https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Gromadan&feedformat=atomWikiSkripta FJFI ČVUT v Praze - Příspěvky uživatele [cs]2024-03-29T08:45:57ZPříspěvky uživateleMediaWiki 1.25.2https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola3&diff=581201FA2:Kapitola32016-01-10T12:27:43Z<p>Gromadan: oprava chybky hermitovský -> pozitivní</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
<br />
Mějme samosdružený operátor $A$. Je-li dimenze $\H$ konečná, existuje ortonormální báze z~vlastních<br />
vektorů $\{x_n\}$: $Ax_k=\lambda_k x_k$, a tedy můžeme psát<br />
\[\H=\osum_{i=1}^m\Ker(A-\lambda_i'),\]<br />
kde $\lambda_1',\dots,\lambda_m'$ jsou různá vlastní čísla. Operátor $A$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci<br />
projektorů na vlastní podprostory $\{P_1,\dots,P_m\}$:<br />
\[A=\sum_{i=1}^m\lambda_i'P_i.\]<br />
<br />
Na nekonečné dimenzi lze totéž provést pro $A$ kompaktní operátor. Ten má totiž čistě bodové spektrum, tj. existuje ON báze z vlastních vektorů. Jeho bodové spektrum je nejvýše spočetné a jediným možným hromadným bodem je nula, vlastní hodnoty tedy lze seřadit podle velikosti v absolutní hodnotě od největšího k nejmenšímu. Kompaktní operátor pak lze rozložit na nejvýše spočetnou sumu stejně jako výše.<br />
<br />
V náseledující kapitole popsaný \emph{spektrální rozklad} zobecníme na libovolné hermitovské operátory. Již nám však nebude stačit ani nekonečná suma, ale vybudujeme za tímto účelem integrál. Nejprve však bude následovat množství potřebných lemmat týkajících se hermitovských operátorů.<br />
<br />
\begin{lemma}\label{slim}<br />
Buď $A_n\in\B(\H)$, $A_1\ge A_2\ge\dots\ge A_n\ge\dots\ge<br />
0$ (tedy $A_n=A^*_n$). Potom existuje \[A=\slim_{n\to\infty}A_n \in \B(\H)\] a pro každé $n$ je<br />
$A_n\ge A\ge 0$ (tedy rovněž $A=A^*$). Jinými slovy klesající posloupnost pozitivních operátorů má silnou limitu.\footnote{Snadným důsledkem je analogie věty o existenci limity monotónní omezené reálné číselné posloupnosti: Monotónní omezená posloupnost hermitovských operátorů má silnou limitu.}<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\H$. Díky předpokladům je posloupnost $\{\la x,A_n x\ra\}_n$<br />
nerostoucí omezená číselná posloupnost, tudíž má limitu, a je tedy cauchyovská. Protože<br />
\[\norm{A_n}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,A_nx\ra}=\sup_{\norm{x}=1}\la x,A_nx\ra,\]<br />
je také $\norm{A_1}\ge\norm{A_2}\ge\dots$<br />
<br />
Ukážeme, že pro libovolné $x\in\H$ je $A_nx$ cauchyovská. Z úplnosti $\H$ to bude znamenat, že existuje silná limita $A$ splňující $Ax=\lim A_nx$ na celém $\H$. Pro $m,n\in\N$ je <br />
\[\norm{(A_m-A_n)x}^2\le\norm{A_m-A_n}\abs{\la x,(A_m-A_n)x\ra}\le 2\norm{A_1}\abs{\la x,A_mx\ra -\la x,A_nx\ra}<2\norm{A_1}\epsilon.\]<br />
<br />
Nyní dokážeme omezenost $A$. Ze spojitosti normy dostaneme<br />
\[\norm{Ax}=\lim\norm{A_nx}\le\lim\norm{A_n}\norm{x}\le\norm{A_1}\norm{x}.\]<br />
<br />
Nakonec ze spojitosti skalárního součinu je $\la x,Ax\ra$ limita klesající nezáporné posloupnosti $\la x,A_nx\ra$. Platí tedy<br />
\[0\le\la x,Ax\ra\le\la x,A_nx\ra,\]<br />
tj. $0\le A\le A_n$ pro každé $n\in\N$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{ABnezap}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A\ge 0$, $B\ge 0$ a $AB=BA$. Potom $AB\ge 0$. Jinými slovy součin pozitivních komutujících operátorů je pozitivní.<br />
\begin{proof}<br />
Definujme posloupnost $A_n\in\B(\H)$:<br />
\[A_1=A,\quad<br />
A_{n+1}=A-\sum_{k=1}^n A_k^2=<br />
\left(A-\sum_{k=1}^{n-1}A_k^2\right)-A_n^2.\]<br />
Zřejmě $A_{n+1}=A_n-A_n^2$. Bez újmy na obecnosti můžeme<br />
předpokládat, že $\norm{A}\le 1$. Pak platí, že<br />
\[\sup_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra=\norm{A}\le 1,\]<br />
a z~toho plyne, že pro každé $x$ je $\la x,Ax\ra\le\norm{x}^2=\la x,x\ra$, a<br />
tedy $0\le A\le I$. Dokážeme, že pro každé $n$ je $0\le A_n\le I$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n=1$: $A_1=A\le I$.<br />
\item $n\to n+1$: Z~předpokladu $0\le A_n\le I$ plyne<br />
\[\la x,A_n^2x\ra =\la A_n x,A_n x\ra =\norm{A_n x}^2\le<br />
\norm{A_n}\la x,A_n x\ra\le\la x,A_n x\ra.\]<br />
Z~toho také plyne, že<br />
\[0\le\la x,(A_n-A_n^2)x\ra=\la x,A_{n+1}x\ra,\]<br />
a proto $0\le A_{n+1}$. Konečně $A_{n+1}=A_n-A_n^2\le A_n\le I$.<br />
\end{enumerate}<br />
Protože pro každé $n\in\N$ je $A_n^2\ge 0$ a $A_{n+1}\le<br />
A_{n+1}+A_n^2=A_n$, je $A_2\ge A_3\ge\dots\ge A_{n+1}\ge\dots\ge<br />
0$. Podle předchozího lemmatu existuje $\slim A_n$, a tedy<br />
existuje i<br />
\[\slim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n A_k^2=\sum_{k=1}^\infty A_k^2.\]<br />
Díky spojitosti skalárního součinu platí pro každé $x\in\H$<br />
\[\infty>\left\langle,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 x\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty(x,A_k^2 x)=<br />
\sum_{k=1}^\infty\norm{A_k x}^2.\]<br />
Pro každé $x$ je proto $\lim_{k\to\infty}\norm{A_k x}=0$ a<br />
$\slim_{n\to\infty}A_n=0$. Proto (v~silném smyslu) platí<br />
\[\sum_{k=1}^\infty A_k^2=A.\]<br />
Z~konstrukce posloupnosti $\{A_n\}$ plyne, že $A_n=p_n(A)$, kde<br />
$p_n$ je polynom. Protože $AB=BA$, pro každé $n$ také platí<br />
$A_nB=BA_n$, a proto<br />
\[\la x,ABx\ra =\left\langle x,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 Bx\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty\la x,A_kBA_k x\ra=<br />
\sum_{k=1}^\infty\underbrace{\la A_k x,BA_kx\ra}_{\ge 0}\ge 0.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Triviálně platí naopak, že je-li součin pozitivních operátorů také pozitivní, musejí operátory komutovat. Pozitivita totiž znamená hermitovskost, a tak $BA=B^*A^*=(AB)^*=AB$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{limkomutuje}<br />
Nechť $X_n,Y_n\in\B(\H)$ a existují $X=\slim X_n$, $Y=\slim<br />
Y_n$. Potom $XY=\slim X_nY_n$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $x$ je<br />
\[XYx-X_nY_nx=\underbrace{(X-X_n)}_{\to 0}Yx+X_n(Y-Y_n)x.\]<br />
Z~principu stejnoměrné omezenosti plyne existence $K>0$ takového, že pro každé $n$ je $\norm{X_n}\le K$, a tedy<br />
$\norm{X_n(Y-Y_n)x}\le K\norm{(Y-Y_n)x}\to 0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}[o odmocnině z operátoru]<br />
\label{odmocnina}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom existuje právě jeden<br />
$B\in\B(\H)$, $B\ge 0$ takový, že $B^2=A$. Navíc pro každý<br />
$C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\iff CB=BC$. Značíme $B=\sqrt{A}=A^{1/2}$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Existence: Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $\norm{A}\le 1$ (jinak vezmeme $A/\norm A)$ a proto $0\le A\le I$. Vytvoříme posloupnost operátorů $B_n\in\B(\H)$: $B_0=0$,<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$. Ukážeme, že $0\le B_n\le<br />
B_{n+1}\le I$.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Pro $n=0$ je $B_0=0$ a $B_1=\frac12A$ a $0\le B_0\le<br />
B_1\le I$.<br />
\item Přechod $n\to n+1$: Protože $0\le B_n\le I$, je $B_n^2\le<br />
B_n$, neboť<br />
\[\la x,B_n^2 x\ra=\norm{B_n x}^2\le\norm{B_n}\la x,B_n x\ra<br />
\le\la x,B_n x\ra.\]<br />
Dále platí<br />
\[B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)\ge B_n+\frac12(A-B_n)=<br />
\frac12(A+B_n)\ge 0\]<br />
a<br />
\[\begin{split}<br />
I-B_{n+1}&=I-B_n-\frac12(A-B_n^2)=<br />
\frac12(I-A)+\frac12(B_n^2-2B_n+I^2)=\\<br />
&=\frac12(I-A)+\frac12(\underbrace{I-B_n}_{\ge0})^2\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
tedy $0\le B_{n+1}\le I$.<br />
<br />
Nerovnost $B_{n+1}\ge B_n$ je splněna, právě když $A\ge<br />
B_n^2$. Předpokládejme, že pro $n-1$ to platí. Potom<br />
\[\begin{split}<br />
A-B_n^2&=A-\left(B_{n-1}+\frac12(A-B_{n-1}^2)\right)^2=\\<br />
&=A-B_{n-1}^2-B_{n-1}(A-B_{n-1}^2)-\frac14(A-B_{n-1}^2)^2=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-B_{n-1}-\frac14(A-B_{n-1}^2)\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-\frac12B_{n-1}-\frac12B_n\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(\frac12(I-B_{n-1})+\frac12(I-B_n)\right)<br />
\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
protože $A-B_{n-1}^2\ge 0$, $I-B_{n-1}\ge 0$ a $I-B_n\ge 0$.<br />
Předchozí úpravy jsou korektní, neboť $B_n$ je polynom v~A~a<br />
pro $C\in\B(\H)$ komutující s~$A$ také platí $CB_n=B_nC$.<br />
Specielně pro každé $n$ je $AB_n=B_n A$ a pro každé $m,n$ je<br />
$B_nB_m=B_mB_n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Protože $0\le B_n\le B_{n+1}\le I$, podle lemmatu \ref{slim}<br />
(aplikovaného na $B_n'=I-B_n$) existuje $\slim B_n$ a pro každé<br />
$n\in\N$ je $B_n\le B\le I$. Navíc, protože $CA=AC$ a tedy<br />
$CB_n=B_nC$, je podle lemmatu \ref{limkomutuje} $CB=BC$.<br />
<br />
Specielně $\slim B_n^2=B^2$ a protože<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$, limitním přechodem dostáváme<br />
$B=B+\frac12(A-B^2)$. Tedy $B^2=A$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde B\in\B(\H)$, $\tilde B\ge<br />
0$, $A=\tilde B^2$. Potom $\tilde BA=A\tilde B$, $B\tilde<br />
B=\tilde B B$ a $0=B^2-\tilde B^2=(B+\tilde B)(B-\tilde B)$.<br />
<br />
Buď $x\in\H$ libovolné, $y=(B-\tilde B)x$. Potom $(B+\tilde<br />
B)y=0$. Dále platí<br />
\[0=\la y,(B+\tilde B)y\ra=\underbrace{\la y,By\ra}_{\ge 0}+<br />
\underbrace{\la y,\tilde By\ra}_{\ge 0},\]<br />
proto $\la y,By\ra=\la y,\tilde By\ra=0$ a<br />
$\norm{By}^2\le\norm{B}\la y,By\ra=0$, a tedy $By=0$. Obdobně i<br />
$\tilde By=0$.<br />
<br />
Dále platí $(B-\tilde B)^2x=(B-\tilde B)y=0$, a proto<br />
\[0=\la x,(B-\tilde B)^2x\ra=\la(B-\tilde B)x,(B-\tilde B)x\ra=<br />
\norm{(B-\tilde B)x}^2\]<br />
pro každé $x$. Dokázali jsme tak, že $B=\tilde B$. Tedy $B$ je<br />
určen jednoznačně.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $A^2\ge 0$, a můžeme tedy definovat<br />
\uv{absolutní hodnotu} jako $(A^2)^{1/2}=:\abs{A}\ge 0$<br />
a platí, že $\abs{A}^2=A^2$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut1}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$ a buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker<br />
A$. Potom pro každé $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\implies CP=PC$.<br />
\begin{proof}<br />
Protože $\Ran P=\Ker A$, je $AP=0$. Buď $C\in\B(\H)$,<br />
$CA=AC$. Potom\\ $0=CAP=ACP\iff\Ran CP\subset\Ker A\iff PCP=CP$,<br />
neboť $x\in\Ker A$ $\iff Px=x$. Z~vlastností sdruženého operátoru<br />
plyne $CA=AC\implies AC^*=C^*A$ a tedy $PC^*P=C^*P$, sdružením získáme<br />
$PCP=PC$ a tedy celkem $CP=PC$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut2}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A^*=A$, $B^*=B$ a navíc $AB=BA$,<br />
$A^2=B^2$. Buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-B)$. Potom $P$<br />
komutuje s~$A$ a $B$ a<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $A=PB+(I-P)(-B)$,<br />
\item $\Ker A=\Ker B\subset\Ker(A-B)\equiv\Ran P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Protože $A=A^*$, $B=B^*$, je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og1}<br />
(A-B)P=0=P(A-B).<br />
\end{equation}<br />
Dále, protože $A^2=B^2$ a $AB=BA$, je<br />
$(A-B)(A+B)=0\iff\Ran(A+B)\subset\Ker(A-B)$, což je ekvivalentní<br />
s~rovností<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og2}<br />
P(A+B)=A+B.<br />
\end{equation}<br />
Z~předchozího lemmatu plyne, že $A(A-B)=(A-B)A\implies AP=PA$,<br />
$B(A-B)=(A-B)B\implies BP=PB$. Odečtením \eqref{eq:og1} a<br />
\eqref{eq:og2} dostaneme<br />
\[2PB=A+B\iff A=2PB-B=PB+(I-P)(-B).\]<br />
Bod (ii) plyne z rovnosti<br />
$$A^2= B^2 \Rightarrow \la x,A^2x\ra = \la x,B^2x\ra \Rightarrow \norm{Ax} = \norm{Bx}$$<br />
%\[x\in\Ker A\iff Ax=0\iff 0=\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\]<br />
takže $\Ker A = \Ker B$. Zřejmě $x\in\Ker A\implies<br />
x\in\Ker(A-B)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Ke každému samosdruženému operátoru $A\in\B(\H)$ existuje právě<br />
jeden ortogonální projektor $E_+$ s~vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $AE_+\ge 0$, $A(I-E_+)\le 0$,<br />
\item $\Ker A\subset\Ran E_+$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc platí (iii) pro každé $C\in\B(\H)$ $CA=AC\implies CE_+=E_+C$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existence: V~předchozím lemmatu položíme $B=\abs{A}$,<br />
$E_+=P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-\abs{A})$. Z~lemmatu<br />
plyne, že $E_+$ komutuje s~$A$ a $\abs{A}$ a dále<br />
$A=E_+\abs{A}+(I-E_+)(-\abs{A})$. Aplikací $E_+$ na tuto rovnost<br />
a s využitím lemmatu \ref{ABnezap} dostaneme<br />
$E_+A=E_+\abs{A}\ge 0$ a $(I-E_+)A=-(I-E_+)\abs{A}\le 0$. Tím je<br />
dokázán bod (i).<br />
<br />
Bod (ii) plyne bezprostředně z bodu (ii) předchozího lemmatu.<br />
<br />
Nechť $C\in\B(\H)$, $CA=AC$. Potom i $CA^2=A^2C$ a z~věty o odmocnině<br />
\ref{odmocnina} plyne $C\abs{A}=\abs{A}C$. Proto<br />
$C(A-\abs{A})=(A-\abs{A})C$ a podle lemmatu \ref{og_komut1} je<br />
$CE_+=E_+C$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde E_+$ splňuje (i), (ii). Položme<br />
\[\tilde A=\underbrace{\tilde E_+A}_{\ge 0}+\underbrace{(I-\tilde<br />
E_+)(-A)}_{\ge 0}\ge 0,\] <br />
pak $\tilde A^2=\tilde E_+A^2+(I-\tilde<br />
E_+)A^2=A^2$. Z~jednoznačnosti absolutní hodnoty pak plyne<br />
$\tilde A=\abs{A}=E_+A+(I-E_+)(-A)$ a<br />
\[0=\tilde A-\abs{A}=(\tilde E_+ - E_+)A+(E_+ - \tilde<br />
E_+)(-A)=2(\tilde E_+ - E_+)A,\]<br />
protože komutují. <br />
<br />
To je ekvivalentní s~tím, že $\Ran(\tilde E_+ - E_+)\subset\Ker<br />
A\subset\Ran E_+,\Ran \tilde E_+$, tedy<br />
\[E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\quad<br />
\tilde E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\]<br />
proto $E_+\tilde E_+=\tilde E_+$, $\tilde E_+E_+=E_+\implies<br />
E_+\tilde E_+=E_+$ (vlastnosti sdruženého operátoru). Z~toho<br />
plyne $\tilde E_+=E_+$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že jednoparametrická množina ortogonálních projektorů<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je \emph{rozkladem jedničky}, právě<br />
když splňuje<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item monotonie: $\lambda\le\mu\implies P_\lambda\le P_\mu$,<br />
\item silná spojitost zleva: $\slim_{\mu\to\lambda-}P_\mu=P_\lambda$,<br />
\item existují $-\infty<m\le M<+\infty$ tak, že $P_\lambda=0$ pro každé<br />
$\lambda\le m$ a $P_\lambda=I$ pro každé $\lambda > M$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $P\le Q$,<br />
\item $\Ran P\subset\Ran Q$,<br />
\item $\Ker Q\subset\Ker P$,<br />
\item $PQ=QP=P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\Ran P\perp\Ran Q$,<br />
\item $PQ=QP=0$,<br />
\end{enumerate}<br />
Jsou-li tyto podmínky splněny, řekneme, že jsou projektory $P$ a $Q$ vzájemně kolmé.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V následujících odstavcích bychom chtěli dát smysl výrazu $\int\lambda\d P_\lambda$, jež bude představovat spektrální rozklad pro obecné hermitovské operátory. Ačkoliv by šlo definovat pojem tzv. spektrální míry, provedeme pro jednoduchost konstrukci pouze v Riemannově smyslu.<br />
<br />
%Projekční míra je zobrazení $(-\infty,\lambda)\mapsto P_\lambda$.<br />
%Buď $\mu<\lambda$, položme<br />
%$\Delta=[\mu,\lambda)=(-\infty,\lambda)\sm(-\infty,\mu)\mapsto<br />
%P_\lambda-P_\mu$. $P(\Delta)=P_\lambda-P_\mu=P_\lambda(I-P_\mu)$ je OG<br />
%projektor. Protože $P_\mu\le P_\lambda$, je $\Ran P_\mu\subset\Ran<br />
%P_\lambda$ a $\Ran P_\lambda=\Ran P_\mu\oplus\Ran(P_\lambda-P_\mu)$.<br />
<br />
Uvažujme tedy rozklad jednotky $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ a vezměme libovolná čísla $a\le m$ a $b>M$. Uvažujme rozdělení $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ intervalu $(a,b)$, tj. posloupnost splňující $a=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_n=b$. Definujme dále intervaly $\Delta_k:=[\nu_{k-1},\nu_k)$ pro<br />
$k=1,\dots,n$ a projektory $P(\Delta_k):=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}$. Jedná se jistě o hermitovské operátory a z monotonie snadno ukážeme, že jde skutečně o projektory<br />
\[P(\Delta_k)^2=P_{\nu_k}^2-P_{\nu_k}P_{\nu_{k-1}}-P_{\nu_{k-1}}P_{\nu_k}+P_{\nu_{k-1}}^2=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}=P(\Delta_k).\]<br />
Dále z monotonie ukážeme, že jsou tyto operátory vzájemně kolmé. Předpokládejme $j<k$, pak<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=(P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}})(P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}})=P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}}-P_{\nu_j}+P_{\nu_{j-1}}=0\]<br />
Díky monotonii projektory komutují, takže rovnost platí i pro opačné pořadí. Výsledek je možné psát v kompaktním tvaru<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=\delta_{jk}P(\Delta_j).\]<br />
<br />
Dále si můžeme povšimnout, že<br />
\[\sum_{k=0}^nP(\Delta_k)=P_b-P_a=I.\]<br />
<br />
Zvolme nyní v každém intervalu $\Delta_k$ libovolné $\tilde\nu_k\in\Delta_k$ a označme<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_k P(\Delta_k)\in\B(\H),\quad<br />
A_\nu^*=A_\nu.\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme $\{P_j\}_{j=1}^n$ množinu nenulových OG projektorů,<br />
$P_iP_j=\delta_{ij}P_i$, $\sum_{j=1}^n P_j=I$,<br />
$\{\lambda_j\}_{j=1}^n\subset\C$. Potom<br />
\[\norm{\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j}=\max_{1\le j\le<br />
n}\{\abs{\lambda_j}\}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme $X=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j$. Pak<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Xu}^2&=(Xu,Xu)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n<br />
\overline{\lambda_i}\lambda_j(P_iu,P_ju)=<br />
\sum_{i=1}^n\abs{\lambda_i}^2(u,P_iu)\le\\<br />
&\le\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\sum_{i=1}^n(u,P_iu)=<br />
\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\norm{u}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $(P_iu,P_ju)=(u,P_iP_ju)=\delta_{ij}(u,P_iu)$. Označme<br />
$\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}=\abs{\lambda_{j_0}}$ a zvolme<br />
$u\in\Ran P_{j_0}$. Pak $Xu=\lambda_{j_0}u$, a proto<br />
$\norm{X}=\abs{\lambda_{j_0}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Označme normu rozdělení $d_\nu=\max_{1\le j\le n}(\nu_j-\nu_{j-1})$. Nyní budeme chtít ukázat, že pro všechny normální posloupnosti rozdělení integrální součet $A_\nu$ konverguje ke stejnému operátoru.<br />
<br />
Vezměme tedy $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ a $\mu=(\mu_j)_{j=0}^m$ dvě rozdělení a označme $\sigma=(\sigma_l)_{l=0}^p$ jejich společné zjemnění. Zřejmě je každý interval rozdělení $\sigma$ podintervalem právě jednoho z intervalů rozdělení $\nu$ i $\mu$, tj. pro každé $l$ existuje právě jedno $j$ a právě jedno $k$ tak, že $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_j^\mu$ a $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_k^\nu$. Položme pak $\sigma_l':=\tilde\mu_j$ a $\sigma_l'':=\tilde\nu_k$. Potom můžeme psát<br />
\[A_\mu=\sum_{j=1}^m\tilde\mu_jP(\Delta_j^\mu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l'P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_kP(\Delta_k^\nu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l''P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
takže<br />
\[\norm{A_\mu-A_\nu}=\norm{\sum_{l=1}^p(\sigma_l'-\sigma_l'')P(\Delta_l^\sigma)}\le\max_{l\in\hat p}\abs{\sigma_l'-\sigma_l''}=\max_{\Delta_j^\mu\cap\Delta_k^\nu\neq\emptyset}\abs{\tilde\mu_j-\tilde\nu_k}\le d_\mu+d_\nu.\]<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Je-li $\nu^{(k)}=\{\nu_j^{(k)}\}_{j=0}^{n_k}$ taková posloupnost<br />
rozdělení, že $\lim_{k\to\infty}d_{\nu(k)}=0$, potom $A_{\nu^{(k)}}$<br />
je cauchyovská posloupnost v~$\B(\H)$, a tedy existuje<br />
$A=\lim_{k\to\infty}A_{\nu^{(k)}}$ v~$\B(\H)$, $A^*=A$. Navíc $A$<br />
nezávisí na volbě $\nu^{(k)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme druhou posloupnost $\sigma^{(k)}$, že<br />
$\lim_{k\to\infty}d_{\sigma^{(k)}}=0$, potom $\lim<br />
A_{\nu^{(k)}}=\lim A_{\sigma^{(k)}}$. Zavedeme $\mu^{(k)}$:<br />
$\nu^{(1)},\sigma^{(1)},\nu^{(2)},\sigma^{(2)},\dots$, Opět $\lim<br />
d_\mu^{(k)}=0$ a tedy $\lim A_{\mu^{(k)}}$ existuje a je stejná<br />
jako limity vybraných posloupností $A_{\sigma^{(k)}}$ a<br />
$A_{\nu^{(k)}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
Závěr tedy je, že integrál $\int\lambda\d P_\lambda$ pro daný rozklad jednotky $\{P_\lambda\}$ existuje v Riemannově smyslu. Nyní ukážeme, že každý hermitovský operátor lze tímto způsobem rozvinout.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{rozklad1}<br />
Ke každému $A\in\B(\H)$, $A^*=A$, existuje právě jeden rozklad identity<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ takový, že $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Navíc pro každé $C\in\B(\H)$ platí<br />
$CA=AC\iff\forall\lambda\ CP_\lambda=P_\lambda C$.<br />
\begin{proof}<br />
Z~předchozích lemmat víme, že pro $A=A^*$ existuje právě jeden<br />
projektor $E_+(A)$: $AE_+(A)\ge 0$, $A(I-E_+(A))\le 0$, $\Ker<br />
A\subset\Ran E_+(A)$.<br />
<br />
Pro každé $\lambda$ položme $P_\lambda=I-E_+(A-\lambda)$, kde<br />
$E_+[A-\lambda]$ je projektor $E_+$ odpovídající operátoru<br />
$A-\lambda$. Ukážeme, že $P_\lambda$ je rozklad jedničky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Položme $\lambda\le m_A=\inf_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra$. Pro každé<br />
$x\not=0$ je $\lambda\la x,x\ra\le m_A\la x,x\ra\le\la x,Ax\ra$ a tedy<br />
$0\le\la x,(A-\lambda)x\ra$. Proto $A-\lambda=\abs{A-\lambda}$, $\Ker<br />
(A-\lambda-\abs{A-\lambda})=\H$, $\Ran E_+[A-\lambda]=\H$ a<br />
$E_+[A-\lambda]=I\implies P_\lambda=0$.<br />
\item Buď $\lambda>M_A$. Potom pro $x\not=0$ je<br />
$\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra$ a<br />
$0\ge(\la x,(A-\lambda)x\ra$. Předpokládejme, že<br />
$0\not=x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom by $\la x,\lambda x\ra=\la x,Ax\ra\le<br />
M_A\la x,x\ra$ a $\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra=\la x,\lambda<br />
x\ra=\lambda\la x,x\ra$, což je spor. Tedy<br />
$\Ker(A-\lambda)=\{0\}$. Nulový operátor splňuje všechny<br />
požadavky kladené na $E_+$ a z~jednoznačnosti<br />
$E_+[A-\lambda]=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$. Ukážeme, že $P_\lambda P_\mu=P_\lambda\iff<br />
0=P_\lambda(I-P_\mu)$. Z~vlastností projektoru $E_+$ a<br />
nezápornosti (libovolného) projektoru plyne<br />
\[\underbrace{P_\lambda}_{\ge 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)(A-\mu)}_{\ge 0}\ge 0,<br />
\quad<br />
\underbrace{(A-\lambda)P_\lambda}_{\le 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)}_{\ge 0}\le 0.<br />
\]<br />
Spojením obou nerovností dostaneme<br />
\[\mu P_\lambda(I-P_\mu)\le AP_\lambda(I-P_\mu)\le<br />
\lambda P_\lambda(I-P_\mu).\]<br />
Pro každé $x$ tak platí<br />
\[\mu\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra\le\lambda\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra,\]<br />
a protože $\lambda<\mu$, je<br />
\[0\le\underbrace{(\lambda-\mu)}_{<0}<br />
\underbrace{\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra}_{\ge 0}.\]<br />
Z~toho plyne, že pro každé $x$ je<br />
\[0=\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra=\la x,P_\lambda^2(I-P_\mu)^2x\ra=<br />
\norm{P_\lambda(I-P_\mu)x}^2,\]<br />
a tedy $P_\lambda(I-P_\mu)=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$,<br />
$P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda=P_\mu(I-P_\lambda)$.<br />
Z~monotonie podle lemmatu \ref{slim} plyne existence<br />
$\slim_{\lambda\to\mu-}P_\lambda=P_{\mu-0}$, označme<br />
$P_0=P_\mu-P_{\mu-0}=\slim_{\lambda\to\mu-}P([\lambda,\mu))$.<br />
<br />
Obdobně jako výše se ukáže nerovnost $\lambda P(\Delta)\le<br />
AP(\Delta)\le\mu P(\Delta)$. Limitním přechodem dostáváme<br />
$\mu P_0\le AP_0\le\mu P_0\implies (A-\mu)P_0=0\iff \Ran<br />
P_0\subset\Ker(A-\mu)\subset\Ran E_+[A-\mu]=\Ran(I-P_\mu)$.<br />
Z~toho dále plyne $P_0\le I-P_\mu\iff P_0(I-P_\mu)=P_0\iff<br />
P_0P_\mu=0$. Současně $P([\lambda,\mu))P_\mu=<br />
(P_\mu-P_\lambda)P_\mu=P_\mu-P_\lambda=P([\lambda,\mu))$.<br />
Po provedení limity $P_0P_\mu=P_0$. Celkem $P_0=0$, takže<br />
$P_\lambda$ je spojitá zleva.<br />
\item Zbývá dokázat rovnost<br />
\[A=\int\lambda\,\d P_\lambda=\lim<br />
A_\nu=\lim\sum\tilde\nu_iP(\Delta_i^\nu).\]<br />
Opět jako předtím ukážeme $\nu_{i-1}P(\Delta_i^\nu)\le<br />
AP(\Delta_i^\nu)\le\nu_i P(\Delta_i^\nu)$. Platí<br />
\[A-A_\nu=\sum_i AP(\Delta_i^\nu)-<br />
\sum_i\tilde\nu_i P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i(\nu_i-\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i d_\nu P(\Delta_i^\nu)=d_\nu I.\]<br />
Podobně se to odhadne zdola: $A-A_\nu\ge-d_\nu I$. Celkem pro<br />
každé $x$ platí<br />
\[-d_\nu(x,x)\le(x,(A-A_\nu)x)\le d_\nu(x,x)\]<br />
a pro $x\not=0$<br />
\[\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Protože $A-A_\nu$ je samosdružený, je<br />
\[\norm{A-A_\nu}=\sup_{x\not=0}<br />
\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Je-li $\lim d_{\nu^{(k)}}=0$, potom $\lim A_{\nu^{(k)}}=A$<br />
v~$\B(\H)$ a proto $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\item Komutativnost: Je-li $CP_\lambda=P_\lambda C$, pak i<br />
$CP(\Delta_i^\nu)=P(\Delta_i^\nu)C$ a $CA_\nu=A_\nu C$,<br />
po provedení limity $CA=AC$. <br />
<br />
Je-li $CA=AC$, pak $C(A-\lambda)=(A-\lambda)C$, z~lemmatu pak<br />
plyne $CE_+[A-\lambda]=E_+[A-\lambda]C$, $CP_\lambda=P_\lambda<br />
C$.<br />
\item Jednoznačnost $P_\lambda$ dokážeme později.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buď $A\in\B(\H)$ normální. Potom $\norm{A}=r_\sigma(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Ax}^2&=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^*Ax\ra\le\norm{x}\norm{A^*Ax}=\\<br />
&=\norm{x}\sqrt{\la A^*Ax,A^*Ax\ra}=\norm{x}\sqrt{\la A^2x,A^2x\ra}=<br />
\norm{x}\norm{A^2x} \le \norm{A^2}\norm{x}^2,<br />
\end{split}\]<br />
dále postupujeme jako v~důkazu věty \ref{norma_herm}.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$, $p$ polynom. Umíme spočítat $p(A)$. Buď<br />
$f\in\c([m_A,M_A])$. Protože $A=A^*$, je $p(A)$ normální (hermitovský být nemusí, pokud nemá polynom reálné koeficienty) a platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{p(A)}&=r_\sigma(p(A))=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(p(A))\}=<br />
\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in p(\sigma(A))\}=\\<br />
&=\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in\sigma(A)\}\le<br />
\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in[m_A,M_A]\}=\norm{p}_\infty.<br />
\end{split}\]<br />
Z~Weierstrasse plyne, že pro $f\in\c([m_A,M_A])$ existuje posloupnost<br />
polynomů $p_n$ taková, že $\lim\norm{f-p_n}_\infty=0$. Posloupnost $p_n$ je<br />
cauchyovská v~$\c([m_A,M_A])$ a z~nerovnosti<br />
$\norm{p_n(A)-p_m(A)}\le\norm{p_n-p_m}_\infty$ plyne, že i $p_n(A)$ je<br />
cauchyovská v~$\B(\H)$, tudíž existuje $\lim p_n(A)$ v~$\B(\H)$.<br />
<br />
Tato limita nezávisí na volbě $p_n$. Pokud $q_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$, položíme $(r_n)=(p_1,q_1,p_2,q_2,\dots)$ a $r_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$ a podle věty o~vybraných posloupnostech $\lim<br />
p_n(A)=\lim q_n(A)=\lim r_n(A)$.<br />
<br />
Pokládáme $f(A)=\lim p_n(A)\in\B(H)$. Protože<br />
$p_n(A)p_n(A)^*=p_n(A)^*p_n(A)$, je i $f(A)f(A)^*=f(A)^*f(A)$, a tedy<br />
$f(A)$ je normální. Je-li $f$ reálná, lze i $p_n$ volit reálné a<br />
$p_n(A)^*=p_n(A)$, a tudíž i $f(A)^*=f(A)$. Je-li $f$ komplexní, je<br />
$\overline{p_n}(A)=p_n(A)^*$ a $\overline f(A)=f(A)^*$. Pro normu<br />
$f(A)$ platí odhad<br />
\[\norm{f(A)}=\lim_{n\to\infty}\norm{p_n(A)}\le<br />
\lim_{n\to\infty}\norm{p_n}_\infty=\norm{f}_\infty.\]<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky, $P_\lambda\equiv 0$ pro<br />
$\lambda\le m$, $P_\lambda\equiv I$ pro $\lambda>M$. Je-li<br />
$f\in\c([m,M])$, pak<br />
\[<br />
\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=\lim_{d(\nu)\to 0}\sum f(\tilde\nu_i)<br />
P(\Delta_i^\nu)\in\B(\H).<br />
\]<br />
Korektnost definice, tj. existence a jednoznačnost limity se ověří<br />
podobně jako u~$\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$, potom $f(A)=\int f(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda$.<br />
\begin{proof}<br />
Položme nejprve $f(\lambda)=\lambda^n$, $n\in\N_0$. Potom<br />
\[\int\lambda^n\,\d P_\lambda=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\sum_i\tilde\nu_i^n P(\Delta_i^\nu)=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\left(\sum_i\tilde\nu_i<br />
P(\Delta_i^\nu)\right)^n=<br />
\left(\int\lambda\,\d P_\lambda\right)^n=A^n,\]<br />
neboť při umocňování smíšené členy vypadnou díky tomu, že<br />
$P(\Delta_i^\nu)P(\Delta_j^\nu)=\delta_{ij}P(\Delta_i^\nu)$. Díky<br />
aditivitě pak tvrzení platí pro libovolný polynom.<br />
<br />
Normu integrálu lze odhadnout jako<br />
\[\norm{\int f(\lambda)\,\d P_\lambda}=\lim_{d(\nu)\to 0}<br />
\norm{\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)}<br />
\le\lim_{d(\nu)\to 0}\max_i\abs{f(\tilde\nu_i)}\le<br />
\norm{f}_\infty.\]<br />
Důsledkem odhadu je následující tvrzení: Jestliže $f_n\to f$<br />
v~$\c([m,M])$, potom $\lim\int f_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda$.<br />
<br />
Zvolíme posloupnost polynomů $p_n\to f$ v~$\c([m_A,M_A])$, potom<br />
\[f(A)=\lim p_n(A)=\lim\int p_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $f,g\in\c([m,M])$ reálné, $f(t)<g(t)$ pro každé<br />
$t\in[m,M]$. Potom<br />
\[\int f(\lambda)\,\d P_\lambda\le\int g(\lambda)\,\d P_\lambda.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $\nu$ platí<br />
\[\sum_{i}f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i}g(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{proof}[Důkaz jednoznačnosti rozkladu jedničky (věta \ref{rozklad1})]<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$. Nechť $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je<br />
rozklad jedničky takový, že $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Zvolíme<br />
posloupnost funkcí $f_n\in\c(\R)$, $0\le f_n\le 1$ ($\lambda_0$ je<br />
libovolné pevné):<br />
\[<br />
f_n(\lambda)=<br />
\begin{cases}<br />
1& \lambda\le\lambda_0-\frac1n\\<br />
0& \lambda\ge\lambda_0\\<br />
\text{lineární}& \lambda\in[\lambda-\frac1n,\lambda_0].<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Ukážeme, že $P_{\lambda_0-\frac1n}\le f_n(A)=\int f_n(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda\le P_{\lambda_0}$: Zvolíme posloupnost rozdělení<br />
$\nu^{(k)}$, $\lambda_0$ a $\lambda_0-\frac1n$ je dělicí bod pro<br />
každé $k$, $d(\nu^{(k)})\to 0$. Potom ($\lambda_0=\nu_{i(k)}$)<br />
\[\sum_i f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=<br />
\sum_{i\le i(k)}f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i\le i(k)}P(\Delta_i^\nu)=P((-\infty,\nu_{i(k)}))=<br />
P_{\lambda_0},\]<br />
neboť pro $i>i(k)$ je<br />
$\tilde\nu_i\in\Delta_i^\nu\subset[\lambda_0,+\infty)$ a<br />
$f_n(\tilde\nu_i)=0$. Obdobně se odhadne $\ge P_{\lambda_0-\frac1n}$.<br />
Provedením limity z monotonie dostaneme rovnost<br />
\[P_{\lambda_0}=\slim_{n\to\infty}f_n(A).\]<br />
Pravá strana nezávisí na rozkladu jedničky, takže rozklad<br />
$P_\lambda$ je jednoznačný.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buďte $f,g\in\c([m,M])$. Potom $f(A)g(A)=(fg)(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme $p_n\to f$, $q_n\to g$ posloupnosti polynomů, potom<br />
$p_nq_n\to fg$. Dále je<br />
\[(fg)(A)=\lim (p_nq_n)(A)=\lim p_n(A)q_n(A)=f(A)g(A).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\item Nechť $P_\lambda$ je konstantní na $[a,b]$, $f\in\c$, $\supp<br />
f\subset[a,b]$. Potom $\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=0$.<br />
\begin{proof}<br />
Můžeme požadovat, aby $a,b$ byly dělicí body. Potom buď<br />
$\Delta_i^\nu\subset[a,b)$ a<br />
$P(\Delta_i^\nu)=P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}}=0$ nebo<br />
$\Delta_i^\nu\cap[a,b)=\emptyset$ a<br />
$f(\tilde\nu_i)=0$. Proto<br />
\[\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=0\]<br />
pro každé takové $\nu$.<br />
\end{proof}<br />
\item Buď $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Pak<br />
\[\la x,Ax\ra=\lim\la x,A_\nu x\ra=<br />
\lim\sum_i\tilde\nu_i\la x,P(\Delta_i^\nu)x\ra=<br />
\int\lambda\,\d\la x,P_\lambda x\ra,\]<br />
což je Riemann--Stieltjesův integrál s~distribuční funkcí<br />
$F(\lambda)=\la x,P_\lambda x\ra$ a mírou $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$, a<br />
platí $F(x)=0$ pro $\lambda < m$, $F(x)=\norm{x}^2$ pro<br />
$\lambda>M$. Stejně tak je<br />
\[\la x,f(A)x\ra=\int f(\lambda)\,\d\la x,P_\lambda x\ra\]<br />
a<br />
\[\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^2x\ra=\int\lambda^2\,\d\la x,P_\lambda x\ra.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky a $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, právě když $P_\lambda$ je<br />
konstantní na nějakém okolí $\lambda$.<br />
\item $\lambda\in\sigma_P(A)$, právě když $P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda\not=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc $P_0$ je ortogonální projektor na $\Ker(A-\lambda)$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item (i) $\Leftarrow$: Položme $f=x-\lambda$,<br />
\[g(x)=<br />
\begin{cases}<br />
\frac1{x-\lambda}&\abs{x-\lambda}\ge\epsilon\\<br />
\text{lineární}&\abs{x-\lambda}\le\epsilon.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Zvolíme $\epsilon>0$ tak, aby $P_\lambda$ byla konstantní na<br />
$[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$. Zřejmě $f(A)=A-\lambda$,<br />
dále je $f(x)g(x)-1\in\c(\R)$,<br />
$\supp(fg-1)\subset[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$, podle<br />
předchozích poznámek je tedy $(fg-1)(A)=0$ a<br />
$(A-\lambda)g(A)-I=f(A)g(A)-I=0$, $(A-\lambda)g(A)=I$,protože je $g$ omezené, <br />
$g(A)=(A-\lambda)^{-1}\in\B(\H)$ a tedy $\lambda\in\rho(A)$.<br />
\item (i) $\Rightarrow$: Nechť $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, podle Weylova<br />
kritéria existuje $M>0$ tak, že $\norm{(A-\lambda)x}\ge<br />
M\norm{x}$ pro každé $x$. Zvolme $\Delta=[\lambda-\frac<br />
M2,\lambda+\frac M2)$. Stejně jako v~důkazu věty \ref{rozklad1}<br />
ukážeme nerovnost<br />
\[\left(\lambda-\frac M2\right)P(\Delta)\le P(\Delta)A\le<br />
\left(\lambda+\frac M2\right)P(\Delta).\]<br />
Tu lze přepsat ve tvaru<br />
\[-\frac M2 P(\Delta)\le(A-\lambda)P(\Delta)\le<br />
\frac M2 P(\Delta).\]<br />
Pokud $P(\Delta)\not=0$, je $\norm{P(\Delta)}=1$ a musí platit<br />
\[\norm{(A-\lambda)P(\Delta)}=<br />
\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,(A-\lambda)P(\Delta)x\ra}\le<br />
\sup_{\norm{x}=1}\frac M2\abs{\la x,P(\Delta)x\ra}=\frac M2.\]<br />
Potom ale pro $x\in\Ran P(\Delta)$ platí<br />
\[\frac M2\norm{x}\ge\norm{(A-\lambda)P(\Delta)x}=<br />
\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x},\]<br />
což je spor.<br />
\item (ii) Stačí dokázat, že $\Ker(A-\lambda) = \Ran P_0$<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\supset:$]<br />
<br />
Buď $\mu>\lambda$, $P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda$,<br />
\[P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda=\slim_{\mu\to\lambda+}P([\lambda,\mu)).\]<br />
Opět<br />
\[\lambda P([\lambda,\mu))\le AP([\lambda,\mu))\le<br />
\mu P([\lambda,\mu)).\]<br />
Limitním přechodem $\mu\to\lambda+$ dostáváme $\lambda P_0\le<br />
AP_0\le\lambda P_0\implies (A-\lambda)P_0=0$, což je<br />
ekvivalentní s~inkluzí $\Ran P_0\subset\Ker(A-\lambda)$.<br />
<br />
\item[$\subset:$] Buď $x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom<br />
\[0=\norm{(A-\lambda)x}^2 =(x,(A-\lambda)^2 x)=\int(\mu-\lambda)^2\,\d(x,P_\mu x),\]<br />
z~čehož plyne nulovost míry $(-\infty,\lambda)$ a<br />
$(\lambda,+\infty)$. Proto zobrazení $\mu\mapsto(x,P_\mu x)$ je<br />
konstantní pro $\mu<\lambda$ a $\mu>\lambda$. Z definice rozkladu jednotky proto musí být <br />
nutně $\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=0$ pro $\mu<\lambda$ a<br />
$\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=\norm{x}^2$ pro $\mu>\lambda$. <br />
<br />
Z~toho plyne, že<br />
\[P_\mu x=<br />
\begin{cases}<br />
0&\mu<\lambda\\<br />
x&\mu>\lambda.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Protože $P_\lambda$ je spojité zleva, je $P_\lambda x=0$ a<br />
\[P_0 x=\lim_{\mu\to\lambda+}(P_\mu-P_\lambda)x=<br />
\lim_{\mu\to\lambda+}x=x.\]<br />
Tedy $x\in\Ran P_0$ a $\Ker(A-\lambda)\subset\Ran P_0$.<br />
<br />
Celkem $\Ker(A-\lambda)=\Ran P_0$ a z~toho také plyne tvrzení<br />
(ii).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola0&diff=560501FA2:Kapitola02015-09-30T12:59:15Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section*{\'Uvod}<br />
Pokud je nám známo, vznikla tato wikiskripta -- podobně jako mnohá jiná -- na základech zápisků od Jindřicha Makovičky (které je možno nalézt na školním FTP).<br />
<br />
V akademickém roce 2014/2015 došlo k důkladné revizi, o niž se zasloužil především Daniel Gromada a v menší míře Jakub Krásenský a Patrik Urban. Byly doplněny další kapitoly, které ve skriptu do té doby úplně chyběly, aby text co nejlépe odpovídal obsahu přednášky FA2. Kapitoly 7--9 pocházejí z původní verze poznámek a nebyly nijak upravovány; látka v nich probíraná s přednáškou ale nijak nesouvisí. Obsah kapitol 1--6 odpřednášel naopak pan profesor Šťovíček téměř kompletně, i když závěr kapitoly o spektrálním rozkladu hermitovského operátoru nestihl.<br />
<br />
Některé důkazy se na přednášce prováděly jiným způsobem; pokud se od původního důkazu skripta výrazně odlišují, snažíme se na to upozornit. Ještě se cítíme povinni čtenáře varovat, že pojem \emph{hermitovského} operátoru pan profesor nepoužívá a mluví zásadně o operátoru \emph{omezeném samosdruženém}. V upravených kapitolách 1--6 jsme se pokusili sjednotit značení skalárního součinu pomocí úhlových závorek, jako tomu bylo u našich přednášek, naopak v kapitolách 7--9 jsou ponechány kulaté. Je však pravděpodobné, že jsme nebyli zcela důslední. Pokud naši nedůslednost napravíte, můžete předejít zmatení dalších studentů. Stejně tak budeme rádi, pokud budete opravovat drobné chyby, které se v textu bohužel rovněž mohou vyskytovat.<br />
<br />
Hlavní sdělení je toto: Pokud se na zkoušku z FA2 v roce 2014/2015 naučíte prvních šest kapitol, měli byste projít. A pokud čtete tento text a je rok 2020 nebo vyšší, znamená to, že se několik ročníků pod vámi flákalo. Prosím budoucí generaci o editování -- přinejmenším tohoto odstavce.</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola3&diff=560401FA2:Kapitola32015-09-30T12:50:35Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
<br />
Mějme samosdružený operátor $A$. Je-li dimenze $\H$ konečná, existuje ortonormální báze z~vlastních<br />
vektorů $\{x_n\}$: $Ax_k=\lambda_k x_k$, a tedy můžeme psát<br />
\[\H=\osum_{i=1}^m\Ker(A-\lambda_i'),\]<br />
kde $\lambda_1',\dots,\lambda_m'$ jsou různá vlastní čísla. Operátor $A$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci<br />
projektorů na vlastní podprostory $\{P_1,\dots,P_m\}$:<br />
\[A=\sum_{i=1}^m\lambda_i'P_i.\]<br />
<br />
Na nekonečné dimenzi lze totéž provést pro $A$ kompaktní operátor. Ten má totiž čistě bodové spektrum, tj. existuje ON báze z vlastních vektorů. Jeho bodové spektrum je nejvýše spočetné a jediným možným hromadným bodem je nula, vlastní hodnoty tedy lze seřadit podle velikosti v absolutní hodnotě od největšího k nejmenšímu. Kompaktní operátor pak lze rozložit na nejvýše spočetnou sumu stejně jako výše.<br />
<br />
V náseledující kapitole popsaný \emph{spektrální rozklad} zobecníme na libovolné hermitovské operátory. Již nám však nebude stačit ani nekonečná suma, ale vybudujeme za tímto účelem integrál. Nejprve však bude následovat množství potřebných lemmat týkajících se hermitovských operátorů.<br />
<br />
\begin{lemma}\label{slim}<br />
Buď $A_n\in\B(\H)$, $A_1\ge A_2\ge\dots\ge A_n\ge\dots\ge<br />
0$ (tedy $A=A^*$). Potom existuje \[A=\slim_{n\to\infty}A_n \in \B(\H)\] a pro každé $n$ je<br />
$A_n\ge A\ge 0$. Jinými slovy klesající posloupnost hermitovských operátorů má silnou limitu.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\H$. Díky předpokladům je posloupnost $\{\la x,A_n x\ra\}_n$<br />
nerostoucí omezená číselná posloupnost, tudíž má limitu, a je tedy cauchyovská. Protože<br />
\[\norm{A_n}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,A_nx\ra}=\sup_{\norm{x}=1}\la x,A_nx\ra,\]<br />
je také $\norm{A_1}\ge\norm{A_2}\ge\dots$<br />
<br />
Ukážeme, že pro libovolné $x\in\H$ je $A_nx$ cauchyovská. Z úplnosti $\H$ to bude znamenat, že existuje silná limita $A$ splňující $Ax=\lim A_nx$ na celém $\H$. Pro $m,n\in\N$ je <br />
\[\norm{(A_m-A_n)x}^2\le\norm{A_m-A_n}\abs{\la x,(A_m-A_n)x\ra}\le 2\norm{A_1}\abs{\la x,A_mx\ra -\la x,A_nx\ra}<2\norm{A_1}\epsilon.\]<br />
<br />
Nyní dokážeme omezenost $A$. Ze spojitosti normy dostaneme<br />
\[\norm{Ax}=\lim\norm{A_nx}\le\lim\norm{A_n}\norm{x}\le\norm{A_1}\norm{x}.\]<br />
<br />
Nakonec ze spojitosti skalárního součinu je $\la x,Ax\ra$ limita klesající nezáporné posloupnosti $\la x,A_nx\ra$. Platí tedy<br />
\[0\le\la x,Ax\ra\le\la x,A_nx\ra,\]<br />
tj. $0\le A\le A_n$ pro každé $n\in\N$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{ABnezap}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A\ge 0$, $B\ge 0$ a $AB=BA$. Potom $AB\ge 0$. Jinými slovy součin pozitivních komutujících operátorů je pozitivní.<br />
\begin{proof}<br />
Definujme posloupnost $A_n\in\B(\H)$:<br />
\[A_1=A,\quad<br />
A_{n+1}=A-\sum_{k=1}^n A_k^2=<br />
\left(A-\sum_{k=1}^{n-1}A_k^2\right)-A_n^2.\]<br />
Zřejmě $A_{n+1}=A_n-A_n^2$. Bez újmy na obecnosti můžeme<br />
předpokládat, že $\norm{A}\le 1$. Pak platí, že<br />
\[\sup_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra=\norm{A}\le 1,\]<br />
a z~toho plyne, že pro každé $x$ je $\la x,Ax\ra\le\norm{x}^2=\la x,x\ra$, a<br />
tedy $0\le A\le I$. Dokážeme, že pro každé $n$ je $0\le A_n\le I$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n=1$: $A_1=A\le I$.<br />
\item $n\to n+1$: Z~předpokladu $0\le A_n\le I$ plyne<br />
\[\la x,A_n^2x\ra =\la A_n x,A_n x\ra =\norm{A_n x}^2\le<br />
\norm{A_n}\la x,A_n x\ra\le\la x,A_n x\ra.\]<br />
Z~toho také plyne, že<br />
\[0\le\la x,(A_n-A_n^2)x\ra=\la x,A_{n+1}x\ra,\]<br />
a proto $0\le A_{n+1}$. Konečně $A_{n+1}=A_n-A_n^2\le A_n\le I$.<br />
\end{enumerate}<br />
Protože pro každé $n\in\N$ je $A_n^2\ge 0$ a $A_{n+1}\le<br />
A_{n+1}+A_n^2=A_n$, je $A_2\ge A_3\ge\dots\ge A_{n+1}\ge\dots\ge<br />
0$. Podle předchozího lemmatu existuje $\slim A_n$, a tedy<br />
existuje i<br />
\[\slim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n A_k^2=\sum_{k=1}^\infty A_k^2.\]<br />
Díky spojitosti skalárního součinu platí pro každé $x\in\H$<br />
\[\infty>\left\langle,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 x\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty(x,A_k^2 x)=<br />
\sum_{k=1}^\infty\norm{A_k x}^2.\]<br />
Pro každé $x$ je proto $\lim_{k\to\infty}\norm{A_k x}=0$ a<br />
$\slim_{n\to\infty}A_n=0$. Proto (v~silném smyslu) platí<br />
\[\sum_{k=1}^\infty A_k^2=A.\]<br />
Z~konstrukce posloupnosti $\{A_n\}$ plyne, že $A_n=p_n(A)$, kde<br />
$p_n$ je polynom. Protože $AB=BA$, pro každé $n$ také platí<br />
$A_nB=BA_n$, a proto<br />
\[\la x,ABx\ra =\left\langle x,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 Bx\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty\la x,A_kBA_k x\ra=<br />
\sum_{k=1}^\infty\underbrace{\la A_k x,BA_kx\ra}_{\ge 0}\ge 0.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Triviálně platí naopak, že je-li součin pozitivních operátorů také pozitivní, musejí operátory komutovat. Pozitivita totiž znamená hermitovskost, a tak $BA=B^*A^*=(AB)^*=AB$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{limkomutuje}<br />
Nechť $X_n,Y_n\in\B(\H)$ a existují $X=\slim X_n$, $Y=\slim<br />
Y_n$. Potom $XY=\slim X_nY_n$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $x$ je<br />
\[XYx-X_nY_nx=\underbrace{(X-X_n)}_{\to 0}Yx+X_n(Y-Y_n)x.\]<br />
Z~principu stejnoměrné omezenosti plyne existence $K>0$ takového, že pro každé $n$ je $\norm{X_n}\le K$, a tedy<br />
$\norm{X_n(Y-Y_n)x}\le K\norm{(Y-Y_n)x}\to 0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}[o odmocnině z operátoru]<br />
\label{odmocnina}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom existuje právě jeden<br />
$B\in\B(\H)$, $B\ge 0$ takový, že $B^2=A$. Navíc pro každý<br />
$C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\iff CB=BC$. Značíme $B=\sqrt{A}=A^{1/2}$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Existence: Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $\norm{A}\le 1$ (jinak vezmeme $A/\norm A)$ a proto $0\le A\le I$. Vytvoříme posloupnost operátorů $B_n\in\B(\H)$: $B_0=0$,<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$. Ukážeme, že $0\le B_n\le<br />
B_{n+1}\le I$.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Pro $n=0$ je $B_0=0$ a $B_1=\frac12A$ a $0\le B_0\le<br />
B_1\le I$.<br />
\item Přechod $n\to n+1$: Protože $0\le B_n\le I$, je $B_n^2\le<br />
B_n$, neboť<br />
\[\la x,B_n^2 x\ra=\norm{B_n x}^2\le\norm{B_n}\la x,B_n x\ra<br />
\le\la x,B_n x\ra.\]<br />
Dále platí<br />
\[B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)\ge B_n+\frac12(A-B_n)=<br />
\frac12(A+B_n)\ge 0\]<br />
a<br />
\[\begin{split}<br />
I-B_{n+1}&=I-B_n-\frac12(A-B_n^2)=<br />
\frac12(I-A)+\frac12(B_n^2-2B_n+I^2)=\\<br />
&=\frac12(I-A)+\frac12(\underbrace{I-B_n}_{\ge0})^2\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
tedy $0\le B_{n+1}\le I$.<br />
<br />
Nerovnost $B_{n+1}\ge B_n$ je splněna, právě když $A\ge<br />
B_n^2$. Předpokládejme, že pro $n-1$ to platí. Potom<br />
\[\begin{split}<br />
A-B_n^2&=A-\left(B_{n-1}+\frac12(A-B_{n-1}^2)\right)^2=\\<br />
&=A-B_{n-1}^2-B_{n-1}(A-B_{n-1}^2)-\frac14(A-B_{n-1}^2)^2=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-B_{n-1}-\frac14(A-B_{n-1}^2)\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-\frac12B_{n-1}-\frac12B_n\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(\frac12(I-B_{n-1})+\frac12(I-B_n)\right)<br />
\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
protože $A-B_{n-1}^2\ge 0$, $I-B_{n-1}\ge 0$ a $I-B_n\ge 0$.<br />
Předchozí úpravy jsou korektní, neboť $B_n$ je polynom v~A~a<br />
pro $C\in\B(\H)$ komutující s~$A$ také platí $CB_n=B_nC$.<br />
Specielně pro každé $n$ je $AB_n=B_n A$ a pro každé $m,n$ je<br />
$B_nB_m=B_mB_n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Protože $0\le B_n\le B_{n+1}\le I$, podle lemmatu \ref{slim}<br />
(aplikovaného na $B_n'=I-B_n$) existuje $\slim B_n$ a pro každé<br />
$n\in\N$ je $B_n\le B\le I$. Navíc, protože $CA=AC$ a tedy<br />
$CB_n=B_nC$, je podle lemmatu \ref{limkomutuje} $CB=BC$.<br />
<br />
Specielně $\slim B_n^2=B^2$ a protože<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$, limitním přechodem dostáváme<br />
$B=B+\frac12(A-B^2)$. Tedy $B^2=A$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde B\in\B(\H)$, $\tilde B\ge<br />
0$, $A=\tilde B^2$. Potom $\tilde BA=A\tilde B$, $B\tilde<br />
B=\tilde B B$ a $0=B^2-\tilde B^2=(B+\tilde B)(B-\tilde B)$.<br />
<br />
Buď $x\in\H$ libovolné, $y=(B-\tilde B)x$. Potom $(B+\tilde<br />
B)y=0$. Dále platí<br />
\[0=\la y,(B+\tilde B)y\ra=\underbrace{\la y,By\ra}_{\ge 0}+<br />
\underbrace{\la y,\tilde By\ra}_{\ge 0},\]<br />
proto $\la y,By\ra=\la y,\tilde By\ra=0$ a<br />
$\norm{By}^2\le\norm{B}\la y,By\ra=0$, a tedy $By=0$. Obdobně i<br />
$\tilde By=0$.<br />
<br />
Dále platí $(B-\tilde B)^2x=(B-\tilde B)y=0$, a proto<br />
\[0=\la x,(B-\tilde B)^2x\ra=\la(B-\tilde B)x,(B-\tilde B)x\ra=<br />
\norm{(B-\tilde B)x}^2\]<br />
pro každé $x$. Dokázali jsme tak, že $B=\tilde B$. Tedy $B$ je<br />
určen jednoznačně.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $A^2\ge 0$, a můžeme tedy definovat<br />
\uv{absolutní hodnotu} jako $(A^2)^{1/2}=:\abs{A}\ge 0$<br />
a platí, že $\abs{A}^2=A^2$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut1}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$ a buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker<br />
A$. Potom pro každé $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\implies CP=PC$.<br />
\begin{proof}<br />
Protože $\Ran P=\Ker A$, je $AP=0$. Buď $C\in\B(\H)$,<br />
$CA=AC$. Potom\\ $0=CAP=ACP\iff\Ran CP\subset\Ker A\iff PCP=CP$,<br />
neboť $x\in\Ker A$ $\iff Px=x$. Z~vlastností sdruženého operátoru<br />
plyne $CA=AC\implies AC^*=C^*A$ a tedy $PC^*P=C^*P$, sdružením získáme<br />
$PCP=PC$ a tedy celkem $CP=PC$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut2}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A^*=A$, $B^*=B$ a navíc $AB=BA$,<br />
$A^2=B^2$. Buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-B)$. Potom $P$<br />
komutuje s~$A$ a $B$ a<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $A=PB+(I-P)(-B)$,<br />
\item $\Ker A=\Ker B\subset\Ker(A-B)\equiv\Ran P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Protože $A=A^*$, $B=B^*$, je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og1}<br />
(A-B)P=0=P(A-B).<br />
\end{equation}<br />
Dále, protože $A^2=B^2$ a $AB=BA$, je<br />
$(A-B)(A+B)=0\iff\Ran(A+B)\subset\Ker(A-B)$, což je ekvivalentní<br />
s~rovností<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og2}<br />
P(A+B)=A+B.<br />
\end{equation}<br />
Z~předchozího lemmatu plyne, že $A(A-B)=(A-B)A\implies AP=PA$,<br />
$B(A-B)=(A-B)B\implies BP=PB$. Odečtením \eqref{eq:og1} a<br />
\eqref{eq:og2} dostaneme<br />
\[2PB=A+B\iff A=2PB-B=PB+(I-P)(-B).\]<br />
Bod (ii) plyne z rovnosti<br />
$$A^2= B^2 \Rightarrow \la x,A^2x\ra = \la x,B^2x\ra \Rightarrow \norm{Ax} = \norm{Bx}$$<br />
%\[x\in\Ker A\iff Ax=0\iff 0=\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\]<br />
takže $\Ker A = \Ker B$. Zřejmě $x\in\Ker A\implies<br />
x\in\Ker(A-B)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Ke každému samosdruženému operátoru $A\in\B(\H)$ existuje právě<br />
jeden ortogonální projektor $E_+$ s~vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $AE_+\ge 0$, $A(I-E_+)\le 0$,<br />
\item $\Ker A\subset\Ran E_+$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc platí (iii) pro každé $C\in\B(\H)$ $CA=AC\implies CE_+=E_+C$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existence: V~předchozím lemmatu položíme $B=\abs{A}$,<br />
$E_+=P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-\abs{A})$. Z~lemmatu<br />
plyne, že $E_+$ komutuje s~$A$ a $\abs{A}$ a dále<br />
$A=E_+\abs{A}+(I-E_+)(-\abs{A})$. Aplikací $E_+$ na tuto rovnost<br />
a s využitím lemmatu \ref{ABnezap} dostaneme<br />
$E_+A=E_+\abs{A}\ge 0$ a $(I-E_+)A=-(I-E_+)\abs{A}\le 0$. Tím je<br />
dokázán bod (i).<br />
<br />
Bod (ii) plyne bezprostředně z bodu (ii) předchozího lemmatu.<br />
<br />
Nechť $C\in\B(\H)$, $CA=AC$. Potom i $CA^2=A^2C$ a z~věty o odmocnině<br />
\ref{odmocnina} plyne $C\abs{A}=\abs{A}C$. Proto<br />
$C(A-\abs{A})=(A-\abs{A})C$ a podle lemmatu \ref{og_komut1} je<br />
$CE_+=E_+C$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde E_+$ splňuje (i), (ii). Položme<br />
\[\tilde A=\underbrace{\tilde E_+A}_{\ge 0}+\underbrace{(I-\tilde<br />
E_+)(-A)}_{\ge 0}\ge 0,\] <br />
pak $\tilde A^2=\tilde E_+A^2+(I-\tilde<br />
E_+)A^2=A^2$. Z~jednoznačnosti absolutní hodnoty pak plyne<br />
$\tilde A=\abs{A}=E_+A+(I-E_+)(-A)$ a<br />
\[0=\tilde A-\abs{A}=(\tilde E_+ - E_+)A+(E_+ - \tilde<br />
E_+)(-A)=2(\tilde E_+ - E_+)A,\]<br />
protože komutují. <br />
<br />
To je ekvivalentní s~tím, že $\Ran(\tilde E_+ - E_+)\subset\Ker<br />
A\subset\Ran E_+,\Ran \tilde E_+$, tedy<br />
\[E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\quad<br />
\tilde E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\]<br />
proto $E_+\tilde E_+=\tilde E_+$, $\tilde E_+E_+=E_+\implies<br />
E_+\tilde E_+=E_+$ (vlastnosti sdruženého operátoru). Z~toho<br />
plyne $\tilde E_+=E_+$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že jednoparametrická množina ortogonálních projektorů<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je \emph{rozkladem jedničky}, právě<br />
když splňuje<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item monotonie: $\lambda\le\mu\implies P_\lambda\le P_\mu$,<br />
\item silná spojitost zleva: $\slim_{\mu\to\lambda-}P_\mu=P_\lambda$,<br />
\item existují $-\infty<m\le M<+\infty$ tak, že $P_\lambda=0$ pro každé<br />
$\lambda\le m$ a $P_\lambda=I$ pro každé $\lambda > M$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $P\le Q$,<br />
\item $\Ran P\subset\Ran Q$,<br />
\item $\Ker Q\subset\Ker P$,<br />
\item $PQ=QP=P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\Ran P\perp\Ran Q$,<br />
\item $PQ=QP=0$,<br />
\end{enumerate}<br />
Jsou-li tyto podmínky splněny, řekneme, že jsou projektory $P$ a $Q$ vzájemně kolmé.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V následujících odstavcích bychom chtěli dát smysl výrazu $\int\lambda\d P_\lambda$, jež bude představovat spektrální rozklad pro obecné hermitovské operátory. Ačkoliv by šlo definovat pojem tzv. spektrální míry, provedeme pro jednoduchost konstrukci pouze v Riemannově smyslu.<br />
<br />
%Projekční míra je zobrazení $(-\infty,\lambda)\mapsto P_\lambda$.<br />
%Buď $\mu<\lambda$, položme<br />
%$\Delta=[\mu,\lambda)=(-\infty,\lambda)\sm(-\infty,\mu)\mapsto<br />
%P_\lambda-P_\mu$. $P(\Delta)=P_\lambda-P_\mu=P_\lambda(I-P_\mu)$ je OG<br />
%projektor. Protože $P_\mu\le P_\lambda$, je $\Ran P_\mu\subset\Ran<br />
%P_\lambda$ a $\Ran P_\lambda=\Ran P_\mu\oplus\Ran(P_\lambda-P_\mu)$.<br />
<br />
Uvažujme tedy rozklad jednotky $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ a vezměme libovolná čísla $a\le m$ a $b>M$. Uvažujme rozdělení $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ intervalu $(a,b)$, tj. posloupnost splňující $a=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_n=b$. Definujme dále intervaly $\Delta_k:=[\nu_{k-1},\nu_k)$ pro<br />
$k=1,\dots,n$ a projektory $P(\Delta_k):=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}$. Jedná se jistě o hermitovské operátory a z monotonie snadno ukážeme, že jde skutečně o projektory<br />
\[P(\Delta_k)^2=P_{\nu_k}^2-P_{\nu_k}P_{\nu_{k-1}}-P_{\nu_{k-1}}P_{\nu_k}+P_{\nu_{k-1}}^2=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}=P(\Delta_k).\]<br />
Dále z monotonie ukážeme, že jsou tyto operátory vzájemně kolmé. Předpokládejme $j<k$, pak<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=(P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}})(P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}})=P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}}-P_{\nu_j}+P_{\nu_{j-1}}=0\]<br />
Díky monotonii projektory komutují, takže rovnost platí i pro opačné pořadí. Výsledek je možné psát v kompaktním tvaru<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=\delta_{jk}P(\Delta_j).\]<br />
<br />
Dále si můžeme povšimnout, že<br />
\[\sum_{k=0}^nP(\Delta_k)=P_b-P_a=I.\]<br />
<br />
Zvolme nyní v každém intervalu $\Delta_k$ libovolné $\tilde\nu_k\in\Delta_k$ a označme<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_k P(\Delta_k)\in\B(\H),\quad<br />
A_\nu^*=A_\nu.\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme $\{P_j\}_{j=1}^n$ množinu nenulových OG projektorů,<br />
$P_iP_j=\delta_{ij}P_i$, $\sum_{j=1}^n P_j=I$,<br />
$\{\lambda_j\}_{j=1}^n\subset\C$. Potom<br />
\[\norm{\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j}=\max_{1\le j\le<br />
n}\{\abs{\lambda_j}\}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme $X=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j$. Pak<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Xu}^2&=(Xu,Xu)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n<br />
\overline{\lambda_i}\lambda_j(P_iu,P_ju)=<br />
\sum_{i=1}^n\abs{\lambda_i}^2(u,P_iu)\le\\<br />
&\le\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\sum_{i=1}^n(u,P_iu)=<br />
\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\norm{u}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $(P_iu,P_ju)=(u,P_iP_ju)=\delta_{ij}(u,P_iu)$. Označme<br />
$\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}=\abs{\lambda_{j_0}}$ a zvolme<br />
$u\in\Ran P_{j_0}$. Pak $Xu=\lambda_{j_0}u$, a proto<br />
$\norm{X}=\abs{\lambda_{j_0}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Označme normu rozdělení $d_\nu=\max_{1\le j\le n}(\nu_j-\nu_{j-1})$. Nyní budeme chtít ukázat, že pro všechny normální posloupnosti rozdělení integrální součet $A_\nu$ konverguje ke stejnému operátoru.<br />
<br />
Vezměme tedy $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ a $\mu=(\mu_j)_{j=0}^m$ dvě rozdělení a označme $\sigma=(\sigma_l)_{l=0}^p$ jejich společné zjemnění. Zřejmě je každý interval rozdělení $\sigma$ podintervalem právě jednoho z intervalů rozdělení $\nu$ i $\mu$, tj. pro každé $l$ existuje právě jedno $j$ a právě jedno $k$ tak, že $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_j^\mu$ a $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_k^\nu$. Položme pak $\sigma_l':=\tilde\mu_j$ a $\sigma_l'':=\tilde\nu_k$. Potom můžeme psát<br />
\[A_\mu=\sum_{j=1}^m\tilde\mu_jP(\Delta_j^\mu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l'P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_kP(\Delta_k^\nu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l''P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
takže<br />
\[\norm{A_\mu-A_\nu}=\norm{\sum_{l=1}^p(\sigma_l'-\sigma_l'')P(\Delta_l^\sigma)}\le\max_{l\in\hat p}\abs{\sigma_l'-\sigma_l''}=\max_{\Delta_j^\mu\cap\Delta_k^\nu\neq\emptyset}\abs{\tilde\mu_j-\tilde\nu_k}\le d_\mu+d_\nu.\]<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Je-li $\nu^{(k)}=\{\nu_j^{(k)}\}_{j=0}^{n_k}$ taková posloupnost<br />
rozdělení, že $\lim_{k\to\infty}d_{\nu(k)}=0$, potom $A_{\nu^{(k)}}$<br />
je cauchyovská posloupnost v~$\B(\H)$, a tedy existuje<br />
$A=\lim_{k\to\infty}A_{\nu^{(k)}}$ v~$\B(\H)$, $A^*=A$. Navíc $A$<br />
nezávisí na volbě $\nu^{(k)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme druhou posloupnost $\sigma^{(k)}$, že<br />
$\lim_{k\to\infty}d_{\sigma^{(k)}}=0$, potom $\lim<br />
A_{\nu^{(k)}}=\lim A_{\sigma^{(k)}}$. Zavedeme $\mu^{(k)}$:<br />
$\nu^{(1)},\sigma^{(1)},\nu^{(2)},\sigma^{(2)},\dots$, Opět $\lim<br />
d_\mu^{(k)}=0$ a tedy $\lim A_{\mu^{(k)}}$ existuje a je stejná<br />
jako limity vybraných posloupností $A_{\sigma^{(k)}}$ a<br />
$A_{\nu^{(k)}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
Závěr tedy je, že integrál $\int\lambda\d P_\lambda$ pro daný rozklad jednotky $\{P_\lambda\}$ existuje v Riemannově smyslu. Nyní ukážeme, že každý hermitovský operátor lze tímto způsobem rozvinout.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{rozklad1}<br />
Ke každému $A\in\B(\H)$, $A^*=A$, existuje právě jeden rozklad identity<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ takový, že $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Navíc pro každé $C\in\B(\H)$ platí<br />
$CA=AC\iff\forall\lambda\ CP_\lambda=P_\lambda C$.<br />
\begin{proof}<br />
Z~předchozích lemmat víme, že pro $A=A^*$ existuje právě jeden<br />
projektor $E_+(A)$: $AE_+(A)\ge 0$, $A(I-E_+(A))\le 0$, $\Ker<br />
A\subset\Ran E_+(A)$.<br />
<br />
Pro každé $\lambda$ položme $P_\lambda=I-E_+(A-\lambda)$, kde<br />
$E_+[A-\lambda]$ je projektor $E_+$ odpovídající operátoru<br />
$A-\lambda$. Ukážeme, že $P_\lambda$ je rozklad jedničky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Položme $\lambda\le m_A=\inf_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra$. Pro každé<br />
$x\not=0$ je $\lambda\la x,x\ra\le m_A\la x,x\ra\le\la x,Ax\ra$ a tedy<br />
$0\le\la x,(A-\lambda)x\ra$. Proto $A-\lambda=\abs{A-\lambda}$, $\Ker<br />
(A-\lambda-\abs{A-\lambda})=\H$, $\Ran E_+[A-\lambda]=\H$ a<br />
$E_+[A-\lambda]=I\implies P_\lambda=0$.<br />
\item Buď $\lambda>M_A$. Potom pro $x\not=0$ je<br />
$\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra$ a<br />
$0\ge(\la x,(A-\lambda)x\ra$. Předpokládejme, že<br />
$0\not=x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom by $\la x,\lambda x\ra=\la x,Ax\ra\le<br />
M_A\la x,x\ra$ a $\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra=\la x,\lambda<br />
x\ra=\lambda\la x,x\ra$, což je spor. Tedy<br />
$\Ker(A-\lambda)=\{0\}$. Nulový operátor splňuje všechny<br />
požadavky kladené na $E_+$ a z~jednoznačnosti<br />
$E_+[A-\lambda]=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$. Ukážeme, že $P_\lambda P_\mu=P_\lambda\iff<br />
0=P_\lambda(I-P_\mu)$. Z~vlastností projektoru $E_+$ a<br />
nezápornosti (libovolného) projektoru plyne<br />
\[\underbrace{P_\lambda}_{\ge 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)(A-\mu)}_{\ge 0}\ge 0,<br />
\quad<br />
\underbrace{(A-\lambda)P_\lambda}_{\le 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)}_{\ge 0}\le 0.<br />
\]<br />
Spojením obou nerovností dostaneme<br />
\[\mu P_\lambda(I-P_\mu)\le AP_\lambda(I-P_\mu)\le<br />
\lambda P_\lambda(I-P_\mu).\]<br />
Pro každé $x$ tak platí<br />
\[\mu\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra\le\lambda\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra,\]<br />
a protože $\lambda<\mu$, je<br />
\[0\le\underbrace{(\lambda-\mu)}_{<0}<br />
\underbrace{\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra}_{\ge 0}.\]<br />
Z~toho plyne, že pro každé $x$ je<br />
\[0=\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra=\la x,P_\lambda^2(I-P_\mu)^2x\ra=<br />
\norm{P_\lambda(I-P_\mu)x}^2,\]<br />
a tedy $P_\lambda(I-P_\mu)=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$,<br />
$P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda=P_\mu(I-P_\lambda)$.<br />
Z~monotonie podle lemmatu \ref{slim} plyne existence<br />
$\slim_{\lambda\to\mu-}P_\lambda=P_{\mu-0}$, označme<br />
$P_0=P_\mu-P_{\mu-0}=\slim_{\lambda\to\mu-}P([\lambda,\mu))$.<br />
<br />
Obdobně jako výše se ukáže nerovnost $\lambda P(\Delta)\le<br />
AP(\Delta)\le\mu P(\Delta)$. Limitním přechodem dostáváme<br />
$\mu P_0\le AP_0\le\mu P_0\implies (A-\mu)P_0=0\iff \Ran<br />
P_0\subset\Ker(A-\mu)\subset\Ran E_+[A-\mu]=\Ran(I-P_\mu)$.<br />
Z~toho dále plyne $P_0\le I-P_\mu\iff P_0(I-P_\mu)=P_0\iff<br />
P_0P_\mu=0$. Současně $P([\lambda,\mu))P_\mu=<br />
(P_\mu-P_\lambda)P_\mu=P_\mu-P_\lambda=P([\lambda,\mu))$.<br />
Po provedení limity $P_0P_\mu=P_0$. Celkem $P_0=0$, takže<br />
$P_\lambda$ je spojitá zleva.<br />
\item Zbývá dokázat rovnost<br />
\[A=\int\lambda\,\d P_\lambda=\lim<br />
A_\nu=\lim\sum\tilde\nu_iP(\Delta_i^\nu).\]<br />
Opět jako předtím ukážeme $\nu_{i-1}P(\Delta_i^\nu)\le<br />
AP(\Delta_i^\nu)\le\nu_i P(\Delta_i^\nu)$. Platí<br />
\[A-A_\nu=\sum_i AP(\Delta_i^\nu)-<br />
\sum_i\tilde\nu_i P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i(\nu_i-\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i d_\nu P(\Delta_i^\nu)=d_\nu I.\]<br />
Podobně se to odhadne zdola: $A-A_\nu\ge-d_\nu I$. Celkem pro<br />
každé $x$ platí<br />
\[-d_\nu(x,x)\le(x,(A-A_\nu)x)\le d_\nu(x,x)\]<br />
a pro $x\not=0$<br />
\[\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Protože $A-A_\nu$ je samosdružený, je<br />
\[\norm{A-A_\nu}=\sup_{x\not=0}<br />
\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Je-li $\lim d_{\nu^{(k)}}=0$, potom $\lim A_{\nu^{(k)}}=A$<br />
v~$\B(\H)$ a proto $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\item Komutativnost: Je-li $CP_\lambda=P_\lambda C$, pak i<br />
$CP(\Delta_i^\nu)=P(\Delta_i^\nu)C$ a $CA_\nu=A_\nu C$,<br />
po provedení limity $CA=AC$. <br />
<br />
Je-li $CA=AC$, pak $C(A-\lambda)=(A-\lambda)C$, z~lemmatu pak<br />
plyne $CE_+[A-\lambda]=E_+[A-\lambda]C$, $CP_\lambda=P_\lambda<br />
C$.<br />
\item Jednoznačnost $P_\lambda$ dokážeme později.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buď $A\in\B(\H)$ normální. Potom $\norm{A}=r_\sigma(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Ax}^2&=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^*Ax\ra\le\norm{x}\norm{A^*Ax}=\\<br />
&=\norm{x}\sqrt{\la A^*Ax,A^*Ax\ra}=\norm{x}\sqrt{\la A^2x,A^2x\ra}=<br />
\norm{x}\norm{A^2x} \le \norm{A^2}\norm{x}^2,<br />
\end{split}\]<br />
dále postupujeme jako v~důkazu věty \ref{norma_herm}.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$, $p$ polynom. Umíme spočítat $p(A)$. Buď<br />
$f\in\c([m_A,M_A])$. Protože $A=A^*$, je $p(A)$ normální (hermitovský být nemusí, pokud nemá polynom reálné koeficienty) a platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{p(A)}&=r_\sigma(p(A))=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(p(A))\}=<br />
\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in p(\sigma(A))\}=\\<br />
&=\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in\sigma(A)\}\le<br />
\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in[m_A,M_A]\}=\norm{p}_\infty.<br />
\end{split}\]<br />
Z~Weierstrasse plyne, že pro $f\in\c([m_A,M_A])$ existuje posloupnost<br />
polynomů $p_n$ taková, že $\lim\norm{f-p_n}_\infty=0$. Posloupnost $p_n$ je<br />
cauchyovská v~$\c([m_A,M_A])$ a z~nerovnosti<br />
$\norm{p_n(A)-p_m(A)}\le\norm{p_n-p_m}_\infty$ plyne, že i $p_n(A)$ je<br />
cauchyovská v~$\B(\H)$, tudíž existuje $\lim p_n(A)$ v~$\B(\H)$.<br />
<br />
Tato limita nezávisí na volbě $p_n$. Pokud $q_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$, položíme $(r_n)=(p_1,q_1,p_2,q_2,\dots)$ a $r_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$ a podle věty o~vybraných posloupnostech $\lim<br />
p_n(A)=\lim q_n(A)=\lim r_n(A)$.<br />
<br />
Pokládáme $f(A)=\lim p_n(A)\in\B(H)$. Protože<br />
$p_n(A)p_n(A)^*=p_n(A)^*p_n(A)$, je i $f(A)f(A)^*=f(A)^*f(A)$, a tedy<br />
$f(A)$ je normální. Je-li $f$ reálná, lze i $p_n$ volit reálné a<br />
$p_n(A)^*=p_n(A)$, a tudíž i $f(A)^*=f(A)$. Je-li $f$ komplexní, je<br />
$\overline{p_n}(A)=p_n(A)^*$ a $\overline f(A)=f(A)^*$. Pro normu<br />
$f(A)$ platí odhad<br />
\[\norm{f(A)}=\lim_{n\to\infty}\norm{p_n(A)}\le<br />
\lim_{n\to\infty}\norm{p_n}_\infty=\norm{f}_\infty.\]<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky, $P_\lambda\equiv 0$ pro<br />
$\lambda\le m$, $P_\lambda\equiv I$ pro $\lambda>M$. Je-li<br />
$f\in\c([m,M])$, pak<br />
\[<br />
\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=\lim_{d(\nu)\to 0}\sum f(\tilde\nu_i)<br />
P(\Delta_i^\nu)\in\B(\H).<br />
\]<br />
Korektnost definice, tj. existence a jednoznačnost limity se ověří<br />
podobně jako u~$\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$, potom $f(A)=\int f(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda$.<br />
\begin{proof}<br />
Položme nejprve $f(\lambda)=\lambda^n$, $n\in\N_0$. Potom<br />
\[\int\lambda^n\,\d P_\lambda=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\sum_i\tilde\nu_i^n P(\Delta_i^\nu)=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\left(\sum_i\tilde\nu_i<br />
P(\Delta_i^\nu)\right)^n=<br />
\left(\int\lambda\,\d P_\lambda\right)^n=A^n,\]<br />
neboť při umocňování smíšené členy vypadnou díky tomu, že<br />
$P(\Delta_i^\nu)P(\Delta_j^\nu)=\delta_{ij}P(\Delta_i^\nu)$. Díky<br />
aditivitě pak tvrzení platí pro libovolný polynom.<br />
<br />
Normu integrálu lze odhadnout jako<br />
\[\norm{\int f(\lambda)\,\d P_\lambda}=\lim_{d(\nu)\to 0}<br />
\norm{\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)}<br />
\le\lim_{d(\nu)\to 0}\max_i\abs{f(\tilde\nu_i)}\le<br />
\norm{f}_\infty.\]<br />
Důsledkem odhadu je následující tvrzení: Jestliže $f_n\to f$<br />
v~$\c([m,M])$, potom $\lim\int f_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda$.<br />
<br />
Zvolíme posloupnost polynomů $p_n\to f$ v~$\c([m_A,M_A])$, potom<br />
\[f(A)=\lim p_n(A)=\lim\int p_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $f,g\in\c([m,M])$ reálné, $f(t)<g(t)$ pro každé<br />
$t\in[m,M]$. Potom<br />
\[\int f(\lambda)\,\d P_\lambda\le\int g(\lambda)\,\d P_\lambda.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $\nu$ platí<br />
\[\sum_{i}f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i}g(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{proof}[Důkaz jednoznačnosti rozkladu jedničky (věta \ref{rozklad1})]<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$. Nechť $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je<br />
rozklad jedničky takový, že $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Zvolíme<br />
posloupnost funkcí $f_n\in\c(\R)$, $0\le f_n\le 1$ ($\lambda_0$ je<br />
libovolné pevné):<br />
\[<br />
f_n(\lambda)=<br />
\begin{cases}<br />
1& \lambda\le\lambda_0-\frac1n\\<br />
0& \lambda\ge\lambda_0\\<br />
\text{lineární}& \lambda\in[\lambda-\frac1n,\lambda_0].<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Ukážeme, že $P_{\lambda_0-\frac1n}\le f_n(A)=\int f_n(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda\le P_{\lambda_0}$: Zvolíme posloupnost rozdělení<br />
$\nu^{(k)}$, $\lambda_0$ a $\lambda_0-\frac1n$ je dělicí bod pro<br />
každé $k$, $d(\nu^{(k)})\to 0$. Potom ($\lambda_0=\nu_{i(k)}$)<br />
\[\sum_i f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=<br />
\sum_{i\le i(k)}f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i\le i(k)}P(\Delta_i^\nu)=P((-\infty,\nu_{i(k)}))=<br />
P_{\lambda_0},\]<br />
neboť pro $i>i(k)$ je<br />
$\tilde\nu_i\in\Delta_i^\nu\subset[\lambda_0,+\infty)$ a<br />
$f_n(\tilde\nu_i)=0$. Obdobně se odhadne $\ge P_{\lambda_0-\frac1n}$.<br />
Provedením limity z monotonie dostaneme rovnost<br />
\[P_{\lambda_0}=\slim_{n\to\infty}f_n(A).\]<br />
Pravá strana nezávisí na rozkladu jedničky, takže rozklad<br />
$P_\lambda$ je jednoznačný.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buďte $f,g\in\c([m,M])$. Potom $f(A)g(A)=(fg)(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme $p_n\to f$, $q_n\to g$ posloupnosti polynomů, potom<br />
$p_nq_n\to fg$. Dále je<br />
\[(fg)(A)=\lim (p_nq_n)(A)=\lim p_n(A)q_n(A)=f(A)g(A).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\item Nechť $P_\lambda$ je konstantní na $[a,b]$, $f\in\c$, $\supp<br />
f\subset[a,b]$. Potom $\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=0$.<br />
\begin{proof}<br />
Můžeme požadovat, aby $a,b$ byly dělicí body. Potom buď<br />
$\Delta_i^\nu\subset[a,b)$ a<br />
$P(\Delta_i^\nu)=P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}}=0$ nebo<br />
$\Delta_i^\nu\cap[a,b)=\emptyset$ a<br />
$f(\tilde\nu_i)=0$. Proto<br />
\[\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=0\]<br />
pro každé takové $\nu$.<br />
\end{proof}<br />
\item Buď $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Pak<br />
\[\la x,Ax\ra=\lim\la x,A_\nu x\ra=<br />
\lim\sum_i\tilde\nu_i\la x,P(\Delta_i^\nu)x\ra=<br />
\int\lambda\,\d\la x,P_\lambda x\ra,\]<br />
což je Riemann--Stieltjesův integrál s~distribuční funkcí<br />
$F(\lambda)=\la x,P_\lambda x\ra$ a mírou $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$, a<br />
platí $F(x)=0$ pro $\lambda < m$, $F(x)=\norm{x}^2$ pro<br />
$\lambda>M$. Stejně tak je<br />
\[\la x,f(A)x\ra=\int f(\lambda)\,\d\la x,P_\lambda x\ra\]<br />
a<br />
\[\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^2x\ra=\int\lambda^2\,\d\la x,P_\lambda x\ra.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky a $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, právě když $P_\lambda$ je<br />
konstantní na nějakém okolí $\lambda$.<br />
\item $\lambda\in\sigma_P(A)$, právě když $P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda\not=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc $P_0$ je ortogonální projektor na $\Ker(A-\lambda)$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item (i) $\Leftarrow$: Položme $f=x-\lambda$,<br />
\[g(x)=<br />
\begin{cases}<br />
\frac1{x-\lambda}&\abs{x-\lambda}\ge\epsilon\\<br />
\text{lineární}&\abs{x-\lambda}\le\epsilon.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Zvolíme $\epsilon>0$ tak, aby $P_\lambda$ byla konstantní na<br />
$[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$. Zřejmě $f(A)=A-\lambda$,<br />
dále je $f(x)g(x)-1\in\c(\R)$,<br />
$\supp(fg-1)\subset[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$, podle<br />
předchozích poznámek je tedy $(fg-1)(A)=0$ a<br />
$(A-\lambda)g(A)-I=f(A)g(A)-I=0$, $(A-\lambda)g(A)=I$,protože je $g$ omezené, <br />
$g(A)=(A-\lambda)^{-1}\in\B(\H)$ a tedy $\lambda\in\rho(A)$.<br />
\item (i) $\Rightarrow$: Nechť $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, podle Weylova<br />
kritéria existuje $M>0$ tak, že $\norm{(A-\lambda)x}\ge<br />
M\norm{x}$ pro každé $x$. Zvolme $\Delta=[\lambda-\frac<br />
M2,\lambda+\frac M2)$. Stejně jako v~důkazu věty \ref{rozklad1}<br />
ukážeme nerovnost<br />
\[\left(\lambda-\frac M2\right)P(\Delta)\le P(\Delta)A\le<br />
\left(\lambda+\frac M2\right)P(\Delta).\]<br />
Tu lze přepsat ve tvaru<br />
\[-\frac M2 P(\Delta)\le(A-\lambda)P(\Delta)\le<br />
\frac M2 P(\Delta).\]<br />
Pokud $P(\Delta)\not=0$, je $\norm{P(\Delta)}=1$ a musí platit<br />
\[\norm{(A-\lambda)P(\Delta)}=<br />
\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,(A-\lambda)P(\Delta)x\ra}\le<br />
\sup_{\norm{x}=1}\frac M2\abs{\la x,P(\Delta)x\ra}=\frac M2.\]<br />
Potom ale pro $x\in\Ran P(\Delta)$ platí<br />
\[\frac M2\norm{x}\ge\norm{(A-\lambda)P(\Delta)x}=<br />
\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x},\]<br />
což je spor.<br />
\item (ii) Stačí dokázat, že $\Ker(A-\lambda) = \Ran P_0$<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\supset:$]<br />
<br />
Buď $\mu>\lambda$, $P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda$,<br />
\[P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda=\slim_{\mu\to\lambda+}P([\lambda,\mu)).\]<br />
Opět<br />
\[\lambda P([\lambda,\mu))\le AP([\lambda,\mu))\le<br />
\mu P([\lambda,\mu)).\]<br />
Limitním přechodem $\mu\to\lambda+$ dostáváme $\lambda P_0\le<br />
AP_0\le\lambda P_0\implies (A-\lambda)P_0=0$, což je<br />
ekvivalentní s~inkluzí $\Ran P_0\subset\Ker(A-\lambda)$.<br />
<br />
\item[$\subset:$] Buď $x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom<br />
\[0=\norm{(A-\lambda)x}^2 =(x,(A-\lambda)^2 x)=\int(\mu-\lambda)^2\,\d(x,P_\mu x),\]<br />
z~čehož plyne nulovost míry $(-\infty,\lambda)$ a<br />
$(\lambda,+\infty)$. Proto zobrazení $\mu\mapsto(x,P_\mu x)$ je<br />
konstantní pro $\mu<\lambda$ a $\mu>\lambda$. Z definice rozkladu jednotky proto musí být <br />
nutně $\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=0$ pro $\mu<\lambda$ a<br />
$\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=\norm{x}^2$ pro $\mu>\lambda$. <br />
<br />
Z~toho plyne, že<br />
\[P_\mu x=<br />
\begin{cases}<br />
0&\mu<\lambda\\<br />
x&\mu>\lambda.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Protože $P_\lambda$ je spojité zleva, je $P_\lambda x=0$ a<br />
\[P_0 x=\lim_{\mu\to\lambda+}(P_\mu-P_\lambda)x=<br />
\lim_{\mu\to\lambda+}x=x.\]<br />
Tedy $x\in\Ran P_0$ a $\Ker(A-\lambda)\subset\Ran P_0$.<br />
<br />
Celkem $\Ker(A-\lambda)=\Ran P_0$ a z~toho také plyne tvrzení<br />
(ii).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Header&diff=560301FA2:Header2015-09-30T12:44:36Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\documentclass[intlimits]{amsart}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{amsthm}<br />
%\usepackage{bbm}<br />
%\def\mathbbm{\mathbf} % pokud neni k dispozici bbm<br />
%\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak<br />
%\usepackage{mathrsfs}<br />
\usepackage{a4}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
\usepackage[czech]{babel} % česky psaná práce<br />
\usepackage[utf8]{inputenc} <br />
\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{dcolumn}<br />
\usepackage{epsfig}<br />
\sloppy<br />
<br />
\usepackage{hyperref}<br />
\usepackage{color}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
pdfauthor = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
pdfcreator = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
<br />
<br />
\newcolumntype{d}{D{.}{.}{-1}}<br />
<br />
%definice českých uvozovek ... protoze to je peklo<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
\def\cary{\buildrel\textstyle{\lower0.18pt\hbox{\smash-}}\over{\lower1.42pt\hbox{\smash-}}}<br />
<br />
\def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@<br />
$#1\copy\z@\mkern-6mu\cleaders<br />
\hbox{$#1\mkern-2mu\box\z@\mkern-2mu$}\hfill<br />
\mkern-6mu\mathord\rightrightarrows$}<br />
<br />
\newcommand{\xrightarrows}[2][]{<br />
\mathrel{\mathop{<br />
\setbox\z@\vbox{\m@th<br />
\hbox{$\scriptstyle\;{#1}\;\;$}<br />
\hbox{$\m@th\scriptstyle\;{#2}\;\;$}<br />
}<br />
\vbox{<br />
\kern-2pt<br />
\hbox to\ifdim\wd\z@>\minaw@\wd\z@\else\minaw@\fi{<br />
\rightarrowfill@x\displaystyle}<br />
}<br />
}<br />
\limits^{#2}\@ifnotempty{#1}{_{#1}}}<br />
}<br />
<br />
\newcommand{\dotm}{\buildrel\textstyle\raise2pt\hbox{\smash.}\over{\smash-}}<br />
\newcommand{\dotp}{\buildrel\textstyle\raise5.5pt\hbox{\smash.}\over{\smash+}}<br />
<br />
\renewcommand{\hat}{\widehat}<br />
<br />
\newcommand{\I}{{\mathcal I}}<br />
<br />
%\newcommand{\D}{{\mathcal D}}<br />
\newcommand{\B}{{\mathcal B}}<br />
\renewcommand{\c}{{\mathcal C}}<br />
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}<br />
\renewcommand{\rho}{\varrho}<br />
\renewcommand{\phi}{\varphi}<br />
\newcommand{\Rop}{{\mathbb{R}^0_+}}<br />
\newcommand{\Rp}{{\mathbb{R}_+}}<br />
\newcommand{\Rm}{{\mathbb{R}_-}}<br />
\newcommand{\RR}{{\mathbb{R}^*}}<br />
\newcommand{\R}{{\mathbb{R}}}<br />
\newcommand{\Q}{{\mathbb{Q}}}<br />
\newcommand{\N}{{\mathbb{N}}}<br />
\newcommand{\No}{{\mathbb{N}_0}}<br />
\newcommand{\C}{{\mathbb{C}}}<br />
\newcommand{\CC}{{\mathbb{C}^*}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}<br />
\newcommand{\Zm}{\mathbb{Z}_-}<br />
\newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_+}<br />
<br />
\newcommand{\dsum}{\sideset{}{^{\oplus}}{\sum}}<br />
\newcommand{\supess}{\mathop{\mathrm{sup\,ess}}}<br />
\newcommand{\sk}[1]{\mathop{\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\nsk}[1]{\mathop{\not\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\posloupnost}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left(#3\right)}}}<br />
\newcommand{\system}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left\{#3\right\}}}}<br />
\newcommand{\posl}[1]{\posloupnost{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\poslo}[1]{\posloupnost{0}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\sys}[1]{\system{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\rada}[1]{\sum_0^\infty #1}<br />
\newcommand{\sm}{\smallsetminus}<br />
\newcommand{\iz}[1]{{#1^\mathrm{i}}}<br />
\newcommand{\vn}[1]{{#1^\circ}}<br />
\newcommand{\uz}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\hr}[1]{\Dot{#1}}<br />
\newcommand{\pp}{\subset\subset}<br />
\newcommand{\sv}{\,\mathrm{sv}\,}<br />
\newcommand{\id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}<br />
<br />
\newcommand{\nulvec}{{\vec\sigma}}<br />
\newcommand{\nulmat}{{\mathbf 0}}<br />
<br />
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}<br />
\newcommand{\xnorm}[2]{\left\|#2\right\|_{#1}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}<br />
<br />
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}<br />
\newcommand{\V}{{\mathrm V}}<br />
\newcommand{\h}{{\mathrm h}}<br />
\newcommand{\im}{{\mathbf i}}<br />
\renewcommand{\d}{{\mathrm d}}<br />
\newcommand{\pd}{\partial}<br />
\newcommand{\la}{\langle}<br />
\newcommand{\ra}{\rangle}<br />
\newcommand{\bigx}{\mathop{\text{\Huge\lower4.6pt\hbox{X}}}}<br />
\newcommand{\lin}{_{\mathrm{lin}}}<br />
\newcommand{\opj}{\overline}<br />
\newcommand{\sd}{\vartriangle}<br />
\newcommand{\compl}{^{\mathrm C}}<br />
\newcommand{\trans}{^{\mathrm T}}<br />
\newcommand{\A}{{\mathcal A}}<br />
\newcommand{\pot}{{\mathbb P}}<br />
\renewcommand{\B}{{\mathcal B}}<br />
\newcommand{\bigcupm}{\mathop{\overline\bigcup}}<br />
\newcommand{\chf}{\mathbf{1}}<br />
\newcommand{\konst}{\mathit{konst.}}<br />
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}<br />
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}<br />
\newcommand{\Y}{\mathcal{Y}}<br />
\newcommand{\sigmac}{\sigma_\mathrm{c}}<br />
\newcommand{\sigmap}{\sigma_\mathrm{p}}<br />
\newcommand{\sigmar}{\sigma_\mathrm{r}}<br />
<br />
\newcommand{\noqed}{\renewcommand{\qed}{}}<br />
\newcommand{\xvdots}{{\hskip 5pt\vdots}}<br />
\newcommand{\gammaf}{\boldsymbol{\Gamma}}<br />
\newcommand{\betaf}{{\mathbf B}}<br />
<br />
\newcommand{\osum}{\sideset{}{^\oplus}\sum}<br />
<br />
\DeclareMathOperator{\Ran}{Ran}<br />
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}<br />
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}<br />
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}<br />
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}<br />
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}<br />
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}<br />
\DeclareMathOperator{\intd}{int}<br />
\DeclareMathOperator*{\slim}{s-lim}<br />
<br />
\newcommand{\e}{{\mathrm e}}<br />
<br />
\makeatother<br />
<br />
<br />
<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{define}{Definice}<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{theorem}[define]{Věta}<br />
\newtheorem{lemma}[define]{Lemma}<br />
\newtheorem*{dusl}{Důsledek}<br />
\newtheorem*{poz}{Pozorování}<br />
\newtheorem{tvrzeni}[define]{Tvrzení}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{remark}{Poznámka}<br />
\newtheorem*{example}{Příklad}<br />
\newtheorem*{uloha}{Úloha}<br />
\renewcommand{\proofname}{Důkaz}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola3&diff=560201FA2:Kapitola32015-09-30T12:42:52Z<p>Gromadan: Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky, sloučení s kapitolou Projekční míra</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
<br />
Mějme samosdružený operátor $A$. Je-li dimenze $\H$ konečná, existuje ortonormální báze z~vlastních<br />
vektorů $\{x_n\}$: $Ax_k=\lambda_k x_k$, a tedy můžeme psát<br />
\[\H=\osum_{i=1}^m\Ker(A-\lambda_i'),\]<br />
kde $\lambda_1',\dots,\lambda_m'$ jsou různá vlastní čísla. Operátor $A$ můžeme zapsat jako lineární kombinaci<br />
projektorů na vlastní podprostory $\{P_1,\dots,P_m\}$:<br />
\[A=\sum_{i=1}^m\lambda_i'P_i.\]<br />
<br />
Na nekonečné dimenzi lze totéž provést pro $A$ kompaktní operátor. Ten má totiž čistě bodové spektrum, tj. existuje ON báze z vlastních vektorů. Jeho bodové spektrum je nejvýše spočetné a jediným možným hromadným bodem je nula, vlastní hodnoty tedy lze seřadit podle velikosti v absolutní hodnotě od největšího k nejmenšímu. Kompaktní operátor pak lze rozložit na nejvýše spočetnou sumu stejně jako výše.<br />
<br />
V náseledující kapitole popsaný \emph{spektrální rozklad} zobecníme na libovolné hermitovské operátory. Již nám však nebude stačit ani nekonečná suma, ale vybudujeme za tímto účelem integrál. Nejprve však bude následovat množství potřebných lemmat týkajících se hermitovských operátorů.<br />
<br />
\begin{lemma}\label{slim}<br />
Buď $A_n\in\B(\H)$, $A_1\ge A_2\ge\dots\ge A_n\ge\dots\ge<br />
0$ (tedy $A=A^*$). Potom existuje \[A=\slim_{n\to\infty}A_n \in \B(\H)\] a pro každé $n$ je<br />
$A_n\ge A\ge 0$. Jinými slovy klesající posloupnost hermitovských operátorů má silnou limitu.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in\H$. Díky předpokladům je posloupnost $\{\la x,A_n x\ra\}_n$<br />
nerostoucí omezená číselná posloupnost, tudíž má limitu, a je tedy cauchyovská. Protože<br />
\[\norm{A_n}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,A_nx\ra}=\sup_{\norm{x}=1}\la x,A_nx\ra,\]<br />
je také $\norm{A_1}\ge\norm{A_2}\ge\dots$<br />
<br />
Ukážeme, že pro libovolné $x\in\H$ je $A_nx$ cauchyovská. Z úplnosti $\H$ to bude znamenat, že existuje silná limita $A$ splňující $Ax=\lim A_nx$ na celém $\H$. Pro $m,n\in\N$ je <br />
\[\norm{(A_m-A_n)x}^2\le\norm{A_m-A_n}\abs{\la x,(A_m-A_n)x\ra}\le 2\norm{A_1}\abs{\la x,A_mx\ra -\la x,A_nx\ra}<2\norm{A_1}\epsilon.\]<br />
<br />
Nyní dokážeme omezenost $A$. Ze spojitosti normy dostaneme<br />
\[\norm{Ax}=\lim\norm{A_nx}\le\lim\norm{A_n}\norm{x}\le\norm{A_1}\norm{x}.\]<br />
<br />
Nakonec ze spojitosti skalárního součinu je $\la x,Ax\ra$ limita klesající nezáporné posloupnosti $\la x,A_nx\ra$. Platí tedy<br />
\[0\le\la x,Ax\ra\le\la x,A_nx\ra,\]<br />
tj. $0\le A\le A_n$ pro každé $n\in\N$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{ABnezap}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A\ge 0$, $B\ge 0$ a $AB=BA$. Potom $AB\ge 0$. Jinými slovy součin pozitivních komutujících operátorů je pozitivní.<br />
\begin{proof}<br />
Definujme posloupnost $A_n\in\B(\H)$:<br />
\[A_1=A,\quad<br />
A_{n+1}=A-\sum_{k=1}^n A_k^2=<br />
\left(A-\sum_{k=1}^{n-1}A_k^2\right)-A_n^2.\]<br />
Zřejmě $A_{n+1}=A_n-A_n^2$. Bez újmy na obecnosti můžeme<br />
předpokládat, že $\norm{A}\le 1$. Pak platí, že<br />
\[\sup_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra=\norm{A}\le 1,\]<br />
a z~toho plyne, že pro každé $x$ je $\la x,Ax\ra\le\norm{x}^2=\la x,x\ra$, a<br />
tedy $0\le A\le I$. Dokážeme, že pro každé $n$ je $0\le A_n\le I$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n=1$: $A_1=A\le I$.<br />
\item $n\to n+1$: Z~předpokladu $0\le A_n\le I$ plyne<br />
\[\la x,A_n^2x\ra =\la A_n x,A_n x\ra =\norm{A_n x}^2\le<br />
\norm{A_n}\la x,A_n x\ra\le\la x,A_n x\ra.\]<br />
Z~toho také plyne, že<br />
\[0\le\la x,(A_n-A_n^2)x\ra=\la x,A_{n+1}x\ra,\]<br />
a proto $0\le A_{n+1}$. Konečně $A_{n+1}=A_n-A_n^2\le A_n\le I$.<br />
\end{enumerate}<br />
Protože pro každé $n\in\N$ je $A_n^2\ge 0$ a $A_{n+1}\le<br />
A_{n+1}+A_n^2=A_n$, je $A_2\ge A_3\ge\dots\ge A_{n+1}\ge\dots\ge<br />
0$. Podle předchozího lemmatu existuje $\slim A_n$, a tedy<br />
existuje i<br />
\[\slim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n A_k^2=\sum_{k=1}^\infty A_k^2.\]<br />
Díky spojitosti skalárního součinu platí pro každé $x\in\H$<br />
\[\infty>\left\langle,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 x\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty(x,A_k^2 x)=<br />
\sum_{k=1}^\infty\norm{A_k x}^2.\]<br />
Pro každé $x$ je proto $\lim_{k\to\infty}\norm{A_k x}=0$ a<br />
$\slim_{n\to\infty}A_n=0$. Proto (v~silném smyslu) platí<br />
\[\sum_{k=1}^\infty A_k^2=A.\]<br />
Z~konstrukce posloupnosti $\{A_n\}$ plyne, že $A_n=p_n(A)$, kde<br />
$p_n$ je polynom. Protože $AB=BA$, pro každé $n$ také platí<br />
$A_nB=BA_n$, a proto<br />
\[\la x,ABx\ra =\left\langle x,\sum_{k=1}^\infty A_k^2 Bx\right\rangle=<br />
\sum_{k=1}^\infty\la x,A_kBA_k x\ra=<br />
\sum_{k=1}^\infty\underbrace{\la A_k x,BA_kx\ra}_{\ge 0}\ge 0.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Triviálně platí naopak, že je-li součin pozitivních operátorů také pozitivní, musejí operátory komutovat. Pozitivita totiž znamená hermitovskost, a tak $BA=B^*A^*=(AB)^*=AB$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{limkomutuje}<br />
Nechť $X_n,Y_n\in\B(\H)$ a existují $X=\slim X_n$, $Y=\slim<br />
Y_n$. Potom $XY=\slim X_nY_n$.<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $x$ je<br />
\[XYx-X_nY_nx=\underbrace{(X-X_n)}_{\to 0}Yx+X_n(Y-Y_n)x.\]<br />
Z~principu stejnoměrné omezenosti plyne existence $K>0$ takového, že pro každé $n$ je $\norm{X_n}\le K$, a tedy<br />
$\norm{X_n(Y-Y_n)x}\le K\norm{(Y-Y_n)x}\to 0$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}[o odmocnině z operátoru]<br />
\label{odmocnina}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom existuje právě jeden<br />
$B\in\B(\H)$, $B\ge 0$ takový, že $B^2=A$. Navíc pro každý<br />
$C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\iff CB=BC$. Značíme $B=\sqrt{A}=A^{1/2}$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
<br />
\item Existence: Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $\norm{A}\le 1$ (jinak vezmeme $A/\norm A)$ a proto $0\le A\le I$. Vytvoříme posloupnost operátorů $B_n\in\B(\H)$: $B_0=0$,<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$. Ukážeme, že $0\le B_n\le<br />
B_{n+1}\le I$.<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Pro $n=0$ je $B_0=0$ a $B_1=\frac12A$ a $0\le B_0\le<br />
B_1\le I$.<br />
\item Přechod $n\to n+1$: Protože $0\le B_n\le I$, je $B_n^2\le<br />
B_n$, neboť<br />
\[\la x,B_n^2 x\ra=\norm{B_n x}^2\le\norm{B_n}\la x,B_n x\ra<br />
\le\la x,B_n x\ra.\]<br />
Dále platí<br />
\[B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)\ge B_n+\frac12(A-B_n)=<br />
\frac12(A+B_n)\ge 0\]<br />
a<br />
\[\begin{split}<br />
I-B_{n+1}&=I-B_n-\frac12(A-B_n^2)=<br />
\frac12(I-A)+\frac12(B_n^2-2B_n+I^2)=\\<br />
&=\frac12(I-A)+\frac12(\underbrace{I-B_n}_{\ge0})^2\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
tedy $0\le B_{n+1}\le I$.<br />
<br />
Nerovnost $B_{n+1}\ge B_n$ je splněna, právě když $A\ge<br />
B_n^2$. Předpokládejme, že pro $n-1$ to platí. Potom<br />
\[\begin{split}<br />
A-B_n^2&=A-\left(B_{n-1}+\frac12(A-B_{n-1}^2)\right)^2=\\<br />
&=A-B_{n-1}^2-B_{n-1}(A-B_{n-1}^2)-\frac14(A-B_{n-1}^2)^2=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-B_{n-1}-\frac14(A-B_{n-1}^2)\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(I-\frac12B_{n-1}-\frac12B_n\right)=\\<br />
&=(A-B_{n-1}^2)\left(\frac12(I-B_{n-1})+\frac12(I-B_n)\right)<br />
\ge 0,<br />
\end{split}\]<br />
protože $A-B_{n-1}^2\ge 0$, $I-B_{n-1}\ge 0$ a $I-B_n\ge 0$.<br />
Předchozí úpravy jsou korektní, neboť $B_n$ je polynom v~A~a<br />
pro $C\in\B(\H)$ komutující s~$A$ také platí $CB_n=B_nC$.<br />
Specielně pro každé $n$ je $AB_n=B_n A$ a pro každé $m,n$ je<br />
$B_nB_m=B_mB_n$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Protože $0\le B_n\le B_{n+1}\le I$, podle lemmatu \ref{slim}<br />
(aplikovaného na $B_n'=I-B_n$) existuje $\slim B_n$ a pro každé<br />
$n\in\N$ je $B_n\le B\le I$. Navíc, protože $CA=AC$ a tedy<br />
$CB_n=B_nC$, je podle lemmatu \ref{limkomutuje} $CB=BC$.<br />
<br />
Specielně $\slim B_n^2=B^2$ a protože<br />
$B_{n+1}=B_n+\frac12(A-B_n^2)$, limitním přechodem dostáváme<br />
$B=B+\frac12(A-B^2)$. Tedy $B^2=A$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde B\in\B(\H)$, $\tilde B\ge<br />
0$, $A=\tilde B^2$. Potom $\tilde BA=A\tilde B$, $B\tilde<br />
B=\tilde B B$ a $0=B^2-\tilde B^2=(B+\tilde B)(B-\tilde B)$.<br />
<br />
Buď $x\in\H$ libovolné, $y=(B-\tilde B)x$. Potom $(B+\tilde<br />
B)y=0$. Dále platí<br />
\[0=\la y,(B+\tilde B)y\ra=\underbrace{\la y,By\ra}_{\ge 0}+<br />
\underbrace{\la y,\tilde By\ra}_{\ge 0},\]<br />
proto $\la y,By\ra=\la y,\tilde By\ra=0$ a<br />
$\norm{By}^2\le\norm{B}\la y,By\ra=0$, a tedy $By=0$. Obdobně i<br />
$\tilde By=0$.<br />
<br />
Dále platí $(B-\tilde B)^2x=(B-\tilde B)y=0$, a proto<br />
\[0=(x,(B-\tilde B)^2x)=((B-\tilde B)x,(B-\tilde B)x)=<br />
\norm{(B-\tilde B)x}^2\]<br />
pro každé $x$. Dokázali jsme tak, že $B=\tilde B$. Tedy $B$ je<br />
určen jednoznačně.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $A^2\ge 0$, a můžeme tedy definovat<br />
\uv{absolutní hodnotu} jako $(A^2)^{1/2}=:\abs{A}\ge 0$<br />
a platí, že $\abs{A}^2=A^2$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut1}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$ a buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker<br />
A$. Potom pro každé $C\in\B(\H)$ platí $CA=AC\implies CP=PC$.<br />
\begin{proof}<br />
Protože $\Ran P=\Ker A$, je $AP=0$. Buď $C\in\B(\H)$,<br />
$CA=AC$. Potom\\ $0=CAP=ACP\iff\Ran CP\subset\Ker A\iff PCP=CP$,<br />
neboť $x\in\Ker A$ $\iff Px=x$. Z~vlastností sdruženého operátoru<br />
plyne $CA=AC\implies AC^*=C^*A$ a tedy $PC^*P=C^*P$, sdružením získáme<br />
$PCP=PC$ a tedy celkem $CP=PC$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
\label{og_komut2}<br />
Nechť $A,B\in\B(\H)$, $A^*=A$, $B^*=B$ a navíc $AB=BA$,<br />
$A^2=B^2$. Buď $P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-B)$. Potom $P$<br />
komutuje s~$A$ a $B$ a<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $A=PB+(I-P)(-B)$,<br />
\item $\Ker A=\Ker B\subset\Ker(A-B)\equiv\Ran P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Protože $A=A^*$, $B=B^*$, je<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og1}<br />
(A-B)P=0=P(A-B).<br />
\end{equation}<br />
Dále, protože $A^2=B^2$ a $AB=BA$, je<br />
$(A-B)(A+B)=0\iff\Ran(A+B)\subset\Ker(A-B)$, což je ekvivalentní<br />
s~rovností<br />
\begin{equation}<br />
\label{eq:og2}<br />
P(A+B)=A+B.<br />
\end{equation}<br />
Z~předchozího lemmatu plyne, že $A(A-B)=(A-B)A\implies AP=PA$,<br />
$B(A-B)=(A-B)B\implies BP=PB$. Odečtením \eqref{eq:og1} a<br />
\eqref{eq:og2} dostaneme<br />
\[2PB=A+B\iff A=2PB-B=PB+(I-P)(-B).\]<br />
Bod (ii) plyne z rovnosti<br />
$$A^2= B^2 \Rightarrow \la x,A^2x\ra = \la x,B^2x\ra \Rightarrow \norm{Ax} = \norm{Bx}$$<br />
%\[x\in\Ker A\iff Ax=0\iff 0=\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^2x)\]<br />
takže $\Ker A = \Ker B$. Zřejmě $x\in\Ker A\implies<br />
x\in\Ker(A-B)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Ke každému samosdruženému operátoru $A\in\B(\H)$ existuje právě<br />
jeden ortogonální projektor $E_+$ s~vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $AE_+\ge 0$, $A(I-E_+)\le 0$,<br />
\item $\Ker A\subset\Ran E_+$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc platí (iii) pro každé $C\in\B(\H)$ $CA=AC\implies CE_+=E_+C$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existence: V~předchozím lemmatu položíme $B=\abs{A}$,<br />
$E_+=P$ ortogonální projektor na $\Ker(A-\abs{A})$. Z~lemmatu<br />
plyne, že $E_+$ komutuje s~$A$ a $\abs{A}$ a dále<br />
$A=E_+\abs{A}+(I-E_+)(-\abs{A})$. Aplikací $E_+$ na tuto rovnost<br />
a s využitím lemmatu \ref{ABnezap} dostaneme<br />
$E_+A=E_+\abs{A}\ge 0$ a $(I-E_+)A=-(I-E_+)\abs{A}\le 0$. Tím je<br />
dokázán bod (i).<br />
<br />
Bod (ii) plyne bezprostředně z bodu (ii) předchozího lemmatu.<br />
<br />
Nechť $C\in\B(\H)$, $CA=AC$. Potom i $CA^2=A^2C$ a z~věty o odmocnině<br />
\ref{odmocnina} plyne $C\abs{A}=\abs{A}C$. Proto<br />
$C(A-\abs{A})=(A-\abs{A})C$ a podle lemmatu \ref{og_komut1} je<br />
$CE_+=E_+C$.<br />
\item Jednoznačnost: Nechť $\tilde E_+$ splňuje (i), (ii). Položme<br />
\[\tilde A=\underbrace{\tilde E_+A}_{\ge 0}+\underbrace{(I-\tilde<br />
E_+)(-A)}_{\ge 0}\ge 0,\] <br />
pak $\tilde A^2=\tilde E_+A^2+(I-\tilde<br />
E_+)A^2=A^2$. Z~jednoznačnosti absolutní hodnoty pak plyne<br />
$\tilde A=\abs{A}=E_+A+(I-E_+)(-A)$ a<br />
\[0=\tilde A-\abs{A}=(\tilde E_+ - E_+)A+(E_+ - \tilde<br />
E_+)(-A)=2(\tilde E_+ - E_+)A,\]<br />
protože komutují. <br />
<br />
To je ekvivalentní s~tím, že $\Ran(\tilde E_+ - E_+)\subset\Ker<br />
A\subset\Ran E_+,\Ran \tilde E_+$, tedy<br />
\[E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\quad<br />
\tilde E_+(\tilde E_+ - E_+)=\tilde E_+ - E_+,\]<br />
proto $E_+\tilde E_+=\tilde E_+$, $\tilde E_+E_+=E_+\implies<br />
E_+\tilde E_+=E_+$ (vlastnosti sdruženého operátoru). Z~toho<br />
plyne $\tilde E_+=E_+$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že jednoparametrická množina ortogonálních projektorů<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je \emph{rozkladem jedničky}, právě<br />
když splňuje<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item monotonie: $\lambda\le\mu\implies P_\lambda\le P_\mu$,<br />
\item silná spojitost zleva: $\slim_{\mu\to\lambda-}P_\mu=P_\lambda$,<br />
\item existují $-\infty<m\le M<+\infty$ tak, že $P_\lambda=0$ pro každé<br />
$\lambda\le m$ a $P_\lambda=I$ pro každé $\lambda > M$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $P\le Q$,<br />
\item $\Ran P\subset\Ran Q$,<br />
\item $\Ker Q\subset\Ker P$,<br />
\item $PQ=QP=P$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buďte $P,Q$ ortogonální projektory. Potom jsou následující podmínky<br />
ekvivalentní:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\Ran P\perp\Ran Q$,<br />
\item $PQ=QP=0$,<br />
\end{enumerate}<br />
Jsou-li tyto podmínky splněny, řekneme, že jsou projektory $P$ a $Q$ vzájemně kolmé.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Na cvičení.<br />
\end{proof}<br />
<br />
V následujících odstavcích bychom chtěli dát smysl výrazu $\int\lambda\d P_\lambda$, jež bude představovat spektrální rozklad pro obecné hermitovské operátory. Ačkoliv by šlo definovat pojem tzv. spektrální míry, provedeme pro jednoduchost konstrukci pouze v Riemannově smyslu.<br />
<br />
%Projekční míra je zobrazení $(-\infty,\lambda)\mapsto P_\lambda$.<br />
%Buď $\mu<\lambda$, položme<br />
%$\Delta=[\mu,\lambda)=(-\infty,\lambda)\sm(-\infty,\mu)\mapsto<br />
%P_\lambda-P_\mu$. $P(\Delta)=P_\lambda-P_\mu=P_\lambda(I-P_\mu)$ je OG<br />
%projektor. Protože $P_\mu\le P_\lambda$, je $\Ran P_\mu\subset\Ran<br />
%P_\lambda$ a $\Ran P_\lambda=\Ran P_\mu\oplus\Ran(P_\lambda-P_\mu)$.<br />
<br />
Uvažujme tedy rozklad jednotky $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ a vezměme libovolná čísla $a\le m$ a $b>M$. Uvažujme rozdělení $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ intervalu $(a,b)$, tj. posloupnost splňující $a=\nu_0<\nu_1<\dots<\nu_n=b$. Definujme dále intervaly $\Delta_k:=[\nu_{k-1},\nu_k)$ pro<br />
$k=1,\dots,n$ a projektory $P(\Delta_k):=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}$. Jedná se jistě o hermitovské operátory a z monotonie snadno ukážeme, že jde skutečně o projektory<br />
\[P(\Delta_k)^2=P_{\nu_k}^2-P_{\nu_k}P_{\nu_{k-1}}-P_{\nu_{k-1}}P_{\nu_k}+P_{\nu_{k-1}}^2=P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}}=P(\Delta_k).\]<br />
Dále z monotonie ukážeme, že jsou tyto operátory vzájemně kolmé. Předpokládejme $j<k$, pak<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=(P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}})(P_{\nu_k}-P_{\nu_{k-1}})=P_{\nu_j}-P_{\nu_{j-1}}-P_{\nu_j}+P_{\nu_{j-1}}=0\]<br />
Díky monotonii projektory komutují, takže rovnost platí i pro opačné pořadí. Výsledek je možné psát v kompaktním tvaru<br />
\[P(\Delta_j)P(\Delta_k)=\delta_{jk}P(\Delta_j).\]<br />
<br />
Dále si můžeme povšimnout, že<br />
\[\sum_{k=0}^nP(\Delta_k)=P_b-P_a=I.\]<br />
<br />
Zvolme nyní v každém intervalu $\Delta_k$ libovolné $\tilde\nu_k\in\Delta_k$ a označme<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_k P(\Delta_k)\in\B(\H),\quad<br />
A_\nu^*=A_\nu.\]<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Mějme $\{P_j\}_{j=1}^n$ množinu nenulových OG projektorů,<br />
$P_iP_j=\delta_{ij}P_i$, $\sum_{j=1}^n P_j=I$,<br />
$\{\lambda_j\}_{j=1}^n\subset\C$. Potom<br />
\[\norm{\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j}=\max_{1\le j\le<br />
n}\{\abs{\lambda_j}\}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Označme $X=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j$. Pak<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Xu}^2&=(Xu,Xu)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n<br />
\overline{\lambda_i}\lambda_j(P_iu,P_ju)=<br />
\sum_{i=1}^n\abs{\lambda_i}^2(u,P_iu)\le\\<br />
&\le\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\sum_{i=1}^n(u,P_iu)=<br />
\left(\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}\right)^2\norm{u}^2,<br />
\end{split}<br />
\]<br />
neboť $(P_iu,P_ju)=(u,P_iP_ju)=\delta_{ij}(u,P_iu)$. Označme<br />
$\max_{1\le j\le n}\abs{\lambda_j}=\abs{\lambda_{j_0}}$ a zvolme<br />
$u\in\Ran P_{j_0}$. Pak $Xu=\lambda_{j_0}u$, a proto<br />
$\norm{X}=\abs{\lambda_{j_0}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
Označme normu rozdělení $d_\nu=\max_{1\le j\le n}(\nu_j-\nu_{j-1})$. Nyní budeme chtít ukázat, že pro všechny normální posloupnosti rozdělení integrální součet $A_\nu$ konverguje ke stejnému operátoru.<br />
<br />
Vezměme tedy $\nu=(\nu_k)_{k=0}^n$ a $\mu=(\mu_j)_{j=0}^m$ dvě rozdělení a označme $\sigma=(\sigma_l)_{l=0}^p$ jejich společné zjemnění. Zřejmě je každý interval rozdělení $\sigma$ podintervalem právě jednoho z intervalů rozdělení $\nu$ i $\mu$, tj. pro každé $l$ existuje právě jedno $j$ a právě jedno $k$ tak, že $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_j^\mu$ a $\Delta_l^\sigma\subset\Delta_k^\nu$. Položme pak $\sigma_l':=\tilde\mu_j$ a $\sigma_l'':=\tilde\nu_k$. Potom můžeme psát<br />
\[A_\mu=\sum_{j=1}^m\tilde\mu_jP(\Delta_j^\mu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l'P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
\[A_\nu=\sum_{k=1}^n\tilde\nu_kP(\Delta_k^\nu)=\sum_{l=1}^p\sigma_l''P(\Delta_l^\sigma),\]<br />
takže<br />
\[\norm{A_\mu-A_\nu}=\norm{\sum_{l=1}^p(\sigma_l'-\sigma_l'')P(\Delta_l^\sigma)}\le\max_{l\in\hat p}\abs{\sigma_l'-\sigma_l''}=\max_{\Delta_j^\mu\cap\Delta_k^\nu\neq\emptyset}\abs{\tilde\mu_j-\tilde\nu_k}\le d_\mu+d_\nu.\]<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Je-li $\nu^{(k)}=\{\nu_j^{(k)}\}_{j=0}^{n_k}$ taková posloupnost<br />
rozdělení, že $\lim_{k\to\infty}d_{\nu(k)}=0$, potom $A_{\nu^{(k)}}$<br />
je cauchyovská posloupnost v~$\B(\H)$, a tedy existuje<br />
$A=\lim_{k\to\infty}A_{\nu^{(k)}}$ v~$\B(\H)$, $A^*=A$. Navíc $A$<br />
nezávisí na volbě $\nu^{(k)}$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme druhou posloupnost $\sigma^{(k)}$, že<br />
$\lim_{k\to\infty}d_{\sigma^{(k)}}=0$, potom $\lim<br />
A_{\nu^{(k)}}=\lim A_{\sigma^{(k)}}$. Zavedeme $\mu^{(k)}$:<br />
$\nu^{(1)},\sigma^{(1)},\nu^{(2)},\sigma^{(2)},\dots$, Opět $\lim<br />
d_\mu^{(k)}=0$ a tedy $\lim A_{\mu^{(k)}}$ existuje a je stejná<br />
jako limity vybraných posloupností $A_{\sigma^{(k)}}$ a<br />
$A_{\nu^{(k)}}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
Závěr tedy je, že integrál $\int\lambda\d P_\lambda$ pro daný rozklad jednotky $\{P_\lambda\}$ existuje v Riemannově smyslu. Nyní ukážeme, že každý hermitovský operátor lze tímto způsobem rozvinout.<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{rozklad1}<br />
Ke každému $A\in\B(\H)$, $A^*=A$, existuje právě jeden rozklad identity<br />
$\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ takový, že $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Navíc pro každé $C\in\B(\H)$ platí<br />
$CA=AC\iff\forall\lambda\ CP_\lambda=P_\lambda C$.<br />
\begin{proof}<br />
Z~předchozích lemmat víme, že pro $A=A^*$ existuje právě jeden<br />
projektor $E_+(A)$: $AE_+(A)\ge 0$, $A(I-E_+(A))\le 0$, $\Ker<br />
A\subset\Ran E_+(A)$.<br />
<br />
Pro každé $\lambda$ položme $P_\lambda=I-E_+(A-\lambda)$, kde<br />
$E_+[A-\lambda]$ je projektor $E_+$ odpovídající operátoru<br />
$A-\lambda$. Ukážeme, že $P_\lambda$ je rozklad jedničky:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Položme $\lambda\le m_A=\inf_{\norm{x}=1}\la x,Ax\ra$. Pro každé<br />
$x\not=0$ je $\lambda\la x,x\ra\le m_A\la x,x\ra\le\la x,Ax\ra$ a tedy<br />
$0\le\la x,(A-\lambda)x\ra$. Proto $A-\lambda=\abs{A-\lambda}$, $\Ker<br />
(A-\lambda-\abs{A-\lambda})=\H$, $\Ran E_+[A-\lambda]=\H$ a<br />
$E_+[A-\lambda]=I\implies P_\lambda=0$.<br />
\item Buď $\lambda>M_A$. Potom pro $x\not=0$ je<br />
$\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra$ a<br />
$0\ge(\la x,(A-\lambda)x\ra$. Předpokládejme, že<br />
$0\not=x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom by $\la x,\lambda x\ra=\la x,Ax\ra\le<br />
M_A\la x,x\ra$ a $\lambda\la x,x\ra>M_A\la x,x\ra\ge\la x,Ax\ra=\la x,\lambda<br />
x\ra=\lambda\la x,x\ra$, což je spor. Tedy<br />
$\Ker(A-\lambda)=\{0\}$. Nulový operátor splňuje všechny<br />
požadavky kladené na $E_+$ a z~jednoznačnosti<br />
$E_+[A-\lambda]=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$. Ukážeme, že $P_\lambda P_\mu=P_\lambda\iff<br />
0=P_\lambda(I-P_\mu)$. Z~vlastností projektoru $E_+$ a<br />
nezápornosti (libovolného) projektoru plyne<br />
\[\underbrace{P_\lambda}_{\ge 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)(A-\mu)}_{\ge 0}\ge 0,<br />
\quad<br />
\underbrace{(A-\lambda)P_\lambda}_{\le 0}<br />
\underbrace{(I-P_\mu)}_{\ge 0}\le 0.<br />
\]<br />
Spojením obou nerovností dostaneme<br />
\[\mu P_\lambda(I-P_\mu)\le AP_\lambda(I-P_\mu)\le<br />
\lambda P_\lambda(I-P_\mu).\]<br />
Pro každé $x$ tak platí<br />
\[\mu\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra\le\lambda\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra,\]<br />
a protože $\lambda<\mu$, je<br />
\[0\le\underbrace{(\lambda-\mu)}_{<0}<br />
\underbrace{\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra}_{\ge 0}.\]<br />
Z~toho plyne, že pro každé $x$ je<br />
\[0=\la x,P_\lambda(I-P_\mu)x\ra=\la x,P_\lambda^2(I-P_\mu)^2x\ra=<br />
\norm{P_\lambda(I-P_\mu)x}^2,\]<br />
a tedy $P_\lambda(I-P_\mu)=0$.<br />
\item Buď $\lambda<\mu$,<br />
$P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda=P_\mu(I-P_\lambda)$.<br />
Z~monotonie podle lemmatu \ref{slim} plyne existence<br />
$\slim_{\lambda\to\mu-}P_\lambda=P_{\mu-0}$, označme<br />
$P_0=P_\mu-P_{\mu-0}=\slim_{\lambda\to\mu-}P([\lambda,\mu))$.<br />
<br />
Obdobně jako výše se ukáže nerovnost $\lambda P(\Delta)\le<br />
AP(\Delta)\le\mu P(\Delta)$. Limitním přechodem dostáváme<br />
$\mu P_0\le AP_0\le\mu P_0\implies (A-\mu)P_0=0\iff \Ran<br />
P_0\subset\Ker(A-\mu)\subset\Ran E_+[A-\mu]=\Ran(I-P_\mu)$.<br />
Z~toho dále plyne $P_0\le I-P_\mu\iff P_0(I-P_\mu)=P_0\iff<br />
P_0P_\mu=0$. Současně $P([\lambda,\mu))P_\mu=<br />
(P_\mu-P_\lambda)P_\mu=P_\mu-P_\lambda=P([\lambda,\mu))$.<br />
Po provedení limity $P_0P_\mu=P_0$. Celkem $P_0=0$, takže<br />
$P_\lambda$ je spojitá zleva.<br />
\item Zbývá dokázat rovnost<br />
\[A=\int\lambda\,\d P_\lambda=\lim<br />
A_\nu=\lim\sum\tilde\nu_iP(\Delta_i^\nu).\]<br />
Opět jako předtím ukážeme $\nu_{i-1}P(\Delta_i^\nu)\le<br />
AP(\Delta_i^\nu)\le\nu_i P(\Delta_i^\nu)$. Platí<br />
\[A-A_\nu=\sum_i AP(\Delta_i^\nu)-<br />
\sum_i\tilde\nu_i P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i(\nu_i-\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_i d_\nu P(\Delta_i^\nu)=d_\nu I.\]<br />
Podobně se to odhadne zdola: $A-A_\nu\ge-d_\nu I$. Celkem pro<br />
každé $x$ platí<br />
\[-d_\nu(x,x)\le(x,(A-A_\nu)x)\le d_\nu(x,x)\]<br />
a pro $x\not=0$<br />
\[\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Protože $A-A_\nu$ je samosdružený, je<br />
\[\norm{A-A_\nu}=\sup_{x\not=0}<br />
\frac{\abs{(x,(A-A_\nu)x)}}{(x,x)}\le d_\nu.\]<br />
Je-li $\lim d_{\nu^{(k)}}=0$, potom $\lim A_{\nu^{(k)}}=A$<br />
v~$\B(\H)$ a proto $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\item Komutativnost: Je-li $CP_\lambda=P_\lambda C$, pak i<br />
$CP(\Delta_i^\nu)=P(\Delta_i^\nu)C$ a $CA_\nu=A_\nu C$,<br />
po provedení limity $CA=AC$. <br />
<br />
Je-li $CA=AC$, pak $C(A-\lambda)=(A-\lambda)C$, z~lemmatu pak<br />
plyne $CE_+[A-\lambda]=E_+[A-\lambda]C$, $CP_\lambda=P_\lambda<br />
C$.<br />
\item Jednoznačnost $P_\lambda$ dokážeme později.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Buď $A\in\B(\H)$ normální. Potom $\norm{A}=r_\sigma(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{Ax}^2&=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^*Ax\ra\le\norm{x}\norm{A^*Ax}=\\<br />
&=\norm{x}\sqrt{\la A^*Ax,A^*Ax\ra}=\norm{x}\sqrt{\la A^2x,A^2x\ra}=<br />
\norm{x}\norm{A^2x} \le \norm{A^2}\norm{x}^2,<br />
\end{split}\]<br />
dále postupujeme jako v~důkazu věty \ref{norma_herm}.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$, $p$ polynom. Umíme spočítat $p(A)$. Buď<br />
$f\in\c([m_A,M_A])$. Protože $A=A^*$, je $p(A)$ normální (hermitovský být nemusí, pokud nemá polynom reálné koeficienty) a platí<br />
\[\begin{split}<br />
\norm{p(A)}&=r_\sigma(p(A))=\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in\sigma(p(A))\}=<br />
\sup\{\abs{\lambda}|\lambda\in p(\sigma(A))\}=\\<br />
&=\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in\sigma(A)\}\le<br />
\sup\{\abs{p(\xi)}|\xi\in[m_A,M_A]\}=\norm{p}_\infty.<br />
\end{split}\]<br />
Z~Weierstrasse plyne, že pro $f\in\c([m_A,M_A])$ existuje posloupnost<br />
polynomů $p_n$ taková, že $\lim\norm{f-p_n}_\infty=0$. Posloupnost $p_n$ je<br />
cauchyovská v~$\c([m_A,M_A])$ a z~nerovnosti<br />
$\norm{p_n(A)-p_m(A)}\le\norm{p_n-p_m}_\infty$ plyne, že i $p_n(A)$ je<br />
cauchyovská v~$\B(\H)$, tudíž existuje $\lim p_n(A)$ v~$\B(\H)$.<br />
<br />
Tato limita nezávisí na volbě $p_n$. Pokud $q_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$, položíme $(r_n)=(p_1,q_1,p_2,q_2,\dots)$ a $r_n\to f$<br />
v~$\c([m_A,M_A])$ a podle věty o~vybraných posloupnostech $\lim<br />
p_n(A)=\lim q_n(A)=\lim r_n(A)$.<br />
<br />
Pokládáme $f(A)=\lim p_n(A)\in\B(H)$. Protože<br />
$p_n(A)p_n(A)^*=p_n(A)^*p_n(A)$, je i $f(A)f(A)^*=f(A)^*f(A)$, a tedy<br />
$f(A)$ je normální. Je-li $f$ reálná, lze i $p_n$ volit reálné a<br />
$p_n(A)^*=p_n(A)$, a tudíž i $f(A)^*=f(A)$. Je-li $f$ komplexní, je<br />
$\overline{p_n}(A)=p_n(A)^*$ a $\overline f(A)=f(A)^*$. Pro normu<br />
$f(A)$ platí odhad<br />
\[\norm{f(A)}=\lim_{n\to\infty}\norm{p_n(A)}\le<br />
\lim_{n\to\infty}\norm{p_n}_\infty=\norm{f}_\infty.\]<br />
<br />
\begin{define}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky, $P_\lambda\equiv 0$ pro<br />
$\lambda\le m$, $P_\lambda\equiv I$ pro $\lambda>M$. Je-li<br />
$f\in\c([m,M])$, pak<br />
\[<br />
\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=\lim_{d(\nu)\to 0}\sum f(\tilde\nu_i)<br />
P(\Delta_i^\nu)\in\B(\H).<br />
\]<br />
Korektnost definice, tj. existence a jednoznačnost limity se ověří<br />
podobně jako u~$\int\lambda\,\d P_\lambda$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Je-li $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$, potom $f(A)=\int f(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda$.<br />
\begin{proof}<br />
Položme nejprve $f(\lambda)=\lambda^n$, $n\in\N_0$. Potom<br />
\[\int\lambda^n\,\d P_\lambda=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\sum_i\tilde\nu_i^n P(\Delta_i^\nu)=<br />
\lim_{d(\nu)\to 0}\left(\sum_i\tilde\nu_i<br />
P(\Delta_i^\nu)\right)^n=<br />
\left(\int\lambda\,\d P_\lambda\right)^n=A^n,\]<br />
neboť při umocňování smíšené členy vypadnou díky tomu, že<br />
$P(\Delta_i^\nu)P(\Delta_j^\nu)=\delta_{ij}P(\Delta_i^\nu)$. Díky<br />
aditivitě pak tvrzení platí pro libovolný polynom.<br />
<br />
Normu integrálu lze odhadnout jako<br />
\[\norm{\int f(\lambda)\,\d P_\lambda}=\lim_{d(\nu)\to 0}<br />
\norm{\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)}<br />
\le\lim_{d(\nu)\to 0}\max_i\abs{f(\tilde\nu_i)}\le<br />
\norm{f}_\infty.\]<br />
Důsledkem odhadu je následující tvrzení: Jestliže $f_n\to f$<br />
v~$\c([m,M])$, potom $\lim\int f_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda$.<br />
<br />
Zvolíme posloupnost polynomů $p_n\to f$ v~$\c([m_A,M_A])$, potom<br />
\[f(A)=\lim p_n(A)=\lim\int p_n(\lambda)\,\d P_\lambda=\int<br />
f(\lambda)\,\d P_\lambda.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buďte $f,g\in\c([m,M])$ reálné, $f(t)<g(t)$ pro každé<br />
$t\in[m,M]$. Potom<br />
\[\int f(\lambda)\,\d P_\lambda\le\int g(\lambda)\,\d P_\lambda.\]<br />
\begin{proof}<br />
Pro každé $\nu$ platí<br />
\[\sum_{i}f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i}g(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{proof}[Důkaz jednoznačnosti rozkladu jedničky (věta \ref{rozklad1})]<br />
Buď $A=A^*\in\B(\H)$. Nechť $\{P_\lambda\}_{\lambda\in\R}$ je<br />
rozklad jedničky takový, že $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Zvolíme<br />
posloupnost funkcí $f_n\in\c(\R)$, $0\le f_n\le 1$ ($\lambda_0$ je<br />
libovolné pevné):<br />
\[<br />
f_n(\lambda)=<br />
\begin{cases}<br />
1& \lambda\le\lambda_0-\frac1n\\<br />
0& \lambda\ge\lambda_0\\<br />
\text{lineární}& \lambda\in[\lambda-\frac1n,\lambda_0].<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Ukážeme, že $P_{\lambda_0-\frac1n}\le f_n(A)=\int f_n(\lambda)\,\d<br />
P_\lambda\le P_{\lambda_0}$: Zvolíme posloupnost rozdělení<br />
$\nu^{(k)}$, $\lambda_0$ a $\lambda_0-\frac1n$ je dělicí bod pro<br />
každé $k$, $d(\nu^{(k)})\to 0$. Potom ($\lambda_0=\nu_{i(k)}$)<br />
\[\sum_i f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=<br />
\sum_{i\le i(k)}f_n(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)\le<br />
\sum_{i\le i(k)}P(\Delta_i^\nu)=P((-\infty,\nu_{i(k)}))=<br />
P_{\lambda_0},\]<br />
neboť pro $i>i(k)$ je<br />
$\tilde\nu_i\in\Delta_i^\nu\subset[\lambda_0,+\infty)$ a<br />
$f_n(\tilde\nu_i)=0$. Obdobně se odhadne $\ge P_{\lambda_0-\frac1n}$.<br />
Provedením limity z monotonie dostaneme rovnost<br />
\[P_{\lambda_0}=\slim_{n\to\infty}f_n(A).\]<br />
Pravá strana nezávisí na rozkladu jedničky, takže rozklad<br />
$P_\lambda$ je jednoznačný.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buďte $f,g\in\c([m,M])$. Potom $f(A)g(A)=(fg)(A)$.<br />
\begin{proof}<br />
Zvolme $p_n\to f$, $q_n\to g$ posloupnosti polynomů, potom<br />
$p_nq_n\to fg$. Dále je<br />
\[(fg)(A)=\lim (p_nq_n)(A)=\lim p_n(A)q_n(A)=f(A)g(A).\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\item Nechť $P_\lambda$ je konstantní na $[a,b]$, $f\in\c$, $\supp<br />
f\subset[a,b]$. Potom $\int f(\lambda)\,\d P_\lambda=0$.<br />
\begin{proof}<br />
Můžeme požadovat, aby $a,b$ byly dělicí body. Potom buď<br />
$\Delta_i^\nu\subset[a,b)$ a<br />
$P(\Delta_i^\nu)=P_{\nu_i}-P_{\nu_{i-1}}=0$ nebo<br />
$\Delta_i^\nu\cap[a,b)=\emptyset$ a<br />
$f(\tilde\nu_i)=0$. Proto<br />
\[\sum_i f(\tilde\nu_i)P(\Delta_i^\nu)=0\]<br />
pro každé takové $\nu$.<br />
\end{proof}<br />
\item Buď $A=\int\lambda\,\d P_\lambda$. Pak<br />
\[\la x,Ax\ra=\lim\la x,A_\nu x\ra=<br />
\lim\sum_i\tilde\nu_i\la x,P(\Delta_i^\nu)x\ra=<br />
\int\lambda\,\d\la x,P_\lambda x\ra,\]<br />
což je Riemann--Stieltjesův integrál s~distribuční funkcí<br />
$F(\lambda)=\la x,P_\lambda x\ra$ a mírou $\mu([a,b))=F(b)-F(a)$, a<br />
platí $F(x)=0$ pro $\lambda < m$, $F(x)=\norm{x}^2$ pro<br />
$\lambda>M$. Stejně tak je<br />
\[\la x,f(A)x\ra=\int f(\lambda)\,\d\la x,P_\lambda x\ra\]<br />
a<br />
\[\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra=\la x,A^2x\ra=\int\lambda^2\,\d\la x,P_\lambda x\ra.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\{P_\lambda\}$ je rozklad jedničky a $A=\int\lambda\,\d<br />
P_\lambda$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, právě když $P_\lambda$ je<br />
konstantní na nějakém okolí $\lambda$.<br />
\item $\lambda\in\sigma_P(A)$, právě když $P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda\not=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
Navíc $P_0$ je ortogonální projektor na $\Ker(A-\lambda)$.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item (i) $\Leftarrow$: Položme $f=x-\lambda$,<br />
\[g(x)=<br />
\begin{cases}<br />
\frac1{x-\lambda}&\abs{x-\lambda}\ge\epsilon\\<br />
\text{lineární}&\abs{x-\lambda}\le\epsilon.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Zvolíme $\epsilon>0$ tak, aby $P_\lambda$ byla konstantní na<br />
$[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$. Zřejmě $f(A)=A-\lambda$,<br />
dále je $f(x)g(x)-1\in\c(\R)$,<br />
$\supp(fg-1)\subset[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]$, podle<br />
předchozích poznámek je tedy $(fg-1)(A)=0$ a<br />
$(A-\lambda)g(A)-I=f(A)g(A)-I=0$, $(A-\lambda)g(A)=I$,protože je $g$ omezené, <br />
$g(A)=(A-\lambda)^{-1}\in\B(\H)$ a tedy $\lambda\in\rho(A)$.<br />
\item (i) $\Rightarrow$: Nechť $\lambda\in\rho(A)\cap\R$, podle Weylova<br />
kritéria existuje $M>0$ tak, že $\norm{(A-\lambda)x}\ge<br />
M\norm{x}$ pro každé $x$. Zvolme $\Delta=[\lambda-\frac<br />
M2,\lambda+\frac M2)$. Stejně jako v~důkazu věty \ref{rozklad1}<br />
ukážeme nerovnost<br />
\[\left(\lambda-\frac M2\right)P(\Delta)\le P(\Delta)A\le<br />
\left(\lambda+\frac M2\right)P(\Delta).\]<br />
Tu lze přepsat ve tvaru<br />
\[-\frac M2 P(\Delta)\le(A-\lambda)P(\Delta)\le<br />
\frac M2 P(\Delta).\]<br />
Pokud $P(\Delta)\not=0$, je $\norm{P(\Delta)}=1$ a musí platit<br />
\[\norm{(A-\lambda)P(\Delta)}=<br />
\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,(A-\lambda)P(\Delta)x\ra}\le<br />
\sup_{\norm{x}=1}\frac M2\abs{\la x,P(\Delta)x\ra}=\frac M2.\]<br />
Potom ale pro $x\in\Ran P(\Delta)$ platí<br />
\[\frac M2\norm{x}\ge\norm{(A-\lambda)P(\Delta)x}=<br />
\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x},\]<br />
což je spor.<br />
\item (ii) Stačí dokázat, že $\Ker(A-\lambda) = \Ran P_0$<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[$\supset:$]<br />
<br />
Buď $\mu>\lambda$, $P([\lambda,\mu))=P_\mu-P_\lambda$,<br />
\[P_0=P_{\lambda+0}-P_\lambda=\slim_{\mu\to\lambda+}P([\lambda,\mu)).\]<br />
Opět<br />
\[\lambda P([\lambda,\mu))\le AP([\lambda,\mu))\le<br />
\mu P([\lambda,\mu)).\]<br />
Limitním přechodem $\mu\to\lambda+$ dostáváme $\lambda P_0\le<br />
AP_0\le\lambda P_0\implies (A-\lambda)P_0=0$, což je<br />
ekvivalentní s~inkluzí $\Ran P_0\subset\Ker(A-\lambda)$.<br />
<br />
\item[$\subset:$] Buď $x\in\Ker(A-\lambda)$. Potom<br />
\[0=\norm{(A-\lambda)x}^2 =(x,(A-\lambda)^2 x)=\int(\mu-\lambda)^2\,\d(x,P_\mu x),\]<br />
z~čehož plyne nulovost míry $(-\infty,\lambda)$ a<br />
$(\lambda,+\infty)$. Proto zobrazení $\mu\mapsto(x,P_\mu x)$ je<br />
konstantní pro $\mu<\lambda$ a $\mu>\lambda$. Z definice rozkladu jednotky proto musí být <br />
nutně $\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=0$ pro $\mu<\lambda$ a<br />
$\norm{P_\mu x}^2=(x,P_\mu x)=\norm{x}^2$ pro $\mu>\lambda$. <br />
<br />
Z~toho plyne, že<br />
\[P_\mu x=<br />
\begin{cases}<br />
0&\mu<\lambda\\<br />
x&\mu>\lambda.<br />
\end{cases}<br />
\]<br />
Protože $P_\lambda$ je spojité zleva, je $P_\lambda x=0$ a<br />
\[P_0 x=\lim_{\mu\to\lambda+}(P_\mu-P_\lambda)x=<br />
\lim_{\mu\to\lambda+}x=x.\]<br />
Tedy $x\in\Ran P_0$ a $\Ker(A-\lambda)\subset\Ran P_0$.<br />
<br />
Celkem $\Ker(A-\lambda)=\Ran P_0$ a z~toho také plyne tvrzení<br />
(ii).\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola2&diff=560101FA2:Kapitola22015-09-30T12:41:43Z<p>Gromadan: Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
<br />
Nejprve zopakujeme definici uzavřeného operátoru a definici spektra.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Grafem operátoru $A\colon X\to Y$ nazýváme podprostor vektorového prostoru $X\oplus Y$ daný vztahem<br />
\[\Gamma(A):=\{[x,Ax] \mid x\in\Dom A\}.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Operátor $A$ označujeme jako uzavřený, když $\Gamma(A)$ je uzavřený v $X\oplus Y$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Operátor $A$ je uzavřený, právě když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ platí<br />
\[x_n\to x\wedge Ax_n\to y\implies x\in\Dom A\wedge Ax = y.\]<br />
\end{tvrzeni}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nechť $A$ je uzavřený a $A^{-1}$ existuje. Potom $A^{-1}$ je<br />
uzavřený.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Operátor $A\colon X\mapsto Y$ je uzavíratelný (má uzávěr), právě když $\uz{\Gamma(A)}$ je grafem nějakého lineárního operátoru. Tento operátor pak značíme $\uz{A}$ a nazýváme uzávěr $A$.<br />
Jestliže $A$ je uzavíratelný, pak existuje jeho nejmenší uzavřené rozšíření a je jím právě jeho uzávěr.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Operátor $A$ lze uzavřít právě tehdy, když pro každou posloupnost $x_n\in\Dom A$ takovou, že $x_n\to 0$ a $Ax_n\to y$, platí $y=0$. K tomu, aby $x$ patřilo do definičního oboru $\uz{A}$ je nutné a stačí, aby existovala posloupnost $x_n\in\Dom A$ taková, že $x_n\to x$ a $A x_n$ konverguje, je-li to splněno, pak $Ax_n\to \uz{A}x$.<br />
\end{tvrzeni}<br />
<br />
\begin{theorem}[o uzavřeném grafu]<br />
Nechť $A\colon\X\to\Y$ je uzavřený lineární operátor, $\X$ a $\Y$ jsou<br />
Banachovy prostory. Potom jestliže $\Dom A=\X$, pak $A$ je omezený.<br />
\begin{proof}<br />
Podle předpokladů je $\Gamma(A)$ uzavřený podprostor v $\X\oplus\Y$, takže $\Gamma(A)$ je B-prostor s normou<br />
$$\norm{[x,y]}_{\oplus} = \norm{x}_\X+\norm{y}_\Y.$$<br />
Zobrazení $S_1\colon \Gamma(A) \to\X$, $S_1([x,Ax]) = x$ je vzájemně <br />
jednoznačné spojité zobrazení prostorů $\Gamma(A)$ a $\X$, tudíž podle věty o inverzním zobrazení je $S_1^{-1}$ spojité. <br />
Podobně zavedeme spojité zobrazení $S_2\colon \Gamma(A) \mapsto\Y$, $S_2([x,Ax]) = Ax$. Složené zobrazení $S_2\circ S_1^{-1}$ je definováno na celém $\X$ a $\forall x \in\X$ platí $S_2( S_1^{-1}x) = Ax$ proto $A = S_2\circ S_1^{-1}$. Protože složení dvou spojitých zobrazení je spojité, je i $A$ spojité. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Součtem operátorů s různým definičním oborem budeme mít na mysli jejich součet na průniku definičních oborů, tedy $\Dom(A+B)=\Dom A\cap\Dom B$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $A$ uzavřený, je uzavřený také $A-\lambda I$ pro libovolné $\lambda\in\C$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\X$ Banachův, $A\colon\Dom A\subset\X\to\X$ uzavřený operátor. O komplexním číslu $\lambda$ řekneme, že je prvkem \emph{rezolventní množiny} $\rho(A)$, je-li operátor $A-\lambda I$ bijekce $\Dom A$ na $\X$. V opačném případě řekneme, že je $\lambda$ prvkem spektra $\sigma(A):=\C\sm\rho(A)$. Spektrum operátoru dále rozdělíme na tři disjunktní množiny. Není-li $A-\lambda I$ prostý, tj. jedná-li se o vlastní číslo $A$, řekneme, že je prvkem \emph{bodového} spektra $\sigmap(A)$; je-li prostý, ale není surjektivní, zařadíme $\lambda$ buď do \emph{spojitého} spektra $\sigmac(A)$, je-li $\uz{\Ran(A-\lambda I)}=\X$, nebo do \emph{reziduálního} spektra $\sigmar(A)$, je-li i $\uz{\Ran(A-\lambda I)}\neq\X$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Pro prvky rezolventní množiny $\lambda\in\rho(A)$ platí, že inverze $(A-\lambda I)^{-1}$ je uzavřený všude definovaný operátor na Banachově prostoru. Podle věty o uzavřeném grafu to znamená, že je $(A-\lambda I)^{-1}$ omezený.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Na rezolventní množině uzavřeného operátoru $A$ definujeme tzv. \emph{rezolventní funkci} neboli \emph{rezolventu} $R_A\colon\rho(A)\to \B(\X)$ vztahem $R_A(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1}$. Je-li jasné, ke kterému operátoru rezolventa přísluší, značíme často $R_\lambda$ nebo $R(\lambda)$ místo $R_A(\lambda)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\X$ Banachův prostor nad $\C$, $A$ hustě definovaný uzavřený operátor na $\X$. Potom $B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})\subset\rho(A)$ a pro každé $\mu\in B(\lambda,1/\norm{R(\lambda)})$ je $R(\mu)=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}\footnote{Fanoušci pana profesora Havlíčka mohou využít lemma z FA1, které umožňuje zapsat $B^{-1}$ jako součet geometrické řady se členy $(I-B)^k$. (Viz Modrá smrt, strana 96, lemma 3.6.4.) Příslušné lemma lze ostatně v této kapitole využít ještě minimálně jednou; kromě lenosti mě od jeho zařazení do wikiskript odrazovala i snaha držet se co nejpřesněji těch důkazů, které nám byly předvedeny na přednášce.}<br />
Pro důkaz konvergence opět stačí ukázat, že konverguje řada z norem. To je splněno, neboť<br />
\[\norm{R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\norm{R(\lambda)}(\underbrace{\norm{R(\lambda)}(\mu-\lambda)}_{<1})^k.\]<br />
Označme součet řady $B(\mu):=\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k$. Stačí ukázat $B(\mu)(A-\mu I)=(A-\mu I)B(\mu)=I$. Nejprve je potřeba ověřit, že sedí definiční obory. To je splněno, neboť $\Dom B(\mu)=\X$ a $\Ran B(\mu)\subset\Ran R(\lambda)\subset\Dom A$. Nyní upravme<br />
\[(A-\mu)B(\mu)=(A-\lambda+\lambda-\mu)R(\lambda)\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=(I-(\mu-\lambda)R(\lambda))\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=\]<br />
\[\sum_{k=0}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k-\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^k(\mu-\lambda)^k=I.\]<br />
Stejným způsobem se upraví součin v opačném pořadí.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Rezolventní množina je otevřená, tj. spektrum uzavřené.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Rezolventní funkce je spojitá, a dokonce holomorfní na rezolventní množině.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve spojitost:<br />
\[\norm{R(\mu)-R(\lambda)}=\norm{\sum_{k=1}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^k}\le\sum_{k=1}^{+\infty}\norm{R(\lambda)}^{k+1}\abs{\mu-\lambda}^k=\frac{\norm{R(\lambda)}^2\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\]<br />
Nyní holomorfnost. Ukážeme, že $R'(\lambda)=R(\lambda)^2$.<br />
\[\norm{\frac{1}{\mu-\lambda}(R(\mu)-R(\lambda))-R(\lambda)^2}=\norm{\sum_{k=2}^{+\infty}R(\lambda)^{k+1}(\mu-\lambda)^{k-1}}\le\frac{\norm{R(\lambda)}^3\abs{\mu-\lambda}}{1-\norm{R(\lambda)}\abs{\mu-\lambda}}.\]<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{theorem}[Hilbertova identita]<br />
Pro každé $\lambda,\mu\in\rho(A)$, $A$ uzavřený (obecně neomezený) operátor, platí<br />
\[(R_\lambda-R_\mu)=(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu.\]<br />
kde $R_\lambda$ je rezolventa $A$.<br />
\begin{proof}<br />
$\Dom(R_\lambda) =\Dom(R_\mu) = \X $ a $\Ran(R_\lambda) =\Dom(A-\lambda) $.<br />
<br />
Je-li $\lambda\in\rho(A)$, je $A-\lambda$ prostý. Stačí tedy pro každé $x\in \X$ dokázat rovnost<br />
\[x=(A-\lambda)R_\lambda x\overset?=<br />
(A-\lambda)(R_\mu+(\lambda-\mu)R_\lambda R_\mu)x=\%\]<br />
Ta ale platí, protože<br />
\[\%=((A-\mu)-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=<br />
x+(-\lambda+\mu)R_\mu x+(\lambda-\mu)R_\mu x=x.\]<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Operátory $R_\lambda$ a $R_\mu$ komutují.<br />
\end{dusl}<br />
\begin{proof}<br />
Úpravou $(\lambda-\mu)(R(\lambda)R(\mu)-R(\mu)R(\lambda))$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\X$ je Banachův prostor nad $\C$, $A\in\B(\X)$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\lambda\in\rho(A)$, právě když $A-\lambda$ je bijekce $\X$<br />
na $\X$.<br />
\item $\sigma(A)\subset\{\lambda|\abs{\lambda}\le\norm{A}\}$.<br />
\item pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\norm{A}$ je<br />
\[R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n.\]<br />
\item $\sigma(A)\not=\emptyset$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Přímo z~definice.<br />
\item Vyplývá z~(iii).<br />
\item Protože $\frac1{\abs{\lambda}}\norm{A}<1$, je<br />
\[\tilde R_\lambda=-\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}A^n\in\B(X).\]<br />
Platí $(A-\lambda)\tilde R_\lambda=\tilde<br />
R_\lambda(A-\lambda)=I$, a proto $\tilde<br />
R_\lambda=(A-\lambda)^{-1}=R_\lambda$.<br />
\item Pro spor předpokládejme $\sigma(A)=\emptyset$, tj. $\rho(A)=\C$. Rezolventa $R_\lambda$ je tedy celá funkce (holomorfní na celém $\C$). Abychom mohli použít Liouvillovu větu, ukážeme ještě, že je omezená. Zobrazení $\lambda\mapsto R_\lambda$ je spojité, na kompaktní množině tedy musí být omezené, tedy $\sup_{\lambda\le\norm{A}+1}\norm{R_\lambda}<+\infty$. Pro $\lambda>\norm{A}+1$ můžeme použít vyjádření z předchozího bodu<br />
\[\norm{R_\lambda}\le\sum_{n=0}^\infty\abs{\lambda}^{-n-1}\norm{A}^n=\frac{1}{\abs{\lambda}-\norm{A}}<1.\]<br />
Podle Liouvillovy věty je tím pádem rezolventní funkce konstantní, označme $R_\lambda=C$. Musí tedy $\abs{C}=\lim_{\abs{\lambda}\to+\infty}\norm{R_\lambda}=0$, tedy $R_\lambda=0$. To je ale spor s tím, že $R_\lambda$ je bijekce.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Vyjádření rezolventy v předchozím bodě je jejím Laurentovým rozvojem na mezikruží $\{\lambda\in\C\mid\abs{\lambda}>\norm{A}\}$.<br />
<br />
Číslo $r_\sigma(A)=\sup\{\abs{\lambda}\mid\lambda\in\sigma(A)\}$ nazýváme spektrální poloměr $A$. V minulé větě jsme odvodili, že pro omezené operátory je $r_\sigma(A)\le\norm{A}$. Rezolventní funkce $R_\lambda$ je analytická na mezikruží $\{\lambda\mid\abs{\lambda}>r_\sigma(A)\}$, má na něm tedy Laurentův rozvoj. Z jednoznačnosti Laurentova rozvoje pak plyne, že odvozený vztah<br />
\begin{equation}<br />
\label{laur_res}R_\lambda=<br />
-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n<br />
\end{equation}<br />
je platný pro všechna $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ i v případě $r_\sigma(A)<\norm{A}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\X$ je Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ a komplexní polynom $p\in\C(z)$. Potom<br />
$p(\sigma(A))=\sigma(p(A))$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\lambda\in\C$, $p(z)-\lambda=a_n(z-\xi_1)\cdots(z-\xi_n)$, kde<br />
$\{\xi_1,\dots,\xi_n\}$ jsou kořeny $p(z)-\lambda$ včetně<br />
násobností. Analogicky platí<br />
$p(A)-\lambda=a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_n)$.<br />
<br />
Zobrazení $p(A)-\lambda\colon\X\to\X$ je bijekce, právě když pro<br />
každé $n$ je $A-\xi_n\colon\X\to\X$ bijekce:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[($\Leftarrow$)] Složením bijekcí vznikne bijekce.<br />
\item[($\Rightarrow$)] Je-li stupeň polynomu nula nebo jedna, je to triviální. Pro polynomy vyššího stupně využijeme toho, že operátory $A-\xi_i$ vzájemně komutují:<br />
<br />
Pokud existuje $i$ takové, že $A-\xi_i$ není<br />
prostá, existuje $x\not=0$ tak, že $(A-\xi_i)x=0$, ale potom i<br />
\[a_n(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})<br />
(A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n)(A-\xi_i)x=0,\]<br />
pročež $p(A)-\lambda$ není prosté.<br />
<br />
Pokud existuje $i$ takové, že $\Ran(A-\xi_i)\not=\X$, potom<br />
\[\Ran(a_n(A-\xi_i)(A-\xi_1)\cdots(A-\xi_{i-1})<br />
(A-\xi_{i+1})\cdots(A-\xi_n))\subset\Ran(A-\xi_i)\not=\X.\]<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Dále platí: $\lambda\in\sigma(p(A))$ $\iff$ $p(A)-\lambda\colon\X\to<br />
\X$ není bijekce $\iff$ $\exists i$ tak, že $A-\xi_i$ není bijekce<br />
$\iff$ $\exists i$ tak, že $\xi_i\in\sigma(A)$ $\iff$ $\exists<br />
z\in\sigma(A)~ ,(z = \xi_i)$, $p(z)=\lambda$ $\iff$ $\lambda\in p(\sigma(A))$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Pro každé $A\in\B(\X)$ a $n\in\N_0$ platí $r_\sigma(A)^n=r_\sigma(A^n)$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{lemma} \label{le:liminf}<br />
Buď $A \in \B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \le \liminf\norm{A^n}^{1/n}$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof} <br />
Spojením předchozího důsledku a známé nerovnosti $r_\sigma(B) \le \norm{B}$ získáváme pro každé přirozené $n$ odhad $r_\sigma(A)^n = r_\sigma(A^n) \le \norm{A^n}$. Odmocněním a následným aplikováním $\liminf$ získáme požadovanou nerovnost.<br />
\end{proof} <br />
<br />
\begin{lemma} \label{le:limsup}<br />
Buď $A\in\B(\X)$. Potom $r_\sigma(A) \ge \limsup\norm{A^n}^{1/n}$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukažme, že pro $0<\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$ řada $-\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda^{n+1}}A^n$ nekonverguje, ale pro $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$ konverguje.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Víme, že je-li $\abs{\lambda}>r_\sigma(A)$, dotyčná řada konverguje. Představuje totiž Laurentův rozvoj rezolventy, a ten je jednoznačně daný.<br />
\item Sporem ukážeme, že je-li $\abs{\lambda}<r_\sigma(A)$, řada nekonverguje. Kdyby existovalo $\lambda_0$,<br />
$\abs{\lambda_0}<r_\sigma(A)$ a řada konvergovala,<br />
potom<br />
\[\exists C \ge 0 \text{ takové, že }\forall n\in N \quad \norm{\frac{ A^n}{\lambda_0^{n+1}}}\le C.\]<br />
Z toho můžeme pro každé $\lambda$, $\abs{\lambda}>\abs{\lambda_0}$ vyvodit<br />
\[\norm{\frac1{\lambda^{n+1}} A^n}=<br />
\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1}<br />
\norm{\frac1{\lambda_0^{n+1}}A^n}\le<br />
C\abs{\frac{\lambda_0}{\lambda}}^{n+1},\] <br />
tj. příslušná řada konverguje jako geometrická řada, její součet představuje rezolventu a spektrální poloměr tedy nemůže být větší než $\lambda_0$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Je-li $\abs{\lambda}< \limsup\norm{A^n}^{1/n}$, existuje nekonečně mnoho $n$ takových, že $\abs{\lambda}<\norm{A^n}^{1/n}$ neboli<br />
\[1<\norm{\frac1{\lambda^n}A^n}.\]<br />
Není tedy splněna ani nutná podmínka konvergence a řada pro každé $\lambda$, $\lambda < \limsup\norm{A^n}^{1/n}$ diverguje. Z toho, co jsme si prve dokázali o spektrálním poloměru, ale nezbytně vyplývá požadovaná nerovnost.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $A\in\B(\X)$. Potom<br />
\[r_\sigma(A)=\lim_{n\to\infty}\norm{A^n}^{1/n}.\]<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Větu ihned dostáváme spojením předchozích dvou lemmat.\footnote{Zde jsme si dovolili výraznější odchýlení od přednášky, protože důkaz na ní prezentovaný je zbytečně o krok delší. Nejprve se totiž dokazuje silnější podoba lemmatu \ref{le:limsup}: spektrální poloměr je \emph{roven} příslušnému limes superior. Následně se prohlásí, že musíme ověřit existenci limity, a slavnostně se dokáže lemma \ref{le:liminf}. Prostým přeuspořádáním důkazu z přednášky dostáváme důkaz ze skript, v němž ale jednu pasáž můžeme vypustit.} Všimněme si ještě, že podle věty mimo jiné příslušná limita vždy existuje (což není vůbec samozřejmé).<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, potom $(\Ran A)^\perp = \Ker A^*$.<br />
\end{lemma} <br />
\begin{proof}<br />
$x\in (\Ran A)^\perp \Leftrightarrow \forall y \in \H \; \la x,Ay \ra = 0 \Leftrightarrow \forall y\in \H \; \la A^*x,y \ra = 0 \Leftrightarrow x\in \Ker A^*$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, pak $\uz{\Ran A}=(\Ker A^*)^\perp$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
Nyní se podrobněji podíváme na spektrální vlastnosti normálních a hermitovských operátorů. Dále tedy budeme uvažovat, že $\H$ je Hilbertův prostor.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Operátor $A\in\B(\H)$ nazveme \emph{normální}, je-li splněno $AA^*=A^*A$ a \emph{hermitovský}, je-li splněno $A=A^*$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Zejména při práci s hermitovskými operátory pro nás bude důležitá seskvilineární forma $f_A(x,y)=\la x,Ay\ra$, kde $A\in\B(\H)$. Dva operátory $A$ a $B$ se rovnají, právě když se rovnají příslušné formy, neboť $\forall x,y\in\H\;\la x,Ay\ra=\la x,By\ra\iff\forall x,y\in\H\;\la x,(A-B)y\ra=0\iff\forall y\in\H\; (A-B)y=0$. Protože seskvilineární forma je určena jednoznačně svojí diagonálou prostřednictvím polarizační formule\footnote{Pozor, toto platí pouze nad tělesem $\C$. Na $\R$ totiž polarizační formule pro seskvilineární formy obecně neplatí. Protipříkladem je například operátor otočení o pravý úhel v $\R^2$, pro který je $\la x, Ax \ra$ vždy nula. Toto se ale člověk ve škole nedozví a ani mu nehrozí, že by to po něm někdo chtěl na zkoušce.}, znamená to, že<br />
\[A=B\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra=\la x,Bx\ra.\]<br />
<br />
Snadno vidíme, že operátor je hermitovský, právě když je příslušná forma symetrická, a víme, že to nastane právě tehdy, když je reálná, tedy<br />
\[A=A^*\iff\forall x\in\H\;\la x,Ax\ra\in\R.\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Operátor $A\in\B(\H)$ je normální, právě když pro každé $x\in\H$ je $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
\[\norm{Ax}^2=\norm{A^*x}^2\iff\la x,A^*Ax\ra=\la x,AA^*x\ra\iff A^*A=AA^*.\]<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[Weylovo kritérium]<br />
Nechť $A\in\B(\H)$ normální. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\lambda\in\rho(A)$, právě když existuje $M>0$ tak, že<br />
$\forall x \in \H$ je $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$, tj. právě když $\inf_{\norm{x}=1}\norm{(A-\lambda I)x}>0$.<br />
\item $\lambda\in\sigma(A)$, právě když existuje $\{x_n\}\subset\H$,<br />
$\norm{x_n}=1$, $\lim\norm{(A-\lambda)x_n}=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
První ekvivalence v (i) jinými slovy říká, že rezolventní množina $A$ je shodná s tzv. oblastí regularity $A$, tu v následujících odstavcích dokážeme. Druhá ekvivalence je zřejmá a tvrzení (ii) je pouze obměnou ekvivalence (i).<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[($\Rightarrow$)] Buď $\lambda\in\rho(A)$. Potom pro<br />
$x\in\H$ je<br />
\[\norm{x}=\norm{R_\lambda(A-\lambda)x}\le<br />
\norm{R_\lambda}\norm{(A-\lambda)x}.\]<br />
Stačí volit $M=1/\norm{R_\lambda}$.<br />
\item[($\Leftarrow$)] Je-li $(A-\lambda)x=0$, potom $M\norm{x}=0$<br />
a $x=0$. $(A-\lambda)$ je tedy prosté, zbývá ukázat, že je na. Protože $A$ je<br />
normální, je $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\Ker(A^*-\bar\lambda)^\perp=\Ker(A-\lambda)^\perp=\{0\}^\perp=\H$.<br />
Zbývá tedy ukázat uzavřenost oboru hodnot. Vezměme konvergentní posloupnost $y_n\in\Ran A-\lambda$, $y_n\to y\in\uz{\Ran(A-\lambda)}$. A vezměme odpovídající $x_n\in\H$ takovou, že $(A-\lambda)x_n=y_n$. Ta je cauchyovská, neboť<br />
\[\norm{y_n-y_m}=\norm{(A-\lambda)(x_n-x_m)}\ge M\norm{x_n-x_m}.\]<br />
Má tedy limitu $x$ a ze spojitosti $A$ už plyne $y=(A-\lambda)x\in\Ran(A-\lambda)$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Část důkazu Weylova kritéria opakuje důkaz tvrzení, které by čtenář měl znát z FA1: \uv{Reziduální spektrum normálního operátoru je prázdné.}<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom $\sigma(A)\subset\R$.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\lambda\in\C$, $\lambda=\mu+\im\nu$, $\mu,\nu \in \R$. Protože $A=A^*$, je<br />
$\la (A-\mu)x,\nu x \ra =\nu \la Ax,x\ra -\mu\nu\la x,x\ra \in\R$, z čehož plyne<br />
\[<br />
\norm{(A-\lambda)x}^2 = \la (A-\mu)x-i\nu x, (A-\mu)x-i\nu x \ra<br />
=\norm{(A-\mu)x}^2+\abs{\nu}^2\norm{x}^2\ge<br />
\abs{\nu}^2\norm{x}^2,<br />
\]<br />
takže $\norm{(A-\lambda)x}\ge\abs{\Im\lambda}\norm{x}$ pro každé $x$, a tedy $\lambda\not\in\R\implies\lambda\in\rho(A)$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Hermitovský operátor nazveme pozitivní, jestliže pro všechna $x \in \H$ platí<br />
\[<br />
\la x, Ax\ra \geq 0,<br />
\]<br />
to jest, jestliže je příslušná seskvilineární forma $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ také pozitivní (ne nutně pozitivně definitní, tj. diagonálou je seminorma, ne nutně norma). Pro pozitivní seskvilineární formy platí Cauchyho--Schwarzova nerovnost, která v tomto případě nabude tvaru<br />
\[\abs{\la x,Ay\ra}^2\le\la x,Ax\ra\la y,Ay\ra.\]<br />
<br />
S pomocí této definice lze mezi hermitovskými operátory zavést uspořádání. Řekneme, že $A$ je větší nebo roven $B$, jestliže $A-B$ je pozitivní operátor, tj. symbolicky <br />
\[<br />
A\ge B\iff \forall x\in\H \; \la x,Ax \ra \ge \la x,Bx \ra.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A\ge 0$. Potom $\norm{Ax}^2\le\norm{A}(x,Ax)$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Vezmeme Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro formu $\la x,y\ra_A=\la x,Ay\ra$ a poté Cauchyho--Schwarzovu nerovnost pro skalární součin.<br />
\[<br />
\norm{Ax}^4=\abs{\la Ax,Ax\ra}^2 \le <br />
\la x,Ax\ra \la Ax,A^2x\ra \le<br />
\la x,Ax \ra \norm{Ax}\norm{A^2x} \le<br />
\la x,Ax \ra \norm{Ax}^2\norm{A}.<br />
\]<br />
Pro $Ax = 0$ je požadovaná nerovnost triviální, v opačném případě ji získáváme vydělením předchozího vztahu.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Pro $A=A^*$ označíme<br />
\[<br />
M_A := \sup_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra,\quad m_A := \inf_{\norm{x}=1} \la x,Ax \ra.<br />
\]<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A=A^*$. Potom<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\sigma(A)\subset [m_A,M_A]$,<br />
\item $m_A,M_A\in\sigma(A)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Už víme, že spektrum je podmnožinou $\R$. Ukážeme, že $\lambda>M_A\implies\lambda\in\rho(A)$. Z~definice $M_A$ plyne $(x,Ax)\le M_A\norm{x}^2$ pro každé $x$, a tedy pro $\lambda>M_A$ je<br />
\[(\lambda-M_A)\norm{x}^2\le\lambda\la x,x\ra-\la x,Ax\ra=\la x,(\lambda-A)x\ra\le<br />
\norm{x}\norm{(A-\lambda)x}<br />
\]<br />
pro každé $x$. Po vydělení $\norm{x}$ z~Weylova kritéria plyne, že $\lambda\in\rho(A)$.<br />
<br />
\item Buď $x_n\in\H$, $\norm{x_n}=1$,<br />
$M_A=\lim_{n\to\infty}\la x_n,Ax_n \ra$. Potom $\la x_n,(M_A-A)x_n \ra \to 0$ a<br />
\[\norm{(M_A-A)x_n}^2\le\norm{M_A-A} \la x_n,(M_A-A)x_n\ra \to 0.<br />
\]<br />
Z~Weylova kritéria pak vyplývá $M_A\in\sigma(A)$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\label{norma_herm}<br />
Nechť $A\in\B(\H)$, $A^*=A$. Potom<br />
\[\norm{A}=r_\sigma(A)=<br />
\max\{\abs{m_A},\abs{M_A}\}=\sup_{\norm{x}=1}\abs{\la x,Ax\ra}.\]<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme první rovnost. Druhá snadno plyne z předchozí věty (obě čísla $m_A$ a $M_A$ jsou prvky spektra) a třetí z definice čísel $m_A$ a $M_A$.<br />
<br />
Pro $\norm{x}=1$ plyne ze Schwarzovy nerovnosti<br />
$\norm{Ax}^2=\la Ax,Ax\ra =\la x,A^2x\ra\le\norm{A^2x}$, tedy<br />
$\norm{A}^2\le\norm{A^2}$, současně ale pro každý<br />
operátor platí $\norm{A^2}\le\norm{A}^2$, takže celkem<br />
$\norm{A^2}=\norm{A}^2$. Indukcí to zobecníme na<br />
$\norm{A^{2^n}}=\norm{A}^{2^n}$:<br />
Pro $n=1$ to platí a<br />
\[\norm{A^{2^{n+1}}}=\norm{(A^{2^n})^2}=\norm{A^{2^n}}^2=<br />
\left(\norm{A}^{2^n}\right)^2=\norm{A}^{2^{n+1}}.\]<br />
Konečně<br />
\[r_\sigma=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{n}}^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\norm{A^{2^n}}^{2^{-n}}=<br />
\lim_{n\to\infty}\norm{A}=\norm{A}.\qed\]<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
S využitím znalostí z předešlého důkazu není těžké dokázat, že pro hermitovský (a s využitím jedné věty z některé z následujících kapitol i normální) operátor dokonce platí $\norm{A^k}=\norm{A}^k$. Ale ani toto tvrzení se na FA2 neprobírá -- jen jsem nemohl odolat a musel jsem ho sem připsat. Konec konců by to někdo mohl dostat u zkoušky jako jednoduché \uv{neznámé tvrzení}.<br />
\end{remark}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=560001FA2:ControlFile2015-09-30T12:40:52Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{10}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{2}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{3}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola5}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola6}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola7}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola8}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola9}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola10&diff=559901FA2:Kapitola102015-09-30T12:39:11Z<p>Gromadan: Přidání nové kapitoly</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\section{Holomorfní vektorové funkce}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je holomorfní na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje derivace, tj. limita<br />
\[F'(\lambda_0)=\lim_{\lambda\to\lambda_0}\frac{1}{\lambda-\lambda_0}(F(\lambda)-F(\lambda_0)).\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nechť $\phi\in \X^*$ a $F\colon D\to \X$ je holomorfní, pak je $\phi\circ F\colon D\to\C$ je holomorfní komplexní funkce a platí $(\phi\circ F)'=\phi\circ F'$ na $D$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\X$ Banachův nad $\C$ a $D\subset\C$ otevřená neprázdná množina. Řekneme, že $F\colon D\to \X$ je analytická na $D$, jestliže pro každé $\lambda_0\in D$ existuje $r>0$ takové, že $F$ lze na $\lambda\in B(\lambda_0,r)$ vyjádřit ve tvaru $F(\lambda)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$, kde $(a_k)_{k=0}^{+\infty}$ je posloupnost z $\X$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Nechť křivka $\gamma\colon [a,b]\to D$ je třídy $C^1$ a $F\colon D\to \X$ je spojitá. Potom existuje integrál $\int_\gamma F=\int_a^b F(\gamma(t))\gamma'(t)\d t\in \X$ jako limita $\sum_{j=1}^n F(\gamma(\xi_j))\gamma'(\xi_j)(t_j-t_{j-1})$ pro posloupnost rozdělení $(t_j)_{j=0}^n$ intervalu $(a,b)$ jehož norma $\max(t_j-t_{j-1})$ konverguje k 0, $\xi_j\in(t_{j-1},t_j)$. Navíc platí pro každý pro každý $\phi\in \X^*$ $\phi(\int_\gamma F)=\int_\gamma\phi\circ F$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\gamma$ kladně orientovaná jednoduchá uzavřená křivka v $D$, $\lambda_0\in\intd\gamma\subset D$. Potom<br />
\[\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=F(\lambda_0).\]<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Definuji $v:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda\in \X$. Beru libovolný $\phi\in \X^*$. Pak $\phi(v)=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{\phi(F(\lambda))}{\lambda-\lambda_0}\d\lambda=\phi(F(\lambda_0))$, kde jsme využili platnost příslušného tvrzení pro komplexní funkce. Využitím důsledku Hahn--Banachovy věty pak máme $v=F(\lambda_0)$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Následující tvrzení skoro jistě neplatí v té podobě, jak je tu uvedeno. Na přednášce bylo ale vysloveno právě takto. Problém spočívá v tom, že integrujeme po dráze, která sice leží v $\overline{D}$, ale nemusí ležet v $D$ -- nemáme tedy zaručeno ani to, že tam je funkce definována, natož aby konvergoval nějaký integrál z ní.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Buď $F\colon D\to \X$ holomorfní, $\lambda_0\in D$, $r>0$ takové, že $B(\lambda_0,r)\subset D$. Nechť $\gamma$ je kružnice $\gamma(t)=\lambda_0+r\e^{\im t}$, $t\in[0,2\pi]$. Definujme<br />
\[a_k:=\frac{1}{2\pi\im}\oint_\gamma\frac{F(\lambda)}{(\lambda-\lambda_0)^{k+1}}\d\lambda\in \X\]<br />
pro $k\in\N_0$. Pak $\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(\lambda-\lambda_0)^k$ konverguje k $F(\lambda)$ pro $\abs{\lambda-\lambda_0}<r$.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Pro ověření konvergence stačí, aby konvergovala suma norem, což platí, neboť $\norm{a_k}\le\max_{\lambda\in S(\lambda_0,r)}\norm{F(\lambda)}/r^k$. Dosaďme tedy do řady vyjádření $a_k$, stačí ověřit možnost záměny sumy a integrálu a můžeme psát<br />
\[\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\sum\left(\frac{\lambda-\lambda_0}{\eta-\lambda_0}\right)^k\d\eta=\frac{1}{2\pi\im}\oint\frac{F(\eta)}{\eta-\lambda_0}\d\eta=F(\lambda).\]<br />
Přičemž je potřeba ověřit korektnost záměny sumy a integrálu.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Je-li $F$ holomorfní, je analytická. Navíc musí platit $a_k=1/k!\;F^{(k)}(\lambda_0)$, takže jsou koeficienty v řadě určeny jednoznačně.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Buďte $0\le R_1<R_2\le+\infty$. Je-li $F$ holomorfní na mezikruží $D=\{\lambda\mid R_1<\abs{\lambda}<R_2\}$, pak na něm existuje jednoznačný rozvoj $F$ do Laurentovy řady<br />
\[F(\lambda)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\lambda^k\]<br />
\end{tvrzeni}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}[Liouvilleova věta]<br />
Buď $F\colon\C\to \X$ holomorfní omezená. Pak je $F$ konstantní.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Pro každý omezený funkcionál $\phi\in \X^*$ je $\phi\circ F$ holomorfní omezená komplexní funkce definovaná na celém $\C$. O ní již víme, že musí být konstantní. Pro každé $\lambda\in\C$ je tedy $\phi(F(\lambda))=\phi(F(0))$. Z důsledku Hahn--Banachovy věty můžeme opět usoudit, že to znamená $F(\lambda)=F(0)$, tedy $F$ je konstantní.<br />
\end{proof}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=559801FA2:ControlFile2015-09-30T12:37:35Z<p>Gromadan: automatic</p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola5}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola6}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola7}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola8}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola9}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}<br />
\wikichapter{10}{Kapitola10}{Holom}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola8&diff=559701FA2:Kapitola82015-09-30T12:35:37Z<p>Gromadan: Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky, doplnění tvrzení o kompaktních operátorech</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Kompaktní operátory}<br />
<br />
V této kapitole po uvedení potřebných definic formulujeme Arzelovu--Ascoliovu větu a nakonec uvedeme důležitá tvrzení o kompaktních operátorech z FA3.<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ metrický prostor. Množina $K$ je totálně omezená, právě když pro každé $\epsilon>0$ existuje konečná $\epsilon$-síť $x_1,\dots,x_n\in X$, tj. taková množina, že $K\subset\bigcup_{j=1}^n B(x_j,\epsilon)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Snadno vidíme, že totální omezenost je skutečně zesílení pojmu omezenosti (tj. totální omezenost implikuje omezenost).<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množina $K$ je prekompaktní, právě když je $\uz{K}$ kompaktní.<br />
\end{define}<br />
<br />
Následující tvrzení se na FA2 nedokazuje; v podstatě jde o opakování z MAA3.<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Buď $X$ úplný metrický prostor. Pak $K\subset X$ je kompaktní, právě když je uzavřená a totálně omezená. Ekvivalentně $K\subset X$ je prekompaktní, právě když je totálně omezená.<br />
<br />
\item Buď $X$ jakýkoliv metrický prostor. Pak $K\subset X$ je kompaktní, právě když každá posloupnost prvků z $K$ má konvergentní podposloupnost.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{tvrzeni}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
\label{separabilita}<br />
Kompaktní metrický prostor $(K,\rho)$ je separabilní.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Ukážeme nejprve, že kompaktní metrický prostor je úplný. Nechť $x_k\in K$ je cauchyovská posloupnost. Z kompaktnosti $K$ pak plyne, že má alespoň jeden hromadný bod, z cauchyovskosti naopak plyne, že je nejvýše jeden.<br />
<br />
Uvedli jsme, že kompaktní množina v úplném prostoru je totálně omezená. Pro každé $n\in\N$ tedy existuje $N\in \N$ bodů $S_n=\{x_{n1},\dots,x_{nN}\}$ tak, že $K\subset\bigcup_{k=1}^N B(x_{nk},1/n)$. Snadno pak ukážeme, že spočetná množina $S:=\bigcup_{n=1}^N S_n$ je hustá. Pro $y\in K$ a $\epsilon>0$ stačí volit $n>1/\epsilon$, abychom našli $x\in S_n\subset S$ tak, že $y\in B(x,1/n)\subset B(x,\epsilon)$.<br />
<br />
\textbf{Alternativní důkaz:} Totální omezenost $K$ lze dokázat bez berličky v podobě úplnosti a odvolání se na známé tvrzení. Pro zadané $\epsilon$ uvážíme množinu všech koulí o poloměru $\epsilon$ se středy kdekoliv v $K$. Jde o systém otevřených pokrývajících množin, takže existuje konečný pokrývající podsystém. Středy příslušných koulí tvoří požadovanou $\epsilon$-síť.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Nechť $(\Omega,\rho)$ je kompaktní metrický prostor. Pak normovaný prostor spojitých funkcí $(\c(\Omega),\norm{\cdot}_\infty)$ je úplný.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Na přednášce se nedělá, nicméně patrně půjde pouze o zobecnění vět o funkčních posloupnostech probíraných na začátku MAA3 (BC kriterium a věta o zachování spojitosti při stejnoměrné konvergenci).<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Množina $S\subset\c(X)$ je tvořena stejně spojitými funkcemi, právě když<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall f\in S)(\forall x,y\in X)<br />
(\rho(x,y)<\delta\implies\abs{f(x)-f(y)}<\epsilon).\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Arzel\`a--Ascoli]<br />
Nechť $(\Omega,\rho)$ je kompaktní metrický prostor a $S\subset\c(\Omega)$. $S$<br />
je kompaktní, právě když je omezená, uzavřená a je tvořena stejně<br />
spojitými funkcemi.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item[($\Rightarrow$):] <br />
<br />
Protože $S$ jakožto podmnožina úplného metrického prostoru $\c(\Omega)$ je uzavřená a dokonce totálně omezená, stačí ověřit jen to, že $S$ je tvořena stejně spojitými funkcemi.<br />
<br />
Chceme tedy odhadnout výraz $|f(x)-f(y)|$ nezávisle na konkrétní volbě $f\in S$ a $x,y\in\Omega$, pouze za předpokladu, že vzdálenost $\rho(x,y)<\delta$.<br />
Víme, že $S$ je totálně omezená množina, tedy pro každé $\epsilon>0$ existuje konečný počet $\epsilon$-okolí pokrývajících normovaný prostor $\c(\Omega)$:<br />
\[(\forall \epsilon>0) (\exists g_1,\dots, g_n\in S)(\forall f\in S)(\exists j \in\{1,\dots,n\})(\forall x\in\Omega)(\abs{f(x)-g_j(x)}<\epsilon)\]<br />
<br />
Nabízí se tedy možnost aproximovat danou funkci $f\in S$ některou z funkcí $g_j$. Pro dané $\epsilon>0$ tedy najdeme $\epsilon$-síť $g_1,\dots,g_n$ a pro danou $f\in S$ najdeme to pravé $j$ tak, že $|f(x)-g_j(x)|<\epsilon$ nezávisle na volbě $x$. Nyní již stačí využít odhadu<br />
\[\abs{f(x)-f(y)}\leq \abs{f(x)-g_j(x)}+\abs{g_j(x)-g_j(y)}+\abs{g_j(y)-f(y)}\]<br />
Oba krajní členy budou menší než $\epsilon$ nezávisle na $f\in S$ i na $x,y\in\Omega$. Prostřední člen lze zajisté rovněž odhadnout díky spojitosti funkcí $g_j\in S$, ovšem je třeba ukázat, že daný odhad rovněž nezávisí na volbě $j$, $x$ a $y$. Jinými slovy potřebujeme vědět, že konečný systém $g_1,\dots,g_n$ je stejně spojitý.<br />
To však skutečně splněno je. Díky tomu, že $\Omega$ je kompaktní množina, jsou z Cantorovy věty funkce $g_j\in\c(\Omega)$ spojité stejnoměrně. Díky tomu, že je daných funkcí konečně mnoho, jsou spojité stejně. Skutečně, stejnoměrná spojitost znamená<br />
\[(\forall j)(\forall\epsilon>0)(\exists\delta_j>0)(\forall x,y\in\Omega)(\rho(x,y)<\delta_j\implies\abs{g_j(x)-g_j(y)}<\epsilon.\]<br />
Zvolíme-li pro dané $\epsilon>0$ $\delta:=\min\delta_j$, bude splněno<br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall j)(\forall x,y\in\Omega)(\rho(x,y)<\delta\implies\abs{g_j(x)-g_j(y)}<\epsilon.\]<br />
<br />
I prostřední člen tedy můžeme odhadnout nezávisle na bodech $x,y\in\Omega$ a na tom, ve kterém z pokrývajících okolí se funkce $f\in S$ nacházela.<br />
<br />
<br />
\item[($\Leftarrow$):] <br />
<br />
Chceme ukázat, ze $S$ je kompaktní množina. V metrickém prostoru kompaktnost znamená, že ke každé posloupnosti existuje konvergentní podposloupnost. Nechť je tedy $(f_n)_{n=1}^\infty$ libovolná posloupnost z $S$, budeme hledat její konvergentní podposloupnost.<br />
<br />
Tvrzení \ref{separabilita} říká, že $\Omega$ je separabilní. Existuje tedy spočetná hustá množina $\{x_k\}_{k=0}^{+\infty}\subset\Omega$. V následujícím textu sestrojíme posloupnost $(g_n)$ vybranou z $(f_n)$, která bude konvergentní v každém bodě této husté podmnožiny. Nakonec pak ukážeme, že to implikuje konvergenci samotné $(g_n)$.<br />
<br />
Snadno rozmyslíme, že omezenost množiny $S$, a tedy i posloupnosti $(f_n)$ znamená, že je i pro každý bod $x\in\Omega$ číselná posloupnost $(f_n(x))$ omezená. Z MAA1 víme, že z omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Při výběru $(g_n)$ tedy můžeme postupovat následujícím způsobem.<br />
<br />
Z číselné posloupnosti $(f_n(x_1))_{n=1}^\infty$ vybereme konvergentní posloupnost $(f_n^{(1)}(x_1))_{n=1}^\infty$. Získáme tak funkční posloupnost $(f_n^{(1)})$, která je vybraná z $(f_n)$ a konverguje v $x_1$. Podobně z posloupnosti $(f_n^{(1)})_{n=1}^\infty$ vybereme podposloupnost $(f_n^{(2)})_{n=1}^\infty$, která konverguje i v bodě $x_2$. Obecně lze z posloupnosti $(f_n^{(k)})_{n=1}^\infty$, která konverguje v bodech $x_1,\dots,x_k$, vybrat podposloupnost $(f_n^{(k+1)})_{n=1}^\infty$, která konverguje i v bodě $x_{k+1}$. <br />
<br />
Pro výběr posloupnosti $(g_n)$ nakonec použijeme tzv. diagonální schéma -- definujeme ji jako $g_n:=f_n^{(n)}$. Tato posloupnost jistě konverguje v každém bodě $x_k$, neboť tvoří pro každé $k$ až na prvních $k$ členů vybranou posloupnost z $(f_n^{(k)})$, která v $x_k$ konverguje.<br />
<br />
Víme tedy, že funkční posloupnost $(g_n)$ konverguje ve všech bodech husté množiny $\{x_k\}$. Zbývá ukázat, že konverguje jakožto funkční posloupnost v prostoru $S$ (tj. že konverguje stejnoměrně na celém $\Omega$ a limitní funkce leží v $S$). Protože $S$ jakožto uzavřená podmnožina úplného prostoru $\c(\Omega)$ tvoří úplný prostor, stačí ukázat, že je posloupnost $(g_n)$ cauchyovská. Budeme se tedy snažit odhadnout výraz $\abs{g_n(x)-g_m(x)}$ nezávisle na volbě $x\in\Omega$. Nabízí se využít odhad<br />
\[\abs{g_n(x)-g_m(x)}\leq\abs{g_n(x)-g_n(x_k)}+\abs{g_n(x_k)-g_m(x_k)}+\abs{g_m(x_k)-g_m(x)}\]<br />
<br />
Krajní členy odhadneme snadno -- bod $x_k$ lze díky hustotě $\{x_k\}$ vybrat libovolně blízko danému $x$ (tj. pro každé $\delta$ existuje $k$ tak, že $\rho(x,x_k)<\delta$). Díky tomu, že jsou funkce $g_n$ stejně spojité, lze tyto členy volit menší než libovolné $\epsilon$ nezávisle na volbě $n$ či $x$. Prostřední člen bychom chtěli odhadnout s využitím toho, že $(g_n)$ konverguje v každém bodě $x_k$ (a je tedy zde cauchyovská). Nevíme ovšem, zda v každém z těchto bodů konverguje stejně. Náš odhad by tedy závisel na daném $x_k$, a tím i na $x$. Řešení je následující: pro každé dané $\epsilon$ stačí vybrat z husté množiny $\{x_k\}$ konečnou $\delta$-síť. V bodech $\delta$-sítě pak díky její konečnosti konverguje posloupnost $(g_n)$ stejně.<br />
<br />
Nadšený čtenář jistě důkaz dokončí sám, pro ostatní ho školometsky rozepíšeme. Pro dané $\epsilon>0$ hledáme $n_0$ tak, že pro každé $n,m>n_0$ a každé $x\in\Omega$ je $|g_n(x)-g_m(x)|<\epsilon$. Víme, že posloupnost $(g_n)$ tvoří stejně spojité funkce, tj. existuje $\delta>0$ takové, že pro každé $n\in\N$ a každé $x,y\in\Omega$ je $|g_n(x)-g_n(y)|<\epsilon/3$. Vezmeme dané $\delta$ a z množiny $\{x_k\}_{k=0}^\infty$ vybereme konečnou $\delta$ síť $\{\tilde x_k\}_{k=0}^N$. Díky hustotě $\{x_k\}$ totiž systém $\{B(x_k,\delta)\}$ pokrývá $\Omega$ a díky kompaktnosti z něj lze vybrat konečné podpokrytí, které bude tvořit hledanou konečnou $\delta$-síť\footnote{Tvrzení je však jasné už jenom z toho jak jsme v důkazu tvrzení \ref{separabilita} hustou množinu konstruovali -- bylo to právě sjednocení konečných $\epsilon$-sítí pro menší a menší $\epsilon$.}. Posloupnost $(g_n)$ konverguje ve všech bodech $\tilde x_k$, tj. pro každé $k\in\{0,\dots,N\}$ a každé $\epsilon>0$ existuje $n_k$ tak, že pro každé $n,m>n_k$ je $|g_n(\tilde x_k)-g_m(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. Nyní stačí volit $n_0:=\max_{0\le k\le N}n_k$. Našli jsme totiž pro každé $\epsilon>0$ číslo $n_0$ a body $\tilde x_1,\dots,\tilde x_N$ takové, že pro libovolné $x\in\Omega$ najdeme $\tilde x_k$ tak, že $\rho(x,\tilde x_k)<\delta$, a tedy pro libovolné $n>n_0$ je $|g_n(x)-g_n(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. Dále je pro libovolné $n,m>n_0$ a libovolné $k\in\{0,\dots,N\}$ i $|g_n(\tilde x_k)-g_m(\tilde x_k)|<\epsilon/3$. S využitím odhadu výše je tvrzení dokázáno.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buďte $\X$, $\Y$ Banachovy prostory. Omezený operátor $A\in\B(\X,\Y)$ nazveme kompaktní, je-li obraz každé omezené množiny prekompaktní.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\H$ Hilbertův prostor, $A\in\B(\H)$. Pak $A$ je kompaktní, právě když $A$ zobrazuje každou slabě konvergentní posloupnost na silně konvergentní.<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Kompaktní operátory v $\B(\H)$ tvoří uzavřený podprostor, který je uzávěrem podprostoru všech konečněrozměrných operátorů (tj. $\dim\Ran<+\infty$) a představuje dvoustranný $*$-ideál (tj. pro $A,B\in\B(\H)$, $A$ kompaktní jsou i $AB$, $BA$ a $A^*$ kompaktní).<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $\X$ je nekonečněrozměrný Banachův prostor, $A\in\B(\X)$ kompaktní. Pak<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $0\in\sigma(A)$;<br />
\item $\sigma(A)\sm\{0\}\subset\sigma_p(A)$;<br />
\item pro nenulové vlastní hodnoty $\lambda$ je dimenze vlastního podprostoru $\Ker{(A-\lambda I)}$ konečná;<br />
\item $\sigma(A)\sm\{0\}$ nemá nenulový hromadný bod (tj. pro $\epsilon>0$ je $(\C\sm B_\epsilon)\cap\sigma(A)$ konečná).<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Na přednášce se neuvádí, lze ho nalézt například v Modré smrti na straně 181. Vysvětleme pouze ekvivalenci z bodu (4): Spektrum celé leží v uzavřené kouli o poloměru $\norm{B}$. To je kompaktní množina, takže pokud je spektrum nekonečná množina, musí mít hromadný bod. Stejně tak je kompaktní i tatáž koule, když z ní vyjmeme otevřenou kouli $B_\epsilon$. Kdyby v ní leželo nekonečně mnoho bodů spektra, existovala by tedy nenulová hromadná hodnota.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[Hilbert--Schmidt]<br />
Je-li $A\in\B(\H)$ kompaktní a $A=A^*$, pak $A$ má čistě bodové spektrum. (Tzn. existuje ON báze z vlastních vektorů $A$.)<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Buď $(f_n)$ ortonormální báze z vlastních vektorů $A=A^*$, tj. $Af_n=\lambda_nf_n$. Pak lze psát $Ax=\sum_n \la f_n,Ax\ra f_n=\sum_n\la Af_n,x\ra f_n=\sum_n\lambda_n\la f_n,x\ra f_n$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Modrá smrt na straně 182 uvádí Hilbert--Schmidtovu větu s předpokladem, že $A$ je normální. Pro hermitovské operátory ale věta samozřejmě platí tím spíš.<br />
\end{remark}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola9&diff=559601FA2:Kapitola92015-09-30T12:33:57Z<p>Gromadan: Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
<br />
V celé kapitole budeme předpokládat, že $\H$ je separabilní Hilbertův prostor nad $\C$.<br />
<br />
\begin{define}<br />
$A\in\B(\H)$ je Hilbert--Schmidtův operátor, právě když existuje ON báze $\{x_n\}$ v~$\H$ taková, že $\sum_n\norm{Ax_n}^2<\infty$.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Je-li $A\in\B(\H)$ a $\{x_n\}$ a $\{y_k\}$ jsou ON báze v~$\H$,<br />
potom $\sum_n\norm{Ax_n}^2=\sum_k\norm{A^*y_k}^2$.<br />
\begin{proof}<br />
\[\begin{split}<br />
\sum_n\norm{A x_n}^2&=\sum_n\la A x_n,Ax_n\ra=<br />
\sum_n\sum_k\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Ax_n\ra=\\<br />
&=\sum_n\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k\ra}^2=<br />
\sum_k\sum_n\abs{\la x_n,A^*y_k\ra}^2=<br />
\sum_k\norm{A^* y_k}^2.<br />
\end{split}\]<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Hilbert--Schmidtova norma<br />
\[\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\]<br />
nezávisí na volbě ON báze. Navíc $\norm{A}_2=\norm{A^*}_2$.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{define}<br />
Prostor Hilbert--Schmidtových operátorů značíme $\I_2\subset\B(\H)$.<br />
Pro $A,B\in\I_2$ definujeme<br />
\[\la A,B\ra _2 := \sum_n\la Ax_n,Bx_n\ra ,\]<br />
kde $\{x_n\}$ je ON báze.<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
$\I_2$ je podprostor $\B(\H)$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buďte $A,B\in\I_2$. Je jasné, že $\norm{\lambda A}_2=\abs{\lambda}\norm{A}_2$. Využitím trojúhelníkové nerovnosti v $l^2$ dále získáme<br />
\[\norm{A+B}_2\le\left(\sum_n(\norm{Ax_n}+\norm{Bx_n})^2\right)^{1/2}\le<br />
\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}+\left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}<\infty.\]<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Suma v definici zobrazení $\la \cdot,\cdot \ra_2 \colon\I_2\to\C$ konverguje absolutně, nezávisí na volbě ON báze a představuje skalární součin na prostoru $\I_2$ (Hilbert--Schmidtova norma $\norm{\cdot}_2$ je tedy skutečně norma). Navíc platí $\la A,B \ra_2 = \la B^*,A^* \ra_2$.<br />
\end{lemma}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\{x_n\}$ ON báze. Užitím Schwarzovy nerovnosti v $\H$ a v $l^2$ ukážeme absolutní konvergenci<br />
\[\sum_n\abs{\la Ax_n,Bx_n\ra }\le<br />
\sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}<br />
\le\left(\sum_n\norm{Ax_n}^2\right)^{1/2}<br />
\left(\sum_n\norm{Bx_n}^2\right)^{1/2}=\norm{A}_2\norm{B}_2<\infty.\]<br />
<br />
<br />
Nechť je nyní $\{y_k\}$ libovolná jiná ON báze. Nejenže ověříme rovnost skalárních součinů $ \la A,B\ra_2 = \la B^*,A^*\ra_2$, ale cestou odvodíme nezávislost výrazu $\la A,B \ra_2$ na zvolené bázi.<br />
\[\begin{split}<br />
\la A,B\ra_2&=\sum_n\la Ax_n,Bx_n\ra=<br />
\sum_n\sum_k\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Bx_n\ra =\\<br />
&=\sum_k\sum_n\la B^*y_k,x_n\ra\la x_n,A^*y_k\ra=<br />
\sum_k\la B^*y_k,A^*y_k\ra=\la B^*,A^*\ra_2.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
<br />
Využili jsme při tom, že absolutně konvergentní řady lze přerovnat. Ověříme onu absolutní konvergenci opět s použitím Schwarzovy nerovnosti<br />
\[\begin{split}<br />
\sum_n\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k\ra\la y_k,Bx_n\ra}\le<br />
\sum_n\left(\sum_k\abs{\la Ax_n,y_k \ra}^2\right)^{1/2}\left(\sum_k\abs{\la y_k,Bx_n \ra}^2\right)^{1/2}&=\\<br />
=\sum_n\norm{Ax_n}\norm{Bx_n}\le\norm{A}_2\norm{B}_2.<br />
\end{split}\]<br />
<br />
Seskvilinearita $\la\cdot,\cdot\ra_2$ plyne snadno ze seskvilinearity skalárního součinu na $\H$. Rovněž není těžké ověřit pozitivitu.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
$\I_2$ je dvoustranný $*$-ideál v $\B(\H)$.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A\in\I_2$ a $B\in\B(\H)$. Z lemmatu výše plyne $A^*\in\I_2$. Dále využitím Schwarzovy nerovnosti máme $\sum_k\norm{BAx_k}^2\le\sum\norm{B}^2\norm{Ax_k}^2=\norm{B}\norm{A}_2$, tedy $BA\in\I_2$. Protože $\B(\H)$ i $\I_2$ jsou uzavřené na sdružování, musí být i $B^*A^*\in\I_2$, a tedy i $AB\in\I_2$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{tvrzeni}<br />
Buďte $A,B\in\I_2$, $T\in\B(\H)$, pak $\la TA,B\ra_2=\la A,T^*B\ra_2$ a $\la AT,B\ra_2=\la A,BT^*\ra_2$.<br />
\end{tvrzeni}<br />
\begin{proof}<br />
Plyne přímo z definice.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}\label{V.HSner}<br />
Pro každé $A\in\I_2$ je $\norm{A}\le\norm{A}_2$.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Vezměme libovolné $z\in\H$ a ON bázi $\{x_k\}$, pak<br />
\[\norm{Az}^2=\sum_k\abs{\la Az,x_k\ra}^2=\sum_k\abs{\la z,A^* x_k\ra}^2\le\sum_k\norm{z}^2\norm{A^*x_k}^2=\norm{A}_2^2\norm{z}^2.\]<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Každý Hilbert--Schmidtův operátor je kompaktní.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Buď, $A\in\I_2$, $\{x_k\}$ ON báze $\H$. Definujme pro každé $n\in\N$ $P_n$ jako ortogonální projektor na lineární obal $\{x_1,\dots,x_n\}$. Projektor $P_n$ je konečněrozměrný operátor, a tedy i složení $P_nA$ je konečněrozměrné. Ukážeme, že konverguje k $A$, které tak bude limitou konečněrozměrných operátorů, a bude tedy kompaktní. Přitom využijeme, že $I-P_n$ je doplňkový projektor, který projektuje na obal $\{x_{n+1},\dots\}$.<br />
\[\norm{A-P_nA}^2=\norm{A^*(I-P_n)}^2\le\norm{A^*(I-P_n)}_2^2=\sum_{k=0}^{+\infty}\norm{A^*(I-P_n)x_k}^2=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\norm{A^*x_k}^2,\]<br />
což je chvost konvergentní posloupnosti, který jde pro $n\to+\infty$ k nule.<br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostor $(\I_2,\la\cdot,\cdot\ra_2)$ je Hilbertův.<br />
\end{theorem}<br />
\begin{proof}<br />
Zbývá ověřit už jenom úplnost. Nechť je $(A_n)$ cauchyovská v $\I_2$, pak je z věty \ref{V.HSner} cauchyovská i v $\B(\H)$, což je úplný prostor, musí v něm tedy konvergovat k nějakému operátoru $A\in\B(\H)$. Zbývá ukázat, že $A\in\I_2$ a že $(A_n)$ konverguje k $A$ i v $\I_2$.<br />
<br />
V důkazu využijeme Fatouovo lemma, které pro posloupnost nezáporných $\mu$-měřitelných funkcí $(f_n)$ říká $\liminf\int f_n\d\mu\ge\int\liminf f_n\d\mu$. Zvolíme-li zde diskrétní míru $\mu$, přejdou integrály v součty.<br />
<br />
Nechť $\{x_k\}$ je ON báze $\H$, odhadneme pak<br />
\[\norm{A}_2^2=\sum_k\norm{Ax_k}^2=\sum_k\liminf_{n\to+\infty}\norm{A_nx_k}^2\le\liminf_{n\to+\infty}\sum_k\norm{A_nx_k}^2=\liminf_{n\to+\infty}\norm{A_n}_2^2<+\infty,\]<br />
přičemž poslední nerovnost plyne z toho, že $(A_n)$ je v $\I_2$ cauchyovská. Dokázali jsme tak $A\in\I_2$. Analogicky ukážeme, že $\norm{A_n-A}_2^2\le\liminf_{l\to+\infty}\norm{A_l-A_n}_2^2$, což je opět z cauchyovskosti od jistého $n_0$ menší než dané $\epsilon$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{example}<br />
Integrální operátory jsou Hilbert--Schmidtovy.<br />
<br />
Vezměme $\H=L^2(M,\d\mu)$, kde $M\subset\R^n$ je měřitelná množina a $\d\mu$ je nezáporná míra ve tvaru $\d\mu(x)=\rho(x)\d^nx$, kde $\rho$ je měřitelná a skoro všude kladná funkce. Takový Hilbertův prostor je separabilní, existuje tedy ON báze $(\phi_n)_{n=1}^{+\infty}$.<br />
<br />
Měřitelnou funkci $\K\colon M\times M\to\C$ nazveme \emph{integrální jádro} a definujeme tzv. \emph{integrální operátor} $K$ příslušný integrálnímu jádru $\K$ rovnicí<br />
\[(Kf)(x):=\int_M\K(x,y)f(y)d\mu(y).\]<br />
Ukážeme, že jestliže $\K\in L^2(M\times M,\d\mu\times\d\mu)$, je $K$ dobře definovaný a omezený.<br />
\[\left(\int_M\abs{\K(x,y)f(y)}\d\mu(y)\right)^2\le\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)\int_M\abs{f}^2\d\mu=\norm{f}^2\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)<+\infty\]<br />
pro s. v. $x$, tedy $Kf$ existuje a platí<br />
\[\norm{Kf}^2=\int_M\left|\int_M\K(x,y)f(y)\d\mu(y)\right|^2\d\mu(x)\le\int_M\norm{f}^2\int_M\abs{\K(x,y)}^2\d\mu(y)\;\d\mu(x)=\norm{f}^2\norm{\K}_{L^2}^2,\]<br />
takže $K\in\B(\H)$ a $\norm{K}\le\norm{\K}_{L^2}^2$.<br />
<br />
Nyní ukážeme, že $K$ je dokonce Hilbert--Schmidtův (a tedy i kompaktní) a platí $\norm{K}_2=\norm{\K}_{L^2}$. K tomu však nejprve odvodíme, že množina $\{\psi_{m,n}\}_{m,n=0}^{+\infty}$ funkcí na $M\times M$, kde $\psi_{m,n}(x,y):=\phi_m(x)\overline{\phi_n(y)}$ tvoří ON bázi $L^2(M\times M)$. Ortonormalita se dokáže snadno<br />
\[\la\psi_{m,n},\psi_{m',n'}\ra=\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)\phi_{m'}(x)\overline{\phi_{n'}(y)}=\delta_{m,m'}\delta_{n,n'}.\]<br />
Nyní ukážeme úplnost báze. Nechť $F\in\{\psi_{n,m}\}^\perp$, ukážeme, že $F=0$. Platí tedy pro každé $m,n\in\N$<br />
\[0=\la\psi_{m,n},F\ra=\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)F(x,y)\d\mu(x)\d\mu(y)=\int_M\overline{\phi_m(x)}\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\d\mu(x),\]<br />
kde jsme mohli použít Fubiniho větu, protože už jsme ukázali výše, že $\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\in L^2(M)$. Z úplnosti báze $\{\phi_n\}$ pak plyne, že pro s. v. $x$ je $0=\int_MF(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)$. Tuto rovnost můžeme komplexně sdružit, a protože pro s. v. $x$ je $F(x,\cdot)\in L^2(M)$ a $\{\bar\phi_n\}$ je také ON báze, znamená to, že pro s. v. $x,y\in M$ je $F(x,y)=0$, což jsme chtěli ukázat.<br />
<br />
Vraťme se tedy k důkazu $K\in\I_2$.<br />
\[\norm{K}_2^2=\sum_n\norm{K\phi_n}^2=\sum_n\sum_m\abs{\la\phi_m,K\phi_n\ra}^2=\sum_n\sum_m\abs{\int_M\overline{\phi_m(x)}\int_M\K(x,y)\phi_n(y)\d\mu(y)\d\mu(x)}^2.\]<br />
Na tento výraz použijeme Fubiniho větu. To můžeme díky tomu, že $\overline{\phi_m(x)}\phi_n(y)\in L^2(M\times M)$ a $\K\in L^2(M\times M)$, takže jejich součin je integrabilní. Získáváme tedy<br />
\[\norm{K}_2^2=\sum_{m,n}\abs{\int_{M\times M}\overline{\phi_m(x)\overline{\phi_n(y)}}\K(x,y)\d\mu(x)\d\mu(y)}^2=\sum_{m,n}\abs{\la\psi_{m,n},\K\ra}^2=\norm{\K}_{L^2}^2.\]<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Na cvičení se ukáže, že $K^*$ je také integrální operátor, který přísluší integrálnímu jádru $\K_*(x,y)=\overline{\K(y,x)}$. Je-li tedy $\K(x,y)=\overline{\K(y,x)}$, je $K$ hermitovský a má reálné čistě bodové spektrum.<br />
\end{remark}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=559501FA2:ControlFile2015-09-30T12:32:19Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola5}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola6}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola7}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola8}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola9}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=559401FA2:ControlFile2015-09-30T12:31:24Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola5}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola6}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola7}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola8}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola9}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2&diff=559301FA22015-09-30T12:24:32Z<p>Gromadan: Zrušena verze 5592 od uživatele Gromadan (diskuse)</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\title{Funkcion\'aln\'i anal\'yza}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\maketitle<br />
<br />
\pagebreak<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{kapitola0}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola6}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola7}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola8}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola9}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2&diff=559201FA22015-09-30T12:23:26Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\title{Funkcion\'aln\'i anal\'yza}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\maketitle<br />
<br />
\pagebreak<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{kapitola0}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola7}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola8}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola9}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola6}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=559101FA2:ControlFile2015-09-30T12:21:42Z<p>Gromadan: </p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola8}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola9}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola5}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola6}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola7}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola0&diff=559001FA2:Kapitola02015-09-30T12:06:03Z<p>Gromadan: Přidání úvodu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section*{\'Uvod}<br />
Pokud je nám známo, vznikla tato wikiskripta -- podobně jako mnohá jiná -- na základech zápisků od Jindřicha Makovičky (které je možno nalézt na školním FTP).<br />
<br />
V akademickém roce 2014/2015 došlo k důkladné revizi, o niž se zasloužil především Daniel Gromada a v menší míře Jakub Krásenský a Patrik Urban. Byly doplněny další kapitoly, které ve skriptu do té doby úplně chyběly, aby text co nejlépe odpovídal obsahu přednášky FA2. Kapitoly 7--9 pocházejí z původní verze poznámek a nebyly nijak upravovány; látka v nich probíraná s přednáškou ale nijak nesouvisí. Obsah kapitol 1--6 odpřednášel naopak pan profesor Šťovíček téměř kompletně, i když závěr kapitoly o spektrálním rozkladu hermitovského operátoru nestihl.<br />
<br />
Některé důkazy se na přednášce prováděly jiným způsobem; pokud se od původního důkazu skripta výrazně odlišují, snažíme se na to upozornit. Ještě se cítíme povinni čtenáře varovat, že pojem \emph{hermitovského} operátoru pan profesor nepoužívá a mluví zásadně o operátoru \emph{omezeném samosdruženém}. V upravených kapitolách jsme se pokusili sjednotit značení skalárního součinu pomocí úhlových závorek, jako tomu bylo u našich přednášek, zatímco v kapitolách 7--9 jsou ponechány kulaté. Nicméně pokud je nám známo, je prof. Šťovíčkovi úplně jedno, jak skalární součin značíte.<br />
<br />
Hlavní sdělení je toto: Pokud se na zkoušku z FA2 v roce 2014/2015 naučíte prvních šest kapitol, měli byste projít. A pokud čtete tento text a je rok 2020 nebo vyšší, znamená to, že se několik ročníků pod vámi flákalo. Prosím budoucí generaci o editování -- přinejmenším tohoto odstavce.</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola1&diff=558901FA2:Kapitola12015-09-30T12:05:17Z<p>Gromadan: Oprava chyb, přizpůsobení současné podobě přednášky</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
<br />
\begin{theorem}[Baire]<br />
Nechť $X$ je úplný metrický prostor a $V_n\subset X$, $n\in\N$, jsou<br />
otevřené množiny husté v~$X$. Potom $W=\bigcap_n V_n$ je množina hustá<br />
v~$X$.<br />
\begin{remark}<br />
Množina $M$ je hustá v $X$ právě tehdy, když $\uz{M}=X$, což je ekvivalentní s tvrzením, že pro každou $N \subset X$ otevřenou platí, že $N \cap M \not= \emptyset$. Toto lze nahlédnout díky další ekvivalentní definici husté množiny: $M$ je hustá v $X$ právě tehdy, když $(\forall x \in X)(\forall \varepsilon > 0)(\exists y \in M) (\rho(x,y) < \varepsilon)$<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
Buď $A\subset X$ otevřená, $A\not=\emptyset$. Chceme ukázat, že<br />
$W\cap A\not=\emptyset$ tedy, že $W$ je hustá. Sestrojíme posloupnost koulí $B(x_n,r_n)$<br />
s~vlastnostmi:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $0<r_n<\frac1n$,<br />
\item $\uz{B(x_n,r_n)}\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$,<br />
$n=2,3,\dots$,<br />
\item $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap V_1$.<br />
\end{enumerate}<br />
Ve (2) a (3) požadujeme, aby uzávěr koule ležel v průniku předcházející koule a příslušné množiny $V_n$, protože budeme potřebovat, aby nám posloupnost středů nevykonvergovala z posloupnosti koulí, a tedy ani z otevřené množiny $A$ (V opačném případě by se mohlo stát, že limitní prvek bude ležet na hranici všech koulí -- byl by společným bodem dotyku -- a zároveň na hranici $A$, ovšem nikoli v~$A$).<br />
Existenci takového systému koulí dokážeme indukcí:<br />
\begin{itemize}<br />
\item $n=1$: Protože je $A\cap V_1$ otevřená a neprázdná ($V_n$ jsou husté v $X$), je v ní každý bod i s nějakým svým okolím, popřípadě s uzávěrem nějakého (menšího) okolí. Existuje tedy $x_1$ a $r_1<1$ takové, že $\uz{B(x_1,r_1)}\subset A\cap V_1$.<br />
\item $n-1\to n$: Předpokládejme, že<br />
$B(x_1,r_1),\dots,B(x_{n-1},r_{n-1})$ známe. Víme, $B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$ je otevřená a neprázdná, takže díky podobnému argumentu jako pro $n=1$ existuje $x_n$ a $r_n<1/n$ tak, že $\uz{B(x_n,r_n)}\subset<br />
B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_n$.<br />
\end{itemize}<br />
Pro libovolné $n,m\in\N$, $n>m$ je $\uz{B(x_n,r_n)}\subset<br />
B(x_m,r_m)$ a pro jejich středy platí $\rho(x_n,x_m)<r_m<\frac1m$,<br />
takže<br />
\[\rho(x_n,x_m)<\frac1{\min(n,m)}\]<br />
pro každé $n,m\in\N$. Posloupnost $x_n$ je tedy cauchyovská a<br />
konverguje k~nějakému $x\in X$. Protože pro každé<br />
$k\ge n$ je $x_k\in B(x_n,r_n)$, je pro každé~$n$ $x\in\uz{B(x_n,r_n)}\subset V_n$.<br />
Současně $x_k\in B(x_1,r_1)$ a $x\in\uz{B(x_1,r_1)}\subset<br />
A$. Tedy $x\in W\cap A$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Řekneme, že množina $Y$ je řídká, právě když $\vn{(\uz Y)}=\emptyset$.<br />
\end{define}<br />
\begin{remark}<br />
Definice je ekvivalentní té, jak ji známe z MAA3: $Y$ je řídká právě tehdy, když $X\sm Y$ je hustá.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Úplný metrický prostor nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých<br />
množin.<br />
\begin{proof}<br />
Předpokládejme, že $X=\bigcup_n X_n=\bigcup_n \uz{X_n}$, kde $X_n$<br />
jsou řídké. Z de Morganových zákonů plyne, že $\bigcap_n(X\sm\uz{X_n})=\emptyset$.<br />
Protože $(X\sm\uz{X_n})$ jsou otevřené, musí podle Bairovy věty<br />
existovat $n$ takové, že $(X\sm\uz{X_n})$ není hustá, takže $X_n$<br />
není řídká, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Například $\R$ nelze zapsat jako spočetné sjednocení bodů, $\R^2$ nelze zapsat jako spočetné sjednocení přímek atd.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{theorem}[Banach--Steinhaus, princip stejnoměrné omezenosti]<br />
Nechť $\X$ je Banachův prostor, $Y$ normovaný prostor a<br />
$\{A_\alpha\}_{\alpha\in\A}$ libovolný (i nespočetný) systém omezených lineárních<br />
zobrazení $\X$ do $Y$. Pak nastane právě jeden ze dvou případů:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Existuje $M>0$ tak, že $\norm{A_\alpha}\le M$ pro každé<br />
$\alpha\in\A$.<br />
\item Existuje hustá podmnožina $G\subset\X$ taková, že pro každé<br />
$x\in G$ je \[\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}=+\infty.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\phi\colon\X\to [0,+\infty]$,<br />
$\phi(x):=\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}$. Definujeme systém<br />
množin $V_n:=\{x\in \X \mid\phi(x)>n\}$.<br />
<br />
Dokážeme, že $V_n$ jsou otevřené, tj. že s každým bodem tam leží i okolí. Je-li $x\in V_n$, pak existuje $\alpha$ takové, že $\norm{A_\alpha x}>n$. Díky tomu, že $A_\alpha$ je omezené, a tedy spojité, existuje okolí $U$ bodu $x$ tak, že $\phi(y)=\norm{A_\alpha y}>n$ pro $y\in U$, tj. $U\subset V_n$, což jsme chtěli ukázat.<br />
<br />
Dále může nastat právě jedna z následujících dvou možností:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Existuje $n$ takové, že $V_n$ není hustá. Potom dle ekvivalentní definice husté pomnožiny víme, že existuje otervřená podmnožina v $X$, se kterou má $V_n$ prázdný půnik. Existuje proto $y\in X$ a $r>0$ tak, že $B(y,r)\cap V_n=\emptyset$. Dále pro<br />
každé $x\in B(y,r)=y+B_r$ je $\phi(x)\le n$, a tedy<br />
$\norm{A_\alpha x}\le n$ pro každé $\alpha\in\A$.<br />
<br />
Norma $\A_\alpha$ lze spočítat jako $\norm{\A_\alpha}=\sup_{\norm{z}=1}\norm{A_\alpha z}$. Vezměme tedy libovolný jednotkový vektor $z$. Ten lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z $B(y,r)$ jako $z=\frac{2}{r}((y+\frac{r}{2})-y)$. Pak lze odhadnout<br />
<br />
\[\norm{A_\alpha z}=\norm{\frac{2}{r}\left(\left(y+\frac{r}{2}z\right)-y\right)}\le\frac{2}{r}\left(\norm{y+\frac{r}{2}z}+\norm{y} \right)\le\frac{4n}{r}=:M\]<br />
\item Všechny $V_n$ jsou husté. Z~Bairovy věty poté plyne, že<br />
$G=\bigcap_n V_n$ je hledaná hustá podmnožina $\X$. Každé $x$ z $G$ je totiž zároveň element všech $V_n$, platí tedy $(\forall n)(\phi(x)>n)$, tj. $\phi(x)=+\infty$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Pokud pro každé $x\in\X$ je $\sup_{\alpha\in\A}\norm{A_\alpha x}<\infty$, pak jsou $A_\alpha$ stejnoměrně omezeny.<br />
\end{dusl}<br />
<br />
\begin{lemma}<br />
Nechť $X$ je normovaný lineární prostor, $U,V\subset X$ a $\lambda\in\C$. Potom <br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item $\uz{\lambda U}=\lambda\uz{U}$,<br />
\item $\uz{U+V}\supset\uz{U}+\uz{V}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(1)]<br />
\item Je-li $\lambda=0$, dostaneme jednu ze zjevně platných rovností $\{0\}=\{0\}$ nebo<br />
$\emptyset=\emptyset$. Dále uvažujme pouze $\lambda\neq 0$.<br />
<br />
Zobrazení $T:X \to X$ zadané předpisem $T=\lambda I$ je pak homeomorfismus (jde o bijekci, která je i s inverzí jakožto lineární zobrazení omezená) a tedy zachovává topologické vlastnosti jako uzavřenost a otevřenost množin. Proto<br />
\[\lambda\uz{M} = T(\uz{M}) = \uz{T(M)} =\uz{\lambda M}\]<br />
<br />
\textbf{Alternativně}: Pokud je $\lambda\not=0$, platí<br />
\[z\in\uz{\lambda U}\iff(\exists z_n\in\lambda U)(z_n\to z)\iff<br />
\frac1\lambda z_n\to\frac1\lambda z\in\uz{U}\iff z\in\lambda\uz{U}.\]<br />
<br />
<br />
\item Je-li $z\in \uz{U}+\uz{V}$, lze ho psát ve tvaru $z=u+v$, kde $u\in\uz{U}$ a<br />
$v\in\uz{V}$. Existují posloupnosti $\{u_n\}\subset U$, $\{v_n\}\subset V$ tak, že<br />
$u_n\to u$ a $v_n\to v$. Přitom $(u_n+v_n)\in (U+V)$, z čehož<br />
$u+v\in\uz{U+V}$.\qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
<br />
\begin{theorem}[o otevřeném zobrazení]<br />
Buďte $\X$ a $\Y$ Banachovy prostory, $A\colon\X\to\Y$ omezené lineární<br />
zobrazení a $\Ran A=\Y$. Potom $A$ je otevřené zobrazení (zobrazuje<br />
otevřené množiny na otevřené).<br />
\begin{proof}<br />
Nejprve ukážeme, že tvrzení věty bude splněno, dokážeme-li, že existuje $r>0$ takové, že $B_r^\Y \subset A(B_1^\X)$. Ve druhé části najdeme $\rho>0$ takové, že $ B_\rho^\Y \subset \uz{A(B_1^\X)}$. A nakonec dokážeme, že pro libovolné $\epsilon >0$ platí $B_\rho^\Y \subset A(B_{1+\epsilon}^\X)$. Volbou $r=\rho/(1+\epsilon)$ pak už dostáváme $A(B_1^X)\supset B_r^Y$.<br />
\begin{enumerate}<br />
\item \textbf{Tvrzení}: Lineární zobrazení $A\colon\X\to\Y$ takové, že $B_r^\Y\subset A(B_1^\X)$ pro nějaké $r>0$, je otevřené, tj. pro každou $W\subset\X$ otevřenou je $A(W)$ otevřená.<br />
<br />
Nechť tedy $A$ splňuje dané předpoklady a $W$ je otevřená množina v $\X$. Beru libovolné $x\in W$, díky otevřenosti $W$ je v něm $x$ obsaženo i se svým okolím, tj. $B(x,\delta)\subset W$ pro nějaké $\delta$. Chci ukázat, že i $y:=Ax$ je v $A(W)$ se svým okolím.<br />
\[A(W)\supset A(B^\X(x,\delta))= A(x+\delta B_1^\X = Ax + \delta A(B_1^\X) = y + \delta A(B_1^X) \supset y+ \delta B_r^Y = B(y,\delta r)^Y.\]<br />
K libovolnému $y\in A(W)$ jsme našli okolí, jež leží v $A(W)$. $A(W)$ je tedy otevřená množina.<br />
<br />
\item \textbf{Tvrzení}: Pro zobrazení splňující předpoklady věty existuje $\rho>0$ takové, že $B_\rho^Y \subset\uz{A(B_1^X)} )$<br />
<br />
Zapíšeme $\X$ ve tvaru $\X=\bigcup_{k=1}^\infty B_k^\X$, potom lze díky surjektivitě $A$ rovněž psát $\Y=A(\X)=\bigcup_{k=1}^\infty A(B_k^\X)$. Důsledek Bairovy věty říká, že úplný metrický prostor nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých množin, tedy alespoň jedna z množin ve spočetném sjednocení není řídká. Existuje tedy $k$ takové, že $\vn{\left(\uz{A(B_k^\X)}\right)}\neq\emptyset$, to jest existuje $y\in \Y$ a $\delta>0$ tak, že $B^\Y(y,\delta)\subset\uz{A(B_k^\X)}$.<br />
<br />
Podle předchozího lemmatu a s využitím linearity $A$ je<br />
\[y\in\uz{A(B_k^\X)}\Rightarrow -y\in(-1)\uz{A(B_k^\X)}=\uz{(-1)A(B_k^\X)}=\uz{A(-B_k^\X)}=\uz{A(B_k^\X)},\]<br />
\[B_\delta^\Y=-y+(y+B_\delta^\Y)<br />
\subset\uz{A(B_k^\X)}+\uz{A(B_k^\X)}<br />
\subset\uz{A(B_k^\X+B_k^\X)}\subset \uz{A(B_{2k}^\X)}.\]<br />
Nyní díky linearitě lze vztah vydělit $2k$ a volbou $\rho = \frac{\delta}{2k}$ splníme tvrzení.<br />
<br />
\item \textbf{Tvrzení}: S předpoklady a značením z předchozího bodu platí, že $(\forall \epsilon>0)(B_\rho^\Y\subset A(B_{1+\epsilon}^\X))$.<br />
<br />
Pro každé $y\in\Y$, $\norm{y}<\rho$ tedy hledáme $x$, pro něž $\norm{x}<1+\epsilon$ a platí $Ax=y$. Hledané $x$ najdeme jako součet řady.<br />
<br />
Zkonstruujeme posloupnost $x_n\in\X$ splňující<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $\norm{x_1}<1$,<br />
\item $\norm{x_n}<\frac{\epsilon}{2^{n-1}}$ pro $n\ge 2$,<br />
\item $\norm{y-A\sum_{k=1}^n x_k}<\frac1{2^n}\rho\epsilon$ pro $n\in\N$.<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
Existenci takové posloupnosti ukážeme indukcí. Z předchozího bodu víme, že existuje $\rho$ takové, že $B_\rho^\Y\subset\uz{A(B_1^\X)}$, z čehož plyne, že pro každé $\rho>0$ $B_{\rho\rho}^\Y\subset\uz{A(B_\rho^\X)}$. To lze přepsat do tvaru<br />
\[(\forall\rho>0)(\forall\tilde y\in \Y, \norm{\tilde y}<\rho\rho)(\forall\nu>0)(\exists\tilde x\in \X, \norm{\tilde x}<\rho)(\norm{\tilde y-A\tilde x}<\nu).\]<br />
Pro $k=1$ stačí volit $\rho=1$, $\tilde y=y$ a $\nu=\rho\epsilon/2$ a najdeme tak $x_1$ splňující $\norm{x_1}<1$ a $\norm{y-Ax_1}<\rho\epsilon/2$. Předpokládejme tedy, že jsme již našli body $x_1,\dots,x_n$ splňující dané požadavky. Pak stačí volit $\rho=\epsilon/2^n$, $\tilde y=y-A\sum_{k=1}^nx_k$ a $\nu=\rho\epsilon/2^{n+1}$, a protože z indukčního předpokladu je skutečně $\norm{\tilde y}<\rho\rho$, dostáváme $\tilde x=:x_{n+1}$ splňující $\norm{x_{k+1}}<\epsilon/2^k$ a $\norm{\tilde y-\tilde x}=\norm{y-\sum_{k=1}^{n+1}x_k}<\rho\epsilon/2^{n+1}$.<br />
<br />
Protože $\sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}$ konverguje a $\X$ je Banachův, konverguje i<br />
$\sum_{n=1}^\infty x_n=:x$ a platí<br />
\[\norm{x}=\norm{\sum_{n=1}^\infty x_n}\le<br />
\sum_{n=1}^\infty\norm{x_n}<\sum_{n=2}^\infty<br />
\frac{\epsilon}{2^{n-1}} + 1 = 1+\epsilon,\]<br />
takže $x\in B_{1+\epsilon}^\X$.<br />
Dále platí<br />
\[\norm{y-Ax}=\lim_{n\to\infty}<br />
\norm{y-A\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)}=0,\]<br />
a tedy $y=Ax$. Z~toho plyne, že $B_\rho^\Y\subset<br />
A(B_{1+\epsilon}^\X)$, což jsme chtěli dokázat. \qed<br />
\end{enumerate}<br />
\noqed<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{dusl}[věta o inverzním zobrazení]<br />
Jsou-li $\X$, $\Y$ Banachovy prostory a $A\colon\X\mapsto\Y$ vzájemně<br />
jednoznačné omezené lineární zobrazení. Potom $A^{-1}$ je omezené.<br />
\begin{proof}<br />
Označme $B:=A^{-1}$. Podle předchozí věty je $B^{-1}=A$ otevřené<br />
zobrazení, a tedy $B$ je spojité, tudíž omezené.<br />
\end{proof}<br />
\end{dusl}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}[Hahn--Banach]<br />
Buď $X$ normovaný prostor nad $\R$ nebo nad $\C$, $V\pp X$ a $\phi$ spojitý funkcionál na<br />
$V$. Potom existuje spojitý funkcionál $\tilde\phi$ na $X$ takový,<br />
že<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item $\tilde\phi\restriction V=\phi$,<br />
\item $\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{theorem} <br />
\begin{proof}<br />
Důkaz provedeme v několika krocích. Nejprve se omezíme na reálný případ; v prvním kroku ukážeme, že je možné funkcionál rozšířit na prostor, do jehož báze jsme přidali jeden vektor, ve druhém kroku využijeme Zornova lemmatu, abychom ukázali, že existuje rozšíření na celý prostor $X$. Následně ukážeme, že tvrzení platí i nad $\C$.<br />
<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pohybujme se tedy nad tělesem $\R$. Nalezněme vektor $x_0$, který do $V$ nepatří. (Neexistuje-li žádný takový, je funkcionál definovaný na celém prostoru a není co dokazovat.) Označme $V':=V+[x_0]_\lambda$. Jedná se o direktní součet dvou podprostorů, každý vektor z $V'$ lze tedy jednoznačně psát ve tvaru $v+\lambda x_0$, kde $v\in V, \lambda\in\R$.<br />
<br />
Nalezneme rozšíření $\phi$ na prostor $V'$. Definujeme $\phi'(v+\lambda<br />
x_0)=\phi(v)+\lambda c$. Hledáme $c\in\R$ tak, aby<br />
$\norm{\phi'}=\norm{\phi}$. Pro každé $c$ bude zřejmě platit<br />
$\norm{\phi'}\ge\norm{\phi}$. Chceme, aby platilo i<br />
$\norm{\phi'}\le\norm{\phi}$, tj. pro každé $\lambda$ a každé $v \in V$ má platit<br />
$\abs{\phi'(v+\lambda x_0)}\le\norm{\phi}\norm{v+\lambda x_0}$.<br />
<br />
Pro $\lambda=0$ je nerovnost splněna. Je-li $\lambda\not=0$, můžeme ji přepsat jako<br />
\[\abs{\lambda}\abs{\phi'\left(\frac1\lambda v+x_0\right)}\le<br />
\abs{\lambda}\norm{\phi}\norm{\frac1\lambda v+x_0}.\]<br />
Položme $w:=\frac1\lambda v$. Vidíme, že splnění předchozí nerovnosti pro všechna $\lambda \in \R$ a všechna $v \in V$ je ekvivalentní platnosti nerovnosti<br />
\[\abs{\phi'(w+x_0)}\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\]<br />
pro každé $w\in V$.<br />
Rozepišme ji jako dvojici nerovností:<br />
\[\phi(w)+c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0}\wedge<br />
-\phi(w)-c\le\norm{\phi}\norm{w+x_0},\]<br />
tedy <br />
\[-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0}\le c \le\norm{\phi}\norm{w+x_0}-\phi(w).\]<br />
Stačí nalézt $c\in\R$ tak, že tato nerovnost platí pro každé $w\in<br />
V$. Takové $c$ existuje, pokud<br />
\[\sup_{w\in V}(-\phi(w)-\norm{\phi}\norm{w+x_0})\le\inf_{w\in V}<br />
(-\phi(w)+\norm{\phi}\norm{w+x_0}).\]<br />
To je dále ekvivalentní s~platností nerovnosti\footnote{Ve skutečnosti lze krok se supremy a infimy přeskočit a na základě předchozí dvojnerovnosti rovnou vysvětlit, proč musí platit tato nerovnost. Pan profesor ale důkaz přednáší tímto způsobem a já ho nepovažuji za natolik špatný, abych mátl hlavu těm čtenářům, kteří chodí na přednášku a pamatují si, že \uv{tam někde byla nějaká infima}.}<br />
\[-\phi(w_1)-\norm{\phi}\norm{w_1+x_0}\le<br />
-\phi(w_2)+\norm{\phi}\norm{w_2+x_0},\]<br />
tj.<br />
\[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0})\]<br />
pro každé $w_1,w_2\in V$. To je splněno, neboť<br />
\[\phi(w_2-w_1)\le\norm{\phi}\norm{w_2-w_1}\le<br />
\norm{\phi}(\norm{w_1+x_0}+\norm{w_2+x_0}).\]<br />
<br />
\item Definujeme množinu<br />
\[M=\{(W,\psi) \mid V\pp W\pp X,\ \psi\in W^*\text{ tak, že }<br />
\psi\restriction V=\phi,\ \norm{\psi}=\norm{\phi}\}.\]<br />
Na $M$ definujeme uspořádání<br />
\[(W_1,\psi_1)\le(W_2,\psi_2)\iff W_1\pp W_2\wedge<br />
\psi_2\restriction W_1=\psi_1.\]<br />
Buď $M'\subset M$ úplně uspořádaná. Její horní závorou je prvek<br />
$(U,\eta)$ takový, že $U=\bigcup_{(W,\psi)\in M'}W$ a pro $x\in U$<br />
pokládáme $\eta(x)=\psi(x)$ (existuje nějaký prvek $(W,\psi)\in<br />
M'$, kde $x\in W$).<br />
<br />
Definice $\eta$ je korektní, neboť jestliže $(W,\psi)$, $(W',\psi')\in M'$, pak pro $x\in W\cap W'$ platí $\psi(x)=\psi'(x)$. Prvek $(U,\eta)$ je<br />
horní závorou $M'$. Z Zornova lemmatu pak plyne existence<br />
maximálního prvku $(\tilde V,\tilde\phi)$ v~$M$ takového, že $V\pp<br />
\tilde V\pp X$, $\tilde\phi\restriction V=\phi$,<br />
$\norm{\tilde\phi}=\norm{\phi}$.<br />
<br />
Platí, že $\tilde V=X$: Kdyby $\tilde V\not=X$, pak by existovalo<br />
$x_0\not\in\tilde V$ a podle prvního bodu bychom mohli $\tilde\phi$ rozšířit na<br />
$\Tilde{\Tilde\phi}\in(\tilde V+\R x_0)^*$ tak, aby platilo<br />
$\norm{\Tilde{\Tilde\phi}}=\norm{\tilde\phi}$. Tím bychom ale dospěli do sporu s maximalitou $(\tilde V,\tilde\phi)$.<br />
<br />
<br />
Tím jsme větu dokázali pro vektorové prostory nad tělesem $\R$. (Dodejme ještě, že důkaz druhého bodu lze zformulovat přirozeněji, když se na funkcionály $\psi$ budeme dívat v duchu původní definice zobrazení jako na podmnožiny kartézského součinu $V \times \R$. Potom totiž lze použít uspořádání inkluzí a horní závorou bude zkrátka sjednocení příslušných funkcionálů.)<br />
<br />
\item Zobecnění na komplexní těleso: Buď $X$ nad $\C$, $V\pp X$,<br />
$\phi\in V^*$. Označme $X_\R$ prostor $X$ nad $\R$, $V_\R\pp X_\R$.<br />
<br />
Definujeme funkcionál<br />
$\eta=\Re\phi$ vztahem $\eta(x):=\Re(\phi(x))$. Pak $\eta\in V_\R^*$ (linearita se ověří snadno). Ukažme, že $\norm{\eta}=\norm{\phi}$. Zjevně platí<br />
\[<br />
\abs{\eta(x)}=\abs{\Re\phi(x)}\le\abs{\phi(x)} \le \norm{\phi}\norm{x}.<br />
\]<br />
Pro důkaz obrácené nerovnosti uvažme následující: K libovolnému $x\in X$ existuje $\lambda\in\C$, $\abs{\lambda}=1$<br />
tak, že $\phi(\lambda x)=\lambda\phi(x)\in\R_0^+$. Potom $\eta(\lambda<br />
x)=\Re\phi(\lambda x)=\Re\lambda\phi(x)=\lambda\phi(x)$, což nám umožňuje psát<br />
\[<br />
\abs{\phi(x)} = \abs{\lambda}\abs{\phi(x)} = \abs{\eta(\lambda x)} \le \norm{\eta}\norm{\lambda x} = \norm{\eta}\norm{x}.<br />
\]<br />
Celkem tedy $\norm{\phi}=\norm{\eta}$, což jsme chtěli ukázat.<br />
<br />
Nyní ukážeme, že na základě znalosti lineárního funkcionálu $\eta$ na prostoru nad tělesem $\R$ jsme schopni z(re)konstruovat funkcionál $\phi$ na \uv{tomtéž} prostoru, ale nad tělesem $\C$ takový, že $\eta = \Re{\phi}$. (Provedeme tedy opačnou operaci než v předešlém odstavci. Z předešlého odstavce pak už vyplyne, že $\norm{\eta}=\norm{\phi}$.)<br />
<br />
Kdyby takový funkcionál $\phi$ existoval, musel by splňovat<br />
\[\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Im\phi(x)=\Re\phi(x)+\im\Re(-\im\phi(x))=<br />
\eta(x)-\im\eta(\im x).\]<br />
Musíme ale ověřit, že funkcionál definovaný vztahem $\phi(x):=\eta(x)-\im\eta(\im x)$ je lineární nejen nad tělesem $\R$, ale i nad $\C$. K tomu stačí platnost vztahu $\im\phi(x)=\phi(\im x)$. Ověřme ji:<br />
\[<br />
\phi(\im x) = \eta(\im x)-\im\eta(\im^2 x) = -\im^2\eta(\im x)+\im\eta(x) = \im(-\im\eta(\im x)+\eta(x)).<br />
\]<br />
<br />
Nyní už je snadné důkaz dokončit. Původní funkcionál nejprve zúžíme z $V_\C$ na $V_\R$, čímž nezměníme normu. K~funkcionálu $\eta$ na $V_\R$ nalezneme podle už dokázané části Hahn--Banachovy věty funkcionál $\tilde\eta$ na $X_\R$, který je rozšířením $\eta$ a má stejnou normu.<br />
Nakonec položíme $\tilde\phi(x):=\tilde\eta(x)-\im\tilde\eta(\im x)$.<br />
Pak je splněno $\norm{\tilde\phi}=\norm{\tilde\eta}=\norm{\eta}=\norm{\phi}$ a $\tilde\phi\restriction V=\phi$. \qed<br />
\end{enumerate} \noqed<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{dusl}<br />
Buď $X$ normovaný prostor nad $\R$ nebo nad $\C$. Potom platí:<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Pro každou dvojici vektorů $x_1$, $x_2$ existuje spojitý funkcionál rozlišující $x_1$ od $x_2$. Pro každý vektor $x$ tedy existuje spojitý funkcionál takový, že $\phi(x) \neq 0$.<br />
\item Jestliže pro každý spojitý funkcionál $\phi$ platí $\phi(x_1)=\phi(x_2)$, pak $x_1 = x_2$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{dusl}<br />
\begin{proof}<br />
Druhý bod je snadným důsledkem prvního. Z prvního nám stačí dokázat pro každé $x$ existenci $\phi$ takového, že $\phi(x) \neq 0$. Vezměme tedy za $V$ z Hahn--Banachovy věty lineární obal vektoru $x$ a definujme $\phi(\lambda x) = \lambda \norm{x}$. Tento funkcionál má normu jedna a v bodě $x$ dává nenulovou hodnotu. Tyto vlastnosti si tedy zachová i po rozšíření na celé $X$.<br />
\end{proof}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=558801FA2:ControlFile2015-09-30T12:01:17Z<p>Gromadan: Přeuspořádání kapitol</p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{0}{kapitola0}{Úvod}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Fundamentální věty funkcionální analýzy}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Holomorfní vektorové funkce}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Kompaktní operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Hilbert--Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola7}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{8}{kapitola8}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{9}{kapitola9}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2&diff=558701FA22015-09-30T11:56:47Z<p>Gromadan: Přidání úvodu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\input{header}<br />
<br />
\title{Funkcion\'aln\'i anal\'yza}<br />
\date{\today}<br />
\author{Wiki Skriptum}<br />
<br />
\begin{document}<br />
\maketitle<br />
<br />
\pagebreak<br />
\tableofcontents<br />
\pagebreak<br />
<br />
\input{kapitola0}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola1}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola2}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola3}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola4}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola5}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola6}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola7}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola8}<br />
\clearpage<br />
\input{kapitola9}<br />
<br />
<br />
\end{document}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola10&diff=558601FA2:Kapitola102015-09-30T11:54:51Z<p>Gromadan: Gromadan přesunul stránku 01FA2:Kapitola10 na 01FA2:Kapitola0: Přidání úvodu</p>
<hr />
<div>#PŘESMĚRUJ [[01FA2:Kapitola0]]</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola0&diff=558501FA2:Kapitola02015-09-30T11:54:50Z<p>Gromadan: Gromadan přesunul stránku 01FA2:Kapitola10 na 01FA2:Kapitola0: Přidání úvodu</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Úvod}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:ControlFile&diff=558401FA2:ControlFile2015-09-30T11:50:22Z<p>Gromadan: automatic</p>
<hr />
<div>\wikiskriptum{01FA2}<br />
\wikichapter{1}{kapitola1}{Princip stejnoměrné omezenosti}<br />
\wikichapter{2}{kapitola2}{Spektrum uzavřeného operátoru}<br />
\wikichapter{3}{kapitola3}{Spektrální rozklad pro samosdružené omezené operátory}<br />
\wikichapter{4}{kapitola4}{Projekční míra}<br />
\wikichapter{5}{kapitola5}{Neomezené operátory}<br />
\wikichapter{6}{kapitola6}{Normální operátory}<br />
\wikichapter{7}{kapitola7}{Samosdružené rozšíření symetrických operátorů}<br />
\wikichapter{8}{kapitola8}{Arzelova věta}<br />
\wikichapter{9}{kapitola9}{Hilbert-Schmidtovy operátory}<br />
\wikichapter{10}{Kapitola10}{Úvod}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola0&diff=558301FA2:Kapitola02015-09-30T11:50:21Z<p>Gromadan: automatic</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
\section{Úvod}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Header&diff=542901FA2:Header2015-02-17T20:46:23Z<p>Gromadan: Nešlo zkompilovat, zakomentoval jsem usepackage bbm a odkomentoval mathbf.</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01FA2}<br />
<br />
\documentclass[intlimits]{amsart}<br />
\usepackage{amssymb}<br />
\usepackage{amsthm}<br />
%\usepackage{bbm}<br />
\def\mathbbm{\mathbf} % pokud neni k dispozici bbm<br />
%\def\mathfrak{\mathcal} % pokud neni k dispozici frak<br />
\usepackage{a4}<br />
\usepackage{a4wide}<br />
\usepackage[czech]{babel} % česky psaná práce<br />
\usepackage[utf8]{inputenc} <br />
\usepackage[T1]{fontenc}<br />
\usepackage{enumerate}<br />
\usepackage{array}<br />
\usepackage{dcolumn}<br />
\usepackage{epsfig}<br />
\sloppy<br />
<br />
\usepackage{hyperref}<br />
\usepackage{color}<br />
<br />
\hypersetup{<br />
colorlinks = true,<br />
pdftitle = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
pdfauthor = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
pdfcreator = {Wiki Skriptum FJFI},<br />
bookmarksopen = true<br />
}<br />
<br />
<br />
<br />
\newcolumntype{d}{D{.}{.}{-1}}<br />
<br />
%definice českých uvozovek ... protoze to je peklo<br />
\def\bq{\mbox{\kern.1ex\protect\raisebox{-1.3ex}[0pt][0pt]{''}\kern-.1ex}}<br />
\def\eq{\mbox{\kern-.1ex``\kern.1ex}}<br />
\gdef\uv#1{\bq #1\eq}<br />
<br />
<br />
<br />
\makeatletter<br />
<br />
\def\cary{\buildrel\textstyle{\lower0.18pt\hbox{\smash-}}\over{\lower1.42pt\hbox{\smash-}}}<br />
<br />
\def\rightarrowfill@x#1{\m@th\setboxz@h{$#1\cary$}\ht\z@\z@<br />
$#1\copy\z@\mkern-6mu\cleaders<br />
\hbox{$#1\mkern-2mu\box\z@\mkern-2mu$}\hfill<br />
\mkern-6mu\mathord\rightrightarrows$}<br />
<br />
\newcommand{\xrightarrows}[2][]{<br />
\mathrel{\mathop{<br />
\setbox\z@\vbox{\m@th<br />
\hbox{$\scriptstyle\;{#1}\;\;$}<br />
\hbox{$\m@th\scriptstyle\;{#2}\;\;$}<br />
}<br />
\vbox{<br />
\kern-2pt<br />
\hbox to\ifdim\wd\z@>\minaw@\wd\z@\else\minaw@\fi{<br />
\rightarrowfill@x\displaystyle}<br />
}<br />
}<br />
\limits^{#2}\@ifnotempty{#1}{_{#1}}}<br />
}<br />
<br />
\newcommand{\dotm}{\buildrel\textstyle\raise2pt\hbox{\smash.}\over{\smash-}}<br />
\newcommand{\dotp}{\buildrel\textstyle\raise5.5pt\hbox{\smash.}\over{\smash+}}<br />
<br />
\renewcommand{\hat}{\widehat}<br />
<br />
\newcommand{\I}{{\mathcal I}}<br />
<br />
%\newcommand{\D}{{\mathcal D}}<br />
\newcommand{\B}{{\mathcal B}}<br />
\renewcommand{\c}{{\mathcal C}}<br />
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}<br />
\renewcommand{\rho}{\varrho}<br />
\renewcommand{\phi}{\varphi}<br />
\newcommand{\Rop}{{\mathbbm{R}^0_+}}<br />
\newcommand{\Rp}{{\mathbbm{R}_+}}<br />
\newcommand{\Rm}{{\mathbbm{R}_-}}<br />
\newcommand{\RR}{{\mathbbm{R}^*}}<br />
\newcommand{\R}{{\mathbbm{R}}}<br />
\newcommand{\Q}{{\mathbbm{Q}}}<br />
\newcommand{\N}{{\mathbbm{N}}}<br />
\newcommand{\No}{{\mathbbm{N}_0}}<br />
\newcommand{\C}{{\mathbbm{C}}}<br />
\newcommand{\CC}{{\mathbbm{C}^*}}<br />
\newcommand{\Z}{\mathbbm{Z}}<br />
\newcommand{\Zm}{\mathbbm{Z}_-}<br />
\newcommand{\Zp}{\mathbbm{Z}_+}<br />
<br />
\newcommand{\dsum}{\sideset{}{^{\oplus}}{\sum}}<br />
\newcommand{\supess}{\mathop{\mathrm{sup\,ess}}}<br />
\newcommand{\sk}[1]{\mathop{\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\nsk}[1]{\mathop{\not\xrightarrows{#1}}}<br />
\newcommand{\posloupnost}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left(#3\right)}}}<br />
\newcommand{\system}[3]{\sideset{}{_{#1}^{#2}}{\mathop{\left\{#3\right\}}}}<br />
\newcommand{\posl}[1]{\posloupnost{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\poslo}[1]{\posloupnost{0}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\sys}[1]{\system{1}{\infty}{#1}}<br />
\newcommand{\rada}[1]{\sum_0^\infty #1}<br />
\newcommand{\sm}{\smallsetminus}<br />
\newcommand{\iz}[1]{{#1^\mathrm{i}}}<br />
\newcommand{\vn}[1]{{#1^\circ}}<br />
\newcommand{\uz}[1]{\overline{#1}}<br />
\newcommand{\hr}[1]{\Dot{#1}}<br />
\newcommand{\pp}{\subset\subset}<br />
\newcommand{\sv}{\,\mathrm{sv}\,}<br />
\newcommand{\id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}<br />
<br />
\newcommand{\nulvec}{{\vec\sigma}}<br />
\newcommand{\nulmat}{{\mathbf 0}}<br />
<br />
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}<br />
\newcommand{\xnorm}[2]{\left\|#2\right\|_{#1}}<br />
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}<br />
<br />
\renewcommand{\H}{{\mathcal H}}<br />
\newcommand{\V}{{\mathrm V}}<br />
\newcommand{\h}{{\mathrm h}}<br />
\newcommand{\im}{{\mathbf i}}<br />
\renewcommand{\d}{{\mathrm d}}<br />
\newcommand{\pd}{\partial}<br />
\newcommand{\la}{\langle}<br />
\newcommand{\ra}{\rangle}<br />
\newcommand{\bigx}{\mathop{\text{\Huge\lower4.6pt\hbox{X}}}}<br />
\newcommand{\lin}{_{\mathrm{lin}}}<br />
\newcommand{\opj}{\overline}<br />
\newcommand{\sd}{\vartriangle}<br />
\newcommand{\compl}{^{\mathrm C}}<br />
\newcommand{\trans}{^{\mathrm T}}<br />
\newcommand{\A}{{\mathcal A}}<br />
\newcommand{\pot}{{\mathbb P}}<br />
\renewcommand{\B}{{\mathcal B}}<br />
\newcommand{\bigcupm}{\mathop{\overline\bigcup}}<br />
\newcommand{\chf}{\mathbf{1}}<br />
\newcommand{\konst}{\mathit{konst.}}<br />
<br />
\newcommand{\noqed}{\renewcommand{\qed}{}}<br />
\newcommand{\xvdots}{{\hskip 5pt\vdots}}<br />
\newcommand{\gammaf}{\boldsymbol{\Gamma}}<br />
\newcommand{\betaf}{{\mathbf B}}<br />
<br />
\newcommand{\osum}{\sideset{}{^\oplus}\sum}<br />
<br />
\DeclareMathOperator{\Ran}{Ran}<br />
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}<br />
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}<br />
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}<br />
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}<br />
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}<br />
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}<br />
\DeclareMathOperator*{\slim}{s-lim}<br />
<br />
\newcommand{\e}{{\mathrm e}}<br />
<br />
\makeatother<br />
<br />
<br />
<br />
\theoremstyle{definition}<br />
\newtheorem{define}{Definice}<br />
\theoremstyle{plain}<br />
\newtheorem{theorem}[define]{Věta}<br />
\newtheorem{lemma}[define]{Lemma}<br />
\newtheorem*{dusl}{Důsledek}<br />
\newtheorem*{poz}{Pozorování}<br />
\newtheorem*{tvrzeni}{Tvrzení}<br />
\theoremstyle{remark}<br />
\newtheorem*{remark}{Poznámka}<br />
\newtheorem*{example}{Příklad}<br />
\newtheorem*{uloha}{Úloha}<br />
\renewcommand{\proofname}{Důkaz}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola38&diff=539701MAA4:Kapitola382014-06-24T15:22:58Z<p>Gromadan: dopnění předpokladů u věty o Laurentově rozvoji holomorfní funkce</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Laurentovy řady}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu<br />
\[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\]<br />
nazveme {\bf Laurentovou řadou} a {\bf součet Laurentovy} [Loránovy] {\bf řady} je<br />
\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+<br />
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Konvergence na mezikruží $B(z_0,r,R)$: $\abs{z-z_0}<R$ a<br />
$\abs{z-z_0}>r$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Laurent]<br />
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží<br />
\[P(z_0,r,R)=\{z\in\C|r<\abs{z-z_0}<R\}.\]<br />
Pak pro každé $z\in P$ platí<br />
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im}<br />
\oint_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\]<br />
pro libovolnou Jordanovu dráhu $\vartheta$ takovou, že $[\vartheta]\subset P$ a $z_0\in\intd\vartheta$.<br />
<br />
\begin{figure}[h]<br />
\center<br />
\includegraphics{01MAA4_lauren.pdf}<br />
\caption{K důkazu Laurentovy věty}<br />
\end{figure} <br />
<br />
\begin{proof}<br />
Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, <br />
<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi-<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+<br />
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}<br />
\end{split}<br />
\]<br />
Využilo se toho, že <br />
\[<br />
\begin{split}<br />
-\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&=<br />
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi=<br />
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0}<br />
\frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}=<br />
\int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty<br />
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1}<br />
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Bod $z_0$ se nazývá {\bf singulárním bodem funkce $f$}, jestliže $f$<br />
je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$.<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její<br />
Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n<0$.<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$<br />
pro $n<-p$.<br />
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro<br />
nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a<br />
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\]<br />
její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme {\bf<br />
reziduum funkce v~bodě $z_0$}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[reziduová]<br />
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je<br />
množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká<br />
Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak<br />
\[\oint_\phi f(z)\,\d z=\sum_{a\in M\cap\intd\phi}<br />
2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\]<br />
\begin{proof}<br />
%starý důkaz:<br />
%Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj<br />
%$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím<br />
%\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\]<br />
%a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že<br />
%\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\<br />
Předpokládejme, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je<br />
\[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\oint_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \]<br />
Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu<br />
\[\oint_\phi = \int_{\phi_n \dot{+} \phi_{n+1}}=\int_{\phi_n \dot{+} \psi}+\int_{\phi_{n+1} \dot{-} \psi}=\sum_{k=1}^{n}2\pi\im\,\rez_{a_k} f\,\ind_\phi a_k + 2\pi\im\,\rez_{a_{n+1}} f\,\ind_\phi a_{n+1} \,. \]\\<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Výpočet rezidua ($a_{-1})$ v bodě $z_0$, kde je singularita p-tého řádu (chová se to podobně jako $1/(z-z_0)^p$)\\<br />
\[ f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \]<br />
\[ f(z)(z-z_0)^p = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \]<br />
<br />
\[ \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \]<br />
\[ a_{-1} = \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)\]<br />
Limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. <br />
<br />
\end{remark}<br />
\newpage</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA4:Kapitola37&diff=539601MAA4:Kapitola372014-06-24T15:16:53Z<p>Gromadan: dopnění předpokladů u věty o Taylorově rozvoji holomorfní funkce</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA4}<br />
\section{Holomorfní funkce}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Funkce $f:\C\mapsto\C$ se nazývá {\bf holomorfní v~bodě}, když je<br />
diferencovatelná na jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na<br />
množině} $G$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Funkce $\sin$, $\cos$, $e$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou<br />
holomorfní uvnitř kruhu konvergence.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak<br />
\[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $\la\phi\ra$.<br />
\[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t,<br />
\text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak<br />
\[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\]<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}=<br />
\int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im\]<br />
$\phi=re^{\im t}+z_0$, $t\in\left[ -\pi,\pi\right] $.<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť<br />
$z_0\not\in\la\phi\ra$. Definujeme {\bf index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$}:<br />
\[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\]<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
$\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z\not=0\}$,<br />
$\extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z=0\}$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cauchyho integrální]<br />
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní<br />
na $\intd\phi\cup\la\phi\ra$. Pak<br />
\[\oint_\phi f=0.\]<br />
\begin{proof}<br />
Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme:<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
\oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=<br />
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\<br />
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t=<br />
\int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+<br />
\im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\<br />
&=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}-<br />
\frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+<br />
\im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+<br />
\frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}[princip deformace dráhy]<br />
Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké<br />
Jordanovy dráhy. Buď $[\phi_1]\subset\intd\phi_2$,<br />
$\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na<br />
$\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak<br />
\[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\]<br />
\begin{proof}<br />
Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi.<br />
<br />
\begin{figure}<br />
\includegraphics{01MAA4_draha.pdf}<br />
\caption{Princip deformace dráhy}<br />
\end{figure}<br />
<br />
Napřed se udělá integrál přes levou část (viz obrázek), potom přes pravou. <br />
Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. <br />
$\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně.<br />
\[\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$. Říkáme,<br />
že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když <br />
$\ind_\phi z_0>0$. (proti směru hodinových ručiček)<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec]<br />
buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$ Pak pro každé<br />
$z\in\intd\phi$ platí<br />
\[f(z)=\frac{\ind_\phi<br />
z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\]<br />
\begin{proof}<br />
$\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$<br />
\[\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=<br />
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+<br />
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z).\]<br />
<br />
\[\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z).\]<br />
\[\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.\]<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{example}<br />
\[\int_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z\]<br />
\begin{enumerate}<br />
\item <br />
\[\oint_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\]<br />
\item<br />
\[\oint_\phi=\frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}-<br />
\frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in\la\phi\ra\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$<br />
platí<br />
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\]<br />
kde<br />
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im}<br />
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi\]<br />
pro libovolnou Jornavou dráhu $\phi$ takovou, že $\la\phi\ra\in B$ a $z_0\in\intd\phi$.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $z\in B(z_0,R)$,<br />
\[<br />
\begin{split}<br />
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}<br />
\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi=<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}<br />
\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\<br />
&=\sum_{n=0}^\infty\left(<br />
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi<br />
\right)(z-z_0)^n.<br />
\end{split}<br />
\]<br />
% Platí, že<br />
% \[<br />
% \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le %to neplatí<br />
% \frac{M}{r^{n+1}}\abs{z-z_0}^n,<br />
% \]<br />
Ještě se musí ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. To lze provést pomocí Weierstrasse.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Za splnění předpokladů předchozí věty platí:<br />
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0)<br />
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\]<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál.<br />
\item Určení poloměru konvergence: vzdálenost středu od bodu, ve kterém<br />
funkce není holomorfní.<br />
\item Holomorfní funkce na $B(z_0,R)$ je dokonce třídy $\c\infty$ na $B(z_0,R)$<br />
\end{enumerate}<br />
<br />
<br />
\end{remark}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola5&diff=517501MAA3:Kapitola52014-01-20T11:50:18Z<p>Gromadan: Oprava definice p-normy</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Metrika}<br />
<br />
\index{metrika}<br />
\index{metrický prostor}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ neprázdná množina, na níž je definováno zobrazení<br />
$\rho:X\times X\mapsto \Rop$ takové, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\rho(x,y)=0 \iff x=y \quad\forall x,y\in X$,<br />
\item $\rho(x,y)=\rho(y,x) \quad\forall x,y\in X$,<br />
\item $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z) \quad\forall x,y,z\in X$,<br />
\end{enumerate}<br />
Potom $\rho$ nazveme {\bf metrikou} na množině $X$ a dvojici<br />
$(X,\rho)$ nazveme {\bf metrický prostor}.<br />
<br />
\index{vzdálenost bodů}<br />
Prvky nosné množiny se nazývají {\bf body}, $\rho(x,y)$ je {\bf<br />
vzdálenost bodů} $x,y$.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\index{diskrétní metrika}<br />
\index{diskrétní prostor}<br />
\begin{remark}<br />
Na každé množině jde zavést vzdálenost --- přinejmenším<br />
tzv. diskrétní metrika:<br />
\[\mathrm{d}(x,y)\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0 & x=y \\<br />
1 & x\not=y \\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]<br />
\item <br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{norma}<br />
\index{normovaný prostor}<br />
\begin{define}<br />
Buď $V$ vektorový prostor nad $T$, buď definováno zobrazení<br />
$\norm{\ }:V\mapsto \Rop$ takové, že platí:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\norm{\vec x}=0\iff \vec x=\vec 0$,<br />
\item $\norm{\lambda\vec x}=\abs{\lambda}\, \norm{\vec x} \quad\forall\vec x\in<br />
V,\lambda\in T$,<br />
\item $\norm{\vec x+\vec y}\le\norm{\vec x}+\norm{\vec y}$,<br />
\end{enumerate}<br />
pak dvojice $(V,\norm{\ })$ se nazývá {\bf normovaný prostor}.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\index{metrika indukovaná normou}<br />
\item $\rho(x,y)=\norm{\vec x - \vec y}$ --- metrika indukovaná normou.<br />
\index{maximová norma}<br />
\item $\norm{\vec x}_m=\max\{\abs{x_i}\}$ --- maximová norma<br />
\index{$p$--norma}<br />
\index{Euklidovská norma}<br />
\item $\displaystyle p\ge 1\quad\norm{\vec<br />
x}_p=\left(\sum_{i=1}^{\dim V} \abs{x_i}^p\right)^{1/p}$ ---<br />
$p$--norma; $p=2$ --- euklidovská norma<br />
\item $\lim_{p\to +\infty}\norm{\cdot}_p=\norm{\cdot}_m$<br />
\item pro $p<q$ a $x\in V$ platí, že $\norm{x}_p\geq \norm{x}_q$<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Potom:<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\index{průměr množiny}<br />
\item $\forall A\subset X: d(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y)$ --- {\bf<br />
průměr množiny}<br />
\index{vzdálenost množiny}<br />
\item $\forall A,B\subset X: \rho(A,B)=\inf\limits_{x\in A,y\in<br />
B}\rho(x,y)$ --- {\bf vzdálenost množin}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{omezená množina}<br />
\begin{define}<br />
Říkáme, že množina $A\subset X$ je omezená, právě když $d(A)<+\infty$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{otevřená koule}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $x\in X$, $r\in\Rp$. Potom<br />
(otevřenou) {\bf koulí} rozumíme množinu $B(x,r)=\{y\in X | \rho(y,x)<r\}$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\index{uzavřená koule}<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Prostor je omezený, právě když $\exists r,x: X\subset B(x,r)$,<br />
tj. když se vejde do koule.<br />
<br />
\item Takto definovaná koule nemusí být kulatá, dokonce nemusí být ani konvexní. V případě metriky generované normou konvexní bude. <br />
\item V~diskrétním prostoru: $B(x,1)=\{x\}$, $B(x,r>1)=X$.<br />
\item Uzavřená koule --- $S(x,r)=\{y\in X|\rho(y,x)\leq r\}$. <br />
Obecně se v metrickém prostoru $\uz{B(x,r)}\subset S(x,r)$, např. v diskrétní metrice<br />
$S(x,1) = X \neq \uz{B(x,1)} = \{x\}$<br />
\item $(\R,\mathrm{d})$ je omezený (diskrétní metrika, nikoli průměr množiny), $(\R,\abs{\ })$ není omezený.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Nechť $x,y\in X$, $x\not=y$. Pak existuje $r>0$ tak, že platí:<br />
$B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$.<br />
\begin{proof}<br />
Například $r=\frac12\rho(x,y)$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{otevřená množina}<br />
\begin{define}<br />
Říkáme, že množina $A\subset X$ je {\bf otevřená}, právě když $(\forall x\in<br />
A)(\exists B(x,r)\subset A)$.<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Každý prostor je otevřená množina; otevřená koule je otevřená množina.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Buďte $A_1,\dots,A_n$ otevřené množiny v~$X$. Potom<br />
$\bigcap\limits_{i=1}^n A_i$ je otevřená množina.<br />
\item Jsou-li $A_\alpha$ otevřené množiny ($\alpha\in\I$ {\bf libovolná}<br />
indexová množina), je $\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha$ je otevřená množina.<br />
\end{enumerate}<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[(i)]<br />
\item Pokud je průnik prázdný, je tvrzení triviální. Pro libovolný bod $x$<br />
neprázdného průniku pak platí: <br />
$(\forall i\in\n)(\exists r_i>0)(B(x,r_i)\subset A_i)$. Vzhledem k~tomu,<br />
že množin je konečný počet, existuje $r=\min_{i\in\n}r_i$, tedy platí<br />
\[B(x,r)\in\bigcap\limits_{i=1}^n A_i,\]\bigskip<br />
což je tvrzení věty.<br />
\item Libovolný bod $x$ ze sjednocení leží alespoň v~jedné množině<br />
$A_\alpha$, tudíž podle předpokladu existuje koule <br />
\[B(x, r)\subset A_\alpha\subset\bigcup\limits_{\alpha\in\I}A_\alpha.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}</div>Gromadanhttps://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01MAA3:Kapitola8&diff=516301MAA3:Kapitola82014-01-05T20:18:40Z<p>Gromadan: Oprava definice pokrytí</p>
<hr />
<div>%\wikiskriptum{01MAA3}<br />
\section{Kompaktní prostory}<br />
<br />
\index{pokrytí}<br />
\index{podpokrytí}<br />
\begin{define}<br />
Buď $X$ topologický prostor, $\S$ systém množin<br />
$\{V\}_{V\in\S}$. Řekneme, že $\S$ {\bf pokrývá} $X$ právě když $(\forall<br />
x\in X)(\exists V\in\S)(x\in V)$.<br />
<br />
Řekneme, že systém $\S_1$ je {\bf podpokrytím systému} $\S$, právě když:<br />
\begin{enumerate}[(I)]<br />
\item $\S_1\subset\S$,<br />
\item $\S_1$ je pokrytím $X$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{define}<br />
<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Je-li $S \subset \tau$, nazýváme pokrytí {\bf otevřeným pokrytím}. Někdy zavádíme i uzavřené pokrytí $S \subset c\tau \subset \P(x)$. Otevřené se prý hodí pro použití v integrálech.<br />
\end{remark}<br />
<br />
\index{kompaktní prostor}<br />
\begin{define}<br />
Topologický prostor nazveme {\bf kompaktním}, právě když každé jeho otevřené<br />
pokrytí má konečné podpokrytí.\bigskip<br />
\end{define}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\index{kompaktní množina}<br />
\item Množinu $A\subset X$ nazveme kompaktní, právě když $A$ jako<br />
topologický podprostor je kompaktní.\bigskip<br />
\item Každá konečná množina je kompaktní.\bigskip<br />
\item V~metrickém prostoru je každá kompaktní množina omezená.\bigskip<br />
\item $\R $ není kompakt, ale $\RR$ už kompakt je. \bigskip<br />
\item Kompaktnost nezávisí na metrice. \bigskip<br />
\item Konečné sjednocení kompaktních množin je kompaktní.\bigskip<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin<br />
s~prázdným průnikem obsahuje konečný podsystém s~prázdným průnikem.<br />
\begin{proof}<br />
Množina $A_\alpha$ je uzavřená, právě když ji lze vyjádřit jako<br />
$A_\alpha=X\sm B_\alpha$, kde $B_\alpha$ je otevřená množina. Dále<br />
platí, pomocí de Morganových zákonů :<br />
\[<br />
\emptyset=\bigcap_{\alpha\in\I}A_\alpha=<br />
\bigcap_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)=<br />
X\sm\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\iff<br />
X\subset\bigcup_{\alpha\in\I}B_\alpha<br />
\]<br />
a existuje konečné podpokrytí. <br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Nechť $A_n=\uz{A_n}$, $A_n\supset A_{n+1}$ klesající (ve smyslu<br />
inkluze) posloupnost uzavřených množin v kompaktním prostoru a nechť platí<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset.\]<br />
Pak nutně existuje $n\in\N$ takové, že $A_n=\emptyset$.<br />
\item Pro klesající posloupnost uzavřených neprázdných množin v kompaktním prostoru musí<br />
platit:<br />
\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\not=\emptyset.\]<br />
\item Buď $(X,\rho)$ kompaktní metrický prostor, $A_n=\uz{A_n}$,<br />
$A_n\supset A_{n+1}$, $d(A_n)\to 0$, $ A_n \neq \emptyset$. Pak existuje právě jedno $x$<br />
takové, že platí<br />
\[x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.\]<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\begin{theorem}<br />
Uzavřený interval v $\R^n$ je kompaktní.<br />
% dodělat důkaz<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Intervalem v $\R^n$ se myslí kartézský součin intervalů z $\R$.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $A$ kompaktní podmnožina Hausdorffova topologického prostoru $X$. Potom $A$ je<br />
uzavřená.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $x\in X\sm A$ bod z~doplňku množiny $A$. Pak platí:<br />
\[(\forall y\in A)(y\neq x)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset).\]<br />
Dále platí:<br />
\[A=\bigcup_{y\in A}(A\cap\H_y)\subset\bigcup_{y\in A}\H_y,\]<br />
tedy systém okolí $H_{y_\alpha}$ pokrývá množinu $A$. Protože $A$ je<br />
kompaktní, existuje její konečné podpokrytí, tedy<br />
\[A=\bigcup_{i=1}^n(A\cap\H_{y_i})\subset\bigcup_{i=1}^n\H_{y_i}.\]<br />
Jelikož pro okolí bodů $y$ a pro odpovídající okolí bodu $x$ platí<br />
$\H_{x_i}\cap\H_{y_i}=\emptyset$, pro průnik všech okolí bodu $x$<br />
platí:<br />
\[<br />
\H_x\cap A=\left(\bigcap_{i=1}^n\H_{x_i}\right)\cap A=\emptyset,<br />
\]<br />
tedy existuje okolí bodu $x$ disjunktní s~množinou $A$, takže $x$ je<br />
bod z~vnějšku množiny. Všechny body z~doplňku množiny $A$ leží ve<br />
vnitřku doplňku, tudíž doplněk je otevřený, tudíž $A$ je uzavřená.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
V~kompaktním prostoru jsou všechny uzavřené množiny kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
%Implikace kompaktní $\implies$ uzavřená byla dokázána v~předchozí<br />
%větě. Uvažujme systém uzavřených množin $A_\alpha\subset A$ s~prázdným<br />
%průnikem. Jelikož $A$ je uzavřená v~$X$, jsou $A_\alpha$ uzavřené<br />
%v~$X$. Prostor $X$ je ovšem kompaktní, tudíž konečný podsystém<br />
%$A_{\alpha_i}$ s prázdným průnikem existuje.<br />
Pro libovolnou uzavřenou množinu $M$ nalezneme její pokrytí $\{G_\alpha \}$ a doplníme ho otevřenou množinou $G:= X\sm M$ na pokrytí celého prostoru $X$. <br />
Nalezneme konečné podpokrytí $X$, označíme ho $\{G_i ~|~ i\in \hat{n} \}$. Toto pokrytí musí obsahovat $G$, proto mu dáme první index. Potom $\{G_i ~|~ i \in \{2, \ldots ,n\} \}$ je konečným pokrytím $M$. <br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $\VEC X$ konečnědimenzionální lineární prostor. Potom $A\subset \VEC X$ je kompaktní,<br />
právě když je uzavřená a omezená.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je triviální.<br />
\item $\Leftarrow$: Buď $A$ omezená a uzavřená.<br />
\begin{enumerate}[1)]<br />
\item $\VEC X=\R^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
$A$ je omezená, tudíž $A\subset<br />
B(0,R)\subset\uz{B}(0,R)$. $\uz{B}(0,R)$ je interval, který je<br />
v~$\R^n$ kompaktní. $A$ je uzavřená v~kompaktním prostoru, tedy $A$ je<br />
kompaktní.<br />
<br />
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }=\norm{\ }_\infty=\max_{i\in\n}\abs{x_i}$.<br />
<br />
Každý vektor $\vec x\in V^n$ lze vyjádřit jako kombinaci bázových<br />
vektorů<br />
\[\vec x=\sum_{i=1}^n x^i\vec{e_i}.\]<br />
Buď $f:\vec x\mapsto (x^1,\dots,x^n)$. Zobrazení $f$ je homeomorfním<br />
zobrazením $V^n$ do $R^n$, tudíž $(V^n,\norm{\ }_\infty)$ a<br />
$(R^n,\norm{\ }_\infty)$ jsou homeomorfní.<br />
<br />
\item $\VEC X=V^n$, $\norm{\ }$ libovolná.<br />
<br />
Pro libovolný vektor $\vec x$ platí:<br />
\[\norm{\vec x}\le\sum_{i=1}^n\abs{x^i}\norm{\vec{e_i}}\le<br />
\sum_{i=1}^n\norm{\vec{e_i}}\norm{\vec x}_\infty=<br />
K\norm{\vec x}_\infty,\]<br />
<br />
což je jedna část nerovnosti z~věty \ref{hom_lin}. Kromě toho z~tohoto<br />
vztahu vyplývá spojitost identity <br />
$(X,\norm{\ }_\infty)\mapsto (X,\norm{\ })$.<br />
<br />
Libovolná koule $\uz{B}(0,R)\subset (X,\norm{\ })$ je uzavřená, díky<br />
spojitosti je uzavřená i~v~$(X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
$A=\{x\in X|\norm{\vec x}_\infty=1\}$ je uzavřená a omezená<br />
v~$(X,\norm{\ }_\infty)$,<br />
$(A,\norm{\ }_\infty)\subset (X,\norm{\ }_\infty)$.<br />
<br />
Dále platí:<br />
\[<br />
\bigcap_{R>0}\left(\uz{B}(0,R)\cap A\right)=\emptyset,<br />
\]<br />
neboť v~průniku koulí leží pouze $0$, ta ale neleží v~$A$ a platí tedy<br />
$(\exists\rho>0)(\uz{B}(0,\rho)\cap A=\emptyset)$.<br />
<br />
Pak $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty\not=1)$.<br />
<br />
Dokážeme, že v~takovém případě $\norm{\vec x}_\infty<1$. Nechť platí,<br />
že $\norm{\vec{x_0}}\le\rho\wedge \norm{\vec{x_0}}_\infty>1$. Pak<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}<<br />
\norm{\vec{x_0}}\le\rho,<br />
\]<br />
ale<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec{x_0}}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}}_\infty=<br />
\frac{1}{\norm{\vec{x_0}}_\infty}\norm{\vec{x_0}}_\infty=1,<br />
\]<br />
což je spor. Tedy $(\forall\vec x)(\norm{\vec x}\le\rho\implies<br />
\norm{\vec x}_\infty<1)$.<br />
<br />
Pro všechny $\vec x\not=0$ pak platí:<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}=\rho,<br />
\]<br />
tedy<br />
\[<br />
\norm{\frac{\vec x}{\norm{\vec x}}\rho}_\infty<1,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\norm{\vec x}_\infty<\frac1\rho\norm{\vec x}.<br />
\]<br />
Pro $\vec x=0$ ve vztahu nastává rovnost. Dokázali jsme tedy druhou<br />
část nerovnosti.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\index{hromadná hodnota}<br />
\begin{define}<br />
Buď $\posl{x_n}\subset X$. Pak $a$ je hromadnou hodnotou posloupnosti,<br />
právě když v~libovolném okolí $\H_a$ bodu $a$ leží nekonečně mnoho<br />
členů posloupnosti.<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{remark}<br />
\begin{enumerate}<br />
\item Jestliže $x_n\to a$, pak $a$ je hromadnou hodnotou $\posl{x_n}$.<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru má každá posloupnost alespoň jednu<br />
hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Nechť $A_n=\{x_k\}_{k\ge n}$. Pak $\uz{A_n}\not=\emptyset$,<br />
$\uz{A_n}\supset\uz{A_{n+1}}$, takže platí:<br />
\[a\in\bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}\not=\emptyset,\]<br />
kde $a \in \bigcap_{n=1}^\infty\uz{A_n}$. Dokážeme nyní, že $a$ je hromadným bodem, tj. že v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho členů posloupnosti. $(Sporem)$: předpokládejme opak, tedy $\exists\H_a$ tak, že <br />
$\posl{x_n}\bigcap\H_a$ je konečná. Potom $\exists m$, tak, že pro $\forall n>m$ je $A_n\bigcap\H_a=\emptyset \wedge a \in\uz{A_n}$, což je spor (viz definice bodu v uzávěru). <br />
\end{proof}<br />
\bigskip\item V~kompaktním prostoru posloupnost konverguje, právě když má<br />
právě jednu hromadnou hodnotu.<br />
\begin{proof}<br />
Implikace konverguje $\implies\exists_1$ je zřejmá. Opačnou implikaci<br />
dokážeme sporem. Nechť posloupnost nekonverguje, tj. existuje okolí<br />
hromadné hodnoty $\H_a$ takové, že v~$X\sm\H_a$ leží ještě nekonečně<br />
mnoho členů posloupnosti. Platí, že $X\sm\H_a=\uz{X\sm\H_a}$, tedy<br />
$X\sm\H_a$ je kompaktní. Podle poznámky 1. tam ale posloupnost musí<br />
mít další hromadnou hodnotu, což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{enumerate}<br />
\end{remark}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Lebesgue]<br />
\label{lebesgue}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu, $\{V\}_{V\in\S}$ otevřené pokrytí tohoto<br />
prostoru. Potom existuje $\epsilon$ tak, že každá koule o~poloměru<br />
$\epsilon$ leží alespoň v~jedné z~pokrývajících množin.<br />
\bigskip<br />
\begin{proof}<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového otevřeného pokrytí $\{V\}_{V\in S}$, že pro každé $\epsilon$ existuje koule o poloměru $\epsilon$ taková, jenž není podmnožinou žádné z vykrývajících množin z S.<br />
<br />
Vezměme tedy libovolné otevřené pokrytí $\{V\}_{V\in S}$ a uvažujme posloupnost $\posl{\epsilon_n}=1/n$. Dle předpokladů sporu pro ni existuje posloupnost koulí $\posl{B_n(x_n,\epsilon_n)} = $ takových, aby žádná koule nebyla podmnožinou žádné z vykrývajících množin.<br />
<br />
Dle předpokladu věty existuje pro $\posl{x_n}$ vybraná posloupnost $x_{k_n}\to a$. Nalezněme $V\in\{V\}_{V\in S}$ tak, aby $a \in \vn{V}$, pak určitě $\exists B(a,r)\subset V$.<br />
<br />
Z definice limity najděme $n_0^{(1)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(1)})(\rho(x_{k_n},a)<\frac{r}{2})$, a $n_0^{(2)}$ tak, aby $(\forall n > n_0^{(2)})(\frac{1}{k_n}<\frac{r}{2})$.<br />
<br />
Po volbě $x_0 = \max\{n_0^{(1)},n_0^{(2)}\}$ platí ($\forall n > n_0)(\posl{B_{k_n}} \subset V)$, což je spor s volbou posloupnosti $\posl{B_n}$.<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{lemma}[Borel]<br />
\label{borel}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, kde každá posloupnost má alespoň<br />
jednu hromadnou hodnotu. Potom pro každé $\epsilon$ existuje konečná<br />
\index{$\epsilon$ síť}<br />
$\epsilon$-síť (konečný počet koulí o~poloměru $\epsilon$ se středy<br />
vzdálenými od sebe minimálně $\epsilon$, které pokrývají $X$).<br />
\begin{proof}<br />
<br />
Pro spor předpokládejme existenci takového $\epsilon>0$, pro něž nebude existovat konečná $\epsilon$-síť. Nechť tedy takové $\epsilon$ existuje. Vezměme si libovolné $\{B_\alpha(x_\alpha,\epsilon)\}_{\alpha\in I}$ pokrytí prostoru X splňující $(\forall\alpha,\beta\in I)(\alpha \not= \beta)(\rho(x_\alpha,x_\beta)\geq\epsilon)$. Takové pokrytí nemůže být podle předpokladů sporu konečné, bude tedy spočetné, nebo dokonce nespočetné.<br />
<br />
Vyberme z něj libovolnou posloupnost koulí, označme ji $\posl{B(x_n,\epsilon)}$. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ musí mít dle předpokladů věty hromadnou hodnotu, existuje tedy konvergentní vybraná posloupnost, což je spor s minimální vzdáleností $\epsilon$.<br />
<br />
\end{proof}<br />
\end{lemma}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Weierstrass]<br />
Buď $X$ metrický prostor. Potom $X$ je kompaktní, právě když každá<br />
posloupnost má konvergentní podposloupnost.<br />
\begin{proof}<br />
\begin{enumerate}[a)]<br />
\item Implikace $\Rightarrow$ je dokázaná.<br />
\item $(\Leftarrow)$: Buď $A_\alpha$ libovolné pokrytí prostoru<br />
$X$. Potom podle \ref{lebesgue} existuje $\epsilon$ tak, že každá<br />
koule o~poloměru $\epsilon$ leží v~některé z~pokrývajících<br />
množin. Podle \ref{borel} stačí k~pokrytí $X$ konečný počet těchto<br />
koulí. Hledaným konečným podpokrytím je množina nadmnožin koulí<br />
$B(x_i,\epsilon)$.<br />
\end{enumerate}<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f:X\mapsto Y$ spojité zobrazení topologického prostoru. Potom<br />
je-li $X$ kompaktní, je i $f(X)$ kompaktní.<br />
\begin{proof}<br />
Buď $\S$ pokrytí $f(X)$. Potom vzor $\S$ je pokrytí $X$, neboť vnitřek<br />
a otevřenost se přenáší z~$Y$ do $X$. $X$ je kompaktní, takže má<br />
$f^{-1}(\S)$ konečné podpokrytí. Konečným podpokrytím $f(X)$ je pak<br />
konečná množina obrazů množin pokrývajících $X$.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{theorem}<br />
Buď $f$ zobrazení spojité na kompaktní množině $A\mapsto\R$. Potom $f$<br />
nabývá na $A$ svého infima a supréma.<br />
\begin{proof}<br />
$f(A)$ je kompaktní, tudíž omezená a uzavřená, takže infimum a<br />
suprémum v~ní leží.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{remark}<br />
Ale nikoliv všeho mezi nimi. K tomu je potřeba předpoklad souvislosti, který bude probrán v následující kapitole.<br />
\end{remark}<br />
<br />
<br />
<br />
\bigskip<br />
\index{stejnoměrná spojitost}<br />
\begin{define}<br />
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $f:(X,\rho)\mapsto (Y,\sigma)$ spojité<br />
zobrazení. Řekneme, že $f:X\mapsto Y$ je stejnoměrně spojité, právě<br />
když <br />
\[(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,y \in X)(\rho(x,y)<\delta\implies\sigma(f(x),f(y))<\epsilon).\]<br />
\end{define}<br />
\bigskip<br />
\begin{theorem}[Cantor]<br />
Zobrazení $f$ spojité na kompaktní množině $X$ je spojité stejnoměrně.<br />
\begin{proof}<br />
Důkaz provedeme sporem. Nechť platí <br />
\[(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x,y \in X)<br />
(\rho(x,y)<\delta\wedge\sigma(f(x),f(y))\ge\epsilon).\]<br />
Buď $\posl{x_n}$,$\posl{y_n}$ posloupnosti takové, že platí<br />
\[\rho(x_n,y_n)<\frac1n,\quad \sigma(f(x_n),f(y_n))\ge\epsilon.\]<br />
Protože množina je kompaktní, existuje vybraná konvergentní<br />
podposloupnost $x_{k_n}\to x$. Dále platí<br />
\[\rho(y_{k_n},x)\le\rho(x_{k_n},y_{k_n})+\rho(x_{k_n},x).\]<br />
Tedy i $y_{k_n}$ konverguje k~$x$.<br />
<br />
Ze spojitosti $f$ vyplývá existence $\delta>0$ takového, že pro<br />
všechna $x'$ taková, že $\rho(x',x)<\delta$ je<br />
$\sigma(f(x'),f(x))<\frac\epsilon2$. Protože $x_{k_n}$ a $y_{k_n}$<br />
konvergují, existuje $m$ takové, že $\rho(x_{k_m},x)<\delta$ a<br />
$\rho(y_{k_m},x)<\delta$, takže<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2\text{ a }<br />
\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<\frac\epsilon2,<br />
\]<br />
z~čehož vyplývá<br />
\[<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(y_{k_m}))\le<br />
\sigma(f(x_{k_m}),f(x))+\sigma(f(y_{k_m}),f(x))<<br />
\epsilon,<br />
\]<br />
což je spor.<br />
\end{proof}<br />
\end{theorem}<br />
\bigskip</div>Gromadan