Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Cartanova kritéria}
\Vet{
$\g$ podalgebra $\g (V)$ a $\forall X,Y \in \g$ je $\Tr (XY)=0$, potom $\g$ je řešitelná.
}
Následující věty umožňují rozhodnout, zda je $\g$ řešitelná nebo poloprostá pouze na základě znalosti $K$ a $\g^2$. Nazývají se \textbf{Cartanova kritéria}.
\Vet{
$\g$ řešitelná $\Leftrightarrow$ $K(X,Y)=0$ $\forall X \in \g$, $\forall Y \in \g^{(1)}$. ($\g^{(1)}=\g^2$)
}
\Vet{
$\g$ poloprostá $\Leftrightarrow$ $K$ je nedegenerovaná.
}
\Pzn{
Pro konečněrozměrné vektorové prostory je bilineární formy $\omega$ degenerovaná $\Leftrightarrow$ $\det \omega =0$. \\
($\omega$ značí v~tomto případě zároveň i matici formy.)
}
Připomeňme $\ii^\perp=\{X \in \g | K(X,Y)=0, \forall Y \in \ii \}$.
%\Pzn{
% Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$.
% }
\Vet{
Poloprostou $\g$ lze rozložit na přímý součet prostých ideálů.
}
\Vet{
Všechny derivace poloprosté $\g$ jsou vnitřní.
}
\Def{
\emph{Normalizátor} podprostoru $V$ v~$\g$ je $\Norm_\g (V)=\{X \in \g |(\forall Y \in V)([X,Y] \in V) \}$.
}
\Pzn{
Pro $\h$ podalgebry $\g$ je $\h \subset \Norm_\g (\h)$. Pro ideál $\ii$ je $\Norm_\g (\ii )=\g$.
}
\Def{
\emph{Cartanova podalgebra} $\g$ je nilpotentní podalgebra, která je rovna svému normalizátoru.
}
\Pzn{
Cartanova podalgebra je pro algebry nad $\C$ určena jednoznačně až na automorfismus. Nad $\R$ to obecně neplatí.
}
\Def{
$X \in \g$, $\g_\lambda (X) := \{Y \in \g | (\exists k \in \N)((\ad_X-\lambda)^k Y=0 )\}$.
}
\begin{itemize}
\item Pro libovolný $X \in \g$ je $\g= \dot{{\sum}}_{\lambda \in \C} \g_\lambda (X)$.
\item $\dim \g_0 (X) \ge 1$, protože $\ad_X X =[X,X]=0$ a tedy $X \in \g_0 (X)$.\footnote{
Pro $X=0$ je zřejmě $\g_0(0)=\g$.
}
\item $\dim \g_0(X)$ se nazývá \emph{nulita prvku $X$}.
\end{itemize}
\Def{
$X \in \g$ je \emph{regulární} $\Leftrightarrow$ $\dim \g_0(X)=\min_{Y \in \g} \dim \g_0(Y)$ \\
(Tj. nulita je nejmenší možná.)
}
\Pzn{
\emph{Skoro všechny} prvky $X \in \g$ jsou regulární.\\(Ve smyslu: Nechť $\{e_j\}_{j=1}^n$ báze $\g$ a $X=\alpha^i e_i$, potom $\mu (\{\{\alpha^i\}_{i=1}^n \in \C^n | \text{$X$ není regulární} \})=0$)%, $\mu$ je Lebesgueova míra na $\C^n$.)
}
\Vet{
Buď $H \in \g$ regulární, $\g$ poloprostá. Potom $\g_0(H)$ je Cartanova podalgebra $\g$.
}
\Prl{Různé volby $\g_0$ pro algebru $\mfrk{sl}(2)=\mrm{span}\{H,X_+,X_-\}$.
}
Regulární prvky jsou např. $H$ a $X_++X_-$.\footnote{
Tady je vidět, že vlastnost regularity není lineární, protože $X_+$ ani $X_-$ regulární nejsou.
} Definujeme souřadnicové funkcionály:
\begin{align*}
X=\phi (X)H+\phi_+(X)X_++\phi_-(X)X_-\,.
\end{align*}
Můžeme tak nalézt dva rozklady
\begin{small}
\begin{align*}
\g_0&=\g_0(H)=\mrm{span}\{H \}, & \g_{\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_+\}, & \g_{-\lambda_1} &=\mrm{span}\{X_-\}\,; \\
\g_0&=\g_0(X_++X_-)=\mrm{span}\{X_++X_- \}, & \g_{\lambda_2} &=\mrm{span}\{H-X_++X_-\}, & \g_{-\lambda_2} &=\mrm{span}\{-H-X_++X_-\}\,,
\end{align*}
\end{small}
$\lambda_1=2\phi$, $\lambda_2=2(\phi_++\phi_-)$.
\Pzn{
$\left(\ad_X-(\lambda+\mu ) \right)^n[A,B]=\sum_{j=0}^n {n\choose j}[(\ad_X-\lambda)^j A,(\ad_X-\mu )^{n-j}B]$, $\forall X,A,B \in \g$,\\
$[\g_\lambda(H),\g_\mu (H)]\subset \g_{\lambda+\mu}(H)$\\
(protože pro dostatečně vysoké $n$ nebo $(n-j)$ bude jeden člen komutátorů v $\sum$ vždy $0$).
}
\lemma{
$H_0$ je regulární. Potom $\g_0(H_0)$ je nilpotentní podalgebra $\g$.
}
\Dsl{
$\left. \ad_{\g_0(H_0)}\right\rvert_{\g}$ je maticová reprezentace $\g_0(H_0)$, tj. maticová nilpotentní algebra nad $\C$.
}
Z~Engelovy věty víme, že existují $\{\lambda_i \}\subset (\g_0(H_0))^*$ takové, že $\forall H \in \g_0(H_0)$ (poloprostá algebra) je
% \begin{small}
\begin{align*}
% \setcounter{MaxMatrixCols}{15}
\ad_H =
\begin{pmatrix}
\lambda_1 (H) & \cdots & \cdot\\
& \ddots & \vdots \\
&& \lambda_1 (H) \\
% &&& \lambda_1 (H) \\
% &&&& \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{1,2} & \cdots & \xi^{(\lambda_2)}_{1,{m_2}} \\
% &&&& & \ddots & \cdots & \vdots \\
% &&&& && \lambda_2 (H) & \xi^{(\lambda_2)}_{(m_2-1),m_2} \\
% &&&& &&& \lambda_2 (H) \\
&&&& \ddots \\
&&&&& \lambda_k (H) & \cdots & \cdot \\
&&&&& & \ddots & \vdots \\
&&&&& && \lambda_k (H) \\
&&&&& &&& \ddots
\end{pmatrix} \,,
\end{align*}
% \end{small}
mezi $\lambda_i$ je určitě i nulový funkcionál (odpovídá $H \in \g_0(H_0)$).
\Def{
Nenulové $\lambda_i$ z~rozkladu $\ad_H$ nazvu \emph{kořeny}. Množinu všech kořenů značíme $\Delta$.
}
Pro kořeny definujeme příslušné vlastní podprostory
\Def{
\emph{Kořenový podprostor} příslušející k~$\lambda$ je $\g_{\lambda}=\{X\in \g |(\forall H \in \g_0)(\ad_H X=\lambda(H) X)\}$. Vektor $X_\lambda \in \g_\lambda$ nazvu \emph{kořenový vektor}.
}
Tento rozklad je výhodný pouze pro \emph{poloprosté} algebry, protože tam vždy $\g_\lambda$ odpovídá celému zobecněnému podprostoru ($\lambda=0$ Cartanově podalgebře) a tak lze rozložit celou algebru
\begin{align}
\g= \dot{\sum_{\lambda \in \Delta \cup 0}}\g_\lambda \,.
\end{align}
Pro nepoloprosté algebry to zaručeno není, protože pro zobecněné podprostory není zaručena existence vlastních vektorů v~nezobecněném smyslu a tedy ani příslušných funkcionálů $\lambda$.