Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Limita funkce]{\fbox{Limita funkce}}
\subsection{Definice}
\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$]
Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a-p, a)\cup(a, a+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ je $\ell$:
$$
\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \ekv
(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p,a)\cup(a,a+p)~)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
$$
\end{define}
\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$ zprava]
Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a, a+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ \textbf{zprava} je $\ell$:
$$
\lim\limits_{x \to a+} f(x) = \ell \ekv
(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a,a+p)~)(a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
$$
\end{define}
\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$ zleva]
Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a-p, a)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ \textbf{zleva} je $\ell$:
$$
\lim\limits_{x \to a-} f(x) = \ell \ekv
(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p,a)~)(a-\delta<x<a \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
$$
\end{define}
\begin{theorem}[Vztah existence limity a existence limit zleva a zprava]
$$
\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \ekv
\lim\limits_{x \to a+} f(x) = \ell \wedge
\lim\limits_{x \to a-} f(x) = \ell
$$
\end{theorem}
\subsection{Vlastnosti limity}
\begin{lemma}\oprava
$$
\lim\limits_{x\to a} f(x) = 0 \ekv \lim\limits_{x\to a} |f(x)| = 0.
$$
\begin{proof}
Plyne z přímo z definice limity.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{theorem}[Ekvivalence zápisů limity]
Následující výroky jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$,
\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) - \ell=0$,
\item $\lim\limits_{x \to a} |f(x) - \ell|=0$,
\item $\lim\limits_{h \to 0} f(a+h)=\ell$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Jednoznačnost limity}
\begin{theorem}[O jednoznačnosti limity funkce]\oprava
$$
\left( \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell \quad \wedge \quad \lim\limits_{x \to a}f(x)=m \right) \quad\Rightarrow\quad \ell=m.
$$
\begin{proof}Sporem.
\\
Předpokládejme, že $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \wedge \lim\limits_{x \to a} f(x) = m \wedge \ell\neq m$.
\\
Zvolme $\varepsilon = \frac12|\ell-m| > 0$ a z definic limit existují pro toto $\varepsilon$ čísla $\delta_\ell>0$ a $\delta_m>0$ tak, že
\begin{align}
\nonumber 0 < |x-a| < \delta_\ell &\Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon \\
\nonumber 0 < |x-a| < \delta_m &\Rightarrow |f(x)-m| < \varepsilon
\end{align}
Definujme $\delta = \min\{\delta_\ell, \delta_m\}$, pak totiž pro $0 < |x-a| < \delta$ platí, že
$$
|\ell-m| =
\left|f(x)-m - (f(x)-\ell)\right| \underset{\underset{\triangle\neq}{\uparrow}}{\leq}
\underbrace{|f(x)-\ell|}_{<\varepsilon} +
\underbrace{|f(x)-m|}_{<\varepsilon} <
2\varepsilon = |\ell-m|.
$$
Dohromady dostáváme nerovnici $|\ell-m| < |\ell-m|$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Vlastnosti limity funkce]
Nechť $\lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$ a $\lim\limits_{x \to a}g(x)=m$, kde $\ell,m\in\R$. Potom:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\lim\limits_{x \to a} (f+g)(x) = \ell+m$,
\item[(ii)] $\lim\limits_{x \to a} (f-g)(x) = \ell-m$,
\item[(iii)] $\lim\limits_{x \to a} (fg)(x) = \ell m$,
\item[(iiii)] pokud navíc $m\neq0$, pak $\lim\limits_{x \to a} \frac fg(x) = \frac \ell m$,
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Plyne přímo z definice limity.
\end{proof}
\begin{corollary}
Nechť $p$ je polynom. Potom $\forall a\in\R$
$$
\lim\limits_{x \to a} p(x) = p(a).
$$
\end{corollary}
\subsection{Nekonečné limity}
\begin{define}[Nekonečná limita funkce $f$ v bodě $a$]
Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a-p, a)\cup(a, a+p)$ částí definičního oboru $D_f$.Potom
$$
\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty \ekv
(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p, a)\cup(a, a+p)~)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x) > \alpha),
$$
$$
\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty \ekv
(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p, a)\cup(a, a+p)~)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x) < -\alpha).
$$
\end{define}
\begin{remark}
Analogicky definice jednostranných limit
\begin{itemize}
\item $ \lim\limits_{x \to a+} f(x) = +\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to a+} f(x) = -\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to a-} f(x) = +\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to a-} f(x) = -\infty . $
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{theorem}[Vlastnosti nekonečných limit]\oprava
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq -\infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f+g)(x) = +\infty$
\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq +\infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f+g)(x) = -\infty$
\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq 0$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f\cdot g)(x) = (\sign{\ell})\cdot\infty$
\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq 0$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f\cdot g)(x) = (\sign{\ell})\cdot(-\infty)$
\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \pm\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to a} \left(\frac1f\right)(x) = 0$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{remark}
Výrazy $\ind$: \uv{$\infty-\infty$}, \uv{$0\cdot\infty$}, \uv{$\frac{\infty}{\infty}$}, \uv{$\frac{1}{0}$} a \uv{$\frac00$} jsou neurčité, je potřeba provést algebraické manipulace před samotnou limitou.
\end{remark}
\begin{define}[Limita funkce v nekonečnu]\oprava
$$
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l \ekv
(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x > \delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
$$
$$
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l \ekv
(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x < -\delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
$$
\end{define}
\begin{remark}
Analogicky definice
\begin{itemize}
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty $
\item $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty . $
\end{itemize}
\end{remark}
\subsection{Věta o limitě sevřené funkce}
\begin{theorem}[Sendvičová věta o limitě sevřené funkce]\label{thm:sendvic}
Buď $p>0$ a nechť pro funkce $d$, $f$ a $h$ platí, že $(a-p,a)\cup(a,a+p) \subset D_f \cap D_d \cap D_h$ a pro všechna $x\in(a-p,a)\cup(a,a+p)$ je $d(x) \leq f(x) \leq h(x)$.
Potom když $\lim\limits_{x \to a} d(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = \ell$, pak
existuje limita funkce $f$ v bodě $a$ a je rovna $\ell$
$$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell. $$
\end{theorem}
\begin{proof}
Pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje z definic limit $\delta_d$ a $\delta_h$ tak, že pro všechna $x$ taková, že
\begin{itemize}
\item $0 < |x-a| < \delta_d \Rightarrow \ell-\varepsilon < d(x) < \ell + \varepsilon$
\item $0 < |x-a| < \delta_h \Rightarrow \ell-\varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon$
\end{itemize}
Zvolíme-li $\delta = \min\{p, \delta_d, \delta_h\}$, platí pro všechna $x$ taková, že $0<|x-a|<\delta$, nerovnosti
$$
\ell-\varepsilon < d(x) < f(x) < h(x) < \ell + \varepsilon,
$$
čímž je věta dokázána.
\end{proof}
\begin{remark}
Věta \ref{thm:sendvic} platí i pro jednostranné limity a limity v nekonečnu.
\end{remark}
\subsection{Goniometrické limity}
\begin{remark}
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
\begin{itemize}
\item $\cos^2x+\sin^2x=1$
\item $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
\item $\label{cs2} \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{lemma}[Snížení mocniny u goniometrických funkcí]\label{lemma:sincos}\oprava
\begin{align*}
\cos^2(x) &= \frac{1+\cos(2x)}{2} \\
\sin^2(x) &= \frac{1-\cos(2x)}{2}
\end{align*}
\begin{proof}
Větu dokážeme pomocí součtových vzorců pro funkci $\cos(2x)= \cos^2(x)-\sin^2(x)$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{theorem}\label{thm:sinxx}
$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1.$$
\begin{proof}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics{sinxx}
\caption{Ilustrace k důkazu Věty \ref{thm:sinxx}.}\label{fig:sinxx}
\end{figure}
Nechť $x>0$ je úhel v radiánech. Z obrázku \ref{fig:sinxx} je patrná následující nerovnost mezi plochami AEB, ACB a ACD:
$$
\frac12\sin{x} < \frac12x < \frac12\tg{x},
$$
odkud
$$
\cos{x} < \frac{\sin{x}}{x} < 1.
$$
Z věty o limitě sevřené funkce snadno dostáváme tvrzení, které platí i o pro $x<0$ neb funkce $\frac{\sin{x}}{x}$ je sudá.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Asymptota funkce}
\begin{define}[Asymptota]
Přímku $y=kx+q$ nazveme asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. $-\infty$, platí-li, že
$$
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - kx -q = 0,
$$
resp.
$$
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) - kx -q = 0.
$$
\end{define}
\begin{define}[Vertikální asymptota]
Přímku $x=a$ nazveme vertikální asymptotou funkce $f$, má-li funkce $f$ v bodě
$a$ nekonečnou limitu zleva nebo zprava.
\end{define}
\begin{theorem}[Nalezení asymptoty]\label{thm:asy}
$y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $\pm\infty$ právě tehdy, když
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{thm:asy:1} k &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \\
\label{thm:asy:2} q &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)-kx.
\end{align}
\end{subequations}
\begin{proof}
Důkaz ekvivalence provedeme ve dvou krocích.\\
1. \uv{$\Rightarrow$}:
Z definice asymptoty platí $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) - kx -q = 0$, odkud přímo plyne (\ref{thm:asy:2}).
Tvrzení (\ref{thm:asy:1}) dostaneme tak, že zkoumáme limitu
$$
0 = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)-kx-q}{x} =
\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}-k-\frac{q}{x} =
\left(\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}\right) -k-0.
$$
\\
2. \uv{$\Leftarrow$}: Z (\ref{thm:asy:2}) rovnou plyne definice asymptoty $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) - kx -q = 0$.
\end{proof}
\end{theorem}