01MAA4:Kapitola39

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 3. 5. 2017, 20:13, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (stejné, jako předchozí úprava.)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Vnější algebra}
 
%\begin{remark}
Z této kapitoly Vrána zmiňuje pouze útržky nutné pro příští kapitolu. To však neznamená, že byste této kapitole neměli věnovat pozornost, spíše naopak. Významně totiž abstrahuje dosavadní poznatky z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost.
%\end{remark}
 
\begin{define}
Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. 
\end{define}
 
\begin{theorem}
$\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. 
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$
\end{remark}
 
\begin{define}
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$.
\end{define}
 
\begin{define}
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem
\[
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) =
\left|
\begin{matrix}
\covec e^{i_1}(\vec x_1)  & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{k}) \\
\vdots & & \vdots\\
\covec e^{i_k}(\vec x_{1})  & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{k}) 
\end{matrix}
\right|
.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$.
\item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát
\[
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})=
\sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{k}).
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
\label{wedge}
Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem
\[
(\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!}
\sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~
\sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~
\varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)})
\]
pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom 
\begin{enumerate}[(I)]
\item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$,
\item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení},
\item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$.
\end{enumerate}
\end{define} 
 
\begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi:
\begin{enumerate}
\item Asociativita
\item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$
\end{enumerate}
\end{remark} 
\begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí
\begin{enumerate}
\item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$
\item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$
\end{enumerate}
Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$
\item $\d x^i \wedge \d x^i=0$
\end{enumerate}
\end{remark} 
 
\begin{define}
\label{k-vektor}
Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe 
\[
x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}.
\]
\end{define} 
 
\begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic.
\begin{enumerate}
\item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$.
\item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$.
\item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$
\item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor.
\end{enumerate}
\end{remark}  
 
\begin{define}
\label{orientace}
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\sigma$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je
\begin{enumerate}
\item {\bf kladně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$
\item {\bf záporně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$
\end{enumerate}
\end{define} 
 
\begin{define}
\label{hodge}
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $(V^n, \la\cdot,\cdot\ra)$ se zvolenou orientací $\sigma$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem
\[
x\wedge y = \la \star x,y \ra ~\vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n
\] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}. Výsledek operace Hodgeova operátoru nazýváme Hodgeův duál, resp. Hodgeův sdružený tensor.
\end{define} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$
\item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define} Zobrazení, které každému bodu z afinního prostoru $\R^n$ přiřadí tenzor, nazveme
\item {\bf tenzorovým polem} $\boldsymbol\omega$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li 
$\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$.
\end{define}
 
 
\begin{define}
\label{difkform}
Nechť $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ báze $(V^n)^\#$ a $\omega_{\lambda}: \R^n\mapsto\R$. {\bf Diferenciální $k$-formou} (resp. diferenciální formou stupně $k$) rozumíme tenzorové pole $\boldsymbol\omega$, jehož složky jsou skalárními poli $\omega_{\lambda}$, tj. 
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda}.\]
\end{define} 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\]
\item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky  \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\,
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]
\item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru
\[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
\label{axiomyextdif}
{\bf Vnější derivace} je  zobrazení $\d$ přiřazující  $k$-formě $(k+1)$-formu, které splňuje následující vlastnosti.
\begin{enumerate}[(I)]
\item totální diferenciál: ($\forall f\in \c{1}) (\d f=f')$
\item nilpotentnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\d \boldsymbol\omega)=\d^2\boldsymbol\omega=0$.
\item derivační vlastnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta)=\d\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta+(-1)^k(\boldsymbol\omega\wedge\d\boldsymbol\zeta)$
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Vnější derivace je těmito vlastnostmi dána jednoznačně.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Vnější derivací diferenciální $k$-formy je diferenciální $(k+1)$-forma
\[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\wedge
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]
\end{theorem}
 
\begin{define}
Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě
když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$.
\end{define}
 
\begin{define}
Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá
\begin{enumerate}[(I)]
\item {\bf uzavřená}, jestliže $\d \boldsymbol\omega=0$,
\item {\bf exaktní}, jestliže existuje $(k-1)$-forma $\boldsymbol\xi$ taková, že $\d \boldsymbol\xi=\boldsymbol\omega$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Ze axiomu (II) vnější derivace platí: exaktnost $\implies$ uzavřenost.
\item K opačné implikaci již nestačí jen jednoduchá souvislost, ale další podmínky (jako např. konvexnost).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{findhodge}
Buď $(\covec e^1,\dots\covec e^n)$ ON báze $V_n$, $\boldsymbol\omega=\covec e^n\wedge\dots\wedge \covec e^n$ diferenciální $n$-forma. Potom platí
\[
\star(\covec e^1 \wedge \dots \wedge \covec e^k)=\covec e^{k+1} \wedge \dots \wedge \covec e^n.
\]
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item V $\R^3$ můžeme z předchozí věty vyjádřit příslušné ortonormální kovektory (1-formy) jako diferenciální 2-formy, neboť dle platí ${3\choose 1}={3\choose 2}$, tj. 2 forma je izomorfní s 1-formou a
\[
\begin{split}
\star\d x &=\d y \wedge \d z, \\
\star\d y&=\d z \wedge \d x=-\d x \wedge \d z, \\
\star\d z&=\d x \wedge \d y. \\
\end{split}
\]
Vidíme, že Hodgeův operátor souvisí vektorovým součinem. Pro každé $\vec x, \vec y \in \R^3$ platí
	\begin{enumerate}
	\item $\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y)\in\R^3,$
	\item $\vec x \wedge \vec y=\star(\vec x \times \vec y)\in\R^3.$
	\end{enumerate}
Zároveň si můžeme všimnout, že smíšený součin $(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z$ dává číslo z tělesa (skalár). Platí ${3\choose 0}={3\choose 3}$, tj. 0-forma (skalár) je izomorfní s 3-formou a
\[
(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z=\vec x \wedge \vec y \wedge \vec z\in \R.
\]
%Následující tvrzení pouze v \R^3, dopsat do lepší podoby!:
\item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší vektorová funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ (vektorové pole). Platí-li navíc $\boldsymbol\omega=\d f$, tj. exaktní, je vektorové pole přímo rovno gradientu, tedy $\vec F=\grad f$. 
\item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší diferenciální 2-forma $\star\boldsymbol\omega=F_1~\d y\wedge\d z+F_2~\d z\wedge \d x+F_3~\d x\wedge \d y$
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
\label{grad}
{\bf Gradient} ($\grad$) je zobrazení z 0-formy na 1-formu. Buď 
$\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \boldsymbol\omega$ její vnější derivace. Složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\grad f$.
\end{define}
 
\begin{define}
\label{rot}
{\bf Rotace} ($\rot$) je operátor na 1-formách. Buď 
$\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\star\d \boldsymbol\omega$ Hodgeův duál vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\rot \vec F$.
\end{define}
 
\begin{define}
\label{div}
{\bf Divergence} ($\diverg$) je zobrazení z 1-formy na 0-formu. Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\d \star\!\boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \vec F$.
\end{define}
 
\begin{define}
\label{laplace}
{\bf Laplaceův operátor} je operátor na 0-formách získaný složením zobrazení $\diverg \grad$. Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \star\!\d \boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \grad f$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Vidíme, že tyto operace jsou jen speciální případy vnější derivace forem na $\R^3$. Ukážeme, že se skutečně jedná o nám známé operace z fyziky. Zavádíme symbol nabla $\nabla=\left(\frac{\pd }{\pd x},\frac{\pd }{\pd y},\frac{\pd }{\pd z}\right)^T,$ který používáme pouze v $\R^3$. V jiných případech používáme abstraktní defince výše.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{vgrad} Gradient skalární funkce $f=f(x,y,z)$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:
\[
\grad f=\nabla f=\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T .
\]
\begin{proof}
Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a 
\[\d \boldsymbol\omega=\frac{\pd f}{\pd x}\d x+\frac{\pd f}{\pd y}\d y+\frac{\pd f}{\pd z}\d z
\] 
její vnější derivace. Dle \ref{grad} jsou složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\grad f$. Odsud je též vidět, že $\d x,\d y,\d z$ jsou vnější derivace souřadnicových funkcionálů na $\R^3$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem} 
\label{vrot}
Rotace vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:
\[
\rot \vec F=\nabla \times \vec F=\left( \frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}~;~\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}~;~\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)^T.
\]
\begin{proof}
Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci 1-fomy $\boldsymbol\omega$ platí
\[
\begin{split}
	\d\boldsymbol\omega & =
\d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   \\
	                    & =
\underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d x  +
\underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d y
~+                                                                                                                                           \\
	                    & + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d z=                                                                                                                                                                                                                                                                           \\
	                    & =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z                                                                                                                                                                               -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+
\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\
	                    & = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y.
\end{split}
\]
Nyní k vnější derivaci $\d\boldsymbol\omega$ nalezneme Hodgeův duál. Z poznámky \ref{findhodge}.1 plyne
\[
\star\d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d x+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d y +\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d z.
\]
Dle \ref{rot} jsou složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\rot \vec F$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{vdiv}
Divergence vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ je v $\R^3$ stopa matice první derivace (Jacobiho matice) a lze ji v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla:
\[
\diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'=\nabla \cdot \vec F=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}.
\]
\begin{proof}
Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Hodgeův duál 1-formy $\boldsymbol\omega$ je z poznámky \ref{findhodge}.1 dán 
\[
\star \boldsymbol\omega=F_1\d y\wedge\d z-F_2\d x\wedge \d z+F_3\d x\wedge\d y.
\]
Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci Hodgeova duálu $\star \boldsymbol\omega$ platí
\[
\begin{split}
	\d\star\!\boldsymbol\omega & =
\d F_1\wedge \d y\wedge\d z-\d F_2\wedge\d x\wedge \d z+\d F_3\wedge\d x\wedge\d y =                                                                                                                                                                                            \\
	                            & =
\underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d y\wedge\d z-
\underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d x\wedge \d z~+ \\
	                            & + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d x\wedge\d y=                                                                                                                                         \\
	                            & =
	                    	    \frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y=  \\
	                            & =\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
	                    \frac{\pd F_2}{\pd y}+
	                    \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z.
\end{split}
\]
Dle \ref{div} je jediná složka $\d\star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \vec F$. Navíc, protože 3-forma je izomorfní s 0-formou, platí dokonce
\[
\star\d\star\! \boldsymbol\omega=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}=\diverg \vec F.
\]
Zároveň z definice stopy a tvaru Jacobiho matice $\vec F$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{vlaplace}
Laplaceův operátor skalární funkce $f=f(x,y,z)$ je v $\R^3$ stopa matice druhé derivace (Hessova matice) a lze jej v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu $\Delta=\nabla^2$, tj.
\[
\diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}.
\]
\begin{proof}
Laplaceův operátor je z definice složení dvou zobrazení $\diverg \grad$. Buď $f=f(x,y,z)$ 0-forma. Pak je $\grad f$ dle \ref{vgrad} roven $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ To je však z \ref{findhodge}.2 vektorové pole příslušící 1-formě $\d f$, která je východiskem pro výpočet divergence. Nyní stačí dosadit $\d f$ za $\boldsymbol\omega$ a  $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ za $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ do důkazu \ref{vdiv}.
\[
\begin{split}
	\d\star\!\d f & =
\d \left(\frac{\pd f}{\pd x}\right) \wedge \d y\wedge\d z-\d \left(\frac{\pd f}{\pd y}\right)\wedge\d x\wedge \d z+\d \left(\frac{\pd f}{\pd z}\right)\wedge\d x\wedge\d y = \dots =                                                                  \\
	                           & = \left[ \frac{\pd }{\pd x}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+
	                    \frac{\pd }{\pd y}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+
	                    \frac{\pd }{\pd z}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)\right] \,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \\
	                           & =\left( \frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}\right) \,\d x\wedge\d y\wedge\d z.
\end{split}
\]
Dle \ref{laplace} je jediná složka $\d\star\!\d f$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \grad f$. Analogicky k důkazu \ref{vdiv} díky izomorfismu 0-forem k 3-formám platí
\[
\star\d\star\!\d f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}=\diverg \grad f.
\]
Zároveň z definice stopy a tvaru Hessovy matice $f$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Z definice vnější derivace \ref{axiomyextdif} víme, že $\d^2\boldsymbol\omega=0$. Z této vlastnosti okamžitě vyplývají dvě užitečné identity $\rot \grad f=0$ a $\diverg \rot \vec F=0$.
\end{remark}