https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Maresj23&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-28T16:10:02ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola5&diff=790302OKS:Kapitola52017-10-01T06:30:35Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Matematický aparát}<br />
\label{sec:Matematicky_aparat}<br />
<br />
Abychom si ulehčili práci s různými zobrazeními a především zefektivnili důkazy nejrůznějších tvrzení, zavedeme si v tomto matematickém intermezzu pár pomocných pojmů, jejichž význam je sice čistě matematický, jejich aplikací však budeme dostávat zajímavá fyzikálně interpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pojmů budeme užívat i jistou notaci a názvosloví, které si nyní letem světem představíme.<br />
<br />
Se stopou operátoru $A \in \hilb$, značenou $\tr A$, jsme se již seznámili. Připomeňme si, že se jedná o lineární zobrazení s vlastností cykličnosti $\tr(A B C) = \tr(C A B)$, $\forall A, B, C \in \bound{\hilb}$ (a tedy samozřejmě také $\tr(A B) = \tr(B A)$), splňující též $\tr(A \tens B) = \tr A \cdot \tr B$. Pokud budeme počítat se složitými výrazy, je užitečné si explicitně vyjádřit, na jakém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního indexu způsobem $\tre{\hilb} A$. Naproti tomu jsme si už zavedli i částečnou stopu operátoru definovaného na složeném systému $C \in \bound{\hilb_A \tens \hilb_B}$. Částečnou stopu přes podsystém $B$ značíme s dolním indexem $\trPar{B} C$, který vyjadřuje, přes jaký prostor se stopuje. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace je shrnuta na počátku skript v sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. Pokud budeme hovořit o \emph{superoperátorech}, nemáme tím na mysli nic jiného, než lineární zobrazení definovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využijeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory $A$ a $B$ jsou \emph{podobné}, existuje-li regulární operátor $C$ takový, že $A = C B C^{-1}$.<br />
<br />
\subsection{Izomorfizmy}<br />
\label{sec:Izomorfizmy}<br />
<br />
V následujícím uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$, kde $\basis{\mu}{M}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně $\basis{m}{N}$ je ortonormální báze v prostoru $\hilb_2$. V této sekci si zadefinujeme tři izomorfní zobrazení, která úspěšně využijeme v důkazech tvrzení nadcházejících sekcí.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ je omezené lineární zobrazení z prostoru $\hilb_1$ do prostoru $\hilb_2$. První izomorfizmus, který si uvedeme, vzájemně jednoznačně přiřazuje takovémuto zobrazení $A$ vektor $\ket{A}$ z prostoru $\hilb_1 \tens \hilb_2$ způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\bra{m} A \ket{\mu} \equiv \braket{m \mu}{A}.<br />
\label{eq:izom_1}<br />
\end{equation}<br />
Zobrazení $A$ lze zřejmě vyjádřit jako $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$. Odpovídající vektor $\ket{A}$ je pak tvaru $\ket{A} = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ket{m} \ket{\mu}$. Ukažme si ještě, že přiřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součin. Pro libovolná dvě zobrazení $A, B \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ platí $(A,B) = \tr(\adj{A} B) = \tr ((\sum_{m \mu} \cc{A}_{m \mu} \ketbra{\mu}{m})(\sum_{n \nu} B_{n \nu} \ketbra{n}{\nu})) = \tr (\sum_{m \mu \nu} \cc{A}_{m \mu} B_{m \nu} \ketbra{\mu}{\nu}) = \sum_{m \mu \nu \alpha} \cc{A}_{m \mu} B_{m \nu} \braket{\alpha}{\mu}\braket{\nu}{\alpha} = \sum_{m \alpha} \cc{A}_{m \alpha} B_{m \alpha} = \braket{A}{B}$. Zobrazení \eqref{eq:izom_1} je tedy izomorfizmus. Z definice \eqref{eq:izom_1} není hned patrné, jak si takové přiřazení představit, má přitom názorný význam. Představme si operátor $A$ jako matici $(A_{ij})$. Pak právě uvedený izomorfizmus vezme první řádek této matice a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten připojí pod sloupcový vektor vytvořený z prvního řádku. Takto pokračuje dále až celou matici přemění na sloupcový vektor tím, že její řádky vyskládá za sebe. Graficky lze tento izomorfizmus znázornit jako vztah<br />
\begin{equation}<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1M} \\<br />
A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2M} \\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br />
A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NM}<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad \leftrightarrow \quad<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{1M} \\ A_{21} \\A_{22} \\ \vdots \\ A_{2M} \\ \vdots \\ A_{NM}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Mějme nyní superoperátor $C: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ a nechť $\basisPlain{A^{(k)})}{k=1}^{M^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_2}$ a $\basisPlain{B^{(l)})}{l=1}^{N^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_1}$. Analogicky prvnímu izomorfizmu si definujme přiřazení<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{k l} C_{k l} \ketbra{A^{(k)}}{B^{(l)}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{k l} C_{k l} \ket{A^{(k)}} \ket{B^{(l)}}.<br />
\end{equation}<br />
Podobně jako u prvního izomorfizmu, i zde by se analogickým způsobem ověřilo, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Zavolíme-li ortonormální báze prostorů operátorů v jednoduchém tvaru $A^{(k)} = A^{m n} \equiv \ketbra{m}{n}$ a $B^{(l)} = B^{\mu \nu} \equiv \ketbra{\mu}{\nu}$, lze definiční vztah přepsat na<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ket{A^{m n}} \ket{B^{\mu \nu}}.<br />
\end{equation}<br />
Neboť $\ket{A^{m n}} \in \hilb_2^{\tens 2}$ a $\ket{B^{\mu \nu}} \in \hilb_1^{\tens 2}$ je vektor $\ket{C}$ prvkem prostoru $\hilb_2^{\tens 2} \tens \hilb_1^{\tens 2}$.<br />
<br />
\item Využijme nyní notace pro bazické vektory zavedené v předchozím bodě a uvažujme operátor $X_C \in \bound{\hilb_1 \tens \hilb_2}$ tvaru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$. Porovnáme-li tento výraz s obecným tvarem operátoru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} (X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, dostáváme rovnost<br />
\begin{equation}<br />
(X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = C_{\substack{m n \\ \mu \nu}},<br />
\label{eq:izom_3}<br />
\end{equation}<br />
která nám definuje třetí a poslední izomorfizmus. Ověřme ještě, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Mějme dva superoperátory, $C$ a $D$. Potom platí $(X_C,X_D) = \tr(\adj{X}_C X_D) = \tr((\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{n \nu}{m \mu})(\sum_{a b \alpha \beta} (X_D)_{\substack{a \alpha \\ b \beta}} \ketbra{a \alpha}{b \beta}))$. Tento výraz se redukuje na $\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} (X_D)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = \sum_{m n \mu \nu} \cc{C}_{\substack{m n \\ \mu \nu}} D_{\substack{m n \\ \mu \nu}} = \braket{C}{D} = (C,D)$, což jsme chtěli dokázat. Anglicky se přiřazení \eqref{eq:izom_3} říká \emph{reshuffling operation}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Jako velmi důležitý případ použití výše zmíněných izomorfizmů je následující situace. Mějme superoperátor $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, který na vstupní operátory $X$ působí způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\phi(X) = A \, X \, B,<br />
\end{equation}<br />
kde $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$. Za použití izomorfizmů, které superoperátoru a operátoru přiřadí vektory, lze dokázat vztah<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi(X)} = \phi_M \ket{X}, \quad \mathrm{kde} \quad \phi_M = A \tens B^T.<br />
\label{eq:superop_do_matice}<br />
\end{equation}<br />
Počítáme-li se superoperátory působícími na nějaké operátory, lze manipulaci s nimi převést na jednodušší úlohu, kde počítáme s maticemi. Místo superoperátoru $\phi$ stačí tedy pracovat s maticí $\phi_M$. Dokažme si nyní výše uvedený vztah, kde vyjádříme operátory $A$ a $B$ v lokálních bázích jednotlivých prostorů, $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$ a $B = \sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{\nu}{n}$. Pak dostáváme $\phi_M \ket{X} = (A \tens B^T) \ket{X} = (\sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}) \tens (\sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{n}{\nu}) \sum_{\alpha \beta} X_{\alpha \beta} \ket{\alpha} \ket{\beta} = \sum_{m \mu n \nu} A_{m \mu} B_{\nu n} X_{\mu \nu} \ket{m} \ket{n} = \sum_{m n} (A X B)_{m n} \ket{m} \ket{n} = \ket{A X B} = \ket{\phi(X)}$.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Připomeňme si Liouvilleův operátor $\liou(\rho(t)) = -\ii (\ham(t) \rho(t) - \rho(t) \ham(t))$ zavedený v rovnici \eqref{eq:Liouvill_rce}. S využitím vztahu \eqref{eq:superop_do_matice} tento superoperátor zřejmě odpovídá matici $\liou_M(t) = -\ii \ham(t) \tens \ident + \ii \ident \tens \ham^T(t)$. Z tohoto vyjádření je ihned patrné, že $\liou$ je antihermitovský. Navíc jsme se zbavili explicitní závislosti na vstupní stavu $\rho(t)$ a vlastnosti operátoru $\liou$ lze tak přímo studovat pomocí odpovídající matice $\liou_M$.<br />
<br />
Dále jsme si uváděli, že řídí-li se operátor hustoty $\rho(t)$ rovnicí \eqref{eq:Liouvill_rce}, lze jeho vývoj reprezentovat jistým unitárním operátorem $U$ takovým, aby $\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t)$. Máme tak přímo výraz tvaru \eqref{eq:superop_do_matice}, který lze převézt na násobení vektoru maticí, $\ket{\rho(t)} = U_M(t) \ket{\rho(0)}$. Příslušná matice $U_M(t) = U(t) \tens \cc{U}(t)$ je přitom unitární.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Zajímavý je izomorfní obraz maximálně provázaného stavu $\ketME$. Mějme $\ketME \in \hilb_1 \tens \hilb_1$, jehož vyjádření zní $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \sum_{i=1}^{d_1} \ket{e_i} \tens \ket{e_i}$, kde $d_1 = \dim \hilb_1$. Pak je tento přidružený s násobkem identity<br />
\begin{equation}<br />
\ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} \, \ident \ \in \bound{\hilb_1}.<br />
\end{equation}<br />
Uvažujeme-li tedy dvě zobrazení $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$, tak platí důležitý vztah<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens B^T) \ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} A B.<br />
\label{eq:super_do_mat_ME}<br />
\end{equation}<br />
Nyní využijeme tohoto vztahu, abychom odvodili některé jednoduché, avšak užitečné, vlastnosti maximálně provázaného stavu. Předpokládáme přitom rovnost $\hilb_1 = \hilb_2$.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Díky vztahu \eqref{eq:super_do_mat_ME} platí $(A \tens \ident) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ a $(\ident \tens A^T) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ pro libovolný operátor $A$. Celkem tedy<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens \ident) \ketME = (\ident \tens A^T) \ketME.<br />
\label{eq:Alice_ci_Bob}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Pro libovolný unitární operátor $U$ máme $(U \tens \cc{U}) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} U \adj{U} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident \leftrightarrow \ketME$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
(U \tens \cc{U}) \ketME = \ketME.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item \emph{Z maximálně provázaného stavu lze vyrobit lokálně libovolný stav.} Maximálně provázaný stav je stav dvou provázaných podsystémů, pod pojmem \emph{lokálně} máme na mysli, že používáme pouze ty operátory, které působí jen na jednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělají nic. Přesněji tedy pro každý čistý stav $\ket{\phi} \in \hilb_1 \tens \hilb_1$ existuje nějaký operátor $A_\phi \in \bound{\hilb_1}$ tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi} = (A_\phi \tens \ident) \ketME.<br />
\label{eq:lok_tvar_phi_s_ME}<br />
\end{equation}<br />
Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. K vektoru $\ket{\phi}$ je přidružen operátor $\phi$, jež lze rozložit následovně $\phi = \sqrt{d_1} \phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident$, kde jsme si označili $A_\phi = \sqrt{d_1} \phi$. Platí dále $\phi = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident \leftrightarrow (A_\phi \tens \ident) \ketME$, viz \eqref{eq:super_do_mat_ME}. Neboť jsme pracovali s izomorfizmy, tj. bijekcemi, dospíváme ke kýžené rovnosti.<br />
<br />
Z důkazu též vidíme, že operátor $A_\phi$ je určen jednoznačně. Jako vedlejší produkt lze navíc odvodit i tyto vztahy pro skalární součin<br />
\begin{equation}<br />
\braket{\phi}{\psi} = \tr(\adj{\phi} \psi) = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{A}_\phi \adj{A}_\psi).<br />
\end{equation}<br />
a pro tvar matic hustoty jednotlivých podsystémů<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\rho_1 & = & \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi \ = \ \phi \adj{\phi}, \\<br />
\rho_2 & = & \trPar{1}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi^T \cc{A}_\phi \ = \ \phi^T \cc{\phi}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Dokažme si rovnost pro matici hustoty prvního podsystému $\rho_1$. S využitím identity \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} máme $\rho_1 = \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) = \frac{1}{d_1} \sum_{i} \bra{i} (A_\phi \tens \ident) (\sum_{j k} \ketbra{jj}{kk}) (\adj{A}_\phi \tens \ident) \ket{i} = \frac{1}{d_1} A_\phi (\sum_j \ketbra{j}{j}) \adj{A}_\phi = \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi$. Ostatní vztahy by se dokázali obdobně.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Význačnost vztahu \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} si uvědomíme tehdy, představíme-li si jeho důsledky fyzikálně. Mějme dva systémy $A$ a $B$ nacházející se v maximálně provázaném stavu $\ketME$. Nechť podsystém $A$ vlastní Alice a podsystém $B$ drží ve svých spárech Bob. Alice si chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem $A$ odjela na Havaj, bez Boba. Bob se svým podsystémem $B$ mezitím trčí doma v Praze a rozmýšlí si, jak Alici její dovolenou znepříjemnit. Díky vzorečku \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} je však vše snadné, Bob může provést libovolnou operaci $A_\phi$ pouze se \emph{svým} podsystémem, aby \emph{libovolně} změnil celkový stav systému $A + B$. Bob tak může na dálku ovlivňovat i stav Aliciina systému. Abychom však Bobovi nekřivdili, Alice si může počínat stejně zákeřně. Vzorec \eqref{eq:Alice_ci_Bob} nám totiž říká, že pro změnu stavu celého systému $A + B$ je jedno, zda to bude Bob či Alice, kdo provede úpravu na svém podsystému.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Nechť $\ketphi = \frac{1}{5} (3 \ket{01} + 4 \ket{10})$ je vektor popisující stav dvou provázaných podsystémů. Tento čistý stav je přidružen operátoru<br />
\begin{equation}<br />
\phi_M = \frac{1}{5}<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 3 \\<br />
4 & 0<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
S jeho pomocí již snadno spočteme stav prvního podsystému<br />
\begin{equation}<br />
\rho_1 = \phi_M \adj{\phi}_M = \frac{1}{25}<br />
\begin{pmatrix}<br />
9 & 0 \\<br />
0 & 16<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Než přikročíme ke studiu otevřených systémů je vhodné si uvést dvě nerovnosti dávající do souvislosti stopy jistých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem jsou po řadě věnovány následující dvě kapitolky.<br />
<br />
\subsection{Kleinova nerovnost}<br />
\label{sec:Kleinova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Kleinova nerovnost.} Nechť $f: I \to \R$ je konvexní a diferencovatelná funkce na intervalu $I = [a,b]$. Dále nechť $A$ a $B$ jsou hermitovské operátory takové, že jejich spektra leží v intervalu $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$ a $\sigma(B) \subset I$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)-f(B)) \geq \tr((A-B)f'(B)).<br />
\end{equation}<br />
Pokud je funkce $f$ ostře konvexní, tak se rovnosti nabývá právě tehdy, když $A = B$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si $A = \sum_i a_i \ketbraSame{e_i}$ a $B = \sum_i b_i \ketbraSame{f_i}$. Potom $f(A) = \sum_i f(a_i) \ketbraSame{e_i}$ a $f(B) = \sum_i f(b_i) \ketbraSame{f_i}$. Neboť pracujeme s ortonormálními bázemi $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ a $\basisPlain{\ket{f_j}}{j}$, plynou z Parsevalovy rovnosti vztahy $\sum_i |c_{ij}|^2 = 1$ a $\sum_j |c_{ij}|^2 = 1$, kde jsme si definovali $c_{ij} = \braket{e_i}{f_j}$. Pro každý bazický vektor $\ket{e_i}$ dále dostáváme, že výraz $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i}$ je roven<br />
%$\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} = f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} (\sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j}) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} = f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) = f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) = \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j))$.<br />
\begin{eqnarray*}<br />
& & f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} \left( \sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j} \right) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} \\<br />
& = & f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) \\<br />
& = & f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) \\<br />
& = & \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z věty o přírůstku funkce aplikovanou na interval $[c,d]$ platí $f(d) - f(c) = (d-c) f'(\xi)$ pro jisté $\xi \in (c,d)$. Neboť je funkce $f$ konvexní, je její derivace kdekoli uvnitř interválku $[c,d]$ větší než derivace v levém krajním bodě $c$ a současně menší než derivace v pravém krajním bodě $d$, tj. $f'(\xi) \geq f'(c)$ a $f'(\xi) \leq f'(d)$. Celkem tedy $(d-c) f'(d) \geq f(d) - f(c) \geq (d-c) f'(c)$. Z těchto dvou nerovností již plyne, že výraz $f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)$ je vždy nezáporný a tedy i $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} \geq 0$. První tvrzení věty již plyne přímo z definice stopy. Ukažme si ještě, že pro ostře konvexní funkce se rovnosti nabývá právě, když $A = B$. Vidíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše je nulový právě tehdy, když pro všechna $i$ a $j$ platí $a_i = b_j$ nebo $c_{ij} = 0$. Pro Hilbert-Schmidtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme $\|A-B\|^2 = \tr(A-B)^2 = \tr(\sum_i a_i \ketbraSame{e_i} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j})^2 = \tr(\sum_i a_i^2 \ketbraSame{e_i} + \sum_j b_j^2 \ketbraSame{f_j} - 2 \sum_{i j} a_i b_j c_{ij} \ketbra{e_i}{f_j}) = \sum_i a_i^2 + \sum_j b_j^2 - 2 \sum_{i j} a_i b_j |c_{ij}|^2 = \sum_{i j} |c_{ij}|^2 (a_i - b_j)^2 = 0$. Z toho již plyne $A = B$. Druhá implikace je zřejmá.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Uvažme funkci $f$ definovanou na nezáporných číslech způsobem<br />
\begin{equation}<br />
f = <br />
\begin{cases}<br />
x \ln x & x > 0, \\<br />
0 & x = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation}<br />
Její první a druhá derivace zní po řadě $f'(x) = 1 + \ln x$ a $f''(x) = 1/x$. Funkce $f$ je tedy ostře konvexní pro $x > 0$. Pak pro libovolné pozitivní operátory $A$ a $B$ platí díky předchozí větě nerovnost $\tr(A \ln A - B \ln B) \geq \tr((A-B)(\ident + \ln B))$, kterou můžeme upravit do tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\tr(A \ln A) - \tr(A \ln B) \geq \tr(A-B).<br />
\label{eq:Klein_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
Tento vztah využijeme při studiu entropie v následující kapitole.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
\subsection{Peierlova nerovnost}<br />
\label{sec:Peierlova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Peierlova nerovnost.} Nechť $f$ je konvexní funkce na intervalu $I \subset \R$ a $A \in \bound{\hilb}$ je hermitovský operátor, jehož spektrum leží v $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$. Označme si libovolnou ortonormální bázi prostoru $\hilb$ jako $\basisPlain{\ket{f_i}}{i}$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)) \geq \sum_i f(\bra{f_i} A \ket{f_i}).<br />
\end{equation}<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
S využitím notace použité při důkazu Kleinovy nerovnosti můžeme vyjádřit operátor $A$ ve tvaru $A = \sum_j a_j \ketbraSame{e_j}$ a<br />
$\bra{f_i} f(A) \ket{f_i} = \sum_j f(a_j) |c_{ij}|^2 \geq f(\sum_j |c_{ij}|^2 a_j) = f(\sum_j |\braket{f_i}{e_j}|^2 a_j) = f(\bra{f_i} A \ket{f_i})$, kde nerovnost plyne z konvexnosti funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusledek}<br />
Pro libovolné číslo $p \in (0,1)$, konvexní funkci $f$ na intervalu $I$ a operátory $A$ a $B$ splňující předpoklady předchozí věty platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr f(p A + (1 - p)B) \leq p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B).<br />
\label{eq:Peier_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
\end{dusledek}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si symbolem $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory operátoru $p A + (1-p) B$. Pak $\tr f(p A + (1-p) B) = \sum_i \bra{e_i} f(p A + (1-p) B) \ket{e_i}$. Díky vhodné volbě naší báze je tento výraz roven $\sum_i f(\bra{e_i} (p A + (1-p) B) \ket{e_i}) = \sum_i f(p \bra{e_i} A \ket{e_i} + (1-p) \bra{e_i} B \ket{e_i})$. Z~konvexnosti je tento výraz menší nebo roven výrazu $p \sum_i f(\bra{e_i} A \ket{e_i}) + (1-p) \sum_i f(\bra{e_i} B \ket{e_i})$, což je dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu $p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B)$.<br />
\end{proof}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola5&diff=790202OKS:Kapitola52017-09-30T17:01:56Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Matematický aparát}<br />
\label{sec:Matematicky_aparat}<br />
<br />
Abychom si ulehčili práci s různými zobrazeními a především zefektivnili důkazy nejrůznějších tvrzení, zavedeme si v tomto matematickém intermezzu pár pomocných pojmů, jejichž význam je sice čistě matematický, jejich aplikací však budeme dostávat zajímavá fyzikálně interpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pojmů budeme užívat i jistou notaci a názvosloví, které si nyní letem světem představíme.<br />
<br />
Se stopou operátoru $A \in \hilb$, značenou $\tr A$, jsme se již seznámili. Připomeňme si, že se jedná o lineární zobrazení s vlastností cykličnosti $\tr(A B C) = \tr(C A B)$, $\forall A, B, C \in \bound{\hilb}$ (a tedy samozřejmě také $\tr(A B) = \tr(B A)$), splňující též $\tr(A \tens B) = \tr A \cdot \tr B$. Pokud budeme počítat se složitými výrazy, je užitečné si explicitně vyjádřit, na jakém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního indexu způsobem $\tre{\hilb} A$. Naproti tomu jsme si už zavedli i částečnou stopu operátoru definovaného na složeném systému $C \in \bound{\hilb_A \tens \hilb_B}$. Částečnou stopu přes podsystém $B$ značíme s dolním indexem $\trPar{B} C$, který vyjadřuje, přes jaký prostor se stopuje. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace je shrnuta na počátku skript v sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. Pokud budeme hovořit o \emph{superoperátorech}, nemáme tím na mysli nic jiného, než lineární zobrazení definovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využijeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory $A$ a $B$ jsou \emph{podobné}, existuje-li regulární operátor $C$ takový, že $A = C B C^{-1}$.<br />
<br />
\subsection{Izomorfizmy}<br />
\label{sec:Izomorfizmy}<br />
<br />
V následujícím uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$, kde $\basis{\mu}{M}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně $\basis{m}{N}$ je ortonormální báze v prostoru $\hilb_2$. V této sekci si zadefinujeme tři izomorfní zobrazení, která úspěšně využijeme v důkazech tvrzení nadcházejících sekcí.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ je omezené lineární zobrazení z prostoru $\hilb_1$ do prostoru $\hilb_2$. První izomorfizmus, který si uvedeme, vzájemně jednoznačně přiřazuje takovémuto zobrazení $A$ vektor $\ket{A}$ z prostoru $\hilb_1 \tens \hilb_2$ způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\bra{m} A \ket{\mu} \equiv \braket{m \mu}{A}.<br />
\label{eq:izom_1}<br />
\end{equation}<br />
Zobrazení $A$ lze zřejmě vyjádřit jako $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$. Odpovídající vektor $\ket{A}$ je pak tvaru $\ket{A} = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ket{m} \ket{\mu}$. Ukažme si ještě, že přiřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součin. Pro libovolná dvě zobrazení $A, B \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ platí $(A,B) = \tr(\adj{A} B) = \tr ((\sum_{m \mu} \cc{A}_{m \mu} \ketbra{\mu}{m})(\sum_{n \nu} B_{n \nu} \ketbra{n}{\nu})) = \tr (\sum_{m \mu \nu} \cc{A}_{m \mu} B_{m \nu} \ketbra{\mu}{\nu}) = \sum_{m \mu \nu \alpha} \cc{A}_{m \mu} B_{m \nu} \braket{\alpha}{\mu}\braket{\nu}{\alpha} = \sum_{m \alpha} \cc{A}_{m \alpha} B_{m \alpha} = \braket{A}{B}$. Zobrazení \eqref{eq:izom_1} je tedy izomorfizmus. Z definice \eqref{eq:izom_1} není hned patrné, jak si takové přiřazení představit, má přitom názorný význam. Představme si operátor $A$ jako matici $(A_{ij})$. Pak právě uvedený izomorfizmus vezme první řádek této matice a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten připojí pod sloupcový vektor vytvořený z prvního řádku. Takto pokračuje dále až celou matici přemění na sloupcový vektor tím, že její řádky vyskládá za sebe. Graficky lze tento izomorfizmus znázornit jako vztah<br />
\begin{equation}<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1M} \\<br />
A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2M} \\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br />
A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NM}<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad \leftrightarrow \quad<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{1M} \\ A_{21} \\A_{22} \\ \vdots \\ A_{2M} \\ \vdots \\ A_{NM}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Mějme nyní superoperátor $C: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ a nechť $\basisPlain{A^{(k)})}{k=1}^{M^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_2}$ a $\basisPlain{B^{(l)})}{l=1}^{N^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_1}$. Analogicky prvnímu izomorfizmu si definujme přiřazení<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{k l} C_{k l} \ketbra{A^{(k)}}{B^{(l)}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{k l} C_{k l} \ket{A^{(k)}} \ket{B^{(l)}}.<br />
\end{equation}<br />
Podobně jako u prvního izomorfizmu, i zde by se analogickým způsobem ověřilo, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Zavolíme-li ortonormální báze prostorů operátorů v jednoduchém tvaru $A^{(k)} = A^{m n} \equiv \ketbra{m}{n}$ a $B^{(l)} = B^{\mu \nu} \equiv \ketbra{\mu}{\nu}$, lze definiční vztah přepsat na<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ket{A^{m n}} \ket{B^{\mu \nu}}.<br />
\end{equation}<br />
Neboť $\ket{A^{m n}} \in \hilb_2^{\tens 2}$ a $\ket{B^{\mu \nu}} \in \hilb_1^{\tens 2}$ je vektor $\ket{C}$ prvkem prostoru $\hilb_2^{\tens 2} \tens \hilb_1^{\tens 2}$.<br />
<br />
\item Využijme nyní notace pro bazické vektory zavedené v předchozím bodě a uvažujme operátor $X_C \in \bound{\hilb_1 \tens \hilb_2}$ tvaru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$. Porovnáme-li tento výraz s obecným tvarem operátoru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} (X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, dostáváme rovnost<br />
\begin{equation}<br />
(X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = C_{\substack{m n \\ \mu \nu}},<br />
\label{eq:izom_3}<br />
\end{equation}<br />
která nám definuje třetí a poslední izomorfizmus. Ověřme ještě, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Mějme dva superoperátory, $C$ a $D$. Potom platí $(X_C,X_D) = \tr(\adj{X}_C X_D) = \tr((\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{n \nu}{m \mu})(\sum_{a b \alpha \beta} (X_D)_{\substack{a \alpha \\ b \beta}} \ketbra{a \alpha}{b \beta}))$. Tento výraz se redukuje na $\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} (X_D)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = \sum_{m n \mu \nu} \cc{C}_{\substack{m n \\ \mu \nu}} D_{\substack{m n \\ \mu \nu}} = \braket{C}{D} = (C,D)$, což jsme chtěli dokázat. Anglicky se přiřazení \eqref{eq:izom_3} říká \emph{reshuffling operation}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Jako velmi důležitý případ použití výše zmíněných izomorfizmů je následující situace. Mějme superoperátor $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, který na vstupní operátory $X$ působí způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\phi(X) = A \, X \, B,<br />
\end{equation}<br />
kde $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$. Za použití izomorfizmů, které superoperátoru a operátoru přiřadí vektory, lze dokázat vztah<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi(X)} = \phi_M \ket{X}, \quad \mathrm{kde} \quad \phi_M = A \tens B^T.<br />
\label{eq:superop_do_matice}<br />
\end{equation}<br />
Počítáme-li se superoperátory působícími na nějaké operátory, lze manipulaci s nimi převést na jednodušší úlohu, kde počítáme s maticemi. Místo superoperátoru $\phi$ stačí tedy pracovat s maticí $\phi_M$. Dokažme si nyní výše uvedený vztah, kde vyjádříme operátory $A$ a $B$ v lokálních bázích jednotlivých prostorů, $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$ a $B = \sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{\nu}{n}$. Pak dostáváme $\phi_M \ket{X} = (A \tens B^T) \ket{X} = (\sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}) \tens (\sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{n}{\nu}) \sum_{\alpha \beta} X_{\alpha \beta} \ket{\alpha} \ket{\beta} = \sum_{m \mu n \nu} A_{m \mu} B_{\nu n} X_{\mu \nu} \ket{m} \ket{n} = \sum_{m n} (A X B)_{m n} \ket{m} \ket{n} = \ket{A X B} = \ket{\phi(X)}$.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Připomeňme si Liouvilleův operátor $\liou(\rho(t)) = -\ii (\ham(t) \rho(t) - \rho(t) \ham(t))$ zavedený v rovnici \eqref{eq:Liouvill_rce}. S využitím vztahu \eqref{eq:superop_do_matice} tento superoperátor zřejmě odpovídá matici $\liou_M(t) = -\ii \ham(t) \tens \ident + \ii \ident \tens \ham^T(t)$. Z tohoto vyjádření je ihned patrné, že $\liou$ je antihermitovský. Navíc jsme se zbavili explicitní závislosti na vstupní stavu $\rho(t)$ a vlastnosti operátoru $\liou$ lze tak přímo studovat pomocí odpovídající matice $\liou_M$.<br />
<br />
Dále jsme si uváděli, že řídí-li se operátor hustoty $\rho(t)$ rovnicí \eqref{eq:Liouvill_rce}, lze jeho vývoj reprezentovat jistým unitárním operátorem $U$ takovým, aby $\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t)$. Máme tak přímo výraz tvaru \eqref{eq:superop_do_matice}, který lze převézt na násobení vektoru maticí, $\ket{\rho(t)} = U_M(t) \ket{\rho(0)}$. Příslušná matice $U_M(t) = U(t) \tens \cc{U}(t)$ je přitom unitární.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Zajímavý je izomorfní obraz maximálně provázaného stavu $\ketME$. Mějme $\ketME \in \hilb_1 \tens \hilb_1$, jehož vyjádření zní $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \sum_{i=1}^{d_1} \ket{e_i} \tens \ket{e_i}$, kde $d_1 = \dim \hilb_1$. Pak je tento přidružený s násobkem identity<br />
\begin{equation}<br />
\ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} \, \ident \ \in \bound{\hilb_1}.<br />
\end{equation}<br />
Uvažujeme-li tedy dvě zobrazení $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$, tak platí důležitý vztah<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens B^T) \ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} A B.<br />
\label{eq:super_do_mat_ME}<br />
\end{equation}<br />
Nyní využijeme tohoto vztahu, abychom odvodili některé jednoduché, avšak užitečné, vlastnosti maximálně provázaného stavu. Předpokládáme přitom rovnost $\hilb_1 = \hilb_2$.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Díky vztahu \eqref{eq:super_do_mat_ME} platí $(A \tens \ident) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ a $(\ident \tens A^T) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ pro libovolný operátor $A$. Celkem tedy<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens \ident) \ketME = (\ident \tens A^T) \ketME.<br />
\label{eq:Alice_ci_Bob}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Pro libovolný unitární operátor $U$ máme $(U \tens \cc{U}) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} U \adj{U} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \leftrightarrow \ketME$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
(U \tens \cc{U}) \ketME = \ketME.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item \emph{Z maximálně provázaného stavu lze vyrobit lokálně libovolný stav.} Maximálně provázaný stav je stav dvou provázaných podsystémů, pod pojmem \emph{lokálně} máme na mysli, že používáme pouze ty operátory, které působí jen na jednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělají nic. Přesněji tedy pro každý čistý stav $\ket{\phi} \in \hilb_1 \tens \hilb_1$ existuje nějaký operátor $A_\phi \in \bound{\hilb_1}$ tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi} = (A_\phi \tens \ident) \ketME.<br />
\label{eq:lok_tvar_phi_s_ME}<br />
\end{equation}<br />
Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. K vektoru $\ket{\phi}$ je přidružen operátor $\phi$, jež lze rozložit následovně $\phi = \sqrt{d_1} \phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident$, kde jsme si označili $A_\phi = \sqrt{d_1} \phi$. Platí dále $\phi = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident \leftrightarrow (A_\phi \tens \ident) \ketME$, viz \eqref{eq:super_do_mat_ME}. Neboť jsme pracovali s izomorfizmy, tj. bijekcemi, dospíváme ke kýžené rovnosti.<br />
<br />
Z důkazu též vidíme, že operátor $A_\phi$ je určen jednoznačně. Jako vedlejší produkt lze navíc odvodit i tyto vztahy pro skalární součin<br />
\begin{equation}<br />
\braket{\phi}{\psi} = \tr(\adj{\phi} \psi) = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{A}_\phi \adj{A}_\psi).<br />
\end{equation}<br />
a pro tvar matic hustoty jednotlivých podsystémů<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\rho_1 & = & \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi \ = \ \phi \adj{\phi}, \\<br />
\rho_2 & = & \trPar{1}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi^T \cc{A}_\phi \ = \ \phi^T \cc{\phi}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Dokažme si rovnost pro matici hustoty prvního podsystému $\rho_1$. S využitím identity \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} máme $\rho_1 = \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) = \frac{1}{d_1} \sum_{i} \bra{i} (A_\phi \tens \ident) (\sum_{j k} \ketbra{jj}{kk}) (\adj{A}_\phi \tens \ident) \ket{i} = \frac{1}{d_1} A_\phi (\sum_j \ketbra{j}{j}) \adj{A}_\phi = \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi$. Ostatní vztahy by se dokázali obdobně.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Význačnost vztahu \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} si uvědomíme tehdy, představíme-li si jeho důsledky fyzikálně. Mějme dva systémy $A$ a $B$ nacházející se v maximálně provázaném stavu $\ketME$. Nechť podsystém $A$ vlastní Alice a podsystém $B$ drží ve svých spárech Bob. Alice si chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem $A$ odjela na Havaj, bez Boba. Bob se svým podsystémem $B$ mezitím trčí doma v Praze a rozmýšlí si, jak Alici její dovolenou znepříjemnit. Díky vzorečku \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} je však vše snadné, Bob může provést libovolnou operaci $A_\phi$ pouze se \emph{svým} podsystémem, aby \emph{libovolně} změnil celkový stav systému $A + B$. Bob tak může na dálku ovlivňovat i stav Aliciina systému. Abychom však Bobovi nekřivdili, Alice si může počínat stejně zákeřně. Vzorec \eqref{eq:Alice_ci_Bob} nám totiž říká, že pro změnu stavu celého systému $A + B$ je jedno, zda to bude Bob či Alice, kdo provede úpravu na svém podsystému.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Nechť $\ketphi = \frac{1}{5} (3 \ket{01} + 4 \ket{10})$ je vektor popisující stav dvou provázaných podsystémů. Tento čistý stav je přidružen operátoru<br />
\begin{equation}<br />
\phi_M = \frac{1}{5}<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 3 \\<br />
4 & 0<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
S jeho pomocí již snadno spočteme stav prvního podsystému<br />
\begin{equation}<br />
\rho_1 = \phi_M \adj{\phi}_M = \frac{1}{25}<br />
\begin{pmatrix}<br />
9 & 0 \\<br />
0 & 16<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Než přikročíme ke studiu otevřených systémů je vhodné si uvést dvě nerovnosti dávající do souvislosti stopy jistých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem jsou po řadě věnovány následující dvě kapitolky.<br />
<br />
\subsection{Kleinova nerovnost}<br />
\label{sec:Kleinova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Kleinova nerovnost.} Nechť $f: I \to \R$ je konvexní a diferencovatelná funkce na intervalu $I = [a,b]$. Dále nechť $A$ a $B$ jsou hermitovské operátory takové, že jejich spektra leží v intervalu $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$ a $\sigma(B) \subset I$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)-f(B)) \geq \tr((A-B)f'(B)).<br />
\end{equation}<br />
Pokud je funkce $f$ ostře konvexní, tak se rovnosti nabývá právě tehdy, když $A = B$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si $A = \sum_i a_i \ketbraSame{e_i}$ a $B = \sum_i b_i \ketbraSame{f_i}$. Potom $f(A) = \sum_i f(a_i) \ketbraSame{e_i}$ a $f(B) = \sum_i f(b_i) \ketbraSame{f_i}$. Neboť pracujeme s ortonormálními bázemi $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ a $\basisPlain{\ket{f_j}}{j}$, plynou z Parsevalovy rovnosti vztahy $\sum_i |c_{ij}|^2 = 1$ a $\sum_j |c_{ij}|^2 = 1$, kde jsme si definovali $c_{ij} = \braket{e_i}{f_j}$. Pro každý bazický vektor $\ket{e_i}$ dále dostáváme, že výraz $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i}$ je roven<br />
%$\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} = f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} (\sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j}) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} = f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) = f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) = \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j))$.<br />
\begin{eqnarray*}<br />
& & f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} \left( \sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j} \right) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} \\<br />
& = & f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) \\<br />
& = & f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) \\<br />
& = & \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z věty o přírůstku funkce aplikovanou na interval $[c,d]$ platí $f(d) - f(c) = (d-c) f'(\xi)$ pro jisté $\xi \in (c,d)$. Neboť je funkce $f$ konvexní, je její derivace kdekoli uvnitř interválku $[c,d]$ větší než derivace v levém krajním bodě $c$ a současně menší než derivace v pravém krajním bodě $d$, tj. $f'(\xi) \geq f'(c)$ a $f'(\xi) \leq f'(d)$. Celkem tedy $(d-c) f'(d) \geq f(d) - f(c) \geq (d-c) f'(c)$. Z těchto dvou nerovností již plyne, že výraz $f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)$ je vždy nezáporný a tedy i $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} \geq 0$. První tvrzení věty již plyne přímo z definice stopy. Ukažme si ještě, že pro ostře konvexní funkce se rovnosti nabývá právě, když $A = B$. Vidíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše je nulový právě tehdy, když pro všechna $i$ a $j$ platí $a_i = b_j$ nebo $c_{ij} = 0$. Pro Hilbert-Schmidtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme $\|A-B\|^2 = \tr(A-B)^2 = \tr(\sum_i a_i \ketbraSame{e_i} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j})^2 = \tr(\sum_i a_i^2 \ketbraSame{e_i} + \sum_j b_j^2 \ketbraSame{f_j} - 2 \sum_{i j} a_i b_j c_{ij} \ketbra{e_i}{f_j}) = \sum_i a_i^2 + \sum_j b_j^2 - 2 \sum_{i j} a_i b_j |c_{ij}|^2 = \sum_{i j} |c_{ij}|^2 (a_i - b_j)^2 = 0$. Z toho již plyne $A = B$. Druhá implikace je zřejmá.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Uvažme funkci $f$ definovanou na nezáporných číslech způsobem<br />
\begin{equation}<br />
f = <br />
\begin{cases}<br />
x \ln x & x > 0, \\<br />
0 & x = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation}<br />
Její první a druhá derivace zní po řadě $f'(x) = 1 + \ln x$ a $f''(x) = 1/x$. Funkce $f$ je tedy ostře konvexní pro $x > 0$. Pak pro libovolné pozitivní operátory $A$ a $B$ platí díky předchozí větě nerovnost $\tr(A \ln A - B \ln B) \geq \tr((A-B)(\ident + \ln B))$, kterou můžeme upravit do tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\tr(A \ln A) - \tr(A \ln B) \geq \tr(A-B).<br />
\label{eq:Klein_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
Tento vztah využijeme při studiu entropie v následující kapitole.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
\subsection{Peierlova nerovnost}<br />
\label{sec:Peierlova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Peierlova nerovnost.} Nechť $f$ je konvexní funkce na intervalu $I \subset \R$ a $A \in \bound{\hilb}$ je hermitovský operátor, jehož spektrum leží v $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$. Označme si libovolnou ortonormální bázi prostoru $\hilb$ jako $\basisPlain{\ket{f_i}}{i}$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)) \geq \sum_i f(\bra{f_i} A \ket{f_i}).<br />
\end{equation}<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
S využitím notace použité při důkazu Kleinovy nerovnosti můžeme vyjádřit operátor $A$ ve tvaru $A = \sum_j a_j \ketbraSame{e_j}$ a<br />
$\bra{f_i} f(A) \ket{f_i} = \sum_j f(a_j) |c_{ij}|^2 \geq f(\sum_j |c_{ij}|^2 a_j) = f(\sum_j |\braket{f_i}{e_j}|^2 a_j) = f(\bra{f_i} A \ket{f_i})$, kde nerovnost plyne z konvexnosti funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusledek}<br />
Pro libovolné číslo $p \in (0,1)$, konvexní funkci $f$ na intervalu $I$ a operátory $A$ a $B$ splňující předpoklady předchozí věty platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr f(p A + (1 - p)B) \leq p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B).<br />
\label{eq:Peier_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
\end{dusledek}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si symbolem $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory operátoru $p A + (1-p) B$. Pak $\tr f(p A + (1-p) B) = \sum_i \bra{e_i} f(p A + (1-p) B) \ket{e_i}$. Díky vhodné volbě naší báze je tento výraz roven $\sum_i f(\bra{e_i} (p A + (1-p) B) \ket{e_i}) = \sum_i f(p \bra{e_i} A \ket{e_i} + (1-p) \bra{e_i} B \ket{e_i})$. Z~konvexnosti je tento výraz menší nebo roven výrazu $p \sum_i f(\bra{e_i} A \ket{e_i}) + (1-p) \sum_i f(\bra{e_i} B \ket{e_i})$, což je dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu $p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B)$.<br />
\end{proof}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola5&diff=790102OKS:Kapitola52017-09-30T16:52:10Z<p>Maresj23: Důkaz zachování skal. součinu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Matematický aparát}<br />
\label{sec:Matematicky_aparat}<br />
<br />
Abychom si ulehčili práci s různými zobrazeními a především zefektivnili důkazy nejrůznějších tvrzení, zavedeme si v tomto matematickém intermezzu pár pomocných pojmů, jejichž význam je sice čistě matematický, jejich aplikací však budeme dostávat zajímavá fyzikálně interpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pojmů budeme užívat i jistou notaci a názvosloví, které si nyní letem světem představíme.<br />
<br />
Se stopou operátoru $A \in \hilb$, značenou $\tr A$, jsme se již seznámili. Připomeňme si, že se jedná o lineární zobrazení s vlastností cykličnosti $\tr(A B C) = \tr(C A B)$, $\forall A, B, C \in \bound{\hilb}$ (a tedy samozřejmě také $\tr(A B) = \tr(B A)$), splňující též $\tr(A \tens B) = \tr A \cdot \tr B$. Pokud budeme počítat se složitými výrazy, je užitečné si explicitně vyjádřit, na jakém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního indexu způsobem $\tre{\hilb} A$. Naproti tomu jsme si už zavedli i částečnou stopu operátoru definovaného na složeném systému $C \in \bound{\hilb_A \tens \hilb_B}$. Částečnou stopu přes podsystém $B$ značíme s dolním indexem $\trPar{B} C$, který vyjadřuje, přes jaký prostor se stopuje. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace je shrnuta na počátku skript v sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. Pokud budeme hovořit o \emph{superoperátorech}, nemáme tím na mysli nic jiného, než lineární zobrazení definovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využijeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory $A$ a $B$ jsou \emph{podobné}, existuje-li regulární operátor $C$ takový, že $A = C B C^{-1}$.<br />
<br />
\subsection{Izomorfizmy}<br />
\label{sec:Izomorfizmy}<br />
<br />
V následujícím uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$, kde $\basis{\mu}{M}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně $\basis{m}{N}$ je ortonormální báze v prostoru $\hilb_2$. V této sekci si zadefinujeme tři izomorfní zobrazení, která úspěšně využijeme v důkazech tvrzení nadcházejících sekcí.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ je omezené lineární zobrazení z prostoru $\hilb_1$ do prostoru $\hilb_2$. První izomorfizmus, který si uvedeme, vzájemně jednoznačně přiřazuje takovémuto zobrazení $A$ vektor $\ket{A}$ z prostoru $\hilb_1 \tens \hilb_2$ způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\bra{m} A \ket{\mu} \equiv \braket{m \mu}{A}.<br />
\label{eq:izom_1}<br />
\end{equation}<br />
Zobrazení $A$ lze zřejmě vyjádřit jako $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$. Odpovídající vektor $\ket{A}$ je pak tvaru $\ket{A} = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ket{m} \ket{\mu}$. Ukažme si ještě, že přiřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součin. Pro libovolná dvě zobrazení $A, B \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ platí $(A,B) = \tr(\adj{A} B) = \tr ((\sum_{m \mu} \cc{A}_{\mu m} \ketbra{m}{\mu})(\sum_{n \nu} B_{n \nu} \ketbra{n}{\nu})) = \tr (\sum_{m \mu \nu} \cc{A}_{\mu m} B_{\mu \nu} \ketbra{m}{\nu}) = \sum_{m \mu \nu \alpha} \cc{A}_{\mu m} B_{\mu \nu} \braket{\alpha}{m}\braket{\nu}{\alpha} = \sum_{\mu \alpha} \cc{A}_{\mu \alpha} B_{\mu \alpha} = \braket{A}{B}$. Zobrazení \eqref{eq:izom_1} je tedy izomorfizmus. Z definice \eqref{eq:izom_1} není hned patrné, jak si takové přiřazení představit, má přitom názorný význam. Představme si operátor $A$ jako matici $(A_{ij})$. Pak právě uvedený izomorfizmus vezme první řádek této matice a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten připojí pod sloupcový vektor vytvořený z prvního řádku. Takto pokračuje dále až celou matici přemění na sloupcový vektor tím, že její řádky vyskládá za sebe. Graficky lze tento izomorfizmus znázornit jako vztah<br />
\begin{equation}<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1M} \\<br />
A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2M} \\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br />
A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NM}<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad \leftrightarrow \quad<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{1M} \\ A_{21} \\A_{22} \\ \vdots \\ A_{2M} \\ \vdots \\ A_{NM}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Mějme nyní superoperátor $C: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ a nechť $\basisPlain{A^{(k)})}{k=1}^{M^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_2}$ a $\basisPlain{B^{(l)})}{l=1}^{N^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_1}$. Analogicky prvnímu izomorfizmu si definujme přiřazení<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{k l} C_{k l} \ketbra{A^{(k)}}{B^{(l)}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{k l} C_{k l} \ket{A^{(k)}} \ket{B^{(l)}}.<br />
\end{equation}<br />
Podobně jako u prvního izomorfizmu, i zde by se analogickým způsobem ověřilo, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Zavolíme-li ortonormální báze prostorů operátorů v jednoduchém tvaru $A^{(k)} = A^{m n} \equiv \ketbra{m}{n}$ a $B^{(l)} = B^{\mu \nu} \equiv \ketbra{\mu}{\nu}$, lze definiční vztah přepsat na<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ket{A^{m n}} \ket{B^{\mu \nu}}.<br />
\end{equation}<br />
Neboť $\ket{A^{m n}} \in \hilb_2^{\tens 2}$ a $\ket{B^{\mu \nu}} \in \hilb_1^{\tens 2}$ je vektor $\ket{C}$ prvkem prostoru $\hilb_2^{\tens 2} \tens \hilb_1^{\tens 2}$.<br />
<br />
\item Využijme nyní notace pro bazické vektory zavedené v předchozím bodě a uvažujme operátor $X_C \in \bound{\hilb_1 \tens \hilb_2}$ tvaru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$. Porovnáme-li tento výraz s obecným tvarem operátoru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} (X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, dostáváme rovnost<br />
\begin{equation}<br />
(X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = C_{\substack{m n \\ \mu \nu}},<br />
\label{eq:izom_3}<br />
\end{equation}<br />
která nám definuje třetí a poslední izomorfizmus. Ověřme ještě, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Mějme dva superoperátory, $C$ a $D$. Potom platí $(X_C,X_D) = \tr(\adj{X}_C X_D) = \tr((\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{n \nu}{m \mu})(\sum_{a b \alpha \beta} (X_D)_{\substack{a \alpha \\ b \beta}} \ketbra{a \alpha}{b \beta}))$. Tento výraz se redukuje na $\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} (X_D)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = \sum_{m n \mu \nu} \cc{C}_{\substack{m n \\ \mu \nu}} D_{\substack{m n \\ \mu \nu}} = \braket{C}{D} = (C,D)$, což jsme chtěli dokázat. Anglicky se přiřazení \eqref{eq:izom_3} říká \emph{reshuffling operation}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Jako velmi důležitý případ použití výše zmíněných izomorfizmů je následující situace. Mějme superoperátor $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, který na vstupní operátory $X$ působí způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\phi(X) = A \, X \, B,<br />
\end{equation}<br />
kde $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$. Za použití izomorfizmů, které superoperátoru a operátoru přiřadí vektory, lze dokázat vztah<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi(X)} = \phi_M \ket{X}, \quad \mathrm{kde} \quad \phi_M = A \tens B^T.<br />
\label{eq:superop_do_matice}<br />
\end{equation}<br />
Počítáme-li se superoperátory působícími na nějaké operátory, lze manipulaci s nimi převést na jednodušší úlohu, kde počítáme s maticemi. Místo superoperátoru $\phi$ stačí tedy pracovat s maticí $\phi_M$. Dokažme si nyní výše uvedený vztah, kde vyjádříme operátory $A$ a $B$ v lokálních bázích jednotlivých prostorů, $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$ a $B = \sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{\nu}{n}$. Pak dostáváme $\phi_M \ket{X} = (A \tens B^T) \ket{X} = (\sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}) \tens (\sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{n}{\nu}) \sum_{\alpha \beta} X_{\alpha \beta} \ket{\alpha} \ket{\beta} = \sum_{m \mu n \nu} A_{m \mu} B_{\nu n} X_{\mu \nu} \ket{m} \ket{n} = \sum_{m n} (A X B)_{m n} \ket{m} \ket{n} = \ket{A X B} = \ket{\phi(X)}$.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Připomeňme si Liouvilleův operátor $\liou(\rho(t)) = -\ii (\ham(t) \rho(t) - \rho(t) \ham(t))$ zavedený v rovnici \eqref{eq:Liouvill_rce}. S využitím vztahu \eqref{eq:superop_do_matice} tento superoperátor zřejmě odpovídá matici $\liou_M(t) = -\ii \ham(t) \tens \ident + \ii \ident \tens \ham^T(t)$. Z tohoto vyjádření je ihned patrné, že $\liou$ je antihermitovský. Navíc jsme se zbavili explicitní závislosti na vstupní stavu $\rho(t)$ a vlastnosti operátoru $\liou$ lze tak přímo studovat pomocí odpovídající matice $\liou_M$.<br />
<br />
Dále jsme si uváděli, že řídí-li se operátor hustoty $\rho(t)$ rovnicí \eqref{eq:Liouvill_rce}, lze jeho vývoj reprezentovat jistým unitárním operátorem $U$ takovým, aby $\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t)$. Máme tak přímo výraz tvaru \eqref{eq:superop_do_matice}, který lze převézt na násobení vektoru maticí, $\ket{\rho(t)} = U_M(t) \ket{\rho(0)}$. Příslušná matice $U_M(t) = U(t) \tens \cc{U}(t)$ je přitom unitární.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Zajímavý je izomorfní obraz maximálně provázaného stavu $\ketME$. Mějme $\ketME \in \hilb_1 \tens \hilb_1$, jehož vyjádření zní $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \sum_{i=1}^{d_1} \ket{e_i} \tens \ket{e_i}$, kde $d_1 = \dim \hilb_1$. Pak je tento přidružený s násobkem identity<br />
\begin{equation}<br />
\ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} \, \ident \ \in \bound{\hilb_1}.<br />
\end{equation}<br />
Uvažujeme-li tedy dvě zobrazení $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$, tak platí důležitý vztah<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens B^T) \ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} A B.<br />
\label{eq:super_do_mat_ME}<br />
\end{equation}<br />
Nyní využijeme tohoto vztahu, abychom odvodili některé jednoduché, avšak užitečné, vlastnosti maximálně provázaného stavu. Předpokládáme přitom rovnost $\hilb_1 = \hilb_2$.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Díky vztahu \eqref{eq:super_do_mat_ME} platí $(A \tens \ident) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ a $(\ident \tens A^T) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ pro libovolný operátor $A$. Celkem tedy<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens \ident) \ketME = (\ident \tens A^T) \ketME.<br />
\label{eq:Alice_ci_Bob}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Pro libovolný unitární operátor $U$ máme $(U \tens \cc{U}) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} U \adj{U} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \leftrightarrow \ketME$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
(U \tens \cc{U}) \ketME = \ketME.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item \emph{Z maximálně provázaného stavu lze vyrobit lokálně libovolný stav.} Maximálně provázaný stav je stav dvou provázaných podsystémů, pod pojmem \emph{lokálně} máme na mysli, že používáme pouze ty operátory, které působí jen na jednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělají nic. Přesněji tedy pro každý čistý stav $\ket{\phi} \in \hilb_1 \tens \hilb_1$ existuje nějaký operátor $A_\phi \in \bound{\hilb_1}$ tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi} = (A_\phi \tens \ident) \ketME.<br />
\label{eq:lok_tvar_phi_s_ME}<br />
\end{equation}<br />
Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. K vektoru $\ket{\phi}$ je přidružen operátor $\phi$, jež lze rozložit následovně $\phi = \sqrt{d_1} \phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident$, kde jsme si označili $A_\phi = \sqrt{d_1} \phi$. Platí dále $\phi = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident \leftrightarrow (A_\phi \tens \ident) \ketME$, viz \eqref{eq:super_do_mat_ME}. Neboť jsme pracovali s izomorfizmy, tj. bijekcemi, dospíváme ke kýžené rovnosti.<br />
<br />
Z důkazu též vidíme, že operátor $A_\phi$ je určen jednoznačně. Jako vedlejší produkt lze navíc odvodit i tyto vztahy pro skalární součin<br />
\begin{equation}<br />
\braket{\phi}{\psi} = \tr(\adj{\phi} \psi) = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{A}_\phi \adj{A}_\psi).<br />
\end{equation}<br />
a pro tvar matic hustoty jednotlivých podsystémů<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\rho_1 & = & \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi \ = \ \phi \adj{\phi}, \\<br />
\rho_2 & = & \trPar{1}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi^T \cc{A}_\phi \ = \ \phi^T \cc{\phi}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Dokažme si rovnost pro matici hustoty prvního podsystému $\rho_1$. S využitím identity \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} máme $\rho_1 = \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) = \frac{1}{d_1} \sum_{i} \bra{i} (A_\phi \tens \ident) (\sum_{j k} \ketbra{jj}{kk}) (\adj{A}_\phi \tens \ident) \ket{i} = \frac{1}{d_1} A_\phi (\sum_j \ketbra{j}{j}) \adj{A}_\phi = \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi$. Ostatní vztahy by se dokázali obdobně.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Význačnost vztahu \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} si uvědomíme tehdy, představíme-li si jeho důsledky fyzikálně. Mějme dva systémy $A$ a $B$ nacházející se v maximálně provázaném stavu $\ketME$. Nechť podsystém $A$ vlastní Alice a podsystém $B$ drží ve svých spárech Bob. Alice si chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem $A$ odjela na Havaj, bez Boba. Bob se svým podsystémem $B$ mezitím trčí doma v Praze a rozmýšlí si, jak Alici její dovolenou znepříjemnit. Díky vzorečku \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} je však vše snadné, Bob může provést libovolnou operaci $A_\phi$ pouze se \emph{svým} podsystémem, aby \emph{libovolně} změnil celkový stav systému $A + B$. Bob tak může na dálku ovlivňovat i stav Aliciina systému. Abychom však Bobovi nekřivdili, Alice si může počínat stejně zákeřně. Vzorec \eqref{eq:Alice_ci_Bob} nám totiž říká, že pro změnu stavu celého systému $A + B$ je jedno, zda to bude Bob či Alice, kdo provede úpravu na svém podsystému.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Nechť $\ketphi = \frac{1}{5} (3 \ket{01} + 4 \ket{10})$ je vektor popisující stav dvou provázaných podsystémů. Tento čistý stav je přidružen operátoru<br />
\begin{equation}<br />
\phi_M = \frac{1}{5}<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 3 \\<br />
4 & 0<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
S jeho pomocí již snadno spočteme stav prvního podsystému<br />
\begin{equation}<br />
\rho_1 = \phi_M \adj{\phi}_M = \frac{1}{25}<br />
\begin{pmatrix}<br />
9 & 0 \\<br />
0 & 16<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Než přikročíme ke studiu otevřených systémů je vhodné si uvést dvě nerovnosti dávající do souvislosti stopy jistých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem jsou po řadě věnovány následující dvě kapitolky.<br />
<br />
\subsection{Kleinova nerovnost}<br />
\label{sec:Kleinova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Kleinova nerovnost.} Nechť $f: I \to \R$ je konvexní a diferencovatelná funkce na intervalu $I = [a,b]$. Dále nechť $A$ a $B$ jsou hermitovské operátory takové, že jejich spektra leží v intervalu $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$ a $\sigma(B) \subset I$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)-f(B)) \geq \tr((A-B)f'(B)).<br />
\end{equation}<br />
Pokud je funkce $f$ ostře konvexní, tak se rovnosti nabývá právě tehdy, když $A = B$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si $A = \sum_i a_i \ketbraSame{e_i}$ a $B = \sum_i b_i \ketbraSame{f_i}$. Potom $f(A) = \sum_i f(a_i) \ketbraSame{e_i}$ a $f(B) = \sum_i f(b_i) \ketbraSame{f_i}$. Neboť pracujeme s ortonormálními bázemi $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ a $\basisPlain{\ket{f_j}}{j}$, plynou z Parsevalovy rovnosti vztahy $\sum_i |c_{ij}|^2 = 1$ a $\sum_j |c_{ij}|^2 = 1$, kde jsme si definovali $c_{ij} = \braket{e_i}{f_j}$. Pro každý bazický vektor $\ket{e_i}$ dále dostáváme, že výraz $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i}$ je roven<br />
%$\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} = f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} (\sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j}) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} = f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) = f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) = \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j))$.<br />
\begin{eqnarray*}<br />
& & f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} \left( \sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j} \right) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} \\<br />
& = & f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) \\<br />
& = & f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) \\<br />
& = & \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z věty o přírůstku funkce aplikovanou na interval $[c,d]$ platí $f(d) - f(c) = (d-c) f'(\xi)$ pro jisté $\xi \in (c,d)$. Neboť je funkce $f$ konvexní, je její derivace kdekoli uvnitř interválku $[c,d]$ větší než derivace v levém krajním bodě $c$ a současně menší než derivace v pravém krajním bodě $d$, tj. $f'(\xi) \geq f'(c)$ a $f'(\xi) \leq f'(d)$. Celkem tedy $(d-c) f'(d) \geq f(d) - f(c) \geq (d-c) f'(c)$. Z těchto dvou nerovností již plyne, že výraz $f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)$ je vždy nezáporný a tedy i $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} \geq 0$. První tvrzení věty již plyne přímo z definice stopy. Ukažme si ještě, že pro ostře konvexní funkce se rovnosti nabývá právě, když $A = B$. Vidíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše je nulový právě tehdy, když pro všechna $i$ a $j$ platí $a_i = b_j$ nebo $c_{ij} = 0$. Pro Hilbert-Schmidtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme $\|A-B\|^2 = \tr(A-B)^2 = \tr(\sum_i a_i \ketbraSame{e_i} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j})^2 = \tr(\sum_i a_i^2 \ketbraSame{e_i} + \sum_j b_j^2 \ketbraSame{f_j} - 2 \sum_{i j} a_i b_j c_{ij} \ketbra{e_i}{f_j}) = \sum_i a_i^2 + \sum_j b_j^2 - 2 \sum_{i j} a_i b_j |c_{ij}|^2 = \sum_{i j} |c_{ij}|^2 (a_i - b_j)^2 = 0$. Z toho již plyne $A = B$. Druhá implikace je zřejmá.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Uvažme funkci $f$ definovanou na nezáporných číslech způsobem<br />
\begin{equation}<br />
f = <br />
\begin{cases}<br />
x \ln x & x > 0, \\<br />
0 & x = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation}<br />
Její první a druhá derivace zní po řadě $f'(x) = 1 + \ln x$ a $f''(x) = 1/x$. Funkce $f$ je tedy ostře konvexní pro $x > 0$. Pak pro libovolné pozitivní operátory $A$ a $B$ platí díky předchozí větě nerovnost $\tr(A \ln A - B \ln B) \geq \tr((A-B)(\ident + \ln B))$, kterou můžeme upravit do tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\tr(A \ln A) - \tr(A \ln B) \geq \tr(A-B).<br />
\label{eq:Klein_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
Tento vztah využijeme při studiu entropie v následující kapitole.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
\subsection{Peierlova nerovnost}<br />
\label{sec:Peierlova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Peierlova nerovnost.} Nechť $f$ je konvexní funkce na intervalu $I \subset \R$ a $A \in \bound{\hilb}$ je hermitovský operátor, jehož spektrum leží v $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$. Označme si libovolnou ortonormální bázi prostoru $\hilb$ jako $\basisPlain{\ket{f_i}}{i}$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)) \geq \sum_i f(\bra{f_i} A \ket{f_i}).<br />
\end{equation}<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
S využitím notace použité při důkazu Kleinovy nerovnosti můžeme vyjádřit operátor $A$ ve tvaru $A = \sum_j a_j \ketbraSame{e_j}$ a<br />
$\bra{f_i} f(A) \ket{f_i} = \sum_j f(a_j) |c_{ij}|^2 \geq f(\sum_j |c_{ij}|^2 a_j) = f(\sum_j |\braket{f_i}{e_j}|^2 a_j) = f(\bra{f_i} A \ket{f_i})$, kde nerovnost plyne z konvexnosti funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusledek}<br />
Pro libovolné číslo $p \in (0,1)$, konvexní funkci $f$ na intervalu $I$ a operátory $A$ a $B$ splňující předpoklady předchozí věty platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr f(p A + (1 - p)B) \leq p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B).<br />
\label{eq:Peier_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
\end{dusledek}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si symbolem $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory operátoru $p A + (1-p) B$. Pak $\tr f(p A + (1-p) B) = \sum_i \bra{e_i} f(p A + (1-p) B) \ket{e_i}$. Díky vhodné volbě naší báze je tento výraz roven $\sum_i f(\bra{e_i} (p A + (1-p) B) \ket{e_i}) = \sum_i f(p \bra{e_i} A \ket{e_i} + (1-p) \bra{e_i} B \ket{e_i})$. Z~konvexnosti je tento výraz menší nebo roven výrazu $p \sum_i f(\bra{e_i} A \ket{e_i}) + (1-p) \sum_i f(\bra{e_i} B \ket{e_i})$, což je dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu $p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B)$.<br />
\end{proof}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola5&diff=790002OKS:Kapitola52017-09-30T07:44:32Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Matematický aparát}<br />
\label{sec:Matematicky_aparat}<br />
<br />
Abychom si ulehčili práci s různými zobrazeními a především zefektivnili důkazy nejrůznějších tvrzení, zavedeme si v tomto matematickém intermezzu pár pomocných pojmů, jejichž význam je sice čistě matematický, jejich aplikací však budeme dostávat zajímavá fyzikálně interpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pojmů budeme užívat i jistou notaci a názvosloví, které si nyní letem světem představíme.<br />
<br />
Se stopou operátoru $A \in \hilb$, značenou $\tr A$, jsme se již seznámili. Připomeňme si, že se jedná o lineární zobrazení s vlastností cykličnosti $\tr(A B C) = \tr(C A B)$, $\forall A, B, C \in \bound{\hilb}$ (a tedy samozřejmě také $\tr(A B) = \tr(B A)$), splňující též $\tr(A \tens B) = \tr A \cdot \tr B$. Pokud budeme počítat se složitými výrazy, je užitečné si explicitně vyjádřit, na jakém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního indexu způsobem $\tre{\hilb} A$. Naproti tomu jsme si už zavedli i částečnou stopu operátoru definovaného na složeném systému $C \in \bound{\hilb_A \tens \hilb_B}$. Částečnou stopu přes podsystém $B$ značíme s dolním indexem $\trPar{B} C$, který vyjadřuje, přes jaký prostor se stopuje. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace je shrnuta na počátku skript v sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. Pokud budeme hovořit o \emph{superoperátorech}, nemáme tím na mysli nic jiného, než lineární zobrazení definovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využijeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory $A$ a $B$ jsou \emph{podobné}, existuje-li regulární operátor $C$ takový, že $A = C B C^{-1}$.<br />
<br />
\subsection{Izomorfizmy}<br />
\label{sec:Izomorfizmy}<br />
<br />
V následujícím uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$, kde $\basis{\mu}{M}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně $\basis{m}{N}$ je ortonormální báze v prostoru $\hilb_2$. V této sekci si zadefinujeme tři izomorfní zobrazení, která úspěšně využijeme v důkazech tvrzení nadcházejících sekcí.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ je omezené lineární zobrazení z prostoru $\hilb_1$ do prostoru $\hilb_2$. První izomorfizmus, který si uvedeme, vzájemně jednoznačně přiřazuje takovémuto zobrazení $A$ vektor $\ket{A}$ z prostoru $\hilb_1 \tens \hilb_2$ způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\bra{m} A \ket{\mu} \equiv \braket{m \mu}{A}.<br />
\label{eq:izom_1}<br />
\end{equation}<br />
Zobrazení $A$ lze zřejmě vyjádřit jako $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$. Odpovídající vektor $\ket{A}$ je pak tvaru $\ket{A} = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ket{m} \ket{\mu}$. Ukažme si ještě, že přiřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součin. Pro libovolná dvě zobrazení $A, B \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ platí $(A,B) = \tr(\adj{A} B) = \tr ((\sum_{m \mu} \cc{A}_{m \mu} \ketbra{m}{\mu})(\sum_{n \nu} B_{n \nu} \ketbra{n}{\nu})) = \sum_{m \mu} \cc{A}_{m \mu} B_{m \mu} = \braket{A}{B}$. Zobrazení \eqref{eq:izom_1} je tedy izomorfizmus. Z definice \eqref{eq:izom_1} není hned patrné, jak si takové přiřazení představit, má přitom názorný význam. Představme si operátor $A$ jako matici $(A_{ij})$. Pak právě uvedený izomorfizmus vezme první řádek této matice a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten připojí pod sloupcový vektor vytvořený z prvního řádku. Takto pokračuje dále až celou matici přemění na sloupcový vektor tím, že její řádky vyskládá za sebe. Graficky lze tento izomorfizmus znázornit jako vztah<br />
\begin{equation}<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1M} \\<br />
A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2M} \\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br />
A_{N1} & A_{N2} & \ldots & A_{NM}<br />
\end{pmatrix}<br />
\quad \leftrightarrow \quad<br />
\begin{pmatrix}<br />
A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{1M} \\ A_{21} \\A_{22} \\ \vdots \\ A_{2M} \\ \vdots \\ A_{NM}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Mějme nyní superoperátor $C: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ a nechť $\basisPlain{A^{(k)})}{k=1}^{M^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_2}$ a $\basisPlain{B^{(l)})}{l=1}^{N^2}$ je ortonormální báze prostoru $\bound{\hilb_1}$. Analogicky prvnímu izomorfizmu si definujme přiřazení<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{k l} C_{k l} \ketbra{A^{(k)}}{B^{(l)}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{k l} C_{k l} \ket{A^{(k)}} \ket{B^{(l)}}.<br />
\end{equation}<br />
Podobně jako u prvního izomorfizmu, i zde by se analogickým způsobem ověřilo, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Zavolíme-li ortonormální báze prostorů operátorů v jednoduchém tvaru $A^{(k)} = A^{m n} \equiv \ketbra{m}{n}$ a $B^{(l)} = B^{\mu \nu} \equiv \ketbra{\mu}{\nu}$, lze definiční vztah přepsat na<br />
\begin{equation}<br />
C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad \ket{C} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ket{A^{m n}} \ket{B^{\mu \nu}}.<br />
\end{equation}<br />
Neboť $\ket{A^{m n}} \in \hilb_2^{\tens 2}$ a $\ket{B^{\mu \nu}} \in \hilb_1^{\tens 2}$ je vektor $\ket{C}$ prvkem prostoru $\hilb_2^{\tens 2} \tens \hilb_1^{\tens 2}$.<br />
<br />
\item Využijme nyní notace pro bazické vektory zavedené v předchozím bodě a uvažujme operátor $X_C \in \bound{\hilb_1 \tens \hilb_2}$ tvaru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} C_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$. Porovnáme-li tento výraz s obecným tvarem operátoru $X_C = \sum_{m n \mu \nu} (X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, dostáváme rovnost<br />
\begin{equation}<br />
(X_C)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = C_{\substack{m n \\ \mu \nu}},<br />
\label{eq:izom_3}<br />
\end{equation}<br />
která nám definuje třetí a poslední izomorfizmus. Ověřme ještě, že toto přiřazení zachovává skalární součin. Mějme dva superoperátory, $C$ a $D$. Potom platí $(X_C,X_D) = \tr(\adj{X}_C X_D) = \tr((\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} \ketbra{n \nu}{m \mu})(\sum_{a b \alpha \beta} (X_D)_{\substack{a \alpha \\ b \beta}} \ketbra{a \alpha}{b \beta}))$. Tento výraz se redukuje na $\sum_{m n \mu \nu} \cc{(X_C)}_{\substack{m \mu \\ n \nu}} (X_D)_{\substack{m \mu \\ n \nu}} = \sum_{m n \mu \nu} \cc{C}_{\substack{m n \\ \mu \nu}} D_{\substack{m n \\ \mu \nu}} = \braket{C}{D} = (C,D)$, což jsme chtěli dokázat. Anglicky se přiřazení \eqref{eq:izom_3} říká \emph{reshuffling operation}.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Jako velmi důležitý případ použití výše zmíněných izomorfizmů je následující situace. Mějme superoperátor $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, který na vstupní operátory $X$ působí způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\phi(X) = A \, X \, B,<br />
\end{equation}<br />
kde $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$. Za použití izomorfizmů, které superoperátoru a operátoru přiřadí vektory, lze dokázat vztah<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi(X)} = \phi_M \ket{X}, \quad \mathrm{kde} \quad \phi_M = A \tens B^T.<br />
\label{eq:superop_do_matice}<br />
\end{equation}<br />
Počítáme-li se superoperátory působícími na nějaké operátory, lze manipulaci s nimi převést na jednodušší úlohu, kde počítáme s maticemi. Místo superoperátoru $\phi$ stačí tedy pracovat s maticí $\phi_M$. Dokažme si nyní výše uvedený vztah, kde vyjádříme operátory $A$ a $B$ v lokálních bázích jednotlivých prostorů, $A = \sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}$ a $B = \sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{\nu}{n}$. Pak dostáváme $\phi_M \ket{X} = (A \tens B^T) \ket{X} = (\sum_{m \mu} A_{m \mu} \ketbra{m}{\mu}) \tens (\sum_{n \nu} B_{\nu n} \ketbra{n}{\nu}) \sum_{\alpha \beta} X_{\alpha \beta} \ket{\alpha} \ket{\beta} = \sum_{m \mu n \nu} A_{m \mu} B_{\nu n} X_{\mu \nu} \ket{m} \ket{n} = \sum_{m n} (A X B)_{m n} \ket{m} \ket{n} = \ket{A X B} = \ket{\phi(X)}$.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Připomeňme si Liouvilleův operátor $\liou(\rho(t)) = -\ii (\ham(t) \rho(t) - \rho(t) \ham(t))$ zavedený v rovnici \eqref{eq:Liouvill_rce}. S využitím vztahu \eqref{eq:superop_do_matice} tento superoperátor zřejmě odpovídá matici $\liou_M(t) = -\ii \ham(t) \tens \ident + \ii \ident \tens \ham^T(t)$. Z tohoto vyjádření je ihned patrné, že $\liou$ je antihermitovský. Navíc jsme se zbavili explicitní závislosti na vstupní stavu $\rho(t)$ a vlastnosti operátoru $\liou$ lze tak přímo studovat pomocí odpovídající matice $\liou_M$.<br />
<br />
Dále jsme si uváděli, že řídí-li se operátor hustoty $\rho(t)$ rovnicí \eqref{eq:Liouvill_rce}, lze jeho vývoj reprezentovat jistým unitárním operátorem $U$ takovým, aby $\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t)$. Máme tak přímo výraz tvaru \eqref{eq:superop_do_matice}, který lze převézt na násobení vektoru maticí, $\ket{\rho(t)} = U_M(t) \ket{\rho(0)}$. Příslušná matice $U_M(t) = U(t) \tens \cc{U}(t)$ je přitom unitární.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Zajímavý je izomorfní obraz maximálně provázaného stavu $\ketME$. Mějme $\ketME \in \hilb_1 \tens \hilb_1$, jehož vyjádření zní $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \sum_{i=1}^{d_1} \ket{e_i} \tens \ket{e_i}$, kde $d_1 = \dim \hilb_1$. Pak je tento přidružený s násobkem identity<br />
\begin{equation}<br />
\ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} \, \ident \ \in \bound{\hilb_1}.<br />
\end{equation}<br />
Uvažujeme-li tedy dvě zobrazení $A \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_2, \hilb_1}$, tak platí důležitý vztah<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens B^T) \ketME \quad \leftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{d_1}} A B.<br />
\label{eq:super_do_mat_ME}<br />
\end{equation}<br />
Nyní využijeme tohoto vztahu, abychom odvodili některé jednoduché, avšak užitečné, vlastnosti maximálně provázaného stavu. Předpokládáme přitom rovnost $\hilb_1 = \hilb_2$.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Díky vztahu \eqref{eq:super_do_mat_ME} platí $(A \tens \ident) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ a $(\ident \tens A^T) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} A$ pro libovolný operátor $A$. Celkem tedy<br />
\begin{equation}<br />
(A \tens \ident) \ketME = (\ident \tens A^T) \ketME.<br />
\label{eq:Alice_ci_Bob}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item Pro libovolný unitární operátor $U$ máme $(U \tens \cc{U}) \ketME \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{d_1}} U \adj{U} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} \leftrightarrow \ketME$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
(U \tens \cc{U}) \ketME = \ketME.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item \emph{Z maximálně provázaného stavu lze vyrobit lokálně libovolný stav.} Maximálně provázaný stav je stav dvou provázaných podsystémů, pod pojmem \emph{lokálně} máme na mysli, že používáme pouze ty operátory, které působí jen na jednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělají nic. Přesněji tedy pro každý čistý stav $\ket{\phi} \in \hilb_1 \tens \hilb_1$ existuje nějaký operátor $A_\phi \in \bound{\hilb_1}$ tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\ket{\phi} = (A_\phi \tens \ident) \ketME.<br />
\label{eq:lok_tvar_phi_s_ME}<br />
\end{equation}<br />
Důkaz tohoto tvrzení je jednoduchý. K vektoru $\ket{\phi}$ je přidružen operátor $\phi$, jež lze rozložit následovně $\phi = \sqrt{d_1} \phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident$, kde jsme si označili $A_\phi = \sqrt{d_1} \phi$. Platí dále $\phi = A_\phi (\frac{1}{\sqrt{d_1}} \ident) \ident \leftrightarrow (A_\phi \tens \ident) \ketME$, viz \eqref{eq:super_do_mat_ME}. Neboť jsme pracovali s izomorfizmy, tj. bijekcemi, dospíváme ke kýžené rovnosti.<br />
<br />
Z důkazu též vidíme, že operátor $A_\phi$ je určen jednoznačně. Jako vedlejší produkt lze navíc odvodit i tyto vztahy pro skalární součin<br />
\begin{equation}<br />
\braket{\phi}{\psi} = \tr(\adj{\phi} \psi) = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{A}_\phi \adj{A}_\psi).<br />
\end{equation}<br />
a pro tvar matic hustoty jednotlivých podsystémů<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\rho_1 & = & \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi \ = \ \phi \adj{\phi}, \\<br />
\rho_2 & = & \trPar{1}(\ketbraSame{\phi}) \ = \ \frac{1}{d_1} A_\phi^T \cc{A}_\phi \ = \ \phi^T \cc{\phi}.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Dokažme si rovnost pro matici hustoty prvního podsystému $\rho_1$. S využitím identity \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} máme $\rho_1 = \trPar{2}(\ketbraSame{\phi}) = \frac{1}{d_1} \sum_{i} \bra{i} (A_\phi \tens \ident) (\sum_{j k} \ketbra{jj}{kk}) (\adj{A}_\phi \tens \ident) \ket{i} = \frac{1}{d_1} A_\phi (\sum_j \ketbra{j}{j}) \adj{A}_\phi = \frac{1}{d_1} A_\phi \adj{A}_\phi$. Ostatní vztahy by se dokázali obdobně.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Význačnost vztahu \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} si uvědomíme tehdy, představíme-li si jeho důsledky fyzikálně. Mějme dva systémy $A$ a $B$ nacházející se v maximálně provázaném stavu $\ketME$. Nechť podsystém $A$ vlastní Alice a podsystém $B$ drží ve svých spárech Bob. Alice si chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem $A$ odjela na Havaj, bez Boba. Bob se svým podsystémem $B$ mezitím trčí doma v Praze a rozmýšlí si, jak Alici její dovolenou znepříjemnit. Díky vzorečku \eqref{eq:lok_tvar_phi_s_ME} je však vše snadné, Bob může provést libovolnou operaci $A_\phi$ pouze se \emph{svým} podsystémem, aby \emph{libovolně} změnil celkový stav systému $A + B$. Bob tak může na dálku ovlivňovat i stav Aliciina systému. Abychom však Bobovi nekřivdili, Alice si může počínat stejně zákeřně. Vzorec \eqref{eq:Alice_ci_Bob} nám totiž říká, že pro změnu stavu celého systému $A + B$ je jedno, zda to bude Bob či Alice, kdo provede úpravu na svém podsystému.<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Nechť $\ketphi = \frac{1}{5} (3 \ket{01} + 4 \ket{10})$ je vektor popisující stav dvou provázaných podsystémů. Tento čistý stav je přidružen operátoru<br />
\begin{equation}<br />
\phi_M = \frac{1}{5}<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 3 \\<br />
4 & 0<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
S jeho pomocí již snadno spočteme stav prvního podsystému<br />
\begin{equation}<br />
\rho_1 = \phi_M \adj{\phi}_M = \frac{1}{25}<br />
\begin{pmatrix}<br />
9 & 0 \\<br />
0 & 16<br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
\end{priklad}<br />
<br />
Než přikročíme ke studiu otevřených systémů je vhodné si uvést dvě nerovnosti dávající do souvislosti stopy jistých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem jsou po řadě věnovány následující dvě kapitolky.<br />
<br />
\subsection{Kleinova nerovnost}<br />
\label{sec:Kleinova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Kleinova nerovnost.} Nechť $f: I \to \R$ je konvexní a diferencovatelná funkce na intervalu $I = [a,b]$. Dále nechť $A$ a $B$ jsou hermitovské operátory takové, že jejich spektra leží v intervalu $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$ a $\sigma(B) \subset I$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)-f(B)) \geq \tr((A-B)f'(B)).<br />
\end{equation}<br />
Pokud je funkce $f$ ostře konvexní, tak se rovnosti nabývá právě tehdy, když $A = B$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si $A = \sum_i a_i \ketbraSame{e_i}$ a $B = \sum_i b_i \ketbraSame{f_i}$. Potom $f(A) = \sum_i f(a_i) \ketbraSame{e_i}$ a $f(B) = \sum_i f(b_i) \ketbraSame{f_i}$. Neboť pracujeme s ortonormálními bázemi $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ a $\basisPlain{\ket{f_j}}{j}$, plynou z Parsevalovy rovnosti vztahy $\sum_i |c_{ij}|^2 = 1$ a $\sum_j |c_{ij}|^2 = 1$, kde jsme si definovali $c_{ij} = \braket{e_i}{f_j}$. Pro každý bazický vektor $\ket{e_i}$ dále dostáváme, že výraz $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i}$ je roven<br />
%$\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} = f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} (\sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j}) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} = f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) = f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) = \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j))$.<br />
\begin{eqnarray*}<br />
& & f(a_i) - \bra{e_i} \sum_j f(b_j) \ketbraSame{f_j} \ket{e_i} - \bra{e_i} \left( \sum_j a_j \ketbraSame{e_j} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j} \right) \sum_k f'(b_k) \ketbraSame{f_k} \ket{e_i} \\<br />
& = & f(a_i) - \sum_j f(b_j) |c_{ij}|^2 - a_i \sum_j f'(b_j) |c_{ij}|^2 + \sum_j b_j |c_{ij}|^2 f'(b_j) \\<br />
& = & f(a_i) \sum_j |c_{ij}|^2 - \sum_j |c_{ij}|^2 (f(b_j) + a_i f'(b_j) - b_j f'(b_j)) \\<br />
& = & \sum_j |c_{ij}|^2 (f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z věty o přírůstku funkce aplikovanou na interval $[c,d]$ platí $f(d) - f(c) = (d-c) f'(\xi)$ pro jisté $\xi \in (c,d)$. Neboť je funkce $f$ konvexní, je její derivace kdekoli uvnitř interválku $[c,d]$ větší než derivace v levém krajním bodě $c$ a současně menší než derivace v pravém krajním bodě $d$, tj. $f'(\xi) \geq f'(c)$ a $f'(\xi) \leq f'(d)$. Celkem tedy $(d-c) f'(d) \geq f(d) - f(c) \geq (d-c) f'(c)$. Z těchto dvou nerovností již plyne, že výraz $f(a_i) - f(b_j) - (a_i - b_j) f'(b_j)$ je vždy nezáporný a tedy i $\bra{e_i} (f(A) - f(B) - (A-B)f'(B)) \ket{e_i} \geq 0$. První tvrzení věty již plyne přímo z definice stopy. Ukažme si ještě, že pro ostře konvexní funkce se rovnosti nabývá právě, když $A = B$. Vidíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše je nulový právě tehdy, když pro všechna $i$ a $j$ platí $a_i = b_j$ nebo $c_{ij} = 0$. Pro Hilbert-Schmidtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme $\|A-B\|^2 = \tr(A-B)^2 = \tr(\sum_i a_i \ketbraSame{e_i} - \sum_j b_j \ketbraSame{f_j})^2 = \tr(\sum_i a_i^2 \ketbraSame{e_i} + \sum_j b_j^2 \ketbraSame{f_j} - 2 \sum_{i j} a_i b_j c_{ij} \ketbra{e_i}{f_j}) = \sum_i a_i^2 + \sum_j b_j^2 - 2 \sum_{i j} a_i b_j |c_{ij}|^2 = \sum_{i j} |c_{ij}|^2 (a_i - b_j)^2 = 0$. Z toho již plyne $A = B$. Druhá implikace je zřejmá.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{priklad}<br />
Uvažme funkci $f$ definovanou na nezáporných číslech způsobem<br />
\begin{equation}<br />
f = <br />
\begin{cases}<br />
x \ln x & x > 0, \\<br />
0 & x = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation}<br />
Její první a druhá derivace zní po řadě $f'(x) = 1 + \ln x$ a $f''(x) = 1/x$. Funkce $f$ je tedy ostře konvexní pro $x > 0$. Pak pro libovolné pozitivní operátory $A$ a $B$ platí díky předchozí větě nerovnost $\tr(A \ln A - B \ln B) \geq \tr((A-B)(\ident + \ln B))$, kterou můžeme upravit do tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\tr(A \ln A) - \tr(A \ln B) \geq \tr(A-B).<br />
\label{eq:Klein_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
Tento vztah využijeme při studiu entropie v následující kapitole.<br />
\end{priklad}<br />
<br />
\subsection{Peierlova nerovnost}<br />
\label{sec:Peierlova_nerovnost}<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Peierlova nerovnost.} Nechť $f$ je konvexní funkce na intervalu $I \subset \R$ a $A \in \bound{\hilb}$ je hermitovský operátor, jehož spektrum leží v $I$, tj. $\sigma(A) \subset I$. Označme si libovolnou ortonormální bázi prostoru $\hilb$ jako $\basisPlain{\ket{f_i}}{i}$. Pak platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr(f(A)) \geq \sum_i f(\bra{f_i} A \ket{f_i}).<br />
\end{equation}<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
S využitím notace použité při důkazu Kleinovy nerovnosti můžeme vyjádřit operátor $A$ ve tvaru $A = \sum_j a_j \ketbraSame{e_j}$ a<br />
$\bra{f_i} f(A) \ket{f_i} = \sum_j f(a_j) |c_{ij}|^2 \geq f(\sum_j |c_{ij}|^2 a_j) = f(\sum_j |\braket{f_i}{e_j}|^2 a_j) = f(\bra{f_i} A \ket{f_i})$, kde nerovnost plyne z konvexnosti funkce $f$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusledek}<br />
Pro libovolné číslo $p \in (0,1)$, konvexní funkci $f$ na intervalu $I$ a operátory $A$ a $B$ splňující předpoklady předchozí věty platí<br />
\begin{equation}<br />
\tr f(p A + (1 - p)B) \leq p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B).<br />
\label{eq:Peier_ner_lepsi}<br />
\end{equation}<br />
\end{dusledek}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si symbolem $\basisPlain{\ket{e_i}}{i}$ ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory operátoru $p A + (1-p) B$. Pak $\tr f(p A + (1-p) B) = \sum_i \bra{e_i} f(p A + (1-p) B) \ket{e_i}$. Díky vhodné volbě naší báze je tento výraz roven $\sum_i f(\bra{e_i} (p A + (1-p) B) \ket{e_i}) = \sum_i f(p \bra{e_i} A \ket{e_i} + (1-p) \bra{e_i} B \ket{e_i})$. Z~konvexnosti je tento výraz menší nebo roven výrazu $p \sum_i f(\bra{e_i} A \ket{e_i}) + (1-p) \sum_i f(\bra{e_i} B \ket{e_i})$, což je dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu $p \tr f(A) + (1-p) \tr f(B)$.<br />
\end{proof}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola4&diff=789902OKS:Kapitola42017-09-15T11:42:35Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Operátor hustoty}<br />
\label{sec:Operator_hustoty}<br />
<br />
Popisujeme-li vývoj \emph{uzavřeného} kvantového systému, vystačíme si většinou s pojmem \emph{čistého stavu}. Jedná se o vektor v Hilbertově prostoru $\hilb$, který je danému kvantovému systému přidružen. Na daném Hilbertově prostoru je definován skalární součin, my si tento budeme značit v souhlase s Diracovou notací jako $\braket{\cdot}{\cdot}$. Spolu s vektory Hilbertova prostoru uvažujeme i zobrazení, která na těchto vektorech působí. Neboť se omezujeme pouze na konečněrozměrné Hilbertovy prostory, jsou všechny operátory definované na daném Hilbertově prostoru h omezené, a tedy $\bound{\hilb}$ představuje množinu všech operátorů. Omezené operátory samotné tvoří další Hilbertův prostor, zavedeme-li na něm \emph{Hilbert-Schmidtův skalární součin} následujícím způsobem. Mějme dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$, pak jejich skalární součin je definován vztahem<br />
\begin{equation}<br />
(A,B) \equiv \tr(\adj{A} B),<br />
\end{equation}<br />
kde $\adj{A}$ je operátor hermitovsky sdružený k operátoru $A$ a $\tr(cdot)$ značí stopu operátoru, viz sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. V~prostoru operátorů můžeme dále vydělit množinu všech \emph{pozorovatelných} $\{A \in \bound{\hilb}| \adj{A} = A\}$ \emph{na prostoru} $\hilb$ tvořenou hermitovskými operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s~čistými stavy, vektory. Operátory představující vývoj systému či měření vzaly vektor a vrátili jiný vektor. Když jsme měli jistou pozorovatelnou $A$, dostali jsme jejím změřením na daném čistém stavu $\ketpsi$ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru $A$ a které jsme interpretovali jako výsledek měření. Pokud přitom nebyl vektor $\ketpsi$ vlastním vektorem pro $A$, obdrželi jsme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu.<br />
<br />
Důležité bylo si uvědomit, že vše, co o daném stavu kvantového systému jsme schopni zjistit, jsou průměrné hodnoty nejrůznějších veličin. Výsledek jediného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlišujme nyní na chvíli důsledně dva pojmy, stav systému $\psi$ a jemu příslušný vektor $\ketpsi$. Stavem systému máme na mysli soubor všech jeho vlastností. Pro popis stavu kvantového systému tak je nezbytné uvést střední hodnoty $\average{A}{\psi}$ všech pozorovatelných $A$ na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla situace jednodušší v tom, že místo vypisování všech těchto středních hodnot jsme měli prostředek, jak je snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor $\ketpsi$, z něhož jsme odpovídající střední hodnotu pozorovatelné $A$ obdrželi vypočtením výrazu $\brapsi A \ketpsi$, který jsme prohlásili za střední hodnotu $\average{A}{\psi}$. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazvali jsme ho čistým stavem.<br />
<br />
Použijme analogický postup v širším kontextu. Opusťme zažitou představu čistých stavů a definujme si stav jako zobrazení, které každé pozorovatelné přiřazuje reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou $A$ a vrátí odpovídající střední hodnotu $\average{A}{}$. Korektní definice zní následovně.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
\textbf{Stavem systému} nazveme lineární funkcionál $S: \bound{\hilb} \to \R$ splňující dodatečné podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Normalizace: $S(\ident) = 1$. (To jest, na identitu vrátí jedničku.)<br />
\item Pozitivita: $S(\adj{A} A) \geq 0$, $\forall A \in \bound{\hilb}$. (To jest, na každý pozitivní operátor vrátí nezá\-porné číslo.)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Rieszova věta říká, že pro každý lineární funkcionál $S$ najdeme operátor $\rho \in \bound{\hilb}$ tak, že $S(A) = (\rho, A) = \tr(\adj{\rho} A)$ pro každý $A \in \bound{\hilb}$. O tomto operátoru si ukážeme, že je hermitovský a má jednotkovou stopu. Pro důkaz $\rho=\adj{\rho}$ ukážeme, že $(\rho,A)=(\adj{\rho},A)$ pro každý operátor $A \in \bound{\hilb}$. Rovnost však stačí ukázat pro $A$ hermitovkské, jelikož skalární součin je bilineární a každý operátor $A \in \bound{\hilb}$ je možné napsat jako součet dvou hermitovských operátorů $A=A_1+iA_2 = (A+\adj{A})/2+i\left(i(-A+\adj{A})/2 \right)$. Nyní využijeme toho, že $S(\cdot)$ je reálné číslo, a tedy $S(\cdot) = \cc{S(\cdot)}$. Pak dostáváme $(\rho,A) = \tr(\adj{\rho}A) = S(A)=\cc{S(A)} = \cc{\tr(\adj{\rho}A)}=\tr(\rho^T \cc{A}) = \tr((\rho^T \cc{A})^T) = \tr(\adj{A} \rho) = \tr(\rho \adj{A}) = \tr(\rho A) = (\adj{\rho},A)$. Z normalizační podmínky navíc vyplývá $1 = S(\ident) = \tr(\adj{\rho} \ident) = \tr(\rho)$. Druhá definiční vlastnost nám přitom zajišťuje $0 \leq S(C) = \tr(\rho C)$ pro všechny pozitivní operátory $C$. Pokud zvolíme $C = \ketbraSame{\psi}$, tak $\tr(\rho C) = \tr(\rho \ketbrapsi) = \brapsi \rho \ketpsi \geq 0$ pro všechny $\ketpsi \in \hilb$. Operátor $\rho$ je tedy dokonce pozitivní.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Operátor z úvah výše se nazývá \textbf{operátor hustoty}, popř. \textbf{matice hustoty}. Neboť pozitivita již vynucuje hermitovost, tak lze operátor hustoty charakterizovat jako \emph{pozitivní operátor s jednotkovou stopou}, tj. $\rho \geq 0$ a $\tr(\rho) = 1$.<br />
\end{definice}<br />
<br />
Z definičních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyjádřit ve tvaru $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ a $\basisPlain{\psi_i}{i}$ je ortonormální báze tvořená jeho vlastními vektory. Vidíme, že ač jsme si stav definovali jako jistý lineární funkcionál, veškerou práci se stavem daného systému lze redukovat na počítání s jemu odpovídající maticí hustoty. V následujícím budeme pojmy \emph{operátor hustoty} a \emph{stav} volně zaměňovat.<br />
<br />
Množinu všech stavů na daném Hilbertově prostoru $\hilb$ označíme $\states{\hilb}$. Jedná se o konvexní množinu, neboť konvexní kombinace operátorů hustoty je opět operátor hustoty. Extremálními body této množiny jsou přitom \emph{čisté stavy}, tj. stavy, jejichž operátor hustoty je projektor $\rho = \ketbrapsi$ pro nějaké $\ketpsi \in \hilb$. Máme-li zadán operátor hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje čistý stav? Nutnou a postačující podmínku uvádí následující tvrzení.<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Operátor hustoty $\rho \in \states{\hilb}$ popisuje čistý stav právě tehdy, když $\tr(\rho^2) = 1$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Pro důkaz implikace zleva si stačí uvědomit, že když je operátor hustoty $\rho$ čistý stav, tak existuje vektor $\ketpsi \in \hilb$ takový, že $\rho = \ketbrapsi$ je projektor. Platí tedy $\rho^2 = \rho$ a z normalizace operátoru hustoty ihned $\tr(\rho^2) = \tr(\rho) = 1$. Pro důkaz opačné implikace uvažujme obecný tvar operátoru hustoty, $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\basisPlain{\ket{\psi_i}}{i}$ je ortonormální báze a $\{\lambda_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchými výpočty zjistíme, že $\rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{\psi_i}$, jehož stopa je $\tr(\rho^2) = \sum_i \lambda_i^2$. Neboť je $\lambda_i \geq 0$ a $\sum_i \lambda_i = 1$, z podmínky $\tr(\rho^2) = 1$ už rovnou plyne, že právě jedno vlastní číslo $\lambda_{i_0}$ je jednička a ostatní jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala $\lambda_i < 1$, což implikuje $\lambda_i^2 < \lambda_i$. Máme tedy $1 = \sum_i \lambda_i > \sum_i \lambda_i^2$, což je spor s předpoklady dokazované implikace. Celkem tak máme $\rho = \lambda_{i_0} \ketbraSame{\psi_{i_0}} = \ketbraSame{\psi_{i_0}}$ a $\rho$ je tak čistý stav.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru lze operátory hustoty vyjádřit pomocí Pauliho matic. \textbf{Pauliho matice} jsou tři $2 \times 2$ matice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\paulix = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliy = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & -\ii \\<br />
\ii & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliz = <br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 \\<br />
0 & -1 <br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
Operátory hustoty jsou pak tvaru $\rho = \frac{1}{2}(\ident + \tau_1 \paulix + \tau_2 \pauliy + \tau_3 \pauliz)$, kde $\vec{\tau} = (\tau_1, \tau_2,\tau_3) \in \R^3$ je vektor, jehož velikost je $\|\vec{\tau}\| \leq 1$, jinak by $\rho$ nebyl pozitivní operátor. Pro $\|\vec{\tau}\| = 1$ popisuje $\rho$ čistý stav.<br />
<br />
\subsection[Evoluce operátoru hustoty]{Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému}<br />
\label{sec:Evoluce_operatoru_hustoty_v_uzavrenem_systemu}<br />
<br />
Výše jsme uvedli, že se budeme zabývat otevřenými systémy. Udělejme na chvíli krok zpět a koukněme se, jak se operátor hustoty $\rho$ chová v případě uzavřeného systému. Uvažujme $\rho(t) = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i(t)}$ coby funkci času, kde jednotlivé bazické vektory $\ket{\psi_i(t)}$ podléhají Schrödingerově rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\ii \der{\ket{\psi_i(t)}} = \ham \ket{\psi_i(t)},<br />
\end{equation}<br />
Zderivujeme-li operátor hustoty $\rho(t)$ podle času a dosadíme-li za vzniklé výrazy ze Schrödingerovy rovnice, dospíváme k rovnici tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\der{\rho(t)} = -\ii \com{\ham}{\rho(t)} \equiv \liou(\rho(t)),<br />
\label{eq:Liouvill_rce}<br />
\end{equation}<br />
kde jsme si definovali zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, jež se nazývá \textbf{Liouvilleův operátor}. Jedná se o antihermitovský lineární superoperátor zachovávající stopu (viz později). Právě uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluční rovnicí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývoj otevřených systémů.<br />
<br />
Časový vývoj operátoru hustoty lze explicitně v případě uzavřeného systému vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t),<br />
\end{equation}<br />
kde $U(t)$ je jednoparametrický systém jistých unitárních operátorů. Stále platí, že časovým vývojem přejde čistý stav opět na čistý stav. U otevřených systémů už vývoj stavu nepůjde popsat pomocí unitárního operátoru tímto způsobem.<br />
<br />
\subsection{Popis složeného systému}<br />
\label{sec:Popis_slozeneho_systemu}<br />
<br />
Velmi důležitým konceptem v kvantové teorii je pojem složeného systému. Každému kvantovému systému je přidružen Hilbertův stavový prostor $\hilb$. V axiomatickém přístupu kvantové teorie se postuluje, že Hilbertův prostor systému složeného ze systémů $A$ a $B$ je roven tenzorovému součinu $\hilb = \hilb_A \tens \hilb_B$ Hilbertova prostoru $\hilb_A$ systému $A$ a Hilbertova prostoru $\hilb_B$ systému $B$. Množina všech omezených operátorů na prostoru složeného systému je přitom rovna $\bound{\hilb} = \bound{\hilb_A \tens \hilb_B} = \bound{\hilb_A} \tens \bound{\hilb_B}$. Víme tedy, jak ze dvou systémů udělat systém jeden, jakým postupem ale postupovat v opačném směru? Mějme operátor hustoty $\rho$ popisující společný stav podsystémů $A$ a $B$. Jak vypadá stav podsystému $A$ samotného?<br />
<br />
Kdybychom jako $\rho_A$ označili stav samotného podsystému $A$, platila by pro libovolnou pozorovatelnou $M_A$ působící pouze na podsystému $A$ samozřejmá rovnost $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho_A \, M_A)$. Neboť pozorovatelná $M_A$ nijak neovlivňuje podsystém $B$, měla by platit i rovnost vztažená k celému systému $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho M)$, kde $\rho$ je stav celého systému a $M$ je pozorovatelná $M_A$ chápaná jako operátor na celém systému. Dohromady tedy $\tr(\rho M) = \tr(\rho_A M_A)$. Pokud je celkový stav faktorizovaného tvaru $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, je zřejmě $M = M_A \tens \ident$. Rovnost středních hodnot je pak splněna, neboť $\tr(\rho M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B)(M_A \tens \ident)) = \tr(\rho_A M_A) \tr(\rho_B) = \tr(\rho_A M_A)$. Existuje i jiný tvar vyjma $M = M_A \tens \ident$? Pro všechny $\rho_A$ a $\rho_B$ musí být splněno $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M_A \tens \ident))$, to znamená $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M - M_A \tens \ident)) = 0$. Žádný jiný tvar operátoru $M$ již tedy neexistuje. Pro faktorizovaný stav systému $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, kde $M_A$ je pozorovatelná na podsystému $A$, je odpovídající pozorovatelná $M$ působící na celém systému tvaru $M = M_A \tens \ident$. Neboť je množina faktorizovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy $\rho$.<br />
<br />
Musí tedy platit $\tr(\rho_A \, M_A) = \tr(\rho (M_A \tens \ident))$. Rozepíšeme-li si stopu explicitně v ortonormální bázi $\basisPlain{\ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}}}{i j}$, dostáváme $\tr(\rho (M_A \tens \ident)) = \sum_{i j} \bra{i^{(A)}} \bra{j^{(B)}} (\rho (M_A \tens \ident)) \ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}} = \sum_{i} \bra{i^{(A)}} (\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}) M_A \ket{i^{(A)}}$. Když si označíme $\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, je poslední výraz roven $\sum_{i} \bra{i^{(A)}} \rho_A M_A \ket{i^{(A)}} = \tr(\rho_A M_A)$, kde nyní jde stopa již jen přes podsystém $A$.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Vzorec $\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, kterým jsme v předchozím odstavci zavedli operátor $\rho_A$, nazýváme \textbf{částečná stopa} operátoru $\rho$ přes podsystém $B$ (angl. \emph{partial trace over subsystem B}) a značíme $\trPar{B}(\rho)$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}} = \trPar{B}(\rho).<br />
\end{equation}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Dobrá, máme zavedený operátor $\rho_A$, který splňuje požadovanou rovnost středních hodnot, jaký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému $A$? Ukážeme, že je tento operátor určen jednoznačně. K danému podsystému tedy existuje právě jeden operátor schopný konzistentně popisovat střední hodnoty libovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor nechť existuje nějaký jiný operátor $\tilde{\rho}_A$, pro nějž $\tr(M_A \tilde{\rho}_A) = \tr(M \rho)$. Tento operátor lze rozložit do báze prostoru $\bound{\hilb_A}$ tvořené hermitovskými operátory $\basisPlain{B_i}{i}$. Dostáváme tak rozvoj do Fourierových koeficientů způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\tilde{\rho}_A = \sum_i B_i (B_i, \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr(B_i \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr((B_i \tens \ident) \rho) = \sum_i B_i \tr(B_i \rho_A) = \rho_A,<br />
\end{equation}<br />
což je spor. Operátor $\rho_A$ je tedy určen jednoznačně a můžeme ho interpretovat jako stav podsystému $A$. Poznamenejme ještě důležitou věc, že informace obsažená ve stavech jednotlivých podsystémů \emph{není} schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mezi oběma podsystémy existují korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popisu systému vypadnou.<br />
<br />
\subsection{Schmidtův rozklad}<br />
\label{sec:Schmidtuv_rozklad}<br />
<br />
Při práci se stavy i při důkazech nejrůznějších tvrzení je velmi užitečné následující tvrzení, díky kterému lze každý čistý stav vyjádřit v jistém pěkném tvaru. Tomuto vyjádření se říká \textbf{Schmidtův rozklad} (angl. \emph{Schmidt decomposition}).<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Schmidtův rozklad.} Nechť $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ je čistý stav. Pak existuje ortonormální báze $\basisPlain{\ket{e_j^{(A)}}}{j}$ prostoru $\hilb_A$ a ortonormální báze $\basisPlain{\ket{f_j^{(B)}}}{j}$ prostoru $\hilb_B$ takové, že<br />
\begin{equation}<br />
\ketpsi = \sum_{j=1}^d \alpha_j \ket{e_j^{(A)}} \tens \ket{f_j^{(B)}},<br />
\label{eq:Schmidt_rozklad}<br />
\end{equation}<br />
kde $d = \min\{\dim \hilb_A, \dim \hilb_B\}$. Koeficienty $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ lze navíc vždy volit jako nezáporná čísla splňující rovnost $\|\vec{\alpha}\| = \|\ketpsi\|$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Uvažujme stav podsystému $A$, $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Tento lze jistě rozložit do ortonormální báze vlastních vektorů, $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$. Vlastní čísla operátoru $\rho_A$ lze psát ve tvaru kvadrátu, neboť jsou díky pozitivitě operátoru nezáporná. Dále určitě můžeme vyjádřit vektor $\ketpsi$ ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{\varphi_i^{(B)}}$, kde $\ket{\varphi_i^{(B)}}% = \sum_j \beta_{ij} \ket{f_j^{(B)}}<br />
$ jsou nějaké vhodné vektory z prostoru $\hilb_B$. Pak platí $\rho_A = \trPar{B} (\ketbrapsi) = \trPar{B}(\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tens \ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}}) = \sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tr(\ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}})$. Využijeme-li vztahu $\tr(\ketbra{a}{b}) = \braket{b}{a}$, redukuje se poslední výraz na $\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}}$. Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyjádřením operátoru $\rho_A$ uvedeným výše, abychom shrnuli $\braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}} = \alpha_i^2 \delta_{ij}$. Vektory $\{\ket{\varphi_i^{(B)}}\}_i$ jsou tedy navzájem kolmé a po vhodném přeškálování z nich můžeme vytvořit ortonormální bázi $\ket{f_i^{(B)}} \coloneqq \frac{1}{\alpha_i} \ket{\varphi_i^{(B)}}$. Vektor $\ketpsi$ lze tak psát ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{f_i^{(B)}}$, což bylo dokázati.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Koeficientům $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovy koeficienty}. Počet nenulových Schmidtových koeficientů ve Schmidtově rozkladu se nazývá \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
%Číslu $d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
či \textbf{Schmidtova hodnost} (angl. \emph{Schmidt number} či \emph{Schmidt rank}). Schmidtovu hodnost stavu $\rho$ budeme označovat symbolem $\rank \rho$. <br />
\end{definice}<br />
<br />
Největším rozdílem mezi obecným rozkladem operátoru a jeho Schmidtovým rozkladem je v tom, že ve druhém jmenovaném sčítáme jen přes jeden index, ke každému bazickému vektoru prostoru $\hilb_A$ přísluší právě jeden bazický vektor prostoru $\hilb_B$. Ze Schmidtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-li si vektor $\ketpsi$ ve vyjádření \eqref{eq:Schmidt_rozklad}, jeho redukované stavy jsou tvarů $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$ a $\rho_B = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{f_i^{(B)}}$. Operátory hustoty obou podsystémů mají tedy \emph{stejné spektrum}! V souvislosti se Schmidtovým rozkladem je užitečné uvést následující proceduru.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Uvažujme nějaký systém $A$ s operátorem hustoty $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i} \in \hilb_A$, který není obecně čistý. Potom ke studovanému systému $A$ lze uměle přidat pomocný systém $B$ o Hilbertově prostoru $\hilb_B$ tak, že existuje čistý stav $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ splňující $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Jinými slovy, ke každému operátoru hustoty $\rho_A$ z prostoru $\hilb_A$ lze najít čistý stav $\ketpsi$ v prostoru $\hilb_A \tens \hilb_B$ tak, že $\rho_A$ lze interpretovat jako stav podsystému $A$, kdy se přitom celý systém $A + B$ nachází v čistém stavu $\ketpsi$. Prostoru $\hilb_B$ se v angličtině říká \emph{ancilla} a jeho dimenzi lze položit rovnou Schmidtově číslu operátoru $\rho_A$, tj. $\dim \hilb_B = \rank \rho_A$. Využívajíce postupu při důkazu předchozí věty lze zjevně položit $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \ket{f_i}$, kde $\{\ket{f_i}\}_i$ je nějaká ortonormální báze prostoru $\hilb_B$.<br />
<br />
Právě popsané matematické hříčce vhodně přidávající pomocný systém k původní úloze se říká \textbf{purifikace} či \textbf{vyčišťování} (angl. \emph{purification}). Pro znalé připomínáme, že právě uvedená purifikace (stavů) nemá nic společného s \emph{purifikací provázání}.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
\emph{\uv{Monogamie stavů}: Čisté stavy nemohou být korelovány s jiným systémem.} Mějme složený systém $A + B$ ve stavu $\rho \in \states{\hilb_A \tens \hilb_B}$, přičemž stav podsystému $A$ nechť je čistý, $\trPar{B}(\rho) = \rho_A = \ketbrapsi$ pro jisté $\ketpsi \in \hilb_A$. Pak stav tohoto podsystému nevykazuje žádné korelace se stavem systému $B$. Důvod je následující. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém $C$ a najít vektor $\ket{\omega} \in \hilb_A \tens \hilb_B \tens \hilb_C$ tak, že $\trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \rho$. Tento vektor je tedy purifikací stavu $\rho$, současně je ale i purifikací stavu $\ketpsi$. To lze jen tak, že $\ket{\omega} = \ketpsi \tens \ket{\varphi_{BC}}$ pro jisté $\ket{\varphi_{BC}} \in \hilb_B \tens \hilb_C$. Celkem tedy $\rho = \trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \ketbrapsi \tens \trPar{C}(\ketbraSame{\varphi_{BC}})$. Vidíme tedy explicitně, že stav složeného systému $A + B$ je ve faktorizovaném tvaru, jenž nepřipouští žádné korelace mezi oběma podsystémy.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace stavů podle korelací}<br />
\label{sec:Klasifikace_stavu_podle_korelaci}<br />
<br />
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$ a množinu stavů definovaných na jejich tenzorovém součinu, $\states{\hilb_1 \tens \hilb_2}$. Tuto množinu lze rozdělit na podmnožiny tvořené vždy stavy, jejichž tvar je podobný co do jejich přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čisté a smíšené stavy jsme již nastínili v předchozích sekcích, následující seznam uvádí další podpřípady.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Smíšené stavy} -- Odpovídající operátor hustoty není projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Faktorizované stavy} -- Stav $\rho$ je faktorizovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součinu $\rho = \rho_1 \tens \rho_2$, kde $\rho_i \in \states{\hilb_i}$. Tyto stavy zřejmě tvoří podmnožinu separabilních stavů.<br />
\item \textbf{Separabilní stavy} -- Stav $\rho$ je separabilní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorizovaných stavů $\rho = \sum_i \alpha_i \rho_1^{(i)} \tens \rho_2^{(i)}$, kde $\rho_1^{(i)} \in \states{\hilb_1}$, $\rho_2^{(i)} \in \states{\hilb_2}$ a $\{\alpha_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení, tj. $\alpha_i > 0$ a $\sum_i \alpha_i = 1$. Takovýmto stavům se také říká \emph{statistické směsi} či \emph{klasicky korelované stavy}. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totiž popsat čistě klasicky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodina stavů zásadně liší od té následující tvořené provázanými stavy. Obecný tvar separabilního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto libovolný operátor lze rozložit do tvaru $A = \sum_i \alpha_i E_i \tens F_i$, kde $\basisPlain{E_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_1}$ a podobně $\basisPlain{F_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_2}$. Nejdůležitější rozdíl tohoto obecného případu od případu separabilních stavů je v tom, že nyní operátory $E_i$ a $F_i$ samotné musejí být operátory hustoty.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Všechny stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané. Tyto stavy vykazují čistě kvantové korelace, které lze využít při kvantovém počítání. Kvantové korelace se silně využívají například v případě kvantové teleportace.<br />
\end{itemize}<br />
\item \textbf{Čisté stavy} -- Odpovídající operátor hustoty je projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Neprovázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru $\ketpsi = \ket{\psi_1} \tens \ket{\psi_2}$. Vidíme, že se jedná o analogii faktorizovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyjádřili analogicky případu separabilních smíšených stavů, již nebude čistý. Zbývají nám tak již pouze provázané stavy.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně je tedy tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$, viz \eqref{eq:Schmidt_rozklad}. Stav $\ketpsi$ je přitom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koeficienty $\alpha_i$, tj. $\rank \ketpsi \geq 2$. Z množiny provázaných stavů se vydělují \textbf{maximálně provázané stavy} $\ketME$. Jedná se o stavy, pro něž jsou stavy podsystémů \emph{maximálně smíšené}. Jinými slovy, čistý stav $\ketME$ je maximálně provázaný právě tehdy, když $\rho_1 \equiv \trPar{2}(\ketbraME) = \frac{1}{d_1} \ident_1$ a $\rho_2 \equiv \trPar{1}(\ketbraME) = \frac{1}{d_2} \ident_2$. Ze Schmidtova rozkladu plyne $d_1 = d_2 = d$, maximálně provázaný stav je tedy tvaru $\ketME = \sum_i \frac{1}{\sqrt{d}} \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola4&diff=789702OKS:Kapitola42017-09-14T09:46:10Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Operátor hustoty}<br />
\label{sec:Operator_hustoty}<br />
<br />
Popisujeme-li vývoj \emph{uzavřeného} kvantového systému, vystačíme si většinou s pojmem \emph{čistého stavu}. Jedná se o vektor v Hilbertově prostoru $\hilb$, který je danému kvantovému systému přidružen. Na daném Hilbertově prostoru je definován skalární součin, my si tento budeme značit v souhlase s Diracovou notací jako $\braket{\cdot}{\cdot}$. Spolu s vektory Hilbertova prostoru uvažujeme i zobrazení, která na těchto vektorech působí. Neboť se omezujeme pouze na konečněrozměrné Hilbertovy prostory, jsou všechny operátory definované na daném Hilbertově prostoru h omezené, a tedy $\bound{\hilb}$ představuje množinu všech operátorů. Omezené operátory samotné tvoří další Hilbertův prostor, zavedeme-li na něm \emph{Hilbert-Schmidtův skalární součin} následujícím způsobem. Mějme dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$, pak jejich skalární součin je definován vztahem<br />
\begin{equation}<br />
(A,B) \equiv \tr(\adj{A} B),<br />
\end{equation}<br />
kde $\adj{A}$ je operátor hermitovsky sdružený k operátoru $A$ a $\tr(cdot)$ značí stopu operátoru, viz sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. V~prostoru operátorů můžeme dále vydělit množinu všech \emph{pozorovatelných} $\{A \in \bound{\hilb}| \adj{A} = A\}$ \emph{na prostoru} $\hilb$ tvořenou hermitovskými operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s~čistými stavy, vektory. Operátory představující vývoj systému či měření vzaly vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou $A$, dostali jsme jejím změřením na daném čistém stavu $\ketpsi$ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru $A$ a které jsme interpretovali jako výsledek měření. Pokud přitom nebyl vektor $\ketpsi$ vlastním vektorem pro $A$, obdrželi jsme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu.<br />
<br />
Důležité bylo si uvědomit, že vše, co o daném stavu kvantového systému jsme schopni zjistit, jsou průměrné hodnoty nejrůznějších veličin. Výsledek jediného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlišujme nyní na chvíli důsledně dva pojmy, stav systému $\psi$ a jemu příslušný vektor $\ketpsi$. Stavem systému máme na mysli soubor všech jeho vlastností. Pro popis stavu kvantového systému tak je nezbytné uvést střední hodnoty $\average{A}{\psi}$ všech pozorovatelných $A$ na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla situace jednodušší v tom, že místo vypisování všech těchto středních hodnot jsme měli prostředek, jak je snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor $\ketpsi$, z něhož jsme odpovídající střední hodnotu pozorovatelné $A$ obdrželi vypočtením výrazu $\brapsi A \ketpsi$, který jsme prohlásili za střední hodnotu $\average{A}{\psi}$. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazvali jsme ho čistým stavem.<br />
<br />
Použijme analogický postup v širším kontextu. Opusťme zažitou představu čistých stavů a definujme si stav jako zobrazení, které každé pozorovatelné přiřazuje reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou $A$ a vrátí odpovídající střední hodnotu $\average{A}{}$. Korektní definice zní následovně.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
\textbf{Stavem systému} nazveme lineární funkcionál $S: \bound{\hilb} \to \R$ splňující dodatečné podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Normalizace: $S(\ident) = 1$. (To jest, na identitu vrátí jedničku.)<br />
\item Pozitivita: $S(\adj{A} A) \geq 0$, $\forall A \in \bound{\hilb}$. (To jest, na každý pozitivní operátor vrátí nezá\-porné číslo.)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Rieszova věta říká, že pro každý lineární funkcionál $S$ najdeme operátor $\rho \in \bound{\hilb}$ tak, že $S(A) = (\rho, A) = \tr(\adj{\rho} A)$ pro každý $A \in \bound{\hilb}$. O tomto operátoru si ukážeme, že je hermitovský a má jednotkovou stopu. Pro důkaz $\rho=\adj{\rho}$ ukážeme, že $(\rho,A)=(\adj{\rho},A)$ pro každý operátor $A \in \bound{\hilb}$. Rovnost však stačí ukázat pro $A$ hermitovkské, jelikož skalární součin je bilineární a každý operátor $A \in \bound{\hilb}$ je možné napsat jako součet dvou hermitovských operátorů $A=A_1+iA_2 = (A+\adj{A})/2+i\left(i(A-\adj{A})/2 \right)$. Nyní využijeme toho, že $S(\cdot)$ je reálné číslo, a tedy $S(\cdot) = \cc{S(\cdot)}$. Pak dostáváme $(\rho,A) = \tr(\adj{\rho}A) = S(A)=\cc{S(A)} = \cc{\tr(\adj{\rho}A)}=\tr(\rho^T \cc{A}) = \tr((\rho^T \cc{A})^T) = \tr(\adj{A} \rho) = \tr(\rho \adj{A}) = \tr(\rho A) = (\adj{\rho},A)$. Z normalizační podmínky navíc vyplývá $1 = S(\ident) = \tr(\adj{\rho} \ident) = \tr(\rho)$. Druhá definiční vlastnost nám přitom zajišťuje $0 \leq S(C) = \tr(\rho C)$ pro všechny pozitivní operátory $C$. Pokud zvolíme $C = \ketbraSame{\psi}$, tak $\tr(\rho C) = \tr(\rho \ketbrapsi) = \brapsi \rho \ketpsi \geq 0$ pro všechny $\ketpsi \in \hilb$. Operátor $\rho$ je tedy dokonce pozitivní.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Operátor z úvah výše se nazývá \textbf{operátor hustoty}, popř. \textbf{matice hustoty}. Neboť pozitivita již vynucuje hermitovost, tak lze operátor hustoty charakterizovat jako \emph{pozitivní operátor s jednotkovou stopou}, tj. $\rho \geq 0$ a $\tr(\rho) = 1$.<br />
\end{definice}<br />
<br />
Z definičních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyjádřit ve tvaru $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ a $\basisPlain{\psi_i}{i}$ je ortonormální báze tvořená jeho vlastními vektory. Vidíme, že ač jsme si stav definovali jako jistý lineární funkcionál, veškerou práci se stavem daného systému lze redukovat na počítání s jemu odpovídající maticí hustoty. V následujícím budeme pojmy \emph{operátor hustoty} a \emph{stav} volně zaměňovat.<br />
<br />
Množinu všech stavů na daném Hilbertově prostoru $\hilb$ označíme $\states{\hilb}$. Jedná se o konvexní množinu, neboť konvexní kombinace operátorů hustoty je opět operátor hustoty. Extremálními body této množiny jsou přitom \emph{čisté stavy}, tj. stavy, jejichž operátor hustoty je projektor $\rho = \ketbrapsi$ pro nějaké $\ketpsi \in \hilb$. Máme-li zadán operátor hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje čistý stav? Nutnou a postačující podmínku uvádí následující tvrzení.<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Operátor hustoty $\rho \in \states{\hilb}$ popisuje čistý stav právě tehdy, když $\tr(\rho^2) = 1$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Pro důkaz implikace zleva si stačí uvědomit, že když je operátor hustoty $\rho$ čistý stav, tak existuje vektor $\ketpsi \in \hilb$ takový, že $\rho = \ketbrapsi$ je projektor. Platí tedy $\rho^2 = \rho$ a z normalizace operátoru hustoty ihned $\tr(\rho^2) = \tr(\rho) = 1$. Pro důkaz opačné implikace uvažujme obecný tvar operátoru hustoty, $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\basisPlain{\ket{\psi_i}}{i}$ je ortonormální báze a $\{\lambda_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchými výpočty zjistíme, že $\rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{\psi_i}$, jehož stopa zní $\tr(\rho^2) = \sum_i \lambda_i^2$. Neboť je $\lambda_i \geq 0$ a $\sum_i \lambda_i = 1$, z podmínky $\tr(\rho^2) = 1$ už rovnou plyne, že právě jedno vlastní číslo $\lambda_{i_0}$ je jednička a ostatní jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala $\lambda_i < 1$, což implikuje $\lambda_i^2 < \lambda_i$. Máme tedy $1 = \sum_i \lambda_i > \sum_i \lambda_i^2$, což je spor s předpoklady dokazované implikace. Celkem tak máme $\rho = \lambda_{i_0} \ketbraSame{\psi_{i_0}} = \ketbraSame{\psi_{i_0}}$ a $\rho$ je tak čistý stav.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru lze operátory hustoty vyjádřit pomocí Pauliho matic. \textbf{Pauliho matice} jsou tři $2 \times 2$ matice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\paulix = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliy = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & -\ii \\<br />
\ii & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliz = <br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 \\<br />
0 & -1 <br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
Operátory hustoty jsou pak tvaru $\rho = \frac{1}{2}(\ident + \tau_1 \paulix + \tau_2 \pauliy + \tau_3 \pauliz)$, kde $\vec{\tau} = (\tau_1, \tau_2,\tau_3) \in \R^3$ je vektor, jehož velikost je $\|\vec{\tau}\| \leq 1$, jinak by $\rho$ nebyl pozitivní operátor. Pro $\|\vec{\tau}\| = 1$ popisuje $\rho$ čistý stav.<br />
<br />
\subsection[Evoluce operátoru hustoty]{Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému}<br />
\label{sec:Evoluce_operatoru_hustoty_v_uzavrenem_systemu}<br />
<br />
Výše jsme uvedli, že se budeme zabývat otevřenými systémy. Udělejme na chvíli krok zpět a koukněme se, jak se operátor hustoty $\rho$ chová v případě uzavřeného systému. Uvažujme $\rho(t) = \sum_i \lambda_i(t) \ketbraSame{\psi_i(t)}$ coby funkci času, kde jednotlivé bazické vektory $\ket{\psi_i(t)}$ podléhají Schrödingerově rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\ii \der{\ket{\psi_i(t)}} = \ham \ket{\psi_i(t)},<br />
\end{equation}<br />
Zderivujeme-li operátor hustoty $\rho(t)$ podle času a dosadíme-li za vzniklé výrazy ze Schrödingerovy rovnice, dospíváme k rovnici tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\der{\rho(t)} = -\ii \com{\ham}{\rho(t)} \equiv \liou(\rho(t)),<br />
\label{eq:Liouvill_rce}<br />
\end{equation}<br />
kde jsme si definovali zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, jež se nazývá \textbf{Liouvilleův operátor}. Jedná se o antihermitovský lineární superoperátor zachovávající stopu (viz později). Právě uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluční rovnicí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývoj otevřených systémů.<br />
<br />
Časový vývoj operátoru hustoty lze explicitně v případě uzavřeného systému vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t),<br />
\end{equation}<br />
kde $U(t)$ je jednoparametrický systém jistých unitárních operátorů. Stále platí, že časovým vývojem přejde čistý stav opět na čistý stav. U otevřených systémů už vývoj stavu nepůjde popsat pomocí unitárního operátoru tímto způsobem.<br />
<br />
\subsection{Popis složeného systému}<br />
\label{sec:Popis_slozeneho_systemu}<br />
<br />
Velmi důležitým konceptem v kvantové teorii je pojem složeného systému. Každému kvantovému systému je přidružen Hilbertův stavový prostor $\hilb$. V axiomatickém přístupu kvantové teorie se postuluje, že Hilbertův prostor systému složeného ze systémů $A$ a $B$ je roven tenzorovému součinu $\hilb = \hilb_A \tens \hilb_B$ Hilbertova prostoru $\hilb_A$ systému $A$ a Hilbertova prostoru $\hilb_B$ systému $B$. Množina všech omezených operátorů na prostoru složeného systému je přitom rovna $\bound{\hilb} = \bound{\hilb_A \tens \hilb_B} = \bound{\hilb_A} \tens \bound{\hilb_B}$. Víme tedy, jak ze dvou systémů udělat systém jeden, jakým postupem ale postupovat v opačném směru? Mějme operátor hustoty $\rho$ popisující společný stav podsystémů $A$ a $B$. Jak vypadá stav podsystému $A$ samotného?<br />
<br />
Kdybychom jako $\rho_A$ označili stav samotného podsystému $A$, platila by pro libovolnou pozorovatelnou $M_A$ působící pouze na podsystému $A$ samozřejmá rovnost $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho_A \, M_A)$. Neboť pozorovatelná $M_A$ nijak neovlivňuje podsystém $B$, měla by platit i rovnost vztažená k celému systému $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho M)$, kde $\rho$ je stav celého systému a $M$ je pozorovatelná $M_A$ chápaná jako operátor na celém systému. Dohromady tedy $\tr(\rho M) = \tr(\rho_A M_A)$. Pokud je celkový stav faktorizovaného tvaru $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, je zřejmě $M = M_A \tens \ident$. Rovnost středních hodnot je pak splněna, neboť $\tr(\rho M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B)(M_A \tens \ident)) = \tr(\rho_A M_A) \tr(\rho_B) = \tr(\rho_A M_A)$. Existuje i jiný tvar vyjma $M = M_A \tens \ident$? Pro všechny $\rho_A$ a $\rho_B$ musí být splněno $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M_A \tens \ident))$, to znamená $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M - M_A \tens \ident)) = 0$. Žádný jiný tvar operátoru $M$ již tedy neexistuje. Pro faktorizovaný stav systému $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, kde $M_A$ je pozorovatelná na podsystému $A$, je odpovídající pozorovatelná $M$ působící na celém systému tvaru $M = M_A \tens \ident$. Neboť je množina faktorizovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy $\rho$.<br />
<br />
Musí tedy platit $\tr(\rho_A \, M_A) = \tr(\rho (M_A \tens \ident))$. Rozepíšeme-li si stopu explicitně v ortonormální bázi $\basisPlain{\ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}}}{i j}$, dostáváme $\tr(\rho (M_A \tens \ident)) = \sum_{i j} \bra{i^{(A)}} \bra{j^{(B)}} (\rho (M_A \tens \ident)) \ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}} = \sum_{i} \bra{i^{(A)}} (\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}) M_A \ket{i^{(A)}}$. Když si označíme $\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, je poslední výraz roven $\sum_{i} \bra{i^{(A)}} \rho_A M_A \ket{i^{(A)}} = \tr(\rho_A M_A)$, kde nyní jde stopa již jen přes podsystém $A$.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Vzorec $\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, kterým jsme v předchozím odstavci zavedli operátor $\rho_A$, nazýváme \textbf{částečná stopa} operátoru $\rho$ přes podsystém $B$ (angl. \emph{partial trace over subsystem B}) a značíme $\trPar{B}(\rho)$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}} = \trPar{B}(\rho).<br />
\end{equation}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Dobrá, máme zavedený operátor $\rho_A$, který splňuje požadovanou rovnost středních hodnot, jaký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému $A$? Ukážeme, že je tento operátor určen jednoznačně. K danému podsystému tedy existuje právě jeden operátor schopný konzistentně popisovat střední hodnoty libovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor nechť existuje nějaký jiný operátor $\tilde{\rho}_A$, pro nějž $\tr(M_A \tilde{\rho}_A) = \tr(M \rho)$. Tento operátor lze rozložit do báze prostoru $\bound{\hilb_A}$ tvořené hermitovskými operátory $\basisPlain{B_i}{i}$. Dostáváme tak rozvoj do Fourierových koeficientů způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\tilde{\rho}_A = \sum_i B_i (B_i, \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr(B_i \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr((B_i \tens \ident) \rho) = \sum_i B_i \tr(B_i \rho_A) = \rho_A,<br />
\end{equation}<br />
což je spor. Operátor $\rho_A$ je tedy určen jednoznačně a můžeme ho interpretovat jako stav podsystému $A$. Poznamenejme ještě důležitou věc, že informace obsažená ve stavech jednotlivých podsystémů \emph{není} schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mezi oběma podsystémy existují korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popisu systému vypadnou.<br />
<br />
\subsection{Schmidtův rozklad}<br />
\label{sec:Schmidtuv_rozklad}<br />
<br />
Při práci se stavy i při důkazech nejrůznějších tvrzení je velmi užitečné následující tvrzení, díky kterému lze každý čistý stav vyjádřit v jistém pěkném tvaru. Tomuto vyjádření se říká \textbf{Schmidtův rozklad} (angl. \emph{Schmidt decomposition}).<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Schmidtův rozklad.} Nechť $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ je čistý stav. Pak existuje ortonormální báze $\basisPlain{\ket{e_j^{(A)}}}{j}$ prostoru $\hilb_A$ a ortonormální báze $\basisPlain{\ket{f_j^{(B)}}}{j}$ prostoru $\hilb_B$ takové, že<br />
\begin{equation}<br />
\ketpsi = \sum_{j=1}^d \alpha_j \ket{e_j^{(A)}} \tens \ket{f_j^{(B)}},<br />
\label{eq:Schmidt_rozklad}<br />
\end{equation}<br />
kde $d = \min\{\dim \hilb_A, \dim \hilb_B\}$. Koeficienty $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ lze navíc vždy volit jako nezáporná čísla splňující rovnost $\|\vec{\alpha}\| = \|\ketpsi\|$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Uvažujme stav podsystému $A$, $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Tento lze jistě rozložit do ortonormální báze vlastních vektorů, $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$. Vlastní čísla operátoru $\rho_A$ lze psát ve tvaru kvadrátu, neboť jsou díky pozitivitě operátoru nezáporná. Dále určitě můžeme vyjádřit vektor $\ketpsi$ ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{\varphi_i^{(B)}}$, kde $\ket{\varphi_i^{(B)}}% = \sum_j \beta_{ij} \ket{f_j^{(B)}}<br />
$ jsou nějaké vhodné vektory z prostoru $\hilb_B$. Pak platí $\rho_A = \trPar{B} (\ketbrapsi) = \trPar{B}(\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tens \ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}}) = \sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tr(\ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}})$. Využijeme-li vztahu $\tr(\ketbra{a}{b}) = \braket{b}{a}$, redukuje se poslední výraz na $\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}}$. Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyjádřením operátoru $\rho_A$ uvedeným výše, abychom shrnuli $\braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}} = \alpha_i^2 \delta_{ij}$. Vektory $\{\ket{\varphi_i^{(B)}}\}_i$ jsou tedy navzájem kolmé a po vhodném přeškálování z nich můžeme vytvořit ortonormální bázi $\ket{f_i^{(B)}} \coloneqq \frac{1}{\alpha_i} \ket{\varphi_i^{(B)}}$. Vektor $\ketpsi$ lze tak psát ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{f_i^{(B)}}$, což bylo dokázati.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Koeficientům $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovy koeficienty}. Počet nenulových Schmidtových koeficientů ve Schmidtově rozkladu se nazývá \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
%Číslu $d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
či \textbf{Schmidtova hodnost} (angl. \emph{Schmidt number} či \emph{Schmidt rank}). Schmidtovu hodnost stavu $\rho$ budeme označovat symbolem $\rank \rho$. <br />
\end{definice}<br />
<br />
Největším rozdílem mezi obecným rozkladem operátoru a jeho Schmidtovým rozkladem je v tom, že ve druhém jmenovaném sčítáme jen přes jeden index, ke každému bazickému vektoru prostoru $\hilb_A$ přísluší právě jeden bazický vektor prostoru $\hilb_B$. Ze Schmidtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-li si vektor $\ketpsi$ ve vyjádření \eqref{eq:Schmidt_rozklad}, jeho redukované stavy jsou tvarů $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$ a $\rho_B = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{f_i^{(B)}}$. Operátory hustoty obou podsystémů mají tedy \emph{stejné spektrum}! V souvislosti se Schmidtovým rozkladem je užitečné uvést následující proceduru.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Uvažujme nějaký systém $A$ s operátorem hustoty $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i} \in \hilb_A$, který není obecně čistý. Potom ke studovanému systému $A$ lze uměle přidat pomocný systém $B$ o Hilbertově prostoru $\hilb_B$ tak, že existuje čistý stav $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ splňující $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Jinými slovy, ke každému operátoru hustoty $\rho_A$ z prostoru $\hilb_A$ lze najít čistý stav $\ketpsi$ v prostoru $\hilb_A \tens \hilb_B$ tak, že $\rho_A$ lze interpretovat jako stav podsystému $A$, kdy se přitom celý systém $A + B$ nachází v čistém stavu $\ketpsi$. Prostoru $\hilb_B$ se v angličtině říká \emph{ancilla} a jeho dimenzi lze položit rovnou Schmidtově číslu operátoru $\rho_A$, tj. $\dim \hilb_B = \rank \rho_A$. Využívajíce postupu při důkazu předchozí věty lze zjevně položit $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \ket{f_i}$, kde $\{\ket{f_i}\}_i$ je nějaká ortonormální báze prostoru $\hilb_B$.<br />
<br />
Právě popsané matematické hříčce vhodně přidávající pomocný systém k původní úloze se říká \textbf{purifikace} či \textbf{vyčišťování} (angl. \emph{purification}). Pro znalé připomínáme, že právě uvedená purifikace (stavů) nemá nic společného s \emph{purifikací provázání}.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
\emph{\uv{Monogamie stavů}: Čisté stavy nemohou být korelovány s jiným systémem.} Mějme složený systém $A + B$ ve stavu $\rho \in \states{\hilb_A \tens \hilb_B}$, přičemž stav podsystému $A$ nechť je čistý, $\trPar{B}(\rho) = \rho_A = \ketbrapsi$ pro jisté $\ketpsi \in \hilb_A$. Pak stav tohoto podsystému nevykazuje žádné korelace se stavem systému $B$. Důvod je následující. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém $C$ a najít vektor $\ket{\omega} \in \hilb_A \tens \hilb_B \tens \hilb_C$ tak, že $\trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \rho$. Tento vektor je tedy purifikací stavu $\rho$, současně je ale i purifikací stavu $\ketpsi$. To lze jen tak, že $\ket{\omega} = \ketpsi \tens \ket{\varphi_{BC}}$ pro jisté $\ket{\varphi_{BC}} \in \hilb_B \tens \hilb_C$. Celkem tedy $\rho = \trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \ketbrapsi \tens \trPar{C}(\ketbraSame{\varphi_{BC}})$. Vidíme tedy explicitně, že stav složeného systému $A + B$ je ve faktorizovaném tvaru, jenž nepřipouští žádné korelace mezi oběma podsystémy.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace stavů podle korelací}<br />
\label{sec:Klasifikace_stavu_podle_korelaci}<br />
<br />
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$ a množinu stavů definovaných na jejich tenzorovém součinu, $\states{\hilb_1 \tens \hilb_2}$. Tuto množinu lze rozdělit na podmnožiny tvořené vždy stavy, jejichž tvar je podobný co do jejich přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čisté a smíšené stavy jsme již nastínili v předchozích sekcích, následující seznam uvádí další podpřípady.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Smíšené stavy} -- Odpovídající operátor hustoty není projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Faktorizované stavy} -- Stav $\rho$ je faktorizovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součinu $\rho = \rho_1 \tens \rho_2$, kde $\rho_i \in \states{\hilb_i}$. Tyto stavy zřejmě tvoří podmnožinu separabilních stavů.<br />
\item \textbf{Separabilní stavy} -- Stav $\rho$ je separabilní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorizovaných stavů $\rho = \sum_i \alpha_i \rho_1^{(i)} \tens \rho_2^{(i)}$, kde $\rho_1^{(i)} \in \states{\hilb_1}$, $\rho_2^{(i)} \in \states{\hilb_2}$ a $\{\alpha_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení, tj. $\alpha_i > 0$ a $\sum_i \alpha_i = 1$. Takovýmto stavům se také říká \emph{statistické směsi} či \emph{klasicky korelované stavy}. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totiž popsat čistě klasicky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodina stavů zásadně liší od té následující tvořené provázanými stavy. Obecný tvar separabilního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto libovolný operátor lze rozložit do tvaru $A = \sum_i \alpha_i E_i \tens F_i$, kde $\basisPlain{E_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_1}$ a podobně $\basisPlain{F_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_2}$. Nejdůležitější rozdíl tohoto obecného případu od případu separabilních stavů je v tom, že nyní operátory $E_i$ a $F_i$ samotné musejí být operátory hustoty.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Všechny stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané. Tyto stavy vykazují čistě kvantové korelace, které lze využít při kvantovém počítání. Kvantové korelace se silně využívají například v případě kvantové teleportace.<br />
\end{itemize}<br />
\item \textbf{Čisté stavy} -- Odpovídající operátor hustoty je projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Neprovázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru $\ketpsi = \ket{\psi_1} \tens \ket{\psi_2}$. Vidíme, že se jedná o analogii faktorizovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyjádřili analogicky případu separabilních smíšených stavů, již nebude čistý. Zbývají nám tak již pouze provázané stavy.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně je tedy tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$, viz \eqref{eq:Schmidt_rozklad}. Stav $\ketpsi$ je přitom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koeficienty $\alpha_i$, tj. $\rank \ketpsi \geq 2$. Z množiny provázaných stavů se vydělují \textbf{maximálně provázané stavy} $\ketME$. Jedná se o stavy, pro něž jsou stavy podsystémů \emph{maximálně smíšené}. Jinými slovy, čistý stav $\ketME$ je maximálně provázaný právě tehdy, když $\rho_1 \equiv \trPar{2}(\ketbraME) = \frac{1}{d_1} \ident_1$ a $\rho_2 \equiv \trPar{1}(\ketbraME) = \frac{1}{d_2} \ident_2$. Ze Schmidtova rozkladu plyne $d_1 = d_2 = d$, maximálně provázaný stav je tedy tvaru $\ketME = \sum_i \frac{1}{\sqrt{d}} \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola4&diff=785102OKS:Kapitola42017-08-13T09:45:16Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Operátor hustoty}<br />
\label{sec:Operator_hustoty}<br />
<br />
Popisujeme-li vývoj \emph{uzavřeného} kvantového systému, vystačíme si většinou s pojmem \emph{čistého stavu}. Jedná se o vektor v Hilbertově prostoru $\hilb$, který je danému kvantovému systému přidružen. Na daném Hilbertově prostoru je definován skalární součin, my si tento budeme značit v souhlase s Diracovou notací jako $\braket{\cdot}{\cdot}$. Spolu s vektory Hilbertova prostoru můžeme, či musíme, uvažovat i zobrazení, která na těchto vektorech působí. Neboť se omezujeme pouze na konečněrozměrné Hilbertovy prostory, představují všechny operátory definované na daném Hilbertově prostoru množinu omezených operátorů $\bound{\hilb}$. Omezené operátory samotné tvoří další Hilbertův prostor, zavedeme-li na něm \emph{Hilbert-Schmidtův skalární součin} následujícím způsobem. Mějme dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$, pak jejich skalární součin je definován vztahem<br />
\begin{equation}<br />
(A,B) \equiv \tr(\adj{A} B),<br />
\end{equation}<br />
kde $\adj{C}$ je operátor hermitovsky sdružený k operátoru $C$ a $\tr(C)$ značí stopu operátoru $C$, viz sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. V~prostoru můžeme dále vydělit množinu všech \emph{pozorovatelných} $\{A \in \bound{\hilb}| \adj{A} = A\}$ na prostoru $\hilb$ tvořenou hermitovskými operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s~čistými stavy, vektory. Operátory představující vývoj systému či měření vzaly vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou $A$, dostali jsme jejím změřením na daném čistém stavu $\ketpsi$ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru $A$ a které jsme interpretovali jako výsledek měření. Pokud přitom nebyl vektor $\ketpsi$ vlastním vektorem pro $A$, obdrželi jsme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu.<br />
<br />
Důležité bylo si uvědomit, že vše, co o daném stavu kvantového systému jsme schopni zjistit, jsou průměrné hodnoty nejrůznějších veličin. Výsledek jediného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlišujme nyní na chvíli důsledně dva pojmy, stav systému $\psi$ a jemu příslušný vektor $\ketpsi$. Stavem systému máme na mysli soubor všech jeho vlastností. Pro popis stavu kvantového systému tak je nezbytné uvést střední hodnoty $\average{A}{\psi}$ všech pozorovatelných $A$ na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla situace jednodušší v tom, že místo vypisování všech těchto středních hodnot jsme měli prostředek, jak je snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor $\ketpsi$, z něhož jsme odpovídající střední hodnotu pozorovatelné $A$ obdrželi vypočtením výrazu $\brapsi A \ketpsi$, který jsme prohlásili za střední hodnotu $\average{A}{\psi}$. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazvali jsme ho čistým stavem.<br />
<br />
Použijme analogický postup v širším kontextu. Opusťme zažitou představu čistých stavů a definujme si stav jako zobrazení, které každé pozorovatelné přiřazuje reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou $A$ a vrátí odpovídající střední hodnotu $\average{A}{}$. Korektní definice zní následovně.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
\textbf{Stavem systému} nazveme lineární funkcionál $S: \bound{\hilb} \to \R$ splňující dodatečné podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Normalizace: $S(\ident) = 1$. (To jest, na identitu vrátí jedničku.)<br />
\item Pozitivita: $S(\adj{A} A) \geq 0$, $\forall A \in \bound{\hilb}$. (To jest, na každý pozitivní operátor vrátí nezá\-porné číslo.)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Rieszova věta říká, že pro každý lineární funkcionál $S$ najdeme operátor $\rho \in \bound{\hilb}$ tak, že $S(A) = (\rho, A) = \tr(\adj{\rho} A)$ pro každý $A \in \bound{\hilb}$. O tomto operátoru si ukážeme, že je hermitovský a má jednotkovou stopu. Pro důkaz $\rho=\adj{\rho}$ ukážeme, že $(\rho,A)=(\adj{\rho},A)$ pro každý operátor $A \in \bound{\hilb}$. Rovnost však stačí ukázat pro $A$ hermitovkské, jelikož skalární součin je bilineární a každý operátor $A \in \bound{\hilb}$ je možné napsat jako součet dvou hermitovských operátorů $A=A_1+iA_2 = (A+\adj{A})/2+i\left(i(A-\adj{A})/2 \right)$. Nyní využijeme toho, že $S(\cdot)$ je reálné číslo, a tedy $S(\cdot) = \cc{S(\cdot)}$. Pak dostáváme $(\rho,A) = \tr(\adj{\rho}A) = S(A)=\cc{S(A)} = \cc{\tr(\adj{\rho}A)}=\tr(\rho^T \cc{A}) = \tr((\rho^T \cc{A})^T) = \tr(\adj{A} \rho) = \tr(\rho \adj{A}) = \tr(\rho A) = (\adj{\rho},A)$. Z normalizační podmínky navíc vyplývá $1 = S(\ident) = \tr(\adj{\rho} \ident) = \tr(\rho)$. Druhá definiční vlastnost nám přitom zajišťuje $0 \leq S(C) = \tr(\rho C)$ pro všechny pozitivní operátory $C$. Pokud zvolíme $C = \ketbraSame{\psi}$, tak $\tr(\rho C) = \tr(\rho \ketbrapsi) = \brapsi \rho \ketpsi \geq 0$ pro všechny $\ketpsi \in \hilb$. Operátor $\rho$ je tedy dokonce pozitivní.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Operátor z úvah výše se nazývá \textbf{operátor hustoty}, popř. \textbf{matice hustoty}. Neboť pozitivita již vynucuje hermitovost, tak lze operátor hustoty charakterizovat jako \emph{pozitivní operátor s jednotkovou stopou}, tj. $\rho \geq 0$ a $\tr(\rho) = 1$.<br />
\end{definice}<br />
<br />
Z definičních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyjádřit ve tvaru $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ a $\basisPlain{\psi_i}{i}$ je ortonormální báze tvořená jeho vlastními vektory. Vidíme, že ač jsme si stav definovali jako jistý lineární funkcionál, veškerou práci se stavem daného systému lze redukovat na počítání s jemu odpovídající maticí hustoty. V následujícím budeme pojmy \emph{operátor hustoty} a \emph{stav} volně zaměňovat.<br />
<br />
Množinu všech stavů na daném Hilbertově prostoru $\hilb$ označíme $\states{\hilb}$. Jedná se o konvexní množinu, neboť konvexní kombinace operátorů hustoty je opět operátor hustoty. Extremálními body této množiny jsou přitom \emph{čisté stavy}, tj. stavy, jejichž operátor hustoty je projektor $\rho = \ketbrapsi$ pro nějaké $\ketpsi \in \hilb$. Máme-li zadán operátor hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje čistý stav? Nutnou a postačující podmínku uvádí následující tvrzení.<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Operátor hustoty $\rho \in \states{\hilb}$ popisuje čistý stav právě tehdy, když $\tr(\rho^2) = 1$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Pro důkaz implikace zleva si stačí uvědomit, že když je operátor hustoty $\rho$ čistý stav, tak existuje vektor $\ketpsi \in \hilb$ takový, že $\rho = \ketbrapsi$ je projektor. Platí tedy $\rho^2 = \rho$ a z normalizace operátoru hustoty ihned $\tr(\rho^2) = \tr(\rho) = 1$. Pro důkaz opačné implikace uvažujme obecný tvar operátoru hustoty, $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\basisPlain{\ket{\psi_i}}{i}$ je ortonormální báze a $\{\lambda_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchými výpočty zjistíme, že $\rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{\psi_i}$, jehož stopa zní $\tr(\rho^2) = \sum_i \lambda_i^2$. Neboť je $\lambda_i \geq 0$ a $\sum_i \lambda_i = 1$, z podmínky $\tr(\rho^2) = 1$ už rovnou plyne, že právě jedno vlastní číslo $\lambda_{i_0}$ je jednička a ostatní jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala $\lambda_i < 1$, což implikuje $\lambda_i^2 < \lambda_i$. Máme tedy $1 = \sum_i \lambda_i > \sum_i \lambda_i^2$, což je spor s předpoklady dokazované implikace. Celkem tak máme $\rho = \lambda_{i_0} \ketbraSame{\psi_{i_0}} = \ketbraSame{\psi_{i_0}}$ a $\rho$ je tak čistý stav.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru lze operátory hustoty vyjádřit pomocí Pauliho matic. \textbf{Pauliho matice} jsou tři $2 \times 2$ matice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\paulix = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliy = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & -\ii \\<br />
\ii & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliz = <br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 \\<br />
0 & -1 <br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
Operátory hustoty jsou pak tvaru $\rho = \frac{1}{2}(\ident + \tau_1 \paulix + \tau_2 \pauliy + \tau_3 \pauliz)$, kde $\vec{\tau} = (\tau_1, \tau_2,\tau_3) \in \R^3$ je vektor, jehož velikost je $\|\vec{\tau}\| \leq 1$, jinak by $\rho$ nebyl pozitivní operátor. Pro $\|\vec{\tau}\| = 1$ popisuje $\rho$ čistý stav.<br />
<br />
\subsection[Evoluce operátoru hustoty]{Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému}<br />
\label{sec:Evoluce_operatoru_hustoty_v_uzavrenem_systemu}<br />
<br />
Výše jsme uvedli, že se budeme zabývat otevřenými systémy. Udělejme na chvíli krok zpět a koukněme se, jak se operátor hustoty $\rho$ chová v případě uzavřeného systému. Uvažujme $\rho(t) = \sum_i \lambda_i(t) \ketbraSame{\psi_i(t)}$ coby funkci času, kde jednotlivé bazické vektory $\ket{\psi_i(t)}$ podléhají Schrödingerově rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\ii \der{\ket{\psi_i(t)}} = \ham \ket{\psi_i(t)},<br />
\end{equation}<br />
Zderivujeme-li operátor hustoty $\rho(t)$ podle času a dosadíme-li za vzniklé výrazy ze Schrödingerovy rovnice, dospíváme k rovnici tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\der{\rho(t)} = -\ii \com{\ham}{\rho(t)} \equiv \liou(\rho(t)),<br />
\label{eq:Liouvill_rce}<br />
\end{equation}<br />
kde jsme si definovali zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, jež se nazývá \textbf{Liouvilleův operátor}. Jedná se o antihermitovský lineární superoperátor zachovávající stopu (viz později). Právě uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluční rovnicí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývoj otevřených systémů.<br />
<br />
Časový vývoj operátoru hustoty lze explicitně v případě uzavřeného systému vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t),<br />
\end{equation}<br />
kde $U(t)$ je jednoparametrický systém jistých unitárních operátorů. Stále platí, že časovým vývojem přejde čistý stav opět na čistý stav. U otevřených systémů už vývoj stavu nepůjde popsat pomocí unitárního operátoru tímto způsobem.<br />
<br />
\subsection{Popis složeného systému}<br />
\label{sec:Popis_slozeneho_systemu}<br />
<br />
Velmi důležitým konceptem v kvantové teorii je pojem složeného systému. Každému kvantovému systému je přidružen Hilbertův stavový prostor $\hilb$. V axiomatickém přístupu kvantové teorie se postuluje, že Hilbertův prostor systému složeného ze systémů $A$ a $B$ je roven tenzorovému součinu $\hilb = \hilb_A \tens \hilb_B$ Hilbertova prostoru $\hilb_A$ systému $A$ a Hilbertova prostoru $\hilb_B$ systému $B$. Množina všech omezených operátorů na prostoru složeného systému je přitom rovna $\bound{\hilb} = \bound{\hilb_A \tens \hilb_B} = \bound{\hilb_A} \tens \bound{\hilb_B}$. Víme tedy, jak ze dvou systémů udělat systém jeden, jakým postupem ale postupovat v opačném směru? Mějme operátor hustoty $\rho$ popisující společný stav podsystémů $A$ a $B$. Jak vypadá stav podsystému $A$ samotného?<br />
<br />
Kdybychom jako $\rho_A$ označili stav samotného podsystému $A$, platila by pro libovolnou pozorovatelnou $M_A$ působící pouze na podsystému $A$ samozřejmá rovnost $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho_A \, M_A)$. Neboť pozorovatelná $M_A$ nijak neovlivňuje podsystém $B$, měla by platit i rovnost vztažená k celému systému $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho M)$, kde $\rho$ je stav celého systému a $M$ je pozorovatelná $M_A$ chápaná jako operátor na celém systému. Dohromady tedy $\tr(\rho M) = \tr(\rho_A M_A)$. Pokud je celkový stav faktorizovaného tvaru $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, je zřejmě $M = M_A \tens \ident$. Rovnost středních hodnot je pak splněna, neboť $\tr(\rho M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B)(M_A \tens \ident)) = \tr(\rho_A M_A) \tr(\rho_B) = \tr(\rho_A M_A)$. Existuje i jiný tvar vyjma $M = M_A \tens \ident$? Pro všechny $\rho_A$ a $\rho_B$ musí být splněno $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M_A \tens \ident))$, to znamená $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M - M_A \tens \ident)) = 0$. Žádný jiný tvar operátoru $M$ již tedy neexistuje. Pro faktorizovaný stav systému $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, kde $M_A$ je pozorovatelná na podsystému $A$, je odpovídající pozorovatelná $M$ působící na celém systému tvaru $M = M_A \tens \ident$. Neboť je množina faktorizovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy $\rho$.<br />
<br />
Musí tedy platit $\tr(\rho_A \, M_A) = \tr(\rho (M_A \tens \ident))$. Rozepíšeme-li si stopu explicitně v ortonormální bázi $\basisPlain{\ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}}}{i j}$, dostáváme $\tr(\rho (M_A \tens \ident)) = \sum_{i j} \bra{i^{(A)}} \bra{j^{(B)}} (\rho (M_A \tens \ident)) \ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}} = \sum_{i} \bra{i^{(A)}} (\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}) M_A \ket{i^{(A)}}$. Když si označíme $\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, je poslední výraz roven $\sum_{i} \bra{i^{(A)}} \rho_A M_A \ket{i^{(A)}} = \tr(\rho_A M_A)$, kde nyní jde stopa již jen přes podsystém $A$.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Vzorec $\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, kterým jsme v předchozím odstavci zavedli operátor $\rho_A$, nazýváme \textbf{částečná stopa} operátoru $\rho$ přes podsystém $B$ (angl. \emph{partial trace over subsystem B}) a značíme $\trPar{B}(\rho)$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}} = \trPar{B}(\rho).<br />
\end{equation}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Dobrá, máme zavedený operátor $\rho_A$, který splňuje požadovanou rovnost středních hodnot, jaký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému $A$? Ukážeme, že je tento operátor určen jednoznačně. K danému podsystému tedy existuje právě jeden operátor schopný konzistentně popisovat střední hodnoty libovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor nechť existuje nějaký jiný operátor $\tilde{\rho}_A$, pro nějž $\tr(M_A \tilde{\rho}_A) = \tr(M \rho)$. Tento operátor lze rozložit do báze prostoru $\bound{\hilb_A}$ tvořené hermitovskými operátory $\basisPlain{B_i}{i}$. Dostáváme tak rozvoj do Fourierových koeficientů způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\tilde{\rho}_A = \sum_i B_i (B_i, \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr(B_i \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr((B_i \tens \ident) \rho) = \sum_i B_i \tr(B_i \rho_A) = \rho_A,<br />
\end{equation}<br />
což je spor. Operátor $\rho_A$ je tedy určen jednoznačně a můžeme ho interpretovat jako stav podsystému $A$. Poznamenejme ještě důležitou věc, že informace obsažená ve stavech jednotlivých podsystémů \emph{není} schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mezi oběma podsystémy existují korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popisu systému vypadnou.<br />
<br />
\subsection{Schmidtův rozklad}<br />
\label{sec:Schmidtuv_rozklad}<br />
<br />
Při práci se stavy i při důkazech nejrůznějších tvrzení je velmi užitečné následující tvrzení, díky kterému lze každý čistý stav vyjádřit v jistém pěkném tvaru. Tomuto vyjádření se říká \textbf{Schmidtův rozklad} (angl. \emph{Schmidt decomposition}).<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Schmidtův rozklad.} Nechť $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ je čistý stav. Pak existuje ortonormální báze $\basisPlain{\ket{e_j^{(A)}}}{j}$ prostoru $\hilb_A$ a ortonormální báze $\basisPlain{\ket{f_j^{(B)}}}{j}$ prostoru $\hilb_B$ takové, že<br />
\begin{equation}<br />
\ketpsi = \sum_{j=1}^d \alpha_j \ket{e_j^{(A)}} \tens \ket{f_j^{(B)}},<br />
\label{eq:Schmidt_rozklad}<br />
\end{equation}<br />
kde $d = \min\{\dim \hilb_A, \dim \hilb_B\}$. Koeficienty $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ lze navíc vždy volit jako nezáporná čísla splňující rovnost $\|\vec{\alpha}\| = \|\ketpsi\|$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Uvažujme stav podsystému $A$, $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Tento lze jistě rozložit do ortonormální báze vlastních vektorů, $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$. Vlastní čísla operátoru $\rho_A$ lze psát ve tvaru kvadrátu, neboť jsou díky pozitivitě operátoru nezáporná. Dále určitě můžeme vyjádřit vektor $\ketpsi$ ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{\varphi_i^{(B)}}$, kde $\ket{\varphi_i^{(B)}}% = \sum_j \beta_{ij} \ket{f_j^{(B)}}<br />
$ jsou nějaké vhodné vektory z prostoru $\hilb_B$. Pak platí $\rho_A = \trPar{B} (\ketbrapsi) = \trPar{B}(\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tens \ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}}) = \sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tr(\ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}})$. Využijeme-li vztahu $\tr(\ketbra{a}{b}) = \braket{b}{a}$, redukuje se poslední výraz na $\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}}$. Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyjádřením operátoru $\rho_A$ uvedeným výše, abychom shrnuli $\braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}} = \alpha_i^2 \delta_{ij}$. Vektory $\{\ket{\varphi_i^{(B)}}\}_i$ jsou tedy navzájem kolmé a po vhodném přeškálování z nich můžeme vytvořit ortonormální bázi $\ket{f_i^{(B)}} \coloneqq \frac{1}{\alpha_i} \ket{\varphi_i^{(B)}}$. Vektor $\ketpsi$ lze tak psát ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{f_i^{(B)}}$, což bylo dokázati.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Koeficientům $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovy koeficienty}. Počet nenulových Schmidtových koeficientů ve Schmidtově rozkladu se nazývá \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
%Číslu $d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
či \textbf{Schmidtova hodnost} (angl. \emph{Schmidt number} či \emph{Schmidt rank}). Schmidtovu hodnost stavu $\rho$ budeme označovat symbolem $\rank \rho$. <br />
\end{definice}<br />
<br />
Největším rozdílem mezi obecným rozkladem operátoru a jeho Schmidtovým rozkladem je v tom, že ve druhém jmenovaném sčítáme jen přes jeden index, ke každému bazickému vektoru prostoru $\hilb_A$ přísluší právě jeden bazický vektor prostoru $\hilb_B$. Ze Schmidtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-li si vektor $\ketpsi$ ve vyjádření \eqref{eq:Schmidt_rozklad}, jeho redukované stavy jsou tvarů $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$ a $\rho_B = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{f_i^{(B)}}$. Operátory hustoty obou podsystémů mají tedy \emph{stejné spektrum}! V souvislosti se Schmidtovým rozkladem je užitečné uvést následující proceduru.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Uvažujme nějaký systém $A$ s operátorem hustoty $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i} \in \hilb_A$, který není obecně čistý. Potom ke studovanému systému $A$ lze uměle přidat pomocný systém $B$ o Hilbertově prostoru $\hilb_B$ tak, že existuje čistý stav $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ splňující $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Jinými slovy, ke každému operátoru hustoty $\rho_A$ z prostoru $\hilb_A$ lze najít čistý stav $\ketpsi$ v prostoru $\hilb_A \tens \hilb_B$ tak, že $\rho_A$ lze interpretovat jako stav podsystému $A$, kdy se přitom celý systém $A + B$ nachází v čistém stavu $\ketpsi$. Prostoru $\hilb_B$ se v angličtině říká \emph{ancilla} a jeho dimenzi lze položit rovnou Schmidtově číslu operátoru $\rho_A$, tj. $\dim \hilb_B = \rank \rho_A$. Využívajíce postupu při důkazu předchozí věty lze zjevně položit $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \ket{f_i}$, kde $\{\ket{f_i}\}_i$ je nějaká ortonormální báze prostoru $\hilb_B$.<br />
<br />
Právě popsané matematické hříčce vhodně přidávající pomocný systém k původní úloze se říká \textbf{purifikace} či \textbf{vyčišťování} (angl. \emph{purification}). Pro znalé připomínáme, že právě uvedená purifikace (stavů) nemá nic společného s \emph{purifikací provázání}.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
\emph{\uv{Monogamie stavů}: Čisté stavy nemohou být korelovány s jiným systémem.} Mějme složený systém $A + B$ ve stavu $\rho \in \states{\hilb_A \tens \hilb_B}$, přičemž stav podsystému $A$ nechť je čistý, $\trPar{B}(\rho) = \rho_A = \ketbrapsi$ pro jisté $\ketpsi \in \hilb_A$. Pak stav tohoto podsystému nevykazuje žádné korelace se stavem systému $B$. Důvod je následující. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém $C$ a najít vektor $\ket{\omega} \in \hilb_A \tens \hilb_B \tens \hilb_C$ tak, že $\trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \rho$. Tento vektor je tedy purifikací stavu $\rho$, současně je ale i purifikací stavu $\ketpsi$. To lze jen tak, že $\ket{\omega} = \ketpsi \tens \ket{\varphi_{BC}}$ pro jisté $\ket{\varphi_{BC}} \in \hilb_B \tens \hilb_C$. Celkem tedy $\rho = \trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \ketbrapsi \tens \trPar{C}(\ketbraSame{\varphi_{BC}})$. Vidíme tedy explicitně, že stav složeného systému $A + B$ je ve faktorizovaném tvaru, jenž nepřipouští žádné korelace mezi oběma podsystémy.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace stavů podle korelací}<br />
\label{sec:Klasifikace_stavu_podle_korelaci}<br />
<br />
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$ a množinu stavů definovaných na jejich tenzorovém součinu, $\states{\hilb_1 \tens \hilb_2}$. Tuto množinu lze rozdělit na podmnožiny tvořené vždy stavy, jejichž tvar je podobný co do jejich přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čisté a smíšené stavy jsme již nastínili v předchozích sekcích, následující seznam uvádí další podpřípady.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Smíšené stavy} -- Odpovídající operátor hustoty není projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Faktorizované stavy} -- Stav $\rho$ je faktorizovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součinu $\rho = \rho_1 \tens \rho_2$, kde $\rho_i \in \states{\hilb_i}$. Tyto stavy zřejmě tvoří podmnožinu separabilních stavů.<br />
\item \textbf{Separabilní stavy} -- Stav $\rho$ je separabilní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorizovaných stavů $\rho = \sum_i \alpha_i \rho_1^{(i)} \tens \rho_2^{(i)}$, kde $\rho_1^{(i)} \in \states{\hilb_1}$, $\rho_2^{(i)} \in \states{\hilb_2}$ a $\{\alpha_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení, tj. $\alpha_i > 0$ a $\sum_i \alpha_i = 1$. Takovýmto stavům se také říká \emph{statistické směsi} či \emph{klasicky korelované stavy}. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totiž popsat čistě klasicky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodina stavů zásadně liší od té následující tvořené provázanými stavy. Obecný tvar separabilního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto libovolný operátor lze rozložit do tvaru $A = \sum_i \alpha_i E_i \tens F_i$, kde $\basisPlain{E_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_1}$ a podobně $\basisPlain{F_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_2}$. Nejdůležitější rozdíl tohoto obecného případu od případu separabilních stavů je v tom, že nyní operátory $E_i$ a $F_i$ samotné musejí být operátory hustoty.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Všechny stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané. Tyto stavy vykazují čistě kvantové korelace, které lze využít při kvantovém počítání. Kvantové korelace se silně využívají například v případě kvantové teleportace.<br />
\end{itemize}<br />
\item \textbf{Čisté stavy} -- Odpovídající operátor hustoty je projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Neprovázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru $\ketpsi = \ket{\psi_1} \tens \ket{\psi_2}$. Vidíme, že se jedná o analogii faktorizovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyjádřili analogicky případu separabilních smíšených stavů, již nebude čistý. Zbývají nám tak již pouze provázané stavy.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně je tedy tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$, viz \eqref{eq:Schmidt_rozklad}. Stav $\ketpsi$ je přitom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koeficienty $\alpha_i$, tj. $\rank \ketpsi \geq 2$. Z množiny provázaných stavů se vydělují \textbf{maximálně provázané stavy} $\ketME$. Jedná se o stavy, pro něž jsou stavy podsystémů \emph{maximálně smíšené}. Jinými slovy, čistý stav $\ketME$ je maximálně provázaný právě tehdy, když $\rho_1 \equiv \trPar{2}(\ketbraME) = \frac{1}{d_1} \ident_1$ a $\rho_2 \equiv \trPar{1}(\ketbraME) = \frac{1}{d_2} \ident_2$. Ze Schmidtova rozkladu plyne $d_1 = d_2 = d$, maximálně provázaný stav je tedy tvaru $\ketME = \sum_i \frac{1}{\sqrt{d}} \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola4&diff=785002OKS:Kapitola42017-08-13T09:40:34Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Operátor hustoty}<br />
\label{sec:Operator_hustoty}<br />
<br />
Popisujeme-li vývoj \emph{uzavřeného} kvantového systému, vystačíme si většinou s pojmem \emph{čistého stavu}. Jedná se o vektor v Hilbertově prostoru $\hilb$, který je danému kvantovému systému přidružen. Na daném Hilbertově prostoru je definován skalární součin, my si tento budeme značit v souhlase s Diracovou notací jako $\braket{\cdot}{\cdot}$. Spolu s vektory Hilbertova prostoru můžeme, či musíme, uvažovat i zobrazení, která na těchto vektorech působí. Neboť se omezujeme pouze na konečněrozměrné Hilbertovy prostory, představují všechny operátory definované na daném Hilbertově prostoru množinu omezených operátorů $\bound{\hilb}$. Omezené operátory samotné tvoří další Hilbertův prostor, zavedeme-li na něm \emph{Hilbert-Schmidtův skalární součin} následujícím způsobem. Mějme dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$, pak jejich skalární součin je definován vztahem<br />
\begin{equation}<br />
(A,B) \equiv \tr(\adj{A} B),<br />
\end{equation}<br />
kde $\adj{C}$ je operátor hermitovsky sdružený k operátoru $C$ a $\tr(C)$ značí stopu operátoru $C$, viz sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. V~prostoru můžeme dále vydělit množinu všech \emph{pozorovatelných} $\{A \in \bound{\hilb}| \adj{A} = A\}$ na prostoru $\hilb$ tvořenou hermitovskými operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s~čistými stavy, vektory. Operátory představující vývoj systému či měření vzaly vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou $A$, dostali jsme jejím změřením na daném čistém stavu $\ketpsi$ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru $A$ a které jsme interpretovali jako výsledek měření. Pokud přitom nebyl vektor $\ketpsi$ vlastním vektorem pro $A$, obdrželi jsme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu.<br />
<br />
Důležité bylo si uvědomit, že vše, co o daném stavu kvantového systému jsme schopni zjistit, jsou průměrné hodnoty nejrůznějších veličin. Výsledek jediného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlišujme nyní na chvíli důsledně dva pojmy, stav systému $\psi$ a jemu příslušný vektor $\ketpsi$. Stavem systému máme na mysli soubor všech jeho vlastností. Pro popis stavu kvantového systému tak je nezbytné uvést střední hodnoty $\average{A}{\psi}$ všech pozorovatelných $A$ na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla situace jednodušší v tom, že místo vypisování všech těchto středních hodnot jsme měli prostředek, jak je snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor $\ketpsi$, z něhož jsme odpovídající střední hodnotu pozorovatelné $A$ obdrželi vypočtením výrazu $\brapsi A \ketpsi$, který jsme prohlásili za střední hodnotu $\average{A}{\psi}$. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazvali jsme ho čistým stavem.<br />
<br />
Použijme analogický postup v širším kontextu. Opusťme zažitou představu čistých stavů a definujme si stav jako zobrazení, které každé pozorovatelné přiřazuje reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou $A$ a vrátí odpovídající střední hodnotu $\average{A}{}$. Korektní definice zní následovně.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
\textbf{Stavem systému} nazveme lineární funkcionál $S: \bound{\hilb} \to \R$ splňující dodatečné podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Normalizace: $S(\ident) = 1$. (To jest, na identitu vrátí jedničku.)<br />
\item Pozitivita: $S(\adj{A} A) \geq 0$, $\forall A \in \bound{\hilb}$. (To jest, na každý pozitivní operátor vrátí nezá\-porné číslo.)<br />
\end{enumerate}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Rieszova věta říká, že pro každý lineární funkcionál $S$ najdeme operátor $\rho \in \bound{\hilb}$ tak, že $S(A) = (\rho, A) = \tr(\adj{\rho} A)$ pro každý $A \in \bound{\hilb}$. O tomto operátoru si ukážeme, že je hermitovský a má jednotkovou stopu. Pro důkaz $\rho=\adj{\rho}$ ukážeme, že $(\rho,A)=(\adj{\rho},A)$ pro každý operátor $A \in \bound{\hilb}$. Rovnost však stačí ukázat pro $A$ hermitovkské, jelikož skalární součin je bilineární a každý operátor $A \in \bound{\hilb}$ je možné napsat jako součet dvou hermitovských operátorů $A=(A+\adj{A})/2+i(A-\adj{A})/2$. Nyní využijeme toho, že $S(\cdot)$ je reálné číslo, a tedy $S(\cdot) = \cc{S(\cdot)}$. Pak dostáváme $(\rho,A) = \tr(\adj{\rho}A) = S(A)=\cc{S(A)} = \cc{\tr(\adj{\rho}A)}=\tr(\rho^T \cc{A}) = \tr((\rho^T \cc{A})^T) = \tr(\adj{A} \rho) = \tr(\rho \adj{A}) = \tr(\rho A) = (\adj{\rho},A)$. Z normalizační podmínky navíc vyplývá $1 = S(\ident) = \tr(\adj{\rho} \ident) = \tr(\rho)$. Druhá definiční vlastnost nám přitom zajišťuje $0 \leq S(C) = \tr(\rho C)$ pro všechny pozitivní operátory $C$. Pokud zvolíme $C = \ketbraSame{\psi}$, tak $\tr(\rho C) = \tr(\rho \ketbrapsi) = \brapsi \rho \ketpsi \geq 0$ pro všechny $\ketpsi \in \hilb$. Operátor $\rho$ je tedy dokonce pozitivní.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Operátor z úvah výše se nazývá \textbf{operátor hustoty}, popř. \textbf{matice hustoty}. Neboť pozitivita již vynucuje hermitovost, tak lze operátor hustoty charakterizovat jako \emph{pozitivní operátor s jednotkovou stopou}, tj. $\rho \geq 0$ a $\tr(\rho) = 1$.<br />
\end{definice}<br />
<br />
Z definičních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyjádřit ve tvaru $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ a $\basisPlain{\psi_i}{i}$ je ortonormální báze tvořená jeho vlastními vektory. Vidíme, že ač jsme si stav definovali jako jistý lineární funkcionál, veškerou práci se stavem daného systému lze redukovat na počítání s jemu odpovídající maticí hustoty. V následujícím budeme pojmy \emph{operátor hustoty} a \emph{stav} volně zaměňovat.<br />
<br />
Množinu všech stavů na daném Hilbertově prostoru $\hilb$ označíme $\states{\hilb}$. Jedná se o konvexní množinu, neboť konvexní kombinace operátorů hustoty je opět operátor hustoty. Extremálními body této množiny jsou přitom \emph{čisté stavy}, tj. stavy, jejichž operátor hustoty je projektor $\rho = \ketbrapsi$ pro nějaké $\ketpsi \in \hilb$. Máme-li zadán operátor hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje čistý stav? Nutnou a postačující podmínku uvádí následující tvrzení.<br />
<br />
\begin{veta}<br />
Operátor hustoty $\rho \in \states{\hilb}$ popisuje čistý stav právě tehdy, když $\tr(\rho^2) = 1$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Pro důkaz implikace zleva si stačí uvědomit, že když je operátor hustoty $\rho$ čistý stav, tak existuje vektor $\ketpsi \in \hilb$ takový, že $\rho = \ketbrapsi$ je projektor. Platí tedy $\rho^2 = \rho$ a z normalizace operátoru hustoty ihned $\tr(\rho^2) = \tr(\rho) = 1$. Pro důkaz opačné implikace uvažujme obecný tvar operátoru hustoty, $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\basisPlain{\ket{\psi_i}}{i}$ je ortonormální báze a $\{\lambda_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchými výpočty zjistíme, že $\rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{\psi_i}$, jehož stopa zní $\tr(\rho^2) = \sum_i \lambda_i^2$. Neboť je $\lambda_i \geq 0$ a $\sum_i \lambda_i = 1$, z podmínky $\tr(\rho^2) = 1$ už rovnou plyne, že právě jedno vlastní číslo $\lambda_{i_0}$ je jednička a ostatní jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala $\lambda_i < 1$, což implikuje $\lambda_i^2 < \lambda_i$. Máme tedy $1 = \sum_i \lambda_i > \sum_i \lambda_i^2$, což je spor s předpoklady dokazované implikace. Celkem tak máme $\rho = \lambda_{i_0} \ketbraSame{\psi_{i_0}} = \ketbraSame{\psi_{i_0}}$ a $\rho$ je tak čistý stav.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru lze operátory hustoty vyjádřit pomocí Pauliho matic. \textbf{Pauliho matice} jsou tři $2 \times 2$ matice tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\paulix = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliy = <br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & -\ii \\<br />
\ii & 0 <br />
\end{pmatrix},<br />
\quad<br />
\pauliz = <br />
\begin{pmatrix}<br />
1 & 0 \\<br />
0 & -1 <br />
\end{pmatrix}.<br />
\end{equation}<br />
Operátory hustoty jsou pak tvaru $\rho = \frac{1}{2}(\ident + \tau_1 \paulix + \tau_2 \pauliy + \tau_3 \pauliz)$, kde $\vec{\tau} = (\tau_1, \tau_2,\tau_3) \in \R^3$ je vektor, jehož velikost je $\|\vec{\tau}\| \leq 1$, jinak by $\rho$ nebyl pozitivní operátor. Pro $\|\vec{\tau}\| = 1$ popisuje $\rho$ čistý stav.<br />
<br />
\subsection[Evoluce operátoru hustoty]{Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému}<br />
\label{sec:Evoluce_operatoru_hustoty_v_uzavrenem_systemu}<br />
<br />
Výše jsme uvedli, že se budeme zabývat otevřenými systémy. Udělejme na chvíli krok zpět a koukněme se, jak se operátor hustoty $\rho$ chová v případě uzavřeného systému. Uvažujme $\rho(t) = \sum_i \lambda_i(t) \ketbraSame{\psi_i(t)}$ coby funkci času, kde jednotlivé bazické vektory $\ket{\psi_i(t)}$ podléhají Schrödingerově rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\ii \der{\ket{\psi_i(t)}} = \ham \ket{\psi_i(t)},<br />
\end{equation}<br />
Zderivujeme-li operátor hustoty $\rho(t)$ podle času a dosadíme-li za vzniklé výrazy ze Schrödingerovy rovnice, dospíváme k rovnici tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\der{\rho(t)} = -\ii \com{\ham}{\rho(t)} \equiv \liou(\rho(t)),<br />
\label{eq:Liouvill_rce}<br />
\end{equation}<br />
kde jsme si definovali zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, jež se nazývá \textbf{Liouvilleův operátor}. Jedná se o antihermitovský lineární superoperátor zachovávající stopu (viz později). Právě uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluční rovnicí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývoj otevřených systémů.<br />
<br />
Časový vývoj operátoru hustoty lze explicitně v případě uzavřeného systému vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t),<br />
\end{equation}<br />
kde $U(t)$ je jednoparametrický systém jistých unitárních operátorů. Stále platí, že časovým vývojem přejde čistý stav opět na čistý stav. U otevřených systémů už vývoj stavu nepůjde popsat pomocí unitárního operátoru tímto způsobem.<br />
<br />
\subsection{Popis složeného systému}<br />
\label{sec:Popis_slozeneho_systemu}<br />
<br />
Velmi důležitým konceptem v kvantové teorii je pojem složeného systému. Každému kvantovému systému je přidružen Hilbertův stavový prostor $\hilb$. V axiomatickém přístupu kvantové teorie se postuluje, že Hilbertův prostor systému složeného ze systémů $A$ a $B$ je roven tenzorovému součinu $\hilb = \hilb_A \tens \hilb_B$ Hilbertova prostoru $\hilb_A$ systému $A$ a Hilbertova prostoru $\hilb_B$ systému $B$. Množina všech omezených operátorů na prostoru složeného systému je přitom rovna $\bound{\hilb} = \bound{\hilb_A \tens \hilb_B} = \bound{\hilb_A} \tens \bound{\hilb_B}$. Víme tedy, jak ze dvou systémů udělat systém jeden, jakým postupem ale postupovat v opačném směru? Mějme operátor hustoty $\rho$ popisující společný stav podsystémů $A$ a $B$. Jak vypadá stav podsystému $A$ samotného?<br />
<br />
Kdybychom jako $\rho_A$ označili stav samotného podsystému $A$, platila by pro libovolnou pozorovatelnou $M_A$ působící pouze na podsystému $A$ samozřejmá rovnost $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho_A \, M_A)$. Neboť pozorovatelná $M_A$ nijak neovlivňuje podsystém $B$, měla by platit i rovnost vztažená k celému systému $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho M)$, kde $\rho$ je stav celého systému a $M$ je pozorovatelná $M_A$ chápaná jako operátor na celém systému. Dohromady tedy $\tr(\rho M) = \tr(\rho_A M_A)$. Pokud je celkový stav faktorizovaného tvaru $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, je zřejmě $M = M_A \tens \ident$. Rovnost středních hodnot je pak splněna, neboť $\tr(\rho M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B)(M_A \tens \ident)) = \tr(\rho_A M_A) \tr(\rho_B) = \tr(\rho_A M_A)$. Existuje i jiný tvar vyjma $M = M_A \tens \ident$? Pro všechny $\rho_A$ a $\rho_B$ musí být splněno $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M_A \tens \ident))$, to znamená $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M - M_A \tens \ident)) = 0$. Žádný jiný tvar operátoru $M$ již tedy neexistuje. Pro faktorizovaný stav systému $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, kde $M_A$ je pozorovatelná na podsystému $A$, je odpovídající pozorovatelná $M$ působící na celém systému tvaru $M = M_A \tens \ident$. Neboť je množina faktorizovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy $\rho$.<br />
<br />
Musí tedy platit $\tr(\rho_A \, M_A) = \tr(\rho (M_A \tens \ident))$. Rozepíšeme-li si stopu explicitně v ortonormální bázi $\basisPlain{\ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}}}{i j}$, dostáváme $\tr(\rho (M_A \tens \ident)) = \sum_{i j} \bra{i^{(A)}} \bra{j^{(B)}} (\rho (M_A \tens \ident)) \ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}} = \sum_{i} \bra{i^{(A)}} (\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}) M_A \ket{i^{(A)}}$. Když si označíme $\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, je poslední výraz roven $\sum_{i} \bra{i^{(A)}} \rho_A M_A \ket{i^{(A)}} = \tr(\rho_A M_A)$, kde nyní jde stopa již jen přes podsystém $A$.<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Vzorec $\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, kterým jsme v předchozím odstavci zavedli operátor $\rho_A$, nazýváme \textbf{částečná stopa} operátoru $\rho$ přes podsystém $B$ (angl. \emph{partial trace over subsystem B}) a značíme $\trPar{B}(\rho)$. Neboli<br />
\begin{equation}<br />
\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}} = \trPar{B}(\rho).<br />
\end{equation}<br />
\end{definice}<br />
<br />
Dobrá, máme zavedený operátor $\rho_A$, který splňuje požadovanou rovnost středních hodnot, jaký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému $A$? Ukážeme, že je tento operátor určen jednoznačně. K danému podsystému tedy existuje právě jeden operátor schopný konzistentně popisovat střední hodnoty libovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor nechť existuje nějaký jiný operátor $\tilde{\rho}_A$, pro nějž $\tr(M_A \tilde{\rho}_A) = \tr(M \rho)$. Tento operátor lze rozložit do báze prostoru $\bound{\hilb_A}$ tvořené hermitovskými operátory $\basisPlain{B_i}{i}$. Dostáváme tak rozvoj do Fourierových koeficientů způsobem<br />
\begin{equation}<br />
\tilde{\rho}_A = \sum_i B_i (B_i, \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr(B_i \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr((B_i \tens \ident) \rho) = \sum_i B_i \tr(B_i \rho_A) = \rho_A,<br />
\end{equation}<br />
což je spor. Operátor $\rho_A$ je tedy určen jednoznačně a můžeme ho interpretovat jako stav podsystému $A$. Poznamenejme ještě důležitou věc, že informace obsažená ve stavech jednotlivých podsystémů \emph{není} schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mezi oběma podsystémy existují korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popisu systému vypadnou.<br />
<br />
\subsection{Schmidtův rozklad}<br />
\label{sec:Schmidtuv_rozklad}<br />
<br />
Při práci se stavy i při důkazech nejrůznějších tvrzení je velmi užitečné následující tvrzení, díky kterému lze každý čistý stav vyjádřit v jistém pěkném tvaru. Tomuto vyjádření se říká \textbf{Schmidtův rozklad} (angl. \emph{Schmidt decomposition}).<br />
<br />
\begin{veta}<br />
\emph{Schmidtův rozklad.} Nechť $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ je čistý stav. Pak existuje ortonormální báze $\basisPlain{\ket{e_j^{(A)}}}{j}$ prostoru $\hilb_A$ a ortonormální báze $\basisPlain{\ket{f_j^{(B)}}}{j}$ prostoru $\hilb_B$ takové, že<br />
\begin{equation}<br />
\ketpsi = \sum_{j=1}^d \alpha_j \ket{e_j^{(A)}} \tens \ket{f_j^{(B)}},<br />
\label{eq:Schmidt_rozklad}<br />
\end{equation}<br />
kde $d = \min\{\dim \hilb_A, \dim \hilb_B\}$. Koeficienty $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ lze navíc vždy volit jako nezáporná čísla splňující rovnost $\|\vec{\alpha}\| = \|\ketpsi\|$.<br />
\end{veta}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Uvažujme stav podsystému $A$, $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Tento lze jistě rozložit do ortonormální báze vlastních vektorů, $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$. Vlastní čísla operátoru $\rho_A$ lze psát ve tvaru kvadrátu, neboť jsou díky pozitivitě operátoru nezáporná. Dále určitě můžeme vyjádřit vektor $\ketpsi$ ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{\varphi_i^{(B)}}$, kde $\ket{\varphi_i^{(B)}}% = \sum_j \beta_{ij} \ket{f_j^{(B)}}<br />
$ jsou nějaké vhodné vektory z prostoru $\hilb_B$. Pak platí $\rho_A = \trPar{B} (\ketbrapsi) = \trPar{B}(\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tens \ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}}) = \sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tr(\ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}})$. Využijeme-li vztahu $\tr(\ketbra{a}{b}) = \braket{b}{a}$, redukuje se poslední výraz na $\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}}$. Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyjádřením operátoru $\rho_A$ uvedeným výše, abychom shrnuli $\braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}} = \alpha_i^2 \delta_{ij}$. Vektory $\{\ket{\varphi_i^{(B)}}\}_i$ jsou tedy navzájem kolmé a po vhodném přeškálování z nich můžeme vytvořit ortonormální bázi $\ket{f_i^{(B)}} \coloneqq \frac{1}{\alpha_i} \ket{\varphi_i^{(B)}}$. Vektor $\ketpsi$ lze tak psát ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{f_i^{(B)}}$, což bylo dokázati.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{definice}<br />
Koeficientům $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovy koeficienty}. Počet nenulových Schmidtových koeficientů ve Schmidtově rozkladu se nazývá \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
%Číslu $d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovo číslo} <br />
či \textbf{Schmidtova hodnost} (angl. \emph{Schmidt number} či \emph{Schmidt rank}). Schmidtovu hodnost stavu $\rho$ budeme označovat symbolem $\rank \rho$. <br />
\end{definice}<br />
<br />
Největším rozdílem mezi obecným rozkladem operátoru a jeho Schmidtovým rozkladem je v tom, že ve druhém jmenovaném sčítáme jen přes jeden index, ke každému bazickému vektoru prostoru $\hilb_A$ přísluší právě jeden bazický vektor prostoru $\hilb_B$. Ze Schmidtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-li si vektor $\ketpsi$ ve vyjádření \eqref{eq:Schmidt_rozklad}, jeho redukované stavy jsou tvarů $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$ a $\rho_B = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{f_i^{(B)}}$. Operátory hustoty obou podsystémů mají tedy \emph{stejné spektrum}! V souvislosti se Schmidtovým rozkladem je užitečné uvést následující proceduru.<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
Uvažujme nějaký systém $A$ s operátorem hustoty $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i} \in \hilb_A$, který není obecně čistý. Potom ke studovanému systému $A$ lze uměle přidat pomocný systém $B$ o Hilbertově prostoru $\hilb_B$ tak, že existuje čistý stav $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ splňující $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Jinými slovy, ke každému operátoru hustoty $\rho_A$ z prostoru $\hilb_A$ lze najít čistý stav $\ketpsi$ v prostoru $\hilb_A \tens \hilb_B$ tak, že $\rho_A$ lze interpretovat jako stav podsystému $A$, kdy se přitom celý systém $A + B$ nachází v čistém stavu $\ketpsi$. Prostoru $\hilb_B$ se v angličtině říká \emph{ancilla} a jeho dimenzi lze položit rovnou Schmidtově číslu operátoru $\rho_A$, tj. $\dim \hilb_B = \rank \rho_A$. Využívajíce postupu při důkazu předchozí věty lze zjevně položit $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \ket{f_i}$, kde $\{\ket{f_i}\}_i$ je nějaká ortonormální báze prostoru $\hilb_B$.<br />
<br />
Právě popsané matematické hříčce vhodně přidávající pomocný systém k původní úloze se říká \textbf{purifikace} či \textbf{vyčišťování} (angl. \emph{purification}). Pro znalé připomínáme, že právě uvedená purifikace (stavů) nemá nic společného s \emph{purifikací provázání}.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\begin{pozn}<br />
\emph{\uv{Monogamie stavů}: Čisté stavy nemohou být korelovány s jiným systémem.} Mějme složený systém $A + B$ ve stavu $\rho \in \states{\hilb_A \tens \hilb_B}$, přičemž stav podsystému $A$ nechť je čistý, $\trPar{B}(\rho) = \rho_A = \ketbrapsi$ pro jisté $\ketpsi \in \hilb_A$. Pak stav tohoto podsystému nevykazuje žádné korelace se stavem systému $B$. Důvod je následující. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém $C$ a najít vektor $\ket{\omega} \in \hilb_A \tens \hilb_B \tens \hilb_C$ tak, že $\trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \rho$. Tento vektor je tedy purifikací stavu $\rho$, současně je ale i purifikací stavu $\ketpsi$. To lze jen tak, že $\ket{\omega} = \ketpsi \tens \ket{\varphi_{BC}}$ pro jisté $\ket{\varphi_{BC}} \in \hilb_B \tens \hilb_C$. Celkem tedy $\rho = \trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \ketbrapsi \tens \trPar{C}(\ketbraSame{\varphi_{BC}})$. Vidíme tedy explicitně, že stav složeného systému $A + B$ je ve faktorizovaném tvaru, jenž nepřipouští žádné korelace mezi oběma podsystémy.<br />
\end{pozn}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace stavů podle korelací}<br />
\label{sec:Klasifikace_stavu_podle_korelaci}<br />
<br />
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$ a množinu stavů definovaných na jejich tenzorovém součinu, $\states{\hilb_1 \tens \hilb_2}$. Tuto množinu lze rozdělit na podmnožiny tvořené vždy stavy, jejichž tvar je podobný co do jejich přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čisté a smíšené stavy jsme již nastínili v předchozích sekcích, následující seznam uvádí další podpřípady.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Smíšené stavy} -- Odpovídající operátor hustoty není projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Faktorizované stavy} -- Stav $\rho$ je faktorizovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součinu $\rho = \rho_1 \tens \rho_2$, kde $\rho_i \in \states{\hilb_i}$. Tyto stavy zřejmě tvoří podmnožinu separabilních stavů.<br />
\item \textbf{Separabilní stavy} -- Stav $\rho$ je separabilní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorizovaných stavů $\rho = \sum_i \alpha_i \rho_1^{(i)} \tens \rho_2^{(i)}$, kde $\rho_1^{(i)} \in \states{\hilb_1}$, $\rho_2^{(i)} \in \states{\hilb_2}$ a $\{\alpha_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení, tj. $\alpha_i > 0$ a $\sum_i \alpha_i = 1$. Takovýmto stavům se také říká \emph{statistické směsi} či \emph{klasicky korelované stavy}. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totiž popsat čistě klasicky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodina stavů zásadně liší od té následující tvořené provázanými stavy. Obecný tvar separabilního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto libovolný operátor lze rozložit do tvaru $A = \sum_i \alpha_i E_i \tens F_i$, kde $\basisPlain{E_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_1}$ a podobně $\basisPlain{F_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_2}$. Nejdůležitější rozdíl tohoto obecného případu od případu separabilních stavů je v tom, že nyní operátory $E_i$ a $F_i$ samotné musejí být operátory hustoty.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Všechny stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané. Tyto stavy vykazují čistě kvantové korelace, které lze využít při kvantovém počítání. Kvantové korelace se silně využívají například v případě kvantové teleportace.<br />
\end{itemize}<br />
\item \textbf{Čisté stavy} -- Odpovídající operátor hustoty je projektor.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Neprovázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru $\ketpsi = \ket{\psi_1} \tens \ket{\psi_2}$. Vidíme, že se jedná o analogii faktorizovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyjádřili analogicky případu separabilních smíšených stavů, již nebude čistý. Zbývají nám tak již pouze provázané stavy.<br />
\item \textbf{Provázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně je tedy tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$, viz \eqref{eq:Schmidt_rozklad}. Stav $\ketpsi$ je přitom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koeficienty $\alpha_i$, tj. $\rank \ketpsi \geq 2$. Z množiny provázaných stavů se vydělují \textbf{maximálně provázané stavy} $\ketME$. Jedná se o stavy, pro něž jsou stavy podsystémů \emph{maximálně smíšené}. Jinými slovy, čistý stav $\ketME$ je maximálně provázaný právě tehdy, když $\rho_1 \equiv \trPar{2}(\ketbraME) = \frac{1}{d_1} \ident_1$ a $\rho_2 \equiv \trPar{1}(\ketbraME) = \frac{1}{d_2} \ident_2$. Ze Schmidtova rozkladu plyne $d_1 = d_2 = d$, maximálně provázaný stav je tedy tvaru $\ketME = \sum_i \frac{1}{\sqrt{d}} \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02OKS:Kapitola3&diff=784902OKS:Kapitola32017-08-12T15:05:31Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02OKS}<br />
<br />
\section{Úvod}<br />
\label{sec:Uvod}<br />
<br />
V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice, jejich shluky či částice podléhající vlivu okolního silového pole. Celý systém částice spolu s působícím polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňující si hmotu či energii s~nějakým jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému slouží spíše jako idealizace skutečnosti, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více či méně přiblížit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace použitelná. Pro vývoj takovýchto systémů se v úvodních kurzech odvozovali různé rovnice -- Schrödingerova rovnice, Klein-Gordonova rovnice, Diracova rovnice atd. Například v případě Schrödingerovy rovnice jsme mohli vývoj systému popsat pomocí evolučního operátoru, unitárního operátoru působícího na stav sys\-té\-mu. Skutečnost, že daný operátor je unitární, zapříčiňuje časovou reverzibilitu vývoje daného systému. Během evoluce se tedy informace o stavu systému neztrácí a mezi každými dvěma časovými okamžiky existuje invertibilní operátor převádějící stav systému v jednom okamžiku na stav v okamžiku druhém.<br />
<br />
Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolí? Pod \emph{okolím} daného systému rozumíme nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a jeví se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném světě může jít například o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působí na zkoumaný spin a jehož vliv přitom není experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat. Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňují z měřící aparatury a interagují se zkoumanou částicí. Příkladů by šlo samozřejmě najít mnoho a to nejen těch z laboratorního prostředí. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředí již nelze popsat jednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývoj již není obecně reverzibilní, část informace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částic se spinem mířícím ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolních polí a okolních interagujících částic namířeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku, spiny namířené stejným směrem, byla vlivem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato informace o počátečním rozložení spinů je sice stále přítomna, je ale ukryta ve stavu okolí, s~nímž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit.<br />
<br />
Právě popsaným systémům, které jsou vystaveny všetečným a neodstranitelným vlivům okolí, budeme říkat \emph{otevřené (kvantové) systémy}. Jejich časový vývoj budeme označovat jako \emph{vývoj otevřeného systému}, \emph{otevřený vývoj}, \emph{otevřená evoluce} či \emph{otevřená dynamika}. Pokud budeme uvažovat složený systém skládající se ze studovaného systému a jeho okolí, nazveme tento \emph{složený systém}, \emph{celý systém} či prostě jen \emph{systém}. \emph{Studovaný systém} budeme nazývat též \emph{zkoumaný systém} a konečně \emph{okolí} budeme označovat též jako \emph{prostředí}. Vedle okolí se při studiu kvantových systémů uvažují i pomocné systémy, které nelze označit za okolí a které jsou do úlohy zavedeny více méně uměle, aby zjednodušili manipulaci se zkoumaným systémem. Pro systém takto přidaný budeme užívat buď název \emph{pomocný systém} či anglický název \emph{ancilla}.<br />
<br />
Na rozdíl od tradičních kurzů o kvantové fyzice provedeme ještě jednu změnu. Zatímco dosud se pracovalo s kvantovými systémy o nekonečněrozměrných stavových prostorech, jakým byl například prostor vlnových funkcí volné částice, zde se omezíme na Hilbertovy prostory stavů, které mají dimenzi \emph{konečnou}. Operátory řídící vývoj otevřených systémů tak lze reprezentovat pomocí matic, což budeme i v mnoha důkazech využívat. Nejtypičtějším příkladem kvantového systému s konečněrozměrným stavovým prostorem je právě částice se spinem, kde studujeme pouze spinové stupně volnosti. Dalším příkladem může být polarizace fotonů, jejíž stavový prostor je dvourozměrný. Konečněrozměrné Hilbertovy prostory můžeme obdržet i v případě, kdy uvažujeme elektrony vázané v orbitalech atomů. Pokud předpokládáme, že excitace elektronu na příliš vysoké energetické hladiny jsou prakticky nemožné, je stavový prostor takovýchto elektronů, alespoň co se jejich energie týče, též konečněrozměrný.<br />
<br />
\subsection{Vývoj v uzavřeném kvantovém systému}<br />
\label{sec:Vyvoj_v_uzavrenem_kvantovem_systemu}<br />
<br />
Jak již bylo předesláno v úvodu, vývoj otevřených systémů se od vývoje těch uzavřených liší. Připomeňme si v krátkosti některé z výsledků kvantové teorie pro uzavřené systémy. Tyto výsledky pak budeme moci konfrontovat s výsledky získanými pro otevřené systémy. Vývoj v uzavřeném systému je generován odpovídajícím Hamiltoniánem $\ham$ prostřednictvím Schrödingerovy rovnice<br />
\begin{equation}<br />
\ii \der{\ket{\psi(t)}} = H \ket{\psi(t)} \quad (\hbar = 1).<br />
\end{equation}<br />
Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru $U(t_2,t_1) = U(t_2 - t_1)$. Časový vývoj systému, jehož stav v čase $t$ označíme $\ket{\psi(t)}$, pak můžeme vyjádřit pomocí evolučního operátoru v kompaktním tvaru $\ket{\psi(t_2)} = U(t_2,t_1) \ket{\psi(t_1)}$. Norma stavového vektoru přitom zůstává zachována, $\der{} \braketSame{\psi(t)} = 0$, jak se lze snadno přesvědčit z rovnice výše. Žádná informace o stavu systému tedy neproudí pryč. Z čistého stavu dostaneme opět čistý stav (pro podrobnosti viz později). Navíc evoluční operátory $U(t)$ tvořící jednoparametrickou grupu transformací popisují časově reverzibilní vývoj. Jak uvidíme, u otevřených systémů žádná z těchto věcí už nebude pravda.<br />
<br />
Protože $H \adj{H} = \adj{H} H$, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormální bázi svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně diagonalizovat nepůjde.<br />
<br />
V následující kapitole probereme ze všeho nejdřív způsob, jakým popisovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlišností je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informací o daném stavu.</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:MF_GMF_FB1.png&diff=5368Soubor:MF GMF FB1.png2014-06-03T18:45:34Z<p>Maresj23: načtena nová verze &quot;Soubor:MF GMF FB1.png&quot;: Fibrovaný prostor</p>
<hr />
<div>Fibrovaný prostor</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5367KTP1:Kapitola02014-06-03T18:43:46Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.2]{musite.png}<br />
\caption{Musíte to opravit}<br />
\end{figure}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5366KTP1:Kapitola02014-06-03T18:43:17Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.2]{poznamky_1.jpg}<br />
\caption{Musíte to opravit}<br />
\end{figure}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=5365KTP1:ControlFile2014-06-03T18:42:14Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{KTP1}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Klein-Gordonova rovnice}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Diracova rovnice}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Prokova rovnice}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Kvantování volných polí a částicová interpretace}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Interakce kvantových polí}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman1.png}{feynman1.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman2.png}{feynman2.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_1.jpg}{poznamky_1.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_2.jpg}{poznamky_2.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_3.jpg}{poznamky_3.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_4.jpg}{poznamky_4.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:musite.png}{musite.png}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5364KTP1:Kapitola02014-06-03T18:41:02Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.2]{musite.png}<br />
\caption{Musíte to opravit}<br />
\end{figure}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5363KTP1:Kapitola02014-06-03T18:39:28Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{center}<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics[height = 2cm]{01FIMA_troj.png}<br />
\end{figure}<br />
\end{center}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5362KTP1:Kapitola02014-06-03T18:38:59Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{center}<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics[height = 2cm]{MF_GMF_FB1.png}<br />
\end{figure}<br />
\end{center}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:MF_GMF_FB1.png&diff=5361Soubor:MF GMF FB1.png2014-06-03T18:36:44Z<p>Maresj23: Fibrovaný prostor</p>
<hr />
<div>Fibrovaný prostor</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola0&diff=5360KTP1:Kapitola02014-06-03T15:03:39Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
Toto wikiskriptum vzniklo podle přednášek Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc. k předmětu Kvantová teorie pole 1 vyučovaného na MFF UK (také pro 1. ročník navazujícího magisterského studia FJFI ČVUT v Praze) v zimním semestru roku 2012.<br />
<br />
Přednáška má tři základní části:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Relativistická kvantová mechanika<br />
\item Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole<br />
\item Kvantování polí, interakce <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{center}<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics[height = 2cm]{musite.png}<br />
\end{figure}<br />
\end{center}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Musite.png&diff=5359Soubor:Musite.png2014-06-03T14:58:26Z<p>Maresj23: načtena nová verze &quot;Soubor:Musite.png&quot;</p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Musite.png&diff=5358Soubor:Musite.png2014-06-03T14:55:50Z<p>Maresj23: načtena nová verze &quot;Soubor:Musite.png&quot;</p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Musite.png&diff=5357Soubor:Musite.png2014-06-03T14:52:31Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola10&diff=516202TSFA:Kapitola102014-01-05T12:02:27Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Principy termodynamiky}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, nultý}\subsection{0. princip termodynamiky} \emph{Systém v termodynamické rovnováze<br />
má všude stejnou teplotu}.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Mějme dva systémy A a B uspořádané následovně:<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{2krabab.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Systémy jsou na sobě zcela nezávislé a můžeme je tedy popsat takto:<br />
<br />
\noindent<br />
A) $$w_{A,\gamma} = \frac{1}{Z_A}\exp(-\beta _A H_{A\gamma}) \qquad Z_{A} = \suma{\gamma}{}\exp\left(-\beta_A H_{A\gamma}\right)$$<br />
B) $$w_{B,\delta} = \frac{1}{Z_B}\exp(-\beta _B H_{B\delta}) \qquad Z_{B} = \suma{\delta}{}\exp\left(-\beta_B H_{B\delta}\right)$$<br />
<br />
Indexy mikrostavů byly v sumách pro A a B zvoleny jako $\gamma$ a $\delta$, protože systém<br />
A má obecně jiné stavy než systém B. Mikrostavy složeného systému jsou určeny dvojicí $(\gamma, \delta)$.<br />
Díky nezávislosti podsystémů můžeme celkové nejpravděpodobnější rozdělení popsat jako <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = w_{A,\gamma} \: . \: w_{B,\delta}$$<br />
<br />
a jejich střední energie spočítat jako<br />
<br />
$$U_A = \suma{\gamma}{}w_{A,\gamma} E_{A,\gamma} = -\pderivx{}{\beta _A} (\ln Z_A)$$<br />
$$U_B = \suma{\delta}{}w_{B,\delta} E_{B,\delta} = -\pderivx{}{\beta _B} (\ln Z_B)$$<br />
<br />
Vneseme nyní mezi systémy slabou vazbu, která umožní nastolení rovnováhy. Výsledný systém je popsán hamiltoniánem<br />
<br />
$$H = H_A + H_B + V \doteq H_A + H_B $$<br />
<br />
kde $V$ je energie vazby. Ta je natolik slabá, že $V$ můžeme zanedbat. Potom<br />
lze říci, že nejpravděpodobnější rozdělení celého systému v rovnováze je <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = \frac{1}{Z}\exp(-\beta H) = \frac{1}{Z}\exp(-\beta (H_{A,\gamma} + H_{B,\delta}))$$<br />
$$Z = \suma{\gamma,\delta}{}\exp(-\beta H_{A,\gamma} - \beta H_{B,\delta})$$<br />
<br />
Zde už se vyskytuje pouze společný Lagrangeův multiplikátor $\beta$. Dále<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z)$$<br />
<br />
a protože systémy jsou kromě zanedbatelné vazby nezávislé, také<br />
<br />
$$Z = Z_A \: . \: Z_B$$<br />
<br />
potom ovšem<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z) = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z_A . Z_B) = $$<br />
$$ = - \pderivx{}{\beta} \ln Z_A - \pderivx{}{\beta} \ln Z_B = \tilde U_A + \tilde U_B$$<br />
<br />
Po zavedení vazby tedy došlo k jisté redistribuci energie tak, že celkové <br />
množství vnitřní energie se nezměnilo, ale energie jednotlivých subsystémů<br />
ano a z monotonie funkcí $U_A(\beta)$ a $U_B(\beta)$ platí, že<br />
<br />
$$\beta _A \le \beta \le \beta _B \text{~~resp.~~} \beta _B \le \beta \le \beta _A$$<br />
<br />
<br />
podle toho jestli bylo původně větší $\beta_A$ nebo $\beta_B$. Z toho vyplývají následující poznatky:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item $\beta$ je možné nějak spojovat s teplotou<br />
\item Výměna energie může probíhat pouze tak, aby platilo, že <br />
$\beta _A < \beta < \beta _B$ a podobně pro teploty. <br />
\item Redistribuce energie v systému nezávisí na absolutních hodnotách <br />
energií v subsystémech, nýbrž pouze na multiplikátorech $\beta$.<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jsou dva limitní případy:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
<br />
\item \emph{Teploměr}: měření teploty provádíme pomocí teploměru, který<br />
by měl mít nejlépe nulovou tepelnou kapacitu, aby z měřeného<br />
systému neodebíral energii (nesnižoval jeho teplotu) a tak jej <br />
neovlivňoval. Potom ovšem $\beta \rightarrow \beta _A$.<br />
<br />
\item \emph{Rezervoár}: odebíráme-li z rezervoáru (lázně, termostatu) energii,<br />
neměla by se změnit jeho teplota. Jeho kapacita by tedy měla<br />
být co největší (pokud možno nekonečná). Potom <br />
$\beta \rightarrow \beta _B$.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, první}<br />
\subsection{I. princip termodynamiky} <br />
\emph{Energie se zachovává, práce ani teplo nevznikají z ničeho a ani nezanikají.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Matematická formulace 1. PT je <br />
<br />
$$\eth Q = dU + \eth W$$<br />
<br />
kde $Q$ je teplo, $U$ vnitřní energie a $W$ práce. Znaménko je voleno tak, že dodané teplo <br />
odpovídá $\eth Q>0$ a vykonaná práce je $\eth W >0$. Znaků $\eth$ je ve<br />
výrazu použito proto, že $Q$ ani $W$ nejsou úplnými diferenciály --- <br />
$\eth Q, \eth W$ jsou pouze přírůstky. Jinak řečeno jejich hodnota závisí na způsobu (dráze), kterým se systém dostal <br />
z počátečního do konečného stavu. Úplné diferenciály, jako $dU$ na cestě nezávisí. <br />
Proberme si nejprve speciální případy.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \emph{Teplo}: předpokládejme, že sledovaný systém nekoná žádnou<br />
práci a pouze vyměňuje teplo s okolím. Proces předání tepla způsobí<br />
změnu rozdělení. Stavy systému (uzavřeného!) sice zůstanou stejné,<br />
ale změní se jejich relativní četnosti. Přidáme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s vyšší energií, odebereme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s nižší energií. Platí:<br />
<br />
$$ \Delta Q = U_2 - U_1 = \suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _2 ) H_\gamma - <br />
\suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _1 ) H_\gamma$$<br />
<br />
Zde $U_1$ a $\beta _1$ jsou veličiny popisující systém před předáním<br />
tepla, kdežto veličiny $U_2, \beta _2$ popisují systém po předání.<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{transw.pdf}<br />
\\ {\small Označení horizontální osy $\beta$ nedává smysl - hodnoty $\beta$ rozlišují mezi dvěma obrázky. Mělo by tam být spíše $\gamma$ nebo různé hodnoty energií mikrostavů $E_n$ (pokud jsou nedegenerované), protože $w$ má každému mikrostavu přiřadit pravděpodobnost.}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
Rozdělení před i po změně ovšem musí být stále normováno, tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta _2) = \suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta_1) = 1$$<br />
<br />
tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) = 0$$<br />
$$\Delta Q = \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) H_\gamma - \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _1) H_\gamma = <br />
\suma{\gamma}{} (w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) ) H_\gamma$$<br />
<br />
a v infinitezimální změně pak $w_\gamma( \beta _2 ) - w_\gamma(\beta _1) = dw_\gamma$ a<br />
<br />
$$dQ = \suma{\gamma}{} dw_\gamma H_\gamma = dU, \qquad<br />
\suma{\gamma}{}dw_\gamma = 0$$<br />
<br />
\item \emph{Práce}: předpokládejme, že systém si s okolím nevyměňuje teplo ($\eth Q = 0$).<br />
Přírůstek práce vykonané systémem je definován jako<br />
<br />
$$d W = \suma{\alpha}{}X_\alpha d \xi _\alpha$$<br />
<br />
kde $X_\alpha$ je zobecněná síla a $\xi _\alpha$ zobecněná souřadnice. Práce je při adiabatickém ději úplným diferenciálem. <br />
Tyto veličiny mohou být různé, jako příklady uveďme dvojice<br />
(síla, dráha), (tlak, objem) či (vnější mg. pole, magnetizace). Máme-li hamiltonián<br />
závislý na zobecněných souřadnicích leč explicitně nezávislý na čase, <br />
a použijeme-li Taylorův rozvoj, získáme vztahy \\ <br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
$H( \xi _\alpha( t + dt) ) = H(\xi _\alpha(t)) + \suma{\alpha}{}<br />
\pderivx{H}{\xi _\alpha} \frac{d \xi _\alpha}{dt}dt \+ \quad $členy vyšších řádů$<br />
\quad \doteq \dots$\\<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Vyšší řády jsou malé, neboť časové změny jsou malé. Nepočítáme žádné výbuchy!<br />
Můžeme je tedy s klidným srdcem, čistým svědomím a úsměvem na tváři zanedbat.<br />
<br />
$$ \dots \doteq H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{} \pderivx{H}{\xi _\alpha} <br />
d \xi _\alpha = $$<br />
$$ = H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{}(-X_\alpha) d \xi _\alpha = H + dH$$<br />
<br />
kde $X _\alpha = -\pderivx{H}{\xi _\alpha}$. Zderivujeme-li<br />
<br />
$$ \derivx{U}{t} = \derivx{}{t} \left<H\right> = \left< -\suma{\alpha}{} X _\alpha \frac{d\xi _\alpha}{dt} \right> = <br />
-\suma{\alpha}{} \left<X _\alpha\right> \frac{d\xi _\alpha}{dt} = -\derivx{W}{t}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tedy máme-li třeba dvojici (tlak, objem), bude $\eth W = \left<p\right> dV$.<br />
<br />
\item \emph{Teplo + Práce}: Vezměme náš systém a) a obklopme ho dvěma dalšími.<br />
Jeden bude sloužit jako klasická tepelná lázeň, druhý jako \uv{rezervoár}<br />
práce (píst).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{syst.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Pokud funkce $F$ není explicitně závislá na čase a $H$ je hamiltonián tohoto systému, tak platí<br />
$$ \frac{dF}{dt} = \{F,H \} $$<br />
Jsou-li dány dva systémy, X a Y s energií $H_X,\,H_Y$, potom \index{závorky, Poissonovy}<br />
Poissonovy závorky $\{H_X,H_Y\}$ udávají rychlost, se kterou teče energie ze systému X do Y.<br />
<br />
%%% Tyto vlastnosti není třeba odvozovat! Maximálně lze ukázat, jaký mají vlastnosti P.z. v tomto případě přímý význam. - V.P.<br />
%Z toho plyne, že musí být antisymetrické $\{H_X,H_Y\} =-\{H_Y,H_X\} $ a tok z X do X <br />
%je nulový $\{H_X,H_X\} = \{H_Y,H_Y\} = 0$. Navíc po přidání systému Z, můžeme X a Y považovat za jediný systém <br />
%a $\{H_X + H_Y,H_Z\} = \{H_X ,H_Z\}+ \{H_Y,H_Z\} $, takže jsou aditivní. <br />
<br />
<br />
Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou $V_{ac}$ umožňující termalizaci <br />
(nastolení rovnováhy). Systém b) má se systémem a) společnou nějakou pracovní<br />
proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nemají nic společného, a tedy<br />
<br />
<br />
$$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
<br />
Celkový hamiltonián definujeme jako<br />
<br />
$$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
<br />
Dále platí, že teplo přijaté systémem a) je<br />
$$ \eth Q_a = - d U_c = -dt \left<\{H_c, H \}\right> = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> $$<br />
a práce jím vykonaná<br />
$$ \eth W_a = d U_b = dt \left<\{H_b, H \}\right> = dt \left<\{H_b, H_a \}\right> $$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů. Navíc, protože vazba mezi systémy a) a c)<br />
má jen zanedbatelnou energii, můžeme uvažovat, že do ní vtéká stejné množství energie jako z ní vytéká <br />
$$ \{H_c, V_{ac}\} =\{ V_{ac},H_a\} $$<br />
Celkem dostaneme<br />
$$\eth Q_a - \eth W_a = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> -dt \left<\{H_b, H_a \}\right> =$$<br />
$$= -dt \left<\{H_c+H_b+V_{ac} , H_a \}\right> = dt \left<\{H_a, H \}\right> = d U_a$$<br />
<br />
Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
<br />
$$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
<br />
<br />
% Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou umožňující termalizaci <br />
% (nastolení rovnováhy) a se systémem b) má a) společnou nějakou pracovní<br />
% proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nic společného nemají<br />
% a tedy<br />
% <br />
% $$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
% <br />
% Platí, že<br />
% <br />
% $$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
% $$ \eth Q = - d U_b = -dt \left<\{H, H_b \}\right> = -dt \left<\{V_{ac}, H_b \}\right> $$<br />
% $$ \eth W = -d U_c = -dt \left<\{H, H_c \}\right> = -dt \left<\{H_a, H_c \}\right> $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů a potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = -d U_b - d U_c = \eth Q + \eth W $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Celek je časově nezávislý, časová změna hamiltoniánu z c)-a) je<br />
% kompenzována stejně velkou, avšak opačnou změnou v b)-a). Potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = \eth Q + \eth W = dt \left< \{ H_a, H_b + V_{ac} \} \right> $$<br />
% $$ d U_a = \suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)<br />
% + \suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$$<br />
% <br />
% přičemž $ d H_a $ závisí výhradně na makroskopických veličinách. Jak jsme si<br />
% objasnili v předchozích dvou kapitolkách, má výraz $\suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)$<br />
% význam tepla (při dodání tepla se mění rozdělení a pravděpodobnější budou stavy s vyšší energií) a výraz $\suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$ má význam práce (měníme<br />
% Hamiltonián soustavy). Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
% <br />
% $$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
% <br />
% Mínus je zde kvůli znaménkové konvenci.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, druhý}<br />
<br />
\subsection{II. princip termodynamiky} <br />
\emph{Nelze cyklickým procesem přenášet teplo ze studeného tělesa na teplé, bez toho aby se jisté množství dodané práce nepřeměnilo na teplo. }<br />
\label{2pt}<br />
\bigskip<br />
<br />
V následujících kapitolách až do kapitoly \ref{chap:vrat} budeme uvažovat pouze kvazistatické děje \index{děj, kvazistatický}, což jsou<br />
nekonečně pomalé děje takové že je celý systém po celý čas v rovnováze. Jedná se o limitní případ reálných dějů.<br />
V klasické fenomenologické termodynamice je entropie definována jako<br />
<br />
$$ dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad S_2 - S_1 = <br />
\suma{j}{}\integral{}{} \frac{d Q_j}{T_j}$$<br />
<br />
kde $j$ je index rezervoáru - popisujeme interakci s více rezervoáry. Jedná se o matematickou formulaci 2.PT pro kvazistatické děje. Inverzní hodnota <br />
teploty přestavuje integrující faktor diferenciální formy $\eth Q$, proto je $dS$ úplným diferenciálem. Ovšem statistická entropie kanonického souboru je definována výrazem<br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B d\left(\sum_\gamma w_\gamma\ln w_\gamma\right) = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma -k_B \sum \frac{w_\gamma}{w_\gamma}dw_\gamma $$<br />
<br />
z normovací podmínky $\sum w_\gamma = 1$ plyne, že $\sum dw_\gamma = 0$, proto <br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma (-\ln Z -\beta H_\gamma) = k_B \sum_\gamma dw_\gamma \beta H_\gamma$$<br />
Zde $\suma{\gamma}{} d( w_\gamma )H_\gamma$ má význam energie a v minulé<br />
kapitole jsme si jej ztotožnili s~teplem $\eth Q$. Pokud budeme požadovat rovnost diferenciálů statistické a fenomenologické entropie, dostáváme<br />
<br />
$$dS_{stat} = k_B\beta \eth Q = \frac{\eth Q}{T} = dS$$ <br />
<br />
a platí tedy <br />
$$\beta = \frac1 {k_B T}$$<br />
<br />
% <br />
\begin{remark}<br />
Protože hovoříme o diferenciálech, mohou se $S$ a $S_{\rm stat}$ lišit o konstantu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme dva druhy atomů v jedné krabici, na počátku oddělené přepážkou.<br />
Přepážku odstraňme a smíchejme je. Rozdělení mikrostavů jsou stejné, každá<br />
z částic může být vlevo či vpravo $\Rightarrow$ binomické rozdělení (viz<br />
cvičení), tak kde je ten nárůst entropie?<br />
<br />
Omezíme-li se na malý počet parametrů, vědomosti o tom, kde je která částice (vlevo / vpravo)<br />
nám zůstanou skryty. Na počátku jsme ale věděli, že atomy prvního plynu byly<br />
vlevo a atomy druhého vpravo. Smícháním tedy naše nevědomost vzrostla --- zvýšila<br />
se entropie.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, třetí}<br />
\subsection{III. princip termodynamiky} \emph{Při $T \rightarrow 0$ mají všechny chemicky<br />
čisté látky stejnou entropii (konstantní) a tu lze položit rovnu nule.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Zkontrolujme, zda $S = - k_B \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma \rightarrow 0$ .<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Pro $T \rightarrow 0$ jde $\beta \rightarrow +\infty$. To znamená, že členy <br />
<br />
$$\exp( - \beta E_\gamma) = \frac{1}{\exp(\beta E_\gamma)}$$<br />
<br />
se rychle zmenšují a postupně jdou k nule. Suma $\suma{\gamma}{}$ tedy zahrnuje s klesajícím<br />
$T$ stále více členů, které jsou prakticky nulové. Nejdéle \uv{vydrží} ty členy, které mají hodně malé<br />
$E_\gamma$, jež dokáže na čas vyrušit účinky prakticky nekonečného $\beta$. Ale i ty nakonec <br />
podlehnou a pro $\beta \approx \infty$ zůstane vlastně jen jeden člen: $E_\gamma = 0$. Tj. v~limitě<br />
přežije jen jeden stav a to ten s nulovou energií. Vzniká diskrétní rozdělení (viz. obrázek,<br />
$T_3 < T_2 < T_1$).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{3pt.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Ovšem $S = - k_B \suma{\gamma = \gamma_0}{} w_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \:.\: 1 \:.\: \ln 1 = 0$ a $\lim_{x\rightarrow 0} x \ln x = 0$, entropie<br />
je tedy opravdu nulová. <br />
<br />
V podstatě jde o to, že při nízkých teplotách systém sestupuje do stavů s nižší energií<br />
a při absolutní nule si sedne do základního stavu. Ten sice nemusí mít nulovou<br />
energii (např. elektronový obal atomu má energii zápornou a přechodem k základnímu stavu<br />
se tedy od nulové energie ještě vzdaluje),<br />
ale důležité je, že tento stav je pouze \emph{jeden}. Je-li tedy systém v základním stavu,<br />
je pevně určen (nulová neurčitost) a statistická entropie musí být nulová.<br />
<br />
Podotkněme, že tento předpoklad může porušen u kvantových systémů, kde nejnižší energii může<br />
stále ještě odpovídat více mikrostavů, které se liší jen vnitřními stupni volnosti (například spinem).</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola10&diff=516102TSFA:Kapitola102014-01-05T11:35:37Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Principy termodynamiky}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, nultý}\subsection{0. princip termodynamiky} \emph{Systém v termodynamické rovnováze<br />
má všude stejnou teplotu}.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Mějme dva systémy A a B uspořádané následovně:<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{2krabab.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Systémy jsou na sobě zcela nezávislé a můžeme je tedy popsat takto:<br />
<br />
\noindent<br />
A) $$w_{A,\gamma} = \frac{1}{Z_A}\exp(-\beta _A H_{A\gamma}) \qquad Z_{A} = \suma{\gamma}{}\exp\left(-\beta_A H_{A\gamma}\right)$$<br />
B) $$w_{B,\delta} = \frac{1}{Z_B}\exp(-\beta _B H_{B\delta}) \qquad Z_{B} = \suma{\delta}{}\exp\left(-\beta_B H_{B\delta}\right)$$<br />
<br />
Indexy mikrostavů byly v sumách pro A a B zvoleny jako $\gamma$ a $\delta$, protože systém<br />
A má obecně jiné stavy než systém B. Mikrostavy složeného systému jsou určeny dvojicí $(\gamma, \delta)$.<br />
Díky nezávislosti podsystémů můžeme celkové nejpravděpodobnější rozdělení popsat jako <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = w_{A,\gamma} \: . \: w_{B,\delta}$$<br />
<br />
a jejich střední energie spočítat jako<br />
<br />
$$U_A = \suma{\gamma}{}w_{A,\gamma} E_{A,\gamma} = -\pderivx{}{\beta _A} (\ln Z_A)$$<br />
$$U_B = \suma{\delta}{}w_{B,\delta} E_{B,\delta} = -\pderivx{}{\beta _B} (\ln Z_B)$$<br />
<br />
Vneseme nyní mezi systémy slabou vazbu, která umožní nastolení rovnováhy. Výsledný systém je popsán hamiltoniánem<br />
<br />
$$H = H_A + H_B + V \doteq H_A + H_B $$<br />
<br />
kde $V$ je energie vazby. Ta je natolik slabá, že $V$ můžeme zanedbat. Potom<br />
lze říci, že nejpravděpodobnější rozdělení celého systému v rovnováze je <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = \frac{1}{Z}\exp(-\beta H) = \frac{1}{Z}\exp(-\beta (H_{A,\gamma} + H_{B,\delta}))$$<br />
$$Z = \suma{\gamma,\delta}{}\exp(-\beta H_{A,\gamma} - \beta H_{B,\delta})$$<br />
<br />
Zde už se vyskytuje pouze společný Lagrangeův multiplikátor $\beta$. Dále<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z)$$<br />
<br />
a protože systémy jsou kromě zanedbatelné vazby nezávislé, také<br />
<br />
$$Z = Z_A \: . \: Z_B$$<br />
<br />
potom ovšem<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z) = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z_A . Z_B) = $$<br />
$$ = - \pderivx{}{\beta} \ln Z_A - \pderivx{}{\beta} \ln Z_B = \tilde U_A + \tilde U_B$$<br />
<br />
Po zavedení vazby tedy došlo k jisté redistribuci energie tak, že celkové <br />
množství vnitřní energie se nezměnilo, ale energie jednotlivých subsystémů<br />
ano a z monotonie funkcí $U_A(\beta)$ a $U_B(\beta)$ platí, že<br />
<br />
$$\beta _A \le \beta \le \beta _B \text{~~resp.~~} \beta _B \le \beta \le \beta _A$$<br />
<br />
<br />
podle toho jestli bylo původně větší $\beta_A$ nebo $\beta_B$. Z toho vyplývají následující poznatky:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item $\beta$ je možné nějak spojovat s teplotou<br />
\item Výměna energie může probíhat pouze tak, aby platilo, že <br />
$\beta _A < \beta < \beta _B$ a podobně pro teploty. <br />
\item Redistribuce energie v systému nezávisí na absolutních hodnotách <br />
energií v subsystémech, nýbrž pouze na multiplikátorech $\beta$.<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jsou dva limitní případy:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
<br />
\item \emph{Teploměr}: měření teploty provádíme pomocí teploměru, který<br />
by měl mít nejlépe nulovou tepelnou kapacitu, aby z měřeného<br />
systému neodebíral energii (nesnižoval jeho teplotu) a tak jej <br />
neovlivňoval. Potom ovšem $\beta \rightarrow \beta _A$.<br />
<br />
\item \emph{Rezervoár}: odebíráme-li z rezervoáru (lázně, termostatu) energii,<br />
neměla by se změnit jeho teplota. Jeho kapacita by tedy měla<br />
být co největší (pokud možno nekonečná). Potom <br />
$\beta \rightarrow \beta _B$.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, první}<br />
\subsection{I. princip termodynamiky} <br />
\emph{Energie se zachovává, práce ani teplo nevznikají z ničeho a ani nezanikají.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Matematická formulace 1. PT je <br />
<br />
$$\eth Q = dU + \eth W$$<br />
<br />
kde $Q$ je teplo, $U$ vnitřní energie a $W$ práce. Znaménko je voleno tak, že dodané teplo <br />
odpovídá $\eth Q>0$ a vykonaná práce je $\eth W >0$. Znaků $\eth$ je ve<br />
výrazu použito proto, že $Q$ ani $W$ nejsou úplnými diferenciály --- <br />
$\eth Q, \eth W$ jsou pouze přírůstky. Jinak řečeno jejich hodnota závisí na způsobu (dráze), kterým se systém dostal <br />
z počátečního do konečného stavu. Úplné diferenciály, jako $dU$ na cestě nezávisí. <br />
Proberme si nejprve speciální případy.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \emph{Teplo}: předpokládejme, že sledovaný systém nekoná žádnou<br />
práci a pouze vyměňuje teplo s okolím. Proces předání tepla způsobí<br />
změnu rozdělení. Stavy systému (uzavřeného!) sice zůstanou stejné,<br />
ale změní se jejich relativní četnosti. Přidáme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s vyšší energií, odebereme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s nižší energií. Platí:<br />
<br />
$$ \Delta Q = U_2 - U_1 = \suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _2 ) H_\gamma - <br />
\suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _1 ) H_\gamma$$<br />
<br />
Zde $U_1$ a $\beta _1$ jsou veličiny popisující systém před předáním<br />
tepla, kdežto veličiny $U_2, \beta _2$ popisují systém po předání.<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{transw.pdf}<br />
\\ {\small Označení horizontální osy $\beta$ nedává smysl - hodnoty $\beta$ rozlišují mezi dvěma obrázky. Mělo by tam být spíše $\gamma$ nebo různé hodnoty energií mikrostavů $E_n$ (pokud jsou nedegenerované), protože $w$ má každému mikrostavu přiřadit pravděpodobnost.}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
Rozdělení před i po změně ovšem musí být stále normováno, tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta _2) = \suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta_1) = 1$$<br />
<br />
tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) = 0$$<br />
$$\Delta Q = \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) H_\gamma - \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _1) H_\gamma = <br />
\suma{\gamma}{} (w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) ) H_\gamma$$<br />
<br />
a v infinitezimální změně pak $w_\gamma( \beta _2 ) - w_\gamma(\beta _1) = dw$ a<br />
<br />
$$dQ = \suma{\gamma}{} dw_\gamma H_\gamma = dU, \qquad<br />
\suma{\gamma}{}dw_\gamma = 0$$<br />
<br />
\item \emph{Práce}: předpokládejme, že systém si s okolím nevyměňuje teplo ($\eth Q = 0$).<br />
Přírůstek práce vykonané systémem je definován jako<br />
<br />
$$d W = \suma{\alpha}{}X_\alpha d \xi _\alpha$$<br />
<br />
kde $X_\alpha$ je zobecněná síla a $\xi _\alpha$ zobecněná souřadnice. Práce je při adiabatickém ději úplným diferenciálem. <br />
Tyto veličiny mohou být různé, jako příklady uveďme dvojice<br />
(síla, dráha), (tlak, objem) či (vnější mg. pole, magnetizace). Máme-li hamiltonián<br />
závislý na zobecněných souřadnicích leč explicitně nezávislý na čase, <br />
a použijeme-li Taylorův rozvoj, získáme vztahy \\ <br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
$H( \xi _\alpha( t + dt) ) = H(\xi _\alpha(t)) + \suma{\alpha}{}<br />
\pderivx{H}{\xi _\alpha} \frac{d \xi _\alpha}{dt}dt \+ \quad $členy vyšších řádů$<br />
\quad \doteq \dots$\\<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Vyšší řády jsou malé, neboť časové změny jsou malé. Nepočítáme žádné výbuchy!<br />
Můžeme je tedy s klidným srdcem, čistým svědomím a úsměvem na tváři zanedbat.<br />
<br />
$$ \dots \doteq H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{} \pderivx{H}{\xi _\alpha} <br />
d \xi _\alpha = $$<br />
$$ = H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{}(-X_\alpha) d \xi _\alpha = H + dH$$<br />
<br />
kde $X _\alpha = -\pderivx{H}{\xi _\alpha}$. Zderivujeme-li<br />
<br />
$$ \derivx{U}{t} = \derivx{}{t} \left<H\right> = \left< -\suma{\alpha}{} X _\alpha \frac{d\xi _\alpha}{dt} \right> = <br />
-\suma{\alpha}{} \left<X _\alpha\right> \frac{d\xi _\alpha}{dt} = -\derivx{W}{t}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tedy máme-li třeba dvojici (tlak, objem), bude $\eth W = \left<p\right> dV$.<br />
<br />
\item \emph{Teplo + Práce}: Vezměme náš systém a) a obklopme ho dvěma dalšími.<br />
Jeden bude sloužit jako klasická tepelná lázeň, druhý jako \uv{rezervoár}<br />
práce (píst).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{syst.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Pokud funkce $F$ není explicitně závislá na čase a $H$ je hamiltonián tohoto systému, tak platí<br />
$$ \frac{dF}{dt} = \{F,H \} $$<br />
Jsou-li dány dva systémy, X a Y s energií $H_X,\,H_Y$, potom \index{závorky, Poissonovy}<br />
Poissonovy závorky $\{H_X,H_Y\}$ udávají rychlost, se kterou teče energie ze systému X do Y.<br />
<br />
%%% Tyto vlastnosti není třeba odvozovat! Maximálně lze ukázat, jaký mají vlastnosti P.z. v tomto případě přímý význam. - V.P.<br />
%Z toho plyne, že musí být antisymetrické $\{H_X,H_Y\} =-\{H_Y,H_X\} $ a tok z X do X <br />
%je nulový $\{H_X,H_X\} = \{H_Y,H_Y\} = 0$. Navíc po přidání systému Z, můžeme X a Y považovat za jediný systém <br />
%a $\{H_X + H_Y,H_Z\} = \{H_X ,H_Z\}+ \{H_Y,H_Z\} $, takže jsou aditivní. <br />
<br />
<br />
Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou $V_{ac}$ umožňující termalizaci <br />
(nastolení rovnováhy). Systém b) má se systémem a) společnou nějakou pracovní<br />
proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nemají nic společného, a tedy<br />
<br />
<br />
$$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
<br />
Celkový hamiltonián definujeme jako<br />
<br />
$$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
<br />
Dále platí, že teplo přijaté systémem a) je<br />
$$ \eth Q_a = - d U_c = -dt \left<\{H_c, H \}\right> = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> $$<br />
a práce jím vykonaná<br />
$$ \eth W_a = d U_b = dt \left<\{H_b, H \}\right> = dt \left<\{H_b, H_a \}\right> $$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů. Navíc, protože vazba mezi systémy a) a c)<br />
má jen zanedbatelnou energii, můžeme uvažovat, že do ní vtéká stejné množství energie jako z ní vytéká <br />
$$ \{H_c, V_{ac}\} =\{ V_{ac},H_a\} $$<br />
Celkem dostaneme<br />
$$\eth Q_a - \eth W_a = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> -dt \left<\{H_b, H_a \}\right> =$$<br />
$$= -dt \left<\{H_c+H_b+V_{ac} , H_a \}\right> = dt \left<\{H_a, H \}\right> = d U_a$$<br />
<br />
Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
<br />
$$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
<br />
<br />
% Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou umožňující termalizaci <br />
% (nastolení rovnováhy) a se systémem b) má a) společnou nějakou pracovní<br />
% proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nic společného nemají<br />
% a tedy<br />
% <br />
% $$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
% <br />
% Platí, že<br />
% <br />
% $$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
% $$ \eth Q = - d U_b = -dt \left<\{H, H_b \}\right> = -dt \left<\{V_{ac}, H_b \}\right> $$<br />
% $$ \eth W = -d U_c = -dt \left<\{H, H_c \}\right> = -dt \left<\{H_a, H_c \}\right> $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů a potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = -d U_b - d U_c = \eth Q + \eth W $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Celek je časově nezávislý, časová změna hamiltoniánu z c)-a) je<br />
% kompenzována stejně velkou, avšak opačnou změnou v b)-a). Potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = \eth Q + \eth W = dt \left< \{ H_a, H_b + V_{ac} \} \right> $$<br />
% $$ d U_a = \suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)<br />
% + \suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$$<br />
% <br />
% přičemž $ d H_a $ závisí výhradně na makroskopických veličinách. Jak jsme si<br />
% objasnili v předchozích dvou kapitolkách, má výraz $\suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)$<br />
% význam tepla (při dodání tepla se mění rozdělení a pravděpodobnější budou stavy s vyšší energií) a výraz $\suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$ má význam práce (měníme<br />
% Hamiltonián soustavy). Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
% <br />
% $$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
% <br />
% Mínus je zde kvůli znaménkové konvenci.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, druhý}<br />
<br />
\subsection{II. princip termodynamiky} <br />
\emph{Nelze cyklickým procesem přenášet teplo ze studeného tělesa na teplé, bez toho aby se jisté množství dodané práce nepřeměnilo na teplo. }<br />
\label{2pt}<br />
\bigskip<br />
<br />
V následujících kapitolách až do kapitoly \ref{chap:vrat} budeme uvažovat pouze kvazistatické děje \index{děj, kvazistatický}, což jsou<br />
nekonečně pomalé děje takové že je celý systém po celý čas v rovnováze. Jedné se o limitní případ reálných dějů.<br />
V klasické fenomenologické termodynamice pro je entropie definována jako<br />
<br />
$$ dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad S_2 - S_1 = <br />
\suma{j}{}\integral{}{} \frac{d Q_j}{T_j}$$<br />
<br />
kde $j$ je index rezervoáru. Jedná se o matematickou formulaci 2.PT pro kvazistatické děje. Inverzní hodnota <br />
teploty přestavuje integrující faktor diferenciální formy $\eth Q$, proto je $dS$ úplným diferenciálem. Ovšem statistická entropie kanonického je definována výrazem<br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B d\left(\sum_\gamma w_\gamma\ln w_\gamma\right) = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma -k_B \sum \frac{w_\gamma}{w_\gamma}dw_\gamma $$<br />
<br />
z normovací podmínky $\sum w_\gamma = 1$ plyne, že $\sum dw_\gamma = 0$, proto <br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma (-\ln Z -\beta H_\gamma) = k_B \sum_\gamma dw_\gamma \beta H_\gamma$$<br />
Zde $\suma{\gamma}{} d( w_\gamma )H_\gamma$ má význam energie a v minulé<br />
kapitole jsme si jej ztotožnili s~teplem $\eth Q$. Pokud budeme požadovat rovnost diferenciálů statistické a fenomenologické entropie, dostáváme<br />
<br />
$$dS_{stat} = k_B\beta \eth Q = \frac{\eth Q}{T} = dS$$ <br />
<br />
a platí tedy <br />
$$\beta = \frac1 {k_B T}$$<br />
<br />
% <br />
\begin{remark}<br />
Protože hovoříme o diferenciálech, mohou se $S$ a $S_{\rm stat}$ lišit o konstantu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme dva druhy atomů v jedné krabici, na počátku oddělené přepážkou.<br />
Přepážku odstraňme a smíchejme je. Rozdělení mikrostavů jsou stejné, každá<br />
z částic může být vlevo či vpravo $\Rightarrow$ binomické rozdělení (viz<br />
cvičení), tak kde je ten nárůst entropie?<br />
<br />
Omezíme-li se na malý počet parametrů, vědomosti o tom, kde je která částice (vlevo / vpravo)<br />
nám zůstanou skryty. Na počátku jsme ale věděli, že atomy prvního plynu byly<br />
vlevo a atomy druhého vpravo. Smícháním tedy naše nevědomost vzrostla --- zvýšila<br />
se entropie.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, třetí}<br />
\subsection{III. princip termodynamiky} \emph{Při $T \rightarrow 0$ mají všechny chemicky<br />
čisté látky stejnou entropii (konstantní) a tu lze položit rovnu nule.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Zkontrolujme, zda $S = - k_B \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma \rightarrow 0$ .<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Pro $T \rightarrow 0$ jde $\beta \rightarrow +\infty$. To znamená, že členy <br />
<br />
$$\exp( - \beta E_\gamma) = \frac{1}{\exp(\beta E_\gamma)}$$<br />
<br />
se rychle zmenšují a postupně jdou k nule. Suma $\suma{\gamma}{}$ tedy zahrnuje s klesajícím<br />
$T$ stále více členů, které jsou prakticky nulové. Nejdéle \uv{vydrží} ty členy, které mají hodně malé<br />
$E_\gamma$, jež dokáže na čas vyrušit účinky prakticky nekonečného $\beta$. Ale i ty nakonec <br />
podlehnou a pro $\beta \approx \infty$ zůstane vlastně jen jeden člen: $E_\gamma = 0$. Tj. v~limitě<br />
přežije jen jeden stav a to ten s nulovou energií. Vzniká diskrétní rozdělení (viz. obrázek,<br />
$T_3 < T_2 < T_1$).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{3pt.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Ovšem $S = - k_B \suma{\gamma = \gamma_0}{} w_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \:.\: 1 \:.\: \ln 1 = 0$ a $\lim_{x\rightarrow 0} x \ln x = 0$, entropie<br />
je tedy opravdu nulová. <br />
<br />
V podstatě jde o to, že při nízkých teplotách systém sestupuje do stavů s nižší energií<br />
a při absolutní nule si sedne do základního stavu. Ten sice nemusí mít nulovou<br />
energii (např. elektronový obal atomu má energii zápornou a přechodem k základnímu stavu<br />
se tedy od nulové energie ještě vzdaluje),<br />
ale důležité je, že tento stav je pouze \emph{jeden}. Je-li tedy systém v základním stavu,<br />
je pevně určen (nulová neurčitost) a statistická entropie musí být nulová.<br />
<br />
Podotkněme, že tento předpoklad může porušen u kvantových systémů, kde nejnižší energii může<br />
stále ještě odpovídat více mikrostavů, které se liší jen vnitřními stupni volnosti (například spinem).</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola10&diff=516002TSFA:Kapitola102014-01-05T11:33:56Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Principy termodynamiky}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, nultý}\subsection{0. princip termodynamiky} \emph{Systém v termodynamické rovnováze<br />
má všude stejnou teplotu}.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Mějme dva systémy A a B uspořádané následovně:<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{2krabab.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Systémy jsou na sobě zcela nezávislé a můžeme je tedy popsat takto:<br />
<br />
\noindent<br />
A) $$w_{A,\gamma} = \frac{1}{Z_A}\exp(-\beta _A H_{A\gamma}) \qquad Z_{A} = \suma{\gamma}{}\exp\left(-\beta_A H_{A\gamma}\right)$$<br />
B) $$w_{B,\delta} = \frac{1}{Z_B}\exp(-\beta _B H_{B\delta}) \qquad Z_{B} = \suma{\delta}{}\exp\left(-\beta_B H_{B\delta}\right)$$<br />
<br />
Indexy mikrostavů byly v sumách pro A a B zvoleny jako $\gamma$ a $\delta$, protože systém<br />
A má obecně jiné stavy než systém B. Mikrostavy složeného systému jsou určeny dvojicí $(\gamma, \delta)$.<br />
Díky nezávislosti podsystémů můžeme celkové nejpravděpodobnější rozdělení popsat jako <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = w_{A,\gamma} \: . \: w_{B,\delta}$$<br />
<br />
a jejich střední energie spočítat jako<br />
<br />
$$U_A = \suma{\gamma}{}w_{A,\gamma} E_{A,\gamma} = -\pderivx{}{\beta _A} (\ln Z_A)$$<br />
$$U_B = \suma{\delta}{}w_{B,\delta} E_{B,\delta} = -\pderivx{}{\beta _B} (\ln Z_B)$$<br />
<br />
Vneseme nyní mezi systémy slabou vazbu, která umožní nastolení rovnováhy. Výsledný systém je popsán hamiltoniánem<br />
<br />
$$H = H_A + H_B + V \doteq H_A + H_B $$<br />
<br />
kde $V$ je energie vazby. Ta je natolik slabá, že $V$ můžeme zanedbat. Potom<br />
lze říci, že nejpravděpodobnější rozdělení celého systému v rovnováze je <br />
<br />
$$w_{\gamma\delta} = \frac{1}{Z}\exp(-\beta H) = \frac{1}{Z}\exp(-\beta (H_{A,\gamma} + H_{B,\delta}))$$<br />
$$Z = \suma{\gamma,\delta}{}\exp(-\beta H_{A,\gamma} - \beta H_{B,\delta})$$<br />
<br />
Zde už se vyskytuje pouze společný Lagrangeův multiplikátor $\beta$. Dále<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z)$$<br />
<br />
a protože systémy jsou kromě zanedbatelné vazby nezávislé, také<br />
<br />
$$Z = Z_A \: . \: Z_B$$<br />
<br />
potom ovšem<br />
<br />
$$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z) = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z_A . Z_B) = $$<br />
$$ = - \pderivx{}{\beta} \ln Z_A - \pderivx{}{\beta} \ln Z_B = \tilde U_A + \tilde U_B$$<br />
<br />
Po zavedení vazby tedy došlo k jisté redistribuci energie tak, že celkové <br />
množství vnitřní energie se nezměnilo, ale energie jednotlivých subsystémů<br />
ano a z monotonie funkcí $U_A(\beta)$ a $U_B(\beta)$ platí, že<br />
<br />
$$\beta _A \le \beta \le \beta _B \text{~~resp.~~} \beta _B \le \beta \le \beta _A$$<br />
<br />
<br />
podle toho jestli bylo původně větší $\beta_A$ nebo $\beta_B$. Z toho vyplývají následující poznatky:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item $\beta$ je možné nějak spojovat s teplotou<br />
\item Výměna energie může probíhat pouze tak, aby platilo, že <br />
$\beta _A < \beta < \beta _B$ a podobně pro teploty. <br />
\item Redistribuce energie v systému nezávisí na absolutních hodnotách <br />
energií v subsystémech, nýbrž pouze na multiplikátorech $\beta$.<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jsou dva limitní případy:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
<br />
\item \emph{Teploměr}: měření teploty provádíme pomocí teploměru, který<br />
by měl mít nejlépe nulovou tepelnou kapacitu, aby z měřeného<br />
systému neodebíral energii (nesnižoval jeho teplotu) a tak jej <br />
neovlivňoval. Potom ovšem $\beta \rightarrow \beta _A$.<br />
<br />
\item \emph{Rezervoár}: odebíráme-li z rezervoáru (lázně, termostatu) energii,<br />
neměla by se změnit jeho teplota. Jeho kapacita by tedy měla<br />
být co největší (pokud možno nekonečná). Potom <br />
$\beta \rightarrow \beta _B$.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, první}<br />
\subsection{I. princip termodynamiky} <br />
\emph{Energie se zachovává, práce ani teplo nevznikají z ničeho a ani nezanikají.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Matematická formulace 1. PT je <br />
<br />
$$\eth Q = dU + \eth W$$<br />
<br />
kde $Q$ je teplo, $U$ vnitřní energie a $W$ práce. Znaménko je voleno tak, že dodané teplo <br />
odpovídá $\eth Q>0$ a vykonaná práce je $\eth W >0$. Znaků $\eth$ je ve<br />
výrazu použito proto, že $Q$ ani $W$ nejsou úplnými diferenciály --- <br />
$\eth Q, \eth W$ jsou pouze přírůstky. Jinak řečeno jejich hodnota závisí na způsobu (dráze), kterým se systém dostal <br />
z počátečního do konečného stavu. Úplné diferenciály, jako $dU$ na cestě nezávisí. <br />
Proberme si nejprve speciální případy.<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item \emph{Teplo}: předpokládejme, že sledovaný systém nekoná žádnou<br />
práci a pouze vyměňuje teplo s okolím. Proces předání tepla způsobí<br />
změnu rozdělení. Stavy systému (uzavřeného!) sice zůstanou stejné,<br />
ale změní se jejich relativní četnosti. Přidáme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s vyšší energií, odebereme-li teplo, stanou se<br />
pravděpodobnějšími ty s nižší energií. Platí:<br />
<br />
$$ \Delta Q = U_2 - U_1 = \suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _2 ) H_\gamma - <br />
\suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _1 ) H_\gamma$$<br />
<br />
Zde $U_1$ a $\beta _1$ jsou veličiny popisující systém před předáním<br />
tepla, kdežto veličiny $U_2, \beta _2$ popisují systém po předání.<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{transw.pdf}<br />
Označení horizontální osy $\beta$ nedává smysl - hodnoty $\beta$ rozlišují mezi dvěma obrázky. Mělo by tam být spíše $\gamma$ nebo různé hodnoty energií mikrostavů $E_n$ (pokud jsou nedegenerované), protože $w$ má každému mikrostavu přiřadit pravděpodobnost.<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
Rozdělení před i po změně ovšem musí být stále normováno, tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta _2) = \suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta_1) = 1$$<br />
<br />
tedy<br />
<br />
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) = 0$$<br />
$$\Delta Q = \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) H_\gamma - \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _1) H_\gamma = <br />
\suma{\gamma}{} (w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) ) H_\gamma$$<br />
<br />
a v infinitezimální změně pak $w_\gamma( \beta _2 ) - w_\gamma(\beta _1) = dw$ a<br />
<br />
$$dQ = \suma{\gamma}{} dw_\gamma H_\gamma = dU, \qquad<br />
\suma{\gamma}{}dw_\gamma = 0$$<br />
<br />
\item \emph{Práce}: předpokládejme, že systém si s okolím nevyměňuje teplo ($\eth Q = 0$).<br />
Přírůstek práce vykonané systémem je definován jako<br />
<br />
$$d W = \suma{\alpha}{}X_\alpha d \xi _\alpha$$<br />
<br />
kde $X_\alpha$ je zobecněná síla a $\xi _\alpha$ zobecněná souřadnice. Práce je při adiabatickém ději úplným diferenciálem. <br />
Tyto veličiny mohou být různé, jako příklady uveďme dvojice<br />
(síla, dráha), (tlak, objem) či (vnější mg. pole, magnetizace). Máme-li hamiltonián<br />
závislý na zobecněných souřadnicích leč explicitně nezávislý na čase, <br />
a použijeme-li Taylorův rozvoj, získáme vztahy \\ <br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
$H( \xi _\alpha( t + dt) ) = H(\xi _\alpha(t)) + \suma{\alpha}{}<br />
\pderivx{H}{\xi _\alpha} \frac{d \xi _\alpha}{dt}dt \+ \quad $členy vyšších řádů$<br />
\quad \doteq \dots$\\<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Vyšší řády jsou malé, neboť časové změny jsou malé. Nepočítáme žádné výbuchy!<br />
Můžeme je tedy s klidným srdcem, čistým svědomím a úsměvem na tváři zanedbat.<br />
<br />
$$ \dots \doteq H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{} \pderivx{H}{\xi _\alpha} <br />
d \xi _\alpha = $$<br />
$$ = H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{}(-X_\alpha) d \xi _\alpha = H + dH$$<br />
<br />
kde $X _\alpha = -\pderivx{H}{\xi _\alpha}$. Zderivujeme-li<br />
<br />
$$ \derivx{U}{t} = \derivx{}{t} \left<H\right> = \left< -\suma{\alpha}{} X _\alpha \frac{d\xi _\alpha}{dt} \right> = <br />
-\suma{\alpha}{} \left<X _\alpha\right> \frac{d\xi _\alpha}{dt} = -\derivx{W}{t}$$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tedy máme-li třeba dvojici (tlak, objem), bude $\eth W = \left<p\right> dV$.<br />
<br />
\item \emph{Teplo + Práce}: Vezměme náš systém a) a obklopme ho dvěma dalšími.<br />
Jeden bude sloužit jako klasická tepelná lázeň, druhý jako \uv{rezervoár}<br />
práce (píst).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{syst.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Pokud funkce $F$ není explicitně závislá na čase a $H$ je hamiltonián tohoto systému, tak platí<br />
$$ \frac{dF}{dt} = \{F,H \} $$<br />
Jsou-li dány dva systémy, X a Y s energií $H_X,\,H_Y$, potom \index{závorky, Poissonovy}<br />
Poissonovy závorky $\{H_X,H_Y\}$ udávají rychlost, se kterou teče energie ze systému X do Y.<br />
<br />
%%% Tyto vlastnosti není třeba odvozovat! Maximálně lze ukázat, jaký mají vlastnosti P.z. v tomto případě přímý význam. - V.P.<br />
%Z toho plyne, že musí být antisymetrické $\{H_X,H_Y\} =-\{H_Y,H_X\} $ a tok z X do X <br />
%je nulový $\{H_X,H_X\} = \{H_Y,H_Y\} = 0$. Navíc po přidání systému Z, můžeme X a Y považovat za jediný systém <br />
%a $\{H_X + H_Y,H_Z\} = \{H_X ,H_Z\}+ \{H_Y,H_Z\} $, takže jsou aditivní. <br />
<br />
<br />
Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou $V_{ac}$ umožňující termalizaci <br />
(nastolení rovnováhy). Systém b) má se systémem a) společnou nějakou pracovní<br />
proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nemají nic společného, a tedy<br />
<br />
<br />
$$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
<br />
Celkový hamiltonián definujeme jako<br />
<br />
$$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
<br />
Dále platí, že teplo přijaté systémem a) je<br />
$$ \eth Q_a = - d U_c = -dt \left<\{H_c, H \}\right> = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> $$<br />
a práce jím vykonaná<br />
$$ \eth W_a = d U_b = dt \left<\{H_b, H \}\right> = dt \left<\{H_b, H_a \}\right> $$<br />
\bigskip<br />
<br />
Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů. Navíc, protože vazba mezi systémy a) a c)<br />
má jen zanedbatelnou energii, můžeme uvažovat, že do ní vtéká stejné množství energie jako z ní vytéká <br />
$$ \{H_c, V_{ac}\} =\{ V_{ac},H_a\} $$<br />
Celkem dostaneme<br />
$$\eth Q_a - \eth W_a = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> -dt \left<\{H_b, H_a \}\right> =$$<br />
$$= -dt \left<\{H_c+H_b+V_{ac} , H_a \}\right> = dt \left<\{H_a, H \}\right> = d U_a$$<br />
<br />
Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
<br />
$$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
<br />
<br />
% Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou umožňující termalizaci <br />
% (nastolení rovnováhy) a se systémem b) má a) společnou nějakou pracovní<br />
% proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nic společného nemají<br />
% a tedy<br />
% <br />
% $$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$<br />
% <br />
% Platí, že<br />
% <br />
% $$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$<br />
% $$ \eth Q = - d U_b = -dt \left<\{H, H_b \}\right> = -dt \left<\{V_{ac}, H_b \}\right> $$<br />
% $$ \eth W = -d U_c = -dt \left<\{H, H_c \}\right> = -dt \left<\{H_a, H_c \}\right> $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů a potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = -d U_b - d U_c = \eth Q + \eth W $$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% Celek je časově nezávislý, časová změna hamiltoniánu z c)-a) je<br />
% kompenzována stejně velkou, avšak opačnou změnou v b)-a). Potom<br />
% <br />
% $$ d U_a = \eth Q + \eth W = dt \left< \{ H_a, H_b + V_{ac} \} \right> $$<br />
% $$ d U_a = \suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)<br />
% + \suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$$<br />
% <br />
% přičemž $ d H_a $ závisí výhradně na makroskopických veličinách. Jak jsme si<br />
% objasnili v předchozích dvou kapitolkách, má výraz $\suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)$<br />
% význam tepla (při dodání tepla se mění rozdělení a pravděpodobnější budou stavy s vyšší energií) a výraz $\suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$ má význam práce (měníme<br />
% Hamiltonián soustavy). Poslední rovnost je tedy $I.PT$:<br />
% <br />
% $$dU = \eth Q - \eth W$$<br />
% <br />
% Mínus je zde kvůli znaménkové konvenci.<br />
<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, druhý}<br />
<br />
\subsection{II. princip termodynamiky} <br />
\emph{Nelze cyklickým procesem přenášet teplo ze studeného tělesa na teplé, bez toho aby se jisté množství dodané práce nepřeměnilo na teplo. }<br />
\label{2pt}<br />
\bigskip<br />
<br />
V následujících kapitolách až do kapitoly \ref{chap:vrat} budeme uvažovat pouze kvazistatické děje \index{děj, kvazistatický}, což jsou<br />
nekonečně pomalé děje takové že je celý systém po celý čas v rovnováze. Jedné se o limitní případ reálných dějů.<br />
V klasické fenomenologické termodynamice pro je entropie definována jako<br />
<br />
$$ dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad S_2 - S_1 = <br />
\suma{j}{}\integral{}{} \frac{d Q_j}{T_j}$$<br />
<br />
kde $j$ je index rezervoáru. Jedná se o matematickou formulaci 2.PT pro kvazistatické děje. Inverzní hodnota <br />
teploty přestavuje integrující faktor diferenciální formy $\eth Q$, proto je $dS$ úplným diferenciálem. Ovšem statistická entropie kanonického je definována výrazem<br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B d\left(\sum_\gamma w_\gamma\ln w_\gamma\right) = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma -k_B \sum \frac{w_\gamma}{w_\gamma}dw_\gamma $$<br />
<br />
z normovací podmínky $\sum w_\gamma = 1$ plyne, že $\sum dw_\gamma = 0$, proto <br />
<br />
$$dS_{stat} = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma (-\ln Z -\beta H_\gamma) = k_B \sum_\gamma dw_\gamma \beta H_\gamma$$<br />
Zde $\suma{\gamma}{} d( w_\gamma )H_\gamma$ má význam energie a v minulé<br />
kapitole jsme si jej ztotožnili s~teplem $\eth Q$. Pokud budeme požadovat rovnost diferenciálů statistické a fenomenologické entropie, dostáváme<br />
<br />
$$dS_{stat} = k_B\beta \eth Q = \frac{\eth Q}{T} = dS$$ <br />
<br />
a platí tedy <br />
$$\beta = \frac1 {k_B T}$$<br />
<br />
% <br />
\begin{remark}<br />
Protože hovoříme o diferenciálech, mohou se $S$ a $S_{\rm stat}$ lišit o konstantu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme dva druhy atomů v jedné krabici, na počátku oddělené přepážkou.<br />
Přepážku odstraňme a smíchejme je. Rozdělení mikrostavů jsou stejné, každá<br />
z částic může být vlevo či vpravo $\Rightarrow$ binomické rozdělení (viz<br />
cvičení), tak kde je ten nárůst entropie?<br />
<br />
Omezíme-li se na malý počet parametrů, vědomosti o tom, kde je která částice (vlevo / vpravo)<br />
nám zůstanou skryty. Na počátku jsme ale věděli, že atomy prvního plynu byly<br />
vlevo a atomy druhého vpravo. Smícháním tedy naše nevědomost vzrostla --- zvýšila<br />
se entropie.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{princip, termodynamiky, třetí}<br />
\subsection{III. princip termodynamiky} \emph{Při $T \rightarrow 0$ mají všechny chemicky<br />
čisté látky stejnou entropii (konstantní) a tu lze položit rovnu nule.}<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Zkontrolujme, zda $S = - k_B \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma \rightarrow 0$ .<br />
<br />
\bigskip<br />
<br />
Pro $T \rightarrow 0$ jde $\beta \rightarrow +\infty$. To znamená, že členy <br />
<br />
$$\exp( - \beta E_\gamma) = \frac{1}{\exp(\beta E_\gamma)}$$<br />
<br />
se rychle zmenšují a postupně jdou k nule. Suma $\suma{\gamma}{}$ tedy zahrnuje s klesajícím<br />
$T$ stále více členů, které jsou prakticky nulové. Nejdéle \uv{vydrží} ty členy, které mají hodně malé<br />
$E_\gamma$, jež dokáže na čas vyrušit účinky prakticky nekonečného $\beta$. Ale i ty nakonec <br />
podlehnou a pro $\beta \approx \infty$ zůstane vlastně jen jeden člen: $E_\gamma = 0$. Tj. v~limitě<br />
přežije jen jeden stav a to ten s nulovou energií. Vzniká diskrétní rozdělení (viz. obrázek,<br />
$T_3 < T_2 < T_1$).<br />
<br />
\begin{center}<br />
\includegraphics{3pt.pdf}<br />
\end{center}<br />
<br />
Ovšem $S = - k_B \suma{\gamma = \gamma_0}{} w_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \:.\: 1 \:.\: \ln 1 = 0$ a $\lim_{x\rightarrow 0} x \ln x = 0$, entropie<br />
je tedy opravdu nulová. <br />
<br />
V podstatě jde o to, že při nízkých teplotách systém sestupuje do stavů s nižší energií<br />
a při absolutní nule si sedne do základního stavu. Ten sice nemusí mít nulovou<br />
energii (např. elektronový obal atomu má energii zápornou a přechodem k základnímu stavu<br />
se tedy od nulové energie ještě vzdaluje),<br />
ale důležité je, že tento stav je pouze \emph{jeden}. Je-li tedy systém v základním stavu,<br />
je pevně určen (nulová neurčitost) a statistická entropie musí být nulová.<br />
<br />
Podotkněme, že tento předpoklad může porušen u kvantových systémů, kde nejnižší energii může<br />
stále ještě odpovídat více mikrostavů, které se liší jen vnitřními stupni volnosti (například spinem).</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola8&diff=515902TSFA:Kapitola82014-01-05T10:33:30Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Grandkanonický soubor}<br />
\index{soubor, grandkanonický}<br />
<br />
\label{gkansoub}<br />
<br />
Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich<br />
odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je ve více fázích a tak podobně. Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }<br />
<br />
<br />
Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední <br />
hodnoty:<br />
<br />
\begin{center} <br />
\begin{tabular}[t]{ll}<br />
<br />
$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ & \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]<br />
$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ & \dots Střední počet částic $k$-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]<br />
<br />
\end{tabular}<br />
\end{center}<br />
\medskip<br />
<br />
Naším cílem bude nalézt pravděpodobnost $w_{nN} = w(E_{nN})$, že náhodně vybraný systém bude mít $N\equiv (N_1,\ldots, N_k)$ částic a bude v $n$-tém energetické stavu. Normovací podmínka má tvar <br />
<br />
$$\sum_{N = 0}^\infty\sum_n w_{nN} = 1$$ <br />
Pro zjednodušení následujících úvah budeme pracovat pouze s jednokomponentovými systémy. <br />
Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}<br />
<br />
$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{}g_{nN}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$<br />
% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1}) + \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2}) + \dots $$<br />
% $$ \dots + \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = <br />
$$ = \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{}g_{nN}\exp(-\beta H_{nN})\right] = \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$<br />
\medskip<br />
<br />
Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy ($g_{nN}$ je opět případná degenerace dané energetické hladiny) a $N$ přes počty částic systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že <br />
je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci<br />
$Z_C$ tedy vystupuje jako parametr počet částic $N$. <br />
<br />
\begin{center} <br />
\begin{tabular}[t]{|ll|}<br />
<br />
\hline<br />
<br />
Veličiny grandkanonického souboru & \\ \hline<br />
<br />
$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N}{}\exp(-\alpha N)Z_C(\beta, N)$ & <br />
Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]<br />
$w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]<br />
<br />
$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ & Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]<br />
$N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ & Střední počet částic \tabularnewline[12pt]<br />
$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ & Entropie \tabularnewline[12pt]<br />
% $\left<(U - H_\gamma)^2\right> = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - <br />
% \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ <br />
% & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]<br />
% $\left<(N - N_\gamma)^2\right> = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - <br />
% \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ <br />
% & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]<br />
$\left<(N - N_\gamma)^2\right> = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$& Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]<br />
$\left<(U - H_\gamma)^2\right> =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]<br />
\hline<br />
<br />
\end{tabular}<br />
\end{center}<br />
<br />
% \begin{remark}<br />
% <br />
% K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná<br />
% k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):<br />
% <br />
% $$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$<br />
% <br />
% zde<br />
% <br />
% $$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$<br />
% $$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:<br />
% <br />
% \begin{itemize}<br />
% <br />
% \item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\<br />
% <br />
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}<br />
% \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br />
% \bigskip <br />
% <br />
% \item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\<br />
% <br />
% $$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}<br />
% \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% \item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\<br />
% <br />
% $$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}<br />
% \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% \item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\<br />
% <br />
% $$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}<br />
% \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% \end{itemize}<br />
% <br />
% Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou<br />
% hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme<br />
% <br />
% $$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac<br />
% { \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N} }$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% a dosadíme do první:<br />
% <br />
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac<br />
% { \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N} }<br />
% . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na<br />
% <br />
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2<br />
% \frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$<br />
% \bigskip<br />
% a dostáváme<br />
% <br />
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}<br />
% - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$<br />
% \bigskip<br />
% <br />
% což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme<br />
% ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.<br />
% <br />
% \end{remark}<br />
%</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola7&diff=515802TSFA:Kapitola72014-01-05T10:23:59Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
<br />
\section{Kanonický soubor}<br />
\index{soubor, kanonický}<br />
\label{kansoub}<br />
<br />
V reálném případě nelze pozorovat absolutně uzavřený systém. Obvykle zkoumáme systémy, které nějakým způsobem<br />
interagují se svým okolím. Nás budou nyní zajímat takové, které jsou s okolím v rovnováze. Takové <br />
okolí je například lázeň (termostat), ve které se nachází náš systém.<br />
<br />
Vezměme si třeba plyn v nádobě. Jeho částice narážejí do stěn a předávají svou energii molekulám nádoby. Probíhá <br />
samozřejmě i opačný proces --- nádoba předává energii molekulám plynu. Následkem toho není energie v systému<br />
konstantní, ale fluktuuje kolem nějaké střední hodnoty. Vezměme tedy vnitřní energii jako veličinu <br />
popisující systém. Potom<br />
<br />
$$ U \equiv \<H\>= \suma{\gamma}{}w_\gamma E_\gamma$$<br />
<br />
Hodnoty $E_\gamma$ jsou hodnotami hamiltoniánu systému ve stavu $\gamma$. Lagrangeův multiplikátor příslušný k energii označme $\beta$ (konvence). <br />
<br />
\emph{Kanonický soubor} potom definujeme jako soubor systémů o stejné \uv{teplotě} $\beta$ a konstantních počtech částic jednotlivých komponent.<br />
<br />
<br />
Pak:<br />
<br />
<br />
\begin{center} <br />
\begin{tabular}[t]{|ll|}<br />
<br />
\hline<br />
<br />
Veličiny kanonického souboru & \\ \hline<br />
<br />
$Z_C = \suma{\gamma}{}\exp( -\beta H_\gamma) = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta E_\gamma)$ & Kanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]<br />
$w_\gamma = \frac{1}{Z_C}\exp( -\beta H_\gamma) = \frac{1}{Z_C}\exp(-\beta E_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]<br />
<br />
$U = - \pderivx{(\ln Z_C)}{\beta}$ & Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]<br />
$S(U) = k_B \ln Z_C + k_B\beta U$ & Entropie\tabularnewline[12pt]<br />
$\left<(U - H_\gamma)^2\right> = \left<H_\gamma^2\right> - \left<H_\gamma\right> ^2 = \pderivxx{(\ln Z_c)}{\beta}$ & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]<br />
<br />
\hline<br />
<br />
\end{tabular}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
Některé energetické stavy mohou být degenerované, tj. několika mikrostavům může náležet stejná hodnota energie. Pak se zavádí<br />
tzv. \index{koeficient, degenerace}\emph{koeficient degenerace} $g_n$, který udává počet stavů pro $n$-tou hladinu energie, a partiční funkci je pak možné zapsat jako sumu přes všechny hodnoty energie:<br />
<br />
$$Z_C = \suma{E_n}{}g_n \exp(-\beta E_n)$$<br />
<br />
\end{remark}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA:Kapitola6&diff=515702TSFA:Kapitola62014-01-05T10:18:25Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{02TSFA}<br />
\section{Mikrokanonický soubor}<br />
\index{soubor, mikrokanonický}<br />
V následujících třech kapitolách se pokusíme najít rozdělení pravděpodobnosti $w$ pro stacionární soubor: $\pderivx{w}{t}$. <br />
<br />
Z Liouvillova teorému (str. \pageref{LiouTeorem}) pak plyne, že $w$ lze zapsat jako funkce časově nezávislých integrálů pohybu. Obecně má uzavřený mechanický systém 10 integrálů pohybu, volbou souřadnic (vyloučením mechanického pohybu) zbude jediný a to je energie. To nás opravňuje předpokládat, že pro uzavřený systém platí <br />
<br />
$$w = w(E)$$ <br />
<br />
<br />
Vezměme absolutně uzavřený systém částic dokonale izolovaný od okolí. Jako celek má <br />
konstantní hodnotu energie (reprezentativní body tohoto souboru se nachází na energetické nadploše) a všech ostatních myslitelných veličin, neboť k žádným výměnám <br />
s okolím nedochází. Potom ovšem nemáme kromě normování žádné dodatečné podmínky na střední<br />
hodnoty a bude platit, že<br />
<br />
$$Z = \suma{\gamma}{} \exp(0) = \suma{\gamma}{}1 = \Gamma$$<br />
<br />
kde $\Gamma$ je počet mikrostavů, tzv. \emph{váhový faktor}\index{faktor, váhový}. <br />
a potom<br />
<br />
$$w_\gamma = \frac{1}{Z} = \frac{1}{W}$$<br />
<br />
tj. v nejpravděpodobnějším rozdělení mají všechny mikrostavy stejnou pravděpodobnost realizace, závisející pouze na celkové energii systému. (Celková energie určuje množinu přípustných mikrostavů $\gamma$.)<br />
<br />
<br />
Ve spojitém případě se počet mikrostavů $\Gamma$ spočte pomocí kvaziklasické aproximace\footnote{Více v kapitole \ref{chap:StatRoz}}. Podle kvantové teorie jsou jednotlivé částice nerozlišitelné, libovolná jejich permutace výsledný stav nezmění, proto <br />
$$\Phi_D = \frac{\Phi}{N!}$$<br />
kde $\Phi_D$ je fázové objem nerozlišitelných mikrostavů a $N$ je počet částic. Počet mikrostavů je potom dán vztahem <br />
$$\Gamma = \frac{\Phi_D}{{(2\pi\hbar)}^{3N}}$$<br />
kde $(2\pi\hbar)^3$ je přibližný objem jednoho stavu, vycházející u Heisenbergových relací neurčitosti. <br />
<br />
<br />
Entropie pak bude<br />
<br />
$$S = -k_B \sum_\gamma w_\gamma \ln w_\gamma = k_B \ln \Gamma$$<br />
což se nazývá Boltzmannova rovnice \index{rovnice, Boltzmanova}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FIMA:Kapitola1&diff=485101FIMA:Kapitola12013-03-12T22:19:37Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FIMA}<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Životní pojištění<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Životní pojištění}<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Druhy životního pojištění}<br />
<br />
Podle druhu pojistné události můžeme rozdělit životní pojištění na:<br />
<br />
\textbf{Pojištění pro případ smrti}: Klient platí pojistné a v případě smrti je jeho pozůstalým vyplacena předem stanovená částka.<br />
<br />
\textbf{Pojištění pro případ dožití}: Klient platí pojistné a po předem určené době je mu vyplacena předem stanovená částka. To však jen v případě, že se konce pojištění dožil.<br />
<br />
\textbf{Pojištění důchodové}: Klient platí pojistné a pojišťovna mu průběžně vyplácí stanovené částky do konce pojištění nebo do klientovy smrti.<br />
<br />
Kromě těchto tří základních typů existují i různé kombinace, jako například pojištění pro případ dožití s výhradou vrácení pojistného v případě smrti. <br />
<br />
<br />
<br />
Druhy pojištění:<br />
\begin{itemize}<br />
\item tradiční (TR) - investiční riziko nese pojišťovna<br />
\item investiční (INV) - investiční riziko nese klient, není sjednáno rizikové pojištění<br />
\item investiční s rizikem (INS) - investiční riziko nese klient, je sjednáno rizikové pojištění<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Demografie}<br />
<br />
Základním zdrojem informací pro navrhování životního pojištění jsou \textbf{úmrtnostní tabulky}. Cílem těchto tabulek je určit pravděpodobnost úmrtí člověka v daném věku. Příklad části tabulky je na Obr. \ref{fig:tabulky} a data ve formě grafu na Obr. \ref{fig:umrtnost_cela} a Obr. \ref{fig:umrtnost_cast}. Tabulky se dají stáhnout na: \url{http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/umrtnostni_tabulky} (16. 10. 2012).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.6]{tabulky.PNG}<br />
\caption{Začátek úmrtnostní tabulky.}<br />
\label{fig:tabulky}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{umrtnost_cela.PNG}<br />
\caption{Graf úmrtnosti v celém rozsahu - je zde vidět exponenciální nárůst pravděpodobnosti úmrtí.}<br />
\label{fig:umrtnost_cela}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{umrtnost_cast.PNG}<br />
\caption{Graf úmrtnosti do 50 let - pro znázornění zajímavého průběhu v nižším věku.}<br />
\label{fig:umrtnost_cast}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Označení veličin:<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | l | }<br />
\hline<br />
Přednáška & Tabulka & Popis \\ \hline<br />
$l_x$ & Px & Počet žijících lidí ve věku $x$ \\ \hline<br />
$d_x$ & Dx & Počet lidí, kteří zemřeli ve věku $x$ \\ \hline<br />
$q_x$ & qx & $d_x/l_x=(l_x-l_{x+1})/l_x$ - odhad pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$ \\ \hline<br />
$p_x$ & $\emptyset$ & $1-q_x$ - odhad pravděpodobnosti přežití od $x$ do $x+1$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Někdy se používá vzorec pro aproximaci $l_x$:<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
l_x = Cs^xk^{g^x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{Large}<br />
<br />
kde $C$, $s$, $k$ a $g$ jsou nějaké parametry. Celková populace tedy exponenciálně roste.<br />
<br />
Další značení je: $_uq_x$ je pravděpodobnost úmrtí v intervalu délky $u$. U časových úseků $u$ kratších než jeden rok se často používá aproximace $_uq_x = uq_x$. Dále $_np_x$ je pravděpodobnost přežití $n$ let po věku $x$.<br />
<br />
Ve výpočtech se používá takzvané \textbf{pravidlo nezávislosti} (dva ekvivalentní zápisy):<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{align}<br />
_np_x &= _mp_x\cdot _{n-m}p_{x+m}, \\<br />
_{a+b}p_x &= _ap_x\cdot _bp_{x+a},<br />
\end{align}<br />
\end{Large}<br />
<br />
kde obecně $m,n,a,b \in \R$ (typicky $\N$), $m<n$. Pro pravděpodobnost úmrtí platí:<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_2q_x = q_x + p_x.q_{x+1}<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{Large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________Časová hodnota peněz_____________________________________<br />
<br />
\section{Časová hodnota peněz ("Všichni jistě znáte...")}<br />
<br />
Peníze, které v daném okamžiku vlastníme můžeme v principu vždy nějak investovat a tím zhodnotit. Pokud provádíme nějaké výpočty (odhady do budoucnosti), musíme vždy zařídit, aby všechny uvažované částky odpovídaly stejnému časovému okamžiku. Proto zvolíme jistou míru časového zhodnocení peněz a částky, které jsou k dispozici dříve patřičně zúročíme. (1000 Kč teď má větší hodnotu, než 1000 Kč za rok.)<br />
<br />
Zavádíme pojem \textbf{technická úroková míra} (úroková sazba) (značení $i$ nebo $j$). Udává zhodnocení \textbf{jistiny} po jednom roce: pro i=2\% se zhodnotí 1000 Kč $\rightarrow$ 1020 Kč. <br />
<br />
Pro ocenění peněz v transakcích před uvažovaným časem se hodí zavést veličinu \textbf{diskont} (úročitel): $v=\frac{1}{1+i}$. Za jeden rok dojde ke zhodnocení $1 \rightarrow 1+i$ nebo $v \rightarrow 1$. (Zavádění všemožného značení je zřejmě v pojišťovnictví velmi oblíbenou činností ;-).) <br />
<br />
Nacházíme-li se na konci roku $t$, pak 1000 Kč, které jsme dostali před $n$ lety má dnes hodnotu $1000*(1+i)^n$ a 1000 Kč, které dostaneme ze $m$ let, má pro nás dnes hodnotu $1000*v^m=1000/(1+i)^m$.<br />
<br />
\begin{example}<br />
Uložíme si do banky 1000 Kč na 3 roky s úrokem $i=10\%=0.1$, a tedy diskont $v=1/(1+0.1)=0.909$.<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | }<br />
\hline<br />
& \multicolumn{2}{|c|}{s úročením} & \multicolumn{2}{|c|}{s diskontem} \\ \hline<br />
Doba & výpočet & hodnota & výpočet & hodnota\\ \hline<br />
vklad & 1000 & 1000 & $1000*d^3$ & 751.31 \\ \hline<br />
konec 1. roku & $1000*(1+i)$ & 1100 & $1000*d^3*(1+i)=1000*d^2$ & 826.45 \\ \hline<br />
konec 2. roku & $1000*(1+i)^2$ & 1210 & $1000*d^3*(1+i)^2=1000*d^1$ & 909.09 \\ \hline<br />
konec 3. roku & $1000*(1+i)^3$ & 1331 & $1000*d^3*(1+i)^3=1000*d^0$ & 1000 \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
Popsaný způsob připisování úroku se nazývá \textbf{polhůtní}. Druhou možností je předlhůtní úročení, kde se úroky vyplácejí hned na začátku daného období, ale v přednášce to nebude potřeba. <br />
<br />
Dalším rozdělením je na úročení \textbf{jednoduché} a \textbf{složené}. Výše jsme uvedli variantu složeného úročení, kde se vždy dělají úroky nejen z jistiny, ale i z předešlých úroků. (Nárůst je tedy exponenciální.) Budoucí hodnota peněz ($FV$ - "future value") po $n$ časových úsecích (třeba letech, měsících, dnech,...) s úrokem $i$ na jeden časový úsek se pak počítá ze současné hodnoty($PV$ - "present value") jako:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
FV = PV*(1+i)^{n}. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
Varianta jednoduchého úročení, kde se počítají vždy jen úroky z jistiny (lineární nárůst), se používá především pro časové periody kratší, než jedno úrokové období. Výpočet pak má tvar: <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
FV = PV*(1+n*i) = PV*(1+i\frac{t}{360}), <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde $t$ je počet dní od začátku úročení a $i$ je úrok za 360 dní. <br />
<br />
V případě, že máme smlouvu třeba na 5 let a 3 měsíce, používá se tzv. \textbf{smíšené} úročení, tedy pro celé roky složené a zbylou část jednoduché.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________"Spravedlivé" pojištění_____________________________________<br />
<br />
\section{"Spravedlivé" pojištění}<br />
<br />
<br />
V této části se budeme zabývat pojištěním, které podléhá takzvanému \textbf{principu spravedlnosti} (\textbf{principu ekvivalence}). Tento princip je popsán rovností:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta)=E(platby\_ pojistovny),<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde $E()$ značí střední hodnotu. Jedná se o model, ve kterém se neuvažují administrační a další výdaje pojišťovny (platy zaměstnanců, lékařské prohlídky,...) a pojišťovna nemá žádný zisk. Vše, co od klientů vybere jim zase rozdá zpět.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Motivační příklad}<br />
<br />
Uvažujme nejprve situaci, kdy je klient pojištěn na $n$ let, platí pojistné $P$ ročně a zatím předpokládáme, že během této doby nezemře. Na začátku tedy zaplatí $P$. Na začátku dalšího roku pojišťovna dostane znovu částku $P$ a navíc má první platbu, která se zatím zhodnotila na $P(1+i)$, tedy celkem $P(1+(1+i))$. Na konci druhého roku má pojišťovna $P(1+(1+i)+(1+i)^2)$ atd. až na konci $n$-tého roku $P\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^k$. Tím jsme určili celkovou hodnotu peněz, kterými pojišťovna disponuje na konci pojištění, tedy takzvanou \textbf{koncovou hodnotu}.<br />
<br />
Naopak vyjádříme celkovou hodnotu těchto plateb v okamžiku začátku pojištění (\textbf{počáteční hodnotu}. První platba má tedy hodnotu $P$. Druhá platba (na začátku druhého roku) má na začátku prvního roku hodnotu $Pv$, třetí platba $Pv^2$ atd. Celkově dostáváme výraz výraz $P\sum_{k=0}^{n-1}v^k$.<br />
<br />
Pro zjednodušení vzorců zavádíme následující označení. Symbolem $\ddot{s}_{\bar{n}}$ značíme koncovou hodnotu a $\ddot{a}_{\bar{n}}$ počáteční hodnotu $n$ ročních plateb (z jednotky peněz, tedy 1Kč, 1\$,...) při polhůtním úročení (to značí ta "přehláska"). Tedy konkrétně:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{s}_{\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k = 1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots +(1+i)^{n-1}, <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} v^k = 1+v+v^2+\ldots +v^{n-1}. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní stačí pro určení koncové hodnoty $n$ ročních plateb po částkách $P$ vynásobit $P\ddot{s}_{\bar{n}}$ a pro počáteční hodnotu $P\ddot{a}_{\bar{n}}$. Zřejmě platí rovnost $\ddot{a}_{\bar{n}}(1+i)^{n-1}=\ddot{s}_{\bar{n}}$. Graf pro různé hodnoty $n$ je na Obr. \ref{fig:as}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.9]{as.PNG}<br />
\caption{Závislost $\ddot{s}_{\bar{n}}$ a $\ddot{a}_{\bar{n}}$ na $n$.}<br />
\label{fig:as}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
V reálu však klient pochopitelně platí pouze, pokud je naživu, a proto musíme požít formule <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{s}_{{x,\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} (1+i)^k, <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{x,\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} v^k. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Zde $_kp_x$ je pravděpodobnost, že člověk, který byl na začátku ve věku $x$, bude žít ještě $k$ let.<br />
<br />
Další skutečností je to, že v případě smrti musí pojišťovna vyplatit plnění ve výši $K$. Předpokládejme nyní, že pojišťovna pojišťuje celou populaci, potom její finanční bilance bude následující (první tři roky):<br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{2cm} | p{2cm} | p{8cm} |}<br />
\hline<br />
Rok & příjmy (na zač. roku) & výdaje (na konci roku) & finance poj. na konci roku \\ \hline<br />
1. rok & $l_{x}P$ & $d_x K$ & $P l_x(1+i) - K d_x$ \\ \hline<br />
2. rok & $l_{x+1}P$ & $d_{x+1} K$ & $P ( l_x(1+i)^2+ l_{x+1}(1+i)) - K ( d_x (1+i)+d_{x+1} )$ \\ \hline<br />
3. rok & $l_{x+2}P$ & $d_{x+1} K$ & $P ( l_x(1+i)^3+ l_{x+1}(1+i)^2+ l_{x+2}(1+i) ) - {K ( d_x (1+i)^2+d_{x+1}(1+i) + d_{x+2} )}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Jelikož chceme, aby finance pojišťovny na konci pojištění byly rovny nule, musí platit rovnost (pro pojištění na $n$ let):<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P \sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} (1+i)^{n-k} = K \sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} (1+i)^{n-k-1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní celý vztah převedeme do hodnot na začátku pojištění vynásobením celé rovnice výrazem $d^n$ a dostaneme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P \sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} d^{k} = K \sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} d^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Ze získaného vzorce můžeme například jednoduše určit výši pojistného $P$ ve tvaru:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{\sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} d^{k+1}}{\sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} d^{k}} = K \frac{\sum_{k=0}^{n-1}{_kp_x}{q_{x+k}} d^{k+1}}{\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} d^{k}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde jsme pro odvození druhé rovnosti rozšířili zlomek výrazem $1/l_x$ a použili vztahy:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\frac{d_{x+k}}{l_x}=\frac{d_{x+k}}{l_{x+k}}\frac{l_{x+k}}{l_x}=(q_{x+k})({_kp_x}).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pro ilustraci je na Obr. \ref{fig:pojistne} znázorněna hodnota pojistného pro různý počáteční věk klienta (ženy) pro pojištění na $n=5$ let a pojistnou částku $K=1000000$ Kč. Jak je vidět tato závislost kopíruje pravděpodobnost úmrtí, jen ji určitým způsobem vyhladí (sčítáním přes 5 let).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.6]{pojistne.PNG}<br />
\caption{Závislost $P$ na $x$ pro $n=5$ a $K=1000000$ a graf úmrtnosti pro srovnání.}<br />
\label{fig:pojistne}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Deterministický a statistický přístup}<br />
<br />
Dosud jsme používali veličiny jako $l_x$ a $p_x$ intuitivně. Nyní vyjasníme dva možné přístupy. \textbf{Deterministický} přístup používá přímo skutečná data z předchozích let popsaná veličinami $l_x$, $d_x$ a podobně. Každý výpočet nám dává přesný deterministický výsledek, ale pochopitelně máme k dispozici pouze historická data. Následně předpokládáme, že v budoucnu bude situace podobná. %To je vlastně přechod ke statistickému přístupu, kde používáme pravděpodobnosti $p_x$ a $q_x$.<br />
<br />
Ve \textbf{statistickém} přístupu pracujeme s hodnotami $p_x$ a $q_x$ a náhodnými veličinami. Hodnoty pravděpodobností $p_x$ a $q_x$ určujeme opět především z dat z minulých období. Můžeme ale zohlednit i jiné okolnosti, které se oproti minulému roku změnily. Základem však stále je vztah:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
p_x=\frac{d_x}{l_x}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Druhy plateb pojistného}<br />
<br />
Pojistné může být zaplaceno \textbf{jednorázově}, tedy celé na začátku pojištění. Poté již klient jen využívá služeb pojišťovny (důchod, peníze v případě smrti,...). Častější variantou je pak placení pojistného \textbf{běžně}, kdy klient platí průběžně (nejčastěji ročně). Běžné placení se dále dělí na dvě varianty:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Po celou dobu pojištění<br />
\item Po zkrácenou dobu trvání pojištění - Počet plateb klienta je omezen a ten poté třeba jen přijímá důchod.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Příklady životního pojištění}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik příkladů různých kombinací pojištění a plateb a zavedeme přitom označení několika veličin. Ve všech příkladech označujeme symbolem $K$ pojistnou částku, $D$ výši ročního důchodu, $P$ pojistné (placené jednorázově nebo ročně), $n$ délku pojištění.<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Pojištění pro případ dožití placené jednorázově}: Hodnotu peněz budeme vztahovat k začátku pojištění, a tedy příjem pojišťovny je přímo roven $P$. Z hlediska výdajů mohou nastat dvě situace. Klient do $n$ let zemře, a tedy nedostane nic. Druhá možnost je, že se dožije konce pojištění, což nastane s pravděpodobností $_np_x$. Částka, kterou pojišťovna zaplatí je $K$ a její hodnota je $Kv^n$. Z principu spravedlnosti tedy dostáváme vztah:<br />
<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = K{_np_x}v^n.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
Zavádíme veličinu:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E_{x,\bar{n}} = {_np_x}v^n.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
S její pomocí můžeme výsledek předchozího příkladu napsat jako: $P=KE_{x,\bar{n}}$. Alternativní označení této veličiny je $A_x{_{\bar{n}}^1}$. Zde se $A$ používá pro pojištění pro případ smrti respektive dožití, což se rozlišuje umístěním jednotky nad $x$ respektive nad $n$.<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Pojištění pro případ smrti placené jednorázově}: Příjem pojišťovny je opět $P$ a její výdaje jsou uvedeny v následující tabulce. <br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{7cm} | p{5.5cm} | }<br />
\hline<br />
Rok & Pravd. že klient zemře (v tomto roce) & Případné výdaje (na konci roku)\\ \hline<br />
1. rok & $q_x$ & $Kv$ \\ \hline<br />
2. rok & $p_x q_{x+1}$ & $Kv^2$ \\ \hline<br />
3. rok & $_2p_x q_{x+2}$ & $Kv^3$ \\ \hline<br />
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline<br />
$n$-tý rok & $_np_x q_{x+n}$ & $Kv^{n+1}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = K \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Můžeme použít značení zavedené v předešlém případě a pomocí veličiny $A_x^1{_{\bar{n}}}=\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}$ a psát pojistné jako $P=K A_x^1{_{\bar{n}}}$<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Důchodové pojištění placené jednorázově}: Příjem pojišťovny je opět $P$ a její výdaje jsou uvedeny v následující tabulce. <br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{7cm} | p{5cm} | }<br />
\hline<br />
Rok & Pravd. že klient žije (v tomto roce) & Výdaje (na začátku roku)\\ \hline<br />
1. rok & $_0p_x=1$ & $D$ \\ \hline<br />
2. rok & $_1p_x$ & $Dv^1$ \\ \hline<br />
3. rok & $_2p_x$ & $Dv^2$ \\ \hline<br />
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline<br />
$n$-tý rok & $_np_x$ & $Dv^{n}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = D \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}v^{k}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní můžeme využít již dříve zavedeného značení a psát $P=D\ddot{a}_{x,\bar{n}}$. Smysluplnější variantou tohoto příkladu je takzvaný \textbf{odložený důchod}, kde klient začne dostávat peníze až po uplynutí určitého počtu let $m$. Pro odložený důchod použijeme značení $_m\ddot{a}_{x,\bar{n}}=\sum_{k=m}^{n+m-1} {_kp_x}v^{k}$ a střední hodnota plateb pojišťovny pak je $D_m\ddot{a}_{x,\bar{n}}$.<br />
<br />
Důchodové pojištění se také uzavírá až do konce života. Pak používáme značení $\ddot{a}_{x,\overline{\omega-x}}$, což značí výpočet do konce úmrtnostních tabulek.<br />
<br />
Pro kombinované pojištění pro případ smrti nebo dožití se používá značení $A_x{_{\bar{n}}}=A_x^1{_{\bar{n}}}+A{_x}_{\bar{n}}^1 = A_x^1{_{\bar{n}}}+E_x{_{\bar{n}}}$.<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Pojištění s nekonstantní pojistnou částkou}<br />
<br />
Pro pojištění, kde platby pojišťovny nejsou v čase konstantní nebo i v jiné situaci (viz dále: pojištění s výhradou vrácení pojistného) se vetšinou pro jednoduchost používá lineární závislost. Jako obvykle si tedy zavedeme nějaké označení. Pro rostoucí (increasing) hodnoty používáme (pojištění pro případ smrti):<br />
<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(IA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Někdy se však stejné označení používá i pro "normalizovaný" výraz $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k+1}{n}{_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}$. Dále pro číslování od nuly (první člen je nulový):<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(iA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (k){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
Obdobně pro klesající (decreasing) hodnoty máme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(DA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (n-k){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Valorizace důchodu}<br />
<br />
Valorizace je způsob náhrady negativního vlivu inflace na hodnotu peněz v budoucnu. Může probíhat tak, že se vyplácená částka každým rokem vynásobí hodnotou $(1+g)$, kde $g$ určuje výši valorizace a může mít například hodnotu $g=0,02$. Pro střední hodnotu peněz vyplacených na doživotní důchod pak dostáváme výraz: <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\sum_{k=0}^{\infty} (1+g)^k{_kp_x}v^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} {_kp_x} \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^{k},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde suma je ve skutečnosti konečná, jelikož pravděpodobnost dožití je od určitého věku nulová. Můžeme si všimnout, že se jedná o stejný výraz jako bez valorizace, kde však použijeme jinou hodnotu technické úrokové míry $z=\frac{1+i}{1+g}-1$.<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Běžně placené pojištění}<br />
<br />
Výrazy pro běžně placené pojištění jsou stejné jako ty pro důchody, jen je nyní platí klient pojišťovně. Tak například pro pojištění pro případ smrti placené běžně máme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
K A_x^1{_{\bar{n}}} = P \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{A_x^1{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Obdobně pro případ dožití:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
pro důchodové pojištění<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = D \frac{\ddot{a}_{x,\bar{n}} }{ a_{x,\bar{n}} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
které moc nemá smysl, ale můžeme použít odložený důchod:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = D \frac{_m\ddot{a}_{x,\bar{n}} }{ \ddot{a}_{x,\bar{m}} }<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a pro případ smrti nebo dožití:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{A_x^1{_{\bar{n}}} + E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Existuje i pojištění pro případ dožití s výhradou vrácení pojistného v případě smrti, kde dostáváme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
K E_x{_{\bar{n}}} + P (IA)_x^1{_{\bar{n}}} = P \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
tedy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{E_x{_{\bar{n}}} }{\ddot{a}_{x,\bar{n}}-(IA)_x^1{_{\bar{n}}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Netto rezervy}<br />
<br />
Označení "netto" značí, že se stále pohybujeme v oblasti "spravedlivého" pojištění, a tedy neuvažujeme výdaje pojišťovny ani její záměr zisku.<br />
<br />
Pro pojištění jako celek tedy platí:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud celé trvání pojištění rozdělíme v čase $T$ (pochopitelně typicky v čase, ve kterém se zrovna nacházíme) dostaneme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(p.\_ kl.\_ do\_ T) + E(p.\_ kl.\_ od\_ T) = E(p.\_ poj.\_ do\_ T) + E(p.\_ poj.\_ od\_ T),<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy můžeme zavést označení rezervy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
V \equiv E(p.\_ kl.\_ do\_ T) - E(p.\_ poj.\_ do\_ T) = E(p.\_ poj.\_ od\_ T) - E(p.\_ kl.\_ od\_ T).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud použijeme rozdíl "do $T$", mluvíme o \textbf{retrospektivně počítané rezervě} a jedná se o hodnotu peněz, kterou by měla mít pojišťovna v čase $T$ u sebe. v druhém případě je rezerva počítaná \textbf{prospektivně} a jde o peníze, které by měla pojišťovna mít připravené pro vyplácení plnění v další části pojištění. Pokud by bylo pojištění "stacionární", tedy v každém časovém úseku by pojišťovna dostala tolik, kolik musí dát klientovi, byla by pochopitelně rezerva nulová. To však většinou nenastává. Nejvýraznější rozdíl je u jednorázově placeného pojištění. Dále může rozdíl vznikat například v důsledku toho, že pojistné se platí stále stejně, ale pravděpodobnost úmrtí s časem roste.<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Mějme jednorázově placené pojištění pro případ dožití. Víme, že zde platí rovnost:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta)_0 = E(platby\_ poj.)_0 = K{_np_x}v^n = K E_{x,n},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde index $0$ značí hodnoty vztažené k začátku pojištění. V libovolném okamžiku $t<n$ platí $E(platby\_ poj.)_t=0$ a<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta)_t = P (1+i)^t = K E_{x,n}\frac{1}{v^t} = K {_np_x} v^{n-t}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud za $t$ dosadíme $n$, dostaneme $K {_np_x}$, což přesně odpovídá tomu, že je nyní potřeba s pravděpodobností ${_np_x}$ vyplatit částku $K$.<br />
<br />
Mějme například hodnoty $K=1000000$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$. Potom z úmrtnostních tabulek dostaneme ${_{20}p_{40}}=0,9539$, vypočítáme $P=6.4197e5$ Kč a časový průběh hodnoty rezervy vidíme na Obr. \ref{fig:rez_dozoti_jendo}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{rez_dozoti_jendo.PNG}<br />
\caption{Netto rezerva pro pojištění pro případ dožití placené jednorázově.}<br />
\label{fig:rez_dozoti_jendo}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Nyní vezmeme pojištění pro případ smrti placené běžně. Víme, že zde platí rovnost:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{ A_x^1{_{\bar{n}}} }{ \ddot{a}_{x,\bar{n}} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
V libovolném okamžiku $t<n$ platí <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
V_t = \frac{ P \ddot{a}_{x,\bar{t}} - K A_x^1{_{\bar{t}}}}{ v^{t} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Kde je hodnota vztažena k okamžiku $t$. <br />
<br />
Mějme například hodnoty $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$. Potom z úmrtnostních tabulek dostaneme $P=2130$ Kč a časový průběh hodnoty rezervy vidíme na Obr. \ref{fig:rez_smrt_bezne}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{rez_smrt_bezne.png}<br />
\caption{Netto rezerva pro pojištění pro případ smrti placené běžně.}<br />
\label{fig:rez_smrt_bezne}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________Brutto pojištění_____________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Brutto pojistné}<br />
<br />
Nyní již začneme brát v úvahu fakt, že pojišťovna má nějaké výdaje na svůj běh. Výdaje pojišťovny se dělí na:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\alpha$ - počáteční (sjednatel, doktor, formuláře, vývoj produktu ...)<br />
\item $\beta$ - správní (nájem budovy, mzdy, reklama, likvidace smlouvy, ...)<br />
\item $\gamma$ - inkasní (složenky, poplatky na účtech, ...)<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Toto rozdělení je spíše historické, jelikož díky bezhotovostní internetové manipulaci s penězi může být například třetí skupina velmi zanedbatelná.<br />
<br />
Pro určení \textbf{brutto pojistného} placeného běžně použijeme vztah:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B \ddot{a}_{x,\bar{n}} = P + \alpha K + \beta K \ddot{a}_{x,\bar{n}} + \gamma B \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B = \frac{1}{1-\gamma} \left( \frac{\alpha K}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \beta K + \frac{P}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
$P$ je hodnota netto pojistného, dále ji budeme často značit $N$. Zde si můžeme všimnout, že výdaje pojišťovny jsou mezi klienty rozděleny poměrově v závislosti na výši jejich <br />
pojistky. Tento vzorec můžeme použít například pokud máme jen pojištění pro případ smrti.<br />
<br />
Pro $\alpha$ se používá historicky zavedená hodnota $\alpha \simeq 3,5 \%$. Dále $\beta \simeq 0,5 \%$. Ohledně $\gamma$ záleží na způsobu placení pojistného. Pro pojišťovnu je výhodné, aby klient zaplatil pojistné na celý rok dopředu. V takovém případě dostává klient výhodu. Ještě jsou zde dva přístupy, které se však liší jen "kosmeticky". Většinou bývá $\gamma \simeq 7\% - 10 \%$ a za placení celoročně je sleva $5 \%$, nebo je $\gamma \simeq 2 \%$ a za placení měsíčně je přirážka $5 \%$, takže to vyjde nastejno.<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Brutto rezervy}<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Mějme běžně placené pojištění pro případ dožití. Nejprve si spočteme netto pojistné:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
N = K \frac{E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní můžeme vyjádřit brutto pojistné jako:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B = \frac{K}{1-\gamma} \left( \frac{\alpha}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \beta + \frac{N}{K} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Pokud budeme uvažovat variantu, kdy klient platí inkasní náklady $\gamma$ měsíčně, pak $\gamma$ i $\beta$ můžeme z výpočtu rezervy úplně vypustit, protože je prostě každý měsíc klient zaplatí a pojišťovna rovnou použije. Dostáváme tedy nový vztah pro brutto pojistné:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\tilde{B} = K \left( \frac{\alpha}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \frac{N}{K} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Zde však již $\tilde{B}$ neodpovídá částce, kterou klient měsíčně platí, ale je to jen jistá pomocná hodnota pro výpočet rezervy. Skutečnému pojistnému by odpovídala, pokud by byly správní i inkasní náklady pojišťovny nulové. <br />
<br />
%Výdaje pojišťovny jsou v tomto případě jen $\alpha K$ na začátku pojištění a rezerva tedy je <br />
%<br />
%\begin{large}<br />
%\begin{eqnarray}<br />
% _tV^B = \tilde{B}\ddot{a}_{x,\bar{t}} - K \alpha .<br />
%\end{eqnarray}<br />
%\end{large} <br />
<br />
<br />
<br />
Na Obr. \ref{fig:brutto_doziti_bezne_2} je klasický příklad pro hodnoty $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$ a $\alpha = 3.5\%$. Kvůli zvýraznění počáteční platby a exponenciálního zhodnocování peněz (a větší analogii k obrázku z přednášky) je na Obr. \ref{fig:brutto_doziti_bezne_15} ještě uveden stejný příklad pro $i=15\%$ a $\alpha = 15\%$.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
<br />
\subfigure [$i=2\%$, $\alpha = 3.5\%$]<br />
{\includegraphics[width=10cm]{brutto_doziti_bezne_2.png}<br />
\label{fig:brutto_doziti_bezne_2}}<br />
<br />
\subfigure [$i=15\%$, $\alpha = 15\%$]<br />
{\includegraphics[width=10cm]{brutto_doziti_bezne_15.png}<br />
\label{fig:brutto_doziti_bezne_15}}<br />
<br />
\label{fig:grafy}<br />
\caption{Brutto rezerva pro pojištění pro případ dožití placené běžně s parametry $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$.}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
%_________________________Další střípky____________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Další střípky}<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Změny smlouvy}<br />
<br />
Pojistnou smlouvu může klient i v průběhu změnit, případně zrušit. V ČR je přibližně zrušeno 8\% smluv ročně (v prvních letech dané smlouvy i 20\%). Zde je několik nejčastějších druhů změny smlouvy (je uveden důvod změny a v závorce následek):<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item konec pojištění a vyrovnání (pojišťovna klientovi něco vrátí)<br />
\item konec placení pojistného (redukce pojistné částky, nebo hlavně u pojištění pro případ smrti, redukce pojistné doby)<br />
\item změna parametrů smlouvy \begin{itemize}<br />
\item pojistné částky (a pojistného)<br />
\item pojistné doby (a pojistného)<br />
\item pojistného (a pojistné částky)<br />
\item a libovolné jiné kombinace.... <br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Při změně pojištění se postupuje tak, že se standardně určí nová výše pojistného (nebo jiného parametru), ale navíc se započítá rezerva v okamžiku změny jako jednorázová platba pojistného. (Ve vzácných případech, kdy by byla rezerva v okamžiku změny záporná, se nepřipočte ani neodečte nic.)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Zajištění}<br />
<br />
Nad pojišťovnami jsou ještě organizace zvané zajišťovny (cca 100 významných na světě), jejichž hlavním úkolem je pokrytí zásadních (nečekaných) událostí, které by mohly ohrozit chod jednotlivé pojišťovny. Máte totiž k dispozici jen údaje o pravděpodobnosti úmrtí lidí obecně a ne pro jednotlivce. Pokud se stane, že více zemřelých v jednom roce jsou právě ti s velmi vysokými pojistkami, může se pojišťovna dostat do problémů. I zajišťovny si riziko vzájemně distribuují, čímž se zmenšuje možnost zásadních problémů "jednotlivců".<br />
<br />
Zajišťovna v principu funguje tak, že přebírá část rizika pojišťovny. Tedy bere si část pojistného od klientů a pokrývá část plnění místo pojišťovny. Jsou dva hlavní modely: proporční a neproporční. <br />
<br />
V proporčním modelu zajišťovna přebírá $X\%$ z každé smlouvy. To však v podstatě znamená, že pojišťovna jen odevzdává (částečně) své klienty zajišťovně. Proto je tato varianta volena spíše například jako ústupek zajišťovně za poskytnutí jiné služby výhodné pro pojišťovnu. Jsou zde dvě možnosti, jak určit $X$.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item QS (kvóta) - z každé smlouvy se bere stejné procento.<br />
\item surplus (excedent) - je stanovena částka - třeba 200 000 Kč a vše nad tuto částku přebírá zajišťovna. (Třeba smlouvu na 100k si pojišťovna nechá celou, ale ze smlouvy na 500k si nechá jen 40\%.)<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Neproporční zajištění může mít mnoho podob. Například se spočte průměrná výše plnění, kterou by měla pojišťovna v budoucnu platit a co je v reálu nad tuto částku zaplatí zajišťovna ("škodní nadměrek"). Pokud je plnění nižší, pojišťovna na tom vydělá, takže takováto smlouva by pro ni byla extrémně výhodná. Jiné varianty jsou, že zajišťovna zaplatí dvě nejvyšší pojistné částky z daného roku, zaplatí první plnění, o které si pojišťovna řekne, a tak podobně.<br />
<br />
Podle zákona však musí celé krytí dělat pojišťovna. Klient tedy vymáhá své peníze u pojišťovny a ta ho nemůže odkázat na zajišťovnu. Nicméně až 50\% tohoto krytí může být ve formě pohledávky u zajistitele.<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Troj-stavový model}<br />
<br />
V této přednášce se zabýváme jen nejjednodušším modelem, kde je člověk živý, nebo mrtvý. Komplexnější model může zahrnovat možnost invalidních lidí. Potom rozlišujeme stavy \textbf{aktivní}, \textbf{invalidní} a \textbf{mrtvý}. Situace je znázorněna na Obr. \ref{fig:troj}. Může zde docházet k úmrtím aktivních i invalidních lidí, invaliditě aktivních a případně reaktivaci invalidních na aktivní.<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.5]{troj.png}<br />
\caption{Troj-stavový model.}<br />
\label{fig:troj}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Úprava neceloročních výrazů}<br />
<br />
Budeme upravovat výraz $_{\frac{n}{12}}p_x \cdot _{\frac{1}{12}}q_{x+\frac{n}{12}}$, tedy pravděpodobnost, že člověk, který na začátku roku $x$ žije, zemře právě v $n$-tém měsíci. Využijeme zde vztah<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_uq_x = u q_x,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
který se uvažuje pro $u \in (0,1)$. Jedná se o určitou aproximaci, která je příčinou do jisté míry překvapivého výsledku. <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_{\frac{n}{12}}p_x \cdot _{\frac{1}{12}}q_{x+\frac{n}{12}} = (1- _{\frac{n}{12}}q_x)(1- _{\frac{1}{12}}p_{x+\frac{n}{12}})=\otimes.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Dále použijeme vzorec $_np_x \cdot _mp_{x+n} = _{m+n}p_x$ a dostáváme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\otimes = (1- _{\frac{n}{12}}q_x)\left( 1-\frac{_{\frac{n+1}{12}}p_x}{_{\frac{n}{12}}p_x} \right) = 1 - _{\frac{n}{12}}q_x - _{\frac{n+1}{12}}p_x = \\<br />
= 1 - _{\frac{n}{12}}q_x - (1- _{\frac{n+1}{12}}q_x) = -\frac{n}{12}q_x + \frac{n+1}{12}q_x = \frac{1}{12}q_x,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
tedy pravděpodobnost úmrtí je v každém měsíci daného roku stejná.<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Komutační čísla}<br />
<br />
\textbf{Komutační čísla} jsou hodnoty určitých výrazů, které jsou tabelovány a je možné z nich skládat výše používané výrazy. Dříve bez použití počítačů byl jejich význam zásadní, ale i dnes umožňují zjednodušit skripty počítačových simulací a zrychlit výpočet. Konkrétně jsou definována jako:<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c |}<br />
\hline<br />
$C_x = d_x v^{x+1}$ & $D_x = l_x v^x$ \\ \hline<br />
$M_x = \sum_{k=0}^\infty C_{x+k}$ & $N_x = \sum_{k=0}^\infty D_{x+k}$ \\ \hline<br />
$R_x = \sum_{k=0}^\infty M_{x+k}$ & $S_x = \sum_{k=0}^\infty N_{x+k}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní můžeme například psát:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{x,\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} v^k = \frac{N_x-N_{x+n}}{D_x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
A_x^1{_{\bar{n}}}=\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1} = \frac{M_x-M_{x+n}}{D_x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E_x{_{\bar{n}}}= \frac{D_{x+n}}{D_x}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FIMA:Kapitola1&diff=484901FIMA:Kapitola12013-02-27T10:12:03Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FIMA}<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% KAPITOLA: Životní pojištění<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\chapter{Životní pojištění}<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Druhy životního pojištění}<br />
<br />
Podle druhu pojistné události můžeme rozdělit životní pojištění na:<br />
<br />
\textbf{Pojištění pro případ smrti}: Klient platí pojistné a v případě smrti je jeho pozůstalým vyplacena předem stanovená částka.<br />
<br />
\textbf{Pojištění pro případ dožití}: Klient platí pojistné a po předem určené době je mu vyplacena předem stanovená částka. To však jen v případě, že se konce pojištění dožil.<br />
<br />
\textbf{Pojištění důchodové}: Klient platí pojistné a pojišťovna mu průběžně vyplácí stanovené částky do konce pojištění nebo do klientovy smrti.<br />
<br />
Kromě těchto tří základních typů existují i různé kombinace, jako například pojištění pro případ dožití s výhradou vrácení pojistného v případě smrti. <br />
<br />
<br />
<br />
Druhy pojištění:<br />
\begin{itemize}<br />
\item tradiční (TR) - investiční riziko nese pojišťovna<br />
\item investiční (INV) - investiční riziko nese klient, není sjednáno rizikové pojištění<br />
\item investiční s rizikem (INS) - investiční riziko nese klient, je sjednáno rizikové pojištění<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Demografie}<br />
<br />
Základním zdrojem informací pro navrhování životního pojištění jsou \textbf{úmrtnostní tabulky}. Cílem těchto tabulek je určit pravděpodobnost úmrtí člověka v daném věku. Příklad části tabulky je na Obr. \ref{fig:tabulky} a data ve formě grafu na Obr. \ref{fig:umrtnost_cela} a Obr. \ref{fig:umrtnost_cast}. Tabulky se dají stáhnout na: \url{http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/umrtnostni_tabulky} (16. 10. 2012).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.6]{tabulky.PNG}<br />
\caption{Začátek úmrtnostní tabulky.}<br />
\label{fig:tabulky}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{umrtnost_cela.PNG}<br />
\caption{Graf úmrtnosti v celém rozsahu - je zde vidět exponenciální nárůst pravděpodobnosti úmrtí.}<br />
\label{fig:umrtnost_cela}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{umrtnost_cast.PNG}<br />
\caption{Graf úmrtnosti do 50 let - pro znázornění zajímavého průběhu v nižším věku.}<br />
\label{fig:umrtnost_cast}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Označení veličin:<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | l | }<br />
\hline<br />
Přednáška & Tabulka & Popis \\ \hline<br />
$l_x$ & Px & Počet žijících lidí ve věku $x$ \\ \hline<br />
$d_x$ & Dx & Počet lidí, kteří zemřeli ve věku $x$ \\ \hline<br />
$q_x$ & qx & $d_x/l_x=(l_x-l_{x+1})/l_x$ - odhad pravděpodobnosti úmrtí ve věku $x$ \\ \hline<br />
$p_x$ & $\emptyset$ & $1-q_x$ - odhad pravděpodobnosti přežití od $x$ do $x+1$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Někdy se používá vzorec pro aproximaci $l_x$:<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
l_x = Cs^xk^{g^x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{Large}<br />
<br />
kde $C$, $s$, $k$ a $g$ jsou nějaké parametry. Celková populace tedy exponenciálně roste.<br />
<br />
Další značení je: $_uq_x$ je pravděpodobnost úmrtí v intervalu délky $u$. U časových úseků $u$ kratších než jeden rok se často používá aproximace $_uq_x = uq_x$. Dále $_np_x$ je pravděpodobnost přežití $n$ let po věku $x$.<br />
<br />
Ve výpočtech se používá takzvané \textbf{pravidlo nezávislosti} (dva ekvivalentní zápisy):<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{align}<br />
_np_x &= _mp_x\cdot _{n-m}p_{x+m}, \\<br />
_{a+b}p_x &= _ap_x\cdot _bp_{x+a},<br />
\end{align}<br />
\end{Large}<br />
<br />
kde obecně $m,n,a,b \in \R$ (typicky $\N$), $m<n$. Pro pravděpodobnost úmrtí platí:<br />
<br />
\begin{Large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_2q_x = q_x + p_x.q_{x+1}<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{Large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________Časová hodnota peněz_____________________________________<br />
<br />
\section{Časová hodnota peněz ("Všichni jistě znáte...")}<br />
<br />
Peníze, které v daném okamžiku vlastníme můžeme v principu vždy nějak investovat a tím zhodnotit. Pokud provádíme nějaké výpočty (odhady do budoucnosti), musíme vždy zařídit, aby všechny uvažované částky odpovídaly stejnému časovému okamžiku. Proto zvolíme jistou míru časového zhodnocení peněz a částky, které jsou k dispozici dříve patřičně zúročíme. (1000 Kč teď má větší hodnotu, než 1000 Kč za rok.)<br />
<br />
Zavádíme pojem \textbf{technická úroková míra} (úroková sazba) (značení $i$ nebo $j$). Udává zhodnocení \textbf{jistiny} po jednom roce: pro i=2\% se zhodnotí 1000 Kč $\rightarrow$ 1020 Kč. <br />
<br />
Pro ocenění peněz v transakcích před uvažovaným časem se hodí zavést veličinu \textbf{diskont} (úročitel): $v=\frac{1}{1+i}$. Za jeden rok dojde ke zhodnocení $1 \rightarrow 1+i$ nebo $v \rightarrow 1$. (Zavádění všemožného značení je zřejmě v pojišťovnictví velmi oblíbenou činností ;-).) <br />
<br />
Nacházíme-li se na konci roku $t$, pak 1000 Kč, které jsme dostali před $n$ lety má dnes hodnotu $1000*(1+i)^n$ a 1000 Kč, které dostaneme ze $m$ let, má pro nás dnes hodnotu $1000*v^m=1000/(1+i)^m$.<br />
<br />
\begin{example}<br />
Uložíme si do banky 1000 Kč na 3 roky s úrokem $i=10\%=0.1$, a tedy diskont $v=1/(1+0.1)=0.909$.<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c | c | c | c | }<br />
\hline<br />
& \multicolumn{2}{|c|}{s úročením} & \multicolumn{2}{|c|}{s diskontem} \\ \hline<br />
Doba & výpočet & hodnota & výpočet & hodnota\\ \hline<br />
vklad & 1000 & 1000 & $1000*d^3$ & 751.31 \\ \hline<br />
konec 1. roku & $1000*(1+i)$ & 1100 & $1000*d^3*(1+i)=1000*d^2$ & 826.45 \\ \hline<br />
konec 2. roku & $1000*(1+i)^2$ & 1210 & $1000*d^3*(1+i)^2=1000*d^1$ & 909.09 \\ \hline<br />
konec 3. roku & $1000*(1+i)^3$ & 1331 & $1000*d^3*(1+i)^3=1000*d^0$ & 1000 \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
Popsaný způsob připisování úroku se nazývá \textbf{polhůtní}. Druhou možností je předlhůtní úročení, kde se úroky vyplácejí hned na začátku daného období, ale v přednášce to nebude potřeba. <br />
<br />
Dalším rozdělením je na úročení \textbf{jednoduché} a \textbf{složené}. Výše jsme uvedli variantu složeného úročení, kde se vždy dělají úroky nejen z jistiny, ale i z předešlých úroků. (Nárůst je tedy exponenciální.) Budoucí hodnota peněz ($FV$ - "future value") po $n$ časových úsecích (třeba letech, měsících, dnech,...) s úrokem $i$ na jeden časový úsek se pak počítá ze současné hodnoty($PV$ - "present value") jako:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
FV = PV*(1+i)^{n}. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
Varianta jednoduchého úročení, kde se počítají vždy jen úroky z jistiny (lineární nárůst), se používá především pro časové periody kratší, než jedno úrokové období. Výpočet pak má tvar: <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
FV = PV*(1+n*i) = PV*(1+i\frac{t}{360}), <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde $t$ je počet dní od začátku úročení a $i$ je úrok za 360 dní. <br />
<br />
V případě, že máme smlouvu třeba na 5 let a 3 měsíce, používá se tzv. \textbf{smíšené} úročení, tedy pro celé roky složené a zbylou část jednoduché.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________"Spravedlivé" pojištění_____________________________________<br />
<br />
\section{"Spravedlivé" pojištění}<br />
<br />
<br />
V této části se budeme zabývat pojištěním, které podléhá takzvanému \textbf{principu spravedlnosti} (\textbf{principu ekvivalence}). Tento princip je popsán rovností:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta)=E(platby\_ pojistovny),<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde $E()$ značí střední hodnotu. Jedná se o model, ve kterém se neuvažují administrační a další výdaje pojišťovny (platy zaměstnanců, lékařské prohlídky,...) a pojišťovna nemá žádný zisk. Vše, co od klientů vybere jim zase rozdá zpět.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Motivační příklad}<br />
<br />
Uvažujme nejprve situaci, kdy je klient pojištěn na $n$ let, platí pojistné $P$ ročně a zatím předpokládáme, že během této doby nezemře. Na začátku tedy zaplatí $P$. Na začátku dalšího roku pojišťovna dostane znovu částku $P$ a navíc má první platbu, která se zatím zhodnotila na $P(1+i)$, tedy celkem $P(1+(1+i))$. Na konci druhého roku má pojišťovna $P(1+(1+i)+(1+i)^2)$ atd. až na konci $n$-tého roku $P\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^k$. Tím jsme určili celkovou hodnotu peněz, kterými pojišťovna disponuje na konci pojištění, tedy takzvanou \textbf{koncovou hodnotu}.<br />
<br />
Naopak vyjádříme celkovou hodnotu těchto plateb v okamžiku začátku pojištění (\textbf{počáteční hodnotu}. První platba má tedy hodnotu $P$. Druhá platba (na začátku druhého roku) má na začátku prvního roku hodnotu $Pv$, třetí platba $Pv^2$ atd. Celkově dostáváme výraz výraz $P\sum_{k=0}^{n-1}v^k$.<br />
<br />
Pro zjednodušení vzorců zavádíme následující označení. Symbolem $\ddot{s}_{\bar{n}}$ značíme koncovou hodnotu a $\ddot{a}_{\bar{n}}$ počáteční hodnotu $n$ ročních plateb (z jednotky peněz, tedy 1Kč, 1\$,...) při polhůtním úročení (to značí ta "přehláska"). Tedy konkrétně:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{s}_{\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k = 1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots +(1+i)^{n-1}, <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} v^k = 1+v+v^2+\ldots +v^{n-1}. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní stačí pro určení koncové hodnoty $n$ ročních plateb po částkách $P$ vynásobit $P\ddot{s}_{\bar{n}}$ a pro počáteční hodnotu $P\ddot{a}_{\bar{n}}$. Zřejmě platí rovnost $\ddot{a}_{\bar{n}}(1+i)^{n-1}=\ddot{s}_{\bar{n}}$. Graf pro různé hodnoty $n$ je na Obr. \ref{fig:as}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.9]{as.PNG}<br />
\caption{Závislost $\ddot{s}_{\bar{n}}$ a $\ddot{a}_{\bar{n}}$ na $n$.}<br />
\label{fig:as}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
V reálu však klient pochopitelně platí pouze, pokud je naživu, a proto musíme požít formule <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{s}_{{x,\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} (1+i)^k, <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{x,\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} v^k. <br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Zde $_kp_x$ je pravděpodobnost, že člověk, který byl na začátku ve věku $x$, bude žít ještě $k$ let.<br />
<br />
Další skutečností je to, že v případě smrti musí pojišťovna vyplatit plnění ve výši $K$. Předpokládejme nyní, že pojišťovna pojišťuje celou populaci, potom její finanční bilance bude následující (první tři roky):<br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{2cm} | p{2cm} | p{8cm} |}<br />
\hline<br />
Rok & příjmy (na zač. roku) & výdaje (na konci roku) & finance poj. na konci roku \\ \hline<br />
1. rok & $l_{x}P$ & $d_x K$ & $P l_x(1+i) - K d_x$ \\ \hline<br />
2. rok & $l_{x+1}P$ & $d_{x+1} K$ & $P ( l_x(1+i)^2+ l_{x+1}(1+i)) - K ( d_x (1+i)+d_{x+1} )$ \\ \hline<br />
3. rok & $l_{x+2}P$ & $d_{x+1} K$ & $P ( l_x(1+i)^3+ l_{x+1}(1+i)^2+ l_{x+2}(1+i) ) - {K ( d_x (1+i)^2+d_{x+1}(1+i) + d_{x+2} )}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Jelikož chceme, aby finance pojišťovny na konci pojištění byly rovny nule, musí platit rovnost (pro pojištění na $n$ let):<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P \sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} (1+i)^{n-k} = K \sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} (1+i)^{n-k-1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní celý vztah převedeme do hodnot na začátku pojištění vynásobením celé rovnice výrazem $d^n$ a dostaneme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P \sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} d^{k} = K \sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} d^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Ze získaného vzorce můžeme například jednoduše určit výši pojistného $P$ ve tvaru:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{\sum_{k=0}^{n-1} d_{x+k} d^{k+1}}{\sum_{k=0}^{n-1} l_{x+k} d^{k}} = K \frac{\sum_{k=0}^{n-1}{_kp_x}{q_{x+k}} d^{k+1}}{\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} d^{k}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde jsme pro odvození druhé rovnosti rozšířili zlomek výrazem $1/l_x$ a použili vztahy:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\frac{d_{x+k}}{l_x}=\frac{d_{x+k}}{l_{x+k}}\frac{l_{x+k}}{l_x}=(q_{x+k})({_np_x}).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pro ilustraci je na Obr. \ref{fig:pojistne} znázorněna hodnota pojistného pro různý počáteční věk klienta (ženy) pro pojištění na $n=5$ let a pojistnou částku $K=1000000$ Kč. Jak je vidět tato závislost kopíruje pravděpodobnost úmrtí, jen ji určitým způsobem vyhladí (sčítáním přes 5 let).<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.6]{pojistne.PNG}<br />
\caption{Závislost $P$ na $x$ pro $n=5$ a $k=1000000$ a graf úmrtnosti pro srovnání.}<br />
\label{fig:pojistne}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Deterministický a statistický přístup}<br />
<br />
Dosud jsme používali veličiny jako $l_x$ a $p_x$ intuitivně. Nyní vyjasníme dva možné přístupy. \textbf{Deterministický} přístup používá přímo skutečná data z předchozích let popsaná veličinami $l_x$, $d_x$ a podobně. Každý výpočet nám dává přesný deterministický výsledek, ale pochopitelně máme k dispozici pouze historická data. Následně předpokládáme, že v budoucnu bude situace podobná. %To je vlastně přechod ke statistickému přístupu, kde používáme pravděpodobnosti $p_x$ a $q_x$.<br />
<br />
Ve \textbf{statistickém} přístupu pracujeme s hodnotami $p_x$ a $q_x$ a náhodnými veličinami. Hodnoty pravděpodobností $p_x$ a $q_x$ určujeme opět především z dat z minulých období. Můžeme ale zohlednit i jiné okolnosti, které se oproti minulému roku změnily. Základem však stále je vztah:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
p_x=\frac{d_x}{l_x}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Druhy plateb pojistného}<br />
<br />
Pojistné může být zaplaceno \textbf{jednorázově}, tedy celé na začátku pojištění. Poté již klient jen využívá služeb pojišťovny (důchod, peníze v případě smrti,...). Častější variantou je pak placení pojistného \textbf{běžně}, kdy klient platí průběžně (nejčastěji ročně). Běžné placení se dále dělí na dvě varianty:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Po celou dobu pojištění<br />
\item Po zkrácenou dobu trvání pojištění - Počet plateb klienta je omezen a ten poté třeba jen přijímá důchod.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Příklady životního pojištění}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik příkladů různých kombinací pojištění a plateb a zavedeme přitom označení několika veličin. Ve všech příkladech označujeme symbolem $K$ pojistnou částku, $D$ výši ročního důchodu, $P$ pojistné (placené jednorázově nebo ročně), $n$ délku pojištění.<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Pojištění pro případ dožití placené jednorázově}: Hodnotu peněz budeme vztahovat k začátku pojištění, a tedy příjem pojišťovny je přímo roven $P$. Z hlediska výdajů mohou nastat dvě situace. Klient do $n$ let zemře, a tedy nedostane nic. Druhá možnost je, že se dožije konce pojištění, což nastane s pravděpodobností $_np_x$. Částka, kterou pojišťovna zaplatí je $K$ a její hodnota je $Kv^n$. Z principu spravedlnosti tedy dostáváme vztah:<br />
<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = K{_np_x}v^n.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
Zavádíme veličinu:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E_{x,\bar{n}} = {_np_x}v^n.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
S její pomocí můžeme výsledek předchozího příkladu napsat jako: $P=KE_{x,n}$. Alternativní označení této veličiny je $A_x{_{\bar{n}}^1}$. Zde se $A$ používá pro pojištění pro případ smrti respektive dožití, což se rozlišuje umístěním jednotky nad $x$ respektive nad $n$.<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Pojištění pro případ smrti placené jednorázově}: Příjem pojišťovny je opět $P$ a její výdaje jsou uvedeny v následující tabulce. <br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{7cm} | p{5.5cm} | }<br />
\hline<br />
Rok & Pravd. že klient zemře (v tomto roce) & Případné výdaje (na konci roku)\\ \hline<br />
1. rok & $q_x$ & $Kv$ \\ \hline<br />
2. rok & $p_x q_{x+1}$ & $Kv^2$ \\ \hline<br />
3. rok & $_2p_x q_{x+2}$ & $Kv^3$ \\ \hline<br />
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline<br />
$n$-tý rok & $_np_x q_{x+n}$ & $Kv^{n+1}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = K \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Můžeme použít značení zavedené v předešlém případě a pomocí veličiny $A_x^1{_{\bar{n}}}=\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}$ a psát pojistné jako $P=K A_x^1{_{\bar{n}}}$<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
\textbf{Důchodové pojištění placené jednorázově}: Příjem pojišťovny je opět $P$ a její výdaje jsou uvedeny v následující tabulce. <br />
<br />
\begin{tabular}{| p{1.5cm} | p{7cm} | p{5cm} | }<br />
\hline<br />
Rok & Pravd. že klient žije (v tomto roce) & Výdaje (na začátku roku)\\ \hline<br />
1. rok & $_0p_x=1$ & $D$ \\ \hline<br />
2. rok & $_1p_x$ & $Dv^1$ \\ \hline<br />
3. rok & $_2p_x$ & $Dv^2$ \\ \hline<br />
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\ \hline<br />
$n$-tý rok & $_np_x$ & $Dv^{n}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní opět použijeme princip ekvivalence a dostaneme rovnost<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.) = D \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}v^{k}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní můžeme využít již dříve zavedeného značení a psát $P=D\ddot{a}_{x,\bar{n}}$. Smysluplnější variantou tohoto příkladu je takzvaný \textbf{odložený důchod}, kde klient začne dostávat peníze až po uplynutí určitého počtu let $m$. Pro odložený důchod použijeme značení $_m\ddot{a}_{x,\bar{n}}=\sum_{k=m}^{n+m-1} {_kp_x}v^{k}$ a střední hodnota plateb pojišťovny pak je $D_m\ddot{a}_{x,\bar{n}}$.<br />
<br />
Důchodové pojištění se také uzavírá až do konce života. Pak používáme značení $\ddot{a}_{x,\overline{\omega-x}}$, což značí výpočet do konce úmrtnostních tabulek.<br />
<br />
Pro kombinované pojištění pro případ smrti nebo dožití se používá značení $A_x{_{\bar{n}}}=A_x^1{_{\bar{n}}}+A{_x}_{\bar{n}}^1 = A_x^1{_{\bar{n}}}+E_x{_{\bar{n}}}$.<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Pojištění s nekonstantní pojistnou částkou}<br />
<br />
Pro pojištění, kde platby pojišťovny nejsou v čase konstantní nebo i v jiné situaci (viz dále: pojištění s výhradou vrácení pojistného) se vetšinou pro jednoduchost používá lineární závislost. Jako obvykle si tedy zavedeme nějaké označení. Pro rostoucí (increasing) hodnoty používáme (pojištění pro případ smrti):<br />
<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(IA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Někdy se však stejné označení používá i pro "normalizovaný" výraz $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{k+1}{n}{_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}$. Dále pro číslování od nuly (první člen je nulový):<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(iA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (k){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
Obdobně pro klesající (decreasing) hodnoty máme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
(DA)_x^1{_{\bar{n}}} = \sum_{k=0}^{n-1} (n-k){_kp_x}q_{x+k}v^{k+1}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Valorizace důchodu}<br />
<br />
Valorizace je způsob náhrady negativního vlivu inflace na hodnotu peněz v budoucnu. Může probíhat tak, že se vyplácená částka každým rokem vynásobí hodnotou $(1+g)$, kde $g$ určuje výši valorizace a může mít například hodnotu $g=0,02$. Pro střední hodnotu peněz vyplacených na doživotní důchod pak dostáváme výraz: <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\sum_{k=0}^{\infty} (1+g)^k{_kp_x}v^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} {_kp_x} \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^{k},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde suma je ve skutečnosti konečná, jelikož pravděpodobnost dožití je od určitého věku nulová. Můžeme si všimnout, že se jedná o stejný výraz jako bez valorizace, kde však použijeme jinou hodnotu technické úrokové míry $z=\frac{1+i}{1+g}-1$.<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Běžně placené pojištění}<br />
<br />
Výrazy pro běžně placené pojištění jsou stejné jako ty pro důchody, jen je nyní platí klient pojišťovně. Tak například pro pojištění pro případ smrti placené běžně máme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
K A_x^1{_{\bar{n}}} = P \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{A_x^1{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Obdobně pro případ dožití:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
pro důchodové pojištění<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = D \frac{\ddot{a}_{x,\bar{n}} }{ a_{x,\bar{n}} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
které moc nemá smysl, ale můžeme použít odložený důchod:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = D \frac{_m\ddot{a}_{x,\bar{n}} }{ \ddot{a}_{x,\bar{m}} }<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a pro případ smrti nebo dožití:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{A_x^1{_{\bar{n}}} + E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Existuje i pojištění pro případ dožití s výhradou vrácení pojistného v případě smrti, kde dostáváme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
K E_x{_{\bar{n}}} + P (IA)_x^1{_{\bar{n}}} = P \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
tedy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{E_x{_{\bar{n}}} }{\ddot{a}_{x,\bar{n}}-(IA)_x^1{_{\bar{n}}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Netto rezervy}<br />
<br />
Označení "netto" značí, že se stále pohybujeme v oblasti "spravedlivého" pojištění, a tedy neuvažujeme výdaje pojišťovny ani její záměr zisku.<br />
<br />
Pro pojištění jako celek tedy platí:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta) = E(platby\_ poj.).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud celé trvání pojištění rozdělíme v čase $T$ (pochopitelně typicky v čase, ve kterém se zrovna nacházíme) dostaneme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(p.\_ kl.\_ do\_ T) + E(p.\_ kl.\_ od\_ T) = E(p.\_ poj.\_ do\_ T) + E(p.\_ poj.\_ od\_ T),<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy můžeme zavést označení rezervy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
V \equiv E(p.\_ kl.\_ do\_ T) - E(p.\_ poj.\_ do\_ T) = E(p.\_ poj.\_ od\_ T) - E(p.\_ kl.\_ od\_ T).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud použijeme rozdíl "do $T$", mluvíme o \textbf{retrospektivně počítané rezervě} a jedná se o hodnotu peněz, kterou by měla mít pojišťovna v čase $T$ u sebe. v druhém případě je rezerva počítaná \textbf{prospektivně} a jde o peníze, které by měla pojišťovna mít připravené pro vyplácení plnění v další části pojištění. Pokud by bylo pojištění "stacionární", tedy v každém časovém úseku by pojišťovna dostala tolik, kolik musí dát klientovi, byla by pochopitelně rezerva nulová. To však většinou nenastává. Nejvýraznější rozdíl je u jednorázově placeného pojištění. Dále může rozdíl vznikat například v důsledku toho, že pojistné se platí stále stejně, ale pravděpodobnost úmrtí s časem roste.<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Mějme jednorázově placené pojištění pro případ dožití. Víme, že zde platí rovnost:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = E(platby\_ klienta)_0 = E(platby\_ poj.)_0 = K{_np_x}v^n = K E_{x,n},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
kde index $0$ značí hodnoty vztažené k začátku pojištění. V libovolném okamžiku $t<n$ platí $E(platby\_ poj.)_t=0$ a<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E(platby\_ klienta)_t = P (1+i)^t = K E_{x,n}\frac{1}{v^t} = K {_np_x} v^{n-t}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Pokud za $t$ dosadíme $n$, dostaneme $K {_np_x}$, což přesně odpovídá tomu, že je nyní potřeba s pravděpodobností ${_np_x}$ vyplatit částku $K$.<br />
<br />
Mějme například hodnoty $K=1000000$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$. Potom z úmrtnostních tabulek dostaneme ${_{20}p_{40}}=0,9539$, vypočítáme $P=6.4197e5$ Kč a časový průběh hodnoty rezervy vidíme na Obr. \ref{fig:rez_dozoti_jendo}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{rez_dozoti_jendo.PNG}<br />
\caption{Netto rezerva pro pojištění pro případ dožití placené jednorázově.}<br />
\label{fig:rez_dozoti_jendo}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Nyní vezmeme pojištění pro případ smrti placené běžně. Víme, že zde platí rovnost:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
P = K \frac{ A_x^1{_{\bar{n}}} }{ \ddot{a}_{x,\bar{n}} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
V libovolném okamžiku $t<n$ platí <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
V_t = \frac{ P \ddot{a}_{x,\bar{t}} - K A_x^1{_{\bar{t}}}}{ v^{t} },<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Kde je hodnota vztažena k okamžiku $t$. <br />
<br />
Mějme například hodnoty $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$. Potom z úmrtnostních tabulek dostaneme $P=2130$ Kč a časový průběh hodnoty rezervy vidíme na Obr. \ref{fig:rez_smrt_bezne}.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{rez_smrt_bezne.png}<br />
\caption{Netto rezerva pro pojištění pro případ smrti placené běžně.}<br />
\label{fig:rez_smrt_bezne}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_________________________Brutto pojištění_____________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Brutto pojistné}<br />
<br />
Nyní již začneme brát v úvahu fakt, že pojišťovna má nějaké výdaje na svůj běh. Výdaje pojišťovny se dělí na:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\alpha$ - počáteční (sjednatel, doktor, formuláře, vývoj produktu ...)<br />
\item $\beta$ - správní (nájem budovy, mzdy, reklama, likvidace smlouvy, ...)<br />
\item $\gamma$ - inkasní (složenky, poplatky na účtech, ...)<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Toto rozdělení je spíše historické, jelikož díky bezhotovostní internetové manipulaci s penězi může být například třetí skupina velmi zanedbatelná.<br />
<br />
Pro určení \textbf{brutto pojistného} placeného běžně použijeme vztah:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B \ddot{a}_{x,\bar{n}} = P + \alpha K + \beta K \ddot{a}_{x,\bar{n}} + \gamma B \ddot{a}_{x,\bar{n}},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
a tedy<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B = \frac{1}{1-\gamma} \left( \frac{\alpha K}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \beta K + \frac{P}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
$P$ je hodnota netto pojistného, dále ji budeme často značit $N$. Zde si můžeme všimnout, že výdaje pojišťovny jsou mezi klienty rozděleny poměrově v závislosti na výši jejich <br />
pojistky. Tento vzorec můžeme použít například pokud máme jen pojištění pro případ smrti.<br />
<br />
Pro $\alpha$ se používá historicky zavedená hodnota $\alpha \simeq 3,5 \%$. Dále $\beta \simeq 0,5 \%$. Ohledně $\gamma$ záleží na způsobu placení pojistného. Pro pojišťovnu je výhodné, aby klient zaplatil pojistné na celý rok dopředu. V takovém případě dostává klient výhodu. Ještě jsou zde dva přístupy, které se však liší jen "kosmeticky". Většinou bývá $\gamma \simeq 7\% - 10 \%$ a za placení celoročně je sleva $5 \%$, nebo je $\gamma \simeq 2 \%$ a za placení měsíčně je přirážka $5 \%$, takže to vyjde nastejno.<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Brutto rezervy}<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
Mějme běžně placené pojištění pro případ dožití. Nejprve si spočteme netto pojistné:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
N = K \frac{E_x{_{\bar{n}}}}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
Nyní můžeme vyjádřit brutto pojistné jako:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
B = \frac{K}{1-\gamma} \left( \frac{\alpha}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \beta + \frac{N}{K} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Pokud budeme uvažovat variantu, kdy klient platí inkasní náklady $\gamma$ měsíčně, pak $\gamma$ i $\beta$ můžeme z výpočtu rezervy úplně vypustit, protože je prostě každý měsíc klient zaplatí a pojišťovna rovnou použije. Dostáváme tedy nový vztah pro brutto pojistné:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\tilde{B} = K \left( \frac{\alpha}{\ddot{a}_{x,\bar{n}}} + \frac{N}{K} \right).<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Zde však již $\tilde{B}$ neodpovídá částce, kterou klient měsíčně platí, ale je to jen jistá pomocná hodnota pro výpočet rezervy. Skutečnému pojistnému by odpovídala, pokud by byly správní i inkasní náklady pojišťovny nulové. <br />
<br />
%Výdaje pojišťovny jsou v tomto případě jen $\alpha K$ na začátku pojištění a rezerva tedy je <br />
%<br />
%\begin{large}<br />
%\begin{eqnarray}<br />
% _tV^B = \tilde{B}\ddot{a}_{x,\bar{t}} - K \alpha .<br />
%\end{eqnarray}<br />
%\end{large} <br />
<br />
<br />
<br />
Na Obr. \ref{fig:brutto_doziti_bezne_2} je klasický příklad pro hodnoty $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$, $i=2\%$ a $\alpha = 3.5\%$. Kvůli zvýraznění počáteční platby a exponenciálního zhodnocování peněz (a větší analogii k obrázku z přednášky) je na Obr. \ref{fig:brutto_doziti_bezne_15} ještě uveden stejný příklad pro $i=15\%$ a $\alpha = 15\%$.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
<br />
\subfigure [$i=2\%$, $\alpha = 3.5\%$]<br />
{\includegraphics[width=10cm]{brutto_doziti_bezne_2.png}<br />
\label{fig:brutto_doziti_bezne_2}}<br />
<br />
\subfigure [$i=15\%$, $\alpha = 15\%$]<br />
{\includegraphics[width=10cm]{brutto_doziti_bezne_15.png}<br />
\label{fig:brutto_doziti_bezne_15}}<br />
<br />
\label{fig:grafy}<br />
\caption{Brutto rezerva pro pojištění pro případ dožití placené běžně s parametry $K=1e6$ Kč, $n=20$, $x=40$.}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
%_________________________Další střípky____________________________________<br />
<br />
<br />
\section{Další střípky}<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Změny smlouvy}<br />
<br />
Pojistnou smlouvu může klient i v průběhu změnit, případně zrušit. V ČR je přibližně zrušeno 8\% smluv ročně (v prvních letech dané smlouvy i 20\%). Zde je několik nejčastějších druhů změny smlouvy (je uveden důvod změny a v závorce následek):<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item konec pojištění a vyrovnání (pojišťovna klientovi něco vrátí)<br />
\item konec placení pojistného (redukce pojistné částky, nebo hlavně u pojištění pro případ smrti, redukce pojistné doby)<br />
\item změna parametrů smlouvy \begin{itemize}<br />
\item pojistné částky (a pojistného)<br />
\item pojistné doby (a pojistného)<br />
\item pojistného (a pojistné částky)<br />
\item a libovolné jiné kombinace.... <br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Při změně pojištění se postupuje tak, že se standardně určí nová výše pojistného (nebo jiného parametru), ale navíc se započítá rezerva v okamžiku změny jako jednorázová platba pojistného. (Ve vzácných případech, kdy by byla rezerva v okamžiku změny záporná, se nepřipočte ani neodečte nic.)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Zajištění}<br />
<br />
Nad pojišťovnami jsou ještě organizace zvané zajišťovny (cca 100 významných na světě), jejichž hlavním úkolem je pokrytí zásadních (nečekaných) událostí, které by mohly ohrozit chod jednotlivé pojišťovny. Máte totiž k dispozici jen údaje o pravděpodobnosti úmrtí lidí obecně a ne pro jednotlivce. Pokud se stane, že více zemřelých v jednom roce jsou právě ti s velmi vysokými pojistkami, může se pojišťovna dostat do problémů. I zajišťovny si riziko vzájemně distribuují, čímž se zmenšuje možnost zásadních problémů "jednotlivců".<br />
<br />
Zajišťovna v principu funguje tak, že přebírá část rizika pojišťovny. Tedy bere si část pojistného od klientů a pokrývá část plnění místo pojišťovny. Jsou dva hlavní modely: proporční a neproporční. <br />
<br />
V proporčním modelu zajišťovna přebírá $X\%$ z každé smlouvy. To však v podstatě znamená, že pojišťovna jen odevzdává (částečně) své klienty zajišťovně. Proto je tato varianta volena spíše například jako ústupek zajišťovně za poskytnutí jiné služby výhodné pro pojišťovnu. Jsou zde dvě možnosti, jak určit $X$.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item QS (kvóta) - z každé smlouvy se bere stejné procento.<br />
\item surplus (excedent) - je stanovena částka - třeba 200 000 Kč a vše nad tuto částku přebírá zajišťovna. (Třeba smlouvu na 100k si pojišťovna nechá celou, ale ze smlouvy na 500k si nechá jen 40\%.)<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Neproporční zajištění může mít mnoho podob. Například se spočte průměrná výše plnění, kterou by měla pojišťovna v budoucnu platit a co je v reálu nad tuto částku zaplatí zajišťovna ("škodní nadměrek"). Pokud je plnění nižší, pojišťovna na tom vydělá, takže takováto smlouva by pro ni byla extrémně výhodná. Jiné varianty jsou, že zajišťovna zaplatí dvě nejvyšší pojistné částky z daného roku, zaplatí první plnění, o které si pojišťovna řekne, a tak podobně.<br />
<br />
Podle zákona však musí celé krytí dělat pojišťovna. Klient tedy vymáhá své peníze u pojišťovny a ta ho nemůže odkázat na zajišťovnu. Nicméně až 50\% tohoto krytí může být ve formě pohledávky u zajistitele.<br />
<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Troj-stavový model}<br />
<br />
V této přednášce se zabýváme jen nejjednodušším modelem, kde je člověk živý, nebo mrtvý. Komplexnější model může zahrnovat možnost invalidních lidí. Potom rozlišujeme stavy \textbf{aktivní}, \textbf{invalidní} a \textbf{mrtvý}. Situace je znázorněna na Obr. \ref{fig:troj}. Může zde docházet k úmrtím aktivních i invalidních lidí, invaliditě aktivních a případně reaktivaci invalidních na aktivní.<br />
<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.5]{troj.png}<br />
\caption{Troj-stavový model.}<br />
\label{fig:troj}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Úprava neceloročních výrazů}<br />
<br />
Budeme upravovat výraz $_{\frac{n}{12}}p_x \cdot _{\frac{1}{12}}q_{x+\frac{n}{12}}$, tedy pravděpodobnost, že člověk, který na začátku roku $x$ žije, zemře právě v $n$-tém měsíci. Využijeme zde vztah<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_uq_x = u q_x,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
který se uvažuje pro $u \in (0,1)$. Jedná se o určitou aproximaci, která je příčinou do jisté míry překvapivého výsledku. <br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
_{\frac{n}{12}}p_x \cdot _{\frac{1}{12}}q_{x+\frac{n}{12}} = (1- _{\frac{n}{12}}q_x)(1- _{\frac{1}{12}}p_{x+\frac{n}{12}})=\otimes.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
Dále použijeme vzorec $_np_x \cdot _mp_{x+n} = _{m+n}p_x$ a dostáváme:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\otimes = (1- _{\frac{n}{12}}q_x)\left( 1-\frac{_{\frac{n+1}{12}}p_x}{_{\frac{n}{12}}p_x} \right) = 1 - _{\frac{n}{12}}q_x - _{\frac{n+1}{12}}p_x = \\<br />
= 1 - _{\frac{n}{12}}q_x - (1- _{\frac{n+1}{12}}q_x) = -\frac{n}{12}q_x + \frac{n+1}{12}q_x = \frac{1}{12}q_x,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large} <br />
<br />
tedy pravděpodobnost úmrtí je v každém měsíci daného roku stejná.<br />
<br />
%_____________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Komutační čísla}<br />
<br />
\textbf{Komutační čísla} jsou hodnoty určitých výrazů, které jsou tabelovány a je možné z nich skládat výše používané výrazy. Dříve bez použití počítačů byl jejich význam zásadní, ale i dnes umožňují zjednodušit skripty počítačových simulací a zrychlit výpočet. Konkrétně jsou definována jako:<br />
<br />
\begin{tabular}{| c | c |}<br />
\hline<br />
$C_x = d_x v^{x+1}$ & $D_x = l_x v^x$ \\ \hline<br />
$M_x = \sum_{k=0}^\infty C_{x+k}$ & $N_x = \sum_{k=0}^\infty D_{x+k}$ \\ \hline<br />
$R_x = \sum_{k=0}^\infty M_{x+k}$ & $S_x = \sum_{k=0}^\infty N_{x+k}$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
<br />
Nyní můžeme například psát:<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\ddot{a}_{x,\bar{n}} = \sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x} v^k = \frac{N_x-N_{x+n}}{D_x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
A_x^1{_{\bar{n}}}=\sum_{k=0}^{n-1} {_kp_x}q_{x+k}v^{k+1} = \frac{M_x-M_{x+n}}{D_x},<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}<br />
<br />
\begin{large}<br />
\begin{eqnarray}<br />
E_x{_{\bar{n}}}= \frac{D_{x+n}}{D_x}.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{large}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola4&diff=4841KTP1:Kapitola42013-02-19T18:39:14Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
<br />
\section{Klasické částice}<br />
<br />
Začneme Lagrangeovým formalismem pro částice a následně přejdeme k popisu pole. Základním objektem je Lagrangeova funkce<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
L=L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t)),<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $\alpha$ probíhá přes všechny obecné souřadnice (stupně volnosti). Fyzikální pohyb se řídí principem stacionární akce. Tedy se děje po takových trajektoriích, na kterých funkcionál <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
S=\int_{t_1}^{t_2} \dif t L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t))<br />
\end{equation*}<br />
<br />
nabývá extremální hodnoty, tedy $\delta S=0$. Tento princip pak vede na Lagrangeovy rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{\dif}{\dif t} \frac{\parc L}{\parc \dot{q_\alpha}} - \frac{\parc L}{\parc q_\alpha} =0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
K odvození těchto rovnic se používá integrace per-partes a předpoklad, že variace na koncích časového intervalu jsou nulové.<br />
<br />
\section{Klasické pole}<br />
<br />
Při přechodu k teorii pole "zrovnoprávníme" čas s prostorovými souřadnicemi a akci budeme nyní psát ve tvaru <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
S=\int \dif t \int \dif^3 x \mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)) = \int \dif^4 x\mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Zde $\mathcal{L}$ je \textbf{hustota Lagrangeovy funkce} nebo krátce \textbf{Lagrangián} a $\varphi$ je souřadnice pole. Jelikož $\varphi(x)$ je funkcí souřadnic, máme systém o nekonečném počtu stupňů volnosti. (Hodnota pole v každém bodě je nezávislý stupeň volnosti.) Poznamenejme, že v jednotkách $c=\hbar=1$ je akce $S$ bezrozměrná. Nyní použijeme stejný variační princip $\delta S=0$ a obdobnou podmínku, že "povrchový člen" (viz níže) v integraci per-partes je nulový. Máme tedy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
0=\delta S= \int \dif^4 x\mathcal{L} = <br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta (\parc_\mu \varphi) \right] = \\<br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta \varphi \right) - <br />
\parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \delta \varphi \right] = \\<br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} - \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \right] \delta \varphi ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme využili jednak toho, že $\delta (\parc_\mu \varphi) = \parc_\mu (\delta \varphi)$, jednak nulovosti prostředního "povrchového" členu. To odpovídá předpokladu, že všechna pole dostatečně rychle ubývají do nekonečna, a tedy jsou na dostatečně vzdálené hranici nulová. Jelikož rovnice musí platit pro všechna $\delta \varphi$ (přesněji ze základní věty variačního počtu) dostáváme rovnice:<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Opakováním stejného postupu pro případné další složky pole bychom dostali zobecnění \textbf{Euler-Lagrangeových rovnic} v podobě:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_r} = 0 \quad r=1, 2, \ldots , n.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Zde ještě poznamenáme, že dimenze $\mathcal{L}$ je $M^4$. Je to vidět z toho, že $\dif^4 x$ má rozměr $L^4=M^{-4}$ a výsledná akce je bezrozměrná.<br />
<br />
<br />
\section{Příklady}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik příkladů Hamiltoniánů vedoucích na rovnice, které se vyskytly dříve v přednášce.<br />
<br />
<br />
\subsection{Reálné Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
V tomto případě máme reálnou skalární funkci $\varphi$ a chceme dostat rovnici<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:KG}<br />
(\square + m^2)\varphi = 0.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Je nám nabídnuto použít Hamiltonián ve tvaru <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
který do jisté míry připomíná Hamiltonián harmonického oscilátoru (kinetický a potenciální člen). Jelikož vynásobení akce konstantou vede na stejný variační princip, nemuseli bychom zde mít faktor $\frac{1}{2}$. Ten se nám však bude hodit později pro jednodušší vztah pro určení energie z Lagrangiánu. Při odvození budeme postupovat "foolproof" metodou, tedy vše do mrtě rozepíšeme. <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} &= <br />
\frac{\parc }{\parc (\parc_\mu \varphi)} \left( \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \parc_\alpha \varphi \parc_\beta \varphi \right) = <br />
\frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \frac{\parc (\parc_\alpha \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi \frac{\parc (\parc_\beta \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \right) = \\<br />
&= \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( g_\alpha^\mu \parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi g_\beta^\mu \right) = <br />
\frac{1}{2} \left( \parc^\mu \varphi + \parc^\mu \varphi \right) = \parc^\mu \varphi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále zřejmě $\pd{\lagr}{\varphi} = -m^2 \varphi$, a tedy dostáváme Euler-Lagrangeovu rovnici:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi + m^2\varphi^2=0,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
což je přesně Klein-Gordonova rovnice.<br />
<br />
<br />
\subsection{Komplexní Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
Tento příklad je obdobou předchozího, kde místo reálné funkce $\varphi$ uvažujeme $\varphi = \varphi_1 + i\varphi_2$. Rovnice bude opět \ref{eq:KG} a reálná a imaginární část $\varphi$ nyní odpovídá dvěma komponentám pole. Použijeme obdobný Lagrangián a upravíme ho na výraz:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L} = \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi^* - m^2\varphi\varphi^* = \parc_\mu \varphi_1 \parc^\mu \varphi_1 + \parc_\mu \varphi_2 \parc^\mu \varphi_2 - \frac{1}{2}m^2(\varphi_1^2 + \varphi_2^2).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Tedy máme Euler-Lagrangeovy rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_i)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_i} = 0 \quad i=1, 2,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
ze kterých plyne Klein-Gordonova rovnice pro $\varphi_1$ a $\varphi_2$. Jelikož samotná rovnice je reálná, dostáváme i Klein-Gordonovu rovnici pro celé $\varphi$. Místo dvou komponent $\varphi_1$ a $\varphi_2$ jsme mohli za složky pole vzít i $\varphi$ a $\varphi^*$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Procovo respektive Maxwellovo pole}<br />
<br />
Zde máme Lagrangián:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L}_{Proca} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $F_{\mu\nu} = \parc_\mu A_\nu -\parc_\nu A_\mu $ a zlomky jsou zde opět kvůli normalizaci energie. Komponenty $\varphi_r$ odpovídají složkám čtyřvektoru $A_\rho$, $\rho=0, 1, 2, 3$. Nyní provedeme derivaci obdobně jako v předchozích příkladech a dostaneme správný tvar rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Diracovo pole}<br />
<br />
Diracova rovnice (normální a sdružená) má tvar <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&i\gamma^\mu \parc_\mu \psi - m \psi = 0, \quad<br />
&i\parc_\mu \bpsi \gamma^\mu + m \bpsi = 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
pro čtyřkomponentní funkci $\psi=(\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4)^T$. Zde $\psi$ a $\bar{\psi}$ můžeme opět chápat jako nezávislé proměnné a máme tedy celkem 8 složek. Lagrangián vedoucí na tyto rovnice má tvar:<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L}_{Dirac} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu \stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $f\stackrel{\leftrightarrow}{\parc}g=f(\parc g)-(\parc f)g$. Při výpočtu se dá "derivovat podle matice", což znamená, že nebudeme psát index u $\psi$ ani dva indexy a $\gamma$ matic. Pak máme:<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \psi)} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu , \quad<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \bar{\psi)}} = \frac{i}{2} \gamma^\mu \psi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dostáváme (nezapomeneme derivovat i první člen Lagrangiánu podle $\psi$) Eulerovy-Lagrangeovy rovnice jako Diracovy rovnice symetricky pro $\psi$ a $\bar{\psi}$. Zde se často využívá toho, že k Lagrangiánu můžeme přičíst libovolnou čtyřdivergenci, čímž opět nezměníme pohybové rovnice (přidaný člen dá nulu díky nulovosti polí na hranici). Konkrétně přičteme výraz $\parc_\mu \left( \frac{i}{2}\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \right)$ a získáme tak nový Hamiltonián (který již není symetrický v $\psi$ a $\bar{\psi}$): <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{\mathcal{L}}_{Dirac} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m\bar{\psi}\psi .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
I odvození Euler-Lagrangeových rovnic je s tímto Hamiltoniánem jednodušší a navíc je v něm v podstatě přímo vidět Diracova rovnice. <br />
<br />
<br />
<br />
\section{Zákony zachování (integrály pohybu) v klasické teorii pole}<br />
<br />
\subsection{Klasická mechanika}<br />
<br />
Vezmeme jako příklad harmonický oscilátor a z jeho pohybové rovnice odvodíme zachování energie:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ddot{x} + \omega^2 x &= 0 \quad |\cdot \dot{x} \\<br />
\frac{1}{2} \frac{\dif}{\dif t}(\dot{x}^2) + \frac{1}{2}\frac{\dif}{\dif t}(x^2)\omega^2&=0 \\<br />
\frac{\dif}{\dif t}\left( \frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 \right)&=0 \\<br />
\frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 &= konst.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Klasické Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
Analogický postup můžeme zopakovat i pro Klasické Klein-Gordonovo pole:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu \parc^\mu \varphi + m^2\varphi &= 0 \quad |\cdot \parc^\nu \varphi \\<br />
\parc_\mu \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi + m^2\varphi \parc^\nu \varphi &= 0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\mu \varphi \parc_\mu \parc^\nu \varphi + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &= 0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \frac{1}{2}\parc^\nu(\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi) + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &=0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\nu \left( \frac{1}{2} \parc^\alpha \varphi \parc_\alpha \varphi) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right) &=0 \\<br />
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \left( \frac{1}{2} \parc_\alpha \varphi \parc^\alpha \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right)\right] &=0 \\<br />
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} \right] &=0 \\.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dostali jsme tedy vztah<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:tei}<br />
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu\nu} = 0,<br />
\end{equation}<br />
<br />
kde jsme označili \textbf{tenzor energie a impulsu} (tenzor energie a hybnosti):<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{T}^{\mu\nu} = \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Pro další výklad je důležité, že rovnice \ref{eq:tei} má pro každou složku $\nu$ tvar rovnice kontinuity:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu J^{\mu} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Název tenzor energie a hybnosti pro $\mathcal{T}^{\mu\nu}$ je oprávněný. Například složka $\mathcal{T}^{00}$ představuje přirozenou analogii hustoty energie. To je vidět z následujícího srovnání s klasickou mechanikou. V klasické mechanice získáme Hamiltonián $H$ (tedy energii) z Lagrangeovy funkce $L$ pomocí vztahu:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
H=\frac{\parc L}{\parc \dot{q}}\dot{q}-L.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Nyní máme hustotu Lagrangeovy funkce $\mathcal{L}$ a pro $\mathcal{T}^{00}$ platí:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{T}^{00}=\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \mathcal{L} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}\parc_0 \varphi - \mathcal{L},<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde jsme využili toho, že $\parc_0 \varphi = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}$.<br />
<br />
Explicitním rozepsáním $\mathcal{T}^{00}$ dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{T}^{00} = \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\ <br />
\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} (\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi ) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\<br />
\frac{1}{2} \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi + \frac{1}{2} \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že pro reálnou funkci $\varphi$ je hustota energie vždy kladná (jsou zde jen kvadráty reálných funkcí). To je dobré znamení ve srovnání s některými výsledky relativistické kvantové mechaniky. Přesto, že jsme zatím stále v klasické fyzice, absence záporných energií nám naštěstí vydrží (jak uvidíme) i v kvantové teorii pole.<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity a zákony zachování}<br />
<br />
Vycházíme z toho, že máme nějaký čtyřproud $J^\mu$ (název vychází z podobnosti s elektrickým čtyřproudem), tedy čtyřvektor, pro který platí rovnice kontinuity<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu J^\mu = \parc_0 J^0 + \vec{\nabla}\cdot \vec{J} = \parc_0 J^0 + \mathrm{div}\vec{J} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Nyní můžeme využít rovnici kontinuity a Gaussovu větu a psát <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{\dif}{\dif t} \int J^0 \dif^3 x = -\int \mathrm{div}\vec{J} \dif^3 x = \int \vec{J} \dif \vec{S} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
To, že je poslední výraz roven nule je opět důsledkem hraničních podmínek. (Snad se to dá chápat tak, že si vezmeme tak velký objem, že veškeré toky proudu $\vec{J}$ zůstávají uvnitř, a tedy přes hranici nic neproudí.) Tím jsme tedy odvodili, že pro čtyřproud s nulovou čtyřdivergencí se zachovává integrál jeho nulté složky. Pro tenzor energie a impulsu máme<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\int \mathcal{T}^{0\nu} \dif^3 x = p^\nu = konst,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
tedy zachování čtyřhybnosti.<br />
<br />
<br />
\subsection{Symetrie a zákony zachování (à la teorém Noetherové)}<br />
<br />
Výchozím bodem pro nalezení integrálu pohybu je invariance Lagrangiánu $\mathcal{L}$ vůči určité transformaci. (Obecněji stačí invariance akce, která plyne z invariance $\mathcal{L}$.)<br />
<br />
Mějme transformaci souřadnic:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x^\mu &\rightarrow x'^\mu \\<br />
\varphi_r(x) &\rightarrow \varphi_r '(x')<br />
\end{align*}<br />
<br />
a předpokládejme invarianci Lagrangiánu vůči této transformaci:<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{L}\left(\varphi_r(x), \frac{\parc \varphi_r(x)}{\parc x^\mu} \right) = \mathcal{L}\left(\varphi_r '(x'), \frac{\parc \varphi_r '(x')}{\parc x'^\mu} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Přesněji hovoříme o invarianci formy $\mathcal{L}$.<br />
<br />
<br />
Například podmínka invariance pro Klein-Gordanovo pole je<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x^\mu}\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x_\mu} - m^2\varphi^2(x) = \frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'^\mu}\frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'_\mu} - m^2\varphi'^2(x'),<br />
\end{align*}<br />
<br />
která je splněna právě když se $\varphi$ transformuje jako skalár, tedy $\varphi'(x')=\varphi(x)$.<br />
<br />
Označíme si nyní $\lagr' = \lagr\left(\varphi'_r(x),\frac{\parc \varphi'_r(x)}{\parc x^\mu} \right)$ a $\delta x = x'^\mu - x^\mu$. V tomto značení můžeme přepsat podmínku invariance do tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x')=\lagr(x) \quad (=\lagr(x'-\delta x)).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní přejdeme k infinitesimální transformaci $\delta x$. Můžeme vyjádřit jednak<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = -\delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu},<br />
\end{align*}<br />
<br />
což je první člen Taylorova rozvoje. (Ten je jediný relevantní pro infinitesimální transformaci.) Stejný výraz však můžeme upravit také pomocí Euler-Lagrangeových rovnic ($\varphi_r$ je jejich řešením):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = \delta \lagr(x') = \frac{\parc \lagr}{\parc \varphi_r} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r) = \parc_\mu \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Spojením obou vztahů a sečtením přes $r$ dostáváme rovnici <br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{invariance}<br />
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \delta \varphi_r \right) + \delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} = 0.<br />
\end{align}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Prostoročasová translace}<br />
<br />
Jako příklad použití rozebereme prostoročasovou translaci. Zde je transformace souřadnic dána vztahem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x'^\mu = x^\mu + \epsilon^\mu \mbox{, tedy}\quad \delta x^\mu = \epsilon^\mu .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále máme $\varphi'_r(x') = \varphi'_r(x + \epsilon) = \varphi_r(x)$, odkud<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi'_r(x) = \varphi_r(x - \epsilon) = \varphi_r(x)-\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \mbox{, tedy} \quad \delta \varphi_r(x) = -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dosazením do (\ref{invariance}) dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \left( -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \right) \right) + \epsilon^\nu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} &= 0 \\<br />
\epsilon_\nu \left[ \parc_\mu \left(\frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \parc^\nu \varphi_r \right) - \parc_\mu g^{\mu \nu} \lagr \right] &= 0 \\<br />
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu \nu} &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Lorentzovy transformace}<br />
<br />
Zde je transformace souřadnic dána vztahem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x'^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu \mbox{, kde }\quad \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega^{\alpha \beta}I_{\alpha \beta}\right), \quad \omega^{\alpha \beta} = -\omega^{\beta \alpha } .<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textcolor{red}{Dál je to potřeba dopsat... (Na tu fázovou invarianci se mě ptal u zkoušky.)}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{poznamky_1.jpg}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{poznamky_2.jpg}<br />
\end{figure}<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{poznamky_3.jpg}<br />
\end{figure}<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{poznamky_4.jpg}<br />
\end{figure}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=4838KTP1:ControlFile2013-02-18T14:14:35Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{KTP1}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Klein-Gordonova rovnice}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Diracova rovnice}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Prokova rovnice}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Kvantování volných polí a částicová interpretace}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Interakce kvantových polí}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman1.png}{feynman1.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman2.png}{feynman2.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_1.jpg}{poznamky_1.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_2.jpg}{poznamky_2.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_3.jpg}{poznamky_3.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_4.jpg}{poznamky_4.jpg}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=4837KTP1:ControlFile2013-02-18T14:13:45Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>\wikiparent{KTP1}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Klein-Gordonova rovnice}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Diracova rovnice}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Prokova rovnice}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Kvantování volných polí a částicová interpretace}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Interakce kvantových polí}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman1.png}{feynman1.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_feynman2.png}{feynman2.png}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_1.jpg}{poznamky_1.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_2.jpg}{poznamky_2.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_3.jpg}{poznamky_3.jpg}<br />
\wikifile{Soubor:ktp1_poznamky_4.jpg}{poznamky_4.jpg}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_poznamky_4.jpg&diff=4836Soubor:Ktp1 poznamky 4.jpg2013-02-18T14:09:49Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_poznamky_3.jpg&diff=4835Soubor:Ktp1 poznamky 3.jpg2013-02-18T14:09:33Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_poznamky_2.jpg&diff=4834Soubor:Ktp1 poznamky 2.jpg2013-02-18T14:08:09Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_poznamky_1.jpg&diff=4833Soubor:Ktp1 poznamky 1.jpg2013-02-18T14:05:06Z<p>Maresj23: načtena nová verze &quot;Soubor:Ktp1 poznamky 1.jpg&quot;</p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_poznamky_1.jpg&diff=4832Soubor:Ktp1 poznamky 1.jpg2013-02-18T14:04:45Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_feynman2.png&diff=4831Soubor:Ktp1 feynman2.png2013-02-18T14:03:51Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Ktp1_feynman1.png&diff=4830Soubor:Ktp1 feynman1.png2013-02-18T14:03:21Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div></div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1&diff=4829KTP12013-02-18T13:56:50Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\makeindex<br />
<br />
\title{02KTP1 - Kvantová teorie pole 1}<br />
\date{\today}<br />
\author{podle přednášky Prof. RNDr. Jiřího Hořejšího DrSc.}<br />
<br />
\begin{document}<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% FRONTMATTER<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\frontmatter<br />
\maketitle<br />
<br />
\newpage<br />
\pdfbookmark[0]{Obsah}{obsah}<br />
\tableofcontents<br />
<br />
\input{kapitola0}<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% MAINMATTER<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
\mainmatter<br />
\input{kapitola1}<br />
\input{kapitola2}<br />
\input{kapitola3}<br />
\input{kapitola4}<br />
\input{kapitola5}<br />
\input{kapitola6}<br />
<br />
<br />
<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
% BACKMATTER<br />
% ****************************************************************************************************************************<br />
%\backmatter<br />
%\input{literatura}<br />
%\printindex<br />
<br />
\end{document}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:KapitolaA&diff=4828KTP1:KapitolaA2013-02-18T13:55:18Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \begin{thebibliography}{1} \bibitem{pr} Přednáška 02KTP1 na MFF UK 2012. \bibitem{rqm} FORMÁNEK, Jiří. Úvod do relativistické kvantové mec...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\begin{thebibliography}{1}<br />
<br />
\bibitem{pr} Přednáška 02KTP1 na MFF UK 2012.<br />
<br />
\bibitem{rqm} FORMÁNEK, Jiří. Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantové teorie pole. 2. vyd. Praha: Karolinum, 2000, 344 s. ISBN 80-246-0063-3.<br />
<br />
<br />
<br />
\end{thebibliography}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola6&diff=4827KTP1:Kapitola62013-02-18T13:51:51Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Interakce kvantových polí} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Interakce kvantových polí}<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Interakce klasických polí}<br />
<br />
Uvedeme dva příklady interakce klasických polí.<br />
<br />
\subsubsection{Maxwell-(Proca)-Diracovo pole}<br />
<br />
Zde máme celkový Lagrangián<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + \pol M^2A_\mu A^\mu + i\bpsi \ga_\mu \parc_\mu \psi -m \bpsi \psi - e\bpsi \ga_\mu A^\mu \psi ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde poslední člen zprostředkovává interakci obou polí, tedy máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} = - e\bpsi \ga_\mu A^\mu \psi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Euler-Lagrangeovy rovnice tohoto systému jsou <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu F^{\mu \nu} + M^2 A^\nu &= e\bpsi \ga^\nu \psi , \\<br />
(i\ga^\mu (\parc_\mu +ieA_\mu)-m)\psi &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Klein-Gordan-Diracovo pole}<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr = \pol \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \pol m^2 \varphi^2 + i\bpsi \ga_\mu \parc^\mu \psi -m \bpsi \psi +g\bpsi\psi\varphi ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
$g$ je vazbová konstanta (síla interakce) a poslední člen opět zprostředkovává interakci obou polí, tedy máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} = g\bpsi\psi\varphi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Euler-Lagrangeovy rovnice tohoto systému jsou <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\square + m^2)\varphi &= g\bpsi\psi , \\<br />
i\ga^\mu \parc_\mu \psi -m\psi - g\varphi \psi &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Různé obrazy kvantové mechaniky}<br />
<br />
Formalismus časového vývoje v kvantové mechanice je možné zavést různými způsoby. Zde popíšeme Schrödingerův, Heisenbergův a Diracův obraz (reprezentaci). <br />
<br />
\subsubsection{Schrödingerův obraz}<br />
<br />
V této reprezentaci je časová závislost ve stavech systému a operátory odpovídající pozorovatelným se v čase nemění. Vývoj stavů se řídí Schrödingerovou rovnicí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\frac{\parc \Ket{\psi_S(t)}}{\parc t} = H \Ket{\psi_S(t)}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Heisenbergův obraz}<br />
<br />
Zde je časová závislost v operátorech a stavy jsou časově nezávislé. Souvislost se Schrödingerovým obrazem je dána vztahem <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{\psi_H|A_H(t)|\psi_H} = \Braket{\psi_S(t)|A_S|\psi_S(t)}<br />
\end{align*}<br />
<br />
a vývoj operátorů se řídí rovnicí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
A_H(t) = e^{iHt}A_S e^{-iHt}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Diracův obraz (interakční)}<br />
<br />
Tuto reprezentaci využijeme v této kapitole. Využije se toho, že umíme řešit časový vývoj volných polí a tím zjednodušíme řešení interakce. Rozdělíme Hamiltonián $H = H_0 + H_{int}$ a necháme operátory vyvíjet známým způsobem podle volného Hamiltoniánu $H_0$ a budeme řešit časový vývoj stavů daný už jen interakčním Hamiltoniánem $H_{int}$. Definujeme tedy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
A_I(t) \equiv e^{iH_0t}A e^{-iH_0t}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jelikož chceme, aby opět platila korespondence s předchozími obrazy $\Braket{\phi_H|A_H(t)|\psi_H} = \Braket{\phi_I(t)|A_I(t)|\psi_I(t)}$, dostaneme pro vývoj stavů vztah<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Ket{\psi_I(t)} = e^{iH_0t}e^{-iHt}\Ket{\psi}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Derivací podle času pak dopějeme k rovnici <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\frac{\parc \Ket{\psi_I(t)}}{\parc t} = H_{int}^{I}(t) \Ket{\psi_S(t)},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $H_{int}^{I}(t) = e^{iH_0t} H_{int} e^{-iH_0t}$ je vlastně interakční Hamiltonián, který se vyvíjí v čase Heisenbergovským způsobem podle $H_0$. Chceme-li nyní najít evoluční operátor stavů $U_I(t,t_0)$, pro který platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Ket{\psi_I(t)} = U_I(t,t_0)\Ket{\psi_I(t_0)}, <br />
\end{align*}<br />
<br />
dostáváme diferenciální rovnici<br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')U_I(t',t_0).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{S-matice v interakční reprezentaci ("Diracův obraz"), aplikace v teorii pole}<br />
<br />
Hamiltonián systému rozdělíme na základní a interakční část:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H = H_0 + H_{int}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro evoluční operátor $U_I(t,t_0)$ pak pak platí rovnice:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')U_I(t',t_0).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Iterací této rovnice dostaneme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) = \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^t \dif t' H^{int}_I(t')\left( \mathbbm{1} - i\int_{t_0}^{t'} \dif t'' H^{int}_I(t'')U_I(t'',t_0) \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Opakováním takovýchto iterací a roznásobením závorek dostáváme takzvanou \textbf{Dysnovu řadu}:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) &= \mathbbm{1} + (-i)\int_{t_0}^{t} \dif t_1 H^{int}_I(t_1) + (-i)^2\int_{t_0}^{t} \dif t_1 \int_{t_0}^{t_1} \dif t_2 H^{int}_I(t_1) H^{int}_I(t_2) + \ldots \\<br />
&+ (-i)^n \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} \dif t_{n} H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) + \ldots.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dysonovu řadu můžeme přepsat pomocí tzv. \textbf{chronologického součinu} ($T$-součinu), který se definuje jako<br />
<br />
\begin{align*}<br />
T(A(t_1)B(t_2))=<br />
\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
A(t_1)B(t_2) & \mbox{když } t_1 > t_2 \\<br />
B(t_2)A(t_1) & \mbox{když } t_2 > t_1<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\end{align*}<br />
<br />
a analogicky pro větší počet faktorů. Platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} \dif t_{n} H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) = \frac{1}{n!} \int_{t_0}^{t} \ldots \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \dif t_{n} T \left( H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) \right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
bez ohledu na pořadí $H$ ve funkci $T$. Nyní můžeme Dysonovu řadu zapsat jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) &= \mathbbm{1} - \frac{-i}{1!}\int_{t_0}^{t} \dif t_1 H^{int}_I(t_1) + \ldots <br />
&+ \frac{(-i)^n}{n!} \int_{t_0}^{t} \ldots \int_{t_0}^{t} \dif t_1 \ldots \dif t_{n} T \left( H^{int}_I(t_1) \ldots H^{int}_I(t_{n}) \right) + \ldots.<br />
\end{align*}<br />
<br />
a formálně se někdy používá zápis <br />
<br />
\begin{align*}<br />
U_I(t,t_0) &= T \exp \left( -i \int_{t_0}^{t} \dif t' H^{int}_I(t') \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Definujeme \textbf{S-matici} (scattering - rozptyl) <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S \equiv U_I(+\infty,-\infty) = T \exp \left( -i \int_{-\infty}^{+\infty} \dif t H_I^{int}(t) \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pomocí $S$-matice ($S$-operátoru) tedy můžeme popsat časový vývoj z výchozího stavu $\Ket{i}$ do nekonečna jako $\Ket{\psi(+\infty)}=S\Ket{i}$ a amplitudu přechodu do daného stavu $\Ket{f}$ jako $\Braket{f|\psi(+\infty)} = \Braket{f|S|i} \equiv S_{fi}$.<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{S-matice v teorii pole}<br />
<br />
Máme $H_I^{int}(t) = \int \dif^3 x \mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$, kde $\mathcal{H}_I^{int}(\vec{x},t)$ je hustota Hamiltoniánu. Můžeme také psát <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S &= T \exp \left( -i \int \dif^4 x \mathcal{H}_I^{int}(x) \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Otázka nyní je, jak získat hustotu Hamiltoniánu $\mathcal{H}_I^{int}(x)$ ze zadané hustoty Lagrangiánu $\mathcal{L}_I^{int}(x)$. <br />
<br />
\textbf{Příklad:} Mějme Lagrangián ve tvaru:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{L}_{KGD} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}M^2\varphi^2 + i \bpsi \gamma^\mu \parc_\mu \psi - m\psi \bpsi + g\bpsi \psi \varphi, <br />
\end{align*}<br />
<br />
kde první dva členy představují Diracovo pole, další dva Klein-Gordonovo pole a poslední člen je interakční část. Hustotu hamiltoniánu můžeme spočítat jako:<br />
<br />
%\begin{align*}<br />
%\ham &= \mathcal{T}^{00} = \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 \varphi)} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 \psi)} - \lagr \\<br />
%&= \parc_0\phi \parc_0\phi +i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi - \pol \parc_0\phi \parc_0\phi - \pol \parc_k\phi \parc^k\phi + \pol M^2\varphi^2 +m\psi \bpsi - g \bpsi \psi \varphi \\<br />
%&= \left( \pol \parc_0\phi \parc_0\phi + \pol M^2\varphi^2 \right) + \left( i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi + m\psi \bpsi \right) + \pol <br />
%\vec{\nabla} \phi \vec{\nabla} \phi - <br />
%\end{align*}<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ham &= \mathcal{T}^{00} = \ldots <br />
= \pol \parc_0\phi \parc_0\phi + \pol \vec{\nabla} \phi \vec{\nabla} \phi + \pol M^2\varphi^2 + i\bpsi \gamma_0\parc_0 \psi - i\bpsi \gamma^\mu \parc_\mu \psi + m\bpsi \psi - g\bpsi \psi \phi = - \lagr.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento výsledek jsme mohli odhadnout rovnou, jelikož interakční Hamiltonián neobsahuje derivace polí. Vztah $\ham = - \lagr$ však neplatí vždy. (Například neplatí pro Procovo pole.)<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
<br />
\subsection{Příklad 1}<br />
<br />
Nyní se budeme zabývat modelem s interakčním Lagrangiánem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int}=g\bpsi \psi \varphi,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $g$ je reálná vazbová konstanta.<br />
<br />
Použijeme $S$-matici, kde však vezmeme Dysonův rozvoj pouze do prvního řádu, tedy $S = \mathbbm{1} - i\int \dif^4x \lagr_I^{int}(x)$. Vprvním řádu rozvoje je možné popsat pouze rozpady, tedy procesy typu $\varphi \rightarrow f + \bar{f}$ (tedy rozpad částice bez spinu na fermion a antifermion). Příkladem takového procesu je rozpad Higgsova bosonu na $e^+$ a $e^-$. (Ještě bychom mohli formálně uvažovat proces $f \rightarrow f + \varphi$, ale ten odporuje zákonu zachování energie.)<br />
<br />
Máme tedy počáteční stav $\Ket{i}=\ad (q) \Ket{0}$ a koncový stav $\Ket{f}=\bd (p,s) \dd (k,s') \Ket{0}$. Dále nás bude zajímat maticový element v prvním řádu $\Braket{f|S^{(1)}|i}$, kde $S^{(1)}=i\int \dif^4x \lagr_I^{int}(x)$. K tomu potřebujeme vyjádřit interakční Lagrangián $\lagr_I^{int}=g\bpsi \psi \varphi$ pomocí kreačních a anihilačních operátorů. To uděláme tak, že za $\bpsi$,$\psi$ a $\varphi$ dosadíme výrazy pro volná pole, jelikož časový vývoj operátorů je dán Hamiltoniánem pro volná pole.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{f| \lagr_I^{int}|i} = \Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0}<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro další výpočet zavedeme kompaktní označení pomocí $\&$. Výrazy pro $\bpsi$,$\psi$ a $\varphi$ se skládají ze dvou členů, každý s jedním kreačním nebo anihilačním operátorem. Jelikož mnoho členů ve výrazu vypadne jen na základě kombinace těchto operátorů s jinými, nebudeme vypisovat vše kolem a budeme psát jen například $\bpsi = [\bd(l_1) \& d(l_1)]$. Potom dostáváme: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0} = \\<br />
&= \Bra{0} d(k,s') b(p,s) [\bd(l_1) \& d(l_1)] [b(l_2) \& \dd(l_2)] [a(l_3) \& \ad(l_3)] \ad(q) \Ket{0} = \\<br />
&= \Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bd(l_1) \dd(l_2)a(l_3) \ad(q) \Ket{0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Důvod, proč zbude právě tento jediný člen je ten, že se jen v něm vždy setká kreační a anihilační operátor stejného typu. U členů, kde se tak nenastane dostaneme působením přebytečného anihilačního operátoru na vakuu zleva respektive kreačního operátoru na vakuum zprava nulu.<br />
<br />
Pokud již ve zbývajícím členu dosadíme přesný tvar volných polí, dostaneme výsledek <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Bra{0} d(k,s') b(p,s) \bpsi(x) \psi(x) \varphi(x) \ad(q) \Ket{0} = N_k N_p N_q \bu(p,s) v(k,s')e^{i(k+p-q)x}\Braket{0|\unit |0}<br />
\end{align*}<br />
<br />
a integrací tohoto výrazu <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{f|S^{(1)}|i} = ig N_k N_p N_q \bu(p,s) v(k,s')(2\pi)^4\delta^4(k+p-q).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Delta-funkce na konci vlastně vyjadřuje zákon zachování energie a hybnosti. Zde také vidíme, proč není možný rozpad $f \rightarrow f + \varphi$. Výsledek se často zapisuje ve tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} = N_k N_p N_q i \mathcal{M} (2\pi)^4\delta^4(k+p-q),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde tedy $\mathcal{M} = \bu(p,s) v(k,s')$ se nazývá "relativisticky invariantní amplituda". To se dělá proto, že výraz $S_{fi}^{(1)}$ má stejnou strukturu v různých modelech, kde se mezi jednotlivými modely liší jen tvarem $\mathcal{M}$.<br />
<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
<br />
\subsection{Příklad 2}<br />
<br />
Nyní se budeme zabývat modelem s interakčním Lagrangiánem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} &= g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2\varphi + h.c. = g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2 + g\psi_2^\dagger(1+\gamma_5)\gamma_0\psi_1\varphi^\dagger = \\<br />
&= g\bpsi_1(1+\gamma_5)\psi_2 + g\bpsi_2(1+\gamma_5)\psi_1\varphi^\dagger.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zde se budeme zabývat procesem $\varphi \rightarrow f_1 + \bar{f_2}$, tedy rozpadem na fermion a nějaký jiný antifermion. Výchozí stav je $\Ket{i} = \bd_\varphi(q)\Ket{0}$ a koncový stav $\Ket{f} = \bd_1(p,s) \dd_2(k,s') \Ket{0}$. Zcela analogickou argumentací jako v předchozím příkladu dostáváme výsledek:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} = g N_k N_p N_q i \bu(p,s)(1+\gamma_5) v(k,s') (2\pi)^4\delta^4(k+p-q),<br />
\end{align*}<br />
<br />
a tedy $\mathcal{M} = \bu(p,s)(1+\gamma_5)(k,s')$.<br />
<br />
\subsubsection{Feynmannův diagram}<br />
<br />
Výše popsaný proces můžeme znázornit pomocí takzvaného Feynmannova diagramu. Pro tento konkrétní případ je znázorněn na obrázku \ref{feynman1}. Z těchto diagramů pak můžeme vyčíst způsob interakce. Pro konstrukci našeho diagramu jsme použili následující pravidla:<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.2]{feynman1.png}<br />
\caption{Fenmannův diagram pro proces $\varphi \rightarrow f_1 + \bar{f_2}$.}<br />
\label{feynman1}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Výrazu $\bu(p,s)$ odpovídá vycházející fermion.<br />
\item Výrazu $v(k,s')$ odpovídá vcházející fermion.<br />
\item Ve vrcholu (vertexu) se musí vždy zachovávat čtyřimpuls a je zde zahrnuta vazbová konstanta $g$ a výraz $(1+\gamma_5)$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Pravděpodobnost dvou-částicového rozpadu}<br />
<br />
Známe-li amplitudy pravděpodobností přechodu $S_{fi}$ z původního stavu do finálního, pak je pravděpodobnost takového přechodu rovna $|S_{fi}|^2$. Chceme-li znát pravděpodobnost rozpadu částice, musíme určit, kolik je možných finálních stavů v okolí impulsů $\vec{k}$ a $\vec{p}$. Budeme "mluvit v nářečí" konečného objemu (krychle o hraně $L$). Zde může každá složka impulsu $k_j$ nabávat pouze určitých diskrétních hodnot $k_j=\frac{\pi}{L}n_s$, kde $s=0,\pm 1, \pm 2, \ldots$. V intervalu délky $\Delta k_j$ je tedy $\frac{\Delta k_j}{\frac{2\pi}{L}}$ možných hodnot impulsu. Celkem tedy v okolí impulsu $\vec{k}:(\vec{k},\Delta \vec{k})$ je $\frac{\Delta k_1}{\frac{2\pi}{L}} \frac{\Delta k_2}{\frac{2\pi}{L}} \frac{\Delta k_3}{\frac{2\pi}{L}} = \frac{L^3\Delta k_1 \Delta k_2 \Delta k_3}{(2\pi)^3}$. V limitě $\Delta \rightarrow 0$ dostáváme $\frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3}$.<br />
<br />
Pro náš případ dvou částic je pak počet finálních stavů $\frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3}$. Celková pravděpodobnost rozpadu je tedy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
|S_{fi}|^2 \frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3} = N_k^2 N_p^2 N_q^2 |\mathcal{M}_{fi}|^2 \left( (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right)^2 \frac{L^3\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{L^3\dif^3p}{(2\pi)^3}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Problém s tímto výrazem je v tom, že kvadrát $\delta$-funcke je i na fyziky hodně divergentní výraz. Nicméně si s ním samozřejmě poradíme trikem (jedná se spíše o "matematický hokus pokus", než trik). Problematický výraz přepíšeme jako:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right)^2 = \left((2\pi)^4\delta^4(0) \right)\left((2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right) = VT \left((2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pochopitelně je tam dost podezřelé to $\delta^4(0)$. Pro určení hodnoty $VT$ jsme použili "regularizaci pomocí konečného objemu a času". Ta spočívá v tom, že se vrátíme k integrálu, ze kterého původně $\delta$-funkce vznikla:<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \dif^4x e^{i\Delta x} = (2\pi)^4\delta^4(\Delta) \rightarrow \int \dif^4x e^{0} = \int \dif^4x 1 = VT.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme ještě dosadit za $N_k=\frac{1}{\sqrt{2E(k)V}}$, kde $E(k)=\sqrt{\vec{k}^2-m^2}$. Dostáváme takzvanou \textbf{diferenciální pravděpodobnost rozpadu} ("decay rate"):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif P_{fi} &= |S_{fi}|^2 \frac{V\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{V\dif^3p}{(2\pi)^3} = \\<br />
&= \frac{1}{2E(k)V} \frac{1}{2E(p)V} \frac{1}{2E(q)V} |\mathcal{M}_{fi}|^2 VT (2\pi)^4\delta^4(k+p-q) \frac{V\dif^3k}{(2\pi)^3} \frac{V\dif^3p}{(2\pi)^3} = \\<br />
&= \frac{\dif^3 k}{2E(k)} \frac{\dif^3 p}{2E(p)} \frac{1}{2E(q)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 \frac{1}{(2\pi)^6} T (2\pi)^4\delta^4(k+p-q). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále ještě zavádíme pravděpodobnost rozpadu za jednotku času ("differential decay rate")<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif w_{fi} &= \frac{1}{T}\dif P_{fi} = <br />
\frac{\dif^3 k}{2E(k)} \frac{\dif^3 p}{2E(p)} \frac{1}{2E(q)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 \frac{1}{(2\pi)^6} (2\pi)^4\delta^4(k+p-q). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento vztah tedy platí obecně pro rozad v libovolném modelu, pokud použijeme patřičnou hodnotu $|\mathcal{M}_{fi}|^2$, tedy obecně<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif w_{fi} &= \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^3 2E(p_1)} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E(p_2)} \frac{1}{2E(p)} |\mathcal{M}_{fi}|^2 (2\pi)^4 (2\pi)^4\delta^4(p_1 +p_2 -p). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Rozpad uvažujeme v klidové soustavně původní částice, takže platí $E(p)=M$.<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Integrace přes impulsy koncových částic a sčítání přes spiny}<br />
<br />
Nyní se budeme zabývat tím, jak určit pravděpodobnost rozpadu v procesu, kde vás nezajímá konkrétní stav výsledných částic.<br />
<br />
\subsubsection*{1) Sčítání přes spiny}<br />
<br />
Vrátíme se opět k modelu $\lagr_{int}=g\bpsi \psi \varphi$, kde máme $\mathcal{M}_{fi} = g\bu(p,s)v(k,s')$. Vyjádříme si tedy nejprve kvadrát <br />
<br />
\begin{align*}<br />
|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= \mathcal{M}_{fi} \mathcal{M}_{fi}^\dagger = \left[\bu = \gamma_0 u^\dagger \right] = g^2 \bu(p,s)v(k,s') v^\dagger(k,s') \gamma_0 u(p,s) = \\<br />
&= g^2 \bu(p,s)v(k,s') \bv(k,s') u(p,s)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro další úpravu využijeme takzvanou metodu "špůrování". Jedná se o celkem zvláštní, ale v podobných výpočtech velmi praktický postup. Využije se toho, že $|\mathcal{M}_{fi}|^2$ je určitě číslo (tedy matice $1\times 1$) a tedy se rovná své stopě $Tr\left( |\mathcal{M}_{fi}|^2 \right)$. Tuto operaci děláme proto, že víme, že uvnitř stopy můžeme cyklicky zaměňovat členy aniž bychom tím změnili výsledek. (Název je odvozen z němčiny, kde se místo anglického "trace" říká "Spur".) <br />
<br />
\begin{align*}<br />
|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= g^2 Tr \left(\bu(p,s)v(k,s') \bv(k,s') u(p,s) \right) = g^2 Tr \left( u(p,s) \bu(p,s) v(k,s') \bv(k,s') \right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Sečtením přes všechny možnosti spinu dostaneme<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sum_{s,s'}|\mathcal{M}_{fi}|^2 &= g^2 Tr \left((\cancel{p} + m)(\cancel{k} - m) \right)=g^2 Tr \left(-4k\cdot p - 4m^2 \right) = \\<br />
&= [2k\cdot p = (k+p)^2-k^2-p^2=q^2-k^2-p^2=M^2-m^2-m^2] = 2g^2 (M^2 - 4m^2)<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsubsection*{2) Integrace přes $\dif^3 p_1, \dif^3 p_2$}<br />
<br />
Budeme postupovat zcela obecně (libovolný 2-částicový rozpad) bez použití konkrétního modelu, který je zanesen v $|\mathcal{M}_{fi}|^2$. Spočteme tedy takzvaný "Lorentz invariant phase space" dvou částic:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
LIPS_2 &= \iint \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^3 2E_1} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E_2} (2\pi)^4 \delta^4(p_1 +p_2 -p) = \\<br />
&= \left[\mbox{v klidové soustavě: } p=(M,\vec{0})\right] = \\<br />
&= \iint \frac{1}{4\pi^2}\frac{\dif^3 p_1}{2E_1} \frac{\dif^3 p_2}{2E_2} \delta(E_1+E_2-M)\delta^3(\vec{p_1} +\vec{p_2}) = \\<br />
&= \left[\mbox{integrace }\delta^3(\vec{p_1} +\vec{p_2}) \rightarrow \vec{p} \equiv \vec{p_1} = -\vec{p_2}, \dif^3 p = |\vec{p}|^2\dif \vec{p} \dif \Omega \right] = \\<br />
&= \int \frac{1}{16 \pi^2} \frac{|\vec{p}|^2\dif \vec{p} \dif \Omega}{\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2}\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2}} \delta(\sqrt{\vec{p}^2+m_1^2} + \sqrt{\vec{p}^2+m_2^2} - M) = \\<br />
&= \frac{4\pi}{16 \pi^2} \int_0^\infty \frac{x^2 \dif x}{\sqrt{x^2+m_1^2}\sqrt{x^2+m_1^2}} \delta(\sqrt{x^2+m_1^2} + \sqrt{x^2+m_2^2} - M) = \\<br />
&= \left[ \delta(f(x)) = \frac{1}{|f'(x_0)|}\delta(x-x_0) \mbox{, kde } f(x_0)=0 \right] = \\<br />
&= \frac{1}{4\pi} \int_0^\infty \frac{x^2 \dif x}{\sqrt{x^2+m_1^2}\sqrt{x^2+m_1^2}} \frac{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_2^2}}{x_0(\sqrt{x_0^2+m_1^2} + \sqrt{x_0^2+m_2^2})} \delta(x - x_0) = \\<br />
&= \frac{1}{4\pi} \int_0^\infty \frac{x_0^2 \dif x}{\cancel{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_1^2}}} \frac{\cancel{\sqrt{x_0^2+m_1^2}\sqrt{x_0^2+m_2^2}}}{x_0(M)} \delta(x - x_0) = \\<br />
&= \frac{x_0}{4\pi M},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde tedy $x_0$ je řešením rovnice $\sqrt{x_0^2+m_1^2} + \sqrt{x_0^2+m_2^2} = M$. Toto řešení je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
x_0^2 = \frac{M^4 + m_1^4 + m_2^4 - 2M^2m_1^2 - 2M^2m_2^2 - 2m_1^2m_2^2}{4M^2} \equiv \frac{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}{4M^2},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme pro označení použili takzvanou Köllenovu funkci. <br />
<br />
Speciálně pro případ $m_1 = m_2 = m$ máme $x_0 = \frac{1}{2}\sqrt{M^2-4m^2}$ a pro integrální pravděpodobnost rozpadu v prvním řádu rozvoje při procesu $\varphi \rightarrow f + \bar{f}$ dostáváme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
w^{(1)} = \frac{g^2}{8\pi}M\left( 1 - \frac{4m^2}{M^2}\right)^{\frac{3}{2}}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%__________________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Výpočet $|\mathcal{M}|^2$ pro jednotlivé spiny}<br />
<br />
Nyní vyjádříme v modelu $\lagr_{int} = g\bpsi \psi g$ jednotlivé členy z výrazu<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sum_{s,s'} |\mathcal{M}|^2 = |\mathcal{M}_{RR}|^2 + |\mathcal{M}_{LL}|^2 + |\mathcal{M}_{RL}|^2 + |\mathcal{M}_{LR}|^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Rovnou od začátku očekáváme, že vyjde $|\mathcal{M}_{RL}|^2 = |\mathcal{M}_{LR}|^2 = 0$. Je to kvůli tomu, že výchozí částice má spin 0, a ten se musí zachovat. Jelikož výsledné částice se pohybují opačnými směry, musí mít stejnou helicitu, aby vyktory helicity mířily opačnými směry. Tuto domněnku ověříme výpočtem pro $\mathcal{M}_{LR} = g \bu_L(p) v_R(k)$.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \bu_L(p) v_R(k) \bv_R(k) u_L(p) = Tr( u_L(p) \bu_L(p) v_R(k) \bv_R(k)) = \\<br />
&= Tr\left( (\cancel{p}+m) \frac{1+\gamma_5 \cancel{s}_L(p)}{2} (\cancel{k}-m) \frac{1+\gamma_5 \cancel{s}_R(k)}{2} \right) = <br />
[\cancel{s}_L(p) = -\cancel{s}_R(p)] = \\<br />
&= \frac{1}{4} Tr\left( (\cancel{p}+m)(1-\gamma_5 \cancel{s}_R(p))(\cancel{k}-m)(1+\gamma_5 \cancel{s}_R(k))\right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní využijeme některá pravidla pro počítání stop $\gamma$ matic, která nám umožní rovnou uvažovat jen nenulové členy. Platí, že stopa lichého počtu $\gamma$ matic je 0 a dále $Tr(\gamma_\mu \gamma_\nu \gamma_5) = 0$. Tím tedy dospějeme k výrazu<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \frac{1}{4} Tr\left( \cancel{p}\cancel{k} - \cancel{p}\gamma_5 \cancel{s}_R(p) \cancel{k} \gamma_5 \cancel{s}_R(k) - m^2 + m(-\gamma_5 \cancel{s}_R(p))(-m)\gamma_5 \cancel{s}_R(k) \right) = [\mbox{vzorečky}] = \\<br />
&= k\cdot p-p\cdot s_R(k)+k\cdot p s_R(p)\cdot s_R(k)-p\cdot s_R(k) k\cdot s_R(p)-m^2-m^2s_R(p)\cdot s_R(k)= \\<br />
&= [s_R(p)\mbox{ je kolmý k }p, p=q-k, k=q-p, \mbox{ v klidovém systému } q=(M,\vec{0})] = \\<br />
&= (k\cdot p - m)(1+s_R(k)\cdot s_R(p))-M^2s_R^0(k)\cdot s_R^0(p) <br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
Připravíme si mezivýpočet, kde budeme potřebovat vztahy $\vec{k} = -\vec{p}$, $E=\frac{1}{2}M$, $|\vec{p}|^2 = E^2-m^2$, pak<br />
<br />
\begin{align*}<br />
k\cdot p &= \frac{1}{2}((k+p)^2-k^2-p^2) = \frac{1}{2}(M^2-2m^2), \\<br />
s_R(k)\cdot s_R(p) &= s_R^0(k)s_R^0(p) - \vec{s_R}(k)\cdot \vec{s_R}(p) = <br />
= \frac{|\vec{p}|^2}{m^2} + \frac{E^2}{m^2} = \frac{\frac{1}{2}M^2-m^2}{m^2}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme psát:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{g^2} |\mathcal{M}_{LR}|^2 &= \left( \pol M^2 - 2m^2\right) \left( 1 + \frac{M^2-2m^2}{2m^2}\right) - M^2\frac{|\vec{p}|^2}{m^2} = \left[|\vec{p}|^2 = E^2-m^2 = \frac{M^2}{4}-m^2 \right] = \\<br />
&= \left( \pol M^2 - 2m^2\right) \left( \frac{M^2}{2m^2}\right) - M^2\frac{\frac{M^2}{4}-m^2}{m^2} = 0. \mbox{ \huge{\Smiley{}}}<br />
\end{align*}<br />
<br />
Přesto, že jsme tento výsledek čekali, výpočet nebyl zbytečný, jelikož spinový popis jsme vlastně převzali z kvantové mechaniky. Je tedy dobré ověřit adekvátnost tohoto postupu. <br />
<br />
Ostatní členy dostaneme zcela obdobně s tím, že v nich budou jiné kombinace znamének z výrazů $s_L(p) = - s_R(p)$. Tím dostaneme, že i $|\mathcal{M}_{RL}|^2 = 0$ a zbývající členy jsou stejné, tedy můžeme využít předchozího výsledku a psát<br />
<br />
\begin{align*}<br />
|\mathcal{M}_{LL}|^2 &= |\mathcal{M}_{RR}|^2 = \pol \sum_{s,s'}|\mathcal{M}|^2 = g^2(M^2-4m^2).<br />
\end{align*}<br />
<br />
POZOR! Studentům se doporučuje se na tuto část dobře podívat, protože podobný příklad může být u zkoušky.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Model: Hmotné vektorové pole}<br />
<br />
Nyní se budeme zabývat modelem hmotného vektorového pole (Procova) hmoty $M$. (Někdy se tomu říká "hmotná QED".) Zde máme $\lagr_{int} = a\bpsi \gamma^\mu \psi A_\mu$. V prvním řádu rozvoje můžeme použít vztah $\ham_{int} = -\lagr_{int}$, ale už od druhého řádu s tím je problém (viz KTP2).<br />
<br />
Budeme zkoumat proces $V \rightarrow f + \bar{f}$, kde se vektorový boson rozpadá na fermion a antifermion. Máme tedy $\Ket{i} = \ad(q,\lambda)\Ket{0}$ a $\Ket{f}=\bd(p,s)\dd(k,s')\Ket{0}$. Připomeneme, že <br />
<br />
\begin{align*}<br />
A_\mu(x) = \int \dif^3 l N(l) \sum_{\lambda = 1}^3\left[ a(l,\lambda)\epsilon_\mu(l,\lambda)e^{-il\cdot x} + \ad(l,\lambda)\epsilon_\mu^*(l,\lambda)e^{il\cdot x} \right],<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\epsilon_\mu(l,\lambda)$ jsou amplitudy rovinných vln, které jsou analogií k $u(p,s)$ a $v(k,s')$. Při výpočtu $\Braket{f|\lagr_{int}(x)|i}$ použijeme zcela analogickou argumentaci o nutné kombinaci kreačních a anihilačních operátorů a dospějeme k výrazům: <br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{f|\lagr_{int}(x)|i} &= g\bu(p,s)\gamma^\mu v(k,s')\epsilon_\mu(q,\lambda)N(k)N(p)M(q)e^{i(k+p-q)x} \\<br />
S_{fi}^{(1)} &= N(k)N(p)M(q)i g\bu(p,s)\gamma^\mu v(k,s')\epsilon_\mu(q,\lambda)(2\pi)^4\delta^4(k+p-q) = \\<br />
&= N(k)N(p)M(q)i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4\delta^4(p_f-p_i)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Využitím "špůrování" a toho, že koeficienty $\epsilon_\mu(l,\lambda)$ jsou čísla můžeme získat výraz<br />
<br />
\begin{align*}<br />
|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 = g^2 Tr\left[ u(p,s)\bu(p,s)\gamma^\mu \bv(k,s') v(k,s')\gamma^\nu \right]\epsilon_\mu(q,\lambda)\epsilon_\nu^*(q,\lambda).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
%______________________________________________________________________________________________________________________________<br />
<br />
\subsection{Případ nepolarizovaných částic}<br />
<br />
Nyní budeme sčítat pravděpodobnosti rozpadu přes koncové stavy spinu $s$ a $s'$ a navíc počáteční boson se spinem 1 bude se stejnou pravděpodobností $(p=\frac{1}{3})$ ve všech stavech $\lambda = 1, 2, 3$ (respektive $\lambda = 0, \pm1$). Takzvanou "relevantní veličinou" ("spin averaged matrix element squared" - sčítání a středování přes spiny) je potom<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{3}\sum_{s,s',\lambda} |\mathcal{M}|^2 = \frac{1}{3}g^2 Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu]\left( -g_{\mu \nu} + \frac{1}{M}p_\mu q_\nu \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nejprve vypočteme člen úměrný $p_\mu q_\nu$.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu]p_\mu q_\nu = Tr[(\cancel{p}+m)\cancel{q} (\cancel{k}-m)\cancel{q}] = \\<br />
&= Tr[\cancel{p}\cancel{q}\cancel{k}\cancel{q}-m\cancel{q}\cancel{q}]=4(p\cdot q k\cdot q-k\cdot p q^2 p\cdot q k\cdot q) - 4m^2q^2 = \\<br />
&= [q=k+p, q^2=M^2, k^2=p^2=m^2] = 2(k^2+k\cdot p)(p^2+k\cdot p)-M^2k\cdot p-m^2M^2 = \\<br />
&= \left[k\cdot p = \pol 2 k\cdot p = \ldots = \pol M^2-m2\right] = 2\pol M2 \pol M^2-M^2(k\cdot p +m2) = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
K tomuto výsledku se dá dospět o něco kratším postupem pokud napřed vysčítáme přes $\lambda$, ale nefunguje to obecně v jiných modelech. Nyní dopočteme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\overline{|\mathcal{M}|^2} &= \frac{1}{3}g^2 Tr[(\cancel{p}+m)\gamma^\mu (\cancel{k}-m)\gamma^\nu](-g_{\mu \nu}) = <br />
[\gamma_\mu \gamma_\alpha \gamma^\mu = -2\gamma_\alpha] = \\<br />
&= -\frac{1}{3}g^2 Tr[-2\cancel{p}\cancel{k}-m^2\gamma^\mu \gamma_\mu] = \frac{1}{3}g^2(8k\cdot p + 16m^2) = \frac{4}{3}g^2(M^2+2m^2). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme vyjádřit diferenciální pravděpodobnost rozpadu vystředovanou přes $\lambda$ a sečtenou přes $s,s'$ jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
w &= \frac{1}{2M}\overline{|\mathcal{M}|^2} LIPS_2 = \frac{1}{2M}\frac{4}{3}g^2(M^2+2m^2)\frac{1}{8\pi}\sqrt{1-4\frac{m^2}{M^2}} = <br />
\frac{g^2}{12\pi} M \left( 1 + 2\frac{m^2}{M^2} \sqrt{1-4\frac{m^2}{M^2}} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Vícečásticové rozpady}<br />
<br />
Uvažujme například $\beta$ rozpad neutronu: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$. Budeme počítat s interakčním Lagrangiánem, který navrhl přímo Fermi (1933/34).<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int}^{(Fermi)}=G(\bpsi_p \gamma_\mu \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu \psi_\nu) + h.c. = G(\bpsi_p \gamma_\mu \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu \psi_\nu) + G(\bpsi_n \gamma_\mu \psi_p)(\bpsi_\nu \gamma^\mu \psi_e),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $G$ je opět vazbová konstanta. Dnes už se používá trochu jiná verze<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int}^{(dnes)}=-\frac{G_\beta}{\sqrt{2}}(\bpsi_p \gamma_\mu (1-f\gamma_5) \psi_n)(\bpsi_e \gamma^\mu (1-\gamma_5) \psi_\nu) + h.c. ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $G_\beta = G \cos(\theta_c)$ a $f\simeq 1,26$ je fenomenologický parametr. Nicméně Fermiho Lagrangián stále slouží jako poměrně dobré přiblížení v oblasti nízkých energií.<br />
<br />
Pomocí $\lagr_{int}^{(Fermi)}$ můžeme popsat i některé srážkové procesy jako:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\nu + n \rightarrow p + e^-$<br />
\item $e^+ + n \rightarrow p + \bar{\nu}$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Druhá část Lagrangiánu (hermitovsky sdružená) nám navíc umožňuje popsat procesy:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $p \rightarrow n + e^+ + \nu$<br />
\item $\bar{\nu} + p \rightarrow n + e^+$<br />
\item $e^- + p \rightarrow n + \nu $<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
První z těchto procesů nevychází energeticky, a proto je možný jen například v jádře atomu, kde je možné energii získat jiným způsobem. Druhý proces je zase zajímavý tím, že pomocí něho byla prokázána existence neutrina.<br />
<br />
Aplikací postupů použitých v předchozích částech si můžeme ověřit, že tyto procesy opravdu mohou pomocí uvedeného Lagrangiánu probíhat.<br />
<br />
Feynmanův diagram procesu $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}$ je na obrázku \ref{feynman2} a maticový element $S$-matice v prvním řádu rozvoje má tvar:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} &= N_n N_p N_e N_{\bar{\nu}} i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4 \delta^4(p_e+p_{\bar{\nu}} + p_p - p_n) \mbox{, kde} \\<br />
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} &= G(\bu_p \gamma_\mu u_n)(\bu_e \gamma^\mu v_{\bar{\nu}})<br />
\end{align*}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.2]{feynman2.png}<br />
\caption{Fenmannův diagram pro proces $n \rightarrow p + e^- \bar{\nu}$.}<br />
\label{feynman2}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Diferenciální pravděpodobnost rozpadu za jednotku času je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif w = \frac{1}{2M} |\mathcal{M}|^2 \frac{\dif^3 p_1}{(2\pi)^32E_1} \frac{\dif^3 p_2}{(2\pi)^32E_2} \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2 + p_3 - p).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Problém je teď s tím, že pokud bychom chtěli napsat $w$, potřebovali bychom $LIPS_3$ a pro tenro výraz neexistuje formule v uzavřeném tvaru.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Dimenze vazbových konstant - jelikož je $[\lagr]=M^4, [\varphi]=M, [\bpsi]=M^{\frac{3}{2}}, [A^\mu]=M$, potom platí:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item V modelech $g\bpsi \psi \varphi$, respektive $g\bpsi \gamma_\mu \psi A^\mu$ je $g$ bezrozměrná konstanta.<br />
\item V modelu $G(\bpsi \psi)(\bpsi \psi)$ je $[G]=M^{-2}$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Dodatek: problém kvadrátu $\delta$-funkce}<br />
<br />
Nyní si zkusíme trochu sofistikovaněji poradit s výrazem $((2\pi)^4\delta^4(\Delta))^2$, kde $\Delta = p_f-p_i$. (Stále to nebude nijak matematicky rigorózní.) Chceme ospravedlnit krok:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
((2\pi)^4\delta^4(\Delta))^2 \rightarrow (2\pi)^4\delta^4(0)(2\pi)^4\delta^4(\Delta) \rightarrow VT(2\pi)^4\delta^4(\Delta).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Delta funkce ve výrazu $|S_{fi}|^2$ vznikla integrací: $\int \dif^4xe^{i\Delta x} = (2\pi)^4\delta^4(\Delta)$. Budeme-li integrovat v konečném objemu a čase, dostaneme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
X_{VT} &\equiv \int_{V,T} \dif^4xe^{i\Delta x} = \int_{-T/2}^{T/2} \dif x_0 e^{i\Delta_0 x_0} \int_V \dif^3 x e^{i\vec\Delta\cdot \vec{x}} = \left[ \frac{e^{i\Delta_0 x_0}}{i\Delta_0} \right]_{-T/2}^{T/2}V\delta_{\vec\Delta, \vec0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Výraz $\delta_{\vec\Delta, \vec0}$ se zde chápe jako obyčejné Kroneckerovo $\delta$, které je 1 pokud jsou vektory shodné a jinak 0. Výsledek vychází z toho, že pro $\vec\Delta = \vec0$ integrujeme jedničku přes celý objem a pokud je alespoň jedna ze složek nenulová, je integrál nulový kvůli okrajovým podmínkám. Dále můžeme upravovat<br />
<br />
\begin{align*}<br />
X_{VT} &= \frac{e^{i\Delta_0\frac{T}{2}}-e^{-i\Delta_0\frac{T}{2}}}{2i}\frac{2V}{\Delta_0}\delta_{\vec\Delta, \vec0} = \frac{\sin(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\frac{\Delta_0}{2}}V\delta_{\vec\Delta, \vec0}<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme problematický výraz napsat jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
|X_{VT}|^2 &= \frac{\sin^2(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\left(\frac{\Delta_0}{2}\right)^2}V^2(\delta_{\vec\Delta, \vec0})^2 = \frac{\sin^2(\frac{\Delta_0}{2}T)}{\left(\frac{\Delta_0}{2}\right)^2}V^2(\delta_{\vec\Delta, \vec0}),<br />
\end{align*}<br />
<br />
jelikož ve výrazu již je jen obyčejné Krocenkerovo $\delta$ a nikoli $\delta$-funkce. Dále platí, že <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{\sin^2 Tx}{Tx^2} = \pi \delta(x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
To je vidět z toho, že pro $x \rightarrow 0$ jde výraz k pod limitou k $T$, a tedy limita do $+\infty$. Dále pro $x \neq 0$ je zřejmě limita 0 a navíc $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2 Tx}{T^2x^2}T \dif T = \pi$, což snadno spočteme substitucí. Nyní tedy máme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
|X_{VT}|^2 \underset{V,T \rightarrow \infty}\longrightarrow T \pi \delta(\frac{\Delta_0}{2})V(2\pi)^3\delta(\vec\Delta) = VT\pi 2 \delta(\Delta_0)(2\pi)^3\delta(\vec\Delta) = VT 2\pi (2\pi)^4 \delta(\Delta).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Šipka v poslední výrazu není limita, jelikož $T$ se vyskytuje na pravé straně. Je to jen přiblížení výsledku v případě, že $T$ je hodně velké.<br />
<br />
<br />
<br />
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Procesy rozptylu, účinný průřez}<br />
<br />
Budeme se opět pohybovat v 1. řádu poruchového rozvoje. Uvedeme napřed příklad pro interakci elektronového a neutrinového pole. Interakční Lagrangián tohoto procesu má tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bpsi_\nu \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_e][\bpsi_e \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_\nu],<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $G_F$ je Fermiho vazbová konstanta ($G_F \doteq 10^{-5} GeV$) a index $\nu$ neznačí složku čtyřvektoru, ale neutrinové pole a $e$ značí elektronové pole. (Musíme zde rozlišit dvě rozdílná pole Diracova typu.) Tímto interakčním Lagrangiánem můžeme popsat následující procesy:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\nu + e \rightarrow \nu + e$<br />
\item $\bar\nu + e \rightarrow \bar\nu + e$<br />
\item $e^+ + e^- \rightarrow \bar\nu + \nu$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Vezměme nyní konkrétně první proces $\nu + e \rightarrow \nu + e$. Zde máme iniciální a finální stavy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Ket{i} = \bd_\nu(k) \bd_e(p) \kvak , \quad \Ket{f} = \bd_\nu(k') \bd_e(p') \kvak.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zcela analogickým výpočtem jako v předchozí sekci dostaneme pro $S_{fi}^{(1)}$ výraz<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} = i\int \dif^4 x \Braket{f|\lagr_{int}|f} = N_k N_p N_{k'} N_{p'} i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} (2\pi)^4 \delta^4(P_f - P_i)<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Účinný průřez}<br />
<br />
Nyní máme obecný proces typu $1+2 \rightarrow 3+4+\ldots + n$, kde čísla značí částice s impulsy $p_1, p_2, \ldots, p_n$. $S_{fi}^{(1)}$ bude mít opět obvyklý tvar s patřičnými normovacími konstantami a $\delta$-funkcí rozdílu celkového počátečního a konečného čtyřimpulsu. \textbf{Diferenciální účinný průřez} zavádíme jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{intenzita toku dopadajících částic}} = \\<br />
&= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{počet dopadajících částic prošlých jednotkou plochy za jednotku času}} = \\<br />
&= \frac{N\frac{1}{T}|S_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_3}{(2\pi)^3}\frac{V\dif^3 p_4}{(2\pi)^3} \cdots \frac{V\dif^3 p_n}{(2\pi)^3}}{\frac{N}{V}|\vec v_1 - \vec v_2|}<br />
\end{align*}<br />
<br />
zde předpokládáme, že $\vec v_1 \parallel \vec v_2$ a výraz ve jmenovateli není rychlost žádného objektu, ale jen hrana "kvádu" ve kterém jsou interagující částice. Může se tedy stát, že $|\vec v_1 - \vec v_2|>c$ a není to žádný spor se speciální relativitou. Pokračujeme dále v úpravách<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{\frac{1}{T}\frac{1}{2E_1V}\frac{1}{2E_2V}\cdots \frac{1}{2E_nV}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_3}{(2\pi)^3}\frac{V\dif^3 p_4}{(2\pi)^3} \cdots \frac{V\dif^3 p_n}{(2\pi)^3}(2\pi)^4\delta^4(P_f - P_i)VT}{\frac{1}{V}|\vec v_1 - \vec v_2|} = \\<br />
&= \frac{1}{|\vec v_1 - \vec v_2|}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4} \cdots \frac{\dif^3 p_n}{(2\pi)^32E_n}(2\pi)^4\delta^4(P_f - P_i),<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kde jsme opět použili normalizaci kvadrátu $\delta$-funkce.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Binární procesy}<br />
<br />
Omezíme se nyní na případ procesu $1+2 \rightarrow 3+4$, kde tedy máme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{1}{|\vec v_1 - \vec v_2|}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta^4(p_3 + p_4 - p_1 - p_2).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Budeme pracovat v těžišťové soustavě (CM - "center of mass"), kde platí $\vec p_2 = - \vec p_1 \equiv p_{CM}$ a $\vec p_4 = - \vec p_3 \equiv p_{CM}'$. Pak máme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{1}{\frac{|\vec p_{CM}|}{E_1}+ \frac{|\vec p_{CM}'|}{E_2}}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_3}{(2\pi)^32E_3}\frac{\dif^3 p_4}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta(E_3 + E_4 - E_1 - E_2) \delta^3(\vec p_3 + \vec p_4).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní ještě použijeme vztah $E_1 = \sqrt{|\vec p_1|^2-m_1^2}$ a zintegrujeme $\int \dif^3 p_4$. Přesto, že dostaneme jiný diferenciální účinný průřez, používáme pro něj stejné značení (dokud je tam nějaký diferenciál, říká se tomu prostě diferenciální účinný prořez a musí se to asi vždy konkrétně upřesnit.)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{1}{|\vec p_{CM}|}\frac{E_1 E_2}{E_1 + E_2}\frac{1}{2E_1}\frac{1}{2E_2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_{CM}}{(2\pi)^32E_3}\frac{1}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\\<br />
&\delta(\sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_3^2} + \sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_4^2} - E_{CM}).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro popis procesů rozptylu se hodí takzvané \textbf{Mandelstamovy invarianty}:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
s &= (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2, \\<br />
t &= (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2, \\<br />
u &= (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2. \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Invariant $s$ je pevně určen, zatímco $t$ a $u$ jsou zaměnitelné. (Není jasně dáno, která částice je 3 a která 4.) Platí užitečný vztah<br />
<br />
\begin{align*}<br />
s+t+u = \sum_{i=1}^4 m_i^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Spočteme-li $s$ v těžišťovém systému, dostaneme $s = (E_1 + E_2)^2-(\vec p_1 + \vec p_2)^2 = (E_1 + E_2)^2$ a můžeme přepsat předchozí výsledek jako<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\dif \sigma = \\<br />
&= \frac{1}{|\vec p_{CM}|}\frac{1}{\sqrt{s}}\frac{1}{16} \frac{1}{(2\pi)^4}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 \vec p_{CM}'}{(2\pi)^32E_3}\frac{1}{(2\pi)^32E_4}(2\pi)^4\delta(\sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_3^2} + \sqrt{|\vec p_{CM}'|^2-m_4^2} - \sqrt{s}).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Označíme-li $|\vec p_{CM}'|=x$, pak $\dif^3 \vec p_{CM}' = x^2 \dif x \dif \Omega_{CM}$. Integrací přes $x$ dostane úhlový diferenciální účinný průřez:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{1}{64\pi}\frac{1}{|\vec p_{CM}|\sqrt{s}}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{x_0^2 \dif \Omega_{CM}}{\sqrt{x_0^2+m_3^2}\sqrt{x_0^2+m_4^2}}\frac{\sqrt{x_0^2+m_3^2}\sqrt{x_0^2+m_4^2}}{x_0\sqrt{s}},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme použili vztah $\delta{f(x)}=\frac{1}{|f'(x_0)|}\delta(x-x_0)$, kde $f(x_0)=0$. Nakonec dostáváme úhlové rozdělení <br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}} &= \frac{1}{64\pi}\frac{|\vec p_{CM}'|}{|\vec p_{CM}|}\frac{1}{s}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $|\vec p_{CM}| = \frac{\lambda^{\pol}(s,m_1^2,m_2^2)}{2\sqrt{s}}$ a $|\vec p_{CM}'| = \frac{\lambda^{\pol}(s,m_3^2,m_4^2)}{2\sqrt{s}}$. Pro speciální případ pružné srážky $1+2 \rightarrow 1+2$ nebo pokud můžeme zanedbat klidové hmotnosti částic, platí $|\vec p_{CM}| = |\vec p_{CM}'|$ , a tedy podíl ve výrazu pro úhlové rozdělení je roven 1.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Pro binární procesy je $[s]=M^2$ a $\left[ \frac{dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}}\right] = M^{-2}$, a tedy $\mathcal{M}_{fi}^{(1)}$ je bezrozměrné.<br />
<br />
<br />
\subsubsection*{Zpět k příkladu}<br />
<br />
Nyní se vrátíme k příkladu $\nu + e \rightarrow \nu + e$ s interakčním Lagrangiánem <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bpsi_\nu \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_e][\bpsi_e \ga^\rho(1-\ga_5)\psi_\nu],<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde pro náš proces dostaneme maticový element<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} = - \frac{G_F}{\sqrt{2}}[\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)][\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
nyní budeme počítat kvadrát maticového elementu a středovat přes spiny. Normálně bychom dali faktor $\frac{1}{4}$ a sčítali přes spin. Zde je však jen faktor $\pol$. Je to kvůli tomu, že neutrina vznikají jen levotočivá a zároveň pravotočivá neutrina do reakce vůbec nepřispívají, takže vlastně sčítáním přes spiny neutrina jen přidáme nulu. Dostáváme<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\overline{|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2} &= \pol \sum_{spiny} \frac{G_F^2}{2}[\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)][\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)]\\<br />
&[\bu(k) \ga^\rho(1-\ga_5)u(p')][\bu(p) \ga^\rho(1-\ga_5)u(k')] = \\<br />
&= [\mbox{každá závorka sama o sobě je česlo a tak je můžeme přeházet před špůrováním}] = \\<br />
&= \frac{G_F^2}{4} \sum_{spiny} Tr[u(p')\bu(p') \ga^\rho(1-\ga_5)u(k)\bu(k) \ga^\rho(1-\ga_5)]\\<br />
&Tr[u(k')\bu(k') \ga^\rho(1-\ga_5)u(p)\bu(p) \ga^\rho(1-\ga_5)] = \\<br />
&= [\mbox{zanedbáváme hmotu neutrina}] = \\<br />
&= \frac{G_F^2}{4} \sum_{spiny} Tr[(\psl'+m) \ga^\rho(1-\ga_5)\ksl \ga^\rho(1-\ga_5)]\\<br />
&Tr[\ksl'\ga^\rho(1-\ga_5)(\psl+m) \ga^\rho(1-\ga_5)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Provedeme další úpravy prokomutováním a vztahem $(1-\ga_5)^2=2(1-\ga_5)$, stopa lichého počtu $\ga$-matic je nula a využije "formule 32":<br />
<br />
\begin{align*}<br />
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma] &= 32[(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)], \\<br />
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma\ga_5]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma\ga_5] &= 32[(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)], \\<br />
Tr[\asl \ga^\rho \bsl \ga^\sigma]Tr[\csl \ga_\rho \dsl \ga_\sigma\ga_5] &= 0. \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\overline{|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2} &= 64 G_F^2(k\cdot p)(k'\cdot p') = \\<br />
&= [s=(k+p)^2=0+m^2+2k\cdot p =(k'+p')^2=0+m^2+2k'\cdot p' \ra 2k\cdot p =2k'\cdot p'= s-m^2] = \\<br />
&= 16G_F^2(s-m^2)^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom pro úhlové rozdělení platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{CM}} = \frac{1}{64\pi}\frac{1}{s}16G_F^2(s-m^2)^2=\frac{G_F^2}{4\pi^2}\frac{(s-m^2)^2}{s}. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Integrací přes $\dif \Omega_{CM}$ ($s$ na rozdíl od $t$ a $u$ nezávisí na úhlu, a tedy ani diferenciální účinný průřez) dostáváme \textbf{celkový účinný průřez} reakce <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sigma = \frac{G_F^2}{\pi}\frac{(s-m_e^2)^2}{s} \doteq \frac{G_F^2}{\pi}s, <br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jme uvedli přiblížení při zanedbání hmoty elektronu ($s >> m_e$).<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Pokud uděláme rozměrovou úvahu $[\sigma]=L^2=M^{-2}=E^{-2}$, dále $[|\mathcal{M}|^2]=[G_F^2]=E^{-4}$. Potřebujeme tedy něco rozměru $E^2$, což je $s$, a tedy můžeme odhadnou bez jakéhokoli počítání řádově správný výsledek $\sigma \sim G_F^2 s$.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Uvedeme příklad numerických hodnot $\sigma$. V laboratorním systému platí $p_e=(m_e,\vec 0)$, $p_\nu(E_\nu,\vec p_\nu)$, $|E_\nu| \doteq |\vec p_\nu|$. Pak máme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&s = (p_\nu + p_e)^2 = (m_e+E_\nu)^2- \vec p_\nu^2 = (m_e+E_\nu)^2- E_\nu^2 = 2m_e E_\nu + m_e^2 \doteq 2m_e E_\nu \mbox{, a tedy} \\<br />
&\sigma_{E_\nu >> m_e} \doteq \frac{G_F^2}{\pi}2m_e E_\nu \doteq 0,3\cdot 10^{-13} GeV,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme dosadili $G_F = 10^{-5}GeV^{-1}$, $2m_e = 1MeV$ a zvolili jsme si $E_\nu = 1GeV$. Pro převod do jednotek SI jsme použijeme konverzní konstantu $\hbar c = 0,197 fm GeV$ a dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sigma_{\nu e \rightarrow \nu e} \doteq 10^{-41} cm^2 = 10^{-17} barnu.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Pohyb ve vnějším EM poli, Mottova formule}<br />
<br />
Můžeme uvažovat například pohyb elektronu v poli protonu, kde však proton považujeme za nehybný, a proto jeho působení popisujeme jako vnější pole. Postup budeme opět ilustrovat na příkladu. Mějme interakční Lagrangián:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr_{int} = e\bpsi(x)\ga_\mu \psi(x)A^\mu(x),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $A^\mu(x)$ je nějaká daná čtyřkomponentní komplexní funkce $x$. Máme počáteční a koncový stav:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Ket{i} = \bd(p,s)\kvak , \quad \Ket{f} = \bd(p',s')\kvak.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Budeme opět počítat maticový element<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} &= i\int \dif^4 x \Braket{f|\lagr_{int}|i} = i\int \dif^4 x \bvak b(p',s')e\bpsi \ga_\mu \psi A^\mu \bd(p,s)\kvak = \\<br />
&= ie N_p N_{p'} \bu(p',s')\ga^\mu u(p,s)\int \dif^4 x e^{i(p'-p)x} A^\mu(x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zde již integrováním nedostaneme $\delta$-funkci ale Fourierovsky transformované pole $\tilde A_\mu(q)$ v proměnné $q=p'-p$. <br />
<br />
<br />
\subsection{Statické vnější pole}<br />
<br />
V případě $A_\mu(x) = A_\mu(\vec x)$ dostaneme integrací přes nultou složku výraz $2\pi\delta(E'-E)$, a tedy (přejdeme od čárkování k ozanačení $i$ a $f$ pro počáteční a koncový stav)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_{fi}^{(1)} &= N_i N_f i \mathcal{M}_{fi}^{(1)} 2\pi \delta(E_f-E_i), \\<br />
\mathcal{M}_{fi}^{(1)} &= e \bu(p_f,s_f)\ga^\mu u(p_i,s_i)\tilde A_\mu(q).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Účinný průřez}<br />
<br />
Pro diferenciální účinný průřez reakce s vnějším polem na pevném terči platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\dif \sigma &= \frac{\mbox{počet případů reakce za jednotku času}}{\mbox{intenzita toku dopadajících částic}} = \\<br />
&= \frac{N\frac{1}{T}|S_{fi}^{(1)}|^2 \frac{V\dif^3 p_f}{(2\pi)^3}}{\frac{N}{V}|\vec v_i|} = \\<br />
&= [\mbox{dosazení a normalizace kvadrátu delta funkce}] = \\<br />
&= \frac{V}{T}\frac{1}{|\vec v_i|}N_i^2 N_f^2 |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 2\pi T \delta(E_f-E_i) = \\<br />
&= \frac{1}{|\vec v_i|}\frac{1}{2E_i} |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{\dif^3 p_f}{(2\pi)^32E_f} 2\pi \delta(E_f-E_i)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pomocí vztahů $\dif^3 p_f = |\vec p_f|\dif |\vec p_f| \dif \Omega_f$, $|\vec p_f|\dif |\vec p_f| = E_f \dif E_f$, kde $E_f=\sqrt{|\vec p_f|^2+m^2}$, můžeme zintegrovat přes $E_f$ a dostaneme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{f}} &= \frac{E_i}{|\vec p_i|} \frac{1}{2E_i}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{|\vec p_f|E_i}{4\pi^2(2E_i)} = \frac{1}{16\pi^2}|\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
V našem případě je $\mathcal{M}_{fi}^{(1)}=e \bu(p_f,s_f)\ga^\mu u(p_i,s_i)\tilde A_\mu(q)$. <br />
<br />
<br />
\subsection{Coulombovo pole}<br />
<br />
Vezměme nyní speciální případ Coulombova pole, tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
A_\mu(x) = (\frac{1}{4\pi}\frac{e}{r},\vec 0),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $r=|\vec x|$ $\frac{e^2}{4\pi} = \alpha \doteq \frac{1}{137}$. Potom máme $\tilde A_\mu(q) = (\frac{e}{|\vec q|^2},\vec 0)$ pro úhlové rozdělení pak máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega_{f}} &= \frac{1}{16\pi^2}|e\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\frac{e}{|\vec q|^2}|^2 = \\<br />
&= \frac{e^4}{16\pi^2}\frac{1}{|\vec q|^4}\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\bu(p_i,s_i)\ga^0 u(p_f,s_f) = \\<br />
&= \frac{(4\pi\alpha)^2}{16\pi^2}\frac{1}{|\vec q|^4}Tr[u(p_f,s_f)\bu(p_f,s_f)\ga^0 u(p_i,s_i)\bu(p_i,s_i)\ga^0 ].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kdybychom proces dále zkoumali s polarizací, zjistili bychom například, že je zde efekt depolarizace polarizovaných elektronů rozptylem. My spočteme jen nepolarizovaný případ <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif \overline{\sigma}}{\dif \Omega_{f}} &= \pol \sum_{spiny} |\mathcal{M}_{fi}^{(1)}|^2 \frac{1}{16\pi^2} = \pol \frac{\alpha^2}{|\vec q|^4} Tr[(\psl_f+m)\ga_0(\psl_i+m)\ga_0] = \pol \frac{\alpha^2}{|\vec q|^4} Tr[(\psl_f\ga_0\psl_i\ga_0 + m^2\ga_0] =\\<br />
&= [E_f=E_i\equiv E] = \frac{\alpha^2}{2|\vec q|^4}(4(2E^2-p_i\cdot p_f)+4m^2) = [p_i\cdot p_f = E^2-|\vec p|^2\cos(\theta)] = \\<br />
&= \frac{2\alpha^2}{|\vec q|^4}(E^2+|\vec p|^2\cos(\theta)+m^2) = [|\vec p|^2=E^2-m^2] = \frac{2\alpha^2}{|\vec q|^4}(E^2(1+\cos(\theta)) + m^2(1-\cos(\theta))) = \\<br />
&= \ldots = \frac{\alpha^2}{4\beta^2|\vec q|^2 \sin^4(\frac{\theta}{2})}\left( 1-\beta^2 \sin^2(\frac{\theta}{2})\right),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\beta = \frac{|\vec p|}{E}$. Tento výsledek se nazývá \textbf{Mottova formule} (tedy vztah pro pohyb Diracovy částice ve vnějším Coulobickém potenciálu). Pokud zanedbáme $\beta^2$ vůči jednotce, dostaneme klasickou Rutherfordovu formuli.</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola5&diff=4826KTP1:Kapitola52013-02-18T13:51:28Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Kvantování volných polí a částicová interpretace} \section{Reálné skalární Klein-Gordanovo pole} Nejprve probere nejjednodušš...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Kvantování volných polí a částicová interpretace}<br />
<br />
<br />
\section{Reálné skalární Klein-Gordanovo pole}<br />
<br />
Nejprve probere nejjednodušší případ reálného skalárního pole $\varphi(x)$ s Lagrangiánem:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:lagrKG}<br />
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Provedeme takzvané "kanonické kvantování" vycházející z analogie s kvantovou mechanikou. (Není to jediná možnost.) Klasické pole $\varphi(x)$ nahradíme operátorem $\varphi(x)$ (ve značení nebudeme rozlišovat). Přesněji se jedná o funkci, která každému bodu prostoru přiřazuje operátor. Souřadnice $x$ zde vlastně čísluje stupně volnosti, kterých je tedy nekonečně (dokonce nespočetně) mnoho. Jelikož $\varphi(x)$ je analogií zobecněné souřadnice, zavedeme další operátor: $\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}}$ (analogie zobecněné hybnosti). (Tečkou označujeme časovou derivaci.) V tomto konkrétním případě dostaneme použitím explicitního tvaru Hamiltoniánu vztah:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)} = \parc_0 \varphi.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Nyní zadáme \textbf{komutační relace} - opět v analogii s kvantovou mechanikou:<br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:komutacni}<br />
[\varphi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] &= i\delta^3(\vec{x}-\vec{y}),\nonumber \\<br />
[\varphi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)] &= 0, \\<br />
[\pi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] &= 0. \nonumber<br />
\end{align}<br />
<br />
Kde $\varphi(x) = \varphi(\vec{x},t)$ a relace tedy postulujeme ve stejném čase. Někdy se používá alternativní zápis vycházející z anglického výrazu "Equal time commutation relations" (ETCR):<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
[\varphi(x),\pi(y)]_{E.T.} = i\delta^3(\vec{x}-\vec{y}). \\<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Jelikož $\varphi(x)$ je řešením Klein-Gordonovy rovnici ($(\square +m^2)\varphi(x)=0$), můžeme ho rozepsat pomocí rovinných vln:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\varphi(x) = \int \frac{\dif^3 k}{(2\pi)^{3/2}(2k_0)^{1/2}} \left[ a(k)e^{-ikx} + a^\dagger(k)e^{ikx} \right], \\<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ jsou koeficienty (ale operátory) a platí vztahy<br />
<br />
\begin{align} \label{eq:k0}<br />
kx &= k_0x_0 - \vec{k}\vec{x} \nonumber \\<br />
k_0 &= \sqrt{\vec{k}^2+m^2}. <br />
\end{align}<br />
<br />
<br />
Naším dalším úkolem je určit komutační relace mezi $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ na základě komutačních relací \ref{eq:komutacni}. Nejprve si odvodíme takzvané \textbf{relace ortogonality} pro funkce:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
f_k(x) &= N_k e^{-ikx}, \\<br />
f_k^*(x) &= N_k e^{ikx},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde normalizační konstanta je $N_k = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}(2k_0)^{1/2}}$. Tyto relace mají tvar:<br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{eq_relace_ortogonality}<br />
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}), \nonumber \\ <br />
\int \dif^3x f_k(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= 0, \\ <br />
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}^*(\vec{x},t) &= 0. \nonumber<br />
\end{align}<br />
<br />
Důkaz relací ortogonality je v celku přímočarý:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \\ <br />
= i N_k N_{k'} \int \dif^3x \left( e^{ikx} (\parc_0 e^{-ikx}) - (\parc_0 e^{ikx}) e^{-ikx} \right) &= \\<br />
= i N_k N_{k'} \int \dif^3x \left(- ik'e^{i(k-k')x} - ike^{i(k-k')x} \right) &= \\<br />
= N_k N_{k'} \int \dif^3x \left( (k_0'+k_0)e^{i(k_0-k_0')x_0-i(\vec{k}-\vec{k'})\vec{x}} \right) &= \\<br />
= N_k N_{k'} (2\pi)^3(k_0'+k_0)e^{i(k_0-k_0')x_0} \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) &= \\<br />
= N_k^2 (2\pi)^3(2k_0) \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jen se využije vztah \ref{eq:k0} který umožní ztotožnit $k_0$ a $k_0'$ po ztotožnění prostorových částí. Druhé dvě rovnosti se dokáží zcela analogicky, kde kvůli stejnosti funkcí dojde ke vzájemnému odečtení obou členů.<br />
<br />
Nyní můžeme vyjádřit $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ pomocí $\varphi(x)$. Vezmeme rovnost <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\varphi(x) = \int \dif^3 k \left[ a(k)f_k(x) + a^\dagger(k)f_k^*(x) \right]. \\<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Aplikujeme na ni derivaci, násobení a integraci: $\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}$ a pomocí relací ortogonality \ref{eq_relace_ortogonality} dostaneme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(x) = \iint \dif^3x \dif^3l \left[ a(l)f_k^*(x)i\parc_0 f_l(x) + a^\dagger(l)f_k^*(x)i\parc_0 f_l^*(x) \right] = \\<br />
& = \int \dif^3l \left[ a(l)\delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) + a^\dagger(k)\cdot 0 \right] = \int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(x) = a(k).<br />
\end{align*}<br />
<br />
A zcela analogickým způsobem (násobením $\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}$) pro $a^\dagger(k)$ dostáváme výsledek:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
a(k) &= i\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t), \\<br />
a^\dagger(k) &= -i\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní se konečně dostáváme k určení komutačních relací $a(k)$ a $a^\dagger(k)$. Dosazením právě získaného výsledku dostaneme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[a(k),a^\dagger(k')] &= i(-i)\left[\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\varphi(\vec{x},t), \int \dif^3y f_{k'}(\vec{y},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\varphi(\vec{y},t)\right] \\<br />
&= \int \dif^3x \int \dif^3y[ f_k^*(\vec{x},t)\dot{\varphi}(\vec{x},t) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)\varphi(\vec{x},t), f_{k'}(\vec{y},t)\dot{\varphi}(\vec{y},t) - \dot{f_{k'}}(\vec{y},t)\varphi(\vec{y},t)] \\<br />
&= \{ \dot{\varphi} = \pi \quad [\varphi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)]=0 \quad [\pi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] = 0\} \\<br />
&= \int \dif^3x \int \dif^3y \left( -f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{y},t)[\pi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)] -\dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{y},t)[\varphi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] \right) \\<br />
&= \int \dif^3x \left( -f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{y},t)(-i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{y},t)(i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})) \right) \\<br />
&= i\int \dif^3x \left( f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{x},t) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{x},t) \right) \\<br />
&= \int \dif^3x \left( f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\dot{f_{k'}}(\vec{x},t) \right) = \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}).\\<br />
\end{align*}<br />
<br />
A analogickým postupem pro další komutátory:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[a(k),a^\dagger(k')] &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}), \\<br />
[a(k),a(k')] &= 0, \\<br />
[a^\dagger(k),a^\dagger(k')] &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Někdy se používá trochu jiná normalizace, a tak u komutátorů vyjdou nějaké prefaktory. <br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Ohledně fyzikálního rozměru výše zavedených veličin máme: $[\varphi]=M$, $[\pi]= [\dot{\varphi}]=M^2$, a tedy rozměr komutátoru $[[\varphi,\pi]]=M^3$, což koresponduje s tím, že $[\delta^3(\vec{x}-\vec{y})]=L^{-3}=M^3$. Podobně se dá určit rozměr $a(k)$ a $a^\dagger(k)$.<br />
<br />
<br />
Nyní ještě najdeme hybnosti pole $P_j \equiv \int \dif^3x \mathcal{T}^{0j}$. Pro složky hustoty tenzoru energie a hybnosti obecně platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{T}^{\mu \nu} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \varphi)}\parc_\nu \varphi - g^{\mu \nu} \mathcal{L}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dosazením konkrétního tvaru Lagrangiánu \ref{eq:lagrKG} dostaneme pro požadované složky výraz:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{T}^{0 j} = \parc_0 \varphi \parc^j \varphi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní dosadíme za $\varphi$ a dostaneme $P^j$ pomocí operátorů $a$ a $a^\dagger$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
P_j &= \int \dif^3x \mathcal{T}^{0j} = \int \dif^3x \parc_0 \varphi \parc^j \varphi \\<br />
&= \int \dif^3x \iint \dif^3k \dif^3l N_k N_l \left( a(k)(-ik_0)e^{-ikx}+\ad(k)(ik_0)e^{ikx} \right)\left( a(l)(-il^j)e^{-ilx}+\ad(l)(il^j)e^{ilx} \right) \\<br />
&= \iint \dif^3k \dif^3l N_k N_l \left[ (-ik_0)(-il^j)\delta(\vec{k}+\vec{l})e^{-i(k_0+l_0)x}a(k)a(l) + \right. \\ <br />
& \quad \quad +(-ik_0)(il^j)\delta(\vec{k}-\vec{l})e^{-i(k_0-l_0)x}a(k)\ad(l) + \\<br />
& \quad \quad +(ik_0)(-il^j)\delta(\vec{k}-\vec{l})e^{-i(k_0-l_0)x}\ad(k)a(l) + \\<br />
& \left. \quad \quad +(ik_0)(il^j)\delta(\vec{k}+\vec{l})e^{-i(k_0+l_0)x}\ad(k)\ad(l)\right]= \int \dif^3k N_k^2 (2\pi)^3 \\<br />
& \left( k_0 k^j e^{-2ik_0 x_0}a(k)a(-k) + k_0 k^j e^{2ik_0 x_0}\ad(k)\ad(-k) + k_0 k^j e^{0}\ad(k)a(k) + k_0 k^j e^{0}a(k)\ad(k)\right) = \\<br />
&= \int \dif^3k \pol k^j \left( \ad(k)a(k) + a(k)\ad(k)\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
V posledním kroku vypadly první dva členy kvůli tomu, že část $N_k^2 (2\pi)^3 k_0 e^{\pm 2ik_0 x_0}a(k)a(k)$ je symetrická v záměně $\vec{k} \rightarrow -\vec{k}$ (sudá) a část $k^j$ je antisymetrická a integrujeme přes symetrický interval.<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Formalismus konečného objemu}<br />
<br />
Jedná se o alternativní popis, kde místo celého nekonečného prostoru uvažujeme jen dostatečně velkou krychli o hraně $L$. (Později budeme uvažovat i konečný čas $T$.) Na hranách krychle požadujeme periodické podmínky $\varphi(t,0,y,z) = \varphi(t,L,y,z)$ a stejně ve všech směrech. To tedy dává podmínku na rovinné vlny $e^{ik_1 0}=e^{ik_1 L}$. Impuls pak může nabývat jen diskrétních hodnot $k_1=\frac{2\pi n_1}{L}$, kde $n_1\in \Z$ (a stejně pro $k_2$ a $k_3$).<br />
<br />
<br />
\subsection{Klein Gordonova rovnice v konečném objemu}<br />
<br />
Máme zde nyní spočetnou superpozici rovinných vln<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi(x)=\sum_{\vec{k}} N_k \left( a_k e^{-ikx} + \ad_k e^{ikx} \right),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $k_j=\frac{2\pi n_j}{L}$, $n_j \in \Z$. Chceme najít vhodnou normalizační konstantu $N_k$ tak, aby platily relace ortogonality ve formě analogické nekonečnému objemu:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \delta_{\vec{k},\vec{k'}}, \\ <br />
\int \dif^3x f_k(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= 0, \\ <br />
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}^*(\vec{x},t) &= 0, <br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme opět označili $f_k(x)=N_ke^{-ikx}$ a $f_k^*(x)=N_ke^{ikx}$. Pokud spočteme výraz na levé straně první rovnice, vyjde nám $N_k^2 2k_0 V\delta_{\vec{k},\vec{k'}}$. Vychází to z toho, že integrály se součinem exponenciál s různými impulsy jsou díky hraničním podmínkám nulové a při stejných impulsech integrujeme jednotku přes celý objem. Odtud dostáváme podmínku $N_k^2=\frac{1}{V 2k_0}$.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Dimensionalita $a(k)$ a $a_k$ ve spojitém a diskrétním spektru impulsů. Pro nekonečný objem je $[\varphi]=M$, $[\dif^3k]=M^3$, $[N_k]=M^{-\pol}$, a tedy platí $M=M^3M^{-\pol}[a(k)]$, odkud $[a(k)]=M^{-\frac{3}{2}}$. V konečném objemu je $[\varphi]=M$, $[\dif^3k]=M$,a tedy $M=M[a(k)]$, odkud $[a(k)]=M^0=1$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Komutační relace pro $a_k$ a $\ad_k$}<br />
<br />
Z relací ortogonality a tvaru $\varphi(x)$ dostaneme stejné výrazy pro $a_k$ a $\ad_k$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
a_k &= i\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t), \\<br />
\ad_k &= -i\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z těchto vztahů analogicky odvodíme komutační relace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[a_k,\ad_{k'}] &= \delta_{\vec{k},\vec{k'}}, \\<br />
[a_k,a_{k'}] &= 0, \\<br />
[\ad_{k},\ad_{k'}] &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Obdobně také můžeme určit hodnoty energie a impulsu:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H &=\int \dif^3x \mathcal{T}^{00}=\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right), \\<br />
P^j &=\int \dif^3x \mathcal{T}^{0j}=\sum_{\vec{k}} \pol k^j \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Vlastnosti $a_k$ a $\ad_k$}<br />
<br />
Označíme operátor $\ad_k a_k \equiv N_k$. Je to trochu nešťastné označení, které se může plést s normalizační konstantou, ale tento operátor se tak tradičně značí, protože se jedná o operátor počtu částic. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Platí $[N_k,a_k]=-a_k$, $[N_k,\ad_k]=\ad_k$ a pro $l\neq k $ platí $[N_k,a_l]=0$ a $[N_k,\ad_l]=0$, <br />
\item $[N_k,N_l]=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Obě tvrzení se dokážou jednoduše dosazením za $N_k$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Trik s energií - normální uspořádání}<br />
<br />
Nyní pomocí komutátoru přepíšeme výraz pro energii:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H &=\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right) = \sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + \ad_k a_k + 1 \right) = \sum_{\vec{k}} \left( k_0 \ad_k a_k + \pol k_0 \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Problém je v tom, že nekonečný součet kladných hodnot $\pol k_0$ pochopitelně diverguje. (U $P^j$ problém nenastává, jelikož se kladné a záporné hodnoty vysčítají na nulu.) Řešení je jednoduché, prostě se slovy "normální uspořádání" problematický člen škrtneme. Tento velmi podezřelý krok je možné ospravedlnit. Člen totiž vznik v důsledku komutování operátorů, které jsme do Hamiltoniánu dostali přes princip ekvivalence. Tento princip nám však neříká, v jakém pořadí operátory napsat. (V klasickém případě je to jedno a jen se používá nějaká pohodlná forma.) Protože jsme již chytřejší, můžeme si vlastně rovnou zavést Hamiltonián s vhodným uspořádáním operátorů a problém pak vůbec nenastane. Máme tedy: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
H =\sum_{\vec{k}} k_0 \ad_k a_k , \quad P^j =\sum_{\vec{k}} k^j \ad_k a_k.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pak dále platí $[H,a_k]=-k_0 a_k$ a $[H,\ad_k]=+k_0 \ad_k$.<br />
<br />
Zavádí se i pojem \textbf{normální součin} ve Fokově prostoru, který funguje tak, že anihilační operátory se vždy přesunou napravo. Zavádíme i označení pomocí dvojteček, například:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
:H: \quad &=\quad :\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right):\quad = \sum_{\vec{k}} k_0 \ad_k a_k. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Je zde otázka, zda přechod k normálnímu uspořádání nezkazí dříve odvozené komutační relace. Odpověď je, že ne, jelikož jsme do k výrazu jen přičetli násobek jednotkové operátoru, což nemá vliv na komutátor.<br />
<br />
<br />
\subsection{Význam operátorů $a_k$ a $\ad_k$}<br />
<br />
Mějme $\Ket{\psi}$ vlastní stav Hamiltoniánu, tedy $H\Ket{\psi}=E\Ket{\psi}$. nyní budeme zkoumat, co je $\ad_k \Ket{\psi}$. <br />
<br />
\begin{align*}<br />
H\ad_k \Ket{\psi} = (k_0 \ad_k + \ad_k H)\Ket{\psi} = k_0 \ad_k \Ket{\psi} + E \ad_k \Ket{\psi} = (k_0+E)\ad_k \Ket{\psi}<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z tohoto vztahu vidíme, že energie stavu $\ad_k \Ket{\psi}$ je o $k_0$ větší, než energie $\Ket{\psi}$. To tedy znamená, že $\ad_k$ dodal systému energii. Tady už v podstatě vidíme, že se jedná o kreační operátor. Využitím vztahu $[P^j,\ad_k] = k^j \ad_k$ dostane úplně analogicky pro vlastní stav impulsu $P^j\Ket{\psi} = p^j \Ket{\psi}$ rovnici $P^j\ad_k\Ket{\psi} = (k^j+p^j) \Ket{\psi}$, a tedy $\ad_k$ také přidává impuls. Operátor $a_k$ působí přesně opačným způsobem. Poznamenejme, že jelikož $[H,P^j]=0$, můžeme mít společné vlastní stavy obou operátorů.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} (Důležitá!) V dalším budeme potřebovat stav $\Ket{\psi_0}$, pro který platí $a_k \Ket{\psi_0} = 0$. Existenci takového stavu odvodíme pomocí operátoru $N_k=\ad_k a_k$. Vezmeme vlastní stav $\Ket{\psi}$ operátoru $N_k$ (vzhledem k nové podobě Hamiltoniánu je to i jeho vlastní stav), tedy $N_k\Ket{\psi}=\alpha \Ket{\psi}$. Zjistíme, že $a_k$ snižuje vlastní hodnotu $\alpha$ o jedna, tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
N_k a_k \Ket{\psi} = (\alpha-1) a_k \Ket{\psi}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jelikož $N_k$ je pozitivní operátor, nemůžeme se dostat do záporných hodnot, a tedy musíme někdy trefit nulu. Tedy "máme dobré důvody se domnívat", že existuje stav (označovaný $\Ket{0}$), pro který platí $a_k \Ket{0} = 0$ pro $\all k$. (Jedná se vlastně o tenzorový součin stavů $\Ket{\psi_0^{k}}$ pro různá $k$.) Stavu $\Ket{0}$ se říká vakuum a nejedná se o nulový vektor Hilbertova prostoru!<br />
<br />
Jelikož v operátorech $H$ a $P^j$ anihilační operátor $a_k$ působí na stav jako první, platí $H\Ket{0}=0$ a $P^j\Ket{0}=0$. Dále $\ad_k\Ket{0}$ je stav s energií $k_0$ a impulsem $\vec{k}$. <br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Časový vývoj pole $\varphi(x)$}<br />
<br />
Kvantové pole $\varphi(x)$ je Heisenbergův operátor, a tedy se řídí rovnicí:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc}{\parc t} \varphi(x) = i[H,\varphi(x)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento vztah dokážeme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi(t,\vec{x}) &= \sum_k N_k \left( a_k e^{-ikx} + \ad_k e^{ikx}\right), \\<br />
\frac{\parc}{\parc t} \varphi(x) &= \sum_k N_k \left( (-ik_0) a_k e^{-ikx} + \ad_k (ik_0) e^{ikx}\right), \\<br />
i[H,\varphi(t,\vec{x})] &= i\sum_k N_k \left( [H,a_k] e^{-ikx} + [H,\ad_k] e^{ikx}\right) <br />
\end{align*}<br />
<br />
a platí $[H,a_k] = -k_0 a_k$ a $[H,\ad_k] = k_0 \ad_k$.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Díky tomu, že kreační operátory s různými hodnotami $k$ a $k'$ komutují, dostáváme jejich působením na vakuum $\kvak$ symetrické stavy. Například platí:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ad_k \ad_{k'} \kvak \equiv \Ket{k,k'} = \Ket{k',k} = \ad_{k'} \ad_k \kvak .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tyto částice se tedy řídí Bose-Einsteinovou statistikou.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Komplexní Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
Máme Lagrangián <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\label{eq:lagrkKG}<br />
\mathcal{L} = \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi^* - m^2\varphi \varphi^* ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\varphi$ a $\varphi^*$ jsou nezávislé komponenty pole. Tento Lagrangián vede na rovnice $(\square + m^2)\varphi = 0$ respektive $(\square + m^2)\varphi^* = 0$. V klasické fyzice máme řešení (opět přecházíme do spojitého formalismu v nekonečném prostoru.)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b(k) e^{-ikx} + d^*(k)e^{ikx}\right) , \\<br />
\varphi^*(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b^*(k) e^{ikx} + d(k)e^{-ikx}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kvantováním přejdeme k operátorům:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b(k) e^{-ikx} + \dd(k)e^{ikx}\right) , \\<br />
\varphi^\dagger(x)&= \int \dif^3k N_k \left(\bd(k) e^{ikx} + d(k)e^{-ikx}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Kanonické komutační relace}<br />
<br />
Nejprve zavedeme sdružení impulsy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \lagr}{\parc \dot{\varphi}} = \dot{\varphi}^\dagger(x) , \quad<br />
\frac{\parc \lagr}{\parc \dot{\varphi}^\dagger} = \dot{\varphi}(x)<br />
\end{align*}<br />
<br />
a zavedeme kanonické komutační relace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\varphi(x),\varphi(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [\varphi(x),\varphi^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\varphi^\dagger(x),\varphi^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \\<br />
[\dot{\varphi}(x),\dot{\varphi}(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [\dot{\varphi}(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\dot{\varphi}^\dagger(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \\<br />
[\varphi(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} &= i\delta^3(\vec x - \vec y), \quad [\varphi(x),\dot{\varphi}(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\varphi^\dagger(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pomocí analogického postupu jako v předchozím případě dostaneme komutační relace pro $b(k), \bd(k), d(k), \dd(k)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[b(k),\bd(k')]= \delta^3(\vec k - \vec{k'}), \quad [d(k),\dd(k')]= \delta^3(\vec k - \vec{k'}).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Všechny ostatní kombinace dávají nulový komutátor.<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Energie a impuls}<br />
<br />
Analogickým postupem dostaneme výsledky:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
:H: \quad &= \int \dif^3k~ k_0 [\bd(k)b(k)+\dd(k)d(k)], \\<br />
:\vec P: \quad &= \int \dif^3k~ \vec k [\bd(k)b(k)+\dd(k)d(k)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Platí, že $\bd, \dd$ jsou kreační operátory "částice" (viz dále) s hmotou $m$ a $b, d$ jsou odpovídající anihilační operátory.<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Náboj}<br />
<br />
Pro klasické K-G pole se zachovává čtařproud $J_\mu = i(\varphi^*\parc_\mu \varphi - \varphi\parc_\mu \varphi^*)$, tedy $\parc^\mu J_\mu = 0$. Tomu odpovídá zachování náboje $Q \equiv \int \dif^3x J_0(t,\vec x)$. V kvantovém případě pak máme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
Q \quad &= i \int \dif^3x (\varphi^\dagger \parc_0 \varphi - (\parc_0 \varphi^\dagger)\varphi) = \ldots = \int \dif^3k (\bd(k)b(k)-d(k)\dd(k)), \\<br />
:Q: \quad &= \int \dif^3k \left(\bd(k)b(k)-\dd(k)d(k)\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Díky znaménku mínus $Q$ není pozitivní operátor. konkrétně platí, že <br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $Q\bd(k)\kvak = \bd(k)\kvak$, tedy se jedná o vlastní stav s vlastní hodnotou $+1$ a <br />
\item $Q\dd(k)\kvak = -\bd(k)\kvak$, tedy se jedná o vlastní stav s vlastní hodnotou $-1$.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Z toho vychází, že operátory $\bd$ a $b$ odpovídají částicím a $\dd$ a $d$ antičásticím.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Diracovo pole}<br />
<br />
Máme Lagrangián <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{L} = i\bpsi \ga^\mu \parc_\mu \psi - m\bpsi \psi ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\bpsi$ a $\psi$ jsou nezávislé komponenty pole. Chtěli bychom udělat kanonické kvantování obdobným způsobem jako v předchozích případech. První problém je v tom, že sice $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} \neq 0$, ale $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \bpsi)} = 0$, a tedy nemůžeme zavést kanonický impuls. To by se však dalo vyřešit přepsáním Lagrangiánu do jiné formy, která má symetricky zastoupeny $\bpsi$ a $\psi$. Stejně se však nakonec narazí na problém s komutátory. My se nebudeme touto cestou, která nikam nevede, vydávat. Jelikož nás zajímá především částicová interpretace a ne přímo pole, zjistíme, jak definovat $[x,p]$, aby nám vyšly dobré výsledky.<br />
<br />
\subsection{Energie}<br />
<br />
Pro určení energie použijeme vztah $H=\int \dif^3x \mathcal{T}^{00}$, kde <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{T}^{00} = \frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} \parc_0 \psi + \parc_0 \bpsi \frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \bpsi)} - g^{00} \lagr = [\lagr = 0 \mbox{ pro řeš. poh. rovnic }] = <br />
i\bpsi \ga^0 \parc_0 \psi = i \psi^\dagger \parc_0 \psi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro $\psi$ použijeme výraz z relativistické kvantové mechaniky.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi(x) = \int \dif^3p N_p \sum_{s} \left( b(p,s)u(p,s)e^{-ipx} + \dd(p,s)v(p,s)e^{ipx}\right),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $N_p = \frac{1}{(2\pi)^\frac{3}{2}\sqrt{2p_0}}$, $p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$. Potom dostáváme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H =& \int \dif^3x \iint \dif^3p \dif^3q N_p N_q \sum_{s,s'} \left( \bd(p,s)u^\dagger(p,s)e^{ipx} + d(p,s)v^\dagger(p,s)e^{-ipx}\right) \\<br />
&\left( b(q,s')u(q,s')i(-iq_0)e^{-ipx} + \dd(q,s')v(q,s')i(iq_0)e^{ipx}\right) = \\<br />
=& (2\pi)^3 \iint \dif^3p \dif^3q N_p N_q \sum_{s,s'} ( \\<br />
& \bd(p,s)b(q,s')u^\dagger(p,s)u(q,s')q_0 1 \delta^3(\vec p - \vec q) - \\<br />
& - \bd(p,s)\dd(q,s')u^\dagger(p,s)v(q,s')q_0 e^{2ip_0x_0} \delta^3(\vec p + \vec q) + \\<br />
& + d(p,s)b(q,s')v^\dagger(p,s)u(q,s')q_0 e^{-2ip_0x_0} \delta^3(\vec p + \vec q) - \\<br />
& - d(p,s)\dd(q,s')v^\dagger(p,s)v(q,s')q_0 1 \delta^3(\vec p - \vec q)) = \\<br />
=& p_0 \iint \dif^3p N_p^2 (2\pi)^3 \sum_{s,s'} ( \\<br />
& \bd(p,s)b(p,s')u^\dagger(p,s)u(p,s') \delta^3(\vec p - \vec q) - \\<br />
& - \bd(p,s)\dd(\tilde{p},s')u^\dagger(\tilde{p},s)v(\tilde{p},s') e^{2ip_0x_0} + \\<br />
& + d(p,s)b(\tilde{p},s')v^\dagger(\tilde{p},s)u(\tilde{p},s') e^{-2ip_0x_0} - \\<br />
& - d(p,s)\dd(p,s')v^\dagger(p,s)v(p,s') ),<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kde jsme označili $\tilde{p} = (p_0,-\vec p)$, které vzniklo z $\delta$-funkce s plusem. (Nultá složka nezávisí na znaménku prostorové části čtyřvektoru.) Nyní použijeme takzvané \textbf{Gordanovy identity}:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\bar{u}(p)\ga_\mu u(p') &= \frac{1}{2m}\bar{u}(p)\left[ (p+p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (p-p')^\nu \right]u(p'), \\<br />
\bar{v}(p)\ga_\mu u(p') &= \frac{1}{2m}\bar{v}(p)\left[ (-p+p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (-p-p')^\nu \right]u(p'), \\<br />
\bar{u}(p)\ga_\mu v(p') &= \frac{1}{2m}\bar{u}(p)\left[ (p-p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (p+p')^\nu \right]v(p'), \\<br />
\bar{v}(p)\ga_\mu v(p') &= \frac{1}{2m}\bar{v}(p)\left[ (-p-p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (-p+p')^\nu \right]v(p').<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pomocí ní si snadno odvodíme vztahy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
u^\dagger(p,s)u(p,s') &= \bar{u}(p,s)\ga_0 u(p,s'0) = \frac{1}{2m}\bar{u}(p,s)u(p,s')\left[ (p_0 + p_0) +i\sigma_{\mu \nu} (p_0-p_0) \right] = \\<br />
&= \frac{1}{2m} 2p_0 2m \delta_{s,s'} = 2p_0 \delta_{s,s'} \\<br />
v^\dagger(p,s)v(p,s') &= 2p_0 \delta_{s,s'} \\<br />
u^\dagger(p,s)v(\tilde{p},s') &= 0 \\<br />
v^\dagger(p,s)u(\tilde{p},s') &= 0. \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme dokončit výpočet energie<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H =& \int \dif^3p N_p^2 (2\pi)^3 p_0 2p_0 \sum_{s} \left( b(p,s)b^\dagger(p,s) - d(p,s)b^\dagger(p,s)\right) = \\<br />
=& \int \dif^3p \sum_{s} p_0 \left( b(p,s)b^\dagger(p,s) - d(p,s)b^\dagger(p,s)\right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Důležité je zde znaménko mínus v závorce. To právě způsobuje problémy (řešení s negativní energií). Kvůli tomu nyní definujeme \textbf{antikomutační} relace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\{d(p,s),d^\dagger (p',s')\} = \delta_{s,s'}\delta^3(\vec p + \vec p'), \\<br />
\{b(p,s),b^\dagger (p',s')\} = \delta_{s,s'}\delta^3(\vec p + \vec p').<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Náboj}<br />
<br />
Výpočet je stejný jako v relativistické kvantové mechanice, jen $b$ a $d$ jsou nyní operátory.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
Q = \int \dif^3x\psi^\dagger \psi = \ldots = \int \dif^3x \sum_s (\bd(p,s)b(p,s)+d(p,s)\dd(p,s))<br />
\end{align*}<br />
<br />
Náboj je nyní pozitivně definitní, což je další rozdíl, který se spraví antikomutačními relacemi.<br />
<br />
<br />
\subsection{Částicová interpretace}<br />
<br />
Pro Diracovo pole platí relace (v konečném objemu):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\bd_k b_k, b_k] &= -b_k, \quad [\dd_k d_k, d_k] = -d_k, \\<br />
[\bd_k b_k, \bd_k] &= \bd_k, \quad [\dd_k d_k, \dd_k] = \dd_k .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tyto vztahy se dokazují pomocí obecně platné identity<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[AB,C] &= A\{B,C\} - \{A,C\}B .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vynecháme diskusi spinu.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Nyní platí pro stavy vytvořené z vakua vztahy $\bd(p,s)\bd(p',s')\kvak \equiv \Ket{p,s,p',s'} = -\bd(p',s')\bd(p,s)\kvak = \Ket{p',s',p,s}$, tedy vlnová funkce je antisymetrická vůči záměně částic. Z toho vyplývá vztah $\bd(p,s)\bd(p,s)\kvak = -\bd(p,s)\bd(p,s)\kvak = 0$, což je známý Pauliho vylučovací princip pro fermiony.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Pokud bychom zavedli sdružený impuls $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} = i\bpsi \ga_0 = i\psi^\dagger$ a definovali bychom kanonickou antikomutační relaci <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\{\psi(x),i\psi^\dagger(y)\}_{E.T.} &= i\delta^3(\vec x + \vec y) \mbox{, tedy} \\<br />
\{\psi(x),\psi^\dagger(y)\}_{E.T.} &= \delta^3(\vec x + \vec y),<br />
\end{align*}<br />
<br />
dospěli bychom k výsledkům, které jsme odvodili jiným způsobem.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} I Diracova pole jsou Heisenbergovy operátory, takže se vyvíjí podle rovnic<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_0 \psi = i[H,\psi], \parc_j \psi = i[P_j,\psi].<br />
\end{align*}<br />
<br />
(Je doporučeno si to zkusit samostatně dokázat.)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Hmotné vektorové pole (Procovo)}<br />
<br />
Máme Lagrangián <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + \pol m^2 A_\mu A^\mu \mbox{, kde} \\<br />
&F_{\mu \nu} = \parc_\mu A_\nu - \parc_\nu A_\mu .<br />
\end{align*}<br />
<br />
U tohoto pole budou pět vyhovovat komutační relace. Je to tím, že opět popisuje bosony, tentokrát se spinem 1. Tento Lagrangián vede na Euler-Lagrangeovy rovnice<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\parc_\mu F^{\mu \nu} + m^2 A^\nu = 0 \quad \lra \quad (\square + m^2)A^\nu = 0, \\<br />
&\mbox{a platí } \parc_\mu A^\mu = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Chceme mít pouze tři nezávislé komponenty pole $A_j$ a komponentu $A_0$ závislou. Zavedeme zobecněné impulsy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\pi_j \equiv \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 A_j)} = -F^{0j} = -\parc_0 A_j + \parc_j A_0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní postulujeme kanonické komutační relace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[A_j(x),\pi_k(y)]_{E.T.} &= i\delta_{j,k}\delta^3(\vec x - \vec y), \\<br />
[A_j(x),A_k(y)]_{E.T.} &= 0, \\<br />
[\pi_j(x),\pi_k(y)]_{E.T.} &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní vyjádříme komponenty $A_0$ a $\dot A_0$ pomocí kanonických proměnných $A_j$ a $\pi_k$. Pohybová rovnice $\parc_\mu F^{\mu \nu} + m A^\nu = 0$ pro $\nu = 0$ dává $\parc_\mu F^{\mu 0} + m A^0 = 0$, a tedy $A^0 = -\frac{1}{m^2}(-(-\parc_j F_{0,j})) = -\frac{1}{m^2}\parc_j \pi_j$. Ze vztahu $\parc_\mu A^\mu =0$ pak dostáváme $\dot A_0 + \parc_j A^j = 0$. Celkově tedy máme: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
A_0 &= -\frac{1}{m^2} \vec \nabla \vec \pi , \\<br />
\dot A_0 &= -\parc_k A^k.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Opět budeme hledat komutační relace pro kteační a anihilační operátor. Máme řešení Proccovy rovnice<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&A_\mu(x) = \int \dif^3k N_k \sum_{\lambda=1}^3 \left( a(k,\lambda)\epsilon_\mu(k,\lambda)e^{-ikx} + \ad(k,\lambda)\epsilon^*(k,\lambda)e^{ikx} \right) \mbox{, kde }\epsilon \mbox{ splňuje } \\<br />
&k^\mu \epsilon_\mu(k,\lambda)=0 \quad \all \lambda =1, 2, 3, \\<br />
&\epsilon^\mu(k,\lambda)\epsilon^*_\mu(k,\lambda')=-\delta_{\lambda, \lambda'}. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Zavedeme si označení <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\sum_{\lambda=1}^3 a(k,\lambda)\epsilon_\mu(k,\lambda) \equiv a_\mu(k) \mbox{, a tedy} \\<br />
&A_\mu(x) = \int \dif^3k N_k \left( a_\mu(k,\lambda)e^{-ikx} + \ad_\mu(k,\lambda)e^{ikx} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z relací ortogonality pro $f_k(x) = N_k e^{-ikx}$ dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
a_\mu(k) &= i\int \dif^3x f_k^*(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x), \\<br />
\ad_\mu(k) &= -i\int \dif^3x f_k(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pak pro $[a_\mu(k),\ad_\nu(k')]$ dostáváme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&[a_\mu(k),\ad_\nu(k')] = \iint \dif^3x \dif^3y \left[ f_k^*(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x), f_{k'}(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x)\right] = \\<br />
&= \iint \dif^3x \dif^3y \left[ f_k^*(t,\vec x) \dot A_\mu(t,\vec x) - \dot f_k^*(t,\vec x) A_\mu(t,\vec x), f_{k'}(t,\vec x) \dot A_\mu(t,\vec x) - \dot f_{k'}(t,\vec x) A_\mu(t,\vec x)\right]_{x_0=y_0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zde je důležité vyjádření $A_0 = -\frac{1}{m^2} \vec \nabla \vec \pi$ a $\dot A_0 = -\parc_k A^k$, abychom mohli použít kanonické komutační relace. Tak se dospějeme k relevantním komutátorům:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[A_0(x),A_j(y)]_{E.T.} &= -\frac{i}{m^2}\parc_j \delta^3(\vec x - \vec y), \quad [A_k(x),A_j(y)]_{E.T.}=0, \quad [A_0(x),A_0(y)]_{E.T.}=0, \\<br />
[\dot A_0(x),\dot A_j(y)]_{E.T.} &= \left( i\parc_0 -\frac{i}{m^2} \parc_j \Delta \right) \delta^3(\vec x - \vec y) , \quad [\dot A_k(x),\dot A_j(y)]_{E.T.}=0, \quad [\dot A_0(x),\dot A_0(y)]_{E.T.}=0, \\<br />
[A_0(x),\dot A_0(y)]_{E.T.} &= -\frac{i}{m^2}\Delta \delta^3(\vec x - \vec y), \quad [A_0(x),\dot A_j(y)]_{E.T.}=0, \\<br />
[A_j(x),\dot A_0(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [A_j(x),\dot A_k(y)]_{E.T.}=i(\delta_{j,k}-\frac{1}{m^2}\parc_j\parc_k)\delta^3(\vec x - \vec y). \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z těchto komutačních relací pak dostaneme výsledky pro komutátory $a_\mu(k), \ad_\nu(k')$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[a_\mu(k), \ad_\nu(k')] &= (-g_{\mu \nu} + \frac{1}{m^2}k_\mu k_\nu)\delta^3(\vec k - \vec{k'}), \\<br />
[a_\mu(k), a_\nu(k')] &= 0, \\<br />
[\ad_\mu(k), \ad_\nu(k')] &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Vztah $\parc_\mu A^\mu$ představuje řešitelnou vazbu.<br />
<br />
Pokud použijeme vyjádření $a(k,\lambda) = -\epsilon^{*\mu}(k,\lambda)a_\mu(k)$, dostaneme relace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[a(k,\lambda), \ad(k',\lambda')] &= \delta_{\lambda,\lambda'}\delta^3(\vec k - \vec{k'}), \\<br />
[a(k,\lambda), a(k',\lambda')] &= 0, \\<br />
[\ad(k,\lambda), \ad(k',\lambda')] &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Výpočet energie}<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr &= -\frac{1}{4}(\parc_\mu A_\nu - \parc_\nu A_\mu)(\parc^\mu A^\nu - \parc^\nu A^\mu)+\pol m^2 A_\mu A_\nu = -\pol \parc_\mu A_\nu\parc^\mu A^\nu + \pol \parc_\mu A_\nu\parc^\nu A^\mu<br />
\end{align*}<br />
<br />
Přičtením čtařdivergence k Lagrangiánu nezměníme pohybové rovnice a dostaneme tak ekvivalentní formu<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\tilde{\lagr} &= -\pol \parc_\mu A_\nu\parc^\mu A^\nu + \pol m^2 A_\mu A^\mu + \pol (\parc_\mu A^\mu)^2,<br />
\end{align*}<br />
<br />
jelikož platí $(\parc \cdot A)^2 - \parc_\mu A_\nu\parc^\nu A^\mu = \parc_\mu (A^\mu \asd{\nu} A^\nu)$. Pro energii pak dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H&= \int \dif^3x \mathcal{T}^{00} = \ldots = \pol \int \dif^3k \sum_{\lambda=1}^3 k_0 (\ad(k,\lambda)a(k,\lambda) + a(k,\lambda)\ad(k,\lambda)).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Použitím normálního uspořádání nakonec dostaneme tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
:H: ~ &= \int \dif^3k \sum_{\lambda=1}^3 k_0 \ad(k,\lambda)a(k,\lambda).<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Jak jsme viděli, je zde korespondence<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item komutační relace $\rightarrow$ symetrická vlnová funkce $\rightarrow$ celočíselný spin (bosony)<br />
\item antikomutační relace $\rightarrow$ antisymetrická vlnová funkce $\rightarrow$ poločíselný spin (fermiony)<br />
\end{enumerate}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola4&diff=4825KTP1:Kapitola42013-02-18T13:51:12Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole} \section{Klasické částice} Začneme Lagrangeovým formalismem pro částice a následn...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
<br />
\section{Klasické částice}<br />
<br />
Začneme Lagrangeovým formalismem pro částice a následně přejdeme k popisu pole. Základním objektem je Lagrangeova funkce<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
L=L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t)),<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $\alpha$ probíhá přes všechny obecné souřadnice (stupně volnosti). Fyzikální pohyb se řídí principem stacionární akce. Tedy se děje po takových trajektoriích, na kterých funkcionál <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
S=\int_{t_1}^{t_2} \dif t L(q_\alpha(t),\dot{q_\alpha}(t))<br />
\end{equation*}<br />
<br />
nabývá extremální hodnoty, tedy $\delta S=0$. Tento princip pak vede na Lagrangeovy rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{\dif}{\dif t} \frac{\parc L}{\parc \dot{q_\alpha}} - \frac{\parc L}{\parc q_\alpha} =0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
K odvození těchto rovnic se používá integrace per-partes a předpoklad, že variace na koncích časového intervalu jsou nulové.<br />
<br />
\section{Klasické pole}<br />
<br />
Při přechodu k teorii pole "zrovnoprávníme" čas s prostorovými souřadnicemi a akci budeme nyní psát ve tvaru <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
S=\int \dif t \int \dif^3 x \mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)) = \int \dif^4 x\mathcal{L}(\varphi(x),\parc_\mu \varphi(x)).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Zde $\mathcal{L}$ je \textbf{hustota Lagrangeovy funkce} nebo krátce \textbf{Lagrangián} a $\varphi$ je souřadnice pole. Jelikož $\varphi(x)$ je funkcí souřadnic, máme systém o nekonečném počtu stupňů volnosti. (Hodnota pole v každém bodě je nezávislý stupeň volnosti.) Poznamenejme, že v jednotkách $c=\hbar=1$ je akce $S$ bezrozměrná. Nyní použijeme stejný variační princip $\delta S=0$ a obdobnou podmínku, že "povrchový člen" (viz níže) v integraci per-partes je nulový. Máme tedy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
0=\delta S= \int \dif^4 x\mathcal{L} = <br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta (\parc_\mu \varphi) \right] = \\<br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} \delta \varphi + \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \delta \varphi \right) - <br />
\parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \delta \varphi \right] = \\<br />
\int \dif^4 x \left[ \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} - \parc_\mu \left( \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\right) \right] \delta \varphi ,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme využili jednak toho, že $\delta (\parc_\mu \varphi) = \parc_\mu (\delta \varphi)$, jednak nulovosti prostředního "povrchového" členu. To odpovídá předpokladu, že všechna pole dostatečně rychle ubývají do nekonečna, a tedy jsou na dostatečně vzdálené hranici nulová. Jelikož rovnice musí platit pro všechna $\delta \varphi$ (přesněji ze základní věty variačního počtu) dostáváme rovnice:<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Opakováním stejného postupu pro případné další složky pole bychom dostali zobecnění \textbf{Euler-Lagrangeových rovnic} v podobě:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_r} = 0 \quad r=1, 2, \ldots , n.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Zde ještě poznamenáme, že dimenze $\mathcal{L}$ je $M^4$. Je to vidět z toho, že $\dif^4 x$ má rozměr $L^4=M^{-4}$ a výsledná akce je bezrozměrná.<br />
<br />
<br />
\section{Příklady}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik příkladů Hamiltoniánů vedoucích na rovnice, které se vyskytly dříve v přednášce.<br />
<br />
<br />
\subsection{Reálné Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
V tomto případě máme reálnou skalární funkci $\varphi$ a chceme dostat rovnici<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:KG}<br />
(\square + m^2)\varphi = 0.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Je nám nabídnuto použít Hamiltonián ve tvaru <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
který do jisté míry připomíná Hamiltonián harmonického oscilátoru (kinetický a potenciální člen). Jelikož vynásobení akce konstantou vede na stejný variační princip, nemuseli bychom zde mít faktor $\frac{1}{2}$. Ten se nám však bude hodit později pro jednodušší vztah pro určení energie z Lagrangiánu. Při odvození budeme postupovat "foolproof" metodou, tedy vše do mrtě rozepíšeme. <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi)} &= <br />
\frac{\parc }{\parc (\parc_\mu \varphi)} \left( \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \parc_\alpha \varphi \parc_\beta \varphi \right) = <br />
\frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( \frac{\parc (\parc_\alpha \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)}\parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi \frac{\parc (\parc_\beta \varphi)}{\parc (\parc_\mu \varphi)} \right) = \\<br />
&= \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} \left( g_\alpha^\mu \parc_\beta \varphi + \parc_\alpha \varphi g_\beta^\mu \right) = <br />
\frac{1}{2} \left( \parc^\mu \varphi + \parc^\mu \varphi \right) = \parc^\mu \varphi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále zřejmě $\pd{\lagr}{\varphi} = -m^2 \varphi$, a tedy dostáváme Euler-Lagrangeovu rovnici:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi + m^2\varphi^2=0,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
což je přesně Klein-Gordonova rovnice.<br />
<br />
<br />
\subsection{Komplexní Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
Tento příklad je obdobou předchozího, kde místo reálné funkce $\varphi$ uvažujeme $\varphi = \varphi_1 + i\varphi_2$. Rovnice bude opět \ref{eq:KG} a reálná a imaginární část $\varphi$ nyní odpovídá dvěma komponentám pole. Použijeme obdobný Lagrangián a upravíme ho na výraz:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L} = \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi^* - m^2\varphi\varphi^* = \parc_\mu \varphi_1 \parc^\mu \varphi_1 + \parc_\mu \varphi_2 \parc^\mu \varphi_2 - \frac{1}{2}m^2(\varphi_1^2 + \varphi_2^2).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Tedy máme Euler-Lagrangeovy rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_\mu \varphi_i)} - \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \varphi_i} = 0 \quad i=1, 2,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
ze kterých plyne Klein-Gordonova rovnice pro $\varphi_1$ a $\varphi_2$. Jelikož samotná rovnice je reálná, dostáváme i Klein-Gordonovu rovnici pro celé $\varphi$. Místo dvou komponent $\varphi_1$ a $\varphi_2$ jsme mohli za složky pole vzít i $\varphi$ a $\varphi^*$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Procovo respektive Maxwellovo pole}<br />
<br />
Zde máme Lagrangián:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L}_{Proca} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $F_{\mu\nu} = \parc_\mu A_\nu -\parc_\nu A_\mu $ a zlomky jsou zde opět kvůli normalizaci energie. Komponenty $\varphi_r$ odpovídají složkám čtyřvektoru $A_\rho$, $\rho=0, 1, 2, 3$. Nyní provedeme derivaci obdobně jako v předchozích příkladech a dostaneme správný tvar rovnice:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Diracovo pole}<br />
<br />
Diracova rovnice (normální a sdružená) má tvar <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&i\gamma^\mu \parc_\mu \psi - m \psi = 0, \quad<br />
&i\parc_\mu \bpsi \gamma^\mu + m \bpsi = 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
pro čtyřkomponentní funkci $\psi=(\psi_1, \psi_2, \psi_3, \psi_4)^T$. Zde $\psi$ a $\bar{\psi}$ můžeme opět chápat jako nezávislé proměnné a máme tedy celkem 8 složek. Lagrangián vedoucí na tyto rovnice má tvar:<br />
<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{L}_{Dirac} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu \stackrel{\leftrightarrow}{\partial_\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi ,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde $f\stackrel{\leftrightarrow}{\parc}g=f(\parc g)-(\parc f)g$. Při výpočtu se dá "derivovat podle matice", což znamená, že nebudeme psát index u $\psi$ ani dva indexy a $\gamma$ matic. Pak máme:<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \psi)} = \frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^\mu , \quad<br />
\frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \bar{\psi)}} = \frac{i}{2} \gamma^\mu \psi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dostáváme (nezapomeneme derivovat i první člen Lagrangiánu podle $\psi$) Eulerovy-Lagrangeovy rovnice jako Diracovy rovnice symetricky pro $\psi$ a $\bar{\psi}$. Zde se často využívá toho, že k Lagrangiánu můžeme přičíst libovolnou čtyřdivergenci, čímž opět nezměníme pohybové rovnice (přidaný člen dá nulu díky nulovosti polí na hranici). Konkrétně přičteme výraz $\parc_\mu \left( \frac{i}{2}\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \right)$ a získáme tak nový Hamiltonián (který již není symetrický v $\psi$ a $\bar{\psi}$): <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{\mathcal{L}}_{Dirac} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m\bar{\psi}\psi .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
I odvození Euler-Lagrangeových rovnic je s tímto Hamiltoniánem jednodušší a navíc je v něm v podstatě přímo vidět Diracova rovnice. <br />
<br />
<br />
<br />
\section{Zákony zachování (integrály pohybu) v klasické teorii pole}<br />
<br />
\subsection{Klasická mechanika}<br />
<br />
Vezmeme jako příklad harmonický oscilátor a z jeho pohybové rovnice odvodíme zachování energie:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ddot{x} + \omega^2 x &= 0 \quad |\cdot \dot{x} \\<br />
\frac{1}{2} \frac{\dif}{\dif t}(\dot{x}^2) + \frac{1}{2}\frac{\dif}{\dif t}(x^2)\omega^2&=0 \\<br />
\frac{\dif}{\dif t}\left( \frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 \right)&=0 \\<br />
\frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}x^2\omega^2 &= konst.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Klasické Klein-Gordonovo pole}<br />
<br />
Analogický postup můžeme zopakovat i pro Klasické Klein-Gordonovo pole:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu \parc^\mu \varphi + m^2\varphi &= 0 \quad |\cdot \parc^\nu \varphi \\<br />
\parc_\mu \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi + m^2\varphi \parc^\nu \varphi &= 0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\mu \varphi \parc_\mu \parc^\nu \varphi + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &= 0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \frac{1}{2}\parc^\nu(\parc^\mu \varphi \parc_\mu \varphi) + \frac{1}{2}m^2\parc^\nu(\varphi^2) &=0 \\<br />
\parc_\mu (\parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi) - \parc^\nu \left( \frac{1}{2} \parc^\alpha \varphi \parc_\alpha \varphi) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right) &=0 \\<br />
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \left( \frac{1}{2} \parc_\alpha \varphi \parc^\alpha \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2 \right)\right] &=0 \\<br />
\parc_\mu \left[ \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} \right] &=0 \\.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dostali jsme tedy vztah<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:tei}<br />
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu\nu} = 0,<br />
\end{equation}<br />
<br />
kde jsme označili \textbf{tenzor energie a impulsu} (tenzor energie a hybnosti):<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{T}^{\mu\nu} = \parc^\mu \varphi \parc^\nu \varphi - g^{\nu\mu} \mathcal{L} .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Pro další výklad je důležité, že rovnice \ref{eq:tei} má pro každou složku $\nu$ tvar rovnice kontinuity:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu J^{\mu} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Název tenzor energie a hybnosti pro $\mathcal{T}^{\mu\nu}$ je oprávněný. Například složka $\mathcal{T}^{00}$ představuje přirozenou analogii hustoty energie. To je vidět z následujícího srovnání s klasickou mechanikou. V klasické mechanice získáme Hamiltonián $H$ (tedy energii) z Lagrangeovy funkce $L$ pomocí vztahu:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
H=\frac{\parc L}{\parc \dot{q}}\dot{q}-L.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Nyní máme hustotu Lagrangeovy funkce $\mathcal{L}$ a pro $\mathcal{T}^{00}$ platí:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathcal{T}^{00}=\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \mathcal{L} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}\parc_0 \varphi - \mathcal{L},<br />
\end{equation*}<br />
<br />
kde jsme využili toho, že $\parc_0 \varphi = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)}$.<br />
<br />
Explicitním rozepsáním $\mathcal{T}^{00}$ dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{T}^{00} = \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\ <br />
\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \frac{1}{2} (\parc_0 \varphi \parc_0 \varphi - \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi ) + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 &= \\<br />
\frac{1}{2} \parc_0 \varphi \parc_0 \varphi + \frac{1}{2} \vec{\nabla}\varphi \vec{\nabla}\varphi + \frac{1}{2}m^2\varphi^2 .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že pro reálnou funkci $\varphi$ je hustota energie vždy kladná (jsou zde jen kvadráty reálných funkcí). To je dobré znamení ve srovnání s některými výsledky relativistické kvantové mechaniky. Přesto, že jsme zatím stále v klasické fyzice, absence záporných energií nám naštěstí vydrží (jak uvidíme) i v kvantové teorii pole.<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity a zákony zachování}<br />
<br />
Vycházíme z toho, že máme nějaký čtyřproud $J^\mu$ (název vychází z podobnosti s elektrickým čtyřproudem), tedy čtyřvektor, pro který platí rovnice kontinuity<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\parc_\mu J^\mu = \parc_0 J^0 + \vec{\nabla}\cdot \vec{J} = \parc_0 J^0 + \mathrm{div}\vec{J} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Nyní můžeme využít rovnici kontinuity a Gaussovu větu a psát <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{\dif}{\dif t} \int J^0 \dif^3 x = -\int \mathrm{div}\vec{J} \dif^3 x = \int \vec{J} \dif \vec{S} = 0.<br />
\end{equation*}<br />
<br />
To, že je poslední výraz roven nule je opět důsledkem hraničních podmínek. (Snad se to dá chápat tak, že si vezmeme tak velký objem, že veškeré toky proudu $\vec{J}$ zůstávají uvnitř, a tedy přes hranici nic neproudí.) Tím jsme tedy odvodili, že pro čtyřproud s nulovou čtyřdivergencí se zachovává integrál jeho nulté složky. Pro tenzor energie a impulsu máme<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\int \mathcal{T}^{0\nu} \dif^3 x = p^\nu = konst,<br />
\end{equation*}<br />
<br />
tedy zachování čtyřhybnosti.<br />
<br />
<br />
\subsection{Symetrie a zákony zachování (à la teorém Noetherové)}<br />
<br />
Výchozím bodem pro nalezení integrálu pohybu je invariance Lagrangiánu $\mathcal{L}$ vůči určité transformaci. (Obecněji stačí invariance akce, která plyne z invariance $\mathcal{L}$.)<br />
<br />
Mějme transformaci souřadnic:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x^\mu &\rightarrow x'^\mu \\<br />
\varphi_r(x) &\rightarrow \varphi_r '(x')<br />
\end{align*}<br />
<br />
a předpokládejme invarianci Lagrangiánu vůči této transformaci:<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mathcal{L}\left(\varphi_r(x), \frac{\parc \varphi_r(x)}{\parc x^\mu} \right) = \mathcal{L}\left(\varphi_r '(x'), \frac{\parc \varphi_r '(x')}{\parc x'^\mu} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Přesněji hovoříme o invarianci formy $\mathcal{L}$.<br />
<br />
<br />
Například podmínka invariance pro Klein-Gordanovo pole je<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x^\mu}\frac{\parc \varphi(x)}{\parc x_\mu} - m^2\varphi^2(x) = \frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'^\mu}\frac{\parc \varphi'(x')}{\parc x'_\mu} - m^2\varphi'^2(x'),<br />
\end{align*}<br />
<br />
která je splněna právě když se $\varphi$ transformuje jako skalár, tedy $\varphi'(x')=\varphi(x)$.<br />
<br />
Označíme si nyní $\lagr' = \lagr\left(\varphi'_r(x),\frac{\parc \varphi'_r(x)}{\parc x^\mu} \right)$ a $\delta x = x'^\mu - x^\mu$. V tomto značení můžeme přepsat podmínku invariance do tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x')=\lagr(x) \quad (=\lagr(x'-\delta x)).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní přejdeme k infinitesimální transformaci $\delta x$. Můžeme vyjádřit jednak<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = -\delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu},<br />
\end{align*}<br />
<br />
což je první člen Taylorova rozvoje. (Ten je jediný relevantní pro infinitesimální transformaci.) Stejný výraz však můžeme upravit také pomocí Euler-Lagrangeových rovnic ($\varphi_r$ je jejich řešením):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\lagr'(x') - \lagr(x'-\delta x) = \delta \lagr(x') = \frac{\parc \lagr}{\parc \varphi_r} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r) = \parc_\mu \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} + \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)}(\parc_\mu \varphi_r).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Spojením obou vztahů a sečtením přes $r$ dostáváme rovnici <br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{invariance}<br />
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \delta \varphi_r \right) + \delta x^\mu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} = 0.<br />
\end{align}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Prostoročasová translace}<br />
<br />
Jako příklad použití rozebereme prostoročasovou translaci. Zde je transformace souřadnic dána vztahem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x'^\mu = x^\mu + \epsilon^\mu \mbox{, tedy}\quad \delta x^\mu = \epsilon^\mu .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále máme $\varphi'_r(x') = \varphi'_r(x + \epsilon) = \varphi_r(x)$, odkud<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi'_r(x) = \varphi_r(x - \epsilon) = \varphi_r(x)-\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \mbox{, tedy} \quad \delta \varphi_r(x) = -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dosazením do (\ref{invariance}) dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu \sum_r \left( \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \left( -\epsilon^\nu \frac{\parc \varphi_r}{\parc x^\nu} \right) \right) + \epsilon^\nu \frac{\parc \lagr}{\parc x^\mu} &= 0 \\<br />
\epsilon_\nu \left[ \parc_\mu \left(\frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_\mu \varphi_r)} \parc^\nu \varphi_r \right) - \parc_\mu g^{\mu \nu} \lagr \right] &= 0 \\<br />
\parc_\mu \mathcal{T}^{\mu \nu} &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Lorentzovy transformace}<br />
<br />
Zde je transformace souřadnic dána vztahem<br />
<br />
\begin{align*}<br />
x'^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu \mbox{, kde }\quad \Lambda = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega^{\alpha \beta}I_{\alpha \beta}\right), \quad \omega^{\alpha \beta} = -\omega^{\beta \alpha } .<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textcolor{red}{Dál je to potřeba dopsat... (Na tu fázovou invarianci se mě ptal u zkoušky.)}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_1.jpg}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_2.jpg}<br />
\end{figure}<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_3.jpg}<br />
\end{figure}<br />
\begin{figure}<br />
\centering<br />
\includegraphics[scale=.7]{ktp_poznamky_4.jpg}<br />
\end{figure}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola3&diff=4824KTP1:Kapitola32013-02-18T13:50:58Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Prokova rovnice} % Prokova rovnice popisuje částici se spinem 1. Částice se spinem $s$ mám $(2s+1)$-komponentní funkci, tedy tady bude ...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Prokova rovnice}<br />
%<br />
Prokova rovnice popisuje částici se spinem 1. Částice se spinem $s$ mám $(2s+1)$-komponentní funkci, tedy tady bude tří-komponentní. Nemáme k dispozici reletivisticky invariantní reprezentaci se třemi komponentami, a proto vezmeme čtyřvektor a přidáme jednu podmínku.<br />
<br />
Jednou možností je požít Lorenzovu podmínku (Ludwig Lorenz a ne Hendrik Lorentz z elektromagnetismu). Máme vektor $B_\mu(x)$ a podmínku $\parc^\mu B_\mu(x) = 0$. Rovnice pak je Klein-Gordanova rovnice pro každou složku zvlášť:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\square + m^2)B_\mu(x) = 0, \quad \all \mu.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Ekvivalentní alternativou je použití takzvané "Maxwellovy rovnice s hmotovým členem" (důležitá v teorii pole):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu F^{\mu \nu} + m^2 B^\nu = 0, \quad F^{\mu \nu} = \parc^\mu B^\nu - \parc^\nu B^\mu.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Ukážeme ekvivalenci obou přístupů.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_\mu (\parc^\mu B^\nu - \parc^\nu B^\mu) + m^2 B^\nu &= 0, \\<br />
\parc_\nu | \quad \square B^\nu - \parc^\nu (\parc \cdot B) + m^2B^\nu &= 0, \\<br />
\square (\parc \cdot B) - \square (\parc \cdot B) + m^2(\parc \cdot B) &= 0, \\<br />
\parc \cdot B &= 0, \mbox{ tedy } \\<br />
\quad \square B^\nu - \parc^\nu (\parc \cdot B) + m^2B^\nu &= 0, \\<br />
(\square + m^2)B^\nu &= 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
Máme tedy při obou definicích tři nezávislé komponenty $B_j$ a komponentu $B_0$ závislou, kterou určíme z rovnice $\parc_0 B_0 - \grad \cdot \vec B = 0$.<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Volná Prokova částice (rovinné vlny)}<br />
<br />
Předpokládáme řešení ve tvaru $B^\mu = \epsilon^\mu(k)e^{-ikx}$ (tedy řešení s kladnou energií). Dosazením do Prokovy rovnice dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(-k^2 + m^2)\epsilon^\mu e^{-ikx} = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
(Funkce $\epsilon^\mu(k)$ tedy mají obdobnou úlohu jako $u$ a $v$ u Diracovy rovnice.) Dostáváme tedy $k^2 = m^2$, neboli $k_0^2 = \vec k^2 + m^2$ a budeme volit znaménko $k_0 = \sqrt{k^2 + m^2}$.<br />
<br />
Dále dosadíme do podmínky $\parc^\mu B_\mu(x) = 0$ a dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
-ik^\mu \epsilon_\mu e^{-ikx} = 0 \quad \ra \quad k^\mu \epsilon_\mu = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Celkem tedy máme dva výsledky: $k^2 = m^2$ a $k\cdot \epsilon = 0$. Budeme zkoumat, jaké jsou možnosti volby $\epsilon^\mu$ pro dané $k$. Z podmínky $k\cdot \epsilon(k) = 0$ v klidovém systému (označujeme $^{(0)}$), kde platí $k^{(0)} = (m,\vec 0)$ máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
k^{(0)} \cdot \epsilon^{(0)}(k^{(0)}) = 0 \quad \ra \quad m\epsilon_0^{(0)} = 0, \quad \mbox{ tedy } \quad \epsilon^{(0)}(k^{(0)})=(0,\vec \epsilon).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom máme $(\epsilon^{(0)})^2 = 0 - |\vec \epsilon|^2 < 0$, a tedy $\epsilon(k)$ je prostorupodobný vektor (což se zachovává při Lorentzově transformaci).<br />
<br />
V obecném systému $\vec k \neq 0$ tedy hledáme 3 prostorupodobné vektory splňující podmínku $k\cdot\epsilon(k) = 0$. První dva zvolíme jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\epsilon(k,1) &= (0,\vec \epsilon(k,1)), \\<br />
\epsilon(k,2) &= (0,\vec \epsilon(k,2)),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde se podmínka redukuje na $\vec k \cdot \vec \epsilon(k,\lambda) = 0$ pro $\lambda = 1,2$. Dále vektory normalizujeme na $(\epsilon(k,\lambda))^2 = -1$, tedy $|\vec \epsilon(k,\lambda)| = 1$. Třetí vektor pak zvolíme s prostorovou částí ve směru impulsu $\vec k$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\epsilon(k,3) &= \left(\epsilon_0,a \frac{\vec k}{|\vec k|}\right),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $a$ a $\epsilon_0$ zatím neznáme. Určíme nejprve z podmínky $k_\mu \epsilon^\mu(k,3) = 0$ vztah $\epsilon_0 = \frac{a|\vec k|}{k_0}$, což dosadíme do normalizace $(\epsilon(k,3))^2 = -1$ a máme $a^2 = \frac{k_0^2}{m^2}$. Celkově tedy je trojici vektorů<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\epsilon(k,1) &= (0,\vec \epsilon(k,1)), \quad \vec k \vec \epsilon(k,\lambda) = 0 \mbox{ pro } \lambda = 1,2\\<br />
\epsilon(k,2) &= (0,\vec \epsilon(k,2)), \quad \mbox{ 1,2 - transverzální pole}\\<br />
\epsilon(k,3) &= \left(\frac{|\vec k|}{m},\frac{k_0}{m}\frac{\vec k}{|\vec k|}\right), \quad \mbox{ 3 - longitudinální pole}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vektory $\epsilon(k,\lambda)$ se také nazývají "polarizační vektory" (přejato z elektromagnetismu).<br />
<br />
<br />
\section{Spinové stavy a helicita}<br />
<br />
Máme zde 3 spinové matice:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S^1 = \left(\begin{array}{rrr} <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
0 & 0 & -i \\<br />
0 & i & 0 \\ <br />
\end{array}\right), \quad <br />
S^2 = \left(\begin{array}{rrr} <br />
0 & 0 & -i \\ <br />
0 & 0 & 0 \\<br />
i & 0 & 0 \\ <br />
\end{array}\right), \quad <br />
S^3 = \left(\begin{array}{rrr} <br />
0 & -i & 0 \\ <br />
i & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
\end{array}\right). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Platí pro ně komutační relace $[S^i,S^j] = i\epsilon^{jkl}S^l$. <br />
<br />
Helicita je $\hat h = \vec n \cdot \vec S$, kde $\vec n = \frac{\vec k}{|\vec k|}$ (průmět spinu do směru rychlosti). Explicitně <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec n \cdot \vec S = i\left(\begin{array}{rrr} <br />
0 & -n_3 & n_2 \\ <br />
n_3 & 0 & -n_1 \\<br />
-n_2 & n_1 & 0 \\ <br />
\end{array}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pokud speciálně zvolíme $\vec \epsilon(k,1)$ a $\vec \epsilon(k,2)$ tak, že $\vec \epsilon(k,2) = \vec n \times \vec \epsilon(k,1)$, máme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec n \times \vec \epsilon(k,2) = \vec n \times \vec n \times \vec \epsilon(k,1) = \vec n (\vec n \cdot \vec \epsilon(k,1)) - \vec \epsilon(k,1) (\vec n \cdot \vec n) = -\vec\epsilon(k,1).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom tedy dostáváme pro operátor helicity:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\hat h <br />
\left(\begin{array}{r} <br />
\epsilon_1 \\ <br />
\epsilon_2 \\<br />
\epsilon_3 \\ <br />
\end{array}\right) = <br />
(\vec n \cdot \vec S) <br />
\left(\begin{array}{r} <br />
\epsilon_1 \\ <br />
\epsilon_2 \\<br />
\epsilon_3 \\ <br />
\end{array}\right) =<br />
i\left(\begin{array}{rrr} <br />
0 & -n_3 & n_2 \\ <br />
n_3 & 0 & -n_1 \\<br />
-n_2 & n_1 & 0 \\ <br />
\end{array}\right)<br />
\left(\begin{array}{r} <br />
\epsilon_1 \\ <br />
\epsilon_2 \\<br />
\epsilon_3 \\ <br />
\end{array}\right) = i \vec n \times \vec \epsilon.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kompaktně zapsáno tedy platí:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\hat h \vec \epsilon = i (\vec n \times \vec \epsilon).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Konkrétně máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\hat h \vec \epsilon(k,1) &= i \vec n \times \vec \epsilon(k,1) = i\vec \epsilon(k,2), \\<br />
\hat h \vec \epsilon(k,2) &= i \vec n \times \vec \epsilon(k,2) = -i\vec \epsilon(k,1). \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že se jedná o "skoro vlastní stavy" helicity. Tyto stavy jsou analogií lineární polarizace fotonů. Můžeme však zadefinovat nové stavy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec \epsilon(k,+) &= \rec{\sqrt{2}} (\vec \epsilon(k,1) + i\vec \epsilon(k,2)) \quad \rightarrow \quad <br />
\hat h \vec \epsilon(k,+) = \vec \epsilon(k,+), \\<br />
\vec \epsilon(k,-) &= \rec{\sqrt{2}} (\vec \epsilon(k,1) - i\vec \epsilon(k,2)) \quad \rightarrow \quad <br />
\hat h \vec \epsilon(k,-) = -\vec \epsilon(k,-), <br />
\end{align*}<br />
<br />
které už jsou vlastními stavy s helicitou $+1$ respektive $-1$. (Odpovídají kruhové polarizaci světla.) Co se týče třetího vektoru, máme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\hat h \vec \epsilon(k,3) = i \vec n \times \vec \epsilon(k,3) = 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
a tedy se přímo jedná o vlastní vektor s helicitou 0. (Takový stav nemá analogii u částic s nulovou klidovou hmotností.)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Shrnutí vlastností $\epsilon^\mu(k,\lambda)$}<br />
<br />
Platí Lorenzova podmínka $k\cdot \epsilon(k,\lambda) = 0$. Dále podmínka ortogonality <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\epsilon(k,\lambda)\epsilon^*(k,\lambda') = \delta_{\lambda \lambda'}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tato podmínka platí jak pro $\lambda = 1,2,3$, tak pro $\lambda = +,-,0$.<br />
<br />
V analogii s Diracovou rovnicí ještě platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sum_{\lambda = 1}^3 \epsilon_\mu(k,\lambda)\epsilon_\nu(k,\lambda) = P_{\mu \nu}(k).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vezmeme ansatz $P_{\mu \nu}(k) = A(k^2)g_{\mu \nu} + B(k^2)k_\mu k_\nu$ ($k^2 = m^2$). Z vlastnosti $k^\mu \epsilon_\mu = 0$ dostaneme $k^\mu P_{\mu \nu}(k) = 0$, a tedy $Ak_\nu + Bm^2k_\nu = 0 \ra A+Bm^2 = 0$. Dále máme ${P_\mu}^\mu(k) = 3(-1) = -3$, a tedy $4A + Bm^2 = -3$. Celkově máme $B=\rec{m^2}$ a $A=-1$ a finální vztah je<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sum_{\lambda = 1}^3 \epsilon_\mu(k,\lambda)\epsilon_\nu(k,\lambda) = P_{\mu \nu}(k) = -g_{\mu \nu} + \rec{m^2}k_\mu k_\nu.<br />
\end{align*}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola2&diff=4823KTP1:Kapitola22013-02-18T13:50:45Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Diracova rovnice} \section{Relativistická kvantově mechanická rovnice pro volnou částici} Abychom mohli $\psi(\vec{x},t)$ interpretova...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Diracova rovnice}<br />
<br />
\section{Relativistická kvantově mechanická rovnice pro volnou částici}<br />
<br />
Abychom mohli $\psi(\vec{x},t)$ interpretovat jako objekt popisující stav částice v čase $t$, potřebujeme rovnici prvního řádu v $\frac{\partial}{\partial t}$. (To jsme si ukázali na příkladu K-G rovnice, která tuto podmínku nesplňuje.) Tedy hledáme rovnici tvaru<br />
<br />
\begin{align}\label{zakladni2}<br />
i\frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(\vec{x},t)\mathrm{,}<br />
\end{align}<br />
<br />
kde $\hat{H}$ neobsahuje časovou derivaci. Vracíme se opět k problému odmocnění výrazu $E^2=c^2\vec{p}^2+m^2c^4$. Použijeme postup navržený Diracem. (Ten asi neuměl odmocňovat, tak vlastně navrhl $\sqrt{A^2+B^2} = A+B$ :-)). Budeme tedy předpokládat výsledek ve tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
E=c\alpha_j p_j + \beta m c^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
(Zde opět na chvíli opustíme přirozenou soustavu jednotek, a tedy $c$ značí rychlost světla.) Podle principu korespondence tedy dostáváme rovnici<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = (-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2)\psi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní budeme hledat takové koeficienty $\alpha_j$ a $\beta$, abychom "umocněním" rovnice dostali výraz odpovídající $E^2=c^2\vec{p}^2+m^2c^4$. Je zde drobná komplikace, že obecně pro dva operátory $A$ a $B$ neplatí $A\psi=B\psi \ra A^2\psi=B^2\psi$. Aby implikace platila, je třeba přidat podmínku $[A,B]=0$ (pak $A^2\psi = AB\psi = BA\psi = B^2\psi$), což je v našem případě splněno, jelikož $[\parc_0,\parc_j]=0$. Nyní tedy naši rovnici umocníme (a z prozíravosti nebudeme komutovat koeficienty $\alpha_j$ a $\beta$):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
-\hbar^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= (-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2)(-i\hbar c \alpha_k \parc_k +\beta m c^2)\psi = \\<br />
&= (-\hbar^2c^2\parc_j \parc_k \alpha_j \alpha_k -i\hbar c \parc_j (\alpha_j \beta + \beta \alpha_j) + \beta^2 m^2c^4)\psi .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále ještě celou rovnost vydělíme $-\hbar^2$ a upravíme $\alpha_j\alpha_k = \pol (\alpha_j\alpha_k + \alpha_k\alpha_j) + \pol (\alpha_j\alpha_k - \alpha_k\alpha_j)$, kde se antisymetrický člen vysčítá na nulu. <br />
<br />
Nakonec stačí porovnat získanou rovnost s požadovaným výsledkem a dostaneme podmínky na koeficienty ve tvaru:<br />
<br />
\begin{align}\label{podminky}<br />
\alpha_j\alpha_k + \alpha_k\alpha_j = \{\alpha_j,\alpha_k\} &= 2\delta_{jk}, \nonumber \\<br />
\alpha_j\beta + \beta\alpha_j = \{\alpha_j,\beta\} &= 0, \\<br />
\beta^2 &= 1. \nonumber<br />
\end{align}<br />
<br />
Snadno nahlédneme, že čísla, která by splňovala tyto podmínky neexistují, a proto koeficienty musejí být maticové. <br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Pokud někde "sčítáme matice a čísla", máme automaticky na mysli místo čísel násobky jednotkové matice. Například v (\ref{podminky}) je třeba $\delta_{jk}$ chápat jako Kroneckerovo $\delta$ násobené $\unit$, tedy $\delta_{jk}\unit$. To však \textbf{není případ funkce $\psi$}, ze které se nyní stává $d$-komponentní funkce, kde $d$ je rozměr matic $\alpha_j$ a $\beta$, který určíme dále.<br />
<br />
Celkově jsme tedy dostali "Hamiltonián" $H=-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2$, kde koeficienty splňují (\ref{podminky}). Jelikož chceme, aby operátory přiřazené pozorovatelným veličinám byly hermitovské, dostáváme navíc podmínky hermitovosti koeficientů: $\alpha_j^\dagger = \alpha_j$ a $\beta^\dagger = \beta$.<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Hledání matic $\alpha_j$ a $ \beta$}<br />
<br />
\subsection{1) Sudý řád}<br />
<br />
Ukážeme, že matice musejí být sudého řádu. Nejprve z definiční antikomutační relace $\alpha_j \alpha_k + \alpha_k \alpha_j = 2\delta_{jk}$ vidíme, že pro $j=k$ máme $\alpha_j^2 = 1$ a pro $j \neq k$ platí $\alpha_j \alpha_k = - \alpha_k \alpha_j$. Nyní využijeme vlastností determinantů a upravíme výraz $\det(\alpha_j \alpha_k) \equiv |\alpha_j \alpha_k|$ dvěma způsoby pro $k\neq j$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
|\alpha_j\alpha_k| = |\alpha_j||\alpha_k| = |\alpha_k||\alpha_j| = |\alpha_k\alpha_j|, \\<br />
|\alpha_j\alpha_k| = |-\alpha_k\alpha_j| = (-1)^d|\alpha_k\alpha_j|,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $d$ je dimenze matic. Musí tedy platit, že $1=(-1)^d$, a tedy dimenze matic musí být sudé číslo.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{2) Nestačí dimenze 2}<br />
<br />
V dimenzi 2 již známe sadu tří vzájemně antikomutujících hermitovských matic:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec \sigma = \left(<br />
\left( \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{matrix} \right),<br />
\left( \begin{matrix}<br />
0 & -i \\<br />
i & 0<br />
\end{matrix} \right),<br />
\left( \begin{matrix}<br />
1 & 0 \\<br />
0 & -1<br />
\end{matrix} \right)<br />
\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Společně s jednotkovou maticí tvoří Pauliho matice bázi prostoru $\C^{2,2}$, takže každou matici $X \in \C^{2,2}$ můžeme napsat jako $X= a\unit + \vec b \cdot \vec \sigma$. Chtěli bychom najít takovou matici $X$, abychom ji mohli prohlásit za matici $\beta$, a tedy by muselo platiti $\{X,\sigma_i\}=0$ pro $\all i$. <br />
<br />
\begin{align*}<br />
0 = \{X,\sigma_i\} = 2a\sigma_i +b_j\{\sigma_i,\sigma_j\} = 2a\sigma_i + 2b_j \delta_{ij} \mbox{ , a tedy } \quad a=0, \vec b = \vec 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{3) Konstrukce v dimenzi 4}<br />
<br />
Existenci potřebných matic v dimenzi 4 dokážeme přímo konstrukcí. Konkrétně zvolíme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_j = <br />
\left( \begin{matrix}<br />
0 & \sigma_j \\<br />
\sigma_j & 0<br />
\end{matrix} \right), \quad<br />
\beta = <br />
\left( \begin{matrix}<br />
\unit & 0 \\<br />
0 & -\unit<br />
\end{matrix} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Této volbě se říká \textbf{standardní reprezentace}. Není to jediná možnost, jelikož stejné rovnice splní jakékoli matice spojené s maticemi standardní reprezentace pomocí nějaké podobnostní transformace<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\tilde \alpha_j = \mathbb{S}\alpha_j \mathbb{S}^{-1}, \quad \tilde \beta = \mathbb{S}\beta \mathbb{S}^{-1} \mbox{ , kde }\quad |\mathbb{S}| \neq 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Později uvedeme jiné zajímavé příklady reprezentací. <br />
<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Obecně bez ohledu na konkrétní reprezentaci jsou všechny matice $\alpha_j$ a $ \beta$ bezestopé, tedy $\Tr(\alpha_j)=0, \Tr(\beta)=0$. Ukážeme například odvození první rovnosti, kde využijeme vlastnost stopy, že v ní můžeme cyklicky zaměňovat členy.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Tr(\alpha_j) = \Tr(\beta^2\alpha_j) = [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\beta\alpha_j\beta) = [\mbox{ antikomutace }] = \Tr(-\alpha_j\beta^2) = -\Tr(\alpha_j)<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Obsah Diracovy rovnice}<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity}<br />
<br />
Nadále budeme používat soustavu jednotek $c=\hbar=1$. Potom má Diracova rovnice tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\psi}{t} = (-i\vec \alpha \vec \nabla + \beta m)\psi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Napřed odvodíme rovnici kontinuity pro Diracovu rovnici. Uděláme to tak, že rovnici vynásobíme zprava $\psi^\dagger$, Hermitovsky sdruženou Diracovu rovnici vynásobíme zleva $\psi$ a oba výsledky od sebe odečteme. (Při sdružování je třeba držet výraz $\grad \psi$ pohromadě a nezaměňovat pořadí, jinak to ani nedává smysl.) Tím se dostaneme ke vztahu <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\left( \psid\pd{\psi}{t} + \pd{\psid}{t}\psi \right) &= -i \left( \psid \vec \alpha \grad \psi + \grad \psi \vec \alpha \psid \right) = -i\grad (\psid \vec \alpha \psi), \\<br />
\pd{}{t}(\psid \psi) + \mbox{div} (\psid \vec \alpha \psi) &= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že hustotě pravděpodobnosti odpovídá výraz $\psid \psi$, který je vždy kladný, což jsme chtěli. Hustota toku pravděpodobnosti je $\vec j = \psid \vec \alpha \psi$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovinné vlny}<br />
<br />
Jak snadno ověříme jsou možným řešením Diracovy rovnice rovinné vlny $\psi(x) = K e^{\pm ip\cdot x}$, kde $K$ je libovolná konstanta. Speciálně pro částici v klidu, kde $p=(p_0,\vec 0)$ dostáváme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\psi}{t} = (-i\vec \alpha \vec \nabla + \beta m)K e^{\pm ip_0\cdot t} = \beta m \psi = <br />
\maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit} m \psi(t), \quad \rightarrow <br />
\mbox{ označíme } \psi = \vektordva{\varphi}{\chi} = \vektorctyri{\varphi_1}{\varphi_2}{\chi_1}{\chi_2}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom se rovnice rozpadne na dvě dílčí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\varphi}{t} = m\varphi, \quad i\pd{\chi}{t} = -m\chi,<br />
\end{align*}<br />
<br />
které mají systém řešení například <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi_1 = e^{-imt} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \varphi_2 = e^{-imt} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right), \\<br />
\chi_1 = e^{imt} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \chi_2 = e^{imt} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Časová derivace $i\pd{}{t}$ odpovídá operátoru energie, a proto ze vztahů<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{}{t}\varphi = (-im) \varphi , \quad i\pd{}{t}\chi = im \chi,<br />
\end{align*}<br />
<br />
vidíme, že $\chi$ odpovídá stavu s kladnou energií, ale $\varphi$ je problematický stav se zápornou energií.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Impulsmoment a spin}<br />
<br />
Nejprve zjistíme, zda je Impulsmomet komutující veličinou s Diracovým Hamiltoniánem. Máme vztahy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&H_D = -i\vec \alpha \grad + \beta m, \quad \vec L = \vec x \times \vec p, \quad L_i = \epsilon_{ijk}x_j p_k, \quad p_j = -i\parc_j, \quad [x_j,p_k]=i\delta_{jk}. \\<br />
&\mbox{počítáme: } [H_D,L_j] = -i\alpha_i[\parc_i,\epsilon_{jkl}x_k p_l] + m\beta [1,\epsilon_{jkl}x_k p_l] = \alpha_i \epsilon_{jkl} [p_i,x_k]p_l = -i\epsilon_{jkl}\alpha_k p_l, \\<br />
&\mbox{tedy } [H_D,\vec L] = -i(\vec \alpha \times \vec p) \neq 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
To tedy znamená, že $\vec L$ není komutující operátor. Vzápětí to ale spravíme. Zavedeme novou veličinu $\vec \Sigma = \left( \begin{matrix} \vec \sigma & 0 \\ 0 & \vec \sigma \end{matrix}\right)$ a také spočteme její komutátor s $H_D$. Budeme pracovat ve standardní reprezentaci, k čemuž nás opravňuje fakt, že<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[A',B'] = \mathbb{S}A\mathbb{S}^{-1}\mathbb{S}B\mathbb{S}^{-1} - \mathbb{S}B\mathbb{S}^{-1}\mathbb{S}A\mathbb{S}^{-1} = \mathbb{S}[a,b]\mathbb{S}^{-1} = [A,B]'.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nejprve si připravíme mezivýpočty <br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\left[ \alpha_i, \Sigma_j \right] = <br />
\maticedvadva{0}{\sigma_i}{\sigma_i}{0} \maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} - <br />
\maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} \maticedvadva{0}{\sigma_i}{\sigma_i}{0} = \\<br />
&= [\sigma_i,\sigma_j]\maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0}, \\<br />
&\left[ \beta, \Sigma_j \right] = <br />
\maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit} \maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} - <br />
\maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit} <br />
= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pak tedy dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[H_D, \Sigma_j] &= -i\nabla_i [\alpha_i,\Sigma_j] + m[\beta,\Sigma_j] = -i \nabla_i 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} = 2i p_i \epsilon_{ijk} \alpha_k , \\<br />
[H_D, \vec \Sigma] &= 2i(\vec \alpha \times \vec p).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Odtud tedy vidíme, že pokud nejprve zavedeme veličinu $\vec S= \pol \vec \Sigma$, které říkáme \textbf{spin} a následně veličinu $\vec J = \vec L + \vec S$ zvanou \textbf{celkový impulsmoment}, dostaneme $[H_D,\vec J] = 0$, a tedy $\vec J$ je dobrá pozorovatelná veličina, která komutuje s Hamiltoniánem. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Interakce s vnějším EM polem}<br />
<br />
Mějme vnější elektromagnetické pole popsané čtyřpotenciálem $A^\mu = (\phi, \vec A)$. Potom upravíme Hamiltonián a tedy i Diracovu rovnici na tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H = \vec \alpha (\vec p - e \vec A) + e\phi + \beta m, \\<br />
i\pd{\psi}{t} = (\vec \alpha (-i\grad - e \vec A) + e\phi + \beta m)\psi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Označíme si $\vec \pi = -i\grad - e \vec A$. Potom ve standardní reprezentaci dostáváme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\tilde \varphi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\tilde \chi + (e\phi + m)\tilde \varphi, \\<br />
i\pd{\tilde \chi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\tilde \varphi + (e\phi - m)\tilde \chi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Označení s vlnkou jsme volili proto, že hned nyní použijeme ansatz $\left( \begin{matrix} \tilde \varphi \\ \tilde \chi \end{matrix}\right) = e^{-imt}\left( \begin{matrix} \varphi \\ \chi \end{matrix}\right)$. Jeho použitím rovnice přejdou na tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\varphi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\chi + e\phi \varphi, \\<br />
i\pd{ \chi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi) \varphi + e\phi\chi - m \chi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní provedeme nerelativistickou aproximaci $\phi << m$, $\pd{ \chi}{t} << m\chi$ a zanedbáme levou stranu a prostřední člen pravé strany ve druhé rovnici. To nám umožní z této rovnice vyjádřit $\chi \doteq -\rec{2m} (\vec \sigma \cdot \vec \pi) \varphi$. Tím se dostaneme k rovnici pro $\varphi$ <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\varphi}{t} = \rec{2m}(\vec \sigma \cdot \vec \pi)^2 \varphi + e\phi \varphi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dalšími úpravami dostaneme rovnici až na výsledný tvar <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\pd{\varphi}{t} = \left( \rec{2m}(\vec p - e\vec A)^2 + e\phi \frac{e}{2m} \vec \sigma \cdot \vec B\right)\varphi, <br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\vec B = \mbox{rot} \vec A$ (magnetický moment). Poslední člen na pravé straně představuje spinovou část, a tedy $H_{(mg~ spin)} = \frac{e}{2m} \vec \sigma \cdot \vec B$, kde konstanta $\mu = \frac{e}{2m}$ se nazývá Bohrův magneton.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} V kvantové elektrodynamice je hodnota Bohrova magnetonu upravena na $\mu_{QED} = \mu \left(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + O(\alpha^2)\right)$, kde $\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} \doteq \rec{137}$ je konstanta jemné struktury.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Kovariantní tvar Diracovy rovnice}<br />
<br />
Pokud Diracovu rovnici vynásobíme zleva maticí $\beta$, dostaneme její kovariantní tvar:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\beta \parc_0 \psi = -i \beta \alpha^j \parc_j \psi + \beta^2 m \psi, \\<br />
i \ga^\mu \parc_\mu \psi - m \psi = 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme zavedli $\ga$ matice $\ga_0 = \beta$ a $\ga^j = \beta \alpha^j$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Základní vlastnosti}<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\{\ga^0, \ga^j\} &= \beta \beta \alpha^j + \beta \alpha^j \beta = \alpha^j - \alpha^j = 0, \\<br />
\{\ga^j, \ga^k\} &= \beta \alpha^j \beta \alpha^k + \beta \alpha^k \beta \alpha^j = -\alpha^j\alpha^k - \alpha^k\alpha^j = - \{\alpha^j,\alpha^k\} = -2\delta^{jk} = 2g^{jk}, \\<br />
(\ga^0)^2 &= \unit, \quad (\ga^j)^2 = \beta \alpha^j \beta \alpha^j = -(\alpha^j)^2 = -\unit<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Hermitovská konjugace}<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga^{0\dagger} &= \beta^\dagger = \beta = \ga^0, \\<br />
\ga^{j\dagger} &= (\beta \alpha^j)^\dagger = \alpha^{j\dagger}\beta^\dagger = \alpha^j \beta = -\beta \alpha^j = -\ga^j.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Celkově tedy dostáváme vztah<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga^{\mu \dagger} = \ga^0\ga^\mu \ga^0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále zavádíme pomocný objekt $\tilde \ga_5 \equiv \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$ a $\ga_5 \equiv i\tilde \ga_5$. Využitím předchozích relací snadno ověříme, že platí $\{\ga_5,\ga^\mu\} = 0$, $(\ga_5)^2 = \unit$, $\ga_5^\dagger = \ga_5$. <br />
<br />
Podle standardní konvence platí $\ga_\mu = g_{\mu \nu} \ga^\nu$, a tedy $\ga_0 = \ga^0$ a $\ga_j = -\ga^j$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Vlastnosti stop $\ga$-matic}<br />
<br />
Platí $\Tr(\ga^\mu) = 0$. Obecně stopa lichého počtu $\ga$-matic je 0 (označme tento počet $n$):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Tr(\ga^\alpha \ldots \ga^\mu) &= \Tr(\ga_5^2 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu) = [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\ga_5 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu \ga_5) = [\mbox{ komutace }] = \\<br />
&= (-1)^n \Tr(\ga_5^2 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu) = [\mbox{ pro liché }n~ ] = - \Tr(\ga^\alpha \ldots \ga^\mu).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro stopu dvou a čtyř $\ga$-matic platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Tr(\ga_\mu \ga_\nu) &= [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\ga_\nu \ga_\mu) \ra \Tr(\ga_\mu \ga_\nu) = \pol \Tr(\{\ga_\mu, \ga_\nu\}) = \\<br />
&= g_{\mu \nu} \Tr(\unit) = 4g_{\mu \nu}, \\<br />
\Tr(\ga_\mu \ga_\nu \ga_\rho \ga_\sigma) &= \ldots = 4(g_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - g_{\mu \rho} g_{\nu \sigma} + g_{\mu \sigma} g_{\nu \rho}). <br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Báze $\C^{4,4}$ ze součinů $\ga$-matic}<br />
<br />
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}<br />
\hline<br />
$\Gamma_1$ & $\Gamma_2$ & $\Gamma_3$ & $\Gamma_4$ & $\Gamma_5$ & $\Gamma_6$ & $\Gamma_7$ & $\Gamma_8$ & $\Gamma_9$ & $\Gamma_{10}$ & $\Gamma_{11}$ & $\Gamma_{12}$ & $\Gamma_{13}$ & $\Gamma_{14}$ & $\Gamma_{15}$ & $\Gamma_{16}$ \\ \hline <br />
$\unit$ & $\ga_0$ & $\ga_1$ & $\ga_2$ & $\ga_3$ & $\ga_0 \tilde \ga_5$ & $\ga_1 \tilde \ga_5$ & $\ga_2 \tilde \ga_5$ & $\ga_3 \tilde \ga_5$ & $\ga_0 \ga_1$ & $\ga_0 \ga_2$ & $\ga_0 \ga_3$ & $\ga_1 \ga_2$ & $\ga_1 \ga_3$ & $\ga_2 \ga_3$ & $\tilde \ga_5$ \\ \hline<br />
\end{tabular}<br />
\vskip 10pt<br />
<br />
\textbf{Lemma 1:} Matice $\Gamma_x$ mají nulovou stopu. Víme, že $\Tr(\ga^\mu) = 0$, $\Tr(\ga^\mu \tilde \ga_5) = 0$ ověříme srovnáním cyklické záměny a komutace a $\Tr(\ga^\mu \ga^\nu) = 0$ pro $\mu \neq \nu$.<br />
<br />
\textbf{Lemma 2:} Vynásobením všech $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ jednou $\Gamma_y$ dostaneme původní množinu (přeházenou). (Skoro určitě tvoří grupu, ale neověřoval jsem to.)<br />
<br />
\textbf{Lemma 3:} Matice $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ tvoří bázi $\C^{4,4}$. Nechť platí $\sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i = 0$. Potom $4c_1 = \Tr\left( \sum_{i=2}^{16}c_i \Gamma_i \right) = 0$, a tedy $c_1 = 0$. Dále pro $\all 2 \le j \le 16$ platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
0 = \Tr(\Gamma_j\cdot 0) = \Tr(\Gamma_j \sum_{i=2}^{16}c_i \Gamma_i) = [\mbox{ lemma 2} \ra \Gamma_j\Gamma_i=\Gamma_k ] = \Tr(c_j \Gamma_j^2 + \sum_{k=2, k\neq j}^{16}c_k \Gamma_k) = c_j \Tr( \Gamma_j^2).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jelikož $\Tr( \Gamma_j^2) \neq 0$, dostáváme $c_j = 0$.<br />
<br />
\textbf{Lemma 4:} Každá matice $A$, která komutuje se všemi $\ga^\mu$, a tedy i se všemi $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ je násobkem $\unit$. Důkaz jen naznačíme. Musí platit $A = \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i$ a podle předpokladu $\ga_0 \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i = \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i \ga_0$. Jelikož $\ga_0$ antikomutuje s $\Gamma_j$ pro $j=3,4,5,6,10,11,12,16$, musí pro tato $j$ platit $c_j = -c_j$, a tedy $c_j=0$. Stejný postup zopakujeme pro všechny $\ga^j$ a zbude nám jen $c_1$. <br />
<br />
(Důkaz z teorie grup a reprezentací: Pokud $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ tvoří grupu, můžeme udělat reprezentaci této grupy tak, že přímo prvkům přiřadíme samotné matice. Jelikož platí $\sum(\Tr(\Gamma_i)^2) = \Tr(\unit)^2 = 16$ se rovná počtu prvků grupy, je tato reprezentace ireducibilní a lamma 4 plyne ze Schurova lemmatu.)<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Fundamentální teorém o $\ga$-maticích}<br />
<br />
Pokud čtveřice matic $(\ga^\mu), (\ga'^\mu) \in \C^{4,4}$ splňují $\{\ga^\mu,\ga^\nu\} = 2g^{\mu \nu} = \{\ga'^\mu,\ga'^\nu\}$, potom existuje nesingulární matice $\mathbb{S}$ taková, že $\ga'^\mu = \mathbb{S} \ga^\mu \mathbb{S}^{-1}$. Tato věta tedy říká, že neexistují jiné matice splňující danou antikomutační relaci, které by nebyly podobné námi zvolené standardní reprezentaci.<br />
<br />
<br />
\subsection{Příklady reprezentací $\ga$-matic}<br />
<br />
My používáme \textbf{standardní reprezentaci}, kde<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_0 = \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right), \quad \vec \ga = \left( \begin{matrix} 0 & \vec \sigma \\ -\vec \sigma & 0 \end{matrix}\right) \quad \ra \quad \ga_5 = \left( \begin{matrix} 0 & \unit \\ \unit & 0 \end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále existuje například \textbf{spinorová/chirální} reprezentace s maticemi<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_0 = \left( \begin{matrix} 0 & \unit \\ \unit & 0 \end{matrix}\right), \quad \vec \ga = \left( \begin{matrix} 0 & \vec \sigma \\ -\vec \sigma & 0 \end{matrix}\right) \quad \ra \quad \ga_5 = \left( \begin{matrix} -\unit & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
a \textbf{Majoránova} reprezentace, kterou ze standardní dostaneme pomocí vztahů $\ga_M^0 = \ga^0 \ga^2$, $\ga_M^1 = -\ga^1 \ga^2$, $\ga_M^2 = \ga^2$ a $\ga_M^3 = \ga^2 \ga^3$. Majoránova reprezentace má tu zvláštnost, že všechny její matice jsou ryze imaginární.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------<br />
<br />
\section{Relativistická invariance Diracovy rovnice}<br />
<br />
\subsection{Prostorová rotace}<br />
<br />
Prostorové rotace kolem souřadných os jsou popsány maticemi:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
T^{(3)} &\equiv T^{(12)} = \left( \begin{matrix} <br />
\cos(\varphi) & \sin(\varphi) & 0 \\<br />
-\sin(\varphi) & \cos(\varphi) & 0 \\<br />
0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right) \quad<br />
T^{(2)} \equiv T^{(31)} = \left( \begin{matrix} <br />
\cos(\varphi) & 0 & -\sin(\varphi) \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
-\sin(\varphi) & 0 & \cos(\varphi)<br />
\end{matrix}\right) \\<br />
T^{(1)} &\equiv T^{(23)} = \left( \begin{matrix} <br />
1 & 0 & 0 \\ <br />
0 & \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\<br />
0 & -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) <br />
\end{matrix}\right)<br />
\end{align*}<br />
<br />
Místo tohoto zápisu však můžeme použít vyjádření pomocí generátorů ve tvaru <br />
<br />
\begin{align*}<br />
T^{(1)} = \exp(i\varphi J_1), \quad T^{(2)} = \exp(i\varphi J_2), \quad T^{(3)} = \exp(i\varphi J_3) \mbox{ , kde } \\<br />
J_1 = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & -i \\<br />
0 & i & 0<br />
\end{matrix}\right) \quad<br />
J_2 = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & i \\<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
-i & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right) \quad<br />
J_3 = \left( \begin{matrix} <br />
0 & -i & 0 \\<br />
i & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right) \quad<br />
\end{align*}.<br />
<br />
Platnost tohoto vyjádření se ověří přímočaře rozepsáním exponenciály do řady. Zde dostaneme první čelen $\unit$ a dále dvě řady (jelikož $J_k^3 = J_k$ pro $\all k$) s lichými a sudými mocninami, které dají siny a cosiny.<br />
<br />
Matice $J_k$ se nazývají generátory rotací kolem osy $k$. Platí vztah $[J_i,J_k]=i\epsilon_{ijk}J_k$. <br />
<br />
<br />
\subsection{Speciální Lorentzovy transformace ("boost")}<br />
<br />
Ze speciální relativity máme transformační vztahy ($c=1$)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
t' = \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}, \quad x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}<br />
\end{align*}<br />
<br />
a platí zde zachování čtyřintervalu: $(t')^2-(x')^2 = t^2 - c^2$. Zavedeme-li nyní označení $ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} \equiv \sinh(\varphi)$ a $ \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \equiv \cosh(\varphi)$, můžeme psát například boost v $x$ jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda^{(01)} = \left( \begin{matrix} <br />
\cosh(\varphi) & -\sinh(\varphi) & 0 & 0 \\<br />
-\sinh(\varphi) & \cosh(\varphi) & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Obdobně je tomu pro boosty v $y$ a $z$. I zde můžeme použít vyjádření pomocí generátorů, tedy $\Lambda^{(0j)} = \exp(-i\varphi I_{0j})$, kde například <br />
<br />
\begin{align*}<br />
I_{01} = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Obecná parametrizace Lorentzovy transformace}<br />
<br />
Obecnou Lorentzovu transformaci (rotace + boosty) můžeme zapsat jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda = \exp(i\varphi_1 G_1 + \ldots i\varphi_6 G_6),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $G_i$ jsou jsou maticové generátory transformace. Pro \textit{infinitesimální} transformaci pak platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + \Delta {\omega^\mu}_\nu,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\Delta {\omega^\mu}_\nu$ jsou malé parametry. Platí:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda = \unit - \frac{i}{2} \Delta \omega^{\alpha \beta} I_{\alpha \beta},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\Delta \omega^{\alpha \beta} = \Delta {\omega^\alpha}_\nu g^{\nu \beta}$ a $I_{\alpha \beta}$ vhodné maticové generátory. Tento vztah nyní dokážeme a najdeme generátory.<br />
<br />
Budeme potřebovat obecnou vlastnost Lorentzovy transformace zvanou \textit{pseudoortogonalita}. Odvodíme ji z toho, že pro $x' = \Lambda x$ má platit $(x')^2 = x^2$. Upravíme levou stranu: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(x')^2 = g_{\mu \nu} x'^\mu x'^\nu = g_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho x^\rho {\Lambda^\nu}_\sigma x^\sigma = <br />
g_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda^\nu}_\sigma x^\rho x^\sigma = <br />
g^{\mu \nu} \Lambda_{\mu \rho} \Lambda_{\nu \sigma} x^\rho x^\sigma.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Porovnáním s pravou stranou $x^2 = g_{\rho \sigma} x^\rho x^\sigma$ dostáváme relaci pseudoortogonality<br />
<br />
\begin{align*}<br />
g^{\mu \nu} \Lambda_{\mu \rho} \Lambda_{\nu \sigma} = g_{\rho \sigma}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z této relace dostaneme pro infinitesimální transformaci vztah<br />
<br />
\begin{align*}<br />
& g^{\mu \nu} (g_{\nu \rho} + \Delta \omega_{\nu \rho})(g_{\mu \sigma} + \Delta \omega_{\mu \sigma}) = [\mbox{ zanedbáme člen druhého řádu malosti }] = \\<br />
& = g^{\mu \nu}(g_{\nu \rho}g_{\mu \sigma} + g^{\mu \nu} g_{\nu \rho} \Delta \omega_{\mu \sigma} + g^{\mu \nu} \Delta \omega_{\nu \rho} g_{\mu \sigma} = g_{\rho \sigma} + \Delta \omega_{\rho \sigma} + \Delta \omega_{\sigma \rho} = g_{\rho \sigma}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dostáváme tedy podmínku na koeficienty<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Delta \omega_{\rho \sigma} = -\Delta \omega_{\sigma \rho}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pokud nyní zvolíme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
{({I_{\alpha \beta}})^\mu}_\nu = i({g^\mu}_\alpha g_{\beta \nu} - {g^\mu}_\beta g_{\alpha \nu}),<br />
\end{align*}<br />
<br />
dostaneme s využitím antisymetrie koeficientů vztah ${\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + \Delta {\omega^\mu}_\nu$, což jsme chtěli dokázat.<br />
<br />
Explicitně můžeme psát generátory: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
K_1 &\equiv I_{01} = -i \left( \begin{matrix} <br />
0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
K_2 \equiv I_{02} = -i \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
K_3 \equiv I_{03} = -i \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
1 & 0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right), \\<br />
J_1 &\equiv I_{23} = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & -1 & 0<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
J_2 \equiv I_{31} = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & -1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
J_3 \equiv I_{12} = \left( \begin{matrix} <br />
0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & -1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0<br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*} <br />
<br />
Platí komutační relace<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[I_{\mu \nu}, I_{\rho \sigma}] = i(g_{\mu\sigma} I_{\nu \rho}+ g_{\nu\rho} I_{\mu \sigma} - g_{\mu\rho} I_{\nu \sigma} - g_{\nu\sigma} I_{\mu \rho}),<br />
\end{align*}<br />
<br />
což se dá jinak zapsat jako<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[J_j,J_k] = i\epsilon_{jkl}J_l, \quad [J_j,K_k] = i\epsilon_{jkl}K_l, \quad [K_j,K_k] = -i\epsilon_{jkl}J_l.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Invariance Doracovy rovnice}<br />
<br />
Máme Diracovu rovnici v kovariantním tvaru <br />
<br />
\begin{align*}<br />
i \ga^\mu \pd{\psi}{x^\mu} - m \psi = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní přejdeme do jiného inerciálního systému transformací souřadnic $x' = \Lambda x$. Ptáme se, zda existuje matice $S(\Lambda)$ taková, že pokud transformujeme $\psi(x) \mapsto \psi'(x') = S(\Lambda) \psi(x)$, bude $\psi'(x')$ splňovat Diracovu rovnici. Matice $S(\Lambda)$ přitom už nesmí být závislá na souřadnicích.<br />
<br />
Vyjádříme si $\psi(x) = S^{-1} \psi'(x')$ a dosadíme do Diracovy rovnice.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i \ga^\mu \pd{}{x^\mu}(S^{-1} \psi'(x')) - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\<br />
i \ga^\mu S^{-1}\pd{\psi'(x')}{x'^\nu}\pd{x'^\nu}{x^\mu} - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\<br />
i \ga^\mu S^{-1}\pd{\psi'(x')}{x'^\nu}\pd{{\Lambda^\nu}_\rho x^\rho}{x^\mu} - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\<br />
S | \quad i \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\rho \pd{\psi'(x')}{x'^\nu}{g^\rho}_\mu - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\<br />
i S \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\mu \pd{\psi'(x')}{x'^\nu} - m \psi'(x') &= 0 \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že abychom dostali Diracovu rovnici, musí matice $S$ vyhovovat podmínce $S \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\mu = \ga^\nu$, kterou můžeme přepsat do tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S \ga^\mu S^{-1} = {\Lambda^\mu}_\nu\ga^\nu.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Hledání S}<br />
<br />
Pro hledání matice $S$ použijeme ansatz, který vychází z tvaru transformační matice $\Lambda = \exp\left( -\frac{i}{2} \omega^{\alpha \beta} I_{\alpha \beta} \right)$, $I_{\alpha \beta} = -I_{\beta \alpha}$. Budeme uvažovat tvar <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S(\Lambda) = \exp\left( -\frac{i}{4} \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} \right),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde čtvrtina ve výrazu je jen konvence a $\sigma_{\alpha \beta} = -\sigma_{\beta \alpha}$ jsou nějaké jiné generátory. Pro infinitesimální transformace pak dostáváme vztahy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S = \unit -\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}, \quad <br />
S^{-1} = \unit +\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Řešíme rovnici $\Lambda^{\mu \nu} \ga_\nu = S^{-1}\ga^\mu S$, kde pro infinitesimální případ je $\Lambda^{\mu \nu} = g^{\mu \nu} + \Delta \omega^{\mu \nu}$. Dosazením tedy dostáváme: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\unit -\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta})\ga^\mu<br />
(\unit +\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}) &= <br />
(g^{\mu \nu} + \Delta \omega^{\mu \nu})\ga_\nu \\<br />
\ga^\mu - \frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}\ga^\mu + \ga^\mu \frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} + O(\Delta^2) &= \ga^\mu + \Delta \omega^{\mu \nu}\ga_\nu \\<br />
\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} (\sigma_{\alpha \beta} \ga^\mu - \ga^\mu \sigma_{\alpha \beta}) &= \Delta \omega^{\mu \beta}\ga_\beta = \Delta \omega^{\alpha \beta} \ga_\beta {g^\mu}_\beta<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní ještě na pravě straně využijeme antisymetrie $\Delta \omega^{\alpha \beta}$ a přepíšeme pravou stranu $\Delta \omega^{\alpha \beta} \ga_\beta {g^\mu}_\alpha = \Delta \omega^{\alpha \beta} ({g^\mu}_\alpha \ga_\beta - {g^\mu}_\beta \ga_\alpha )$. Celkově z rovnice dostáváme podmínku (zvýšení indexů, otočení komutátoru)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] = 2i(g_{\alpha \mu} \ga_\beta - g_{\beta \mu} \ga_\alpha), \quad \mu = 0,1,2,3.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jedná se o soustavu 64 rovnic pro 16 neznámých pro každou volbu $\alpha$ a $\beta$. Nyní bychom chtěli najít nějaké řešení. Rozebereme rovnici pro případ $(\alpha \beta) = (01)$, pak máme rovnici $[\ga_\mu, \sigma_{01}] = 2i(g_{0 \mu} \ga_1 - g_{1 \mu} \ga_0)$ a konkrétně<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\ga_0, \sigma_{01}] = 2i\ga_1, \quad [\ga_1, \sigma_{01}] = 2i\ga_0, \quad [\ga_2, \sigma_{01}] = 0, \quad [\ga_3, \sigma_{01}]= 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento vztah určitě splní $\sigma_{01} = i\ga_0 \ga_1$. Na základě tohoto zjištění můžeme udělat kvalifikovaný odhad<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sigma_{\alpha \beta} &= i\ga_\alpha \ga_\beta \quad \mbox{ pro } \alpha \neq \beta, \\<br />
\sigma_{\alpha \beta} &= 0 \quad \mbox{ pro } \alpha = \beta,<br />
\end{align*}<br />
<br />
což můžeme souhrnně napsat jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sigma_{\alpha \beta} &= \frac{i}{2}[\ga_\alpha, \ga_\beta].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento předpoklad ověříme s využitím obecného vztahu $[A,BC] = \{A,B\}C - B\{A,C\}$. Případ $\alpha = \beta$ je triviální a proto ověříme pro $\alpha \neq \beta$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] = i[\ga_\mu, \ga_\alpha \ga_\beta] = i( \{\ga_mu,\ga_\alpha \}\ga_\beta - \ga_\alpha\{\ga_\mu \ga_\beta \}) = 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Ještě prozkoumáme jednoznačnost řešení. Uvažujme jiné řešení $\rho_{\alpha \beta}$, a tedy platí rovnice<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\ga_\mu, \rho_{\alpha \beta}] &= 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha), \\<br />
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] &= 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Odečtením rovnic dostaneme vztah $[\rho_{\alpha \beta} - \sigma_{\alpha \beta}, \ga_\mu]$. Jelikož tedy výraz $\rho_{\alpha \beta} - \sigma_{\alpha \beta}$ komutuje se všemi $\ga$-maticemi, musí být násobkem jednotkové matice. Nejednoznačnost řešení je tedy dána jen tím, že můžeme přičíst libovolný násobek $\unit$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Příklad: rotace kolem osy z}<br />
<br />
Transformační matice pro rotaci kolem z (v rovině $(12)$) a její infinitesimální verze mají tvar:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda^{(12)} = \left( \begin{matrix} <br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & \cos(\varphi) & \sin(\varphi) & 0 \\<br />
0 & -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
\Lambda^{(12)}_{inf} = \left( \begin{matrix} <br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 1 & \delta \varphi & 0 \\<br />
0 & -\delta \varphi & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*} <br />
<br />
Jelikož má platit vztah pro infinitesimální transformaci ${{\Lambda_{inf}}^\mu}_\nu = {\delta^\mu}_\nu + {(\Delta \omega)^\mu}_\nu$, dostáváme nenulové členy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
{(\Delta \omega)^1}_2 &= \delta \varphi, \quad {(\Delta \omega)^2}_1 = -\delta \varphi, \\<br />
(\Delta \omega)^{12} &= {(\Delta \omega)^1}_\rho g^{\rho 2} = {(\Delta \omega)^1}_2 g^{2 2} = -\delta \varphi, \\<br />
(\Delta \omega)^{21} &= \ldots = \delta \varphi.<br />
\end{align*} <br />
<br />
Vidíme, že skutečně platí $(\Delta \omega)^{12} = -(\Delta \omega)^{21}$. Infinitesimální transformace vlnové funkce tedy je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S(\Lambda^{(12)})_{inf} = \unit -\frac{i}{4}(-\delta \varphi)\sigma_{12} -\frac{i}{4}(\delta \varphi)\sigma_{21} = [\sigma_{12} = -\sigma_{21}] = \unit + \frac{i}{2}\delta \varphi \sigma_{12}.<br />
\end{align*} <br />
<br />
Za $\sigma_{12}$ dosadíme $i\ga_1 \ga_2$ a vyjádříme výraz ve standardní reprezentaci, tedy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_0 &= \left( \begin{matrix} <br />
\unit & 0 \\<br />
0 & -\unit <br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
\vec\ga = \left( \begin{matrix} <br />
0 & \vec\sigma \\<br />
-\vec\sigma & 0 <br />
\end{matrix}\right), \\<br />
\sigma_{12} &= i\ga_1 \ga_2 = i<br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_1 \\<br />
-\sigma_1 & 0 <br />
\end{matrix}\right)<br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_2 \\<br />
-\sigma_2 & 0 <br />
\end{matrix}\right) = i<br />
\left( \begin{matrix} <br />
-\sigma_1\sigma_2 & 0 \\<br />
0 & \sigma_1\sigma_2 <br />
\end{matrix}\right) = <br />
\left( \begin{matrix} <br />
\sigma_3 & 0 \\<br />
0 & \sigma_3 <br />
\end{matrix}\right) \equiv \Sigma_3,<br />
\end{align*} <br />
<br />
kde jsme využili vztah $\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \unit + i\epsilon_{ijk} \sigma_k$. Nyní si všimneme, že $(\Sigma_3)^2 = \unit$, tedy $(\Sigma_3)^3 = \Sigma_3$ a výpočet $S(\Lambda^{(12)})$ pomocí řady se rozpadne na dva členy. Celkově dostáváme (již transformace pro konečně velké $\varphi$)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S(\Lambda^{(12)}) = \exp(\frac{i}{2} \varphi \Sigma_3) = \cos\left( \frac{\varphi}{2} \right)\unit + i\sin\left( \frac{\varphi}{2} \right)\Sigma_3.<br />
\end{align*} <br />
<br />
Tím jsme tedy našli transformaci Diracova spinoru ("bispinoru") při rotaci kolem osy z.<br />
<br />
<br />
\subsection{Příklad: Boost ve směru x}<br />
<br />
Transformační matice pro boost ve směru x (v "rovině" $(01)$) a její infinitesimální verze mají tvar:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda^{(12)} = \left( \begin{matrix} <br />
\cosh(\varphi) & -\sinh(\varphi) & 0 & 0 \\<br />
-\sinh(\varphi) & \cosh(\varphi) & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right), \quad<br />
\Lambda^{(12)}_{inf} = \left( \begin{matrix} <br />
1 & -\delta\varphi & 0 & 0 \\<br />
-\delta\varphi & 1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1<br />
\end{matrix}\right),<br />
\end{align*} <br />
<br />
kde $\cosh(v) = \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}$ a $\sinh(v) = \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}$. Dále tedy máme (vše analogicky předchozímu příkladu):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
{(\Delta \omega)^0}_1 &= -\delta \varphi, \quad {(\Delta \omega)^1}_0 = -\delta \varphi, \\<br />
(\Delta \omega)^{01} &= {(\Delta \omega)^0}_\rho g^{\rho 1} = {(\Delta \omega)^0}_1 g^{11} = \delta \varphi, \\<br />
(\Delta \omega)^{10} &= {(\Delta \omega)^1}_\rho g^{\rho 0} = {(\Delta \omega)^1}_0 g^{00} = -\delta \varphi, \\<br />
\sigma_{01} &= i\ga_0 \ga_1 = i<br />
\left( \begin{matrix} <br />
\unit & 0 \\<br />
0 & -\unit <br />
\end{matrix}\right)<br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_1 \\<br />
-\sigma_1 & 0 <br />
\end{matrix}\right) = <br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_1 \\<br />
\sigma_1 & 0 <br />
\end{matrix}\right),\\<br />
S(\Lambda^{(01)}) &= \exp\left(\frac{i}{2} \varphi <br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_1 \\<br />
\sigma_1 & 0 <br />
\end{matrix}\right)<br />
\right) = \cos\left( \frac{\varphi}{2} \right)\unit + i\sin\left( \frac{\varphi}{2} \right)<br />
\left( \begin{matrix} <br />
0 & \sigma_1 \\<br />
\sigma_1 & 0 <br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsection{Prostorová inverze}<br />
<br />
Tato transformace nemá žádná spojitý parametr a její transformační matice je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Lambda_P = \left( \begin{matrix} <br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & -1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & -1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & -1<br />
\end{matrix}\right).<br />
\end{align*} <br />
<br />
Označení $P$ vychází z názvu parita. Máme zde opět rovnici $S^{-1}\ga^\mu S = {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu$. To zde konkrétně znamená <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S^{-1}\ga^0 S &= \ga^0 \quad \lra \quad \ga^0 S = S \ga^0, \\<br />
S^{-1}\ga^k S &= -\ga^k \quad \lra \quad \ga^k S = -S \ga^k.<br />
\end{align*} <br />
<br />
Vidíme že kandidátem na řešení je $S = \mbox{konst}\cdot \ga^0$. Pro ověření jednoznačnosti opět předpokládáme dvě řešen $S$ a $R$ a musí platit:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S^{-1}\ga^0 S &= R^{-1}\ga^0 R \quad \lra \quad RS^{-1}\ga^0 = \ga^0 RS^{-1}, \\<br />
S^{-1}\ga^k S &= R^{-1}\ga^k R \quad \lra \quad RS^{-1}\ga^k = \ga^k RS^{-1},<br />
\end{align*} <br />
<br />
a tedy $RS^{-1} = \mbox{konst}\cdot \unit \ra S = \mbox{konst}\cdot \ga^0$. Transformace vlnové funkce tedy je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_P(x) = \ga^0 \psi(x_0, -\vec x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsection{Důležitá vlastnost S: $S^{-1} = \ga^0 S^\dagger \ga^0$}<br />
<br />
Máme vyjádření <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S = \Exp{-\frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}}, \quad <br />
S^{-1} = \Exp{\frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}} \equiv \Exp{i\Omega} = <br />
\unit + \frac{-i}{1!}\Omega + \frac{(-i)^2}{2!}\Omega^2 + \ldots,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme si označili $\Omega \equiv \frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}$. Pro určení $S^\dagger$ si napřed upravíme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\sigma_{\alpha \beta})^\dagger = (i\ga_\alpha \ga_\beta)^\dagger = -i\ga_\beta^\dagger \ga_\alpha^\dagger = -i\ga_0 \ga_\beta \ga_0 \ga_0 \ga_\alpha \ga_0 = [\alpha \neq \beta] = i\ga_0 \ga_\alpha \ga_\beta \ga_0 = \ga_0 \sigma_{\alpha \beta} \ga_0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Odtud tedy dostáváme $\Omega^\dagger = \frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}^\dagger = \ga_0 \Omega \ga_0$. Výsledně potom spočteme $S^\dagger$ jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
S^\dagger = \unit + \frac{i}{1!}\Omega^\dagger + \frac{i^2}{2!}(\Omega^2)^\dagger + \ldots = <br />
\ga_0 \ga_0 + \frac{i}{1!}\ga_0 \Omega \ga_0 + \frac{i^2}{2!}\ga_0 \Omega^2\ga_0 + \ldots = \ga_0 S^{-1} \ga_0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Vsuvka: kovariantní bilineární formy}<br />
<br />
Pro bispinor $\psi$ (tedy $\psi'(x') = S\psi(x)$, $S^{-1}\ga^\mu S = {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu$) platí:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\bpsi(x)\psi(x)$ je skalár (S),<br />
\item $\bpsi(x)\ga^\mu \psi(x)$ je vektor (čtyřvektor) (V),<br />
\item $\bpsi(x)\ga^\mu\ga^\nu\psi(x)$ je tenzor (T),<br />
\item $\bpsi(x)\ga_5\psi(x)$ je pseudoskalár (A),<br />
\item $\bpsi(x)\ga^\mu \ga_5\psi(x)$ je pseudovektor (P),<br />
\end{itemize}<br />
<br />
kde $\bpsi = \psid \ga_0$ (Diracova konjugace) a vlastnosti jsou vůči Lorentzovým transformacím a v závorce je uvedena obecná notace pro danou formu. Důkaz ukážeme jen pro některé případy.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\bpsi'(x')\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0 \psi'(x') = \psid(x)S^\dagger \ga_0 S \psi(x) =<br />
\psid(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_0 S \psi(x) = \psid(x)\ga_0 S^{-1} S \psi(x) = \\<br />
&= \bpsi(x) \psi(x) \\<br />
&\bpsi'(x')\ga^\mu\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0\ga^\mu \psi'(x') = \psid(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_\mu S \psi(x) =<br />
\bpsi(x) S^{-1} \ga_\mu S \psi(x) = \\<br />
&= \bpsi(x) {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu \psi(x) = {\Lambda^\mu}_\nu \bpsi(x) \ga^\nu \psi(x) \\<br />
&\bpsi'(x')\ga_5\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0\ga_5 \psi'(x') = \psid(x)S^\dagger \ga_0 \ga_5 S \psi(x) =<br />
\bpsi(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_5 S \psi(x) = \\<br />
&= \bpsi(x)S^{-1} \ga_5 S \psi(x) = \left\{ <br />
\begin{array}{ll}<br />
\bpsi \ga_5 \psi \quad \mbox{pro spojité transformace} \\<br />
-\bpsi \ga_5 \psi \quad \mbox{pro prostorovou inverzi} <br />
\end{array} \right.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Jako příklad můžeme vzít \textbf{rovnici kontinuity} pro Diracovu rovnici:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\pd{\rho}{t} + \mbox{div} \vec j = 0 \quad \mbox{, kde } \rho = \psid \psi, \vec j = \psid \vec\alpha \psi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tu můžeme přepsat jako<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\parc_0(\psid \psi) + \parc_j(\psid \alpha^j \psi) &= 0 \\<br />
\parc_0(\bpsi \ga_0 \psi) + \parc_j(\bpsi \ga^j \psi) &= 0 \\<br />
\parc_\mu(\bpsi \ga^\mu \psi) &= 0.<br />
\end{align*} <br />
<br />
<br />
\subsection{Některé známé vlastnosti Lorentzovy transformace}<br />
<br />
Ukážeme, že metrický tenzor $g^{\mu \nu}$ je tenzorem vůči Lorentzovým transformacím. Zavedeme si maticové označení <br />
<br />
\begin{align*}<br />
x'_\mu = {\Lambda_\mu}^\sigma x_\sigma \quad &\ra \quad \overline \Lambda = ({\Lambda_\mu}^\sigma) \\<br />
x'^\mu = {\Lambda^\mu}_\rho x^\rho \quad &\ra \quad \Lambda^T = ({\Lambda^\mu}_\rho).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vyjdeme ze zachování čtyřintervalu $x'^\mu x'_\mu = x^\rho x_\rho$, tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
{\Lambda^\mu}_\rho x^\rho {\Lambda_\mu}^\sigma x_\sigma &= \delta_\rho^\sigma x^\rho x_\sigma \mbox{ , tedy} \\<br />
{\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda_\mu}^\sigma &= \delta_\rho^\sigma.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Z maticového vyjádření pak máme $\Lambda^T \overline \Lambda = \unit \ra \overline \Lambda \Lambda^T = \unit$, a tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
{\Lambda_\mu}^\sigma {\Lambda^\nu}_\sigma &= {g_\mu}^\nu \\<br />
{\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda^\nu}_\sigma g^{\sigma \rho} &= g^{\mu \nu},<br />
\end{align*}<br />
<br />
což je vztah pro transformaci tenzoru druhého řádu.<br />
<br />
Dále platí ${\Lambda_\mu}^\nu = g_{\mu \rho} {\Lambda^\rho}_\sigma g^{\sigma \nu}$, což je maticově $\overline \Lambda = g \Lambda g$, a tedy máme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\det(\Lambda^T g \Lambda g ) &= \det(\Lambda^T \overline \Lambda ) = \det(\unit) = 1, \\<br />
(\det(\Lambda))^2 &= 1.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Determinant $\Lambda$ je tedy $\pm1$. Hodnota $-1$ je pro prostorovou inverzi a $+1$ pro spojité Lorentzovy transformace.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Stopa součinu Diracových $\ga$-matic $Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega)$ je tenzor vůči Lorentzovým transformacím, jelikož:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega) = Tr(SS^{-1}\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega) = <br />
Tr(S^{-1}\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega S) = \\<br />
& = Tr(S^{-1}\ga^\mu SS^{-1}\ga^\nu SS^{-1} \ldots SS^{-1} \ga^\lambda SS^{-1} \ga^\omega S) = <br />
Tr({\Lambda^\mu}_\alpha \ga^\alpha {\Lambda^\nu}_\beta \ga^\beta \ldots {\Lambda^\omega}_\delta \ga^\delta) = \\<br />
&= {\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda^\nu}_\beta {\Lambda^\omega}_\delta Tr(\ga^\alpha \ga^\beta \ldots \ga^\delta)<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Příkladem pseudotenzoru je Levi-Civitův symbol $\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$, který je antisymetrický ve všech indexech. Konvence je $\epsilon_{0123} = 1$, a tedy $\epsilon^{0123} = -1$. <br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ga_5) &= 0,\\<br />
Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ga^\rho \ga^\sigma \ga_5) &= 4i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Řešení Diracovy rovnice pro volnou částici}<br />
<br />
Máme Diracovu rovnici $(i\ga^\mu \parc_\mu - m)\psi = 0$ a použijeme ansatz řešení <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{(+)}(x) = u(p)e^{-ipx}, \quad \psi_{(-)}(x) = v(p)e^{ipx}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dosazením dostaneme rovnice <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\ga^\mu p_\mu - m)u(p)=0, \quad (\ga^\mu p_\mu + m)v(p)=0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zavedeme Feynmanovo označení "slash": $p_\mu \ga^\mu = \psl$, kde místo $p$ může být libovolný jiný čtyřvektor. Potom rovnice budeme psát jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\psl - m)u(p)=0, \quad (\psl + m)v(p)=0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
pro další postup se nám bude hodit upravit $\psl \psl$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psl \psl &= p_\mu \ga^\mu p_\nu \ga^\nu = p_\mu p_\nu \left( \pol \{ \ga^\mu, \ga^\nu \} + \pol [\ga^\mu, \ga^\nu] \right) = \\<br />
&= [\mbox{ antikomutátor se vysčítá na 0 díky symetrickému výrazu }p_\mu p_\nu] = \\ <br />
&= \pol p_\mu p_\nu 2 g^{\mu \nu} = p_\mu p^\mu = p^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní trochu prozkoumáme čtyřvektor $p$. Určitě platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
0&=(\psl+m)(\psl - m)u(p) = (\psl \psl - m^2)u(p) = (p^2 - m^2)u(p) \mbox{, tedy }\\<br />
p_0^2-\vec p^2 &= m^2 \quad \ra \quad p_0=\pm \sqrt{\vec p^2+m^2}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Konvenčně zvolíme $\quad p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$ a potom podle vztahů<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\parc_0 \psi_{(+)} &= p_0 \psi_{(+)}, \\<br />
i\parc_0 \psi_{(-)} &= -p_0 \psi_{(-)}<br />
\end{align*}<br />
<br />
vidíme, že $\psi_{(+)}$ je řešení s kladnou a $\psi_{(-)}$ řešení se zápornou energií.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Částice v klidu}<br />
<br />
Mějme $p=(p_0,\vec 0)=(m,\vec 0)$, a tedy $\psl = p_0 \ga^0 = m \ga^0$. Potom naše rovnice přejdou na tvar <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\ga_0-\unit)u(m,\vec 0)=0, \quad (\ga_0 + \unit)v(m,\vec 0)=0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dosadíme $\ga_0$ ve standardní reprezentaci: $\ga_0 = \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right)$ a dostaneme rovnice <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right) - \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)\right)u(m,\vec 0) = -2\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)u(m,\vec 0) = 0, \quad 2\left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)v(m,\vec 0)=0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
ze kterých dostáváme řešení <br />
<br />
\begin{align*}<br />
u(m,\vec 0) &= \left( \begin{matrix} \varphi^{(r)} \\ 0 \end{matrix}\right) \mbox{ , kde } r=1,2 \quad \varphi^{(1)} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \varphi^{(2)} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right), \\<br />
v(m,\vec 0) &= \left( \begin{matrix} 0 \\ \chi^{(r)} \end{matrix}\right) \mbox{ , kde } r=1,2 \quad \chi^{(1)} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \chi^{(2)} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Zkratka k řešení pro $\vec p \neq \vec 0$}<br />
<br />
Pro obecnou čtyřhybnost $p=(p_0,\vec p)$ platí ve standardní reprezentaci <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psl &= p_\mu \ga^\mu = \maticedvadva{p_0}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní použijeme trik, respektive ansatz a budeme psát řešení ve tvaru <br />
<br />
\begin{align*}<br />
u(p) = N(\psl + m)u(p_0,\vec 0), \quad v(p) = N(\psl - m)v(p_0,\vec 0),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $N$ je nějaká normalizační konstanta. Dosazením za $\psl$ dostaneme tvar řešení ($p_0 = E$)<br />
<br />
\begin{align*}<br />
u(p) &= N(\psl + m)u(p_0,\vec 0) = N\maticedvadva{p_0+m}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{0} = N(p_0+m)\vektordva{\varphi^{(r)}}{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\varphi^{(r)}}, \\<br />
v(p) &= -N(p_0+m)\vektordva{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\chi^{(r)}}{\chi^{(r)}}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že pro $|\vec p| << m$ je dolní komponenta $u$, respektive horní komponenta $v$ zanedbatelně malá oproti druhé.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Normalizace $u(p)$ a $v(p)$}<br />
<br />
Normalizaci si konvenčně zvolíme tak, že $\bu(p)u(p)=2m$ a $\bv(p)v(p)=-2m$. (Pruh značí Diracovu konjugaci, tedy Hermitovské sdružení a násobení $\ga_0$.) Určíme tedy normalizační konstantu (označíme $u(0) \equiv u(p_0,\vec 0)$):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\bu(p)u(p) &= u(p)^\dagger \ga_0 u(p) = [ N \mbox{ bereme reálné } ] = N^2u^\dagger(0)(\psl + m)^\dagger \ga_0 (\psl+m)u(0) = \\<br />
&= [\mbox{ konjugace $\ga$-matic }] = N^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)\ga_0 \ga_0 (\psl+m)u(0) = \\<br />
&= N^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)^2 u(0) = N^2u^\dagger(0)\ga_0(m^2 + 2m\psl +m^2) u(0) = \\<br />
&= 2mN^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)u(0) = \\<br />
&= 2mN^2\vektordvahor{\varphi^{(r')\dagger}}{0} \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}\maticedvadva{p_0+m}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{0} = \\<br />
&= 2mN^2 \vektordvahor{\varphi^{(r')\dagger}}{0} \vektordva{(p_0+m)\varphi^{(r)}}{-\vec \sigma\cdot \vec p \varphi^{(r)}} = 2mN^2\varphi^{(r')}\varphi^{(r)} = 2mN^2(E+m)\delta_{r,r'}, \\<br />
\bv(p)v(p) &= \ldots = -2mN^2(E+m)\delta_{r,r'}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Odtud tedy dostáváme výsledek: $N=\rec{\sqrt{E+m}}$. Nyní můžeme zapsat $u$ a $v$ ve výsledné podobě<br />
<br />
\begin{align*}<br />
u^{(r)}(p) =\sqrt{p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\varphi^{(r)}}, \quad <br />
v^{(r)}(p) =-\sqrt{p_0+m}\vektordva{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\chi^{(r)}}{\chi^{(r)}}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Ještě prozkoumáme význam indexu $r$. Platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
u^{(1)}(0) =\vektorctyri{1}{0}{0}{0}, \quad u^{(2)}(0) =\vektorctyri{0}{1}{0}{0}, \quad \Sigma_3 \equiv \maticedvadva{\sigma_3}{0}{0}{\sigma_3}, \\<br />
\Sigma_3 u^{(1)}(0) = u^{(1)}(0), \quad \Sigma_3 u^{(2)}(0) = -u^{(2)}(0),<br />
\end{align*}<br />
<br />
a tedy $r$ rozlišuje projekci spinu v klidovém systému. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Popis spinových stavů Diracovy částice}<br />
<br />
Operátor $\Sigma_3$ je jen speciální volba - operátor projekce spinu do osy $z$ v klidové soustavě. Obecně máme operátor projekce spinu do libovolného směru $\vec s \vec \Sigma$, kde $\vec s$ je nějaký jednotkový vektor ($|\vec s| = 1$). Pro $\Sigma_3$ je $\vec s = (0,0,1)$. I operátor $\vec s \vec \Sigma$ má vlastní hodnoty $\pm 1$ a pro každou volbu $\vec s$ existují vlastní stavy $u(0,+)$ a $u(0,-)$, pro které platí<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec s \vec \Sigma u(0,+) = u(0,+), \quad \vec s \vec \Sigma u(0,-) = -u(0,-) \ra -\vec s \vec \Sigma u(0,-) = u(0,-).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro tyto vlastní stavy zavedeme označení $u(0,+) \equiv u(0,\vec s) $ a $ u(0,-) \equiv u(0,- \vec s)$.<br />
<br />
Nyní budeme chtít popsat spin pro částici s obecným čtyřimpulsem $p=(p_0,\vec p)$. Uděláme to tak, že vyjdeme z klidového systému, kde $p^{(0)} = (m,\vec 0)$ a použijeme Lorentzovu transformaci $p=\Lambda(-\vec v)p^{(0)}$. Řešení Diracovy rovnice se pak bude transformovat jako $u(p) = S(-\vec v)u(0,\vec s)$. (Dále budeme značit $u(0,\vec s) \equiv u(0)$.)<br />
<br />
Pro další úpravu využijeme identitu $\vec \Sigma = \ga_5 \vec \alpha$. Její platnost ověříme jen ve standardní reprezentaci, ale ve skutečnosti na reprezentaci nezávisí. Máme tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_5 \vec \alpha = i\ga^0\ga^1\ga^2\ga^3 \vec \alpha = \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} \maticedvadva{0}{\vec \sigma}{\vec \sigma}{0} = \maticedvadva{\vec \sigma}{0}{0}{\vec \sigma} = \vec \Sigma. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále si vyjádříme $\Sigma^l$ pomocí koeficientů ze vztahu $S(\Lambda) = \exp\left( -\frac{i}{4} \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} \right)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\sigma^{jk} = \frac{i}{2}[\ga^j,\ga^k] = \epsilon^{jkl}\Sigma^l \quad \ra \quad \Sigma^l = \pol \epsilon^{lrs} \sigma^{rs}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vztah se snadno odvodí ve standardní reprezentaci a díky invarianci rovnic vůči podobnostní transformaci platí obecně. (Polovina ve vyjádření $\Sigma^l$ je z toho, že se vždy sečtou dva členy díky antisymetrii $\epsilon$ a antisymetrii $\sigma^{rs}$.) <br />
<br />
Nyní můžeme začít upravovat:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec s \vec \Sigma u(0) &= u(0), \\<br />
\ga_5 \vec s \vec \alpha u(0) &= u(0), \\<br />
\ga_5 \vec s \ga_0 \vec \ga u(0) &= u(0), \\<br />
-\ga_5 \vec s \vec \ga \ga_0 u(0) &= u(0). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Využijeme vztahu $(\psl^{(0)}-m)u(0) = 0 \ra (m\ga_0-m)u(0) = 0 \ra \ga_0 u(0) = u(0)$ a dostáváme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
-\ga_5 \vec s \vec \ga u(0) &= u(0). \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní definujeme $s(0) \equiv (0,\vec s)$ (čtyřvektor spinu v klidové soustavě), a tedy $\ssl^{(0)} = -\vec s \vec \ga$ a rovnice je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_5 \ssl^{(0)} u(0) &= u(0). \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní vztah vyjádříme pomocí $u(p) = S(-\vec v)u(0)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_5 \ssl^{(0)} S^{-1}(-\vec v) u(0) &= S^{-1}(-\vec v) u(0), \quad S^{-1}(-\vec v) = S(\vec v) \\<br />
\ga_5 \ssl^{(0)} S(\vec v) u(0) &= S(\vec v) u(0), \\<br />
S^{-1}(\vec v) \ga_5 \ssl^{(0)} S(\vec v) u(0) &= u(0), \quad [S(\vec v),\ga_5]=0\\<br />
\ga_5 S^{-1}(\vec v) s_\mu^{(0)} \ga^\mu S(\vec v) u(0) &= u(0), \quad S^{-1}(\vec v) \ga^\mu S(\vec v) = {\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu \ga^\nu \\<br />
\ga_5 {\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu \ga^\nu s_\mu^{(0)} u(0) &= u(0).<br />
\end{align*}<br />
<br />
V maticovém vyjádření můžeme psát<br />
<br />
\begin{align*}<br />
({\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu s_\mu^{(0)}) = \Lambda^T(\vec v)s^{(0)} = [\Lambda^T(\vec v) = \overline\Lambda^{-1}(\vec v) = \overline\Lambda(-\vec v)] = \overline\Lambda(-\vec v)s^{(0)} = ({\Lambda(-\vec v)_\nu}^\mu s^{(0)}_\mu).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pokud si nyní zadefinujeme $s_\nu(p) \equiv {\Lambda(-\vec v)^\mu}_\nu s^{(0)}_\mu$, dostaneme rovnici <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_5 s_\nu(p) \ga^\nu u(p) &= u(p), \\<br />
\ga_5 \ssl(p) u(p) &= u(p).<br />
\end{align*}<br />
<br />
\textcolor{red}{Je to nějaké divné s těmi znaménky, ale bohužel se mi nepodařilo to z poznámek rozluštit.}<br />
<br />
Výsledně tedy máme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec s \vec \Sigma u(0) = u(0) \quad \ra \quad \ga_5 \ssl(p) u(p) &= u(p) \mbox{ , kde} \\<br />
s(p) = \Lambda(-\vec v) s^{(0)}, \quad p = \Lambda(-\vec v) p^{(0)}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro spinový čtyřvektor platí vztahy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
p\cdot s(p)=0, \quad s^2 = -1. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Snadno to ověříme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
p^{(0)}\cdot s^{(0)} = (m,\vec 0)\cdot (0,\vec s) = 0, \\<br />
(s^{(0)})^2 = (0,\vec s)^2 = 0-|\vec s|^2 = -1<br />
\end{align*}<br />
<br />
a pro mimo klidovou soustavu vztah platí ze zachování skalárního součinu při Lorentzových transformacích. <br />
<br />
Ukážeme, že výrazy $\ga_5 \ssl(p)$ a $\psl$ spolu komutují:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\psl, \ga_5 \ssl(p)] &= \psl \ga_5 \ssl(p) - \ga_5 \ssl(p) \psl = -\ga_5 (\psl \ssl(p) + \ssl(p) \psl) =<br />
-\ga_5 (p_\mu \ga^\mu s_\nu \ga^\nu - s_\nu \ga^\nu p_\mu \ga^\mu) = \\<br />
&= -\ga_5 p_\mu s_\nu \{ \ga^\mu,\ga^\nu \} = <br />
-\ga_5 p_\mu s_\nu 2 g^{\mu \nu} = -\ga_5 2 p\cdot s(p) = 0. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní definujeme $\Sigma(s) \equiv \pol (1+\ga_5 \ssl)$ a ukážeme, že se jedná o projektor a v tom smyslu, že $(\Sigma(s))^2 = \Sigma(s)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\Sigma(s))^2 = \rec{4} (1+\ga_5 \ssl)^2 = \rec{4} (1 + 2\ga_5 \ssl + \ga_5 \ssl\ga_5 \ssl) = \rec{4} (1 + 2\ga_5 \ssl + (-1)(-1)) = \Sigma(s).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Nábojová konjugace}<br />
<br />
Nábojová konjugace je popsána transformací $\psi'(x) = A\psi^*(x)$ a nyní nás bude zajímat, zda existuje nesingulární matice $A$ taková, že $\psi'(x)$ je opět řešením Diracovy rovnice<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\ga^\mu \parc_\mu \psi - m\psi &= 0, \quad |^* \\<br />
-i\ga^{\mu *} \parc_\mu \psi^* - m\psi^* &= 0, \\<br />
A| \quad -i\ga^{\mu *} A^{-1} \parc_\mu \psi' - mA^{-1} \psi' &= 0, \\<br />
-iA \ga^{\mu *} A^{-1} \parc_\mu \psi' - m\psi' &= 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
odkud dostáváme podmínku $-A \ga^{\mu *} A^{-1} = \ga^\mu$, neboli $-\ga^{\mu *} = A^{-1} \ga^\mu A$. Ve standardní reprezentaci jsou $\ga^0, \ga^1, \ga^3$ reálné a $\ga^2$ ryze imaginární. Dostáváme tedy vztahy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga^2 = A^{-1} \ga^2 A, \quad -\ga^\mu = A^{-1} \ga^\mu A \mbox{ pro } \mu = 0,1,3.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tyto vztahy splníme volbou $A = i\ga^2$. Pokud ještě upravíme $\psi^* = (\psid)^T$ a zavedeme matici $C \equiv A \ga^0$ (to platí ve všech reprezentacích), můžeme přepsat $\psi'$ jako<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi' \equiv \psi_C = A\ga^0 \ga^0 (\psid)^T = C\bpsi^T.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Ukážeme některé vlastnosti matice $C$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
-\ga^{\mu *} &= A^{-1} \ga^\mu A = (C\ga^0)^{-1} \ga^\mu C\ga^0, \\<br />
-\ga^{\mu *} &= \ga^0 C^{-1} \ga^\mu C\ga^0, \\<br />
-\ga^0\ga^{\mu *}\ga^0 &= C^{-1} \ga^\mu C, \\<br />
-\ga^0(\ga^0 \ga^\mu \ga^0)^T \ga^0 &= C^{-1} \ga^\mu C, \\<br />
-\ga^{\mu T} &= C^{-1} \ga^\mu C.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Tento vztah představuje vnitřní symetrii Diracovy rovnice. Ve standardní reprezentaci dále platí <br />
<br />
\begin{align*}<br />
-C = C^{-1} = C^T = C^\dagger. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Vše jsme odvozovali pro $u(p,s)$. K $v(p,s)$ přejdeme pomocí nábojové konjugace vztahem $u(p,s) = C(\bu(p,s))^T$. Ukážeme, že když $\ga_5 \ssl u(p,s) = u(p,s)$, pak $\ga_5 \ssl v(p,s) = v(p,s)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\ga_5 \ssl u(p,s) &= u(p,s), \\<br />
u^\dagger(p,s) \ssl^\dagger \ga_5 &= u^\dagger(p,s) , \\<br />
\bu(p,s) \ssl \ga_0 \ga_5 &= \bu(p,s) \ga_0, \\<br />
(-1)^2\bu(p,s) \ga_5 \ssl \ga_0 &= \bu(p,s) \ga_0, \\<br />
\bu(p,s) \ga_5 \ssl &= \bu(p,s), \\<br />
\ssl^T \ga_5^T \bu^T &= \bu^T.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Využije předchozí vztah $\ga^{\mu T} = -C^{-1}\ga^\mu C$ a dále upravujeme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
C| \quad -C^{-1} \ssl C \ga_5^T \bu^T &= \bu^T,\\<br />
-\ssl \ga_5^T C \bu^T &= C \bu^T, \\<br />
\ga_5^T \ssl v(p,s) &= v(p,s). \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
Celkově tedy máme stavy $u(p,s)$, $u(p,-s)$, $v(p,s)$ a $v(p,-s)$.<br />
<br />
<br />
\subsection{Projektory pro spin a energii}<br />
<br />
Připomeňme, že ze vztahu $\ga_5 \ssl u(p,s) = u(p,s)$ plyne $\pol (\unit + \ga_5 \ssl) u(p,s) \equiv \Sigma(s)u(p,s) = u(p,s)$, kde $\Sigma(s)$ je projektor ($(\Sigma(s))^2 = \Sigma(s)$). Zavedeme ještě další projektory:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\psl - m)u = 0 \quad \ra \quad \pol \left( 1+\frac{\psl}{m} \right)u = 0 \quad \mbox{, tedy } \quad \frac{m+\psl}{2m}u \equiv \Lambda_+ u = u, \\<br />
(\psl + m)v = 0 \quad \ra \quad \pol \left( 1-\frac{\psl}{m} \right)v = 0 \quad \mbox{, tedy } \quad \frac{m-\psl}{2m}v \equiv \Lambda_- v = v.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Skutečně se jedná o projektory ($(\Lambda_\pm)^2 = \Lambda_\pm$) a platí vztahy $[\Lambda_\pm,\Sigma(s)]=0$ a $[\Lambda_\pm,\Sigma(-s)] = 0$. Definujeme další projektory:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
P_1 = \Lambda_+ \Sigma(s), \quad P_2 = \Lambda_+ \Sigma(-s), \quad P_3 = \Lambda_- \Sigma(s), \quad P_4 = \Lambda_- \Sigma(-s), <br />
\end{align*}<br />
<br />
pro které platí $P_j P_k = \delta_{jk} P_k$. Jedná se tedy o vzájemně ortogonální projektory. Dále pro ně platí relace $P_j^\dagger = \ga_0 P_j \ga_0$ a $\sum_{j=1}^4 P_j = \unit$. Jejich vlastní stavy už známe:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
P_1 u(p,s) = u(p,s), \quad P_2 u(p,-s) = u(p,-s), \quad P_3 v(p,s) = v(p,s), \quad P_4 v(p,-s) = v(p,-s). \quad <br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále je možné dokázat vztahy (velmi důležité ve výpočtech!):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
u(p,s)\bu(p,s) &= (\psl + m)\frac{1+\ga_5 \ssl}{2}, \\ <br />
u(p,-s)\bu(p,-s) &= (\psl + m)\frac{1-\ga_5 \ssl}{2}, \\ <br />
v(p,s)\bv(p,s) &= (\psl - m)\frac{1+\ga_5 \ssl}{2}, \\ <br />
v(p,-s)\bv(p,-s) &= (\psl - m)\frac{1-\ga_5 \ssl}{2}. \\ <br />
\end{align*}<br />
<br />
Okamžitě z nich také vidíme vztahy $\sum_{\pm s}u(p,s)\bu(p,s) = \psl + m$ a $\sum_{\pm s}uvp,s)\bv(p,s) = \psl - m$. <br />
<br />
<br />
\subsection{Helicita}<br />
<br />
Připomeňme, že máme operátor projekce spinu $\vec s \vec \Sigma$, kde $|\vec s| = 1$. Problém je, že obecně $[\psl,\vec s \vec \Sigma] \neq 0$, což se nám nehodí vzhledem k tomu, že naše základní rovnice je $\psl u = m u$. Musíme tedy najít podmínky pro to, aby bylo komutátor nulový.<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[\vec s \vec \Sigma,\psl] &= [\vec s \ga_5 \vec \alpha, p_0 \ga_0 - \vec p \vec \ga] = 0 - [\vec s \ga_5 \ga_0 \vec \ga, \vec p \vec \ga] = -\ga_5 \ga_0 [s^j \ga^j, p^k \ga^k] = -\ga_5 \ga_0 s^j p^k [ \ga^j, \ga^k] = \\<br />
&= -\ga_5 \ga_0 s^j p^k (-2i\sigma^{jk}) = 2i\ga_5 \ga_0 s^j p^k \epsilon^{jkl} \Sigma^l = 2i\ga_5 \ga_0 \epsilon^{jkl} s^j p^k \Sigma^l = \\<br />
&= 2i \ga_5 \ga_0 (\vec s \times \vec p)^l \Sigma^l = 2i \ga_5 \ga_0 (\vec s \times \vec p) \cdot \vec \Sigma<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme, že aby byl komutátor nulový, musí být $\vec p = 0$ nebo $\vec p || \vec s$. Proto volíme $\vec s \equiv \frac{\vec p}{|\vec p|}$, a tedy operátor helicity má tvar $\hat h = \frac{\vec \Sigma \cdot \vec p}{|\vec p|}$. Stavy s helicinou $+1$ označujeme jako pravotočivé (R) a s helicitou $-1$ jako levotočivé (L).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Ekvivalentní popis helicity pomocí spinového čtyřvektoru}<br />
<br />
Kvalifikovaným odhadem zavedeme $s_R(p) = \left( s_R^{(0)},\lambda \frac{\vec p}{|\vec p|}\right)$ a použijeme ansatz $\lambda > 0$. Na $s_R(p)$ máme podmínky: $p\cdot s_R(p)=0$ a $(s_R(p))^2=-1$. Konkrétně tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
p_0 s_R^{(0)} - \lambda \frac{\vec p \vec p}{|\vec p|} = 0 \quad &\ra \quad s_R^{(0)} = \frac{\lambda |\vec p|}{p_0} = \frac{\lambda |\vec p|}{E}, \\<br />
\frac{\lambda^2 |\vec p|^2}{E^2}-\lambda^2 \frac{|\vec p|^2}{|\vec p|^2} = -1 \quad &\ra \quad \lambda = \sqrt{\frac{E^2}{E^2-|\vec p|^2} } = \frac{E}{m}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Celkem tedy máme $s_R(p) = \left( \frac{|\vec p|}{m}, \frac{E}{m}\frac{\vec p}{|\vec p|}\right)$. Potom platí vztahy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\psl-m)u = 0 \quad &\ra \quad \frac{\vec p \vec \Sigma}{|\vec p|}u = \ga_5 \ssl_R u, \\<br />
(\psl+m)v = 0 \quad &\ra \quad \frac{-\vec p \vec \Sigma}{|\vec p|}v = \ga_5 \ssl_R v.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Weilovy rovnice}<br />
<br />
Weilovy rovnice popisují Diracovskou částici s nulovou hmotností. Mají tvar:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\mbox{(I)} \quad i\pd{\psi}{t} &= -i \vec \sigma \psi \quad \mbox{ , respektive } \quad \sigma^\mu \parc_\mu \psi = 0, \\<br />
\mbox{(II)} \quad i\pd{\psi}{t} &= i \vec \sigma \psi \quad \mbox{ , respektive } \quad \tilde \sigma^\mu \parc_\mu \psi = 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme zavedli $(\sigma^\mu) = (\unit, \vec \sigma)$ a $(\tilde \sigma^\mu) = (\unit, -\vec \sigma)$. Tyto rovnice jsou invariantní cůči spojitým Lorentzovým transformacím, ale ne vůči prostorové inverzi a nábojové konjugaci. To je proto, že neexistuje matice $C$ splňující $C^{-1} \sigma_j^* C = \sigma_j$ pro $j=1,2,3$. Existuje však matice, která splní $C^{-1} \sigma_j^* C = -\sigma_j$, a to konkrétně matice $\sigma_2$. ($\sigma_2^{-1} = \sigma_2$ a vztah se jednoduše přímo ověří.) Definujeme tedy:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_P(x) &= \psi(x_0,-\vec x), \\<br />
\psi_C(x) &= \sigma_2 \psi^*(x). <br />
\end{align*}<br />
<br />
Potom platí:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Pokud $\psi$ řeší (I), pak $\psi_P$ řeší (II) a naopak.<br />
\item Pokud $\psi$ řeší (I), pak $\psi_C$ řeší (II) a naopak.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
Pro prostorovou inverzi je to vidět rovnou, pro nábojovou konjugaci se to dá také celkem rozumně ukázat. <br />
<br />
Vidíme tedy, že Weilovy rovnice jsou invariantní vůči CP symetrii ("kombinovaná parita"), ale ne vůči C a P symetriím jednotlivě.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Pro řešení ve tvaru rovinných vln $\psi = u(p)e^{-ipx}$ dostáváme rovnici (pro $m=0$ platí $p_0 = |\vec p|$):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i(-ip_0)u &= \vec\sigma \vec p u, \\<br />
|\vec p| &= \vec\sigma \vec u, \\<br />
\frac{\vec\sigma \vec p}{|\vec p|}u &= u.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme tedy, že řešení Weilových rovnic jsou vlastní stavy helicity. Konkrétně pro řešení s kladnou energií máme pro rovnici (I) řešení s helicitou R (+) a pro rovnici (II) řešení s helicitou L (-).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Časová inverze}<br />
<br />
Časová inverze je popsána transformací $(x_0,\vec x) \mapsto (-x_0,\vec x)$ a tedy $\Lambda_T =\mbox{diag} (-1,1,1,1)$. Nejprve provedeme \textbf{naivní odhad} transformace řešení Diracovy rovnice <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi'(x') = S_T \psi(x) \quad \mbox{ , kde } \quad x'=(-x_0,\vec x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Musíme tedy splnit podmínku $S_T^{-1}\ga^\mu S_T = {\Lambda_T^\mu}_\nu \ga^\nu$. To při daném $\Lambda$ znamená<br />
<br />
\begin{align*}<br />
S_T^{-1}\ga^0 S_T = -\ga^0, \quad S_T^{-1}\ga^k S_T = \ga^k.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nabízí se tedy řešení $S_T = \ga_0 \ga_5$. Takto jsme však našli pouze takzvanou "falešnou" časovou inverzi. Problém je v tom, že při skutečné časové inverzi by se mělo měnit znaménko čtyřimpulsu, a proto musíme požadvat transformaci <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi'(x') = S_T \psi^*(x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Budeme tedy hledat takovou transformaci, aby $\psi'(x')$ splňovalo Diracovu rovnici:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\ga^\mu \pd{\psi}{x^\mu} - m\psi &= 0, \\<br />
-i\ga^{\mu *} \pd{\psi^*}{x^\mu} - m\psi^* &= 0, \\<br />
S_T| \quad -i\ga^{\mu *} S_T^{-1}\pd{\psi'}{x^\mu} - mS_T^{-1} \psi' &= 0, \\<br />
-iS_T \ga^{\mu *} S_T^{-1}\pd{\psi'}{x^\mu} - m \psi' &= 0, \\<br />
-iS_T \ga^{\mu *} S_T^{-1}{\Lambda^\lambda}_\mu \pd{\psi'}{x'^\mu} - m \psi' &= 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
tedy máme podmínku ${\Lambda^\lambda}_\mu S_T \ga^{\mu *} S_T^{-1} = \ga^\lambda$, neboli ${\Lambda^\lambda}_\mu \ga^{\mu *} = S_T^{-1} \ga^\lambda S_T$. Ve standardní reprezentaci, kde je $\ga^2$ ryze imaginární a ostatní $\ga$- matice reálné dostáváme podmínky:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
&\ga^0 = S_T^{-1} \ga^0 S_T, \quad \ga^1 = -S_T^{-1} \ga^1 S_T, \quad \ga^2 = S_T^{-1} \ga^2 S_T, \quad \ga^3 = -S_T^{-1} \ga^3 S_T \mbox{ , tedy} \\<br />
&[S_T,\ga^0] = 0 = [S_T,\ga^2], \quad \{S_T,\ga^1\} = 0 = \{S_T,\ga^3\}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Můžeme tedy brát $S_T = \ga^1 \ga^3$. Shrňme všechny tři diskrétní transformace:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_C(x) &= \ga^2 \psi^*(x_0,\vec x), \\<br />
\psi_P(x) &= \ga_0 \psi(x_0,-\vec x), \\<br />
\psi_T(x) &= \ga^1 \ga^3 \psi(-x_0,\vec x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní ještě můžeme napsat kombinovanou CPT transformaci<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{CPT}(x) &= \ga_5 \psi^*(-x_0,-\vec x).<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Vlnový balík Diracových vln}<br />
<br />
Nejprve budeme uvažovat pouze kladné energie. ($p_0 = \sqrt{|\vec p|^2 + m^2}$) Vlnový balík tedy můžeme napsat jako <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{(+)}(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} b(p,s) u(p,s)e^{-ipx}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Připomeňme že máme vztah pro hustotu pravděpodobnosti $\phi = \psi^\dagger \psi = |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+|\psi_3|^2 + |\psi_4|^2$. ten využijeme k normalizaci - spočítáme $\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x$. Nejprve si však připravíme pomocný výpočet<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int e^{-ipx + iqx} \dif^3 x = e^{-i(p_0 - q_0) x_0} \int e^{-i(\vec p - \vec q) x_0} \dif^3 x = e^{-i(p_0 - q_0) x_0} (2\pi)^3 \delta^3(\vec p - \vec q) = \\<br />
= [\vec p = \vec q \ra p_0 = q_0] = 1(2\pi)^3 \delta^3(\vec p - \vec q).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní můžeme počítat<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x &= <br />
\int \dif^3 x \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \frac{\dif^3 q }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2q_0}} \sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(q,s')u^\dagger(q,s')e^{iqx} b(p,s)u(p,s)e^{-ipx} = \\<br />
&= \int \frac{\dif^3 p }{2p_0}\sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(p,s')b(p,s) \bu(p,s')\ga_0 u(p,s).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní použijeme takzvanou Gordonovu identitu<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\bu(p)\ga_\mu u(p') = \frac{1}{2m}\bu(p)[(p+p')_\mu + \sigma_{\mu \nu}(p-p')^\nu]u(p'),<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $ \sigma_{\mu \nu} = [\ga_\nu \ga_\nu]$. Z ní dostaneme ($p=p'$) $\bu(p,s')\ga_0 u(p,s) = \frac{2p_0}{2m}\bu(p,s')u(p,s) = \frac{p_0}{m}2m\delta_{ss'}$. Máme tedy výsledek<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x &= <br />
\int \frac{\dif^3 p }{2p_0}\sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(p,s')b(p,s) 2p_0 \delta_{ss'} = \int \dif^3 p\sum_{\pm s} |b(p,s)|^2.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
\subsection{Střední hodnota rychlosti}<br />
<br />
Nejprve se se podíváme, co odpovídá rychlosti v kvantové mechanice. Kvantovou mechaniku můžeme popisovat ve Schrödingerově obraze, kde jsou operátory přiřazené pozorovatelným časově neměnné ($A = A_S$). Dále však můžeme použít Heisenbergův obraz, kde jsou časově neměnné stavy systému $\Ket{\psi_H} = \Ket{\psi_S(t=0)}$, ale operátory se vyvíjí podle vztahu $A_H(t) = e^{-iHt}A_S e^{iHt}$. Abychom nezměnili předpovědi měření, musí vždy platit vztah <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{\psi_S(t) |A_S|\psi_S(t)} = \Braket{\psi_H |A_H(t)|\psi_h}. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro časovou změnu operátorů máme vztah<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\pd{A_H(t)}{t} = i[H,A_H(t)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pokud zvolíme operátor polohy: $A_S = \vec x$ a uvažujeme volnou (Schödingerovskou) částici, pak je $H=\rec{2m}\vec p^2$ a využitím $[x_j,p_k]=i\delta_{jk}$ dostáváme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\pd{x_H^j(t)}{t} = \frac{\vec p}{m}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
(Operátor hybnosti je pro volnou částici časově konstantní.) Nás ale bude zajímat případ Diracovy částice, tedy $H_D = \alpha^k k^k + \beta m$. Zde využitím $[\beta m, x^j] = 0$ dostáváme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\pd{x^j_H(t)}{t} = ie^{iH_Dt}[H_D,x^j_H(t)]e^{-iH_Dt} = i(-i)\delta_{jk} e^{iH_Dt}\alpha^ke^{-iH_Dt} = e^{iH_Dt}\alpha^je^{iH_Dt}. <br />
\end{align*}<br />
<br />
Vidíme tedy, že operátoru rychlosti $v^j$ odpovídá $\alpha^j$. Můžeme tedy počítat:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \dif^3 x \psid \alpha^j \psi &= [\mbox{ analogicky jako normalizace, }\ga_0 \alpha^j = \ga^j \mbox{ , Gordonova id.}] = \\<br />
&= \int \dif^3 p \sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} |b(p,s)|^2\frac{p_j}{p_0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Máme tedy výsledek $v_j = \frac{p_j}{E}$, což je v pořádku. Vzápětí uvidíme, že problém nastane při započtení řešení s negativní energií.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Úplné řešení (včetně negativní energie)}<br />
<br />
Nyní máme vlnový balík ve tvaru<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s)e^{-ipx} + d^*(p,s)v(p,s)e^{ipx}].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Obdobně jako pro řešení bez negativních energií a opět použitím Gordonovy identity spočítáme normovací integrál<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\int \dif^3 x \psi^\dagger(x)\psi(x) = \ldots = \int \dif^3 p \sum_{\pm s} (|b(p,s)|^2 + |d(p,s)|^2).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Důležitý je výsledek pro střední hodnotu rychlosti:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\Braket{v^j} &= \int \dif^3 x \psi^\dagger(x)\alpha^j \psi(x) = \ldots = \int \dif^3 p \left[ \sum_{\pm s}(|b(p,s)|^2 + |d(p,s)|^2) \frac{p_j}{E} \right. + \\<br />
& \left. + \frac{i}{2m}\sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} b^*(\tilde p, s')d^*(p,s) e^{2ix_0 E}\bu(\tilde p,s')\sigma^{k0}v(p,s)) \right. - \\<br />
& \left. - \frac{i}{2m}\sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} b(\tilde p, s')d(p,s) e^{-2ix_0 E}\bv(\tilde p,s')\sigma^{k0}u(p,s)) + \mbox{ další členy} \right].<br />
\end{align*}<br />
<br />
První člen tohoto výrazu je v pořádku, ale s dalšími je problém. Konkrétně je problematická část $e^{\pm 2ix_0 E}$, kde vystupuje závislost na na čase. Dostáváme tedy oscilační pohyb, jehož frekvence se dá řádově určit na $10^{21}$ Hz, což neumíme nijak rozumně interpretovat. Tomuto "chvění" se říká Zitterbewegung. <br />
<br />
<br />
\subsection{Lokalizovaný balík s příměsí negativních energií}<br />
<br />
Mějme v čase 0 Gaussův vlnový balík:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi(0,\vec x) = \rec{(\pi a^2)^{\frac{3}{4}}} e^{-\frac{\vec x^2}{2a^2}} w, \quad w = \vektorctyri{1}{0}{0}{0}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
V čase $t$ má vlnová funkce tvar<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s)e^{-ipx} + d^*(p,s)v(p,s)e^{ipx}].<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nyní chceme určit koeficienty $b(p,s)$ a $d(p,s)$. Vyjdeme ze stavu v čase 0 a pomocí Fourierovy transformace dostaneme nejprve<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} = \frac{1}{\sqrt{2E}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s) + d^*(p,s)v(p,s)].<br />
\end{align*}<br />
<br />
V dalším kroku izolujeme $b(p,s)$ a $d(p,s)$:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
b(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} u^\dagger(p,s) w, \\<br />
d^*(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} v^\dagger(p,s) w.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Dále dosadíme $u(p,s) = u^{(r)}(p) = \sqrt{E+m} \vektordva{\varphi}{\frac{\vec \sigma \vec p}{E+m} \varphi}$ a obdobně za $v(p,s)$. Nakonec dostaneme typické nenulové koeficienty:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
b(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p} \sqrt{E+m} , \\<br />
d^*(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p} \frac{p_3}{\sqrt{E+m}}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Uvedeme nyní dva příklady "velikostí" vlnových balíků:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $a >> \rec{m}$, kde $a$ je rozměr atomu a $\rec{m}$ Comptonova vlnové délka. Pak je $e^{-\pol a^2 \vec p} \simeq 1$ jen pro $|\vec p| << \rec{a}$, tedy výraz $\frac{p_3}{\sqrt{E+m}} << 1$ je zanedbatelný.<br />
\item $a \simeq \rec{m}$, kde $a$ je rozměr atomu a $\rec{m}$ Comptonova vlnové délka. Pak je $e^{-\pol a^2 \vec p} \simeq 1$ pro $|\vec p| \simeq \rec{a}$, tedy výraz $\frac{p_3}{\sqrt{E+m}} << 1$ je nezanedbatelný.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Průchod potenciálovým schodem (Kleinův paradox)}<br />
<br />
Máme potenciálový schod, tedy $V(z) = 0$ pro $z<0$ a $V(z) = V$ pro $z>0$. Hledáme vlastní stavy energie Diravoa Hamiltoniánu $H_D \psi = E\psi$, tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m + V(z)\right) \psi = E\psi.<br />
\end{align*}<br />
<br />
ve dvou oblastech pro $z<0$ a $z>0$ dostáváme <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m\right) \psi = E\psi, \quad (I) \\<br />
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m + V \right) \psi = E\psi, \quad (II).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro dopadající ($\psi_{inc}$), odraženou ($\psi_{refl}$) a prošlou ($\psi_{trans}$) vlnu dostáváme řešení ($p=(0,0,0,p)$)<br />
<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{inc}(z) &= e^{ipz} \vektorctyri{1}{0}{\frac{p}{E+M}}{0} , <br />
\psi_{refl}(z) = A e^{-ipz} \vektorctyri{1}{0}{-\frac{p}{E+M}}{0} + B e^{-ipz} \vektorctyri{0}{1}{0}{\frac{p}{E+M}} , \\<br />
\psi_{trans}(z) &= C e^{-iqz} \vektorctyri{1}{0}{-\frac{p}{E-V+M}}{0} + D e^{iqz} \vektorctyri{0}{1}{0}{-\frac{p}{E-V+M}}, <br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $q^2 = (E-V)^2-m^2$. Z podmínek spojitosti v bodě $z=0$ dostaneme $B=D=0$ a $1+A = C$ a $1-A = rC$, kde $r = \frac{E+m}{E-m}\frac{p}{q}$.<br />
<br />
Diskuse výsledku ($\psi_{trans}$): Pro $q^2 < 0$ dostaneme exponenciální útlum, což je v pořádku. To nastane pokud $|E-V| < m$, tedy $E-m <V$, ale musí také platit $V < E+m$. To ale znamená, že pro dostatečně velké $V$ (velký schod za který by nemělo nic pronikat) dostaneme $q^2>0$ a máme oscilační propagaci za bariérou. Pro koeficienty odrazu $R$ a průniku $D$ zde můžeme dostat hodnoty $R>1$ a $D<0$, což je problém přímo pravděpodobnostní interpretace.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Pohyb Diracovy částice ve vnějším poli} <br />
<br />
Budeme řešit pohyb ve sféricky symetrickém potenciálu nezávislém na čase. Máme tedy Hamiltonián <br />
<br />
\begin{align*}<br />
H = -i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r), \quad r=|\vec x|<br />
\end{align*}<br />
<br />
a hledáme vlastní stavy energie $H \psi = E\psi$. Komutujícím operátorem s Hamiltoniánem je celkový impulsmoment $\vec J = \vec L + \vec S$ (součet impulsmomentu a spinu). Platí zde $[H, \vec J^2] = 0$, $[H, J_3] = 0$, $[J_3, \vec J^2] = 0$. Dále nás zajímá operátor parity $P$ ($Pf(\vec x) = \ga_0 f(- \vec x)$). Ověříme, že také komutuje s Hamiltoniánem:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
P(Hf) &= \ga_0 (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r))f|_{-\vec x}, \\<br />
H(Pf) &= (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r)) \ga_0 f(-\vec x) = \ga_0 (+i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r)) f(-\vec x) = \\<br />
&= [\mbox{ derivase složené funkce }] = \ga_0 (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r))f|_{-\vec x}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Obecný tvar $\psi$, který je vlastním stavem $\vec J^2$, $J_3$ a $P$ je <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{jm(l)}(\vec x) = \vektordva{a(r)\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n)}{b(r)\varphi_{jm}^{(\mp)}(\vec n)},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\vec n = \frac{\vec x}{r}$ a <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n) = \sum_{\sigma = \pm1}\left(l = j\mp \pol, m-\sigma, \pol, \sigma|jm \right)Y_{l,m-\sigma}\chi_\sigma,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\chi_{+\pol} = \vektordva{1}{0}$ a $\chi_{-\pol} = \vektordva{0}{1}$, za sumou je Clebch-Gordanův koeficient a $Y$ je kulová funkce. Funkce $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ se nazývají "spinorové harmoniky", "sférické spinory" nebo "kulové funkce se spinem". Jsou to společné vlastní funkce $\vec L^2$, $\vec S^2$, $\vec J^2$ (s vl. hodnotou $j(j+1)$) a $J_3$ (s vl. hodnotou $m$). Připoměňme, že pro dané $l$ je $j = l \pm \pol$.<br />
<br />
<br />
\textbf{Příklad:}<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{jm}^{(+)} = \rec{\sqrt{2l+1}} \vektordva{\sqrt{l+m+\pol} Y_{l,m-\pol}}{\sqrt{l-m+\pol} Y_{l,m+\pol}}, \quad j=l+\pol<br />
\end{align*}<br />
<br />
Co se týče parity $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ má orbitální parita $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ hodnotu $(-1)^l$ (vychází z kulové funkce) a u $\varphi_{jm}^{(\mp)}$ se liší o znaménko. Znaménka ve vektoru $\vektordva{\varphi^{(\pm)}}{\varphi^{(\mp)}}$ se srovnají působením $\ga_0 = \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}$ při $P\psi(\vec x) = \ga_0 \psi(-\vec x)$.<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Separace radiálních a úhlových proměnných}<br />
<br />
Máme rovnici $H\psi = E\psi$, $\alpha = \maticedvadva{0}{\vec \sigma}{\vec \sigma}{0}$, $\beta= \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}$, explicitně tedy<br />
<br />
\begin{align*}<br />
H = \maticedvadva{0}{\vec\sigma \vec p}{\vec\sigma \vec p}{0} + \maticedvadva{M+V}{0}{0}{-M+V}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Máme tedy rovnici <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\maticedvadva{M+V-E}{\vec\sigma \vec p}{\vec\sigma \vec p}{-M+V-E} <br />
\vektordva{R_1\varphi_{jm}^{(\pm)}}{R_2 (\vec \sigma \vec n) \varphi_{jm}^{(\pm)}} = 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde jsme přejmenovali $a(r) \equiv R_1(r)$ a $b(r) \equiv R_2(r)$ a použili identitu $\varphi_{jm}^{(\mp)} = (\vec \sigma \vec n) \varphi_{jm}^{(\pm)}$. Odtud tedy vyjádříme:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[(M+V-E)R_1 + (\vec \sigma \vec p)(\vec \sigma \vec n)R_2]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0, \\<br />
[(-M+V-E)R_2(\vec \sigma \vec n) + (\vec \sigma \vec p)R_1]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Platí další identity (Jejichž důkaz je "čirá radost"):<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(\vec \sigma \vec n)^2 &= \unit, \\<br />
(\vec \sigma \vec p)(\vec \sigma \vec n) &= -i\rec{r}(2+r\pd{}{r} + \vec \sigma \vec L), \\<br />
(\vec \sigma \vec n)(\vec \sigma \vec p) &= -i\rec{r}(r\pd{}{r} - \vec \sigma \vec L).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Působení $\vec \sigma \vec L$: <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec \sigma \vec L = 2\vec S \vec L = (\vec L + \vec S)^2 - L^2 - S^2 = \vec J^2 - \vec L^2 - \vec S^2,<br />
\end{align*}<br />
<br />
tedy například <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\vec \sigma \vec L \varphi_{jm}^{(+)} &= (\vec J^2 - \vec L^2 - \vec S^2)\varphi_{jm}^{(+)} = <br />
[j(j+1)-l(l+1)-\pol(\pol+1)]\varphi_{jm}^{(+)} = \\<br />
&= [j(j+1)-(j-\pol)((j-\pol)+1)-\pol(\pol+1)]\varphi_{jm}^{(+)} = (j-\pol)\varphi_{jm}^{(+)}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Finální verze rovnic pak je:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
[(M+V-E)R_1 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (2+r\pd{}{r} - (1+\kappa^{(\pm)})) R_2]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0, \\<br />
[(-M+V-E)R_2 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1+\kappa^{(\pm)}) R_1]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\kappa^{(\pm)} = \mp (j+\pol)$. Už zde nemáme žádný operátor, který by působil na $\varphi_{jm}^{(\pm)}$, a proto musí pro splnění rovnic být nulové koeficienty (výrazy v závorkách).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Pohyb Diracovy částice v centrálním poli}<br />
<br />
Shrneme zde výsledky z předchozí části. Po separaci proměnných máme vlnovou funkci ve tvaru <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi_{jm(l)}(\vec x) = \vektordva{R_1(r)\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n)}{R_2(r)(\vec \sigma \vec n)\varphi_{jm}^{(\mp)}(\vec n)},<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde znaménkům $\pm$ odpovídá $j = p \pm \pol$. Radiální funkce $R_1$ a $R_2$ musí splňovat rovnice <br />
<br />
\begin{align*}<br />
(M+V-E)R_1 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1 - (1+\kappa^{(\pm)})) R_2 = 0, \\<br />
(-M+V-E)R_2 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1+\kappa^{(\pm)}) R_1 = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Provedeme nyní substituci $R_1 = \frac{G}{r}$ a $R_2 = \frac{F}{r}$ a dostaneme rovnice:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\dif}{\dif r}F - \frac{\kappa^{(\pm)}}{r}F + (M+V-E)G = 0, \\<br />
\frac{\dif}{\dif r}G + \frac{\kappa^{(\pm)}}{r}G + (M-V+E)F = 0.<br />
\end{align*}<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Speciálně: Coulombický (přitažlivý) potenciál}<br />
<br />
Zde tedy platí $V(r) = \frac{Z \alpha}{r}$, kde $Z$ je náboj jádra, $\alpha = e^2 \doteq \frac{1}{137}$. Vezměme nyní inot vodíkového typu $Z=1$ a dále budeme značit $\kappa^{(\pm)}$ jen $\kappa$.<br />
<br />
\textcolor{red}{Na tohle už jsem neměl morálku...}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:Kapitola1&diff=4822KTP1:Kapitola12013-02-18T13:50:32Z<p>Maresj23: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Klein-Gordonova rovnice} V celé přednášce se budeme snažit dospět k relativistické verzi kvantové mechaniky. Nejprve se budeme zabý...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{KTP1}<br />
<br />
\chapter{Klein-Gordonova rovnice}<br />
<br />
V celé přednášce se budeme snažit dospět k relativistické verzi kvantové mechaniky. Nejprve se budeme zabývat relativistickou kvantovou mechanikou (Klein-Gordonova a Diracova rovnice). Nakonec však uvidíme, že tento popis má zásadní nedostatky a přejdeme ke kvantové teorii pole. <br />
<br />
Připomeňme napřed Schrödingerovu rovnici z kvantové mechaniky:<br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{schrodinger}<br />
i \hbar \frac{\parc \psi(\vec{x},t)}{\parc t} = \hat{H}\psi(\vec{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\vec{x},t) .<br />
\end{align}<br />
<br />
Tato rovnice byla získána pomocí principu korespondence, kde odpovídá<br />
<br />
\begin{align}<br />
\label{korespondence}<br />
E \quad &\leftrightarrow \quad i\hbar \frac{\parc}{\parc t} \nonumber \\<br />
\vec{p} \quad &\leftrightarrow \quad -i\hbar \vec{\nabla}<br />
\end{align}<br />
<br />
a použitím nerelativistického vzorce pro energii volné částice<br />
<br />
\begin{align*}<br />
E_{nerel} = \frac{\vec{p}^2}{2m} \quad \rightarrow \quad \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta .<br />
\end{align*}<br />
<br />
Nabízí se možnost přejít do relativistické QM použitím relativistického vzorce pro energii<br />
<br />
\begin{align*}<br />
E_{rel}^2 = c^2 \vec{p}^2 + m^2 c^4 \quad \mbox{ ,tedy } \quad E_{rel} =\pm \sqrt{c^2 \vec{p}^2 + m^2 c^4}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pokud však chceme přejít pomocí principu ekvivalence k operátorům, je odmocňování operátoru problém. Proto se místo použití "Schrödingerova tvaru" rovnice (\ref{schrodinger}) vrátíme přímo k principu korespondence (\ref{korespondence}) pro $E$ i $\vec{p}$ a použijeme rovnici rovnou s kvadrátem energie. Dostaneme<br />
<br />
\begin{align*}<br />
(i\hbar)^2\frac{\parc^2}{\parc t^2}\psi &= (-i\hbar)^2\Delta \psi +m^2c^4\psi \\<br />
\frac{1}{c^2}\frac{\parc^2 \psi}{\parc t^2} -\Delta \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \psi \\<br />
\left( \square - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\psi &= 0,<br />
\end{align*}<br />
<br />
kde $\square = \frac{1}{c^2}\frac{\parc^2 }{\parc t^2} -\Delta$ je d'Alambertův operátor. Tím jsme dospěli ke kompaktnímu tvaru \textbf{Klein-Gordanovy rovnice}.<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Veličina $\frac{\hbar}{mc}$, která se vyskytuje v K-G rovnici je Comptonova vlnová délka částice. Ta se vyskytuje například ve vzorci pro změnu vlnové délky při Comptonově rozptylu do úhlu $\theta$, kde $ \lambda - \lambda' = \frac{\hbar}{2\pi mc}(1-cos(\theta))$ .<br />
<br />
Vzhledem k tomu, že $\square$ má rozměr $L^{-2}$, je výskyt členu $\frac{m^2c^2}{\hbar^2}$ v rovnici zcela přirozený.<br />
<br />
<br />
\textbf{Poznámka:} Přirozená soustava jednotek je taková, kde $\hbar = c = 1$. To, že jsou tyto konstanty bezrozměrné, má vliv na rozměr jiných veličin. Pro konverzi je možné použít vztah: $\hbar c \doteq 197 fm MeV$. K-G rovnice pak má velmi jednoduchý tvar $(\square + m^2)\psi = 0$. Zde $\square = \parc_{00}-\parc_{11}-\parc_{22}-\parc_{33}$, kde jsme použili značení $\parc_{\mu\nu}=\frac{\parc^2 }{\parc x^\mu \parc x^\nu}$.<br />
<br />
<br />
\section{Metrika v Minkowského prostoročase} <br />
<br />
Shrneme zde základní poznatky o Minkowského prostoročase. Základem je metrický tenzor, který v této přednášce bereme podle konvence<br />
<br />
\begin{align*}<br />
\left( g^{\mu\nu}\right) = \left( g_{\mu\nu}\right) \equiv <br />
\left( \begin{matrix}<br />
1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & -1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & -1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & -1<br />
\end{matrix} \right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Platí, že ${g_\mu}^\nu = {g^\mu}_\nu=\unit$. Dále zde máme skalární součin dvou čtyřvektorů $a=(a_o,\vec{a})$ a $b=(b_0,\vec{b})$<br />
<br />
\begin{align*}<br />
a\cdot b = g_{\mu\nu}a^\mu b^\nu = a_\mu b^\mu = a_0 b_0-\vec{a}\cdot \vec{b}.<br />
\end{align*}<br />
<br />
Například pro $p^\mu = (p_0,\vec{p}) = (E,\vec{p})$ máme $p^2 = p\cdot p = E^2 - \vec{p}^2 = (\vec{p}^2-m^2)-\vec{p}^2 = m^2$.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Potíže Klein-Gordonovy rovnice} <br />
<br />
\subsection{Rovinné vlny s negativní energií}<br />
<br />
Pokud použijeme pro řešení K-G rovnice ansatz ve tvaru rovinných vln $\psi_{(+)}(x)=\mbox{konst}\cdot e^{-ip\cdot x}$ respektive $\psi_{(-)}(x)=\mbox{konst}\cdot e^{ip\cdot x}$, dostaneme dosazením do rovnice vztah $-p_0^2+\vec{p}^2+m^2=0$. (Výsledek je stejný pro $\psi_{(+)}$ i $\psi_{(-)}$.) Jelikož derivaci podle času ztotožňujeme s operátorem energie a díky vztahům<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\frac{\partial \psi_{(+)}}{\partial t} &= p_0\psi_{(+)} \\<br />
i\frac{\partial \psi_{(-)}}{\partial t} &= -p_0\psi_{(-)}<br />
\end{align*} <br />
<br />
vidíme, že $p_0$ odpovídá energii. Problém je, že ať zvolíme $p_0$ kladné nebo záporné, vždy bude $\psi_{(+)}$ nebo $\psi_{(-)}$ odpovídat stavu se zápornou energií.<br />
<br />
<br />
\subsection{Rovnice kontinuity a hustota pravděpodobnosti}<br />
<br />
Vezměme nejprve Schrödingerovu rovnici (a její sdružení) a proveďme úpravu:<br />
<br />
\begin{align*}<br />
i\frac{\partial \psi}{\partial t} &= -\frac{1}{2m}\Delta \psi \quad| \psi^* \\<br />
-i\frac{\partial \psi^*}{\partial t} &= -\frac{1}{2m}\Delta \psi^* \quad | \psi<br />
\end{align*} <br />
<br />
Rovnice od sebe odečteme, čímž dostaneme rovnici kontinuity ve tvaru <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\partial \rho_{(Schr)}}{\partial t} + \mathrm{div}\vec{j}_{(Schr)}=0, \mbox{ kde }\\<br />
\rho_{(Schr)}(t,\vec{x}) = \psi^* \psi, \\<br />
\vec{j}_{(Schr)}(t,\vec{x}) = \frac{1}{2mi}(\psi^* \vec{\Delta} \psi - c.c.).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Zde $\rho_{(Schr)}$ představuje \textbf{hustotu pravděpodobnosti} nalezení částice v čase $t$ v bodě $\vec{x}$ a $c.c.$ ve výrazu pro hustotu toku pravděpodobnosti $\vec{j}_{(Schr)}(t,\vec{x})$ značí komplexně sdružený člen. Důležité je, že veličina $\rho_{Schr}$ je vždy kladná.<br />
<br />
Provedeme obdobnou manipulaci s Klain-Gordonovou rovnicí, tedy <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\psi^* |\quad i\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= \Delta \psi - m^2\psi \\<br />
\psi |\quad i\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial t^2} &= \Delta \psi - m^2\psi^*. <br />
\end{align*} <br />
<br />
Dospějeme tak k úplně stejné rovnici kontinuity s tím rozdílem, že nyní <br />
<br />
\begin{align*}<br />
\rho_{(KG)}(t,\vec{x}) = \frac{i}{2m}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} - c.c.\right).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Kvůli tomu, že $\rho_{(KG)}$ obsahuje časovou derivaci $\psi$, nejedná se obecně o pozitivní výraz, což je samozřejmě zásadní problém, pokud ho chceme interpretovat jako pravděpodobnost.<br />
<br />
I přes tyto interpretační problémy je Klien-Gordonova rovnice důležitá. V kvantové teorii pole tato rovnice popisuje částice se spinem 0.<br />
<br />
%V nerelativistickém přiblížení pro volnou bezspinovou částici platí v x-reprezentaci:<br />
%<br />
%\begin{align*}<br />
% E^{nerel}=\frac{\vec{p}^2}{2M}\\<br />
% \hat{\vec{P}}\equiv -i\hbar \vec{\nabla}<br />
%\end{align*}<br />
%<br />
%a tedy Schrödingerova rovnice má tvar:<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2M}\Delta \psi(\vec{x},t).<br />
%\end{equation*}<br />
%Pokusíme se najít relativistické zobecnění použitím vzorce pro energii:/<br />
%<br />
%\begin{align*}<br />
% E=c\sqrt{\vec{p}^2+M^2c^2}<br />
%\end{align*}<br />
%<br />
%a využitím principu ekvivalence dostáváme:<br />
%<br />
%\begin{equation}<br />
%\label{sch}<br />
% i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2} \psi(\vec{x},t).<br />
%\end{equation}<br />
%<br />
%Dvojím použitím Fourierovy transformace dostaneme tvar <br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}\int \mathrm{d}^3\vec{x}' \int \mathrm{d}^3\vec{p} c\sqrt{- \vec{p}^2+M^2c^2} \exp(\frac{i}{\hbar}\vec{p}.(\vec{x}-\vec{x}') ) \psi(\vec{x}',t),<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%ze kterého je vidět ???, že rovnice obsahuje nelokální operátor, což je problém. Proto rovnici \ref{sch} dále upravíme:<br />
%<br />
%\begin{align*}<br />
% i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} &= c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2}\cdot \psi(\vec{x},t)\quad \left|\frac{\partial}{\partial t}\right.\\<br />
% i \hbar \frac{\partial^2 \psi(\vec{x},t)}{\partial t^2} &= c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2}\cdot \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}\\<br />
% \intertext{Dosazením z \ref{sch} dostaneme}<br />
% i\hbar\frac{\partial^2 \psi(\vec{x},t)}{\partial t ^2} &= \frac{c^2}{i\hbar} (\hbar^2 \Delta+M^2c^2) \psi(\vec{x},t)\\<br />
%\end{align*}<br />
%<br />
%<br />
%%Pokud tuto rovnici zderivujeme podle času a na pravé straně dosadíme za $\frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}$ z původní rovnice, dostaneme:<br />
%<br />
%<br />
%což můžeme upravit na elegantní tvar \textbf{Klein-Gordonovy rovnice} (která již nelokální operátor neobsahuje):<br />
%<br />
%\begin{equation}<br />
%\label{KG}<br />
% (\square + \kappa^2) \psi(\vec{x},t) = 0,<br />
%\end{equation}<br />
%<br />
%kde $\kappa = \frac{Mc}{\hbar}$ ($1/\kappa$ je Comptonova vlnová délka částice) a $\square$ je d'Alambertův operátor. Jelikož d'Alambertův operátor i skalár $\kappa$ jsou relativisticky invariantní, je celá tato rovnice invariantní pro skalární funkci $\psi(\vec{x},t)$. (V dalších kapitolách bude tato funkce vícekomponentní.)<br />
%<br />
%<br />
%<br />
%\section{Pravděpodobnostní interpretace K-G rovnice}<br />
%<br />
%V nerelativistické kvantové mechanice máme vztahy pro hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v čase $t$ v bodě $\vec{x}$<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% \rho(\vec{x},t)=|{\psi(\vec{x},t)}|^2<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%a pro hustotu toku pravděpodobnosti<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% \vec{j}(\vec{x},t)=\frac{i\hbar}{2M}(\psi(\vec{x},t)\nabla \psi^*(\vec{x},t)-\psi^*(\vec{x},t)\nabla\psi(\vec{x},t)).<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%Tyto výrazy splňují pro každé řešení Schrödingerovy rovnice nerelativistickou rovnici kontinuity<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% \frac{\partial \rho(\vec{x},t)}{\partial t} + \mathrm{div}\vec{j}(\vec{x},t)=0 .<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%Aby byla K-G rovnice \ref{KG} dobrým kandidátem na relativistickou pohybovou rovnici, musí existovat čtyřproud $j^\mu(x)$, který pro všechny řečení \ref{KG} splňuje relativistickou rovnici kontinuity<br />
%<br />
%\begin{equation}<br />
%\label{rel_cont}<br />
% \partial_\mu j^\mu = 0,<br />
%\end{equation}<br />
%<br />
%kde jsme použili notaci $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$. %Vynásobíme-li rovnici \ref{KG} funkcí $\psi^*(\vec{x})$<br />
%<br />
%<br />
%<br />
%Snadno nahlédneme (s využitím právě uvedeného nerelativistického výsledku), že čtyřvektor $j^\mu = (c\rho(\vec{x}),\vec{j}(\vec{x}))$ rovnici \ref{rel_cont} splňuje. (Tedy čtyřvektor získaný z řešení Schrödingerovy rovnice.) \\<br />
%<br />
%Pro každé $\psi$ splňující rovnici (\ref{KG}) máme<br />
%\begin{enumerate}[(i)]<br />
% \item $\psi^\ast(\square +\kappa^2)\psi=0$,<br />
% \item Z rovnice pro sdruženou funkci $(\square + \kappa^2) \psi^\ast(\vec{x},t) = 0$ dostaneme vynásobením $\psi$ zleva $\psi(\square +\kappa^2)\psi^\ast=0$.<br />
%\end{enumerate}<br />
%Odečtením (ii) od (i) získáme vztah<br />
%\begin{align*}<br />
% \psi^\ast \square \psi -\psi \square \psi^\ast=0, \\<br />
% \intertext{neboli}<br />
% \partial_\mu(\underbrace{\psi^\ast \partial^\mu \psi -\psi \partial^\mu \psi^\ast}_{\psi^* \stackrel{\leftrightarrow}{\partial^\mu}\psi})=0.<br />
%\end{align*}<br />
%<br />
%Tedy pro libovolnou konstantu $K$ čtyřproud<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% j^\mu(\vec{x})=K\psi^* \stackrel{\leftrightarrow}{\partial^\mu}\psi<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%splňuje rovnici kontinuity pro libovolné řešení K-G rovnice $\psi$. <br />
%<br />
%<br />
%<br />
%\section{Vlastní stavy hybnosti}<br />
%<br />
%Nadále budeme používat jednotky $c=1$ a $\hbar=1$, což mimo jiné dává $\kappa=M$. V analogii s nerelativistickou kvantovou mechanikou použijeme ansatz pro řešení K-G rovnice pro volnou částici s hybností $\vec{p}$ ve tvaru:<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% \psi_{(\pm)}(x)=\mathrm{const}\cdot e^{\mp i(p\cdot x)}.<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%Dosazením do K-G rovnice \ref{KG} dostaneme (pro obě znaménka)<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% p_\mu p_\mu + M^2 = 0 \Longrightarrow p_0^2=\vec{p}^2+M^2,<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%a tedy $p_0=\pm E$ odpovídá energii a tedy operátor energie je $i\partial_0$ (Hamiltonián zde vůbec nemáme). Jelikož<br />
%<br />
%\begin{align*}<br />
% i\frac{\partial \psi_{(+)}}{\partial x^0} &= p_0\psi_{(+)} \\<br />
% i\frac{\partial \psi_{(-)}}{\partial x^0} &= -p_0\psi_{(-)}<br />
%\end{align*} <br />
%<br />
%nezbavíme se řešení se zápornou energií volbou znaménka $p_0$. Navíc pro hustotu pravděpodobnosti $\psi_{(+)}$ dostáváme<br />
%<br />
%\begin{equation*}<br />
% \rho_{K\text{-}G}{_{(+)}}\equiv j^0=\frac{i}{2M}(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t} - \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\psi) = \frac{i}{2M}(\psi^* p_0 \psi - (-p_0)\psi^*\psi) = \frac{i p_0}{2M}|\psi|^2<br />
%\end{equation*}<br />
%<br />
%a stejným výpočtem pro $\rho_{K\text{-}G}{_{(-)}} = \frac{i (-p_0)}{2M}|\psi|^2 = -\rho_{K\text{-}G}{_{(+)}}$, a tedy i jedna z hustot pravděpodobnosti je vždy záporná. To ukazuje, že K-G rovnice má značné nedostatky.<br />
%<br />
%</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=4821KTP1:ControlFile2013-02-18T10:06:27Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{KTP1}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Klein-Gordonova rovnice}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Diracova rovnice}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Prokova rovnice}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Lagrangeovský formalismus klasické teorie pole}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Kvantování volných polí a částicová interpretace}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Interakce kvantových polí}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_pojistne.PNG}{pojistne.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_tabulky.PNG}{tabulky.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cela.PNG}{umrtnost_cela.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cast.PNG}{umrtnost_cast.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_as.PNG}{as.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_dozoti_jendo.PNG}{rez_dozoti_jendo.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson.PNG}{poisson.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson_normalni.png}{poisson_normalni.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_dluhopisy.png}{dluhopisy.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poptavka.png}{poptavka.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_smrt_bezne.png}{rez_smrt_bezne.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_2.png}{brutto_doziti_bezne_2.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_15.png}{brutto_doziti_bezne_15.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_troj.png}{troj.png}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=4820KTP1:ControlFile2013-02-18T09:46:54Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{KTP1}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Životní pojištění}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Neživotní pojištění}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Finanční matematika}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_pojistne.PNG}{pojistne.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_tabulky.PNG}{tabulky.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cela.PNG}{umrtnost_cela.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cast.PNG}{umrtnost_cast.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_as.PNG}{as.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_dozoti_jendo.PNG}{rez_dozoti_jendo.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson.PNG}{poisson.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson_normalni.png}{poisson_normalni.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_dluhopisy.png}{dluhopisy.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poptavka.png}{poptavka.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_smrt_bezne.png}{rez_smrt_bezne.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_2.png}{brutto_doziti_bezne_2.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_15.png}{brutto_doziti_bezne_15.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_troj.png}{troj.png}</div>Maresj23https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=KTP1:ControlFile&diff=4819KTP1:ControlFile2013-02-18T09:46:42Z<p>Maresj23: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01FIMA}<br />
<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Životní pojištění}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Neživotní pojištění}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Finanční matematika}<br />
\wikichapter{A}{literatura}{Literatura}<br />
<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_pojistne.PNG}{pojistne.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_tabulky.PNG}{tabulky.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cela.PNG}{umrtnost_cela.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_umrtnost_cast.PNG}{umrtnost_cast.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_as.PNG}{as.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_dozoti_jendo.PNG}{rez_dozoti_jendo.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson.PNG}{poisson.PNG}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poisson_normalni.png}{poisson_normalni.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_dluhopisy.png}{dluhopisy.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_poptavka.png}{poptavka.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_rez_smrt_bezne.png}{rez_smrt_bezne.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_2.png}{brutto_doziti_bezne_2.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_brutto_doziti_bezne_15.png}{brutto_doziti_bezne_15.png}<br />
\wikifile{Soubor:01FIMA_troj.png}{troj.png}</div>Maresj23