02TSFA:Kapitola30

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 14. 2. 2011, 23:22, kterou vytvořil Tomas (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie}
\index{teorie, kinetická}
 
Toto odvození vychází přímo z Liouvillova teorému (str. \pageref{LiouTeorem}), kde jsme získali rovnost 
$$\derivx{\varrho}{t} = \pderivx{\varrho}{t} + \mathop{\rm div}(\varrho v) = \pderivx{\varrho}{t} + 
   \suma{i}{}\left[  \pderivx{\varrho}{q_i}\dot{q_i} + \pderivx{\varrho}{p_i}\dot{p_i}  \right]= 0$$
Toto je úplná derivace v zobecněných souřadnicích, tedy 6N rozměrném prostoru pro N částic. 
Pokud chceme určit polohu a rychlost jedné částice bez znalosti ostatních, tak je potřeba rozdělovací funkci $\varrho$ přeintegrovat přes stavové prostory ostatních N-1 částic. Tímto se dostaneme k jednočásticové rozdělovací funkci. Pokud přeintegrujeme Liouvilleoův teorém přes prostor N-1 částic, tak získáme rovnici, které musí daná jednočásticová rozdělovací funkce odpovídat. Zde je pro zjednodušení nutný předpoklad, že jsou rozdělovací funkce jednotlivých částic nezávislé a navíc ze symetrie úlohy platí:
$$
 \varrho_N = \produkt{i}{N} \varrho_i =  \produkt{i}{N} \varrho_{1}
$$
 
Přenormováním $\varrho_{1}$, aby integrál přes celý stavový prostor byl roven N získáme jednočásticovou 
\index{funkce, rozdělovací}\index{funkce, distribuční}\emph{distribuční (rozdělovací) funkci}  $f$
 
$$dN = \f d\vec{r} d\vec{v}$$
\bigskip
 
Tj. chceme vědět, kolik částic se
právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí
v $d^3 v$ o souřadnici $\vec{v}$. Podotkněme, že $\dr$, $\dv$ zde nejsou diferenciály 
v matematickém slova smyslu, dokonce ani nemají infinitezimální velikost. Musí 
obsahovat dostatečný počet částic, aby bylo možné aplikovat statistické zákonitosti
(řádově $10^8$). Jsou ale dostatečně malé vůči celému fázovému prostoru. Podotkněme,
že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$).
 
 A Liouvilleův teorém přejde do tvaru 
 
 $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$
 
 \bigskip
Jak již bylo zmíněno, rozdělovací funkce musí mít několik základních vlastností. Předně je normovaná a tedy
 
$$N = \integral{}{} \f \dr \dv$$
\bigskip
 
Hustota částic v daném bodě je pak rovna 
 
$$\frac{N(\vec r, t)}{V} = n(\vec r, t) = \integral{}{} f( \vec{v}, \vec{r}, t) \dv$$
\bigskip
 
Střední lokální hodnoty veličin vyjádříme jako
 
$$\left<A( \vec{r}, t)\right>  = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv}
   {\integral{}{} \f \dv}  $$
 
a toky veličin jako 
 
$$\left<\vec J_A( \vec{r}, t)\right>  = \frac{\integral{}{} \vec v A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv}
   {\integral{}{} \f \dv}  $$
 
\bigskip
 
Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně.
Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme navíc prointegrovat přes celý objem (konfigurační prostor).
 
 
\subsection{Analytický tvar rozdělovací funkce}
 
Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$.
\bigskip
%  
% Zkoumejme, co se stane, posuneme-li se v čase o $\Delta t$. Souřadnice se změní následovně:
%  
% $$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v}\Delta t$$
% $$\vec{v}' = \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t$$
% $$t' = t + \Delta t$$
% \bigskip
%  
% kde $F$ představuje nějakou vnější sílu (pole). Potom platí
%  
% $$\f \dr \dv = 
% f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t, t + \Delta t) \dr ' \dv '$$
%  
% V případě rovnosti fázových objemů $\dr \dv$ a $\dr ' \dv '$ platí i rovnost funkcí.
Pokud pomineme to, že se molekuly mohou srážet a předávat si tak energie a hybnosti (tedy budeme tvrdit, že jsou částice vzájemně nezávislé), tak z Liouvillova teorému platí
 
 $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ 
 
Tato transportní rovnice se zanedbáním srážek se nazývá \index{rovnice, Vlasovova}\emph{Vlasovova rovnice}.
Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy 
nemohl dojít do rovnovážného stavu (entropie by zůstávala konstantní). My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého.
 
 
Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli
srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}:
 
$$ \termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \pderivx{f}{t} + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$
\bigskip
 
 
kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty
vůči poloze a rychlosti. Tento vztah vyjadřuje
změny počtu částic v okolí $\vec{r}$ s rychlostí $\vec{v}$.
\bigskip
 
\subsection{Boltzmannova transportní rovnice}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}
 
Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky
tří a více částic jen málo pravděpodobné (zatímco u plazmatu je to většina). Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž 
molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy:
 
\begin{center}
\includegraphics{procesyr.pdf}
\end{center}
 
\begin{itemize}
\item Proces $R$ --- vnitřní částice opouští fázový objem
\item Proces $\bar{R}$ --- vnější částice po srážce zůstává ve fázovém objemu
 
\end{itemize}
\bigskip
 
Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že
jedna molekula opustila prostor a současně $\Delta  \bar S$ je počet takových, kdy naopak molekula zvenčí
v prostoru zůstala, bude
 
$$\Delta S = R \dr \dv dt \qquad \qquad \Delta \bar{S} = \bar{R} \dr \dv dt$$
\bigskip
 
odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu)
 
$$\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\! \dr \dv dt= \quad \Delta \bar{S} -\Delta S= (\bar{R}-R)\dr \dv dt $$ 
\bigskip
 
Vyjádřeme nyní $\bar{R}$ a $R$ pomocí zákonů srážek. Je nutné učinit následující předpoklady:
 
 
\begin{enumerate}
\item Změna počtu částic v $\dr \dv$ jenom díky srážkám
\item Partnerská částice se do do objemu  $\dr \dv$ nedostává
\item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno).
\item Zanedbáme účinek stěn nádob.
\item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez (např. polarizace).
\item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou.
Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu} nebo také, že má systém velmi krátkou paměť.
\item Diferenciální průřez je nezávislý na rychlosti
\end{enumerate}
\bigskip
 
Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $\vec v_1$
z intervalu $d \vec{v_1}  = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$,
to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž objemu se nacházejí
i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako 
na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času
je pak dán (typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$, kde $\vec{v}'$ jsou rychlosti po srážce) vzorcem
 
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)
d\Omega d^3v_2 $$
\bigskip
 
kde $\sigma$ je diferenciální účinný průřez, který je obecně závislý na prostorovém úhlu
$\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}=  \vec{v_1} -  \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy
 
$$R\dr d^3v_1  dt  = \dr d^3v_1  dt\,
\fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d\Omega d^3v_2 $$
\bigskip
 
a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme
 
$$R\dr d^3v_1  dt  =\dr d^3v_1  dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega ) 
 d\Omega d^3v_2 $$
\bigskip
 
Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, tedy $\vec{v_1}',\vec{v_2}' \quad \rightarrow \quad \vec{v_1},\vec{v_2}$, ovšem její účinný diferenciální 
průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak
 
$$\bar{R} d^3 r' d^3v_1'  dt  = d^3r' d^3v_1'  dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega ) 
  d \Omega d^3v_2'$$
\bigskip
 
kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Protože částice neopustí během srážek objem $\dr$ ($=\dr'$), dostáváme z platnosti Liouvillova teorému , že 
 
$$ d^3v_1 d^3v_2 = d^3v_1'd^3v_2'$$
 
Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$:
 
$$\termderiv{f_1}{t}{Srazky} = \quad \bar{R} - R \quad =
 \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega  d^3v_2$$
\bigskip
 
Použijeme-li již dříve zjištěného vztahu pro srážkový člen, dostáváme
 
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} = 
\left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) \fa$$
\bigskip
 
což je nelineární parciální integrodiferenciální rovnice pro výpočet $\fa$, zvaná
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}\emph{Boltzmannova transportní rovnice} (BTR).
 
\subsection{Stacionární BTR a Boltzmanův H-teorém}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní, stacionární}
 
Protože předchozí rovnice je našimi silami v podstatě neřešitelná, zjednodušme si, co můžeme.
 
\begin{enumerate}
\item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$
 
\item Systém je homogenní
 
\item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{t}=0$.
 
\end{enumerate}
\bigskip
 
 
Z těchto předpokladů plyne, že
 
\begin{equation}
 \left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} = 
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega d^3{v_2} = 0
 \label{BTR}
 \end{equation}
 
 \bigskip
 
 To je funkcionální závislost a musí platit pro každou funkci $f$ vyhovující
 předpokladům (označme ji $f_0$). Postačující podmínka pro platnost této rovnosti je
 nulovost integrandu. Protože zároveň $f_0$ nezávisí na prostorových
 souřadnicích a čase, dostáváme rovnost
 
 $$f_0(\vec{v_1}')f_0 (\vec{v_2}') - f_0(\vec{v_1})f_0(\vec{v_2}) = 0$$
 \bigskip
 
 Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující funkcionál (Boltzmanova H-funkce):
 
 $$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$
 \bigskip
 
 který nezávisí na poloze, pouze na čase. Což je praktiky záporně vzatá entropie ($S_{stat} = - k\suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma$) a zjistěme, 
 jak se v čase chová:
 
 $$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} =
 \integral{}{} \pderivx{f}{t}  ( 1 + \ln f ) \quad dv$$
\bigskip
 
Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z rovnice (\ref{BTR})
 
$$\derivx{H(t)}{t} 
= \integral{}{} ( 1 + \ln f_1)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega = 
\integral{}{} ( 1 + \ln f_2)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega $$
\bigskip
 
a z toho plyne, že
 
$$\derivx{H(t)}{t}  = \pul \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( 2 + \ln f_1 f_2 )$$
\bigskip
 
Diferenciály jsme pro přehlednost už vynechali. Jelikož zcela analogicky lze sestavit
 
$$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1 f_2 - f_1' f_2')( 2 + \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
 
a diferenciály se díky našim zjednodušením, předpokladům a výpočtům rovnají, je
 
$$\derivx{H(t)}{t}  = \ctvrt \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( \ln f_1 f _2 - \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
 
Znaménko výrazu
 
$$( f_1' f_2' - f_1 f_2) \ln \frac{f_1 f _2}{f_1' f_2'}$$
\bigskip
 
je ale vždy záporné, jak je snadné se přesvědčit. Z toho plyne, že veličina $H$ s časem
vždy klesá, a to k nějakému reálnému číslu, neboť integrál je omezený. To ale znamená,
že v čase $t \rightarrow \infty$ nabývá $H$ stacionární hodnoty a odsud plyne
nutnost podmínky
 
$$f_1' f_2' = f_1 f_2$$
\bigskip
 
Nutnost i postačujícnost této podmínky je obsahem \index{teorém,
  Boltzmannův H-teorém}\emph{Boltzmanova H-teorému} ($H$ zde znamená velké řecké písmeno $\eta)$. 
Chování veličiny H je znázorněno na grafu:
 
\begin{center}
\includegraphics{hgraf.pdf}
\end{center}
 
H-funkce se chová jako entropie, jenom entropie s časem
samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), zatímco $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi).
 
\subsection{Analytické vyjádření $f_0$}
 
Máme tedy rovnici
 
$$f_0( \vec{v_1} )f_0( \vec{v_2} ) = f_0( \vec{v_1}' )f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
 
Zlogaritmujme ji:
 
$$\ln f_0( \vec{v_1} ) + \ln f_0( \vec{v_2} ) = \ln f_0( \vec{v_1}' ) + \ln f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
 
Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy
podobu zákona zachování jisté zachovávající se veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce 
se ovšem může skládat z více částí. Obecně 
 
$$\ln f_0( \vec{v} ) = \suma{i}{}\Psi _i  (\vec{v})$$
\bigskip
 
Víme, že pro molekulu plynu jsou zachovávající se veličiny tři:
\bigskip
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[p]{rcl}
 $\Psi_1(\vec{v}) = m \vec{v}$  & ..... & Hybnost \tabularnewline[12pt]
 $\Psi_2(\vec{v}) = \pul m \vec{v}^2$  &  .....  & Energie  \tabularnewline[12pt]
 $\Psi_3(\vec{v}) = C$  &  .....  & Libovolná konstanta  \tabularnewline[12pt]
\tabularnewline[12pt]
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip
 
To znamená, že $\ln f$ bude lineární kombinací tří složek rychlosti $\vec{v}$, kvadrátu
rychlosti $\vec{v}^2$ a konstanty $C$:
 
$$\ln f( \vec{v} ) = -a( \vec{v} - \vec{v_0} )^2 + \ln C$$
\medskip
 
$$f_0(\vec{v}) = C e^{-a(\vec{v}-\vec{v_0})^2}$$
\bigskip
 
Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové
vztažné soustavě, kde je nulová. Konstantu $C$ získáme z normalizace  a konstantu $a$ například  výpočtem $\left< E \right>$ a porovnáním s $U=3/2NkT$ a máme
 
$$f_0(\vec{v}) = n(\vec r, t)\left( \frac{m}{2 \pi k T(\vec r)} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{m(v-c(\vec r))^2}{2kT(\vec r)}\right)$$
\bigskip
 
již známé Maxwell-Boltzmannovo rozdělení rychlostí. Celé toto odvozování jsme provedli
bez přítomnosti vnějšího pole. Bude-li se ale soustava v nějakém nacházet, dostaneme
 
$$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} )  . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$
 
Což lze snadno ověřit dosazením do transportní rovnice, pro $F = -\nabla_r \phi(\vec r)$.
 
 
\bigskip
 
Další zajímavý příklad je ověření, že stacionární řešení  $\left(\pderivx{f}{t}=0,\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\!\!=0\right)$ 
odpovídá také Boltzmannovu rozdělení. Nechť $F = -dV/dx$, Boltzmannova transportní rovnice pro jednorozměrný případ  pak přejde do tvaru
 
$$ v \pderivx{f}{x} - \frac1 m\derivx{V}{x}\pderivx{f}{v} = 0$$
 
Za předpokladu, že lze funkce $f$ separovat na $f(x,v) = F(x)G(v)$, tak po dosazení získáme
 
$$ v \derivx{F}{x}G- \frac1 m \derivx{V}{x}F\derivx{G}{v} = 0$$ 
 
po separaci proměnných
 
$$ \frac{dF}{FdV} = \frac1 m \frac{dG}{Gvdv}$$
 
Protože levá strana rovnosti závisí pouze na poloze a pravá strana pouze na rychlosti tak, aby se strany rovnaly pro všechny $x,v$ tak se musí rovnat nějaké konstantě, kterou označíme $-\beta$
 
$$\frac1 F \derivx{F}{V} =  -\beta \quad \rightarrow \quad F(x) = K_x\exp(-\beta V(x)) $$
$$\frac{1}{mGv}\derivx{G}{v} = -\beta \quad \rightarrow  \quad G(v) = K_v\exp(-\beta m v^2/2)$$
 
Celkově tedy $f(x,v) = F(x).G(v) = K\exp(-\beta V(x) -\beta m v^2/2 )$. Konstantu $\beta$ můžeme určit například ze střední hodnoty vnitřní energie, ale je jasné, že 
$$\beta = 1/kT$$
 
 
 
\subsection{Transportní jevy}
 
Uděláme-li rozdělovací funkci časově závislou, lze počítat hustoty toků veličin 
v prostoru a čase:
 
$$g( \vec{r}, t) = \integral{}{}A(\vec{r},\vec{v}) . \vec{v} .  \f \dv$$
\bigskip
 
Veličina může být buď identicky rovna jedné(pak počítáme transport částic), může to být
hybnost (transport tlaku), energie (transport tepla), náboj (el. proud) a další.