Matematika2:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 79: | Řádka 79: | ||
\begin{theorem}[Plocha v křivce] | \begin{theorem}[Plocha v křivce] | ||
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | ||
− | a nechť $x(t)$ je prostá, $x | + | a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. |
Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem | Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 85: | Řádka 85: | ||
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $ | + | Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $x(t)=\psi(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = \psi^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis |
$$ | $$ | ||
− | f(x) = y(t) = y( | + | f(x) = y(t) = y(\psi^{-1}(x)). |
$$ | $$ | ||
Plocha pod grafem funkce $f$ je | Plocha pod grafem funkce $f$ je | ||
Řádka 93: | Řádka 93: | ||
A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, | A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, | ||
$$ | $$ | ||
− | kde $\alpha= | + | kde $\alpha=\psi^{-1}(a)$ a $\beta=\psi^{-1}(b)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=\psi(t)$ a dostaneme tvrzení věty. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 102: | Řádka 102: | ||
\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} | ||
− | Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $ | + | Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. |
Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem | Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 154: | Řádka 154: | ||
\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] | \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] | ||
+ | Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. | ||
Délka křivky v polárních souřadnicích | Délka křivky v polárních souřadnicích | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 177: | Řádka 178: | ||
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | ||
a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. | a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. | ||
− | Potom objem křivky dané parametricky | + | Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t. | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t. | ||
Řádka 186: | Řádka 187: | ||
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | ||
a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. | a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. | ||
− | Potom objem křivky dané parametricky | + | Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t. | V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t. | ||
Řádka 197: | Řádka 198: | ||
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] | \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] | ||
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | ||
− | a nechť $x(t)$ | + | a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. |
− | Potom povrch křivky dané parametricky | + | Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. | ||
Řádka 206: | Řádka 207: | ||
\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] | \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] | ||
Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky | ||
− | a nechť | + | a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. |
− | Potom povrch křivky dané parametricky | + | Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem |
$$ | $$ | ||
P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. | P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. | ||
$$ | $$ | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 19. 3. 2020, 08:35
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2 | Fucikrad | 14. 9. 2011 | 17:01 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 20:27 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:05 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Techniky integrace | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:06 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Kuželosečky | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Polární souřadnice | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:08 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Křivky dané parametricky | Fucikrad | 25. 4. 2022 | 16:28 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Supremum a infimum | Fucikrad | 13. 3. 2012 | 15:41 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posloupnosti reálných čísel | Fucikrad | 6. 4. 2023 | 09:47 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Řady | Fucikrad | 24. 5. 2022 | 12:01 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Taylorův polynom a Taylorova řada | Fucikrad | 20. 4. 2022 | 11:15 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Mocninné řady | Fucikrad | 6. 2. 2022 | 16:10 | kapitola10.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:kuzelky.pdf | kuzelky.pdf |
Image:A.png | A.png |
Image:B.png | B.png |
Image:C.png | C.png |
Image:D.png | D.png |
Image:E1.png | E1.png |
Image:E2.png | E2.png |
Image:E3.png | E3.png |
Image:E4.png | E4.png |
Image:F1.png | F1.png |
Image:F2.png | F2.png |
Image:F3.png | F3.png |
Image:F4.png | F4.png |
Image:J.png | J.png |
Image:K.png | K.png |
Image:L.png | L.png |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2} \section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}} \subsection{Definice} \begin{define}[Křivka daná parametricky] Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. Pak množinu bodů $$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$ nazvýváme křivkou danou parametricky. \end{define} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}} } Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$. & { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}} Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$ } \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{p{0.98\textwidth}} { \centering \fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}} }\\ Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$ \end{tabular} \end{center} \subsection{Tečny ke křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Rovnice tečny] Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}(t_0)$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě $[x(t_0), y(t_0)]$ je $$ \dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)). $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\ Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici $$ k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }. $$ Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$: $$ k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } = \lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} = \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} $$ Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny $$ q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0). $$ Odtud dostáváme tvrzení věty. \item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Plocha v křivce dané parametricky} \begin{theorem}[Plocha v křivce] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom plocha vymezená křivkou a osou x je dána vzorcem $$ A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t. $$ \begin{proof} Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $x(t)=\psi(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = \psi^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis $$ f(x) = y(t) = y(\psi^{-1}(x)). $$ Plocha pod grafem funkce $f$ je $$ A = \int\limits_a^b f(x) \ud x, $$ kde $\alpha=\psi^{-1}(a)$ a $\beta=\psi^{-1}(b)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=\psi(t)$ a dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Délka křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky} Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t. $$ % \begin{proof} % Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. % Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce. % % (a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána % \begin{equation*} % L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x, % \end{equation*} % kde provedeme př % \end{proof} % \begin{proof} % Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. % Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$: % \begin{equation*} % \begin{split} % d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2} % \\ % =(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}. % \end{split} % \end{equation*} % Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$: % $$ % d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}. % $$ % % % \todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?} % % Označíme-li % \begin{align*} % m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\ % M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\}, % \end{align*} % dostaneme odhad pro $d_k$ % $$ % m_k (t_k-t_{k-1}) \leq d_k \leq (t_k-t_{k-1}) M_k, % $$ % tj. po vysčítání přes $k$ % $$ % s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma). % $$ % Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty. % \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích] Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. Délka křivky v polárních souřadnicích $$ L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. $$ \begin{proof} Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy \begin{align*} x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi, \end{align*} pro které platí $$ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsection{Objem rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t. $$ \end{theorem} \subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$] Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$. Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem $$ P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t. $$ \end{theorem}