https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Karel.brinda&feedformat=atom
WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]
2024-03-29T10:01:50Z
Příspěvky uživatele
MediaWiki 1.25.2
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4cviceni:Header&diff=4638
01MAA4cviceni:Header
2012-03-30T13:39:25Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}<br />
<br />
\documentclass[a4, reqno, titlepage, intlimits]{amsart}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage{latexsym} %symboly<br />
\usepackage{color} %barvicky<br />
%\usepackage{makeidx} %rejstrik - nefunkcni ve WIKISKRIPTECH<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{hyperref} %pdf...<br />
\usepackage{epsfig}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
%\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {Cvičení z Mastematické analýzy},<br />
pdfauthor = {Tomáš Kalvoda},<br />
pdfcreator = {Tomáš Kalvoda},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
%\makeindex<br />
<br />
\date{\today}<br />
<br />
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}<br />
<br />
\newcommand{\mspac}{\!\!\!\!} % zaporna mezera<br />
\newcommand{\bms}{\mspac \mspac} %velka zaporna mezera<br />
\newcommand{\solution}[1]{\begin{flushright} [ $#1$ ] \end{flushright}} %TF like solutions<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % mnoz. R<br />
\newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^{n}} % mnoz Rn<br />
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^{n,n}} % mnoz. R n n<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % prirozena cisla<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % cela cisla<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % komplex. cisla<br />
\newcommand{\trans}{^{\mathrm{T}}} % transpozice<br />
\newcommand{\herm}{^{\mathrm{H}}} % hermitovsky sdruzena<br />
\newcommand{\norm}[1]{\Arrowvert #1 \Arrowvert} % norma<br />
\DeclareMathOperator{\dete}{\mathrm{det}} % determinant<br />
\DeclareMathOperator{\tg}{\mathrm{tg}} % tangens<br />
\DeclareMathOperator{\arctg}{\mathrm{arctg}} % arctangens<br />
\newcommand{\px}{\mathcal{X}} % pytlickovo x<br />
\newcommand{\pre}{\mathbb{P}} % matice prechodu<br />
\newcommand{\jak}{\mathcal{J}} % jakobian<br />
\DeclareMathOperator{\defo}{\mathrm{def}} % def. obor<br />
\DeclareMathOperator{\hod}{\mathrm{h}} % hodnost<br />
\newcommand{\vnitr}{^{\mathrm{o}}} % vnitrek mnoziny - vranovo o<br />
\DeclareMathOperator{\image}{\mathrm{Im}} % obraz<br />
%\DeclareMathOperator{\difer}{\mathrm{d}} % diferencial<br />
\DeclareMathOperator{\rot}{\mathrm{rot}} % rotace<br />
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}<br />
\newcommand{\difer}{\mathrm{d}} % diferencial<br />
\newcommand{\rvos}{\overset{\mathrm{VoS}}{=}} % rovnase se substituci<br />
\newcommand{\rfub}{\overset{\mathrm{F}}{=}} % rovnase fubini<br />
\newcommand{\rrie}{\overset{\mathrm{R}}{=}} % rovnase riemnan<br />
\newcommand{\dx}{ \ \difer x} %dx<br />
\newcommand{\dz}{ \ \difer z} % dz<br />
\newcommand{\dy}{ \ \difer y} %dy<br />
\newcommand{\dr}{ \ \difer \rho} %d\rho<br />
\newcommand{\df}{ \ \difer \varphi} %d\varphi<br />
\newcommand{\derv}[2]{\frac{ \difer #1}{\difer #2}} % operator derivace<br />
\newcommand{\MA}{\mathbb{A}} % matice A<br />
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert} % absolutni hodnota<br />
\newcommand{\svekt}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}} %sloupcovy vektor<br />
\newcommand{\svektt}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}} %sloupcovy vektor v \R^3<br />
\DeclareMathOperator{\laplace}{\triangle} % Laplacian :-))<br />
\newcommand{\Beta}{\mathcal{B}} % Pekna Betka<br />
\newcommand{\Mu}{\mathcal{M}} % velke Mu<br />
\DeclareMathOperator{\Int}{\mathrm{Int}} %interior<br />
\DeclareMathOperator{\Ext}{\mathrm{Ext}} %exterior<br />
\newcommand{\dS}{\vec{\difer S}} % plosny element<br />
<br />
\newcommand{\parc}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} % operator parc derivace<br />
\newcommand{\BP}[1]{\partial _{#1} } % zkracena parc<br />
\newcommand{\Park}[3]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3}} %Marsakova parc der 1 konstanta<br />
\newcommand{\Parkk}[2]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) } %Marsakova parc der 1 konstanta<br />
\newcommand{\Parc}[4]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3,#4}} %Marsakova parc der 2 konstanty<br />
\newcommand{\Parcc}[4]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3,#4}} %Marsakova parc der optimalizovana pro zlomky<br />
\newcommand{\komb}[2]{ \begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}<br />
\newcommand{\exex}{ \begin{flushright} $\triangle$ \end{flushright} \bigskip }<br />
\newcommand{\st}[1]{<#1>} % stredni hodnota<br />
\newcommand{\jac}[2]{ \frac{\partial (#1)}{\partial (#2)} } %jakobian<br />
<br />
%thermod<br />
\newcommand{\dE}{\difer S} % difer entropie<br />
\newcommand{\dQ}{\difer Q} %difer Q<br />
\newcommand{\dU}{\difer U} %difer U<br />
\newcommand{\dV}{\difer V} %difer V<br />
\newcommand{\dT}{\difer T} %difer T<br />
\newcommand{\dW}{\difer W} %difer W<br />
\newcommand{\Cv}{\mathrm{C_V}} %tep. kap V<br />
\newcommand{\Cp}{\mathrm{C_P}} %tep. kap p<br />
<br />
%casti dokumentu...<br />
\newtheorem{example}{\textcolor{black}{Příklad}}[section]<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{theorem}{\textcolor{magenta}{Věta}}[section]<br />
\newtheorem{remark}{\textcolor{blue}{Poznámka}}[section]<br />
\newtheorem{lemma}{\textcolor{cyan}{Lemma}}[section]<br />
\newtheorem{dex}{P.}[section]<br />
\newtheorem{define}{\textcolor{red}{Definice}}[section]</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4cviceni:Header&diff=4637
01MAA4cviceni:Header
2012-03-30T13:38:21Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}<br />
<br />
\documentclass[a4, reqno, titlepage, intlimits]{amsart}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage{latexsym} %symboly<br />
\usepackage{color} %barvicky<br />
%\usepackage{makeidx} %rejstrik - nefunkcni ve WIKISKRIPTECH<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{hyperref} %pdf...<br />
\usepackage{epsfig}<br />
\usepackage{a4width}<br />
%\usepackage[dvips]{graphicx}<br />
<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {Cvičení z Mastematické analýzy},<br />
pdfauthor = {Tomáš Kalvoda},<br />
pdfcreator = {Tomáš Kalvoda},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
%\makeindex<br />
<br />
\date{\today}<br />
<br />
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}<br />
<br />
\newcommand{\mspac}{\!\!\!\!} % zaporna mezera<br />
\newcommand{\bms}{\mspac \mspac} %velka zaporna mezera<br />
\newcommand{\solution}[1]{\begin{flushright} [ $#1$ ] \end{flushright}} %TF like solutions<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % mnoz. R<br />
\newcommand{\Rn}{\mathbb{R}^{n}} % mnoz Rn<br />
\newcommand{\Rnn}{\mathbb{R}^{n,n}} % mnoz. R n n<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % prirozena cisla<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % cela cisla<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % komplex. cisla<br />
\newcommand{\trans}{^{\mathrm{T}}} % transpozice<br />
\newcommand{\herm}{^{\mathrm{H}}} % hermitovsky sdruzena<br />
\newcommand{\norm}[1]{\Arrowvert #1 \Arrowvert} % norma<br />
\DeclareMathOperator{\dete}{\mathrm{det}} % determinant<br />
\DeclareMathOperator{\tg}{\mathrm{tg}} % tangens<br />
\DeclareMathOperator{\arctg}{\mathrm{arctg}} % arctangens<br />
\newcommand{\px}{\mathcal{X}} % pytlickovo x<br />
\newcommand{\pre}{\mathbb{P}} % matice prechodu<br />
\newcommand{\jak}{\mathcal{J}} % jakobian<br />
\DeclareMathOperator{\defo}{\mathrm{def}} % def. obor<br />
\DeclareMathOperator{\hod}{\mathrm{h}} % hodnost<br />
\newcommand{\vnitr}{^{\mathrm{o}}} % vnitrek mnoziny - vranovo o<br />
\DeclareMathOperator{\image}{\mathrm{Im}} % obraz<br />
%\DeclareMathOperator{\difer}{\mathrm{d}} % diferencial<br />
\DeclareMathOperator{\rot}{\mathrm{rot}} % rotace<br />
\renewcommand{\div}{\mathrm{div}}<br />
\newcommand{\difer}{\mathrm{d}} % diferencial<br />
\newcommand{\rvos}{\overset{\mathrm{VoS}}{=}} % rovnase se substituci<br />
\newcommand{\rfub}{\overset{\mathrm{F}}{=}} % rovnase fubini<br />
\newcommand{\rrie}{\overset{\mathrm{R}}{=}} % rovnase riemnan<br />
\newcommand{\dx}{ \ \difer x} %dx<br />
\newcommand{\dz}{ \ \difer z} % dz<br />
\newcommand{\dy}{ \ \difer y} %dy<br />
\newcommand{\dr}{ \ \difer \rho} %d\rho<br />
\newcommand{\df}{ \ \difer \varphi} %d\varphi<br />
\newcommand{\derv}[2]{\frac{ \difer #1}{\difer #2}} % operator derivace<br />
\newcommand{\MA}{\mathbb{A}} % matice A<br />
\newcommand{\abs}[1]{\vert #1 \vert} % absolutni hodnota<br />
\newcommand{\svekt}[2]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}} %sloupcovy vektor<br />
\newcommand{\svektt}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}} %sloupcovy vektor v \R^3<br />
\DeclareMathOperator{\laplace}{\triangle} % Laplacian :-))<br />
\newcommand{\Beta}{\mathcal{B}} % Pekna Betka<br />
\newcommand{\Mu}{\mathcal{M}} % velke Mu<br />
\DeclareMathOperator{\Int}{\mathrm{Int}} %interior<br />
\DeclareMathOperator{\Ext}{\mathrm{Ext}} %exterior<br />
\newcommand{\dS}{\vec{\difer S}} % plosny element<br />
<br />
\newcommand{\parc}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} % operator parc derivace<br />
\newcommand{\BP}[1]{\partial _{#1} } % zkracena parc<br />
\newcommand{\Park}[3]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3}} %Marsakova parc der 1 konstanta<br />
\newcommand{\Parkk}[2]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) } %Marsakova parc der 1 konstanta<br />
\newcommand{\Parc}[4]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3,#4}} %Marsakova parc der 2 konstanty<br />
\newcommand{\Parcc}[4]{ \bigg( \frac{\partial #1}{\partial #2} \bigg) _{#3,#4}} %Marsakova parc der optimalizovana pro zlomky<br />
\newcommand{\komb}[2]{ \begin{pmatrix} #1 \\ #2 \end{pmatrix}}<br />
\newcommand{\exex}{ \begin{flushright} $\triangle$ \end{flushright} \bigskip }<br />
\newcommand{\st}[1]{<#1>} % stredni hodnota<br />
\newcommand{\jac}[2]{ \frac{\partial (#1)}{\partial (#2)} } %jakobian<br />
<br />
%thermod<br />
\newcommand{\dE}{\difer S} % difer entropie<br />
\newcommand{\dQ}{\difer Q} %difer Q<br />
\newcommand{\dU}{\difer U} %difer U<br />
\newcommand{\dV}{\difer V} %difer V<br />
\newcommand{\dT}{\difer T} %difer T<br />
\newcommand{\dW}{\difer W} %difer W<br />
\newcommand{\Cv}{\mathrm{C_V}} %tep. kap V<br />
\newcommand{\Cp}{\mathrm{C_P}} %tep. kap p<br />
<br />
%casti dokumentu...<br />
\newtheorem{example}{\textcolor{black}{Příklad}}[section]<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{theorem}{\textcolor{magenta}{Věta}}[section]<br />
\newtheorem{remark}{\textcolor{blue}{Poznámka}}[section]<br />
\newtheorem{lemma}{\textcolor{cyan}{Lemma}}[section]<br />
\newtheorem{dex}{P.}[section]<br />
\newtheorem{define}{\textcolor{red}{Definice}}[section]</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4544
01ZTGA
2012-01-15T22:45:18Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy teorie grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
\chapter{Rozšířený kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast2_kapitola1}<br />
\input{cast2_kapitola2}<br />
\input{cast2_kapitola3}<br />
\input{cast2_kapitola4}<br />
<br />
\chapter{Generující funkce}<br />
<br />
Do kursu kombinatoriky a teorie grafů tradičně patří také kapitola<br />
o generujících funkcích, i když v rozsahu naší přednášky se samotné<br />
teorie grafů dotýká jen okrajově. Budeme se zabývat mocninnými řadami,<br />
s jejichž pomocí lze s úspěchem vyřešit zdánlivě velmi složité kombinatorické<br />
problémy. Tato kapitola pojednává o obyčejných mocninných řadách a<br />
exponenciálních generujících funkcích. Neobsahuje výklad Dirichletových<br />
generujících funkcí, které však nebyly součástí zkoušené látky.<br />
<br />
Základní myšlenkou aplikovanou na problémy v této kapitole je zpravidla<br />
přeformulování kombinatorické úlohy na úlohu nalezení koeficientů<br />
mocninné řady, jejíž součet (generující funkci) známe. Přitom vždy<br />
využíváme jednoznačnost rozvoje funkce do mocninné řady.<br />
<br />
\input{cast3_kapitola1}<br />
\input{cast3_kapitola2}<br />
<br />
\begin{thebibliography}{1}<br />
\bibitem{pelantova}Edita Pelantová: \emph{Základy teorie grafů}. FJFI ČVUT, přednášky,<br />
2005.<br />
\bibitem{tslo}Vladan Majerech: \emph{Úvod do složitosti a NP-úplnosti}. MFF UK,<br />
1999.<br />
\bibitem{GTWA}J. A. Bondy, U. S. R. Murty: \emph{Graph Theory With Applications}.<br />
Elsevier Science Publishing, New York, 1982.<br />
\bibitem{GT3}Reinhard Diestel: Graph Theory III (electronic edition 2005). Springer-Verlag<br />
Heidelberg, New York, 2005.<br />
\bibitem{PNLA}Jiří Mikyška: \emph{Pokročilé partie numerické lineární algebry}.<br />
FJFI ČVUT, přednášky, 2005.<br />
\bibitem{TIN}Igor Vajda: \emph{Teorie informace}. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004.<br />
\end{thebibliography}<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:ControlFile&diff=4543
01ZTGA:ControlFile
2012-01-15T22:44:47Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\wikichapter{0}{cast0}{Úvod}<br />
<br />
\wikichapter{1_1}{cast1_kapitola1}{Základní pojmy}<br />
\wikichapter{1_2}{cast1_kapitola2}{Souvislost}<br />
\wikichapter{1_3}{cast1_kapitola3}{Bipartitní grafy}<br />
\wikichapter{1_4}{cast1_kapitola4}{Stromy}<br />
\wikichapter{1_5}{cast1_kapitola5}{Hledání minimální kostry grafu}<br />
\wikichapter{1_6}{cast1_kapitola6}{Jednotažky}<br />
\wikichapter{1_7}{cast1_kapitola7}{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
\wikichapter{1_8}{cast1_kapitola8}{Párování v grafech}<br />
\wikichapter{1_9}{cast1_kapitola9}{Toky v sítích}<br />
\wikichapter{1_10}{cast1_kapitola10}{Hranové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_11}{cast1_kapitola11}{Vrcholové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_12}{cast1_kapitola12}{Planární grafy}<br />
\wikichapter{1_13}{cast1_kapitola13}{Vlastní čísla adjacenční matice grafu}<br />
<br />
\wikichapter{2_1}{cast2_kapitola1}{Brouwerova věta o pevném bodě}<br />
\wikichapter{2_2}{cast2_kapitola2}{Pravděpodobnostní důkazy v teorii grafů}<br />
\wikichapter{2_3}{cast2_kapitola3}{Extremální teorie grafů}<br />
\wikichapter{2_4}{cast2_kapitola4}{Ramseyovská čísla}<br />
<br />
\wikichapter{3_1}{cast3_kapitola1}{Obyčejné mocninné řady}<br />
\wikichapter{3_2}{cast3_kapitola2}{Exponenciální generující funkce}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Hlavn%C3%AD_strana&diff=4542
Hlavní strana
2012-01-15T16:30:47Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>Vítejte na stránkách věnovaných výuce na [http://www.fjfi.cvut.cz FJFI] [http://www.cvut.cz ČVUT v Praze]. Naleznete zde skripta a příklady k procvičení, které sami můžete po [[Speciální:Userlogin| přihlášení]] <b>opravovat</b> a hlavně <b>doplňovat</b>.<br />
Pokud byste měli zájem o přidání skript z jiných předmětů, přidejte ho podle návodu níže a kontaktujte správce pro vytvoření odkazu v levém menu.<br />
<br />
{| style="background:#f9f9f9; border:0px solid #aaa" cellpadding="5" cellspacing="0" width ="99%" <br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="250px" valign="center"| 1. ročník (BS) <br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="50px" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="300px" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="200px" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse <br />
|-<br />
| 01LA Lineární algebra B1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LAB1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LAB1 | Skriptum doc. Humhala]] <br />
| [http://www.km.fjfi.cvut.cz/staff/zamestnanec_info.php?id=5 Emil Humhal]<br />
| [[Diskuse:01LAB1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01LAB2 Lineární algebra B2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LAB1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LAB2 | Skriptum doc. Humhala]] <br />
| [http://www.km.fjfi.cvut.cz/staff/zamestnanec_info.php?id=5 Emil Humhal]<br />
| [[Diskuse:01LAB2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT1 Matematika 1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika1 | Skriptum as. Fučíka]] <br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT1 Matematika 1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika1Priklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika1Priklady | Příklady k procvičení]]<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík]]<br />
| [[Diskuse:Matematika1Priklady | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT2 Matematika 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika2 | Skriptum as. Fučíka]] <br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT2 Matematika 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika2Priklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika2Priklady | Příklady k procvičení]]<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika2Priklady | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 2. ročník (BS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRnew&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFRnew | Zápisky z přednášek doc. Beneše]]<br />
| Zbyšek Štěpáník<br />
| [[Diskuse:01DIFRnew | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRcviceni&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFRcviceni | Zápisky ze cvičení doc. Humhala]]<br />
| Petr Kolenko<br />
| [[Diskuse:01DIFRcviceni | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01LIP Lineární programování<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LIP&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LIP | Zápisky z přednášek as. Pytlíčka]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01LIP | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA3 Matematická analýza A3<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA3 | Turistický průvodce matematickou analýzou 3]] - zápisky z přednášek as. Vrány<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01MAA3 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA4 Matematická analýza A4<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA4 | Turistický průvodce matematickou analýzou 4]] - zápisky z přednášek as. Vrány<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01MAA4 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA4 Matematická analýza A4<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4cviceni&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA4cviceni | Zápisky ze cvičení]] <br />
| [http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~kalvotom/ Tomáš Kalvoda]<br />
| [[Diskuse:01MAA4cviceni | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01NM Numerická matematika <br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NM&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01NM | Zápisky z přednášek doc. Humhala]] <br />
| Ondřej Mičan<br />
| [[Diskuse:01NM | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TF12 Teoretická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TFpriklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TFpriklady | Řešené příklady z teoretické fyziky]] Konverze z MS Wordu ([http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~fucik/files/tf.pdf zde pdf staré verze]). Je nutné opravit úpravu , některé rovnice a texty, především interpunkci a velká písmena.<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:02TFpriklady | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TSFA Termodynamika a statistická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TSFA | Zápisky z přednášek prof. Jexe]] <br />
| Vladimír Pospíšil<br />
| [[Diskuse:02TSFA | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TSFA Termodynamika a statistická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFsbirka&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TSFsbirka | Sbírka]] <br />
| [[Uživatel:Steffy | Martin Štefaňák]]<br />
| [[Diskuse:02TSFsbirka | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 3. ročník (BS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01ALG Algebra<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01ALG | Zápisky z přednášek doc. Mareše]] <br />
| [http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~hejdato1/main/ Tomáš Hejda]<br />
| [[Diskuse:01ALG | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01FA2 Funkcionální analýza 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01FA2 | Zápisky z přednášek]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01FA2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01NUM Numerická matematika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01NUM| Zápisky z přednášek doc. Beneše]] <br />
| Ondřej Mičan <br /> Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01NUM | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika&nbsp;1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01PRA1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01PRA1 | Zápisky z přednášek as. Kůse]] <br />
| neznámý<br />
| [[Diskuse:01PRA1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika&nbsp;1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01PRA1_2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01PRA1_2 | Zápisky z přednášek as. Kůse]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01PRA1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02KVAN Kvantová mechanika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02KVAN | Slabikář kvantové mechaniky]] - skriptum prof. Hlavatého <br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/Pers_Hpgs/Hlavaty/lhhomepa.htm Ladislav Hlavatý]<br />
| [[Diskuse:02KVAN | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02KVAN Kvantová mechanika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVANCV&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02KVANCV | Skriptum prof. Hlavatého ke cvičení ]]<br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/Pers_Hpgs/Hlavaty/lhhomepa.htm Ladislav Hlavatý]<br />[http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/Pers_Hpgs/snobl/index.html Libor Šnobl]<br />Martin Štefaňák<br />
| [[Diskuse:02KVANCV | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 4. ročník (MS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01ZTGA Základy teorie grafů A<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01ZTGA | Zápisky z přednášek prof. Pelantové]] <br />
| [http://saint-paul.fjfi.cvut.cz/ Pavel Strachota]<br />
| [[Diskuse:01ZTGA | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Vznikající skripta<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 02VOAF Vlnění, optika, atomová fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02VOAFskriptum&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02VOAFskriptum | Skripta prof. Tolara]] <br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/Files/k402/Pers_Hpgs/tolar/tolar1.htm Jiří Tolar]<br />
| [[Diskuse:02VOAFskriptum | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01VYMA Vybrané partie z matematiky<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01VYMA | Zápisky z přednášek as. Mikyšky]] <br />
| Michal Kuna<br />
| [[Diskuse:01VYMA | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Neaktuální skripta<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFR&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFR | Zápisky z přednášek doc. Humhala]].<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01DIFR | diskuse]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br /><br />
<br />
[[Navod|Návod]] pro editaci skript.</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=MediaWiki:Sidebar&diff=4541
MediaWiki:Sidebar
2012-01-15T13:37:14Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>* Navigace<br />
** mainpage|mainpage-description<br />
** Navod|Návod pro editaci<br />
** recentchanges-url|recentchanges <br />
** maintenance|Systémové změny<br />
** Hriste|Hřiště<br />
* 1. ročník<br />
** 01LAB1|01LA - skriptum<br />
** 01LAB2|01LAB2 - skriptum<br />
** Matematika1|01MAT1 - skriptum<br />
** Matematika1Priklady|01MAT1 - příklady<br />
** Matematika2|01MAT2 - skriptum<br />
** Matematika2Priklady|01MAT2 - příklady<br />
* 2. ročník<br />
** 01DIFRnew|01DIFR - zápisky<br />
** 01DIFRcviceni|01DIFR cv. - zápisky<br />
** 01LIP|01LIP - zápisky<br />
** 01MAA3|01MAA3 - zápisky<br />
** 01MAA4|01MAA4 - zápisky<br />
** 01MAA4cviceni|01MAA4 cv. - zápisky<br />
** 01NM|01NM - zápisky<br />
** 01VYMA|01VYMA - zápisky<br />
** 02TFpriklady|02TF12 cv. - zápisky<br />
** 02TSFA|02TSFA - zápisky<br />
** 02TSFsbirka|02TSFA cv. - skriptum<br />
* 3. ročník<br />
** 01ALG|01ALG - zápisky<br />
** 01FA2|01FA2 - zápisky<br />
** 01NUM|01NUM - zápisky<br />
** 01PRA1|01PRA1 - zápisky<br />
** 01PRA1_2|01PRA1 - zápisky<br />
** 02KVAN|02KVAN - skriptum<br />
** 02KVANCV|02KVAN cv. - skriptum<br />
* 4. ročník<br />
** 01ZTGA|01ZTGA - zápisky<br />
* Odkazy<br />
** http://wiki.fjfi.cvut.cz | Jaderňácká Wiki<br />
* Správce (obsah)<br />
** Uživatel:Karel.brinda | Karel Břinda<br />
* Správce (admin, systém)<br />
** Uživatel:Admin | Radek Fučík</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Hlavn%C3%AD_strana&diff=4540
Hlavní strana
2012-01-15T13:35:48Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>Vítejte na stránkách věnovaných výuce na [http://www.fjfi.cvut.cz FJFI] [http://www.cvut.cz ČVUT v Praze]. Naleznete zde skripta a příklady k procvičení, které sami můžete po [[Speciální:Userlogin| přihlášení]] <b>opravovat</b> a hlavně <b>doplňovat</b>.<br />
Pokud byste měli zájem o přidání skript z jiných předmětů, přidejte ho podle návodu níže a kontaktujte správce pro vytvoření odkazu v levém menu.<br />
<br />
{| style="background:#f9f9f9; border:0px solid #aaa" cellpadding="5" cellspacing="0" width ="99%" <br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="250px" valign="center"| 1. ročník (BS) <br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="50px" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="300px" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" width="200px" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse <br />
|-<br />
| 01LA Lineární algebra B1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LAB1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LAB1 | Skriptum doc. Humhala]] <br />
| [http://www.km.fjfi.cvut.cz/staff/zamestnanec_info.php?id=5 Emil Humhal]<br />
| [[Diskuse:01LAB1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01LAB2 Lineární algebra B2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LAB1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LAB2 | Skriptum doc. Humhala]] <br />
| [http://www.km.fjfi.cvut.cz/staff/zamestnanec_info.php?id=5 Emil Humhal]<br />
| [[Diskuse:01LAB2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT1 Matematika 1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika1 | Skriptum as. Fučíka]] <br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT1 Matematika 1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika1Priklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika1Priklady | Příklady k procvičení]]<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík]]<br />
| [[Diskuse:Matematika1Priklady | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT2 Matematika 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika2 | Skriptum as. Fučíka]] <br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAT2 Matematika 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika2Priklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[Matematika2Priklady | Příklady k procvičení]]<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:Matematika2Priklady | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 2. ročník (BS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRnew&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFRnew | Zápisky z přednášek doc. Beneše]]<br />
| Zbyšek Štěpáník<br />
| [[Diskuse:01DIFRnew | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFRcviceni&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFRcviceni | Zápisky ze cvičení doc. Humhala]]<br />
| Petr Kolenko<br />
| [[Diskuse:01DIFRcviceni | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01LIP Lineární programování<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01LIP&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01LIP | Zápisky z přednášek as. Pytlíčka]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01LIP | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA3 Matematická analýza A3<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA3 | Turistický průvodce matematickou analýzou 3]] - zápisky z přednášek as. Vrány<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01MAA3 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA4 Matematická analýza A4<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA4 | Turistický průvodce matematickou analýzou 4]] - zápisky z přednášek as. Vrány<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01MAA4 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01MAA4 Matematická analýza A4<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4cviceni&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01MAA4cviceni | Zápisky ze cvičení]] <br />
| [http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~kalvotom/ Tomáš Kalvoda]<br />
| [[Diskuse:01MAA4cviceni | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01NM Numerická matematika <br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NM&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01NM | Zápisky z přednášek doc. Humhala]] <br />
| Ondřej Mičan<br />
| [[Diskuse:01NM | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TF12 Teoretická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TFpriklady&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TFpriklady | Řešené příklady z teoretické fyziky]] Konverze z MS Wordu ([http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~fucik/files/tf.pdf zde pdf staré verze]). Je nutné opravit úpravu , některé rovnice a texty, především interpunkci a velká písmena.<br />
| [[Uživatel:Admin | Radek Fučík ]]<br />
| [[Diskuse:02TFpriklady | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TSFA Termodynamika a statistická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TSFA | Zápisky z přednášek prof. Jexe]] <br />
| Vladimír Pospíšil<br />
| [[Diskuse:02TSFA | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02TSFA Termodynamika a statistická fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02TSFsbirka&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02TSFsbirka | Sbírka]] <br />
| [[Uživatel:Steffy | Martin Štefaňák]]<br />
| [[Diskuse:02TSFsbirka | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 3. ročník (BS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01ALG Algebra<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01ALG | Zápisky z přednášek doc. Mareše]] <br />
| [http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~hejdato1/main/ Tomáš Hejda]<br />
| [[Diskuse:01ALG | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01FA2 Funkcionální analýza 2<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01FA2 | Zápisky z přednášek]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01FA2 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01NUM Numerická matematika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01NUM| Zápisky z přednášek doc. Beneše]] <br />
| Ondřej Mičan <br /> Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01NUM | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika&nbsp;1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01PRA1&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01PRA1 | Zápisky z přednášek as. Kůse]] <br />
| neznámý<br />
| [[Diskuse:01PRA1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika&nbsp;1<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01PRA1_2&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01PRA1_2 | Zápisky z přednášek as. Kůse]] <br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01PRA1 | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02KVAN Kvantová mechanika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVAN&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02KVAN | Slabikář kvantové mechaniky]] - skriptum prof. Hlavatého <br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/Pers_Hpgs/Hlavaty/lhhomepa.htm Ladislav Hlavatý]<br />
| [[Diskuse:02KVAN | diskuse]]<br />
|-<br />
| 02KVAN Kvantová mechanika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02KVANCV&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02KVANCV | Skriptum prof. Hlavatého ke cvičení ]]<br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/Pers_Hpgs/Hlavaty/lhhomepa.htm Ladislav Hlavatý]<br />Libor Šnobl<br />Martin Štefaňák<br />
| [[Diskuse:02KVANCV | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | 4. ročník (MS)<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01ZTGA Základy teorie grafů A<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01ZTGA | Zápisky z přednášek prof. Pelantové]] <br />
| [http://saint-paul.fjfi.cvut.cz/ Pavel Strachota]<br />
| [[Diskuse:01ZTGA | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Vznikající skripta<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 02VOAF Vlnění, optika, atomová fyzika<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02VOAFskriptum&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[02VOAFskriptum | Skripta prof. Tolara]] <br />
| [http://www.fjfi.cvut.cz/Files/k402/Pers_Hpgs/tolar/tolar1.htm Jiří Tolar]<br />
| [[Diskuse:02VOAFskriptum | diskuse]]<br />
|-<br />
| 01VYMA Vybrané partie z matematiky<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01VYMA | Zápisky z přednášek as. Mikyšky]] <br />
| Michal Kuna<br />
| [[Diskuse:01VYMA | diskuse]]<br />
|-<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Neaktuální skripta<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | PDF<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Skriptum<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Autor<br />
! style="background:#889FC3;color:white;vertical-align:center" align="left" | Diskuse<br />
|-<br />
| 01DIFR Diferenciální rovnice<br />
| [http://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01DIFR&action=latexdoc&ext=pdf PDF]<br />
| [[01DIFR | Zápisky z přednášek doc. Humhala]].<br />
| Jindřich Makovička<br />
| [[Diskuse:01DIFR | diskuse]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br /><br />
<br />
[[Navod|Návod]] pro editaci skript.</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4539
01ZTGA
2012-01-15T13:28:07Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy teorie grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
\chapter{Rozšířený kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast2_kapitola1}<br />
\input{cast2_kapitola2}<br />
\input{cast2_kapitola3}<br />
\input{cast2_kapitola4}<br />
<br />
\chapter{Generující funkce}<br />
<br />
Do kursu kombinatoriky a teorie grafů tradičně patří také kapitola<br />
o generujících funkcích, i když v rozsahu naší přednášky se samotné<br />
teorie grafů dotýká jen okrajově. Budeme se zabývat mocninnými řadami,<br />
s jejichž pomocí lze s úspěchem vyřešit zdánlivě velmi složité kombinatorické<br />
problémy. Tato kapitola pojednává o obyčejných mocninných řadách a<br />
exponenciálních generujících funkcích. Neobsahuje výklad Dirichletových<br />
generujících funkcí, které však nebyly součástí zkoušené látky.<br />
<br />
Základní myšlenkou aplikovanou na problémy v této kapitole je zpravidla<br />
přeformulování kombinatorické úlohy na úlohu nalezení koeficientů<br />
mocninné řady, jejíž součet (generující funkci) známe. Přitom vždy<br />
využíváme jednoznačnost rozvoje funkce do mocninné řady.<br />
<br />
\input{cast3_kapitola1}<br />
\input{cast3_kapitola2}<br />
<br />
\begin{thebibliography}{1}<br />
\bibitem{pelantova}Edita Pelantová: \emph{Základy teorie grafů}. FJFI ČVUT, přednášky,<br />
2005.<br />
\bibitem{tslo}Vladan Majerech: \emph{Úvod do složitosti a NP-úplnosti}. MFF UK,<br />
1999.<br />
\bibitem{GTWA}J. A. Bondy, U. S. R. Murty: \emph{Graph Theory With Applications}.<br />
Elsevier Science Publishing, New York, 1982.<br />
\bibitem{GT3}Reinhard Diestel: Graph Theory III (electronic edition 2005). Springer-Verlag<br />
Heidelberg, New York, 2005.<br />
\bibitem{PNLA}Jiří Mikyška: \emph{Pokročilé partie numerické lineární algebry}.<br />
FJFI ČVUT, přednášky, 2005.<br />
\bibitem{TIN}Igor Vajda: \emph{Teorie informace}. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004.<br />
\end{thebibliography}<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4538
01ZTGA
2012-01-15T13:26:40Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy teorie grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
\chapter{Rozšířený kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast2_kapitola1}<br />
\input{cast2_kapitola2}<br />
\input{cast2_kapitola3}<br />
\input{cast2_kapitola4}<br />
<br />
\chapter{Generující funkce}<br />
<br />
Do kursu kombinatoriky a teorie grafů tradičně patří také kapitola<br />
o generujících funkcích, i když v rozsahu naší přednášky se samotné<br />
teorie grafů dotýká jen okrajově. Budeme se zabývat mocninnými řadami,<br />
s jejichž pomocí lze s úspěchem vyřešit zdánlivě velmi složité kombinatorické<br />
problémy. Tato kapitola pojednává o obyčejných mocninných řadách a<br />
exponenciálních generujících funkcích. Neobsahuje výklad Dirichletových<br />
generujících funkcí, které však nebyly součástí zkoušené látky.<br />
<br />
Základní myšlenkou aplikovanou na problémy v této kapitole je zpravidla<br />
přeformulování kombinatorické úlohy na úlohu nalezení koeficientů<br />
mocninné řady, jejíž součet (generující funkci) známe. Přitom vždy<br />
využíváme jednoznačnost rozvoje funkce do mocninné řady.<br />
<br />
\input{cast3_kapitola1}<br />
\input{cast3_kapitola2}<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola3_2&diff=4537
01ZTGA:Kapitola3 2
2012-01-15T13:22:28Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Exponenciální generující funkce}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:EGF}Nechť $z\in\C$, $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$<br />
je číselná posloupnost. \textbf{Řadou s exponenciální generující funkcí}<br />
(angl. \emph{exponential generating function}, EGF) rozumíme číselnou<br />
řadu\[<br />
\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{n}}{n!}z^{n}.\]<br />
Součet této řady nazýváme (exponenciální) \textbf{generující funkcí}.<br />
Korespondenci posloupnosti koeficientů řady a příslušné exponenciální<br />
generujcí funkce $f(z)$ zapisujeme jako\[<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f(z).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Srovnáme-li definice \ref{def:OPS} a \ref{def:EGF}, všimneme si<br />
určité inkonzistence v názvosloví. Definice \ref{def:OPS} udává název<br />
pro řadu, ale definice \ref{def:EGF} hovoří spíše o její generující<br />
funkci. Tento rozpor je dědictvím přednášky, kde jsme ve skutečnosti<br />
žádné formální definice neměli a hovořili jsme o obyčejných generujících<br />
funkcích (angl. \emph{ordinary power} \textbf{\emph{series}}, OPS)<br />
a o exponenciálních generujících funkcích, které jsme označovali jako<br />
EGF. Zájemci o korektní (a/nebo obvyklé) označení jej budou muset<br />
hledat v literatuře.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
\[<br />
\left(1\right)_{n=1}^{\infty}\xrightarrow{EGF}\e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.\]<br />
<br />
\end{example*}<br />
<br />
\subsection{Pravidla pro počítání s EGF\label{sub:Pravidla-pro-pocitani-s-EGF}}<br />
<br />
Jestliže \[<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f(z),\;\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}g(z),\]<br />
tak potom lze odvodit následující vztahy:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro posunutí indexu o 1 platí\[<br />
\boxed{\left(a_{n+1}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f'(z)},\]<br />
protože\[<br />
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}nz^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{(n-1)!}z^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{n!}z^{n}.\]<br />
<br />
\item Pro násobení indexem platí\[<br />
\boxed{\left(na_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}zf'(z)},\]<br />
protože\[<br />
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}nz^{n-1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(n\cdot a_{n}\right)}{n!}z^{n}.\]<br />
<br />
\item Pro násobení mocninou konstanty platí zřejmě (stejně jako u OPS)\[<br />
\boxed{\left(c^{n}a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f(cz)}.\]<br />
<br />
\item Zřejmě platí\begin{equation}<br />
\boxed{\left(a_{n}\pm b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f(z)\pm g(z)}.\label{eq:Soucet-rozdil-EGF}\end{equation}<br />
<br />
\item Podle vzorce pro násobení mocninných řad platí\[<br />
\boxed{\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_{k}b_{n-k}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}f(z)g(z)},\]<br />
protože\[<br />
\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}z^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}\frac{b_{n-k}}{(n-k)!}\right)z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\sum_{k=0}^{n}\underbrace{\frac{n!}{k!(n-k)!}}_{\binom{n}{k}}a_{k}b_{n-k}\right)z^{n}.\]<br />
<br />
\item Speciálně pro volbu $b_{n}=1$ je $g(z)=\e^{z}$, a tak\begin{equation}<br />
\boxed{\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_{k}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}\e^{z}f(z)}.\label{eq:castec-souc-EGF}\end{equation}<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Jednoduchý příklad}<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Je zřejmé, že použití generujících funkcí je podmíněno nenulovým poloměrem<br />
konvergence příslušných řad. Jak již bylo řečeno, v kombinatorických<br />
úlohách zpravidla hledáme posloupnost koeficientů $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$.<br />
Tuto posloupnost sice neznáme, ale v mnoha případech jsme schopni<br />
ji nějakým způsobem odhadnout, takže můžeme zdola odhadnout i poloměr<br />
konvergence.<br />
<br />
Kritériem rozhodování, zda pro řešení dané úlohy použít OPS či EGF,<br />
může být právě fakt, že EGF připouští pomalejší klesání posloupnosti<br />
$a_{n}$ (o faktor $n!$) při zachování stejného poloměru konvergence.<br />
Při rozhodování nám mnohdy pomůže též ,,typ{}`` úlohy - například<br />
následující úloha vybízí k použití EGF, neboť její zadání v mnohém<br />
připomíná pravidlo (\ref{eq:castec-souc-EGF}).<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example}<br />
Vypočítejte součet\[<br />
S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k^{2}.\]<br />
Vyjděme z posloupnosti $\left(1\right)_{n=0}^{\infty}$ a používejme<br />
postupně pravidla z části \ref{sub:Pravidla-pro-pocitani-s-EGF}:\begin{eqnarray*}<br />
\left(1\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & \e^{z},\\<br />
\left(n\cdot1\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & z\e^{z},\\<br />
\left(n^{2}\right)_{n=0}^{\infty}=\left(n\cdot n\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & z\left(\e^{z}+z\e^{z}\right)=\left(z+z^{2}\right)\e^{z},\\<br />
\left(S_{n}\right)_{n=0}^{\infty}=\left(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k^{2}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & \left(z+z^{2}\right)\e^{2z}.\end{eqnarray*}<br />
Podle posledního řádku platí\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{S_{n}}{n!}z^{n}=\left(z+z^{2}\right)\e^{2z}.\]<br />
Najdeme-li tedy rozvoj funkce $\left(z+z^{2}\right)\e^{2z}$ do mocninné<br />
řady, budeme schopni vyjádřit koeficienty $S_{n}$. Rozvoj sestrojíme<br />
šikovně, neboť nám postačí znalost rozvoje $\e^{z}$, který vynásobíme<br />
polynomem $\left(z+z^{2}\right)$, takže výsledek bude stále mocninná<br />
řada.\[<br />
\left(z+z^{2}\right)\e^{2z}=\left(z+z^{2}\right)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(2z\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}z^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}z^{n+2}=\underbrace{z+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{\left(n-1\right)!}z^{n}}_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{\left(n-1\right)!}z^{n}}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n-2}}{\left(n-2\right)!}z^{n}.\]<br />
Z uvedeného vztahu je už vidět, že $S_{1}=1$ a\begin{eqnarray*}<br />
\frac{S_{n}}{n!} & = & \frac{2^{n-1}}{\left(n-1\right)!}+\frac{2^{n-2}}{\left(n-2\right)!},\\<br />
S_{n} & = & n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}.\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
\subsection{Bernoulliova čísla}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Bernoulliovými čísly rozumíme posloupnost $\left(B_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$,<br />
pro niž platí \[<br />
\left(B_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}\frac{z}{\e^{z}-1}.\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:korektnost-definice-Bn}Zabývejme se korektností definice<br />
$B_{n}$, tj. je-li možné psát funkci $f(z)=\frac{z}{\e^{z}-1}$ jako<br />
součet mocninné řady. Nejprve se podívejme na kořeny jmenovatele.<br />
Jestliže vyjádříme $z$ jako $z=i\varphi$, můžeme řešit rovnici\begin{eqnarray*}<br />
\e^{i\varphi} & = & 1,\textrm{ tj.}\\<br />
\cos\varphi+i\sin\varphi & = & 1,\end{eqnarray*}<br />
která má řešení $\varphi=2k\pi$, neboli $z=2k\pi i$, kde $k\in\Z$.<br />
V bodě $z_{0}=0$ ($k=0$) platí\[<br />
\lim_{z\to z_{0}}\frac{z}{\e^{z}-1}=1,\]<br />
a v tomto bodě je tedy odstranitelná nespojitost funkce $f$. Pro<br />
$k\in\Z\backslash\left\{ 0\right\} $ a $z_{0}=2k\pi i$ však platí\[<br />
\lim_{z\to z_{0}}\frac{z}{\e^{z}-1}=\infty,\]<br />
přičemž nejblíže nule jsou body $\pm2\pi i$. Jiné singulární body<br />
funkce $f$ nemá. To znamená, že je holomorfní na kruhu se středem<br />
v bodě $0$ a s poloměrem $2\pi$ a její Laurentův rozvoj v bodě $0$<br />
má tedy jen regulární část - je to přímo Taylorův rozvoj. Proto lze<br />
skutečně funkci $\frac{z}{\e^{z}-1}$ rozvinout do mocninné řady (v<br />
bodě $0$) a poloměr konvergence této řady je $2\pi$ (neboť to je<br />
vzdálenost k nejbližšímu singulárnímu bodu).<br />
\end{rem}<br />
V následujícím se budeme snažit najít hodnoty $B_{n}$. Podle definice<br />
po vynásobení $(\e^{z}-1)$ platí%<br />
\footnote{Od tohoto okamžiku jsme se zbavili odstranitelné nespojitosti funkce<br />
$f(z)=\frac{z}{\e^{z}-1}$ v bodě $0$. Pokud v bodě $0$ dodefinujeme<br />
funkci $f$ její limitou, tj. číslem $1$, tak je koeficient $B_{0}$<br />
v rozvoji funkce $f$ do mocninné řady roven jedné, neboť to je právě<br />
funkční hodnota v bodě $0$. Jak uvidíme, po odstranění zlomku k tomuto<br />
výsledku dojdeme i jinak.%<br />
}\[<br />
z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}z^{n}\cdot\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}}_{\e^{z}-1}.\]<br />
Po úpravě dostaneme\[<br />
1=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}z^{n}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)!}z^{n}.\]<br />
Podle vzorce pro součin mocninných řad můžeme dále upravit na\[<br />
1=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{B_{k}}{k!}\frac{1}{\left(n-k+1\right)!}\right)z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n},\]<br />
ale to není nic jiného než rozvoj ,,funkce{}`` $g(z)=1$ do mocninné<br />
řady. Protože koeficienty rozvoje jsou jednoznačné, platí\begin{eqnarray*}<br />
c_{0}=B_{0} & = & 1,\\<br />
c_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{B_{k}}{k!}\frac{1}{\left(n-k+1\right)!} & = & 0,\; n\in\N.\end{eqnarray*}<br />
Po vynásobení poslední rovnosti číslem $n!$ přejde tato rovnost na<br />
elegantnější tvar\[<br />
\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_{k}=0.\]<br />
S pomocí tohoto vztahu jsme schopni rekurzivně vypočítat prvky posloupnosti<br />
$\left(B_{n}\right)$:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $B_{1}=-\frac{1}{2}$ zjistíme ze vztahu $\binom{2}{0}B_{0}+\binom{2}{1}B_{1}=0$,<br />
\item $B_{2}=\frac{1}{6}$ vypočítáme z rovnosti $\binom{3}{0}B_{0}+\binom{3}{1}B_{1}+\binom{3}{2}B_{2}=0$,<br />
\end{itemize}<br />
a takto můžeme pokračovat. Prvních 16 členů posloupnosti $\left(B_{n}\right)$<br />
má následující hodnoty:<br />
<br />
\begin{center}\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}<br />
\hline <br />
$n$&<br />
$0$&<br />
$1$&<br />
$2$&<br />
$3$&<br />
$4$&<br />
$5$&<br />
$6$&<br />
$7$\tabularnewline<br />
\hline <br />
$B_{n}$&<br />
$1$&<br />
$-\frac{1}{2}$&<br />
$\frac{1}{6}$&<br />
$0$&<br />
$-\frac{1}{30}$&<br />
$0$&<br />
$\frac{1}{42}$&<br />
$0$\tabularnewline<br />
\hline<br />
\end{tabular}\\<br />
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}<br />
\hline <br />
$8$&<br />
$9$&<br />
$10$&<br />
$11$&<br />
$12$&<br />
$13$&<br />
$14$&<br />
$15$&<br />
$16$\tabularnewline<br />
\hline <br />
$-\frac{1}{30}$&<br />
$0$&<br />
$\frac{5}{66}$&<br />
$0$&<br />
$-\frac{691}{2730}$&<br />
$0$&<br />
$\frac{7}{6}$&<br />
$0$&<br />
$-\frac{3617}{510}$\tabularnewline<br />
\hline<br />
\end{tabular}\end{center}<br />
<br />
Hodnoty $B_{n}$ se mění na první pohled chaoticky a explicitní vyjádření<br />
členů posloupnosti $B_{n}$ nevypadá jednoduše. My se o něj ani pokoušet<br />
nebudeme. Podle hodnot v tabulce však můžeme předpokládat, že\[<br />
B_{2n+1}=0\textrm{ pro }n\geq1.\]<br />
To je z definice $B_{n}$ ekvivalentní vztahu\[<br />
\frac{z}{\e^{z}-1}=1-\frac{1}{2}z+\textrm{sudé mocniny }z.\]<br />
Abychom jej dokázali, stačí ukázat, že funkce $f(z)=\frac{z}{\e^{z}-1}+\frac{1}{2}z$<br />
je sudá. To skutečně platí, můžeme ověřit rovnost $f(z)=f(-z)$ nebo<br />
provést úpravu $f(z)$ na tvar\[<br />
\frac{z}{\e^{z}-1}+\frac{z}{2}=z\frac{2+\e^{z}-1}{2(e^{z}-1)}=\frac{z}{2}\frac{\e^{z}+1}{\e^{z}-1}=\frac{z}{2}\frac{\e^{\frac{z}{2}}+\e^{-\frac{z}{2}}}{\e^{\frac{z}{2}}-\e^{-\frac{z}{2}}}=\frac{z}{2}\coth\left(\frac{z}{2}\right),\]<br />
z nejž je již sudost funkce $f$ zřejmá.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Bernoulli)}}<br />
<br />
Nechť $m\in\N$. Potom platí\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1}k^{m}=\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}\binom{m+1}{i}B_{i}n^{m-i+1}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{example*}<br />
Pro $m=2$ máme známý vzoreček\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=0}^{n}k^{2} & = & \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1),\;\textrm{tj.}\\<br />
\sum_{k=0}^{n-1}k^{2} & = & \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)\end{eqnarray*}<br />
a podle Bernoulliovy věty vychází\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1}k^{2}=\frac{1}{3}\left(B_{0}n^{3}+3\underbrace{B_{1}}_{-\frac{1}{2}}n^{2}+3\underbrace{B_{2}}_{\frac{1}{6}}n\right)=\frac{1}{3}n\left(n^{2}-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}n\left(2n^{2}-3n+1\right)=\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1).\]<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{proof}<br />
Definujeme\[<br />
S_{n}(m):=\sum_{k=0}^{n-1}k^{m}\]<br />
a hledáme tedy hodnotu $S_{n}(m)$. Uvažujme posloupnost $\left(S_{n}(m)\right)_{m=0}^{\infty}$<br />
pro index $m$ (!!) jako posloupnost koeficientů řady s EGF. Postupně<br />
upravujeme:\[<br />
\left(S_{n}(m)\right)_{m=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{S_{n}(m)}{m!}z^{m}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\left(\sum_{k=0}^{n-1}k^{m}\right)z^{m}=\sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left(kz\right)^{m}}{m!}}_{\e^{kz}}=,\]<br />
... napravo máme konečnou geometrickou řadu, kterou můžeme sečíst<br />
...\[<br />
=\e^{0}+\e^{z}+\e^{2z}+...+\e^{(n-1)z}=\frac{\e^{nz}-1}{\e^{z}-1}=\frac{z}{\e^{z}-1}\cdot\frac{\e^{nz}-1}{z}=\]<br />
\[<br />
=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}z^{k}\right)\cdot\underbrace{\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\left(nz\right)^{i}}{i!}\right)}_{\e^{nz}-1}\frac{1}{z}=\]<br />
... zkrátíme a posuneme indexy ...\[<br />
=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}z^{k}\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{n^{i+1}z^{i}}{\left(i+1\right)!}\right)=\]<br />
... použijeme vzorec pro násobení mocninných řad, přičemž vnější sčítací<br />
index zvolíme jako $m$ ...\[<br />
=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{m}\frac{B_{j}}{j!}\frac{n^{m-j+1}}{\left(m-j+1\right)!}\right)z^{m}=\]<br />
... nakonec vynásobíme $1=\frac{\left(m+1\right)!}{m!\left(m+1\right)}$<br />
a dostaneme ...\[<br />
=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}\underbrace{\left(\frac{1}{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_{j}n^{m-j+1}\right)}_{S_{n}(m)}z^{m}.\]<br />
Na konci máme opět mocninnou řadu s EGF a v závorce tak vystupuje<br />
právě koeficient $S_{n}(m)$. Platí tedy\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1}k^{m}=S_{n}(m)=\frac{1}{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_{j}n^{m-j+1}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsubsection{Odhady Bernoulliových čísel}<br />
<br />
Jak jsme si řekli, řada $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{n}}{n!}z^{n}$<br />
má poloměr konvergence $\rho=2\pi$. Podle vzorce z matematické analýzy<br />
na výpočet $\rho$ máme tedy\begin{eqnarray*}<br />
2\pi & = & \frac{1}{\limsup\limits _{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{B_{n}}{n!}\right|}},\\<br />
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{B_{n}}{n}\right|} & = & \frac{1}{2\pi}.\end{eqnarray*}<br />
S pomocí obou vlastností limes superior%<br />
\footnote{\textbf{Připomenutí pojmů z matematické analýzy:} $A\in\R\cup\left\{ \pm\infty\right\} $<br />
je hromadná hodnota reálné posloupnosti $\left(A_{n}\right)$, právě<br />
když existuje z ní vybraná posloupnost taková, že $\lim_{n\to\infty}A_{k_{n}}=A$.<br />
Každá číselná posloupnost má hromadnou hodnotu. Množina hromadných<br />
hodnot posloupnosti má nejmenší a největší prvek. Limes superior je<br />
největší hromadná hodnota posloupnosti.<br />
<br />
Z těchto definic a tvrzení plynou dvě vlastnosti limes superior. $\limsup_{n\to\infty}A_{n}=A$,<br />
právě když:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro každé $\varepsilon$ je jen konečně mnoho prvků větších než $A+\varepsilon$,<br />
tj. $\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists n_{0}\right)\left(\forall n>n_{0}\right)\left(A_{n}<A+\varepsilon\right)$.<br />
\item Pro každé $\varepsilon$ existuje nekonečně mnoho prvků větších než<br />
$A-\varepsilon$, tj. $\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists_{\infty}n\right)\left(A_{n}>A-\varepsilon\right)$.<br />
\end{enumerate}<br />
%<br />
} můžeme odhadnout absolutní hodnotu $B_{n}$ shora i zdola:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro každé $\varepsilon>0$ platí od jistého $n_{0}$ počínaje\begin{eqnarray*}<br />
\sqrt[n]{\left|\frac{B_{n}}{n}\right|} & \leq & \frac{1}{2\pi}+\varepsilon,\\<br />
\left|B_{n}\right| & \leq & \left(\frac{1}{2\pi}+\varepsilon\right)^{n}\cdot n!.\end{eqnarray*}<br />
<br />
\item Pro každé $\varepsilon>0$ platí pro nekonečně mnoho $n$ odhad\[<br />
\left|B_{n}\right|\geq\left(\frac{1}{2\pi}-\varepsilon\right)^{n}\cdot n!.\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
Ukážeme, že vhodným postupem lze zjistit nejen odhad shora a zdola,<br />
ale že lze pro každé $B_{n}$ nalézt i jeho přibližnou hodnotu, tj.<br />
číslo, které se mu blíží. Nejprve připomeňme, že funkce komplexní<br />
proměnné $f(z)$ má v singulárním bodě $z_{0}$ pól $p$-tého stupně,<br />
právě když pro koeficienty jejího Laurentova rozvoje v bodě $z_{0}$<br />
platí $a_{-p}\neq0$ a $a_{n}=0$ pro $n<-p$. To je ekvivalentní<br />
s existencí konečné limity\[<br />
\lim_{z\to z_{0}}f(z)\cdot\left(z-z_{0}\right)^{p}\in\C\backslash\left\{ 0\right\} .\]<br />
<br />
<br />
Konkrétně stupeň pólů funkce $f(z)=\frac{z}{\e^{z}-1}$ v bodech $\pm2\pi i$<br />
je $1$, protože pomocí l'Hospitalova pravidla vypočítáme\[<br />
\lim_{z\to2\pi i}\frac{z}{\e^{z}-1}\left(z-2\pi i\right)=\lim_{z\to2\pi i}\frac{z^{2}-2\pi iz}{\e^{z}-1}=\lim_{z\to2\pi i}\frac{2z-2\pi i}{\e^{z}}=2\pi i=a_{-1}=\textrm{Rez}_{2\pi i}\ f.\]<br />
Analogicky pro $z\to-2\pi i$ vyjde limita $a_{-1}=-2\pi i$. Má-li<br />
však (nějaká) funkce $f$ v bodě $z_{0}$ pól stupně $1$, její Laurentův<br />
rozvoj v tomto bodě má tvar\[<br />
f(z)=\frac{a_{-1}}{z-z_{0}}+a_{0}+a_{1}\left(z-z_{0}\right)+...,\]<br />
takže funkce $f(z)-\frac{a_{-1}}{z-z_{0}}$ má rozvoj\[<br />
f(z)-\frac{a_{-1}}{z-z_{0}}=a_{0}+a_{1}\left(z-z_{0}\right)+...\]<br />
a je tedy holomorfní v bodě $z_{0}$. Z toho plyne, že funkce\[<br />
g(z):=\frac{z}{\e^{z}-1}-\underbrace{\left(\frac{2\pi i}{z-2\pi i}+\frac{-2\pi i}{z+2\pi i}\right)}_{-1.\textrm{ \v{c}leny rozvoje v bodech }\pm2\pi i}\]<br />
je holomorfní v bodech $\pm2\pi i$ a tím pádem je holomorfní na kruhu<br />
se středem v nule o poloměru $4\pi$, neboť další singulární body<br />
funkce $\frac{z}{\e^{z}-1}$ jsou $\pm4\pi i$. Její Laurentův rozvoj<br />
v bodě $0$ je rozvojem do mocninné řady s poloměrem konvergence $4\pi$.<br />
<br />
Tato skutečnost nám umožní získat přibližné hodnoty Bernoulliových<br />
čísel. Nejprve upravíme\[<br />
g(z)=\frac{z}{\e^{z}-1}-2\pi i\frac{2\pi i+2\pi i}{z^{2}+4\pi^{2}}=\frac{z}{\e^{z}-1}+\frac{8\pi^{2}}{z^{2}+4\pi^{2}}=\frac{z}{\e^{z}-1}+2\frac{1}{1+\frac{z^{2}}{4\pi^{2}}},\]<br />
takže poslední zlomek je ve tvaru součtu geometrické řady s kvocientem<br />
$-\frac{z^{2}}{4\pi^{2}}$. Celou funkci $g(z)$ nyní snadno rozvineme<br />
do řady, přičemž ještě využijeme, že liché členy posloupnosti $B_{n}$<br />
počínaje $B_{3}$ jsou rovny nule. \[<br />
g(z)=\underbrace{-\frac{1}{2}z}_{\frac{B_{1}}{1!}z^{1}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}z^{2n}+2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}z^{2n}=-\frac{1}{2}z+\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}+2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}\right)}_{a_{2n}}z^{2n}.\]<br />
<br />
<br />
Tato řada má poloměr konvergence $\rho=4\pi$. Nyní odhadneme $B_{n}$<br />
zcela stejným postupem, jako jsme to již jednou udělali. Platí\[<br />
\frac{1}{4\pi}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]{\left|a_{2n}\right|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[2n]{\left|\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}+2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}\right|}.\]<br />
Využijeme jen první vlastnosti limes superior, tj. že pro každé $\varepsilon>0$<br />
platí od jistého $n_{0}$ počínaje\begin{eqnarray*}<br />
\sqrt[2n]{\left|\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}+2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}\right|} & \leq & \frac{1}{4\pi}+\varepsilon,\\<br />
\left|\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}+2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}\right| & \leq & \left(\frac{1}{4\pi}+\varepsilon\right)^{2n}.\end{eqnarray*}<br />
Poslední vztah vlastně odhaduje vzdálenost čísla $\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}$<br />
od čísla $-2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}$.<br />
Proto můžeme napsat\[<br />
\frac{B_{2n}}{\left(2n\right)!}=-2\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}+O\left(\left(\frac{1}{4\pi}+\varepsilon\right)^{2n}\right)\]<br />
a definovat posloupnost $C_{2n}$ jako posloupnost přibližných hodnot<br />
$B_{2n}$ vztahem\[<br />
C_{2n}=-2\left(2n\right)!\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(4\pi^{2}\right)^{n}}.\]<br />
Následující tabulka udává srovnání skutečných hodnot $B_{n}$ a jejich<br />
odhadů:<br />
<br />
\begin{flushleft}\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}<br />
\hline <br />
$2n$&<br />
$2$&<br />
$4$&<br />
$6$&<br />
$8$&<br />
$10$&<br />
$12$&<br />
$14$&<br />
$16$\tabularnewline<br />
\hline <br />
$B_{2n}$&<br />
$\frac{1}{6}$&<br />
$-\frac{1}{30}$&<br />
$\frac{1}{42}$&<br />
$-\frac{1}{30}$&<br />
$\frac{5}{66}$&<br />
$-\frac{691}{2730}$&<br />
$\frac{7}{6}$&<br />
$-\frac{3617}{510}$\tabularnewline<br />
\hline <br />
$B_{2n}\approx$&<br />
$0.16\bar{6}$&<br />
$-0.033\bar{3}$&<br />
$0.0238$&<br />
$-0.0333\bar{3}$&<br />
$0.075\overline{75}$&<br />
$-0.25311$&<br />
$1.16666\bar{6}$&<br />
$-7.092156$\tabularnewline<br />
\hline <br />
$C_{2n}\approx$&<br />
$0.10132$&<br />
$-0.03079$&<br />
$0.0234$&<br />
$-0.03319$&<br />
$0.07568$&<br />
$-0.25305$&<br />
$1.166595$&<br />
$-7.092048$\tabularnewline<br />
\hline<br />
\end{tabular}\end{flushleft}<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Posloupnost $C_{2n}$ pro $n\to\infty$ nekonverguje k $B_{2n}$,<br />
pro další členy by už rozdíly mezi $B_{2n}$ a $C_{2n}$ rostly. To<br />
není překvapením, protože odhad rozdílu je\[<br />
\left(2n\right)!O\left(\left(\frac{1}{4\pi}+\varepsilon\right)^{2n}\right)\xrightarrow{n\to\infty}+\infty.\]<br />
<br />
<br />
Pokud bychom chtěli získat přesnější odhady $B_{2n}$, mohli bychom<br />
odečtením potřebných členů vyrobit funkci, kterou lze rozvinout do<br />
mocninné řady s poloměrem konvergence $2k\pi>4\pi$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Invertovací formule}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$, $\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$<br />
jsou dvě posloupnosti, nechť $\forall n\in\N\backslash\left\{ 0\right\} $<br />
je\[<br />
a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}b_{k}.\]<br />
Potom\[<br />
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_{k}\left(-1\right)^{n-k}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Je zřejmé, proč se tato věta nazývá invertovací formule. Udává totiž<br />
vyjádření členů $b_{n}$ pomocí $a_{n}$ při znalosti vyjádření $a_{n}$<br />
pomocí $b_{n}$. Podobných invertovacích formulí je více.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Dokázat tuto větu s použitím EGF je snadné. Uvažujme následující EGF:\begin{eqnarray*}<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & A(z),\\<br />
\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & B(z).\end{eqnarray*}<br />
Podle pravidla (\ref{eq:castec-souc-EGF}) platí\[<br />
\left(\underbrace{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}b_{k}}_{a_{n}}\right)\xrightarrow{EGF}e^{z}B(z).\]<br />
Dostáváme tedy vztah $A(z)=\e^{z}B(z)$. Zpětně vyjádříme $B(z)=\e^{-z}A(z)$<br />
a provedeme rozvoj funkce $\e^{-z}$ do mocninné řady. Dojdeme tak<br />
k rovnosti\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!}z^{n}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}z^{n}=\e^{-z}A(z)=B(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}.\]<br />
Vynásobíme řady podle součinového vzorce a získáme\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}\frac{\left(-1\right)^{n-k}}{\left(n-k\right)!}\right)z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}.\]<br />
Porovnáním koeficientů potom dostaneme\begin{eqnarray*}<br />
\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}\frac{\left(-1\right)^{n-k}}{\left(n-k\right)!} & = & \frac{b_{n}}{n!},\\<br />
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a_{k}\left(-1\right)^{n-k} & = & b_{n}.\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsubsection{Použití invertovací formule}<br />
<br />
Označme $d_{n}$ počet permutací $\pi$ na množině $\left\{ 1,2,...,n\right\} $,<br />
které nemají pevný bod, tj. platí pro ně\[<br />
\left(\forall k\in\hat{n}\right)\left(\pi(k)\neq k\right).\]<br />
Platí<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $d_{1}=0$,<br />
\item $d_{2}=1$ (pouze permutace $2,1$),<br />
\item $d_{3}=2$ (permutace $2,3,1$ a $3,1,2$).<br />
\end{itemize}<br />
Snadno se odvodí následující rekurentní vztah.\[<br />
n!=d_{n}+n\cdot d_{n-1}+\binom{n}{2}d_{n-2}+...+\binom{n}{k}d_{n-k}+...+\binom{n}{n-2}d_{2}+\binom{n}{n-1}d_{1}+1.\]<br />
Všechny permutace množiny $\hat{n}$ lze totiž rozdělit na permutace<br />
bez pevného bodu (těch je $d_{n}$), permutace s jedním pevným bodem<br />
(těch je $n\cdot d_{n}$), permutace s dvěma pevnými body atd. Obecně<br />
permutací s $k$ pevnými body je $\binom{n}{k}d_{n-k}$, protože pevné<br />
body lze vybrat $\binom{n}{k}$ způsoby a zbytek je permutace $n-k$<br />
čísel bez pevného bodu, kterou lze vybrat $d_{n-k}$ způsoby). S použitím<br />
rovnosti\[<br />
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\]<br />
a s dodefinováním $d_{0}:=1$ lze tento vztah upravit na\[<br />
n!=\binom{n}{n}d_{n}+\binom{n}{n-1}d_{n-1}+...+\binom{n}{1}d_{1}+\binom{n}{0}d_{0}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}d_{k}.\]<br />
Potom můžeme aplikovat invertovací formuli, takže lze postupně upravovat:\[<br />
d_{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}k!\left(-1\right)^{n-k}=n!\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(n-k\right)!}\left(-1\right)^{n-k}=n!\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left(-1\right)^{k}=\]<br />
... využijeme $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(-1\right)^{k}=\e^{-1}$<br />
a přepíšeme na ...\[<br />
=n!\left(\e^{-1}-\underbrace{\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}}_{R}\right).\]<br />
Nyní aplikujeme Leibnizovo kritérium, které říká, že zbytek $R$ po<br />
alternující řadě je v absolutní hodnotě menší nebo roven než první<br />
zanedbaný člen, v našem případě $\frac{1}{\left(n+1\right)!}$. Platí<br />
tedy\[<br />
d_{n}=n!\e^{-1}-n!R,\]<br />
kde $n!\left|R\right|\leq\frac{1}{n+1}<\frac{1}{2}$ pro $n\geq2$.<br />
Lze tedy napsat, že $d_{n}=n!\e^{-1}-\varepsilon,$ kde $\left|\varepsilon\right|<\frac{1}{2}$,<br />
neboli $\varepsilon\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Dále upravíme<br />
na $n!\e^{-1}=d_{n}+\varepsilon$, a tedy\[<br />
n!\e^{-1}+\frac{1}{2}=d_{n}+\tilde{\varepsilon},\]<br />
kde $\tilde{\varepsilon}\in(0,1)$. Protože $d_{n}\in\N$, tak pokud<br />
vezmeme celou část levé i pravé strany této rovnosti, dostaneme explicitní<br />
vyjádření pro $d_{n}$:\[<br />
\left[\frac{n!}{\e}+\frac{1}{2}\right]=\left[d_{n}+\tilde{\varepsilon}\right]=d_{n}.\]<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Stirlingova čísla}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $n\geq k\geq1$. \textbf{Stirlingovo číslo} (druhého druhu)\[<br />
\stirl{n}{k}\]<br />
definujeme jako počet rozkladů množiny $\hat{n}$ na $k$ neprázdných<br />
podmnožin.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
\[<br />
\stirl{4}{2}=7,\]<br />
protože rozklady množiny $\left\{ 1,2,3,4\right\} $ na dvě neprázdné<br />
podmnožiny mohou být $\boxed{1}\boxed{234}$, $\boxed{2}\boxed{134}$,<br />
$\boxed{3}\boxed{124}$, $\boxed{4}\boxed{123}$, $\boxed{12}\boxed{34}$,<br />
$\boxed{13}\boxed{24}$, $\boxed{14}\boxed{23}$.<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:jednoducha-stirl-cisla}Zřejmě $\stirl{n}{1}=1$, $\stirl{n}{n}=1$.<br />
Dále<br />
\begin{itemize}<br />
\item \[<br />
\stirl{n}{2}=\frac{2^{n}-2}{2}=2^{n}-1,\]<br />
protože když množinu $\hat{n}$ rozdělujeme na dvě neprázdné podmnožiny,<br />
tak z ní vybereme libovolnou podmnožinu kromě $\emptyset$ a $\hat{n}$<br />
(a takových podmnožin je $2^{n}-2$). Druhou podmnožinu pak tvoří<br />
zbytek. Výsledný počet dělíme dvěma, neboť na pořadí podmnožin (která<br />
je ta první a která ta druhá) nezáleží.<br />
\item \[<br />
\stirl{n}{n-1}=\binom{n}{2},\]<br />
protože počet rozkladů $\hat{n}$ na $n-1$ neprázdných podmnožin<br />
odpovídá počtu dvouprvkových podmnožin $\hat{n}$ (právě jedna podmnožina<br />
v rozkladu má totiž dva prvky).<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem}<br />
<br />
<br />
\begin{rem}<br />
Je zřejmé, že v rozkladu množiny $\hat{n}$ platí právě jedno z následujících<br />
tvrzení:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Buď prvek $n$ tvoří jednoprvkovou podmnožinu,<br />
\item nebo prvek $n$ patří do nějaké víceprvkové podmnožiny množiny $\hat{n}$.<br />
\end{itemize}<br />
Podle této úvahy lze sestavit následující rekurentní vztah:\begin{equation}<br />
\stirl{n}{k}=\stirl{n-1}{k-1}+k\stirl{n-1}{k}.\label{eq:stirling-rekurence}\end{equation}<br />
$\stirl{n-1}{k-1}$ je totiž počet rozkladů, kde $n$ je ,,zvlášť{}``<br />
v jednoprvkové množině a $k\stirl{n-1}{k}$ je počet rozkladů, kdy<br />
$n$ ,,přihodíme{}`` do jedné z $k$ neprázdných podmnožin z rozkladu<br />
$\widehat{n-1}$, takže vznikne víceprvková podmnožina.<br />
<br />
Vzpomeňme si na obdobný vztah, který platí pro kombinační čísla:\[<br />
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.\]<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:stirling-extended}Pro $n,k\in\Z$ rozšiřujeme definici<br />
Stirlingova čísla takto:\[<br />
\stirl{n}{k}=\begin{cases}<br />
0 & \textrm{pro }n<k\textrm{ nebo }k<0,\\<br />
0 & \textrm{pro }k=0\textrm{ a }n\neq0,\\<br />
1 & \textrm{pro }n=k=0.\end{cases}\]<br />
V tom případě platí vztah (\ref{eq:stirling-rekurence}) pro každé<br />
$n,k\in\Z$ kromě $n=k=0$.<br />
\end{defn}<br />
Nyní najdeme explicitní vyjádření Stirlingova čísla. Nechť $k\geq0$.<br />
Potom definujeme mocninnou řadu\[<br />
B_{k}(x)=\sum_{n\in\Z}\stirl{n}{k}x^{n}\]<br />
a naším cílem tedy opět bude najít její koeficienty. Podotkněme, že<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $B_{k}$ je skutečně mocninná řada, protože podle rozšířené definice<br />
Stirlingových čísel platí $\sum_{n\in\Z}\stirl{n}{k}x^{n}=\sum_{n=k}^{\infty}\stirl{n}{k}x^{n}$.<br />
Rozsah sčítacího indexu $n\in\Z$ však bude velmi šikovný při manipulaci<br />
se sumami.<br />
\item Opět podle definice \ref{def:stirling-extended} platí $B_{0}(x)=1$.<br />
\end{enumerate}<br />
Nyní použijeme rovnost (\ref{eq:stirling-rekurence}) a dosadíme do<br />
definice $B_{k}$. Přitom s výhodou využíváme rozsah indexu $n\in\Z$.\[<br />
B_{k}(x)=x\sum_{n\in\Z}\stirl{n-1}{k-1}x^{n-1}+kx\sum_{n\in\Z}\stirl{n-1}{k}x^{n-1}=xB_{k-1}(x)+kxB_{k}(x).\]<br />
Z toho vyjádříme\[<br />
B_{k}(x)=\frac{x}{1-kx}B_{k-1}(x)\]<br />
a postupným dosazováním $B_{k-1}(x)$, $B_{k-2}(x)$,... dostaneme\[<br />
B_{k}(x)=\frac{x}{1-kx}\cdot\frac{x}{1-(k-1)x}\cdot\frac{x}{1-(k-2)x}\cdots\frac{x}{1-2x}\frac{x}{1-x}\cdot\underbrace{1}_{B_{0}(x)}.=\frac{x^{k}}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-kx)}.\]<br />
Jestliže tuto (generující) funkci rozvineme do mocninné řady, tak<br />
koeficient u $x^{n}$ bude díky jednoznačnosti rozvoje právě $\stirl{n}{k}$.<br />
Abychom byli schopni rozvoj provést, rozložíme nejprve funkci $B_{k}(x)/x^{k}$<br />
na parciální zlomky. Obecně má tento rozklad tvar\begin{equation}<br />
\frac{1}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-kx)}=\frac{\alpha_{1}}{1-x}+\frac{\alpha_{2}}{1-2x}+...+\frac{\alpha_{k}}{1-kx}.\label{eq:stirl-parc-zlomky}\end{equation}<br />
Nyní je třeba nalézt koeficienty $\alpha_{j}$. Zvolme si konkrétní<br />
$j\in\hat{k}$. Rovnost (\ref{eq:stirl-parc-zlomky}) vynásobíme výrazem<br />
$(1-jx)$ a poté dosadíme $x=\frac{1}{j}$. Dostaneme\begin{eqnarray*}<br />
\left.\frac{1}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-(j-1)x)(1-(j+1)x)\cdots(1-kx)}\right|_{x=\frac{1}{j}} & = & \alpha_{j},\\<br />
\frac{1}{\left(1-\frac{1}{j}\right)\left(1-\frac{2}{j}\right)\cdots\left(1-\frac{j-1}{j}\right)\left(1-\frac{j+1}{j}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{j}\right)} & = & \alpha_{j}.\end{eqnarray*}<br />
Pokud nyní rozšíříme zlomek nalevo výrazem $j^{k-1}$ tak, že každou<br />
závorku ve jmenovateli vynásobíme $j$, dostaneme\[<br />
\frac{j^{k-1}}{\underbrace{(j-1)(j-2)\cdots2\cdot1}_{\left(j-1\right)!}\cdot\underbrace{(-1)\cdot(-2)\cdots(j-k)}_{\left(k-j\right)!\left(-1\right)^{k-j}}}=\frac{j^{k}\left(-1\right)^{k-j}}{j!\left(k-j\right)!}=\alpha_{j}.\]<br />
Koeficienty $\alpha_{j}$ jsme tedy získali. Rozvoje jednotlivých<br />
zlomků $\frac{1}{1-jx}$ jsou přitom snadné, jedná se totiž o součty<br />
geometrických řad s kvocienty $jx$. Celý rozvoj $B_{k}(x)$ tedy<br />
je\[<br />
B_{k}(x)=x^{k}\sum_{j=1}^{k}\alpha_{j}\sum_{n=0}^{\infty}\left(jx\right)^{n}.\]<br />
Nyní zaměníme pořadí sum, dosadíme hodnoty $\alpha_{j}$ a dostaneme\[<br />
B_{k}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{j^{k}\left(-1\right)^{k-j}}{j!\left(k-j\right)!}j^{n}x^{n+k}.\]<br />
Koeficient u $x^{n}$ je tedy\[<br />
\stirl{n}{k}=\sum_{j=1}^{k}\frac{j^{k}\left(-1\right)^{k-j}}{j!\left(k-j\right)!}j^{n-k}=\sum_{j=1}^{k}\frac{j^{n}\left(-1\right)^{k-j}}{j!\left(k-j\right)!}=\sum_{j=0}^{k}\frac{j^{n}\left(-1\right)^{k-j}}{j!\left(k-j\right)!}.\]<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Explicitní vzorec pro $\stirl{n}{k}$ byl odvozen za použití rozšířené<br />
definice \ref{def:stirling-extended}, a proto tuto definici splňuje.<br />
Jen pro zajímavost tak například víme, že\[<br />
\stirl{13}{19}=0=\sum_{j=1}^{19}\frac{j^{13}\left(-1\right)^{19-j}}{j!\left(19-j\right)!}.\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Bellova čísla}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Pro $n\in\N_{0}$ definujeme \textbf{Bellovo číslo} $b_{n}$ jako\[<br />
b_{n}:=\sum_{k\geq0}\stirl{n}{k}.\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Platí $b_{0}=1$ a pro $n>0$ je\[<br />
b_{n}:=\sum_{k\geq1}\stirl{n}{k}\]<br />
rovno počtu různých relací ekvivalence, které mohou existovat na $n$-prvkové<br />
množině. To je zřejmé, protože každá ekvivalence rozděluje $n$-prvkovou<br />
množinu na třídy ekvivalence, tj. na nějaký počet ($k$) neprázdných<br />
podmnožin.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example}<br />
\label{exa:b4}Počet různých ekvivalencí na $4$-prvkové množině je<br />
$15$. Podle poznámky \ref{rem:jednoducha-stirl-cisla} umíme totiž<br />
vypočítat\[<br />
b_{4}=\stirl{4}{1}+\stirl{4}{2}+\stirl{4}{3}+\stirl{4}{4}=1+7+6+1=15.\]<br />
<br />
\end{example}<br />
Podívejme se, jak dokážeme vyjádřit $b_{n}$ po dosazení explicitního<br />
vzorce pro $\stirl{n}{k}$. Platí\[<br />
b_{n}=\sum_{k\geq0}\stirl{n}{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\stirl{n}{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{k}\underbrace{\frac{j^{n}}{j!}}_{a_{j}}\cdot\underbrace{\frac{\left(-1\right)^{k-j}}{\left(k-j\right)!}}_{b_{k-j}}=\]<br />
... použijeme pravidlo pro součin mocninných řad ...\[<br />
=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^{n}}{j!}\right)\left(\sum_{l=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{l}}{l!}\right)=\frac{1}{\e}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{j^{n}}{j!}=\frac{1}{\e}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j^{n}}{j!}=b_{n}.\]<br />
Tento tvar $b_{n}$ se nám bude hodit v následující větě.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:bellova-cisla-EGF}Označme\[<br />
B(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}.\]<br />
Potom platí\[<br />
B(z)=\e^{\e^{z}-1},\]<br />
tj.\[<br />
\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}B(z)=\e^{\e^{z}-1}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Do definice $B(z)$ dosadíme právě vypočítanou hodnotu $b_{n}$ a<br />
upravujeme.\[<br />
B(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}=\frac{1}{\e}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{j^{n}}{j!}z^{n}}_{(*)}=\frac{1}{\e}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{j^{n}}{n!}z^{n}=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{\e}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(jz\right)^{n}}{n!}}_{\e^{jz}}=\frac{1}{\e}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!}\left(\e^{z}\right)^{j}=\frac{1}{\e}\e^{\e^{z}}=\e^{\e^{z}-1}.\]<br />
Poznamenejme, že výsledek je konečné číslo. To spolu s konečností<br />
sumy $(*)$ ospravedlňuje záměnu sum v prvním řádku.<br />
\end{proof}<br />
Pomocí předchozí věty odvodíme rekurentní vztah pro výpočet $b_{n}$.<br />
Vyjdeme ze vztahu\[<br />
\e^{\e^{z}-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n},\]<br />
který zlogaritmujeme a následně zderivujeme:\begin{eqnarray*}<br />
\e^{z}-1 & = & \ln\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n},\\<br />
\e^{z} & = & \frac{\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{\left(n-1\right)!}z^{n-1}}{\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}}.\end{eqnarray*}<br />
Nyní vyjádříme $\e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$ a vynásobíme<br />
jmenovatelem:\[<br />
\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n+1}}{n!}z^{n}.\]<br />
Použijeme vzorec pro násobení mocninných řad:\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{b_{k}}{k!}\cdot\frac{1}{\left(n-k\right)!}\right)z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_{n+1}}{n!}z^{n}.\]<br />
Nakonec porovnáme koeficienty u obou mocninných řad. Platí tedy\begin{eqnarray*}<br />
\frac{b_{n+1}}{n!} & = & \sum_{k=0}^{n}\frac{b_{k}}{k!}\cdot\frac{1}{\left(n-k\right)!},\\<br />
b_{n+1} & = & \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}b_{k}.\end{eqnarray*}<br />
<br />
<br />
\begin{example*}<br />
\begin{eqnarray*}<br />
b_{0} & = & 1\\<br />
b_{1} & = & \binom{0}{0}\cdot b_{0}=1\cdot1=1\\<br />
b_{2} & = & \binom{1}{0}\cdot b_{0}+\binom{1}{1}\cdot b_{1}=1\cdot1+1\cdot1=2\\<br />
b_{3} & = & \binom{2}{0}\cdot b_{0}+\binom{2}{1}\cdot b_{1}+\binom{2}{2}\cdot b_{2}=1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2=5\\<br />
b_{4} & = & \binom{3}{0}\cdot b_{0}+\binom{3}{1}\cdot b_{1}+\binom{3}{2}\cdot b_{2}+\binom{3}{3}\cdot b_{3}=1\cdot1+3\cdot1+3\cdot2+1\cdot5=15.\end{eqnarray*}<br />
Číslo $b_{4}$ jsme již vypočítali z definice pomocí Stirlingových<br />
čísel v příkladu \ref{exa:b4}.<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:explicitni-vzorec-pro-b-n}Víme, že $b_{n}$ je počet ekvivalencí<br />
na množině $\hat{n}$. Následující kombinatorickou úlohou je možné<br />
získat explicitní vzorec pro výpočet $b_{n}$.<br />
<br />
Uvažujme ekvivalence provádějících rozklad $\hat{n}$ na $k$ tříd.<br />
Nechť tyto třídy mají $l_{1},l_{2},...,l_{k}$ prvků, přičemž samozřejmě<br />
$l_{j}\geq1$ a $\sum_{j=1}^{k}l_{j}=n$. Počet takových ekvivalencí<br />
je\[<br />
\frac{1}{k!}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-2}l_{j}}{l_{k-1}}\underbrace{\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}}}_{\binom{l_{k}}{l_{k}}=1},\]<br />
což je celkem zřejmé. Člen $\frac{1}{k!}$ vyjadřuje, že na pořadí<br />
(postupného) výběru tříd ekvivalence nezáleží. Počet všech ekvivalencí<br />
s $k$ třídami je tedy\[<br />
\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\frac{1}{k!}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-2}l_{j}}{l_{k-1}}\]<br />
a celkový počet ekvivalencí je potom zřejmě\[<br />
b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\frac{1}{k!}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-2}l_{j}}{l_{k-1}}.\]<br />
<br />
<br />
Jak je vidět, pro výpočet $b_{n}$ se tento vzorec nehodí. S jeho<br />
pomocí bychom však byli schopni dokázat větu \ref{thm:bellova-cisla-EGF},<br />
pokud bychom využili \emph{skládání generujících funkcí}.<br />
\end{rem}<br />
<br />
\subsection{Skládání generujících funkcí}<br />
<br />
Mějme mocninné řady s EGF\begin{eqnarray*}<br />
F(z) & = & \frac{f_{0}}{0!}+\frac{f_{1}}{1!}z+\frac{f_{2}}{2!}z^{2}+...,\\<br />
G(z) & = & \frac{g_{0}}{0!}+\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\end{eqnarray*}<br />
a zajímejme se, jakou posloupností je určena řada se složenou exponenciální<br />
generující funkcí $F(G(z))$. Pokud dosadíme z právě rozepsaných vztahů,<br />
dostaneme \[<br />
F(G(z))=\frac{f_{0}}{0!}+\frac{f_{1}}{1!}\left(\frac{g_{0}}{0!}+\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)+\frac{f_{2}}{2!}\left(\frac{g_{0}}{0!}+\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)^{2}+....\]<br />
V této (zřejmě opět) mocninné řadě bychom tedy chtěli získat koeficient<br />
u $z^{n}$.<br />
<br />
Nejprve si uvědomíme, že už nultý koeficient (u $z^{0}$) je nekonečná<br />
číselná řada\[<br />
\frac{f_{0}}{0!}+\frac{f_{1}}{1!}\frac{g_{0}}{0!}+\frac{f_{2}}{2!}\left(\frac{g_{0}}{0!}\right)^{2}+...\]<br />
a volbou hodnoty proměnné $z$ nelze ovlivnit její konvergenci. Proto<br />
v následujícím uvažujeme pouze takové EGF, pro něž $g_{0}=0$. Koeficient<br />
u $z^{0}$ je potom zřejmě $\frac{f_{0}}{0!}=f_{0}$.<br />
<br />
Abychom získali koeficient u $z^{n}$ \fbox{pro $n\geq1$}, uvažme,<br />
že nejmenší mocnina v každé závorce je $z$ a závorky jsou postupně<br />
umocňovány na $0,1,2,3,...$. V každém členu\[<br />
\frac{f_{k}}{k!}\cdot\left(\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)^{k}\]<br />
je tedy nejmenší mocnina po roznásobení $z^{k}$. Z toho plyne, že<br />
koeficient u $z^{n}$ můžeme hledat roznásobováním pouze prvních $n$<br />
závorek, vyšší mocniny na něj nemají vliv.<br />
<br />
Vezměme si znovu $k$-tý člen součinové řady, tj. člen\[<br />
\frac{f_{k}}{k!}\cdot\left(\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)^{k}=\frac{f_{k}}{k!}\cdot\underbrace{\left(\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)\cdot\left(\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)\cdots\left(\frac{g_{1}}{1!}z+\frac{g_{2}}{2!}z^{2}+...\right)}_{k\textrm{-krát}}.\]<br />
Aby v nějakém členu po roznásobení závorek vzniklo $z^{n}$, musí<br />
se $\forall j\in\hat{k}$ mezi sebou násobit členy ($j$-tý člen pochází<br />
z $j$-té závorky)\[<br />
\frac{g_{l_{j}}}{l_{j}!}z^{l_{j}},\]<br />
pro něž platí\[<br />
\sum_{j=1}^{k}l_{j}=1\]<br />
a samozřejmě $l_{j}\geq1$. Koeficient u $z^{n}$ vznikne jako součet<br />
součinů přes všechny možné výběry členů v jednotlivých závorkách.<br />
Tento koeficient je tedy roven\[<br />
\tilde{h}_{n}=\underbrace{\sum_{k=1}^{n}}_{\textrm{suma p\v{r}es }n\textrm{ prvních \v{c}len\r{u}}}\frac{f_{k}}{k!}\cdot\underbrace{\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\frac{g_{l_{1}}}{l_{1}!}\cdot\frac{g_{l_{2}}}{l_{2}!}\cdots\frac{g_{l_{k}}}{l_{k}!}}_{\textrm{koeficient vzniklý z }k\textrm{-tého \v{c}lenu}}.\]<br />
Podle definice EGF je\[<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}z^{n},\]<br />
takže můžeme shrnout\[<br />
\left(h_{n}\right)_{n=0}^{\infty}=\left(n!\tilde{h}_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}F(G(z)).\]<br />
Nyní dosadímě $h_{n}=n!\tilde{h}_{n}$ a použijeme rovnost\[<br />
\frac{n!}{l_{1}!l_{2}!\cdots l_{k}!}=\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}},\]<br />
kterou lze snadno ověřit. Dostaneme tak konečně vyjádření koeficientů<br />
posloupnosti příslušné generující funkci $F(G(z))$: \begin{equation}<br />
h_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{f_{k}}{k!}\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}}\prod_{j=1}^{k}g_{l_{j}}.\label{eq:koeficienty_slozene_gf}\end{equation}<br />
<br />
<br />
\begin{example*}<br />
Vraťme se nyní k poznámce \ref{rem:explicitni-vzorec-pro-b-n}. Uvažujme<br />
mocninné řady\begin{eqnarray*}<br />
\left(1\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}=\e^{z},\\<br />
\left(1\right)_{n=1}^{\infty} & \xrightarrow{EGF} & G(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}=\e^{z}-1.\end{eqnarray*}<br />
Potom exponenciální generující funkce $F(G(z))=\e^{\e^{z}-1}$ má<br />
podle (\ref{eq:koeficienty_slozene_gf}) koeficienty\[<br />
b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-2}l_{j}}{l_{k-1}},\]<br />
tedy přímo Bellova čísla. Tím jsme alternativním způsobem dokázali<br />
větu \ref{thm:bellova-cisla-EGF}.<br />
\end{example*}<br />
\begin{example}<br />
Určete $d_{n}:=$počet $2$-regulárních%<br />
\footnote{$G=(V,E)$ je $r$-regulární, právě když $\left(\forall v\in V\right)\left(d_{G}(v)=r\right)$.%<br />
} grafů na $n$ vrcholech.<br />
<br />
Najdeme jednoduchý rekurentní vztah pro výpočet $d_{n}$. Řešení se<br />
bude skládat ze tří kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Z kombinatorické úvahy sestavíme složitý explicitní vzorec pro výpočet<br />
$d_{n}$.<br />
\item Vzorec upravíme na tvar odpovídající tvaru členu posloupnosti, která<br />
přísluší určité složené EGF, a tuto EGF vypočítáme.<br />
\item Podobně jako u Bellových čísel z EGF odvodíme rekurentní vztah.<br />
\end{enumerate}<br />
\textbf{Krok 1.} Lze si snadno rozmyslet, že $2$-regulární graf je<br />
právě takový, který vznikne jako disjunktní sjednocení určitého počtu<br />
kružnic.<br />
<br />
Nejprve nalezněme počet grafů na $n$ vrcholech, které jsou disjunktním<br />
sjednocením právě $k$ kružnic. Každá kružnice má minimálně $3$ vrcholy.<br />
Konkrétně tedy máme kružnice délek $l_{1},l_{2},...,l_{k}$, přičemž<br />
$\sum_{j=1}^{k}l_{j}=n$ a $\left(\forall j\in\hat{k}\right)\left(l_{j}\geq3\right)$.<br />
<br />
Chceme-li spočítat počet různých kružnic na $l$ vrcholech $v_{1},...,v_{l}$,<br />
zafixujeme vrchol $v_{1}$, z něhož kružnice začíná a do nějž se opět<br />
vrací. Ostatní vrcholy mohou být v libovolné z $\left(l-1\right)!$<br />
permutací. Na orientaci kružnice však nezáleží, takže na konkrétních<br />
$l$ vrcholech existuje $\frac{\left(l-1\right)!}{2}$ různých kružnic.<br />
<br />
Počet grafů na $n$ vrcholech, které jsou sjednocením právě $k$ kružnic,<br />
tedy je\[<br />
\frac{1}{k!}\sum_{\substack{l_{j}\geq3,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}}\cdot\frac{\left(l_{1}-1\right)!}{2}\cdot\frac{\left(l_{2}-1\right)!}{2}\cdots\frac{\left(l_{k}-1\right)!}{2},\]<br />
přičemž kombinační čísla odpovídají počtu způsobů výběru $l_{j}$<br />
vrcholů pro jednotlivé kružnice a zlomek $\frac{1}{k!}$ vyjadřuje,<br />
že nezávisí na pořadí těchto kružnic. $d_{n}$ je pak součet uvedených<br />
výrazů pro všechna přípustná $k$:\[<br />
d_{n}=\sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{3}\right]}\frac{1}{k!}\sum_{\substack{l_{j}\geq3,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}}\cdot\prod_{j=1}^{k}\frac{\left(l_{j}-1\right)!}{2}.\]<br />
<br />
<br />
\textbf{Krok 2.} Abychom dostali vzorec pro $d_{n}$ do tvaru odpovídajícího<br />
$n$-tému koeficientu řady s EGF, definujeme\[<br />
g_{n}=\begin{cases}<br />
\frac{\left(n-1\right)!}{2} & \textrm{pro }n\geq3,\\<br />
0 & \textrm{pro }n\in\left\{ 0,1,2\right\} .\end{cases}\]<br />
Potom\[<br />
d_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\sum_{\substack{l_{j}\geq1,\ j\in\hat{k}\\<br />
\sum l_{j}=n}<br />
}\binom{n}{l_{1}}\binom{n-l_{1}}{l_{2}}\binom{n-l_{1}-l_{2}}{l_{3}}\cdots\binom{n-\sum_{j=1}^{k-1}l_{j}}{l_{k}}\cdot\prod_{j=1}^{k}g_{l_{j}},\]<br />
protože<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Je jasné, že je-li $k>\left[\frac{n}{3}\right]$, tak jedno z $l_{1},...,l_{k}$<br />
bude $l_{j}<3$, takže $g_{l_{j}}=0$. Lze tedy brát $k$ od jedné<br />
až do $n$.<br />
\item Protože $l_{j}<3\Rightarrow g_{l_{j}}=0$, není nutné uvažovat podmínku<br />
$l_{j}\geq3$.<br />
\end{enumerate}<br />
Z tvaru $d_{n}$, který již odpovídá (\ref{eq:koeficienty_slozene_gf}),<br />
jsme schopni vyjádřit členy posloupností $\left(f_{n}\right),\left(g_{n}\right)$,<br />
které přísluší řadám s generujícími funkcemi $F$ a $G$. Připomeňme<br />
však, že vztah (\ref{eq:koeficienty_slozene_gf}) platí pouze pro<br />
$n\geq1$ a na nultý koeficient $d_{0}=f_{0}$ zde dosud nemáme žádnou<br />
podmínku.<br />
<br />
$\left(d_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ tedy přísluší exponenciální generuící<br />
funkci, která vznikne složením\[<br />
\left(f_{n}\right)_{n=0}^{\infty}=\left(1\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}F(z)=\e^{z},\]<br />
přičemž jsme definovali $d_{0}=f_{0}=1$, a\[<br />
\left(g_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{EGF}G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g_{n}}{n!}z^{n}.\]<br />
Zbývá vypočítat $G(z)$. Dosadíme z definice $\left(g_{n}\right)$<br />
a dostaneme\[<br />
G(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g_{n}}{n!}z^{n}=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{\left(n-1\right)!}{2n!}z^{n}=\frac{1}{2}\sum_{n=3}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}=\]<br />
... derivací této řady je však geometrická řada, jejíž součet známe<br />
...\[<br />
=\frac{1}{2}\int\limits _{0}^{z}\left(\underbrace{\sum_{n=3}^{\infty}t^{n-1}}_{=t^{2}\frac{1}{1-t}=-1-t+\frac{1}{1-t}}\right)\dd t=\frac{1}{2}\left(-z-\frac{z^{2}}{2}-\ln\left|1-z\right|\right).\]<br />
Generující funkce příslušná $\left(d_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ je<br />
tedy\[<br />
F(G(z))=\e^{-\frac{z}{2}-\frac{z^{2}}{4}-\frac{1}{2}\ln\left|1-z\right|}=\frac{1}{\sqrt{1-z}}\cdot\e^{-\frac{z}{2}-\frac{z^{2}}{4}}.\]<br />
<br />
<br />
\textbf{Krok 3.} Nyní z $F(G(z))$ získáme rekurentní vztah pro $d_{n}$<br />
stejně jako u Bellových čísel. Platí rovnost\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d_{n}}{n!}z^{n}=\frac{1}{\sqrt{1-z}}\cdot\e^{-\frac{z}{2}-\frac{z^{2}}{4}},\]<br />
kterou zlogaritmujeme a zderivujeme:\begin{eqnarray*}<br />
\ln\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d_{n}}{n!}z^{n} & = & -\frac{z}{2}-\frac{z^{2}}{4}-\frac{1}{2}\ln\left(1-z\right),\\<br />
\frac{\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{d_{n}}{\left(n-1\right)!}z^{n-1}}{\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{d_{n}}{n!}z^{n}} & = & -\frac{1}{2}-\frac{z}{2}+\frac{1}{2\left(1-z\right)}=-\frac{1}{2}-\frac{z}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}z^{n}.\end{eqnarray*}<br />
Opět vynásobíme jmenovatelem a následně použijeme vzorec pro součin<br />
mocninných řad:\[<br />
\sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{d_{n}}{\left(n-1\right)!}z^{n-1}=\frac{1}{2}\left(\sum_{n=2}^{\infty}z^{n}\right)\left(\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{d_{n}}{n!}z^{n}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{d_{n}}{n!}z^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}z^{n+2}\right)=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{d_{k}}{k!}z^{n+2}.\]<br />
Nakonec porovnáme koeficienty u $z^{n-1}$:\begin{eqnarray*}<br />
\frac{d_{n}}{\left(n-1\right)!} & = & \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-3}\frac{d_{k}}{k!},\\<br />
d_{n} & = & \frac{\left(n-1\right)!}{2}\sum_{k=0}^{n-3}\frac{d_{k}}{k!}.\end{eqnarray*}<br />
<br />
<br />
Výsledek si můžeme ověřit na prvních čtyřech členech posloupnosti.<br />
Z hlavy víme\[<br />
d_{0}=1,d_{1}=d_{2}=0,d_{3}=1,d_{4}=3\]<br />
a podle našeho rekurentního vztahu je\[<br />
d_{4}=\frac{3!}{2}\left(\frac{d_{0}}{0!}+\frac{d_{1}}{1!}\right)=\frac{6}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{0}{1}\right)=3.\]<br />
<br />
\end{example}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola3_1&diff=4536
01ZTGA:Kapitola3 1
2012-01-15T13:22:05Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Obyčejné mocninné řady}<br />
<br />
Připomeňme si nejprve definici číselné řady.<br />
<br />
\begin{defn*}<br />
Nechť $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ je číselná posloupnost.<br />
Nechť $s_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}a_{k}$. \textbf{Číselnou řadou}<br />
nazýváme dvojici posloupností $\left(\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty},\left(s_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\right)$,<br />
kterou označujeme zkráceně jako $\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n}$.<br />
Číslo $a_{n}$ se nazývá $n$-tý \textbf{člen} řady, $s_{n}$se nazývá<br />
$n$-tý \textbf{částečný součet} řady. Jestliže existuje limita $s=\lim\limits _{n\to\infty}s_{n}$,<br />
potom $s$ se nazývá \textbf{součet} řady a často se označuje též<br />
jako $\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_{n}$.<br />
\end{defn*}<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:OPS}Nechť $z\in\C$, $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$<br />
je číselná posloupnost. \textbf{Obyčejnou mocninnou řadou} (angl.<br />
\emph{ordinary power series}, OPS) rozumíme číselnou řadu\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\]<br />
a její součet (pokud existuje) nazýváme \textbf{generující funkcí}<br />
této řady. Tento součet je funkcí proměnné $z$. Korespondenci posloupnosti<br />
koeficientů OPS a generujcí funkce $f(z)$ této OPS zapisujeme jako\[<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}f(z).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
\[<br />
\left(1\right)_{n=1}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\]<br />
<br />
\end{example*}<br />
<br />
\subsection{Pravidla pro počítání s OPS\label{sub:Pravidla-pro-pociani-s-OPS}}<br />
<br />
Jestliže \[<br />
\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}f(z),\;\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}g(z),\]<br />
tak potom lze odvodit následující vztahy:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro posunutí indexu o 1 platí\[<br />
\boxed{\left(a_{n+1}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{z}\left(f(z)-f(0)\right)},\]<br />
protože\[<br />
\left(a_{n+1}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n+1}=\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n},\]<br />
přičemž zřejmě poslední výraz je roven $\left(f(z)-f(0)\right)$,<br />
protože $f(0)=a_{0}z^{0}=a_{0}$.<br />
\item Pro násobení mocninou konstanty platí\[<br />
\boxed{\left(c^{n}a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}f(cz)},\]<br />
což je zřejmé.<br />
\item Pro násobení indexem $n$ platí\[<br />
\boxed{\left(na_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}zf'(z)},\]<br />
protože platí $f'(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n-1}$, ale my potřebujeme<br />
$h(z)=\sum_{n=0}^{\infty}na_{n}z^{n}$.<br />
\item Zřejmě platí\begin{equation}<br />
\boxed{\left(a_{n}\pm b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}f(z)\pm g(z)}.\label{eq:Soucet-rozdil-OPS}\end{equation}<br />
<br />
\item Podle vzorce pro násobení mocninných řad platí\[<br />
\boxed{\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}f(z)g(z)},\]<br />
protože\[<br />
\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)z^{n}.\]<br />
<br />
\item Pro posloupnost částečných součtů platí \[<br />
\boxed{\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{1-z}f(z)},\]<br />
protože jde o aplikaci předchozího bodu při volbě $b_{n}=1$, a tedy<br />
$g(z)=\frac{1}{1-z}$.<br />
\item Podle předchozích pravidel platí\[<br />
\boxed{\left(\frac{a_{n}+(-1)^{n}a_{n}}{2}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{f(z)+f(-z)}{2}},\]<br />
kde ovšem \[<br />
\frac{a_{n}+(-1)^{n}a_{n}}{2}=\begin{cases}<br />
a_{n} & n\textrm{ sudé}\\<br />
0 & n\textrm{ liché}\end{cases},\]<br />
čemuž odpovídá řada pouze ze sudých členů\[<br />
\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}z^{2k}.\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Jednoduché příklady}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\label{exa:OPS-simple-example-1}Vypočítejte součet $\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}$.<br />
<br />
Pokusíme se daný součet vyjádřit jako $n$-tý koeficient OPS. Používáním<br />
právě odvozených pravidel dostáváme postupně:\[<br />
\left(1\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{1-z},\]<br />
\[<br />
\left(n\cdot1\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}z\left(\frac{1}{1-z}\right)'=\frac{z}{\left(1-z\right)^{2}},\]<br />
\[<br />
\left(n\cdot n\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}z\left(\frac{z}{\left(1-z\right)^{2}}\right)'=...=z\frac{1+z}{\left(1-z\right)^{3}},\]<br />
\[<br />
\left(\left(-1\right)^{n}n^{2}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}-z\frac{1-z}{\left(1+z\right)^{3}},\]<br />
\[<br />
\left(\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{2}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{1-z}\left(-z\frac{1-z}{\left(1+z\right)^{3}}\right)=\frac{-z}{\left(1+z\right)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}A_{n}z^{n}.\]<br />
Částečné součty $\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}$ lze nyní najít<br />
pomocí rozvoje funkce $\frac{-z}{\left(1+z\right)^{3}}$ do mocninné<br />
řady, neboť tento rozvoj je vždy jednoznačný. Jestliže tedy jakkoliv<br />
nalezneme koeficienty rozvoje $A_{n}$, tak potom platí\[<br />
A_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}.\]<br />
<br />
<br />
Nejprve si odvodíme ještě jedno užitečné pravidlo pro počítání s OPS.<br />
Postupně derivujeme:\begin{eqnarray*}<br />
f(z)=\frac{1}{1-z} & = & \sum_{n=0}^{\infty}z^{n},\\<br />
f'(z)=\frac{1}{\left(1-z\right)^{2}} & = & \sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1},\\<br />
f''(z)=\frac{2}{\left(1-z\right)^{3}} & = & \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)z^{n-2},\\<br />
f'''(z)=\frac{6}{\left(1-z\right)^{4}} & = & \sum_{n=3}^{\infty}n(n-1)(n-2)z^{n-3},\\<br />
& \vdots\\<br />
f^{(k)}(z)=\frac{k!}{\left(1-z\right)^{k+1}} & = & \sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}k!z^{n-k}.\end{eqnarray*}<br />
Z toho plyne, že\[<br />
\frac{1}{\left(1-z\right)^{k+1}}=\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}z^{n-k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}z^{n}\]<br />
a tedy pro každé $k\in\N$ máme\begin{equation}<br />
\boxed{\left(\binom{n+k}{k}\right)_{n=0}^{\infty}\xrightarrow{OPS}\frac{1}{\left(1-z\right)^{k+1}}}.\label{eq:OPS_pravidlo_komb}\end{equation}<br />
<br />
<br />
Jestliže nyní dosadíme $k=2$ a za proměnnou $z$ dosadíme $-z$,<br />
pak dostaneme\[<br />
\frac{-z}{\left(1+z\right)^{3}}=(-z)\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}(-z)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\binom{n+2}{2}\left(-1\right)^{n+1}}_{A_{n+1}}z^{n+1}.\]<br />
Nalezli jsme tedy (jednoznačně určené) koeficienty rozvoje funkce<br />
$\frac{-z}{\left(1+z\right)^{3}}$ do mocninné řady, a proto platí\[<br />
\sum\limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}=A_{n}=\binom{n+1}{2}\left(-1\right)^{n}.\]<br />
<br />
\end{example}<br />
\begin{rem*}<br />
Všimněme si, že vzorec (\ref{eq:OPS_pravidlo_komb}) jsme použili<br />
pouze na funkci $\frac{1}{\left(1+z\right)^{3}}$ a teprve výsledek<br />
jsme vynásobili $\left(-z\right)$. Tím na pravé straně zůstala mocninná<br />
řada, kterou jsme nakonec vhodně upravili posunutím indexů.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Získaný výsledek si můžeme ověřit pro $n$ sudé, kdy lze hledanou<br />
sumu sečíst i jednodušším způsobem:<br />
<br />
\begin{multline*}<br />
-1^{2}+2^{2}-3^{2}+4^{2}-5^{2}+6^{2}-...-(n-1)^{2}+n^{2}=\\<br />
=\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}-(2i-1)^{2}+(2i)^{2}=\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}\left(4i-1\right)=4\frac{\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right)}{2}-\frac{n}{2}=\\<br />
=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}=\binom{n+1}{2}\underbrace{\left(-1\right)^{n}}_{1}\end{multline*}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example}<br />
Vypočítejte $n$-tý člen Fibonacciho posloupnosti, která je definována<br />
rekurentním vztahem\[<br />
F_{0}=0,\ F_{1}=1,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.\]<br />
<br />
<br />
Opět považujeme $F_{n}$ za $n$-tý koeficient určité OPS a najdeme<br />
její generující funkci. Při tom využijeme rekurentní vztah z definice<br />
posloupnosti $\left(F_{n}\right)$. Platí\begin{eqnarray*}<br />
\left(F_{n}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}z^{n},\\<br />
\left(F_{n+1}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & \frac{f(z)-f(0)}{z}=\frac{1}{z}f(z),\\<br />
\left(F_{n+2}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & \frac{\frac{1}{z}f(z)-\overbrace{\frac{1}{0}f(0)}^{=1}}{z}=\frac{f(z)-z}{z^{2}}.\end{eqnarray*}<br />
V posledním řádku je třeba vysvětlit formální zápis $\frac{1}{0}f(0)$.<br />
Generující funkce OPS dané posloupností $\left(F_{n+1}\right)_{n=0}^{\infty}$<br />
je $h(z)=\frac{1}{z}f(z)$, ale podle příslušného pravidla pro počítání<br />
s OPS (viz. část \ref{sub:Pravidla-pro-pociani-s-OPS}) je hodnota<br />
$h(0)$ rovna nultému koeficientu řady, což je $F_{1}=1$. Nyní podle<br />
pravidla (\ref{eq:Soucet-rozdil-OPS}) můžeme převést rovnost posloupností<br />
\[<br />
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\]<br />
na rovnost generujících funkcí\[<br />
\frac{f(z)-z}{z^{2}}=\frac{1}{z}f(z)+f(z),\]<br />
z čehož snadno vyjádříme generující funkci $f(z)$ jako\[<br />
f(z)=\frac{z}{1-z-z^{2}}.\]<br />
Jestliže nyní $f(z)$ rozvineme do mocninné řady, budou koeficienty<br />
u mocnin $z^{n}$ právě hledaná Fibonacciho čísla. Abychom si rozvoj<br />
usnadnili, uvědomíme si, že funkci $f(z)$ lze rozložit na parciální<br />
zlomky\[<br />
f(z)=\frac{z}{1-z-z^{2}}=\frac{A}{r_{1}-z}+\frac{B}{r_{2}-z},\]<br />
kde $r_{1},r_{2}$ jsou kořeny polynomu $1-z-z^{2}$. Nyní stačí rozvinout<br />
jednotlivé parciální zlomky, což je snadné, neboť se jedná jen o substituci<br />
v geometrické řadě. Například můžeme uvažovat takto:\begin{eqnarray*}<br />
\left(1\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & \frac{1}{1-z},\\<br />
\left(\left(\frac{1}{r}\right)^{n}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & \frac{1}{1-\frac{z}{r}}=r\frac{1}{r-z},\\<br />
\left(\frac{A}{r}\left(\frac{1}{r}\right)^{n}\right)_{n=0}^{\infty} & \xrightarrow{OPS} & \frac{A}{r-z}.\end{eqnarray*}<br />
Proto\[<br />
f(z)=\frac{A}{r_{1}-z}+\frac{B}{r_{2}-z}=\frac{A}{r_{1}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r_{1}^{n}}z^{n}+\frac{B}{r_{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r_{2}^{n}}z^{n}\]<br />
a tedy\[<br />
F_{n}=\frac{A}{r_{1}^{n+1}}+\frac{B}{r_{2}^{n+1}}.\]<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
<br />
\begin{example}<br />
Dokažte rovnost\[<br />
\underbrace{\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}\binom{n+k}{m}}_{a_{n}}=\underbrace{\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}\binom{n}{k}2^{k}}_{b_{n}}\;\textrm{pro }m,n\geq0.\]<br />
<br />
<br />
Dokážeme, že levá a pravá strana jsou koeficienty dvou OPS, které<br />
mají stejné generující funkce. Z jednoznačnosti rozvoje se pak musí<br />
rovnat i tyto koeficienty. Jak se ukáže, nemusíme ani znát konkrétní<br />
hodnotu těchto koeficientů.<br />
<br />
Nejprve hledejme generující funkci příslušnou posloupnosti $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$:\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}\binom{n+k}{m}\right)z^{n}=\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{m}z^{n}=\]<br />
... meze u sum omezíme na rozsah, kde jsou kombinační čísla $\binom{m}{k}$<br />
a $\binom{n+k}{m}$ nenulová ...\[<br />
=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{m}z^{n}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}\sum_{n=m-k}^{\infty}\binom{n+k}{m}z^{n}=\]<br />
... další úpravy směřujeme k použití rovnosti (\ref{eq:OPS_pravidlo_komb}).<br />
Označme $j=n+k-m$ ...\[<br />
=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}z^{m-k}\sum_{n=m-k}^{\infty}\binom{n+k-m+m}{m}z^{n+k-m}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}z^{m-k}\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty}\binom{j+m}{m}z^{j}}_{\frac{1}{\left(1-z\right)^{m+1}}}=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{\left(1-z\right)^{m+1}}\cdot\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}1^{k}z^{m-k}=\frac{1}{\left(1-z\right)^{m+1}}\cdot\left(1+z\right)^{m}=\frac{\left(1+z\right)^{m}}{\left(1-z\right)^{m+1}}.\]<br />
<br />
<br />
Nyní obdobným způsobem vypočítáme generující funkci příslušnou posloupnosti<br />
$\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$:<br />
<br />
\[<br />
\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}\binom{n}{k}2^{k}\right)z^{n}=\sum_{k\geq0}\binom{m}{k}2^{k}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n}{k}z^{n}=\]<br />
\[<br />
=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}2^{k}\sum_{n=k}^{\infty}\binom{n}{k}z^{n}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}2^{k}\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}z^{n+k}}_{\frac{z^{k}}{\left(1-z\right)^{k+1}}}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}2^{k}\frac{z^{k}}{\left(1-z\right)^{k+1}}=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{1-z}\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}\left(\frac{2z}{1-z}\right)^{k}\cdot1^{m-k}=\frac{1}{1-z}\left(\frac{2z}{1-z}+1\right)^{m}=\frac{1}{1-z}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)^{m}=\frac{\left(1+z\right)^{m}}{\left(1-z\right)^{m+1}}.\]<br />
Obě generující funkce jsou si tedy skutečně rovny a proto platí i<br />
$a_{n}=b_{n}$ pro každé $n\in\N_{0}$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\subsection{Rozměňovací problém}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\label{exa:money-chg}Hledejme počet různých řešení rovnice\begin{equation}<br />
k_{1}+2k_{2}+3k_{3}=R,\label{eq:rovnice-money-chg-intro}\end{equation}<br />
kde $k_{1,2,3}\in\N$ jsou neznámé a $R\in\N$. Jestliže vynásobíme<br />
geometrické řady s kvocienty $q=x$,$q=x^{2}$ a $q=x^{3}$, dostaneme<br />
součin\[<br />
\left(x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+...\right)\left(x^{0}+x^{2}+x^{4}+x^{6}+...\right)\left(x^{0}+x^{3}+x^{6}+x^{9}+...\right)=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x^{2}}\cdot\frac{1}{1-x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.\]<br />
Výsledkem je opět mocninná řada, jejíž generující funkci známe. Koeficient<br />
$a_{R}$ u členu $x^{R}$ pak udává počet řešení rovnice (\ref{eq:rovnice-money-chg-intro}),<br />
neboť $x^{R}$ vznikne v daném součinu řad vždy jako součin\[<br />
x^{R}=x^{k_{1}}x^{2k_{2}}x^{3k_{3}},\]<br />
a tato mocnina $x$ se vyskytne ve výsledné řadě právě tolikrát, kolik<br />
je různých řešení rovnice (\ref{eq:rovnice-money-chg-intro}).<br />
\end{example}<br />
Uvedený příklad je speciálním případem tzv. \textbf{rozměňovacího<br />
problému} (angl. \emph{money changing problem}). Zabýváme se otázkou,<br />
zda a případně kolika způsoby je možné zaplatit danou částku pouze<br />
s pomocí mincí (nebo bankovek) určitých hodnot. Matematicky tento<br />
problém definujeme následovně:<br />
<br />
\begin{notation*}<br />
\textbf{Největší společný dělitel} (NSD) množiny přirozených čísel<br />
$\left\{ a_{1},...,a_{M}\right\} $ označujeme jako $\delta(a_{1},...,a_{M})$.<br />
Jestliže $\delta(a_{1},...,a_{M})=1$, tak říkáme, že čísla $a_{1},...,a_{M}$<br />
jsou \textbf{nesoudělná}.<br />
\end{notation*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť jsou dána přirozená čísla $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots<a_{M}$<br />
taková, že $\delta(a_{1},...,a_{M})=1$. Potom definujeme množinu\[<br />
S(a_{1},...,a_{M})=\left\{ \left.\sum_{i=1}^{M}\alpha_{i}a_{i}\right|\alpha_{i}\in\N_{0}\right\} .\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Množina $S$ obsahuje právě ty částky, které lze zaplatit pomocí $M$<br />
různých druhů mincí s hodnotami $a_{1},...,a_{M}$. Je zřejmé, že<br />
pokud by $\delta(a_{1},...,a_{M})>1$, tak by množina $S$ obsahovala<br />
pouze (ale nikoliv právě) násobky $\delta(a_{1},...,a_{M})$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:money-chg}$\left(\exists n_{0}\right)\left(\forall n\geq n_{0}\right)\left(n\in S(a_{1},...,a_{m})\right)$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Věta říká, že pro daný počet a hodnoty mincí lze od určité výše zaplatit<br />
s jejich pomocí libovolnou částku. Tuto větu dokážeme později pomocí<br />
OPS, ovšem dříve se zaměříme pouze na případ $M=2$, kdy lze o množině<br />
$S$ říci něco více (například explicitně určit $n_{0}$). Pro tento<br />
případ OPS potřebovat nebudeme.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsubsection{Rozměňovací problém pro $M=2$}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $a,b\in\N$, $a<b$, $\delta(a,b)=1$. Nechť $\kappa=(a-1)(b-1)$.<br />
Potom<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\left(\forall n\geq\kappa\right)\left(n\in S(a,b)\right)$,<br />
\item $\kappa-1\notin S(a,b)$,<br />
\item Právě polovina čísel z množiny $\{0,1,2,...,\kappa-1\}$ patří do<br />
$S(a,b)$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
$S(a,b)=\left\{ \left.\alpha_{1}a+\alpha_{2}b\right|\alpha_{1},\alpha_{2}\in\N_{0}\right\} $.<br />
Proto lze říci, že přirozené číslo $R\in S(a,b)$ právě tehdy, když<br />
rovnice\[<br />
ak_{1}+bk_{2}=R\]<br />
má řešení $k_{1},k_{2}\in\N_{0}$. Podle příkladu \ref{exa:money-chg}<br />
nás tedy pro dané $R$ zajímá jen to, zda je koeficient u $x^{R}$<br />
v určité mocninné řadě kladný nebo je roven nule.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Z algebry víme, že pro každá $a,b\in\Z$ existují $x,y\in\Z$ tak,<br />
že $\delta(a,b)=ax+by$. V našem případě tedy $\exists x,y\in\Z$<br />
taková, že\[<br />
ax+by=1.\]<br />
Díky tomu rovněž $\left(\forall n\in\N\right)\left(\exists\tilde{x},\tilde{y}\in\Z\right)\left(a\tilde{x}+b\tilde{y}=n\right)$.<br />
Každé přirozené číslo tedy můžeme napsat jako lineární kombinaci čísel<br />
$a,b$ s celočíselnými koeficienty. Nás však zajímá, kdy lze volit<br />
tyto koeficienty jako nezáporné.<br />
<br />
Nejprve si uvědomíme, že obecné řešení rovnice $ax+by=n$, $x,y\in\Z$,<br />
má tvar\begin{equation}<br />
(x,y)=(x_{p},y_{p})+(x_{0},y_{0}),\label{eq:partikul-reseni}\end{equation}<br />
kde $(x_{0},y_{0})$ řeší homogenní rovnici $ax+by=0$ a $(x_{p},y_{p})$<br />
představuje partikulární řešení. Vzhledem k nesoudělnosti čísel $a,b$<br />
platí pro řešení homogenní rovnice $ax+by=0$ $\Leftrightarrow$ $ax=-by$<br />
$\Rightarrow\begin{cases}<br />
a|y & \Rightarrow y=r\cdot a\\<br />
b|x & \Rightarrow x=s\cdot b\end{cases}$. Po dosazení máme $asb=-bra$ a tedy $s=-r$. Tím jsme ukázali, že<br />
obecné řešení $(x,y)$ homogenní rovnice má tvar\[<br />
(x,y)=(-rb,ra)=r(-b,a),\]<br />
kde $r\in\Z$.<br />
<br />
Stále zbývá otázka, kdy existují $x,y\geq0$ taková, že $ax+by=n$.<br />
Abychom odpověděli, vyřešíme nejprve tuto rovnici v oboru celých čísel.<br />
Je zřejmé, že složky řešení nebudou obě záporné, protože $a,b$ i<br />
$n$ jsou přirozená čísla. Získali jsme tedy partikulární řešení rovnice<br />
s pravou stranou, ke kterému můžeme přičíst $r(-b,a)$ a získat jiné<br />
řešení naší rovnice. Naše otázka tedy přešla na otázku, kdy existuje<br />
$r\in\Z$ takové, že výsledné řešení (\ref{eq:partikul-reseni}) je<br />
nezáporné.<br />
<br />
Zřejmě existuje právě jedno řešení $(\bar{x},\bar{y})$ takové, že<br />
$\bar{x}\in\left\{ 0,1,2,...,b-1\right\} $ (skutečně, pomocí volby<br />
$r$ můžeme $x$ posouvat po krocích o velikosti $b$). Takové $\bar{x}$<br />
je nejmenší nezáporné, tj. \[<br />
\bar{x}=\min\left\{ \left.x\right|ax+by=n\wedge x,y\in\Z\wedge x\geq0\right\} .\]<br />
$\bar{y}$ je pak dané jednoznačně a je největší možné, tj.\[<br />
\bar{y}=\max\left\{ \left.y\right|ax+by=n\wedge x,y\in\Z\wedge x\geq0\right\} .\]<br />
Proto $n\in S(a,b)$ právě tehdy, když (k němu jednoznačně příslušné)<br />
$\bar{y}\geq0$.<br />
<br />
Nyní již přímo dokážeme první tvrzení věty. Nechť $n\geq\kappa$.<br />
Potom\begin{eqnarray*}<br />
a\bar{x}+b\bar{y}=n & \geq & ab-a-b+1,\\<br />
b\bar{y} & \geq & ab-a-a\bar{x}-b+1=\\<br />
& & =a\underbrace{(b-1-\bar{x})}_{\geq0}-b+1,\\<br />
\bar{y} & \geq & -1+\frac{1}{b}\;\;\leftarrow\left(\bar{y}\in\Z\textrm{, a tak platí také...}\right)\\<br />
\bar{y} & \geq & 0.\end{eqnarray*}<br />
To znamená, že $(\bar{x},\bar{y})$ je nezáporné a $n\in S(a,b)$.<br />
<br />
Nyní nechť $n\in\left\{ 0,1,2,...,\kappa-1\right\} $. Potom $n\in S(a,b)$,<br />
právě když \[<br />
ax+by=n,\; x,y\geq0,x\in\left\{ 0,...,b-1\right\} ,\]<br />
což je ekvivalentní s \[<br />
\kappa-1-n=ab-a-b-ax-by=a\underbrace{(b-1-x)}_{=\tilde{x}\in\left\{ 0,...,b-1\right\} }+b\underbrace{(-1-y)}_{=\tilde{y}<0}.\]<br />
Číslo $\tilde{x}$ je opět nejmenší nezáporné, takže poslední vztah<br />
znamená, že $\kappa-1-n\notin S(a,b)$. Pro $n\in\left\{ 0,1,2,...,\kappa-1\right\} $<br />
tedy v $S(a,b)$ leží vždy právě jedno z čísel $n$ a $\kappa-1-n$,<br />
což dokazuje poslední bod.<br />
<br />
Zbývá dokázat, že $\kappa-1\notin S(a,b)$, ale to je snadné s použitím<br />
předchozího. Platí totiž $0=0\cdot a+0\cdot b\in S(a,b)$, takže $\kappa-1=\kappa-1-0\notin S(a,b)$.<br />
\end{proof}<br />
Nyní se vrátíme k OPS a s jejich pomocí odhadneme počet způsobů nakombinování<br />
určité částky pomocí (stále jen) dvou typů mincí o různých hodnotách<br />
$a,b$, $\delta(a,b)=1$. Z předchozí věty víme, že pro $n\geq\kappa=(a-1)(b-1)$<br />
musí být tento počet kladný. \emph{Dovoluji si upozornit, že i když<br />
následující řádky nepředstavují důkaz žádné věty, jsou velmi důležité<br />
pro pochopení dalšího výkladu.}<br />
<br />
Víme, že počet způsobů nakombinování částky $n$ je roven počtu nezáporných<br />
celočíselných řešení rovnice\[<br />
ax+by=n,\]<br />
a podle příkladu \ref{exa:money-chg} též víme, že tento počet je<br />
roven koeficientu i $x^{n}$ v mocninné řadě, která vznikne jako součin<br />
řad\[<br />
(1+x^{a}+x^{2a}+x^{3a}+...)\cdot(1+x^{b}+x^{2b}+x^{3b}+...),\]<br />
protože $x^{n}$ vznikne jako $x^{ak_{1}}\cdot x^{bk_{2}}$. Mocninné<br />
řady umíme sečíst, a tak víme, že generující funkce výsledné OPS je\[<br />
f(x)=\frac{1}{1-x^{a}}\cdot\frac{1}{1-x^{b}}.\]<br />
<br />
<br />
Jestliže chceme tuto funkci rozvinout do mocninné řady, bude třeba<br />
provést její rozklad na parciální zlomky. Kořeny jmenovatelů jsou<br />
řešeními binomické rovnice $\omega^{a}=1$, resp. $\omega^{b}=1$,<br />
a jsou to tedy (v prvním případě) čísla $\left\{ \left.\e^{k\frac{2\pi}{a}i}\right|k=0,1,...,a-1\right\} $.<br />
<br />
Kořeny celého jmenovatele, tj. $(1-x^{a})(1-x^{b})$, jsou tedy uvedeného<br />
tvaru, přičemž $1$ je dvojnásobný kořen a ostatní kořeny jsou už<br />
jednoduché. To dokážeme sporem. Nechť se rovnají kořeny\[<br />
\e^{k_{1}\frac{2\pi}{a}i}=\e^{k_{2}\frac{2\pi}{b}i}.\]<br />
Potom se rovnají i příslušné exponenty, takže\[<br />
\frac{k_{1}}{a}=\frac{k_{2}}{b}=\frac{t}{s},\]<br />
kde $\frac{t}{s}$ je zlomek ve zkráceném tvaru, a přitom (z definice<br />
$k_{1},k_{2}$) je $\frac{t}{s}<1$, což znamená, že $s\geq2$. Protože<br />
zlomek je ve zkráceném tvaru, tak $s|a$ a zároveň $s|b$, z čehož<br />
plyne $s|\delta(a,b)$, ale $\delta(a,b)=1$, což je spor.<br />
<br />
Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar%<br />
\footnote{Přirozenější tvar zlomků v sumách vpravo je asi $\frac{\tilde{C}_{\omega}}{\omega-x}$,<br />
resp. $\frac{\tilde{D}_{\xi}}{\xi-x}$, kde $\tilde{C}_{\omega}=\omega C_{\omega}$<br />
a $\tilde{D}_{\xi}=\xi D_{\xi}$. Pro rozvoj do mocninné řady pomocí<br />
vztahu (\ref{eq:rozvoj-1-x-na-k-plus-1}) (viz. dále) se však spíše<br />
hodí tvar použitý v (\ref{eq:rozklad-na-parc-zlomky}).%<br />
}\begin{equation}<br />
\frac{1}{(1-x^{a})(1-x^{b})}=\underbrace{\frac{A}{(1-x)^{2}}+\frac{B}{1-x}}_{\textrm{pro 2-násobný ko\v{r}en }1}+\sum_{\substack{\omega^{a}=1\\<br />
\omega\neq1}<br />
}\frac{C_{\omega}}{1-\frac{x}{\omega}}+\sum_{\substack{\xi^{b}=1\\<br />
\xi\neq1}<br />
}\frac{D_{\xi}}{1-\frac{x}{\xi}},\label{eq:rozklad-na-parc-zlomky}\end{equation}<br />
kde koeficienty $A,B,C_{\omega},D_{\xi}$ zatím neznáme. Jak se dále<br />
ukáže, bude pro naše účely stačit, pokud zjistíme hodnoty koeficientů<br />
$A$ a $B$. To provedeme velmi šikovně.<br />
<br />
Rovnost (\ref{eq:rozklad-na-parc-zlomky}) vynásobíme výrazem $(1-x)^{2}$<br />
a provedeme limitu pro $x\to1$. Dostaneme tak\[<br />
\lim_{x\to1}\frac{1-x}{1-x^{a}}\cdot\frac{1-x}{1-x^{b}}=A.\]<br />
Limitu pravé strany jsme zde vypočítali rovnou, neboť je zřejmá na<br />
první pohled. Pro výpočet limity nalevo použijeme l'Hospitalovo pravidlo<br />
na jednotlivé zlomky, takže nakonec vyjde\[<br />
A=\frac{1}{ab}.\]<br />
<br />
<br />
Pro získání hodnoty $B$ opět vynásobíme (\ref{eq:rozklad-na-parc-zlomky})<br />
výrazem $(1-x)^{2}$ a následně zderivujeme. Na pravé straně dostaneme<br />
$-B$ plus sumu výrazů s koeficienty $C_{\omega}$ a $D_{\xi}$, z<br />
nichž každý má tvar (uvedeme jen pro $C_{\omega}$)\[<br />
\left(\frac{C_{\omega}}{1-\frac{x}{\omega}}(1-x)^{2}\right)'=\left(\frac{C_{\omega}}{1-\frac{x}{\omega}}\right)'(1-x)^{2}-2\frac{C_{\omega}}{1-\frac{x}{\omega}}(1-x).\]<br />
Pokud nyní opět provedeme limitu pro $x\to1$, bude limita všech těchto<br />
výrazů rovna nule, protože pro $x\to1$ je $\frac{C_{\omega}}{1-\frac{x}{\omega}}\to konst\neq0$.<br />
Dostaneme tedy rovnost\[<br />
\lim_{x\to1}\left(\frac{(1-x)^{2}}{(1-x^{a})(1-x^{b})}\right)'=B.\]<br />
Limitu na pravé straně vypočítáme s dvojnásobným použitím l'Hospitalova<br />
pravidla, až nakonec vyjde\[<br />
B=\frac{a+b-2}{2ab}.\]<br />
<br />
<br />
Nyní si vzpomeneme na příklad \ref{exa:OPS-simple-example-1}, kde<br />
jsme odvodili rozvoj\begin{equation}<br />
\frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+k}{k}x^{n}.\label{eq:rozvoj-1-x-na-k-plus-1}\end{equation}<br />
Jednotlivé členy rozkladu na parciální zlomky tedy rozvineme do řady<br />
a obdržíme\[<br />
\frac{1}{(1-x^{a})(1-x^{b})}=A\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}+B\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}+\sum_{\substack{\omega^{a}=1\\<br />
\omega\neq1}<br />
}C_{\omega}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\omega^{n}}+\sum_{\substack{\xi^{b}=1\\<br />
\xi\neq1}<br />
}D_{\xi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\xi^{n}}.\]<br />
Jak jsme již uvedli, počet způsobů vyplacení částky $n$ je roven<br />
koeficientu u $x^{n}$ v uvedené mocninné řadě, a tento koeficient<br />
je roven (po dosazení hodnot $A,B$)\[<br />
\frac{n+1}{ab}+\frac{a+b-2}{2ab}+\underbrace{\sum_{\substack{\omega^{a}=1\\<br />
\omega\neq1}<br />
}\frac{C_{\omega}}{\omega^{n}}+\sum_{\substack{\xi^{b}=1\\<br />
\xi\neq1}<br />
}\frac{D_{\xi}}{\xi^{n}}}_{\textrm{per}(n)}=\frac{n+1}{ab}+\frac{a+b-2}{2ab}+\textrm{per}(n).\]<br />
Člen $\textrm{per}(n)$ je periodický s periodou $ab$ a součtet $\textrm{per}(n)$<br />
přes periodu je $0$. Proto je uvedený počet způsobů od jistého $n$<br />
určitě kladný.<br />
<br />
Zbývá vysvětlit periodicitu členu $\textrm{per}(n)$. Protože $\omega^{a}=1$<br />
a $\xi^{b}=1$, tak výraz $\frac{1}{\omega^{n}}$ má periodu $a$<br />
a výraz $\frac{1}{\xi^{n}}$ má periodu $b$. Proto i celá suma $\sum_{\substack{\omega^{a}=1\\<br />
\omega\neq1}<br />
}\frac{C_{\omega}}{\omega^{n}}$ má periodu $a$ a suma $\sum_{\substack{\xi^{b}=1\\<br />
\xi\neq1}<br />
}\frac{D_{\xi}}{\xi^{n}}$ má periodu $b$. Celý součet má tedy periodu $ab$.<br />
<br />
Nulový součet přes periodu zdůvodníme takto: Když $\omega^{a}=1$,<br />
tak i $\frac{1}{\omega^{a}}=1$. Čísla $\frac{C_{\omega}}{\omega^{n}}$<br />
jsou proto vrcholy pravidelného $a$-úhelníku, které leží v komplexní<br />
rovině na kružnici o poloměru $C_{\omega}$. Jejich součet (přes periodu<br />
o velikosti $a$) je těžištěm tohoto $a$-úhelníku, a toto těžiště<br />
leží v nule. Stejně pro $\frac{D_{\xi}}{\xi^{n}}$ a součet přes periodu<br />
o velikosti $b$.<br />
<br />
<br />
\subsubsection{Rozměňovací problém pro obecné $M$}<br />
<br />
Nyní se vrátíme k rozměňovacímu problému pro obecný počet typů mincí.<br />
Pomocí OPS dokážeme větu \ref{thm:money-chg} a ještě něco navíc.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť jsou dána přirozená čísla $1<a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{M}$ taková,<br />
že $\delta(a_{1},a_{2},...,a_{M})=1$. Potom\[<br />
\left(\exists n_{0}\right)\left(\forall n\geq n_{0}\right)\left(n\in S(a_{1},...,a_{m})\right)\]<br />
a přitom počet způsobů. kterými lze $n$ nakombinovat, se asymptoticky<br />
blíží číslu\[<br />
\frac{n^{M-1}}{(M-1)!\cdot a_{1}a_{2}\cdots a_{M}},\]<br />
tj. limita podílu skutečného počtu způsobů a uvedeného výrazu pro<br />
$n\to\infty$ je rovna $1$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Speciálně pro $M=2$ vychází počet způsobů podle této věty přibližně<br />
$\frac{n}{a_{1}a_{2}}=\frac{n}{ab}$ a v předchozím odvození jsme<br />
dospěli k číslu $\frac{n+1}{ab}+\frac{a+b-2}{2ab}$ (až na periodický<br />
člen). Pro $n\to\infty$ jde podíl obou výrazů skutečně k jedné.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Prostředky důkazu této věty budou velmi podobné myšlenkám, které jsme<br />
předvedli v předchozím odvození pro $M=2$. Označme $h_{n}$ hledaný<br />
počet způsobů pro dané $n$, tj. počet nezáporných celočíselných řešení<br />
$(k_{1},...,k_{M})$ rovnice\[<br />
\sum_{i=1}^{M}a_{i}k_{i}=n.\]<br />
Potom (stále podle stejné úvahy) je $h_{n}$ rovněž koeficientem u<br />
$x^{n}$ v mocninné řadě, která vznikne jako součin mocninných řad\[<br />
(1+x^{a_{1}}+x^{2a_{1}}+...)(1+x^{a_{2}}+x^{2a_{2}}+...)\cdots(1+x^{a_{M}}+x^{2a_{M}}+...)=\frac{1}{1-x^{a_{1}}}\cdot\frac{1}{1-x^{a_{2}}}\cdots\frac{1}{1-x^{a_{M}}}.\]<br />
Provedeme-li opět rozklad na parciální zlomky, podobně jako v předchozím<br />
odvození zjistíme, že jmenovatel má kořeny určitého tvaru, přičemž<br />
jediný $M$-násobný kořen je $1$. Ostatní kořeny (již nemusí mít<br />
nutně násobnost $1$, ale) mají násobnost menší než $M$. Při ověření<br />
tohoto tvrzení opět postupujeme sporem a využíváme předpokladu $\delta(a_{1},a_{2},...,a_{M})=1$.<br />
<br />
Rozklad na parciální zlomky můžeme tedy zapsat ve tvaru\[<br />
\frac{1}{1-x^{a_{1}}}\cdot\frac{1}{1-x^{a_{2}}}\cdots\frac{1}{1-x^{a_{M}}}=\frac{A}{(1-x)^{M}}+\sum_{\eta}\sum_{j=1}^{\nu(\eta)\leq M-1}\frac{C_{\eta,j}}{(1-\frac{x}{\eta})^{j}},\]<br />
kde suma přes $\eta$ znamená sumu přes všechny kořeny jmenovatele<br />
kromě kořenu $1$ a $\nu(\eta)$ označuje násobnost kořenu $\eta$.<br />
Jediný koeficient rozkladu, který pro důkaz věty potřebujeme, je koeficient<br />
$A$. Jestliže uvedenou rovnost vynásobíme výrazem $(1-x)^{M}$ a<br />
provedeme limitu pro $x\to1$, dostaneme rovnost\[<br />
\frac{1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{M}}=A,\]<br />
přičemž pro výpočet limity nalevo jsme museli použít l'Hospitalovo<br />
pravidlo na každý zlomek $\frac{1-x}{1-x^{a_{i}}}$ zvlášť.<br />
<br />
Nyní provedeme rozvoje jednotlivých sčítanců do mocninné řady podle<br />
(\ref{eq:rozvoj-1-x-na-k-plus-1}), takže získáme\[<br />
A\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+M-1}{M-1}x^{n}+\sum_{\eta}\sum_{j=1}^{\nu(\eta)\leq M-1}C_{\eta,j}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+j-1}{j-1}\frac{x^{n}}{\eta^{n}}.\]<br />
Koeficient u $x^{n}$, neboli $h_{n}$, je tedy roven\[<br />
h_{n}=A\binom{n+M-1}{M-1}+\underbrace{\sum_{\eta}\sum_{j=1}^{\nu(\eta)\leq M-1}C_{\eta,j}\binom{n+j-1}{j-1}\frac{1}{\eta^{n}}}_{P(n)}.\]<br />
$P(n)$ je polynom v proměnné $n$ stupně nejvýše $M-2$, protože<br />
index $j$ dosahuje hodnoty nejvýše $M-1$. Pokud nyní provedeme limitu<br />
pro $n\to\infty$ podílu $h_{n}$ a odhadu z dokazované věty, dostaneme\[<br />
\lim_{n\to\infty}\frac{h_{n}}{\frac{n^{M-1}}{(M-1)!\cdot\underbrace{a_{1}a_{2}\cdots a_{M}}_{1/A}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+M-1)(n+M-2)\cdots(n+1)}{(M-1)!}+P(n)}{\frac{n^{M-1}}{(M-1)!}}=\]<br />
\[<br />
=\underbrace{\lim_{n\to\infty}\frac{(n+M-1)(n+M-2)\cdots(n+1)}{n^{M-1}}}_{=1}+(M-1)!\underbrace{\lim_{n\to\infty}\frac{P(n)}{n^{M-1}}}_{=0}=1.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Několik zajímavostí o rozměňovacím problému:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Pro $M=3$, $a_{1}<a_{2}<a_{3}$ je od roku 1970 známa minimální částka,<br />
kterou lze vyplatit.<br />
\item Od roku 1942 je známa minimální částka, kterou lze zaplatit, pokud<br />
$a_{1}<a_{2}<...<a_{M}$ tvoří aritmetickou posloupnost.<br />
\item Pro $M\geq4$ ukázali Erdös a Graham, že maximální částka, kterou<br />
nelze vyplatit, je $\leq2a_{M-1}\left\lfloor \frac{a_{M}}{M}\right\rfloor -a_{M}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Tvrzení z teorie čísel dokazatelná pomocí OPS}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Množinu přirozených čísel nelze zapsat jako konečné disjunktní sjednocení<br />
aritmetických posloupností s různými diferencemi.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Pokud připustíme shodné diference u alespoň dvou posloupností, tak<br />
věta neplatí. Snadno si lze představit $\N$ jako sjednocení všech<br />
sudých a lichých přirozených čísel, nebo jako\[<br />
\N=\left\{ \left.2k\right|k\in\N\right\} \cup\left\{ \left.4k-3\right|k\in\N\right\} \cup\left\{ \left.4k-1\right|k\in\N\right\} .\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Mějme posloupnosti $\left(a_{1}+nd_{1}\right)$,$\left(a_{2}+nd_{2}\right)$,...,$\left(a_{M}+nd_{M}\right)$<br />
kde $M\geq2$ a nechť platí\[<br />
1<d_{1}<d_{2}<...<d_{M}.\]<br />
Předpokládejme, že tyto posloupnosti pokrývají celé $\N$. Sečteme-li<br />
řady\[<br />
x^{a_{1}}+x^{a_{1}+d_{1}}+x^{a_{1}+2d_{1}}+x^{a_{1}+3d_{1}}+...\]<br />
\[<br />
x^{a_{2}}+x^{a_{2}+d_{2}}+x^{a_{2}+2d_{2}}+x^{a_{2}+3d_{2}}+...\]<br />
\[<br />
\vdots\]<br />
\[<br />
x^{a_{M}}+x^{a_{M}+d_{M}}+x^{a_{M}+2d_{M}}+x^{a_{M}+3d_{M}}+...,\]<br />
musíme dostat řadu\[<br />
x^{1}+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...\left(=\sum\limits _{n=1}^{\infty}x^{n}\right)\]<br />
Pokud nejprve vypočítáme součet každé řady zvlášť (všechny řady jsou<br />
pro $x\in(0,1)$ absolutně konvergentní) a dosadíme do rovnosti mezi<br />
součtem $M$ řad na levé straně a řadou $\sum\limits _{n=1}^{\infty}x^{n}$<br />
na straně pravé, dostaneme rovnost\[<br />
\frac{x^{a_{1}}}{1-x^{d_{1}}}+\frac{x^{a_{2}}}{1-x^{d_{2}}}+...+\frac{x^{a_{M}}}{1-x^{d_{M}}}=\frac{x}{1-x}.\]<br />
Jmenovatel posledního sčítance nalevo má kořen $\e^{\frac{2\pi}{d_{M}}i}$<br />
(kořen s nejmenším argumentem). Žádný jiný jmenovatel tento kořen<br />
nemá, protože podle předpokladu je $d_{M}$ největší ze všech diferencí.<br />
Pokud nyní v rovnosti provedeme limitu pro $x\to\e^{\frac{2\pi}{d_{M}}i}$,<br />
dostaneme napravo konečné číslo a nalevo součet $M-1$ konečných čísel<br />
a (komplexního) nekonečna, které je limitou posledního sčítance. To<br />
je ale spor.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Označme jako $r_{n}$ počet způsobů, jak zapsat číslo $n\in\N$ jako<br />
součet přirozených čísel (bez ohledu na pořadí), kde sčítance jsou<br />
různé. Podobně označme jako $l_{n}$ počet způsobů, jak zapsat číslo<br />
$n\in\N$ jako součet přirozených čísel (bez ohledu na pořadí), kde<br />
sčítance jsou liché. Potom $r_{n}=l_{n}$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{example*}<br />
V následujícím seznamu možností zápisu čísla $6$ jsou písmenem L<br />
vyznačeny zápisy pomocí součtu lichých čísel a písmenem R zápisy pomocí<br />
součtu různých čísel.\begin{eqnarray*}<br />
\textrm{L }6 & = & 1+1+1+1+1+1\\<br />
6 & = & 1+1+1+1+2\\<br />
6 & = & 1+1+2+2\\<br />
6 & = & 2+2+2\\<br />
\textrm{L }6 & = & 1+1+1+3\\<br />
\textrm{R }6 & = & 1+2+3\\<br />
\textrm{L }6 & = & 3+3\\<br />
6 & = & 1+1+4\\<br />
\textrm{R }6 & = & 2+4\\<br />
\textrm{LR }6 & = & 1+5\\<br />
\textrm{R }6 & = & 6\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že $r_{n}$ je koeficient u $x^{n}$ v mocninné řadě,<br />
která vznikne po roznásobení výrazu\begin{equation}<br />
(1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})\cdots=\prod_{k=1}^{\infty}(1+x^{k}).\label{eq:vyraz-pro-rn}\end{equation}<br />
To je ale v podstatě vidět, protože každý člen v této mocninné řadě<br />
je tvaru $A\cdot x^{a_{1}}\cdot x^{a_{2}}\cdot x^{a_{3}}\cdots x^{a_{M}}$,<br />
kde $M\in\N$ a $a_{1},a_{2},...,a_{M}$ jsou navzájem různé. Pokud<br />
máme pochybnosti o konvergenci nekonečného součinu, můžeme jej zlogaritmovat:\begin{equation}<br />
\ln\prod_{k=1}^{\infty}(1+x^{k})=\sum_{k=1}^{\infty}\ln(1+x^{k})\label{eq:zlogaritmovana-rada}\end{equation}<br />
a přitom\[<br />
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^{k})}{x^{k}}=1.\]<br />
Řada (\ref{eq:zlogaritmovana-rada}) má tedy stejný poloměr konvergence<br />
jako řada $\sum\limits _{k=0}^{\infty}x^{k}$, takže pro $x\in[0,1)$<br />
konverguje. Proto konverguje i původní produkt.<br />
<br />
Dále platí, že $l_{n}$ je koeficient u $x^{n}$ ve výrazu\begin{equation}<br />
(1+x+x^{2}+x^{3}+...)\cdot(1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+...)\cdot(1+x^{5}+x^{10}+x^{15}+...)\cdots=\prod_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}x^{\left(2k-1\right)j}.\label{eq:vyraz-pro-ln}\end{equation}<br />
Pro dané $n$ totiž $x^{n}$ vznikne vždy jako součin\[<br />
x^{n}=x^{k_{1}}\cdot x^{3k_{2}}\cdot x^{5k_{3}}\cdots x^{(2M-1)k_{M}},\]<br />
kde $M\in\N$ a $k_{i}\in\N_{0}$. To je ekvivalentní s rovností\[<br />
n=k_{1}+3k_{2}+5k_{3}+...+(2M-1)k_{M},\]<br />
která však znamená jen to, že $n$ lze zapsat jako součet lichých<br />
čísel\[<br />
n=\underbrace{1+1+...+1}_{k_{1}\textrm{-krát}}+\underbrace{3+3+...+3}_{k_{2}\textrm{-krát}}+\underbrace{5+5+...+5}_{k_{3}\textrm{-krát}}+...+\underbrace{(2M-1)+(2M-1)+...+(2M-1)}_{k_{M}\textrm{-krát}}.\]<br />
<br />
<br />
Pokud ověříme, že oba výrazy (\ref{eq:vyraz-pro-rn}) a (\ref{eq:vyraz-pro-ln})<br />
jsou si rovny, bude to znamenat i $r_{n}=l_{n}$. Ve výrazu (\ref{eq:vyraz-pro-ln})<br />
sečteme sumy tvořící jednotlivé činitele, neboť se jedná o geometrické<br />
řady. Dostaneme tak celkem\begin{equation}<br />
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2k-1}},\label{eq:vyraz-pro-ln-2}\end{equation}<br />
což se má rovnat výrazu \[<br />
\prod_{k=1}^{\infty}(1+x^{k}).\]<br />
Pokud si rozepíšeme\[<br />
1+x^{k}=\frac{1-x^{2k}}{1-x^{k}},\]<br />
tak potom už je vidět, že skutečně\[<br />
\prod_{k=1}^{\infty}(1+x^{k})=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-x^{2k}}{1-x^{k}}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2k-1}},\]<br />
protože právě všechny členy se sudými mocninami $x$ se vykrátí (to<br />
je paradox nekonečného součinu...).<br />
\end{proof}<br />
\begin{example}<br />
Mějme čísla $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}\in\Z$ a uvažujme všechny rozdíly<br />
$(a_{j}-a_{i})$ , kde $j>i$, což jsou všechno přirozená čísla. Potom<br />
řekneme, že posloupnost $a_{1},a_{2},..,a_{n}$ tvoří \textbf{dokonalé<br />
pravítko}, jestliže\begin{equation}<br />
\left(\forall k,1\leq k\leq\binom{n}{2}\right)\left(\exists i,j\in\hat{n}\right)\left(a_{j}-a_{i}=k\right),\label{eq:def-dokon-pravitko}\end{equation}<br />
tj. když všechna přirozená čísla od $1$ do $\binom{n}{2}$ lze vyjádřit<br />
jako rozdíl vhodné dvojice čísel z posloupnosti $a_{1},a_{2},..,a_{n}$.<br />
<br />
Například pro $n=4$ je $\binom{4}{2}=6$ a posloupnost $(0,1,4,6)$<br />
tvoří dokonalé pravítko.<br />
\end{example}<br />
\begin{thm}<br />
Pro $n\geq5$ dokonalé pravítko neexistuje.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
I tuto větu dokážeme s použitím OPS. Nechť $n\in\N$ a posloupnost<br />
$(a_{1},...,a_{n})$ tvoří dokonalé pravítko. Definujme polynom\[<br />
A(z)=z^{a_{1}}+z^{a_{2}}+...+z^{a_{n}}\]<br />
a uvažujme součin polynomů $A(z)\cdot A(z^{-1})$. Po prostém roznásobení<br />
vznikne celkem $n^{2}$ sčítanců, přičemž mezi nimi bude $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$<br />
párů tvaru $z^{a_{i}-a_{j}}$ a $z^{a_{j}-a_{i}}$, kde $i\neq j$<br />
(neboť tolika způsoby lze vybrat dvě různá čísla z $\hat{n}$ \emph{bez<br />
ohledu} na pořadí), a zbylých $n$ sčítanců budou jednotky ($z^{0}$).<br />
<br />
Z vlastnosti dokonalého pravítka (\ref{eq:def-dokon-pravitko}) nalezneme<br />
každé číslo od $1$ do $\binom{n}{2}$ jako rozdíl $a_{j}-a_{i}$<br />
pro nějaké $i<j$. Součin $A(z)\cdot A(z^{-1})$ je tedy roven\begin{equation}<br />
A(z)\cdot A(z^{-1})=\boxed{(n-1)}+z^{-\binom{n}{2}}+z^{-\left(\binom{n}{2}-1\right)}+...+z^{-1}+\boxed{z^{0}}+z^{1}+z^{2}+...+z^{\binom{n}{2}-1}+z^{\binom{n}{2}}.\label{eq:soucin-dok-prav}\end{equation}<br />
Čísla v rámečku dohromady tvoří výše zmíněných $n$ jednotek v roznásobení<br />
součinu. Označme nyní\[<br />
N=\binom{n}{2}.\]<br />
Součin (\ref{eq:soucin-dok-prav}) bez konstanty $n-1$ tvoří geometrickou<br />
řadu, kterou sečteme podle známého vzorce, když vytkneme $z^{-N}$:\[<br />
A(z)\cdot A(z^{-1})=(n-1)+z^{-N}\frac{z^{2N+1}-1}{z-1}=(n-1)+\frac{z^{N+\frac{1}{2}}-z^{-N-\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}}.\]<br />
<br />
<br />
Pokud nyní dosadíme speciálně $z=\e^{i\varphi}$, dostaneme\[<br />
A\left(\e^{i\varphi}\right)A\left(\e^{-i\varphi}\right)=(n-1)+\frac{\e^{i\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)}-\e^{-i\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)}}{\e^{\frac{i\varphi}{2}}-\e^{-\frac{i\varphi}{2}}}=(n-1)+\frac{\sinh\left(i\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)\right)}{\sinh\left(i\frac{\varphi}{2}\right)}=(n-1)+\frac{\sin\left(\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}.\]<br />
Čísla $\e^{i\varphi}$ a $\e^{-i\varphi}$ jsou však komplexně sdružená,<br />
takže platí i $A\left(\e^{-i\varphi}\right)=\overline{A\left(\e^{i\varphi}\right)}$,<br />
a tedy\[<br />
A\left(\e^{i\varphi}\right)A\left(\e^{-i\varphi}\right)=\left|A\left(\e^{i\varphi}\right)\right|^{2}\geq0,\]<br />
Pro každé $\varphi$ tak musí platit\[<br />
A\left(\e^{i\varphi}\right)A\left(\e^{-i\varphi}\right)=(n-1)+\frac{\sin\left(\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)\right)}{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\geq0.\]<br />
Z této nerovnosti již získáme omezení na $n$. Jinými slovy ukážeme,<br />
že pro $n\geq5$ již tato nerovnost neplatí. Zvolme $\varphi$ tak,<br />
aby $\sin\left(\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)\right)=-1$, tj.<br />
$\varphi\left(N+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}\pi$, takže\[<br />
\varphi=\frac{\frac{3}{2}\pi}{N+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}\pi}{\frac{n(n-1)}{2}+\frac{1}{2}}=\frac{3\pi}{n^{2}-n+1}.\]<br />
I pro toto $\varphi$ musí postupně platit\begin{eqnarray*}<br />
(n-1)-\frac{1}{\sin\frac{3\pi}{2\left(n^{2}-n+1\right)}} & \geq & 0,\\<br />
\sin\frac{3\pi}{2\left(n^{2}-n+1\right)} & \geq & \frac{1}{n-1},\\<br />
\frac{3\pi}{2\left(n^{2}-n+1\right)} & \geq & \frac{1}{n-1},\\<br />
\underbrace{\frac{3\pi}{2}}_{\approx4.71} & \geq & \frac{n^{2}-n+1}{n-1}=n+\frac{1}{n-1},\end{eqnarray*}<br />
přičemž jsme využili, že $x\geq\sin x$ pro $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.<br />
Je však vidět, že pro $n\geq5$ již tato nerovnost splněna není.<br />
\end{proof}<br />
\begin{example}<br />
Mějme naměřená data $d_{1},...,d_{N-1}$ a hledejme hodnoty neznámé<br />
veličiny $y_{1},...,y_{N-1}$, jestliže je znám rekurentní vztah\begin{equation}<br />
ay_{i+1}+by_{i}+cy_{i-1}=d_{i}\qquad\forall i=1,2,3,...,N-1\label{eq:prikl-OPS-rekurence}\end{equation}<br />
a hodnoty (okrajové podmínky) $y_{0},y_{N}$. Koeficienty $a,b,c$<br />
jsou známé a předpokládáme $a,c\neq0$, jinak by byla úloha triviální.<br />
<br />
Definujme polynomy\begin{eqnarray*}<br />
D(x) & = & \sum_{i=1}^{N-1}d_{i}x^{i},\\<br />
Y(x) & = & \sum_{i=1}^{N-1}y_{i}x^{i}.\end{eqnarray*}<br />
Nyní všechny rovnosti (\ref{eq:prikl-OPS-rekurence}) vynásobíme $x^{i}$<br />
a sečteme přes $i$ od $1$ do $N-1$. Dostaneme\[<br />
a\sum_{i=1}^{N-1}y_{i+1}x^{i}+b\sum_{i=1}^{N-1}y_{i}x^{i}+c\sum_{i=1}^{N-1}y_{i-1}x^{i}=D(x).\]<br />
Podle definice polynomu $Y(x)$ lze tuto rovnost dále přepsat na\[<br />
\frac{a}{x}\left(Y(x)-y_{1}x+y_{N}x^{N}\right)+bY(x)+cx\left(Y(x)-y_{N-1}x^{N-1}+y_{0}\right)=D(x).\]<br />
Celou rovnost vynásobíme $x$ a po vytknutí $Y(x)$ dostaneme\[<br />
Y(x)\left(a+bx+cx^{2}\right)=x\left(ay_{1}+cy_{N-1}x^{N}+D(x)-ay_{N}x^{N-1}-cy_{0}x\right).\]<br />
Nechť $r_{1}.r_{2}$ jsou kořeny rovnice $cx^{2}+bx+a=0$, pro jednoduchost<br />
různé. Potom platí\begin{eqnarray*}<br />
0 & = & ay_{1}+cy_{N-1}r_{1}^{N}+D(r_{1})-ay_{N}r_{1}^{N-1}-cy_{0}r_{1},\\<br />
0 & = & ay_{1}+cy_{N-1}r_{2}^{N}+D(r_{2})-ay_{N}r_{2}^{N-1}-cy_{0}r_{2},\end{eqnarray*}<br />
což je soustava dvou lineárních rovnic pro $y_{1}$ a $y_{N-1}$ s<br />
determinantem\[<br />
\left|\begin{array}{cc}<br />
a & cr_{1}^{N}\\<br />
a & cr_{2}^{N}\end{array}\right|\neq0,\]<br />
protože $r_{1}\neq r_{2}$. Jejím řešením získáme hodnoty $y_{1},y_{N-1}$<br />
a dospějeme tedy ke stejné úloze, avšak pouze pro $\left(N-1\right)-2$<br />
neznámých $y_{2},...,y_{N-2}$. Rozmyslete si, co se stane, když $r_{1}=r_{2}$.<br />
\end{example}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4535
01ZTGA
2012-01-15T13:21:00Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
\chapter{Rozšířený kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast2_kapitola1}<br />
\input{cast2_kapitola2}<br />
\input{cast2_kapitola3}<br />
\input{cast2_kapitola4}<br />
<br />
\chapter{Generující funkce}<br />
<br />
Do kursu kombinatoriky a teorie grafů tradičně patří také kapitola<br />
o generujících funkcích, i když v rozsahu naší přednášky se samotné<br />
teorie grafů dotýká jen okrajově. Budeme se zabývat mocninnými řadami,<br />
s jejichž pomocí lze s úspěchem vyřešit zdánlivě velmi složité kombinatorické<br />
problémy. Tato kapitola pojednává o obyčejných mocninných řadách a<br />
exponenciálních generujících funkcích. Neobsahuje výklad Dirichletových<br />
generujících funkcí, které však nebyly součástí zkoušené látky.<br />
<br />
Základní myšlenkou aplikovanou na problémy v této kapitole je zpravidla<br />
přeformulování kombinatorické úlohy na úlohu nalezení koeficientů<br />
mocninné řady, jejíž součet (generující funkci) známe. Přitom vždy<br />
využíváme jednoznačnost rozvoje funkce do mocninné řady.<br />
<br />
\input{cast3_kapitola1}<br />
\input{cast3_kapitola2}<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_4&diff=4534
01ZTGA:Kapitola2 4
2012-01-15T13:18:28Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\section{Ramseyovská čísla}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\label{exa:ramsey}Ve skupině $6$ lidí existuje trojice lidí taková,<br />
že se všichni navzájem znají nebo se všichni navzájem neznají. (V<br />
libovolném grafu na $6$ vrcholech existuje klika velikosti $3$ nebo<br />
nezávislá množina velikosti $3$.)<br />
\end{example}<br />
\begin{proof}<br />
Mohou nastat dvě možnosti:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje vrchol $v$ stupně $\geq3$. Nechť z $v$ vedou hrany do<br />
vrcholů $v_{1},v_{2},v_{3}$. Potom pokud mezi nějakými vrcholy $v_{i},v_{j}$<br />
($i,j\in\{1,2,3\}$) vede hrana, tvoří vrcholy $v,v_{i},v_{j}$ kliku<br />
velikosti $3$. Naopak pokud mezi $v_{1},v_{2},v_{3}$ nevede žádná<br />
hrana, tvoří tyto vrcholy nezávislou množinu velikosti $3$.<br />
\item Všechny vrcholy mají stupeň $\leq2$. Vezměme libovolný vrchol $v$.<br />
Z něho \emph{ne}vedou hrany do alespoň $3$ vrcholů $v_{1},v_{2},v_{3}$.<br />
Potom pokud mezi nějakými vrcholy $v_{i},v_{j}$ ($i,j\in\{1,2,3\}$)<br />
nevede hrana, tvoří vrcholy $v,v_{i},v_{j}$ nezávislou množinu velikosti<br />
$3$. Naopak pokud mezi $v_{1},v_{2},v_{3}$ vedou všechny hrany,<br />
tvoří tyto vrcholy kliku velikosti $3$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Ramsey)}}<br />
<br />
\[<br />
\left(\forall k,l\in\N\right)\left(\exists n_{0}\in\N\right)\left(\forall n\geq n_{0}\right)\left(\forall G,\# V(G)=n\right)\left(\left(\omega(G)\geq k\right)\vee\left(\alpha(G)\geq l\right)\right).\]<br />
Slovy: Pro každé $k,l\in\N$ existuje $n_{0}\in\N$ takové, že každý<br />
graf na alespoň $n_{0}$ vrcholech obsahuje kliku velikosti $k$ \underbar{nebo}<br />
nezávislou množinu velikosti $l$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{defn}<br />
Minimální $n_{0}$ z Ramseyovy věty pro daná $k,l$ značíme $r(k,l)$<br />
a nazýváme jej \textbf{ramseyovským číslem}.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
V příkladě \ref{exa:ramsey} jsme vlastně našli pro $k=l=3$ číslo<br />
$n_{0}=6$, tj. ukázali jsme $r(3,3)\leq6$. Nemůže být ovšem $r(3,3)\leq5$.<br />
Příkladem grafu na $5$ vrcholech, pro který $\left(\omega(G)<3\right)\wedge\left(\alpha(G)<3\right)$,<br />
je cyklus $C_{5}$. Proto $r(3,3)=6$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
(Ramseyovy věty)<br />
<br />
Budeme postupovat indukcí podle $\left(k+l\right)$. Předvedeme úvahu,<br />
která bude jen zobecněním důkazu v příkladě \ref{exa:ramsey}.<br />
<br />
Protože v indukčním kroku tvaru $\left(k+l\right)-1\to\left(k+l\right)$<br />
budme potřebovat čísla $k-1$ i $l-1$, lze jej provést až pro $\left(k\geq2\right)\wedge\left(l\geq2\right)$.<br />
Na počátku tedy potřebujeme ověřit platnost tvrzení pro $k=1,l\in\N$<br />
a pro $k\in\N,l=1$. Zřejmě však platí<br />
\begin{itemize}<br />
\item $r(k,1)=1$,<br />
\item $r(1,l)=1$.<br />
\end{itemize}<br />
Poznamenejme, že snadno je vidět rovněž<br />
\begin{itemize}<br />
\item $r(k,2)=k$, protože buď jsou v grafu $G$ na $k$ vrcholech všechny<br />
hrany, a tedy $K_{k}=G$, a nebo alespoň jedna chybí, ale potom je<br />
v $G$ nezávislá množina velikosti $2$.<br />
\item $r(2,l)=l$, protože buď v grafu $G$ na $l$ vrcholech nejsou žádné<br />
hrany, a tedy (v) $G$ je nezávislá množina velikosti $l$, nebo $G$<br />
má alespoň jednu hranu, ale potom $G$ obsahuje $K_{2}$.<br />
\end{itemize}<br />
Indukční krok $\boxed{\left(k+l\right)-1\to\left(k+l\right)}$:Najdeme<br />
$n_{0}$ jako $n_{0}=r(k-1,l)+r(k,l-1)$ a ukážeme, že každý graf<br />
$G$ na $n=n_{0}$ (a tedy i na $n>n_{0}$) vrcholech obsahuje kliku<br />
velikosti $k$ nebo nezávislou množinu velikosti $l$. Mohou nastat<br />
dva případy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje vrchol $v\in V(G)$ tak, že $d_{G}(v)\geq r(k-1,l)$. Označme<br />
jako $H$ podgraf indukovaný množinou sousedů vrcholu $v$. Potom<br />
$\# V(H)\geq r(k-1,l)$. Podle indukčního předpokladu v $H$ existuje<br />
$K_{k-1}$, která však spolu s vrcholem $v$ tvoří kliku $K_{k}$<br />
v grafu $G$, nebo v $H$ existuje nezávislá množina velikosti $l$,<br />
takže i v $G$ existuje nezávislá množina velikosti $l$.<br />
\item Všechny vrcholy grafu $G$ mají stupeň $<r(k-1,l)$. Nechť $v\in V(G)$.<br />
Potom $d_{G}(v)<r(k-1,l)\Rightarrow d_{G}(v)\leq r(k-1,l)-1$. To<br />
znamená, že existuje množina alespoň $n-1-\left(r(k-1,l)-1\right)=r(k,l-1)$<br />
vrcholů, do nichž nevede hrana z vrcholu $v$. Označme jako $H$ podgraf<br />
indukovaný touto množinou vrcholů. Podle indukčního předpokladu v<br />
$H$ existuje nezávislá množina velikosti $l-1$, která však spolu<br />
s vrcholem $v$ tvoří nezávislou množinu velikosti $l$ v grafu $G$,<br />
nebo v $H$ existuje klika $K_{k}$, což znamená, že i v $G$ existuje<br />
$K_{k}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem}<br />
Protože k libovolnému grafu $\bar{G}$ na $n$ vrcholech existuje<br />
graf $G$ na $n$ vrcholech tak, že $\bar{G}$ je doplňkem $G$, lze<br />
tvrzení plynoucí z Ramseyovy věty, zapsané ve tvaru\[<br />
\left(\forall k,l\in\N\right)\left(\forall n\geq r(k,l)\right)\left(\forall\bar{G},\# V(\bar{G})=n\right)\left(\left(\omega(\bar{G})\geq k\right)\vee\left(\alpha(\bar{G})\geq l\right)\right),\]<br />
přeformulovat na\[<br />
\left(\forall k,l\in\N\right)\left(\forall n\geq r(k,l)\right)\left(\forall G,\# V(G)=n\right)\left(\left(\omega(\bar{G})\geq k\right)\vee\left(\alpha(\bar{G})\geq l\right)\right).\]<br />
To je podle známých rovností uvedených v poznámce \ref{rem:alfa-omega-v-doplnku-G}<br />
ekvivalentní s\[<br />
\left(\forall k,l\in\N\right)\left(\forall n\geq r(k,l)\right)\left(\forall G,\# V(G)=n\right)\left(\left(\alpha(G)\geq k\right)\vee\left(\omega(G)\geq l\right)\right),\]<br />
což z definice ramseyovských čísel znamená $\left(\forall k,l\in\N\right)\left(r(l,k)\leq r(k,l)\right)$.<br />
To samozřejmě implikuje\[<br />
\left(\forall k,l\in\N\right)\left(r(l,k)=r(k,l)\right).\]<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{rem*}<br />
Není jednoduché hodnoty $r(k,l)$ vypočítat. Známé hodnoty ramseyovských<br />
čísel jsou uvedeny v tabulce \ref{cap:znama-r-kl}. Netriviální ramseyovská<br />
čísla jsou v pravém dolním čtverci. Hodnota $r(4,5)$ je známa od<br />
roku 1993. O hodnotě $r(5,5)$ víme pouze\[<br />
42\leq r(5,5)\leq50.\]<br />
%<br />
\begin{table}<br />
\begin{center}\begin{tabular}{|>{\centering}m{1cm}||c|c||c|c|c|c|c|}<br />
\hline <br />
%Title: rkl_table.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 15:20:24 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$l$}%<br />
} [lB] at 7.976 20.597<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$k$}%<br />
} [lB] at 7.144 20.123<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 20.955 8.096 20.003 /<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.112 20.980 and 8.122 19.977<br />
\endpicture}<br />
&<br />
1&<br />
2&<br />
3&<br />
4&<br />
5&<br />
6&<br />
7\tabularnewline<br />
\hline<br />
\hline <br />
1&<br />
1&<br />
1&<br />
1&<br />
1&<br />
1&<br />
1&<br />
1\tabularnewline<br />
\hline <br />
2&<br />
1&<br />
2&<br />
3&<br />
4&<br />
5&<br />
6&<br />
7\tabularnewline<br />
\hline<br />
\hline <br />
3&<br />
1&<br />
3&<br />
6&<br />
9&<br />
14&<br />
18&<br />
23\tabularnewline<br />
\hline <br />
4&<br />
1&<br />
4&<br />
9&<br />
17&<br />
25&<br />
&<br />
\tabularnewline<br />
\hline <br />
5&<br />
1&<br />
5&<br />
14&<br />
25&<br />
&<br />
&<br />
\tabularnewline<br />
\hline <br />
6&<br />
1&<br />
6&<br />
18&<br />
&<br />
&<br />
&<br />
\tabularnewline<br />
\hline <br />
7&<br />
1&<br />
7&<br />
23&<br />
&<br />
&<br />
&<br />
\tabularnewline<br />
\hline<br />
\end{tabular}\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:znama-r-kl}Známé hodnoty ramseyovských čísel}<br />
\end{table}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Odhady ramseyovských čísel}<br />
<br />
\begin{rem}<br />
Z důkazu Ramseyovy věty plyne nerovnost\[<br />
r(k-1,l)+r(k,l-1)\geq r(k,l),\]<br />
protože pro $n=r(k-1,l)+r(k,l-1)$ jsme již dokázali její tvrzení<br />
pro $k,l$.<br />
\end{rem}<br />
\begin{cor}<br />
\[<br />
r(k,l)\leq\binom{k+l-2}{k-1}\]<br />
<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Indukcí podle $\left(k+l\right)$. Uvedeme pouze indukční krok, platnost<br />
vztahu pro $k=1,l\in\N$ (a pro $k\in\N,l=1$) lze ověřit prostým<br />
dosazením.\[<br />
r(k,l)\leq r(k-1,l)+r(k,l-1)\leq\binom{k-1+l-2}{k-2}+\binom{k+l-1-2}{k-1}=\binom{k+l-2}{k-1}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
\label{cor:horni-odhad-r-k-k}\[<br />
r(k,k)\leq\binom{2k-2}{k-1}\leq4^{k-1}\]<br />
<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Jedná se o dosazení $l=k$. Pokud jde o pravou nerovnost, platí\[<br />
\binom{2n}{n}\leq\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}=\sum_{j=0}^{2n}\binom{2n}{j}1^{j}1^{(2n-j)}=(1+1)^{2n}=4^{n},\]<br />
kde $\binom{2n}{n}$ je pouze poslední člen uvedené sumy.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Ještě lepší odhad získáme použitím Stirlingovy formule:\[<br />
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!^{2}}\approx\frac{(2n)^{2n}\e^{-2n}\sqrt{2\pi\cdot2n}}{n^{2n}\e^{-2n}\cdot2\pi n}\approx\frac{c}{\sqrt{n}}4^{n},\]<br />
takže po dosazení\[<br />
r(k,k)\leq\frac{\tilde{c}}{\sqrt{k-1}}4^{k-1}=\frac{c}{\sqrt{k}}4^{k}.\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:nerovnost-r-kl}Pro každé $k,l\in\N$ platí\[<br />
r(kl+1,kl+1)-1\geq\left(r(k+1,k+1)-1\right)\left(r(l+1,l+1)-1\right).\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Pro účely důkazu si definujeme \emph{kompozici} dvou grafů $G=(V,E)$<br />
a $H=(U,F)$ jako graf\[<br />
G[H]=(V\times U,\mathcal{E}),\]<br />
kde\[<br />
\left\{ (v_{1},u_{1}),(v_{2},u_{2})\right\} \in\mathcal{E}\;\Leftrightarrow\;\left(\{ v_{1},v_{2}\}\in E\vee\left(v_{1}=v_{2}\wedge\{ u_{1},u_{2}\}\in F\right)\right).\]<br />
<br />
<br />
Graf $G[H]$ si můžeme představit jako graf $G$, kde každý vrchol<br />
$v_{i}\in V$ je nahrazen kopií grafu $H$ (,,knedlíkem{}``), kterou<br />
můžeme označit $H_{i}$. Vede-li mezi dvěma vrcholy $v_{i},v_{j}$<br />
hrana v grafu $G$, pak v $G[H]$ vedou hrany mezi každými dvěma vrcholy<br />
$w_{1}\in H_{i},w_{2}\in H_{j}$.<br />
<br />
Pro $G[H]$ platí vztahy\begin{eqnarray*}<br />
\omega(G[H]) & = & \omega(G)\omega(H),\\<br />
\alpha(G[H]) & = & \alpha(G)\alpha(H),\end{eqnarray*}<br />
které docela přímočaře využijeme při důkazu tvrzení věty. Nejprve<br />
ale pojďme ověřit jejich platnost.<br />
\begin{itemize}<br />
\item Počet ,,knedlíků{}``, ve kterých se vyskytuje nějaký vrchol z libovolné<br />
kliky v $G[H]$, je $\leq\omega(G)$. Dokážeme to (až zbytečně detailně)<br />
sporem. Nechť pro každé $i\in\hat{m},m>\omega(G)$ jsou $w_{i}\in H_{i}$<br />
vrcholy z různých ,,knedlíků{}`` a nechť $\{ w_{1},...,w_{m}\}$<br />
je součástí kliky v $G[H]$. Z předpokladu $m>\omega(G)$ vrcholy<br />
$\{ v_{1},...,v_{m}\}$ grafu $G$ příslušné ,,knedlíkům{}`` $\{ H_{1},...,H_{m}\}$<br />
netvoří kliku. Proto $\exists i_{1},i_{2}\in\hat{m}$ takové, že $\{ v_{i_{1}},v_{i_{2}}\}\notin E$.<br />
To ale znamená, že mezi $H_{i_{1}}$ a $H_{i_{2}}$ nevedou hrany,<br />
takže $\{ w_{i_{1}},w_{i_{2}}\}\notin\mathcal{E}$, což je spor.<br />
\item Z jednoho ,,knedlíku{}`` se v libovolné klice v $G[H]$ může vyskytovat<br />
nejvýše $\omega(H)$ vrcholů. Důkaz je obdobný. Jestliže vybereme<br />
z jednoho ,,knedlíku{}`` $H_{i}$ více vrcholů, pak netvoří kliku<br />
v $H_{i}$, a tedy nemohou být součástí kliky v $G[H]$.<br />
\end{itemize}<br />
Tím jsme dokázali, že \begin{equation}<br />
\omega(G[H])\leq\omega(G)\omega(H).\label{eq:kompozice-nerovnost}\end{equation}<br />
Je však zřejmé, že vezmeme-li $H_{i}$ odpovídající vrcholům z maximální<br />
kliky v $G$ a v každém $H_{i}$ vybereme vrcholy tvořící maximální<br />
kliku v $H_{i}$, dostamene kliku v $G[H]$ velikosti právě rovné<br />
$\omega(G)\omega(H)$, a podle nerovnosti (\ref{eq:kompozice-nerovnost})<br />
jde už o kliku maximální. Proto platí\[<br />
\omega(G[H])=\omega(G)\omega(H).\]<br />
Druhý vztah pro velikosti nezávislé množiny se ověří naprosto stejným<br />
způsobem, v předchozích úvahách stačí slovo ,,klika{}`` nahradit<br />
slovem ,,nezávislá množina{}``.<br />
<br />
Nyní již ukážeme tvrzení věty. Z definice ramseyovských čísel $r(k,l)$<br />
plyne:<br />
\begin{itemize}<br />
\item pro $r(k+1,k+1)-1$: Existuje graf $G$ na $r(k+1,k+1)-1$ vrcholech,<br />
pro který $\omega(G)<k+1$ a zároveň $\alpha(G)<k+1$. To znamená,<br />
že $\omega(G)\leq k,\alpha(G)\leq k$.<br />
\item pro $r(l+1,l+1)-1$: Existuje graf $H$ na $r(l+1,l+1)-1$ vrcholech,<br />
pro který $\omega(H)<l+1$ a zároveň $\alpha(H)<l+1$. To znamená,<br />
že $\omega(H)\leq l,\alpha(H)\leq l$.<br />
\end{itemize}<br />
Z toho plyne, že pro kompozici grafů $G,H$, tj. pro graf $G[H]$,<br />
platí<br />
\begin{itemize}<br />
\item $G[H]$ je graf na $\left(r(k+1,k+1)-1\right)\left(r(l+1,l+1)-1\right)$<br />
vrcholech,<br />
\item $\omega(G[H])=\omega(G)\omega(H)\leq kl<kl+1$<br />
\item $\alpha(G[H])=\alpha(G)\alpha(H)\leq kl<kl+1$<br />
\end{itemize}<br />
Jinými slovy to znamená, že jsme našli graf na $\left(r(k+1,k+1)-1\right)\left(r(l+1,l+1)-1\right)$<br />
vrcholech, který neobsahuje ani kliku ani nezávislou množinu velikosti<br />
$kl+1$. Opět přímo z definice ramseyovských čísel tak máme\[<br />
r(kl+1,kl+1)>\left(r(k+1,k+1)-1\right)\left(r(l+1,l+1)-1\right),\]<br />
takže\[<br />
r(kl+1,kl+1)-1\geq\left(r(k+1,k+1)-1\right)\left(r(l+1,l+1)-1\right).\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
\label{cor:dolni-odhad-r-2i-2i}Nechť $i\in\N_{0}$. Potom \[<br />
r(2^{i}+1,2^{i}+1)\geq5^{i}+1.\]<br />
<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Indukcí podle $i$. Pro $i=0$ máme $r(2,2)\geq2$, což platí, neboť<br />
víme, že obecně $r(k,2)=k$.<br />
<br />
Indukční krok $i-1\to i$ pro $i\geq1$: Zvolme $k=2^{i-1},l=2$.<br />
Potom použijeme předchozí větu a máme\[<br />
r(2^{i}+1,2^{i}+1)-1=r(2^{i-1}\cdot2+1,2^{i-1}\cdot2+1)-1\geq\]<br />
\[<br />
\geq\left(r(2^{i-1}+1,2^{i-1}+1)-1\right)\left(r(2+1,2+1)-1\right)\geq5^{i-1}\cdot5=5^{i}.\]<br />
V poslední nerovnosti jsme použili indukční předpoklad.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem}<br />
$r(k,k)$ je rostoucí funkce v $k$, což je zřejmé už z definice.<br />
Dále pro každé $k\in\N$ existuje $i\in\N_{0}$ tak, že\[<br />
2^{i}+1\leq k<2^{i+1}+1.\]<br />
Z pravé nerovnosti dostáváme\begin{equation}<br />
\frac{k-1}{2}\leq2^{i}.\label{eq:odhad-k-i}\end{equation}<br />
Můžeme tedy nejprve odhadnout\[<br />
\left(2^{i}\right)^{\log_{2}5}=2^{i\log_{2}5}=5^{i}\leq r(2^{i}+1,2^{i}+1)\leq r(k,k)\]<br />
a nyní s využitím (\ref{eq:odhad-k-i}) dostaneme\[<br />
O\left(k^{\log_{2}5}\right)=\left(\frac{k-1}{2}\right)^{\log_{2}5}\leq\left(2^{i}\right)^{\log_{2}5}\leq r(k,k).\]<br />
Máme tedy dolní odhad $r(k,k)$, který je nesrovnatelně menší než<br />
horní odhad odvozený v důsledku \ref{cor:horni-odhad-r-k-k}. Jedná<br />
se o nejlepší známou \emph{konstruktivní} mez. To znamená, že pro<br />
každé $n<\left(\frac{k-1}{2}\right)^{\log_{2}5}$ jsme schopni najít<br />
graf na $n$ vrcholech, který neobsahuje ani $K_{k}$ ani nezávislou<br />
množinu velikosti $k$. Ke konstrukci grafu již máme všechny znalosti:<br />
K danému $k$ nalezneme $i$, a dále podle důsledku \ref{cor:dolni-odhad-r-2i-2i}<br />
(indukcí podle $\tilde{i}=0,1,2,...,i$), pomocí kompozice popsané<br />
v důkazu věty \ref{thm:nerovnost-r-kl}, nalézáme postupně grafy na<br />
stále větším počtu vrcholů, které neobsahují kliku ani nezávislou<br />
množinu velikosti $2^{\tilde{i}}+1$.<br />
\end{rem}<br />
<br />
\subsection{Erdösova věta - dolní odhad $r(k,k)$}<br />
<br />
Než vyslovíme větu, která udává ještě lepší (avšak již nikoliv konstruktivní)<br />
dolní odhad $r(k,k)$, připravíme si malé technické lemma, které odhaduje<br />
kombinační číslo $\binom{n}{k}$.<br />
<br />
\begin{lem}<br />
\label{lem:odhad-n-nad-k}Nechť $n,k\in\N,n\geq k$. Potom\[<br />
\binom{n}{k}\leq\left(\frac{n\e}{k}\right)^{k}.\]<br />
<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Dokážeme dokonce silnější tvrzení\[<br />
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{k}\leq\left(\frac{n\e}{k}\right)^{k}.\]<br />
Vezměme $x\in(0,1]$. Potom z binomické věty plyne\[<br />
\sum_{i=1}^{k}\binom{n}{i}x^{i}\leq\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}x^{i}=(1+x)^{n}.\]<br />
Nerovnost vynásobíme $x^{-k}$ a dostaneme\[<br />
\sum_{i=1}^{k}\binom{n}{i}\underbrace{x^{i-k}}_{\geq1}\leq\frac{(1+x)^{n}}{x^{k}}.\]<br />
Protože pro každé $x\in\R$ platí (např. z Taylorova rozvoje) nerovnost<br />
$1+x\leq\e^{x}$, tak\[<br />
\sum_{i=1}^{k}\binom{n}{i}\leq\sum_{i=1}^{k}\binom{n}{i}\underbrace{x^{i-k}}_{\geq1}\leq\frac{(1+x)^{n}}{x^{k}}\leq\frac{\e^{xn}}{x^{k}}.\]<br />
Z předpokladu platí $\frac{k}{n}\in(0,1]$, a tak je možné dosadit<br />
$x=\frac{k}{n}$, čímž dostaneme\[<br />
\sum_{i=1}^{k}\binom{n}{i}\leq\frac{\e^{xn}}{x^{k}}=\frac{\e^{\frac{k}{n}n}}{\left(\frac{k}{n}\right)^{k}}=\left(\frac{n\e}{k}\right)^{k}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Erdös)}}<br />
<br />
Nechť $k\in\N$. Potom platí\[<br />
d\cdot k\cdot2^{\frac{k}{2}}\leq r(k,k),\]<br />
kde $d\in\R^{+}$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Erdösova věta udává nejlepší známou dolní mez pro $r(k,k)$. Tato<br />
mez je ve tvaru exponenciely o základu $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.<br />
Přitom horní mez je podle důsledku \ref{cor:horni-odhad-r-k-k} exponenciela<br />
o základu $4$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť je dáno $k\in\N$. Spočítáme pravděpodobnost, že náhodný graf<br />
$G_{n}$ na $n$ vrcholech (viz. také věta \ref{thm:posloupnost-nahod-grafu})<br />
obsahuje kliku nebo nezávislou množinu velikosti $k$. Pokud pro nějaké<br />
$n$ je tato pravděpodobnost menší než $1$, tj.\begin{equation}<br />
\Pr\left(\left(\omega(G_{n})\geq k\right)\vee\left(\alpha(G_{n})\geq k\right)\right)<1,\label{eq:pravd-mensi-nez-1}\end{equation}<br />
tak pravděpodobnost doplňkového jevu je nenulová, tj.\[<br />
\Pr\left(\left(\omega(G_{n})<k\right)\wedge\left(\alpha(G_{n})<k\right)\right)>0.\]<br />
To ale znamená, že existuje graf na $n$ vrcholech, pro nějž $\left(\omega(G_{n})<k\right)\wedge\left(\alpha(G_{n})<k\right)$,<br />
takže\[<br />
\boxed{r(k,k)>n.}\]<br />
Abychom tedy dokázali tvrzení věty, stačí najít $n$ ve tvaru $n=d\cdot k\cdot2^{\frac{k}{2}}$<br />
a dokázat pro něj vztah (\ref{eq:pravd-mensi-nez-1}). To nyní postupně<br />
provedeme.<br />
<br />
Náhodný graf $G_{n}$ má mezi libovolnými dvěma vrcholy hranu s pravděpodobností<br />
$\frac{1}{2}$. Pravděpodobnost, že $G_{n}$ obsahuje kliku velikosti<br />
$k$ na konkrétních vrcholech $v_{1},...,v_{k}$, je tedy\[<br />
\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{k}{2}}.\]<br />
V následujícím hned dvakrát využijeme vztah pro pravděpodobnost sjednocení<br />
jevů $A_{j}$ ($j\in\J)$, který zní\begin{equation}<br />
\Pr\left(\bigcup_{j\in\J}A_{j}\right)\leq\sum_{j\in\J}\Pr(A_{j}).\label{eq:sjednoceni-jevu}\end{equation}<br />
Nejprve s jeho pomocí odhadneme pravděpodobnost, že $G_{n}$ obsahuje<br />
kliku velikosti $k$ na libovolných $k$ vrcholech, tj. na libovolné<br />
$k$-prvkové podmnožině $M\subset V(G_{n})$:\[<br />
\Pr\left(\omega(G_{n})\geq k\right)\leq\sum_{M\in\binom{V(G)}{k}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{k}{2}}=\binom{n}{k}\frac{1}{2^{\binom{k}{2}}}.\]<br />
Dále si uvědomíme, že stejnou úvahu lze (díky pravděpodobnosti existence<br />
každé hrany rovné $\frac{1}{2}$) provést i pro nezávislou množinu,<br />
a tedy\[<br />
\Pr\left(\alpha(G_{n})\geq k\right)=\Pr\left(\omega(G_{n})\geq k\right).\]<br />
Proto opět podle (\ref{eq:sjednoceni-jevu}) platí\[<br />
\Pr\left(\left(\omega(G_{n})\geq k\right)\vee\left(\alpha(G_{n})\geq k\right)\right)\leq2\binom{n}{k}\frac{1}{2^{\binom{k}{2}}}.\]<br />
Použijeme-li odhad $\binom{n}{k}$ z lemmatu \ref{lem:odhad-n-nad-k},<br />
dostaneme\[<br />
\Pr\left(\left(\omega(G_{n})\geq k\right)\vee\left(\alpha(G_{n})\geq k\right)\right)\leq2\binom{n}{k}\frac{1}{2^{\binom{k}{2}}}\leq2\left(\frac{n\e}{k}\right)^{k}\frac{1}{2^{\frac{k(k-1)}{2}}}=\]<br />
\[<br />
=\left(\underbrace{\frac{\sqrt[k]{2}}{2^{-\frac{1}{2}}}}_{\leq2}\,\cdot\,\frac{\frac{n\e}{k}}{2^{\frac{k}{2}}}\right)^{k}\leq\left(2\e\frac{n}{k2^{\frac{k}{2}}}\right)^{k}<1,\]<br />
kde poslední nerovnost je splněna, pokud \[<br />
n<\underbrace{\frac{1}{2\e}}_{d}\cdot k\cdot2^{\frac{k}{2}}.\]<br />
Tím je věta dokázána.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_3&diff=4533
01ZTGA:Kapitola2 3
2012-01-15T13:16:48Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Extremální teorie grafů}<br />
<br />
Věty z extremální teorie grafů vyjadřují vztahy typu<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item ,,jistý počet něčeho už vynucuje něco{}`` nebo<br />
\item ,,kolik něčeho může být, aby platilo něco{}``<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsection{Turánova věta}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{\label{thm:turan}(Turán, 1943)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, který neobsahuje kliku velikosti $p$ (viz.<br />
definice \ref{def:klika-nez-mnozina}) , tj. $K_{p}$ není podgrafem<br />
$G$. Potom\begin{equation}<br />
\# E\leq\frac{n^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{p-1}\right).\label{eq:turan}\end{equation}<br />
<br />
\end{thm}<br />
Důkazů Turánovy věty existuje řada, my postupně provedeme důkaz založený<br />
na následujícím lemmatu:<br />
<br />
\begin{lem}<br />
Nechť $G$ je graf (na pevném počtu vrcholů) neobsahující $K_{p}$<br />
s maximálním počtem hran. Potom v $G$ neexistuje trojice vrcholů<br />
$u,v,w$ takových, že $\{ v,w\}\in E$ a přitom $\{ u,v\}\notin E,\{ u,w\}\notin E$.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: turan_lemma.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 18:00:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.096 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.096 20.003 to 10.478 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}w}%<br />
} [lB] at 10.835 19.884<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}v}%<br />
} [lB] at 7.499 19.884<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}u}%<br />
} [lB] at 9.167 20.360<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.286 20.955<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.468 21.088 and 10.867 19.852<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve proveďme pomocnou úvahu: Buď $G=(V,E)$ bez $K_{p}$, nechť<br />
$x\in V$. Sestrojme graf \[<br />
G'=\left(V\cup\{ x'\},E\cup\left\{ \left.\{ v,x'\}\right|v\in V\wedge\{ v,x\}\in E\right\} \right),\]<br />
pro nějž $\forall v\in V$ platí $\{ x,v\}\in E(G')\Leftrightarrow\{ x',v\}\in E(G')$.<br />
Vrcholy $x$ a $x'$ jsou tedy v $G'$ zcela rovnocenné. Protože $\{ x,x'\}\notin E(G')$,<br />
tak $G'$ \underbar{nemůže obsahovat} $K_{p}$. V $K_{p}$ by totiž<br />
musel být buď jen vrchol $x$, nebo jen vrchol $x'$, což je spor,<br />
protože v tom případě by musela klika $K_{p}$ existovat už v $G$.<br />
<br />
Nyní postupujme sporem. Nechť v $G$ existuje trojice vrcholů $u,v,w$<br />
daných vlastností. Potom mohou nastat dvě možnosti:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $d_{G}(u)<d_{G}(v)$ nebo $d_{G}(u)<d_{G}(w)$ (nechť BÚNO $d_{G}(u)<d_{G}(v)$).<br />
V tomto případě ke grafu $G$ přidáme právě popsaným způsobem vrchol<br />
$v'$ a ubereme vrchol $u$ (i se všemi hranami, které do něj vedly).<br />
Nově vytvořený graf neobsahuje $K_{p}$, ale přitom má o\[<br />
d_{G}(v')-d_{G}(u)=d_{G}(v)-d_{G}(u)>0\]<br />
hran více než $G$, což je spor s maximálním počtem hran grafu $G$.<br />
\item $d_{G}(u)\geq d_{G}(v)$ a $d_{G}(u)\geq d_{G}(w)$. V tomto případě<br />
ke $G$ přidáme kopie $u',u''$ a ubereme vrcholy $v,w$. Nový graf<br />
opět neobsahuje $K_{p}$ a má o\[<br />
2d_{G}(u)-d_{G}(v)-d_{G}(w)+1>0\]<br />
hran více než $G$, což je spor. Jedničku přičítáme proto, že $\{ v,w\}\in E$,<br />
a odečtením stupňů vrcholů $v,w$ jsme tuto hranu odečetli od celkového<br />
počtu hran dvakrát.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Relace $\oslash$ na množině vrcholů $V$ grafu $G$ s vlastnostmi<br />
z minulého lemmatu definovaná jako\[<br />
\left(u\oslash v\right)\Leftrightarrow\{ u,v\}\notin E\]<br />
je ekvivalence na $V$.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
Symetrie a reflexivita relace $\oslash$ jsou zřejmé. Tranzitivitu<br />
pak vyjadřuje předchozí lemma:\[<br />
\{ v,u\}\notin E\wedge\{ u,w\}\notin E\Rightarrow\{ v,w\}\notin E.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
Nyní přikročíme přímo k důkazu tvrzení Turánovy věty.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Mějme tedy $G=(V,E)$ bez $K_{p}$, s maximálním počtem hran. Bude-li<br />
platit (\ref{eq:turan}) pro tento $G$, bude platit i pro libovolný<br />
jiný graf bez $K_{p}$ (s nejvýše stejným počtem hran). $V$ je rozdělena<br />
na třídy ekvivalence podle relace $\oslash$\[<br />
V=V_{1}\cup V_{2}\cup...\cup V_{s},\]<br />
přičemž z definice $\oslash$ platí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item \begin{equation}<br />
\left(\forall i\in\hat{s}\right)\left(\forall u,v\in V_{i}\right)\left(\{ u,v\}\notin E\right),\label{eq:turan-podm1}\end{equation}<br />
<br />
\item \begin{equation}<br />
\left(\forall i,j\in\hat{s},i\neq j\right)\left(\forall u\in V_{i}\right)\left(\forall v\in V_{j}\right)\left(\{ u,v\}\in E\right).\label{eq:turan-podm2}\end{equation}<br />
<br />
\end{itemize}<br />
Mezi každými dvěma vrcholy z různých tříd tedy vedou hrany, ale v<br />
jedné třídě není hrana mezi žádnými dvěma vrcholy.<br />
<br />
Počet tříd je $s=p-1$. Kdyby jich totiž bylo alespoň $p$, bylo by<br />
možné vybrat z každé z nich jeden vrchol, a vybraná podmnožina $V$<br />
by tvořila kliku velikosti $s\geq p$, takže by v $G$ existovala<br />
i $K_{p}\subset K_{s}\subset G$. Kdyby jich naopak bylo méně než<br />
$p-1$, potom bychom mohli jednu třídu ekvivalence rozbít na dvě (přidat<br />
hrany mezi odpovídajícími množinami vrcholů), a stále by graf neobsahoval<br />
$K_{p}$ (je jasné, že různé vrcholy z $K_{p}$ musí ležet v různých<br />
třídách $V_{i}$). To by ale byl spor s maximalitou počtu hran v $G$.<br />
<br />
$V$ se tedy skládá z $p-1$ podmnožin $V_{1},...,V_{p-1}$ s vlastnostmi<br />
(\ref{eq:turan-podm1}) a (\ref{eq:turan-podm2}). Označme si $k_{i}=\# V_{i}$<br />
pro každé $i\in\widehat{p-1}$. Potom\[<br />
n=\sum_{i=1}^{p-1}k_{i}.\]<br />
Počet hran mezi $V_{i}$ a $V_{j}$ pro $i\neq j$ je zřejmě $k_{i}k_{j}$,<br />
takže počet hran v celém grafu je\begin{equation}<br />
\sum_{1\leq i<j\leq p-1}k_{i}k_{j}\label{eq:turan-pocet-hran}\end{equation}<br />
a přitom v $G$ je počet hran maximální mezi všemi grafy na $n=\# V$<br />
vrcholech, které neobsahují $K_{p}$. Je tedy maximální i mezi takovými<br />
z nich, které mají stejný ,,tvar{}`` jako $G$: jejich množina vrcholů<br />
je nějak rozdělena na $p-1$ neprázdných disjunktních podmnožin, které<br />
splňují (\ref{eq:turan-podm1}) a (\ref{eq:turan-podm2}). Přitom<br />
každý graf, který splňuje tyto podmínky, neobsahuje $K_{p}$. Každý<br />
z těchto grafů je navíc jednoznačně (až na izomorfismus) určen $(p-1)$-ticí<br />
$(k_{1},...,k_{p-1})$. Počet hran v $G$ je potom možno vyjádřit<br />
jako\[<br />
\max\left(\sum_{1\leq i<j\leq p-1}k_{i}k_{j}\right)\]<br />
za podmínky\[<br />
n=\sum_{i=1}^{p-1}k_{i}\,,\; k_{i}\in\N_{0}.\]<br />
Maxima počtu hran se však nabyde právě tehdy, když počet ,,nehran{}``<br />
(dvojic vrcholů, mezi nimiž nevede hrana) bude minimální. Ekvivalentně<br />
tak lze hledat\[<br />
\min\left(\sum_{i=1}^{p-1}\binom{k_{i}}{2}\right)\]<br />
za stejných podmínek, což bude jednodušší. Protože chceme pouze shora<br />
odhadnout skutečný počet hran v $G$, vyřešíme úlohu minima bez podmínky<br />
na celočíselnost proměnných $k_{i}$. Hledáme tedy vázaný extrém funkce\[<br />
f(x_{1},...,x_{p-1})=\sum_{i=1}^{p-1}\binom{x_{i}}{2}=\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{2}x_{i}(x_{i}-1)\]<br />
za podmínky\[<br />
\sum_{i=1}^{p-1}x_{i}=n.\]<br />
Sestavíme Lagrangeovu funkci\[<br />
\Lambda(x_{1},...,x_{p-1})=f(x_{1},...,x_{p-1})-\lambda\left(\sum_{i=1}^{p-1}x_{i}-n\right)\]<br />
a po zderivování a položení $\left(\forall i\in\widehat{p-1}\right)\left(\partial_{i}\Lambda=0\right)$<br />
dostaneme\[<br />
0=\frac{\partial\Lambda}{\partial x_{i}}=x_{i}-\frac{1}{2}-\lambda\;\Rightarrow x_{i}=\lambda+\frac{1}{2}.\]<br />
Pokud dosadíme do podmínky vazby, vyjde $\lambda=\frac{n}{p-1}-\frac{1}{2}$,<br />
takže pro všechna $x_{i}$ platí \[<br />
x_{i}=\frac{n}{p-1}.\]<br />
Lze snadno ověřit, že se skutečně jedná o minimum, výpočtem (tzv.<br />
Hessovy) matice $\vec{H}=\left(\frac{\partial^{2}\Lambda}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)$.<br />
Platí $\vec{H}=\vec{I}$, což je zřejmě pozitivně definitní matice.<br />
<br />
Dosadíme-li nyní za $x_{i}$ do $\sum_{1\leq i<j\leq p-1}x_{i}x_{j}$,<br />
získáme horní odhad skutečného počtu hran (\ref{eq:turan-pocet-hran}).<br />
Všechny sčítance v sumě jsou stejné a jejich počet je $\binom{p-1}{2}$,<br />
takže horní odhad počtu hran vychází jako\[<br />
\left(\frac{n}{p-1}\right)^{2}\binom{p-1}{2}=\frac{n^{2}}{(p-1)^{2}}\frac{(p-1)(p-2)}{2}=\frac{n^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{p-1}\right),\]<br />
což je přesně (\ref{eq:turan}).<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Důkaz Turánovy věty také ukazuje, jak graf s co největším počtem hran,<br />
a přitom bez $K_{p}$, zkonstruovat. Například graf neobsahující $K_{3}$<br />
s maximálním počtem hran bude úplný bipartitní s množinou vrcholů<br />
$V$ rozdělenou na podmnožiny s počty vrcholů $\left[\frac{n+1}{2}\right]$<br />
a $\left[\frac{n}{2}\right]$.<br />
\end{rem*}<br />
V následujícím ukážeme jednu z aplikací Turánovy věty.<br />
<br />
\begin{defn*}<br />
Nechť $S=\{ x_{1},...,x_{n}\}\subset\R^{2}$ je množina bodů v rovině.<br />
\textbf{Průměrem} (diametrem) množiny $S$ rozumíme číslo\[<br />
\mathrm{diam}\, S=\max_{i,j\in\hat{n}}\left\Vert x_{i}-x_{j}\right\Vert .\]<br />
<br />
\end{defn*}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $S=\{ x_{1},...,x_{n}\}\subset\R^{2}$, $\mathrm{diam}\, S\leq1$,<br />
$d\in(0,1)$. Otázkou je, kolik párů bodů $x_{i},x_{j}$ má vzdálenost<br />
$\geq d$, a jestli tento počet lze jiným uspořádáním bodů $x_{1},...,x_{n}$<br />
zvýšit. Jako příklad si vezměme $n=6,d=\frac{\sqrt{3}}{2}-\varepsilon$,<br />
$\varepsilon>0$. Potom existuje $\binom{6}{2}=15$ různých párů.<br />
Na obrázku \ref{cap:vzdalene-pary} jsou páry od sebe vzdálených bodů<br />
spojeny čarami. Vlevo má $9$ párů vzdálenost $\geq d$ a $6$ párů<br />
vzdálenost $<d$, vpravo má $12$ párů vzdálenost $\geq d$ a jen<br />
$3$ páry vzdálenost $<d$. Obecně omezuje počet vzdálených párů následující<br />
věta. %<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: diameter1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:47:04 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 15.001 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 16.311 17.264<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 12.859 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 16.669 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 14.525 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 13.216 17.264<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.857 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.857 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.191 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.191 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 16.669<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.905:1.905 360 degrees <br />
from 11.430 18.574 center at 9.525 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 13.214 17.266 to 16.311 17.266<br />
\plot 16.311 17.266 15.001 20.479 /<br />
\plot 15.001 20.479 12.859 17.621 /<br />
\putrule from 12.859 17.621 to 16.669 17.621<br />
\plot 16.669 17.621 14.525 20.479 /<br />
\plot 14.525 20.479 13.214 17.266 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 14.525 20.479 12.859 17.621 /<br />
\plot 12.859 17.621 16.311 17.266 /<br />
\plot 16.311 17.266 14.525 20.479 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 15.001 20.479 13.214 17.266 /<br />
\plot 13.214 17.266 16.669 17.621 /<br />
\plot 16.669 17.621 15.001 20.479 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 9.525 20.479 to 9.525 16.669<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 7.857 17.621 11.191 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 7.857 19.526 to 11.191 19.526<br />
\plot 11.191 19.526 9.525 16.669 /<br />
\plot 9.525 16.669 7.857 19.526 /<br />
\plot 7.857 19.526 11.191 17.621 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 7.857 17.621 to 11.191 17.621<br />
\plot 11.191 17.621 9.525 20.479 /<br />
\plot 9.525 20.479 7.857 17.621 /<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.603 20.612 and 16.804 16.535<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:vzdalene-pary}Páry vzdálených bodů v rovině}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:vzdalene-pary}Nechť $d\in\left(\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$.<br />
Potom počet párů z $n$-prvkové množiny $S\subset\R^{2}$ s průměrem<br />
$\mathrm{diam}\, S\leq1$, které mají vzdálenost alespoň $d$, je<br />
nejvýše $\left[\frac{n^{2}}{3}\right]$. Přitom tohoto počtu lze vhodným<br />
uspořádáním bodů vždy dosáhnout.<br />
\end{thm}<br />
Než dokážeme tuto větu, která je snadným důsledkem Turánovy věty,<br />
připravíme si ješte malé lemma.<br />
<br />
\begin{lem}<br />
Z libovolných čtyř bodů v rovině lze vybrat tři tak, že tvoří pravoúhlý<br />
nebo tupoúhlý trojúhelník (přitom přímku považujeme za tupoúhlý trojúhelník<br />
s úhlem $180^{\circ}$).<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Mohou nastat dva případy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jeden bod $x$ leží v konvexním obalu zbylých tří bodů $y_{1},y_{2},y_{3}$.<br />
Potom součet vrcholových úhlů $\measuredangle y_{1}xy_{2}$,$\measuredangle y_{2}xy_{3}$,$\measuredangle y_{3}xy_{1}$<br />
je $360^{\circ}$, takže jeden z nich musí být dokonce $\geq120^{\circ}$.<br />
\item Všechny čtyři body tvoří konvexní čtyřúhelník. Protože v něm je součet<br />
úhlů $360^{\circ}$, musí tam existovat jeden $\geq90^{\circ}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{proof}<br />
(věty \ref{thm:vzdalene-pary})<br />
<br />
Definujme graf $G=(S,E)$, kde $\{ x_{i},x_{j}\}\in E\Leftrightarrow\left\Vert x_{i}-x_{j}\right\Vert \geq d$.<br />
Potom $G$ neobsahuje kliku $K_{4}$. Jestliže totiž čtyři body (vrcholy<br />
$G$) tvoří $K_{4}$, tak jsou každé dva z nich od sebe dál než $d$.<br />
Podle předchozího lemmatu lze vybrat tři, které tvoří tupoúhlý trojúhelník.<br />
Obě ,,odvěsny{}`` tohoto trojúhelníka jsou delší než $d\geq\frac{1}{\sqrt{2}}$,<br />
a tak je ,,přepona{}`` delší než $1$, což je spor.<br />
<br />
Podle Turánovy věty pro $p=4$ potom platí\[<br />
\# E\leq\frac{n^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{p-1}\right)=\frac{n^{2}}{3}.\]<br />
Nyní zbývá dokázat, že této mezi se lze přiblížit. Za tím účelem se<br />
podívejme na důkaz Turánovy věty. Počtu hran $\frac{n^{2}}{3}$ se<br />
dosahuje, jestliže graf $G$ je rozdělen do $p-1=3$ ,,knedlíků{}``,<br />
v nichž nevedou hrany (body z jednoho ,,knedlíku{}`` jsou v rovině<br />
blízko sebe) a mezi nimiž naopak vedou všechny hrany (celé ,,knedlíky{}``<br />
jsou v rovině daleko od sebe), a jestliže počet vrcholů v každém ,,knedlíku{}``<br />
je $\frac{n}{p-1}=\frac{n}{3}$. Protože to však nemusí být celé číslo,<br />
lze ve skutečnosti dosáhnout počtu hran jen $\left[\frac{n^{2}}{3}\right]$.<br />
Dodejme, že popsané uspořádání přesně odpovídá pravé části obrázku<br />
\ref{cap:vzdalene-pary}.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{Erdösova věta}<br />
<br />
\begin{lem*}<br />
\textbf{\emph{\label{lem:jensenova-nerovnost}(Jensenova nerovnost)}}<br />
<br />
Nechť $f:[a,b]\mapsto\R$ je konvexní funkce, tj.\[<br />
\left(\forall x_{1},x_{2}\in[a,b]\right)\left(\forall\lambda\in[0,1]\right)\left(\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2})\geq f(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}\right).\]<br />
Nechť $\alpha_{i}\in\R_{0}^{+}$ pro každé $i\in\hat{n}$, $\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}=1$<br />
a nechť $x_{i}\in[a,b]$ pro každé $i\in\hat{n}$. Potom\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i}\right).\]<br />
<br />
\end{lem*}<br />
\begin{proof}<br />
Snadno se ukáže indukcí podle $n$, byl proveden například v \cite{TIN}.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Za stejných předpokladů platí i\begin{equation}<br />
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\geq f\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right).\label{eq:konvexni-fce}\end{equation}<br />
<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
Položíme $\alpha_{i}=\frac{1}{n}$ pro každé $i\in\hat{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Erdös)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, který neobsahuje jako svůj podgraf $K_{r,r}$<br />
(úplný bipartitní graf na $r+r$ vrcholech). Potom\[<br />
\# E\leq C_{r}\cdot n^{2-\frac{1}{r}},\]<br />
kde $C_{r}$ je konstanta nezávislá na $n=\# V$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Vždy platí $\# E\leq\binom{n}{2}\leq\frac{n^{2}}{2}$. Turánova věta<br />
omezuje počet hran grafu bez $K_{p}$ podle vztahu (\ref{eq:turan}),<br />
tj. řádově stejně. Erdösova věta však udává řádově \emph{menší} omezení.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $G=(V,E)$, kde BÚNO $V=\hat{n}$, je graf bez $K_{r,r}$. Vytvoříme<br />
nový bipartitní graf $G'$, který bude definován na základě grafu<br />
$G$ jako $G'=(V_{1}\cup V_{2},E')$, kde $V_{1}=V$ a $V_{2}=\binom{V}{r}$<br />
je množina všech $r$-prvkových podmnožin $V$. Přitom \[<br />
\{\underbrace{i}_{\in V_{1}},\underbrace{\{ k_{1},...,k_{r}\}}_{\in V_{2}}\}\in E',\]<br />
právě když $\{ k_{1},...,k_{r}\}\subset N(i)$ v grafu $G$, tj,<br />
právě když $\left(\forall j\in\hat{r}\right)\left(\{ i,k_{j}\}\in E\right)$.<br />
<br />
Základem odvození požadované nerovnosti bude vyjádření počtu hran<br />
v grafu $G'$ dvěma různými způsoby, a to jednak jako počet hran vycházejících<br />
z $V_{1}$, a jednak jako \emph{odhad} počtu hran vycházejících z<br />
$V_{2}$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Z definice $E'$ plyne, že z $i\in V_{1}$ vede v $G'$ tolik hran,<br />
kolik je $r$-prvkových podmnožin množiny sousedů vrcholu $i$:\[<br />
d_{G'}(i)=\binom{d_{G}(i)}{r}.\]<br />
Přitom pokud $d_{G}(i)=\# N_{G}(i)<r$, pak $d_{G'}(i)=0$, což je<br />
v souladu s definicí kombinačního čísla. Počet všech hran v $G'$<br />
je tedy\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\binom{d_{G}(i)}{r}.\]<br />
<br />
\item Platí $d_{G'}(\{ k_{1},...,k_{r}\})\leq r-1$. V opačném případě by<br />
totiž z definice $E'$ existovalo (alespoň) $r$ vrcholů $l_{1},...,l_{r}$<br />
v grafu $G$ různých od $k_{1},...,k_{r}$, které by byly napojeny<br />
na všechny vrcholy $k_{1},...,k_{r}$. To by ale znamenalo, že $G$<br />
obsahuje $K_{r,r}$. Různost vrcholů, tj. skutečnost, že\[<br />
\left(\forall j\in\hat{r}\right)\left(l_{j}\notin\{ k_{1},...,k_{r}\}\right)\]<br />
plyne z toho, že žádný vrchol v $G$ není v hraně sám se sebou. Proto<br />
žádný $k_{j}\in V_{1}$ nemůže být v grafu $G'$ spojen hranou s vrcholem<br />
$\{ k_{1},...,k_{r}\}\in V_{2}$. Z uvedené úvahy plyne, že počet<br />
hran v $G'$ musí být menší nebo roven než\[<br />
(r-1)\underbrace{\binom{n}{r}}_{\# V_{2}}.\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
Srovnáním obou vyjádření dostáváme nerovnost\begin{equation}<br />
\sum_{i=1}^{n}\binom{d_{G}(i)}{r}\leq(r-1)\binom{n}{r},\label{eq:erdos-nerovnost1}\end{equation}<br />
kterou již budeme jen dále odhadovat a upravovat do požadovaného tvaru.<br />
Pokud \[<br />
\frac{1}{n}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}d_{G}(i)}_{2\# E}\leq r-1,\]<br />
tak potom \[<br />
\# E\leq\frac{1}{2}(r-1)n\leq\underbrace{(r-1)}_{C_{r}}n^{2-\frac{1}{r}}\]<br />
a není co dokazovat. Předpokládejme proto \begin{equation}<br />
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(i)\geq r.\label{eq:erdos-predp}\end{equation}<br />
Definujme konvexní funkci\[<br />
f(x)=\begin{cases}<br />
\binom{x}{r} & x\geq r\\<br />
0 & x<r\end{cases},\]<br />
kde dodefinování nulou je potřebné jen pro $x$ neceločíselné. Potom<br />
$f\left(d_{G}(i)\right)=\binom{d_{G}(i)}{r}$ a podle (\ref{eq:konvexni-fce})<br />
platí\[<br />
n\cdot\binom{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(i)}{r}=n\cdot f\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(i)\right)\leq\sum_{i=1}^{n}f(d_{G}(i))=\sum_{i=1}^{n}\binom{d_{G}(i)}{r},\]<br />
přičemž levá strana je nenulová, takže ji lze použít k dalším odhadům<br />
(proto je důležitý předpoklad \ref{eq:erdos-predp}). Použijeme-li<br />
tento odhad v (\ref{eq:erdos-nerovnost1}), dostaneme\[<br />
n\cdot\binom{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(i)}{r}\leq(r-1)\binom{n}{r},\]<br />
neboli při označení $m=\# E$\begin{equation}<br />
n\cdot\binom{2m/n}{r}\leq(r-1)\binom{n}{r}.\label{eq:erdos-nerovnost2}\end{equation}<br />
Kombinační číslo $\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}$<br />
lze odhadnout zdola a shora\[<br />
\frac{(n-k+1)^{k}}{k!}\leq\binom{n}{k}\leq\frac{n^{k}}{k!},\]<br />
což pro náš případ znamená\[<br />
n\frac{\left(\frac{2m}{n}-r+1\right)^{r}}{r!}\leq n\binom{2m/n}{r}\leq(r-1)\binom{n}{r}\leq(r-1)\frac{n^{r}}{r!}.\]<br />
Vynásobíme $\frac{r!}{n}$ a odmocníme $\sqrt[r]{...}$, takže dostaneme\[<br />
\frac{2m}{n}-r+1\leq\sqrt[r]{r-1}n^{1-\frac{1}{r}}\]<br />
a už jen upravujeme:\[<br />
m\leq\frac{n}{2}\left(\sqrt[r]{r-1}n^{1-\frac{1}{r}}+r-1\right)=\frac{1}{2}\sqrt[r]{r-1}n^{2-\frac{1}{r}}+\frac{1}{2}(r-1)n\leq\frac{1}{2}\sqrt[r]{r-1}n^{2-\frac{1}{r}}+\frac{1}{2}(r-1)n^{2-\frac{1}{r}}\leq\]<br />
\[<br />
\leq\frac{1}{2}(r-1)n^{2-\frac{1}{r}}+\frac{1}{2}(r-1)n^{2-\frac{1}{r}}\leq\underbrace{(r-1)}_{C_{r}}n^{2-\frac{1}{r}}\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Pro $r=2$, tj. pro graf bez $K_{2,2}=C_{4}$ máme odhad\[<br />
\# E\leq C_{r}\cdot n^{3/2}.\]<br />
Nerovnost (\ref{eq:erdos-nerovnost2}) lze však v tomto případě upravovat<br />
šikovněji, a tak získat (trochu) přísnější odhad:\begin{eqnarray*}<br />
n\frac{\frac{1}{n}2m\left(\frac{1}{n}2m-1\right)}{2} & \leq & \frac{n(n-1)}{2}\\<br />
2m(2m-n) & \leq & n^{3}-n^{2}\\<br />
4m^{2}-2nm-n^{3}+n^{2} & \leq & 0\end{eqnarray*}<br />
Kvadratickou rovnici pro počet hran $m$ vyřešíme:\[<br />
m_{1,2}=\frac{2n\pm\sqrt{4n^{2}-16(-n^{3}+n^{2})}}{8}=\frac{n\pm n\sqrt{4n-3}}{4}.\]<br />
Jeden kořen je záporný, takže nehraje roli. Dostáváme tedy odhad\begin{equation}<br />
\# E\leq\frac{n+n\sqrt{4n-3}}{4}=\frac{1}{4}n\left(1+\sqrt{4n-3}\right).\label{eq:odhad-E-bez-K22}\end{equation}<br />
V následujícím ukážeme, jak se mu lze vhodnou konstrukcí grafu přiblížit.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Graf s $\# E$ blízkým Erdösovu odhadu}<br />
<br />
Zkonstruujeme graf $G=(V,E)$ neobsahující $K_{2,2}=C_{4}$ s počtem<br />
hran blížícím se odhadu (\ref{eq:odhad-E-bez-K22}). V následujícím<br />
velmi pěkném postupu se využije mnoho znalostí z různých partií matematiky.<br />
<br />
Nechť $p$ je prvočíslo. Uvažujme těleso zbytkových tříd $\Z_{p}=\{0,1,2,...,p-1\}$<br />
a vektorový prostor $\Z_{p}^{3}$ nad tělesem $\Z_{p}$. Vrcholy grafu<br />
$G$ budou představovat přímky v $\Z_{p}^{3}$ procházející počátkem.<br />
V tomto prostoru má každá taková přímka právě $p$ bodů, protože ji<br />
lze vyjádřit jako lineární obal jejího směrového vektoru, který je<br />
z definice roven\[<br />
[\underbrace{(x_{1},x_{2},x_{3})}_{\vec{x}}]_{\lambda}=\left\{ \left.(kx_{1},kx_{2},kx_{3})\right|k\in\Z_{p}\right\} .\]<br />
Různých nenulových vektorů v $\Z_{p}^{3}$ je zřejmě $p^{3}-1$. Protože<br />
každá přímka má $p$ bodů, z nichž $p-1$ jsou nenulové vektory, je<br />
možné ji reprezentovat libovolným z $p-1$ směrových vektorů. Proto<br />
počet všech přímek procházejících počátkem je roven\[<br />
\# V=\frac{p^{3}-1}{p-1}=p^{2}+p+1.\]<br />
<br />
<br />
Označme si (vybrané) směrové vektory přímek ( = vrcholů grafu $G$)<br />
$v_{1},v_{2},...,v_{p^{2}+p+1}$ po řadě jako $\vec{x}_{1},...,\vec{x}_{p^{2}+p+1}$,<br />
tj. nechť platí\[<br />
\left(\forall i\in\{1,...,p^{2}+p+1\}\right)\left(v_{i}=[\vec{x}_{i}]_{\lambda}\right).\]<br />
Dále definujme ,,pseudoskalární{}`` součin vektorů $\vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$<br />
a $\vec{y}=(y_{1},y_{2},y_{3})$ z prostoru $\Z_{p}^{3}$ jako\[<br />
\left\langle \vec{x},\vec{y}\right\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.\]<br />
Řekneme, že vektor $\vec{x}$ je kolmý na vektor $\vec{y}$, jestliže<br />
$\left\langle \vec{x},\vec{y}\right\rangle =0$. Protože existují<br />
vektory, které jsou kolmé samy na sebe, nejedná se o pravý skalární<br />
součin. Nyní množinu hran $E$ definujeme jako\[<br />
E=\left\{ \left.\{ v_{i},v_{j}\}\right|i\neq j\wedge\left\langle \vec{x}_{i},\vec{x}_{j}\right\rangle =0\right\} .\]<br />
<br />
<br />
\begin{example*}<br />
Abychom si dobře uvědomili, jak je graf $G$ definován, ukážeme si<br />
jej pro $p=2$. Na obrázku \ref{cap:konstrukce-Z2} jsou jednotlivé<br />
vrcholy grafu označeny svými směrovými vektory. Je vidět, že například<br />
vektor $(1,1,0)$ je kolmý sám na sebe.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: konstrukce_Z2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:35:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 12.859 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 12.859 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.715 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.715 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.572 19.526 to 8.572 20.973<br />
\putrule from 8.572 20.955 to 12.876 20.955<br />
\putrule from 12.859 20.955 to 12.859 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 20.955 10.715 20.003 /<br />
\putrule from 10.715 20.003 to 10.715 18.574<br />
\plot 10.715 18.574 12.859 17.621 /<br />
\putrule from 12.859 17.621 to 8.555 17.621<br />
\putrule from 8.572 17.621 to 8.572 19.526<br />
\plot 8.572 19.526 10.715 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(1,1,1)$}%<br />
} [lB] at 13.214 17.503<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(1,0,1)$}%<br />
} [lB] at 9.167 18.455<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(0,0,1)$}%<br />
} [lB] at 7.023 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(0,1,0)$}%<br />
} [lB] at 11.070 19.884<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(0,1,1)$}%<br />
} [lB] at 13.214 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(1,0,0)$}%<br />
} [lB] at 7.023 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$(1,1,0)$}%<br />
} [lB] at 7.023 17.503<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.991 21.207 and 13.246 17.344<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:konstrukce-Z2}Konstrukce $G$ pro $p=2$}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
Ukážeme, že pro libovolné prvočíslo $p$ takto definovaný graf $G$<br />
neobsahuje $K_{2,2}=C_{4}$. Kdyby $G$ obsahoval $C_{4}$, existovaly<br />
by v něm vrcholy $v_{i},v_{j}$ spojené hranami s dalšími dvěma vrcholy<br />
takto:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: konstrukce_kolmost.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:16:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.049 20.955 7.620 20.479 /<br />
\plot 7.620 20.479 9.049 20.003 /<br />
\plot 9.049 20.003 10.478 20.479 /<br />
\plot 10.478 20.479 9.049 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 10.952 20.360<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 6.905 20.360<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.003<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.873 21.088 and 10.983 19.869<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
\noindent Podívejme se však, kolik vrcholů může být hranami napojeno<br />
na $v_{i}$ i na $v_{j}$. Označme $\vec{x}_{i}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$,<br />
$\vec{x}_{j}=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})$ a hledejme $\vec{y}=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})$<br />
kolmý na $\vec{x}_{i}$ i na $\vec{x}_{j}$. Pro $\vec{y}$ musí platit\begin{eqnarray*}<br />
0=\left\langle \vec{x}_{i},\vec{y}\right\rangle & = & \alpha_{1}\gamma_{1}+\alpha_{2}\gamma_{2}+\alpha_{3}\gamma_{3}\\<br />
0=\left\langle \vec{x}_{j},\vec{y}\right\rangle & = & \beta_{1}\gamma_{1}+\beta_{2}\gamma_{2}+\beta_{3}\gamma_{3},\end{eqnarray*}<br />
což znamená, že $\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}$ jsou řešením homogenní<br />
soustavy lineárních rovnic s maticí\[<br />
\left(\begin{array}{ccc}<br />
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3}\\<br />
\beta_{1} & \beta_{2} & \beta_{3}\end{array}\right).\]<br />
Protože $\vec{x}_{i},\vec{x}_{j}$ jsou směrové vektory různých přímek,<br />
jsou lineárně nezávislé, a tato matice má tedy hodnost $2$. Podle<br />
Frobeniovy věty o řešení soustav lineárních rovnic pak existuje jediné<br />
lineárně nezávislé řešení $\vec{y}$ této soustavy. Existuje tedy<br />
jediná přímka se směrovým vektorem $\vec{y}$, která je kolmá na obě<br />
přímky $v_{i},v_{j}$, neboli tato přímka jako vrchol grafu $G$ je<br />
jediná, která je hranami spojena s $v_{i}$ i s $v_{j}$. Proto $G$<br />
neobsahuje $C_{4}$.<br />
<br />
Nyní postupně vyčíslíme počet hran v grafu $G$. Hledejme stupeň $d_{G}(v_{i})$<br />
nějakého pevného vrcholu $v_{i}\in V$, neboli počet různých přímek,<br />
které jsou kolmé na $v_{i}$. Ten je roven počtu \emph{různých} vektorů<br />
$\vec{y}$ kolmých na $\vec{x}_{i}$, přičemž dva takové vektory jsou<br />
\emph{různé}, když jsou lineárně nezávislé (to ovšem neznamená, že<br />
všechny tyto vektory mají tvořit LN soubor). Použijeme-li již zavedené<br />
značení pro $\vec{x}_{i}$ a $\vec{y}$, musí $\vec{y}$ splňovat<br />
rovnici\[<br />
0=\left\langle \vec{x}_{i},\vec{y}\right\rangle =\alpha_{1}\gamma_{1}+\alpha_{2}\gamma_{2}+\alpha_{3}\gamma_{3},\]<br />
která má $2$ LN řešení $\vec{y}_{1},\vec{y}_{2}$. Počet všech řešení<br />
této soustavy je $p^{2}$, protože jsou to právě vektory\[<br />
\vec{y}=k_{1}\vec{y}_{1}+k_{2}\vec{y}_{2}\ ,\; k_{1},k_{2}\in\Z_{p}.\]<br />
Máme tedy $p^{2}-1$ nenulových řešení, ale vždy $p-1$ z nich je<br />
kolineárních, tj. jedná se o směrové vektory téže přímky. \underbar{Počet<br />
různých přímek kolmých na $v_{i}$}, tj. počet \emph{různých} vektorů<br />
$\vec{y}$ kolmých na $\vec{x}_{i}$, je tedy\[<br />
\frac{p^{2}-1}{p-1}=p+1.\]<br />
Tento výsledek si pro pozdější použití dobře zapamatujme. Nejedná<br />
se totiž ještě o $d_{G}(v_{i})$, protože záleží na tom, zda $\vec{x}_{i}$<br />
je kolmý sám na sebe. Zatím tedy můžeme shrnout:\[<br />
\left(\forall i\in\{1,...,p^{2}+p+1\}\right)\left(d_{G}(v_{i})=\begin{cases}<br />
p+1 & \left\langle \vec{x}_{i},\vec{x}_{i}\right\rangle \neq0\\<br />
p & \left\langle \vec{x}_{i},\vec{x}_{i}\right\rangle =0\end{cases}\right).\]<br />
Dalším naším úkolem je zjistit, v kolika případech je $\vec{x}_{i}$<br />
kolmý sám na sebe. Jestliže to dokážeme, bude už snadné vyjádřit celkový<br />
počet hran grafu $G$. Definujme čtvercovou matici $\vec{A}$ řádu<br />
$p^{2}+p+1$, jejíž prvky mají hodnotu\[<br />
\vec{A}_{ij}=\begin{cases}<br />
1 & \left\langle \vec{x}_{i},\vec{x}_{j}\right\rangle =0\\<br />
0 & \textrm{jinak}.\end{cases}\]<br />
Potom $\vec{A}_{ii}=1$, právě když $\vec{x}_{i}$ je kolmý sám na<br />
sebe. Hledaný počet přímek kolmých na sebe sama je tedy roven počtu<br />
nenulových prvků na diagonále matice $\vec{A}$, neboli její stopě<br />
$\Tr\vec{A}$. Protože náš pseudoskalární součin je symetrický, je<br />
i matice $\vec{A}$ symetrická, a tedy diagonalizovatelná. Podobnostní<br />
transformace zachovává stopu, a proto $\Tr\vec{A}$ je rovna součtu<br />
vlastních čísel $\vec{A}$.<br />
<br />
$\vec{A}$ nemá zrovna jednoduchý tvar. Pro určení vlastních čísel<br />
proto sestavíme $\vec{A}^{2}$, která vypadá mnohem lépe. Z definice<br />
maticového násobení máme\[<br />
\vec{A}_{ij}^{2}=\sum_{k=1}^{p^{2}+p+1}\vec{A}_{ik}\vec{A}_{kj},\]<br />
což znamená, že\[<br />
\vec{A}_{ij}^{2}=\#\left\{ \left.k\right|\left\langle \vec{x}_{k},\vec{x}_{i}\right\rangle =0\wedge\left\langle \vec{x}_{k},\vec{x}_{j}\right\rangle =0\right\} ,\]<br />
tj. $\vec{A}_{ij}^{2}$ je počet přímek kolmých na $v_{i}$ i $v_{j}$.<br />
My už ale víme, že pro $i\neq j$ je taková přímka právě jedna a pro<br />
$i=j$ je těchto přímek $p+1$. Proto\[<br />
\vec{A}^{2}=\left(\begin{array}{cccc}<br />
p+1 & 1 & \cdots & 1\\<br />
1 & p+1 & \cdots & 1\\<br />
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br />
1 & 1 & \cdots & p+1\end{array}\right)=p\vec{I}+\vec{J},\]<br />
kde $\vec{J}_{ij}=1$ pro každé $i,j$. Vlastní čísla matice $\vec{A}$<br />
jsou posunuta o $p$ vzhledem k vlastním číslům matice $\vec{J}$:\[<br />
\left(\vec{J}\vec{x}=\lambda\vec{x}\right)\Leftrightarrow\left(\vec{A}^{2}\vec{x}=(p\vec{I}+\vec{J})\vec{x}=(p+\lambda)\vec{x}\right)\]<br />
Protože $\vec{J}$ má zřejmě hodnost $1$, má $\vec{J}$ jediné nenulové<br />
vlastní číslo $\lambda$ a pak vlastní číslo $0$ s násobností (řád<br />
matice$-1$), tj. $p^{2}+p$. Nenulové vlastní číslo $\vec{J}$ je<br />
rovno řádu matice, tj. $\lambda=p^{2}+p+1$, protože\[<br />
\vec{J}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
p^{2}+p+1\\<br />
p^{2}+p+1\\<br />
\vdots\\<br />
p^{2}+p+1\end{array}\right)=(p^{2}+p+1)\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right).\]<br />
Matice $\vec{A}^{2}$ má tedy vlastní číslo $(p^{2}+p+1)+p=(p+1)^{2}$<br />
s násobností $1$ a vlastní číslo $0+p=p$ s násobností $p^{2}+p$.<br />
Matice $\vec{A}$ má vlastní čísla rovná odmocninám z vlastních čísel<br />
$\vec{A}^{2}$, tj.<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $p+1$ s násobností $1$<br />
\item $\sqrt{p}$ s násobností $r$<br />
\item $-\sqrt{p}$ s násobností $s$<br />
\end{itemize}<br />
\begin{rem*}<br />
Vlastní číslo $p+1$ jsme mohli u matice zjistit rovnou podle\[<br />
\vec{A}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
p+1\\<br />
p+1\\<br />
\vdots\\<br />
p+1\end{array}\right)=(p+1)\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right),\]<br />
protože počet jedniček v každém ($i$-tém) řádku $\vec{A}$, což je<br />
počet přímek kolmých na $v_{i}$, je roven $p+1$. <br />
\end{rem*}<br />
Když nyní známe vlastní čísla $\vec{A}$, můžeme konečne vyjádřit\[<br />
\Tr\vec{A}=(p+1)+(r-s)\sqrt{p},\]<br />
a protože stopa celočíselné matice nemůže být neceločíselná (přitom<br />
$p$ je prvočíslo, takže $\sqrt{p}\notin\N)$, musí nutně $r=s$ a<br />
tedy\[<br />
\Tr\vec{A}=p+1.\]<br />
<br />
<br />
Nyní tedy víme, že počet vrcholů $G$ se stupněm $p$ je $p+1$. Ostatních<br />
$p^{2}$ vrcholů má stupeň $p+1$. Proto již lze určit počet hran<br />
v grafu $G$:\[<br />
2\# E=\sum_{v\in V}d_{G}(v)=(p+1)p+p^{2}(p+1)=p(p+1)^{2},\]<br />
\[<br />
\# E=\frac{p(p+1)^{2}}{2}.\]<br />
Abychom mohli $\# E$ srovnat s (\ref{eq:odhad-E-bez-K22}), musíme<br />
jej vyjádřit pomocí $n=\# V$. Z rovnosti \begin{equation}<br />
n=p^{2}+p+1\label{eq:konstrukce-pocet-vrcholu}\end{equation}<br />
tedy získáme\[<br />
p=\frac{-1+\sqrt{4n-3}}{2}\]<br />
a po vhodné úpravě, která umožní dosadit za $p^{2}+p$ z (\ref{eq:konstrukce-pocet-vrcholu}),<br />
dostaneme\[<br />
\# E=\frac{p(p+1)^{2}}{2}=\frac{p+1}{2}(p^{2}+p)=\frac{1+\sqrt{4n-3}}{4}(n-1)=\frac{1}{4}(n-1)\left(1+\sqrt{4n-3}\right).\]<br />
Přitom z Erdösovy věty máme odhad\[<br />
\# E\leq\frac{1}{4}n\left(1+\sqrt{4n-3}\right).\]<br />
Je tedy vidět, že pro $n=p^{2}+p+1$, kde $p$ je prvočíslo, je tento<br />
odhad docela těsný.<br />
<br />
<br />
\subsection{Počet $K_{3}$ a $\bar{K}_{3}$ v grafu}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf na $n$ vrcholech. Potom počet klik $K_{3}$<br />
a podgrafů $\bar{K}_{3}$ v grafu $G$ je alespoň \[<br />
\frac{n(n-1)(n-5)}{24}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Tři vrcholy z $n$ vrcholů lze vybrat $\binom{n}{3}$ způsoby. Až<br />
na izomorfismus existují pouze $4$ podgrafy (tj. $4$ \emph{typy}<br />
podgrafů), které mohou být indukované těmito třemi vrcholy. Jestliže<br />
obrázkem podgrafu umístěným do kroužku rozumíme počet podgrafů tohoto<br />
typu v grafu $G$, můžeme zapsat následující rovnici:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: K3_rovnice1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:48:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 15.953 18.754 center at 15.418 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.716 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.121 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.420 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 13.811 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 13.513 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 14.110 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 14.347 18.754 center at 13.811 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 12.738 18.754 center at 12.203 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 12.501 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 11.906 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 12.205 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.596 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.298 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.894 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 11.132 18.754 center at 10.596 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 15.716 18.574 to 15.119 18.574<br />
\plot 15.119 18.574 15.418 19.111 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 13.513 18.574 to 14.108 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.298 18.574 10.596 19.111 /<br />
\plot 10.596 19.111 10.892 18.574 /<br />
\putrule from 10.892 18.574 to 10.298 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$=\displaystyle{\binom{n}{3}}$}%<br />
} [lB] at 16.133 18.633<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 14.465 18.633<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 11.250 18.633<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 12.859 18.633<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 10.029 19.321 and 16.165 18.186<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
\noindent Vezměme nyní vrchol $v\in V$. Z něj vede hrana do $d_{G}(v)$<br />
vrcholů a do dalších $n-1-d_{G}(v)$ z něj hrana nevede. Počet \emph{uspořádaných}<br />
trojic $(v,u,w)$ takových, že $\{ v,u\}\in E$ a zároveň $\{ v,w\}\notin E$,<br />
je tedy\[<br />
\sum_{v\in V}d_{G}(v)\left(n-1-d_{G}(v)\right).\]<br />
Každé trojici vrcholů z $V$, která v grafu $G$ indukuje podgrafy<br />
\begin{center}<br />
%Title: K3_podgraf3.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:10:40 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.298 26.312<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.597 26.848<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.296 26.312 to 0.893 26.312<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.893 26.312<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.222 26.922 and 0.969 26.238<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
nebo<br />
\begin{center}<br />
%Title: K3_podgraf4.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:10:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.298 26.312<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.597 26.848<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.891 26.314 to 0.296 26.314<br />
\plot 0.296 26.314 0.595 26.848 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.893 26.312<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.222 26.922 and 0.969 26.238<br />
\endpicture},<br />
\end{center}<br />
však přísluší právě dva různé výběry vrcholu $v$, tj. právě dvě \emph{uspořádané}<br />
trojice $(v,u,w)$ daných vlastností. Proto<br />
<br />
\noindent \hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: K3_rovnice2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:29:20 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 2.561 26.253<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 2.263 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 2.857 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 3.095 25.897 center at 2.559 25.897<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 1.488 25.897 center at 0.953 25.897<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 1.251 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.654 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.953 26.253<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 2.857 25.718 to 2.261 25.718<br />
\plot 2.261 25.718 2.559 26.255 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.654 25.718 to 1.249 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 1.607 25.777<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$=\displaystyle{\frac{1}{2}\sum_{v \in V}d_{G}(v)\left(n-1-d_{G}(v)\right).}$}%<br />
} [lB] at 3.274 25.777<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.385 26.513 and 3.306 25.330<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
Toto číslo nyní odhadneme shora. Všechny členy sumy, které jsou tvaru<br />
$x(n-1-x)$, jsou $\leq\left(\frac{n-1}{2}\right)^{2}$, protože graf<br />
funkce $x(n-1-x)=-\left(x-\frac{n-1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{n-1}{2}\right)^{2}$<br />
je parabola s maximem $\left(\frac{n-1}{2}\right)^{2}$ v bodě $x=\frac{n-1}{2}$.<br />
Tím současně odhadneme zdola počet $K_{3}$ a $\bar{K}_{3}$ v grafu<br />
$G$:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: K3_rovnice3.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:50:40 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 16.908 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 16.609 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 17.204 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 17.441 18.754 center at 16.906 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 15.835 18.754 center at 15.299 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.598 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.001 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 15.299 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 17.204 18.574 to 16.607 18.574<br />
\plot 16.607 18.574 16.906 19.111 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 15.001 18.574 to 15.596 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 15.953 18.633<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 11.132 18.754 center at 10.596 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.894 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.298 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 10.596 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 12.205 19.109<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 11.906 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 12.501 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.536:0.536 360 degrees <br />
from 12.738 18.754 center at 12.203 18.754<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.298 18.574 10.596 19.111 /<br />
\plot 10.596 19.111 10.892 18.574 /<br />
\putrule from 10.892 18.574 to 10.298 18.574<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\Bigg)\geq$}%<br />
} [lB] at 17.560 18.633<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$=\displaystyle{\binom{n}{3}}-\Bigg($}%<br />
} [lB] at 12.918 18.633<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+$}%<br />
} [lB] at 11.250 18.633<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 10.029 19.321 and 17.592 18.186<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
\noindent \[<br />
\geq\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-n\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{2}\right)^{2}=\frac{n(n-1)\left(4(n-2)-3(n-1)\right)}{24}=\frac{n(n-1)(n-5)}{24}\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{Odhady $\alpha(G)$ a $\omega(G)$}<br />
<br />
V této části přednášky se budeme zabývat odhady maximální velikosti<br />
kliky a nezávislé množiny v grafu. Zopakujte si proto definici \ref{def:klika-nez-mnozina}<br />
z první kapitoly.<br />
<br />
\begin{obs}<br />
Pro libovolný graf $G=(V,E)$, $n=\# V$, platí\[<br />
\alpha(G)\geq\frac{n}{\Delta(G)+1}.\]<br />
<br />
\end{obs}<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme konstrukci nezávislé množiny o velikosti alespoň $\frac{n}{\Delta(G)+1}$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $S:=\emptyset$, $W:=V$.<br />
\item Vezmeme libovolný vrchol $v\in W$ a přesuneme jej z množiny $W$<br />
do množiny $S$. Všechny sousedy $v$ v grafu $G$ odstraníme z $W$.<br />
Celkem tedy z $W$ odstraníme nejvýše $\Delta(G)+1$ vrcholů.<br />
\item Krok 2 opakujeme, dokud $W\neq\emptyset$.<br />
\end{enumerate}<br />
Je zřejmé, že po provedení popsaného postupu bude $S$ nezávislá množina,<br />
přičemž \[<br />
\# S\geq\frac{n}{\Delta(G)+1}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:odhad-alfa-G-pomoci-ro-G}Pro libovolný graf $G=(V,E)$<br />
platí\[<br />
\alpha(G)\geq\frac{n}{\rho(G)+1},\]<br />
kde $\rho(G)$ je průměrný stupeň grafu $G$ (viz. definice \ref{def:stupen-vrcholu}).<br />
\end{thm}<br />
Tuto větu dokážeme za chvíli, neboť snadno vyplyne z věty \ref{thm:odhad-omega-G}.<br />
Nejprve ukážeme slabší odhad $\alpha(G)$:<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ s průměrným stupněm $\rho(G)\geq1$. Potom\[<br />
\alpha(G)\geq\frac{n}{2\Delta(G)}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Provedeme pravděpodobnostní důkaz tohoto tvrzení. Nechť $G$ je pevně<br />
daný graf a označme jako vždy $n=\# V,m=\# E$. Sestrojme \underbar{indukovaný}<br />
podgraf $H\subset G$ tak, že každý $v\in V$ zařadíme do $V(H)$<br />
nezávisle s pravděpodobností $p\in[0,1]$, kde $p$ zatím nespecifikujeme.<br />
Označme si náhodné veličiny<br />
\begin{lyxlist}{00.00.0000}<br />
\item [$X=\# V(H)$,]což je počet vrcholů grafu $H$, a<br />
\item [$Y=\# E(H)$,]což je počet hran v grafu $H$.<br />
\end{lyxlist}<br />
Vypočítáme střední hodnoty těchto veličin obvyklým způsobem. Pro každý<br />
$v\in V$ zavedeme elementární náhodnou veličinu\[<br />
X_{v}=\begin{cases}<br />
1 & v\in V(H)\\<br />
0 & v\notin V(H)\end{cases}.\]<br />
Potom\[<br />
X=\sum_{v\in V}X_{v},\]<br />
\[<br />
\E X_{v}=1\cdot\Pr(X_{v}=1)+0\cdot\Pr(X_{v}=0)=1\cdot p+0\cdot p=p\]<br />
a\[<br />
\E X=\sum_{v\in V}\E X_{v}=np.\]<br />
Obdobně vypočítáme střední hodnotu počtu hran. Pro každou hranu $e\in E$,<br />
$e=\{ u,v\}$ zavedeme\[<br />
Y_{e}=\begin{cases}<br />
1 & e\in E(H)\\<br />
0 & e\notin E(H)\end{cases}.\]<br />
Potom\[<br />
Y=\sum_{v\in V}Y_{e},\]<br />
\[<br />
\E Y_{e}=\Pr(Y_{e}=1)=\Pr(u\in V(H)\wedge v\in V(H))=p^{2}\]<br />
a\[<br />
\E Y=\sum_{e\in E}\E Y_{v}=mp^{2}.\]<br />
<br />
<br />
Platí ale \[<br />
\rho(G)=\frac{1}{n}\sum_{v\in V}d_{G}(V)=\frac{2m}{n}\quad\Rightarrow\quad\E Y=p^{2}\frac{\rho(G)\cdot n}{2}.\]<br />
Zvolme nyní $p=\frac{1}{\rho(G)}$. Potom\[<br />
\E(X-Y)=np-\frac{\rho(G)np^{2}}{2}=\frac{n}{\rho(G)}-\frac{n}{2\rho(G)}=\frac{n}{2\rho(G)}.\]<br />
To znamená, že existuje taková konkrétní realizace indukovaného podgrafu<br />
$H$, že\begin{equation}<br />
X-Y\geq\frac{n}{2\rho(G)}.\label{eq:rozdil-hran-vrch}\end{equation}<br />
Nyní odebereme všechny hrany z tohoto $H$ vždy společně s jedním<br />
jejich koncem. Z původní množiny vrcholů $V(H)$ tak vznikne množina<br />
vrcholů $S$, která je nezávislou množinou v grafu $G$. $H$ je totiž<br />
indukovaný podgraf, takže mezi vrcholy z $S$ již nevedou žádné hrany<br />
ani v grafu $G$. Po ubrání $Y$ hran spolu s $Y$ vrcholy zůstane<br />
v $S$ podle vztahu (\ref{eq:rozdil-hran-vrch}) alespoň $\frac{n}{2\rho(G)}$<br />
vrcholů, čímž je věta dokázána.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:odhad-omega-G}Pro libovolný graf $G=(V,E)$ platí\[<br />
\omega(G)\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{n-d_{G}(v)}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
bude opět pravděpodobnostní. BÚNO předpokládejme $V=\hat{n}$. Náhodně<br />
vybereme permutaci $\pi\in S_{n}$, které přiřadíme množninu $C_{\pi}\subset V$<br />
takto:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\pi(1)\in C_{\pi}$<br />
\item pro $i>1$ dáme vrchol $\pi(i)$ do $C_{\pi}$, pokud $\left(\forall j<i\right)\left(\{\pi(i),\pi(j)\}\in E\right)$,<br />
tj. vrchol se dostane do $C_{\pi}$, jestliže je v hraně se všemi<br />
předchozími vrcholy při jejich uspořádání podle permutace $\pi$.<br />
\end{itemize}<br />
$C_{\pi}$ je zřejmě klika v $G$. Její velikost je náhodná veličina,<br />
kterou označíme $X$. Nyní postupujeme jako obvykle: Ukážeme-li \[<br />
\E X\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{n-d_{G}(v)},\]<br />
bude důkaz hotov, protože pak existuje konkrétní $C_{\pi}$, pro niž<br />
je $X\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{n-d_{G}(v)}$. Pro každé $v\in V$<br />
definujeme\[<br />
X_{v}=\begin{cases}<br />
1 & v\in C_{\pi}\\<br />
0 & v\notin C_{\pi}\end{cases}.\]<br />
Potom\[<br />
\E X_{v}=\Pr(v\in C_{\pi})=\frac{1}{n-d_{G}(v)},\]<br />
což nyní dokážeme. Aby $v\in C_{\pi}$, tak vrcholy, se kterými $v$<br />
není v hraně, musí být v permutaci $\pi$ umístěny až za ním. Na umístění<br />
jeho sousedů nezáleží. Počet vrcholů, se kterými $v$ není v hraně,<br />
a to včetně vrcholu $v$ samotného, je $n-d_{G}(v)$. Počet způsobů,<br />
kterými lze $n-d_{G}(v)$ vrcholů uspořádat tak, aby $v$ byl na prvním<br />
místě, je $\left(n-d_{G}(v)-1\right)!$. Počet všech uspořádání $n-d_{G}(v)$<br />
vrcholů je $\left(n-d_{G}(v)\right)!$, a proto\[<br />
\Pr(v\in C_{\pi})=\frac{\left(n-d_{G}(v)-1\right)!}{\left(n-d_{G}(v)\right)!}=\frac{1}{n-d_{G}(v)}\]<br />
Konečně tedy můžeme vyčíslit\[<br />
\E X=\sum_{v\in V}X_{v}=\sum_{v\in V}\frac{1}{n-d_{G}(v)}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
Důsledkem této věty je věta \ref{thm:odhad-alfa-G-pomoci-ro-G}, kterou<br />
nyní dokážeme.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $G$ je libovolný graf. Potom podle předchozí věty je\[<br />
\omega(\bar{G})\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{n-d_{\bar{G}}(v)},\]<br />
přičemž platí $d_{\bar{G}}(v)=n-1-d_{G}(v)$ a $\alpha(G)=\omega(\bar{G})$.<br />
Proto\begin{equation}<br />
\alpha(G)\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{1+d_{G}(v)}.\label{eq:odhad-alfa-G}\end{equation}<br />
Protože funkce $\frac{1}{1+x}$ je na intervalu $[0,+\infty)$ konvexní,<br />
můžeme podle Jensenovy nerovnosti \ref{lem:jensenova-nerovnost} provést<br />
odhad\[<br />
\frac{n}{1+\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^{n}x_{i}}\leq\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}.\]<br />
Pokud jej použijeme na vztah (\ref{eq:odhad-alfa-G}), dostaneme\[<br />
\alpha(G)\geq\sum_{v\in V}\frac{1}{1+d_{G}(v)}\geq\frac{n}{1+\frac{1}{n}\sum\limits _{v\in V}d_{G}(v)}=\frac{n}{1+\rho(G)}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
Pomocí věty \ref{thm:odhad-omega-G} můžeme provést i alternativní<br />
důkaz Turánovy věty \ref{thm:turan}, která říká: Pokud $G=(V,E)$<br />
neobsahuje kliku $K_{p}$, tak $\# E\leq\frac{n^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{p-1}\right)$<br />
.<br />
<br />
Vyjdeme ze Schwarzovy nerovnosti na prostoru $\R^{n}$ se standardním<br />
skalárním součinem. Pro $\vec{x},\vec{y}\in\R^{n}$ platí\[<br />
\left|\left(\vec{x},\vec{y}\right)\right|^{2}\leq\left\Vert \vec{x}\right\Vert ^{2}\left\Vert \vec{y}\right\Vert ^{2}.\]<br />
Nechť $G=(V,E)$, $V=\hat{n}$. Označme $d_{i}=d_{G}(i)$ pro každé<br />
$i\in V$ a zvolme konkrétně\begin{eqnarray*}<br />
\vec{x} & = & \left(\frac{1}{\sqrt{n-d_{1}}},\frac{1}{\sqrt{n-d_{2}}},...,\frac{1}{\sqrt{n-d_{n}}}\right),\\<br />
\vec{y} & = & \left(\sqrt{n-d_{1}},\sqrt{n-d_{2}},...,\sqrt{n-d_{n}}\right).\end{eqnarray*}<br />
Potom má Schwarzova nerovnost tvar\begin{equation}<br />
n^{2}=\underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n-d_{i}}}\sqrt{n-d_{i}}\right)}_{\left|\left(\vec{x},\vec{y}\right)\right|^{2}}\leq\underbrace{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n-d_{i}}}_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert ^{2}}\underbrace{\sum_{j=1}^{n}(n-d_{j})}_{\left\Vert \vec{y}\right\Vert ^{2}}.\label{eq:schwarz-turan}\end{equation}<br />
Protože podle předpokladu $G$ neobsahuje $K_{p}$, platí podle věty<br />
\ref{thm:odhad-omega-G}\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n-d_{i}}\leq\omega(G)\leq p-1.\]<br />
Po dosazení do \ref{eq:schwarz-turan} dostáváme\begin{eqnarray*}<br />
n^{2} & \leq & (p-1)\left(n^{2}-2\# E\right)\\<br />
2(p-1)\# E & \leq & (p-2)n^{2}\\<br />
\# E & \leq & \frac{n^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{p-1}\right).\end{eqnarray*}<br />
<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:posloupnost-nahod-grafu}Nechť $G_{n}$ označuje náhodný<br />
graf na $n$ vrcholech%<br />
\footnote{$G_{n}$ vznikne tak, že každé dva vrcholy spojíme hranou s pravděpodobností<br />
$\frac{1}{2}$. ,,Náhodná veličina{}`` $G_{n}$ má potom rovnoměrné<br />
rozdělení.%<br />
}. Potom existuje posloupnost $\left(k_{n}\right)_{n\in\N}$ taková,<br />
že\begin{equation}<br />
\lim_{n\to\infty}\Pr\left(\left(\omega(G_{n})=k_{n}\right)\vee\left(\omega(G_{n})=k_{n}+1\right)\right)=1\label{eq:posloupnost_kn}\end{equation}<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
~<br />
\begin{itemize}<br />
\item Pro posloupnost $\left(k_{n}\right)_{n\in\N}$ platí řádově\[<br />
\lim_{n\to\infty}\frac{k_{n}}{2\log_{2}n}=1.\]<br />
<br />
\item Je-li $G_{n}$ náhodný graf, potom $\bar{G}_{n}$ je také náhodný<br />
graf, a přitom $\omega(\bar{G}_{n})=\alpha(G_{n})$. Proto je (\ref{eq:posloupnost_kn})<br />
ekvivalentní s\[<br />
\lim_{n\to\infty}\Pr\left(\left(\alpha(G_{n})=k_{n}\right)\vee\left(\alpha(G_{n})=k_{n}+1\right)\right)=1.\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_2&diff=4532
01ZTGA:Kapitola2 2
2012-01-15T13:12:11Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Pravděpodobnostní důkazy v teorii grafů}<br />
<br />
Následující věty udávají příklady tvrzení dokazatelných pomocí tzv.<br />
pravděpodobnostních důkazů. Jeden takový jsme již viděli u věty \ref{thm:odhad-poctu-krizeni}.<br />
Jiné důkazy tohoto typu se vyskytnou i dále, tyto věty však byly první,<br />
u nichž jsme se \emph{v průběhu přednášky} s pravděpodobnostními důkazy<br />
setkali. Na jejich tvrzení již další látka nezávisí, a proto mají<br />
skutečně spíše demonstrativní účel. Jsou zde tedy zařazeny do poněkud<br />
umělé podkapitoly.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\[<br />
\frac{\textrm{po\v{c}et bipartitních graf\r{u} na }n\textrm{ vrcholech}}{\textrm{po\v{c}et v\v{s}ech graf\r{u} na }n\textrm{ vrcholech}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $G=(\hat{n},E)$ náhodný graf na $n$ vrcholech. To znamená, že<br />
$E$ vznikne tak, že $\forall i,j\in\hat{n},i\neq j$ je $\{ i,j\}\in E$<br />
s pravděpodobností $\frac{1}{2}$ (pro každé dva vrcholy si hodíme<br />
mincí, a pokud padne líc, spojíme je hranou). Ptejme se, jaká je pravděpodobnost,<br />
že pro pevně daný rozklad $\hat{n}=V_{1}\cup V_{2}$ ($V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$<br />
a $V_{1},V_{2}\neq\emptyset$) platí $E\cap\binom{V_{1}}{2}=\emptyset,E\cap\binom{V_{2}}{2}=\emptyset$,<br />
tj. že ve $V_{1}$ ani ve $V_{2}$ nevede hrana.<br />
<br />
Označme $k=\# V_{1}$. Potom tato pravděpodobnost je rovna\[<br />
P_{V_{1},V_{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{k}{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{n-k}{2}},\]<br />
protože $\binom{k}{2}$ je počet různých dvojic vrcholů ve $V_{1}$<br />
a $\binom{n-k}{2}$ je počet různých dvojic vrcholů ve $V_{2}$.<br />
<br />
$G$ je bipartitní právě tehdy, když existuje rozklad $\hat{n}=V_{1}\cup V_{2}$<br />
takový, že ve $V_{1}$ ani ve $V_{2}$ nevedou hrany. Využijeme-li<br />
známý vztah z teorie pravděpodobnosti platný pro jevy $A_{j}$\[<br />
\Pr\left(\bigcup A_{j}\right)\leq\sum\Pr A_{j},\]<br />
můžeme odhadnout pravděpodobnost $P$, že $G$ je bipartitní:\[<br />
P\leq\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \emptyset\neq V_{1}\subsetneqq\hat{n}}\\<br />
{\scriptstyle V_{2}=\hat{n}\backslash V_{1}}\end{matrix}}P_{V_{1},V_{2}}=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \emptyset\neq V_{1}\subsetneqq\hat{n}}\\<br />
{\scriptstyle V_{2}=\hat{n}\backslash V_{1}}\\<br />
{\scriptstyle k=\# V_{1}}\end{matrix}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{k}{2}}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{n-k}{2}}\leq...\]<br />
Nyní použijeme nerovnost $\binom{n/2}{2}\leq\binom{k}{2}+\binom{n-k}{2}$,<br />
která je zřejmá, protože pro každé $k$ je $k\geq\frac{n}{2}$ nebo<br />
$(n-k)\geq\frac{n}{2}$.\[<br />
...\leq\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \emptyset\neq V_{1}\subsetneqq\hat{n}}\\<br />
{\scriptstyle V_{2}=\hat{n}\backslash V_{1}}\\<br />
{\scriptstyle k=\# V_{1}}\end{matrix}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{n/2}{2}}\leq\sum_{V_{1}\subset\hat{n}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{n/2}{2}}=2^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\binom{n/2}{2}}=2^{n-\binom{n/2}{2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\]<br />
Pravděpodobnost, že na $n$ vrcholech náhodně vybereme graf, který<br />
je bipartitní, tedy klesá s rostoucím $n$ k nule. Protože pravděpodobnost<br />
a relativní četnost v limitě (se vzrůstajícím počtem možných jevů)<br />
splývají, dokázali jsme tím i tvrzení věty.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\emph{(Existence velkých bipartitních grafů)}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je (pevně daný) graf na $2n$ vrcholech. Potom existuje<br />
rozklad $V=A\cup B$ takový, že $\# A=\# B=n$ a navíc počet hran<br />
mezi $A$ a $B$ je alespoň $\frac{1}{2}\# E$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Vybereme náhodně podmnožinu $A$ velikosti $n$, zvolíme $B=V\backslash A$.<br />
Zavedeme náhodnou veličinu $X=X(A)$ jako počet hran mezi $A$ a $B$.<br />
Když nyní ukážeme, že střední hodnota $\E X>\frac{1}{2}\# E$, pak<br />
musí existovat konkrétní realizace $A$ tak, že $X(A)\geq\frac{1}{2}\# E$,<br />
a tím bude důkaz hotov. Tuto myšlenku využijeme i u důkazů dalších<br />
vět.<br />
<br />
Pro každou hranu $e\in E$ zavedeme náhodnou veličinu (indikátor jevu)\[<br />
I_{e}=\begin{cases}<br />
1 & e\textrm{ vede mezi }A\textrm{ a }B\\<br />
0 & \textrm{jinak}\end{cases}.\]<br />
Potom \[<br />
X=\sum_{e\in E}I_{e}.\]<br />
Střední hodnota je z definice lineární funkcionál, takže\begin{equation}<br />
\E X=\sum_{e\in E}\E\left(I_{e}\right),\label{eq:aditivita-stredni-hodnoty}\end{equation}<br />
přičemž\[<br />
\E\left(I_{e}\right)=1\cdot\Pr(I_{e}=1)+0\cdot\Pr(I_{e}=0)=\Pr(I_{e}=1)=\Pr(e\textrm{ vede mezi }A\textrm{ a }B)=2\frac{\binom{2n-2}{n-1}}{\binom{2n}{n}}=\frac{n}{2n-1}>\frac{1}{2}.\]<br />
Kombinatorickou úvahu vysvětlíme. Nechť $e=\{ u,v\}$. Potom $\binom{2n-2}{n-1}$<br />
je počet výběrů množiny $A$ tak, že (právě) $u\in A$ a (právě) $v\notin A$.<br />
Tyto dva vrcholy jsou totiž dány pevně a potom už do $A$ vybíráme<br />
jen $n-1$ vrcholů ze zbylých $2n-2$. Dále $2\binom{2n-2}{n-1}$<br />
je počet výběrů množiny $A$ tak, že jeden vrchol ($u$ nebo $v$)<br />
hrany $e$ leží v $A$ a ten druhý neleží. Konečně $\binom{2n}{n}$<br />
je počet všech různých výběrů množiny $A$.<br />
<br />
Pokud nyní dosadíme do (\ref{eq:aditivita-stredni-hodnoty}), dostaneme\[<br />
\E X=\# E\cdot\E\left(I_{e}\right)>\frac{1}{2}\# E.\]<br />
<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_1&diff=4531
01ZTGA:Kapitola2 1
2012-01-15T13:11:21Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Brouwerova věta o pevném bodě}<br />
<br />
Následující věta má velmi zajímavý důkaz, který využívá jen jedinou<br />
maličkost z teorie grafů, a sice že součet všech stupňů vrcholů grafu<br />
je sudý. Přesto je zařazena do této přednášky jako příklad aplikace<br />
teorie grafů tam, kde bychom to možná nečekali.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Brouwer)}}<br />
<br />
Nechť $f$ je spojité zobrazení uzavřené koule $B\subset\R^{d}$ do<br />
$B$. Potom $f$ má pevný bod, tj.\[<br />
\left(\exists x\in B\right)\left(f(x)=x\right).\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Pokud $d=1$, je důkaz tvrzení snadný. Uzavřená koule reprezentuje<br />
uzavřený interval na reálné ose. Vezměme tedy například\[<br />
f:[0,1]\mapsto[0,1].\]<br />
Definujme\[<br />
g(x)=f(x)-x\]<br />
a ptejme se, zda existuje $x\in[0,1]$ takové, že $g(x)=0$. Zřejmě<br />
platí\begin{eqnarray*}<br />
g(0)=f(0)-0 & \geq & 0,\\<br />
g(1)=f(1)-1 & \leq & 0.\end{eqnarray*}<br />
Protože $f$ je spojitá funkce, je i $g$ spojitá a proto nutně $\left(\exists x\in[0,1]\right)\left(g(x)=0\right)$.<br />
\end{rem*}<br />
Skutečný důkaz Brouwerovy věty provedeme detailně jen pro $d=2$.<br />
Pro obecné $d$ je myšlenka důkazu stejná, ale technické detaily jsou<br />
komplikovanější: Ukážeme totiž platnost věty pro trojúhelník místo<br />
pro kouli v $\R^{2}$ (což je kruh). Pro obecné $d$ bychom větu dokazovali<br />
pro $d$-simplex místo pro kouli v $\R^{d}$.<br />
<br />
Nejprve předvedeme, jak platnost tvrzení pro trojúhelník implikuje<br />
jeho platnost pro kruh. Existuje totiž spojitá bijekce $\varphi$<br />
kruhu $B$ na trojúhelník $T$, což můžeme vidět na obrázku \ref{cap:brouwer1}.<br />
Kruhu s poloměrem $r$ opíšeme libovolný trojúhelník. Každý bod $A$<br />
v kruhu $B$ kromě středu spojíme se středem $S$ polopřímkou $p$,<br />
která protíná kružnici $B$ ve vzdálenosti $r$ od $S$ a trojúhelník<br />
$T$ ve vzdálenosti $t$ od $S$. Hodnotu $\varphi(A)$ pak definujeme<br />
jako bod na $p$ ve vzdálenosti $\frac{t}{r}\left|\overline{AS}\right|$<br />
od $S$.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: brouwer.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:24:24 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.114}}} at 9.167 19.408<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.114}}} at 8.333 19.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.114}}} at 9.138 20.064<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.953:0.953 360 degrees <br />
from 10.001 19.526 center at 9.049 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.049 19.526 10.001 18.574 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 9.534 18.825 10.001 18.574 9.750 19.041 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.049 19.526 9.286 20.955 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 9.353 20.429 9.286 20.955 9.052 20.479 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.049 19.526 7.620 19.050 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 8.054 19.355 7.620 19.050 8.150 19.066 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.381 18.574 to 10.715 18.574<br />
\plot 10.715 18.574 9.049 21.431 /<br />
\plot 9.049 21.431 7.381 18.574 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}S}%<br />
} [lB] at 8.780 19.588<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}A}%<br />
} [lB] at 8.215 19.408<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.334 21.478 and 10.761 18.527<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:brouwer1}Bijekce kruhu na trojúhelník}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Nechť nyní $f:B\mapsto B$ je spojité zobrazení. Potom zobrazení $h=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$<br />
je $h:T\mapsto T$ a je spojité. Podle Brouwerovy věty dokázané pro<br />
trojúhelník existuje $x\in T$ takový, že $h(x)=x$, neboli $\varphi\left(f\left(\varphi^{-1}(x)\right)\right)=x$.<br />
Potom ale\[<br />
f\left(\varphi^{-1}(x)\right)=\varphi^{-1}(x),\]<br />
takže $\varphi^{-1}(x)\in B$ je pevným bodem zobrazení $f$. <br />
<br />
Dále tedy budeme směřovat k důkazu Brouwerovy věty pro trojúhelník.<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $T$ je trojúhelník. Trojúhelníky $T_{1},T_{2},...,T_{k}$ nazveme<br />
\textbf{triangulizací} (angl. \emph{simplicial subdivision}) trojúhelníku<br />
$T$, jestliže $\bigcup_{i=1}^{k}T_{i}=T$ a pro každé $i,j\in\hat{k},i\neq j$<br />
je $T_{i}\cap T_{j}$ buď $\emptyset$, nebo společný vrchol trojúhelníků<br />
$T_{i}$ a $T_{j}$, nebo společná strana trojhelníků $T_{i}$ a $T_{j}$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
V levém trojúhelníku na obrázku \ref{cap:triang1} je vytvořena triangulizace,<br />
v pravém však nikoliv, neboť některé trojúhelníky mají průnik tvořící<br />
jen část strany jednoho z nich.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: triangulizace.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:27:28 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setdots < 0.1143cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 10.833 21.907 center at 10.478 21.907<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 21.907 11.906 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.525 21.907 10.001 20.955 /<br />
\plot 10.001 20.955 10.954 22.860 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.191 21.670 6.668 21.907 /<br />
\plot 6.668 21.907 6.428 20.955 /<br />
\plot 6.428 20.955 6.191 21.670 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.239 20.955 6.191 21.670 /<br />
\putrule from 6.191 21.670 to 6.191 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.763 21.907 5.239 20.955 /<br />
\plot 5.239 20.955 6.191 22.860 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.096 20.955 10.954 22.860 /<br />
\plot 10.954 22.860 11.906 20.955 /<br />
\putrule from 11.906 20.955 to 8.096 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 20.955 6.191 22.860 /<br />
\plot 6.191 22.860 7.144 20.955 /<br />
\putrule from 7.144 20.955 to 3.334 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}ne}%<br />
} [lB] at 9.881 20.242<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}ano}%<br />
} [lB] at 4.881 20.242<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.287 22.907 and 11.953 20.210<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:triang1},,Správná{}`` a ,,nesprávná{}`` triangulizace}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{defn}<br />
Buď $T$ trojúhelník s vrcholy $e_{1},e_{2},e_{3}$, nechť $T_{1},T_{2},...,T_{k}$<br />
je jeho trianglulizace. Obarvení vrcholů trojúhelníků $T_{1},T_{2},...,T_{k}$<br />
barvami $1,2,3$ se nazývá vlastní, jestliže pro každé $i,j\in\{1,2,3\},i\neq j$<br />
platí<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $e_{i}$ má barvu $i$,<br />
\item vrcholy trojúhelníků ležící na úsečce $\overline{e_{i}e_{j}}$ mají<br />
barvu $i$ nebo $j$.<br />
\end{enumerate}<br />
Barvy vrcholů uvnitř trojúhelníku $T$ nejsou důležité.<br />
\end{defn}<br />
\begin{lem}<br />
\textbf{\emph{(Sperner, 1928)}}<br />
<br />
Nechť $T$ je trojúhelník, $T_{1},T_{2},...,T_{k}$ jeho triangulizace.<br />
Potom při každém vlastním obarvení vrcholů trojúhelníků $T_{1},T_{2},...,T_{k}$<br />
barvami $1,2,3$ existuje $i\in\hat{k}$ takové, že $T_{i}$ má vrcholy<br />
obarveny všemi třemi barvami.<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Dané triangulizaci přiřadíme graf $G=(V,E)$, jenž bude zkonstruován<br />
takto:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Množina vrcholů $V$ grafu $G$ bude tvořena trojúhelníky $T,T_{1},T_{2},...,T_{k}$.<br />
\item Množina hran bude splňovat následující dvě podmínky:<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\{ T_{i},T_{j}\}\in E$, právě když $T_{i}\cap T_{j}$ je jejich<br />
společná strana, jejíž konce jsou vrcholy (trojúhelníků) obarvené<br />
právě oběma barvami $1$ a $2$.<br />
\item $\{ T,T_{i}\}\in E$, právě když $T_{i}$ má stranu s koncovými vrcholy<br />
obarvenými oběma barvami $1$ a $2$ a tato strana leží ve straně<br />
trojúhelníka $T$ (jejíž koncové vrcholy jsou tedy také obarveny barvami<br />
$1$ a $2$).<br />
\end{itemize}<br />
\end{itemize}<br />
Je jasné, že pro stupně vrcholů $T_{i}$ grafu $G$ platí $0\leq d_{G}(T_{i})\leq2$<br />
pro každé $i\in\hat{k}$. Není totiž možné, aby všechny tři strany<br />
trojúhelníka měly konce obarvené oběma barvami $1$ a $2$. Stupeň<br />
$T$ jako vrcholu grafu $G$ je svázán s pokrytím strany $\overline{e_{1}e_{2}}$<br />
trojúhelníky z triangulizace:<br />
<br />
\smallskip{}<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: triangulizace2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:48:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 7.620 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 8.810 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 9.644 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 10.715 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 11.549 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 12.383 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 13.096 18.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 14.288 18.216<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$e_{1}$}%<br />
} [lB] at 7.620 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$e_{2}$}%<br />
} [lB] at 14.167 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{2}$}%<br />
} [lB] at 8.810 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{3}$}%<br />
} [lB] at 9.525 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{4}$}%<br />
} [lB] at 10.715 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{5}$}%<br />
} [lB] at 11.549 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{6}$}%<br />
} [lB] at 12.383 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$a_{7}$}%<br />
} [lB] at 13.096 18.931<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.810 19.526 9.404 20.479 /<br />
\plot 9.404 20.479 9.644 19.526 /<br />
\plot 9.644 19.526 10.120 20.955 /<br />
\plot 10.120 20.955 10.715 19.526 /<br />
\plot 10.715 19.526 11.191 20.360 /<br />
\plot 11.191 20.360 11.549 19.526 /<br />
\plot 11.549 19.526 12.025 20.599 /<br />
\plot 12.025 20.599 12.383 19.526 /<br />
\plot 12.383 19.526 12.738 20.360 /<br />
\plot 12.738 20.360 13.096 19.526 /<br />
\plot 13.096 19.526 13.214 20.003 /<br />
\plot 13.214 20.003 14.288 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.691 20.955 8.810 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 14.288 19.526 12.383 21.431 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 19.526 9.049 21.431 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 19.526 to 14.288 19.526<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.573 21.478 and 14.334 18.184<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
\smallskip{}<br />
<br />
Předpokládejme, že na hraně $\overline{e_{1}e_{2}}$ jsou zleva doprava<br />
uspořádány vrcholy \[<br />
e_{1}=a_{1},a_{2},....,a_{l-1},a_{l}=e_{2}.\]<br />
Jestliže barva $a_{j}$ se liší od barvy $a_{j+1}$, tak podle definice<br />
grafu $G$ je trojúhelník $T_{i}$ , který má jako jednu z hran úsečku<br />
$\overline{a_{j}a_{j+1}}$, v hraně s $T$. Každá změna barvy vrcholu<br />
$1\to2$ nebo $2\to1$ při procházení strany $\overline{e_{1}e_{2}}$<br />
zleva doprava tedy přispívá jedničkou ke stupni $T$. Protože ale<br />
$e_{1}=a_{1}$ má barvu $1$ a $e_{2}=a_{l}$ má barvu $2$, tak těchto<br />
změn je lichý počet. Stupeň $T$ je tedy lichý. Nyní využijeme, že\[<br />
\sum_{v\in V}d_{G}(v)=\sum_{i=1}^{k}d_{G}(T_{i})+d_{G}(T)=2\# E,\]<br />
takže součet $\sum_{i=1}^{k}d_{G}(T_{i})+d_{G}(T)$ je sudý. Tím pádem<br />
$\sum_{i=1}^{k}T_{i}$ je lichý. Existuje tedy další vrchol grafu<br />
$G$ (tj. trojúhelník triangulace $T_{i}$) s lichým stupněm, který<br />
tak musí být roven $1$. Jinými slovy, tento trojúhelník má v $G$<br />
jen jediného souseda, což znamená, že dva jeho vrcholy mají barvy<br />
$1$ a $2$, ale třetí vrchol už musí mít barvu $3$:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: triangulizace3.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:13:20 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.715 23.336 4.286 21.431 /<br />
\putrule from 4.286 21.431 to 7.620 21.431<br />
\plot 7.620 21.431 5.715 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 7.857 21.313<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 5.596 23.575<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 3.929 21.313<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 21.431 5.715 23.336 /<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.897 24.100 and 7.889 21.281<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
\end{proof}<br />
Nyní už můžeme dokázat přímo Brouwerovu větu:<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Mějme tedy trojúhelník $T$ s vrcholy $e_{1},e_{2},e_{3}$ v lineárním<br />
prostoru $\R^{2}$. Každý bod $x\in T$ můžeme vyjádřit jako konvexní<br />
kombinaci\[<br />
x=\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3},\]<br />
kde\[<br />
\alpha_{i}\geq0,\]<br />
\begin{equation}<br />
\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=1.\label{eq:konvex-sum1}\end{equation}<br />
Označme si obecně pro libovolný $x\in T$ $i$-tou souřadnici bodu<br />
$x$ v uvedené konvexní kombinaci jako $\alpha_{i}(x)$. Obdobně \[<br />
f(x)=\alpha_{1}'e_{1}+\alpha_{2}'e_{2}+\alpha_{3}'e_{3},\]<br />
kde\[<br />
\alpha_{i}'\geq0,\]<br />
\begin{eqnarray}<br />
\alpha_{1}'+\alpha_{2}'+\alpha_{3}' & = & 1.\label{eq:konvex-sum2}\end{eqnarray}<br />
Označme si obdobně $i$-tou souřadnici $f(x)$ v konvexní kombinaci<br />
bodů $e_{1},e_{2},e_{3}$ jako $\alpha_{i}'(x)$. Je-li $x$ pevným<br />
bodem zobrazení $f$, potom $\alpha_{i}'(x)=\alpha_{i}(x)$ pro každé<br />
$i\in\{1,2,3\}$.<br />
<br />
Postupujme sporem, tj. předpokládejme, že $f$ nemá pevný bod. Potom<br />
lze korektně definovat obarvení každého bodu $x\in T$ jako zobrazení\begin{equation}<br />
b(x):=\min\left\{ \left.i\in\{1,2,3\}\right|\alpha_{i}(x)>\alpha_{i}'(x)\right\} .\label{eq:brouwer-obarveni}\end{equation}<br />
Pro toto obarvení platí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\left(\forall i\in\{1,2,3\}\right)\left(b(e_{i})=i\right)$. Například<br />
$e_{1}=1\cdot e_{1}+0\cdot e_{2}+0\cdot e_{3}$, takže s přihlédnutím<br />
k (\ref{eq:konvex-sum1}) a (\ref{eq:konvex-sum2}) nutně $\alpha_{1}(e_{1})>\alpha_{1}'(e_{1})$.<br />
\item Dále $\left(\forall i,j\in\{1,2,3\},i\neq j\right)\left(x\in\overline{e_{i}e_{j}}\Rightarrow b(x)\in\{ i,j\}\right)$.<br />
Například každé $x\in\overline{e_{1}e_{2}}$ má barvu $1$ nebo $2$.<br />
Pro takové $x$ je totiž $\alpha_{3}(x)=0$, takže nemůže být $\alpha_{3}(x)>\alpha_{3}'(x)$. <br />
\end{itemize}<br />
Zvolme nyní posloupnost triangulací trojúhelníku $T$ označenou\[<br />
T_{1}^{(n)},T_{2}^{(n)},...,T_{k_{n}}^{(n)}\]<br />
tak, že pro $n\to\infty$ jde maximum obvodů trojúhelníků z $n$-té<br />
triangulace k nule. Obarvíme-li všechny vrcholy v triangulizaci podle<br />
zobrazení $b$, bude se jednat o vlastní obarvení. Podle Spernerova<br />
lemmatu existuje pro každé $n$ trojúhelník $T_{i_{n}}^{(n)}$, který<br />
má vrcholy obarveny všemi třemi barvami. Označme<br />
\begin{lyxlist}{00.00.0000}<br />
\item [$x_{n}$]vrchol $T_{i_{n}}^{(n)}$ s barvou $1$,<br />
\item [$y_{n}$]vrchol $T_{i_{n}}^{(n)}$ s barvou $2$,<br />
\item [$z_{n}$]vrchol $T_{i_{n}}^{(n)}$ s barvou $3$.<br />
\end{lyxlist}<br />
Protože $T$ je kompaktní množina, existuje konvergentní podposloupnost<br />
$\left(x_{j_{n}}\right)_{n\in\N}$ vybraná z $\left(x_{n}\right)_{n\in\N}$,<br />
kterou budeme nadále označovat opět jako $\left(x_{n}\right)_{n\in\N}$.<br />
To samé platí pro posloupnosti $\left(y_{n}\right)_{n\in\N}$ a $\left(z_{n}\right)_{n\in\N}$.<br />
Nechť $w$ je limita posloupnosti $\left(x_{n}\right)_{n\in\N}$.<br />
Potom však\[<br />
y_{n}=\underbrace{y_{n}-x_{n}}_{\to0}+x_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}w\]<br />
a stejně tak \[<br />
z_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}w.\]<br />
<br />
<br />
Protože $x_{n}$ má pro každé $n$ barvu $1$, tak podle (\ref{eq:brouwer-obarveni})<br />
platí $\alpha_{1}(x)>\alpha_{1}'(x)$. Protože $f$ je spojitá, je<br />
i souřadnice $\alpha_{1}'(x)$ spojitou funkcí $\alpha_{1}(x)$ (a<br />
rovněž ostatních souřadnic), takže v limitě platí\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_{1}(w) & \geq & \alpha_{1}'(w).\end{eqnarray*}<br />
Pro ostatní souřadnice však dostaneme z vlastností $y_{n}$ a $z_{n}$<br />
stejný vztah:\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_{2}(w) & \geq & \alpha_{2}'(w),\\<br />
\alpha_{2}(w) & \geq & \alpha_{2}'(w).\end{eqnarray*}<br />
Po sečtení všech nerovností dostaneme\[<br />
1=\alpha_{1}(w)+\alpha_{2}(w)+\alpha_{3}(w)\geq\alpha_{1}'(w)+\alpha_{2}'(w)+\alpha_{3}'(w)=1\]<br />
a proto musí platit rovnosti $\alpha_{i}(w)=\alpha_{i}'(w)$ pro každé<br />
$i\in\{1,2,3\}$. To ale znamená, že $f(w)=w$, což je spor.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola3_2&diff=4530
01ZTGA:Kapitola3 2
2012-01-15T13:05:54Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola3_1&diff=4529
01ZTGA:Kapitola3 1
2012-01-15T13:05:51Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_4&diff=4528
01ZTGA:Kapitola2 4
2012-01-15T13:05:49Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_3&diff=4527
01ZTGA:Kapitola2 3
2012-01-15T13:05:46Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_2&diff=4526
01ZTGA:Kapitola2 2
2012-01-15T13:05:43Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola2_1&diff=4525
01ZTGA:Kapitola2 1
2012-01-15T13:05:40Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA}</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4524
01ZTGA
2012-01-15T13:05:12Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
\chapter{Rozšířený kurs teorie grafů}<br />
<br />
\input{cast2_kapitola1}<br />
\input{cast2_kapitola2}<br />
\input{cast2_kapitola3}<br />
\input{cast2_kapitola4}<br />
<br />
\chapter{Generující funkce}<br />
<br />
\input{cast3_kapitola1}<br />
\input{cast3_kapitola2}<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:ControlFile&diff=4523
01ZTGA:ControlFile
2012-01-15T13:02:11Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\wikichapter{0}{cast0}{Úvod}<br />
<br />
\wikichapter{1_1}{cast1_kapitola1}{Základní pojmy}<br />
\wikichapter{1_2}{cast1_kapitola2}{Souvislost}<br />
\wikichapter{1_3}{cast1_kapitola3}{Bipartijní grafy}<br />
\wikichapter{1_4}{cast1_kapitola4}{Stromy}<br />
\wikichapter{1_5}{cast1_kapitola5}{Hledání minimální kostry grafu}<br />
\wikichapter{1_6}{cast1_kapitola6}{Jednotažky}<br />
\wikichapter{1_7}{cast1_kapitola7}{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
\wikichapter{1_8}{cast1_kapitola8}{Párování v grafech}<br />
\wikichapter{1_9}{cast1_kapitola9}{Toky v sítích}<br />
\wikichapter{1_10}{cast1_kapitola10}{Hranové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_11}{cast1_kapitola11}{Vrcholové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_12}{cast1_kapitola12}{Planární grafy}<br />
\wikichapter{1_13}{cast1_kapitola13}{Vlastní čísla adjacenční matice grafu}<br />
<br />
\wikichapter{2_1}{cast2_kapitola1}{Brouwerova věta o pevném bodě}<br />
\wikichapter{2_2}{cast2_kapitola2}{Pravděpodobnostní důkazy v teorii grafů}<br />
\wikichapter{2_3}{cast2_kapitola3}{Extremální teorie grafů}<br />
\wikichapter{2_4}{cast2_kapitola4}{Ramseyovská čísla}<br />
<br />
\wikichapter{3_1}{cast3_kapitola1}{Obyčejné mocninné řady}<br />
\wikichapter{3_2}{cast3_kapitola2}{Exponenciální generující funkce}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_13&diff=4522
01ZTGA:Kapitola1 13
2012-01-15T12:57:44Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Vlastní čísla adjacenční matice grafu}<br />
<br />
V této poslední části první kapitoly shrneme některé vlastnosti adjacenční<br />
matice grafu. Budeme zde používat poznatků z předmětu Teorie matic<br />
(TEMA), který je ve studijním plánu zařazen do zimního semestru třetího<br />
ročníku a je povinný pro zaměření \emph{Matematické modelování} a<br />
\emph{Softwarové inženýrství}. Tyto poznatky nebudeme dokazovat, uvedeme<br />
je však ve formě poznámek a neočíslovaných definic. Rovněž pro úplnost<br />
stručně zopakujeme definici \ref{def:adjacencni-matice} a větu \ref{thm:adjac-matice-pocet-sledu}.<br />
<br />
\begin{defn*}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf, $n=\# V$. \textbf{Adjacenční maticí} grafu $G$<br />
rozumíme matici $\vec{A}_{G}\in\{0,1\}^{n,n}$, pro jejíž prvky platí\[<br />
\left(\vec{A}_{G}\right)_{ij}=\begin{cases}<br />
1 & \textrm{pro }\{ v_{i},v_{j}\}\in E\\<br />
0 & \textrm{jinak}\end{cases}\]<br />
<br />
\end{defn*}<br />
\begin{rem}<br />
Adjacenční matice má následující vlastnosti:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\vec{A}$ je reálná, nezáporná, symetrická. Ze symetrie plyne, že<br />
má reálné spektrum, a podle Schurovy věty pro normální matice (viz<br />
\cite{PNLA}) je unitárně diagonalizovatelná, tj. existuje unitární<br />
matice $\vec{P}$ ($\vec{P}\vec{P}^{\T}=\vec{I}$, neboli $\vec{P}^{\T}=\vec{P}^{-1}$)<br />
tak, že\[<br />
\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}\vec{P}=\vec{\Lambda}=\diag(\lambda_{1},...,\lambda_{n}).\]<br />
Protože $\vec{A}_{G}$ je reálná, jsou matice $\vec{P},\vec{\Lambda}$<br />
(konstruované v důkazu Schurovy věty) také reálné a tedy $\vec{P}$<br />
je ortogonální. Její sloupce i řádky tvoří ortonormální (ON) bázi<br />
prostoru $\R^{n}$. Z toho, že $\vec{\Lambda}$ je reálná, je vidět<br />
i $\sigma(\vec{A})\subset\R$, i když reálnost vlastních čísel symetrické<br />
matice je možné dokázat snadno i bez Schurovy věty.<br />
\item Protože spektrum matice ani stopa se podobnostními transformacemi<br />
nemění, platí $\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$ , kde $\lambda_{i}$<br />
jsou všechna vlastní čísla matice $\vec{A}_{G}$. Protože ovšem $\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\vec{A}_{ii}=0\right)$,<br />
tak $0=\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$.<br />
\item Nechť $k\in\hat{n}$. Potom prvek $\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}$<br />
je roven počtu sledů délky $k$ z vrcholu $v_{i}$ do vrcholu $v_{j}$.<br />
(věta \ref{thm:adjac-matice-pocet-sledu})<br />
\item Uvědomíme-li si, jakým způsobem vzniká $(i,j)$-tý prvek matice $\vec{A}_{G}\vec{A}_{G}=\vec{A}_{G}^{2}$,<br />
tak ze symetrie $\vec{A}_{G}$ plyne $\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)_{ii}=d_{G}(v_{i})$.<br />
Lze uvažovat i podle předchozího bodu, že totiž $\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)_{ii}$<br />
je počet sledů délky $2$ z $v_{i}$ do $v_{i}$, a to je zřejmě právě<br />
$d_{G}(v_{i})$.<br />
\item Protože\[<br />
\Tr\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)=\Tr\left(\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}^{2}\vec{P}\right)=\Tr\left(\underbrace{\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}\vec{P}}_{\vec{\Lambda}}\underbrace{\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}\vec{P}}_{\vec{\Lambda}}\right)=\Tr\vec{\Lambda}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2},\]<br />
tak z předchozího bodu máme\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2}=\Tr\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i})=2\# E.\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem}<br />
\begin{notation*}<br />
Vlastní čísla matice $\vec{A}_{G}$ označme tak, aby byla uspořádána<br />
podle velikosti. Největší vlastní číslo označíme $\Lambda$:\[<br />
\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq...\leq\lambda_{n}=\Lambda.\]<br />
Ze Schurovy věty plyne, že pořadí diagonálních prvků matice $\vec{\Lambda}=\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}\vec{P}$<br />
je možné volit libovolně, proto BÚNO můžeme uvažovat \[<br />
\vec{\Lambda}=\left(\begin{array}{cccc}<br />
\lambda_{1}\\<br />
& \ddots\\<br />
& & \lambda_{n-1}\\<br />
& & & \Lambda\end{array}\right).\]<br />
<br />
\end{notation*}<br />
\begin{rem*}<br />
Spektrální normou matice $\vec{A}$ nazýváme číslo\[<br />
\left\Vert \vec{A}\right\Vert =\max_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert =1}\vec{x}^{\T}\vec{A}\vec{x}.\]<br />
Její název pochází z platnosti vztahu\[<br />
\left\Vert \vec{A}_{G}\right\Vert =\rho(\vec{A}),\]<br />
kde $\rho(\vec{A)}$ je spektrální poloměr matice $\vec{A}$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
(pro symetrickou nezápornou matici $\vec{A}_{G}$). Platí<br />
<br />
$\vec{x}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{x}=\underbrace{\vec{x}^{\T}\vec{P}}_{\vec{y}^{\T}}\underbrace{\vec{P}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{P}}_{\vec{\Lambda}}\underbrace{\vec{P}^{\T}\vec{x}}_{\vec{y}}$.<br />
Protože $\vec{P}$ je ON, má $\vec{y}=\vec{P}^{\T}\vec{x}$ také normu<br />
$1$. Proto\[<br />
\max_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert =1}\vec{x}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{x}=\max_{\left\Vert \vec{y}\right\Vert =1}\vec{y}^{\T}\vec{\Lambda}\vec{y}=\max_{\left\Vert \vec{y}\right\Vert =1}\left(y_{1},...,y_{n}\right)\left(\begin{array}{ccc}<br />
\lambda_{1}\\<br />
& \ddots\\<br />
& & \lambda_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
y_{1}\\<br />
\vdots\\<br />
y_{n}\end{array}\right)=\]<br />
\[<br />
=\max_{\left\Vert \vec{y}\right\Vert =1}\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}\leq\sum_{i=1}^{n}\Lambda y_{i}^{2}=\Lambda\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}=\Lambda.\]<br />
Ukázali jsme tedy\[<br />
\max_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert =1}\vec{x}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{x}\leq\Lambda.\]<br />
Pokud ovšem zvolíme\[<br />
\vec{y}={\scriptstyle \left(\begin{array}{c}<br />
0\\<br />
0\\<br />
\vdots\\<br />
0\\<br />
1\end{array}\right)},\]<br />
tj. jednička bude na posledním řádku odpovídajícím pozici vlastního<br />
čísla $\Lambda$, tak\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}=\Lambda,\]<br />
a tedy platí\[<br />
\left\Vert \vec{A}\right\Vert =\max_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert =1}\vec{x}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{x}=\Lambda=\rho(\vec{A}_{G}).\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:bipart-adjac-sym}Je-li graf $G$ bipartitní, je spektrum<br />
jeho adjacenční matice symetrické kolem počátku na reálné ose.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Adjacenční matice bipartitního grafu má při vhodném uspořádání vrcholů<br />
tvar\[<br />
\vec{A}_{G}=\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{0} & \vec{B}\\<br />
\vec{B}^{\T} & \vec{0}\end{array}\right).\]<br />
Nechť nyní $\lambda\in\sigma(\vec{A}_{G})$. Potom $\vec{A}_{G}\vec{x}=\lambda\vec{x}$<br />
pro nějaké $\vec{x}\neq\vec{0}$. Blokově\[<br />
\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{0} & \vec{B}\\<br />
\vec{B}^{\T} & \vec{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
\vec{z}\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
\vec{z}\end{array}\right),\]<br />
kde\[<br />
\vec{x}=\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
\vec{z}\end{array}\right).\]<br />
Porovnáme-li jednotlivé bloky, dostaneme rovnosti\begin{eqnarray*}<br />
\vec{B}\vec{z} & = & \lambda\vec{y},\\<br />
\vec{B}^{\T}\vec{y} & = & \lambda\vec{z}.\end{eqnarray*}<br />
Nyní místo vektoru $\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
\vec{z}\end{array}\right)$ vezmeme vektor $\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
-\vec{z}\end{array}\right).$ Pro něj platí\[<br />
\vec{A}_{G}\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
-\vec{z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
-\vec{B}\vec{z}\\<br />
\vec{B}^{\T}\vec{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
-\lambda\vec{y}\\<br />
\lambda\vec{z}\end{array}\right)=-\lambda\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
-\vec{z}\end{array}\right).\]<br />
To ale znamená, že $-\lambda\in\sigma(\vec{A}_{G})$ a k němu příslušný<br />
vlastní vektor je $\left(\begin{array}{c}<br />
\vec{y}\\<br />
-\vec{z}\end{array}\right)\neq\vec{0}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Otázkou je, zda jsme mohli BÚNO předpokládat, že matice $\vec{A}_{G}$<br />
má již vhodný blokový tvar, tj. zda při jiném uspořádání vrcholů se<br />
nezmění spektrum adjacenční matice grafu. Abychom dokázali odpovědět,<br />
nejdříve si uvědomme, že permutaci vrcholů grafu $G$ odpovídá současná<br />
permutace řádků i sloupců jeho adjacenční matice. Tato dvojitá permutace<br />
lze však vyjádřit součinem\[<br />
\vec{A}'_{G}=\vec{P}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{P},\]<br />
kde $\vec{P}$ je tzv. permutační matice.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn*}<br />
\textbf{Permutační matice} je regulární matice $\vec{P}\in\{0,1\}^{n,n}$<br />
taková, že obsahuje právě $n$ jedniček, tj. vznikne permutací řádků<br />
nebo sloupců jednotkové matice.<br />
\end{defn*}<br />
\begin{rem*}<br />
Je snadno vidět, že každý sloupec $\vec{P}$ má normu $1$ a každé<br />
dva různé sloupce jsou navzájem kolmé. Proto platí\[<br />
\vec{P}^{\T}\vec{P}=\vec{I},\]<br />
neboli $\vec{P}^{\T}=\vec{P}^{-1}$, takže $\vec{P}$ je ortogonální.<br />
Tím pádem ovšem $\vec{A}'_{G}=\vec{P}^{\T}\vec{A}_{G}\vec{P}=\vec{P}^{-1}\vec{A}_{G}\vec{P}$,<br />
což znamená, že adjacenční matice $G$, kterou po zpermutování vrcholů<br />
označujeme $\vec{A}'_{G}$, je podobná původní matici $\vec{A}_{G}$.<br />
Proto má stejné spektrum.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn*}<br />
Řekneme, že matice $\vec{A}\in\C^{n,n}$ je \textbf{rozložitelná},<br />
právě když existuje permutační matice $\vec{P}$ tak, že \[<br />
\vec{P}^{\T}\vec{A}\vec{P}=\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{B}_{11} & \vec{B}_{12}\\<br />
\vec{0} & \vec{B}_{22}\end{array}\right),\]<br />
kde $\vec{B}_{11},\vec{B}_{22}$ jsou čtvercové bloky řádu nejméně<br />
$1$. V opačném případě se $\vec{A}$ nazývá \textbf{nerozložitelnou}<br />
maticí.<br />
\end{defn*}<br />
\begin{thm*}<br />
Adjacenční matice grafu $G$ je nerozložitelná právě tehdy, když $G$<br />
je souvislý.<br />
\end{thm*}<br />
<br />
<br />
\begin{thm*}<br />
Buď $\vec{A}$ nezáporná nerozložitelná matice řádu $n\geq2$. Potom<br />
$\rho(\vec{A})\in\sigma(\vec{A})$ \emph{(to je (mimo jiné) obsahem<br />
Perron-Frobeniovy věty)}. Jestliže navíc existuje $\alpha\in\C,\left|\alpha\right|=1,\alpha\neq1$<br />
takové, že i $\alpha\rho(\vec{A)}\in\sigma(\vec{A})$, potom existuje<br />
diagonální matice $\vec{D}=\diag(\delta_{1},...,\delta_{n})$, $\left|\delta_{i}\right|=1$<br />
$\forall i\in\hat{n}$, taková, že\[<br />
\vec{A}\vec{D}=\alpha\vec{D}\vec{A}.\]<br />
<br />
\end{thm*}<br />
\begin{thm}<br />
Graf $G$ je bipartitní, právě když je spektrum jeho adjacenční matice<br />
symetrické kolem počátku na reálné ose.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Jeden směr ekvivalence již obsahuje věta \ref{thm:bipart-adjac-sym}.<br />
Zbývá dokázat implikaci $\boxed{{\Leftarrow:}}$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $G$ je souvislý, tj. $\vec{A}_{G}=\left(a_{ij}\right)$ je<br />
nerozložitelná. Potom lze použít předchozí větu. Z předpokladu symetrie<br />
$\sigma(\vec{A)}$ platí, že existuje matice $\vec{D}=\diag(\delta_{1},...,\delta_{n})$<br />
taková, že\begin{equation}<br />
\vec{A}\vec{D}=\vec{D}\vec{A}.\label{eq:ad-da}\end{equation}<br />
Protože potom samozřejmě i $\vec{A}\gamma\vec{D}=\gamma\vec{D}\vec{A}$<br />
pro každé $\gamma\neq0$, lze BÚNO předpokládat $\delta_{1}=1$. Pokud<br />
nyní porovnáme prvky v (\ref{eq:ad-da}) na $(i,j)$-tém místě takovém,<br />
že $\{ i,j\}\in E$, tj. $a_{ij}=1$, dostaneme\[<br />
a_{ij}\delta_{j}=-\delta_{i}a_{ij},\]<br />
takže $\delta_{j}=-\delta_{i}$. Protože $G$ je souvislý, lze se<br />
z každého vrcholu dostat do každého, a tak postupnou aplikací právě<br />
odvozeného pravidla (s uvážením $\delta_{1}=1$) dostaneme\[<br />
\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\delta_{i}=\pm1\right).\]<br />
Nyní provedeme rozklad množiny vrcholů:\begin{eqnarray*}<br />
V_{1} & = & \left\{ \left.i\right|\delta_{i}=+1\right\} ,\\<br />
V_{2} & = & \left\{ \left.i\right|\delta_{i}=-1\right\} .\end{eqnarray*}<br />
Je zřejmé, že $V_{1}$ ani $V_{2}$ nejsou prázdné a že uvnitř $V_{1}$ani<br />
$V_{2}$ nevede hrana, protože\[<br />
\left(\forall i,j\in\hat{n}\right)\left(\{ i,j\}\in E\Rightarrow\delta_{j}=-\delta_{i}\right).\]<br />
<br />
\item Nechť $G$ není souvislý, tj. $G=G_{1}\cup...\cup G_{l}$, kde $G_{i}$<br />
($i\in\hat{l}$) jsou jednotlivé komponenty grafu. Potom jeho vrcholy<br />
očíslujeme tak, že vrcholy z jedné komponenty jsou bezprostředně za<br />
sebou. $\vec{A}_{G}$ bude mít tvar\[<br />
\vec{A}_{G}=\left(\begin{array}{cccc}<br />
\vec{A}_{G_{1}} & & & \vec{0}\\<br />
& \vec{A}_{G_{2}}\\<br />
& & \ddots\\<br />
\vec{0} & & & \vec{A}_{G_{l}}\end{array}\right).\]<br />
Nechť $-\Lambda\in\sigma\left(\vec{A}_{G_{i}}\right)$. Potom protože<br />
$G_{i}$ je komponenta, tak $\vec{A}_{G_{i}}$ je nerozložitelná a<br />
z Perron-Frobeniovy věty také $\Lambda\in\sigma\left(\vec{A}_{G_{i}}\right)$.<br />
Podle prvního bodu je tedy $G_{i}$ bipartitní graf, a podle druhé<br />
implikace věty je \emph{celé} spektrum $\vec{A}_{G_{i}}$ symetrické.<br />
Komponentu $G_{i}$ můžeme tedy z $G$ odstranit a adjacenční matice<br />
výsledného grafu bude mít stále symetrické spektrum. Tak postupně<br />
dokážeme, že všechny komponenty jsou bipartitní grafy. Tím pádem je<br />
i $G$ bipartitní, stačí totiž definovat\[<br />
V_{1}=\bigcup_{i=1}^{l}V_{1}^{i}\;,\; V_{2}=\bigcup_{i=1}^{l}V_{2}^{i}.\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm*}<br />
Nechť $\vec{A}\geq0$. Potom $\rho(\vec{A})$ je vlastní číslo $\vec{A}$<br />
a vlastní vektor k němu lze volit nezáporný.<br />
\end{thm*}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G$ je graf, $\vec{A}_{G}$ jeho adjacenční matice, $\Lambda=\max\sigma(\vec{A}_{G})$.<br />
Potom platí\[<br />
\delta(G)\leq\Lambda\leq\Delta(G).\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $\vec{x}$ je nezáporný vlastní vektor matice $\vec{A}_{G}$<br />
příslušný k vlastnímu číslu $\Lambda$. Zvolme jej tak, aby $\max_{i\in\hat{n}}x_{i}=1$<br />
a označme $k=\arg\max_{i\in\hat{n}}x_{i}$. Potom (když $k$ jako<br />
index dole udává $k$-tou složku)\begin{equation}<br />
\Lambda=\left(\Lambda\vec{x}\right)_{k}=\left(\vec{A}_{G}\vec{x}\right)_{k}\leq\left(\vec{A}_{G}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right)\right)_{k}=\left(\begin{array}{c}<br />
d_{G}(v_{1})\\<br />
\vdots\\<br />
d_{G}(v_{n})\end{array}\right)_{k}\leq\Delta(G).\label{eq:lambda-leq-deltaG}\end{equation}<br />
<br />
<br />
Pro důkaz druhé nerovnosti lze použít vlastnosti spektrální normy<br />
matice:\[<br />
\Lambda=\max_{\left\Vert \vec{x}\right\Vert =1}\vec{x}^{\T}\vec{A}\vec{x}\geq\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}}(1,...,1)}_{\vec{x}_{0}^{\T}}\vec{A}_{G}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right)}_{\vec{x}_{0}}=\frac{1}{n}(1,...,1)\left(\begin{array}{c}<br />
d_{G}(v_{1})\\<br />
\vdots\\<br />
d_{G}(v_{n})\end{array}\right)=\]<br />
\[<br />
=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i})\geq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta(G)=\delta(G).\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Kdy platí $\Lambda=\Delta(G)$? V (\ref{eq:lambda-leq-deltaG}) jsou<br />
celkem dvě nerovnosti, v obou musí platit rovnost. Co se týká pravé<br />
nerovnosti, musí $d_{G}(v_{k})=\Delta(G)$. Rovnost v levé nerovnosti,<br />
tj.\[<br />
\left(\vec{A}_{G}\vec{x}\right)_{k}\leq\left(\vec{A}_{G}\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right)\right)_{k},\]<br />
znamená\[<br />
(a_{k1},...,a_{kn})\left(\begin{array}{c}<br />
x_{1}\\<br />
\vdots\\<br />
x_{n}\end{array}\right)=(a_{k1},...,a_{kn})\left(\begin{array}{c}<br />
1\\<br />
\vdots\\<br />
1\end{array}\right).\]<br />
Víme, že $x_{k}=1$. Uvedená nerovnost vynucuje, aby $x_{j}=1$ pro<br />
každé $i$ takové, že $a_{ki}=1$. Potom lze ale (\ref{eq:lambda-leq-deltaG})<br />
napsat i pro $k=i$, opět musí platit v obou nerovnostech rovnost,<br />
a z té pravé plyne $d_{G}(v_{i})=\Delta(G)$. Jinými slovy, vrchol<br />
$k$ i všichni jeho sousedi $v_{i}$ musí mít stupeň roven $\Delta(G)$,<br />
přičemž $x_{k}=1$, $x_{i}=1$ pro každé $i\in\left\{ \left.j\in\hat{n}\right|v_{j}\in N(v_{k})\right\} $.<br />
Úvahu lze tedy zopakovat pro všechny sousedy vrcholu $v_{k}$, takže<br />
i všichni sousedi všech sousedů $v_{k}$ musí mít stupeň $\Delta(G)$<br />
atd.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{cor}<br />
Je-li $G$ souvislý graf, tak platí\[<br />
\left(\Lambda=\Delta(G)\right)\Leftrightarrow\left(\delta(G)=\Lambda=\Delta(G)\right).\]<br />
<br />
\end{cor}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_12&diff=4521
01ZTGA:Kapitola1 12
2012-01-15T12:56:50Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Planární grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Graf $G$ nazveme \textbf{planárním} (rovinným) \textbf{grafem} (angl.<br />
\emph{planar graph}), jestliže jej lze namalovat do roviny tak, že<br />
se žádné dvě jeho hrany nekříží jinde než ve svých koncových vrcholech.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Uvedená definice je pouze intuitivní. Korektní definice by byla zbytečně<br />
komplikovaná, neboť by vybočovala ze záměru přednášky, která je orientována<br />
na kombinatorickou stránku teorie grafů. Pro představu se o takovou<br />
definici \emph{pokusíme}:<br />
<br />
Nechť $\mathcal{C}$ je množina všech jednoduchých spojitých křivek<br />
v $\R^{2}$. Graf (bez násobných hran) $G$ se nazývá \textbf{planární}<br />
právě tehdy, existuje-li prosté zobrazení $\varphi:V\cup\{\emptyset\}\mapsto\R^{2}\cup\{\emptyset\}$<br />
a zobrazení $\psi:E\mapsto\mathcal{C}$, takové že<br />
<br />
\[<br />
\varphi(\emptyset)=\emptyset,\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\left(\forall e\in E,e=\{ u_{1},u_{2}\}\right)\left(\psi(e)_{orig}=\varphi(u_{1})\,\wedge\,\psi(e)_{term}=\varphi(u_{2})\right),\]<br />
\[<br />
\left(\forall e,f\in E,e=\{ u_{1},u_{2}\},f=\{ v_{1},v_{2}\}\right)\left(\psi(e)\cap\psi(f)=\varphi(e\cap f)\right),\]<br />
<br />
<br />
kde $\psi_{orig}$ je počáteční bod (angl. \emph{origin}) křivky $\psi$<br />
a $\psi_{term}$ je koncový bod (angl. \emph{terminus}) křivky $\psi$.<br />
<br />
Pro studium vlastností planárních grafů je potřeba rozumět topologii<br />
roviny, tj. lineárního prostoru $\R^{2}$. Zde se omezíme na intuitivní<br />
chápání používaných pojmů.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
\textbf{Jordanovou křivkou} rozumíme jednoduchou uzavřenou spojitou<br />
křivku $\varphi$. Její \textbf{vnitřek} označujeme $\mathrm{int}\,\varphi$,<br />
její \textbf{vnějšek} $\mathrm{ext}\,\varphi$. \textbf{Jordanova<br />
věta} říká, že každá spojitá křivka $\psi$ s počátkem v bodě $x\in\mathrm{int}\,\varphi$<br />
a koncem v bodě $y\in\mathrm{ext}\,\varphi$ protíná křivku $\varphi$,<br />
tj $\varphi\cap\psi\neq\emptyset$. Tato skutečnost je téměř samozřejmá,<br />
její formální důkaz je však obtížný.<br />
\end{rem}<br />
\begin{example*}<br />
$K_{4}$ je planární graf. To je vidět na obrázku \ref{cap:planarni-K4}.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: planarK4.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:20:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.547 26.551<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.547 25.599<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.500 26.075<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.595 26.075 1.547 26.551 /<br />
\plot 1.547 26.551 2.500 26.075 /<br />
\plot 2.500 26.075 1.547 25.599 /<br />
\plot 1.547 25.599 0.595 26.075 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.595 26.075 to 2.500 26.075<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.547 26.551 to 1.552 26.551<br />
\plot 1.552 26.551 1.560 26.549 /<br />
\plot 1.560 26.549 1.577 26.547 /<br />
\plot 1.577 26.547 1.604 26.545 /<br />
\plot 1.604 26.545 1.640 26.539 /<br />
\plot 1.640 26.539 1.689 26.532 /<br />
\plot 1.689 26.532 1.748 26.526 /<br />
\plot 1.748 26.526 1.816 26.515 /<br />
\plot 1.816 26.515 1.897 26.505 /<br />
\plot 1.897 26.505 1.983 26.492 /<br />
\plot 1.983 26.492 2.076 26.480 /<br />
\plot 2.076 26.480 2.176 26.465 /<br />
\plot 2.176 26.465 2.278 26.450 /<br />
\plot 2.278 26.450 2.381 26.433 /<br />
\plot 2.381 26.433 2.485 26.416 /<br />
\plot 2.485 26.416 2.589 26.397 /<br />
\plot 2.589 26.397 2.690 26.378 /<br />
\plot 2.690 26.378 2.788 26.359 /<br />
\plot 2.788 26.359 2.883 26.340 /<br />
\plot 2.883 26.340 2.974 26.319 /<br />
\plot 2.974 26.319 3.059 26.295 /<br />
\plot 3.059 26.295 3.139 26.272 /<br />
\plot 3.139 26.272 3.213 26.249 /<br />
\plot 3.213 26.249 3.279 26.223 /<br />
\plot 3.279 26.223 3.336 26.196 /<br />
\plot 3.336 26.196 3.385 26.168 /<br />
\plot 3.385 26.168 3.421 26.139 /<br />
\plot 3.421 26.139 3.444 26.107 /<br />
\plot 3.444 26.107 3.452 26.075 /<br />
\plot 3.452 26.075 3.444 26.043 /<br />
\plot 3.444 26.043 3.421 26.012 /<br />
\plot 3.421 26.012 3.385 25.982 /<br />
\plot 3.385 25.982 3.336 25.955 /<br />
\plot 3.336 25.955 3.279 25.927 /<br />
\plot 3.279 25.927 3.213 25.902 /<br />
\plot 3.213 25.902 3.139 25.878 /<br />
\plot 3.139 25.878 3.059 25.855 /<br />
\plot 3.059 25.855 2.974 25.832 /<br />
\plot 2.974 25.832 2.883 25.811 /<br />
\plot 2.883 25.811 2.788 25.792 /<br />
\plot 2.788 25.792 2.690 25.773 /<br />
\plot 2.690 25.773 2.589 25.753 /<br />
\plot 2.589 25.753 2.485 25.734 /<br />
\plot 2.485 25.734 2.381 25.718 /<br />
\plot 2.381 25.718 2.278 25.701 /<br />
\plot 2.278 25.701 2.176 25.686 /<br />
\plot 2.176 25.686 2.076 25.671 /<br />
\plot 2.076 25.671 1.983 25.658 /<br />
\plot 1.983 25.658 1.897 25.646 /<br />
\plot 1.897 25.646 1.816 25.635 /<br />
\plot 1.816 25.635 1.748 25.624 /<br />
\plot 1.748 25.624 1.689 25.618 /<br />
\plot 1.689 25.618 1.640 25.612 /<br />
\plot 1.640 25.612 1.604 25.605 /<br />
\plot 1.604 25.605 1.577 25.603 /<br />
\plot 1.577 25.603 1.560 25.601 /<br />
\plot 1.560 25.601 1.552 25.599 /<br />
\putrule from 1.552 25.599 to 1.547 25.599<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.595 26.075<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.459 26.685 and 3.499 25.466<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:planarni-K4}$K_{4}$ nakreslený do roviny}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
<br />
<br />
\begin{example*}<br />
$K_{5}$ není planární.<br />
\end{example*}<br />
\begin{proof}<br />
Vezměme vrcholy $v_{1},v_{2},v_{3}$ a spojme je hranami, jako na<br />
obrázku \ref{cap:neplanarni-K5}. Tyto hrany vytvoří Jordanovu křivku<br />
$\varphi$. Aby bylo možné spojit i vrcholy $v_{4}$ a $v_{5}$, nemůže<br />
podle Jordanovy věty ležet $v_{4}\in\mathrm{int}\,\varphi$ a $v_{5}\in\mathrm{ext}\,\varphi$<br />
nebo naopak. Nechť jsou tedy $v_{4},v_{5}\in\mathrm{ext}\,\varphi$.<br />
Spojíme $v_{4}$ s $v_{1},v_{2},v_{3}$, čímž se (podle obrázku) dostane<br />
vrchol $v_{2}$ do vnitřku křivky $\psi$ tvořené hranami mezi vrcholy<br />
$v_{1},v_{3},v_{4}$. Umístíme-li nyní vrchol $v_{5}$ do $\mathrm{ext}\,\psi$,<br />
nebude možné jej spojit s $v_{2}$. Umístíme-li jej někam do $\mathrm{int}\,\psi$,<br />
nebude možné jej spojit s jedním z vrcholů $v_{1},v_{3},v_{4}$. Pokud<br />
bychom předpokládali $v_{4},v_{5}\in\mathrm{int}\,\varphi$, byl by<br />
další postup podobný. %<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: planar_neni_K5.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:44:40 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.523 25.243<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.618 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.618 25.720<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.190 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 25.241 1.187 25.243 /<br />
\plot 1.187 25.243 1.183 25.250 /<br />
\plot 1.183 25.250 1.177 25.262 /<br />
\plot 1.177 25.262 1.166 25.279 /<br />
\plot 1.166 25.279 1.151 25.303 /<br />
\plot 1.151 25.303 1.135 25.334 /<br />
\plot 1.135 25.334 1.111 25.375 /<br />
\plot 1.111 25.375 1.088 25.419 /<br />
\plot 1.088 25.419 1.060 25.470 /<br />
\plot 1.060 25.470 1.031 25.527 /<br />
\plot 1.031 25.527 1.001 25.586 /<br />
\plot 1.001 25.586 0.972 25.650 /<br />
\plot 0.972 25.650 0.944 25.713 /<br />
\plot 0.944 25.713 0.919 25.781 /<br />
\plot 0.919 25.781 0.895 25.847 /<br />
\plot 0.895 25.847 0.876 25.914 /<br />
\plot 0.876 25.914 0.861 25.980 /<br />
\plot 0.861 25.980 0.853 26.046 /<br />
\plot 0.853 26.046 0.851 26.109 /<br />
\plot 0.851 26.109 0.855 26.173 /<br />
\plot 0.855 26.173 0.870 26.234 /<br />
\plot 0.870 26.234 0.891 26.295 /<br />
\plot 0.891 26.295 0.925 26.352 /<br />
\plot 0.925 26.352 0.972 26.410 /<br />
\plot 0.972 26.410 1.031 26.463 /<br />
\plot 1.031 26.463 1.103 26.509 /<br />
\plot 1.103 26.509 1.190 26.551 /<br />
\plot 1.190 26.551 1.270 26.581 /<br />
\plot 1.270 26.581 1.357 26.604 /<br />
\plot 1.357 26.604 1.448 26.623 /<br />
\plot 1.448 26.623 1.539 26.638 /<br />
\plot 1.539 26.638 1.628 26.649 /<br />
\plot 1.628 26.649 1.715 26.657 /<br />
\plot 1.715 26.657 1.799 26.664 /<br />
\plot 1.799 26.664 1.880 26.666 /<br />
\putrule from 1.880 26.666 to 1.954 26.666<br />
\putrule from 1.954 26.666 to 2.026 26.666<br />
\plot 2.026 26.666 2.093 26.664 /<br />
\plot 2.093 26.664 2.157 26.659 /<br />
\plot 2.157 26.659 2.218 26.655 /<br />
\plot 2.218 26.655 2.275 26.651 /<br />
\plot 2.275 26.651 2.330 26.645 /<br />
\plot 2.330 26.645 2.385 26.638 /<br />
\plot 2.385 26.638 2.441 26.632 /<br />
\plot 2.441 26.632 2.496 26.623 /<br />
\plot 2.496 26.623 2.551 26.615 /<br />
\plot 2.551 26.615 2.608 26.607 /<br />
\plot 2.608 26.607 2.667 26.596 /<br />
\plot 2.667 26.596 2.728 26.585 /<br />
\plot 2.728 26.585 2.796 26.575 /<br />
\plot 2.796 26.575 2.866 26.562 /<br />
\plot 2.866 26.562 2.942 26.547 /<br />
\plot 2.942 26.547 3.023 26.530 /<br />
\plot 3.023 26.530 3.107 26.513 /<br />
\plot 3.107 26.513 3.200 26.492 /<br />
\plot 3.200 26.492 3.296 26.469 /<br />
\plot 3.296 26.469 3.397 26.444 /<br />
\plot 3.397 26.444 3.501 26.416 /<br />
\plot 3.501 26.416 3.605 26.386 /<br />
\plot 3.605 26.386 3.708 26.352 /<br />
\plot 3.708 26.352 3.810 26.314 /<br />
\plot 3.810 26.314 3.924 26.266 /<br />
\plot 3.924 26.266 4.026 26.215 /<br />
\plot 4.026 26.215 4.117 26.162 /<br />
\plot 4.117 26.162 4.195 26.109 /<br />
\plot 4.195 26.109 4.261 26.056 /<br />
\plot 4.261 26.056 4.318 26.001 /<br />
\plot 4.318 26.001 4.367 25.948 /<br />
\plot 4.367 25.948 4.407 25.897 /<br />
\plot 4.407 25.897 4.439 25.845 /<br />
\plot 4.439 25.845 4.466 25.792 /<br />
\plot 4.466 25.792 4.485 25.741 /<br />
\plot 4.485 25.741 4.502 25.688 /<br />
\plot 4.502 25.688 4.515 25.637 /<br />
\plot 4.515 25.637 4.523 25.588 /<br />
\plot 4.523 25.588 4.530 25.540 /<br />
\plot 4.530 25.540 4.534 25.493 /<br />
\plot 4.534 25.493 4.536 25.449 /<br />
\putrule from 4.536 25.449 to 4.536 25.406<br />
\plot 4.536 25.406 4.534 25.370 /<br />
\plot 4.534 25.370 4.532 25.337 /<br />
\plot 4.532 25.337 4.530 25.309 /<br />
\putrule from 4.530 25.309 to 4.530 25.286<br />
\plot 4.530 25.286 4.528 25.269 /<br />
\plot 4.528 25.269 4.525 25.256 /<br />
\plot 4.525 25.256 4.523 25.248 /<br />
\putrule from 4.523 25.248 to 4.523 25.243<br />
\putrule from 4.523 25.243 to 4.523 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.523 25.241 2.618 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.523 25.241 2.618 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.618 24.289 2.612 24.285 /<br />
\plot 2.612 24.285 2.601 24.276 /<br />
\plot 2.601 24.276 2.580 24.261 /<br />
\plot 2.580 24.261 2.551 24.240 /<br />
\plot 2.551 24.240 2.512 24.213 /<br />
\plot 2.512 24.213 2.468 24.181 /<br />
\plot 2.468 24.181 2.417 24.147 /<br />
\plot 2.417 24.147 2.362 24.111 /<br />
\plot 2.362 24.111 2.305 24.075 /<br />
\plot 2.305 24.075 2.250 24.041 /<br />
\plot 2.250 24.041 2.195 24.009 /<br />
\plot 2.195 24.009 2.140 23.982 /<br />
\plot 2.140 23.982 2.087 23.956 /<br />
\plot 2.087 23.956 2.036 23.940 /<br />
\plot 2.036 23.940 1.988 23.929 /<br />
\plot 1.988 23.929 1.943 23.925 /<br />
\plot 1.943 23.925 1.905 23.933 /<br />
\plot 1.905 23.933 1.875 23.954 /<br />
\plot 1.875 23.954 1.858 23.986 /<br />
\plot 1.858 23.986 1.854 24.022 /<br />
\plot 1.854 24.022 1.861 24.060 /<br />
\plot 1.861 24.060 1.873 24.098 /<br />
\plot 1.873 24.098 1.894 24.136 /<br />
\plot 1.894 24.136 1.918 24.174 /<br />
\plot 1.918 24.174 1.945 24.210 /<br />
\plot 1.945 24.210 1.971 24.249 /<br />
\plot 1.971 24.249 1.996 24.287 /<br />
\plot 1.996 24.287 2.017 24.327 /<br />
\plot 2.017 24.327 2.034 24.367 /<br />
\plot 2.034 24.367 2.047 24.409 /<br />
\plot 2.047 24.409 2.049 24.454 /<br />
\plot 2.049 24.454 2.040 24.494 /<br />
\plot 2.040 24.494 2.024 24.528 /<br />
\plot 2.024 24.528 1.994 24.553 /<br />
\plot 1.994 24.553 1.958 24.566 /<br />
\plot 1.958 24.566 1.920 24.562 /<br />
\plot 1.920 24.562 1.884 24.547 /<br />
\plot 1.884 24.547 1.850 24.526 /<br />
\plot 1.850 24.526 1.816 24.498 /<br />
\plot 1.816 24.498 1.784 24.469 /<br />
\plot 1.784 24.469 1.755 24.439 /<br />
\plot 1.755 24.439 1.721 24.412 /<br />
\plot 1.721 24.412 1.687 24.390 /<br />
\plot 1.687 24.390 1.651 24.376 /<br />
\plot 1.651 24.376 1.613 24.371 /<br />
\plot 1.613 24.371 1.577 24.384 /<br />
\plot 1.577 24.384 1.547 24.409 /<br />
\plot 1.547 24.409 1.530 24.443 /<br />
\plot 1.530 24.443 1.522 24.483 /<br />
\putrule from 1.522 24.483 to 1.522 24.522<br />
\plot 1.522 24.522 1.530 24.558 /<br />
\plot 1.530 24.558 1.545 24.591 /<br />
\plot 1.545 24.591 1.564 24.623 /<br />
\plot 1.564 24.623 1.585 24.651 /<br />
\plot 1.585 24.651 1.607 24.676 /<br />
\plot 1.607 24.676 1.628 24.704 /<br />
\plot 1.628 24.704 1.649 24.733 /<br />
\plot 1.649 24.733 1.668 24.767 /<br />
\plot 1.668 24.767 1.683 24.805 /<br />
\plot 1.683 24.805 1.691 24.848 /<br />
\putrule from 1.691 24.848 to 1.691 24.896<br />
\plot 1.691 24.896 1.683 24.951 /<br />
\plot 1.683 24.951 1.666 25.004 /<br />
\plot 1.666 25.004 1.640 25.053 /<br />
\plot 1.640 25.053 1.607 25.093 /<br />
\plot 1.607 25.093 1.571 25.127 /<br />
\plot 1.571 25.127 1.532 25.154 /<br />
\plot 1.532 25.154 1.492 25.176 /<br />
\plot 1.492 25.176 1.450 25.193 /<br />
\plot 1.450 25.193 1.408 25.205 /<br />
\plot 1.408 25.205 1.365 25.216 /<br />
\plot 1.365 25.216 1.323 25.224 /<br />
\plot 1.323 25.224 1.285 25.231 /<br />
\plot 1.285 25.231 1.251 25.235 /<br />
\plot 1.251 25.235 1.223 25.237 /<br />
\plot 1.223 25.237 1.206 25.239 /<br />
\plot 1.206 25.239 1.194 25.241 /<br />
\putrule from 1.194 25.241 to 1.190 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.618 25.718 2.623 25.715 /<br />
\plot 2.623 25.715 2.629 25.709 /<br />
\plot 2.629 25.709 2.642 25.698 /<br />
\plot 2.642 25.698 2.661 25.684 /<br />
\plot 2.661 25.684 2.686 25.665 /<br />
\plot 2.686 25.665 2.716 25.639 /<br />
\plot 2.716 25.639 2.750 25.610 /<br />
\plot 2.750 25.610 2.788 25.576 /<br />
\plot 2.788 25.576 2.826 25.540 /<br />
\plot 2.826 25.540 2.866 25.499 /<br />
\plot 2.866 25.499 2.904 25.459 /<br />
\plot 2.904 25.459 2.940 25.415 /<br />
\plot 2.940 25.415 2.974 25.368 /<br />
\plot 2.974 25.368 3.006 25.317 /<br />
\plot 3.006 25.317 3.035 25.265 /<br />
\plot 3.035 25.265 3.059 25.205 /<br />
\plot 3.059 25.205 3.078 25.142 /<br />
\plot 3.078 25.142 3.090 25.074 /<br />
\plot 3.090 25.074 3.095 25.004 /<br />
\plot 3.095 25.004 3.090 24.934 /<br />
\plot 3.090 24.934 3.078 24.867 /<br />
\plot 3.078 24.867 3.059 24.803 /<br />
\plot 3.059 24.803 3.035 24.744 /<br />
\plot 3.035 24.744 3.006 24.691 /<br />
\plot 3.006 24.691 2.974 24.640 /<br />
\plot 2.974 24.640 2.940 24.594 /<br />
\plot 2.940 24.594 2.904 24.549 /<br />
\plot 2.904 24.549 2.866 24.507 /<br />
\plot 2.866 24.507 2.826 24.469 /<br />
\plot 2.826 24.469 2.788 24.431 /<br />
\plot 2.788 24.431 2.750 24.397 /<br />
\plot 2.750 24.397 2.716 24.367 /<br />
\plot 2.716 24.367 2.686 24.342 /<br />
\plot 2.686 24.342 2.661 24.323 /<br />
\plot 2.661 24.323 2.642 24.308 /<br />
\plot 2.642 24.308 2.629 24.297 /<br />
\plot 2.629 24.297 2.623 24.291 /<br />
\plot 2.623 24.291 2.618 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 25.241 1.192 25.248 /<br />
\plot 1.192 25.248 1.194 25.262 /<br />
\plot 1.194 25.262 1.198 25.288 /<br />
\plot 1.198 25.288 1.204 25.324 /<br />
\plot 1.204 25.324 1.215 25.372 /<br />
\plot 1.215 25.372 1.226 25.428 /<br />
\plot 1.226 25.428 1.240 25.489 /<br />
\plot 1.240 25.489 1.257 25.555 /<br />
\plot 1.257 25.555 1.274 25.620 /<br />
\plot 1.274 25.620 1.295 25.684 /<br />
\plot 1.295 25.684 1.319 25.743 /<br />
\plot 1.319 25.743 1.346 25.798 /<br />
\plot 1.346 25.798 1.376 25.849 /<br />
\plot 1.376 25.849 1.410 25.891 /<br />
\plot 1.410 25.891 1.450 25.925 /<br />
\plot 1.450 25.925 1.496 25.948 /<br />
\plot 1.496 25.948 1.547 25.957 /<br />
\plot 1.547 25.957 1.596 25.950 /<br />
\plot 1.596 25.950 1.643 25.931 /<br />
\plot 1.643 25.931 1.685 25.904 /<br />
\plot 1.685 25.904 1.721 25.872 /<br />
\plot 1.721 25.872 1.750 25.834 /<br />
\plot 1.750 25.834 1.776 25.794 /<br />
\plot 1.776 25.794 1.795 25.751 /<br />
\plot 1.795 25.751 1.810 25.707 /<br />
\plot 1.810 25.707 1.822 25.662 /<br />
\plot 1.822 25.662 1.835 25.618 /<br />
\plot 1.835 25.618 1.846 25.574 /<br />
\plot 1.846 25.574 1.861 25.529 /<br />
\plot 1.861 25.529 1.875 25.485 /<br />
\plot 1.875 25.485 1.897 25.442 /<br />
\plot 1.897 25.442 1.922 25.398 /<br />
\plot 1.922 25.398 1.954 25.358 /<br />
\plot 1.954 25.358 1.992 25.320 /<br />
\plot 1.992 25.320 2.038 25.286 /<br />
\plot 2.038 25.286 2.089 25.258 /<br />
\plot 2.089 25.258 2.142 25.241 /<br />
\plot 2.142 25.241 2.199 25.235 /<br />
\plot 2.199 25.235 2.254 25.241 /<br />
\plot 2.254 25.241 2.303 25.258 /<br />
\plot 2.303 25.258 2.347 25.284 /<br />
\plot 2.347 25.284 2.385 25.315 /<br />
\plot 2.385 25.315 2.421 25.353 /<br />
\plot 2.421 25.353 2.453 25.396 /<br />
\plot 2.453 25.396 2.483 25.440 /<br />
\plot 2.483 25.440 2.510 25.487 /<br />
\plot 2.510 25.487 2.536 25.533 /<br />
\plot 2.536 25.533 2.557 25.580 /<br />
\plot 2.557 25.580 2.576 25.620 /<br />
\plot 2.576 25.620 2.593 25.656 /<br />
\plot 2.593 25.656 2.603 25.684 /<br />
\plot 2.603 25.684 2.612 25.701 /<br />
\plot 2.612 25.701 2.616 25.713 /<br />
\plot 2.616 25.713 2.618 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\psi$}%<br />
} [lB] at 4.166 26.433<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\varphi$}%<br />
} [lB] at 1.071 24.052<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{4}$}%<br />
} [lB] at 4.881 25.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{3}$}%<br />
} [lB] at 2.500 23.575<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 2.500 26.196<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 0.476 25.123<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.444 26.803 and 4.913 23.376<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:neplanarni-K5}$K_{5}$ není planární}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Uvedený důkaz je velice těžkopádný. Za chvíli vyslovíme větu, která<br />
umožní dokázat stejné tvrzení mnohem snáze. Její pomocí dále dokážeme,<br />
že také úplný bipartitní graf na $3+3$ vrcholech ($K_{3,3}$) není<br />
planární.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$, $e=\{ u,v\}\in E$, . Potom definujeme \textbf{dělení<br />
hrany} $e$ jako graf\[<br />
G\% e=(V\cup\{\alpha\},E\backslash\{ u,v\}\cup\{\{ u,\alpha\},\{\alpha,v\}\}),\]<br />
kde $\alpha\notin V$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs*}<br />
$G$ je planární $\Leftrightarrow$ $G\% e$ je planární.<br />
\end{obs*}<br />
\begin{defn}<br />
Graf $H$ nazveme \textbf{dělením grafu} $G$, vznikne-li z $G$ konečným<br />
počtem opakování operace dělení hrany.<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs*}<br />
Jestliže $G$ obsahuje jako svůj podgraf dělení $K_{5}$ nebo $K_{3,3}$,<br />
tak $G$ není planární.<br />
\end{obs*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Kuratowski, 1930)}}<br />
<br />
Graf $G$ není planární právě tehdy, když obsahuje jako svůj podgraf<br />
dělení $K_{5}$ nebo $K_{3,3}$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Implikace $\boxed{{\Leftarrow:}}$ je obsažena v předchozí poznámce.<br />
Implikaci $\boxed{{\Rightarrow:}}$ dokazovat nebudeme.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
\emph{(Zajímavost)} Je otázka, jestli je každý graf $G$ planární<br />
právě tehdy, jde-li namalovat na povrch koule či do jiných ploch.<br />
<br />
Pro kouli uvedená ekvivalence platí, protože mezi rovinou a koulí<br />
(až na jeden její bod) existuje bijekce - takzvaná \emph{stereografická<br />
projekce} $\pi$, definovaná následovně. Kouli $B$ položíme na rovinu<br />
$P$. Označme jako $z$ nejvyšší bod $B$, tj. průsečík $B$ s kolmicí<br />
na $P$ vedenou bodem dotyku $B$ a $P$. Libovolný bod $x$ na $B$<br />
kromě bodu $z$ spojíme přimkou s bodem $z$. Její průsečík s rovinou<br />
$P$ pak označíme jako $\pi(x)$. $\pi$ pak představuje bijekci\[<br />
\pi:B\backslash\{ z\}\mapsto P.\]<br />
<br />
<br />
Pro jiné plochy však už ekvivalence neplatí. Například $K_{5}$ je<br />
možné namalovat na torus a $K_{3,3}$ na Möbiův list, jak je vidět<br />
na obrázku \ref{cap:K5-na-toru}. Zvláště v druhém případě je však<br />
třeba si uvědomit, že ,,namalovat na plochu{}`` znamená spíše ,,položit<br />
do plochy{}``, nikoliv namalovat na jednu stranu papíru. Pokud si<br />
vyrobíme Möbiův list z pásky papíru, jejíž jeden konec přetočíme o<br />
$180^{\circ}$ a oba konce spojíme, musíme graf nakreslit na obě strany,<br />
jako kdyby byl papír průhledný.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: K5_na_toru.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:01:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 2.618:1.784 360 degrees <br />
from 5.476 24.289 center at 2.857 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.190:0.476 360 degrees <br />
from 4.047 24.409 center at 2.857 24.409<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.174}}} at 3.334 23.575<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.178}}} at 3.512 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.178}}} at 2.796 23.158<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.178}}} at 3.988 23.425<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.178}}} at 3.452 23.218<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.784:1.130 360 degrees <br />
from 4.642 24.289 center at 2.857 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.119:0.119 360 degrees <br />
from 9.644 23.813 center at 9.525 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.119:0.119 360 degrees <br />
from 8.691 24.765 center at 8.572 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.119:0.119 360 degrees <br />
from 10.596 24.765 center at 10.478 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.796 23.158 3.334 23.575 /<br />
\plot 3.334 23.575 3.988 23.427 /<br />
\plot 3.988 23.427 3.512 22.860 /<br />
\plot 3.512 22.860 2.796 23.144 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.512 22.845 3.452 23.218 /<br />
\plot 3.452 23.218 3.334 23.561 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 23.575 3.332 23.582 /<br />
\plot 3.332 23.582 3.330 23.594 /<br />
\plot 3.330 23.594 3.323 23.616 /<br />
\plot 3.323 23.616 3.317 23.639 /<br />
\plot 3.317 23.639 3.308 23.666 /<br />
\plot 3.308 23.666 3.296 23.696 /<br />
\plot 3.296 23.696 3.283 23.728 /<br />
\plot 3.283 23.728 3.264 23.762 /<br />
\plot 3.264 23.762 3.243 23.798 /<br />
\plot 3.243 23.798 3.213 23.838 /<br />
\plot 3.213 23.838 3.186 23.868 /<br />
\plot 3.186 23.868 3.160 23.891 /<br />
\plot 3.160 23.891 3.137 23.908 /<br />
\plot 3.137 23.908 3.118 23.920 /<br />
\plot 3.118 23.920 3.103 23.929 /<br />
\plot 3.103 23.929 3.097 23.933 /<br />
\putrule from 3.097 23.933 to 3.095 23.933<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 3.512 22.860 to 3.512 22.858<br />
\plot 3.512 22.858 3.509 22.849 /<br />
\plot 3.509 22.849 3.507 22.830 /<br />
\plot 3.507 22.830 3.503 22.805 /<br />
\plot 3.503 22.805 3.495 22.775 /<br />
\plot 3.495 22.775 3.486 22.744 /<br />
\plot 3.486 22.744 3.471 22.708 /<br />
\plot 3.471 22.708 3.452 22.667 /<br />
\plot 3.452 22.667 3.429 22.631 /<br />
\plot 3.429 22.631 3.408 22.606 /<br />
\plot 3.408 22.606 3.387 22.587 /<br />
\plot 3.387 22.587 3.370 22.572 /<br />
\plot 3.370 22.572 3.353 22.559 /<br />
\plot 3.353 22.559 3.340 22.553 /<br />
\plot 3.340 22.553 3.334 22.549 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setdots < 0.1143cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.317 22.549 3.315 22.549 /<br />
\plot 3.315 22.549 3.308 22.549 /<br />
\plot 3.308 22.549 3.300 22.551 /<br />
\plot 3.300 22.551 3.285 22.553 /<br />
\plot 3.285 22.553 3.268 22.557 /<br />
\plot 3.268 22.557 3.249 22.564 /<br />
\plot 3.249 22.564 3.226 22.572 /<br />
\plot 3.226 22.572 3.203 22.583 /<br />
\plot 3.203 22.583 3.179 22.598 /<br />
\plot 3.179 22.598 3.154 22.617 /<br />
\plot 3.154 22.617 3.128 22.642 /<br />
\plot 3.128 22.642 3.101 22.674 /<br />
\plot 3.101 22.674 3.076 22.716 /<br />
\plot 3.076 22.716 3.048 22.769 /<br />
\plot 3.048 22.769 3.020 22.830 /<br />
\plot 3.020 22.830 2.999 22.892 /<br />
\plot 2.999 22.892 2.980 22.953 /<br />
\plot 2.980 22.953 2.963 23.010 /<br />
\plot 2.963 23.010 2.953 23.059 /<br />
\plot 2.953 23.059 2.942 23.103 /<br />
\plot 2.942 23.103 2.934 23.139 /<br />
\plot 2.934 23.139 2.927 23.169 /<br />
\plot 2.927 23.169 2.923 23.197 /<br />
\plot 2.923 23.197 2.919 23.222 /<br />
\plot 2.919 23.222 2.915 23.247 /<br />
\plot 2.915 23.247 2.913 23.275 /<br />
\plot 2.913 23.275 2.908 23.307 /<br />
\plot 2.908 23.307 2.906 23.343 /<br />
\plot 2.906 23.343 2.902 23.385 /<br />
\plot 2.902 23.385 2.900 23.436 /<br />
\plot 2.900 23.436 2.898 23.495 /<br />
\plot 2.898 23.495 2.900 23.556 /<br />
\plot 2.900 23.556 2.902 23.620 /<br />
\plot 2.902 23.620 2.910 23.683 /<br />
\plot 2.910 23.683 2.921 23.738 /<br />
\plot 2.921 23.738 2.936 23.783 /<br />
\plot 2.936 23.783 2.951 23.819 /<br />
\plot 2.951 23.819 2.970 23.846 /<br />
\plot 2.970 23.846 2.989 23.868 /<br />
\plot 2.989 23.868 3.008 23.887 /<br />
\plot 3.008 23.887 3.027 23.899 /<br />
\plot 3.027 23.899 3.046 23.910 /<br />
\plot 3.046 23.910 3.065 23.918 /<br />
\plot 3.065 23.918 3.080 23.925 /<br />
\plot 3.080 23.925 3.092 23.929 /<br />
\plot 3.092 23.929 3.101 23.931 /<br />
\plot 3.101 23.931 3.107 23.933 /<br />
\plot 3.107 23.933 3.109 23.933 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.144 25.241 to 11.906 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.144 23.336 to 11.906 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.572 24.646 to 8.572 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.572 23.813 to 9.404 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.644 23.813 to 10.478 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 23.813 to 10.478 24.646<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.357 24.765 to 9.525 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.525 24.765 to 8.691 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.525 24.765 to 9.525 23.933<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.596 24.765 to 11.906 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.144 23.813 to 8.572 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 7.144 24.765 to 8.452 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\putrule from 10.596 23.813 to 11.906 23.813<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.207 26.105 and 11.953 22.473<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:K5-na-toru}$K_{5}$ na toru a $K_{3,3}$ na Möbiově listu}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
\medskip{}<br />
Lze dokázat zobecnění Kuratowského věty, které zhruba tvrdí: Pro každou<br />
plochu existuje konečný počet ,,zakázaných{}`` grafů takových, že<br />
každý graf $G$ lze namalovat do této plochy bez křížení hran, právě<br />
když $G$ neobsahuje jako podgraf dělení nějakého zakázaného grafu.<br />
<br />
Naopak, pro každý graf existuje plocha, do níž je možné jej namalovat<br />
bez křížení hran.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Euler)}}<br />
<br />
Pro každý konvexní mnohostěn platí:<br />
<br />
\hfill{}(počet vrcholů) $-$ (počet hran) $+$ (počet stěn) $=2$\hfill{}~<br />
\end{thm}<br />
Známá Eulerova věta se snadno dokáže pomocí následující věty:<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:hrany-vrcholy-oblasti}Nechť $G=(V,E)$ je souvislý planární<br />
graf. Označme $\Phi(G)$ počet oblastí, na něž se rozpadne rovina<br />
po namalování grafu $G$. Potom platí\[<br />
\# V-\# E+\Phi(G)=2.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Rozmyslete si, zda je $\Phi(G)$ skutečně definováno jednoznačně,<br />
tj. že nezávisí na způsobu namalování grafu $G$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Eulerova věta je přímým důsledkem naší věty. Převod konvexního mnohostěnu<br />
na souvislý planární graf provedeme tak, že odebereme jednu jeho stěnu.<br />
Ze zbytku vnikne zdeformovaná síť mnohostěnu, kterou zobrazíme do<br />
roviny. Odebraná stěna pak představuje vnějšek grafu, jdoucí v rovině<br />
do nekonečna.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Indukcí podle $\Phi(G)$:<br />
<br />
$\Phi(G)=1$ $\Leftrightarrow$ v $G$ není kružnice $\Leftrightarrow$<br />
$G$ je strom. (Je zřejmé, že každý strom lze namalovat do roviny.)<br />
Ve stromu platí $\# E=\# V-1$, takže po dosazení vyjde $\# V-\# E+\Phi(G)=\# V-(\# V-1)+1=2$.<br />
<br />
Indukční krok: $\Phi(G)\geq2$ $\Rightarrow$ existuje hrana $e\in E$,<br />
po jejíž stranách leží dvě různé oblasti roviny. Tuto hranu ubereme.<br />
Potom pro graf $G\backslash e$ je $\Phi(G\backslash e)=\Phi(G)-1$.<br />
Počet oblastí se zmenší právě o $1$, neboť dvě oblasti na obou stranách<br />
hrany $e$ se spojí do jedné. Z indukčního předpokladu platí\[<br />
\# V-(\# E-1)+(\Phi(G)-1)=2\]<br />
a z toho už vychází\[<br />
\# V-\# E+\Phi(G)=2.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Věta platí i pro grafy se smyčkami a násobnými hranami, které mají<br />
vliv na $\Phi(G)$. V dalším se však budeme zabývat již pouze grafy<br />
bez násobných hran a smyček.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:podminka-planarity}Nechť $G=(V,E)$ je souvislý planární<br />
graf (bez násobných hran a smyček), nechť $\# V=n\geq3$. Potom\[<br />
\# E\leq3\# V-6.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Odhadneme shora i zdola součet\[<br />
\sum_{i=1}^{\Phi(G)}\nu(\Omega_{i}),\]<br />
kde sčítáme přes všechny oblasti roviny a $\nu(\Omega_{i})$ vyjadřuje<br />
počet hran, které tvoří hranici oblasti $\Omega_{i}$. Pro odhad zdola<br />
využijeme, že hranice každé oblasti je tvořena alespoň třemi hranami.<br />
Pro odhad shora naopak použijeme, že každá hrana může tvořit část<br />
hranice jen dvou různých oblastí, a nebo netvoří část žádné hranice.<br />
Proto\[<br />
3\Phi(G)\leq\sum_{i=1}^{\Phi(G)}\nu(\Omega_{i})\leq2\# E.\]<br />
Dosadíme-li nyní z předchozí věty za $\Phi(G)$, dostaneme\begin{eqnarray*}<br />
3(2+\# E-\# V) & \leq & 2\# E\\<br />
\# E & \leq & 3\# V-6.\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
$K_{5}$ není planární.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
$K_{5}$ nesplňuje nerovnost z předchozí věty. Platí pro něj totiž\[<br />
\# E=\binom{5}{2}=10>9=3\cdot5-6=3\# V-6.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{prop*}<br />
$K_{3,3}$ není planární.<br />
\end{prop*}<br />
\begin{proof}<br />
Nyní nemůžeme přímo využít minulou větu, neboť $K_{3,3}$ má $\# V=6,\# E=9$<br />
a nerovnost \ref{thm:podminka-planarity} splňuje. Pomůže nám ale<br />
dodatečný předpoklad. Je-li totiž $G$ bipartitní, tak neobsahuje<br />
liché kružnice, takže hranice každé oblasti v rovině je tvořena nejméně<br />
čtyřmi hranami. Potom lze odvodit přísnější nerovnost:\[<br />
4\Phi(G)\leq\sum_{i=1}^{\Phi(G)}\nu(\Omega_{i})\leq2\# E,\]<br />
z čehož dostaneme\[<br />
2\Phi(G)\leq\# E\]<br />
a po dosazení za $\Phi(G)$ z věty \ref{thm:hrany-vrcholy-oblasti}<br />
máme\[<br />
\# E\leq2\# V-4.\]<br />
Pro bipartitní graf $K_{3,3}$ však platí\[<br />
\# E=9>8=2\cdot6-4=2\# V-4,\]<br />
takže nemůže být planární.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{Barevnost planárních grafů}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je souvislý planární graf (bez násobných hran a smyček).<br />
Potom \[<br />
\delta(G)\leq5.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Zřejmě\[<br />
\delta(G)\cdot\# V\leq\sum_{v\in V}d_{G}(v)=2\# E.\]<br />
Z toho plyne\[<br />
\delta(G)\cdot\# V\leq2\# E\leq2(3\# V-6)=6\# V-12\]<br />
\[<br />
\delta(G)\leq\frac{6\# V-12}{\# V}=6-\frac{12}{\# V}\]<br />
a protože $\delta(G)\in\N_{0}$, tak zřejmě $\delta(G)\leq5$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
Je-li $G$ planární, potom $\chi(G)\leq6$.<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Indukcí podle počtu vrcholů $\# V$. Vezmeme vrchol $v\in V$, který<br />
má minimální stupeň. Potom\[<br />
d_{G}(v)=\delta(G)\leq5.\]<br />
Graf $G\backslash v$ je z indukčního předpokladu možné obarvit $6$<br />
barvami. Když $v$ opět přidáme, je jasné, že na něj jedna barva ze<br />
šesti vyjde, neboť má nejvýše $5$ sousedů.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Je-li $G=(V,E)$ planární graf, potom $\chi(G)\leq5$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Sporem. Nechť $\chi(G)>5$, takže podle předchozí věty $\chi(G)=6$.<br />
BÚNO předpokládejme, že $G$ je $6$-kritický. Pokud tomu tak není,<br />
lze z něj ubírat hrany tak dlouho, dokud se $6$-kritickým nestane,<br />
přičemž zřejmě bude stále planární.<br />
<br />
Víme, že $k$-kritické grafy jsou souvislé a platí pro ně $\delta(G)\geq k-1$.<br />
V našem případě máme<br />
\begin{itemize}<br />
\item $G$ je planární $\Rightarrow$ $\delta(G)\leq5$,<br />
\item $G$ je $6$-kritický $\Rightarrow$ $\delta(G)\geq5$,<br />
\end{itemize}<br />
takže $\delta(G)=5$. Vezměme $v\in V$ takový, že $d_{G}(v)=5$.<br />
Protože $G$ je $6$-kritický, tak $\chi(G\backslash v)=5$ (z definice<br />
je $\chi(G\backslash v)\leq5$, je ale jasné, že nemůže být $\chi(G\backslash v)<5$)<br />
a navíc při každém vlastním obarvení grafu $G\backslash v$ pomocí<br />
$5$ barev se na $5$ sousedech vrcholu $u$ musí vyskytovat všech<br />
$5$ barev, jinak by i $\chi(G)=5$, což by byl spor.<br />
<br />
Nechť má tedy $v$ sousedy $u_{1},...,u_{5}$, kde $u_{i}$ má (při<br />
nějakém pevném vlastním $5$-vrcholovém obarvení $\varphi$) barvu<br />
$i$, a nechť jsou tyto vrcholy při namalování $G$ rozmístěny jako<br />
na obrázku.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: planar_barevnost1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:35:20 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 18.098<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.954 18.098<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.430 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.001 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.001 19.050<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.001 19.050 8.572 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.001 19.050 9.049 18.098 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.001 19.050 10.954 18.098 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.001 19.050 11.430 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.001 19.050 to 10.001 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{5}$}%<br />
} [lB] at 7.857 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{4}$}%<br />
} [lB] at 8.215 17.979<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{3}$}%<br />
} [lB] at 11.430 17.979<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{2}$}%<br />
} [lB] at 11.906 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{1}$}%<br />
} [lB] at 9.762 21.076<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v$}%<br />
} [lB] at 9.881 18.337<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.825 21.558 and 11.938 17.780<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
Uvažujme podgraf $G[\varphi^{-1}(1)\cup\varphi^{-1}(3)]$ grafu $G$<br />
indukovaný vrcholy s barvou $1$ a $3$. Potom $u_{1}$ a $u_{3}$<br />
jsou ve stejné komponentě tohoto podgrafu. Pokud by tomu tak nebylo,<br />
zaměnili bychom např. v komponentě, ve které je $u_{1}$, barvy $1$<br />
a $3$. Obarvení celého grafu by zůstalo vlastní, ale pak $u_{1}$<br />
by měl také barvu $3$ a sousedé $v$ by neměly $5$ různých barev,<br />
což je spor. Proto existuje cesta z $u_{1}$ do $u_{3}$ pouze po<br />
vrcholech barvy $1$ a $3$. Toto tvrzení si pro účely poznámky za<br />
důkazem označme jako $(\mathbf{*})$.<br />
<br />
Ze stejného důvodu existuje cesta z $u_{2}$ do $u_{4}$ pouze po<br />
vrcholech barvy $2$ a $4$. Tyto cesty se musí někde protínat. Protože<br />
$G$ je planární, musí to být v nějakém vrcholu, který pak má barvu<br />
$b\in\{1,3\}\cap\{2,4\}$, což je spor.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: planar_barevnost2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:14:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 3.452 25.838<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 4.405 25.362<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 4.405 23.220<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 2.261 21.791<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 4.166 21.791<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 5.118 22.981<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 4.642 24.172<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.547 23.218<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.452 23.218<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.929 24.646<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.071 24.646<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.500 25.599<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.500 24.170<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.929 24.646 4.642 24.170 /<br />
\plot 4.642 24.170 5.118 22.981 /<br />
\plot 5.118 22.981 4.166 21.789 /<br />
\putrule from 4.166 21.789 to 2.261 21.789<br />
\plot 2.261 21.789 1.547 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.500 25.599 3.452 25.838 /<br />
\plot 3.452 25.838 4.405 25.362 /<br />
\plot 4.405 25.362 4.642 24.170 /<br />
\plot 4.642 24.170 4.405 23.218 /<br />
\putrule from 4.405 23.218 to 3.421 23.218<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.500 24.170 1.071 24.646 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.500 24.170 1.547 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.500 24.170 3.452 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.500 24.170 3.929 24.646 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 2.500 24.170 to 2.500 25.599<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3=4}%<br />
} [lB] at 4.822 23.992<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4}%<br />
} [lB] at 1.844 23.040<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 2.201 21.374<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4}%<br />
} [lB] at 4.106 21.372<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 5.355 22.862<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 3.808 24.886<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 3.035 23.040<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 4.346 22.801<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 4.583 25.243<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 3.391 26.016<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 2.083 25.421<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{5}$}%<br />
} [lB] at 0.356 24.528<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{4}$}%<br />
} [lB] at 0.713 23.099<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{3}$}%<br />
} [lB] at 3.334 22.502<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{2}$}%<br />
} [lB] at 3.749 24.052<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u_{1}$}%<br />
} [lB] at 2.261 26.196<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v$}%<br />
} [lB] at 2.379 23.457<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.324 26.676 and 5.387 21.340<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Vrchol $v_{5}$ jsme v důkazu vůbec nepoužili. Nabízí se otázka, zda<br />
by tedy stejným způsobem nešlo dokázat $\chi(G)\leq4$.<br />
<br />
Zkusíme tedy důkaz sporem. Nechť $\chi(G)>4$, tj. $\chi(G)=5$. Potom<br />
pro $5$-kritický graf dostaneme $\delta(G)\geq4$ a z planarity opět<br />
$\delta(G)\leq5$. Proto $\delta(G)\in\{4,5\}$.<br />
\begin{itemize}<br />
\item Pokud $\delta(G)=4$, pak $\left(\exists v\in V\right)\left(d_{G}(v)=4\right)$.<br />
Platí $\chi(G\backslash v)=4$ a tím pádem při každém vlastním $4$-vrcholovém<br />
obarvení $G\backslash v$ musí být na $4$ sousedech $v$ všechny<br />
$4$ barvy. Důkaz až do konce je pak stejný, dostaneme spor s planaritou.<br />
\item Pokud $\delta(G)=5$, pak $\left(\exists v\in V\right)\left(d_{G}(v)=5\right)$<br />
a situace vypadá přesně jako na prvním obrázku v důkazu věty. Platí<br />
ovšem opět $\chi(G\backslash v)=4$ a tak při každém vlastním $4$-vrcholovém<br />
obarvení $G\backslash v$ musí být na $5$ sousedech $v$ právě $4$<br />
barvy. Právě dva vrcholy z $u_{1},...,u_{5}$ mají tedy stejnou barvu.<br />
Očíslujme si vrcholy tak, že při namalování $G$ jdou čísla opět po<br />
sobě jako na obrázku, a vrchol $u_{5}$ má stejnou barvu jako jeden<br />
z vrcholů $u_{1},...,u_{4}$, které tak mají $4$ různé barvy. Takové<br />
očíslování vždy existuje. Potom nemusí platit $(\mathbf{*})$: Jestliže<br />
totiž $u_{5}$ má barvu $3$ a leží ve stejné komponentě grafu $G[\varphi^{-1}(1)\cup\varphi^{-1}(3)]$<br />
jako $u_{1}$ a zaměníme-li barvy $1$ a $3$ v této komponentě, bude<br />
mít $v$ stále $5$ sousedů s právě $4$ barvami a ke sporu nedojde.<br />
Pokud zaměníme barvy v komponentě, kde leží vrchol $u_{3}$, budou<br />
mít sice $u_{3}$ i $u_{1}$ barvu $1$, ale $u_{5}$ bude mít stále<br />
barvu $3$ a opět ke sporu nedojde.\\<br />
Různé kombinace barvy a umístění vrcholu $u_{5}$ nám v obecném planárním<br />
grafu $G$ nedovolí dokázat tvrzení $(\mathbf{*})$ vždy nejvýše pro<br />
jednu z dvojic vrcholů $u_{1},u_{3}$ a $u_{2},u_{4}$. Celkově tedy<br />
nelze důkaz nerovnosti $\chi(G)\leq4$ tímto způsobem provést.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
I když se nám nepodařilo dokázat $\chi(G)\leq4$ pro každý planární<br />
graf, je známo, že toto tvrzení platí. Všichni jej známe v podobě<br />
,,K obarvení každé politické mapy tak, aby žádné dva stejně barevné<br />
státy neměly společnou hranici (nenulové délky), stačí čtyři barvy.{}``.<br />
Dlouho však bylo uváděno pouze jako domněnka, teprve v roce 1976 jej<br />
dokázali K. Appel a W. Haken. Jeho důkaz si vyžádal použití počítače<br />
poté, co bylo toto tvrzení pro obecný planární graf transformováno<br />
na stejné tvrzení pro desítky speciálních případů, u kterých jej již<br />
bylo možné ověřit ,,hrubou silou{}``. Jen zmíněné transformace prý<br />
vydají na knihu o asi dvou stech stranách...<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Minimální počet křížení v grafu}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\textbf{Minimální počet křížení} (angl. \emph{crossing number}) $\crs(G)$<br />
grafu $G$ je minimální počet dvojic hran, které se po namalování<br />
grafu $G$ do roviny kříží.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
$\crs(G)$ není počet průsečíků hran. $G$ je planární právě tehdy,<br />
když $\crs(G)=0$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Jak namalovat $G$ s co nejmenším počtem křížení? Podívejme se na<br />
obrázek \ref{cap:crossing}: %<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}¨<br />
%Title: crossing.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 23:02:00 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.715 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.810 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.810 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.715 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.810 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.810 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.096 25.004 to 8.096 24.170<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 7.944 24.678 8.096 24.170 8.249 24.678 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 4.763 25.004 to 4.763 24.170<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 4.610 24.678 4.763 24.170 4.915 24.678 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.905 25.004 to 1.905 24.170<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.753 24.678 1.905 24.170 2.057 24.678 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 23.218 9.049 22.860 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 22.860 7.620 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 23.457 9.049 23.813 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 23.813 7.620 23.457 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 23.218 7.624 23.213 /<br />
\plot 7.624 23.213 7.635 23.203 /<br />
\plot 7.635 23.203 7.652 23.188 /<br />
\plot 7.652 23.188 7.675 23.167 /<br />
\plot 7.675 23.167 7.705 23.142 /<br />
\plot 7.705 23.142 7.739 23.114 /<br />
\plot 7.739 23.114 7.777 23.086 /<br />
\plot 7.777 23.086 7.819 23.059 /<br />
\plot 7.819 23.059 7.863 23.036 /<br />
\plot 7.863 23.036 7.912 23.015 /<br />
\plot 7.912 23.015 7.967 22.998 /<br />
\plot 7.967 22.998 8.029 22.985 /<br />
\plot 8.029 22.985 8.096 22.981 /<br />
\plot 8.096 22.981 8.164 22.985 /<br />
\plot 8.164 22.985 8.225 22.998 /<br />
\plot 8.225 22.998 8.280 23.015 /<br />
\plot 8.280 23.015 8.329 23.036 /<br />
\plot 8.329 23.036 8.374 23.059 /<br />
\plot 8.374 23.059 8.416 23.086 /<br />
\plot 8.416 23.086 8.454 23.114 /<br />
\plot 8.454 23.114 8.488 23.142 /<br />
\plot 8.488 23.142 8.517 23.167 /<br />
\plot 8.517 23.167 8.541 23.188 /<br />
\plot 8.541 23.188 8.558 23.203 /<br />
\plot 8.558 23.203 8.568 23.213 /<br />
\plot 8.568 23.213 8.572 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 23.457 7.624 23.461 /<br />
\plot 7.624 23.461 7.635 23.472 /<br />
\plot 7.635 23.472 7.652 23.487 /<br />
\plot 7.652 23.487 7.675 23.508 /<br />
\plot 7.675 23.508 7.705 23.533 /<br />
\plot 7.705 23.533 7.739 23.561 /<br />
\plot 7.739 23.561 7.777 23.588 /<br />
\plot 7.777 23.588 7.819 23.616 /<br />
\plot 7.819 23.616 7.863 23.639 /<br />
\plot 7.863 23.639 7.912 23.660 /<br />
\plot 7.912 23.660 7.967 23.677 /<br />
\plot 7.967 23.677 8.029 23.690 /<br />
\plot 8.029 23.690 8.096 23.694 /<br />
\plot 8.096 23.694 8.164 23.690 /<br />
\plot 8.164 23.690 8.225 23.677 /<br />
\plot 8.225 23.677 8.280 23.660 /<br />
\plot 8.280 23.660 8.329 23.639 /<br />
\plot 8.329 23.639 8.374 23.616 /<br />
\plot 8.374 23.616 8.416 23.588 /<br />
\plot 8.416 23.588 8.454 23.561 /<br />
\plot 8.454 23.561 8.488 23.533 /<br />
\plot 8.488 23.533 8.517 23.508 /<br />
\plot 8.517 23.508 8.541 23.487 /<br />
\plot 8.541 23.487 8.558 23.472 /<br />
\plot 8.558 23.472 8.568 23.461 /<br />
\plot 8.568 23.461 8.572 23.457 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 25.241 7.146 25.245 /<br />
\plot 7.146 25.245 7.152 25.254 /<br />
\plot 7.152 25.254 7.163 25.269 /<br />
\plot 7.163 25.269 7.178 25.290 /<br />
\plot 7.178 25.290 7.199 25.322 /<br />
\plot 7.199 25.322 7.226 25.358 /<br />
\plot 7.226 25.358 7.260 25.402 /<br />
\plot 7.260 25.402 7.296 25.451 /<br />
\plot 7.296 25.451 7.336 25.502 /<br />
\plot 7.336 25.502 7.383 25.555 /<br />
\plot 7.383 25.555 7.430 25.607 /<br />
\plot 7.430 25.607 7.480 25.660 /<br />
\plot 7.480 25.660 7.531 25.711 /<br />
\plot 7.531 25.711 7.588 25.758 /<br />
\plot 7.588 25.758 7.648 25.804 /<br />
\plot 7.648 25.804 7.709 25.845 /<br />
\plot 7.709 25.845 7.777 25.880 /<br />
\plot 7.777 25.880 7.849 25.912 /<br />
\plot 7.849 25.912 7.927 25.936 /<br />
\plot 7.927 25.936 8.009 25.950 /<br />
\plot 8.009 25.950 8.096 25.957 /<br />
\plot 8.096 25.957 8.183 25.950 /<br />
\plot 8.183 25.950 8.266 25.936 /<br />
\plot 8.266 25.936 8.344 25.912 /<br />
\plot 8.344 25.912 8.416 25.880 /<br />
\plot 8.416 25.880 8.484 25.845 /<br />
\plot 8.484 25.845 8.545 25.804 /<br />
\plot 8.545 25.804 8.604 25.758 /<br />
\plot 8.604 25.758 8.661 25.711 /<br />
\plot 8.661 25.711 8.712 25.660 /<br />
\plot 8.712 25.660 8.763 25.607 /<br />
\plot 8.763 25.607 8.812 25.555 /<br />
\plot 8.812 25.555 8.856 25.502 /<br />
\plot 8.856 25.502 8.896 25.451 /<br />
\plot 8.896 25.451 8.932 25.402 /<br />
\plot 8.932 25.402 8.966 25.358 /<br />
\plot 8.966 25.358 8.994 25.322 /<br />
\plot 8.994 25.322 9.015 25.290 /<br />
\plot 9.015 25.290 9.030 25.269 /<br />
\plot 9.030 25.269 9.040 25.254 /<br />
\plot 9.040 25.254 9.047 25.245 /<br />
\plot 9.047 25.245 9.049 25.241 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 26.194 7.146 26.190 /<br />
\plot 7.146 26.190 7.152 26.181 /<br />
\plot 7.152 26.181 7.163 26.166 /<br />
\plot 7.163 26.166 7.178 26.145 /<br />
\plot 7.178 26.145 7.199 26.113 /<br />
\plot 7.199 26.113 7.226 26.077 /<br />
\plot 7.226 26.077 7.260 26.033 /<br />
\plot 7.260 26.033 7.296 25.986 /<br />
\plot 7.296 25.986 7.336 25.936 /<br />
\plot 7.336 25.936 7.383 25.883 /<br />
\plot 7.383 25.883 7.430 25.828 /<br />
\plot 7.430 25.828 7.480 25.777 /<br />
\plot 7.480 25.777 7.531 25.726 /<br />
\plot 7.531 25.726 7.588 25.677 /<br />
\plot 7.588 25.677 7.648 25.633 /<br />
\plot 7.648 25.633 7.709 25.593 /<br />
\plot 7.709 25.593 7.777 25.557 /<br />
\plot 7.777 25.557 7.849 25.525 /<br />
\plot 7.849 25.525 7.927 25.502 /<br />
\plot 7.927 25.502 8.009 25.487 /<br />
\plot 8.009 25.487 8.096 25.480 /<br />
\plot 8.096 25.480 8.183 25.487 /<br />
\plot 8.183 25.487 8.266 25.502 /<br />
\plot 8.266 25.502 8.344 25.525 /<br />
\plot 8.344 25.525 8.416 25.557 /<br />
\plot 8.416 25.557 8.484 25.593 /<br />
\plot 8.484 25.593 8.545 25.633 /<br />
\plot 8.545 25.633 8.604 25.677 /<br />
\plot 8.604 25.677 8.661 25.726 /<br />
\plot 8.661 25.726 8.712 25.777 /<br />
\plot 8.712 25.777 8.763 25.828 /<br />
\plot 8.763 25.828 8.812 25.883 /<br />
\plot 8.812 25.883 8.856 25.936 /<br />
\plot 8.856 25.936 8.896 25.986 /<br />
\plot 8.896 25.986 8.932 26.033 /<br />
\plot 8.932 26.033 8.966 26.077 /<br />
\plot 8.966 26.077 8.994 26.113 /<br />
\plot 8.994 26.113 9.015 26.145 /<br />
\plot 9.015 26.145 9.030 26.166 /<br />
\plot 9.030 26.166 9.040 26.181 /<br />
\plot 9.040 26.181 9.047 26.190 /<br />
\plot 9.047 26.190 9.049 26.194 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 23.218 4.290 23.216 /<br />
\plot 4.290 23.216 4.299 23.209 /<br />
\plot 4.299 23.209 4.316 23.199 /<br />
\plot 4.316 23.199 4.341 23.184 /<br />
\plot 4.341 23.184 4.373 23.163 /<br />
\plot 4.373 23.163 4.413 23.139 /<br />
\plot 4.413 23.139 4.462 23.112 /<br />
\plot 4.462 23.112 4.513 23.080 /<br />
\plot 4.513 23.080 4.570 23.051 /<br />
\plot 4.570 23.051 4.627 23.019 /<br />
\plot 4.627 23.019 4.688 22.989 /<br />
\plot 4.688 22.989 4.750 22.962 /<br />
\plot 4.750 22.962 4.815 22.934 /<br />
\plot 4.815 22.934 4.881 22.911 /<br />
\plot 4.881 22.911 4.949 22.892 /<br />
\plot 4.949 22.892 5.019 22.875 /<br />
\plot 5.019 22.875 5.093 22.864 /<br />
\plot 5.093 22.864 5.165 22.858 /<br />
\plot 5.165 22.858 5.239 22.860 /<br />
\plot 5.239 22.860 5.315 22.871 /<br />
\plot 5.315 22.871 5.381 22.892 /<br />
\plot 5.381 22.892 5.440 22.917 /<br />
\plot 5.440 22.917 5.486 22.947 /<br />
\plot 5.486 22.947 5.529 22.981 /<br />
\plot 5.529 22.981 5.563 23.017 /<br />
\plot 5.563 23.017 5.592 23.057 /<br />
\plot 5.592 23.057 5.618 23.097 /<br />
\plot 5.618 23.097 5.641 23.139 /<br />
\plot 5.641 23.139 5.660 23.180 /<br />
\plot 5.660 23.180 5.675 23.220 /<br />
\plot 5.675 23.220 5.690 23.254 /<br />
\plot 5.690 23.254 5.698 23.283 /<br />
\plot 5.698 23.283 5.707 23.307 /<br />
\plot 5.707 23.307 5.711 23.324 /<br />
\plot 5.711 23.324 5.713 23.332 /<br />
\plot 5.713 23.332 5.715 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 23.457 4.290 23.459 /<br />
\plot 4.290 23.459 4.299 23.465 /<br />
\plot 4.299 23.465 4.316 23.476 /<br />
\plot 4.316 23.476 4.341 23.491 /<br />
\plot 4.341 23.491 4.373 23.512 /<br />
\plot 4.373 23.512 4.413 23.535 /<br />
\plot 4.413 23.535 4.462 23.563 /<br />
\plot 4.462 23.563 4.513 23.592 /<br />
\plot 4.513 23.592 4.570 23.624 /<br />
\plot 4.570 23.624 4.627 23.654 /<br />
\plot 4.627 23.654 4.688 23.683 /<br />
\plot 4.688 23.683 4.750 23.713 /<br />
\plot 4.750 23.713 4.815 23.738 /<br />
\plot 4.815 23.738 4.881 23.762 /<br />
\plot 4.881 23.762 4.949 23.783 /<br />
\plot 4.949 23.783 5.019 23.798 /<br />
\plot 5.019 23.798 5.093 23.810 /<br />
\plot 5.093 23.810 5.165 23.815 /<br />
\plot 5.165 23.815 5.239 23.813 /<br />
\plot 5.239 23.813 5.315 23.802 /<br />
\plot 5.315 23.802 5.381 23.781 /<br />
\plot 5.381 23.781 5.440 23.755 /<br />
\plot 5.440 23.755 5.486 23.726 /<br />
\plot 5.486 23.726 5.529 23.692 /<br />
\plot 5.529 23.692 5.563 23.656 /<br />
\plot 5.563 23.656 5.592 23.616 /<br />
\plot 5.592 23.616 5.618 23.575 /<br />
\plot 5.618 23.575 5.641 23.533 /<br />
\plot 5.641 23.533 5.660 23.493 /<br />
\plot 5.660 23.493 5.675 23.453 /<br />
\plot 5.675 23.453 5.690 23.419 /<br />
\plot 5.690 23.419 5.698 23.389 /<br />
\plot 5.698 23.389 5.707 23.366 /<br />
\plot 5.707 23.366 5.711 23.349 /<br />
\plot 5.711 23.349 5.713 23.340 /<br />
\plot 5.713 23.340 5.715 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.810 22.860 4.286 23.218 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.810 23.813 4.286 23.457 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 25.718 4.290 25.715 /<br />
\plot 4.290 25.715 4.297 25.709 /<br />
\plot 4.297 25.709 4.310 25.698 /<br />
\plot 4.310 25.698 4.329 25.684 /<br />
\plot 4.329 25.684 4.354 25.665 /<br />
\plot 4.354 25.665 4.388 25.639 /<br />
\plot 4.388 25.639 4.426 25.612 /<br />
\plot 4.426 25.612 4.470 25.578 /<br />
\plot 4.470 25.578 4.517 25.544 /<br />
\plot 4.517 25.544 4.570 25.510 /<br />
\plot 4.570 25.510 4.623 25.474 /<br />
\plot 4.623 25.474 4.678 25.438 /<br />
\plot 4.678 25.438 4.733 25.404 /<br />
\plot 4.733 25.404 4.792 25.372 /<br />
\plot 4.792 25.372 4.851 25.343 /<br />
\plot 4.851 25.343 4.911 25.315 /<br />
\plot 4.911 25.315 4.974 25.292 /<br />
\plot 4.974 25.292 5.038 25.271 /<br />
\plot 5.038 25.271 5.105 25.256 /<br />
\plot 5.105 25.256 5.173 25.245 /<br />
\plot 5.173 25.245 5.239 25.241 /<br />
\plot 5.239 25.241 5.315 25.248 /<br />
\plot 5.315 25.248 5.381 25.262 /<br />
\plot 5.381 25.262 5.440 25.284 /<br />
\plot 5.440 25.284 5.486 25.313 /<br />
\plot 5.486 25.313 5.529 25.347 /<br />
\plot 5.529 25.347 5.563 25.383 /<br />
\plot 5.563 25.383 5.592 25.423 /<br />
\plot 5.592 25.423 5.618 25.466 /<br />
\plot 5.618 25.466 5.641 25.510 /<br />
\plot 5.641 25.510 5.660 25.552 /<br />
\plot 5.660 25.552 5.675 25.593 /<br />
\plot 5.675 25.593 5.690 25.631 /<br />
\plot 5.690 25.631 5.698 25.662 /<br />
\plot 5.698 25.662 5.707 25.686 /<br />
\plot 5.707 25.686 5.711 25.703 /<br />
\plot 5.711 25.703 5.713 25.713 /<br />
\plot 5.713 25.713 5.715 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 25.718 4.290 25.720 /<br />
\plot 4.290 25.720 4.297 25.726 /<br />
\plot 4.297 25.726 4.310 25.737 /<br />
\plot 4.310 25.737 4.329 25.751 /<br />
\plot 4.329 25.751 4.354 25.770 /<br />
\plot 4.354 25.770 4.388 25.796 /<br />
\plot 4.388 25.796 4.426 25.823 /<br />
\plot 4.426 25.823 4.470 25.857 /<br />
\plot 4.470 25.857 4.517 25.891 /<br />
\plot 4.517 25.891 4.570 25.925 /<br />
\plot 4.570 25.925 4.623 25.961 /<br />
\plot 4.623 25.961 4.678 25.997 /<br />
\plot 4.678 25.997 4.733 26.031 /<br />
\plot 4.733 26.031 4.792 26.063 /<br />
\plot 4.792 26.063 4.851 26.092 /<br />
\plot 4.851 26.092 4.911 26.120 /<br />
\plot 4.911 26.120 4.974 26.143 /<br />
\plot 4.974 26.143 5.038 26.164 /<br />
\plot 5.038 26.164 5.105 26.179 /<br />
\plot 5.105 26.179 5.173 26.190 /<br />
\plot 5.173 26.190 5.239 26.194 /<br />
\plot 5.239 26.194 5.315 26.187 /<br />
\plot 5.315 26.187 5.381 26.173 /<br />
\plot 5.381 26.173 5.440 26.151 /<br />
\plot 5.440 26.151 5.486 26.122 /<br />
\plot 5.486 26.122 5.529 26.088 /<br />
\plot 5.529 26.088 5.563 26.052 /<br />
\plot 5.563 26.052 5.592 26.012 /<br />
\plot 5.592 26.012 5.618 25.969 /<br />
\plot 5.618 25.969 5.641 25.925 /<br />
\plot 5.641 25.925 5.660 25.883 /<br />
\plot 5.660 25.883 5.675 25.842 /<br />
\plot 5.675 25.842 5.690 25.804 /<br />
\plot 5.690 25.804 5.698 25.773 /<br />
\plot 5.698 25.773 5.707 25.749 /<br />
\plot 5.707 25.749 5.711 25.732 /<br />
\plot 5.711 25.732 5.713 25.722 /<br />
\plot 5.713 25.722 5.715 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 25.718 3.810 25.241 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.810 26.194 4.286 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.429 23.336 to 1.422 23.336<br />
\putrule from 1.422 23.336 to 1.410 23.336<br />
\plot 1.410 23.336 1.393 23.334 /<br />
\plot 1.393 23.334 1.369 23.330 /<br />
\plot 1.369 23.330 1.342 23.321 /<br />
\plot 1.342 23.321 1.310 23.309 /<br />
\plot 1.310 23.309 1.276 23.290 /<br />
\plot 1.276 23.290 1.236 23.260 /<br />
\plot 1.236 23.260 1.190 23.218 /<br />
\plot 1.190 23.218 1.156 23.182 /<br />
\plot 1.156 23.182 1.126 23.146 /<br />
\plot 1.126 23.146 1.099 23.110 /<br />
\plot 1.099 23.110 1.073 23.074 /<br />
\plot 1.073 23.074 1.050 23.038 /<br />
\plot 1.050 23.038 1.031 23.004 /<br />
\plot 1.031 23.004 1.012 22.972 /<br />
\plot 1.012 22.972 0.995 22.940 /<br />
\plot 0.995 22.940 0.980 22.913 /<br />
\plot 0.980 22.913 0.967 22.892 /<br />
\plot 0.967 22.892 0.959 22.875 /<br />
\plot 0.959 22.875 0.955 22.864 /<br />
\plot 0.955 22.864 0.953 22.860 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 23.813 0.955 23.808 /<br />
\plot 0.955 23.808 0.959 23.798 /<br />
\plot 0.959 23.798 0.967 23.783 /<br />
\plot 0.967 23.783 0.980 23.760 /<br />
\plot 0.980 23.760 0.995 23.732 /<br />
\plot 0.995 23.732 1.012 23.702 /<br />
\plot 1.012 23.702 1.031 23.669 /<br />
\plot 1.031 23.669 1.050 23.635 /<br />
\plot 1.050 23.635 1.073 23.601 /<br />
\plot 1.073 23.601 1.099 23.565 /<br />
\plot 1.099 23.565 1.126 23.529 /<br />
\plot 1.126 23.529 1.156 23.493 /<br />
\plot 1.156 23.493 1.190 23.457 /<br />
\plot 1.190 23.457 1.236 23.415 /<br />
\plot 1.236 23.415 1.276 23.385 /<br />
\plot 1.276 23.385 1.310 23.366 /<br />
\plot 1.310 23.366 1.342 23.353 /<br />
\plot 1.342 23.353 1.369 23.345 /<br />
\plot 1.369 23.345 1.393 23.340 /<br />
\plot 1.393 23.340 1.410 23.338 /<br />
\plot 1.410 23.338 1.422 23.336 /<br />
\putrule from 1.422 23.336 to 1.429 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.194 0.955 26.192 /<br />
\plot 0.955 26.192 0.961 26.185 /<br />
\plot 0.961 26.185 0.974 26.175 /<br />
\plot 0.974 26.175 0.991 26.160 /<br />
\plot 0.991 26.160 1.016 26.137 /<br />
\plot 1.016 26.137 1.050 26.109 /<br />
\plot 1.050 26.109 1.090 26.075 /<br />
\plot 1.090 26.075 1.137 26.035 /<br />
\plot 1.137 26.035 1.190 25.988 /<br />
\plot 1.190 25.988 1.247 25.940 /<br />
\plot 1.247 25.940 1.310 25.887 /<br />
\plot 1.310 25.887 1.376 25.832 /<br />
\plot 1.376 25.832 1.444 25.777 /<br />
\plot 1.444 25.777 1.513 25.722 /<br />
\plot 1.513 25.722 1.583 25.667 /<br />
\plot 1.583 25.667 1.655 25.612 /<br />
\plot 1.655 25.612 1.725 25.559 /<br />
\plot 1.725 25.559 1.795 25.510 /<br />
\plot 1.795 25.510 1.865 25.461 /<br />
\plot 1.865 25.461 1.935 25.417 /<br />
\plot 1.935 25.417 2.004 25.377 /<br />
\plot 2.004 25.377 2.072 25.339 /<br />
\plot 2.072 25.339 2.140 25.307 /<br />
\plot 2.140 25.307 2.203 25.279 /<br />
\plot 2.203 25.279 2.267 25.258 /<br />
\plot 2.267 25.258 2.326 25.245 /<br />
\plot 2.326 25.245 2.381 25.241 /<br />
\plot 2.381 25.241 2.428 25.245 /<br />
\plot 2.428 25.245 2.468 25.258 /<br />
\plot 2.468 25.258 2.502 25.279 /<br />
\plot 2.502 25.279 2.529 25.307 /<br />
\plot 2.529 25.307 2.553 25.339 /<br />
\plot 2.553 25.339 2.570 25.372 /<br />
\plot 2.570 25.372 2.584 25.411 /<br />
\plot 2.584 25.411 2.595 25.453 /<br />
\plot 2.595 25.453 2.603 25.495 /<br />
\plot 2.603 25.495 2.610 25.538 /<br />
\plot 2.610 25.538 2.614 25.582 /<br />
\plot 2.614 25.582 2.616 25.626 /<br />
\plot 2.616 25.626 2.618 25.673 /<br />
\putrule from 2.618 25.673 to 2.618 25.718<br />
\putrule from 2.618 25.718 to 2.618 25.762<br />
\plot 2.618 25.762 2.616 25.809 /<br />
\plot 2.616 25.809 2.614 25.853 /<br />
\plot 2.614 25.853 2.610 25.897 /<br />
\plot 2.610 25.897 2.603 25.940 /<br />
\plot 2.603 25.940 2.595 25.982 /<br />
\plot 2.595 25.982 2.584 26.024 /<br />
\plot 2.584 26.024 2.570 26.063 /<br />
\plot 2.570 26.063 2.553 26.096 /<br />
\plot 2.553 26.096 2.529 26.128 /<br />
\plot 2.529 26.128 2.502 26.156 /<br />
\plot 2.502 26.156 2.468 26.177 /<br />
\plot 2.468 26.177 2.428 26.190 /<br />
\plot 2.428 26.190 2.381 26.194 /<br />
\plot 2.381 26.194 2.326 26.190 /<br />
\plot 2.326 26.190 2.267 26.177 /<br />
\plot 2.267 26.177 2.203 26.156 /<br />
\plot 2.203 26.156 2.140 26.128 /<br />
\plot 2.140 26.128 2.072 26.096 /<br />
\plot 2.072 26.096 2.004 26.058 /<br />
\plot 2.004 26.058 1.935 26.018 /<br />
\plot 1.935 26.018 1.865 25.974 /<br />
\plot 1.865 25.974 1.795 25.925 /<br />
\plot 1.795 25.925 1.725 25.876 /<br />
\plot 1.725 25.876 1.655 25.823 /<br />
\plot 1.655 25.823 1.583 25.768 /<br />
\plot 1.583 25.768 1.513 25.713 /<br />
\plot 1.513 25.713 1.444 25.658 /<br />
\plot 1.444 25.658 1.376 25.603 /<br />
\plot 1.376 25.603 1.310 25.548 /<br />
\plot 1.310 25.548 1.247 25.495 /<br />
\plot 1.247 25.495 1.190 25.447 /<br />
\plot 1.190 25.447 1.137 25.400 /<br />
\plot 1.137 25.400 1.090 25.360 /<br />
\plot 1.090 25.360 1.050 25.326 /<br />
\plot 1.050 25.326 1.016 25.298 /<br />
\plot 1.016 25.298 0.991 25.275 /<br />
\plot 0.991 25.275 0.974 25.260 /<br />
\plot 0.974 25.260 0.961 25.250 /<br />
\plot 0.961 25.250 0.955 25.243 /<br />
\plot 0.955 25.243 0.953 25.241 /<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.817 26.327 and 9.184 22.727<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:crossing}Zbytečné křížení hran a jeho odstranění}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Jedna hrana se nemusí křížit sama se sebou.<br />
\item Dvě hrany, které mají společný vrchol, se nemusejí křížit.<br />
\item Žádná dvojice hran se nemusí křížit více než jednou.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
Nech\'{t} $G=(V,E)$ je graf. Potom platí\[<br />
\# E-3\# V+6\leq\crs(G).\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Namalujme graf $G$ tak, že počet křížení v obrázku je právě $\crs(G)$.<br />
Na místě každého kžížení přidáme vrchol. Tím za každé křížení přibude<br />
$1$ nový vrchol a $2$ nové hrany. Dostaneme planární graf s počtem<br />
vrcholů $\# V+\crs(G)$ a počtem hran $\# E+2\crs(G)$. Pro planární<br />
graf platí věta \ref{thm:podminka-planarity}, tj. $\# E\leq3\# V-6$.<br />
Po dosazení našich hodnot máme\[<br />
\# E+2\crs(G)\leq3(\# V+\crs(G))-6\]<br />
a z toho už\[<br />
\# E-3\# V+6\leq\crs(G).\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{example*}<br />
Pro $G=K_{6}$ platí $\# E=15,\# V=6$, takže vychází nerovnost $3\leq\crs(G)$.<br />
Podle obrázku \ref{cap:crossingK6} jsme schopni tří křížení dosáhnout,<br />
takže $\crs(G)=3$. %<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: crossingK6.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:27:52 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.207:0.207 360 degrees <br />
from 10.446 19.289 center at 10.238 19.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.207:0.207 360 degrees <br />
from 10.446 20.508 center at 10.238 20.508<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.207:0.207 360 degrees <br />
from 10.446 22.236 center at 10.238 22.236<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 13.335 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.430 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 12.383 21.431<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.096 21.431<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 20.003 7.146 19.998 /<br />
\plot 7.146 19.998 7.150 19.990 /<br />
\plot 7.150 19.990 7.159 19.973 /<br />
\plot 7.159 19.973 7.173 19.947 /<br />
\plot 7.173 19.947 7.192 19.911 /<br />
\plot 7.192 19.911 7.218 19.865 /<br />
\plot 7.218 19.865 7.247 19.808 /<br />
\plot 7.247 19.808 7.286 19.740 /<br />
\plot 7.286 19.740 7.328 19.666 /<br />
\plot 7.328 19.666 7.374 19.583 /<br />
\plot 7.374 19.583 7.425 19.497 /<br />
\plot 7.425 19.497 7.480 19.406 /<br />
\plot 7.480 19.406 7.537 19.312 /<br />
\plot 7.537 19.312 7.595 19.221 /<br />
\plot 7.595 19.221 7.654 19.130 /<br />
\plot 7.654 19.130 7.713 19.044 /<br />
\plot 7.713 19.044 7.775 18.959 /<br />
\plot 7.775 18.959 7.834 18.879 /<br />
\plot 7.834 18.879 7.893 18.802 /<br />
\plot 7.893 18.802 7.952 18.733 /<br />
\plot 7.952 18.733 8.009 18.665 /<br />
\plot 8.009 18.665 8.069 18.603 /<br />
\plot 8.069 18.603 8.128 18.546 /<br />
\plot 8.128 18.546 8.187 18.493 /<br />
\plot 8.187 18.493 8.249 18.445 /<br />
\plot 8.249 18.445 8.310 18.400 /<br />
\plot 8.310 18.400 8.374 18.358 /<br />
\plot 8.374 18.358 8.439 18.320 /<br />
\plot 8.439 18.320 8.507 18.284 /<br />
\plot 8.507 18.284 8.579 18.250 /<br />
\plot 8.579 18.250 8.653 18.218 /<br />
\plot 8.653 18.218 8.716 18.193 /<br />
\plot 8.716 18.193 8.782 18.167 /<br />
\plot 8.782 18.167 8.852 18.146 /<br />
\plot 8.852 18.146 8.922 18.125 /<br />
\plot 8.922 18.125 8.996 18.104 /<br />
\plot 8.996 18.104 9.072 18.085 /<br />
\plot 9.072 18.085 9.150 18.068 /<br />
\plot 9.150 18.068 9.231 18.051 /<br />
\plot 9.231 18.051 9.313 18.034 /<br />
\plot 9.313 18.034 9.400 18.021 /<br />
\plot 9.400 18.021 9.487 18.009 /<br />
\plot 9.487 18.009 9.576 17.998 /<br />
\plot 9.576 17.998 9.667 17.987 /<br />
\plot 9.667 17.987 9.760 17.979 /<br />
\plot 9.760 17.979 9.855 17.973 /<br />
\plot 9.855 17.973 9.950 17.966 /<br />
\plot 9.950 17.966 10.046 17.962 /<br />
\plot 10.046 17.962 10.143 17.960 /<br />
\putrule from 10.143 17.960 to 10.240 17.960<br />
\putrule from 10.240 17.960 to 10.336 17.960<br />
\plot 10.336 17.960 10.433 17.962 /<br />
\plot 10.433 17.962 10.528 17.966 /<br />
\plot 10.528 17.966 10.624 17.973 /<br />
\plot 10.624 17.973 10.719 17.979 /<br />
\plot 10.719 17.979 10.812 17.987 /<br />
\plot 10.812 17.987 10.903 17.998 /<br />
\plot 10.903 17.998 10.992 18.009 /<br />
\plot 10.992 18.009 11.079 18.021 /<br />
\plot 11.079 18.021 11.165 18.034 /<br />
\plot 11.165 18.034 11.248 18.051 /<br />
\plot 11.248 18.051 11.328 18.068 /<br />
\plot 11.328 18.068 11.407 18.085 /<br />
\plot 11.407 18.085 11.483 18.104 /<br />
\plot 11.483 18.104 11.557 18.125 /<br />
\plot 11.557 18.125 11.627 18.146 /<br />
\plot 11.627 18.146 11.697 18.167 /<br />
\plot 11.697 18.167 11.762 18.193 /<br />
\plot 11.762 18.193 11.828 18.218 /<br />
\plot 11.828 18.218 11.900 18.250 /<br />
\plot 11.900 18.250 11.972 18.284 /<br />
\plot 11.972 18.284 12.040 18.320 /<br />
\plot 12.040 18.320 12.105 18.358 /<br />
\plot 12.105 18.358 12.169 18.400 /<br />
\plot 12.169 18.400 12.230 18.445 /<br />
\plot 12.230 18.445 12.291 18.493 /<br />
\plot 12.291 18.493 12.351 18.546 /<br />
\plot 12.351 18.546 12.410 18.603 /<br />
\plot 12.410 18.603 12.469 18.665 /<br />
\plot 12.469 18.665 12.526 18.733 /<br />
\plot 12.526 18.733 12.586 18.802 /<br />
\plot 12.586 18.802 12.645 18.879 /<br />
\plot 12.645 18.879 12.704 18.959 /<br />
\plot 12.704 18.959 12.766 19.044 /<br />
\plot 12.766 19.044 12.825 19.130 /<br />
\plot 12.825 19.130 12.884 19.221 /<br />
\plot 12.884 19.221 12.941 19.312 /<br />
\plot 12.941 19.312 12.998 19.406 /<br />
\plot 12.998 19.406 13.053 19.497 /<br />
\plot 13.053 19.497 13.104 19.583 /<br />
\plot 13.104 19.583 13.151 19.666 /<br />
\plot 13.151 19.666 13.193 19.740 /<br />
\plot 13.193 19.740 13.231 19.808 /<br />
\plot 13.231 19.808 13.261 19.865 /<br />
\plot 13.261 19.865 13.286 19.911 /<br />
\plot 13.286 19.911 13.305 19.947 /<br />
\plot 13.305 19.947 13.320 19.973 /<br />
\plot 13.320 19.973 13.329 19.990 /<br />
\plot 13.329 19.990 13.333 19.998 /<br />
\plot 13.333 19.998 13.335 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 13.335 20.003 13.333 20.000 /<br />
\plot 13.333 20.000 13.329 19.996 /<br />
\plot 13.329 19.996 13.322 19.988 /<br />
\plot 13.322 19.988 13.310 19.975 /<br />
\plot 13.310 19.975 13.293 19.956 /<br />
\plot 13.293 19.956 13.269 19.933 /<br />
\plot 13.269 19.933 13.242 19.903 /<br />
\plot 13.242 19.903 13.208 19.867 /<br />
\plot 13.208 19.867 13.168 19.829 /<br />
\plot 13.168 19.829 13.125 19.784 /<br />
\plot 13.125 19.784 13.075 19.738 /<br />
\plot 13.075 19.738 13.022 19.689 /<br />
\plot 13.022 19.689 12.965 19.638 /<br />
\plot 12.965 19.638 12.903 19.586 /<br />
\plot 12.903 19.586 12.840 19.535 /<br />
\plot 12.840 19.535 12.770 19.482 /<br />
\plot 12.770 19.482 12.700 19.431 /<br />
\plot 12.700 19.431 12.624 19.382 /<br />
\plot 12.624 19.382 12.545 19.334 /<br />
\plot 12.545 19.334 12.463 19.289 /<br />
\plot 12.463 19.289 12.374 19.247 /<br />
\plot 12.374 19.247 12.281 19.207 /<br />
\plot 12.281 19.207 12.181 19.171 /<br />
\plot 12.181 19.171 12.073 19.137 /<br />
\plot 12.073 19.137 11.959 19.107 /<br />
\plot 11.959 19.107 11.836 19.084 /<br />
\plot 11.836 19.084 11.707 19.065 /<br />
\plot 11.707 19.065 11.572 19.054 /<br />
\plot 11.572 19.054 11.430 19.050 /<br />
\plot 11.430 19.050 11.303 19.054 /<br />
\plot 11.303 19.054 11.178 19.063 /<br />
\plot 11.178 19.063 11.055 19.078 /<br />
\plot 11.055 19.078 10.935 19.097 /<br />
\plot 10.935 19.097 10.818 19.120 /<br />
\plot 10.818 19.120 10.706 19.145 /<br />
\plot 10.706 19.145 10.598 19.177 /<br />
\plot 10.598 19.177 10.494 19.209 /<br />
\plot 10.494 19.209 10.395 19.245 /<br />
\plot 10.395 19.245 10.298 19.281 /<br />
\plot 10.298 19.281 10.202 19.321 /<br />
\plot 10.202 19.321 10.111 19.363 /<br />
\plot 10.111 19.363 10.022 19.406 /<br />
\plot 10.022 19.406 9.936 19.450 /<br />
\plot 9.936 19.450 9.851 19.494 /<br />
\plot 9.851 19.494 9.768 19.539 /<br />
\plot 9.768 19.539 9.688 19.586 /<br />
\plot 9.688 19.586 9.612 19.632 /<br />
\plot 9.612 19.632 9.538 19.677 /<br />
\plot 9.538 19.677 9.468 19.721 /<br />
\plot 9.468 19.721 9.402 19.763 /<br />
\plot 9.402 19.763 9.341 19.804 /<br />
\plot 9.341 19.804 9.284 19.840 /<br />
\plot 9.284 19.840 9.233 19.873 /<br />
\plot 9.233 19.873 9.188 19.905 /<br />
\plot 9.188 19.905 9.152 19.931 /<br />
\plot 9.152 19.931 9.121 19.952 /<br />
\plot 9.121 19.952 9.095 19.969 /<br />
\plot 9.095 19.969 9.076 19.983 /<br />
\plot 9.076 19.983 9.064 19.992 /<br />
\plot 9.064 19.992 9.055 19.998 /<br />
\plot 9.055 19.998 9.051 20.000 /<br />
\plot 9.051 20.000 9.049 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.144 20.003 7.146 20.000 /<br />
\plot 7.146 20.000 7.150 19.996 /<br />
\plot 7.150 19.996 7.156 19.988 /<br />
\plot 7.156 19.988 7.169 19.975 /<br />
\plot 7.169 19.975 7.186 19.956 /<br />
\plot 7.186 19.956 7.209 19.933 /<br />
\plot 7.209 19.933 7.237 19.903 /<br />
\plot 7.237 19.903 7.271 19.867 /<br />
\plot 7.271 19.867 7.311 19.829 /<br />
\plot 7.311 19.829 7.353 19.784 /<br />
\plot 7.353 19.784 7.404 19.738 /<br />
\plot 7.404 19.738 7.457 19.689 /<br />
\plot 7.457 19.689 7.514 19.638 /<br />
\plot 7.514 19.638 7.576 19.586 /<br />
\plot 7.576 19.586 7.639 19.535 /<br />
\plot 7.639 19.535 7.709 19.482 /<br />
\plot 7.709 19.482 7.779 19.431 /<br />
\plot 7.779 19.431 7.855 19.382 /<br />
\plot 7.855 19.382 7.933 19.334 /<br />
\plot 7.933 19.334 8.016 19.289 /<br />
\plot 8.016 19.289 8.105 19.247 /<br />
\plot 8.105 19.247 8.198 19.207 /<br />
\plot 8.198 19.207 8.297 19.171 /<br />
\plot 8.297 19.171 8.405 19.137 /<br />
\plot 8.405 19.137 8.520 19.107 /<br />
\plot 8.520 19.107 8.642 19.084 /<br />
\plot 8.642 19.084 8.771 19.065 /<br />
\plot 8.771 19.065 8.907 19.054 /<br />
\plot 8.907 19.054 9.049 19.050 /<br />
\plot 9.049 19.050 9.176 19.054 /<br />
\plot 9.176 19.054 9.301 19.063 /<br />
\plot 9.301 19.063 9.423 19.078 /<br />
\plot 9.423 19.078 9.544 19.097 /<br />
\plot 9.544 19.097 9.660 19.120 /<br />
\plot 9.660 19.120 9.773 19.145 /<br />
\plot 9.773 19.145 9.881 19.177 /<br />
\plot 9.881 19.177 9.984 19.209 /<br />
\plot 9.984 19.209 10.084 19.245 /<br />
\plot 10.084 19.245 10.181 19.281 /<br />
\plot 10.181 19.281 10.276 19.321 /<br />
\plot 10.276 19.321 10.367 19.363 /<br />
\plot 10.367 19.363 10.456 19.406 /<br />
\plot 10.456 19.406 10.543 19.450 /<br />
\plot 10.543 19.450 10.628 19.494 /<br />
\plot 10.628 19.494 10.710 19.539 /<br />
\plot 10.710 19.539 10.791 19.586 /<br />
\plot 10.791 19.586 10.867 19.632 /<br />
\plot 10.867 19.632 10.941 19.677 /<br />
\plot 10.941 19.677 11.011 19.721 /<br />
\plot 11.011 19.721 11.077 19.763 /<br />
\plot 11.077 19.763 11.138 19.804 /<br />
\plot 11.138 19.804 11.195 19.840 /<br />
\plot 11.195 19.840 11.246 19.873 /<br />
\plot 11.246 19.873 11.290 19.905 /<br />
\plot 11.290 19.905 11.326 19.931 /<br />
\plot 11.326 19.931 11.358 19.952 /<br />
\plot 11.358 19.952 11.383 19.969 /<br />
\plot 11.383 19.969 11.402 19.983 /<br />
\plot 11.402 19.983 11.415 19.992 /<br />
\plot 11.415 19.992 11.424 19.998 /<br />
\plot 11.424 19.998 11.428 20.000 /<br />
\plot 11.428 20.000 11.430 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.383 21.431 to 12.380 21.431<br />
\plot 12.380 21.431 12.376 21.433 /<br />
\plot 12.376 21.433 12.366 21.438 /<br />
\plot 12.366 21.438 12.353 21.444 /<br />
\plot 12.353 21.444 12.332 21.452 /<br />
\plot 12.332 21.452 12.304 21.465 /<br />
\plot 12.304 21.465 12.268 21.480 /<br />
\plot 12.268 21.480 12.224 21.499 /<br />
\plot 12.224 21.499 12.173 21.520 /<br />
\plot 12.173 21.520 12.112 21.546 /<br />
\plot 12.112 21.546 12.044 21.575 /<br />
\plot 12.044 21.575 11.966 21.607 /<br />
\plot 11.966 21.607 11.881 21.641 /<br />
\plot 11.881 21.641 11.790 21.679 /<br />
\plot 11.790 21.679 11.690 21.719 /<br />
\plot 11.690 21.719 11.587 21.759 /<br />
\plot 11.587 21.759 11.477 21.804 /<br />
\plot 11.477 21.804 11.362 21.846 /<br />
\plot 11.362 21.846 11.244 21.893 /<br />
\plot 11.244 21.893 11.123 21.937 /<br />
\plot 11.123 21.937 10.998 21.982 /<br />
\plot 10.998 21.982 10.871 22.026 /<br />
\plot 10.871 22.026 10.744 22.070 /<br />
\plot 10.744 22.070 10.615 22.113 /<br />
\plot 10.615 22.113 10.484 22.155 /<br />
\plot 10.484 22.155 10.353 22.195 /<br />
\plot 10.353 22.195 10.221 22.233 /<br />
\plot 10.221 22.233 10.088 22.269 /<br />
\plot 10.088 22.269 9.957 22.303 /<br />
\plot 9.957 22.303 9.823 22.335 /<br />
\plot 9.823 22.335 9.690 22.365 /<br />
\plot 9.690 22.365 9.557 22.390 /<br />
\plot 9.557 22.390 9.421 22.411 /<br />
\plot 9.421 22.411 9.286 22.430 /<br />
\plot 9.286 22.430 9.152 22.445 /<br />
\plot 9.152 22.445 9.015 22.458 /<br />
\plot 9.015 22.458 8.879 22.464 /<br />
\putrule from 8.879 22.464 to 8.744 22.464<br />
\plot 8.744 22.464 8.611 22.460 /<br />
\plot 8.611 22.460 8.477 22.451 /<br />
\plot 8.477 22.451 8.346 22.435 /<br />
\plot 8.346 22.435 8.219 22.413 /<br />
\plot 8.219 22.413 8.096 22.384 /<br />
\plot 8.096 22.384 7.963 22.341 /<br />
\plot 7.963 22.341 7.840 22.293 /<br />
\plot 7.840 22.293 7.728 22.236 /<br />
\plot 7.728 22.236 7.628 22.172 /<br />
\plot 7.628 22.172 7.540 22.106 /<br />
\plot 7.540 22.106 7.459 22.035 /<br />
\plot 7.459 22.035 7.389 21.960 /<br />
\plot 7.389 21.960 7.328 21.882 /<br />
\plot 7.328 21.882 7.277 21.802 /<br />
\plot 7.277 21.802 7.231 21.719 /<br />
\plot 7.231 21.719 7.192 21.634 /<br />
\plot 7.192 21.634 7.161 21.550 /<br />
\plot 7.161 21.550 7.135 21.461 /<br />
\plot 7.135 21.461 7.114 21.370 /<br />
\plot 7.114 21.370 7.099 21.279 /<br />
\plot 7.099 21.279 7.087 21.188 /<br />
\plot 7.087 21.188 7.078 21.095 /<br />
\plot 7.078 21.095 7.072 21.004 /<br />
\plot 7.072 21.004 7.070 20.911 /<br />
\putrule from 7.070 20.911 to 7.070 20.820<br />
\plot 7.070 20.820 7.072 20.729 /<br />
\plot 7.072 20.729 7.074 20.642 /<br />
\plot 7.074 20.642 7.080 20.557 /<br />
\plot 7.080 20.557 7.087 20.477 /<br />
\plot 7.087 20.477 7.093 20.400 /<br />
\plot 7.093 20.400 7.099 20.331 /<br />
\plot 7.099 20.331 7.108 20.267 /<br />
\plot 7.108 20.267 7.114 20.210 /<br />
\plot 7.114 20.210 7.120 20.159 /<br />
\plot 7.120 20.159 7.127 20.117 /<br />
\plot 7.127 20.117 7.131 20.083 /<br />
\plot 7.131 20.083 7.135 20.055 /<br />
\plot 7.135 20.055 7.140 20.034 /<br />
\plot 7.140 20.034 7.142 20.019 /<br />
\putrule from 7.142 20.019 to 7.142 20.009<br />
\plot 7.142 20.009 7.144 20.005 /<br />
\putrule from 7.144 20.005 to 7.144 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.096 21.431 to 8.098 21.431<br />
\plot 8.098 21.431 8.103 21.433 /<br />
\plot 8.103 21.433 8.113 21.438 /<br />
\plot 8.113 21.438 8.126 21.444 /<br />
\plot 8.126 21.444 8.147 21.452 /<br />
\plot 8.147 21.452 8.175 21.465 /<br />
\plot 8.175 21.465 8.211 21.480 /<br />
\plot 8.211 21.480 8.255 21.499 /<br />
\plot 8.255 21.499 8.306 21.520 /<br />
\plot 8.306 21.520 8.367 21.546 /<br />
\plot 8.367 21.546 8.435 21.575 /<br />
\plot 8.435 21.575 8.513 21.607 /<br />
\plot 8.513 21.607 8.598 21.641 /<br />
\plot 8.598 21.641 8.689 21.679 /<br />
\plot 8.689 21.679 8.788 21.719 /<br />
\plot 8.788 21.719 8.892 21.759 /<br />
\plot 8.892 21.759 9.002 21.804 /<br />
\plot 9.002 21.804 9.116 21.846 /<br />
\plot 9.116 21.846 9.235 21.893 /<br />
\plot 9.235 21.893 9.356 21.937 /<br />
\plot 9.356 21.937 9.481 21.982 /<br />
\plot 9.481 21.982 9.608 22.026 /<br />
\plot 9.608 22.026 9.735 22.070 /<br />
\plot 9.735 22.070 9.864 22.113 /<br />
\plot 9.864 22.113 9.995 22.155 /<br />
\plot 9.995 22.155 10.126 22.195 /<br />
\plot 10.126 22.195 10.257 22.233 /<br />
\plot 10.257 22.233 10.391 22.269 /<br />
\plot 10.391 22.269 10.522 22.303 /<br />
\plot 10.522 22.303 10.655 22.335 /<br />
\plot 10.655 22.335 10.789 22.365 /<br />
\plot 10.789 22.365 10.922 22.390 /<br />
\plot 10.922 22.390 11.057 22.411 /<br />
\plot 11.057 22.411 11.193 22.430 /<br />
\plot 11.193 22.430 11.326 22.445 /<br />
\plot 11.326 22.445 11.464 22.458 /<br />
\plot 11.464 22.458 11.599 22.464 /<br />
\putrule from 11.599 22.464 to 11.735 22.464<br />
\plot 11.735 22.464 11.868 22.460 /<br />
\plot 11.868 22.460 12.002 22.451 /<br />
\plot 12.002 22.451 12.133 22.435 /<br />
\plot 12.133 22.435 12.260 22.413 /<br />
\plot 12.260 22.413 12.383 22.384 /<br />
\plot 12.383 22.384 12.516 22.341 /<br />
\plot 12.516 22.341 12.639 22.293 /<br />
\plot 12.639 22.293 12.751 22.236 /<br />
\plot 12.751 22.236 12.850 22.172 /<br />
\plot 12.850 22.172 12.939 22.106 /<br />
\plot 12.939 22.106 13.020 22.035 /<br />
\plot 13.020 22.035 13.089 21.960 /<br />
\plot 13.089 21.960 13.151 21.882 /<br />
\plot 13.151 21.882 13.202 21.802 /<br />
\plot 13.202 21.802 13.248 21.719 /<br />
\plot 13.248 21.719 13.286 21.634 /<br />
\plot 13.286 21.634 13.318 21.550 /<br />
\plot 13.318 21.550 13.343 21.461 /<br />
\plot 13.343 21.461 13.365 21.370 /<br />
\plot 13.365 21.370 13.379 21.279 /<br />
\plot 13.379 21.279 13.392 21.188 /<br />
\plot 13.392 21.188 13.401 21.095 /<br />
\plot 13.401 21.095 13.407 21.004 /<br />
\plot 13.407 21.004 13.409 20.911 /<br />
\putrule from 13.409 20.911 to 13.409 20.820<br />
\plot 13.409 20.820 13.407 20.729 /<br />
\plot 13.407 20.729 13.405 20.642 /<br />
\plot 13.405 20.642 13.399 20.557 /<br />
\plot 13.399 20.557 13.392 20.477 /<br />
\plot 13.392 20.477 13.386 20.400 /<br />
\plot 13.386 20.400 13.379 20.331 /<br />
\plot 13.379 20.331 13.371 20.267 /<br />
\plot 13.371 20.267 13.365 20.210 /<br />
\plot 13.365 20.210 13.358 20.159 /<br />
\plot 13.358 20.159 13.352 20.117 /<br />
\plot 13.352 20.117 13.348 20.083 /<br />
\plot 13.348 20.083 13.343 20.055 /<br />
\plot 13.343 20.055 13.339 20.034 /<br />
\plot 13.339 20.034 13.337 20.019 /<br />
\putrule from 13.337 20.019 to 13.337 20.009<br />
\plot 13.337 20.009 13.335 20.005 /<br />
\putrule from 13.335 20.005 to 13.335 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 12.383 21.431 11.430 20.003 /<br />
\plot 11.430 20.003 8.096 21.431 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.096 21.431 to 12.383 21.431<br />
\plot 12.383 21.431 13.335 20.003 /<br />
\putrule from 13.335 20.003 to 7.144 20.003<br />
\plot 7.144 20.003 8.096 21.431 /<br />
\plot 8.096 21.431 9.049 20.003 /<br />
\plot 9.049 20.003 12.383 21.431 /<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.008 22.511 and 13.470 17.913<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:crossingK6}Minimální počet křížení v grafu $K_{6}$}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:odhad-poctu-krizeni}Nechť $G=(V,E)$ je graf, $m=\# E,n=\# V$<br />
a nechť $m\geq4n$. Potom platí\[<br />
\crs(G)\geq\frac{1}{64}\frac{m^{3}}{n^{2}}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Pro velký počet hran, tj. $m\approx n^{2}$ (nejvýše je $m=\binom{n}{2}=\frac{n^{2}-n}{2}$)<br />
tato věta dává mnohem silnější odhad $\crs(G)$:\[<br />
\crs(G)\geq konst\cdot\frac{n^{6}}{n^{2}}=konst\cdot n^{4}\approx konst\cdot m^{2},\]<br />
což je odhad kvadratický v počtu hran $m$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Provedeme tzv. \emph{pravděpodobnostní} důkaz tohoto tvrzení. Tento<br />
typ důkazu se nám bude ještě mnohokrát hodit v druhé kapitole.<br />
<br />
Namalujeme $G$ tak, aby počet křížení byl $\crs(G)$. Vezmeme zatím<br />
blíže neurčené $p\in[0,1]$ a pro každý vrchol se nezávisle rozhodujeme,<br />
zda jej necháme v obrázku: Vrchol ponecháme s pravděpodobností $p$<br />
a odstraníme jej s pravděpodobností $1-p$. Každá hrana zůstane v<br />
obrázku, pokud v něm zůstanou oba její koncové vrcholy. Stejně tak<br />
křížení zůstane v obrázku, pokud v něm zůstanou obě hrany, které jej<br />
tvoří. Výsledkem je obrázek nového grafu $G_{p}\subset G$. Označme<br />
si následující náhodné veličiny:<br />
\begin{lyxlist}{00.00.0000}<br />
\item [$n_{p}$]počet ponechaných vrcholů, tj. počet vrcholů v $G_{p}$,<br />
\item [$m_{p}$]počet hran v $G_{p}$,<br />
\item [$X$]počet křížení v obrázku $G_{p}$.<br />
\end{lyxlist}<br />
$X$ nemusí být rovno $\crs(G_{p})$, protože obrázek $G_{p}$ vznikl<br />
jen odebráním některých částí obrázku původního grafu $G$. Proto<br />
podle předchozí věty platí\[<br />
X\geq\crs(G_{p})\geq m_{p}-3n_{p}+6.\]<br />
Z toho plyne, že i pro střední hodnoty platí (jestliže na pravé straně<br />
zanedbáme konstantu $6$)\begin{equation}<br />
\E X\geq\E m_{p}-3\E n_{p}.\label{eq:nerovnost-pro-crG}\end{equation}<br />
<br />
<br />
Střední hodnoty jednotlivých veličin vyjádříme následovně. Pro každé<br />
$v\in V$ označíme elementární náhodnou veličinu\[<br />
x_{v}=\begin{cases}<br />
1 & v\in V(G_{p})\\<br />
0 & v\notin V(G_{p})\end{cases},\]<br />
tj. $x_{v}$ je indikátor jevu $v\in V(G_{p})$. Potom $\forall v\in V$<br />
platí \[<br />
\E x_{v}=1\cdot\Pr\left(v\in V(G_{p})\right)+0\cdot\Pr\left(v\notin V(G_{p})\right)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p\]<br />
a protože $n_{p}=\sum_{v\in V}x_{v}$, tak\[<br />
\E n_{p}=\sum_{v\in V}\E x_{v}=np.\]<br />
Analogicky zavedeme indikátor $y_{e}$ jevu $e\in E(G_{p})$ pro každou<br />
$e\in E$. Potom $\forall e\in E$ platí $\E y_{e}=p^{2}$ a tak\[<br />
\E m_{p}=mp^{2}.\]<br />
Konečně totéž provedeme i pro křížení, přičemž podle konstrukce obrázku<br />
$G_{p}$ v něm zůstává každé konkrétní křížení s pravděpodobností<br />
$p^{4}$, takže $\E X=\crs(G)\cdot p^{4}$. Po dosazení do (\ref{eq:nerovnost-pro-crG})<br />
máme\begin{eqnarray*}<br />
\crs(G)\cdot p^{4} & \geq & mp^{2}-3np\\<br />
\crs(G) & \geq & \frac{m}{p^{2}}-\frac{3n}{p^{3}},\end{eqnarray*}<br />
což musí platit pro každé $p\in[0,1]$. Pokud nyní zvolíme $p=\frac{4n}{m}\leq1$,<br />
dostaneme\[<br />
\crs(G)\geq\frac{m}{p^{2}}-\frac{3n}{p^{3}}=\frac{m^{3}}{16n^{2}}-3\frac{m^{3}}{4^{3}n^{2}}=\frac{m^{3}}{n^{2}}\left(\frac{4}{4^{3}}-\frac{3}{4^{3}}\right)=\frac{1}{64}\frac{m^{3}}{n^{2}}.\]<br />
<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_11&diff=4520
01ZTGA:Kapitola1 11
2012-01-15T12:52:39Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Vrcholové obarvení grafu}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, $k\in\N$. $k$-\textbf{vrcholovým obarvením}<br />
(angl. $k$\emph{-vertex colouring}) grafu $G$ nazveme zobrazení<br />
$\varphi:V\mapsto\hat{k}$. $\varphi$ se nazývá \textbf{vlastní}<br />
(angl. \emph{proper}) $k$-vrcholové obarvení grafu $G$, jestliže<br />
platí\[<br />
\left(\forall u,v\in V\right)\left(\varphi(u)=\varphi(v)\Rightarrow\{ u,v\}\notin E\right),\]<br />
tj. jestliže stejně barevné vrcholy nejsou spojeny hranou. Minimální<br />
$k$ takové, že existuje $k$-vrcholové vlastní obarvení grafu $G$,<br />
se nazývá \textbf{barevnost} (angl. \emph{chromatic number}) grafu<br />
$G$ a značí se $\chi(G)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
Jestliže vrcholy reprezentují účastníky reality show a hrany vedou<br />
mezi těmi, kteří se nesnášejí, pak $\chi(G)$ je minimální počet skupin,<br />
do nichž lze soutěžící rozdělit tak, aby v žádné skupině nebyli dva,<br />
kteří se nesnášejí.<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem*}<br />
~<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\chi(G)=1$ $\Leftrightarrow$ $G=(V,\emptyset)$.<br />
\item $\chi(G)=2$ $\Leftrightarrow$ $G$ je bipartitní s alespoň jednou<br />
hranou ($\Leftrightarrow$ v $G$ není kružnice liché délky).<br />
\item $\chi(G)=p,p\geq3$ $\Leftrightarrow$ ??<br />
\end{itemize}<br />
Rozhodnout o tom, zda $\chi(G)=p$, je pro obecný graf NP-úplná úloha.<br />
Podle předchozích bodů můžeme jen ověřit, jestli $\chi(G)\geq3$ nebo<br />
ne.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
Zřejmě vždy platí $\chi(G)\leq n=\# V$. Jestliže obarvíme každý vrchol<br />
jinou barvou, dostaneme vlastní obarvení. Přitom když $G=K_{n}$,<br />
tj. je-li $G$ úplným grafem na $n$ vrcholech, tak $\chi(G)=n$.<br />
Platí i opačná implikace, protože chybí-li mezi dvěma vrcholy hrana,<br />
lze je obarvit stejnou barvou a zbylé vrcholy opět obarvit různě.<br />
Celkem tedy\[<br />
\chi(G)=n\Leftrightarrow G=K_{n}.\]<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:klika-nez-mnozina}Nechť $G=(V,E)$ je graf, $k\in\N$.<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Klikou} (angl. \emph{clique}) velikosti $k$ v $G$ rozumíme<br />
množinu vrcholů $S\subset V$ takovou, že podgraf $G[S]=\left(S,E\cap\binom{S}{2}\right)$<br />
indukovaný množinou $S$ je úplný, tj. každé dva vrcholy z $S$ jsou<br />
spojeny hranou v $G$.<br />
\item $S\subset V$ se nazývá \textbf{nezávislá množina} (angl. \emph{independent<br />
set}) velikosti $k$ v $G$, jestliže $E\cap\binom{S}{2}=\emptyset$,<br />
tj. jestliže žádné dva vrcholy z $S$ nejsou spojeny hranou v grafu<br />
$G$.<br />
\item $S\subset V$ se nazývá \textbf{vrcholové pokrytí} (angl. \emph{covering})<br />
grafu $G$, jestliže $\left(\forall e\in E\right)\left(\exists v\in S\right)\left(v\in e\right)$,<br />
tj. jestliže každá hrana v $G$ má alespoň jeden konec v $S$.<br />
\end{itemize}<br />
Maximální velikost kliky v grafu $G$ značíme $\omega(G)$, maximální<br />
velikost nezávislé množiny značíme $\alpha(G)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
V přednášce někdy klikou velikosti $k$ nazýváme též úplný podgraf<br />
$K_{k}=G[S]$, který množina $S$ indukuje.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:alfa-omega-v-doplnku-G}Je-li $S$ nezávislá množina v<br />
$G$, pak $S$ je klika v $\bar{G}$ a naopak. Proto zřejmě platí\begin{eqnarray*}<br />
\alpha(\bar{G}) & = & \omega(G)\\<br />
\omega(\bar{G)} & = & \alpha(G).\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{rem*}<br />
Klikami a nezávislými množinami se budeme v různých souvislostech<br />
zabývat především v druhé části přednášky. Nyní tuto definici budeme<br />
potřebovat jen na několika málo místech.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $\varphi$ je vlastní $\chi(G)$-vrcholové obarvení grafu $G=(V,E)$,<br />
$i\in\widehat{\chi(G)}$. Potom mezi vrcholy z $\varphi^{-1}(i)$<br />
nevede hrana, neboli $\varphi^{-1}(i)$ je nezávislá množina. Tím<br />
pádem\[<br />
\#\varphi^{-1}(i)\leq\alpha(G)\]<br />
a přitom platí\[<br />
\bigcup_{i=1}^{\chi(G)}\#\varphi^{-1}(i)=V.\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf. Potom platí\begin{eqnarray*}<br />
\# V & \leq & \alpha(G)\cdot\chi(G)\\<br />
\omega(G) & \leq & \chi(G).\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení plyne okamžitě z předchozí poznámky. Druhé tvrzení je<br />
zřejmé: V $G$ existuje klika velikosti $\omega(G)$, jejíž vrcholy<br />
musí mít při vlastním obarvení grafu $G$ $\omega(G)$ různých barev.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
~<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jestliže $H\subset G$, potom $\chi(H)\leq\chi(G)$.<br />
\item Platí-li $G=G_{1}\cup G_{2}\cup...\cup G_{r}$, kde $G_{i}$ jsou<br />
komponenty grafu $G$, potom zřejmě\[<br />
\chi(G)=\max_{i\in\hat{r}}\chi(G_{i}).\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf. Potom $\chi(G)\leq\Delta(G)+1$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení je formálně shodné s Vizingovou větou \ref{thm:Vizing} pro<br />
hranovou barevnost. Zde je však důkaz snadný. ,,Poctivě{}`` jej<br />
lze provést indukcí podle $n=\# V$.<br />
<br />
Pro $n=1$ je to jasné: $\Delta(G)=0$, $\chi(G)=1=\Delta(G)+1$.<br />
<br />
Indukční krok $n-1\to n$: V $G$ najdeme vrchol $u\in V$ takový,<br />
že $d_{G}(u)=\Delta(G)$. Samozřejmě je $\Delta(G\backslash u)\leq\Delta(G)$.<br />
Z indukčního předpokladu je $\chi(G\backslash u)\leq\Delta(G\backslash u)+1\leq\Delta(G)+1$.<br />
Najdeme tedy vlastní obarvení grafu $G\backslash u$ pomocí $\Delta(G)+1$<br />
barev. Pokud nyní přidáme zpět vrchol $u$, který má $\Delta(G)$<br />
sousedů, bude možné jej rovněž obarvit jednou z $\Delta(G)+1$ barev.<br />
Celý $G$ je tak obarven pomocí $\Delta(G)+1$ barev.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Myšlenku předchozího důkazu lze shrnout jednoduše: Postupně barvíme<br />
jeden vrchol za druhým první dostupnou barvou. Nikdy se nemůže stát,<br />
že bychom neměli k dispozici žádnou volnou barvu, protože každý vrchol<br />
má méně sousedů, než kolik máme barev.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Dolní odhad na $\chi(G)$ není možné pomocí $\Delta(G)$ nijak vyjádřit:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Úplný graf $K_{n}$ na $n$ vrcholech má $\chi(K_{n})=n=\Delta(G)+1$.<br />
\item Úplný bipartitní graf na $1+(n-1)$ vrcholech, tj. graf $S_{n-1}$<br />
(viz definice \ref{def:specialni-grafy}) má $\Delta(S_{n-1})=n-1$,<br />
ale $\chi(G)=2$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:barevnost-s-doplnkem}Pro každý graf $G=(V,E)$ platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\chi(G)+\chi(\bar{G})\leq n+1$,<br />
\item $\chi(G)\cdot\chi(\bar{G})\geq n$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{thm}<br />
Připravíme si dvě pomocná tvrzení, z nichž již plynou jednotlivé nerovnosti.<br />
<br />
\begin{lem}<br />
Buďte $G_{1}=(V_{1},E_{1}),G_{2}=(V_{2},E_{2})$ dva grafy. Potom<br />
platí\[<br />
\chi(G_{1}\cup G_{2})\leq\chi(G_{1})\cdot\chi(G_{2}).\]<br />
<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Zřejmě platí $\chi(G_{1})=\chi(\tilde{G}_{1})$, kde $\tilde{G}_{1}=(V_{1}\cup V_{2},E_{1})$,<br />
a stejně $\chi(G_{2})=\chi(\tilde{G}_{2})$, kde $\tilde{G}_{2}=(V_{1}\cup V_{2},E_{2})$.<br />
BÚNO je proto možné předpokládat $V_{1}=V_{2}(:=V)$.<br />
<br />
Z předpokladu existují obarvení grafů $G_{1}$ a $G_{2}$\begin{eqnarray*}<br />
\varphi_{1} & : & V\mapsto\left\{ 1,2,...,\chi(G_{1})\right\} ,\\<br />
\varphi_{2} & : & V\mapsto\left\{ 1,2,...,\chi(G_{2})\right\} .\end{eqnarray*}<br />
Najdeme obarvení grafu $G_{1}\cup G_{2}$ pomocí $\chi(G_{1})\cdot\chi(G_{2})$<br />
barev. Definujme nyní pro každé $v\in V$\[<br />
\psi(v)=\left(\varphi_{1}(v),\varphi_{2}(v)\right).\]<br />
Potom pro každé $u,v\in V$ platí $\left(\psi(u)=\psi(v)\right)$$\Rightarrow$$\left(\varphi_{1}(u)=\varphi_{1}(v)\wedge\varphi_{2}(u)=\varphi_{2}(v)\right)$$\Rightarrow$\\<br />
$\Rightarrow$$\left(\{ u,v\}\notin E_{1}\wedge\{ u,v\}\notin E_{2}\right)$$\Rightarrow$$\{ u,v\}\notin E_{1}\cup E_{2}$.<br />
Zobrazení $\psi$ je\[<br />
\psi:V\mapsto\left\{ 1,2,...,\chi(G_{1})\right\} \times\left\{ 1,2,...,\chi(G_{2})\right\} .\]<br />
Obor hodnot zobrazení $\psi$ je však (množinově) izomorfní s množinou<br />
$\left\{ 1,2,...,\chi(G_{1})\cdot\chi(G_{2})\right\} $. Abychom korektně<br />
definovali vrcholové obarvení grafu $G_{1}\cup G_{2}$, označme \[<br />
B:\left\{ 1,2,...,\chi(G_{1})\right\} \times\left\{ 1,2,...,\chi(G_{2})\right\} \mapsto\left\{ 1,2,...,\chi(G_{1})\cdot\chi(G_{2})\right\} \]<br />
bijekci mezi uvedenými množinami. Potom lze pro každé $v\in V$ definovat<br />
$\chi(G_{1})\cdot\chi(G_{2})$-vrcholové obarvení grafu $G_{1}\cup G_{2}$<br />
takto:\[<br />
\varphi(v)=B(\psi(v)).\]<br />
<br />
<br />
Pro $\varphi$ platí $\left(\forall u,v\in V\right)\left(\varphi(u)=\varphi(v)\Rightarrow\{ u,v\}\notin E_{1}\cup E_{2}\right)$,<br />
takže se skutečně jedná o vrcholové obarvení.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Platí tvrzení $(2)$ věty \ref{thm:barevnost-s-doplnkem}.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
Protože $G\cup\bar{G}=K_{n}$, tak\[<br />
n=\chi(K_{n})=\chi(G\cup\bar{G})\leq\chi(G)\cdot\chi(\bar{G}).\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{lem}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. Nechť existuje disjunktní rozklad množiny vrcholů<br />
$V=V_{1}\cup V_{2}\cup...\cup V_{k}$ takový, že\[<br />
\left(\forall i,j\in\hat{k},i\neq j\right)\left(\exists u\in V_{i}\right)\left(\exists v\in V_{j}\right)\left(\{ u,v\}\notin E\right).\]<br />
Potom $\chi(G)\leq n+1-k$.<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Indukcí podle $k$. Pro $k=1$ máme $\chi(G)\leq n+1-1=n$, což je<br />
pravda.<br />
<br />
Indukční krok $k-1\to k$: Platí $\chi(G\backslash V_{k})=\left(n-\# V_{k}\right)+1-(k-1)=\left(n-\# V_{k}\right)+2-k$.<br />
Nyní vezmeme $\# V_{k}$ nových barev a obarvíme vrcholy z $V_{k}$<br />
těmito barvami, každý vrchol jinou barvou. Máme tak obarvený celý<br />
graf, a to $\leq\left(n-\# V_{k}\right)+2-k+\# V_{k}=n+2-k$ barvami.<br />
Pokud je tento počet barev $\leq n+1-k$, je hotovo. Jestliže je použito<br />
právě $n+2-k$ barev, musíme pokračovat a obarvení upravit. Z předpokladu<br />
platí\[<br />
\left(\forall i\in\{1,2,...,k-1\}\right)\left(\exists x_{i}\in V_{i}\right)\left(\exists y_{i}\in V_{k}\right)\left(\{ x_{i},y_{i}\}\notin E\right).\]<br />
Množina $V\backslash\{ x_{1},x_{2},...,x_{k-1}\}$ má počet vrcholů<br />
$n-(k-1)=n+1-k$, což je méně, než počet použitých barev. Proto existuje<br />
barva $b$, která se vyskytuje pouze na vrcholech $x_{1},x_{2},...,x_{k-1}$.<br />
Této barvy se zbavíme tak, že každý vrchol $x_{i}$ ($i\in\{1,...,k-1\}$),<br />
který má barvu $b$, přebarvíme na barvu vrcholu $y_{i}$. Potom nové<br />
obarvení je stále vlastní. $\{ x_{i},y_{i}\}$ totiž nejsou v hraně,<br />
a i kdyby různým $x_{i},x_{j}$ příslušel stejný vrchol $y_{i}=y_{j}$,<br />
potom, protože oba vrcholy $x_{i},x_{j}$ měly stejnou barvu $b$,<br />
lze je opět obarvit stejnou barvou - barvou vrcholu $y_{i}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Platí tvrzení $(1)$ věty \ref{thm:barevnost-s-doplnkem}.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
Označme $k=\chi(G)$. Nechť $\varphi$ je vlastní $k$-vrcholové obarvení<br />
$G$. Pro každé $i\in\hat{k}$ označme\[<br />
V_{i}:=\varphi^{-1}(i).\]<br />
Potom platí, že \begin{equation}<br />
\left(\forall i,j\in\hat{k},1\leq i\leq j\leq k\right)\left(\exists u\in V_{i}\right)\left(\exists v\in V_{j}\right)\left(\{ u,v\}\in E\right).\label{eq:hranaViVj}\end{equation}<br />
Kdyby tomu tak nebylo, tj. kdyby\[<br />
\left(\exists i,j\in\hat{k},1\leq i\leq j\leq k\right)\left(\forall u\in V_{i}\right)\left(\forall v\in V_{j}\right)\left(\{ u,v\}\notin E\right),\]<br />
bylo by možné vrcholy z $V_{i}$ i z $V_{j}$ obarvit stejnou barvou,<br />
a tak by $\chi(G)<k$, což je spor. Vezměme nyní graf $\bar{G}$ a<br />
definujme na něm stejný rozklad $V=\bigcup_{i=1}^{k}V_{i}$. Potom<br />
z (\ref{eq:hranaViVj}) vznikne pro graf $\bar{G}$ přímo předpoklad<br />
lemmatu. Proto\[<br />
\chi(\bar{G})\leq n+1-k=n+1-\chi(G),\]<br />
což už je první tvrzení věty \ref{thm:barevnost-s-doplnkem}.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{$k$-kritické grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že graf $G=(V,E)$ je $k$-\textbf{kritický}, jestliže $\chi(G)=k$<br />
a pro každý vlastní podgraf $H\subsetneqq G$ je $\chi(H)<\chi(G)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs}<br />
$k$-kritický graf je souvislý.<br />
\end{obs}<br />
\begin{proof}<br />
Víme, že má-li $G$ komponenty $G_{1},...,G_{r}$, tak potom\[<br />
\chi(G)=\max_{i\in\hat{r}}\chi(G_{i}).\]<br />
Je-li $r\geq2$, existuje jedna nebo více komponent, které lze z grafu<br />
$G$ odebrat, aniž se sníží jeho barevnost. Proto takový $G$ není<br />
$k$-kritický.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:123kriticke-grafy}~<br />
\begin{itemize}<br />
\item $1$-kritický graf je $G=\{\{ v\},\emptyset\}$.<br />
\item $2$-kritický graf je $G=\{\{ u,v\},\{\{ u,v\}\}\}$.<br />
\item $3$-kritický graf je $C_{2n-1}$ (kružnice liché délky).<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
První dvě tvrzení jsou zřejmá. Dále víme, že $\chi(G)=2$, právě když<br />
$G$ je bipartitní graf. $3$-kritický graf tedy nesmí být bipartitní,<br />
ale odebráním čehokoliv z něj musí bipartitní graf vzniknout. Jediný<br />
graf, který to splňuje, je kružnice liché délky bez dalších odboček.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
$4$-kritický graf vidíme na obrázku \ref{cap:4kriticky-graf}. Odebereme-li<br />
totiž hranu z obvodu, lze vrcholy po obvodě obarvit jen barvami $1$<br />
a $2$ a vrchol uprostřed barvou $3$. Odebereme-li hranu vedoucí<br />
do středu, obarvíme vrcholy po obvodu kromě vrcholu $v_{0}$, ze kterého<br />
jsme odebrali hranu, barvami $1$ a $2$. Vrchol $v_{0}$ a střed<br />
pak obarvíme barvou $3$.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: 4kriticky.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:45:28 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.333 18.098<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.096 19.050<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.333 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.954 19.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.954 18.337<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 17.621<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.525 19.050<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.096 19.050 to 9.525 19.050<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.525 17.621 to 9.525 19.050<br />
\plot 9.525 19.050 8.333 18.098 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.954 19.765 9.525 19.050 /<br />
\plot 9.525 19.050 10.954 18.337 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.333 20.003 9.525 19.050 /<br />
\putrule from 9.525 19.050 to 9.525 20.479<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.333 20.003 9.525 20.479 /<br />
\plot 9.525 20.479 10.954 19.765 /<br />
\putrule from 10.954 19.765 to 10.954 18.337<br />
\plot 10.954 18.337 9.525 17.621 /<br />
\plot 9.525 17.621 8.333 18.098 /<br />
\plot 8.333 18.098 8.096 19.050 /<br />
\plot 8.096 19.050 8.333 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4}%<br />
} [lB] at 9.644 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 7.739 19.884<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 7.499 18.931<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 7.739 17.979<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 9.406 16.787<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 11.311 18.216<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 11.309 19.647<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 9.406 20.955<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.468 21.552 and 11.343 16.756<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:4kriticky-graf}$4$-kritický graf}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
Každý graf $G$ s barevností $k=\chi(G)$ obsahuje $k$-kritický podgraf.<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
Stačí z $G$ postupně odebírat hrany takové, že neklesne barevnost.<br />
Jestliže už to nejde, máme $k$-kritický podgraf $G$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je $k$-kritický graf. Potom $\delta(G)\geq k-1$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Sporem: nechť $\left(\exists u\in V\right)\left(d_{G}(u)\leq k-2\right)$.<br />
Potom z $u$ vede méně hran, než kolik je potřeba barev na obarvení<br />
$G$, a to alespoň o $2$. Při každém vlastním obarvení není barva<br />
$u$ určena jednoznačně. Odeberme tedy vrchol $u$. Z $k$-kritičnosti<br />
$G$ lze zbytek grafu obarvit $k-1$ barvami. Jestliže nyní přidáme<br />
vrchol $u$ zpět, lze dát vrcholu $u$ alespoň $2$ různé barvy z<br />
dostupných $k$ barev. Proto nemusíme nutně vybrat novou ($k$-tou)<br />
barvu a $G$ se nám podaří obarvit $k-1$ barvami, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že množina $S\subset V$ je \textbf{řezem} (angl. \emph{cut})<br />
v grafu $G=(V,E)$, jestliže pro počty komponent platí $c(G)<c(G\backslash S)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Když $S=\{ u\}$ je řez v souvislém grafu, pak graf musí vypadat jako<br />
na obrázku \ref{cap:jednoprvkovy-rez-grafem}.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: rez_grafem.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:29:04 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 2.737 23.218 center at 2.381 23.218<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 3.689 24.289 center at 3.334 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 2.737 25.241 center at 2.381 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.381 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 1.784 24.289 center at 1.429 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 23.457 2.381 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.095 24.289 2.381 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 25.004 2.381 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.666 24.289 2.381 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{3}$}%<br />
} [lB] at 3.213 24.170<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{2}$}%<br />
} [lB] at 2.142 25.121<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{1}$}%<br />
} [lB] at 1.190 24.170<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{4}$}%<br />
} [lB] at 2.142 23.097<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 2.024 23.933<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 1.056 25.612 and 3.706 22.847<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:jednoprvkovy-rez-grafem}Jednoprvkový řez grafem}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:rez-neni-klika}Řez $k$-kritického grafu není klika.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Sporem: nechť $G$ je $k$-kritický, $S$ je řez v $G$ a zároveň<br />
klika v $G$. Předpokládejme, že $S=\{ v_{1},...,v_{r}\}$, tj. $\# S=r$.<br />
Každé vlastní $k$-vrcholové obarvení musí přiřadit vrcholum z $S$<br />
$r$ různých barev. Nechť $G\backslash S=G_{1}\cup G_{2}\cup...\cup G_{s}$.<br />
Potom vezmeme pro každé $i\in\hat{s}$ podgrafy $S\cup G_{i}$ (viz.<br />
obrázek \ref{cap:rez-neni-klika}) a obarvíme je $k-1$ barvami tak,<br />
aby barvy použité na vrcholech $S$ byly právě barvy $1,2,...,r$.<br />
(Víme, že existuje vlastní $(k-1)$-vrcholové obarvení těchto podgrafů,<br />
takže dodatečný požadavek lze zajistit jen vhodnou permutací barev.)<br />
Jestliže nyní všechny takto obarvené komponenty sjednotíme, získáme<br />
vlastní $(k-1)$-vrcholové obarvení grafu $G$, což je spor.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: rez_neni_klika.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:36:40 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 2.737 22.979 center at 2.381 22.979<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 23.218 2.381 24.052 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{4}$}%<br />
} [lB] at 2.142 22.860<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 3.926 24.289 center at 3.571 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 24.289 2.618 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{3}$}%<br />
} [lB] at 3.452 24.170<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 2.737 25.480 center at 2.381 25.480<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 25.241 2.381 24.528 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{2}$}%<br />
} [lB] at 2.142 25.360<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.356:0.356 360 degrees <br />
from 1.545 24.289 center at 1.190 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.429 24.289 2.142 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{1}$}%<br />
} [lB] at 0.950 24.170<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.130:0.624 360 degrees <br />
from 2.915 24.289 center at 1.784 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.385:0.385 360 degrees <br />
from 2.766 24.289 center at 2.381 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$S \cup G_{1}$}%<br />
} [lB] at 0.237 23.336<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$S$}%<br />
} [lB] at 2.261 24.170<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.205 25.851 and 3.943 22.608<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:rez-neni-klika}K důkazu věty \ref{thm:rez-neni-klika}}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
V předchozím důkazu je skutečně důležité, aby $S$ byla klika. Pokud<br />
budeme stejně postupovat v případě obecné $S$, může se stát, že vlastní<br />
$(k-1)$-vrcholové obarvení podgrafů $S\cup G_{i}$ vynucuje, aby<br />
některé prvky $S$ byly obarveny stejnou barvou, přičemž pro různá<br />
$i\in\hat{s}$ se jedná o různé prvky. Nebude potom možné vhodně zpermutovat<br />
barvy, aby vrcholy z $S$ měly stejnou barvu nezávisle na $i$. <br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Brooksova věta}<br />
<br />
\begin{lem}<br />
Nechť $G$ je $k$-kritický graf s řezem $S=\{ u,v\}$. Potom platí\[<br />
d_{G}(u)+d_{G}(v)\geq3k-5.\]<br />
<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Než dokážeme samotnou nerovnost, připravíme si tři pomocná tvrzení.<br />
Mějme při tom na paměti, že vrcholy $u,v$ nejsou podle předchozí<br />
věty \ref{thm:rez-neni-klika} spojeny hranou.<br />
<br />
\smallskip{}<br />
\textbf{Tvrzení 1.}<br />
<br />
\emph{Graf} $G\backslash\{ u,v\}$ \emph{(kde} $\{ u,v\}$ \emph{nemá<br />
smysl hrany, ale množiny vrcholů odebírané z} $V(G)$) \emph{se skládá<br />
z právě} $2$ \emph{komponent} $G_{1}=(V_{1},E_{1}),G_{2}=(V_{2},E_{2})$<br />
\emph{takových, že}<br />
\begin{itemize}<br />
\item \emph{Každé vlastní} $(k-1)$\emph{-vrcholové obarvení (vlastního)<br />
indukovaného podgrafu} $A=G[V_{1}\cup\{ u,v\}]$ \emph{přiřazuje vrcholům}<br />
$u,v$ \emph{stejnou barvu. (Jinými slovy: barvíme-li} $A$ \emph{pomocí}<br />
$k-1$ \emph{barev, musíme dát} $u$ \emph{a} $v$ \emph{stejnou barvu)}<br />
\item \emph{Každé vlastní} $(k-1)$\emph{-vrcholové obarvení (vlastního)<br />
indukovaného podgrafu} $B=G[V_{2}\cup\{ u,v\}]$ \emph{přiřazuje vrcholům}<br />
$u,v$ \emph{různou barvu.}<br />
\end{itemize}<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: brooks_lemma1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:36:16 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.191}}} at 10.478 19.215<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.191}}} at 10.478 19.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 3.095:2.024 360 degrees <br />
from 13.572 19.526 center at 10.478 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.547:1.556 360 degrees <br />
from 12.857 19.526 center at 11.309 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.547:1.556 360 degrees <br />
from 11.191 19.526 center at 9.644 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.595:0.931 360 degrees <br />
from 9.525 19.526 center at 8.930 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.595:0.931 360 degrees <br />
from 12.620 19.526 center at 12.025 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.215 11.667 19.215 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.215 9.286 19.215 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.840 11.667 19.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.840 9.286 19.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{14}{16.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G$}%<br />
} [lB] at 10.240 17.659<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$B$}%<br />
} [lB] at 11.311 18.282<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$A$}%<br />
} [lB] at 9.404 18.282<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{2}$}%<br />
} [lB] at 11.906 19.450<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{1}$}%<br />
} [lB] at 8.572 19.450<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v$}%<br />
} [lB] at 10.357 18.707<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 10.357 20.151<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.366 21.565 and 13.589 17.471<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\emph{Důkaz tvrzení 1:}<br />
<br />
Zpočátku nevíme, zda $G\backslash\{ u,v\}$ obsahuje \emph{jen} dvě<br />
komponenty. Lze však tvrdit, že $G\backslash\{ u,v\}$ musí obsahovat<br />
alespoň jednu komponentu s vlastností komponenty $G_{1}$. Kdyby to<br />
tak nebylo, mohli bychom každý podgraf grafu $G$ indukovaný vrcholy<br />
jedné z komponent a vrcholy $u,v$ obarvit $k-1$ barvami tak, že<br />
$u$ a $v$ by měly různé barvy. Potom bychom barvy zpermutovali tak,<br />
aby $u,v$ měly vždy barvy $1,2$. Takto obarvené podgrafy bychom<br />
sjednotili a získali tak celý graf $G$ obarvený $k-1$ barvami, což<br />
je spor.<br />
<br />
Ze stejného důvodu obsahuje $G\backslash\{ u,v\}$ alespoň jednu komponentu<br />
s vlastností $G_{2}$. Nyní si tyto komponenty označíme přímo jako<br />
$G_{1}$ a $G_{2}$. Ukážeme, že žádné jiné komponenty už v $G\backslash\{ u,v\}$<br />
neexistují: Indukovaný podgraf $A\cup B=G[V_{1}\cup V_{2}\cup\{ u,v\}]$<br />
podle vlastností komponent $G_{1}$ a $G_{2}$ nejde (vlastním obarvením)<br />
obarvit $k-1$ barvami, protože vrcholy $u,v$ nemohou mít současně<br />
podle $G_{1}$ stejnou a podle $G_{2}$ různou barvu. Proto $\chi(A\cup B)=k$.<br />
Protože $G$ je $k$-kritický, musí platit $G=A\cup B$.<br />
<br />
\smallskip{}<br />
\textbf{Tvrzení 2.}<br />
<br />
\emph{Podgraf} $C=A\cup\{\{ u,v\}\}$\emph{, který vznikne přidáním<br />
hrany} $\{ u,v\}$ \emph{do} $A$\emph{, je již} $k$\emph{-kritický.}<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: brooks_lemma2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:23:36 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.191}}} at 10.478 19.215<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.191}}} at 10.478 19.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.547:1.556 360 degrees <br />
from 11.191 19.526 center at 9.644 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.595:0.931 360 degrees <br />
from 9.525 19.526 center at 8.930 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 19.884 to 10.478 19.171<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.215 9.286 19.215 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 19.840 9.286 19.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$C$}%<br />
} [lB] at 9.404 18.282<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{1}$}%<br />
} [lB] at 8.572 19.450<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v$}%<br />
} [lB] at 10.357 18.707<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 10.357 20.151<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 8.079 21.099 and 11.208 17.954<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\emph{Důkaz tvrzení 2:}<br />
<br />
Zřejmě platí $\chi(C)=k$, protože $A$ lze obarvit $k-1$ barvami<br />
jen tak, že $u,v$ mají stejnou barvu. Když je tedy spojíme hranou,<br />
tak už to nejde.<br />
<br />
Ubereme-li z $G$ libovolnou hranu, lze jej obarvit $k-1$ barvami.<br />
Pokud navíc tato hrana leží v podgrafu $A$, zůstává ve výsledném<br />
grafu celý podgraf $B$, takže v uvedeném vlastním obarvení musí mít<br />
$u,v$ různou barvu. Proto nezáleží na tom, zda je navíc spojíme hranou.<br />
Tím jsme dokázali, že po ubrání čehokoliv z $C$ vznikne graf s barevností<br />
$k-1$, takže $C$ je $k$-kritický.<br />
<br />
\smallskip{}<br />
\textbf{Tvrzení 3.}<br />
<br />
\emph{Označme jako} $D$ \emph{graf, který vznikne z grafu} $B$ \emph{sloučením<br />
vrcholů} $u,v$ \emph{do nového vrcholu} $w$. \emph{Potom} $D$ \emph{je}<br />
$k$\emph{-kritický.}<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: brooks_lemma3.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:17:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.595:0.931 360 degrees <br />
from 3.332 25.123 center at 2.737 25.123<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 1.547:1.556 360 degrees <br />
from 3.569 25.123 center at 2.021 25.123<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1080cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 25.123 2.379 25.436 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 25.123 2.379 24.812 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$D$}%<br />
} [lB] at 2.024 23.878<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$w$}%<br />
} [lB] at 1.010 25.449<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G_{2}$}%<br />
} [lB] at 2.618 25.047<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.191}}} at 1.190 25.123<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.457 26.695 and 3.586 23.550<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\emph{Důkaz tvrzení 3:}<br />
<br />
Analogicky jako tvrzení 2. $\chi(D)=k$, neboť $B$ lze obarvit $k-1$<br />
barvami, jen když $u,v$ mají různou barvu. Jejich spojením do $w$<br />
však vynucujeme stejnou.<br />
<br />
Ubereme-li z $G$ libovolnou hranu, lze jej obarvit $k-1$ barvami.<br />
Pokud navíc tato hrana leží v podgrafu $B$, zůstává ve výsledném<br />
grafu celý podgraf $A$, takže v uvedeném vlastním obarvení musí mít<br />
$u,v$ stejnou barvu. Proto (z hlediska obarvení) nezáleží na tom,<br />
zda je navíc sloučíme do $w$. Tím jsme dokázali, že po ubrání čehokoliv<br />
z $D$ vznikne graf s barevností $k-1$, takže $D$ je $k$-kritický.<br />
<br />
\smallskip{}<br />
Nyní konečně můžeme dokázat uvedenou nerovnost. Zřejmě platí následující<br />
vztahy:\begin{eqnarray*}<br />
d_{G}(u) & = & d_{A}(u)+d_{B}(u),\\<br />
d_{G}(v) & = & d_{A}(v)+d_{B}(v),\\<br />
d_{C}(u) & = & d_{A}(u)+1,\\<br />
d_{C}(v) & = & d_{A}(v)+1,\\<br />
d_{D}(w) & = & d_{B}(u)+d_{B}(v).\end{eqnarray*}<br />
Protože v $k$-kritickém grafu platí $\delta\geq k-1$, dostáváme\[<br />
d_{G}(u)+d_{G}(v)=d_{A}(u)+d_{B}(u)+d_{A}(v)+d_{B}(v)=\]<br />
\[<br />
=\underbrace{d_{C}(u)}_{\geq k-1}+\underbrace{d_{C}(v)}_{\geq k-1}-2+\underbrace{d_{D}(w)}_{\geq k-1}\geq3k-5.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Brooks)}}<br />
<br />
Nechť $G$ je souvislý graf , a přitom $G$ není ani klika ani kružnice<br />
liché délky. Potom $\chi(G)\leq\Delta(G)$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Velmi snadno jsme již dokázali, že pro každý graf platí $\chi(G)\leq\Delta(G)+1$.<br />
Nyní bude důkaz obtížnější.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že BÚNO lze důkaz provést pouze pro $k$-kritické<br />
grafy. Mějme tedy souvislý graf, ani kliku ani lichou kružnici, který<br />
navíc \emph{není} $k$-kritický. Potom najdeme jeho vlastní $k$-kritický<br />
podgraf $H$. Platí tedy $\chi(H)=\chi(G)=k$ a zřejmě též $\Delta(H)\leq\Delta(G)$.<br />
Mohou nastat následující možnosti:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $H$ není klika ani lichá kružnice. Potom použijeme naše tvrzení dokázané<br />
pro $k$-kritické grafy: $\chi(H)\leq\Delta(H)$. Z toho plyne\[<br />
\chi(G)=\chi(H)\leq\Delta(H)=\Delta(G).\]<br />
<br />
\item $H$ je klika. Naše tvrzení použít nemůžeme, zato je nyní zřejmě $\Delta(H)<\Delta(G)$,<br />
protože $H$ je vlastním podgrafem souvislého grafu $G$. Protože<br />
pro libovolný graf $\tilde{G}$ platí $\chi(\tilde{G})\leq\Delta(\tilde{G})+1$,<br />
tak\[<br />
\chi(G)=\chi(H)\leq\Delta(H)+1\leq\Delta(G).\]<br />
<br />
\item $H$ je lichá kružnice. Zde je zdůvodnění obdobné tomu v předchozím<br />
bodě: Každý vrchol grafu $H$ má stupeň $2$ a tak $\Delta(H)=2$.<br />
Protože ale $G$ je souvislý a $H$ je vlastním podgrafem $G$, tak<br />
v $G$ musí být na nějaký vrchol z kružnice $H$ napojena alespoň<br />
jedna další hrana. To opět znamená $\Delta(H)<\Delta(G)$, zbytek<br />
je stejný.<br />
\end{enumerate}<br />
Nyní dokážeme samotné tvrzení pouze pro $k$-kritické grafy, které<br />
ovšem budeme označovat opět jako ,,$G${}``. Platí tedy $k=\chi(G)$.<br />
Podle poznámky \ref{rem:123kriticke-grafy} je zřejmé, že $k\geq4$,<br />
protože jinak by nebyly splněny předpoklady věty. Mohou nastat dvě<br />
možnosti:<br />
<br />
\bigskip{}<br />
\textbf{a)} Nechť v $G$ existuje řez $S=\{ u,v\}$. Potom podle předchozí<br />
věty platí\[<br />
2\Delta(G)\geq d_{G}(u)+d_{G}(v)\geq3k-5=2k-1+\underbrace{k-4}_{\geq0}\geq2k-1.\]<br />
Na levé straně nerovnosti však máme sudé číslo a na pravé straně je<br />
liché číslo. Proto samozřejmě musí platit i $2\Delta(G)\geq2k$, neboli\[<br />
\Delta(G)\geq k=\chi(G).\]<br />
<br />
<br />
\bigskip{}<br />
\textbf{b)} Nechť v $G$ neexistuje dvouprvkový řez. To znamená, že<br />
po odebrání libovolných dvou vrcholů $u,v$ zůstává graf $G\backslash\{ u,v\}$<br />
souvislý. Z předpokladu ,,$G$ není klika{}`` najdeme v $G$ vrcholy<br />
$u,v$, které nejsou spojeny hranou, takže jejich vzdálenost $d(u,v)\geq2$.<br />
Tím pádem najdeme $u,v$ i tak, že $d(u,v)=2$. Označme jako $w$<br />
vrchol, přes který jsou spojeny.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: brooks_uvw.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 18:00:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.955 9.049 20.479 /<br />
\plot 9.049 20.479 7.620 20.003 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}w}%<br />
} [lB] at 9.404 20.360<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}v}%<br />
} [lB] at 7.023 19.884<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}u}%<br />
} [lB] at 7.023 20.836<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.479<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.991 21.433 and 9.436 19.852<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
Nyní očíslujeme vrcholy grafu $G$ speciálním způsobem.<br />
\begin{itemize}<br />
\item Označíme $v_{1}=u,v_{2}=v,v_{n}=w$.<br />
\item $v_{3},v_{4},v_{5},...,v_{n}=w$ budou vrcholy grafu $G\backslash\{ u,v\}$<br />
uspořádané tak, že\[<br />
\left(\forall i\in\{3,4,...,n-1\}\right)\left(\exists j>i\right)\left(\{ v_{i},v_{j}\}\in E\right),\]<br />
neboli z každého vrcholu $v_{3},v_{4},v_{5},...,v_{n-1}$ vede v grafu<br />
$G\backslash\{ u,v\}$ hrana do nějakého vrcholu, který je v uspořádání<br />
až za ním. Takové uspořádání vznikne například tak, že vrcholy $v_{3},v_{4},v_{5},...,v_{n}$<br />
seřadíme sestupně podle jejich vzdálenosti od vrcholu $w$ v grafu<br />
$G\backslash\{ u,v\}$, tj. budou splňovat\[<br />
\left(\forall i,j\in\{3,4,...,n\}\right)\left(i<j\Rightarrow d_{G\backslash\{ u,v\}}(v_{i},w\}\geq d_{G\backslash\{ u,v\}}(v_{j},w\}\right).\]<br />
V tom případě zřejmě $v_{n}=w$.<br />
\end{itemize}<br />
Takto uspořádané vrcholy $v_{1},...,v_{n}$ grafu $G$ už lze obarvit<br />
nejvýše $\Delta(G)$ barvami, a to takto:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Vrcholy $v_{1}=u,v_{2}=v$ dostanou barvu $1$, což je možné, neboť<br />
spolu nesousedí.<br />
\item Vrcholy $v_{3},v_{4},...,v_{n-1}$ obarvujeme postupně první barvou,<br />
kterou je možné použít. Protože z každého z nich vede hrana do ještě<br />
neobarvených vrcholů, má každý z nich ve chvíli, když na něj přijde<br />
řada, nejvýše $\Delta(G)-1$ již obarvených sousedů, a tak existuje<br />
barva $b\in\{1,2,...,\Delta(G)\}$, kterou jej lze obarvit.<br />
\item Vrchol $v_{n}=w$ sousedí s vrcholy $u,v$, které mají oba barvu $1$,<br />
a dále s nejvýše $\Delta(G)-2$ dalšími vrcholy, které mají nejvýše<br />
$\Delta(G)-2$ různých barev. Celkem tedy sousedí s nejvýše $\Delta(G)$<br />
vrcholy, které mají nejvýše $\Delta(G)-1$ různých barev, a tak jej<br />
lze také obarvit.<br />
\end{itemize}<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_10&diff=4519
01ZTGA:Kapitola1 10
2012-01-15T12:48:23Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Hranové obarvení grafu}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, $k\in\N$. Zobrazení $\varphi:E\mapsto\hat{k}$<br />
nazveme $k$-\textbf{hranové obarvení} grafu $G$ (angl. $k$\emph{-edge<br />
colouring}). $\varphi$ se nazývá \textbf{vlastní} (angl. \emph{proper})<br />
$k$-hranové obarvení grafu $G$, pokud\[<br />
\left(\forall e,f\in E,e\neq f\right)\left(\varphi(e)=\varphi(f)\Rightarrow e\cap f=\emptyset\right),\]<br />
tj. pokud hrany se stejnou barvou nemají společný konec. \textbf{Hranová<br />
barevnost} (angl. \emph{edge chromatic number}) $\chi'(G)$ grafu<br />
$G$ je minimální $k$ takové, že $G$ má vlastní $k$-hranové obarvení.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
$\chi'(G)\geq\Delta(G)$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
$\varphi$ je vlastní $k$-hranové obarvení gafu $G$, právě když<br />
pro každé $i\in\hat{k}$ $\varphi^{-1}(i)$ (všechny vrcholy barvy<br />
$i$) představuje párování.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{cor*}<br />
Hranová barevnost grafu $G=(V,E)$ je minimální počet disjunktních<br />
párování, jejichž sjednocením je celé $E$.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{notation*}<br />
V důkazech budeme často používat obrat ,,$G$ lze obarvit $k$ barvami{}``.<br />
Máme tím vždy na mysli ,,existuje \emph{vlastní} $k$-hranové obarvení<br />
grafu $G${}``. Stejným způsobem budeme hovořit o grafech i v další<br />
kapitole, zabývající se vrcholovým obarvením.<br />
\end{notation*}<br />
<br />
\subsection{Problém rozvrhu hodin}<br />
<br />
\begin{example*}<br />
Uvažujme bipartitní graf $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$, kde $V_{1}$ představuje<br />
množinu učitelů a $V_{2}$ množinu kroužků. Z $u\in V_{1}$ vede do<br />
$v\in V_{2}$ $m$ hran, pokud učitel $u$ učí v kroužku $v$ $m$<br />
hodin (např. týdně). Nalezneme obarvení grafu $G$, a potom hrany<br />
stejné barvy, představující párování v $G$, znamenají stejný čas<br />
(hodinu, termín) přednášky. Zatím však neuvažujeme omezení počtem<br />
volných místností.<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
Je-li $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ bipartitní graf, tak platí $\chi'(G)=\Delta(G)$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{notation*}<br />
Vzhledem k velmi častému výskytu symbolu $\Delta(G)$ označujícího<br />
maximální stupeň grafu $G$ v následujícím výkladu budeme místo $\Delta(G)$<br />
psát jen $\Delta$.<br />
\end{notation*}<br />
\begin{proof}<br />
Využijeme důsledku \ref{cor:snatkovy-problem} (sňatkového problému),<br />
který říká, že $r$-regulární bipartitní graf má perfektní párování.<br />
Z $G$ nejdříve takový graf vyrobíme, a to takto:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť BÚNO $\# V_{1}>\# V_{2}$. Potom doplníme do $V_{2}$ potřebný<br />
počet izolovaných vrcholů, vznikne tak $V_{2}'$, $\# V_{1}=\# V_{2}'$.<br />
\item Ve $V_{1}$ vybereme libovolný vrchol $u$ se stupňem $d_{G}(u)<\Delta$.<br />
Potom i ve $V_{2}'$ musí existovat vrchol $v$ se stupňem $d_{G}(v)<\Delta$.<br />
Vrcholy $u,v$ spojíme hranou. Tento krok opakujeme, dokud je to možné,<br />
přičemž skončíme zřejmě právě tehdy, když všechny vrcholy budou mít<br />
stupeň roven $\Delta$.<br />
\end{enumerate}<br />
Dostaneme nový $\Delta$-regulární graf $\tilde{G}=(V_{1}\cup V_{2}',\tilde{E})$.<br />
Najdeme v něm perfektní párování $M$, všechny hrany z $M$ obarvíme<br />
barvou $\Delta$ a následně je z grafu $\tilde{G}$ odstraníme. Tím<br />
získáme ($\Delta-1)$-regulární graf a úvahu můžeme opakovat, dokud<br />
zbývají nějaké hrany. Výsledkem bude, že nakonec původní $\Delta$-regulární<br />
graf $\tilde{G}$ bude obarven $\Delta$ barvami. To znamená, že i<br />
jeho podgraf $G$ lze obarvit $\Delta$ barvami, takže $\chi'(G)\leq\Delta$.<br />
Víme však, že vždy platí $\chi'(G)\geq\Delta$, a tvrzení je tedy<br />
dokázáno.<br />
\end{proof}<br />
\begin{lem}<br />
Nechť $M_{1},M_{2}$ jsou dvě disjunktní párování v grafu $G=(V,E)$<br />
taková, že $\# M_{1}>\# M_{2}$. Potom existují disjunktní párování<br />
$N_{1},N_{2}$ v $G$ taková, že:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $N_{1}\cup N_{2}=M_{1}\cup M_{2},$<br />
\item $\# N_{1}=\# M_{1}-1$, $\# N_{2}=\# M_{2}+1$, tj. $N_{1},N_{2}$<br />
mají menší rozdíl v počtu prvků.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Definujme graf $H=(V,M_{1}\cup M_{2})$. Potom zřejmě $\left(\forall v\in V\right)\left(d_{H}(v)\leq2\right)$.<br />
$H$ je sjednocením izolovaných vrcholů, cest a kružnic sudé délky,<br />
čehož jsme již jednou využili v důkazu Bergeovy věty \ref{thm:bergeova-veta}.<br />
Protože $\# M_{1}>\# M_{2}$, musí v $H$ existovat cesta liché délky<br />
$2k+1$, která má $k$ hran z $M_{2}$ a $k+1$ hran z $M_{1}$. Tuto<br />
cestu označíme $P$. Nyní definujeme\begin{eqnarray*}<br />
N_{1} & = & (M_{1}\backslash P)\cup(P\cap M_{2}),\\<br />
N_{2} & = & (M_{2}\backslash P)\cup(P\cap M_{1}),\end{eqnarray*}<br />
tj. na cestě $P$ vyměníme hrany mezi $M_{1}$ a $M_{2}$, mimo cestu<br />
zařadíme do $N_{i}$ stejné hrany jako jsou v $M_{i}$. $N_{1},N_{2}$<br />
jsou opět párování a přitom si lze snadno rozmyslet, že splňují oba<br />
body dokazovaného lemmatu.<br />
\end{proof}<br />
\begin{example*}<br />
Vraťme se nyní k problému rozvrhu hodin. Nechť $l$ je počet dostupných<br />
místností a $m=\# E$, tj. celkový počet různých vyučovacích hodin<br />
všech kroužků. Potom počet různých časů (termínů, angl. \emph{period})<br />
$P$ potřebných pro výuku musí splňovat $P\geq\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil $.<br />
Rovněž platí $P\geq\Delta$, protože $\Delta=\chi'(G)$, tj. počet<br />
různých barev v nejlepším možném obarvení bipartitního grafu $G$.<br />
Celkově tedy platí\[<br />
P\geq\max\left\{ \left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil ,\Delta\right\} .\]<br />
<br />
<br />
Předpokládejme, že $l=6$. Snadno si lze představit případ bipartitního<br />
grafu, pro který platí $\Delta=2$ a v němž najdeme jeho hranové obarvení<br />
dvěma barvami, tj. dvě disjunktní párování $M_{1},M_{2}$, pro něž<br />
platí $\# M_{1}=8,\# M_{2}=2$ a $M_{1}\cup M_{2}=E$. Potom počet<br />
potřebných časů pro výuku bude $P=3$, protože blok přednášek $M_{1}$,<br />
které by teoreticky (bez dalších omezení) mohly probíhat současně,<br />
bude nutné rozdělit na dvě části kvůli nedostatku místností. Opakovanou<br />
aplikací minulého lemmatu však lze postupně upravit párování $M_{1},M_{2}$<br />
tak, že $\# M_{1}=\# M_{2}=5$. Potom již bude potřeba pouze $P=2=\max\left\{ \left\lceil \frac{10}{6}\right\rceil ,2\right\} $<br />
různých časů.<br />
<br />
V následujícím ukážeme, že vždy existuje takový rozvrh, pro nějž platí\[<br />
P=\max\left\{ \left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil ,\Delta\right\} .\]<br />
Začneme obecnou úvahou. Nechť existuje $p$ disjunktních párování<br />
$M_{1},...,M_{p}$ v $G$, pro něž platí $\bigcup_{i\in\hat{p}}M_{i}=E$.<br />
Potom opakovaným použitím předchozího lemmatu lze tato párování upravit<br />
tak, že\[<br />
\left(\left(\forall i,j\in\hat{p}\right)\left(\left|\# M_{i}-\# M_{j}\right|\leq1\right)\right),\]<br />
tj. hrany jsou co nejrovnoměrněji rozděleny do jednotlivých párování,<br />
a tak v každém párování je nejvýše $\left\lceil \frac{m}{p}\right\rceil $<br />
hran. V takovém případě je maximální počet hran v párování, tj. číslo<br />
$\max_{i\in\hat{p}}\# M_{i}$, nejmenší možné.<br />
<br />
Nyní již dokážeme uvedený vztah. Najděme obarvení grafu $G$ $\Delta$<br />
barvami. Potom získáme $\Delta$ disjunktních párování\[<br />
M_{1}=\varphi^{-1}(1),...,M_{\Delta}=\varphi^{-1}(\Delta).\]<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil <\Delta$. Potom chceme<br />
dokázat $P=\Delta$. Párování $M_{1},...,M_{\Delta}$ upravíme popsaným<br />
postupem tak, že\[<br />
\left(\forall i\in\hat{\Delta}\right)\left(\# M_{i}\leq\left\lceil \frac{m}{\Delta}\right\rceil \right).\]<br />
Z předpokladu však postupně platí, že\[<br />
\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil <\Delta\Rightarrow\frac{m}{l}<\Delta\Rightarrow\frac{m}{\Delta}<l\Rightarrow\left\lceil \frac{m}{\Delta}\right\rceil \leq l.\]<br />
To znamená, že každé párování $M_{i}$ lze považovat za blok současně<br />
probíhající výuky, protože se vždy vejde do dostupných místností.<br />
Proto $P=\Delta$.<br />
\item Nechť $\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil \geq\Delta$. Potom chceme<br />
dokázat $P=\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil $. Je jasné, že existuje-li<br />
v $G$ $\Delta$ disjunktních párování, pak existuje i $\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil $<br />
disjunktních párování. Stačí totiž potřebný počet párování rozdělit<br />
na dvě nebo více disjunktních párování, nebo definovat $M_{i}=\emptyset$<br />
pro každé $\Delta<i\leq\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil $. Párování<br />
$M_{1},...,M_{\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil }$ pak upravíme<br />
tak, aby\[<br />
\left(\forall i\in\left\{ 1,2,...,\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil \right\} \right)\left(\# M_{i}\leq\left\lceil \frac{m}{\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil }\right\rceil \right).\]<br />
Nyní opět ukážeme, že tato párování už lze brát jako bloky současně<br />
probíhající výuky, protože se vejdou do $l$ místností. Platí totiž:\[<br />
\left\lceil \frac{m}{\left\lceil \frac{m}{l}\right\rceil }\right\rceil \leq\left\lceil \frac{m}{\left(\frac{m}{l}\right)}\right\rceil =\left\lceil l\right\rceil =l.\]<br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{example*}<br />
<br />
\subsection{Vizingova věta}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{\label{thm:Vizing}(Vizing)}}<br />
<br />
Pro libovolný graf $G$ platí $\chi'(G)\leq\Delta(G)+1$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
Protože víme $\chi'(G)\geq\Delta$, tak Vizingova věta znamená, že<br />
hranová barevnost grafu může vlastně nabývat jen dvou hodnot: $\Delta$<br />
a $\Delta+1$. Důkaz této věty provedeme až poté, co si připravíme<br />
dvě pomocná tvrzení.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{lem}<br />
\label{lem:vizing-lemma-1} Nechť $G=(V,E)$ je souvislý graf, $G$<br />
není kružnice liché délky. Potom existuje $2$-hranové obarvení $G$<br />
takové, že na každém vrcholu se stupněm alespoň $2$ se vyskytují<br />
hrany obou barev.<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
V důkazu využijeme znalostí o eulerovských grafech.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \label{enu:vizing-lemma-point1}Nechť $G$ je eulerovský. Potom<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item všechny stupně jsou $2$. Z předpokladu se pak jedná o kružnici sudé<br />
délky. Hrany obarvíme střídavě oběma barvami, a každý vrchol pak spojuje<br />
dvě hrany dvou různých barev.<br />
\item existuje vrchol se stupněm $\geq4$. Z tohoto vrcholu pak začneme<br />
eulerovský cyklus, barvíme opět střídavě. Proč zrovna tento vrchol<br />
volíme za počáteční plyne z následujícího. Do každého vrcholu kromě<br />
počátečního totiž vstoupíme po hraně jedné barvy a okamžitě jej opouštíme<br />
po hraně druhé barvy. Pokud bychom za počáteční vrchol zvolili vrchol<br />
se stupněm $2$, tak bychom u něj tuto jistotu neměli. Má-li však<br />
počáteční vrchol stupeň alespoň $4$, potom jím v eulerovském cyklu<br />
projdeme alespoň jednou stejným způsobem jako ostatními vrcholy.<br />
\end{enumerate}<br />
\item Nechť $G$ není eulerovský, tj. podle věty \ref{thm:eulerovske-grafy}<br />
má vrchol s lichým stupněm. Protože ale\[<br />
\sum_{v\in V}d_{G}(v)=2\# E\]<br />
je sudý, je vrcholů s lichým stupněm sudý počet. Když ke grafu $G$<br />
přidáme vrchol $x\notin V$ a napojíme ho na všechny vrcholy s lichým<br />
stupněm, bude mít $x$ sudý stupeň a nový graf $\tilde{G}$ bude eulerovský.<br />
Tento graf obarvíme podle bodu \ref{enu:vizing-lemma-point1} a nakonec<br />
vše, co jsme přidali, opět odebereme. Každý vrchol v $\tilde{G}$<br />
kromě $x$ však má u sebe obě barvy hran zastoupeny v stejném počtu:<br />
do každého vrcholu jsme přišli a zase odešli. Při odebrání hran z<br />
$\tilde{G}$ u vrcholů se sudým stupněm už nic nezměníme, u vrcholů<br />
s lichým stupněm (v $G$), který je alespoň $3$, pak nezmizí žádná<br />
z barev, protože v $\tilde{G}$ u něj byla každá alespoň dvakrát.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{defn}<br />
$k$-hranové obarvení $\varphi:E\mapsto\hat{k}$ grafu $G=(V,E)$<br />
se nazývá optimální, jestliže pro každé jiné $k$-hranové obarvení<br />
$\tilde{\varphi}:E\mapsto\hat{k}$ platí\[<br />
\sum_{v\in V}c_{\varphi}(v)\geq\sum_{v\in V}c_{\tilde{\varphi}}(v),\]<br />
kde $c_{\varphi}(v)$ je počet různých barev hran vedoucích z vrcholu<br />
$v$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Obarvení $\varphi$ je vlastní, právě když $\left(\forall v\in V\right)\left(c_{\varphi}(v)=d_{G}(v)\right)$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Pojem optimální obarvení nevyužijeme nikde jinde než v důkazu Vizingovy<br />
věty.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{lem}<br />
\label{lem:vizing-lemma-2}Nechť $\varphi$ je optimální obarvení<br />
grafu $G=(V,E)$ a nechť existuje vrchol $u\in V$ a barvy $i,j$<br />
takové, že barva $i$ se na vrcholu $u$ nevyskytuje vůbec a barva<br />
$j$ se na $u$ vyskytuje alespoň dvakrát. Potom komponenta $U$ grafu\[<br />
\tilde{G}=\left(V,\varphi^{-1}(i)\cup\varphi^{-1}(j)\right),\]<br />
která obsahuje vrchol $u$, je kružnice liché délky.<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Sporem: V $\tilde{G}$ určitě platí $d_{\tilde{G}}(u)\geq2$ a počet<br />
barev u vrcholu $u$ v grafu $\tilde{G}$ (při obarvení $\varphi$<br />
grafu $G$) je $1$. Kdyby $U$ nebyla lichá kružnice, pak lze podle<br />
lemmatu \ref{lem:vizing-lemma-1} najít $2$-hranové obarvení $\tilde{\varphi}$<br />
grafu $\tilde{G}$ barvami $i,j$ takové, že $c_{\tilde{\varphi}}(u)=2$<br />
a u ostatních vrcholů v grafu $\tilde{G}$ počet barev neklesne. Definujeme-li<br />
pak nové obarvení $\psi$ grafu $G$ jako\[<br />
\left(\forall e\in E\right)\left(\psi(e)=\begin{cases}<br />
\varphi(e) & \textrm{pokud }\varphi(e)\notin\{ i,j\}\\<br />
\tilde{\varphi}(e) & \textrm{pokud }\varphi(e)\in\{ i,j\}\end{cases}\right),\]<br />
tak bude platit \[<br />
\sum_{v\in V}c_{\varphi}(v)<\sum_{v\in V}c_{\psi}(v),\]<br />
což je spor s optimalitou $\varphi$.<br />
\end{proof}<br />
Nyní máme již vše připraveno pro důkaz Vizingovy věty \ref{thm:Vizing}.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Mějme libovolný graf $G=(V,E)$. Ukážeme, že $\chi'(G)\leq\Delta+1$.<br />
Vezmeme optimální $\left(\Delta+1\right)$-hranové obarvení $\varphi$<br />
grafu $G$ a sporem o něm dokážeme, že je vlastní.<br />
<br />
Nechť $\varphi$ není vlastní. Potom existuje $u\in V$ takový, že<br />
$c_{\varphi}(u)<d_{G}(u)$. Proto<br />
\begin{itemize}<br />
\item existuje barva $i_{0}$, která na $u$ schází (taková barva existuje<br />
na každém vrcholu) a<br />
\item existuje barva $i_{1}$, která je na $u$ aslespoň dvakrát.<br />
\end{itemize}<br />
Označme $v_{1}$ vrchol, do nějž vede z $u$ hrana barvy $i_{1}$.<br />
Dále označme $i_{2}$ barvu, která se nevyskytuje na $v_{1}$. Potom<br />
$i_{2}$ se vyskytuje na $u$. V opačném případě totiž přebarvíme<br />
hranu $\{ u,v_{1}\}$ na $i_{2}$, tím se počet barev na $u$ zvýší<br />
($i_{1}$ je na $u$ dvakrát), ale počet barev na $v_{1}$ neklesne.<br />
To je spor s optimalitou $\varphi$.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: vizing1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:20:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.954 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.025 19.884<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.993 21.321 and 10.986 19.209<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
Označme rekurzivně pro rostoucí $k=2,3,...$ jako $i_{k}$ barvu,<br />
která není na $v_{k-1}$. Potom platí, že pro každé $k$ tato barva<br />
musí být na $u$. Díky tomu lze označit vrchol, do nějž vede z $u$<br />
hrana barvy $i_{k}$, jako $v_{k}$. Zdůvodnění uvedeného tvrzení<br />
provedeme indukcí podle $k$: Pokud $i_{k}$ na $u$ chybí, přebarvíme<br />
hranu $\{ u,v_{k-1}\}$ na $i_{k}$, čímž se počet barev na $v_{k-1}$<br />
nesníží. Počet barev na $u$ se zvýší (a tak ihned dostaneme spor)<br />
jen tehdy, pokud $i_{k-1}$ je stále na $u$, jinak pouze neklesne.<br />
V druhém případě však získáme jiné optimální obarvení grafu $G$,<br />
při němž $i_{k-1}$ není na $u$, což je zase spor s indukčním předpokladem.<br />
Počáteční krok pro $k=2$ jsme již dokázali nad obrázkem.<br />
<br />
Pro určité $k$ nastane situace, že barva $i_{k+1}$, která schází<br />
na $v_{k}$, se již vyskytuje mezi barvami $i_{1},...,i_{k-1}$. Označíme<br />
jako $l$ takový index, že $i_{k+1}=i_{l}$. To je zobrazeno na následujícím<br />
obrázku:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: vizing2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:43:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.763 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.238 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 8.572 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.238 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 8.452 18.578<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}=i_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 5.478 18.576<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k}$}%<br />
} [lB] at 6.073 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.834 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 3.929 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{1}$}%<br />
} [lB] at 8.810 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.833 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.501 20.481<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.897 21.321 and 10.986 17.183<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
Nyní definujeme nové obarvení $\tilde{\varphi}$, které bude pro všechny<br />
hrany stejné jako $\varphi$, až na následující změny:\[<br />
\left(\forall j\in\{1,...,l-1\}\right)\left(\tilde{\varphi}\left(\{ u,v_{j}\}\right)=i_{j+1}\right).\]<br />
Potom bude při obarvení $\tilde{\varphi}$ situace následující:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: vizing3.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:43:36 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.763 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.238 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 8.572 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.238 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 6.549 18.576<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 8.452 18.578<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{3}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 8.810 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k}$}%<br />
} [lB] at 6.073 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.834 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 3.929 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.833 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.501 20.481<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.897 21.321 and 10.986 17.183<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Každý vrchol $v_{j}$, $j\in\{1,...,l-1\}$, dostal na hraně<br />
$\{ u,v_{j}\}$ barvu, kterou předtím neměl. Vrchol $u$ ztratil $v_{1}$,<br />
ale tu měl dvakrát. Nyní ji má jen jednou, ale zase má alespoň dvakrát<br />
$i_{l}$. Z toho je jasné, že $\tilde{\varphi}$ je opět optimální<br />
obarvení grafu $G$.<br />
<br />
Definujeme ještě jedno obarvení $\tilde{\tilde{\varphi}}$, které<br />
bude pro všechny hrany stejné jako $\varphi$, až na následující změny:\[<br />
\left(\forall j\in\{1,...,k\}\right)\left(\tilde{\tilde{\varphi}}\left(\{ u,v_{j}\}\right)=i_{j+1}\right).\]<br />
Potom při obarvení $\tilde{\tilde{\varphi}}$ dostaneme situaci:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: vizing4.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:51:20 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.000 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.763 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.238 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 5.000 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 8.572 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.238 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k+1}=i_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.596 20.959<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k}$}%<br />
} [lB] at 5.596 20.007<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k-1}$}%<br />
} [lB] at 3.929 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l+1}$}%<br />
} [lB] at 6.191 18.576<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 8.452 18.578<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{3}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 8.810 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.834 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 3.929 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.833 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.501 20.481<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.897 21.442 and 10.986 17.183<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
Rovněž obarvení $\tilde{\tilde{\varphi}}$ je zřejmě optimální. Nyní<br />
již snadno dojdeme ke sporu, když použijeme lemma \ref{lem:vizing-lemma-2}.<br />
Komponenta podgrafu \[<br />
\tilde{G}=\left(V,\tilde{\varphi}^{-1}(i_{0})\cup\tilde{\varphi}^{-1}(i_{l})\right),\]<br />
obsahující vrchol $u$, má totiž být lichá kružnice. Z vrcholu $v_{l-1}$<br />
nás tato kružnice přivede po hranách barvy $i_{0}$ a $i_{l}$ do<br />
vrcholu $v_{l}$.<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: vizing5.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:34:00 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.238 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.763 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setdots < 0.1619cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 17.384 8.570 17.380 /<br />
\plot 8.570 17.380 8.568 17.371 /<br />
\plot 8.568 17.371 8.560 17.357 /<br />
\plot 8.560 17.357 8.551 17.331 /<br />
\plot 8.551 17.331 8.537 17.297 /<br />
\plot 8.537 17.297 8.520 17.255 /<br />
\plot 8.520 17.255 8.496 17.204 /<br />
\plot 8.496 17.204 8.471 17.145 /<br />
\plot 8.471 17.145 8.441 17.081 /<br />
\plot 8.441 17.081 8.407 17.012 /<br />
\plot 8.407 17.012 8.371 16.938 /<br />
\plot 8.371 16.938 8.333 16.863 /<br />
\plot 8.333 16.863 8.295 16.787 /<br />
\plot 8.295 16.787 8.253 16.713 /<br />
\plot 8.253 16.713 8.208 16.641 /<br />
\plot 8.208 16.641 8.164 16.571 /<br />
\plot 8.164 16.571 8.115 16.506 /<br />
\plot 8.115 16.506 8.064 16.442 /<br />
\plot 8.064 16.442 8.012 16.385 /<br />
\plot 8.012 16.385 7.954 16.332 /<br />
\plot 7.954 16.332 7.895 16.286 /<br />
\plot 7.895 16.286 7.832 16.248 /<br />
\plot 7.832 16.248 7.764 16.218 /<br />
\plot 7.764 16.218 7.692 16.199 /<br />
\plot 7.692 16.199 7.620 16.192 /<br />
\plot 7.620 16.192 7.548 16.199 /<br />
\plot 7.548 16.199 7.476 16.218 /<br />
\plot 7.476 16.218 7.408 16.248 /<br />
\plot 7.408 16.248 7.345 16.286 /<br />
\plot 7.345 16.286 7.286 16.332 /<br />
\plot 7.286 16.332 7.228 16.385 /<br />
\plot 7.228 16.385 7.176 16.442 /<br />
\plot 7.176 16.442 7.125 16.506 /<br />
\plot 7.125 16.506 7.076 16.571 /<br />
\plot 7.076 16.571 7.032 16.641 /<br />
\plot 7.032 16.641 6.987 16.713 /<br />
\plot 6.987 16.713 6.945 16.787 /<br />
\plot 6.945 16.787 6.905 16.863 /<br />
\plot 6.905 16.863 6.869 16.938 /<br />
\plot 6.869 16.938 6.833 17.012 /<br />
\plot 6.833 17.012 6.799 17.081 /<br />
\plot 6.799 17.081 6.769 17.145 /<br />
\plot 6.769 17.145 6.744 17.204 /<br />
\plot 6.744 17.204 6.720 17.255 /<br />
\plot 6.720 17.255 6.703 17.297 /<br />
\plot 6.703 17.297 6.689 17.331 /<br />
\plot 6.689 17.331 6.680 17.357 /<br />
\plot 6.680 17.357 6.672 17.371 /<br />
\plot 6.672 17.371 6.670 17.380 /<br />
\plot 6.670 17.380 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.238 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 8.572 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.501 20.481<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.833 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 3.929 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.834 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k}$}%<br />
} [lB] at 6.073 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 8.810 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{3}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 8.452 18.578<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 6.549 18.576<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.897 21.321 and 10.986 16.146<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Zároveň však platí, že i komponenta podgrafu\[<br />
\tilde{\tilde{G}}=\left(V,\tilde{\tilde{\varphi}}^{-1}(i_{0})\cup\tilde{\tilde{\varphi}}^{-1}(i_{l})\right),\]<br />
obsahující vrchol $u$, je lichá kružnice. Z vrcholu $v_{l-1}$ nás<br />
tato kružnice přivede po hranách barvy $i_{0}$ a $i_{l}$ do vrcholu<br />
$v_{k}$.<br />
<br />
\noindent \hfill{}<br />
\begin{center}<br />
<br />
%Title: vizing6.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:44:00 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.000 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.763 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 17.384<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.238 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.003<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setdots < 0.1619cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 17.384 8.570 17.382 /<br />
\plot 8.570 17.382 8.566 17.378 /<br />
\plot 8.566 17.378 8.558 17.371 /<br />
\plot 8.558 17.371 8.545 17.361 /<br />
\plot 8.545 17.361 8.526 17.344 /<br />
\plot 8.526 17.344 8.503 17.323 /<br />
\plot 8.503 17.323 8.471 17.295 /<br />
\plot 8.471 17.295 8.433 17.264 /<br />
\plot 8.433 17.264 8.386 17.225 /<br />
\plot 8.386 17.225 8.335 17.181 /<br />
\plot 8.335 17.181 8.276 17.134 /<br />
\plot 8.276 17.134 8.213 17.081 /<br />
\plot 8.213 17.081 8.141 17.024 /<br />
\plot 8.141 17.024 8.064 16.965 /<br />
\plot 8.064 16.965 7.984 16.904 /<br />
\plot 7.984 16.904 7.899 16.840 /<br />
\plot 7.899 16.840 7.813 16.775 /<br />
\plot 7.813 16.775 7.719 16.711 /<br />
\plot 7.719 16.711 7.626 16.645 /<br />
\plot 7.626 16.645 7.529 16.582 /<br />
\plot 7.529 16.582 7.430 16.521 /<br />
\plot 7.430 16.521 7.328 16.459 /<br />
\plot 7.328 16.459 7.226 16.402 /<br />
\plot 7.226 16.402 7.120 16.347 /<br />
\plot 7.120 16.347 7.013 16.294 /<br />
\plot 7.013 16.294 6.902 16.245 /<br />
\plot 6.902 16.245 6.788 16.201 /<br />
\plot 6.788 16.201 6.672 16.161 /<br />
\plot 6.672 16.161 6.553 16.125 /<br />
\plot 6.553 16.125 6.430 16.093 /<br />
\plot 6.430 16.093 6.303 16.068 /<br />
\plot 6.303 16.068 6.172 16.049 /<br />
\plot 6.172 16.049 6.037 16.038 /<br />
\plot 6.037 16.038 5.899 16.034 /<br />
\plot 5.899 16.034 5.759 16.038 /<br />
\plot 5.759 16.038 5.618 16.051 /<br />
\plot 5.618 16.051 5.476 16.074 /<br />
\plot 5.476 16.074 5.342 16.106 /<br />
\plot 5.342 16.106 5.215 16.144 /<br />
\plot 5.215 16.144 5.091 16.186 /<br />
\plot 5.091 16.186 4.974 16.235 /<br />
\plot 4.974 16.235 4.864 16.286 /<br />
\plot 4.864 16.286 4.760 16.336 /<br />
\plot 4.760 16.336 4.665 16.387 /<br />
\plot 4.665 16.387 4.578 16.440 /<br />
\plot 4.578 16.440 4.498 16.489 /<br />
\plot 4.498 16.489 4.424 16.538 /<br />
\plot 4.424 16.538 4.358 16.586 /<br />
\plot 4.358 16.586 4.297 16.631 /<br />
\plot 4.297 16.631 4.242 16.675 /<br />
\plot 4.242 16.675 4.191 16.715 /<br />
\plot 4.191 16.715 4.144 16.758 /<br />
\plot 4.144 16.758 4.102 16.796 /<br />
\plot 4.102 16.796 4.064 16.834 /<br />
\plot 4.064 16.834 4.026 16.872 /<br />
\plot 4.026 16.872 3.992 16.910 /<br />
\plot 3.992 16.910 3.958 16.948 /<br />
\plot 3.958 16.948 3.924 16.986 /<br />
\plot 3.924 16.986 3.893 17.024 /<br />
\plot 3.893 17.024 3.859 17.067 /<br />
\plot 3.859 17.067 3.827 17.111 /<br />
\plot 3.827 17.111 3.793 17.156 /<br />
\plot 3.793 17.156 3.757 17.206 /<br />
\plot 3.757 17.206 3.721 17.259 /<br />
\plot 3.721 17.259 3.683 17.319 /<br />
\plot 3.683 17.319 3.645 17.380 /<br />
\plot 3.645 17.380 3.603 17.448 /<br />
\plot 3.603 17.448 3.560 17.522 /<br />
\plot 3.560 17.522 3.516 17.602 /<br />
\plot 3.516 17.602 3.471 17.689 /<br />
\plot 3.471 17.689 3.427 17.782 /<br />
\plot 3.427 17.782 3.382 17.882 /<br />
\plot 3.382 17.882 3.340 17.987 /<br />
\plot 3.340 17.987 3.300 18.098 /<br />
\plot 3.300 18.098 3.266 18.214 /<br />
\plot 3.266 18.214 3.236 18.335 /<br />
\plot 3.236 18.335 3.213 18.455 /<br />
\plot 3.213 18.455 3.200 18.584 /<br />
\plot 3.200 18.584 3.196 18.709 /<br />
\plot 3.196 18.709 3.200 18.834 /<br />
\plot 3.200 18.834 3.215 18.955 /<br />
\plot 3.215 18.955 3.236 19.071 /<br />
\plot 3.236 19.071 3.266 19.181 /<br />
\plot 3.266 19.181 3.300 19.289 /<br />
\plot 3.300 19.289 3.340 19.393 /<br />
\plot 3.340 19.393 3.385 19.490 /<br />
\plot 3.385 19.490 3.433 19.586 /<br />
\plot 3.433 19.586 3.488 19.679 /<br />
\plot 3.488 19.679 3.545 19.768 /<br />
\plot 3.545 19.768 3.605 19.852 /<br />
\plot 3.605 19.852 3.670 19.937 /<br />
\plot 3.670 19.937 3.736 20.017 /<br />
\plot 3.736 20.017 3.804 20.096 /<br />
\plot 3.804 20.096 3.873 20.172 /<br />
\plot 3.873 20.172 3.945 20.246 /<br />
\plot 3.945 20.246 4.017 20.320 /<br />
\plot 4.017 20.320 4.089 20.388 /<br />
\plot 4.089 20.388 4.161 20.455 /<br />
\plot 4.161 20.455 4.233 20.519 /<br />
\plot 4.233 20.519 4.301 20.580 /<br />
\plot 4.301 20.580 4.367 20.635 /<br />
\plot 4.367 20.635 4.428 20.688 /<br />
\plot 4.428 20.688 4.487 20.737 /<br />
\plot 4.487 20.737 4.540 20.779 /<br />
\plot 4.540 20.779 4.587 20.820 /<br />
\plot 4.587 20.820 4.629 20.851 /<br />
\plot 4.629 20.851 4.665 20.881 /<br />
\plot 4.665 20.881 4.695 20.904 /<br />
\plot 4.695 20.904 4.718 20.921 /<br />
\plot 4.718 20.921 4.735 20.936 /<br />
\plot 4.735 20.936 4.748 20.944 /<br />
\plot 4.748 20.944 4.756 20.951 /<br />
\plot 4.756 20.951 4.760 20.953 /<br />
\plot 4.760 20.953 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 5.000 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 4.763 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 6.668 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 8.572 17.384 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.238 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 20.003 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k+1}=i_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.596 20.959<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{k}$}%<br />
} [lB] at 5.596 20.007<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k-1}$}%<br />
} [lB] at 3.929 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l+1}$}%<br />
} [lB] at 6.191 18.576<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{l}$}%<br />
} [lB] at 8.452 18.578<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{3}$}%<br />
} [lB] at 9.286 20.005<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$i_{2}$}%<br />
} [lB] at 8.810 20.839<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l-1}$}%<br />
} [lB] at 9.049 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{l}$}%<br />
} [lB] at 5.834 17.382<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 3.571 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 10.833 19.408<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 10.954 20.836<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$u$}%<br />
} [lB] at 7.501 20.481<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 3.150 21.442 and 10.986 15.987<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent To je ale spor, protože jediné hrany, které mají v obarvení<br />
$\tilde{\tilde{\varphi}}$ barvu odlišnou od barvy v obarvení $\tilde{\varphi}$,<br />
jsou hrany $\{ u,v_{l}\},\{ u,v_{l+1}\},...,\{ u,v_{k}\}$, takže<br />
kružnice vedoucí přes $v_{l-1}$ se nemůže tímto způsobem změnit jen<br />
díky změně obarvení z $\tilde{\varphi}$ na $\tilde{\tilde{\varphi}}$.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_9&diff=4518
01ZTGA:Kapitola1 9
2012-01-15T12:44:15Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Toky v sítích}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $V$ je konečná množina, $A\subset V\times V$. Uspořádanou<br />
dvojici $D=(V,A)$ nazýváme \textbf{orientovaným grafem} (angl. \emph{directed<br />
graph}, \emph{,,digraph{}``}). Prvky množiny $A$ se nazývají orientované<br />
hrany (angl. \emph{arcs}).<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $D=(V,A)$ je orientovaný graf, $X\subset V$, $Y\subset V$,<br />
$X,Y\neq\emptyset$ a nechť je dáno zobrazení $c:A\mapsto\N$. Potom<br />
uspořádaná čtveřice $(D,X,Y,c)$ se nazývá \textbf{síť} (angl. \emph{network}).<br />
<br />
Vrcholy z $X$ se nazývají \textbf{zdroje} (angl. \emph{sources}),<br />
vrcholy z $Y$ \textbf{spotřebiče} (angl. \emph{sinks}), vrcholy z<br />
$I:=V\backslash X\backslash Y$ se nazývají \textbf{uzlové body} (angl.<br />
\emph{intermediate vertices}). Pro $a\in A$ představuje $c(a)$ \textbf{kapacitu<br />
hrany} $a$.<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:definice-toku} Nechť $N=(D,X,Y,c)$ je síť. Zobrazení<br />
$f:A\mapsto\R_{0}^{+}$ nazveme \textbf{tokem} v síti $N$, jestliže<br />
platí<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\left(\forall a\in A\right)\left(f(a)\leq c(a)\right)$, tj. tok<br />
po hraně je omezen její kapacitou,<br />
\item $\left(\forall v\in I\right)\left(\sum\limits _{(u,v)\in A}f\left((u,v)\right)=\sum\limits _{(v,u)\in A}f\left((v,u)\right)\right)$,<br />
tj. v uzlových bodech platí, že ,,co do vrcholu vtéká, to z něj také<br />
vytéká{}``.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $f$ je tok v síti $N=(D,X,Y,c)$. Nechť $S\subset V$ je taková,<br />
že $X\subset S$, $S\cap Y=\emptyset$. Označme $\bar{S}=V\backslash S$.<br />
Potom dvojici $(S,\bar{S})$ nazýváme \textbf{řezem} (angl. \emph{cut})<br />
v síti $N$. \textbf{Kapacitou řezu} $(S,\bar{S})$ rozumíme číslo\[<br />
c\left((S,\bar{S})\right)=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle (u,v)\in A}\\<br />
{\scriptstyle u\in S,v\in\bar{S}}\end{matrix}}c\left((u,v)\right)\]<br />
Dále označme\[<br />
f^{+}(S)=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle (u,v)\in A}\\<br />
{\scriptstyle u\in S,v\in\bar{S}}\end{matrix}}f(u,v)-\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle (u,v)\in A}\\<br />
{\scriptstyle u\in\bar{S},v\in S}\end{matrix}}f(u,v).\]<br />
Číslo $\val f:=f^{+}(X)$ nazýváme \textbf{hodnotou toku} $f$ (angl.<br />
\emph{value of} $f$) v síti $N$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Je snadné ukázat, že pro každý řez $(S,\bar{S})$ v síti $N$ platí<br />
$f^{+}(S)=f^{+}(X)$. Formálně by to bylo možné provést postupnou<br />
konstrukcí množiny $S$ z množiny $X$ přidáváním vrcholů jednoho<br />
po druhém. Z definice toku $f$ pak plyne, že přidání jediného vrcholu<br />
do $S$ nezmění hodnotu $f^{+}(S)$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Tok $f$ v síti $N$ nazveme \textbf{maximální}, jestliže pro každý<br />
jiný tok $\tilde{f}$ v $N$ platí $\val f\geq\val\tilde{f}$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs}<br />
Pro každý tok $f$ a řez $(S,\bar{S})$ v síti $N$ platí\[<br />
\val f\leq c\left((S,\bar{S})\right).\]<br />
<br />
\end{obs}<br />
\begin{rem}<br />
\label{rem:max-rez-min-tok}Speciálně platí, že hodnota maximálního<br />
toku je $\leq$ než hodnota minimálního řezu, tj. řezu s nejmenší<br />
kapacitou. Najdeme-li tok $f$ a řez $(S,\bar{S})$ tak, že\[<br />
\val f=c\left((S,\bar{S})\right),\]<br />
pak tok $f$ je maximální a řez $(S,\bar{S})$ je minimální.<br />
\end{rem}<br />
\begin{example*}<br />
Na obrázku \ref{cap:Tok-v-siti} jsou římskými číslicemi vyznačeny<br />
kapacity hran a arabskými číslicemi tok $f$ po jednotlivých hranách.<br />
Dále jsou tam vyznačeny řezy $(S_{1},\bar{S}_{1}),(S_{2},\bar{S}_{2}),(S_{3},\bar{S}_{3})$<br />
a jejich kapacity. Protože $\val f=5=c\left((S_{2},\bar{S}_{2})\right)$,<br />
je řez $(S_{2},\bar{S}_{2})$ minimální a tok $f$ je maximální.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: toky_priklad.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 21:40:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.096 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.715 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.334 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.334 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\plot 7.499 26.670 7.497 26.668 /<br />
\plot 7.497 26.668 7.491 26.666 /<br />
\plot 7.491 26.666 7.480 26.659 /<br />
\plot 7.480 26.659 7.463 26.651 /<br />
\plot 7.463 26.651 7.440 26.640 /<br />
\plot 7.440 26.640 7.408 26.623 /<br />
\plot 7.408 26.623 7.370 26.602 /<br />
\plot 7.370 26.602 7.326 26.579 /<br />
\plot 7.326 26.579 7.275 26.551 /<br />
\plot 7.275 26.551 7.220 26.518 /<br />
\plot 7.220 26.518 7.159 26.484 /<br />
\plot 7.159 26.484 7.095 26.444 /<br />
\plot 7.095 26.444 7.027 26.401 /<br />
\plot 7.027 26.401 6.960 26.357 /<br />
\plot 6.960 26.357 6.892 26.310 /<br />
\plot 6.892 26.310 6.824 26.259 /<br />
\plot 6.824 26.259 6.756 26.206 /<br />
\plot 6.756 26.206 6.691 26.151 /<br />
\plot 6.691 26.151 6.627 26.092 /<br />
\plot 6.627 26.092 6.566 26.031 /<br />
\plot 6.566 26.031 6.507 25.965 /<br />
\plot 6.507 25.965 6.452 25.893 /<br />
\plot 6.452 25.893 6.399 25.819 /<br />
\plot 6.399 25.819 6.350 25.737 /<br />
\plot 6.350 25.737 6.306 25.650 /<br />
\plot 6.306 25.650 6.265 25.557 /<br />
\plot 6.265 25.557 6.234 25.457 /<br />
\plot 6.234 25.457 6.208 25.351 /<br />
\plot 6.208 25.351 6.191 25.241 /<br />
\plot 6.191 25.241 6.185 25.129 /<br />
\plot 6.185 25.129 6.187 25.019 /<br />
\plot 6.187 25.019 6.198 24.909 /<br />
\plot 6.198 24.909 6.215 24.803 /<br />
\plot 6.215 24.803 6.240 24.701 /<br />
\plot 6.240 24.701 6.270 24.604 /<br />
\plot 6.270 24.604 6.303 24.511 /<br />
\plot 6.303 24.511 6.342 24.420 /<br />
\plot 6.342 24.420 6.384 24.331 /<br />
\plot 6.384 24.331 6.430 24.246 /<br />
\plot 6.430 24.246 6.479 24.164 /<br />
\plot 6.479 24.164 6.530 24.083 /<br />
\plot 6.530 24.083 6.583 24.007 /<br />
\plot 6.583 24.007 6.638 23.931 /<br />
\plot 6.638 23.931 6.693 23.857 /<br />
\plot 6.693 23.857 6.750 23.787 /<br />
\plot 6.750 23.787 6.803 23.719 /<br />
\plot 6.803 23.719 6.856 23.656 /<br />
\plot 6.856 23.656 6.907 23.597 /<br />
\plot 6.907 23.597 6.955 23.544 /<br />
\plot 6.955 23.544 6.998 23.495 /<br />
\plot 6.998 23.495 7.034 23.453 /<br />
\plot 7.034 23.453 7.068 23.419 /<br />
\plot 7.068 23.419 7.093 23.391 /<br />
\plot 7.093 23.391 7.112 23.368 /<br />
\plot 7.112 23.368 7.127 23.353 /<br />
\plot 7.127 23.353 7.137 23.345 /<br />
\plot 7.137 23.345 7.142 23.338 /<br />
\plot 7.142 23.338 7.144 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\putrule from 1.190 26.789 to 1.192 26.789<br />
\putrule from 1.192 26.789 to 1.198 26.789<br />
\putrule from 1.198 26.789 to 1.211 26.789<br />
\plot 1.211 26.789 1.230 26.786 /<br />
\plot 1.230 26.786 1.255 26.784 /<br />
\plot 1.255 26.784 1.287 26.782 /<br />
\plot 1.287 26.782 1.327 26.778 /<br />
\plot 1.327 26.778 1.374 26.774 /<br />
\plot 1.374 26.774 1.425 26.767 /<br />
\plot 1.425 26.767 1.480 26.761 /<br />
\plot 1.480 26.761 1.539 26.753 /<br />
\plot 1.539 26.753 1.600 26.740 /<br />
\plot 1.600 26.740 1.662 26.727 /<br />
\plot 1.662 26.727 1.725 26.710 /<br />
\plot 1.725 26.710 1.789 26.691 /<br />
\plot 1.789 26.691 1.852 26.668 /<br />
\plot 1.852 26.668 1.916 26.640 /<br />
\plot 1.916 26.640 1.977 26.609 /<br />
\plot 1.977 26.609 2.040 26.573 /<br />
\plot 2.040 26.573 2.102 26.528 /<br />
\plot 2.102 26.528 2.161 26.477 /<br />
\plot 2.161 26.477 2.220 26.420 /<br />
\plot 2.220 26.420 2.278 26.352 /<br />
\plot 2.278 26.352 2.333 26.276 /<br />
\plot 2.333 26.276 2.381 26.194 /<br />
\plot 2.381 26.194 2.419 26.118 /<br />
\plot 2.419 26.118 2.451 26.037 /<br />
\plot 2.451 26.037 2.477 25.961 /<br />
\plot 2.477 25.961 2.500 25.887 /<br />
\plot 2.500 25.887 2.519 25.817 /<br />
\plot 2.519 25.817 2.536 25.753 /<br />
\plot 2.536 25.753 2.548 25.694 /<br />
\plot 2.548 25.694 2.559 25.641 /<br />
\plot 2.559 25.641 2.565 25.595 /<br />
\plot 2.565 25.595 2.574 25.552 /<br />
\plot 2.574 25.552 2.578 25.514 /<br />
\plot 2.578 25.514 2.582 25.480 /<br />
\plot 2.582 25.480 2.587 25.449 /<br />
\plot 2.587 25.449 2.589 25.419 /<br />
\plot 2.589 25.419 2.591 25.392 /<br />
\putrule from 2.591 25.392 to 2.591 25.362<br />
\putrule from 2.591 25.362 to 2.591 25.332<br />
\plot 2.591 25.332 2.589 25.298 /<br />
\plot 2.589 25.298 2.587 25.265 /<br />
\plot 2.587 25.265 2.582 25.224 /<br />
\plot 2.582 25.224 2.578 25.182 /<br />
\plot 2.578 25.182 2.570 25.131 /<br />
\plot 2.570 25.131 2.561 25.076 /<br />
\plot 2.561 25.076 2.548 25.015 /<br />
\plot 2.548 25.015 2.532 24.945 /<br />
\plot 2.532 24.945 2.510 24.871 /<br />
\plot 2.510 24.871 2.487 24.790 /<br />
\plot 2.487 24.790 2.457 24.704 /<br />
\plot 2.457 24.704 2.421 24.617 /<br />
\plot 2.421 24.617 2.381 24.528 /<br />
\plot 2.381 24.528 2.328 24.431 /<br />
\plot 2.328 24.431 2.269 24.337 /<br />
\plot 2.269 24.337 2.206 24.255 /<br />
\plot 2.206 24.255 2.140 24.179 /<br />
\plot 2.140 24.179 2.074 24.109 /<br />
\plot 2.074 24.109 2.007 24.047 /<br />
\plot 2.007 24.047 1.939 23.990 /<br />
\plot 1.939 23.990 1.869 23.942 /<br />
\plot 1.869 23.942 1.799 23.895 /<br />
\plot 1.799 23.895 1.729 23.853 /<br />
\plot 1.729 23.853 1.659 23.815 /<br />
\plot 1.659 23.815 1.590 23.779 /<br />
\plot 1.590 23.779 1.522 23.747 /<br />
\plot 1.522 23.747 1.454 23.717 /<br />
\plot 1.454 23.717 1.391 23.690 /<br />
\plot 1.391 23.690 1.329 23.666 /<br />
\plot 1.329 23.666 1.272 23.645 /<br />
\plot 1.272 23.645 1.221 23.626 /<br />
\plot 1.221 23.626 1.179 23.611 /<br />
\plot 1.179 23.611 1.143 23.599 /<br />
\plot 1.143 23.599 1.115 23.590 /<br />
\plot 1.115 23.590 1.094 23.584 /<br />
\plot 1.094 23.584 1.082 23.580 /<br />
\plot 1.082 23.580 1.075 23.575 /<br />
\putrule from 1.075 23.575 to 1.071 23.575<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\plot 5.000 26.789 5.002 26.786 /<br />
\plot 5.002 26.786 5.004 26.782 /<br />
\plot 5.004 26.782 5.008 26.772 /<br />
\plot 5.008 26.772 5.014 26.759 /<br />
\plot 5.014 26.759 5.025 26.740 /<br />
\plot 5.025 26.740 5.036 26.712 /<br />
\plot 5.036 26.712 5.052 26.681 /<br />
\plot 5.052 26.681 5.069 26.642 /<br />
\plot 5.069 26.642 5.088 26.600 /<br />
\plot 5.088 26.600 5.110 26.549 /<br />
\plot 5.110 26.549 5.131 26.496 /<br />
\plot 5.131 26.496 5.154 26.439 /<br />
\plot 5.154 26.439 5.177 26.376 /<br />
\plot 5.177 26.376 5.201 26.310 /<br />
\plot 5.201 26.310 5.224 26.240 /<br />
\plot 5.224 26.240 5.247 26.168 /<br />
\plot 5.247 26.168 5.268 26.092 /<br />
\plot 5.268 26.092 5.287 26.012 /<br />
\plot 5.287 26.012 5.304 25.925 /<br />
\plot 5.304 25.925 5.321 25.834 /<br />
\plot 5.321 25.834 5.336 25.737 /<br />
\plot 5.336 25.737 5.347 25.633 /<br />
\plot 5.347 25.633 5.357 25.523 /<br />
\plot 5.357 25.523 5.362 25.404 /<br />
\plot 5.362 25.404 5.366 25.277 /<br />
\plot 5.366 25.277 5.364 25.144 /<br />
\plot 5.364 25.144 5.357 25.004 /<br />
\plot 5.357 25.004 5.349 24.881 /<br />
\plot 5.349 24.881 5.336 24.759 /<br />
\plot 5.336 24.759 5.321 24.640 /<br />
\plot 5.321 24.640 5.302 24.526 /<br />
\plot 5.302 24.526 5.283 24.414 /<br />
\plot 5.283 24.414 5.262 24.308 /<br />
\plot 5.262 24.308 5.241 24.206 /<br />
\plot 5.241 24.206 5.218 24.107 /<br />
\plot 5.218 24.107 5.192 24.014 /<br />
\plot 5.192 24.014 5.167 23.923 /<br />
\plot 5.167 23.923 5.141 23.834 /<br />
\plot 5.141 23.834 5.114 23.747 /<br />
\plot 5.114 23.747 5.086 23.664 /<br />
\plot 5.086 23.664 5.057 23.584 /<br />
\plot 5.057 23.584 5.029 23.506 /<br />
\plot 5.029 23.506 5.000 23.429 /<br />
\plot 5.000 23.429 4.972 23.357 /<br />
\plot 4.972 23.357 4.945 23.288 /<br />
\plot 4.945 23.288 4.917 23.222 /<br />
\plot 4.917 23.222 4.892 23.161 /<br />
\plot 4.892 23.161 4.868 23.103 /<br />
\plot 4.868 23.103 4.847 23.053 /<br />
\plot 4.847 23.053 4.828 23.006 /<br />
\plot 4.828 23.006 4.811 22.968 /<br />
\plot 4.811 22.968 4.796 22.934 /<br />
\plot 4.796 22.934 4.784 22.909 /<br />
\plot 4.784 22.909 4.775 22.890 /<br />
\plot 4.775 22.890 4.769 22.875 /<br />
\plot 4.769 22.875 4.765 22.866 /<br />
\plot 4.765 22.866 4.763 22.862 /<br />
\putrule from 4.763 22.862 to 4.763 22.860<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.715 24.289 8.096 25.718 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 7.739 25.325 8.096 25.718 7.582 25.587 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 26.194 8.096 25.718 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 7.576 25.616 8.096 25.718 7.606 25.920 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.715 24.289 3.334 26.194 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.826 25.995 3.334 26.194 3.635 25.757 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 3.334 24.289 to 5.715 24.289<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 5.207 24.136 5.715 24.289 5.207 24.441 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 3.334 24.289 to 3.334 26.194<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.486 25.686 3.334 26.194 3.181 25.686 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 25.241 3.334 24.289 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.805 24.336 3.334 24.289 2.919 24.619 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 25.241 3.334 26.194 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.919 25.864 3.334 26.194 2.805 26.147 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,1}$c((S_{3},\bar{S}_{3}))=8$}%<br />
} [lB] at 6.905 22.384<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,1}$c((S_{1},\bar{S}_{1}))=6$}%<br />
} [lB] at 0.237 22.384<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,1}$c((S_{2},\bar{S}_{2}))=5$}%<br />
} [lB] at 3.571 21.670<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 4.047 23.813<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}V}%<br />
} [lB] at 7.023 24.528<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}I}%<br />
} [lB] at 4.881 25.121<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}III}%<br />
} [lB] at 5.952 26.075<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}II}%<br />
} [lB] at 4.405 23.813<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}IV}%<br />
} [lB] at 1.903 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}III}%<br />
} [lB] at 3.452 25.004<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}II}%<br />
} [lB] at 1.905 25.838<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 6.668 24.409<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}3}%<br />
} [lB] at 5.596 26.075<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}0}%<br />
} [lB] at 4.286 24.765<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}1}%<br />
} [lB] at 2.976 25.004<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}3}%<br />
} [lB] at 1.547 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 1.547 25.838<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}y}%<br />
} [lB] at 8.572 25.599<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 5.715 23.457<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 3.213 23.457<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 3.334 26.670<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}x}%<br />
} [lB] at 0.356 25.123<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.205 27.265 and 8.604 21.429<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:Tok-v-siti}Tok v síti a minimální řez}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem*}<br />
Každou síť lze snadno převést na síť s jediným zdrojem a jediným spotřebičem.<br />
Přidáme zdroj $x_{0}$, spotřebič $y_{0}$ a všechny původní zdroje<br />
spojíme s vrcholem $x_{0}$ hranami o dostatečně velké kapacitě (např.<br />
rovné součtu všech kapacit v síti). To samé provedeme pro spotřebiče.<br />
Díky tomu můžeme dále bez újmy na obecnosti uvažovat pouze sítě s<br />
jediným zdrojem a jediným spotřebičem, které budeme místo $(D,\{ x_{0}\},\{ y_{0}\},c)$<br />
značit jen jako $(D,x_{0},y_{0},c)$.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Hledání maximálního toku pomocí $f$-nenasycených cest}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $f$ je tok v síti $N=(D,x_{0},y_{0},c)$ a nechť $P$ je neorientovaná%<br />
\footnote{Cestu $P$ uvažujeme tak, jako kdyby graf $D$ nebyl orientovaný,<br />
tj. každé hraně $a=(u,v)$ odpovídá neorientovaná hrana $\{ u,v\}$.<br />
Formálně můžeme zapsat, že orientovanému grafu $D=(V,A)$ přísluší<br />
neorientovaný graf $G_{D}=\left(V,\left\{ \left.\{ u,v\}\right|(u,v)\in A\right\} \right)$.%<br />
} (!!) cesta s počátečním vrcholem $x_{0}$. Pro každou hranu $a\in P$<br />
%<br />
\footnote{Pokud uvažujeme $P$ jako podgraf $G_{D}$, pak bychom měli psát spíše<br />
,,$a\in A$ taková, že $a=(u,v)$ a $\{ u,v\}\in E(P)${}``.%<br />
} položme\[<br />
\iota(a)=\begin{cases}<br />
c(a)-f(a) & \textrm{je-li }a\textrm{ (na cest\v{e} }P\textrm{) orientována ve sm\v{e}ru z }x_{0}\\<br />
f(a) & \textrm{je-li }a\textrm{ (na cest\v{e} }P\textrm{) orientována ve sm\v{e}ru do }x_{0}\end{cases}\]<br />
Jestliže $\iota(P):=\min_{a\in P}\iota(a)>0$, pak řekneme, že cesta<br />
$P$ je $f$-\textbf{nenasycená}.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
Na obrázku \ref{cap:nenasycena-cesta} je tlustou čarou znázorněna<br />
$f$-nenasycená cesta $P$. Význam číslic je vysvětlen v minulém příkladě.<br />
Podle definice zjistíme, že $\iota(P)=2$. Nyní upravíme tok v síti<br />
následovně. Na hranách, které vedou po cestě $P$ ve směru od $x$,<br />
zvýšíme tok o $\iota(P)$ a na hranách vedoucích po $P$ ve směru<br />
do $x$ snížíme tok o $\iota(P)$. Potom nové zobrazení $\tilde{f}$,<br />
které vznikne z $f$ uvedenými úpravami, je opět $\tilde{f}:A\mapsto\R_{0}^{+}$<br />
a též první podmínka na tok v definici \ref{def:definice-toku} je<br />
zřejmě splněna. Co se týká druhé podmínky, lze situace, které nastanou<br />
na cestě $P$, shrnout na následujících schématech:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: nenasyc_zpusoby.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:48:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at -4.763 30.956<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at -4.763 29.407<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at -0.953 30.956<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at -0.953 29.407<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from -6.191 30.956 to -4.763 30.956<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -5.271 30.804 -4.763 30.956 -5.271 31.109 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from -4.763 30.956 to -3.334 30.956<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -3.842 30.804 -3.334 30.956 -3.842 31.109 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from -6.191 29.407 to -4.763 29.407<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -5.271 29.254 -4.763 29.407 -5.271 29.559 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -4.255 29.559 -4.763 29.407 -4.255 29.254 /<br />
%<br />
\putrule from -4.763 29.407 to -3.334 29.407<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from -0.953 29.407 to 0.476 29.407<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -0.032 29.254 0.476 29.407 -0.032 29.559 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -1.873 29.559 -2.381 29.407 -1.873 29.254 /<br />
%<br />
\putrule from -2.381 29.407 to -0.953 29.407<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -1.873 31.109 -2.381 30.956 -1.873 30.804 /<br />
%<br />
\putrule from -2.381 30.956 to -0.953 30.956<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot -0.444 31.109 -0.953 30.956 -0.444 30.804 /<br />
%<br />
\putrule from -0.953 30.956 to 0.476 30.956<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -6.191 30.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -4.644 30.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -6.191 28.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$+\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -0.834 28.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$-\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -2.381 30.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$-\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -0.834 30.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$-\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -4.644 28.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$-\iota(P)$}%<br />
} [lB] at -2.381 28.694<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at -6.238 31.153 and 0.523 28.535<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Je vidět, že ať jsou hrany na vrcholech cesty $P$ orientovány<br />
jakkoliv, bude v každém uzlovém bodě stále zachována bilance ,,vtoku{}``<br />
a ,,výtoku{}``. Proto $\tilde{f}$ je tok, který má hodnotu $\val\tilde{f}=\val f+\iota(P)$.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: nenasycena_cesta.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 23:49:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.572 17.145<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 12.383 17.145<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 15.716<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.474}}} at 7.620 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.474}}} at 13.335 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 20.955 to 10.478 19.526<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 10.325 20.034 10.478 19.526 10.630 20.034 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 19.526 to 10.478 19.524<br />
\plot 10.478 19.524 10.475 19.518 /<br />
\putrule from 10.475 19.518 to 10.475 19.505<br />
\plot 10.475 19.505 10.471 19.488 /<br />
\plot 10.471 19.488 10.467 19.465 /<br />
\plot 10.467 19.465 10.463 19.433 /<br />
\plot 10.463 19.433 10.454 19.395 /<br />
\plot 10.454 19.395 10.446 19.351 /<br />
\plot 10.446 19.351 10.435 19.300 /<br />
\plot 10.435 19.300 10.425 19.245 /<br />
\plot 10.425 19.245 10.410 19.188 /<br />
\plot 10.410 19.188 10.395 19.124 /<br />
\plot 10.395 19.124 10.378 19.058 /<br />
\plot 10.378 19.058 10.357 18.993 /<br />
\plot 10.357 18.993 10.336 18.923 /<br />
\plot 10.336 18.923 10.310 18.853 /<br />
\plot 10.310 18.853 10.283 18.779 /<br />
\plot 10.283 18.779 10.251 18.703 /<br />
\plot 10.251 18.703 10.215 18.625 /<br />
\plot 10.215 18.625 10.175 18.544 /<br />
\plot 10.175 18.544 10.128 18.459 /<br />
\plot 10.128 18.459 10.075 18.373 /<br />
\plot 10.075 18.373 10.016 18.282 /<br />
\plot 10.016 18.282 9.950 18.191 /<br />
\plot 9.950 18.191 9.881 18.098 /<br />
\plot 9.881 18.098 9.807 18.009 /<br />
\plot 9.807 18.009 9.728 17.924 /<br />
\plot 9.728 17.924 9.652 17.844 /<br />
\plot 9.652 17.844 9.578 17.772 /<br />
\plot 9.578 17.772 9.504 17.706 /<br />
\plot 9.504 17.706 9.432 17.647 /<br />
\plot 9.432 17.647 9.362 17.592 /<br />
\plot 9.362 17.592 9.292 17.541 /<br />
\plot 9.292 17.541 9.224 17.494 /<br />
\plot 9.224 17.494 9.159 17.452 /<br />
\plot 9.159 17.452 9.093 17.412 /<br />
\plot 9.093 17.412 9.028 17.374 /<br />
\plot 9.028 17.374 8.966 17.338 /<br />
\plot 8.966 17.338 8.907 17.306 /<br />
\plot 8.907 17.306 8.848 17.276 /<br />
\plot 8.848 17.276 8.795 17.249 /<br />
\plot 8.795 17.249 8.746 17.225 /<br />
\plot 8.746 17.225 8.702 17.204 /<br />
\plot 8.702 17.204 8.666 17.187 /<br />
\plot 8.666 17.187 8.634 17.173 /<br />
\plot 8.634 17.173 8.611 17.162 /<br />
\plot 8.611 17.162 8.572 17.145 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 8.975 17.491 8.572 17.145 9.099 17.212 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 19.526 to 10.478 19.524<br />
\plot 10.478 19.524 10.480 19.518 /<br />
\putrule from 10.480 19.518 to 10.480 19.505<br />
\plot 10.480 19.505 10.484 19.488 /<br />
\plot 10.484 19.488 10.488 19.465 /<br />
\plot 10.488 19.465 10.492 19.433 /<br />
\plot 10.492 19.433 10.501 19.395 /<br />
\plot 10.501 19.395 10.509 19.351 /<br />
\plot 10.509 19.351 10.518 19.300 /<br />
\plot 10.518 19.300 10.530 19.245 /<br />
\plot 10.530 19.245 10.543 19.188 /<br />
\plot 10.543 19.188 10.560 19.124 /<br />
\plot 10.560 19.124 10.577 19.058 /<br />
\plot 10.577 19.058 10.596 18.993 /<br />
\plot 10.596 18.993 10.617 18.923 /<br />
\plot 10.617 18.923 10.643 18.853 /<br />
\plot 10.643 18.853 10.670 18.779 /<br />
\plot 10.670 18.779 10.702 18.703 /<br />
\plot 10.702 18.703 10.738 18.625 /<br />
\plot 10.738 18.625 10.778 18.544 /<br />
\plot 10.778 18.544 10.825 18.459 /<br />
\plot 10.825 18.459 10.878 18.373 /<br />
\plot 10.878 18.373 10.937 18.282 /<br />
\plot 10.937 18.282 11.002 18.191 /<br />
\plot 11.002 18.191 11.072 18.098 /<br />
\plot 11.072 18.098 11.146 18.009 /<br />
\plot 11.146 18.009 11.225 17.924 /<br />
\plot 11.225 17.924 11.301 17.844 /<br />
\plot 11.301 17.844 11.375 17.772 /<br />
\plot 11.375 17.772 11.449 17.706 /<br />
\plot 11.449 17.706 11.521 17.647 /<br />
\plot 11.521 17.647 11.593 17.592 /<br />
\plot 11.593 17.592 11.661 17.541 /<br />
\plot 11.661 17.541 11.728 17.494 /<br />
\plot 11.728 17.494 11.796 17.452 /<br />
\plot 11.796 17.452 11.862 17.412 /<br />
\plot 11.862 17.412 11.925 17.374 /<br />
\plot 11.925 17.374 11.989 17.338 /<br />
\plot 11.989 17.338 12.048 17.306 /<br />
\plot 12.048 17.306 12.105 17.276 /<br />
\plot 12.105 17.276 12.160 17.249 /<br />
\plot 12.160 17.249 12.209 17.225 /<br />
\plot 12.209 17.225 12.253 17.204 /<br />
\plot 12.253 17.204 12.289 17.187 /<br />
\plot 12.289 17.187 12.321 17.173 /<br />
\plot 12.321 17.173 12.344 17.162 /<br />
\plot 12.344 17.162 12.383 17.145 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 11.856 17.212 12.383 17.145 11.980 17.491 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.572 17.145 to 8.572 17.147<br />
\putrule from 8.572 17.147 to 8.572 17.151<br />
\putrule from 8.572 17.151 to 8.572 17.160<br />
\putrule from 8.572 17.160 to 8.572 17.175<br />
\putrule from 8.572 17.175 to 8.572 17.194<br />
\plot 8.572 17.194 8.575 17.219 /<br />
\putrule from 8.575 17.219 to 8.575 17.251<br />
\plot 8.575 17.251 8.577 17.289 /<br />
\plot 8.577 17.289 8.579 17.331 /<br />
\plot 8.579 17.331 8.581 17.380 /<br />
\plot 8.581 17.380 8.585 17.435 /<br />
\plot 8.585 17.435 8.589 17.492 /<br />
\plot 8.589 17.492 8.596 17.556 /<br />
\plot 8.596 17.556 8.602 17.621 /<br />
\plot 8.602 17.621 8.611 17.691 /<br />
\plot 8.611 17.691 8.621 17.763 /<br />
\plot 8.621 17.763 8.634 17.837 /<br />
\plot 8.634 17.837 8.647 17.913 /<br />
\plot 8.647 17.913 8.664 17.996 /<br />
\plot 8.664 17.996 8.683 18.078 /<br />
\plot 8.683 18.078 8.706 18.167 /<br />
\plot 8.706 18.167 8.731 18.258 /<br />
\plot 8.731 18.258 8.761 18.356 /<br />
\plot 8.761 18.356 8.797 18.459 /<br />
\plot 8.797 18.459 8.835 18.567 /<br />
\plot 8.835 18.567 8.882 18.680 /<br />
\plot 8.882 18.680 8.932 18.800 /<br />
\plot 8.932 18.800 8.987 18.923 /<br />
\plot 8.987 18.923 9.049 19.050 /<br />
\plot 9.049 19.050 9.110 19.169 /<br />
\plot 9.110 19.169 9.174 19.285 /<br />
\plot 9.174 19.285 9.237 19.397 /<br />
\plot 9.237 19.397 9.303 19.505 /<br />
\plot 9.303 19.505 9.366 19.609 /<br />
\plot 9.366 19.609 9.430 19.706 /<br />
\plot 9.430 19.706 9.493 19.799 /<br />
\plot 9.493 19.799 9.555 19.888 /<br />
\plot 9.555 19.888 9.618 19.973 /<br />
\plot 9.618 19.973 9.677 20.053 /<br />
\plot 9.677 20.053 9.739 20.130 /<br />
\plot 9.739 20.130 9.798 20.206 /<br />
\plot 9.798 20.206 9.857 20.278 /<br />
\plot 9.857 20.278 9.917 20.348 /<br />
\plot 9.917 20.348 9.974 20.413 /<br />
\plot 9.974 20.413 10.031 20.479 /<br />
\plot 10.031 20.479 10.086 20.540 /<br />
\plot 10.086 20.540 10.139 20.599 /<br />
\plot 10.139 20.599 10.190 20.654 /<br />
\plot 10.190 20.654 10.238 20.707 /<br />
\plot 10.238 20.707 10.283 20.754 /<br />
\plot 10.283 20.754 10.323 20.796 /<br />
\plot 10.323 20.796 10.359 20.834 /<br />
\plot 10.359 20.834 10.391 20.866 /<br />
\plot 10.391 20.866 10.416 20.894 /<br />
\plot 10.416 20.894 10.437 20.915 /<br />
\plot 10.437 20.915 10.454 20.932 /<br />
\plot 10.454 20.932 10.478 20.955 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 10.226 20.488 10.478 20.955 10.011 20.704 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 20.955 10.480 20.957 /<br />
\plot 10.480 20.957 10.486 20.959 /<br />
\plot 10.486 20.959 10.494 20.963 /<br />
\plot 10.494 20.963 10.509 20.970 /<br />
\plot 10.509 20.970 10.530 20.980 /<br />
\plot 10.530 20.980 10.558 20.991 /<br />
\plot 10.558 20.991 10.592 21.006 /<br />
\plot 10.592 21.006 10.632 21.021 /<br />
\plot 10.632 21.021 10.676 21.038 /<br />
\plot 10.676 21.038 10.725 21.054 /<br />
\plot 10.725 21.054 10.778 21.074 /<br />
\plot 10.778 21.074 10.835 21.088 /<br />
\plot 10.835 21.088 10.894 21.103 /<br />
\plot 10.894 21.103 10.958 21.118 /<br />
\plot 10.958 21.118 11.024 21.129 /<br />
\plot 11.024 21.129 11.091 21.135 /<br />
\plot 11.091 21.135 11.163 21.139 /<br />
\putrule from 11.163 21.139 to 11.240 21.139<br />
\plot 11.240 21.139 11.318 21.133 /<br />
\plot 11.318 21.133 11.402 21.122 /<br />
\plot 11.402 21.122 11.494 21.105 /<br />
\plot 11.494 21.105 11.589 21.080 /<br />
\plot 11.589 21.080 11.690 21.048 /<br />
\plot 11.690 21.048 11.796 21.006 /<br />
\plot 11.796 21.006 11.906 20.955 /<br />
\plot 11.906 20.955 12.002 20.904 /<br />
\plot 12.002 20.904 12.095 20.849 /<br />
\plot 12.095 20.849 12.184 20.792 /<br />
\plot 12.184 20.792 12.268 20.731 /<br />
\plot 12.268 20.731 12.351 20.669 /<br />
\plot 12.351 20.669 12.427 20.606 /<br />
\plot 12.427 20.606 12.499 20.540 /<br />
\plot 12.499 20.540 12.569 20.477 /<br />
\plot 12.569 20.477 12.634 20.411 /<br />
\plot 12.634 20.411 12.698 20.345 /<br />
\plot 12.698 20.345 12.757 20.280 /<br />
\plot 12.757 20.280 12.816 20.214 /<br />
\plot 12.816 20.214 12.871 20.149 /<br />
\plot 12.871 20.149 12.926 20.083 /<br />
\plot 12.926 20.083 12.977 20.017 /<br />
\plot 12.977 20.017 13.028 19.954 /<br />
\plot 13.028 19.954 13.075 19.892 /<br />
\plot 13.075 19.892 13.117 19.833 /<br />
\plot 13.117 19.833 13.159 19.778 /<br />
\plot 13.159 19.778 13.195 19.727 /<br />
\plot 13.195 19.727 13.227 19.681 /<br />
\plot 13.227 19.681 13.257 19.641 /<br />
\plot 13.257 19.641 13.280 19.607 /<br />
\plot 13.280 19.607 13.299 19.579 /<br />
\plot 13.299 19.579 13.314 19.558 /<br />
\plot 13.314 19.558 13.335 19.526 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 12.926 19.864 13.335 19.526 13.180 20.033 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.620 19.526 7.622 19.528 /<br />
\plot 7.622 19.528 7.624 19.535 /<br />
\plot 7.624 19.535 7.631 19.543 /<br />
\plot 7.631 19.543 7.641 19.558 /<br />
\plot 7.641 19.558 7.656 19.579 /<br />
\plot 7.656 19.579 7.675 19.607 /<br />
\plot 7.675 19.607 7.698 19.641 /<br />
\plot 7.698 19.641 7.728 19.681 /<br />
\plot 7.728 19.681 7.760 19.727 /<br />
\plot 7.760 19.727 7.796 19.778 /<br />
\plot 7.796 19.778 7.838 19.833 /<br />
\plot 7.838 19.833 7.880 19.892 /<br />
\plot 7.880 19.892 7.927 19.954 /<br />
\plot 7.927 19.954 7.978 20.017 /<br />
\plot 7.978 20.017 8.029 20.083 /<br />
\plot 8.029 20.083 8.084 20.149 /<br />
\plot 8.084 20.149 8.139 20.214 /<br />
\plot 8.139 20.214 8.198 20.280 /<br />
\plot 8.198 20.280 8.257 20.345 /<br />
\plot 8.257 20.345 8.321 20.411 /<br />
\plot 8.321 20.411 8.386 20.477 /<br />
\plot 8.386 20.477 8.456 20.540 /<br />
\plot 8.456 20.540 8.528 20.606 /<br />
\plot 8.528 20.606 8.604 20.669 /<br />
\plot 8.604 20.669 8.687 20.731 /<br />
\plot 8.687 20.731 8.771 20.792 /<br />
\plot 8.771 20.792 8.860 20.849 /<br />
\plot 8.860 20.849 8.954 20.904 /<br />
\plot 8.954 20.904 9.049 20.955 /<br />
\plot 9.049 20.955 9.159 21.006 /<br />
\plot 9.159 21.006 9.265 21.048 /<br />
\plot 9.265 21.048 9.366 21.080 /<br />
\plot 9.366 21.080 9.462 21.105 /<br />
\plot 9.462 21.105 9.553 21.122 /<br />
\plot 9.553 21.122 9.637 21.133 /<br />
\plot 9.637 21.133 9.716 21.139 /<br />
\putrule from 9.716 21.139 to 9.792 21.139<br />
\plot 9.792 21.139 9.864 21.135 /<br />
\plot 9.864 21.135 9.931 21.129 /<br />
\plot 9.931 21.129 9.997 21.118 /<br />
\plot 9.997 21.118 10.061 21.103 /<br />
\plot 10.061 21.103 10.120 21.088 /<br />
\plot 10.120 21.088 10.177 21.074 /<br />
\plot 10.177 21.074 10.230 21.054 /<br />
\plot 10.230 21.054 10.279 21.038 /<br />
\plot 10.279 21.038 10.323 21.021 /<br />
\plot 10.323 21.021 10.363 21.006 /<br />
\plot 10.363 21.006 10.397 20.991 /<br />
\plot 10.397 20.991 10.425 20.980 /<br />
\plot 10.425 20.980 10.446 20.970 /<br />
\plot 10.446 20.970 10.478 20.955 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 9.953 21.032 10.478 20.955 10.082 21.308 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 12.230 17.534 12.383 17.026 12.535 17.534 /<br />
%<br />
\putrule from 12.383 17.026 to 12.383 17.058<br />
\putrule from 12.383 17.058 to 12.383 17.079<br />
\plot 12.383 17.079 12.380 17.107 /<br />
\putrule from 12.380 17.107 to 12.380 17.141<br />
\plot 12.380 17.141 12.378 17.183 /<br />
\plot 12.378 17.183 12.376 17.230 /<br />
\plot 12.376 17.230 12.374 17.283 /<br />
\plot 12.374 17.283 12.370 17.342 /<br />
\plot 12.370 17.342 12.366 17.405 /<br />
\plot 12.366 17.405 12.359 17.473 /<br />
\plot 12.359 17.473 12.353 17.543 /<br />
\plot 12.353 17.543 12.344 17.617 /<br />
\plot 12.344 17.617 12.334 17.695 /<br />
\plot 12.334 17.695 12.321 17.776 /<br />
\plot 12.321 17.776 12.308 17.858 /<br />
\plot 12.308 17.858 12.291 17.945 /<br />
\plot 12.291 17.945 12.272 18.034 /<br />
\plot 12.272 18.034 12.249 18.127 /<br />
\plot 12.249 18.127 12.224 18.224 /<br />
\plot 12.224 18.224 12.194 18.328 /<br />
\plot 12.194 18.328 12.158 18.434 /<br />
\plot 12.158 18.434 12.120 18.548 /<br />
\plot 12.120 18.548 12.073 18.667 /<br />
\plot 12.073 18.667 12.023 18.792 /<br />
\plot 12.023 18.792 11.968 18.919 /<br />
\plot 11.968 18.919 11.906 19.050 /<br />
\plot 11.906 19.050 11.845 19.173 /<br />
\plot 11.845 19.173 11.781 19.291 /<br />
\plot 11.781 19.291 11.718 19.406 /<br />
\plot 11.718 19.406 11.652 19.516 /<br />
\plot 11.652 19.516 11.589 19.622 /<br />
\plot 11.589 19.622 11.525 19.719 /<br />
\plot 11.525 19.719 11.462 19.814 /<br />
\plot 11.462 19.814 11.400 19.903 /<br />
\plot 11.400 19.903 11.337 19.988 /<br />
\plot 11.337 19.988 11.278 20.068 /<br />
\plot 11.278 20.068 11.216 20.146 /<br />
\plot 11.216 20.146 11.157 20.221 /<br />
\plot 11.157 20.221 11.098 20.290 /<br />
\plot 11.098 20.290 11.038 20.360 /<br />
\plot 11.038 20.360 10.981 20.426 /<br />
\plot 10.981 20.426 10.924 20.489 /<br />
\plot 10.924 20.489 10.869 20.551 /<br />
\plot 10.869 20.551 10.816 20.608 /<br />
\plot 10.816 20.608 10.765 20.663 /<br />
\plot 10.765 20.663 10.717 20.714 /<br />
\plot 10.717 20.714 10.672 20.758 /<br />
\plot 10.672 20.758 10.632 20.800 /<br />
\plot 10.632 20.800 10.596 20.836 /<br />
\plot 10.596 20.836 10.564 20.868 /<br />
\plot 10.564 20.868 10.539 20.896 /<br />
\plot 10.539 20.896 10.518 20.915 /<br />
\plot 10.518 20.915 10.501 20.932 /<br />
\plot 10.501 20.932 10.490 20.942 /<br />
\plot 10.490 20.942 10.484 20.949 /<br />
\plot 10.484 20.949 10.480 20.953 /<br />
\plot 10.480 20.953 10.478 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 12.383 17.145 12.385 17.143 /<br />
\plot 12.385 17.143 12.389 17.141 /<br />
\plot 12.389 17.141 12.397 17.134 /<br />
\plot 12.397 17.134 12.408 17.124 /<br />
\plot 12.408 17.124 12.425 17.111 /<br />
\plot 12.425 17.111 12.448 17.094 /<br />
\plot 12.448 17.094 12.474 17.075 /<br />
\plot 12.474 17.075 12.505 17.052 /<br />
\plot 12.505 17.052 12.541 17.026 /<br />
\plot 12.541 17.026 12.579 17.001 /<br />
\plot 12.579 17.001 12.622 16.974 /<br />
\plot 12.622 16.974 12.664 16.948 /<br />
\plot 12.664 16.948 12.711 16.923 /<br />
\plot 12.711 16.923 12.757 16.897 /<br />
\plot 12.757 16.897 12.804 16.878 /<br />
\plot 12.804 16.878 12.850 16.861 /<br />
\plot 12.850 16.861 12.897 16.847 /<br />
\plot 12.897 16.847 12.946 16.840 /<br />
\plot 12.946 16.840 12.992 16.838 /<br />
\plot 12.992 16.838 13.037 16.842 /<br />
\plot 13.037 16.842 13.083 16.853 /<br />
\plot 13.083 16.853 13.130 16.874 /<br />
\plot 13.130 16.874 13.174 16.906 /<br />
\plot 13.174 16.906 13.216 16.946 /<br />
\plot 13.216 16.946 13.259 17.001 /<br />
\plot 13.259 17.001 13.299 17.067 /<br />
\plot 13.299 17.067 13.335 17.145 /<br />
\plot 13.335 17.145 13.363 17.223 /<br />
\plot 13.363 17.223 13.386 17.310 /<br />
\plot 13.386 17.310 13.407 17.399 /<br />
\plot 13.407 17.399 13.424 17.494 /<br />
\plot 13.424 17.494 13.437 17.590 /<br />
\plot 13.437 17.590 13.445 17.689 /<br />
\plot 13.445 17.689 13.451 17.788 /<br />
\plot 13.451 17.788 13.456 17.888 /<br />
\plot 13.456 17.888 13.458 17.990 /<br />
\putrule from 13.458 17.990 to 13.458 18.091<br />
\plot 13.458 18.091 13.456 18.195 /<br />
\plot 13.456 18.195 13.451 18.296 /<br />
\plot 13.451 18.296 13.447 18.400 /<br />
\plot 13.447 18.400 13.441 18.504 /<br />
\plot 13.441 18.504 13.432 18.605 /<br />
\plot 13.432 18.605 13.424 18.707 /<br />
\plot 13.424 18.707 13.415 18.807 /<br />
\plot 13.415 18.807 13.407 18.904 /<br />
\plot 13.407 18.904 13.396 18.997 /<br />
\plot 13.396 18.997 13.388 19.084 /<br />
\plot 13.388 19.084 13.379 19.166 /<br />
\plot 13.379 19.166 13.371 19.241 /<br />
\plot 13.371 19.241 13.363 19.308 /<br />
\plot 13.363 19.308 13.356 19.365 /<br />
\plot 13.356 19.365 13.350 19.414 /<br />
\plot 13.350 19.414 13.343 19.452 /<br />
\plot 13.343 19.452 13.341 19.482 /<br />
\plot 13.341 19.482 13.335 19.526 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 13.558 19.045 13.335 19.526 13.256 19.002 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 19.526 to 7.620 19.522<br />
\plot 7.620 19.522 7.618 19.516 /<br />
\putrule from 7.618 19.516 to 7.618 19.503<br />
\plot 7.618 19.503 7.614 19.482 /<br />
\plot 7.614 19.482 7.612 19.452 /<br />
\plot 7.612 19.452 7.605 19.414 /<br />
\plot 7.605 19.414 7.599 19.365 /<br />
\plot 7.599 19.365 7.592 19.308 /<br />
\plot 7.592 19.308 7.584 19.241 /<br />
\plot 7.584 19.241 7.576 19.166 /<br />
\plot 7.576 19.166 7.567 19.084 /<br />
\plot 7.567 19.084 7.559 18.997 /<br />
\plot 7.559 18.997 7.548 18.904 /<br />
\plot 7.548 18.904 7.540 18.807 /<br />
\plot 7.540 18.807 7.531 18.707 /<br />
\plot 7.531 18.707 7.523 18.605 /<br />
\plot 7.523 18.605 7.514 18.504 /<br />
\plot 7.514 18.504 7.508 18.400 /<br />
\plot 7.508 18.400 7.504 18.296 /<br />
\plot 7.504 18.296 7.499 18.195 /<br />
\plot 7.499 18.195 7.497 18.091 /<br />
\putrule from 7.497 18.091 to 7.497 17.990<br />
\plot 7.497 17.990 7.499 17.888 /<br />
\plot 7.499 17.888 7.504 17.788 /<br />
\plot 7.504 17.788 7.510 17.689 /<br />
\plot 7.510 17.689 7.518 17.590 /<br />
\plot 7.518 17.590 7.531 17.494 /<br />
\plot 7.531 17.494 7.548 17.399 /<br />
\plot 7.548 17.399 7.569 17.310 /<br />
\plot 7.569 17.310 7.592 17.223 /<br />
\plot 7.592 17.223 7.620 17.145 /<br />
\plot 7.620 17.145 7.656 17.067 /<br />
\plot 7.656 17.067 7.696 17.001 /<br />
\plot 7.696 17.001 7.739 16.946 /<br />
\plot 7.739 16.946 7.781 16.906 /<br />
\plot 7.781 16.906 7.825 16.874 /<br />
\plot 7.825 16.874 7.872 16.853 /<br />
\plot 7.872 16.853 7.918 16.842 /<br />
\plot 7.918 16.842 7.963 16.838 /<br />
\plot 7.963 16.838 8.009 16.840 /<br />
\plot 8.009 16.840 8.058 16.847 /<br />
\plot 8.058 16.847 8.105 16.861 /<br />
\plot 8.105 16.861 8.151 16.878 /<br />
\plot 8.151 16.878 8.198 16.897 /<br />
\plot 8.198 16.897 8.244 16.923 /<br />
\plot 8.244 16.923 8.291 16.948 /<br />
\plot 8.291 16.948 8.333 16.974 /<br />
\plot 8.333 16.974 8.376 17.001 /<br />
\plot 8.376 17.001 8.414 17.026 /<br />
\plot 8.414 17.026 8.450 17.052 /<br />
\plot 8.450 17.052 8.481 17.075 /<br />
\plot 8.481 17.075 8.507 17.094 /<br />
\plot 8.507 17.094 8.530 17.111 /<br />
\plot 8.530 17.111 8.547 17.124 /<br />
\plot 8.547 17.124 8.572 17.145 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 8.280 16.703 8.572 17.145 8.085 16.937 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.572 17.145 10.478 15.716 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 9.980 15.899 10.478 15.716 10.163 16.143 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.478 15.716 12.383 17.145 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 12.068 16.718 12.383 17.145 11.885 16.962 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=3pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'162}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\putrule from 7.620 19.526 to 7.620 19.522<br />
\plot 7.620 19.522 7.618 19.516 /<br />
\putrule from 7.618 19.516 to 7.618 19.503<br />
\plot 7.618 19.503 7.614 19.482 /<br />
\plot 7.614 19.482 7.612 19.452 /<br />
\plot 7.612 19.452 7.605 19.414 /<br />
\plot 7.605 19.414 7.599 19.365 /<br />
\plot 7.599 19.365 7.592 19.308 /<br />
\plot 7.592 19.308 7.584 19.241 /<br />
\plot 7.584 19.241 7.576 19.166 /<br />
\plot 7.576 19.166 7.567 19.084 /<br />
\plot 7.567 19.084 7.559 18.997 /<br />
\plot 7.559 18.997 7.548 18.904 /<br />
\plot 7.548 18.904 7.540 18.807 /<br />
\plot 7.540 18.807 7.531 18.707 /<br />
\plot 7.531 18.707 7.523 18.605 /<br />
\plot 7.523 18.605 7.514 18.504 /<br />
\plot 7.514 18.504 7.508 18.400 /<br />
\plot 7.508 18.400 7.504 18.296 /<br />
\plot 7.504 18.296 7.499 18.195 /<br />
\plot 7.499 18.195 7.497 18.091 /<br />
\putrule from 7.497 18.091 to 7.497 17.990<br />
\plot 7.497 17.990 7.499 17.888 /<br />
\plot 7.499 17.888 7.504 17.788 /<br />
\plot 7.504 17.788 7.510 17.689 /<br />
\plot 7.510 17.689 7.518 17.590 /<br />
\plot 7.518 17.590 7.531 17.494 /<br />
\plot 7.531 17.494 7.548 17.399 /<br />
\plot 7.548 17.399 7.569 17.310 /<br />
\plot 7.569 17.310 7.592 17.223 /<br />
\plot 7.592 17.223 7.620 17.145 /<br />
\plot 7.620 17.145 7.656 17.067 /<br />
\plot 7.656 17.067 7.696 17.001 /<br />
\plot 7.696 17.001 7.739 16.946 /<br />
\plot 7.739 16.946 7.781 16.906 /<br />
\plot 7.781 16.906 7.825 16.874 /<br />
\plot 7.825 16.874 7.872 16.853 /<br />
\plot 7.872 16.853 7.918 16.842 /<br />
\plot 7.918 16.842 7.963 16.838 /<br />
\plot 7.963 16.838 8.009 16.840 /<br />
\plot 8.009 16.840 8.058 16.847 /<br />
\plot 8.058 16.847 8.105 16.861 /<br />
\plot 8.105 16.861 8.151 16.878 /<br />
\plot 8.151 16.878 8.198 16.897 /<br />
\plot 8.198 16.897 8.244 16.923 /<br />
\plot 8.244 16.923 8.291 16.948 /<br />
\plot 8.291 16.948 8.333 16.974 /<br />
\plot 8.333 16.974 8.376 17.001 /<br />
\plot 8.376 17.001 8.414 17.026 /<br />
\plot 8.414 17.026 8.450 17.052 /<br />
\plot 8.450 17.052 8.481 17.075 /<br />
\plot 8.481 17.075 8.507 17.094 /<br />
\plot 8.507 17.094 8.530 17.111 /<br />
\plot 8.530 17.111 8.547 17.124 /<br />
\plot 8.547 17.124 8.558 17.134 /<br />
\plot 8.558 17.134 8.566 17.141 /<br />
\plot 8.566 17.141 8.570 17.143 /<br />
\plot 8.570 17.143 8.572 17.145 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=3pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'162}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\plot 8.572 17.145 8.575 17.147 /<br />
\plot 8.575 17.147 8.581 17.149 /<br />
\plot 8.581 17.149 8.594 17.153 /<br />
\plot 8.594 17.153 8.611 17.162 /<br />
\plot 8.611 17.162 8.634 17.173 /<br />
\plot 8.634 17.173 8.666 17.187 /<br />
\plot 8.666 17.187 8.702 17.204 /<br />
\plot 8.702 17.204 8.746 17.225 /<br />
\plot 8.746 17.225 8.795 17.249 /<br />
\plot 8.795 17.249 8.848 17.276 /<br />
\plot 8.848 17.276 8.907 17.306 /<br />
\plot 8.907 17.306 8.966 17.338 /<br />
\plot 8.966 17.338 9.028 17.374 /<br />
\plot 9.028 17.374 9.093 17.412 /<br />
\plot 9.093 17.412 9.159 17.452 /<br />
\plot 9.159 17.452 9.224 17.494 /<br />
\plot 9.224 17.494 9.292 17.541 /<br />
\plot 9.292 17.541 9.362 17.592 /<br />
\plot 9.362 17.592 9.432 17.647 /<br />
\plot 9.432 17.647 9.504 17.706 /<br />
\plot 9.504 17.706 9.578 17.772 /<br />
\plot 9.578 17.772 9.652 17.844 /<br />
\plot 9.652 17.844 9.728 17.924 /<br />
\plot 9.728 17.924 9.807 18.009 /<br />
\plot 9.807 18.009 9.881 18.098 /<br />
\plot 9.881 18.098 9.950 18.191 /<br />
\plot 9.950 18.191 10.016 18.282 /<br />
\plot 10.016 18.282 10.075 18.373 /<br />
\plot 10.075 18.373 10.128 18.459 /<br />
\plot 10.128 18.459 10.175 18.544 /<br />
\plot 10.175 18.544 10.215 18.625 /<br />
\plot 10.215 18.625 10.251 18.703 /<br />
\plot 10.251 18.703 10.283 18.779 /<br />
\plot 10.283 18.779 10.310 18.853 /<br />
\plot 10.310 18.853 10.336 18.923 /<br />
\plot 10.336 18.923 10.357 18.993 /<br />
\plot 10.357 18.993 10.378 19.058 /<br />
\plot 10.378 19.058 10.395 19.124 /<br />
\plot 10.395 19.124 10.410 19.188 /<br />
\plot 10.410 19.188 10.425 19.245 /<br />
\plot 10.425 19.245 10.435 19.300 /<br />
\plot 10.435 19.300 10.446 19.351 /<br />
\plot 10.446 19.351 10.454 19.395 /<br />
\plot 10.454 19.395 10.463 19.433 /<br />
\plot 10.463 19.433 10.467 19.465 /<br />
\plot 10.467 19.465 10.471 19.488 /<br />
\plot 10.471 19.488 10.475 19.505 /<br />
\putrule from 10.475 19.505 to 10.475 19.518<br />
\plot 10.475 19.518 10.478 19.524 /<br />
\putrule from 10.478 19.524 to 10.478 19.526<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=3pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'162}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\putrule from 10.478 19.526 to 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=3pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'162}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\plot 10.478 20.955 10.480 20.957 /<br />
\plot 10.480 20.957 10.486 20.959 /<br />
\plot 10.486 20.959 10.494 20.963 /<br />
\plot 10.494 20.963 10.509 20.970 /<br />
\plot 10.509 20.970 10.530 20.980 /<br />
\plot 10.530 20.980 10.558 20.991 /<br />
\plot 10.558 20.991 10.592 21.006 /<br />
\plot 10.592 21.006 10.632 21.021 /<br />
\plot 10.632 21.021 10.676 21.038 /<br />
\plot 10.676 21.038 10.725 21.054 /<br />
\plot 10.725 21.054 10.778 21.074 /<br />
\plot 10.778 21.074 10.835 21.088 /<br />
\plot 10.835 21.088 10.894 21.103 /<br />
\plot 10.894 21.103 10.958 21.118 /<br />
\plot 10.958 21.118 11.024 21.129 /<br />
\plot 11.024 21.129 11.091 21.135 /<br />
\plot 11.091 21.135 11.163 21.139 /<br />
\putrule from 11.163 21.139 to 11.240 21.139<br />
\plot 11.240 21.139 11.318 21.133 /<br />
\plot 11.318 21.133 11.402 21.122 /<br />
\plot 11.402 21.122 11.494 21.105 /<br />
\plot 11.494 21.105 11.589 21.080 /<br />
\plot 11.589 21.080 11.690 21.048 /<br />
\plot 11.690 21.048 11.796 21.006 /<br />
\plot 11.796 21.006 11.906 20.955 /<br />
\plot 11.906 20.955 12.002 20.904 /<br />
\plot 12.002 20.904 12.095 20.849 /<br />
\plot 12.095 20.849 12.184 20.792 /<br />
\plot 12.184 20.792 12.268 20.731 /<br />
\plot 12.268 20.731 12.351 20.669 /<br />
\plot 12.351 20.669 12.427 20.606 /<br />
\plot 12.427 20.606 12.499 20.540 /<br />
\plot 12.499 20.540 12.569 20.477 /<br />
\plot 12.569 20.477 12.634 20.411 /<br />
\plot 12.634 20.411 12.698 20.345 /<br />
\plot 12.698 20.345 12.757 20.280 /<br />
\plot 12.757 20.280 12.816 20.214 /<br />
\plot 12.816 20.214 12.871 20.149 /<br />
\plot 12.871 20.149 12.926 20.083 /<br />
\plot 12.926 20.083 12.977 20.017 /<br />
\plot 12.977 20.017 13.028 19.954 /<br />
\plot 13.028 19.954 13.075 19.892 /<br />
\plot 13.075 19.892 13.117 19.833 /<br />
\plot 13.117 19.833 13.159 19.778 /<br />
\plot 13.159 19.778 13.195 19.727 /<br />
\plot 13.195 19.727 13.227 19.681 /<br />
\plot 13.227 19.681 13.257 19.641 /<br />
\plot 13.257 19.641 13.280 19.607 /<br />
\plot 13.280 19.607 13.299 19.579 /<br />
\plot 13.299 19.579 13.314 19.558 /<br />
\plot 13.314 19.558 13.324 19.543 /<br />
\plot 13.324 19.543 13.331 19.535 /<br />
\plot 13.331 19.535 13.333 19.528 /<br />
\plot 13.333 19.528 13.335 19.526 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}x}%<br />
} [lB] at 6.905 19.526<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}y}%<br />
} [lB] at 13.811 19.526<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 8.333 16.432<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 10.357 14.764<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 12.501 16.432<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 10.001 19.526<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}e}%<br />
} [lB] at 10.478 21.552<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}IV}%<br />
} [lB] at 7.857 20.479<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}VI}%<br />
} [lB] at 6.905 17.503<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}III}%<br />
} [lB] at 9.165 15.955<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}II}%<br />
} [lB] at 11.430 15.955<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}V}%<br />
} [lB] at 13.572 17.742<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}III}%<br />
} [lB] at 9.762 17.503<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}V}%<br />
} [lB] at 10.835 17.503<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}I}%<br />
} [lB] at 9.525 19.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}I}%<br />
} [lB] at 11.309 19.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}IV}%<br />
} [lB] at 12.501 20.718<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}4}%<br />
} [lB] at 8.452 20.955<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}1}%<br />
} [lB] at 7.144 18.098<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 9.644 16.432<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 10.954 16.432<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}1}%<br />
} [lB] at 9.049 19.647<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}0}%<br />
} [lB] at 11.667 19.645<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}2}%<br />
} [lB] at 9.404 17.979<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}3}%<br />
} [lB] at 11.311 18.098<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}5}%<br />
} [lB] at 10.120 20.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}V}%<br />
} [lB] at 10.596 20.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}0}%<br />
} [lB] at 12.143 21.076<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}5}%<br />
} [lB] at 13.572 18.337<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.873 22.149 and 13.843 14.732<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:nenasycena-cesta}$f$-nenasycená cesta v síti}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
Tok $f$ v síti $N=(D,x_{0},y_{0},c)$ je maximální tehdy a jen tehdy,<br />
když neexistuje $f$-nenasycená cesta končící ve spotřebiči $y_{0}$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Důkaz této implikace bude v podstatě shrnutím úvah provedených v minulém<br />
příkladu. Postupujme sporem: nechť existuje $f$-nenasycená cesta<br />
$P$ končící v $y_{0}$. Potom definujeme zobrazení $\tilde{f}$ takto:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\forall a\in A,a\notin P$ položíme $\tilde{f}(a)=f(a)$,<br />
\item $\forall a\in A,a\in P$, která je po cestě $P$ orientována ve směru<br />
z $x_{0}$ do $y_{0}$, položíme $\tilde{f}(a)=f(a)+\iota(P)$,<br />
\item $\forall a\in A,a\in P$, která je po cestě $P$ orientována ve směru<br />
z $y_{0}$ do $x_{0}$, položíme $\tilde{f}(a)=f(a)-\iota(P)$.<br />
\end{itemize}<br />
Potom je opět $\left(\forall a\in A\right)\left(0\leq\tilde{f}(a)\leq c(a)\right)$<br />
a rovněž $\left(\forall v\in I\right)\left(\sum\limits _{(u,v)\in A}\tilde{f}\left((u,v)\right)=\sum\limits _{(v,u)\in A}\tilde{f}\left((v,u)\right)\right)$,<br />
takže $\tilde{f}$ je tok a pro jeho hodnotu platí \[<br />
\val\tilde{f}=\val f+\iota(P)>\val f,\]<br />
což je spor s maximalitou toku $f$.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Definujme\[<br />
M=\left\{ \left.v\in V\right|\exists f\textrm{-nenasycená cesta z }x_{0}\textrm{ do }v\right\} .\]<br />
Potom $x_{0}\in M$ a z předpokladu platí $y_{0}\notin M$. $(M,\bar{M})$<br />
je tedy řez v síti $N$. Potom na každé hraně $a=(u,v)\in A,u\in M,v\in\bar{M}$<br />
musí z definice $M$ platit $\iota(a)=0$, neboli $f(a)=c(a)$, jinak<br />
by totiž $v\in M$. Stejně tak i na každé hraně $a=(u,v)\in A,u\in\bar{M},v\in M$<br />
musí být $\iota(a)=0$, což v tomto případě odpovídá (z definice $\iota(a)$)<br />
rovnosti $f(a)=0$. Proto platí\[<br />
c\left((M,\bar{M)}\right)=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle (u,v)\in A}\\<br />
{\scriptstyle u\in M,v\in\bar{M}}\end{matrix}}c\left((u,v)\right)=f^{+}(M)=f^{+}(x_{0})=\val f.\]<br />
Našli jsme tedy řez, pro nějž je $c\left((M,\bar{M)}\right)=\val f$,<br />
a tedy podle poznámky \ref{rem:max-rez-min-tok} je $f$ maximální<br />
tok.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Celočíselnost kapacit hran (tj. funkce $c$) zaručuje, že algoritmus<br />
hledání maximálního toku fungující na principu hledání nenasycených<br />
cest je finitní. Pokud totiž začíná s tokem $f(a)=0$ pro každé $a\in A$,<br />
tak v každém kroku zvedne hodnotu toku o $\iota(P)\geq1$, přičemž<br />
kapacita minimálního řezu, které nakonec hodnota toku $f$ dosáhne,<br />
je rovněž konečné přirozené číslo. Navíc $\val f\in\N_{0}$ v každém<br />
kroku.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Na obrázku \ref{cap:alg-nenasyc-cest} je vidět, že algoritmus nemusí<br />
být příliš efektivní. Pokud bude střídavě volit $f$-nenasycené cesty<br />
$P_{1}$ a $P_{2}$, zvýší v každém kroku hodnotu toku pouze o $1$.<br />
(čísla $m$ a $1$ u jednotlivých hran udávají jejich kapacity)%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: alg_nenasyc_cest.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:45:28 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.286 23.813<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.286 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.429 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 1.547 24.528 4.523 23.457 /<br />
\putrule from 4.523 23.457 to 4.523 25.957<br />
\plot 4.523 25.957 7.144 25.004 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,1}\plot 1.784 24.765 4.047 25.241 /<br />
\putrule from 4.047 25.241 to 4.047 24.170<br />
\plot 4.047 24.170 6.428 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 4.286 25.718 to 4.286 23.813<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 4.134 24.320 4.286 23.813 4.439 24.320 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 23.813 7.144 24.765 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 6.710 24.460 7.144 24.765 6.614 24.749 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.429 24.765 4.286 23.813 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.756 23.829 4.286 23.813 3.853 24.118 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.286 25.718 7.144 24.765 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 6.614 24.781 7.144 24.765 6.710 25.070 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.429 24.765 4.286 25.718 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.853 25.412 4.286 25.718 3.756 25.701 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 4.286 24.765<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}m}%<br />
} [lB] at 5.715 25.480<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}m}%<br />
} [lB] at 5.713 23.815<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}m}%<br />
} [lB] at 2.381 23.813<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}m}%<br />
} [lB] at 2.379 25.480<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}$P_{2}$}%<br />
} [lB] at 4.405 22.981<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,1}$P_{1}$}%<br />
} [lB] at 3.334 24.646<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y_{0}$}%<br />
} [lB] at 7.620 24.646<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x_{0}$}%<br />
} [lB] at 0.476 24.646<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.444 26.077 and 7.652 22.782<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:alg-nenasyc-cest}Algoritmus hledání maximálního toku<br />
pomocí $f$-nenasycených cest}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem*}<br />
Algoritmus hledání maximálního toku pomocí $f$-nenasycených cest<br />
lze použít k nalezení perfektního párování v bipartitiním grafu $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$.<br />
Tomuto grafu přiřadíme síť $N=(D,x_{0},y_{0},c)$ definovanou takto:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $D=(\{ x_{0},y_{0}\}\cup V,A)$, kde<br />
\item $A=\left\{ \left.(x_{0},v)\right|v\in V_{1}\right\} \cup\left\{ \left.(u,v)\right|u\in V_{1}\wedge v\in V_{2}\wedge\{ u,v\}\in E\right\} \cup\left\{ \left.(v,y_{0})\right|v\in V_{2}\right\} $<br />
a <br />
\item $\left(\forall a\in A\right)\left(c(a)=1\right)$.<br />
\end{itemize}<br />
To znamená, že přidáme vrcholy $x_{0}$ a $y_{0}$, z $x_{0}$ vedeme<br />
hrany do všech vrcholů ve $V_{1}$, mezi $V_{1}$ a $V_{2}$ orientujeme<br />
existující hrany ve směru do $V_{2}$ a ze všech vrcholů z $V_{2}$<br />
vedeme hrany do $y_{0}$. Všechny hrany mají jednotkovou kapacitu.<br />
Najděme nyní maximální tok pomocí našeho algoritmu. Potom $\left(\forall a\in A\right)\left(f(a)\in\{0,1\}\right)$,<br />
tj. neexistují hrany s neceločíselným tokem%<br />
\footnote{Obecně lze najít maximální tok i s neceločíselnými hodnotami funkce<br />
$f$. Proto je důležité, že používáme algoritmus hledání $f$-nenasycených<br />
cest!%<br />
}. Označme\[<br />
M=\left\{ \left.\{ u,v\}\in E\right|f(\underbrace{(u,v)}_{\in A})=1\right\} .\]<br />
Potom $M$ je maximální párování: Především se zřejmě jedná o párování,<br />
jinak by byla porušena druhá podmínka v definici toku \ref{def:definice-toku}.<br />
Například z žádného $v\in V_{1}$ nemohou vycházet dvě hrany, pro<br />
něž je $f=1$, protože do $v$ může přitékat maximálně jednotkový<br />
tok (z $x_{0}$). Dále platí, že $\val f=\# M$, z čehož už plyne,<br />
že párování $M$ je maximální. V opačném případě by totiž existovalo<br />
párování $M'$, $\# M'>\# M$ a k němu by bylo možné najít tok $f'$,<br />
pro který $\# M'=\val f'>\val f=\# M$, a tok $f$ by nebyl maximální.<br />
\end{rem*}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_8&diff=4517
01ZTGA:Kapitola1 8
2012-01-15T12:40:52Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Párování v grafech}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. \textbf{Párování} (angl. \emph{matching}) v $G$<br />
je podmnožina $M\subset E$ taková, že\[<br />
\left(\forall e,f\in E\right)\left(e\neq f\Rightarrow e\cap f=\emptyset\right),\]<br />
tj. žádné dvě hrany nesdílí koncový vrchol.<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že párování $M$ je maximální, pokud pro každé jiné párování<br />
$M'$ platí $\# M\geq\# M'$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
K tomuto párování nelze přidat žádnou hranu, ale není to maximílní<br />
párování:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: parovani1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:14:24 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.049 20.955 to 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.906 20.955<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.485 21.088 and 12.042 20.822<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
Maximální párování je až toto:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: parovani2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:16:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.906 20.955<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.485 21.088 and 12.042 20.822<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
\end{example*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $M$ je párování v $G=(V,E)$. Vrchol $v\in V$ takový, že $\left(\exists e\in M\right)\left(v\in e\right)$,<br />
nazýváme $M$-\textbf{saturovaný}. Je-li každý vrchol z $V$ $M$-saturovaný,<br />
říkáme, že $M$ je \textbf{perfektní} párování.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Každé perfektní párování je maximální. Nutná podmínka pro existenci<br />
perfektního párování je, aby $\# V$ byl sudý.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Takto se zlepšovala složitost známých algoritmů pro nalezení perfektního<br />
párování:<br />
\end{rem*}<br />
\begin{lyxlist}{00.00.0000}<br />
\item [1965]$O(n^{4})$<br />
\item [1969]$O(n^{3})$<br />
\item [1974]$O(n\cdot m)$ (přitom ovšem $m\leq\binom{n}{2}=O(n^{2})$)<br />
\item [1980]$O(n^{\frac{1}{2}}\cdot m)$<br />
\end{lyxlist}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ je bipartitní graf (třeba množina žen<br />
a mužů - hrany pak určují, kdo se s kým zná). Ptejme se, zda má graf<br />
perfektní párování (zda si každý může vybrat partnera mezi těmi, které<br />
zná, a nikdo nezůstane sám). Nutnou podmínkou je zřejmě\[<br />
\# V_{1}=\# V_{2}.\]<br />
Dále si připomeňme, jak vypadá adjacenční matice bipartitního grafu<br />
s vhodně uspořádanými vrcholy:\[<br />
\vec{A}_{G}=\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{0} & \vec{B}\\<br />
\vec{B}^{\T} & \vec{0}\end{array}\right),\]<br />
kde $\vec{B}=\left(b_{ij}\right).$ Je-li $\pi\in S_{n}$, tj. je<br />
to permutace $\pi:\hat{n}\mapsto\hat{n}$ , pak\[<br />
M=\left\{ \left.\{ v_{i},v_{\pi(i)}\}\right|i\in\hat{n}\right\} \]<br />
představuje perfektní párování, právě když\[<br />
b_{1\pi(1)}b_{2\pi(2)}\cdots b_{n\pi(n)}=1.\]<br />
Počet perfektních párování v $G$ je potom roven permanentu matice<br />
$\vec{B}$, tj. číslu\[<br />
\textrm{per}\,\vec{B}=\sum_{\pi\in S_{n}}b_{1\pi(1)}b_{2\pi(2)}\cdots b_{n\pi(n)}.\]<br />
Na rozdíl od výpočtu determinantu je však výpočet permanentu matice<br />
NP-úplná úloha. O existenci perfektního párování v bipartitním grafu<br />
tedy není vhodné rozhodovat na základě podmínky $\textrm{per}\,\vec{B}>0$.<br />
Následující výklad ukáže mimo jiné postačující podmínku existence<br />
perfektního párování.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Pojem perfektní párování nenalézá uplatnění pouze v tanečních kursech,<br />
nýbrž například i v organické chemii. Jak známo, dvojné vazby v benzenovém<br />
jádře nemají ve skutečnosti jednoznačné umístění, a proto se někdy<br />
v jeho vzorci kreslí místo samotných vazeb jen ,,kolečko{}``. Platí,<br />
že nutnou podmínkou pro existenci sloučeniny složené z benzenových<br />
jader je, aby graf tvořený jejím vzorcem měl perfektní párování. Přitom<br />
sloučenina je tím stabilnější, čím více různých perfektních párování<br />
existuje. (viz. obrázek \ref{cap:benzen})%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: benzen.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:12:16 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.308 25.161 7.711 24.564 /<br />
\putrule from 7.711 24.564 to 7.711 23.817<br />
\plot 7.711 23.817 8.308 23.220 /<br />
\plot 8.308 23.220 8.905 23.817 /<br />
\putrule from 8.905 23.817 to 8.905 24.564<br />
\plot 8.905 24.564 8.308 25.161 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.905 26.507 8.308 25.910 /<br />
\putrule from 8.308 25.910 to 8.308 25.163<br />
\plot 8.308 25.163 8.905 24.564 /<br />
\plot 8.905 24.564 9.504 25.163 /<br />
\putrule from 9.504 25.163 to 9.504 25.910<br />
\plot 9.504 25.910 8.905 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.711 26.507 7.112 25.910 /<br />
\putrule from 7.112 25.910 to 7.112 25.163<br />
\plot 7.112 25.163 7.711 24.564 /<br />
\plot 7.711 24.564 8.308 25.163 /<br />
\putrule from 8.308 25.163 to 8.308 25.910<br />
\plot 8.308 25.910 7.711 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.916 25.087 5.319 24.490 /<br />
\putrule from 5.319 24.490 to 5.319 23.743<br />
\plot 5.319 23.743 5.916 23.144 /<br />
\plot 5.916 23.144 6.515 23.743 /<br />
\putrule from 6.515 23.743 to 6.515 24.490<br />
\plot 6.515 24.490 5.916 25.087 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 25.087 4.123 24.490 /<br />
\putrule from 4.123 24.490 to 4.123 23.743<br />
\plot 4.123 23.743 4.720 23.144 /<br />
\plot 4.720 23.144 5.319 23.743 /<br />
\putrule from 5.319 23.743 to 5.319 24.490<br />
\plot 5.319 24.490 4.720 25.087 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.123 26.433 3.524 25.834 /<br />
\putrule from 3.524 25.834 to 3.524 25.089<br />
\plot 3.524 25.089 4.123 24.490 /<br />
\plot 4.123 24.490 4.720 25.089 /<br />
\putrule from 4.720 25.089 to 4.720 25.834<br />
\plot 4.720 25.834 4.123 26.433 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.254 26.507 1.655 25.910 /<br />
\putrule from 1.655 25.910 to 1.655 25.163<br />
\plot 1.655 25.163 2.254 24.564 /<br />
\plot 2.254 24.564 2.851 25.163 /<br />
\putrule from 2.851 25.163 to 2.851 25.910<br />
\plot 2.851 25.910 2.254 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.834 26.507 0.237 25.910 /<br />
\putrule from 0.237 25.910 to 0.237 25.163<br />
\plot 0.237 25.163 0.834 24.564 /<br />
\plot 0.834 24.564 1.433 25.163 /<br />
\putrule from 1.433 25.163 to 1.433 25.910<br />
\plot 1.433 25.910 0.834 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.523:0.671 360 degrees <br />
from 2.777 25.535 center at 2.254 25.535<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.123 26.359 4.646 25.834 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 3.600 25.834 to 3.600 25.089<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 23.220 4.197 23.743 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 25.013 4.197 24.490 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 5.393 24.414 to 5.393 23.743<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.439 23.743 5.916 23.220 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.916 25.013 6.439 24.490 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.357 25.910 to 1.357 25.163<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.311 25.163 0.834 24.640 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.311 25.910 0.834 26.433 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}benzen}%<br />
} [lB] at 0.804 23.743<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}neexistuje}%<br />
} [lB] at 7.542 22.396<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.212 26.532 and 9.529 22.197<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:benzen}Benzenové jádro a teoretické sloučeniny}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $M$ je párování v grafu $G=(V,E)$. Řekneme, že cesta $v_{0},v_{1},...,v_{k}$<br />
je $M$-\textbf{střídající}, pokud $\forall i\in\{1,2,...,k-1\}$<br />
platí $\{ v_{i-1},v_{i}\}\in M\Leftrightarrow\{ v_{i},v_{i+1}\}\notin M$.<br />
$M$-střídající cestu $v_{0},v_{1},...,v_{k}$ nazveme $M$-\textbf{zlepšující},<br />
pokud vrcholy $v_{0}$ a $v_{k}$ nejsou $M$-saturovány.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Každá $M$-zlepšující cesta má zřejmě lichou délku. Na obrázku \ref{cap:M-stridajici}<br />
je $M$-střídající cesta, která není $M$-zlepšující. Ani její úsek<br />
$v_{1},...,v_{4}$ není $M$-zlepšující, protože vrchol $v_{1}$ je<br />
$M$-saturován.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: m_stridajici.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:29:04 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.190 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.618 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.571 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.476 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.523 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 24.765 2.618 25.718 /<br />
\plot 2.618 25.718 3.571 24.289 /<br />
\plot 3.571 24.289 5.476 25.241 /<br />
\plot 5.476 25.241 4.523 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 24.765 2.618 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.571 24.289 5.476 25.241 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 3.334 23.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{3}$}%<br />
} [lB] at 5.831 25.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{4}$}%<br />
} [lB] at 5.000 23.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{0}$}%<br />
} [lB] at 0.474 24.765<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 2.976 25.599<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.442 26.082 and 5.863 23.019<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:M-stridajici}$M$-střídající cesta}<br />
\end{figure}<br />
V následujících důkazech bude potřeba si podobné skutečnosti plynoucí<br />
z definic dobře uvědomovat.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn*}<br />
Buďte $A,B$ dvě množiny. \textbf{Symetrickou diferencí} množin $A,B$<br />
rozumíme množinu\[<br />
A\Delta B=\left(A\backslash B\right)\cup\left(B\backslash A\right)=\left(A\cup B\right)\backslash\left(A\cap B\right).\]<br />
<br />
\end{defn*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{\label{thm:bergeova-veta}(Berge, 1957)}}<br />
<br />
Párování v grafu $G$ je maximální právě tehdy, když v $G$ neexistuje<br />
$M$-zlepšující cesta.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Oba směry ekvivalence dokážeme sporem.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Nechť $M$ je maximální a přitom existuje $M$-zlepšující cesta, kterou<br />
označíme $P$. Definujeme nyní párování\[<br />
M'=M\Delta P.\]<br />
Řečeno slovy: $M'$ vznikne tak, že mimo cestu necháme $M$ jak je<br />
a na cestě dáme do $M'$ naopak jen ty hrany, které nejsou v $M$.<br />
Je zřejmé, že $M'$ bude opět párování, přičemž $\# M'>\# M$, a to<br />
je spor.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nechť v $G$ neexistuje $M$-zlepšující cesta a přitom $M$ není maximální.<br />
Potom existuje párování $M'$ takové, že $\# M'>\# M$. Definujme<br />
nyní graf\[<br />
H=(V,M\Delta M').\]<br />
Potom je zřejmé, že $H$ se skládá jen z kružnic a cest, na nichž<br />
se střídají hrany z $M$ a z $M'$ (to také znamená, že v $H$ jsou<br />
všechny kružnice sudé délky). Protože $\# M'>\# M$, tak také $M\Delta M'$<br />
obsahuje více hran z $M'$ než z $M$. Z toho plyne, že v $H$ musí<br />
existovat alespoň jedna cesta liché délky, která obsahuje $2k+1$<br />
($k\in\N_{0}$) hran, z toho $k$ hran je z $M$ a $k+1$ hran je<br />
z $M'$, a navíc její koncové vrcholy nejsou $M$-saturovány v $G$.<br />
(Poslední vlastnost lze formulovat i tak, že uvedená cesta není vlastním<br />
podgrafem nějaké cesty v $H$ - nejde už prodloužit.). Tato cesta<br />
je ovšem $M$-zlepšující, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\subsection{Párování v bipartitních grafech}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Množinou \textbf{sousedů} (angl. \emph{neighbours}) vrcholu $v$ v<br />
grafu $G=(V,E)$ rozumíme množinu\[<br />
N(v)=\left\{ \left.u\in V\right|\{ u,v\}\in E\right\} .\]<br />
Množinou sousedů vrcholů z množiny $S\subset V$ rozumíme množinu\[<br />
N(S)=\bigcup_{v\in S}N(v).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Hall, 1935)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ je bipartitní graf. Potom v $G$ existuje<br />
párování saturující celé $V_{1}$ právě tehdy, když \[<br />
\left(\forall S\subset V_{1}\right)\left(\# N(S)\geq\# S\right).\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Je-li celé $V_{1}$ saturováno, je každý vrchol z $V_{1}$ spárován<br />
s nějakým vrcholem z $V_{2}$. Pro libovolnou $S\subset V_{1}$ je<br />
tedy $\# S$ vrcholů z $V_{1}$ spojeno s nejméně $\# S$ vrcholy<br />
z $V_{2}$, takže $\# N(S)\geq\# S$.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Sporem. Buď $M$ maximální párování v $G$, které podle předpokladu<br />
nesaturuje celé $V_{1}$. Existuje tedy $u\in V_{1}$ takové, že není<br />
$M$-saturováno. Pokud zvolíme $S=\{ u\}$, tak $\# N(S)\geq1$, takže<br />
$d(u)\geq1$. Definujme množiny\[<br />
X=\left\{ \left.v\in V_{1}\right|\textrm{z }u\textrm{ do }v\textrm{ existuje }M\textrm{-st\v{r}ídající cesta}\right\} ,\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Y=\left\{ \left.v\in V_{2}\right|\textrm{z }u\textrm{ do }v\textrm{ existuje }M\textrm{-st\v{r}ídající cesta}\right\} .\]<br />
Potom zřejmě $u\in X$ (existuje $M$-střídající cesta délky 0 z $u$<br />
do $u$). Protože $u$ není $M$-saturován, tak na $M$-střídajících<br />
cestách z $u$ do vrcholů ve $V_{1}$ i $V_{2}$ není první hrana<br />
z $M$. Po každé takové cestě tedy jdeme z $V_{1}$ do $V_{2}$ po<br />
hraně, která není v $M$, a do $V_{1}$ se vracíme po hraně, která<br />
je v $M$. Dále platí, že každá maximální%<br />
\footnote{Maximální $M$-střídající cestou rozumíme takovou cestu, která není<br />
vlastním podgrafem nějaké $M$-střídající cesty. Jinými slovy to znamená,<br />
že už nejde prodloužit, aniž by přestala být $M$-střídající.%<br />
} $M$-střídající cesta vycházející z $u$ končí ve $V_{1}$, protože<br />
v opačném případě by byla $M$-zlepšující. To by ale podle Bergeovy<br />
věty byl spor s tím, že $M$ je maximální párování. Každý vrchol $v\in Y$<br />
je tedy spojen hranou z množiny $M$ s nějakým vrcholem $w\in X$,<br />
$w\neq u$. Je také jasné, že každý soused libovolného vrcholu z $X$<br />
musí ležet v $Y$. Shrneme-li provedené úvahy, lze psát\[<br />
\# X=\# Y+1\]<br />
a také\[<br />
N(X)=Y,\]<br />
takže $\# X>\# Y=\# N(X)$, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
\label{cor:bipart_perfekt_par}Když $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ je bipartitní<br />
graf, tak v $G$ existuje perfektní párování, právě když\[<br />
\left(\forall S\subset V_{1}\right)\left(\# N(S)\geq\# S\right)\]<br />
a zároveň\[<br />
\left(\forall S\subset V_{2}\right)\left(\# N(S)\geq\# S\right).\]<br />
<br />
\end{cor}<br />
\begin{defn}<br />
Graf $G=(V,E)$ nazveme $r$-\textbf{regulární}, jestliže \[<br />
\delta(G)=\Delta(G)=r,\]<br />
tj. $\left(\forall v\in V\right)$$\left(d_{G}(v)=r\right)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{cor}<br />
\textbf{\emph{\label{cor:snatkovy-problem}(,,sňatkový problém{}``)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ je $r$-regulární bipartitiní graf,<br />
$r\geq1$. Potom $G$ má perfektní párování.<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Ověříme předpoklady na pravé straně ekvivalence v důsledku \ref{cor:bipart_perfekt_par}.<br />
Vezměme $S\subset V_{1}$, označme $E_{1}$ množinu hran, které mají<br />
jeden konec v $S$ (druhé konce těchto hran tvoří $N(S)$) a dále<br />
označme $E_{2}$ množinu hran, které mají jeden konec v $N(S)$. Potom<br />
je zřejmé, že $E_{1}\subset E_{2}$, takže $\# E_{2}\geq\# E_{1}$.<br />
Z $r$-regularity grafu $G$ však plyne\begin{eqnarray*}<br />
\# E_{1} & = & r\cdot\# S,\\<br />
\# E_{2} & = & r\cdot N(S).\end{eqnarray*}<br />
Po zkrácení číslem $r>0$ dostáváme pro libovolnou podmnožinu $S\subset V_{1}$<br />
nerovnost $\# N(S)\geq\# S$. Naprosto totéž lze provést i pro $S\subset V_{2}$,<br />
čímž je důkaz ukončen. Poznamenejme, že z obou nerovností též okamžitě<br />
plyne samozřejmá podmínka $\# V_{1}=\# V_{2}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf. Potom v $G$ existuje perfektní párování,<br />
právě když\[<br />
\left(\forall S\subset V\right)\left(\# S\geq o(G\backslash S)\right),\]<br />
kde $o(G\backslash S)$ je počet komponent grafu $G\backslash S$,<br />
které mají lichý počet vrcholů.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme pouze implikaci zleva doprava, opačný směr je obtížný. %<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: perf_par_komp.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:41:44 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.315 360 degrees <br />
from 6.350 22.877 center at 6.032 22.877<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 6.668 24.306 center at 6.350 24.306<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 6.350 25.734 center at 6.032 25.734<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.315 360 degrees <br />
from 1.429 22.877 center at 1.111 22.877<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 1.111 24.306 center at 0.794 24.306<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 1.429 25.734 center at 1.111 25.734<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 4.921 25.734 center at 4.604 25.734<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.318 360 degrees <br />
from 5.239 24.306 center at 4.921 24.306<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.318:0.315 360 degrees <br />
from 4.921 22.877 center at 4.604 22.877<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.635:0.635 360 degrees <br />
from 3.493 24.306 center at 2.857 24.306<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdots < 0.0953cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 24.623 1.270 25.576 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 24.306 0.953 24.306 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.540 23.988 1.270 22.877 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.175 23.829 4.445 22.877 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 24.306 4.763 24.306 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.334 24.623 4.445 25.576 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{20}{24.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}S}%<br />
} [lB] at 2.699 23.971<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{14}{16.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}L}%<br />
} [lB] at 0.953 21.766<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{14}{16.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}S}%<br />
} [lB] at 4.604 21.766<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.444 26.082 and 6.699 21.734<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:komponenty-sud-lich}Komponenty se sudým (S) a lichým<br />
(L) počtem vrcholů}<br />
\end{figure}<br />
Pro libovolnou $S\subset V$ lze situaci znázornit jako na obrázku<br />
\ref{cap:komponenty-sud-lich}. V původním grafu zřejmě nemohla existovat<br />
komponenta s lichým počtem vrcholů, protože v ní nelze nalézt párování<br />
saturující všechny vrcholy. Po odebrání množiny $S$ vznikne určitý<br />
počet komponent s lichým počtem vrcholů, a každá z nich musí obsahovat<br />
alespoň jeden vrchol, který je v perfektním párování spárován s vrcholem<br />
z $S$. To už znamená, že $\# S\geq o(G\backslash S)$.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_8&diff=4516
01ZTGA:Kapitola1 8
2012-01-15T12:37:55Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Párování v grafech}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. \textbf{Párování} (angl. \emph{matching}) v $G$<br />
je podmnožina $M\subset E$ taková, že\[<br />
\left(\forall e,f\in E\right)\left(e\neq f\Rightarrow e\cap f=\emptyset\right),\]<br />
tj. žádné dvě hrany nesdílí koncový vrchol.<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že párování $M$ je maximální, pokud pro každé jiné párování<br />
$M'$ platí $\# M\geq\# M'$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
K tomuto párování nelze přidat žádnou hranu, ale není to maximílní<br />
párování:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: parovani1.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:14:24 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.049 20.955 to 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.906 20.955<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.485 21.088 and 12.042 20.822<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
<br />
Maximální párování je až toto:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: parovani2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:16:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.478 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.620 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.478 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 9.049 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.620 20.955 to 11.906 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 11.906 20.955<br />
}%<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 7.485 21.088 and 12.042 20.822<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}~<br />
\end{example*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $M$ je párování v $G=(V,E)$. Vrchol $v\in V$ takový, že $\left(\exists e\in M\right)\left(v\in e\right)$,<br />
nazýváme $M$-\textbf{saturovaný}. Je-li každý vrchol z $V$ $M$-saturovaný,<br />
říkáme, že $M$ je \textbf{perfektní} párování.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Každé perfektní párování je maximální. Nutná podmínka pro existenci<br />
perfektního párování je, aby $\# V$ byl sudý.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Takto se zlepšovala složitost známých algoritmů pro nalezení perfektního<br />
párování:<br />
\end{rem*}<br />
\begin{lyxlist}{00.00.0000}<br />
\item [1965]$O(n^{4})$<br />
\item [1969]$O(n^{3})$<br />
\item [1974]$O(n\cdot m)$ (přitom ovšem $m\leq\binom{n}{2}=O(n^{2})$)<br />
\item [1980]$O(n^{\frac{1}{2}}\cdot m)$<br />
\end{lyxlist}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ je bipartitní graf (třeba množina žen<br />
a mužů - hrany pak určují, kdo se s kým zná). Ptejme se, zda má graf<br />
perfektní párování (zda si každý může vybrat partnera mezi těmi, které<br />
zná, a nikdo nezůstane sám). Nutnou podmínkou je zřejmě\[<br />
\# V_{1}=\# V_{2}.\]<br />
Dále si připomeňme, jak vypadá adjacenční matice bipartitního grafu<br />
s vhodně uspořádanými vrcholy:\[<br />
\vec{A}_{G}=\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{0} & \vec{B}\\<br />
\vec{B}^{\T} & \vec{0}\end{array}\right),\]<br />
kde $\vec{B}=\left(b_{ij}\right).$ Je-li $\pi\in S_{n}$, tj. je<br />
to permutace $\pi:\hat{n}\mapsto\hat{n}$ , pak\[<br />
M=\left\{ \left.\{ v_{i},v_{\pi(i)}\}\right|i\in\hat{n}\right\} \]<br />
představuje perfektní párování, právě když\[<br />
b_{1\pi(1)}b_{2\pi(2)}\cdots b_{n\pi(n)}=1.\]<br />
Počet perfektních párování v $G$ je potom roven permanentu matice<br />
$\vec{B}$, tj. číslu\[<br />
\textrm{per}\,\vec{B}=\sum_{\pi\in S_{n}}b_{1\pi(1)}b_{2\pi(2)}\cdots b_{n\pi(n)}.\]<br />
Na rozdíl od výpočtu determinantu je však výpočet permanentu matice<br />
NP-úplná úloha. O existenci perfektního párování v bipartitním grafu<br />
tedy není vhodné rozhodovat na základě podmínky $\textrm{per}\,\vec{B}>0$.<br />
Následující výklad ukáže mimo jiné postačující podmínku existence<br />
perfektního párování.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Pojem perfektní párování nenalézá uplatnění pouze v tanečních kursech,<br />
nýbrž například i v organické chemii. Jak známo, dvojné vazby v benzenovém<br />
jádře nemají ve skutečnosti jednoznačné umístění, a proto se někdy<br />
v jeho vzorci kreslí místo samotných vazeb jen ,,kolečko{}``. Platí,<br />
že nutnou podmínkou pro existenci sloučeniny složené z benzenových<br />
jader je, aby graf tvořený jejím vzorcem měl perfektní párování. Přitom<br />
sloučenina je tím stabilnější, čím více různých perfektních párování<br />
existuje. (viz. obrázek \ref{cap:benzen})%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: benzen.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:12:16 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.308 25.161 7.711 24.564 /<br />
\putrule from 7.711 24.564 to 7.711 23.817<br />
\plot 7.711 23.817 8.308 23.220 /<br />
\plot 8.308 23.220 8.905 23.817 /<br />
\putrule from 8.905 23.817 to 8.905 24.564<br />
\plot 8.905 24.564 8.308 25.161 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.905 26.507 8.308 25.910 /<br />
\putrule from 8.308 25.910 to 8.308 25.163<br />
\plot 8.308 25.163 8.905 24.564 /<br />
\plot 8.905 24.564 9.504 25.163 /<br />
\putrule from 9.504 25.163 to 9.504 25.910<br />
\plot 9.504 25.910 8.905 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.711 26.507 7.112 25.910 /<br />
\putrule from 7.112 25.910 to 7.112 25.163<br />
\plot 7.112 25.163 7.711 24.564 /<br />
\plot 7.711 24.564 8.308 25.163 /<br />
\putrule from 8.308 25.163 to 8.308 25.910<br />
\plot 8.308 25.910 7.711 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.916 25.087 5.319 24.490 /<br />
\putrule from 5.319 24.490 to 5.319 23.743<br />
\plot 5.319 23.743 5.916 23.144 /<br />
\plot 5.916 23.144 6.515 23.743 /<br />
\putrule from 6.515 23.743 to 6.515 24.490<br />
\plot 6.515 24.490 5.916 25.087 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 25.087 4.123 24.490 /<br />
\putrule from 4.123 24.490 to 4.123 23.743<br />
\plot 4.123 23.743 4.720 23.144 /<br />
\plot 4.720 23.144 5.319 23.743 /<br />
\putrule from 5.319 23.743 to 5.319 24.490<br />
\plot 5.319 24.490 4.720 25.087 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.123 26.433 3.524 25.834 /<br />
\putrule from 3.524 25.834 to 3.524 25.089<br />
\plot 3.524 25.089 4.123 24.490 /<br />
\plot 4.123 24.490 4.720 25.089 /<br />
\putrule from 4.720 25.089 to 4.720 25.834<br />
\plot 4.720 25.834 4.123 26.433 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.254 26.507 1.655 25.910 /<br />
\putrule from 1.655 25.910 to 1.655 25.163<br />
\plot 1.655 25.163 2.254 24.564 /<br />
\plot 2.254 24.564 2.851 25.163 /<br />
\putrule from 2.851 25.163 to 2.851 25.910<br />
\plot 2.851 25.910 2.254 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.834 26.507 0.237 25.910 /<br />
\putrule from 0.237 25.910 to 0.237 25.163<br />
\plot 0.237 25.163 0.834 24.564 /<br />
\plot 0.834 24.564 1.433 25.163 /<br />
\putrule from 1.433 25.163 to 1.433 25.910<br />
\plot 1.433 25.910 0.834 26.507 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.523:0.671 360 degrees <br />
from 2.777 25.535 center at 2.254 25.535<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.123 26.359 4.646 25.834 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 3.600 25.834 to 3.600 25.089<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 23.220 4.197 23.743 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.720 25.013 4.197 24.490 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 5.393 24.414 to 5.393 23.743<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.439 23.743 5.916 23.220 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.916 25.013 6.439 24.490 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.357 25.910 to 1.357 25.163<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.311 25.163 0.834 24.640 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.311 25.910 0.834 26.433 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}benzen}%<br />
} [lB] at 0.804 23.743<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}neexistuje}%<br />
} [lB] at 7.542 22.396<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.212 26.532 and 9.529 22.197<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:benzen}Benzenové jádro a teoretické sloučeniny}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $M$ je párování v grafu $G=(V,E)$. Řekneme, že cesta $v_{0},v_{1},...,v_{k}$<br />
je $M$-\textbf{střídající}, pokud $\forall i\in\{1,2,...,k-1\}$<br />
platí $\{ v_{i-1},v_{i}\}\in M\Leftrightarrow\{ v_{i},v_{i+1}\}\notin M$.<br />
$M$-střídající cestu $v_{0},v_{1},...,v_{k}$ nazveme $M$-\textbf{zlepšující},<br />
pokud vrcholy $v_{0}$ a $v_{k}$ nejsou $M$-saturovány.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Každá $M$-zlepšující cesta má zřejmě lichou délku. Na obrázku \ref{cap:M-stridajici}<br />
je $M$-střídající cesta, která není $M$-zlepšující. Ani její úsek<br />
$v_{1},...,v_{4}$ není $M$-zlepšující, protože vrchol $v_{1}$ je<br />
$M$-saturován.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: m_stridajici.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:29:04 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.190 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.618 25.718<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.571 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.476 25.241<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.523 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 24.765 2.618 25.718 /<br />
\plot 2.618 25.718 3.571 24.289 /<br />
\plot 3.571 24.289 5.476 25.241 /<br />
\plot 5.476 25.241 4.523 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.190 24.765 2.618 25.718 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.571 24.289 5.476 25.241 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 3.334 23.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{3}$}%<br />
} [lB] at 5.831 25.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{4}$}%<br />
} [lB] at 5.000 23.218<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{0}$}%<br />
} [lB] at 0.474 24.765<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 2.976 25.599<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.442 26.082 and 5.863 23.019<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:M-stridajici}$M$-střídající cesta}<br />
\end{figure}<br />
V následujících důkazech bude potřeba si podobné skutečnosti plynoucí<br />
z definic dobře uvědomovat.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn*}<br />
Buďte $A,B$ dvě množiny. \textbf{Symetrickou diferencí} množin $A,B$<br />
rozumíme množinu\[<br />
A\Delta B=\left(A\backslash B\right)\cup\left(B\backslash A\right)=\left(A\cup B\right)\backslash\left(A\cap B\right).\]<br />
<br />
\end{defn*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{\label{thm:bergeova-veta}(Berge, 1957)}}<br />
<br />
Párování v grafu $G$ je maximální právě tehdy, když v $G$ neexistuje<br />
$M$-zlepšující cesta.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Oba směry ekvivalence dokážeme sporem.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Nechť $M$ je maximální a přitom existuje $M$-zlepšující cesta, kterou<br />
označíme $P$. Definujeme nyní párování\[<br />
M'=M\Delta P.\]<br />
Řečeno slovy: $M'$ vznikne tak, že mimo cestu necháme $M$ jak je<br />
a na cestě dáme do $M'$ naopak jen ty hrany, které nejsou v $M$.<br />
Je zřejmé, že $M'$ bude opět párování, přičemž $\# M'>\# M$, a to<br />
je spor.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nechť v $G$ neexistuje $M$-zlepšující cesta a přitom $M$ není maximální.<br />
Potom existuje párování $M'$ takové, že $\# M'>\# M$. Definujme<br />
nyní graf\[<br />
H=(V,M\Delta M').\]<br />
Potom je zřejmé, že $H$ se skládá jen z kružnic a cest, na nichž<br />
se střídají hrany z $M$ a z $M'$ (to také znamená, že v $H$ jsou<br />
všechny kružnice sudé délky). Protože $\# M'>\# M$, tak také $M\Delta M'$<br />
obsahuje více hran z $M'$ než z $M$. Z toho plyne, že v $H$ musí<br />
existovat alespoň jedna cesta liché délky, která obsahuje $2k+1$<br />
($k\in\N_{0}$) hran, z toho $k$ hran je z $M$ a $k+1$ hran je<br />
z $M'$, a navíc její koncové vrcholy nejsou $M$-saturovány v $G$.<br />
(Poslední vlastnost lze formulovat i tak, že uvedená cesta není vlastním<br />
podgrafem nějaké cesty v $H$ - nejde už prodloužit.). Tato cesta<br />
je ovšem $M$-zlepšující, což je spor.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_7&diff=4515
01ZTGA:Kapitola1 7
2012-01-15T12:34:54Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že kružnice v grafu $G=(V,E)$ je \textbf{hamiltonovská}<br />
(angl. \emph{Hamilton cycle}), jestliže má délku $n=\# V$. Řekneme,<br />
že cesta v $G$ je hamiltonovská (angl. \emph{Hamilton path}), jestliže<br />
má délku $n-1$. Graf $G$ se nazývá hamiltonovský (angl. \emph{hamiltonian}),<br />
jestliže obsahuje hamiltonovskou kružnici.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Půjdeme-li po hamiltonovské cestě, projdeme každým vrcholem grafu<br />
právě jednou. Půjdeme-li po hamiltonovské kružnici, vrátíme se navíc<br />
do vrcholu, z nějž jsme vyšli. Každý hamiltonovský graf obsahuje hamiltonovskou<br />
cestu.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Problém existence hamiltonovské kružnice v obecném grafu je NP-úplný.<br />
To zhruba znamená, že jej není možné řešit algoritmem s lepší než<br />
exponenciální složitostí%<br />
\footnote{Uvedeme bez detailů jednu z mnoha definic NP-úplnosti (viz. \cite{tslo}):<br />
Problém je otázka, na niž očekáváme odpověď ANO/NE. Problém je třídy<br />
NP, existuje-li nedeterministický algoritmus s nejvýše polynomiální<br />
složitostí, který jej rozhoduje. Problém $P_{0}$ je NP-těžký, lze-li<br />
na něj polynomiálně transformovat libovolný problém $P$ třídy NP,<br />
tj. jednoznačná transformace zadání $P$ na zadání $P_{0}$ má nejvýše<br />
polynomiální složitost. Problém je NP-úplný, jestliže je NP-těžký<br />
a je třídy NP.<br />
<br />
Jsou známy desítky NP-úplných problémů. Přitom, vzhledem k definici<br />
NP-úplnosti, najde-li se deterministický algoritmus rozhodující jeden<br />
z těchto problémů s polynomiální složitostí, bude možné rozhodnout<br />
každý NP-úplný problém s polynomiální složitostí. Dosud se však takový<br />
algoritmus nenašel a proto se věří, že NP-úplné problémy nelze řešit<br />
v polynomiálním čase. Není to však dokázáno.<br />
<br />
Konečně, každý nedeterministický algoritmus s polynomiální složitostí<br />
lze snadno převést na deterministický algoritmus s exponenciální složitostí,<br />
což odůvodňuje formulaci naší poznámky.%<br />
}.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Chvátal, 1972)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf a $x,y$ dva jeho vrcholy takové, že $d_{G}(x)+d_{G}(y)\geq n$<br />
a přitom $\{ x,y\}\notin E$. Potom $G$ je hamiltonovský právě tehdy,<br />
když $G'=(V,E\cup\{ x,y\})$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$ Zřejmé.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť $G'$ je hamiltonovský a $G$ není.<br />
Označme si hamiltonovskou kružnici jako\[<br />
x=v_{1},v_{2},...,v_{n-1},v_{n}=y,\]<br />
tj. jako na obrázku:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: chvatal.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:42:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 12.319 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 9.709 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.099 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 7.099 20.631 7.097 20.633 /<br />
\plot 7.097 20.633 7.095 20.637 /<br />
\plot 7.095 20.637 7.093 20.642 /<br />
\plot 7.093 20.642 7.089 20.650 /<br />
\plot 7.089 20.650 7.082 20.661 /<br />
\plot 7.082 20.661 7.076 20.673 /<br />
\plot 7.076 20.673 7.070 20.688 /<br />
\plot 7.070 20.688 7.061 20.705 /<br />
\plot 7.061 20.705 7.051 20.726 /<br />
\plot 7.051 20.726 7.042 20.750 /<br />
\plot 7.042 20.750 7.034 20.773 /<br />
\plot 7.034 20.773 7.025 20.800 /<br />
\plot 7.025 20.800 7.017 20.828 /<br />
\plot 7.017 20.828 7.010 20.858 /<br />
\plot 7.010 20.858 7.006 20.889 /<br />
\plot 7.006 20.889 7.002 20.919 /<br />
\putrule from 7.002 20.919 to 7.002 20.951<br />
\plot 7.002 20.951 7.006 20.985 /<br />
\plot 7.006 20.985 7.013 21.016 /<br />
\plot 7.013 21.016 7.023 21.048 /<br />
\plot 7.023 21.048 7.038 21.082 /<br />
\plot 7.038 21.082 7.057 21.114 /<br />
\plot 7.057 21.114 7.082 21.145 /<br />
\plot 7.082 21.145 7.114 21.177 /<br />
\plot 7.114 21.177 7.154 21.209 /<br />
\plot 7.154 21.209 7.199 21.241 /<br />
\plot 7.199 21.241 7.254 21.273 /<br />
\plot 7.254 21.273 7.319 21.302 /<br />
\plot 7.319 21.302 7.394 21.334 /<br />
\plot 7.394 21.334 7.478 21.364 /<br />
\plot 7.478 21.364 7.576 21.393 /<br />
\plot 7.576 21.393 7.686 21.421 /<br />
\plot 7.686 21.421 7.806 21.446 /<br />
\plot 7.806 21.446 7.938 21.471 /<br />
\plot 7.938 21.471 8.052 21.491 /<br />
\plot 8.052 21.491 8.172 21.505 /<br />
\plot 8.172 21.505 8.293 21.520 /<br />
\plot 8.293 21.520 8.416 21.535 /<br />
\plot 8.416 21.535 8.537 21.546 /<br />
\plot 8.537 21.546 8.655 21.556 /<br />
\plot 8.655 21.556 8.769 21.565 /<br />
\plot 8.769 21.565 8.879 21.573 /<br />
\plot 8.879 21.573 8.985 21.579 /<br />
\plot 8.985 21.579 9.087 21.586 /<br />
\plot 9.087 21.586 9.182 21.592 /<br />
\plot 9.182 21.592 9.271 21.596 /<br />
\plot 9.271 21.596 9.358 21.598 /<br />
\plot 9.358 21.598 9.438 21.603 /<br />
\plot 9.438 21.603 9.514 21.605 /<br />
\plot 9.514 21.605 9.588 21.607 /<br />
\plot 9.588 21.607 9.656 21.609 /<br />
\putrule from 9.656 21.609 to 9.724 21.609<br />
\plot 9.724 21.609 9.787 21.611 /<br />
\putrule from 9.787 21.611 to 9.851 21.611<br />
\putrule from 9.851 21.611 to 9.912 21.611<br />
\putrule from 9.912 21.611 to 9.974 21.611<br />
\putrule from 9.974 21.611 to 10.033 21.611<br />
\putrule from 10.033 21.611 to 10.094 21.611<br />
\putrule from 10.094 21.611 to 10.158 21.611<br />
\plot 10.158 21.611 10.224 21.609 /<br />
\putrule from 10.224 21.609 to 10.289 21.609<br />
\plot 10.289 21.609 10.359 21.607 /<br />
\plot 10.359 21.607 10.433 21.605 /<br />
\plot 10.433 21.605 10.509 21.603 /<br />
\plot 10.509 21.603 10.592 21.598 /<br />
\plot 10.592 21.598 10.679 21.596 /<br />
\plot 10.679 21.596 10.770 21.592 /<br />
\plot 10.770 21.592 10.865 21.586 /<br />
\plot 10.865 21.586 10.969 21.579 /<br />
\plot 10.969 21.579 11.074 21.573 /<br />
\plot 11.074 21.573 11.187 21.565 /<br />
\plot 11.187 21.565 11.303 21.556 /<br />
\plot 11.303 21.556 11.424 21.546 /<br />
\plot 11.424 21.546 11.546 21.535 /<br />
\plot 11.546 21.535 11.671 21.520 /<br />
\plot 11.671 21.520 11.796 21.505 /<br />
\plot 11.796 21.505 11.921 21.491 /<br />
\plot 11.921 21.491 12.040 21.471 /<br />
\plot 12.040 21.471 12.177 21.446 /<br />
\plot 12.177 21.446 12.304 21.421 /<br />
\plot 12.304 21.421 12.418 21.393 /<br />
\plot 12.418 21.393 12.522 21.364 /<br />
\plot 12.522 21.364 12.613 21.334 /<br />
\plot 12.613 21.334 12.696 21.302 /<br />
\plot 12.696 21.302 12.766 21.273 /<br />
\plot 12.766 21.273 12.829 21.241 /<br />
\plot 12.829 21.241 12.882 21.209 /<br />
\plot 12.882 21.209 12.929 21.177 /<br />
\plot 12.929 21.177 12.967 21.145 /<br />
\plot 12.967 21.145 12.998 21.114 /<br />
\plot 12.998 21.114 13.026 21.082 /<br />
\plot 13.026 21.082 13.049 21.048 /<br />
\plot 13.049 21.048 13.066 21.016 /<br />
\plot 13.066 21.016 13.079 20.985 /<br />
\plot 13.079 20.985 13.089 20.951 /<br />
\plot 13.089 20.951 13.096 20.919 /<br />
\plot 13.096 20.919 13.100 20.889 /<br />
\plot 13.100 20.889 13.102 20.858 /<br />
\putrule from 13.102 20.858 to 13.102 20.828<br />
\putrule from 13.102 20.828 to 13.102 20.800<br />
\plot 13.102 20.800 13.098 20.773 /<br />
\plot 13.098 20.773 13.096 20.750 /<br />
\plot 13.096 20.750 13.092 20.726 /<br />
\plot 13.092 20.726 13.085 20.705 /<br />
\plot 13.085 20.705 13.081 20.688 /<br />
\plot 13.081 20.688 13.077 20.673 /<br />
\plot 13.077 20.673 13.075 20.661 /<br />
\plot 13.075 20.661 13.070 20.650 /<br />
\plot 13.070 20.650 13.068 20.642 /<br />
\plot 13.068 20.642 13.066 20.637 /<br />
\plot 13.066 20.637 13.064 20.633 /<br />
\putrule from 13.064 20.633 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.454 20.631 12.319 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.844 20.631 9.709 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.319 20.631 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.709 20.631 to 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.099 20.631 to 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}$\{x,y\}$}%<br />
} [lB] at 13.064 21.378<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.062 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 12.040 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.268 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.614 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.749 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.911 20.074<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.879 22.003 and 13.172 19.876<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Označme $E'=E\cup\{ x,y\}$ a dále definujme množiny\[<br />
T=\left\{ \left.i\right|\{ x,v_{i+1}\}\in E'\right\} ,\]<br />
\[<br />
S=\left\{ \left.j\right|\{ y,v_{j}\}\in E'\right\} .\]<br />
Potom paltí, že $S\cap T=\emptyset$. Kdyby totiž existovalo $k\in S\cap T$,<br />
nastala by tato situace:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: chvatal2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:40:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 6.968 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.616 20.955 to 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.374 20.955 to 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.726 20.955 to 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.616 20.955 9.618 20.953 /<br />
\plot 9.618 20.953 9.622 20.949 /<br />
\plot 9.622 20.949 9.633 20.940 /<br />
\plot 9.633 20.940 9.648 20.927 /<br />
\plot 9.648 20.927 9.669 20.911 /<br />
\plot 9.669 20.911 9.694 20.887 /<br />
\plot 9.694 20.887 9.728 20.860 /<br />
\plot 9.728 20.860 9.768 20.828 /<br />
\plot 9.768 20.828 9.813 20.792 /<br />
\plot 9.813 20.792 9.864 20.752 /<br />
\plot 9.864 20.752 9.919 20.712 /<br />
\plot 9.919 20.712 9.978 20.667 /<br />
\plot 9.978 20.667 10.041 20.623 /<br />
\plot 10.041 20.623 10.107 20.578 /<br />
\plot 10.107 20.578 10.177 20.536 /<br />
\plot 10.177 20.536 10.249 20.491 /<br />
\plot 10.249 20.491 10.323 20.451 /<br />
\plot 10.323 20.451 10.401 20.411 /<br />
\plot 10.401 20.411 10.484 20.373 /<br />
\plot 10.484 20.373 10.569 20.337 /<br />
\plot 10.569 20.337 10.660 20.305 /<br />
\plot 10.660 20.305 10.757 20.276 /<br />
\plot 10.757 20.276 10.859 20.250 /<br />
\plot 10.859 20.250 10.964 20.229 /<br />
\plot 10.964 20.229 11.079 20.212 /<br />
\plot 11.079 20.212 11.197 20.201 /<br />
\plot 11.197 20.201 11.318 20.197 /<br />
\plot 11.318 20.197 11.438 20.201 /<br />
\plot 11.438 20.201 11.557 20.212 /<br />
\plot 11.557 20.212 11.671 20.229 /<br />
\plot 11.671 20.229 11.777 20.250 /<br />
\plot 11.777 20.250 11.881 20.276 /<br />
\plot 11.881 20.276 11.976 20.305 /<br />
\plot 11.976 20.305 12.067 20.337 /<br />
\plot 12.067 20.337 12.152 20.373 /<br />
\plot 12.152 20.373 12.234 20.411 /<br />
\plot 12.234 20.411 12.313 20.451 /<br />
\plot 12.313 20.451 12.389 20.491 /<br />
\plot 12.389 20.491 12.461 20.536 /<br />
\plot 12.461 20.536 12.529 20.578 /<br />
\plot 12.529 20.578 12.596 20.623 /<br />
\plot 12.596 20.623 12.658 20.667 /<br />
\plot 12.658 20.667 12.719 20.712 /<br />
\plot 12.719 20.712 12.774 20.752 /<br />
\plot 12.774 20.752 12.825 20.792 /<br />
\plot 12.825 20.792 12.869 20.828 /<br />
\plot 12.869 20.828 12.910 20.860 /<br />
\plot 12.910 20.860 12.941 20.887 /<br />
\plot 12.941 20.887 12.969 20.911 /<br />
\plot 12.969 20.911 12.990 20.927 /<br />
\plot 12.990 20.927 13.005 20.940 /<br />
\plot 13.005 20.940 13.013 20.949 /<br />
\plot 13.013 20.949 13.020 20.953 /<br />
\plot 13.020 20.953 13.022 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.968 20.955 6.970 20.957 /<br />
\plot 6.970 20.957 6.974 20.961 /<br />
\plot 6.974 20.961 6.985 20.970 /<br />
\plot 6.985 20.970 7.000 20.983 /<br />
\plot 7.000 20.983 7.021 20.999 /<br />
\plot 7.021 20.999 7.046 21.023 /<br />
\plot 7.046 21.023 7.080 21.050 /<br />
\plot 7.080 21.050 7.120 21.082 /<br />
\plot 7.120 21.082 7.165 21.118 /<br />
\plot 7.165 21.118 7.216 21.158 /<br />
\plot 7.216 21.158 7.271 21.198 /<br />
\plot 7.271 21.198 7.330 21.243 /<br />
\plot 7.330 21.243 7.394 21.287 /<br />
\plot 7.394 21.287 7.459 21.332 /<br />
\plot 7.459 21.332 7.529 21.374 /<br />
\plot 7.529 21.374 7.601 21.419 /<br />
\plot 7.601 21.419 7.675 21.459 /<br />
\plot 7.675 21.459 7.753 21.499 /<br />
\plot 7.753 21.499 7.836 21.537 /<br />
\plot 7.836 21.537 7.921 21.573 /<br />
\plot 7.921 21.573 8.012 21.605 /<br />
\plot 8.012 21.605 8.109 21.634 /<br />
\plot 8.109 21.634 8.211 21.660 /<br />
\plot 8.211 21.660 8.316 21.681 /<br />
\plot 8.316 21.681 8.431 21.698 /<br />
\plot 8.431 21.698 8.549 21.709 /<br />
\plot 8.549 21.709 8.670 21.713 /<br />
\plot 8.670 21.713 8.791 21.709 /<br />
\plot 8.791 21.709 8.909 21.698 /<br />
\plot 8.909 21.698 9.023 21.681 /<br />
\plot 9.023 21.681 9.129 21.660 /<br />
\plot 9.129 21.660 9.233 21.634 /<br />
\plot 9.233 21.634 9.328 21.605 /<br />
\plot 9.328 21.605 9.419 21.573 /<br />
\plot 9.419 21.573 9.504 21.537 /<br />
\plot 9.504 21.537 9.586 21.499 /<br />
\plot 9.586 21.499 9.665 21.459 /<br />
\plot 9.665 21.459 9.741 21.419 /<br />
\plot 9.741 21.419 9.813 21.374 /<br />
\plot 9.813 21.374 9.881 21.332 /<br />
\plot 9.881 21.332 9.948 21.287 /<br />
\plot 9.948 21.287 10.010 21.243 /<br />
\plot 10.010 21.243 10.071 21.198 /<br />
\plot 10.071 21.198 10.126 21.158 /<br />
\plot 10.126 21.158 10.177 21.118 /<br />
\plot 10.177 21.118 10.221 21.082 /<br />
\plot 10.221 21.082 10.262 21.050 /<br />
\plot 10.262 21.050 10.293 21.023 /<br />
\plot 10.293 21.023 10.321 20.999 /<br />
\plot 10.321 20.999 10.342 20.983 /<br />
\plot 10.342 20.983 10.357 20.970 /<br />
\plot 10.357 20.970 10.365 20.961 /<br />
\plot 10.365 20.961 10.372 20.957 /<br />
\plot 10.372 20.957 10.374 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.266 20.955 to 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 6.968 20.955 to 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.020 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 11.985 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.183 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.521 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.628 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.778 20.388<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.746 21.814 and 13.132 20.151<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Jinými slovy, existovala by hamiltonovská kružnice i v původním<br />
grafu $G$, bez přidání hrany $\{ x,y\}$. Díky tomu platí\[<br />
\#(S\cup T)=\# S+\# T\]<br />
a navíc zřejmě \begin{eqnarray*}<br />
\# S & = & d_{G}(y),\\<br />
\# T & = & d_{G}(x).\end{eqnarray*}<br />
Snadno si ověříme, že $0\notin T$ a hlavně $n\notin S\cup T$. Proto<br />
\[<br />
n>\#(S\cup T)=\# S+\# T=d_{G}(y)+d_{G}(x),\]<br />
což je ovšem spor s předpokladem věty.<br />
\end{proof}<br />
Chvátalova věta nás opravňuje k následující definici :<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Uzávěrem grafu $G=(V,E)$ rozumíme minimální nadgraf $C(G)=(V,\tilde{E})$<br />
grafu $G$ takový, že pro každé $x,y\in V,x\neq y$ platí\[<br />
\{ x,y\}\notin E\Rightarrow d_{C(G)}(x)+d_{C(G)}(y)<n\left(=\# V\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Uzávěr grafu je definován jednoznačně.<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
Korektnost (tedy jednoznačnost) definice dokážeme tak, že popíšeme<br />
algoritmus konstrukce $C(G)$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Označíme $G^{(0)}:=G$. Dále nechť $i:=0$.<br />
\item \label{enu:next_step}Používejme označení $G^{(i)}=(V,E^{(i)})$.<br />
Přiřadíme $E^{(i+1)}:=E^{(i)}$.<br />
\item Procházíme všechny dvojice vrcholů $x,y$ grafu $G^{(i)}=\left(V,E^{(i)}\right)$,<br />
které nejsou v hraně, a pokud platí $d_{G^{(i)}}(x)+d_{G^{(i)}}(y)\geq n$,<br />
přidáme hranu $\{ x,y\}$ do $E^{(i+1)}$. Poté, co projdeme všechny<br />
takové dvojice, vznikne nový graf $G^{(i+1)}$, v němž díky přidaým<br />
hranám mohly vzniknout další dvojice, kde $d_{G^{(i+1)}}(x)+d_{G^{(i+1)}}(y)\geq n$.<br />
\item $i:=i+1$. Jdeme na krok \ref{enu:next_step}, dokud nenastane $G^{(i+1)}=G^{(i)}$,<br />
tj. nebylo již nutné nic přidávat. V krajním případě to nastane teprve<br />
tehdy, když $G^{(i)}$ je už úplný graf.<br />
\item $C(G):=G^{(i)}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
Graf $G$ je hamiltonovský, právě když $C(G)$ je hamiltonovský.<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Postupné přidávání takových hran do $G$, pro které součet stupňů<br />
jejich koncových vrcholů je alespoň $n$, podle Chvátalovy věty nemění<br />
,,hamiltonovskost{}`` grafu $G$.<br />
\end{proof}<br />
Triviálním důsledkem předchozího tvrzení je i věta, kterou však nezávisle<br />
na Chvátalovi formuloval Dirac (mladší) již v roce 1952:<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Dirac, 1952)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, $n=\# V$. Jestliže $\delta\geq\frac{n}{2}$,<br />
potom $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Podmínka $\delta\geq\frac{n}{2}$ zřejmě vynucuje, aby $C(G)$ byl<br />
úplný graf, který je samozřejmě hamiltonovský. Proto i $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{proof}<br />
Lze tedy shrnout, že postačující podmínkou pro to, aby graf byl hamiltonovský,<br />
je ,,dostatek{}`` hran.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:postac_podm_hamilt}Nechť $G=(V,E)$ je graf se skóre $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Jestliže skóre $G$ má vlastnost\[<br />
\left(\forall k<\frac{n}{2}\right)\left(d_{k}\leq k\Rightarrow d_{n-k}\geq n-k\right),\]<br />
pak $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Stejně jako v důkazu Diracovy věty se ukáže, že uvedená podmínka již<br />
implikuje $C(G)=K_{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:hamilt_cesta_a_kruz}Nechť $G=(V,E)$, $x\notin V$. Označme<br />
$G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$.<br />
Potom $G$ obsahuje hamiltonovskou cestu, právě když $G'$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
je téměř zřejmý.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Každý samokomplementární graf obsahuje hamiltonovskou cestu.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je samokomplementární graf, s vrcholy uspořádanými<br />
tak, že jejich stupně (skóre grafu $G$) splňují $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Potom jeho doplněk má skóre\[<br />
\underbrace{n-1-d_{1}}_{d_{n}}\geq\underbrace{n-1-d_{2}}_{d_{n-1}}\geq...\geq\underbrace{n-1-d_{n}}_{d_{1}}.\]<br />
$G$ je ovšem samokomplementární, tj. $G\sim\bar{G}$, neboli oba<br />
grafy jsou až na označení vrcholů stejné. Vzhledem k vzestupnému uspořádání<br />
vcholů grafu $G$ podle velikosti jejich stupňů pak musí platit vztah<br />
naznačený svorkami:\[<br />
\boxed{\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}=n-1-d_{n+1-i}\right)}\]<br />
Nyní z $G$ utvoříme graf $G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$<br />
kde $x\notin V$ a o něm ukážeme, že je hamiltonovský. Uděláme to<br />
tak, že ověříme podmínku věty \ref{thm:postac_podm_hamilt}. Potom<br />
z věty \ref{thm:hamilt_cesta_a_kruz} již plyne dokazované tvrzení. <br />
<br />
Označme si $d'_{i}$ stupně vrcholů grafu $G'$. Potom zřejmě pro<br />
všechna $i\in\hat{n}$ platí $d'_{i}=d_{i}+1$ a $d'_{n+1}=n$. Zvolme<br />
nyní $k<\frac{n+1}{2}$ a ověřme zmíněnou podmínku. Postupně platí\[<br />
d'_{k}\leq k\ \Leftrightarrow\ d_{k}+1\leq k\ \Leftrightarrow\ \left(n-1-d_{n+1-k}\right)+1\leq k\ \Leftrightarrow\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow\ n-k\leq d_{n+1-k}\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k<\left(d_{n+1-k}+1\right)\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k\leq d'_{(n+1)-k}.\]<br />
<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_7&diff=4514
01ZTGA:Kapitola1 7
2012-01-15T12:32:53Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že kružnice v grafu $G=(V,E)$ je \textbf{hamiltonovská}<br />
(angl. \emph{Hamilton cycle}), jestliže má délku $n=\# V$. Řekneme,<br />
že cesta v $G$ je hamiltonovská (angl. \emph{Hamilton path}), jestliže<br />
má délku $n-1$. Graf $G$ se nazývá hamiltonovský (angl. \emph{hamiltonian}),<br />
jestliže obsahuje hamiltonovskou kružnici.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Půjdeme-li po hamiltonovské cestě, projdeme každým vrcholem grafu<br />
právě jednou. Půjdeme-li po hamiltonovské kružnici, vrátíme se navíc<br />
do vrcholu, z nějž jsme vyšli. Každý hamiltonovský graf obsahuje hamiltonovskou<br />
cestu.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Problém existence hamiltonovské kružnice v obecném grafu je NP-úplný.<br />
To zhruba znamená, že jej není možné řešit algoritmem s lepší než<br />
exponenciální složitostí%<br />
\footnote{Uvedeme bez detailů jednu z mnoha definic NP-úplnosti (viz. \cite{tslo}):<br />
Problém je otázka, na niž očekáváme odpověď ANO/NE. Problém je třídy<br />
NP, existuje-li nedeterministický algoritmus s nejvýše polynomiální<br />
složitostí, který jej rozhoduje. Problém $P_{0}$ je NP-těžký, lze-li<br />
na něj polynomiálně transformovat libovolný problém $P$ třídy NP,<br />
tj. jednoznačná transformace zadání $P$ na zadání $P_{0}$ má nejvýše<br />
polynomiální složitost. Problém je NP-úplný, jestliže je NP-těžký<br />
a je třídy NP.<br />
<br />
Jsou známy desítky NP-úplných problémů. Přitom, vzhledem k definici<br />
NP-úplnosti, najde-li se deterministický algoritmus rozhodující jeden<br />
z těchto problémů s polynomiální složitostí, bude možné rozhodnout<br />
každý NP-úplný problém s polynomiální složitostí. Dosud se však takový<br />
algoritmus nenašel a proto se věří, že NP-úplné problémy nelze řešit<br />
v polynomiálním čase. Není to však dokázáno.<br />
<br />
Konečně, každý nedeterministický algoritmus s polynomiální složitostí<br />
lze snadno převést na deterministický algoritmus s exponenciální složitostí,<br />
což odůvodňuje formulaci naší poznámky.%<br />
}.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Chvátal, 1972)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf a $x,y$ dva jeho vrcholy takové, že $d_{G}(x)+d_{G}(y)\geq n$<br />
a přitom $\{ x,y\}\notin E$. Potom $G$ je hamiltonovský právě tehdy,<br />
když $G'=(V,E\cup\{ x,y\})$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$ Zřejmé.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť $G'$ je hamiltonovský a $G$ není.<br />
Označme si hamiltonovskou kružnici jako\[<br />
x=v_{1},v_{2},...,v_{n-1},v_{n}=y,\]<br />
tj. jako na obrázku:<br />
<br />
\hfill{}<br />
\begin{center}<br />
%Title: chvatal.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:42:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 12.319 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 9.709 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.099 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 7.099 20.631 7.097 20.633 /<br />
\plot 7.097 20.633 7.095 20.637 /<br />
\plot 7.095 20.637 7.093 20.642 /<br />
\plot 7.093 20.642 7.089 20.650 /<br />
\plot 7.089 20.650 7.082 20.661 /<br />
\plot 7.082 20.661 7.076 20.673 /<br />
\plot 7.076 20.673 7.070 20.688 /<br />
\plot 7.070 20.688 7.061 20.705 /<br />
\plot 7.061 20.705 7.051 20.726 /<br />
\plot 7.051 20.726 7.042 20.750 /<br />
\plot 7.042 20.750 7.034 20.773 /<br />
\plot 7.034 20.773 7.025 20.800 /<br />
\plot 7.025 20.800 7.017 20.828 /<br />
\plot 7.017 20.828 7.010 20.858 /<br />
\plot 7.010 20.858 7.006 20.889 /<br />
\plot 7.006 20.889 7.002 20.919 /<br />
\putrule from 7.002 20.919 to 7.002 20.951<br />
\plot 7.002 20.951 7.006 20.985 /<br />
\plot 7.006 20.985 7.013 21.016 /<br />
\plot 7.013 21.016 7.023 21.048 /<br />
\plot 7.023 21.048 7.038 21.082 /<br />
\plot 7.038 21.082 7.057 21.114 /<br />
\plot 7.057 21.114 7.082 21.145 /<br />
\plot 7.082 21.145 7.114 21.177 /<br />
\plot 7.114 21.177 7.154 21.209 /<br />
\plot 7.154 21.209 7.199 21.241 /<br />
\plot 7.199 21.241 7.254 21.273 /<br />
\plot 7.254 21.273 7.319 21.302 /<br />
\plot 7.319 21.302 7.394 21.334 /<br />
\plot 7.394 21.334 7.478 21.364 /<br />
\plot 7.478 21.364 7.576 21.393 /<br />
\plot 7.576 21.393 7.686 21.421 /<br />
\plot 7.686 21.421 7.806 21.446 /<br />
\plot 7.806 21.446 7.938 21.471 /<br />
\plot 7.938 21.471 8.052 21.491 /<br />
\plot 8.052 21.491 8.172 21.505 /<br />
\plot 8.172 21.505 8.293 21.520 /<br />
\plot 8.293 21.520 8.416 21.535 /<br />
\plot 8.416 21.535 8.537 21.546 /<br />
\plot 8.537 21.546 8.655 21.556 /<br />
\plot 8.655 21.556 8.769 21.565 /<br />
\plot 8.769 21.565 8.879 21.573 /<br />
\plot 8.879 21.573 8.985 21.579 /<br />
\plot 8.985 21.579 9.087 21.586 /<br />
\plot 9.087 21.586 9.182 21.592 /<br />
\plot 9.182 21.592 9.271 21.596 /<br />
\plot 9.271 21.596 9.358 21.598 /<br />
\plot 9.358 21.598 9.438 21.603 /<br />
\plot 9.438 21.603 9.514 21.605 /<br />
\plot 9.514 21.605 9.588 21.607 /<br />
\plot 9.588 21.607 9.656 21.609 /<br />
\putrule from 9.656 21.609 to 9.724 21.609<br />
\plot 9.724 21.609 9.787 21.611 /<br />
\putrule from 9.787 21.611 to 9.851 21.611<br />
\putrule from 9.851 21.611 to 9.912 21.611<br />
\putrule from 9.912 21.611 to 9.974 21.611<br />
\putrule from 9.974 21.611 to 10.033 21.611<br />
\putrule from 10.033 21.611 to 10.094 21.611<br />
\putrule from 10.094 21.611 to 10.158 21.611<br />
\plot 10.158 21.611 10.224 21.609 /<br />
\putrule from 10.224 21.609 to 10.289 21.609<br />
\plot 10.289 21.609 10.359 21.607 /<br />
\plot 10.359 21.607 10.433 21.605 /<br />
\plot 10.433 21.605 10.509 21.603 /<br />
\plot 10.509 21.603 10.592 21.598 /<br />
\plot 10.592 21.598 10.679 21.596 /<br />
\plot 10.679 21.596 10.770 21.592 /<br />
\plot 10.770 21.592 10.865 21.586 /<br />
\plot 10.865 21.586 10.969 21.579 /<br />
\plot 10.969 21.579 11.074 21.573 /<br />
\plot 11.074 21.573 11.187 21.565 /<br />
\plot 11.187 21.565 11.303 21.556 /<br />
\plot 11.303 21.556 11.424 21.546 /<br />
\plot 11.424 21.546 11.546 21.535 /<br />
\plot 11.546 21.535 11.671 21.520 /<br />
\plot 11.671 21.520 11.796 21.505 /<br />
\plot 11.796 21.505 11.921 21.491 /<br />
\plot 11.921 21.491 12.040 21.471 /<br />
\plot 12.040 21.471 12.177 21.446 /<br />
\plot 12.177 21.446 12.304 21.421 /<br />
\plot 12.304 21.421 12.418 21.393 /<br />
\plot 12.418 21.393 12.522 21.364 /<br />
\plot 12.522 21.364 12.613 21.334 /<br />
\plot 12.613 21.334 12.696 21.302 /<br />
\plot 12.696 21.302 12.766 21.273 /<br />
\plot 12.766 21.273 12.829 21.241 /<br />
\plot 12.829 21.241 12.882 21.209 /<br />
\plot 12.882 21.209 12.929 21.177 /<br />
\plot 12.929 21.177 12.967 21.145 /<br />
\plot 12.967 21.145 12.998 21.114 /<br />
\plot 12.998 21.114 13.026 21.082 /<br />
\plot 13.026 21.082 13.049 21.048 /<br />
\plot 13.049 21.048 13.066 21.016 /<br />
\plot 13.066 21.016 13.079 20.985 /<br />
\plot 13.079 20.985 13.089 20.951 /<br />
\plot 13.089 20.951 13.096 20.919 /<br />
\plot 13.096 20.919 13.100 20.889 /<br />
\plot 13.100 20.889 13.102 20.858 /<br />
\putrule from 13.102 20.858 to 13.102 20.828<br />
\putrule from 13.102 20.828 to 13.102 20.800<br />
\plot 13.102 20.800 13.098 20.773 /<br />
\plot 13.098 20.773 13.096 20.750 /<br />
\plot 13.096 20.750 13.092 20.726 /<br />
\plot 13.092 20.726 13.085 20.705 /<br />
\plot 13.085 20.705 13.081 20.688 /<br />
\plot 13.081 20.688 13.077 20.673 /<br />
\plot 13.077 20.673 13.075 20.661 /<br />
\plot 13.075 20.661 13.070 20.650 /<br />
\plot 13.070 20.650 13.068 20.642 /<br />
\plot 13.068 20.642 13.066 20.637 /<br />
\plot 13.066 20.637 13.064 20.633 /<br />
\putrule from 13.064 20.633 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.454 20.631 12.319 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.844 20.631 9.709 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.319 20.631 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.709 20.631 to 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.099 20.631 to 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}$\{x,y\}$}%<br />
} [lB] at 13.064 21.378<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.062 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 12.040 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.268 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.614 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.749 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.911 20.074<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.879 22.003 and 13.172 19.876<br />
\endpicture}<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Označme $E'=E\cup\{ x,y\}$ a dále definujme množiny\[<br />
T=\left\{ \left.i\right|\{ x,v_{i+1}\}\in E'\right\} ,\]<br />
\[<br />
S=\left\{ \left.j\right|\{ y,v_{j}\}\in E'\right\} .\]<br />
Potom paltí, že $S\cap T=\emptyset$. Kdyby totiž existovalo $k\in S\cap T$,<br />
nastala by tato situace:<br />
<br />
\hfill{}<br />
%Title: chvatal2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:40:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 6.968 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.616 20.955 to 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.374 20.955 to 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.726 20.955 to 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.616 20.955 9.618 20.953 /<br />
\plot 9.618 20.953 9.622 20.949 /<br />
\plot 9.622 20.949 9.633 20.940 /<br />
\plot 9.633 20.940 9.648 20.927 /<br />
\plot 9.648 20.927 9.669 20.911 /<br />
\plot 9.669 20.911 9.694 20.887 /<br />
\plot 9.694 20.887 9.728 20.860 /<br />
\plot 9.728 20.860 9.768 20.828 /<br />
\plot 9.768 20.828 9.813 20.792 /<br />
\plot 9.813 20.792 9.864 20.752 /<br />
\plot 9.864 20.752 9.919 20.712 /<br />
\plot 9.919 20.712 9.978 20.667 /<br />
\plot 9.978 20.667 10.041 20.623 /<br />
\plot 10.041 20.623 10.107 20.578 /<br />
\plot 10.107 20.578 10.177 20.536 /<br />
\plot 10.177 20.536 10.249 20.491 /<br />
\plot 10.249 20.491 10.323 20.451 /<br />
\plot 10.323 20.451 10.401 20.411 /<br />
\plot 10.401 20.411 10.484 20.373 /<br />
\plot 10.484 20.373 10.569 20.337 /<br />
\plot 10.569 20.337 10.660 20.305 /<br />
\plot 10.660 20.305 10.757 20.276 /<br />
\plot 10.757 20.276 10.859 20.250 /<br />
\plot 10.859 20.250 10.964 20.229 /<br />
\plot 10.964 20.229 11.079 20.212 /<br />
\plot 11.079 20.212 11.197 20.201 /<br />
\plot 11.197 20.201 11.318 20.197 /<br />
\plot 11.318 20.197 11.438 20.201 /<br />
\plot 11.438 20.201 11.557 20.212 /<br />
\plot 11.557 20.212 11.671 20.229 /<br />
\plot 11.671 20.229 11.777 20.250 /<br />
\plot 11.777 20.250 11.881 20.276 /<br />
\plot 11.881 20.276 11.976 20.305 /<br />
\plot 11.976 20.305 12.067 20.337 /<br />
\plot 12.067 20.337 12.152 20.373 /<br />
\plot 12.152 20.373 12.234 20.411 /<br />
\plot 12.234 20.411 12.313 20.451 /<br />
\plot 12.313 20.451 12.389 20.491 /<br />
\plot 12.389 20.491 12.461 20.536 /<br />
\plot 12.461 20.536 12.529 20.578 /<br />
\plot 12.529 20.578 12.596 20.623 /<br />
\plot 12.596 20.623 12.658 20.667 /<br />
\plot 12.658 20.667 12.719 20.712 /<br />
\plot 12.719 20.712 12.774 20.752 /<br />
\plot 12.774 20.752 12.825 20.792 /<br />
\plot 12.825 20.792 12.869 20.828 /<br />
\plot 12.869 20.828 12.910 20.860 /<br />
\plot 12.910 20.860 12.941 20.887 /<br />
\plot 12.941 20.887 12.969 20.911 /<br />
\plot 12.969 20.911 12.990 20.927 /<br />
\plot 12.990 20.927 13.005 20.940 /<br />
\plot 13.005 20.940 13.013 20.949 /<br />
\plot 13.013 20.949 13.020 20.953 /<br />
\plot 13.020 20.953 13.022 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.968 20.955 6.970 20.957 /<br />
\plot 6.970 20.957 6.974 20.961 /<br />
\plot 6.974 20.961 6.985 20.970 /<br />
\plot 6.985 20.970 7.000 20.983 /<br />
\plot 7.000 20.983 7.021 20.999 /<br />
\plot 7.021 20.999 7.046 21.023 /<br />
\plot 7.046 21.023 7.080 21.050 /<br />
\plot 7.080 21.050 7.120 21.082 /<br />
\plot 7.120 21.082 7.165 21.118 /<br />
\plot 7.165 21.118 7.216 21.158 /<br />
\plot 7.216 21.158 7.271 21.198 /<br />
\plot 7.271 21.198 7.330 21.243 /<br />
\plot 7.330 21.243 7.394 21.287 /<br />
\plot 7.394 21.287 7.459 21.332 /<br />
\plot 7.459 21.332 7.529 21.374 /<br />
\plot 7.529 21.374 7.601 21.419 /<br />
\plot 7.601 21.419 7.675 21.459 /<br />
\plot 7.675 21.459 7.753 21.499 /<br />
\plot 7.753 21.499 7.836 21.537 /<br />
\plot 7.836 21.537 7.921 21.573 /<br />
\plot 7.921 21.573 8.012 21.605 /<br />
\plot 8.012 21.605 8.109 21.634 /<br />
\plot 8.109 21.634 8.211 21.660 /<br />
\plot 8.211 21.660 8.316 21.681 /<br />
\plot 8.316 21.681 8.431 21.698 /<br />
\plot 8.431 21.698 8.549 21.709 /<br />
\plot 8.549 21.709 8.670 21.713 /<br />
\plot 8.670 21.713 8.791 21.709 /<br />
\plot 8.791 21.709 8.909 21.698 /<br />
\plot 8.909 21.698 9.023 21.681 /<br />
\plot 9.023 21.681 9.129 21.660 /<br />
\plot 9.129 21.660 9.233 21.634 /<br />
\plot 9.233 21.634 9.328 21.605 /<br />
\plot 9.328 21.605 9.419 21.573 /<br />
\plot 9.419 21.573 9.504 21.537 /<br />
\plot 9.504 21.537 9.586 21.499 /<br />
\plot 9.586 21.499 9.665 21.459 /<br />
\plot 9.665 21.459 9.741 21.419 /<br />
\plot 9.741 21.419 9.813 21.374 /<br />
\plot 9.813 21.374 9.881 21.332 /<br />
\plot 9.881 21.332 9.948 21.287 /<br />
\plot 9.948 21.287 10.010 21.243 /<br />
\plot 10.010 21.243 10.071 21.198 /<br />
\plot 10.071 21.198 10.126 21.158 /<br />
\plot 10.126 21.158 10.177 21.118 /<br />
\plot 10.177 21.118 10.221 21.082 /<br />
\plot 10.221 21.082 10.262 21.050 /<br />
\plot 10.262 21.050 10.293 21.023 /<br />
\plot 10.293 21.023 10.321 20.999 /<br />
\plot 10.321 20.999 10.342 20.983 /<br />
\plot 10.342 20.983 10.357 20.970 /<br />
\plot 10.357 20.970 10.365 20.961 /<br />
\plot 10.365 20.961 10.372 20.957 /<br />
\plot 10.372 20.957 10.374 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.266 20.955 to 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 6.968 20.955 to 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.020 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 11.985 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.183 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.521 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.628 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.778 20.388<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.746 21.814 and 13.132 20.151<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Jinými slovy, existovala by hamiltonovská kružnice i v původním<br />
grafu $G$, bez přidání hrany $\{ x,y\}$. Díky tomu platí\[<br />
\#(S\cup T)=\# S+\# T\]<br />
a navíc zřejmě \begin{eqnarray*}<br />
\# S & = & d_{G}(y),\\<br />
\# T & = & d_{G}(x).\end{eqnarray*}<br />
Snadno si ověříme, že $0\notin T$ a hlavně $n\notin S\cup T$. Proto<br />
\[<br />
n>\#(S\cup T)=\# S+\# T=d_{G}(y)+d_{G}(x),\]<br />
což je ovšem spor s předpokladem věty.<br />
\end{proof}<br />
Chvátalova věta nás opravňuje k následující definici :<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Uzávěrem grafu $G=(V,E)$ rozumíme minimální nadgraf $C(G)=(V,\tilde{E})$<br />
grafu $G$ takový, že pro každé $x,y\in V,x\neq y$ platí\[<br />
\{ x,y\}\notin E\Rightarrow d_{C(G)}(x)+d_{C(G)}(y)<n\left(=\# V\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Uzávěr grafu je definován jednoznačně.<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
Korektnost (tedy jednoznačnost) definice dokážeme tak, že popíšeme<br />
algoritmus konstrukce $C(G)$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Označíme $G^{(0)}:=G$. Dále nechť $i:=0$.<br />
\item \label{enu:next_step}Používejme označení $G^{(i)}=(V,E^{(i)})$.<br />
Přiřadíme $E^{(i+1)}:=E^{(i)}$.<br />
\item Procházíme všechny dvojice vrcholů $x,y$ grafu $G^{(i)}=\left(V,E^{(i)}\right)$,<br />
které nejsou v hraně, a pokud platí $d_{G^{(i)}}(x)+d_{G^{(i)}}(y)\geq n$,<br />
přidáme hranu $\{ x,y\}$ do $E^{(i+1)}$. Poté, co projdeme všechny<br />
takové dvojice, vznikne nový graf $G^{(i+1)}$, v němž díky přidaým<br />
hranám mohly vzniknout další dvojice, kde $d_{G^{(i+1)}}(x)+d_{G^{(i+1)}}(y)\geq n$.<br />
\item $i:=i+1$. Jdeme na krok \ref{enu:next_step}, dokud nenastane $G^{(i+1)}=G^{(i)}$,<br />
tj. nebylo již nutné nic přidávat. V krajním případě to nastane teprve<br />
tehdy, když $G^{(i)}$ je už úplný graf.<br />
\item $C(G):=G^{(i)}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
Graf $G$ je hamiltonovský, právě když $C(G)$ je hamiltonovský.<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Postupné přidávání takových hran do $G$, pro které součet stupňů<br />
jejich koncových vrcholů je alespoň $n$, podle Chvátalovy věty nemění<br />
,,hamiltonovskost{}`` grafu $G$.<br />
\end{proof}<br />
Triviálním důsledkem předchozího tvrzení je i věta, kterou však nezávisle<br />
na Chvátalovi formuloval Dirac (mladší) již v roce 1952:<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Dirac, 1952)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, $n=\# V$. Jestliže $\delta\geq\frac{n}{2}$,<br />
potom $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Podmínka $\delta\geq\frac{n}{2}$ zřejmě vynucuje, aby $C(G)$ byl<br />
úplný graf, který je samozřejmě hamiltonovský. Proto i $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{proof}<br />
Lze tedy shrnout, že postačující podmínkou pro to, aby graf byl hamiltonovský,<br />
je ,,dostatek{}`` hran.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:postac_podm_hamilt}Nechť $G=(V,E)$ je graf se skóre $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Jestliže skóre $G$ má vlastnost\[<br />
\left(\forall k<\frac{n}{2}\right)\left(d_{k}\leq k\Rightarrow d_{n-k}\geq n-k\right),\]<br />
pak $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Stejně jako v důkazu Diracovy věty se ukáže, že uvedená podmínka již<br />
implikuje $C(G)=K_{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:hamilt_cesta_a_kruz}Nechť $G=(V,E)$, $x\notin V$. Označme<br />
$G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$.<br />
Potom $G$ obsahuje hamiltonovskou cestu, právě když $G'$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
je téměř zřejmý.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Každý samokomplementární graf obsahuje hamiltonovskou cestu.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je samokomplementární graf, s vrcholy uspořádanými<br />
tak, že jejich stupně (skóre grafu $G$) splňují $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Potom jeho doplněk má skóre\[<br />
\underbrace{n-1-d_{1}}_{d_{n}}\geq\underbrace{n-1-d_{2}}_{d_{n-1}}\geq...\geq\underbrace{n-1-d_{n}}_{d_{1}}.\]<br />
$G$ je ovšem samokomplementární, tj. $G\sim\bar{G}$, neboli oba<br />
grafy jsou až na označení vrcholů stejné. Vzhledem k vzestupnému uspořádání<br />
vcholů grafu $G$ podle velikosti jejich stupňů pak musí platit vztah<br />
naznačený svorkami:\[<br />
\boxed{\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}=n-1-d_{n+1-i}\right)}\]<br />
Nyní z $G$ utvoříme graf $G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$<br />
kde $x\notin V$ a o něm ukážeme, že je hamiltonovský. Uděláme to<br />
tak, že ověříme podmínku věty \ref{thm:postac_podm_hamilt}. Potom<br />
z věty \ref{thm:hamilt_cesta_a_kruz} již plyne dokazované tvrzení. <br />
<br />
Označme si $d'_{i}$ stupně vrcholů grafu $G'$. Potom zřejmě pro<br />
všechna $i\in\hat{n}$ platí $d'_{i}=d_{i}+1$ a $d'_{n+1}=n$. Zvolme<br />
nyní $k<\frac{n+1}{2}$ a ověřme zmíněnou podmínku. Postupně platí\[<br />
d'_{k}\leq k\ \Leftrightarrow\ d_{k}+1\leq k\ \Leftrightarrow\ \left(n-1-d_{n+1-k}\right)+1\leq k\ \Leftrightarrow\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow\ n-k\leq d_{n+1-k}\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k<\left(d_{n+1-k}+1\right)\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k\leq d'_{(n+1)-k}.\]<br />
<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_7&diff=4513
01ZTGA:Kapitola1 7
2012-01-15T11:54:35Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že kružnice v grafu $G=(V,E)$ je \textbf{hamiltonovská}<br />
(angl. \emph{Hamilton cycle}), jestliže má délku $n=\# V$. Řekneme,<br />
že cesta v $G$ je hamiltonovská (angl. \emph{Hamilton path}), jestliže<br />
má délku $n-1$. Graf $G$ se nazývá hamiltonovský (angl. \emph{hamiltonian}),<br />
jestliže obsahuje hamiltonovskou kružnici.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Půjdeme-li po hamiltonovské cestě, projdeme každým vrcholem grafu<br />
právě jednou. Půjdeme-li po hamiltonovské kružnici, vrátíme se navíc<br />
do vrcholu, z nějž jsme vyšli. Každý hamiltonovský graf obsahuje hamiltonovskou<br />
cestu.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Problém existence hamiltonovské kružnice v obecném grafu je NP-úplný.<br />
To zhruba znamená, že jej není možné řešit algoritmem s lepší než<br />
exponenciální složitostí%<br />
\footnote{Uvedeme bez detailů jednu z mnoha definic NP-úplnosti (viz. \cite{tslo}):<br />
Problém je otázka, na niž očekáváme odpověď ANO/NE. Problém je třídy<br />
NP, existuje-li nedeterministický algoritmus s nejvýše polynomiální<br />
složitostí, který jej rozhoduje. Problém $P_{0}$ je NP-těžký, lze-li<br />
na něj polynomiálně transformovat libovolný problém $P$ třídy NP,<br />
tj. jednoznačná transformace zadání $P$ na zadání $P_{0}$ má nejvýše<br />
polynomiální složitost. Problém je NP-úplný, jestliže je NP-těžký<br />
a je třídy NP.<br />
<br />
Jsou známy desítky NP-úplných problémů. Přitom, vzhledem k definici<br />
NP-úplnosti, najde-li se deterministický algoritmus rozhodující jeden<br />
z těchto problémů s polynomiální složitostí, bude možné rozhodnout<br />
každý NP-úplný problém s polynomiální složitostí. Dosud se však takový<br />
algoritmus nenašel a proto se věří, že NP-úplné problémy nelze řešit<br />
v polynomiálním čase. Není to však dokázáno.<br />
<br />
Konečně, každý nedeterministický algoritmus s polynomiální složitostí<br />
lze snadno převést na deterministický algoritmus s exponenciální složitostí,<br />
což odůvodňuje formulaci naší poznámky.%<br />
}.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Chvátal, 1972)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf a $x,y$ dva jeho vrcholy takové, že $d_{G}(x)+d_{G}(y)\geq n$<br />
a přitom $\{ x,y\}\notin E$. Potom $G$ je hamiltonovský právě tehdy,<br />
když $G'=(V,E\cup\{ x,y\})$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$ Zřejmé.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť $G'$ je hamiltonovský a $G$ není.<br />
Označme si hamiltonovskou kružnici jako\[<br />
x=v_{1},v_{2},...,v_{n-1},v_{n}=y,\]<br />
tj. jako na obrázku:<br />
<br />
\hfill{}<br />
%Title: chvatal.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:42:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 12.319 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 9.709 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 7.099 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 7.099 20.631 7.097 20.633 /<br />
\plot 7.097 20.633 7.095 20.637 /<br />
\plot 7.095 20.637 7.093 20.642 /<br />
\plot 7.093 20.642 7.089 20.650 /<br />
\plot 7.089 20.650 7.082 20.661 /<br />
\plot 7.082 20.661 7.076 20.673 /<br />
\plot 7.076 20.673 7.070 20.688 /<br />
\plot 7.070 20.688 7.061 20.705 /<br />
\plot 7.061 20.705 7.051 20.726 /<br />
\plot 7.051 20.726 7.042 20.750 /<br />
\plot 7.042 20.750 7.034 20.773 /<br />
\plot 7.034 20.773 7.025 20.800 /<br />
\plot 7.025 20.800 7.017 20.828 /<br />
\plot 7.017 20.828 7.010 20.858 /<br />
\plot 7.010 20.858 7.006 20.889 /<br />
\plot 7.006 20.889 7.002 20.919 /<br />
\putrule from 7.002 20.919 to 7.002 20.951<br />
\plot 7.002 20.951 7.006 20.985 /<br />
\plot 7.006 20.985 7.013 21.016 /<br />
\plot 7.013 21.016 7.023 21.048 /<br />
\plot 7.023 21.048 7.038 21.082 /<br />
\plot 7.038 21.082 7.057 21.114 /<br />
\plot 7.057 21.114 7.082 21.145 /<br />
\plot 7.082 21.145 7.114 21.177 /<br />
\plot 7.114 21.177 7.154 21.209 /<br />
\plot 7.154 21.209 7.199 21.241 /<br />
\plot 7.199 21.241 7.254 21.273 /<br />
\plot 7.254 21.273 7.319 21.302 /<br />
\plot 7.319 21.302 7.394 21.334 /<br />
\plot 7.394 21.334 7.478 21.364 /<br />
\plot 7.478 21.364 7.576 21.393 /<br />
\plot 7.576 21.393 7.686 21.421 /<br />
\plot 7.686 21.421 7.806 21.446 /<br />
\plot 7.806 21.446 7.938 21.471 /<br />
\plot 7.938 21.471 8.052 21.491 /<br />
\plot 8.052 21.491 8.172 21.505 /<br />
\plot 8.172 21.505 8.293 21.520 /<br />
\plot 8.293 21.520 8.416 21.535 /<br />
\plot 8.416 21.535 8.537 21.546 /<br />
\plot 8.537 21.546 8.655 21.556 /<br />
\plot 8.655 21.556 8.769 21.565 /<br />
\plot 8.769 21.565 8.879 21.573 /<br />
\plot 8.879 21.573 8.985 21.579 /<br />
\plot 8.985 21.579 9.087 21.586 /<br />
\plot 9.087 21.586 9.182 21.592 /<br />
\plot 9.182 21.592 9.271 21.596 /<br />
\plot 9.271 21.596 9.358 21.598 /<br />
\plot 9.358 21.598 9.438 21.603 /<br />
\plot 9.438 21.603 9.514 21.605 /<br />
\plot 9.514 21.605 9.588 21.607 /<br />
\plot 9.588 21.607 9.656 21.609 /<br />
\putrule from 9.656 21.609 to 9.724 21.609<br />
\plot 9.724 21.609 9.787 21.611 /<br />
\putrule from 9.787 21.611 to 9.851 21.611<br />
\putrule from 9.851 21.611 to 9.912 21.611<br />
\putrule from 9.912 21.611 to 9.974 21.611<br />
\putrule from 9.974 21.611 to 10.033 21.611<br />
\putrule from 10.033 21.611 to 10.094 21.611<br />
\putrule from 10.094 21.611 to 10.158 21.611<br />
\plot 10.158 21.611 10.224 21.609 /<br />
\putrule from 10.224 21.609 to 10.289 21.609<br />
\plot 10.289 21.609 10.359 21.607 /<br />
\plot 10.359 21.607 10.433 21.605 /<br />
\plot 10.433 21.605 10.509 21.603 /<br />
\plot 10.509 21.603 10.592 21.598 /<br />
\plot 10.592 21.598 10.679 21.596 /<br />
\plot 10.679 21.596 10.770 21.592 /<br />
\plot 10.770 21.592 10.865 21.586 /<br />
\plot 10.865 21.586 10.969 21.579 /<br />
\plot 10.969 21.579 11.074 21.573 /<br />
\plot 11.074 21.573 11.187 21.565 /<br />
\plot 11.187 21.565 11.303 21.556 /<br />
\plot 11.303 21.556 11.424 21.546 /<br />
\plot 11.424 21.546 11.546 21.535 /<br />
\plot 11.546 21.535 11.671 21.520 /<br />
\plot 11.671 21.520 11.796 21.505 /<br />
\plot 11.796 21.505 11.921 21.491 /<br />
\plot 11.921 21.491 12.040 21.471 /<br />
\plot 12.040 21.471 12.177 21.446 /<br />
\plot 12.177 21.446 12.304 21.421 /<br />
\plot 12.304 21.421 12.418 21.393 /<br />
\plot 12.418 21.393 12.522 21.364 /<br />
\plot 12.522 21.364 12.613 21.334 /<br />
\plot 12.613 21.334 12.696 21.302 /<br />
\plot 12.696 21.302 12.766 21.273 /<br />
\plot 12.766 21.273 12.829 21.241 /<br />
\plot 12.829 21.241 12.882 21.209 /<br />
\plot 12.882 21.209 12.929 21.177 /<br />
\plot 12.929 21.177 12.967 21.145 /<br />
\plot 12.967 21.145 12.998 21.114 /<br />
\plot 12.998 21.114 13.026 21.082 /<br />
\plot 13.026 21.082 13.049 21.048 /<br />
\plot 13.049 21.048 13.066 21.016 /<br />
\plot 13.066 21.016 13.079 20.985 /<br />
\plot 13.079 20.985 13.089 20.951 /<br />
\plot 13.089 20.951 13.096 20.919 /<br />
\plot 13.096 20.919 13.100 20.889 /<br />
\plot 13.100 20.889 13.102 20.858 /<br />
\putrule from 13.102 20.858 to 13.102 20.828<br />
\putrule from 13.102 20.828 to 13.102 20.800<br />
\plot 13.102 20.800 13.098 20.773 /<br />
\plot 13.098 20.773 13.096 20.750 /<br />
\plot 13.096 20.750 13.092 20.726 /<br />
\plot 13.092 20.726 13.085 20.705 /<br />
\plot 13.085 20.705 13.081 20.688 /<br />
\plot 13.081 20.688 13.077 20.673 /<br />
\plot 13.077 20.673 13.075 20.661 /<br />
\plot 13.075 20.661 13.070 20.650 /<br />
\plot 13.070 20.650 13.068 20.642 /<br />
\plot 13.068 20.642 13.066 20.637 /<br />
\plot 13.066 20.637 13.064 20.633 /<br />
\putrule from 13.064 20.633 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 10.454 20.631 12.319 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.844 20.631 9.709 20.631 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.319 20.631 to 13.064 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.709 20.631 to 10.454 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.099 20.631 to 7.844 20.631<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{1,0,0}$\{x,y\}$}%<br />
} [lB] at 13.064 21.378<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.062 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 12.040 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.268 21.006<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.614 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.749 20.074<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.911 20.074<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.879 22.003 and 13.172 19.876<br />
\endpicture}<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Označme $E'=E\cup\{ x,y\}$ a dále definujme množiny\[<br />
T=\left\{ \left.i\right|\{ x,v_{i+1}\}\in E'\right\} ,\]<br />
\[<br />
S=\left\{ \left.j\right|\{ y,v_{j}\}\in E'\right\} .\]<br />
Potom paltí, že $S\cap T=\emptyset$. Kdyby totiž existovalo $k\in S\cap T$,<br />
nastala by tato situace:<br />
<br />
\hfill{}<br />
%Title: chvatal2.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:40:08 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.186}}} at 6.968 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 9.616 20.955 to 10.374 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.374 20.955 to 12.266 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.726 20.955 to 9.616 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.616 20.955 9.618 20.953 /<br />
\plot 9.618 20.953 9.622 20.949 /<br />
\plot 9.622 20.949 9.633 20.940 /<br />
\plot 9.633 20.940 9.648 20.927 /<br />
\plot 9.648 20.927 9.669 20.911 /<br />
\plot 9.669 20.911 9.694 20.887 /<br />
\plot 9.694 20.887 9.728 20.860 /<br />
\plot 9.728 20.860 9.768 20.828 /<br />
\plot 9.768 20.828 9.813 20.792 /<br />
\plot 9.813 20.792 9.864 20.752 /<br />
\plot 9.864 20.752 9.919 20.712 /<br />
\plot 9.919 20.712 9.978 20.667 /<br />
\plot 9.978 20.667 10.041 20.623 /<br />
\plot 10.041 20.623 10.107 20.578 /<br />
\plot 10.107 20.578 10.177 20.536 /<br />
\plot 10.177 20.536 10.249 20.491 /<br />
\plot 10.249 20.491 10.323 20.451 /<br />
\plot 10.323 20.451 10.401 20.411 /<br />
\plot 10.401 20.411 10.484 20.373 /<br />
\plot 10.484 20.373 10.569 20.337 /<br />
\plot 10.569 20.337 10.660 20.305 /<br />
\plot 10.660 20.305 10.757 20.276 /<br />
\plot 10.757 20.276 10.859 20.250 /<br />
\plot 10.859 20.250 10.964 20.229 /<br />
\plot 10.964 20.229 11.079 20.212 /<br />
\plot 11.079 20.212 11.197 20.201 /<br />
\plot 11.197 20.201 11.318 20.197 /<br />
\plot 11.318 20.197 11.438 20.201 /<br />
\plot 11.438 20.201 11.557 20.212 /<br />
\plot 11.557 20.212 11.671 20.229 /<br />
\plot 11.671 20.229 11.777 20.250 /<br />
\plot 11.777 20.250 11.881 20.276 /<br />
\plot 11.881 20.276 11.976 20.305 /<br />
\plot 11.976 20.305 12.067 20.337 /<br />
\plot 12.067 20.337 12.152 20.373 /<br />
\plot 12.152 20.373 12.234 20.411 /<br />
\plot 12.234 20.411 12.313 20.451 /<br />
\plot 12.313 20.451 12.389 20.491 /<br />
\plot 12.389 20.491 12.461 20.536 /<br />
\plot 12.461 20.536 12.529 20.578 /<br />
\plot 12.529 20.578 12.596 20.623 /<br />
\plot 12.596 20.623 12.658 20.667 /<br />
\plot 12.658 20.667 12.719 20.712 /<br />
\plot 12.719 20.712 12.774 20.752 /<br />
\plot 12.774 20.752 12.825 20.792 /<br />
\plot 12.825 20.792 12.869 20.828 /<br />
\plot 12.869 20.828 12.910 20.860 /<br />
\plot 12.910 20.860 12.941 20.887 /<br />
\plot 12.941 20.887 12.969 20.911 /<br />
\plot 12.969 20.911 12.990 20.927 /<br />
\plot 12.990 20.927 13.005 20.940 /<br />
\plot 13.005 20.940 13.013 20.949 /<br />
\plot 13.013 20.949 13.020 20.953 /<br />
\plot 13.020 20.953 13.022 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.968 20.955 6.970 20.957 /<br />
\plot 6.970 20.957 6.974 20.961 /<br />
\plot 6.974 20.961 6.985 20.970 /<br />
\plot 6.985 20.970 7.000 20.983 /<br />
\plot 7.000 20.983 7.021 20.999 /<br />
\plot 7.021 20.999 7.046 21.023 /<br />
\plot 7.046 21.023 7.080 21.050 /<br />
\plot 7.080 21.050 7.120 21.082 /<br />
\plot 7.120 21.082 7.165 21.118 /<br />
\plot 7.165 21.118 7.216 21.158 /<br />
\plot 7.216 21.158 7.271 21.198 /<br />
\plot 7.271 21.198 7.330 21.243 /<br />
\plot 7.330 21.243 7.394 21.287 /<br />
\plot 7.394 21.287 7.459 21.332 /<br />
\plot 7.459 21.332 7.529 21.374 /<br />
\plot 7.529 21.374 7.601 21.419 /<br />
\plot 7.601 21.419 7.675 21.459 /<br />
\plot 7.675 21.459 7.753 21.499 /<br />
\plot 7.753 21.499 7.836 21.537 /<br />
\plot 7.836 21.537 7.921 21.573 /<br />
\plot 7.921 21.573 8.012 21.605 /<br />
\plot 8.012 21.605 8.109 21.634 /<br />
\plot 8.109 21.634 8.211 21.660 /<br />
\plot 8.211 21.660 8.316 21.681 /<br />
\plot 8.316 21.681 8.431 21.698 /<br />
\plot 8.431 21.698 8.549 21.709 /<br />
\plot 8.549 21.709 8.670 21.713 /<br />
\plot 8.670 21.713 8.791 21.709 /<br />
\plot 8.791 21.709 8.909 21.698 /<br />
\plot 8.909 21.698 9.023 21.681 /<br />
\plot 9.023 21.681 9.129 21.660 /<br />
\plot 9.129 21.660 9.233 21.634 /<br />
\plot 9.233 21.634 9.328 21.605 /<br />
\plot 9.328 21.605 9.419 21.573 /<br />
\plot 9.419 21.573 9.504 21.537 /<br />
\plot 9.504 21.537 9.586 21.499 /<br />
\plot 9.586 21.499 9.665 21.459 /<br />
\plot 9.665 21.459 9.741 21.419 /<br />
\plot 9.741 21.419 9.813 21.374 /<br />
\plot 9.813 21.374 9.881 21.332 /<br />
\plot 9.881 21.332 9.948 21.287 /<br />
\plot 9.948 21.287 10.010 21.243 /<br />
\plot 10.010 21.243 10.071 21.198 /<br />
\plot 10.071 21.198 10.126 21.158 /<br />
\plot 10.126 21.158 10.177 21.118 /<br />
\plot 10.177 21.118 10.221 21.082 /<br />
\plot 10.221 21.082 10.262 21.050 /<br />
\plot 10.262 21.050 10.293 21.023 /<br />
\plot 10.293 21.023 10.321 20.999 /<br />
\plot 10.321 20.999 10.342 20.983 /<br />
\plot 10.342 20.983 10.357 20.970 /<br />
\plot 10.357 20.970 10.365 20.961 /<br />
\plot 10.365 20.961 10.372 20.957 /<br />
\plot 10.372 20.957 10.374 20.955 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 12.266 20.955 to 13.022 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 6.968 20.955 to 7.726 20.955<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$y$}%<br />
} [lB] at 13.020 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{n-1}$}%<br />
} [lB] at 11.985 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k+1}$}%<br />
} [lB] at 10.183 21.332<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 9.521 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{2}$}%<br />
} [lB] at 7.628 20.388<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$x$}%<br />
} [lB] at 6.778 20.388<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 6.746 21.814 and 13.132 20.151<br />
\endpicture}<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
\noindent Jinými slovy, existovala by hamiltonovská kružnice i v původním<br />
grafu $G$, bez přidání hrany $\{ x,y\}$. Díky tomu platí\[<br />
\#(S\cup T)=\# S+\# T\]<br />
a navíc zřejmě \begin{eqnarray*}<br />
\# S & = & d_{G}(y),\\<br />
\# T & = & d_{G}(x).\end{eqnarray*}<br />
Snadno si ověříme, že $0\notin T$ a hlavně $n\notin S\cup T$. Proto<br />
\[<br />
n>\#(S\cup T)=\# S+\# T=d_{G}(y)+d_{G}(x),\]<br />
což je ovšem spor s předpokladem věty.<br />
\end{proof}<br />
Chvátalova věta nás opravňuje k následující definici :<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Uzávěrem grafu $G=(V,E)$ rozumíme minimální nadgraf $C(G)=(V,\tilde{E})$<br />
grafu $G$ takový, že pro každé $x,y\in V,x\neq y$ platí\[<br />
\{ x,y\}\notin E\Rightarrow d_{C(G)}(x)+d_{C(G)}(y)<n\left(=\# V\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Uzávěr grafu je definován jednoznačně.<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
Korektnost (tedy jednoznačnost) definice dokážeme tak, že popíšeme<br />
algoritmus konstrukce $C(G)$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Označíme $G^{(0)}:=G$. Dále nechť $i:=0$.<br />
\item \label{enu:next_step}Používejme označení $G^{(i)}=(V,E^{(i)})$.<br />
Přiřadíme $E^{(i+1)}:=E^{(i)}$.<br />
\item Procházíme všechny dvojice vrcholů $x,y$ grafu $G^{(i)}=\left(V,E^{(i)}\right)$,<br />
které nejsou v hraně, a pokud platí $d_{G^{(i)}}(x)+d_{G^{(i)}}(y)\geq n$,<br />
přidáme hranu $\{ x,y\}$ do $E^{(i+1)}$. Poté, co projdeme všechny<br />
takové dvojice, vznikne nový graf $G^{(i+1)}$, v němž díky přidaým<br />
hranám mohly vzniknout další dvojice, kde $d_{G^{(i+1)}}(x)+d_{G^{(i+1)}}(y)\geq n$.<br />
\item $i:=i+1$. Jdeme na krok \ref{enu:next_step}, dokud nenastane $G^{(i+1)}=G^{(i)}$,<br />
tj. nebylo již nutné nic přidávat. V krajním případě to nastane teprve<br />
tehdy, když $G^{(i)}$ je už úplný graf.<br />
\item $C(G):=G^{(i)}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor}<br />
Graf $G$ je hamiltonovský, právě když $C(G)$ je hamiltonovský.<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
Postupné přidávání takových hran do $G$, pro které součet stupňů<br />
jejich koncových vrcholů je alespoň $n$, podle Chvátalovy věty nemění<br />
,,hamiltonovskost{}`` grafu $G$.<br />
\end{proof}<br />
Triviálním důsledkem předchozího tvrzení je i věta, kterou však nezávisle<br />
na Chvátalovi formuloval Dirac (mladší) již v roce 1952:<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\textbf{\emph{(Dirac, 1952)}}<br />
<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf, $n=\# V$. Jestliže $\delta\geq\frac{n}{2}$,<br />
potom $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Podmínka $\delta\geq\frac{n}{2}$ zřejmě vynucuje, aby $C(G)$ byl<br />
úplný graf, který je samozřejmě hamiltonovský. Proto i $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{proof}<br />
Lze tedy shrnout, že postačující podmínkou pro to, aby graf byl hamiltonovský,<br />
je ,,dostatek{}`` hran.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:postac_podm_hamilt}Nechť $G=(V,E)$ je graf se skóre $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Jestliže skóre $G$ má vlastnost\[<br />
\left(\forall k<\frac{n}{2}\right)\left(d_{k}\leq k\Rightarrow d_{n-k}\geq n-k\right),\]<br />
pak $G$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Stejně jako v důkazu Diracovy věty se ukáže, že uvedená podmínka již<br />
implikuje $C(G)=K_{n}$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:hamilt_cesta_a_kruz}Nechť $G=(V,E)$, $x\notin V$. Označme<br />
$G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$.<br />
Potom $G$ obsahuje hamiltonovskou cestu, právě když $G'$ je hamiltonovský.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
je téměř zřejmý.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Každý samokomplementární graf obsahuje hamiltonovskou cestu.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je samokomplementární graf, s vrcholy uspořádanými<br />
tak, že jejich stupně (skóre grafu $G$) splňují $d_{1}\leq d_{2}\leq...\leq d_{n}$.<br />
Potom jeho doplněk má skóre\[<br />
\underbrace{n-1-d_{1}}_{d_{n}}\geq\underbrace{n-1-d_{2}}_{d_{n-1}}\geq...\geq\underbrace{n-1-d_{n}}_{d_{1}}.\]<br />
$G$ je ovšem samokomplementární, tj. $G\sim\bar{G}$, neboli oba<br />
grafy jsou až na označení vrcholů stejné. Vzhledem k vzestupnému uspořádání<br />
vcholů grafu $G$ podle velikosti jejich stupňů pak musí platit vztah<br />
naznačený svorkami:\[<br />
\boxed{\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}=n-1-d_{n+1-i}\right)}\]<br />
Nyní z $G$ utvoříme graf $G'=\left(V\cup\{ x\},E\cup\left\{ \left.\{ x,v\}\right|v\in V\right\} \right)$<br />
kde $x\notin V$ a o něm ukážeme, že je hamiltonovský. Uděláme to<br />
tak, že ověříme podmínku věty \ref{thm:postac_podm_hamilt}. Potom<br />
z věty \ref{thm:hamilt_cesta_a_kruz} již plyne dokazované tvrzení. <br />
<br />
Označme si $d'_{i}$ stupně vrcholů grafu $G'$. Potom zřejmě pro<br />
všechna $i\in\hat{n}$ platí $d'_{i}=d_{i}+1$ a $d'_{n+1}=n$. Zvolme<br />
nyní $k<\frac{n+1}{2}$ a ověřme zmíněnou podmínku. Postupně platí\[<br />
d'_{k}\leq k\ \Leftrightarrow\ d_{k}+1\leq k\ \Leftrightarrow\ \left(n-1-d_{n+1-k}\right)+1\leq k\ \Leftrightarrow\]<br />
\[<br />
\Leftrightarrow\ n-k\leq d_{n+1-k}\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k<\left(d_{n+1-k}+1\right)\ \Leftrightarrow\ (n+1)-k\leq d'_{(n+1)-k}.\]<br />
<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_6&diff=4512
01ZTGA:Kapitola1 6
2012-01-15T11:53:03Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Jednotažky}<br />
<br />
Název kapitoly neformálně vystihuje vlastnost tzv. eulerovských grafů,<br />
které je možné nakreslit jedním tahem. Vše, co bude řečeno o eulerovských<br />
grafech, lze aplikovat i na zobecněné grafy ve smyslu definice \ref{def:zobecneny_graf}.<br />
<br />
\begin{notation}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf, $v_{0},v_{1},...,v_{k}$ sled v $G$. Potom tento<br />
sled zapisujeme také jako $v_{0}e_{1}v_{1}e_{2}v_{2}...e_{k}v_{k}$,<br />
přičemž $\left(\forall i\in\{1,2,...,k\}\right)\left(e_{i}=\{ v_{i-1},v_{i}\}\right).$<br />
\end{notation}<br />
\begin{defn}<br />
Graf $G=(V,E)$, resp. $G=(V,E,\varphi)$, se nazývá \textbf{eulerovský}<br />
(angl. \emph{eulerian}), existuje-li v něm ,,eulerovský{}`` cyklus<br />
(angl. \emph{Euler tour}) $v_{0}e_{1}v_{1}e_{2}v_{2}...e_{m}v_{m}$<br />
takový, že \[<br />
\left(\forall i,j\in\{1,2,...,m\}\right)\left(i\neq j\Rightarrow e_{i}\neq e_{j}\}\right)\]<br />
a $E=\{ e_{1},...,e_{m}\}$, tj. $m=\# E$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Řekneme, že sled $v_{0}e_{1}v_{1}e_{2}v_{2}...e_{k}v_{k}$ je \textbf{tah}<br />
(angl. \emph{trail}) v $G$, jestliže \[<br />
\left(\forall i,j\in\{1,2,...,k\}\right)\left(i\neq j\Rightarrow e_{i}\neq e_{j}\}\right).\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:eulerovske-grafy}Buď $G=(V,E)$ souvislý graf. Potom $G$<br />
je eulerovský, právě když $\left(\forall v\in V\right)(d(v)$ je sudý$)$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
$G$ je eulerovský, v $G$ tedy existuje cyklus, který projde všechny<br />
hrany, a to každou právě jednou. Půjdeme-li po tomto cyklu, je zřejmé,<br />
že vstoupíme do každého vrcholu právě tolikrát, kolikrát z něj vystoupíme,<br />
a to nikdy po hraně, po které jsme již prošli. Z toho plyne, že na<br />
každý vrchol je napojen sudý počet hran.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Když má každý vrchol sudý stupeň, tak jeden ($v_{1}$) vybereme a<br />
vydáme se po libovolné hraně, která z něj vede. Z vrcholu, do nějž<br />
jsme se dostali, pokračujeme stejným způsobem dál. Přitom za sebou<br />
obarvujeme hrany a nikdy se nevydáme po hraně, která je již obarvená.<br />
Je zřejmé, že jediný vrchol, z nějž už nebudeme schopni pokračovat<br />
dál, je ten, ze kterého jsme začínali. Potom už jsme buď prošli všechny<br />
hrany, nebo z několika vrcholů vede nenulový, ale sudý počet dosud<br />
neobarvených hran. Vybereme jeden ($v_{2}$) takový, který leží na<br />
cyklu, který jsme již obarvili (to musí být možné, jinak by graf nebyl<br />
souvislý). Z něj začneme nový cyklus. Po jeho dokončení oba cykly<br />
sjednotíme, a to tak, že původní cyklus začneme ve $v_{1}$, přerušíme<br />
jej ve $v_{2}$, provedeme druhý cyklus, a následně dokončíme cyklus<br />
původní. Úvahu lze opakovat, dokud existují neobarvené hrany. Právě<br />
popsaný postup je znázorněn na obrázku \ref{cap:eulerovska_cesta}.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: euler.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 22:07:04 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,.56}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 4.523 22.623<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,1,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 2.618 26.134<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.119}}} at 0.773 25.303<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 2.362 22.246<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 4.801 22.856<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 4.191 24.685<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 2.362 24.380<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 2.362 26.209<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.305}}} at 0.533 25.294<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,.56}\plot 4.523 22.623 4.521 22.621 /<br />
\plot 4.521 22.621 4.519 22.614 /<br />
\plot 4.519 22.614 4.513 22.604 /<br />
\plot 4.513 22.604 4.504 22.587 /<br />
\plot 4.504 22.587 4.492 22.566 /<br />
\plot 4.492 22.566 4.475 22.536 /<br />
\plot 4.475 22.536 4.453 22.500 /<br />
\plot 4.453 22.500 4.430 22.460 /<br />
\plot 4.430 22.460 4.403 22.415 /<br />
\plot 4.403 22.415 4.371 22.365 /<br />
\plot 4.371 22.365 4.337 22.312 /<br />
\plot 4.337 22.312 4.301 22.257 /<br />
\plot 4.301 22.257 4.261 22.200 /<br />
\plot 4.261 22.200 4.219 22.142 /<br />
\plot 4.219 22.142 4.172 22.083 /<br />
\plot 4.172 22.083 4.123 22.024 /<br />
\plot 4.123 22.024 4.070 21.965 /<br />
\plot 4.070 21.965 4.013 21.905 /<br />
\plot 4.013 21.905 3.952 21.846 /<br />
\plot 3.952 21.846 3.886 21.787 /<br />
\plot 3.886 21.787 3.812 21.725 /<br />
\plot 3.812 21.725 3.732 21.666 /<br />
\plot 3.732 21.666 3.645 21.605 /<br />
\plot 3.645 21.605 3.552 21.548 /<br />
\plot 3.552 21.548 3.452 21.493 /<br />
\plot 3.452 21.493 3.351 21.442 /<br />
\plot 3.351 21.442 3.251 21.400 /<br />
\plot 3.251 21.400 3.158 21.361 /<br />
\plot 3.158 21.361 3.073 21.328 /<br />
\plot 3.073 21.328 2.997 21.302 /<br />
\plot 2.997 21.302 2.932 21.281 /<br />
\plot 2.932 21.281 2.874 21.262 /<br />
\plot 2.874 21.262 2.828 21.249 /<br />
\plot 2.828 21.249 2.788 21.239 /<br />
\plot 2.788 21.239 2.754 21.230 /<br />
\plot 2.754 21.230 2.724 21.224 /<br />
\plot 2.724 21.224 2.699 21.217 /<br />
\plot 2.699 21.217 2.673 21.213 /<br />
\plot 2.673 21.213 2.650 21.211 /<br />
\plot 2.650 21.211 2.625 21.209 /<br />
\plot 2.625 21.209 2.595 21.207 /<br />
\plot 2.595 21.207 2.561 21.205 /<br />
\putrule from 2.561 21.205 to 2.521 21.205<br />
\putrule from 2.521 21.205 to 2.474 21.205<br />
\putrule from 2.474 21.205 to 2.417 21.205<br />
\putrule from 2.417 21.205 to 2.352 21.205<br />
\plot 2.352 21.205 2.278 21.209 /<br />
\plot 2.278 21.209 2.193 21.215 /<br />
\plot 2.193 21.215 2.102 21.224 /<br />
\plot 2.102 21.224 2.004 21.237 /<br />
\plot 2.004 21.237 1.905 21.253 /<br />
\plot 1.905 21.253 1.808 21.277 /<br />
\plot 1.808 21.277 1.719 21.302 /<br />
\plot 1.719 21.302 1.636 21.332 /<br />
\plot 1.636 21.332 1.564 21.357 /<br />
\plot 1.564 21.357 1.503 21.385 /<br />
\plot 1.503 21.385 1.450 21.408 /<br />
\plot 1.450 21.408 1.405 21.429 /<br />
\plot 1.405 21.429 1.369 21.446 /<br />
\plot 1.369 21.446 1.340 21.463 /<br />
\plot 1.340 21.463 1.317 21.476 /<br />
\plot 1.317 21.476 1.295 21.488 /<br />
\plot 1.295 21.488 1.278 21.501 /<br />
\plot 1.278 21.501 1.264 21.512 /<br />
\plot 1.264 21.512 1.249 21.524 /<br />
\plot 1.249 21.524 1.236 21.537 /<br />
\plot 1.236 21.537 1.219 21.554 /<br />
\plot 1.219 21.554 1.200 21.573 /<br />
\plot 1.200 21.573 1.179 21.596 /<br />
\plot 1.179 21.596 1.156 21.626 /<br />
\plot 1.156 21.626 1.126 21.662 /<br />
\plot 1.126 21.662 1.092 21.704 /<br />
\plot 1.092 21.704 1.056 21.753 /<br />
\plot 1.056 21.753 1.014 21.812 /<br />
\plot 1.014 21.812 0.972 21.878 /<br />
\plot 0.972 21.878 0.931 21.950 /<br />
\plot 0.931 21.950 0.891 22.028 /<br />
\plot 0.891 22.028 0.857 22.109 /<br />
\plot 0.857 22.109 0.830 22.189 /<br />
\plot 0.830 22.189 0.809 22.265 /<br />
\plot 0.809 22.265 0.790 22.335 /<br />
\plot 0.790 22.335 0.777 22.396 /<br />
\plot 0.777 22.396 0.766 22.451 /<br />
\plot 0.766 22.451 0.758 22.500 /<br />
\plot 0.758 22.500 0.751 22.540 /<br />
\plot 0.751 22.540 0.745 22.574 /<br />
\plot 0.745 22.574 0.743 22.602 /<br />
\plot 0.743 22.602 0.741 22.627 /<br />
\plot 0.741 22.627 0.739 22.650 /<br />
\putrule from 0.739 22.650 to 0.739 22.672<br />
\putrule from 0.739 22.672 to 0.739 22.695<br />
\plot 0.739 22.695 0.741 22.716 /<br />
\plot 0.741 22.716 0.743 22.741 /<br />
\plot 0.743 22.741 0.747 22.771 /<br />
\plot 0.747 22.771 0.754 22.807 /<br />
\plot 0.754 22.807 0.764 22.847 /<br />
\plot 0.764 22.847 0.775 22.896 /<br />
\plot 0.775 22.896 0.792 22.953 /<br />
\plot 0.792 22.953 0.813 23.017 /<br />
\plot 0.813 23.017 0.838 23.089 /<br />
\plot 0.838 23.089 0.870 23.167 /<br />
\plot 0.870 23.167 0.908 23.252 /<br />
\plot 0.908 23.252 0.953 23.336 /<br />
\plot 0.953 23.336 1.003 23.419 /<br />
\plot 1.003 23.419 1.058 23.497 /<br />
\plot 1.058 23.497 1.118 23.571 /<br />
\plot 1.118 23.571 1.177 23.639 /<br />
\plot 1.177 23.639 1.238 23.700 /<br />
\plot 1.238 23.700 1.302 23.755 /<br />
\plot 1.302 23.755 1.363 23.806 /<br />
\plot 1.363 23.806 1.425 23.855 /<br />
\plot 1.425 23.855 1.488 23.897 /<br />
\plot 1.488 23.897 1.552 23.940 /<br />
\plot 1.552 23.940 1.615 23.978 /<br />
\plot 1.615 23.978 1.676 24.011 /<br />
\plot 1.676 24.011 1.740 24.045 /<br />
\plot 1.740 24.045 1.799 24.075 /<br />
\plot 1.799 24.075 1.856 24.105 /<br />
\plot 1.856 24.105 1.911 24.130 /<br />
\plot 1.911 24.130 1.962 24.153 /<br />
\plot 1.962 24.153 2.007 24.172 /<br />
\plot 2.007 24.172 2.047 24.189 /<br />
\plot 2.047 24.189 2.079 24.204 /<br />
\plot 2.079 24.204 2.102 24.213 /<br />
\plot 2.102 24.213 2.121 24.221 /<br />
\plot 2.121 24.221 2.134 24.225 /<br />
\plot 2.134 24.225 2.140 24.227 /<br />
\plot 2.140 24.227 2.142 24.229 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,.56}\plot 2.142 24.229 4.225 22.860 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.717 23.012 4.225 22.860 3.884 23.266 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,1,0}\plot 4.106 24.886 4.047 24.469 /<br />
\plot 4.047 24.469 4.523 22.981 /<br />
\plot 4.523 22.981 2.559 22.504 /<br />
\putrule from 2.559 22.504 to 2.559 24.587<br />
\plot 2.559 24.587 3.810 24.826 /<br />
\plot 3.810 24.826 2.559 25.838 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 3.050 25.637 2.559 25.838 2.858 25.400 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,1,0}\plot 2.618 26.134 2.623 26.137 /<br />
\plot 2.623 26.137 2.629 26.139 /<br />
\plot 2.629 26.139 2.644 26.145 /<br />
\plot 2.644 26.145 2.665 26.151 /<br />
\plot 2.665 26.151 2.695 26.164 /<br />
\plot 2.695 26.164 2.733 26.179 /<br />
\plot 2.733 26.179 2.781 26.198 /<br />
\plot 2.781 26.198 2.838 26.219 /<br />
\plot 2.838 26.219 2.904 26.242 /<br />
\plot 2.904 26.242 2.976 26.268 /<br />
\plot 2.976 26.268 3.054 26.295 /<br />
\plot 3.054 26.295 3.137 26.325 /<br />
\plot 3.137 26.325 3.224 26.352 /<br />
\plot 3.224 26.352 3.313 26.382 /<br />
\plot 3.313 26.382 3.404 26.410 /<br />
\plot 3.404 26.410 3.495 26.437 /<br />
\plot 3.495 26.437 3.586 26.460 /<br />
\plot 3.586 26.460 3.675 26.484 /<br />
\plot 3.675 26.484 3.763 26.503 /<br />
\plot 3.763 26.503 3.852 26.520 /<br />
\plot 3.852 26.520 3.939 26.532 /<br />
\plot 3.939 26.532 4.024 26.541 /<br />
\plot 4.024 26.541 4.106 26.545 /<br />
\plot 4.106 26.545 4.187 26.543 /<br />
\plot 4.187 26.543 4.263 26.535 /<br />
\plot 4.263 26.535 4.337 26.522 /<br />
\plot 4.337 26.522 4.407 26.501 /<br />
\plot 4.407 26.501 4.468 26.471 /<br />
\plot 4.468 26.471 4.523 26.433 /<br />
\plot 4.523 26.433 4.574 26.380 /<br />
\plot 4.574 26.380 4.610 26.319 /<br />
\plot 4.610 26.319 4.633 26.251 /<br />
\plot 4.633 26.251 4.646 26.179 /<br />
\plot 4.646 26.179 4.648 26.105 /<br />
\plot 4.648 26.105 4.642 26.027 /<br />
\plot 4.642 26.027 4.627 25.948 /<br />
\plot 4.627 25.948 4.606 25.866 /<br />
\plot 4.606 25.866 4.578 25.783 /<br />
\plot 4.578 25.783 4.547 25.701 /<br />
\plot 4.547 25.701 4.511 25.616 /<br />
\plot 4.511 25.616 4.470 25.529 /<br />
\plot 4.470 25.529 4.428 25.444 /<br />
\plot 4.428 25.444 4.386 25.362 /<br />
\plot 4.386 25.362 4.341 25.284 /<br />
\plot 4.341 25.284 4.299 25.207 /<br />
\plot 4.299 25.207 4.259 25.138 /<br />
\plot 4.259 25.138 4.223 25.074 /<br />
\plot 4.223 25.074 4.189 25.021 /<br />
\plot 4.189 25.021 4.161 24.977 /<br />
\plot 4.161 24.977 4.140 24.941 /<br />
\plot 4.140 24.941 4.125 24.915 /<br />
\plot 4.125 24.915 4.115 24.898 /<br />
\plot 4.115 24.898 4.108 24.890 /<br />
\plot 4.108 24.890 4.106 24.886 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{1,0,0}\plot 0.773 25.303 2.201 26.016 /<br />
\putrule from 2.201 26.016 to 2.201 24.646<br />
\plot 2.201 24.646 0.953 25.241 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.477 25.160 0.953 25.241 1.346 24.885 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.191 24.685 4.193 24.689 /<br />
\plot 4.193 24.689 4.199 24.697 /<br />
\plot 4.199 24.697 4.208 24.712 /<br />
\plot 4.208 24.712 4.223 24.737 /<br />
\plot 4.223 24.737 4.244 24.771 /<br />
\plot 4.244 24.771 4.271 24.816 /<br />
\plot 4.271 24.816 4.303 24.869 /<br />
\plot 4.303 24.869 4.339 24.932 /<br />
\plot 4.339 24.932 4.379 25.002 /<br />
\plot 4.379 25.002 4.424 25.080 /<br />
\plot 4.424 25.080 4.470 25.163 /<br />
\plot 4.470 25.163 4.517 25.252 /<br />
\plot 4.517 25.252 4.564 25.343 /<br />
\plot 4.564 25.343 4.608 25.434 /<br />
\plot 4.608 25.434 4.650 25.527 /<br />
\plot 4.650 25.527 4.688 25.620 /<br />
\plot 4.688 25.620 4.724 25.711 /<br />
\plot 4.724 25.711 4.754 25.802 /<br />
\plot 4.754 25.802 4.779 25.893 /<br />
\plot 4.779 25.893 4.796 25.982 /<br />
\plot 4.796 25.982 4.807 26.067 /<br />
\plot 4.807 26.067 4.809 26.151 /<br />
\plot 4.809 26.151 4.801 26.234 /<br />
\plot 4.801 26.234 4.782 26.312 /<br />
\plot 4.782 26.312 4.750 26.386 /<br />
\plot 4.750 26.386 4.707 26.454 /<br />
\plot 4.707 26.454 4.648 26.513 /<br />
\plot 4.648 26.513 4.587 26.558 /<br />
\plot 4.587 26.558 4.515 26.592 /<br />
\plot 4.515 26.592 4.439 26.619 /<br />
\plot 4.439 26.619 4.356 26.638 /<br />
\plot 4.356 26.638 4.269 26.651 /<br />
\plot 4.269 26.651 4.180 26.655 /<br />
\putrule from 4.180 26.655 to 4.087 26.655<br />
\plot 4.087 26.655 3.992 26.651 /<br />
\plot 3.992 26.651 3.897 26.642 /<br />
\plot 3.897 26.642 3.797 26.628 /<br />
\plot 3.797 26.628 3.698 26.611 /<br />
\plot 3.698 26.611 3.598 26.590 /<br />
\plot 3.598 26.590 3.497 26.566 /<br />
\plot 3.497 26.566 3.395 26.541 /<br />
\plot 3.395 26.541 3.291 26.513 /<br />
\plot 3.291 26.513 3.192 26.484 /<br />
\plot 3.192 26.484 3.090 26.454 /<br />
\plot 3.090 26.454 2.993 26.424 /<br />
\plot 2.993 26.424 2.900 26.395 /<br />
\plot 2.900 26.395 2.811 26.365 /<br />
\plot 2.811 26.365 2.728 26.338 /<br />
\plot 2.728 26.338 2.652 26.312 /<br />
\plot 2.652 26.312 2.587 26.289 /<br />
\plot 2.587 26.289 2.527 26.268 /<br />
\plot 2.527 26.268 2.479 26.251 /<br />
\plot 2.479 26.251 2.438 26.236 /<br />
\plot 2.438 26.236 2.409 26.226 /<br />
\plot 2.409 26.226 2.388 26.217 /<br />
\plot 2.388 26.217 2.373 26.213 /<br />
\plot 2.373 26.213 2.366 26.211 /<br />
\plot 2.366 26.211 2.362 26.209 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 4.801 22.856 to 4.801 22.854<br />
\plot 4.801 22.854 4.798 22.847 /<br />
\plot 4.798 22.847 4.794 22.837 /<br />
\plot 4.794 22.837 4.788 22.822 /<br />
\plot 4.788 22.822 4.779 22.801 /<br />
\plot 4.779 22.801 4.767 22.771 /<br />
\plot 4.767 22.771 4.752 22.737 /<br />
\plot 4.752 22.737 4.735 22.695 /<br />
\plot 4.735 22.695 4.714 22.648 /<br />
\plot 4.714 22.648 4.691 22.598 /<br />
\plot 4.691 22.598 4.665 22.540 /<br />
\plot 4.665 22.540 4.635 22.483 /<br />
\plot 4.635 22.483 4.606 22.422 /<br />
\plot 4.606 22.422 4.572 22.358 /<br />
\plot 4.572 22.358 4.534 22.295 /<br />
\plot 4.534 22.295 4.494 22.229 /<br />
\plot 4.494 22.229 4.451 22.164 /<br />
\plot 4.451 22.164 4.405 22.098 /<br />
\plot 4.405 22.098 4.354 22.030 /<br />
\plot 4.354 22.030 4.299 21.963 /<br />
\plot 4.299 21.963 4.238 21.895 /<br />
\plot 4.238 21.895 4.172 21.827 /<br />
\plot 4.172 21.827 4.098 21.757 /<br />
\plot 4.098 21.757 4.017 21.687 /<br />
\plot 4.017 21.687 3.931 21.618 /<br />
\plot 3.931 21.618 3.835 21.550 /<br />
\plot 3.835 21.550 3.734 21.484 /<br />
\plot 3.734 21.484 3.630 21.423 /<br />
\plot 3.630 21.423 3.526 21.370 /<br />
\plot 3.526 21.370 3.427 21.321 /<br />
\plot 3.427 21.321 3.334 21.277 /<br />
\plot 3.334 21.277 3.251 21.241 /<br />
\plot 3.251 21.241 3.175 21.211 /<br />
\plot 3.175 21.211 3.109 21.184 /<br />
\plot 3.109 21.184 3.052 21.162 /<br />
\plot 3.052 21.162 3.004 21.143 /<br />
\plot 3.004 21.143 2.961 21.129 /<br />
\plot 2.961 21.129 2.925 21.118 /<br />
\plot 2.925 21.118 2.893 21.107 /<br />
\plot 2.893 21.107 2.864 21.099 /<br />
\plot 2.864 21.099 2.836 21.090 /<br />
\plot 2.836 21.090 2.807 21.084 /<br />
\plot 2.807 21.084 2.777 21.078 /<br />
\plot 2.777 21.078 2.745 21.071 /<br />
\plot 2.745 21.071 2.707 21.067 /<br />
\plot 2.707 21.067 2.665 21.063 /<br />
\plot 2.665 21.063 2.616 21.057 /<br />
\plot 2.616 21.057 2.557 21.054 /<br />
\plot 2.557 21.054 2.489 21.050 /<br />
\plot 2.489 21.050 2.413 21.048 /<br />
\putrule from 2.413 21.048 to 2.326 21.048<br />
\plot 2.326 21.048 2.231 21.052 /<br />
\plot 2.231 21.052 2.127 21.059 /<br />
\plot 2.127 21.059 2.019 21.069 /<br />
\plot 2.019 21.069 1.909 21.086 /<br />
\plot 1.909 21.086 1.801 21.110 /<br />
\plot 1.801 21.110 1.700 21.137 /<br />
\plot 1.700 21.137 1.607 21.167 /<br />
\plot 1.607 21.167 1.524 21.196 /<br />
\plot 1.524 21.196 1.450 21.226 /<br />
\plot 1.450 21.226 1.384 21.253 /<br />
\plot 1.384 21.253 1.329 21.279 /<br />
\plot 1.329 21.279 1.283 21.302 /<br />
\plot 1.283 21.302 1.242 21.323 /<br />
\plot 1.242 21.323 1.211 21.340 /<br />
\plot 1.211 21.340 1.181 21.357 /<br />
\plot 1.181 21.357 1.158 21.372 /<br />
\plot 1.158 21.372 1.137 21.387 /<br />
\plot 1.137 21.387 1.118 21.402 /<br />
\plot 1.118 21.402 1.099 21.419 /<br />
\plot 1.099 21.419 1.079 21.435 /<br />
\plot 1.079 21.435 1.060 21.455 /<br />
\plot 1.060 21.455 1.039 21.476 /<br />
\plot 1.039 21.476 1.014 21.503 /<br />
\plot 1.014 21.503 0.986 21.535 /<br />
\plot 0.986 21.535 0.955 21.573 /<br />
\plot 0.955 21.573 0.921 21.618 /<br />
\plot 0.921 21.618 0.883 21.670 /<br />
\plot 0.883 21.670 0.840 21.732 /<br />
\plot 0.840 21.732 0.798 21.802 /<br />
\plot 0.798 21.802 0.754 21.878 /<br />
\plot 0.754 21.878 0.711 21.963 /<br />
\plot 0.711 21.963 0.673 22.051 /<br />
\plot 0.673 22.051 0.641 22.145 /<br />
\plot 0.641 22.145 0.618 22.236 /<br />
\plot 0.618 22.236 0.599 22.324 /<br />
\plot 0.599 22.324 0.586 22.407 /<br />
\plot 0.586 22.407 0.578 22.481 /<br />
\plot 0.578 22.481 0.572 22.549 /<br />
\plot 0.572 22.549 0.567 22.610 /<br />
\putrule from 0.567 22.610 to 0.567 22.663<br />
\putrule from 0.567 22.663 to 0.567 22.708<br />
\putrule from 0.567 22.708 to 0.567 22.748<br />
\plot 0.567 22.748 0.569 22.784 /<br />
\plot 0.569 22.784 0.574 22.816 /<br />
\plot 0.574 22.816 0.578 22.845 /<br />
\plot 0.578 22.845 0.582 22.873 /<br />
\plot 0.582 22.873 0.588 22.900 /<br />
\plot 0.588 22.900 0.595 22.930 /<br />
\plot 0.595 22.930 0.603 22.962 /<br />
\plot 0.603 22.962 0.614 22.995 /<br />
\plot 0.614 22.995 0.627 23.034 /<br />
\plot 0.627 23.034 0.643 23.078 /<br />
\plot 0.643 23.078 0.663 23.129 /<br />
\plot 0.663 23.129 0.684 23.188 /<br />
\plot 0.684 23.188 0.711 23.252 /<br />
\plot 0.711 23.252 0.745 23.324 /<br />
\plot 0.745 23.324 0.783 23.402 /<br />
\plot 0.783 23.402 0.828 23.484 /<br />
\plot 0.828 23.484 0.878 23.569 /<br />
\plot 0.878 23.569 0.936 23.654 /<br />
\plot 0.936 23.654 1.003 23.741 /<br />
\plot 1.003 23.741 1.075 23.821 /<br />
\plot 1.075 23.821 1.149 23.891 /<br />
\plot 1.149 23.891 1.226 23.956 /<br />
\plot 1.226 23.956 1.302 24.011 /<br />
\plot 1.302 24.011 1.376 24.062 /<br />
\plot 1.376 24.062 1.452 24.107 /<br />
\plot 1.452 24.107 1.528 24.145 /<br />
\plot 1.528 24.145 1.602 24.179 /<br />
\plot 1.602 24.179 1.676 24.208 /<br />
\plot 1.676 24.208 1.750 24.236 /<br />
\plot 1.750 24.236 1.825 24.259 /<br />
\plot 1.825 24.259 1.897 24.280 /<br />
\plot 1.897 24.280 1.966 24.299 /<br />
\plot 1.966 24.299 2.034 24.316 /<br />
\plot 2.034 24.316 2.098 24.331 /<br />
\plot 2.098 24.331 2.155 24.342 /<br />
\plot 2.155 24.342 2.208 24.352 /<br />
\plot 2.208 24.352 2.252 24.361 /<br />
\plot 2.252 24.361 2.288 24.367 /<br />
\plot 2.288 24.367 2.318 24.373 /<br />
\plot 2.318 24.373 2.339 24.376 /<br />
\plot 2.339 24.376 2.352 24.378 /<br />
\plot 2.352 24.378 2.358 24.380 /<br />
\putrule from 2.358 24.380 to 2.362 24.380<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.191 24.685 4.801 22.856 /<br />
\plot 4.801 22.856 2.362 22.246 /<br />
\putrule from 2.362 22.246 to 2.362 24.380<br />
\plot 2.362 24.380 4.801 22.856 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.362 24.380 4.191 24.685 /<br />
\plot 4.191 24.685 2.362 26.209 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.533 25.294 2.362 26.209 /<br />
\putrule from 2.362 26.209 to 2.362 24.380<br />
\plot 2.362 24.380 0.533 25.294 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 1.105 25.180<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 2.743 25.980<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 4.191 22.399<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.364 26.702 and 4.970 21.002<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:eulerovska_cesta}Tvorba cyklu v eulerovském grafu}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Existují také tzv. náhodně eulerovské grafy, které mají jeden vrchol<br />
s tou vlastností, že při náhodném průchodu grafu a barvení cest za<br />
sebou lze vždy pokračovat po neobarvených hranách až na případ, kdy<br />
se nacházíme ve startovním vrcholu a všechny hrany už jsou obarvené.<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Uvažujme jednotažky takové, že je možné je namalovat jedním tahem<br />
a přitom začít a skončit v obecně různých vrcholech. Tyto jednotažky<br />
jsou právě takové souvislé grafy, které splňují jednu z následujících<br />
dvou podmínek (viz obrázek \ref{cap:jednotazka}):%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: jednotazka.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:45:28 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\ellipticalarc axes ratio 0.091:0.091 360 degrees <br />
from 1.750 22.498 center at 1.659 22.498<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 2.028 26.558<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 1.289 23.973<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 2.766 23.973<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 2.766 25.451<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.182}}} at 1.289 25.451<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.766 23.973 1.659 22.498 /<br />
\setsolid<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.842 22.996 1.659 22.498 2.086 22.813 /<br />
%<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.659 22.498 1.289 23.973 /<br />
\setsolid<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.561 23.518 1.289 23.973 1.265 23.444 /<br />
%<br />
\setdashes < 0.2032cm><br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.289 25.451 2.766 23.973 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.300 24.225 2.766 23.973 2.515 24.440 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.289 23.973 to 1.289 25.451<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.441 24.943 1.289 25.451 1.137 24.943 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.766 25.451 1.289 23.973 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.540 24.440 1.289 23.973 1.756 24.225 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.289 25.451 to 2.766 25.451<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.258 25.298 2.766 25.451 2.258 25.603 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.028 26.558 1.289 25.451 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 1.444 25.958 1.289 25.451 1.698 25.789 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.766 25.451 2.028 26.558 /<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.437 26.220 2.028 26.558 2.183 26.051 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 2.766 23.973 to 2.766 25.451<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.919 24.943 2.766 25.451 2.614 24.943 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 1.289 23.973 to 2.766 23.973<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 2.258 23.821 2.766 23.973 2.258 24.126 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{11}{13.2}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c\'{i}l}%<br />
} [lB] at 3.135 23.882<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{11}{13.2}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}start}%<br />
} [lB] at 0.129 23.882<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.097 26.666 and 3.167 22.390<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:jednotazka}Jednotažka se startovním a cílovým vrcholem}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Všechny vrcholy mají sudý stupeň.<br />
\item Právě dva vrcholy mají lichý stupeň.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{rem*}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_5&diff=4511
01ZTGA:Kapitola1 5
2012-01-15T11:51:53Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Hledání minimální kostry grafu}<br />
<br />
Nechť je dán souvislý graf $G=(V,E)$ a zobrazení $c:E\mapsto(0,+\infty)$,<br />
které přiřazuje hranám jejich \emph{cenu}. Úkolem je najít takovou<br />
podmnožinu $\tilde{E}\subset E$, že graf $\tilde{G}=(V,\tilde{E}$)<br />
je souvislý a přitom cena \[<br />
c\tilde{(E)}:=\sum_{e\in\tilde{E}}c(e)\]<br />
je minimální. Této úloze říkáme úloha na nalezení minimální kostry<br />
grafu.<br />
<br />
\begin{obs*}<br />
$\tilde{G}$ bude strom.<br />
\end{obs*}<br />
\begin{proof}<br />
Pokud $\tilde{G}$ není strom, pak v $\tilde{G}$ je kružnice. Je<br />
tedy možné ubrat hranu, aniž se poruší souvislost grafu, a cena $c(\tilde{E})$<br />
se přitom sníží.<br />
\end{proof}<br />
Pro hledání minimální kostry v grafu je možno použít následující algoritmus,<br />
který je příkladem tzv. hladového (greedy) algoritmu.<br />
<br />
\begin{algorithm}<br />
\textbf{\emph{(Kruskalův algoritmus konstrukce minimální kostry)}}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Uspořádej hrany z $E$ podle jejich ceny od nejlevnější k nejdražší.<br />
Buď $T$ množina hran, inicializovaná na $T:=\emptyset$.<br />
\item Obsahuje-li $T$ hrany $f_{1},...,f_{i}$, vyber nejlevnější hranu<br />
$f_{i+1}$ takovou, že graf $G_{i+1}=(V,T\cup\{ f_{i+1}\})$ neobsahuje<br />
kružnici, a zařaď ji do $T$. Tento krok opakuj, dokud to jde.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{algorithm}<br />
Je zřejmé, že v okamžiku ukončení bude $\tilde{G}=(V,T)$ souvislý<br />
a bude to tedy strom. Druhý krok algoritmu se bude opakovat právě<br />
$(n-1)$-krát.<br />
<br />
\begin{thm}<br />
Kruskalův algoritmus konstruuje strom s minimální cenou.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Označme $T_{Kr}$ množinu $n-1$ hran dodaných Kruskalovým algoritmem.<br />
Definujme množinu\[<br />
\mathcal{T}=\left\{ \left.T\subset E\right|\textrm{graf }(V,T)\textrm{ je souvislý a }c(T)\textrm{ je minimální }\right\} ,\]<br />
tj. jako množinu všech vhodných výběrů $n-1$ hran, na nichž se nabývá<br />
minima ceny. Důkaz provedeme sporem: předpokládejme tedy, že $T_{Kr}\notin\mathcal{T}$.<br />
Potom lze korektně definovat zobrazení $g:\mathcal{T}\mapsto\{1,2,...,n-1\}$<br />
vztahem\[<br />
g(T)=\min\left\{ \left.i\right|f_{i}\notin T_{Kr}\right\} .\]<br />
Nechť $\tilde{T}\in\mathcal{T}$ je taková množina hran, že $k:=g(\tilde{T})=\max_{T\in\mathcal{T}}g(T)$.<br />
Přidáme-li hranu $f_{k}$ do $\tilde{T}$, vznikne množina $n$ hran,<br />
a tedy graf $(V,\tilde{T})$ obsahuje kružnici. V ní musí ležet nějaká<br />
hrana $e\notin T_{Kr}$, protože jinak by graf $(V,T_{Kr})$ nemohl<br />
být strom. Sestrojme novou množinu vrcholů\[<br />
\tilde{\tilde{T}}=\tilde{T}\cup\{ f_{k}\}\backslash\{ e\},\]<br />
tj. vyjměme hranu $e$ ze zmiňované kružnice. Potom graf $(V,\tilde{\tilde{T}})$<br />
zůstává souvislý, navíc $\#\tilde{\tilde{T}}=n-1$, a je to tedy strom.<br />
Pro cenu platí\[<br />
c(\tilde{\tilde{T}})=c(\tilde{T})+c(f_{k})-c(e).\]<br />
Abychom zjistili, jak vysoká je cena $\tilde{\tilde{T}}$ v porovnání<br />
s cenou $\tilde{T}$, uvažujme takto: V $k$-tém kroku se Kruskalův<br />
algoritmus rozhodl pro hranu $f_{k}$ a nikoli pro hranu $e$, přičemž<br />
se pro $e$ rozhodnout mohl, protože hrany$\{ f_{1},...,f_{k-1},e\}\subset\tilde{T}$<br />
a tyto hrany tedy netvoří kružnici. Důvodem, proč se algoritmus rozhodl<br />
pro $f_{k}$, musí tedy být $c(f_{k})\leq c(e)$. Z toho plyne, že<br />
také\[<br />
c(\tilde{\tilde{T}})\leq c(\tilde{T}),\]<br />
ale protože už $c(\tilde{T})$ byla minimální, musí zde platit rovnost.<br />
Každopádně $\tilde{\tilde{T}}\in\mathcal{T}$. Ovšem $\tilde{\tilde{T}}$<br />
obsahuje i hranu $f_{k}$, takže $g(\tilde{\tilde{T}})>k$, což je<br />
spor s volbou $k$.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_4&diff=4510
01ZTGA:Kapitola1 4
2012-01-15T11:51:20Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Stromy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Graf, který neobsahuje kružnice, nazýváme \textbf{les} (angl. \emph{forest}).<br />
Souvislý les nazýváme \textbf{strom} (angl. \emph{tree}).<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Každý les je bipartitní graf.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{obs}<br />
Graf $G=(V,E)$ je strom právě tehdy, když pro každé $u,v\in V,u\neq v$<br />
existuje právě jedna cesta z $u$ do $v$.<br />
\end{obs}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
$G$ je strom $\Rightarrow$ $G$ je souvislý $\Rightarrow$ pro každé<br />
dva různé vrcholy $u,v$ existuje cesta z $u$ do $v$. Dále postupujme<br />
sporem: nechť existují $2$ různé cesty z $u$ do $v$. Potom najdeme<br />
první vrchol ve směru od $u$, kde se obě cesty rozdělí, a dále najdeme<br />
první vrchol, kde se opět spojí. Úseky obou cest mezi nalezenými vrcholy<br />
tvoří zřejmě kružnici, což je spor.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Mezi každými dvěma vrcholy vede právě $1$ cesta $\Rightarrow$ $G$<br />
je souvislý. Nyní opět sporem: nechť v $G$ existuje kružnice. Vezmeme-li<br />
libovolné dva vrcholy z této kružnice, je zřejmé, že mezi nimi existují<br />
dvě různé cesty.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je souvislý, $n=\# V$. Potom $G$ je strom, právě<br />
když $\# E=n-1$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Při důkazech obou směrů ekvivalence postupujme indukcí podle $n$:<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Nechť $G$ je strom.<br />
<br />
Pro $n=1$ máme zřejmě $E=\emptyset$, takže $\# E=0=1-1$.<br />
<br />
Indukční krok: Nechť $G$ je strom na $n$ vrcholech, $e=\{ u,v\}\in E$<br />
jeho libovolná hrana. Sestrojíme graf $\tilde{G}=(V,E\backslash e)$.<br />
Potom $\tilde{G}$ je les, neboť určitě není souvislý: mezi každými<br />
dvěma vrcholy existovala totiž jediná cesta, tudíž i mezi $u$ a $v$<br />
existovala cesta jen po hraně $e$. Počet komponent grafu $\tilde{G}$<br />
je $2$, kdyby to bylo více, nemohli bychom vrácením jedné hrany $e$<br />
získat souvislý graf. Tyto komponenty jsou tedy stromy, nechť mají<br />
počty vrcholů $k$ a $n-k$. Potom mají počty hran $k-1$ a $n-k-1$<br />
, a po přidání hrany $e$ do $\tilde{G}$ získáme zpět graf $G$,<br />
jenž má počet hran $(k-1)+(n-k-1)+1=n-1$.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nechť $\# E=n-1$. Platí $\sum_{i\in V}d(i)=2\# E=2(n-1)$, a $G$<br />
je souvislý, tudíž $d(i)\geq1$ pro každý $i\in V$. Proto existuje<br />
vrchol $i$ takový, že $d(i)=1$. Sestrojíme graf $\tilde{G}=(V\backslash i,E\backslash\{ i,x\})$,<br />
kde $x$ je vrchol, do nějž vede jediná hrana z $i$. Potom je $\tilde{G}$<br />
stále souvislý (žádná cesta mezi dvěma vrcholy $u,v$ ($u\neq i,v\neq i)$<br />
samozřejmě nevedla přes $i$), a tudíž z indukčního předpokladu je<br />
to strom, jenž má $n-1$ vrcholů a $n-2$ hran. Přidáme-li zpětně<br />
vrchol $i$ a hranu $\{ i,x\}$ do $\tilde{G}$, kružnici nevytvoříme,<br />
a tedy vznikne strom na $n$ vrcholech s $n-1$ hranami.<br />
\end{proof}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:pocet_stromu}Nechť $n\geq2$. Potom existuje $n^{n-2}$<br />
stromů na $n$ vrcholech.<br />
\end{thm}<br />
Než tuto větu dokážeme, vyslovíme a dokážeme následující lemma:<br />
<br />
\begin{lem}<br />
Nechť $(d_{1},...,d_{n})$ jsou přirozená čísla taková, že $\sum d_{i}=2(n-1)$.<br />
Potom existuje \[<br />
N_{(d_{1},...,d_{n})}=\frac{(n-2)!}{(d_{1}-1)!(d_{2}-1)!\cdots(d_{n}-1)!}\]<br />
stromů na $n$ vrcholech $\{1,...,n\}$ takových, že $\forall i\in\hat{n}$<br />
je $d(i)=d_{i}$.<br />
\end{lem}<br />
\begin{proof}<br />
Podmínka $\sum d_{i}=2(n-1)$ je nutná pro to, aby $(d_{1},...,d_{n})$<br />
bylo skóre. Dále důkaz vedeme indukcí podle $n$:<br />
<br />
Pro $n=2$ je $d_{1}=d_{2}=1$ a vztah platí zřejmě.<br />
<br />
Indukční krok $n-1\to n$: Ze stejného důvodu jako v minulém důkazu<br />
existuje $k$ tak, že $d_{k}=1$. Bez újmy na obecnosti (,,BÚNO{}``)<br />
předpokládejme, že $d_{n}=1$ a mějme tedy graf se skóre $(d_{1},...,d_{n-1},1)$.<br />
Ubereme-li nyní $n$-tý vrchol, z něhož jediná hrana vedla do vrcholu<br />
$i$ (kde nutně $d_{i}\geq2$), získáme graf na $n-1$ vrcholech se<br />
skóre $(d_{1},...,d_{i}-1,...,d_{n-1})$. Ke každému stromu na $n$<br />
vrcholech se skóre $(d_{1},...,d_{n-1},1)$ tedy existuje $i\geq2$<br />
tak, že se tento strom skládá ze stromu na $n-1$ vrcholech se skóre<br />
$(d_{1},...,d_{i}-1,...,d_{n-1})$, z vrcholu $n$ a z hrany $\{ i,n\}$.<br />
Počet stromů na $n-1$ vcholech s uvedeným skóre ale umíme spočítat<br />
dle indukčního předpokladu. Proto platí:\[<br />
N_{(d_{1},...,d_{n})}=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle i=1}\\<br />
{\scriptstyle d_{i}\geq2}\end{matrix}}^{n-1}N_{(d_{1},...,d_{i}-1,...,d_{n-1})}=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle i=1}\\<br />
{\scriptstyle d_{i}\geq2}\end{matrix}}^{n-1}\frac{(n-3)!}{(d_{1}-1)!\cdots(d_{i}-2)!\cdots(d_{n}-1)!}=\]<br />
...rozšíříme $(d_{i}-1)$ a díky tomu můžeme sčítat již přes všechna<br />
$i$...\[<br />
=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(d_{i}-1)(n-3)!}{(d_{1}-1)!\cdots(d_{i}-1)!\cdots(d_{n}-1)!}=\frac{(n-3)!\overbrace{\sum\limits _{i=1}^{n-1}(d_{i}-1)}^{\left(\left(\sum_{1}^{n}d_{i}\right)-1\right)-(n-1)=2(n-1)-1-(n-1)=n-2}}{\underbrace{0!}_{(d_{n}-1)!}\prod\limits _{k=1}^{n-1}(d_{k}-1)!}=\]<br />
\[<br />
=\frac{(n-2)!}{\prod\limits _{k=1}^{n}(d_{k}-1)!}\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
Nyní můžeme provést důkaz věty \ref{thm:pocet_stromu}:<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Označme si \[<br />
\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\alpha_{i}=d_{i}-1\right).\]<br />
Počet stromů na $n$ vrcholech je roven\[<br />
N=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}\geq1\right)}\\<br />
{\scriptstyle \sum d_{i}=2(n-1)}\end{matrix}}N_{(d_{1},...,d_{n})}=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}\geq1\right)}\\<br />
{\scriptstyle \sum d_{i}=2(n-1)}\end{matrix}}\frac{(n-2)!}{\prod\limits _{k=1}^{n}(d_{k}-1)!}=\]<br />
\[<br />
=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\alpha_{i}\geq0\right)}\\<br />
{\scriptstyle \sum\alpha_{i}=n-2}\end{matrix}}\frac{(n-2)!}{\prod\limits _{k=1}^{n}\alpha_{k}!}=n^{n-2}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Poslední rovnost je aplikací zobecněné binomické věty, tzv. ,,$k$-nomické<br />
věty{}``, kterou lze celkem snadno dokázat indukcí použitím ,,standardní{}``<br />
binomické věty. Jedná se o vztah\[<br />
\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \left(\forall i\in\hat{k}\right)\left(\alpha_{i}\geq0\right)}\\<br />
{\scriptstyle \sum\alpha_{i}=n}\end{matrix}}\frac{n!}{\prod\limits _{j=1}^{n}\alpha_{j}!}x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\cdots x_{k}^{\alpha_{k}}=\sum_{\begin{matrix}{\scriptstyle \left(\forall i\in\hat{k}\right)\left(\alpha_{i}\geq0\right)}\\<br />
{\scriptstyle \sum\alpha_{i}=n}\end{matrix}}\binom{n}{\alpha_{1}}\binom{n-\alpha_{1}}{\alpha_{1}}\cdots\binom{n-\sum_{1}^{k-1}\alpha_{j}}{\alpha_{1}}x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\cdots x_{k}^{\alpha_{k}}=\]<br />
\[<br />
=(x_{1}+x_{2}+...+x_{k})^{n}.\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Molekuly acyklických uhlovodíků si lze představit jako stromy, kde<br />
vrcholy představují atomy uhlíku (C) a vodíku (H). Hrany pak představují<br />
vazby mezi nimi. Jak známo, uhlík je čtyřvazný a vodík je jednovazný.<br />
Naskýtá se otázka, jak na základě této znalosti vyjádřit sumární vzorec<br />
uhlovodíků ve tvaru\[<br />
\mathrm{C}_{a}\mathrm{H}_{b}.\]<br />
Využijeme vztahu \[<br />
\sum d_{i}=2\# E=2(n-1)\]<br />
který je pro náš případ možno přepsat do podoby\[<br />
4a+1b=2(a+b-1).\]<br />
Z toho dostaneme, že $b=2a+2$, takže sumární vzorce acyklických uhlovodíků<br />
mají tvar\[<br />
\mathrm{C}_{n}\mathrm{H}_{2n+2}.\]<br />
<br />
\end{example*}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_3&diff=4509
01ZTGA:Kapitola1 3
2012-01-15T11:50:38Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Bipartitní grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Řekneme, že graf $G=(V,E)$ je \textbf{bipartitní} (angl. \emph{bipartite}),<br />
existuje-li rozklad množiny $V$ na dvě disjunktní neprázdné množiny<br />
$V_{1},V_{2}$ takový, že $E\cap\binom{V_{1}}{2}=\emptyset$, $E\cap\binom{V_{2}}{2}=\emptyset$,<br />
tj. takový, že mezi žádnými dvěma vrcholy z $V_{1}$ ani mezi žádnými<br />
dvěma vrcholy z $V_{2}$ nevede hrana.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Jestliže je $G$ bipartitní, lze očíslovat vrcholy tak, že prvních<br />
$k$ vrcholů leží ve $V_{1}$ a zbylých $n-k$ vrcholů ve $V_{2}$.<br />
Adjacenční matice má potom tvar\[<br />
\vec{A}_{G}=\left(\begin{array}{cc}<br />
\vec{0} & \vec{B}\\<br />
\vec{B}^{\T} & \vec{0}\end{array}\right).\]<br />
Naopak: $G$ je bipartitní, existuje-li permutace vrcholů (a tedy<br />
zároveň řádků i sloupců matice $\vec{A}_{G}$) taková, že $\vec{A}_{G}$<br />
má uvedený tvar.<br />
\end{rem}<br />
\begin{defn}<br />
Bipartitní graf $G=(V_{1}\cup V_{2},E)$ se nazývá \textbf{úplný},<br />
jestliže $\left(\forall u\in V_{1}\right)\left(\forall v\in V_{2}\right)\left(\{ u,v\}\in E\right)$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{thm}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf, $\# V\geq2$. Potom $G$ je bipartitní právě<br />
tehdy, když neobsahuje kružnici liché délky.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Libovolná kružnice prochází střídavě vrcholy z $V_{1}$ a $V_{2}$.<br />
Zvolíme-li nějaký vrchol za počáteční a půjdeme po kružnici, nakonec<br />
se do tohoto vrcholu vrátíme. Jdeme tedy několikrát z $V_{1}$ do<br />
$V_{2}$ a zpět, takže kružnice nemůže mít lichou délku.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nejprve předpokládejme, že $G$ je souvislý. Nechť tedy v $G$ neexistuje<br />
kružnice liché délky. Zvolme libovolně $u\in V$ a definujme nejkrat\v{s}í cesta z u do v má sudou délku<br />
\[<br />
V_{1}=\left\{ \left.v\in V\right|\textrm{ nejkrat\v{s}í cesta z }u\textrm{ do }v\textrm{ má sudou délku}\right\} ,\]<br />
\[<br />
V_{2}=V\backslash V_{1}.\]<br />
Protože $G$ je souvislý, tak vrcholy z $V_{2}$ mají nejkratší cestu<br />
do $u$ liché délky.<br />
<br />
Platí zřejmě $u\in V_{1},V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ a navíc z $u$<br />
určitě vede nějaká hrana, třeba do vrcholu $z$, což znamená, že $z\in V_{2}$<br />
(nejkratší cesta z $u$ do $z$ je po jediné hraně, tj. má délku $1$,<br />
a to je liché číslo). $V_{1}$i $V_{2}$ jsou tedy neprázdné. Ukážeme<br />
sporem, že ve $V_{1}$ nevede hrana:<br />
<br />
Nechť $\left(\exists x,y\in V_{1}\right)\left(\{ x,y\}\in E\right)$.<br />
Buď $P_{x}$ nejkratší cesta z $u$ do $x$, podobně $P_{y}$ nejkratší<br />
cesta z $u$ do $y$. $P_{x}$ i $P_{y}$ jsou sudé délky. Označmě<br />
$z$ nejbližší bod od bodů $x,y$ na cestách $P_{x}$ a $P_{y}$,<br />
který je pro obě cesty stejný (v krajním případě může být tímto bodem<br />
i $u$), viz obrázek \ref{cap:bipart_dukaz}. Potom úsek cesty $P_{x}$<br />
mezi $z$ a $u$ je stejně dlouhý jako tentýž úsek po cestě $P_{y}$.<br />
Kdyby tomu tak nebylo, mohli bychom ten kratší z nich (nechť je to<br />
třeba úsek $P_{x}$) použít pro vytvoření kratší cesty z $y$ do $u$,<br />
což je spor s volbou $P_{y}$ jako nejkratší cesty.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: bipart_dukaz.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 22:14:16 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.339}}} at 1.090 25.991<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.339}}} at 1.090 23.271<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.339}}} at 4.489 24.630<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.339}}} at 6.530 24.630<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.090 25.991 1.092 25.984 /<br />
\plot 1.092 25.984 1.099 25.974 /<br />
\plot 1.099 25.974 1.107 25.950 /<br />
\plot 1.107 25.950 1.124 25.916 /<br />
\plot 1.124 25.916 1.145 25.868 /<br />
\plot 1.145 25.868 1.175 25.802 /<br />
\plot 1.175 25.802 1.211 25.724 /<br />
\plot 1.211 25.724 1.251 25.633 /<br />
\plot 1.251 25.633 1.300 25.527 /<br />
\plot 1.300 25.527 1.353 25.411 /<br />
\plot 1.353 25.411 1.410 25.288 /<br />
\plot 1.410 25.288 1.469 25.159 /<br />
\plot 1.469 25.159 1.530 25.025 /<br />
\plot 1.530 25.025 1.594 24.894 /<br />
\plot 1.594 24.894 1.657 24.763 /<br />
\plot 1.657 24.763 1.719 24.634 /<br />
\plot 1.719 24.634 1.778 24.511 /<br />
\plot 1.778 24.511 1.835 24.397 /<br />
\plot 1.835 24.397 1.890 24.287 /<br />
\plot 1.890 24.287 1.943 24.185 /<br />
\plot 1.943 24.185 1.992 24.092 /<br />
\plot 1.992 24.092 2.038 24.007 /<br />
\plot 2.038 24.007 2.083 23.931 /<br />
\plot 2.083 23.931 2.123 23.863 /<br />
\plot 2.123 23.863 2.161 23.802 /<br />
\plot 2.161 23.802 2.197 23.751 /<br />
\plot 2.197 23.751 2.231 23.705 /<br />
\plot 2.231 23.705 2.263 23.669 /<br />
\plot 2.263 23.669 2.292 23.637 /<br />
\plot 2.292 23.637 2.320 23.614 /<br />
\plot 2.320 23.614 2.345 23.597 /<br />
\plot 2.345 23.597 2.371 23.586 /<br />
\plot 2.371 23.586 2.394 23.582 /<br />
\plot 2.394 23.582 2.424 23.584 /<br />
\plot 2.424 23.584 2.451 23.592 /<br />
\plot 2.451 23.592 2.477 23.611 /<br />
\plot 2.477 23.611 2.502 23.639 /<br />
\plot 2.502 23.639 2.525 23.673 /<br />
\plot 2.525 23.673 2.548 23.713 /<br />
\plot 2.548 23.713 2.572 23.762 /<br />
\plot 2.572 23.762 2.595 23.817 /<br />
\plot 2.595 23.817 2.616 23.876 /<br />
\plot 2.616 23.876 2.637 23.942 /<br />
\plot 2.637 23.942 2.656 24.009 /<br />
\plot 2.656 24.009 2.678 24.081 /<br />
\plot 2.678 24.081 2.697 24.155 /<br />
\plot 2.697 24.155 2.718 24.229 /<br />
\plot 2.718 24.229 2.737 24.306 /<br />
\plot 2.737 24.306 2.756 24.380 /<br />
\plot 2.756 24.380 2.775 24.452 /<br />
\plot 2.775 24.452 2.794 24.522 /<br />
\plot 2.794 24.522 2.813 24.589 /<br />
\plot 2.813 24.589 2.832 24.653 /<br />
\plot 2.832 24.653 2.851 24.710 /<br />
\plot 2.851 24.710 2.872 24.763 /<br />
\plot 2.872 24.763 2.893 24.809 /<br />
\plot 2.893 24.809 2.915 24.852 /<br />
\plot 2.915 24.852 2.936 24.886 /<br />
\plot 2.936 24.886 2.959 24.913 /<br />
\plot 2.959 24.913 2.989 24.936 /<br />
\plot 2.989 24.936 3.020 24.951 /<br />
\plot 3.020 24.951 3.054 24.955 /<br />
\plot 3.054 24.955 3.090 24.953 /<br />
\plot 3.090 24.953 3.128 24.941 /<br />
\plot 3.128 24.941 3.167 24.924 /<br />
\plot 3.167 24.924 3.209 24.898 /<br />
\plot 3.209 24.898 3.253 24.867 /<br />
\plot 3.253 24.867 3.298 24.829 /<br />
\plot 3.298 24.829 3.344 24.786 /<br />
\plot 3.344 24.786 3.393 24.742 /<br />
\plot 3.393 24.742 3.440 24.693 /<br />
\plot 3.440 24.693 3.488 24.642 /<br />
\plot 3.488 24.642 3.535 24.591 /<br />
\plot 3.535 24.591 3.581 24.541 /<br />
\plot 3.581 24.541 3.626 24.492 /<br />
\plot 3.626 24.492 3.670 24.443 /<br />
\plot 3.670 24.443 3.713 24.399 /<br />
\plot 3.713 24.399 3.753 24.359 /<br />
\plot 3.753 24.359 3.793 24.323 /<br />
\plot 3.793 24.323 3.829 24.289 /<br />
\plot 3.829 24.289 3.867 24.261 /<br />
\plot 3.867 24.261 3.901 24.240 /<br />
\plot 3.901 24.240 3.935 24.223 /<br />
\plot 3.935 24.223 3.967 24.213 /<br />
\plot 3.967 24.213 4.000 24.208 /<br />
\plot 4.000 24.208 4.032 24.210 /<br />
\plot 4.032 24.210 4.066 24.217 /<br />
\plot 4.066 24.217 4.100 24.232 /<br />
\plot 4.100 24.232 4.136 24.251 /<br />
\plot 4.136 24.251 4.172 24.276 /<br />
\plot 4.172 24.276 4.210 24.308 /<br />
\plot 4.210 24.308 4.248 24.342 /<br />
\plot 4.248 24.342 4.286 24.382 /<br />
\plot 4.286 24.382 4.324 24.424 /<br />
\plot 4.324 24.424 4.362 24.467 /<br />
\plot 4.362 24.467 4.396 24.507 /<br />
\plot 4.396 24.507 4.426 24.545 /<br />
\plot 4.426 24.545 4.449 24.575 /<br />
\plot 4.449 24.575 4.468 24.600 /<br />
\plot 4.468 24.600 4.479 24.617 /<br />
\plot 4.479 24.617 4.487 24.625 /<br />
\plot 4.487 24.625 4.489 24.630 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.489 24.630 4.494 24.634 /<br />
\plot 4.494 24.634 4.502 24.646 /<br />
\plot 4.502 24.646 4.517 24.666 /<br />
\plot 4.517 24.666 4.542 24.695 /<br />
\plot 4.542 24.695 4.572 24.733 /<br />
\plot 4.572 24.733 4.612 24.780 /<br />
\plot 4.612 24.780 4.655 24.831 /<br />
\plot 4.655 24.831 4.703 24.884 /<br />
\plot 4.703 24.884 4.752 24.936 /<br />
\plot 4.752 24.936 4.801 24.987 /<br />
\plot 4.801 24.987 4.849 25.032 /<br />
\plot 4.849 25.032 4.896 25.072 /<br />
\plot 4.896 25.072 4.942 25.106 /<br />
\plot 4.942 25.106 4.985 25.133 /<br />
\plot 4.985 25.133 5.027 25.154 /<br />
\plot 5.027 25.154 5.065 25.169 /<br />
\plot 5.065 25.169 5.103 25.176 /<br />
\putrule from 5.103 25.176 to 5.141 25.176<br />
\plot 5.141 25.176 5.179 25.169 /<br />
\plot 5.179 25.169 5.218 25.159 /<br />
\plot 5.218 25.159 5.256 25.140 /<br />
\plot 5.256 25.140 5.292 25.118 /<br />
\plot 5.292 25.118 5.330 25.091 /<br />
\plot 5.330 25.091 5.368 25.061 /<br />
\plot 5.368 25.061 5.406 25.025 /<br />
\plot 5.406 25.025 5.448 24.985 /<br />
\plot 5.448 24.985 5.489 24.943 /<br />
\plot 5.489 24.943 5.531 24.896 /<br />
\plot 5.531 24.896 5.575 24.848 /<br />
\plot 5.575 24.848 5.620 24.795 /<br />
\plot 5.620 24.795 5.664 24.742 /<br />
\plot 5.664 24.742 5.709 24.685 /<br />
\plot 5.709 24.685 5.753 24.630 /<br />
\plot 5.753 24.630 5.798 24.575 /<br />
\plot 5.798 24.575 5.842 24.517 /<br />
\plot 5.842 24.517 5.884 24.464 /<br />
\plot 5.884 24.464 5.925 24.412 /<br />
\plot 5.925 24.412 5.965 24.363 /<br />
\plot 5.965 24.363 6.003 24.316 /<br />
\plot 6.003 24.316 6.039 24.274 /<br />
\plot 6.039 24.274 6.073 24.234 /<br />
\plot 6.073 24.234 6.104 24.198 /<br />
\plot 6.104 24.198 6.136 24.168 /<br />
\plot 6.136 24.168 6.164 24.141 /<br />
\plot 6.164 24.141 6.191 24.119 /<br />
\plot 6.191 24.119 6.221 24.100 /<br />
\plot 6.221 24.100 6.248 24.088 /<br />
\plot 6.248 24.088 6.274 24.081 /<br />
\plot 6.274 24.081 6.299 24.086 /<br />
\plot 6.299 24.086 6.320 24.096 /<br />
\plot 6.320 24.096 6.344 24.115 /<br />
\plot 6.344 24.115 6.365 24.143 /<br />
\plot 6.365 24.143 6.386 24.179 /<br />
\plot 6.386 24.179 6.407 24.223 /<br />
\plot 6.407 24.223 6.426 24.272 /<br />
\plot 6.426 24.272 6.447 24.329 /<br />
\plot 6.447 24.329 6.464 24.386 /<br />
\plot 6.464 24.386 6.483 24.443 /<br />
\plot 6.483 24.443 6.498 24.498 /<br />
\plot 6.498 24.498 6.509 24.545 /<br />
\plot 6.509 24.545 6.519 24.583 /<br />
\plot 6.519 24.583 6.526 24.608 /<br />
\plot 6.526 24.608 6.528 24.623 /<br />
\plot 6.528 24.623 6.530 24.630 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setdots < 0.3048cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 4.489 24.630 4.494 24.623 /<br />
\plot 4.494 24.623 4.502 24.613 /<br />
\plot 4.502 24.613 4.519 24.591 /<br />
\plot 4.519 24.591 4.542 24.560 /<br />
\plot 4.542 24.560 4.574 24.519 /<br />
\plot 4.574 24.519 4.612 24.471 /<br />
\plot 4.612 24.471 4.657 24.416 /<br />
\plot 4.657 24.416 4.705 24.359 /<br />
\plot 4.705 24.359 4.756 24.299 /<br />
\plot 4.756 24.299 4.807 24.244 /<br />
\plot 4.807 24.244 4.856 24.191 /<br />
\plot 4.856 24.191 4.904 24.143 /<br />
\plot 4.904 24.143 4.951 24.098 /<br />
\plot 4.951 24.098 4.995 24.062 /<br />
\plot 4.995 24.062 5.038 24.031 /<br />
\plot 5.038 24.031 5.080 24.005 /<br />
\plot 5.080 24.005 5.120 23.984 /<br />
\plot 5.120 23.984 5.160 23.969 /<br />
\plot 5.160 23.969 5.201 23.956 /<br />
\plot 5.201 23.956 5.243 23.952 /<br />
\plot 5.243 23.952 5.283 23.950 /<br />
\plot 5.283 23.950 5.323 23.950 /<br />
\plot 5.323 23.950 5.364 23.956 /<br />
\plot 5.364 23.956 5.408 23.965 /<br />
\plot 5.408 23.965 5.453 23.978 /<br />
\plot 5.453 23.978 5.501 23.995 /<br />
\plot 5.501 23.995 5.552 24.016 /<br />
\plot 5.552 24.016 5.609 24.043 /<br />
\plot 5.609 24.043 5.668 24.073 /<br />
\plot 5.668 24.073 5.734 24.109 /<br />
\plot 5.734 24.109 5.804 24.149 /<br />
\plot 5.804 24.149 5.878 24.196 /<br />
\plot 5.878 24.196 5.956 24.244 /<br />
\plot 5.956 24.244 6.039 24.295 /<br />
\plot 6.039 24.295 6.119 24.348 /<br />
\plot 6.119 24.348 6.200 24.401 /<br />
\plot 6.200 24.401 6.276 24.454 /<br />
\plot 6.276 24.454 6.344 24.500 /<br />
\plot 6.344 24.500 6.403 24.541 /<br />
\plot 6.403 24.541 6.452 24.575 /<br />
\plot 6.452 24.575 6.488 24.600 /<br />
\plot 6.488 24.600 6.511 24.617 /<br />
\plot 6.511 24.617 6.524 24.625 /<br />
\plot 6.524 24.625 6.530 24.630 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.090 23.271 1.092 23.275 /<br />
\plot 1.092 23.275 1.096 23.288 /<br />
\plot 1.096 23.288 1.107 23.309 /<br />
\plot 1.107 23.309 1.122 23.343 /<br />
\plot 1.122 23.343 1.143 23.389 /<br />
\plot 1.143 23.389 1.168 23.448 /<br />
\plot 1.168 23.448 1.202 23.523 /<br />
\plot 1.202 23.523 1.240 23.609 /<br />
\plot 1.240 23.609 1.285 23.705 /<br />
\plot 1.285 23.705 1.334 23.810 /<br />
\plot 1.334 23.810 1.384 23.920 /<br />
\plot 1.384 23.920 1.439 24.035 /<br />
\plot 1.439 24.035 1.494 24.149 /<br />
\plot 1.494 24.149 1.549 24.263 /<br />
\plot 1.549 24.263 1.604 24.373 /<br />
\plot 1.604 24.373 1.657 24.479 /<br />
\plot 1.657 24.479 1.710 24.581 /<br />
\plot 1.710 24.581 1.759 24.674 /<br />
\plot 1.759 24.674 1.808 24.761 /<br />
\plot 1.808 24.761 1.854 24.839 /<br />
\plot 1.854 24.839 1.897 24.911 /<br />
\plot 1.897 24.911 1.939 24.977 /<br />
\plot 1.939 24.977 1.979 25.034 /<br />
\plot 1.979 25.034 2.017 25.083 /<br />
\plot 2.017 25.083 2.053 25.127 /<br />
\plot 2.053 25.127 2.087 25.163 /<br />
\plot 2.087 25.163 2.123 25.193 /<br />
\plot 2.123 25.193 2.155 25.216 /<br />
\plot 2.155 25.216 2.189 25.233 /<br />
\plot 2.189 25.233 2.220 25.245 /<br />
\plot 2.220 25.245 2.252 25.254 /<br />
\plot 2.252 25.254 2.294 25.256 /<br />
\plot 2.294 25.256 2.335 25.250 /<br />
\plot 2.335 25.250 2.379 25.237 /<br />
\plot 2.379 25.237 2.421 25.216 /<br />
\plot 2.421 25.216 2.464 25.188 /<br />
\plot 2.464 25.188 2.508 25.154 /<br />
\plot 2.508 25.154 2.553 25.116 /<br />
\plot 2.553 25.116 2.597 25.072 /<br />
\plot 2.597 25.072 2.642 25.021 /<br />
\plot 2.642 25.021 2.688 24.968 /<br />
\plot 2.688 24.968 2.733 24.911 /<br />
\plot 2.733 24.911 2.777 24.854 /<br />
\plot 2.777 24.854 2.822 24.793 /<br />
\plot 2.822 24.793 2.866 24.733 /<br />
\plot 2.866 24.733 2.908 24.674 /<br />
\plot 2.908 24.674 2.951 24.615 /<br />
\plot 2.951 24.615 2.993 24.560 /<br />
\plot 2.993 24.560 3.031 24.507 /<br />
\plot 3.031 24.507 3.069 24.458 /<br />
\plot 3.069 24.458 3.107 24.414 /<br />
\plot 3.107 24.414 3.143 24.376 /<br />
\plot 3.143 24.376 3.177 24.340 /<br />
\plot 3.177 24.340 3.211 24.312 /<br />
\plot 3.211 24.312 3.243 24.289 /<br />
\plot 3.243 24.289 3.279 24.272 /<br />
\plot 3.279 24.272 3.313 24.261 /<br />
\plot 3.313 24.261 3.349 24.257 /<br />
\plot 3.349 24.257 3.382 24.259 /<br />
\plot 3.382 24.259 3.418 24.268 /<br />
\plot 3.418 24.268 3.452 24.282 /<br />
\plot 3.452 24.282 3.488 24.301 /<br />
\plot 3.488 24.301 3.522 24.327 /<br />
\plot 3.522 24.327 3.558 24.354 /<br />
\plot 3.558 24.354 3.594 24.386 /<br />
\plot 3.594 24.386 3.628 24.422 /<br />
\plot 3.628 24.422 3.662 24.458 /<br />
\plot 3.662 24.458 3.696 24.498 /<br />
\plot 3.696 24.498 3.727 24.536 /<br />
\plot 3.727 24.536 3.759 24.577 /<br />
\plot 3.759 24.577 3.789 24.615 /<br />
\plot 3.789 24.615 3.818 24.653 /<br />
\plot 3.818 24.653 3.846 24.687 /<br />
\plot 3.846 24.687 3.873 24.721 /<br />
\plot 3.873 24.721 3.901 24.750 /<br />
\plot 3.901 24.750 3.926 24.776 /<br />
\plot 3.926 24.776 3.952 24.799 /<br />
\plot 3.952 24.799 3.981 24.822 /<br />
\plot 3.981 24.822 4.011 24.839 /<br />
\plot 4.011 24.839 4.041 24.850 /<br />
\plot 4.041 24.850 4.072 24.856 /<br />
\plot 4.072 24.856 4.106 24.854 /<br />
\plot 4.106 24.854 4.142 24.848 /<br />
\plot 4.142 24.848 4.178 24.835 /<br />
\plot 4.178 24.835 4.221 24.816 /<br />
\plot 4.221 24.816 4.263 24.793 /<br />
\plot 4.263 24.793 4.305 24.767 /<br />
\plot 4.305 24.767 4.350 24.737 /<br />
\plot 4.350 24.737 4.390 24.708 /<br />
\plot 4.390 24.708 4.426 24.680 /<br />
\plot 4.426 24.680 4.453 24.659 /<br />
\plot 4.453 24.659 4.473 24.644 /<br />
\plot 4.473 24.644 4.485 24.634 /<br />
\plot 4.485 24.634 4.489 24.630 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}x}%<br />
} [lB] at 0.239 25.819<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}y}%<br />
} [lB] at 0.239 23.099<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}z}%<br />
} [lB] at 4.489 25.309<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}u}%<br />
} [lB] at 7.211 24.460<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.207 26.416 and 7.243 22.900<br />
\endpicture}<br />
<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:bipart_dukaz}Cesty $P_{x}$ a $P_{y}$}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
Z toho ale plyne, že sled složený z úseků<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $x$ do $z$ po $P_{x}$,<br />
\item $z$ do $y$ po $P_{y}$,<br />
\item $y$ do $x$ po hraně $\{ x,y\}$<br />
\end{enumerate}<br />
je kružnice liché délky, což je spor. Je to proto, že cesta $x\to z\to u\to z\to y$<br />
je sudé délky, její úsek $z\to u\to z$, po kterém nejdeme, je však<br />
také sudé délky, a tak i cesta $x\to z\to y$ musí být sudé délky.<br />
Hrana $\{ x,y\}$ ji pak uzavírá na kružnici liché délky.<br />
<br />
Zcela stejně ukážeme, že ani mezi vrcholy z $V_{2}$ nevede hrana.<br />
<br />
Jestliže $G$ není souvislý, provedeme důkaz pro jeho komponenty $G^{(1)},...,G^{(m)}$<br />
a získáme tak množiny $V_{1}^{(1)},...,V_{1}^{(m)}$ a $V_{2}^{(1)},...,V_{2}^{(m)}$.<br />
Potom definujeme\begin{eqnarray*}<br />
V_{1} & = & \bigcup_{j=1}^{m}V_{1}^{(j)}\\<br />
V_{2} & = & \bigcup_{j=1}^{m}V_{2}^{(j)}.\end{eqnarray*}<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je souvislý. Potom zobrazení $d:V\times V\mapsto\N_{0}$<br />
definované jako $d(u,v)=$délka nejkatšího sledu z $u$ do $v$ je<br />
metrika na množině vrcholů $v$. Číslo $d(u,v)$ nazýváme \textbf{vzdáleností}<br />
vrcholů $u,v$ v grafu $G$.<br />
\end{rem*}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_2&diff=4508
01ZTGA:Kapitola1 2
2012-01-15T11:49:14Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Souvislost}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. Posloupnost vrcholů $v_{0},v_{1},...,v_{k}$<br />
nazýváme \textbf{sledem} (angl. \emph{walk}) délky $k$, jestliže<br />
platí\[<br />
\left(\forall i\in\hat{k}\right)\left(\{ v_{i-1},v_{i}\}\in E\right).\]<br />
Sled $v_{0},v_{1},...,v_{k}$ nazveme \textbf{cestou} (angl. \emph{path})<br />
délky $k$, pokud navíc \[<br />
\left(\forall i,j\in\{0,1,2...,k\}\right)\left(i\neq j\Rightarrow v_{i-1}\neq v_{i}\right).\]<br />
Sled $v_{0},v_{1},...,v_{k}$, pro který platí $v_{0}=v_{k}$, nazýváme<br />
\textbf{cyklem} (angl. \emph{closed path}) délky $k$. Cyklus $v_{0},v_{1},...,v_{k}$<br />
nazveme \textbf{kružnicí} (angl. \emph{cycle} (\textbf{!})) délky<br />
$k$, pokud \[<br />
\left(\forall i,j\in\{0,1,2...,k-1\}\right)\left(i\neq j\Rightarrow v_{i-1}\neq v_{i}\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf, $u,v\in V$. Řekneme, že vrcholy $u$ a $v$<br />
\textbf{jsou spojeny} (angl. \emph{linked}) v $G$, existuje-li sled<br />
v $G$ s počátečním vrcholem $u$ a koncovým vrcholem $v$, tj. sled\[<br />
u=v_{0},v_{1},...,v_{k-1},v_{k}=v.\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Relace ,,být spojen{}`` je ekvivalence na množině vrcholů $V$.<br />
Přitom každý vrchol je spojen sám se sebou sledem délky $0$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Třídy ekvivalence podle uvedené relace nazýváme \textbf{komponenty}<br />
(angl. \emph{component}) grafu $G$. Jejich počet značíme $c(G)$.<br />
Jestliže $c(G)=1$, říkáme, že graf $G$ je \textbf{souvislý} (angl.<br />
\emph{connected}).<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Graf $G$ je souvislý, právě když mezi dvěma libovolnými vrcholy existuje<br />
sled.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Z $8$ grafů na $3$ vrcholech jsou $4$ souvislé. Přitom pro $\# V=3$<br />
platí, že $G$ je souvislý, právě když $\bar{G}$ není souvislý.<br />
\end{example*}<br />
\begin{rem}<br />
Platí: $G$ není souvislý $\Rightarrow$ $\bar{G}$ je souvislý. Opačná<br />
implikace neplatí.<br />
\end{rem}<br />
\begin{proof}<br />
Množinu vrcholů grafu $G$ rozdělíme na jednu komponentu $V_{1}\subset V$<br />
a zbytek $V_{2}\subset V$. Potom mezi těmito dvěma podmnožinami neexistují<br />
žádné hrany. Naopak v doplňku grafu $G$ existují hrany mezi libovolným<br />
$u\in V_{1}$ a $v\in V_{2}$. Proto mezi libovolnými dvěma vrcholy<br />
existuje sled, a to maximálně délky $2$.<br />
<br />
Příkladem vyvracejícím platnost opačné implikace jsou grafy $H$ a<br />
$\bar{H}$ na obrázku \ref{cap:Samokomplement}.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{Počet souvislých grafů na $n$ vrcholech}<br />
<br />
Označme $s_{n}$ počet různých souvislých grafů na $n$ vrcholech.<br />
<br />
\begin{example*}<br />
Obrázek \ref{cap:Souvisle} ukazuje všechny typy souvislých grafů<br />
na $4$ vrcholech, přičemž čísla pod jednotlivými grafy udávají počet<br />
izomorfních grafů stejného typu. I když to není pro výklad důležité,<br />
ukážeme pro úplnost, jakým způsobem lze na uvedená čísla přijít (grafy<br />
okomentujeme zleva doprava):<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jasné.<br />
\item Chybí jedna hrana. Možností, jak z úplného grafu odebrat hranu, je<br />
zjevně $6$.<br />
\item Dvě různé dvojice nejsou spojeny hranou. První dvojici vybereme $\binom{4}{2}=6$<br />
způsoby, druhá je již jednoznačně dána. Pořadí výběru dvojic však<br />
nehraje roli, proto je počet souvislých grafů tohoto typu roven $\frac{6}{2}=3$.<br />
\item Z jednoho vrcholu (,,zdroje{}``) nevedou dvě hrany (do dvou vrcholů<br />
,,cílů{}``). Zdroj lze vybrat $4$ způsoby, cíle lze vybrat $\binom{3}{2}=3$<br />
způsoby.<br />
\item Prostřední hrana (mezi vrcholy \textbf{a},\textbf{b}) lze vybrat $6$<br />
způsoby, hrany do zbylé dvojice vrcholů lze zvolit $2$ způsoby.<br />
\item Jeden vrchol je spojen se třemi ostatními. Tento vrchol lze vybrat<br />
$4$ způsoby.<br />
\end{enumerate}<br />
Celkem máme na $4$ vrcholech\[<br />
s_{4}=1+6+3+12+12+4=38\]<br />
souvislých grafů. Jak snadno spočítat $s_{n}$ pro libovolné $n$<br />
ukazuje následující věta.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: souvisle_grafy.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 21:01:36 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 1.484 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 0.516 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 10.185 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 10.185 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 11.153 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 11.153 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 9.218 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 9.218 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 8.253 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 8.253 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 6.318 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 6.318 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 7.286 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 7.286 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 5.351 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 5.351 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 4.384 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 4.384 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 2.451 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 2.451 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 3.416 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 3.416 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 1.484 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.148}}} at 0.516 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 11.153 25.597 to 10.185 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 10.185 24.587 to 10.185 25.597<br />
\plot 10.185 25.597 11.153 24.587 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 8.253 24.587 to 8.253 25.614<br />
\putrule from 8.253 25.597 to 9.236 25.597<br />
\putrule from 9.218 25.597 to 9.218 24.587<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 7.286 24.587 to 6.301 24.587<br />
\putrule from 6.318 24.587 to 6.318 25.614<br />
\putrule from 6.318 25.597 to 7.286 25.597<br />
\plot 7.286 25.597 6.318 24.587 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 4.384 25.597 to 4.384 24.570<br />
\putrule from 4.384 24.587 to 5.369 24.587<br />
\putrule from 5.351 24.587 to 5.351 25.614<br />
\putrule from 5.351 25.597 to 4.366 25.597<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 2.451 25.597 to 2.451 24.570<br />
\putrule from 2.451 24.587 to 3.434 24.587<br />
\putrule from 3.416 24.587 to 3.416 25.614<br />
\putrule from 3.416 25.597 to 2.451 25.597<br />
\plot 2.451 25.597 3.416 24.587 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.516 24.587 1.484 25.597 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.516 25.597 to 0.516 24.570<br />
\putrule from 0.516 24.587 to 1.501 24.587<br />
\putrule from 1.484 24.587 to 1.484 25.614<br />
\putrule from 1.484 25.597 to 0.516 25.597<br />
\plot 0.516 25.597 1.484 24.587 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4x}%<br />
} [lB] at 10.530 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}12x}%<br />
} [lB] at 8.528 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}12x}%<br />
} [lB] at 6.593 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3x}%<br />
} [lB] at 4.729 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}6x}%<br />
} [lB] at 2.796 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1x}%<br />
} [lB] at 0.861 23.660<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 11.377 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 9.864 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 9.864 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 11.377 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 9.445 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 7.929 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 7.929 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 9.445 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 7.510 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 5.997 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 5.997 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 7.510 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 5.575 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 4.062 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 4.062 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 5.575 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 3.643 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 2.127 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 2.127 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 3.643 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 1.708 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 0.195 24.329<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 0.195 25.648<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 1.708 25.648<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.163 26.067 and 11.409 23.628<br />
\endpicture}<br />
<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:Souvisle}Souvislé grafy na $4$ vrcholech}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
Buď $s_{n}$ počet souvislých grafů na $n$ vrcholech. Potom platí\[<br />
n\cdot2^{\binom{n}{2}}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}ks_{k}2^{\binom{n-k}{2}}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Uvedenou rovnost dokážeme zajímavou úvahou. Vyjádříme počet všech<br />
uspořádaných dvojic $(G,x)$ kde $G$ je graf na $n$ vrcholech a<br />
$x$ je jeden z vrcholů tohoto grafu, a to dvěma způsoby.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Počet všech grafů je $2^{\binom{n}{2}}$, v každém z nich lze vrchol<br />
$x$ zvolit $n$ způsoby, uvedených dvojic je tedy $P=n\cdot2^{\binom{n}{2}}$.<br />
\item Zvolme pevně $k\in\hat{n}$. Počet dvojic $(G,x)$, kde $x$ se nachází<br />
v komponentě grafu $G$, která má $k$ vrcholů, je \[<br />
p_{k}=\binom{n}{k}ks_{k}2^{\binom{n-k}{2}},\]<br />
protože:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\binom{n}{k}$ způsoby lze vybrat $k$ vrcholů z $n$,<br />
\item $k$ způsoby lze z vybraných vrcholů zvolit vrchol $x$,<br />
\item $s_{k}$ je počet různých komponent (souvislých podgrafů), které lze<br />
na vybraných $k$ vr\-cholech vytvořit<br />
\item a $2^{\binom{n-k}{2}}$ je počet všech grafů (na $n-k$ vrcholech),<br />
které mohou být vytvořeny na vrcholech, které jsme nevybrali.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
Protože pro pro každou dvojici $(G,x)$ se $x$ zřejmě nachází v komponentě<br />
o počtu vrcholů alespoň $1$ a nejvýše $n$, platí\[<br />
n\cdot2^{\binom{n}{2}}=P=\sum_{k=1}^{n}p_{k}.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Po vydělení $n$ přejde rovnost na tvar\[<br />
2^{\binom{n}{2}}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}s_{k}2^{\binom{n-k}{2}}.\]<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{example*}<br />
Protože už víme, že \[<br />
s_{1}=1,s_{2}=1,s_{3}=4,\]<br />
lze dosazením do rekurentního vzorce pro $n=4$ získat postupně\begin{eqnarray*}<br />
2^{\binom{4}{2}} & = & \sum_{k=1}^{4}\binom{3}{k-1}s_{k}2^{\binom{4-k}{2}}\\<br />
64 & = & 8+6+12+s_{4}\\<br />
38 & = & s_{4}\end{eqnarray*}<br />
Je vidět, že jsme se v našich úvahách předvedených v předchozím příkladu<br />
nespletli.<br />
\end{example*}<br />
<br />
\subsection{Adjacenční matice souvislého grafu}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:adjac-matice-pocet-sledu}Buď $\vec{A}_{G}$ adjacenční<br />
matice grafu $G$, nechť $k\in\hat{n}$. Potom prvek $\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}$<br />
je roven počtu sledů délky $k$ z vrcholu $v_{i}$ do vrcholu $v_{j}$.<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení snadno dokážeme indukcí podle $k$:<br />
\begin{itemize}<br />
\item pro $k=1$: Podle definice platí \[<br />
\left(\vec{A}_{G}\right)_{ij}=\begin{cases}<br />
1 & \textrm{pro }\{ v_{i},v_{j}\}\in E\\<br />
0 & \textrm{jinak},\end{cases}\]<br />
což zjevně představuje počet sledů délky $1$ (což jsou přímo hrany)<br />
z $v_{i}$ do $v_{j}$.<br />
\item indukční krok $k\to k+1$: Platí\[<br />
\left(\vec{A}_{G}^{k+1}\right)_{ij}=\sum_{l=1}^{n}\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{il}\left(\vec{A}_{G}\right)_{lj}=\sum_{\begin{array}{c}<br />
{\scriptstyle l=1}\\<br />
{\scriptstyle \{ v_{l},v_{j}\}\in E}\end{array}}^{n}\underbrace{\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{il}}_{\textrm{(*)}}.\]<br />
$(*)$ představuje počet sledů délky $k$ z $v_{i}$ do $v_{l}$.<br />
Sčítá se však pouze přes takové vrcholy $v_{l}$, z nichž vede hrana<br />
do vrcholu $v_{j}$. Proto $(*)$ rovněž představuje počet sledů délky<br />
$k+1$ z $v_{i}$ do $v_{j}$ takových, že předposledním vrcholem<br />
v sledu je $v_{l}$. Součtem přes všechny takové $v_{l}$ dostaneme<br />
celkový počet sledů délky $k+1$ z $v_{i}$ do $v_{j}$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
\label{cor:adjac-souvisly}Nechť $\vec{A}_{G}$ je adjacenční matice<br />
grafu $G=(V,E),$$n=\# V$. Potom $G$ je souvislý právě tehdy, když\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1}\vec{A}_{G}^{k}>0,\]<br />
tj. právě když všechny prvky uvedené matice jsou kladné.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{proof}<br />
Je zřejmé, že mezi dvěma různými vrcholy existuje sled, právě když<br />
mezi nimi existuje cesta. (Ze sledu obsahujícího vícekrát stejný vrchol<br />
lze odstranit všechny úseky, které leží mezi dvěma výskyty tohoto<br />
vrcholu ve sledu, čímž nakonec získáme cestu.) Každá cesta v grafu<br />
na $n$ vrcholech má délku maximálně $n-1$.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
$G$ je souvislý $\Rightarrow$ pro $\forall i,j\in\hat{n}$, $i\neq j$,<br />
existuje cesta (a tedy i sled) z $v_{i}$ do $v_{j}$ nějaké délky<br />
$k\leq n-1$. $\Rightarrow$$\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}>0$<br />
$\Rightarrow$ $\left(\sum_{k=0}^{n-1}\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}>0$.<br />
Každý prvek uvedené matice je tedy kladný.<br />
<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
$\forall i,j\in\hat{n}$$\left(\sum_{k=0}^{n-1}\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}>0$.<br />
$\Rightarrow$ $\exists k\in\{1,...,n-1\}$ tak, že $\left(\vec{A}_{G}^{k}\right)_{ij}>0$<br />
$\Rightarrow$ existuje sled (délky $k$) z $v_{i}$ do $v_{j}$ $\Rightarrow$$G$<br />
je souvislý.<br />
\end{proof}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_1&diff=4507
01ZTGA:Kapitola1 1
2012-01-15T11:46:38Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Základní pojmy}<br />
<br />
\begin{notation*}<br />
Nechť $r\in\N$, nechť $V$ je konečná množina. Potom počet prvků<br />
množiny $V$ značíme symbolem $\# V$. Dále značíme\[<br />
\binom{V}{r}=\left\{ \left.A\subset V\right|\# A=r\right\} .\]<br />
To znamená, že $\binom{V}{r}$ označuje množinu všech $r$-prvkových<br />
podmnožin množiny $V$. Dále budeme používat označení\[<br />
\hat{n}=\{1,2,3,...,n\}.\]<br />
<br />
\end{notation*}<br />
\begin{obs*}<br />
Platí $\#\binom{V}{r}=\binom{\# V}{r}$.<br />
\end{obs*}<br />
<br />
\subsection{Graf, izomorfismus grafů, samokomplementární grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $V$ je konečná množina, $E\subset\binom{V}{2}$. Uspořádaná<br />
dvojice $G=(V,E)$ se nazývá (neorientovaný) \textbf{graf}. $V$ nazýváme<br />
množinou \textbf{vrcholů} (z anglického \textbf{v}ertex), $E$ množinou<br />
\textbf{hran} (z anglického \textbf{e}dge).<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Grafy si zpravidla představujeme tak jako na obrázku \ref{cap:schema-grafu}.<br />
Vrcholy se znázorňují jako body (mohou představovat například města).<br />
Hrany, což jsou dvouprvkové množiny vrcholů. se zobrazují jako úsečky<br />
nebo křivky spojující dané vrcholy (mohou představovat například cesty<br />
mezi danými městy). Řada úloh z teorie grafů má velmi konkrétní využití<br />
v praxi, což si uvědomíme, hned jak si pod vrcholy a hranami představíme<br />
skutečné objekty, jako to ukazují uvedené příklady. Důkazy některých<br />
vět nás však přesvědčí, že strukturu grafu lze mnohdy vybudovat i<br />
nad objekty, které mají daleko do právě popsané geometrické představy<br />
grafu.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: graf.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:20:40 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 0.656 24.276<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 0.656 26.014<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 2.396 26.014<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 2.396 24.276<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.656 25.891 to 0.656 24.258<br />
\putrule from 0.656 24.276 to 2.396 24.276<br />
\plot 2.396 24.276 0.656 26.014 /<br />
\putrule from 0.656 26.014 to 2.396 26.014<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 0.159 24.401<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 2.769 24.401<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 0.159 26.264<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{9}{10.8}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 2.769 26.264<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.127 26.520 and 2.800 24.134<br />
\endpicture}<br />
<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{Schéma grafu $V=\{ a,b,c,d\},E=\left\{ \{ a,b\},\{ a,c\},\{ a,d\},\{ c,d\}\right\} $\label{cap:schema-grafu}}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{notation*}<br />
Později se ve výkladu vyskytne formálně nesprávné značení, které má<br />
však intuitivní význam. Buďte $G=(V,E)$, $H=(U,F)$ grafy, $v\in V$,<br />
$e\in E$. Potom definujeme:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $G\cup H=(V\cup U,E\cup F)$ (tj. oba grafy spojíme do jednoho),<br />
\item $G\backslash F=(V,E\backslash F)$, pokud $F\subset\binom{V}{2}$,<br />
resp. $F\subset E$ (tj. z grafu $G$ ubereme hrany, které leží v<br />
$F$),<br />
\item $G\backslash U=\left(V\backslash U,E\cap\binom{V\backslash U}{2}\right)$<br />
(tj. z grafu $G$ ubereme všechny vrcholy, které leží v $U$, a všechny<br />
hrany, které z nich vedou),<br />
\item $v\equiv\{ v\},e\equiv\{ e\}$ (prvek ztotožníme s jednoprvkovou množinou),<br />
pokud nemůže dojít k nedorozumnění.<br />
\end{itemize}<br />
Dále se vyskytne případ, kdy budeme mluvit o grafu $G$, aniž specifikujeme<br />
množiny jeho vrcholů a hran. Proto nyní zaveďme označení $E(G)$ pro<br />
množinu hran grafu $G$ a označení $V(G)$ pro množinu vrcholů grafu<br />
$G$.<br />
\end{notation*}<br />
\begin{rem*}<br />
Obvykle budeme používat písmena $m,n$ ve smyslu $n=\# V$ a $m=\# E$.<br />
Podle předchozího pozorování můžeme říci, že počet různých grafů na<br />
$n$ vrcholech je\[<br />
2^{\binom{n}{2}},\]<br />
neboť to je počet všech různých podmnožin $E\subset\binom{V}{2}$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$, $H=(U,F)$ jsou grafy. Řekneme, že graf $G$ je<br />
\textbf{izomorfní} s grafem $H$ a značíme\[<br />
G\sim H,\]<br />
jestliže existuje bijekce $\Pi:V\mapsto U$ taková, že platí\[<br />
\left(\forall u,v\in V\right)\left(\{ u,v\}\in E\Leftrightarrow\{\Pi(u),\Pi(v)\}\in F\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Grafy jsou spolu izomorfní, jestliže jsou stejné až na označení svých<br />
vrcholů. Bijekce $\Pi$ provádí právě ono přeznačení vrcholů grafu<br />
$G$ na vrcholy grafu $H$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
Na tříprvkové množině jsou 4 navzájem různé neizomorfní grafy. Izomorfismus<br />
grafů je ekvivalence na množině všech grafů o $n$ vrcholech. V jedné<br />
třídě ekvivalence je maximálně $n!$ grafů, neboť tolik je různých<br />
bijekcí (permutací) na dvou $n$-prvkových množinách. Neizomorfních<br />
grafů na $n$ vrcholech je tedy více nebo rovno než\[<br />
\frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!},\]<br />
přičemž pro $n\to\infty$ je s užitím Stirlingovy formule%<br />
\footnote{$n!\approx n^{n}\e^{-n}\sqrt{2\pi n}$%<br />
} pro vyjádření faktoriálu\[<br />
\frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!}\approx\frac{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}{n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n}}=\frac{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}{2^{n\log_{2}n-n\log_{2}e+\frac{1}{2}\log_{2}(2\pi n)}}\to+\infty.\]<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf. Potom graf\[<br />
\bar{G}=\left(V,\binom{V}{2}\backslash E\right)\]<br />
nazveme \textbf{doplňkem} (angl. \emph{complement}) grafu $G$. Platí-li<br />
$G\sim\bar{G}$, říkáme, že $G$ je \textbf{samokomplementární} (angl.<br />
\emph{self-complementary}).<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs*}<br />
~\\<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Platí $\bar{\bar{G}}=G$<br />
\item Na třech vrcholech neexistuje žádný samokomplementární graf.<br />
\end{itemize}<br />
\end{obs*}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $G\sim\bar{G}$. Potom musí pro $m=\# E\in\N_{0}$ platit\[<br />
m=\binom{n}{2}-m,\]<br />
z čehož plyne\[<br />
m=\frac{1}{2}\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{4}\in\N_{0}.\]<br />
Proto pro $n=2$ a $n=3$ samokomplementární graf neexistuje, existuje<br />
však pro $n=4$ a $n=5.$ Jednoduché samokomplementární grafy vidíme<br />
na obrázku \ref{cap:Samokomplement}.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: samokompl.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:54:56 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.286 26.314<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.452 25.480<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 10.120 25.480<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 9.762 24.528<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 8.810 24.528<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.191 24.528<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.144 24.528<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 7.499 25.480<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 5.834 25.480<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 6.668 26.314<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.405 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 4.405 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.976 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 2.976 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.476 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.476 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.905 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.905 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 9.286 26.314 8.810 24.528 /<br />
\plot 8.810 24.528 10.120 25.480 /<br />
\putrule from 10.120 25.480 to 8.452 25.480<br />
\plot 8.452 25.480 9.762 24.528 /<br />
\plot 9.762 24.528 9.286 26.314 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.668 26.314 5.834 25.480 /<br />
\plot 5.834 25.480 6.191 24.528 /<br />
\putrule from 6.191 24.528 to 7.144 24.528<br />
\plot 7.144 24.528 7.499 25.480 /<br />
\plot 7.499 25.480 6.668 26.314 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.976 24.765 4.405 26.194 /<br />
\putrule from 4.405 26.194 to 2.976 26.194<br />
\plot 2.976 26.194 4.405 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 0.476 26.194 to 0.476 24.747<br />
\putrule from 0.476 24.765 to 1.923 24.765<br />
\putrule from 1.905 24.765 to 1.905 26.194<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\bar{H}$}%<br />
} [lB] at 9.167 23.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$H$}%<br />
} [lB] at 6.547 23.696<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\bar{G}$}%<br />
} [lB] at 3.571 23.694<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$G$}%<br />
} [lB] at 0.953 23.694<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.326 26.463 and 10.270 23.495<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:Samokomplement}Samokomplementární grafy}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Existuje-li samokomplementární graf na $n$ vrcholech, potom platí<br />
$n\equiv0$ (mod $4$) nebo $n\equiv1$. Platí i obrácená implikace?<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Stupeň vrcholu, skóre}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:stupen-vrcholu}Buď $G=(V,E)$ graf, $v\in V$. Číslo\[<br />
d_{G}(v)=\#\left\{ \left.u\in V\right|\{ u,v\}\in E\right\} \]<br />
nazýváme \textbf{stupněm} (angl. \emph{degree}) vrcholu $v$. Je to<br />
počet hran, které vedou z vrcholu $v$. Dále definujeme \textbf{minimální<br />
stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\delta(G)=\min_{v\in V}d_{G}(v),\]<br />
\textbf{maximální stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\Delta(G)=\max_{v\in V}d_{G}(v)\]<br />
a \textbf{průměrný stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\rho(G)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i}).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Pro každý $v\in V$ platí $0\leq\delta(G)\leq d_{G}(v)\leq\Delta(G)\leq n-1$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:suma_stupnu}\[<br />
\sum_{v\in V}d_{G}(v)=2\# E.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení je zřejmé. Každá hrana $e=\{ u,v\}$ přispěje jedničkou ke<br />
stupni dvou vrcholů $u,v$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Součet stupňů $\sum_{v\in V}d_{G}(v)$ je vždy sudý.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{defn}<br />
Posloupnost čísel $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ nazveme \textbf{skóre},<br />
existuje-li graf $G=(V,E)$ na vrcholech $V=\{ v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$<br />
takový, že \[<br />
\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}=d_{G}(v_{i})\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
~\\<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $(1,3,3,4,6,6,6)$ není skóre, protože součet $\sum d_{i}$ je lichý. <br />
\item $(1,1,3,3,3,3,5,6,8,9)$ není skóre, protože poslední vrchol $v_{10}$<br />
by byl napojen hranou na všechny předchozí, vrchol $v_{9}$ by pak<br />
byl napojen na všechny kromě jednoho. Oba vrcholy $v_{1}$a $v_{2}$<br />
tedy nemohou mít stupeň roven $1$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ je $n$-tice nezáporných celých čísel<br />
taková, že $d_{1}\geq d_{2}\geq...\geq d_{n}$. Potom $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$<br />
je skóre, právě když $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$<br />
je skóre.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
S pomocí uvedené věty lze o libovolné $n$-tici rozhodnout, zda je<br />
to skóre. Iteraci zastavíme s odpovědí ,,ne{}``, jestliže nám v<br />
průběhu výpočtu vznikne záporné číslo. Dojdeme-li v $p$-té iteraci<br />
až k jedinému číslu $\left(d_{1}^{(p)}\right)$, tak původní $n$-tice<br />
je skóre, právě když $d_{1}^{(p)}=0$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nechť existuje graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
K tomuto grafu přidáme nový vrchol, který hranami spojíme s prvními<br />
$d_{1}$ vrcholy. Tak získáme graf, který bude mít skóre $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Mějme graf se skóre $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$, chceme zkonstruovat<br />
graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
Mohou nastat dva případy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Hrany z vrcholu $v_{1}$ vedou právě do následujících $d_{1}$ vrcholů<br />
$v_{2},v_{3},...,v_{d_{1}+1}$. V tom případě vrchol $v_{1}$ odebereme<br />
a získáme graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
\item Existuje $i\in\{2,3,...,d_{1}+1\}$ takové, že $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$.<br />
To znamená, že rovněž existuje $j\in\{ d_{1}+2,...,n\}$ takové, že<br />
$\{ v_{1},v_{j}\}\in E$. Pro každé $k\notin\{1,i,j\}$ tak může nastat<br />
právě jeden z případů na následujícím obrázku. Přerušované čáry označují,<br />
že mezi vrcholy nevede hrana. Na existenci hrany mezi vrcholy $v_{1}$<br />
a $v_{k}$ nezáleží, a proto ji v rozlišování jednotlivých případů<br />
neuvažujeme.<br />
\end{enumerate}<br />
\noindent \hfill{}<br />
%Title: skore.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 20:37:28 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 3.175 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 0.794 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 1.852 26.088<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 1.852 23.178<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 6.615 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 4.233 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 5.292 26.088<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 5.292 23.178<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 10.054 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 7.673 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 8.731 26.088<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 8.731 23.178<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 13.494 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 11.113 24.634<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 12.171 26.088<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 12.171 23.178<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 5.586 25.692<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 4.925 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 6.217 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 5.556 23.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.556 25.692 6.217 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 5.556 25.692 4.894 24.765 /<br />
\plot 4.894 24.765 5.556 23.840 /<br />
\plot 5.556 23.840 6.217 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 9.025 25.692<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 8.365 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 9.656 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 8.996 23.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.996 25.692 9.656 24.765 /<br />
\plot 9.656 24.765 8.996 23.840 /<br />
\plot 8.996 23.840 8.333 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.996 25.692 8.333 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 12.465 25.692<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 11.805 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 13.096 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 12.435 23.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 12.435 25.692 13.096 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 11.773 24.765 12.435 23.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 12.435 25.692 11.773 24.765 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 13.096 24.765 12.435 23.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 2.146 25.692<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 1.486 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 2.777 24.765<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.207}}} at 2.117 23.840<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.117 25.692 2.777 24.765 /<br />
\plot 2.777 24.765 2.117 23.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.117 25.692 1.454 24.765 /<br />
\plot 1.454 24.765 2.117 23.840 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 2.117 22.384<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 5.556 22.384<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 8.996 22.384<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{8}{9.6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4}%<br />
} [lB] at 12.435 22.384<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.762 26.395 and 13.526 22.352<br />
\endpicture}<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
Alespoň pro jedno $k$ však musí nastat případ 4. Kdyby totiž nastávaly<br />
pouze případy 1, 2 a 3, přispěl by každý další vrchol $v_{k}$ ke<br />
stupni $d_{j}=d_{G}(v_{j})$ alespoň tolik jako ke stupni $d_{i}=d_{G}(v_{i})$.<br />
Protože však předpokládáme $\{ v_{1},v_{j}\}\in E$ a přitom $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$,<br />
platilo by $d_{i}<d_{j}$, což je spor s uspořádáním čísel $d_{1},...,d_{n}$.<br />
<br />
Vezměmě tedy $k$ takové, pro nějž nastává případ 4. Vyrobíme nyní<br />
nový graf, jenž vznikne záměnou hran provedenou takto:<br />
<br />
\noindent \hfill{}<br />
%Title: skore_zmena.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:50:48 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 7.497 25.559<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 6.703 24.448<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 8.255 24.448<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 7.461 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 2.417 25.559<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 1.623 24.448<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 3.175 24.448<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.250}}} at 2.381 23.336<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 6.668 24.448 7.461 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.461 25.559 8.255 24.448 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 7.461 25.559 6.668 24.448 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 8.255 24.448 7.461 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 25.559 3.175 24.448 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 1.587 24.448 2.381 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setdashes < 0.1270cm><br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 2.381 25.559 1.587 24.448 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness= 0.500pt<br />
\setplotsymbol ({\thinlinefont .})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 3.175 24.448 2.381 23.336 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=2pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'161}}})<br />
\setsolid<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\putrule from 4.445 24.448 to 5.398 24.448<br />
%<br />
% arrow head<br />
%<br />
\plot 4.890 24.289 5.398 24.448 4.890 24.606 /<br />
%<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 8.731 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 5.874 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 7.144 26.035<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 7.144 22.543<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{j}$}%<br />
} [lB] at 3.651 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{i}$}%<br />
} [lB] at 0.794 24.289<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{1}$}%<br />
} [lB] at 2.064 26.035<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$v_{k}$}%<br />
} [lB] at 2.064 22.543<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.762 26.397 and 8.763 22.388<br />
\endpicture}<br />
<br />
\hfill{}<br />
<br />
Tento nový graf bude mít zřejmě stejné skóre jako graf původní. Liší<br />
se však tím, že z $v_{1}$ vede oproti původnímu grafu více hran do<br />
vrcholů $v_{2},v_{3},...,v_{d_{1}+1}$. Potom buď nastává případ (1),<br />
nebo stále existuje $i\in\{2,3,...,d_{1}+1\}$ takové, že $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$,<br />
takže můžeme úvahu provedenou v případu (2) opakovat.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
~<br />
\begin{itemize}<br />
\item Rozhodovací algoritmus založený na předchozí větě má složitost maximálně<br />
$O(n^{2})$.<br />
\item Podle důkazu implikace $\boxed{{\Leftarrow:}}$ lze snadno pro dané<br />
skóre nalézt odpovídající graf.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
Buď $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ $n$-tice nezáporných celých čísel<br />
takových, že $d_{1}\geq d_{2}\geq...\geq d_{n}$. Potom je-li $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$<br />
skóre, tak pro každé $i\in\{1,2,...,n\}$ platí\[<br />
\sum_{k=1}^{i}d_{k}\leq i(i-1)+\sum_{k=i+1}^{n}\min\{ i,d_{k}\}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Mějme graf $G$ na vrcholech $V=\{1,2,...,n\}$ s daným skóre. Pro<br />
pevné $i\in\hat{n}$ diskutujme, které hrany přispívají do součtu<br />
prvních $i$ stupňů $d_{1},...,d_{i}$ v grafu $G$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Hrany, které vedou mezi vrcholy $\{1,...,i\}$, přispívají k sumě<br />
$\sum_{k=1}^{i}d_{k}$ dvojkou. Proto maximální součet stupňů dosažený<br />
pouze pomocí těchto hran je $2\binom{i}{2}=i(i-1)$ (viz. věta \ref{thm:suma_stupnu}).<br />
\item Další hrany, které přispívají k dané sumě, vedou mezi vrcholy $u,v$,<br />
kde $u\in\{1,...,i\}$ a $v\in\{ i+1,...,n\}$. Tyto vrcholy přispívají<br />
k sumě jen jedničkou. Přitom z každého vrcholu $v$ z uvedené množiny<br />
nemůže zřejmě vést do prvních $i$ vrcholů více hran, než je $i$,<br />
ale ani více hran, než je $d(v)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Pokud navíc je $\sum_{i=1}^{n}d_{i}$ sudé číslo, platí ve větě ekvivalence.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. Graf $G'=(V',E')$ takový, že $V'\subset V$<br />
a $E'\subset\left(E\cap\binom{V'}{2}\right)$, nazýváme \textbf{podgrafem}<br />
(angl. \emph{subgraph}) grafu $G$. Jestliže $G'\neq G$, pak se $G'$<br />
nazývá \textbf{vlastním podgrafem} (angl. \emph{proper subgraph})<br />
grafu $G$.<br />
<br />
Graf $G[V']=\left(V',E\cap\binom{V'}{2}\right)$ se nazývá podgraf<br />
$G$ \textbf{indukovaný} (množinou vrcholů) $V'$. Obecně, jestliže<br />
pro podgraf $G'=(V',E')$ grafu $G$ platí $E'=\left(E\cap\binom{V'}{2}\right)$,<br />
nazýváme $G'$ \textbf{indukovaným podgrafem} (angl. \emph{induced<br />
subgraph}) grafu $G$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Je-li $G'$ podgrafem $G$, tak občas též říkáme, že $G$ je \textbf{nadgrafem}<br />
$G'$ (angl. \emph{supergraph}). Pro relaci ,,být podgrafem{}``<br />
používáme množinové označení $G'\subset G$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:specialni-grafy}Zavádíme následující pojmenování a označení<br />
pro tyto speciální typy grafů:<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Úplný} (angl. \emph{complete}) graf na $n$ vrcholech\[<br />
K_{n}=\left(\{1,2,...,n\},\left\{ \left.\{ i,j\}\right|i,j\in\{1,2,...,n\},i\neq j\right\} \right)=\left(\hat{n},\binom{\hat{n}}{2}\right).\]<br />
<br />
\item \textbf{Cesta} (angl. \emph{path}) délky $n$ na $n+1$ vrcholech\[<br />
P_{n}=\left(\hat{n}\cup\{0\},\left\{ \left.\{ i-1,i\}\right|i\in\hat{n}\right\} \right).\]<br />
<br />
\item ,,Hvězda{}``\[<br />
S_{n}=\left(\hat{n}\cup\{0\},\left\{ \left.\{0,i\}\right|i\in\hat{n}\right\} \right)\]<br />
<br />
\item \textbf{Kružnice} (angl. \emph{cycle}) délky $n$\[<br />
C_{n}=\left(\hat{n},\left\{ \left.\{ i,i+1\}\right|i\in\{1,2,...,n-1\}\right\} \cup\left\{ \{1,n\}\right\} \right).\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
\subsection{Zobecněná definice grafu, adjacenční matice grafu}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:zobecneny_graf}Buďte $V,E$ konečné množiny.\\<br />
Buď $\varphi:E\mapsto\binom{V}{2}\cup\binom{V}{1}$. Potom uspořádanou<br />
trojici $G=(V,E,\varphi)$ nazýváme \textbf{graf}.<br />
\begin{itemize}<br />
\item $E$ jsou jen ,,jména{}`` hran.<br />
\item $\varphi$ každé hraně přiřazuje její koncové vrcholy.<br />
\item Připouští se násobné hrany i hrany z vrcholu do sebe sama.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%Title: zobec_graf.fig<br />
%%Created by: ..\UTILS\FIG2DEV.EXE Version 3.2 Patchlevel 5-alpha7<br />
%%CreationDate: Thu Feb 12 19:24:24 1970<br />
%%User: Pavel Strachota@DIGITHELL (DIGITHELL)<br />
\font\thinlinefont=cmr5<br />
%<br />
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%<br />
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%<br />
\reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%<br />
\fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%<br />
\selectfont}%<br />
\fi\endgroup%<br />
\mbox{\beginpicture<br />
\setcoordinatesystem units <1.00000cm,1.00000cm><br />
\unitlength=1.00000cm<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
\setshadesymbol ({\thinlinefont .})<br />
\setlinear<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.689 25.838<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 3.334 24.528<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 1.905 24.289<br />
}%<br />
%<br />
% Fig ELLIPSE<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\put{\makebox(0,0)[l]{\circle*{ 0.237}}} at 0.953 26.075<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 1.905 24.289 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 3.334 24.528 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 0.948 26.082 /<br />
\plot 0.948 26.082 0.940 26.096 /<br />
\plot 0.940 26.096 0.927 26.120 /<br />
\plot 0.927 26.120 0.906 26.154 /<br />
\plot 0.906 26.154 0.878 26.200 /<br />
\plot 0.878 26.200 0.847 26.251 /<br />
\plot 0.847 26.251 0.809 26.310 /<br />
\plot 0.809 26.310 0.770 26.369 /<br />
\plot 0.770 26.369 0.728 26.429 /<br />
\plot 0.728 26.429 0.684 26.486 /<br />
\plot 0.684 26.486 0.639 26.539 /<br />
\plot 0.639 26.539 0.595 26.585 /<br />
\plot 0.595 26.585 0.548 26.623 /<br />
\plot 0.548 26.623 0.502 26.655 /<br />
\plot 0.502 26.655 0.453 26.674 /<br />
\plot 0.453 26.674 0.404 26.681 /<br />
\plot 0.404 26.681 0.356 26.670 /<br />
\plot 0.356 26.670 0.320 26.649 /<br />
\plot 0.320 26.649 0.286 26.617 /<br />
\plot 0.286 26.617 0.258 26.577 /<br />
\plot 0.258 26.577 0.231 26.535 /<br />
\plot 0.231 26.535 0.210 26.490 /<br />
\plot 0.210 26.490 0.191 26.444 /<br />
\plot 0.191 26.444 0.171 26.397 /<br />
\plot 0.171 26.397 0.157 26.350 /<br />
\plot 0.157 26.350 0.142 26.306 /<br />
\plot 0.142 26.306 0.129 26.259 /<br />
\plot 0.129 26.259 0.119 26.213 /<br />
\plot 0.119 26.213 0.106 26.168 /<br />
\plot 0.106 26.168 0.097 26.122 /<br />
\plot 0.097 26.122 0.087 26.075 /<br />
\plot 0.087 26.075 0.080 26.027 /<br />
\plot 0.080 26.027 0.074 25.978 /<br />
\plot 0.074 25.978 0.070 25.929 /<br />
\putrule from 0.070 25.929 to 0.070 25.880<br />
\plot 0.070 25.880 0.072 25.834 /<br />
\plot 0.072 25.834 0.080 25.789 /<br />
\plot 0.080 25.789 0.095 25.749 /<br />
\plot 0.095 25.749 0.119 25.718 /<br />
\plot 0.119 25.718 0.152 25.694 /<br />
\plot 0.152 25.694 0.195 25.684 /<br />
\putrule from 0.195 25.684 to 0.243 25.684<br />
\plot 0.243 25.684 0.294 25.692 /<br />
\plot 0.294 25.692 0.349 25.707 /<br />
\plot 0.349 25.707 0.404 25.730 /<br />
\plot 0.404 25.730 0.464 25.758 /<br />
\plot 0.464 25.758 0.523 25.789 /<br />
\plot 0.523 25.789 0.584 25.825 /<br />
\plot 0.584 25.825 0.643 25.864 /<br />
\plot 0.643 25.864 0.703 25.902 /<br />
\plot 0.703 25.902 0.758 25.938 /<br />
\plot 0.758 25.938 0.809 25.974 /<br />
\plot 0.809 25.974 0.855 26.005 /<br />
\plot 0.855 26.005 0.891 26.031 /<br />
\plot 0.891 26.031 0.919 26.050 /<br />
\plot 0.919 26.050 0.938 26.065 /<br />
\plot 0.938 26.065 0.948 26.071 /<br />
\plot 0.948 26.071 0.953 26.075 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 0.955 26.077 /<br />
\plot 0.955 26.077 0.959 26.082 /<br />
\plot 0.959 26.082 0.969 26.092 /<br />
\plot 0.969 26.092 0.982 26.105 /<br />
\plot 0.982 26.105 1.001 26.124 /<br />
\plot 1.001 26.124 1.027 26.149 /<br />
\plot 1.027 26.149 1.058 26.181 /<br />
\plot 1.058 26.181 1.096 26.217 /<br />
\plot 1.096 26.217 1.141 26.259 /<br />
\plot 1.141 26.259 1.190 26.306 /<br />
\plot 1.190 26.306 1.242 26.355 /<br />
\plot 1.242 26.355 1.300 26.405 /<br />
\plot 1.300 26.405 1.361 26.458 /<br />
\plot 1.361 26.458 1.425 26.513 /<br />
\plot 1.425 26.513 1.490 26.568 /<br />
\plot 1.490 26.568 1.558 26.621 /<br />
\plot 1.558 26.621 1.628 26.672 /<br />
\plot 1.628 26.672 1.700 26.723 /<br />
\plot 1.700 26.723 1.772 26.772 /<br />
\plot 1.772 26.772 1.846 26.818 /<br />
\plot 1.846 26.818 1.922 26.860 /<br />
\plot 1.922 26.860 2.002 26.899 /<br />
\plot 2.002 26.899 2.083 26.935 /<br />
\plot 2.083 26.935 2.167 26.964 /<br />
\plot 2.167 26.964 2.252 26.992 /<br />
\plot 2.252 26.992 2.343 27.011 /<br />
\plot 2.343 27.011 2.434 27.023 /<br />
\plot 2.434 27.023 2.525 27.030 /<br />
\plot 2.525 27.030 2.618 27.026 /<br />
\plot 2.618 27.026 2.714 27.013 /<br />
\plot 2.714 27.013 2.805 26.990 /<br />
\plot 2.805 26.990 2.889 26.958 /<br />
\plot 2.889 26.958 2.968 26.920 /<br />
\plot 2.968 26.920 3.040 26.877 /<br />
\plot 3.040 26.877 3.105 26.829 /<br />
\plot 3.105 26.829 3.164 26.776 /<br />
\plot 3.164 26.776 3.219 26.721 /<br />
\plot 3.219 26.721 3.270 26.662 /<br />
\plot 3.270 26.662 3.319 26.600 /<br />
\plot 3.319 26.600 3.361 26.535 /<br />
\plot 3.361 26.535 3.404 26.469 /<br />
\plot 3.404 26.469 3.442 26.403 /<br />
\plot 3.442 26.403 3.478 26.336 /<br />
\plot 3.478 26.336 3.512 26.268 /<br />
\plot 3.512 26.268 3.541 26.204 /<br />
\plot 3.541 26.204 3.569 26.141 /<br />
\plot 3.569 26.141 3.594 26.082 /<br />
\plot 3.594 26.082 3.617 26.029 /<br />
\plot 3.617 26.029 3.636 25.980 /<br />
\plot 3.636 25.980 3.651 25.940 /<br />
\plot 3.651 25.940 3.664 25.906 /<br />
\plot 3.664 25.906 3.675 25.878 /<br />
\plot 3.675 25.878 3.681 25.859 /<br />
\plot 3.681 25.859 3.685 25.849 /<br />
\plot 3.685 25.849 3.689 25.840 /<br />
\putrule from 3.689 25.840 to 3.689 25.838<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 0.955 26.077 /<br />
\plot 0.955 26.077 0.961 26.079 /<br />
\plot 0.961 26.079 0.972 26.086 /<br />
\plot 0.972 26.086 0.988 26.094 /<br />
\plot 0.988 26.094 1.012 26.107 /<br />
\plot 1.012 26.107 1.044 26.122 /<br />
\plot 1.044 26.122 1.079 26.143 /<br />
\plot 1.079 26.143 1.124 26.164 /<br />
\plot 1.124 26.164 1.175 26.190 /<br />
\plot 1.175 26.190 1.232 26.217 /<br />
\plot 1.232 26.217 1.291 26.247 /<br />
\plot 1.291 26.247 1.357 26.276 /<br />
\plot 1.357 26.276 1.425 26.306 /<br />
\plot 1.425 26.306 1.494 26.336 /<br />
\plot 1.494 26.336 1.568 26.365 /<br />
\plot 1.568 26.365 1.643 26.395 /<br />
\plot 1.643 26.395 1.719 26.422 /<br />
\plot 1.719 26.422 1.797 26.448 /<br />
\plot 1.797 26.448 1.880 26.471 /<br />
\plot 1.880 26.471 1.962 26.494 /<br />
\plot 1.962 26.494 2.047 26.513 /<br />
\plot 2.047 26.513 2.136 26.530 /<br />
\plot 2.136 26.530 2.229 26.543 /<br />
\plot 2.229 26.543 2.322 26.551 /<br />
\plot 2.322 26.551 2.421 26.558 /<br />
\putrule from 2.421 26.558 to 2.519 26.558<br />
\plot 2.519 26.558 2.618 26.551 /<br />
\plot 2.618 26.551 2.722 26.539 /<br />
\plot 2.722 26.539 2.819 26.520 /<br />
\plot 2.819 26.520 2.908 26.496 /<br />
\plot 2.908 26.496 2.991 26.471 /<br />
\plot 2.991 26.471 3.065 26.439 /<br />
\plot 3.065 26.439 3.133 26.408 /<br />
\plot 3.133 26.408 3.196 26.372 /<br />
\plot 3.196 26.372 3.251 26.333 /<br />
\plot 3.251 26.333 3.304 26.295 /<br />
\plot 3.304 26.295 3.353 26.255 /<br />
\plot 3.353 26.255 3.397 26.213 /<br />
\plot 3.397 26.213 3.440 26.170 /<br />
\plot 3.440 26.170 3.478 26.128 /<br />
\plot 3.478 26.128 3.514 26.086 /<br />
\plot 3.514 26.086 3.545 26.046 /<br />
\plot 3.545 26.046 3.575 26.005 /<br />
\plot 3.575 26.005 3.603 25.969 /<br />
\plot 3.603 25.969 3.624 25.938 /<br />
\plot 3.624 25.938 3.645 25.908 /<br />
\plot 3.645 25.908 3.660 25.885 /<br />
\plot 3.660 25.885 3.670 25.868 /<br />
\plot 3.670 25.868 3.679 25.853 /<br />
\plot 3.679 25.853 3.685 25.845 /<br />
\plot 3.685 25.845 3.687 25.840 /<br />
\plot 3.687 25.840 3.689 25.838 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig POLYLINE object<br />
%<br />
\linethickness=1pt<br />
\setplotsymbol ({\makebox(0,0)[l]{\tencirc\symbol{'160}}})<br />
{\color[rgb]{0,0,0}\plot 0.953 26.075 3.689 25.838 /<br />
}%<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}e}%<br />
} [lB] at 1.666 24.765<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}f}%<br />
} [lB] at 2.500 25.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}%<br />
} [lB] at 2.620 26.075<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}%<br />
} [lB] at 2.500 26.670<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}%<br />
} [lB] at 2.261 27.146<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}d}%<br />
} [lB] at 0.119 25.241<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}4}%<br />
} [lB] at 2.024 23.575<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}3}%<br />
} [lB] at 3.452 23.813<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}2}%<br />
} [lB] at 3.929 25.123<br />
%<br />
% Fig TEXT object<br />
%<br />
\put{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}1}%<br />
} [lB] at 0.713 25.480<br />
\linethickness=0pt<br />
\putrectangle corners at 0.023 27.741 and 3.960 23.544<br />
\endpicture}<br />
\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{Zobecněný graf definovaný takto:$\protect\begin{array}{cc}<br />
V=\{1,2,3,4\} & E=\{ a,b,c,d,e,f\}\protect\\<br />
\varphi(a)=\{1,2\} & \varphi(d)=\{1\}\protect\\<br />
\varphi(b)=\{1,2\} & \varphi(e)=\{1,4\}\protect\\<br />
\varphi(c)=\{1,2\} & \varphi(f)=\{1,3\}\protect\end{array}$}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\textbf{(Zobecněná definice orientovaného grafu)} Buďte $V,A$ konečné<br />
množiny.\\<br />
Buď $\varphi:A\mapsto\binom{V}{2}\cup\left(V\times V\right)$. Potom<br />
uspořádanou trojici $D=(V,A,\varphi)$ nazýváme \textbf{orientovaný<br />
graf} (angl. \emph{directed graph}).<br />
\begin{itemize}<br />
\item tato definice připouští orientované hrany (z $V\times V$) i neorientované<br />
hrany (z $\binom{V}{2}$).<br />
\item hrana z vrcholu $v$ do sebe sama může být reprezentována uspořádanou<br />
dvojicí $(v,v)$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:adjacencni-matice}Buď $G=(V,E)$ graf, $n=\# V$. \textbf{Adjacenční<br />
maticí} (angl. \emph{adjacency matrix}) grafu $G$ (maticí sousedností)<br />
rozumíme matici $\vec{A}_{G}\in\{0,1\}^{n,n}$, pro jejíž prvky platí\[<br />
\left(\vec{A}_{G}\right)_{ij}=\begin{cases}<br />
1 & \textrm{pro }\{ v_{i},v_{j}\}\in E\\<br />
0 & \textrm{jinak}\end{cases}\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Adjacenční matice má následující zřejmé vlastnosti:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\vec{A}_{G}$ je symetrická, a tedy diagonalizovatelná, s reálným<br />
spektrem. Pro takovou matici platí $\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$<br />
, kde $\lambda_{i}$ jsou všechna vlastní čísla matice $\vec{A}_{G}$.<br />
Protože ovšem $\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\left(\vec{A}_{G}\right)_{ii}=0\right)$,<br />
tak $0=\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$.<br />
\item Uvědomíme-li si, jakým způsobem vzniká $(i,j)$-tý prvek matice $\vec{A}_{G}\vec{A}_{G}=\vec{A}_{G}^{2}$,<br />
tak ze symetrie $\vec{A}_{G}$ plyne $\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)_{ii}=d_{G}(v_{i})$.<br />
Z toho dále plyne\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2}=\Tr\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i})=2\# E.\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola1_1&diff=4506
01ZTGA:Kapitola1 1
2012-01-15T11:41:51Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\section{Základní pojmy}<br />
<br />
\begin{notation*}<br />
Nechť $r\in\N$, nechť $V$ je konečná množina. Potom počet prvků<br />
množiny $V$ značíme symbolem $\# V$. Dále značíme\[<br />
\binom{V}{r}=\left\{ \left.A\subset V\right|\# A=r\right\} .\]<br />
To znamená, že $\binom{V}{r}$ označuje množinu všech $r$-prvkových<br />
podmnožin množiny $V$. Dále budeme používat označení\[<br />
\hat{n}=\{1,2,3,...,n\}.\]<br />
<br />
\end{notation*}<br />
\begin{obs*}<br />
Platí $\#\binom{V}{r}=\binom{\# V}{r}$.<br />
\end{obs*}<br />
<br />
\subsection{Graf, izomorfismus grafů, samokomplementární grafy}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $V$ je konečná množina, $E\subset\binom{V}{2}$. Uspořádaná<br />
dvojice $G=(V,E)$ se nazývá (neorientovaný) \textbf{graf}. $V$ nazýváme<br />
množinou \textbf{vrcholů} (z anglického \textbf{v}ertex), $E$ množinou<br />
\textbf{hran} (z anglického \textbf{e}dge).<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Grafy si zpravidla představujeme tak jako na obrázku \ref{cap:schema-grafu}.<br />
Vrcholy se znázorňují jako body (mohou představovat například města).<br />
Hrany, což jsou dvouprvkové množiny vrcholů. se zobrazují jako úsečky<br />
nebo křivky spojující dané vrcholy (mohou představovat například cesty<br />
mezi danými městy). Řada úloh z teorie grafů má velmi konkrétní využití<br />
v praxi, což si uvědomíme, hned jak si pod vrcholy a hranami představíme<br />
skutečné objekty, jako to ukazují uvedené příklady. Důkazy některých<br />
vět nás však přesvědčí, že strukturu grafu lze mnohdy vybudovat i<br />
nad objekty, které mají daleko do právě popsané geometrické představy<br />
grafu.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}\input{figures1/graf.pictex}\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{Schéma grafu $V=\{ a,b,c,d\},E=\left\{ \{ a,b\},\{ a,c\},\{ a,d\},\{ c,d\}\right\} $\label{cap:schema-grafu}}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
\begin{notation*}<br />
Později se ve výkladu vyskytne formálně nesprávné značení, které má<br />
však intuitivní význam. Buďte $G=(V,E)$, $H=(U,F)$ grafy, $v\in V$,<br />
$e\in E$. Potom definujeme:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $G\cup H=(V\cup U,E\cup F)$ (tj. oba grafy spojíme do jednoho),<br />
\item $G\backslash F=(V,E\backslash F)$, pokud $F\subset\binom{V}{2}$,<br />
resp. $F\subset E$ (tj. z grafu $G$ ubereme hrany, které leží v<br />
$F$),<br />
\item $G\backslash U=\left(V\backslash U,E\cap\binom{V\backslash U}{2}\right)$<br />
(tj. z grafu $G$ ubereme všechny vrcholy, které leží v $U$, a všechny<br />
hrany, které z nich vedou),<br />
\item $v\equiv\{ v\},e\equiv\{ e\}$ (prvek ztotožníme s jednoprvkovou množinou),<br />
pokud nemůže dojít k nedorozumnění.<br />
\end{itemize}<br />
Dále se vyskytne případ, kdy budeme mluvit o grafu $G$, aniž specifikujeme<br />
množiny jeho vrcholů a hran. Proto nyní zaveďme označení $E(G)$ pro<br />
množinu hran grafu $G$ a označení $V(G)$ pro množinu vrcholů grafu<br />
$G$.<br />
\end{notation*}<br />
\begin{rem*}<br />
Obvykle budeme používat písmena $m,n$ ve smyslu $n=\# V$ a $m=\# E$.<br />
Podle předchozího pozorování můžeme říci, že počet různých grafů na<br />
$n$ vrcholech je\[<br />
2^{\binom{n}{2}},\]<br />
neboť to je počet všech různých podmnožin $E\subset\binom{V}{2}$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$, $H=(U,F)$ jsou grafy. Řekneme, že graf $G$ je<br />
\textbf{izomorfní} s grafem $H$ a značíme\[<br />
G\sim H,\]<br />
jestliže existuje bijekce $\Pi:V\mapsto U$ taková, že platí\[<br />
\left(\forall u,v\in V\right)\left(\{ u,v\}\in E\Leftrightarrow\{\Pi(u),\Pi(v)\}\in F\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Grafy jsou spolu izomorfní, jestliže jsou stejné až na označení svých<br />
vrcholů. Bijekce $\Pi$ provádí právě ono přeznačení vrcholů grafu<br />
$G$ na vrcholy grafu $H$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{rem}<br />
Na tříprvkové množině jsou 4 navzájem různé neizomorfní grafy. Izomorfismus<br />
grafů je ekvivalence na množině všech grafů o $n$ vrcholech. V jedné<br />
třídě ekvivalence je maximálně $n!$ grafů, neboť tolik je různých<br />
bijekcí (permutací) na dvou $n$-prvkových množinách. Neizomorfních<br />
grafů na $n$ vrcholech je tedy více nebo rovno než\[<br />
\frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!},\]<br />
přičemž pro $n\to\infty$ je s užitím Stirlingovy formule%<br />
\footnote{$n!\approx n^{n}\e^{-n}\sqrt{2\pi n}$%<br />
} pro vyjádření faktoriálu\[<br />
\frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!}\approx\frac{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}{n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n}}=\frac{2^{\frac{n(n-1)}{2}}}{2^{n\log_{2}n-n\log_{2}e+\frac{1}{2}\log_{2}(2\pi n)}}\to+\infty.\]<br />
<br />
\end{rem}<br />
\begin{defn}<br />
Nechť $G=(V,E)$ je graf. Potom graf\[<br />
\bar{G}=\left(V,\binom{V}{2}\backslash E\right)\]<br />
nazveme \textbf{doplňkem} (angl. \emph{complement}) grafu $G$. Platí-li<br />
$G\sim\bar{G}$, říkáme, že $G$ je \textbf{samokomplementární} (angl.<br />
\emph{self-complementary}).<br />
\end{defn}<br />
\begin{obs*}<br />
~\\<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item Platí $\bar{\bar{G}}=G$<br />
\item Na třech vrcholech neexistuje žádný samokomplementární graf.<br />
\end{itemize}<br />
\end{obs*}<br />
\begin{rem*}<br />
Nechť $G\sim\bar{G}$. Potom musí pro $m=\# E\in\N_{0}$ platit\[<br />
m=\binom{n}{2}-m,\]<br />
z čehož plyne\[<br />
m=\frac{1}{2}\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{4}\in\N_{0}.\]<br />
Proto pro $n=2$ a $n=3$ samokomplementární graf neexistuje, existuje<br />
však pro $n=4$ a $n=5.$ Jednoduché samokomplementární grafy vidíme<br />
na obrázku \ref{cap:Samokomplement}.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}\input{figures1/samokompl.pictex}\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{\label{cap:Samokomplement}Samokomplementární grafy}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{rem*}<br />
<br />
<br />
\begin{rem*}<br />
Existuje-li samokomplementární graf na $n$ vrcholech, potom platí<br />
$n\equiv0$ (mod $4$) nebo $n\equiv1$. Platí i obrácená implikace?<br />
\end{rem*}<br />
<br />
\subsection{Stupeň vrcholu, skóre}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:stupen-vrcholu}Buď $G=(V,E)$ graf, $v\in V$. Číslo\[<br />
d_{G}(v)=\#\left\{ \left.u\in V\right|\{ u,v\}\in E\right\} \]<br />
nazýváme \textbf{stupněm} (angl. \emph{degree}) vrcholu $v$. Je to<br />
počet hran, které vedou z vrcholu $v$. Dále definujeme \textbf{minimální<br />
stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\delta(G)=\min_{v\in V}d_{G}(v),\]<br />
\textbf{maximální stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\Delta(G)=\max_{v\in V}d_{G}(v)\]<br />
a \textbf{průměrný stupeň} grafu $G$ jako\[<br />
\rho(G)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i}).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Pro každý $v\in V$ platí $0\leq\delta(G)\leq d_{G}(v)\leq\Delta(G)\leq n-1$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
\label{thm:suma_stupnu}\[<br />
\sum_{v\in V}d_{G}(v)=2\# E.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení je zřejmé. Každá hrana $e=\{ u,v\}$ přispěje jedničkou ke<br />
stupni dvou vrcholů $u,v$.<br />
\end{proof}<br />
\begin{cor*}<br />
Součet stupňů $\sum_{v\in V}d_{G}(v)$ je vždy sudý.<br />
\end{cor*}<br />
\begin{defn}<br />
Posloupnost čísel $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ nazveme \textbf{skóre},<br />
existuje-li graf $G=(V,E)$ na vrcholech $V=\{ v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$<br />
takový, že \[<br />
\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(d_{i}=d_{G}(v_{i})\right).\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{example*}<br />
~\\<br />
<br />
\begin{itemize}<br />
\item $(1,3,3,4,6,6,6)$ není skóre, protože součet $\sum d_{i}$ je lichý. <br />
\item $(1,1,3,3,3,3,5,6,8,9)$ není skóre, protože poslední vrchol $v_{10}$<br />
by byl napojen hranou na všechny předchozí, vrchol $v_{9}$ by pak<br />
byl napojen na všechny kromě jednoho. Oba vrcholy $v_{1}$a $v_{2}$<br />
tedy nemohou mít stupeň roven $1$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{example*}<br />
\begin{thm}<br />
Nechť $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ je $n$-tice nezáporných celých čísel<br />
taková, že $d_{1}\geq d_{2}\geq...\geq d_{n}$. Potom $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$<br />
je skóre, právě když $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$<br />
je skóre.<br />
\end{thm}<br />
\begin{rem*}<br />
S pomocí uvedené věty lze o libovolné $n$-tici rozhodnout, zda je<br />
to skóre. Iteraci zastavíme s odpovědí ,,ne{}``, jestliže nám v<br />
průběhu výpočtu vznikne záporné číslo. Dojdeme-li v $p$-té iteraci<br />
až k jedinému číslu $\left(d_{1}^{(p)}\right)$, tak původní $n$-tice<br />
je skóre, právě když $d_{1}^{(p)}=0$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{proof}<br />
$\boxed{{\Leftarrow:}}$<br />
<br />
Nechť existuje graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
K tomuto grafu přidáme nový vrchol, který hranami spojíme s prvními<br />
$d_{1}$ vrcholy. Tak získáme graf, který bude mít skóre $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$.<br />
<br />
$\boxed{{\Rightarrow:}}$<br />
<br />
Mějme graf se skóre $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$, chceme zkonstruovat<br />
graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
Mohou nastat dva případy:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Hrany z vrcholu $v_{1}$ vedou právě do následujících $d_{1}$ vrcholů<br />
$v_{2},v_{3},...,v_{d_{1}+1}$. V tom případě vrchol $v_{1}$ odebereme<br />
a získáme graf se skóre $(d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{n})$.<br />
\item Existuje $i\in\{2,3,...,d_{1}+1\}$ takové, že $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$.<br />
To znamená, že rovněž existuje $j\in\{ d_{1}+2,...,n\}$ takové, že<br />
$\{ v_{1},v_{j}\}\in E$. Pro každé $k\notin\{1,i,j\}$ tak může nastat<br />
právě jeden z případů na následujícím obrázku. Přerušované čáry označují,<br />
že mezi vrcholy nevede hrana. Na existenci hrany mezi vrcholy $v_{1}$<br />
a $v_{k}$ nezáleží, a proto ji v rozlišování jednotlivých případů<br />
neuvažujeme.<br />
\end{enumerate}<br />
\noindent \hfill{}\input{figures1/skore.pictex}\hfill{}<br />
<br />
Alespoň pro jedno $k$ však musí nastat případ 4. Kdyby totiž nastávaly<br />
pouze případy 1, 2 a 3, přispěl by každý další vrchol $v_{k}$ ke<br />
stupni $d_{j}=d_{G}(v_{j})$ alespoň tolik jako ke stupni $d_{i}=d_{G}(v_{i})$.<br />
Protože však předpokládáme $\{ v_{1},v_{j}\}\in E$ a přitom $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$,<br />
platilo by $d_{i}<d_{j}$, což je spor s uspořádáním čísel $d_{1},...,d_{n}$.<br />
<br />
Vezměmě tedy $k$ takové, pro nějž nastává případ 4. Vyrobíme nyní<br />
nový graf, jenž vznikne záměnou hran provedenou takto:<br />
<br />
\noindent \hfill{}\input{figures1/skore_zmena.pictex}\hfill{}<br />
<br />
Tento nový graf bude mít zřejmě stejné skóre jako graf původní. Liší<br />
se však tím, že z $v_{1}$ vede oproti původnímu grafu více hran do<br />
vrcholů $v_{2},v_{3},...,v_{d_{1}+1}$. Potom buď nastává případ (1),<br />
nebo stále existuje $i\in\{2,3,...,d_{1}+1\}$ takové, že $\{ v_{1},v_{i}\}\notin E$,<br />
takže můžeme úvahu provedenou v případu (2) opakovat.<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
~<br />
\begin{itemize}<br />
\item Rozhodovací algoritmus založený na předchozí větě má složitost maximálně<br />
$O(n^{2})$.<br />
\item Podle důkazu implikace $\boxed{{\Leftarrow:}}$ lze snadno pro dané<br />
skóre nalézt odpovídající graf.<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem*}<br />
\begin{thm}<br />
Buď $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$ $n$-tice nezáporných celých čísel<br />
takových, že $d_{1}\geq d_{2}\geq...\geq d_{n}$. Potom je-li $(d_{1},d_{2},...,d_{n})$<br />
skóre, tak pro každé $i\in\{1,2,...,n\}$ platí\[<br />
\sum_{k=1}^{i}d_{k}\leq i(i-1)+\sum_{k=i+1}^{n}\min\{ i,d_{k}\}.\]<br />
<br />
\end{thm}<br />
\begin{proof}<br />
Mějme graf $G$ na vrcholech $V=\{1,2,...,n\}$ s daným skóre. Pro<br />
pevné $i\in\hat{n}$ diskutujme, které hrany přispívají do součtu<br />
prvních $i$ stupňů $d_{1},...,d_{i}$ v grafu $G$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Hrany, které vedou mezi vrcholy $\{1,...,i\}$, přispívají k sumě<br />
$\sum_{k=1}^{i}d_{k}$ dvojkou. Proto maximální součet stupňů dosažený<br />
pouze pomocí těchto hran je $2\binom{i}{2}=i(i-1)$ (viz. věta \ref{thm:suma_stupnu}).<br />
\item Další hrany, které přispívají k dané sumě, vedou mezi vrcholy $u,v$,<br />
kde $u\in\{1,...,i\}$ a $v\in\{ i+1,...,n\}$. Tyto vrcholy přispívají<br />
k sumě jen jedničkou. Přitom z každého vrcholu $v$ z uvedené množiny<br />
nemůže zřejmě vést do prvních $i$ vrcholů více hran, než je $i$,<br />
ale ani více hran, než je $d(v)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\begin{rem*}<br />
Pokud navíc je $\sum_{i=1}^{n}d_{i}$ sudé číslo, platí ve větě ekvivalence.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
Buď $G=(V,E)$ graf. Graf $G'=(V',E')$ takový, že $V'\subset V$<br />
a $E'\subset\left(E\cap\binom{V'}{2}\right)$, nazýváme \textbf{podgrafem}<br />
(angl. \emph{subgraph}) grafu $G$. Jestliže $G'\neq G$, pak se $G'$<br />
nazývá \textbf{vlastním podgrafem} (angl. \emph{proper subgraph})<br />
grafu $G$.<br />
<br />
Graf $G[V']=\left(V',E\cap\binom{V'}{2}\right)$ se nazývá podgraf<br />
$G$ \textbf{indukovaný} (množinou vrcholů) $V'$. Obecně, jestliže<br />
pro podgraf $G'=(V',E')$ grafu $G$ platí $E'=\left(E\cap\binom{V'}{2}\right)$,<br />
nazýváme $G'$ \textbf{indukovaným podgrafem} (angl. \emph{induced<br />
subgraph}) grafu $G$.<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem*}<br />
Je-li $G'$ podgrafem $G$, tak občas též říkáme, že $G$ je \textbf{nadgrafem}<br />
$G'$ (angl. \emph{supergraph}). Pro relaci ,,být podgrafem{}``<br />
používáme množinové označení $G'\subset G$.<br />
\end{rem*}<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:specialni-grafy}Zavádíme následující pojmenování a označení<br />
pro tyto speciální typy grafů:<br />
\begin{itemize}<br />
\item \textbf{Úplný} (angl. \emph{complete}) graf na $n$ vrcholech\[<br />
K_{n}=\left(\{1,2,...,n\},\left\{ \left.\{ i,j\}\right|i,j\in\{1,2,...,n\},i\neq j\right\} \right)=\left(\hat{n},\binom{\hat{n}}{2}\right).\]<br />
<br />
\item \textbf{Cesta} (angl. \emph{path}) délky $n$ na $n+1$ vrcholech\[<br />
P_{n}=\left(\hat{n}\cup\{0\},\left\{ \left.\{ i-1,i\}\right|i\in\hat{n}\right\} \right).\]<br />
<br />
\item ,,Hvězda{}``\[<br />
S_{n}=\left(\hat{n}\cup\{0\},\left\{ \left.\{0,i\}\right|i\in\hat{n}\right\} \right)\]<br />
<br />
\item \textbf{Kružnice} (angl. \emph{cycle}) délky $n$\[<br />
C_{n}=\left(\hat{n},\left\{ \left.\{ i,i+1\}\right|i\in\{1,2,...,n-1\}\right\} \cup\left\{ \{1,n\}\right\} \right).\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
\subsection{Zobecněná definice grafu, adjacenční matice grafu}<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:zobecneny_graf}Buďte $V,E$ konečné množiny.\\<br />
Buď $\varphi:E\mapsto\binom{V}{2}\cup\binom{V}{1}$. Potom uspořádanou<br />
trojici $G=(V,E,\varphi)$ nazýváme \textbf{graf}.<br />
\begin{itemize}<br />
\item $E$ jsou jen ,,jména{}`` hran.<br />
\item $\varphi$ každé hraně přiřazuje její koncové vrcholy.<br />
\item Připouští se násobné hrany i hrany z vrcholu do sebe sama.%<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}\input{figures1/zobec_graf.pictex}\end{center}<br />
<br />
<br />
\caption{Zobecněný graf definovaný takto:$\protect\begin{array}{cc}<br />
V=\{1,2,3,4\} & E=\{ a,b,c,d,e,f\}\protect\\<br />
\varphi(a)=\{1,2\} & \varphi(d)=\{1\}\protect\\<br />
\varphi(b)=\{1,2\} & \varphi(e)=\{1,4\}\protect\\<br />
\varphi(c)=\{1,2\} & \varphi(f)=\{1,3\}\protect\end{array}$}<br />
\end{figure}<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\textbf{(Zobecněná definice orientovaného grafu)} Buďte $V,A$ konečné<br />
množiny.\\<br />
Buď $\varphi:A\mapsto\binom{V}{2}\cup\left(V\times V\right)$. Potom<br />
uspořádanou trojici $D=(V,A,\varphi)$ nazýváme \textbf{orientovaný<br />
graf} (angl. \emph{directed graph}).<br />
\begin{itemize}<br />
\item tato definice připouští orientované hrany (z $V\times V$) i neorientované<br />
hrany (z $\binom{V}{2}$).<br />
\item hrana z vrcholu $v$ do sebe sama může být reprezentována uspořádanou<br />
dvojicí $(v,v)$.<br />
\end{itemize}<br />
\end{defn}<br />
<br />
<br />
\begin{defn}<br />
\label{def:adjacencni-matice}Buď $G=(V,E)$ graf, $n=\# V$. \textbf{Adjacenční<br />
maticí} (angl. \emph{adjacency matrix}) grafu $G$ (maticí sousedností)<br />
rozumíme matici $\vec{A}_{G}\in\{0,1\}^{n,n}$, pro jejíž prvky platí\[<br />
\left(\vec{A}_{G}\right)_{ij}=\begin{cases}<br />
1 & \textrm{pro }\{ v_{i},v_{j}\}\in E\\<br />
0 & \textrm{jinak}\end{cases}\]<br />
<br />
\end{defn}<br />
\begin{rem}<br />
Adjacenční matice má následující zřejmé vlastnosti:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\vec{A}_{G}$ je symetrická, a tedy diagonalizovatelná, s reálným<br />
spektrem. Pro takovou matici platí $\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$<br />
, kde $\lambda_{i}$ jsou všechna vlastní čísla matice $\vec{A}_{G}$.<br />
Protože ovšem $\left(\forall i\in\hat{n}\right)\left(\left(\vec{A}_{G}\right)_{ii}=0\right)$,<br />
tak $0=\Tr\vec{A}_{G}=\sum\lambda_{i}$.<br />
\item Uvědomíme-li si, jakým způsobem vzniká $(i,j)$-tý prvek matice $\vec{A}_{G}\vec{A}_{G}=\vec{A}_{G}^{2}$,<br />
tak ze symetrie $\vec{A}_{G}$ plyne $\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)_{ii}=d_{G}(v_{i})$.<br />
Z toho dále plyne\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{2}=\Tr\left(\vec{A}_{G}^{2}\right)=\sum_{i=1}^{n}d_{G}(v_{i})=2\# E.\]<br />
<br />
\end{itemize}<br />
\end{rem}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4505
01ZTGA
2012-01-15T11:39:27Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
\chapter{Standardní kurs teorie grafů}<br />
<br />
\ifx \dd \undefined<br />
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}<br />
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}<br />
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}<br />
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}\,}<br />
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}<br />
\newcommand{\val}{\mathrm{val}\,}<br />
\newcommand{\crs}{\mathrm{cr}}<br />
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}<br />
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}\,}<br />
\fi<br />
<br />
\input{cast1_kapitola1}<br />
\input{cast1_kapitola2}<br />
\input{cast1_kapitola3}<br />
\input{cast1_kapitola4}<br />
\input{cast1_kapitola5}<br />
\input{cast1_kapitola6}<br />
\input{cast1_kapitola7}<br />
\input{cast1_kapitola8}<br />
\input{cast1_kapitola9}<br />
\input{cast1_kapitola10}<br />
\input{cast1_kapitola11}<br />
\input{cast1_kapitola12}<br />
\input{cast1_kapitola13}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4504
01ZTGA
2012-01-15T11:36:37Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0}<br />
<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Kapitola0&diff=4503
01ZTGA:Kapitola0
2012-01-15T11:36:14Z
<p>Karel.brinda: Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01ZTGA} \chapter*{Úvod} \addcontentsline{toc}{chapter}{Úvod} V průběhu přípravy na zkoušku ze Základů teorie grafů jsem si uvědomil, že mé z...</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
\addcontentsline{toc}{chapter}{Úvod}<br />
<br />
V průběhu přípravy na zkoušku ze Základů teorie grafů jsem si uvědomil,<br />
že mé zápisky z přednášky jsou natolik kvalitní, že by bylo možné<br />
je použít jako základ pro docela slušná skripta z tohoto předmětu.<br />
Ještě před samotnou zkouškou jsem tedy zkusil napsat pár stránek a<br />
s výsledkem jsem byl natolik spokojen, že jsem s chutí pokračoval<br />
dál, pouze s motivací vytvořit něco smysluplného a užitečného. Přesto<br />
mám poněkud rozporuplné pocity z následků, které uveřejnění tohoto<br />
materiálu může mít.<br />
<br />
Je jasné, že dobré zápisky nelze sestavit na základě nedobrých přednášek.<br />
Skvělé a zajímavé přednášky paní docentky Edity Pelantové je však<br />
skoro škoda publikovat tak, aby byly každému snadno a volně dostupné.<br />
Student získá určitou jistotu, o kterou se v případě potřeby bude<br />
moci opřít, ale po krátkém čase usoudí, že sám si o mnoho lepší poznámky<br />
z přednášky neodnese. Je-li student trochu línější, na přednášce se<br />
už neukáže. Je pravda, že ve čtvrtém ročníku již velká většina studentů<br />
brzy rozpozná kvalitu přednášek a dokáže si jí vážit. Ale vy, kteří<br />
jste v pokušení, vězte, že byste přišli opravdu o hodně. I kdybyste<br />
na žádné jiné přednášky nechodili, na grafy choďte, protože skutečně<br />
stojí za to. A dělejte si zápisky, protože tak se toho nejvíc naučíte<br />
:-)<br />
<br />
ZTG se od akademického roku 2005/2006 dělí na dva předměty s odlišnou<br />
náplní. ZTG-B se skládá z 1 přednášky a 1 cvičení týdně. Na přednášce<br />
jsou představeny základní kapitoly z teorie grafů, které pokrývá první<br />
část těchto zápisků. Na cvičení jsou pak předmětem studia mimo jiné<br />
algoritmy řešící některé známé grafové úlohy. ZTG-A se skládá ze 2<br />
přednášek týdně, přičemž jedna je vždy vedena v době, kdy posluchači<br />
varianty B tohoto předmětu mají zrovna cvičení. Předmětem této přednášky<br />
jsou některé pokročilejší partie teorie grafů, jako jsou věty z extremální<br />
teorie grafů a ramseyovská čísla, dále pak generující funkce a jejich<br />
využití demonstrované na velmi pěkných příkladech z oboru kombinatoriky<br />
nebo teorie čísel. Tato část přednášky je pokryta ve druhé a třetí<br />
kapitole.<br />
<br />
Celý text velmi těsně kopíruje látku vyloženou na přednáškách, některé<br />
pasáže jsou však mírně modifikovány, aby jejich pochopení nebo návaznost<br />
byly (z mého pohledu) přirozenější. Vzhledem k tomu, že existuje kvalitní<br />
a přitom na internetu volně dostupná anglická literatura (dva příklady<br />
jsou uvedeny v seznam použité literatury), opatřil jsem mnoho definic<br />
jednotlivých pojmů též jejich anglickým zněním. Důkazy jsou někdy<br />
komentovány až příliš, mou snahou však bylo nenechat žádného čtenáře<br />
na holičkách. Na druhou stranu však platí, že nejlépe si pamatujeme<br />
to, na co přijdeme sami.<br />
<br />
Přeji vám všem, aby vám tyto poznámky byly užitečnou pomůckou při<br />
studiu a abyste úspěšně složili zkoušky nejen z teorie grafů.<br />
<br />
\bigskip{}<br />
\begin{flushright}Pavel Strachota\end{flushright}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4502
01ZTGA
2012-01-15T11:35:59Z
<p>Karel.brinda: Obsah stránky nahrazen textem „%\wikiskriptum{01ZTGA}
\input{header}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\
{\large (poznámky z přednášek)}}...“</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
\input{cast0_kapitola1}<br />
<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Header&diff=4501
01ZTGA:Header
2012-01-15T11:34:50Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\documentclass[english,czech]{book}<br />
\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage{geometry}<br />
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=4cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm,rmargin=2cm,headheight=0.8cm,headsep=1cm,footskip=0.5cm}<br />
\pagestyle{headings}<br />
\setcounter{tocdepth}{2}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.<br />
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}<br />
%% Because html converters don't know tabularnewline<br />
\providecommand{\tabularnewline}{\\}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.<br />
\usepackage{amsmath,amsthm}<br />
\usepackage{ae,aecompl}<br />
\numberwithin{section}{chapter}<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{thm}{V\v{e}ta}[section]<br />
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem*{notation*}{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{obs*}{Pozorov\'{a}n\'{i}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{defn}[thm]{Definice}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{rem*}{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem{rem}[thm]{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{cor*}{D\r{u}sledek}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{example*}{P\v{r}\'{i}klad}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{obs}[thm]{Pozorov\'{a}n\'{i}} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{algorithm}[thm]{Algoritmus} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem{notation}[thm]{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{cor}[thm]{D\r{u}sledek} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\newenvironment{lyxlist}[1]<br />
{\begin{list}{}<br />
{\settowidth{\labelwidth}{#1}<br />
\setlength{\leftmargin}{\labelwidth}<br />
\addtolength{\leftmargin}{\labelsep}<br />
\renewcommand{\makelabel}[1]{##1\hfil}}}<br />
{\end{list}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{defn*}{Definice}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{prop*}{Tvrzen\'{i}} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{thm*}{V\v{e}ta} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{lem*}{Lemma}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{example}[thm]{P\v{r}\'{i}klad}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.<br />
<br />
\usepackage{color}<br />
\usepackage{pictex}<br />
\usepackage[bookmarks=true,pdfstartview=FitH,pdftitle={Zápisky ze ZTG},pdfauthor={Pavel Strachota}]{hyperref}<br />
<br />
\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}<br />
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}<br />
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}<br />
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}<br />
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}<br />
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}\,}<br />
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}<br />
\newcommand{\val}{\mathrm{val}\,}<br />
\newcommand{\crs}{\mathrm{cr}}<br />
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}<br />
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}\,}<br />
\newcommand{\stirl}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}<br />
<br />
\usepackage{babel}<br />
\makeatother</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:ControlFile&diff=4500
01ZTGA:ControlFile
2012-01-15T11:34:10Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div> \wikiparent{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\wikichapter{0}{cast0}{Úvod}<br />
<br />
\wikichapter{1_1}{cast1_kapitola1}{Základní pojmy}<br />
\wikichapter{1_2}{cast1_kapitola2}{Souvislost}<br />
\wikichapter{1_3}{cast1_kapitola3}{Bipartijní grafy}<br />
\wikichapter{1_4}{cast1_kapitola4}{Stromy}<br />
\wikichapter{1_5}{cast1_kapitola5}{Hledání minimální kostry grafu}<br />
\wikichapter{1_6}{cast1_kapitola6}{Jednotažky}<br />
\wikichapter{1_7}{cast1_kapitola7}{Hamiltonovské kružnice a grafy}<br />
\wikichapter{1_8}{cast1_kapitola8}{Párování v grafech}<br />
\wikichapter{1_9}{cast1_kapitola9}{Toky v sítích}<br />
\wikichapter{1_10}{cast1_kapitola10}{Hranové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_11}{cast1_kapitola11}{Vrcholové obarvení grafu}<br />
\wikichapter{1_12}{cast1_kapitola12}{Planární grafy}<br />
\wikichapter{1_13}{cast1_kapitola13}{Vlastní čísla adjacenční matice grafu}</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Header&diff=4499
01ZTGA:Header
2012-01-15T11:32:48Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\documentclass[english,czech]{book}<br />
\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage{geometry}<br />
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=4cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm,rmargin=2cm,headheight=0.8cm,headsep=1cm,footskip=0.5cm}<br />
\pagestyle{headings}<br />
\setcounter{tocdepth}{2}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.<br />
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}<br />
%% Because html converters don't know tabularnewline<br />
\providecommand{\tabularnewline}{\\}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.<br />
\usepackage{amsmath,amsthm}<br />
\usepackage{ae,aecompl}<br />
\numberwithin{section}{chapter}<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{thm}{V\v{e}ta}[section]<br />
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem*{notation*}{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{obs*}{Pozorov\'{a}n\'{i}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{defn}[thm]{Definice}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{rem*}{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem{rem}[thm]{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{cor*}{D\r{u}sledek}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{example*}{P\v{r}\'{i}klad}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{obs}[thm]{Pozorov\'{a}n\'{i}} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{algorithm}[thm]{Algoritmus} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem{notation}[thm]{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{cor}[thm]{D\r{u}sledek} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\newenvironment{lyxlist}[1]<br />
{\begin{list}{}<br />
{\settowidth{\labelwidth}{#1}<br />
\setlength{\leftmargin}{\labelwidth}<br />
\addtolength{\leftmargin}{\labelsep}<br />
\renewcommand{\makelabel}[1]{##1\hfil}}}<br />
{\end{list}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{defn*}{Definice}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{prop*}{Tvrzen\'{i}} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{thm*}{V\v{e}ta} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{lem*}{Lemma}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{example}[thm]{P\v{r}\'{i}klad}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.<br />
<br />
\usepackage{color}<br />
\usepackage{pictex}<br />
\usepackage[bookmarks=true,pdfstartview=FitH,pdftitle={Zápisky ze ZTG},pdfauthor={Pavel Strachota}]{hyperref}<br />
<br />
\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}<br />
<br />
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}<br />
<br />
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}<br />
<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}<br />
<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}<br />
<br />
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}<br />
<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
<br />
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}<br />
<br />
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}<br />
<br />
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}\,}<br />
<br />
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}<br />
<br />
\newcommand{\val}{\mathrm{val}\,}<br />
<br />
\newcommand{\crs}{\mathrm{cr}}<br />
<br />
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}<br />
<br />
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}\,}<br />
<br />
\newcommand{\stirl}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}<br />
<br />
\usepackage{babel}<br />
\makeatother</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA:Header&diff=4498
01ZTGA:Header
2012-01-15T11:31:35Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
<br />
\documentclass[english,czech]{book}<br />
\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage[cp1250]{inputenc}<br />
\usepackage{geometry}<br />
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=4cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm,rmargin=2cm,headheight=0.8cm,headsep=1cm,footskip=0.5cm}<br />
\pagestyle{headings}<br />
\setcounter{tocdepth}{2}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.<br />
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}<br />
%% Because html converters don't know tabularnewline<br />
\providecommand{\tabularnewline}{\\}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.<br />
\usepackage{amsmath,amsthm}<br />
\usepackage{ae,aecompl}<br />
\numberwithin{section}{chapter}<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{thm}{V\v{e}ta}[section]<br />
\numberwithin{equation}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\numberwithin{figure}{section} %% Comment out for sequentially-numbered<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem*{notation*}{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{obs*}{Pozorov\'{a}n\'{i}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{defn}[thm]{Definice}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{rem*}{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem{rem}[thm]{Pozn\'{a}mka}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{cor*}{D\r{u}sledek}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{example*}{P\v{r}\'{i}klad}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{obs}[thm]{Pozorov\'{a}n\'{i}} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{lem}[thm]{Lemma} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{algorithm}[thm]{Algoritmus} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\theoremstyle{remark} <br />
\newtheorem{notation}[thm]{\'{U}mluva} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem{cor}[thm]{D\r{u}sledek} %%Delete [thm] to re-start numbering<br />
\newenvironment{lyxlist}[1]<br />
{\begin{list}{}<br />
{\settowidth{\labelwidth}{#1}<br />
\setlength{\leftmargin}{\labelwidth}<br />
\addtolength{\leftmargin}{\labelsep}<br />
\renewcommand{\makelabel}[1]{##1\hfil}}}<br />
{\end{list}}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem*{defn*}{Definice}<br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{prop*}{Tvrzen\'{i}} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{thm*}{V\v{e}ta} <br />
\theoremstyle{plain} <br />
\newtheorem*{lem*}{Lemma}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{example}[thm]{P\v{r}\'{i}klad}<br />
<br />
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.<br />
<br />
\usepackage{color}<br />
\usepackage{pictex}<br />
\usepackage[bookmarks=true,pdfstartview=FitH,pdftitle={Zápisky ze ZTG},pdfauthor={Pavel Strachota}]{hyperref}<br />
<br />
\renewcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}<br />
<br />
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}<br />
<br />
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}<br />
<br />
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}<br />
<br />
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}<br />
<br />
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}<br />
<br />
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}<br />
<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
<br />
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}<br />
<br />
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}<br />
<br />
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}\,}<br />
<br />
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}<br />
<br />
\newcommand{\val}{\mathrm{val}\,}<br />
<br />
\newcommand{\crs}{\mathrm{cr}}<br />
<br />
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}<br />
<br />
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}\,}<br />
<br />
\newcommand{\stirl}[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}<br />
<br />
\usepackage{babel}<br />
\makeatother</div>
Karel.brinda
https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ZTGA&diff=4497
01ZTGA
2012-01-15T11:30:23Z
<p>Karel.brinda: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01ZTGA}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\pagestyle{empty}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\title{{\LARGE Základy Teorie Grafů}\\<br />
{\large (poznámky z přednášek)}}<br />
<br />
<br />
\author{Pavel Strachota, FJFI ČVUT}<br />
<br />
\maketitle<br />
\pagestyle{plain}<br />
<br />
\tableofcontents{}<br />
<br />
\listoffigures<br />
<br />
<br />
<br />
\chapter*{Úvod}<br />
<br />
\addcontentsline{toc}{chapter}{Úvod}<br />
<br />
V průběhu přípravy na zkoušku ze Základů teorie grafů jsem si uvědomil,<br />
že mé zápisky z přednášky jsou natolik kvalitní, že by bylo možné<br />
je použít jako základ pro docela slušná skripta z tohoto předmětu.<br />
Ještě před samotnou zkouškou jsem tedy zkusil napsat pár stránek a<br />
s výsledkem jsem byl natolik spokojen, že jsem s chutí pokračoval<br />
dál, pouze s motivací vytvořit něco smysluplného a užitečného. Přesto<br />
mám poněkud rozporuplné pocity z následků, které uveřejnění tohoto<br />
materiálu může mít.<br />
<br />
Je jasné, že dobré zápisky nelze sestavit na základě nedobrých přednášek.<br />
Skvělé a zajímavé přednášky paní docentky Edity Pelantové je však<br />
skoro škoda publikovat tak, aby byly každému snadno a volně dostupné.<br />
Student získá určitou jistotu, o kterou se v případě potřeby bude<br />
moci opřít, ale po krátkém čase usoudí, že sám si o mnoho lepší poznámky<br />
z přednášky neodnese. Je-li student trochu línější, na přednášce se<br />
už neukáže. Je pravda, že ve čtvrtém ročníku již velká většina studentů<br />
brzy rozpozná kvalitu přednášek a dokáže si jí vážit. Ale vy, kteří<br />
jste v pokušení, vězte, že byste přišli opravdu o hodně. I kdybyste<br />
na žádné jiné přednášky nechodili, na grafy choďte, protože skutečně<br />
stojí za to. A dělejte si zápisky, protože tak se toho nejvíc naučíte<br />
:-)<br />
<br />
ZTG se od akademického roku 2005/2006 dělí na dva předměty s odlišnou<br />
náplní. ZTG-B se skládá z 1 přednášky a 1 cvičení týdně. Na přednášce<br />
jsou představeny základní kapitoly z teorie grafů, které pokrývá první<br />
část těchto zápisků. Na cvičení jsou pak předmětem studia mimo jiné<br />
algoritmy řešící některé známé grafové úlohy. ZTG-A se skládá ze 2<br />
přednášek týdně, přičemž jedna je vždy vedena v době, kdy posluchači<br />
varianty B tohoto předmětu mají zrovna cvičení. Předmětem této přednášky<br />
jsou některé pokročilejší partie teorie grafů, jako jsou věty z extremální<br />
teorie grafů a ramseyovská čísla, dále pak generující funkce a jejich<br />
využití demonstrované na velmi pěkných příkladech z oboru kombinatoriky<br />
nebo teorie čísel. Tato část přednášky je pokryta ve druhé a třetí<br />
kapitole.<br />
<br />
Celý text velmi těsně kopíruje látku vyloženou na přednáškách, některé<br />
pasáže jsou však mírně modifikovány, aby jejich pochopení nebo návaznost<br />
byly (z mého pohledu) přirozenější. Vzhledem k tomu, že existuje kvalitní<br />
a přitom na internetu volně dostupná anglická literatura (dva příklady<br />
jsou uvedeny v seznam použité literatury), opatřil jsem mnoho definic<br />
jednotlivých pojmů též jejich anglickým zněním. Důkazy jsou někdy<br />
komentovány až příliš, mou snahou však bylo nenechat žádného čtenáře<br />
na holičkách. Na druhou stranu však platí, že nejlépe si pamatujeme<br />
to, na co přijdeme sami.<br />
<br />
Přeji vám všem, aby vám tyto poznámky byly užitečnou pomůckou při<br />
studiu a abyste úspěšně složili zkoušky nejen z teorie grafů.<br />
<br />
\bigskip{}<br />
\begin{flushright}Pavel Strachota\end{flushright}<br />
<br />
\pagestyle{headings}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>
Karel.brinda