02LIAG:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Klasifikace pomocí kořenů} Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami. \lemma{ $K…“)
 
Řádka 79: Řádka 79:
 
\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$.
 
\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$.
 
\end{itemize}
 
\end{itemize}
(Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha +p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...)
+
(Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha + p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...)
 
}
 
}
 
Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.
 
Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.

Verze z 27. 2. 2016, 12:05

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Klasifikace pomocí kořenů}
Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami.	
\lemma{
	$K(X,H)=0$, $\forall H \in \g,\; \forall X \in \g_\lambda (H),\, \lambda \neq 0$.
	}
\lemma{
	$\g$ poloprostá $H \in \g_0$, potom $(\lambda (H)=0, \forall \lambda \in \Delta ) \Rightarrow (H=0)$.\\
	(Tj. $\mathrm{span}\{\Delta \}=\g_0^*$.)
	}	
\Pzn{
	$\Norm_\g (\g_0)=\g_0$ a tedy $\g_0$ je Cartanova podalgebra.
	}	
\Def{
	Cartanova podalgebra poloprosté $\g$ je maximální Abelovská podalgebra $\g_0$, splňující $\ad_H$ je poloprostý $\forall H \in \g_0$.
	}	
\lemma{
	$(\g_\alpha \perp_K \g_\beta ) (\forall \alpha,\, \beta \in \Delta,\, \alpha +\beta \neq 0)$.
	%OG vzhledem ke Killingově formě
	}
\lemma{
	$\zuz{K}{\g_0}$ je nedegenerovaná. \\ $\forall \alpha \in \Delta$, $\exists_1 H_\alpha \in \g_0$ splňující $\forall H \in \g$: $\alpha (H)=K(H,H_\alpha )$. \\
	($\zuz{K}{\g_\alpha}=\zuz{K}{\g_\alpha\times \g_\alpha}$. Máme vyjádření $\alpha (\cdot )=K(\cdot , H_\alpha )$.)
	}	
\Pzn{
	$\g_0$ je sama Abelovská grupa, tedy je její Killingova forma nulová. 
	}
\lemma{
	Buď $\alpha \in \Delta$. Potom $-\alpha \in \Delta$ a $(\forall X \in \g_\alpha, \, \forall Y \in \g_{-\alpha} )([X,Y]=K(X,Y)H_\alpha)$.
	}	
\lemma{
	$\alpha(H_\alpha)=K(H_\alpha , H_\alpha ) \neq 0$.
	}	
\Def{
	$T_\alpha := \frac{2}{K(H_\alpha , H_\alpha )}H_\alpha$, $a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha )=\frac{2K(H_\beta , H_\alpha )}{K(H_\alpha , H_\alpha )}$.
	}
Nalezněme $X_{\pm\alpha}\in \g_{\pm \alpha}$ splňující $K(X_\alpha ,X_{-\alpha})=\frac{2}{\alpha (H_\alpha )}$. Pak platí
\begin{align}
[X_\alpha ,X_{-\alpha}]= T_\alpha ,&&
[X_{\pm\alpha} ,T_\alpha]= \pm 2 X_{\pm\alpha} \,.
\end{align}	
To jsou komutační relace $\mathfrak{sl}(2,\C )$ (konkrétně pro
$H=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_+=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$,
$X_-=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$).
 
\lemma{
	$V$ nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $(T,X_{\pm}\in \mathscr{B}(V),\, [X_+ ,X_-]= T,\, [T ,X_\pm]= \pm 2 X_{\pm})$ působí na $V$ ireducibilně. \\
	Potom $\exists \{v_j \}_{j=0}^{\dim V -1}$ báze splňující $T v_j =(r-2j)v_j$, $X_+v_j=v_{j+1}$, $r=\dim V-1$.
	}	
 
\lemma{. \label{lemma_Koreny}
	\begin{enumerate}
	\item $(\forall \alpha ,\beta \in \Delta)(\exists p,q \in \Z, p\le 0 \le p)(\{\beta +n \alpha \}_{n=p}^q \text{ je nepřerušená posloupnost kořenů, případně 0})$. Navíc žádné jiné kořeny tvaru $\beta +m \alpha$ neexistují
	%($m$ CELOČÍSLENÉ NEBO LIBOVOLNÉ???)
	a platí \begin{align}
			\beta (T_\alpha ) =
			2\frac{\beta (H_\alpha )}{\alpha (H_\alpha )}=
			\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=
			-(p+q) \,.
			\end{align}
	\label{posloupnost korenu}
	\item $\alpha \in \Delta$, $\dim \g_\alpha =1$. Potom $(\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\}) \Rightarrow \; \beta =\pm \alpha$.
	\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. \\
	(Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.)
	\item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = -\mrm{sgn}(p+q)$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta +(p+q) \alpha$ jsou kořeny (ne nutně všechny z~rozsahu).
	\end{enumerate}
	}
\Def{
	$a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha ) =\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=-(p+q)$ nazýváme \emph{Cartanova celá čísla}.
	}
	Na základě těchto poznatků lze libovolnou komplexní poloprostou algebru $\g$ zapsat ve tvaru tzv. \textbf{Weyl-Chevalleyho normální formy}.	
\Vet{
	V~$\g$ existuje báze $\{H_i\}_{i=1}^{\dim \g_0}\cup \{E_\alpha \}_{\alpha \in \Delta}$, $\g_\alpha =\mrm{span}\{E_\alpha\}$, $H_i \in \g_0$ splňující
	\begin{itemize}
		\item $(\forall H \in \g_0)([H,E_\alpha]=\alpha(H)E_\alpha)$,
		\item $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha \beta}E_{\alpha + \beta}$, $N_{\alpha \beta} \neq 0$ pro $\alpha, \beta , \alpha +\beta \in \Delta$,
		\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$.
	\end{itemize}
	(Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha + p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...)
	}
	Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.