Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Úvod]{\fbox{Úvod}}
V této úvodní kapitole se seznámíme se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky.
Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
\subsection{Množiny}
\begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}.
Množiny zapisujeme ve tvaru
$$
M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
$$
\end{define}
\begin{define}[Operace s množinami]
Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
\begin{tabular}{lp{10cm}}
$x \in A$ & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
$x \notin A$ & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
$A \subset B$ & množina $A$ je částí množiny $B$. \\
$A \cup B$ & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
$A \cap B$ & průnik množin $A$ a $B$. \\
$\emptyset$ & prázdná množina. \\
$A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V:x>0$.
\end{tabular}
\end{define}
\begin{remark}
Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
\begin{itemize}
\item $A \cup \emptyset = A$
\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{example}
Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
\begin{itemize}
\item $A \subset B$
\item $A \cap B = \{ \female \} = A$
\item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
\end{itemize}
\end{example}
\begin{define}[Kartézský součin množin $A$ a $B$]\oprava
$$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$$
\end{define}
\subsection{Výroky}
\begin{define}[Výrok]
\textbf{Výrok} je tvrzení, o kterém můžeme rozhodnout zda platí nebo neplatí.
\end{define}
\begin{define}[Přehled operací s výroky]
Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
\begin{tabular}{lp{12cm}}
$V_{1}$ & výrok $V_{1}$ (platí).\\
$\neg V_{1}$ & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
$V_{1} \wedge V_{2}$ & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\
$V_{1} \vee V_{2}$ & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
$V_{1} \Rightarrow V_{2}$ & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
$\exists$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
$\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátorl - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
$\exists_{\infty}$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
$\forall$ & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots
\end{tabular}
\end{define}
\begin{remark}
Výlučná disjunkce (exkluzivní disjunkce, non-ekvivalence): buď platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$:
$(V_1 \vee V_2) \wedge \neg(V_1 \wedge V_2)$.
\end{remark}
\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]\label{def:vyroky}
V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\
\begin{tabular}{|c||c||c|c|c|c|}
\hline
$V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ & $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$
\\
\hline
\hline
P & P & P & P & P & P
\\
\hline
P & N & N & P & N & N
\\
\hline
N & P & N & P & P & N
\\
\hline
N & N & N & N & P & P
\\
\hline
\end{tabular}
\end{define}
\begin{lemma}\label{lemma1_7}
Pravidla při negování výroků (z definice~\ref{def:vyroky}):
\begin{enumerate}
\item $\neg(V_1\vee V_2) = \neg V_1 \wedge \neg V_2$
\item $\neg(V_1\wedge V_2) = \neg V_1 \vee \neg V_2$
\item $\neg(V_1\Rightarrow V_2) = V_1 \wedge \neg V_2$
\item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
\item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
\end{enumerate}
\end{lemma}
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
\begin{define}[Značení číselných množin]
\begin{tabular}{lp{10cm}}
Přirozená čísla $\N$, & $\N= \{ 1,2,3,4 \ldots \} $. \\
Celá čísla $\Z$, & $\Z= \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $. \\
Racionální čísla $\Q$, & $\Q= \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $. \\
Reálná čísla $\R$. \\
Iracionální čísla $\R\setminus\Q$. \\
Komplexní čísla $\C$, & $\C = \{ a+ib : a,b\in \R, i^2=-1 \}$.
\end{tabular}
\end{define}
\begin{lemma}[Vlastnosti reálných čísel]
Nechť $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $(a<b)\vee(a>b)\vee(a=b)$
\item $(a<b)\wedge(b<c) \Rightarrow (a<c)$ transitivita
\item $(a+b<a+c) \Rightarrow (b<c)$
\item $(a<b) \wedge (c>0) \Rightarrow ac<cb$ \\ $(a<b) \wedge (c<0) \Rightarrow ac>cb$
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{theorem}[O hustotě $\R$]\label{veta:ohmrc}
Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
\end{theorem}
\begin{corollary}
Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
\begin{proof}
\textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu.
Matematická věta je obvykle zapsána pomocí implikace výroků
\begin{equation}
\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení},
\end{equation}
přičemž podle pravidel negování výroku (Lemma \ref{lemma1_7}) je její negace
\begin{equation}
\neg(\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}) = \hbox{Předpoklad~} \wedge \neg \hbox{Tvrzení},
\end{equation}
% tj. předpokládáme platnost Předpokladu a zároveň neplatnost Tvrzení.
Uvažujme následující slovní vyjádření výroku (ozn. $V$):
\textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}.
Kvantifikovaně lze výrok $V$ vyjádřit takto:
$$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
$$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení
\textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
$$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle věty~\ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky větě~\ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
\end{proof}
\end{corollary}
\subsection{Důkaz matematickou indukcí}
\begin{remark}
Princip důkazu tvrzení $V[n]$ matematickou indukcí. Tvrzení $V[n]$ nazýváme \textbf{indukční předpoklad}.
\begin{enumerate}
\item \textbf{První krok.} Ověříme, že tvrzení platí pro nejnižší index, např. že $V[1]$ platí.
\item \textbf{Indukční krok $n\to n+1$.} Za předpkladu, že platí $V[n]$, dokážeme platnost $V[n+1]$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\subsection{Intervaly}
\begin{define}[Interval]
\begin{tabular}{l}
Otevřený interval $ (a,b) = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
Uzavřený interval $ [a,b] = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
Polootevřený (polouzavřený) interval $ [a,b) = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x < b ~ \} $
\end{tabular}
\end{define}
\begin{define}[Nekonečno]
Pro symbol $+\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x<+\infty)$.\\
Pro symbol $-\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x>-\infty)$.
\end{define}
\subsection{Omezenost množin}
\begin{define}[Omezenost množiny]\label{def:omezenost}
\begin{tabular}{lp{10cm}}
Říkáme, že množina $M$ je omezená shora & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $. \\
Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $. \\
Říkáme, že množina $M$ je omezená & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola. \\
Říkáme, že množina $M$ je neomezená & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola. \\
\end{tabular}
\end{define}
\begin{define}[Závora množiny]
Číslo $h$, resp. $d$ z definice~\ref{def:omezenost} nazvýváme horní, resp. dolní závora (hranice) množiny $M$.
\end{define}
\subsection{Absolutní hodnota}
\begin{define}[Absolutní hodnota]
\textbf{Absolutní hodnota} čísla $x\in\R$ je
$$
|x| = \left\{ \begin{array}{lcl}
x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
-x & \hbox{pro} & x < 0
\end{array}\right..
$$
\end{define}
\begin{remark}
Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost $\triangle\neq$]
$$ |a+b| \leq |a| + |b|. $$
\begin{proof}
Platí:
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
$$
kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostáváme
$$
|a+b| \leq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{corollary}
$$\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.$$
\begin{proof}
$$
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \geq |a|^2-2|a||b|+|b|^2 = (|a|-|b|)^2,
$$
kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostaneme tvrzení věty.
\end{proof}
\end{corollary}