02TFpriklady:Kapitola4
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 11:32, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 4: Základní principy mechaniky} \priklad{4.2}{ Přes hřeben střechy (vrcholový úhel$2\alpha $) je nataženo nehmotné...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TFpriklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TFpriklady | Admin | 4. 9. 2015 | 11:33 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 21. 6. 2011 | 07:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Newtonova mechanika | Krasejak | 20. 6. 2014 | 23:59 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Lagrangeův formalismus | Nemecfil | 29. 1. 2017 | 19:59 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Základní úlohy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Základní principy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Hamiltonův formalismus | Tichaond | 12. 3. 2014 | 17:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Admin | 1. 8. 2010 | 11:34 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Speciální teorie relativity | Krasejak | 21. 6. 2014 | 01:27 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 4: Základní principy mechaniky} \priklad{4.2}{ Přes hřeben střechy (vrcholový úhel$2\alpha $) je nataženo nehmotné vlákno délky ${\bf l}$zatížené na koncích hmotnostmi $m_{1} ,m_{2} $. Kdy nastane rovnováha ? }{ označme souřadnice obou těles: $m_{1} :[x_{1} ,z_{1} {]\; }resp.{\; }m_{2} :[x_{2} ,{\; }z_{2} ]$ a zvolme počátek ve vrcholu střechy přičemž kladný směr osy z míří proti tíhovému zrychlení nejprve si zapíšeme vazby, které tato tělesa podstupují $$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv x_{1} -z_{1} tg\alpha _{1} =0} \\ {\varphi _{2} \equiv x_{2} +z_{2} tg\alpha _{2} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv \sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } -{\bf l}=0} \end{array}$$ a skutečné síly, které na tělesa působí $$\begin{array}{l} {\vec{F}_{1} ={\; }(0,0,-m_{1} g)} \\ {\vec{F}_{2} =(0,0,-m_{2} g)} \end{array}$$ problém statické rovnováhy budeme řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů (viz teorie), která nás v tomto případě přivede na soustavu rovnic: $$\begin{array}{l} {\lambda _{1} +\lambda _{3} \frac{x_{1} }{\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } } =0} \\ {-m_{1} g-\lambda _{1} tg{\; }\alpha _{1} +\lambda _{3} \frac{z_{1} }{\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } } =0} \\ {\lambda _{2} +\lambda _{3} \frac{x_{2} }{\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } } =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{2} tg{\; }\alpha _{2} +\lambda _{3} \frac{z_{2} }{\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } } =0} \end{array}$$ $$\begin{array}{l} {x_{1} -z_{1} tg{\; }\alpha _{1} =0} \\ {x_{2} +z_{2} tg{\; }\alpha _{2} =0} \\ {\sqrt{x_{1} ^{2} +z_{1} ^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +z_{2} ^{2} } -{\bf l}=0} \end{array}$$ z této soustavy si vyjádříme $$\begin{array}{l} {x_{1} =z_{1} tg\alpha _{1} } \\ {x_{2} =-z_{2} tg\alpha _{2} } \end{array}$$ odkud plyne (z předpokladu pohybu pouze po střeše, tj. že souřadnice z jsou záporné), že z první a třetí rovnice dostaneme $$\begin{array}{l} {\lambda _{1} =-\lambda _{3} \frac{z_{1} tg{\; }\alpha _{1} }{\sqrt{z_{1} ^{2} (1+tg^{2} \alpha _{1} )} } =-\lambda _{3} \frac{z_{1} }{\left|z_{1} \right|} \sin \alpha _{1} =\lambda _{3} \sin \alpha _{1} } \\ {\lambda _{2} =\lambda _{3} \frac{z_{2} tg{\; }\alpha _{2} }{\sqrt{z_{2} ^{2} (1+tg^{2} \alpha _{2} )} } =\lambda _{3} \frac{z_{2} }{\left|z_{2} \right|} \sin \alpha _{2} =-\lambda _{3} \sin \alpha _{2} } \end{array}$$ a druhá a čtvrtá na tvar $$\begin{array}{l} {-m_{1} g-\lambda _{1} tg{\; }\alpha _{1} -\lambda _{3} \cos \alpha _{1} =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{2} tg{\; }\alpha _{2} -\lambda _{3} \cos \alpha _{2} =0} \end{array}$$ kde ještě provedeme dosazení za $\lambda _{1} {\; }a{\; }\lambda _{2} $ $$\begin{array}{l} {-m_{1} g-\lambda _{3} \sin \alpha _{1} {\; }tg\alpha _{1} -\lambda _{3} \cos \alpha _{1} =0} \\ {-m_{2} g-\lambda _{3} \sin \alpha _{2} {\; }tg\alpha _{2} -\lambda _{3} \cos \alpha _{2} =0} \end{array}$$ čímž po vyjádření $\lambda _{3} $ z každé rovnice dostaneme podmínku statické rovnováhy (pro libovolné souřadnice obou hmotných bodů svázaných pouze vazebními podminkami) $$\begin{array}{l} {\lambda _{3} =-m_{1} g\cos \alpha _{1} } \\ {\lambda _{3} =-m_{2} g\cos \alpha _{2} } \end{array}$$ $$\frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{\cos \alpha _{2} }{\cos \alpha _{1} } $$ } \priklad{4.3}{ Dva hmotné body $m_{1} ,m_{2} $kloužou bez tření po parabole $z=-\frac{x^{2} }{2p} $a jsou spojeny nehmotným vláknem délky r, které prochází ohniskem paraboly $[0,0,- \frac{p}{2} ]$. Která poloha hmotných bodů je rovnovážná ? }{ poznamenejme, že tíhové pole má směr jako obvykle, totiž působí proti směru osy z. tuto úlohu opět budeme řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů (hledání extrémů na varietách) síly působící na hmotné body jsou $$\begin{array}{l} {\vec{F}_{1} ={\; }(0,0,-m_{1} g)} \\ {\vec{F}_{2} =(0,0,-m_{2} g)} \end{array}$$ napišme vazby, podle kterých se pohyb může uskutečnit $$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv \sqrt{x_{1} ^{2} +(z_{1} +{\textstyle\frac{p}{2}} )^{2} } +\sqrt{x_{2} ^{2} +(z_{2} +{\textstyle\frac{p}{2}} )^{2} } -r={\; 0}} \\ {\varphi _{2} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ pro jednoduchost dalších výpočtů aplikací vazeb $\varphi _{2} {\; }a{ \; }\varphi _{3} $na vazbu první dostaneme $$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv -z_{1} -z_{2} +p-r={\; 0}} \\ {\varphi _{2} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ již zmiňovanou metodou Lagrangeových multiplikátorů dostaneme rovnice $$\begin{array}{l} {\lambda _{2} \frac{x_{1} }{p} =0} \\ {\lambda _{3} \frac{x_{2} }{p} =0} \\ {-m_{1} g+\lambda _{1} +\lambda _{2} =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{1} + \lambda _{3} =0} \end{array}$$ a k této soustavě patří ještě již zmiňované vazby $$\begin{array}{l} {-z_{1} -z_{2} +p-r={\; 0}} \\ {z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {} \end{array}$$ ze kterých dostaneme přípustná řešení \begin{tabular}{|p{0.8in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.7in}|} \hline $x_{1} $ & $z_{1} $ & $x_{2} $ & $z_{2} $ & $\lambda _{1} $ & $\lambda _{2} $ & $\lambda _{3} $ \\ \hline 0 & 0 & $\pm \sqrt{2p(r-p)} $ & $p-r$ & $m_{2} $ & $g(m_{1} -m_{2} )$ & 0 \\ \hline $\pm \sqrt{2p(r-p)} $ & $p-r$ & 0 & 0 & 0 & $g(m_{2} -m_{1} )$ & $m_{1} $ \\ \hline \end{tabular} poznámka: povšimněme si, že kromě velikosti vazbových sil (udané Lagrangeovými multiplikátory) nezávisí rovnovážná poloha na hmotnostech. } \priklad{4.4}{ Nehmotné vlákno délky ${\bf l}$ je položeno přes vrcholek paraboly $z=-\frac{x^{2} }{2p} $. Jeho konce jsou zatíženy hmotnostmi $m_{1} ,{\; }m_{2} $. Ve které poloze vlákna nastane rovnováha ? }{ poznámka: k řešení tohoto příkladu, ostatně jako k mnoha dalším lze použít různé přístupy, znalosti a podobně - avšak i tentokrát použijeme do jisté míry (s ohledem na řešitelnost rovnic) univerzální Lagrangeův formalismus začněme tedy tak, že popíšeme vazby, kterými se tělesa při svém pohybu řídí $$\begin{array}{l} {\varphi _{1} \equiv z_{1} +\frac{x_{1} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{2} \equiv z_{2} +\frac{x_{2} ^{2} }{2p} =0} \\ {\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+z'^{2} } dx-{l}={\; 0}} \end{array}$$ povšimněme si na vysvětlenou vazby $\varphi _{3} $ - tato vazba vyjadřuje spojení obou hmotných bodů nehmotným vláknem délky ${l}$, která se docela snadno odvodí přes Pythagorovu větu aplikovanou na infinitesimální přírůstky $(d{ l)}^{2} =(dx)^{2} {+\; }(dz)^{2} $ - zbytek už si laskavý čtenář jistě domyslí sám tuto vazbu si samozřejmě zjednodušíme a to následovně : ze vztahů $$z=-\frac{x^{2} }{2p} ,{\; }z'=-\frac{x}{p} $$ po dosazení do vazby $\varphi _{3} $ dostaneme $$\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx -{l}={\; 0}$$ nyní se pustíme do hledání bodů statické rovnováhy - budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladě, a to metodou Lagrangeových multiplikátorů, čímž dostaneme tyto čtyři rovnice $$\begin{array}{l} {\lambda _{1} \frac{x_{1} }{p} -\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle \frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \\ {-m_{1} g+\lambda _{1} =0} \\ {\lambda _{2} \frac{x_{2} }{p} +\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \\ {-m_{2} g+\lambda _{2} =0} \end{array}$$ matematická poznámka: $\int _{x_{1} }^{x_{2} }f'(x)dx =f(x_{2} )-f(x_{1} )$ a proto jsme při odvozování předchozích rovnic mohli použít $\frac{\partial }{\partial x_{1} } \left(\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx \right)=- \sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } $ et $\frac{\partial }{\partial x_{2} } \left(\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx \right)=\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } $ z těchto čtyř rovnic si vyjádříme $$\begin{array}{l} {\lambda _{1} =m_{1} g} \\ {\lambda _{2} =m_{2} g} \end{array}$$ a po dosazení do zbylých dvou rovnic máme $$\begin{array}{l} {m_{1} g\frac{x_{1} }{p} -\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \\ {m_{2} g\frac{x_{2} }{p} +\lambda _{3} \sqrt{1+{\textstyle \frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } =0} \end{array}$$ odkud nakonec eliminací $\lambda _{3} $ vyplyne rovnice $$\frac{m_{1} x_{1} }{\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} }} } } +\frac{m_{2} x_{2} }{\sqrt{1+{\textstyle\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} }} } } =0$$ to je ovšem jen jedna rovnice pro dvě neznámé - tu druhou nám zajistí dosud nepoužitá vazba $$\varphi _{3} \equiv \int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx -{l}={\; 0}$$ spočtěme integrál $$\int _{x_{1} }^{x_{2} }\sqrt{1+{\textstyle\frac{x^{2} }{p^{2} }} } dx ={\; }\left\{\frac{x}{p} =\sinh \xi \right\}=\int _{\xi _{1} }^{\xi _{2} }p\cosh ^{2} (\xi )d\xi =\frac{p}{4} \left[2\xi +\sinh 2\xi \right]_{\xi _{1} }^{\xi _{2} } $$ $$\xi =arcsinh\frac{x}{p} $$ druhá rovnice tedy bude $$\frac{p}{4} \left[2arcsinh\frac{x_{2} }{p} +\sinh \left(2arcsinh\frac{x_{2} }{p} \right)\xi -2arcsinh\frac{x_{1} }{p} -\sinh \left(2arcsinh\frac{x_{1} }{p} \right) \xi \right]={l}$$ kterou lze ještě nepatrně zjednodušit na $$\frac{p}{2} \left[arcsinh\frac{x_{2} }{p} +\frac{x_{2} }{p} \sqrt{1+\frac{x_{2} ^{2} }{p^{2} } } -arcsinh\frac{x_{1} }{p} -\frac{x_{1} }{p} \sqrt{1+\frac{x_{1} ^{2} }{p^{2} } } \right]={l}$$ a tedy rovnovážné hodnoty souřadnic $x_{1} ,{\; }x_{2} $ jsou řešením těchto dvou zarámovaných rovnic. } \priklad{4.5}{ Hmotný bod m je vázán na elipsu ve svislé rovině s poloosami a (vodorovná), b (svislá), a $<$ b. Kromě tíže g působí na bod pružina o tuhosti k uchycená ve středu elipsy, jejíž rovnovážná délka $a_{0} <a$. Určete rovnovážné polohy bodu. }{ souřadný systém zvolíme, jako obvykle, tak, střed souřadného systému umístíme přirozeně do středu elipsy a kladný směr osy y bude opět směřovat proti směru působení tíhového pole vazbu v takovéto soustavě potom zachycuje rovnice $$\varphi \equiv {\; }\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } -1={\; }0{\; }\equiv {\; }b^{2} x^{2} +a^{2} y^{2} -a^{2} b^{2} =0$$ k nalezení rovnovážných poloh použijeme opět Lagrangeův formalismus, tj. metodu hledání extrému funkce na varietě - stacionární bod potenciálu U vyjádřeme si potenciální energii jako $$U=mgy+\frac{1}{2} k(\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )^{2} $$ hledejme tedy stacionární body této funkce dvou proměnných na varietě $\varphi$ (pomocí Lagrangeových multiplikátorů - viz matematická analýza) $$\frac{\partial U}{\partial x} -\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial x} =k \frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } (\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )-2b^{2} x\lambda =0$$ $$\frac{ \partial U}{\partial y} -\lambda \frac{\partial \varphi }{\partial y} =mg+k\frac{y}{ \sqrt{x^{2} +y^{2} } } (\sqrt{x^{2} +y^{2} } -a_{0} )-2a^{2} y\lambda =0$$ celkem se tedy dostáváme soustavu rovnic $$x\left(1-2b^{2} \lambda -\frac{a_{0} }{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } \right)=0$$ $$y\left(1-2a^{2} \lambda -\frac{a_{0} }{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } \right)=\frac{mg}{k} $$ $$b^{2} x^{2} +a^{2} y^{2} -a^{2} b^{2} =0$$ tuto soustavu řeší následující dva stacionární body: $$x=0,{\; \; }y=\pm b$$ a body, které jsou řešením této soustavy rovnic $$x^{2} =a^{2} -\frac{a^{2} }{b^{2} } y^{2} ,{\; }kde{\; }x\ne 0$$ $$y\left(1-\frac{a_{0} }{\sqrt{a^{2} -{\textstyle\frac{a^{2} }{b^{2} }} y^{2} +y^{2} } } \right)=\frac{mg}{k} \frac{2b^{2} }{b^{2} -a^{2} } $$ poznámka: z poslední rovnice je vidět, že při $\frac{m}{k} \to 0$je dalším přibližným stacionárním bodem $x=\pm b,{\; }y{\; }={\; }0$ } \priklad{4.6}{ Na přímce jsou dány tři ekvidistantní elektricky nabité hmotné body s náboji $e_{1} ,{\; }e_{2} ,{\; }e_{3} $. Určete náboje tak, aby soustava byla v udané konfiguraci v rovnováze a ukažte, že tato rovnováha není stabilní. }{ statická rovnováha pro ekvidistantní náboje znamená, že podle principu virtuální práce (virtuálního posunutí) musí platit $$\sum _{i}F_{i} \delta x_{i} =0$$ protože naším úkolem bude zjistit, je-li tato konfigurace v takové rovnováze stabilní či nikoliv, vyčísleme nejdříve potenciál této soustavy $$U(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} )=\frac{e_{1} e_{2} }{x_{2} -x_{1} } +\frac{e_{1} e_{3} }{x_{3} -x_{1} } +\frac{e_{2} e_{3} }{x_{3} -x_{2} } $$ potom síly působící v této soustavě se vyjádří $$F_{i} =-\frac{\partial U}{\partial x_{i} } $$ a podmínka statické rovnováhy je pak $$-\sum _{i}\frac{\partial U}{\partial x_{i} } \delta x_{i} =0$$ a protože $\delta x_{i} $ můžou být obecně lineárně nezávislá je tato podmínka splněna právě když $$-\frac{\partial U}{\partial x_{i} } =0$$ což nás dovede v ekvidistantních bodech $x_{2} -x_{1} =x_{3} -x_{2} =a{\; ;\; }x_{3} -x_{1} =2a$ na soustavu rovnic $$-\frac{e_{1} e_{2} }{a^{2} } -\frac{e_{1} e_{3} }{4a^{2} } =0$$ $$\frac{e_{1} e_{2} }{a^{2} } -\frac{e_{2} e_{3} }{a^{2} } =0$$ $$\frac{e_{1} e_{3} }{4a^{2} } +\frac{e_{2} e_{3} }{a^{2} } =0$$ odtud dostaneme podmínku pro rovnováhu $$\begin{array}{l} {e_{1} =e_{3} =e} \\ {e_{2} =-\frac{1}{4} e_{1} =-\frac{1}{4} e} \end{array}$$ abychom mohli nyní rozhodnout, zda-li je tato rovnováha stabilní, je nutné zjistit, jestli v bodech stability potenciál U nabývá minimum. pro přehlednost nyní zvolme nové souřadnice $y_{i} =x_{i} -x_{2} {\; },{\; }i\in \hat{3}$, tj. spojíme novou soustavu souřadnou pevně s prostředním nábojem potenciál má nyní tvar $$U(y_{1} ,y_{3} )=\frac{1}{4} e^{2} \left(+\frac{1}{y_{1} } +4\frac{1}{y_{3} -y_{1} } -\frac{1}{y_{3} } \right)=\frac{1}{4} e^{2} \frac{(y_{1} +y_{3} )^{2} }{y_{1} y_{2} (y_{3} -y_{1} )} $$ a budeme zkoumat extrém této funkce dvou reálných proměnných v bodě $[y_{1} =-a,y_{3} =a]$ $$U'(y_{1} ,y_{3} )=\frac{1}{4} e^{2} \left(\begin{array}{c} {-{\textstyle\frac{1}{y_{1} ^{2} }} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{2} }} } \\ {{\textstyle\frac{1}{y_{3} ^{2} }} -{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{2} }} } \end{array}\right)$$ a budeme zkoumat definitnost druhé derivace potenciálu (podrobnosti vyšetřování reálných funkcí více proměnných se dozvíte v matematické analýze) $$U''(y_{1} ,y_{3} )=\frac{1}{2} e^{2} \left(\begin{array}{cc} {{\textstyle\frac{1}{y_{1} ^{3} }} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } & {-{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } \\ {-{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } & {-{\textstyle\frac{1}{y_{3} ^{3} }} +{\textstyle\frac{4}{(y_{3} -y_{1} )^{3} }} } \end{array}\right)$$ $$U''(-a,a)=\frac{1}{2} \frac{e^{2} }{a^{3} } \left(\begin{array}{cc} {-{\textstyle \frac{1}{2}} } & {-{\textstyle\frac{1}{2}} } \\ {-{\textstyle\frac{1}{2}} } & {-{ \textstyle\frac{1}{2}} } \end{array}\right)$$ tato matice je indefinitní a tudíž potenciál nemá v této konfiguraci minimum a rovnováha je proto nestabilní } \priklad{4.9}{ Na hmotný bod vázaný na kulové ploše $\varphi \equiv x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} -r^{2} =0$ působí konstantní gravitační síla $\vec{F}=(0,0,-mg)$. Určete rovnovážné polohy $(x_{i}^{o} )$a složky reakční síly $R_{i}^{o} {\; }v{ \; (}x_{i}^{o} )$. }{ opět použijeme metodu Lagrangeových multiplikátorů a tak dostaneme podmínky statické rovnováhy jako $$x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} -r^{2} =0$$ $$0+2\lambda x_{1} =0$$ $$0+2\lambda x_{2} =0$$ $$-mg+2\lambda x_{3} =0$$ odkud dostaneme řešení $$\vec{x}^{o} =(0,0,\pm r)$$ a reakční síla v těchto bodech je $$\vec{R}^{o} =(0,0,mg)$$ } \priklad{4.10}{ Hmotný bod, na který působí konstantní gravitační síla $\vec{F}=(0,0,-mg)$ je vázán na dvě válcové plochy $\varphi _{1} \equiv x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} -a^{2} =0$ a $\varphi _{2} \equiv x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} =0$, kde $a^{2} >b^{2} >0$. Určete rovnovážné polohy $(x_{i}^{o} )$ a složky reakční síly $R_{i}^{o} {\; }v{\; (}x_{i}^{o} )$. Které rovnovážné polohy jsou stabilní ? }{ protože budeme na konci rozhodovat o stabilitě, použijeme v tomto příkladě metodu hledání extrému funkce více proměnné na varietách z matematické analýzy - zkoumaná funkce bude potenciál U a budou nás zajímat (a) stacionární body této funkce vzhledem k varietám(b) v kterých bodech má tato funkce minimum vzhledem k varietám (v takových bodech je potom rovnováha stabilní). (a) stacionární body sestavme funkci $$\Lambda =U-\lambda _{1} \varphi _{1} -\lambda _{2} \varphi _{2} $$ po dosazení $$\Lambda =mgx_{3} -\lambda _{1} (x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} -a^{2} )-\lambda _{2} (x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} )$$ a hledejme její stacionární body (tj. ${\textstyle\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{i} }} =0$) $$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{1} } =-2\lambda _{1} x_{1} -2\lambda _{2} x_{1} =0$$ $$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{2} } =-2\lambda _{2} x_{2} =0$$ $$\frac{\partial \Lambda }{\partial x_{3} } =mg-2\lambda _{1} x_{3} =0$$ a nezapomeňme ještě na vazbové podmínky $$\Phi \equiv \left\{\begin{array}{c} {\varphi _{1} \equiv x_{1} ^{2} +x_{3} ^{2} -a^{2} =0} \\ {\varphi _{2} \equiv x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} -b^{2} =0} \end{array} \right. $$ takovouto soustavu rovnic potom řeší (pro přehlednost liché indexy řešení odpovídají bodům majícím kladnou složku odpovídající souřadnici $x_{3} $ a sudé opačně - tj. body s lichými indexy jsou "nahoře" a body se sudými "dole" , budeme-li se orientovat podle působení tíhového pole) \begin{tabular}{|p{0.8in}|p{0.7in}|p{0.7in}|p{0.8in}|p{0.8in}|p{0.8in}|p{0.7in}|} \hline indexy řešení & $x_{1} $ & $x_{2} $ & $x_{3} $ & $\lambda _{1} $ & $\lambda _{2} $ & $\vec{R}$ \\ \hline & 0 & $\pm b$ & a & $\frac{mg}{2a} $ & 0 & $(0,0,mg)$ \\ \hline & 0 & $\pm b$ & -a & -$\frac{mg}{2a} $ & 0 & $(0,0,mg)$ \\ \hline & $\pm b$ & 0 & $\sqrt{a^{2} -b^{2} } $ & $\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & -$\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & $(0,0,mg)$ \\ \hline & $\pm b$ & 0 & -$\sqrt{a^{2} -b^{2} } $ & -$\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & $\frac{mg}{2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } $ & $(0,0,mg)$ \\ \hline \end{tabular} kde jsme použili $\vec{R}=(2x_{1} \lambda _{1} +2x_{1} \lambda _{2} ,{\; }2\lambda _{2} x_{2} ,{\; }2\lambda _{1} x_{3} )$ (b) otázka minima ve stacionárních bodech první derivaci funkce $\Lambda$ lze obecně zapsat (viz předchozí rovnice) $$\Lambda '=\left(\begin{array}{c} {-2\lambda _{1} x_{1} -2\lambda _{2} x_{1} } \\ {-2\lambda _{2} x_{2} } \\ {mg-2\lambda _{1} x_{3} } \end{array}\right)$$ druhá derivace bude $$\Lambda ''=\left(\begin{array}{ccc} {-2\lambda _{1} -2\lambda _{2} } & {0} & {0} \\ {0} & {-2\lambda _{2} } & {0} \\ {0} & {0} & {-2\lambda _{1} } \end{array}\right)$$ zkoumejme nyní definitnost v jednotlivých stacionárních bodech a to tak, že zúžíme druhou derivaci na tečný prostor (podrobnosti viz matematická analýza) protože $\Phi '=\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2x_{1} } & {0} & {2x_{3} } \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {2x_{1} } & {2x_{2} } & {0} \end{array}} \end{array} \right)$, dostaneme v konkrétních případech \begin{tabular}{|p{0.3in}|p{1.2in}|p{1.1in}|p{2.7in}|} \hline & $\Phi '$ & $\Lambda ''$ & příslušná kvadratická forma \\ \hline & $\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {2a} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {0} & {\pm 2b} & {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{a} \left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}\right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{a} \left(h,0,0\right)\left(\begin{array}{ccc} {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} {h} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)=-\frac{mg}{a} h^{2} $\newline lokální maximum $\Rightarrow $nestabilní rovnovážná poloha \\ \hline & $\left(\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {-2a} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {0} & {\pm 2b} & {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{a} \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array} \right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{a} \left(h,0,0\right)\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {h} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)=\frac{mg}{a} h^{2} $\newline lokální minimum $\Rightarrow $stabilní rovnovážná poloha \\ \hline & $\left(\begin{array}{ccc} {\begin{array}{c} {\pm 2b} \\ {\pm 2b} \end{array}} & {\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \\ {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left( \begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array} \right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(0,h,0\right)\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {0} \\ {h} \\ {0} \end{array}\right)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } h^{2} $\newline lokální minimum $\Rightarrow $stabilní rovnovážná poloha \\ \hline & $\left(\begin{array}{ccc} {\begin{array}{c} {\pm 2b} \\ {\pm 2b} \end{array}} & {\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}} & {\begin{array}{c} {-2\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \\ {0} \end{array}} \end{array}\right)$ & $\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left( \begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array} \right)$ & $Q(h)=\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } \left(0,h,0\right)\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {0} \\ {h} \\ {0} \end{array}\right)=-\frac{mg}{\sqrt{a^{2} -b^{2} } } h^{2} $\newline lokální maximum $\Rightarrow $nestabilní rovnovážná poloha \\ \hline \end{tabular} poznámka k řešení: postup užitý v tomto příkladě není jediný možný, je však názorný z hlediska aplikace poznatků matematické analýzy } \priklad{4.11}{Pomocí d'Alembertova principu odvoďte pohybovou rovnici matematického kyvadla.} { zavedeme úhel $\varphi$ jako obecnou souřadnici a pomocí něj vyjádříme všechny veličiny vystupující v d'Alembertově principu d'Alembertův princip v kartézských souřadnicích je (kde osa y směřuje ve směru tíhového zrychlení) $$(-m\ddot{x})\delta x+(mg-m\ddot{y})\delta y=0$$ a použijeme vzhledem k povaze matematického kyvadla transformace $$\begin{array}{l} {x=r\sin \varphi } \\ {y=r\cos \varphi } \end{array}$$ kde $$\begin{array}{l} {\ddot{x}=-r\dot{\varphi }^{2} \sin \varphi +r\ddot{\varphi } \cos \varphi } \\ {\ddot{y}=-r\dot{\varphi }^{2} \cos \varphi -r\ddot{\varphi }\sin \varphi } \end{array}$$ a $$\begin{array}{l} {\delta x=r\cos \varphi {\; }\delta \varphi } \\ {\delta y=-r \sin \varphi {\; }\delta \varphi } \end{array}$$ transformujme d'Alembertův princip na $$(mr\dot{\varphi }^{2} \sin \varphi -mr\ddot{\varphi }\cos \varphi )r\cos \varphi {\; }\delta \varphi -(mg+mr\dot{\varphi }^{2} \cos \varphi +mr\ddot{\varphi } \sin \varphi )r\sin \varphi {\; }\delta \varphi =0$$ $$mr^{2} (-\ddot{\varphi }-\frac{g}{r} \sin \varphi ){\; }\delta \varphi =0$$ a má-li být tato rovnost splněna pro libovolné ${\; }\delta \varphi $, dostáváme pohybovou rovnici matematického kyvadla $$\ddot{\varphi }+\frac{g}{r} \sin \varphi =0$$ } \priklad{4.13}{ Dvě tělesa hmotností $m_{1} ,m_{2} $ jsou spojena nehmotným vláknem délky ${ \bf l}$ klouzajícím bez tření po pevném válci o poloměru R. Určete pohyb soustavy pod vlivem tíže s použitím d'Alembertova principu. Vypočtěte sílu napínající vlákno. }{ nechť kladný směr osy z směřuje ve směru působení tíhového zrychlení zapišme vazbu mezi tělesy jako $$z_{1} +z_{2} ={l}-\pi R$$ odkud plyne $$\ddot{z}_{2} =-\ddot{z}_{2} $$ zapišme d'Alemberův princip $$(m_{1} g-T-m_{1} \ddot{z}_{1} )\delta z_{1} +(m_{2} g-T-m_{2} \ddot{z}_{2} )\delta z_{2} =0$$ z kterého, má-li být tato rovnost splněna pro libovolné $\delta z_{i} $, obdržíme soustavu rovnic (po použití vazby) $$m_{1} g-T-m_{1} \ddot{z}_{1} =0$$ $$m_{2} g-T+m_{2} \ddot{z}_{1} =0$$ snadno z této soustavy rovnic vyjádříme $$T=2\frac{m_{1} m_{2} }{m_{1} +m_{2} } g$$ a $$\ddot{z}_{1} =\frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } g$$ odkud integrací dostáváme $$z_{1} (t)=\frac{1}{2} \frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } gt^{2} +\dot{z}_{1}^{o} t+z_{1}^{o} $$ $$z_{2} (t)=-\frac{1}{2} \frac{m_{1} -m_{2} }{m_{1} +m_{2} } gt^{2} -\dot{z}_{1}^{o} t-z_{1}^{o} +{l}-\pi R$$ 4.14 Těžní klec. Lano nesoucí klec o hmotnosti M je vedeno přes kolo poloměru R a je taženo silou F=F(t). Pomocí d'Alembertova principu odvoďte pohybovou rovnici klece. Moment setrvačnosti kola hmotnosti m vyjádřete pomocí gyračního poloměru $R_{g} $, $I=mR_{g} ^{2} $. d'Alembertův princip pro tuto situaci zní $$(F-Mg-M\ddot{z})\delta z+(-I\ddot{\varphi })\delta \varphi =0$$ s použitím vztahů $$\ddot{\varphi }=\frac{\ddot{z}}{R} $$ $$\delta z=R\delta \varphi $$ dostáváme $$(F-Mg-M\ddot{z})\delta z+(-m\frac{R_{g} ^{2} }{R} \ddot{z})\frac{\delta z}{R} =0$$ a tedy $$(F-Mg-M\ddot{z}-m\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \ddot{z})\delta z=0$$ odkud pohybová rovnice $$\left(M+m\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \right)\ddot{z}=F-Mg$$ } \priklad{4.15}{ Pomocí d'Alembertova principu odvoďte pohybovou rovnici rotačního tělesa ( hmotnost m, poloměr R, gyrační poloměr Rg), které se valí bez klouzání po rovině nakloněné pod úhlem $\alpha$. }{ d'Alembertův princip v této situaci je $$(mg\sin \alpha -m\ddot{s})\delta s+(-I\ddot{\varphi })\delta \varphi =0$$ transformujeme pomocí vztahů $$\delta \varphi =\frac{\delta s}{R} $$ $$\ddot{\varphi }=\frac{\ddot{s}}{R} $$ $$I=mR_{g} ^{2} $$ na $$(mg\sin \alpha -m\ddot{s})\delta s+(-mR_{g} ^{2} \frac{\ddot{s}}{R} )\frac{\delta s}{R} =0$$ a po úpravě dostaneme $$m\left[g\sin \alpha -\ddot{s}\left(1+\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} } \right)\right] \delta s=0$$ odkud obdržíme pohybovou rovnici $$\ddot{s}=\frac{g\sin \alpha }{1+{\textstyle\frac{R_{g} ^{2} }{R^{2} }} } $$ } \priklad{4.18}{ Přesvědčete se přímým výpočtem, že změna vázanosti $Z(\ddot{x}_{i} )$ při změně zrychlení o $\delta \ddot{x}_{i} $ je rovna $Z(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\sum _{i}(m_{i} \ddot{x}_{i} -F_{i} )\delta \ddot{x}_{i} +\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} (\delta \ddot{x}_{i} )^{2} $ a tedy podle Gaussova principu $\sum _{i}F_{i} -m_{i} \ddot{x}_{i} )\delta \ddot{x}_{i} =0,{\; }(\delta x_{i} =\delta \dot{x}_{i} =0)$Z nabývá při skutečném pohybu svého minima. }{ veličina vázanost (nutkání) představuje $$Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} \left(\ddot{x}_{i} -\frac{F_{i} }{m_{i} } \right)^{2} $$ zkoumejme tedy $$Z(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}\left \{m_{i} \left[(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )^{2} -\ddot{x}_{i} ^{2} \right]-2F_{i} \left[\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} -\ddot{x}_{i} \right]+\frac{F_{i} ^{2} }{m_{i} } -\frac{F_{i} ^{2} }{m_{i} } \right\} $$ $$Z(\ddot{x}_{i} +\delta \ddot{x}_{i} )-Z(\ddot{x}_{i} )=\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} \left[2\ddot{x}_{i} \delta \ddot{x}_{i} +(\delta \ddot{x}_{i} )^{2} \right]-2F_{i} \delta \ddot{x}_{i} =\sum _{i}\left(m_{i} \ddot{x}_{i} -F_{i} \right)\delta \ddot{x}_{i} +\frac{1}{2} \sum _{i}m_{i} (\delta \ddot{x}_{i} )^{2} $$ což bylo dokázati } \priklad{4.20}{ Vypočtěte hodnotu akce $S=\int _{0}^{T}L{\; }dt $pro(a) skutečný pohyb při volném pádu hmotného bodu hmotnosti m, $z_{a} (t)=\frac{1}{2} gt^{2} $(b) variovaný pohyb $z_{b} (t)=ct$, kde c je určeno podmínkou pevných konců $z_{b} (T)=z_{a} (T)$(c) variovaný pohyb$z_{c} (t)=at^{3} $, kde a je určeno podmínkou pevných konců $z_{c} (T)=z_{a} (T)$.Ukažte, že hodnota S je v případě (a) menší než v případech (b), (c). }{ Lagrangeova funkce popisující volný pád je $$L=\frac{1}{2} m\dot{z}^{2} +mgz$$ nejprve určíme z podmínek pevných konců konstantu c $$z_{b} (T)=cT=z_{a} (T)=\frac{1}{2} gT^{2} $$ $$c=\frac{1}{2} gT$$ a konstantu a $$z_{c} (T)=aT^{3} =z_{a} (T)=\frac{1}{2} gT^{2} $$ $$a=\frac{1}{2} \frac{g}{T} $$ dosazujme tedy za z(t) postupně z (a),(b) a (c) a spočítejme hodnotu akce $$S_{a} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{1}{2} mg^{2} t^{2} +\frac{1}{2} mg^{2} t^{2} dt =\frac{1}{3} mg^{2} T^{3} $$ $$S_{b} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{1}{8} mg^{2} T^{2} +\frac{1}{2} mg^{2} Tt{\; }dt =\frac{3}{8} mg^{2} T^{3} $$ $$S_{c} =\int _{0}^{T}Ldt =\int _{0}^{T}\frac{9}{8} \frac{mg^{2} }{T^{2} } t^{4} +\frac{1}{2} \frac{mg^{2} }{T} t^{3} {\; }dt =\frac{7}{20} mg^{2} T^{3} $$ je tedy zřejmé, že skutečnému pohybu skutečně odpovídá nejmenší akce což bylo dokázati a spočítati } \priklad{4.21}{ Bylo zjištěno, že hmotný bod při volném pádu s nulovou počáteční rychlostí urazí dráhu $z_{0} $ za dobu $t_{0} =\sqrt{\frac{2z_{0} }{g} } $. Předpokládejme, že pro $z\ne z_{0} $doba pádu není známa a že víme jen to, že z(t) závisí na t podle vztahu $z(t)=at+bt^{2} $. Ukažte, že když konstanty a, b zvolíte tak, aby doba pádu z výšky $z_{0} $ byla $t_{0} $, pak akce $S=\int _{0}^{t_{0} }L{\; }dt $bude mít extrém jen při $a=0$, $b=\frac{1}{2} g$. }{ Lagrangeova funkce popisující volný pád je $$L=\frac{1}{2} m\dot{z}^{2} +mgz$$ kde ovšem $$z(t)=at+bt^{2} $$ spočítejme akci $$S(a,b)=\int _{0}^{t_{0} }\frac{1}{2} m(a^{2} +2abt+b^{2} t^{2} )+mgat+mgbt^{2} {\; }dt =\frac{1}{6} m\left[3a^{2} t_{0} +6abt_{0} ^{2} +4b^{2} t_{0} ^{3} +3agt_{0} ^{2} +2bgt_{0} ^{3} \right]$$ zvolme nyní konstanty a, b tak, aby $$z(t_{0} )=z_{0} =at_{0} +bt_{0} ^{2} $$ kde $$t_{0} =\sqrt{\frac{2z_{0} }{g} } $$ odkud zřejmě $$z_{0} =\frac{1}{2} gt_{0} ^{2} $$ celkem jsme dostali rovnici $$\frac{1}{2} gt_{0} ^{2} =at_{0} +bt_{0} ^{2} $$ odkud si vyjádříme $$a=\frac{1}{2} (g-2b)t_{0} $$ nyní si můžeme pomocí tohoto vztahu vyjádřit akci už jen jako funkci jedné proměnné b $$S(b)=\frac{1}{6} m\left[3\left({\textstyle\frac{g}{2}} -b\right)^{2} t_{0} ^{3} +6\left({\textstyle\frac{g}{2}} -b\right)bt_{0} ^{3} +4b^{2} t_{0} ^{3} +3\left({ \textstyle\frac{g}{2}} -b\right)gt_{0} ^{3} +2bgt_{0} ^{3} \right]=mt_{0} ^{3} \left[ \frac{3}{8} g^{2} -\frac{1}{6} gb+\frac{1}{6} b^{2} \right]$$ abychom našli extrém této funkce, musíme znát stacionární bod její derivace $$S'(b_{0} )=\frac{1}{6} mt_{0} ^{3} \left[-g+2b_{0} \right]=0$$ $$b_{0} =\frac{g}{2} $$ a dopočítáme ještě $$a_{0} =\frac{1}{2} (g-2b_{0} )t_{0} =0$$ což bylo dokázati } \priklad{4.22}{ Vypočtěte akci $S=\frac{1}{2} \int _{0}^{1}\dot{x}^{2} -x^{2} {\; }dt $ pro jednoparametrický systém trajektorií $x=x_{\varepsilon } (t)=\frac{\sin t+ \varepsilon t}{\sin 1+\varepsilon } $a vyneste závislost $S=S(\varepsilon )$ do grafu. }{ nejprve si tedy spočtěme první derivaci (respektive kvadrát derivace) trajektorie $$\dot{x}_{\varepsilon } (t)=\frac{\cos t+\varepsilon }{\sin 1+\varepsilon } $$ $$\dot{x}_{ \varepsilon } ^{2} =\frac{\cos ^{2} t+2\varepsilon \cos t+\varepsilon ^{2} }{(\sin 1+\varepsilon )^{2} } $$ $$x_{\varepsilon } ^{2} =\frac{\sin ^{2} t+2\varepsilon t\sin t+\varepsilon ^{2} t^{2} }{(\sin 1+\varepsilon )^{2} } $$ spočtěme tedy akci $$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \int _{0}^{1}\cos ^{2} t+2\varepsilon \cos t+\varepsilon ^{2} -\sin ^{2} t-2\varepsilon t\sin t-\varepsilon ^{2} t^{2} dt $$ jemně ještě zjednodušíme $$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \int _{0}^{1}\cos 2t+2\varepsilon \cos t+\varepsilon ^{2} -2\varepsilon t\sin t-\varepsilon ^{2} t^{2} dt $$ a ze znalostí integrálů, zvláštěpak $$\int _{0}^{1}t\sin tdt =-\cos 1+\int _{0}^{1}\cos tdt =\sin 1-\cos 1$$ dostaneme $$S=\frac{1}{2(\sin 1+\varepsilon )^{2} } \left(\frac{1}{2} \sin 2+2\varepsilon \sin 1+\varepsilon ^{2} -2\varepsilon \sin 1+2\varepsilon \cos 1-\frac{1}{3} \varepsilon ^{2} \right)$$ $$S=\frac{3\sin 1\cos 1+6\varepsilon \cos 1+2\varepsilon ^{2} }{6(\sin 1+\varepsilon )^{2} } $$ graf akce v závislosti na $\epsilon$ %TODO je treba nakreslit znovu !!! %\includegraphics[bb=0mm 0mm 208mm 296mm, width=100.9mm, height=75.7mm, viewport=3mm 4mm 205mm 292mm]{image2.eps} } \priklad{4.24}{ Zapište Lagrangeovu funkci a pohybové rovnice částice v poli $U(x)$, jestliže zavedeme "místní čas" $\tau =t-\lambda x$. }{ Lagrangeova funkce se při přechodu k novým obecným souřadnicím a "času" transformuje takto $$L'{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{d\tau }} ,\tau )=L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} ,t){\; }\frac{dt}{d\tau } $$ Lagrangeova funkce v tomto případě je $$L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} ,t){\; }=\frac{1}{2} m\left({\textstyle \frac{dx}{dt}} \right)^{2} -U(x)$$ a pomocí vztahů $$t=\tau +\lambda x$$ ji transformujme $L'{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{d\tau }} ,\tau )=L{\; }(x,{\textstyle\frac{dx}{dt}} ,t){\; }\frac{dt}{d\tau } =\left[\frac{1}{2} m\left(\frac{dx}{dt} \frac{dt}{d \tau } \frac{d\tau }{dt} \right)^{2} -U(x)\right]\left(1+\lambda \frac{dx}{d\tau } \right)=\frac{1}{2} m\left(\frac{dx}{d\tau } \right)^{2} \frac{1}{1+\lambda {\textstyle \frac{dx}{d\tau }} } -\left(1+\lambda \frac{dx}{d\tau } \right)U(x)$a tedy zkráceně můžeme psát $$L'{\; }(x,\dot{x},\tau )=\frac{1}{2} m\frac{\dot{x}^{2} }{1+\lambda \dot{x}} -\left(1+\lambda \dot{x}\right)U(x)$$ } \priklad{4.25}{ Jak se transformuje Lagrangeova funkce $L=-\sqrt{1-\left(\frac{dx}{dt} \right)^{2} } $při přechodu k souřadnicím q a "času" $\tau $ podle vztahů $x=q\cosh \lambda + \tau \sinh \lambda $, $t=q\sinh \lambda +\tau \cosh \lambda $ (Lorentzova transformace) ? }{ pomocí vztahů $$\begin{array}{l} {dx=\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d\tau } \\ {dt=\sinh \lambda dq+\cosh \lambda d\tau } \end{array}$$ přetransformujme Lagrangeovu funkci $$L'=L\frac{dt}{d\tau } =-\left(\sinh \lambda {\; }\frac{dq}{d\tau } +\cosh \lambda \frac{d\tau }{d\tau } \right)\sqrt{1-\left(\frac{\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d \tau }{\sinh \lambda dq+\cosh \lambda d\tau } \right)^{2} } =$$ $$=-\sqrt{\frac{\left(\sinh \lambda dq{\; }+\cosh \lambda d\tau \right)^{2} }{ \left(d\tau \right)^{2} } \frac{\left(\sinh \lambda dq+\cosh \lambda d\tau \right)^{2} -\left(\cosh \lambda dq+\sinh \lambda d\tau \right)^{2} }{\left(\sinh \lambda dq+ \cosh \lambda d\tau \right)^{2} } } =$$ $$=-\sqrt{\frac{sh^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} +2sh\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau +ch^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} -ch^{2} \lambda \left(dq \right)^{2} -2sh\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau -sh^{2} \lambda \left(d \tau \right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{\sinh ^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} +2\sinh \lambda \cosh \lambda {\; }dq{\; }d\tau +\cosh ^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} -\cosh ^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} -2\sinh \lambda \cosh \lambda {\; }dq{\; }d\tau -\sinh ^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{sh^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} +2sh \lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau +ch^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} -ch^{2} \lambda \left(dq\right)^{2} -2sh\lambda ch\lambda {\; }dq{\; }d\tau -sh^{2} \lambda \left(d\tau \right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } ==-\sqrt{\frac{ \left(d\tau \right)^{2} -\left(dq\right)^{2} }{\left(d\tau \right)^{2} } } $$ a tedy konečný výsledek $L'=-\sqrt{1-\left(\frac{dq}{d\tau } \right)^{2} } $ }