02TSFA:Kapitola16

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:47, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Měření Poissonovy konstanty} \index{konstanta, Poissonova, měření} Uveďme dvě zajímavé možnosti jak změřit Poissonovu konstan...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Měření Poissonovy konstanty}
\index{konstanta, Poissonova, měření}
 
Uveďme dvě zajímavé možnosti jak změřit Poissonovu konstantu.
 
\emph{Dynamická metoda} 
 
 
Vezměme nádobu s plynem opatřenou pístem. Parametry nádoby nechť jsou
známy: objem $V$, plocha dna (a tedy i pístu) $S$ a hmotnost pístu $m$. Pro tlak v nádobě $p$ platí
 
$$ p_a S + mg = p_0 S$$
\bigskip
kde $p_a$ je atmosférický tlak a $g$ gravitační zrychlení. Nechme píst vykonávat malé kmity. 
Musí být dost rychlé, aby celý proces byl adiabatický a nedocházelo při jednotlivých oscilacích 
k termalizaci s okolím. 
 
$$ p_0 = p_a + \frac{mg}{S}$$
 
je rovnovážný tlak, který je v nádobě, pokud se píst nepohybuje. Mezi rovnovážným tlakem
a okamžitým tlakem platí vztah
 
$$p V ^\varkappa = p_0 V_0 ^\varkappa$$
 
neboť kmitání je (jak jsme již řekli) adiabatický proces. Po dosazení za $p_0$
 
$$p V ^ \varkappa = \left(p_a + \frac{mg}{S}\right) V_0 ^\varkappa \quad \Leftrightarrow \quad
  p = \left( p_a + \frac{mg}{S}\right) \left(\frac{V_0}{V} \right) ^ \varkappa$$
 
Označme výchylku jako $z = \frac{V - V_0}{S}$, kde $V_0$ značí objem válce, je-li píst 
v klidu (rovnovážný objem). Protože $V = V_0 + zS$, pohybová rovnice pístu je 
 
$$m \ddot{z} = F = (p - p_0) \: . \: S = ( S p_a + mg) \left(\frac{V_0}{V_0 + zS}\right)^\varkappa-
  (S p_a + mg)$$
\bigskip
 
Pro malé výchylky lze aproximovat
 
$$ \left(\frac{V_0}{V_0 + zS}\right)^\varkappa \approx 1 - \frac{\varkappa zS}{V_0}$$
 
a dostáváme rovnici
 
$$m \ddot{z} - \frac{\varkappa S}{ V_0 } (S p_a + mg)z = 0$$
\bigskip 
 
Což je ale rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
 
$$f = \frac{1}{2 \pi } \sqrt{ \left(p_a + \frac{mg}{S}\right) \frac{S^2 \varkappa}{V_0 m} }$$
 
Z čehož vyjádříme vztah pro $\varkappa$:
 
$$\varkappa = \frac{4 \pi^2 f^2 m V_0}{p_a S^2 + mgS}$$
\bigskip
 
Změříme-li tedy frekvenci kmitání pístu, dostaneme Poissonovu konstantu.
 
 
\emph{Z rychlosti zvuku}
 
Zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí
 
$$v_z = \sqrt{\frac{1}{\varrho \varepsilon _S}}$$
 
kde $\varepsilon _S = - \frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{S}$ je adiabatická stlačitelnost.
K tomuto vzorci se dostaneme pomocí metod mechaniky kontinua následujícím způsobem:
 
\bigskip
 
Vezměme Eulerovu rovnici a rovnici kontinuity
 
$$\pderivx{\vec{v}}{t} + (\vec{v} \nabla)\vec{v} = \vec{g} - \frac{1}{\varrho} \mathop{\rm grad}(p)$$
$$\pderivx{\varrho}{t} + \nabla(\varrho \vec{v}) = 0$$
 
kde $\vec{g}$ je vnější pole (např. gravitační). Předpokládejme nyní, že vnější pole je
nulové a změny rychlosti velmi malé, tj. zanedbáme člen $(\vec{v} \nabla)\vec{v}$. Dále 
předpokládejme, že tlak a hustou lze rozepsat jako malé poruchy středních hodnot (Taylorův
rozvoj do prvních řádů):
 
$$\varrho = \varrho _0 + \varrho ' (x_i,t) = \varrho_0 + \pderivx{\varrho}{x_i}x_i$$
$$p = p _0 + p' (x_i,t) = p_0 + \pderivx{p}{x_i}x_i$$
\bigskip
 
Tyto výrazy upravíme následovně:
 
$$\varrho - \varrho _0 = \varrho ' = \pderivx{\varrho}{x_i}x_i$$
$$x_i = \frac{p - p_0}{\pderivx{p}{x_i}} = \frac{p'}{\pderivx{p}{x_i}} $$
\bigskip
 
a dosadíme druhý do prvního:
 
$$\varrho ' = \pderivx{\varrho}{x_i}\frac{p'}{\pderivx{p}{x_i}} = p' \pderivx{\varrho}{x_i}
\pderivx{x_i}{p} = p' \left(\pderivx{\varrho}{p}\right)_S$$
\bigskip
 
Vztah $p ' = \varrho' \left( \pderivx{p}{\varrho} \right)_S$ dosadíme do osekané  
Eulerovy rovnice a rovnice kontinuity
 
$$\pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho}\pderivx{p}{x_i} = 0$$
$$\pderivx{\varrho}{t} + \pderivx{\varrho v_i}{x_i} = 0$$
\bigskip
 
Nyní si jednak uvědomme, že $\varrho = \varrho_0 + \varrho '$ a tedy $d \varrho = d \varrho'$
a také si řekněme, že hustotu již znovu nebudeme derivovat, protože bychom dostali 
poruchy druhého řádu. Předpokládejme proto, že 
 
$$d \varrho = d \varrho'\:, \quad d p = d p'\:, \quad \varrho = \varrho _0$$ 
\bigskip
 
Také nezapomeňme, že $\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S$ je konstanta. Tedy dosaďme:
 
$$ \pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho_0}\pderivx{p'}{x_i} = 
\pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho_0}\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S\pderivx{\varrho'}{x_i} = 0 $$
 
$$\pderivx{\varrho '}{t} + \pderivx{\varrho _0 v_i}{x_i} = 
\pderivx{\varrho '}{t} + \varrho _0\pderivx{v_i}{x_i} = 0$$
\bigskip
 
Zajímají nás pouze změny hustoty (což je zvuk), a proto si je vyjádříme. Zderivujme první
rovnici podle $x_i$ a druhou podle $t$:
 
 
$$\pderivxy{v_i}{x_i}{t} + \frac{1}{\varrho _0}\left( \pderivx{p}{\varrho} \right)_S
  \pderivxx{\varrho '}{x_i} = 0$$
$$\pderivxx{\varrho '}{t} + \varrho _0\pderivxy{v_i}{t}{x_i} = 0$$  
\bigskip
 
Zaměňme druhé derivace $v_i$, vyjádřeme $\pderivxy{v_i}{x_i}{t}$ z jedné rovnice, dosaďme 
do druhé a získáme
 
$$ \pderivxx{\varrho '}{t} - \termderiv{p}{\varrho}{S}\pderivxx{\varrho}{x_i^2} = 0$$
\bigskip
 
což je ale vlnová rovnice, kde člen $\termderiv{p}{\varrho}{S}$ vyjadřuje čtverec rychlosti 
šíření vlny. Tedy
 
$$v_z = \sqrt{\termderiv{p}{\varrho}{S}}$$
 
Dále platí, že
 
$$\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S = \termderiv{p}{V}{S}\termderiv{V}{\varrho}{S}$$
\bigskip
 
a jelikož $\varrho = \frac{m}{V}$ a tudíž $\left(\pderivx{V}{\varrho}\right)_S = \derivx{V}{\rho} = - \frac{m}{\varrho ^2}$, 
je
 
$$\left( \derivx{p}{\varrho} \right) = - \frac{V^2}{m}\termderiv{p}{V}{} = 
-\frac{V}{\varrho}\termderiv{p}{V}{} = \frac{1}{\varrho \varepsilon _S}$$
\bigskip
 
kde $\varepsilon _S$ je adiabatická stlačitelnost. Potom
 
 
$$v_z = \sqrt{\frac{1}{\varrho \varepsilon _s}} $$
 
Máme tedy pěkný vzorec, ale nevyskytuje se v něm $\varkappa$. S tím si ale snadno
poradíme, neboť platí
 
$$\frac{1}{\varepsilon _S} = \frac{\varkappa}{\varepsilon _T}$$
 
To dokážeme z definic a pomocí jakobiánů:
 
$$\varkappa =\frac{c_p}{c_v} = \frac{T\termderiv{S}{T}{p}}{T\termderiv{S}{T}{V}} = 
 \djac{S}{p}{T}{p} \djac{T}{V}{S}{V} = $$
$$ =  \djac{T}{V}{T}{p} \djac{p}{S}{V}{S} =
 \djac{V}{T}{p}{T}\djac{p}{S}{V}{S} = \termderiv{V}{p}{T} \termderiv{p}{V}{S} 
= \frac{\varepsilon _T}{\varepsilon _S}$$   
\bigskip
 
Potom tedy
 
$$v_z = \sqrt{ \frac{\varkappa}{\varrho  \varepsilon _T}  } \qquad \Rightarrow \qquad
\varkappa = v_z^2 \varrho '\varepsilon _T$$
\bigskip
 
Změříme-li tedy rychlost zvuku v prostředí s danou hustotou a známe-li izotermickou
stlačitelnost, snadno vypočítáme $\varkappa$ tohoto prostředí.