02TSFA:Kapitola28
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 11:50, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. Zajímejme se nyní o rozdělení energie. Rozdělovací funkce (z Bose-Einsteinovy statistiky) je $$n(\nu, T) d \nu = \frac{8 \pi V}{c^3}\frac{\nu^2 d \nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right) - 1}$$ \bigskip kde $\frac{8 \pi V \nu ^2}{c^3}$ je počet jakýchsi \uv{kmitavých stavů}. Ten souvisí s tím, jaké kmity se \uv{vejdou do objemu V}. Chceme-li totiž mít v dutině záření, musí se jednat o stojaté vlny a u těch platí, že na stěnách jsou nulové (okrajové podmínky). \bigskip Odpovídající spektrální hustota energie $u(\nu)$ (tj. energie v jednotkovém objemu záření s kmitočtem mezi $\nu$ a $\nu + d\nu$) je $$u(\nu, T) d\nu = \frac{h \nu n(\nu) d\nu}{V} = \frac{8 \pi h}{c^3} \frac{\nu ^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}$$ \bigskip To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci $\nu = c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\nu$ }. $$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$ a vyřešíme rovnici $$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$ \bigskip Po zderivování dostaneme $$ { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$ což jde zjednodušit na $${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$ když si navíc zadefinujeme $$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$ pak se rovnice výše zjednodušší na $${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$ Tato rovnice má numerické řešení rovno $x = 4,965114231744276\ldots $. Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$ $$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} = {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$ To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším vlnovým délkám (větším frekvencím). Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny: $$u = \integral{0}{\infty}u( \nu) d \nu = \frac{8 \pi h}{c^3}\integral{0}{\infty} \frac{\nu^3 d\nu}{\exp\left(\frac{h \nu}{kT}\right)-1}$$ \bigskip Provedeme-li substituci, dostáváme $$u = \frac{8 \pi h}{c^3}\frac{(kT)^4}{h^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$ \bigskip kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy $$u(T) = \sigma T^4$$ \bigskip což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je asi $$\sigma = 5,67 . 10^{-8} Wm^{-2} K^{-4}$$ \bigskip \begin{remark} Pro tlak záření platí $$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$ \bigskip na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou energií a hybností $E_k = p^2/2m$. \end{remark} Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde $$TV^{1/3} = konst$$