Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}}
\subsection{Výpočet plochy}
\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]
Nechť jsou $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
$$
A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
$$
\end{theorem}
\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]
Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
$$
A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
$$
\end{corollary}
\subsection{Výpočet polohy těžiště}
\begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce]
Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí
$$
\bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad
\bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}.
$$
\end{theorem}
\subsection{Délka grafu funkce}
\begin{theorem}[Délka grafu funkce]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce $L_f$ je
$$
L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
$$
\begin{proof}
Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto:
$$
d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}.
$$
Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že
$$
d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}.
$$
Označíme-li
\begin{align*}
m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\
M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\},
\end{align*}
dostáváme nerovnost
$$
(x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq (x_k-x_{k-1})M_k
$$
pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme
$$
s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma).
$$
Odtud již plyne tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Objem rotačního tělesa}
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
$$
V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
$$
\end{theorem}
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]
Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je
$$
S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
$$
\end{theorem}