02TSFA:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 7. 9. 2010, 12:10, kterou vytvořil Tomas (diskuse | příspěvky) (zkrácení, zjednodušení)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202014:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202010:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202017:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
 
\section{Matematický aparát}
 
\subsection{Stirlingova formule}
\index{formule, Stirlingova}
 
Víme, že ve statistice a kombinatorice často používaný objekt je faktoriál. S tím se však 
nesmírně těžko pracuje. Proto je vhodné si jej vyjádřit nějak přibližně. Vyjdeme z jeho 
logaritmu:
 
$$\ln n! = \suma{k=1}{n}\ln k$$
\bigskip
 
Pro dostatečně vysoké $n$ je možné nahradit sumu integrálem a z diskrétního problému udělat 
spojitý. Zintegrovat $\ln x$ už ale umíme:
 
$$\int \ln k \: dk= k( \ln k - 1) = k( \ln k - \ln e) = k \ln \frac{k}{e} =
\ln \left(\frac{k}{e}\right)^k$$
\bigskip
\medskip
 
Porovnáme-li výše uvedené výrazy, zjistíme, že
 
$$\ln n! \approx \ln \left(\frac{n}{e}\right)^n \qquad \Rightarrow 
\qquad n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n$$
\bigskip
 
To je tzv. \index{formule, Stirlingova}\emph{Stirlingova formule} odhadující faktoriál pro vysoká $n$. 
Přesnější odhad je $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$.
 
 
\subsection{Základní definice počtu pravděpodobnosti}  Zaveďme si potřebné pojmy počtu pravděpodobnosti:
 
\bigskip
 
\index{pravděpodobnost, klasická}\textsc{Klasická pravděpodobnost} je definována jako limita podílu
 
$$p(A) = \lim_{n \to +\infty} \frac{ n_A }{n}$$
 
kde $n$ je celkový počet pozorovaných opakování náhodného pokusu a $n_A$ počet případů příznivých jevu $A$. Pravděpodobnost $p$ udává
\index{četnost, relativní}relativní četnost výskytu jevu $A$. Tato definice je svázána s počátky rozvoje
teorie pravděpodobnosti a je již vpravdě historická, nám však bude stačit. Je ovšem použitelná jen pro
diskrétní úlohy --- ve spojitých problémech si musíme vypomoci hustotou pravděpodobnosti. Pravděpodobnost
(i ve spojitém případě) má následující vlastnosti:
 
\begin{enumerate}
 
\item $0 \leq p(A) \leq 1$
\item $p( S ) = 1 , \: p( \emptyset ) = 0$
\item $p( A \cup B) = p(A) + p(B) \qquad \text{pro}\ p(A \cap B) = 0$
 
\end{enumerate}
 
\medskip
 
kde $S$ značí jev jistý, $\emptyset$ jev vyloučený a výraz $p(A \cup B)$ pravděpodobnost toho, že
se realizuje alespoň jeden z jevů $A, B$.
 
\bigskip
 
\index{hustota, pravděpodobnosti}
\textsc{Hustota pravděpodobnosti} $\varrho$ je funkce, analogická s obyčejnou hustotou (hmotnosti). Stejně tak,
jako hustota hmotnosti hovoří o rozdělení hmoty v tělese (a hmotnost tělesa nebo
jeho části získáme integrací), tak hustota pravděpodobnosti  udává rozložení pravděpodobnosti
a pravděpodobnost toho, že nastane jev z nějaké spojité oblasti (například že $A : x \in (-1, +1))$,
získáme integrací přes tuto oblast (zde $ p(A) = \int _{-1} ^{+1} \varrho (x) dx $).
Pravděpodobnosti toho, že padnou čísla $\{ 2, 3, 4\}$ na kostce a že veličina $x$ je z intervalu
$(2, 4)$, se pak získají opticky velmi podobně:
 
$$p(A) = \suma{\gamma = 2}{4} w_\gamma \qquad \qquad p(A) = \integral{2}{4} \varrho(x) dx$$
 
V tomto případě $w_2 = w_3 = w_4 = \frac{1}{6}$, funkce $\varrho (x)$ pak má tvar podle toho,
o jaký jev se jedná. Povšimněme si, že pravděpodobnost toho, že $x=$ \emph{přesné číslo}, je ve spojitém
případě nulová. Na pravděpodobnosti základních jevů (tj. takových, která se neskládají z nějakých jiných, např.
jev: na kostce padne číslo k) lze pohlížet jako na diskrétní hustotu pravděpodobnosti.
 
\bigskip
 
Typickým  příkladem hustoty pravděpodobnosti je \index{rozdělení, Gaussovo}Gaussovo rozdělení:
 
\begin{center}
\includegraphics{Gauss.pdf}
\end{center}
 
$$\varrho(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma ^2}\right)$$
 
Takové rozdělení říká, že provedeme-li náhodný pokus, hodnota $x$ padne nejspíše někam
do okolí $\mu$.
 
Důležitou podmínkou je tzv. \index{podmínka, normovací}\emph{normovací podmínka}
 
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1 \qquad \qquad \integral{\gamma}{} \varrho(x) dx = 1$$
 
Zde $\gamma$ jde přes všechny jevy, které vůbec mohou nastat. Toto tvrzení je vcelku zřejmé --- zrealizujeme-li
pokus, pak je jisté, že některou z přípustných možností výsledku určitě uvidíme.
 
\bigskip
 
\index{hodnota, střední}\textsc{Střední hodnoty} (nebo také očekávané hodnoty) definujeme jako
 
$$\left< x \right>  = \suma{\gamma}{} x_\gamma w_\gamma $$
$$\left< x \right>  = \integral{\gamma}{} x \varrho(x) dx$$
 
Udávají nám, která oblast je pro dané rozdělení nejvýznamnější, tj kde máme s největší pravděpodobností
očekávat výsledek pokusu. Pro již zmíněné Gaussovo rozdělení je $\left< x \right>  = \mu$, což je nanejvýš názorné.
 
\bigskip
 
Střední hodnoty libovolné funkce $x$ pak definujeme jako
 
$$\left< f(x) \right>  = \suma{\gamma}{} f(x_\gamma) w_\gamma $$
$$\left< f(x) \right>  = \integral{\gamma}{} f(x) \varrho(x) dx$$
 
\bigskip
 
\index{rozptyl}\textsc{Rozptyl} (též \index{variance}varianci) definujeme jako
 
$$D(x) = \suma{\gamma}{} ( x_\gamma \: - \left< x \right> ) ^2 w_\gamma $$
$$D(x) = \integral{\gamma}{} ( x \: - \left< x \right>  ) ^2 \varrho(x) dx$$
 
resp.
 
$$D(f) = \suma{\gamma}{} ( f(x_\gamma) \: - \left< f(x) \right> ) ^2 w_\gamma $$
$$D(f) = \integral{\gamma}{} ( f(x) \: - \left< f(x) \right>  ) ^2 \varrho(x) dx$$
 
Vzhledem k vlastnostem integrálů a sum lze rozptyl vyjádřit také takto (nezapomeňte, že
$\left< x \right> $ je reálné číslo):
 
$$D(x) \: = \:  \left< (x - \left< x \right> )^2 \right>  \:  = \:  \left< x^2 - 2\left< x \right> x - \left< x \right> ^2\right>  \: =$$
$$= \: \left< x^2 \right>  - 2\left< x \right> \left< x \right>  + \left< x \right> ^2 \:  = \:  \left< x^2 \right>  - \left< x \right> ^2$$
 
Dále se zavádí tzv. \index{odchylka, směrodatná}\emph{směrodatná odchylka}:
 
$$\sigma = \sqrt{D}$$
 
 
\begin{remark}
V dalším textu budeme vždy množinu všech přípustných jevů značit $\gamma$. Nebudeme již ale 
rozlišovat, zda se jedná o diskrétní množinu (jako kostka) či kontinuum (hodnoty
fyzikálních veličin jako třeba rychlost). Všechny pravděpodobnosti budeme značit pomocí sum
a výraz
 
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma$$
 
přechází na
 
$$\integral{\gamma}{} \varrho(x) dx$$
 
je-li $\gamma$ spojité. Není-li v textu řečeno něco jiného, jsou obecně vždy přípustné obě možnosti
a závisí pak na konkrétním fyzikálním problému.
 
\end{remark}
 
Na závěr několik příkladů rozdělovacích funkcí:
 
\bigskip
 
\index{rozdělení, binomické}\textsc{Binomické rozdělení} využijeme tam, kde sledujeme jeden určitý jev, který buď nastane
s pravděpodobností $p$, nebo nenastane (s pravděpodobností $1-p$). Buď $N$ celkový počet 
pokusů. Potom pravděpodobnost toho, že uvidíme právě $n$ příznivých případů, kdy jev nastal,
bude
 
$$w(n) = \kombcislo{N}{n} p^{n} (1-p)^{N-n}$$
 
Střední hodnota počtu příznivých pokusů při binomickém rozdělení je $\left<n\right> = Np$, kde vidíme jasný vztah ke klasické definici pravděpodobnosti. Rozptyl binomického rozdělení je $D(n) = Np(1-p)$, tedy ve zvláštních případech $p=1$ (pokus vždy vyjde) a $p=0$ (pokus nevyjde nikdy) je rozptyl nulový.
 
 
\bigskip
\index{rozdělení, Poissonovo}\textsc{Poissonovo rozdělení} je limitním případem binomického rozdělení za předpokladu, že 
$p\rightarrow0$, $N\rightarrow\infty$, $p\,N\rightarrow\lambda = const$. 
Pomocí {\bf Stirlingovy formule} $n!\approx\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n $ nebo přímým limitním 
přechodem je možné binomické rozdělení upravit na následující tvar:
 
$$
   w_N (n)= \frac{\lambda^{n}}{n!}\exp(-\lambda)
$$
 
Přímým výpočtem, nebo limitním přechodem v příslušných vzorcích pro binomické rozdělení, snadno odvodíme, že střední hodnota i rozptyl náhodné veličiny $n$ jsou pro Poissonovo rozdělení rovny hodnotě parametru $\lambda$. Mějme však na paměti, že rozptyl je třeba odmocnit, pokud chceme mluvit o směrodatné odchylce!
 
 
\subsection{Vázané extrémy}
\index{extrémy, vázané}
 
V mnoha fyzikálních aplikacích se setkáváme s problémem najít extrém funkce jedné či více proměnných.
Jedná-li se o obyčejný extrém na celém definičním oboru (či podmnožině definičního oboru o stejné
dimenzi), není to nic těžkého --- stačí položit všechny parciální derivace rovny nule a vyřešit soustavu
rovnic. Úloha se však zkomplikuje, má-li uvažovaná podmnožina definičního oboru dimenzi nižší než sám
definiční obor --- chceme například znát extrém funkce vzhledem k nějaké křivce.
 
Tento problém je důkladně teoreticky rozebrán v předmětu \emph{Matematická analýza 4}. V \emph{Termodynamice a statistické fyzice} na něj ale narazíme dříve, a proto si ukažme praktický
postup, jak vázané extrémy řešit.
 
\bigskip
 
Mějme reálnou funkci 
 
$$f = f \ntice{x}{1}{n}$$
 
několika reálných proměnných. Hledejme extrém na varietě (obecně nikoliv lineární), 
která je popsána rovnicemi
 
$$ \Phi _1 \nx= 0 $$
$$ \Phi _2 \nx= 0 $$
$$ \dots $$
$$ \Phi _k \nx = 0 $$
 
Jako první krok utvoříme tzv. \index{funkce, Lagrangeova}\emph{Lagrangeovu funkci} následujícím způsobem:
 
$$\Lambda \nx = f \nx - \suma{\ell = 1}{k} \lambda _\ell \Phi _\ell \nx$$
 
Čísla $\lambda _\ell$ se nazývají Lagrangeovy multiplikátory a mohou být obecná. 
Vyčíslují se spolu s hodnotami $\nx$, nicméně jsou na nich nezávislá. Nyní 
vypočítáme všechny parciální derivace Lagrangeovy funkce a položíme je rovny 
nule. Tím jsme získali $n$ rovnic, ovšem neznámých je $n + k$, neboť máme
navíc Lagrangeovy multiplikátory. Proto přidáme ještě rovnice popisující 
varietu a tím je určena soustava $n + k$ rovnic o $n + k$ neznámých:
 
$$\pderivx{\Lambda}{x_1} = 0$$
$$\pderivx{\Lambda}{x_2} = 0$$
\medskip
$$ \dots $$
\medskip
$$\pderivx{\Lambda}{x_n} = 0$$
\bigskip
$$ \Phi _1 \nx= 0 $$
$$ \Phi _2 \nx= 0 $$
$$ \dots $$
$$ \Phi _k \nx = 0 $$
 
Tuto soustavu vyřešíme a získáme tak body $\nx$ a $\ntice{\lambda}{1}{k}$. Dále bychom určili, zda
se jedná o minimum, maximum či sedlo, to ale v této přednášce nebude třeba a tak se tím zde není
nutné zabývat.
 
\bigskip
 
\textsc{\index{příklad}Příklad.}   Mějme reálnou funkci 
 
$$f(x, y, z) = x.y + y.z + x.z$$
 
a zjistěme její extrém vázaný na povrch koule
 
$$\Phi _1 (x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0$$
 
Tedy nejprve Lagrangeova funkce:
 
$$\Lambda (x,y,z) = f(x,y,z) - \lambda \Phi _1 (x,y,z) =
x.y + y.z + x.z - \lambda( x^2 + y^2 + z^2 - 4)$$
 
a z ní soustava rovnic:
 
$$\pderivx{\Lambda}{x} = y + z - 2 \lambda x = 0$$
$$\pderivx{\Lambda}{y} = x + z - 2 \lambda y = 0$$
$$\pderivx{\Lambda}{z} = x + y - 2 \lambda z = 0$$
$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$
 
Řešme. Odečtěme od první druhou rovnici a také od druhé třetí:
 
 
$$y - x + 2 \lambda (y - x) = (y - x)(1 + 2 \lambda) = 0$$
$$z - y + 2 \lambda (z - y) = (z - y)(1 + 2 \lambda) = 0$$
$$ x + y - 2 \lambda z = 0$$
$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$
 
Prozkoumejme případ, kdy $\lambda \not= - \pul$. Potom z prvních dvou rovnic plyne, že
$x = y = z$ a z poslední pak $3 x^2 = 4 \Rightarrow x = y = z = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Nakonec můžeme spočítat $\lambda$ ze zbylé rovnice: 
 
$$\lambda = \pul \frac{x+y}{z} = \pul \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \pul 2 = 1$$
 
Otázkou zůstává, co by se stalo, kdybychom připustili, že $\lambda = - \pul$. V takovém případě
vidíme z původní soustavy, že první tři rovnice jsou závislé a soustava přejde na tvar
 
$$x + y + z = 0$$
$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$
 
Tato soustava rovnic ovšem zjevně nemá jedno řešení. Jedná se o průnik roviny s koulí
a výsledkem bude kružnice. To ovšem není ostrý extrém. Našli jsme tedy pouze body
$\frac{2}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ a $-\frac{2}{\sqrt{3}}(1,1,1)$. Lagrangeův multiplikátor lambda
už nyní není k ničemu potřebný, ve fyzikálních aplikacích může mít ale velmi konkrétní
smysl.
 
\subsection{Legendreova transformace}
\index{transformace, Legendrova}
 
Mějme funkci $f( x_i, t_j )$ několika nezávislých proměnných. Dejme tomu, že se nám její 
proměnné nelíbí a více by se nám hodily proměnné jiné, třeba $(y_i, t_j)$, 
které jsou rovněž mezi sebou nezávislé, a platí $y_i = \pderivx{f}{x_i}$ .
Přejdeme proto k nové funkci podle vztahu
 
$$g( y_i, t_j ) = f( x_i, t_j) - \suma{i}{}x_i y_i$$
 
To je vzorec pro tzv. \index{transformace, Legendrova}\emph{Legendreovu transformaci}, ve kterém je za $x_i$ provedena substituce $x_i = x_i(y_j,t_k)$, vypočtená z rovnic 
$$y_i = \pderivx{f(x_j,t_k)}{x_i} $$
 
 Prozkoumejme, co 
se stane s~diferenciály.
 
$$d g = d f - d \suma{i}{}(x_i y_i) $$
 
Pro jednoduchost sledujme pouze $i$-té a $j$-té proměnné:
 
$$d g ^{(i,j)} = \pderivx{f}{x_i}dx_i + \pderivx{f}{t_j}d t_j -
   x_i d y_i - y_i d x_i$$
 
$$d g ^{(i,j)} = y_i dx_i + \pderivx{f}{t_j}d t_j -
   x_i d y_i - y_i d x_i = \pderivx{f}{t_j}d t_j - x_i d y_i $$
 
a zároveň
 
$$d g^{(i,j)} = \pderivx{g}{y_i}d y_i + \pderivx{g}{t_j}d t_j$$
 
Porovnáme-li koeficienty, pak vidíme, že
 
$$\pderivx{f}{t_j} = \pderivx{g}{t_j}$$
 
a tedy proměnné $t_j$ mají stejný význam pro obě funkce, ovšem
 
$$x_i = - \pderivx{g}{y_i} \qquad a \qquad y_i = \pderivx{f}{x_i}$$
 
Provedeme-li transformaci ještě jednou, dostaneme opět původní funkci.
 
 
% Dále platí, že
%  
% $$\pderivx{x_k}{x_l} = \pderivx{}{x_l}\left( -\pderivx{g}{y_k} \right) = \dots$$
%  
% Funkce $\pderivx{g}{y_k}$ je funkcí proměnných $y_i$, použijeme tedy pravidlo
% řetězení a
%  
%  
% $$ \dots = - \suma{i}{}  \pderivx{}{y_i}  \termderiv{g}{y_k}{} . \pderivx{y_i}{x_l} =
%    -\suma{i}{} \pderivxy{g}{y_i}{y_k} . \pderivx{}{x_l} \termderiv{f}{x_i}{} = $$
%  
%  
% $$ = -\suma{i}{} \pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_l}{x_i}$$
%  
% a protože samozřejmě $\pderivx{x_k}{x_l} = \delta _{kl}$, platí 
%  
% $$\delta _{kl} = -\suma{i}{}\pderivxy{g}{y_i}{y_k}\pderivxy{f}{x_l}{x_i}$$
%  
% Tento výraz výhodně využijeme při odvozování vztahů mezi 
% termodynamickými proměnnými.
% Pokud jsem něco nepřehlédl, využije se v jediném místě, kde je navíc snadno nahraditelný.
% S ohledem na to se mu přikládá trochu moc důležitosti. V.P.
 
 
 
\subsection{Homogenní funkce}
\index{funkce, homogenní}
 
Mějme funkci $f = f \nx$ takovou, že platí
 
$$f \ntice{\lambda x}{1}{n} = \lambda ^k f \nx$$
 
Takové funkci říkáme \index{funkce, homogenní}\emph{homogenní funkce k-tého stupně}. Má zajímavé vlastnosti.
Zderivujeme obě strany předchozí rovnice podle $\lambda$:
 
$$\suma{i=1}{n}\pderivx{f}{(\lambda x_i)}\pderivx{(\lambda x_i)}{\lambda} = k \lambda ^ {k - 1} f \nx$$
 
což platí pro libovolné $\lambda$. Zvolme tedy $\lambda = 1$ a dosaďme jej:
 
$$\suma{i=1}{n}\pderivx{f}{x_i} x_i = k f \nx$$
 
Funkci se nám tedy podařilo vyjádřit pomocí nezávislých proměnných $x_{i}$ a parciálních derivací 
podle nich. To se hodí například při vyjadřování termodynamických potenciálů v závislosti
na látkovém množství (viz. str. \pageref{potlat}), neboť vnitřní energie $U$ je homogenní funkcí prvního stupně.
 
 
\subsection{Gaussovy integrály}
\index{integrál, Gaussův}
 
\emph{Gaussův} se nazývá každý integrál ve tvaru
 
 
$$I(n, a, b ) = \integral{-\infty}{+\infty} x^n e^{-ax^2 + bx}$$
\bigskip
 
Obecné řešení pro $I(n,a,b)$ není v principu nijak komplikované,
ale velmi, velmi pracné. Naznačíme:
 
\bigskip
Vzorec $-ax^2 + bx$ upravme na čtverec:
 
$$-ax^2 + bx = -a\left[ \left(x-\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right] = -a\left( x - \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{b^2}{4a}$$
\bigskip
 
Pro $n=0$ proveďme v integrálu substituci 
$y = \sqrt{a}(x - \frac{b}{2a})$, $\sqrt{a} \: dx = dy$:
 
$$I(0, a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}}e^{\frac{b^2}{4a^2}}\integral{-\infty}{+\infty}
   e^{-y^2}dy = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}$$
\bigskip
 
a nyní, když známe vzorec pro $I(0,a,b)$, dopracujeme se k dalším pomocí
věty o derivaci podle parametru:
 
$$\derivx{}{b}I(n,a,b) = \integral{-\infty}{+\infty} \pderivx{}{b}
x^ne^{-ax^2 + bx}dx = \integral{-\infty}{+\infty}x^{n+1}e^{-ax^2 + bx}dx = 
I(n + 1,a,b)$$
$$\derivx{}{a}I(n,a,b) = \integral{-\infty}{+\infty} \pderivx{}{a}
x^ne^{-ax^2 + bx}dx = -\integral{-\infty}{+\infty}x^{n+2}e^{-ax^2 + bx}dx = 
-I(n + 2,a,b)$$
 
 
\bigskip
 
Potom tedy
 
$$I(1,a,b) = \derivx{}{b}I(0,a,b) = \pderivx{}{b}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}=\sqrt{\pi}\frac{b}{2a^{\frac{2}{3}}}e^{\frac{b^2}{4a}}$$
$$I(2,a,b) = \derivx{}{b}I(1,a,b) = \sqrt{\pi}\left[  \frac{1}{2a^{\frac{2}{3}}}+\frac{b^2}{4a^{\frac{5}{2}}}\right]e^{\frac{b^2}{4a}}$$
$$I(2,a,b) = \derivx{}{a}I(0,a,b) = \pderivx{}{a}\left(\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\right)  = \sqrt{\pi}\left[  \frac{1}{2a^{\frac{2}{3}}}+\frac{b^2}{4a^{\frac{5}{2}}}\right]e^{\frac{b^2}{4a}}$$
\bigskip
 
a tak dále. Pro naše \uv{jednoduché} potřeby si uveďme vzorce pro prvních
několik~$n$, je-li $b = 0$. Pro $n$ liché je i integrand lichý, tedy integrál je nulový. Pro $n=0$ platí:
 
$$\integral{-\infty}{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$
% $$ \qquad \qquad
% \integral{-\infty}{+\infty} x e^{-ax^2} dx = 0$$
 \medskip
Pro vyšší $n$ se integrál spočte derivací předchozího vzorce podle parametru~$a$.
$$\integral{-\infty}{+\infty} x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{\frac{3}{2}}} 
\qquad \qquad \integral{-\infty}{+\infty} x^4 e^{-ax^2} dx = \frac{3\sqrt{\pi}}{4a^{\frac{5}{2}}}$$
%\bigskip
Další možnost řešení je převod Gaussova integrálu na Eulerovu gama funkci pomocí substituce $a x^2 = t$. Je však potřeba nejprve integrál přepsat pomocí integrace od nuly do nekonečna, abychom po substituci neintegrovali od $+\infty$ do $+\infty$. Pro lichá $n$ získáme okamžitě nulový výsledek ze stejného důvodu jako výše, zabývejme se tedy pouze sudými hodnotami.
$$
\integral{-\infty}{+\infty}x^n e^{-ax^2} dx =a^{-\frac{n+1}{2}}\integral{0}{+\infty}t^{\frac{n+1}{2}-1} e^{-t}  = a^{-\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)
$$