02LIAG:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Kořenové diagramy, Cartanova matice} Tyto diagramy nám pomohou znázornit strukturu algebry a určit tak, které je i…“) |
|||
Řádka 66: | Řádka 66: | ||
$\cos^2 (\theta) \neq 1$ protože $\Delta^p$ je LN množina. Pro $i \neq j$ je $a_{ij}\le 0$, takže $\cos (\theta) =\frac{\braket{\alpha_i , \alpha_j}}{\norm{\alpha_i}\norm{\alpha_j}}\le 0$ a z~možných hodnot $\cos^2 (\theta )$ je $\theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \}$, dále | $\cos^2 (\theta) \neq 1$ protože $\Delta^p$ je LN množina. Pro $i \neq j$ je $a_{ij}\le 0$, takže $\cos (\theta) =\frac{\braket{\alpha_i , \alpha_j}}{\norm{\alpha_i}\norm{\alpha_j}}\le 0$ a z~možných hodnot $\cos^2 (\theta )$ je $\theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \}$, dále | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | 1\ge \frac{a_{ji}}{a_{ij}}=\frac{\norm{\alpha_j}^2}{\norm{\alpha_i}^2} &&\Rightarrow && \norm{\alpha_j}=\sqrt{-a_{ji}}\norm{\alpha_i} | + | 1\ge \frac{a_{ji}}{a_{ij}}=\frac{\norm{\alpha_j}^2}{\norm{\alpha_i}^2} &&\Rightarrow && \norm{\alpha_j}=\sqrt{-a_{ji}}\norm{\alpha_i} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
(zvolili jsme uspořádání, neplatí obecně). Shrnutím těchto vlastností jsou vztahy mezi vektory $\alpha_i$, které využijeme při zakreslování. | (zvolili jsme uspořádání, neplatí obecně). Shrnutím těchto vlastností jsou vztahy mezi vektory $\alpha_i$, které využijeme při zakreslování. |
Verze z 27. 2. 2016, 13:06
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Kořenové diagramy, Cartanova matice} Tyto diagramy nám pomohou znázornit strukturu algebry a určit tak, které je izomorfní. \Def{ $\h = \mrm{span}_\R \{H_\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$, $\h^\# =\mrm{span}_\R\{\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$,\\ $\braket{\cdot , \cdot}: \h^\# \times \h^\# \to \R,\, \braket{\alpha , \beta}=K(H_\alpha , H_\beta)$ je skalární součin. } \Pzn{ $\braket{\alpha , \beta}=K(H_\alpha , H_\beta)=\sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta} \tilde{\alpha}(H_\alpha)\tilde{\alpha}(H_\beta)=\Tr \left(\ad_{H_\alpha}\circ \ad_{H_\beta} \right)$. } \Def{ \emph{Kořenový diagram} je zakreslení $\Delta$ v~Euklidově prostoru $\h^\#$. } \Def{ \emph{Zrcadlení podle nadroviny kolmé k~$\alpha$} je $S_\alpha : \h^\# \to \h^\#$, $S_\alpha(\lambda ) =\lambda - 2\frac{\braket{\alpha,\lambda}}{\braket{\alpha ,\alpha}}\alpha$. } \Pzn{ Podle 4. bodu lemmatu \ref{lemma_Koreny} je pro $(\forall \alpha ,\beta \in \Delta)(S_\alpha(\beta ) \in \Delta)$. Proto lze uvažovat $S_\alpha: \Delta \to \Delta$. } \Def{ \emph{Weylova grupa} $\Ws$ je grupa generovaná všemi $S_\alpha$. } \Pzn{ Weylova grupa je konečná protože je obsažena v~grupě permutací $S_{\# \Delta}$. } Volbou libovolného $H_0 \in \h$ máme $\forall \alpha \in \Delta$, $\alpha(H_0)\neq 0$. Můžeme tak rozdělit kořeny na kladné a záporné. $H_0$ považujeme dále pevně zvolené. \Def{ $\Delta^\pm =\{\alpha \in \Delta | \alpha (H_0) \gtrless 0 \}$, definujeme $(\alpha \gtreqqless \beta \Leftrightarrow \alpha (H_0) \gtreqqless \beta (H_0))$. } Volba závisí na $H_0$, ale při zakreslení tato klasifikace znamená pouze pootočení nákresu a nemá tak na výsledek podstatný vliv. \Pzn{ $\forall \alpha \in \Delta^+:\; -\alpha \in \Delta^-$. $(\forall \alpha , \beta \in \Delta^+):\; (\alpha + \beta \in \Delta ) \Rightarrow (\alpha + \beta \in \Delta^+)$. } \Def{ $\Delta^p =\{\alpha \in \Delta^+ | (\forall \beta , \gamma \in \Delta^+)(\beta +\gamma \neq \alpha) \}$. } %Omezení vlastností kořenového diagramu \lemma{ Vlastnosti kořenového diagramu. \begin{enumerate} \item $\Delta^p$ tvoří bázi $\h^\#$. \item $\forall \alpha, \beta \in \Delta^p, \alpha \neq \beta$ je $\braket{\alpha , \beta }<0$. \item $\forall \alpha \in \Delta^+$ je $ \alpha=\sum_{\beta \in \Delta^p}A_\beta \beta$ a $A_\beta \in \Z_+$. \end{enumerate} } To znamená, že $\Delta^p$ tvoří tedy i bázi $\g_0^*$ a zakreslujeme do $\#\Delta^p$-dimenzionálního prostoru. Úhel mezi prostými kořeny je tupý. $\Delta^+$ získáváme celočíselnými kombinacemi prostých kořenů. Strategie při kreslení kořenového diagramu je tedy začít prostými kořeny a aplikací operací zrcadlení a celočíselných součtů kořenů získávat další kořeny, přičemž kladné získáme pouze nezápornou kombinací kladných. Navíc se může hodit tvrzení \ref{posloupnost korenu} lemmatu \ref{lemma_Koreny}. %Kořenové diagramy není jednoduché zakreslit ve vícerozměrném prostoru. \Def{ \emph{Cartanova matice} je $a_{ij}=\frac{2\braket{\alpha_i ,\alpha_j}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}$, $\alpha_i , \alpha_j \in \Delta^p$. } \Pzn{ Vlastnosti $a$. \begin{itemize} \item $a_{ii}=2$, $a_{ij}\le 0$ pro $i \neq j$. \item Při uspořádání $\norm{\alpha_i} \le \norm{\alpha_j}$ je $a_{ij}=-1$ a $a_{ji}\in \{-1,-2,-3\}$.\footnote{ $\norm{\cdot}$ je indukována $\braket{\cdot , \cdot}$, tj. $\norm{\beta}=\sqrt{\braket{\beta, \beta}}$. } \end{itemize} } %Nyní určíme možné úhly, které mohou svírat \emph{prosté} kořeny a navíc zjistíme i vztah mezi jejich velikostmi. \lemma{ Označíme $\theta=\measuredangle (\alpha_i , \alpha_j )$, potom $a_{ij}a_{ji}=4\cos^2 (\theta) \in \Z$ a tedy $\cos^2 (\theta) \in \left\{0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4} \right\}$. } $\cos^2 (\theta) \neq 1$ protože $\Delta^p$ je LN množina. Pro $i \neq j$ je $a_{ij}\le 0$, takže $\cos (\theta) =\frac{\braket{\alpha_i , \alpha_j}}{\norm{\alpha_i}\norm{\alpha_j}}\le 0$ a z~možných hodnot $\cos^2 (\theta )$ je $\theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \}$, dále \begin{align*} 1\ge \frac{a_{ji}}{a_{ij}}=\frac{\norm{\alpha_j}^2}{\norm{\alpha_i}^2} &&\Rightarrow && \norm{\alpha_j}=\sqrt{-a_{ji}}\norm{\alpha_i} \end{align*} (zvolili jsme uspořádání, neplatí obecně). Shrnutím těchto vlastností jsou vztahy mezi vektory $\alpha_i$, které využijeme při zakreslování. \Pzn{ Možné úhly mezi vektory $\alpha_i$ a vztahy mezi jejich délkou ($\theta=\measuredangle (\alpha_i , \alpha_j )$). \begin{itemize} \item $\theta = \frac{\pi}{2}$, nevím vztah mezi $\norm{\alpha_i}$ a $\norm{\alpha_j}$. \item $\theta = \frac{2\pi}{3}$, $\norm{\alpha_j}=\norm{\alpha_i}$. \item $\theta = \frac{3\pi}{4}$, $\norm{\alpha_j}=\sqrt{2}\norm{\alpha_i}$. \item $\theta = \frac{5\pi}{6}$, $\norm{\alpha_j}=\sqrt{3}\norm{\alpha_i}$. \end{itemize} }