Zdrojový kód
%\wikiskriptum{KTP1}
\chapter{Diracova rovnice}
\section{Relativistická kvantově mechanická rovnice pro volnou částici}
Abychom mohli $\psi(\vec{x},t)$ interpretovat jako objekt popisující stav částice v čase $t$, potřebujeme rovnici prvního řádu v $\frac{\partial}{\partial t}$. (To jsme si ukázali na příkladu K-G rovnice, která tuto podmínku nesplňuje.) Tedy hledáme rovnici tvaru
\begin{align}\label{zakladni2}
i\frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(\vec{x},t)\mathrm{,}
\end{align}
kde $\hat{H}$ neobsahuje časovou derivaci. Vracíme se opět k problému odmocnění výrazu $E^2=c^2\vec{p}^2+m^2c^4$. Použijeme postup navržený Diracem. (Ten asi neuměl odmocňovat, tak vlastně navrhl $\sqrt{A^2+B^2} = A+B$ :-)). Budeme tedy předpokládat výsledek ve tvaru
\begin{align*}
E=c\alpha_j p_j + \beta m c^2.
\end{align*}
(Zde opět na chvíli opustíme přirozenou soustavu jednotek, a tedy $c$ značí rychlost světla.) Podle principu korespondence tedy dostáváme rovnici
\begin{align*}
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = (-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2)\psi .
\end{align*}
Nyní budeme hledat takové koeficienty $\alpha_j$ a $\beta$, abychom "umocněním" rovnice dostali výraz odpovídající $E^2=c^2\vec{p}^2+m^2c^4$. Je zde drobná komplikace, že obecně pro dva operátory $A$ a $B$ neplatí $A\psi=B\psi \ra A^2\psi=B^2\psi$. Aby implikace platila, je třeba přidat podmínku $[A,B]=0$ (pak $A^2\psi = AB\psi = BA\psi = B^2\psi$), což je v našem případě splněno, jelikož $[\parc_0,\parc_j]=0$. Nyní tedy naši rovnici umocníme (a z prozíravosti nebudeme komutovat koeficienty $\alpha_j$ a $\beta$):
\begin{align*}
-\hbar^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= (-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2)(-i\hbar c \alpha_k \parc_k +\beta m c^2)\psi = \\
&= (-\hbar^2c^2\parc_j \parc_k \alpha_j \alpha_k -i\hbar c \parc_j (\alpha_j \beta + \beta \alpha_j) + \beta^2 m^2c^4)\psi .
\end{align*}
Dále ještě celou rovnost vydělíme $-\hbar^2$ a upravíme $\alpha_j\alpha_k = \pol (\alpha_j\alpha_k + \alpha_k\alpha_j) + \pol (\alpha_j\alpha_k - \alpha_k\alpha_j)$, kde se antisymetrický člen vysčítá na nulu.
Nakonec stačí porovnat získanou rovnost s požadovaným výsledkem a dostaneme podmínky na koeficienty ve tvaru:
\begin{align}\label{podminky}
\alpha_j\alpha_k + \alpha_k\alpha_j = \{\alpha_j,\alpha_k\} &= 2\delta_{jk}, \nonumber \\
\alpha_j\beta + \beta\alpha_j = \{\alpha_j,\beta\} &= 0, \\
\beta^2 &= 1. \nonumber
\end{align}
Snadno nahlédneme, že čísla, která by splňovala tyto podmínky neexistují, a proto koeficienty musejí být maticové.
\textbf{Poznámka:} Pokud někde "sčítáme matice a čísla", máme automaticky na mysli místo čísel násobky jednotkové matice. Například v (\ref{podminky}) je třeba $\delta_{jk}$ chápat jako Kroneckerovo $\delta$ násobené $\unit$, tedy $\delta_{jk}\unit$. To však \textbf{není případ funkce $\psi$}, ze které se nyní stává $d$-komponentní funkce, kde $d$ je rozměr matic $\alpha_j$ a $\beta$, který určíme dále.
Celkově jsme tedy dostali "Hamiltonián" $H=-i\hbar c \alpha_j \parc_j +\beta m c^2$, kde koeficienty splňují (\ref{podminky}). Jelikož chceme, aby operátory přiřazené pozorovatelným veličinám byly hermitovské, dostáváme navíc podmínky hermitovosti koeficientů: $\alpha_j^\dagger = \alpha_j$ a $\beta^\dagger = \beta$.
\section{Hledání matic $\alpha_j$ a $ \beta$}
\subsection{1) Sudý řád}
Ukážeme, že matice musejí být sudého řádu. Nejprve z definiční antikomutační relace $\alpha_j \alpha_k + \alpha_k \alpha_j = 2\delta_{jk}$ vidíme, že pro $j=k$ máme $\alpha_j^2 = 1$ a pro $j \neq k$ platí $\alpha_j \alpha_k = - \alpha_k \alpha_j$. Nyní využijeme vlastností determinantů a upravíme výraz $\det(\alpha_j \alpha_k) \equiv |\alpha_j \alpha_k|$ dvěma způsoby pro $k\neq j$:
\begin{align*}
|\alpha_j\alpha_k| = |\alpha_j||\alpha_k| = |\alpha_k||\alpha_j| = |\alpha_k\alpha_j|, \\
|\alpha_j\alpha_k| = |-\alpha_k\alpha_j| = (-1)^d|\alpha_k\alpha_j|,
\end{align*}
kde $d$ je dimenze matic. Musí tedy platit, že $1=(-1)^d$, a tedy dimenze matic musí být sudé číslo.
\subsection{2) Nestačí dimenze 2}
V dimenzi 2 již známe sadu tří vzájemně antikomutujících hermitovských matic:
\begin{align*}
\vec \sigma = \left(
\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{matrix} \right)
\right).
\end{align*}
Společně s jednotkovou maticí tvoří Pauliho matice bázi prostoru $\C^{2,2}$, takže každou matici $X \in \C^{2,2}$ můžeme napsat jako $X= a\unit + \vec b \cdot \vec \sigma$. Chtěli bychom najít takovou matici $X$, abychom ji mohli prohlásit za matici $\beta$, a tedy by muselo platiti $\{X,\sigma_i\}=0$ pro $\all i$.
\begin{align*}
0 = \{X,\sigma_i\} = 2a\sigma_i +b_j\{\sigma_i,\sigma_j\} = 2a\sigma_i + 2b_j \delta_{ij} \mbox{ , a tedy } \quad a=0, \vec b = \vec 0
\end{align*}
\subsection{3) Konstrukce v dimenzi 4}
Existenci potřebných matic v dimenzi 4 dokážeme přímo konstrukcí. Konkrétně zvolíme:
\begin{align*}
\alpha_j =
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_j \\
\sigma_j & 0
\end{matrix} \right), \quad
\beta =
\left( \begin{matrix}
\unit & 0 \\
0 & -\unit
\end{matrix} \right).
\end{align*}
Této volbě se říká \textbf{standardní reprezentace}. Není to jediná možnost, jelikož stejné rovnice splní jakékoli matice spojené s maticemi standardní reprezentace pomocí nějaké podobnostní transformace
\begin{align*}
\tilde \alpha_j = \mathbb{S}\alpha_j \mathbb{S}^{-1}, \quad \tilde \beta = \mathbb{S}\beta \mathbb{S}^{-1} \mbox{ , kde }\quad |\mathbb{S}| \neq 0.
\end{align*}
Později uvedeme jiné zajímavé příklady reprezentací.
\textbf{Poznámka:} Obecně bez ohledu na konkrétní reprezentaci jsou všechny matice $\alpha_j$ a $ \beta$ bezestopé, tedy $\Tr(\alpha_j)=0, \Tr(\beta)=0$. Ukážeme například odvození první rovnosti, kde využijeme vlastnost stopy, že v ní můžeme cyklicky zaměňovat členy.
\begin{align*}
\Tr(\alpha_j) = \Tr(\beta^2\alpha_j) = [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\beta\alpha_j\beta) = [\mbox{ antikomutace }] = \Tr(-\alpha_j\beta^2) = -\Tr(\alpha_j)
\end{align*}
\section{Obsah Diracovy rovnice}
\subsection{Rovnice kontinuity}
Nadále budeme používat soustavu jednotek $c=\hbar=1$. Potom má Diracova rovnice tvar
\begin{align*}
i\pd{\psi}{t} = (-i\vec \alpha \vec \nabla + \beta m)\psi.
\end{align*}
Napřed odvodíme rovnici kontinuity pro Diracovu rovnici. Uděláme to tak, že rovnici vynásobíme zprava $\psi^\dagger$, Hermitovsky sdruženou Diracovu rovnici vynásobíme zleva $\psi$ a oba výsledky od sebe odečteme. (Při sdružování je třeba držet výraz $\grad \psi$ pohromadě a nezaměňovat pořadí, jinak to ani nedává smysl.) Tím se dostaneme ke vztahu
\begin{align*}
i\left( \psid\pd{\psi}{t} + \pd{\psid}{t}\psi \right) &= -i \left( \psid \vec \alpha \grad \psi + \grad \psi \vec \alpha \psid \right) = -i\grad (\psid \vec \alpha \psi), \\
\pd{}{t}(\psid \psi) + \mbox{div} (\psid \vec \alpha \psi) &= 0.
\end{align*}
Vidíme, že hustotě pravděpodobnosti odpovídá výraz $\psid \psi$, který je vždy kladný, což jsme chtěli. Hustota toku pravděpodobnosti je $\vec j = \psid \vec \alpha \psi$.
\subsection{Rovinné vlny}
Jak snadno ověříme jsou možným řešením Diracovy rovnice rovinné vlny $\psi(x) = K e^{\pm ip\cdot x}$, kde $K$ je libovolná konstanta. Speciálně pro částici v klidu, kde $p=(p_0,\vec 0)$ dostáváme
\begin{align*}
i\pd{\psi}{t} = (-i\vec \alpha \vec \nabla + \beta m)K e^{\pm ip_0\cdot t} = \beta m \psi =
\maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit} m \psi(t), \quad \rightarrow
\mbox{ označíme } \psi = \vektordva{\varphi}{\chi} = \vektorctyri{\varphi_1}{\varphi_2}{\chi_1}{\chi_2}.
\end{align*}
Potom se rovnice rozpadne na dvě dílčí
\begin{align*}
i\pd{\varphi}{t} = m\varphi, \quad i\pd{\chi}{t} = -m\chi,
\end{align*}
které mají systém řešení například
\begin{align*}
\varphi_1 = e^{-imt} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \varphi_2 = e^{-imt} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right), \\
\chi_1 = e^{imt} \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \chi_2 = e^{imt} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right).
\end{align*}
Časová derivace $i\pd{}{t}$ odpovídá operátoru energie, a proto ze vztahů
\begin{align*}
i\pd{}{t}\varphi = (-im) \varphi , \quad i\pd{}{t}\chi = im \chi,
\end{align*}
vidíme, že $\chi$ odpovídá stavu s kladnou energií, ale $\varphi$ je problematický stav se zápornou energií.
\subsection{Impulsmoment a spin}
Nejprve zjistíme, zda je Impulsmomet komutující veličinou s Diracovým Hamiltoniánem. Máme vztahy
\begin{align*}
&H_D = -i\vec \alpha \grad + \beta m, \quad \vec L = \vec x \times \vec p, \quad L_i = \epsilon_{ijk}x_j p_k, \quad p_j = -i\parc_j, \quad [x_j,p_k]=i\delta_{jk}. \\
&\mbox{počítáme: } [H_D,L_j] = -i\alpha_i[\parc_i,\epsilon_{jkl}x_k p_l] + m\beta [1,\epsilon_{jkl}x_k p_l] = \alpha_i \epsilon_{jkl} [p_i,x_k]p_l = -i\epsilon_{jkl}\alpha_k p_l, \\
&\mbox{tedy } [H_D,\vec L] = -i(\vec \alpha \times \vec p) \neq 0.
\end{align*}
To tedy znamená, že $\vec L$ není komutující operátor. Vzápětí to ale spravíme. Zavedeme novou veličinu $\vec \Sigma = \left( \begin{matrix} \vec \sigma & 0 \\ 0 & \vec \sigma \end{matrix}\right)$ a také spočteme její komutátor s $H_D$. Budeme pracovat ve standardní reprezentaci, k čemuž nás opravňuje fakt, že
\begin{align*}
[A',B'] = \mathbb{S}A\mathbb{S}^{-1}\mathbb{S}B\mathbb{S}^{-1} - \mathbb{S}B\mathbb{S}^{-1}\mathbb{S}A\mathbb{S}^{-1} = \mathbb{S}[a,b]\mathbb{S}^{-1} = [A,B]'.
\end{align*}
Nejprve si připravíme mezivýpočty
\begin{align*}
&\left[ \alpha_i, \Sigma_j \right] =
\maticedvadva{0}{\sigma_i}{\sigma_i}{0} \maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} -
\maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} \maticedvadva{0}{\sigma_i}{\sigma_i}{0} = \\
&= [\sigma_i,\sigma_j]\maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} = 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0}, \\
&\left[ \beta, \Sigma_j \right] =
\maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit} \maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} -
\maticedvadva{\sigma_j}{0}{0}{\sigma_j} \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}
= 0.
\end{align*}
Pak tedy dostaneme
\begin{align*}
[H_D, \Sigma_j] &= -i\nabla_i [\alpha_i,\Sigma_j] + m[\beta,\Sigma_j] = -i \nabla_i 2i \epsilon_{ijk} \sigma_k \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} = 2i p_i \epsilon_{ijk} \alpha_k , \\
[H_D, \vec \Sigma] &= 2i(\vec \alpha \times \vec p).
\end{align*}
Odtud tedy vidíme, že pokud nejprve zavedeme veličinu $\vec S= \pol \vec \Sigma$, které říkáme \textbf{spin} a následně veličinu $\vec J = \vec L + \vec S$ zvanou \textbf{celkový impulsmoment}, dostaneme $[H_D,\vec J] = 0$, a tedy $\vec J$ je dobrá pozorovatelná veličina, která komutuje s Hamiltoniánem.
\subsection{Interakce s vnějším EM polem}
Mějme vnější elektromagnetické pole popsané čtyřpotenciálem $A^\mu = (\phi, \vec A)$. Potom upravíme Hamiltonián a tedy i Diracovu rovnici na tvar
\begin{align*}
H = \vec \alpha (\vec p - e \vec A) + e\phi + \beta m, \\
i\pd{\psi}{t} = (\vec \alpha (-i\grad - e \vec A) + e\phi + \beta m)\psi.
\end{align*}
Označíme si $\vec \pi = -i\grad - e \vec A$. Potom ve standardní reprezentaci dostáváme
\begin{align*}
i\pd{\tilde \varphi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\tilde \chi + (e\phi + m)\tilde \varphi, \\
i\pd{\tilde \chi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\tilde \varphi + (e\phi - m)\tilde \chi.
\end{align*}
Označení s vlnkou jsme volili proto, že hned nyní použijeme ansatz $\left( \begin{matrix} \tilde \varphi \\ \tilde \chi \end{matrix}\right) = e^{-imt}\left( \begin{matrix} \varphi \\ \chi \end{matrix}\right)$. Jeho použitím rovnice přejdou na tvar
\begin{align*}
i\pd{\varphi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi)\chi + e\phi \varphi, \\
i\pd{ \chi}{t} = (\vec \sigma \cdot \vec \pi) \varphi + e\phi\chi - m \chi.
\end{align*}
Nyní provedeme nerelativistickou aproximaci $\phi << m$, $\pd{ \chi}{t} << m\chi$ a zanedbáme levou stranu a prostřední člen pravé strany ve druhé rovnici. To nám umožní z této rovnice vyjádřit $\chi \doteq -\rec{2m} (\vec \sigma \cdot \vec \pi) \varphi$. Tím se dostaneme k rovnici pro $\varphi$
\begin{align*}
i\pd{\varphi}{t} = \rec{2m}(\vec \sigma \cdot \vec \pi)^2 \varphi + e\phi \varphi.
\end{align*}
Dalšími úpravami dostaneme rovnici až na výsledný tvar
\begin{align*}
i\pd{\varphi}{t} = \left( \rec{2m}(\vec p - e\vec A)^2 + e\phi \frac{e}{2m} \vec \sigma \cdot \vec B\right)\varphi,
\end{align*}
kde $\vec B = \mbox{rot} \vec A$ (magnetický moment). Poslední člen na pravé straně představuje spinovou část, a tedy $H_{(mg~ spin)} = \frac{e}{2m} \vec \sigma \cdot \vec B$, kde konstanta $\mu = \frac{e}{2m}$ se nazývá Bohrův magneton.
\textbf{Poznámka:} V kvantové elektrodynamice je hodnota Bohrova magnetonu upravena na $\mu_{QED} = \mu \left(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + O(\alpha^2)\right)$, kde $\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} \doteq \rec{137}$ je konstanta jemné struktury.
\section{Kovariantní tvar Diracovy rovnice}
Pokud Diracovu rovnici vynásobíme zleva maticí $\beta$, dostaneme její kovariantní tvar:
\begin{align*}
i\beta \parc_0 \psi = -i \beta \alpha^j \parc_j \psi + \beta^2 m \psi, \\
i \ga^\mu \parc_\mu \psi - m \psi = 0,
\end{align*}
kde jsme zavedli $\ga$ matice $\ga_0 = \beta$ a $\ga^j = \beta \alpha^j$.
\subsection{Základní vlastnosti}
\begin{align*}
\{\ga^0, \ga^j\} &= \beta \beta \alpha^j + \beta \alpha^j \beta = \alpha^j - \alpha^j = 0, \\
\{\ga^j, \ga^k\} &= \beta \alpha^j \beta \alpha^k + \beta \alpha^k \beta \alpha^j = -\alpha^j\alpha^k - \alpha^k\alpha^j = - \{\alpha^j,\alpha^k\} = -2\delta^{jk} = 2g^{jk}, \\
(\ga^0)^2 &= \unit, \quad (\ga^j)^2 = \beta \alpha^j \beta \alpha^j = -(\alpha^j)^2 = -\unit
\end{align*}
\subsection{Hermitovská konjugace}
\begin{align*}
\ga^{0\dagger} &= \beta^\dagger = \beta = \ga^0, \\
\ga^{j\dagger} &= (\beta \alpha^j)^\dagger = \alpha^{j\dagger}\beta^\dagger = \alpha^j \beta = -\beta \alpha^j = -\ga^j.
\end{align*}
Celkově tedy dostáváme vztah
\begin{align*}
\ga^{\mu \dagger} = \ga^0\ga^\mu \ga^0.
\end{align*}
Dále zavádíme pomocný objekt $\tilde \ga_5 \equiv \ga_0 \ga_1 \ga_2 \ga_3$ a $\ga_5 \equiv i\tilde \ga_5$. Využitím předchozích relací snadno ověříme, že platí $\{\ga_5,\ga^\mu\} = 0$, $(\ga_5)^2 = \unit$, $\ga_5^\dagger = \ga_5$.
Podle standardní konvence platí $\ga_\mu = g_{\mu \nu} \ga^\nu$, a tedy $\ga_0 = \ga^0$ a $\ga_j = -\ga^j$.
\subsection{Vlastnosti stop $\ga$-matic}
Platí $\Tr(\ga^\mu) = 0$. Obecně stopa lichého počtu $\ga$-matic je 0 (označme tento počet $n$):
\begin{align*}
\Tr(\ga^\alpha \ldots \ga^\mu) &= \Tr(\ga_5^2 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu) = [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\ga_5 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu \ga_5) = [\mbox{ komutace }] = \\
&= (-1)^n \Tr(\ga_5^2 \ga^\alpha \ldots \ga^\mu) = [\mbox{ pro liché }n~ ] = - \Tr(\ga^\alpha \ldots \ga^\mu).
\end{align*}
Pro stopu dvou a čtyř $\ga$-matic platí
\begin{align*}
\Tr(\ga_\mu \ga_\nu) &= [\mbox{ cyklická záměna }] = \Tr(\ga_\nu \ga_\mu) \ra \Tr(\ga_\mu \ga_\nu) = \pol \Tr(\{\ga_\mu, \ga_\nu\}) = \\
&= g_{\mu \nu} \Tr(\unit) = 4g_{\mu \nu}, \\
\Tr(\ga_\mu \ga_\nu \ga_\rho \ga_\sigma) &= \ldots = 4(g_{\mu \nu} g_{\rho \sigma} - g_{\mu \rho} g_{\nu \sigma} + g_{\mu \sigma} g_{\nu \rho}).
\end{align*}
\subsection{Báze $\C^{4,4}$ ze součinů $\ga$-matic}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\Gamma_1$ & $\Gamma_2$ & $\Gamma_3$ & $\Gamma_4$ & $\Gamma_5$ & $\Gamma_6$ & $\Gamma_7$ & $\Gamma_8$ & $\Gamma_9$ & $\Gamma_{10}$ & $\Gamma_{11}$ & $\Gamma_{12}$ & $\Gamma_{13}$ & $\Gamma_{14}$ & $\Gamma_{15}$ & $\Gamma_{16}$ \\ \hline
$\unit$ & $\ga_0$ & $\ga_1$ & $\ga_2$ & $\ga_3$ & $\ga_0 \tilde \ga_5$ & $\ga_1 \tilde \ga_5$ & $\ga_2 \tilde \ga_5$ & $\ga_3 \tilde \ga_5$ & $\ga_0 \ga_1$ & $\ga_0 \ga_2$ & $\ga_0 \ga_3$ & $\ga_1 \ga_2$ & $\ga_1 \ga_3$ & $\ga_2 \ga_3$ & $\tilde \ga_5$ \\ \hline
\end{tabular}
\vskip 10pt
\textbf{Lemma 1:} Matice $\Gamma_x$ mají nulovou stopu. Víme, že $\Tr(\ga^\mu) = 0$, $\Tr(\ga^\mu \tilde \ga_5) = 0$ ověříme srovnáním cyklické záměny a komutace a $\Tr(\ga^\mu \ga^\nu) = 0$ pro $\mu \neq \nu$.
\textbf{Lemma 2:} Vynásobením všech $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ jednou $\Gamma_y$ dostaneme původní množinu (přeházenou). (Skoro určitě tvoří grupu, ale neověřoval jsem to.)
\textbf{Lemma 3:} Matice $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ tvoří bázi $\C^{4,4}$. Nechť platí $\sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i = 0$. Potom $4c_1 = \Tr\left( \sum_{i=2}^{16}c_i \Gamma_i \right) = 0$, a tedy $c_1 = 0$. Dále pro $\all 2 \le j \le 16$ platí
\begin{align*}
0 = \Tr(\Gamma_j\cdot 0) = \Tr(\Gamma_j \sum_{i=2}^{16}c_i \Gamma_i) = [\mbox{ lemma 2} \ra \Gamma_j\Gamma_i=\Gamma_k ] = \Tr(c_j \Gamma_j^2 + \sum_{k=2, k\neq j}^{16}c_k \Gamma_k) = c_j \Tr( \Gamma_j^2).
\end{align*}
Jelikož $\Tr( \Gamma_j^2) \neq 0$, dostáváme $c_j = 0$.
\textbf{Lemma 4:} Každá matice $A$, která komutuje se všemi $\ga^\mu$, a tedy i se všemi $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ je násobkem $\unit$. Důkaz jen naznačíme. Musí platit $A = \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i$ a podle předpokladu $\ga_0 \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i = \sum_{i=1}^{16}c_i \Gamma_i \ga_0$. Jelikož $\ga_0$ antikomutuje s $\Gamma_j$ pro $j=3,4,5,6,10,11,12,16$, musí pro tato $j$ platit $c_j = -c_j$, a tedy $c_j=0$. Stejný postup zopakujeme pro všechny $\ga^j$ a zbude nám jen $c_1$.
(Důkaz z teorie grup a reprezentací: Pokud $\{\Gamma_x\}_{x=1}^{16}$ tvoří grupu, můžeme udělat reprezentaci této grupy tak, že přímo prvkům přiřadíme samotné matice. Jelikož platí $\sum(\Tr(\Gamma_i)^2) = \Tr(\unit)^2 = 16$ se rovná počtu prvků grupy, je tato reprezentace ireducibilní a lamma 4 plyne ze Schurova lemmatu.)
\subsection{Fundamentální teorém o $\ga$-maticích}
Pokud čtveřice matic $(\ga^\mu), (\ga'^\mu) \in \C^{4,4}$ splňují $\{\ga^\mu,\ga^\nu\} = 2g^{\mu \nu} = \{\ga'^\mu,\ga'^\nu\}$, potom existuje nesingulární matice $\mathbb{S}$ taková, že $\ga'^\mu = \mathbb{S} \ga^\mu \mathbb{S}^{-1}$. Tato věta tedy říká, že neexistují jiné matice splňující danou antikomutační relaci, které by nebyly podobné námi zvolené standardní reprezentaci.
\subsection{Příklady reprezentací $\ga$-matic}
My používáme \textbf{standardní reprezentaci}, kde
\begin{align*}
\ga_0 = \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right), \quad \vec \ga = \left( \begin{matrix} 0 & \vec \sigma \\ -\vec \sigma & 0 \end{matrix}\right) \quad \ra \quad \ga_5 = \left( \begin{matrix} 0 & \unit \\ \unit & 0 \end{matrix}\right).
\end{align*}
Dále existuje například \textbf{spinorová/chirální} reprezentace s maticemi
\begin{align*}
\ga_0 = \left( \begin{matrix} 0 & \unit \\ \unit & 0 \end{matrix}\right), \quad \vec \ga = \left( \begin{matrix} 0 & \vec \sigma \\ -\vec \sigma & 0 \end{matrix}\right) \quad \ra \quad \ga_5 = \left( \begin{matrix} -\unit & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)
\end{align*}
a \textbf{Majoránova} reprezentace, kterou ze standardní dostaneme pomocí vztahů $\ga_M^0 = \ga^0 \ga^2$, $\ga_M^1 = -\ga^1 \ga^2$, $\ga_M^2 = \ga^2$ a $\ga_M^3 = \ga^2 \ga^3$. Majoránova reprezentace má tu zvláštnost, že všechny její matice jsou ryze imaginární.
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Relativistická invariance Diracovy rovnice}
\subsection{Prostorová rotace}
Prostorové rotace kolem souřadných os jsou popsány maticemi:
\begin{align*}
T^{(3)} &\equiv T^{(12)} = \left( \begin{matrix}
\cos(\varphi) & \sin(\varphi) & 0 \\
-\sin(\varphi) & \cos(\varphi) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right) \quad
T^{(2)} \equiv T^{(31)} = \left( \begin{matrix}
\cos(\varphi) & 0 & -\sin(\varphi) \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin(\varphi) & 0 & \cos(\varphi)
\end{matrix}\right) \\
T^{(1)} &\equiv T^{(23)} = \left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\
0 & -\sin(\varphi) & \cos(\varphi)
\end{matrix}\right)
\end{align*}
Místo tohoto zápisu však můžeme použít vyjádření pomocí generátorů ve tvaru
\begin{align*}
T^{(1)} = \exp(i\varphi J_1), \quad T^{(2)} = \exp(i\varphi J_2), \quad T^{(3)} = \exp(i\varphi J_3) \mbox{ , kde } \\
J_1 = \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0
\end{matrix}\right) \quad
J_2 = \left( \begin{matrix}
0 & 0 & i \\
0 & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0
\end{matrix}\right) \quad
J_3 = \left( \begin{matrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}\right) \quad
\end{align*}.
Platnost tohoto vyjádření se ověří přímočaře rozepsáním exponenciály do řady. Zde dostaneme první čelen $\unit$ a dále dvě řady (jelikož $J_k^3 = J_k$ pro $\all k$) s lichými a sudými mocninami, které dají siny a cosiny.
Matice $J_k$ se nazývají generátory rotací kolem osy $k$. Platí vztah $[J_i,J_k]=i\epsilon_{ijk}J_k$.
\subsection{Speciální Lorentzovy transformace ("boost")}
Ze speciální relativity máme transformační vztahy ($c=1$)
\begin{align*}
t' = \frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}}, \quad x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}}
\end{align*}
a platí zde zachování čtyřintervalu: $(t')^2-(x')^2 = t^2 - c^2$. Zavedeme-li nyní označení $ \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} \equiv \sinh(\varphi)$ a $ \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \equiv \cosh(\varphi)$, můžeme psát například boost v $x$ jako
\begin{align*}
\Lambda^{(01)} = \left( \begin{matrix}
\cosh(\varphi) & -\sinh(\varphi) & 0 & 0 \\
-\sinh(\varphi) & \cosh(\varphi) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right).
\end{align*}
Obdobně je tomu pro boosty v $y$ a $z$. I zde můžeme použít vyjádření pomocí generátorů, tedy $\Lambda^{(0j)} = \exp(-i\varphi I_{0j})$, kde například
\begin{align*}
I_{01} = \left( \begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right).
\end{align*}
\subsection{Obecná parametrizace Lorentzovy transformace}
Obecnou Lorentzovu transformaci (rotace + boosty) můžeme zapsat jako
\begin{align*}
\Lambda = \exp(i\varphi_1 G_1 + \ldots i\varphi_6 G_6),
\end{align*}
kde $G_i$ jsou jsou maticové generátory transformace. Pro \textit{infinitesimální} transformaci pak platí
\begin{align*}
{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + \Delta {\omega^\mu}_\nu,
\end{align*}
kde $\Delta {\omega^\mu}_\nu$ jsou malé parametry. Platí:
\begin{align*}
\Lambda = \unit - \frac{i}{2} \Delta \omega^{\alpha \beta} I_{\alpha \beta},
\end{align*}
kde $\Delta \omega^{\alpha \beta} = \Delta {\omega^\alpha}_\nu g^{\nu \beta}$ a $I_{\alpha \beta}$ vhodné maticové generátory. Tento vztah nyní dokážeme a najdeme generátory.
Budeme potřebovat obecnou vlastnost Lorentzovy transformace zvanou \textit{pseudoortogonalita}. Odvodíme ji z toho, že pro $x' = \Lambda x$ má platit $(x')^2 = x^2$. Upravíme levou stranu:
\begin{align*}
(x')^2 = g_{\mu \nu} x'^\mu x'^\nu = g_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho x^\rho {\Lambda^\nu}_\sigma x^\sigma =
g_{\mu \nu} {\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda^\nu}_\sigma x^\rho x^\sigma =
g^{\mu \nu} \Lambda_{\mu \rho} \Lambda_{\nu \sigma} x^\rho x^\sigma.
\end{align*}
Porovnáním s pravou stranou $x^2 = g_{\rho \sigma} x^\rho x^\sigma$ dostáváme relaci pseudoortogonality
\begin{align*}
g^{\mu \nu} \Lambda_{\mu \rho} \Lambda_{\nu \sigma} = g_{\rho \sigma}.
\end{align*}
Z této relace dostaneme pro infinitesimální transformaci vztah
\begin{align*}
& g^{\mu \nu} (g_{\nu \rho} + \Delta \omega_{\nu \rho})(g_{\mu \sigma} + \Delta \omega_{\mu \sigma}) = [\mbox{ zanedbáme člen druhého řádu malosti }] = \\
& = g^{\mu \nu}(g_{\nu \rho}g_{\mu \sigma} + g^{\mu \nu} g_{\nu \rho} \Delta \omega_{\mu \sigma} + g^{\mu \nu} \Delta \omega_{\nu \rho} g_{\mu \sigma} = g_{\rho \sigma} + \Delta \omega_{\rho \sigma} + \Delta \omega_{\sigma \rho} = g_{\rho \sigma}.
\end{align*}
Dostáváme tedy podmínku na koeficienty
\begin{align*}
\Delta \omega_{\rho \sigma} = -\Delta \omega_{\sigma \rho}.
\end{align*}
Pokud nyní zvolíme
\begin{align*}
{({I_{\alpha \beta}})^\mu}_\nu = i({g^\mu}_\alpha g_{\beta \nu} - {g^\mu}_\beta g_{\alpha \nu}),
\end{align*}
dostaneme s využitím antisymetrie koeficientů vztah ${\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + \Delta {\omega^\mu}_\nu$, což jsme chtěli dokázat.
Explicitně můžeme psát generátory:
\begin{align*}
K_1 &\equiv I_{01} = -i \left( \begin{matrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right), \quad
K_2 \equiv I_{02} = -i \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right), \quad
K_3 \equiv I_{03} = -i \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right), \\
J_1 &\equiv I_{23} = \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}\right), \quad
J_2 \equiv I_{31} = \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{matrix}\right), \quad
J_3 \equiv I_{12} = \left( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right).
\end{align*}
Platí komutační relace
\begin{align*}
[I_{\mu \nu}, I_{\rho \sigma}] = i(g_{\mu\sigma} I_{\nu \rho}+ g_{\nu\rho} I_{\mu \sigma} - g_{\mu\rho} I_{\nu \sigma} - g_{\nu\sigma} I_{\mu \rho}),
\end{align*}
což se dá jinak zapsat jako
\begin{align*}
[J_j,J_k] = i\epsilon_{jkl}J_l, \quad [J_j,K_k] = i\epsilon_{jkl}K_l, \quad [K_j,K_k] = -i\epsilon_{jkl}J_l.
\end{align*}
\subsection{Invariance Doracovy rovnice}
Máme Diracovu rovnici v kovariantním tvaru
\begin{align*}
i \ga^\mu \pd{\psi}{x^\mu} - m \psi = 0.
\end{align*}
Nyní přejdeme do jiného inerciálního systému transformací souřadnic $x' = \Lambda x$. Ptáme se, zda existuje matice $S(\Lambda)$ taková, že pokud transformujeme $\psi(x) \mapsto \psi'(x') = S(\Lambda) \psi(x)$, bude $\psi'(x')$ splňovat Diracovu rovnici. Matice $S(\Lambda)$ přitom už nesmí být závislá na souřadnicích.
Vyjádříme si $\psi(x) = S^{-1} \psi'(x')$ a dosadíme do Diracovy rovnice.
\begin{align*}
i \ga^\mu \pd{}{x^\mu}(S^{-1} \psi'(x')) - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\
i \ga^\mu S^{-1}\pd{\psi'(x')}{x'^\nu}\pd{x'^\nu}{x^\mu} - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\
i \ga^\mu S^{-1}\pd{\psi'(x')}{x'^\nu}\pd{{\Lambda^\nu}_\rho x^\rho}{x^\mu} - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\
S | \quad i \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\rho \pd{\psi'(x')}{x'^\nu}{g^\rho}_\mu - m s^{-1} \psi'(x') &= 0 \\
i S \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\mu \pd{\psi'(x')}{x'^\nu} - m \psi'(x') &= 0 \\
\end{align*}
Vidíme, že abychom dostali Diracovu rovnici, musí matice $S$ vyhovovat podmínce $S \ga^\mu S^{-1}{\Lambda^\nu}_\mu = \ga^\nu$, kterou můžeme přepsat do tvaru
\begin{align*}
S \ga^\mu S^{-1} = {\Lambda^\mu}_\nu\ga^\nu.
\end{align*}
\subsection{Hledání S}
Pro hledání matice $S$ použijeme ansatz, který vychází z tvaru transformační matice $\Lambda = \exp\left( -\frac{i}{2} \omega^{\alpha \beta} I_{\alpha \beta} \right)$, $I_{\alpha \beta} = -I_{\beta \alpha}$. Budeme uvažovat tvar
\begin{align*}
S(\Lambda) = \exp\left( -\frac{i}{4} \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} \right),
\end{align*}
kde čtvrtina ve výrazu je jen konvence a $\sigma_{\alpha \beta} = -\sigma_{\beta \alpha}$ jsou nějaké jiné generátory. Pro infinitesimální transformace pak dostáváme vztahy
\begin{align*}
S = \unit -\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}, \quad
S^{-1} = \unit +\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}.
\end{align*}
Řešíme rovnici $\Lambda^{\mu \nu} \ga_\nu = S^{-1}\ga^\mu S$, kde pro infinitesimální případ je $\Lambda^{\mu \nu} = g^{\mu \nu} + \Delta \omega^{\mu \nu}$. Dosazením tedy dostáváme:
\begin{align*}
(\unit -\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta})\ga^\mu
(\unit +\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}) &=
(g^{\mu \nu} + \Delta \omega^{\mu \nu})\ga_\nu \\
\ga^\mu - \frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}\ga^\mu + \ga^\mu \frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} + O(\Delta^2) &= \ga^\mu + \Delta \omega^{\mu \nu}\ga_\nu \\
\frac{i}{4} \Delta \omega^{\alpha \beta} (\sigma_{\alpha \beta} \ga^\mu - \ga^\mu \sigma_{\alpha \beta}) &= \Delta \omega^{\mu \beta}\ga_\beta = \Delta \omega^{\alpha \beta} \ga_\beta {g^\mu}_\beta
\end{align*}
Nyní ještě na pravě straně využijeme antisymetrie $\Delta \omega^{\alpha \beta}$ a přepíšeme pravou stranu $\Delta \omega^{\alpha \beta} \ga_\beta {g^\mu}_\alpha = \Delta \omega^{\alpha \beta} ({g^\mu}_\alpha \ga_\beta - {g^\mu}_\beta \ga_\alpha )$. Celkově z rovnice dostáváme podmínku (zvýšení indexů, otočení komutátoru)
\begin{align*}
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] = 2i(g_{\alpha \mu} \ga_\beta - g_{\beta \mu} \ga_\alpha), \quad \mu = 0,1,2,3.
\end{align*}
Jedná se o soustavu 64 rovnic pro 16 neznámých pro každou volbu $\alpha$ a $\beta$. Nyní bychom chtěli najít nějaké řešení. Rozebereme rovnici pro případ $(\alpha \beta) = (01)$, pak máme rovnici $[\ga_\mu, \sigma_{01}] = 2i(g_{0 \mu} \ga_1 - g_{1 \mu} \ga_0)$ a konkrétně
\begin{align*}
[\ga_0, \sigma_{01}] = 2i\ga_1, \quad [\ga_1, \sigma_{01}] = 2i\ga_0, \quad [\ga_2, \sigma_{01}] = 0, \quad [\ga_3, \sigma_{01}]= 0.
\end{align*}
Tento vztah určitě splní $\sigma_{01} = i\ga_0 \ga_1$. Na základě tohoto zjištění můžeme udělat kvalifikovaný odhad
\begin{align*}
\sigma_{\alpha \beta} &= i\ga_\alpha \ga_\beta \quad \mbox{ pro } \alpha \neq \beta, \\
\sigma_{\alpha \beta} &= 0 \quad \mbox{ pro } \alpha = \beta,
\end{align*}
což můžeme souhrnně napsat jako
\begin{align*}
\sigma_{\alpha \beta} &= \frac{i}{2}[\ga_\alpha, \ga_\beta].
\end{align*}
Tento předpoklad ověříme s využitím obecného vztahu $[A,BC] = \{A,B\}C - B\{A,C\}$. Případ $\alpha = \beta$ je triviální a proto ověříme pro $\alpha \neq \beta$:
\begin{align*}
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] = i[\ga_\mu, \ga_\alpha \ga_\beta] = i( \{\ga_mu,\ga_\alpha \}\ga_\beta - \ga_\alpha\{\ga_\mu \ga_\beta \}) = 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha).
\end{align*}
Ještě prozkoumáme jednoznačnost řešení. Uvažujme jiné řešení $\rho_{\alpha \beta}$, a tedy platí rovnice
\begin{align*}
[\ga_\mu, \rho_{\alpha \beta}] &= 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha), \\
[\ga_\mu, \sigma_{\alpha \beta}] &= 2i(g_{\mu \alpha} \ga_\beta - g_{\mu \beta}\ga_\alpha).
\end{align*}
Odečtením rovnic dostaneme vztah $[\rho_{\alpha \beta} - \sigma_{\alpha \beta}, \ga_\mu]$. Jelikož tedy výraz $\rho_{\alpha \beta} - \sigma_{\alpha \beta}$ komutuje se všemi $\ga$-maticemi, musí být násobkem jednotkové matice. Nejednoznačnost řešení je tedy dána jen tím, že můžeme přičíst libovolný násobek $\unit$.
\subsection{Příklad: rotace kolem osy z}
Transformační matice pro rotaci kolem z (v rovině $(12)$) a její infinitesimální verze mají tvar:
\begin{align*}
\Lambda^{(12)} = \left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\varphi) & \sin(\varphi) & 0 \\
0 & -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right), \quad
\Lambda^{(12)}_{inf} = \left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & \delta \varphi & 0 \\
0 & -\delta \varphi & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right).
\end{align*}
Jelikož má platit vztah pro infinitesimální transformaci ${{\Lambda_{inf}}^\mu}_\nu = {\delta^\mu}_\nu + {(\Delta \omega)^\mu}_\nu$, dostáváme nenulové členy
\begin{align*}
{(\Delta \omega)^1}_2 &= \delta \varphi, \quad {(\Delta \omega)^2}_1 = -\delta \varphi, \\
(\Delta \omega)^{12} &= {(\Delta \omega)^1}_\rho g^{\rho 2} = {(\Delta \omega)^1}_2 g^{2 2} = -\delta \varphi, \\
(\Delta \omega)^{21} &= \ldots = \delta \varphi.
\end{align*}
Vidíme, že skutečně platí $(\Delta \omega)^{12} = -(\Delta \omega)^{21}$. Infinitesimální transformace vlnové funkce tedy je
\begin{align*}
S(\Lambda^{(12)})_{inf} = \unit -\frac{i}{4}(-\delta \varphi)\sigma_{12} -\frac{i}{4}(\delta \varphi)\sigma_{21} = [\sigma_{12} = -\sigma_{21}] = \unit + \frac{i}{2}\delta \varphi \sigma_{12}.
\end{align*}
Za $\sigma_{12}$ dosadíme $i\ga_1 \ga_2$ a vyjádříme výraz ve standardní reprezentaci, tedy
\begin{align*}
\ga_0 &= \left( \begin{matrix}
\unit & 0 \\
0 & -\unit
\end{matrix}\right), \quad
\vec\ga = \left( \begin{matrix}
0 & \vec\sigma \\
-\vec\sigma & 0
\end{matrix}\right), \\
\sigma_{12} &= i\ga_1 \ga_2 = i
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_1 \\
-\sigma_1 & 0
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_2 \\
-\sigma_2 & 0
\end{matrix}\right) = i
\left( \begin{matrix}
-\sigma_1\sigma_2 & 0 \\
0 & \sigma_1\sigma_2
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
\sigma_3 & 0 \\
0 & \sigma_3
\end{matrix}\right) \equiv \Sigma_3,
\end{align*}
kde jsme využili vztah $\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \unit + i\epsilon_{ijk} \sigma_k$. Nyní si všimneme, že $(\Sigma_3)^2 = \unit$, tedy $(\Sigma_3)^3 = \Sigma_3$ a výpočet $S(\Lambda^{(12)})$ pomocí řady se rozpadne na dva členy. Celkově dostáváme (již transformace pro konečně velké $\varphi$)
\begin{align*}
S(\Lambda^{(12)}) = \exp(\frac{i}{2} \varphi \Sigma_3) = \cos\left( \frac{\varphi}{2} \right)\unit + i\sin\left( \frac{\varphi}{2} \right)\Sigma_3.
\end{align*}
Tím jsme tedy našli transformaci Diracova spinoru ("bispinoru") při rotaci kolem osy z.
\subsection{Příklad: Boost ve směru x}
Transformační matice pro boost ve směru x (v "rovině" $(01)$) a její infinitesimální verze mají tvar:
\begin{align*}
\Lambda^{(12)} = \left( \begin{matrix}
\cosh(\varphi) & -\sinh(\varphi) & 0 & 0 \\
-\sinh(\varphi) & \cosh(\varphi) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right), \quad
\Lambda^{(12)}_{inf} = \left( \begin{matrix}
1 & -\delta\varphi & 0 & 0 \\
-\delta\varphi & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}\right),
\end{align*}
kde $\cosh(v) = \frac{1}{\sqrt{1+v^2}}$ a $\sinh(v) = \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}$. Dále tedy máme (vše analogicky předchozímu příkladu):
\begin{align*}
{(\Delta \omega)^0}_1 &= -\delta \varphi, \quad {(\Delta \omega)^1}_0 = -\delta \varphi, \\
(\Delta \omega)^{01} &= {(\Delta \omega)^0}_\rho g^{\rho 1} = {(\Delta \omega)^0}_1 g^{11} = \delta \varphi, \\
(\Delta \omega)^{10} &= {(\Delta \omega)^1}_\rho g^{\rho 0} = {(\Delta \omega)^1}_0 g^{00} = -\delta \varphi, \\
\sigma_{01} &= i\ga_0 \ga_1 = i
\left( \begin{matrix}
\unit & 0 \\
0 & -\unit
\end{matrix}\right)
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_1 \\
-\sigma_1 & 0
\end{matrix}\right) =
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_1 \\
\sigma_1 & 0
\end{matrix}\right),\\
S(\Lambda^{(01)}) &= \exp\left(\frac{i}{2} \varphi
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_1 \\
\sigma_1 & 0
\end{matrix}\right)
\right) = \cos\left( \frac{\varphi}{2} \right)\unit + i\sin\left( \frac{\varphi}{2} \right)
\left( \begin{matrix}
0 & \sigma_1 \\
\sigma_1 & 0
\end{matrix}\right).
\end{align*}
\subsection{Prostorová inverze}
Tato transformace nemá žádná spojitý parametr a její transformační matice je
\begin{align*}
\Lambda_P = \left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix}\right).
\end{align*}
Označení $P$ vychází z názvu parita. Máme zde opět rovnici $S^{-1}\ga^\mu S = {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu$. To zde konkrétně znamená
\begin{align*}
S^{-1}\ga^0 S &= \ga^0 \quad \lra \quad \ga^0 S = S \ga^0, \\
S^{-1}\ga^k S &= -\ga^k \quad \lra \quad \ga^k S = -S \ga^k.
\end{align*}
Vidíme že kandidátem na řešení je $S = \mbox{konst}\cdot \ga^0$. Pro ověření jednoznačnosti opět předpokládáme dvě řešen $S$ a $R$ a musí platit:
\begin{align*}
S^{-1}\ga^0 S &= R^{-1}\ga^0 R \quad \lra \quad RS^{-1}\ga^0 = \ga^0 RS^{-1}, \\
S^{-1}\ga^k S &= R^{-1}\ga^k R \quad \lra \quad RS^{-1}\ga^k = \ga^k RS^{-1},
\end{align*}
a tedy $RS^{-1} = \mbox{konst}\cdot \unit \ra S = \mbox{konst}\cdot \ga^0$. Transformace vlnové funkce tedy je
\begin{align*}
\psi_P(x) = \ga^0 \psi(x_0, -\vec x).
\end{align*}
\subsection{Důležitá vlastnost S: $S^{-1} = \ga^0 S^\dagger \ga^0$}
Máme vyjádření
\begin{align*}
S = \Exp{-\frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}}, \quad
S^{-1} = \Exp{\frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}} \equiv \Exp{i\Omega} =
\unit + \frac{-i}{1!}\Omega + \frac{(-i)^2}{2!}\Omega^2 + \ldots,
\end{align*}
kde jsme si označili $\Omega \equiv \frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}$. Pro určení $S^\dagger$ si napřed upravíme
\begin{align*}
(\sigma_{\alpha \beta})^\dagger = (i\ga_\alpha \ga_\beta)^\dagger = -i\ga_\beta^\dagger \ga_\alpha^\dagger = -i\ga_0 \ga_\beta \ga_0 \ga_0 \ga_\alpha \ga_0 = [\alpha \neq \beta] = i\ga_0 \ga_\alpha \ga_\beta \ga_0 = \ga_0 \sigma_{\alpha \beta} \ga_0.
\end{align*}
Odtud tedy dostáváme $\Omega^\dagger = \frac{i}{4}\omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta}^\dagger = \ga_0 \Omega \ga_0$. Výsledně potom spočteme $S^\dagger$ jako
\begin{align*}
S^\dagger = \unit + \frac{i}{1!}\Omega^\dagger + \frac{i^2}{2!}(\Omega^2)^\dagger + \ldots =
\ga_0 \ga_0 + \frac{i}{1!}\ga_0 \Omega \ga_0 + \frac{i^2}{2!}\ga_0 \Omega^2\ga_0 + \ldots = \ga_0 S^{-1} \ga_0.
\end{align*}
\subsection{Vsuvka: kovariantní bilineární formy}
Pro bispinor $\psi$ (tedy $\psi'(x') = S\psi(x)$, $S^{-1}\ga^\mu S = {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu$) platí:
\begin{itemize}
\item $\bpsi(x)\psi(x)$ je skalár (S),
\item $\bpsi(x)\ga^\mu \psi(x)$ je vektor (čtyřvektor) (V),
\item $\bpsi(x)\ga^\mu\ga^\nu\psi(x)$ je tenzor (T),
\item $\bpsi(x)\ga_5\psi(x)$ je pseudoskalár (A),
\item $\bpsi(x)\ga^\mu \ga_5\psi(x)$ je pseudovektor (P),
\end{itemize}
kde $\bpsi = \psid \ga_0$ (Diracova konjugace) a vlastnosti jsou vůči Lorentzovým transformacím a v závorce je uvedena obecná notace pro danou formu. Důkaz ukážeme jen pro některé případy.
\begin{align*}
&\bpsi'(x')\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0 \psi'(x') = \psid(x)S^\dagger \ga_0 S \psi(x) =
\psid(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_0 S \psi(x) = \psid(x)\ga_0 S^{-1} S \psi(x) = \\
&= \bpsi(x) \psi(x) \\
&\bpsi'(x')\ga^\mu\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0\ga^\mu \psi'(x') = \psid(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_\mu S \psi(x) =
\bpsi(x) S^{-1} \ga_\mu S \psi(x) = \\
&= \bpsi(x) {\Lambda^\mu}_\nu \ga^\nu \psi(x) = {\Lambda^\mu}_\nu \bpsi(x) \ga^\nu \psi(x) \\
&\bpsi'(x')\ga_5\psi'(x') = \psi'^\dagger(x')\ga_0\ga_5 \psi'(x') = \psid(x)S^\dagger \ga_0 \ga_5 S \psi(x) =
\bpsi(x)\ga_0 S^\dagger \ga_0 \ga_5 S \psi(x) = \\
&= \bpsi(x)S^{-1} \ga_5 S \psi(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\bpsi \ga_5 \psi \quad \mbox{pro spojité transformace} \\
-\bpsi \ga_5 \psi \quad \mbox{pro prostorovou inverzi}
\end{array} \right.
\end{align*}
Jako příklad můžeme vzít \textbf{rovnici kontinuity} pro Diracovu rovnici:
\begin{align*}
\pd{\rho}{t} + \mbox{div} \vec j = 0 \quad \mbox{, kde } \rho = \psid \psi, \vec j = \psid \vec\alpha \psi.
\end{align*}
Tu můžeme přepsat jako
\begin{align*}
\parc_0(\psid \psi) + \parc_j(\psid \alpha^j \psi) &= 0 \\
\parc_0(\bpsi \ga_0 \psi) + \parc_j(\bpsi \ga^j \psi) &= 0 \\
\parc_\mu(\bpsi \ga^\mu \psi) &= 0.
\end{align*}
\subsection{Některé známé vlastnosti Lorentzovy transformace}
Ukážeme, že metrický tenzor $g^{\mu \nu}$ je tenzorem vůči Lorentzovým transformacím. Zavedeme si maticové označení
\begin{align*}
x'_\mu = {\Lambda_\mu}^\sigma x_\sigma \quad &\ra \quad \overline \Lambda = ({\Lambda_\mu}^\sigma) \\
x'^\mu = {\Lambda^\mu}_\rho x^\rho \quad &\ra \quad \Lambda^T = ({\Lambda^\mu}_\rho).
\end{align*}
Vyjdeme ze zachování čtyřintervalu $x'^\mu x'_\mu = x^\rho x_\rho$, tedy
\begin{align*}
{\Lambda^\mu}_\rho x^\rho {\Lambda_\mu}^\sigma x_\sigma &= \delta_\rho^\sigma x^\rho x_\sigma \mbox{ , tedy} \\
{\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda_\mu}^\sigma &= \delta_\rho^\sigma.
\end{align*}
Z maticového vyjádření pak máme $\Lambda^T \overline \Lambda = \unit \ra \overline \Lambda \Lambda^T = \unit$, a tedy
\begin{align*}
{\Lambda_\mu}^\sigma {\Lambda^\nu}_\sigma &= {g_\mu}^\nu \\
{\Lambda^\mu}_\rho {\Lambda^\nu}_\sigma g^{\sigma \rho} &= g^{\mu \nu},
\end{align*}
což je vztah pro transformaci tenzoru druhého řádu.
Dále platí ${\Lambda_\mu}^\nu = g_{\mu \rho} {\Lambda^\rho}_\sigma g^{\sigma \nu}$, což je maticově $\overline \Lambda = g \Lambda g$, a tedy máme
\begin{align*}
\det(\Lambda^T g \Lambda g ) &= \det(\Lambda^T \overline \Lambda ) = \det(\unit) = 1, \\
(\det(\Lambda))^2 &= 1.
\end{align*}
Determinant $\Lambda$ je tedy $\pm1$. Hodnota $-1$ je pro prostorovou inverzi a $+1$ pro spojité Lorentzovy transformace.
\textbf{Poznámka:} Stopa součinu Diracových $\ga$-matic $Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega)$ je tenzor vůči Lorentzovým transformacím, jelikož:
\begin{align*}
&Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega) = Tr(SS^{-1}\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega) =
Tr(S^{-1}\ga^\mu\ga^\nu \ldots \ga^\lambda\ga^\omega S) = \\
& = Tr(S^{-1}\ga^\mu SS^{-1}\ga^\nu SS^{-1} \ldots SS^{-1} \ga^\lambda SS^{-1} \ga^\omega S) =
Tr({\Lambda^\mu}_\alpha \ga^\alpha {\Lambda^\nu}_\beta \ga^\beta \ldots {\Lambda^\omega}_\delta \ga^\delta) = \\
&= {\Lambda^\mu}_\alpha {\Lambda^\nu}_\beta {\Lambda^\omega}_\delta Tr(\ga^\alpha \ga^\beta \ldots \ga^\delta)
\end{align*}
\textbf{Poznámka:} Příkladem pseudotenzoru je Levi-Civitův symbol $\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$, který je antisymetrický ve všech indexech. Konvence je $\epsilon_{0123} = 1$, a tedy $\epsilon^{0123} = -1$.
\textbf{Poznámka:} Platí
\begin{align*}
Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ga_5) &= 0,\\
Tr(\ga^\mu\ga^\nu \ga^\rho \ga^\sigma \ga_5) &= 4i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}.
\end{align*}
\section{Řešení Diracovy rovnice pro volnou částici}
Máme Diracovu rovnici $(i\ga^\mu \parc_\mu - m)\psi = 0$ a použijeme ansatz řešení
\begin{align*}
\psi_{(+)}(x) = u(p)e^{-ipx}, \quad \psi_{(-)}(x) = v(p)e^{ipx}.
\end{align*}
Dosazením dostaneme rovnice
\begin{align*}
(\ga^\mu p_\mu - m)u(p)=0, \quad (\ga^\mu p_\mu + m)v(p)=0.
\end{align*}
Zavedeme Feynmanovo označení "slash": $p_\mu \ga^\mu = \psl$, kde místo $p$ může být libovolný jiný čtyřvektor. Potom rovnice budeme psát jako
\begin{align*}
(\psl - m)u(p)=0, \quad (\psl + m)v(p)=0.
\end{align*}
pro další postup se nám bude hodit upravit $\psl \psl$:
\begin{align*}
\psl \psl &= p_\mu \ga^\mu p_\nu \ga^\nu = p_\mu p_\nu \left( \pol \{ \ga^\mu, \ga^\nu \} + \pol [\ga^\mu, \ga^\nu] \right) = \\
&= [\mbox{ antikomutátor se vysčítá na 0 díky symetrickému výrazu }p_\mu p_\nu] = \\
&= \pol p_\mu p_\nu 2 g^{\mu \nu} = p_\mu p^\mu = p^2.
\end{align*}
Nyní trochu prozkoumáme čtyřvektor $p$. Určitě platí
\begin{align*}
0&=(\psl+m)(\psl - m)u(p) = (\psl \psl - m^2)u(p) = (p^2 - m^2)u(p) \mbox{, tedy }\\
p_0^2-\vec p^2 &= m^2 \quad \ra \quad p_0=\pm \sqrt{\vec p^2+m^2}.
\end{align*}
Konvenčně zvolíme $\quad p_0=\sqrt{\vec p^2+m^2}$ a potom podle vztahů
\begin{align*}
i\parc_0 \psi_{(+)} &= p_0 \psi_{(+)}, \\
i\parc_0 \psi_{(-)} &= -p_0 \psi_{(-)}
\end{align*}
vidíme, že $\psi_{(+)}$ je řešení s kladnou a $\psi_{(-)}$ řešení se zápornou energií.
\subsection{Částice v klidu}
Mějme $p=(p_0,\vec 0)=(m,\vec 0)$, a tedy $\psl = p_0 \ga^0 = m \ga^0$. Potom naše rovnice přejdou na tvar
\begin{align*}
(\ga_0-\unit)u(m,\vec 0)=0, \quad (\ga_0 + \unit)v(m,\vec 0)=0.
\end{align*}
Dosadíme $\ga_0$ ve standardní reprezentaci: $\ga_0 = \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right)$ a dostaneme rovnice
\begin{align*}
\left( \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & -\unit \end{matrix}\right) - \left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)\right)u(m,\vec 0) = -2\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \unit \end{matrix}\right)u(m,\vec 0) = 0, \quad 2\left( \begin{matrix} \unit & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right)v(m,\vec 0)=0,
\end{align*}
ze kterých dostáváme řešení
\begin{align*}
u(m,\vec 0) &= \left( \begin{matrix} \varphi^{(r)} \\ 0 \end{matrix}\right) \mbox{ , kde } r=1,2 \quad \varphi^{(1)} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \varphi^{(2)} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right), \\
v(m,\vec 0) &= \left( \begin{matrix} 0 \\ \chi^{(r)} \end{matrix}\right) \mbox{ , kde } r=1,2 \quad \chi^{(1)} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right), \quad \chi^{(2)} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right).
\end{align*}
\subsection{Zkratka k řešení pro $\vec p \neq \vec 0$}
Pro obecnou čtyřhybnost $p=(p_0,\vec p)$ platí ve standardní reprezentaci
\begin{align*}
\psl &= p_\mu \ga^\mu = \maticedvadva{p_0}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0}.
\end{align*}
Nyní použijeme trik, respektive ansatz a budeme psát řešení ve tvaru
\begin{align*}
u(p) = N(\psl + m)u(p_0,\vec 0), \quad v(p) = N(\psl - m)v(p_0,\vec 0),
\end{align*}
kde $N$ je nějaká normalizační konstanta. Dosazením za $\psl$ dostaneme tvar řešení ($p_0 = E$)
\begin{align*}
u(p) &= N(\psl + m)u(p_0,\vec 0) = N\maticedvadva{p_0+m}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{0} = N(p_0+m)\vektordva{\varphi^{(r)}}{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\varphi^{(r)}}, \\
v(p) &= -N(p_0+m)\vektordva{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\chi^{(r)}}{\chi^{(r)}}.
\end{align*}
Vidíme, že pro $|\vec p| << m$ je dolní komponenta $u$, respektive horní komponenta $v$ zanedbatelně malá oproti druhé.
\subsection{Normalizace $u(p)$ a $v(p)$}
Normalizaci si konvenčně zvolíme tak, že $\bu(p)u(p)=2m$ a $\bv(p)v(p)=-2m$. (Pruh značí Diracovu konjugaci, tedy Hermitovské sdružení a násobení $\ga_0$.) Určíme tedy normalizační konstantu (označíme $u(0) \equiv u(p_0,\vec 0)$):
\begin{align*}
\bu(p)u(p) &= u(p)^\dagger \ga_0 u(p) = [ N \mbox{ bereme reálné } ] = N^2u^\dagger(0)(\psl + m)^\dagger \ga_0 (\psl+m)u(0) = \\
&= [\mbox{ konjugace $\ga$-matic }] = N^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)\ga_0 \ga_0 (\psl+m)u(0) = \\
&= N^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)^2 u(0) = N^2u^\dagger(0)\ga_0(m^2 + 2m\psl +m^2) u(0) = \\
&= 2mN^2u^\dagger(0)\ga_0(\psl + m)u(0) = \\
&= 2mN^2\vektordvahor{\varphi^{(r')\dagger}}{0} \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}\maticedvadva{p_0+m}{-\vec \sigma\cdot \vec p}{\vec \sigma\cdot \vec p}{-p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{0} = \\
&= 2mN^2 \vektordvahor{\varphi^{(r')\dagger}}{0} \vektordva{(p_0+m)\varphi^{(r)}}{-\vec \sigma\cdot \vec p \varphi^{(r)}} = 2mN^2\varphi^{(r')}\varphi^{(r)} = 2mN^2(E+m)\delta_{r,r'}, \\
\bv(p)v(p) &= \ldots = -2mN^2(E+m)\delta_{r,r'}.
\end{align*}
Odtud tedy dostáváme výsledek: $N=\rec{\sqrt{E+m}}$. Nyní můžeme zapsat $u$ a $v$ ve výsledné podobě
\begin{align*}
u^{(r)}(p) =\sqrt{p_0+m}\vektordva{\varphi^{(r)}}{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\varphi^{(r)}}, \quad
v^{(r)}(p) =-\sqrt{p_0+m}\vektordva{\frac{\vec \sigma\cdot \vec p}{E+m}\chi^{(r)}}{\chi^{(r)}}.
\end{align*}
Ještě prozkoumáme význam indexu $r$. Platí
\begin{align*}
u^{(1)}(0) =\vektorctyri{1}{0}{0}{0}, \quad u^{(2)}(0) =\vektorctyri{0}{1}{0}{0}, \quad \Sigma_3 \equiv \maticedvadva{\sigma_3}{0}{0}{\sigma_3}, \\
\Sigma_3 u^{(1)}(0) = u^{(1)}(0), \quad \Sigma_3 u^{(2)}(0) = -u^{(2)}(0),
\end{align*}
a tedy $r$ rozlišuje projekci spinu v klidovém systému.
\section{Popis spinových stavů Diracovy částice}
Operátor $\Sigma_3$ je jen speciální volba - operátor projekce spinu do osy $z$ v klidové soustavě. Obecně máme operátor projekce spinu do libovolného směru $\vec s \vec \Sigma$, kde $\vec s$ je nějaký jednotkový vektor ($|\vec s| = 1$). Pro $\Sigma_3$ je $\vec s = (0,0,1)$. I operátor $\vec s \vec \Sigma$ má vlastní hodnoty $\pm 1$ a pro každou volbu $\vec s$ existují vlastní stavy $u(0,+)$ a $u(0,-)$, pro které platí
\begin{align*}
\vec s \vec \Sigma u(0,+) = u(0,+), \quad \vec s \vec \Sigma u(0,-) = -u(0,-) \ra -\vec s \vec \Sigma u(0,-) = u(0,-).
\end{align*}
Pro tyto vlastní stavy zavedeme označení $u(0,+) \equiv u(0,\vec s) $ a $ u(0,-) \equiv u(0,- \vec s)$.
Nyní budeme chtít popsat spin pro částici s obecným čtyřimpulsem $p=(p_0,\vec p)$. Uděláme to tak, že vyjdeme z klidového systému, kde $p^{(0)} = (m,\vec 0)$ a použijeme Lorentzovu transformaci $p=\Lambda(-\vec v)p^{(0)}$. Řešení Diracovy rovnice se pak bude transformovat jako $u(p) = S(-\vec v)u(0,\vec s)$. (Dále budeme značit $u(0,\vec s) \equiv u(0)$.)
Pro další úpravu využijeme identitu $\vec \Sigma = \ga_5 \vec \alpha$. Její platnost ověříme jen ve standardní reprezentaci, ale ve skutečnosti na reprezentaci nezávisí. Máme tedy
\begin{align*}
\ga_5 \vec \alpha = i\ga^0\ga^1\ga^2\ga^3 \vec \alpha = \maticedvadva{0}{\unit}{\unit}{0} \maticedvadva{0}{\vec \sigma}{\vec \sigma}{0} = \maticedvadva{\vec \sigma}{0}{0}{\vec \sigma} = \vec \Sigma.
\end{align*}
Dále si vyjádříme $\Sigma^l$ pomocí koeficientů ze vztahu $S(\Lambda) = \exp\left( -\frac{i}{4} \omega^{\alpha \beta} \sigma_{\alpha \beta} \right)$:
\begin{align*}
\sigma^{jk} = \frac{i}{2}[\ga^j,\ga^k] = \epsilon^{jkl}\Sigma^l \quad \ra \quad \Sigma^l = \pol \epsilon^{lrs} \sigma^{rs}.
\end{align*}
Vztah se snadno odvodí ve standardní reprezentaci a díky invarianci rovnic vůči podobnostní transformaci platí obecně. (Polovina ve vyjádření $\Sigma^l$ je z toho, že se vždy sečtou dva členy díky antisymetrii $\epsilon$ a antisymetrii $\sigma^{rs}$.)
Nyní můžeme začít upravovat:
\begin{align*}
\vec s \vec \Sigma u(0) &= u(0), \\
\ga_5 \vec s \vec \alpha u(0) &= u(0), \\
\ga_5 \vec s \ga_0 \vec \ga u(0) &= u(0), \\
-\ga_5 \vec s \vec \ga \ga_0 u(0) &= u(0).
\end{align*}
Využijeme vztahu $(\psl^{(0)}-m)u(0) = 0 \ra (m\ga_0-m)u(0) = 0 \ra \ga_0 u(0) = u(0)$ a dostáváme
\begin{align*}
-\ga_5 \vec s \vec \ga u(0) &= u(0). \\
\end{align*}
Nyní definujeme $s(0) \equiv (0,\vec s)$ (čtyřvektor spinu v klidové soustavě), a tedy $\ssl^{(0)} = -\vec s \vec \ga$ a rovnice je
\begin{align*}
\ga_5 \ssl^{(0)} u(0) &= u(0). \\
\end{align*}
Nyní vztah vyjádříme pomocí $u(p) = S(-\vec v)u(0)$:
\begin{align*}
\ga_5 \ssl^{(0)} S^{-1}(-\vec v) u(0) &= S^{-1}(-\vec v) u(0), \quad S^{-1}(-\vec v) = S(\vec v) \\
\ga_5 \ssl^{(0)} S(\vec v) u(0) &= S(\vec v) u(0), \\
S^{-1}(\vec v) \ga_5 \ssl^{(0)} S(\vec v) u(0) &= u(0), \quad [S(\vec v),\ga_5]=0\\
\ga_5 S^{-1}(\vec v) s_\mu^{(0)} \ga^\mu S(\vec v) u(0) &= u(0), \quad S^{-1}(\vec v) \ga^\mu S(\vec v) = {\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu \ga^\nu \\
\ga_5 {\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu \ga^\nu s_\mu^{(0)} u(0) &= u(0).
\end{align*}
V maticovém vyjádření můžeme psát
\begin{align*}
({\Lambda(\vec v)^\mu}_\nu s_\mu^{(0)}) = \Lambda^T(\vec v)s^{(0)} = [\Lambda^T(\vec v) = \overline\Lambda^{-1}(\vec v) = \overline\Lambda(-\vec v)] = \overline\Lambda(-\vec v)s^{(0)} = ({\Lambda(-\vec v)_\nu}^\mu s^{(0)}_\mu).
\end{align*}
Pokud si nyní zadefinujeme $s_\nu(p) \equiv {\Lambda(-\vec v)^\mu}_\nu s^{(0)}_\mu$, dostaneme rovnici
\begin{align*}
\ga_5 s_\nu(p) \ga^\nu u(p) &= u(p), \\
\ga_5 \ssl(p) u(p) &= u(p).
\end{align*}
\textcolor{red}{Je to nějaké divné s těmi znaménky, ale bohužel se mi nepodařilo to z poznámek rozluštit.}
Výsledně tedy máme
\begin{align*}
\vec s \vec \Sigma u(0) = u(0) \quad \ra \quad \ga_5 \ssl(p) u(p) &= u(p) \mbox{ , kde} \\
s(p) = \Lambda(-\vec v) s^{(0)}, \quad p = \Lambda(-\vec v) p^{(0)}.
\end{align*}
Pro spinový čtyřvektor platí vztahy:
\begin{align*}
p\cdot s(p)=0, \quad s^2 = -1.
\end{align*}
Snadno to ověříme:
\begin{align*}
p^{(0)}\cdot s^{(0)} = (m,\vec 0)\cdot (0,\vec s) = 0, \\
(s^{(0)})^2 = (0,\vec s)^2 = 0-|\vec s|^2 = -1
\end{align*}
a pro mimo klidovou soustavu vztah platí ze zachování skalárního součinu při Lorentzových transformacích.
Ukážeme, že výrazy $\ga_5 \ssl(p)$ a $\psl$ spolu komutují:
\begin{align*}
[\psl, \ga_5 \ssl(p)] &= \psl \ga_5 \ssl(p) - \ga_5 \ssl(p) \psl = -\ga_5 (\psl \ssl(p) + \ssl(p) \psl) =
-\ga_5 (p_\mu \ga^\mu s_\nu \ga^\nu - s_\nu \ga^\nu p_\mu \ga^\mu) = \\
&= -\ga_5 p_\mu s_\nu \{ \ga^\mu,\ga^\nu \} =
-\ga_5 p_\mu s_\nu 2 g^{\mu \nu} = -\ga_5 2 p\cdot s(p) = 0.
\end{align*}
Nyní definujeme $\Sigma(s) \equiv \pol (1+\ga_5 \ssl)$ a ukážeme, že se jedná o projektor a v tom smyslu, že $(\Sigma(s))^2 = \Sigma(s)$:
\begin{align*}
(\Sigma(s))^2 = \rec{4} (1+\ga_5 \ssl)^2 = \rec{4} (1 + 2\ga_5 \ssl + \ga_5 \ssl\ga_5 \ssl) = \rec{4} (1 + 2\ga_5 \ssl + (-1)(-1)) = \Sigma(s).
\end{align*}
\subsection{Nábojová konjugace}
Nábojová konjugace je popsána transformací $\psi'(x) = A\psi^*(x)$ a nyní nás bude zajímat, zda existuje nesingulární matice $A$ taková, že $\psi'(x)$ je opět řešením Diracovy rovnice
\begin{align*}
i\ga^\mu \parc_\mu \psi - m\psi &= 0, \quad |^* \\
-i\ga^{\mu *} \parc_\mu \psi^* - m\psi^* &= 0, \\
A| \quad -i\ga^{\mu *} A^{-1} \parc_\mu \psi' - mA^{-1} \psi' &= 0, \\
-iA \ga^{\mu *} A^{-1} \parc_\mu \psi' - m\psi' &= 0,
\end{align*}
odkud dostáváme podmínku $-A \ga^{\mu *} A^{-1} = \ga^\mu$, neboli $-\ga^{\mu *} = A^{-1} \ga^\mu A$. Ve standardní reprezentaci jsou $\ga^0, \ga^1, \ga^3$ reálné a $\ga^2$ ryze imaginární. Dostáváme tedy vztahy
\begin{align*}
\ga^2 = A^{-1} \ga^2 A, \quad -\ga^\mu = A^{-1} \ga^\mu A \mbox{ pro } \mu = 0,1,3.
\end{align*}
Tyto vztahy splníme volbou $A = i\ga^2$. Pokud ještě upravíme $\psi^* = (\psid)^T$ a zavedeme matici $C \equiv A \ga^0$ (to platí ve všech reprezentacích), můžeme přepsat $\psi'$ jako
\begin{align*}
\psi' \equiv \psi_C = A\ga^0 \ga^0 (\psid)^T = C\bpsi^T.
\end{align*}
Ukážeme některé vlastnosti matice $C$:
\begin{align*}
-\ga^{\mu *} &= A^{-1} \ga^\mu A = (C\ga^0)^{-1} \ga^\mu C\ga^0, \\
-\ga^{\mu *} &= \ga^0 C^{-1} \ga^\mu C\ga^0, \\
-\ga^0\ga^{\mu *}\ga^0 &= C^{-1} \ga^\mu C, \\
-\ga^0(\ga^0 \ga^\mu \ga^0)^T \ga^0 &= C^{-1} \ga^\mu C, \\
-\ga^{\mu T} &= C^{-1} \ga^\mu C.
\end{align*}
Tento vztah představuje vnitřní symetrii Diracovy rovnice. Ve standardní reprezentaci dále platí
\begin{align*}
-C = C^{-1} = C^T = C^\dagger.
\end{align*}
Vše jsme odvozovali pro $u(p,s)$. K $v(p,s)$ přejdeme pomocí nábojové konjugace vztahem $u(p,s) = C(\bu(p,s))^T$. Ukážeme, že když $\ga_5 \ssl u(p,s) = u(p,s)$, pak $\ga_5 \ssl v(p,s) = v(p,s)$:
\begin{align*}
\ga_5 \ssl u(p,s) &= u(p,s), \\
u^\dagger(p,s) \ssl^\dagger \ga_5 &= u^\dagger(p,s) , \\
\bu(p,s) \ssl \ga_0 \ga_5 &= \bu(p,s) \ga_0, \\
(-1)^2\bu(p,s) \ga_5 \ssl \ga_0 &= \bu(p,s) \ga_0, \\
\bu(p,s) \ga_5 \ssl &= \bu(p,s), \\
\ssl^T \ga_5^T \bu^T &= \bu^T.
\end{align*}
Využije předchozí vztah $\ga^{\mu T} = -C^{-1}\ga^\mu C$ a dále upravujeme:
\begin{align*}
C| \quad -C^{-1} \ssl C \ga_5^T \bu^T &= \bu^T,\\
-\ssl \ga_5^T C \bu^T &= C \bu^T, \\
\ga_5^T \ssl v(p,s) &= v(p,s). \\
\end{align*}
Celkově tedy máme stavy $u(p,s)$, $u(p,-s)$, $v(p,s)$ a $v(p,-s)$.
\subsection{Projektory pro spin a energii}
Připomeňme, že ze vztahu $\ga_5 \ssl u(p,s) = u(p,s)$ plyne $\pol (\unit + \ga_5 \ssl) u(p,s) \equiv \Sigma(s)u(p,s) = u(p,s)$, kde $\Sigma(s)$ je projektor ($(\Sigma(s))^2 = \Sigma(s)$). Zavedeme ještě další projektory:
\begin{align*}
(\psl - m)u = 0 \quad \ra \quad \pol \left( 1+\frac{\psl}{m} \right)u = 0 \quad \mbox{, tedy } \quad \frac{m+\psl}{2m}u \equiv \Lambda_+ u = u, \\
(\psl + m)v = 0 \quad \ra \quad \pol \left( 1-\frac{\psl}{m} \right)v = 0 \quad \mbox{, tedy } \quad \frac{m-\psl}{2m}v \equiv \Lambda_- v = v.
\end{align*}
Skutečně se jedná o projektory ($(\Lambda_\pm)^2 = \Lambda_\pm$) a platí vztahy $[\Lambda_\pm,\Sigma(s)]=0$ a $[\Lambda_\pm,\Sigma(-s)] = 0$. Definujeme další projektory:
\begin{align*}
P_1 = \Lambda_+ \Sigma(s), \quad P_2 = \Lambda_+ \Sigma(-s), \quad P_3 = \Lambda_- \Sigma(s), \quad P_4 = \Lambda_- \Sigma(-s),
\end{align*}
pro které platí $P_j P_k = \delta_{jk} P_k$. Jedná se tedy o vzájemně ortogonální projektory. Dále pro ně platí relace $P_j^\dagger = \ga_0 P_j \ga_0$ a $\sum_{j=1}^4 P_j = \unit$. Jejich vlastní stavy už známe:
\begin{align*}
P_1 u(p,s) = u(p,s), \quad P_2 u(p,-s) = u(p,-s), \quad P_3 v(p,s) = v(p,s), \quad P_4 v(p,-s) = v(p,-s). \quad
\end{align*}
Dále je možné dokázat vztahy (velmi důležité ve výpočtech!):
\begin{align*}
u(p,s)\bu(p,s) &= (\psl + m)\frac{1+\ga_5 \ssl}{2}, \\
u(p,-s)\bu(p,-s) &= (\psl + m)\frac{1-\ga_5 \ssl}{2}, \\
v(p,s)\bv(p,s) &= (\psl - m)\frac{1+\ga_5 \ssl}{2}, \\
v(p,-s)\bv(p,-s) &= (\psl - m)\frac{1-\ga_5 \ssl}{2}. \\
\end{align*}
Okamžitě z nich také vidíme vztahy $\sum_{\pm s}u(p,s)\bu(p,s) = \psl + m$ a $\sum_{\pm s}uvp,s)\bv(p,s) = \psl - m$.
\subsection{Helicita}
Připomeňme, že máme operátor projekce spinu $\vec s \vec \Sigma$, kde $|\vec s| = 1$. Problém je, že obecně $[\psl,\vec s \vec \Sigma] \neq 0$, což se nám nehodí vzhledem k tomu, že naše základní rovnice je $\psl u = m u$. Musíme tedy najít podmínky pro to, aby bylo komutátor nulový.
\begin{align*}
[\vec s \vec \Sigma,\psl] &= [\vec s \ga_5 \vec \alpha, p_0 \ga_0 - \vec p \vec \ga] = 0 - [\vec s \ga_5 \ga_0 \vec \ga, \vec p \vec \ga] = -\ga_5 \ga_0 [s^j \ga^j, p^k \ga^k] = -\ga_5 \ga_0 s^j p^k [ \ga^j, \ga^k] = \\
&= -\ga_5 \ga_0 s^j p^k (-2i\sigma^{jk}) = 2i\ga_5 \ga_0 s^j p^k \epsilon^{jkl} \Sigma^l = 2i\ga_5 \ga_0 \epsilon^{jkl} s^j p^k \Sigma^l = \\
&= 2i \ga_5 \ga_0 (\vec s \times \vec p)^l \Sigma^l = 2i \ga_5 \ga_0 (\vec s \times \vec p) \cdot \vec \Sigma
\end{align*}
Vidíme, že aby byl komutátor nulový, musí být $\vec p = 0$ nebo $\vec p || \vec s$. Proto volíme $\vec s \equiv \frac{\vec p}{|\vec p|}$, a tedy operátor helicity má tvar $\hat h = \frac{\vec \Sigma \cdot \vec p}{|\vec p|}$. Stavy s helicinou $+1$ označujeme jako pravotočivé (R) a s helicitou $-1$ jako levotočivé (L).
\subsection{Ekvivalentní popis helicity pomocí spinového čtyřvektoru}
Kvalifikovaným odhadem zavedeme $s_R(p) = \left( s_R^{(0)},\lambda \frac{\vec p}{|\vec p|}\right)$ a použijeme ansatz $\lambda > 0$. Na $s_R(p)$ máme podmínky: $p\cdot s_R(p)=0$ a $(s_R(p))^2=-1$. Konkrétně tedy
\begin{align*}
p_0 s_R^{(0)} - \lambda \frac{\vec p \vec p}{|\vec p|} = 0 \quad &\ra \quad s_R^{(0)} = \frac{\lambda |\vec p|}{p_0} = \frac{\lambda |\vec p|}{E}, \\
\frac{\lambda^2 |\vec p|^2}{E^2}-\lambda^2 \frac{|\vec p|^2}{|\vec p|^2} = -1 \quad &\ra \quad \lambda = \sqrt{\frac{E^2}{E^2-|\vec p|^2} } = \frac{E}{m}.
\end{align*}
Celkem tedy máme $s_R(p) = \left( \frac{|\vec p|}{m}, \frac{E}{m}\frac{\vec p}{|\vec p|}\right)$. Potom platí vztahy
\begin{align*}
(\psl-m)u = 0 \quad &\ra \quad \frac{\vec p \vec \Sigma}{|\vec p|}u = \ga_5 \ssl_R u, \\
(\psl+m)v = 0 \quad &\ra \quad \frac{-\vec p \vec \Sigma}{|\vec p|}v = \ga_5 \ssl_R v.
\end{align*}
\section{Weilovy rovnice}
Weilovy rovnice popisují Diracovskou částici s nulovou hmotností. Mají tvar:
\begin{align*}
\mbox{(I)} \quad i\pd{\psi}{t} &= -i \vec \sigma \psi \quad \mbox{ , respektive } \quad \sigma^\mu \parc_\mu \psi = 0, \\
\mbox{(II)} \quad i\pd{\psi}{t} &= i \vec \sigma \psi \quad \mbox{ , respektive } \quad \tilde \sigma^\mu \parc_\mu \psi = 0,
\end{align*}
kde jsme zavedli $(\sigma^\mu) = (\unit, \vec \sigma)$ a $(\tilde \sigma^\mu) = (\unit, -\vec \sigma)$. Tyto rovnice jsou invariantní cůči spojitým Lorentzovým transformacím, ale ne vůči prostorové inverzi a nábojové konjugaci. To je proto, že neexistuje matice $C$ splňující $C^{-1} \sigma_j^* C = \sigma_j$ pro $j=1,2,3$. Existuje však matice, která splní $C^{-1} \sigma_j^* C = -\sigma_j$, a to konkrétně matice $\sigma_2$. ($\sigma_2^{-1} = \sigma_2$ a vztah se jednoduše přímo ověří.) Definujeme tedy:
\begin{align*}
\psi_P(x) &= \psi(x_0,-\vec x), \\
\psi_C(x) &= \sigma_2 \psi^*(x).
\end{align*}
Potom platí:
\begin{itemize}
\item Pokud $\psi$ řeší (I), pak $\psi_P$ řeší (II) a naopak.
\item Pokud $\psi$ řeší (I), pak $\psi_C$ řeší (II) a naopak.
\end{itemize}
Pro prostorovou inverzi je to vidět rovnou, pro nábojovou konjugaci se to dá také celkem rozumně ukázat.
Vidíme tedy, že Weilovy rovnice jsou invariantní vůči CP symetrii ("kombinovaná parita"), ale ne vůči C a P symetriím jednotlivě.
\textbf{Poznámka:} Pro řešení ve tvaru rovinných vln $\psi = u(p)e^{-ipx}$ dostáváme rovnici (pro $m=0$ platí $p_0 = |\vec p|$):
\begin{align*}
i(-ip_0)u &= \vec\sigma \vec p u, \\
|\vec p| &= \vec\sigma \vec u, \\
\frac{\vec\sigma \vec p}{|\vec p|}u &= u.
\end{align*}
Vidíme tedy, že řešení Weilových rovnic jsou vlastní stavy helicity. Konkrétně pro řešení s kladnou energií máme pro rovnici (I) řešení s helicitou R (+) a pro rovnici (II) řešení s helicitou L (-).
\section{Časová inverze}
Časová inverze je popsána transformací $(x_0,\vec x) \mapsto (-x_0,\vec x)$ a tedy $\Lambda_T =\mbox{diag} (-1,1,1,1)$. Nejprve provedeme \textbf{naivní odhad} transformace řešení Diracovy rovnice
\begin{align*}
\psi'(x') = S_T \psi(x) \quad \mbox{ , kde } \quad x'=(-x_0,\vec x).
\end{align*}
Musíme tedy splnit podmínku $S_T^{-1}\ga^\mu S_T = {\Lambda_T^\mu}_\nu \ga^\nu$. To při daném $\Lambda$ znamená
\begin{align*}
S_T^{-1}\ga^0 S_T = -\ga^0, \quad S_T^{-1}\ga^k S_T = \ga^k.
\end{align*}
Nabízí se tedy řešení $S_T = \ga_0 \ga_5$. Takto jsme však našli pouze takzvanou "falešnou" časovou inverzi. Problém je v tom, že při skutečné časové inverzi by se mělo měnit znaménko čtyřimpulsu, a proto musíme požadvat transformaci
\begin{align*}
\psi'(x') = S_T \psi^*(x).
\end{align*}
Budeme tedy hledat takovou transformaci, aby $\psi'(x')$ splňovalo Diracovu rovnici:
\begin{align*}
i\ga^\mu \pd{\psi}{x^\mu} - m\psi &= 0, \\
-i\ga^{\mu *} \pd{\psi^*}{x^\mu} - m\psi^* &= 0, \\
S_T| \quad -i\ga^{\mu *} S_T^{-1}\pd{\psi'}{x^\mu} - mS_T^{-1} \psi' &= 0, \\
-iS_T \ga^{\mu *} S_T^{-1}\pd{\psi'}{x^\mu} - m \psi' &= 0, \\
-iS_T \ga^{\mu *} S_T^{-1}{\Lambda^\lambda}_\mu \pd{\psi'}{x'^\mu} - m \psi' &= 0,
\end{align*}
tedy máme podmínku ${\Lambda^\lambda}_\mu S_T \ga^{\mu *} S_T^{-1} = \ga^\lambda$, neboli ${\Lambda^\lambda}_\mu \ga^{\mu *} = S_T^{-1} \ga^\lambda S_T$. Ve standardní reprezentaci, kde je $\ga^2$ ryze imaginární a ostatní $\ga$- matice reálné dostáváme podmínky:
\begin{align*}
&\ga^0 = S_T^{-1} \ga^0 S_T, \quad \ga^1 = -S_T^{-1} \ga^1 S_T, \quad \ga^2 = S_T^{-1} \ga^2 S_T, \quad \ga^3 = -S_T^{-1} \ga^3 S_T \mbox{ , tedy} \\
&[S_T,\ga^0] = 0 = [S_T,\ga^2], \quad \{S_T,\ga^1\} = 0 = \{S_T,\ga^3\}.
\end{align*}
Můžeme tedy brát $S_T = \ga^1 \ga^3$. Shrňme všechny tři diskrétní transformace:
\begin{align*}
\psi_C(x) &= \ga^2 \psi^*(x_0,\vec x), \\
\psi_P(x) &= \ga_0 \psi(x_0,-\vec x), \\
\psi_T(x) &= \ga^1 \ga^3 \psi(-x_0,\vec x).
\end{align*}
Nyní ještě můžeme napsat kombinovanou CPT transformaci
\begin{align*}
\psi_{CPT}(x) &= \ga_5 \psi^*(-x_0,-\vec x).
\end{align*}
\section{Vlnový balík Diracových vln}
Nejprve budeme uvažovat pouze kladné energie. ($p_0 = \sqrt{|\vec p|^2 + m^2}$) Vlnový balík tedy můžeme napsat jako
\begin{align*}
\psi_{(+)}(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} b(p,s) u(p,s)e^{-ipx}.
\end{align*}
Připomeňme že máme vztah pro hustotu pravděpodobnosti $\phi = \psi^\dagger \psi = |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+|\psi_3|^2 + |\psi_4|^2$. ten využijeme k normalizaci - spočítáme $\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x$. Nejprve si však připravíme pomocný výpočet
\begin{align*}
\int e^{-ipx + iqx} \dif^3 x = e^{-i(p_0 - q_0) x_0} \int e^{-i(\vec p - \vec q) x_0} \dif^3 x = e^{-i(p_0 - q_0) x_0} (2\pi)^3 \delta^3(\vec p - \vec q) = \\
= [\vec p = \vec q \ra p_0 = q_0] = 1(2\pi)^3 \delta^3(\vec p - \vec q).
\end{align*}
Nyní můžeme počítat
\begin{align*}
\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x &=
\int \dif^3 x \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \frac{\dif^3 q }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2q_0}} \sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(q,s')u^\dagger(q,s')e^{iqx} b(p,s)u(p,s)e^{-ipx} = \\
&= \int \frac{\dif^3 p }{2p_0}\sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(p,s')b(p,s) \bu(p,s')\ga_0 u(p,s).
\end{align*}
Nyní použijeme takzvanou Gordonovu identitu
\begin{align*}
\bu(p)\ga_\mu u(p') = \frac{1}{2m}\bu(p)[(p+p')_\mu + \sigma_{\mu \nu}(p-p')^\nu]u(p'),
\end{align*}
kde $ \sigma_{\mu \nu} = [\ga_\nu \ga_\nu]$. Z ní dostaneme ($p=p'$) $\bu(p,s')\ga_0 u(p,s) = \frac{2p_0}{2m}\bu(p,s')u(p,s) = \frac{p_0}{m}2m\delta_{ss'}$. Máme tedy výsledek
\begin{align*}
\int \psi^\dagger \psi \dif^3 x &=
\int \frac{\dif^3 p }{2p_0}\sum_{\pm s} \sum_{\pm s'} b^*(p,s')b(p,s) 2p_0 \delta_{ss'} = \int \dif^3 p\sum_{\pm s} |b(p,s)|^2.
\end{align*}
\subsection{Střední hodnota rychlosti}
Nejprve se se podíváme, co odpovídá rychlosti v kvantové mechanice. Kvantovou mechaniku můžeme popisovat ve Schrödingerově obraze, kde jsou operátory přiřazené pozorovatelným časově neměnné ($A = A_S$). Dále však můžeme použít Heisenbergův obraz, kde jsou časově neměnné stavy systému $\Ket{\psi_H} = \Ket{\psi_S(t=0)}$, ale operátory se vyvíjí podle vztahu $A_H(t) = e^{-iHt}A_S e^{iHt}$. Abychom nezměnili předpovědi měření, musí vždy platit vztah
\begin{align*}
\Braket{\psi_S(t) |A_S|\psi_S(t)} = \Braket{\psi_H |A_H(t)|\psi_h}.
\end{align*}
Pro časovou změnu operátorů máme vztah
\begin{align*}
\pd{A_H(t)}{t} = i[H,A_H(t)].
\end{align*}
Pokud zvolíme operátor polohy: $A_S = \vec x$ a uvažujeme volnou (Schödingerovskou) částici, pak je $H=\rec{2m}\vec p^2$ a využitím $[x_j,p_k]=i\delta_{jk}$ dostáváme
\begin{align*}
\pd{x_H^j(t)}{t} = \frac{\vec p}{m}.
\end{align*}
(Operátor hybnosti je pro volnou částici časově konstantní.) Nás ale bude zajímat případ Diracovy částice, tedy $H_D = \alpha^k k^k + \beta m$. Zde využitím $[\beta m, x^j] = 0$ dostáváme
\begin{align*}
\pd{x^j_H(t)}{t} = ie^{iH_Dt}[H_D,x^j_H(t)]e^{-iH_Dt} = i(-i)\delta_{jk} e^{iH_Dt}\alpha^ke^{-iH_Dt} = e^{iH_Dt}\alpha^je^{iH_Dt}.
\end{align*}
Vidíme tedy, že operátoru rychlosti $v^j$ odpovídá $\alpha^j$. Můžeme tedy počítat:
\begin{align*}
\int \dif^3 x \psid \alpha^j \psi &= [\mbox{ analogicky jako normalizace, }\ga_0 \alpha^j = \ga^j \mbox{ , Gordonova id.}] = \\
&= \int \dif^3 p \sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} |b(p,s)|^2\frac{p_j}{p_0}.
\end{align*}
Máme tedy výsledek $v_j = \frac{p_j}{E}$, což je v pořádku. Vzápětí uvidíme, že problém nastane při započtení řešení s negativní energií.
\subsection{Úplné řešení (včetně negativní energie)}
Nyní máme vlnový balík ve tvaru
\begin{align*}
\psi(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s)e^{-ipx} + d^*(p,s)v(p,s)e^{ipx}].
\end{align*}
Obdobně jako pro řešení bez negativních energií a opět použitím Gordonovy identity spočítáme normovací integrál
\begin{align*}
\int \dif^3 x \psi^\dagger(x)\psi(x) = \ldots = \int \dif^3 p \sum_{\pm s} (|b(p,s)|^2 + |d(p,s)|^2).
\end{align*}
Důležitý je výsledek pro střední hodnotu rychlosti:
\begin{align*}
\Braket{v^j} &= \int \dif^3 x \psi^\dagger(x)\alpha^j \psi(x) = \ldots = \int \dif^3 p \left[ \sum_{\pm s}(|b(p,s)|^2 + |d(p,s)|^2) \frac{p_j}{E} \right. + \\
& \left. + \frac{i}{2m}\sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} b^*(\tilde p, s')d^*(p,s) e^{2ix_0 E}\bu(\tilde p,s')\sigma^{k0}v(p,s)) \right. - \\
& \left. - \frac{i}{2m}\sum_{\pm s}\sum_{\pm s'} b(\tilde p, s')d(p,s) e^{-2ix_0 E}\bv(\tilde p,s')\sigma^{k0}u(p,s)) + \mbox{ další členy} \right].
\end{align*}
První člen tohoto výrazu je v pořádku, ale s dalšími je problém. Konkrétně je problematická část $e^{\pm 2ix_0 E}$, kde vystupuje závislost na na čase. Dostáváme tedy oscilační pohyb, jehož frekvence se dá řádově určit na $10^{21}$ Hz, což neumíme nijak rozumně interpretovat. Tomuto "chvění" se říká Zitterbewegung.
\subsection{Lokalizovaný balík s příměsí negativních energií}
Mějme v čase 0 Gaussův vlnový balík:
\begin{align*}
\psi(0,\vec x) = \rec{(\pi a^2)^{\frac{3}{4}}} e^{-\frac{\vec x^2}{2a^2}} w, \quad w = \vektorctyri{1}{0}{0}{0}.
\end{align*}
V čase $t$ má vlnová funkce tvar
\begin{align*}
\psi(x) = \int \frac{\dif^3 p }{(2\pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2p_0}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s)e^{-ipx} + d^*(p,s)v(p,s)e^{ipx}].
\end{align*}
Nyní chceme určit koeficienty $b(p,s)$ a $d(p,s)$. Vyjdeme ze stavu v čase 0 a pomocí Fourierovy transformace dostaneme nejprve
\begin{align*}
\left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} = \frac{1}{\sqrt{2E}} \sum_{\pm s} [b(p,s) u(p,s) + d^*(p,s)v(p,s)].
\end{align*}
V dalším kroku izolujeme $b(p,s)$ a $d(p,s)$:
\begin{align*}
b(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} u^\dagger(p,s) w, \\
d^*(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p^2} v^\dagger(p,s) w.
\end{align*}
Dále dosadíme $u(p,s) = u^{(r)}(p) = \sqrt{E+m} \vektordva{\varphi}{\frac{\vec \sigma \vec p}{E+m} \varphi}$ a obdobně za $v(p,s)$. Nakonec dostaneme typické nenulové koeficienty:
\begin{align*}
b(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p} \sqrt{E+m} , \\
d^*(p,s) &= \frac{1}{\sqrt{2E}} \left( \frac{a^2}{\pi} \right)^\frac{3}{4} e^{-\pol a^2 \vec p} \frac{p_3}{\sqrt{E+m}}.
\end{align*}
Uvedeme nyní dva příklady "velikostí" vlnových balíků:
\begin{itemize}
\item $a >> \rec{m}$, kde $a$ je rozměr atomu a $\rec{m}$ Comptonova vlnové délka. Pak je $e^{-\pol a^2 \vec p} \simeq 1$ jen pro $|\vec p| << \rec{a}$, tedy výraz $\frac{p_3}{\sqrt{E+m}} << 1$ je zanedbatelný.
\item $a \simeq \rec{m}$, kde $a$ je rozměr atomu a $\rec{m}$ Comptonova vlnové délka. Pak je $e^{-\pol a^2 \vec p} \simeq 1$ pro $|\vec p| \simeq \rec{a}$, tedy výraz $\frac{p_3}{\sqrt{E+m}} << 1$ je nezanedbatelný.
\end{itemize}
\subsection{Průchod potenciálovým schodem (Kleinův paradox)}
Máme potenciálový schod, tedy $V(z) = 0$ pro $z<0$ a $V(z) = V$ pro $z>0$. Hledáme vlastní stavy energie Diravoa Hamiltoniánu $H_D \psi = E\psi$, tedy
\begin{align*}
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m + V(z)\right) \psi = E\psi.
\end{align*}
ve dvou oblastech pro $z<0$ a $z>0$ dostáváme
\begin{align*}
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m\right) \psi = E\psi, \quad (I) \\
\left( -i \alpha^3 \pd{}{z} + \beta m + V \right) \psi = E\psi, \quad (II).
\end{align*}
Pro dopadající ($\psi_{inc}$), odraženou ($\psi_{refl}$) a prošlou ($\psi_{trans}$) vlnu dostáváme řešení ($p=(0,0,0,p)$)
\begin{align*}
\psi_{inc}(z) &= e^{ipz} \vektorctyri{1}{0}{\frac{p}{E+M}}{0} ,
\psi_{refl}(z) = A e^{-ipz} \vektorctyri{1}{0}{-\frac{p}{E+M}}{0} + B e^{-ipz} \vektorctyri{0}{1}{0}{\frac{p}{E+M}} , \\
\psi_{trans}(z) &= C e^{-iqz} \vektorctyri{1}{0}{-\frac{p}{E-V+M}}{0} + D e^{iqz} \vektorctyri{0}{1}{0}{-\frac{p}{E-V+M}},
\end{align*}
kde $q^2 = (E-V)^2-m^2$. Z podmínek spojitosti v bodě $z=0$ dostaneme $B=D=0$ a $1+A = C$ a $1-A = rC$, kde $r = \frac{E+m}{E-m}\frac{p}{q}$.
Diskuse výsledku ($\psi_{trans}$): Pro $q^2 < 0$ dostaneme exponenciální útlum, což je v pořádku. To nastane pokud $|E-V| < m$, tedy $E-m <V$, ale musí také platit $V < E+m$. To ale znamená, že pro dostatečně velké $V$ (velký schod za který by nemělo nic pronikat) dostaneme $q^2>0$ a máme oscilační propagaci za bariérou. Pro koeficienty odrazu $R$ a průniku $D$ zde můžeme dostat hodnoty $R>1$ a $D<0$, což je problém přímo pravděpodobnostní interpretace.
\section{Pohyb Diracovy částice ve vnějším poli}
Budeme řešit pohyb ve sféricky symetrickém potenciálu nezávislém na čase. Máme tedy Hamiltonián
\begin{align*}
H = -i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r), \quad r=|\vec x|
\end{align*}
a hledáme vlastní stavy energie $H \psi = E\psi$. Komutujícím operátorem s Hamiltoniánem je celkový impulsmoment $\vec J = \vec L + \vec S$ (součet impulsmomentu a spinu). Platí zde $[H, \vec J^2] = 0$, $[H, J_3] = 0$, $[J_3, \vec J^2] = 0$. Dále nás zajímá operátor parity $P$ ($Pf(\vec x) = \ga_0 f(- \vec x)$). Ověříme, že také komutuje s Hamiltoniánem:
\begin{align*}
P(Hf) &= \ga_0 (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r))f|_{-\vec x}, \\
H(Pf) &= (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r)) \ga_0 f(-\vec x) = \ga_0 (+i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r)) f(-\vec x) = \\
&= [\mbox{ derivase složené funkce }] = \ga_0 (-i\vec \alpha \grad + \beta M + V(r))f|_{-\vec x}.
\end{align*}
Obecný tvar $\psi$, který je vlastním stavem $\vec J^2$, $J_3$ a $P$ je
\begin{align*}
\psi_{jm(l)}(\vec x) = \vektordva{a(r)\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n)}{b(r)\varphi_{jm}^{(\mp)}(\vec n)},
\end{align*}
kde $\vec n = \frac{\vec x}{r}$ a
\begin{align*}
\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n) = \sum_{\sigma = \pm1}\left(l = j\mp \pol, m-\sigma, \pol, \sigma|jm \right)Y_{l,m-\sigma}\chi_\sigma,
\end{align*}
kde $\chi_{+\pol} = \vektordva{1}{0}$ a $\chi_{-\pol} = \vektordva{0}{1}$, za sumou je Clebch-Gordanův koeficient a $Y$ je kulová funkce. Funkce $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ se nazývají "spinorové harmoniky", "sférické spinory" nebo "kulové funkce se spinem". Jsou to společné vlastní funkce $\vec L^2$, $\vec S^2$, $\vec J^2$ (s vl. hodnotou $j(j+1)$) a $J_3$ (s vl. hodnotou $m$). Připoměňme, že pro dané $l$ je $j = l \pm \pol$.
\textbf{Příklad:}
\begin{align*}
\psi_{jm}^{(+)} = \rec{\sqrt{2l+1}} \vektordva{\sqrt{l+m+\pol} Y_{l,m-\pol}}{\sqrt{l-m+\pol} Y_{l,m+\pol}}, \quad j=l+\pol
\end{align*}
Co se týče parity $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ má orbitální parita $\varphi_{jm}^{(\pm)}$ hodnotu $(-1)^l$ (vychází z kulové funkce) a u $\varphi_{jm}^{(\mp)}$ se liší o znaménko. Znaménka ve vektoru $\vektordva{\varphi^{(\pm)}}{\varphi^{(\mp)}}$ se srovnají působením $\ga_0 = \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}$ při $P\psi(\vec x) = \ga_0 \psi(-\vec x)$.
\subsection{Separace radiálních a úhlových proměnných}
Máme rovnici $H\psi = E\psi$, $\alpha = \maticedvadva{0}{\vec \sigma}{\vec \sigma}{0}$, $\beta= \maticedvadva{\unit}{0}{0}{-\unit}$, explicitně tedy
\begin{align*}
H = \maticedvadva{0}{\vec\sigma \vec p}{\vec\sigma \vec p}{0} + \maticedvadva{M+V}{0}{0}{-M+V}.
\end{align*}
Máme tedy rovnici
\begin{align*}
\maticedvadva{M+V-E}{\vec\sigma \vec p}{\vec\sigma \vec p}{-M+V-E}
\vektordva{R_1\varphi_{jm}^{(\pm)}}{R_2 (\vec \sigma \vec n) \varphi_{jm}^{(\pm)}} = 0,
\end{align*}
kde jsme přejmenovali $a(r) \equiv R_1(r)$ a $b(r) \equiv R_2(r)$ a použili identitu $\varphi_{jm}^{(\mp)} = (\vec \sigma \vec n) \varphi_{jm}^{(\pm)}$. Odtud tedy vyjádříme:
\begin{align*}
[(M+V-E)R_1 + (\vec \sigma \vec p)(\vec \sigma \vec n)R_2]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0, \\
[(-M+V-E)R_2(\vec \sigma \vec n) + (\vec \sigma \vec p)R_1]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0.
\end{align*}
Platí další identity (Jejichž důkaz je "čirá radost"):
\begin{align*}
(\vec \sigma \vec n)^2 &= \unit, \\
(\vec \sigma \vec p)(\vec \sigma \vec n) &= -i\rec{r}(2+r\pd{}{r} + \vec \sigma \vec L), \\
(\vec \sigma \vec n)(\vec \sigma \vec p) &= -i\rec{r}(r\pd{}{r} - \vec \sigma \vec L).
\end{align*}
Působení $\vec \sigma \vec L$:
\begin{align*}
\vec \sigma \vec L = 2\vec S \vec L = (\vec L + \vec S)^2 - L^2 - S^2 = \vec J^2 - \vec L^2 - \vec S^2,
\end{align*}
tedy například
\begin{align*}
\vec \sigma \vec L \varphi_{jm}^{(+)} &= (\vec J^2 - \vec L^2 - \vec S^2)\varphi_{jm}^{(+)} =
[j(j+1)-l(l+1)-\pol(\pol+1)]\varphi_{jm}^{(+)} = \\
&= [j(j+1)-(j-\pol)((j-\pol)+1)-\pol(\pol+1)]\varphi_{jm}^{(+)} = (j-\pol)\varphi_{jm}^{(+)}.
\end{align*}
Finální verze rovnic pak je:
\begin{align*}
[(M+V-E)R_1 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (2+r\pd{}{r} - (1+\kappa^{(\pm)})) R_2]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0, \\
[(-M+V-E)R_2 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1+\kappa^{(\pm)}) R_1]\varphi_{jm}^{(\pm)} = 0,
\end{align*}
kde $\kappa^{(\pm)} = \mp (j+\pol)$. Už zde nemáme žádný operátor, který by působil na $\varphi_{jm}^{(\pm)}$, a proto musí pro splnění rovnic být nulové koeficienty (výrazy v závorkách).
\subsection{Pohyb Diracovy částice v centrálním poli}
Shrneme zde výsledky z předchozí části. Po separaci proměnných máme vlnovou funkci ve tvaru
\begin{align*}
\psi_{jm(l)}(\vec x) = \vektordva{R_1(r)\varphi_{jm}^{(\pm)}(\vec n)}{R_2(r)(\vec \sigma \vec n)\varphi_{jm}^{(\mp)}(\vec n)},
\end{align*}
kde znaménkům $\pm$ odpovídá $j = p \pm \pol$. Radiální funkce $R_1$ a $R_2$ musí splňovat rovnice
\begin{align*}
(M+V-E)R_1 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1 - (1+\kappa^{(\pm)})) R_2 = 0, \\
(-M+V-E)R_2 + \frac{i}{r}(\vec \sigma \vec p) (r\pd{}{r} + 1+\kappa^{(\pm)}) R_1 = 0.
\end{align*}
Provedeme nyní substituci $R_1 = \frac{G}{r}$ a $R_2 = \frac{F}{r}$ a dostaneme rovnice:
\begin{align*}
\frac{\dif}{\dif r}F - \frac{\kappa^{(\pm)}}{r}F + (M+V-E)G = 0, \\
\frac{\dif}{\dif r}G + \frac{\kappa^{(\pm)}}{r}G + (M-V+E)F = 0.
\end{align*}
\subsection{Speciálně: Coulombický (přitažlivý) potenciál}
Zde tedy platí $V(r) = \frac{Z \alpha}{r}$, kde $Z$ je náboj jádra, $\alpha = e^2 \doteq \frac{1}{137}$. Vezměme nyní inot vodíkového typu $Z=1$ a dále budeme značit $\kappa^{(\pm)}$ jen $\kappa$.
\textcolor{red}{Na tohle už jsem neměl morálku...}
