02KVANCV:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
Řádka 54: Řádka 54:
 
\label{ex:free:p}
 
\label{ex:free:p}
 
Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané
 
Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané
vlnovou \fc í (\ref{free:x}). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice? Specifikujte výsledky pro případ $A>0$. Jak v tomto přípapě závisí na čase součin středních kvadratických odchylek polohy a hybnosti?
+
vlnovou \fc í (\ref{free:x}). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice? Specifikujte výsledky pro případ $A>0$. Jak v tomto případě závisí na čase součin středních kvadratických odchylek polohy a hybnosti?
 
\end{cvi}
 
\end{cvi}
 
\vysl
 
\vysl

Verze z 11. 9. 2019, 08:35

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVANCV

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANCVSteffy 29. 8. 201313:57
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:50
Header editovatHlavičkový souborSteffy 29. 8. 201314:15 header.tex
Kapitola1 editovatKlasická mechanika a statistická fyzikaSteffy 11. 9. 201711:14 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatde Broglieova vlnaSteffy 8. 9. 201514:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVolná částiceSteffy 13. 9. 201714:07 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPravoúhlá potenciálová jámaSteffy 11. 9. 201711:22 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatHarmonický oscilátorSteffy 8. 9. 201709:17 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMoment hybnostiStefamar 11. 9. 201908:30 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosunovací operátoryStefamar 11. 9. 201908:15 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatVýsledky měřeníStefamar 11. 9. 201908:42 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatČasový vývojStefamar 11. 9. 201908:51 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatSpinStefamar 11. 9. 201908:52 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatPoruchová teorieSteffy 11. 9. 201712:51 kapitola11.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVANCV}
 
\chapter{Výsledky měření}
 
\begin{cvi}
Elektron v atomu vodíku je v základním stavu. Jaké jsou střední hodnoty složek polohy a hybnosti elektronu? Jaká je jeho střední vzdálenost od jádra?
\end{cvi}
\navod
Vlnová funkce základního stavu elektronu je
$$
\psi(x,y,z) = C e^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}} .
$$
Snadno zjistíme, že všechny střední hodnoty složek polohy a hybnosti jsou nulové, jak lze ostatně očekávat ze symetrie vlnové funkce. Pokud jde o střední vzdálenost elektronu od jádra, musíme nejprve najít příslušnou hustotu pravděpodobnosti. Funkci $\psi(x,y,z)$ je třeba převést do sférických souřadnic, vzít absolutní hodnotu na druhou, vynásobit jakobiánem a vyintegrovat přes prostorové úhly. Hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu ve vzdálenosti $r$ od jádra je pak rovna
$$
w(r) = \frac{4}{a_0^3}r^2 e^{-\frac{2r}{a_0}} .
$$
Střední vzdálenost elektronu od jádra je
$$
\langle r\rangle_\psi = \int\limits_0^{\infty} r w(r) dr = \frac{3}{2}a_0 .
$$
 
\begin{cvi}
\label{line:x:p}
Částice na přímce je ve stavu popsaném vlnovou funkcí 
$$
\psi(x) = C e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma^2}+\frac{i}{\hbar}p_0 x}.
$$
Určete střední hodnoty a střední kvadratické odchylky polohy a hybnosti.
\end{cvi}
\vysl
$$
\langle\hat Q\rangle_\psi = x_0,\quad \Delta_\psi \hat Q = \sigma, \quad \langle\hat P\rangle_\psi = p_0,\quad \Delta_\psi \hat P = \frac{\hbar}{2\sigma}
$$
Stav tedy mimimalizuje relace neurčitosti.
 
\begin{cvi}
Ukažte, že v jednorozměrném případě podmínka
$$
[\hat A - <\hat A>_{\psi} - i\alpha(\hat B -<\hat
B>_{\psi})]\psi=0,\quad \alpha\in\mathrm{R}
$$
pro operátory $\hat A = \hat
Q,\hat B =\hat P$  je integrodiferenciální rovnicí, jejímiž jedinými
řešeními jsou funkce 
\[ \psi( x)=C\exp[-Ax^2+B x],\quad A>0 \]
\end{cvi}
\navod
Prozatím si označte $\langle \hat Q \rangle_{\psi}=x_0, \, \langle \hat P \rangle_{\psi}=p_0$ a najděte řešení patřičné diferenciální rovnice
$$x \psi - x_0 \psi - i \alpha ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi - p_0 \psi)=0  .$$
Na závěr určete vztah mezi $\alpha$, integrační konstantou a $x_0,p_0$ nalezením středních hodnot $\langle \hat Q \rangle_{\psi}$, $\langle \hat P \rangle_{\psi}$ a jejich porovnáním s $x_0,p_0$ (využijte výsledky cvičení \ref{line:x:p}).
 
 
\begin{cvi}
\label{ex:free:p}
Určete pravděpodobnostní rozdělení hybností volné částice popsané
vlnovou \fc í (\ref{free:x}). Jaká je střední hodnota a střední kvadratická odchylka hybnosti částice? Specifikujte výsledky pro případ $A>0$. Jak v tomto případě závisí na čase součin středních kvadratických odchylek polohy a hybnosti?
\end{cvi}
\vysl
Rozdělení hybností částice ve stavu $\psi$ je dáno vztahem
$$
w_\psi(\vec{p}) = |(\psi_{\vec{p}},\psi)|^2 = |\tilde\psi(\vec{p})|^2,
$$
kde $\psi_{\vec{p}}$ jsou zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti normované k $\delta$-funkci. Skalární součin je vlastně Fourierovou transformací funkce $\psi(\vec{x})$. Tu jsme počítali v příkladě (\ref{ex:vlnbal}), viz. vztah \ref{free:p}, takže máme
$$
\tilde\psi(\vec{p},t) \approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}(t-t_0)} e^{\frac{(\vec{B}-\frac{i}{\hbar}\vec{p})^2}{4A}} .
$$
Rozdělení hybností pak dostaneme stejným postupem jako v příkladě  (\ref{vlnbal:pr}). Výsledkem je Gaussovo normální rozdělení
$$
w_\psi(\vec{p}) \approx e^{-\frac{(\vec{p}-\vec{p}_0)^2}{2(\Delta p)^2}},
$$
kde střední hodnota $\vec{p}_0$ a variance $(\Delta p)^2$ hybnosti mají tvar
$$
\vec{p}_0 = \hbar\left({\rm Im}\vec{B}-\frac{{\rm Im A}}{{\rm Re A}}\ {\rm Re \vec{B}}\right),\quad (\Delta p)^2 = \frac{\hbar^2|A|^2}{{\rm Re A}}.
$$
Ani jeden z výsledků nezávisí na čase, jak lze očekávat z faktu, že pro volnou částici je hybnost integrálem pohybu. Neurčitost hybnosti je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta p_j) = (\Delta p)$.  V případě $A>0$ se vztahy zjednodušší na
$$
\vec{p}_0 = \hbar{\rm Im}\vec{B},\quad (\Delta p) =  \hbar \sqrt{A}.
$$ 
Neurčitost polohy jsme počítali v příkladě \ref{vlnbal:pr}, součin v čase $t$ je roven
$$
\left(\Delta x(t)\right)\left(\Delta p\right) = \frac{\hbar}{2}\sqrt{1+\frac{4A^2\hbar^2}{M^2}t^2} = \frac{\hbar}{2} |\chi(t)|.
$$
Pro $A>0$ tedy stav minimalizuje relace neurčitosti v čase $t=0$.
 
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi(x) = C x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné
$\half\hbar\omega$, resp. $\hbar\omega$, $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru? Čemu je rovna střední hodnota hybnosti?
\end{cvi}
\navod
Snadno zjistíme, že stav je superpozicí vlastních vektorů hamiltoniánu
$$
\psi = \frac{1}{\sqrt{3}}\psi_0 + \sqrt{\frac{2}{3}}\psi_2.
$$
Lze tedy naměřit energie $\half\hbar\omega$ a $\frac{5}{2}\hbar\omega$ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_2 = \frac{2}{3}$. Energii $\hbar \omega$ nelze naměřit (není ve spektru). Střední hodnota energie je rovna
$$
\langle\hat H\rangle_\psi = \frac{11}{6}\hbar\omega.
$$
Střední hodnotu hybnosti můžeme buď počítat přímo integrací v $x$-reprezentaci, nebo využít zápis operátoru $\hat P$ pomocí posunovacích operátorů. Výsledek je nula.
 
\begin{cvi}
Lineární oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$? Jaká je střední hodnota energie oscilátoru?
\label{koh:2}
\end{cvi}
\navod
Pravděpodobnost naměření hodnoty $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je dána výrazem $P_n = |\langle n|\alpha\rangle|^2$. S použitím vztahu $|n\rangle = \frac{\hat a_+^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle$ dostaneme pro amplitudu pravděpodobnosti
$$\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\langle 0|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}C_\alpha\int_\mathds{R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{\left(x - \sqrt{2}\alpha\right)^2}{2}} dx = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\left({\rm Im}\alpha\right)^2} e^{i\varphi_\alpha} e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$$
takže pravděpodobnost naměření energie $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ je
$$P_n = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} e^{-|\alpha|^2}.$$
Pravděpodobnost je tedy dána Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda = |\alpha|^2$. Odtud už snadno určíme střední hodnotu energie
$$
\langle\hat H\rangle_\alpha = \hbar\omega(|\alpha|^2 + \frac{1}{2}).
$$
Stejný výsledek lze získat i rozepsáním hamiltoniánu pomocí posunovacích operátorů.
 
Zvolíme-li fázi koherentního stavu jako
$$
\varphi_\alpha = {\rm Re}\alpha {\rm Im}\alpha,
$$
zjednoduší se skalární součin $\langle n|\alpha\rangle$ do tvaru
$$
\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}.
$$
Koherentní stav pak můžeme rozložit do báze vlastních vektorů hamiltoniánu způsobem
$$
|\alpha\rangle = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle.
$$
Pro tuto volbu fáze je normovací konstanta koherentního stavu rovna
$$ 
C_\alpha = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi}}e^{\frac{\alpha^2-|\alpha|^2}{2}}.
$$
\begin{cvi}
Isotropní oscilátor s vlastní frekvencí $\omega=\hbar/M$ je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi(x)=C e^{-\frac{\vec x^2}{2} + i \vec{p}\cdot\vec{x}} .
$$
S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné
$\frac{5}{2}\hbar\omega$?
\end{cvi}
\navod
Nezapomeňte, že energie $\frac{5}{2}\hbar\omega$ třírozměrného harmonického oscilátoru je degenerovaná, musíte spočítat pravděpodobnosti přechodu do jednotlivých ortogonálních vlastních stavů příslušných k této energii a pak je sečíst. Výsledná pravděpodobnost: $\frac{p^2}{2}e^{-\frac{p^2}{2}}$.
 
\begin{cvi}
Nechť \cc e je popsána vlnovou \fc í
$$
\psi(x,y,z) = (2x + y + z)\exp (-\alpha\sqrt{x^2+y^2+z^2}).
$$
Jaké hodnoty kvadrátu momentu hybnosti můžeme naměřit? Jaké hodnoty $z$-ové složky momentu hybnosti můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jakou vlnovou funkcí popíšeme stav částice, pokud naměříme hodnotu $L_z=\hbar$?
 
Návod: zapište $\psi$ pomocí kulových \fc í.
\end{cvi}
\navod
Převeďte vlnovou funkci do sférických souřadnic. Funkce má tvar $f(r) \Psi(\theta,\varphi)$. Úhlová část vlnové funkce je lineární kombinací kulových funkcí s $l=1$
$$
\Psi = \frac{2+i}{2\sqrt{3}} Y_{1-1} + \frac{1}{\sqrt{6}} Y_{10} - \frac{2-i}{2\sqrt{3}} Y_{11},
$$
lze tedy naměřit jen $l=1$. Projekce momentu hybnosti do osy $z$ mohou nabývat hodnot $L_z = -\hbar,0,\hbar$, s pravděpodobnostmi
$$
P_{-1} = \frac{5}{12},\quad P_0 = \frac{1}{6},\quad P_1 = \frac{5}{12}.
$$
Po naměření hodnoty $L_z=\hbar$ stav částice popíšeme vlnovou funkcí
$$
g(r,\theta,\varphi) = Y_{11}(\theta,\varphi)e^{-\alpha r}.
$$
 
\begin{cvi}
Nechť částice je ve stavu popsaném vlnovou
\fc í
$$
\psi=(4\pi)^{-1/2} (e^{i\varphi}\sin\theta+\cos\theta )g(r).
$$
Jaké hodnoty $L_z$ můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota $L_z$ v tomto stavu? Jaká je střední hodnota $x$-ové složky momentu hybnosti?
\end{cvi}
\navod
Úhlová část vlnové funkce je superpozice kulových funkcí $Y_{11}$ a $Y_{10}$. Lze tedy naměřit $L_z=0$ a $L_z = \hbar $ s pravděpodobnostmi $P_0 = \frac{1}{3}$ a $P_1 = \frac{2}{3}$. Střední hodnota $L_z$ je $\frac{2}{3}\hbar $. Pro výpočet střední hodnoty $x$-ové složky momentu hybnosti je vhodné rozepsat $\hat{L}_x$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_{\pm}$ (viz. cvičení \ref{shift:L}). Výsledek je $\langle\hat{L}_x\rangle_\Psi = -\frac{2}{3}\hbar$.
 
 
 
 
 
 
\begin{cvi}
Uvažujte systém s Hilbertovým prostorem ${\mathcal H} = \mathds{C}^3$ a hamiltoniánem $\hat H$ daným maticí
$$
H = \varepsilon \left(
                       \begin{array}{ccc}
                         0 & i & 0 \\
                         -i & 0 & 0 \\
                         0 & 0 & -1 \\
                       \end{array}
                     \right).
$$
Systém je ve stavu popsaném vektorem 
$$
|\psi\rangle = \frac{1}{2} (1-i,i,1)^T .
$$
Jaké hodnoty energie můžeme naměřit a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota energie?
\end{cvi}
 
\navod
Spektrum  $\hat H$ tvoří vlastní čísla $E_1 = \varepsilon,\quad E_2 = E_3 = -\varepsilon$, příslušné vlastní vektory jsou
$$
|\phi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
                   \begin{array}{c}
                     i \\
                     1 \\
                     0 \\
                   \end{array}
                 \right),\quad |\phi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(
                   \begin{array}{c}
                     -i \\
                     1 \\
                     0 \\
                   \end{array}
                 \right),\quad |\phi_3\rangle = \left(
                   \begin{array}{c}
                     0 \\
                     0 \\
                     1 \\
                   \end{array}
                 \right).
$$
Můžeme tedy naměřit energii $\varepsilon$ nebo $-\varepsilon$ s pravděpodobnostmi
\begin{eqnarray}
\nonumber  p(E=\varepsilon) & = & |\langle\phi_1|\psi\rangle|^2 = \frac{1}{8},\\
\nonumber  p(E=-\varepsilon) & = & |\langle\phi_2|\psi\rangle|^2 + |\langle\phi_3|\psi\rangle|^2 = \frac{7}{8}.
\end{eqnarray}
Střední hodnotu energie můžeme spočítat dvěma způsoby
$$
\langle \hat H \rangle_\psi = \langle\psi|\hat H|\psi\rangle, \quad {\rm resp.}\quad   \langle \hat H \rangle_\psi = p(E=\varepsilon) \varepsilon + p(E=-\varepsilon) (-\varepsilon),
$$
výsledek je $\langle \hat H \rangle_\psi = -\frac{3}{4}\varepsilon$.