Součásti dokumentu 02KVAN
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN}
\chapter{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
\ll{ssec:csympot}
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
kde
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
\bc
Spočítejte komutátory
\be [\hat L_j,\hat Q_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
kde
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
\ec
\bc
Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
\be \hat L^2 = \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
\ec
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\varphi} \ll{lzsfer} \ee
\be
\hat L^2
= - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
\ll{lkvadsfer}
\ee
\be
\hat H
= - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
+ \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\varphi^2}
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right]
+ \hat V(r)
\ll{hsfer}
\ee
\bc
S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
\ec
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
\section{Moment hybnosti, kulové funkce}
\ll{ssmomhyb}
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\varphi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici
\be
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\varphi^2}
+ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
+ \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
= 0.
\ll{pdrl2}
\ee
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru
\be \Psi(r,\theta,\varphi) = \chi(r,\theta)e^{ i m\varphi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma} pro $F$
v~tomto případě zní
\[
\int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz
= \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\varphi)}^2\dvol=
\]
\be
= 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \sin \theta \dr\d \theta
= 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
\ll{kvadintss}
\ee
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná
na $\langle -1,1 \rangle$.
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
kde
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
\bc
Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\varphi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\varphi} $}\ , \ll{ylm} \ee
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\varphi)$. Odtud plyne, že \emph{spektrum operátoru $\hat L^2$ je čistě bodové a je tvořeno množinou}
\be
\ll{spektrl2}
\sigma(\hat L^2) = \sigma_p(\hat L^2) = \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} .
\ee
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro
$l=0,1,2,\ldots$
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be \d w = w(\theta,\varphi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\varphi)|^2 \d\Omega. \ee
\bc
Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
\ec
\section{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ll{fakpsi} \ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
\be
\hat H
= -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2}
+ \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
- \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right]
+ \hat V(r).
\ll{hsfer2}
\ee
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{ef}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
kde
\be V_{\rm{ef}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$ se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{\rm{ef}}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{\rm{ef}}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$
přejde na podmínku
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný.
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
\section{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly
zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz
\cite{baterd})
\be
\ll{rtoplusinf}
F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
Pro $z\to -\infty\ $
\be
\ll{rtominusinf}
F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
\section{Isotropní harmonický oscilátor}
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních
stavů energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2}
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$. Zvolíme
ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné
Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
\be
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\varphi},
\ll{resiho}
\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
\Psi_{n,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\varphi),
\ll{resiho2}
\ee
a zvolíme-li
\be
|K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
\bc
Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $\frac{3}{2}\hbar\omega$, $\frac{5}{2}\hbar\omega$ a $\frac{7}{2}\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními
\fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie}
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
\section{Coulombův potenciál}
\ll{podkap:coulomb}
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron,
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=e^2/(4\pi\epsilon_0)$, kde $e$ je elementární náboj a $\epsilon_0$ je permitivita vakua.
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
\be
-\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
\ll{rcekhicp}
\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
\be
\fbox{$E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in \N$}\ .
\ll{ecoul}
\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$.
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
má tvar}
\be
\Psi_{N,l,m}(r,\theta,\varphi) = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-\frac{r}{Na}} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right) Y_{lm}(\theta,\varphi),
\ll{nlmcoul}
\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $K_{Nl}$ je normalizační konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $Y_{lm}$ jsou
kulové \fc e. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je $a=0,53\times10^{-8}$ cm. Zvolíme-li normovací konstantu jako
\[
|K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2},
\]
je množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} ortonormální, tj. platí
$$
(\Psi_{Nlm},\Psi_{N'l'm'}) = \delta_{N,N'}\delta_{l,l'}\delta_{m,m'}.
$$
\textbf{Netvoří ale bázi Hilbertova prostoru} $L^2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
r^2\sin\theta dr d\theta d\varphi).$ Důvod je v~tom, že hamiltonián pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii.
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee
kde $Q=e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.
