Zdrojový kód
%\wikiskriptum{KTP1}
\chapter{Kvantování volných polí a částicová interpretace}
\section{Reálné skalární Klein-Gordanovo pole}
Nejprve probere nejjednodušší případ reálného skalárního pole $\varphi(x)$ s Lagrangiánem:
\begin{equation}
\label{eq:lagrKG}
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2.
\end{equation}
Provedeme takzvané "kanonické kvantování" vycházející z analogie s kvantovou mechanikou. (Není to jediná možnost.) Klasické pole $\varphi(x)$ nahradíme operátorem $\varphi(x)$ (ve značení nebudeme rozlišovat). Přesněji se jedná o funkci, která každému bodu prostoru přiřazuje operátor. Souřadnice $x$ zde vlastně čísluje stupně volnosti, kterých je tedy nekonečně (dokonce nespočetně) mnoho. Jelikož $\varphi(x)$ je analogií zobecněné souřadnice, zavedeme další operátor: $\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}}$ (analogie zobecněné hybnosti). (Tečkou označujeme časovou derivaci.) V tomto konkrétním případě dostaneme použitím explicitního tvaru Hamiltoniánu vztah:
\begin{equation*}
\pi(x) = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc \dot{\varphi}} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc (\parc_0 \varphi)} = \parc_0 \varphi.
\end{equation*}
Nyní zadáme \textbf{komutační relace} - opět v analogii s kvantovou mechanikou:
\begin{align}
\label{eq:komutacni}
[\varphi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] &= i\delta^3(\vec{x}-\vec{y}),\nonumber \\
[\varphi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)] &= 0, \\
[\pi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] &= 0. \nonumber
\end{align}
Kde $\varphi(x) = \varphi(\vec{x},t)$ a relace tedy postulujeme ve stejném čase. Někdy se používá alternativní zápis vycházející z anglického výrazu "Equal time commutation relations" (ETCR):
\begin{equation*}
[\varphi(x),\pi(y)]_{E.T.} = i\delta^3(\vec{x}-\vec{y}). \\
\end{equation*}
Jelikož $\varphi(x)$ je řešením Klein-Gordonovy rovnici ($(\square +m^2)\varphi(x)=0$), můžeme ho rozepsat pomocí rovinných vln:
\begin{equation*}
\varphi(x) = \int \frac{\dif^3 k}{(2\pi)^{3/2}(2k_0)^{1/2}} \left[ a(k)e^{-ikx} + a^\dagger(k)e^{ikx} \right], \\
\end{equation*}
kde $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ jsou koeficienty (ale operátory) a platí vztahy
\begin{align} \label{eq:k0}
kx &= k_0x_0 - \vec{k}\vec{x} \nonumber \\
k_0 &= \sqrt{\vec{k}^2+m^2}.
\end{align}
Naším dalším úkolem je určit komutační relace mezi $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ na základě komutačních relací \ref{eq:komutacni}. Nejprve si odvodíme takzvané \textbf{relace ortogonality} pro funkce:
\begin{align*}
f_k(x) &= N_k e^{-ikx}, \\
f_k^*(x) &= N_k e^{ikx},
\end{align*}
kde normalizační konstanta je $N_k = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}(2k_0)^{1/2}}$. Tyto relace mají tvar:
\begin{align}
\label{eq_relace_ortogonality}
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}), \nonumber \\
\int \dif^3x f_k(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= 0, \\
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}^*(\vec{x},t) &= 0. \nonumber
\end{align}
Důkaz relací ortogonality je v celku přímočarý:
\begin{align*}
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \\
= i N_k N_{k'} \int \dif^3x \left( e^{ikx} (\parc_0 e^{-ikx}) - (\parc_0 e^{ikx}) e^{-ikx} \right) &= \\
= i N_k N_{k'} \int \dif^3x \left(- ik'e^{i(k-k')x} - ike^{i(k-k')x} \right) &= \\
= N_k N_{k'} \int \dif^3x \left( (k_0'+k_0)e^{i(k_0-k_0')x_0-i(\vec{k}-\vec{k'})\vec{x}} \right) &= \\
= N_k N_{k'} (2\pi)^3(k_0'+k_0)e^{i(k_0-k_0')x_0} \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) &= \\
= N_k^2 (2\pi)^3(2k_0) \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}).
\end{align*}
Jen se využije vztah \ref{eq:k0} který umožní ztotožnit $k_0$ a $k_0'$ po ztotožnění prostorových částí. Druhé dvě rovnosti se dokáží zcela analogicky, kde kvůli stejnosti funkcí dojde ke vzájemnému odečtení obou členů.
Nyní můžeme vyjádřit $a(k)$ a $a^\dagger(k)$ pomocí $\varphi(x)$. Vezmeme rovnost
\begin{equation*}
\varphi(x) = \int \dif^3 k \left[ a(k)f_k(x) + a^\dagger(k)f_k^*(x) \right]. \\
\end{equation*}
Aplikujeme na ni derivaci, násobení a integraci: $\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}$ a pomocí relací ortogonality \ref{eq_relace_ortogonality} dostaneme:
\begin{align*}
&\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(x) = \iint \dif^3x \dif^3l \left[ a(l)f_k^*(x)i\parc_0 f_l(x) + a^\dagger(l)f_k^*(x)i\parc_0 f_l^*(x) \right] = \\
& = \int \dif^3l \left[ a(l)\delta^3(\vec{k}-\vec{k'}) + a^\dagger(k)\cdot 0 \right] = \int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(x) = a(k).
\end{align*}
A zcela analogickým způsobem (násobením $\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}$) pro $a^\dagger(k)$ dostáváme výsledek:
\begin{align*}
a(k) &= i\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t), \\
a^\dagger(k) &= -i\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t).
\end{align*}
Nyní se konečně dostáváme k určení komutačních relací $a(k)$ a $a^\dagger(k)$. Dosazením právě získaného výsledku dostaneme:
\begin{align*}
[a(k),a^\dagger(k')] &= i(-i)\left[\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\varphi(\vec{x},t), \int \dif^3y f_{k'}(\vec{y},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\varphi(\vec{y},t)\right] \\
&= \int \dif^3x \int \dif^3y[ f_k^*(\vec{x},t)\dot{\varphi}(\vec{x},t) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)\varphi(\vec{x},t), f_{k'}(\vec{y},t)\dot{\varphi}(\vec{y},t) - \dot{f_{k'}}(\vec{y},t)\varphi(\vec{y},t)] \\
&= \{ \dot{\varphi} = \pi \quad [\varphi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)]=0 \quad [\pi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] = 0\} \\
&= \int \dif^3x \int \dif^3y \left( -f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{y},t)[\pi(\vec{x},t),\varphi(\vec{y},t)] -\dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{y},t)[\varphi(\vec{x},t),\pi(\vec{y},t)] \right) \\
&= \int \dif^3x \left( -f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{y},t)(-i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{y},t)(i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})) \right) \\
&= i\int \dif^3x \left( f_k^*(\vec{x},t)\dot{f_{k'}}(\vec{x},t) - \dot{f_k^*}(\vec{x},t)f_{k'}(\vec{x},t) \right) \\
&= \int \dif^3x \left( f_k^*(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\parc_0}\dot{f_{k'}}(\vec{x},t) \right) = \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}).\\
\end{align*}
A analogickým postupem pro další komutátory:
\begin{align*}
[a(k),a^\dagger(k')] &= \delta^3(\vec{k}-\vec{k'}), \\
[a(k),a(k')] &= 0, \\
[a^\dagger(k),a^\dagger(k')] &= 0.
\end{align*}
\textbf{Poznámka:} Někdy se používá trochu jiná normalizace, a tak u komutátorů vyjdou nějaké prefaktory.
\textbf{Poznámka:} Ohledně fyzikálního rozměru výše zavedených veličin máme: $[\varphi]=M$, $[\pi]= [\dot{\varphi}]=M^2$, a tedy rozměr komutátoru $[[\varphi,\pi]]=M^3$, což koresponduje s tím, že $[\delta^3(\vec{x}-\vec{y})]=L^{-3}=M^3$. Podobně se dá určit rozměr $a(k)$ a $a^\dagger(k)$.
Nyní ještě najdeme hybnosti pole $P_j \equiv \int \dif^3x \mathcal{T}^{0j}$. Pro složky hustoty tenzoru energie a hybnosti obecně platí
\begin{align*}
\mathcal{T}^{\mu \nu} = \frac{\parc \mathcal{L}}{\parc(\parc_\mu \varphi)}\parc_\nu \varphi - g^{\mu \nu} \mathcal{L}.
\end{align*}
Dosazením konkrétního tvaru Lagrangiánu \ref{eq:lagrKG} dostaneme pro požadované složky výraz:
\begin{align*}
\mathcal{T}^{0 j} = \parc_0 \varphi \parc^j \varphi.
\end{align*}
Nyní dosadíme za $\varphi$ a dostaneme $P^j$ pomocí operátorů $a$ a $a^\dagger$:
\begin{align*}
P_j &= \int \dif^3x \mathcal{T}^{0j} = \int \dif^3x \parc_0 \varphi \parc^j \varphi \\
&= \int \dif^3x \iint \dif^3k \dif^3l N_k N_l \left( a(k)(-ik_0)e^{-ikx}+\ad(k)(ik_0)e^{ikx} \right)\left( a(l)(-il^j)e^{-ilx}+\ad(l)(il^j)e^{ilx} \right) \\
&= \iint \dif^3k \dif^3l N_k N_l \left[ (-ik_0)(-il^j)\delta(\vec{k}+\vec{l})e^{-i(k_0+l_0)x}a(k)a(l) + \right. \\
& \quad \quad +(-ik_0)(il^j)\delta(\vec{k}-\vec{l})e^{-i(k_0-l_0)x}a(k)\ad(l) + \\
& \quad \quad +(ik_0)(-il^j)\delta(\vec{k}-\vec{l})e^{-i(k_0-l_0)x}\ad(k)a(l) + \\
& \left. \quad \quad +(ik_0)(il^j)\delta(\vec{k}+\vec{l})e^{-i(k_0+l_0)x}\ad(k)\ad(l)\right]= \int \dif^3k N_k^2 (2\pi)^3 \\
& \left( k_0 k^j e^{-2ik_0 x_0}a(k)a(-k) + k_0 k^j e^{2ik_0 x_0}\ad(k)\ad(-k) + k_0 k^j e^{0}\ad(k)a(k) + k_0 k^j e^{0}a(k)\ad(k)\right) = \\
&= \int \dif^3k \pol k^j \left( \ad(k)a(k) + a(k)\ad(k)\right).
\end{align*}
V posledním kroku vypadly první dva členy kvůli tomu, že část $N_k^2 (2\pi)^3 k_0 e^{\pm 2ik_0 x_0}a(k)a(k)$ je symetrická v záměně $\vec{k} \rightarrow -\vec{k}$ (sudá) a část $k^j$ je antisymetrická a integrujeme přes symetrický interval.
\section{Formalismus konečného objemu}
Jedná se o alternativní popis, kde místo celého nekonečného prostoru uvažujeme jen dostatečně velkou krychli o hraně $L$. (Později budeme uvažovat i konečný čas $T$.) Na hranách krychle požadujeme periodické podmínky $\varphi(t,0,y,z) = \varphi(t,L,y,z)$ a stejně ve všech směrech. To tedy dává podmínku na rovinné vlny $e^{ik_1 0}=e^{ik_1 L}$. Impuls pak může nabývat jen diskrétních hodnot $k_1=\frac{2\pi n_1}{L}$, kde $n_1\in \Z$ (a stejně pro $k_2$ a $k_3$).
\subsection{Klein Gordonova rovnice v konečném objemu}
Máme zde nyní spočetnou superpozici rovinných vln
\begin{align*}
\varphi(x)=\sum_{\vec{k}} N_k \left( a_k e^{-ikx} + \ad_k e^{ikx} \right),
\end{align*}
kde $k_j=\frac{2\pi n_j}{L}$, $n_j \in \Z$. Chceme najít vhodnou normalizační konstantu $N_k$ tak, aby platily relace ortogonality ve formě analogické nekonečnému objemu:
\begin{align*}
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= \delta_{\vec{k},\vec{k'}}, \\
\int \dif^3x f_k(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}(\vec{x},t) &= 0, \\
\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t) i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0} f_{k'}^*(\vec{x},t) &= 0,
\end{align*}
kde jsme opět označili $f_k(x)=N_ke^{-ikx}$ a $f_k^*(x)=N_ke^{ikx}$. Pokud spočteme výraz na levé straně první rovnice, vyjde nám $N_k^2 2k_0 V\delta_{\vec{k},\vec{k'}}$. Vychází to z toho, že integrály se součinem exponenciál s různými impulsy jsou díky hraničním podmínkám nulové a při stejných impulsech integrujeme jednotku přes celý objem. Odtud dostáváme podmínku $N_k^2=\frac{1}{V 2k_0}$.
\textbf{Poznámka:} Dimensionalita $a(k)$ a $a_k$ ve spojitém a diskrétním spektru impulsů. Pro nekonečný objem je $[\varphi]=M$, $[\dif^3k]=M^3$, $[N_k]=M^{-\pol}$, a tedy platí $M=M^3M^{-\pol}[a(k)]$, odkud $[a(k)]=M^{-\frac{3}{2}}$. V konečném objemu je $[\varphi]=M$, $[\dif^3k]=M$,a tedy $M=M[a(k)]$, odkud $[a(k)]=M^0=1$.
\subsubsection{Komutační relace pro $a_k$ a $\ad_k$}
Z relací ortogonality a tvaru $\varphi(x)$ dostaneme stejné výrazy pro $a_k$ a $\ad_k$:
\begin{align*}
a_k &= i\int \dif^3x f_k^*(\vec{x},t)\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t), \\
\ad_k &= -i\int \dif^3x f_k(\vec{x},t)i\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_0}\varphi(\vec{x},t).
\end{align*}
Z těchto vztahů analogicky odvodíme komutační relace:
\begin{align*}
[a_k,\ad_{k'}] &= \delta_{\vec{k},\vec{k'}}, \\
[a_k,a_{k'}] &= 0, \\
[\ad_{k},\ad_{k'}] &= 0.
\end{align*}
Obdobně také můžeme určit hodnoty energie a impulsu:
\begin{align*}
H &=\int \dif^3x \mathcal{T}^{00}=\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right), \\
P^j &=\int \dif^3x \mathcal{T}^{0j}=\sum_{\vec{k}} \pol k^j \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right).
\end{align*}
\subsection{Vlastnosti $a_k$ a $\ad_k$}
Označíme operátor $\ad_k a_k \equiv N_k$. Je to trochu nešťastné označení, které se může plést s normalizační konstantou, ale tento operátor se tak tradičně značí, protože se jedná o operátor počtu částic.
\begin{enumerate}
\item Platí $[N_k,a_k]=-a_k$, $[N_k,\ad_k]=\ad_k$ a pro $l\neq k $ platí $[N_k,a_l]=0$ a $[N_k,\ad_l]=0$,
\item $[N_k,N_l]=0$.
\end{enumerate}
Obě tvrzení se dokážou jednoduše dosazením za $N_k$.
\subsection{Trik s energií - normální uspořádání}
Nyní pomocí komutátoru přepíšeme výraz pro energii:
\begin{align*}
H &=\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right) = \sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + \ad_k a_k + 1 \right) = \sum_{\vec{k}} \left( k_0 \ad_k a_k + \pol k_0 \right).
\end{align*}
Problém je v tom, že nekonečný součet kladných hodnot $\pol k_0$ pochopitelně diverguje. (U $P^j$ problém nenastává, jelikož se kladné a záporné hodnoty vysčítají na nulu.) Řešení je jednoduché, prostě se slovy "normální uspořádání" problematický člen škrtneme. Tento velmi podezřelý krok je možné ospravedlnit. Člen totiž vznik v důsledku komutování operátorů, které jsme do Hamiltoniánu dostali přes princip ekvivalence. Tento princip nám však neříká, v jakém pořadí operátory napsat. (V klasickém případě je to jedno a jen se používá nějaká pohodlná forma.) Protože jsme již chytřejší, můžeme si vlastně rovnou zavést Hamiltonián s vhodným uspořádáním operátorů a problém pak vůbec nenastane. Máme tedy:
\begin{align*}
H =\sum_{\vec{k}} k_0 \ad_k a_k , \quad P^j =\sum_{\vec{k}} k^j \ad_k a_k.
\end{align*}
Pak dále platí $[H,a_k]=-k_0 a_k$ a $[H,\ad_k]=+k_0 \ad_k$.
Zavádí se i pojem \textbf{normální součin} ve Fokově prostoru, který funguje tak, že anihilační operátory se vždy přesunou napravo. Zavádíme i označení pomocí dvojteček, například:
\begin{align*}
:H: \quad &=\quad :\sum_{\vec{k}} \pol k_0 \left( \ad_k a_k + a_k \ad_k \right):\quad = \sum_{\vec{k}} k_0 \ad_k a_k.
\end{align*}
Je zde otázka, zda přechod k normálnímu uspořádání nezkazí dříve odvozené komutační relace. Odpověď je, že ne, jelikož jsme do k výrazu jen přičetli násobek jednotkové operátoru, což nemá vliv na komutátor.
\subsection{Význam operátorů $a_k$ a $\ad_k$}
Mějme $\Ket{\psi}$ vlastní stav Hamiltoniánu, tedy $H\Ket{\psi}=E\Ket{\psi}$. nyní budeme zkoumat, co je $\ad_k \Ket{\psi}$.
\begin{align*}
H\ad_k \Ket{\psi} = (k_0 \ad_k + \ad_k H)\Ket{\psi} = k_0 \ad_k \Ket{\psi} + E \ad_k \Ket{\psi} = (k_0+E)\ad_k \Ket{\psi}
\end{align*}
Z tohoto vztahu vidíme, že energie stavu $\ad_k \Ket{\psi}$ je o $k_0$ větší, než energie $\Ket{\psi}$. To tedy znamená, že $\ad_k$ dodal systému energii. Tady už v podstatě vidíme, že se jedná o kreační operátor. Využitím vztahu $[P^j,\ad_k] = k^j \ad_k$ dostane úplně analogicky pro vlastní stav impulsu $P^j\Ket{\psi} = p^j \Ket{\psi}$ rovnici $P^j\ad_k\Ket{\psi} = (k^j+p^j) \Ket{\psi}$, a tedy $\ad_k$ také přidává impuls. Operátor $a_k$ působí přesně opačným způsobem. Poznamenejme, že jelikož $[H,P^j]=0$, můžeme mít společné vlastní stavy obou operátorů.
\textbf{Poznámka:} (Důležitá!) V dalším budeme potřebovat stav $\Ket{\psi_0}$, pro který platí $a_k \Ket{\psi_0} = 0$. Existenci takového stavu odvodíme pomocí operátoru $N_k=\ad_k a_k$. Vezmeme vlastní stav $\Ket{\psi}$ operátoru $N_k$ (vzhledem k nové podobě Hamiltoniánu je to i jeho vlastní stav), tedy $N_k\Ket{\psi}=\alpha \Ket{\psi}$. Zjistíme, že $a_k$ snižuje vlastní hodnotu $\alpha$ o jedna, tedy
\begin{align*}
N_k a_k \Ket{\psi} = (\alpha-1) a_k \Ket{\psi}.
\end{align*}
Jelikož $N_k$ je pozitivní operátor, nemůžeme se dostat do záporných hodnot, a tedy musíme někdy trefit nulu. Tedy "máme dobré důvody se domnívat", že existuje stav (označovaný $\Ket{0}$), pro který platí $a_k \Ket{0} = 0$ pro $\all k$. (Jedná se vlastně o tenzorový součin stavů $\Ket{\psi_0^{k}}$ pro různá $k$.) Stavu $\Ket{0}$ se říká vakuum a nejedná se o nulový vektor Hilbertova prostoru!
Jelikož v operátorech $H$ a $P^j$ anihilační operátor $a_k$ působí na stav jako první, platí $H\Ket{0}=0$ a $P^j\Ket{0}=0$. Dále $\ad_k\Ket{0}$ je stav s energií $k_0$ a impulsem $\vec{k}$.
\subsection{Časový vývoj pole $\varphi(x)$}
Kvantové pole $\varphi(x)$ je Heisenbergův operátor, a tedy se řídí rovnicí:
\begin{align*}
\frac{\parc}{\parc t} \varphi(x) = i[H,\varphi(x)].
\end{align*}
Tento vztah dokážeme:
\begin{align*}
\varphi(t,\vec{x}) &= \sum_k N_k \left( a_k e^{-ikx} + \ad_k e^{ikx}\right), \\
\frac{\parc}{\parc t} \varphi(x) &= \sum_k N_k \left( (-ik_0) a_k e^{-ikx} + \ad_k (ik_0) e^{ikx}\right), \\
i[H,\varphi(t,\vec{x})] &= i\sum_k N_k \left( [H,a_k] e^{-ikx} + [H,\ad_k] e^{ikx}\right)
\end{align*}
a platí $[H,a_k] = -k_0 a_k$ a $[H,\ad_k] = k_0 \ad_k$.
\textbf{Poznámka:} Díky tomu, že kreační operátory s různými hodnotami $k$ a $k'$ komutují, dostáváme jejich působením na vakuum $\kvak$ symetrické stavy. Například platí:
\begin{align*}
\ad_k \ad_{k'} \kvak \equiv \Ket{k,k'} = \Ket{k',k} = \ad_{k'} \ad_k \kvak .
\end{align*}
Tyto částice se tedy řídí Bose-Einsteinovou statistikou.
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Komplexní Klein-Gordonovo pole}
Máme Lagrangián
\begin{align*}
\label{eq:lagrkKG}
\mathcal{L} = \parc_\mu \varphi \parc^\mu \varphi^* - m^2\varphi \varphi^* ,
\end{align*}
kde $\varphi$ a $\varphi^*$ jsou nezávislé komponenty pole. Tento Lagrangián vede na rovnice $(\square + m^2)\varphi = 0$ respektive $(\square + m^2)\varphi^* = 0$. V klasické fyzice máme řešení (opět přecházíme do spojitého formalismu v nekonečném prostoru.)
\begin{align*}
\varphi(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b(k) e^{-ikx} + d^*(k)e^{ikx}\right) , \\
\varphi^*(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b^*(k) e^{ikx} + d(k)e^{-ikx}\right).
\end{align*}
Kvantováním přejdeme k operátorům:
\begin{align*}
\varphi(x) &= \int \dif^3k N_k \left( b(k) e^{-ikx} + \dd(k)e^{ikx}\right) , \\
\varphi^\dagger(x)&= \int \dif^3k N_k \left(\bd(k) e^{ikx} + d(k)e^{-ikx}\right).
\end{align*}
\subsection{Kanonické komutační relace}
Nejprve zavedeme sdružení impulsy
\begin{align*}
\frac{\parc \lagr}{\parc \dot{\varphi}} = \dot{\varphi}^\dagger(x) , \quad
\frac{\parc \lagr}{\parc \dot{\varphi}^\dagger} = \dot{\varphi}(x)
\end{align*}
a zavedeme kanonické komutační relace:
\begin{align*}
[\varphi(x),\varphi(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [\varphi(x),\varphi^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\varphi^\dagger(x),\varphi^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \\
[\dot{\varphi}(x),\dot{\varphi}(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [\dot{\varphi}(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\dot{\varphi}^\dagger(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0, \\
[\varphi(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} &= i\delta^3(\vec x - \vec y), \quad [\varphi(x),\dot{\varphi}(y)]_{E.T.} = 0, \quad [\varphi^\dagger(x),\dot{\varphi}^\dagger(y)]_{E.T.} = 0.
\end{align*}
Pomocí analogického postupu jako v předchozím případě dostaneme komutační relace pro $b(k), \bd(k), d(k), \dd(k)$:
\begin{align*}
[b(k),\bd(k')]= \delta^3(\vec k - \vec{k'}), \quad [d(k),\dd(k')]= \delta^3(\vec k - \vec{k'}).
\end{align*}
Všechny ostatní kombinace dávají nulový komutátor.
\subsubsection{Energie a impuls}
Analogickým postupem dostaneme výsledky:
\begin{align*}
:H: \quad &= \int \dif^3k~ k_0 [\bd(k)b(k)+\dd(k)d(k)], \\
:\vec P: \quad &= \int \dif^3k~ \vec k [\bd(k)b(k)+\dd(k)d(k)].
\end{align*}
Platí, že $\bd, \dd$ jsou kreační operátory "částice" (viz dále) s hmotou $m$ a $b, d$ jsou odpovídající anihilační operátory.
\subsubsection{Náboj}
Pro klasické K-G pole se zachovává čtařproud $J_\mu = i(\varphi^*\parc_\mu \varphi - \varphi\parc_\mu \varphi^*)$, tedy $\parc^\mu J_\mu = 0$. Tomu odpovídá zachování náboje $Q \equiv \int \dif^3x J_0(t,\vec x)$. V kvantovém případě pak máme:
\begin{align*}
Q \quad &= i \int \dif^3x (\varphi^\dagger \parc_0 \varphi - (\parc_0 \varphi^\dagger)\varphi) = \ldots = \int \dif^3k (\bd(k)b(k)-d(k)\dd(k)), \\
:Q: \quad &= \int \dif^3k \left(\bd(k)b(k)-\dd(k)d(k)\right).
\end{align*}
Díky znaménku mínus $Q$ není pozitivní operátor. konkrétně platí, že
\begin{itemize}
\item $Q\bd(k)\kvak = \bd(k)\kvak$, tedy se jedná o vlastní stav s vlastní hodnotou $+1$ a
\item $Q\dd(k)\kvak = -\bd(k)\kvak$, tedy se jedná o vlastní stav s vlastní hodnotou $-1$.
\end{itemize}
Z toho vychází, že operátory $\bd$ a $b$ odpovídají částicím a $\dd$ a $d$ antičásticím.
\section{Diracovo pole}
Máme Lagrangián
\begin{align*}
\mathcal{L} = i\bpsi \ga^\mu \parc_\mu \psi - m\bpsi \psi ,
\end{align*}
kde $\bpsi$ a $\psi$ jsou nezávislé komponenty pole. Chtěli bychom udělat kanonické kvantování obdobným způsobem jako v předchozích případech. První problém je v tom, že sice $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} \neq 0$, ale $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \bpsi)} = 0$, a tedy nemůžeme zavést kanonický impuls. To by se však dalo vyřešit přepsáním Lagrangiánu do jiné formy, která má symetricky zastoupeny $\bpsi$ a $\psi$. Stejně se však nakonec narazí na problém s komutátory. My se nebudeme touto cestou, která nikam nevede, vydávat. Jelikož nás zajímá především částicová interpretace a ne přímo pole, zjistíme, jak definovat $[x,p]$, aby nám vyšly dobré výsledky.
\subsection{Energie}
Pro určení energie použijeme vztah $H=\int \dif^3x \mathcal{T}^{00}$, kde
\begin{align*}
\mathcal{T}^{00} = \frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} \parc_0 \psi + \parc_0 \bpsi \frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \bpsi)} - g^{00} \lagr = [\lagr = 0 \mbox{ pro řeš. poh. rovnic }] =
i\bpsi \ga^0 \parc_0 \psi = i \psi^\dagger \parc_0 \psi.
\end{align*}
Pro $\psi$ použijeme výraz z relativistické kvantové mechaniky.
\begin{align*}
\psi(x) = \int \dif^3p N_p \sum_{s} \left( b(p,s)u(p,s)e^{-ipx} + \dd(p,s)v(p,s)e^{ipx}\right),
\end{align*}
kde $N_p = \frac{1}{(2\pi)^\frac{3}{2}\sqrt{2p_0}}$, $p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$. Potom dostáváme:
\begin{align*}
H =& \int \dif^3x \iint \dif^3p \dif^3q N_p N_q \sum_{s,s'} \left( \bd(p,s)u^\dagger(p,s)e^{ipx} + d(p,s)v^\dagger(p,s)e^{-ipx}\right) \\
&\left( b(q,s')u(q,s')i(-iq_0)e^{-ipx} + \dd(q,s')v(q,s')i(iq_0)e^{ipx}\right) = \\
=& (2\pi)^3 \iint \dif^3p \dif^3q N_p N_q \sum_{s,s'} ( \\
& \bd(p,s)b(q,s')u^\dagger(p,s)u(q,s')q_0 1 \delta^3(\vec p - \vec q) - \\
& - \bd(p,s)\dd(q,s')u^\dagger(p,s)v(q,s')q_0 e^{2ip_0x_0} \delta^3(\vec p + \vec q) + \\
& + d(p,s)b(q,s')v^\dagger(p,s)u(q,s')q_0 e^{-2ip_0x_0} \delta^3(\vec p + \vec q) - \\
& - d(p,s)\dd(q,s')v^\dagger(p,s)v(q,s')q_0 1 \delta^3(\vec p - \vec q)) = \\
=& p_0 \iint \dif^3p N_p^2 (2\pi)^3 \sum_{s,s'} ( \\
& \bd(p,s)b(p,s')u^\dagger(p,s)u(p,s') \delta^3(\vec p - \vec q) - \\
& - \bd(p,s)\dd(\tilde{p},s')u^\dagger(\tilde{p},s)v(\tilde{p},s') e^{2ip_0x_0} + \\
& + d(p,s)b(\tilde{p},s')v^\dagger(\tilde{p},s)u(\tilde{p},s') e^{-2ip_0x_0} - \\
& - d(p,s)\dd(p,s')v^\dagger(p,s)v(p,s') ),
\end{align*}
Kde jsme označili $\tilde{p} = (p_0,-\vec p)$, které vzniklo z $\delta$-funkce s plusem. (Nultá složka nezávisí na znaménku prostorové části čtyřvektoru.) Nyní použijeme takzvané \textbf{Gordanovy identity}:
\begin{align*}
\bar{u}(p)\ga_\mu u(p') &= \frac{1}{2m}\bar{u}(p)\left[ (p+p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (p-p')^\nu \right]u(p'), \\
\bar{v}(p)\ga_\mu u(p') &= \frac{1}{2m}\bar{v}(p)\left[ (-p+p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (-p-p')^\nu \right]u(p'), \\
\bar{u}(p)\ga_\mu v(p') &= \frac{1}{2m}\bar{u}(p)\left[ (p-p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (p+p')^\nu \right]v(p'), \\
\bar{v}(p)\ga_\mu v(p') &= \frac{1}{2m}\bar{v}(p)\left[ (-p-p')_\mu +i\sigma_{\mu \nu} (-p+p')^\nu \right]v(p').
\end{align*}
Pomocí ní si snadno odvodíme vztahy:
\begin{align*}
u^\dagger(p,s)u(p,s') &= \bar{u}(p,s)\ga_0 u(p,s'0) = \frac{1}{2m}\bar{u}(p,s)u(p,s')\left[ (p_0 + p_0) +i\sigma_{\mu \nu} (p_0-p_0) \right] = \\
&= \frac{1}{2m} 2p_0 2m \delta_{s,s'} = 2p_0 \delta_{s,s'} \\
v^\dagger(p,s)v(p,s') &= 2p_0 \delta_{s,s'} \\
u^\dagger(p,s)v(\tilde{p},s') &= 0 \\
v^\dagger(p,s)u(\tilde{p},s') &= 0. \\
\end{align*}
Nyní můžeme dokončit výpočet energie
\begin{align*}
H =& \int \dif^3p N_p^2 (2\pi)^3 p_0 2p_0 \sum_{s} \left( b(p,s)b^\dagger(p,s) - d(p,s)b^\dagger(p,s)\right) = \\
=& \int \dif^3p \sum_{s} p_0 \left( b(p,s)b^\dagger(p,s) - d(p,s)b^\dagger(p,s)\right)
\end{align*}
Důležité je zde znaménko mínus v závorce. To právě způsobuje problémy (řešení s negativní energií). Kvůli tomu nyní definujeme \textbf{antikomutační} relace:
\begin{align*}
\{d(p,s),d^\dagger (p',s')\} = \delta_{s,s'}\delta^3(\vec p + \vec p'), \\
\{b(p,s),b^\dagger (p',s')\} = \delta_{s,s'}\delta^3(\vec p + \vec p').
\end{align*}
\subsection{Náboj}
Výpočet je stejný jako v relativistické kvantové mechanice, jen $b$ a $d$ jsou nyní operátory.
\begin{align*}
Q = \int \dif^3x\psi^\dagger \psi = \ldots = \int \dif^3x \sum_s (\bd(p,s)b(p,s)+d(p,s)\dd(p,s))
\end{align*}
Náboj je nyní pozitivně definitní, což je další rozdíl, který se spraví antikomutačními relacemi.
\subsection{Částicová interpretace}
Pro Diracovo pole platí relace (v konečném objemu):
\begin{align*}
[\bd_k b_k, b_k] &= -b_k, \quad [\dd_k d_k, d_k] = -d_k, \\
[\bd_k b_k, \bd_k] &= \bd_k, \quad [\dd_k d_k, \dd_k] = \dd_k .
\end{align*}
Tyto vztahy se dokazují pomocí obecně platné identity
\begin{align*}
[AB,C] &= A\{B,C\} - \{A,C\}B .
\end{align*}
Vynecháme diskusi spinu.
\textbf{Poznámka:} Nyní platí pro stavy vytvořené z vakua vztahy $\bd(p,s)\bd(p',s')\kvak \equiv \Ket{p,s,p',s'} = -\bd(p',s')\bd(p,s)\kvak = \Ket{p',s',p,s}$, tedy vlnová funkce je antisymetrická vůči záměně částic. Z toho vyplývá vztah $\bd(p,s)\bd(p,s)\kvak = -\bd(p,s)\bd(p,s)\kvak = 0$, což je známý Pauliho vylučovací princip pro fermiony.
\textbf{Poznámka:} Pokud bychom zavedli sdružený impuls $\frac{\parc \lagr}{\parc(\parc_0 \psi)} = i\bpsi \ga_0 = i\psi^\dagger$ a definovali bychom kanonickou antikomutační relaci
\begin{align*}
\{\psi(x),i\psi^\dagger(y)\}_{E.T.} &= i\delta^3(\vec x + \vec y) \mbox{, tedy} \\
\{\psi(x),\psi^\dagger(y)\}_{E.T.} &= \delta^3(\vec x + \vec y),
\end{align*}
dospěli bychom k výsledkům, které jsme odvodili jiným způsobem.
\textbf{Poznámka:} I Diracova pole jsou Heisenbergovy operátory, takže se vyvíjí podle rovnic
\begin{align*}
\parc_0 \psi = i[H,\psi], \parc_j \psi = i[P_j,\psi].
\end{align*}
(Je doporučeno si to zkusit samostatně dokázat.)
%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Hmotné vektorové pole (Procovo)}
Máme Lagrangián
\begin{align*}
&\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + \pol m^2 A_\mu A^\mu \mbox{, kde} \\
&F_{\mu \nu} = \parc_\mu A_\nu - \parc_\nu A_\mu .
\end{align*}
U tohoto pole budou pět vyhovovat komutační relace. Je to tím, že opět popisuje bosony, tentokrát se spinem 1. Tento Lagrangián vede na Euler-Lagrangeovy rovnice
\begin{align*}
&\parc_\mu F^{\mu \nu} + m^2 A^\nu = 0 \quad \lra \quad (\square + m^2)A^\nu = 0, \\
&\mbox{a platí } \parc_\mu A^\mu = 0.
\end{align*}
Chceme mít pouze tři nezávislé komponenty pole $A_j$ a komponentu $A_0$ závislou. Zavedeme zobecněné impulsy
\begin{align*}
\pi_j \equiv \frac{\parc \lagr}{\parc (\parc_0 A_j)} = -F^{0j} = -\parc_0 A_j + \parc_j A_0.
\end{align*}
Nyní postulujeme kanonické komutační relace:
\begin{align*}
[A_j(x),\pi_k(y)]_{E.T.} &= i\delta_{j,k}\delta^3(\vec x - \vec y), \\
[A_j(x),A_k(y)]_{E.T.} &= 0, \\
[\pi_j(x),\pi_k(y)]_{E.T.} &= 0.
\end{align*}
Nyní vyjádříme komponenty $A_0$ a $\dot A_0$ pomocí kanonických proměnných $A_j$ a $\pi_k$. Pohybová rovnice $\parc_\mu F^{\mu \nu} + m A^\nu = 0$ pro $\nu = 0$ dává $\parc_\mu F^{\mu 0} + m A^0 = 0$, a tedy $A^0 = -\frac{1}{m^2}(-(-\parc_j F_{0,j})) = -\frac{1}{m^2}\parc_j \pi_j$. Ze vztahu $\parc_\mu A^\mu =0$ pak dostáváme $\dot A_0 + \parc_j A^j = 0$. Celkově tedy máme:
\begin{align*}
A_0 &= -\frac{1}{m^2} \vec \nabla \vec \pi , \\
\dot A_0 &= -\parc_k A^k.
\end{align*}
Opět budeme hledat komutační relace pro kteační a anihilační operátor. Máme řešení Proccovy rovnice
\begin{align*}
&A_\mu(x) = \int \dif^3k N_k \sum_{\lambda=1}^3 \left( a(k,\lambda)\epsilon_\mu(k,\lambda)e^{-ikx} + \ad(k,\lambda)\epsilon^*(k,\lambda)e^{ikx} \right) \mbox{, kde }\epsilon \mbox{ splňuje } \\
&k^\mu \epsilon_\mu(k,\lambda)=0 \quad \all \lambda =1, 2, 3, \\
&\epsilon^\mu(k,\lambda)\epsilon^*_\mu(k,\lambda')=-\delta_{\lambda, \lambda'}.
\end{align*}
Zavedeme si označení
\begin{align*}
&\sum_{\lambda=1}^3 a(k,\lambda)\epsilon_\mu(k,\lambda) \equiv a_\mu(k) \mbox{, a tedy} \\
&A_\mu(x) = \int \dif^3k N_k \left( a_\mu(k,\lambda)e^{-ikx} + \ad_\mu(k,\lambda)e^{ikx} \right).
\end{align*}
Z relací ortogonality pro $f_k(x) = N_k e^{-ikx}$ dostaneme
\begin{align*}
a_\mu(k) &= i\int \dif^3x f_k^*(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x), \\
\ad_\mu(k) &= -i\int \dif^3x f_k(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x).
\end{align*}
Pak pro $[a_\mu(k),\ad_\nu(k')]$ dostáváme
\begin{align*}
&[a_\mu(k),\ad_\nu(k')] = \iint \dif^3x \dif^3y \left[ f_k^*(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x), f_{k'}(t,\vec x) \asd{0} A_\mu(t,\vec x)\right] = \\
&= \iint \dif^3x \dif^3y \left[ f_k^*(t,\vec x) \dot A_\mu(t,\vec x) - \dot f_k^*(t,\vec x) A_\mu(t,\vec x), f_{k'}(t,\vec x) \dot A_\mu(t,\vec x) - \dot f_{k'}(t,\vec x) A_\mu(t,\vec x)\right]_{x_0=y_0}.
\end{align*}
Zde je důležité vyjádření $A_0 = -\frac{1}{m^2} \vec \nabla \vec \pi$ a $\dot A_0 = -\parc_k A^k$, abychom mohli použít kanonické komutační relace. Tak se dospějeme k relevantním komutátorům:
\begin{align*}
[A_0(x),A_j(y)]_{E.T.} &= -\frac{i}{m^2}\parc_j \delta^3(\vec x - \vec y), \quad [A_k(x),A_j(y)]_{E.T.}=0, \quad [A_0(x),A_0(y)]_{E.T.}=0, \\
[\dot A_0(x),\dot A_j(y)]_{E.T.} &= \left( i\parc_0 -\frac{i}{m^2} \parc_j \Delta \right) \delta^3(\vec x - \vec y) , \quad [\dot A_k(x),\dot A_j(y)]_{E.T.}=0, \quad [\dot A_0(x),\dot A_0(y)]_{E.T.}=0, \\
[A_0(x),\dot A_0(y)]_{E.T.} &= -\frac{i}{m^2}\Delta \delta^3(\vec x - \vec y), \quad [A_0(x),\dot A_j(y)]_{E.T.}=0, \\
[A_j(x),\dot A_0(y)]_{E.T.} &= 0, \quad [A_j(x),\dot A_k(y)]_{E.T.}=i(\delta_{j,k}-\frac{1}{m^2}\parc_j\parc_k)\delta^3(\vec x - \vec y). \\
\end{align*}
Z těchto komutačních relací pak dostaneme výsledky pro komutátory $a_\mu(k), \ad_\nu(k')$:
\begin{align*}
[a_\mu(k), \ad_\nu(k')] &= (-g_{\mu \nu} + \frac{1}{m^2}k_\mu k_\nu)\delta^3(\vec k - \vec{k'}), \\
[a_\mu(k), a_\nu(k')] &= 0, \\
[\ad_\mu(k), \ad_\nu(k')] &= 0.
\end{align*}
\textbf{Poznámka:} Vztah $\parc_\mu A^\mu$ představuje řešitelnou vazbu.
Pokud použijeme vyjádření $a(k,\lambda) = -\epsilon^{*\mu}(k,\lambda)a_\mu(k)$, dostaneme relace:
\begin{align*}
[a(k,\lambda), \ad(k',\lambda')] &= \delta_{\lambda,\lambda'}\delta^3(\vec k - \vec{k'}), \\
[a(k,\lambda), a(k',\lambda')] &= 0, \\
[\ad(k,\lambda), \ad(k',\lambda')] &= 0.
\end{align*}
\subsection{Výpočet energie}
\begin{align*}
\lagr &= -\frac{1}{4}(\parc_\mu A_\nu - \parc_\nu A_\mu)(\parc^\mu A^\nu - \parc^\nu A^\mu)+\pol m^2 A_\mu A_\nu = -\pol \parc_\mu A_\nu\parc^\mu A^\nu + \pol \parc_\mu A_\nu\parc^\nu A^\mu
\end{align*}
Přičtením čtařdivergence k Lagrangiánu nezměníme pohybové rovnice a dostaneme tak ekvivalentní formu
\begin{align*}
\tilde{\lagr} &= -\pol \parc_\mu A_\nu\parc^\mu A^\nu + \pol m^2 A_\mu A^\mu + \pol (\parc_\mu A^\mu)^2,
\end{align*}
jelikož platí $(\parc \cdot A)^2 - \parc_\mu A_\nu\parc^\nu A^\mu = \parc_\mu (A^\mu \asd{\nu} A^\nu)$. Pro energii pak dostaneme
\begin{align*}
H&= \int \dif^3x \mathcal{T}^{00} = \ldots = \pol \int \dif^3k \sum_{\lambda=1}^3 k_0 (\ad(k,\lambda)a(k,\lambda) + a(k,\lambda)\ad(k,\lambda)).
\end{align*}
Použitím normálního uspořádání nakonec dostaneme tvar
\begin{align*}
:H: ~ &= \int \dif^3k \sum_{\lambda=1}^3 k_0 \ad(k,\lambda)a(k,\lambda).
\end{align*}
\textbf{Poznámka:} Jak jsme viděli, je zde korespondence
\begin{enumerate}
\item komutační relace $\rightarrow$ symetrická vlnová funkce $\rightarrow$ celočíselný spin (bosony)
\item antikomutační relace $\rightarrow$ antisymetrická vlnová funkce $\rightarrow$ poločíselný spin (fermiony)
\end{enumerate}
