01MAA4:Kapitola23

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 8. 2018, 15:00, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Bylo prohozené značení horní a dolní stupňovité funkce k f.)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Stupňovité funkce}
 
\begin{define}
Buď $f:\I\mapsto\R$ omezená funkce na (kompaktním) intervalu
$\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf stupňovitá} na $\I$, jestliže existuje
rozdělení $\sigma$ intervalu $\I$ takové, že $f$ je konstantní na
vnitřku každého částečného intervalu $\I$ podle $\sigma$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Označme $\HH(\I)$ množinu všech stupňovitých funkcí na $\I$. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $h+k\in \HH(\I)$.
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\alpha h\in \HH(\I)$.
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\min(h,k)\in \HH(\I)$, $\max(h,k)\in \HH(\I)$.
\item Je-li $h\in \HH(\I)$, pak $\abs{h}\in \HH(\I)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Určitě platí, že funkce stupňovitá při $\sigma$ je stupňovitá i~při
zjemnění $\sigma^*$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Je-li funkce $h$ stupňovitá při $\sigma$ i~při $\sigma^+$, pak platí:
\[\sum_{j=1}^p h_j V(\I_j)=\sum_{j=1}^{p^+}h_j^+ V(\I_j^+)\]
\begin{proof}
Provedeme společné zjemnění.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $h$ stupňovitá na $\I$, $\sigma$ rozdělení $\I$, při kterém je $h$
stupňovitá. Pak definujeme
\[\II h=\sum_{k=1}^ph_k V(\I_k)\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Díky minulé větě je $\II h$ nezávislé na $\sigma$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\II(h+k)=\II h+\II k$.
\item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\II(\alpha h)=\alpha\II h$.
\item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, $h\le k$, pak $\II h\le\II k$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Platí z~definice --- rozdělení volíme tak, aby při něm byly $h$ i $k$ stupňovité.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $Z\subset\I$. Řekneme, že {\bf $Z$ je Lebesgueovy míry 
nula} (zapisujeme $\mu(Z)=0$), jestliže pro každé $\epsilon>0$ existuje nejvýše
spočetný systém intervalů $\K_j$ tak, že $Z\subset\bigcup_j\vn{\K_j}$ a současně
\[\sum_j V(\K_j)<\epsilon\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Množiny Jordanovy míry nula jsou Lebesgueovy míry nula.
\item Odteď budeme předpokládat pouze Lebesgueovu míru. V literatuře se  můžete pro zdůraznění Lebesgueovy míry setkat se zápisem $\lambda(Z)$ namísto $\mu(Z)$.
\item Stačí předpokládat právě spočetný systém. Buď $\K_p$ poslední
interval, $\alpha=\sum_1^p V(\K_j)<\frac\epsilon2$. Pak
\[\K_{p+j}=\bigx_{i=1}^n\left[  -\eta_j, \eta_j\right] ,\]
zvolme
\[V(\K_{p+j})=(2\eta_j)^n<\frac{\epsilon-\alpha}{2^{j+1}}.\]
Pak
\[\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon-\alpha}{2}<\epsilon.\]
\item Stačí, aby $Z\subset\bigcup_j\K_j$, bez vnitřků a otevřenosti se
obejdu:
\[\K_j=\bigx_{i=1}^n\left[  a_j^i,b_j^i\right] \quad
\K_j\subset\vn{\I_j}\quad
\I_j=\bigx_{i=1}^n\left[  a_j^i-\eta_j, b_j^i+\eta_j\right] \]
\[\sum_{j}^\infty V(\I_j)=
\sum_j^\infty\underbrace{\left(V(\I_j)-V(\K_j)\right)}
_{\substack{\text{spojitý polynom}\\p(\eta_j)-p(0)}}
+\underbrace{\sum_j^\infty V(\K_j)}_{<\epsilon}< 2\epsilon.\]
Zvolím $\eta_j$ tak, aby
\[p(\eta_j)-p(0)<\frac{\epsilon}{2^j}.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nejvýše spočetné sjednocení množin míry nula je opět míry nula.
\begin{proof}
Buď $Z_1,Z_2,\dots,Z_m,\dots$ Máme dokázat, že $Z=\bigcup_{j=1}^\infty
Z_j$ je míry nula.
 
$Z_m$ pokryji systémem $\system{j=1}{\infty}{K_j^m}$.
\[Z_m\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(K_j^m\right)};\quad
\sum_{j=1}^\infty V(K_j^m)<\frac\epsilon{2^m}\]
\[Z\subset\bigcup_{m,j=1}^\infty K_j^m;\quad
\sum_{m,j=1}^\infty V(K_j^m)<\epsilon\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Jednobodová množina je míry nula, takže i $\Q$ je míry nula.
\item Příkladem množiny míry 0, která má mohutnost kontinua (je tedy nespočetná) je tzv. \textbf{Cantorovo diskontinuum}: Začneme s intervalem $[0,1]$ a iterativně odstraňujeme prostřední třetinu intervalů z předchozího kroku. Cantorovo diskontinuum vznikne průnikem všech těchto intervalů. Součet délek intervalů tvořící sjednocení má délku $\left(\frac{2}{3}\right)^n$, tj. je nulové míry, a Cantorovo diskontinuum je jeho podmnožina. Že je Cantorovo diskontinuum nespočetné dokážeme pomocí diagonálního schématu, protože obsahuje čísla, jejichž vyjádření v trojkové soustavě obsahuje pouze číslice 0 a 2.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $Z\subset\I$. $Z$ je míry nula, právě když pro každé $\epsilon>0$
existuje rostoucí posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí ($h_n\ge
0$, $h_n\le h_{n+1}$, $h_n\in \HH(\I)$) taková, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1$ pro každé $x\in Z$,
\item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $(\Rightarrow)$ Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém
$\system{j=1}{\infty}{\K_j}$ takový, že
\[Z\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(\K_j\right)}
\quad\wedge\quad
\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\epsilon.\]
Sestrojíme posloupnost funkcí:
\[
h_m(x)=
\begin{cases}
1 & \text{pro }x\in\left(\bigcup_{j=1}^m \K_j\right)\cap\I\\
0 & \text{jinak.}
\end{cases}
\]
Posloupnost je rostoucí pro každé $x\in\I$, funkce jsou stupňovité a
nezáporné, $\sup\ge 1$. Dále platí
\[\II h_m\le\sum_{j=1}^m V(K_j)<\epsilon\]
a je-li $x\in Z$, potom existuje $m\in\N$ tak, že $x\in\K_m\cap\I$,
tudíž $h_m(x)=1$ a $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$.
 
\item $(\Leftarrow)$ Buď $\epsilon>0$. Potom existuje rostoucí
posloupnost $\posl{h_m}$ nezáporných stupňovitých funkcí taková, že
$\II h_m\le\frac\epsilon3$ pro každé $m\in\N$. Buď dále $\sigma_m$
rozdělení, při kterém je $h_m$ stupňovitá pro každé $m\in\N$. Bez újmy
na obecnosti předpokládejme, že $\sigma_m$ je posloupnost zjemňujících
se rozdělení. Buď $Z'$ množina všech hraničních bodů všech částečných intervalů
všech rozdělení $\sigma_m$. Platí, že $\mu(Z')=0$.
 
Zvolme $k\in\N$ tak, aby funkční hodnota funkce $h_k$ již byla ve
vnitřku některého částečného intervalu rozdělení $\sigma_k$ alespoň
$\frac12$. Označme $\K_1,\dots,\K_{r_k}$ částečné intervaly rozdělení
$\sigma_k$, na jejichž vnitřcích má funkce $h_k$ funkční hodnotu větší
nebo rovnu $\frac12$. Označme dále $\K_{r_k+1},\dots,\K_{r_{k+1}}$
částečné intervaly rozdělení $\sigma_{k+1}$, na jejichž vnitřcích má
funkce $h_k$ funkční hodnotu větší nebo rovnu $\frac12$, ale které
nejsou obsaženy v~$\bigcup_{j=1}^{r_k}\K_j$. Získáme tak rostoucí
posloupnost $\posloupnost{m=k}{\infty}{r_m}$ a nejvýše spočetný systém
intervalů $\system{j=1}{r}{\K_j}$, kde $r=\lim_{m\to\infty}r_m$ 
s~vzájemně disjunktními vnitřky.
 
Protože $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je
$Z''=Z\sm Z'\subset\bigcup_{j=k}^r\vn{\K_j}$. Přitom pro všechna $m\ge k$
platí
\[\frac12\sum_{j=1}^{r_m}{V(\K_j)}\le\II h_m<\frac\epsilon3.\]
V~limitě pak
\[\frac12\sum_{j=1}^r{V(\K_j)}\le\II h_m\le\frac\epsilon3<\epsilon,\]
tedy $Z''$ je nulové míry.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\posl{h_n}$ posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí, $h_{n+1}\le h_n$. Pak platí:
\[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0 \Longleftrightarrow
\mu\left(
\left\{x\in\I\left|\lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right.\right\}
\right)=0.\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $(\Rightarrow)$ Buď
\[Z_p=\left\{x\in\I\left|\lim_{m\to\infty}h_m(x)
\ge\frac1p\right.\right\}\]
pak platí $ph_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$ a všechna $m\in N$.
Protože $\lim_{m\to\infty}\II(ph_m)=p\lim_{m\to\infty}\II h_m=0$, lze
při libovolném $\epsilon>0$ nalézt $m\in\N$ tak, že
$\II(ph_m)<\epsilon$ a $(ph_m)(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$. Z~toho
vyplývá, že $\mu(Z_p)=0$ a protože
\[Z=\bigcup_{p=1}^\infty Z_p,\]
je i $\mu(Z)=0$.
\item $(\Leftarrow)$ Nechť $Z_1$ je množina všech hraničních bodů všech částečných
intervalů, při nichž jsou všechny $h_m$ stupňovité, buď
$Z_2=\{x\in\I|\lim_{m\to\infty} h_m(x)>0\}$. Potom, protože množina
$Z_1$ má nulovou míru, je $\mu(Z_1\cup Z_2)=0$.
 
Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém intervalů $\sys{\K_j}$ takový,
že platí
\[
Z_1\cup Z_2\subset\bigcup_{j=1}^\infty\K_j
\quad\wedge\quad
\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)},
\]
kde $M>h_1(x)$ pro každé $x\in\I$.
 
Pro každé $x\in\I\sm(Z_1\cup Z_2)$ platí, že
$\lim_{m\to\infty}h_m(x)=0$, tedy existuje $m(x)$ takové, že
\[h_m(x)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }m\ge m(x).\]
Protože $x$ leží ve vnitřku nějakého částečného intervalu $\I_x$
rozdělení, při němž je $h_m$ stupňovitá, platí dále
\[h_{m(x)}(y)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }y\in\vn{\I_x}.\]
Systém intervalů $\sys{\K_j}\cup\{\I_y\}_{y\in\I\sm Z}$ pokrývá
množinu $\I$. Protože $\I$ je kompaktní, existuje konečné podpokrytí
\[\I\subset\bigcup_{i=1}^r\vn{\K_{j_i}}\cup\bigcup_{k=1}^s\vn{\I_{x_k}}.\]
Buď $m_0=\max(m(x_1),\dots,m(x_s))$. Pak pro každé $m>m_0$ platí
\[\II h_m\le M\frac{\epsilon}{M+V(\I)}+
\frac{\epsilon}{M+V(\I)}V(\I)=\epsilon,\]
tedy pro každé $\epsilon$ existuje $m_0$, od kterého je $\II h_m<\epsilon$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}[\textit{horní a dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$}]
Nechť $f$ je omezená funkce definovaná na intervalu $\I$ a $\{\I_k\}_{k=1}^p$ jsou částečné intervaly intervalu $\I$ při rozdělení $\sigma$. Pak 
\[\underline{h}^f_{\sigma}=m_k=\inf_{y \in \I_k}f(y),
\quad \overline{h}_f^\sigma(x) =M_k=\sup_{y \in \I_k}f(y)\] nazvu \textbf{horní, resp. dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$}
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $f$ omezená funkce na intervalu $\I$. Je-li $x_0\in\I$, položme
\[\underline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to 0+}\inf_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x),
\quad\overline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to
0+}\sup_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x).\]
Funkci $\underline f$ resp. $\overline f$ nazýváme {\bf dolní}
resp. {\bf horní funkcí} k~funkci $f$ na intervalu $\I$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. Pak $f$ je riemannovsky
integrabilní, právě když množina bodů nespojitosti má nulovou
Lebesgueovu míru.
\begin{proof}
Funkce $f$ je riemannovsky integrabilní právě tehdy, je-li
$\underline{\int_\J}f=\overline{\int_\J}f$. Tato rovnost je splněna
právě tehdy, existuje-li posloupnost zjemňujících se rozdělení
$\posl{\sigma_m}$ taková, že
\[\lim_{m\to\infty}\II\overline{h}_f^{\sigma_m}=
\lim_{m\to\infty}\II\underline{h}^f_{\sigma_m},\]
tj.
\[\lim_{m\to\infty}\II\left(
\overline{h}_f^{\sigma_m}-\underline{h}^f_{\sigma_m}
\right)=0.\]
Tato rovnost je splněna právě tehdy, má-li množina
\[
Z=\left\{
x\in\I\left|
\lim_{m\to\infty}\left(
\overline{h}_f^{\sigma_m}(x)-\underline{h}^f_{\sigma_m}(x)
\right)>0
\right.
\right\}=
\{x\in\I|
\overline{f}^\sigma(x)-\underline{f}_\sigma(x)>0
\}
\]
nulovou míru.
 
Platí, že $\overline{f}^\sigma(x)=\overline{f}(x)$ a
$\underline{f}_\sigma(x)=\underline{f}(x)$ až na množinu nulové
míry. Platí, že $\overline{f}(x)=\underline{f}(x)$, právě když $f$ je
v~$x$ spojitá.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. $f$ je riemannovsky
integrabilní na $\I$, právě když existují posloupnosti $\posl{k_m}$ a
$\posl{l_m}$ stupňovitých funkcí takové, že platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\posl{k_m}$ je rostoucí a 
\[(\forall x\in\I\sm Z_1)\left(\lim_{m\to\infty} k_m(x)=f(x)\right)
\text{, kde }\mu(Z_1)=0,\]
\item $\posl{l_m}$ je klesající a 
\[(\forall x\in\I\sm Z_2)\left(\lim_{m\to\infty} l_m(x)=f(x)\right)
\text{, kde }\mu(Z_2)=0,\]
\item $(\forall x\in\I)(k_m(x)\le f(x)\le l_m(x))$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $(\Rightarrow)$ Buď $f$ riemannovsky integrabilní na $\I$,
$(\sigma_m)$ posloupnost zjemňujících se rozdělení.
Pak $k_m=\underline{h}_{\sigma_m}$ a $l_m=\overline{h}_{\sigma_m}$.
\item $(\Leftarrow)$ Buď $\posl{\sigma_m^{(1)}}$ posloupnost,
rozdělení, při nichž jsou $k_m$ stupňovité, $\posl{\sigma_m^{(2)}}$
posloupnost, rozdělení, při nichž jsou stupňovité $l_m$,
$\posl{\sigma_m^{(3)}}$ libovolná normální posloupnost
rozdělení. Definujme
$\sigma_1=(\sigma_1^{(1)},\sigma_1^{(2)},\sigma_1^{(3)})^*$,
$\sigma_{m+1}=(\sigma_m,\sigma_{m+1}^{(1)},
\sigma_{m+1}^{(2)},\sigma_{m+1}^{(3)})^*$ (společné zjemnění těch v závorce). Pak platí
 
\[k_m\le\underline{h}_{\sigma_m}\le f\le
\overline{h}^{\sigma_m}\le l_m,\]
tedy
\[\II k_m\le\II\underline{h}_{\sigma_m}\le
\II\overline{h}^{\sigma_m}\le\II l_m\]
a
\[\lim_{m\to\infty}\II k_m\le\underline{\int_\I}f\le
\overline{\int_\I}f\le\lim_{m\to\infty}\II l_m.\]
 
$k_m$ je klesající, $l_m$ je rostoucí a platí, že
\[\lim_{m\to\infty}(l_m-k_m)(x)=0\]
pro všechna $x\in\I$ až na množinu nulové míry. Z~toho vyplývá
\[\lim_{m\to\infty}\II(l_m-k_m)=0,\]
tedy
\[\lim_{m\to\infty}\II k_m=\lim_{m\to\infty}\II l_m=
\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\int_\I f.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
K~existenci Riemanna jsou tedy nutné existence dvou posloupností
stupňovitých funkcí. Lebesguovi stačí jen jedna. Tím odstraní problém
normy na prostoru funkcí:
\[\int f^2=0\not\implies f=0\]
je seminorma, norma je to pouze na prostoru spojitých funkcí, který
ale není úplný.
\end{remark}