KTP1:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 18. 2. 2013, 14:50, kterou vytvořil Maresj23 (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{KTP1} \chapter{Klein-Gordonova rovnice} V celé přednášce se budeme snažit dospět k relativistické verzi kvantové mechaniky. Nejprve se budeme zabý...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu KTP1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu KTP1Maresj23 18. 2. 201314:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMaresj23 3. 6. 201419:42
Header editovatHlavičkový souborAdmin 19. 2. 201309:24 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodMaresj23 3. 6. 201419:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatKlein-Gordonova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDiracova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatProkova rovniceMaresj23 18. 2. 201314:50 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatLagrangeovský formalismus klasické teorie poleMaresj23 19. 2. 201319:39 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKvantování volných polí a částicová interpretaceMaresj23 18. 2. 201314:51 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatInterakce kvantových políMaresj23 18. 2. 201314:51 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaMaresj23 18. 2. 201314:55 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:ktp1_feynman1.png feynman1.png
Soubor:ktp1_feynman2.png feynman2.png
Soubor:ktp1_poznamky_1.jpg poznamky_1.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_2.jpg poznamky_2.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_3.jpg poznamky_3.jpg
Soubor:ktp1_poznamky_4.jpg poznamky_4.jpg
Soubor:musite.png musite.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{KTP1}
 
\chapter{Klein-Gordonova rovnice}
 
V celé přednášce se budeme snažit dospět k relativistické verzi kvantové mechaniky. Nejprve se budeme zabývat relativistickou kvantovou mechanikou (Klein-Gordonova a Diracova rovnice). Nakonec však uvidíme, že tento popis má zásadní nedostatky a přejdeme ke kvantové teorii pole. 
 
Připomeňme napřed Schrödingerovu rovnici z kvantové mechaniky:
 
\begin{align}
\label{schrodinger}
i \hbar \frac{\parc \psi(\vec{x},t)}{\parc t} = \hat{H}\psi(\vec{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\vec{x},t) .
\end{align}
 
Tato rovnice byla získána pomocí principu korespondence, kde odpovídá
 
\begin{align}
\label{korespondence}
E \quad &\leftrightarrow \quad i\hbar \frac{\parc}{\parc t} \nonumber \\
\vec{p} \quad &\leftrightarrow \quad -i\hbar \vec{\nabla}
\end{align}
 
a použitím nerelativistického vzorce pro energii volné částice
 
\begin{align*}
E_{nerel} = \frac{\vec{p}^2}{2m} \quad \rightarrow \quad \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta .
\end{align*}
 
Nabízí se možnost přejít do relativistické QM použitím relativistického vzorce pro energii
 
\begin{align*}
E_{rel}^2 = c^2 \vec{p}^2 + m^2 c^4 \quad \mbox{ ,tedy } \quad E_{rel} =\pm \sqrt{c^2 \vec{p}^2 + m^2 c^4}.
\end{align*}
 
Pokud však chceme přejít pomocí principu ekvivalence k operátorům, je odmocňování operátoru problém. Proto se místo použití "Schrödingerova tvaru" rovnice (\ref{schrodinger}) vrátíme přímo k principu korespondence (\ref{korespondence}) pro $E$ i $\vec{p}$ a použijeme rovnici rovnou s kvadrátem energie. Dostaneme
 
\begin{align*}
(i\hbar)^2\frac{\parc^2}{\parc t^2}\psi &= (-i\hbar)^2\Delta \psi +m^2c^4\psi \\
\frac{1}{c^2}\frac{\parc^2 \psi}{\parc t^2} -\Delta \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \psi \\
\left( \square - \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right)\psi &= 0,
\end{align*}
 
kde $\square = \frac{1}{c^2}\frac{\parc^2 }{\parc t^2} -\Delta$ je d'Alambertův operátor. Tím jsme dospěli ke kompaktnímu tvaru \textbf{Klein-Gordanovy rovnice}.
 
\textbf{Poznámka:} Veličina $\frac{\hbar}{mc}$, která se vyskytuje v K-G rovnici je Comptonova vlnová délka částice. Ta se vyskytuje například ve vzorci pro změnu vlnové délky při Comptonově rozptylu do úhlu $\theta$, kde $ \lambda - \lambda' = \frac{\hbar}{2\pi mc}(1-cos(\theta))$ .
 
Vzhledem k tomu, že $\square$ má rozměr $L^{-2}$, je výskyt členu $\frac{m^2c^2}{\hbar^2}$ v rovnici zcela přirozený.
 
 
\textbf{Poznámka:} Přirozená soustava jednotek je taková, kde $\hbar = c = 1$. To, že jsou tyto konstanty bezrozměrné, má vliv na rozměr jiných veličin. Pro konverzi je možné použít vztah: $\hbar c \doteq 197 fm MeV$. K-G rovnice pak má velmi jednoduchý tvar $(\square + m^2)\psi = 0$. Zde $\square = \parc_{00}-\parc_{11}-\parc_{22}-\parc_{33}$, kde jsme použili značení $\parc_{\mu\nu}=\frac{\parc^2 }{\parc x^\mu \parc x^\nu}$.
 
 
\section{Metrika v Minkowského prostoročase} 
 
Shrneme zde základní poznatky o Minkowského prostoročase. Základem je metrický tenzor, který v této přednášce bereme podle konvence
 
\begin{align*}
\left( g^{\mu\nu}\right) = \left( g_{\mu\nu}\right) \equiv 
\left( \begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{matrix} \right).
\end{align*}
 
Platí, že ${g_\mu}^\nu = {g^\mu}_\nu=\unit$. Dále zde máme skalární součin dvou čtyřvektorů $a=(a_o,\vec{a})$ a $b=(b_0,\vec{b})$
 
\begin{align*}
a\cdot b = g_{\mu\nu}a^\mu b^\nu = a_\mu b^\mu = a_0 b_0-\vec{a}\cdot \vec{b}.
\end{align*}
 
Například pro $p^\mu = (p_0,\vec{p}) = (E,\vec{p})$ máme $p^2 = p\cdot p = E^2 - \vec{p}^2 = (\vec{p}^2-m^2)-\vec{p}^2 = m^2$.
 
 
 
 
\section{Potíže Klein-Gordonovy rovnice} 
 
\subsection{Rovinné vlny s negativní energií}
 
Pokud použijeme pro řešení K-G rovnice ansatz ve tvaru rovinných vln $\psi_{(+)}(x)=\mbox{konst}\cdot e^{-ip\cdot x}$ respektive $\psi_{(-)}(x)=\mbox{konst}\cdot e^{ip\cdot x}$, dostaneme dosazením do rovnice vztah $-p_0^2+\vec{p}^2+m^2=0$. (Výsledek je stejný pro $\psi_{(+)}$ i $\psi_{(-)}$.) Jelikož derivaci podle času ztotožňujeme s operátorem energie a díky vztahům
 
\begin{align*}
 i\frac{\partial \psi_{(+)}}{\partial t} &= p_0\psi_{(+)} \\
 i\frac{\partial \psi_{(-)}}{\partial t} &= -p_0\psi_{(-)}
\end{align*} 
 
vidíme, že $p_0$ odpovídá energii. Problém je, že ať zvolíme $p_0$ kladné nebo záporné, vždy bude $\psi_{(+)}$ nebo $\psi_{(-)}$ odpovídat stavu se zápornou energií.
 
 
\subsection{Rovnice kontinuity a hustota pravděpodobnosti}
 
Vezměme nejprve Schrödingerovu rovnici (a její sdružení) a proveďme úpravu:
 
\begin{align*}
 i\frac{\partial \psi}{\partial t} &= -\frac{1}{2m}\Delta \psi \quad| \psi^* \\
 -i\frac{\partial \psi^*}{\partial t} &= -\frac{1}{2m}\Delta \psi^* \quad | \psi
\end{align*} 
 
Rovnice od sebe odečteme, čímž dostaneme rovnici kontinuity ve tvaru 
 
\begin{align*}
    \frac{\partial \rho_{(Schr)}}{\partial t} + \mathrm{div}\vec{j}_{(Schr)}=0, \mbox{ kde }\\
    \rho_{(Schr)}(t,\vec{x}) = \psi^* \psi, \\
    \vec{j}_{(Schr)}(t,\vec{x}) = \frac{1}{2mi}(\psi^* \vec{\Delta} \psi - c.c.).
\end{align*}
 
Zde $\rho_{(Schr)}$ představuje \textbf{hustotu pravděpodobnosti} nalezení částice v čase $t$ v bodě $\vec{x}$ a $c.c.$ ve výrazu pro hustotu toku pravděpodobnosti $\vec{j}_{(Schr)}(t,\vec{x})$ značí komplexně sdružený člen. Důležité je, že veličina $\rho_{Schr}$ je vždy kladná.
 
Provedeme obdobnou manipulaci s Klain-Gordonovou rovnicí, tedy 
 
\begin{align*}
 \psi^*  |\quad i\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= \Delta \psi - m^2\psi \\
 \psi  |\quad i\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial t^2} &= \Delta \psi - m^2\psi^*. 
\end{align*} 
 
Dospějeme tak k úplně stejné rovnici kontinuity s tím rozdílem, že nyní 
 
\begin{align*}
    \rho_{(KG)}(t,\vec{x}) = \frac{i}{2m}\left(\psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} - c.c.\right).
\end{align*}
 
Kvůli tomu, že $\rho_{(KG)}$ obsahuje časovou derivaci $\psi$, nejedná se obecně o pozitivní výraz, což je samozřejmě zásadní problém, pokud ho chceme interpretovat jako pravděpodobnost.
 
I přes tyto interpretační problémy je Klien-Gordonova rovnice důležitá. V kvantové teorii pole tato rovnice popisuje částice se spinem 0.
 
%V nerelativistickém přiblížení pro volnou bezspinovou částici platí v x-reprezentaci:
%
%\begin{align*}
%    E^{nerel}=\frac{\vec{p}^2}{2M}\\
%    \hat{\vec{P}}\equiv -i\hbar \vec{\nabla}
%\end{align*}
%
%a tedy Schrödingerova rovnice má tvar:
%
%\begin{equation*}
%    i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2M}\Delta \psi(\vec{x},t).
%\end{equation*}
%Pokusíme se najít relativistické zobecnění použitím vzorce pro energii:/
%
%\begin{align*}
%    E=c\sqrt{\vec{p}^2+M^2c^2}
%\end{align*}
%
%a využitím principu ekvivalence dostáváme:
%
%\begin{equation}
%\label{sch}
%    i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2} \psi(\vec{x},t).
%\end{equation}
%
%Dvojím použitím Fourierovy transformace dostaneme tvar 
%
%\begin{equation*}
%    i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}\int \mathrm{d}^3\vec{x}' \int \mathrm{d}^3\vec{p} c\sqrt{- \vec{p}^2+M^2c^2} \exp(\frac{i}{\hbar}\vec{p}.(\vec{x}-\vec{x}') ) \psi(\vec{x}',t),
%\end{equation*}
%
%ze kterého je vidět ???, že rovnice obsahuje nelokální operátor, což je problém. Proto rovnici \ref{sch} dále upravíme:
%
%\begin{align*}
%    i \hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t} &= c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2}\cdot \psi(\vec{x},t)\quad \left|\frac{\partial}{\partial t}\right.\\
%    i \hbar \frac{\partial^2 \psi(\vec{x},t)}{\partial t^2} &= c\sqrt{- \hbar^2 \Delta+M^2c^2}\cdot \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}\\
%	\intertext{Dosazením z \ref{sch} dostaneme}
%	 i\hbar\frac{\partial^2 \psi(\vec{x},t)}{\partial t ^2} &= \frac{c^2}{i\hbar} (\hbar^2 \Delta+M^2c^2) \psi(\vec{x},t)\\
%\end{align*}
%
%
%%Pokud tuto rovnici zderivujeme podle času a na pravé straně dosadíme za $\frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}$ z původní rovnice, dostaneme:
%
%
%což můžeme upravit na elegantní tvar \textbf{Klein-Gordonovy rovnice} (která již nelokální operátor neobsahuje):
%
%\begin{equation}
%\label{KG}
%    (\square + \kappa^2) \psi(\vec{x},t) = 0,
%\end{equation}
%
%kde $\kappa = \frac{Mc}{\hbar}$ ($1/\kappa$ je Comptonova vlnová délka částice) a $\square$ je d'Alambertův operátor. Jelikož d'Alambertův operátor i skalár $\kappa$ jsou relativisticky invariantní, je celá tato rovnice invariantní pro skalární funkci $\psi(\vec{x},t)$. (V dalších kapitolách bude tato funkce vícekomponentní.)
%
%
%
%\section{Pravděpodobnostní interpretace K-G rovnice}
%
%V nerelativistické kvantové mechanice máme vztahy pro hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v čase $t$ v bodě $\vec{x}$
%
%\begin{equation*}
%    \rho(\vec{x},t)=|{\psi(\vec{x},t)}|^2
%\end{equation*}
%
%a pro hustotu toku pravděpodobnosti
%
%\begin{equation*}
%    \vec{j}(\vec{x},t)=\frac{i\hbar}{2M}(\psi(\vec{x},t)\nabla \psi^*(\vec{x},t)-\psi^*(\vec{x},t)\nabla\psi(\vec{x},t)).
%\end{equation*}
%
%Tyto výrazy splňují pro každé řešení Schrödingerovy rovnice nerelativistickou rovnici kontinuity
%
%\begin{equation*}
%    \frac{\partial \rho(\vec{x},t)}{\partial t} + \mathrm{div}\vec{j}(\vec{x},t)=0 .
%\end{equation*}
%
%Aby byla K-G rovnice \ref{KG} dobrým kandidátem na relativistickou pohybovou rovnici, musí existovat čtyřproud $j^\mu(x)$, který pro všechny řečení \ref{KG} splňuje relativistickou rovnici kontinuity
%
%\begin{equation}
%\label{rel_cont}
%    \partial_\mu j^\mu = 0,
%\end{equation}
%
%kde jsme použili notaci $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$. %Vynásobíme-li rovnici \ref{KG} funkcí $\psi^*(\vec{x})$
%
%
%
%Snadno nahlédneme (s využitím právě uvedeného nerelativistického výsledku), že čtyřvektor $j^\mu = (c\rho(\vec{x}),\vec{j}(\vec{x}))$ rovnici \ref{rel_cont} splňuje. (Tedy čtyřvektor získaný z řešení Schrödingerovy rovnice.) \\
%
%Pro každé $\psi$ splňující rovnici (\ref{KG}) máme
%\begin{enumerate}[(i)]
% \item $\psi^\ast(\square +\kappa^2)\psi=0$,
% \item Z rovnice pro sdruženou funkci $(\square + \kappa^2) \psi^\ast(\vec{x},t) = 0$ dostaneme vynásobením $\psi$ zleva $\psi(\square +\kappa^2)\psi^\ast=0$.
%\end{enumerate}
%Odečtením (ii) od (i) získáme vztah
%\begin{align*}
% \psi^\ast \square \psi -\psi \square \psi^\ast=0, \\
% \intertext{neboli}
% \partial_\mu(\underbrace{\psi^\ast \partial^\mu \psi -\psi \partial^\mu \psi^\ast}_{\psi^* \stackrel{\leftrightarrow}{\partial^\mu}\psi})=0.
%\end{align*}
%
%Tedy pro libovolnou konstantu $K$ čtyřproud
%
%\begin{equation*}
%    j^\mu(\vec{x})=K\psi^* \stackrel{\leftrightarrow}{\partial^\mu}\psi
%\end{equation*}
%
%splňuje rovnici kontinuity pro libovolné řešení K-G rovnice $\psi$. 
%
%
%
%\section{Vlastní stavy hybnosti}
%
%Nadále budeme používat jednotky $c=1$ a $\hbar=1$, což mimo jiné dává $\kappa=M$. V analogii s nerelativistickou kvantovou mechanikou použijeme ansatz pro řešení K-G rovnice pro volnou částici s hybností $\vec{p}$ ve tvaru:
%
%\begin{equation*}
%    \psi_{(\pm)}(x)=\mathrm{const}\cdot e^{\mp i(p\cdot x)}.
%\end{equation*}
%
%Dosazením do K-G rovnice \ref{KG} dostaneme (pro obě znaménka)
%
%\begin{equation*}
%    p_\mu p_\mu + M^2 = 0 \Longrightarrow p_0^2=\vec{p}^2+M^2,
%\end{equation*}
%
%a tedy $p_0=\pm E$ odpovídá energii a tedy operátor energie je $i\partial_0$ (Hamiltonián zde vůbec nemáme). Jelikož
%
%\begin{align*}
% i\frac{\partial \psi_{(+)}}{\partial x^0} &= p_0\psi_{(+)} \\
% i\frac{\partial \psi_{(-)}}{\partial x^0} &= -p_0\psi_{(-)}
%\end{align*} 
%
%nezbavíme se řešení se zápornou energií volbou znaménka $p_0$. Navíc pro hustotu pravděpodobnosti $\psi_{(+)}$ dostáváme
%
%\begin{equation*}
%    \rho_{K\text{-}G}{_{(+)}}\equiv j^0=\frac{i}{2M}(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t} - \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\psi) = \frac{i}{2M}(\psi^* p_0 \psi - (-p_0)\psi^*\psi) = \frac{i p_0}{2M}|\psi|^2
%\end{equation*}
%
%a stejným výpočtem pro $\rho_{K\text{-}G}{_{(-)}} = \frac{i (-p_0)}{2M}|\psi|^2 = -\rho_{K\text{-}G}{_{(+)}}$, a tedy i jedna z hustot pravděpodobnosti je vždy záporná. To ukazuje, že K-G rovnice má značné nedostatky.
%
%