01DIFRnew:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 10. 6. 2017, 10:16, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Chybné znaménko (nebralo se v potaz mínus před integrálem).)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRnew

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRnewNguyebin 1. 9. 201321:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 1. 9. 201321:47 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaNguyebin 29. 8. 201314:23 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatÚvodKubuondr 7. 6. 201708:21 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatŘešení speciálních typů rovnicKubuondr 8. 6. 201709:00 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTeoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnicPerinhyn 2. 6. 201821:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAnalytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řáduKubuondr 10. 6. 201710:19 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatAnalytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řáduKrasejak 20. 6. 201400:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatOkrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovniceKubuondr 10. 6. 201710:16 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaKrasejak 20. 6. 201400:33 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:priklad1.pdf priklad1.pdf
Image:rotujici_sklenice.pdf rotujici_sklenice.pdf
Image:mat_kyvadlo.pdf mat_kyvadlo.pdf
Soubor:lorentz-attractor.pdf lorentz-attractor.pdf
Soubor:vedeni-tepla.pdf vedeni-tepla.pdf
Image:smerova_pole.pdf smerova_pole.pdf
Image:RL_obvod.pdf RL_obvod.pdf
Image:k_lomene_care.pdf k_lomene_care.pdf
Image:k_peanove_vete.pdf k_peanove_vete.pdf
Image:k_prodlouzeni.pdf k_prodlouzeni.pdf
Image:k_prodl_lemma.pdf k_prodl_lemma.pdf
Image:k_prodl_tvrz.pdf k_prodl_tvrz.pdf
Image:k_prodl_lemma_2.pdf k_prodl_lemma_2.pdf
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf ke_spoj_zav_na_datech.pdf
Image:metoda_strelby.pdf metoda_strelby.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice}
 
\begin{define}
  \index{podmínky!okrajové}
  \index{úloha pro diferenciální rovnici!okrajová}
  \label{def:okrul}
  Nechť $p,p',q\in \Cc^1\left[a,b\right]$ a $p(x)\geq c_0 > 0$, pak rovnice \eqref{eq:okrdr}, \eqref{eq:okr1} a \eqref{eq:okr2}
  \begin{eqnarray}
     \label{eq:okrdr} 
     	-(p(x)y')' + q(x)y &=& f(x), \qquad \text{na } x\in(a,b), \\
     \label{eq:okr1}
     	\alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a)  &=& 0, \\
     \label{eq:okr2} 
     	 \alpha_2  y(b) + \beta_2  y'(b)  &=& 0,
  \end{eqnarray}
  se nazývají \textbf{okrajová úloha v samoadjungovaném tvaru} a vztahy \eqref{eq:okr1} a \eqref{eq:okr2} se nazývají \textbf{okrajové podmínky}.
 
  Levou stranu rovnice \eqref{eq:okrdr} lze opět zapsat pomocí lineárního diferenciálního operátoru $L$ ve tvaru $Ly=-(p(x)y')' + q(x)y$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Okrajová úloha nemusí být řešitelná jednoznačně. Například za podmínek \linebreak $q=0,\ \alpha_{1,2}=0, \ \beta_{1,2}=1$ je $y(x)$ určena jednoznačně až na aditivní konstantu. 
\end{remark} 
 
\begin{remark}[\textbf{Formální postup}]
  Rovnici \eqref{eq:okrdr} lze upravit na LDR druhého řádu ve~tvaru  \[-p'(x)y'(x)-p(x)y''(x)+q(x)y(x)=f(x). \] Uvažujme nejprve obecné řešení. Zvolme si fundamentální systém $\left\lbrace v_1(x),v_2(x)\right\rbrace$ tak, aby platilo:
	  \begin{itemize}
	  \item $v_1(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} a \eqref{eq:okr1} a přitom neřeší \eqref{eq:okr2}.
	  \item $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} a \eqref{eq:okr2} a přitom neřeší \eqref{eq:okr1}.
	  \end{itemize} 	  
  Sestrojíme Wrońskián 
	  \[ 
	  W_{y_1,y_2}(x) = W_{y_1,y_2}(x_0) \exp \ub{\left\{ -\int_{x_0}^x \frac{p'(\xi)}{p(\xi)} \dif \xi \right\}}_{=\ln p(x_0)-\ln p(x)}, 
	  \]
  z~něhož získáme 
	  \begin{equation}
	  \label{eq:Wpk}
		  \frac{W_{y_1,y_2}(x)}{ W_{y_1,y_2}(x_0)} = \frac{p(x_0)}{p(x)} \implies W_{y_1,y_2}(x)p(x)\overset{ozn.}{=}K=\text{konst.} \quad \forall x \in \left[ a,b\right]
	  \end{equation}
 
  Pro získání partikulárního řešení provedeme variaci konstanty ($y=y(x),\ v_i=v(x), \linebreak c_i=c(x)$).
 	 \[
	  \begin{array}{lcl}
	  y  &=& c_1v_1+c_2v_2 \\
	  y' &=& \ub{c_1'v_1+c_2'v_2}_{:=0} + c_1v_1'+c_2v_2' \\
	  y''&=& c_1'v_1'+c_2'v_2' + c_1v_1''+c_2v_2''
	  \end{array}
 	 \]
  Na $y'$ jsme položili jednu podmínku. Dosadíme $y,y',y''$ zpět do \eqref{eq:okrdr} ($p=p(x),\ q=q(x))$.  
	 \[
		Ly=p(-c_1'v_1'-c_2'v_2')+c_1(\ub{-p'v_1'-pv_1''+qv_1}_{=Lv_1=0})+c_2(\ub{-p'v_2'-pv_2''+qv_2}_{=Lv_2=0})=f(x)
 	 \]
  Obě označené závorky jsou nulové, neboť $v_1(x)$ i $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} bez pravé strany.
 
  Z~této rovnice a z předcházející podmínky získáme soustavu rovnic pro $c_1'$ a $c_2'$.
	  \begin{eqnarray*}
	   	c_1'v_1'+c_2'v_2' &=& \frac{-f(x)}{p}\\     
	    c_1'v_1+c_2'v_2  &=& 0
	  \end{eqnarray*}
  Řešení nalezneme Cramerovým pravidlem (determinant soustavy je nenulový Wrońskián).
  	  \begin{eqnarray*}
  	    c_1'(x) &=& \frac{1}{W_{y_1,y_2}(x)}\left|\begin{matrix} 0 & v_2(x) \\ -f(x)/p(x) & v_2'(x) \end{matrix}\right| = \frac{v_2(x)f(x)}{K} \\
  	    c_2'(x) &=& \frac{1}{W_{y_1,y_2}(x)}\left|\begin{matrix} v_1(x) & 0 \\  v_1'(x) & -f(x)/p(x)  \end{matrix}\right| = -\frac{v_1(x)f(x)}{K}
  	  \end{eqnarray*}
  Konstanta $K$ je z \eqref{eq:Wpk}. Dosadíme do okrajových podmínek:
	  \begin{itemize}
	  \item Z \eqref{eq:okr1} získáme $\alpha_1 (c_1v_1+c_2v_2)(a) + \beta_1 (c_1v_1'+c_2v_2')(a)=0$
	  \item Z \eqref{eq:okr2} získáme $\alpha_2 (c_1v_1+c_2v_2)(b) + \beta_2 (c_1v_1'+c_2v_2')(b)=0$
	  \end{itemize}
  Vytknutím upravíme na  
  	  \begin{eqnarray*}
  	   c_1(a)\ub{(\alpha_1v_1(a)+\beta_1v_1'(a))}_{=0}+c_2(a)\ub{(\alpha_1v_2(a)+\beta_1v_2'(a))}_{\not=0} &=& 0 \\
  	   c_1(b)\ub{(\alpha_2v_1(b)+\beta_2v_1'(b))}_{\not=0}+c_2(b)\ub{(\alpha_2v_2(b)+\beta_2v_2'(b))}_{=0} &=& 0 
  	  \end{eqnarray*}
  Nulovost dvou označených závorek vyplývá z~volby $v_1(x)$ a $v_2(x)$. Z~těchto podmínek tedy vyplývá, že $c_2(a)=c_1(b)=0$. 
 
  Řešení získáme integrací.
  	\[
  	c_1(x)= -\int_{x}^{b}\frac{v_2(s)f(s)}{K} \dif s \qquad \mbox{a} \qquad c_2(x)= -\int_{a}^{x}\frac{v_1(s)f(s)}{K} \dif s
	\]
  Vztahy lze sjednotit do jednoho použitím tzv.~\textbf{Greenovy funkce}.
  	\[
    	G(x,s)=\begin{cases} -\frac{1}{K}v_1(s)v_2(x) &\forall s \in \left[a,x\right]  \\
    	-\frac{1}{K}v_1(x)v_2(s) &\forall s \in \left[x,b\right] \end{cases} 
    \]
  Výsledné řešení je pak 
  	\begin{equation}
  	\label{eq:okrres}
  		y(x)= \int_{a}^{b}G(x,s)f(s) \dif s 
  	\end{equation}
 
\end{remark} 
 
\begin{theorem}(o~existenci)
  Za daných předpokladů existuje řešení okrajové úlohy ve tvaru \eqref{eq:okrres}.
  \begin{proof}
    Tvrzení vyplývá z~předchozí konstrukce.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Jednoznačnost prozkoumáme vyšetřením výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ (skalární součin na~$\Ll^2$ prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí)
   \begin{eqnarray*}
      \left\langle Ly,y \right\rangle  &=& \int_{a}^{b} Ly(x)y(x) \dif x = \int_{a}^{b} y \left[ (-(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) \right]  \dif x \\
      &=&  -\int_{a}^{b} \left[(p(x)y'(x))' y\right] \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x	\\
      &\overset{p.p.}{=}& \left( -\left[p(x)y'(x)y(x)\right]_b^a + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x\right)  + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x		\\
      &=& -p(b)y'(b)y(b)+p(a)y'(a)y(a) + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x  + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x
    \end{eqnarray*} 
 
	Ve třetím kroku jsme použili per partes na první sčítanec. V~okrajových podmínkách existuje alespoň jedno z $\alpha,\beta$ nenulové.
 
	\begin{itemize}
	\item buď $\beta_1=0$, pak $y(a)=0$;
 
	nebo $\beta_1\not=0$, pak $y'(a)=-\frac{\alpha_1}{\beta_1}y(a)$
	\item buď $\beta_2=0$, pak $y(b)=0$;
 
	nebo $\beta_2\not=0$, pak $y'(b)=-\frac{\alpha_2}{\beta_2}y(b)$
	\end{itemize}
 
	Můžeme pokračovat v~úpravách výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ a využijeme těchto podmínek.
	   \begin{eqnarray*}
	    \left\langle Ly,y \right\rangle  &=&	
	 	 \frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)y^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)y^2(a) + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x  + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x
	   \end{eqnarray*} 	
 
	Z~definice \ref{def:okrul} platí $p(x)\geq \mat{c_0} > 0$. Touto nerovností odhadneme výraz $\left\langle Ly,y \right\rangle$.
       \begin{eqnarray*}
		  \left\langle Ly,y \right\rangle  &\geq&	
		 	\frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)y^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)y^2(a) + \mat{c_0} \int_{a}^{b} \abs{y'(x)}^2 \dif x  + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x
	   \end{eqnarray*} 	
	Tuto nerovnost jsme si připravili pro důkaz následující věty.   	
\end{remark}
 
\begin{theorem}(o jednoznačnosti)
	Nechť $q(x) \geq 0$ a dále $\alpha_2,\beta_2 \geq 0, \  \alpha_2+\beta_2 > 0$ a \linebreak $\alpha_1,-\beta_1 \geq 0, \ \alpha_1-\beta_1 > 0$. Pak pokud $\beta_1=0  \wedge  \beta_2=0  \wedge  q(x)\geq q_0 > 0, $ resp.~pokud $\Bigl( \beta_1 \not= 0 \ \vee \ \beta_2 \not= 0\Bigr) \wedge  \Bigl( \alpha_1 \not= 0 \ \vee \ \alpha_2 \not= 0\Bigr) \ \vee \ q(x)\geq q_0 > 0$, řešení okrajové úlohy je jednoznačné.
		\begin{proof}		
		Nechť $y_1$ a $y_2$ řeší okrajovou úlohu, tj. $Ly_1=f(x)$ a $Ly_2=f(x)$. Odečtením získám $L(y_1-y_2)=0$, pak i $\left\langle L(y_1-y_2),y_1-y_2 \right\rangle=0$. Dosadíme $\abs{y_1-y_2}$ za $y$ do předchozí nerovnosti.
		  \begin{eqnarray*}
		    0  
		    &\geq&	
		 	 \frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)\abs{y_1-y_2}^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)\abs{y_1-y_2}^2(a) + \\
		 	&    & + \ c_0 \int_{a}^{b} \abs{(y_1-y_2)'}^2(x) \dif x  + \int_{a}^{b} q(x)\abs{y_1-y_2}^2(x) \dif x
		   \end{eqnarray*} 	
		Integrací nerovnosti získáme $(y_1-y_2)(x)=\mbox{konst.}$ Po přidání předpokladů z tvrzení věty získáme $y_1(x)=y_2(x)$ na $\left[a,b\right]$.     			
		\end{proof}  
\end{theorem}
 
\begin{remark}[\textbf{Fyzikální motivace}]
  Uvažme úlohu vedení tepla stěnou, známe-li teploty na obou stranách této stěny. Tuto úlohu lze formalizovat následujícími rovnicemi
  \begin{eqnarray*}
    -ky'' &=& f(x), \qquad \text{na } x\in(a,b), \\
    y(a)  &=& T_a, \\
    y(b)  &=& T_b,
  \end{eqnarray*}
  kde $y(x)$ je neznámá funkce popisující průběh teploty ve stěně, $f(x)$ je funkce popisující zdroje/propady dané veličiny (tj.~teploty) ve stěně,
  konstanta $k$ je tepelná vodivost stěny a $T_a$, $T_b$ jsou teploty na krajích stěny. Vidíme tedy, že řešíme \emph{okrajovou úlohu pro diferenciální 
  rovnici}. Řešení této úlohy s~nulovou pravou stranou je uvedeno v~příkladu \ref{ex:vedeni_tepla_1}.
 
  Obecné řešení naší úlohy lze zapsat v~následujícím tvaru
  \[
    y(x) = -\frac{1}{k} \int_a^x \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s + C_1 x + C_2,
  \]
  kde $C_1$, $C_2$ jsou integrační konstanty, které je potřeba určit za pomoci okrajových podmínek. Má tedy platit
  \begin{eqnarray*}
    y(a) = T_a &=& C_1 a + C_2, \\
    y(b) = T_b &=& \ub{-\frac{1}{k} \int_a^b \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s}_{=D} + C_1 b + C_2,
  \end{eqnarray*}
  což přepíšeme do tvaru
  \begin{eqnarray*}
    C_1 a + C_2 &=& T_a, \\
    C_1 b + C_2 &=& T_b - D.
  \end{eqnarray*}
  Odtud nakonec dostáváme
  \begin{eqnarray*}
    C_1 &=& \frac{1}{b-a}(T_b - T_a - D), \\
    C_2 &=& T_a - \frac{a}{b-a}(T_b - T_a - D).
  \end{eqnarray*}
\end{remark}
 
\begin{remark}[\textbf{Metoda střelby}]
  Mějme typovou úlohu
  \begin{equation}
    \label{eq:ex_okrulo}
    \begin{array}{r@{ \ = \ }l}
      y''  & f(x,y,y'), \qquad \text{kde } x\in(a,b), \\
      y(a) & \gamma_1, \\
      y(b) & \gamma_2.
    \end{array}
  \end{equation}
 
  Jeden z~možných postupů, jak vyšetřit existenci řešení této úlohy, je použití tzv.~\textbf{metody střelby}, která byla původně určena pro numerické úlohy.
  Tato metoda spočívá v~tom, že místo původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo} budeme řešit následující počáteční úlohu
  \begin{equation}
    \label{eq:ex_poculo}
    \begin{array}{r@{ \ = \ }l}
      y''   & f(x,y,y'), \\
      y(a)  & \gamma_1, \\
      y'(a) & \alpha,
    \end{array}
  \end{equation}
  kde neznámý parametr $\alpha$ chceme zvolit tak, aby řešení dospělo do bodu $\col{b}{\gamma_2}$. 
 
  Řešením úlohy \eqref{eq:ex_poculo} je tedy funkce $y(x;\alpha)$ (v~zápisu jsme zdůraznili závislost na parametru $\alpha$). Volba parametru $\alpha$ přitom 
  odpovídá volbě počátečního sklonu křivky $y(x;\alpha)$, přičemž jej volíme tak, aby platilo $y(b;\alpha) = \gamma_2$. To nám může připomínat volbu náklonu děla 
  s~požadavkem, aby vystřelený projektil zasáhl danou souřadnici. Odtud také pochází název této metody. Situace je znázorněna na obr.~\ref{fig:metoda_strelby}.
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{metoda_strelby.pdf}
    \caption{K~vysvětlení metody střelby.}
    \label{fig:metoda_strelby}
  \end{figure}
 
  Úloha \eqref{eq:ex_poculo} je počáteční a tudíž můžeme rozhodnout o~existenci a jednoznačnosti jejího řešení. Potom stačí zkoumat řešitelnost algebraické
  rovnice
  \[
    y(b;\alpha) = \gamma_2,
  \]
  které pak odpovídá existence a počet řešení původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo}.
\end{remark}