02KVAN:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (drobné formální úpravy)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Systémy více částic}
+
\chapter{Zobecněné vlastní funkce}
 +
\ll{zobvlf}
  
Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních
+
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled
systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku,  
+
jednoduchý. Podmínka
jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu.
+
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee
V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb.
+
dává diferenciální rovnice
 +
\be
 +
-i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3,  
 +
\ee
 +
které mají řešení
 +
\be
 +
\phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vex}. \ll{zvfoh}
 +
\ee
 +
Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné
 +
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.
  
Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické,  velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém
+
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra
\cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých
+
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$,
vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě
+
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.
\cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme
+
rozlišitelné.
+
  
{\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi.
+
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor}  $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce}, pro něž platí: $\psi\in$ \qintspace{}
Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou
+
a
\cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.}
+
 
+
Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení
+
\uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc
+
{} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných
+
týkajících se jednotlivých \cc.
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
\subsection{Systémy rozlišitelných \cc}
+
Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou
+
bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt
+
druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i
+
v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {}
+
dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$
+
a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$.
+
 
+
To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í
+
proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na
+
stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá
+
žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému.
+
 
+
Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci
+
\[
+
  \psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L^2(\R^{3N},\d^{3N}x)
+
\]
+
a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru}
+
\[
+
  \mathcal{H} = L^2(\R^{3N},\d^{3N}x).
+
\]
+
Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že
+
\[
+
  L^2(\R^{3N},\d^{3N}x) = L^2(\R^{3},\d^{3}x) \ox L^2(\R^{3},\d^{3}x) \ox \cdots \ox L^2(\R^{3},\d^{3}x)
+
\]
+
\[
+
  \Leftrightarrow \ \Hil = \overline{\Hil_1\ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N},
+
\]
+
kde ${\Hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze
+
v~$\Hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N} ~|~ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde
+
\[
+
  e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
+
    := e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N)
+
\]
+
je rovněž ortonormální bazí v~$\Hil_1 \ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N$.
+
 
+
Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\Hil_j$, tzn.
+
\[
+
  \hat{A}_j = \underbrace{\uni\ox\uni\ox\cdots\ox\uni}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\uni\ox\cdots\ox\uni
+
\]
+
se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice
+
$\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl \ox \uni \ox \cdots \ox \uni \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl_1.$ Podobným způsobem
+
lze definovat vícečásticové operátory.
+
 
+
Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je
+
třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí
+
vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem
+
jednočásticových prostorů \qintspace $\otimes \C^{2}$.
+
\[
+
  \Hil = \Hil _1 \ox \Hil_2 \ox \cdots \ox \Hil_N = L^2(\R^{3N},\d^{3N}x) \ox \C^{2^N}.
+
\]
+
Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem
+
 
\be
 
\be
   (\psi,\phi)
+
   \norm{\psi}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty
    := \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}}
+
  \ll{prryubfci}
      \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
+
      \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N)
+
      \d^{3N}x.
+
 
\ee
 
\ee
 +
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathscr{S}(\R^3)$  je, že Fourierova transformace
 +
\be
 +
\widetilde \psi(\vec{p}) \equiv (\mathcal{F}\psi)(\vec{p})= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \psi(\vex)\,d^3x
 +
\ll{Fourier}
 +
\ee
 +
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar
 +
\be
 +
\psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}^{-1}\widetilde{\psi})(\vex) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \widetilde \psi(\vec p)\,d^3k,
 +
\ll{invFourier}
 +
\ee
 +
odkud snadno dostaneme, že platí
 +
\begin{equation}
 +
  \label{FfFg}
 +
  (\mathcal{F}\psi,\mathcal{F}\phi)=(\psi,\phi)
 +
\end{equation}
  
\bc
+
Pro $\psi\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součin} $(\phi_{\vec{p}},\psi)$ stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}
  Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar
+
  \[
+
    \hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3).
+
  \]
+
  Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin.
+
\ec
+
 
+
 
+
 
+
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce}
+
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na
+
rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc,
+
popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem.
+
 
+
Zavedením nových proměnných
+
 
\be
 
\be
   \vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2
+
   (\phi_{\vec{p}},\psi) = A^* \int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex}\psi(\vex)\,d^3x = A^*({2\pi\hbar})^{\frac{3}{2}}(\mathcal{F}\psi)(\vec{p}),
   \ll{nsour}
+
   \ll{psip}
 
\ee
 
\ee
dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru
+
neboť tento integrál je Fourierovou transformací \fc e $\psi$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Zobecněné vlastní funkce hybnosti tak můžeme chápat jako temperované distribuce, tj. spojité lineární funkcionály na prostoru testovacích funkcí $\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro
 +
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}\in \mathscr S(\R^3)^*$ má tvar
 
\be
 
\be
   L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex).
+
   (\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(\psi)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},\psi)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j \psi)=p_j(\phi_{\vec{p}},\psi)=p_j\Phi_{\vec{p}}(\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3)
 +
  \ll{rceprophip}.
 
\ee
 
\ee
Kanonicky sdružené hybnosti jsou
+
Její řešení má tvar \rf{zvfoh}. Tyto funkce pak nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Dá se ukázat, že je můžeme libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace.
\begin{align}
+
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou
  \vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\
+
hybností.
  \vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2}
+
\end{align}
+
a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí
+
\be
+
  H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}^{\,2}+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}).
+
\ee
+
Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$  pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště
+
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$.
+
  
\textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i
+
\bc
systému jako \fc i nových souřadnic
+
  Nechť
 
\be
 
\be
  \Psi(\vec{X},\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)),
+
\label{aprox:p}
 +
    \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{\frac{i}{\hbar} p' x}=Ae^{\frac{i}{\hbar} px}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}.
 
\ee
 
\ee
pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací
+
  Ukažte, že platí
\begin{align}
+
  $$
  \frac{\pd}{\pd X_j} &= \frac{\pd}{\pd x_{1,j}}+\frac{\pd}{\pd x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\
+
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\phi_{p,\epsilon},\psi) = A^*\sqrt{2\pi\hbar}\,\widetilde\psi(p),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
  \frac{\pd}{\pd x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\pd}{\pd x_{1,j}}-m_1\frac{\pd}{\pd x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2}
+
$$
\end{align}
+
\ec
která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}.
+
  
\textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc
+
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
 
\be
 
\be
   \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\lapl_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\lapl_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2)
+
   \frac{1}{(2\pi\hbar)^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}{\vec{p}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=\delta(\vex-\vec{y}).
 
\ee
 
\ee
transformací \rf{nsour} přejde na tvar
+
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ platí
 
\be
 
\be
   \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\lapl_X -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl_x + \hat V(\vex),
+
   (\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').
 +
  \ll{dnormp}
 
\ee
 
\ee
který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a
+
Pro tuto volbu konstanty $A$ je skalární součin \rf{psip} přímo roven Fourierově transformaci funkce $\psi$. Můžeme pak odvodit následující identitu
druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$.
+
$$
 +
\psi(\vec{x}) = \int_{\R^3} (\phi_{\vec{p}},\psi)\, \phi_{\vec{p}}(\vex)\, d^3p,
 +
$$
 +
která připomíná rozklad vektoru do ortonormální báze.
  
Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro
+
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice
Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu
+
a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$.
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
\subsection{Skládání momentů hybnosti}
+
\def\lj{{\hat L^{(1)}}}
+
\def\l2{{\hat L^{(2)}}}
+
\def\hj{{\hat J}}
+
V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých
+
složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze
+
celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost
+
problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve
+
vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$.
+
 
+
Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$,
+
$m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i
+
$\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$
+
představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak
+
můžeme popsat vlnovou \fc í
+
 
\[
 
\[
   \psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2).
+
   \hat{Q}_j\psi=a_j\psi,\ j=1,2,3
 
\]
 
\]
Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro
+
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=a_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i. V rámci distribucí ale rovnice má řešení, je jím Diracova $\delta$-funkce  
který platí
+
\begin{align}
+
  (\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\
+
  (\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\
+
    \lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}  \label{lmlm3} \\
+
    \l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4}
+
\end{align}
+
Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit
+
\textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í?
+
 
+
Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze
+
na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$
+
komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že
+
 
\be
 
\be
  [\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m.
+
\delta_{\vec{a}}(\vec{x}) = \delta(\vec{x}-\vec{a}),
 +
\ll{zvfop}
 
\ee
 
\ee
Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$
+
která působí na testovací funkce $\psi\in\mathscr S(\R^3)$  způsobem
a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že
+
$$
 +
(\delta_{\vec{a}},\psi) = \psi(\vec{a}).
 +
$$
 +
Snadno ověříme, že skutečně platí
 +
\be\ll{vlfceQ}
 +
  (\hat{Q}_j \delta_{\vec{a}},\psi) = (\delta_{\vec{a}},\hat{Q}_j \psi) = a_j(\delta_{\vec{a}},\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3).
 +
\ee
 +
Podobně jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh} i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze libovolně přesně aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{}.
 +
 
 +
\bc
 +
  Nechť
 
\be
 
\be
  [\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0,
+
\label{aprox:x}
 +
    \delta_{a,\varepsilon}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-a|>\varepsilon$} \\ \\ \dfrac{1}{2\varepsilon} & \text{ pro $|x-a|\leq \varepsilon$} \end{cases}
 
\ee
 
\ee
takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné
+
Ukažte, že platí
množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to,
+
$$
že splňuje rovnice
+
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\delta_{a,\varepsilon},\psi) = \psi(a),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
\begin{align}
+
$$
  (\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\
+
\ec
  (\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\
+
    \hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\
+
    \hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4}
+
\end{align}
+
Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti
+
jednotlivých \cc.
+
  
V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$.
+
Analogicky vztahu \rf{dnormp} platí rovnost
Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}.
+
K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule
+
\begin{equation}
+
  \hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+,
+
  \label{jjll}
+
\end{equation}
+
kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že
+
$\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$.
+
 
+
Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů
+
\[
+
\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2
+
\]
+
působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří
+
tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.)
+
 
+
V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů
+
$\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory.
+
Jeden z~nich je
+
% \begin{align}
+
%  \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}
+
%    &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\
+
%    &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\
+
%    &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2}
+
%        + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
+
% \end{align}
+
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
+
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad
+
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\
+
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\
+
    &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2}
+
        + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right).
+
\end{IEEEeqnarray}
+
O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž
+
\[
+
  \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}}
+
    \left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right),
+
\]
+
lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$.
+
Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$.
+
 
+
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots.,
+
j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů
+
s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z
+
jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je
+
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin}
+
(2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2,
+
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$.
+
 
+
Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně
+
ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze
+
$(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a
+
$m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}.
+
 
+
Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným
+
momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi
+
spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=\half$ a hledat tak stavy
+
částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm\half$.
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
 
+
\subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip}
+
Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné
+
\cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů.
+
 
+
Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu,
+
který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami
+
 
\be
 
\be
   \hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots
+
   (\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}'),
   \ll{ab12}
+
   \ll{dnormx}
 
\ee
 
\ee
Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné
+
tedy i zobecněné vlastní funkce polohy jsou normalizovány k $\delta$-funkci. Identity \rf{dnormp} a \rf{dnormx} je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit
+
 
 +
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice
 +
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice
 +
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e
 
\be
 
\be
  \hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots
+
\label{zobec:coulomb}
 +
  \phi_{klm}(r,\theta,\varphi) =R_{kl}(r) Y_{lm}(\theta,\varphi),
 
\ee
 
\ee
Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$ jsou určeny jednoznačně až na
+
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a
konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že
+
 
\be
 
\be
   \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2),
+
   R_{kl}(r)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)
   \ll{asymvlnfce}
+
   \ll{zovlfcecoul}.
 
\ee
 
\ee
takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů.
+
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
 
+
Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi
+
vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými
+
\fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}.
+
 
+
V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách
+
$\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony.
+
Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze
+
diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$,
+
$j\neq k$.
+
 
+
Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive
+
antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako
+
existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické.
+
Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak
+
 
\[
 
\[
   \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1),
+
   \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr
 
\]
 
\]
ale současně
+
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee
\[
+
kde $K_{kl}$ je konstanta.
  \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1),
+
\]
+
takže $C_1=C_2$.
+
  
Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové
+
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta. Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.
\fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak
+
\[
+
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1)
+
\]
+
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně
+
\[
+
  \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2)
+
    := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1)
+
\]
+
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do
+
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm \half)$.
+
 
+
Obecně Hilbertovy prostory stavů $\Hil^S$, $\Hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či
+
antisymetrických \fc í z~$L^2(\R^{3N},\d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$.
+
 
+
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
+
\be
+
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N)
+
    := \sum_{\pi\in S_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N})
+
  \ll{bosvlf}
+
\ee
+
a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je
+
\begin{multline}
+
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
+
    := \sum_{\pi\in S_N} \sgn \pi\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1})
+
      \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}),
+
  \ll{antisym}
+
\end{multline}
+
kde $S_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\sgn\pi$ je znaménko permutace $\pi$. Antisymetrickou vlnovou
+
\fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant}
+
\begin{multline}
+
  \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\
+
    = \det\left(
+
      \ba{cccc}
+
        \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\
+
        \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\
+
                                &                          & \ddots & \\
+
        \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\
+
      \ea \right).
+
  \ll{slaterd}
+
\end{multline}
+
 
+
Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\Hil^S$ nebo $\Hil^A$. Znamená
+
to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli
+
konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto
+
vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$
+
\be
+
  P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N})
+
\ee
+
 
+
Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické
+
vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento
+
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu.
+
 
+
Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L^2(\R^{3},\d^3x)$, resp.~$L^2(\R^{3},\d^{3}x)\ox\C^{2}$,
+
pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru
+
$\Hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\Hil^A$ popisující soustavu fermionů.
+
 
+
\bc
+
  Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$\half$ v~poli
+
  harmonického oscilátoru.
+
\ec
+
\bc
+
  Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace).
+
\ec
+

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:58

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Zobecněné vlastní funkce}
\ll{zobvlf}
 
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled
jednoduchý. Podmínka
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee
dává diferenciální rovnice
\be 
-i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, 
\ee
které mají řešení
\be 
\phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vex}. \ll{zvfoh} 
\ee
Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.
 
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$,
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.
 
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor}  $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce}, pro něž platí: $\psi\in$ \qintspace{}
a
\be
  \norm{\psi}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty
  \ll{prryubfci}
\ee
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathscr{S}(\R^3)$  je, že Fourierova transformace
\be 
\widetilde \psi(\vec{p}) \equiv (\mathcal{F}\psi)(\vec{p})= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \psi(\vex)\,d^3x 
\ll{Fourier}
\ee
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar
\be 
\psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}^{-1}\widetilde{\psi})(\vex) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex} \widetilde \psi(\vec p)\,d^3k, 
\ll{invFourier}
\ee
odkud snadno dostaneme, že platí
\begin{equation}
  \label{FfFg}
  (\mathcal{F}\psi,\mathcal{F}\phi)=(\psi,\phi)
\end{equation}
 
Pro $\psi\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součin} $(\phi_{\vec{p}},\psi)$ stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}
\be
  (\phi_{\vec{p}},\psi) = A^* \int_{\R^3} e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot \vex}\psi(\vex)\,d^3x = A^*({2\pi\hbar})^{\frac{3}{2}}(\mathcal{F}\psi)(\vec{p}),
  \ll{psip}
\ee
neboť tento integrál je Fourierovou transformací \fc e $\psi$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Zobecněné vlastní funkce hybnosti tak můžeme chápat jako temperované distribuce, tj. spojité lineární funkcionály na prostoru testovacích funkcí $\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}\in \mathscr S(\R^3)^*$ má tvar
\be
  (\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(\psi)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},\psi)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j \psi)=p_j(\phi_{\vec{p}},\psi)=p_j\Phi_{\vec{p}}(\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3)
  \ll{rceprophip}.
\ee
Její řešení má tvar \rf{zvfoh}. Tyto funkce pak nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Dá se ukázat, že je můžeme libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace.
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou
hybností.
 
\bc
  Nechť
\be
\label{aprox:p}
    \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{\frac{i}{\hbar} p' x}=Ae^{\frac{i}{\hbar} px}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}.
\ee
  Ukažte, že platí
  $$
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\phi_{p,\epsilon},\psi) = A^*\sqrt{2\pi\hbar}\,\widetilde\psi(p),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
$$
\ec
 
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
\be
  \frac{1}{(2\pi\hbar)^3} \int_{\R^3} e^{\frac{i}{\hbar}{\vec{p}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=\delta(\vex-\vec{y}).
\ee
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$ platí
\be
  (\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').
  \ll{dnormp}
\ee
Pro tuto volbu konstanty $A$ je skalární součin \rf{psip} přímo roven Fourierově transformaci funkce $\psi$. Můžeme pak odvodit následující identitu
$$
\psi(\vec{x}) = \int_{\R^3} (\phi_{\vec{p}},\psi)\, \phi_{\vec{p}}(\vex)\, d^3p,
$$
která připomíná rozklad vektoru do ortonormální báze.
 
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice
\[
  \hat{Q}_j\psi=a_j\psi,\ j=1,2,3
\]
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=a_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i. V rámci distribucí ale rovnice má řešení, je jím Diracova $\delta$-funkce 
\be
\delta_{\vec{a}}(\vec{x}) = \delta(\vec{x}-\vec{a}),
\ll{zvfop}
\ee
která působí na testovací funkce $\psi\in\mathscr S(\R^3)$  způsobem
$$
(\delta_{\vec{a}},\psi) = \psi(\vec{a}).
$$
Snadno ověříme, že skutečně platí
\be\ll{vlfceQ}
  (\hat{Q}_j \delta_{\vec{a}},\psi) = (\delta_{\vec{a}},\hat{Q}_j \psi) = a_j(\delta_{\vec{a}},\psi),\quad \forall \psi\in\mathscr S(\R^3).
\ee
Podobně jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh} i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze libovolně přesně aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{}. 
 
\bc
   Nechť
\be
\label{aprox:x}
    \delta_{a,\varepsilon}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-a|>\varepsilon$} \\ \\ \dfrac{1}{2\varepsilon} & \text{ pro $|x-a|\leq \varepsilon$} \end{cases}
\ee
Ukažte, že platí
$$
\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0} (\delta_{a,\varepsilon},\psi) = \psi(a),\quad \forall\psi\in \mathscr S(\R).
$$
\ec
 
Analogicky vztahu \rf{dnormp} platí rovnost
\be
  (\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}'),
  \ll{dnormx}
\ee
tedy i zobecněné vlastní funkce polohy jsou normalizovány k $\delta$-funkci. Identity \rf{dnormp} a \rf{dnormx} je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
 
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e
\be
\label{zobec:coulomb}
  \phi_{klm}(r,\theta,\varphi) =R_{kl}(r) Y_{lm}(\theta,\varphi),
\ee
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a
\be
  R_{kl}(r)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)
  \ll{zovlfcecoul}.
\ee
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
\[
  \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr
\]
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee
kde $K_{kl}$ je konstanta.
 
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta. Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.