02LIAG:Kapitola11: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02LIAG} | %\wikiskriptum{02LIAG} | ||
+ | |||
+ | \section{Dynkinovy diagramy} | ||
+ | |||
Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu. | Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu. |
Verze z 21. 3. 2016, 00:44
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Dynkinovy diagramy} Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu. \Def{ \emph{Dynkinův diagram} je zakreslení $\Delta^p$ do grafu, kde spojíme $\alpha_i$ a $\alpha_j$ $a_{ij}a_{ji}$ hranami, pokud je hran více zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$). } \Vet{ Nechť $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$, $\Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset$, $\braket{\gamma_i , \gamma_j}=0$, $\forall \gamma_k \in \Delta_k$. Potom $\g = \g_1 \oplus \g_2$, $[\g_1,\g_2]=0$, $K(X_i,X_j)=0$, $\forall X_k \in \g_k$.\\ (Tedy souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám.) } Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají. \lemma{ Nechť $\alpha_i,\alpha_j \in \Delta^p$, $\braket{\alpha_i, \alpha_j} \le \braket{\alpha_j ,\alpha_j}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$ je $\# \{k \in \Z | \alpha_j+k \alpha_i \in \Delta \}-1$. } Definujeme $e_i=\frac{\alpha_i}{\norm{\alpha_i}}$, označíme $n_{ij}$ počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$. Pak platí $\braket{e_i, e_j}=-\sqrt{n_{ij}}$. Uvažujeme libovolný $x=\sum_j x_je_j$, takže \begin{align} \norm{x}= \sum_j x_j^2+2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \braket{e_i,e_j}= \sum_j x_j^2-2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \sqrt{n_{ij}} >0 \,. \end{align} Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma. \lemma{ Podmínky pro přípustnost Dynkinových diagramů jsou: \begin{itemize} \item Dynkinovy diagramy neobsahují uzavřené smyčky. \item V~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany. \item Nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme přípustný Dynkinův diagram. \item Poddiagram určený $n=\mrm{diag}(1,2,1,1)$ není přípustný. \item Pro diagram na obr. \ref{diag_1} označíme $x=\sum_{j=1}^{p-1}je_j$, $y=\sum_{j=1}^{q-1}jf_j$, $z=\sum_{j=1}^{r-1}jg_j$ platí \begin{enumerate} \item Viz sešit. \end{enumerate} Dostaneme tak přípustné možnosti, kdy je graf rozštěpen. \end{itemize} } Aplikací těchto podmínek získáme všechny možné přípustné komplexní prosté Lieovy algebry určené Dynkinovými diagramy (označíme $\dim \g_0 = \mrm{rank}\,\g$) \begin{itemize} \item série $A_l$ odpovídající $\mfrk{sl}(l+1,\C)$, $l\ge 1$, \item série $B_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l+1,\C)$, $l\ge 2$, \item série $C_l$ odpovídající $\mfrk{sp}(2l,\C)$, $l\ge 3$, \item série $D_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l,\C)$, $l\ge 4$, \item výjimečné algebry $G_2$, $F_4$ a $E_k$, $k=6,7,8$. \end{itemize} To že všechny tyto algebry jsou nejen přípustné, ale že opravdu existují bylo ukázáno jejich explicitní konstrukcí. Přehled Cartanových matic jednotlivých sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány) % \begin{small} \begin{align*} a^{A_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} , && a^{B_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & \\ & & & -1 & 2 & -2 \\ & & & & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\,, \\ a^{C_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -2 & 2 \\ \end{pmatrix} , && a^{D_l}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & -1 & 2 & -1 & -1 \\ & & & -1 & 2 & \\ & & & -1 & & 2 \\ \end{pmatrix} \,. \end{align*} % \end{small} \Pzn{ Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah \begin{align} \frac{\norm{\alpha_i}}{\norm{\alpha_j}}=\sqrt{\frac{\braket{\alpha_i,\alpha_i}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_ji}} && \Rightarrow && \norm{\alpha_i}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_{ji}}} \norm{\alpha_j}\,. \end{align} } \Pzn{ Přehled vztahů mezi souřadnicovými funkcionály v~definující reprezentaci klasických sérií $\varphi \in \g_0^*$ (zavedeny na cvikách) a fundamentálními kořeny (viz další kapitola). } \begin{itemize} \item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\ nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd. \item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}. \item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\ nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd. \item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-2}=\sum_{i=1}^{l-2}\varphi_i ,\, \lambda_{l-1}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i -\varphi_l \right),\, \lambda_{l}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\ takže máme 2 spinorové reprezentace. \end{itemize} % JEŠTĚ SEM PŘIJDE ČÁST O DYNKINOVÝCH DIAGRAMECH, KTERÁ NENÍ SLOŽITÁ A PAK KLASIFIKACE