02TSFA:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 11. 3. 2017, 09:04, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Oprava přehozených řádků v tabulce.)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Grandkanonický soubor}
\index{soubor, grandkanonický}
 
\label{gkansoub}
 
Ne vždy zůstává v souboru konstantní počet částic. Molekuly ulpívají na stěnách nádoby a zase z nich
odpadávají, těsnění netěsní, ventily ventilují až příliš, látka je ve více fázích a tak podobně. Systém s proměnnými počty částic můžeme reprezentovat množinou kanonických souborů s různými počty částic $N_1,\ldots, N_k$ jednotlivých komponent a jejich fází. Tyto systémy potom tvoří \emph{grandkanonický soubor. }
 
 
 Počet částic v grandkanonickém souboru se tedy s časem mění. Pohybují se vždy kolem nějaké střední 
hodnoty:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{ll}
 
$U = \suma{\gamma}{}w_\gamma H_\gamma$ & \dots Střední hodnota energie \tabularnewline[12pt]
$N_k = \suma{\gamma}{}w_\gamma N_{k\gamma}$ & \dots Střední počet částic $k$-té komponenty systému \tabularnewline[12pt]
 
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
 
Naším cílem bude nalézt pravděpodobnost $w_{nN} = w(E_{nN})$, že náhodně vybraný systém bude mít $N\equiv (N_1,\ldots, N_k)$ částic a bude v $n$-tém energetické stavu. Normovací podmínka má tvar 
 
$$\sum_{N = 0}^\infty\sum_n w_{nN} = 1$$  
Pro zjednodušení následujících úvah budeme pracovat pouze s jednokomponentovými systémy. 
Partiční funkci pak lze zapsat jako\footnote{Setkáme se (mimo jiné na přednášce) i s konvencí, že Lagrangeovu multiplikátoru se přiřazuje opačné znaménko. To samozřejmě můžeme udělat, ale za cenu souvisejících znaménkových oprav v části následujících vzorců.}
 
$$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp( - \beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N = 0}{\infty}\suma{n}{}g_{nN}\exp(-\beta H_{nN})\exp(-\alpha N) = $$
% $$= \exp(-\alpha N_1)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_1})  +  \exp(-\alpha N_2)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_2})  +  \dots $$
% $$ \dots   +    \exp(-\alpha N_\delta)\suma{\eta}{}\exp(-\beta H_{\eta N_\delta}) = 
 $$ =  \suma{N}{}\left[\exp(-\alpha N)\suma{n}{}g_{nN}\exp(-\beta H_{nN})\right] =  \suma{N}{}\exp(-\alpha N) Z_C( \beta, N)$$
 \medskip
 
Kde $\gamma$ probíhá přes všechny stavy, $n$ přes energetické stavy ($g_{nN}$ je opět případná degenerace dané energetické hladiny) a $N$ přes počty částic  systému. Celý sáhodlouhý zápis říká, že 
je možné na grandkanonický soubor pohlížet jako na množství kanonických s různými počty částic. V kanonické partiční funkci
$Z_C$ tedy vystupuje jako parametr počet částic $N$. 
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|ll|}
 
\hline
 
Veličiny grandkanonického souboru & \\ \hline
 
$Z_G = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma) = \suma{N}{}\exp(-\alpha N)Z_C(\beta, N)$ & 
   Grandkanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]
$w_\gamma = \frac{1}{Z_G}\exp( -\beta H_\gamma - \alpha N_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
 
$U = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \beta}$ &  Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]
$N = - \pderivx{(\ln Z_G)}{ \alpha}$ &  Střední počet částic \tabularnewline[12pt]
$S(U, N) = k_B( \ln Z_G + \beta U + \alpha N)$ & Entropie \tabularnewline[12pt]
% $\left<(U - H_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{N}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - 
%    \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ 
%    & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
% $\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = -k_B\pderivxx{S}{U}\left[\pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N} - 
%    \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$ 
%    & Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
$\left<(N - N_\gamma)^2\right>  = \pderivx{^2(\ln Z_G)}{\alpha^2}$&  Fluktuace stř. h. částic\tabularnewline[12pt]
 $\left<(U - H_\gamma)^2\right>  =\pderivx{^2(\ln Z_G)}{\beta^2}$ &Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
\hline
 
\end{tabular}
\end{center}
 
% \begin{remark}
%  
% K posledním dvěma vztahům, které jsou jen složitě napsané druhé derivace $\ln Z_G$ podle $\beta$, resp. $\alpha$, se dojde pomocí Legendreovy transformace. Protože $\frac{S}{k_B}$ je legendreovsky transformovaná
% k $\ln Z_G$, platí následující vztah (viz Matematický aparát):
%  
% $$ \delta_{k\ell} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_\ell}{x_i} $$
%  
% zde
%  
% $$ f \equiv \frac{S}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z_G $$
% $$x_1 = U \qquad x_2 = N \qquad y_1 = \beta \qquad y_2 = \alpha \qquad i \in \{1,2\}$$
% \bigskip
%  
% nyní postupně dosazujme za $k, \ell$ čísla z množiny $ \{1,2\}$:
%  
% \begin{itemize}
%  
% \item $k = 1 \qquad \ell = 1$: \\
%  
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip  
%  
% \item $k = 1 \qquad \ell = 2$: \\
%  
% $$0 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta}
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \item $k = 2 \qquad \ell = 2$: \\
%  
% $$1 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxy{S}{N}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
%   \pderivxx{S}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \item $k = 2 \qquad \ell = 1$: \\
%  
% $$0 = - \pderivxy{(\ln Z)}{\beta}{\alpha}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}
%   \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% \end{itemize}
%  
% Zajímají nás hodnoty $\pderivxx{(\ln Z)}{\beta}$ a $\pderivxx{(\ln Z)}{\alpha}$, neboť to jsou
% hledané rozptyly veličin. Vezměme tedy první dvě rovnice. Z druhé si vyjádříme
%  
% $$\pderivxy{(\ln Z)}{\alpha}{\beta} = - \frac
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U}  }{ \pderivxx{S}{N} }$$
% \bigskip
%  
% a dosadíme do první:
%  
% $$1 = - \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} + \frac
%   {  \pderivxx{(\ln Z)}{\beta}\pderivxy{S}{N}{U} }{ \pderivxx{S}{N}  }
%    . \pderivxy{S}{U}{N}\frac{1}{k_B}$$
% \bigskip
%  
% což s vědomím toho, že druhé derivace jsou záměnné, upravíme na
%  
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -\left[\pderivxx{S}{U}\frac{1}{k_B} - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2
% \frac{1}{ \pderivxx{S}{N} }\frac{1}{k_B}\right]^{-1}$$
% \bigskip
% a dostáváme
%  
% $$\pderivxx{(\ln Z)}{\beta} = -k_B \pderivxx{S}{N}\left[ \pderivxx{S}{U}\pderivxx{S}{N}
% - \left(\pderivxy{S}{U}{N}\right)^2\right]^{-1}$$
% \bigskip
%  
% což je hledaný vztah pro fluktuaci stř. h. energie. Druhý pro počet částic nalezneme
% ze zbylých dvou rovnic analogickým postupem.
%  
% \end{remark}
%