Matematika1:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 87: | Řádka 87: | ||
− | \subsection{Objem rotačního tělesa} | + | \subsection{Objem a povrch rotačního tělesa} |
\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa] | \begin{theorem}[Objem rotačního tělesa] | ||
− | Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem | + | Nechť funkce $f$ je nezáporná a má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem |
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je | rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je | ||
$$ | $$ | ||
Řádka 98: | Řádka 98: | ||
− | \subsection{Povrch rotačního tělesa} | + | %\subsection{Povrch rotačního tělesa} |
\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa] | \begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa] | ||
− | Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch | + | Nechť funkce $f$ je nezáporná a má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch |
rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je | rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je | ||
$$ | $$ |
Aktuální verze z 11. 1. 2021, 09:39
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 10:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 07:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 10:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 09:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 15:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 18:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 22:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 12:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 05:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 11:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 09:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}} \subsection{Výpočet plochy} \begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi] Nechť jsou $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$. Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je $$ A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x. $$ \end{theorem} \begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce] Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$. Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je $$ A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x. $$ \end{corollary} \subsection{Výpočet polohy těžiště} \begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce] Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí $$ \bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad \bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}. $$ \begin{proof} Pro důkaz věty použijeme analogii postupu hledání těžiště $n$ hmotných bodů z fyziky. Poloha těžiště $z_T$ pro $n$ hmotných bodů o hmotnostech $m_k$ a polohách $z_k$ (na ose $z$) je $$ z_T = \frac{ \sum\limits_{k=1}^n m_k z_k }{ \sum\limits_{k=1}^{n} m_k }. $$ Na chvíli předpokládejme, že uvažovaná plocha pod grafem funkce $f$ má všude stejnou hustotu $\varrho$. Uvažujme rozdělení $\varsigma = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b \}$ intervalu $[a,b]$. Označme $A_k$ jednotlivé dílčí plochy pod grafem funkce $f$ mezi $x_{k-1}$ a $x_{k}$. Dále označme polohu těžiště na ose $x$ symbolem $t_k$. Snadno nahlédneme, že polohu těžiště $A_k$ na ose $y$ lze vyjádřit $y_k = \frac12f(t_k)$. Hmotnost dílčí plochy $A_k$ lze vyjádřit jako \mbox{$m_k = \varrho f(t_k)(x_k-x_{k-1})$}. Každou dílčí plochu $A_k$ lze reprezentovat hmotným bodem o souřadnicích $[t_k, \frac12f(t_k)]$ a hmotnosti $m_k$. Podle vzorce pro polohu těžiště $n$ hmotných bodů dostáváme pro jednotlivé souřadnice polohy těžiště $x_T(\varsigma)$ a $y_T(\varsigma)$ (při rozdělení $\varsigma$) vyjádření \begin{align} x_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho t_k f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }, \\ y_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho \frac12 f^2(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }, \end{align} kde $t_k \in [x_{k-1},x_{k}]$. Hustota $\varrho$ je konstantní, proto ji můžeme vykrátit z obou výrazů. Pro dokončení důkazu stačí v jednotlivých sumách odhadnout funkci $t\cdot f(t)$, resp. $f(t)$, resp. $\frac12f^2(t)$ svými maximy a minimy na dílčích intervalech $[x_{k-1},x_k]$, čímž obdržíme horní a dolní částečné součty. Protože jsme v celém odvození uvažovali libovolné rozdělení $\varsigma$, dostáváme podle Riemannovy definice určitého integrálu~\ref{def:urcity} tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Délka grafu funkce} \begin{theorem}[Délka grafu funkce] Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce $L_f$ je $$ L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x. $$ \begin{proof} Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto: $$ d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}. $$ Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že $$ d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}. $$ Označíme-li \begin{align*} m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\ M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \end{align*} dostáváme nerovnost $$ (x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq (x_k-x_{k-1})M_k $$ pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme $$ s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma). $$ Odtud již plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Objem a povrch rotačního tělesa} \begin{theorem}[Objem rotačního tělesa] Nechť funkce $f$ je nezáporná a má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je $$ V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x. $$ \end{theorem} %\subsection{Povrch rotačního tělesa} \begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa] Nechť funkce $f$ je nezáporná a má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je $$ S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x. $$ \end{theorem}