grupě $G$ je číslo $n$, pro které platí $(a^n=e)\wedge((\forall m<n)(a^m \neq e))$. (Tedy nejmenší mocnina $a$, která dá jednotku.)<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\textbf{Řád grupy} je počet jejích prvků (značíme $|G|$).<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\textbf{Generátory} grupy jsou prvky minimálního souboru (s minimálním počtem prvků), ze kterého je možné získat celou grupu pomocí vzájemného násobení. Počet generátorů nazýváme \textbf{rank} grupy ($Rank(G)$).<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Dihedrální grupa $D_6$ je grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku, viz Obr. \ref{fig:trojuhelnik}.<br />
<br />
\vspace{10pt}<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | c | c |}<br />
\hline<br />
$\odot$ & E & A & B & C & D & F \\ \hline<br />
E & E & A & B & C & D & F \\ \hline<br />
A & A & E & D & F & B & C \\ \hline<br />
B & B & F & E & D & C & A \\ \hline<br />
C & C & D & F & E & A & B \\ \hline<br />
D & D & C & A & B & F & E \\ \hline<br />
F & F & B & C & A & E & D \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
\vspace{10pt}<br />
<br />
Pravidla pro násobení je možné popsat vztahy $A^2=E$, $D^3=E$, $DA=AD^2(=AD^{-1})$. Generátory jsou například $\{A,D\}$, a tedy $Rank(D_6)=2$.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=0.6]{trojuhelnik.jpg}<br />
\caption{Zobrazení grupy $D_6$.}<br />
\label{fig:trojuhelnik}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Dihedrální grupa $D_{2n}$ představující symetrie pravidelného $n$-úhelníku ($n$ rotací a $n$ zrcadlení). Generátory grupy jsou $r$ (rotace o nejmenší úhel) a $s$ (libovolné zrcadlení). Násobení je zavedeno pomocí vztahů $r^n=e$, $s^2=e$, $rs=sr^{-1}$. <br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Cyklická grupa $\mathbb{Z}_n=\{0,1,2, \ldots , n-1\}$ se sčítáním modulo $n$. Grupa je generována například prvkem $1$ (v této grupě číslo $1$ není jednotkový prvek, to je $0$) ($Rank(\mathbb{Z}_n)=1$). Ekvivalentně je možno tuto grupu zavést jako množinu $\{e^{i\frac{2\pi}{n}k}\}^{n-1}_{k=0}$ s násobením. <br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Symetrická grupa $S_\Omega$ na množině $\Omega \neq \emptyset$ je grupa permutací prvků množiny $\Omega$. Tedy $S_\Omega$ představuje všechny bijekce na $\Omega$ a v případě $\Omega=\hat n$ platí $|S_n|=n!$. <br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Grupa kvaternionů $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. <br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%__________________________________________Homomorfismus a isomorfismus grup_________________________________________<br />
<br />
\section{Homomorfismus a isomorfismus grup}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grupy $\{G,\cdot\}$ a $\{H,\times\}$ jsou \textbf{homomorfní}, když $(\exists \varphi : G \rightarrow H)(\forall x,y \in G)(\varphi(x\cdot y)=\varphi(x)\times\varphi(y))$. Zobrazení $\varphi$ se nazývá \textbf{homomorfismus}, popř.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{monomorfismus}, je-li prosté,<br />
\item \textbf{epimorfismus}, je-li na $H$,<br />
\item \textbf{isomorfismus}, je-li bijekcí (prosté i na $H$),<br />
\item \textbf{endomorfismus}, je-li $G=H$ (tj. zobrazuje do sebe),<br />
\item \textbf{automorfismus}, je-li $G=H$ a epimorfní (tj. zobrazuje na sebe),<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
Dále definujeme \textbf{jádro} homomorfismu: $\Ker\varphi=\{x \in G |\varphi(x)=e_H\}$.<br />
<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Neplést homomorfismus (zobrazení zachovávající algebraickou strukturu) a homeomorfismus (spojité zobrazení se spojitou inverzí)!<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Grupy $GL(n,\mathbb{R})$ (nesingulární reálné matice) a $G=\{\mathbb{R}^+,\cdot\}$ (kladná reálná čísla s násobením) jsou homomorfní pomocí zobrazení $\varphi(A)=\det A$. <br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Grupa $(\R,+)$ je izomorfní grupě $(\R^+,\cdot)$ přes zobrazení $\varphi(x)=e^x$, jelikož platí $e^x\cdot e^y = e^{x+y}$. <br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Pro libovolnou grupu $G$ je zobrazení $\varphi : G \rightarrow G$ definované pro $\all f \in G$ jako $\varphi(f) = gfg^{-1}$ (pro $g \in G$ pevné) automorfismus, tj. $\varphi\in\Aut H$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nutné podmínky pro to, aby $\varphi : G \rightarrow H$ mohlo být isomorfismus:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $|G|=|H|$,<br />
\item $G$ je abelovská právě tehdy, když $H$ je abelovská,<br />
\item $(\all x\in H)(|\varphi(x)|=|x|)$.<br />
\end{enumerate} <br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Kapitola0&diff=575202GR:Kapitola02015-12-26T15:55:54Z<p>Nguyebin: aktualizace pro rok 2015</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Předmluva<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter*{Předmluva}<br />
\pdfbookmark[0]{Předmluva}{predmluva}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek prof. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc. k předmětu Grupy a Reprezentace vyučovaného pro 1. ročník navazujícího magisterského studia na FJFI ČVUT v Praze v zimním semestru roku 2012. Z velké části však jen podle učebnice \cite{AA}, proto by bylo potřeba ho dodělat a sjednotit s přednáškou.<br />
<br />
V zimním semestru roku 2015 došlo k první velké úpravě tohoto wikiskripta, mnoho bylo doplněno a opraveno a jednotlivé části byly seřazeny podle letošní přednášky. Stále však není wikiskriptum kompletní, je třeba doplnit zejména \textcolor{red}{poslední kapitolu o reprezentacích} a pár dalších důkazů. Případné chyby je třeba opravit. Prosíme tedy posluchače toho předmětu, aby se chopili úprav tohoto wikiskripta, aby existoval nějaký uspořádaný a spolehlivý doplněk k jinak neuspořádané přednášce. :-)</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02GR:Header&diff=575102GR:Header2015-12-26T15:53:23Z<p>Nguyebin: přidány další makra pro operátory</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02GR}<br />
<br />
<br />
\documentclass[oneside,intlimits,reqno]{scrbook}<br />
<br />
%\usepackage{eucal}<br />
\usepackage{mathrsfs}<br />
%\usepackage{graphicx,makeidx}<br />
\usepackage{graphicx}<br />
\usepackage{makeidx}<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}<br />
\usepackage[nottoc]{tocbibind}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
%\usepackage{color}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací},<br />
pdfauthor={WIKI Skripta},<br />
pdfsubject={Zápisky z přednášek 02GR, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={grupy,reprezentace},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
<br />
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}} <br />
<br />
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}} % derivace<br />
\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % eulerovo číslo<br />
\newcommand{\mi}{\mathrm{i}} % imaginární jednotka<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbb{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbb{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbb{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % množina přirozených čísel<br />
%\newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} % funkce třídy C<br />
%\newcommand{\I}{\mathcal{I}} % interval I<br />
%\newcommand{\J}{\mathcal{J}} % interval J<br />
\newcommand{\Ms}{\mathscr{M}} % množina M (fce stejně spojité a stejně omezené)<br />
\newcommand{\Fs}{\mathscr{F}} % množina F (fce spojité, stejně spojité a stejně lipschitzovské<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}}<br />
\newcommand{\st}{\mathop{\mathrm{st}}}<br />
<br />
<br />
\newcommand{\lra}{\Leftrightarrow}<br />
\newcommand{\la}{\Leftarrow}<br />
\newcommand{\ra}{\Rightarrow}<br />
\newcommand{\all}{\forall}<br />
<br />
<br />
\newcommand{\npg}{\trianglelefteq} % normální podgrupa<br />
\newcommand{\cycl}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} % cyklická podgrupa, generátor grupy<br />
\DeclareMathOperator{\rank}{rank} %rank grupy<br />
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}<br />
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}<br />
%\DeclareMathOperator{\Ima}{Im} %obraz množiny přes zobrazení<br />
\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} %nejmenší společný násobek<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{define}{Definice}[chapter]<br />
<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{theorem}[define]{Věta}<br />
\newtheorem{lemma}[define]{Lemma}<br />
\newtheorem{dusl}[define]{Důsledek}<br />
\newtheorem{corollary}[define]{Tvrzení}<br />
\renewcommand{\proofname}{Důkaz}<br />
<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem{example}[define]{\textsc{Příklad}}<br />
\newtheorem{remark}[define]{\textsc{Poznámka}}<br />
<br />
<br />
<br />
\renewcommand{\indexname}{Rejstřík}<br />
<br />
\frenchspacing</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola36&diff=542801MAA4:Kapitola362015-02-06T10:19:48Z<p>Nguyebin: Odebrání přebytečných informací nad rámec výkladu.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Komplexní derivace}<br />
<br />
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor, izomorfní<br />
s~$\R^2$ ($\C \cong\R^2$) a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však<br />
toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků).<br />
<br />
Izomorfismus mezi $\R^2\mapsto\C$:<br />
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita<br />
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]<br />
říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ (komplexní) derivaci.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff<br />
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}<br />
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\<br />
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit<br />
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-<br />
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]<br />
a<br />
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-<br />
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]<br />
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:<br />
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge<br />
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge<br />
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,<br />
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.<br />
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak<br />
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak<br />
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]<br />
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]<br />
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad<br />
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]<br />
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:<br />
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=<br />
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!<br />
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=<br />
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]<br />
\[<br />
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad<br />
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}<br />
\]<br />
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]<br />
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]<br />
\[<br />
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad<br />
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad<br />
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z<br />
\]<br />
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]<br />
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$<br />
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]<br />
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad<br />
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]<br />
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=<br />
\sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x\]<br />
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]<br />
Nulové body:<br />
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff<br />
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff<br />
x=k\pi\iff y=0.\]<br />
Derivace:<br />
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad<br />
(\sin z)'=\cos z,\quad<br />
(\cos z)'=-\sin z\]<br />
Prostota $e^z$:<br />
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]<br />
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]<br />
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]<br />
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]<br />
$e^z$ není prostá, je prostá na množině<br />
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]<br />
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu<br />
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\vartheta\in\R$. Potom<br />
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková<br />
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme<br />
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.<br />
\item<br />
\[<br />
\arg z=\begin{cases}<br />
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\<br />
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]<br />
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]<br />
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]<br />
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v<br />
základním intervalu.<br />
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy<br />
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.<br />
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad<br />
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]<br />
zkoumáme<br />
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]<br />
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]<br />
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,<br />
$e^w=e^u e^{\im v}$<br />
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge<br />
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]<br />
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]<br />
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:<br />
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.<br />
\item Má logaritmus derivaci? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln<br />
z=\arg z$.<br />
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+<br />
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]<br />
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+<br />
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]<br />
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme<br />
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.<br />
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=<br />
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]<br />
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline<br />
z}{z\overline z}=\frac1z.\]<br />
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme<br />
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad<br />
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad<br />
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]<br />
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. <br />
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root<br />
\[<br />
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad<br />
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]<br />
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]<br />
<br />
\item Pro $z,\alpha\in\C$<br />
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]<br />
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je <br />
\[<br />
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z <br />
\]<br />
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek,<br />
že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. <br />
Pro $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů. <br />
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho. <br />
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce <br />
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále. <br />
<br />
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$ <br />
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface<br />
\begin{example}<br />
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]<br />
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in \hat 5 \]<br />
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].<br />
\end{example}<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:ControlFile&diff=524302KVAN:ControlFile2014-02-03T16:59:03Z<p>Nguyebin: přesun obsahu dopředu, reference dozadu</p>
<hr />
<div> \wikiparent{02KVAN}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Poznámka}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Charakteristické rysy kvantové mechaniky}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Zrod kvantové mechaniky}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Popis stavu kvantové částice}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Výsledky měření}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Časový vývoj kvantové částice}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Částice v elektromagnetickém poli. Spin}<br />
\wikichapter{7}{kapitola7}{Systémy více částic}<br />
\wikichapter{8}{kapitola8}{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}<br />
\wikichapter{9}{kapitola9}{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Image:blackbody.pdf}{blackbody.pdf}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola1&diff=524202KVAN:Kapitola12014-02-03T16:58:38Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Charakteristické rysy \qv é mechaniky}<br />
<br />
Technická dokonalost přístrojů a metod dosáhla na přelomu 19.~a 20.~století takové kvality, že bylo možno zkoumat fyzikální jevy, <br />
na které mají podstatný vliv elementární procesy na úrovni atomů (tj.~při charakteristických rozměrech $10^{-10}$ m a hybnostech<br />
řádu $10^{-24}$ kg m/s). Při jejich zkoumání se objevují nové \textbf{fyzikální objekty} jako elektron či foton, \textbf{které <br />
nemají ani čistě částicové ani čistě vlnové vlastnosti}. Můžeme je nazývat \textbf{kvanta} (odtud kvantová mechanika --- mechanika <br />
kvant) či \textbf{kvantové \cc e}. Teoreticko-fyzikální popis takových objektů je obsahem \qv é mechaniky.<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že s~mikroskopickými jevy a procesy nemáme přímou smyslovou zkušenost, \textbf{chybí nám pro jejich popis <br />
přirozený jazyk}. Pomáháme si proto pojmy známými z~makrosvěta, které ale nemusí být vždy adekvátní. Příkladem toho jsou například <br />
různé pokusy vysvětlit pojem spinu analogiemi s~momentem hybnosti. Dokonce se zdá, že při popisu jevů v~mikrosvětě někdy selhává i <br />
přirozená intuice a tzv.~zdravý rozum. To ale nemusí být příliš překvapivé, neboť i ty jsou extrapolací a zevšeobecněním zkušeností <br />
z~makrosvěta. Je proto třeba jako vždy se nakonec uchýlit k matematice a konfrontaci teorie s~experimentem.<br />
<br />
Hlavním matematickým nástrojem kvantové mechaniky je funkcionální analýza, neboť fyzikální stavy kvant jsou popsány prvky Hilbertova <br />
prostoru a pozorovatelné veličiny lineárními operátory na něm. Jakkoliv se zdá tento popis při prvním setkání nepřirozený a abstraktní,<br />
dává správné předpovědi experimentálních výsledků.<br />
<br />
Předpovědi \qv é mechaniky mají \textbf{téměř výlučně statistický charakter}. Předpovídají pouze pravděpodobnosti fyzikálních jevů,<br />
nikoliv jejich deterministický vývoj. Tento statistický charakter není důsledkem matematického popisu předpokládané nedokonalosti <br />
našich přístrojů, nýbrž, jak uvidíme později, je přímým důsledkem postulátů kvantové mechaniky tzn.~matematického popisu mikrosvěta.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení klasického jednorozměrného oscilátoru s~energií $E$ v intervalu $(x,x+\dx)$? Co potřebujeme <br />
znát, chceme-li tento pravděpodobnostní výrok změnit v~deterministickou předpověď?<br />
\ec<br />
<br />
Jako každá fundamentálně nová teorie, i kvantová mechanika mění naše představy o~vlastnostech materiálního světa. Relace neurčitosti, <br />
které jsou jejím důsledkem, představují fyzikální zákon, který omezuje možnosti poznání přírody a má nemalý vliv na filosofické <br />
aspekty vědy.<br />
<br />
Studium \qv é mechaniky a její postupné chápání je náročné nejen kvůli nutnosti naučit se mnoho nových faktů a matematiky, ale i kvůli <br />
psychologické bariéře, která vzniká, kdykoliv se setkáme s~něčím, co nás nutí opustit zažitá schemata pramenící z~extrapolace <br />
každodenní zkušenosti.</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola9&diff=524102KVAN:Kapitola92014-02-03T16:57:05Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Potenciálový rozptyl, tunelový jev}<br />
\ll{potrozptyl}<br />
<br />
Rozptylový experiment je obvykle uspořádán tak, že proud částic s~dobře určenými vlastnostmi (hmota, energie, hybnost, \ldots) dopadá na nějaký <br />
objekt (tenká folie) či dokonce se sráží s~jiným proudem \cc{} a měří se charakteristiky rozptýlených \cc. Klasický popis takovýchto experimentů <br />
se provádí pomocí výpočtu drah daných pohybovými rovnicemi (viz např.~Rutherfordův rozptyl v~\cite[kap.~3.4]{sto:tf}). V~této kapitole popíšeme <br />
nejjednodušší popis rozptylu metodami kvantové mechaniky.<br />
<br />
První předpoklad je, že dosah vzájemné interakce \cc{} je mnohem menší než jsou charakteristické vzdálenosti částic v~terčovém objektu, takže problém <br />
rozptylu lze redukovat na interakci dvou \cc{} se známou interakcí popsanou potenciálem $V(\vex_1-\vex_2)$ s~konečným dosahem. Dále předpokládáme, že <br />
terč je dost tenký, takže nemusíme uvažovat vícenásobnou interakci. To nám umožňuje převést problém rozptylu na úlohu o~pohybu jedné \cc e <br />
(s~redukovanou hmotou) v~potenciálu $V(\vex)$.<br />
<br />
Dopadající \cc i můžeme popsat vlnovým balíkem $\psi_{\mathrm{in}}$ a s~grupovou rychlostí ve směru dopadu. Kvantově mechanický popis rozptylu pak spočívá <br />
především ve výpočtu pravděpodobnosti nalezení \cc e v~oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $d\Omega$.<br />
<br />
Proces rozptylu lze v~\qv é \mi ce popsat časovým vývojem stavu daného počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$, přičemž v~čase $t_0$ je interakce <br />
částic nulová. Je tedy třeba nalézt řešení časové \sv y rovnice s~počáteční podmínkou $\psi(t_0)=\psi_{\mathrm{in}}$. Nalézt příslušné řešení \sv y rovnice se <br />
však obvykle nepodaří a je třeba se uchýlit k~aproximativním metodám. Ukážeme, že výše popsanou nestacionární úlohu lze převést na úlohu stacionární <br />
a některé důležité charakteristiky rozptylu lze získat ze znalosti zobecněných stacionárních stavů odpovídajících danému potenciálu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rozptyl \cc{} na přímce}<br />
\ll{rnap}<br />
Začněme s~nejjednodušším případem rozptylu bezspinových částic na přímce, kde jsou jen dva možné úhly rozptylu: totiž 0 a 180 stupňů. Po redukci úlohy <br />
dvou těles vede tento případ na problém časového vývoje vlnové \fc e v~jednorozměrném potenciálu, pro který navíc budeme předpokládat že má konečný dosah, <br />
tzn.~$V(x)=0$ pro $|x|>a$. Dopadající částici lokalizovanou v~čase $t_0$ v~okolí $x_0<-a$ můžeme dobře posat vlnovým balíkem<br />
\be<br />
\psi_{in}(x)=\psi_{x_0,p_0,\sigma_0}(x)= Ce^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma_0^2} + i\frac{p_0}{\hbar}x},<br />
\ee<br />
kde $p_0>0$ a $\sigma_0$ je střední kvadratická odchylka souřadnice, která s~časem roste (viz cvičení \ref{casvmvb}). Čas počátku interakce $t_1$, tj.~čas, <br />
kdy \uv{okraj vlnového balíku} dospěje do oblasti interakce, lze definovat způsobem <br />
\be <br />
x_0 +2\sigma(t_1)+\frac{p_0}{M}(t_1-t_0)=-a.<br />
\ee<br />
Pro $t\in(t_0,t_1)$ se částice pohybuje téměř jako volná, přesněji, časový vývoj vlnového balíku se příliš neliší od<br />
\be<br />
\psi_0(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(p)e^{i\frac{p}{\hbar}x-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)}\d p, \ll{psi0xt}<br />
\ee<br />
kde<br />
\be<br />
F(p)=(2\pi\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\frac{p}{\hbar}x'} \psi(x',t_0)\dx'= Ce^{-\sigma^2\frac{(p-p_0)^2}{\hbar^2} - i\frac{p}{\hbar}x_0},<br />
\ee<br />
<br />
Pro časy srovnatelné a větší než $t_1$, \rf{psi0xt} již nevystihuje ani přibližně skutečný časový vývoj dopadající \cc e, neboť je superposicí \fc í <br />
$e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}$, což jsou zobecněné vlastní stavy energie pouze pro $V=0$, zatímco pro $t\ge t_1$ se podstatným <br />
způsobem začne projevovat vliv potenciálu na řešení \sv y \rc e.<br />
<br />
Chceme-li dostat přesný časový vývoj funkce $\psi_{\mathrm{in}}$ musíme nahradit zobecněné vlastní \fc e $e^{i\frac{p}{\hbar}x}$ hamiltoniánu volné \cc e vlastními stavy<br />
%je dán rozkladem počátečního stavu podle zobecněných<br />
%vlastních stavů energie<br />
$\Phi_{p/\hbar}$ úplného hamiltoniánu, tj. \fc emi splňujícími bezčasovou \sv u rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\Phi_\frac{p}{\hbar}}{\dx^2} + V\Phi_\frac{p}{\hbar}=E\Phi_\frac{p}{\hbar},\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr1dim} \ee<br />
%kde $V$ je rozptylující potenciál,<br />
takže časový vývoj \cc e je dán \fc í<br />
\be {\Large \fbox{$\psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\Phi_{p/\hbar}(x)\d p. $}}\ll{psixt} \ee<br />
%V důsledku předpokládaného tvaru balíku %\rf{dopcce})<br />
Zde předpokládáme, že díky vlastnostem \fc e $F(p)$, nejdůležitější roli hraje oblast energií v okolí $\frac{p_0^2}{2M}$ a k časovému vývoji rozhodujícím způsobem přispějí tedy pouze stacionární stavy s kladnou energií.<br />
<br />
\special{src: 67 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro účely teorie rozptylu je vhodné zapsat \sv u rovnici \rf{bcsr1dim} v~integrálním (Lippmannově--Schwingerově) tvaru<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^\infty G_k(x-x')U(x')\Phi_k(x')\dx',<br />
\ll{lipsch1}\ee<br />
kde<br />
\be U(x):=\frac{2M}{\hbar^2}V(x)\ee<br />
a $G_k(x)$ je Greenova \fc e bezčasové \sv y \rc e pro volnou jednorozměrnou \cc i<br />
splňující<br />
\be \left(\frac{\d^2}{\dx^2} + k^2\right) G_k(x)=\delta(x).\ll{rcegf}\ee<br />
<br />
\special{src: 78 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
\bc Ukažte, že \fc e %$G_k^{(+)}$<br />
\be G_k^{(+)}(x):=\frac{e^{ik|x|}}{2ik} \ll{grfbsr} \ee<br />
splňuje \rc i \rf{rcegf}<br />
přesněji<br />
\[ (G_k'',h)\equiv(G_k,h'') = -k^2(G_k,h) +h(0)<br />
\] pro $h\in{\mathscr S}(\R)$.<br />
\ec<br />
Pomocí \rf{rcegf} lze snadno ukázat, že $\Phi_k$ splňující \rf{lipsch1} jsou též řešením \rf{bcsr1dim}.<br />
<br />
\special{src: 89 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením explicitního tvaru Greenovy \fc e do \rf{lipsch1} dostaneme<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}(1+C(k,x)) +A(k,x)e^{-ikx} ,\ll{phikx}\ee<br />
kde<br />
\be A(k,x)=\int_x^a \frac{e^{ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')\dx', \ll{akx}\ee<br />
\be C(k,x)=\int^x_{-a} \frac{e^{-ikx'}}{2ik}U(x')\Phi_k(x')\dx'. \ll{ckx}\ee<br />
Odtud je ihned vidět, že v oblasti nulového potenciálu je \fc e $\Phi_{\frac{p}{\hbar}}$ superposicí zobecněných vlastních \fc í hybnosti $e^{\pm i \frac{p}{\hbar}x}$.<br />
\be \Phi_k(x)=e^{ikx}+A(k)e^{-ikx} {\rm\ pro\ } x < -a,\ll{phivlevo}\ee<br />
\be \Phi_k(x)=B(k)e^{ikx} {\rm\ pro\ } x > a,\ll{phivpravo}\ee<br />
kde $A(k):=A(k,-a)$, $B(k):=1+C(k,a)$.<br />
%\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx'}U(x')\Phi_k(x') \dx',<br />
%\ll{koefak}\ee<br />
%\be B(k)=1+\frac{1}{2ik}\int_{-\infty}^{\infty} %e^{-ikx'}U(x')\Phi_k(x')dx'.\ll{koefbk} \ee<br />
<br />
%\special{src: 104 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Dosazením \rf{phikx} do \rf{psixt}, zjistíme, že vlnovou \fc i \cc e v libovolném čase je možno zapsat jako součet tří členů<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_A(x,t)+\psi_C(x,t).\ll{psi123}\ee<br />
První člen je dán vzorcem \rf{psi0xt} a<br />
představuje volně se pohybující vlnový balík s rychlostí $\frac{p_0}{M}$, o kterém víme, že absolutní hodnota vlnové funkce exponencielně klesá k nule <br />
všude kromě okolí $x_0+\frac{p_0}{M}t$ nacházející se pro $t\gg t_0$ v oblasti $x>a$.<br />
Mimo to, \fc e<br />
\be \psi_A(x,t):=\int_{-\infty}^\infty F(p)A\left(\frac{p}{\hbar},x\right) e^{-i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi1xt}\d p\ee<br />
\be \psi_C(x,t):=\int_{-\infty}^\infty F(p)C\left(\frac{p}{\hbar},x\right) e^{i\frac{p}{\hbar}x-i\frac{p^2}{2M\hbar}(t-t_0)}\ll{psi2xt} \d p\ee<br />
jsou nulové v oblastech $x>a$ resp. $x<-a$ a pomocí tzv.~Riemannova--Lebesgueova lemmatu<br />
%{\em Pro $f\in L_1(\R)$, t.j.<br />
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(\xi)|\d \xi<\infty\ \Rightarrow\ \lim_{\tau\rightarrow\pm\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\tau\xi}\d \xi=0.$$<br />
%}\vskip 2mm \noindent<br />
lze dokázat, že funkce \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
konvergují k 0 pro $t\to\infty$ dokonce i v oblastech $x>-a$, resp. $x<a$. Transformací<br />
$p=\mp\sqrt{\xi}$ pro $p\lessgtr 0$ přejdou totiž pravé strany \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
na součet integrálů tvaru $$ \int_{0}^{\infty}g_x(\xi)e^{-i(t-t_0)\frac{\xi}{2M\hbar}}\d\xi,$$<br />
a o odpovídajících \fc ích $g_x(\xi)$ se dá ukázat, že pro $x>-a$, resp. $x<a$ leží v $L^1(\R,\dx)$,<br />
tj. splňují předpoklad Riemannova--Lebesgueova lemattu.<br />
Znamená to, že pro $t\to\infty$ je \fc e $\psi$ nenulová pouze pro $|x|>a $.<br />
<br />
%\special{src: 121 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Veličiny, které nás z hlediska rozptylu zajímají především a které jsou experimentálně měřitelné, jsou tzv. koeficienty odrazu a průniku potenciálem<br />
\be R:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int^{-a}_{-\infty}|\psi(x,t)|^2dx} {\norm{\psi(t)}^2},\ \<br />
P:=\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi(x,t)|^2dx} {\norm{\psi(t)}^2},<br />
\ll{koefop} \ee<br />
udávající pravděpodobnosti, že za dost dlouhou dobu bude částice nalezena v oblasti \uv{před potenciálem} (odrazí se) či \uv{za potenciálem} (projde).<br />
Vzhledem k tomu, že pro $t\to\infty$ amplituda vlnové \fc e v oblasti potenciálu vymizí platí<br />
\be P+R=1.\ee<br />
Ukážeme, že k výpočtu těchto koeficientů nebude nakonec zapotřebí řešit pohybovou \sv u \rc i, nýbrž pouze její bezčasovou variantu určující stacionární stavy.<br />
<br />
\special{src: 132 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro $t\gg t_0$ je funkce $\psi$ superposicí dvou vlnových balíků pohybujících se přibližně rychlostmi $\pm\frac{p_0}{M}$. Z \rf{psi1xt} a \rf{psi2xt}<br />
\be \psi(x,t)=\psi_1(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[-px-\frac{p^2}{2M}(t-t_0)]}A\left(\frac{p}{\hbar}\right) \d p\qquad \forall x<-a ,\ll{psixtvlevo}\ee<br />
\be \psi(x,t)=\psi_0(x,t)+\psi_2(x,t)=\int_{-\infty}^\infty F(p)e^{\frac{i}{\hbar}[px-\frac{p^2}{2M}t(t-t_0)]}B\left(\frac{p}{\hbar}\right)\d p\qquad \forall x>a .\ll{psixtvpravo}\ee<br />
<br />
\special{src: 138 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Všimněme si, že koeficienty $A(k),\ B(k)$ dané původně integrálními formulemi můžeme též určit řešením bezčasové \sv y \rc e \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami \rf{phivlevo} a \rf{phivpravo}. Nalezneme-li tedy řešení \rc e \rf{bcsr1dim} splňující tyto okrajové podmínky, pak koeficienty odrazu a průchodu potenciálem jsou dány vzorci \rf{koefop}, \rf{psixtvpravo} a \rf{psixtvlevo}.<br />
<br />
\special{src: 142 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro dopadající vlnové balíky s malou disperzí, tj. takové, že \fc e $F(p)$ je soustředěna v malém okolí $p_0$, kde \fc e $A(\frac{p}{\hbar}),B(\frac{p}{\hbar})$ lze nahradit jejich hodnotou v $\frac{p_0}{\hbar}$, dostaneme zvláště jednoduché vyjádření koeficientů odrazu a průniku.<br />
\[ P=\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_a^\infty|\psi_0(x,t)|^2\dx} {\norm{\psi(t)}^2}=\ \]<br />
\be=\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2\,\lim_{t \to \infty}\frac{\int_{-\infty}^\infty|\psi_0(x,t)|^2\dx} {\norm{\psi(t_0)}^2}<br />
%|B(\frac{p_0}{\hbar})|^2\frac{||\psi_0(t_0)||^2dx} {\norm{\psi(t_0)}^2}<br />
=\abs{B\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2,\ll{pkoef}\ee<br />
kde jsme použili nezávislost normy stavu na čase a vymizení \fc e $\psi_0$ pro $t\to\infty,\ x<a$. Podobně<br />
\be R=\abs{A\left(\frac{p_0}{\hbar}\right)}^2,\ll{rkoef}\ee<br />
kde $p_0$ je hybnost dopadající částice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Tunelový jev pro pravoúhlou bariéru}<br />
Jako ilustraci použití předchozího postupu předvedeme výpočet koeficientů odrazu a průchodu potenciálem<br />
\be V(x)=0,\ \ {\rm pro}\ |x|>a,\ V(x)=V_0,\ \ {\rm pro}\ |x|<a. \ll{prabar}\ee<br />
Jako první krok je třeba řešit bezčasovou \sv u \rc i \rf{bcsr1dim} s okrajovými podmínkami.<br />
<br />
\special{src: 157 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Ze tvaru potenciálu a podmínek \rf{phivlevo}, \rf{phivpravo}<br />
ihned plyne, že<br />
\[ \Phi_k(x) =e^{ikx} +A(k)e^{-ikx} \ {\rm pro}\ x<-a, \]<br />
\be \Phi_k(x) = C(k)e^{ik'x} +D(k)e^{-ik'x} \ {\rm pro}\ -a<x<a, \ee<br />
\[ \Phi_k(x) = B(k)e^{ikx} \ {\rm pro}\ a<x, \]<br />
kde<br />
\be k^2=\frac{2ME}{\hbar^2},\ k'^2=\frac{2M(E-V_0)}{\hbar^2}\ee<br />
a $E$ je energie nalétávající \cc e $E>0,\ E>V_0$.<br />
<br />
\special{src: 168 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z podmínek spojitosti vlnové \fc e a její derivace v bodech $\pm a$ dostaneme soustavu čtyř lineárních nehomogenních rovnic pro koeficienty $A,B,C,D$. Vyloučením $C$ a $D$ dostaneme<br />
\be B(k)=e^{2ik'a}\left[e^{-2ika}+\frac{k'-k}{k'+k}A(k)\right],\ee<br />
\be A(k)=e^{-2ika}V_0 [2E-V_0+2i\sqrt{E(E-V_0)}\cot(2k'a)]^{-1}.\ee<br />
Dosazením do vzorců \rf{rkoef}, \rf{pkoef} pak dostaneme koeficienty odrazu a průchodu pravo\'uhlou bariérou \rf{prabar} pro \cc i s energií $E>0,\ E>V_0$<br />
\be R=\left[1+\frac{4E(E-V_0)}{V_0^2\sin^2(2k'a)}\right]^{-1}, \ll{rprabar}\ee<br />
\be P=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(2k'a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}. \ll{pprabar}\ee<br />
Tyto vzorce poskytují zajímavé srovnání s chováním klasické \cc e v témže potenciálu. Ta, pro $E>V_0$, bariérou vždy projde zatímco pro $E<V_0$ se vždy odrazí. Kvantová \cc e naopak projde s pravděpodobností 1 pouze pro $2k'a=\pi n$, neboli pro<br />
tzv. {\em resonanční energie}<br />
\be E_n=V_0+\frac{\hbar^2\pi^2}{8Ma^2}n^2,\ n\in \Z\smallsetminus\{0\}.\ee<br />
(Porovnejte tyto energie s vlastními hodnotami energie v \uv{nekonečné potenciálové jámě} ze cvičení \ref{nekpoja}.) Mimo to se lze snadno přesvědčit, že uvedený postup nezávisí na znaménku $V_0$,<br />
%nepředpokládali, že $V_0>0$ plyne z \rf{rprabar}), \rf{rprabar}),<br />
takže dochází k odrazu dokonce i na potencálové jámě. Na druhé straně pro $E\gg V_0$ $P\approx 1$, takže tyto \qv é jevy přecházejí v klasické chování.<br />
<br />
Pro energie \cc e které jsou menší než \uv{výška bariéry} $0<E<V_0$ je $k'^2<0$ a ve formulích \rf{rprabar} a \rf{pprabar} je třeba zaměnit $\sin (2k'a)$ na $i\sinh|2k'a|$, takže např.<br />
\be P=\left[1-\frac{V_0^2\sinh^2|2k'a|}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}, \ll {pprabar2}\ee<br />
což pro $|2k'a|\gg 1$ (mohutné potenciálové bariéry) přejde na<br />
\be P\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-\sqrt{2M(V_0-E)}\frac{4a}{\hbar}}, \ee<br />
takže pravděpodobnost průchodu bariérou klesá exponencielně s její šířkou, nicméně je nenulová. Tomuto experimentálně pozorovanému faktu se říká tunelový jev.<br />
\bc Spočítejte koeficienty odrazu a průchodu pro $E=V_0>0$ a porovnejte je s \rf{pprabar} a \rf{pprabar2}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Prostorový rozptyl}<br />
Rozptyl \cc{} v 3--rozměrném prostoru se řeší analogicky, tedy analýzou časového vývoje počátečního stavu<br />
\be \psi_{in}(\vex)=\psi(\vex,t_0)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{i\frac{\vec p\cdot\vex}{\hbar}}\d^3p, \ee<br />
representující vlnový balík soustředěný v oblasti, ve které je potenciál nulový a pohybující se grupovou rychlostí $\vec p_0/M$.<br />
<br />
\special{src: 192 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Časový vývoj vlnové \fc e opět popíšeme pomocí stacionárních stavů,<br />
$\Phi_{\vec p/\hbar}$, přesněji<br />
řešeními Lippmannovy--Schwingerovy \rc e v $\R^3$ %tvaru<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\cdot\vex}+\int_{\R^3}G_{\vec k}(\vex-\vex')U(\vex')\Phi_{\vec k}(\vex')\d^3x',<br />
\ll{lipsch}\ee<br />
kde nyní<br />
\be G_{\vec k}(\vex)=-\frac{e^{i\norm{\vec k}\norm{\vex}}}{4\pi\norm{\vex}}\ll{gfce3}\ee<br />
je Greenova \fc e 3--rozměrné bezčasové \sv y \rc e pro volnou částici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta =E\Phi,\ E=\frac{p^2}{2M},\ll{bcsr} \ee<br />
splňující<br />
\be (\Delta + \vec k^2)G_{\vec k}(\vex)=\delta(\vex),<br />
\ee<br />
$G_k$ je tedy fundamentální řešení.<br />
Dosadíme-li \rf{gfce3} do \rf{lipsch}, kde $U$ odpovídá potenciálu s konečným dosahem, tj. $U(\vex)=\frac{2M}{\hbar^2}V(\vex)=0$ pro $\norm{\vex}>R$,<br />
%lze ukázat, (viz \cite{for:ukt} kap 4.2.1) že<br />
pak pro $\norm{\vex}\gg R$<br />
\be \Phi_{\vec k}(\vex)=e^{i{\vec k}\vex}+f(\vec \xi,\vec k)<br />
\frac{e^{i\norm{\vec k}\norm{\vex}}}{\norm{\vex}}, \ee<br />
kde $\vec \xi=\frac{\vex}{\norm{\vex|}}\norm{\vec k}$ a<br />
\be f(\vec \xi,\vec k):=\frac{-1}{4\pi}\int_{\R^3}e^{-i\vec \xi\vex '} U(\vex ')\Phi_{\vec k}(\vex ') \d^3x'.\ee<br />
<br />
\special{src: 213 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Z Lippmannovy--Schwingerovy \rc e plyne, že časový vývoj vlnové \fc e<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}F(\vec p)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}<br />
\Phi_{\vec p/\hbar}(\vex)\d^3p\ll{psixt3} \ee<br />
lze zapsat jako součet (analogický \rf{psi123})<br />
\be \psi(\vex,t)=\psi_0(\vex,t)+\psi_R(\vex,t),\ee<br />
kde první člen představuje volně se pohybující vlnový balík<br />
zatímco druhý představuje rozptýlenou vlnu, která pro $t\gg t_0$<br />
exponencielně klesá k nule všude kromě tenké kulové slupky rozbíhající se z centra konstantní rychlostí.<br />
<br />
\special{src: 224 ROZPTYL.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Fyzikálně důležitá veličina pro prostorový rozptyl je {\bf diferenciální \'učinný průřez} $\frac{\d\sigma}{\d\Omega}(\theta,\varphi)$ definovaný jako počet částic, které se rozptýlí za jednotku času do jednotkového prostorového \'uhlu okolo $(\theta,\varphi)$ při jednotkové intenzitě dopadajících částic. V kvantové mechanice je tato veličina dána \pst í nalezení částice v oblasti prostoru vymezené prostorovým úhlem $\d\Omega$. Z Bornova interpretačního postulátu pak plyne, že<br />
\be {\d\sigma}={\d\Omega}\,\lim_{t\to\infty}\int_0^\infty |\psi(r,\theta,\varphi,t)|^2r^2\dr \cdot \norm{\psi (t)}^{-2}\ee<br />
Podobnými \'uvahami jako v podkapitole \ref{rnap} lze ukázat, že<br />
\be {\Large \fbox{$ \frac{\d\sigma}{\d\Omega}(\theta,\varphi)=\abs{f(\frac{\vec p_{\mathrm{out}}}{\hbar},\frac{\vec p_{\mathrm{in}}}{\hbar})}^2 $}}\ ,\ee<br />
kde $(\theta,\varphi)$ jsou sférické souřadnice vektoru $\vec p_{\mathrm{out}}$ v soustavě kde vektor $\vec p_{\mathrm{in}}$ směřuje ve směru $z$. (Analogií tohoto vzorce v jednorozměrném případě jsou \rf{rkoef}, \rf{pkoef}).</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola8&diff=524002KVAN:Kapitola82014-02-03T16:56:41Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}<br />
<br />
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u~velmi omezeného počtu fyzikálně <br />
zajímavých případů. Některé z~nich jsme již uvedli: energie harmonického oscilátoru, energie \cc e v~Coulombově poli, moment hybnosti. Pro <br />
mnohé další případy se musíme většinou uchýlit k~přibližným metodám. Jednou z~nich je tzv.~poruchová teorie, kterou popíšeme v~následujících <br />
podkapitolách. Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde spektrum <br />
operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v~nějakém smyslu považovat za malou opravu --- \uv{poruchu} --- <br />
operátoru $\hat A$.<br />
<br />
Přesněji, nechť $\hat A$ a $\hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor<br />
\be \hat A + \epsilon\hat B, \ll{aeb} \ee<br />
kde $\epsilon$ leží v~okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v~závislosti na parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně <br />
nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou vlastní čísla a funkce blížit k~odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a <br />
pro $\epsilon\rightarrow 1$ za příznivých okolností též k~vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech, jako <br />
je např.~Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.<br />
<br />
Než přejdeme k~výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených předpokladů. Nechť $\lambda(\epsilon)$, $\lambda_K^{(0)}$ a <br />
$\psi(\epsilon)$, $\psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$<br />
\be<br />
(\hat A + \epsilon\hat B ) \psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon) \psi(\epsilon), \ \ <br />
\hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}.<br />
\ll{apsilam}<br />
\ee<br />
Odtud snadno dostaneme<br />
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\triangle\psi_K = (\triangle\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon), \ll{startpm} \ee<br />
kde<br />
\be \triangle\psi_K = \psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \triangle\lambda_K = \lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}. \ee<br />
Vynásobíme-li skalárně rovnost \rf{startpm} funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost <br />
v~\rf{apsilam}, dostaneme<br />
\be<br />
(\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\triangle\psi_K) <br />
= \triangle\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).<br />
\ll{dpsieps}<br />
\ee<br />
Pro $J=K$ odtud plyne<br />
\be \triangle\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon)) = \epsilon(\psi_K^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)). \ll{dlameps} \ee<br />
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu. Jako první rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové <br />
spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}<br />
<br />
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s~navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$. Odpovídající vlastní funkce označme <br />
$\psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A + \epsilon\hat B$ napsat jako <br />
nekonečnou řadu v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na <br />
$\hat A$, lze očekávat, že <br />
\be \lambda(\epsilon) = \lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\cdots \ll{lamep} \ee<br />
\be \psi(\epsilon) = \psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\cdots \ll{psiep} \ee<br />
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep} a \rf{psiep} a odtud usoudit na konvergenci či dokonce provést <br />
součet. V~praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů, jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají <br />
experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep} a \rf{psiep} do <br />
\rf{dpsieps} a \rf{dlameps}. Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dlameps} zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední <br />
hodnota operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$<br />
\be \lambda_k^{(1)} = \mean{\hat B}{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc} \ee<br />
Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dpsieps} dostaneme<br />
\be<br />
(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)}) = \frac{ (\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)}) }{ \lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)} }, \ \ j \neq k, \ll{1oprvlf} \ee<br />
odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je<br />
\be<br />
\psi_k^{(1)} <br />
= \gamma \psi_k^{(0)} <br />
+ \sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},<br />
\ll{1oprvlfce}<br />
\ee<br />
kde<br />
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce $\psi(\epsilon)$.<br />
<br />
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v~$\epsilon$ vypočteme porovnáním členů \rf{dlameps} u~druhé mocniny $\epsilon$<br />
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}<br />
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}<br />
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v~druhém rovnítku jsme<br />
použili vztahy \rf{1oprvlc}, \rf{1oprvlfce}.<br />
<br />
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel<br />
formule jsou pak již tak komplikované, že pro většinu případů jsou prakticky nepoužitelné. Použijeme-li však<br />
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)<br />
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\triangle\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee<br />
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů \rf{dlameps} a \rf{dpsieps} u~s-té mocniny<br />
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace<br />
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}<br />
\lambda_k^{(s)}=\frac{(\psi_k^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})}{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation}\label{oprvlcvlf2}<br />
\psi_k^{(s)}=\sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})-<br />
\sum_{r=1}^{s-1}\lambda_k^{(r)}(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(s-r)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}\psi_j^{(0)},<br />
\end{equation}<br />
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.<br />
<br />
\bc<br />
Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$<br />
(harmonický oscilátor v~homogenním poli).<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e v~potenciálu<br />
\[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \]<br />
(Anharmonický oscilátor.)<br />
\ec<br />
<br />
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla}<br />
V~předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat <br />
pro \textbf{konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v~případě, kdy vlastní \fc e příslušné k~číslu <br />
$\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální baze v~prostoru vlastních \fc í <br />
operátoru $\hat A$ příslušných k~vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.<br />
<br />
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v~obecném případě změní i vlastní čísla a jejich násobnost. Opět <br />
budeme předpokládat, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu <br />
v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence, takže vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro <br />
$\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k~$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako<br />
\be \lambda_{k,n}(\epsilon) = \lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{lamepdg} \ee<br />
a<br />
\be \psi_{k,n}(\epsilon) = \psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{psiepdg} \ee<br />
kde $ \ n=1,\ldots,N$.<br />
<br />
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)} = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného<br />
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou<br />
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %<br />
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady \rf{lamepdg}, \rf{psiepdg} do úlohy pro<br />
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první<br />
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B<br />
\psi_{k,n}^{(0)}=\lambda_{k,n}^{(0)}\psi_{k,n}^{(1)}+ \lambda_{k,n}^{(1)}\psi_{k,n}^{(0)}. \ll{1raddg}\ee<br />
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že<br />
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =<br />
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem \rf{psipresf} a využijeme ortonormálnost<br />
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N<br />
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be<br />
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak<br />
dostaneme z~řešení úlohy \rf{matvlc}, tedy jako kořeny sekulární rovnice<br />
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee<br />
Řešením úlohy \rf{matvlc} pak dostaneme též koeficienty $a_{kn,i}$, které určují \uv{nultou opravu} $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí <br />
$\psi_{k,n}(\epsilon)$. Výpočet dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět.<br />
<br />
\subsubsection{Starkův jev na vodíku}<br />
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole. Elektron v~atomu vodíku v~homogenním <br />
elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat hamiltoniánem<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vex. \ee<br />
Pro slabé elektrické pole tj.~$\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2} \gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední<br />
člen považovat za malou opravu předchozí části hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti vnějšího elektrického pole. <br />
Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z~podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme, že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou <br />
degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro degenerované spektrum.<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ <br />
hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku <br />
$E_k=-\frac R {k^2}$ v~závislosti na síle elektrického pole $\epsilon$.<br />
<br />
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k~$E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem \rf{nlmcoul}, kde $N=k$. Matice $B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty, <br />
představují první opravy energie má v~tomto případě elementy<br />
\[ B_{ji} \equiv B_{lm,l'm'} = e (\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'}) = \]<br />
\be = e \int R_{kl}^*(r)R_{kl'}(r)r^3\dr \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)\d\Omega. \ll{starkmatel} \ee<br />
Druhý integrál je roven (viz např.~\cite[G.29]{for:ukt})<br />
\be<br />
\int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)\d\Omega <br />
= \delta_{mm'} \left( \delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}} \right), \ll{YzzY}<br />
\ee<br />
takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro $m=m'$ a $l'=l \pm 1$. Výpočet prvního integrálu v~\rf{starkmatel} je obecně dosti složitý <br />
a proto se omezíme na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a <br />
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v~$\epsilon$ nezmění. Pro první excitovanou hladinu je <br />
$k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v~důsledku \rf{YzzY} jsou<br />
\be e (\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200}) = e (\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee<br />
Matice $B_{ij}$ v~tomto případě má tvar<br />
\be B = \left( \begin{array}{cccc}<br />
0 & 0 & -3ea & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
-3ea & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0<br />
\end{array} \right), \ee<br />
a kořeny sekulární rovnice \rf{sekub} jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná, <br />
se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s hodnotami $-3,4$ eV a $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$ <br />
je Bohrův poloměr vodíku $a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4$eV <br />
zůstane degenerovaná i v~elektrickém poli, avšak pouze dvakrát --- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor lineárních kombinací <br />
$a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$ jsou již nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e <br />
$a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$ jsou normalizované k~jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná <br />
intenzitě elektrického pole. Podobně se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá <br />
(lineární) Starkův jev.<br />
<br />
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec<br />
\bc Existuje lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz<br />
Podrobnosti k~této části viz \cite[kap.~10.6]{for:ukt}. Atomy se skládají z~kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem <br />
k~rozdílu hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s~dobrou<br />
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} --- elektronů --- pohybujících se v~potenciálovém<br />
poli jádra.<br />
<br />
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Zabývejme se tedy atomem s~atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících<br />
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\Delta_j -<br />
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}<br />
\frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}. \ll{hamatob}\ee<br />
<br />
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v~\rf{hamatob}<br />
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu \rf{hamatob} je prakticky<br />
nemožné. Ukazuje se však, že stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací<br />
jednočásticových vlnových \fc í v~poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv.~Hartreeho<br />
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.<br />
<br />
\special{src: 366 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Předpokládejme, že jsou známy polohy všech elektronů obalu atomu kromě j-tého. Hamiltonián j-tého elektronu pak<br />
má tvar \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_j - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|}<br />
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z \frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}, \ll{hamatj}\ee kde $\vex_k,\ k\neq j$<br />
jsou parametry hamiltoniánu. Tento předpoklad však bohužel není splněn, neboť polohy všech elektronů jsou<br />
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.<br />
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián<br />
\rf{hamatj} nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_j -<br />
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z<br />
\int_{\R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}\d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v~tom, že funkce<br />
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat<br />
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v<br />
\rf{hamatj2} se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.<br />
<br />
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Hartreeho metoda spočívá v~iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,<br />
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v~prvním kroku dosazeny do<br />
\ha nu \rf{hamatj2}, přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním<br />
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be<br />
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2} a tento postup se<br />
opakuje tak dlouho až $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat<br />
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee<br />
<br />
\special{src: 391 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Mimo to se obvykle při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen<br />
\rf{hamatj2} vystředuje přes prostorové úhly, tzn.~nahradí se členem \be<br />
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j \d\theta_j \d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z<br />
\int_{\R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}\d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto<br />
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be<br />
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee<br />
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v~odpudivém<br />
elektrostatickém poli ostatních.<br />
<br />
\special{src: 403 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
<br />
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Vlnovou \fc i atomového obalu Z~proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např.~jako Slaterův determinant \rf{slaterd},<br />
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.<br />
<br />
\special{src: 410 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Celková vnitřní energie atomu ve výše uvedené aproximaci je součtem energií jednotlivých elektronů obalu \be<br />
E_{atom}=\sum_{j=1}^Z E_{n_j,l_j}.\ee<br />
<br />
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl} nezávisí na projekci spinu ani magnetickém<br />
kvantovém čísle $m$ má každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a<br />
$l_j$ tvoří tzv.~\emph{slupky atomu}. Z~Pauliho principu plyne, že \emph{žádná energetická slupka nemůže být<br />
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.<br />
<br />
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Pro atomy v~základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie<br />
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř<br />
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[<br />
E_{10}\LL E_{20}<E_{21}\LL E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}\LL (E_{50},E_{42})<E_{51}\LL \cdots \] Energie uvedené<br />
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $\LL$ jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s~největší energií (klasicky:<br />
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v~základním stavu mají \uv{obsazené} energie stejných skupin tvoří periody<br />
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v~jednotlivých skupinách 2, 8, 8, 18, 18,...<br />
odpovídají délkám period.<br />
<br />
\bc<br />
Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém <br />
poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?<br />
\ec</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola7&diff=523902KVAN:Kapitola72014-02-03T16:56:08Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Systémy více částic}<br />
<br />
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních <br />
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, <br />
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. <br />
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.<br />
<br />
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém <br />
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých <br />
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě <br />
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme <br />
rozlišitelné.<br />
<br />
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. <br />
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou <br />
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}<br />
<br />
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení <br />
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc<br />
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných <br />
týkajících se jednotlivých \cc.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}<br />
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou <br />
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt <br />
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i <br />
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} <br />
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ <br />
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.<br />
<br />
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í <br />
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na <br />
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá <br />
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.<br />
<br />
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci<br />
\[<br />
\psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L^2(\R^{3N},\d^{3N}x)<br />
\]<br />
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}<br />
\[<br />
\mathcal{H} = L^2(\R^{3N},\d^{3N}x).<br />
\]<br />
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že<br />
\[<br />
L^2(\R^{3N},\d^{3N}x) = L^2(\R^{3},\d^{3}x) \ox L^2(\R^{3},\d^{3}x) \ox \cdots \ox L^2(\R^{3},\d^{3}x)<br />
\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow \ \Hil = \overline{\Hil_1\ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N},<br />
\]<br />
kde ${\Hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze <br />
v~$\Hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N} ~|~ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde<br />
\[<br />
e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)<br />
\]<br />
je rovněž ortonormální bazí v~$\Hil_1 \ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N$.<br />
<br />
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\Hil_j$, tzn.<br />
\[<br />
\hat{A}_j = \underbrace{\uni\ox\uni\ox\cdots\ox\uni}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\uni\ox\cdots\ox\uni<br />
\]<br />
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice<br />
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl \ox \uni \ox \cdots \ox \uni \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl_1.$ Podobným způsobem <br />
lze definovat vícečásticové operátory.<br />
<br />
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je <br />
třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí <br />
vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem <br />
jednočásticových prostorů \qintspace $\otimes \C^{2}$.<br />
\[<br />
\Hil = \Hil _1 \ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N = L^2(\R^{3N},\d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.<br />
\]<br />
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem<br />
\be<br />
(\psi,\phi)<br />
:= \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}<br />
\psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
\phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)<br />
\d^{3N}x.<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar<br />
\[<br />
\hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).<br />
\]<br />
Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}<br />
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na <br />
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, <br />
popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.<br />
<br />
Zavedením nových proměnných<br />
\be<br />
\vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2<br />
\ll{nsour}<br />
\ee<br />
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru<br />
\be<br />
L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).<br />
\ee<br />
Kanonicky sdružené hybnosti jsou<br />
\begin{align}<br />
\vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\<br />
\vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}<br />
\end{align}<br />
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí<br />
\be<br />
H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}^{\,2}+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).<br />
\ee<br />
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště <br />
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.<br />
<br />
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i <br />
systému jako \fc i nových souřadnic<br />
\be<br />
\Psi(\vec{X},\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),<br />
\ee<br />
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací<br />
\begin{align}<br />
\frac{\pd}{\pd X_j} &= \frac{\pd}{\pd x_{1,j}}+\frac{\pd}{\pd x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\<br />
\frac{\pd}{\pd x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\pd}{\pd x_{1,j}}-m_1\frac{\pd}{\pd x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}<br />
\end{align}<br />
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.<br />
<br />
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc<br />
\be<br />
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\lapl_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\lapl_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)<br />
\ee<br />
transformací \rf{nsour} přejde na tvar<br />
\be<br />
\hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\lapl_X -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl_x + \hat V(\vex),<br />
\ee<br />
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a <br />
druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.<br />
<br />
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro <br />
Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu <br />
a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Skládání momentů hybnosti}<br />
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}<br />
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}<br />
\def\hj{{\hat J}}<br />
V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých <br />
složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze <br />
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost <br />
problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve<br />
vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$.<br />
<br />
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$, <br />
$m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i <br />
$\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$<br />
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak <br />
můžeme popsat vlnovou \fc í<br />
\[<br />
\psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).<br />
\]<br />
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro <br />
který platí<br />
\begin{align}<br />
(\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\<br />
(\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\<br />
\lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm3} \\<br />
\l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4}<br />
\end{align}<br />
Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit<br />
\textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í?<br />
<br />
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze <br />
na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ <br />
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že<br />
\be<br />
[\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m.<br />
\ee<br />
Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ <br />
a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že<br />
\be<br />
[\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0,<br />
\ee<br />
takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné <br />
množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, <br />
že splňuje rovnice<br />
\begin{align}<br />
(\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\<br />
(\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\<br />
\hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\<br />
\hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4}<br />
\end{align}<br />
Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti <br />
jednotlivých \cc.<br />
<br />
V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$. <br />
Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}. <br />
K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule<br />
\begin{equation}<br />
\hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,<br />
\label{jjll}<br />
\end{equation}<br />
kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že <br />
$\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$.<br />
<br />
Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů <br />
\[<br />
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2<br />
\]<br />
působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří <br />
tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.)<br />
<br />
V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů <br />
$\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.<br />
Jeden z~nich je<br />
% \begin{align}<br />
% \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1} <br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\<br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\<br />
% &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} <br />
% + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).<br />
% \end{align}<br />
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}<br />
\IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\<br />
&=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} <br />
+ \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).<br />
\end{IEEEeqnarray}<br />
O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž<br />
\[<br />
\frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} <br />
\left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right),<br />
\]<br />
lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. <br />
Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$.<br />
<br />
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,<br />
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů<br />
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z<br />
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je<br />
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}<br />
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,<br />
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.<br />
<br />
Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně <br />
ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze <br />
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a <br />
$m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.<br />
<br />
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným <br />
momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi <br />
spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat tak stavy <br />
částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm\half$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}<br />
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné <br />
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.<br />
<br />
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, <br />
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami<br />
\be<br />
\hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots<br />
\ll{ab12}<br />
\ee<br />
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné <br />
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit<br />
\be<br />
\hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots<br />
\ee<br />
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$ jsou určeny jednoznačně až na <br />
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že<br />
\be<br />
\psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),<br />
\ll{asymvlnfce}<br />
\ee<br />
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.<br />
<br />
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi <br />
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými <br />
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.<br />
<br />
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách <br />
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.<br />
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze <br />
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, <br />
$j\neq k$.<br />
<br />
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive <br />
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako <br />
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. <br />
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
ale současně<br />
\[<br />
\psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),<br />
\]<br />
takže $C_1=C_2$.<br />
<br />
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové <br />
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně<br />
\[<br />
\psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) <br />
:= \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)<br />
\]<br />
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do <br />
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm \half)$.<br />
<br />
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\Hil^S$, $\Hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či <br />
antisymetrických \fc í z~$L^2(\R^{3N},\d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.<br />
<br />
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\be<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)<br />
:= \sum_{\pi\in S_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})<br />
\ll{bosvlf}<br />
\ee<br />
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
:= \sum_{\pi\in S_N} \sgn \pi\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) <br />
\psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),<br />
\ll{antisym}<br />
\end{multline}<br />
kde $S_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\sgn\pi$ je znaménko permutace $\pi$. Antisymetrickou vlnovou <br />
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}<br />
\begin{multline}<br />
\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\<br />
= \det\left(<br />
\ba{cccc}<br />
\psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\<br />
& & \ddots & \\<br />
\psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\<br />
\ea \right).<br />
\ll{slaterd}<br />
\end{multline}<br />
<br />
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\Hil^S$ nebo $\Hil^A$. Znamená <br />
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli <br />
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto <br />
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$<br />
\be<br />
P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})<br />
\ee<br />
<br />
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické <br />
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento <br />
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.<br />
<br />
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L^2(\R^{3},\d^3x)$, resp.~$L^2(\R^{3},\d^{3}x)\ox\C^{2}$, <br />
pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru <br />
$\Hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\Hil^A$ popisující soustavu fermionů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$\half$ v~poli <br />
harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).<br />
\ec</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola6&diff=523802KVAN:Kapitola62014-02-03T16:55:45Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Částice v~elektromagnetickém poli. Spin}<br />
<br />
Doposud jsme se zabývali \qv ě mechanickým popisem \cc e v~poli konzervativních sil. Jinými slovy předpokládali jsme, že<br />
hamiltonián je tvaru<br />
\[ \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl+\hat V(\vex). \]<br />
Ne všechny síly však jsou konzervativní. Důležitým případem je Lorentzova síla<br />
\begin{equation}<br />
\vec{F} = \vec{F}(\vex,\vec v,t)=e[\vec E(\vex,t)+\vec v \times \vec{B}(\vex,t)],<br />
\end{equation}<br />
která působí na nabitou částici v~\emk ém poli $\{\vec{E}(\vex,t),\vec{B}(\vex,t)\}$. Tato síla není konzervativní. Na druhé <br />
straně, z~kursu teoretické fyziky (viz např.~\cite[U2.1]{sto:tf}), víme, že je ji možno vyjádřit pomocí zobecněného potenciálu<br />
\[ U(\vex,\vec{v},t)=e[\phi(\vex,t)-\vec v\cdot\vec A(\vex,t)] , \]<br />
kde $\phi$ a $\vec A$ jsou \emk é potenciály, tzn.<br />
\begin{equation}<br />
\vec{E} = -\grad\phi - \frac{\pd\vec{A}}{\pd t}, \qquad \vec{B} = \rot\vec{A}.<br />
\end{equation}<br />
Pohyb klasické \cc e v~\emk ém poli je možno popsat pohybovými \rc emi v~Hamiltonově formulaci s~Hamiltonovou \fc í<br />
\begin{equation}<br />
H(\vex, \vec{p},t) = \frac{1}{2M}[\vec{p} - e \vec{A}(\vex,t)]^2 + e\phi(\vex,t).<br />
\end{equation}<br />
\emph{Hamiltonián \qv ě \mi cké \cc e v~\emk ém poli} je pak možno odvodit z~principu korespondence<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} = \frac{1}{2M}[-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] \cdot [-i\hbar\vec{\nabla} - e\hat{\vec{A}}(\vex,t)] + e\hat{\phi}(\vex,t)<br />
\ll{hem}<br />
\end{equation}<br />
a snadnými úpravami je možno jej přepsat na tvar<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta +\frac{i\hbar e}{M}\hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \vec{\nabla}<br />
+ \frac{i\hbar e}{2M}\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)<br />
+ \frac{e^2}{2M} \hat{\vec{A}}(\vex,t) \cdot \hat{\vec{A}}(\vex,t)<br />
+ e\hat{\phi}(\vex,t).<br />
\ll{hem2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Poznamenejme zde, že v~tomto případě princip korespondence neurčuje hamiltonián jednoznačně, neboť operátory $\hat{P}_j$ a $\hat{A}_j$ <br />
vyskytující se v~prvním členu pravé strany \rf{hem} nekomutují. Znamená to, že hamiltonián \rf{hem} odpovídá jistému výběru uspořádání <br />
těchto nekomutujících oprátorů plynoucímu v~tomto případě z~požadavku samosdruženosti. Jiné výběry uspořádání by se lišily faktorem <br />
stojícím před členem $\div\hat{\vec{A}}(\vex,t)$. Pro případ homogenních polí, který budeme v~dalším uvažovat tento člen vymizí.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že požadavek samosdruženosti neurčuje uspořádání operátoru odpovídajímu klasické pozorovatelné $p x^2$, kde $p$ a $x$ <br />
jsou hybnost a souřadnice jednorozměrného systému.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Částice v~homogenním magnetickém poli}<br />
Budeme se zabývat případem \qv é \cc e v~homogenním časově nezávislém magnetickém poli $\vec{B}(\vex,t) = \vec{B}$.<br />
<br />
Vektorový potenciál lze v~tomto případě zvolit $\vec{A}(\vex)=\half \vec{B} \times \vex$ a odpovídající hamiltonián lze zapsat <br />
způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta - \frac{e}{2M} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}}<br />
+ \frac{e^2}{8M} (\vec{B} \times \hat{\vex})^2 + e\hat{\phi}(\vex),<br />
\ll{hhommag}<br />
\end{equation}<br />
kde $\hat{\vec{L}}$ je operátor momentu hybnosti.<br />
<br />
Pro střední hodnoty souřadnice a momentu hybnosti charakteristické pro atomy a nikoliv extrémně silná magnetická pole je příspěvek <br />
od třetího členu zanedbatelný, takže hamiltonián lze psát způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} = \hat{H}_0 - \hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} \cdot \vec{B},<br />
\end{equation}<br />
kde $\hat{H}_0$ je hamiltonián \cc e bez vlivu magnetického pole (pouze v~poli konzervativních sil, což je problém který jsme studovali <br />
doposud) a<br />
\begin{equation}<br />
\hat{\vec{\mu}}_{\mathrm{orb}} = \frac{e}{2M}\hat{\vec{L}}<br />
\ll{orbmgm}<br />
\end{equation}<br />
je \emph{operátor magnetického momentu \cc e} související s~jejím orbitálním pohybem.<br />
<br />
Je-li potenciál $V(\vex)=e\phi(\vex)$ v~$\hat{H}_0$ sféricky symetrický, což je například potenciál coulombického pole jádra atomu, pak <br />
lze nalézt vlastní funkce $\psi_{E,l,m}$ hamiltoniánu $\hat{H}_0$, které jsou současně vlastními \fc emi momentu hybnosti (viz <br />
\ref{ssec:csympot})<br />
\begin{align}<br />
\hat{H}_0 \psi_{E,l,m} &= E\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm1} \\<br />
\hat{L}^2 \psi_{E,l,m} &= l(l+1)\hbar^2\psi_{E,l,m}, \ll{vlfceelm2} \\<br />
\hat{L}_z \psi_{E,l,m} &= m\hbar\psi_{E,l,m}. \ll{vlfceelm3}<br />
\end{align}<br />
<br />
Odtud plyne, že v~tomto případě lze okamžitě určit vlastní energie i vlastní funkce \cc e v~magnetickém poli. Sférická symetrie systému <br />
bez magnetického pole totiž umožňuje zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole, a pokud platí \rf{vlfceelm1}, \rf{vlfceelm3}, pak rovněž<br />
platí<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H} \psi_{E,l,m} = \left(E - \mu_0 m \norm{\vec{B}}\right) \psi_{E,l,m},<br />
\ll{vlfcemagp}<br />
\end{equation}<br />
kde $\mu_0=\frac{e\hbar}{2M}$ je tzv.~\emph{Bohrův magneton}. Jeho hodnota pro elektron je $0.9274 \times 10^{-23} \mathrm{JT}^{-1}$.<br />
<br />
\special{src: 107 CEMPSPIN.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel<br />
<br />
Znamená to, že \textbf{hladiny energie částice}, které díky sférické symetrii původně nezávisely na $m$, a spektrum tedy bylo degenerované, <br />
\textbf{se podle takto navržené teorie vlivem homogenního magnetického pole rozštěpí na $2l+1$ různých hladin vzdálených o~$\mu_0\norm{\vec B}$.}<br />
Říkáme, že magnetické pole sejme degeneraci energie. Střed vzniklého multipletu hladin zůstane na místě a vzdálenosti hladin jsou úměrné <br />
intenzitě magnetického pole (pro jisté rozmezí jejích hodnot, mimo něj je třeba započítat další efekty).<br />
<br />
Efekt rozštěpení hladin magnetickým polem byl experimentálně pozorován, jedná se o~tzv.~\emph{Zeemanův jev}, avšak \textbf{počet hladin <br />
v~multipletu neodpovídá předpovězenému číslu $2l+1$}. Překvapivé je, že například dochází k~rozštěpení hladiny energie základního stavu atomů,<br />
který by podle dosavadní teorie měl být nedegenerovaný, neboť v~tomto stavu $l=0$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Vlastní magnetický moment a spin částice}<br />
\label{vmmsc}<br />
Uvedený rozpor teorie a experimentu řeší hypotéza (Landé, Stoner, Pauli 1923--25), podle které \textbf{elektron má} vedle magnetického <br />
momentu \rf{orbmgm} souvisejícího s~orbitálním pohybem ještě \textbf{vlastní magnetický moment $\vec{\mu}$, jehož projekce nabývají právě <br />
dvou hodnot} $\pm|\mu|$.<br />
<br />
Tato hypotéza se opírá i o~výsledky \emph{Sternova-Gerlachova pokusu}, při kterém prochází svazek atomů v~základním stavu nehomogenním <br />
magnetickým polem kolmo na směr nehomogenity.<br />
\begin {figure}[hbtp]<br />
\hskip 1cm<br />
\vskip 1cm<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1.00mm<br />
\linethickness{0.4pt}<br />
\begin{picture}(127.00,150.00)<br />
%\emline(20.00,130.00)(60.00,130.00)<br />
\put(20.00,130.00){\line(1,0){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(90.00,145.00)(90.00,115.00)<br />
\put(90.00,145.00){\line(0,-1){30.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,130.00)(90.00,135.00)<br />
\put(90.00,135.00){\vector(4,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,130.00)(0.71,0.12){42}{\line(1,0){0.71}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,130.00)(90.00,125.00)<br />
\put(90.00,125.00){\vector(4,-1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,130.00)(0.71,-0.12){42}{\line(1,0){0.71}}<br />
%\end<br />
\put(55.00,135.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}<br />
\put(55.00,110.00){\rule{10.00\unitlength}{15.00\unitlength}}<br />
%\emline(120.00,135.00)(115.00,150.00)<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,0.36){42}{\line(0,1){0.36}}<br />
%\end<br />
%\emline(115.00,150.00)(125.00,150.00)<br />
\put(115.00,150.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(125.00,150.00)(120.00,135.00)<br />
\multiput(125.00,150.00)(-0.12,-0.36){42}{\line(0,-1){0.36}}<br />
%\end<br />
%\emline(127.00,126.00)(127.00,110.00)<br />
\put(127.00,126.00){\line(0,-1){16.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(127.00,110.00)(113.00,110.00)<br />
\put(127.00,110.00){\line(-1,0){14.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(113.00,110.00)(113.00,125.00)<br />
\put(113.00,110.00){\line(0,1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(113.00,125.00)(114.00,125.00)<br />
\put(113.00,125.00){\line(1,0){1.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(114.00,125.00)(115.00,124.00)<br />
\multiput(114.00,125.00)(0.11,-0.11){9}{\line(0,-1){0.11}}<br />
%\end<br />
%\emline(115.00,124.00)(125.00,124.00)<br />
\put(115.00,124.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(125.00,124.00)(126.00,125.00)<br />
\multiput(125.00,124.00)(0.11,0.11){9}{\line(0,1){0.11}}<br />
%\end<br />
%\emline(126.00,125.00)(127.00,125.00)<br />
\put(126.00,125.00){\line(1,0){1.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(120.00,124.00)<br />
\put(120.00,124.00){\vector(0,-1){0.2}}<br />
\put(120.00,135.00){\line(0,-1){11.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(123.00,124.00)<br />
\put(123.00,124.00){\vector(1,-4){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(117.00,124.00)<br />
\put(117.00,124.00){\vector(-1,-4){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.42){26}{\line(0,-1){0.42}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(126.00,125.00)<br />
\put(126.00,125.00){\vector(2,-3){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}<br />
%\end<br />
%\vector(120.00,135.00)(114.00,125.00)<br />
\put(114.00,125.00){\vector(-2,-3){0.2}}<br />
\multiput(120.00,135.00)(-0.12,-0.20){50}{\line(0,-1){0.20}}<br />
%\end<br />
\put(20.00,132.00){\makebox(0,0)[lb]{1}}<br />
\put(68.00,145.00){\makebox(0,0)[lb]{2}}<br />
\put(80.00,136.00){\makebox(0,0)[lb]{3}}<br />
\put(93.00,115.00){\makebox(0,0)[lb]{4}}<br />
\put(20.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{A) Sch\'ema experimentu}}<br />
\put(105.00,100.00){\makebox(0,0)[lb]{B) Bokorys průběhu}}<br />
\put(105.00,95.00){\makebox(0,0)[lb]{siločar magnetického pole}}<br />
\put(20.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{1 Svazek atomů }}<br />
\put(20.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{2 P\'oly magnetu}}<br />
\put(50.00,90.00){\makebox(0,0)[lb]{3 Rozštěpené svazky částic}}<br />
\put(50.00,85.00){\makebox(0,0)[lb]{4 Stínítko}}<br />
\end{picture}<br />
\caption{Sternův-Gerlachův pokus}<br />
\end{figure}<br />
Síla, která na atomy v~tomto poli působí (viz např.~\cite[kap.~4.3]{sto:em}) je<br />
\[ \vec{F}(\vex) = \grad (\vec{\mu} \cdot \vec{B}(\vex)), \]<br />
takže částice jsou urychlovány ve směru gradientu projekce magnetického momentu \cc e na směr magnetického pole. Svazek atomů <br />
v~základním stavu se průchodem nehomogenním magnetickým polem rozdělí na dva, což je plně v~souhlasu s~představou vlastního magnetického <br />
momentu elektronu. Z~úhlu, pod kterým tyto dva rozdělené svazky vylétají je možno určit i velikost vlastního magnetického momentu. <br />
Ukázalo se, že je ve velmi dobré shodě s~velikostí Bohrova magnetonu, $|\mu|=\mu_0$.<br />
<br />
Možnost rozštěpení hladiny energie základního stavu atomu vodíku na dvě svědčí o~tom, že \textbf{základní stav je degenerovaný a jeho<br />
popis vlnovou funkcí $\psi_{E,0,0}$ není úplný} a je mu nutno přiřadit lineární kombinaci dvou lineárně nezávislých funkcí, jež jsou <br />
vlastními \fc emi energie s~nejnižší vlastní hodnotou. Z~předchozího však víme, že taková funkce je až na multiplikativní konstantu jen <br />
jedna. Východiskem z~této situace je použití vlnových \fc í které mají dvě složky.<br />
\begin{equation}<br />
\psi(\vex) = \left( \ba {c} \psi_1(\vex) \\ \psi_2(\vex) \ea \right).<br />
\ll{vekvlnfce}<br />
\end{equation}<br />
Alternativní, avšak ekvivalentní přístup je použití vlnových funkcí, které vedle $\vex$ závisí ještě na další proměnné $\xi$, která nabývá <br />
pouze dvou hodnot $\pm$, tj.<br />
\[<br />
\psi=\psi(\vex,\xi), \quad \psi(\vex,+)\equiv\psi_1(\vex), \quad \psi(\vex,-)\equiv\psi_2(\vex).<br />
\]<br />
<br />
Přechod k~vlnovým \fc ím \rf{vekvlnfce} znamená přechod od Hilbertova prostoru \qintspace{} k~prostoru \qintspace$\otimes\C^2$. Skalární <br />
součin v~tomto prostoru je definován vztahem <br />
\begin{equation}<br />
(\psi,\phi) := \sum_{k=1}^2\int_{\R^3}\psi^*_k(\vex)\phi_k(\vex)d^3x =\sum_{\xi=\pm}\int_{\R^3}\psi^*(\vex,\xi)\phi(\vex,\xi)d^3x<br />
\end{equation}<br />
a operátory jsou obecně zadány maticí operátorů $\hat{A}=\{ \hat{A}_{ij}\}_{i,j=1}^2$. Neboť jsme se doposud zabývali jevy, ve kterých <br />
magnetický moment nehrál roli, mohli jsme používat operátory, které jsou násobkem jednotkové matice, např.~hamiltonián je dán maticí <br />
$\hat{H}_{ij} = \hat{H} \delta_{ij}$, jinak vyjádřeno $\hat{H} = \hat{H} \otimes \uni_{\C^2}.$<br />
<br />
Projekci vlastního magnetického momentu do osy $z$ (směru magnetického pole) naopak přiřadíme operátor $\hat{ \mu}_{z}$, který působí<br />
netriviálně pouze v~prostoru $\C^2$, zatímco v~prostoru \qintspace{} působí pouze jako násobení konstantou.<br />
\begin{equation}<br />
\hat{\mu}_{z} := \left( \ba {cc} \mu_0&0\\ 0&-\mu_0 \ea \right)<br />
\ll{muz}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Souvislost orbitálního magnetického momentu s~momentem hybnosti \rf{orbmgm} přivedla G.~E.~Uhlenbecka a S.~Goudsmita k~hypotéze (1925), <br />
že podobně jako orbitální, i \textbf{vlastní magnetický moment \cc e je důsledkem nenulového vlastního momentu hybnosti --- spinu}. Tato <br />
veličina \emph{nemá analogii} v~žádném druhu pohybu klasických hmotných těles. \textbf{Operátor spinu má stejně jako orbitální magnetický<br />
moment tři složky $\hat{S}_j$, které netriviálně působí pouze v~$\C^2$ a vzájemně komutují stejným způsobem jako složky momentu hybnosti}<br />
\begin{equation}<br />
{\Large\mbox{ $ [\hat{S}_j,\hat{S}_k] = i\hbar \epsilon_{jkl}\hat{S}_l. $}}<br />
\ll{relspin}<br />
\end{equation}<br />
Snadno lze ukázat, že trojice matic $\hat{S}_j=\frac{\hbar}{2}\sigma_j$, kde $\sigma_j,\ j=1,2,3$ jsou tzv.~\emph{Pauliho matice}<br />
\begin{equation}<br />
\sigma_1 = \left(\ba{cc}0&1\\1&0\ea\right),\<br />
\sigma_2 = \left(\ba{cc}0&-i\\i&0\ea\right),\<br />
\sigma_3 = \left(\ba{cc}1&0\\0&-1\ea\right),<br />
\ll{paulimat}<br />
\end{equation}<br />
splňuje relace \rf{relspin}.<br />
<br />
Vztah mezi spinem a vlastním magnetickým momentem elektronu je<br />
\be<br />
{\large\fbox{$\hat{\vec{\mu}} = \frac{2\mu_0}{\hbar}\hat{\vec{S}}$}}\ ,<br />
\ee<br />
což je v~souhlasu s~\rf{muz}. Faktor 2 je v~rámci této teorie nutné brát jako fenomenologickou konstantu. Její vysvětlení je možno podat <br />
až v~rámci relativistické kvantové mechaniky.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vlastní čísla operátoru $\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B}$ jsou $\pm \mu_0 \norm{\vec{B}}$. Najděte vlastní \fc e.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Napište vlnovou \fc i $\psi(\vex,\xi)$ základního stavu \cc e v~poli Coulombova potenciálu s~hodnotou $z$--ové, resp. $x$--ové, <br />
resp.~$y$--ové složky spinu rovné $\frac\hbar 2$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť pro volnou \cc i se spinem je naměřena hodnota $z$--ové složky spinu $s_z$=$\frac\hbar 2$. Jestliže vzápětí měříme hodnotu spinu ve <br />
směru, který se $z$--ovou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Vedle relace<br />
\begin{equation}<br />
[\sigma _j,\sigma _k] = 2i\epsilon_{jkl}\sigma _l,<br />
\ll{sigmarel}<br />
\end{equation}<br />
ze které plyne \rf{relspin}, mají Pauliho matice ještě další vlastnosti užitečné při různých výpočtech. Uveďme nejdůležitější z~nich<br />
\begin{align}<br />
\sigma _j &= \sigma _j^\dagger, \\<br />
\Tr \sigma _j &= 0, \\<br />
\{\sigma _j,\sigma _k\} &= 2\delta_{jk}\uni. \ll{anticomsig}<br />
\end{align}<br />
Mimo to spolu s~jednotkovou maticí tvoří $\{\sigma _j \ | \ j=1,2,3\}$ (hermitovskou) bazi v~prostoru komplexních matic $2\times 2$. <br />
Násobení Pauliho matic<br />
\begin{equation}<br />
\sigma _j\sigma _k=\delta_{jk}\uni+i\epsilon_{jkl}\sigma _l<br />
\ll{nassig}<br />
\end{equation}<br />
plyne okamžitě z~\rf{sigmarel}, \rf{anticomsig}.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že $\hat{\vec{S}}^2 = \frac{3}{4}\hbar^2\uni$. Porovnejte tento výsledek s~\rf{vlfceelm2}.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Uvažujte systém (tzv.~supersymetrický harmonický oscilátor) popsaný na Hilbertovu prostoru $L^2(\R,dx) \otimes \C^2$ hamiltoniánem<br />
\[<br />
\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} \Delta \otimes \uni + \frac{ m \omega^2}{2} x^2 \otimes \uni + \frac{\hbar \omega}{2} \uni \otimes \sigma_{3}.<br />
\]<br />
Dále je dán operátor<br />
\[<br />
\hat{Q} = \frac{1}{2 \sqrt{m}} \sigma_{1} ( \hat{P}+i \omega m \sigma_{3} \hat{X}).<br />
\]<br />
Nalezněte $\hat{Q}^{\dagger}$, $\hat{Q}^2$, $[\hat{H},\hat{Q}]$ a výsledky vyjádřete pomocí operátorů $\hat{H}$, $\hat{Q}$. Jaké <br />
omezení lze vyvodit z~těchto relací na spektrum hamiltoniánu (tj.~zda je shora či zdola omezené a čím)? (Postačí uvažovat bodovou <br />
část spektra.)<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pauliho \rc e. Normální Zeemanův jev}<br />
Z~výsledku Sternova-Gerlachova pokusu a rozštěpení energetických hladin atomů v~magnetickém poli jsme došli k~hypotéze, že stavy \cc{} <br />
v~atomu jsou charakterizovány též hodnotou čistě kvantové veličiny nazývané spin. Síly, které působí na atomové \cc e v~magnetickém <br />
poli jsou na spinu závislé a musí být proto zahrnuty do hamiltoniánu. W.~Pauli navrhl rozšíření hamiltoniánu pro \cc i v~\emk ém poli <br />
na tvar<br />
\be<br />
{\Large \fbox{$\hat{H} = \dfrac{1}{2M}[\hat{\vec{P}} - e\hat{\vec{A}}]^2 + e\hat{\phi} - \mu_0 \hat{\vec{B}} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$}} \ .<br />
\ll{pauham}<br />
\ee<br />
Rovnice<br />
\[<br />
i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi,<br />
\]<br />
kde $\hat{H}$ je tvaru \rf{pauham} a $\psi$ je dvoukomponentová \fc e se nazývá \emph{Pauliho \rc e}. Odpovídající \rc e $\hat{H}\psi=E\psi$ <br />
se pak nazývá bezčasová Pauliho \rc e.<br />
<br />
Pro homogenní, časově nezávislé magnetické pole $\vec{B}(\vex,t)=\vec{B}$ je možno řešení Pauliho \rc e převést na řešení \sv y \rc e, neboť <br />
přímým výpočtem lze ukázat, že pokud $\phi_j,\ j=1,2$ jsou řešení \sv y \rc e<br />
\[<br />
i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd t}=\hat H_1\phi,<br />
\]<br />
kde $\hat{H}_1$ je spinově nezávislá část \rf{pauham}, pak řešení Pauliho \rc e lze zapsat způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\left( \ba {c} \psi_1(\vex,t) \\ \psi_2(\vex,t) \ea \right)<br />
= \exp \left\{ \frac{i}{\hbar}\hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} t \right\} \left( \ba {c} \phi_1(\vex,t) \\ \phi_2(\vex,t) \ea \right),<br />
\ll{respauli}<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\be<br />
\exp \left\{ \frac{i}{h}\hat{\vec\mu}\cdot\vec{B}t \right\}<br />
= \cos \left( \frac{\mu_0}{\hbar}|\vec{B}|t \right) <br />
+ i\frac{\vec{B} \cdot \vec{\sigma}}{\norm{\vec{B}}} \sin \left( \frac{\mu_0}{\hbar}\norm{\vec{B}}t \right).<br />
\ll{expmb}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Částice se spinem $\hbar/2$ je umístěna v~konstantním magnetickém poli směřujícímím ve směru osy $x$. V~čase $t=0$ byla naměřena hodnota její <br />
$z$-ové složky spinu $+\hbar/2$. S~jakou \pst í nalezneme v~libovolném dalším čase hodnotu její $y$-ové složky spinu $+\hbar/2$?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Ukažte, že pokud výraz $\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \}$ definujeme pomocí řady<br />
\be<br />
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} := \sum_{n=0}^\infty\frac{(i\vec{a}\cdot\vec{\sigma})^n}{n!},<br />
\ll{defexp}<br />
\ee<br />
pak platí<br />
\be<br />
\exp \{ i\vec{a} \cdot \vec{\sigma} \} = \cos(\norm{\vec{a}}) + i\frac{\vec{a}\cdot\vec{\sigma}}{\norm{\vec{a}}} \sin(\norm{\vec{a}}).<br />
\ee<br />
\ec<br />
<br />
Rozštěpení energetických hladin v~důsledku existence vlastního magnetického momentu je pak možno popsat Pauliho hamiltoniánem<br />
\be<br />
\hat{H}_P = \hat{H}_0 -\frac{\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{L}}-\frac{2\mu_0}{\hbar}\vec{B}\cdot\hat{\vec{S}},<br />
\ee<br />
kde $\hat{H}_0$ (což je např.~hamiltonián \cc e v~coulombickém poli) popisuje \cc i bez magnetického pole. Řešením bezčasové Pauliho \rc e <br />
$\hat{H}_P\psi=E\psi$ lze dostat \textbf{energetické spektrum, které odpovídá rozštěpení hladin magnetickým polem pozorované v~normálním <br />
Zeemanově jevu.} Toto řešení lze obdržet ze znalosti řešení bezčasové \sv y \rc e.<br />
<br />
Pro sféricky symetrický hamiltonián $\hat{H}_0$, lze bez újmy na obecnosti zvolit osu $z$ ve směru magnetického pole. Je snadné se <br />
přesvědčit, že pokud \cc e má v~nepřítomnosti magnetického pole energii $E_0=E_{nl}$ (tzn.~$E_{nl}$ je vlastní hodnotou hamiltoniánu <br />
$\hat{H}_0$) a funkce $\psi_{n,l,m}$ jsou vlastní funkce $\hat{H}_0$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_z$, pak \fc e<br />
\be<br />
\psi_{n,l,m,+}(\vex) = \left(\ba{c} \psi_{n,l,m}(\vex) \\ 0 \ea\right), \quad<br />
\psi_{n,l,m,-}(\vex) = \left(\ba{c} 0 \\ \psi_{n,l,m}(\vex) \ea\right)<br />
\ee<br />
jsou vlastními \fc emi Pauliho hamiltoniánu odpovídajícími vlastním hodnotám $E_{n,l,m,\pm}=E_{nl}-\mu_0 B_z(m\pm 1)$. Počet hladin multipletu <br />
je $2l+3$ pro $l=1,2,\ldots$ Pro $l=0$ dostáváme dvě hladiny energie, což je ve shodě i se<br />
Sternovým-Gerlachovým pokusem.<br />
<br />
Poznamenejme ještě, že vedle normálního Zeemanova jevu existuje ještě tzv.~anomální Zeemanův jev. Jeho popis a vysvětlení dané <br />
tzv.~spin-orbitální vazbou zde provádět nebudeme (viz např.~\cite[kap.~7.5]{for:ukt}).<br />
<br />
Na závěr této kapitoly je třeba ještě učinit důležitou poznámku: Existence nenulového spinu není univerzální vlastnost všech kvantových \cc. <br />
V~uvedených jevech, které nás přiměly zavést spin, mají rozhodující vliv valenční elektrony atomů. Znamená to tedy, že elektronům je třeba <br />
přiřadit spin (velikosti 1/2). Na druhé straně existují částice, které spin nemají. Jsou to například mesony $\pi$ důležité pro popis jaderných <br />
sil. Ty pak interagují s~magnetickým polem pouze prostřednictvím svého orbitálního momentu hybnosti.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}<br />
\ll{atmh}<br />
Jak už jsme poznamenali v~podkapitole \ref{vmmsc}, vlastní i orbitální moment hybnosti mají stejné komutační relace<br />
\begin{equation}<br />
[\hat{J}_k,\hat{J}_m] = i\hbar\,\epsilon_{kmn}\hat{J}_n.<br />
\label{imcr}<br />
\end{equation}<br />
Tyto relace lze zároveň považovat za definici násobení prvků baze v~Lieovské algebře $\mathfrak{su}(2)$, která úzce souvisí s~grupou <br />
otočení $SO(3)$. V~dalším odvodíme vlastnosti společných vlastních funkcí operátorů $\hat{J}_3$ a <br />
$\hat{J}^2:={\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2+{\hat{J}_3}^2$ a jejich vlastních hodnot \textbf{bez znalosti jejich konkrétních tvarů}, pouze <br />
využitím algebraických relací \rf{imcr}. Jediné, co budeme navíc předpokládat, je samosdruženost. Z~hlediska zmíněné Lieovské algebry, <br />
to znamená konstrukci jejích konečně rozměrných reprezentací.<br />
<br />
Podstatným způsobem budeme při tom využívat tzv.~posunovacích operátorů<br />
\begin{equation}\label{jpm}<br />
\hat{J}_\pm := \hat{J}_1\pm i\hat{J}_2, \quad [\hat{J}_3,\hat{J}_\pm] = \pm\hbar \hat{J}_\pm<br />
\end{equation}<br />
s~jejichž obdobou jsme se seznámili v~podkapitole \ref{posunovacioperatory}. Snadno pro ně odvodíme, že<br />
\begin{equation}<br />
\hat{J}_-\hat{J}_+ = {\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2-\hbar \hat{J}_3 = {\hat{J}}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3.<br />
\label{jmjp}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Nechť $\ket{\lambda,\mu}$ je společná vlastní funkce operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$ s~vlastními hodnotami $\lambda$, $\mu$<br />
\begin{equation}\label{j2eigen}<br />
\hat{J}^2\ket{\lambda,\mu}=\lambda\ket{\lambda,\mu}, \quad \hat{J}_3\ket{\lambda,\mu}=\mu\ket{\lambda,\mu}.<br />
\end{equation}<br />
Ze samosdruženosti operátorů $\hat{J}_1$ a $\hat{J}_2$ plyne, že pro libovolný prvek Hilbertova prostoru $\phi$ platí<br />
\[<br />
(\phi,({\hat{J}_1}^2+{\hat{J}_2}^2)\phi) = \|{\hat{J}_1}\phi\|^2 + \|{\hat{J}_2}\phi\|^2 \geq 0,<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}_1^2+\hat{J}_2^2}{\lambda,\mu}<br />
= \braketA{\lambda,\mu}{\hat{J}^2-\hat{J}_3^2}{\lambda,\mu}<br />
= (\lambda-\mu^2)\, \|\ket{\lambda,\mu}\|^2<br />
\]<br />
je rovněž nezáporné, z~čehož plyne<br />
\begin{equation}\label{lamgeqmu}<br />
\lambda\geq\mu^2.<br />
\end{equation}<br />
Na druhé straně díky \rf{jpm}<br />
\[<br />
\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu}=\alpha^{(+)} \ket{\lambda,\mu+\hbar},<br />
\]<br />
takže musí existovat maximální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{max}}$ taková, že $\hat{J}_+ \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}=0$. <br />
V~opačném případě by totiž byla porušena nerovnost \rf{lamgeqmu}. Aplikujeme-li operátor $\hat{J}_-\hat{J}_+$ na <br />
$\ket{\lambda,\mu}$ a použijeme \rf{jmjp} a \rf{j2eigen}, dostaneme<br />
\[<br />
0 = \hat{J}_-\hat{J}_+\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}<br />
= (\hat{J}^2-{\hat{J}_3}^2-\hbar \hat{J}_3) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}<br />
= (\lambda-\mu_{\mathrm{max}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{max}}) \ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}},<br />
\]<br />
odkud plyne<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \mu_{\mathrm{max}}^2+\hbar\mu_{\mathrm{max}}.<br />
\label{lameq}<br />
\end{equation}<br />
Stejnými úvahami, kde zaměníme $\hat{J}_+$ a $\hat{J}_-$, zjistíme, že musí existovat minimální vlastní hodnota $\mu_{\mathrm{min}}$, <br />
pro kterou platí<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \mu_{\mathrm{min}}^2-\hbar\mu_{\mathrm{min}}.<br />
\label{lameqi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Porovnáním \rf{lameq} a \rf{lameqi} dostaneme $\mu_{\mathrm{min}}=-\mu_{\mathrm{max}}$. Mimo to je zřejmé, že opakovaným působením <br />
operátoru $\hat{J}_+$ na $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{min}}}$ dostaneme vektor úměrný $\ket{\lambda,\mu_{\mathrm{max}}}$. Tj.~existuje <br />
celé nezáporné $k$ tak, že<br />
\[<br />
\mu_{\mathrm{min}}+k\hbar = \mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}}.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\mu_{\mathrm{max}} = -\mu_{\mathrm{min}} = j\hbar, \quad j\in\left\{0,\half,1,\frac{3}{2},2,\ldots\right\},<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
\lambda=j(j+1)\hbar^2, \quad \mu\in\{-j,-j+1,-j +2,\ldots\,j\} \cdot \hbar.<br />
\label{lamu}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Je tedy vidět, že pokud jsme nepředpokládali operátory $\hat{J}_k$ ve tvaru operátorů momentu hybnosti, nýbrž vzali v~úvahu pouze jejich <br />
komutační relace, zjistili jsme, že spektrum vlastních hodnot operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_3$, může nabývat hodnot \rf{lamu} s~$j$ <br />
nejen celým jako v~případě momentu hybnosti, nýbrž i polocelým, což je případ spinu. Z~tohoto výsledku lze též usoudit, že mohou <br />
existovat částice nejen se spinem $1/2$ jako např.~elektron, proton, neutron a další, ale také s~vyššími (polo)celými spiny, což bylo <br />
experimentálně potvrzeno.<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím výsledků cvičení \ref{alplm} najděte $(2j+1)\times(2j+1)$ matice $J_k$ splňující relace \rf{imcr} (tyto matice určují <br />
reprezentace algebry $\mathfrak{su}(2)$). Ověřte, že pro $j=\half$ jsou shodné se složkami spinu.<br />
\ec</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola5&diff=523702KVAN:Kapitola52014-02-03T16:55:16Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Časový vývoj kvantové částice}<br />
\ll{Casovyvyvoj}<br />
<br />
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím <br />
z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í<br />
\be i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity}<br />
Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i}<br />
\begin{equation}<br />
\vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)],<br />
\ll{tokpsti}<br />
\end{equation}<br />
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity}<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\pd\rho}{\pd t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0.<br />
\ll{rcekont}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností<br />
\begin{equation} \frac{\d}{\dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation}<br />
plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stacionární stavy}<br />
Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou <br />
v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota <br />
libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit<br />
\be \frac{\d}{\dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee<br />
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase.<br />
<br />
Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$<br />
\begin{equation}<br />
\psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0),<br />
\ll{stacstav}<br />
\end{equation}<br />
pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení <br />
v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, <br />
že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární.<br />
<br />
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou <br />
hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, <br />
pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne<br />
\begin{equation}<br />
C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0).<br />
\end{equation}<br />
Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$.<br />
<br />
Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $<br />
\begin{equation}<br />
\hat{H}\psi_E=E\psi_E,<br />
\ll{vlstham}<br />
\end{equation}<br />
pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť <br />
řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je<br />
\be<br />
\fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vex)$}\ .<br />
\ee<br />
Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často<br />
nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.}<br />
<br />
Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární <br />
stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.}<br />
<br />
Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e <br />
s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž <br />
prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem<br />
\be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee<br />
a odpovídající řešení \sv y \rc e je<br />
\be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee<br />
Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost.<br />
<br />
Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé <br />
fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli.<br />
\bc<br />
Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové <br />
spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po <br />
čase $t$?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je <br />
superpozicí stacionárních stavů)<br />
\[<br />
\psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left[ \frac{\pi}{2a}(x-a)\right] +\sin\left[\frac{\pi}{a}(x-a)\right] ,\ \mathrm{pro} \ |x|<a.<br />
\]<br />
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy}<br />
V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože <br />
jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e.<br />
<br />
I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory <br />
odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase.<br />
<br />
Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} <br />
$\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{\d A}{\dt}}$, definovaný jako<br />
\be<br />
{\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{\d A}{\dt}} := \dfrac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \dfrac{\pd\hat A}{\pd t} $ }}\ .<br />
\ll{casderoper}<br />
\ee<br />
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici <br />
je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\Hil$ platí<br />
\be<br />
\frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{\d A}{\dt}} \right\rangle_\psi.<br />
\ll{casderop}<br />
\ee<br />
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} <br />
= \left(\psi,\psi\right)^{-1}\left[ \left(\frac{\pd\psi}{\pd t},\hat A\psi\right) <br />
+ \left(\psi,\frac{\pd\hat A}{\pd t}\psi\right) <br />
+ \left(\psi,\hat A\frac{\pd\psi}{\pd t}\right)\right].<br />
\end{equation}<br />
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}.<br />
<br />
\bc<br />
Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru.<br />
\ec<br />
<br />
\emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou <br />
explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.}<br />
<br />
Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice <br />
či hybnosti dostaneme<br />
\begin{align}<br />
\frac{\d}{\dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\<br />
\frac{\d}{\dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp}<br />
\end{align}<br />
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice <br />
ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě <br />
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud<br />
\[<br />
\left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\pd V}{\pd x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi).<br />
\]<br />
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových <br />
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda <br />
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola4&diff=523602KVAN:Kapitola42014-02-03T16:54:58Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Výsledky měření}<br />
\ll{Vysledkymereni}<br />
<br />
Otázka, na kterou odpovíme v~této kapitole, zní: \textbf{Jaké hodnoty fyzikálních veličin naměříme, je-li \qv á částice ve stavu popsaném <br />
funkcí $g$?}<br />
<br />
Částečná odpověď na tuto otázku byla poskytnuta již v~sekci \ref{pozorovatelne}. V~principu můžeme naměřit libovolnou hodnotu, která leží <br />
ve spektru operátoru, odpovídajícího dané veličině. Otázkou však je, která z~nich to bude. Bornův postulát dává tušit, že odpověď na druhou <br />
otázku nemusí být jednoznačná, neboť pro měření polohy dostáváme pouze statistickou předpověď.<br />
<br />
V~minulých kapitolách jsme provedli popis stavů kvantové částice pomocí vlnové funkce. To však neznamená, že jsme schopni v~daném čase určit <br />
hodnoty všech pozorovatelných jako v~klasické mechanice. Jediné pozorovatelné, jejichž hodnoty jsme schopni pro daný stav určit, jsou zatím <br />
ty, které jsme použili k~popisu stavu. V~minulé kapitole to byly například energie, kvadrát momentu hybnosti a jeho třetí složka. To ovšem <br />
nedává žádnou informaci například o~hybnosti kvantové částice, ba dokonce ani o~první a druhé složce momentu hybnosti. Jedinou další <br />
fyzikálně interpretovatelnou informací, kterou zatím o~daném stavu máme, je \emph{pravděpodobnostní rozdělení polohy} částice. O~něm nás <br />
informuje Bornův postulát.<br />
<br />
Z~pravděpodobnostního rozdělení polohy jsme samozřejmě schopni určit i \emph{střední hodnotu polohy částice ve stavu $\psi$}:<br />
\be<br />
\mean{\hat X_j}{\psi} = \int_{\R^3}x_jw(\vex)\d^3x = \frac{\int_{\R^3}x_j|\psi(\vex)|^2\d^3x}{\int_{\R^3}|\psi(\vex)|^2\d^3x}.<br />
\ll{xbar}<br />
\ee<br />
<br />
\bc Spočtěte střední hodnoty složek polohy kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední hodnoty pozorovatelných a pravděpodobnosti přechodu}<br />
<br />
Pokud \qv á mechanika má být plnohodnotnou fyzikální teorií, pak pro systém v~daném stavu musí být schopna předpovědět výsledek měření nejen <br />
okamžité souřadnice částice, ale i ostatních fyzikálních veličin. Pokusíme se proto napřed najít předpis, kterým určíme střední hodnotu <br />
libovolné pozorovatelné v~daném stavu, a potom i předpis pro její pravděpodobnostní rozdělení.<br />
<br />
Pro určení předpisu pro střední hodnoty si napřed všimneme toho, že čitatel výrazu pro \rf{xbar} je možno zapsat způsobem <br />
\be<br />
\int_{\R^3}\psi^*(\vex)x_j\psi(\vex)\d^3x = \int_{\R^3}\psi^*(\vex)[\hat Q_j\psi](\vex)\d^3x = (\psi,\hat X_j\psi),<br />
\ll{psixpsi}<br />
\ee<br />
takže<br />
\be \mean{\hat X_j}{\psi} = \frac{(\psi,\hat Q_j\psi)}{(\psi,\psi)}. \ll{xavr} \ee<br />
Na druhé straně není důvodu, proč by měla mít poloha částice privilegované postavení mezi ostatními pozorovatelnými a je proto přirozené <br />
očekávat, že pro libovolnou pozorovatelnou se její střední hodnota bude počítat podle stejného předpisu. Experimenty tuto hypotézu plně <br />
potvrzují a skutečně platí že \textbf{je-li systém v~okamžiku měření ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi$, pak střední hodnota měření <br />
pozorovatelné $A$, které jsme přiřadili operátor $\hat A$ je}<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $\mean{\hat A}{\psi} = \frac{(\psi,\hat A\psi)}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{aavr}<br />
\ee<br />
Pro normalizované vlnové \fc e se tento vztah zjednoduší na $\mean{\hat A}{\psi}=(\psi,\hat A\psi)$.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice popsané vlnovou \fc í \rf{mvb}. Napište tvar vlnové \fc e popisující minimální <br />
vlnový balík se střední hodnotou hybnosti $\vec p_0$, který má v~čase $t_0$ střední hodnotu polohy $\vex_0$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočtěte střední hodnoty složek hybnosti kvantové částice v~Coulombově poli s~energií $-MQ^2/2\hbar^2$ a nulovým momentem hybnosti <br />
(elektron v~atomu vodíku ve stavu 1s).<br />
\ec<br />
\bc<br />
Spočítejte střední hodnotu energie jednorozměrného harmonického oscilátoru v~koherentním stavu $\rho_{\lambda}$ \rf{kohstav}.<br />
\ec<br />
<br />
Všimněme si, že předpis \rf{aavr} je ve shodě nejen s~Bornovým postulátem, ale i s~popisem stavu pomocí vlastních \fc í kompatibilních <br />
pozorovatelných. Skutečně, je-li $A$ jedna z~pozorovatelných, jež byly použity k~určení stavu a vlnová \fc e $\alpha$ je vlastní \fc í <br />
$\hat A$ pro vlastní hodnotu $a$, pak $\mean{\hat A}{\alpha} = a$.<br />
<br />
Kvantová \mi ka je však schopna poskytnout ještě detailnější informaci o~výsledku měření pro částici v~daném stavu. Podle Bornova postulátu<br />
jsme schopni určit pravděpodobnost, že poloha částice bude v~jistém intervalu hodnot. Podobnou pravděpodobnost můžeme určit i pro ostatní <br />
pozorovatelné.<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že, jak už bylo řečeno, \qv á \mi ka má popisovat objekty na atomární a nižší úrovni, je rozumné předpokládat, že měření <br />
provedené na takovýchto objektech podstatným způsobem změní jejich stav. Dalším postulátem \qv é \mi ky je, že \textbf{měření pozorovatelné <br />
$A$, které dá hodnotu $a$, převede \qv ou \cc i do stavu, který je popsán vlastní funkcí $\alpha$ operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$.}<br />
<br />
Předpokládejme zatím, že pro dané $a$ je takový stav jen jeden, tzn.~vlastní funkce je určena jednoznačně až na multiplikativní konstantu, <br />
kterou zvolíme tak, aby $(\alpha,\alpha) = 1$. Chceme-li určit pravděpodobnost naměření hodnoty $a$ pro \cc i popsanou vlnovou \fc í <br />
$\psi$, stačí budeme-li znát \textbf{pravděpodobnost přechodu \qv é \cc e z~původního stavu $\psi$ do stavu $\alpha$.} Kvantová mechanika<br />
postuluje, že tato pravděpodobnost je rovna<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi\to\alpha} = \frac{|(\psi,\alpha)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstprech}<br />
\ee<br />
Veličina $\displaystyle A_{\psi\to\alpha} :=\frac{(\psi,\alpha)}{\sqrt{(\psi,\psi)}}$ se nazývá \emph{amplitudou \pst i přechodu $\psi\to\alpha$}.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť \uv{jednorozměrná} částice v~potenciálu harmonického oscilátoru je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-x^2 + ikx}. \ll{tstfce} \ee<br />
S~jakou pravděpodobností naměříme hodnoty její energie rovné $\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Výraz \rf{pstprech} je možno použít i k~určení \pst i naměření hodnoty $a$ pozorovatelné $A$, jejíž vlastní podprostor má více rozměrů. Pokud <br />
množina $\{\alpha_k\}$ je ortonormální bazí v~prostoru vlastních stavů operátoru $\hat A$ s~vlastní hodnotou $a$, pak \textbf{pro \cc i ve <br />
stavu $\psi$ je \pst, že při měření pozorovatelné $A$ dostaneme hodnotu $a$, součtem pravděpodobností přechodů ze stavu $\psi$ do stavů <br />
$\alpha_k$}, tj.<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A=a)} = \sum_k\frac{|(\alpha_k,\psi)|^2}{(\psi,\psi)}$}} \ .<br />
\ll{pstnamer}<br />
\ee<br />
Je zřejmé, že vynásobení vlnové funkce $\psi$ konstantou neovlivní \pst i \rf{pstprech} a \rf{pstnamer}, což je ve shodě s~předpokladem, že <br />
vlnové funkce lišící se multiplikativní konstantou popisují tentýž fyzikální stav.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = (4\pi)^{-1/2} (e^{i\phi}\sin\theta+\cos\theta )g(r)\ee<br />
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s~jakou \pst í? Jaká je střední hodnota $L_z$ v~tomto stavu?<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nechť částice s~hmotou $M$ v~potenciálu harmonického oscilátoru s~vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou \fc í<br />
\be \psi(x) = C e^{-\vex^2 + i\vec k\cdot\vex}. \ll{cvic3}\ee<br />
S~jakou \pst í naměříme hodnoty její energie rovné $\frac{5}{2}\hbar\omega$?<br />
\ec<br />
<br />
Nejsme-li z~nějakých, například experimentálních, důvodů schopni rozlišit mezi dvěma či více různými vlastními hodnotami, pak \pst{} naměření <br />
alespoň jedné z~nich je opět dána vzorcem \rf{pstnamer} s~tím, že suma probíhá přes všechny vlastní \fc e příslušné daným vlastním hodnotám. <br />
Tento fakt nabývá na významu zejména tehdy, když nějaká část spektra pokrývá souvislý interval hodnot.<br />
<br />
Jsou-li body spektra (tj.~hodnoty fyzikální veličiny), mezi kterými nejsme schopni experimentálně rozlišit, v~intervalu $(x,y)$, což se stává <br />
zejména pro spojitou část spektra, pak zobecnění vzorce \rf{pstnamer} na tento případ dá \pst{} naměření hodnoty pozorovatelné $A$ v~intervalu <br />
$(x,y)$<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE $W_{\psi,(A\in(x,y))} = \frac{\int_x^y|(\alpha_a,\psi)|^2\d a}{(\psi,\psi)}$}}\ ,<br />
\ll{pstnamersp}<br />
\ee<br />
kde $\alpha_a$ jsou zobecněné vlastní \fc e normalizované k~$\delta$-funkci. Všimněme si, že tento vzorec je zobecněním Bornova postulátu, neboť <br />
v~tom případě $\alpha_a=\delta_a$. Podobně jej lze použít i pro nalezení pravděpodobnosti hybnosti. V~tom případě je třeba za $\alpha_a$ zvolit <br />
$\delta$-normalizované zobecněné vlastní funkce hybnosti<br />
\be \phi_{\vec p}(\vex) = (2\pi\hbar)^{-3/2} \exp\left\{ i\frac{\vec p}{\hbar}\vex \right\}. \ee<br />
Odtud pak plyne, že amplituda hustoty \pst i nalezení \cc e s~hybností $\vec p$ je dána Fourierovým obrazem její stavové \fc e.<br />
<br />
\bc<br />
Určete pravděpodobnost nalezení hybnosti částice popsané vlnovou \fc í \rf{cvic3} v~intervalu $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times(a_3,b_3)$. Určete <br />
hustotu \pst i nalezení hybnosti v~okolí hodnoty $\vec p_0$.<br />
\ec<br />
<br />
Vzorec \rf{pstnamersp} platí pro případ, že pro každý bod $a\in(x,y)$ existuje právě jedna (zobecněná) vlastní \fc e normalizovaná k~jedničce či <br />
$\delta$-funkci. Obecnější případ zatím řešit nebudeme (vede na tzv.~spektrální míru operátoru $\hat A$). Uveďme pouze, že například \pst{} <br />
naměření hodnoty energie částice v~Coulombově poli v~intervalu $(E_1,E_2)\subset\R_+$ je dána součtem integrálů<br />
\be<br />
W_{\psi,(E\in(E_1,E_2))} <br />
= \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left[\int_{-k_2}^{-k_1}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}%\sprod{\alpha}{\alpha}}<br />
+ \int_{k_1}^{k_2}\d k \frac{|(\phi_{klm},\psi)|^2}{(\psi,\psi)}\right],<br />
\ee<br />
kde $k_i=\sqrt{\frac{2ME_i}{\hbar^2}}$, $ \phi_{klm}= R_{kl}Y_{lm} $ a $Y_{lm}, R_{kl}$ jsou \fc e \rf{ylm}, \rf{zovlfcecoul} normalizované k~jedničce, <br />
resp.~k~$\delta$-funkci.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední kvadratická odchylka a relace neurčitosti}<br />
\ll{relneu}<br />
Důležitá \pst ní a experimentálně měřitelná veličina je \emph{střední kvadratická odchylka pozorovatelné $A$ při měření na stavu $\psi$}. <br />
V~\qv é \mi ce je definována způsobem<br />
\be \triangle_{\psi}(A) := \sqrt{\mean{\hat A^2 - \mean{\hat A}{\psi}^2}{\psi}}. \ll{deltaapsi} \ee<br />
Je snadné ukázat, že<br />
\be \left(\triangle_{\psi}(A)\right)^2 = \mean{(\widehat{\triangle_\psi A})^2}{\psi} = \mean{(\hat A - \mean{\hat A}{\psi})^2}{\psi}, \ll{dlt2} \ee<br />
kde $\widehat{\triangle_\psi A}$ je lineární operátor<br />
\be \widehat{\triangle_\psi A}{\phi} = (\hat A - \mean{\hat A}{\psi})\phi \ll{deltaa} \ee<br />
a odtud okamžitě plyne, že pokud $\psi$ je vlastním stavem pozorovatelné $A$, pak $\Delta_{\psi}(A)=0$.<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že pokud $\hat A$ je samosdružený operátor, pak výraz pod odmocninou \rf{deltaapsi} je nezáporný pro libovolné $\psi\in D_A$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
\ll{dpx}<br />
Spočtěte střední kvadratické odchylky složek polohy a hybnosti kvantové částice při měření na stavu popsaném vlnovou \fc í \rf{mvb}. <br />
Ukažte, že pro tento stav platí<br />
\be \triangle_{\psi}(X_{\underline k})\triangle_{\psi}(P_{\underline k}) = \hbar/2. \ll{dxdp} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Vztah \rf{dxdp} je zvláštním případem tvrzení, kterému se obvykle, říká \emph{relace neurčitosti}.<br />
<br />
\bt \ll{tvrelneu}Pro každé dva samosdružené operátory $\hat A,\hat B$<br />
a $\psi \in D(AB)\cap D(BA)$ platí<br />
\be \triangle_{\psi}(A)\triangle_{\psi}(B)\geq\half|\mean{[\hat A,\hat B]}{\psi}|<br />
\ll{dadb}\ee<br />
<br />
Rovnost ve vztahu \rf{dadb} nastává pro vlnové funkce, pro které<br />
platí<br />
\be [\hat A - \mean{\hat A}{\psi} - i\kappa(\hat B - \mean{\hat B}{\psi})]\psi = 0, \ll{rovnost} \ee<br />
kde $\kappa\in\R$.<br />
\et<br />
<br />
Pro operátory \rf{xoper}, \rf{poper} platí<br />
\be [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}, \ll{comxp} \ee<br />
takže podle tvrzení \ref{tvrelneu} pro každé $\psi\in D(X_jP_k)\cap D(P_kX_j)$ platí relace neurčitosti<br />
\be<br />
\fbox{{\LARGE$\triangle_{\psi}(X_j)\triangle_{\psi}(P_k) \geq\frac{\hbar}{2}\delta_{jk}$}} \ .<br />
\ll{dxdp2}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že podmínka \rf{rovnost} pro operátory $\hat A =\hat X_j,\hat B= \hat P_j$ dává integrodiferenciální rovnice, jejchž jedinými řešeními <br />
jsou funkce %(\rf{mvb})<br />
\[ g(\vex) = C \exp \left\{ -Ax^2+\vec B\cdot\vex \right\}, \qquad A>0, \]<br />
které jsme nazvali minimální vlnové balíky.<br />
\ec<br />
<br />
Z~relací neurčitosti mezi polohou a hybností plyne, že v~principu nejsme schopni současně provést měření polohy a hybnosti \cc e s~libovolnou <br />
přesností. Znamená to tedy, že v~rozporu s~představami klasické mechaniky, \cc i nelze přiřadit bod ve fázovém prostoru, nýbrž, že kvantovou <br />
částici si ve fázovém prostoru lze představit jako jistou rozmazanou oblast objemu<br />
\[ \triangle x\triangle p_x\triangle y\triangle p_y\triangle z\triangle p_z \geq \hbar^3/8. \]<br />
<br />
Pro úlohy v~makrosvětě, které řeší klasická mechanika jsou však tyto úvahy zcela irelevantní: Např.~pro částice s~hmotou $\geq 10$ mg, <br />
jejichž polohu jsme schopni určit s~přesností $\leq 10\ \mu$m, relace neurčitosti říkají, že rychlost částice nelze určit s~chybou <br />
menší než $10^{-22}$ m/s, což je experimentálně nedosažitelná přesnost.<br />
<br />
V~mikrosvětě však relace neurčitosti hrají důležitou roli. Hmota elektronu je cca.~$10^{-27}$ g a je-li nepřesnost měření polohy menší než <br />
lineární rozměr atomu, což je řádově $10^{-8}$ cm, pak nepřesnost měření jeho rychlosti je větší než $10^{8}$ cm/s, což je srovnatelné <br />
s~klasickou rychlostí elektronu v~atomu. Není tedy divu, že pro popis elektronů v~atomovém obalu nelze použít klasickou \mi ku.</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola3&diff=523502KVAN:Kapitola32014-02-03T16:54:44Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Popis stavů \qv é \cc e}<br />
\ll{Popisstavu}<br />
<br />
\sv a \rc e má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního <br />
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, <br />
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a <br />
\qv é mechanice.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stavový prostor}<br />
\ll{stavprost}<br />
<br />
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných <br />
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}<br />
<br />
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno <br />
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje <br />
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří <br />
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.<br />
<br />
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas <br />
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)<br />
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee<br />
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d\vex$, ve fyzice obvykle značíme $\d^3x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné <br />
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí<br />
\be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee<br />
kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.<br />
\ll{ex:pstvodat}<br />
\ec<br />
<br />
Díky Minkowského nerovnosti<br />
\[<br />
\left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} <br />
\leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},<br />
\]<br />
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{<br />
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, <br />
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}<br />
<br />
\bc<br />
Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?<br />
\ll{ex:hilbspvb}<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?<br />
\ec<br />
<br />
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou <br />
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, <br />
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}<br />
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). <br />
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.<br />
{\small<br />
\bd<br />
\textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení <br />
$F:V\times V\rightarrow \C$ splňující<br />
\[<br />
F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\<br />
F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),<br />
\]<br />
\[<br />
F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),<br />
\]<br />
kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem<br />
\be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí<br />
\be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g) \ll{ss2} \ee<br />
\ed<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.<br />
\ll{symfor}<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí<br />
\be F(f,f) \geq 0. \ee<br />
Pokud navíc<br />
\be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee<br />
pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep<br />
<br />
\bt<br />
Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}<br />
\be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee<br />
Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že<br />
\be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$<br />
\be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee<br />
Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního <br />
čísla plyne $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).<br />
<br />
Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak <br />
dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti<br />
\[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]<br />
pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost <br />
platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
} %konec prostředí \small<br />
<br />
\bd <br />
Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární <br />
vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp <br />
Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem<br />
\be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee<br />
\ep<br />
<br />
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru <br />
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$<br />
<br />
\bd <br />
Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.<br />
\ed<br />
<br />
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep<br />
<br />
{\small<br />
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na <br />
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle <br />
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).<br />
}%small<br />
<br />
\bp<br />
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem<br />
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]<br />
je Hilbertův.<br />
\ep<br />
<br />
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry <br />
nula. Můžeme tedy shrnout, že \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.<br />
<br />
\bt [Rieszovo lemma]<br />
Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí<br />
\[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]<br />
\et<br />
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:<br />
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.<br />
<br />
\vskip 1cm <br />
<br />
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze (často ne zcela správně nazývaná <br />
ortogonální báze).<br />
{\small<br />
\bd<br />
Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme<br />
\textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme <br />
ji \textbf{ortonormální}.<br />
\ed<br />
\bd<br />
Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů<br />
nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.<br />
\ed<br />
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.<br />
\bt<br />
Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že <br />
$x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).<br />
\et<br />
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.<br />
}%small<br />
\bd<br />
\textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.<br />
\ed<br />
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární <br />
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální <br />
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.<br />
\bp<br />
Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme <br />
skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.<br />
\ed<br />
<br />
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^3$. V~takovýchto <br />
prostorech platí pro každé $f\in\Hil$<br />
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee<br />
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee<br />
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}<br />
<br />
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.<br />
<br />
\bc<br />
Najděte ortonormální bázi v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice<br />
\[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]<br />
\ec<br />
<br />
Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}<br />
\ll{pozorovatelne}<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, <br />
momentu hybnosti,...).<br />
<br />
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda <br />
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné <br />
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím <br />
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie <br />
stavu $(\vec p,\vec q)$ je<br />
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]<br />
a její spektrum je $\Rp$.<br />
<br />
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná <br />
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických <br />
pojmů v~kvantové mechanice.}%small<br />
<br />
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno <br />
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným <br />
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů <br />
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru <br />
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným <br />
experimentálním ověřováním teorie.<br />
<br />
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je <br />
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee<br />
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}<br />
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee<br />
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.<br />
<br />
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně <br />
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.<br />
<br />
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, <br />
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém<br />
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je<br />
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]<br />
kde $\lapl=\sum_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.<br />
<br />
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, <br />
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich <br />
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a <br />
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další<br />
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, <br />
které lze pro danou veličinu naměřit}.<br />
<br />
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.<br />
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.<br />
\bc<br />
\ll{nekpoja}<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě}, <br />
tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.<br />
\ec<br />
\bc<br />
Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu <br />
$V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.<br />
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}<br />
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. <br />
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.<br />
<br />
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá<br />
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických <br />
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$, <br />
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.<br />
<br />
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.<br />
<br />
\bd<br />
Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí<br />
\[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]<br />
\ed<br />
<br />
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze <br />
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.<br />
<br />
\bp<br />
Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce <br />
je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}<br />
\[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]<br />
je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.<br />
\ep<br />
<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna <br />
$f,g\in\Hil$<br />
\[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]<br />
\ed<br />
<br />
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí <br />
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee<br />
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí<br />
\be<br />
(a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger . <br />
\ll{algop}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá <br />
operátoru $\hat{M}^\dagger$?<br />
\ec<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.<br />
\ed<br />
<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný<br />
\[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]<br />
je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)<br />
\ep<br />
<br />
\bt<br />
Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje <br />
$\hat{E}^2 = \hat{E}$.<br />
\et<br />
<br />
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich <br />
definice vychází z~následujícího faktu:<br />
<br />
\bt<br />
Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že <br />
pro všechna $g\in\df\hat T$ platí<br />
\be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee<br />
\et<br />
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:<br />
\bd<br />
Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina <br />
všech $f\in\Hil$, pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$<br />
\ed<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.<br />
\ed<br />
<br />
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.<br />
<br />
\bd<br />
Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $, <br />
tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.<br />
\ed<br />
<br />
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.<br />
\bp<br />
Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ <br />
je samosdružený.<br />
\ep<br />
<br />
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené <br />
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).<br />
<br />
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě <br />
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.<br />
<br />
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.<br />
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně<br />
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.<br />
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic<br />
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]<br />
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},<br />
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.<br />
%\ed<br />
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří<br />
%celá komplexní rovina.<br />
\bd<br />
\textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného<br />
operátoru} Buď $\unit$ identický operátor. $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.<br />
\ed<br />
<br />
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že <br />
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel<br />
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor <br />
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.<br />
<br />
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí<br />
\bt<br />
Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.<br />
\et<br />
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.<br />
}<br />
<br />
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že <br />
ani pro \qv ou částici<br />
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a<br />
%hybnosti částice.<br />
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.<br />
<br />
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, <br />
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}<br />
\ll{qho}<br />
<br />
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického <br />
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. <br />
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence<br />
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{M}{2}\omega^2 \vex^2. \ll{lho3} \end{equation}<br />
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$ <br />
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující<br />
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}<br />
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.<br />
<br />
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů<br />
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]<br />
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]<br />
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru<br />
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}<br />
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar<br />
\begin{equation}<br />
(\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.<br />
\ll{rozkladH}<br />
\end{equation}<br />
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$<br />
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]<br />
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}<br />
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}<br />
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.<br />
<br />
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor<br />
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}<br />
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom <br />
rozměru (na přímce).<br />
<br />
\begin{tvr}<br />
\ll{slho}<br />
Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly <br />
\fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce <br />
\begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}<br />
kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}<br />
\begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}<br />
kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
%Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno<br />
Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální <br />
rovnice<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.<br />
\ll{eqlho1}<br />
\end{equation}<br />
Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické <br />
integrability je splněna jen pro<br />
\begin{equation}<br />
\lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).<br />
\ll{hokvan}<br />
\end{equation}<br />
Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0<br />
\ll{hobezr}<br />
\end{equation}<br />
kde $\displaystyle\Lambda := \frac{2\lambda}{\hbar\omega}$.<br />
<br />
Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,<br />
je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.<br />
\ll{rozphi}<br />
\end{equation}<br />
Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}. <br />
Zvolíme tedy ansatz<br />
\begin{equation}<br />
\phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)<br />
\ll{hoansatz}<br />
\end{equation}<br />
a budeme se zajímat o~řešení rovnice<br />
\begin{equation}<br />
u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u<br />
\ll{hermrce}<br />
\end{equation}<br />
která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.<br />
<br />
Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní <br />
funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady<br />
\begin{equation}<br />
u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+<br />
\ll{radau}<br />
\end{equation}<br />
Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$<br />
\[<br />
s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0<br />
\]<br />
\begin{equation}<br />
a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m<br />
\ll{rran}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení <br />
\rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem <br />
pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$ <br />
takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy a jen tehdy, když<br />
\be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee<br />
V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.<br />
<br />
Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1} <br />
má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.<br />
<br />
Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$<br />
\be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee<br />
jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem<br />
\be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee<br />
přičemž pro sudá či lichá $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.<br />
<br />
Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je<br />
\be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee<br />
\end{proof}<br />
\end{tvr}<br />
<br />
\bc<br />
Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem<br />
\be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee<br />
Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{cvvytvfce}<br />
Ukažte, že<br />
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]<br />
\ec<br />
<br />
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem <br />
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.<br />
<br />
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen <br />
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě <br />
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.<br />
<br />
\bc<br />
Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.<br />
\ec<br />
<br />
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce <br />
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}<br />
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly <br />
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.<br />
<br />
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).<br />
\bt<br />
\ll{tr38}<br />
Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}<br />
\begin{equation}<br />
\psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}<br />
\ll{nvlfcelho}<br />
\end{equation}<br />
je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.<br />
\et<br />
<br />
\bt<br />
\ll{tr39}<br />
Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky <br />
integrovatelných funkcí \qintspace.<br />
\et<br />
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$, <br />
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.<br />
<br />
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}). <br />
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se <br />
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega\hbar$.<br />
<br />
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na <br />
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například <br />
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí <br />
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto <br />
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním <br />
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.<br />
<br />
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.<br />
\bc<br />
Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že<br />
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]<br />
Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}<br />
\ll{Slmomhyb}<br />
<br />
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory <br />
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee<br />
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$<br />
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee<br />
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee<br />
<br />
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec<br />
<br />
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar<br />
\begin{eqnarray}<br />
\hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}+\sin\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\<br />
\hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}-\cos\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\<br />
\hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\phi}. \ll{lz}<br />
\end{eqnarray}<br />
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší <br />
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici<br />
\be -ih \frac{\pd}{\pd\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee<br />
Její řešení je<br />
\be<br />
\Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},<br />
\ee<br />
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi <br />
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit<br />
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]<br />
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}<br />
\be \lambda = m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee<br />
<br />
\bc <br />
\uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stav kvantového systému}<br />
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou <br />
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému <br />
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že <br />
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci <br />
elektronů).<br />
<br />
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} <br />
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést <br />
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu <br />
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}<br />
<br />
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému <br />
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:<br />
<br />
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí <br />
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}<br />
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a <br />
nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.<br />
\ec<br />
<br />
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, <br />
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou <br />
energií.<br />
<br />
\bc<br />
Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?<br />
\ec<br />
<br />
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější <br />
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl <br />
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska <br />
popisu stavu nepřípustné.<br />
<br />
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho <br />
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich <br />
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.<br />
<br />
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných <br />
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}<br />
<br />
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných <br />
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}<br />
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee<br />
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální báze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů <br />
$(\hat A_1\ldots,\hat A_K)$.<br />
<br />
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y <br />
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou <br />
nekompatibilní, neboť<br />
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee<br />
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti <br />
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?<br />
\ec<br />
<br />
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou <br />
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ <br />
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné <br />
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. <br />
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení <br />
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.<br />
<br />
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:<br />
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin<br />
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím <br />
\be \hat A_i g = \alpha_i g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee<br />
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}<br />
<br />
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} <br />
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.<br />
<br />
\bt<br />
Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bázi) tvoří úplný <br />
soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr <br />
podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.<br />
\end{proof}<br />
\et<br />
<br />
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících <br />
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od <br />
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.<br />
<br />
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to <br />
relativně snadno měřitelná veličina.<br />
<br />
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát <br />
momentu hybnosti a jedna jeho složka.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}<br />
\ll{ssec:csympot}<br />
<br />
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je <br />
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.<br />
<br />
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee<br />
kde<br />
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee<br />
<br />
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami <br />
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.<br />
<br />
\bc<br />
Spočítejte komutátory<br />
\be [\hat L_j,\hat X_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee<br />
kde<br />
\be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a<br />
\be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee<br />
\ec<br />
<br />
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.<br />
<br />
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar<br />
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\phi} \ll{lzsfer} \ee<br />
\be <br />
\hat L^2 <br />
= - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]<br />
\ll{lkvadsfer}<br />
\ee<br />
\be<br />
\hat H <br />
= - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)<br />
+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2} <br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right] <br />
+ \hat V(r)<br />
\ll{hsfer}<br />
\ee<br />
<br />
\bc<br />
S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.<br />
\ec<br />
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}<br />
\ll{ssmomhyb}<br />
<br />
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty <br />
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee<br />
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e <br />
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici <br />
\be <br />
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\phi^2}<br />
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)<br />
+ \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi<br />
= 0.<br />
\ll{pdrl2}<br />
\ee <br />
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole <br />
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru <br />
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee<br />
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.<br />
<br />
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici <br />
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee <br />
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je <br />
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$ <br />
v~tomto případě zní<br />
\[<br />
\int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz <br />
= \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\phi)}^2\dvol<br />
\]<br />
\be<br />
= 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \dvol<br />
= 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.<br />
\ll{kvadintss}<br />
\ee<br />
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná <br />
na $\langle -1,1 \rangle$.<br />
<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem<br />
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee<br />
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i<br />
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee<br />
kde<br />
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]<br />
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci<br />
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee<br />
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však <br />
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ <br />
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky<br />
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee<br />
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar<br />
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee<br />
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem<br />
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee<br />
<br />
\bc<br />
Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.<br />
\ec<br />
<br />
Funkce<br />
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee<br />
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly<br />
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí<br />
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]<br />
kde<br />
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee<br />
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times <br />
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina<br />
\be \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee<br />
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.<br />
<br />
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často <br />
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro <br />
$l=0,1,2,\ldots$<br />
<br />
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost <br />
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$<br />
\be \d w = w(\theta,\phi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 \d\Omega. \ee<br />
<br />
\bc<br />
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}<br />
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar<br />
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee<br />
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián <br />
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem<br />
\be <br />
\hat H <br />
= -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} <br />
+ \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right) <br />
- \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] <br />
+ \hat V(r).<br />
\ll{hsfer2}<br />
\ee<br />
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň <br />
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{eff}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee<br />
kde<br />
\be V_{\rm{eff}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee<br />
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na<br />
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee<br />
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ <br />
přejde na podmínku<br />
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee<br />
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku<br />
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee<br />
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž<br />
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).<br />
<br />
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. <br />
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace <br />
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.<br />
<br />
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}<br />
<br />
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice<br />
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee<br />
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee<br />
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.<br />
<br />
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly <br />
zapsat jako řadu<br />
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee<br />
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme<br />
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee<br />
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee<br />
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.<br />
<br />
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde<br />
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee<br />
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$<br />
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee<br />
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}<br />
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee<br />
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je<br />
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee<br />
<br />
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz <br />
\cite{baterd})<br />
\be<br />
\ll{rtoplusinf}<br />
F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
Pro $z\to -\infty\ $<br />
\be<br />
\ll{rtominusinf}<br />
F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].<br />
\ee<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}<br />
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních <br />
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií <br />
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru <br />
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee <br />
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného <br />
směru (směr osy $z$ není ničím určen).<br />
<br />
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde <br />
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici<br />
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee<br />
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} <br />
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme <br />
ansatz<br />
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee<br />
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}<br />
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee<br />
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku <br />
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce <br />
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není <br />
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné <br />
Laguerrovy polynomy}<br />
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee<br />
definované též způsobem<br />
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee<br />
<br />
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které <br />
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ <br />
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, <br />
\ll{resiho}<br />
\ee<br />
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako<br />
\be<br />
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), <br />
\ll{resiho2}<br />
\ee<br />
a zvolíme-li<br />
\be <br />
|K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}<br />
\ee<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.<br />
<br />
\bc <br />
Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními <br />
\fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.<br />
\ec<br />
<br />
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo <br />
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.<br />
<br />
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} <br />
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali <br />
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Coulombův potenciál}<br />
\ll{podkap:coulomb}<br />
<br />
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál<br />
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee<br />
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, <br />
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie <br />
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. <br />
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar<br />
\be <br />
-\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).<br />
\ll{rcekhicp}<br />
\ee<br />
Substitucí<br />
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee<br />
kde<br />
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee<br />
převedeme tuto rovnici na tvar<br />
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee<br />
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}<br />
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee<br />
Podmínka kvadratické integrability pak zní<br />
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee<br />
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}<br />
\be <br />
\fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .<br />
\ll{ecoul}<br />
\ee<br />
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta <br />
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro <br />
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. <br />
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e <br />
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í <br />
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$<br />
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee<br />
má tvar}<br />
\be<br />
\Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} \left(\frac{2r}{Na}\right) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},<br />
\ll{nlmcoul}<br />
\ee<br />
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou <br />
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety<br />
\be <br />
\ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right) Y_{lm}(\theta,\phi),<br />
\ll{nlmcoul1}<br />
\ee<br />
kde<br />
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]<br />
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je <br />
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.<br />
<br />
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec<br />
<br />
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec<br />
<br />
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii. <br />
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je<br />
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee<br />
<br />
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už <br />
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum <br />
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip <br />
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee <br />
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů <br />
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme <br />
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee <br />
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě <br />
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy <br />
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.<br />
<br />
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bázi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),<br />
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra<br />
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}<br />
\ll{posunovacioperatory}<br />
<br />
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem <br />
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\triangle\in\C$ pokud<br />
\be [\hat B,\hat A] = \triangle \hat A. \ll{posop} \ee<br />
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak <br />
ze \rf{posop} ihned plyne<br />
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\triangle) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee<br />
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\triangle$.<br />
<br />
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\triangle$, <br />
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\triangle^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený <br />
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že <br />
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.<br />
<br />
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}<br />
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie <br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee<br />
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou <br />
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee<br />
neboť<br />
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee<br />
Navíc platí<br />
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \unit. \ll{acoma} \ee<br />
<br />
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}<br />
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee<br />
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se <br />
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.<br />
<br />
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí<br />
\be<br />
\hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).<br />
\ee<br />
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.<br />
<br />
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho <br />
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit<br />
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee<br />
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar<br />
\be \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee<br />
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme<br />
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee<br />
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním <br />
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií <br />
\be<br />
\psi_n(\xi)<br />
= K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)<br />
= \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \<br />
K_n^{-1}<br />
=\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.<br />
\ll{ntylho}<br />
\ee<br />
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů <br />
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou <br />
kladné.<br />
<br />
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec<br />
<br />
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou <br />
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru<br />
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee<br />
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme<br />
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-\frac{(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2}{2}}. \ll{kohstav} \ee<br />
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Moment hybnosti}<br />
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, <br />
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory<br />
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee<br />
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace<br />
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee<br />
a přechodem do sférických souřadnic<br />
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee<br />
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee<br />
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha} <br />
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.<br />
<br />
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec<br />
<br />
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec<br />
<br />
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ <br />
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant <br />
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.<br />
<br />
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec<br />
<br />
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}<br />
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{\cdot}$ a \uv{bra} $\bra{\cdot}$, což obecně není nic jiného než označení prvků <br />
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, <br />
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je<br />
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]<br />
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in $\qintline<br />
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]<br />
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bázi <br />
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar<br />
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee<br />
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \unit$.<br />
<br />
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy<br />
\be<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m<br />
\qquad \mathrm{a} \qquad<br />
\hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,<br />
\ee<br />
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů<br />
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]<br />
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar<br />
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee<br />
<br />
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem<br />
\be<br />
\hat O f \equiv \hat O |f\rangle <br />
= \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f} <br />
= \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},<br />
\ee<br />
kde<br />
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat{O}\psi_m). \ee<br />
<br />
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec<br />
<br />
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického <br />
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}<br />
\ll{zobvlf}<br />
<br />
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled <br />
jednoduchý. Podmínka<br />
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee<br />
dává diferenciální rovnice<br />
\be -i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi \ \ j=1,2,3, \ee<br />
které mají řešení<br />
\be \phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i\vec{p}\cdot\vex}{\hbar}}, \ll{zvfoh} \ee<br />
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné <br />
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. <br />
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří<br />
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.<br />
<br />
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra <br />
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, <br />
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi <br />
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.<br />
<br />
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor} $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce} $f$, pro něž platí: $f\in$ \qintspace{} <br />
a<br />
\be<br />
\norm{f}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty<br />
\ll{prryubfci}<br />
\ee<br />
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathcal{S}(\R^3)$ je, že Fourierova transformace<br />
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)\d^3x \ll{Fourier}\ee <br />
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar<br />
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)\d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee<br />
odkud snadno dostaneme, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{FfFg}<br />
(\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Pro $f\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na <br />
$\mathscr S(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.<br />
\be<br />
\ll{psip}<br />
\Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)\d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),<br />
\ee<br />
\be<br />
\ll{invft}<br />
(f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),<br />
\ee<br />
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro <br />
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar<br />
\be<br />
(\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\quad \forall f\in\mathscr S(\R^3)<br />
\ll{rceprophip}<br />
\ee<br />
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. <br />
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou <br />
hybností.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť<br />
\[<br />
\phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. <br />
\]<br />
Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$<br />
\ec<br />
<br />
<br />
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice<br />
\[<br />
\hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3<br />
\]<br />
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení <br />
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze <br />
použít tzv.~centrovaná $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:<br />
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee<br />
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee<br />
<br />
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze <br />
obě podmínky splnit.<br />
\bp<br />
Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť<br />
\[<br />
f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}<br />
\]<br />
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\<br />
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně <br />
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.<br />
\ep<br />
<br />
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathscr S(\R^N)$. <br />
Uvedeme pouze, že v~této teorii je jednorozměrná $\delta$--\fc e prvkem prostoru $\mathscr S'(\R)$, jedná se tedy o \fc ionál $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathscr S(\R)$ definovaný ve<br />
shodě s~\rf{dcond2} způsobem <br />
\be<br />
\int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).<br />
\ee<br />
Rovnost<br />
\[<br />
x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)<br />
\]<br />
pak znamená<br />
\be<br />
(\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathscr S(\R^3),<br />
\ee<br />
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je<br />
\be<br />
\delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)<br />
\ll{zvfop}<br />
\ee<br />
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.<br />
<br />
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem ukázat, že<br />
\be<br />
\int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),<br />
\ee<br />
tj.<br />
\be<br />
\mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}<br />
\ll{fourfip}<br />
\ee<br />
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$<br />
\be<br />
(\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').<br />
\ll{dnormp}<br />
\ee<br />
Podobně i pro \rf{zvfop} platí<br />
\be<br />
(\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').<br />
\ll{dnormx}<br />
\ee<br />
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.<br />
<br />
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh}, <br />
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad<br />
\braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad<br />
\braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),<br />
\]<br />
\[<br />
\braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad<br />
\braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)<br />
\]<br />
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}<br />
\[<br />
\ket{\psi} = \int_{\R^3}\d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}\d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.<br />
\]<br />
<br />
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice <br />
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice <br />
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e<br />
\be<br />
\psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},<br />
\ee<br />
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a<br />
\be<br />
R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)<br />
\ll{zovlfcecoul}.<br />
\ee<br />
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí<br />
\[<br />
\int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr<br />
\]<br />
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee<br />
kde $K_{kl}$ je konstanta.<br />
<br />
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. <br />
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.<br />
<br />
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Kapitola2&diff=523402KVAN:Kapitola22014-02-03T16:53:42Z<p>Nguyebin: drobné formální úpravy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\section{Zrod \qv é mechaniky}<br />
\ll{ZrodQM}<br />
<br />
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a<br />
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou <br />
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a <br />
magnetická intenzita, teplota, objem atd.<br />
<br />
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální <br />
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých <br />
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že <br />
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika <br />
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}<br />
<br />
\bc<br />
Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište <br />
rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?<br />
\ec<br />
<br />
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty <br />
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. <br />
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.<br />
<br />
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné <br />
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím, <br />
které jsou v~rozporu s~pozorováními.<br />
<br />
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo <br />
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od <br />
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly <br />
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}<br />
<br />
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi <br />
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se <br />
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující <br />
se po nějaké dráze.<br />
<br />
\bc<br />
Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze <br />
o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).<br />
\ec<br />
<br />
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt <br />
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i <br />
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.<br />
<br />
<br />
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}<br />
<br />
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost <br />
na frekvenci záření a teplotě tělesa.<br />
<br />
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou <br />
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené <br />
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.<br />
<br />
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem <br />
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vex,t), \vec B(\vex,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů<br />
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\pd \vec{E}}{\pd t}=0, \ll{ml1} \ee<br />
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\pd \vec{B}}{\pd t}=0 \ll{ml2} \ee<br />
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz <br />
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.<br />
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee<br />
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto <br />
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.<br />
<br />
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické <br />
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem <br />
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\pd \vec{A'}}{\pd t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee<br />
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují <br />
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.<br />
<br />
Kalibrační transformace<br />
\be \phi(\vex,t) = \phi'(\vex,t)-\frac{\pd\lambda}{\pd t}(\vex,t) \ee<br />
\be \vec A(\vex,t) = \vec A'(\vex,t) + \grad \lambda(\vex,t), \ee<br />
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice<br />
\be \frac{\pd \lambda}{\pd t}=\phi' \ee<br />
\be \lapl \lambda = -\div \vec A' \ee<br />
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách<br />
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee<br />
<br />
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a<br />
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.<br />
<br />
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz <br />
např.~\cite{uhl:uvaf})<br />
<br />
\be A_1(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right) \sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four1} \ee<br />
\be A_2(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four2}\ee<br />
\be A_3(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right). \ll{Four3}\ee<br />
<br />
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují<br />
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]<br />
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou <br />
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$. <br />
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí $\sin\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$, zatímco rozklad sudé <br />
funkce pomocí funkcí $\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka<br />
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]<br />
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí <br />
$\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.<br />
<br />
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci<br />
\be \frac{1}{c^2}\frac{\pd^2}{\pd t^2}A_i-\lapl A_i=0, \ll{vlnrce} \ee<br />
které dostaneme z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice <br />
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e<br />
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee<br />
kde<br />
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee<br />
a $c$ je rychlost světla.<br />
<br />
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar<br />
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee<br />
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující <br />
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.<br />
<br />
\bc<br />
Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vex,t)$ a $\vec B(\vex,t)$.<br />
\ec<br />
<br />
Energie elektromagnetického pole<br />
\[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]<br />
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar<br />
\be <br />
\mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2). <br />
\ll{ergempole}<br />
\ee<br />
<br />
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických <br />
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.<br />
<br />
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii <br />
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že <br />
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami statistické fyziky.<br />
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí <br />
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou <br />
statistikou s~rozdělovací funkcí<br />
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee<br />
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou<br />
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]<br />
<br />
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi<br />
$\nu = \frac{\omega_{\vec{m}}}{2\pi} = \frac{c\norm{\vec{m}}}{2L}$<br />
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]<br />
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet <br />
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.<br />
<br />
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů <br />
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ <br />
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2L\d\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi <br />
v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy<br />
\be <br />
\d\bar{\mathcal{E}} <br />
= 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 \d m <br />
= \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 \d\nu<br />
= V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \d\nu, \ll{pocetstavu} \ee<br />
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je<br />
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee<br />
<br />
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot <br />
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je<br />
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]<br />
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$<br />
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee<br />
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je<br />
\[ \rho(\nu,T)\d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \d\nu \]<br />
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková <br />
hustota energie elektromagnetického pole<br />
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)\d\nu \ll{heemp}\ee<br />
diverguje.}<br />
<br />
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec<br />
<br />
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee<br />
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).<br />
<br />
\begin {figure}[hbtp]<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}<br />
\caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\bc <br />
Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou <br />
(Wienův posunovací zákon)?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě <br />
Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti <br />
maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro <br />
danou teplotu.<br />
\ec<br />
<br />
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):<br />
<br />
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat <br />
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.<br />
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}<br />
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]<br />
<br />
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a <br />
energií $E_n$ je<br />
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]<br />
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady<br />
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]<br />
<br />
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak<br />
\[ <br />
\overline{\epsilon(\nu,T)} <br />
= \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n<br />
= A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} <br />
= A^{-1}\left[-\frac{\pd A}{\pd(\frac{1}{kt})}\right]<br />
= \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. <br />
\]<br />
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin <br />
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož <br />
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.<br />
<br />
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost<br />
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.<br />
\[<br />
\epsilon(T)<br />
= \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}\d\nu<br />
= \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\dx<br />
= \kappa T^4, <br />
\]<br />
kde<br />
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]<br />
<br />
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru <br />
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.<br />
<br />
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou <br />
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.<br />
<br />
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919 <br />
(viz \cite{uhl:uvaf}).<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Fotoefekt}<br />
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise <br />
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.<br />
<br />
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do <br />
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj <br />
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.<br />
<br />
\begin{figure}[hbtp]<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1mm<br />
\linethickness{0.4pt}<br />
\begin{picture}(105.00,85.00)<br />
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)<br />
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}<br />
%\end<br />
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}<br />
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)<br />
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)<br />
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)<br />
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)<br />
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)<br />
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)<br />
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)<br />
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)<br />
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)<br />
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)<br />
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)<br />
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)<br />
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)<br />
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}<br />
%\end<br />
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}<br />
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)<br />
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)<br />
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}<br />
%\end<br />
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)<br />
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)<br />
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)<br />
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)<br />
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}<br />
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}<br />
%\end<br />
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}<br />
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}<br />
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}<br />
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného <br />
záření je lineární.<br />
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]<br />
<br />
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že <br />
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou<br />
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\uv{\emph{...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without <br />
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.}}) Kinetická energie emitovaného elektronu je<br />
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee<br />
<br />
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází <br />
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají <br />
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie <br />
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.<br />
<br />
\bc<br />
Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka <br />
pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Comptonův rozptyl}<br />
<br />
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle <br />
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož <br />
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.<br />
<br />
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce <br />
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou <br />
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii <br />
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření<br />
\be (\triangle\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee<br />
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou <br />
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}<br />
<br />
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz <br />
obr.~\ref{fig:compton}).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
<br />
%TexCad Options<br />
%\grade{\on}<br />
%\emlines{\off}<br />
%\beziermacro{\off}<br />
%\reduce{\on}<br />
%\snapping{\on}<br />
%\quality{2.00}<br />
%\graddiff{0.01}<br />
%\snapasp{1}<br />
%\zoom{1.00}<br />
\unitlength 1.00mm<br />
\linethickness{0.2pt}<br />
\begin{picture}(90.00,50.00)<br />
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)<br />
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}<br />
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)<br />
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}<br />
%\end<br />
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)<br />
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}<br />
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}<br />
%\end<br />
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}<br />
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}<br />
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}<br />
\end{picture}<br />
<br />
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}<br />
\end{figure}<br />
<br />
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\uv{\emph{... when an X-ray quantum <br />
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron.}}), při které se celková energie a hybnost zachovává.<br />
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee<br />
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee<br />
kde<br />
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]<br />
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]<br />
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne<br />
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]<br />
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]<br />
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee<br />
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.<br />
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.<br />
<br />
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$, <br />
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na<br />
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee<br />
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však <br />
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.<br />
<br />
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je <br />
nepřímo úměrná vlnové délce záření $\norm{\vec{p}} = h/\lambda$.<br />
<br />
\bc<br />
Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace<br />
\[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]<br />
v~klidu?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Shrnutí}<br />
<br />
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.<br />
\item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit <br />
pouze o~konečné přírustky.<br />
\end{enumerate}<br />
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a <br />
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických<br />
fyzikálních systémů.<br />
<br />
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.<br />
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme <br />
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.} <br />
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}<br />
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter <br />
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující <br />
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.<br />
<br />
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech <br />
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo <br />
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba <br />
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu <br />
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice, <br />
přesněji funkci}<br />
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vex,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vex-Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee<br />
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.<br />
<br />
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové <br />
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na <br />
krystalech.<br />
<br />
\bc<br />
Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$ <br />
pohybující se rychlostí zvuku.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech <br />
$1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností <br />
atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?<br />
\ec<br />
<br />
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{\,2}c^2+m^2c^4}$ <br />
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která <br />
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese <br />
jeho jméno.<br />
<br />
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují <br />
disperzní relace, a použít identity<br />
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\pd}{\pd x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\pd}{\pd t} \psi \ll{imps} \ee<br />
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu<br />
\be <br />
\frac{\pd\psi}{\pd t} <br />
= -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi <br />
= -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3\left(-\hbar^2\frac{\pd^2}{\pd x_j^2}\right) \psi.<br />
\ll{srvolna}<br />
\ee<br />
<br />
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice<br />
\be \frac{\pd\psi}{\pd t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee<br />
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci <br />
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru<br />
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\lapl\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee<br />
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e<br />
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\lapl+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee<br />
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)<br />
<br />
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není <br />
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice <br />
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem<br />
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}\left( \vec{p}\cdot\vex-\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}t\right)}\d^3p. \ll{vlnbalik} \ee<br />
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou <br />
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti, <br />
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.<br />
<br />
\bc<br />
Nechť $V(\vex)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar<br />
\be g(\vex)=C\exp \left\{ -A\vex^{\,2}+\vec B\vex \right\} \ll{mvb}\ee<br />
Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y<br />
\rc e $\psi(\vex,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vex)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vex,t_0)=g(\vex),$<br />
%(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),<br />
kde $\Re A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.<br />
\ll{ex:vlnbal}<br />
\ec<br />
<br />
\bc <br />
Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že<br />
\[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}\left(zt+\frac{gt^3}{6}\right) \right\} \, \psi\left(x,y,z+\frac{gt^2}{2},t\right) \]<br />
je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?<br />
\ec<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}<br />
<br />
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich<br />
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.<br />
<br />
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální <br />
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním <br />
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.<br />
<br />
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho <br />
statistická interpretace (Max Born, 1926):<br />
<br />
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y <br />
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice <br />
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}<br />
<br />
\bc<br />
Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?<br />
\ec<br />
<br />
\bc<br />
\ll{casvmvb}<br />
Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení<br />
\be \psi(\vex,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{\left(\vex-\frac{\vec B}{2A}\right)^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee<br />
\[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]<br />
z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění <br />
s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě <br />
$1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?<br />
\ll{ex:pstvb}<br />
\ec<br />
<br />
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $G\subset\R^3$ je úměrná<br />
\[ \int_G |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz. \]<br />
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno <br />
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou<br />
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee<br />
kde<br />
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz, \ll{norma} \ee<br />
pokud tento integrál existuje.<br />
<br />
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují<br />
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee<br />
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN:Header&diff=523302KVAN:Header2014-02-03T16:50:55Z<p>Nguyebin: pročištění, nová makra</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\documentclass[a4paper,12pt]{article}<br />
<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage[T1]{fontenc} % hyphenation + babel mě donutil použít T1 kódování znaků (jinak mi hyphenation nesežere diakritiku)<br />
%\usepackage[czech,english]{babel}<br />
%\selectlanguage{czech}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
<br />
%\linespread{1.0} \setlength{\unitlength}{1mm}<br />
%\parindent=2pc<br />
%\textwidth=15cm<br />
%\usepackage{makeidx}<br />
\hyphenation{pře-svěd-če-ním před-po-ví-da-jí o-sci-lá-to-ru}<br />
%ana-lý-za po-zo-ro-va-tel-né me-cha-ni-ky je-dno-roz-měr-né-ho sfé-ric-kých mě-ři-tel-ná prav-dě-po-dob-nost ne-zá-vis-lé vzdá-le-no-sti Ope-rá-to-ry ope-rá-to-r ope-rá-to-ru ope-rá-to-rů Bro-glie-ovou har-mo-nic-ké-ho elektro-mag-ne-tic-ké-ho expe-ri-men-tál-ně jed-no-roz-měr-nou}<br />
<br />
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,mathrsfs}<br />
\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}<br />
\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
\usepackage[unicode,breaklinks=true,hypertexnames=false]{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
pdftitle={Slabikář kvantové mechaniky},<br />
pdfauthor={Ladislav Hlavatý},<br />
pdfsubject={Skriptum k~přednášce 02KVAN, FJFI ČVUT},<br />
pdfkeywords={kvantová mechanika},<br />
bookmarksnumbered=true,<br />
colorlinks=true,<br />
pdfpagemode={UseOutlines}<br />
}<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\newtheorem{cvi}{Cvičení}%[subsection]<br />
\def \bc {\begin{cvi}}<br />
\def \ec {\end{cvi}}<br />
\newtheorem{tvr}{Tvrzení}[section]<br />
\def \bt {\begin{tvr}}<br />
\def \et {\end{tvr}}<br />
\newtheorem{Def}{Definice}[subsection]<br />
\def \bd {\begin{Def}}<br />
\def \ed {\end{Def}}<br />
\newtheorem{pri}{Příklad}%[subsection]<br />
\def \bp {\begin{pri}}<br />
\def \ep {\end{pri}}<br />
\def \pri{{\bf Příklad:} }<br />
<br />
\def \for {\ {\rm pro}\ }<br />
\def \be {\begin{equation}}<br />
%\def \bef {\begin{equation}\fbox{$\LARGE}<br />
\def \bea {\begin{eqnarray}}<br />
\def \ba {\begin{array}}<br />
\def \ea {\end{array}}<br />
\def \ee {\end{equation}}<br />
\def \eea {\end{eqnarray}}<br />
%\def \nn {\nonumber}<br />
%\def \cne {\\ \nonumber & &}<br />
%\def \cite {[}<br />
\let\LL=\ll % předefinuje << na \LL, aby se uvolnilo \ll na \label<br />
\def \ll {\label}<br />
%\def \llf {$}\label}<br />
\def \newblock {}<br />
\def \rf {\eqref}<br />
<br />
\renewcommand{\refname}{Literatura}<br />
\renewcommand{\contentsname}{Obsah}<br />
\renewcommand{\figurename}{Obrázek}<br />
<br />
% zkratky pro text<br />
\def \qint {kvadraticky integrabilní}<br />
\def \pst {{pravděpodobnost}}<br />
\def \db {de Broglie}<br />
\def \sv {Schr\"odingerov}<br />
\def \rc {rovnic}<br />
\def \qv {kvantov}<br />
\def \mi {mechani}<br />
\def \cc {částic}<br />
\def \fc {funkc}<br />
\def \oper {operátor}<br />
\def \emk {elektromagnetick}<br />
\def \ha {hamiltoniá}<br />
%\documentstyle[12pt,a4]{article}<br />
<br />
%\topmargin -20mm<br />
%\hoffset 0in<br />
%\voffset 15mm<br />
%\textwidth 161mm<br />
%\textheight 216mm<br />
<br />
%\pagestyle{empty}<br />
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}<br />
%\pagestyle{myheadings}<br />
%\markright{Open spin chains}<br />
<br />
%\newcommand{\ca}{{\cal A}}<br />
%\newcommand{\lim}{\rightarrow}<br />
%\newcommand{\hhat}[1] {\hat{\hat #1}}<br />
<br />
\let\epsilon=\varepsilon<br />
<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % množina reálných čísel<br />
\newcommand{\Rp}{\mathbb{R}^{+}} % množina kladných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rm}{\mathbb{R}^{-}} % množina záporných reálných čísel<br />
\newcommand{\Rop}{\mathbb{R}_{0}^{+}} % množina nezáporných reálných čísel<br />
\renewcommand{\C}{\mathbb{C}} % množina komplexních čísel<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % množina celých čísel<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % množina přirozených čísel<br />
\newcommand{\konst}{\mathrm{konst}} % konstanta<br />
%\newcommand{\me}{\mathrm{e}} % Eulerovo číslo<br />
%\newcommand{\im}{\mathtt{i}} % imaginární jednotka<br />
<br />
\newcommand{\ox}{\otimes} % kartézský součin<br />
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}}<br />
\newcommand{\vex}{\vec x}<br />
\newcommand{\unit}{\hat I} % identický operátor<br />
\newcommand{\uni}{\mathbb I} % jednotkový prvek (matice, vektor)<br />
\newcommand{\Hil}{\mathcal H} %Hilbertův prostor<br />
<br />
% matematické operátory<br />
\newcommand{\df}{\mathop{\mathrm{Dom}}} % definiční obor<br />
\newcommand{\ran}{\mathop{\mathrm{Ran}}} % obor hodnot<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}}<br />
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathop{\mathrm{Tr}}} %stopa<br />
\let\divsymb=\div % předefinuje dělítko \div na \divsymb<br />
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\mathrm{grad}}}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\mathrm{rot}}}<br />
\newcommand{\lapl}{\Delta} % neplést s \triangle<br />
<br />
% bra-kety, střední hodnoty atd...<br />
\newcommand{\bra}[1]{\langle#1|}<br />
\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}<br />
\newcommand{\braket}[2]{\langle#1|#2\rangle}<br />
\newcommand{\braketA}[3]{\langle#1|#2|#3\rangle}<br />
\newcommand{\mean}[2]{\langle#1\rangle_{#2}}<br />
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}<br />
<br />
% diferenciály<br />
\renewcommand{\d}{{\mathrm{d}}}<br />
\newcommand{\dx}{{\d x}}<br />
\newcommand{\dy}{{\d y}}<br />
\newcommand{\dz}{{\d z}}<br />
\newcommand{\dr}{{\d r}}<br />
\newcommand{\dt}{{\d t}}<br />
\newcommand{\pd}{\partial}<br />
\newcommand{\dvol}{r^2\sin\theta\dr\d\theta\d\phi}<br />
<br />
% L^2 prostory - pouze pro užití mimo matematický mód!<br />
\newcommand{\qintline}{$ L^2(\R,\dx)$}<br />
\newcommand{\qintspace}{$L^2(\R^3,\d^3x)$}<br />
\newcommand{\qintrn}{$L^2(\R^N,\d^Nx)$}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN&diff=523202KVAN2014-02-03T16:50:29Z<p>Nguyebin: přesun obsahu dopředu, reference dozadu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02KVAN}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\author{Ladislav Hlavatý}<br />
\title{Slabikář kvantové mechaniky}<br />
<br />
\begin{document}<br />
<br />
\maketitle<br />
\input{kapitola0}<br />
\clearpage<br />
<br />
\tableofcontents<br />
\clearpage<br />
<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola6}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola7}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola8}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola9}<br />
\clearpage<br />
<br />
\input{literatura}<br />
%\bibliography{kva_mech}<br />
<br />
\end{document}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola11&diff=523101MAA3:Kapitola112014-01-31T15:56:43Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Afinní prostory}<br />
<br />
\index{afinní prostor}<br />
\begin{define}<br />
\label{affine}<br />
Buď $X\not=\emptyset$ množina, $\VEC X$ lineární prostor nad $T$. Buď<br />
definováno zobrazení $X\times X\mapsto\VEC X$ takové, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\setlength{\itemsep}{4pt}<br />
\item Schwartzova rovnost: $\left( \forall x,y,z\in X\right) \left( \vecc{xy}+\vecc{yz}+\vecc{zx}=\vec 0\right) $.<br />
\item Jednoznačnost: $\forall x\in X$ je zobrazení $h:y\mapsto\vecc{xy}$<br />
bijekce.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
Potom uspořádanou dvojici $(X,\VEC X)$ nazveme {\bf afinním prostorem<br />
nad $T$}.<br />
\index{přidružený lineární prostor}<br />
\index{volný vektor}<br />
Jeho prvky se myslí prvky $X$, nazýváme je {\bf body}. <br />
<br />
$\VEC X$ nazýváme<br />
{\bf přidruženým lineárním prostorem}. Jeho prvky se nazývají {\bf volné<br />
vektory}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{4pt}<br />
\item Ve fyzice se neužívá lineární prostor, nýbrž právě afinní (závisí na volbě počátku vztažné soustavy, viz TEF1).<br />
\item Formálně označíme $(x,y)\mapsto\vecc{xy}=y-x=\vec h\overset{\text{ozn.}}{=}\vecc{y-x}$. Šipku nad rozdílem dvou bodů z~afinního prostoru nebudeme psát v případě možné nepřehlednosti textu, je však třeba si ujasnit, kdy se jedná o rozdíl čísel a kdy o rozdíl bodů z afinního prostoru, tj. vektor.<br />
\item Při pevné volbě $x$ pro každé $y$ existuje právě jedno $\vec h$<br />
takové, že $\vecc{y-x}=\vec h$. Lze tedy zavést jednoznačně $y=x+\vec h$. Vektoru $\vec h$ pak říkáme {\bf polohový vektor} resp. {\bf pevný vektor}.<br />
\item Z~vlastnosti (i) při volbě $y=z=x$ vyplývá:<br />
\[\vec 0=\vecc{xx}+\vecc{xx}+\vecc{xx}=3\vecc{xx}\implies \vecc{x-x}=\vec 0\]<br />
\item Při volbě $z=x$ dostáváme:<br />
\[\vec 0=\vecc{xy}+\vecc{yx}+\vecc{xx}=\vecc{xy}+\vecc{yx}\implies<br />
\vecc{xy}=-\vecc{yx}\implies -\vecc{(y-x)}=\vecc{x-y}\]<br />
\item $y=x+\vec h$, právě když $x=y-\vec h$.<br />
\item<br />
\[\underbrace{(x+\vec h)}_y+\vec k=<br />
\underbrace{x+(\vec h+\vec k)}_z\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
0 & =(x+\vec h)-x+\vecc{(z-y)}+x-(x+\vec h+\vec k)=<br />
\vec h+\vecc{(z-y)}+(-(\vec h+\vec k)) \\<br />
&=\vec h+\vecc{(z-y)}-\vec h-\vec k=\vecc{(z-y)}-\vec k,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
\vec k=\vecc{z-y},<br />
\]<br />
takže rovnost platí.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že afinní prostor $X$ je normovaný, konečnědimenzionální,<br />
eukleidovský, unitární, Banachův, Hilbertův, právě když to platí o~jeho přidruženém<br />
lineárním prostoru.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{afinní zobrazení}<br />
\index{přidružené lineární zobrazení}<br />
\begin{define}<br />
Zobrazení $a:X\mapsto Y$ nazveme {\bf afinním}, právě když existuje<br />
zobrazení $L\in\L(\VEC X,\VEC Y)$ takové, že<br />
\[(\forall x,y\in X)(a(x)-a(y)=L\vecc{(x-y)}).\]<br />
$L$ se nazývá {\bf přidružené lineární zobrazení} zobrazení $a$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přidružené lineární zobrazení je definované tak, aby připomínalo tvar lineární funkce:<br />
%jiné než to pytlíčkovské. LEPŠÍ! (dle Vrány). <br />
\[a(x)=a(0)+L\vecc{(x-0)}=q + L\vec x=q+k \vec x\]<br />
Snadno lze vyčíst posunutí $q$ a směrnici $k$. Ukážeme si, že zobrazení $L$ skutečně bude mít význam směrnice (tj. derivace).<br />
\item Obraz afinního prostoru afinním zobrazením, tj. $a(X)$, je lineární varieta se zaměřením $L(\VEC X)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi:T\mapsto X$ zobrazení z~tělesa do afinního prostoru,<br />
$t_0$ vnitřní bod definičního oboru $\phi$. Existuje-li <br />
\[\lim_{t\to t_0}\frac{1}{t-t_0}\vecc{(\phi(t)-\phi(t_0))}\in \VEC X,\] nazveme ji {\bf derivací zobrazení } $\phi$ {\bf v bodě} $t_0$ a označíme ji <br />
$\phi'(t_0)$, resp. $\frac{\d\phi}{\d t}(t_0)$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Derivace zobrazení z $T$ do prostoru $X$ v bodě je tedy vektor z přidruženého lineárního prostoru $\vec{X}$ (neb $\frac{1}{t-t_0}$ je skalár a $(\phi(t)-\phi(t_0))$ je rozdíl dvou bodů, tj. vektor!)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{směr}<br />
\begin{define}<br />
Směrem v~afinním prostoru nazýváme každý jednotkový volný vektor:<br />
$\vec v\in\VEC X$, $\norm{\vec v}=1$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{derivace ve směru}<br />
\begin{define}[G\^ateaux] <br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $x_0\in\vn{(\df f)}$, $\vec v$ směr v~$X$. Položme<br />
$\phi(t)=f(x_0+t\vec v)$. Existuje-li $\phi'(0)$, řekneme, že $f$ {\bf<br />
má směrovou derivaci v~bodě $x_0$ ve směru $\vec v$}. Derivaci ve směru $\vec<br />
v$ v~bodě $x_0$ značíme $f_{\vec v}(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[f(x,y)=<br />
\begin{cases}<br />
\displaystyle\frac{2xy}{x^2+y^2} & (x,y)\not=(0,0)\\<br />
1 & (x,y)=(0,0)<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\[<br />
\vec v=\begin{pmatrix} \cos\vartheta\\\sin\vartheta\end{pmatrix}\quad\vartheta\in\left( -\pi,\pi\right] <br />
\]<br />
\[<br />
\phi(t)=f((0,0)+t(\cos\vartheta,\sin\vartheta))=<br />
f(t\cos\vartheta,t\sin\vartheta)=<br />
\sin2\vartheta=\text{konst. pro }t\not=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi(0)=1<br />
\]<br />
$\phi$ má derivaci ve směru $\vec v$, právě když $\sin2\vartheta=1$,<br />
tedy $\vartheta=\frac14\pi\vee\vartheta=-\frac34\pi$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\index{souřadný systém}<br />
\begin{define}<br />
Buď $E$ prostor konečné dimenze. Pak n+1-tici $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ nazveme {\bf souřadný systém} na $E$ právě když $\0 \in E$ a soubor $(\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ je báze $E$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{parciální derivace}<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$, $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ souřadný systém na<br />
$X$. Potom existuje-li $f_{\vec{e_i}}(x_0)$, říkáme, že $f$ má v~bodě<br />
$x_0$ {\bf parciální derivaci podle $i$-té proměnné} a značíme $f_i(x_0)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
\[\frac{\pd}{\pd w}\left(<br />
\frac{\pd f}{\pd v}<br />
\right)(x_0)=<br />
\left(f_{\vec v}\right)_{\vec w}(x_0)<br />
=f_{\vec v\vec w}(x_0)<br />
\]<br />
\item<br />
\[<br />
f_i(x_0) \equiv \frac{\pd f}{\pd x^i}(x_0)<br />
\] <br />
\item Vránovo značení parciálních derivací $f_{\vec{v}}$ popř. $f_i$ je přejato z matematické fyziky (viz TEF2) a je v souladu s tím, že derivace je kovariantní tenzor (indexy dole).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{example}<br />
\item<br />
\[<br />
f(x,y)=<br />
\begin{cases}<br />
\displaystyle\frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\not=(0,0)\\<br />
0 & (x,y)=(0,0)<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Tato funkce není spojitá v~$(0,0)$ --- např. při volbě<br />
$(x,y)=(\frac1{n^2},\frac1n)$ dostaneme limitu $\frac12$, zatímco při<br />
volbě $(x,y)=(0,\frac1n)$ dostaneme $0$. Všechny směrové derivace<br />
v~$(0,0)$ ale existují:<br />
\[<br />
\phi(t)=f(x_0+t\vec v)=\frac{t\cos\vartheta\sin^2\vartheta}<br />
{\cos^2\vartheta+t^2\sin^4\vartheta}\text{ pro }t\not=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi(0)=0<br />
\]<br />
\[<br />
\phi'(0)=\lim_{t\to 0}<br />
\frac{\phi(t)-\phi(0)}{t}=<br />
\begin{cases}<br />
0 & \displaystyle \vartheta=\frac\pi2 \\<br />
\displaystyle\frac{\sin^2\vartheta}{\cos\vartheta} & \text{jinak}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[\uv{nejblbější věta o přírůstku funkce}]<br />
Buď $X$ Eukleidův ($\text{dim} X < \infty$) afinní prostor, $f:X\mapsto \mathbb{R}$ definované na kouli<br />
$B(x_0,r)$, buď $(\0,\vec{e_1},\dots,\vec{e_n})$ ortonormální souřadný<br />
systém na $X$, nechť $f$ má na celé kouli $B(x_0,r)$ všechny parciální<br />
derivace 1. řádu. Pak $\forall x\in B(x_0,r)$ existuje $x_1,\dots,x_n\in<br />
B(x_0,r)$ tak, že<br />
\[f(x)-f(x_0)=\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i).\]<br />
kde<br />
\[<br />
x_i = (x^1,\dots,x^{i-1}, \xi^i,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Nejdříve předpokládejme \[<br />
\begin{split}<br />
y_i&=(x^1,...,x^{i},x_0^{i+1},...,x_0^{n})\\<br />
y_0&=x_0\\<br />
y_n&=x\\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pak<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(x)-f(x_0) & =<br />
f(y_n)-f(y_0)= \sum_{i=1}^n (f(y_i)-f(y_{i-1}))=\\<br />
& =\sum_{i=1}^n\left(<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x^i)-<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(x_0^i)\right)=\\<br />
&=\sum_{i=1}^n\frac{\d}{\d e_i}<br />
f(x^1,\dots,x^{i-1},\ ,x_0^{i+1},\dots,x_0^n)(\xi^i)(x^i-x_0^i).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\uv {Vynechaná} proměná je nezávislá proměnná, tj. f je funkcí vynechané proměnné.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
Uvědomme si, že výraz $\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i)(x^i-x_0^i)$ je standardní skalární součin. Odsud plyne předpoklad Eukleidovského prostoru. Abychom mohli zavést derivaci na obecnějších prostorech, je třeba pracovat s obecným skalárním součinem. K tomu nám v příští kapitole pomůže Riezsova věta a abstraktnější zavedení derivace.<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola4&diff=523001MAA3:Kapitola42014-01-31T15:45:43Z<p>Nguyebin: Dirichlet lze i s AZR</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Trigonometrické řady}<br />
<br />
\index{trigonometrická řada}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\poslo{a_n}$ a $\posl{b_n}$ dvě posloupnosti reálných<br />
čísel. Potom řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Díky Moivreově větě je trigonometrická řada vlastně \textit{komplexní} mocninnou řadou. Komplexním mocninným řadám se věnuje poslední kapitola v MAA4.<br />
\item Existuje-li $a\in\R$ tak, že trigonometrická řada konverguje na<br />
$\left[a,a+2\pi\right)$ resp. $\left( a,a+2\pi \right] $, pak řada konverguje na celém $\R$ a její součtová funkce je periodická s~periodou $2\pi$.<br />
\item Díky této periodicitě se můžeme omezit na zkoumání intervalu délky $2\pi$. Obvykle volíme symetrický interval $\left[-\pi,\pi\right]$ (na něm je integrál z liché funkce nulový). Ve fyzice se však můžeme setkat s~volbou intervalu $\left[0,2\pi\right]$.<br />
\item Členy trigonometrické řady jsou funkce s~periodou<br />
$2\pi$. Lineární transformací však můžeme docílit libovolné<br />
periody. Např. řada<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
kde $\lambda>0$, má za členy funkce periodické s~periodou<br />
$2\lambda$. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval<br />
$\left[-\lambda,\lambda\right]$. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat<br />
jako trigonometrickou řadu s~periodou $2\lambda$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Eulerovy vzorce]<br />
\label{euler}<br />
Nechť trigonometrická řada <br />
$\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$<br />
konverguje stejnoměrně na $\R$ a buď $F$ její součtová funkce. Potom<br />
pro všechna $n\in\No$ platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx\qquad\text{a}\qquad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje<br />
stejnoměrně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a tudíž podle věty<br />
\ref{ointegraci-r} je<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\dx=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi\dx+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\int_{-\pi}^\pi \cos nx\dx+<br />
b_n\int_{-\pi}^\pi \sin nx\dx<br />
\right)=a_0\pi.<br />
\]<br />
Podobně pro $n\in\N$ podle věty \ref{veta69} dostáváme<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cos nx\dx<br />
\right)=a_n\pi.<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin nx\dx<br />
\right)=b_n\pi,<br />
\]<br />
neboť $\forall k\not=n$ platí tzv. relace ortogonality<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos kx\cos nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin kx\cos nx\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin kx\sin nx\dx=0<br />
\]<br />
a $\forall k,n \in \No$ platí tzv. normovací podmínky<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx\dx=\pi.<br />
\] <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
na $\R$ k~součtové funkci $F$ plyne pro všechna $n\in\No$:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx\text{ a }<br />
b_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx.<br />
\]<br />
\item Vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí<br />
své součtové funkce připomíná vyjádření koeficientů Taylorovy řady pomocí rozvíjené (součtové) funkce --- zde však v koeficientech vystupují integrály, nikoli derivace. Do trigonometrické řady lze však rozvinout daleko více funkcí než do mocninné řady.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{Fourierova řada}<br />
\begin{define}<br />
\label{deffour}<br />
Nechť funkce $f$ má absolutně konvergentní zobecněný integrál (v Riemannově smyslu) na<br />
intervalu $(a,b)$, kde $b-a=2\pi$. Položme<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N.<br />
\]<br />
Potom trigonometrickou řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$} a čísla $a_n$, $b_n$ nazýváme {\bf Fourierovými koeficienty}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Obecně --- pro případ pouze omezeného intervalu $(a,b)$ ---<br />
klademe<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx,<br />
\]<br />
kde $2\lambda=b-a$. Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$<br />
potom rozumíme trigonometrickou řadu<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right).<br />
\]<br />
<br />
\item Má-li periodická funkce s~periodou $\omega$ absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na některém z~intervalů délky<br />
$\omega$, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném<br />
intervalu.<br />
<br />
\item Buď $g$ periodická funkce s~periodou $\omega$ a nechť existuje<br />
$a\in\R$ tak, že integrál $\int_a^{a+\omega}g(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom pro libovolné $b\in\R$ je <br />
\[\int_b^{b+\omega}g(x)\dx=\int_0^\omega g(x)\dx.\]<br />
<br />
\item Z~předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v~definici<br />
\ref{deffour} lze pro funkci s~periodou $2\pi$ psát také ve tvaru<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N.<br />
\]<br />
\item Existence členu $\frac{a_0}{2}$ má své hluboké opodstatnění. Fourierova řada totiž připomíná vyjádření funkce jakožto lineární kombinaci bázových funkcí.Prostor funkcí je však nekonečné dimenze a pro tyto prostory nejsou zavedeny pojmy báze ani lineární kombinace.<br />
\item Z LAA2: Je-li $(\vec e_1,\dots\vec e_n)$ ON báze prostoru $V$, pak $\forall\vec y\in V$ platí rozvoj \[\vec y=\sum_{n=1}^n\la \vec e_i,\vec y\ra \vec e_i,<br />
\]<br />
kde čísla $\la \vec e_i,\vec x\ra$ nazýváme Fourierovými koeficienty vektoru $\vec{x}$ vzhledem k ON bázi $\posloupnost{1}{n}{\vec{e_i}}$.<br />
\item \label{onbaze} Zaveďme skalární součin dvou spojitých funkcí $f,g$ jako $\la f,g\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) \dx$.<br />
\footnote{Tento vzorec pro skalární součin je však čistě formální záležitost (vzniklá zespojitěním skalárního součinu posloupností) a je třeba jej korektně zavést později.} <br />
Definujeme pojem ortonormální báze (který je nedělitelný a odlišný od pojmu algebraické báze z LNA). Ve funkcionální analýze se ukazuje, že ortonormální bázi prostoru funkcí je spočetná množina <br />
\[<br />
\left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\dots <br />
\right\rbrace. <br />
\]<br />
Z důkazu věty \ref{euler} (poslední dva řádky důkazu) plyne, že tyto funkce jsou<br />
\begin{itemize}<br />
\item vzájemně kolmé (relace ortogonality --- $\la\sin(kx),\cos(nx)\ra=0$),<br />
\item normované na jedničku (normovací podmínka --- $\norm{\sin(nx)}^2=\norm{\cos(nx)}^2=\pi$).<br />
\end{itemize}<br />
\vspace{4pt}<br />
Vzhledem k tomu, že můžeme bázové funkce (mimo první člen) rozdělit na sudé a liché, vznikají nám i dvě sady Fourierových koeficientů:<br />
\[ <br />
\tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx<br />
,\quad<br />
\tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx<br />
\]<br />
Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\norm{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}^2=\int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) ^2\dx=\left[\frac{x}{2\pi}\right]_{-\pi}^\pi=1\]<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setcounter{enumi}{7}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
<br />
\item V předchozí poznámce jsme však nevyšetřili první člen, tedy Fourierův koeficient $a_0$. Z příkladu výše vidíme, že funkce $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ je již normovaná. Pak platí<br />
\[ <br />
\tilde a_0=\la f(x),\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dx<br />
\]<br />
První člen Fourierovy řady je tedy <br />
\[<br />
\tilde a_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\underbrace{\cos(0x)}_{=1}\dx=\frac{a_0}{2}.<br />
\]<br />
Poslední rovnost plyne z vyjádření $a_n$ pro $n=0$. Tímto je uzavřena otázka, proč nelze první člen Fourierovy řady zahrnout do sumy. Z výše uvedeného je též zřejmé, že není možné zaměnit role členů $a_n$ a $b_n$, neboť by mj. neseděla definice prvního členu (tj. $n=0$).<br />
\item Na uzavření analogie mezi mocninnými a Fourierovými řadami poznamenejme, že prvky ortonormální báze \ref{deffour}.\ref{onbaze} jsou vlastně reálné a imaginární složky prvků komplexní ortonormální báze tvaru $\poslo{(2\pi)^{-1/2}e^{\im nx}}$. Proto se lze setkat s definicí Fourierovy řady obsahující $e^{\im nx}$ namísto $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. <br />
\item V kvantové mechanice se vzorci \ref{deffour} říká relace úplnosti. Souvisí to s výše uvedeným rozvojem funkcí do báze (tedy do nekonečné řady). Viz \ref{uplnost}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichletův integrální vzorec]<br />
\label{dirichlet}<br />
Buď $f$ funkce periodická s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom pro $n$-tý<br />
částečný součet její Fourierovy řady platí:<br />
\[<br />
F_n(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac t2}\dt<br />
\qquad \forall x\in\R.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\R$ a $n\in\N$. Potom podle poznámek \ref{deffour} je:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
F_n(x) & =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dt +<br />
\frac1\pi\sum_{k=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(\cos kt\cos kx+<br />
\sin kt\sin kx)\dt= \\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left(<br />
\frac12+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t)<br />
\right)\dt =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)<br />
\frac{\sin\left((n+\frac12)(x-t)\right)}{2\sin\frac{x-t}{2}}\dt =<br />
\\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\tau)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)\tau}{2\sin\frac{\tau}{2}}\,\d \tau =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac{t}{2}}\dt.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Přitom jsme použili vyjádření<br />
\[<br />
\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\cos\frac n2x\cdot\sin\frac{n+1}2x}<br />
{\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]}{2\sin\frac x2}-\frac12<br />
\]<br />
platné $\forall x\in\R$, $x\not=2\pi m$, kde $m\in\Z$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \label{dir1}Díky aditivitě integrálu lze nalézt ještě následující<br />
integrální vyjádření $n$-tého součtu Fourierovy řady:<br />
\[F_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi(f(x+t)+f(x-t))<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{2\sin\frac t2}\dt.\]<br />
<br />
\item \label{dir2} Zvolme ($\forall x\in\R$) ($f(x)=1$), pak jsou ($\forall k\in\N$) ($a_0=2$, $a_k=b_k=0$). Dosazením do předchozí poznámky získáme vyjádření jedničky pomocí integrálu z periodických funkcí:<br />
\[1=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\left[\sin(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt \quad \forall n\in\N.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichlet]<br />
\label{dirichlet2}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom její Fourierova<br />
řada (s~periodou $2\pi$) konverguje v~bodě $x$ právě tehdy,<br />
existuje-li číslo $s$ tak, že platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt=0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Z~poznámek \ref{dirichlet}.\ref{dir1}, \ref{dirichlet}.\ref{dir2} a z linearity integrálu plyne<br />
$\forall x,s\in\R$, $\forall n\in\N$:<br />
\[<br />
F_n(x)-s=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt.<br />
\]<br />
Odtud již plyne tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Besselova nerovnost]<br />
\label{bessel}<br />
Buď $f$ funkce zobecněně integrabilní na intervalu $(-\pi,\pi)$, jejíž zobecněný integrál $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$<br />
konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují nerovnosti<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\le<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Díky kovergenci $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2$ platí, že $\int\limits_{-\pi}^\pi f$ konverguje absolutně (Hölderova nerovnost - viz FA1). <br />
<br />
Má tedy smysl mluvit o Fourierově řadě.<br />
Označíme-li opět $F_n$ $n$-tý částečný součet Fourierovy řady funkce<br />
$f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$, platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
0 & \le \int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))^2\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - 2\int_{-\pi}^\pi f(x)F_n(x)\dx + <br />
\int_{-\pi}^\pi F_n^2(x)\dx= \\<br />
& = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx +<br />
\sum_{k=1}^n\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\dx +<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\dx<br />
\right)<br />
\right) + \\<br />
& \quad + \frac{a_0^2}2\pi + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi =<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - \left(<br />
\frac{a_0^2}2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Tato nerovnost platí $\forall n\in\N$. Odečtením závorky v posledním kroku na levou stranu a vydělením $\pi$ získáme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{4pt}<br />
\item Předchozí věta představuje zobecnění Pythagorovy věty a z jejího tvrzení, resp. důkazu vyplývá několik důležitých poznatků, které uvádíme v následujících poznámkách a~větách. \item (kritérium konvergence)<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dx <+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)<+\infty.<br />
\]<br />
\item \label{riemann-lemma} Z nutné podmínky konvergence řady na levé straně Besselovy nerovnosti dostáváme, že pro každou $f\in<br />
\mathcal{R}^2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.<br />
\]<br />
\item Dle poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} známe tvar skalárního součinu funkcí, tedy $\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx=\la f,f\ra$. Pokud by skalární součin indukoval normu, pravá strana až na prefaktor $\pi^{-1}$ odpovídá pravé straně Besselovy nerovnosti z LAA2. Existenci normy je třeba vyšetřit.<br />
\item Mějme množinu všech funkcí $f$, pro něž zobecněné integrály <br />
$\int_a^b f^2(x)\dx$ a tedy i $\int_a^b f(x)\dx$ konvergují,<br />
a označme ji $\mathcal{R}^2(a,b)$. Tato množina tvoří lineární prostor. Je tento prostor normovaný?<br />
Z předchozí poznámky se vhodným kandidátem na normu zdá být zobrazení<br />
\[f\mapsto\sqrt{\la f,f\ra}=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\dx}.\]<br />
Splňuje-li naše zobrazení všechny axiomy normy \ref{defnorm}, jedná se skutečně o normu.<br />
<br />
Třetí axiom normy však není splněn, neboť rovnost $\norm{f}=0$ platí i~pro nějakou nenulovou funkci $f$. Zobrazení je tedy pozitivně semidefinitní (nikoli pozitivně definitní) a nazveme jej {\bf seminormou}. <br />
\item Konvergenci posloupnosti funkcí definovaných na intervalu<br />
$(a,b)$ můžeme brát jako konvergenci v~prostoru $\mathcal{R}^2(a,b)$ s~výše<br />
definovanou seminormou. Nazývá se {\bf konvergence podle normy}, někdy též konvergence dle středu. Limitu v normovaném prostoru pak značíme l.i.m. z~latinského \textit{limes in medio}. \item \index{konvergence podle normy}<br />
Jsou-li $f_n\in \mathcal{R}^2(a,b)$ pro $n\in\N$ a $f\in<br />
\mathcal{R}^2(a,b)$, říkáme, že posloupnost $\posl{f_n}$ {\bf konverguje dle normy}<br />
k~funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, když $\norm{f_n-f}\to 0$, tj.<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b(f_n(x)-f(x))^2\dx=0.\]<br />
Řada $\rada f_n$ konverguje na intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci<br />
$F$, jestliže posloupnost částečných součtů této řady konverguje na<br />
intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci $F$.<br />
\item Z konvergence podle normy \emph{neplyne} bodová konvergence a naopak.<br />
\item V důkazu věty jsme tedy operovali s výrazem $\norm{f-F_n}^2$. Proto jsme si mohli dovolit odhadnout integrál zdola nulou, neboť naše seminorma je pozitivně semidefinitní.<br />
\item Číslo $\norm{f-g}$ má význam {\bf střední<br />
kvadratické odchylky} funkcí $f$ a $g$ na intervalu, na němž je definovaný skalární součin, v našem případě ($-\pi,\pi$).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{define}(trigonometrický polynom) Buďte $\posloupnost{0}{n}{c_k}$, $\posloupnost{1}{n}{d_k}$ dvě<br />
posloupnosti reálných čísel, $n\in\N$. Položme <br />
\[<br />
T_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx) \quad \forall x\in\R.<br />
\]<br />
Potom funkci $T_n$ nazýváme {\bf trigonometrický<br />
polynom stupně nejvýše $n$-tého}<br />
\index{trigonometrický polynom}<br />
resp. {\bf trigonometrický polynom<br />
stupně $n$-tého}, je-li alespoň jedno z~čísel $c_n$, $d_n$ nenulové.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zopakujme si nyní důkaz věty \ref{bessel} s~tím, že nahradíme<br />
součet $F_n$ trigonometrickým polynomem $T_n$. Obdržíme:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
& \norm{f-T_n}^2=\int_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\dx = \\<br />
&=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{c_0a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k a_k+d_k b_k)<br />
\right) \pi+<br />
\left(<br />
\frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2)<br />
\right)\pi=\\<br />
&=\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx +<br />
\left[<br />
\frac12(a_0-c_0)^2+\sum_{k=1}^n(a_k-c_k)^2+\sum_{k=1}^n(b_k-d_k)^2<br />
\right]\pi\,-\\<br />
& \quad-<br />
\left(<br />
\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi\ge<br />
\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx=\norm{f-F_n}^2\ge 0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastane pro ($\forall k\in\hat{n_0}$)($a_k=c_k$) <br />
a ($\forall k\in\hat{n}$)($b_k=d_k$). Tedy<br />
\[<br />
\norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0.<br />
\]<br />
Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o~nejlepší aproximaci]<br />
Nechť $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$. Pak jediná trigonometrická řada, která může na<br />
intervalu $(-\pi,\pi)$ konvergovat podle normy k~funkci $f$ je právě Fourierova řada funkce $f$.<br />
<br />
\begin{proof} <br />
Označme <br />
\[F_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)\]<br />
a nechť posloupnost $\posl{F_n}$ konverguje normy na intervalu <br />
$(-\pi,\pi)$ k~funkci $f$. Potom platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin mx\dx & =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F_n(x)\sin mx\dx=\\<br />
&= \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+d_m<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro všechna $n,m\in\N$, $n\ge m$. Nyní stačí užít Besselovy nerovnosti<br />
\[<br />
\abs{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))\sin mx\dx}\le<br />
\sqrt{\pi\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx}<br />
\]<br />
a provést limitní přechod pro $n\to\infty$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{theorem}[Parsevalova rovnost]<br />
\label{parseval}<br />
Buď $f\in \mathcal{R}^2(-\pi,\pi)$. Potom Fourierova řada<br />
funkce $f$ konverguje na intervalu $(-\pi,\pi)$ podle normy k~funkci<br />
$f$ právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Rovnost v Besselově nerovnosti nastane právě tehdy, když $\norm{f-F_n}^2\longrightarrow 0$. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riemann]<br />
\label{riemann}<br />
Nechť existují $a,b\in\RR$ tak, že zobecněný integrál<br />
$\int\limits_a^bf(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx= 0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť je nejdříve funkce $f$ na \textit{uzavřeném} intervalu<br />
$\left[a,b\right]$ riemannovsky integrabilní. Buď<br />
\[m=\left\lfloor\frac{b-a}{2\pi}\right\rfloor<br />
\quad<br />
\text{a}<br />
\quad<br />
f^*(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{pro }x\in\left[a,b\right]\\<br />
0 & \text{pro } x\in\left( b,a+2(m+1)\pi\right] <br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $f^*$ je riemannovsky integrabilní na intervalu<br />
$\left[a,a+2(m+1)\pi\right]$ a platí:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx=\int_a^{a+2(m+1)\pi}f^*(x)\cos nx\dx=<br />
\sum_{k=1}^{m+1}\int_{a+2(k-1)\pi}^{a+2k\pi}f^*(x)\cos nx\dx.<br />
\]<br />
Nyní již stačí provést limitní přechod pro $n\to\infty$ a užít poznámky \ref{bessel}.\ref{riemann-lemma}.<br />
\item Nechť $\int\limits_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje jako<br />
nevlastní Riemannův integrál a nechť např. $b$ je jediný kritický bod<br />
tohoto integrálu. Zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $c\in (a,b)$<br />
tak, že <br />
\[\int\limits_c^b \abs{f(x)}\dx<\frac\epsilon2.\] <br />
Protože podle bodu a) je<br />
\[\lim_{n \to \infty}\int_a^c f(x)\cos nx\dx=0,\]<br />
existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ platí<br />
\[\int_a^c f(x)\cos nx\dx<\frac\epsilon2.\]<br />
Odtud již dostáváme, že pro všechna $n>n_0$ je:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx\le<br />
\abs{\int_a^c f(x)\cos nx\dx}<br />
+<br />
\abs{\int_c^b f(x)\cos nx\dx}<\epsilon.<br />
\]<br />
Analogicky dokážeme, že také<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Důsledkem této věty je tvrzení: Je-li $f$ integrabilní funkce na intervalu, její Fourierovy koeficienty jdou k nule pro rostoucí $n$ a tím se součet Fourierovy řady blíží nule. Analogické tvrzení (Riemannovo-Lebesgueovo lemma) platí i pro případ, kdy máme místo řady integrál a používá se v teorii Fourierovy transformace a zobecněných funkcí.<br />
\item Aplikujme nyní větu \ref{riemann} na limitu ve větě<br />
\ref{dirichlet2}. Předpokládejme v~následujících poznámkách, že funkce<br />
$f$ je periodická s~periodou $2\pi$ a že má absolutně konvergentní<br />
zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Protože podle věty<br />
\ref{riemann} pro libovolné $s\in\R$ je<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cos nt\dt=0,<br />
\]<br />
dostáváme:<br />
\item \label{p773} Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item \label{p774} Buď $c\in(0,\pi)$. Potom pro libovolné $s\in\R$ je podle věty<br />
\ref{riemann}<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_c^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0<br />
\]<br />
a tudíž Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item (Dini) Pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$ stačí konvergence integrálu<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{t}\dt<br />
\]<br />
pro některé $c\in(0,\pi)$. Skutečně --- z~konvergence výše uvedeného<br />
integrálu plyne konvergence integrálu <br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{2}<br />
\,\cotg\frac t2 \dt<br />
\]<br />
a ostatní je již důsledek věty \ref{riemann} a poznámky<br />
\ref{riemann}.\ref{p773}.<br />
<br />
\item \label{p776} (Lipschitz) Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$, existují-li $L>0,\alpha\in\left(0,1\right]$ a pravé okolí<br />
$\H_0$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H_0$ platí:<br />
\[\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}\le Lt^\alpha.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riemannova o lokalizaci]<br />
\label{vlokaliz}<br />
Konvergence Fourierovy řady funkce $f$ i~hodnota jejího<br />
součtu v~bodě $x$ závisí pouze na průběhu funkce $f$ v~bezprostředním okolí tohoto bodu.<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z poznámky \ref{riemann}.\ref{p774}.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[o bodové konvergenci] <br />
\label{souc1}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$, která má absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. buď dále<br />
$x_0\in\R$ a nechť platí jeden z~následujících výroků:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Funkce $f$ má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné derivace.<br />
\item Funkce $f$ je v~prstencovém okolí bodu $x_0$ diferencovatelná a<br />
její derivace má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné limity.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) funkce $f$ konverguje v~bodě<br />
$x_0$ a její součet je:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}F_n(x_0) = <br />
\begin{cases}<br />
f(x_0) & \text{v~případě (I)} \\<br />
\displaystyle\frac12\left(\lim_{x\to x_0+}f(x)+<br />
\lim_{x\to x_0-}f(x)\right) &<br />
\text{v~případě (II)}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť platí (I). Položme $L=2\max(\abs{f'_+(x_0)},\abs{f'_-(x_0)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje pravé okolí bodu $\H$ bodu $0$ tak, že pro všechna<br />
$t\in\H$ platí:<br />
\[\abs{f(x_0+t)-f(x_0)}\le\frac12Lt\quad\wedge\quad\abs{f(x_0-t)-f(x_0)}\le\frac12Lt,\]<br />
a tedy<br />
\[\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2f(x_0)}\le Lt.\]<br />
To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka 4.7.6)<br />
Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x_0$ k~součtu $f(x_0)$.<br />
<br />
\item Nechť platí (II). Označme $f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)$,<br />
$f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)$ a položme<br />
$L=2\max(\abs{f'(x_0+)},\abs{f'(x_0-)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $x\in(x_0,x_0+\delta)$<br />
je $\abs{f'(x)}\le\frac12L$. Zvolíme-li nyní libovolně dva body<br />
$x_1,x_2\in(x_0,x_0+\delta)$, existuje podle věty o~přírůstku funkce<br />
$\xi\in(x_1,x_2)$ takové, že platí:<br />
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{f'(\xi)}\,\abs{x_2-x_1}\le\frac12L\abs{x_2-x_1}.\]<br />
Odtud dle Bolzanova-Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity<br />
funkce $f$ v~bodě $x_0$ zprava.<br />
<br />
Položme opět $f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$ a definujme funkci $g$<br />
takto:<br />
\[<br />
g(t)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x_0+t) & \text{pro $t\in(0,\delta)$} \\<br />
f(x_0+) & \text{pro $t=0$}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $g$ je spojitá zprava v~bodě $0$, diferencovatelná na intervalu<br />
$(0,\delta)$ a platí<br />
\[\lim_{t\to 0+}g'(t)=\lim_{t\to 0+}f'(x_0+t)=f'(x_0+).\]<br />
Potom funkce $g$ má v~bodě $0$ derivaci zprava a platí<br />
$g'_+(0)=f'(x_0+)$, tj.<br />
\[\lim_{t\to 0+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+)}{t}=f'(x_0+).\]<br />
Podobně dokážeme, že<br />
\[\lim_{t\to 0-}\frac{f(x_0+t)-f(x_0-)}{t}=f'(x_0-).\]<br />
Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí $\H$ bodu $0$, že pro<br />
všechna $t\in\H$ platí:<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)-f(x_0+)}\le\frac12Lt,\ \abs{f(x_0-t)-f(x_0-)}\le\frac12Lt<br />
\]<br />
a tedy<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-(f(x_0+)+f(x_0-))}\le Lt.<br />
\]<br />
Podle poznámky \ref{riemann}.\ref{p776} odtud plyne, že Fourierova řada funkce $f$<br />
konverguje v~bodě $x_0$ k~číslu \[\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Předpoklady (I) a (II) ve větě \ref{souc1} jsou vzájemně<br />
nezávislé. Z~(I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z~platnosti<br />
(II) neplyne (právě když funkce $f$ není spojitá v~bodě $x_0$)<br />
platnost předpokladu (I). Pro funkci spojitě diferencovatelnou v~bodě<br />
$x_0$ jsou ovšem oba předpoklady (I) a (II) ekvivalentní. <br />
\item Poznámkami \ref{riemann}.\ref{p773}--\ref{riemann}.\ref{p776} a větami \ref{souc1} a \ref{vlokaliz}<br />
je v~podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady<br />
funkce $f$. <br />
\item Poněkud omezující (i~když pro rozvoj v~trigonometrickou<br />
řadu zcela logickou) se již vzhledem k~definici \ref{deffour} zdá<br />
skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou<br />
funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i~pro funkci<br />
definovanou na omezeném intervalu, pomůžeme si tzv. periodickým<br />
prodloužením.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{periodprodl}Buďte $a,b\in\R$ a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu<br />
$\left[a,b\right)$. Potom {\bf periodickým prodloužením funkce $f$} na intervalu<br />
$\left[a,b\right)$ rozumíme funkci $f^*$ definovanou na množině $\R$<br />
\[<br />
f^*(x)=f\left(x-\left\lfloor\frac{x-a}{b-a}\right\rfloor(b-a)\right) \qquad \forall x \in \R.<br />
\]<br />
\end{define} <br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\begin{itemize}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Periodickým prodloužením funkce<br />
$x\mapsto\sin x$ na intervalu $\left[0,\pi\right)$ je $\abs{\sin x}$.<br />
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu<br />
délky $2\pi$ je funkce $\sin x$. <br />
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto x$ na intervalu $\left[ <br />
0,1\right)$ je funkce $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item \label{period1} Buď nyní $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right)$,<br />
$b-a=2\pi$ a nechť zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom, užijeme-li větu \ref{souc1} na periodické<br />
prodloužení $f^*$ funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right)$, dostáváme:<br />
<br />
Buď $x_0\in(a,b)$ a nechť je splněn alespoň jeden z~předpokladů (I) a<br />
(II) věty \ref{souc1}. Potom platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=<br />
\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx,\quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\sin nx\dx\]<br />
pro všechna $n\in\No$ a symboly $f(x_0+)$ resp. $f(x_0-)$ chápeme ve<br />
smyslu užitém v~důkazu věty \ref{souc1}.<br />
<br />
\item \label{period2} Buďte $a,b$ libovolná různá reálná čísla, $x_0$ vnitřní bod<br />
intervalu o~krajních bodech $a,b$. Nechť dále zobecněný integrál<br />
$\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, je-li splněn alespoň<br />
jeden z~předpokladů (I), (II) věty \ref{souc1}, platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos\frac{2\pi n}{b-a}x_0+b_n\sin\frac{2\pi n}{b-a}x_0<br />
\right)=\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
a_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\cos\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
b_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\sin\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
\]<br />
pro všechna $n\in\No$.<br />
<br />
\item Nevyřešena v~předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka<br />
konvergence Fourierovy řady funkce $f$ v~krajních bodech intervalu<br />
$(a,b)$. Předpokládáme opět, že zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$<br />
absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z~následujících<br />
předpokladů:<br />
\begin{enumerate}[(I$^*$)]<br />
\item $f(a)=f(b)$ a existují jednostranné derivace $f_+'(a)$ a $f_-'(b)$.<br />
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v~jistém pravém okolí bodu $a$ a<br />
levém okolí bodu $b$, přičemž existují vlastní limity<br />
$\lim_{x\to a+}f'(x)$ a $\lim_{x\to b-}f'(x)$. <br />
\end{enumerate}<br />
Aplikací věty \ref{souc1} na periodické prodloužení funkce<br />
$f$ na intervalu $\left[a,b\right)$ získáme:<br />
<br />
Fourierova řada funkce $f$ z~poznámky \ref{periodprodl}.\ref{period1}<br />
resp. \ref{periodprodl}.\ref{period2} konverguje v~bodě $a$ (a~tím i~v~bodě $b$) a její<br />
součet je $\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Má-li funkce $f$ \textit{konečně} mnoho bodů nespojitosti, z nichž žádný není druhého druhu, říkáme, že $f$ je {\bf po částech spojitá}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[\uv {pro život}]<br />
\label{soucet}<br />
Nechť funkce $f$ je po částech spojitá a má po částech spojitou<br />
derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$. Potom Fourierova řada funkce $f$ na<br />
intervalu $(a,b)$ konverguje na celé množině $\R$ a označíme-li $F$<br />
její součtovou funkci, platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Funkce $F$ je periodická s~periodou $b-a$.<br />
\item $F(x)=\frac12(f(x+)+f(x-))$ pro všechna $x\in(a,b)$.<br />
\item $F(a)=F(b)=\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z~předchozích poznámek, nebo přímo z~věty \ref{souc1}, jestliže ji<br />
aplikujeme na periodické prodloužení funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Druhý bod (ii) věty \ref{soucet} můžeme vyslovit také<br />
v~následující podrobnější formě:<br />
\begin{enumerate}[(ii)]<br />
\item Pro všechna $x\in(a,b)$ platí:<br />
\[<br />
F(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{je-li funkce $f$ v~bodě $x$ spojitá}\\<br />
\displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)} & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$<br />
odstranitelnou nespojitost}\\<br />
\frac12(f(x+)+f(x-)) & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ nespojitost<br />
I. druhu}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\item Nechť integrál $\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx$ absolutně konverguje a<br />
buď<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Potom platí:<br />
Je-li funkce $f$ lichá, jsou<br />
\[a_n=0,\ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\dx\text{ pro }n\in\No;\]<br />
je-li funkce $f$ sudá, jsou<br />
\[b_n=0,\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx\dx\text{ pro }n\in\No.\]<br />
<br />
\item Buď $\alpha\in\R$ a položme $f(x)=\cos\alpha x$ pro všechna<br />
$x\in\left[-\pi,\pi\right]$. Je-li $\alpha\in\Z$, je triviálně funkce $f$<br />
součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$. Buď<br />
dále $\alpha\in\R-\Z$; potom podle předchozí poznámky platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos\alpha x\cos nx\dx=\frac1\pi\left(<br />
\frac{\sin(\alpha+n)\pi}{\alpha+n} +<br />
\frac{\sin(\alpha-n)\pi}{\alpha-n}<br />
\right)=<br />
\frac1\pi\frac{2\alpha(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\sin\alpha\pi<br />
\]<br />
a $b_n=0$ pro všechna $n\in\No$.<br />
Z~věty \ref{soucet} potom plyne:<br />
\[<br />
\cos\alpha x=\frac{\sin\alpha\pi}{\alpha\pi}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n<br />
\frac{2\alpha\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\cos nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$.<br />
Analogicky obdržíme<br />
\[<br />
\sin\alpha<br />
x=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\sin nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$.<br />
<br />
\item Položme ve vyjádření pro $\cos\alpha x$ v~předchozí poznámce<br />
$x=0$ a $\alpha\pi=z$ resp. $x=\pi$ a $\alpha\pi=z$. Potom dostáváme:<br />
\[<br />
\frac1{\sin z}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^nz}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\cotg z=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R-\pi\Z$ (tj. všechna reálná $z$, která nejsou celým<br />
násobkem $\pi$). Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních<br />
funkcí na parciální zlomky. Položíme-li v~rozkladech<br />
$z=\frac{-\pi}2-y$, obdržíme také rozklad funkcí $\frac1{\cos z}$ a<br />
$\tg z$ na parciální zlomky.<br />
<br />
\item Buď $x\in(0,\pi)$. Potom podle předcházející poznámky pro<br />
všechna $y\in\left(0,x\right] $ je<br />
\[<br />
\cotg y-\frac1y=\sum_{n=1}^\infty\frac{2y}{y^2-(n\pi)^2}.<br />
\]<br />
Protože řada na pravé straně rovnosti podle Weierstrassova kritéria<br />
konverguje stejnoměrně na $\left[0,x\right]$, platí podle věty \ref{ointegraci-r}<br />
\[<br />
\int_0^x\left(\cotg y-\frac1y\right)\dy=<br />
\sum_{n=1}^\infty\int_0^x\frac{2y\dy}{y^2-(n\pi)^2},<br />
\]<br />
tj.<br />
\[<br />
\left[\ln\frac{\sin y}{y}\right]_x^0=<br />
\sum_{n=1}^\infty\left[\ln\abs{y^2-(n\pi)^2}\right]_0^x<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\ln\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^\infty\ln<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Ze spojitosti funkce $\ln$ (můžeme tedy \uv{odlogaritmovat}) potom plyne<br />
\[<br />
\sin x=x\prod_{n=1}^\infty<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední rovnost platí evidentně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a<br />
užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé<br />
množině $\R$. Speciálně pro $z=\frac\pi 2$ obdržíme vyjádření jedničky jako nekonečný součin (tzv. Wallisovu formuli)<br />
\[<br />
1=\frac\pi 2\prod\frac{(2k+1)(2k-1)}{(2k)^2}.<br />
\]<br />
Ze vztahu $\sin2z=2\sin z\cos z$ ještě plyne, že<br />
\[<br />
\cos z=\prod_{n=1}^\infty\left(<br />
1-\frac{4z^2}{(2n-1)^2\pi^2}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Jordan]<br />
Buď $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right]$ s~následujícími<br />
vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f(a)=f(b)$.<br />
\item $f$ je spojitá na intervalu $\left[a,b\right]$.<br />
\item Funkce $f$ má po částech spojitou derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$ konverguje<br />
stejnoměrně na množině $\R$.<br />
\begin{proof}<br />
Větu stačí zřejmě dokázat pro případ $b-a=2\pi$.<br />
<br />
Buďte $c_1<c_2<\dots<c_{n-1}$ všechny body nespojitosti derivace<br />
funkce $f$. Označíme-li $c_0=a$, $c_n=b$, platí pro všechna $n\in\N$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
a_n & =\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\frac1\pi\sum_{i=1}^n\int_{c_{i-1}}^{c_i} f(x)\cos nx\dx= \\<br />
& = \frac1{n\pi}\sum_{i=1}^n<br />
\left(<br />
[f(x)\sin nx]_{c_{i-1}}^{c_i}-<br />
\int_{c_{i-1}}^{c_i}f'(x)\sin nx\dx<br />
\right)= \\<br />
& = \frac1{n\pi}(f(b)\sin nb-f(a)\sin na)-<br />
\frac1{n\pi}\int_a^b f'(x)\sin nx\dx = -\frac1n b_n',<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde jsme písmenem $b_n'$ označili příslušný Fourierův koeficient<br />
funkce $f'$. Analogicky dokážeme, že pro všechna $n\in\N$ platí<br />
\[b_n=\frac1n a_n'.\]<br />
Pro všechna $n\in\N$ a pro všechna $x\in\R$ tedy platí:<br />
\[<br />
\abs{a_n\cos nx+b_n\sin nx}\le \abs{a_n}+\abs{b_n}=<br />
\frac{\abs{a_n'}}{n}+\frac{\abs{b_n'}}{n}\le<br />
\frac12\left(<br />
\abs{a_n'}^2+\frac1{n^2}+\abs{b_n'}^2+\frac1{n^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední krok platí z tzv. Youngovy nerovnosti:<br />
\[<br />
0\leq(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \Longrightarrow 2ab\leq a^2+b^2<br />
\]<br />
<br />
Z~Besselovy nerovnosti (věta \ref{bessel}) vyplývá, že výraz na pravé<br />
straně nerovnosti je $n$-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení<br />
věty nyní plyne z~Weierstrassova kritéria.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola33&diff=522901MAA4:Kapitola332014-01-29T10:31:28Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Parametrické integrály}<br />
<br />
Definujme funkci $F:A\mapsto\R$ vztahem<br />
\[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x.\]<br />
Analogie $F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x$ a<br />
$F(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$, $x\leftrightarrow n$,<br />
$\alpha\leftrightarrow x$.<br />
\[F(\alpha)=\sum_{n=1}^\infty f_n(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\,\d x\]<br />
<br />
\begin{theorem}[o spojitosti]<br />
Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, $f:M\times A\mapsto\R$ <br />
a nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Pro skoro všechna $x\in M$<br />
\[f(x,\ ,)\in\c{0}(A)\]<br />
\item $(\forall\alpha\in A)<br />
(f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$,<br />
\item $(\exists g\in\LL(M))<br />
(\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A)<br />
(\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom<br />
\[F(\alpha)=\int_M f(x,\alpha)\in\c{0}(A).\]<br />
% \begin{proof} %dodělat důkaz ze skript<br />
<br />
% \end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[o limitě]<br />
Buď $M\subset\R^n$, $(P,\rho)$ metrický prostor, $A\subset P$, <br />
$\alpha_0\in A'$, $f:M\times A\mapsto\R$ a nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Pro skoro všechna $x\in M$<br />
\[\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}f(x,\alpha)=\phi(x),\]<br />
\item $(\forall\alpha\in A\sm\{\alpha_0\})<br />
(f(\ ,\alpha)\text{ je měřitelná na }M)$,<br />
\item $(\exists g\in\LL(M))<br />
(\text{pro skoro všechna }x\in M)(\forall\alpha\in A\sm{\alpha_0})<br />
(\abs{f(x,\alpha)}\le g(x))$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\phi\in\LL(M)$,<br />
\item<br />
\[\int_M\phi=\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}<br />
\int_M f(x,\alpha).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Heineova věta: $\lim\alpha_n=\alpha_0$, $\alpha_n\in A\sm\{\alpha_0\}$,<br />
$\phi_n(x)=f(x,\alpha_n)\to\phi(x)$. $\phi_n(x)$ je měřitelná na $M$,<br />
z~Lebesgueovy věty plyne, že $\phi\in\LL(M)$. Pro libovolnou<br />
posloupnost $\alpha_n$ platí<br />
\[\int_M\phi=\lim_{n\to\infty}\int_M f(x,\alpha_n)\,\d x=<br />
\lim_{\substack{\alpha\to\alpha_0\\ \alpha\in A}}<br />
\int_M f(x,\alpha).\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[o derivaci]<br />
Buď $M$ měřitelná množina, $M\subset\R^n$ a nechť $\I=\vn{\I}\subset\R$. Nechť $f:M\times\I\mapsto\R$ je reálná funkce a platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Existuje $\alpha_0\in\I$ takové, že $f(\ ,\alpha_0)\in\LL(M)$,<br />
\item pro každé $\alpha\in\I$ platí, že $f(\ ,\alpha)$ je měřitelná na<br />
$M$,<br />
\item je-li $N\subset M$, $\mu(N)=0$, pak $f(x,\ )$ je<br />
diferencovatelná na $\I$ pro každé $x\in M\sm N$,<br />
\item existuje $g\in\LL(M)$ tak, že<br />
\[(\forall x\in M\sm N)(\forall\alpha\in\I)<br />
\left(\abs{\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}}\le g(x)\right).\]<br />
\end{enumerate}<br />
Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f(\ ,\alpha)\in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$,<br />
\item $\frac{\pd}{\pd\alpha}f(\ ,\alpha)\, \in\LL(M)$ pro každé $\alpha\in\I$,<br />
\item a platí<br />
\[\frac{\d}{\d\alpha}\int_M f(x,\alpha)\,\d x=\int_M\frac{\pd}{\pd\alpha}f(x,\alpha)\,\d x.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buď $x\in M\sm N$, pak<br />
\[f(x,\alpha)-f(x,\alpha_0)=\frac{\pd f}{\pd\alpha}(x,\xi)\abs{\alpha-\alpha_0},\]<br />
takže<br />
\[\abs{f(x,\alpha)}\le<br />
\underbrace{\abs{f(x,\alpha_0)}}_{\in\LL(M)}<br />
+\underbrace{g(x)(\alpha-\alpha_0)}_{\in\LL(M)},\]<br />
kde $\alpha$ je pevné.<br />
\item Pro $\alpha\in\I$<br />
\[\frac{F(\alpha+h)-F(\alpha)}{h}=<br />
\int_M<br />
\underbrace{\frac{f(x,\alpha+h)-f(x,\alpha)}{h}}_{\psi(x,h)}<br />
\,\d x.\]<br />
Použijeme minulou větu, $A=\{h~|~\alpha+h\in\I\}$, $0\in A'$. Limita<br />
\[\lim_{\substack{h\to 0\\ h\in A}}\int_M\psi(x,h)\]<br />
existuje a je záměnná, neboť pro $x\in M\sm N$ platí<br />
$\abs{\psi(x,h)}=\abs{\frac{\pd f(x,\xi_{x\alpha})}{\pd\alpha}}\le g(x)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark} Co kdyby meze závisely na $\alpha$?<br />
\[F(\alpha)=\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)\]<br />
$f,\frac{\pd f}{\pd\alpha}\in\c{0}(\I_1,\I_2)$,<br />
$a(\alpha),b(\alpha)\in\c{1}(\I_2)$, $(a(\I_1),b(\I_2))\subset\I_1$,<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{\d}{\d\alpha}\left(<br />
\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)<br />
\right)&=<br />
\frac{\d}{\d\alpha}\left(<br />
\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha_0)}+<br />
\int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)}+<br />
\int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)}<br />
\right)=\\<br />
&=f(b(\alpha),\alpha)b'(\alpha)-f(a(\alpha),\alpha)a'(\alpha)+<br />
\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}\frac{\pd f(x,\alpha)}{\pd\alpha}\,\d x.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Pomůcka pro zapamatování:<br />
\[\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)}f(x,\alpha)=F(a(\alpha),b(\alpha),\alpha),\]<br />
$\frac{\pd f}{\pd\alpha}$ podle derivace složené funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o integraci]<br />
Buď $M\subset\R^n$ měřitelná, $N\subset\R^m$ měřitelná a $f:M\times<br />
N\mapsto\R$ měřitelná funkce. Nechť alespoň jeden z integrálů <br />
\[<br />
\int_M\left(\,\int_N\abs{f(x,y)}\,\d y\right)\d x<br />
\quad\quad<br />
\int_N\left(\,\int_M\abs{f(x,y)}\,\d x\right)\d y<br />
\]<br />
konverguje. Pak<br />
\[<br />
\int_M\left(\,\int_N f(x,y)\,\d y\right)\d x=\int_N\left(\,\int_Mf(x,y)\,\d x\right)\d y.<br />
\]<br />
% \begin{proof} %dodělat důkaz ze skript str. 83<br />
<br />
% \end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předcházející věta představuje zobecnění Fubiniovy věty. Povšimněte si, že v předpokladech nemusí platit $f\in\Lambda$, stačí pouze měřitelnost.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $p,q>0$. Potom {\bf Eulerův integrál druhého druhu} je integrál ve tvaru <br />
\[\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x\]<br />
a {\bf Eulerův integrál prvního druhu} je integrál ve tvaru <br />
\[\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\]<br />
\\<br />
{\bf Funkce gama} je Eulerův integrál druhého druhu jako funkce $p$, tj.<br />
\[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\,\d x.\]<br />
{\bf Funkce beta} je Eulerův integrál prvního druhu jako funkce $p,q$, tj.<br />
\[\betaf(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\d x.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dříve se tyto funkce zaváděly jako elementární. S nástupem výpočetní techniky a softwaru to již není třeba.<br />
\item Podmínka $p,q>0$ je proto, aby integrály konvergovaly. Zajímavé je, že na konvergenci je třeba zobecněný Riemannův integrál, ale Lebesgeův integrál pouze obyčejný.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}Funkce beta je symetrická ve svých argumentech, tj. $\betaf(p,q)=\betaf(q,p).$<br />
\begin{proof}<br />
\[\betaf(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}=<br />
\int_0^1+\int_1^{+\infty}=<br />
\int_0^1\frac{t^{p-1}+t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}}.\]<br />
V 1. kroku se použila substituce $x = t/(t+1)$, ve 2. kroku na druhý integrál $x = 1/t$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}.\] pro $p \in (0,1)$<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\betaf(p,1-p)&=\int_0^1\frac{x^{p-1}}{1+x}+<br />
\int_0^1\frac{x^{(1-p)-1}}{1+x}=<br />
\int_0^1\left(<br />
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{p+n-1}+<br />
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{n-p}<br />
\right)\d x=\\<br />
&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+<br />
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{n-p+1}=<br />
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{p+n}+<br />
\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n-p}=\\<br />
&=\left[<br />
\frac{1}{\pi p}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(<br />
\frac{1}{\pi p+\pi n}+\frac{1}{\pi p-\pi n}<br />
\right)<br />
\right]\pi=\frac{\pi}{\sin p\pi}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Korektnost postupu: Na záměnu nemůžu použít Leviovu větu kvůli<br />
$(-1)^n$. Pro $x \in (0,1)$ platí<br />
\[\int_0^1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{\alpha-1+n}=<br />
\int_0^1\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{\alpha-1+k}=<br />
\int_0^1\lim x^{\alpha-1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x},\]<br />
pro $\alpha \in (0,1)$ je $x^{\alpha-1}$ integrabilní majorantou, takže integrál konverguje<br />
a podle Lebesgueovy věty lze zaměnit.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\[\betaf(p,q)=\frac{\gammaf(p)\gammaf(q)}{\gammaf(p+q)}.\]<br />
\begin{proof}<br />
\[\gammaf(\beta)=\int_0^{+\infty}x^{\beta-1}e^{-x}\,\d x=<br />
\alpha^\beta\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-\alpha t}\,\d t.\]<br />
Položím $\beta=p+q$, $\alpha=1+y$. Pak<br />
\[\gammaf(p+q)=(1+y)^{p+q}<br />
\left.<br />
\int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t\right.\]<br />
vynásobí se to $\cdot\frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}$ a zintegruje přes $y$ od 0 do $\infty$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\betaf(p,q)\gammaf(p+q)&=<br />
\underbrace{<br />
\int_0^{+\infty}\Biggl(<br />
y^{p-1}\int_0^{+\infty}t^{p+q-1}e^{-(1+y)t}\,\d t<br />
\Biggr)\d y<br />
}_{\text{integrál konverguje a je $\ge 0$, lze zaměnit}}=<br />
\int_0^{+\infty}\Biggl(t^{p+q-1}e^{-t}<br />
\underbrace{<br />
\int_0^{+\infty}y^{p-1}e^{-yt}\,\d y<br />
}_{\frac{1}{t^p}\gammaf(p)}<br />
\Biggl)\d t=\\<br />
&=\gammaf(q)\gammaf(p),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
za použití vzorce $\gammaf(\beta)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\[\betaf(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}=\gammaf(p)\gammaf(1-p).\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $p>0$. Pak $\gammaf(p+1)=p\gammaf(p)$.<br />
\begin{proof}<br />
\[\gammaf(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}=<br />
\left[\frac{x^p}{p} e^{-x}\right]_0^{+\infty}+<br />
\frac1p\int_0^{+\infty}x^pe^{-x}=\frac1p\gammaf(p+1).\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Předchozí věta má obecnější platnost, platí pro $p \in \C$.<br />
\item $\gammaf(0) =\gammaf(1) =1$,<br />
\item $\gammaf(1/2) =\sqrt{\pi}$,<br />
\item $\gammaf(p+n)=(p+n-1)\cdots p\gammaf(p)$,<br />
\item $\gammaf(n+1)=n!$ pro $n\in\N$.<br />
\item $\gammaf$ je definovaná na $(0,+\infty)$. Lze prodloužit i~na<br />
záporná $p$ indukcí<br />
\[\gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\]<br />
pro $p\in(-1,0)$ a takto to natáhnu na $(-n+1,n)$.<br />
\item Použitím vztahu<br />
\[\ln\alpha=\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{\alpha}-1)\]<br />
dostaneme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\gammaf(p+1)&=<br />
\int_0^{+\infty}x^p e^{-x}\d x=<br />
\int_0^1\left(\ln\frac1t\right)^p\d t=<br />
\int_0^1\lim_{n\to\infty}n^p\left(<br />
1-t^{\frac1n}\right)^p\d t=<br />
\lim_{n\to\infty}n^p\int_0^1<br />
\tau^{n-1}(1-\tau)^p\,\d\tau=\\<br />
&=\lim_{n\to\infty}n^{p+1}\betaf(n,p+1)=<br />
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p+1}(n-1)!\,p\gammaf(p)}<br />
{(p+1)\cdots p\gammaf(p)}=<br />
\lim_{n\to\infty}\frac{n^p\,n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Takto lze definovat $\gammaf$ i~pro $\C$, ale problémy jsou s~$\Zm$.<br />
\item Funkce $\gammaf$ je třídy $\c{\infty}$, neboť integrál<br />
\[\gammaf^{(k)}(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^k x\,\d x\]<br />
existuje --- má integrabilní majorantu (pro každé $p$ existuje okolí<br />
$(p_1,p_2)$, na němž majoranta existuje):<br />
\[\int_0^1\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^k x}<br />
_{\le x^{p_1-1}e^{-x}\abs{\ln x}^{k+1}}\,\d x+<br />
\int_1^{+\infty}\underbrace{x^{p-1}e^{-x}\ln^{k+1} x}<br />
_{\le x^{p_2-1}e^{-x}\ln^k x}\,\d x.\]<br />
\[\gammaf''(p)=\int_0^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}\ln^2 x\,\d x>0,\]<br />
takže $\gammaf$ je konvexní.<br />
$\gammaf(1)=\gammaf(2)=1$, z~Rolleovy věty existuje $p_0\in(1,2)$ takové,<br />
že $\gammaf'(p_0)=0$. Funkce $\gammaf'$ je rostoucí, takže $\gammaf'(p)>0$,<br />
právě když $p>p_0$, tedy $\gammaf$ roste konvexně od $p_0$. Z~Heineovy<br />
věty a spojitosti vyplývá<br />
\[\lim_{p\to\infty}\gammaf(p)=+\infty,\quad<br />
\gammaf(p)=\frac{\gammaf(p+1)}{p}\implies\lim_{p\to 0}\gammaf(p)=+\infty.\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics{01MAA4_gamma.pdf}<br />
\caption{Průběh funkce gama}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{remark}<br />
\clearpage <br />
\begin{theorem}[Legendrův vzorec]<br />
\[\gammaf(p)\gammaf(p+\frac12)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p-1}}\gammaf(2p).\]<br />
pro $p\geq 0$<br />
\begin{proof}<br />
Po úpravě a substituci $\frac12-x=\frac12\sqrt{t}$ dostaneme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\betaf(p,p)&=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{p-1}=<br />
\int_0^1(x-x^2)^{p-1}=\int_0^1\left[<br />
\frac14-\left(\frac12-x\right)^2<br />
\right]^{p-1}=\\<br />
&=\int_0^{\frac12}+\int_{\frac12}^1=<br />
2\int_0^{\frac12}\left[<br />
\frac14-\left(\frac12-x\right)^2<br />
\right]^{p-1}=<br />
2\int_0^1\frac{1}{2^{2p}}t^{-\frac12}(1-t)^{p-1}\,\d t=\\<br />
&=\frac{1}{2^{2p-1}}\,\betaf\left(\frac12,p\right)=<br />
\frac{1}{2^{2p-1}}\frac{\gammaf(\frac12)\gammaf(p)}{\gammaf(p+\frac12)}=<br />
\frac{\gammaf^2(p)}{\gammaf(2p)}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Stirlingova formule]<br />
\[\gammaf(p)=\sqrt{2\pi}\,p^{p-\frac12}e^{-p}(1+r(p)),<br />
\text{ kde}<br />
\abs{r(p)}\le\left(e^{\frac1{12p}}-1\right).\]<br />
\begin{proof}<br />
\[\gammaf(n+1)=n!=\sqrt{2\pi}(n+1)^{n+\frac12}<br />
e^{-n-1}(1+r(n+1))\approx\sqrt{2\pi}\,n^{n+\frac12}e^{-n},\]<br />
tedy<br />
\[\frac{n!}{n^ne^{-n}}\approx\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\right)^{-1}.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Funkci $\gammaf$ lze jednoznačně definovat takto:<br />
$F\in\c{1}$ na $(0,+\infty)$, $F(p+1)=pF(p)$,<br />
\[F(p)F(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi},\quad<br />
F(p)F\left(p+\frac12\right)=<br />
\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2p+1}}F(2p).\]<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola24&diff=522801MAA4:Kapitola242014-01-29T10:05:10Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Základní integrál}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ libovolná množina. Množinu $\HH(X)$ reálných omezených funkcí<br />
$X\mapsto\R$ nazveme {\bf třídou} $\HH$ {\bf (souborem základních funkcí)}, platí-li<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Je-li $h,k\in \HH(X)$, pak $h+k\in \HH(X)$,<br />
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(X)$, pak $\alpha h\in \HH(X)$,<br />
\item Je-li $h\in \HH(X)$, pak $\abs{h}\in \HH(X)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\max(h,k)-\min(h,k)=\abs{h-k}$; $\max(h,k)+\min(h,k)=h+k$.<br />
\item $\max(h,k)\in\HH(x)$; $\min(h,k)\in\HH(x)$<br />
\item $h^+=\max(h,0)\in\HH(x)$; $h^-=\max(-h,0)\in\HH(x)$. Nulová<br />
funkce patří do $\HH$ díky (II).<br />
\item $h=h^+-h^-$; $\abs{h}=h^++h^-$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\II$ funkcionál definovaný na $\HH(X)$ a nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(\forall h,k\in\HH(X),\forall\alpha\in\R)<br />
(\II(\alpha h+k)=\alpha\II h+\II k)$,<br />
\item $(\forall h\in\HH(x))(h\ge 0\implies\II h\ge 0)$,<br />
\item \[(\forall\posl{h_n}\in\HH(x),h_n\ge 0\wedge h_n\ge h_{n+1})<br />
\left(<br />
\lim_{n\to\infty}h_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0<br />
\right)\]<br />
\end{enumerate}<br />
$\II$ pak nazýváme {\bf základní integrál}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je-li $h\le k$, pak $\II h\le\II k$.Plyne z axiomu I a II<br />
\item Platí, že $h\le\h^+\le\abs{h}$, $-h\le h^-\le\abs{h}$. Tedy<br />
$\II h\le\II\abs{h}$, $\II h\ge-\II\abs{h}$.<br />
\item Zvolím-li interval $\I\subset\R^n$, $\HH(\I)$ stupňovité funkce,<br />
$\II h$ jako v~předchozím odstavci, je $\II$ základní integrál.<br />
\item Buď $\I\subset\R^n$ kompaktní interval, $\HH(\I)=\c{0}(\I)$,<br />
pak $\II h=\mathfrak R\!\int_\I h$ je základní integrál. Linearita a<br />
pozitivnost je jasná, (III) plyne z~Diniovy věty.<br />
\item Nevlastní integrál: Buď $\J\subset\R^n$ jakýkoli interval, třeba<br />
neomezený. Pak řekneme, že $h\in\HH(\J)$ je stupňovitá na $\J$,<br />
jestliže existuje $\I\subset\J$ kompakt tak, že $h|_\I\in\HH(\I)\wedge<br />
h(x)=0$ pro $x\in\J\sm\I$. Zavedu $\II$ vztahem $\II h=\II(h|_\I)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $Z\subset X$. Pak množina $Z$ je nulové míry ($\mu(Z)=0$), právě<br />
když pro každé $\epsilon>0$ existuje rostoucí posloupnost<br />
nezáporných základních funkcí $\posl{h_n}\in\HH(X)$ tak, že platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\forall x\in Z)(\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1)$,<br />
\item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že výrok $V$ platí {\bf $\boldsymbol\mu$-skoro všude} na množině $X$, právě<br />
když existuje $Z\subset X$ taková, že $\mu(Z)=0$ a výrok $V$ platí pro<br />
každé $x\in X\sm Z$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Sjednocení nejvýše spočetného systému množin míry nula je opět<br />
množina míry nula.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}Termín skoro všude je závislý na volbě míry i na volbě základního integrálu!<br />
\begin{enumerate} <br />
\item Volíme-li $\II$ stejně jako v předchozím odstavci, pak lze tvrdit např.:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Skoro každé číslo je iracionální.<br />
\item Omezená monotonní funkce je spojitá skoro v~každém bodě.<br />
\end{enumerate}<br />
\item Volíme-li $\HH(\R)$ a definujeme $\II h=h(0),$ pak je množina $\R \setminus \{0\}$ míry nula. Funkcionálu $\II$ pak říkáme {\bf Diracova $\boldsymbol\delta$-funkce}, ačkoliv se nejedná o funkci v klasickém pojetí, nýbrž o tzv. distribuci (více v MMF).<br />
\end{enumerate}<br />
Nemůže-li dojít k záměně s jinou mírou, namísto \emph{$\mu$-skoro všude} budeme psát pouze \emph{skoro všude}, resp. \emph{s.v.}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_n}$ posloupnost funkcí z~$\HH$; $h_n\ge h_{n+1}\ge<br />
0$. Nechť $\lim_{n\to\infty}h_n(x)=0$ s.v. na $X$. Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď<br />
\[Z=\left\{x\in X|\lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right\},\]<br />
pak $\quad\mu(Z)=0$. Označme $M=\sup_{x\in X}h_1(x)$. Pro každé<br />
$\epsilon>0$ existuje posloupnost $\posl{k_m}\in\HH$, $0\le k_n\le<br />
k_{n+1}$ taková, že $\II k_n<\frac{\epsilon}{M}$ a pro každé $x\in Z$ je<br />
$(\sup_{n\in\N}k_n(x)\ge 1)$.<br />
<br />
Posloupnost $h_n-{Mk_n}$ klesá, má tedy limitu pro každé $x$. Současně<br />
pro každé $x$ platí<br />
\[\lim_{n\to\infty}(h_n-Mk_n)(x)\le 0,\]<br />
tedy<br />
\[\lim (h_n-Mk_n)^+(x)=0.\]<br />
Podle axiomu (III) je $\lim\II(h-Mk_n)^+=0$.<br />
Protože $h_n-Mk_n\le (h_n-Mk_n)^+$, je i<br />
$\II(h_n-Mk_n)\le\II(h_n-Mk_n)^+$, takže $\exists n_0$, že pro $n>n_0$ platí<br />
\[0\le\II h_n\le M\II k_n\le\epsilon,\]<br />
tedy <br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\posl{h_n}\in\HH$. Nechť platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $h_n(x)\ge h_{n+1}(x)\ge 0$ s.v. na $X$ pro každé $n\in\N$,<br />
\item $\lim_{n\to\infty} h_n(x)=0$ s.v. na $X$.<br />
Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost<br />
$\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ s.v. na $X$ a podle<br />
minulé věty<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies<br />
\lim_{n\to\infty}\II k_n=\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dvě funkce jsou ekvivalentní, značíme $f\sim g$, právě když<br />
$f(x)=g(x)$ s.v. na $X$.<br />
\item $f\lesssim g$, právě když $f(x)\le g(x)$ s.v. na $X$.<br />
\item $h_n\nearrow$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé<br />
$n\in\N$.<br />
\item $h_n\nearrow f$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé<br />
$n\in\N$ a navíc $lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$.<br />
\item $h_n\searrow$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé<br />
$n\in\N$.<br />
\item $h_n\searrow f$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé<br />
$n\in\N$ a navíc $lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$.<br />
\item $h_n\rightarrow$, právě když $\exists\lim_{n\to\infty}h_n(x)$<br />
s.v. na $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí věta: $h_n\searrow 0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $h_n,k_n\in\HH$. Nechť $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$ a<br />
$f\lesssim g$. Pak<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{n\to\infty}\II k_n.\]<br />
\begin{proof}<br />
Platí, že<br />
\[(h_n-k_m)\searrow (h_n-g)\lesssim (f-g)\lesssim 0,\quad<br />
\text{kde $n$ je pevné}\]<br />
tedy<br />
\[(h_n-k_m)^+\searrow(h_n-g)^+\sim 0.\]<br />
Podle axiomů<br />
\[\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)\le\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)^+=0,\]<br />
tedy<br />
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{m\to\infty}\II k_m.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola38&diff=522701MAA4:Kapitola382014-01-29T10:02:44Z<p>Nguyebin: Integrál po uzavřené dráze - s kolečkem.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Laurentovy řady}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu<br />
\[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\]<br />
nazveme {\bf Laurentovou řadou} a {\bf součet Laurentovy} [Loránovy] {\bf řady} je<br />
\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+<br />
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergence na mezikruží $B(z_0,r,R)$: $\abs{z-z_0}<R$ a<br />
$\abs{z-z_0}>r$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laurent]<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží<br />
\[P(z_0,r,R)=\{z\in\C|r<\abs{z-z_0}<R\}.\]<br />
Pak pro každé $z\in P$ platí<br />
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im}<br />
\oint_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad<br />
[\vartheta]\subset P,\ z_0\in\intd\vartheta.\]<br />
<br />
\begin{figure}[h]<br />
\center<br />
\includegraphics{01MAA4_lauren.pdf}<br />
\caption{K důkazu Laurentovy věty}<br />
\end{figure} <br />
<br />
\begin{proof}<br />
Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, <br />
<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi-<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Využilo se toho, že <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&=<br />
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi=<br />
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0}<br />
\frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}=<br />
\int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty<br />
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Bod $z_0$ se nazývá {\bf singulárním bodem funkce $f$}, jestliže $f$<br />
je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$.<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její<br />
Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n<0$.<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$<br />
pro $n<-p$.<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro<br />
nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a<br />
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\]<br />
její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme {\bf<br />
reziduum funkce v~bodě $z_0$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[reziduová]<br />
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je<br />
množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká<br />
Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak<br />
\[\oint_\phi f(z)\,\d z=\sum_{a\in M\cap\intd\phi}<br />
2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\]<br />
\begin{proof}<br />
%starý důkaz:<br />
%Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj<br />
%$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím<br />
%\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\]<br />
%a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že<br />
%\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\<br />
Předpokládejme, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je<br />
\[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\oint_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \]<br />
Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu<br />
\[\oint_\phi = \int_{\phi_n \dot{+} \phi_{n+1}}=\int_{\phi_n \dot{+} \psi}+\int_{\phi_{n+1} \dot{-} \psi}=\sum_{k=1}^{n}2\pi\im\,\rez_{a_k} f\,\ind_\phi a_k + 2\pi\im\,\rez_{a_{n+1}} f\,\ind_\phi a_{n+1} \,. \]\\<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výpočet rezidua ($a_{-1})$ v bodě $z_0$, kde je singularita p-tého řádu (chová se to podobně jako $1/(z-z_0)^p$)\\<br />
\[ f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \]<br />
\[ f(z)(z-z_0)^p = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \]<br />
<br />
\[ \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \]<br />
\[ a_{-1} = \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)\]<br />
Limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. <br />
<br />
\end{remark}<br />
\newpage</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola37&diff=522601MAA4:Kapitola372014-01-29T10:02:16Z<p>Nguyebin: Integrál po uzavřené dráze - s kolečkem.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Holomorfní funkce}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f:\C\mapsto\C$ se nazývá {\bf holomorfní v~bodě}, když je<br />
diferencovatelná na jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na<br />
množině} $G$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Funkce $\sin$, $\cos$, $e$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou<br />
holomorfní uvnitř kruhu konvergence.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak<br />
\[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $\la\phi\ra$.<br />
\[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t,<br />
\text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak<br />
\[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}=<br />
\int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im\]<br />
$\phi=re^{\im t}+z_0$, $t\in\left[ -\pi,\pi\right] $.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť<br />
$z_0\not\in\la\phi\ra$. Definujeme {\bf index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$}:<br />
\[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z\not=0\}$,<br />
$\extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z=0\}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cauchyho integrální]<br />
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní<br />
na $\intd\phi\cup\la\phi\ra$. Pak<br />
\[\oint_\phi f=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\<br />
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t=<br />
\int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+<br />
\im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\<br />
&=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}-<br />
\frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+<br />
\im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+<br />
\frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[princip deformace dráhy]<br />
Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké<br />
Jordanovy dráhy. Buď $[\phi_1]\subset\intd\phi_2$,<br />
$\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na<br />
$\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak<br />
\[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\]<br />
\begin{proof}<br />
Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics{01MAA4_draha.pdf}<br />
\caption{Princip deformace dráhy}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Napřed se udělá integrál přes levou část (viz obrázek), potom přes pravou. <br />
Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. <br />
$\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně.<br />
\[\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$. Říkáme,<br />
že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když <br />
$\ind_\phi z_0>0$. (proti směru hodinových ručiček)<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec]<br />
buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$ Pak pro každé<br />
$z\in\intd\phi$ platí<br />
\[f(z)=\frac{\ind_\phi<br />
z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\]<br />
\begin{proof}<br />
$\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$<br />
\[\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=<br />
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+<br />
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z).\]<br />
<br />
\[\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z).\]<br />
\[\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\int_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z\]<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
\[\oint_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\]<br />
\item<br />
\[\oint_\phi=\frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}-<br />
\frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in\la\phi\ra\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$<br />
platí<br />
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im}<br />
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad<br />
\la\phi\ra\in B,\ z_0\in\intd\phi.\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $z\in B(z_0,R)$,<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}<br />
\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}<br />
\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=0}^\infty\left(<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi<br />
\right)(z-z_0)^n.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
% Platí, že<br />
% \[<br />
% \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le %to neplatí<br />
% \frac{M}{r^{n+1}}\abs{z-z_0}^n,<br />
% \]<br />
Ještě se musí ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. To lze provést pomocí Weierstrasse.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Za splnění předpokladů předchozí věty platí:<br />
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0)<br />
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál.<br />
\item Určení poloměru konvergence: vzdálenost středu od bodu, ve kterém<br />
funkce není holomorfní.<br />
\item Holomorfní funkce na $B(z_0,R)$ je dokonce třídy $\c\infty$ na $B(z_0,R)$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola34&diff=522501MAA4:Kapitola342014-01-29T10:01:05Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Newtonova formule v $\R^2$}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f,g\in \c{1}\left[ \alpha,\beta\right] $, množinu<br />
$D=\{(x,y)\in\R^2~|~x\in(\alpha,\beta),\ g(x)<y<f(x)\}$<br />
nazýváme {\bf elementární oblastí typu $x(y)$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Definujeme $\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$.,<br />
kde<br />
\[<br />
\begin{array}{l}<br />
\phi_g(t)=(t,g(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\<br />
\phi_\beta(t)=(\beta,g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)))\quad t\in\left[ 0,1\right]\\<br />
\phi_f(t)=(t,f(t))\quad t\in\left[ \alpha,\beta\right]\\<br />
\phi_\alpha(t)=(\alpha,g(\alpha)+t(f(\alpha)-g(\alpha)))\quad t\in\left[ 0,1\right].<br />
\end{array}<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $P:\uz{D}\mapsto\R$ reálná funkce spojitá na $\uz{D}$ a třídy<br />
$\c{1}$ na $D$. Pak<br />
\[\int_\phi P\,\d x=-\iint_D\frac{\pd P}{\pd y}\,\d x\d y.\]<br />
\begin{proof}<br />
Z~Fubiniho věty a věty o~derivaci podle parametru<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\int_\phi P\,\d x + 0\d y &=\int_{\phi_g}+\int_{\phi_\beta}<br />
-\int_{\phi_f}-\int_{\phi_\alpha}=<br />
\int_\alpha^\beta(P(t,g(t)),0)(1, g'(t))\,\d t+<br />
\int_0^1(P,0)(0,f(\beta)-g(\beta))\,\d t-\\<br />
&\quad -\int_\alpha^\beta(P(t,f(t)),0)(1,f'(t))\,\d t-<br />
\int_0^1(P,0)(0,f(\alpha)-g(\alpha))\,\d t=\\<br />
&=\int_\alpha^\beta(P(t,g(t))-P(t,f(t)))\,\d t=<br />
-\int_\alpha^\beta[P(x,y)]_{g(x)}^{f(x)}\,\d x=<br />
-\int_\alpha^\beta\left(<br />
\int_{g(x)}^{f(x)}\frac{\pd P}{\pd y}(x,y)\,\d y<br />
\right)\d x.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $Q\in\c{0}(\uz{D})$, $Q\in\c{1}(D)$, kde $D$ je oblast typu<br />
$y(x)=\{(x,y)\in\R^2~|~y\in\left[\alpha,\beta\right],\ g(y)<x<f(y)\}$. Buď<br />
$\phi$ konstruována jako v~předchozím příkladu a $[\phi]=\hr{D}$.<br />
Pak<br />
\[\int_\phi Q\,\d y=\iint_D\frac{\pd Q}{\pd x}\,\d x\d y.\]<br />
\begin{proof}<br />
$\phi=\phi_g\dotp\phi_\beta\dotm\phi_f\dotm\phi_\alpha$,<br />
$\phi_g(t)=(g(t),t)$, $t\in\left[\alpha,\beta\right]$,<br />
$\phi_\beta(t)=(g(\beta)+t(f(\beta)-g(\beta)),\beta)$,<br />
$t\in\left[ 0,1\right]$ atd... analogicky, jako v předchozí větě.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi\in\c{0}\left[\alpha,\beta\right]$,<br />
$\phi:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto\R^n$. Potom $\phi$ je {\bf Jordanova<br />
dráha}, právě když<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\phi(\alpha)=\phi(\beta)$,<br />
\item $\phi$ je na $\left[ \alpha,\beta\right) $ prostá.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Jordan]<br />
Buď $\varphi$ {\bf Jordanova dráha} v~$\R^2$. Pak $\R^2$ se<br />
jednoznačně disjunktně rozloží $\R^2=A\cup[\phi]\cup B$, kde $A$ je<br />
neomezená a $B$ omezená. Označíme $A=\extd\phi$ --- {\bf vnějšek<br />
dráhy}, $B=\intd\phi$ --- {\bf vnitřek dráhy}.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[Green]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\phi$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí<br />
\[<br />
\int_\phi(P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(<br />
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}<br />
\right)\d x\d y.<br />
\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Vnitřek Jordanovy dráhy je jednoduše souvislý. (jednoduchá souvislost viz \ref{simplyconnected})<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark} <br />
Je-li forma $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$ je uzavřená na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru, z definice platí \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}.\] Z Greenovy věty pak získám<br />
\[\int_\phi (P\d x+Q\d y)=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\] forma $\boldsymbol\omega$ je tedy konzervativní. <br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola22&diff=522401MAA4:Kapitola222014-01-29T09:56:38Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Riemannův integrál jako elementární integrál}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že<br />
\[\I=\bigx_{i=1}^n\left[ a^i,b^i\right] .\]<br />
Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Objemem $n$-rozměrného intervalu $\I$} nazveme číslo<br />
\[V(\I)=\prod_{i=1}^n(b^i-a^i).\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\left[ a^i,b^i\right] $. Pak<br />
množinu<br />
\[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\]<br />
nazveme {\bf kartézským rozdělením $n$-rozměrného intervalu<br />
$\I$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Číslo $\norm{\sigma}=\max_{i\in\n}\norm{\sigma^i}$ nazveme {\bf norma<br />
rozdělení $\sigma$}. Rozdělení, pro které platí<br />
$\norm{\sigma}<\delta$, nazveme {\bf $\delta$-rozdělení}. Posloupnost<br />
rozdělení $\posl{\sigma_m}$ nazveme {\bf normální}, právě když<br />
$\norm{\sigma_m}\to 0$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$, $\sigma$ rozdělení<br />
$\I$, buďte<br />
\[M_i=\sup_{\I_i}f(x),\quad m_i=\inf_{\I_i}f(x).\]<br />
Pak číslo<br />
\[S(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pM_iV(\I_i)\]<br />
nazveme {\bf horním Darbouxovým součtem funkce $f$ na $J$} a číslo<br />
\[s(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pm_iV(\I_i)\]<br />
nazveme {\bf dolním Darbouxovým součtem}.<br />
$\sigma^*$ zjemnění $\sigma$: $\sigma_i^*$ je zjemnění $\sigma_i$ pro<br />
každé $i\in\n$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$. Pak označíme<br />
\[\underline{\int_\I}f=\sup_{(\sigma)}s(f,\sigma),\quad<br />
\overline{\int_\I}f=\inf_{(\sigma)}S(f,\sigma).\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
\[mV(\I)\le s(f,\sigma)\le S(f,\sigma)\le MV(\I)\]<br />
\[s(f,\sigma)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma)\]<br />
\item Pro $\sigma_1,\sigma_2$ existuje zjemnění obou $\sigma^*$, z~čehož vyplývá<br />
\[s(f,\sigma_1)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma_2).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak<br />
$(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$<br />
a platí<br />
\[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\wedge<br />
\underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Je-li $\norm{\sigma_m}\to 0$, pak<br />
\[\lim_{m\to\infty}S(f,\sigma_m)=\overline{\int_{\I}}f,\quad<br />
\lim_{m\to\infty}s(f,\sigma_m)=\underline{\int_{\I}}f.\]<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f$ omezená na $\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf Darbouxovsky<br />
integrabilní}, právě když<br />
\[\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\mathfrak D\!\int_\I f<br />
\text{ \dots nazýváme {\bf Darbouxův integrál}}\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Funkce je darbouxovsky integrabilní, právě když<br />
$(\forall\epsilon)(\exists\delta)(\forall \sigma , \norm{\sigma}<\delta)$<br />
$(\Omega(f,\sigma)=S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\epsilon)$, kde<br />
\[\Omega=\sum_{j=1}^p(M_j-m_j)V(\I_j)\]<br />
je {\bf oscilace funkce}.<br />
\item Funkce spojitá na intervalu je darbouxovsky integrabilní.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Mějme libovolnou reálnou funkci $f$ na kompaktu $\I$.<br />
\[\Xi(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p f(\xi_i)V(\I_i),<br />
\quad\xi_i\in\I_i\ \forall i\in\hat p\]<br />
nazveme {\bf Riemannovým integrálním součtem}.<br />
<br />
Funkci nazveme {\bf Riemannovsky integrabilní}, právě když<br />
pro každou normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ a pro každý systém<br />
$\xi_i$ existuje vlastní limita<br />
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)=\mathfrak R\!\int_\I f.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$s(f,\sigma_m)\le\Xi(f,\sigma_m)\le S(f,\sigma)$. Má-li funkce<br />
Darbouxův integrál, má i~Riemannův.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Následující dva výroky jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje Darbouxův integrál (a~funkce je tedy omezená)<br />
\[\mathfrak D\!\int_\I f\]<br />
\item Existuje normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ tak, že pro<br />
jakoukoli posloupnost Riemannových integrálních součtů existuje limita<br />
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)\in\R\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $1\implies 2$: Nejenže existuje $\posl{\sigma_m}$, ale dokonce<br />
pro každou.<br />
\item $2\implies 1$, resp. $\neg 1\implies\neg 2$: $\mathfrak D\!\int f$<br />
neexistuje, tedy posloupnost částečných součtů není omezená<br />
(tj. funkce není omezená) nebo $\underline{\int} f\not=\overline{\int}<br />
f$.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Funkce není omezená:<br />
<br />
Vezmu libovolnou $\norm{\sigma_m}\to 0$. Pak (alespoň) v~jednom<br />
částečném intervalu ($k$-tém) je funkce neomezená. Naleznu $\xi_{k'}$<br />
tak, aby<br />
\[\sum_{\substack{k=1\\k\not=k'}}^{p_m}<br />
f(\xi_k^m)\V(\I_k^m)+f(\xi_{k'}^m)\V(\I_k^m)>m\]<br />
\item $\underline{\int} f\not=\overline{\int} f$:<br />
Konstrukce $\xi_k$:<br />
\[m_k^{(m)}\le f(\xi_k^{(m)})<m_k^{(m)}+\epsilon\text{ pro $m$ liché}\]<br />
\[M_k^{(m)}-\epsilon<f(\xi_k^{(m)})\le M_k^{(m)}\text{ pro $m$ sudé}\]<br />
a mám vybrané posloupnosti konvergující k~různým limitám<br />
$\underline\int$ a $\overline\int$, takže limita<br />
neexistuje.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Darbouxův a Riemannův integrál se shodují. Darboux ovšem potřebuje<br />
omezenou funkci, Riemann si ji nese v~definici Riemannova integrálního<br />
součtu. Darboux se hodí na existenci integrálu, Riemann se hodí na<br />
výpočet hodnoty integrálu.<br />
<br />
Z~Darbouxe například okamžitě plyne integrabilita součtu, násobku a<br />
součinu funkcí:<br />
\[\Omega(\alpha f+\beta g,\sigma)\le\abs{\alpha}\Omega(f,\sigma)+<br />
\abs{\beta}\Omega(g,\sigma),\]<br />
\[\Omega(fg,\sigma)\le K\Omega(f,\sigma)+M\Omega(g,\sigma),\]<br />
kde $\abs{f}\le K$, $\abs{g}\le M$.<br />
Z~Riemanna zase plyne<br />
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(\alpha f+\beta g,\sigma)=<br />
\alpha\mathfrak R\!\int f+\beta\mathfrak R\!\int g.\]<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\I$ kompaktní. Pak $\c{0}(\I)\subset\mathfrak D(\I)=\mathfrak<br />
R(\I)$, funkce spojitá na $\I$ je darbouxovsky integrabilní na<br />
kompaktu.<br />
\begin{proof}<br />
Díky stejnoměrné spojitosti $f$<br />
\[\Omega(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p(M_i-m_i)V(\I_i)<\epsilon V(\I)\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množina $Z$ je {\bf Jordanovy míry nula}, právě když pro každé<br />
$\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$<br />
takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně<br />
platí<br />
\[\sum_{j=1}^r V(\K_j)<\epsilon\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konečná množina je Jordanovy míry nula, množina s~konečným počtem<br />
hromadných bodů je Jordanovy míry nula.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Má-li množina bodů nespojitosti omezené funkce $f$ na $\I\subset\R^n$<br />
Jordanovu míru nula, pak je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní.<br />
\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Diskuse:01MAA3&diff=5221Diskuse:01MAA32014-01-24T17:18:03Z<p>Nguyebin: /* Důkaz věty 3.10 (Riemann) */</p>
<hr />
<div>==NĚKOLIK PRAVIDEL PRO DISKUZI ZDE A OPRAVY==<br />
<br />
# '''Dodržujte odsazování pomocí dvojteček, za svůj příspěvek vložte 4 vlnky - doplní se místo nich datum a čas příspěvků. Diskuze je jinak nepřehledná.'''<br />
# '''Po editaci přeložte znovu kapitolu i celá skripta, ušetříte tím ostatních občas spoustu času při hledání drobné chyby po Vaší editaci (když se kvůli nim např. nemůže dokument přeložit).'''<br />
# '''Uvádějte Vaše změny ve shrnutí editace. Pokud jenom opravujete překlep, zaškrtněte malá editace. Usnadňuje to orientaci v Posledních změnách.'''<br />
<br />
Poznámky<br />
<br />
* Jen drobná poznámka - při výstupu z překladače jsem se snažil ho aspoň trochu zpřehlednit parsováním chyb, bohužel i tak je to občas nepřehledné. Pokud by se komukoliv podařilo vymyslet lepší skript pro parsování výstupu z texu (log) pomocí php, tak se to dá změnit. Nic není dokonalé. [[Uživatel:Admin|Admin]][[Média:slug.jpg]] 16. 1. 2010, 20:10 (UTC)<br />
<br />
==Hlasování==<br />
<br />
:Ahoj všem. Mám takový návrh, ale nejsem schopen odhadnout, do jaké míry s ním budete souhlasit. Mně osobně by přišlo velice šikovné, pokud by kapitola začínala vždy na nové stránce. Zaprvé by to bylo přehlednější, zadruhé by se vyřešil následující problém. Průvodce si tisknu po kapitolách, aby v případě, kdy se kompletně jedna kapitola změní, jsem ji mohl akorát přetisknout. A teď to musím dělat tak, že si nechám vygenerovat PDF pro kapitolu. Nicméně tam je úplně rozhozené číslování a nefungují odkazy do jiných kapitol. Takhle bych si vytiskl akorát strany z rozsahu dané kapitoly celého průvodce. Můžete prosím zde vyjádřit svůj názor, jestli jste pro, nebo proti tomu, aby kapitoly začínaly na nové stránce? [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 3. 2. 2010, 11:06 (UTC)<br />
:: mě by to nevadilo, případně to můžeš udělat i s dalším dílem. [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 3. 2. 2010, 18:01 (UTC)<br />
<br />
==Věci k doplnění/opravení==<br />
<br />
* Derivace vyšších řádů - opravit podle Vránových skript (http://su.fjfi.cvut.cz/studium/materialy/materialy.php?material=18)<br />
* V kapitolách o topologii doplnit chybějící věty a důkazy a přidat tam více poznámek.<br />
* Trošku jsem ještě doplnil a poopravil zápis ve větě "o přírůstku" 11.8.... + Obecná poznámka! Dobrý je si po svojí úpravě ještě přeložit, protože jinej člověk pak hledá, v kterým souboru je chyba, když ji tam někdo jinej nechá... Takhle to podle mne vypadá docela dobře.... Jirka Slabý [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 12. 1. 2010, 13:48 (UTC)<br />
<br />
* Dovolil jsem si udělat v průvodci malý vtip. Kdo na něj přijde, ten ho neničí! Díky! [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 12. 1. 2010, 22:58 (UTC)<br />
<br />
<br />
==Nejisti s opravou==<br />
===Důkaz věty 3.10 (Riemann)===<br />
Nedávno byla odstraněna jedna poznámka k Besselově nerovnosti, důkaz věty 3.10 nyní nepochopitelně odkazuje na Parsevalovu rovnost.<br />
\item Z~Besselovy nerovnosti vyplývá, že pro každou funkci $f\in R_2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:<br />
\[ <br />
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0. <br />
\]<br />
Nicméně i k původní verzi mám výhradu, funkce z věty 3.10 nemusí být kvadraticky integrabilní. Alternativní důkaz např [http://kurser.math.su.se/moodle19/file.php/812/Riemann-Lebesgue-Vretblad.pdf zde].<br />
-- [[Uživatel:Klinkjak|klinkjak]] 24. 1. 2014, 17:24 (CET)<br />
<br />
<br />
:: Poznámka nezmizela, jen se přesunula jinam. Odkaz ve wikiskriptu je nyní opraven, díky. :) Co se týče předpokladu kvadratické integrability v příslušné poznámce 3.6.3, ve Vránových skriptech (Funkční řady a posloupnosti) je též (neboť poznámka vyplývá z Besselovy nerovnosti). Souhlasím s tím, že pro Riemannovu větu je to trochu přísnější předpoklad (z f\in R^1(a,b) NEplyne f\in R^2(a,b) ).<br />
:: Každopádně vzhledem k tomu, že Vránovi ten důkaz takto stačí, nechal bych to tak, jak to je. ;) [[Uživatel:Nguyebin|nguyebin]] 24. 1. 2014, 18:18 (CET)<br />
<br />
==Vyřešeno==<br />
<br />
===Poznámka u definice 4.5===<br />
: Není pravda, že koule musí být konvexní (určitě to platí akorát u metriky indukované normou). Krbálek se nad tím zamýšlel a vymyslel následující metriku pro lineární prostor (kvůli konvexnosti): <math>\sum_i(horniCelaCast(|x_i-y_i|))</math>, kde <math>x_i</math> a <math>y_i</math> jsou složky vektorů. Můžete někdo ještě nezávisle na mě ověřit, že to splňuje axiomy metriky a že taková koule (např. v <math>\R^2</math>) může být nekonvexní? Abych tam nenapsal nějakou blbost. [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 16. 1. 2010, 08:25 (UTC)<br />
<br />
:: Koule generovaná metrikou nemusí být konvexní, pouze pokud je generovaná normou. Ale ten tvůj příklad metriky generuje konvexní kouli v tvaru pásu. Ale příklad nějaké metriky které generuje nekonvexní koule mě nenapadl. Možná <math>(\sum\sqrt(x_i-y_i))^2</math> [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 16. 1. 2010, 09:26 (UTC)<br />
<br />
::: Koule generovaná mou (spíše tedy Krbálkovou) metrikou by neměla být vždy konvexní. Vezměme rovinu, střed v (0,0), poloměr 1,5 - dostaneš takový kříž, do kterého budou patřit např. body (1,0), (0,1). Body na jejich spojnici tam ale nebudou. [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 16. 1. 2010, 10:52 (UTC)<br />
<br />
: Vrána na přednášce říkal "v lineárním prostoru". [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 18. 1. 2010, 15:39 (UTC)<br />
<br />
:: Ono to právě nemusí fungovat ani v lineárním prostoru, pokud je tam definována např. právě schodová metrika (viz. výše).<br />
<br />
<br />
===Axiomy oddělitelnosti (kapitola 5)===<br />
: Podle mě je špatně formulován axiom T0 (takhle by to bylo to samé co T1). Mrkněte třeba na http://en.wikipedia.org/wiki/T0_space. Správně by to mělo být: <math>(\forall x,y\in X)(x \neq y)(\exists okoli H)( (x\in H \and y \not\in H) \or (y\in H \and x \not\in H))</math> [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 13. 1. 2010, 11:23 (UTC)<br />
<br />
::Jo tak nějak by to mohlo být, s tím, že já to tu mám formulované x není y, existuje buď okolí x tak že y v něm neleží nebo existuje okolí y tak že x v tom okolí neleží. [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 13. 1. 2010, 14:43 (UTC)<br />
<br />
:::Rovnou by se tam mohly dopsat ty zbylé 2 axiomy.[[Uživatel:Tomas|Tomas]] 13. 1. 2010, 16:26 (UTC)<br />
<br />
::::No ono těch zbylých je ještě spousta (http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom) - např. <math>T_{2\frac{1}{2}} </math> :-). Jak jsme to dělali s Vránou na přednáškách, si přesně nepamatuji (jestli zmiňoval jenom tyhle 3, nebo přidával i další). Na cvičeních s p. Fučíkem jsme dělali ještě T4 a T5 (alespoň myslím, že to byly právě tyhle 2, do poznámek ze cvičení se budu moct podívat až večer a pak to tam tedy rovnou opravím). [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 13. 1. 2010, 16:40 (UTC)<br />
<br />
:::Tak tam jsou. Mohl bys to, prosím, ještě zkontrolovat, jestli to je v pořádku? Minimálně v jednom axiomu, jak jsem si ho zapsal na cvičeních, jsem měl chybu (alespoň co jsem to konfrontoval s Wikipedií), ten jsem si opravil. A vůbec jsem se nezamýšlel, jestli ty axiomy jsou správně s ohledem na Vránovu definici okolí, protože na cvičeních jsme měli okolí otevřená. [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 14. 1. 2010, 00:13 (UTC)<br />
<br />
:::: Myslím že je to špatně, v T_3 a T_4 má být tvrzením toho axiomu, že existují disjunktní okolí. To je také důvod proč se to nazývá axiomy oddělitelnosti. Ještě T_3 prostor se nazývá regulární a T_4 normální. Také platí věta že metrický prostor je normální, důkaz si čtenář snadno dokáže sám :-). <br />
<br />
::::: Samozřejmě tam mělo být, že průnik je prázdná množiny. To byl důsledek té půl druhé ráno :-). [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 14. 1. 2010, 08:57 (UTC)<br />
<br />
::To je přesně ten problém Vrána vs. zbytek světa. Vnějšek množiny <math>\{\smile\bullet\smile\} \cup Studenti_{\smile\bullet\smile}</math> (abych se vyjádřil správně topologicky) definuje okolí pouze otevřené. Vrána definuje okolí obecněji. Takže třeba na wikipedii uvádějí, že existuje U z topologie, kde je x XOR y, u Vrány by se muselo zmínit ještě, že se to musí být dokonce z vnitřku (pokud bychom udržet ten wikipeďácký styl). [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 13. 1. 2010, 23:31 (UTC)<br />
<br />
===Věta 7.4===<br />
<br />
: Je na <math>\R^n</math> definován interval? Nemělo by zde být pouze <math>\R</math>? Pokud tedy na <math>\R^n</math> definován je (pravděpodobně přes koule), tak by se ta definice měla někam sem přidat. [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 14. 1. 2010, 12:33 (UTC)<br />
:: interval v <math>\R^n</math> bude definován asi jako kartézský součin klasických intervalů...když někdo najdete přesnou definici, tak ji tam přidejte... [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 15. 1. 2010, 13:46 (UTC)<br />
::: Asi budeš mít pravdu - viz třeba http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)#Multi-dimensional_intervals. Jdu to tam tedy přidat. [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 15. 1. 2010, 18:54 (UTC)<br />
:: Definici budete mít příští semestr - viz [[01MAA4:kapitola21]]. [[Uživatel:Admin]] [[Média:slug.jpg]] 16. 1. 2010, 20:17 (UTC)<br />
<br />
===Věta 8.6 ===<br />
<br />
: Dotaz k větě 9.6 - nemohlo by být její znění ještě obecnější? - "Spojitá reálná funkce na souvislé množině nabývá infima, suprema a všeho mezi tím." <br />
<br />
:: Domnívám se, že ta věta je špatně. <br />
::Správně je dle mého<br />
:: "Spojitá reálná funkce nabývá na souvislé množině mezi každými dvěma svými hodnotami, také všechny hodnoty mezi nimi." (mám dojem, že tuhle větu spáchal Weierstrass)<br />
::Protože původní věta neplatí aspoň dle mého například na (0,1), pro 1/x. (0,1) je souvislá množina, a 1/x je spojitá. Ale rozhodně nenabývá suprema.<br />
<br />
::: Máš pravdu. S tím supremem a infimem to vlastně platí na kompaktech. To, co říkáš, jsem někde našel jako ''Darbouxovu vlastnost''. Tak to tam asi rovnou oprav.<br />
<br />
::a nemělo by to být prostě na kompaktní souvislé množině? Potom ta věta taky platí.<br />
<br />
:::A je tam pak k něčemu ten předpoklad souvislosti? [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 11. 1. 2010, 20:04 (UTC)<br />
<br />
:::: Samozřejmě třeba funkce f(x) = x na množině <math><0,1> \cup <2,3></math> sice nabývá suprema a infima, ale ne hodnot mezi 1 a 2. [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 11. 1. 2010, 20:19 (UTC)<br />
<br />
===Věta 8.7, poznámka 2===<br />
<br />
:Druhou poznámku lze snadno vyvrátit: Nechť A = (0,1) a (1,2) , komponenty souvislosti B_1 = (0,1), B_2 = (1,2), obě otevřené v R. Myslím, že autor míní výrok: "Komponenta A je uzavřená v A." Dokázal bych si představit i případy, kdy budou komponenty nutně obojetné, ale nevím, jestli to platí obecně.<br />
<br />
:: "Komponenta A je uzavřená v A."? to je dost divné, není jakákoli množina uzavřená sama v sobě? [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 18. 1. 2010, 09:15 (UTC)<br />
<br />
:: "Komponenta A je uzavřená v A." je blbost, to je prostě vždy pravda. Na druhou stranu nechápu ten protipříklad. Přeci komponenta souvislosti náleží k nějakýmu bodu, nelze si jenom tak říct, že to bude nějaká množina. Měním to zpátky na původní tvar, vyřčený vránou na přednášce (pokud mám dobře poznamenáno). [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 18. 1. 2010, 15:14 (UTC)<br />
<br />
::: Pánové, díky za opravu, bylo to myšleno přesně tak, jak to je v opravené verzi. Vše vyvstalo z mé velmi netypické formulace, písmenko A jsem přiřadil celému prostoru - podprostoru R. Dále, "Komponenta A je uzavřená v A" jsem měl formulovat jako "Komponenta prostoru A je uzavřená v A". V mém protipříkladu jsem to myslel následovně: Máme (pod)prostor X = (0,1) a (1,2), ten je nesouvislý. Jednotlivé komponenty jsou zřejmě otevřené v R, ale jsou uzavřené v X. Prostě, bez toho, abychom dodali, kde jsou komponenty uzavřené, mohla poznámka 2 být zavádějící. Nicméně, ještě jednou díky za spolupráci. P.S.: Používám spojení komponenta prostoru, nevím jak by to řekla Vrána, dle kapitolky "Conectedness - Souvislost" v knize "Theory and problems of general topology - Lipschutz, Seymour" (mimochodem výborná kniha, je tam mnoho obrázků a příkladů) přiřazuji pojem komponenta pojmu prostoru, nikoli samotnému bodu.<br />
<br />
===Definice 8.9===<br />
<br />
:Dovolím si posunout promennou u fi_2 na fi_2(t+alpha2-beta1). Na přednášce jsem nebyl, definici poznačenou nemám, ale takto to dává smysl i pro případ, že ty intervaly proměnných na sebe nenavazují.<br />
<br />
===Definice 10.7 ===<br />
: Můžete někdo poopravit definici souřadného systému pokud je to třeba? Zhruba takhle jsem ji měl poznamenanou z přednášky. [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 16. 1. 2010, 19:45 (UTC)<br />
<br />
:: Kontroloval jsem to a tvoje definice je ekvivaletní té, kterou má Vrána ve skriptech. Jedině snad, že on tam používá košatější jazyk :)[[Uživatel:Hirscjan|Hirscjan]] 19. 1. 2010, 14:15 (UTC)<br />
<br />
===Poznámka 3.6.6.===<br />
:V poznámce 3.6.6 je užita nerovnost bez jakéhokoliv odkazu na její předchozí výskyt, nebo aspoň poznámky, že spadla z nebe.<br />
:: Opravil jsem to, snad je to teď jasnější. [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 31. 1. 2010, 19:10 (UTC)<br />
===Věta 8.6===<br />
<br />
: Důkaz tak, jak je napsán, podle mě funguje jenom pro reálné těleso (část b) 2)), ale nebylo by obtížné to opravit tak, aby to fungovalo i pro komplexní. Je někde ve wikiskriptu specifikováno, že se u lineárních prostorů předpokládají pouze reálná tělesa? [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 14. 1. 2010, 13:09 (UTC)<br />
<br />
===Lemmátka 7.8 a 7.9===<br />
<br />
: Pokusil jsem se napsat důkazy těchto lemmátek trošku pořádněji. Zkontrolujte někdo prosím, zda tam nemám chyby, překlepy, atd... [[Uživatel:Karel.brinda|Karel.brinda]] 19. 1. 2010, 18:41 (UTC)<br />
<br />
===Věta 10.9 (o přírůstku)===<br />
<br />
:V posledním výrazu (po apklikaci Lagrange) má být tuším parciální derivace, derivace podle <math>x_i</math> mi přijde zavádějící, protože za <math>x_i</math> se pak bere níže definovaný vektor/bod. Opravuji. Pokud se mýlím, nechť jsem proklet a někdo to opravte zpět :) [[Uživatel:Ladislav.horky|Ladislav.horky]] 19. 1. 2010, 20:16 (UTC)<br />
<br />
===Věta 11.14 o přírůstku zobrazení ===<br />
:Doplnit důkaz z přednášky. [[Uživatel:Slabyji2|Slabyji2]] 19. 1. 2010, 21:31 (UTC)<br />
::Důkaz je ve původních Vránových skriptech, věta 8.3 [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 24. 1. 2010, 17:27 (UTC)<br />
<br />
===Věta 11.15===<br />
:Nemá někdo v poznámkách tuhle větu? Nutnost konečné dimenze X by měla nejspíš plynout z věty 12.14, kterou jsme na přednášce dokazovali jen pro prostor s konečnou dimenzí. Mám ale pocit, že tu konečnou dimenzi by měl mít spíš prostor Y... [[Uživatel:Radek.Novak|Radek.Novak]] 24. 1. 2010, 16:36 (UTC)<br />
::Je to věta 8.4 ve Vránových skriptech (http://su.fjfi.cvut.cz/studium/materialy/materialy.php?material=18) [[Uživatel:Tomas|Tomas]] 24. 1. 2010, 17:19 (UTC)<br />
:::To jsem si samozřejmě našel. Podle všeho by tam ten předpoklad neměl být a já myslím, že je v Průvodci napsaný jen proto, že jsme předchozí větu dokazovali pro konečnou dimenzi. Otázka je, který prostor měl v důkazu předchozí věty na přednášce konečnou dimenzi. Pokud tam byla ta konečnost opravdu jen kvůli tomu, mělo by to asi zmizet z tvrzení věty a přesunout se jako poznámka do důkazu, případně zmizet úplně. [[Uživatel:Radek.Novak|Radek.Novak]] 24. 1. 2010, 17:34 (UTC)<br />
<br />
===Věta 11.17===<br />
<br />
:Důkaz doplněn, prosím o kontrolu.[[Uživatel:Hirscjan|Hirscjan]] 19. 1. 2010, 17:34 (UTC)<br />
::Bylo to dobře až na malou chybičku, kterou jsem opravil. [[Uživatel:Radek.Novak|Radek.Novak]] 25. 1. 2010, 09:12 (UTC)</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola4&diff=522001MAA3:Kapitola42014-01-24T16:51:43Z<p>Nguyebin: Oprava odkazu v důkazu Riemannovy věty.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Trigonometrické řady}<br />
<br />
\index{trigonometrická řada}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\poslo{a_n}$ a $\posl{b_n}$ dvě posloupnosti reálných<br />
čísel. Potom řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf trigonometrickou řadou}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Díky Moivreově větě je trigonometrická řada vlastně \textit{komplexní} mocninnou řadou. Komplexním mocninným řadám se věnuje poslední kapitola v MAA4.<br />
\item Existuje-li $a\in\R$ tak, že trigonometrická řada konverguje na<br />
$\left[a,a+2\pi\right)$ resp. $\left( a,a+2\pi \right] $, pak řada konverguje na celém $\R$ a její součtová funkce je periodická s~periodou $2\pi$.<br />
\item Díky této periodicitě se můžeme omezit na zkoumání intervalu délky $2\pi$. Obvykle volíme symetrický interval $\left[-\pi,\pi\right]$ (na něm je integrál z liché funkce nulový). Ve fyzice se však můžeme setkat s~volbou intervalu $\left[0,2\pi\right]$.<br />
\item Členy trigonometrické řady jsou funkce s~periodou<br />
$2\pi$. Lineární transformací však můžeme docílit libovolné<br />
periody. Např. řada<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
kde $\lambda>0$, má za členy funkce periodické s~periodou<br />
$2\lambda$. Při jejím studiu se tedy můžeme omezit pouze na interval<br />
$\left[-\lambda,\lambda\right]$. Takovou řadu budeme někdy stručně označovat<br />
jako trigonometrickou řadu s~periodou $2\lambda$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Eulerovy vzorce]<br />
\label{euler}<br />
Nechť trigonometrická řada <br />
$\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$<br />
konverguje stejnoměrně na $\R$ a buď $F$ její součtová funkce. Potom<br />
pro všechna $n\in\No$ platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx\qquad\text{a}\qquad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Řada $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ konverguje<br />
stejnoměrně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a tudíž podle věty<br />
\ref{ointegraci-r} je<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\dx=\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi\dx+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\int_{-\pi}^\pi \cos nx\dx+<br />
b_n\int_{-\pi}^\pi \sin nx\dx<br />
\right)=a_0\pi.<br />
\]<br />
Podobně pro $n\in\N$ podle věty \ref{veta69} dostáváme<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\cos nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\cos nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\cos nx\dx<br />
\right)=a_n\pi.<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi F(x)\sin nx\dx=\frac{a_0}2<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin nx\dx+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx\sin nx\dx+<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx\sin nx\dx<br />
\right)=b_n\pi,<br />
\]<br />
neboť $\forall k\not=n$ platí tzv. relace ortogonality<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos kx\cos nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin kx\cos nx\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi\sin kx\sin nx\dx=0<br />
\]<br />
a $\forall k,n \in \No$ platí tzv. normovací podmínky<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx\dx=\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx\dx=\pi.<br />
\] <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Analogicky potom ze stejnoměrné konvergence řady<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right),<br />
\]<br />
na $\R$ k~součtové funkci $F$ plyne pro všechna $n\in\No$:<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx\text{ a }<br />
b_n=\frac1\lambda\int_{-\lambda}^\lambda F(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx.<br />
\]<br />
\item Vyjádření koeficientů trigonometrické řady pomocí<br />
své součtové funkce připomíná vyjádření koeficientů Taylorovy řady pomocí rozvíjené (součtové) funkce --- zde však v koeficientech vystupují integrály, nikoli derivace. Do trigonometrické řady lze však rozvinout daleko více funkcí než do mocninné řady.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{Fourierova řada}<br />
\begin{define}<br />
\label{deffour}<br />
Nechť funkce $f$ má absolutně konvergentní zobecněný integrál (v Riemannově smyslu) na<br />
intervalu $(a,b)$, kde $b-a=2\pi$. Položme<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{a}^b f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N.<br />
\]<br />
Potom trigonometrickou řadu<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
nazýváme {\bf Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$} a čísla $a_n$, $b_n$ nazýváme {\bf Fourierovými koeficienty}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Obecně --- pro případ pouze omezeného intervalu $(a,b)$ ---<br />
klademe<br />
\[<br />
a_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\cos\frac{\pi n}\lambda x\dx \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\lambda\int_a^b f(x)<br />
\sin\frac{\pi n}\lambda x\dx,<br />
\]<br />
kde $2\lambda=b-a$. Fourierovou řadou funkce $f$ na intervalu $(a,b)$<br />
potom rozumíme trigonometrickou řadu<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos \frac{\pi n}\lambda x+<br />
b_n\sin \frac{\pi n}\lambda x\right).<br />
\]<br />
<br />
\item Má-li periodická funkce s~periodou $\omega$ absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na některém z~intervalů délky<br />
$\omega$, má absolutně konvergentní integrál na každém omezeném<br />
intervalu.<br />
<br />
\item Buď $g$ periodická funkce s~periodou $\omega$ a nechť existuje<br />
$a\in\R$ tak, že integrál $\int_a^{a+\omega}g(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom pro libovolné $b\in\R$ je <br />
\[\int_b^{b+\omega}g(x)\dx=\int_0^\omega g(x)\dx.\]<br />
<br />
\item Z~předchozích poznámek plyne, že Eulerovy vzorce v~definici<br />
\ref{deffour} lze pro funkci s~periodou $2\pi$ psát také ve tvaru<br />
\[<br />
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\dx \quad \forall n\in\No \quad\text {a} \quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\dx \quad \forall n\in\N.<br />
\]<br />
\item Existence členu $\frac{a_0}{2}$ má své hluboké opodstatnění. Fourierova řada totiž připomíná vyjádření funkce jakožto lineární kombinaci bázových funkcí.Prostor funkcí je však nekonečné dimenze a pro tyto prostory nejsou zavedeny pojmy báze ani lineární kombinace.<br />
\item Z LAA2: Je-li $(\vec e_1,\dots\vec e_n)$ ON báze prostoru $V$, pak $\forall\vec y\in V$ platí rozvoj \[\vec y=\sum_{n=1}^n\la \vec e_i,\vec y\ra \vec e_i,<br />
\]<br />
kde čísla $\la \vec e_i,\vec x\ra$ nazýváme Fourierovými koeficienty vektoru $\vec{x}$ vzhledem k ON bázi $\posloupnost{1}{n}{\vec{e_i}}$.<br />
\item \label{onbaze} Zaveďme skalární součin dvou spojitých funkcí $f,g$ jako $\la f,g\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x) \dx$.<br />
\footnote{Tento vzorec pro skalární součin je však čistě formální záležitost (vzniklá zespojitěním skalárního součinu posloupností) a je třeba jej korektně zavést později.} <br />
Definujeme pojem ortonormální báze (který je nedělitelný a odlišný od pojmu algebraické báze z LNA). Ve funkcionální analýze se ukazuje, že ortonormální bázi prostoru funkcí je spočetná množina <br />
\[<br />
\left\lbrace \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{\sin(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\sin(2x)}{\sqrt{\pi}},\frac{\cos(2x)}{\sqrt{\pi}},\dots <br />
\right\rbrace. <br />
\]<br />
Z důkazu věty \ref{euler} (poslední dva řádky důkazu) plyne, že tyto funkce jsou<br />
\begin{itemize}<br />
\item vzájemně kolmé (relace ortogonality --- $\la\sin(kx),\cos(nx)\ra=0$),<br />
\item normované na jedničku (normovací podmínka --- $\norm{\sin(nx)}^2=\norm{\cos(nx)}^2=\pi$).<br />
\end{itemize}<br />
\vspace{4pt}<br />
Vzhledem k tomu, že můžeme bázové funkce (mimo první člen) rozdělit na sudé a liché, vznikají nám i dvě sady Fourierových koeficientů:<br />
\[ <br />
\tilde a_n=\la f(x),\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx<br />
,\quad<br />
\tilde b_n=\la f(x),\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\dx<br />
\]<br />
Porovnáním s definicí Eulerových vzorců \ref{deffour} vidíme, že se $\tilde a_n$ a $\tilde b_n$ liší od $a_n$ a $b_n$ o násobek $1/\sqrt{\pi}$. To je však normovací konstanta pro funkce $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. Norma těchto funkcí je tedy zahrnuta již v členech $a_n$ a $b_n$, resp. $\tilde a_n=a_n\norm{\cos(nx)}$ a $\tilde b_n=b_n\norm{\sin(nx)}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\norm{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}^2=\int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right) ^2\dx=\left[\frac{x}{2\pi}\right]_{-\pi}^\pi=1\]<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setcounter{enumi}{7}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
<br />
\item V předchozí poznámce jsme však nevyšetřili první člen, tedy Fourierův koeficient $a_0$. Z příkladu výše vidíme, že funkce $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ je již normovaná. Pak platí<br />
\[ <br />
\tilde a_0=\la f(x),\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ra=\int_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\dx<br />
\]<br />
První člen Fourierovy řady je tedy <br />
\[<br />
\tilde a_0\frac{1}{\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\underbrace{\cos(0x)}_{=1}\dx=\frac{a_0}{2}.<br />
\]<br />
Poslední rovnost plyne z vyjádření $a_n$ pro $n=0$. Tímto je uzavřena otázka, proč nelze první člen Fourierovy řady zahrnout do sumy. Z výše uvedeného je též zřejmé, že není možné zaměnit role členů $a_n$ a $b_n$, neboť by mj. neseděla definice prvního členu (tj. $n=0$).<br />
\item Na uzavření analogie mezi mocninnými a Fourierovými řadami poznamenejme, že prvky ortonormální báze \ref{deffour}.\ref{onbaze} jsou vlastně reálné a imaginární složky prvků komplexní ortonormální báze tvaru $\poslo{(2\pi)^{-1/2}e^{\im nx}}$. Proto se lze setkat s definicí Fourierovy řady obsahující $e^{\im nx}$ namísto $\sin(nx)$ a $\cos(nx)$. <br />
\item V kvantové mechanice se vzorci \ref{deffour} říká relace úplnosti. Souvisí to s výše uvedeným rozvojem funkcí do báze (tedy do nekonečné řady). Viz \ref{uplnost}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichletův integrální vzorec]<br />
\label{dirichlet}<br />
Buď $f$ funkce periodická s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom pro $n$-tý<br />
částečný součet její Fourierovy řady platí:<br />
\[<br />
F_n(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac t2}\dt<br />
\qquad \forall x\in\R.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\R$ a $n\in\N$. Potom podle poznámek \ref{deffour} je:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
F_n(x) & =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dt +<br />
\frac1\pi\sum_{k=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)(\cos kt\cos kx+<br />
\sin kt\sin kx)\dt= \\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\left(<br />
\frac12+\sum_{k=1}^n\cos k(x-t)<br />
\right)\dt =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)<br />
\frac{\sin\left((n+\frac12)(x-t)\right)}{2\sin\frac{x-t}{2}}\dt =<br />
\\<br />
& = \frac1\pi\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\tau)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)\tau}{2\sin\frac{\tau}{2}}\,\d \tau =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x+t)<br />
\frac{\sin(n+\frac12)t}{2\sin\frac{t}{2}}\dt.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Přitom jsme použili vyjádření<br />
\[<br />
\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\cos\frac n2x\cdot\sin\frac{n+1}2x}<br />
{\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]-\sin\frac x2}{2\sin\frac x2}=<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)x\right]}{2\sin\frac x2}-\frac12<br />
\]<br />
platné $\forall x\in\R$, $x\not=2\pi m$, kde $m\in\Z$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \label{dir1}Díky aditivitě integrálu lze nalézt ještě následující<br />
integrální vyjádření $n$-tého součtu Fourierovy řady:<br />
\[F_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi(f(x+t)+f(x-t))<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{2\sin\frac t2}\dt.\]<br />
<br />
\item \label{dir2} Zvolme ($\forall x\in\R$) ($f(x)=1$), pak jsou ($\forall k\in\N$) ($a_0=2$, $a_k=b_k=0$). Dosazením do předchozí poznámky získáme vyjádření jedničky pomocí integrálu z periodických funkcí:<br />
\[1=\frac1\pi\int_0^\pi\frac{\left[\sin(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt \quad \forall n\in\N.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Dirichlet]<br />
\label{dirichlet2}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$ mající absolutně<br />
konvergentní integrál na intervalu délky $2\pi$. Potom její Fourierova<br />
řada (s~periodou $2\pi$) konverguje v~bodě $x$ právě tehdy,<br />
existuje-li číslo $s$ tak, že platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt=0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Z~poznámek \ref{dirichlet}.\ref{dir1}, \ref{dirichlet}.\ref{dir2} a z linearity integrálu plyne<br />
$\forall x,s\in\R$, $\forall n\in\N$:<br />
\[<br />
F_n(x)-s=\frac1\pi\int_0^\pi\left(\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s\right)\frac{\sin\left[(n+\frac12)t\right]}{\sin\frac t2}\dt.<br />
\]<br />
Odtud již plyne tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Besselova nerovnost]<br />
\label{bessel}<br />
Buď $f$ funkce zobecněně integrabilní na intervalu $(-\pi,\pi)$, jejíž zobecněný integrál $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx$<br />
konverguje. Potom koeficienty její Fourierovy řady vyhovují nerovnosti<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\le<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Díky kovergenci $\int\limits_{-\pi}^\pi f^2$ platí, že $\int\limits_{-\pi}^\pi f$ konverguje absolutně (Hölderova nerovnost - viz FA1). <br />
<br />
Má tedy smysl mluvit o Fourierově řadě.<br />
Označíme-li opět $F_n$ $n$-tý částečný součet Fourierovy řady funkce<br />
$f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$, platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
0 & \le \int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))^2\dx=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - 2\int_{-\pi}^\pi f(x)F_n(x)\dx + <br />
\int_{-\pi}^\pi F_n^2(x)\dx= \\<br />
& = \int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{a_0}2\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx +<br />
\sum_{k=1}^n\left(<br />
a_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos kx\dx +<br />
b_k\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin kx\dx<br />
\right)<br />
\right) + \\<br />
& \quad + \frac{a_0^2}2\pi + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)\pi =<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx - \left(<br />
\frac{a_0^2}2 + \sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Tato nerovnost platí $\forall n\in\N$. Odečtením závorky v posledním kroku na levou stranu a vydělením $\pi$ získáme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{4pt}<br />
\item Předchozí věta představuje zobecnění Pythagorovy věty a z jejího tvrzení, resp. důkazu vyplývá několik důležitých poznatků, které uvádíme v následujících poznámkách a~větách. \item (kritérium konvergence)<br />
\[<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dx <+\infty \quad\Longrightarrow\quad \frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)<+\infty.<br />
\]<br />
\item \label{riemann-lemma} Z nutné podmínky konvergence řady na levé straně Besselovy nerovnosti dostáváme, že pro každou $f\in<br />
\mathcal{R}^2(a,b)$, kde $b-a=2\pi$, platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.<br />
\]<br />
\item Dle poznámky \ref{deffour}.\ref{onbaze} známe tvar skalárního součinu funkcí, tedy $\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx=\la f,f\ra$. Pokud by skalární součin indukoval normu, pravá strana až na prefaktor $\pi^{-1}$ odpovídá pravé straně Besselovy nerovnosti z LAA2. Existenci normy je třeba vyšetřit.<br />
\item Mějme množinu všech funkcí $f$, pro něž zobecněné integrály <br />
$\int_a^b f^2(x)\dx$ a tedy i $\int_a^b f(x)\dx$ konvergují,<br />
a označme ji $\mathcal{R}^2(a,b)$. Tato množina tvoří lineární prostor. Je tento prostor normovaný?<br />
Z předchozí poznámky se vhodným kandidátem na normu zdá být zobrazení<br />
\[f\mapsto\sqrt{\la f,f\ra}=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\dx}.\]<br />
Splňuje-li naše zobrazení všechny axiomy normy \ref{defnorm}, jedná se skutečně o normu.<br />
<br />
Třetí axiom normy však není splněn, neboť rovnost $\norm{f}=0$ platí i~pro nějakou nenulovou funkci $f$. Zobrazení je tedy pozitivně semidefinitní (nikoli pozitivně definitní) a nazveme jej {\bf seminormou}. <br />
\item Konvergenci posloupnosti funkcí definovaných na intervalu<br />
$(a,b)$ můžeme brát jako konvergenci v~prostoru $\mathcal{R}^2(a,b)$ s~výše<br />
definovanou seminormou. Nazývá se {\bf konvergence podle normy}, někdy též konvergence dle středu. Limitu v normovaném prostoru pak značíme l.i.m. z~latinského \textit{limes in medio}. \item \index{konvergence podle normy}<br />
Jsou-li $f_n\in \mathcal{R}^2(a,b)$ pro $n\in\N$ a $f\in<br />
\mathcal{R}^2(a,b)$, říkáme, že posloupnost $\posl{f_n}$ {\bf konverguje dle normy}<br />
k~funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, když $\norm{f_n-f}\to 0$, tj.<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b(f_n(x)-f(x))^2\dx=0.\]<br />
Řada $\rada f_n$ konverguje na intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci<br />
$F$, jestliže posloupnost částečných součtů této řady konverguje na<br />
intervalu $(a,b)$ podle normy k~funkci $F$.<br />
\item Z konvergence podle normy \emph{neplyne} bodová konvergence a naopak.<br />
\item V důkazu věty jsme tedy operovali s výrazem $\norm{f-F_n}^2$. Proto jsme si mohli dovolit odhadnout integrál zdola nulou, neboť naše seminorma je pozitivně semidefinitní.<br />
\item Číslo $\norm{f-g}$ má význam {\bf střední<br />
kvadratické odchylky} funkcí $f$ a $g$ na intervalu, na němž je definovaný skalární součin, v našem případě ($-\pi,\pi$).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{define}(trigonometrický polynom) Buďte $\posloupnost{0}{n}{c_k}$, $\posloupnost{1}{n}{d_k}$ dvě<br />
posloupnosti reálných čísel, $n\in\N$. Položme <br />
\[<br />
T_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx) \quad \forall x\in\R.<br />
\]<br />
Potom funkci $T_n$ nazýváme {\bf trigonometrický<br />
polynom stupně nejvýše $n$-tého}<br />
\index{trigonometrický polynom}<br />
resp. {\bf trigonometrický polynom<br />
stupně $n$-tého}, je-li alespoň jedno z~čísel $c_n$, $d_n$ nenulové.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zopakujme si nyní důkaz věty \ref{bessel} s~tím, že nahradíme<br />
součet $F_n$ trigonometrickým polynomem $T_n$. Obdržíme:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
& \norm{f-T_n}^2=\int_{-\pi}^\pi(f(x)-T_n(x))^2\dx = \\<br />
&=<br />
\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx-2\left(<br />
\frac{c_0a_0}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k a_k+d_k b_k)<br />
\right) \pi+<br />
\left(<br />
\frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2)<br />
\right)\pi=\\<br />
&=\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx +<br />
\left[<br />
\frac12(a_0-c_0)^2+\sum_{k=1}^n(a_k-c_k)^2+\sum_{k=1}^n(b_k-d_k)^2<br />
\right]\pi\,-\\<br />
& \quad-<br />
\left(<br />
\frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)<br />
\right)\pi\ge<br />
\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx=\norm{f-F_n}^2\ge 0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastane pro ($\forall k\in\hat{n_0}$)($a_k=c_k$) <br />
a ($\forall k\in\hat{n}$)($b_k=d_k$). Tedy<br />
\[<br />
\norm{f-T_n}^2\ge\norm{f-F_n}^2\ge 0.<br />
\]<br />
Nejlepší možná aproximace funkce $f$ pomocí $T_n$ je právě $n$-tý částečný součet její Fourierovy řady. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[o~nejlepší aproximaci]<br />
Nechť $f\in \mathcal{R}^2(a,b)$. Pak jediná trigonometrická řada, která může na<br />
intervalu $(-\pi,\pi)$ konvergovat podle normy k~funkci $f$ je právě Fourierova řada funkce $f$.<br />
<br />
\begin{proof} <br />
Označme <br />
\[F_n(x)=\frac{c_0}2+\sum_{k=1}^n(c_k\cos kx+d_k\sin kx)\]<br />
a nechť posloupnost $\posl{F_n}$ konverguje normy na intervalu <br />
$(-\pi,\pi)$ k~funkci $f$. Potom platí:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin mx\dx & =<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi F_n(x)\sin mx\dx=\\<br />
&= \frac1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-F_n(x))\sin mx\dx+d_m<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro všechna $n,m\in\N$, $n\ge m$. Nyní stačí užít Besselovy nerovnosti<br />
\[<br />
\abs{\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))\sin mx\dx}\le<br />
\sqrt{\pi\int_{-\pi}^\pi(f(x)-F_n(x))^2\dx}<br />
\]<br />
a provést limitní přechod pro $n\to\infty$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{theorem}[Parsevalova rovnost]<br />
\label{parseval}<br />
Buď $f\in \mathcal{R}^2(-\pi,\pi)$. Potom Fourierova řada<br />
funkce $f$ konverguje na intervalu $(-\pi,\pi)$ podle normy k~funkci<br />
$f$ právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=<br />
\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\dx.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Rovnost v Besselově nerovnosti nastane právě tehdy, když $\norm{f-F_n}^2\longrightarrow 0$. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riemann]<br />
\label{riemann}<br />
Nechť existují $a,b\in\RR$ tak, že zobecněný integrál<br />
$\int\limits_a^bf(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom platí:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx= 0.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť je nejdříve funkce $f$ na \textit{uzavřeném} intervalu<br />
$\left[a,b\right]$ riemannovsky integrabilní. Buď<br />
\[m=\left\lfloor\frac{b-a}{2\pi}\right\rfloor<br />
\quad<br />
\text{a}<br />
\quad<br />
f^*(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{pro }x\in\left[a,b\right]\\<br />
0 & \text{pro } x\in\left( b,a+2(m+1)\pi\right] <br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $f^*$ je riemannovsky integrabilní na intervalu<br />
$\left[a,a+2(m+1)\pi\right]$ a platí:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx=\int_a^{a+2(m+1)\pi}f^*(x)\cos nx\dx=<br />
\sum_{k=1}^{m+1}\int_{a+2(k-1)\pi}^{a+2k\pi}f^*(x)\cos nx\dx.<br />
\]<br />
Nyní již stačí provést limitní přechod pro $n\to\infty$ a užít poznámky \ref{bessel}.\ref{riemann-lemma}.<br />
\item Nechť $\int\limits_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje jako<br />
nevlastní Riemannův integrál a nechť např. $b$ je jediný kritický bod<br />
tohoto integrálu. Zvolme $\epsilon>0$. Potom existuje $c\in (a,b)$<br />
tak, že <br />
\[\int\limits_c^b \abs{f(x)}\dx<\frac\epsilon2.\] <br />
Protože podle bodu a) je<br />
\[\lim_{n \to \infty}\int_a^c f(x)\cos nx\dx=0,\]<br />
existuje $n_0\in\R$ tak, že pro všechna $n>n_0$ platí<br />
\[\int_a^c f(x)\cos nx\dx<\frac\epsilon2.\]<br />
Odtud již dostáváme, že pro všechna $n>n_0$ je:<br />
\[<br />
\int_a^b f(x)\cos nx\dx\le<br />
\abs{\int_a^c f(x)\cos nx\dx}<br />
+<br />
\abs{\int_c^b f(x)\cos nx\dx}<\epsilon.<br />
\]<br />
Analogicky dokážeme, že také<br />
\[\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\dx=0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Důsledkem této věty je tvrzení: Je-li $f$ integrabilní funkce na intervalu, její Fourierovy koeficienty jdou k nule pro rostoucí $n$ a tím se součet Fourierovy řady blíží nule. Analogické tvrzení (Riemannovo-Lebesgueovo lemma) platí i pro případ, kdy máme místo řady integrál a používá se v teorii Fourierovy transformace a zobecněných funkcí.<br />
\item Aplikujme nyní větu \ref{riemann} na limitu ve větě<br />
\ref{dirichlet2}. Předpokládejme v~následujících poznámkách, že funkce<br />
$f$ je periodická s~periodou $2\pi$ a že má absolutně konvergentní<br />
zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. Protože podle věty<br />
\ref{riemann} pro libovolné $s\in\R$ je<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cos nt\dt=0,<br />
\]<br />
dostáváme:<br />
\item \label{p773} Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item \label{p774} Buď $c\in(0,\pi)$. Potom pro libovolné $s\in\R$ je podle věty<br />
\ref{riemann}<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_c^\pi\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0<br />
\]<br />
a tudíž Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$ k~číslu $s$<br />
právě tehdy, platí-li<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c\left(<br />
\frac{f(x+t)+f(x-t)}{2}-s<br />
\right)<br />
\cotg\frac t2\sin nt \dt=0.<br />
\]<br />
\item (Dini) Pro konvergenci Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$ stačí konvergence integrálu<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{t}\dt<br />
\]<br />
pro některé $c\in(0,\pi)$. Skutečně --- z~konvergence výše uvedeného<br />
integrálu plyne konvergence integrálu <br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}\int_0^c<br />
\frac{\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}}{2}<br />
\,\cotg\frac t2 \dt<br />
\]<br />
a ostatní je již důsledek věty \ref{riemann} a poznámky<br />
\ref{riemann}.\ref{p773}.<br />
<br />
\item \label{p776} (Lipschitz) Fourierova řada funkce $f$ konverguje v~bodě $x$<br />
k~číslu $s$, existují-li $L>0,\alpha\in\left(0,1\right]$ a pravé okolí<br />
$\H_0$ bodu $0$ tak, že pro všechna $t\in\H_0$ platí:<br />
\[\abs{f(x+t)+f(x-t)-2s}\le Lt^\alpha.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riemannova o lokalizaci]<br />
\label{vlokaliz}<br />
Konvergence Fourierovy řady funkce $f$ i~hodnota jejího<br />
součtu v~bodě $x$ závisí pouze na průběhu funkce $f$ v~bezprostředním okolí tohoto bodu.<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z poznámky \ref{riemann}.\ref{p774}.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[o bodové konvergenci] <br />
\label{souc1}<br />
Buď $f$ periodická funkce s~periodou $2\pi$, která má absolutně<br />
konvergentní zobecněný integrál na intervalu délky $2\pi$. buď dále<br />
$x_0\in\R$ a nechť platí jeden z~následujících výroků:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item Funkce $f$ má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné derivace.<br />
\item Funkce $f$ je v~prstencovém okolí bodu $x_0$ diferencovatelná a<br />
její derivace má v~bodě $x_0$ obě konečné jednostranné limity.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada (s~periodou $2\pi$) funkce $f$ konverguje v~bodě<br />
$x_0$ a její součet je:<br />
\[<br />
\lim_{n\to\infty}F_n(x_0) = <br />
\begin{cases}<br />
f(x_0) & \text{v~případě (I)} \\<br />
\displaystyle\frac12\left(\lim_{x\to x_0+}f(x)+<br />
\lim_{x\to x_0-}f(x)\right) &<br />
\text{v~případě (II)}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Nechť platí (I). Položme $L=2\max(\abs{f'_+(x_0)},\abs{f'_-(x_0)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje pravé okolí bodu $\H$ bodu $0$ tak, že pro všechna<br />
$t\in\H$ platí:<br />
\[\abs{f(x_0+t)-f(x_0)}\le\frac12Lt\quad\wedge\quad\abs{f(x_0-t)-f(x_0)}\le\frac12Lt,\]<br />
a tedy<br />
\[\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-2f(x_0)}\le Lt.\]<br />
To je ovšem Lipschitzova podmínka pro konvergenci (poznámka 4.7.6)<br />
Fourierovy řady funkce $f$ v~bodě $x_0$ k~součtu $f(x_0)$.<br />
<br />
\item Nechť platí (II). Označme $f'(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)$,<br />
$f'(x_0-)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)$ a položme<br />
$L=2\max(\abs{f'(x_0+)},\abs{f'(x_0-)}) + 1$.<br />
<br />
Potom existuje $\delta>0$ tak, že pro všechna $x\in(x_0,x_0+\delta)$<br />
je $\abs{f'(x)}\le\frac12L$. Zvolíme-li nyní libovolně dva body<br />
$x_1,x_2\in(x_0,x_0+\delta)$, existuje podle věty o~přírůstku funkce<br />
$\xi\in(x_1,x_2)$ takové, že platí:<br />
\[\abs{f(x_1)-f(x_2)}=\abs{f'(\xi)}\,\abs{x_2-x_1}\le\frac12L\abs{x_2-x_1}.\]<br />
Odtud dle Bolzanova-Cauchyova kritéria plyne existence vlastní limity<br />
funkce $f$ v~bodě $x_0$ zprava.<br />
<br />
Položme opět $f(x_0+)=\lim_{x\to x_0+}f(x)$ a definujme funkci $g$<br />
takto:<br />
\[<br />
g(t)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x_0+t) & \text{pro $t\in(0,\delta)$} \\<br />
f(x_0+) & \text{pro $t=0$}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Funkce $g$ je spojitá zprava v~bodě $0$, diferencovatelná na intervalu<br />
$(0,\delta)$ a platí<br />
\[\lim_{t\to 0+}g'(t)=\lim_{t\to 0+}f'(x_0+t)=f'(x_0+).\]<br />
Potom funkce $g$ má v~bodě $0$ derivaci zprava a platí<br />
$g'_+(0)=f'(x_0+)$, tj.<br />
\[\lim_{t\to 0+}\frac{f(x_0+t)-f(x_0+)}{t}=f'(x_0+).\]<br />
Podobně dokážeme, že<br />
\[\lim_{t\to 0-}\frac{f(x_0+t)-f(x_0-)}{t}=f'(x_0-).\]<br />
Odtud již plyne, že existuje takové pravé okolí $\H$ bodu $0$, že pro<br />
všechna $t\in\H$ platí:<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)-f(x_0+)}\le\frac12Lt,\ \abs{f(x_0-t)-f(x_0-)}\le\frac12Lt<br />
\]<br />
a tedy<br />
\[<br />
\abs{f(x_0+t)+f(x_0-t)-(f(x_0+)+f(x_0-))}\le Lt.<br />
\]<br />
Podle poznámky \ref{riemann}.\ref{p776} odtud plyne, že Fourierova řada funkce $f$<br />
konverguje v~bodě $x_0$ k~číslu \[\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Předpoklady (I) a (II) ve větě \ref{souc1} jsou vzájemně<br />
nezávislé. Z~(I) evidentně neplyne (II) a na druhé straně z~platnosti<br />
(II) neplyne (právě když funkce $f$ není spojitá v~bodě $x_0$)<br />
platnost předpokladu (I). Pro funkci spojitě diferencovatelnou v~bodě<br />
$x_0$ jsou ovšem oba předpoklady (I) a (II) ekvivalentní. <br />
\item Poznámkami \ref{riemann}.\ref{p773}--\ref{riemann}.\ref{p776} a větami \ref{souc1} a \ref{vlokaliz}<br />
je v~podstatě vyřešena otázka bodové konvergence Fourierovy řady<br />
funkce $f$. <br />
\item Poněkud omezující (i~když pro rozvoj v~trigonometrickou<br />
řadu zcela logickou) se již vzhledem k~definici \ref{deffour} zdá<br />
skutečnost, že všechna tato tvrzení byla vyslovena pro periodickou<br />
funkci. Abychom všechna tato tvrzení mohli užít i~pro funkci<br />
definovanou na omezeném intervalu, pomůžeme si tzv. periodickým<br />
prodloužením.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{periodprodl}Buďte $a,b\in\R$ a nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu<br />
$\left[a,b\right)$. Potom {\bf periodickým prodloužením funkce $f$} na intervalu<br />
$\left[a,b\right)$ rozumíme funkci $f^*$ definovanou na množině $\R$<br />
\[<br />
f^*(x)=f\left(x-\left\lfloor\frac{x-a}{b-a}\right\rfloor(b-a)\right) \qquad \forall x \in \R.<br />
\]<br />
\end{define} <br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\begin{itemize}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item Periodickým prodloužením funkce<br />
$x\mapsto\sin x$ na intervalu $\left[0,\pi\right)$ je $\abs{\sin x}$.<br />
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto\sin x$ na intervalu<br />
délky $2\pi$ je funkce $\sin x$. <br />
\item Periodickým prodloužením funkce $x\mapsto x$ na intervalu $\left[ <br />
0,1\right)$ je funkce $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{3pt}<br />
\item \label{period1} Buď nyní $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right)$,<br />
$b-a=2\pi$ a nechť zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$ absolutně<br />
konverguje. Potom, užijeme-li větu \ref{souc1} na periodické<br />
prodloužení $f^*$ funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right)$, dostáváme:<br />
<br />
Buď $x_0\in(a,b)$ a nechť je splněn alespoň jeden z~předpokladů (I) a<br />
(II) věty \ref{souc1}. Potom platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx_0+b_n\sin nx_0)=<br />
\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx,\quad<br />
b_n=\frac1\pi\int_a^b f(x)\sin nx\dx\]<br />
pro všechna $n\in\No$ a symboly $f(x_0+)$ resp. $f(x_0-)$ chápeme ve<br />
smyslu užitém v~důkazu věty \ref{souc1}.<br />
<br />
\item \label{period2} Buďte $a,b$ libovolná různá reálná čísla, $x_0$ vnitřní bod<br />
intervalu o~krajních bodech $a,b$. Nechť dále zobecněný integrál<br />
$\int_a^b f(x)\dx$ absolutně konverguje. Potom, je-li splněn alespoň<br />
jeden z~předpokladů (I), (II) věty \ref{souc1}, platí:<br />
\[<br />
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
a_n\cos\frac{2\pi n}{b-a}x_0+b_n\sin\frac{2\pi n}{b-a}x_0<br />
\right)=\frac12(f(x_0+)+f(x_0-)),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
a_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\cos\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
b_n=\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\sin\frac{2\pi n}{b-a}x\dx,\quad<br />
\]<br />
pro všechna $n\in\No$.<br />
<br />
\item Nevyřešena v~předchozích dvou poznámkách ještě zůstává otázka<br />
konvergence Fourierovy řady funkce $f$ v~krajních bodech intervalu<br />
$(a,b)$. Předpokládáme opět, že zobecněný integrál $\int_a^b f(x)\dx$<br />
absolutně konverguje a nechť je splněn jeden z~následujících<br />
předpokladů:<br />
\begin{enumerate}[(I$^*$)]<br />
\item $f(a)=f(b)$ a existují jednostranné derivace $f_+'(a)$ a $f_-'(b)$.<br />
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v~jistém pravém okolí bodu $a$ a<br />
levém okolí bodu $b$, přičemž existují vlastní limity<br />
$\lim_{x\to a+}f'(x)$ a $\lim_{x\to b-}f'(x)$. <br />
\end{enumerate}<br />
Aplikací věty \ref{souc1} na periodické prodloužení funkce<br />
$f$ na intervalu $\left[a,b\right)$ získáme:<br />
<br />
Fourierova řada funkce $f$ z~poznámky \ref{periodprodl}.\ref{period1}<br />
resp. \ref{periodprodl}.\ref{period2} konverguje v~bodě $a$ (a~tím i~v~bodě $b$) a její<br />
součet je $\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Má-li funkce $f$ \textit{konečně} mnoho bodů nespojitosti, z nichž žádný není druhého druhu, říkáme, že $f$ je {\bf po částech spojitá}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[\uv {pro život}]<br />
\label{soucet}<br />
Nechť funkce $f$ je po částech spojitá a má po částech spojitou<br />
derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$. Potom Fourierova řada funkce $f$ na<br />
intervalu $(a,b)$ konverguje na celé množině $\R$ a označíme-li $F$<br />
její součtovou funkci, platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Funkce $F$ je periodická s~periodou $b-a$.<br />
\item $F(x)=\frac12(f(x+)+f(x-))$ pro všechna $x\in(a,b)$.<br />
\item $F(a)=F(b)=\frac12(f(a+)+f(b-))$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z~předchozích poznámek, nebo přímo z~věty \ref{souc1}, jestliže ji<br />
aplikujeme na periodické prodloužení funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Druhý bod (ii) věty \ref{soucet} můžeme vyslovit také<br />
v~následující podrobnější formě:<br />
\begin{enumerate}[(ii)]<br />
\item Pro všechna $x\in(a,b)$ platí:<br />
\[<br />
F(x)=<br />
\begin{cases}<br />
f(x) & \text{je-li funkce $f$ v~bodě $x$ spojitá}\\<br />
\displaystyle{\lim_{y\to x}f(y)} & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$<br />
odstranitelnou nespojitost}\\<br />
\frac12(f(x+)+f(x-)) & \text{má-li funkce $f$ v~bodě $x$ nespojitost<br />
I. druhu}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\item Nechť integrál $\int_{-\pi}^\pi f(x)\dx$ absolutně konverguje a<br />
buď<br />
\[\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\]<br />
Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Potom platí:<br />
Je-li funkce $f$ lichá, jsou<br />
\[a_n=0,\ b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx\dx\text{ pro }n\in\No;\]<br />
je-li funkce $f$ sudá, jsou<br />
\[b_n=0,\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx\dx\text{ pro }n\in\No.\]<br />
<br />
\item Buď $\alpha\in\R$ a položme $f(x)=\cos\alpha x$ pro všechna<br />
$x\in\left[-\pi,\pi\right]$. Je-li $\alpha\in\Z$, je triviálně funkce $f$<br />
součtovou funkcí své Fourierovy řady na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$. Buď<br />
dále $\alpha\in\R-\Z$; potom podle předchozí poznámky platí:<br />
\[<br />
a_n=\frac2\pi\int_0^\pi \cos\alpha x\cos nx\dx=\frac1\pi\left(<br />
\frac{\sin(\alpha+n)\pi}{\alpha+n} +<br />
\frac{\sin(\alpha-n)\pi}{\alpha-n}<br />
\right)=<br />
\frac1\pi\frac{2\alpha(-1)^n}{\alpha^2-n^2}\sin\alpha\pi<br />
\]<br />
a $b_n=0$ pro všechna $n\in\No$.<br />
Z~věty \ref{soucet} potom plyne:<br />
\[<br />
\cos\alpha x=\frac{\sin\alpha\pi}{\alpha\pi}+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n<br />
\frac{2\alpha\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\cos nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$.<br />
Analogicky obdržíme<br />
\[<br />
\sin\alpha<br />
x=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{2n\sin\alpha\pi}{\pi(\alpha^2-n^2)}\sin nx<br />
\]<br />
pro všechna $x\in\left[-\pi,\pi\right]$.<br />
<br />
\item Položme ve vyjádření pro $\cos\alpha x$ v~předchozí poznámce<br />
$x=0$ a $\alpha\pi=z$ resp. $x=\pi$ a $\alpha\pi=z$. Potom dostáváme:<br />
\[<br />
\frac1{\sin z}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^nz}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\cotg z=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-(\pi n)^2}=\frac1z+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(<br />
\frac{1}{z+n\pi}+\frac{1}{z-n\pi}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R-\pi\Z$ (tj. všechna reálná $z$, která nejsou celým<br />
násobkem $\pi$). Našli jsme tak vlastně rozklad dvou neracionálních<br />
funkcí na parciální zlomky. Položíme-li v~rozkladech<br />
$z=\frac{-\pi}2-y$, obdržíme také rozklad funkcí $\frac1{\cos z}$ a<br />
$\tg z$ na parciální zlomky.<br />
<br />
\item Buď $x\in(0,\pi)$. Potom podle předcházející poznámky pro<br />
všechna $y\in\left(0,x\right] $ je<br />
\[<br />
\cotg y-\frac1y=\sum_{n=1}^\infty\frac{2y}{y^2-(n\pi)^2}.<br />
\]<br />
Protože řada na pravé straně rovnosti podle Weierstrassova kritéria<br />
konverguje stejnoměrně na $\left[0,x\right]$, platí podle věty \ref{ointegraci-r}<br />
\[<br />
\int_0^x\left(\cotg y-\frac1y\right)\dy=<br />
\sum_{n=1}^\infty\int_0^x\frac{2y\dy}{y^2-(n\pi)^2},<br />
\]<br />
tj.<br />
\[<br />
\left[\ln\frac{\sin y}{y}\right]_x^0=<br />
\sum_{n=1}^\infty\left[\ln\abs{y^2-(n\pi)^2}\right]_0^x<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\ln\frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^\infty\ln<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Ze spojitosti funkce $\ln$ (můžeme tedy \uv{odlogaritmovat}) potom plyne<br />
\[<br />
\sin x=x\prod_{n=1}^\infty<br />
\left(<br />
1-\frac{x^2}{(n\pi)^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední rovnost platí evidentně na intervalu $\left[-\pi,\pi\right]$ a<br />
užijeme-li periodičnost obou stran, dokážeme její platnost na celé<br />
množině $\R$. Speciálně pro $z=\frac\pi 2$ obdržíme vyjádření jedničky jako nekonečný součin (tzv. Wallisovu formuli)<br />
\[<br />
1=\frac\pi 2\prod\frac{(2k+1)(2k-1)}{(2k)^2}.<br />
\]<br />
Ze vztahu $\sin2z=2\sin z\cos z$ ještě plyne, že<br />
\[<br />
\cos z=\prod_{n=1}^\infty\left(<br />
1-\frac{4z^2}{(2n-1)^2\pi^2}<br />
\right)<br />
\]<br />
pro všechna $z\in\R$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Jordan]<br />
Buď $f$ funkce definovaná na intervalu $\left[a,b\right]$ s~následujícími<br />
vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $f(a)=f(b)$.<br />
\item $f$ je spojitá na intervalu $\left[a,b\right]$.<br />
\item Funkce $f$ má po částech spojitou derivaci na intervalu $\left[a,b\right]$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom Fourierova řada funkce $f$ na intervalu $\left[a,b\right]$ konverguje<br />
stejnoměrně na množině $\R$.<br />
\begin{proof}<br />
Větu stačí zřejmě dokázat pro případ $b-a=2\pi$.<br />
<br />
Buďte $c_1<c_2<\dots<c_{n-1}$ všechny body nespojitosti derivace<br />
funkce $f$. Označíme-li $c_0=a$, $c_n=b$, platí pro všechna $n\in\N$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
a_n & =\frac1\pi\int_a^b f(x)\cos nx\dx=<br />
\frac1\pi\sum_{i=1}^n\int_{c_{i-1}}^{c_i} f(x)\cos nx\dx= \\<br />
& = \frac1{n\pi}\sum_{i=1}^n<br />
\left(<br />
[f(x)\sin nx]_{c_{i-1}}^{c_i}-<br />
\int_{c_{i-1}}^{c_i}f'(x)\sin nx\dx<br />
\right)= \\<br />
& = \frac1{n\pi}(f(b)\sin nb-f(a)\sin na)-<br />
\frac1{n\pi}\int_a^b f'(x)\sin nx\dx = -\frac1n b_n',<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde jsme písmenem $b_n'$ označili příslušný Fourierův koeficient<br />
funkce $f'$. Analogicky dokážeme, že pro všechna $n\in\N$ platí<br />
\[b_n=\frac1n a_n'.\]<br />
Pro všechna $n\in\N$ a pro všechna $x\in\R$ tedy platí:<br />
\[<br />
\abs{a_n\cos nx+b_n\sin nx}\le \abs{a_n}+\abs{b_n}=<br />
\frac{\abs{a_n'}}{n}+\frac{\abs{b_n'}}{n}\le<br />
\frac12\left(<br />
\abs{a_n'}^2+\frac1{n^2}+\abs{b_n'}^2+\frac1{n^2}<br />
\right).<br />
\]<br />
Poslední krok platí z tzv. Youngovy nerovnosti:<br />
\[<br />
0\leq(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \Longrightarrow 2ab\leq a^2+b^2<br />
\]<br />
<br />
Z~Besselovy nerovnosti (věta \ref{bessel}) vyplývá, že výraz na pravé<br />
straně nerovnosti je $n$-tý člen konvergentní číselné řady. Tvrzení<br />
věty nyní plyne z~Weierstrassova kritéria.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola27&diff=521701MAA4:Kapitola272014-01-24T12:56:33Z<p>Nguyebin: Změna značení L, drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Limitní přechody}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $\phi_0,\posl{\phi_n}\in\LL$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$. Pak<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$<br />
\item $\beta=\limsup_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$<br />
\item<br />
\[-\II\phi_0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le<br />
\limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le\II\beta\le\II\phi_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte<br />
\[\alpha=\liminf_{k\to\infty}\phi_k,\quad\beta=\liminf_{k\to\infty}\phi_k.\]<br />
<br />
\[-\phi_0\lesssim\alpha_m^{(n)}:=\min_{n\le k\le m}\phi_k,\quad\beta_m^{(n)}:=\max_{n\le k\le m}\phi_k\lesssim\phi_0.\]<br />
Zřejmě je $\alpha_m^{(n)}\in\LL$, $\beta_m^{(n)}\in\LL$ a<br />
\[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\quad<br />
\beta_m^{(n)}\nearrow\beta_n=\sup_{k\ge n}\phi_k.\] Podle věty \ref{levi-dusledek}<br />
jsou $\alpha_n$ a $\beta_n\in\LL$ a současně<br />
$\alpha_n\nearrow\alpha\in\Lambda$,<br />
$\beta_n\searrow\beta\in\Lambda$. Protože $\II\alpha_n\le\II\phi_0$ a<br />
$\II\beta_n\ge -\II\phi_0$, jsou i $\alpha,\beta\in\LL$.<br />
Platí:<br />
$-\phi_0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n\lesssim\beta_n\lesssim\phi_0$.<br />
Integrací dostaneme<br />
\[<br />
-\II\phi_0\le\liminf_{n\to\infty}\II\alpha_n\le<br />
\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le<br />
\limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le<br />
\limsup_{n\to\infty}\II\beta_n\le\II\phi_0.<br />
\]<br />
Protože limity \[\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n \, \quad \mathrm{a} \, \quad \lim_{n\to\infty}\II\beta_n \] existují, vyplývá odtud již tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}[Lebesgue]<br />
\label{lebesgue}<br />
Buď $\posl{\phi_n}\in\LL$, $\phi_n\to\phi$ a<br />
$(\exists\phi_0\in\LL)(\forall n\in\N)(\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0)$.<br />
Pak $\phi\in\LL$ a<br />
\[\II\phi=\lim_{n\to\infty}\II\phi_n.\]<br />
Posloupnost integrabilních funkcí je integrabilní, jestliže existuje<br />
integrabilní majoranta.<br />
\begin{proof}<br />
Vyplývá z~minulé věty, pokud položíme $\limsup=\liminf$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
%\label{lebesgue-poznamka}<br />
\item Weierstrass:<br />
\[\sum_{n=1}^\infty f_n(x),\quad \abs{f_n(x)}\le c_n,\]<br />
analogicky<br />
\[\int\phi_n(x),\quad \abs{\phi_n(x)}\le\phi_0(x).\]<br />
% %\item<br />
% %\[<br />
% %\text{Z}\mathfrak R\!\int_a^b f=\mathfrak{L}\!\int_a^b f<br />
% %\]<br />
% %\[<br />
% %f_n(x)=<br />
% %\begin{cases}<br />
% %f(x)&\text{pro }x\in\left[ a,b-\frac1n\right] \cup\left[ a,a+n\right] \\<br />
% %0&\text{jinak}<br />
% %\end{cases}<br />
% %\]<br />
% %\[\lim_{n\to\infty}\II f_n=\II f\]<br />
% %Jestliže Riemann konverguje absolutně, pak $\abs{f}=f^+ +f^-$ (obě<br />
% %konečné), tedy $f\in\LL$.<br />
% %<br />
% %Jestliže Riemann konverguje neabsolutně, pak $f=f^+ -f^-$<br />
% %\[\text{NAZ}\mathfrak R\!\int_a^b f\implies\int_a^b f^+=\int_a^b f^-=+\infty\]<br />
% %a neexistuje Lebesgueův integrál.<br />
% %<br />
% %Lebesgue do své teorie zahrne absolutně konvergentního Riemanna,<br />
% %ale neabsolutního ne. Lze zavést zobecněného Lebesgua.<br />
\item Buď $\posl{\phi_n}\in\LL$, $\phi_n\to\phi$,<br />
$(\exists\phi_0\in\LL)(\abs{\phi}\lesssim\phi_0)$. Pak $\phi\in\LL$.<br />
\begin{proof}<br />
$\phi_n$ se oříznou pomocí $\phi_0$. $\psi_n=\max(-\phi_0,\min(\phi_0,\phi_n))\in\LL$,<br />
$\abs{\psi_n}\le\phi_0$, $\phi_n\to\phi$, $\psi_n\to\phi$, tedy podle<br />
předchozí věty $\phi\in\LL$.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $\phi_n\gtrsim 0$, $\phi_n\in\LL$ a<br />
$\II\phi_n\le c$ pro každé $n$. Pak<br />
\[\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL\]<br />
a platí<br />
\[0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le c.\]<br />
\begin{proof}<br />
Položme<br />
\[\alpha_m^{(n)}=\min_{n\le k\le m}\phi_k\in\LL,\]<br />
zřejmě je $\II\alpha_m^{(n)}\le c$ a platí, že<br />
\[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\]<br />
podle věty \ref{levi-dusledek} je $\alpha_n\in\LL$ a $\II\alpha_n\le c$. Protože je<br />
$\alpha_n\nearrow\alpha$, podle Leviovy věty je $\alpha\in\LL$ a<br />
$\II\alpha=\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n$. Pro $\forall n$ platí<br />
$0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n$, tedy<br />
$0\le\II\alpha_n\le\II\phi_n\le c$ a<br />
$0\le\lim\II\alpha_n= \II\alpha\le \liminf\II\phi_n\le c$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\begin{remark}<br />
Z existence integrabilní majoranty plyne omezenost $\II\phi_n$, opačně to platit nemusí. <br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[Fatou]<br />
\label{Fatou}<br />
Buď $\posl{\phi_n}\in\LL$, $\phi_n\to\phi$ a $\II\abs{\phi_n}\le<br />
c$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}\le c$.<br />
\begin{proof}<br />
Položíme $\psi_n=\abs{\phi_n}$. Posloupnost $\psi_n$ splňuje<br />
předpoklady předchozí věty a tedy platí, že $\II\abs{\phi}\le<br />
c$. %Protože $\phi\lesssim\psi$, je $\phi\in\LL$ a$\abs{\II\phi}\le\II\psi\le c$.<br />
Z poznámky \ref{lebesgue}.2, kde bude $\phi_0:= \abs{\phi}\in \LL$ plyne, že $\phi \in \LL$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $L^1$ množina všech tříd rozkladu $\LL$ podle ekvivalence $\!\sim$ s~obvykle definovanými<br />
operacemi součtu a násobení číslem. Je-li $[\phi]\in L^1$, položme<br />
normu $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$. Potom $L^1$<br />
je normovaný lineární prostor.<br />
\begin{proof}<br />
Pro operace platí<br />
\[[\phi]+[\psi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\phi_1+\psi_1,~\phi_1\in[\phi],\psi_1\in[\psi]\right.\right\},\]<br />
\[\alpha[\phi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\alpha\phi_1,~\phi_1\in[\phi]\right.\right\} \quad \forall\alpha \in \R.\]<br />
Axiomy lineárního prostoru zřejmě platí. Norma je pozitivní<br />
$\norm{[\phi]}\ge 0$ a platí, že\\<br />
$\norm{[\phi]}=0\implies[\phi]=[o]$ (nulová funkce). Norma je tedy skutečně normou splňující axiom pozitivní definitnosti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Prostor $ L^1$ neobsahuje funkce, nýbrž třídy ekvivalence funkcí. Vzhledem k definici tedy neexistuje pojem funkční hodnota, neboť funkce v rámci třídy se od sebe liší na množině míry nula. Budeme-li tedy brát prvek z $ L^1$, budeme tím mít na mysli reprezentanta dané třídy. Ne každá třída má však spojitého reprezentanta! To platí v tzv. Sobolevově prostoru.<br />
\item Důvod zavedení tohoto prostoru tkví v tom, že jsme takto získali prostor, z němž základní integrál generuje normu. V $\LL$ sice normu můžeme zavést stejným způsobem, nesplňuje však třetí axiom normy --- nejen nulová funkce má nulovou normu. (jedná se tedy o seminormu).<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
%\begin{define}<br />
%Označme symbolem $\LL_1$ lineární prostor na $\Sim\LL$ s~definovanou<br />
%normou $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$.<br />
%\end{define}<br />
%\begin{proof}<br />
%Množina $\LL$, ekvivalence $\sim$; $L/\sim=\Sim\LL$ {\bf<br />
%faktormnožina}, $[\phi]\in\Sim\LL$,<br />
%$\psi_1,\psi_2\in[\phi]\iff\psi_1\sim\psi_2$.<br />
%<br />
%Třídy jsou buď totožné nebo disjunktní,<br />
%$[\phi]\cap[\psi]\not=\emptyset\implies[\phi]=[\psi]$.<br />
%<br />
%$[\phi]+[\psi]=\widehat{\phi+\psi}$ <br />
%$\alpha[\phi]=\widehat{\alpha\phi}$ jsou operace na $\Sim\LL$.<br />
%\end{proof}<br />
<br />
\begin{theorem}[Riesz, Fischer]<br />
Prostor $ L^1$ je Banachův (úplný normovaný vektorový prostor)<br />
\begin{proof}<br />
Vezmu posloupnost tříd $\posl{[\phi_n]}\in L^1$. Nechť<br />
$\posl{[\phi_n]}$ je cauchyovská, tj.<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(m,n>n_0)<br />
\left(\norm{[\phi_n]}-[\phi_m]<\epsilon\right).\]<br />
Položme \[\epsilon=\frac1{2^k},\] tedy<br />
\[(\forall k\in\N)(\exists n_k)(\forall m>n_k)<br />
\left(\norm{[\phi_m]-[\phi_{n_k}]}<\frac1{2^k}\right).\]<br />
Vytvořím z~$n_k$ rostoucí posloupnost, stačí dokázat, že konverguje<br />
vybraná posloupnost $\phi_{n_k}$.<br />
\[\II\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}=<br />
\norm{[\phi_{n_{k+1}}]-[\phi_{n_k}]}\le<br />
\frac1{2^k}\]<br />
a proto<br />
\[\II\sum_{k=1}^m\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\le 1\]<br />
pro každé $m\in\N$. Podle Leviho má řada<br />
\[\sum_{k=1}^\infty\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\]<br />
integrabilní součtovou funkci a proto skoro všude absolutně konverguje, a~tedy<br />
konverguje skoro všude i~řada<br />
\[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\]<br />
Současně platí<br />
\[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right)\sim<br />
\underbrace{\lim_{k\to\infty}\phi_{n_k}}_{\phi}-\phi_{n_1}.<br />
\]<br />
Posloupnost $\phi_{n_k}$ tedy skoro všude konverguje k funkci<br />
\[ \lim_{k\to\infty}\phi_{n_k} = \phi=\phi_{n_1}+<br />
\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\]<br />
Dokážeme, že $\phi$ je integrabilní. Buď $k\in\N$ pevné,<br />
$p>k$,<br />
\[\II\abs{\phi_{n_p}-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k},\]<br />
\[\phi_{n_p}-\phi_{n_k}\to\underbrace{\phi-\phi_{n_k}}.\]<br />
Podle věty \ref{Fatou} je $\abs{\phi-\phi_{n_k}}\in\LL$<br />
a tedy $\phi\in\LL$ a $[\phi]\in L^1$. Teď má smysl psát<br />
\[\norm{\phi-\phi_{n_k}}=\II\abs{\phi-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k}.\]<br />
Sestrojili jsme tak podposloupnost, která konverguje k~integrabilní<br />
funkci, tedy cauchyovská posloupnost konverguje.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Množina $\HH$ je v~$\LL$ hustá, tj. $\HH\subset\LL\wedge\LL\subset\uz{\HH}$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\phi\in\LL$, $\phi\sim f-g$, $f,g\in\LL^+$, $h_n,k_n$<br />
posloupnosti $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$. Sestrojím<br />
$l_n=h_n-k_n$, pak<br />
\[\norm{\Sim{l_n}-[\phi]}=\II\abs{l_n-\phi}\le<br />
\II\abs{h_n-f}+\II\abs{k_n-g}=(\II f-\II h_n)+(\II g-\II k_n)\to 0,\]<br />
tedy $\LL\subset\uz{\HH}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola21&diff=521601MAA4:Kapitola212014-01-24T12:55:29Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Křivkový integrál prvního druhu}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto \R$, $g$ dráha, $[g]\subset\df f$,<br />
$\sigma$ rozdělení $g$. Potom klademe<br />
\[S(f,g,\sigma)=<br />
\sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}<br />
\text{ pro }\xi_i\in\left[ t_{i-1},t_i\right] \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}[křivkový integrál prvního druhu]<br />
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky,<br />
$[g]\subset\df f$. Nechť pro každou normální posloupnost rozdělení<br />
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita<br />
\[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)\overset{\text{ ozn.}}=\int_g f\d s.\]<br />
Pak říkáme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$<br />
a tuto limitu nazýváme křivkovým {\bf integrálem funkce $f$ po dráze $g$}, resp. {\bf křivkovým integrálem prvního druhu}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item (aditivita)<br />
\[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\]<br />
\item (homogenita)<br />
\[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item<br />
\[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\]<br />
\item<br />
\[\int_{\dotm g}f\d s= +\int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus!<br />
\item<br />
\[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g),\quad \text{kde }K\ge\sup_{\df g}|f(x)|.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu prvního druhu]<br />
Buď $f\in\c{0}, g\in\c{1}, [g]\in\df f, \df g=\left[a,b\right].$ Potom funkce $f$ je<br />
integrabilní a platí<br />
\[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.\]<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Obdobný důkazu \ref{VSubsKrivII}, není vyžadován na zkoušce.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Křivkový integrál prvního druhu je {\bf neorientovaný}, je tedy nezávislý na parametrizaci dráhy.<br />
\item Vzorec na výpočet délky křivky: $l(g)=\int_g\d s$.<br />
\item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$,<br />
$[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\covec o$ pro každé $t\in\left[ a,b\right] $, tedy $g$ je lokálně prostá. Pro $x\in [g]$ definujme<br />
\[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}.\]<br />
Pak platí (převod křivkového integrálu druhého druhu na první druh)<br />
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t=<br />
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t=<br />
\int_g\covec\omega\vec v~\d s=<br />
\int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\]<br />
%\[(\covec\omega\vec v)(x)=\covec\omega\vec v(x)\]<br />
Práci po dráze (křivkový integrál druhého druhu) můžeme tedy vyjádřit jako křivkový integrál prvního druhu (tečka $\cdot$ značí standardní skalární součin):<br />
\[\int_g\vec F\cdot\d\vec r=\int_g\vec F \cdot \vec r~\d s.\]<br />
Proto se ve fyzice často používá užitečný, ale formálně nesprávný zápis $\d\vec r=\vec r~\d s$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola20&diff=521501MAA4:Kapitola202014-01-24T12:54:51Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Křivkový integrál druhého druhu}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[ a_\iota,b_\iota\right] $.<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak<br />
\[(g_1\dotp g_2)(t)=<br />
\begin{cases}<br />
g_1(t)&\text{na }\left[ a_1,b_1\right] \\<br />
g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[ b_1,b_1+b_2-a_2\right] <br />
\end{cases}<br />
\]<br />
je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}.<br />
\item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[ -b_1,-a_1\right] $ je {\bf<br />
opačně orientovaná dráha}.<br />
\item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah<br />
$g_1$ a $g_2$}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Je dána dráha $g$. Jestliže<br />
\[g=\dot{\sum_{i=1}^m}g_i,\]<br />
pak $\sigma=(g_1,\dots,g_m)$ nazveme {\bf rozdělením dráhy} $g$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina<br />
\[\left\{l(\sigma)\left |<br />
l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}<br />
\right.\right\}\]<br />
je omezená. Délka je potom $\sup_{\sigma}l(\sigma)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu<br />
$\left[ a,b \right] $.<br />
\item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme<br />
{\bf norma rozdělení}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[<br />
g(t)=<br />
\begin{cases}<br />
-t\cos\frac1t&t\in\left[-\frac1\pi,0\right)\\<br />
0&t=0<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\[\sigma=\left(-\frac1\pi,-\frac1{2\pi},-\frac1{3\pi},\dots,-\frac1{p\pi}\right)\]<br />
\[l(\sigma)\ge\sum_{i=1}^p\abs{g\left(\frac1{(i+1)\pi}\right)-g\left(\frac1{i\pi}\right)-}=<br />
\sum_{i=1}^p\abs{\frac1{(i+1)\pi}+\frac1{i\pi}}\to +\infty\]<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}[křivkový integrál druhého druhu]<br />
Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$,<br />
$\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma taková, že<br />
$[g]\subset\df\boldsymbol\omega$.<br />
\[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))<br />
\text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf <br />
integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze<br />
$g$ při rozdělení $\sigma$.<br />
<br />
Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť<br />
pro každou takovou posloupnost existuje limita<br />
\[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)\overset{\text{def.}}=\int_g\boldsymbol\omega.\]<br />
Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$<br />
a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy<br />
$\boldsymbol\omega$ po dráze $g$, resp. {\bf křivkovým integrálem druhého druhu}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální<br />
formy po dráze $g$. Má-li jedna strana smysl, platí<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item (aditivita)\[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)=<br />
\int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\]<br />
\item (homogenita) $\forall c\in\R$ \[\int_g(c\boldsymbol\omega)=<br />
c\int_g\boldsymbol\omega.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)=<br />
\sum_{i=1}^p\omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))\]<br />
Z~linearity $\boldsymbol\omega$ v~této sumě vyplývá linearita integrálu.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega=<br />
\int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\]<br />
\item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega=<br />
-\int_{g}\boldsymbol\omega.\]<br />
\item Buď $l(g)$ délka dráhy $g$. Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak<br />
\[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item <br />
Nechť existuje $\int_g\boldsymbol\omega$, $g=g_1 \dotplus g_2$. Předpokládejme, že $\int_{g_1}\boldsymbol\omega$ neexistuje. Pak<br />
existují integrální součty $\S_1$ a $\S_2$ takové, že<br />
$\S_1(\mathbb{\boldsymbol\omega},g_1,\sigma_1^{(m)})\to S_1$ a<br />
$\S_2(\boldsymbol\omega,g_1,\tilde\sigma_1^{(m)})\to S_2$,<br />
$S_1\not=S_2$. Vezmu $g_2$, $\sigma_2^{(m)}$, sjednocením získám rozdělení $g$, <br />
$\sigma=\sigma_1 \cup\sigma_2$, $\tilde\sigma=\tilde\sigma_1 \cup\sigma_2$ a hned vyleze spor s~jednoznačností<br />
limity.<br />
<br />
Důkaz rovnosti:<br />
\[S(\boldsymbol\omega,g,\sigma^{(m)})=<br />
S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_1^{(m)})+<br />
S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_2^{(m)}).\]<br />
\item<br />
\[\S(\boldsymbol\omega,\dotm g,\sigma^{(m)})=<br />
\sum_{i=1}^p\omega(x_i)(-g(t_i)+g(t_{i-1})).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu druhého druhu]\label{VSubsKrivII}<br />
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální 1-forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha<br />
třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. Pak $\boldsymbol\omega$ je integrabilní po<br />
dráze $g$ a existuje integrál<br />
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\underleftarrow{\omega(g(t))}\,\overrightarrow{g'(t)}\d t.\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V integradu se skrývá působení kovektoru na vektor, tedy skalární součin!<br />
\item Uvědomme si, že výraz $\overrightarrow{g'(t)}$ neznačí totální derivaci zobrazení $g$, nýbrž (jednořádkovou) Jacobiho matici dráhy $g$, tedy $\overrightarrow{g'(t)} =(\pd_1 g(t)\dots \pd_n g(t)).$ Šipka tedy značí řádkový vektor. Pro korektnost dodáváme, že je nutné jej transponovat, abychom získali vektor sloupcový. Transpozici však pro zjednodušení zápisu neuvádíme.<br />
\item Pojmy křivka a dráha se často libovolně zaměňují, integrál je však téměř vždy křivkový, nikoli drahový. Křivkový integrál druhého druhu je {\bf orientovaný}, je tedy závislý na parametrizaci dráhy.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme<br />
zajistit, že $\abs{\sigma^{(m)}}\to 0$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_g^{(m)})&=\sum_{i=1}^{p_m}\omega(g(\xi_i^{(m)}))(g(t_i^{(m)})-g(t_{i-1}^{(m)}))=<br />
\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) {g^j}'(\eta_{ij}^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})=\\<br />
&=\underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))(g^j)'(\xi_i^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{A_m}+\\<br />
&\quad + \underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))<br />
((g^j)'(\eta_{ij}^{(m)})-(g^j)'(\xi_i^{(m)}))(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{B_m}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists m_1)(\forall m>m_1)<br />
\left(\abs{\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t-A_m}<\frac\epsilon2\right)\]<br />
<br />
\[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\]<br />
<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[ a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta <br />
\Rightarrow \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\]<br />
<br />
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\]<br />
Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max{m_1,m_2}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak (tečka značí násobení čísel, nikoliv skalární součin)<br />
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))\cdot g'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b f'(g(t))\cdot g'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\]<br />
tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy, jen na počátečním a koncovém bodě.<br />
<br />
Odsud vidíme, že určitý integrál z~funkce $f$, tj.<br />
$\int_{a}^{b}f=f(b)-f(a)$ je vlastně křivkový integrál z~0-formy $f$. Z~exaktnosti 0-formy poté plyne závislost pouze na koncových bodech dráhy (tj. mezích určitého integrálu).<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $\phi$ po částech $\in\c{1}$,<br />
taková, že<br />
\[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\]<br />
pak (konečná aditivita)<br />
\[\int_\phi\boldsymbol\omega=<br />
\sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$. Řekneme, že<br />
$\boldsymbol\omega$ je {\bf konzervativní}, právě když pro každé dvě<br />
dráhy $g_1,g_2$ po částech $\c{1}$ splňující podmínku<br />
$[g_1]\cup[g_2]\subset\df\boldsymbol\omega$, $g_1(a_1)=g_2(a_2)$,<br />
$g_1(b_1)=g_2(b_2)$ platí<br />
\[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Integrál po uzavřené dráze se v matematice i fyzice často značí s kroužkem, tj. \[\oint_g f.\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$. Potom následující výroky jsou<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\boldsymbol\omega$ je exaktní.<br />
\item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$,<br />
$[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\oint_g\boldsymbol\omega=0$,<br />
\item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $1\implies 2$:<br />
Buď $\omega=\d f$,<br />
\[g=\sum_{i=1}^p g_i\]<br />
libovolná dráha po částech $\c{1}$, $g_i\in\c{1}$.<br />
\[\int_g\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^p\int_{g_i}\boldsymbol\omega=<br />
\sum_{i=1}^p(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(x_p)-f(x_0).\]<br />
Platí<br />
\[x_p=x_0\implies\int_g\boldsymbol\omega=0.\]<br />
\item $2\implies 3$:<br />
Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními<br />
a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak<br />
\[0=\oint_g\boldsymbol\omega=<br />
\int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\]<br />
\item $3\implies 1$:<br />
Definiční obor nemusí být souvislý a proto se rozdělí na jednotlivé komponenty souvislosti <br />
a pro každou se definuje funkce $f$ zvlášť. <br />
Buď $A$ souvislá podmnožina $\df\boldsymbol\omega$, zvolím pevně<br />
$x_0\in A$. Když si zvolím jiný bod, výsledná funkce se liší o konstantu (křivkový integrál z $\boldsymbol\omega$ mezi původním a novým bodem). V~$\R^n$ (lineární prostor) je každá oblast lokálně lineárně souvislá a lze v ní každé dva body spojit lomenou čarou:<br />
$x\in A$; $[g_x]\subset A$. <br />
\\<br />
\\<br />
Definujme $f(x)=\int_{g_x}\boldsymbol\omega$<br />
(definice je jednoznačná, neboť $\boldsymbol\omega$ je konzervativní). $f$ je reálná funkce na $A$, dokážeme, že $f'(x)=\omega(x)$:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f_i(x)&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\vec{e_i})-f(x)}{t}=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=<br />
%\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_x\dotp g_i}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=\\<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\underbrace{\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega<br />
-\int_{g_i}\boldsymbol\omega}_{\text{uzavřená dráha}}+\int_{g_i}\boldsymbol\omega\right)=\\<br />
&=\lim_{t\to 0}\frac1t\int_{g_i}\boldsymbol\omega=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\omega(x+\tau\vec{e_i})\vec{e_i}\,\d\tau=<br />
\lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\underbrace{\omega_i(x+\tau\vec{e_i})}_{\text{spojité}}\,\d\tau=<br />
\omega_i(x)<br />
\end{split}<br />
\]<br />
$g_{(x+t\vec{e_i})}$ je libovolná křivka z bodu $x_0$ do $x+t\vec{e_i}$, nemusí se s $g_x$ shodovat v jediném bodě. <br />
Poslední krok plyne z věty o střední hodnotě. $\omega_i(x)$ je spojité a $f$ má tedy spojité parciální derivace s proto je diferencovatelná,<br />
takže $\omega_i(x)=f_i(x)$, $\boldsymbol\omega=\d f$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V~případě, že $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ na jednoduše souvislé<br />
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv)<br />
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená.<br />
\item Z Riezsovy věty: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F,\vec h\ra$ víme, že pro každou složku $\omega_i$ existuje složka $F^i$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu (zvednutí indexu přes jednotkovou matici).<br />
\item Nechť $\cdot$ značí standardní skalární součin a $\d\vec r=(\d x,\d y,\d z)^T$. Práci po dráze $g$ lze vyjádřit<br />
\[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3{\omega_i}\,\d x^i=<br />
\int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\]<br />
\item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když diferenciální 1-forma<br />
$\boldsymbol\omega$ je konzervativní. <br />
\item Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$, taková, že $\boldsymbol\omega\in\c{0}$,<br />
je konzervativní, právě když existuje funkce $f$ taková, že<br />
$\boldsymbol\omega=\d f=f'$. <br />
\item Říkáme, že vektorové pole $\vec F(\vec r)$ je konzervativní, pokud existuje $\grad U(x)$ tak, že $\grad U(x)=\vec F(\vec r)$. Jinými slovy, $\vec F(\vec r)$ má potenciál $U(x)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
%\begin{example}<br />
%$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní.<br />
%\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\]<br />
%\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\]<br />
%\end{example}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola19&diff=521401MAA4:Kapitola192014-01-24T12:53:34Z<p>Nguyebin: Porovnání f' vs df + aplikace v praxi.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Diferenciální 1-formy}<br />
<br />
\begin{define}Zobrazení, které každému bodu z afinního prostoru $\R^n$ přiřadí objekt, nazveme:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item {\bf skalárním polem} $f$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $f:\R^n\mapsto \R$.<br />
\item {\bf vektorovým polem} $\vec F$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $\vec F:\R^n\mapsto (V^n)$.<br />
\item {\bf kovektorovým polem} $\boldsymbol\omega$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{omega}<br />
Nechť $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ báze $(V^n)^\#$ a $\omega_i: \R^n\mapsto\R$. {\bf Diferenciální 1-formou} (resp. diferenciální formou stupně $1$) rozumíme kovektorové pole $\boldsymbol\omega$, jehož složky jsou skalárními poli $\omega_i$, tj. \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\covec e^i.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Bodový zápis diferenciální 1-formy je <br />
\[\covec\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i,\]<br />
diferenciální 1-forma v bodě je tedy lineární kombinace kovektorů, tedy kovektor, jinými slovy {\bf (lineární) 1-forma}.<br />
\item Součet diferenciálních forem je bodově definujeme<br />
$\COVEC{(\omega+\eta)}(x)=\covec\omega(x)+\covec\eta(x)$.<br />
\item Násobení číslem z tělesa bodově definujeme<br />
$\COVEC{(t\omega)}(x)=t\covec\omega(x)$.<br />
\item Součin se skalárním polem bodově definujeme<br />
$\COVEC{(f\omega)}(x)=f(x)\covec\omega(x)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{extdif}<br />
Každé skalární pole $f:\R^n\mapsto\R$ je diferenciální 0-forma. Je-li funkce $f$ diferencovatelná na celém definičním oboru, pak $f'$ je diferenciální 1-forma a nazýváme ji {\bf vnější derivací} diferenciální 0-formy $f$ a s použitím totální derivace $f'(x)$ bodově definujeme<br />
\[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\label{dx}<br />
\begin{enumerate}<br />
%\item Je důležité si uvědomit, jaký je rozdíl mezi formou a diferenciální formou. Funkční hodnoty v bodech (tj. $n$-tice čísel) jsou lineární formy, často se říká pouze formy. Tj. $f(x)$ či $f'(x)$ jsou formy, zatímco funkce $f$ či $f'$ jsou diferenciální formy.<br />
\item $\d$ je symbol. Příkladem vnější derivace je totální diferenciál, gradient, rotace, divergence či Laplaceův operátor. Více později v \ref{axiomyextdif}.<br />
\item Buďte soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $(V^n)^\#$. Mějme (z~LAA) souřadnicový izomorfismus $\R^n\mapsto V^n$ vztahem<br />
\[ x=(x^1,\dots,x^n)^T\mapsto\vec x=\sum_{i=1}^nx^i\vec e_i,\]<br />
kde $x\in\R^n$ je bod z~afinního prostoru a $\vec x\in V^n$ je vektor z~přidruženého lineárního prostoru.<br />
Dále pro každé $i\in\n$ mějme (z~LAA) souřadnicový funkcionál $\covec e^i:V^n\mapsto\R$ <br />
\[\covec e^i\vec x=x^i.\] <br />
Díky souřadnicovému izomorfismu můžeme tento souřadnicový funkcionál reprezentovat souřadnicovou funkcí $\chi^i(x):\R^n\mapsto\R$<br />
\[\chi^i(x)=\covec e^i\vec x,\]<br />
která je zřejmě diferencovatelná. Souřadnicové funkci říkáme (zejména ve fyzice) též projektor. Pro vnější derivaci souřadnicové funkce $\chi^i$ v libovolném bodě $x$ platí <br />
\[\d\chi^i(x)=\covec e^i.\]<br />
To je důvod, proč se ve funkčních předpisech diferenciálních forem nepíše $\covec e^i$, nýbrž $\d x^i$ (viz~příští bod). Pro diferenciální formu $\boldsymbol\omega$ z linearity platí<br />
\[\covec\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i=<br />
\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)=<br />
\left(\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i\right)(x).\]<br />
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ je tedy obecně \uv{lineární kombinace} derivací souřadnicových funkcí. Lineární kombinace to dle definice není, neboť koeficienty $\omega_i$ nejsou čísla z tělesa, nýbrž reálné funke.<br />
\[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i.\]<br />
\item Máme-li diferenciální formu $\d f$, její složky $f_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$ a označíme-li $\d\chi^i$ jako $\d x^i$, můžeme ji zapsat ve tvaru<br />
\[\d f=\sum_{i=1}^n \frac{\pd f}{\pd x^i}\d x^i.\]<br />
Tuto formu nazýváme {\bf totální diferenciál}, správněji {\bf exaktní diferenciální forma}. <br />
\item<br />
Porovnejme totální diferenciál $\d f$ s totální derivací $f'(x)\vec h$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Máme-li funkce $V^n\mapsto V^m$, pojmy nemají společný význam, neboť totální derivace je lineární zobrazení $\LL(V^n,V^m).$ <br />
\item Máme-li funkce z $V^n\mapsto\R$, totální derivace $\COVEC{f'(x)}$ leží v $\LL(V^n,\R)=(V^n)^\#$, je to tedy kovektor (zobrazuje $V^n$ do $\R$). <br />
\item Totální diferenciál je zobrazení, které každému bodu přiřadí kovektor (zobrazuje $\R^n$ do $(V^n)^\#$. <br />
\end{enumerate}<br />
Pokud tedy $\d f$ ukotvíme v pevném bodě $t_0$, získáme kovektor, který má význam totální derivace, tj.<br />
\[\d f(t_0)=\COVEC{f'(t_0)}.\] Dle Riezsovy věty pro každý kovektor $\COVEC{f'(t_0)}$ existuje vektor $\grad f$. Vztah mezi gradientem a totálním diferenciálem ukazuje věta \ref{vgrad}. Tím je otázka rozdílnosti $\d f$ a $\COVEC{f'(x)}\vec h$ vyřešena.<br />
<br />
\item $xy\d x+y\d y$ je tedy formálně blbost --- správně je<br />
\[\omega_1(x,y)=xy,~ \omega_2(x,y)=y:~\boldsymbol\omega=\omega_1\d x+\omega_2\d y\]<br />
nebo \[\omega(x,y)=xy \covec e^1+y \covec e^2.\] Protože je však tento špatný zápis zvyklostí, budeme se ho držet i my.<br />
\item Následující definice platí pro diferenciální formy všech stupňů. O diferenciálních $k$-formách později v \ref{difkform}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě<br />
když $\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in i\in\n$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item {\bf uzavřená}, jestliže platí \[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}\quad<br />
\forall i,j\in\n,\]<br />
\item {\bf exaktní}, jestliže existuje funkce $f$ taková, že $\d f=\boldsymbol\omega$.<br />
\end{enumerate}<br />
Funkce $f$ se nazývá {\bf primitivní funkce}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Exaktní forma třídy $\c{1}$ je uzavřená. Není-li při vhodné třídě<br />
forma uzavřená, není exaktní (neexistuje primitivní funkce).<br />
\item V mechanice se obvykle setkáváme s exaktními 1-formami typu $F=\d U$. O funkci $U$ pak říkáme, že je {\bf potenciál} pole $F$ a pole $F$ pak nazýváme potenciální, resp. nevírové:<br />
<br />
Buď $\boldsymbol\omega=\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$,<br />
$f\in\c{2}$, $\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak<br />
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}=<br />
\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i} \implies \frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}-\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=0 \implies \rot f=0.\]<br />
\item 1-formám se v termodynamice tradičně říká {\bf Pfaffovy formy}, správněji lineární diferenciální formy. Exaktním 1-formám tvaru $\d F$ se pak říká {\bf úplné diferenciály}, kde $F$ je {\bf stavová veličina}. Formy, které nejsou exaktní, se značí $\eth W$, $\eth Q$, říkáme, že $W$ a $Q$ nejsou úplnými diferenciály. Proto zavádíme stavovou veličinu $S$, díky níž je $\eth Q=T\d S$ již úplným diferenciálem.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+\frac{x}{x^2+y^2}\d y\]<br />
\[<br />
\frac{\pd\omega_1}{\pd y}=-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad<br />
\frac{\pd\omega_2}{\pd x}=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2},<br />
\]<br />
takže $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. Zkusíme najít kandidáta na primitivní funkci, pak bude $\boldsymbol\omega$ i exaktní.<br />
\[<br />
\phi(x,y)=<br />
\begin{cases}<br />
\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y \ge 0$}\\<br />
-\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y < 0$}<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\[<br />
\frac{\pd\phi}{\pd x}=-\frac{\abs{y}}{x^2+y^2}\ \forall x,y,\quad<br />
\frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2},<br />
\]<br />
\[P_\pi=\{(x,0)~|~x\le 0\}\]<br />
\[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\]<br />
Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit<br />
$\boldsymbol\omega=\d f$ na $\R^2\sm\{(0,0)\}$; $\phi'(x,y)=f'(x,y)$<br />
na oblasti $\R^2\sm P_\pi$. Liší se o~konstantu: $f=\phi+C$ a to je<br />
spor kvůli skoku na $P_\pi$. $f$ musí být spojitá, ale $\phi$ není.<br />
<br />
Jestliže je množina jednoduše souvislá, pak je<br />
uzavřenost postačující podmínka. <br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\label{simplyconnected}<br />
Připomeneme, že oblast je jednoduše<br />
souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé, tj. \uv{množina bez děr}.<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola18&diff=521301MAA4:Kapitola182014-01-24T12:52:36Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Vázané extrémy}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že funkce $f$ má v~bodě $x_0\in M$<br />
{\bf lokální extrém vzhledem k~varietě $M$}, právě když<br />
\[(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\ge f(x_0))<br />
\text{, resp. }<br />
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)).\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě]<br />
Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\mapsto\R$ reálná funkce<br />
diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem<br />
k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$<br />
taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce<br />
\[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\]<br />
při značení z~16. Čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ se nazývají {\bf<br />
Lagrangeovy multiplikátory} a $\Lambda$ {\bf Lagrangeova funkce}.<br />
\begin{proof}<br />
Pro každý $\vec h\in T_{x_0}M$ existuje $\psi:\R\mapsto M$ takové, že<br />
$\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\mapsto\R$<br />
vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy:<br />
$$<br />
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0)))<br />
$$<br />
tedy $\phi$ ma v $0$ maximum. Pak $\phi'(0)=0$, a platí<br />
\[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h<br />
=\left\langle \grad f(x_0),\vec h\right\rangle =0.\]<br />
Z~toho dále vyplývá, že $\grad f(x_0)\in N_M(x_0)$<br />
a dále existence $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ takových, že<br />
\[\grad f(x_0)=\sum_{l=1}^m\lambda_l\grad\Phi^l(x_0),\]<br />
a tedy<br />
\[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\]<br />
a z~Riezsovy věty pak vyplývá nulovost derivace $\Lambda$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Derivace vzhledem k~varietě: $f_M'(x_0)=f'(x_0)|_{T_{x_0}M}$,<br />
tj. derivace zúžená na tečný prostor.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[postačující podmínka]<br />
Buď $M$ varieta třídy $\c{2}$, nechť existuje $f''(x_0)$, $x_0\in M$,<br />
existuje $\Lambda$ a $\Lambda'(x_0)=0$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální minimum, potom<br />
$\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\ge 0$.<br />
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}>0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré<br />
lokální minimum.<br />
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální maximum, potom<br />
$\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}\le 0$.<br />
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}<0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré<br />
lokální maximum.<br />
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_{x_0}M}$ indefinitní, nemá $f|_M$ v<br />
$x_0$ lokální extrém.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Buď $\vec h\in T_{x_0}M$. Potom existuje $\psi:\R\mapsto M$<br />
takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj<br />
$\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$<br />
existuje a $M\in\c{2}$)<br />
\[\Lambda(x)=\Lambda(x_0)+\underbrace{\Lambda'(x_0)(x-x_0)}_{=0}+<br />
\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2,\]<br />
\[\Lambda(\psi(t))=\Lambda(x_0)+<br />
\frac12\Lambda''(x_0)(\psi(t)-\psi(0))^2+<br />
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2.\]<br />
Protože $\psi(t)$ je z~variety, kde splývá $f$ s~$\Lambda$, vyjde<br />
\[\frac{1}{t^2}\left(f(\psi(t))-f(\psi(0))-<br />
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2\right)=<br />
\frac12\Lambda''(\psi(0))\left(\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}\right)^2.\]<br />
Limitním přechodem $t\to 0$ dostáváme<br />
\[\frac{1}{t^2}\underbrace{f(\psi(t))-f(\psi(0))}_{\ge 0}=<br />
\frac12\Lambda''(x_0){\vec h}^2.\]<br />
\item Buď $\Lambda''(x_0)\vec h^2>0$, $x\in M\cap H$. Potom<br />
\[f(x)=f(x_0)+\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2.\]<br />
Problém je v~tom, že $x-x_0$ nemusí být obecně z~$T_{x_0}M$. Položme<br />
$\vec h=x-x_0$, potom $\vec h$ lze vyjádřit jako $\vec<br />
h=\vec{h_1}+\vec{h_2}$, kde $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$, $\vec{h_2}\in<br />
N_M(x_0)$. Potom z~pozitivní definitnosti $\Lambda''$ vyplývá<br />
\[\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2\ge\alpha\norm{\vec{h_1}}^2\]<br />
pro nějaké $\alpha>0$, neboť $\vec{h_1}\in T_{x_0}M$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(x)-f(x_0)&=\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2+\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+<br />
\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_2}^2+\omega(x)\norm{\vec{h_1}+\vec{h_2}}^2\ge\\<br />
&\ge\frac{\alpha}{2}\norm{\vec{h_1}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2\ge<br />
\frac{\alpha}{4}\norm{\vec{h}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2=<br />
\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť<br />
\[<br />
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0,\quad<br />
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{\norm{\vec{h_1}}}{\norm{\vec{h}}}=1<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
\lim_{\vec h\to\vec 0}\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}<br />
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2<br />
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)=0,<br />
\]<br />
takže lze zvolit takové $\alpha>0$, aby<br />
\[<br />
\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}<br />
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2<br />
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)\le\frac{\alpha}{8}.<br />
\]<br />
Konečně díky ortogonalitě $\vec{h_1}$ a $\vec{h_2}$<br />
\[<br />
\norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to \vec 0}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies<br />
\norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Metodika hledání extrémů:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $f$, $\Phi^1,\dots,\Phi^m\in\c{2}$.<br />
\item Ověříme, zda $M=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=<br />
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}$, tj. je varieta.<br />
\item Sestavím funkční předpis<br />
\[\Lambda = f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l,\]<br />
kde $\lambda$ zatím neznám.<br />
\item Položím $\Lambda'(x_0)=\Theta$, $\Lambda_j(x_0)=0$ pro $j\in\n$,<br />
$\Phi^l(x_0)=0$ pro $l\in\hat m$. Dostanu $m+n$ rovnic pro $m+n$<br />
neznámých.<br />
\item Vyberu si jeden bod $x_0$, určím $\lambda_j$ a dosadím do<br />
$\Lambda$.<br />
\item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$.<br />
\item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum<br />
\item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_{x_0}M=\ker\Phi'(x_0)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_{x_0}M$.<br />
\end{enumerate}<br />
Tedy nalézám $q(\vec h)=Q(\vec h)|_{T_{x_0}M}$. $\Phi'(x_0)\vec h=0$<br />
\[\sum_{i=1}^n\Phi_i^l(x_0)\vec h^i=0\text{ pro }l\in\hat m.\]<br />
\item Prověřím definitnost $Q$.<br />
Je nutno hlídat dimenze.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz nerovnosti $f(x)\le g(x)$: $f(x)=a$ je varieta, např. uzavřená<br />
dráha. Najdu extrém $g(x)$ na varietě $f(x)=a$, to provedu pro každé<br />
$a$.<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola17&diff=521201MAA4:Kapitola172014-01-24T12:51:30Z<p>Nguyebin: Drobné úpravy.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Variety}<br />
<br />
\begin{define}\label{DVarieta}<br />
Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu<br />
$M\subset\R^n$ nazveme {\bf diferenciální varietou} třídy $\c{q}$ dimenze $r$, platí-li:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\<br />
\Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$,<br />
\item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}~|~\Phi(x)=0\}$,<br />
\item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přívlastek \textit{diferenciální} budeme vynechávat, neboť bude z kontextu vždy jasné, že se nejedná o varietu algebraickou. Taktéž budeme $r$-rozměrnou varietou (popř. $r$-varietou) rozumět varietu dimenze $r$ a zapisujeme $\dim M=r$ podobně jako u lineárních prostorů.<br />
\item Zobrazením $\Phi$ říkáme {\bf vazby}. Jsou-li třídy $\c{q}$, o příslušné varietě říkáme, že je též třídy $\c{q}$.<br />
\item Variety nazýváme dle dimenze $r$: $r=0$ bod, $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha. Pro korektnost je třeba dodat, že varietu dimenze 0 jsme dodefinovali.<br />
\item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou<br />
izometrické s~prvky topologie (otevřenými podmnožinami) v $\R^m$.<br />
\item Variety nemají kraj. Pouze kompaktní variety (tj. uzavřené a \textit{omezené}) jsou uzavřené v geometrickém (intuitivním) smyslu.<br />
\item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta. Povrch koule varietou je a nazývá se sféra, značíme $S^2$. Podobně je varietou povrch toru, značíme $T^2$, ne však torus samotný (včetně vnitřku). <br />
\item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\mapsto\R^m$. Definujme<br />
\[<br />
M=\{x\in\df\Phi~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.<br />
\]<br />
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in M$, $(\forall y\in\H_x)(\h(\Phi'(y))=m)$<br />
\[M\cap\H=\{x\in \H~|~\Phi(x)=0\}\]<br />
\end{proof}<br />
Varietu je tedy možno zadat jako soustavu vazeb, je však nutno prověřit jejich linerání nezávislost.<br />
\item $M=\{x\in\R^n~|~\abs{x}=1\}=<br />
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=<br />
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\covec 0\}$,<br />
např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$.<br />
$\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$.<br />
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje<br />
$L:V^n\mapsto V^m$ takové, že $Z(W)=\ker L$, $\h(L)=m$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
M&=\{x\in\R^n~|~L(x-x_0)=\vec 0\}=<br />
\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\\<br />
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in V^n$ nazveme {\bf<br />
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení<br />
$\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$.<br />
\[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}=<br />
\lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Tečným prostorem k~varietě} $M$ {\bf v~bodě} $x_0$ budeme rozumět<br />
množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_{x_0}M$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf<br />
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli: <br />
$T_{x_0}M=\ker \Phi'(x_0)$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\Rightarrow)$<br />
$\vec h\in T_{x_0}M\implies (\exists\psi:\R\mapsto<br />
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,<br />
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno<br />
$\Phi$. Definujme $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že<br />
$(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$.<br />
\[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\]<br />
tedy $\vec h$ je z~jádra.<br />
\item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$.<br />
Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem <br />
\[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\]<br />
kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$:<br />
\[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\]<br />
\[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec<br />
h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff<br />
f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'})<br />
\]<br />
Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$;<br />
$f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$;<br />
\[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\]<br />
\[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0<br />
\iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\]<br />
Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je<br />
tečný vektor.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu<br />
$x_0+T_{x_0}M$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Bod $x$ je z~tečny, právě když<br />
\[x-x_0\in T_{x_0}M\iff\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0.\]<br />
\item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď<br />
\[M=\left\{x\in\R^n\left|~<br />
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0<br />
\right.\right\}.\]<br />
Matici $\mathbb A=(a_{ij})$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část <br />
\[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji}), <br />
\]<br />
proto lze bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$.<br />
Je-li navíc reálná matice $\mathbb B$ <br />
antisymetrická, platí <br />
\[<br />
x^T\mathbb Bx = \la x,\mathbb Bx\ra= -\la\mathbb Bx,x\ra =\implies x^T\mathbb Bx = 0<br />
\] <br />
<br />
<br />
Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant<br />
\[<br />
\Delta=\left|<br />
\begin{matrix}<br />
a_{ij} & b_i \\<br />
b_j & c<br />
\end{matrix}<br />
\right|.<br />
\]<br />
Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované<br />
kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
M&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\<br />
&=\{x\in\R^n~|~\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \covec 0 \},<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže pokud $\Phi'(x)\neq \covec 0$ tak $M$ je nadplocha.<br />
\end{proof}<br />
Derivací podle $x_k$ se získá<br />
<br />
\[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\]<br />
Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to v pořádku,<br />
pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že<br />
$\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě.<br />
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\]<br />
\[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \quad (\forall k\in\hat n)\]<br />
Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde<br />
\[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\]<br />
Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vznikl by spor, neboť (derivace v~$x_0\in M$: $\COVEC{\Phi'(x_0)}\overrightarrow{(x-x_0)}=0$)<br />
\[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\]<br />
pak s~využitím $x_0\in M$ platí<br />
\[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\] %pokud to chápete, doplňte to<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Normálovým prostorem} $N_{x_0}M$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru, tj. $N_{x_0}M=(T_{x_0}M)^\perp$<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_{x_0}M$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\vec n\in N_{x_0}M$, právě když $(\forall\vec h\in<br />
T_{x_0}M)(\left\langle \vec n,\vec h\right\rangle =0)$.<br />
\item $\vec h\in T_{x_0}M\iff \Phi'(x_0)\vec<br />
h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h=<br />
{\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$.<br />
\item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_{x_0}M)$. Gradienty<br />
tvoří bázi normálového prostoru.<br />
\item Buď $f'(x_0)\not=\covec 0$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$.<br />
Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí<br />
\[M=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H~|~f(x)=f(x_0)\wedge<br />
f'(x_0)\not=0\}.\]<br />
$\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola36&diff=521101MAA4:Kapitola362014-01-24T12:48:18Z<p>Nguyebin: Přidání části o původu Cauchy-Riemann podmínek + celková úprava.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Komplexní derivace}<br />
<br />
Komplexní analýza se jakožto poslední kapitoly výkladu MAA4 obvykle nestíhají a tak je Vrána přednáší poměrně chaoticky. Výhodou budiž, že u zkoušky pak chce jen to, co odpřednášel. Zde je komplexní analýza probraná podrobněji, vybudovaná je však na základech dosavadních znalostí. Přednáška začíná od \ref{dif v C}.\ref{lecture C}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Množina komplexních čísel $\C$ je normovaný lineární prostor, jenž je s~$\R^2$ izomorfní ($\C\cong\R^2$), izometrický a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků, tj. dvousložkových vektorů v $\R^2$). Podobně existují kvaterniony $\mathbb{H}\cong\R^4$ a oktoniony $\mathbb O\cong\R^4$ --- ty však nejsou komutativní ani asociativní.<br />
\end{remark} <br />
<br />
\begin{define}<br />
Komplexní číslo $z\in\C$ zapisujeme ve tvaru<br />
\[<br />
z=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x+\im y \qquad x,y\in\R.<br />
\]<br />
Tomuto zápisu říkáme {\bf algebraický tvar} komplexního čísla $z$ a definujeme pro něj<br />
\begin{itemize}<br />
\item reálnou část $x=\Re z$ ,<br />
\item imaginární část $y=\Im z$, <br />
\item komplexně sdružené číslo $\z=x-\im y$,<br />
\item zobrazení $\abs{\cdot}:\C\mapsto\R$ definované $\abs{z}=\sqrt{x^2+y^2}$, nazveme jej {\bf modul} komplexního čísla $z$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Algebraický tvar komplexního čísla slouží jako izomorfismus $\R^2\leftrightarrow\C$.<br />
\item Modul komplexního čísla slouží jako izometrie $\R^2\leftrightarrow\C$: $\norm{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\abs{z}$.<br />
\item $\forall z\in\C$ platí $z\z=\abs{z}^2,\quad \abs{z}=\abs{\z}$<br />
\setlength{\itemsep}{6pt}<br />
\item $\forall z_1,z_2\in\C$ platí $\abs{z_1\cdot z_2}=\abs{z_1}\cdot\abs{z_2}, \quad \abs{z_1+z_2}\leq\abs{z_1}+\abs{z_2},\quad<br />
\abs{z_1-z_2}\geq\abs{\abs{z_1}-\abs{z_2}}$<br />
\item $\forall z_1,z_2\in\C$ platí $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\frac{\z_2}{\z_2}=\frac{z_1\z_2}{\abs{z_2}^2},$ kde čitatel $z_1\z_2\in\C$ a jmenovatel $\abs{z_2}^2\in\R$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Zavedeme množinu rozšířených komplexních čísel $\C^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $ a definujeme:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\setlength{\itemsep}{6pt}<br />
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \C$<br />
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \C^* \sm \{0\}$<br />
\item $ \displaystyle\frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \C$<br />
\item $ \displaystyle\frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \C^* \sm \{0\}$<br />
\end{enumerate}<br />
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{komp.fce}<br />
Nechť $u,v:\R^2\mapsto\R$ reálné funkce. {\bf Komplexní funkce} $z\mapsto f(z)$ je zobrazení<br />
\[<br />
f(z)=f(x+\im y)=f(x,y)=\underbrace{u(x,y)}_{\Re f}+\im \underbrace{v(x,y)}_{\Im f}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \label{baze df} Komplexní funkce lze chápat jako zobrazení $\R^2\cong\C\mapsto\C$. Naším cílem bude zavést derivaci komplexních funkcí, k čemuž užijeme nově nabytého aparátu diferenciálních forem. Ztotožníme-li $f(z),~\z\in\C~$ s $f(x,y)$, kde $x,y\in\R$, pak vnější derivace funkce $f(x,y)$ jakožto 0-formy $f$ je její totální diferenciál $\d f$:<br />
\[\d f=\frac{\pd f}{\pd x}\dx + \frac{\pd f}{\pd y}\dy,\] budeme však hledat vyjádření $\d f$ v lepším tvaru.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Uvažujme komplexní funkci $f(z)=z^2$. Užitím definice získáme<br />
\[f(z)=f(x+\im y)=(x+\im y)^2=x^2+2\im xy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \im \underbrace{2xy}_{v(x,y)},\]<br />
kde funkce $u,v$ jsou definované $\forall \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \R^2$, $f$ je tedy definována $\forall z \in \C$. Proveďme vnější derivaci. <br />
\[\d f=\d(x^2-y^2)+ \im\,\d(2xy)=\underbrace{2x\dx-2y\dy}_{\d u}+\im\underbrace{2(y\dx+x\dy)}_{\d v}=2x \dx-2y \dy+2y~\im \d x+2x~\im\d y\]<br />
Z tohoto výsledku plynou dva fakty:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Výsledek je jistě správný, ale nepříliš elegantní.<br />
\item 1-forma $\d f$ je nakombinovaná ze čtyř bázových kovektorů $\dx,\dy,\im\dx,\im\dy$. Zřejmě jsou to generátory prostoru komplexních diferenciálních forem. Jsou však násobeny reálnými funkcemi $x,y$.<br />
\end{itemize}<br />
Intuitivně předpokládáme, že je-li $f(z)=z^2$, pro její vnější derivaci bude platit $\d f=2z\dz$, tedy v~jazyce funkcí $(z^2)'=2z$. Dosadíme-li $z=x+\im y$ a $\dz=\d x+\im\d y$, následným výpočtem ověříme, že se skutečně dostaneme k výsledku výše. Je však třeba ověřit korektnost tohoto způsobu.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setcounter{enumi}{1}<br />
\item \label{dz,dzz} Namísto čtyř generátorů (s reálnými \uv{lineárními kombinacemi}\footnote{Formálně se nejedná o lineární kombinace, je to stále stejný příklad jako \ref{difkform}.}) však stačí používat jen dva jiné vhodně vybrané generátory, jakmile připustíme komplexní \uv{lineární kombinace} (snížením počtu generátorů je třeba rozšířit výběr koeficientů na vygenerování téhož prostoru).<br />
<br />
Vztahy mezi komplexním číslem $z$, sdruženým číslem $\z$, $\Re z$ a $\Im z$ nám vlastně definují dvě sady souřadnicových funkcí na $\C$:<br />
\[<br />
z=x+\im y,\qquad \z=x-\im y\qquad\text{a}\qquad x=\frac{z+\z}{2}\qquad y=\frac{z-\z}{2\im}.<br />
\]<br />
Definujme následující 1-formy na $\R^2$ s hodnotami v $C$ jakožto formální vnější derivace těchto funkcí, tj.<br />
\[<br />
\dz=\dx+\im\dy,\qquad \dzz=\dx-\im\dy,\qquad \dx=\frac{\dz+\dzz}{2},\qquad \dy=\frac{\dz-\dzz}{2\im}.<br />
\]<br />
Ač $z$ a $\z$ vzájemně souvisí, $\dz$ a $\dzz$ jsou lineárně nezávislé ve smyslu následujícího lemmatu.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $g, h:\C\mapsto\C$. Jestliže $g\dz+h\dzz=0$, pak $g=0$ a $h=0$.<br />
\begin{proof}<br />
Dosazením \ref{komp.fce}.\ref{dz,dzz} do rovnosti získáme <br />
\[<br />
g(\d x+\im\dy)+h(\d x-\im\dy)=0.<br />
\]<br />
To je však ekvivalentní \[<br />
(g+h)\dx+(\im g-\im h)\dy=0.<br />
\]<br />
Vzhledem k tomu, že $\dx$ a $\dy$ tvoří bázi prostoru reálných 1-forem na $\R^2$, platí $g+h=0$ a $\im g-\im h=0$. Odsud již nutně $g=0$ a $h=0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Kovektor $\d z$ by k vygenerování prostoru komplexních diferenciálních forem nestačil, druhý člen báze $\dzz$ tedy není nadbytečný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Komplexní diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ lze zapsat ve tvaru<br />
\[<br />
\boldsymbol\omega=g\dz+h\dzz,<br />
\]<br />
kde $g(z,\z)=u(x,y)+\im v(x,y)$ a $h(z,\z)=\tilde u(x,y)+\im\tilde v(x,y)$ jsou nezávislé komplexní funkce.<br />
\begin{proof}<br />
Z lemmatu plyne lineární závislost souboru ($\d z,\dzz$). Funkce $g, h$ se dají interpretovat jako funkce v dvourozměrné Gaussově rovině, jejichž přepis do proměnných $z,\z$ (namísto $x,y$) si vyžaduje obecně obě souřadnice. Např. $x^2+y^2=z\z$, takže $g$ i $h$ musí být funkce od proměnných $z,\z$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato věta nám umožňuje zapsat totální diferenciál $\d f$ (kde $f$ je komplexní funkce) v~bázi ($\d z,\dzz$) namísto báze ($\d x,\dy$) v~\ref{komp.fce}.\ref{baze df}, což je další krok k tomu dopracovat se k elegantním výsledkům komplexních derivací, např. $\d(z^2)=2z\dz,\quad\d(\z^3)=3\z^2\dzz,\quad\d(z^{-1})=-z^2\dz$, atd.<br />
\end{remark}<br />
<br />
%\begin{example}<br />
%Vyjádříme $\d\abs{z}$ v bázi ($\d z,\dzz$).<br />
%\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{complex df}<br />
Buď $f(z,\z)$ komplexní funkce a $\d f$ její vnější derivace. Označme<br />
\[<br />
\frac{\pd}{\pd z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\pd }{\pd x}-\im\frac{\pd}{\pd y}\right), \quad <br />
\frac{\pd}{\pd\z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\pd }{\pd x}+\im\frac{\pd}{\pd y}\right),<br />
\]<br />
pak lze $\d f$ zapsat ve tvaru<br />
\[\d f=\frac{\pd f}{\pd z}\dz + \frac{\pd f}{\pd\z}\dzz.\] <br />
\begin{proof}<br />
Pomocí posledních dvou rovností v \ref{komp.fce}.\ref{dz,dzz} přepíšeme \ref{komp.fce}.\ref{baze df} následovně:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\d f=\frac{\pd f}{\pd x}\dx + \frac{\pd f}{\pd y}\dy=<br />
\frac{\pd f}{\pd x}\underbrace{\frac{1}{2}(\d z+\dzz)}_{\dx}+ \frac{\pd f}{\pd y}\underbrace{\frac{1}{2\im}(\d z-\dzz)}_{\dy}= \\<br />
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\dz+\frac{\pd f}{\pd x}\dzz\right)-\frac{\im}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd y}\dz-\frac{\pd f}{\pd y}\dzz\right)= \underbrace{\frac{1}{2}\left( \frac{\pd f}{\pd x}-\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)}_{\displaystyle\frac{\pd f}{\pd z}}\dz +\underbrace{\frac{1}{2}\left( \frac{\pd f}{\pd x}+\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)}_{\displaystyle\frac{\pd f}{\pd \z}}\dzz.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{wirtinger}<br />
Parciální diferenciální operátory $\pd_z=\frac{\pd}{\pd z}$ a $\pd_\z =\frac{\pd}{\pd\z}$ nazýváme {\bf Wirtingerovy derivace} nebo též Wirtingerovy operátory.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Často se také v kontextu komplexní analýzy zavádějí {\bf Dolbeaultovy operátory} $\pd=\pd_z\dz$ a $\bar \pd=\pd_\z\dzz$. Vnější derivace má v tomto vyjádření elegantní tvar $\d=\pd +\bar\pd$.<br />
\item \label{wirtinger2}Stále však nejsme spokojeni se zavedením totálního diferenciálu komplexních funkcí. Máme-li reálnou funkci $f(x)$, její totální diferenciál je $\d f=f'(x)\dx$. Vzhledem k tomu, že $\C$ je těleso stejně jako $\R$, očekáváme, že totální diferenciál komplexní funkce $\d f=f'(z)\dz$. Porovnáním s~\ref{complex df} zpozorujeme dvě zásadní odlišnosti:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Zcela chybí člen $\displaystyle\bar\pd f=\frac{\pd f}{\pd\z}\dzz$.<br />
\item V části $\displaystyle\pd f=\frac{\pd f}{\pd z}\dz$ je funkce $f(z,\z)$ pouze funkcí jedné proměnné $z$, tj. $f(z,\z)=f(z)$.<br />
\end{itemize}<br />
Ukazuje se, že obě zmíněné odlišnosti jdou zahrnout do jedné podmínky a tou je nezávislost komplexní funkce $f(z,\z)$ na proměnné $\z$. Jakmile je tato podmínka splněna, skutečně platí $\d f=f'(z)\dz$. Funkci $f'$ poté nazveme {\it komplexní derivací} funkce $f$. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{CR rce}<br />
Parciální diferenciální rovnici $\pd_\z f=0$ nazveme {\bf Cauchyovou-Riemannovou rovnicí} (dále jen CR rovnicí).<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Jakmile komplexní funkce $f(z,\z)$ splňuje CR rovnici, je poté \uv{pravou} komplexní funkcí \emph{jedné komplexní} proměnné, tj. $f(z):\C\mapsto\C$, a nikoli komplexní funkcí \emph{dvou reálných} proměnných, tj. $f(x,y):\R^2\mapsto\C$ (která odpovídá $f(z,\z)$).<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{dif v C}<br />
O funkci $f:\C\mapsto\C$ splňující $\pd_\z f(z_0)=0$ říkáme, že je {\bf diferencovatelná} v $z_0$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Pokud je splněna rovnost $\pd_\z f=0$ v bodě $z_0$, vnější derivace $\d f$ splňuje v bodě $z_0$ vztah $\d f=f'(z)\dz$ dle \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2} a podle \ref{extdif} platí $\d f(z_0)=f'(z_0)$. Funkci $f'(z_0)$ pak nazýváme {\bf (komplexní) derivací} funkce $f$ {\bf v bodě} $z_0$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\setlength{\itemsep}{6pt}<br />
\item Diferencovatelnost v bodě lze intuitivně definovat i takto (zde začíná přednáška):<br />
\label{lecture C}<br />
Buď $f(x+\im y):=f(z)$ komplexní funkce, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li limita<br />
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\C}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}:=f'(z_0),\]<br />
říkáme, že komplexní funkce $f$ je {\bf diferencovatelná} v~$z_0$ a limitu nazveme derivací $f$ v $z_0$.<br />
\item Je-li $f$ je diferencovatelná v $z_0$ podle výše uvedené alternativní definice, musí nevyhnutelně splňovat CR rovnici v bodě $z_0$, tj. $\pd_\z(z_0)=0$.<br />
\begin{proof}<br />
Pokud limita v alternativní definici existuje, musí být nezávislá na způsobu, jímž se s~$h\in\C$ blížíme k nule. Jdeme-li k nule po reálné ose:<br />
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\R}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\pd f}{\pd x}(z_0),\]<br />
musíme získat stejný výsledek, jako půjdeme-li po imaginární ose:<br />
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\R}}\frac{f(z_0+\im h)-f(z_0)}{\im h}=\frac{1}{\im}\frac{\pd f}{\pd y}(z_0)=-\im\frac{\pd f}{\pd y}(z_0).\]<br />
Z rovností těchto limit získáváme<br />
\[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}(z_0)+\im\frac{\pd f}{\pd y}(z_0)=0,<br />
\]<br />
což je CR rovnice v bodě $z_0$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\item \label{CR} Funkci $f(x,y)=u(x,y)+\im v(x,y)$ splňuje CR rovnici právě když:<br />
\[<br />
0=\frac{\pd f}{\pd\z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd x}+\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd u}{\pd x}+\im\frac{\pd v}{\pd x}+\im\frac{\pd u}{\pd y}-\frac{\pd v}{\pd y}\right)<br />
\quad\iff\quad<br />
\frac{\pd u}{\pd x}=\frac{\pd v}{\pd y}<br />
\quad\text{a}\quad<br />
\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y}<br />
\]<br />
Těmto rovnostem se říká Cauchyovy-Riemannovy podmínky (dále jen CR podmínky). Krátce o jejich významu:<br />
<br />
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ právě když $u=\Re f$ a $v=\Im f$ splňují CR podmínky (a jejich reálné derivace $\pd_x u,\pd_y u,\pd_x v,\pd_y v$ existují v bodě $z_0$).<br />
<br />
%\begin{proof}<br />
%\[<br />
%\begin{split}<br />
% \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha & \iff<br />
%\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}<br />
%\frac{\abs{h}}{h}=0\iff \\<br />
% & \iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,<br />
%\end{split}<br />
%\]<br />
%to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit<br />
%\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-<br />
%\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]<br />
%a<br />
%\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-<br />
%\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]<br />
%a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:<br />
%\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge<br />
%\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge<br />
%\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]<br />
%\end{proof}<br />
<br />
%\item Uvažujme Jacobiho matici zobrazení $f(x,y)=u(x,y)+\im v(x,y)$ jakožto dvojrozměrné funkce $f(x,y)=\begin{pmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{pmatrix}$ a užijme CR podmínek: $a=\frac{\pd u}{\pd x}=\frac{\pd v}{\pd y}<br />
%\quad\text{a}\quad<br />
%b=\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y}$. Pak<br />
%\[\displaystyle<br />
%\J f(x,y)\sim\begin{pmatrix}<br />
%\frac{\pd u}{\pd x} & \frac{\pd u}{\pd y}\\<br />
%\frac{\pd v}{\pd x} & \frac{\pd v}{\pd y}\\<br />
%\end{pmatrix}<br />
%\sim<br />
%\begin{pmatrix}<br />
%a & -b\\<br />
%b & a\\<br />
%\end{pmatrix}.<br />
%\]<br />
%Matice tohoto typu odpovídají tzv. maticové reprezentaci komplexního čísla $a+\im b$. Dále se však jedná o přeškálovanou matici rotace. Matice tohoto typu nezachovávají velikosti, ale zachovávají úhly. Říká se jim {\bf konformní}.<br />
<br />
%\item Buď $\vec F=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$ reálné vektorové pole takové, že $u,v\in\c{1}$ splňují CR podmínky. Pak plyne<br />
%\begin{itemize}<br />
%\item z první CR podmínky: $\frac{\pd u}{\pd x}+\frac{\pd (-v)}{\pd y}=0,$ tj. pole je solenoidální $(\diverg \vec F=0)$,<br />
%\item z druhé CR podmínky: $\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y},$ tj. pole je nevírové ($\rot\vec F=\vec 0$).<br />
%\end{itemize}<br />
%Toto pole je z \ref{green} konzervativní a jeho celkový tok je roven nule. Pole tohoto typu modelují statická magnetická pole na oblasti bez elektrického pole, resp. statická elektrická pole na oblasti bez elektrického náboje.<br />
<br />
\item Nechť pro funkce $f_1(x,y)\in\c{2}$ a $f_2(x,y)\in\c{2}$ platí Cauchy-Riemannovy podmínky.<br />
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad<br />
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]<br />
zkoumáme<br />
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]<br />
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]<br />
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark} <br />
<br />
%\begin{example}<br />
%$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.<br />
%\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $f,g$ jsou diferencovatelné v~$z_0$. Pak<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $(\alpha f+g)'(z_0)=\alpha f'(z_0)+g'(z_0)$,<br />
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.<br />
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak<br />
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Plyne z \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2}.<br />
%Z vlastnosti vnější derivace víme, že $\d(fg)=f\d g+g\d f$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak<br />
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.<br />
%\begin{proof}<br />
%Plyne z \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2}.<br />
%\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
%Nyní bychom chtěli definovat elementární funkce v komplexním oboru. Začneme paradoxně od $\log z$ a to pomocí derivace.<br />
%\end{remark} <br />
<br />
\begin{remark}<br />
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]<br />
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]<br />
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad<br />
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]<br />
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:<br />
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=<br />
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!<br />
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=<br />
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]<br />
\[<br />
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad<br />
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}<br />
\]<br />
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]<br />
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]<br />
\[<br />
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad<br />
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad<br />
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z<br />
\]<br />
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]<br />
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left[0,1\right] $!<br />
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]<br />
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad<br />
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]<br />
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=<br />
\sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x\]<br />
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]<br />
Nulové body:<br />
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff<br />
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff<br />
x=k\pi\iff y=0.\]<br />
Derivace:<br />
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad<br />
(\sin z)'=\cos z,\quad<br />
(\cos z)'=-\sin z\]<br />
Prostota $e^z$:<br />
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]<br />
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]<br />
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]<br />
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]<br />
$e^z$ není prostá, je prostá na množině<br />
\[E_\alpha=\{z\in\C~|~\Im z=y\in\left(\alpha-\pi,\alpha+\pi\right] \}\]<br />
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu<br />
$\{\alpha\in\R~|~z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\vartheta\in\R$. Potom<br />
$\Arg z\cap\left(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\right]\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková<br />
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme<br />
$P_\vartheta=\{z~|~z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.<br />
\item<br />
\[<br />
\arg z=\begin{cases}<br />
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\<br />
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]<br />
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]<br />
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]<br />
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v<br />
základním intervalu.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,<br />
$e^w=e^u e^{\im v}$<br />
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge<br />
\Im{\Ln_\vartheta z}\in\left(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\right]\]<br />
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]<br />
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:<br />
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.<br />
\item Má logaritmus derivaci? $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln<br />
z}=\arg z$.<br />
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+<br />
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]<br />
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+<br />
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]<br />
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme<br />
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.<br />
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=<br />
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=<br />
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]<br />
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline<br />
z}{z\overline z}=\frac1z.\]<br />
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme<br />
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad<br />
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad<br />
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]<br />
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. <br />
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root<br />
\[<br />
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad<br />
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]<br />
\[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]<br />
<br />
\item Pro $z,\alpha\in\C$<br />
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]<br />
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je <br />
\[<br />
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z <br />
\]<br />
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek,<br />
že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. <br />
Pro $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů. <br />
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho. <br />
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce <br />
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále. <br />
<br />
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$ <br />
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface<br />
\begin{example}<br />
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]<br />
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in \hat 5 \]<br />
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].<br />
\end{example}<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola15&diff=521001MAA4:Kapitola152014-01-24T12:30:22Z<p>Nguyebin: Přidáno pár drobností a přesunuta stránka se značením.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Regulární zobrazení}<br />
<br />
Připomeneme si Banachovu větu:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},<br />
právě když<br />
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]<br />
\item Každé kontrahující zobrazení na úplném prostoru má právě jeden pevný<br />
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{theorem}[o~inverzním zobrazení]\label{VInvZob}<br />
Nechť $q\in\N$, $g:E\mapsto E\in\c{q}$, $t_0\in\vn {(\df g)}$, $=\det<br />
g'(t_0)\not=0$. Potom existuje $\H_{t_0} = \vn{(\H_{t_0})}$ takové, že<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Zúžení $g|_{\H_{t_0}}$ je prosté,<br />
\item $U=g(\H_{t_0})=\vn{U}$, tj. obraz otevřeného okolí je otevřený,<br />
\item $f=(g|_{\H_{t_0}})^{-1}\in\c{q}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x_0=g(t_0)$, $x=g(t)$. Pak $x-g(t)=0$, $t=x+(t-g(t))=\phi_x(t)$.<br />
\begin{enumerate}[I)]<br />
\item předpokládejme, že $g'(t_0)\in\LL(\VEC E,\VEC E)$,<br />
$g'(t_0)=\id{E}$<br />
\[\phi'_x(t_0)=\id{\vec E}-g'(t_0)=\covec 0\]<br />
\[\abs{\phi_x^i(t_2)-\phi_x^i(t_1)}=\abs{(\phi_x^i)'(\xi)(t_2-t_1)}\]<br />
S využitím spojitosti $g$ existuje $\uz{B}(t_0,r)$ taková, že $(\forall t\in<br />
B)\norm{\phi'_x(t)}\le k\in(0,1)$<br />
a zároveň $\uz{B}$ je úplný prostor (je uzavřená v~úplném prostoru).<br />
<br />
Musíme ještě ověřit, zda $\phi_x:\uz{B}(t_0,r)\mapsto \uz{B}(t_0,r)$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\norm{\phi_x(t)-t_0}&=\norm{x+t-g(t)-(x_0+t_0-g(t_0))}=\\<br />
&=\norm{(x-x_0)+(x+t-g(t))-(x+t_0-g(t_0))}\le\\<br />
&\le\norm{x-x_0}+\norm{\phi_x(t)-\phi_x(t_0)}\le (1-k)r+kr \le r<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Jestliže je $x\in B(x_0,(1-k)r)$, pak $\phi_x$ na $\uz{B}(t_0,r)$<br />
kontrahuje a $\phi_x$ je $\uz{B}\mapsto\uz{B}$. Z~toho vyplývá, že má<br />
právě jeden pevný bod pro každé $x\in B(x_0,(1-k)r)$ a tedy zvolím-li<br />
si $x\in B$, pak existuje právě jedno $t\in B(t_0,r)$ tak, že platí<br />
$x=g(t)$. Tedy $g|_\H$ je prosté.<br />
<br />
Definujeme tímto zobrazení $f(x)=t$.<br />
% \[\H=f(B(x_0,(1-k)r))=g^{-1}(B(x_0,(1-k)r)).\]<br />
% Jelikož $g\in\c{q}$, je $U=B(x_0,(1-k)r)$ otevřená. Zbývá dokázat, že<br />
% $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.<br />
Nejprve ukážeme spojitost $f$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\norm{g(t_2)-g(t_1)}&=\norm{x+t_2-\phi_x(t_2)-(x+t_1-\phi_x(t_1))}\ge\\<br />
&\ge\norm{t_2-t_1}-\norm{\phi_x(t_2)-\phi_x(t_1)}<br />
\ge(1-k)\norm{t_2-t_1}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
a tedy pro každé $x_1,x_2\in g(\H)$ platí:<br />
\[\norm{f(x_2)-f(x_1)}\le\frac{1}{1-k}\norm{x_2-x_1},\]<br />
tedy zobrazení $f$ je lipschitzovské, tedy i spojité. Vzor otevřené množiny při spojitém zobrazení je otevřený. Proto <br />
$U=g(\H)=f^{-1}(\H)=\vn{U}$. Zbývá dokázat, že $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.<br />
<br />
\[g(t)=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}\]<br />
\[x-x_0=g'(t_0)(f(x)-f(x_0))+\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)}\]<br />
\[f(x)-f(x_0)=(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)-<br />
(g'(t_0))^{-1}(\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)})\]<br />
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}+<br />
\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}\norm{f(x)-f(x_0)}\]<br />
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}\]<br />
a tedy<br />
\[f(x)=f(x_0)+(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\]<br />
a<br />
\[<br />
\norm{\omega(x)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}<br />
\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}<br />
\]<br />
Existuje $f'(x_0)=(g'(t_0))^{-1}$. Pro $x\in U$, $t\in\H$<br />
\[f'(x)=(g'(t))^{-1}\]<br />
\item Pokud $g'(t_0)\not=\id{\vec E}$:<br />
Definujeme<br />
\[h(x)=x_0-g'(t_0)^{-1}(x-x_0).\]<br />
Platí, že $G=(h\circ g)\in\c{q}$, $G(t_0)=x_0$,<br />
$G'(t_0)=(h\circ g)'(t_0)=(g'(t_0))^{-1}\circ g'(t_0)=\id{\vec E}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $g^{-1}=f$ (funkce k sobě inverzní)<br />
\item $\jac f(x_0)=(\jac g(t_0))^{-1}$ (Jacobiho matice k sobě inverzní)<br />
\item $\det f'(x_0)=\frac{1}{\det g'(t_0)}$ (determinanty k sobě inverzní)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $g$ zobrazení třídy alespoň $\c{1}$ pro každé $t\in\df g$. Nechť<br />
$\det g'(t)\not=0$ (tj. $g$ má regulární derivaci). Pak řekneme, že $g$<br />
je {\bf regulární}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Regulární zobrazení splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, takže je {\bf lokálně<br />
prosté}, tj. $(\forall t)(\exists\H_t)$ takové, že $g$ je na něm prosté.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Zobrazení $g:E\mapsto E$ se nazývá {\bf difeomorfismus}, resp. {\bf<br />
$q$-difeomorfismus} platí-li<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $g$ je prosté<br />
\item $g$ i $g^{-1}$ jsou třídy $\c{1}$ resp. $\c{q}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Regulární zobrazení je {\bf lokálně difeomorfní}.<br />
\item Homeomorfismus je 0-difeomorfismus.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Zobrazení $g$ se nazývá {\bf otevřené}, platí-li<br />
\[(A\subset \df g\wedge A=\vn{A})\implies g(A)=\vn{g(A)}.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $g$ regulární, je otevřené.<br />
\begin{proof}<br />
$x_0\in g(A)$, tedy $(\exists t_0\in A)(g(t_0)=x_0)$. Na $g|_A$<br />
aplikujeme větu \ref{VInvZob} \\ $(\exists\H_{x_0}\subset A)(g(H_{x_0})= U,\ x_0\in U\subset<br />
g(A))$ a tedy $g(A)$ je otevřená.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zobrazení regulární a prosté je difeomorfní.<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Header&diff=520901MAA4:Header2014-01-24T12:28:47Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
<br />
\documentclass[intlimits]{amsart}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{amsthm}<br />
%\usepackage{bbm}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
%\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage{lmodern} <br />
\def\mathbbm{\mathbb} % pokud neni k dispozici bbm<br />
\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak<br />
\usepackage{a4}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
%\usepackage{epsf}<br />
\usepackage{graphicx}<br />
\sloppy<br />
\makeatletter<br />
\usepackage{hyperref}<br />
\usepackage{color}<br />
<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {01MAA4 Wiki Skriptum},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
<br />
<br />
\def\cary{\buildrel\textstyle{\lower0.18pt\hbox{\smash-}}\over{\lower1.42pt\hbox{\smash-}}}<br />
<br />
\def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@<br />
$#1\copy\z@\mkern-6mu\cleaders<br />
\hbox{$#1\mkern-2mu\box\z@\mkern-2mu$}\hfill<br />
\mkern-6mu\mathord\rightrightarrows$}<br />
<br />
\newcommand{\xrightarrows}[2][]{<br />
\mathrel{\mathop{<br />
\setbox\z@\vbox{\m@th<br />
\hbox{$\scriptstyle\;{#1}\;\;$}<br />
\hbox{$\m@th\scriptstyle\;{#2}\;\;$}<br />
}<br />
\vbox{<br />
\kern-2pt<br />
\hbox to\ifdim\wd\z@>\minaw@\wd\z@\else\minaw@\fi{<br />
\rightarrowfill@x\displaystyle}<br />
}<br />
}<br />
\limits^{#2}\@ifnotempty{#1}{_{#1}}}<br />
}<br />
<br />
\newcommand{\dotm}{\buildrel\textstyle\raise2pt\hbox{\smash.}\over{\smash-}}<br />
\newcommand{\dotp}{\buildrel\textstyle\raise5.5pt\hbox{\smash.}\over{\smash+}}<br />
<br />
\renewcommand{\hat}{\widehat}<br />
<br />
\newcommand{\M}{{\mathcal M}}<br />
\newcommand{\HH}{{\mathcal H}}<br />
\renewcommand{\P}{{\mathcal P}}<br />
\renewcommand{\S}{{\mathcal S}}<br />
\newcommand{\LL}{{\mathcal L}}<br />
\renewcommand{\L}{{\mathrm L}}<br />
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}<br />
\renewcommand{\rho}{\varrho}<br />
\renewcommand{\phi}{\varphi}<br />
\newcommand{\Rop}{{\mathbbm{R}^0_+}}<br />
\newcommand{\Rp}{{\mathbbm{R}_+}}<br />
\newcommand{\Rm}{{\mathbbm{R}_-}}<br />
\newcommand{\RR}{{\mathbbm{R}^*}}<br />
\newcommand{\R}{{\mathbbm{R}}}<br />
\newcommand{\Q}{{\mathbbm{Q}}}<br />
\newcommand{\N}{{\mathbbm{N}}}<br />
\newcommand{\No}{{\mathbbm{N}_0}}<br />
\newcommand{\C}{{\mathbbm{C}}}<br />
\newcommand{\CC}{{\mathbbm{C}^*}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbbm{Z}}<br />
\newcommand{\Zm}{{\mathbbm{Z}_-}}<br />
\newcommand{\II}{{\hskip 1pt\mathbf{I}\hskip 1pt}}<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
\renewcommand{\c}[1]{{\mathcal{C}^{#1}}}<br />
\newcommand{\AZR}{\mathrm{AZR}}<br />
<br />
\newcommand{\0}{\mathrm{O}}<br />
<br />
\newcommand{\jac}{{\mathbb J}}<br />
\newcommand{\nad}{\choose}<br />
<br />
\newcommand{\I}{{\mathcal I}}<br />
\newcommand{\J}{{\mathcal J}}<br />
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}<br />
\newcommand{\n}{\hat n}<br />
\newcommand{\linf}{\mathop{\underline{\mathrm{lim}}}}<br />
\newcommand{\lsup}{\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}}<br />
\newcommand{\sgn}{\mathop{\mathrm{sgn}}}<br />
<br />
\newcommand{\df}{\mathop{\operator@font Dom}\nolimits}<br />
\newcommand{\obr}{\mathop{\operator@font Ran}\nolimits}<br />
<br />
\newcommand{\tg}{\mathop{\operator@font tg}\nolimits}<br />
\newcommand{\cotg}{\mathop{\operator@font cotg}\nolimits}<br />
\newcommand{\arctg}{\mathop{\operator@font arctg}\nolimits}<br />
\newcommand{\arccotg}{\mathop{\operator@font arccotg}\nolimits}<br />
\newcommand{\tgh}{\mathop{\operator@font tgh}\nolimits}<br />
\newcommand{\cotgh}{\mathop{\operator@font cotgh}\nolimits}<br />
\newcommand{\argsinh}{\mathop{\operator@font argsinh}\nolimits}<br />
\newcommand{\argcosh}{\mathop{\operator@font argcosh}\nolimits}<br />
\newcommand{\argtgh}{\mathop{\operator@font argtgh}\nolimits}<br />
\newcommand{\grad}{\mathop{\operator@font grad}\nolimits}<br />
\newcommand{\diverg}{\mathop{\operator@font div}\nolimits}<br />
\newcommand{\intd}{\mathop{\operator@font int}\nolimits}<br />
\newcommand{\extd}{\mathop{\operator@font ext}\nolimits}<br />
\newcommand{\ind}{\mathop{\operator@font ind}\nolimits}<br />
\newcommand{\rot}{\mathop{\operator@font rot}\nolimits}<br />
\newcommand{\Ln}{\mathop{\operator@font \mathrm{Ln}}\nolimits}<br />
\newcommand{\rez}{\mathop{\operator@font rez}\nolimits}<br />
\newcommand{\Arg}{\mathop{\operator@font Arg}\nolimits}<br />
\newcommand{\limx}{\lim\limits}<br />
\renewcommand{\iff}{\Leftrightarrow}<br />
\renewcommand{\implies}{\Rightarrow}<br />
\newcommand{\sk}[1]{\mathop{\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\nsk}[1]{\mathop{\not\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\posloupnost}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left\lbrace #3\right\rbrace }}}<br />
\newcommand{\system}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left\{#3\right\}}}}<br />
\newcommand{\posl}[1]{\posloupnost{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\poslo}[1]{\posloupnost{0}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\sys}[1]{\system{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\rada}[1]{\sum_0^\infty #1}<br />
\newcommand{\sm}{\smallsetminus}<br />
\newcommand{\iz}[1]{{#1^\mathrm{i}}}<br />
\newcommand{\vn}[1]{{#1^\circ}}<br />
\newcommand{\uz}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\hr}[1]{\Dot{#1}}<br />
\newcommand{\pp}{\subset\subset}<br />
\newcommand{\sv}{\,\mathrm{sv}\,}<br />
\newcommand{\id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}<br />
<br />
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}<br />
<br />
\newcommand{\VEC}[1]{\overset{\rightarrow}{#1}} %pouze pro lineární prostory<br />
\newcommand{\covec}[1]{\underset{\leftarrow}{#1}} %malá šipka pro kovektor<br />
\newcommand{\COVEC}[1]{\underleftarrow{#1}} %VELKÁ šipka pro kovektor o více znacích<br />
<br />
\newcommand{\Sim}[1]{\overset{\sim}{#1}} <br />
<br />
\renewcommand{\H}{{\mathrm{H}}}<br />
\newcommand{\V}{{\mathrm{V}}}<br />
\newcommand{\h}{{\mathrm{h}}}<br />
\newcommand{\im}{{\mathbf{i}}}<br />
\renewcommand{\d}{{\mathrm{d}}}<br />
\newcommand{\dx}{{\,\d x}}<br />
\newcommand{\dt}{{\,\d t}}<br />
\newcommand{\dy}{{\,\d y}}<br />
\newcommand{\dz}{{\,\d z}}<br />
\newcommand{\pd}{\partial}<br />
%\newcommand{\la}{{<\mkern-1mu}}<br />
%\newcommand{\ra}{{\mkern-1mu>}}<br />
\newcommand{\la}{\left\langle}<br />
\newcommand{\ra}{\right\rangle}<br />
<br />
\renewcommand{\Re}[1]{\boldsymbol{\operatorname{Re}}{(#1)}}<br />
\renewcommand{\Im}[1]{\boldsymbol{\operatorname{Im}}{(#1)}}<br />
\newcommand{\z}{{\bar z}}<br />
\newcommand{\dzz}{{\,\d\bar z}}<br />
\newcommand{\pdz}{\bar\partial}<br />
<br />
\newcommand{\bigx}{\mathop{\text{\Huge\lower4.6pt\hbox{X}}}}<br />
<br />
\newcommand{\gammaf}{\boldsymbol{\Gamma}}<br />
\newcommand{\betaf}{{\mathbf{B}}}<br />
\makeatother<br />
<br />
%\addtolength{\topmargin}{-24pt}<br />
%\addtolength{\textheight}{72pt}<br />
<br />
\addtolength{\textwidth}{72pt}<br />
\addtolength{\evensidemargin}{-36pt}<br />
\addtolength{\oddsidemargin}{-36pt}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{define}{Definice}[section]<br />
\newtheorem{theorem}[define]{Věta}<br />
\newtheorem{lemma}[define]{Lemma}<br />
\newtheorem*{dusl}{Důsledek}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{remark}{Poznámka}<br />
\newtheorem*{example}{Příklad}<br />
\renewcommand{\proofname}{Důkaz}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola0&diff=520801MAA4:Kapitola02014-01-24T12:28:23Z<p>Nguyebin: Založení stránky se značením.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
<br />
\section*{Značení}<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | p{250pt} |}<br />
\hline<br />
\textbf{Značka} & \textbf{Popis} \\ \hline\hline<br />
$\RR$ & $\R\cup \left\lbrace -\infty, +\infty \right\rbrace$ \\<br />
$\CC$ & $\C\cup \left\lbrace \infty \right\rbrace$ \\<br />
$\mathbbm{X}_0$ & $\mathbbm{X} \cup \left\lbrace 0 \right\rbrace$, kde $\mathbbm{X}$ je číselná množina \\<br />
$\n$ & $\left\lbrace m \in \N ~|~ m \leq n \right\rbrace$ \\<br />
$\df f $ & definiční obor zobrazení $f$ \\<br />
$\obr f $ & obor hodnot zobrazení $f$ \\<br />
$\P(X)=2^ X$ & potenční množina $X$ (systém všech podmnožin $X$) \\<br />
$\posl{x_n}$ & posloupnost jdoucí od $1$ do $+\infty$ \\<br />
$\lfloor k \rfloor$ & dolní celá část čísla $k$ \\<br />
$\left(c,d\right)$ & otevřený interval \\<br />
$\left[c,d\right] $ & uzavřený interval \\<br />
$\sim$ & ekvivalence matic, množin či funkcí \\<br />
$[\phi]$ & třída ekvivalence $\phi$ \\<br />
$\to$ & bodová konvergence \\<br />
$\mapsto$ & přiřazení \\ \hline<br />
$A\times B$ & kartézský součin množin $A$ a $B$ \\<br />
$\vn A$ & vnitřek množiny $A$ \\<br />
$\hr A$ & hranice množiny $A$ \\<br />
$\uz A$ & uzávěr množiny $A$ \\<br />
$\iz A$ & izolátor množiny $A$ \\<br />
$A'$ & derivace množiny $A$ \\<br />
$\uz A^Y$ & množina $A$ uzavřená v množině $Y$ \\<br />
$\vn A^Y$ & množina $A$ otevřená v množině $Y$ \\<br />
$\la\phi \ra=\obr \phi $ & stopa dráhy $\phi$ \\<br />
$\H_x,U_x,A_x$ & okolí bodu $x$ \\ \hline<br />
$\VEC V = V^n$ & lineární vektorový prostor dimenze $n$ \\<br />
$\covec V=V^\# $ & lineární kovektorový prostor (algebraický duál) \\<br />
$\L(\VEC X,\VEC Y)$ & normovaný prostor spojitých lineárních zobrazení $\VEC X \mapsto \VEC Y$ \\<br />
$\left\vert b \ra = \vec b = (b^1,b^2,\dots ,b^r)^\text{T}$ & sloupcový vektor \\<br />
$\la a \right\vert = \covec a = a^\# =(a_1,a_2,\dots ,a_r)$ & řádkový vektor (lineární funkcionál, kovektor) \\<br />
$\covec a \vec b = \la a \vert b \ra$ & akce kovektoru na vektor (funkcionál $\covec a$ v bodě $\vec b$) \\<br />
$\la \vec a, \vec b \ra$ & skalární součin vektorů \\<br />
$\norm{\vec x}_p$ & $p$--norma vektoru $\vec x$ \\ \hline<br />
$\d f $ & totální diferenciál funkce $f$ \\<br />
$\boldsymbol\omega$ & diferenciální forma libovolného stupně \\<br />
$\boldsymbol\omega \wedge \boldsymbol\zeta $ & vnější součin forem \\<br />
$\star \vec x$ & Hodgeův duál \\ \hline<br />
$\c p(M)$ & třída všech funkcí na množině $M$ spojitě diferencovatelných do řádu $p$ \\<br />
$L^p(M, \d\mu)$ & prostor všech Lebesgueovsky integrabilních funkcí na množině $M$ s $p$-normou a mírou $\mu$ \\<br />
$\pd_k = \frac{\pd}{\pd x_k} $ & operátor parciální derivace podle $k$--té složky \\<br />
$\jac_f(x_0)$ & Jacobiho matice zobrazení $f$ v bodě $x_0$ (první derivace) \\<br />
$\im$ & imaginární<br />
jednotka \\<br />
$\Re z$ & reálná část komplexního čísla $z$ \\<br />
$\Im z$ & imaginární část komplexního čísla $z$ \\ \hline<br />
\end{tabular}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola35&diff=520701MAA4:Kapitola352014-01-24T12:22:24Z<p>Nguyebin: Celková úprava.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
<br />
\section{Vícerozměrná integrace}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
Z této kapitoly Vrána přednáší pouze plošné integrály a divergenční větu, na zkoušce pak její znění může chtít slyšet na A. Ze znalostí z předchozí kapitoly nyní můžeme shrnout poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá {\bf$\boldsymbol\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém <br />
$\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$, který pokrývá $A$, tj.<br />
\[<br />
A = \bigcup_{n\in\I}A_n.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{Morientace}<br />
Nechť jsou dány:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$,<br />
\item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$,<br />
\item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}.$<br />
\end{enumerate}<br />
Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$<br />
\[<br />
e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}}<br />
\]<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Orientace variety $M$ má význam jednotkového tečného \uv{vektoru} k varietě $M$.<br />
\item Varieta je orientovatelná, pokud se dá napsat jako implicitní zobrazení. Pokud ji nelze zadat implicitně, není tedy orientovatelná a můžeme ji zadat např. parametricky.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu]<br />
\label{kint2druh}<br />
Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $ e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe<br />
\[<br />
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t,<br />
\]<br />
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále<br />
\[<br />
\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t).<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. <br />
<br />
Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ existuje dle poznámky \ref{findhodge}.2 vektorové pole $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$.<br />
% dané vztahem <br />
%\[<br />
%\vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda.<br />
%\]<br />
%Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra = \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$ (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). <br />
S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
& \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v =\\<br />
&= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v =<br />
\int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra \,\d u \d v.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky:<br />
\[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S<br />
=\int_A\vec F\cdot \d\vec S = <br />
\int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\cdot\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right) \d t.<br />
\]<br />
Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$.<br />
<br />
Integrand v poslední rovnosti je smíšený součin. Užitím poznámky \ref{findhodge}.1(a) můžeme pokračovat v úpravách integrálu (ozn. $\pd_i g^j=\frac{\pd g^j}{\pd t^i}$)<br />
\[<br />
=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\wedge \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)~ \d t=\int_{g^{-1}(A)}<br />
\left|<br />
\begin{matrix}<br />
F_1 & F_2 & F_3 \\<br />
\pd_1 g^1 & \pd_1 g^2 & \pd_1 g^3 \\<br />
\pd_2 g^1 & \pd_2 g^2 & \pd_2 g^3<br />
\end{matrix}<br />
\right|\!(t)<br />
~\d t.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark} Při označení z definice \ref{Morientace} platí<br />
\[<br />
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t.<br />
\]<br />
Je-li $\boldsymbol\omega$ 0-forma, tj. (skalární) funkce, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu]<br />
\label{kint1druh}<br />
Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe<br />
\[<br />
\int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t,<br />
\]<br />
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále<br />
\[<br />
\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left|<br />
\begin{matrix}<br />
\la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\<br />
\vdots & & \vdots \\<br />
\la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra<br />
\end{matrix}<br />
\right|}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{fundforma}<br />
Symetrická bilineární forma daná gramovou maticí souboru ($g_i(t)$) definované po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}. Determinant příslušné matice se nazývá {\bf gramián}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Mezi metrickým tenzorem a Jakobiánem platí vztah $g=\J^T\J$, odsud platí<br />
$\det f'(x)=\sqrt{\det g(t)}$. Tímto je dokázána věta \ref{substint}. Metrický tenzor tedy figuruje při přechodu od jedněch souřadnic ke druhým. Zároveň udává geometrii na varietě $M$, neboť na ní indukuje \uv{skalární součin} a tudíž i metriku. Proto se nazývá metrický tenzor.<br />
\item Metrický tenzor nemusí být nutně pozitivně definitní, musí však mít prázdný nulprostor. Variety se signaturou metriky $(-1,1,1,1)$ nazýváme {\bf pseudoriemannovské.} <br />
\item Metrický tenzor 2-rozměrné variety nazýváme {\bf první fundamentální formou}, značíme<br />
\[<br />
\begin{pmatrix}<br />
E & F \\<br />
F & G <br />
\end{pmatrix} \qquad \mbox{ ($E,F,G$ jsou funkce $t$)}.<br />
\]<br />
\item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2<br />
=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$<br />
\item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2<br />
=\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím tohoto vzorce na předchozí rovnost získáme užitečný vztah<br />
\[<br />
\sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky:<br />
\[<br />
\int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v))<br />
\norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}}<br />
\,\d u\d v.<br />
\]<br />
Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme<br />
\[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y))<br />
\sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\]<br />
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[ a,b\right] =\df g$ buď<br />
\[<br />
\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.<br />
\]<br />
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[divergenční, zobecněná Stokesova]<br />
\label{divergint}<br />
Buď $D\subset\R^n$, a nechť jsou dány:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $k$-rozměrná varieta $M$ v $\R^n$,<br />
\item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech $\c{0}$), <br />
\item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$.<br />
\end{enumerate}<br />
Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí<br />
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\]<br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V~předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$.<br />
%\item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a~mylně) zaměňují, ale např. v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou.<br />
\item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již známé důsledky této věty. Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)]<br />
\label{newton}<br />
Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí<br />
\[f(b)-f(a)=[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f'.\]<br />
\begin{proof}<br />
Orientace krajních bodů je opačná, proto jsou funkční hodnoty v krajních bodech (0-forma $f(x)$ vyčíslená přes okraj $\pd D$) vynásobeny příslušnými znaménky. $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{theorem}[Green ($n=k=2$)]<br />
\label{green}<br />
Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí<br />
\[<br />
\int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(<br />
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}<br />
\right)\d x\wedge\d y.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme <br />
$ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y,<br />
$<br />
potom pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y=<br />
\left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+<br />
\left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\<br />
&=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem} <br />
<br />
\begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)]<br />
\label{gauss}<br />
Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí<br />
\[<br />
\iint_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+<br />
F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+<br />
\frac{\pd F_2}{\pd y}+<br />
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z,<br />
\]<br />
ve fyzikální notaci<br />
\[<br />
\oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F~\d V.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme<br />
$ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x,$ potom z důkazu \ref{vdiv} plyne pro vnější derivaci vztah $\boldsymbol\omega$ <br />
\[<br />
\d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+<br />
\frac{\pd F_2}{\pd y}+<br />
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z=<br />
\diverg\vec F~\d x\wedge\d y\wedge\d z.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem} <br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)]<br />
\label{perpartes}Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí<br />
\[<br />
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S-<br />
\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence plyne z alternativní definice \ref{vdiv} vztah<br />
\[<br />
(\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)=<br />
\frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+<br />
f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2}.<br />
\]<br />
Ve vektorovém tvaru jsme tedy užitím \ref{vdiv} a \ref{vlaplace} získali vztah $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. <br />
Dosazením $\diverg \vec F$ do Gaussovy věty \ref{gauss} získáme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)]<br />
\label{green2}<br />
Za předpokladů předchozí věty platí<br />
\[<br />
\oint_{\pd D}\left|<br />
\begin{matrix}<br />
\frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n} \\<br />
f & g<br />
\end{matrix}<br />
\right|\,\d S=<br />
\iiint_{\vn{D}}\left|<br />
\begin{matrix}<br />
\Delta f & \Delta g \\<br />
f & g<br />
\end{matrix}<br />
\right|.<br />
\]<br />
<br />
\begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen<br />
\[<br />
\oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S=<br />
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.<br />
\]<br />
Obdobně získáme<br />
\[<br />
\oint_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S=<br />
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f.<br />
\]<br />
Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\end{theorem} <br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)]<br />
\label{stokes} Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí <br />
\[<br />
\int_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y,<br />
\]<br />
ve fyzikální notaci<br />
\[<br />
\oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme $\boldsymbol\omega$ stejně jako v tvrzení, potom z důkazu \ref{vrot} plyne pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ vztah<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\d\boldsymbol\omega = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y=<br />
\rot\vec F\cdot\d\vec S.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Položíme-li v důkazu předchozí věty $\boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y+O\,\d z,$ kde $O$ je nulová funkce, potom ze Stokesovy věty \ref{stokes} vyplývá Greenova věta \ref{green} jakožto poslední sčítanec na obou stranách (zbylé jsou nulové kvůli nové funkci $O$).<br />
\end{remark}<br />
<br />
%\begin{theorem}[Poincaré-Hopf]<br />
%Let M be a compact orientable differentiable manifold. Let v be a vector field on M with isolated zeroes. If M has boundary, then we insist that v be pointing in the outward normal direction along the boundary. <br />
%\end{theorem}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola39&diff=520601MAA4:Kapitola392014-01-24T12:21:17Z<p>Nguyebin: Založení kapitoly Vnější algebra.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Vnější algebra}<br />
<br />
%\begin{remark}<br />
Z této kapitoly Vrána zmiňuje pouze útržky nutné pro příští kapitolu. To však neznamená, že byste této kapitole neměli věnovat pozornost, spíše naopak. Významně totiž abstrahuje dosavadní poznatky z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost.<br />
%\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. <br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem<br />
\[<br />
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) =<br />
\left|<br />
\begin{matrix}<br />
\covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) \\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) <br />
\end{matrix}<br />
\right|<br />
.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$.<br />
\item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát<br />
\[<br />
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})=<br />
\sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{i_1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{i_k}).<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{wedge}<br />
Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem<br />
\[<br />
(\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!}<br />
\sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~<br />
\sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~<br />
\varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)})<br />
\]<br />
pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom <br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$,<br />
\item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení},<br />
\item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Asociativita<br />
\item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark} <br />
\begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$<br />
\item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$<br />
\end{enumerate}<br />
Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$<br />
\item $\d x^i \wedge \d x^i=0$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark} <br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{k-vektor}<br />
Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe <br />
\[<br />
x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}.<br />
\]<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$.<br />
\item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$.<br />
\item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$<br />
\item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark} <br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{orientace}<br />
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\sigma$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je<br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\bf kladně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$<br />
\item {\bf záporně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{hodge}<br />
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $(V^n, \la\cdot,\cdot\ra)$ se zvolenou orientací $\sigma$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem<br />
\[<br />
x\wedge y = \la \star x,y \ra ~\vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n<br />
\] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}. Výsledek operace Hodgeova operátoru nazýváme Hodgeův duál, resp. Hodgeův sdružený tensor.<br />
\end{define} <br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$<br />
\item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define} Zobrazení, které každému bodu z afinního prostoru $\R^n$ přiřadí tenzor, nazveme<br />
\item {\bf tenzorovým polem} $\boldsymbol\omega$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li <br />
$\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{difkform}<br />
Nechť $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ báze $(V^n)^\#$ a $\omega_{\lambda}: \R^n\mapsto\R$. {\bf Diferenciální $k$-formou} (resp. diferenciální formou stupně $k$) rozumíme tenzorové pole $\boldsymbol\omega$, jehož složky jsou skalárními poli $\omega_{\lambda}$, tj. <br />
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda}.\]<br />
\end{define} <br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\]<br />
\item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru<br />
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\,<br />
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]<br />
\item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru<br />
\[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~<br />
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{axiomyextdif}<br />
{\bf Vnější derivace} je zobrazení $\d$ přiřazující $k$-formě $(k+1)$-formu, které splňuje následující vlastnosti.<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item totální diferenciál: ($\forall f\in \c{1}) (\d f=f')$<br />
\item nilpotentnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\d \boldsymbol\omega)=\d^2\boldsymbol\omega=0$.<br />
\item derivační vlastnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta)=\d\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta+(-1)^k(\boldsymbol\omega\wedge\d\boldsymbol\zeta)$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Vnější derivace je těmito vlastnostmi dána jednoznačně.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Vnější derivací diferenciální $k$-formy je diferenciální $(k+1)$-forma<br />
\[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\wedge<br />
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě<br />
když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item {\bf uzavřená}, jestliže $\d \boldsymbol\omega=0$,<br />
\item {\bf exaktní}, jestliže existuje $(k-1)$-forma $\boldsymbol\xi$ taková, že $\d \boldsymbol\xi=\boldsymbol\omega$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Ze axiomu (II) vnější derivace platí: exaktnost $\implies$ uzavřenost.<br />
\item K opačné implikaci již nestačí jen jednoduchá souvislost, ale další podmínky (jako např. konvexnost).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{findhodge}<br />
Buď $(\covec e^1,\dots\covec e^n)$ ON báze $V_n$, $\boldsymbol\omega=\covec e^n\wedge\dots\wedge \covec e^n$ diferenciální $n$-forma. Potom platí<br />
\[<br />
\star(\covec e^1 \wedge \dots \wedge \covec e^k)=\covec e^{k+1} \wedge \dots \wedge \covec e^n.<br />
\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V $\R^3$ můžeme z předchozí věty vyjádřit příslušné ortonormální kovektory (1-formy) jako diferenciální 2-formy, neboť dle platí ${3\choose 1}={3\choose 2}$, tj. 2 forma je izomorfní s 1-formou a<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\star\d x &=\d y \wedge \d z, \\<br />
\star\d y&=\d z \wedge \d x=-\d x \wedge \d z, \\<br />
\star\d z&=\d x \wedge \d y. \\<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Vidíme, že Hodgeův operátor souvisí vektorovým součinem. Pro každé $\vec x, \vec y \in \R^3$ platí<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y)\in\R^3,$<br />
\item $\vec x \wedge \vec y=\star(\vec x \times \vec y)\in\R^3.$<br />
\end{enumerate}<br />
Zároveň si můžeme všimnout, že smíšený součin $(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z$ dává číslo z tělesa (skalár). Platí ${3\choose 0}={3\choose 3}$, tj. 0-forma (skalár) je izomorfní s 3-formou a<br />
\[<br />
(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z=\vec x \wedge \vec y \wedge \vec z\in \R.<br />
\]<br />
%Následující tvrzení pouze v \R^3, dopsat do lepší podoby!:<br />
\item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší vektorová funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ (vektorové pole). Platí-li navíc $\boldsymbol\omega=\d f$, tj. exaktní, je vektorové pole přímo rovno gradientu, tedy $\vec F=\grad f$. <br />
\item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší diferenciální 2-forma $\star\boldsymbol\omega=F_1~\d y\wedge\d z+F_2~\d z\wedge \d x+F_3~\d x\wedge \d y$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{grad}<br />
{\bf Gradient} ($\grad$) je zobrazení z 0-formy na 1-formu. Buď <br />
$\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \boldsymbol\omega$ její vnější derivace. Složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\grad f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{rot}<br />
{\bf Rotace} ($\rot$) je operátor na 1-formách. Buď <br />
$\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\star\d \boldsymbol\omega$ Hodgeův duál vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\rot \vec F$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{div}<br />
{\bf Divergence} ($\diverg$) je zobrazení z 1-formy na 0-formu. Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\d \star\!\boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \vec F$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\label{laplace}<br />
{\bf Laplaceův operátor} je operátor na 0-formách získaný složením zobrazení $\diverg \grad$. Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \star\!\d \boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \grad f$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Vidíme, že tyto operace jsou jen speciální případy vnější derivace forem na $\R^3$. Ukážeme, že se skutečně jedná o nám známé operace z fyziky. Zavádíme symbol nabla $\nabla=\left(\frac{\pd }{\pd x},\frac{\pd }{\pd y},\frac{\pd }{\pd z}\right)^T,$ který používáme pouze v $\R^3$. V jiných případech používáme abstraktní defince výše.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vgrad} Gradient skalární funkce $f=f(x,y,z)$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:<br />
\[<br />
\grad f=\nabla f=\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T .<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a <br />
\[\d \boldsymbol\omega=\frac{\pd f}{\pd x}\d x+\frac{\pd f}{\pd y}\d y+\frac{\pd f}{\pd z}\d z<br />
\] <br />
její vnější derivace. Dle \ref{grad} jsou složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\grad f$. Odsud je též vidět, že $\d x,\d y,\d z$ jsou vnější derivace souřadnicových funkcionálů na $\R^3$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem} <br />
\label{vrot}<br />
Rotace vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:<br />
\[<br />
\rot \vec F=\nabla \times \vec F=\left( \frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}~;~\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}~;~\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)^T.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci 1-fomy $\boldsymbol\omega$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\d\boldsymbol\omega & =<br />
\d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z = \\<br />
& =<br />
\underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d x +<br />
\underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d y<br />
~+ \\<br />
& + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d z= \\<br />
& =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+<br />
\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\<br />
& = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Nyní k vnější derivaci $\d\boldsymbol\omega$ nalezneme Hodgeův duál. Z poznámky \ref{findhodge}.1 plyne<br />
\[<br />
\star\d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d x+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d y +\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d z.<br />
\]<br />
Dle \ref{rot} jsou složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\rot \vec F$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vdiv}<br />
Divergence vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ je v $\R^3$ stopa matice první derivace (Jacobiho matice) a lze ji v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:<br />
\[<br />
\diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'=\nabla \cdot \vec F=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Hodgeův duál 1-formy $\boldsymbol\omega$ je z poznámky \ref{findhodge}.1 dán <br />
\[<br />
\star \boldsymbol\omega=F_1\d y\wedge\d z-F_2\d x\wedge \d z+F_3\d x\wedge\d y.<br />
\]<br />
Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci Hodgeova duálu $\star \boldsymbol\omega$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\d\star\!\boldsymbol\omega & =<br />
\d F_1\wedge \d y\wedge\d z-\d F_2\wedge\d x\wedge \d z+\d F_3\wedge\d x\wedge\d y = \\<br />
& =<br />
\underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d y\wedge\d z-<br />
\underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d x\wedge \d z~+ \\<br />
& + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d x\wedge\d y= \\<br />
& =<br />
\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y= \\<br />
& =\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+<br />
\frac{\pd F_2}{\pd y}+<br />
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{div} je jediná složka $\d\star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \vec F$. Navíc, protože 3-forma je izomorfní s 0-formou, platí dokonce<br />
\[<br />
\star\d\star\! \boldsymbol\omega=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}=\diverg \vec F.<br />
\]<br />
Zároveň z definice stopy a tvaru Jacobiho matice $\vec F$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vlaplace}<br />
Laplaceův operátor skalární funkce $f=f(x,y,z)$ je v $\R^3$ stopa matice druhé derivace (Hessova matice) a lze jej v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu $\Delta=\nabla^2$, tj.<br />
\[<br />
\diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}.<br />
\]<br />
\begin{proof}<br />
Laplaceův operátor je z definice složení dvou zobrazení $\diverg \grad$. Buď $f=f(x,y,z)$ 0-forma. Pak je $\grad f$ dle \ref{vgrad} roven $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ To je však z \ref{findhodge}.2 vektorové pole příslušící 1-formě $\d f$, která je východiskem pro výpočet divergence. Nyní stačí dosadit $\d f$ za $\boldsymbol\omega$ a $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ za $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ do důkazu \ref{vdiv}.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\d\star\!\d f & =<br />
\d \left(\frac{\pd f}{\pd x}\right) \wedge \d y\wedge\d z-\d \left(\frac{\pd f}{\pd y}\right)\wedge\d x\wedge \d z+\d \left(\frac{\pd f}{\pd z}\right)\wedge\d x\wedge\d y = \dots = \\<br />
& = \left[ \frac{\pd }{\pd x}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+<br />
\frac{\pd }{\pd y}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+<br />
\frac{\pd }{\pd z}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)\right] \,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \\<br />
& =\left( \frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}\right) \,\d x\wedge\d y\wedge\d z.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Dle \ref{laplace} je jediná složka $\d\star\!\d f$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \grad f$. Analogicky k důkazu \ref{vdiv} díky izomorfismu 0-forem k 3-formám platí<br />
\[<br />
\star\d\star\!\d f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}=\diverg \grad f.<br />
\]<br />
Zároveň z definice stopy a tvaru Hessovy matice $f$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z definice vnější derivace \ref{axiomyextdif} víme, že $\d^2\boldsymbol\omega=0$. Z této vlastnosti okamžitě vyplývají dvě užitečné identity $\rot \grad f=0$ a $\diverg \rot \vec F=0$.<br />
\end{remark}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:ControlFile&diff=520501MAA4:ControlFile2014-01-24T12:19:55Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01MAA4}<br />
<br />
\wikichapter{0}{preamble}{Značení}<br />
\wikichapter{15}{kapitola15}{Regulární zobrazení}<br />
\wikichapter{16}{kapitola16}{Implicitní zobrazení}<br />
\wikichapter{17}{kapitola17}{Variety}<br />
\wikichapter{18}{kapitola18}{Vázané extrémy}<br />
\wikichapter{19}{kapitola19}{Diferenciální formy}<br />
\wikichapter{20}{kapitola20}{Křivkový integrál druhého druhu}<br />
\wikichapter{21}{kapitola21}{Křivkový integrál prvního druhu}<br />
\wikichapter{22}{kapitola22}{Riemannův integrál jako elementární integrál}<br />
\wikichapter{23}{kapitola23}{Stupňovité funkce}<br />
\wikichapter{24}{kapitola24}{Základní integrál}<br />
\wikichapter{25}{kapitola25}{Třída Lambda plus a L plus}<br />
\wikichapter{26}{kapitola26}{Třída Lambda a L}<br />
\wikichapter{27}{kapitola27}{Limitní přechody}<br />
\wikichapter{28}{kapitola28}{Měřitelné funkce}<br />
\wikichapter{29}{kapitola29}{Měřitelné množiny}<br />
\wikichapter{30}{kapitola30}{Integrál na měřitelné množině}<br />
\wikichapter{31}{kapitola31}{Výpočet integrálu}<br />
\wikichapter{33}{kapitola33}{Parametrické integrály}<br />
\wikichapter{34}{kapitola34}{Newtonova formule}<br />
\wikichapter{39}{kapitola39}{Vnější algebra}<br />
\wikichapter{35}{kapitola35}{Divergenční věta}<br />
\wikichapter{36}{kapitola36}{Komplexní derivace}<br />
\wikichapter{37}{kapitola37}{Holomorfní funkce}<br />
\wikichapter{38}{kapitola38}{Laurentovy řady}<br />
<br />
<br />
\wikifile{Image:01MAA4_lauren.pdf}{01MAA4_lauren.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_draha.pdf}{01MAA4_draha.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_gamma.pdf}{01MAA4_gamma.pdf}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:ControlFile&diff=520401MAA4:ControlFile2014-01-24T12:18:19Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01MAA4}<br />
<br />
\wikichapter{0}{preamble}{Značení}<br />
\wikichapter{15}{kapitola15}{Regulární zobrazení}<br />
\wikichapter{16}{kapitola16}{Implicitní zobrazení}<br />
\wikichapter{17}{kapitola17}{Variety}<br />
\wikichapter{18}{kapitola18}{Vázané extrémy}<br />
\wikichapter{19}{kapitola19}{Diferenciální formy}<br />
\wikichapter{20}{kapitola20}{Křivkový integrál druhého druhu}<br />
\wikichapter{21}{kapitola21}{Křivkový integrál prvního druhu}<br />
\wikichapter{22}{kapitola22}{Riemannův integrál jako elementární integrál}<br />
\wikichapter{23}{kapitola23}{Stupňovité funkce}<br />
\wikichapter{24}{kapitola24}{Základní integrál}<br />
\wikichapter{25}{kapitola25}{Třída Lambda plus a L plus}<br />
\wikichapter{26}{kapitola26}{Třída Lambda a L}<br />
\wikichapter{27}{kapitola27}{Limitní přechody}<br />
\wikichapter{28}{kapitola28}{Měřitelné funkce}<br />
\wikichapter{29}{kapitola29}{Měřitelné množiny}<br />
\wikichapter{30}{kapitola30}{Integrál na měřitelné množině}<br />
\wikichapter{31}{kapitola31}{Výpočet integrálu}<br />
\wikichapter{33}{kapitola33}{Parametrické integrály}<br />
\wikichapter{34}{kapitola34}{Newtonova formule}<br />
\wikichapter{35}{kapitola35}{Vnější algebra}<br />
\wikichapter{36}{kapitola36}{Divergenční věta}<br />
\wikichapter{37}{kapitola37}{Komplexní derivace}<br />
\wikichapter{38}{kapitola38}{Holomorfní funkce}<br />
\wikichapter{39}{kapitola39}{Laurentovy řady}<br />
<br />
<br />
\wikifile{Image:01MAA4_lauren.pdf}{01MAA4_lauren.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_draha.pdf}{01MAA4_draha.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_gamma.pdf}{01MAA4_gamma.pdf}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4&diff=520301MAA42014-01-24T12:14:58Z<p>Nguyebin: Přidání stránky se značením a nová kapitola Vnější algebra.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
% Turistický průvodce matematickou analýzou 4 <br />
% Autor : Jinda Makovička a vy<br />
%<br />
% Předtím, než se pustíte do oprav chyb, zkontrolujte si, třeba porovnáním s vránovými skripty<br />
% a nebo alespoň konzultací se spolužáky, že je to skutečně chyba. <br />
% Do opravy se pusťte až po úspěšném složení zkoušky. <br />
<br />
\input{header}<br />
%\makeindex<br />
<br />
\begin{document}<br />
\title{Turistick\'y pr{\r u}vodce matematickou anal\'yzou 4}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum FJFI}<br />
<br />
\maketitle<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\setcounter{section}{13} % protoze skriptum z maa3 konci kapitolou 13<br />
<br />
\input{preamble}<br />
\clearpage <br />
\input{kapitola15}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola16}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola17}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola18}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola19}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola20}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola21}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola22}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola23}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola24}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola25}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola26}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola27}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola28}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola29}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola30}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola31}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola33}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola34}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola39}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola35}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola36}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola37}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola38}<br />
%\printindex<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:ControlFile&diff=520201MAA4:ControlFile2014-01-24T12:13:33Z<p>Nguyebin: Přidání stránky se značením a nová kapitola Vnější algebra.</p>
<hr />
<div> \wikiparent{01MAA4}<br />
<br />
\wikichapter{0}{preamble}{Značení}<br />
\wikichapter{15}{kapitola15}{Regulární zobrazení}<br />
\wikichapter{16}{kapitola16}{Implicitní zobrazení}<br />
\wikichapter{17}{kapitola17}{Variety}<br />
\wikichapter{18}{kapitola18}{Vázané extrémy}<br />
\wikichapter{19}{kapitola19}{Diferenciální formy}<br />
\wikichapter{20}{kapitola20}{Křivkový integrál druhého druhu}<br />
\wikichapter{21}{kapitola21}{Křivkový integrál prvního druhu}<br />
\wikichapter{22}{kapitola22}{Riemannův integrál jako elementární integrál}<br />
\wikichapter{23}{kapitola23}{Stupňovité funkce}<br />
\wikichapter{24}{kapitola24}{Základní integrál}<br />
\wikichapter{25}{kapitola25}{Třída Lambda plus a L plus}<br />
\wikichapter{26}{kapitola26}{Třída Lambda a L}<br />
\wikichapter{27}{kapitola27}{Limitní přechody}<br />
\wikichapter{28}{kapitola28}{Měřitelné funkce}<br />
\wikichapter{29}{kapitola29}{Měřitelné množiny}<br />
\wikichapter{30}{kapitola30}{Integrál na měřitelné množině}<br />
\wikichapter{31}{kapitola31}{Výpočet integrálu}<br />
\wikichapter{33}{kapitola33}{Parametrické integrály}<br />
\wikichapter{34}{kapitola34}{Newtonova formule}<br />
\wikichapter{35}{kapitola39}{Vnější algebra}<br />
\wikichapter{36}{kapitola35}{Divergenční věta}<br />
\wikichapter{37}{kapitola36}{Komplexní derivace}<br />
\wikichapter{38}{kapitola37}{Holomorfní funkce}<br />
\wikichapter{39}{kapitola38}{Laurentovy řady}<br />
<br />
<br />
\wikifile{Image:01MAA4_lauren.pdf}{01MAA4_lauren.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_draha.pdf}{01MAA4_draha.pdf}<br />
\wikifile{Image:01MAA4_gamma.pdf}{01MAA4_gamma.pdf}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3&diff=520101MAA32014-01-24T12:09:53Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
% Turistický průvodce matematickou analýzou 3<br />
% Autor : Jinda Makovička a vy<br />
%<br />
% Předtím, než se pustíte do oprav chyb, zkontrolujte si, třeba porovnáním s vránovými skripty<br />
% a nebo alespoň konzultací se spolužáky, že je to skutečně chyba. <br />
% V diskuzi jsou vypsané některé nedodělky. <br />
% http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/scheirich/index.php?s=4&strip=31<br />
<br />
\input{header}<br />
\makeindex<br />
<br />
\begin{document}<br />
\title{Turistick\'y pr{\r u}vodce matematickou anal\'yzou 3}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum}<br />
<br />
\maketitle<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{preamble}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola6}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola7}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola8}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola9}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola10}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola11}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola12}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola13}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola14}<br />
<br />
\printindex<br />
<br />
\end{document}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:ControlFile&diff=520001MAA3:ControlFile2014-01-24T12:09:36Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01MAA3}<br />
<br />
<br />
\wikichapter{0}{preamble}{Značení}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Funkční posloupnosti}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Funkční řady}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Trigonometrické řady}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Metrika}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Topologie}<br />
\wikichapter{7}{kapitola7}{Spojitost}<br />
\wikichapter{8}{kapitola8}{Kompaktní prostory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola9}{Souvislé prostory}<br />
\wikichapter{10}{kapitola10}{Úplné prostory}<br />
\wikichapter{11}{kapitola11}{Afinní prostory}<br />
\wikichapter{12}{kapitola12}{Totální derivace}<br />
\wikichapter{13}{kapitola13}{Derivace vyšších řádů}<br />
\wikichapter{14}{kapitola14}{Lokální extrémy}</div>Nguyebinhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:ControlFile&diff=519901MAA3:ControlFile2014-01-24T12:08:36Z<p>Nguyebin: </p>
<hr />
<div>\wikiparent{01MAA3}<br />
<br />
<br />
\wikichapter{0}{preamble}{Značení}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Funkční posloupnosti}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Funkční řady}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Trigonometrické řady}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Metrika}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Topologie}<br />
\wikichapter{7}{kapitola7}{Spojitost}<br />
\wikichapter{8}{kapitola8}{Kompaktní prostory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola9}{Souvislé prostory}<br />
\wikichapter{10}{kapitola10}{Úplné prostory}<br />
\wikichapter{11}{kapitola11}{Afinní prostory}<br />
\wikichapter{12}{kapitola12}{Totální derivace}<br />
\wikichapter{13}{kapitola13}{Derivace vyšších řádů}<br />
\wikichapter{14}{kapitola14}{Lokální extrémy}</div>Nguyebin