https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Johndavi&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-28T09:11:12ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=826501NUM:Kapitola12019-06-04T14:54:51Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohu 2. řádu efektivně řeší např. metoda Runge-Kutta-Nyström (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha^*$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Každou diferenciální rovnici $n$-tého řádu lze vhodnou substitucí převést na soustavu $n$ diferenciálních rovnic 1. řádu, proto se zabývejme okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme podobně jako v případě rovnice 2. řádu, tj. nasazením metod Runge-Kutta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineárních rovnic 1. řádu}<br />
<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody. Uvažujme soustavu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Metoda střelby se typicky používá při řešení nelineárních rovnic. Ve snaze snížit riziko nestability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
Metoda sítí, též nazývána metodou konečných diferencí, představuje v současnosti nejpoužívanější způsob řešení diferenciálních rovnic.<br />
Spočívá v diskretizaci - nahrazení definičního oboru konečnou sítí bodů a vyjádření derivací jako diferencí, tj. jako lineárních kombinací funkčních hodnot v bodech sítě.<br />
Výsledkem je soutava algebraických rovnic s mnoha neznámými (přinejmenším tísíce), která se řeší pomocí teorie matic.<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=826401NUM:Kapitola12019-06-04T14:51:15Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohu 2. řádu efektivně řeší např. metoda Runge-Kutta-Nyström (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha^*$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Každou diferenciální rovnici $n$-tého řádu lze vhodnou substitucí převést na soustavu $n$ diferenciálních rovnic 1. řádu, proto se zabývejme okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme podobně jako v případě rovnice 2. řádu, tj. nasazením metod Runge-Kutta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineárních rovnic 1. řádu}<br />
<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody. Uvažujme soustavu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Metoda střelby se typicky používá při řešení nelineárních rovnic. Ve snaze snížit riziko nestability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
Metoda sítí, též nazývána metodou konečných diferencí, představuje v současnosti nejpoužívanější způsob řešení diferenciálních rovnic.<br />
Spočívá v diskretizaci - nahrazení definičního oboru konečnou sítí bodů a vyjádření derivací jako diferencí, tj. lineárních kombinací funkčních hodnot.<br />
Výsledkem je soutava algebraických rovnic s mnoha neznámými (přinejmenším tísíce), která se řeší pomocí teorie matic.<br />
<br />
Uvažujme následují typickou úlohu, buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=826301NUM:Kapitola12019-06-04T14:40:24Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohu 2. řádu efektivně řeší např. metoda Runge-Kutta-Nyström (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha^*$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Každou diferenciální rovnici řádu $n$ lze vhodnou substitucí převést na soustavu $n$ diferenciálních rovnic 1. řádu, proto se zabývejme okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme podobně jako v případě rovnice 2. řádu, tj. nasazením metod Runge-Kutta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineárních rovnic 1. řádu}<br />
<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody. Uvažujme soustavu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Metoda střelby se typicky používá při řešení nelineárních rovnic. Ve snaze snížit riziko nestability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
Metoda sítí, též nazývána metodou konečných diferencí, představuje v současnosti nejpoužívanější způsob řešení diferenciálních rovnic.<br />
Spočívá v diskretizaci - nahrazení definičního oboru konečnou sítí bodů a vyjádření derivací jako diference, tj. lineární kombinací funkčních hodnot.<br />
Výsledkem je soutava algebraických rovnic s mnoha neznámými (přinejmenším tísíce), která se řeší pomocí teorie matic.<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=826201NUM:Kapitola42019-06-03T17:59:37Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=826101NUM:Kapitola42019-06-03T17:58:17Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0 \quad\text{na} \quad (0,T)\times($x_1$,$x_2$)<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=826001NUM:Kapitola42019-06-03T17:56:40Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0 \quad\text{na} \quad ($t_1$,$t_2$)\times($x_1$,$x_2$)<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=825901NUM:Kapitola42019-06-03T17:54:39Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0 \quad\text{na}\, ($t_1$,$t_2$)\times($x_1$,$x_2$)<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=825801NUM:Kapitola42019-06-03T17:44:13Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0 \quad\text{na}(0,\,T)\times(a,\,b)<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola4&diff=825701NUM:Kapitola42019-06-03T17:36:55Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}<br />
\subsection{Zákony zachování}<br />
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že<br />
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění<br />
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru<br />
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán<br />
\[<br />
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho<br />
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)<br />
\]<br />
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$<br />
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho<br />
v)(t,\,x_2)\,\text dt.<br />
\]<br />
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.<br />
\]<br />
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit<br />
\begin{equation}<br />
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0<br />
\label{zakonyzachovanihmotnosti}<br />
\end{equation}<br />
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním<br />
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar<br />
<br />
\begin{subequations}<br />
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}<br />
\begin{gather}<br />
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\<br />
\frac\partial{\partial t}(E)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v(E + p))(t,\,x)=0<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory<br />
<br />
\[<br />
U = (\rho, \rho v, E) , F(U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))<br />
\]<br />
<br />
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{zakonyzachovani}<br />
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0,<br />
\end{equation}<br />
popř. v integrálním tvaru<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text<br />
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.<br />
\]<br />
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).<br />
<br />
\begin{example}<br />
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu<br />
rovnici}<br />
\[<br />
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.<br />
\]<br />
\end{example}<br />
<br />
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme<br />
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle<br />
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{slabyzakonzachovani}<br />
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\end{equation}<br />
Je<br />
\[<br />
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt<br />
\]<br />
a podobně<br />
\[<br />
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.<br />
\]<br />
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako<br />
\[<br />
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text<br />
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že<br />
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní<br />
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme<br />
\[<br />
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.<br />
\]<br />
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne<br />
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal<br />
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.<br />
<br />
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}<br />
<br />
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;<br />
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]<br />
je tzv. {\em numerický tok}.<br />
<br />
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}<br />
\[<br />
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],<br />
\]<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{MacCormackovo schéma}<br />
\[<br />
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Podmínka stability}<br />
Podmínka stability všech tří schémat je<br />
\[<br />
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},<br />
\]<br />
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825601NUM:Kapitola12019-06-03T14:29:03Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohu 2. řádu efektivně řeší např. metoda Runge-Kutta-Nyström (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha^*$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Každou diferenciální rovnici řádu $n$ lze vhodnou substitucí převést na soustavu $n$ diferenciálních rovnic 1. řádu, proto se zabývejme okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme podobně jako v případě rovnice 2. řádu, tj. nasazením metod Runge-Kutta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineárních rovnic 1. řádu}<br />
<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody. Uvažujme soustavu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Metoda střelby se typicky používá při řešení nelineárních rovnic. Ve snaze snížit riziko nestability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM&diff=825501NUM2019-06-03T14:06:25Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\title{Zápisky z Numerické matematiky 2}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum FJFI}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\maketitle<br />
<br />
Tato studentská wikiskripta jsou přepisem zápisků z přednášek Numerické matematiky prof. Dr. Ing. Beneše a pokrývají osnovy bakalářských předmětů NUM2 a NME2. Poslední kapitola byla přidaná ze skript pro DIFR, je tudíž dodatková, není přednášena ani zkoušena, obsahuje však důležitou látku z prekvizitních předmětů. Text wikiskript neprošel žádnou korekturou a s jistotou obsahuje chyby a překlepy, proto tímto prosím pozorné čtenáře o jejich opravování.<br />
<br />
\pagebreak<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
<br />
\end{document}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825401NUM:Kapitola12019-06-02T12:54:09Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohy efektivně řeší např. klasická metoda Runge-Kutta (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineární rovnic 1. řádu}<br />
<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825301NUM:Kapitola12019-06-01T20:11:41Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohy efektivně řeší např. klasická metoda Runge-Kutta (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825201NUM:Kapitola12019-06-01T16:56:52Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). <br />
Počáteční úlohy efektivně řeší např. klasická metoda Runge-Kutta (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
y_1^j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y_2^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825101NUM:Kapitola12019-06-01T16:53:37Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}), <br />
např. klasickou metodou Runge-Kutta (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. <br />
<br />
V praxi se využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
y_1^j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y_2^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=825001NUM:Kapitola12019-06-01T16:50:42Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}), <br />
např. klasickou metodou Runge-Kutta (viz 5. kapitola).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš neefektivní. <br />
<br />
V praxi se využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
y_1^j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y_2^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM&diff=824901NUM2019-06-01T16:37:15Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\title{Zápisky z NUM}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum FJFI}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\maketitle<br />
<br />
Tato studentská wikiskripta jsou přepisem zápisků z přednášek Numerické matematiky doc. Beneše a pokrývají osnovy bakalářských předmětů NUM2 a NME2. Kapitola 5. je dodatková, není přednášena ani zkoušena (bez záruky), obsahuje však důležitou látku z prekvizitních předmětů. Text wikiskript neprošel žádnou korekturou a s jistotou obsahuje chyby a překlepy, proto tímto prosím pozorné čtenáře o jejich opravování.<br />
<br />
\pagebreak<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
<br />
\end{document}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Header&diff=824801NUM:Header2019-06-01T16:30:33Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\documentclass[reqno, intlimits]{amsart}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{amsthm}<br />
\def\mathbbm{\mathbf} % pokud neni k dispozici bbm<br />
\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak<br />
\usepackage{a4}<br />
\usepackage[utf8]{inputenc}<br />
\usepackage{lmodern} <br />
\usepackage[czech]{babel}<br />
\usepackage{hyperref}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {Poznámky z~NUM},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
<br />
\usepackage{color}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{dcolumn}<br />
\usepackage{epsfig}<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{define}{Definice}[section]<br />
\newtheorem{tvrz}{Tvrzení}[section]<br />
\newtheorem{theorem}{Věta}[section]<br />
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem{remark}{Poznámka}[section]<br />
\newtheorem{example}{Příklad}[section]<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}<br />
\newcommand{\nor}[1]{\lVert#1\rVert}<br />
\newcommand{\lnor}[1]{|[#1\rVert}<br />
\newcommand{\rnor}[1]{\lVert#1]|}<br />
\newcommand{\onor}[1]{|[#1]|}<br />
\newcommand{\lrnorm}[1]{|[#1]|}<br />
\newcommand{\onabla}{\overline\nabla}<br />
\newcommand{\matice}{\mathbf}<br />
\newcommand{\A}{{\mathbf A}}<br />
\renewcommand{\proofname}{D ů k a z }<br />
\DeclareMathOperator{\diverge}{div}<br />
\DeclareMathOperator{\domain}{Dom}<br />
\newcommand{\Dom}[1]{\domain(#1)}<br />
\renewcommand{\rho}{\varrho}<br />
\renewcommand{\phi}{\varphi}<br />
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}<br />
\newcommand{\tucne}{\boldsymbol}<br />
<br />
\setcounter{tocdepth}{3}% subsubsection v obsahu<br />
<br />
\sloppy<br />
<br />
%definice českých uvozovek<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
%\newcolumntype{d}{>\centerdots}c<{\endcenterdots}}<br />
\newcolumntype{d}{D{.}{.}{-1}}<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
\def\cary{\buildrel\textstyle{\lower0.18pt\hbox{\smash-}}\over{\lower1.42pt\hbox{\smash-}}}<br />
<br />
\def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@<br />
$#1\copy\z@\mkern-6mu\cleaders<br />
\hbox{$#1\mkern-2mu\box\z@\mkern-2mu$}\hfill<br />
\mkern-6mu\mathord\rightrightarrows$}<br />
<br />
\newcommand{\xrightarrows}[2][]{<br />
\mathrel{\mathop{<br />
\setbox\z@\vbox{\m@th<br />
\hbox{$\scriptstyle\;{#1}\;\;$}<br />
\hbox{$\m@th\scriptstyle\;{#2}\;\;$}<br />
}<br />
\vbox{<br />
\kern-2pt<br />
\hbox to\ifdim\wd\z@>\minaw@\wd\z@\else\minaw@\fi{<br />
\rightarrowfill@x\displaystyle}<br />
}<br />
}<br />
\limits^{#2}\@ifnotempty{#1}{_{#1}}}<br />
}<br />
<br />
<br />
\addtolength{\textwidth}{72pt}<br />
\addtolength{\evensidemargin}{-36pt}<br />
\addtolength{\oddsidemargin}{-36pt}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
\newcommand{\dotm}{\buildrel\textstyle\raise2pt\hbox{\smash.}\over{\smash-}}<br />
\newcommand{\dotp}{\buildrel\textstyle\raise5.5pt\hbox{\smash.}\over{\smash+}}<br />
<br />
\renewcommand{\hat}{\widehat}<br />
<br />
\newcommand{\M}{{\mathcal M}}<br />
\newcommand{\HH}{{\mathcal H}}<br />
\renewcommand{\P}{{\mathcal P}}<br />
\renewcommand{\S}{{\mathcal S}}<br />
\renewcommand{\L}{{\mathcal L}}<br />
\newcommand{\LL}{{\mathrm L}}<br />
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}<br />
\renewcommand{\rho}{\varrho}<br />
\renewcommand{\phi}{\varphi}<br />
\newcommand{\Rop}{{\mathbb{R}^0_+}}<br />
\newcommand{\Rp}{{\mathbb{R}_+}}<br />
\newcommand{\Rm}{{\mathbb{R}_-}}<br />
\newcommand{\RR}{{\mathbb{R}^*}}<br />
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}<br />
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}<br />
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}<br />
\newcommand{\No}{{\mathbb{N}_0}}<br />
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}<br />
\newcommand{\CC}{{\mathbb{C}^*}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
\newcommand{\Zm}{{\mathbb{Z}_-}}<br />
\newcommand{\II}{{\hskip 1pt\mathbf{I}\hskip 1pt}}<br />
<br />
\renewcommand{\c}[1]{{\mathcal{C}^{(#1)}}}<br />
\newcommand{\AZR}{\mathrm{AZR}}<br />
<br />
\newcommand{\0}{\mathrm{O}}<br />
<br />
\newcommand{\jac}{{\mathcal J}}<br />
<br />
\newcommand{\I}{{\mathcal I}}<br />
\newcommand{\J}{{\mathcal J}}<br />
\newcommand{\K}{{\mathcal K}}<br />
\newcommand{\U}{{\mathcal U}}<br />
\newcommand{\n}{\hat n}<br />
<br />
\newcommand{\sk}[1]{\mathop{\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\nsk}[1]{\mathop{\not\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\posloupnost}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left(#3\right)}}}<br />
\newcommand{\system}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left\{#3\right\}}}}<br />
\newcommand{\posl}[1]{\posloupnost{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\poslo}[1]{\posloupnost{0}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\sys}[1]{\system{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\rada}[1]{\sum_0^\infty #1}<br />
\newcommand{\sm}{\smallsetminus}<br />
\newcommand{\iz}[1]{{#1^\mathrm{i}}}<br />
\newcommand{\vn}[1]{{#1^\circ}}<br />
\newcommand{\uz}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\hr}[1]{\Dot{#1}}<br />
\newcommand{\pp}{\subset\subset}<br />
\newcommand{\sv}{\,\mathrm{sv}\,}<br />
\newcommand{\id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}<br />
\newcommand{\Tr}{{\mathrm{Tr}\,}}<br />
<br />
\newcommand{\nulvec}{{\vec\theta}}<br />
\newcommand{\nulmat}{{\mathbf 0}}<br />
<br />
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}<br />
\newcommand{\mnorm}[1]{\left\|#1\right\|_{\mathrm I}}<br />
<br />
\renewcommand{\H}{{\mathrm H}}<br />
\newcommand{\V}{{\mathrm V}}<br />
\newcommand{\h}{{\mathrm h}}<br />
\newcommand{\im}{{\mathbf i}}<br />
\renewcommand{\d}{{\mathrm d}}<br />
\newcommand{\dx}{{\,\d x}}<br />
\newcommand{\dt}{{\,\d t}}<br />
\newcommand{\dy}{{\,\d y}}<br />
\newcommand{\pd}{\partial}<br />
%\newcommand{\la}{{<\mkern-1mu}}<br />
%\newcommand{\ra}{{\mkern-1mu>}}<br />
\newcommand{\la}{\langle}<br />
\newcommand{\ra}{\rangle}<br />
\newcommand{\bigx}{\mathop{\text{\Huge\lower4.6pt\hbox{X}}}}<br />
<br />
\newcommand{\noqed}{\renewcommand{\qed}{}}<br />
\makeatother</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola1&diff=824601NUM:Kapitola12019-05-02T20:22:06Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}<br />
\subsection{Metoda střelby}<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.<br />
řádu:<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrulohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.<br />
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro<br />
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze<br />
\begin{subequations}<br />
\label{poculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\begin{align}<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y'(a)&=\alpha.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že<br />
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}), <br />
např. metodou Runge-Kutta (viz dodatková kapitola o počátečních úlohách).<br />
<br />
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané<br />
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''<br />
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde<br />
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}<br />
\[<br />
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.<br />
\]<br />
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice<br />
$F(\alpha)=0$. V praxi můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla<br />
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo<br />
\[<br />
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.<br />
\]<br />
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak<br />
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš neefektivní. <br />
<br />
Výrazně účinější je využít Newtonovu metodu, tj. konstruovat iterační posloupnost<br />
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\begin{equation}<br />
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.<br />
\label{Newton}<br />
\end{equation}<br />
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o<br />
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial<br />
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom<br />
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané<br />
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je<br />
nahradit derivaci diferencí:<br />
\[<br />
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}<br />
-\alpha^{(k-1)}}.<br />
\]<br />
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly<br />
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.<br />
<br />
,,Sofistikovanější'' varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu<br />
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{gather}<br />
\label{rcevznikladerivovanim}<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial<br />
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,<br />
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial<br />
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci<br />
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{linearniulohavevariacich}<br />
\begin{gather}<br />
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial<br />
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial<br />
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}\right),\\<br />
\begin{align}<br />
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.<br />
\end{align}<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu<br />
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial<br />
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.<br />
<br />
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,<br />
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}<br />
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne<br />
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme<br />
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne<br />
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne<br />
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.<br />
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť<br />
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{druhapoculohastrelba}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha.<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0<br />
\]<br />
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne<br />
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice<br />
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\tucne F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\<br />
\vdots & & \vdots\\<br />
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial<br />
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako<br />
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření<br />
\[<br />
\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{<br />
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)<br />
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right<br />
],<br />
\]<br />
anebo vyjdeme z toho, že<br />
\[<br />
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial<br />
y_1^j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
r^i}{\partial y_2^l}(\tucne\alpha,\,\tucne<br />
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).<br />
\]<br />
Hodnoty $\frac{\partial<br />
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial<br />
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial<br />
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat<br />
n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle<br />
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných<br />
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a<br />
dále postupujeme stejně jako v případě rovnice 2. řádu.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez<br />
použití Newtonovy metody.<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\[<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\]<br />
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou<br />
\begin{equation}<br />
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}<br />
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.<br />
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení<br />
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne e_i.<br />
\end{gather*}<br />
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne<br />
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li<br />
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat<br />
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.<br />
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne<br />
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy<br />
\begin{gather*}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\<br />
\tucne y(a)=\tucne\alpha,<br />
\end{gather*}<br />
potom z linearity vyplývá<br />
\[<br />
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).<br />
\]<br />
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku<br />
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice<br />
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.<br />
\[<br />
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne<br />
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.<br />
\]<br />
Odtud již snadno dostaneme<br />
\[<br />
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne<br />
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}<br />
<br />
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost<br />
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$<br />
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost<br />
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a<br />
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme<br />
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu<br />
\[<br />
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),<br />
\]<br />
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost<br />
reálných čísel. Položme<br />
\[<br />
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne<br />
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.<br />
\]<br />
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové<br />
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro jednodušší zápis označme<br />
\[<br />
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<br />
\]<br />
a dále položme<br />
\[<br />
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{<br />
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.<br />
\]<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{<br />
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial<br />
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\<br />
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
)\left(\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right)_i=\\<br />
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}<br />
\right),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\<br />
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.<br />
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě<br />
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto<br />
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]<br />
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro<br />
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne<br />
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne<br />
F(\tucne\alpha^{(k)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:<br />
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno<br />
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další<br />
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup<br />
opakujeme.<br />
<br />
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}<br />
<br />
Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď<br />
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.<br />
nechť<br />
\[<br />
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.<br />
\]<br />
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$<br />
řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{jednajscarou}<br />
\begin{gather}<br />
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\<br />
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},<br />
\end{gather}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body<br />
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé<br />
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení<br />
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval<br />
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě<br />
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit<br />
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní <br />
\[<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.<br />
\]<br />
Dále musí být splněna okrajová podmínka<br />
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru<br />
\[<br />
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.<br />
\]<br />
<br />
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme<br />
\[<br />
\tucne<br />
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}<br />
):=<br />
\begin{cases}<br />
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\<br />
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &<br />
j=m,<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
a dále<br />
\[<br />
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},<br />
\]<br />
potom bude $m$-tice<br />
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,<br />
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice<br />
\[<br />
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.<br />
\]<br />
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou<br />
\begin{equation}<br />
\label{newtonstrelbanaviccilu}<br />
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice<br />
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).<br />
\end{equation}<br />
Pro danou $m$-tici<br />
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{<br />
(m-1)})$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{derivacematicovehozobrazenif}<br />
\matice F'(\tucne\alpha)=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice<br />
O & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice<br />
E & \hdots & \matice O & \matice O\\<br />
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\<br />
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &<br />
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}<br />
\end{pmatrix},<br />
\end{equation}<br />
kde jsme označili<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_1}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{<br />
\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}\right)<br />
\]<br />
pro $j\in\hat m$ a<br />
\[<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne<br />
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)<br />
\]<br />
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}<br />
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne<br />
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial<br />
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\<br />
\frac{\partial<br />
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},<br />
&i\in\hat n.<br />
\end{align*}<br />
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat<br />
m$.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),<br />
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah<br />
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru<br />
\[<br />
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),<br />
\]<br />
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.<br />
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^<br />
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
&\vdots\\<br />
\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}<br />
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\<br />
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Odtud pak můžeme vyjádřit<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k),\\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne<br />
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne<br />
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{<br />
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne<br />
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\<br />
& \vdots \\<br />
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3<br />
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne<br />
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).<br />
\end{eqnarray*}<br />
Z poslední rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne<br />
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{<br />
\partial\tucne r}{\partial\tucne<br />
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne<br />
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne<br />
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).<br />
\]<br />
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní<br />
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}<br />
<br />
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé<br />
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy<br />
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí<br />
se mnohem snažší varianta.<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\[<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\]<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{obycdifrcepresun}<br />
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkypresun}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{okrajovapodminka1presun}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{okrajovapodminka2presun}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,<br />
\]<br />
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{metodapresunudifvyraz}<br />
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha1}<br />
\begin{align}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(\xi)&=\alpha,\\<br />
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
resp.<br />
\begin{subequations}<br />
\label{metodapresunupomuloha2}<br />
\begin{align}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(\xi)&=\gamma,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.<br />
\begin{proof}<br />
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle<br />
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy<br />
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle<br />
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\<br />
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0<br />
\end{split}<br />
\]<br />
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je<br />
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost<br />
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se<br />
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,<br />
jak se snadno přesvědčíme.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost<br />
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),<br />
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se<br />
derivace v důkaze rovnala nule.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:<br />
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními<br />
počátečními podmínkami<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2,<br />
\end{align*}<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do<br />
čtyř kroků:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pz')'-qz&=0,\\<br />
z(a)&=\alpha_1,\\<br />
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
c'&=zf,\\<br />
c(a)&=\gamma_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}<br />
\begin{align}<br />
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\<br />
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy<br />
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit<br />
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}<br />
\begin{remark}<br />
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o<br />
řešitelnosti původní okrajové úlohy:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.<br />
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová<br />
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.<br />
\end{itemize}<br />
\end{remark}<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(x_0)&=\omega_1,\\<br />
y'(x_0)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však<br />
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
(pu')'-qu&=0,\\<br />
u(b)&=\alpha_2,\\<br />
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
d'&=uf,\\<br />
d(b)&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\<br />
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)<br />
\end{align*}<br />
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
(py')'-qy&=f,\\<br />
y(a)&=\omega_1,\\<br />
y'(a)&=\omega_2.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}<br />
<br />
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnisoustavapresunop}<br />
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne<br />
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových<br />
podmínek<br />
\begin{subequations}<br />
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}<br />
\begin{align}<br />
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\<br />
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne<br />
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice<br />
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu<br />
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah<br />
\[<br />
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,<br />
\]<br />
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,<br />
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{presunopprosoustavumain}<br />
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),<br />
\end{equation}<br />
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(\xi)&=\matice U,<br />
\end{align*}<br />
resp.<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(\xi)&=\tucne c<br />
\end{align*}<br />
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle<br />
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice<br />
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,<br />
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}<br />
\begin{proof}<br />
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:<br />
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna<br />
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne<br />
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne<br />
r'=\\<br />
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne<br />
r'=\tucne0.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek<br />
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční<br />
podmínkou<br />
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]<br />
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\<br />
\matice R(a)&=\matice U_1,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\<br />
\tucne r(a)&=\tucne c_1.<br />
\end{align*}<br />
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm<br />
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\<br />
\matice S(b)&=\matice U_2,<br />
\end{align*}<br />
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$<br />
počáteční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\<br />
\tucne s(b)&=\tucne c_2.<br />
\end{align*}<br />
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic<br />
\begin{align*}<br />
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\<br />
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\<br />
\end{align*}<br />
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.<br />
\item Řešíme počáteční úlohu<br />
\begin{align*}<br />
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\<br />
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Metoda sítí pro ODE}<br />
<br />
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle<br />
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{podminkaelipticityode}<br />
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).<br />
\end{equation}<br />
Uvažme diferenciální rovnici<br />
\begin{equation}<br />
\label{tvarode}<br />
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),<br />
\end{equation}<br />
s okrajovými podmínkami<br />
\begin{subequations}<br />
\label{pocpodmode}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{pocpodmode1}<br />
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\<br />
\label{pocpodmode2}<br />
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,<br />
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\<br />
\alpha_2+\beta_2&>&0.<br />
\end{eqnarray*}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.<br />
\end{remark}<br />
\begin{remark}<br />
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru<br />
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em<br />
nemusejí} být splněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo<br />
\[<br />
h:=\frac{b-a}m<br />
\]<br />
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}<br />
definujeme jako množinu<br />
\[<br />
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},<br />
\]<br />
\[<br />
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.<br />
\]<br />
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf<br />
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu<br />
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým<br />
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným<br />
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor<br />
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.<br />
<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme<br />
\[<br />
u_j:=u(a+jh).<br />
\]<br />
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.<br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit<br />
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť<br />
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde <br />
$\mathcal P$ je projekční operátor.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na<br />
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf<br />
konzistentní}, jestliže<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal<br />
C\langle a,\,b\rangle.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Norma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]<br />
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Seminorma<br />
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,<br />
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]<br />
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory<br />
interpolace:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,<br />
\[<br />
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]<br />
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},<br />
\]<br />
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,<br />
\[<br />
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac<br />
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{<br />
(b-\frac h2,\,b\rangle}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech<br />
lineární, resp. po částech konstantní funkce.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Dopředná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.<br />
\]<br />
\item Zpětná diference<br />
\[<br />
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.<br />
\]<br />
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar<br />
x})_x(x)$. Je tedy<br />
\[<br />
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]<br />
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.<br />
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním<br />
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}[Landauův symbol]<br />
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$<br />
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce<br />
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]<br />
v okolí nuly omezená.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$<br />
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
<br />
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor<br />
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]<br />
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$<br />
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$<br />
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Platí<br />
\[<br />
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}<br />
\]<br />
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$<br />
\[<br />
\left((pu_{\bar<br />
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{vetaoraduaproximace}<br />
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor<br />
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor<br />
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar<br />
x})_x)_j-(qy)_j=\\<br />
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je<br />
\[<br />
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)<br />
\]<br />
a<br />
\[<br />
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).<br />
\]<br />
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je<br />
\[<br />
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),<br />
\]<br />
takže<br />
\[<br />
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),<br />
\]<br />
\[<br />
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).<br />
\]<br />
Můžeme psát<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}<br />
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\<br />
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]<br />
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\<br />
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{<br />
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\<br />
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\<br />
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{<br />
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}^p=\\<br />
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}<br />
^p.\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou<br />
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší<br />
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}).<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,<br />
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo<br />
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit<br />
$y_{\bar x,j}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})<br />
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky<br />
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{nahradapocpodmode1}<br />
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\label{nahradapocpodmode2}<br />
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
<br />
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti<br />
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme<br />
\[<br />
l_hy:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{remark}<br />
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm<br />
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal<br />
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.<br />
\end{remark}<br />
Jestliže dále označíme<br />
\[<br />
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},<br />
\]<br />
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisou}<br />
\begin{eqnarray}<br />
Ly&=&f,\\<br />
ly&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou<br />
\begin{subequations}<br />
\label{operatorovyzapisdu}<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{operatorovyzapisdu1}<br />
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\<br />
\label{operatorovyzapisdu2}<br />
l_hu&=&\gamma,<br />
\end{eqnarray}<br />
\end{subequations}<br />
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme<br />
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad<br />
i\in\widehat{m-1};<br />
\end{equation}<br />
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\<br />
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.<br />
\end{eqnarray*}<br />
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic<br />
<br />
\hspace{-1cm}<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccccccc}<br />
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\<br />
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\<br />
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\<br />
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\<br />
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
<br />
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto<br />
soustavu zapsat ve tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{tridig}<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\end{equation}<br />
kde<br />
\[<br />
\vec<br />
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá<br />
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových<br />
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami<br />
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že<br />
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně<br />
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední<br />
rovnice bude mít podobu<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&<br />
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,<br />
\end{array}<br />
\]<br />
resp.<br />
\[<br />
\begin{array}{ccccc}<br />
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&<br />
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&<br />
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.<br />
\end{array}<br />
\]<br />
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Konvergence a přesnost}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,<br />
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení<br />
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})<br />
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy<br />
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma<br />
$\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.<br />
\]<br />
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal<br />
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento<br />
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha<br />
hodnot<br />
\[<br />
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots<br />
\]<br />
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme<br />
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Systém úloh<br />
\begin{equation}<br />
\label{ds}<br />
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá {\bf diferenční schéma}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková<br />
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující<br />
dvě podmínky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm<br />
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec<br />
u\in\overline\omega_h)$,<br />
\item<br />
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{<br />
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,<br />
\end{enumerate}<br />
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. <br />
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laxova]<br />
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální<br />
operátor, je konvergentní.<br />
\begin{proof}<br />
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od<br />
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{divnaveta1}<br />
\begin{align}<br />
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová<br />
funkce<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci<br />
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).<br />
\]<br />
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h<br />
\end{align*}<br />
neboli<br />
\begin{align*}<br />
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\<br />
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.<br />
\end{align*}<br />
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$<br />
tak, že pro každé $h>0$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{divnaveta2}<br />
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.<br />
\end{equation}<br />
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci<br />
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že<br />
\[<br />
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,<br />
\]<br />
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a<br />
využít ekvivalence norem na síti.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}<br />
\begin{define}<br />
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,<br />
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe<br />
\[<br />
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,<br />
\]<br />
\[<br />
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.<br />
\]<br />
Dále definujeme<br />
\[<br />
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},<br />
\]<br />
\[<br />
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Síťová formule per partes:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{sitoveperpartes1}<br />
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).<br />
\end{eqnarray}<br />
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro<br />
$x\in\overline\omega_h$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\label{sitovygreen1}<br />
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.<br />
\end{equation}<br />
\item Druhá Greenova formule:<br />
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar<br />
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}<br />
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\<br />
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}<br />
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\<br />
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar<br />
x}v]-u_0v_1+u_mv_m.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=<br />
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\<br />
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=<br />
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$<br />
dostaneme<br />
\[<br />
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar<br />
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.<br />
\]<br />
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule<br />
(\ref{sitovygreen1}).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev1}<br />
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že<br />
$u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev1}<br />
\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
\sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:sobolev2}<br />
\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=<br />
u_m-u_k.<br />
\end{equation}<br />
Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},<br />
\eqref{eq:sobolev2} redukují na<br />
\[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]<br />
<br />
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,<br />
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v<br />
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=\left(1-\frac km\right)<br />
\left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+<br />
\frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\<br />
&\le\left(1-\frac km\right)<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}<br />
\left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+<br />
\frac km<br />
\underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}<br />
\left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+<br />
kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\<br />
&=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2<br />
=(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě<br />
$x=\frac12$ a<br />
$f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac<br />
km\right)\le\frac14$ a<br />
\[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=<br />
\frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
<br />
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí<br />
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
Protože $u_0=u_m=0$, je<br />
\[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat<br />
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev2}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí<br />
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\<br />
&\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme<br />
\[<br />
\nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar<br />
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je<br />
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého<br />
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi<br />
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi<br />
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.<br />
<br />
Uvažme okrajovou úlohu<br />
\begin{gather*}<br />
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\<br />
y(a)=0,\quad y(b)=0.<br />
\end{gather*}<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru<br />
\[<br />
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).<br />
\]<br />
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme<br />
\[<br />
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad<br />
\sin\alpha(b-\beta)=0.<br />
\]<br />
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku<br />
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]<br />
tj.<br />
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]<br />
neboli<br />
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Získali jsme tak systém funkcí<br />
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme<br />
\[<br />
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.<br />
\]<br />
Tato rovnice je evidentně splněna pro<br />
\[<br />
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.<br />
\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{sobolev3}<br />
Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak<br />
\[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le<br />
\frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:<br />
\begin{align}<br />
\label{lemma3rce}<br />
-u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\<br />
\label{lemma3pod}<br />
u_0=u_m&=0.<br />
\end{align}<br />
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v<br />
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici<br />
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby<br />
\[<br />
L_hu=\lambda u,<br />
\]<br />
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.<br />
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{rcezdukazulemmy3}<br />
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.<br />
\end{equation}<br />
<br />
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První<br />
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne<br />
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]<br />
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce<br />
\[<br />
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad<br />
k\in\mathbbm Z,<br />
\]<br />
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme<br />
\[-\frac{1}{h^2}\left[<br />
\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)<br />
\right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]<br />
Pomocí vzorců<br />
\[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]<br />
\[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]<br />
upravíme<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\<br />
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}<br />
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\<br />
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{<br />
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-<br />
\cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)<br />
\right]=\\<br />
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]<br />
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako<br />
\[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-<br />
\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
Z toho plyne, že<br />
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]<br />
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. <br />
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. <br />
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou<br />
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]<br />
<br />
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní<br />
bázi má tvar<br />
\[<br />
^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
2 & -1 & \\<br />
- 1 & 2 & -1 & \\<br />
& - 1 & 2 & -1 & \\<br />
& & \ddots & \ddots & \ddots\\<br />
& & & -1 & 2 & -1\\<br />
& & & & -1 & 2\\<br />
\end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.<br />
\]<br />
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,<br />
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,<br />
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.<br />
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou<br />
ortogonální.<br />
<br />
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule<br />
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]<br />
Zároveň ale víme, že platí<br />
\[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad<br />
-u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]<br />
a tedy<br />
\[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=<br />
-\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=<br />
(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
Celkem jsme dokázali, že platí<br />
\[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]<br />
takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.<br />
<br />
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci<br />
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky<br />
(\ref{lemma3pod}) existují<br />
$\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že<br />
\[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]<br />
Odtud<br />
\begin{equation}<br />
\label{lemma3parseval}<br />
\nor{u}_h^2=(u,u)_h=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2<br />
\end{equation}<br />
a podobně<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=<br />
\sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=<br />
\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]<br />
kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že<br />
\[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=<br />
\lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]<br />
<br />
Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí<br />
$0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})<br />
můžme psát<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]<br />
\[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2<br />
\nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]<br />
Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí<br />
\[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]<br />
Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,<br />
a tedy<br />
\[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=<br />
\frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]<br />
Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových<br />
podmínek)}<br />
\label{pripaddirichlet}<br />
Uvažujme úlohu<br />
\begin{equation}<br />
\begin{split}<br />
\label{eq:energ1}<br />
-(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\<br />
y(a)&=\gamma_1,\\<br />
y(b)&=\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
a odpovídající diferenční schéma<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:energ2}<br />
\begin{split}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\<br />
u_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2.<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy<br />
\eqref{eq:energ2} dostaneme<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ3}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ3a}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\<br />
(u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom<br />
chyba aproximace bude dána<br />
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal<br />
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]<br />
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako<br />
\[<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal<br />
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal<br />
P_hy)-\Psi_h.<br />
\]<br />
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu<br />
\begin{subequations}<br />
\label{eq:energ4}<br />
\begin{align}<br />
\label{eq:energ4a}<br />
-(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\<br />
\label{eq:energ4b}<br />
z_0=z_m&=0.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu<br />
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme<br />
\[<br />
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar<br />
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,<br />
\]<br />
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.<br />
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge<br />
c_0>0$; odtud plyne, že<br />
\begin{align*}<br />
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\<br />
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge<br />
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,<br />
\end{align*}<br />
a tudíž<br />
\begin{equation}<br />
\label{predenergetickanerovnost}<br />
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}[Youngova nerovnost]<br />
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak<br />
\[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]<br />
\begin{proof}<br />
Za daných předpokladů je<br />
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon<br />
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$<br />
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}<br />
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]<br />
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu<br />
\ref{sobolev2}<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar<br />
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}<br />
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{<br />
\bar x}}^2.<br />
\]<br />
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme<br />
\[<br />
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.<br />
\]<br />
Pak dostaneme<br />
\[<br />
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}<br />
\[<br />
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad<br />
\[<br />
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.<br />
\]<br />
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a<br />
stabilní).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle<br />
(\ref{predenergetickanerovnost}) je<br />
\[<br />
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.<br />
\]<br />
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme<br />
\[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le<br />
\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]<br />
odkud již plyne dotyčný odhad.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle<br />
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle<br />
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.<br />
Odtud<br />
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]<br />
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}<br />
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu<br />
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy<br />
\begin{align*}<br />
-(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\<br />
u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\<br />
u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu<br />
\eqref{eq:energ4}, a proto platí<br />
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]<br />
kde<br />
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]<br />
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to<br />
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne<br />
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]<br />
tj. konvergence, neboť<br />
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]<br />
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť<br />
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}<br />
Budeme se zabývat okrajovou úlohou<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton1}<br />
\begin{split}<br />
-y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\<br />
-y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\<br />
y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:newton2}<br />
\begin{split}<br />
-u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\<br />
-u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\<br />
u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
jež můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,<br />
\]<br />
kde<br />
\[<br />
\matice A_h\vec u=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\<br />
-(u_{\bar xx})_1\\<br />
-(u_{\bar xx})_2\\<br />
\vdots\\<br />
-(u_{\bar xx})_{m-1}\\<br />
\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)<br />
\end{pmatrix},\quad<br />
\vec\phi_h=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\gamma_1\\<br />
f_1\\<br />
f_2\\<br />
\vdots\\<br />
f_{m-1}\\<br />
\frac2h\gamma_2<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
\begin{define}<br />
Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$<br />
předpisem<br />
\[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]<br />
Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.<br />
\end{remark}<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
[u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+<br />
u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\<br />
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar<br />
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar<br />
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\<br />
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar<br />
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\<br />
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar<br />
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{lemma}<br />
\label{energ_lemma2}<br />
Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je<br />
pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge<br />
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že<br />
\[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad<br />
u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]<br />
Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé<br />
$\epsilon>0$<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le<br />
(1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le (1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=<br />
(1+\epsilon)u_0^2+<br />
\left(1+\frac1\epsilon\right)kh<br />
\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Obdobně<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\<br />
&\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
\sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\<br />
&=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Celkem<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+<br />
\frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(<br />
kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+<br />
(m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2<br />
\right)\le\\<br />
&\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}<br />
(b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=<br />
\sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left( \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2} (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2 \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\<br />
&=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+ \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\<br />
&\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2} \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\<br />
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboli<br />
\begin{equation}<br />
\label{pomocnetvrzeni2}<br />
\rnor{u_{\bar<br />
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}<br />
\lrnorm u^2.<br />
\end{equation}<br />
Nyní již bude důkaz hračkou. Je<br />
\begin{equation}<br />
\label{hracka}<br />
\begin{split}<br />
[\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+<br />
\frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+<br />
\frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+<br />
u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\<br />
&=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge<br />
\rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).<br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme<br />
\[<br />
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed<br />
\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
\begin{tvrz}<br />
Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k<br />
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$<br />
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.<br />
\end{tvrz}<br />
\begin{proof}<br />
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu<br />
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak<br />
získáme soustavu rovnic<br />
\begin{subequations}<br />
\begin{align}<br />
\label{prvnircenewton}<br />
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\<br />
\label{druharcenewton}<br />
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\<br />
\label{tretircenewton}<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.<br />
\end{align}<br />
\end{subequations}<br />
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána<br />
\[<br />
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal<br />
P_hy)_{\bar xx}<br />
\]<br />
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako<br />
\[<br />
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h<br />
\]<br />
neboli<br />
\[<br />
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.<br />
\]<br />
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.<br />
Chyby aproximace jsou dány<br />
\begin{align*}<br />
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal<br />
P_h(-y')_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\<br />
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal<br />
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},<br />
\end{align*}<br />
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})<br />
přepsat jako<br />
\begin{align*}<br />
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\<br />
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{align*}<br />
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\<br />
-z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\<br />
z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve<br />
tvaru<br />
\[\A z=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac2h\Psi_{h,0}\\<br />
(\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\<br />
\frac2h\Psi_{h,m}<br />
\end{pmatrix},<br />
\]<br />
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že<br />
\[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le<br />
\frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]<br />
Odtud<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\<br />
&=\frac1c<br />
\left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2<br />
\left(<br />
\frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2<br />
\right)<br />
\right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle<br />
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je<br />
\[<br />
u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+ \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,<br />
\]<br />
a proto<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\<br />
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\<br />
&=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\<br />
&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Odtud<br />
\[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]<br />
\renewcommand{\qed}{}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava<br />
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme<br />
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic<br />
\begin{align*}<br />
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\<br />
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\<br />
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.<br />
\end{align*}<br />
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace<br />
\begin{equation}<br />
\label{linearnikombinace}<br />
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.<br />
\end{equation}<br />
Po dosazení do soustavy dostaneme<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\<br />
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.<br />
\end{align*}<br />
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat<br />
\[<br />
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}<br />
\]<br />
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01NUM:Kapitola5&diff=824501NUM:Kapitola52019-04-29T22:47:50Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01NUM}<br />
\section{Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice}<br />
<br />
Hledáme řešení rovnice $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$. Řekneme, že úloha je<br />
numericky vyřešena, právě když se podaří sestavit řešení ve tvaru<br />
$y(x_0+h)\doteq y(x_0)+\Delta y_0(x_0,y_0,h)$.<br />
<br />
\subsection{Analytická metoda}<br />
Provedeme Taylorův rozvoj funkce $y$:<br />
\[y(x_0+h)-y(x_0)=hy'(x_0)+\frac{h^2}{2}y''(x_0)+\cdots\]<br />
Dále platí<br />
\[y'(x_0)=f(x_0,y_0)=f_0\]<br />
Tento vztah můžeme dál derivovat<br />
\[y''(x_0)=\frac{\pd f}{\pd x}(x_0,y_0)+<br />
\frac{\pd f}{\pd y}(x_0,y_0)y'(x_0)=f_x+f_yf_0,\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
y'''(x_0)&=\frac{\pd^2f}{\pd x^2}(x_0,y_0)+<br />
2\frac{\pd^2f}{\pd x\pd y}(x_0,y_0)y'(x_0)+\\<br />
&\quad +\frac{\pd^2f}{\pd y^2}(x_0,y_0)y'^2(x_0)+<br />
\frac{\pd f}{\pd y}(x_0,y_0)y''(x_0)=\\<br />
&=f_{x^2}+2f_{xy}f_0+f_{y^2}f_0^2+f_y(f_x+f_yf_0)<br />
\end{split}<br />
\]<br />
a tak lze pokračovat libovolně dlouho (za předpokladu, že $f$ má<br />
derivace dostatečně vysokého řádu).<br />
<br />
\subsection{Runge-Kuttovy metody}<br />
Předchozí metoda je výpočetně náročná, proto se v~praxi používají<br />
následující metody, kde přírůstek hledáme ve tvaru<br />
\[\Delta y_0=p_1k_1(h)+p_2k_2(h)+\dots+p_rk_r(h),\]<br />
kde $k_i(h)=hf(\xi_i(h),\eta_i(h))$, $\xi_i(h)=x_0+\alpha_i h$,<br />
$\eta_i=y_0+\beta_{i1}k_1(h)+\beta_{i2}k_2(h)+\dots+\beta_{i,i-1}k_{i-1}(h)$, $\alpha_1=0$.<br />
\begin{align*}<br />
k_1(h)&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2(h)&=hf(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1(h))\\<br />
k_3(h)&=hf(x_0+\alpha_3h,y_0+\beta_{31}k_1(h)+\beta_{32}k_2(h))\\<br />
&\vdots\\<br />
k_r(h)&=hf(x_0+\alpha_rh,y_0+\beta_{r1}k_1(h)+\dots+\beta_{r,r-1}k_{r-1}(h))<br />
\end{align*}<br />
\[y(x_0+h)\doteq y(x_0)+\underbrace{<br />
p_1k_1(h)+p_2k_2(h)+\dots+p_rk_r(h)<br />
}_{\text{Runge-Kuttovský přírůstek}}.\]<br />
<br />
Pod pojmem \uv{skutečný přírůstek} rozumíme $y(x_0+h)-y(x_0)$. Zbývá<br />
vyřešit volbu $\alpha,\beta,p$.<br />
<br />
Pokud rozvineme Runge-Kuttovský a skutečný přírůstek v~mocninách $h$,<br />
chceme, aby se rozvoje shodovaly do co možná nejvyšší mocniny<br />
$h$. Budou-li se shodovat až do $h^p$, je chyba řádu $h^{p+1}$. Toho<br />
chceme dosáhnout pro libovolnou volbu pravé strany. Z~toho budeme<br />
vycházet při volbě koeficientů $\alpha,\beta,p$.<br />
<br />
Označme rozdíl mezi správnou a spočtenou hodnotou<br />
\[\phi_r(h)=[y(x_0+h)-y(x_0)]-[p_1k_1(h)+p_2k_2(h)+\dots+p_rk_r(h)].\]<br />
Výše uvedená podmínka pak odpovídá podmínce<br />
\[\phi_r(0)=\phi_r'(0)=\dots=\phi_r^{(s)}(0)=0.\]<br />
<br />
Pro $r=1$:<br />
\[\phi_1(h)=[y(x_0+h)-y(x_0)]-[p_1hf(x_0,y_0)]\]<br />
\[\phi_1'(0)=y'(x_0)-p_1f_0=f_0-p_1f_0=(1-p_1)f_0\]<br />
z~toho vychází podmínka $p_1=1$.<br />
Výsledná metoda<br />
\[y(x_0+h)\doteq y(x_0)+hf(x_0,y_0)\]<br />
se označuje jako Eulerova.<br />
\index{numerická metoda, Eulerova}<br />
Pro $r=2$:<br />
\[\phi_2(h)=[y(x_0+h)-y(x_0)]-[p_1k_1(h)+p_2k_2(h)]\]<br />
\begin{align*}<br />
k_1(h)&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2(h)&=hf(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1(h))\\<br />
k_1'(h)&=f(x_0,y_0)\\<br />
k_2'(h)&=f(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1(h))+h\left[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}\alpha_2+\frac{\pd f}{\pd y}\beta_{21}k_1'(h)<br />
\right]\\<br />
k_1''(h)&=0\\<br />
k_2''(h)&=2\left[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1(h))+<br />
\frac{\pd f}{\pd y}\beta_{21}k_1'(h)<br />
\right]+h[\cdots]'<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
k_1'(0)&=f_0 & k_1''(0)&=0\\<br />
k_2'(0)&=f_0 & k_2''(0)&=2(\alpha_2f_x+\beta_{21}f_yf_0)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
y'(x)&=f(x,y) & y'(x_0)&=f_0\\<br />
y''(x)&=\frac{\pd f}{\pd x}(x,y)+\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)y'(x)<br />
& y''(x_0)&=f_x+f_yf_0<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
0 = \phi_2'(0)&=f_0-[p_1f_0+p_2f_0]=[1-p_1-p_2]f_0\\<br />
0 = \phi_2''(0)&=f_x+f_yf_0-2p_2(\alpha_2f_x+\beta_{21}f_yf_0)=<br />
[1-2\alpha_2p_2]f_x+[1-2\beta_{21}p_2]f_yf_0<br />
\end{align*}<br />
Z~toho vyplývá podmínka<br />
\begin{align*}<br />
p_1+p_2&=1\\<br />
2\alpha_2p_2&=1\\<br />
2\beta_{21}p_2&=1.<br />
\end{align*}<br />
V~praxi se užívají následující volby:<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_2&=\beta_{21}=1 & \alpha_2&=\beta_{21}=\frac12\\<br />
p_1&=p_2=\frac12 & p_1&=0 \quad p_2=1\\<br />
k_1&=hf(x_0,y_0) & k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf(x_0+h,y_0+h) & k_2&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_1}{2}\right)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac12(k_1+k_2) & y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+k_2<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro $r=3$:<br />
\[\phi_3(h)=[y(x_0+h)-y(x_0)]-[p_1k_1(h)+p_2k_2(h)+p_3k_3(h)]\]<br />
\begin{align*}<br />
k_1(h)&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2(h)&=hf(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1)\\<br />
k_3(h)&=hf(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{31}k_1+\beta_{32}k_2)\\<br />
k_1'(h)&=f(x_0,y_0)\\<br />
k_2'(h)&=f(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1)+h\left[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}\alpha_2+\frac{\pd f}{\pd y}\beta_{21}k_1'<br />
\right]\\<br />
k_3'(h)&=f(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{31}k_1+\beta_{32}k_2)+<br />
h\left[\frac{\pd f}{\pd x}+\frac{\pd f}{\pd y}<br />
(\beta_{31}k_1'+\beta_{32}k_2')\right]\\<br />
k_1''(h)&=0\\<br />
k_2''(h)&=2\left[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1)\alpha_2+<br />
\frac{\pd f}{\pd y}\beta_{21}k'<br />
\right]+h[\cdots]'\\<br />
k_3''(h)&=2\left[<br />
\frac{\pd f}{\pd x}<br />
(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{31}k_1+\beta_{32}k_2)<br />
\alpha_3+\frac{\pd f}{\pd y}(\beta_{31}k_1'+\beta_{32}k_2')<br />
\right]+h[\cdots]'\\<br />
k_1'''(h)&=0\\<br />
k_2'''(h)&=3\left[<br />
\frac{\pd^2f}{\pd x^2}(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{21}k_1)<br />
\alpha_2^2+2\frac{\pd^2f}{\pd x\pd y}\alpha_2\beta_{21}k_1'+<br />
\frac{\pd^2f}{\pd y^2}(\beta_{21}k_1')^2<br />
\right]+\\<br />
&\quad +h[\cdots]''\\<br />
k_3'''(h)&=3\left[<br />
\frac{\pd^2f}{\pd x^2}<br />
(x_0+\alpha_2h,y_0+\beta_{31}k_1+\beta_{32}k_2)\alpha_3^2+<br />
2\frac{\pd^2f}{\pd x\pd y}\alpha_3(\beta_{31}k_1'+\beta_{32}k_2')+\right.\\<br />
&\quad\left.+\frac{\pd^2f}{\pd y^2}(\beta_{31}k_1'+\beta_{32}k_2')+<br />
\frac{\pd f}{\pd y}(\beta_{31}k_1''+\beta_{32}k_2'')<br />
\right]+h[\cdots]''<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
k_1'(0)&=f_0\\ <br />
k_1''(0)&=0\\<br />
k_1'''(0)&=0\\<br />
k_2'(0)&=f_0\\<br />
k_2''(0)&=2(\alpha_2f_x+\beta_{21}f_yf_0)\\<br />
k_2'''(0)&=3(\alpha_2^2f_{x^2}+2\alpha_2\beta_{21}f_{xy}f_0+<br />
\beta_{21}^2f_{y^2}f_0^2)\\<br />
k_3'(0)&=0\\<br />
k_3''(0)&=2(\alpha_3f_x+(\beta_{31}+\beta_{32})f_yf_0\\<br />
k_3'''(0)&=3(\alpha_3^2f_{x^2}+2\alpha_3(\beta_{31}+\beta_{32})<br />
f_{xy}f_0+(\beta_{31}+\beta_{32})^2f_{y^2}f_0^2+\\<br />
&\quad+2\beta_{32}f_y(\alpha_2f_x+\beta_{21}f_yf_0))<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
y'(x)&=f(x,y)\\<br />
y''(x)&=\frac{\pd f}{\pd x}(x,y)+\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)y'(x)\\<br />
y'''(x)&=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}(x,y)+<br />
2\frac{\pd^2 f}{\pd x\pd y}(x,y)y'(x)+<br />
\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}(x,y)y'^2(x)+\frac{\pd f}{\pd y}(x,y)y''(x)\\<br />
y'(x_0)&=f_0\\<br />
y''(x_0)&=f_x+f_yf_0\\<br />
y'''(x_0)&=f_{x^2}+2f_{xy}f_0+f_{y^2}f_0^2+f_y(f_x+f_yf_0)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
\phi_3'(0)&=f_0-[p_1f_0+p_2f_0+p_3f_0]=[1-p_1-p_2-p_3]\\<br />
\phi_3''(0)&=f_x+f_yf_0-[2p_2(\alpha_2f_x+\beta_{21}f_yf_0)+<br />
2p_3(\alpha_3f_x+(\beta_{31}+\beta_{32})f_yf_0)]=\\<br />
&=f_x[1-2\alpha_2p_2-2\alpha_3 p_3]+<br />
f_yf_0[1-2p_2\beta_{21}-2p_3(\beta_{31}+\beta_{32})]\\<br />
\phi_3'''(0)&=f_{x^2}[1-3p_2\alpha_2^2-3p_3\alpha_3^2]+<br />
f_{xy}f_0[2-6p_2\alpha_2\beta_{21}-6p_3\alpha_3(\beta_{31}+\beta_{32})]+\\<br />
&\quad+f_0^2f_{y^2}[1-3p_2\beta_{21}^2-3p_3(\beta_{31}+\beta_{32})^2]+<br />
f_yf_x[1-6p_3\alpha_2\beta_{32}]+\\<br />
&\quad+f_y^2f_0[1-6p_3\beta_{21}\beta_{32}],<br />
\end{align*}<br />
z~toho dostáváme<br />
\begin{align*}<br />
1-p_1-p_2-p_3&=0\\<br />
1-2\alpha_2p_2-2\alpha_3 p_3&=0\\<br />
1-2p_2\beta_{21}-2p_3(\beta_{31}+\beta_{32})&=0\\<br />
1-3p_2\alpha_2^2-3p_3\alpha_3^2&=0\\<br />
2-6p_2\alpha_2\beta_{21}-6p_3\alpha_3(\beta_{31}+\beta_{32})&=0\\<br />
1-3p_2\beta_{21}^2-3p_3(\beta_{31}+\beta_{32})^2&=0\\<br />
1-6p_3\alpha_2\beta_{32}&=0\\<br />
1-6p_3\beta_{21}\beta_{32}&=0<br />
\end{align*}<br />
Tyto rovnice jsou ovšem závislé a jsou ekvivalentní s~následující<br />
soustavou:<br />
\begin{align*}<br />
1&=p_1+p_2+p_3\\<br />
\frac12&=p_2\alpha_2+p_3\alpha_3\\<br />
1&=3p_2\alpha_2^2+3p_3\alpha_3^2\\<br />
\alpha_2&=\beta_{21}\\<br />
\alpha_3&=\beta_{31}+\beta_{32}\\<br />
\frac16&=p_3\beta_{32}\alpha_2.<br />
\end{align*}<br />
Každé řešení této soustavy dává Runge-Kuttovu metodu. Čtvrtá derivace<br />
nulovat nejde. V~praxi se používají následující metody:<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_1}{2}\right)\\<br />
k_3&=hf(x_0+h,y_0-k_1+2k_2)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac16(k_1+4k_2+k_3)<br />
\end{align*}<br />
nebo<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h3,y_0+\frac{k_1}{3}\right)\\<br />
k_3&=hf\left(x_0+\frac{2h}{3},y_0+\frac{2k_2}{3}\right)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac14(k_1+3k_3).<br />
\end{align*}<br />
<br />
Pro $r=4$: Pokud sestavíme polynomy pro $r=4$ a požadovali<br />
$\phi^{(4)}=0$, dojdeme k~následujícím 11 podmínkám:<br />
\begin{align*}<br />
\alpha_2&=\beta_{21}\\<br />
\alpha_3&=\beta_{31}+\beta_{32}\\<br />
\alpha_4&=\beta_{41}+\beta_{42}+\beta_{43}\\<br />
p_1+p_2+p_3+p_4&=1\\<br />
p_2\alpha_2+p_3\alpha_3+p_4\alpha_4&=\frac12\\<br />
p_2\alpha_2^2+p_3\alpha_3^2+p_4\alpha_4^2&=\frac14\\<br />
p_2\alpha_2^3+p_3\alpha_3^3+p_4\alpha_4^3&=\frac14\\<br />
p_3\beta_{32}\alpha_2+p_4\beta_{42}\alpha_2+p_4\beta_{43}\alpha_3&=\frac16\\<br />
p_3\beta_{32}\alpha_2\alpha_3+p_4\beta_{42}\alpha_2\alpha_4<br />
+p_4\beta_{43}\alpha_3\alpha_4&=\frac18\\<br />
p_3\beta_{32}\alpha_2^2+p_4\beta_{42}\alpha_2^2+p_4\beta_{43}\alpha_3^2&=\frac1{12}\\<br />
p_4\beta_{43}\beta_{32}\alpha_2&=\frac1{24}<br />
\end{align*}<br />
Máme 13 neznámých, ale $\phi_4^{(5)}$ už nejde nulovat. Uvedeme<br />
následující tři metody.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Standardní Runge-Kuttova metoda:<br />
\index{numerická metoda, standardní Runge-Kuttova}<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_1}2\right)\\<br />
k_3&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_2}2\right)\\<br />
k_4&=hf(x_0+h,y_0+k_3)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac16(k_1+2k_2+2k_3+k_4)<br />
\end{align*}<br />
\item Tříosminové pravidlo:<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h3,y_0+\frac{k_1}3\right)\\<br />
k_3&=hf\left(x_0+\frac{2h}3,y_0-\frac{k_1}3+k_2\right)\\<br />
k_4&=hf(x_0+h,y_0+k_1-k_2+k_3)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac18(k_1+3k_2+3k_3+k_4)<br />
\end{align*}<br />
\item<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h4,y_0+\frac{k_1}4\right)\\<br />
k_3&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0-\frac{k_2}2\right)\\<br />
k_4&=hf(x_0+h,y_0+k_1-2k_2+2k_3)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac16(k_1+4k_3+4k_4)<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Abychom dosáhli maximální chyby $O(h^6)$, nevystačíme s~$r=5$, ale až<br />
s~$r=6$. Proto se používají zejména metody s~$r=4$.<br />
<br />
V~praxi se nejčastěji používají metody s~automatickým výběrem<br />
kroku. Nejjednodušší způsob je spočítat následující hodnotu s~krokem<br />
$h$ a $h/2$, je-li relativní rozdíl větší než nějaké $\epsilon$,<br />
interval se dále půlí. Případně se krok může zase prodlužovat ---<br />
např. mám počitadlo, kolikrát odchylka vyhovovala a když dosáhne<br />
určité hodnoty, zase zkusím krok prodloužit.<br />
<br />
\begin{example}<br />
Řešme rovnici $y'=y$, $y(0)=1$. Víme, že řešením je $y(x)=e^x$. Pokud<br />
použijeme standardní Runge-Kuttovu metodu, máme<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=0.1*1=0.1\\<br />
k_2&=0.1*1.05=0.105\\<br />
k_3&=0.1*1.0525=0.10525\\<br />
k_4&=0.1*1.10525=0.110525\\<br />
y(0.1)&=1+\frac16[0.1+0.21+0.2105+0.110525]=1+\frac16*0.631025\doteq<br />
1.1051708333,<br />
\end{align*}<br />
přičemž $e^{0.1}=1.105170918$.<br />
\end{example}<br />
<br />
Kteroukoli z~Runge-Kuttových metod pro rovnici lze použít i pro systém<br />
rovnic.<br />
<br />
\begin{example}<br />
Mějme systém rovnic $y'=f(x,y,z)$, $z'=g(x,y,z)$ s~počátečními<br />
podmínkami $y(x_0)=y_0$, $z(x_0)=z_0$. Standardní Runge Kuttova metoda<br />
pro tento systém je<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=hf(x_0,y_0,z_0) & l_1&=hg(x_0,y_0,z_0)\\<br />
k_2&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_1}2,z_0+\frac{l_1}2\right)<br />
& l_2&=hg\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_1}2,z_0+\frac{l_1}2\right)\\<br />
k_3&=hf\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_2}2,z_0+\frac{l_2}2\right)<br />
& l_3&=hg\left(x_0+\frac h2,y_0+\frac{k_2}2,z_0+\frac{l_2}2\right)\\<br />
k_4&=hf(x_0+h,y_0+k_3,z_0+l_3) & l_4&=hg(x_0+h,y_0+k_3,z_0+l_3)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+\frac16(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\<br />
z(x_0+h)&\doteq z(x_0)+\frac16(l_1+2l_2+2l_3+l_4)<br />
\end{align*}<br />
\end{example}<br />
<br />
Rovnici $n$-tého řádu lze převést na systém a pak řešit Runge-Kuttovou<br />
metodou. Pro rovnici druhého řádu<br />
$y''=f(x,y,y')$<br />
existuje přímo Runge-Kutta-Nyströmův vzorec<br />
\begin{align*}<br />
k_1&=\frac{h^2}2 f(x_0,y_0,y_0')\\<br />
k_2&=\frac{h^2}2 f\left(x_0+\frac h2,<br />
y_0+\frac h2y_0'+\frac{k_1}4,<br />
y_0'+\frac{k_1}h\right)\\<br />
k_3&=\frac{h^2}2 f\left(x_0+\frac h2,<br />
y_0+\frac h2y_0'+\frac{k_2}4,<br />
y_0'+\frac{k_2}h\right)\\<br />
k_4&=\frac{h^2}2 f\left(x_0+h,<br />
y_0+hy_0'+k_3,y_0'+\frac{2k_3}h<br />
\right)\\<br />
y(x_0+h)&\doteq y(x_0)+hy'(x_0)+\frac13(k_1+k_2+k_3)\\<br />
y'(x_0+h)&\doteq y'(x_0)+\frac1{3h}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsection{Řešení lineárních diferenčních rovnic}<br />
<br />
Lineární diferenční rovnicí $k$-tého řádu nazýváme rovnici<br />
\[a_k(n)y_{n+k}+a_{k-1}(n)y_{n+k-1}+\dots+a_0(n)y_n=b_n,\]<br />
kde $a_i(n)$, $b(n)$ jsou posloupnosti, $a_k(n)\not=0$,<br />
$a_0(n)\not=0$.<br />
<br />
Řešením lineární diferenční rovnice je posloupnost $y_n$, která je<br />
jednoznačně dáno hodnotami $y_0,y_1,\dots,y_{k-1}$, neboť pro $y_i$<br />
pak dostáváme jednoznačný rekurentní vztah. Pokud je $b(n)=0$,<br />
nazýváme rovnici rovnicí bez pravé strany.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jsou-li $y_n^{(1)},y_n^{(2)},\dots,y_n^{(k)}$ řešení rovnice bez<br />
pravé strany, pak jejich lineární kombinace<br />
\[\sum_{i=1}^k c_iy_n^{(i)}\]<br />
je také řešení.<br />
\item Jsou-li $y_n^{(1)},y_n^{(2)},\dots,y_n^{(k)}$ řešení rovnice bez<br />
pravé strany a platí-li<br />
\[<br />
\begin{vmatrix}<br />
y_0^{(1)} & y_0^{(2)} & \hdots & y_0^{(k)}\\<br />
y_1^{(1)} & y_1^{(2)} & \hdots & y_1^{(k)}\\<br />
\vdots & \vdots & & \vdots\\<br />
y_{k-1}^{(1)} & y_{k-1}^{(2)} & \hdots & y_{k-1}^{(k)}<br />
\end{vmatrix}\not=0<br />
\]<br />
a $Y_n$ je řešení rovnice bez pravé strany, pak existují jednoznačná<br />
$c_1,c_2,\dots,c_k$ taková, že<br />
\[Y_n=\sum_{i=1}^k c_iy_n^{(i)}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Matice soustavy rovnic<br />
\begin{align*}<br />
c_1y_0^{(1)}+c_2y_0^{(2)}+\dots+c_ky_0^{(k)}&=Y_0\\<br />
c_1y_1^{(1)}+c_2y_1^{(2)}+\dots+c_ky_1^{(k)}&=Y_1\\<br />
&\vdots\\<br />
c_1y_{k-1}^{(1)}+c_2y_{k-1}^{(2)}+\dots+c_ky_{k-1}^{(k)}&=Y_{k-1}\\<br />
\end{align*}<br />
je regulární, tudíž má jednoznačné řešení.<br />
\end{proof}<br />
\item Obecné řešení rovnice s~pravou stranou má tvar<br />
\[Y_n=\sum_{i=1}^n c_iy_n^{(i)}+p_n,\]<br />
kde $p_n$ je partikulární řešení.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Diferenční rovnice s~konstantními koeficienty}<br />
Řešení rovnice tvaru<br />
\[a_ky_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+\dots+a_0y_n=0\]<br />
hledáme ve tvaru $y_n=z^n$. Po dosazení<br />
\[a_kz^{n+k}+a_{k-1}z^{n+k-1}+\dots+a_0z^n=0\]<br />
a po vykrácení $z^n$<br />
\[a_kz^k+a_{k-1}z^{k-1}+\dots+a_0=0\]<br />
dostaneme {\bf charakteristickou rovnici}.<br />
\index{rovnice, charakteristická}<br />
Je-li $z_i$ $r$-násobný kořen, řeší rovnici $z_i^n$ a dále také<br />
$nz_i^n,n^2z_i^n,\dots,n^{r-1}z_i^n$.<br />
\begin{proof}[Nástin důkazu]<br />
Dosazením do diferenční rovnice dostaneme<br />
\[a_k(n+k)z^{n+k}+a_{k-1}(n+k-1)z^{n+k-1}+\dots+a_0nz^n,\]<br />
po úpravě<br />
\[n[\underbrace{a_kz^k+a_{k-1}z^{k-1}+\dots+a_0}_{\text{charakteristický<br />
polynom}}]<br />
+z[\underbrace{ka_kz^{k-1}+(k-1)a_{k-1}z^{k-2}+\dots+a_1}<br />
_{\text{derivace charakteristického polynomu}}]=0.\]<br />
Protože $z$ je $r$-násobný kořen, je kořenem i $1.$, $2.$ až $r-1$-té<br />
derivace.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť charakteristická rovnice má kořeny $z_1,z_2,\dots,z_s$ vzájemně<br />
různé, násobností $r_1,r_2,\dots,r_s$. Potom řešení<br />
\[z_1^n,nz_1^n,\dots,n^{r-1}_1z_1^n,\dots,<br />
z_s^n,nz_s^n,\dots,n^{r_s-1}z_s^n\]<br />
tvoří fundamentální systém.<br />
\begin{proof}<br />
Předpokládejme, že řešení jsou lineárně závislá. Potom pro každé $n$<br />
musí platit<br />
\[p_1(n)z_1^n+p_2(n)z_2^n+\dots+p_s(n)z_s^n=0,\]<br />
kde $p_1,p_2,\dots,p_s$ jsou polynomy v~$n$ a alespoň jeden z~nich je<br />
nenulový. Dokážeme, že to nemůže platit. To provedeme indukcí podle<br />
počtu nenulových polynomů $s$.<br />
<br />
Pro $s=1$: Buď $p_1(n)z_1^n=0$. Po vykrácení $z_1^n$ je $p_1(n)=0$,<br />
což je spor.<br />
<br />
\[p_1(n)z_1^n=-p_2(n)z_2^n-\dots-p_s(n)z_s^n\]<br />
Po vydělení $z_1^n$<br />
\[p_1(n)=-p_2(n)\zeta_2^n-\dots-p_s(n)\zeta_s^n,\]<br />
kde $\zeta_i\not=1$ a současně jsou vzájemně různá, neboť $z_i$ jsou<br />
vzájemně různá. Tento vztah musí platit i pro $n+1$.<br />
\[p_1(n+1)=-p_2(n+1)\zeta_2^{n+1}-\dots-p_s(n)\zeta_s^{n+1}.\]<br />
Odečtením dostaneme<br />
\[p_1(n+1)-p_1(n)=-[p_2(n+1)\zeta_2-p_2(n)]\zeta_2^n-\dots<br />
-[p_s(n+1)\zeta_s-p_s(n+1)]\zeta_s^n.\]<br />
Na levé straně máme teď polynom (ostře) nižšího stupně než $p_1$,<br />
protože nejvyšší mocniny se odečetly, naopak stupně polynomů na pravé<br />
straně se díky $\zeta_i\not=1$ nezmění. Tímto způsobem lze postupně<br />
snížit stupeň levé strany až k~nulovému polynomu. Podle indukčního<br />
předpokladu pak jsou všechny polynomy na pravé straně nulové.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Jednokrokové metody}<br />
\index{numerické metody, jednokrokové}<br />
\begin{define}<br />
Obecnou jednokrokovou metodou nazveme metodu danou formulí tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{objednokr}<br />
y_{n+1}=y_n+h\Phi_f(x_n,y_n,h).<br />
\end{equation}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{formule, regulární}<br />
Formule \eqref{objednokr} se nazývá {\bf regulární}, jestliže funkce<br />
$\Phi_f(x,y,h)$ je definována a spojitá na množině, kde $x_0\le x\le<br />
a$, $-\infty<y<+\infty$, $h\in\la 0,h_0\ra$ $(h_0>0)$ a existuje-li<br />
konstanta $M$ (nezávislá na $x$ a $h$) tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{oj1}<br />
\abs{\Phi_f(x,y,h)-\Phi_f(x,z,h)}\le M\abs{y-z}<br />
\end{equation}<br />
pro každé $x\in\la x_0,a\ra$, $y,z\in(-\infty,+\infty)$ a $h\in\la<br />
0,h_0\ra$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Formule \eqref{objednokr} se nazývá {\bf stupně $p$}, existuje-li<br />
konstanta $L$ a $p\in\N$ tak, že<br />
\begin{equation}<br />
\label{oj2}<br />
\abs{\Phi_f(t,y,h)-\frac{r(t+h)-y}{h}}\le Lh^p<br />
\end{equation}<br />
pro každé $t\in\la x_0,a\ra$, $y\in(-\infty,+\infty)$, $h\in\la<br />
0,h_0\ra$, kde $r(x)$ je řešení rovnice $y'=f(x,y)$ na intervalu $\la<br />
t,t+h\ra$ s~počáteční podmínkou $r(t)=y$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\abs{h\Phi_f(t,y,h)-(r(t+h)-r(t))}\le Lh^{p+1}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť je dána regulární obecná jednokroková formule \eqref{objednokr},<br />
která je stupně $p\in\N$. Nechť $y(x)$ je řešení rovnice $y'=f(x,y)$ a<br />
$y_0,y_1,\dots,y_N$ jsou hodnoty splňující vztah<br />
$y_{n+1}=y_n+h\Phi_f(x_n,y_n,h)+\delta_n$ pro $n=0,1,2,\dots,N-1$. Pak<br />
pro $n=0,1,2,\dots,N$ platí<br />
\[\abs{y_n-y(x_n)}\le\abs{y_0-y(x_0)}e^{M(x_n-x_0)}+<br />
\left(Lh^p+\frac{\delta}{h}\right)<br />
\frac{e^{M(x_n-x_0)}-1}{M},\]<br />
kde<br />
\[\delta=\max_{n=0,\dots,N-1}\abs{\delta_n}\]<br />
a $M$ a $L$ jsou konstanty definované \eqref{oj1} a \eqref{oj2}.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $r_n=y_n-y(x_n)$ pro $n=0,1,\dots,N$. Platí, že<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
r_{n+1}&=y_{n+1}-y(x_{n+1})=y_n+h\Phi_f(x_n,y_n,h)+\delta_n-y(x_{n+1})=\\<br />
&=\underbrace{(y_n-y(x_n))}_{r_n}+h[\Phi_f(x_n,y_n,h)-\Phi_f(x_n,y(x_n),h)]+\\<br />
&\quad +h\left[\Phi_f(x_n,y(x_n),h)-\frac{y(x_n+h)-y(x_n)}{h}\right]+\delta_n,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
s~použitím $\delta\ge\delta_n$ a konstant $M$, $L$ můžeme psát<br />
$\abs{r_{n+1}}\le\abs{r_n}+Mh\abs{r_n}+Lh^{p+1}+\delta$.<br />
Zavedeme $R_0=\abs{r_0}$, $R_{n+1}=(1+hM)R_n+Lh^{p+1}+\delta$,<br />
Platí, že $\abs{r_n}\le R_n$. To dokážeme indukcí:<br />
$\abs{r_{n+1}}\le R_n+MhR_n+Lh^{p+1}+\delta=R_{n+1}$.<br />
<br />
Dostali jsme tak diferenční rovnici pro $R_n$. Rovnice bez pravé<br />
strany má tvar $R_{n+1}=(1+hM)R_n$, charakteristická rovnice je<br />
$z-(1+hM)=0$, obecné řešení rovnice bez pravé strany má tvar<br />
$R_n=C(1+hM)^n$.<br />
<br />
Hledáme partikulární řešení ve tvaru $P=(1+hM)P+Lh^{p+1}+\delta$, z<br />
čehož dostáváme<br />
\[P=\frac{Lh^{p+1}+\delta}{hM}.\]<br />
<br />
Nakonec doladíme konstantu $C$:<br />
\[R_n=C(1+hM)^n-\left(Lh^p+\frac{\delta}{h}\right)\frac1M,\]<br />
\[\abs{r_0}=C-\left(Lh^p+\frac{\delta}h\right)\frac1M,\]<br />
\[C=\abs{r_0}+\left(Lh^p+\frac{\delta}h\right)\frac1M.\]<br />
Obecné řešení rovnice s~pravou stranou má tvar<br />
\[R_n=\abs{r_0}(1+hM)^n+\left(Lh^p+\frac{\delta}h\right)<br />
\frac{(1+hM)^n-1}M.\]<br />
Protože $1+x<e^x$, je<br />
\[\begin{split}<br />
R_n&\le\abs{r_0}e^{nhM}+\left(Lh^p+\frac{\delta}h\right)<br />
\frac{e^{nhM}-1}{M}=\\<br />
&=\abs{y_0-y(x_0)}e^{(x_n-x_0)M}+<br />
\left(Lh^p+\frac{\delta}h\right)\frac{e^{M(x_n-x_0)}-1}{M}.\qed<br />
\end{split}\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{remark}<br />
První člen je způsoben počáteční podmínkou, druhý je chyba metody,<br />
$\delta$ je zaokrouhlovací chyba počítače. Nemá cenu jít s~$h$ pod<br />
jistou mez, protože jinak se bude zvětšovat chyba $\delta/h$. Jediným<br />
způsobem jak zvýšit přesnost je pak metoda vyššího řádu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Závislost chyby je dost špatná, dá se zkonstruovat rovnice, kdy to<br />
bude nejhorší --- chyba bude exponenciálně závislá.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
nechť rovnice $y'=f(x,y)$ na intervalu $\la x_0,+\infty)$ má řešení<br />
$y(x)=0$, tj. $0=f(x,0)$. Toto nulové řešení se nazývá {\bf stabilní<br />
vzhledem k~soustavným poruchám}, jestliže pro každé $\epsilon>0$<br />
existuje $\delta>0$ tak, že pro každou spojitou funkci $\eta(x)$,<br />
která pro $x\in\la x_0,+\infty)$ s~výjimkou spočetného množství<br />
izolovaných bodů splňuje rovnici $\eta'=f(x,\eta)+g(x)$, kde<br />
$\abs{\eta(0)}<\delta$, $\abs{g(x)}\le\delta$ pro $x\in\la<br />
x_0,+\infty)$ a $g(x)$ je libovolná měřitelná funkce, platí nerovnost<br />
$\abs{\eta(x)}<\epsilon$ pro $x\in\la x_0,+\infty)$, tj. poškodím-li<br />
počáteční podmínku a pravou stranu o~$\delta$, změní se řešení o<br />
$\epsilon$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
\index{formule, úplně regulární}<br />
Obecná jednokroková formule se nazývá {\bf úplně regulární}, je-li<br />
funkce $\Phi_f(x,y,h)$ omezená, spojitá ve všech svých proměnných,<br />
stejnoměrně spojitá v~$x$, lipschitzovská v~$y$ s~konstantou $M$<br />
(nezávislou na $x$ a $h$) a stejnoměrně spojitá v~$h$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť je dána rovnice $y'=f(x,y)$ a na $\la x_0,+\infty)$ platí<br />
$f(x,0)=0$. Nechť nulové řešení je stabilní vzhledem k~soustavným<br />
poruchám. Nechť je dána úplně regulární jednokroková metoda<br />
\eqref{objednokr} stupně $p\in\N$. Pak pro každé $\epsilon>0$ existují<br />
$h_1,\delta>0$ tak, že pro každé řešení diferenční rovnice<br />
$y_{n+1}=y_n+h\Phi_f(x_n,y_n,h)+\delta_n$ pro $n=0,1,2,\dots$, pro<br />
které $\abs{y_0}<\delta$, $\delta_n\le h\delta$, $h<h_1$ splňuje<br />
nerovnost $\abs{y_n}<\epsilon$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď<br />
\[\eta(x)=y_n+\frac{y_{n+1}-y_n}{h}(x-x_n)=<br />
y_n+\left(\Phi_f(x_n,y_n,h)+\frac{\delta_n}h\right)(x-x_n)\]<br />
pro $x\in\la x_n,x_{n+1}\ra$, $n=0,1,\dots$. Buď $g(x)=\eta'-f(x,\eta)$,<br />
$\abs{g(x)}\le\delta_1$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\abs{\eta'-f(x,\eta)}&\le<br />
\abs{\Phi_f(x_n,y_n,h)+\frac{\delta_n}h-f(x,\eta)}\le<br />
\abs{\Phi_f(x_n,y_n,h)-\Phi_f(x_n,\eta,h)}+\\<br />
&\quad+\abs{\Phi_f(x_n,\eta,h)-\Phi_f(x,\eta,h)}+<br />
\abs{\Phi_f(x,\eta,h)-f(x,\eta)}+\frac{\abs{\delta_n}}h<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Protože $\Phi_f$ je lipschitzovské v~$y$, je<br />
\[\abs{\Phi_f(x_n,y_n,h)-\Phi_f(x_n,\eta,h)}\le<br />
M\abs{\eta-y_n}\le M\abs{\Phi_f(x_n,y_n,h)+\frac{\delta_n}h}<br />
\abs{x-x_0}.\] To lze libovolně zmenšit volbou $h_1$ a $\delta$.<br />
<br />
Člen $\abs{\Phi_f(x_n,\eta,h)-\Phi_f(x,\eta,h)}$ lze libovolně zmenšit<br />
volbou $h_1$ díky stejnoměrné spojitosti v~$x$.<br />
<br />
Buď $r'(x)=f(x,r(x))$, $r(x)=\eta(x)$. Protože<br />
\[\lim_{h\to 0}\abs{\Phi_f(x,\eta,h)-\frac{r(x+h)-\eta}h}=0,\]<br />
a $\Phi_f$ je spojitá v~$x$, je $\Phi_f(x,\eta,0)=r'(x)=f(x,\eta)$. Díky<br />
stejnoměrné spojitosti v~$h$ jde pro dostatečně malé $h$ třetí člen<br />
k~nule.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\subsection{Mnohokrokové (diferenční) metody}<br />
\index{numerické metody, mnohokroké (diferenční)}<br />
Zabýváme se úlohou nalézt přibližné hodnoty řešení rovnice<br />
$y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ v~bodech $x_0,x_1,\dots$, přičemž<br />
$x_i=x_0+ih$. K~výpočtu $y_{n+1}$ potřebujeme hodnoty<br />
$y_{m-k},y_{m-k+1},\dots,y_m$, ale do pravé strany dosazujeme pouze<br />
jednou. Problém je pouze na počátku --- tam se musí použít Runge-Kutta<br />
nebo Taylor.<br />
<br />
Vycházíme z~toho, že pro přesné $y_i$ platí<br />
\begin{equation}<br />
\label{mnohokr}<br />
y_{m+1}=y_{m-j}+\int_{x_{m-j}}^{x_{m+1}}f(x,y(x))\d x.<br />
\end{equation}<br />
Při numerickém výpočtu funkci $f(x,y(x))$ nahradíme interpolačním<br />
polynomem k~uzlům $x_{m-k},x_{m-k+1},\dots,x_m$ nebo<br />
$x_{m-k},x_{m-k+1},\dots,x_m,x_{m+1}$. V~prvním případě se jedná o<br />
{\bf explicitní metody} --- dostaneme explicitní vyjádření hodnoty<br />
$y_{m+1}$. V~druhém případě jde o~{\bf implicitní metody} --- ve<br />
vzorci vystoupí i $f(x_{m+1},y_{m+1})$. Poté se buď $y_{m+1}$ vypočte<br />
přímo z~rovnice (méně obvyklé) nebo se vypočítá přibližná hodnota<br />
iteračně.<br />
\index{numerická metoda, explicitní} \index{numerická metoda, implicitní} <br />
Volbou $j=0$ dostaneme tzv. {\bf Adamsovy formule}.<br />
\index{formule, Adamsonova}<br />
\subsubsection{Explicitní Adamsovy formule}<br />
Označme $f_i=f(x_i,y_i)=y'(x_i)=y_i'$. Použijeme Newtonův vzorec pro<br />
interpolaci vpřed, $f(x,y(x))=L_{m,k}(x)+R_{m,k}(x)$, kde<br />
\[L_{m,k}(x)=f_m+tf_{m-\frac12}^1+\frac{t(t+1)}{2!}f_{m-1}^2+<br />
\dots+\frac{t(t+1)\cdots(t+k-1)}{k!}f_{m-\frac{k}2}^k,<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
R_{m,k}&=\frac{(x-x_m)(x-x_{m-1})\cdots(x-x_{m-k})}{(k+1)!}<br />
\frac{\d^{k+1}}{\d x^{k+1}}f(\xi,y(\xi))=\\<br />
&=h^{k+1}\frac{t(t+1)\cdots(t+k)}{(k+1)!}<br />
\frac{\d^{k+1}}{\d x^{k+1}}f(\xi,y(\xi)).<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Po dosazení do \eqref{mnohokr} máme<br />
\[\underbrace{y_{m+1}=y_m+\int_{x_m}^{x_{m+1}}L_{m,k}(x)\d x}_<br />
{\text{přibližný vzorec pro výpočet $y_{m+1}$}}<br />
+\underbrace{\int_{x_m}^{x_{m+1}}R_{m,k}(x)\d x}_<br />
{\text{chyba v~jednom kroku}},<br />
\]<br />
po substituci $x=x_m+th$<br />
\[y_{m+1}=y_m+h\int_0^1\left[<br />
f_m+tf_{m-\frac12}^1+\dots+\frac{t(t+1)\cdots(t+k-1)}{k!}<br />
f_{m-\frac k2}^k\right]\d t,\]<br />
\[y_{m+1}=y_m+h[f_m+a_1f_{m-\frac12}^2+\dots+a_kf_{m-\frac<br />
k2}^k]+l_{m,k},\]<br />
kde<br />
\[a_i=\int_0^1\frac{t(t+1)\cdots(t+i-1)}{i!}\d t.\]<br />
Některá $a$:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
a_1&=\int_0^1 t\d t=\frac12, a_2=\int_0^1\frac{t(t+1)}{2}\d t=<br />
\left[\frac{t^3}{6}+\frac{t^2}{4}\right]_0^1=\frac{5}{12},\ <br />
a_3=\frac38,\ a_4=\frac{251}{720},\\a_5&=\frac{95}{288},\<br />
a_6=\frac{19087}{60480},\ a_7=\frac{5275}{17280},\ <br />
a_8=\frac{1070017}{3628800}.<br />
\end{split}\]<br />
Užití Adamsových vzorců:<br />
\[f_i^k=f_{i+\frac k2}-\binom k1f_{i+\frac k2-1}+<br />
\binom k2f_{i+\frac k2-2} -\dots+(-1)^k\binom kkf_{i-\frac k2}\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
y_{m+1}&\doteq y_m+h\left[y_m'+\frac12(y_m'-y_{m-1}')<br />
+\frac 5{12}(y_m'-2y_{m-1}'+y_{m-2}')+\right.\\<br />
&\left.\quad+\frac 38(y_m'-3y_{m-1}'+3y_{m-2}'-y_{m-3}')\cdots\right]<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
k&=0:\ y_{m+1}\doteq y_m+hy_m'\\<br />
k&=1:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h2[3y_m'-y_{m-1}]\\<br />
k&=2:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h{12}[23y_m'-16y_{m-1}'+5y_{m-2}']\\<br />
k&=3:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h{24}[55y_m'-59y_{m-1}'+<br />
37y_{m-2}'-9y_{m-3}'].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Chyba $l_{m,k}$ bude<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
l_{m,k}&=\int_{x_m}^{x_{m+1}}R_{m,k}(x)\d x=h^{k+2}\int_0^1<br />
\frac{t(t+1)\cdots(t+k)}{(k+1)!}\frac{\d^{k+1}}{\d x^{k+1}}<br />
f(\xi,y(\xi))\d t=\\&=h^{k+2}y^{(k+2)}(\eta)a_{k+2}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Zkráceně $\abs{l_{m+k}}\le h^{k+2}a_{k+1}M_{k+2}$.<br />
\subsubsection{Implicitní Adamsovy formule}<br />
Opět použijeme vzorec pro interpolaci vpřed,<br />
$f(x,y(x))=L_{m,k}(x)+R_{m,k}(x)$,<br />
\[L_{m,k}(x)=f_{m+1}+tf_{m+\frac12}^1+\frac{t(t+1)}{2!}f_m^2+<br />
\cdots+<br />
\frac{t(t+1)\cdots(t+k)}{(k+1)!}f_{m-\frac{k-1}2}^{k+1},\]<br />
\[R_{m,k}(x)h^{k+2}\frac{t(t+1)\cdots(t+k+1)}{(k+2)!}<br />
\frac{\d^{k+1}}{\d x^{k+2}}f(\xi,y(\xi)).\]<br />
Dosadíme do \eqref{mnohokr},<br />
\[y_{m+1}=y_m+\int_{x_m}^{x_{m+1}}L_{m,k}(x)\d x+<br />
\int_{x_m}^{x_{m+1}}R_{m,k}(x)\d x.\]<br />
Zavedeme substituci,<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
y_{m+1}&=y_m+\int_{-1}^0 L_{m,k}(x)\d t+l_{m,k}=<br />
\\&=y_m+h\left[<br />
f_{m+1}+b_1f_{m+\frac12}^1+b_2f_m^2+\dots+b_{k+1}<br />
f_{m-\frac{k-1}2^{k+1}}<br />
\right]+l_{m,k},<br />
\end{split}<br />
\]<br />
kde<br />
\[b_i=\int_{-1}^0\frac{t(t+1)\cdots(t+i-1)}{i!}\d t.\]<br />
Uvedeme některá $b$:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
b_1&=\int_{-1}^0 t\d t=-\frac12,\ b_2=-\frac{1}{12},\ <br />
b_3=-\frac{1}{24}, b_4=-\frac{13}{720},\\b_5&=-\frac{9}{160},\ <br />
b_6=-\frac{863}{60480}, b_7=-\frac{275}{24135},\ <br />
b_8=-\frac{33953}{3628800}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Konkrétní metody:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
k&=-1:\ y_{m+1}\doteq y_m+hy'_{m+1}\\<br />
k&=0:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h2[y_{m+1}'+y_m']\\<br />
k&=1:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h{12}[5y_{m+1}'+8y_{m}'-1y_{m-1}']\\<br />
k&=2:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h{24}[9y_{m+1}'+19y_{m}'-5y_{m-1}'+y_{m-2}']\\<br />
k&=3:\ y_{m+1}\doteq y_m+\frac h{720}<br />
[251y_{m+1}'+646y_{m}'-264y_{m-1}'+106y_{m-2}'-19y_{m-3}']<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Chyba aproximace je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
l_{m,k}&=\int_{x_m}^{x_{m+1}}R_{m,k}(x)\d x=<br />
h^{k+3}\int_{-1}^0<br />
\frac{t(t+1)\cdots(t+k+1)}{(k+2)!}\frac{\d^{k+2}}{\d x^{k+2}}<br />
f(\xi,y(\xi))\d t=\\<br />
&=h^{k+3}y^{(k+3)}(\eta)b_{k+2},<br />
\end{split}<br />
\]<br />
celkem $\abs{l_{n,k}}\le h^{k+3}\abs{b_{k+2}}M_{k+3}$.<br />
<br />
Implicitní metody se používají v~tzv.\index{numerická metoda, prediktor-korektor} <br />
{\bf metodách prediktor-korektor}. Nejprve se vypočte $y_{m+1}$ pomocí explicitního<br />
vzorce, pak se získaná hodnota dosadí do pravé strany implicitního<br />
vzorce. Lze dokázat, že nová hodnota $y_{m+1}$ je přesnější.<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Obecná diferenční formule $k$-tého řádu} pro řešení rovnice<br />
$y'=f(x,y)$ je formule tvaru<br />
\begin{equation}<br />
\label{odiff}<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_i y_{n+i}=<br />
h\sum_{i=0}^k\beta_i f(x_{n+i},y_{n+i}),<br />
\end{equation}<br />
kde $n\in\{0,1,\dots,N-k\}$ a $a_k\not=0$. Pro $\beta_k=0$ je to {\bf<br />
explicitní formule}, pro $\beta_k\not=0$ je to {\bf implicitní<br />
formule}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Diferenční formule \eqref{odiff} se nazývá {\bf stupně $p\in\No$},<br />
jestliže platí následujících $p+1$ podmínek:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_i&=0\\<br />
\sum_{i=0}^k\frac{i^s\alpha_i}{s!}&=<br />
\sum_{i=0}^k\frac{i^{s-1}\beta_i}{(s-1)!}\quad<br />
\text{pro $s=1,\dots,p$}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
Známe-li hodnoty $y_n,y_{n+1},\dots,y_{n+k-1}$ přesně a vypočítáme-li<br />
$y_{n+k}$, je to s přesností $O(h^{p+1})$.<br />
\begin{proof}<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\sum_{i=0}^k[\alpha_i y(x_n+ih)-h\beta_i f(x_n+ih,y(x_n+ih))]=\\<br />
&\quad=\sum_{i=0}^k[\alpha_iy(x_n+ih)-h\beta_iy'(x_n+ih)]<br />
=c_{p+1}h^{p+1}y^{(p+1)}(x_n)+O(h^{p+1})<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\begin{align*}<br />
y(x_n+ih)&=y(x_n)+ihy'(x_n)+\frac{(ih)^2}{2!}y''(x_n)+\dots+<br />
\frac{(ih)^{p+1}}{(p+1)!}y^{(p+1)}(x_n)+\\<br />
&\quad+\frac{(ih)^{p+2}}{(p+2)!}y^{(p+2)}(\xi_1)\\<br />
y'(x_n+ih)&=y'(x_n)+ihy''(x_n)+\dots+<br />
\frac{(ih)^p}{p!}y^{(p+1)}(x_n)+<br />
\frac{(ih)^{p+1}}{(p+1)!}y^{(p+2)}(\xi_2)<br />
\end{align*}<br />
\end{proof}<br />
<br />
Uvedené požadavky ještě nestačí k tomu, aby daly rozumnou metodu.<br />
\begin{example}<br />
Zkonstruujeme explicitní formuli 2.~řádu, co nejpřesnější:<br />
\[y_{n+2}+\alpha_1y_{n+1}+\alpha_0y_n=<br />
h(\beta_1y_{n+1}'+\beta_0y_n').\]<br />
Z podmínek pro stupeň formule máme<br />
\begin{align*}<br />
1+\alpha_1+\alpha_0&=0\\<br />
2+\alpha_1&=\beta_1+\beta_2\\<br />
\frac12(4+\alpha_1)&=\beta_1\\<br />
\frac16(8+\alpha_1)&=\frac12\beta_1.<br />
\end{align*}<br />
Víc podmínek si klást nelze, protože je u formule 2.~řádu nelze<br />
splnit. Metoda má v jednom kroku přesnost $O(n^4)$. Řešení soustavy je<br />
$\alpha_1=4$, $\alpha_0=-5$, $\beta_1=4$, $\beta_0=2$. Po dosazení<br />
\[y_{n+2}=-4y_{n+1}+5y_n+4(4y'_{n+1}+2y_n').\]<br />
Zkusíme řešit rovnici $y'=-y$, $y(0)=1$. Víme, že řešení je<br />
$y(x)=e^{-x}$. Výše uvedená formule bude mít pro tuto rovnici tvar<br />
\[y_{n+2}=-4(1+h)y_{n+1}+(5-2h)y_n.\] Zvolme krok $h=0.1$, počáteční hodnotu<br />
$y_1=e^{-0.1}\doteq 0.904837$. Dostaneme následující<br />
výsledky (IEEE Double, zaokrouhleno):<br />
<br />
\begin{tabular}{d|dr|dr}<br />
\multicolumn{1}{c}{$x$} & \multicolumn{1}{c}{$y_i$} &<br />
\multicolumn{1}{c}{$(y_i-y(x_i))\cdot10^6$} &<br />
\multicolumn{1}{c}{$y_i'$} &<br />
\multicolumn{1}{c}{$(y_i'-y(x_i))\cdot10^6$} \\<br />
\hline<br />
0.0 & 1.000000 & 0 & 1.000000 & 0 \\<br />
0.1 & 0.904837 & 0 & 0.904835 & -2 \\<br />
0.2 & 0.818715 & -15 & 0.818726 & -4 \\<br />
0.3 & 0.740872 & 54 & 0.740812 & -6 \\<br />
0.4 & 0.669997 & -323 & 0.670313 & -7 \\<br />
0.5 & 0.608200 & 1669 & 0.606522 & -8 \\<br />
0.6 & 0.539907 & -8905 & 0.548803 & -9 \\<br />
0.7 & 0.543769 & 47183 & 0.496576 & -10 \\<br />
0.8 & 0.198971 & -250358 & 0.449319 & -10 \\<br />
0.9 & 1.734618 & 1328048 & 0.406560 & -10 \\<br />
1.0 & -6.677259 & -7045138 & 0.367869 & -10 \\<br />
2.5 & & & 30.828821 & 30746736 \\<br />
%0 & 1.0 & 0 & 1.0 & 0\\<br />
%0.1 & 0.904837 & 0 & 0.904835 & -2\\<br />
%0.2 & 0.818717 & -14 & & -5\\<br />
%0.3 & 0.740863 & -276 & & -4\\<br />
%0.4 & 0.670044 & 1418 & & -17\\<br />
%0.5 & 0.607949 & & & 43\\<br />
%1.0 & -5.624569 & -5992448 & & -216788<br />
\end{tabular}<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Formule \eqref{odiff} se nazývá {\bf stabilní podle Dahlquista},<br />
jestliže všechny kořeny polynomu<br />
$\alpha_k\lambda^k+\alpha_{k-1}\lambda^{k-1}+\dots+\alpha_0$ jsou v absolutní<br />
hodnotě menší nebo rovny $1$ a ty, které jsou v absolutní hodnotě<br />
rovny 1, jsou jednoduché.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lemma1}<br />
Nechť $y(x)$ je řešení rovnice $y'=f(x,y)$ v intervalu $\la<br />
x_0,a\ra$, nechť $f$ je definována, spojitá a lipschitzovská vzhledem<br />
k $y$ s konstantou $M$ na $\la x_0,a\ra\times\la<br />
-\infty,+\infty\ra$. Pak pro každé celé $n$: $0\le n\le N$ označme<br />
$u_n=y(x_n)-\lambda f(x_n,y(x_n))$, kde $\lambda$ je libovolně zvolená<br />
hodnota taková, že $\abs{\lambda}M<1$.<br />
<br />
Rovnice $z-\lambda f(x_n,z)=\tilde u_n$ má jediné řešení $z=\tilde y_n$<br />
a platí<br />
\[\abs{\tilde y_n-y_n}\le\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}<br />
\abs{\tilde u_n-u_n}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Zavedeme zobrazení $F(z)=\lambda f(x_n,z)+\tilde u_n$ $\R\mapsto\R$,<br />
dokážeme, že $F(z)$ je kontrahující, tedy $F(z)=z$ má právě jedno<br />
řešení. Protože platí<br />
\[\abs{F(z)-F(y)}=\abs{\lambda}\abs{f(x,z)-f(x,y)}\le<br />
M\abs{\lambda}\abs{z-y}\] a $M\abs{\lambda}<1$, je $F(x)$<br />
kontrahující a výše uvedená rovnice má jediné řešení. Dále platí<br />
\[\abs{\tilde y_n-y_n}=\abs{\lambda f(x_n,\tilde y_n)+\tilde u_n-<br />
\lambda f(x_n,y_n)-u_n}\le\abs{\tilde u_n-u_n}+<br />
\abs{\lambda}M\abs{\tilde y_n-y_n},\]<br />
z toho po úpravě<br />
\[\abs{\tilde y_n-y_n}\le\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}\abs{\tilde<br />
u_n-u_n}.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lemma2}<br />
Nechť je dán polynom<br />
\[\rho(t)=\sum_{i=0}^k\alpha_it^i\]<br />
a matice<br />
\[<br />
\mathbf A=<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 & \\<br />
0 & 0 & 1 \\<br />
& & & \ddots \\<br />
& & & & 1 \\<br />
-\frac{\alpha_0}{\alpha_k} & -\frac{\alpha_0}{\alpha_k}<br />
& & & -\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_k} \\<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Zřejmě $\rho(t)$ je násobkem charakteristického polynomu matice<br />
$\mathbf A$. Nechť pro každý kořen $t_i$ polynomu $\rho(t)$ platí<br />
$\abs{t_i}\le 1$ a nechť ty kořeny, pro které $\abs{t_i}=1$, jsou<br />
jednoduché.<br />
<br />
Zvolme nějakou maticovou normu. Pak existuje konstanta $G$, která<br />
závisí pouze na koeficientech $\rho(t)$ tak, že platí $\norm{\mathbf<br />
A^n}\le G$ pro $n\in\N$.<br />
<br />
Jestliže pro všechny kořeny $\rho(t)$ platí $\abs{t_i}<1$, pak<br />
existují konstanty $G_1$ a $0<\gamma<1$ tak, že $\norm{\mathbf A^n}\le<br />
G_1\gamma^n$ pro $n\in\N$.<br />
\begin{proof}<br />
$\mathbf A$ je regulární, tudíž ji lze zapsat jako<br />
\[\mathbf A=\mathbf T^{-1}<br />
\begin{pmatrix}<br />
J_1\\<br />
& J_2\\<br />
& & \ddots<br />
\end{pmatrix}<br />
\mathbf T,\]<br />
\[<br />
\mathbf A^n=\mathbf T^{-1}<br />
\begin{pmatrix}<br />
J_1^n\\<br />
& J_2^n\\<br />
& & \ddots<br />
\end{pmatrix}<br />
\mathbf T.<br />
\]<br />
Pro maximovou normu platí<br />
$\mnorm{\mathbf A^n}\le<br />
\mnorm{\mathbf T^{-1}}\tilde G<br />
\mnorm{\mathbf T}\le<br />
\Tilde{\Tilde G}$, neboť vlastní čísla jsou buď menší než $1$, v tom<br />
případě jsou prvky $J_i^n$ k nule, vlastní číslo $1$ může být pouze<br />
jednonásobné, v tom případě ale $J=(1)$, takže $J_i^n$ jsou omezeny<br />
konstantou. Pro jiné normy to platí díky topologické ekvivalenci.<br />
<br />
Je-li $\rho(\mathbf A)<1$, pak existuje $\epsilon>0$ takové, že<br />
i $\rho(\mathbf A)+\epsilon<1$. Pak<br />
\[<br />
\mathbf A=(\rho(\mathbf A)+\epsilon)\mathbf T^{-1}<br />
\begin{pmatrix}<br />
\frac{1}{\rho(\mathbf A)+\epsilon} J_1\\<br />
& \frac{1}{\rho(\mathbf A)+\epsilon} J_2\\<br />
& & \ddots<br />
\end{pmatrix}<br />
\frac{1}{\rho(\mathbf A)+\epsilon} T<br />
\]<br />
a<br />
\[\norm{\mathbf A^n}\le\norm{\mathbf T^{-1}}<br />
\norm{<br />
\begin{matrix}<br />
\left(\frac{1}{\rho(\mathbf A)+\epsilon} J_1\right)^n\\<br />
& \left(\frac{1}{\rho(\mathbf A)+\epsilon} J_2\right)^n\\<br />
& & \ddots<br />
\end{matrix}}<br />
\norm{\mathbf T}(\rho(\mathbf A)+\epsilon)^n.<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{lemma3}<br />
Nechť $\phi_k,\psi_k,\chi_k$ jsou konečné posloupnosti čísel pro<br />
$k=0,1,\dots,n$, $\chi_k\ge 0$. Nechť<br />
\[\phi_k\le\psi_k+\sum_{i=0}^{k-1}\chi_i\phi_i\quad<br />
\text{pro $k=0,1,\dots,n$}.\]<br />
Potom platí<br />
\[\phi_n\le\psi_n+\sum_{i=0}^{n-1}\chi_i\psi_i<br />
\prod_{j=i+1}^{n-1}(1+\chi_j).\]<br />
\begin{proof}<br />
Zavedeme další posloupnost<br />
\[\Phi_k=\psi_k+\sum_{i=0}^{k-1}\chi_i\Phi_i,\]<br />
$\Phi_0=\psi_0$. Indukcí dokážeme, že $\phi_k\le\Phi_k$. Pro $k=0$ to<br />
z definice platí, pokud to platí až do $k-1$, je<br />
\[\sum_{i=0}^{k-1}\chi_i\phi_i\le\sum_{i=0}^{k-1}\chi_i\Phi_i,\]<br />
neboť $\chi_i\ge 0$, což bylo dokázat.<br />
<br />
Dále dokážeme, že<br />
\[\Phi_n=\psi_n+\sum_{i=0}^{n-1}\chi_i\psi_i<br />
\prod_{j=i+1}^{n-1}(1+\chi_j).\]<br />
Pro $k=0$ to opět z definice platí, předpokládejme platnost až do<br />
$k-1$. Z definice je<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\Phi_k&=\psi_k+\chi_0\Phi_0+\chi_1\Phi_1+\dots+\chi_{k-1}\Phi_{k-1}=\\<br />
&=\psi_k+\chi_0\psi_0+\\<br />
&\qquad+\chi_1[\psi_1+\chi_0\psi_0]+\\<br />
&\qquad+\chi_2[\psi_2+\chi_0\psi_0(1+\chi_1)+\chi_1\psi_1]+\\<br />
&\qquad+\chi_3[\psi_3+\chi_0\psi_0(1+\chi_1)(1+\chi_2)+<br />
\chi_1\psi_1(1+\chi_2)+\chi_2\psi_2]+\\<br />
&\qquad+\chi_4[\psi_4+\chi_0\psi_0(1+\chi_1)(1+\chi_2)(1+\chi_3)+<br />
\chi_1\psi_1(1+\chi_2)(1+\chi_3)+\\<br />
&\qquad\quad+\chi_2\psi_2(1+\chi_3)+\chi_3\phi_3]+\\<br />
&\qquad+\chi_{k-1}[\psi_{k-1}+<br />
\chi_0\psi_0(1+\chi_1)(1+\chi_2)\cdots(1+\chi_{k-1})+\\<br />
&\qquad\quad+\chi_1\psi_1(1+\chi_2)\cdots(1+\chi_{k-1})+\cdots]=\\<br />
&=\psi_k+\chi_0\psi_0[1+\chi_1+\chi_2(1+\chi_1)+<br />
\chi_3(1+\chi_1)(1+\chi_2)+\\<br />
&\qquad\quad+\chi_4(1+\chi_1)(1+\chi_2)(1+\chi_3)+\dots<br />
+\chi_0\psi_0(1+\chi_1)\cdots(1+\chi_{k-1})]=\cdots<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Budeme vytýkat $(1+\chi_1)$, $(1+\chi_2)$ až $(1+\chi_{k-1})$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť pravá strana diferenciální rovnice $y'=f(x,y)$ je definována a<br />
spojitá v intervalu $x_0\le x\le a$, $-\infty<y<+\infty$ a splňuje<br />
vzhledem k $y$ Lipschitzovu podmínku s konstantou $M$. Nechť $y(x)$ je<br />
řešení rovnice na intervalu $\la x_0,a\ra$ a nechť má spojité derivace<br />
do řádu $p+1$, kde $p\ge 1$. Nechť uvažovaná diferenční formule řádu<br />
$k$ je stupně $p$ a stabilní podle Dahlquista. Nechť<br />
$y_0,y_1,\dots,y_n$ jsou hodnoty vypočítané podle vzorců<br />
\[\sum_{i=0}^k\alpha_i y_{n+i}=<br />
h\sum_{i=0}^k\beta_i f(x_{n+i},y_{n+i})+\delta_n<br />
\text{ pro $n=0,1,\dots,N-k$}\]<br />
a $y_i$ pro $i=0,1,\dots,k-1$ je dáno. Pak (pro dostatečně malá $h$)<br />
platí<br />
\[<br />
\abs{y_n-y(x_n)}\le\frac{G}{1-\abs{\lambda}M}\left[<br />
(1+\abs{\lambda}M)\vartheta+\frac{\abs{x_n-x_0}}{\abs{\alpha_n}}<br />
\left(\frac{\delta}{h}+Kh^p\right)<br />
\right]e^{G\tilde M(x_n-x_0)},<br />
\]<br />
kde $n=0,1,\dots,N$,<br />
\[\vartheta=\max_{i=0,1,\dots,k-1}\abs{y_i-y(x_i)},\quad<br />
\delta=\max_{i=0,1,\dots,N-k}\abs{\delta_i},\quad<br />
\lambda=h\frac{\beta_k}{\alpha_k}\]<br />
a $\tilde G$, $\tilde M$, $K$ jsou konstanty, které závisí jen na<br />
koeficientech formule a na diferenciální rovnici a jsou nezávislé na<br />
$h$ pro dostatečně malá $h$.<br />
\begin{proof}<br />
Označme $y_n-y(x_n)=r_n$. Odečtením vztahů<br />
\[<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_iy_{n+i}=h\sum_{i=0}^k\beta_i<br />
f(x_{n+i},y_{n+i})+\delta_n<br />
\]<br />
\[<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_iy(x_{n+i})=h\sum_{i=0}^k\beta_i<br />
f(x_{n+i},y(x_{n+i}))-l_n,<br />
\]<br />
přičemž $l_n\le Kh^{p+1}$, dostaneme<br />
\begin{equation}<br />
\label{chd1}<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_ir_{n+i}=h\sum_{i=0}^k\beta_i<br />
[f(x_{n+i},y_{n+i})-f(x_{n+i},y(x_{n+i}))]+\delta_n+l_n.<br />
\end{equation}<br />
Označme $u_n=y(x_n)-\lambda f(x_n,y(x_n))$, $\tilde u_n=y_n-\lambda<br />
f(x_n,y_n)$. Podle lemmatu \ref{lemma1} se dá odhadnout<br />
\[\abs{r_n}\le\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}\abs{\tilde u_n-u_n}.\]<br />
Místo $r_n$ budeme dále odhadovat $\tilde u_n-u_n$. Platí, že<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&\sum_{i=0}^k\alpha_i(\tilde u_{n+i}-u_{n+i})=<br />
\sum_{i=0}^k\alpha_ir_{n+i}-\lambda\sum_{i=0}^k\alpha_i<br />
[f(x_{n+i},y_{n+i})-f(x_{n+i},y(x_{n+i}))]=\\<br />
&\quad=h\sum_{i=0}^k(\beta_i-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i)<br />
[f(x_{n+i},y_{n+i})-f(x_{n+i},y(x_{n+i}))]+\delta_n+l_n=q_n.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Pro $i=k$ dostaneme $\beta_k-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_k=0$,<br />
takže stačí sčítat od 0 do $k-1$. Zavedeme vektory<br />
\[<br />
\vec u^{(n)}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
\tilde u_n-u_n\\<br />
\tilde u_{n+1}-u_{n+1}\\<br />
\vdots\\<br />
\tilde u_{n+k-1}-u_{n+k-1}<br />
\end{pmatrix}<br />
,\quad<br />
\vec q^{(n)}=<br />
\begin{pmatrix}<br />
0\\0\\0\\\vdots\\\frac{q_n}{\alpha_k}<br />
\end{pmatrix}<br />
\]<br />
a matici<br />
\[<br />
\mathbf A=<br />
\begin{pmatrix}<br />
0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 1 \\<br />
& & & \ddots\\<br />
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\<br />
-\frac{\alpha_0}{\alpha_k} & -\frac{\alpha_1}{\alpha_k} & & \cdots &<br />
-\frac{\alpha_{k-1}}{\alpha_k}<br />
\end{pmatrix}.<br />
\]<br />
Potom platí, že $\vec u^{(n+1)}=A\vec u^{(n)}+\vec q^{(n)}$. Až do<br />
$k-1$-té složky je to jasné, pro poslední složku to vyplývá z<br />
předchozí rovnosti.<br />
<br />
Dále je<br />
\[\vec u^{(n)}=\mathbf A\vec u^{(n-1)}+\vec q^{(n-1)}=<br />
\mathbf A^2\vec u^{(n-2)}+\mathbf A\vec q^{(n-2)}+\vec q^{(n-1)},\]<br />
\[\vec u^{(n)}=\mathbf A^n\vec u^{(0)}+\sum_{i=0}^{n-1}<br />
\mathbf A^{n-1-i}\vec q^{(i)}.\]<br />
Pomocí vektoru $\vec u^{(n)}$ provedeme odhad $r_{n+i}$ nezávislý na<br />
$i$:<br />
\[\abs{r_{n+i}}\le\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}\abs{\tilde u_{n+i}-u_{n+i}}\le<br />
\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}\mnorm{\vec u^{(n)}},\]<br />
neboť pro $i=0,\dots,k-1$ jsou to složky $\vec u^{(n)}$.<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\mnorm{\vec q^{(n)}}&=\frac1{\abs{\alpha_k}}\abs{q_n}\le<br />
\frac{Mh}{\abs{\alpha_k}}\sum_{i=0}^{k-1}\abs{\beta_i-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i}<br />
\abs{r_{n+i}}+\frac1{\abs{\alpha_k}}\left(\delta+Kh^{p+1}\right)\le\\<br />
&\le h\underbrace{\left[<br />
\frac{M}{\abs{\alpha_k}}\sum_{i=0}^{k-1}\abs{\beta_i-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i}<br />
\right]<br />
\frac{1}{1-\abs{\lambda}M}}_{\tilde M}\mnorm{\vec u^{(n)}}<br />
+\frac1{\abs{\alpha_k}}<br />
(\delta+Kh^{p+1})<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\mnorm{\vec q^{(n)}}\le\tilde M h\mnorm{\vec u^{(n)}}+<br />
\frac{1}{\alpha_k}(\delta+Kh^{p+1})<br />
\]<br />
Protože podle lemmatu \ref{lemma2} mají všechny mocniny $\mathbf A$<br />
společný odhad $G$, platí<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\mnorm{\vec u^{(n)}}&\le\mnorm{\mathbf A^n}\mnorm{\vec u^{(0)}}+<br />
\tilde M h\sum_{i=0}^{n-1}\mnorm{\mathbf A^{n-i-1}}<br />
\mnorm{\vec u^{(i)}}+\\<br />
&\quad+\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}<br />
\sum_{i=0}^{n-1}\mnorm{\mathbf A^{n-i-1}}\le\\<br />
&\le\underbrace{G\tilde M h}_{\chi_i}\sum_{i=0}^{n-1}<br />
\underbrace{\mnorm{\vec u^{(i)}}}_{\phi_i}+<br />
\underbrace{Gn\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}+<br />
G\mnorm{\vec u^{(0)}}}_{\psi_n}.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Podle lemmatu \ref{lemma3} z toho, že platí<br />
\[\phi_k\le\psi_k+\sum_{i=0}^{k-1}\chi_i\phi_i,\]<br />
vyplývá, že<br />
\[\phi_n\le\psi_n+\sum_{i=0}^{n-1}\chi_i\psi_i\prod_{j=i+1}^{n-1}(1+\chi_j)\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\mnorm{\vec u^{(n)}}&\le G\tilde M h\sum_{i=0}^{n-1}\left[<br />
Gi\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}+G\mnorm{\vec u^{(0)}}<br />
\right](1+G\tilde Mh)^{n-i-1}+\\<br />
&\quad+Gn\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}+G\mnorm{\vec u^{(0)}}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\mnorm{\vec u^{(n)}}&\le G\mnorm{\vec u^{(0)}}\left[<br />
1+G\tilde M h\sum_{i=0}^{n-1}(1+G\tilde Mh)^{n-i-1}<br />
\right]+\\<br />
&\quad+\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}\left[<br />
Gn+G\tilde M h\sum_{i=0}^{n-1}Gi(1+G\tilde M h)^{n-i-1}<br />
\right]<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Protože<br />
\[<br />
\sum_{i=0}^{n-1}iq^{n-1-i}=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=0}^{j-1}q^i,<br />
\]<br />
je druhá hranatá závorka rovna<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
&Gn+G\tilde Mh\sum_{j=1}^{n-1}G\frac{(1+G\tilde Mh)^j -1}<br />
{G\tilde Mh}=Gn+G\sum_{j=1}^{n-1}(1+G\tilde Mh)^j-G(n-1)=\\<br />
&\quad=G+G(1+G\tilde Mh)\frac{(1+G\tilde Mh)^{n-1}-1}{G\tilde Mh}=<br />
\frac{1}{\tilde Mh}[(1+G\tilde Mh)^n-1].<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\[<br />
\mnorm{\vec u^{(n)}}\le G\mnorm{\vec u^{(0)}}[1+(1+G\tilde Mh)^n-1]+<br />
\frac{\delta+Kh^{p+1}}{\abs{\alpha_k}}<br />
\frac{1}{\tilde Mh}[(1+G\tilde Mh)^n-1],<br />
\]<br />
to lze dále upravit:<br />
\[<br />
\mnorm{\vec u^{(n)}}\le G\mnorm{\vec u^{(0)}}(1+G\tilde Mh)^n+<br />
\frac{1}{\abs{\alpha_k}\tilde M}\left(<br />
\frac\delta h+Kh^p<br />
\right)[(1+G\tilde Mh)^n-1]<br />
\]<br />
Využijeme nyní toho, že $1+G\tilde Mh<e^{G\tilde Mh}$, tedy<br />
$(1+G\tilde Mh)^n<e^{nG\tilde Mh}=e^{G\tilde M(x_n-x_0)}$ a<br />
dále $e^{G\tilde M(x_n-x_0)}-1<G\tilde M(x_n-x_0)e^{G\tilde<br />
M(x_n-x_0)}$. To první je jasné, to druhé vyplývá třeba z Taylorova<br />
rozvoje $e^x$.<br />
\[\mnorm{\vec u^{(n)}}\le G\mnorm{\vec u^{(0)}}e^{G\tilde M(x_n-x_0)}+<br />
\frac{G(x_n-x_0)}{\abs{\alpha_k}}\left(<br />
\frac{\delta}{h}+Kh^p<br />
\right)e^{G\tilde M(x_n-x_0)}\]<br />
Po vynásobení $1/(1-\abs{\lambda}M)$, dostáváme hledanou<br />
nerovnost. Stačí si uvědomit, že<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\abs{\tilde u_i-u_i}&=<br />
\abs{y_i-y(x_i)-\lambda[f(x_i,y_i)-f(x_i,y(x_i))]}\le\\<br />
&=\abs{y_i-y(x_i)}+\abs{\lambda}M\abs{y_i-y(x_i)}=<br />
(1+\abs{\lambda}M)\abs{y_i-y(x_i)}=\\<br />
&=(1+\abs{\lambda}M)\vartheta.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\delta_n$ je zaokrouhlovací chyba počítače a ani počáteční podmínky<br />
nejsou dány přesně. Opět nelze jít s $h$ libovolně nízko, pro další<br />
zvýšení přesnosti lze použít jedině metodu vyššího řádu.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=824301RMF:Kapitola42019-04-09T14:15:06Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
%\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
%\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení dvou typických zástupců parabolických a hyperbolických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Jako zástupce hyperbolických operátorů, budeme řešit počáteční úlohu vlnové rovnice v 1 dimensi, s pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$.<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \bigg(\ppd{}{t} - a^2 \Delta\bigg)\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x) = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Sečteme-li předchozí výrazy a vytkneme z nich Heavisidovu funkci získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi.<br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
kde $\Vert x \Vert^2=\sum_{1}^{n} x_k^2$. Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
<br />
My nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=824201RMF:Kapitola42019-04-08T21:06:44Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
%\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
%\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení dvou typických zástupců parabolických a hyperbolických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Dále budeme řešit počáteční úlohu vlnové rovnice v 1 dimensi, s pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$.<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \bigg(\ppd{}{t} - a^2 \Delta\bigg)\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(0,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x) = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi.<br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
kde $\Vert x \Vert^2=\sum_{1}^{n} x_k^2$. Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
<br />
My nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=824101RMF:Kapitola42019-04-08T21:02:14Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
%\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
%\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení dvou typických zástupců parabolických a hyperbolických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Dále budeme řešit počáteční úlohu vlnové rovnice v 1 dimensi, s pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$.<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \bigg(\ppd{}{t} - a^2 \Delta\bigg)\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x) = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi.<br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
kde $\Vert x \Vert^2=\sum_{1}^{n} x_k^2$. Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
<br />
My nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=824001RMF:Kapitola42019-04-08T20:59:14Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
%\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
%\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení dvou typických zástupců parabolických a hyperbolických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Dále budeme řešit počáteční úlohu vlnové rovnice v 1 dimensi, s pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$.<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \bigg(\ppd{}{t} - a^2 \Delta\bigg)\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi.<br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
kde $\Vert x \Vert^2=\sum_{1}^{n} x_k^2$. Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
<br />
My nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823901RMF:Kapitola42019-04-08T16:15:39Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
%\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
%\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823801RMF:Kapitola42019-04-08T16:15:08Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
\wikifile{Image:Tabulka_vlastnosti.pdf}{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
\includegraphics[pdf]{Tabulka_vlastnosti} <br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823701RMF:Kapitola42019-04-08T16:08:16Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
\includegraphics{Tabulka_vlastnosti.pdf}<br />
<br />
%[[Soubor:Tabulka_vlastnosti.pdf]]<br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823601RMF:Kapitola42019-04-08T16:03:34Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
[[Soubor:'Tabulka_vlastnosti.pdf']]<br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823501RMF:Kapitola42019-04-08T16:00:03Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
<br />
[[Soubor:Tabulka_vlastnosti.pdf]]<br />
<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Soubor:Tabulka_vlastnosti.pdf&diff=8234Soubor:Tabulka vlastnosti.pdf2019-04-08T15:57:35Z<p>Johndavi: tabulka F. a L. transformaci</p>
<hr />
<div>tabulka F. a L. transformaci</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=823301RMF:Kapitola12019-04-08T15:34:43Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy a zavedli pro ně operace kompatibilní s těmi u klasických funkcí. <br />
Cílem je, abychom pro ně nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. hledat a ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak \uv{šikovně}, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Proměnnými funkcionálu tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$, a jeho hodnotu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. Pro tento účel nejprve definujme relaci $\sim$.<br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~relaci ekvivalence, neboť je symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom můžeme faktorizovat množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence (množin, které jsou tvořeny funkcemi vzájemně ekvivalentními vzhledem k relaci $\sim$), které budou určovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. $L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. Připomeňme ještě několik důležitých pojmů o vektorových prostorech:<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$\D \subset L^p$.<br />
\begin{proof}<br />
Stačí integrovat po kompaktním nosiči, na kterém $\phi$ nutně nabývá svého maxima \textit{K}. Integrál pak lze shora odhadnout <br />
<br />
$$ \Vert \phi \Vert_p = \sqrt[p]{\int_{\nf \phi} |\phi(x)|^p \ \text{d} x} \leq \vert\textit{K}\vert\cdot\sqrt[p]{\mu (\nf \phi)} < + \infty .$$<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola5&diff=823201RMF:Kapitola52019-04-08T15:25:10Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Integrální rovnice, spektrum, ON báze}<br />
<br />
Výrazem integrální se označují takové rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Jde o určitou analogii diferenciálních rovnic, jak už totiž z fyziky víme, celou řadu rovnic lze ekvivalentně zapsat jak v integrální, tak v diferenciální podobě, např. Gaussovu větu<br />
<br />
$$ \Delta \cdot E = \dfrac{\rho}{\epsilon} \qquad <=> \qquad \oint_S E \,\dd S = \dfrac{1}{\epsilon} \int_V \rho \, \dd V .$$<br />
<br />
To je naše motivace pro zkoumání integrálních rovnic, vlastně jde způsob jak hledat nové metody řešení diferenciálních rovnic. Na závěr našeho snažení budeme demonstrovat převod zástupce jisté široké třídy diferenciálních rovnic na rovnice integrální. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $G$ omezená oblast v $\R^n$, pak zavádíme označení:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[] $L^2(G)$, pro funkce s normou $\Vert f\Vert_2 = \left(\displaystyle \int_G f(x) \bar{f}(x) \dd x \right)^{\frac{1}{2}}$;<br />
\item[] $\C(\bar{G})$, pro funkce s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Integrálním operátorem \textbf{K} působícím na funkci $\phi$ rozumíme<br />
$$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y. $$<br />
Přičemž $\K\in \C(\bar{G} \times \bar{G})$ nazýváme integrální jádro a zavádíme označení:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[] \textit{mez jádra} $M := \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$;<br />
\item[] \textit{objem jádra} $V := \displaystyle \int_{G} 1 \dd x $. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
Integrální rovnice se rozdělují na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí nezávislé proměnné.<br />
<br />
\section{Fredholmovy integrální rovnice}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $\phi$ rozumíme rovnici tvaru <br />
$$ \phi= \lambda \Kb \phi + f ,$$<br />
kde $\lambda \in \mathbb{C}$, funkce $f$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. <br />
\end{define}<br />
Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)\phi =f$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $f \in L^2(G)$), nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $f\in \C(\bar{G})$). <br />
Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$.<br />
<br />
\subsection{Degenerované jádro}<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj. existuje $p \in \mathbb{N}$ tak, že je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, <br />
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.<br />
\end{define}<br />
<br />
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:<br />
$$\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) \phi(y) \dd y + f(x)= $$<br />
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) \phi(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + f(x)$$<br />
Tímto jsme získali tvar řešení<br />
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$<br />
Nyní je možné dosazením tohoto tvaru do vyjádření $c_j$ spočítat tyhle koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.<br />
Uvažujme tedy řešení <br />
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$ <br />
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$. <br />
Máme pak <br />
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)\phi(x) \dd x = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)f(x) \dd x.$$<br />
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.<br />
<br />
Dosaďme za $\phi(x)$ z Fredholmovy rovnice:<br />
$$c_i = \displaystyle \int_{G} (v_i(x)(\lambda \Kb \phi(x) + f(x) ) \dd x = <br />
\lambda \displaystyle \int_{G} v_i(x) \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y) \dd y \right) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_i(x)f(x) \dd x = $$<br />
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_i(x)u_j(x)\dd x \right)}_{A_{ij}} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y)\dd y \right)}_{c_j} +<br />
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)f(x)\dd x }_{b_i}$$<br />
Tedy jsme získali rovnici <br />
$$c = \lambda \A c + b.$$<br />
<br />
Označme $c^{\ast}$ řešení této rovnice. Jelikož celou dobu chceme získat řešení Fredholmovy integrální rovnice, dosaďme tento výsledek do tvaru, do kterého jsme rovnici v první úpravě převedli. <br />
$$\phi^{\ast}(x) = \lambda \Kb \phi^{\ast}(x) +f = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y)\phi^{\ast}(y) \dd y}_{c_j^{\ast}} + f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) c^{\ast}_j(x) + f(x)$$<br />
Tímto jsme vyřešili Fredholmovu rovnici pro degenerované jádro. <br />
<br />
\subsection{Iterativní metody řešení}<br />
\begin{theorem}<br />
Integrální operátor $\Kb$ se spojitým jádrem $\K$ zobrazuje:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq M\sqrt{V} \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$;<br />
\item $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq MV \Vert f \Vert_{\C}$ pro všechny $f \in \C(\bar{G})$;<br />
\item $ L^2(G) \to L^2(G)$, protože $\Vert \Kb f \Vert_2 \leq MV \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
<br />
V důkazu budeme často využívat Schwarzovu nerovnost a mez jádra. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \left(\displaystyle \int_{G}\K^2(x,y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}} <br />
\left( \displaystyle \int_{G} f^2(y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}}\right| =$$<br />
$$ = \sqrt{M^2}\mathrm{max}_{\bar{G}} \left(\displaystyle \int_{G}1 \dd y\right)^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2 = M \sqrt{V}\Vert f \Vert_2$$<br />
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \displaystyle \int_{G}|\K(x,y)| |f(y)| \dd y \leq M \Vert f \Vert_{\C}$$<br />
\item $$\Vert \Kb f \Vert^2_{2} = \displaystyle \int_{G} \left| \Kb f(x) \right|^2 \dd x = \displaystyle \int_{G} \left| \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right) \right|^2 \dd x \leq $$<br />
$$\leq \displaystyle \int_{G} \left[\left(\displaystyle \int_{G}|\K(x,y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}} \left( \displaystyle \int_{G}|f(y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}}\right]^{2} \dd x \leq $$<br />
$$ \leq \displaystyle \int_{G} \left( MV^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2\right)^2 \dd x = M^2 V^2 \Vert f \Vert_2 ^2$$<br />
Odtud již plyne požadovaná nerovnost. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $V, V_1$ normované vektorové prostory. Zobrazení (operátor) $B:V\to V_1$ nazveme {\bf omezené (omezený)}, jestliže existuje $c>0$ takové, že pro všechna $x\in V$ platí, že <br />
$$\Vert Bx\Vert_1 \leq c\Vert x\Vert.$$<br />
Nejmenší takovéto $c$ nazveme normou operátoru $B$ a označujeme jej $\Vert B \Vert$.<br />
\end{define}<br />
Je zřejmé, že normu operátoru lze snadno určit pomocí vztahu<br />
$$ \Vert B \Vert = \mathrm{sup}_{x \neq 0} \frac{\Vert Bx\Vert_1}{\Vert x\Vert}. $$<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buďte $(V,\Vert \ \cdot \ \Vert), (V_1,\Vert \ \cdot \ \Vert_1)$ normované prostory \footnote{Nikoliv nutně Banachovy, nepožadujeme úplnost!} a buď $B:V \to V_1$ lineární operátor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní :<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $B$ je omezený;<br />
\item $B$ je spojitý;<br />
\item $B$ je spojitý v bodě. <br />
\begin{proof}<br />
\begin{enuemrate}<br />
\item[$1 \Rightarrow 2$] <br />
$$\Vert Bx -By\Vert_1 = \Vert B(x-y)\Vert_1 \leq \Vert B \Vert \Vert x-y \Vert$$<br />
Odtud již z omezenosti plyne spojitost. <br />
\item[$2 \Rightarrow 3$] Je zřejmé, že zobrazení, které je spojité (tedy je spojité v každém bodě svého definičního oboru), je spojité v bodě. <br />
\item[$3 \Rightarrow 1$] Buď $B$ spojité BÚNO v $x=0$. To znamená, že<br />
$$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < \epsilon.$$<br />
Volme tedy $\epsilon = 1$. Pak $\Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < 1$. Beru-li nyní libovolné $y\in V$, $y \neq 0$, pak zcela jistě<br />
$$\left\Vert \frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert < \delta \Rightarrow \left\Vert B\left(\frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right) \right\Vert_1 <1 $$<br />
Toto ale lze přepsat na tvar <br />
$$ \frac{\delta}{2}\frac{1}{\Vert y \Vert} \Vert By \Vert_1 < 1 \Leftrightarrow \Vert By \Vert_1 < \frac{2}{\delta}\Vert y \Vert$$<br />
Tímto jsme ukázali omezenost. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Důsledkem této věty je fakt, že Fredholmův integrální operátor je omezený a spojitý (a samozřejmě lineární) jako zobrazení $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, $ L^2(G) \to L^2(G)$. <br />
<br />
<br />
\subsection{Metoda postupných aproximací na $\C(\bar{G})$}<br />
Předpokládejme, že $f \in \C (\bar{G})$ a hledejme funkci $\phi \in \C (\bar{G}) $, která bude řešit úlohu <br />
\begin{equation}<br />
\label{hvezdicka}<br />
\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).<br />
\end{equation}<br />
Jak název metody napovídá, budeme se snažit najít řešení iterací. <br />
Proto položme <br />
\begin{equation}<br />
\label{dvehvezdicky}<br />
\begin{split}<br />
\phi_0(x) = f(x), \\<br />
\phi_{k+1}(x) = \lambda \Kb \phi_{k}(x) + f(x). <br />
\end{split}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Získáváme posloupnost funkcí $\phi_k(x)$. Je zřejmé, že $$\displaystyle \lim_{k\to + \infty} \phi_k(x) = \phi(x),$$<br />
což je funkce, která řeší zadanou úlohy. <br />
Skutečně. Stačí provést limitu rekutrentního výrazu pro $\phi_{k+1}$ \eqref{dvehvezdicky}. Jelikož je $\Kb$ spojité, dostáváme po provedení limity hledané řešení \eqref{hvezdicka}. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $|\lambda| < \frac{1}{MV}$. Pak posloupnost $\phi_k \sk{\bar{G}} \phi$, kde funkce $\phi$ je jediným řešením rovnice $\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$<br />
\begin{proof}<br />
Z rekurentního vztahu dostáváme $$\phi_k= \displaystyle \sum_{j=1}^{k} \lambda^j \Kb^j f + f.$$<br />
Toto ověříme matematickou indukcí:<br />
Pro $k=0,1$ je vztah dle definice výše zřejmě splněn. Proto se zaměřme na přechod od $k$ ke $k+1$:<br />
$$\phi_{k+1}= \lambda \Kb \phi_k + f = \lambda \Kb \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^j \Kb^j f + f \right) +f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^{j+1} \Kb^{j+1} f + \lambda \Kb f + f = $$<br />
$$= \displaystyle \sum_{j=2}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + \lambda \Kb f + f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + f $$<br />
Abychom ukázali stejnoměrnou konvergenci funkční posloupnosti $\phi_k$, stačí ukázat, že řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně. K důkazu toho tvrzení využijeme <br />
Weierstrassovu větu, která říká, že stačí najít konvergentní číslenou majorantu. Stačí totiž pracovat v normě. <br />
Tedy řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně na $\bar{G}$, pokud $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C}$ konverguje. <br />
Použijme nyní pro člen uvnitř této sumy odhad: $$\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C} \leq |\lambda MV|^j \Vert f \Vert_{\C}$$<br />
Jelikož je $\Vert f \Vert_{\C}$ konstanta, je možné ji z řady vytknout a díky předpokladům \footnote{Tento předpoklad tam není jen z důvodu \uv{aby to vyšlo}, ale vyplývá ze spektra operátoru, o kterém bude pojednáno dále.}<br />
je výraz v závorce ostře menší než jedna, tudíž řada (geometrická) konverguje. <br />
<br />
Jednoznačnost se ukáže sporem, jak tomu obvykle bývá. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Z důkazu vyplynulo, že <br />
$$\phi(x) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} \phi_{k}(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x).$$<br />
Později ukážeme, že $\Kb^j$ je integrální operátor s jádrem $\K_j(x,y)$. Využijme nyní této znalosti a zkusme formálně rozepsat výraz, který jsme dostali. Můžeme rovněž zkusit provést záměnu sumy a integrálu a zkoumat výraz, <br />
který obdržíme. Korektnost postupu bude ověřena později.<br />
$$\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_j(x,y)f(y)\dd y + f(x) =$$<br />
$$= \lambda \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_{j+1}(x,y)f(y)\dd y + f(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)\right) f(y) \dd y + f(x)$$<br />
Výraz $\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)$ nazývámme {\it resolventa} a označujeme jej $\Res(x,y,\lambda)$. Pomocí resolventy je pak možné napsat funkci $\phi(x)$ ve tvaru:<br />
$$\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y + f(x)$$<br />
Je očividné, jakou výhodu resolventa poskytuje. Jestliže máme nějaký integrální operátor, tak pro něj spočítáme jen jednou resolventu a pak pomocí ní konstruujeme řešení pro libovolnou pravou stranu $f$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\subsection{Metoda iterovaných jader}<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $K,L: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ integrální operátory se spojitými jádry $\K(x,y),\mathscr{L}(x,y)$. Pak operátor $(KL):\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ a působí na funkci $f$ následovně:<br />
$$(KLf)(x) =K(Lf(z))(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,z)Lf(z) \dd z = \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \left(\displaystyle \int_{G} \mathscr{L}(z,y) f(y) \dd y \right)\dd z =$$<br />
$$ = \displaystyle \int_{G} f(y) \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z \right) \dd y$$<br />
Odtud plyne, že $KL$ je integrální operátor se spojitým jádrem $ \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z $. <br />
Speciálně, dosadíme -li ze $L = K^j$, získáme rekurentní vztah pro posloupnost iterovaných jader.<br />
$$\K_{j+1} (x,y) = \displaystyle \int_{G}\K(x,z)\K_j(z,y) \dd z $$<br />
\end{remark}<br />
<br />
Následující věta korektně zdůvodní, proč je možné provést záměny, kterou jsme dělali v postupu výše. <br />
\begin{theorem}[o možnosti záměny]<br />
Je-li $|\lambda|< \frac{1}{MV}$, pak řada $\Res(x,y,\lambda) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\lambda^k \K_{k+1}(x,y)$ konverguje v $\C (\bar{G} \times \bar{G})$. Řadu $\Res$ nazýváme resolventní jádro. Toto jádro je spojité na $\C(\bar{G}\times \bar{G}\times B_{\frac{1}{MV}}(0))$. Navíc řešení $\phi$ rovnice $\phi = \lambda \Kb \phi + f$ je <br />
$$\phi(x) = f(x) + \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y.$$<br />
\begin{remark}<br />
Celou dobu řešíme problém $\phi = \lambda \Kb \phi + f$, který je možno převést na tvar $(\mathbf{I} - \lambda \Kb) \phi = f$. Zároveň ale tato věta říká, že <br />
$\phi = f+ \lambda \mathbf{R} f = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R})f$. Odtud ale plyne, že $$(\mathbf{I}-\lambda \Kb)^{-1} = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R}).$$<br />
Tedy problém nalezení řešení integrální rovnice vyřešíme nalezením inverzního operátoru se spojitým jádrem pomocí původního operátoru. Tímto získáme mnohem více informací, <br />
než kdybychom použili kteroukoliv jinou metodu. <br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme, že $\Res$ je stejnoměrně konvergentní. Pak je možné v postupu provést záměnu a tím je tvrzení dokázáno. K vyšetření stejnoměrné konvergence opět použijeme Weierstrassovu větu.<br />
Buď proto $x,y \in \bar{G}$ libovolná. Pak <br />
$$\left| \K_{p+1}(x,y)\right| = \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \K_{p}(z,y) \dd z \right| \leq MV \mathrm{max}_{\bar{G} \times \bar{G}} \left|\K_{p}(x,y) \right|.$$<br />
Toto ale říká, že <br />
$$ \left\Vert \K_{p+1}\right \Vert_{\C} \leq MV \left\Vert \K_p \right \Vert_{\C}$$<br />
Tímto dokážeme odhadnout každý člen. Zbývá vyšetřit odhad prvního členu. <br />
$$ \left| \K_1(x,y) \right| \leq \left| \K(x,y) \right| \Rightarrow \left \Vert \K_1 \right \Vert_{\C} = M $$<br />
Odtud již získáváme žádaný odhad <br />
$$ \left\Vert \K_p \right \Vert_{\C} \leq M^pV^{p-1} $$<br />
Je očividné, že $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} $ je číselnou majorantou $\Res$. Navíc pro ni platí<br />
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} \leq \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |\lambda|^k M^{k+1}V^k = \frac{M}{1-|\lambda|MV} < + \infty$$<br />
Tedy jsme nalezli číselnou majorantu, která majorizuje $\Res(x,y,\lambda)$ pro libovolné $x,y$ z uvažovaného definičního oboru. Z tohoto důvodu můžeme při hledání řešení (v rozepisování, které jsme provedli<br />
před touto větou, jdeme zpětně) zaměňovat řadu a integrál. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Volterrovy integrální rovnice}<br />
\begin{define}<br />
Buď $G = (0,a)$, kde $a>0$. Pak {\bf Volterrovou integrální rovnicí} nazýváme rovnici tvaru <br />
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x) = \lambda \Kb \phi + f.$$<br />
\end{define}<br />
Hned vidíme, že metoda degenerovaného jádra zde nemá žádnou praktickou výhodu, neboť máme proměnnou $x$ v mezi integrálu. chtěli bychom ale problém řešení Volterrovy rovnice převést na Fredholmovu rovnici, tj. do tvaru<br />
$$ \lambda \Kb \phi + f = \lambda \displaystyle \int_{G} \widetilde{\K}(x,y) \phi (y) + f(x) = \lambda \widetilde{\Kb} \phi + f,$$<br />
kde $\widetilde{\Kb}$ je Fredholmův integrální operátor. <br />
Proto se zavádí tzv. Volterrovo integrální jádro:<br />
\begin{define}<br />
{\bf Volterrovo integrální jádro} je definováno jako <br />
$$\widetilde{\K}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \K(x,y), &\mbox{pro } 0\leq y<x<a, \\0 &\mbox{jinak}. \end{array}\right.$$<br />
\end{define}<br />
Je snadno vidět, že Volterrovo integrální jádro působí nenulově na množině, kterou je v $\R^2$ pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, který má jednu z odvěsen na x-ové ose. <br />
\begin{remark}<br />
Volterrovo jádro není nutně spojité! Ukážeme později, že předpoklad spojitosti je zbytečně silný. Spokojíme se totiž pouze se spojitostí jádra $ \K$ na výše zmiňovaném trojúhelníku. <br />
\end{remark}<br />
\subsection{Iterovaná jádra}<br />
Nejprve si uvědomme, že operátor $\widetilde{\K}(x,z)$ je nenulový pro $0<z<x<a$ a operátor $\widetilde{\K}_k(z,y)$ je nenulový pro $0<y<z <a$. Na množině, na které je operátor nenulový, pak působí jako $\K(x,z)$, resp. $\K_k(z,y)$ Proto potom platí<br />
$$\widetilde{\K}_{k+1}(x,y) = \displaystyle \int_{0}^{a} \widetilde{\K}(x,z)\widetilde{\K}_k(z,y)\dd z =\displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z .$$<br />
Zvolíme-li $y>x$, integrujeme přes prázdnou množinu a proto je integrál nulový, tedy je vidět, že $\widetilde{\K}_{k+1}(x,y)$ má strukturu Volterrova integrálního jádra, <br />
přičemž jeho nenulové hodnoty jsou dány hodnotami $\K_{k+1}(x) = \displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z $.<br />
Je zřejmě jasné, kam směřujeme. Najdeme jen odhad pro velikost obrazu Volterrova integrálního operátoru a převedeme tento případ na Fredholmovu úlohu. <br />
\begin{lemma}<br />
Buď $\Kb$ Volterrův integrální operátor. Pak pro všechna $p\in \mathbb{N}_0$ a pro všechna $x\in \left[ 0, a\right]$ platí<br />
$$ \left| \Kb^p \phi(x)\right| \leq \frac{(Mx)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Pro $p=0$ zjevně platí. Pro $p=1$ platí:<br />
$$ |\Kb \phi(x)| = \left|\displaystyle \int_{0}^{x}\K(x,y)\phi(y) \dd y \right| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\phi(y)|\dd y \leq Mx\Vert \phi \Vert_{\C}. $$<br />
Nyní provedeme indukční krok $p\mapsto p+1$:<br />
$$ |\Kb^{p+1} \phi(x)| = |\Kb (\Kb^p \phi(x))| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\Kb^p \phi(y)|\dd y \leq \displaystyle \int_{0}^{x} M \frac{(My)^p}{p!} \Vert \phi \Vert_{\C} \dd y = <br />
\frac{(Mx)^{p+1}}{(p+1)!} \Vert \phi \Vert_{\C}.$$<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
V důsledku tohoto lemmatu máme vyřešenou Volterrovu integrální rovnici, protože pro metodu postupných aproximací (u Fredholmových integrálních rovnic) jsme potřebovali znát odhad <br />
$\Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C}$ kvůli nalezení integrabilní majoranty. Ten ale již máme a dokonce víme, že díky němu bude resolventa konvergovat. Odhad je zřejmě<br />
$$ \Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C} \leq \frac{(Ma)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$<br />
Zopakujeme-li nyní důkaz, který jsme provedli u metody post. aproximací a iterovaných jader, a využijeme-li odhady výše, máme tyto metody pro Volterrovy rovnice a máme zajištěno, že fungují pro libovolné $\lambda$, neboť odhady tentokrát na $\lambda$ nezávisí. <br />
Zformulujme tento poznatek do věty.<br />
\begin{theorem}<br />
Volterrova integrální rovnice $\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x)$ má pro všechna $\lambda \in \mathbb{C}$ a pro všechny spojité funkce $f\in \mathcal{C}(\left[0,a\right]) $ právě jedno řešení $\phi(x)\in\mathcal{C}(\left[0,a\right])$.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Spektrum, ortonormální báze a vlastnosti integrálních operátorů}<br />
V této sekci budou definovány pojmy jako spektrum operátoru, ortonormální báze atp., které budou navazovat na látku lineární algebry a budou ji rozšiřovat na prostory nekonečné dimense. <br />
Jedná se o jistý krátký úvod do funkcionální analýzy. <br />
<br />
V celé kapitole budeme pracovat s Banachovými prostory, nebude-li řečeno jinak. Operátor $T:X\to X$ bude lineární operátor na Banachově prostoru. <br />
Zkoumejme řešení rovnice <br />
\begin{equation}<br />
\label{vl}<br />
(T - \lambda I) x= y <br />
\end{equation}<br />
v závislosti na $\lambda \in \mathbb{C}$ a $y\in X$. <br />
Připomeňme, že z lineární algebry (tj. pro $X$ konečně dimensionální) víme, že spektrum operátoru $T$ je množina<br />
$$\sigma(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \exists x \in X, \ x\neq 0, \ Tx = \lambda x \right \}.$$<br />
Rovněž víme, že <br />
$$\lambda \in \sigma(T) \Leftrightarrow \mathrm{det}(T - \lambda I ) =0 .$$<br />
Zmiňme ještě, že operátor je regulární (na prostorech kon. dimense), právě když je prostý a to je tehdy a jen tehdy, když je surjektivní. <br />
Proto je-li $y=0$, má rovnice $\eqref{vl}$ řešení, právě když $\lambda \in \sigma(T)$. <br />
Jestliže je $y\neq 0$, pak je operátor $(T- \lambda I)$ bijekcí, právě když $\lambda \notin \sigma(T)$. Odtud je možné získat další definici, kterou nakonec zobecníme:<br />
$$\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$<br />
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$. <br />
Tyto úvahy jsou na prostorech konečné dimense ekvivalencemi, ale na prostorech nekonečné dimense ekvivalencemi obecně nejsou. <br />
Nyní se již přesuňme na prostory nekonečné dimense.<br />
\begin{define}<br />
{\bf Spektrem operátoru} $T:X\to X$ ($X$ je Banachův prostor) rozumíme <br />
$$ \sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$<br />
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$ a $\varrho(T)$ nazýváme resolventní množina. <br />
\end{define}<br />
<br />
Na základě toho, co způsobuje to, že operátor $(T-\lambda I)^{-1}$ neexistuje, dělíme spektrum na několik typů. <br />
Předpokládejme, že $\lambda \in \sigma(T)$. Pak <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $(T-\lambda I) $ není prosté a tedy k němu neexistuje inverzní operátor. Pak ale tato vlastní čísla $\lambda$ odpovídají řešení rovnice $Tx = \lambda x$ ($\exists y,z \in X,\ y\neq z$ tak, že $(T-\lambda)(y)=(T-\lambda)(z)$). <br />
Množinu těchto čísel nazýváme {\it bodové spektrum} a označujeme $\sigma_p(T)$.<br />
\item Inverzní operátor existuje, ale není surjektivní. Jestliže je <br />
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} = X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží ve {\it spojitém spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_c(T)$;<br />
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} \neq X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží v {\it residuálním spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_r(T)$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Odtud tedy plyne, že spektrum je možné zapsat jako sjednocení bodového, spojitého a residuálního spektra, tj.<br />
$$ \sigma = \sigma_p \cup \sigma_c \cup \sigma_r $$<br />
<br />
\begin{define}<br />
$R_{T}(\lambda) = (T-\lambda I)^{-1}$ se nazývá {\bf resolventa operátoru} pro $\lambda \in \varrho(T)$. Zobrazení $R_T:\varrho(T) \to \mathscr{B}\footnote{$\mathscr{B}$ označuje prostor všech omezených operátorů.}: \lambda \mapsto (T-\lambda I)^{-1} $ nazýváme {\bf resolventní funkcí}.<br />
\end{define}<br />
<br />
Zamysleme se nyní nad souvislostí s integrálními rovnicemi. Jistou roli bude určitě hrát resolventa a parametr $\lambda$. Například díky předešlým úvahám víme, že pro <br />
$$\phi = \lambda \Kb \phi +f \Leftrightarrow \left(\Kb - \frac{1}{\lambda}\mathbf{I}\right)\phi = -\frac{1}{\lambda}f $$<br />
nemá smysl hledat řešení $\frac{1}{\lambda}\in \sigma(\Kb)$. <br />
Nyní vyslovíme několik drobných tvrzení, která nám pak poslouží k důkazu věty, která vysvětlí onu záhadnou podmínku na $\lambda$ v kapitole o Fredholmových integrálních rovnicích. <br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $B,C$ omezené operátory. Pak operátor $BC$ je omezený a platí $\Vert BC\Vert \leq \Vert B \Vert \cdot \Vert C \Vert $.<br />
\begin{proof}<br />
$$\Vert BC x\Vert = \Vert B(Cx)\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert Cx\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert \cdot \Vert x \Vert $$<br />
Odtud již (protože norma operátoru je nejmenší takové číslo $c$, které splňuje $\Vert BCx\Vert \leq c\Vert x\Vert$ ) plyne, že <br />
$$ \Vert BC\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert $$<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Je-li $B$ omezený operátor a $\Vert I- B\Vert < 1$, pak existuje $B^{-1}$ omezený operátor.<br />
\begin{proof}<br />
Z faktu, že $\Vert I- B\Vert < 1$ plyne, že posloupnost $\Vert I- B\Vert^{n}$ konverguje k nule. <br />
Díky tomu $\forall \epsilon >0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall m,n \in \N$ taková, že $n_0<m<n$, a že platí<br />
$$ \left \Vert \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n} (I-B)^j \right \Vert \leq \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n}\left \Vert (I-B)\right \Vert ^j = \frac{\Vert I-B \Vert^m - \Vert I-B \Vert^n}{1 - (\Vert I-B \Vert)} < \epsilon,$$<br />
což plyne ze součtu gemetické řady a vhodnou volbou $n_0$ zajistíme konvergenci. Pak tedy posloupnost $S_n = \displaystyle \sum_{j=0}^{n} (I-B)^j$ je cauchyovská. Jelikož je prostor omezených operátorů Banachův, má tato posloupnost za limitu opět omezený operátor $S$. <br />
Navíc platí, že <br />
\begin{eqnarray*}<br />
BS_n = S_nB & = &S_{n}- S_{n+1} + I \\<br />
& \downarrow \lim & \\<br />
BS = SB & = & I <br />
\end{eqnarray*}<br />
Tedy $S= B^{-1}$. <br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $T$ omezený operátor , pak $\sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert}(0)$. <br />
\begin{proof}<br />
Volme $\lambda$ takové, že $|\lambda| > \Vert T \Vert$. Budeme chtít ukázat, že při této volně již $\lambda$ leží v resolventní množině $\varrho(T)$. <br />
Proto definujme operátor $A$ jako:<br />
$$ A = I - \frac{1}{\lambda}T$$<br />
Tento operátor je zřejmě omezený, protože identický operátor je omezený a násobek omezeného operátoru je rovněž omezený operátor. Navíc $\Vert I - A \Vert <1$. Dle předchozího lemmatu tedy existuje<br />
$A^{-1}$ omezený operátor. Nyní zkoumejme operátor z definice resolventní množiny:<br />
$$(T-\lambda I)^{-1} = (\lambda)^{-1}(I - \frac{1}{\lambda}T)^{-1} = -\frac{1}{\lambda} A^{-1}$$ <br />
Jelikož je operátor na prvé straně omezený, je číslo $\lambda \in \varrho(T)$. Tedy odtud plyne, že pro spektrum, které splňuje $\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho(T)$, platí dokazované tvrzení, tj. <br />
$$ \sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert} (0) $$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
V důsledku této věty je již zřejmá podmínka, která vyvstávala u integrálních rovnic. Tam jsme totiž měli operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, který byl omezený a norma byla rovna <br />
$\Vert \Kb \Vert_{\C} = MV$.<br />
<br />
Bez důkazu uveďme nyní dvě věty z funkcionální analýzy, které budou úzce souviset s pojmem ortogonální báze, jenž bude představen vzápětí. <br />
\begin{theorem}<br />
Integrální operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ se spojitým jádrem má čistě bodové spektrum kromě 0, všechny vlastní hodnoty mají konečnou násobnost a nemají nenulový hromadný bod.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[Hilbert-Schmidtova věta]<br />
Buď $\Kb: L^2(G) \to L^2(G)$ integrální operátor se spojitým jádrem $\K(x,y)$, které navíc splňuje $\K(x,y) = \overline{\K(y,x)}$. Pak $\Kb $ má čistě bodové spektrum kromě 0 a z<br />
vlastních funkcí operátoru $\Kb$ lze sestavit ortonormální bázi. <br />
\end{theorem}<br />
<br />
Pojem ortonormální (ortogonální) báze je pouhým rozšířením klasické definice báze a pojmů ortogonální, resp. ortonormální množina, tak jak ji známe z lineární algebry. Intuitivně pod pojmem báze rozumíme <br />
nějakou množinu, z jejichž prvků jsme schopni lineární kombinací získat libovolný prvek, resp. jsme schopni každý prvek z daného prostoru rozložit do podoby lineární kombinace prvků z této množiny.<br />
S nějakou takovouto množinou jsme se již dříve setkali. Při studiu Fourierových řad jsme prováděli v podstatě rozklad funkcí z $L^2((a,a+l))$ do ortogonální báze <br />
$$ \left\{ 1 , \sin\left(\frac{2n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{2n\pi}{l}x\right) : n\in \mathbb{N} \right\} . $$<br />
<br />
Nyní již definujme korektně ortonormální a ortogonální bázi<br />
\begin{define}<br />
O množině $M$ řekneme, že je ortonormální (ON), resp. ortogonální (OG) bází Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$, jestliže <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $M$ je ortonormální, resp. ortogonální množina;<br />
\item $\overline{M_{lin}} = \mathcal{H}$, tj. množina všech lineárních kombinací prvků z $M$ je hustá v prostoru $\mathcal{H}$ (taková $M$ je tzv. totální množina).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Následující výroky o množině $M\subset \mathcal{H}$ jsou ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Množina $M$ je OG bází v $\mathcal{H}$;<br />
\item $M^{\perp} = \{0\}$;<br />
\item $M$ je maximální OG množina v $\mathcal{H}$, tj. není vlastní podmnožinou jiné OG množiny;<br />
\item $\forall x \in \mathcal{H}$ platí $x = \displaystyle \sum_{\alpha \in \mathcal{I}} \beta_{\alpha} m_{\alpha}$ pro $\beta_{\alpha}$ z tělesa (tj. $\R$ nebo $\mathbb{C}$) a $m_{\alpha}\in M$. <br />
$\mathcal{I}$ je indexová množina. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) : n\in \mathbb{N} \right\}.$<br />
\item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu)<br />
Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale... } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu <br />
následující ON polynomy:<br />
\subitem na $L^2((0,1))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} \bar{u}(x)v(x) \dd x$ dávají tzv. {\bf Lagrangeovy polynomy}<br />
\subitem na $L^2((0,´+\infty))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \bar{u}(x)v(x) e^{-x} \dd x$ dávají tzv. {\bf Laguerrovy polynomy}<br />
\subitem {\bf Hermitovy polynomy} etc.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Obecně je možné ortogonální polynomy vyjádřit čtyřmi způsoby:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem;<br />
\item rekurentní formulí;<br />
\item diferenciální rovnicí;<br />
\item Rodriguezovou formulí.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823101RMF:Kapitola42019-04-08T15:08:09Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola4&diff=823001RMF:Kapitola42019-04-08T15:06:40Z<p>Johndavi: řesení vlnové rce v 1D</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR}<br />
V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. <br />
Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li<br />
$$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$<br />
pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. <br />
Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. <br />
<br />
Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. <br />
<br />
\section{Lineární ODR s konstantními koeficienty}<br />
Řešte počáteční úlohu:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\<br />
y(0) & = & 2 \\<br />
\dot{y}(0) & = &1 \\<br />
\end{eqnarray*}<br />
Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. <br />
Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$.<br />
Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci <br />
$$\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}.$$<br />
Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tilde{y}(t)$:<br />
$$ \dot{\tilde{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$<br />
$$ \ddot{\tilde{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \dot{y}(t)\delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)=\Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$<br />
Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. <br />
Nyní již můžeme dosadit do operátoru $L$:<br />
$$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = <br />
\underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t).$$<br />
Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tilde{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. <br />
Úloha tedy přešla na tvar: <br />
$$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$<br />
Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. <br />
Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. <br />
<br />
<br />
\paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$}<br />
Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce <br />
$Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. <br />
V našem případě tedy řešíme rovnici <br />
$$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0.$$<br />
Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$. Po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$, a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru <br />
$$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right).$$<br />
<br />
\paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy}<br />
Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť.<br />
$$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} +<br />
\underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$<br />
<br />
Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích:<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (2)}<br />
$$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$<br />
Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako<br />
zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. <br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (3)}<br />
$$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2e^{-2t}-e^{-t}\right)\right)$$<br />
<br />
\subparagraph{Výpočet (1)}<br />
Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ast g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. <br />
Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala, lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit:<br />
$$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$<br />
O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. <br />
(Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka.) <br />
$$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = \bullet$$<br />
Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. <br />
Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. <br />
<br />
Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám...<br />
<br />
Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci:<br />
<br />
$$\bullet= \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t \. f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z\. g(z-t) \phi(z) = <br />
\displaystyle \int_{\R} \dd z \, \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$<br />
<br />
Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí.<br />
Tento výsledek by neměl být překvapivý. <br />
<br />
Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že <br />
$\Theta(t) \Theta(z-t) \neq 0 \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak <br />
$$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$<br />
Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. <br />
<br />
$$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau <br />
= \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$<br />
$$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$<br />
<br />
Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. <br />
Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$<br />
$$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2e^{-2t} -e^{-t}\right) +<br />
3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$<br />
<br />
O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. <br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty tvaru <br />
$$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}u' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$<br />
kde $a_k = konst.$ pro všechna $k\in \{0,1, \dots, n-1 \}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. <br />
<br />
Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: <br />
$$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$<br />
kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. <br />
<br />
\item Pro řešení klasické úlohy platí <br />
$$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$<br />
kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \forall k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$.<br />
<br />
\begin{proof}<br />
První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu.<br />
<br />
Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \epsilon \ast F$, kde $\epsilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak <br />
$$\tilde{u} = \epsilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$<br />
$$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$<br />
Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$.<br />
Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\epsilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. <br />
<br />
Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme:<br />
$$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$<br />
Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$<br />
Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. <br />
<br />
\textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je<br />
$$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$<br />
Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: <br />
$$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$<br />
Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$.<br />
<br />
\textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný.<br />
\begin{remark}<br />
Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. <br />
\end{remark}<br />
Díky této poznámce můžeme psát:<br />
\begin{eqnarray*}<br />
\frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
& \vdots & \\<br />
\frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\<br />
\frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau<br />
\end{eqnarray*}<br />
Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy, plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$-té derivaci) <br />
$$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$<br />
$$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$<br />
Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. <br />
Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots, n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek.<br />
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud po dosazení nejvyšší derivace vyjádřené z (derivací) rovnice $LZ = 0$ vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$. Dosazovat v plné obecnosti lze, jedná se však o zbytečně dlouhý technický výpočet. Čtenář si jej může provést sám doma, jako cvičení. Důležité je jej umět aplikovat konkrétně. <br />
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Parciální diferenciální rovnice}<br />
\begin{remark}<br />
Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení<br />
\uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuálně okrajové podmínky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Uveďme pro ilustraci této poznámky následující příklady:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$.<br />
\item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik}<br />
Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \footnote{Značení: $u_x = \pd{u}{x}$, $u_t = \pd{u}{t}$ atp. }<br />
\begin{equation*}<br />
\tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t).<br />
\end{equation*}<br />
Je-li $\tilde{b}(x,t)$ nenulová funkce, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{metoda_charakteristik}<br />
a(x,t)u + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x).<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$;<br />
\item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. <br />
Tyto křivky zveme {\it charakteristiky}.<br />
\item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$.<br />
\item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno<br />
$$v(t) = u(X(t),t),$$<br />
kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\cdot X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\cdot c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení <br />
systému ODR. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
V literatuře je metoda charakteristik obvykle zapisována jen ve velmi stručném tvaru:<br />
$$ \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t)$$<br />
$$ \frac{\dd t}{\dd s} = \tilde{b}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd x}{\dd s} = \tilde{c}(x(s),t(s));$$<br />
$$ \frac{\dd u}{\dd s} +\tilde{a}(x(s),t(s))u = \tilde{g}(x(s),t(s)).$$<br />
Parametr $s$ slouží k parametrizaci charakteristiky. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Postup metody charakteristik pro nalezení řešení úlohy (\ref{metoda_charakteristik})}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nalezneme charakteristiky, tj. řešíme rovnici $X'(t) = c(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $X(0) = x_0$. Řešení označme $X_{x_0}(t)$. <br />
\item Nalezneme $x_0$ počátek charakteristiky pro daný bod $(x,t)$, kterým charakteristika prochází, tj. řešíme rovnici $X_{x_0}(t) = x$ pro $x_0$.<br />
Její řešení označme $x_0 = p(x,t)$. <br />
\item Vyřešíme ODR na charakteristikách z bodu 1, tj. řešíme rovnici $v'(t) + a(X(t),t)v(t) = g(X(t),t)$ s počáteční podmínkou $v(0) = u_0(x_0)$. Řešení označme $v_{x_0}(t)$. <br />
\item Vybereme, resp. dosadíme správnou charakteristiku, tj:<br />
$$ u(x,t) = \left. v_{x_0}(t)\right|_{x_0 = p(x,t)}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Ilustrujme tuto metodu na konkrétním případě:<br />
<br />
$$ u + u_t +xu_x = 3x \ \mbox{ s počáteční podmínkou } u(x,0) = \arctan (x)$$<br />
Postupujme dle naznačeného postupu:<br />
\begin{enumerate}<br />
$$X'(t) = X(t) \ \mbox{ s počáteční podmínkou } X(0) = x_0$$<br />
Řešením této rovnice je očividně $X_{x_0}(t) = x_0 e^{t}$.<br />
\item<br />
$$X_{x_0}(t) = x = x_0 e^{t} \Rightarrow p(x,t) = x_0 = xe^{-t}$$<br />
\item<br />
$$v'(t) + 1v(t) = 3X(t) = 3x_0 e^{t} \ \mbox{ s počáteční podmínkou } v(0) = \arctan (x_0)$$<br />
Tuto rovnici řešíme pohledem:<br />
$$v(t) = Ke^{-t}+Ae^{t}$$<br />
$$v'(t) = -Ke^{-t} + Ae^t$$<br />
Po dosazení do předpisu máme:<br />
$$2Ae^t = 3x_0 e^t \Rightarrow A = \frac{3}{2}x_0 $$<br />
<br />
Aplikací počáteční podmínky navíc získáváme:<br />
$$v(0) = K + A = K + \frac{3}{2}x_0 = \arctan (x_0)$$<br />
Tedy řešení je tvaru:<br />
$$v(t) = (\arctan (x_0) - \frac{3}{2}x_0)e^{-t} + \frac{3}{2}x_0 e^t $$<br />
\item <br />
Nyní již můžeme vyřešit naši úlohu dosazením za $x_0$:<br />
$$u(x,t) = (\arctan (xe^{-t}) - \frac{3}{2}xe^{-t})e^{-t} + \frac{3}{2}x $$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\paragraph{Obecnost metody}<br />
V tomto odstavci budeme opět jen v poznámkách a bodech diskutovat, co je důležité pro tuto metodu a kam až ji je možné rozšířit. <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Potřebujeme, aby existovala charakteristika z daného bodu $(x_1,t_1)$ vedoucí zpět do $t=0$. Toto požadujeme kvůli tomu, abychom mohli nalézt $x_0 = p(x,t)$. Toto totiž obecně není vždy možné. <br />
\item Limitujícím faktorem jen rovněž hladkost funkcí.<br />
\item Metodu lze přímočaře rozšířit na nelineární případ, tj. úlohu<br />
$$u_t + c(x,t)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Pak v 3 stačí řešit rovnici <br />
$$ v'(t) = f(t,X(t),v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\item Obdobně lze metodu rozšířit pro kvazidiagonální PDR, tj. pro úlohu tvaru<br />
$$u_t + c(x,t,u)u_x = f(x,t,u), \ u(x,0) = u_0(x).$$<br />
Opět lze zúžit řešení na charakteristiky $V(t)= u(X(t),t)$ splňující<br />
$$X'(t) = c(X(t),t,v(t)), \ X(0) = x_0.$$<br />
Pak řešíme rovnici <br />
$$v'(t) = f(X(t),t,v(t)), \ v(0) = u_0(x_0).$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Klasifikace PDR 2. řádu a převod na normální tvar}<br />
V této kapitole se budeme zabývat PDR 2. řádu, tj. rovnicí tvaru<br />
$$f=Lu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} u + \displaystyle \sum_{i=1}^{n}b_i(x) \pd{}{x_i} u +c(x)u.$$<br />
Budeme hledat její klasické řešení $u\in \mathcal{C}^2(G)$, $a_{ij}(x)\in \mathcal{C}(G)$, $b_i(x)\in \mathcal{C}(G)$, $c\in \mathcal{C}(G)$, kde $G\subset \R^n$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu je {\bf eliptická}, resp. {\bf hyperbolická}, resp. {\bf parabolická} na $M\subset G$, právě když je eliptická, resp. hyperbolická, resp. parabolická její přidružená kvadratická forma $q(y,x) = y^T\A(x)y$, kde $\A_{ij} = a_{ij}(x)$ a $\A$ je symetrická. <br />
<br />
Řekneme, že parciální diferenciální rovnice je v {\bf normálním tvaru}, právě když je matice $\A$ diagonální s 0, -1 a 1 na diagonále. Typicky se tak děje po transformaci. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Připomeňme, že o kvadratické formě řekneme, že je eliptická, pokud má její matice veškerá vlastní čísla nezáporná nenulová, resp. nekladná nenulová. <br />
Řekneme, že je hyperbolická, pokud jsou veškerá její vlastní čísla nenulová a~není eliptická, tj. má jak kladná, tak záporná vlastní čísla, která jsou nenulová. <br />
Řekneme, že je parabolická, pokud je alespoň jedno její vlastní číslo nulové a alespoň jedno nenulové.<br />
\end{remark}<br />
Nyní uveďme několik příkladů operátorů a jejich klasifikaci:<br />
\begin{itemize}<br />
\item Laplaceův operátor $\Delta = \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\ppd{}{x_j}$ je eliptický operátor v normálním tvaru<br />
\item Operátor vedení tepla $\pd{}{t} - a^2 \Delta$ je parabolický operátor<br />
\item Operátor vlnění $\ppd{}{t} - a^2\Delta$ je hyperbolický operátor<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\paragraph{Převod lineární PDR 2. řádu se dvěma nezávislými proměnnými do normálního tvaru}<br />
Uvažujme rovnici tvaru:<br />
\begin{equation}<br />
\label{pdr}<br />
a(x,y) \ppd{u}{x} + b(x,y) \spd{u}{x}{y} + c(x,y) \ppd{u}{y} + F(\nabla u, u,x,y) = 0 <br />
\end{equation}<br />
Hledáme transformaci souřadnic $(x,y) \leftrightarrow (\xi,\eta)$, kde $\xi = \xi(x,y)$ a $\eta = \eta(x,y)$, takovou, aby původní rovnice byla v normálním tvaru. <br />
Proto je třeba nejdříve spočítat derivace vyjádřené pomocí nových souřadnic:<br />
$$\pd{u}{x} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{x} $$<br />
$$\pd{u}{y} = \pd{u}{\xi}\pd{\xi}{y}+ \pd{u}{\eta}\pd{\eta}{y} $$<br />
$$ \ppd{u}{x} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{x} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{x}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{x} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{x} $$<br />
$$ \ppd{u}{y} = \ppd{u}{\xi} \left( \pd{\xi}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\xi} \ppd{\xi}{y} + \ppd{u}{\eta} \left( \pd{\eta}{y}\right)^2 + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{y} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \ppd{\eta}{y} $$<br />
$$\spd{u}{x}{y} = \ppd{u}{\xi}\pd{\xi}{x}\pd{\xi}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{u}{\xi} \spd{\xi}{x}{y} + \ppd{u}{\eta} \pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y} + \spd{u}{\xi}{\eta} \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} + \pd{u}{\eta} \spd{\eta}{x}{y}$$<br />
Nyní tyto členy dosadíme do původní rovnice a rovnici upravíme. Při úpravě nás budou zajímat pouze členy vyjadřující druhou derivaci $u$ podle nových proměnných. <br />
Zbylé členy můžeme vnořit do nové funkce $ \tilde{F}$. Proto rovnice po transformaci souřadnic přejde do tvaru<br />
$$\ppd{u}{\xi} \underbrace{\left(a\left(\pd{\xi}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\xi}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\xi}{x} \pd{\xi}{y}\right) \right)}_{I} <br />
+ \ppd{u}{\eta} \underbrace{\left(a\left(\pd{\eta}{x}\right)^2 + c\left(\pd{\eta}{y}\right)^2 + b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\eta}{y}\right) \right)}_{II} +$$<br />
$$ + \spd{u}{\xi}{\eta} \underbrace{\left( 2a\left(\pd{\xi}{x}\pd{\eta}{x}\right) + 2c\left(\pd{\xi}{y}\pd{\eta}{y}\right) + <br />
b\left(\pd{\eta}{x} \pd{\xi}{y} + \pd{\xi}{x} \pd{\eta}{y} \right) \right)}_{III} + \tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta).$$<br />
Zabývejme se nyní členem $I$; ten lze totiž přepsat do následující podoby:<br />
$$ (I) = \left(\ppd{\xi}{x}\right) \left( a+ b\left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right) +c \left(\frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}\right)^2 \right)$$<br />
Vidíme, že jsme v závorce obdrželi kvadratický výraz $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ pro $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$.<br />
Stejný kvadratický výraz bychom obdrželi, kdybychom vytkli člen $\left( \pd{\eta}{x}\right)^2$ ve členu $II$. Proto pokud má ona určující kvadratická rovnice právě jeden dvojnásobný kořen, jsme schopni <br />
pomocí této volby vynulovat buď člen $I$, nebo $II$. Pokud bychom ovšem získali dva různé kořeny, pak pomocí jednoho kořene vynulujeme člen $I$ a pomocí druhého člen $II$. <br />
Toto nyní podrobně rozebereme\footnote{Velmi často se zde nyní budou používat fakty týkající se vlastních čísel, matic atp. Není od věci si některá tvrzení připomenout (LAA2, ev. LAB2).}:<br />
Uvažujeme tedy PDR tvaru (\ref{pdr}) a k ní získanou rovnici pro $\lambda(x,y)$. Rozepíšeme-li nyní přidruženou kvadratickou formu naší PDR, získáme <br />
$$\A = \left( <br />
\begin{array}{cc}<br />
a & \frac{b}{2} \\<br />
\frac{b}{2} & c<br />
\end{array} <br />
\right).$$<br />
Pak rovnice \ref{pdr} je <br />
\begin{enumerate}<br />
\item {\it Parabolická}<br />
<br />
Dle definice, právě když má přidružená kvadratická forma $\A$ alespoň jedno vlastní číslo rovno nule. Toto je ekvivalentní tomu, že $\mathrm{det}\A = 0 = ac - \frac{b^2}{4}$. Toto ale znamená totéž co fakt, že<br />
diskriminant $d(x,y)$ kvadratické rovnice je nulový a to je ekvivalentní s tvrzením, že kvadratická rovnice má právě jeden dvojnásobný kořen. <br />
<br />
\item{\it Eliptická}<br />
<br />
Aby rovnice byla eliptická, je potřeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě vlastní čísla $\lambda_{\pm}$ stejného znaménka, tj. buď $\lambda_{\pm} > 0$, nebo $\lambda_{\pm}<0$. <br />
Pro vlastní čísla matice 2$\times$2 platí vztah <br />
$$\lambda_{\pm} = \frac{\mathrm{tr}\A}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\mathrm{tr}\A)^2 - \mathrm{det}\A}.$$<br />
Aby byl navíc splněn požadavek na stejné znaménko obou vlastních čísel, musí být pro $\lambda_{\pm}>0$ splněno $\mathrm{tr}\A >0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. <br />
Pro $\lambda_{\pm}<0$ zase $\mathrm{tr}\A <0$ a zároveň $\mathrm{det}\A >0$. Z těchto dvou podmínek plyne jediná, která říká, že pro to, aby byla rovnice eliptická, je potřeba, aby její přidružená<br />
kvadratická forma měla pozitivní determinant. To ale znamená, že výraz $ac - \frac{b^2}{4} > 0 $. Toto je ale ekvivalentní tomu, že $d(x,y)<0$, tedy faktu, že kvadratická rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $<br />
má dva komplexně sdružené kořeny. <br />
<br />
\item{\it Hyperbolická}<br />
<br />
Aby byla rovnice hyperbolická, je třeba, aby její přidružená kvadratická forma měla dvě nenulová vlastní čísla s opačnými znaménky. Stejnou úvahou jako byla provedena výše dostáváme, <br />
že tato podmínka je přepsatelná do tvaru (resp. z ní lze vyvodit) $\mathrm{det}\A < 0$, což je ekvivalentní s tvrzením, že $d(x,y) >0 $ a tedy kvadratická rovnice má dva různé reálné kořeny.<br />
<br />
\end{enuemrate}<br />
<br />
Nyní provedeme krátké shrnutí toho, co jsme získali a tyto poznatky aplikujeme na rovnici $\ref{pdr}$.<br />
\paragraph{Parabolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice parabolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ právě jeden kořen. Ten použijeme na vynulování členu $I$ a ukážeme, že zajistí rovněž vynulování členu $III$. <br />
Pokud není $\xi(x,y) =x$, volme BÚNO $\eta(x,y) = x$. Pak můžeme upravovat člen $III$ do tvaru:<br />
$$III = 2a\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} + b \left(\pd{\xi}{x}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0}+\pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{x}}_{1} \right) + 2c \pd{\xi}{y}\underbrace{\pd{\eta}{y}}_{0} = <br />
2a\pd{\xi}{x} + b \pd{\xi}{y} = \pd{\xi}{x}\left(2a+b\lambda\right) = 0$$<br />
Poslední rovnost je důsledkem Vi\`{e}tových vztahů pro naši rovnici\footnote{Jestliže má rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ kořeny $\lambda_+ $ a $\lambda_-$, pak platí<br />
\begin{enumerate}\item $\lambda_+ + \lambda_- = - \frac{b}{c}$\\ \item $\lambda_+ \lambda_- = \frac{a}{c}$ \end{enumerate}} }, která má jeden dvojnásobný kořen. <br />
%V této části je něco špatně... Opravit! <br />
Tedy rovnici \ref{pdr} jsme převedli do očekávaného normálního tvaru<br />
$$\ppd{u}{\eta} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{II} = 0$$<br />
<br />
\paragraph{Eliptická a hyperbolická rovnice}<br />
Ukázali jsme, že aby byla rovnice eliptická nebo hyperbolická, musí mít rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ dva různé kořeny. Díky nim můžeme zvolit souřadnice $\xi, \eta$ tak, že <br />
vynulují členy $I$ a $II$. Pak dostáváme rovnici tvaru:<br />
$$\spd{u}{\eta}{\xi} + \frac{\tilde{F}(\nabla u,u,\xi,\eta)}{III} = 0$$<br />
Tato rovnice není v normálním tvaru. pro převod budeme muset ještě jednou provést transformaci souřadnic. Jelikož u eliptické rovnice existují dva komplexně sdružené kořeny, funkce $\xi,\eta$ transformují do komplexních proměnných, což musíme touto transformací změnit. V hyperbolickém případě, kdy jsou řešení kvadratické rovnice reálná, jsou nové souřadnice $\xi,\eta$ rovněž reálné, ale tvar rovnice zatím neukazuje přímo na to, že by byla hyperbolická, což se právě novou transformací budeme snažit změnit. <br />
<br />
\subparagraph{Hyperbolický případ} <br />
Pro tento případ uvažujme transformaci $r= \xi + \eta, s= \xi - \eta$. <br />
Pak <br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \spd{u}{r}{s} - \left(\spd{u}{r}{s} + \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} - \ppd{u}{s}$$<br />
Touto transformací jsme tedy dostali rovnici v normálním tvaru.<br />
<br />
\subparagraph{Eliptický případ}<br />
Je vhodné si uvědomit, že díky komplexnímu sdružení kořenů kvadratické rovnice budou komplexně sdruženy i funkce $\xi,\eta$. Tohoto využijeme a pomocí transformace<br />
$r = \xi + \eta = 2\Re \xi, s= \im(\xi - \eta) = - 2\mathrm{Im}\xi$ z nich vytvoříme reálné souřadnice. Potom již můžeme psát<br />
$$ \spd{u}{\xi}{\eta} = \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{\eta}\right)= \pd{}{\xi}\left(\pd{u}{r} - \im \pd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \im \spd{u}{r}{s} - \im \left(\spd{u}{r}{s} + \im \ppd{u}{s}\right) = \ppd{u}{r} + \ppd{u}{s},$$<br />
což je už rovnice v požadovaném normálním tvaru.<br />
<br />
Nyní zbývá vyřešit otázku, jak nalézt ony nové souřadnice $\xi(x,y)$ a $\eta(x,y)$. Víme, že jsme získali koeficient $\lambda(x,y)$ jakožto řešení rovnice $a + b\lambda + c \lambda^2 =0 $ . <br />
Víme také, že $\lambda(x,y) = \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}}$. Toto ale nápadně připomíná derivaci implicitně zadané funkce $x(y)$, která je zadána funkcí $\xi(x(y),y) = K$, kde $K$ je konstanta. <br />
Zderivujeme-li tento výraz dle $y$, obdržíme $\pd{\xi}{x}x' +\pd{\xi}{y}$. Odtud ale již <br />
$$ x'(y) = - \frac{\pd{\xi}{y}}{\pd{\xi}{x}} = - \lambda(x,y)$$<br />
Tedy v konkrétních případech stačí nalézt $x$ a řešení zapsat ve tvaru implicitní funkce. <br />
Toto si ukážeme na konkrétním příkladě. Budeme chtít nalézt souřadnice, ve kterých rovnice<br />
$$x^3\ppd{u}{x} - xy^2 \ppd{u}{y} - 3x^2 \pd{u}{x} + 3xy\pd{u}{y} + 8x^4y^5 =0 $$<br />
přejde do normálního tvaru.<br />
<br />
\noindent Nejprve napíšeme určující kvadratickou rovnici: $$x^3 -xy^2 \lambda^2 = 0.$$ <br />
Její diskriminant je $$d(x,y) = 4x^4y^2 > 0 \ s.v. $$<br />
Odtud plyne, že rovnice je skoro všude hyperbolická, kromě bodů $x=0$, $y=0$. Zde přechází v parabolickou. <br />
Kořeny určující rovnice jsou $\lambda_{\pm} = \pm \frac{x}{y}$ a tedy odtud máme řešení například \footnote{Řešení bude vícero, mohu to různě pronásobit konstantami atp.} $\ln x = \mp \ln y +C$,<br />
odkud $\xi_1(x,y) = \ln \frac{x}{y}$ a $\eta_1(x,y) = \ln xy$. Pokud rovnici odlogaritmujeme, dostaneme implicitní rovnici $yx^{\pm 1} = \tilde{C}$, <br />
odkud máme nové souřadnice určené v elegantnější podobě $\xi(x,y) = xy$ a $\eta(x,y) = \frac{x}{y}$. <br />
<br />
<br />
\paragraph{Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty a $n$ proměnnými}<br />
Díky konstantnosti koeficientů jsme schopni provést převod na normální tvar pro obecně $n$ proměnných, neboť se jedná o úlohu ekvivalentní s převodem matice do polární báze. <br />
Vystačíme si jen s lineární transformací. <br />
Mějme rovnici tvaru<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla ^T \A \nabla )u + F(\nabla u, u)$$ <br />
Označme $(b_1, b_2, \dots , b_n)$ polární bázi matice a dále označme $\mathbb{B}$ matici \footnote{Jedná o matici složenou z vektorů polární báze, což jsou vlastní <br />
vektory pronásobené odmocninou příslušeného vlastního čísla. }, která spňuje $\mathbb{B}^T \A \mathbb{B} = \mathbb{D}$, kde $\mathbb{D}$ je diagonální matice s plus mínus jedničkami a nulami na diagonále. Pak můžeme rovnici upravit do podoby<br />
$$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \spd{u}{x_i}{x_j} + F(\nabla u, u) = (\nabla^T \mathbb{B}\mathbb{B}^T \A \mathbb{B}\mathbb{B}^T \nabla)u + F(\nabla u, u) = <br />
\left( (\mathbb{B}^T\nabla)^T \mathbb{B}^T \A \mathbb{B} (\mathbb{B}^T \nabla) \right)u + F(\nabla u, u) =$$<br />
$$ = \nabla_y^T \mathbb{D} \nabla_y + F(\nabla_y u ,u) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} D_{jj} \ppd{u}{y_j} + F(\dots)$$<br />
Nyní chceme přejít od $x\to y$ tak, aby $\mathbb{B}^T \nabla_x = \nabla_y$. <br />
Tato podmínka je ekvivalentní $$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}^T_{kj} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \mathbb{B}_{jk} \pd{}{x_j}$$<br />
Zároveň víme, že se jedná o lineární transformaci, tj. transformaci $x=Jy$, z čehož za použití řetězového pravidla plyne<br />
$$ \pd{}{y_k} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \pd{x_j}{y_k} \pd{}{x_j} = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} J_{jk} \pd{}{x_j}. $$<br />
Tedy $J= \mathbb{B}$. <br />
<br />
\subsection{Řešení počátečních úloh lineárních PDR 2. řádu}<br />
V této kapitole se budeme soustředit na nalezení řešení typických zástupců parabolických, hyperbolických a eliptických rovnic. Díky transformacím budeme schopni společně s touto znalostí řešit značnou část PDR.<br />
Postup bude analogický jako u ODR, jen s tím rozdílem, že nebude tak rigorózní. V podstatě nebudeme schopni obecně ověřit existenci konvoluce a stejně tak nebudeme schopni ověřit souvislost řešení zobecněné a klasické úlohy. <br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Klasickou počáteční (Cauchyho) úlohu převedeme na zobecněnou úlohu vytvořením nespojitosti v $t=0$: Toto budeme ilustrovat na rovnici vedení tepla v $\R^{1+1}$.<br />
$$Lu = \left(\pd{}{t} - \lambda \ppd{}{x} \right) u = f(t,x) \ \mbox{s počátečními podmínkami } \ u(0,x) = u_0(x)$$<br />
$\lambda$ je koeficient vedení tepla a $\lambda >0$. Hledáme tedy klasické řešení, tj. $u(\ ,x) \in \mathcal{C}^1(\R^+)$, $u(t, \ )\in\mathcal{C}^2(\R)$ pro $f\in \mathcal{C}^1({\R^{1+1}})$.<br />
Nyní již budeme postupovat stejně jako u ODR, tj. hledáme řešení tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t)u(x,t)$. \footnote{Zjistil jsem, že volně zaměňuji výrazy typu f(x,t) a f(t,x). Jedná se o jedno a totéž. } <br />
Určíme potřebné derivace<br />
$$\ppd{}{x} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)$$<br />
$$ \pd{}{t} \tilde{u}(x,t) = \Theta(t)\pd{}{t} u(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Pak po dosazení do počáteční úlohy máme <br />
$$L\tilde{u} = \Theta(t) \left( \pd{}{t}u - \lambda \ppd{}{x} u\right) + u_0(x) \ts \delta(t) = \Theta(t) f(t) + u_0(x) \ts \delta(t) = \tilde{f} + u_0(x) \ts \delta(t)$$<br />
Toto je {\it zobecněná formulace počáteční úlohy rovnice vedení tepla}. Známe-li fundamentální řešení operátoru $L$, známe řešení zobecněné úlohy, protože<br />
<br />
$$\tilde{u}(x,t) = \epsilon(x,t) \ast \left(\tilde{f}(x,t) + u_0(x) \ts \delta(t) \right) $$<br />
Později bude ukázáno, že pro fundamentální řešení operátoru vedení tepla v $\R^{1+1}$ má tvar:<br />
<br />
$$\epsilon(x,t) = \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}}e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}} $$<br />
\item Nyní se vraťme k řešení zobecněné úlohy. Druhý sčítanec nyní upravíme:<br />
$$\left(\epsilon(x,t) \ast ( u_0(x) \ts \delta(t)), \phi(x,t) \right) = (\epsilon(x,t), ( (u_0(\xi) \ts \delta(\tau),\phi(x+\xi,t+\tau))) =$$<br />
$$= (\epsilon(x,t), ( u_0(\xi) ,\phi(x+\xi,t))) = (\epsilon(x,t)\ast u_0(x),\phi(x,t)) $$<br />
Zde je nutno poznamenat, že vůbec nevíme, jestli má vůbec celá tato úprava smysl. <br />
Pro náš konkrétní případ dostáváme <br />
$$ \epsilon(x,t)\ast u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \dd \xi \frac{\Theta(t)}{2\sqrt{\lambda \pi t}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} u_0 (x-\xi) = \Theta(t) \displaystyle \int_{\R} \dots $$<br />
To, že zde zobecněnou konvoluci najednou chápeme jako klasickou je prostě fakt, který je třeba přijmout. Stejnou úpravu použijeme i pro první sčítanec:<br />
$$ \epsilon(x,t) \ast (\Theta(t)f(t,x)) = \displaystyle \int_{\R}\dd \tau \displaystyle \int_{\R}\dd \xi \frac{\Theta(\tau)}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}} \Theta(t-\tau)f(t-\tau,x-\xi) =$$<br />
$$= \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi) $$<br />
Tímto jsme nalezli řešení zobecněné úlohy rovnice vedení tepla v $\R^{1+1}$, které je tvaru $\tilde{u}(x,t) = \Theta(t) u(x,t)$. Vyjádřeme řešení této úlohy v úplném tvaru<br />
$$\tilde{u}(t,x) = \Theta(t) \underbrace{\left[ \displaystyle \int_{0}^{t}\dd \tau \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{2\sqrt{\lambda \pi \tau}} e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda \tau}}f(t-\tau,x-\xi)\dd \xi + <br />
\frac{1}{2\sqrt{\pi \lambda t}} \displaystyle \int_{\R} \dd \xi u_0(x-\xi) e^{-\frac{\xi^2}{4\lambda t}} \dd \xi\right]}_{= u(t), \ \mbox{\scriptsize což je řešením klasické úlohy.}}$$<br />
Že je toto řešení klasické úlohy si čtenář může zkusit sám ověřit na konkrétním příkladě. Například volbou $f(t,x) = e^{-t}\cos x$ a počáteční podmínkou $u_0(x) = \cos x$. <br />
<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\subsection{Hledání fundamentálních řešení $\E$ některých operátorů}<br />
Při hledání fundamentálních řešení základních operátorů budeme hojně využívat integrální transformace. <br />
\paragraph{Rovnice vedení tepla}<br />
Připomeňme operátor vedení tepla v $\R^{1+n}$ \footnote{Touto notací rozumíme operátor v $n$ prostorových souřadnicích a jedné časové proměnné.}<br />
$$L_{H} = \pd{}{t} - \lambda \Delta, \ \mbox{kde } \ \lambda >0 $$<br />
Tento operátor zde vyřešíme pro $n=1$. Pro obecné $n$ bude vyřešen na cvičeních. <br />
Hledejme tedy fundamentální řešení $\E(t,x)$<br />
$$L_{H}\E(t,x) = \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x) = \delta(t,x) = \delta(t) \ts \delta(x)$$<br />
Aplikujme na celou rovnici částečnou Fourierovu transformaci v proměnné $x$:<br />
$$\F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \F_x \left[ \delta(t) \ts \delta(x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts \F_x \left[ \delta(x) \right](\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Vidíme tedy, že funkce na pravé straně rovnice je nezávislá na $\xi$. Upravme ještě levou stranu a tu porovnejme s pravou stranou:<br />
$$ F_x\left[ \left(\pd{}{t} - \lambda\ppd{}{x} \right)\E(t,x)\right](t,\xi) = \pd{}{t} \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) - \lambda (-\im \xi)^2 \F_x \left[ \E(t,x) \right](t,\xi) = \delta(t) \ts 1$$<br />
Označme $\hat{\E}^x (t,\xi)$. Pokud zafixujeme proměnnou $\xi$ a nahlížíme-li na ni jako na parametr, můžeme označit $\hat{\E}^x_{\xi}(t):=\hat{\E}^x (t,\xi) $. Pak dostáváme obyčejnou diferenciální <br />
rovnici <br />
$$\frac{\dd}{\dd t} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + \lambda \xi^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
Je tedy zřejmé, že funkce $\hat{\E}^x_{\xi}(t)$ je fundamentálním řešením operátoru $L = \frac{\dd}{\dd t} + a$ pro $a>0$. Toto řešení již známe\footnote{Opět se jedná o řešení tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde $Z(t)$ splňuje rovnici $LZ = 0$ s počáteční podmínkou $Z(0) = 1$}, tedy $\hat{\E}^x_{\xi}(t) = \hat{\E}^x (t,\xi) = \Theta(t)e^{-\lambda \xi^2 t}$. <br />
Abychom nalezli řešení $\E(t,x)$, zbývá provést inverzní Fourierovu transformaci <br />
$$ \E(t,x) = \F^{-1}_x \left[ \hat{\E}^x (t,\xi) \right] (t,x) = \Theta(t) \F^{-1}_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x) = \frac{\Theta(t)}{2\pi} \F_x \left[ e^{-\lambda \xi^2 t} \right](t,x)<br />
= \frac{\Theta(t)}{2 \sqrt{\lambda t\pi}} e^{-\frac{x^2}{4\lambda t}}$$<br />
Tímto jsme našli řešení operátoru vedení tepla v jedné prostorové a jedné časové dimenzi. <br />
<br />
Obecné řešení operátoru vedení tepla má tvar<br />
$$ \E(t,x) = \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi \lambda t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4\lambda t }}$$<br />
<br />
Určit fundamentální řešení některých operátorů je snadné. U jiných je to značně obtížné. Následující věta popíše metodu, pomocí které určíme např. fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.<br />
\begin{theorem}[Metoda sestupu]<br />
Nechť $u(t,x) \in \D'(\R^{1+n})$ je zobecněná funkce s omezeným nosičem v $t$, tj. $\exists R>0$ takové, že $\forall x$ je $\nf u(t,x) \subset B_R(0)$, která je řešením diferenciální rovnice <br />
$\left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x) = \delta(t) \ts f(x)$, kde $L_k, L_0$ jsou lineární diferenciální operátory působící v $x\in \R^n$ s<br />
koeficienty třídy $\Ci$. Potom $u_0$ definované <br />
$$ (u_0(x),\phi(x) ):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t)),$$<br />
kde $\eta \in \D(\R)$ taková, že $u(t,x) = \eta(t)u(t,x)$ v $\D'(\R^{1+n})$ a $\eta(0) = 1$, je řešením rovnice L_0 u_0 = f. <br />
\begin{proof}<br />
$$(L_0u_0(x), \phi(x)) := (u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x))$$<br />
Operátor $\tilde{L}_0$ působí na testovací funkci tak jako operátor $L_0$, jen navíc zahrnuje změnu znaménka vyplývající z definice derivace v $\D$ a před provedením derivace je testovací funkce napřed <br />
vynásobena příslušným koeficientem (z tohoto důvodu byla požadována hladkost v předpokladech). Uveďme konkrétní příklad. Máme-li operátor $L_0= a(x)\frac{\dd^3}{\dd x^3}$, tak operátor <br />
$\tilde{L}_0 = (-1)^3 \frac{\dd^3}{\dd x^3} (a(x) \cdot )$. Nyní již v této notaci dokazujme tvrzení.<br />
$$(u_0(x),\tilde{L}_0\phi(x)) = (u(t,x),\tilde{L}_0\phi(x)\eta(t)) + \underbrace{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(u(t,x), \left(\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k\right) <br />
(\phi(x)\eta(t)) \right) }_{=0, \ \eta(t) \ \mbox{ \scriptsize je rovno 1}} = $$<br />
$$= \left( u(t,x), \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^k}{\partial t^k} \tilde{L}_k + \tilde{L}_0\right)(\phi(x)\eta(t)) \right) = \left(\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^k}{\partial t^k} L_k + L_0\right) u(t,x), \phi(x)\eta(t)\right) =$$<br />
$$ = (\delta(t) \ts f(x),\phi(x)\eta(t) ) = (f(x),\phi(x))$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li funkce $u(t,x) \in \D'_{reg}$ a $\displaystyle \int_{\R}u(t,x) \dd t\in L^1_{loc}(\R^n)$, tak i pro tento případ jsme schopni určit $u_0(x)$. <br />
$$(u_0(x),\phi(x)):= (u(t,x),\phi(x)\eta(t) ) = \displaystyle \int_{\R^{1+n}} \ u(t,x) \phi(x) \eta(t) \dd(t,x) =<br />
\displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \left(\displaystyle \int_{\R} \dd t u(t,x) \right)$$<br />
Jelikož tato úprava platí pro všechny testovací funkce, je $\displaystyle \int_{\R} \dd t \ u(t,x) = u_0(x)$<br />
<br />
Je-li $u(t,x) = \delta(t) \ts v(x)$, pak $u_0(x) = v(x)$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\paragraph{Laplaceova rovnice}<br />
Laplaceův operátor je tvaru $$\Delta = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \ppd{}{x_k}$$<br />
Jednodimenzionální případ je triviálně vyřešitelný (co se fundamentálního řešení týče) a dvoudimenzionální fundamentální řešení je na druhou stranu velice složitě odvoditelné. <br />
Má tvar<br />
$$\E_2(x) = \frac{1}{2\pi} \ln \Vert x \Vert $$<br />
Pro $n\geq3 $ budeme demonstrovat určení fundamentální řešení z fundamentálního řešení rovnice vedení tepla metodou sestupu v proměnné $t$. Využijeme přitom první poznámky, která zajišťuje funkčnost metody. <br />
$$u_0(x) = \displaystyle \int_{\R} \frac{\Theta(t)}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t<br />
= \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(2\sqrt{\pi t})^n} \displaystyle e^{-\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t }} \dd t$$ <br />
Provedeme substituci v $t$: <br />
$$\begin{array}{c}<br />
\frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t } = u\\<br />
- \frac{\left\Vert x \right\Vert ^2}{4 t^2 } \dd t = \dd u \Rightarrow \dd t = -\frac{4 t^2 }{\left\Vert x \right\Vert ^2}\dd u = -\frac{\Vert x\Vert ^2}{4u^2}\dd u <br />
\end{array}$$<br />
Poté přejde po několika drobných úpravách ve tvar<br />
$$\frac{1}{(2\sqrt{\pi})^n} \frac{4^{n/2}}{4}\Vert x\Vert ^{-n+2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} u^{\frac{n}{2}-2}e^{-u} \dd u = \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{4\pi ^{\frac{n}{2}} \Vert x\Vert^{n-2}} = \E_n(x) $$<br />
<br />
Vyjádříme-li toto speciálně pro dimenzi 3, dostáváme <br />
$$\E_3(x) = \frac{1}{4\pi \Vert x\Vert}$$<br />
<br />
\paragraph{Vlnová rovnice}<br />
Opět připomeneme tvar vlnové rovnice v $\R^3$<br />
$$\ppd{}{t} - a^2 \Delta_{x,y,z}$$<br />
na cvičeních bude ukázáno, že pro dimenzi 3 platí<br />
$$\E_3(t,x) = \frac{\Theta(t)}{4\pi a^2 t} \delta_{S_{at}}(x)$$<br />
My ukážeme, jak najít jednozorměrné řešení této úlohy. Postupujeme stejně jako v případě rovnice vedení tepla, tj. nejprve částečnou Fourierovou transformací operátoru $L_W$ vypuštěného na fundamentální řešení, výsledkem je pseudoODR<br />
<br />
$$\frac{\dd^2}{\dd t^2} \hat{\E}^x_{\xi}(t) + a^2 \sum_{k=1}^{n} \xi_k^2 \hat{\E}^x_{\xi}(t) = \delta(t) $$<br />
<br />
Jejímž fundamentálním řešením je $\hat{\E}^x_{\xi}(t)=\dfrac{\sin{(a||\xi|| t)}}{a||\xi||}$, který je třeba zpětně transformovat.<br />
<br />
$$ \E_1(t)=\dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x|)$$<br />
<br />
Nyní řešme zobecněnou úlohu s operátorem $L_W$, pravou stranou $f(t,x)$ a počátečními podmínkami $u_0=u(0,x)$, $u_1=\dot{u}(0,x)$<br />
<br />
$$L_W\tilde{u} = \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x) + \Theta(t)\ddot{u}(t,x) - \Theta(t)\ppd{}{x} u(x,t)=$$<br />
<br />
$$=\Theta(t)f(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(t,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(t,x)$$.<br />
<br />
Dále upravme konvoluci tohoto výrazu s fundamentálním řešením<br />
<br />
$$\E(t,x)\ast\bigg(\tilde{f}(t,x) + \dot{\delta}(t)\ts u(0,x) + \delta(t)\ts \dot{u}(0,x)\bigg)=\E(t,x)\ast\tilde{f}(t,x) + \pd{}{t}(\E(t,x)\ast u_0) + \E(t,x)\ast u_1$$<br />
<br />
Dosazením $\E(t,x)$ získáme zobecněné řešení, vzorec je ale ještě třeba řádně upravit<br />
<br />
$$\E_1\ast\tilde{f}=\displaystyle \int_{\R} \displaystyle \int_{\R} \dfrac{\Theta(t-\tau)}{2a}\Theta(a(t-\tau)-|x-\xi|)\Theta(\tau)f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau=\displaystyle \dfrac{\Theta(t)}{2a} \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau$$<br />
<br />
Nakonec vytknutím Heavisidovy funkce získáme klasické řešení<br />
<br />
$$\dot{\E_1}\ast u_0=\pd{}{t}\int_{\R} \dfrac{\Theta(at-|x-\xi|)}{2a} \Theta(t)u_0 (\xi)\dd\xi =\dfrac{\Theta(t)}{2a}(au_0(x-at)+au_0(x+at))$$<br />
<br />
$$\E_1\ast u_1= \ \int_{\R} \dfrac{\Theta(t)}{2a}\Theta(at-|x-\xi|) u_1 (\xi)\dd \xi = \dfrac{\Theta(t)}{2a}\int_{x-at}^{x+at}u_1 (\xi)\dd \xi$$<br />
<br />
$$u(t,x)=\displaystyle \dfrac{1}{2a} \bigg( \int_{0}^{t} \displaystyle \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\tau,\xi) \displaystyle \dd \xi \dd \tau + \int_{x-at}^{x+at} u_1 (\xi)\dd \xi\bigg) + \dfrac{u_0 (x-at)+u_0 (x+at)}{2} $$<br />
<br />
Nyní pomocí metody sestupu (v $x_3$) ukážeme, jak lze získat fundamentální řešení $\E_2(t,x)$ vlnové rovnice v dimenzi 2. <br />
$$(\E_2(x_1,x_2,t), \phi(x_1,x_2,t)) = (\E_3 (x_1,x_2,x_3,t),\phi(x_1,x_2,t)\eta(x_3)) = <br />
\frac{1}{2\pi a^2}\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t\displaystyle \int_{S_{at}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} \underbrace{\eta(x_3)}_{=1} \dd S =$$<br />
Jedná se o plošný integrál prvního druhu, proto zvolme následující parametrizaci<br />
$$\begin{array}{c}<br />
x_3 = \pm \sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}\\<br />
(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 \\<br />
\left\Vert \frac{\dd x_3}{\dd x_1} \times \frac{\dd x_3}{\dd x_2} \right\Vert = \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}}<br />
\end{array}$$<br />
Po ní zkoumaný integrál přejde do tvaru (2 před integrálem vzejde díky parametrizaci přes dvě polokoule)<br />
$$\frac{2}{4\pi a^2} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dd t \displaystyle \int_{(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 } \! \dd (x_1,x_2) \frac{at}{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \frac{\phi(x_1,x_2,t)}{t} =$$<br />
$$= \frac{1}{2\pi a} \displaystyle \int_{\R} \dd t \displaystyle \int_{\R^2} \dd (x_1,x_2) \frac{\Theta(t) \Theta(a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2) }{\sqrt{a^2t^2 - x_1^2 - x_2^2}} \phi(x_1,x_2,t)$$<br />
Odtud již plyne řešení (díky první části poznámky). Abychom dostali řešení v elegantním tvaru, přepíšeme ještě podmínku $(at)^2 \geq x_1^2 + x_2^2 = (at)^2 \geq \Vert x \Vert ^2$, tu odmocníme, a máme <br />
$ at \geq \Vert x \Vert $. Pak tuto množinu, přes kterou integrujeme, můžeme vnořit do integrálu pomocí Heavisideovy funkce, jako tomu bylo v předešlém postupu. Tímto získáme finální podobu fundamentálního řešení: <br />
$$ \E_2(x_1,x_2,t) = \frac{1}{2\pi a} \frac{\Theta(t) \Theta(at - \Vert x \Vert)}{\sqrt{a^2t^2 - \Vert x \Vert^2}} $$<br />
<br />
Tímto jsme dokončili celou kapitolu a zároveň jsme se tímto vymanili ze sevření zobecněných funkcí.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola6&diff=822901RMF:Kapitola62019-04-08T14:35:16Z<p>Johndavi: přidán převod S-L problému na int. rci., nutné ke zk.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}<br />
<br />
Tento typ úlohy nás bude zvlášť zajímat protože se s ním často setkáváme (nejen) v kvantové mechanice, např. při řešení Schrödingerovy rovnice. Navíc lze ukázat, že libovolnou obyčejnou lineární diferenciální rovnici druhého řádu lze převést do tvaru následující Sturm-Liouvilleovy úlohy.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, <br />
že $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak <br />
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$<br />
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):<br />
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že <br />
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$<br />
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní Neumannovou okrajovou podmínkou}.<br />
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je kladná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jako tomu je u funkcí. <br />
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu<br />
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$<br />
<br />
\section{Vlastnosti $L$}<br />
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:<br />
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}v(x)\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}v(x)\left(\div(p(x)\grad u(x)) - q(x) u(x)\right)\dd x$$<br />
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že <br />
$$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$<br />
Aplikací této identity na integrand obdržíme<br />
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$<br />
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G} v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$<br />
<br />
Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru<br />
\begin{theorem}[Vlastnosti S-L operátoru]<br />
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Pak platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $;<br />
\item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ;<br />
\item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1;<br />
\item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$;<br />
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé;<br />
\item vlastní funkce lze volit reálné. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: <br />
$$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \ \dd x = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \ \dd x =$$<br />
$$ = -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G <br />
\left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x = $$<br />
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$<br />
Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky:<br />
Ty jsou pro funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}=0, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}=0, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$ Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$:<br />
$$ \left(\begin{array}{cc} <br />
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ <br />
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}<br />
\end{array} \right) \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
\alpha \\<br />
\beta <br />
\end{array}<br />
\right) = \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
0 \\<br />
0<br />
\end{array}<br />
\right) $$<br />
Tohle ale je ekvivalentní s tvrzením, že<br />
$$ \left| \begin{array}{cc} <br />
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ <br />
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}<br />
\end{array} \right| = \bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} = 0$$ <br />
Tímto jsme ukázali, že integrand je nulový a tedy celý integrál je nulový, čímž jsme ukázali, že operátor je symetrický. <br />
<br />
\item Nyní máme ukázat, že $\langle u,Lu \rangle \geq 0$. <br />
Rozepíšeme opět tento skalární součin a využijeme rozepsání integrálu<br />
$$ \langle u,Lu \rangle = \displaystyle \int_{G} \bar{u}Lu \ \dd x = - \displaystyle \int_{\partial G} \bar{u}p \pd{u}{\vec{n}} \dd S + <br />
\displaystyle \int_G p \grad \bar{u} \grad u + \bar{u}uq \ \dd x$$<br />
Prozkoumáme integrandy u jednotlivých integrálů: <br />
\subitem Pro druhý integrand dostáváme odhad <br />
$$p \grad \bar{u} \grad u = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\pd{\bar{u}}{x_j}\pd{u}{x_j} = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 >0,$$<br />
přičemž využíváme kladnosti funkce $p$.<br />
\subitem Pro třetí integrand dostáváme tento odhad (a tentokrát využíváme nezápornosti funkce $q$): <br />
$$ \bar{u}uq = \Vert u \Vert^2 q \geq 0$$<br />
\subitem Pro první integrand bude diskuse nezápornosti obsáhlejší. Využijeme pro ni počáteční podmínky: <br />
<br />
Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\alpha(x_0) = 0$, pak $\beta(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\beta(x_0)\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\alpha(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. <br />
<br />
Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\beta(x_0) = 0$, pak $\alpha(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\alpha(x_0)u(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $u(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\beta(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. <br />
<br />
Označme $\Gamma = \left\{ x \in \partial G : \alpha(x) \neq 0 \land \beta(x) \neq 0 \right\}$. Pak $\forall x \in \Gamma$ platí<br />
$$ \alpha u + \beta\pd{u}{\vec{n}} = 0 \Leftrightarrow u = - \frac {\beta}{\alpha}\pd{u}{\vec{n}}$$<br />
Dosazením do prvního integrandu získáváme: <br />
$$ - p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \overline{\pd{u}{\vec{n}}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha}\pd{\bar{u}}{\vec{n}}\pd{u}{\vec{n}} = <br />
p \frac {\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \geq 0$$<br />
Tímto jsme tedy dokázali, že je Sturm-Liouvilleův operátor positivní. <br />
\item Odhady, které jsme získali v předešlé části, použijeme i při dokazování dimense jádra. Ukážeme, že $\mathrm{dim}ker L= 1 \Rightarrow ker L$ obsahuje konstantní funkce a <br />
$\mathrm{dim}ker L= 0 \Rightarrow ker L $ obsahuje nulovou funkci. Berme tedy $u \in \mathrm{Dom} (L)$ takové, že $ u\in ker L$. Pak tedy z linearity plyne<br />
$$ 0 = \langle u,Lu \rangle = \displaystyle \int_{G} p \frac{\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \dd S + <br />
\displaystyle \int_{G} p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 + q \Vert u \Vert^2 \dd x$$<br />
Jelikož jsou všechny členy dle předešlé části důkazu nezáporné, musí být rovny nule, chceme-li dostat v jejich součtu nulu. <br />
\subitem Pro druhý integrand máme <br />
$$ p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 = 0 \Leftrightarrow \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert^2 = 0 \ \forall j\in \hat{n}.$$<br />
Toto plyne z faktu, že $p>0$. Znamená to tedy, že $\pd{u}{x_j} = 0$ a tedy funkce $u $ je konstantní na $\bar{G}.$<br />
Aby byla dimenze rovna jedné, musí být funkce $q \equiv 0$ na $G$. <br />
\subitem První integrand je při těchto podmínkách již automaticky roven nule. Je-li ovšem dimense jádra 1, pak okrajová podmínka má tvar<br />
$$\alpha u =0 \Rightarrow \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$$<br />
<br />
Tedy shrňme výsledek tohoto důkazu: $\mathrm{dim} \ ker L =0$, nebo $\mathrm{dim}\ker L =1 \Leftrightarrow q \equiv 0 \ \mbox{na }G \land \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$. <br />
<br />
\item Buď $\lambda $ vlastní hodnota operátoru $L$, tj. $Lu = \lambda u$ pro jisté $u\in \mathrm{Dom}(L)$. Pak<br />
$$ \langle u, Lu \rangle \geq 0 \Rightarrow \langle u, \lambda u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \langle u, u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \geq 0$$<br />
Poslední nerovnost plyne z positivity skalárního součinu. <br />
<br />
\item Buďte $\lambda, \mu$ různé vlastní hodnoty operátoru $L$ a $u,v$ k nim příslušné vlastní vektory. Potom <br />
$$ \langle u, Lv \rangle = \langle u, \mu v \rangle \land \langle Lu, v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle $$<br />
Jelikož je ale operátor $L$ symetrický, platí $\langle u, Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle$. <br />
To ale říká, že <br />
$$ \langle u, \mu v \rangle = \langle \lambda u ,v \rangle \Rightarrow \mu \langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle \Leftrightarrow (\mu - \lambda)\langle u, v \rangle = 0 <br />
\Leftrightarrow \langle u, v \rangle = 0 $$<br />
Poslední ekvivalence plyne z faktu, že $\mu$ a $\lambda$ jsou různé vlastní hodnoty. Tedy vlastní funkce $u,v$ jsou ortogonální. <br />
<br />
\item Poslední tvrzení dokážeme snadno. Předpokládejme, že $Lu = \lambda u$. Pak pomocí komplexního sdružení získáme <br />
$$ \overline{Lu} = \overline{\lambda u} = \lambda \bar{u}$$<br />
Jelikož má $L$ reálné koeficienty, platí, že $\overline{Lu} = L\bar{u}$. Pak ale <br />
$$ \lambda \bar{u} = L\bar{u} \land Lu = \lambda u $$<br />
Tedy vektory $u$ a $\bar{u}$ jsou vlastní vektory stejné vlastní hodnoty, tedy i jejich součet je vlastním vektorem. Pak ale stačí volit jako reálnou funkci $u +\bar{u}$. <br />
Tímto jsme tedy explicitně našli konkrétní reálnou vlastní funkci příslušnou vlastní hodnotě $\lambda$. <br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Sturm-Liouvilleova úloha pro 1 dimensi}<br />
V této kapitole budeme řešit S-L úlohu pro 1 dimensi, což je případ, se kterým se člověk (ve zkouškových písemkách) setkává nejčastěji. Na konci této kapitoly budou rovněž zavedeny Greenovy funkce. <br />
Pro 1D má tedy úloha tvar:<br />
<br />
\textit{Buď $G = (0,l)$, $l>0$ s hranicí $\partial G = \left\{0,l \right\}$. Buď dále $p>0$, $p\in \C^{1}\left(\left[0,l\right]\right)$ a $q\geq 0$, $q\in \C\left(\left[0,l\right]\right)$. <br />
Sturm-Liouvilleova úloha má pak tvar <br />
$$ L u(x) = -\frac{\dd }{\dd x}\left(p(x) \frac{\dd}{\dd x}u(x) \right) + q(x)u(x) = f(x) $$<br />
s okrajovou podmínkou pro dva body na hranici: <br />
Buďte $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1 \geq 0$ tak, že $\alpha_0 + \beta_0 >0$ a $\alpha_1 + \beta_1 >0$, pak <br />
$$\alpha_0 u(0) - \beta_0 u'(0) = 0\footnote{Před druhým členem je skutečně mínus, neboť se jedná o derivaci ve směru vnější normály.}$$ <br />
$$\alpha_1 u(l) + \beta_1 u'(l) = 0$$ }<br />
Budeme navíc předpokládat, že dimense jádra je 0. Tedy neplatí podmínka odvozená v předešlé kapitole, tj. není pravda, že $q(x) =0 \ \forall x \in G \land \alpha_0 = \alpha_1 = 0$. <br />
Spočítáme řešení této úlohy a získáme vlastnosti $L$. Při řešení této úlohy budeme postupovat v několika krocích:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
Najdeme dvojici řešení $v_0$, $v_1$, která řeší úlohu $Lv_0 = 0 = Lv_1$ a splňují právě jednu z okrajových podmínek. <br />
Nechť tedy $v_0$ splňuje levou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_0 v_0 (0) - \beta_0 v'_0 (0) = 0,$$ <br />
a $v_1$ splňuje pravou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_1 v_1 (l) + \beta_1 v'_1 (l) = 0.$$ <br />
Že taková řešení existují, vyplývá z teorie diferenciálních rovnic. <br />
\item<br />
Hledejme obecné řešení tvaru:<br />
$$ u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$$<br />
Pak po dosazení do S-L operátoru získáváme<br />
$$ Lu = -\left(p(x)u'(x)\right)' + q(x)u(x) = -\left[ p(C_0'v_0 + C_0 v_0' + C_1' v_1 + C_1 v_1') \right]' + q (C_0 v_0 + C_1 v_1) = $$<br />
$$ = -p'(C_0'v_0) - p (C_0'v_0)' - p(C_0 v_0')' - p'(C_0 v_0') - p'(C_1 'v_1) - p (C_1' v_1)' - p(C_1 v_1')' - p'(C_1 v_1') + q C_0 v_0 + q C_1 v_1 = $$<br />
$$ = C_0 \underbrace{\left[ -(pv_0')' + qv_0 \right]}_{Lv_0 = 0} - p C_0' v_0' + C_1 \underbrace{\left[ -(pv_1')' + qv_1 \right]}_{Lv_1 =0} - pC_1' v_1' - <br />
p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$<br />
$$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$<br />
Aby tohle platilo, je třeba nalézt funkce $C_0, C_1$ takové, že <br />
$$ C_0' v_0 + C_1' v_1 = 0 $$<br />
$$ C_0' v_0' + C_1' v_1' = -\frac{f}{p} $$ <br />
Tuto soustavu lze maticově formulovat jako: <br />
\begin{equation}<br />
\label{soustava}<br />
\left(\begin{array}{cc} <br />
v_0 & v_1 \\ <br />
v_0' & v_1'<br />
\end{array} \right) \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
C_0' \\<br />
C_1'<br />
\end{array}<br />
\right) = \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
0 \\<br />
-\frac{f}{p}<br />
\end{array}<br />
\right) <br />
\end{equation}<br />
Matice soustavy je {\it Wronského matice} funkcí $v_0, v_1$, ozn. $\mathcal{W}(v_0,v_1)$. Jestliže ukážeme, že {\it wronskián $\mathscr{W}$} je nenulový,<br />
tj. $\mathrm{det}\ \mathcal{W}(v_0,v_1) \neq 0 $ pro všechna $x \in [0,l]$, pak je možné tuto soustavu vyřešit a najít funkce $C_0$ a $C_1$. <br />
\item Sporem ukážeme, že $\mathscr{W} = \left| \begin{array}{cc} v_0 & v_1 \\ v_0' & v_1' \end{array}\right| = v_0 v_1' - v_1 v_0' \neq 0$ pro všechna $x \in [0,l]$. <br />
Pro spor předpokládejme, že existuje bod $x_0 \in [0,l]$ takový, že $\mathscr{W}(x_0) = 0$. To ale znamená, že Wronského matice má lineárně závislé sloupce. Tedy existuje $\lambda \in \mathbb{C}$ <br />
tak, že <br />
$$ \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
v_0(x_0) \\<br />
v_0' (x_0)<br />
\end{array}<br />
\right) = \lambda \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
v_1(x_0) \\<br />
v_1'(x_0)<br />
\end{array}<br />
\right) $$<br />
Nyní prozkoumejme funkci $\tilde{v}(x) = v_0(x) - \lambda v_1(x)$. Je zřejmé, že z linearity operátoru $L$ plyne, že $L\tilde{v} = 0$ a z nulovosti determinantu plyne <br />
$\tilde{v}(x_0) =0 $ a $\tilde{v}'(x_0) =0 $. Jelikož je ale $L\tilde{v} = 0$ diferenciální rovnice 2. řádu a máme dvě podmínky, plyne z věty o jednoznačnosti řešení, že jediné řešení je nulová funkce. Toto ale znamená, že pokud bychom našli jediný bod, ve kterém je $\mathscr{W}$ nulový, tak je nulový na intervalu $[0,l]$. A toto je spor, protože víme, že dimense jádra je 0. <br />
Tedy wronskián je nenulový. <br />
<br />
\item Nyní ukážeme, že $p(x) \mathscr{W}(x) = konst. $<br />
Toto ověříme přímým výpočtem:<br />
$$(p\mathscr{W})' = (p( v_0 v_1' - v_1 v_0'))' = v_0' p v_1' + v_0\underbrace{(pv_1')'}_{qv_1} - v_1' p v_0' - v_1\underbrace{(pv_0')'}_{qv_0} = qv_0v_1 - qv_1v_0 = 0$$<br />
<br />
\item Nalezneme funkce $C_0, C_1$ pomocí \uv{invertování} rovnice \ref{soustava}<br />
$$ \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
C_0' \\<br />
C_1'<br />
\end{array}<br />
\right) = \frac{1}{\mathscr{W}} \left(\begin{array}{cc} <br />
v_1' & -v_1 \\ <br />
-v_0' & v_0<br />
\end{array} \right) \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
0 \\<br />
-\frac{f}{p}<br />
\end{array}<br />
\right) = \frac{1}{p\mathscr{W}} \left(<br />
\begin{array}{c}<br />
fv_1\\<br />
-fv_0<br />
\end{array}<br />
\right) $$<br />
Tímto jsme dvojici obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu, které určují funkce $C_0, C_1$:<br />
\begin{eqnarray}<br />
\label{C_0}<br />
C_0' & = & \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1f \\<br />
\label{C_1}<br />
C_1' & = & - \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0 f<br />
\end{eqnarray}<br />
Abychom dokázali určit přesné řešení, musíme ještě využít okrajových podmínek, neboť víme, že $u = C_0v_0 + C_1v_1 $ je musí rovněž splňovat. Na následujících řádcích nejprve dosadíme do levé hraniční podmínky, využijeme znalosti hraniční podmínky pro $v_0$ a využijeme vztahů \ref{C_0} a \ref{C_1}:<br />
$$ 0 = \alpha_0 u(0) - \beta_0 u'(0) = $$<br />
$$ = \alpha_0 \left( C_0(0) v_0(0) + C_1(0) v_1(0) \right) - \beta_0 \left( C_0'(0)v_0(0) + C_0(0)v_0'(0) + C_1'(0)v_1(0) + C_1(0)v_1'(0)\right)=$$<br />
$$ = \alpha_0 C_1(0)v_1(0) - \beta_0 v_0(0)\frac{1}{p\mathscr{W}} v_1(0)f(0) + \beta_0 v_1(0) \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0(0)f(0) - \beta_0 C_1(0)v_1'(0) = $$<br />
$$ = \left[\alpha_0 v_1(0) - \beta_0 v_1'(0) \right] C_1(0)$$<br />
Aby byl tento výraz roven nule, musí být buď $\alpha_0 v_1(0) - \beta_0 v_1'(0) =0$, nebo $C_1(0) =0$. Pokud by nastala první možnost, musela by funkce $v_1$ splňovat dvě počáteční podmínky a navíc <br />
$Lv_1 =0$. Proto by byla v jádře a tudíž (neboť předpokládáme nulovou dimensi jádra) by byla nulová. Pomocí nulové funkce ale nejsme schopni najít řešení s pravou stranou. Proto musí platit, že <br />
$$C_1(0) = 0$$<br />
Obdobnou úvahou bychom z pravé okrajové podmínky získali <br />
$$ C_0(l) = 0 $$<br />
Když máme tyto podmínky, můžeme zintegrovat rovnice \ref{C_0} a \ref{C_1} a započítat počáteční podmínky:<br />
$$ C_0(x) - C_0(l) = \displaystyle \int_l^x \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1(y)f(y)\dd y $$<br />
a tedy <br />
$$ C_0(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \displaystyle \int_x^l v_1(y)f(y)\dd y $$<br />
Pro funkci $C_1$ dostáváme<br />
$$ C_1(x) - C_1(0) = -\displaystyle \int_0^x \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0(y)f(y)\dd y $$<br />
a tedy<br />
$$ C_1(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \displaystyle \int_0^x v_0(y)f(y)\dd y $$<br />
<br />
Tímto jsme nalezli funkce $C_0, C_1$ takové, že $u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$ je řešením úlohy $Lu = f$. <br />
Konkrétní tvar řešení $u(x)$ má podobu:<br />
$$ u(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \left[ v_0(x)\displaystyle \int_x^l v_1(y)f(y)\dd y + v_1(x) \displaystyle \int_0^x v_0(y)f(y)\dd y \right] \stackrel{\mbox{\scriptsize ozn.}}{=}<br />
\displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y$$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Se značením použitým výše se funkce $\mathscr{G}(x,y)$ definovaná předpisem <br />
$$\mathscr{G}(x,y) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \left\{\begin{array}{ll} v_0(x)v_1(y), &\mbox{pro } 0<x<y<l, \\ v_0(y)v_1(x), &\mbox{pro } 0<y<x<l. \end{array}\right.$$<br />
nazývá {\bf Greenova funkce}.<br />
\end{define}<br />
<br />
Co jsme tedy získali řešením? Ukázali jsme, že řešení úlohy $Lu = f$ má tvar $$ u = \displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y = L^{-1}f,$$ kde $L^{-1} $ je integrální operátor, jehož jádrem je <br />
Greenova funkce. Tato funkce je spojitá, neboť $v_1(x)$, $v_0(x)$ jsou řešeními diferenciální rovnice a pro $y=x$, což je jediná úsečka, na které by mohla vznikat nespojitost, <br />
jsou si funkční hodnoty rovny. Tedy $\mathscr{G} \in \C(\bar{G}\times \bar{G})$.<br />
Je očividné, že Greenova funkce je symetrická a tedy jsou splněny předpoklady Hilbert-Schmidtovy věty, která říká, že operátor $L^{-1}$ má čistě bodové spektrum a jeho vlastní funkce tvoří ON bázi v <br />
$L^2(G)$. Tedy toto platí i pro operátor $L$. V důsledku tohoto zjištění si můžeme troufnout vyvodit mimo jiné to, že (přesuňme se do dimense 3) vlastní hodnoty Laplaceova operátoru jsou kladné. <br />
Z toho vyplývá<br />
\begin{theorem}[Vlastnosti S-L operátoru II]<br />
Při předpokladech z první věty o vlastnostech S-L operátoru platí: <br />
\begin{itemize}<br />
\item[7.] Vlastní čísla $L$ mají konečné násobnsti a nemají konečný hromadný bod.<br />
\item[8.] Z vlastních funkcí $L$ lze sestavit ON bázi prostoru $L^2\left((0,l)\right)$. <br />
\end{itemize}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Veškeré úvahy byly zatím vedeny pro nulové jádro. Jestliže je jádro operátoru nenulové, tj. je tvořeno konstantními funkcemi, můžeme operátor snadno převést na případ, která již budeme umět vyřešit.<br />
Stačí pak k operátoru \uv{přičíst} jedničku a spektrum tohoto operátoru bude totožné se spektrem původního, jen bude \uv{posunuté} o jedničku. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Vlastnosti Greenovy funkce]<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\mathscr{G}(x,y)$ je spojitá funkce;<br />
\item Pro všechna $x,y$ $\mathscr{G}(x,y) = \mathscr{G}(y,x)$;<br />
\item Buď $y \in (0,l)$ pevné. Označme $g_y(x) = \mathscr{G}(x,y)$. Pak <br />
\subitem[3a] $g_y(x)$ splňuje hraniční podmínky v $0$ i v $l$;<br />
\subitem[3b]$Lg_y(x) = -(p(x) g_y'(x))' + q(x) g_y(x) = \delta(x-y)$<br />
\subitem[3c] $g_y(x) \in \C^{(2)}([0,l] \setminus \{y\})$<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení 1, 2, 3a se dokáží přímým dosazením, tvrzení 3b je jen aplikace věty o derivování po částech hladké funkce: <br />
Zderivujeme výraz $pg_y'(x)$. Ten má následující podobu: <br />
$$ pg_y'(x) = - \frac{1}{\mathscr{W}} \left\{\begin{array}{ll} v_0'(x)v_1(y), &\mbox{pro } 0<x<y<l, \\ v_0(y)v_1'(x), &\mbox{pro } 0<y<x<l. \end{array}\right.$$<br />
Pak $$(pg_y'(x))' = \left\{ (pg_y'(x))' \right\} + \delta (x-y) \left(\frac{1}{\mathscr{W}} (v_1(x)v_0'(x)- v_1'(x)v_0(x)\right) = $$<br />
$$\left\{ (pg_y'(x))' \right\} -\delta (x-y) \left(\frac{1}{\mathscr{W}}\mathscr{W} \right) = \left\{ (pg_y'(x))' \right\} - \delta (x-y)$$<br />
Poslední vlastnost plyne z tvaru derivace výše. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Tyto vlastnosti slouží pro zavedení Greenovy funkce pro vyšší dimense. Zbývá už jen naplnit dřívejší slib a ukázat, jak pomocí tohoto řešení převést S-L úlohu na integrální rovnici.<br />
<br />
\section{Převedení Sturm-Liouvilleova problému na integrální rovnici}<br />
\begin{theorem}<br />
<br />
Uvažujme pro jednoduchost předchozí, jednorozměnou S-L úlohu s operátorem $L$, pak vlastní čísla $\lambda \in \mathbb{C}$ a řešení $u(x) \in \C[0,l]$ takové, že $Lu=\lambda u$ +f, lze získat řešením integrální rovnice<br />
<br />
$$ u(x) = \lambda\displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)u(y) \dd y + \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y$$<br />
\end{theorem}<br />
<br />
Důkaz si provede zvídavý čtenář sám. Tímto končí látka potřebná ke zkoušce, resp. látka, která má být zkoušena.</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811901RMF:Kapitola12018-10-15T09:07:53Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy a zavedli pro ně operace kompatibilní s těmi u klasických funkcí. <br />
Cílem je, abychom pro ně nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. hledat a ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak \uv{šikovně}, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Proměnnými funkcionálu tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$, a jeho hodnotu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. Pro tento účel nejprve definujme relaci ekvivalence.<br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci ekvivalence $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci ve smyslu binární relace, neboť je to vztah symetrický, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom můžeme faktorizovat (přerozdělit) množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence (množin vzájemně ekvivalentních funkcí), které budou tvořit novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. $L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. Připomeňme ještě několik důležitých pojmů o vektorových prostorech:<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811801RMF:Kapitola12018-10-15T08:55:37Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy a zavedli pro ně operace kompatibilní s těmi u klasických funkcí. <br />
Cílem je, abychom pro ně nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. hledat a ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak \uv{šikovně}, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Proměnnými funkcionálu tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$, a jeho hodnotu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci ve smyslu binární relace, neboť je to vztah symetrický, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom můžeme faktorizovat (přerozdělit) množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence (množin vzájemně ekvivalentních funkcí), které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. $L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811701RMF:Kapitola12018-10-15T08:36:06Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Cílem je, abychom pro zobecněné funkce nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací jako limita, derivace a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak šikovně, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Proměnnými funkcionálu tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$, a jeho hodnotu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811601RMF:Kapitola12018-10-15T08:33:27Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Cílem je, abychom pro zobecněné funkce nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací jako limita, derivace a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak šikovně, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem, tj. $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Jeho proměnnými tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$. Hodnotu funkcionálu při daném $\phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811501RMF:Kapitola12018-10-15T08:29:05Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
Cílem tohoto předmětu je dopracovat se k metodám řešení parciálních diferenciálních rovnic a integrálních rovnic pomocí tzv. zobecněných funkcí.<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Cílem je, abychom pro zobecněné funkce nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací jako limita, derivace a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak šikovně, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$ a označujeme jej $\nf \phi$. Neboli nosičem je uzávěr množiny všech argumentů funkce s nenulovým obrazem.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak tento integrál ve smyslu funkcionálu, tj. zobrazení $\D \longrightarrow \mathbb{C}$, nazýváme {\bf zobecněnou funkcí}. Jeho proměnnými tedy jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$. Hodnotu funkcionálu při daném $phi$ pak nazýváme {\bf akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811401RMF:Kapitola12018-10-12T09:28:11Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Cílem je, abychom pro zobecněné funkce nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací jako limita, derivace a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak šikovně, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\newpage<br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzavřenou množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak nazvěme tento integrál {\bf zobecněnou funkcí} a označme $\tilde{f}$. Jeho proměnnými jsou $\phi \in \D(\R^1)$, nikoliv $x \in \left[a,b \right]$. Hodnotu $\tilde{f}$ v $\phi$ pak nazýváme<br />
<br />
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} a značíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
<br />
\centering$\forall \phi \in \D(\R) : \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak platí $f=g$. <br />
<br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem $\phi(x)$ jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811301RMF:Kapitola12018-10-12T09:03:52Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ ( \mathcal{L}\displaystly ) \ \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Cílem je, abychom pro zobecněné funkce nemuseli znovu složitě budovat teorii, která nám umožní s nimi dobře pracovat, tj. ověřovat nové věty třeba o záměnách pořadí operací jako limita, derivace a podobně. Budeme se toho snažit docílit tím, že zobecněné funkce sestavíme tak šikovně, že předpoklady zmíněných vět budou naplňovat již v důsledku své definice. Jednou z takových chytře zvolených vlastnosti například bude, že každá zobecněná funkce bude mít všechny své derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce a její vlastnosti mohou být zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy nekontrolujeme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně ideální.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept vyhodnocování funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzavřenou množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. <br />
<br />
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
$\forall \phi \in \D(\R) \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$. <br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl zkoumat pomocí testovacích funkcí přinejmenším spojité funkce, protože z výsledků akce s dostatečným počtem \phi(x) jsme schopni dvě takové funkce od sebe rozlišit.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01RMF:Kapitola1&diff=811201RMF:Kapitola12018-10-03T20:14:10Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01RMF}<br />
\chapter{Motivace}<br />
V této kapitole se budeme snažit nastínit, co matematiky vedlo k vytvoření teorie zobecněných funkcí a pokusíme se na <br />
příkladu ilustrovat, co je myšleno testováním funkcemi. <br />
<br />
<br />
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}<br />
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. <br />
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým <br />
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její <br />
definici: <br />
<br />
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$<br />
a zároveň požadujeme<br />
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$<br />
<br />
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž <br />
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme <br />
<br />
$$ \mathcal{L}\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$<br />
protože naše funkce je nulová všude až na množinu nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v~průběhu tohoto skripta odstranit. <br />
<br />
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. <br />
Dostaneme pak totiž zajímavé vlastnosti těchto funkcí, jako například tu, že každá zobecněná funkce má všechny derivace. <br />
<br />
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého <br />
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. <br />
<br />
\section{Koncept testování funkcemi}<br />
Funkce může být zadána a její vlastnosti zkoumány různými způsoby, obvyklý způsob v klasických partií matematické analýzy je zadání pomocí nějaké rovnice, která představuje bodový předpis pro každý konkrétní bod z definičního oboru. Takové zadaní má své výhody, ale v některých případech není vhodné, ani tak docela přirozené. Pokud bychom například chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky při teplotě $T$, tj. hledat funkci $f(T)$ popisující tuto závislost, pak musíme vzorek látky ohřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. <br />
Probléme ale je, že v praxi nikdy neměříme teplotu úplně přesně a namísto v bodě $T$ se pohybujeme na nějakém jeho okolí $\left[a,b\right]$. <br />
Klasická metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}, sama o sobě nedokáže totu skutečnost postihnout a není tedy v tomto případě úplně vhodná.<br />
Nabízí se měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. <br />
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat <br />
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje širší pohled na hledanou funkci, ale stále je poměrně hrubý. <br />
Nezahrnuje totiž informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. <br />
Pokud bychom takové rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,<br />
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$.<br />
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Tím je ve zkratce nastíněn třetí <br />
a~nejsilnější koncept zadávání funkcí, tzv. {\it pomocí testovacích funkcí}.<br />
<br />
\begin{remark}<br />
<br />
$$ \displaystyle\int_{a} ^{b} f(T)\phi(T) \dd T = \langle f,\phi \rangle $$<br />
Tento integrál je totožný s definicí skalárního součinu na prostoru spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right]$ (vizte LAA2, resp. LAB2). <br />
<br />
\end{remark}<br />
<br />
\section{Testovací funkce}<br />
\subsection{Úvod do problematiky}<br />
<br />
\begin{define}<br />
{\bf Nosičem funkce (supportem) $\phi$} rozumíme uzavřenou množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinou testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. <br />
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$. Máme-li $\phi, \psi \in \D(\R^n)$, <br />
pak součet $\phi + \psi \in \D(\R^n)$ a nosič $\nf (\phi + \psi) $ je zřejmě podmnožinou sjednocení $\nf \phi \cup \nf \psi$.<br />
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$. Odtud již plyne, že~$\D$~s~operacemi sčítání a násobení skalárem tvoří lineární vektorový prostor. <br />
\end{remark}<br />
<br />
Abychom získali jistou intuici a~vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a~zobecníme. <br />
\begin{define}<br />
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále <br />
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$<br />
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. <br />
<br />
\noindent {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme <br />
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x.$$ <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zkuste najít množinu funkcí $f$ tak, aby pro ni definice zobecněných funkce (výše) byla rozumná. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[ilustrativní, jednoduchá]<br />
Nechť $f, \ g$ jsou spojité reálné funkce reálné proměnné a nechť dále akce libovolné testovací funkce $\phi$ na $f$ a $g$ jsou shodné, tj. <br />
$\forall \phi \in \D(\R) \ \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \int_\R g(x)\phi(x)\dd x$. Pak $f=g$. <br />
\begin{remark}<br />
Tahle věta nám ukazuje, že má smysl některé funkce zadávat a zkoumat pomocí testovacích funkcí.<br />
\end{remark}<br />
\begin{proof}<br />
Tvrzení dokážeme sporem. Pro ten předpokládejme, že $\exists x_0$ takové, že $f(x_0)\neq g(x_0)$. Pak víme, že $\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi(x) \dd x = 0$. <br />
Ze spojitosti funkcí $f$ a $g$ plyne existence okolí $U_{x_0}$ takového, že $\forall x \in U_{x_0}$ je BÚNO $f(x) > g(x)$. Pak předpokládejme, že existuje jistá <br />
$\phi' \in \D(\R^1)$ taková, že $\nf \phi' \subset U_{x_0}$. O~tom, že tahle testovací funkce existuje se přesvědčíte na cvičeních. Pak můžeme psát <br />
$\displaystyle \int_\R \left( f(x)-g(x) \right)\phi '(x) \dd x = \displaystyle \int_{\nf \phi '} \left( f(x)-g(x) \right)\phi'(x) \dd x \geq \epsilon \displaystyle \int_\R \phi'(x) \dd x > 0.$<br />
Toto nám již dává spor s naším předpokladem. Je vhodné zde poznamenat, že nenulovost posledního integrálu plyne z toho, že mohu vždy najít takovou testovací funkci, jejíž integrál bude nenulový. <br />
Kdybychom měli např. lichou testovací funkci, tak můžeme jako vhodnou testovací funkci použít její kvadrát, který je rovněž testovací funkcí. Toto plyne z poznámky pod definicí testovací funkce. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\section{Konvence a domluvy ($L^2$ Hilbertův prostor)}<br />
<br />
Mějme prostor $\mathcal{L}^2(\R^n)$, tj. prostor všech komplexních funkcí $f(x)$ reálné proměnné Lebesgueovsky integrabilních s~kvadrátem, <br />
tj. $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x < + \infty$. Pro $f$, $g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$ definujme zobrazení <br />
$\langle f,g \rangle := \mathcal{L} \displaystyle \int _{\R^n} f(x) \overline{g(x)} \dd x$. <br />
Je otázkou, je-li toto zobrazení skalárním součinem na $\mathcal{L}^2(\R^n)$. <br />
<br />
Aby jím bylo, musí být splněny následující podmínky: <br />
\begin{enumerate}<br />
\item Zobrazení musí splňovat $\langle \cdot,\cdot \rangle :\mathcal{L}^2 \times \mathcal{L}^2 \longrightarrow \mathbb{C} $;<br />
\item Musí být lineární v 1. argumentu;<br />
\item Musí být hermitovské, tj. $\langle f,g \rangle = \overline{\langle g,f \rangle}$ pro libovolné $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$;<br />
\item Musí být positivní, tj. $\langle f,f \rangle \geq 0$ $\forall f \in \mathcal{L}^2$ a $\langle f,f \rangle = 0 \Leftrightarrow f=0$. <br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je zřejmé, že 1., 2. i 3. podmínka jsou triviálně splněny (3. vyplývá z vlastnosti komplexního sdružování integrálů). Ve čtvrté podmínce je její první část <br />
triviálně splněna volbou prostoru $\mathcal{L}^2(\R ^n)$. Ve druhé části je ekvivalence směrem zprava doleva triviální, ale problém nastává při implikaci zleva doprava;<br />
musí být splněna podmínka $\displaystyle \int _{\R^n} \vert f(x)\vert ^2 \dd x = 0$. Tuhle podmínku ale splňuje nekonečně mnoho funkcí. <br />
Jsou to všechny nulové funkce, které jsou nenulové na množině nulové míry. Proto toto zobrazení není normou na prostoru $\mathcal{L}^2(\R^n)$, ale pouze seminormou.<br />
Můžeme ale vytvořit prostor, na kterém tohle zobrazení normou bude. <br />
<br />
\subsection {Zavedení $L^2$}<br />
<br />
Definujme relaci ekvivalence $\sim$:<br />
\begin{define}<br />
Buďte $f, \ g \in \mathcal{L}^2(\R^n)$. Relaci $\sim$ definujeme následovně: <br />
$f \sim g \Leftrightarrow f-g=0$~s.~v. (tj. skoro všude, tedy liší se nejvýše na množině nulové míry). <br />
\end{define}<br />
<br />
Jedná se o~ekvivalenci, neboť je tato relace symetrická, reflexivní a~transitivní (triviálně ověřitelné). <br />
Pomocí této ekvivalence potom faktorizujeme množinu $\mathcal{L}^2(\R^n)$ do tříd ekvivalence, které nám budou definovat novou strukturu $L^2(\R ^n)$, tzn. <br />
$L^2(\R ^n) = \mathcal{L}^2(\R^n) \vert_\sim $. Pro tuhle množinu (jejíž prvky nejsou funkce, ale třídy ekvivalence!) je ale výše uvedené zobrazení skalárním součinem. Provedli jsme totiž obvyklé ztotožnění<br />
třídy ekvivalence s jedním jejím zástupcem. Správně bychom měli ještě dokázat, že námi zavedený skalární součin nezávisí na volbě zástupce, ale jelikož integrál nezávisí na množině bodů nulové míry, je toto zřejmé. Pak se již jedná o~prostor funkcí a~definice našeho skalárního součinu v něm dává dobrý smysl. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje k~$a\in V$}, značíme $a_n \to a$, právě tehdy, když $\Vert a_n - a \Vert \to 0$ pro $n \to +\infty$. <br />
\end{define}<br />
\noindent Vidíme, že jsme definici konvergence na vektorovém prostoru převedli na konvergenci v $\R$ resp. $\mathbb{C}$. <br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor s~normou, posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \left(V, \ \Vert \cdot \Vert)$. Řekneme, že {\bf posloupnost $\{a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ je cauchyovská}, právě když <br />
$$\left( \forall \epsilon > 0 \right) \left(\exists n_0 \in \mathbb{N} \rigth) \left( \forall m,\ n > n_0 \right) \left( \Vert a_m - a_n \Vert < \epsilon \right).$$<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že lineární vektorový prostor $V$ s normou je {\bf Banachův}, právě tehdy, když každá cauchyovská posloupnost konverguje ve $V$. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergenci cauchyovské posloupnosti lze ekvivalentně vyjádřit jako fakt, že limitní prvek je prvek $V$, tzn. prostor $V$~je úplný.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Bolzano-Cauchyovo kritérium pro číselné posloupnosti je důkazem úplnosti $\R^n$. \\<br />
Pojmy výše zmíněné je možné zobecnit na prostory s metrikou $\varrho$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Úplný lineární prostor se skalárním součinem nazýváme {\bf Hilbertův}. <br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Hilbertovy prostory jsou speciálním případem Banachových prostorů, protože si stačí uvědomit, že skalární součin indukuje normu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
Nyní uvedeme několik důležitých vět, jejichž důkaz přesahuje rámec přednášky RMF, ale jsou pro výklad látky podstatné. Detaily a důkazy těchto vět se zabývá přednáška z funkcionální analýzy (FA1).<br />
Před jejich vyslovením však ještě shrňme zásadní rozdíl mezi prostory $\mathcal{L}^p$ a $L^p$:<br />
\begin{define}<br />
\[ \mathcal{L}^p(\R^n) = \left\{f:\R^n \to \mathbb{C} (\R) \ : \ \Vert f \Vert_p = \left(\int_{\R^n} |f(x)|^p \dd x \right)^{\frac{1}{p}} < + \infty \right\}, \]<br />
\[ L^p(\R^n) = \mathcal{L}^p(\R^n) \Big |_{\sim} ; f \sim g \Leftrightarrow f = g \ \mathrm{skoro}\ \mathrm{všude.} \]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$$ L^p = \left\{ \mbox{třídy ekvivalence na } \mathcal{L}^p \ \vert \ \Vert f \Vert_{L^p} = \left( \displaystyle\int_{\R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}} < +\infty \right\}$$<br />
Opět $f$ chápeme jako jednoho zástupce konkrétní třídy ekvivalence. Zároveň by bylo vhodné ještě dokázat, že takto zvolená norma dává pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence <br />
stejnou hodnotu, což ale intuitivně cítíme při použití Lebesgueova integrálu.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostory $L^p$ jsou Banachovy prostory.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zásadním důsledkem této věty je fakt, že $L^2$ je Hilbertův prostor. Tato vlastnost se nám bude později velmi hodit. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Předchozí poznámku můžeme \uv{rozšířit} na podmnožiny $\R^n$. Pak se zavádí $L^p (G)$ s~normou $\Vert f \Vert_{L^p (G)} = \left( \displaystyle\int_{G \subset \R^n}\vert f\vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$. <br />
\end{remark}<br />
<br />
\noindent Jeden ze zásadních výsledků funkcionální analýzy je ještě třeba zmínit:<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť G je otevřená množina taková, že $\mu(G) < +\infty$. Pak $L^q (G) \subset L^p (G) \Leftrightarrow p<q.$<br />
\end{theorem}<br />
\subsection{Lokálně integrovatelné funkce}<br />
<br />
Vraťme se nyní k otázce, kterou jsme si na začátku této kapitoly položili: Jaké funkce volit, aby byla definice zobecněných funkcí $\D'(G)$ rozumná? <br />
Odpovědí jsou tzv. lokálně integrovatelné funkce na $G$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množinu <br />
\[\mathcal{L}^1_{loc}(G) := \left\{ f \ \vert \ \forall x_0 \in G \ \exists U_{x_0} \mbox{ takové, že } \displaystyle \int_{U_{x_0}} |f| < +\infty \right\} \] <br />
nazýváme<br />
{\bf lokálně integrovatelné funkce na $G$}. <br />
<br />
Zavádíme rovněž prostor $L^1_{loc}(G)$ jako faktorprostor $\mathcal{L}^1_{loc}(G)$<br />
\end{define}<br />
<br />
Na první pohled nemusí být jasné, že tahle množina skutečně vyhovuje požadavkům na naše zobecněné funkce. O~tom, že tomu tak skutečně je, nás <br />
přesvědčí následující tvrzení, resp. z~něj tato vlastnost okamžitě plyne. <br />
<br />
\begin{theorem}<br />
$f \in L^1_{loc}(G) \Leftrightarrow \forall K \subset G \mbox{ kompaktní } \exists \displaystyle \int_K |f| < + \infty$.<br />
\begin{proof} Důkaz provedeme z definice kompaktnosti:<br />
\begin{remark}<br />
Řekneme, že množina $K$ je {\it pokrytá} systémem množin $\mathcal{S}$, pokud $K \subset \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{S}}A$. <br />
{\it Podpokrytí} je podmnožina $\mathcal{S}$. <br />
Řekneme, že $K$ je {\it kompaktní}, právě když každé pokrytí $K$ má konečné podpokrytí.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\Leftarrow$] Triviální - stačí nalézt $K$ tak, aby $U_{x_0} \subset K$.<br />
\item[$\Rightarrow$] Beru $K$ libovolnou kompaktní množinu a~pokryji ji okolími $U_{x_0}$ pro všechna $x_0 \in K$. Jelikož je ale $K$ kompaktní množina, víme, že existuje <br />
konečné podpokrytí $\{ U_{x_0^k} \vert k\in\{1, \2,\ \dots, \ N \} \}$. Pak můžeme odhadovat<br />
$$\displaystyle \int_K f \leq \displaystyle \int_K \vert f \vert = \displaystyle \int_{\limits \bigcup_{k=1} ^{N} U_{x_0}^k} \vert f \vert \leq <br />
\displaystyle \sum_{k=1} ^{N} \displaystyle \int_{U_{x_0}^k} \vert f \vert < +\infty$$<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Jestliže $f\in L_{loc} ^1 (\R^n)$, pak $\left(f,\phi\right) = \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x \stackrel{\phi \in \D}{=} <br />
\displaystyle \int_{\nf \phi} f(x)\phi(x)\dd x < + \infty$. <br />
Poslední nerovnost plyne z faktu, že nosič $\phi$ je v $\R^n $ kompaktní množina, tudíž $f\phi$ je integrabilní na této množině.<br />
\end{remark}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=02VOAFskriptum:Kapitola2&diff=774902VOAFskriptum:Kapitola22017-05-25T08:36:12Z<p>Johndavi: oprava sférické vlny</p>
<hr />
<div>% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}<br />
<br />
%\setcounter{chapter}{1}<br />
\chapter{Postupné vlny}<br />
\section{Postupné vlny na struně}<br />
\begin{quote}<br />
{\it d'Alembertovo řešení vlnové rovnice a jeho fyzikální smysl.<br />
Fáze, fázová rychlost, retardovaný čas.}<br />
\end{quote}<br />
<br />
Soustavy, které jsme doposud uvažovali, byly {\it uzavřené\/},<br />
ohraničené, takže energie kmitání zůstávala v mezích soustavy. Kmity<br />
struny upevněné na obou koncích byly popsány jako superpozice módů<br />
--- stojatých vln.<br />
<br />
Nyní budeme uvažovat soustavy {\it otevřené}, neohraničené. Vlny<br />
vzbuzené v otevřeném prostředí se nazývají {\it postupné vlny}.<br />
Putují od zdroje, který je budí, nenávratně pryč. Případné vzdálené<br />
meze soustavy mohou vést k odrazům, které si podrobně popíšeme v<br />
kapitole 5.<br />
<br />
Vraťme se opět k jednorozměrné modelové soustavě --- {\it homogenní<br />
struně\/} --- nyní natažené podél osy $z$ od $-\infty$ do<br />
$+\infty$. Zapišme pohybovou rovnici struny<br />
\be \label{eq:2.1}<br />
\f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}\ ,\qq\qq<br />
v^2 = \f{T}{\varrho}\ .<br />
\ee<br />
Obecné řešení určíme d'Alembertovou metodou. Zavedeme nové<br />
nezávislé proměnné<br />
\be<br />
(z,\,t)\ \longmapsto\ (\xi=z-vt,\,\eta=z+vt)<br />
\ee<br />
a položíme $\tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=\psi(z,\,t).$<br />
Pak transformujeme parciální derivace<br />
\bea<br />
\f{\pad \psi}{\pad t} & = & \f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad<br />
t}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad t}=<br />
\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,,\\<br />
\f{\pad \psi}{\pad z}&=&\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad<br />
z}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad z}=<br />
\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,.<br />
\eea<br />
Druhé derivace vzniknou iterací předešlých operací,<br />
\bea<br />
\f{\pad^2 \psi}{\pad t^2}&=&\f{\pad}{\pad t}\f{\pad}{\pad t}<br />
\psi=\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)<br />
\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,,<br />
\\<br />
\f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}&=&\f{\pad}{\pad z}\f{\pad}{\pad z}<br />
\psi=\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)<br />
\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,.<br />
\eea<br />
Po dosazení do vlnové rovnice (\ref{eq:2.1}) zbudou v ní pouze<br />
smíšené derivace<br />
\be \label{eq:2.2}<br />
4\f{\pad^2\tilde{\psi}}{\pad\xi\pad\eta}=0\,,<br />
\ee<br />
neboť pro dostatečně hladkou funkci platí<br />
$\pad^2\tilde{\psi}/\pad\xi\pad\eta=\pad^2\tilde{\psi}/<br />
\pad\eta\pad\xi\,.$<br />
Řešení rovnice (\ref{eq:2.2}) --- {\it d'Alembertovo řešení<br />
vlnové rovnice} ---<br />
\be<br />
\tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=F(\xi)+G(\eta)<br />
\ee<br />
je součtem dvou libovolných funkcí, z nichž každá triviálně řeší<br />
(\ref{eq:2.2}). V původních souřadnicích $z,\,t$<br />
\be \label{eq:2.3}<br />
\fbox{$\disp\psi(z,\,t)=F(z-vt)+G(z+vt)\,.$}<br />
\ee<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c1}\\<br />
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm<br />
%\mbox{\epsffile{ob2c1.eps}}\\<br />
% Obr. 2.1 Význam fázové rychlosti<br />
\caption{Význam fázové rychlosti}<br />
\label{obr2.1}<br />
\end{center}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
<br />
Jaký fyzikální smysl má d'Alembertovo řešení (\ref{eq:2.3})\,?<br />
Všimněte si průběhu řešení s $G\equiv 0,$ tj. $\psi(z,\,t)=<br />
F(z-vt)$, v časech $t_1$ a $t_2>t_1$ podle obr. \ref{obr2.1}, kde<br />
$F$ je krátký puls. Argument $z-vt$ funkce $F$ se nazývá {\it fáze}.<br />
Na obr. \ref{obr2.1} místo s určitou hodnotou fáze \be<br />
\label{eq:2.4} z_1-vt_1=z_2-vt_2=C \ee odpovídá stejné výchylce \be<br />
F(z_1-vt_1)=F(z_2-vt_2)=F(C). \ee Toto {\it místo konstantní fáze}<br />
se podle (\ref{eq:2.4}) pohybuje ve směru osy $z$ {\it fázovou<br />
rychlostí} $v$: \be z_2-z_1=v(t_2-t_1)\,. \ee Celý puls tedy<br />
postupuje ve směru $+z$ {\it beze změny tvaru.} Podobně funkce<br />
$G(z+vt)$ představuje (obecně jiný) puls postupující po struně beze<br />
změny tvaru rychlostí $-v$, tedy ve směru $-z$.<br />
<br />
{\bf Příklad.} {\em Vyzařování postupných vln.} Nechť je struna<br />
upevněna v bodě $z=0$ a sahá velmi daleko (podél kladné osy $z$).<br />
Předpokládejme, že počátkem struny pohybuje hnací mechanismus<br />
(vysílač) předepsaným způsobem \be \label{eq:2.5}<br />
\psi(0,\,t)=x(t)\,, \ee kde $x(t)$ je daná funkce času (obr.<br />
\ref{obr2.2}). Jde vlastně o vysílání vlny po struně z počátku<br />
$z=0$. Pro jednoznačnost řešení této úlohy je nutné předepsat ještě<br />
tzv. {\it podmínku vyzařování} \be G\equiv 0\,, \ee tj. že se po<br />
struně nešíří žádný signál z $+\infty$. Pak \be<br />
\psi(z,\,t)=F(z-vt)\,, \ee kde funkci $F$ určíme z podmínky<br />
(\ref{eq:2.5}): \be<br />
\psi(z,\,t)=F(z-vt)=F\left(0-v\left(t-\f{z}{v}\right)\right)=<br />
\psi\left(0,\,t-\f{z}{v}\right)=x\left(t-\f{z}{v}\right)\,. \ee<br />
Výchylky počátku se šíří po struně směrem $+z$ rychlostí $v$.<br />
Výchylka $ \psi(z,\,t)$ v místě $z$ v čase $t$ je stejná jako v<br />
$z=0$ v dřívějším, tzv. {\it retardovaném čase} \be t'=t-\f{z}{v}\ .<br />
\ee<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c2}\\<br />
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm<br />
%\mbox{\epsffile{ob2c2.eps}}\\<br />
% Obr. 2.2 Vysílání postupné vlny na struně<br />
\caption{Vysílání postupné vlny na struně}<br />
\label{obr2.2}<br />
<br />
\end{center}<br />
\end{figure}<br />
<br />
<br />
<br />
\section{Harmonická postupná vlna}<br />
Jestliže hnací mechanismus vykonává harmonický pohyb \be<br />
x(t)=A\cos(\om t+\alpha)\,, \ee pak se po struně šíří {\it<br />
harmonická postupná vlna}<br />
\be<br />
\psi(z,\,t)=x\left(t-\f{z}{v}\right)=A\cos(\om t-k z+\alpha)\,, \ee<br />
kde $k=\om/v$ se nazývá vlnové číslo. {\it Fáze} vlny je $\om<br />
t-kz+\alpha$, {\it frekvence} $\nu=\om/2\pi$, perioda $T=1/\nu$,<br />
{\it vlnová délka} $\lambda=2\pi/k$. Jakou fázi má harmonická<br />
postupná vlna šířící se ve směru záporné osy $z$?<br />
<br />
Vztah<br />
\be<br />
\om=vk\,,\qq\qq v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}\,,<br />
\ee<br />
je {\it disperzní vztah } pro strunu. Jiné, nelineární disperzní<br />
vztahy $\om=\om(k)$ budeme studovat v kap. 3.<br />
<br />
Ukažme si ještě na příkladě, jak řešení pomocí stojatých vln z<br />
oddílu 1.2 lze převést na superpozici stojatých vln postupujících<br />
proti sobě: \bea \psi(z,\,t)&=&\sum<br />
%\limits<br />
_{m=1}^\infty A_m \sin k_m z \sin \om_m t=\\<br />
&=&\f{1}{2}\sum_{m=1}^\infty A_m\cos( k_m z-\om_m t)-\f{1}{2}<br />
\sum_{m=1}^\infty A_m \cos(k_m z+\om_m t)\,.<br />
\eea<br />
<br />
\section{Rovinná vlna}<br />
Přímým zobecněním postupných vln v trojrozměrném případě jsou {\it<br />
rovinné vlny}. Vztah \be \label{eq:2.7}<br />
\psi(x,\,y,\,z,\,t)=F(z-vt) \ee totiž definuje vlnu v prostoru, pro<br />
niž množina bodů konstantní fáze (v daném čase $t_1$) je rovina \be<br />
z-vt_1=C \ee kolmá k ose $z$ a protínající ji v bodě $z_1=vt_1+C$<br />
(obr. \ref{obr2.3}).<br />
\begin{figure}<br />
\begin{center}<br />
%%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c3}\\<br />
\caption{Rovinná vlna}<br />
\label{obr2.3}<br />
\end{center}<br />
\end{figure}<br />
%\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm<br />
%\mbox{\epsffile{ob2c3.eps}}\\<br />
% Obr. 2.3 \\ Rovinná vlna<br />
Rovinná vlna (\ref{eq:2.7}) je řešením vlnové rovnice v<br />
trojrozměrném prostoru<br />
\be<br />
\label{eq:2.8} \fbox{$\disp<br />
\f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\Delta\psi= v^2\left(\f{\pad^2\psi}{\pad<br />
x^2}+\f{\pad^2\psi}{\pad y^2} +\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}\right)\, ,$}<br />
\ee<br />
neboť parciální derivace podle $x$ a $y$ jsou nulové.<br />
<br />
Vzhledem k tomu, že Laplaceův operátor $\Delta=\nabla . \nabla$ je<br />
invariantní při rotaci souřadného systému \cite{ST}, je řešením<br />
prostorové vlnové rovnice (\ref{eq:2.8}) rovinná vlna šířící se v<br />
libovolném směru určeném jednotkovým vektorem $\mbf{s}$:<br />
\be<br />
\label{eq:2.9} \mbox{<br />
$\disp\psi(\mbf{r},\,t)=F(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)\,,\qq|\mbf{s}|=1\,.$}<br />
\ee<br />
Výraz (\ref{eq:2.9}) přechází zřejmě v (\ref{eq:2.7}),<br />
zvolíme-li $\mbf{s}=(0,\,0,\,1)$. {\it Rovina konstantní fáze} (v<br />
čase $t_1$) je nyní dána rovnicí \be<br />
\mbox{$\disp\mbf{s}.\mbf{r}-vt_1=C$}\,, \ee neboli známou rovnicí<br />
roviny kolmé k vektoru $\mbf{s}=(s_x,\,s_y,\,s_z)$,<br />
\be s_{x} x<br />
+s_{y} y+s_{z} z-vt_{1}-C=0\,.<br />
\ee<br />
Harmonickou rovinnou vlnu obdržíme z<br />
(\ref{eq:2.9}) pro funkci<br />
$$F(-vt)=A\cos(\om t+\alpha)\,,$$<br />
tj.<br />
$$<br />
\mbox{$\disp\psi(\mbf{r},\,t)=$}<br />
\mbox{$\disp\psi\left(0,\,t-<br />
{{\mbox{\bf s.r} \over{v}}}<br />
\right)=$}<br />
\mbox{$\disp A\cos(\om t- \mbf{k} . \mbf{r} +\alpha)\,.$}<br />
$$<br />
Zde zavedený vektor ve směru šíření<br />
$$\mbox{$\mbf{k}=k\mbf{s}$}$$<br />
se nazývá {\it vlnový vektor}. Příslušný disperzní vztah je nyní<br />
$$ \om=vk=v\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\,.$$<br />
<br />
{\bf Poznámka.} Od rovinné vlny musíme odlišovat sférickou vlnu<br />
vysílanou bodovým zdrojem. Množina bodů konstantní fáze<br />
(vlnoplocha) takové vlny<br />
\be<br />
rx-vt_1=const.<br />
\ee<br />
je sféra o poloměru $r$ se středem ve zdroji. Potom například<br />
{\it harmonická sférická vlna} má tvar<br />
$$ \psi(r,\,t)=A\cos(k(r+\lambda)+\alpha)=A\cos(kr+2\pi+\alpha) $$<br />
a rovnice sférické vlnoplochy je<br />
$$\om t_1 -kr +\alpha = C\,.$$<br />
<br />
{\bf Matematická poznámka.} V d'Alembertově řešení (\ref{eq:2.3})<br />
lze elegantním způsobem uplatnit počáteční podmínky<br />
\bea<br />
\psi(z,\,0)&=&f(z)\,,\\ \label{eq:21.10}<br />
\f{\pad\psi}{\pad t}(z,\,0)&=&g(z)\,. \label{21.11} \eea<br />
Dosazením<br />
(\ref{eq:2.3}) do (\ref{eq:21.10}) a (\ref{21.11}) dostaneme vztahy<br />
\bea<br />
F(z)+G(z)&=&f(z)\,, \label{21.12}\\<br />
-vF'(z)+vG'(z)&=&g(z)\,. \label{21.13} \eea Rovnici (\ref{21.13})<br />
vynásobíme $-1/v$ a zintegrujeme od 0 do $z$ \be \label{21.14}<br />
F(z)-G(z)-F(0)+G(0)=-\f{1}{v}\int_0^z g(z')\d z'\,. \ee Lineární<br />
rovnice (\ref{21.12}), (\ref{21.14}) pro $F(z),\,G(z)$ snadno<br />
vyřešíme: \bea F(z)&=&\f{1}{2} f(z)-\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d<br />
z'+\f{1}{2}F(0)-\f{1}{2}G(0)\,,\\<br />
G(z)&=&\f{1}{2} f(z)+\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d<br />
z'-\f{1}{2}F(0)+\f{1}{2}G(0)\,.<br />
\eea<br />
Dosazením do (\ref{eq:2.3}) pak dostaneme konečný výsledek<br />
\be<br />
\psi(z,\,t)=\f{1}{2}f(z-vt)+\f{1}{2}f(z+vt)+<br />
\f{1}{2v}\int_{z-vt}^{z+vt}g(z')\d z'\,.<br />
\ee<br />
<br />
{\bf Cvičení.\ }Rozmyslete si, jaké vlny se šíří po struně<br />
\begin{list}{}{\leftmargin 4ex \itemsep=0pt \topsep=\parsep}<br />
\item[a)] když je struna v čase $t=0$ vychýlena podle<br />
$\psi(z,\,0)=f(z)$ a puštěna s nulovou počáteční rychlostí<br />
$g(z)\equiv 0\,$,<br />
\item[b)] při rozkmitání úderem $g(z)\neq 0$ z rovnovážné polohy<br />
$f(z)=0$\ .<br />
\end{list}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola3&diff=619301VYMA:Kapitola32016-06-18T22:31:22Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Laurentovy řady}<br />
Zobecnění mocniných řad.<br />
<br />
\subsection{Laurentovy řady}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada}<br />
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá Laurentova řada.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - mezikruží}<br />
Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\<br />
Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Laurentova}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada2}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation} \label{eq:koeficienty}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation}<br />
pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem<br />
\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)<br />
\end{equation*}<br />
\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n<br />
\end{equation*}<br />
což je spor.<br />
<br />
\item nyní dokážeme existenci<br />
\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.<br />
\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}<br />
\end{equation*}<br />
pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\<br />
-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}<br />
Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).<br />
<br />
Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je<br />
\begin{description}<br />
\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.<br />
\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$<br />
\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.<br />
\end{description}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 1 je pól stupně 3.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z \to z_0}f(z)<br />
\end{equation*}<br />
a je konečná.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně<br />
\begin{equation*}<br />
\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}<br />
\end{equation*}<br />
na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\<br />
& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\<br />
& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\<br />
g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$<br />
\begin{equation*}<br />
\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection{Reziduum} % REZIDUUM<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.<br />
\begin{equation*}<br />
a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - reziduum}<br />
Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.<br />
\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.<br />
\item $z_0$ je pól stupně 1<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\<br />
(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item $z_0$ je pól stupně $m>1$<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\<br />
(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\<br />
\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}<br />
Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f<br />
\end{equation}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte pomocí reziduové věty reálný integrál $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, pro $a>1$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} = <br />
\begin{vmatrix} <br />
z = e^{it} \\<br />
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\<br />
\end{vmatrix}<br />
= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kruhu ohraničeném $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $z_0 =-a+\sqrt{a^2-1}$, zjevně se jedná o pól stupně 1, snadno tedy určíme reziduum<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*} <br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item odstranitelná singularita:<br />
\begin{equation*}<br />
g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}<br />
\end{equation*}<br />
\item pól stupně $m$<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\<br />
f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\item podstatná singularita<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\<br />
f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{1}{z}$<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\<br />
$\implies \infty$ je pól stupně $n$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^z$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}<br />
\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation}<br />
kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Vzpomeňte<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\<br />
Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1<br />
\end{equation*}<br />
protože $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}<br />
Má-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.<br />
\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z<br />
\end{equation*}<br />
Integrál můžeme počítat dvěma způsoby<br />
\begin{enumerate}<br />
\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\<br />
& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots<br />
\end{align*}<br />
koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\<br />
& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation*}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola2&diff=619201VYMA:Kapitola22016-06-18T22:19:45Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Funkce komplexní proměnné} % FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ<br />
<br />
\subsection{Komplexní čísla} % Komplexní čísla<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathbb{C}=\left\{(x,y):x,y \in \mathbb{R} \right\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - operace na $\mathbb{C}$}<br />
Na $\mathbb{C}$ definujeme sčítání a odčítání jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\pm(x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)<br />
\end{equation*}<br />
a násobení jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1 x_2 - y_1 y_2,x_1y_2+x_2y_1)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Číslo $x \in \mathbb{R}$ ztotožníme s $(x,0)$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x,y \in \mathbb{R}$<br />
\item $(x,0)\pm(y,0)=(x\pm y,0)$<br />
\item $(x,0)\cdot(y,0)=(xy,0)$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Operace $\pm$ a $\cdot$ na $\mathbb{C}$ rozšiřují sčítání, odčítání a násobení z $\mathbb{R}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$(0,1):=\ui$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\ui^2=-1$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $(0,1)\cdot(0,1)=(0-1,0+0)=-1$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Libovolné komplexní číslo $(x,y)$, kde $x,y \in \mathbb{R}$ lze psát ve tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+\ui y<br />
\end{equation*}<br />
Tomuto zápisu říkáme algebraický tvar komplexního čísla. $x=\reca z, \ y=\imca z$. K číslu $z=x+\ui y$, $x,y \in \mathbb{R}$ přiřazuji číslo komplexně sdružené: $\bar{z}=x-\ui y$. $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Pro libovolné $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
z\cdot \bar{z}=|z|^2 \qquad |z|=|\bar{z}|<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\reca z=\frac{z+\bar{z}}{2} \qquad \imca z= \frac{z-\bar{z}}{2\ui}<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
|z_1\cdot z_2| & =|z_1|\cdot|z_2| \\<br />
|z_1+ z_2| & \leq |z_1|+|z_2| \\<br />
|z_1- z_2| & \geq ||z_1|-|z_2||<br />
\end{align*}<br />
Dělení komlexních čísel probíhá následovně (po složkách)<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}=\frac{ \overbrace{z_1\cdot \bar{z}_2}^{\in \mathbb{C}} }{ \underbrace{|z_2|^2}_{\in \mathbb{R}} }<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Každé $z=x+\ui y$; $x,y \in \mathbb{R}$ lze chápat jako $[x,y] \in \mathbb{R}^2$ v Gaussově rovině. Můžeme tedy zavést polární souřadnice<br />
\begin{align*}<br />
x=r\cos(\varphi)\\<br />
y=r\sin(\varphi)<br />
\end{align*}<br />
kde $r \geq 0$ a $\varphi$ je úhel, který svírá průvodič $[x,y]$ s kladnou částí osy $x$. $r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Každé komplexní číslo lze zapsat v goniometrickém tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jelikož funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $2\pi$ periodické, zavedeme množinu argumentů čísla $z$<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{Arg}z:=\left\{ \varphi \in \mathbb{R} : z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \right\}<br />
\end{equation*}<br />
Mezi prvky množiny Arg$z$ existuje právě jedno $\varphi \in (-\pi,\pi \rangle$. Tomuto $\varphi$ říkáme hlavní hodnota argumentu čísla $z$ a značíme ho arg$z$, tj.<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{arg}z=\mathrm{Arg}z \cap (-\pi,\pi \rangle<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Násobení a mocnění čísel v goniometrickém tvaru:<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \qquad w=|w|\left( \cos(\psi)+\ui \sin(\psi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
z\cdot w & =|z|\cdot|w|\left( \cos(\varphi)\cos(\psi)-\sin(\varphi)\sin(\psi)+\ui\cos(\varphi)\sin(\psi) +\ui \cos(\psi)\sin(\varphi) \right) \\<br />
& = |z\cdot w|\left( \cos(\varphi+\psi) +\ui \sin(\varphi+\psi) \right) \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Arg($z\cdot w$) = Arg$z$ + Arg$w$, ale arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w$ neplatí! Platí pouze arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w +2k\pi$ pro vhodně zvolené $k\in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{align*}<br />
z & =\ui=\cos(\frac{\pi}{2})+\ui\sin(\frac{\pi}{2}) \qquad \mathrm{arg}z=\frac{\pi}{2} \\<br />
w & =-1+\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{3}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{3}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}w=\frac{3}{4}\pi \\<br />
z\cdot w & =-1-\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{5}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{5}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}(z\cdot w)=-\frac{3}{4}\pi \neq \mathrm{arg}z+\mathrm{arg}w<br />
\end{align*}<br />
<br />
% <br />
\subsection{Základní pojmy} % Základní pojmy FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - funkce komplexní proměnné}<br />
Řekněme, že na množině $M \subset \mathbb{C}$ je dána funkce $f(z)$ komplexní proměnné, je-li každému $z\in M$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\in \mathbb{C}$. Potom značíme $w=f(z)$ $\forall z \in M$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - reálná a imaginární složka FKP}<br />
$z\in M \to z=x+\ui y$ kde $x,y \in \mathbb{R}$ \\<br />
$w=f(z) \to w=u+\ui v$ kde $u,v \in \mathbb{R}$ \\<br />
\begin{equation*}<br />
f(x+\ui y)=\underbrace{u(x,y)}_{\reca f}+\ui \underbrace{v(x,y)}_{\imca f}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=z^2$, $ z = x+iy$, kde $x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \ui \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\<br />
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \iff f $ je definována $\forall z \in \mathbb{C}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice - rozšíření množiny komplexních čísel} %Limita a spojitost FKP\\<br />
Rozšíříme $\mathbb{C}$ o komplexní nekonečno $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $, kde operace s nekonečnem se definují jako:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\item $ \frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ \frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\end{itemize}<br />
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Limita a spojitost FKP} % Limita a spojitost<br />
<br />
\subsubsection{Definice - okolí bodu}<br />
Pro dané $\varepsilon>0$ rozumíme $\varepsilon$-okolím bodu $z_0 \in \mathbb{C}$ množinu<br />
\begin{align*}<br />
H_{\varepsilon}(z_0) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z-z_0| < \varepsilon \} \\<br />
H_{\varepsilon} (\infty) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z| > \varepsilon \}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $z_0\in \mathbb{C}^*$ je hromadný bod definičního oboru fce $f(z)$. Řekneme, že fce $f(z)$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \in \mathbb{C}^*$ a píšeme <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z)=w<br />
\end{equation*}<br />
právě tehdy když<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall H(w) )( \exists H(z_0) ):( \forall z \in H(z_0) \cap Dom(f) \backslash \{z_0\}) \implies f(z) \in H(w)<br />
\end{equation*}<br />
Ekvivalentně lze psát ($z\neq \infty \wedge w\neq \infty$)<br />
\begin{equation*}<br />
(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0):(\forall z \in \mathbb{C}, 0<|z-z_0|<\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
a v případě, že $z_0=\infty$, $w\in \mathbb{C}$<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0):(\forall z \in \mathbb{C}, |z|>\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
Na další speciální případy ($z_0\in \mathbb{C}$ a $w=\infty$; $z_0=\infty$ a $w=\infty$) jistě přijde pozorný čtenář sám.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Speciální případ. Řekneme, že komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ má limitu rovnou $a \in \mathbb{C}^*$ a píšeme<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{n\to \infty} a_n=a<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\iff (\forall H(a))(\exists n_0 \in \mathbb{R}):(\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0)\implies a_n \in H(a)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Podobně jako v $\mathbb{R}$ platí v $\mathbb{C}$ věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v $\mathbb{C}$. Narozdíl od $\mathbb{R}^*$ platí v $\mathbb{C}^*$:<br />
\begin{align*}<br />
z_n & \to \infty \iff |z_n| \to +\infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \implies \\<br />
z_n & \to 0 \iff \frac{1}{z_n} \to \infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \Leftarrow \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řekneme, že funkce $f(z)$ je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C}$, pokud je v $z_0$ definována a platí <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
Funkce je spojitá na množině $M\subset \mathbb{C} \iff$ je spojitá v každém bodě $M$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Funkce je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C} \iff$ její složky $u,v$ jsou spojité funkce v bodě $ [x_0,y_0] \in \mathbb{R}^2$, kde $z_0=x_0+\ui y_0$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z) =\frac{1}{z} \qquad Dom(f) = \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{align*}<br />
f(x+\ui y) & = \frac{1}{x+\ui y}=\frac{x-\ui y}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\ui\frac{y}{x^2+y^2} \\<br />
u(x,y) & =\frac{x}{x^2+y^2} \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2} \\<br />
x^2+y^2 & = 0 \iff [x,y]=[0,0] \iff z=0<br />
\end{align*}<br />
$\forall [x,y] \neq [0,0]$ jsou $u,v$ spojité.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \arg z \qquad \forall z \in \mathbb{C} \quad \arg z \in \mathbb{R} \in (-\pi,\pi \rangle$<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(\varphi) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \mathbb{R}<br />
\end{equation*}<br />
$$<br />
\arg z = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
$$ <br />
u(x,y) = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$ }<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x>0, y=0$\\<br />
$ \lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=0$<br />
<br />
\item $x_0 <0,y_0=0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)=\pi$<br />
<br />
\item $y_0>0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=-\pi$<br />
\end{itemize}<br />
$\implies$ Celkově limita neexistuje.\\<br />
$\arg z$ je spojitá na $\mathbb{C} \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta):\alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má $\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2\pi$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Funkce $f(z)=|z|$ je spojitá na $\mathbb{C}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection {Elementární funkce komplexní proměnné} % Elementární funkce<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$z\in \mathbb{C}$, definujeme<br />
\begin{align*}<br />
e^z & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\\<br />
\cos(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}\\<br />
\sin(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Za pomoci těchto definic můžeme získat Eulerův vzorec:<br />
\begin{align} \label{eq:euler}<br />
e^{\ui z} & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\ui^n z^n}{n!} = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + \ui \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\nonumber \\ <br />
& =\cos(z) + \ui \sin(z) \qquad \forall z \in \mathbb{C}<br />
\end{align}<br />
$\implies$ každé $z \in \mathbb{C}$ lez psát v exponenciálním tvaru $z=|z|e^{\ui\varphi}$, kde $\varphi \in$ Arg$(z)$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
e^{\ui z} = \cos(z) + \ui \sin(z) \qquad e^{-\ui z} = \cos(z) - \ui \sin(z)<br />
\end{equation*}<br />
Sečtením těchto dvou rovností získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(z) = \frac {e^{\ui z}+e^{-\ui z}}{2} \qquad \cosh(z) = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
Odečtením získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\sin(z) = \frac {e^{\ui z}-e^{-\ui z}}{2\ui}\qquad \sinh(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\forall z,w \in \mathbb{C}: \quad e^{z+w}=e^z e^w$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
e^z e^w & = \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)<br />
= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^n_{k=0} \frac{z^k}{k!} \frac{w^{n-k}}{(n-k)!} \quad /\cdot\frac{n!}{n!} \\<br />
& = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - peridiciota exponenciály}<br />
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}$\\<br />
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y)$ \\<br />
$\implies$ funkce $e^z, z \in \mathbb{C}$ je periodická, s periodou $2\pi\ui$!<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - komplexní logaritmus}<br />
Pro zadané $w \in \mathbb{C}$ řešte rovnici $e^z=w$ \\<br />
hledáme množinu Ln$(w) = \{ z \in \mathbb{C}, e^z = w\}=?$\\<br />
$w=|w|e^{\ui\varphi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\<br />
$z$ hledáme ve tvaru $x+\ui y,\quad x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$e^z=e^x e^{\ui y}=w \qquad$ na rovnici aplikuji absolutní hodnotu\\<br />
$e^x=|w| \quad \implies \quad x=\ln |w| $\\<br />
$y \in $Arg$(w)$\\<br />
$z=x+\ui y \in \ln|w| + \ui$ Arg$(w)$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\implies \mathrm{Ln}(w) = \ln|w| + \ui \mathrm{Arg}(w)<br />
\end{equation*}<br />
Funkci $e^z$ nelze invertovat na $\mathbb{C}$, protože není na $\mathbb{C}$ prostá. V množině Ln$(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-\pi, \pi \rangle$. Toto $z$ značíme $\ln(w)$ (přirozený logaritmus čísla $w$) a nazývá se hlavní hodnota logaritmu.<br />
\begin{equation*}<br />
\ln(w) = \ln|w| + \ui \arg(w)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Funkce $\ln(w)$ je definovaná $\forall w \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln(w)$, ale i $z_k= \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad k \in \mathbb{Z}$<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Ln$(z\cdot w)=$ Ln$(z)+$ Ln$(w)$\\<br />
$\ln(z\cdot w)=\ln(z) + \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad$ pro vhodně zvolené $k \in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - obecná mocnina}<br />
$z^w:=e^{w\ln z} \qquad \forall z,w \in \mathbb{C}, z \neq 0$<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{\ui} = e^{\frac{1}{2} \ln(\ui)} = e^{\frac{1}{2}(\ln|\ui|+\ui\arg(\ui))}= e^{\frac{1}{2}(0+ \ui \frac{\pi}{2})}= e^{\ui \frac{\pi}{4}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(z)}<br />
\end{equation*}<br />
je jednoznačně určená funkce, ale rovnice $z^n=w$ má pro dané $w\in \mathbb{C}/\{0\}$ celkem $n$ řešení v $\mathbb{C}$ ve tvaru <br />
\begin{equation*}<br />
z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k\pi}{n}\ui} \quad k \in \{0,1,\dots,n-1\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection {Derivace funkce komplexní proměnné} % Derivace FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f(z)$ komplexní proměnné je definována na množině $M \subset \mathbb{C}$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní bod $Dom(f)$. Existuje-li konečná limita<br />
\begin{equation} \label{eq:derivace}<br />
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}<br />
\end{equation}<br />
potom říkáme, že $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$, tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$ a nazýváme derivací funkce $f(z)$ v bodě $z_0$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice - holomorfnost funkce}<br />
Pro komplexní funkci komplexní proměnné se běžně zavádí následující označení. <br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z_0$, pak říkáme, že $f(z)$ je {\bf holomorfní} v $z_0$.<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v každém bodě otevřené množiny $M$, pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní na $M$.<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$, a při označení $w=\frac{1}{z}$, $g(w)=f(z)$ je funkce $g(w)$ holomorfní v 0. Pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní v $\infty$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Pokud $f'(z_0)$ existuje, pak hodnota limity \eqref{eq:derivace} nesmí záviset na způsobu, jakým se $z$ přibližuje k $z_0$. Diferencovatelnost v komplexních číslech je silnější požadavek než v číslech reálných a má zajímavé důsledky.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z = x_0 + \Delta x + \ui y_0 \qquad \Delta x \in \mathbb{R} \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\<br />
$f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y) \qquad u,v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+\ui v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\Delta x} \\<br />
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - \ui \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} \right) \\<br />
& = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + \ui \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \in \mathbb{R} \qquad$ přibližování $\updownarrow$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+\ui v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\ui\Delta y}\\<br />
& =\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ui} \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac{\ui}{\ui} \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right) \\<br />
& = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
Když je $f(z)$ diferencovatelná, tak 1. musí být stejná jako 2. $\implies$ musí se rovnat reálné i imaginární části:<br />
\begin{align} \label{eq:cauchy}<br />
\frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) & = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\nonumber \\<br />
\frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) & = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)<br />
\end{align}<br />
Tyto dvě rovnosti se nazývají {\bf Cauchy-Riemannovy podmínky} a jsou nutné pro existenci $f'(z_0)$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchy-Riemannova}<br />
Funkce $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ má v bodě $z_0=(x_0+\ui y_0); x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ derivaci, tehdy a jen tehdy, mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+\ui y)$ a $v(x,y)=\imca f(x+\ui y)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky \eqref{eq:cauchy}.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=e^{x+\ui y}=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))$<br />
\begin{align*}<br />
u(x,y)=e^x \cos(y)\\<br />
v(x,y)=e^x \sin(y)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & =e^x \cos(y) = \frac {\partial v}{\partial y}(x,y) \\<br />
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & = -e^x \sin(y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)<br />
\end{align*}<br />
Parciální derivace jsou spojité a všechny existují $\implies$ funkce $f(z)$ má Totální diferenciál $\forall z\in\mathbb{C}$.<br />
\begin{equation*}<br />
f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos(y) + \ui\cdot e^x \sin(y)=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))=e^z<br />
\end{equation*}<br />
Funkce $f(z)=e^z$ je holomorfní.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$<br />
$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
Jsou definované a spojité $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \backslash \{[0,0]\}$. Cauchy-Reimannovy podmínky nejsou splněny všude kromě $x=0,y=0 \implies f'(z)$ existuje pouze pro $z=0, f'(0)=0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f(z)$ a $g(z)$ jsou diferencovatelné v bodě $z \in \mathbb{C}$ a nechť $c \in \mathbb{C}$. Potom<br />
\begin{align*}<br />
(f\pm g)'(z) & =f'(z)\pm g'(z)\\<br />
(cf)'(z) & =cf'(z)\\<br />
(f \cdot g)'(z) & =f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\\<br />
\left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)'(z) & = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \mathrm{pokud} \ g(z) \neq 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti}<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v bodě $z\in \mathbb{C}$, pak je v bodě $z$ také spojitá. Obrácené tvrzené neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci složené funkce}<br />
Je-li $g(z)$ diferencovatelná v $z_0 \in \mathbb{C}$ a $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $g(z_0)$, potom $(f\circ g)(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))\cdot g'(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci inverzní funkce}<br />
Nechť $f(z)$ je holomorfní v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}(z)$ inverzní funkce k funkci $f(z)$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}(z)$ je holomorfní na $\Omega '$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega'<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)= \ln(z)$ -- inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\in \mathbb{C}$.<br />
$$ (\ln(z))'=(g^{-1})'(z)= \frac {1}{e^{\ln(z)}}= \frac{1}{z} \qquad \forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$$<br />
$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_\pi$ je logaritmus nespojitý.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Integrál funkce komplexní proměnné} % Integrál FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - integrál komplexní funkce reálné proměnné}<br />
Pro funkci $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ definujeme:<br />
\begin{equation*}<br />
\int_a^b f(x) \ud x = \int_a^b \reca f(x) \ud x + \ui \int_a^b \imca f(x) \ud x<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - křivka}<br />
Křivkou v $\mathbb{C}$ rozumíme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $\langle a,b\rangle$ do $\mathbb{C}$, tj. $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$.<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf jednoduchou} pokud $\varphi$ je prosté na $\langle a,b\rangle$ (sama sebe neprotíná)<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $\langle a,b)$ a $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ a nazýváme ho geometrický obraz křivky.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $\mathcal{C}^1$ (hladká), pokud má v $(a,b)$ spojitou derivaci.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $\mathcal{C}^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $\mathcal{C}^1$.<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Definice - operace s křivkami}<br />
Součet křivek $\varphi: \langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ a $\psi: \langle c,d\rangle \to \mathbb{C}$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$<br />
\begin{equation*}<br />
(\varphi \dot{+} \psi)(t):\langle a,d+b-c\rangle \to \mathbb{C}=<br />
\begin{cases}<br />
\varphi(t) \quad t \in \langle a,b\rangle \\<br />
\psi(t-b+c) \quad t \in \langle b,d+b-c\rangle<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
Opačná křivka ke křivce $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je křivka $\dot{-}\varphi:\langle -b,-a\rangle \to \mathbb{C}$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in \langle -b,-a\rangle$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ dána rovnicí $\varphi(t)= x(t)+\ui y(t)$ pro $t\in \langle a,b\rangle$, pak výraz <br />
\begin{equation*}<br />
S_\varphi := \int^b_a |\varphi'(t)| \ud t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\ud t<br />
\end{equation*}<br />
představuje délku křivky $\varphi$. Dále platí:<br />
\begin{equation*}<br />
S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi \qquad S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - křivkový integrál komplexní funkce komplexní proměnné}<br />
Nechť $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je po částech hladká křivka v $\mathbb{C}$ a nechť funkce komplexní proměnné $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f (z) \ud z := \int_a^b f(\varphi(t))\dot{\varphi}(t) \ud t<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \displaystyle \int_\varphi z^2 \ud z \qquad \varphi$ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\<br />
$\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in \langle 0,1\rangle$ \\<br />
$ \dot\varphi(t)=1+i$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi z^2 \ud z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i)\ud t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 \ud t = \frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)}{3}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$<br />
\begin{align*}<br />
\varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle \\<br />
\varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
V reálné analýze platí <br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int^b_a f(x)\ud x \right| \leq \int^b_a |f(x)|\ud x<br />
\end{equation*}<br />
ale v $\mathbb{C}$ toto neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| \leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| = \left| \int_a^b f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t)\ud t \right| \leq \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{\mathrm{omezená~na} \ \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|\ud t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|\ud t<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v $\mathbb{C}$ a $f$ a $g$ funkce komplexní proměnné spojité na $\langle \varphi \rangle$, respektive $\langle \psi \rangle$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, potom platí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item linearita $\int_\varphi [\alpha f(z) + \beta g(z)]\ud z = \alpha \int_\varphi f(z)\ud z + \beta \int_\varphi g(z)\ud z$<br />
\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z)\ud z= \int_\varphi f(z)\ud z + \int_\psi f(z)\ud z$<br />
\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z = -\int_{\varphi} f(z)\ud z$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Primitivní funkce}<br />
Nechť $f$ a $F$ jsou funkce komplexní proměnné takové, že $F'(z)=f(z) \ \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v $\mathbb{C}$). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.<br />
<br />
Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \mathbb{C}$ a je-li $C \in \mathbb{C}$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \mathbb{C}$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.<br />
<br />
$\varphi$ je po částech hladká křivka, $F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$, která obsahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = \int_a^b f(\varphi(t))(\dot{\varphi}(t))\ud t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{\ud t}\left( F(\varphi(t)\right)}\ud t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$ primitivní funkci, potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z=0 \quad$ pro každou uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=\int_\psi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C} \quad \psi:\langle c,d\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\<br />
$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, \langle \psi \rangle \subset \Omega$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z \qquad n \in \mathbb{Z} $ \\<br />
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\<br />
$\varphi(t)=z_0 + Re^{\ui t} \qquad t\in \langle 0,2\pi\rangle$\\<br />
$\dot{\varphi}(t)= \ui Re^{\ui t}$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z = \int_0^{2\pi} (Re^{\ui t})^n R\ui e^{\ui t} \ud t = \int_0^{2\pi} \ui R^{n+1} e^{\ui(n+1)t}\ud t=I<br />
\end{equation*}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $n \neq -1 \quad I=R^{n+1}\ui \left[ \frac{e^{\ui(n+1)t}}{\ui(n+1)} \right]^{2\pi}_{0}=\frac{\ui R^{n+1}}{\ui(n+1)}\left( e^{2\pi \ui (n+1)} - e^0\right)=0$<br />
<br />
\item $n=-1 \quad I= \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}\ud z = \ui \int^{2\pi}_0 e^{0\cdot t}\ud t = \ui \int^{2\pi}_0 1 \ud t = 2\pi\ui$<br />
\end{itemize}<br />
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$. Hodnota skoku $f$ na $P_\pi$ je právě $2\pi\ui$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v $\mathbb{C}$) rozděluje $\mathbb{C}$ na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená -- Int$\varphi$, tzv. "vnitřek křivky". Druhá je neomezená -- Ext$\varphi$, tzv. "vnějšek křivky".<br />
<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = 0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $\quad z=x+\ui y \qquad x,y \in \mathbb{R} \qquad f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y)$\\<br />
$\varphi: \langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(t) = x(t) + \ui y(t)$\\<br />
$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + \ui \dot{y}(t)$<br />
\begin{align*}<br />
\int_\varphi f(z){\rm d}z & = \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\varphi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+\ui v(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+\ui\dot{y}(t)]{\rm d}t \\<br />
& =\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t\\<br />
& +\ui\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)+v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t \\<br />
& = \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + \ui\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \\<br />
& \underbrace{=}_{Green} \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{ \left[\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + \ui \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{\left[\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy= 0<br />
\end{align*}<br />
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované, po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset$ Int$\psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{\mathrm{Int}\psi} \ \backslash \ $ Int$\varphi$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nazveme {\bf singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - index bodu}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \in \mathbb{C} \ \backslash \ \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován jako<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0 = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka - vlastnosti $\ind_\varphi z_0$}<br />
Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \ \backslash \ \{z_0\}$.<br />
\begin{itemize}<br />
\item $z_0 \in$ Ext$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty.<br />
\item $z_0 \in$ Int$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2\pi\ui} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kladně orientovaná kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud $z_0 \in$ Int$\varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1<br />
\end{equation*}<br />
kde $\psi$ je záporně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud je $\varphi$ uzavřená, ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in \mathbb{Z}$ udává počet oběhů daného bodu křivkou $\varphi$. Oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho integrální vzorec}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{\mathrm{Int}\varphi}$. Potom $\forall z_0 \in$ Int$\varphi$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z_0)= \frac{1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z)\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
Hodnoty holomorfní funkce uvnitř Int$\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
$$\frac {1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2\rm\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \left[\underbrace{\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z}_{I_1}+ \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z\right] $$<br />
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset$ Int$\varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.<br />
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$<br />
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2\pi R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}\underbrace{\left|\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}$$<br />
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\<br />
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$<br />
$$ |I_1| \leq 2\pi R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$<br />
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$<br />
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \underbrace{\frac {1}{2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}}_{\ind_\varphi z_0} = f(z_0)$$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - o rozvoji holomorfní funkce v mocninou řadu}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{kde } \ a_n = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek - Cauchyho integrální vzorec pro derivace}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int}\varphi} \subset \Omega$. Potom $f$ má v každém bodě $z_0 \in \Omega$ derivace všech řádů a platí<br />
\begin{equation*}<br />
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}} \qquad n \in \mathbb{N}_0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\varphi$ kladně orientovaná<br />
\item z Taylorovy věty \begin{equation*}<br />
a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
I =$\int_\varphi \frac{\sin(z)}{(z-\ui)^2}\ud z$\\<br />
$f(z)=\sin(z) \quad f'(z)=\cos(z) \quad z_0=\ui$\\<br />
$\varphi$ je nějaká uzavřená křivka neprocházející bodem $\ui$.\\<br />
I =$2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (z_0)\frac{1}{1!}f'(\ui)=2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (\ui) \cos(\ui)$</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola3&diff=619101VYMA:Kapitola32016-06-18T22:17:35Z<p>Johndavi: oprava</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Laurentovy řady}<br />
Zobecnění mocniných řad.<br />
<br />
\subsection{Laurentovy řady}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada}<br />
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá Laurentova řada.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - mezikruží}<br />
Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\<br />
Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Laurentova}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada2}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation} \label{eq:koeficienty}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation}<br />
pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem<br />
\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)<br />
\end{equation*}<br />
\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n<br />
\end{equation*}<br />
což je spor.<br />
<br />
\item nyní dokážeme existenci<br />
\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.<br />
\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}<br />
\end{equation*}<br />
pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\<br />
-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}<br />
Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).<br />
<br />
Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je<br />
\begin{description}<br />
\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.<br />
\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$<br />
\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.<br />
\end{description}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 1 je pól stupně 3.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z \to z_0}f(z)<br />
\end{equation*}<br />
a je konečná.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně<br />
\begin{equation*}<br />
\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}<br />
\end{equation*}<br />
na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\<br />
& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\<br />
& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\<br />
g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$<br />
\begin{equation*}<br />
\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection{Reziduum} % REZIDUUM<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.<br />
\begin{equation*}<br />
a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - reziduum}<br />
Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.<br />
\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.<br />
\item $z_0$ je pól stupně 1<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\<br />
(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item $z_0$ je pól stupně $m>1$<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\<br />
(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\<br />
\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}<br />
Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f<br />
\end{equation}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte reálný integrál $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, kde $a>1$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} = <br />
\begin{vmatrix} <br />
z = e^{it} \\<br />
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\<br />
\end{vmatrix}<br />
= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kruhu $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $z_0 =-a+\sqrt{a^2-1}$, zjevně se jedná o pól 1.stupně, snadno tedy určíme reziduum<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*} <br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item odstranitelná singularita:<br />
\begin{equation*}<br />
g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}<br />
\end{equation*}<br />
\item pól stupně $m$<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\<br />
f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\item podstatná singularita<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\<br />
f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{1}{z}$<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\<br />
$\implies \infty$ je pól stupně $n$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^z$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}<br />
\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation}<br />
kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Vzpomeňte<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\<br />
Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1<br />
\end{equation*}<br />
protože $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}<br />
Má-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.<br />
\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z<br />
\end{equation*}<br />
Integrál můžeme počítat dvěma způsoby<br />
\begin{enumerate}<br />
\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\<br />
& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots<br />
\end{align*}<br />
koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\<br />
& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation*}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola3&diff=619001VYMA:Kapitola32016-06-18T22:12:04Z<p>Johndavi: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Laurentovy řady}<br />
Zobecnění mocniných řad.<br />
<br />
\subsection{Laurentovy řady}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada}<br />
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}<br />
\end{equation}<br />
se nazývá Laurentova řada.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - mezikruží}<br />
Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\<br />
Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Laurentova}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že<br />
\begin{equation} \label{eq:L_rada2}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}<br />
\end{equation}<br />
\begin{equation} \label{eq:koeficienty}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation}<br />
pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem<br />
\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)<br />
\end{equation*}<br />
\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n<br />
\end{equation*}<br />
což je spor.<br />
<br />
\item nyní dokážeme existenci<br />
\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.<br />
\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\<br />
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\<br />
& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}<br />
\end{equation*}<br />
pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\<br />
-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}<br />
Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).<br />
<br />
Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je<br />
\begin{description}<br />
\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.<br />
\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$<br />
\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.<br />
\end{description}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 1 je pól stupně 3.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z \to z_0}f(z)<br />
\end{equation*}<br />
a je konečná.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně<br />
\begin{equation*}<br />
\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}<br />
\end{equation*}<br />
na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\<br />
& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"<br />
\begin{align*}<br />
f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\<br />
& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\<br />
g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots<br />
\end{align*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$<br />
\begin{equation*}<br />
\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection{Reziduum} % REZIDUUM<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.<br />
\begin{equation*}<br />
a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - reziduum}<br />
Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.<br />
\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.<br />
\item $z_0$ je pól stupně 1<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\<br />
(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\item $z_0$ je pól stupně $m>1$<br />
\begin{align*}<br />
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\<br />
(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\<br />
\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}<br />
\end{align*}<br />
\begin{equation}<br />
\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}<br />
\end{equation}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}<br />
Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f<br />
\end{equation}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte reálný $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, kde $a>1$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} = <br />
\begin{vmatrix} <br />
z = e^{it} \\<br />
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\<br />
\end{vmatrix}<br />
= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kružnici $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $ z_0 = -a+\sqrt{a^2-1} $, zjevně se jedná o pól 1.stupně, snadno tedy určíme reziduum<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty <br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}<br />
\end{equation*} <br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item odstranitelná singularita:<br />
\begin{equation*}<br />
g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}<br />
\end{equation*}<br />
\item pól stupně $m$<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\<br />
f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\item podstatná singularita<br />
\begin{align*}<br />
g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\<br />
f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklady}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $f(z)=\frac{1}{z}$<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.<br />
<br />
\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\<br />
$\implies \infty$ je pól stupně $n$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^z$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.<br />
<br />
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}<br />
\end{equation*}<br />
$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme<br />
\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}<br />
\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation}<br />
kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Vzpomeňte<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\<br />
Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1<br />
\end{equation*}<br />
protože $\varphi$ je záporně orientovaná.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}<br />
Má-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.<br />
\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z<br />
\end{equation*}<br />
Integrál můžeme počítat dvěma způsoby<br />
\begin{enumerate}<br />
\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.<br />
\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.<br />
\begin{equation*}<br />
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\<br />
& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots<br />
\end{align*}<br />
koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\<br />
& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom<br />
\begin{equation}<br />
\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}<br />
\end{equation*}</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola2&diff=618901VYMA:Kapitola22016-06-18T22:10:21Z<p>Johndavi: oprava</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Funkce komplexní proměnné} % FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ<br />
<br />
\subsection{Komplexní čísla} % Komplexní čísla<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathbb{C}=\left\{(x,y):x,y \in \mathbb{R} \right\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - operace na $\mathbb{C}$}<br />
Na $\mathbb{C}$ definujeme sčítání a odčítání jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\pm(x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)<br />
\end{equation*}<br />
a násobení jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1 x_2 - y_1 y_2,x_1y_2+x_2y_1)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Číslo $x \in \mathbb{R}$ ztotožníme s $(x,0)$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x,y \in \mathbb{R}$<br />
\item $(x,0)\pm(y,0)=(x\pm y,0)$<br />
\item $(x,0)\cdot(y,0)=(xy,0)$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Operace $\pm$ a $\cdot$ na $\mathbb{C}$ rozšiřují sčítání, odčítání a násobení z $\mathbb{R}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$(0,1):=\ui$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\ui^2=-1$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $(0,1)\cdot(0,1)=(0-1,0+0)=-1$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Libovolné komplexní číslo $(x,y)$, kde $x,y \in \mathbb{R}$ lze psát ve tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+\ui y<br />
\end{equation*}<br />
Tomuto zápisu říkáme algebraický tvar komplexního čísla. $x=\reca z, \ y=\imca z$. K číslu $z=x+\ui y$, $x,y \in \mathbb{R}$ přiřazuji číslo komplexně sdružené: $\bar{z}=x-\ui y$. $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Pro libovolné $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
z\cdot \bar{z}=|z|^2 \qquad |z|=|\bar{z}|<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\reca z=\frac{z+\bar{z}}{2} \qquad \imca z= \frac{z-\bar{z}}{2\ui}<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
|z_1\cdot z_2| & =|z_1|\cdot|z_2| \\<br />
|z_1+ z_2| & \leq |z_1|+|z_2| \\<br />
|z_1- z_2| & \geq ||z_1|-|z_2||<br />
\end{align*}<br />
Dělení komlexních čísel probíhá následovně (po složkách)<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}=\frac{ \overbrace{z_1\cdot \bar{z}_2}^{\in \mathbb{C}} }{ \underbrace{|z_2|^2}_{\in \mathbb{R}} }<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Každé $z=x+\ui y$; $x,y \in \mathbb{R}$ lze chápat jako $[x,y] \in \mathbb{R}^2$ v Gaussově rovině. Můžeme tedy zavést polární souřadnice<br />
\begin{align*}<br />
x=r\cos(\varphi)\\<br />
y=r\sin(\varphi)<br />
\end{align*}<br />
kde $r \geq 0$ a $\varphi$ je úhel, který svírá průvodič $[x,y]$ s kladnou částí osy $x$. $r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Každé komplexní číslo lze zapsat v goniometrickém tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jelikož funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $2\pi$ periodické, zavedeme množinu argumentů čísla $z$<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{Arg}z:=\left\{ \varphi \in \mathbb{R} : z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \right\}<br />
\end{equation*}<br />
Mezi prvky množiny Arg$z$ existuje právě jedno $\varphi \in (-\pi,\pi \rangle$. Tomuto $\varphi$ říkáme hlavní hodnota argumentu čísla $z$ a značíme ho arg$z$, tj.<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{arg}z=\mathrm{Arg}z \cap (-\pi,\pi \rangle<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Násobení a mocnění čísel v goniometrickém tvaru:<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \qquad w=|w|\left( \cos(\psi)+\ui \sin(\psi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
z\cdot w & =|z|\cdot|w|\left( \cos(\varphi)\cos(\psi)-\sin(\varphi)\sin(\psi)+\ui\cos(\varphi)\sin(\psi) +\ui \cos(\psi)\sin(\varphi) \right) \\<br />
& = |z\cdot w|\left( \cos(\varphi+\psi) +\ui \sin(\varphi+\psi) \right) \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Arg($z\cdot w$) = Arg$z$ + Arg$w$, ale arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w$ neplatí! Platí pouze arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w +2k\pi$ pro vhodně zvolené $k\in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{align*}<br />
z & =\ui=\cos(\frac{\pi}{2})+\ui\sin(\frac{\pi}{2}) \qquad \mathrm{arg}z=\frac{\pi}{2} \\<br />
w & =-1+\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{3}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{3}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}w=\frac{3}{4}\pi \\<br />
z\cdot w & =-1-\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{5}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{5}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}(z\cdot w)=-\frac{3}{4}\pi \neq \mathrm{arg}z+\mathrm{arg}w<br />
\end{align*}<br />
<br />
% <br />
\subsection{Základní pojmy} % Základní pojmy FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - funkce komplexní proměnné}<br />
Řekněme, že na množině $M \subset \mathbb{C}$ je dána funkce $f(z)$ komplexní proměnné, je-li každému $z\in M$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\in \mathbb{C}$. Potom značíme $w=f(z)$ $\forall z \in M$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - reálná a imaginární složka FKP}<br />
$z\in M \to z=x+\ui y$ kde $x,y \in \mathbb{R}$ \\<br />
$w=f(z) \to w=u+\ui v$ kde $u,v \in \mathbb{R}$ \\<br />
\begin{equation*}<br />
f(x+\ui y)=\underbrace{u(x,y)}_{\reca f}+\ui \underbrace{v(x,y)}_{\imca f}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=z^2$, $ z = x+iy$, kde $x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \ui \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\<br />
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \iff f $ je definována $\forall z \in \mathbb{C}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice - rozšíření množiny komplexních čísel} %Limita a spojitost FKP\\<br />
Rozšíříme $\mathbb{C}$ o komplexní nekonečno $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $, kde operace s nekonečnem se definují jako:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\item $ \frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ \frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\end{itemize}<br />
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Limita a spojitost FKP} % Limita a spojitost<br />
<br />
\subsubsection{Definice - okolí bodu}<br />
Pro dané $\varepsilon>0$ rozumíme $\varepsilon$-okolím bodu $z_0 \in \mathbb{C}$ množinu<br />
\begin{align*}<br />
H_{\varepsilon}(z_0) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z-z_0| < \varepsilon \} \\<br />
H_{\varepsilon} (\infty) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z| > \varepsilon \}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $z_0\in \mathbb{C}^*$ je hromadný bod definičního oboru fce $f(z)$. Řekneme, že fce $f(z)$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \in \mathbb{C}^*$ a píšeme <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z)=w<br />
\end{equation*}<br />
právě tehdy když<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall H(w) )( \exists H(z_0) ):( \forall z \in H(z_0) \cap Dom(f) \backslash \{z_0\}) \implies f(z) \in H(w)<br />
\end{equation*}<br />
Ekvivalentně lze psát ($z\neq \infty \wedge w\neq \infty$)<br />
\begin{equation*}<br />
(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0):(\forall z \in \mathbb{C}, 0<|z-z_0|<\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
a v případě, že $z_0=\infty$, $w\in \mathbb{C}$<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0):(\forall z \in \mathbb{C}, |z|>\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
Na další speciální případy ($z_0\in \mathbb{C}$ a $w=\infty$; $z_0=\infty$ a $w=\infty$) jistě přijde pozorný čtenář sám.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Speciální případ. Řekneme, že komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ má limitu rovnou $a \in \mathbb{C}^*$ a píšeme<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{n\to \infty} a_n=a<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\iff (\forall H(a))(\exists n_0 \in \mathbb{R}):(\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0)\implies a_n \in H(a)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Podobně jako v $\mathbb{R}$ platí v $\mathbb{C}$ věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v $\mathbb{C}$. Narozdíl od $\mathbb{R}^*$ platí v $\mathbb{C}^*$:<br />
\begin{align*}<br />
z_n & \to \infty \iff |z_n| \to +\infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \implies \\<br />
z_n & \to 0 \iff \frac{1}{z_n} \to \infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \Leftarrow \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řekneme, že funkce $f(z)$ je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C}$, pokud je v $z_0$ definována a platí <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
Funkce je spojitá na množině $M\subset \mathbb{C} \iff$ je spojitá v každém bodě $M$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Funkce je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C} \iff$ její složky $u,v$ jsou spojité funkce v bodě $ [x_0,y_0] \in \mathbb{R}^2$, kde $z_0=x_0+\ui y_0$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z) =\frac{1}{z} \qquad Dom(f) = \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{align*}<br />
f(x+\ui y) & = \frac{1}{x+\ui y}=\frac{x-\ui y}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\ui\frac{y}{x^2+y^2} \\<br />
u(x,y) & =\frac{x}{x^2+y^2} \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2} \\<br />
x^2+y^2 & = 0 \iff [x,y]=[0,0] \iff z=0<br />
\end{align*}<br />
$\forall [x,y] \neq [0,0]$ jsou $u,v$ spojité.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \arg z \qquad \forall z \in \mathbb{C} \quad \arg z \in \mathbb{R} \in (-\pi,\pi \rangle$<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(\varphi) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \mathbb{R}<br />
\end{equation*}<br />
$$<br />
\arg z = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
$$ <br />
u(x,y) = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$ }<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x>0, y=0$\\<br />
$ \lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=0$<br />
<br />
\item $x_0 <0,y_0=0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)=\pi$<br />
<br />
\item $y_0>0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=-\pi$<br />
\end{itemize}<br />
$\implies$ Celkově limita neexistuje.\\<br />
$\arg z$ je spojitá na $\mathbb{C} \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta):\alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má $\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2\pi$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Funkce $f(z)=|z|$ je spojitá na $\mathbb{C}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection {Elementární funkce komplexní proměnné} % Elementární funkce<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$z\in \mathbb{C}$, definujeme<br />
\begin{align*}<br />
e^z & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\\<br />
\cos(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}\\<br />
\sin(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Za pomoci těchto definic můžeme získat Eulerův vzorec:<br />
\begin{align} \label{eq:euler}<br />
e^{\ui z} & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\ui^n z^n}{n!} = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + \ui \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\nonumber \\ <br />
& =\cos(z) + \ui \sin(z) \qquad \forall z \in \mathbb{C}<br />
\end{align}<br />
$\implies$ každé $z \in \mathbb{C}$ lez psát v exponenciálním tvaru $z=|z|e^{\ui\varphi}$, kde $\varphi \in$ Arg$(z)$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
e^{\ui z} = \cos(z) + \ui \sin(z) \qquad e^{-\ui z} = \cos(z) - \ui \sin(z)<br />
\end{equation*}<br />
Sečtením těchto dvou rovností získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(z) = \frac {e^{\ui z}+e^{-\ui z}}{2} \qquad \cosh(z) = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
Odečtením získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\sin(z) = \frac {e^{\ui z}-e^{-\ui z}}{2\ui}\qquad \sinh(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\forall z,w \in \mathbb{C}: \quad e^{z+w}=e^z e^w$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
e^z e^w & = \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)<br />
= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^n_{k=0} \frac{z^k}{k!} \frac{w^{n-k}}{(n-k)!} \quad /\cdot\frac{n!}{n!} \\<br />
& = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - peridiciota exponenciály}<br />
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}$\\<br />
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y)$ \\<br />
$\implies$ funkce $e^z, z \in \mathbb{C}$ je periodická, s periodou $2\pi\ui$!<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - komplexní logaritmus}<br />
Pro zadané $w \in \mathbb{C}$ řešte rovnici $e^z=w$ \\<br />
hledáme množinu Ln$(w) = \{ z \in \mathbb{C}, e^z = w\}=?$\\<br />
$w=|w|e^{\ui\varphi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\<br />
$z$ hledáme ve tvaru $x+\ui y,\quad x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$e^z=e^x e^{\ui y}=w \qquad$ na rovnici aplikuji absolutní hodnotu\\<br />
$e^x=|w| \quad \implies \quad x=\ln |w| $\\<br />
$y \in $Arg$(w)$\\<br />
$z=x+\ui y \in \ln|w| + \ui$ Arg$(w)$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\implies \mathrm{Ln}(w) = \ln|w| + \ui \mathrm{Arg}(w)<br />
\end{equation*}<br />
Funkci $e^z$ nelze invertovat na $\mathbb{C}$, protože není na $\mathbb{C}$ prostá. V množině Ln$(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-\pi, \pi \rangle$. Toto $z$ značíme $\ln(w)$ (přirozený logaritmus čísla $w$) a nazývá se hlavní hodnota logaritmu.<br />
\begin{equation*}<br />
\ln(w) = \ln|w| + \ui \arg(w)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Funkce $\ln(w)$ je definovaná $\forall w \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln(w)$, ale i $z_k= \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad k \in \mathbb{Z}$<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Ln$(z\cdot w)=$ Ln$(z)+$ Ln$(w)$\\<br />
$\ln(z\cdot w)=\ln(z) + \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad$ pro vhodně zvolené $k \in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - obecná mocnina}<br />
$z^w:=e^{w\ln z} \qquad \forall z,w \in \mathbb{C}, z \neq 0$<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{\ui} = e^{\frac{1}{2} \ln(\ui)} = e^{\frac{1}{2}(\ln|\ui|+\ui\arg(\ui))}= e^{\frac{1}{2}(0+ \ui \frac{\pi}{2})}= e^{\ui \frac{\pi}{4}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(z)}<br />
\end{equation*}<br />
je jednoznačně určená funkce, ale rovnice $z^n=w$ má pro dané $w\in \mathbb{C}/\{0\}$ celkem $n$ řešení v $\mathbb{C}$ ve tvaru <br />
\begin{equation*}<br />
z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k\pi}{n}\ui} \quad k \in \{0,1,\dots,n-1\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection {Derivace funkce komplexní proměnné} % Derivace FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f(z)$ komplexní proměnné je definována na množině $M \subset \mathbb{C}$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní bod $Dom(f)$. Existuje-li konečná limita<br />
\begin{equation} \label{eq:derivace}<br />
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}<br />
\end{equation}<br />
potom říkáme, že $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$, tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$ a nazýváme derivací funkce $f(z)$ v bodě $z_0$. Diferencovatelnost v komplexních číslech je silnější požadavek než v číslech reálných a má zajímavé důsledky.<br />
<br />
\subsubsection{Definice - holomorfnost funkce}<br />
Pro komplexní funkci komplexní proměnné se běžně zavádí následující označení. <br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z_0$, pak říkáme, že $f(z)$ je {\bf holomorfní} v $z_0$.<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v každém bodě otevřené množiny $M$, pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní na $M$.<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$, a při označení $w=\frac{1}{z}$, $g(w)=f(z)$ je funkce $g(w)$ holomorfní v 0. Pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní v $\infty$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Pokud $f'(z_0)$ existuje, pak hodnota limity \eqref{eq:derivace} nesmí záviset na způsobu, jakým se $z$ přibližuje k $z_0$. <br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z = x_0 + \Delta x + \ui y_0 \qquad \Delta x \in \mathbb{R} \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\<br />
$f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y) \qquad u,v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+\ui v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\Delta x} \\<br />
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - \ui \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} \right) \\<br />
& = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + \ui \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \in \mathbb{R} \qquad$ přibližování $\updownarrow$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+\ui v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\ui\Delta y}\\<br />
& =\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ui} \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac{\ui}{\ui} \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right) \\<br />
& = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
Když je $f(z)$ diferencovatelná, tak 1. musí být stejná jako 2. $\implies$ musí se rovnat reálné i imaginární části:<br />
\begin{align} \label{eq:cauchy}<br />
\frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) & = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\nonumber \\<br />
\frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) & = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)<br />
\end{align}<br />
Tyto dvě rovnosti se nazývají {\bf Cauchy-Riemannovy podmínky} a jsou nutné pro existenci $f'(z_0)$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchy-Riemannova}<br />
Funkce $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ má v bodě $z_0=(x_0+\ui y_0); x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ derivaci, tehdy a jen tehdy, mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+\ui y)$ a $v(x,y)=\imca f(x+\ui y)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky \eqref{eq:cauchy}.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=e^{x+\ui y}=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))$<br />
\begin{align*}<br />
u(x,y)=e^x \cos(y)\\<br />
v(x,y)=e^x \sin(y)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & =e^x \cos(y) = \frac {\partial v}{\partial y}(x,y) \\<br />
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & = -e^x \sin(y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)<br />
\end{align*}<br />
Parciální derivace jsou spojité a všechny existují $\implies$ funkce $f(z)$ má Totální diferenciál $\forall z\in\mathbb{C}$.<br />
\begin{equation*}<br />
f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos(y) + \ui\cdot e^x \sin(y)=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))=e^z<br />
\end{equation*}<br />
Funkce $f(z)=e^z$ je holomorfní.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$<br />
$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
Jsou definované a spojité $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \backslash \{[0,0]\}$. Cauchy-Reimannovy podmínky nejsou splněny všude kromě $x=0,y=0 \implies f'(z)$ existuje pouze pro $z=0, f'(0)=0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f(z)$ a $g(z)$ jsou diferencovatelné v bodě $z \in \mathbb{C}$ a nechť $c \in \mathbb{C}$. Potom<br />
\begin{align*}<br />
(f\pm g)'(z) & =f'(z)\pm g'(z)\\<br />
(cf)'(z) & =cf'(z)\\<br />
(f \cdot g)'(z) & =f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\\<br />
\left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)'(z) & = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \mathrm{pokud} \ g(z) \neq 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti}<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v bodě $z\in \mathbb{C}$, pak je v bodě $z$ také spojitá. Obrácené tvrzené neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci složené funkce}<br />
Je-li $g(z)$ diferencovatelná v $z_0 \in \mathbb{C}$ a $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $g(z_0)$, potom $(f\circ g)(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))\cdot g'(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci inverzní funkce}<br />
Nechť $f(z)$ je holomorfní v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}(z)$ inverzní funkce k funkci $f(z)$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}(z)$ je holomorfní na $\Omega '$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega'<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)= \ln(z)$ -- inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\in \mathbb{C}$.<br />
$$ (\ln(z))'=(g^{-1})'(z)= \frac {1}{e^{\ln(z)}}= \frac{1}{z} \qquad \forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$$<br />
$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_\pi$ je logaritmus nespojitý.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Integrál funkce komplexní proměnné} % Integrál FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - integrál komplexní funkce reálné proměnné}<br />
Pro funkci $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ definujeme:<br />
\begin{equation*}<br />
\int_a^b f(x) \ud x = \int_a^b \reca f(x) \ud x + \ui \int_a^b \imca f(x) \ud x<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - křivka}<br />
Křivkou v $\mathbb{C}$ rozumíme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $\langle a,b\rangle$ do $\mathbb{C}$, tj. $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$.<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf jednoduchou} pokud $\varphi$ je prosté na $\langle a,b\rangle$ (sama sebe neprotíná)<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $\langle a,b)$ a $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ a nazýváme ho geometrický obraz křivky.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $\mathcal{C}^1$ (hladká), pokud má v $(a,b)$ spojitou derivaci.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $\mathcal{C}^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $\mathcal{C}^1$.<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Definice - operace s křivkami}<br />
Součet křivek $\varphi: \langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ a $\psi: \langle c,d\rangle \to \mathbb{C}$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$<br />
\begin{equation*}<br />
(\varphi \dot{+} \psi)(t):\langle a,d+b-c\rangle \to \mathbb{C}=<br />
\begin{cases}<br />
\varphi(t) \quad t \in \langle a,b\rangle \\<br />
\psi(t-b+c) \quad t \in \langle b,d+b-c\rangle<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
Opačná křivka ke křivce $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je křivka $\dot{-}\varphi:\langle -b,-a\rangle \to \mathbb{C}$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in \langle -b,-a\rangle$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ dána rovnicí $\varphi(t)= x(t)+\ui y(t)$ pro $t\in \langle a,b\rangle$, pak výraz <br />
\begin{equation*}<br />
S_\varphi := \int^b_a |\varphi'(t)| \ud t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\ud t<br />
\end{equation*}<br />
představuje délku křivky $\varphi$. Dále platí:<br />
\begin{equation*}<br />
S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi \qquad S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - křivkový integrál komplexní funkce komplexní proměnné}<br />
Nechť $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je po částech hladká křivka v $\mathbb{C}$ a nechť funkce komplexní proměnné $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f (z) \ud z := \int_a^b f(\varphi(t))\dot{\varphi}(t) \ud t<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \displaystyle \int_\varphi z^2 \ud z \qquad \varphi$ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\<br />
$\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in \langle 0,1\rangle$ \\<br />
$ \dot\varphi(t)=1+i$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi z^2 \ud z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i)\ud t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 \ud t = \frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)}{3}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$<br />
\begin{align*}<br />
\varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle \\<br />
\varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
V reálné analýze platí <br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int^b_a f(x)\ud x \right| \leq \int^b_a |f(x)|\ud x<br />
\end{equation*}<br />
ale v $\mathbb{C}$ toto neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| \leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| = \left| \int_a^b f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t)\ud t \right| \leq \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{\mathrm{omezená~na} \ \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|\ud t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|\ud t<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v $\mathbb{C}$ a $f$ a $g$ funkce komplexní proměnné spojité na $\langle \varphi \rangle$, respektive $\langle \psi \rangle$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, potom platí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item linearita $\int_\varphi [\alpha f(z) + \beta g(z)]\ud z = \alpha \int_\varphi f(z)\ud z + \beta \int_\varphi g(z)\ud z$<br />
\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z)\ud z= \int_\varphi f(z)\ud z + \int_\psi f(z)\ud z$<br />
\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z = -\int_{\varphi} f(z)\ud z$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Primitivní funkce}<br />
Nechť $f$ a $F$ jsou funkce komplexní proměnné takové, že $F'(z)=f(z) \ \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v $\mathbb{C}$). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.<br />
<br />
Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \mathbb{C}$ a je-li $C \in \mathbb{C}$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \mathbb{C}$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.<br />
<br />
$\varphi$ je po částech hladká křivka, $F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$, která obsahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = \int_a^b f(\varphi(t))(\dot{\varphi}(t))\ud t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{\ud t}\left( F(\varphi(t)\right)}\ud t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$ primitivní funkci, potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z=0 \quad$ pro každou uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=\int_\psi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C} \quad \psi:\langle c,d\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\<br />
$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, \langle \psi \rangle \subset \Omega$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z \qquad n \in \mathbb{Z} $ \\<br />
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\<br />
$\varphi(t)=z_0 + Re^{\ui t} \qquad t\in \langle 0,2\pi\rangle$\\<br />
$\dot{\varphi}(t)= \ui Re^{\ui t}$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z = \int_0^{2\pi} (Re^{\ui t})^n R\ui e^{\ui t} \ud t = \int_0^{2\pi} \ui R^{n+1} e^{\ui(n+1)t}\ud t=I<br />
\end{equation*}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $n \neq -1 \quad I=R^{n+1}\ui \left[ \frac{e^{\ui(n+1)t}}{\ui(n+1)} \right]^{2\pi}_{0}=\frac{\ui R^{n+1}}{\ui(n+1)}\left( e^{2\pi \ui (n+1)} - e^0\right)=0$<br />
<br />
\item $n=-1 \quad I= \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}\ud z = \ui \int^{2\pi}_0 e^{0\cdot t}\ud t = \ui \int^{2\pi}_0 1 \ud t = 2\pi\ui$<br />
\end{itemize}<br />
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$. Hodnota skoku $f$ na $P_\pi$ je právě $2\pi\ui$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v $\mathbb{C}$) rozděluje $\mathbb{C}$ na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená -- Int$\varphi$, tzv. "vnitřek křivky". Druhá je neomezená -- Ext$\varphi$, tzv. "vnějšek křivky".<br />
<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = 0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $\quad z=x+\ui y \qquad x,y \in \mathbb{R} \qquad f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y)$\\<br />
$\varphi: \langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(t) = x(t) + \ui y(t)$\\<br />
$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + \ui \dot{y}(t)$<br />
\begin{align*}<br />
\int_\varphi f(z){\rm d}z & = \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\varphi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+\ui v(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+\ui\dot{y}(t)]{\rm d}t \\<br />
& =\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t\\<br />
& +\ui\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)+v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t \\<br />
& = \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + \ui\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \\<br />
& \underbrace{=}_{Green} \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{ \left[\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + \ui \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{\left[\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy= 0<br />
\end{align*}<br />
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované, po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset$ Int$\psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{\mathrm{Int}\psi} \ \backslash \ $ Int$\varphi$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nazveme {\bf singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - index bodu}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \in \mathbb{C} \ \backslash \ \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován jako<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0 = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka - vlastnosti $\ind_\varphi z_0$}<br />
Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \ \backslash \ \{z_0\}$.<br />
\begin{itemize}<br />
\item $z_0 \in$ Ext$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty.<br />
\item $z_0 \in$ Int$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2\pi\ui} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kladně orientovaná kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud $z_0 \in$ Int$\varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1<br />
\end{equation*}<br />
kde $\psi$ je záporně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud je $\varphi$ uzavřená, ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in \mathbb{Z}$ udává počet oběhů daného bodu křivkou $\varphi$. Oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho integrální vzorec}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{\mathrm{Int}\varphi}$. Potom $\forall z_0 \in$ Int$\varphi$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z_0)= \frac{1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z)\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
Hodnoty holomorfní funkce uvnitř Int$\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
$$\frac {1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2\rm\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \left[\underbrace{\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z}_{I_1}+ \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z\right] $$<br />
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset$ Int$\varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.<br />
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$<br />
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2\pi R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}\underbrace{\left|\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}$$<br />
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\<br />
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$<br />
$$ |I_1| \leq 2\pi R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$<br />
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$<br />
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \underbrace{\frac {1}{2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}}_{\ind_\varphi z_0} = f(z_0)$$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - o rozvoji holomorfní funkce v mocninou řadu}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{kde } \ a_n = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek - Cauchyho integrální vzorec pro derivace}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int}\varphi} \subset \Omega$. Potom $f$ má v každém bodě $z_0 \in \Omega$ derivace všech řádů a platí<br />
\begin{equation*}<br />
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}} \qquad n \in \mathbb{N}_0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\varphi$ kladně orientovaná<br />
\item z Taylorovy věty \begin{equation*}<br />
a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
I =$\int_\varphi \frac{\sin(z)}{(z-\ui)^2}\ud z$\\<br />
$f(z)=\sin(z) \quad f'(z)=\cos(z) \quad z_0=\ui$\\<br />
$\varphi$ je nějaká uzavřená křivka neprocházející bodem $\ui$.\\<br />
I =$2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (z_0)\frac{1}{1!}f'(\ui)=2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (\ui) \cos(\ui)$</div>Johndavihttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01VYMA:Kapitola2&diff=613801VYMA:Kapitola22016-06-08T20:44:41Z<p>Johndavi: Přidána definice holomorfismu v inf</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01VYMA}<br />
<br />
\section{Funkce komplexní proměnné} % FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ<br />
<br />
\subsection{Komplexní čísla} % Komplexní čísla<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathbb{C}=\left\{(x,y):x,y \in \mathbb{R} \right\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - operace na $\mathbb{C}$}<br />
Na $\mathbb{C}$ definujeme sčítání a odčítání jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\pm(x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)<br />
\end{equation*}<br />
a násobení jako<br />
\begin{equation*}<br />
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1 x_2 - y_1 y_2,x_1y_2+x_2y_1)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Číslo $x \in \mathbb{R}$ ztotožníme s $(x,0)$.<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x,y \in \mathbb{R}$<br />
\item $(x,0)\pm(y,0)=(x\pm y,0)$<br />
\item $(x,0)\cdot(y,0)=(xy,0)$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Operace $\pm$ a $\cdot$ na $\mathbb{C}$ rozšiřují sčítání, odčítání a násobení z $\mathbb{R}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$(0,1):=\ui$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\ui^2=-1$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $(0,1)\cdot(0,1)=(0-1,0+0)=-1$<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Libovolné komplexní číslo $(x,y)$, kde $x,y \in \mathbb{R}$ lze psát ve tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+\ui y<br />
\end{equation*}<br />
Tomuto zápisu říkáme algebraický tvar komplexního čísla. $x=\reca z, \ y=\imca z$. K číslu $z=x+\ui y$, $x,y \in \mathbb{R}$ přiřazuji číslo komplexně sdružené: $\bar{z}=x-\ui y$. $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Pro libovolné $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
z\cdot \bar{z}=|z|^2 \qquad |z|=|\bar{z}|<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\reca z=\frac{z+\bar{z}}{2} \qquad \imca z= \frac{z-\bar{z}}{2\ui}<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
|z_1\cdot z_2| & =|z_1|\cdot|z_2| \\<br />
|z_1+ z_2| & \leq |z_1|+|z_2| \\<br />
|z_1- z_2| & \geq ||z_1|-|z_2||<br />
\end{align*}<br />
Dělení komlexních čísel probíhá následovně (po složkách)<br />
\begin{equation*}<br />
\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}=\frac{ \overbrace{z_1\cdot \bar{z}_2}^{\in \mathbb{C}} }{ \underbrace{|z_2|^2}_{\in \mathbb{R}} }<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Každé $z=x+\ui y$; $x,y \in \mathbb{R}$ lze chápat jako $[x,y] \in \mathbb{R}^2$ v Gaussově rovině. Můžeme tedy zavést polární souřadnice<br />
\begin{align*}<br />
x=r\cos(\varphi)\\<br />
y=r\sin(\varphi)<br />
\end{align*}<br />
kde $r \geq 0$ a $\varphi$ je úhel, který svírá průvodič $[x,y]$ s kladnou částí osy $x$. $r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.<br />
<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Každé komplexní číslo lze zapsat v goniometrickém tvaru<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jelikož funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $2\pi$ periodické, zavedeme množinu argumentů čísla $z$<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{Arg}z:=\left\{ \varphi \in \mathbb{R} : z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \right\}<br />
\end{equation*}<br />
Mezi prvky množiny Arg$z$ existuje právě jedno $\varphi \in (-\pi,\pi \rangle$. Tomuto $\varphi$ říkáme hlavní hodnota argumentu čísla $z$ a značíme ho arg$z$, tj.<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{arg}z=\mathrm{Arg}z \cap (-\pi,\pi \rangle<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Násobení a mocnění čísel v goniometrickém tvaru:<br />
\begin{equation*}<br />
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \qquad w=|w|\left( \cos(\psi)+\ui \sin(\psi) \right)<br />
\end{equation*}<br />
\begin{align*}<br />
z\cdot w & =|z|\cdot|w|\left( \cos(\varphi)\cos(\psi)-\sin(\varphi)\sin(\psi)+\ui\cos(\varphi)\sin(\psi) +\ui \cos(\psi)\sin(\varphi) \right) \\<br />
& = |z\cdot w|\left( \cos(\varphi+\psi) +\ui \sin(\varphi+\psi) \right) \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Arg($z\cdot w$) = Arg$z$ + Arg$w$, ale arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w$ neplatí! Platí pouze arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w +2k\pi$ pro vhodně zvolené $k\in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{align*}<br />
z & =\ui=\cos(\frac{\pi}{2})+\ui\sin(\frac{\pi}{2}) \qquad \mathrm{arg}z=\frac{\pi}{2} \\<br />
w & =-1+\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{3}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{3}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}w=\frac{3}{4}\pi \\<br />
z\cdot w & =-1-\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{5}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{5}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}(z\cdot w)=-\frac{3}{4}\pi \neq \mathrm{arg}z+\mathrm{arg}w<br />
\end{align*}<br />
<br />
% <br />
\subsection{Základní pojmy} % Základní pojmy FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - funkce komplexní proměnné}<br />
Řekněme, že na množině $M \subset \mathbb{C}$ je dána funkce $f(z)$ komplexní proměnné, je-li každému $z\in M$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\in \mathbb{C}$. Potom značíme $w=f(z)$ $\forall z \in M$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka - reálná a imaginární složka FKP}<br />
$z\in M \to z=x+\ui y$ kde $x,y \in \mathbb{R}$ \\<br />
$w=f(z) \to w=u+\ui v$ kde $u,v \in \mathbb{R}$ \\<br />
\begin{equation*}<br />
f(x+\ui y)=\underbrace{u(x,y)}_{\reca f}+\ui \underbrace{v(x,y)}_{\imca f}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=z^2$, $ z = x+iy$, kde $x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \ui \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\<br />
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \iff f $ je definována $\forall z \in \mathbb{C}$.<br />
<br />
\subsubsection{Definice - rozšíření množiny komplexních čísel} %Limita a spojitost FKP\\<br />
Rozšíříme $\mathbb{C}$ o komplexní nekonečno $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $, kde operace s nekonečnem se definují jako:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\item $ \frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \mathbb{C}$<br />
\item $ \frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$<br />
\end{itemize}<br />
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Limita a spojitost FKP} % Limita a spojitost<br />
<br />
\subsubsection{Definice - okolí bodu}<br />
Pro dané $\varepsilon>0$ rozumíme $\varepsilon$-okolím bodu $z_0 \in \mathbb{C}$ množinu<br />
\begin{align*}<br />
H_{\varepsilon}(z_0) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z-z_0| < \varepsilon \} \\<br />
H_{\varepsilon} (\infty) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z| > \varepsilon \}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť $z_0\in \mathbb{C}^*$ je hromadný bod definičního oboru fce $f(z)$. Řekneme, že fce $f(z)$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \in \mathbb{C}^*$ a píšeme <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z)=w<br />
\end{equation*}<br />
právě tehdy když<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall H(w) )( \exists H(z_0) ):( \forall z \in H(z_0) \cap Dom(f) \backslash \{z_0\}) \implies f(z) \in H(w)<br />
\end{equation*}<br />
Ekvivalentně lze psát ($z\neq \infty \wedge w\neq \infty$)<br />
\begin{equation*}<br />
(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0):(\forall z \in \mathbb{C}, 0<|z-z_0|<\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
a v případě, že $z_0=\infty$, $w\in \mathbb{C}$<br />
\begin{equation*}<br />
( \forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0):(\forall z \in \mathbb{C}, |z|>\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon<br />
\end{equation*}<br />
Na další speciální případy ($z_0\in \mathbb{C}$ a $w=\infty$; $z_0=\infty$ a $w=\infty$) jistě přijde pozorný čtenář sám.<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Speciální případ. Řekneme, že komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ má limitu rovnou $a \in \mathbb{C}^*$ a píšeme<br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{n\to \infty} a_n=a<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\iff (\forall H(a))(\exists n_0 \in \mathbb{R}):(\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0)\implies a_n \in H(a)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Podobně jako v $\mathbb{R}$ platí v $\mathbb{C}$ věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v $\mathbb{C}$. Narozdíl od $\mathbb{R}^*$ platí v $\mathbb{C}^*$:<br />
\begin{align*}<br />
z_n & \to \infty \iff |z_n| \to +\infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \implies \\<br />
z_n & \to 0 \iff \frac{1}{z_n} \to \infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \Leftarrow \\<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Řekneme, že funkce $f(z)$ je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C}$, pokud je v $z_0$ definována a platí <br />
\begin{equation*}<br />
\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
Funkce je spojitá na množině $M\subset \mathbb{C} \iff$ je spojitá v každém bodě $M$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Funkce je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C} \iff$ její složky $u,v$ jsou spojité funkce v bodě $ [x_0,y_0] \in \mathbb{R}^2$, kde $z_0=x_0+\ui y_0$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z) =\frac{1}{z} \qquad Dom(f) = \mathbb{C} \backslash \{0\}$<br />
\begin{align*}<br />
f(x+\ui y) & = \frac{1}{x+\ui y}=\frac{x-\ui y}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\ui\frac{y}{x^2+y^2} \\<br />
u(x,y) & =\frac{x}{x^2+y^2} \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2} \\<br />
x^2+y^2 & = 0 \iff [x,y]=[0,0] \iff z=0<br />
\end{align*}<br />
$\forall [x,y] \neq [0,0]$ jsou $u,v$ spojité.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \arg z \qquad \forall z \in \mathbb{C} \quad \arg z \in \mathbb{R} \in (-\pi,\pi \rangle$<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(\varphi) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \mathbb{R}<br />
\end{equation*}<br />
$$<br />
\arg z = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
$$ <br />
u(x,y) = \begin{cases}<br />
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\<br />
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0<br />
\end{cases}<br />
$$<br />
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$ }<br />
\begin{itemize}<br />
\item $x>0, y=0$\\<br />
$ \lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=0$<br />
<br />
\item $x_0 <0,y_0=0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)=\pi$<br />
<br />
\item $y_0>0$\\<br />
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=-\pi$<br />
\end{itemize}<br />
$\implies$ Celkově limita neexistuje.\\<br />
$\arg z$ je spojitá na $\mathbb{C} \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta):\alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má $\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2\pi$.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Funkce $f(z)=|z|$ je spojitá na $\mathbb{C}$.<br />
<br />
%<br />
\subsection {Elementární funkce komplexní proměnné} % Elementární funkce<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
$z\in \mathbb{C}$, definujeme<br />
\begin{align*}<br />
e^z & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\\<br />
\cos(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}\\<br />
\sin(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}<br />
\end{align*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Za pomoci těchto definic můžeme získat Eulerův vzorec:<br />
\begin{align} \label{eq:euler}<br />
e^{\ui z} & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\ui^n z^n}{n!} = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + \ui \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\nonumber \\ <br />
& =\cos(z) + \ui \sin(z) \qquad \forall z \in \mathbb{C}<br />
\end{align}<br />
$\implies$ každé $z \in \mathbb{C}$ lez psát v exponenciálním tvaru $z=|z|e^{\ui\varphi}$, kde $\varphi \in$ Arg$(z)$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
e^{\ui z} = \cos(z) + \ui \sin(z) \qquad e^{-\ui z} = \cos(z) - \ui \sin(z)<br />
\end{equation*}<br />
Sečtením těchto dvou rovností získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\cos(z) = \frac {e^{\ui z}+e^{-\ui z}}{2} \qquad \cosh(z) = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
Odečtením získáme:<br />
\begin{equation*}<br />
\sin(z) = \frac {e^{\ui z}-e^{-\ui z}}{2\ui}\qquad \sinh(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
$\forall z,w \in \mathbb{C}: \quad e^{z+w}=e^z e^w$<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{align*}<br />
e^z e^w & = \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)<br />
= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^n_{k=0} \frac{z^k}{k!} \frac{w^{n-k}}{(n-k)!} \quad /\cdot\frac{n!}{n!} \\<br />
& = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w}<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - peridiciota exponenciály}<br />
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}$\\<br />
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y)$ \\<br />
$\implies$ funkce $e^z, z \in \mathbb{C}$ je periodická, s periodou $2\pi\ui$!<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad - komplexní logaritmus}<br />
Pro zadané $w \in \mathbb{C}$ řešte rovnici $e^z=w$ \\<br />
hledáme množinu Ln$(w) = \{ z \in \mathbb{C}, e^z = w\}=?$\\<br />
$w=|w|e^{\ui\varphi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\<br />
$z$ hledáme ve tvaru $x+\ui y,\quad x,y \in \mathbb{R}$\\<br />
$e^z=e^x e^{\ui y}=w \qquad$ na rovnici aplikuji absolutní hodnotu\\<br />
$e^x=|w| \quad \implies \quad x=\ln |w| $\\<br />
$y \in $Arg$(w)$\\<br />
$z=x+\ui y \in \ln|w| + \ui$ Arg$(w)$\\<br />
\begin{equation*}<br />
\implies \mathrm{Ln}(w) = \ln|w| + \ui \mathrm{Arg}(w)<br />
\end{equation*}<br />
Funkci $e^z$ nelze invertovat na $\mathbb{C}$, protože není na $\mathbb{C}$ prostá. V množině Ln$(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-\pi, \pi \rangle$. Toto $z$ značíme $\ln(w)$ (přirozený logaritmus čísla $w$) a nazývá se hlavní hodnota logaritmu.<br />
\begin{equation*}<br />
\ln(w) = \ln|w| + \ui \arg(w)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Funkce $\ln(w)$ je definovaná $\forall w \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln(w)$, ale i $z_k= \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad k \in \mathbb{Z}$<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Ln$(z\cdot w)=$ Ln$(z)+$ Ln$(w)$\\<br />
$\ln(z\cdot w)=\ln(z) + \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad$ pro vhodně zvolené $k \in \{-1,0,1\}$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - obecná mocnina}<br />
$z^w:=e^{w\ln z} \qquad \forall z,w \in \mathbb{C}, z \neq 0$<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt{\ui} = e^{\frac{1}{2} \ln(\ui)} = e^{\frac{1}{2}(\ln|\ui|+\ui\arg(\ui))}= e^{\frac{1}{2}(0+ \ui \frac{\pi}{2})}= e^{\ui \frac{\pi}{4}}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
\begin{equation*}<br />
\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(z)}<br />
\end{equation*}<br />
je jednoznačně určená funkce, ale rovnice $z^n=w$ má pro dané $w\in \mathbb{C}/\{0\}$ celkem $n$ řešení v $\mathbb{C}$ ve tvaru <br />
\begin{equation*}<br />
z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k\pi}{n}\ui} \quad k \in \{0,1,\dots,n-1\}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsection {Derivace funkce komplexní proměnné} % Derivace FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice}<br />
Nechť funkce $f(z)$ komplexní proměnné je definována na množině $M \subset \mathbb{C}$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní bod $Dom(f)$. Existuje-li konečná limita<br />
\begin{equation} \label{eq:derivace}<br />
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}<br />
\end{equation}<br />
potom říkáme, že $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$, tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$ a nazýváme derivací funkce $f(z)$ v bodě $z_0$.<br />
<br />
\subsubsection{Holomorfismus}<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z_0$, pak říkáme, že $f(z)$ je {\bf holomorfní} v $z_0$.<br />
<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v každém bodě otevřené množiny $M$, pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní na $M$.<br />
<br />
Je-li $f(z)$ diferencovatelná na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$, a při označení $w=\frac{1}{z}$, $g(w)=f(z)$ je funkce $g(w)$ holomorfní v 0. Pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní v $\infty$.<br />
<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Pokud $f'(z_0)$ existuje, pak hodnota limity \eqref{eq:derivace} nesmí záviset na způsobu, jakým se $z$ přibližuje k $z_0$. <br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $z = x_0 + \Delta x + \ui y_0 \qquad \Delta x \in \mathbb{R} \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\<br />
$f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y) \qquad u,v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+\ui v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\Delta x} \\<br />
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - \ui \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} \right) \\<br />
& = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + \ui \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
<br />
\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \in \mathbb{R} \qquad$ přibližování $\updownarrow$<br />
\begin{align*}<br />
f'(z_0) & =\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+\ui v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\ui\Delta y}\\<br />
& =\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ui} \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac{\ui}{\ui} \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right) \\<br />
& = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(z_0)<br />
\end{align*}<br />
\end{enumerate}<br />
Když je $f(z)$ diferencovatelná, tak 1. musí být stejná jako 2. $\implies$ musí se rovnat reálné i imaginární části:<br />
\begin{align} \label{eq:cauchy}<br />
\frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) & = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\nonumber \\<br />
\frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) & = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)<br />
\end{align}<br />
Tyto dvě rovnosti se nazývají {\bf Cauchy-Riemannovy podmínky} a jsou nutné pro existenci $f'(z_0)$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchy-Riemannova}<br />
Funkce $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ má v bodě $z_0=(x_0+\ui y_0); x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ derivaci, tehdy a jen tehdy, mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+\ui y)$ a $v(x,y)=\imca f(x+\ui y)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky \eqref{eq:cauchy}.<br />
<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)=e^{x+\ui y}=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))$<br />
\begin{align*}<br />
u(x,y)=e^x \cos(y)\\<br />
v(x,y)=e^x \sin(y)<br />
\end{align*}<br />
\begin{align*}<br />
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & =e^x \cos(y) = \frac {\partial v}{\partial y}(x,y) \\<br />
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & = -e^x \sin(y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)<br />
\end{align*}<br />
Parciální derivace jsou spojité a všechny existují $\implies$ funkce $f(z)$ má Totální diferenciál $\forall z\in\mathbb{C}$.<br />
\begin{equation*}<br />
f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos(y) + \ui\cdot e^x \sin(y)=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))=e^z<br />
\end{equation*}<br />
Funkce $f(z)=e^z$ je holomorfní.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$<br />
$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$<br />
Jsou definované a spojité $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \backslash \{[0,0]\}$. Cauchy-Reimannovy podmínky nejsou splněny všude kromě $x=0,y=0 \implies f'(z)$ existuje pouze pro $z=0, f'(0)=0$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $f(z)$ a $g(z)$ jsou diferencovatelné v bodě $z \in \mathbb{C}$ a nechť $c \in \mathbb{C}$. Potom<br />
\begin{align*}<br />
(f\pm g)'(z) & =f'(z)\pm g'(z)\\<br />
(cf)'(z) & =cf'(z)\\<br />
(f \cdot g)'(z) & =f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\\<br />
\left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)'(z) & = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \mathrm{pokud} \ g(z) \neq 0<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - ovztahu diferencovatelnosti a spojitosti}<br />
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v bodě $z\in \mathbb{C}$, pak je v bodě $z$ také spojitá. Obrácené tvrzené neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci složené funkce}<br />
Je-li $g(z)$ diferencovatelná v $z_0 \in \mathbb{C}$ a $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $g(z_0)$, potom $(f\circ g)(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))\cdot g'(z_0)<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Věta - o derivaci inverzní funkce}<br />
Nechť $f(z)$ je holomorfní v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}(z)$ inverzní funkce k funkci $f(z)$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}(z)$ je holomorfní na $\Omega '$ a platí<br />
\begin{equation*}<br />
(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega'<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$f(z)= \ln(z)$ -- inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\in \mathbb{C}$.<br />
$$ (\ln(z))'=(g^{-1})'(z)= \frac {1}{e^{\ln(z)}}= \frac{1}{z} \qquad \forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$$<br />
$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_\pi$ je logaritmus nespojitý.<br />
<br />
%<br />
\subsection{Integrál funkce komplexní proměnné} % Integrál FKP<br />
<br />
\subsubsection{Definice - integrál komplexní funkce reálné proměnné}<br />
Pro funkci $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ definujeme:<br />
\begin{equation*}<br />
\int_a^b f(x) \ud x = \int_a^b \reca f(x) \ud x + \ui \int_a^b \imca f(x) \ud x<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\subsubsection{Definice - křivka}<br />
Křivkou v $\mathbb{C}$ rozumíme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $\langle a,b\rangle$ do $\mathbb{C}$, tj. $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$.<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf jednoduchou} pokud $\varphi$ je prosté na $\langle a,b\rangle$ (sama sebe neprotíná)<br />
<br />
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $\langle a,b)$ a $\varphi(a)=\varphi(b)$<br />
<br />
Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ a nazýváme ho geometrický obraz křivky.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $\mathcal{C}^1$ (hladká), pokud má v $(a,b)$ spojitou derivaci.<br />
<br />
Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $\mathcal{C}^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $\mathcal{C}^1$.<br />
<br />
% <br />
\subsubsection{Definice - operace s křivkami}<br />
Součet křivek $\varphi: \langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ a $\psi: \langle c,d\rangle \to \mathbb{C}$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$<br />
\begin{equation*}<br />
(\varphi \dot{+} \psi)(t):\langle a,d+b-c\rangle \to \mathbb{C}=<br />
\begin{cases}<br />
\varphi(t) \quad t \in \langle a,b\rangle \\<br />
\psi(t-b+c) \quad t \in \langle b,d+b-c\rangle<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
Opačná křivka ke křivce $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je křivka $\dot{-}\varphi:\langle -b,-a\rangle \to \mathbb{C}$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in \langle -b,-a\rangle$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ dána rovnicí $\varphi(t)= x(t)+\ui y(t)$ pro $t\in \langle a,b\rangle$, pak výraz <br />
\begin{equation*}<br />
S_\varphi := \int^b_a |\varphi'(t)| \ud t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\ud t<br />
\end{equation*}<br />
představuje délku křivky $\varphi$. Dále platí:<br />
\begin{equation*}<br />
S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi \qquad S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - křivkový integrál prvního druhu}<br />
Nechť $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je po částech hladká křivka v $\mathbb{C}$ a nechť funkce komplexní proměnné $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f (z) \ud z := \int_a^b f(\varphi(t))\dot{\varphi}(t) \ud t<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
$ \displaystyle \int_\varphi z^2 \ud z \qquad \varphi$ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\<br />
$\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in \langle 0,1\rangle$ \\<br />
$ \dot\varphi(t)=1+i$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi z^2 \ud z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i)\ud t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 \ud t = \frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)}{3}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$<br />
\begin{align*}<br />
\varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle \\<br />
\varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle<br />
\end{align*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
V reálné analýze platí <br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int^b_a f(x)\ud x \right| \leq \int^b_a |f(x)|\ud x<br />
\end{equation*}<br />
ale v $\mathbb{C}$ toto neplatí.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| \leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{equation*}<br />
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| = \left| \int_a^b f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t)\ud t \right| \leq \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{\mathrm{omezená~na} \ \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|\ud t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|\ud t<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v $\mathbb{C}$ a $f$ a $g$ funkce komplexní proměnné spojité na $\langle \varphi \rangle$, respektive $\langle \psi \rangle$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, potom platí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item linearita $\int_\varphi [\alpha f(z) + \beta g(z)]\ud z = \alpha \int_\varphi f(z)\ud z + \beta \int_\varphi g(z)\ud z$<br />
\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z)\ud z= \int_\varphi f(z)\ud z + \int_\psi f(z)\ud z$<br />
\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z = -\int_{\varphi} f(z)\ud z$<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Primitivní funkce}<br />
Nechť $f$ a $F$ jsou funkce komplexní proměnné takové, že $F'(z)=f(z) \ \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v $\mathbb{C}$). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
\subsubsection{Věta}<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.<br />
<br />
Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \mathbb{C}$ a je-li $C \in \mathbb{C}$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.<br />
<br />
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \mathbb{C}$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.<br />
<br />
$\varphi$ je po částech hladká křivka, $F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$, která obsahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = \int_a^b f(\varphi(t))(\dot{\varphi}(t))\ud t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{\ud t}\left( F(\varphi(t)\right)}\ud t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledky}<br />
Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$ primitivní funkci, potom:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z=0 \quad$ pro každou uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$<br />
\item $\int_\varphi f(z)\ud z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: <br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z)\ud z=\int_\psi f(z)\ud z<br />
\end{equation*}<br />
kde $\varphi:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C} \quad \psi:\langle c,d\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\<br />
$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, \langle \psi \rangle \subset \Omega$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z \qquad n \in \mathbb{Z} $ \\<br />
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\<br />
$\varphi(t)=z_0 + Re^{\ui t} \qquad t\in \langle 0,2\pi\rangle$\\<br />
$\dot{\varphi}(t)= \ui Re^{\ui t}$<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z = \int_0^{2\pi} (Re^{\ui t})^n R\ui e^{\ui t} \ud t = \int_0^{2\pi} \ui R^{n+1} e^{\ui(n+1)t}\ud t=I<br />
\end{equation*}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $n \neq -1 \quad I=R^{n+1}\ui \left[ \frac{e^{\ui(n+1)t}}{\ui(n+1)} \right]^{2\pi}_{0}=\frac{\ui R^{n+1}}{\ui(n+1)}\left( e^{2\pi \ui (n+1)} - e^0\right)=0$<br />
<br />
\item $n=-1 \quad I= \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}\ud z = \ui \int^{2\pi}_0 e^{0\cdot t}\ud t = \ui \int^{2\pi}_0 1 \ud t = 2\pi\ui$<br />
\end{itemize}<br />
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$. Hodnota skoku $f$ na $P_\pi$ je právě $2\pi\ui$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v $\mathbb{C}$) rozděluje $\mathbb{C}$ na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená -- Int$\varphi$, tzv. "vnitřek křivky". Druhá je neomezená -- Ext$\varphi$, tzv. "vnějšek křivky".<br />
<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) \ud z = 0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:} $\quad z=x+\ui y \qquad x,y \in \mathbb{R} \qquad f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y)$\\<br />
$\varphi: \langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\<br />
$\varphi(t) = x(t) + \ui y(t)$\\<br />
$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + \ui \dot{y}(t)$<br />
\begin{align*}<br />
\int_\varphi f(z){\rm d}z & = \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\varphi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+\ui v(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+\ui\dot{y}(t)]{\rm d}t \\<br />
& =\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t\\<br />
& +\ui\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)+v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t \\<br />
& = \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + \ui\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \\<br />
& \underbrace{=}_{Green} \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{ \left[\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + \ui \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{\left[\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy= 0<br />
\end{align*}<br />
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek}<br />
Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované, po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset$ Int$\psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{\mathrm{Int}\psi} \ \backslash \ $ Int$\varphi$. Potom<br />
\begin{equation*}<br />
\int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka}<br />
Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nazveme {\bf singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Definice - index bodu}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \in \mathbb{C} \ \backslash \ \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován jako<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0 = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Poznámka - vlastnosti $\ind_\varphi z_0$}<br />
Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \ \backslash \ \{z_0\}$.<br />
\begin{itemize}<br />
\item $z_0 \in$ Ext$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty.<br />
\item $z_0 \in$ Int$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2\pi\ui} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kladně orientovaná kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud $z_0 \in$ Int$\varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak<br />
\begin{equation*}<br />
\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1<br />
\end{equation*}<br />
kde $\psi$ je záporně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.<br />
\item pokud je $\varphi$ uzavřená, ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in \mathbb{Z}$ udává počet oběhů daného bodu křivkou $\varphi$. Oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - Cauchyho integrální vzorec}<br />
Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{\mathrm{Int}\varphi}$. Potom $\forall z_0 \in$ Int$\varphi$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z_0)= \frac{1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z)\ud z}{z-z_0}<br />
\end{equation*}<br />
Hodnoty holomorfní funkce uvnitř Int$\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
$$\frac {1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2\rm\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \left[\underbrace{\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z}_{I_1}+ \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z\right] $$<br />
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset$ Int$\varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.<br />
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$<br />
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2\pi R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}\underbrace{\left|\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}$$<br />
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\<br />
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$<br />
$$ |I_1| \leq 2\pi R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$<br />
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$<br />
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \underbrace{\frac {1}{2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}}_{\ind_\varphi z_0} = f(z_0)$$<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Věta - o rozvoji holomorfní funkce v mocninou řadu}<br />
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí<br />
\begin{equation*}<br />
f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n<br />
\end{equation*}<br />
\begin{equation*}<br />
\mathrm{kde } \ a_n = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} \ud \xi<br />
\end{equation*}<br />
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in$ Int$\varphi$.<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Důsledek - Cauchyho integrální vzorec pro derivace}<br />
Nechť $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int}\varphi} \subset \Omega$. Potom $f$ má v každém bodě $z_0 \in \Omega$ derivace všech řádů a platí<br />
\begin{equation*}<br />
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}} \qquad n \in \mathbb{N}_0<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\hfill \\<br />
\emph{Důkaz:}<br />
\begin{itemize}<br />
\item $\varphi$ kladně orientovaná<br />
\item z Taylorovy věty \begin{equation*}<br />
a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}<br />
\end{equation*}<br />
\end{itemize}<br />
<br />
%<br />
\subsubsection{Příklad}<br />
I =$\int_\varphi \frac{\sin(z)}{(z-\ui)^2}\ud z$\\<br />
$f(z)=\sin(z) \quad f'(z)=\cos(z) \quad z_0=\ui$\\<br />
$\varphi$ je nějaká uzavřená křivka neprocházející bodem $\ui$.\\<br />
I =$2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (z_0)\frac{1}{1!}f'(\ui)=2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (\ui) \cos(\ui)$</div>Johndavi