02LIAG:Kapitola3

\Def{ (Homomorfismus Lieových grup $G$ a $H$) \begin{itemize} \item \emph{Homomorfismus $G$ a $H$} je libovolné hladké $\phi :G \to H$, $\phi(g\cdot_G h)=\phi(g) \cdot_H \phi(h)$, $\forall g,h \in G$. \item \emph{Izomorfismus $G$ a $H$} je bijektivní homomorfismus s~hladkou inverzí. \end{itemize} } \Def{ \emph{Jednoparametrická podgrupa v~$G$} je homomorfismus $\varphi: (\R,+) \to G$. } \Pzn{ Takže platí $\varphi (0)=e$, $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)$. (Takže nutně $\varphi(s)\varphi(t)=\varphi(t)\varphi(s)$.) } \Vet{ Integrální křivka levoinvariantního $X$ vycházejícího z~$e$ je jednoparametrická podgrupa. } \Pzn{ Tečný vektor k~integrální křivce $\gamma$ levoinvariantního pole $X$ v~libovolném bodě získáme z~tečného vektoru $\dot{\gamma}(0)$ vztahem $\dot{\gamma}(t)=L_{\gamma(t)*}\dot{\gamma}(0)$. \\ (Platí $\dot{\gamma}(0) \in T_eG$, $\dot{\gamma}(t) \in T_{\gamma (t)}G$.) } \subsubsection*{Exponenciální zobrazení} % Jak jsem zmínili ve větě \ref{ztotozneni g a TeG}, odpovídá prostor levoinvariatních vektorových polí Lieově algebře $T_eG$. Pokud chceme z~daného levoinvariantního pole $X$ získat vektor z~$T_eG$ stačí toto pole vyhodnotit v~$e$, tj. získáme $X|_e \in T_eG$. Na základě integrálních křivek můžeme definovat zobrazení $\g \to G$, které danému vektoru $X|_e \in \g$ přiřadí nějaký bod na příslušné integrální křivce levoinvariantního vektorového pole $X$, ke kterému je $X|_e$ tečným vektorem. \Def{ $\exp : \g \to G$ definujeme $\exp (X) =\varphi (1)$, kde $\varphi$ je integrální křivka $X \in \g$. } \Pzn{ $\exp =:\e$ tedy splňuje $\varphi(t)=\e^{tX}$, $\varphi(t+s)=\e^{(t+s)X}=\varphi (t) \varphi (s) =\e^{tX}\e^{sX}$. } Kvůli těmto vlastnostem se zobrazení značí exponenciela (pro maticové grupy se navíc jedná o exponencielu $\e^{\mathbb{M}}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\mathbb{M}^n$). Ale obecně $\e^X \e^Y \neq \e^{X+Y}$. \Prl{ Exponenciela $\mfrk{af}(1) \to Af(1)$. } Hledáme integrální křivky vektorového pole z~příkladu \ref{grupa Af(1)}. Pro libovolné levoinvariantní pole jsou rovnice integrálních křivek $\dot{x}(t)=\alpha x(t)$ a $\dot{y}(t)=\beta x(t)$ s~počátečními podmínkami $(x(0),y(0))=(1,0)$, řešením je $(x(t),y(t))=(\e^{\alpha t}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha t}-1))$. Exponencielu získáme dosazením $t=1$, tj. $\e^X=\e^{\alpha x \partial_x + \beta x\partial_y}=(\e^{\alpha}, \frac{\beta}{\alpha}(\e^{\alpha}-1))$ (pro $\alpha=0$ vyjde výsledek stejně jako provedením $\lim_{\alpha \to 0}$).

V~maticovém vyjádření je pole $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, platí $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^2 = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^2 & \alpha \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, \dots , $\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^k = \left( \begin{smallmatrix} \alpha^k & \alpha^{k-1} \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)$, takže získáme $\exp \left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ 0 &0 \end{smallmatrix} \right)^n= \left( \begin{smallmatrix} \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!}, & \frac{\beta}{\alpha}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\alpha^n}{n!} \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)= \left( \begin{smallmatrix} \e^\alpha, & \frac{\beta}{\alpha}(\e^\alpha -1) \\ 0, &1 \end{smallmatrix} \right)$. \Prl{ Exponenciela maticových grup $G$. } Hledáme integrální křivku $\gamma (t)$ levoinvariantního vektorového pole, určenou $X \in \g$. Jak toto pole vypadá víme z~příkladu \ref{Maticove grupy} (značení převezmeme z~tohoto příkladu, tj. $X^i_j(e)=\alpha^i_j$). Máme tak pro složky pole $X^i_j(\gamma (t))=\gamma^i_k(t)X^k_j(e)$. Rovnice pro integrální křivky tohoto pole je \begin{align} \dot{\gamma}^i_j(t)=\gamma^i_k(t)X^k_j(e), \quad \gamma^i_j(0)=\delta^i_j \,, && \Leftrightarrow && \dot{\gamma}(t)= \gamma (t) X(e), \quad \gamma (0)=1 \,. \end{align} Z~maticového zápisu vidíme, že řešením je maticová exponenciela $\gamma(t)=\e^{t X(e)}$, výsledkem je $\e^{X}=\gamma (1)=\e^{X(e)}$. \Vet{ $A \in \mathfrak{gl}(n,\C)$, potom $\det \e^A=\e^{\Tr A}$. } \Vet{ Buď $G$ Lieova grupa, pak $\exp$ je lokální difeomorfismus nějakého $0\in U=U^\circ \subset \g$ \emph{na} $\exp U=(\exp U )^\circ \subset G$. (Toto zobrazení \emph{není} obecně \emph{surjektivní} a \emph{ani injektivní} na celé $G$). } %SURJEKTIVITA V~RÁMCI OKOLÍ??? Je zřejmé, že $\exp$ nemůže být \emph{surjektivní} pro grupy s~více komponentami souvislosti (nelze spojit křivkou body z~různých komponent). $\exp$ není obecně \emph{surjektivní} ani pro souvislé $G$, pouze v~případě, že je $G$ kompaktní.

\newpage \subsubsection*{Vyšetřování souvislosti variet} \Def{ Buďte $V^k \subset M^n$ dif. variety ($V^k$ podvarieta $M^n$). $V^k$ je \emph{deformační retrakt} $M^n$ právě tehdy, když $\exists$ $r:M^n \times \langle 0,1 \rangle \to M^n$ spojité, takové že \begin{itemize} \item $\forall p \in M$, $r(p,0)=p$, \item $\forall p \in V$, $\forall t \in \langle 0, 1\rangle$: $r(p,t)=p$, \item $r(1,M )=V$. \end{itemize} } %$r(M,1)=V$ NEBO $r(M,1) \subset V$? \Vet{ $V^k$ je deformační retrakt $M^n$, pak \begin{itemize} \item $M$ souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ souvislá, \item $M$ jednoduše souvislá $\Leftrightarrow$ $V$ jednoduše souvislá. \end{itemize} } \Pzn{ Souhrnné pojednání o souvislosti námi používaných grup je v~\emph{The American Mathematical Monthly} Vol. 74, No. 8 (Oct., 1967), pp. 964-966.\footnote{ \texttt{http://www.jstor.org/stable/2315278} } } \Vet{ $G$ souvislá Lieova grupa, $\varphi: 0\in U=U^\circ \subset \g \to \varphi(U)=(\varphi (U))^\circ \subset G$ ($e \in \varphi (U)$) difeomorfismus. Pak libovolný $g \in G$ lze zapsat vepsat ve tvaru konečného součinu $g=g_1g_2 \cdots g_k$, kde $g_j\in \varphi (U)$. (V~případě $\varphi =\exp$ umí Vysouš ukázat, že $k=2$.) } \subsubsection*{Tok levoinvariantního vektorového pole} Pro $X \in \g$ je $X|_e \in T_eG$ a $\e^{tX|_e}$ je integrální křivka procházející $e$. Integrální křivka tohoto pole procházející $g$ je $g \e^{t X|_e}$ ($\left.\frac{\dd}{\dd t}\right|_{t=0}g \e^{t X|_e}=L_{g*}\left.\frac{\dd}{\dd t}\right|_{t=0} \e^{t X|_e}=L_{g*}X|_e=X_g$). \Vet{ Tok generovaný levoinvariatním $X$ (tj. $X \in \g =T_eM$) je jednoparametrická grupa pravých translací, tj. \begin{align*} \Phi^t_X(g)=g\e^{tX} && \Leftrightarrow && \Phi^t_X=R_{\e^{tX}} \,. \end{align*} } \Dsl{ $X \in G$, $Y \in \Xs (G)$, $Y \circ R^*_g=R^*_g \circ Y$, potom $[X,Y]=0$. (To znamená, že levoinvariantní a pravoinvariantní pole komutují.) }

\Vet{ $M$ dif. varieta, $X,Y \in \Xs (M)$, $\Phi_t$, $\Psi_t$ jejich toky, $p\in M$. Potom \begin{align*} \left.([X,Y]f)\right|_p=\lim_{t \to 0}\frac{f(\sigma (t))-f(p)}{t^2}\,, \end{align*} $\sigma(t)=(\Psi_{-t}\circ \Phi_{-t} \circ \Psi_t \circ \Phi_t \ )(p)$. }

\Dsl{ Pro maticové grupy tak platí $[X,Y]|_e=XY-YX$, $\forall X,Y \in \g$ (rozvoj $\exp$). }

\Vet{ \label{Veta} $G$ Lieova grupa, $\g$ Lieova algebra, $\h$ podalgebra $\g$. Potom existuje vnořená podvarieta $H \subset G$, taková, že $H$ je podgrupa $G$ a její Lieova algebra je přirozeně izomorfní $\h$. } \Pzn{ Obecně se nejedná o vložení. Uvažujme například $T^2=S^1[\varphi] \times S^1[\vartheta]$. Vektorové pole $X=a\partial_\varphi + b \partial_\vartheta \in \mathfrak{t}^2$, $\h =\mathrm{span} \{ X \}$ a $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$. } Protože $[X,X]=0$ je $\h$ jednorozměrná podalgebra. Pro $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ je křivka na toru uzavřená a jedná se o vložení, pro $\frac{a}{b}\not \in \mathbb{Q}$ ale v~topologii $T^2$ je $\overline{H}=T^2$, tj. nejedná se o vložení. \newpage \subsection*{Nástin teorie integrabilních distribucí} \Def{ $k$-rozměrná distribuce na varietě $M$, $\dim M =n \ge k$ je hladké zobrazení, které $p \in M$ přiřazuje $k$-rozměrný podprostor v~$T_pM$. Značíme $\Delta_k (p) \subset T_pM$, $\dim \Delta_k(p)=k$. } \Def{ Integrální podvarieta dimenze $l$ distribuce $\Delta_k (p)$ je vložená podvarieta $N$ dimenze $l$ obsahující $p$ taková, že $\forall g \in N$ je $T_gN \subset \Delta_k (g)$. } \Pzn{ ??? Tedy například integrální křivky jsou integrální podvariety dimenze 1. } \Def{ Distribuce $\Delta_k$ je (úplně) integrabilní právě tehdy, když $\forall p \in M$ existuje $k$-rozměrná itegrabilní podvarieta v~bodě $p$. } \Vet{ $\Delta_k$ je integrabilní $\Leftrightarrow$ $[\Delta_k , \Delta_k] \subset \Delta_k$, to znamená \\ $(\forall U=U^\circ \subset M )(\forall X,Y \in \Xs (U))(\forall p \in U)((X(p), Y(p) \in \Delta_k(p)) \Rightarrow (\forall q \in U)([X,Y](q) \in \Delta_k(q))$. (Používá se zápisu $([X,Y]\in \Delta_k) \;\Leftrightarrow\; (\forall q \in U)([X,Y](q) \in \Delta_k(q))$.) } \Pzn{ Integrabilní podvariety $M$, $N$, pro které $M \cap N \neq \emptyset$ lze navazovat, tj. vytvářet podvariety postupem $O=M \cup N$. } \Def{ Sjednocením všech možných integrabilních podvariet získáme \emph{maximální list} distribuce $\Delta_k$. } \Vet{ Maximální list list integrabilní distribuce je prostě vnořená podvarieta. } \Pzn{ Nejedná se obecně o vložení, protože se vloženost může narušit nekonečným sjednocením (viz příklad s~$T^2$). } \Dsl{ Pro Lieovu grupu $G$ a algebru $\g$ a podalgebru $\h \subset \g$, splňující $[\h ,\h] \subset \h$ je podvarieta $H$ z~věty~\ref{Veta} maximální list integrabilní distribuce zadané $\h$. }