02TSFA:Kapitola5
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Partiční funkce systému a jeho podsystémů} Předpokládejme, že máme systém $\mathcal{A}$, který je možné direktně rozložit na několik podsystémů: $$\mathcal{A} = \bigoplus _q \mathcal{A}(q)$$ kde $\bigoplus _q$ značí direktní součet všech podsystémů $q$. Předpokládejme, že systém je popsán $k$ veličinami a dále že podsystémy jsou na sobě nezávislé. Existuje pouze slabá vazba, která umožní nastolení rovnováhy, ale jinak se neprojevuje. Každý mikrostav $\gamma$ složeného systému je pak určen jako kombinace mikrostavů $\gamma_q$ jednotlivých podsystémů, $\gamma = (\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$. Potom také $$A_{\ell\gamma} = \sum_q A_{\ell\gamma_q}$$ kde $A_\gamma$ je veličina celkového systému a $A_{\gamma_q}$ odpovídající veličiny jednotlivých podsystémů. Výpočtem nejpravděpodobnějšího rozdělení celého systému a využitím statistické nezávislosti podsystémů dospějeme ke vztahu $$\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell} A_{\ell \gamma} = \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q} $$ Lagrangeovy multiplikátory jsou společné pro všechny podsystémy --- to umožňuje právě ona slabá vazba. Bez ní by bylo třeba počítat s tím, že mohou být obecně různé. %Za uvedených předpokladů platí, že: % $$Z = \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}\exp\left( \suma{q}{} % \left(-\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q)\right) \right) = $$ % $$=\suma{(\gamma_q)}{}\produkt{q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q) \right) % =\produkt{q}{}\suma{\gamma_q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma_q}(q) \right) = \produkt{q}{}Z_q$$ % Pro pravděpodobnosti z nezávislosti platí $$w_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell} A_{\ell \gamma}\right) =\prod_q w_{\gamma_q} = \prod_q \frac{1}{Z_q}\exp\left( \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q}\right) $$ Z čehož dostáváme, že $$Z = \prod_q {Z_q}$$ % % Platnost předposledního kroku je zaručena nezávislostí jednotlivých podsystémů, tedy skutečností, že hodnota % $A_{\ell\gamma}(q)$ závisí vlastně jen na mikrostavu podsystému $q$. Můžeme ji tedy přeznačit $A_{\ell\gamma_q}(q)$ % a rozdělit členy produktu $\produkt{q}{}$ k jednotlivým sumám tvořícím $\suma{(\gamma_q)}{}$. Toto tedy znamená, že celková partiční funkce je násobkem partičních funkcí jednotlivých podsystémů. Typickým příkladem je ideální plyn. Jeho částice jsou na sobě nezávislé a tvoří tedy obrovské množství podsystémů. Celková energie plynu je součtem energií jednotlivých částic a partiční funkci lze pak nalézt jako $$Z = (\zeta)^N$$ kde $\zeta$ je jednočásticová partiční funkce. Dále platí, že $$ S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\left< A_\ell \right> \right) = k_B\left(\ln\produkt{q}{}Z_q + \suma{\ell=1}{k}\suma{q}{}\lambda _\ell\left<A_\ell(q)\right> \right) = $$ $$ = k_B\left(\suma{q}{}\ln Z_q + \suma{q}{}\suma{\ell=1}{k}\lambda _l\left<A_\ell(q)\right> \right) = \suma{q}{}k_B\left(\ln Z_q + \suma{\ell=1}{k}\left<A_\ell(q)\right> \right) = \suma{q}{}S_q$$ To ovšem znamená, že entropie je extenzivní veličina, tj. že je aditivní vůči nezávislým podsystémům: $$S = \suma{q}{}S_q$$ \begin{remark} Střední hodnoty veličin jsou aditivní vůči rozkladu na podsystémy: $$ \left< A_\ell \right> = -\pderivx{ (\ln Z)}{\lambda_\ell} = -\pderivx{\ln \prod Z_q}{\lambda_\ell}= -\suma{q}{}\pderivx{( \ln Z_q)}{\lambda_\ell} = \suma{q}{}\left<A_\ell(q)\right> $$ \end{remark}