Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
% IMPLICITNI FCE --------------------------
\medskip
\section{Implicitní funkce}
\begin{theorem} (\textsc{O inverzi}) \index{Věta!O inverzi} \label{VInverze}
Buďte splněny tyto předpoklady
\begin{enumerate}[(i)]
\item $g: E \to E$, spojité na okolí $y_0 \in E$,
\item existuje $g'$ na okolí $y_0$ spojitá v $y_0$,
\item $g'(x_0)$ je regulární,
\item $g(y_0) = x_0$.
\end{enumerate}
Potom existuje $H_{x_0}$ a $H_{y_0}$ tak, že $(\forall x \in H_{x_0})(\exists_1 y \in H_{y_0})(x = g(y))$. Tj. na $H_{x_0}$ existuje
$g^{-1}$ a platí, že $(g^{-1})'(x_0)=(g'(y_0))^{-1}$.
\end{theorem}
\begin{theorem} (\textsc{O implicitních funkcích}) \index{Věta! O implicitních funkcích} \label{VImplic}
Nechť $\Phi : \R ^{r+m} \to \R ^m$ a
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\exists (x_0,y_0)$: $\Phi(x_0,y_0) = \Theta$,
\item $\Phi$ je spojité na okolí $(x_0,y_0)$,
\item $\parc{\Phi}{y}$ existuje na okolí $(x_0,y_0)$ a je spojitá v $(x_0,y_0)$,
\item $\parc{\Phi}{y}(x_0,y_0)$ je regulární.
\end{enumerate}
Pak
\[ (\exists H_{x_0}, \ H_{y_0})(\forall x \in H_{x_0})(\exists_1 y \in H_{y_0})(\Phi()x,y)=\Theta. \]
Vzniknuvší funkce (označme ji $Y=Y(x)$) je spojitá na $H_{x_0}$. Pokud $\Phi'$ existuje na okolí
$(x_0,y_0)$ pak i $Y'$ existuje na $H_{x_0}$.
\end{theorem}
\begin{example} Mějme zadanou množinu bodů splňujících vztah $x+y+z=e^{z}$, kde $x+y > 1$ a $z>0$. Ptáme se,
zda existuje závislost $z=z(x,y)$.
\end{example}
\begin{example} Máme zadáno $\Phi: \R ^{4} \to \R^{2}$ po složkách takto:
\begin{align*}
\Phi ^{1} (x,y,u,v) = x + y^{2} + u ^{3} - u - v = 0, \\
\Phi ^{2} (x,y,u,v) = x^{2} - 3y + u - 2v + 4 = 0.
\end{align*}
Existují závislosti $u = u(x,y)$ a $v = v(x,y)$?
\end{example}
\begin{example}
Je zadán vztah $y - \epsilon \sin y = x$, kde $\epsilon \in (0,1)$. Existuje závislost $y = y(x)$?
\end{example}
\begin{remark}
Věta o inverzi zaručuje lokální invertovatelnost. Nic víc.
\end{remark}
\begin{example}
Je zadána $F: \R ^{2} \to \R ^{2}$ vztahem
\[ F(x,y) = \svekt{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}, \]
kde $x,y>0$. Existuje $F^{-1}$?
\end{example}
% EXTREMY IMPICITNE ZADANYCH FCI --------------------------
\medskip
\subsection{Extrémy implicitně zadaných funkcí}
V následujících příkladech využijeme vědomostí nabytých o implicitních funkcích jakožto i minulého semestru.
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3651.})
Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
\[ x^2 + y^2 + z^2 -xz -yz + 2x +2y +2z -2 = 0. \]
\end{example}
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3652.})
Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
\[ x ^2 + y^2 + z^2 - xz - yz +2x +2y +2z - 2 =0. \]
\end{example}
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3653.})
Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
\[ (x ^2 + y^2 + z^2)^2 = a^2 (x^2 + y^2 - z^2). \]
\end{example}