Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}}
\subsection{Výpočet plochy}
\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]
Nechť jsou $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
$$
A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
$$
\end{theorem}
\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]
Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
$$
A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
$$
\end{corollary}
\subsection{Výpočet polohy těžiště}
\begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce]
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí
$$
\bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad
\bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}.
$$
\begin{proof}
Pro důkaz věty použijeme analogii postupu hledání těžiště $n$ hmotných bodů z fyziky.
Poloha těžiště $z_T$ pro $n$ hmotných bodů o hmotnostech $m_k$ a polohách $z_k$ (na ose $z$) je
$$
z_T = \frac{ \sum\limits_{k=1}^n m_k z_k }{ \sum\limits_{k=1}^{n} m_k }.
$$
Na chvíli předpokládejme, že uvažovaná plocha pod grafem funkce $f$ má všude stejnou hustotu $\varrho$.
Uvažujme rozdělení $\varsigma = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b \}$ intervalu $[a,b]$.
Označme $A_k$ jednotlivé dílčí plochy pod grafem funkce $f$ mezi $x_{k-1}$ a $x_{k}$.
Dále označme polohu těžiště na ose $x$ symbolem $t_k$. Snadno nahlédneme, že polohu těžiště $A_k$ na ose $y$ lze vyjádřit $y_k = \frac12f(t_k)$.
Hmotnost dílčí plochy $A_k$ lze vyjádřit jako \mbox{$m_k = \varrho f(t_k)(x_k-x_{k-1})$}.
Každou dílčí plochu $A_k$ lze reprezentovat hmotným bodem o souřadnicích $[t_k, \frac12f(t_k)]$ a hmotnosti $m_k$.
Podle vzorce pro polohu těžiště $n$ hmotných bodů dostáváme pro jednotlivé souřadnice polohy těžiště
$x_T(\varsigma)$ a $y_T(\varsigma)$ (při rozdělení $\varsigma$) vyjádření
\begin{align}
x_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho t_k f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }, \\
y_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho \frac12 f^2(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) },
\end{align}
kde $t_k \in [x_{k-1},x_{k}]$. Hustota $\varrho$ je konstantní, proto ji můžeme vykrátit z obou výrazů.
Pro dokončení důkazu stačí v jednotlivých sumách odhadnout funkci $t\cdot f(t)$, resp. $f(t)$, resp. $\frac12f^2(t)$ svými maximy a minimy na dílčích intervalech $[x_{k-1},x_k]$, čímž obdržíme horní a dolní částečné součty.
Protože jsme v celém odvození uvažovali libovolné rozdělení $\varsigma$, dostáváme podle Riemannovy definice určitého integrálu~\ref{def:urcity} tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Délka grafu funkce}
\begin{theorem}[Délka grafu funkce]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce $L_f$ je
$$
L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
$$
\begin{proof}
Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto:
$$
d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}.
$$
Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že
$$
d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}.
$$
Označíme-li
\begin{align*}
m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\
M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\},
\end{align*}
dostáváme nerovnost
$$
(x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq (x_k-x_{k-1})M_k
$$
pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme
$$
s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma).
$$
Odtud již plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Objem rotačního tělesa}
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
$$
V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
$$
\end{theorem}
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
$$
S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
$$
\end{theorem}