02TFpriklady:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TFpriklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TFprikladyAdmin 4. 9. 201510:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborAdmin 21. 6. 201106:34 header.tex
Kapitola1 editovatNewtonova mechanikaKrasejak 20. 6. 201422:59 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatLagrangeův formalismusNemecfil 29. 1. 201718:59 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatZákladní úlohy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZákladní principy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatHamiltonův formalismusTichaond 12. 3. 201416:31 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAdmin 1. 8. 201010:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpeciální teorie relativity Krasejak 21. 6. 201400:27 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 4: Základní principy mechaniky}
 
\priklad{4.2}{
Přes hřeben střechy (vrcholový úhel$2\alpha $) je nataženo nehmotné vlákno 
délky ${\bf l}$zatížené na koncích hmotnostmi $m_{1} ,m_{2} $. Kdy nastane rovnováha ?
}{
označme souřadnice obou těles: $m_{1} :[x_{1} ,z_{1} {]\; }resp.{\; }m_{2} 
:[x_{2} ,{\; }z_{2} ]$ a zvolme počátek ve vrcholu střechy přičemž kladný 
směr osy z míří proti tíhovému zrychlení
 
 nejprve si zapíšeme vazby, které tato tělesa podstupují 
 
$$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv x_{1} -z_{1} tg\alpha _{1} =0} \\ {\varphi 
_{2} \equiv x_{2} +z_{2} tg\alpha _{2} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv \sqrt{x_{1} ^{2} 
+z_{1} ^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } -{\bf l}=0} \end{array}$$ 
 
a skutečné síly, které na tělesa působí
 
$$\begin{array}{l} {\vec{F}_{1} ={\; }(0,0,-m_{1} g)} \\ {\vec{F}_{2} =(0,0,-m_{2} 
g)} \end{array}$$ 
 
problém statické rovnováhy budeme řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů 
(viz teorie), která nás v tomto případě přivede na soustavu rovnic:
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{1} +\lambda _{3} \frac{x_{1} }{\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} 
^{2} } } =0} \\ {-m_{1} g-\lambda _{1} tg{\; }\alpha _{1} +\lambda _{3} \frac{z_{1} 
}{\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } } =0} \\ {\lambda _{2} +\lambda _{3} \frac{x_{2} 
}{\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } } =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{2} tg{\; }\alpha 
_{2} +\lambda _{3} \frac{z_{2} }{\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } } =0} \end{array}$$ 
 
$$\begin{array}{l} 
{x_{1} -z_{1} tg{\; }\alpha _{1} =0} \\ {x_{2} +z_{2} tg{\; }\alpha _{2} 
=0} \\ {\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } -{\bf l}=0} 
\end{array}$$ 
 
z této soustavy si vyjádříme
 
$$\begin{array}{l} {x_{1} =z_{1} tg\alpha _{1} } \\ {x_{2} =-z_{2} tg\alpha _{2} 
} \end{array}$$ 
 
odkud plyne (z předpokladu pohybu pouze po střeše, tj. že souřadnice z jsou záporné), 
že z první a třetí rovnice dostaneme
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{1} =-\lambda _{3} \frac{z_{1} tg{\; }\alpha _{1} 
}{\sqrt{z_{1} ^{2} (1+tg^{2} \alpha _{1} )} } =-\lambda _{3} \frac{z_{1} }{\left|z_{1} 
\right|} \sin \alpha _{1} =\lambda _{3} \sin \alpha _{1} } \\ {\lambda _{2} =\lambda 
_{3} \frac{z_{2} tg{\; }\alpha _{2} }{\sqrt{z_{2} ^{2} (1+tg^{2} \alpha _{2} 
)} } =\lambda _{3} \frac{z_{2} }{\left|z_{2} \right|} \sin \alpha _{2} =-\lambda 
_{3} \sin \alpha _{2} } \end{array}$$ 
 
a druhá a čtvrtá na tvar
 
$$\begin{array}{l} {-m_{1} g-\lambda _{1} tg{\; }\alpha _{1} -\lambda _{3} \cos 
\alpha _{1} =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{2} tg{\; }\alpha _{2} -\lambda _{3} \cos 
\alpha _{2} =0} \end{array}$$ 
 
kde ještě provedeme dosazení za $\lambda _{1} {\; }a{\; }\lambda _{2} $ 
 
$$\begin{array}{l} 
{-m_{1} g-\lambda _{3} \sin \alpha _{1} {\; }tg\alpha _{1} -\lambda _{3} \cos 
\alpha _{1} =0} \\ {-m_{2} g-\lambda _{3} \sin \alpha _{2} {\; }tg\alpha _{2} 
-\lambda _{3} \cos \alpha _{2} =0} \end{array}$$ 
 
čímž po vyjádření $\lambda _{3} $ z každé rovnice dostaneme podmínku statické rovnováhy 
(pro libovolné souřadnice obou hmotných bodů svázaných pouze vazebními 
podminkami)
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{3} =-m_{1} g\cos \alpha _{1} } \\ {\lambda _{3} =-m_{2} 
g\cos \alpha _{2} } \end{array}$$ 
 
$$\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{\cos \alpha _{2} }{\cos \alpha _{1} } $$ 
}
 
\priklad{4.3}{
Dva hmotné body $m_{1} ,m_{2} $kloužou bez tření po parabole $z=-\frac{x^{2} 
}{2p} $a jsou spojeny nehmotným vláknem délky r, které prochází ohniskem paraboly $[0,0,-
\frac{p}{2} ]$. Která poloha hmotných bodů je rovnovážná ?
}{
poznamenejme, že tíhové pole má směr jako obvykle, totiž působí proti směru osy z.
 
tuto 
úlohu opět budeme řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů (hledání extrémů 
na varietách)
 
síly působící na hmotné body jsou
 
$$\begin{array}{l} {\vec{F}_{1} ={\; }(0,0,-m_{1} g)} \\ {\vec{F}_{2} =(0,0,-m_{2} 
g)} \end{array}$$ 
 
napišme vazby, podle kterých se pohyb může uskutečnit
 
$$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv \sqrt{x_{1} ^{2} +(z_{1} +{\textstyle\frac{p}{2}} 
)^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +(z_{2} +{\textstyle\frac{p}{2}} )^{2} } -r={\; 0}} 
\\ {\varphi _{2} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv 
z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ 
 
pro jednoduchost dalších výpočtů aplikací vazeb $\varphi _{2} {\; }a{
\; }\varphi _{3} $na vazbu první dostaneme
 
$$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv -z_{1} -z_{2} +p-r={\; 0}} \\ {\varphi 
_{2} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv z_{2} +\frac{x_{2} 
^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ 
 
již zmiňovanou metodou Lagrangeových multiplikátorů dostaneme rovnice
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{2} \frac{x_{1} }{p} =0} \\ {\lambda _{3} \frac{x_{2} 
}{p} =0} \\ {-m_{1} g+\lambda _{1} +\lambda _{2} =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{1} +
\lambda _{3} =0} \end{array}$$ 
 
a k této soustavě patří ještě již zmiňované vazby
 
$$\begin{array}{l} {-z_{1} -z_{2} +p-r={\; 0}} \\ {z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} 
=0} \\ {z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ 
 
ze kterých dostaneme přípustná řešení
 
\begin{tabular}{|p{0.8in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|} \hline 
$x_{1} $ & $z_{1} $ & $x_{2} $ & $z_{2} $ & $\lambda 
_{1} $ & $\lambda _{2} $ & $\lambda _{3} $ \\ \hline 
0 & 0 & $\pm \sqrt{2p(r-p)} $ & $p-r$ & $m_{2} $ & $g(m_{1} -m_{2} )$ & 0 \\ \hline 
$\pm 
\sqrt{2p(r-p)} $ & $p-r$ & 0 & 0 & 0 & $g(m_{2} -m_{1} )$ & $m_{1} $ \\ \hline 
\end{tabular}
 
poznámka: povšimněme si, že kromě velikosti vazbových sil (udané Lagrangeovými multiplikátory) nezávisí rovnovážná poloha na hmotnostech.
}
 
\priklad{4.4}{
Nehmotné vlákno délky ${\bf l}$ je položeno přes vrcholek paraboly $z=-\frac{x^{2} 
}{2p} $. Jeho konce jsou zatíženy hmotnostmi $m_{1} ,{\; }m_{2} $. Ve které poloze 
vlákna nastane rovnováha ?
}{
poznámka: k řešení tohoto příkladu, ostatně jako k mnoha dalším lze použít různé 
přístupy, znalosti a podobně - avšak i tentokrát použijeme do jisté míry (s ohledem 
na řešitelnost rovnic) univerzální Lagrangeův formalismus
 
začněme tedy tak, že popíšeme vazby, kterými se tělesa při svém pohybu řídí
 
$$\begin{array}{l} 
{\varphi _{1} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{2} \equiv z_{2} 
+\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+z'^{2} 
}  dx-{l}={\; 0}} \end{array}$$ 
 
povšimněme si na vysvětlenou vazby $\varphi _{3} $ - tato vazba vyjadřuje spojení 
obou hmotných bodů nehmotným vláknem délky ${l}$, která se docela 
snadno odvodí přes Pythagorovu větu aplikovanou na infinitesimální přírůstky $(d{
l)}^{2} =(dx)^{2} {+\; }(dz)^{2} $ - zbytek už si laskavý čtenář jistě 
domyslí sám
 
tuto vazbu si samozřejmě zjednodušíme a to následovně : ze vztahů
 
$$z=-\frac{x^{2} }{2p} ,{\; }z'=-\frac{x}{p} $$ 
 
po dosazení do vazby $\varphi _{3} $ dostaneme
 
$$\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} 
}} } dx -{l}={\; 0}$$ 
 
nyní se pustíme do hledání bodů statické rovnováhy - budeme postupovat obdobně jako 
v předchozím příkladě, a to metodou Lagrangeových multiplikátorů, čímž dostaneme 
tyto čtyři rovnice
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{1} \frac{x_{1} }{p} -\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle
\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \\ {-m_{1} g+\lambda _{1} =0} \\ {\lambda _{2} 
\frac{x_{2} }{p} +\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } =0} 
\\ {-m_{2} g+\lambda _{2} =0} \end{array}$$ 
 
matematická poznámka: $\int _{x_{1} }^{x_{2} }f'(x)dx =f(x_{2} )-f(x_{1} )$ a proto 
jsme při odvozování předchozích rovnic mohli použít $\frac{\partial }{\partial x_{1} 
} \left(\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx \right)=-
\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } $ et $\frac{\partial }{\partial 
x_{2} } \left(\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } 
dx \right)=\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } $
 
z těchto čtyř rovnic si vyjádříme
 
$$\begin{array}{l} {\lambda _{1} =m_{1} g} \\ {\lambda _{2} =m_{2} g} \end{array}$$ 
 
a 
po dosazení do zbylých dvou rovnic máme
 
$$\begin{array}{l} {m_{1} g\frac{x_{1} }{p} -\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} 
^{2} }{p^{2} }} } =0} \\ {m_{2} g\frac{x_{2} }{p} +\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle
\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \end{array}$$ 
 
odkud nakonec eliminací $\lambda _{3} $ vyplyne rovnice
 
$$\frac{m_{1} x_{1} }{\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } } +\frac{m_{2} 
x_{2} }{\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } } =0$$ 
 
to je ovšem jen jedna rovnice pro dvě neznámé - tu druhou nám zajistí dosud nepoužitá 
vazba
 
$$\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} 
}} } dx -{l}={\; 0}$$ 
 
spočtěme integrál 
 
$$\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx ={\; 
}\left\{\frac{x}{p} =\sinh \xi \right\}=\int _{\xi _{1} }^{\xi _{2} }p\cosh ^{2} 
(\xi )d\xi  =\frac{p}{4} \left[2\xi +\sinh 2\xi \right]_{\xi _{1} }^{\xi _{2} } $$ 
 
$$\xi 
=arcsinh\frac{x}{p} $$ 
 
druhá rovnice tedy bude
 
$$\frac{p}{4} \left[2arcsinh\frac{x_{2} }{p} +\sinh \left(2arcsinh\frac{x_{2} }{p} 
\right)\xi -2arcsinh\frac{x_{1} }{p} -\sinh \left(2arcsinh\frac{x_{1} }{p} \right)
\xi \right]={l}$$ 
 
kterou lze ještě nepatrně zjednodušit na
 
$$\frac{p}{2} \left[arcsinh\frac{x_{2} }{p} +\frac{x_{2} }{p} \sqrt{1+\frac{x_{2} 
^{2} }{p^{2} } } -arcsinh\frac{x_{1} }{p} -\frac{x_{1} }{p} \sqrt{1+\frac{x_{1} ^{2} 
}{p^{2} } } \right]={l}$$ 
 
a tedy rovnovážné hodnoty souřadnic $x_{1} ,{\; }x_{2} $ jsou řešením těchto 
dvou zarámovaných rovnic.
}
 
\priklad{4.5}{
Hmotný bod m je vázán na elipsu ve svislé rovině s poloosami a (vodorovná), 
b (svislá), a $<$ b. Kromě tíže g působí na bod pružina o tuhosti  k uchycená ve 
středu elipsy, jejíž rovnovážná délka $a_{0} <a$. Určete rovnovážné polohy bodu.
}{
souřadný systém zvolíme, jako obvykle, tak, střed souřadného systému umístíme přirozeně 
do středu elipsy a kladný směr osy y bude opět směřovat proti směru působení 
tíhového pole
 
vazbu v takovéto soustavě potom zachycuje rovnice
 
$$\varphi \equiv {\; }\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } -1={\; 
}0{\; }\equiv {\; }b^{2} x^{2} +a^{2} y^{2} -a^{2} b^{2} =0$$ 
 
k nalezení rovnovážných poloh použijeme opět Lagrangeův formalismus, tj. metodu 
hledání extrému funkce na varietě - stacionární bod  potenciálu U
 
vyjádřeme si potenciální energii jako
 
$$U=mgy+\frac{1}{2} k(\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )^{2} $$ 
 
hledejme tedy stacionární body této funkce dvou proměnných na varietě $\varphi$ (pomocí 
Lagrangeových multiplikátorů - viz matematická analýza)
 
$$\frac{\partial U}{\partial x} -\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial x} =k
\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } (\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )-2b^{2} x\lambda =0$$ 
 
$$\frac{
\partial U}{\partial y} -\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial y} =mg+k\frac{y}{
\sqrt{x^{2} +y^{2} } } (\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )-2a^{2} y\lambda =0$$ 
 
celkem se tedy dostáváme soustavu rovnic
 
$$x\left(1-2b^{2} \lambda -\frac{a_{0} }{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } \right)=0$$ 
 
$$y\left(1-2a^{2} \lambda -\frac{a_{0} }{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } \right)=\frac{mg}{k} $$ 
 
$$b^{2} 
x^{2} +a^{2} y^{2} -a^{2} b^{2} =0$$ 
 
tuto soustavu řeší následující dva stacionární body:
 
$$x=0,{\; \; }y=\pm b$$ 
 
a body, které jsou řešením této soustavy rovnic
 
$$x^{2} =a^{2} -\frac{a^{2} }{b^{2} } y^{2} ,{\; }kde{\; }x\ne 0$$ 
 
$$y\left(1-\frac{a_{0} }{\sqrt{a^{2} -{\textstyle\frac{a^{2} }{b^{2} }} y^{2} +y^{2} 
} } \right)=\frac{mg}{k} \frac{2b^{2} }{b^{2} -a^{2} } $$ 
 
poznámka: z poslední rovnice je vidět, že při  $\frac{m}{k} \to 0$je dalším přibližným stacionárním bodem $x=\pm b,{\; }y{\; }={\; }0$
}
 
\priklad{4.6}{
Na přímce jsou dány tři ekvidistantní elektricky nabité hmotné body s náboji $e_{1} 
,{\; }e_{2} ,{\; }e_{3} $. Určete náboje tak, aby soustava byla v udané konfiguraci 
v rovnováze a ukažte, že tato rovnováha není stabilní.
}{
statická rovnováha pro ekvidistantní náboje znamená, že podle principu virtuální 
práce (virtuálního posunutí) musí platit
 
$$\sum _{i}F_{i} \delta x_{i}  =0$$ 
 
protože naším úkolem bude zjistit, je-li tato konfigurace v takové rovnováze stabilní 
či nikoliv, vyčísleme nejdříve potenciál této soustavy
 
$$U(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} )=\frac{e_{1} e_{2} }{x_{2} -x_{1} } +\frac{e_{1} e_{3} }{x_{3} 
-x_{1} } +\frac{e_{2} e_{3} }{x_{3} -x_{2} } $$ 
 
potom síly působící v této soustavě se vyjádří
 
$$F_{i} =-\frac{\partial U}{\partial x_{i} } $$ 
 
a podmínka statické rovnováhy je pak
 
$$-\sum _{i}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } \delta x_{i}  =0$$ 
 
a protože $\delta x_{i} $ můžou být obecně lineárně nezávislá je tato podmínka 
splněna právě když
 
$$-\frac{\partial U}{\partial x_{i} } =0$$ 
 
což nás dovede v ekvidistantních bodech $x_{2} -x_{1} =x_{3} -x_{2} =a{\; ;\; 
}x_{3} -x_{1} =2a$ na soustavu rovnic
 
$$-\frac{e_{1} e_{2} }{a^{2} } -\frac{e_{1} e_{3} }{4a^{2} } =0$$ 
 
$$\frac{e_{1} e_{2} }{a^{2} } -\frac{e_{2} e_{3} }{a^{2} } =0$$ 
 
$$\frac{e_{1} e_{3} }{4a^{2} } +\frac{e_{2} e_{3} }{a^{2} } =0$$ 
 
odtud dostaneme podmínku pro rovnováhu
 
$$\begin{array}{l} {e_{1} =e_{3} =e} \\ {e_{2} =-\frac{1}{4} e_{1} =-\frac{1}{4} 
e} \end{array}$$ 
 
abychom mohli nyní rozhodnout, zda-li je tato rovnováha stabilní, je nutné zjistit, 
jestli v bodech stability potenciál U nabývá minimum.
 
pro přehlednost nyní zvolme nové souřadnice $y_{i} =x_{i} -x_{2} {\; },{\; 
}i\in \hat{3}$, tj. spojíme novou soustavu souřadnou pevně s prostředním nábojem
 
potenciál 
má nyní tvar
 
$$U(y_{1} ,y_{3} )=\frac{1}{4} e^{2} \left(+\frac{1}{y_{1} } +4\frac{1}{y_{3} -y_{1} 
} -\frac{1}{y_{3} } \right)=\frac{1}{4} e^{2} \frac{(y_{1} +y_{3} )^{2} }{y_{1} y_{2} 
(y_{3} -y_{1} )} $$ 
 
a budeme zkoumat extrém této funkce dvou reálných proměnných v bodě $[y_{1} 
=-a,y_{3} =a]$
 
$$U'(y_{1} ,y_{3} )=\frac{1}{4} e^{2} \left(\begin{array}{c} {-{\textstyle\frac{1}{y_{1} 
^{2} }} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{2} }} } \\ {{\textstyle\frac{1}{y_{3} 
^{2} }} -{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{2} }} } \end{array}\right)$$ 
 
a budeme zkoumat definitnost druhé derivace potenciálu (podrobnosti vyšetřování reálných funkcí více proměnných se dozvíte v matematické analýze)
 
$$U''(y_{1} 
,y_{3} )=\frac{1}{2} e^{2} \left(\begin{array}{cc} {{\textstyle\frac{1}{y_{1} ^{3} 
}} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } & {-{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} 
)^{3} }} } \\ {-{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } & {-{\textstyle\frac{1}{y_{3} 
^{3} }} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } \end{array}\right)$$ 
 
$$U''(-a,a)=\frac{1}{2} \frac{e^{2} }{a^{3} } \left(\begin{array}{cc} {-{\textstyle
\frac{1}{2}} } & {-{\textstyle\frac{1}{2}} } \\ {-{\textstyle\frac{1}{2}} } & {-{
\textstyle\frac{1}{2}} } \end{array}\right)$$ 
 
tato matice je indefinitní a tudíž potenciál nemá v této konfiguraci minimum a rovnováha 
je proto nestabilní
}
 
\priklad{4.9}{
Na hmotný bod vázaný na kulové ploše $\varphi \equiv x_{1} ^{2} 
+x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} -r^{2} =0$ působí konstantní gravitační síla $\vec{F}=(0,0,-mg)$. 
Určete rovnovážné polohy $(x_{i}^{o} )$a složky reakční síly $R_{i}^{o} {\; }v{
\; (}x_{i}^{o} )$.
}{
 
opět použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů a tak dostaneme podmínky 
statické rovnováhy jako
 
$$x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} -r^{2} =0$$ 
 
$$0+2\lambda x_{1} =0$$ 
 
$$0+2\lambda x_{2} =0$$ 
 
$$-mg+2\lambda x_{3} =0$$ 
 
odkud dostaneme řešení
 
$$\vec{x}^{o} =(0,0,\pm r)$$ 
 
a reakční síla v těchto bodech je
 
$$\vec{R}^{o} =(0,0,mg)$$ 
}
 
\priklad{4.10}{
Hmotný bod, na který působí konstantní gravitační síla $\vec{F}=(0,0,-mg)$ je 
vázán na dvě válcové plochy $\varphi _{1} \equiv x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} -a^{2} =0$ a $\varphi 
_{2} \equiv x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} =0$, kde $a^{2} >b^{2} >0$. Určete rovnovážné 
polohy $(x_{i}^{o} )$ a složky reakční síly $R_{i}^{o} {\; }v{\; (}x_{i}^{o} 
)$. Které rovnovážné polohy jsou stabilní ?
}{
protože budeme na konci rozhodovat o stabilitě, použijeme v tomto příkladě metodu 
hledání extrému funkce více proměnné na varietách z matematické analýzy - 
zkoumaná funkce bude potenciál U a budou nás zajímat (a) stacionární body této funkce 
vzhledem k varietám(b) v kterých bodech má tato funkce minimum vzhledem k 
varietám (v takových bodech je potom rovnováha stabilní).
 
(a) stacionární body
 
sestavme funkci
 
$$\Lambda =U-\lambda _{1} \varphi _{1} -\lambda _{2} \varphi _{2} $$ 
 
po dosazení
 
$$\Lambda =mgx_{3} -\lambda _{1} (x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} -a^{2} )-\lambda _{2} (x_{1} 
^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} )$$ 
 
a hledejme její stacionární body (tj. ${\textstyle\frac{\partial \Lambda }{\partial 
x_{i} }} =0$)
 
$$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{1} } =-2\lambda _{1} x_{1} -2\lambda _{2} 
x_{1} =0$$ 
 
$$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{2} } =-2\lambda _{2} x_{2} =0$$ 
 
$$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{3} } =mg-2\lambda _{1} x_{3} =0$$ 
 
a nezapomeňme ještě na vazbové podmínky
 
$$\Phi \equiv \left\{\begin{array}{c} {\varphi _{1} \equiv x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} 
-a^{2} =0} \\ {\varphi _{2} \equiv x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} =0} \end{array}
\right. $$ 
 
takovouto soustavu rovnic potom řeší (pro přehlednost liché indexy řešení odpovídají 
bodům majícím kladnou složku odpovídající souřadnici $x_{3} $ a sudé opačně - tj. 
body s lichými indexy jsou "nahoře" a body se sudými "dole" , budeme-li 
se orientovat podle působení tíhového pole)
 
\begin{tabular}{|p{0.8in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.8in}|p{0.8in}|p{0.8in}|p{0.7in}|} \hline 
indexy 
řešení & $x_{1} $ & $x_{2} $ & $x_{3} $ & $\lambda _{1} $ & $\lambda _{2} $ & $\vec{R}$ \\ \hline 
  & 0 & $\pm 
b$ & a & $\frac{mg}{2a} $ & 0 & $(0,0,mg)$ \\ \hline 
  & 0 & $\pm b$ & -a & -$\frac{mg}{2a} $ & 0 & $(0,0,mg)$ \\ \hline 
  & $\pm b$ & 0 & $\sqrt{a^{2} -b^{2} } $ & $\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} 
} } $ & -$\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & $(0,0,mg)$ \\ \hline 
  & $\pm b$ & 0 & -$\sqrt{a^{2} -b^{2} } $ & -$\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} 
} } $ & $\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & $(0,0,mg)$ \\ \hline 
\end{tabular}
 
kde jsme použili $\vec{R}=(2x_{1} \lambda _{1} +2x_{1} \lambda _{2} ,{\; }2\lambda 
_{2} x_{2} ,{\; }2\lambda _{1} x_{3} )$
 
(b) otázka minima ve stacionárních bodech
 
první derivaci funkce $\Lambda$ lze obecně zapsat (viz předchozí rovnice)
 
$$\Lambda '=\left(\begin{array}{c} {-2\lambda _{1} x_{1} -2\lambda _{2} x_{1} } \\ 
{-2\lambda _{2} x_{2} } \\ {mg-2\lambda _{1} x_{3} } \end{array}\right)$$ 
 
druhá derivace bude
 
$$\Lambda ''=\left(\begin{array}{ccc} {-2\lambda _{1} -2\lambda _{2} } & {0} & {0} 
\\ {0} & {-2\lambda _{2} } & {0} \\ {0} & {0} & {-2\lambda _{1} } \end{array}\right)$$ 
 
zkoumejme 
nyní definitnost v jednotlivých stacionárních bodech a to tak, že zúžíme druhou 
derivaci na tečný prostor (podrobnosti viz matematická analýza) 
 
protože  $\Phi '=\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2x_{1} } & {0} & {2x_{3} 
} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {2x_{1} } & {2x_{2} } & {0} \end{array}} \end{array}
\right)$, dostaneme v konkrétních případech
 
\begin{tabular}{|p{0.3in}|p{1.2in}|p{1.1in}|p{2.7in}|} \hline 
 & $\Phi '$ & $\Lambda ''$ & příslušná kvadratická forma \\ \hline 
  & $\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {2a} \end{array}} 
\\ {\begin{array}{ccc} {0} & {\pm 2b} & {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{a} 
\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} 
\end{array}\right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{a} \left(h,0,0\right)\left(\begin{array}{ccc} 
{-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}\right)\left(
\begin{array}{c} {h} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)=-\frac{mg}{a} h^{2} $\newline lokální 
maximum $\Rightarrow $nestabilní rovnovážná poloha \\ \hline 
  & $\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {-2a} \end{array}} 
\\ {\begin{array}{ccc} {0} & {\pm 2b} & {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{a} 
\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}
\right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{a} \left(h,0,0\right)\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} 
& {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
{h} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)=\frac{mg}{a} h^{2} $\newline lokální minimum $\Rightarrow $stabilní 
rovnovážná poloha  \\ \hline 
  & $\left(\begin{array}{ccc} {\begin{array}{c} {\pm 2b} \\ {\pm 2b} \end{array}} 
& {\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2\sqrt{a^{2} -b^{2} 
} } \\ {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(
\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}
\right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(0,h,0\right)\left(\begin{array}{ccc} 
{0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
{0} \\ {h} \\ {0} \end{array}\right)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } h^{2} $\newline lokální 
minimum $\Rightarrow $stabilní rovnovážná poloha \\ \hline 
  & $\left(\begin{array}{ccc} {\begin{array}{c} {\pm 2b} \\ {\pm 2b} \end{array}} 
& {\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}} & {\begin{array}{c} {-2\sqrt{a^{2} -b^{2} 
} } \\ {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(
\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}
\right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(0,h,0\right)\left(\begin{array}{ccc} 
{0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
{0} \\ {h} \\ {0} \end{array}\right)=-\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } h^{2} $\newline lokální 
maximum $\Rightarrow $nestabilní rovnovážná poloha \\ \hline 
\end{tabular}
 
poznámka k řešení: postup užitý v tomto příkladě není jediný možný, je však názorný z hlediska aplikace poznatků matematické analýzy
}
 
\priklad{4.11}{Pomocí d'Alembertova  principu odvoďte pohybovou rovnici matematického kyvadla.}
{
 
zavedeme 
úhel $\varphi$ jako obecnou souřadnici a pomocí něj vyjádříme všechny veličiny vystupující 
v d'Alembertově principu
 
d'Alembertův princip v kartézských souřadnicích je (kde osa y směřuje ve směru 
tíhového zrychlení)
 
$$(-m\ddot{x})\delta x+(mg-m\ddot{y})\delta y=0$$ 
 
a použijeme vzhledem k povaze matematického kyvadla transformace
 
$$\begin{array}{l} {x=r\sin \varphi } \\ {y=r\cos \varphi } \end{array}$$ 
 
kde
 
$$\begin{array}{l} {\ddot{x}=-r\dot{\varphi }^{2} \sin \varphi +r\ddot{\varphi }
\cos \varphi } \\ {\ddot{y}=-r\dot{\varphi }^{2} \cos \varphi -r\ddot{\varphi }\sin 
\varphi } \end{array}$$ 
 
a
 
$$\begin{array}{l} {\delta x=r\cos \varphi {\; }\delta \varphi } \\ {\delta y=-r
\sin \varphi {\; }\delta \varphi } \end{array}$$ 
 
transformujme d'Alembertův princip na
 
$$(mr\dot{\varphi }^{2} \sin \varphi -mr\ddot{\varphi }\cos \varphi )r\cos \varphi 
{\; }\delta \varphi -(mg+mr\dot{\varphi }^{2} \cos \varphi +mr\ddot{\varphi }
\sin \varphi )r\sin \varphi {\; }\delta \varphi =0$$ 
 
$$mr^{2} (-\ddot{\varphi }-\frac{g}{r} \sin \varphi ){\; }\delta \varphi =0$$ 
 
a 
má-li být tato rovnost splněna pro libovolné ${\; }\delta \varphi $,  dostáváme 
pohybovou rovnici matematického kyvadla
 
$$\ddot{\varphi }+\frac{g}{r} \sin \varphi =0$$ 
}
 
\priklad{4.13}{
Dvě tělesa hmotností $m_{1} ,m_{2} $ jsou spojena nehmotným vláknem délky ${
\bf l}$ klouzajícím bez tření po pevném válci o poloměru R. Určete pohyb soustavy 
pod vlivem tíže s použitím d'Alembertova principu. Vypočtěte sílu napínající vlákno.
}{
nechť 
kladný směr osy z směřuje ve směru působení tíhového zrychlení
 
zapišme vazbu mezi tělesy jako
 
$$z_{1} +z_{2} ={l}-\pi R$$ 
 
odkud plyne
 
$$\ddot{z}_{2} =-\ddot{z}_{2} $$ 
 
zapišme d'Alemberův princip
 
$$(m_{1} g-T-m_{1} \ddot{z}_{1} )\delta z_{1} +(m_{2} g-T-m_{2} \ddot{z}_{2} )\delta 
z_{2} =0$$ 
 
z kterého, má-li být tato rovnost splněna pro libovolné $\delta z_{i} $, obdržíme 
soustavu rovnic (po použití vazby)
 
$$m_{1} g-T-m_{1} \ddot{z}_{1} =0$$ 
 
$$m_{2} g-T+m_{2} \ddot{z}_{1} =0$$ 
 
snadno z této soustavy rovnic vyjádříme
 
$$T=2\frac{m_{1} m_{2} }{m_{1} +m_{2} } g$$ 
 
a 
 
$$\ddot{z}_{1} =\frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } g$$ 
 
odkud integrací dostáváme
 
$$z_{1} (t)=\frac{1}{2} \frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } gt^{2} +\dot{z}_{1}^{o} 
t+z_{1}^{o} $$ 
 
$$z_{2} (t)=-\frac{1}{2} \frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } gt^{2} -\dot{z}_{1}^{o} 
t-z_{1}^{o} +{l}-\pi R$$ 
 
4.14 Těžní klec. Lano nesoucí klec o hmotnosti M je vedeno přes kolo poloměru R a 
je taženo silou F=F(t). Pomocí d'Alembertova principu odvoďte pohybovou rovnici klece. 
Moment setrvačnosti kola hmotnosti m vyjádřete pomocí gyračního poloměru $R_{g} $, $I=mR_{g} 
^{2} $.
 
d'Alembertův princip pro tuto situaci zní
 
$$(F-Mg-M\ddot{z})\delta z+(-I\ddot{\varphi })\delta \varphi =0$$ 
 
s použitím vztahů
 
$$\ddot{\varphi }=\frac{\ddot{z}}{R} $$ 
 
$$\delta z=R\delta \varphi $$ 
 
dostáváme 
 
$$(F-Mg-M\ddot{z})\delta z+(-m\frac{R_{g} ^{2} }{R} \ddot{z})\frac{\delta z}{R} =0$$ 
 
a 
tedy
 
$$(F-Mg-M\ddot{z}-m\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \ddot{z})\delta z=0$$ 
 
odkud pohybová rovnice
 
$$\left(M+m\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \right)\ddot{z}=F-Mg$$ 
}
 
\priklad{4.15}{
Pomocí d'Alembertova principu odvoďte pohybovou rovnici rotačního tělesa ( hmotnost 
m,  poloměr R, gyrační poloměr Rg), které se valí bez klouzání po rovině nakloněné 
pod úhlem $\alpha$.
}{
d'Alembertův princip v této situaci je
 
$$(mg\sin \alpha -m\ddot{s})\delta s+(-I\ddot{\varphi })\delta \varphi =0$$ 
 
transformujeme pomocí vztahů
 
$$\delta \varphi =\frac{\delta s}{R} $$ 
 
$$\ddot{\varphi }=\frac{\ddot{s}}{R} $$ 
 
$$I=mR_{g} ^{2} $$ 
 
na
 
$$(mg\sin \alpha -m\ddot{s})\delta s+(-mR_{g} ^{2} \frac{\ddot{s}}{R} )\frac{\delta 
s}{R} =0$$ 
 
a po úpravě dostaneme
 
$$m\left[g\sin \alpha -\ddot{s}\left(1+\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \right)\right]
\delta s=0$$ 
 
odkud obdržíme pohybovou rovnici
 
$$\ddot{s}=\frac{g\sin \alpha }{1+{\textstyle\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} }} } $$ 
}
 
\priklad{4.18}{
Přesvědčete se přímým výpočtem, že změna vázanosti $Z(\ddot{x}_{i} 
)$ při změně zrychlení o $\delta \ddot{x}_{i} $ je rovna $Z(\ddot{x}_{i} +\delta 
\ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\sum _{i}(m_{i} \ddot{x}_{i} -F_{i} )\delta \ddot{x}_{i}  
+\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} (\delta \ddot{x}_{i} )^{2}  $ a tedy podle Gaussova principu $\sum 
_{i}F_{i} -m_{i} \ddot{x}_{i} )\delta \ddot{x}_{i}  =0,{\; }(\delta x_{i} =\delta 
\dot{x}_{i} =0)$Z nabývá při skutečném pohybu svého minima.
}{
veličina vázanost (nutkání) představuje
 
$$Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} \left(\ddot{x}_{i} -\frac{F_{i} }{m_{i} 
} \right)^{2}  $$ 
 
zkoumejme tedy 
 
$$Z(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}\left
\{m_{i} \left[(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )^{2} -\ddot{x}_{i} ^{2} \right]-2F_{i} 
\left[\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} -\ddot{x}_{i} \right]+\frac{F_{i} ^{2} }{m_{i} 
} -\frac{F_{i} ^{2} }{m_{i} } \right\} $$ 
 
$$Z(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} 
\left[2\ddot{x}_{i} \delta \ddot{x}_{i} +(\delta \ddot{x}_{i} )^{2} \right]-2F_{i} 
\delta \ddot{x}_{i}  =\sum _{i}\left(m_{i} \ddot{x}_{i} -F_{i} \right)\delta \ddot{x}_{i} 
  +\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} (\delta \ddot{x}_{i} )^{2}  $$ 
 
což bylo dokázati
}
 
\priklad{4.20}{
Vypočtěte hodnotu akce $S=\int _{0}^{T}L{\; }dt $pro(a) skutečný 
pohyb při volném pádu hmotného bodu hmotnosti m, $z_{a} (t)=\frac{1}{2} gt^{2} $(b) 
variovaný pohyb $z_{b} (t)=ct$, kde c je určeno podmínkou pevných konců $z_{b} 
(T)=z_{a} (T)$(c) variovaný pohyb$z_{c} (t)=at^{3} $, kde a je určeno podmínkou 
pevných konců $z_{c} (T)=z_{a} (T)$.Ukažte, že hodnota S je v případě (a) 
menší než v případech (b), (c).
}{
Lagrangeova funkce popisující volný pád je
 
$$L=\frac{1}{2} m\dot{z}^{2} +mgz$$ 
 
nejprve určíme z podmínek pevných konců konstantu c
 
$$z_{b} (T)=cT=z_{a} (T)=\frac{1}{2} gT^{2} $$ 
 
$$c=\frac{1}{2} gT$$ 
 
a konstantu a
 
$$z_{c} (T)=aT^{3} =z_{a} (T)=\frac{1}{2} gT^{2} $$ 
 
$$a=\frac{1}{2} \frac{g}{T} $$ 
 
dosazujme tedy za z(t) postupně z (a),(b) a (c) a spočítejme hodnotu akce
 
$$S_{a} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{1}{2} mg^{2} t^{2} +\frac{1}{2} mg^{2} 
t^{2} dt =\frac{1}{3} mg^{2} T^{3} $$ 
 
$$S_{b} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{1}{8} mg^{2} T^{2} +\frac{1}{2} mg^{2} 
Tt{\; }dt =\frac{3}{8} mg^{2} T^{3} $$ 
 
$$S_{c} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{9}{8} \frac{mg^{2} }{T^{2} } t^{4} 
+\frac{1}{2} \frac{mg^{2} }{T} t^{3} {\; }dt =\frac{7}{20} mg^{2} T^{3} $$ 
 
je tedy zřejmé, že skutečnému pohybu skutečně odpovídá nejmenší akce
 
což bylo dokázati a spočítati
}
 
\priklad{4.21}{
Bylo zjištěno, že hmotný bod při volném pádu s nulovou počáteční rychlostí 
urazí dráhu $z_{0} $ za dobu $t_{0} =\sqrt{\frac{2z_{0} }{g} } $. Předpokládejme, 
že pro $z\ne z_{0} $doba pádu není známa a že víme jen to, že  z(t)  závisí na  t  
podle vztahu $z(t)=at+bt^{2} $. Ukažte, že když konstanty a, b zvolíte tak, aby doba 
pádu z výšky $z_{0} $ byla $t_{0} $, pak akce $S=\int _{0}^{t_{0} }L{\; 
}dt $bude mít extrém jen při $a=0$, $b=\frac{1}{2} g$.
}{
Lagrangeova funkce popisující volný pád je
 
$$L=\frac{1}{2} m\dot{z}^{2} +mgz$$ 
 
kde ovšem 
 
$$z(t)=at+bt^{2} $$ 
 
spočítejme akci
 
$$S(a,b)=\int _{0}^{t_{0} }\frac{1}{2} m(a^{2} +2abt+b^{2} t^{2} )+mgat+mgbt^{2} 
{\; }dt =\frac{1}{6} m\left[3a^{2} t_{0} +6abt_{0} ^{2} +4b^{2} t_{0} ^{3} +3agt_{0} 
^{2} +2bgt_{0} ^{3} \right]$$ 
 
zvolme nyní konstanty a, b tak, aby 
 
$$z(t_{0} )=z_{0} =at_{0} +bt_{0} ^{2} $$ 
 
kde
 
$$t_{0} =\sqrt{\frac{2z_{0} }{g} } $$ 
 
odkud zřejmě
 
$$z_{0} =\frac{1}{2} gt_{0} ^{2} $$ 
 
celkem jsme dostali rovnici
 
$$\frac{1}{2} gt_{0} ^{2} =at_{0} +bt_{0} ^{2} $$ 
 
odkud si vyjádříme 
 
$$a=\frac{1}{2} (g-2b)t_{0} $$ 
 
nyní si můžeme pomocí tohoto vztahu vyjádřit akci už jen jako funkci jedné proměnné 
b
 
$$S(b)=\frac{1}{6} m\left[3\left({\textstyle\frac{g}{2}} -b\right)^{2} t_{0} ^{3} 
+6\left({\textstyle\frac{g}{2}} -b\right)bt_{0} ^{3} +4b^{2} t_{0} ^{3} +3\left({
\textstyle\frac{g}{2}} -b\right)gt_{0} ^{3} +2bgt_{0} ^{3} \right]=mt_{0} ^{3} \left[
\frac{3}{8} g^{2} -\frac{1}{6} gb+\frac{1}{6} b^{2} \right]$$ 
 
abychom našli extrém této funkce, musíme znát stacionární bod její derivace
 
$$S'(b_{0} )=\frac{1}{6} mt_{0} ^{3} \left[-g+2b_{0} \right]=0$$ 
 
$$b_{0} =\frac{g}{2} $$ 
 
a dopočítáme ještě
 
$$a_{0} =\frac{1}{2} (g-2b_{0} )t_{0} =0$$ 
 
což bylo dokázati
}
 
\priklad{4.22}{
Vypočtěte akci $S=\frac{1}{2} \int _{0}^{1}\dot{x}^{2} -x^{2} {\; }dt $ pro 
jednoparametrický systém trajektorií $x=x_{\varepsilon } (t)=\frac{\sin t+
\varepsilon t}{\sin 1+\varepsilon } $a vyneste závislost $S=S(\varepsilon )$ do grafu.
}{
nejprve 
si tedy spočtěme první derivaci (respektive kvadrát derivace) trajektorie 
 
$$\dot{x}_{\varepsilon } (t)=\frac{\cos t+\varepsilon }{\sin 1+\varepsilon } $$ 
 
$$\dot{x}_{
\varepsilon } ^{2} =\frac{\cos ^{2} t+2\varepsilon \cos t+\varepsilon ^{2} }{(\sin 
1+\varepsilon )^{2} } $$ 
 
$$x_{\varepsilon } ^{2} =\frac{\sin ^{2} t+2\varepsilon t\sin t+\varepsilon ^{2} 
t^{2} }{(\sin 1+\varepsilon )^{2} } $$ 
 
spočtěme tedy akci
 
$$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \int _{0}^{1}\cos ^{2} t+2\varepsilon \cos 
t+\varepsilon ^{2} -\sin ^{2} t-2\varepsilon t\sin t-\varepsilon ^{2} t^{2} dt $$ 
 
jemně 
ještě zjednodušíme
 
$$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \int _{0}^{1}\cos 2t+2\varepsilon \cos 
t+\varepsilon ^{2} -2\varepsilon t\sin t-\varepsilon ^{2} t^{2} dt $$ 
 
a ze znalostí integrálů, zvláštěpak
 
$$\int _{0}^{1}t\sin tdt =-\cos 1+\int _{0}^{1}\cos tdt =\sin 1-\cos 1$$ 
 
dostaneme
 
$$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \left(\frac{1}{2} \sin 2+2\varepsilon \sin 
1+\varepsilon ^{2} -2\varepsilon \sin 1+2\varepsilon \cos 1-\frac{1}{3} \varepsilon 
^{2} \right)$$ 
 
$$S=\frac{3\sin 1\cos 1+6\varepsilon \cos 1+2\varepsilon ^{2} }{6(\sin 1+\varepsilon 
)^{2} } $$ 
 
graf akce v závislosti na $\epsilon$  
%TODO je treba nakreslit znovu !!!
%\includegraphics[bb=0mm 0mm 208mm 296mm, width=100.9mm, height=75.7mm, viewport=3mm 4mm 205mm 292mm]{image2.eps}
}
 
 
\priklad{4.24}{
Zapište Lagrangeovu funkci a pohybové rovnice částice v poli $U(x)$, jestliže 
zavedeme "místní čas" $\tau =t-\lambda x$.
}{
Lagrangeova funkce se při přechodu k novým obecným souřadnicím a "času" 
transformuje takto
 
$$L'{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{d\tau }} ,\tau )=L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} 
,t){\; }\frac{dt}{d\tau } $$ 
 
Lagrangeova funkce v tomto případě je
 
$$L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} ,t){\; }=\frac{1}{2} m\left({\textstyle
\frac{dx}{dt}} \right)^{2} -U(x)$$ 
 
a pomocí vztahů
 
$$t=\tau +\lambda x$$ 
 
ji transformujme
 
$L'{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{d\tau }} ,\tau )=L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} 
,t){\; }\frac{dt}{d\tau } =\left[\frac{1}{2} m\left(\frac{dx}{dt} \frac{dt}{d
\tau } \frac{d\tau }{dt} \right)^{2} -U(x)\right]\left(1+\lambda \frac{dx}{d\tau 
} \right)=\frac{1}{2} m\left(\frac{dx}{d\tau } \right)^{2} \frac{1}{1+\lambda {\textstyle
\frac{dx}{d\tau }} } -\left(1+\lambda \frac{dx}{d\tau } \right)U(x)$a tedy zkráceně 
můžeme psát
 
$$L'{\; }(x,\dot{x},\tau )=\frac{1}{2} m\frac{\dot{x}^{2} }{1+\lambda \dot{x}} 
-\left(1+\lambda \dot{x}\right)U(x)$$ 
}
 
\priklad{4.25}{
Jak se transformuje Lagrangeova funkce $L=-\sqrt{1-\left(\frac{dx}{dt} \right)^{2} 
} $při přechodu k souřadnicím q a "času" $\tau $ podle vztahů $x=q\cosh \lambda +
\tau \sinh \lambda $, $t=q\sinh \lambda +\tau \cosh \lambda $ (Lorentzova transformace) 
?
}{
pomocí vztahů
 
$$\begin{array}{l} {dx=\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d\tau } \\ {dt=\sinh \lambda 
dq+\cosh \lambda d\tau } \end{array}$$ 
 
přetransformujme Lagrangeovu funkci
 
$$L'=L\frac{dt}{d\tau } =-\left(\sinh \lambda {\; }\frac{dq}{d\tau } +\cosh \lambda 
\frac{d\tau }{d\tau } \right)\sqrt{1-\left(\frac{\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d
\tau }{\sinh \lambda dq+\cosh \lambda d\tau } \right)^{2} } =$$ 
 
$$=-\sqrt{\frac{\left(\sinh \lambda dq{\; }+\cosh \lambda d\tau \right)^{2} }{
\left(d\tau \right)^{2} } \frac{\left(\sinh \lambda dq+\cosh \lambda d\tau \right)^{2} 
-\left(\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d\tau \right)^{2} }{\left(\sinh \lambda dq+
\cosh \lambda d\tau \right)^{2} } } =$$ 
 
$$=-\sqrt{\frac{sh^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} +2sh\lambda ch\lambda {\; 
}dq{\; }d\tau +ch^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} -ch^{2} \lambda \left(dq
\right)^{2} -2sh\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau -sh^{2} \lambda \left(d
\tau \right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{\sinh ^{2} \lambda 
\left(dq\right)^{2} +2\sinh \lambda \cosh \lambda {\; }dq{\; }d\tau +\cosh 
^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} -\cosh ^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} -2\sinh 
\lambda \cosh \lambda {\; }dq{\; }d\tau -\sinh ^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} 
}{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{sh^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} +2sh
\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau +ch^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} 
-ch^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} -2sh\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau 
-sh^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{
\left(d\tau \right)^{2} -\left(dq\right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } $$ 
 
a tedy konečný výsledek 
 
$L'=-\sqrt{1-\left(\frac{dq}{d\tau } \right)^{2} } $ 
}