02LIAG:Kapitola11

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 19. 2. 2016, 00:29, kterou vytvořil Vabekjan (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Dynkinovy diagramy} Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu. \Def{ \emph{Dynkinův diagram} je zakreslení $…“)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02LIAG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02LIAGHazalmat 3. 8. 201620:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůHazalmat 7. 7. 201606:04
Header editovatHlavičkový souborHazalmat 10. 7. 201621:12 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodHazalmat 3. 8. 201621:12 LIAG_Kapitola0.tex
Kapitola1 editovatDefinice Lieovy grupy a Lieovy algebryHazalmat 5. 8. 201617:02 LIAG_Kapitola1.tex
Kapitola2 editovatVztah mezi Lieovou grupou a její algebrouHazalmat 5. 8. 201617:27 LIAG_Kapitola2.tex
Kapitola3 editovatNástin teorie integrabilních distribucíHazalmat 30. 7. 201614:10 LIAG_Kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAkce grupy na varietěHazalmat 17. 7. 201619:23 LIAG_Kapitola4.tex
Kapitola5 editovatReprezentace Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201617:21 LIAG_Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSouvislost Lieových grup a algeberHazalmat 4. 8. 201618:51 LIAG_Kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLieovy algebryHazalmat 5. 8. 201601:06 LIAG_Kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCartanova kritériaHazalmat 5. 8. 201617:29 LIAG_Kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKlasifikace pomocí kořenůHazalmat 5. 8. 201617:34 LIAG_Kapitola9.tex
Kapitola10 editovatKořenové diagramy, Cartanova marticeHazalmat 31. 7. 201615:32 LIAG_Kapitola10.tex
Kapitola11 editovatDynkinovy diagramyHazalmat 5. 8. 201617:39 LIAG_Kapitola11.tex
Kapitola12 editovatReálné formy komplexních poloprostých algeberHazalmat 31. 7. 201623:39 LIAG_Kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVýznam kompaktních Lieových grupHazalmat 31. 7. 201623:45 LIAG_Kapitola13.tex
Kapitola14 editovatReprezentace poloprostých Lieových algeberHazalmat 1. 8. 201612:45 LIAG_Kapitola14.tex
Kapitola15 editovatSpinorové reprezentaceHazalmat 27. 7. 201620:38 LIAG_Kapitola15.tex
Kapitola16 editovatSymetrie v QMHazalmat 27. 7. 201621:21 LIAG_Kapitola16.tex
Kapitola17 editovatCvičeníHazalmat 6. 8. 201603:42 LIAG_Kapitola17.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:liag-1.pdf liag-1.pdf
Image:su3_1.pdf su3_1.pdf
Image:su3_2.pdf su3_2.pdf
Image:su3_3.pdf su3_3.pdf
Image:su3_4.pdf su3_4.pdf
Image:su3_5.pdf su3_5.pdf
Image:su3_6.pdf su3_6.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02LIAG}
 
\section{Dynkinovy diagramy}	
Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu.
\Def{
	\emph{Dynkinův diagram} je zakreslení $\Delta^p$ do grafu, kde spojíme $\alpha_i$ a $\alpha_j$ $a_{ij}a_{ji}$ hranami, pokud je hran více zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$).
	}
\Vet{
	Nechť $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$, $\Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset$, $\braket{\gamma_i , \gamma_j}=0$, $\forall \gamma_k \in \Delta_k$. Potom $\g = \g_1 \oplus \g_2$, $[\g_1,\g_2]=0$, $K(X_i,X_j)=0$, $\forall X_k \in \g_k$.\\
	(Tedy souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám.) 
	}
	Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají.
\lemma{
	Nechť $\alpha_i,\alpha_j \in \Delta^p$, $\braket{\alpha_i, \alpha_j} \le \braket{\alpha_j ,\alpha_j}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$ je $\# \{k \in \Z | \alpha_j+k \alpha_i \in \Delta \}-1$.
	}
 
	Definujeme $e_i=\frac{\alpha_i}{\norm{\alpha_i}}$, 	označíme $n_{ij}$ počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$. Pak platí $\braket{e_i, e_j}=-\sqrt{n_{ij}}$. Uvažujeme libovolný $x=\sum_j x_je_j$, takže
	\begin{align}
		\norm{x}=
		\sum_j x_j^2+2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \braket{e_i,e_j}=
		\sum_j x_j^2-2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \sqrt{n_{ij}} >0 \,.
	\end{align}
	Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma.
\lemma{
	Podmínky pro přípustnost Dynkinových diagramů jsou:
	\begin{itemize}
		\item Dynkinovy diagramy neobsahují uzavřené smyčky.
		\item V~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany.
		\item Nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme přípustný Dynkinův diagram.
		\item Poddiagram určený $n=\mrm{diag}(1,2,1,1)$ není přípustný.
		\item Pro diagram na obr. \ref{diag_1} označíme $x=\sum_{j=1}^{p-1}je_j$, $y=\sum_{j=1}^{q-1}jf_j$, $z=\sum_{j=1}^{r-1}jg_j$ platí
		\begin{enumerate}
			\item Viz sešit.
		\end{enumerate}
		Dostaneme tak přípustné možnosti, kdy je graf rozštěpen.
	\end{itemize}
	}
	Aplikací těchto podmínek získáme všechny možné přípustné komplexní prosté Lieovy algebry určené Dynkinovými diagramy (označíme $\dim \g_0 = \mrm{rank}\,\g$)
	\begin{itemize}
		\item série $A_l$ odpovídající $\mfrk{sl}(l+1,\C)$, $l\ge 1$,
		\item série $B_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l+1,\C)$, $l\ge 2$,
		\item série $C_l$ odpovídající $\mfrk{sp}(2l,\C)$, $l\ge 3$,
		\item série $D_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l,\C)$, $l\ge 4$,
		\item výjimečné algebry $G_2$, $F_4$ a $E_k$, $k=6,7,8$.
	\end{itemize}
	To že všechny tyto algebry jsou nejen přípustné, ale že opravdu existují bylo ukázáno jejich explicitní konstrukcí. Přehled Cartanových matic jednotlivých sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány)
%	\begin{small}
	\begin{align*}
	a^{A_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -1 \\
	 &  &  &  & -1 & 2 \\
	\end{pmatrix} , &&
	a^{B_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 &  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -2 \\
	 &  &  &  & -1 & 2 \\
	\end{pmatrix}\,, \\
	a^{C_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 &  \\
	 &  &  & -1 & 2 & -1 \\
	 &  &  &  & -2 & 2 \\
	\end{pmatrix} , &&
	a^{D_l}=\begin{pmatrix}
	2 & -1 &  &  &  &  \\
	-1 & 2 & -1 &  &  &  \\
	 & \ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
	 &  & -1 & 2 & -1 & -1 \\
	 &  &  & -1 & 2 &  \\
	 &  &  & -1 &  & 2 \\
	\end{pmatrix} \,.
	\end{align*}
%	\end{small}
\Pzn{
	Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah
	\begin{align}
	\frac{\norm{\alpha_i}}{\norm{\alpha_j}}=\sqrt{\frac{\braket{\alpha_i,\alpha_i}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_ji}} && \Rightarrow && \norm{\alpha_i}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_{ji}}} \norm{\alpha_j}\,.
	\end{align}
	}
\Pzn{
	Přehled vztahů mezi souřadnicovými funkcionály v~definující reprezentaci klasických sérií $\varphi \in \g_0^*$ (zavedeny na cvikách) a fundamentálními kořeny (viz další kapitola).
	}
	\begin{itemize}
		\item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\
		nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd.
 
		\item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
			reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}.
 
		\item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\
			nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd.
 
		\item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\,
					   \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2,
					   \dots ,\,
					   \lambda_{l-2}=\sum_{i=1}^{l-2}\varphi_i ,\,
					   \lambda_{l-1}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i -\varphi_l \right),\,
					   \lambda_{l}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
			takže máme 2 spinorové reprezentace.
	\end{itemize}
%JEŠTĚ SEM PŘIJDE ČÁST O DYNKINOVÝCH DIAGRAMECH, KTERÁ NENÍ SLOŽITÁ A PAK KLASIFIKACE