02TSFA:Kapitola30: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie} \index{teorie, kinetická} Nalezněme rozdělení molekul ve fázovém prostoru (tj. p...) |
(důkladné předělání kapitoly) |
||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie} | \section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie} | ||
\index{teorie, kinetická} | \index{teorie, kinetická} | ||
− | + | ||
− | + | Toto odvození vychází přímo z Liouvillova teorému (\ref{LiouTeorem}), kde jsme získali rovnost | |
− | + | $$\derivx{\varrho}{t} = \pderivx{\varrho}{t} + \mathop{\rm div}(\varrho v) = \pderivx{\varrho}{t} + | |
− | $$ | + | \suma{i}{}\left[ \pderivx{\varrho}{q_i}\dot{q_i} + \pderivx{\varrho}{p_i}\dot{p_i} \right]= 0$$ |
+ | Toto je úplná derivace v zobecněných souřadnicích, tedy 6N rozměrném prostoru pro N částic. | ||
+ | Pokud chceme určit polohu a rychlost jedné částice bez znalosti ostatních, tak je potřeba rozdělovací funkci $\varrho$ přeintegrovat přes stavové prostory ostatních N-1 částic. Tímto se dostaneme k jednočásticové rozdělovací funkci. Pokud přeintegrujeme Liouvilleoův teorém přes prostor N-1 částic, tak získáme rovnici, které musí daná jednočásticová rozdělovací funkce odpovídat. Zde je pro zjednodušení nutný předpoklad, že jsou rozdělovací funkce jednotlivých částic nezávislé a navíc ze symetrie úlohy platí: | ||
+ | $$ | ||
+ | \varrho_N = \produkt{i}{N} \varrho_i = \produkt{i}{N} \varrho_{1} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Přenormováním $\varrho_{1}$, aby integrál přes celý stavový prostor byl roven N získáme jednočásticovou | ||
+ | \index{funkce, rozdělovací}\index{funkce, distribuční}\emph{distribuční (rozdělovací) funkci} $f$ | ||
+ | |||
+ | $$dN = \f d\vec{r} d\vec{v}$$ | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | |||
Tj. chceme vědět, kolik částic se | Tj. chceme vědět, kolik částic se | ||
právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí | právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí | ||
Řádka 17: | Řádka 26: | ||
že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$). | že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$). | ||
− | + | A Liouvilleův teorém přejde do tvaru | |
− | $$N = \integral{ | + | $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f |
+ | + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ | ||
+ | |||
+ | \bigskip | ||
+ | Jak již bylo zmíněno, rozdělovací funkce musí mít několik základních vlastností. Předně je normovaná a tedy | ||
+ | |||
+ | $$N = \integral{}{} \f \dr \dv$$ | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | + | Hustota částic v daném bodě je pak rovna | |
− | + | ||
− | $$\frac{N}{V} = n = \integral{ | + | $$\frac{N(\vec r, t)}{V} = n(\vec r, t) = \integral{}{} f( \vec{v}, \vec{r}, t) \dv$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
− | Střední | + | Střední lokální hodnoty veličin vyjádříme jako |
$$\left<A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv} | $$\left<A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv} | ||
{\integral{}{} \f \dv} $$ | {\integral{}{} \f \dv} $$ | ||
+ | |||
+ | a toky veličin jako | ||
+ | |||
+ | $$\left<\vec J_A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} \vec v A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv} | ||
+ | {\integral{}{} \f \dv} $$ | ||
+ | |||
\bigskip | \bigskip | ||
Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně. | Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně. | ||
− | Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme prointegrovat přes celý | + | Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme navíc prointegrovat přes celý objem (konfigurační prostor). |
Řádka 42: | Řádka 62: | ||
Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$. | Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$. | ||
\bigskip | \bigskip | ||
+ | % | ||
+ | % Zkoumejme, co se stane, posuneme-li se v čase o $\Delta t$. Souřadnice se změní následovně: | ||
+ | % | ||
+ | % $$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v}\Delta t$$ | ||
+ | % $$\vec{v}' = \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t$$ | ||
+ | % $$t' = t + \Delta t$$ | ||
+ | % \bigskip | ||
+ | % | ||
+ | % kde $F$ představuje nějakou vnější sílu (pole). Potom platí | ||
+ | % | ||
+ | % $$\f \dr \dv = | ||
+ | % f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t, t + \Delta t) \dr ' \dv '$$ | ||
+ | % | ||
+ | % V případě rovnosti fázových objemů $\dr \dv$ a $\dr ' \dv '$ platí i rovnost funkcí. | ||
+ | Pokud pomineme to, že se molekuly mohou srážet a předávat si tak energie a hybnosti (tedy budeme tvrdit, že jsou částice vzájemně nezávislé), tak z Liouvillova teorému platí | ||
− | + | $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f | |
− | + | + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ | |
− | $$\ | + | |
− | + | Tato transportní rovnice se zanedbáním srážek se nazývá \index{rovnice, Vlasovova}\emph{Vlasovova rovnice}. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy | Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy | ||
− | nemohl dojít do rovnovážného stavu. My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv | + | nemohl dojít do rovnovážného stavu (entropie by zůstávala konstantní). My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého. |
− | počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého. | + | |
Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli | Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli | ||
srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}: | srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}: | ||
− | $$ | + | $$ \termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \pderivx{f}{t} + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f |
− | + | + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f $$ | + | |
\bigskip | \bigskip | ||
+ | |||
kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty | kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty | ||
Řádka 87: | Řádka 103: | ||
Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky | Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky | ||
− | tří a více částic jen málo pravděpodobné. Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž | + | tří a více částic jen málo pravděpodobné (zatímco u plazmatu je to většina). Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž |
molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy: | molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics{ | + | \includegraphics{Procesyr.pdf} |
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 102: | Řádka 118: | ||
Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že | Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že | ||
− | jedna molekula opustila prostor a současně takových, kdy molekula zvenčí | + | jedna molekula opustila prostor a současně $\Delta \bar S$ je počet takových, kdy naopak molekula zvenčí |
v prostoru zůstala, bude | v prostoru zůstala, bude | ||
Řádka 110: | Řádka 126: | ||
odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu) | odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu) | ||
− | $$\termderiv{f}{t}{Srazky} | + | $$\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\! \dr \dv dt= \quad \Delta \bar{S} -\Delta S= (\bar{R}-R)\dr \dv dt $$ |
− | + | ||
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 118: | Řádka 133: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | + | \item Změna počtu částic v $\dr \dv$ jenom díky srážkám | |
+ | \item Partnerská částice se do do objemu $\dr \dv$ nedostává | ||
\item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno). | \item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno). | ||
\item Zanedbáme účinek stěn nádob. | \item Zanedbáme účinek stěn nádob. | ||
− | \item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez. | + | \item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez (např. polarizace). |
\item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou. | \item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou. | ||
− | Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu}. | + | Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu} nebo také, že má systém velmi krátkou paměť. |
+ | \item Diferenciální průřez je nezávislý na rychlosti | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $v_1$ | + | Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $\vec v_1$ |
z intervalu $d \vec{v_1} = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$, | z intervalu $d \vec{v_1} = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$, | ||
− | to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž | + | to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž objemu se nacházejí |
i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako | i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako | ||
na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času | na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času | ||
− | je pak dán ( typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$) | + | je pak dán (typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$, kde $\vec{v}'$ jsou rychlosti po srážce) vzorcem |
− | vzorcem | + | |
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega) | $$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega) | ||
− | + | d\Omega d^3v_2 $$ | |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 142: | Řádka 158: | ||
$\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}= \vec{v_1} - \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy | $\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}= \vec{v_1} - \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy | ||
− | $$R = | + | $$R\dr d^3v_1 dt = \dr d^3v_1 dt\, |
− | \fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d | + | \fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d\Omega d^3v_2 $$ |
− | \ | + | |
\bigskip | \bigskip | ||
a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme | a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme | ||
− | $$R = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega ) | + | $$R\dr d^3v_1 dt =\dr d^3v_1 dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega ) |
− | + | d\Omega d^3v_2 $$ | |
\bigskip | \bigskip | ||
− | Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, ovšem její účinný diferenciální | + | Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, tedy $\vec{v_1}',\vec{v_2}' \quad \rightarrow \quad \vec{v_1},\vec{v_2}$, ovšem její účinný diferenciální |
průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak | průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak | ||
− | $$\bar{R} = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega ) | + | $$\bar{R} d^3 r' d^3v_1' dt = d^3r' d^3v_1' dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega ) |
− | d \Omega d | + | d \Omega d^3v_2'$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
− | kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$: | + | kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Protože částice neopustí během srážek objem $\dr$ ($=\dr'$), dostáváme z platnosti Liouvillova teorému , že |
+ | |||
+ | $$ d^3v_1 d^3v_2 = d^3v_1'd^3v_2'$$ | ||
+ | |||
+ | Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$: | ||
− | $$\termderiv{ | + | $$\termderiv{f_1}{t}{Srazky} = \quad \bar{R} - R \quad = |
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| | \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| | ||
− | \sigma(\Omega)d\Omega d | + | \sigma(\Omega)d\Omega d^3v_2$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 186: | Řádka 205: | ||
\item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$ | \item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$ | ||
− | \item | + | \item Systém je homogenní |
− | \item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{ | + | \item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{t}=0$. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 196: | Řádka 215: | ||
Z těchto předpokladů plyne, že | Z těchto předpokladů plyne, že | ||
− | + | \begin{equation} | |
+ | \left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}} | ||
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} = | + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} = | ||
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| | \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| | ||
− | \sigma(\Omega)d\Omega d | + | \sigma(\Omega)d\Omega d^3{v_2} = 0 |
+ | \label{BTR} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 207: | Řádka 230: | ||
souřadnicích a čase, dostáváme rovnost | souřadnicích a čase, dostáváme rovnost | ||
− | $$f_0(\vec{v_1}')f_0 | + | $$f_0(\vec{v_1}')f_0 (\vec{v_2}') - f_0(\vec{v_1})f_0(\vec{v_2}) = 0$$ |
− | + | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující | + | Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující funkcionál (Boltzmanova H-funkce): |
$$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$ | $$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$ | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | který nezávisí na poloze, pouze na čase. | + | který nezávisí na poloze, pouze na čase. Což je praktiky záporně vzatá entropie ($S_{stat} = - k\suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma$) a zjistěme, |
− | + | ||
jak se v čase chová: | jak se v čase chová: | ||
$$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} = | $$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} = | ||
− | \integral{}{} \pderivx{f}{t} ( 1 + \ln f ) \quad | + | \integral{}{} \pderivx{f}{t} ( 1 + \ln f ) \quad dv$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
− | Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z | + | Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z rovnice (\ref{BTR}) |
− | + | ||
$$\derivx{H(t)}{t} | $$\derivx{H(t)}{t} | ||
Řádka 265: | Řádka 285: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics{ | + | \includegraphics{Hgraf.pdf} |
\end{center} | \end{center} | ||
− | + | H-funkce se chová jako entropie, jenom entropie s časem | |
− | samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi). | + | samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), zatímco $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi). |
\subsection{Analytické vyjádření $f_0$} | \subsection{Analytické vyjádření $f_0$} | ||
Řádka 284: | Řádka 304: | ||
Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy | Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy | ||
− | podobu zákona zachování jisté veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce | + | podobu zákona zachování jisté zachovávající se veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce |
se ovšem může skládat z více částí. Obecně | se ovšem může skládat z více částí. Obecně | ||
Řádka 290: | Řádka 310: | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | Víme, že pro molekulu plynu jsou | + | Víme, že pro molekulu plynu jsou zachovávající se veličiny tři: |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 313: | Řádka 333: | ||
Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové | Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové | ||
− | vztažné soustavě, kde je nulová. | + | vztažné soustavě, kde je nulová. Konstantu $C$ získáme z normalizace a konstantu $a$ například výpočtem $\left< E \right>$ a porovnáním s $U=3/2NkT$ a máme |
− | $$f_0(\vec{v}) = n\left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{ | + | $$f_0(\vec{v}) = n(\vec r, t)\left( \frac{m}{2 \pi k T(\vec r)} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{m(v-c(\vec r))^2}{2kT(\vec r)}\right)$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 322: | Řádka 342: | ||
$$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} ) . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$ | $$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} ) . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$ | ||
+ | |||
+ | Což lze snadno ověřit dosazením do transportní rovnice, pro $F = -\nabla_r \phi(\vec r)$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \bigskip | ||
+ | |||
+ | Další zajímavý příklad je ověření, že stacionární řešení $\left(\pderivx{f}{t}=0,\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\!\!=0\right)$ | ||
+ | odpovídá také Boltzmannovu rozdělení. Nechť $F = -dV/dx$, Boltzmannova transportní rovnice pro jednorozměrný případ pak přejde do tvaru | ||
+ | |||
+ | $$ v \pderivx{f}{x} - \frac1 m\derivx{V}{x}\pderivx{f}{v} = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Za předpokladu, že lze funkce $f$ separovat na $f(x,v) = F(x)G(v)$, tak po dosazení získáme | ||
+ | |||
+ | $$ v \derivx{F}{x}G- \frac1 m \derivx{V}{x}F\derivx{G}{v} = 0$$ | ||
+ | |||
+ | po separaci proměnných | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{dF}{FdV} = \frac1 m \frac{dG}{Gvdv}$$ | ||
+ | |||
+ | Protože levá strana rovnosti závisí pouze na poloze a pravá strana pouze na rychlosti tak, aby se strany rovnaly pro všechny $x,v$ tak se musí rovnat nějaké konstantě, kterou označíme $-\beta$ | ||
+ | |||
+ | $$\frac1 F \derivx{F}{V} = -\beta \quad \rightarrow \quad F(x) = K_x\exp(-\beta V(x)) $$ | ||
+ | $$\frac{1}{mGv}\derivx{G}{v} = -\beta \quad \rightarrow \quad G(v) = K_v\exp(-\beta m v^2/2)$$ | ||
+ | |||
+ | Celkově tedy $f(x,v) = F(x).G(v) = K\exp(-\beta V(x) -\beta m v^2/2 )$. Konstantu $\beta$ můžeme určit například ze střední hodnoty vnitřní energie, ale je jasné, že | ||
+ | $$\beta = 1/kT$$ | ||
+ | |||
+ | |||
\subsection{Transportní jevy} | \subsection{Transportní jevy} |
Verze z 7. 9. 2010, 13:53
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie} \index{teorie, kinetická} Toto odvození vychází přímo z Liouvillova teorému (\ref{LiouTeorem}), kde jsme získali rovnost $$\derivx{\varrho}{t} = \pderivx{\varrho}{t} + \mathop{\rm div}(\varrho v) = \pderivx{\varrho}{t} + \suma{i}{}\left[ \pderivx{\varrho}{q_i}\dot{q_i} + \pderivx{\varrho}{p_i}\dot{p_i} \right]= 0$$ Toto je úplná derivace v zobecněných souřadnicích, tedy 6N rozměrném prostoru pro N částic. Pokud chceme určit polohu a rychlost jedné částice bez znalosti ostatních, tak je potřeba rozdělovací funkci $\varrho$ přeintegrovat přes stavové prostory ostatních N-1 částic. Tímto se dostaneme k jednočásticové rozdělovací funkci. Pokud přeintegrujeme Liouvilleoův teorém přes prostor N-1 částic, tak získáme rovnici, které musí daná jednočásticová rozdělovací funkce odpovídat. Zde je pro zjednodušení nutný předpoklad, že jsou rozdělovací funkce jednotlivých částic nezávislé a navíc ze symetrie úlohy platí: $$ \varrho_N = \produkt{i}{N} \varrho_i = \produkt{i}{N} \varrho_{1} $$ Přenormováním $\varrho_{1}$, aby integrál přes celý stavový prostor byl roven N získáme jednočásticovou \index{funkce, rozdělovací}\index{funkce, distribuční}\emph{distribuční (rozdělovací) funkci} $f$ $$dN = \f d\vec{r} d\vec{v}$$ \bigskip Tj. chceme vědět, kolik částic se právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí v $d^3 v$ o souřadnici $\vec{v}$. Podotkněme, že $\dr$, $\dv$ zde nejsou diferenciály v matematickém slova smyslu, dokonce ani nemají infinitezimální velikost. Musí obsahovat dostatečný počet částic, aby bylo možné aplikovat statistické zákonitosti (řádově $10^8$). Jsou ale dostatečně malé vůči celému fázovému prostoru. Podotkněme, že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$). A Liouvilleův teorém přejde do tvaru $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ \bigskip Jak již bylo zmíněno, rozdělovací funkce musí mít několik základních vlastností. Předně je normovaná a tedy $$N = \integral{}{} \f \dr \dv$$ \bigskip Hustota částic v daném bodě je pak rovna $$\frac{N(\vec r, t)}{V} = n(\vec r, t) = \integral{}{} f( \vec{v}, \vec{r}, t) \dv$$ \bigskip Střední lokální hodnoty veličin vyjádříme jako $$\left<A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv} {\integral{}{} \f \dv} $$ a toky veličin jako $$\left<\vec J_A( \vec{r}, t)\right> = \frac{\integral{}{} \vec v A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv} {\integral{}{} \f \dv} $$ \bigskip Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně. Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme navíc prointegrovat přes celý objem (konfigurační prostor). \subsection{Analytický tvar rozdělovací funkce} Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$. \bigskip % % Zkoumejme, co se stane, posuneme-li se v čase o $\Delta t$. Souřadnice se změní následovně: % % $$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v}\Delta t$$ % $$\vec{v}' = \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t$$ % $$t' = t + \Delta t$$ % \bigskip % % kde $F$ představuje nějakou vnější sílu (pole). Potom platí % % $$\f \dr \dv = % f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t, t + \Delta t) \dr ' \dv '$$ % % V případě rovnosti fázových objemů $\dr \dv$ a $\dr ' \dv '$ platí i rovnost funkcí. Pokud pomineme to, že se molekuly mohou srážet a předávat si tak energie a hybnosti (tedy budeme tvrdit, že jsou částice vzájemně nezávislé), tak z Liouvillova teorému platí $$ \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ Tato transportní rovnice se zanedbáním srážek se nazývá \index{rovnice, Vlasovova}\emph{Vlasovova rovnice}. Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy nemohl dojít do rovnovážného stavu (entropie by zůstávala konstantní). My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého. Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}: $$ \termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \pderivx{f}{t} + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f = 0$$ \bigskip kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty vůči poloze a rychlosti. Tento vztah vyjadřuje změny počtu částic v okolí $\vec{r}$ s rychlostí $\vec{v}$. \bigskip \subsection{Boltzmannova transportní rovnice} \index{rovnice, Boltzmannova transportní} Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky tří a více částic jen málo pravděpodobné (zatímco u plazmatu je to většina). Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy: \begin{center} \includegraphics{Procesyr.pdf} \end{center} \begin{itemize} \item Proces $R$ --- vnitřní částice opouští fázový objem \item Proces $\bar{R}$ --- vnější částice po srážce zůstává ve fázovém objemu \end{itemize} \bigskip Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že jedna molekula opustila prostor a současně $\Delta \bar S$ je počet takových, kdy naopak molekula zvenčí v prostoru zůstala, bude $$\Delta S = R \dr \dv dt \qquad \qquad \Delta \bar{S} = \bar{R} \dr \dv dt$$ \bigskip odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu) $$\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\! \dr \dv dt= \quad \Delta \bar{S} -\Delta S= (\bar{R}-R)\dr \dv dt $$ \bigskip Vyjádřeme nyní $\bar{R}$ a $R$ pomocí zákonů srážek. Je nutné učinit následující předpoklady: \begin{enumerate} \item Změna počtu částic v $\dr \dv$ jenom díky srážkám \item Partnerská částice se do do objemu $\dr \dv$ nedostává \item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno). \item Zanedbáme účinek stěn nádob. \item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez (např. polarizace). \item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou. Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu} nebo také, že má systém velmi krátkou paměť. \item Diferenciální průřez je nezávislý na rychlosti \end{enumerate} \bigskip Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $\vec v_1$ z intervalu $d \vec{v_1} = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$, to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž objemu se nacházejí i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času je pak dán (typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$, kde $\vec{v}'$ jsou rychlosti po srážce) vzorcem $$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega) d\Omega d^3v_2 $$ \bigskip kde $\sigma$ je diferenciální účinný průřez, který je obecně závislý na prostorovém úhlu $\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}= \vec{v_1} - \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy $$R\dr d^3v_1 dt = \dr d^3v_1 dt\, \fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d\Omega d^3v_2 $$ \bigskip a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme $$R\dr d^3v_1 dt =\dr d^3v_1 dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega ) d\Omega d^3v_2 $$ \bigskip Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, tedy $\vec{v_1}',\vec{v_2}' \quad \rightarrow \quad \vec{v_1},\vec{v_2}$, ovšem její účinný diferenciální průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak $$\bar{R} d^3 r' d^3v_1' dt = d^3r' d^3v_1' dt \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega ) d \Omega d^3v_2'$$ \bigskip kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Protože částice neopustí během srážek objem $\dr$ ($=\dr'$), dostáváme z platnosti Liouvillova teorému , že $$ d^3v_1 d^3v_2 = d^3v_1'd^3v_2'$$ Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$: $$\termderiv{f_1}{t}{Srazky} = \quad \bar{R} - R \quad = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| \sigma(\Omega)d\Omega d^3v_2$$ \bigskip Použijeme-li již dříve zjištěného vztahu pro srážkový člen, dostáváme $$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| \sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} = \left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}} + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) \fa$$ \bigskip což je nelineární parciální integrodiferenciální rovnice pro výpočet $\fa$, zvaná \index{rovnice, Boltzmannova transportní}\emph{Boltzmannova transportní rovnice} (BTR). \subsection{Stacionární BTR a Boltzmanův H-teorém} \index{rovnice, Boltzmannova transportní, stacionární} Protože předchozí rovnice je našimi silami v podstatě neřešitelná, zjednodušme si, co můžeme. \begin{enumerate} \item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$ \item Systém je homogenní \item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{t}=0$. \end{enumerate} \bigskip Z těchto předpokladů plyne, že \begin{equation} \left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}} + \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}| \sigma(\Omega)d\Omega d^3{v_2} = 0 \label{BTR} \end{equation} \bigskip To je funkcionální závislost a musí platit pro každou funkci $f$ vyhovující předpokladům (označme ji $f_0$). Postačující podmínka pro platnost této rovnosti je nulovost integrandu. Protože zároveň $f_0$ nezávisí na prostorových souřadnicích a čase, dostáváme rovnost $$f_0(\vec{v_1}')f_0 (\vec{v_2}') - f_0(\vec{v_1})f_0(\vec{v_2}) = 0$$ \bigskip Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující funkcionál (Boltzmanova H-funkce): $$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$ \bigskip který nezávisí na poloze, pouze na čase. Což je praktiky záporně vzatá entropie ($S_{stat} = - k\suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma$) a zjistěme, jak se v čase chová: $$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} = \integral{}{} \pderivx{f}{t} ( 1 + \ln f ) \quad dv$$ \bigskip Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z rovnice (\ref{BTR}) $$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} ( 1 + \ln f_1)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega = \integral{}{} ( 1 + \ln f_2)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega $$ \bigskip a z toho plyne, že $$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( 2 + \ln f_1 f_2 )$$ \bigskip Diferenciály jsme pro přehlednost už vynechali. Jelikož zcela analogicky lze sestavit $$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1 f_2 - f_1' f_2')( 2 + \ln f_1' f_2' )$$ \bigskip a diferenciály se díky našim zjednodušením, předpokladům a výpočtům rovnají, je $$\derivx{H(t)}{t} = \ctvrt \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( \ln f_1 f _2 - \ln f_1' f_2' )$$ \bigskip Znaménko výrazu $$( f_1' f_2' - f_1 f_2) \ln \frac{f_1 f _2}{f_1' f_2'}$$ \bigskip je ale vždy záporné, jak je snadné se přesvědčit. Z toho plyne, že veličina $H$ s časem vždy klesá, a to k nějakému reálnému číslu, neboť integrál je omezený. To ale znamená, že v čase $t \rightarrow \infty$ nabývá $H$ stacionární hodnoty a odsud plyne nutnost podmínky $$f_1' f_2' = f_1 f_2$$ \bigskip Nutnost i postačujícnost této podmínky je obsahem \index{teorém, Boltzmannův H-teorém}\emph{Boltzmanova H-teorému}. Chování veličiny H je znázorněno na grafu: \begin{center} \includegraphics{Hgraf.pdf} \end{center} H-funkce se chová jako entropie, jenom entropie s časem samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), zatímco $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi). \subsection{Analytické vyjádření $f_0$} Máme tedy rovnici $$f_0( \vec{v_1} )f_0( \vec{v_2} ) = f_0( \vec{v_1}' )f_0( \vec{v_2}' )$$ \bigskip Zlogaritmujme ji: $$\ln f_0( \vec{v_1} ) + \ln f_0( \vec{v_2} ) = \ln f_0( \vec{v_1}' ) + \ln f_0( \vec{v_2}' )$$ \bigskip Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy podobu zákona zachování jisté zachovávající se veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce se ovšem může skládat z více částí. Obecně $$\ln f_0( \vec{v} ) = \suma{i}{}\Psi _i (\vec{v})$$ \bigskip Víme, že pro molekulu plynu jsou zachovávající se veličiny tři: \bigskip \begin{center} \begin{tabular}[p]{rcl} $\Psi_1(\vec{v}) = m \vec{v}$ & ..... & Hybnost \tabularnewline[12pt] $\Psi_2(\vec{v}) = \pul m \vec{v}^2$ & ..... & Energie \tabularnewline[12pt] $\Psi_3(\vec{v}) = C$ & ..... & Libovolná konstanta \tabularnewline[12pt] \tabularnewline[12pt] \end{tabular} \end{center} \bigskip To znamená, že $\ln f$ bude lineární kombinací tří složek rychlosti $\vec{v}$, kvadrátu rychlosti $\vec{v}^2$ a konstanty $C$: $$\ln f( \vec{v} ) = -a( \vec{v} - \vec{v_0} )^2 + \ln C$$ \medskip $$f_0(\vec{v}) = C e^{-a(\vec{v}-\vec{v_0})^2}$$ \bigskip Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové vztažné soustavě, kde je nulová. Konstantu $C$ získáme z normalizace a konstantu $a$ například výpočtem $\left< E \right>$ a porovnáním s $U=3/2NkT$ a máme $$f_0(\vec{v}) = n(\vec r, t)\left( \frac{m}{2 \pi k T(\vec r)} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{m(v-c(\vec r))^2}{2kT(\vec r)}\right)$$ \bigskip již známé Maxwell-Boltzmannovo rozdělení rychlostí. Celé toto odvozování jsme provedli bez přítomnosti vnějšího pole. Bude-li se ale soustava v nějakém nacházet, dostaneme $$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} ) . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$ Což lze snadno ověřit dosazením do transportní rovnice, pro $F = -\nabla_r \phi(\vec r)$. \bigskip Další zajímavý příklad je ověření, že stacionární řešení $\left(\pderivx{f}{t}=0,\termderiv{f}{t}{Srazky}\!\!\!\!\!\!\!=0\right)$ odpovídá také Boltzmannovu rozdělení. Nechť $F = -dV/dx$, Boltzmannova transportní rovnice pro jednorozměrný případ pak přejde do tvaru $$ v \pderivx{f}{x} - \frac1 m\derivx{V}{x}\pderivx{f}{v} = 0$$ Za předpokladu, že lze funkce $f$ separovat na $f(x,v) = F(x)G(v)$, tak po dosazení získáme $$ v \derivx{F}{x}G- \frac1 m \derivx{V}{x}F\derivx{G}{v} = 0$$ po separaci proměnných $$ \frac{dF}{FdV} = \frac1 m \frac{dG}{Gvdv}$$ Protože levá strana rovnosti závisí pouze na poloze a pravá strana pouze na rychlosti tak, aby se strany rovnaly pro všechny $x,v$ tak se musí rovnat nějaké konstantě, kterou označíme $-\beta$ $$\frac1 F \derivx{F}{V} = -\beta \quad \rightarrow \quad F(x) = K_x\exp(-\beta V(x)) $$ $$\frac{1}{mGv}\derivx{G}{v} = -\beta \quad \rightarrow \quad G(v) = K_v\exp(-\beta m v^2/2)$$ Celkově tedy $f(x,v) = F(x).G(v) = K\exp(-\beta V(x) -\beta m v^2/2 )$. Konstantu $\beta$ můžeme určit například ze střední hodnoty vnitřní energie, ale je jasné, že $$\beta = 1/kT$$ \subsection{Transportní jevy} Uděláme-li rozdělovací funkci časově závislou, lze počítat hustoty toků veličin v prostoru a čase: $$g( \vec{r}, t) = \integral{}{}A(\vec{r},\vec{v}) . \vec{v} . \f \dv$$ \bigskip Veličina může být buď identicky rovna jedné(pak počítáme transport částic), může to být hybnost (transport tlaku), energie (transport tepla), náboj (el. proud) a další.