KTP1:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 18. 2. 2013, 14:50, kterou vytvořil Maresj23 (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Prokova rovnice} % Prokova rovnice popisuje částici se spinem 1. Částice se spinem $s$ mám $(2s+1)$-komponentní funkci, tedy tady bude ...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu KTP1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu KTP1Maresj23 18. 2. 201314:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMaresj23 3. 6. 201419:42
Header editovatHlavičkový souborAdmin 19. 2. 201309:24 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodMaresj23 3. 6. 201419:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatKlein-Gordonova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDiracova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatProkova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatLagrangeovský formalismus klasické teorie poleMaresj23 19. 2. 201319:39 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKvantování volných polí a částicová interpretaceMaresj23 18. 2. 201314:51 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatInterakce kvantových políMaresj23 18. 2. 201314:51 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaMaresj23 18. 2. 201314:55 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:ktp1_feynman1.png feynman1.png
Soubor:ktp1_feynman2.png feynman2.png
Soubor:ktp1_poznamky_1.jpg poznamky_1.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_2.jpg poznamky_2.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_3.jpg poznamky_3.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_4.jpg poznamky_4.jpg
Soubor:musite.png musite.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{KTP1}
 
\chapter{Prokova rovnice}
%
Prokova rovnice popisuje částici se spinem 1. Částice se spinem $s$ mám $(2s+1)$-komponentní funkci, tedy tady bude tří-komponentní. Nemáme k dispozici reletivisticky invariantní reprezentaci se třemi komponentami, a proto vezmeme čtyřvektor a přidáme jednu podmínku.
 
Jednou možností je požít Lorenzovu podmínku (Ludwig Lorenz a ne Hendrik Lorentz z elektromagnetismu). Máme vektor $B_\mu(x)$ a podmínku $\parc^\mu B_\mu(x) = 0$. Rovnice pak je Klein-Gordanova rovnice pro každou složku zvlášť:
 
\begin{align*}
(\square + m^2)B_\mu(x) = 0, \quad \all \mu.
\end{align*}
 
Ekvivalentní alternativou je použití takzvané "Maxwellovy rovnice s hmotovým členem" (důležitá v teorii pole):
 
\begin{align*}
\parc_\mu F^{\mu \nu} + m^2 B^\nu = 0, \quad F^{\mu \nu} = \parc^\mu B^\nu - \parc^\nu B^\mu.
\end{align*}
 
Ukážeme ekvivalenci obou přístupů.
 
\begin{align*}
\parc_\mu (\parc^\mu B^\nu - \parc^\nu B^\mu) + m^2 B^\nu &= 0, \\
\parc_\nu | \quad \square B^\nu - \parc^\nu (\parc \cdot B) + m^2B^\nu &= 0, \\
\square (\parc \cdot B) - \square (\parc \cdot B) + m^2(\parc \cdot B) &= 0, \\
\parc \cdot B &= 0, \mbox{ tedy } \\
\quad \square B^\nu - \parc^\nu (\parc \cdot B) + m^2B^\nu &= 0, \\
(\square + m^2)B^\nu &= 0
\end{align*}
 
Máme tedy při obou definicích tři nezávislé komponenty $B_j$ a komponentu $B_0$ závislou, kterou určíme z rovnice $\parc_0 B_0 - \grad \cdot \vec B = 0$.
 
 
 
\section{Volná Prokova částice (rovinné vlny)}
 
Předpokládáme řešení ve tvaru $B^\mu = \epsilon^\mu(k)e^{-ikx}$ (tedy řešení s kladnou energií). Dosazením do Prokovy rovnice dostaneme
 
\begin{align*}
(-k^2 + m^2)\epsilon^\mu e^{-ikx} = 0.
\end{align*}
 
(Funkce $\epsilon^\mu(k)$ tedy mají obdobnou úlohu jako $u$ a $v$ u Diracovy rovnice.) Dostáváme tedy $k^2 = m^2$, neboli $k_0^2 = \vec k^2 + m^2$ a budeme volit znaménko $k_0 = \sqrt{k^2 + m^2}$.
 
Dále dosadíme do podmínky $\parc^\mu B_\mu(x) = 0$ a dostaneme
 
\begin{align*}
-ik^\mu \epsilon_\mu e^{-ikx} = 0 \quad \ra \quad k^\mu \epsilon_\mu = 0.
\end{align*}
 
Celkem tedy máme dva výsledky: $k^2 = m^2$ a $k\cdot \epsilon = 0$. Budeme zkoumat, jaké jsou možnosti volby $\epsilon^\mu$ pro dané $k$. Z podmínky $k\cdot \epsilon(k) = 0$ v klidovém systému (označujeme $^{(0)}$), kde platí $k^{(0)} = (m,\vec 0)$ máme
 
\begin{align*}
k^{(0)} \cdot \epsilon^{(0)}(k^{(0)}) = 0 \quad \ra \quad m\epsilon_0^{(0)} = 0, \quad \mbox{ tedy } \quad \epsilon^{(0)}(k^{(0)})=(0,\vec \epsilon).
\end{align*}
 
Potom máme $(\epsilon^{(0)})^2 = 0 - |\vec \epsilon|^2 < 0$, a tedy $\epsilon(k)$ je prostorupodobný vektor (což se zachovává při Lorentzově transformaci).
 
V obecném systému $\vec k \neq 0$ tedy hledáme 3 prostorupodobné vektory splňující podmínku $k\cdot\epsilon(k) = 0$. První dva zvolíme jako 
 
\begin{align*}
\epsilon(k,1) &= (0,\vec \epsilon(k,1)), \\
\epsilon(k,2) &= (0,\vec \epsilon(k,2)),
\end{align*}
 
kde se podmínka redukuje na $\vec k \cdot \vec \epsilon(k,\lambda) = 0$ pro $\lambda = 1,2$. Dále vektory normalizujeme na $(\epsilon(k,\lambda))^2 = -1$, tedy $|\vec \epsilon(k,\lambda)| = 1$. Třetí vektor pak zvolíme s prostorovou částí ve směru impulsu $\vec k$:
 
\begin{align*}
\epsilon(k,3) &= \left(\epsilon_0,a \frac{\vec k}{|\vec k|}\right),
\end{align*}
 
kde $a$ a $\epsilon_0$ zatím neznáme. Určíme nejprve z podmínky $k_\mu \epsilon^\mu(k,3) = 0$ vztah $\epsilon_0 = \frac{a|\vec k|}{k_0}$, což dosadíme do normalizace $(\epsilon(k,3))^2 = -1$ a máme $a^2 = \frac{k_0^2}{m^2}$. Celkově tedy je trojici vektorů
 
\begin{align*}
\epsilon(k,1) &= (0,\vec \epsilon(k,1)), \quad \vec k \vec \epsilon(k,\lambda) = 0 \mbox{ pro } \lambda = 1,2\\
\epsilon(k,2) &= (0,\vec \epsilon(k,2)), \quad \mbox{ 1,2 - transverzální pole}\\
\epsilon(k,3) &= \left(\frac{|\vec k|}{m},\frac{k_0}{m}\frac{\vec k}{|\vec k|}\right), \quad \mbox{ 3 - longitudinální pole}.
\end{align*}
 
Vektory $\epsilon(k,\lambda)$ se také nazývají "polarizační vektory" (přejato z elektromagnetismu).
 
 
\section{Spinové stavy a helicita}
 
Máme zde 3 spinové matice:
 
\begin{align*}
S^1 = \left(\begin{array}{rrr}  
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0 \\ 
\end{array}\right), \quad 
S^2 = \left(\begin{array}{rrr}  
0 & 0 & -i \\ 
0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 \\ 
\end{array}\right), \quad 
S^3 = \left(\begin{array}{rrr}  
0 & -i & 0 \\ 
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\ 
\end{array}\right). 
\end{align*}
 
Platí pro ně komutační relace $[S^i,S^j] = i\epsilon^{jkl}S^l$. 
 
Helicita je $\hat h = \vec n \cdot \vec S$, kde $\vec n = \frac{\vec k}{|\vec k|}$ (průmět spinu do směru rychlosti). Explicitně  
 
\begin{align*}
\vec n \cdot \vec S = i\left(\begin{array}{rrr}  
0 & -n_3 & n_2 \\ 
n_3 & 0 & -n_1 \\
-n_2 & n_1 & 0 \\ 
\end{array}\right).
\end{align*}
 
Pokud speciálně zvolíme $\vec \epsilon(k,1)$ a $\vec \epsilon(k,2)$ tak, že $\vec \epsilon(k,2) = \vec n \times \vec \epsilon(k,1)$, máme:
 
\begin{align*}
\vec n \times \vec \epsilon(k,2) = \vec n \times \vec n \times \vec \epsilon(k,1) = \vec n (\vec n \cdot \vec \epsilon(k,1)) - \vec \epsilon(k,1) (\vec n \cdot \vec n) = -\vec\epsilon(k,1).
\end{align*}
 
Potom tedy dostáváme pro operátor helicity:
 
\begin{align*}
\hat h 
\left(\begin{array}{r}  
\epsilon_1 \\ 
\epsilon_2  \\
\epsilon_3  \\ 
\end{array}\right) = 
(\vec n \cdot \vec S) 
\left(\begin{array}{r}  
\epsilon_1 \\ 
\epsilon_2  \\
\epsilon_3  \\  
\end{array}\right) =
i\left(\begin{array}{rrr}  
0 & -n_3 & n_2 \\ 
n_3 & 0 & -n_1 \\
-n_2 & n_1 & 0 \\ 
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}  
\epsilon_1 \\ 
\epsilon_2  \\
\epsilon_3  \\  
\end{array}\right) = i \vec n \times \vec \epsilon.
\end{align*}
 
Kompaktně zapsáno tedy platí:
 
\begin{align*}
\hat h \vec \epsilon =  i (\vec n \times \vec \epsilon).
\end{align*}
 
Konkrétně máme
 
\begin{align*}
\hat h \vec \epsilon(k,1) &=  i \vec n \times \vec \epsilon(k,1) = i\vec \epsilon(k,2), \\
\hat h \vec \epsilon(k,2) &=  i \vec n \times \vec \epsilon(k,2) = -i\vec \epsilon(k,1). \\
\end{align*}
 
Vidíme, že se jedná o "skoro vlastní stavy" helicity. Tyto stavy jsou analogií lineární polarizace fotonů. Můžeme však zadefinovat nové stavy:
 
\begin{align*}
\vec \epsilon(k,+) &= \rec{\sqrt{2}} (\vec \epsilon(k,1) + i\vec \epsilon(k,2)) \quad \rightarrow \quad 
\hat h \vec \epsilon(k,+) = \vec \epsilon(k,+), \\
\vec \epsilon(k,-) &= \rec{\sqrt{2}} (\vec \epsilon(k,1) - i\vec \epsilon(k,2)) \quad \rightarrow \quad 
\hat h \vec \epsilon(k,-) = -\vec \epsilon(k,-), 
\end{align*}
 
které už jsou vlastními stavy s helicitou $+1$ respektive $-1$. (Odpovídají kruhové polarizaci světla.) Co se týče třetího vektoru, máme
 
\begin{align*}
\hat h \vec \epsilon(k,3) =  i \vec n \times \vec \epsilon(k,3) = 0,
\end{align*}
 
a tedy se přímo jedná o vlastní vektor s helicitou 0. (Takový stav nemá analogii u částic s nulovou klidovou hmotností.)
 
 
 
 
\section{Shrnutí vlastností $\epsilon^\mu(k,\lambda)$}
 
Platí Lorenzova podmínka $k\cdot \epsilon(k,\lambda) = 0$. Dále podmínka ortogonality 
 
\begin{align*}
\epsilon(k,\lambda)\epsilon^*(k,\lambda') = \delta_{\lambda \lambda'}.
\end{align*}
 
Tato podmínka platí jak pro $\lambda = 1,2,3$, tak pro $\lambda = +,-,0$.
 
V analogii s Diracovou rovnicí ještě platí 
 
\begin{align*}
\sum_{\lambda = 1}^3 \epsilon_\mu(k,\lambda)\epsilon_\nu(k,\lambda) = P_{\mu \nu}(k).
\end{align*}
 
Vezmeme ansatz $P_{\mu \nu}(k) = A(k^2)g_{\mu \nu} + B(k^2)k_\mu k_\nu$ ($k^2 = m^2$). Z vlastnosti $k^\mu \epsilon_\mu = 0$ dostaneme $k^\mu P_{\mu \nu}(k) = 0$, a tedy $Ak_\nu + Bm^2k_\nu = 0 \ra A+Bm^2 = 0$. Dále máme ${P_\mu}^\mu(k) = 3(-1) = -3$, a tedy $4A + Bm^2 = -3$. Celkově máme $B=\rec{m^2}$ a $A=-1$ a finální vztah je
 
\begin{align*}
\sum_{\lambda = 1}^3 \epsilon_\mu(k,\lambda)\epsilon_\nu(k,\lambda) = P_{\mu \nu}(k) = -g_{\mu \nu} + \rec{m^2}k_\mu k_\nu.
\end{align*}