Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Funkce náhodných veličin}
\begin{lemma}
Nechť $S\subset\R^n$ tak, že
$\{\omega|(X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))\in S\}\in\A$. Pak
\[P((x_1,\dots,x_n)\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf t)
\,\d t_1\cdots\d t_n.\]
\end{lemma}
\begin{theorem}
Nechť $\mathbf X$ má SASR, $g:\R^n\mapsto\R^n$ je regulární a prosté
zobrazení na otevřené množině $G$ takové, že $\int_G f_{\mathbf
X}=1$. Označme $\mathbf Y=g(\mathbf X)$. Pak $\mathbf Y$ má SASR,
$P(\mathbf X\in G)=1$ a platí
\[f_{\mathbf Y}(\mathbf y)=f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y))
\abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}.\]
\begin{proof}
\[
\begin{split}
F_{\mathbf Y}(v_1,v_2,\dots,v_n)&=P(Y_1\le v_1,\dots,Y_n\le v_n)=\\
&=P(g_1(\mathbf X)\le v_1,\dots,g_n(\mathbf X)\le v_n)=\\
&=P(\mathbf X\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf x)
\,\d\mathbf x=\\
&=\int_{-\infty}^{v_1}\cdots\int_{-\infty}^{v_n}f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y))
\abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}\,\d\mathbf y,
\end{split}
\]
kde $S=\{\mathbf x|(\forall j)(g_j(\mathbf x)\le v_j)\}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $(X,Y)$ nezávislé n. v. se SASR $f_{X,Y}$, $Z=(X+Y)$. Pak
\[f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\d x.\]
\begin{proof}
Definujeme transformaci $x=v$, $y=z-v$. Potom $\abs{\J}=1$,
$f_{V,Z}(v,z)=f_{X,Y}(z,z-v)$,
\[
f_Z(z)=\int_\R f_{X,Y}(v,z-v)\,\d v=\int_\R f_X(v)f_Y(z-v)\,\d v.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $X_1,\dots,X_n$ jsou nezávislé se SASR. Pak $X_1+\dots+X_{r_1}$,
$X_{r_1+1}+\dots+X_{r_2}$,\dots,$X_{r_k+1}+\dots+X_n$ jsou nezávislé
náhodné veličiny.
\begin{proof}
\begin{align*}
\phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_{r_1}\\
u_2&=x_2\\
&\xvdots\\
u_{r_1}&=x_{r_1}
\end{align*}
$\phi:\R^{r_1}\mapsto\R^{r_1}$, $\abs{\J_{\phi^{-1}}}=1$,
\[
f_{U_1,\dots,U_{r_1}}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_{r_1}}
(u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1})\]
\[
\begin{split}
f_{U_1}(u_1)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}
f_{X_1,\dots,X_{r_1}}
(u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1})
\,\d u_2\cdots\d u_{r_1}
=\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}
f_{X_1}(u_1-u_2-\dots-u_{r_1})
\prod_{j=2}^{r_1}f_{X_j}(u_j)
\,\d u_2\cdots\d u_{r_1}
\end{split}
\]
\begin{align*}
\psi\equiv u_{r_1+1}&=x_{r_1+1}+\dots+x_n\\
u_{r_1+2}&=x_{r_1+2}\\
&\xvdots\\
u_{r_n}&=x_{r_n}
\end{align*}
Analogicky dokážeme, že
\begin{multline*}
f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1})=\\
=\idotsint f_{X_{r_1+1},\dots,X_{r_n}}
(u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n)
\,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n
\end{multline*}
Ze zobrazení $\phi$ a $\psi$ vytvoříme zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$, to
má rovněž $\abs{\J}=1$, takže
\[
\begin{split}
f_{U_1,\dots,U_n}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_n}
(&u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1},\\
&u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n).
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
f_{U_1,U_{r_1+1}}&=\iint f_{\mathbf X}(\cdots)
\,\d u_2\cdots\d u_{r_1}
\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\
&=\int f_{X_1,\dots,X_{r_1}}(\cdots)
\,\d u_2\cdots\d u_{r_1}
\int f_{X_{r_1+1},\dots,X_n}(\cdots)
\,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\
&=f_{U_1}(u_1)f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1}).
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
